feds · June 30, 1997

Forecasting Long- and Short-Horizon Stock Returns in a Unified Framework

Abstract

If stock prices do not follow random walks, what processes do they follow? This question is important not only for forecasting purpose, but also for theoretical analyses and derivative pricing where a tractable model of the movement of underlying stock prices is needed. Although several models have been proposed to capture the predictability of stock returns, their empirical performances have not been evaluated. This paper evaluates some popular models using a Kalman Filter technique and finds that they have serious flaws. The paper then proposes an alternative parsimonious state-space model in which state variables characterize the stochastic movements of stock returns. Using equal-weighted CRSP monthly index, the paper shows that (1) this model fits the autocorrelations of returns well over both short and longer horizons and (2) although the forecasts obtained with the state-space model are based solely on past returns, they subsume the information in other potential predictor variables such as dividend yields.

T G O Y h o w o (cid:3) A e v v e r e n n g s F o r n e a r ly ie w s e x n o r s o f L a m o n h a n D u e c a R d r a ft o f p r e s s e d t h e F e d t , C r a ig a n m u a s t i n e t u t h is p a h e r e in e r a l R e M a c K n d R u t g L r n p e r w a r e t s e r v e in la y , h W u s S a s h o S y M fo o n g - a n d S h o r t - H o i n a U n i (cid:12) e d F r a m (cid:3) C h u n s h e n g Z h o u F e d e r a l R e s e r v e B o a r d W a s h i n g t o n , D C 2 0 5 5 1 T e l : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 3 3 2 8 E - m a i l : c z h o u @ f r b . g o v J a n u a r y 2 4 , 1 9 9 6 F ir s t D r a f t : A u g u s t 2 8 , 1 9 9 5 e c o n d D r a f t : O c t o b e r 2 0 , 1 9 9 5 c ir c u la t e d u n d e r t h e t it le ‘F o r e c a s t in g s e o f t h e a u t h o r a n d d o n o t n e c e s s a r s t e m . T h e a u t h o r w o u ld lik e t o t h a n k a t t P r it s k e r a n d P a t W h it e fo r h e lp fu r r e s e a r c h a s s is t a n c e . 1 r i z o n S t o c k e w o r k S t o c k R e t u r n s a n d S t o c k P r ic e s .’ ily r e (cid:13) e c t t h o s e o f t h e B o a r d o f J o h n C a m p b e ll, J o h n C o c h r a n e , l c o m m e n t s a n d d is c u s s io n s a n d

F o r e c a s t i n g L o n g - a n d S h o r t - H o r i z o n S t o c k R e t u r n s i n a U n i (cid:12) e d F r a m e w A b s t r a c t I f s t o c k p r ic e s d o n o t f o llo w r a n d o m w a lk s , w h a t p r o c e s s e s d o t h e y f o llo w ? T h is q u e s t io n is im p o r t a n t n o t o n ly f o r f o r e c a s t in g p u r p o s e , b u t a ls o f o r t h e o r e t ic a l a n a ly s e s a n d d e r iv a t iv e p r ic in g w h e r e a t r a c t a b le m o d e l o f t h e m o v e m e n t o f u n d e r ly in g s t o c k p r ic e s is n e e d e d . A lt h o u g h s e v e r a l m o d e ls h a v e b e e n p r o p o s e d t o c a p t u r e t h e p r e d ic t a b ilit y o f s t o c k r e t u r n s , t h e ir e m p ir ic a l p e r f o r m a n c e s h a v e n o t b e e n e v a lu a t e d . T h is p a p e r e v a lu a t e s s o m e p o p u la r m o d e ls u s in g a K a lm a n F ilt e r t e c h n iq u e a n d (cid:12) n d s t h a t t h e y h a v e s e r io u s (cid:13) a w s . T h e p a p e r t h e n p r o p o s e s a n a lt e r n a t iv e p a r s im o n io u s s t a t e - s p a c e m o d e l in w h ic h s t a t e v a r ia b le s c h a r a c t e r iz e t h e s t o c h a s t ic m o v e m e n t s o f s t o c k r e t u r n s . U s in g e q u a l- w e ig h t e d C R S P m o n t h ly in d e x , t h e p a p e r s h o w s t h a t ( 1 ) t h is m o d e l (cid:12) t s t h e a u t o c o r r e la t io n s o f r e t u r n s w e ll o v e r b o t h s h o r t a n d lo n g e r h o r iz o n s a n d ( 2 ) a lt h o u g h t h e f o r e c a s t s o b t a in e d w it h t h e s t a t e - s p a c e m o d e l a r e b a s e d s o le ly o n p a s t r e t u r n s , t h e y s u b s u m e t h e in f o r m a t io n in o t h e r p o t e n t ia l p r e d ic t o r v a r ia b le s s u c h a s d iv id e n d y ie ld s . 2 o r k

C o n s id e r a b le e v id e n c e h a s s h o w n t h a t s t o c k r e t u r n s a r e p r e d ic t a b le a n d s t o c k p r ic e s d o n o t f o llo w r a n d o m w a lk s . I f s t o c k p r ic e s d o n o t f o llo w r a n d o m w a lk s , w h a t p r o c e s s e s d o t h e y f o llo w ? T h is q u e s t io n is im p o r t a n t n o t o n ly f o r f o r e c a s t in g p u r p o s e , b u t a ls o f o r t h e o r e t ic a l a n a ly s e s w h e r e a t r a c t a b le m o d e l o f t h e m o v e m e n t o f u n d e r ly in g s t o c k p r ic e is n e e d e d . F o r e x a m p le , t o s o lv e a n o p t im iz a t io n p r o b le m o f d y n a m ic p o r t f o lio s e le c t io n a n d c o n s u m p t io n d e c is io n ( s u c h a s in M e r t o n ’ s I C A P M ) , w e h a v e t o k n o w t h e m o v e m e n t o f s t o c k p r ic e s ; t o p r ic e a o p t io n , w e n e e d t o s p e c if y t h e s t o c h a s t ic p r o c e s s o f t h e u n d e r ly in g s t o c k p r ic e . U n f o r t u n a t e ly , lit t le p r o g r e s s h a s b e e n m a d e in t h is a s p e c t . S o m e p o p u la r m o d e ls , t h o u g h p r o p o s e d b a s e d o n t h e o b s e r v a t io n o f h is t o r ic a l d a t a , h a v e n e v e r b e e n t e s t e d e m p ir ic a lly . F o r t h is r e a s o n , t h e a c a d e m ic a n a ly s is o f p r e d ic t a b ilit y h a s n o t y e t g e n e r a t e d a p r o f o u n d im p a c t o n (cid:12) n a n c ia l p r a c t ic e a n d t h e R a n d o m W a lk a s s u m p t io n s t ill d o m in a t e s . T h is a r t ic le t r ie s t o (cid:12) ll t h is g a p . I t (cid:12) r s t e v a lu a t e s t h e e x is t in g p o p u la r m o d e ls u s in g a s t a n d a r d d a t a s e t : C R S P m o n t h ly r e t u r n s . T h e e v a lu a t io n r e s u lt s s u g g e s t t h a t t h e s e m o d e ls h a v e s e r io u s s h o r t c o m in g s . P o p u la r m o d e ls a r e u s u a lly t o o r e s t r ic t iv e t o c a p t u r e lo n g a n d s h o r t h o r iz o n p r o p e r t ie s t o g e t h e r . S p e c i(cid:12) c a lly , m o d e ls w h ic h c a p t u r e t h e p r o p e r t ie s o f lo n g h o r iz o n r e t u r n s t y p ic a lly d o n o t h a v e p r e d ic t io n p o w e r f o r s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a n d d o n o t (cid:12) t h ig h f r e q u e n c y d a t a ; w h ile m o d e ls w h ic h c a n (cid:12) t h ig h f r e q u e n c y d a t a g e n e r a lly d o n o t c a p t u r e t h e c h a r a c t e r is t ic s o f lo n g - h o r iz o n r e t u r n s . T h is p a p e r p r o p o s e s a m o r e (cid:13) e x ib le s t a t e - s p a c e m o d e l in w h ic h t w o s t a t e v a r ia b le s c h a r a c t e r iz e t h e s t o c h a s t ic b e h a v io r o f s t o c k r e t u r n s ( p r ic e s ) . A lt h o u g h t h e m o d e l is h ig h ly p a r s im o n io u s , it f o r e c a s t s s t o c k r e t u r n s o v e r b o t h s h o r t a n d lo n g e r h o r iz o n s s u r p r is in g ly w e ll. T h e a p p r o a c h u s e d in t h is p a p e r is d i(cid:11) e r e n t f r o m s e v e r a l o t h e r s w h ic h h a v e b e e n p o p u la r in t h e lit e r a t u r e f o r d e t e c t in g a n d / o r c h a r a c t e r iz in g t h e p r e d ic t a b ilit y o f a s s e t r e t u r n s . T h e (cid:12) r s t a p p r o a c h , w h ic h I w ill c a ll t h e g e n e r a l r e g r e s s io n a p p r o a c h , r e g r e s s e s a s s e t r e t u r n s o n s o m e p la u s ib le p r e d ic t o r s s u c h a s d iv id e n d y ie ld s , in t e r e s t r a t e s , a n d s o m e m a c r o e c o n o m ic e t a l. v a r ia b le s ( B r e e n , G lo s t e n a n d J a g a n n a t h a n 1 9 8 9 , C u lt e r 1 9 8 9 , F a m a a n d F r e n c h 1 9 8 8 a , F a m a a n d S c h w e r t 1 9 7 7 , F e r s o n 1 9 9 1 , K e im a n d S t a m b a u g h 1 9 8 6 , a n d Z h o u 1 9 9 5 ) . T h is a p p r o a c h is t y p ic a lly u s e d t o p r e d ic t a s s e t r e t u r n s f o r t h e n e x t p e r io d b u t is n o t u s e d 3

t o c h a r a c t e r iz e t h e s t o c h a s t ic m o v e m e n t s o f e x p e c t e d r e t u r n s ( e . g . t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n t o d a y ’ s e x p e c t e d r e t u r n s a n d t o m o r r o w ’ s e x p e c t e d r e t u r n s ) . A u t o - r e g r e s s io n is a n o t h e r p o p u la r a p p r o a c h ( B e k a e r t a n d H o d r ic k 1 9 9 2 , C a m p b e ll 1 9 9 1 , C a m p b e ll a n d A m m e r 1 9 9 3 , C a m p b e ll a n d H a m a o 1 9 9 2 , F a m a a n d F r e n c h 1 9 8 8 a , K a n d e l a n d S t a m b a u g h 1 9 8 8 ) , in c lu d in g u n iv a r ia t e r e g r e s s io n s a n d v e c t o r a u t o - r e g r e s s io n s ( V A R s ) . T h is a p p r o a c h r e g r e s s e s r e a liz e d a s s e t r e t u r n s o n t h e ir o w n la g s , a n d p o s s ib ly , s o m e o t h e r p r e d e t e r m in e d v a r ia b le s . O n e p r a c t ic a l p r o b le m w it h t h is a p p r o a c h is t h a t r e a liz e d a s s e t r e t u r n s c o n s is t o f a t le a s t t w o c o m p o n e n t s : e x p e c t e d r e t u r n s a n d u n e x p e c t e d in n o v a t io n s . T h e t w o c o m p o n e n t s m a y h a v e r a t h e r d i(cid:11) e r e n t r e la t io n s w it h f u t u r e r e t u r n s , b u t t h e a u t o - r e g r e s s io n a p p r o a c h d o e s n o t d is t in g u is h b e t w e e n t h e s e c o m p o n e n t s . F o r t h is r e a s o n , t h e p r e d ic t io n s b a s e d o n t h is a p p r o a c h m a y b e s u b - o p t im a l o r e v e n c o n d it io n a lly b ia s e d . T h e n e x t s e c t io n d is c u s s e s t h is in d e t a il. A n o t h e r p r o b le m a s s o c ia t e d w it h t h is a p p r o a c h ( a n d t h e g e n e r a l r e g r e s s io n a p p r o a c h t o o ) is t h e la c k o f a s t r u c t u r a l in t e r p r e t a t io n . F o r e x a m p le , d iv id e n d y ie ld s h e lp t o p r e d ic t s t o c k r e t u r n s a c c o r d in g t o t h is a p p r o a c h , b u t t h e a p p r o a c h d o e s n o t r e v e a l c a u s a lit y b e t w e e n t h e s e v a r ia b le s . T h e t h ir d a p p r o a c h is w h a t I c a ll t h e d ir e c t t e s t in g a p p r o a c h ( L o a n d M a c K in la y 1 9 8 8 a n d P o t e r b a a n d S u m m e r s 1 9 8 8 ) . T h is a p p r o a c h u s e s s o m e k in d o f s t a t is t ic a l m e a s u r e s lik e v a r ia n c e - r a t io t e s t s t o t e s t if s t o c k p r ic e s f o llo w \ r a n d o m w a lk s . " H o w e v e r , t h is a p p r o a c h d o e s n o t t e ll u s w h a t p r o c e s s e s p r ic e s f o llo w if t h e \ r a n d o m w a lk " h y p o t h e s is is r e j e c t e d . T h e w o r k o f C o n r a d a n d K a u l ( 1 9 8 8 ) is a ls o r e le v a n t t o t h is p a p e r . C o n r a d a n d K a u l u s e a s t a t e - s p a c e a p p r o a c h t o s t u d y t im e - v a r ia t io n o f e x p e c t e d r e t u r n s . T h e y f o c u s o n t h e p r e d ic t a b ilit y o f h ig h f r e q u e n c y w e e k ly r e t u r n s a n d t h e y u s e a le s s (cid:13) e x ib le m o d e l t h a n p r o p o s e d in t h is p a p e r . A s a r e s u lt , t h e ir m o d e l d o e s n o t (cid:12) t t h e lo w f r e q u e n c y d a t a a n d e s p e c ia lly , d o e s n o t g e n e r a t e t h e t y p ic a l p a t t e r n o f n e g a t iv e a u t o c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s o v e r lo n g e r h o r iz o n s ( s a y o n e y e a r ) . T h e n e x t s e c t io n w ill d is c u s s t h e ir m o d e l in d e t a ils . T h e r e s t o f t h is p a p e r is o r g a n iz e d a s f o llo w s . T h e n e x t s e c t io n e v a lu a t e s a f e w p o p u la r 4

m o d e ls o f e x p e c t e d s t o c k r e t u r n s w h ic h h a v e n o t b e e n w e ll e x a m in e d e m p ir ic a lly . S e c t io n 2 p r o v id e s a n e w s t a t e - s p a c e m o d e l o f s t o c k r e t u r n s t o (cid:12) t t h e r e t u r n p r o c e s s o v e r b o t h lo n g a n d s h o r t h o r iz o n s . S e c t io n 3 c o n t a in s c o n c lu d in g r e m a r k s . 1 E v a l u a t i n g E x i s t i n g P o p u l a r M o d e l s T h is s e c t io n e v a lu a t e s s e v e r a l p o p u la r m o d e ls e m p ir ic a lly . F o r t h e s a k e o f c o m p a r a b ilit y w it h p r e v io u s lit e r a t u r e , I u s e a s t a n d a r d d a t a s e t : t h e C e n t e r f o r R e s e a r c h in S e c u r it ie s P r ic e s ( C R S P ) e q u a l- w e ig h t e d m o n t h ly r e t u r n s in t h is s t u d y . T h e d a t a s e t r u n s f r o m 1 9 2 6 t o 1 9 9 4 , b u t I r e s e r v e t h e (cid:12) r s t y e a r t o c o n s t r u c t t h e d iv id e n d - p r ic e r a t io s s o t h a t m y s a m p le p e r io d is f r o m J a n u a r y 1 9 2 7 t o D e c e m b e r 1 9 9 4 . A ll r e t u r n s a r e t r a n s f o r m e d in lo g a r it h m s a n d a r e m u lt ip lie d b y 1 0 0 t o e x p r e s s t h e m in p e r c e n t p e r m o n t h . T o o b t a in r e a l r e t u r n s , I d e (cid:13) a t e t h e n o m in a l r e t u r n s b y t h e m o n t h ly C o n s u m e r P r ic e I n d e x r e p o r t e d b y I b b o t s o n A s s o c ia t e s . S in c e t h e C R S P d a t a s e t h a s b e e n w e ll d o c u m e n t e d , I w ill n o t d is c u s s t h is d a t a s e t in d e t a il. F o r t h e s a k e o f c o m p a r is o n , I j u s t r e p o r t s o m e r e le v a n t s u m m a r y s t a t is t ic s { t h e (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s o v e r v a r io u s h o r iz o n s in T a b le I . I n t h e t a b le , k r + k r e p r e s e n t s t h e p e r io d le n g t h ( in m o n t h s ) , a n d d e n o t e s - p e r io d c o m p o u n d e d r e t u r n t ;t k t t k ( in lo g a r it h m ) f r o m t im e t o t im e + . F o r a ll f o u r s e r ie s , t h e a u t o - c o r r e la t io n s a r e t y p ic a lly p o s it iv e o v e r s h o r t p e r io d s a n d b e c o m e n e g a t iv e o v e r lo n g e r h o r iz o n s . T h is is a v e r y im p o r t a n t s t y liz e d f a c t o f U . S . s t o c k e t a l. m a r k e t . C u lt e r ( 1 9 8 8 ) c a lls it t h e ‘ c h a r a c t e r is t ic a u t o c o r r e la t io n f u n c t io n ’ o f s t o c k r e t u r n s . 1 . 1 M o d e l I T h is s u b s e c t io n c o n s id e r s t h e s im p le s t m o d e l f o r t h e t im e - v a r ia t io n in e x p e c t e d r e t u r n s . T h a t is , t h e e x p e c t e d r e t u r n s f o llo w a (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - r e g r e s s iv e p r o c e s s a s d e s c r ib e d in t h e f o llo w in g s t a t e - s p a c e r e p r e s e n t a t io n . 5

c t t E t a t s r p r t p a w e m a M o d e l I : (cid:0) r (cid:22) 1 (cid:15) ; = + t t t (cid:0) (cid:22) (cid:30) (cid:22) 1 (cid:17) : = + t t t (cid:0) r t (cid:0) t (cid:22) 1 I n t h e a b o v e e x p r e s s io n s , is r e a liz e d lo g r e t u r n f r o m t im e 1 t o , is t h e t t o r r e s p o n d in g e x p e c t e d lo g r e t u r n c o n d it io n a l o n m a r k e t p a r t ic ip a n t s ’ in f o r m a t io n a t t im e 1 2 2 (cid:0) (cid:15) (cid:24) ; (cid:27) (cid:17) (cid:24) ; (cid:27) j (cid:30) j < 1 , i. i. d . N ( 0 ) , i. i. d . N ( 0 ) , a n d 1 . t t (cid:15) (cid:17) (cid:15) (cid:17) a n d m a y o r m a y n o t b e c o r r e la t e d w it h e a c h o t h e r . A n o n - z e r o c o r r e la t io n m e a n s t t h a t a n in n o v a t io n in c u r r e n t s t o c k p r ic e w ill a (cid:11) e c t t h e e x p e c t a t io n s o f f u t u r e s t o c k r e t u r n s . (cid:15) (cid:17) m p ir ic a lly , w e (cid:12) n d v e r y lit t le e v id e n c e t h a t a n d a r e c o r r e la t e d . T h e lik e lih o o d r a t io t t 2 (cid:31) (cid:28) (cid:15) (cid:17) e s t s ( ( 1 ) 1 ) s u g g e s t t h a t t h e z e r o c o r r e la t io n b e t w e e n a n d c a n n o t b e r e j e c t e d e v e n t t (cid:15) ; (cid:17) t a v e r y h ig h s ig n i(cid:12) c a n c e le v e l ( s a y 2 0 % ) . F o r t h is r e a s o n , w e w ill a s s u m e C o r r ( ) = 0 t t o s im p lif y o u r in v e s t ig a t io n s . I n t h is p a p e r , w e a s s u m e t h a t e c o n o m ic a g e n t s k n o w t h e t r u e v a lu e s o f m o d e l p a r a m e t e r s (cid:30) (cid:27) (cid:27) u c h a s , , a n d u n le s s t h e r e a r e o t h e r e x p lic it s p e c i(cid:12) c a t io n s . (cid:15) (cid:17) M o d e l I is a t t r a c t iv e in s e v e r a l a s p e c t s . F ir s t , it h a s a v e r y s im p le f o r m . S e c o n d , lik e t h e a n d o m w a lk , A R p r o c e s s e s h a v e b e e n w e ll s t u d ie d . T h ir d , t h e m o d e l is v e r y s im ila r t o s o m e o p u la r s in g le - f a c t o r t e r m s t r u c t u r e m o d e l. ( S e e V a s ic e k ( 1 9 7 7 ) ) . I f in t e r e s t r a t e s ( e x p e c t e d e t u r n s t o r is k f r e e b o n d s ) f o llo w s o m e k in d a u t o - r e g r e s s iv e p r o c e s s , it s e e m s n a t u r a l t o m o d e l h e e x p e c t e d r e t u r n s o f o t h e r a s s e t s in t h is w a y . A s f o r t h e b a s ic c h a r a c t e r is t ic s o f m o d e l I , le a s e s e e C o n r a d a n d K a u l ( 1 9 8 8 ) a n d C a m p b e ll ( 1 9 9 1 ) f o r d is c u s s io n s . M o d e l I w a s (cid:12) r s t u s e d in t h e e m p ir ic a l s t u d y b y C o n r a d a n d K a u l ( 1 9 8 8 ) . C o n r a d n d K a u l ( 1 9 8 8 ) f o c u s o n t h e p r e d ic t a b ilit y o f s t o c k r e t u r n s a t a v e r y s h o r t h o r iz o n . U s in g e e k ly r e t u r n s o f 1 0 s iz e d - b a s e d p o r t f o lio r e t u r n s , t h e y s h o w t h a t t h e a s s u m p t io n o f c o n s t a n t x p e c t e d r e t u r n s is s t r o n g ly r e j e c t e d . T h e p u r p o s e o f t h is s u b s e c t io n , h o w e v e r , is r a t h e r c o m p r e h e n s iv e . B e s id e s t h e p e r f o r a n c e o f t h e m o d e l a t s h o r t h o r iz o n s , w e a r e a ls o in t e r e s t e d in t h e p e r f o r m a n c e o f t h e m o d e l t lo n g e r h o r iz o n s . T h e r e s u lt s o f t h is s u b s e c t io n w ill p r o v id e a b a s is f o r t h e c o m p a r is o n 1 (cid:0)t 1 (cid:22) W e a s s u m e t h a t is k n o w n b y m a r k e t p a r t ic ip a n t s b u t n o t b y e c o n o m e t r ic ia n s . 6

b e t w e e n m o d e l I a n d s o m e o t h e r m o d e ls . T h e e s t im a t io n r e s u lt s f o r M o d e l I a r e r e p o r t e d in T a b le I I . T h e e s t im a t e s o f a u t o - (cid:30) r e g r e s s io n p a r a m e t e r lie b e t w e e n 0 a n d 1 a n d a r e s ig n i(cid:12) c a n t ly d i(cid:11) e r e n t f r o m 0 a n d 1 . T h e e s t im a t e s c a p t u r e t h e p o s it iv e a u t o - c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s a t s h o r t h o r iz o n s . A c t u a lly , (cid:27) t h e s m a ll e s t im a t e s o f t h e s t a n d a r d d e v ia t io n r e p o r t e d in t h e t a b le s u g g e s t t h a t e x p e c t e d (cid:15) (cid:22) r r e t u r n s a r e v e r y c lo s e t o r e a liz e d r e t u r n s . t t T o a s s e s s t h e p e r f o r m a n c e o f M o d e l I , a n d o t h e r m o d e ls , w e u s e t h e f o llo w in g c r it e r ia : ( 1 ) c o n d it io n a l f o r e c a s t u n b ia s e d n e s s a t v a r io u s h o r iz o n s , t h a t is , a n in t e r c e p t c lo s e t o z e r o a n d a s lo p e c o e (cid:14) c ie n t c lo s e t o o n e f o r t h e r e g r e s s io n o f r e t u r n s o v e r a n y t im e h o r iz o n o n t h e c o r r e s p o n d in g f o r e c a s t e d r e t u r n s ; ( 2 ) h ig h g o o d n e s s - o f - (cid:12) t ; ( 3 ) f o r e c a s t s t h a t (cid:12) t t h e im p o r t a n t p r o p e r t ie s o f t h e o b s e r v e d d a t a s u c h a s a u t o c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s ; ( 4 ) h ig h in f o r m a t io n a l e (cid:14) c ie n c y , t h a t is , t h e f o r e c a s t s in c o r p o r a t e im p o r t a n t in f o r m a t io n a v a ila b le t o in v e s t o r s s u c h a s d iv id e n d y ie ld s , p a s t s t o c k r e t u r n s , a n d p a s t m o d e l f o r e c a s t e r r o r s . N o w w e e v a lu a t e h o w w e ll M o d e l I m e e t s t h e s e c r it e r ia . e x p o s t e x r + F ir s t , le t ’ s t e s t t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n r e t u r n s a n d t h e c o r r e s p o n d in g t ;t k a n t e E r + f o r e c a s t s ( ) b y a s im p le lin e a r r e g r e s s io n t t ;t k r + b 0 b 1 E r + u + : = + ( ) + ( 1 ) t ;t k t t ;t k t ;t k E r + r + b 0 b 1 I f ( ) is a c o n d it io n a lly u n b ia s e d f o r e c a s t o f , w e w ill h a v e = 0 a n d = 1 . t t ;t k t ;t k k T a b le I I I r e p o r t s t h e r e g r e s s io n r e s u lt s o f e q u a t io n ( 1 ) o v e r h o r iz o n s f r o m a s s h o r t a s o n e m o n t h t o a s lo n g a s 1 0 y e a r s . F o r t h e lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s , t h e o b s e r v a t io n s in t h e d a t a o v e r la p . T h e s t a n d a r d e r r o r s in t h e t a b le h a v e b e e n a d j u s t e d f o r t h is o v e r la p u s in g t h e m e t h o d o f H a n s o n a n d H o d r ic k ( 1 9 8 0 ) . T h e m o s t s t r ik in g a s p e c t o f t h e T a b le is t h a t M o d e l I h a s r e a s o n a b le o n e - p e r io d a h e a d p r e d ic t io n p o w e r f o r s t o c k r e t u r n s , b u t h a s n o p r e d ic t io n p o w e r a t a ll f o r s t o c k r e t u r n s o v e r 2 2 R lo n g e r h o r iz o n s ( s a y o v e r s ix m o n t h s . ) T h e o f t h e o n e m o n t h r e t u r n s is c lo s e t o 3 p e r c e n t . 2 R T h e ’ s f o r lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s , h o w e v e r , a r e a lm o s t z e r o . M o r e o v e r , t h e e s t im a t e d 2 T h is v a lu e is m u c h s m a lle r t h a n t h e v a lu e s o b t a in e d b y C o n r a d a n d K a u l ( 1 9 8 8 ) fo r w e e k ly r e t u r n s b u t is c o n s is t e n t w it h t h o s e v a lu e s t y p ic a lly fo u n d in s t u d ie s w it h m o n t h ly d a t a . 7

u + s lo p e s b e c o m e c o n s id e r a b ly n e g a t iv e a n d f o r e c a s t e r r o r s b e c o m e s ig n i(cid:12) c a n t ly a u t o - t ;t k c o r r e la t e d ( t h e a u t o - c o r r e la t io n s o f f o r e c a s t e r r o r s a r e n o t r e p o r t e d h e r e t o s a v e s p a c e ) f o r lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s . T a b le I V p r e s e n t s t h e im p lie d a u t o - c o r r e la t io n s f o r t h e m o d e l. C o m p a r in g t h e r e s u lt s in t h is t a b le w it h t h o s e in T a b le I , w e s e e t h a t t h e m o d e l c a n r e a s o n a b ly m a t c h t h e (cid:12) r s t o r d e r a u t o - c o r r e la t io n o f m o n t h ly r e t u r n s , b u t is a b s o lu t e ly in c a p a b le o f m a t c h in g a u t o c o r r e la t io n s o f lo n g - h o r iz o n s t o c k r e t u r n s . T o t e s t t h e in f o r m a t io n c o n t e n t o f e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s , w e r e g r e s s t h e r e a liz e d o n e - m o n t h r e t u r n s o n t h e c o r r e s p o n d in g e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s a n d p r e d e t e r m in e d d iv id e n d - p r ic e r a t io s s im u lt a n e o u s ly in t h e f o llo w in g m o d e l: (cid:0) r (cid:12) 0 (cid:12) 1 E 1 r (cid:12) 2 d p u ; = + ( ) + + ( 2 ) t t t t t d p w h e r e a r e d e m e a n e d lo g d iv id e n d - p r ic e r a t io s . T h e d iv id e n d - p r ic e r a t io f o r e a c h d a t e is t d e (cid:12) n e d a s t h e t o t a l d iv id e n d s p a id o v e r p a s t t h r e e m o n t h s o v e r t h e c u r r e n t s t o c k p r ic e a n d is e x t r a c t e d f r o m t h e d i(cid:11) e r e n c e s b e t w e e n c u m - d iv id e n d r e t u r n s a n d e x - d iv id e n d r e t u r n s f r o m C R S P m o n t h ly in d e x . T h e c h o ic e o f d iv id e n d y ie ld s h e r e is m a in ly b a s e d o n t h e (cid:12) n d in g s in o t h e r w o r k t h a t d iv id e n d y ie ld s h a v e c o n s id e r a b le p o w e r t o p r e d ic t f u t u r e s t o c k r e t u r n s ( s e e , f o r e x a m p le , F a m a a n d F r e n c h 1 9 8 8 a n d C a m p b e ll 1 9 9 1 ) . (cid:12) 1 (cid:12) 2 I f M o d e l I is a c o m p le t e m o d e l o f e x p e c t e d r e t u r n s , t h e n = 1 a n d = 0 . T h e (cid:12) n d in g s r e p o r t e d in T a b le V a r e a g a in u n f a v o r a b le t o M o d e l I . D i(cid:11) e r e n t f r o m w h a t is f o u n d b y C o n r a d a n d K a u l f o r w e e k ly r e t u r n s , t h e r e g r e s s io n s h e r e s h o w t h a t d iv id e n d - p r i c e r a t io s a r e s t ill s ig n i(cid:12) c a n t ly r e la t e d t o s t o c k r e t u r n s e v e n w h e n t h e e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s a r e in c lu d e d a s r e g r e s s o r s . T o s u m m a r iz e , w e (cid:12) n d t h a t M o d e l I , a s im p le A R ( 1 ) m o d e l o f e x p e c t e d r e t u r n s , h a s r e a s o n a b le c a p a c it y t o c a p t u r e t h e m o v e m e n t s o f s t o c k r e t u r n s o v e r s h o r t - h o r iz o n s b u t d o e s a p o o r j o b in c h a r a c t e r iz in g t h e m o v e m e n t s o f e x p e c t e d s t o c k r e t u r n s o v e r lo n g e r - h o r iz o n s . A s a m a t t e r o f f a c t , b e s id e s w h a t a r e r e p o r t e d a b o v e , t h e r e is a n o t h e r s e r io u s p r o b le m w it h t h e m o d e l. E x p e c t e d r e t u r n s in M o d e l I , a c c o r d in g t o T a b le I I , a r e a lm o s t a s v o la t ile a s r e a liz e d r e t u r n s a n d a r e v e r y lik e ly t o b e c o m e n e g a t iv e . A lt h o u g h s o m e t h e o r e t ic a l m o d e ls 8

s o n h 1 I d m o ( b w w m t e u c h a s M e r t o n ( 1 9 7 3 ) , B r e e d e n ( 1 9 7 9 ) , a n d C o x , I n g e r s o ll, a n d R o s s ( 1 9 8 5 ) d o n o t r u le u t n e g a t iv e e x p e c t e d r e t u r n s , t h e o v e r v o la t ile e x p e c t e d r e t u r n s a n d h ig h p r o b a b ilit y o f e g a t iv e e x p e c t e d ( n o m in a l) r e t u r n s a n d n e g a t iv e e x p e c t e d m a r k e t e q u it y p r e m ia a r e s t ill a r d t o b e a c c e p t t h e o r e t ic a lly . . 2 M o d e l I I n t h e a b o v e s u b s e c t io n , w e h a v e s h o w n t h a t M o d e l I , a (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - r e g r e s s iv e m o d e l, o e s n o t m a t c h t h e p r o p e r t ie s o f h is t o r ic a l d a t a . N o w w e t u r n t o s o m e o t h e r a lt e r n a t iv e o d e ls . M o d e l I I a s s u m e s t h a t lo g p r ic e s h a v e t w o c o m p o n e n t s : o n e p e r m a n e n t c o m p o n e n t p lu s n e t r a n s it o r y c o m p o n e n t , a s s u g g e s t e d b y F a m a a n d F r e n c h ( 1 9 8 8 ) , P o t e r b a a n d S u m m e r s 1 9 8 8 ) , a n d S u m m e r s ( 1 9 8 6 ) . S in c e t h e a b ilit y o f t h e m o d e l t o (cid:12) t t h e a c t u a l d a t a h a s n o t e e n d o c u m e n t e d in t h e lit e r a t u r e , t h is s u b s e c t io n is g o in g t o e v a lu a t e t h e m o d e l e m p ir ic a lly . p t L e t d e n o t e t h e lo g a r it h m o f d e t r e n d e d a s s e t p r ic e a t t im e . T h is m o d e l c a n b e t r it t e n a s p q z ; = + t t t (cid:0) q q 1 (cid:15) ; = + t t t (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:17) ; = + ( 3 ) t t t 2 2 (cid:15) (cid:24) N ; (cid:27) (cid:17) (cid:24) N ; (cid:27) j (cid:30) j < (cid:15) (cid:17) h e r e i. i. d . ( 0 ) , i. i. d . ( 0 ) , a n d 1 . a n d a r e a s s u m e d t o b e t t (cid:15) (cid:17) u t u a lly in d e p e n d e n t . I g n o r in g a n y d iv id e n d y ie ld s , w e c a n e a s ily (cid:12) n d t h a t a s s e t r e t u r n s c a n b e e x p r e s s e d in h e f o llo w in g s t a t e - s p a c e f o r m M o d e l I I : r (cid:17) p z (cid:15) ; (cid:1) = (cid:1) + t t t t (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:17) : = + t t t M o d e l I I lo o k s v e r y s im ila r t o M o d e l I . T h e o n ly d i(cid:11) e r e n c e is t h a t in M o d e l I , t h e (cid:22) z x p e c t e d r e t u r n is s p e c i(cid:12) e d a s a n A R ( 1 ) p r o c e s s , w h ile in t h e c u r r e n t m o d e l, (cid:1) f o llo w s t t 9

a n A R M A ( 1 , 1 ) p r o c e s s (cid:0) (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:17) (cid:0) (cid:17) 1 : (cid:1) = (cid:1) + ( 4 ) t t t t . B a s e d o n t h e m o d e l s p e c i(cid:12) c a t io n ( M o d e l I I ) , w e h a v e (cid:0) (cid:26) k (cid:17) z + (cid:0) z ; z (cid:0) z ( ) C o r r ( ) z t k t t t k 2 k k (cid:30) (cid:0) (cid:30) (cid:0) 2 1 ; ( 5 ) = k (cid:0) (cid:30) 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:26) k (cid:17) r + ; r p + (cid:0) p ; p (cid:0) p ( ) C o r r ( ) = C o r r ( ) t ;t k t k ;t t k t t t k 2 2 k (cid:0) (cid:30) (cid:27) = (cid:0) (cid:30) 2 ( 1 ) ( 1 ) (cid:17) : (cid:26) k (cid:1) ( 6 ) = ( ) z 2 2 2 k (cid:0) (cid:30) (cid:27) = (cid:0) (cid:30) k (cid:27) 2 ( 1 ) ( 1 ) + (cid:17) (cid:15) (cid:26) k (cid:0) : (cid:26) k (cid:0) = k (cid:1) s I t is e a s y t o s h o w t h a t ( ) a p p r o a c h e s 0 5 a n d ( ) a p p r o a c h e s 1 ( 2 + ) f o r la r g e z 2 2 2 k s (cid:0) (cid:30) (cid:27) = (cid:27) , w h e r e = ( 1 ) . I f t h e s t o c k p r ic e d o e s n o t h a v e a r a n d o m - w a lk c o m p o n e n t , i. e . , (cid:15) (cid:17) (cid:27) (cid:26) k (cid:26) k (cid:0) : (cid:26) k if = 0 , ( ) e q u a ls t o ( ) a n d a p p r o a c h e s 0 5 e v e n t u a lly . O t h e r w is e , ( ) w ill d iv e r g e (cid:15) z (cid:26) k k f r o m ( ) g r a d u a lly a n d a p p r o a c h 0 f o r la r g e . T h is im p lie s t h a t if t h e r a n d o m w a lk z c o m p o n e n t is p r e s e n t , t h e a u t o c o r r e la t io n s o f a s s e t r e t u r n s a t lo n g h o r iz o n w ill d is a p p e a r (cid:26) k g r a d u a lly a n d ( ) w ill h a v e a t y p ic a l U - s h a p e . T h is f a c t h a s a ls o b e e n d o c u m e n t e d b y o t h e r s ( s e e , f o r e x a m p le , F a m a a n d F r e n c h 1 9 8 8 a ) . W e n o w u s e m o d e l I I t o c h a r a c t e r iz e c u m - d iv id e n d r e t u r n s in t h is s u b s e c t io n , t h o u g h it 3 is o r ig in a lly d e r iv e d f o r r e t u r n s w it h o u t a llo w in g f o r d iv id e n d s . T h e p a r a m e t e r e s t im a t e s o f t h e m o d e l f o r v a r io u s r e t u r n s e r ie s a r e r e p o r t e d in T a b le V I . W e c a n (cid:12) n d f r o m t h e T a b le (cid:30) t h a t f o r e a c h e q u a l- w e ig h t e d r e t u r n s e r ie s is c lo s e t o b u t le s s t h a n o n e . T h e s m a ll s t a n d a r d (cid:30) d e v ia t io n s s u g g e s t t h a t a ll ’ s a r e p r e c is e ly e s t im a t e d a n d a r e s ig n i(cid:12) c a n t ly d i(cid:11) e r e n t f r o m (cid:27) z e r o a n d o n e . T h e r e la t iv e la r g e s t a n d a r d d e v ia t io n a ls o t e lls u s t h a t t h e s t a t io n a r y (cid:17) c o m p o n e n t s in s t o c k p r ic e s a r e v e r y im p o r t a n t . o f e x p o s t e x a n t e T a b le V I I s h o w s t h e r e g r e s s io n r e s u lt s r e t u r n s o n t h e c o r r e s p o n d in g e x p e c t e d r e t u r n s b a s e d o n M o d e l I I . C o m p a r in g t h is T a b le w it h t h e r e la t e d T a b le o b t a in e d f r o m m o d e l I , w e (cid:12) n d t h a t t h e n e w r e s u lt s a r e m u c h b e t t e r t h a n t h o s e in T a b le I I I f o r 3 T h e r e s u lt s fo r s t o c k in d e x w it h d iv id e n d s a n d t h o s e fo r s t o c k in d e x e x c lu d in g d iv id e n d s a r e a lm o s t t h e s a m e . T h e r e a s o n is t h a t t h e v a r ia t io n in d iv id e n d s is r e la t iv e ly s m a ll. 1 0

2 R lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s . T h e v a lu e s f o r r e t u r n s o v e r 4 t o 5 y e a r s c a n b e a s h ig h a s 3 0 - 4 0 p e r c e n t . T a b le V I I I s h o w s t h a t t h e m o d e l c a n w e ll c a p t u r e t h e lo n g - h o r iz o n n e g a t iv e a u t o - c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s . 2 R F o r s h o r t p e r io d r e t u r n s , h o w e v e r , M o d e l I I is n o t s o a p p e a lin g . T h e ’ s f o r o n e m o n t h r e t u r n s a r e s o s m a ll t h a t w e m u s t e x c lu d e M o d e l I I a s a n e (cid:11) e c t iv e m o d e l f o r c h a r a c t e r iz in g r e t u r n m o v e m e n t s a t s h o r t p e r io d s . T a b le s V I I I a n d I X s h o w t h e s a m e p r o b le m o f M o d e l I I f o r e x p la in in g p r e d ic t a b ilit y o f s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s . T h e im p lie d a u t o - c o r r e la t io n s o f s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a r e s lig h t ly n e g a t iv e b u t t h e d a t a s u g g e s t p o s it iv e a u t o c o r r e la t io n , t h e f o r e c a s t e r r o r s f o r s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a r e s ig n i(cid:12) c a n t ly a n d p o s it iv e ly a u t o - c o r r e la t e d , d p a n d m o r e o v e r , a f t e r in c lu d in g d iv id e n d y ie ld s a s a n e x p la n a t o r y v a r ia b le , t h e e x p e c t e d (cid:0) E 1 r r e t u r n s ( ) e x t r a c t e d f r o m M o d e l I I b e c o m e in s ig n i(cid:12) c a n t in e x p la in in g r e a liz e d r e t u r n t t v a r ia t io n s . I n s u m m a r y , M o d e l I I d o e s a g o o d j o b o f f o r e c a s t in g lo n g - h o r iz o n r e t u r n s , b u t is n o t (cid:13) e x ib le e n o u g h t o m a t c h t h e b e h a v io r o f e x p e c t e d r e t u r n s a t s h o r t h o r iz o n s . 2 A N e w S t a t e - s p a c e M o d e l T o c a p t u r e t h e p o s it iv e a u t o - c o r r e la t io n s o f s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a n d n e g a t iv e a u t o - c o r r e la t io o f lo n g - h o r iz o n r e t u r n s , t h is s e c t io n e x t e n d s M o d e l I I t o a m o r e g e n e r a l m o d e l, M o d e l I I I . z I n M o d e l I I I , t h e t r a n s it o r y c o m p o n e n t o f p r ic e n o t o n ly d e p e n d s o n it s o w n p a s t v a lu e t (cid:0) (cid:0) z 1 x 1 , b u t a ls o r e lie s o n a n o t h e r u n d e r ly in g s t a t e v a r ia b le . F o r m a lly , M o d e l I I I c a n b e t t w r it t e n a s : p q z ; = + t t t (cid:0) q q 1 (cid:15) ; = + t t t (cid:0) (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:13) x 1 (cid:17) ; = + + t t t t (cid:0) x (cid:21) x (cid:24) ; 1 = + ( 7 ) t t t 2 x (cid:24) (cid:24) N ; (cid:27) (cid:30) (cid:21) w h e r e is s o m e k in d o f s t a t e v a r ia b le , i. i. d . ( 0 ) , a n d a n d a r e c o n s t a n t s t t (cid:24) j (cid:30) j (cid:20) j (cid:21) j < s u c h t h a t 1 a n d 1 . A ll o t h e r v a r ia b le s a r e t h e s a m e a s t h o s e in M o d e l I I . F o r 1 1 n s

s t (cid:12) p t d f r p s (cid:21) h p p 2 (cid:12) F w (cid:27) (cid:24) (cid:15) (cid:17) im p lic it y , w e a s s u m e t h a t n o is e t e r m s , a n d a r e m u t u a lly in d e p e n d e n t . W e c a n r e w r it e t h e a b o v e s t a t e - s p a c e m o d e l in t e r m s o f s t o c k r e t u r n s : M o d e l I I I : (cid:0) r z (cid:0) z 1 (cid:15) ; = + t t t t (cid:0) (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:13) x 1 (cid:17) ; = + + t t t t (cid:0) x (cid:21) x 1 (cid:24) : = + t t t A t (cid:12) r s t g la n c e , M o d e l I I I is a s im p le v a r ia t io n o f M o d e l I I . H o w e v e r , a s w e s h a ll s e e b e lo w , x h e in c lu s io n o f t h e a d d it io n a l s t a t e v a r ia b le p r o v id e s t h e m o d e l a d d it io n a l (cid:13) e x ib ilit y t o t t t h e r e t u r n p r o c e s s o v e r b o t h lo n g a n d s h o r t h o r iz o n s . T h e in t u it io n o f M o d e l I I I is q u it e s t r a ig h t f o r w a r d . S im ila r t o M o d e l I I , lo g s t o c k r ic e h a s t w o c o m p o n e n t s : a r a n d o m w a lk a n d a t r a n s it o r y p a r t . U n lik e M o d e l I I , t h e z r a n s it o r y p a r t o f s t o c k p r ic e , , is n o w n o lo n g e r a u n iv a r ia t e A R ( 1 ) p r o c e s s ; it a ls o t x e p e n d s o n s o m e s t a t e v a r ia b le , w h ic h c a n b e in t e r p r e t e d in m a n y w a y s , p r e f e r e n c e s , a s h io n s , f a d s , e c o n o m ic s t a t e s , e t c . O n e - p e r io d s t o c k r e t u r n s n o w c a n b e e x p r e s s e d a s + 1 (cid:0) (cid:0) (cid:30) z (cid:13) x (cid:15) + 1 (cid:17) + 1 x = ( 1 ) + + + . I t is e a s y t o s e e t h a t a t s h o r t h o r iz o n , m a y t t t t t t la y a v e r y im p o r t a n t r o le in c h a r a c t e r iz in g t h e m o v e m e n t s a n d t h e a u t o - c o r r e la t io n s o f (cid:30) x t o c k r e t u r n s , e s p e c ia lly w h e n is v e r y c lo s e t o 1 . S in c e is p o s it iv e ly a u t o - c o r r e la t e d if t > 0 , it is n o t s u r p r is in g t h a t s h o r t h o r iz o n r e t u r n s c a n b e p o s it iv e ly c o r r e la t e d . A t lo n g x o r iz o n , b e c o m e le s s im p o r t a n t in a (cid:11) e c t in g a u t o - c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u r n s a n d t h e t r o p e r t ie s o f M o d e l I I I a r e s im ila r t o t h o s e o f M o d e l I I . T h e r e f o r e , a lt h o u g h M o d e l I I I is a r s im o n io u s , it h a s v e r y r ic h d y n a m ic s a t b o t h s h o r t a n d lo n g h o r iz o n s . F ig u r e s 1 a n d illu s t r a t e s e v e r a l p o s s ib le (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - c o r r e la t io n c u r v e s im p lie d b y M o d e l I I I . T h e s e g u r e s s h o w t h a t M o d e l I I I is a b le t o c a p t u r e a w id e r a n g e o f a u t o - c o r r e la t io n p a t t e r n s . o r a t e c h n ic a l d is c u s s io n o f t h e p r o p e r t ie s o f M o d e l I I I , p le a s e s e e t h e A p p e n d ix . x I f is a n u n o b s e r v a b le s t a t e v a r ia b le , it c a n n o t b e id e n t i(cid:12) e d in s t a t e - s p a c e m o d e l I I I t x it h o u t a r e s t r ic t io n o n p a r a m e t e r s . F o r t h is r e a s o n , w e w ill n o r m a liz e v a r ia b le s o t h a t t 2 = 1 . (cid:24) 1 2

0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k F I p ig I I a r u . a r T m e h e 1 e t F : (cid:12) g e r )k(ohr i r s t u r e v a lu | p e (cid:30) : o r d lo t s (cid:27) s : = e a (cid:24) r u = 0 A t : (cid:13) 9 , u t o o c o r r (cid:27) 1 , (cid:17) = 5 ; - c o r r e la t io = 2 , { e n (cid:27) { : l a t i c u r = (cid:15) (cid:30) o v 0 n e , = s s (cid:21) (cid:26) 1 o ( = 1 , f k 3 (cid:13) k ) 0 = - p = : 7 . 1 e C ; r o (cid:0) i o r r d ( (cid:1) r (cid:0) R t ;t (cid:1) : e + t k (cid:30) u ; = r n (cid:0) r t 0 s k : 9 G ) ;t (cid:13) , e n b a = e s e r d 0 a t o e n d t h b e y f o M llo o w d e in l g

0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k F ig I I I in g u . p r e T a h r 2 e a : m F (cid:12) g e i r u t e )k(ohr s t - o r r e p lo r v a lu d t e e s s r a : u (cid:27) A t (cid:24) o u - = | t c o o 1 (cid:30) : = - c o r r r e la (cid:27) , (cid:17) : 0 9 , r e l a t io n = 2 , (cid:13) = t i o n c u r v (cid:27) = (cid:15) 5 ; s o f (cid:26) e s 1 , 1 4 { k k ( (cid:21) { - ) = : p = (cid:30) e 0 = r i o C o : 7 . : 9 , d R r r r ( (cid:13) = e t + t ;t u k 0 r ; n r s (cid:0) t G k ;t e ) n b e a r s a e t d e o d n b t y h e M f o o d llo e w l -

T o e v a lu a t e M o d e l I I I m o r e c a r e f u lly , w e w ill a p p ly t h e m o d e l n o t o n ly t o t h e d a t a in f u ll s a m p le p e r io d 1 9 2 7 { 1 9 9 4 , b u t a ls o t o t h e d a t a in p o s t w a r p e r io d 1 9 4 6 { 1 9 9 4 . S in c e w e (cid:12) n d t h a t t h e r e s u lt s f o r t h e p o s t w a r p e r io d a r e v e r y s im ila r t o t h o s e f o r t h e f u ll s a m p le p e r io d , in t h e f o llo w in g d is c u s s io n s , w e a r e g o in g t o f o c u s o n t h e r e s u lt s f o r t h e f u ll s a m p le p e r io d . (cid:13) T a b le X s h o w s t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s . T h e la r g e v a lu e s o f d e m o n s t r a t e t h a t s t a t e x v a r ia b le p la y s a v e r y im p o r t a n t r o le in c h a r a c t e r iz in g s t o c h a s t ic m o v e m e n t s in s t o c k (cid:13) (cid:21) r e t u r n s . A s w e k n o w , M o d e l I I I n e s t s M o d e l I I w it h t w o m o r e f r e e p a r a m e t e r s a n d . I f 2 (cid:31) w e u s e lik e lih o o d r a t io t e s t , w e w ill a lw a y s s t r o n g ly r e j e c t M o d e l I I w it h v a lu e s o f a ( 2 ) s t a t is t ic la r g e r t h a n 2 5 . ( T h e t e s t s t a t is t ic s a r e n o t r e p o r t e d in t a b le s . ) e x p o s t T h e r e g r e s s io n r e s u lt s o f r e t u r n s o n e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s a r e p r e s e n t e d in 2 R T a b le X I . W e c a n (cid:12) n d t h a t t h e ’ s f o r lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s a r e s im ila r t o t h o s e in T a b le 2 R V I I . H o w e v e r , t h e ’ s f o r s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a r e t y p ic a lly la r g e r t h a n t h o s e f r o m M o d e ls 2 R I a n d I I . A f o u r p e r c e n t f o r o n e - m o n t h r e t u r n s is m u c h h ig h e r t h a n t h e c o r r e s p o n d in g 2 2 R R ’ s o b t a in e d f r o m p r e v io u s m o d e ls a n d is a ls o h ig h e r t h a n t h e t y p ic a l v a lu e s o b t a in e d b y V A R m o d e ls w it h s e v e r a l v a r ia b le s . T a b le X I a ls o s h o w s t h a t t h e c o n s t a n t in t e r c e p t s a r e c lo s e t o z e r o a n d t h a t t h e s lo p e s o f e x p e c t e d r e t u r n s in r e g r e s s io n is v e r y c lo s e t o o n e . T h is is e x a c t ly w h a t w e e x p e c t f r o m a g o o d m o d e l. A c t u a lly , t h e s lo p e s h e r e a r e c lo s e r t o 1 . 0 t h a n s lo p e s in a n y p r e v io u s m o d e ls . T h e ir s t a n d a r d e r r o r s a r e a ls o m u c h s m a lle r . T a b le X I I s h o w s a g a in t h a t M o d e l I I I is a g o o d f o r e c a s t in g m o d e l. T h e e s t im a t e d s e r ia l u + c o r r e la t io n s o f f o r e c a s t e r r o r s a r e c o n s is t e n t ly v e r y c lo s e t o z e r o a n d a r e a lm o s t a lw a y s t ;t k s m a lle r t h a n t h e s t a n d a r d e r r o r s o f t h e e s t im a t e d a u t o - c o r r e la t io n s . T a b le X I I I p r e s e n t s t h e im p lie d a u t o c o r r e la t io n s o f t h e m o d e l. T h e im p lie d a u t o c o r r e la t io n s m a t c h t h e s a m p le a u t o c o r r e la t io n s in T a b le I v e r y w e ll f o r b o t h s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s a n d lo n g e r - h o r iz o n r e t u r n s . T o illu s t r a t e t h is p o in t m o r e c le a r ly a n d m o r e in t u it iv e ly , w e a ls o p r e s e n t s e v e r a l p lo t s h e r e . F ig u r e s 3 a n d 4 e x h ib it im p lie d a u t o - c o r r e la t io n s a n d c o r r e s p o n d in g s a m p le a u t o - c o r r e la t io n s f o r b o t h n o m in a l a n d r e a l r e t u r n s e r ie s . W e s e e t h a t im p lie d a u t o - c o r r e la t io n c u r v e s a n d s a m p le a u t o - c o r r e la t io n c u r v e s a r e v e r y c lo s e t o e a c h 1 5

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 0 20 40 60 80 100 120 k (Months) F R I o a s e v g m snruter doirep−k fo snoitalerroc−otuA | : A u t o c o r r e la t io n s I m p lie d b y M o d e l; { { : S a m p le A u t o c o r r e la t io n s ; (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) : 9 5 % C o n (cid:12) d e n c e I n t e r v a l o f S a m p le A u t o c o r r e la t io n s ; I m p l i e d a n d S a m p l e F i r s t - o r d e r A u t o - c o r r e l a t i o n s o f - p e r i o d S t o c k k ig u r e 3 : (cid:0) e t u r n s . (cid:26) k r + ; r T h e (cid:12) g u r e p lo t s a u t o c o r r e la t io n c u r v e s ( ) = C o r r ( ) b a s e d o n M o d e l t ;t k t k ;t I I a n d C R S P E q u a l- W e ig h t e d N o m in a l R e t u r n s ( 1 9 2 7 { 1 9 9 4 ) . t h e r a n d t h a t im p lie d a u t o - c o r r e la t io n s a lw a y s lie in t h e 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e in t e r v a ls o f s a m p le u t o c o r r e la t io n s . T h e in f o r m a t io n e (cid:14) c ie n c y o f e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s is r e p o r t e d in T a b le X I V . W e e e t h a t t h e d iv id e n d y ie ld s a lm o s t f u lly lo s e t h e ir p r e d ic t in g p o w e r f o r r e t u r n s a f t e r t h e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s a r e in c lu d e d in r e g r e s s o r s . T h is (cid:12) n d in g is e x c it in g , b u t is n o t 2 R e r y s u r p r is in g g iv e n t h e a lr e a d y h ig h ’ s f o r o n e - m o n t h r e t u r n s . I n s u m m a r y , t h e r e s u lt s in t h is s e c t io n s u g g e s t t h a t M o d e l I I I m e e t s a ll f o u r c r it e r ia f o r w i t h o n ly t h e p a s t r e t u r n s , a p a r s i m o n i o u s s t a t e s p a c e o o d m o d e ls . T h is (cid:12) n d in g is s t r ik in g : o d e l c h a r a c t e r i z e s t h e m o v e m e n t s i n r e t u r n s a t b o t h s h o r t a n d lo n g e r - h o r i z o n s e x c e l le n t ly . 1 6

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 0 20 40 60 80 100 120 k (Months) F R I I ig e I u t a r u n e r d n 4 : s C | . R snruter doirep−k fo snoitalerroc−otuA : A I m p T h e S P u t o c o r r (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) : l i e d a n (cid:12) g u r e p E q u a l- W e la t io n s 9 5 % C o d S a m lo t s a u t e ig h t e d I m p lie d n (cid:12) d e n c p l e F i o c o r r e la R e a l R b y e I n t r s t - o t io n e t u r M o d e l; e r v a l o f r d e r A (cid:26) c u r v e s n s ( 1 9 2 7 1 7 { { : S a m p S a m p le A u u t o - c o r r e k ( ) = C o r r { 1 9 9 4 ) . le t o l a r ( A u t c o r r t i o n + t ;t k o c o r r e la t e la t io n s ; s o f - p k (cid:0) ; r ) b t k ;t io n e r a s e s i d ; o d o n S M t o o c d k e l

3 T a t t (cid:12) w t o t I r p r 6 v s w r a A a t C o n c l u d i n g R e m a r k s h is p a p e r c o m p a r e s v a r io u s m o d e ls f o r c h a r a c t e r iz in g s t o c h a s t ic m o v e m e n t s in a s s e t r e t u r n s n d p r ic e s . I t s h o w s t h a t t h e e x is t in g p o p u la r m o d e ls t y p ic a lly h a v e s e r io u s (cid:13) a w s . T h e p a p e r h e n p r o p o s e s a p a r s im o n io u s m o d e l ( M o d e l I I I ) w it h t w o s t a t e - v a r ia b le s t o c h a r a c t e r iz e h e s t o c h a s t ic b e h a v io r o f a s s e t r e t u r n s . U s in g e q u a l- w e ig h t e d C R S P m o n t h ly r e t u r n s , w e n d t h is m o d e l o u t p e r f o r m s o t h e r m o d e ls . T h e m a j o r (cid:12) n d in g s o f t h is p a p e r a r e ( 1 ) t h e t im e - v a r ia t io n o f e x p e c t e d r e t u r n s c a n b e e ll c h a r a c t e r iz e d b y t h e s t r u c t u r a l s t a t e - s p a c e m o d e l I I I , w h ic h c a p t u r e s t h e a u t o c o r r e la io n s o f r e t u r n s e x c e lle n t ly o v e r b o t h s h o r t a n d lo n g h o r iz o n s ; ( 2 ) a lt h o u g h t h e f o r e c a s t s b t a in e d w it h s t a t e - s p a c e m o d e l I I I b a s e d s o le ly o n p a s t r e t u r n s , t h e y s u b s u m e t h e in f o r m a io n in o t h e r p o t e n t ia l p r e d ic t o r v a r ia b le s s u c h a s d iv id e n d y ie ld s ; ( 3 ) t h e s t a t e - s p a c e m o d e l I I n o t o n ly p r e d ic t s t h e s h o r t - h o r iz o n r e t u r n s q u it e w e ll, b u t a ls o p r e d ic t s lo n g e r - h o r iz o n e t u r n s v e r y s u c c e s s f u lly ; a n d ( 4 ) t h e e x t r a c t e d e x p e c t e d r e t u r n s c a n e x p la in a s u b s t a n t ia l r o p o r t io n o f t h e v a r ia t io n in r e a liz e d r e t u r n s . A t a h o r iz o n o f 2 t o 3 y e a r s , t h is p r o p o r t io n e a c h e s a b o u t 2 0 t o 2 5 p e r c e n t ; a t a h o r iz o n o f 8 y e a r s , t h e p r o p o r t io n c a n b e a s h ig h a s 0 p e r c e n t . T h e p a p e r a ls o s h o w s t h a t M o d e l I I I , a p a r s im o n io u s m o d e l in w h ic h t w o s t a t e a r ia b le s c h a r a c t e r iz e t h e s t o c h a s t ic b e h a v io r o f s t o c k r e t u r n s o u t p e r f o r m s o t h e r m o d e ls u c h a s V A R , a (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - r e g r e s s io n m o d e l o f e x p e c t e d r e t u r n s , a n d t h e m o d e l in h ic h t h e t r a n s it o r y c o m p o n e n t f o llo w s a s im p le A R ( 1 ) p r o c e s s . S im ila r r e s u lt s c a n a ls o b e o b t a in e d f o r v a lu e - w e ig h t e d r e t u r n s . H o w e v e r , v a lu e - w e ig h t e d e t u r n s a r e g e n e r a lly le s s p r e d ic t a b le t h a n e q u a l- w e ig h t e d r e t u r n s . T h e (cid:12) n d in g s o f t h is a r t ic le m a y h a v e in t e r e s t in g im p lic a t io n s f o r I n t e r t e m p o r a l C A P M , s s e t a llo c a t io n , a n d e v e n o p t io n p r ic in g b e c a u s e t h e y d e p e n d o n e x p e c t e d r e t u r n s a n d r is k s . b e t t e r u n d e r s t a n d in g o f t h e b e h a v io r o f s t o c k r e t u r n s ( a n d t h e r e f o r e r e la t e d r is k s ) a t lo n g n d s h o r t h o r iz o n s s h o u ld h e lp in o u r e v a lu a t in g o f t h e s e m o d e ls . F u t u r e r e s e a r c h is n e e d e d o e x p lo r e t h e s e im p lic a t io n s . 1 8

a T a A w a (cid:0) A p p e n d i x : A T e c h n i c a l A n a l y s i s o f M o d e l I V T h e a p p e n d ix d is c u s s e s t h e p r o p e r t ie s o f M o d e l I V in S e c t io n 6 t e c h n ic a lly M o d e l I V : (cid:0) r z (cid:0) z 1 (cid:15) ; = + t t t t (cid:0) (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:13) x 1 (cid:17) ; = + + t t t t (cid:0) x (cid:21) x 1 (cid:24) : = + t t t j (cid:30) j < F ir s t , le t ’ s c o n s id e r t h e c a s e w h e r e 1 . B y d e (cid:12) n it io n , t h e c o r r e la t io n (cid:0) z (cid:0) z k z n d , t h e (cid:12) r s t - o r d e r a u t o - c o r r e la t io n o f - p e r io d c h a n g e in , is t t k t (cid:0) z + (cid:0) z ; z (cid:0) z C o v ( ) t k t t t k : (cid:26) k ( ) = z z + (cid:0) z V a r ( ) t k t h e n u m e r a t o r c o v a r ia n c e is 2 (cid:0) z + (cid:0) z ; z (cid:0) z (cid:0) (cid:27) z + ; z (cid:0) z + 2 ; z ; C o v ( ) = + 2 C o v ( ) C o v ( ) t k t t t k t k t t k t z n d t h e v a r ia n c e in t h e d e n o m in a t o r is 2 z + (cid:0) z (cid:27) (cid:0) z + ; z : V a r ( ) = 2 2 C o v ( ) t k t t k t z O n t h e o t h e r h a n d , w e c a n p r o v e b y r e c u r s io n t h a t (cid:0) 1 k (cid:0) (cid:0) 2 1 k i k i z + ; z (cid:30) (cid:27) (cid:13) (cid:21) (cid:30) z ; x : C o v ( ) = + ( ) C o v ( ) t k t t t z X = 0 i s a r e s u lt , (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 k k 2 2 2 2 1 2 1 k k i k i i k i (cid:0) (cid:27) (cid:30) (cid:27) (cid:0) (cid:30) (cid:27) (cid:13) (cid:21) (cid:30) (cid:0) (cid:21) (cid:30) + 2 + ( 2 ) C o v ( = 0 = 0 z z z i i P P (cid:26) k ( ) = z (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) k 2 1 i k i (cid:27) (cid:0) (cid:13) (cid:21) (cid:30) z ; x 2 2 ( ) C o v ( ) t t z = 0 i P h e r e 2 (cid:21) (cid:13) (cid:1) (cid:27) (cid:24) ; (cid:17) + C o v ( ) t t x z ; x : C o v ( ) = t t (cid:0) (cid:21) (cid:30) 1 z + ; z I t is n o w s t r a ig h t f o r w a r d t o v e r if y t h a t C o v ( ) a p p r o a c h e s z e r o a n d V t k t 2 (cid:27) k j (cid:30) j < j (cid:21) j < (cid:26) k p p r o a c h e s 2 f o r la r g e w h e n e v e r 1 a n d 1 . T h is m e a n s t h a t ( z z : k 0 5 f o r la r g e a s in M o d e l I I I . 1 9 . z + o f t z ; x ) t t z + a r ( t ) a p p r (cid:0) k ( ( ( ( (cid:0) k o a c ( ( 1 1 1 1 z h z 8 9 0 1 2 3 t e t ) ) ) ) ) ) ) s

M O a f a T I f t h e c h a n g e s in t h e r a n d o m w a lk a n (cid:26) k (cid:17) r + ; r ( ) C o r r ( t ;t k (cid:26) k = ( ) z z + V a r ( t 2 (cid:27) 2 z (cid:26) k = ( ) z 2 (cid:27) (cid:0) 2 2 z (cid:26) k T h e a s y m p t o t ic p r o p e r t y o f ( ) f o r j (cid:30) j < j (cid:21) j < (cid:27) o d e l I I I if 1 a n d 1 . I f = (cid:15) t h e r w is e , s in c e k z + ; z (cid:30) (cid:27) C o v ( ) = t k t 2 k (cid:27) p p r o a c h e s z e r o a n d g o e s t o in (cid:12) n it y (cid:15) k (cid:26) k o r la r g e a n d ( ) a p p r o a c h e s 0 . (cid:30) I f = 1 , w e c a n p r o v e t h a t 2 z + ; z k (cid:27) V a r ( ) = ( t k t (cid:17) n d t h a t (cid:0) z + (cid:0) z ; z (cid:0) z C o v ( t k t t t (cid:26) k > (cid:26) k > h is e n s u r e s t h a t ( ) 0 a n d ( ) z d s t a t io n a r y c o m p o n e n t s a r e in (cid:0) (cid:0) p + (cid:0) p ; p (cid:0) p ) = C o r r ( t k ;t t k t t t z + (cid:0) z V a r ( ) t k t (cid:0) z q + (cid:0) q ) + V a r ( ) k t t k t (cid:0) z + ; z 2 C o v ( ) t k t : 2 z + ; z k (cid:27) C o v ( ) + t k t (cid:15) k la r g e in t h e c u r r e n t m o d e l is (cid:26) k (cid:26) k 0 , ( ) is t h e s a m e a s ( ) a n z (cid:0) 1 k (cid:0) (cid:0) 1 2 i k i (cid:21) (cid:30) z ; x (cid:13) ) C o v ( ) + ( t t z X = 0 i k ! 1 a s , t h e r a n d o m w a lk c o (cid:0) 1 k 2 2 2 2 i k (cid:0) i (cid:21) (cid:27) ; (cid:13) (cid:27) (cid:13) ( ) ) + ) + 2 ( x x X = 1 i 2 k (cid:0) (cid:21) ( 1 ) (cid:13) (cid:1) (cid:1) z ; x > ) = C o v ( ) k (cid:0) (cid:21) 1 k 0 f o r a n y h o r iz o n s . 2 0 d k t d m 0 e p ) h e a p : e n d e n s a m e p p r o a o n e n t t , w a s c h e d o m t s e h a v e ( 1 4 ) h a t in (cid:0) : 0 5 . in a t e s ( 1 5 ) ( 1 6 )

R [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 e ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] f e r e n c e s B e k a e r t , G . a n d R . J . H o d r ic k ( 1 9 9 2 ) : \ C h a r a c t e r iz in g P r e d ic t a b le C o m p o n e n t s in E x - J o u r n a l o f F i n a n c e c e s s R e t u r n s o n E q u it y a n d F o r e ig n E x c h a n g e M a r k e t s , " 4 7 , 4 6 7 - 5 0 9 . B r e e d e n , D . ( 1 9 7 9 ) : \ A n in t e r t e m p o r a l a s s e t p r ic in g m o d e l w it h s t o c h a s t ic c o n s u m p t io n J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s a n d in v e s t m e n t o p p o r t u n it ie s , " 7 , 2 6 5 - 2 9 6 . B r e e n , W . , L . R . G lo s t e n , a n d R . J a g a n n a t h a n ( 1 9 8 9 ) : \ E c o n o m ic s ig n i(cid:12) c a n c e o f p r e - J o u r n a l o f F i n a n c e d ic t a b le v a r ia t io n s in s t o c k in d e x r e t u r n s , " 4 4 , 1 1 7 7 - 1 1 9 0 . J o u r n a l o f F i n a n c i a l C a m p b e ll, J . Y . ( 1 9 8 7 ) : \ S t o c k r e t u r n s a n d t h e t e r m s t r u c t u r e , " E c o n o m i c s 1 8 , 3 7 3 - 4 0 0 . E c o n o m i c J o u r - C a m p b e ll, J . Y . ( 1 9 9 1 ) : \ A v a r ia n c e d e c o m p o s it io n f o r s t o c k r e t u r n s , " n a l 1 0 1 , 1 5 7 - 1 7 9 . C a m p b e ll, J . Y . a n d J . A m m e r ( 1 9 9 3 ) : \ W h a t m o v e s t h e s t o c k a n d b o n d m a r k e t ? A J o u r n a l o f F i n a n c e v a r ia n c e d e c o m p o s it io n f o r lo n g - t e r m a s s e t r e t u r n s , " 4 8 , 3 - 3 7 . C a m p b e ll, J . Y . a n d Y . H a m a o ( 1 9 9 2 ) : \ P r e d ic t a b le s t o c k r e t u r n s in U n it e d S t a t e s a n d J o u r n a l o f F i n a n c e J a p a n : A s t u d y o f lo n g - t e r m c a p it a l m a r k e t in t e g r a t io n , " 4 7 , 4 3 - 6 9 . C a m p b e ll, J . Y . a n d R . S h ille r ( 1 9 8 8 ) : \ T h e d iv id e n d - p r i c e r a t io a n d e x p e c t a t io n s o f T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s f u t u r e d iv id e n d s a n d d is c o u n t f a c t o r s , " 1 , 1 9 5 - 2 2 8 . J o u r n a l o f C o c h r a n e , J . H . ( 1 9 8 8 ) : \ H o w b ig is t h e r a n d o m w a lk c o m p o n e n t o f G N P ? " P o li t i c a l E c o n o m y 9 6 , 8 9 3 - 9 2 0 . T h e R e v i e w C o c h r a n e , J . H . ( 1 9 9 2 ) : \ E x p la in in g t h e v a r ia n c e o f p r ic e - d iv id e n d r a t io s , " o f F i n a n c i a l S t u d i e s 5 , 2 4 3 - 2 8 0 . J o u r n a l o f B u s i - C o n r a d , J . a n d G . K a u l( 1 9 8 8 ) : \ T im e - v a r ia t io n in e x p e c t e d r e t u r n s , " n e s s 6 1 , 4 0 9 - 4 2 5 . 2 1

[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] C o C J F p F J F c F 1 F p H f H t J F K s U K m o x , J . , J . I n g e r s o ll, a n d S . R o s s ( 1 9 8 5 ) : \ A n in t e r t e m p o r a l g e n e r a l e q u ilib r iu m m o d e l E c o n o m e t r i c a f a s s e t p r ic e s , " 5 3 , 3 6 3 - 3 8 4 . u lt e r , D . M . , J . M . P o t e r b a , a n d L . H . S u m m e r s ( 1 9 8 9 ) : \ W h a t m o v e s s t o c k p r ic e s ? " o u r n a l o f P o r t f o li o M a n a g e m e n t 1 5 , 4 - 1 2 . a m a , E . F . a n d K . R . F r e n c h ( 1 9 8 8 a ) : \ P e r m a n e n t a n d t e m p o r a r y c o m p o n e n t s o f s t o c k J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y r ic e s , " 9 6 , 2 4 6 - 2 7 3 . a m a , E . F . a n d K . R . F r e n c h ( 1 9 8 8 b ) : \ D iv id e n d y ie ld s a n d e x p e c t e d s t o c k r e t u r n s , " o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 2 2 , 3 - 2 5 . J o u r n a l o f F i n a n - a m a , E . F . a n d G . W . S c h w e r t ( 1 9 7 7 ) : \ A s s e t r e t u r n s a n d in (cid:13) a t io n , " i a l E c o n o m i c s 5 , 1 1 5 - 1 4 6 . J o u r n a l o f F i n a n c e e r s o n , W . E . ( 1 9 8 9 ) : \ C h a n g e s in e x p e c t e d s e c u r it y r e t u r n s , " 4 4 , 1 9 1 - 1 2 1 7 . e r s o n , W . E . a n d R . A . K o r a j c z y k ( 1 9 9 5 ) : \ D o a r b it r a g e p r ic in g m o d e ls e x p la in t h e J o u r n a l o f B u s i n e s s r e d ic t a b ilit y o f s t o c k r e t u r n s ? " 6 8 , 3 0 9 - 3 4 9 . a n s o n , L . P . a n d R . J . H o d r ic k ( 1 9 8 0 ) : \ F o r w a r d e x c h a n g e r a t e s a s o p t im a l p r e d ic t o r s o f J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y u t u r e s p o t r a t e s : A n e c o n o m e t r ic a n a ly s is , " 8 8 , 8 2 9 - 8 5 3 . a n s o n , L . P . a n d K . J . S in g le t o n ( 1 9 8 3 ) : \ S t o c h a s t ic c o n s u m p t io n , r is k a v e r s io n , a n d J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y h e t e m p o r a r y b e h a v io r o f a s s e t p r ic e s , " 9 6 , 2 4 6 - 2 7 3 . J o u r n a l o f e g a d e e s h , N . ( 1 9 9 0 ) : \ E v id e n c e o f p r e d ic t a b le b e h a v io r o f s t o c k r e t u r n s , " i n a n c e 4 5 , 8 8 1 - 8 9 8 . a n d e l, S . a n d R . S t a m b a u g h ( 1 9 8 8 ) : \ M o d e lin g e x p e c t e d s t o c k r e t u r n s f o r lo n g a n d h o r t h o r iz o n s , " R o d n e y L . W h it e C e n t e r W o r k in g P a p e r , N o . 4 2 - 8 8 , W h a r t o n S c h o o l, n iv e r s it y o f P e n n s y lv a n ia . e im , D . B . a n d R . B . S t a m b a u g h ( 1 9 8 6 ) : \ P r e d ic t in g r e t u r n s in t h e s t o c k a n d b o n d J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s a r k e t s , " 1 7 , 3 5 7 - 3 9 0 . 2 2

[ [ [ [ [ [ 2 2 2 2 2 2 4 5 6 7 8 9 ] ] ] ] ] ] L w 4 M 8 P a R S J V o o , A . W . a n d A . C . M a c K in la y ( 1 9 8 8 ) : \ S t o c k m a r k e t p r ic e s T h e R e v i e w a lk s : E v id e n c e f r o m a s im p le s p e c i(cid:12) c a t io n t e s t , " 1 - 6 6 . e r t o n , R . ( 1 9 7 3 ) : \ A n in t e r t e m p o r a l c a p it a l a s s e t p r ic in g m o 6 7 - 8 8 8 . o t e r b a , J . M . a n d L . H . S u m m e r s ( 1 9 8 8 ) : \ M e a n r e v e r s io n in J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s n d im p lic a t io n s , " 2 2 , 2 7 - 5 9 . 2 J o u r n a l o f F i n a n c e R o ll, R . ( 1 9 8 8 ) : \ , " 4 3 , 5 4 1 - 6 6 . u m m e r s , L . H . ( 1 9 8 6 ) : \ D o e s t h e s t o c k m a r k e t r a t io n a lly r e (cid:13) e c o u r n a l o f F i n a n c e 4 1 , 5 9 1 - 6 0 1 . a s ic e k , O . ( 1 9 7 7 ) : \ A n e q u ilib r iu m c h a r a c t e r iz a t io n o f t h e t e f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 5 , 1 7 7 - 1 8 8 . 2 3 d o n o t o f F i n a E d e l, " s t o c k p t f u n d a r m s t r u f o llo w r a n d o n c i a l S t u d i e s c o n o m e t r i c a 4 r ic e s : E v id e n m e n t a l v a lu e s J o u r n c t u r e , " m 1 , 1 , c e ? " a l

S u m m a T a b le I : t a b le r e p o r t s t h e T h e s t a n d a r d e r r lo n g e r - h o r iz o n r e t k ( M o n t h s ) N o m in a l ( S . E . ) R e a l ( S . E . ) N o m in a l ( S . E . ) R e a l ( S . E . ) r y S t a t i s (cid:12) r s t - o r d e o r s o f a u t u r n s w it h 1 0 . 1 6 4 ( . 0 3 5 ) 0 . 1 6 6 ( . 0 3 5 ) 0 . 1 6 6 ( . 0 4 1 ) 0 . 1 8 2 ( . 0 4 1 ) T a b le N o m in a l R e a l t i c s o f E q u a l - W e i g h t e d M o n r a u t o - c o r r e la t io n s o f s t o c k r e t u o - c o r r e la t io n s a r e a d j u s t e d f o r t t h e m e t h o d o f H a n s o n a n d H o d r 6 1 2 2 4 3 6 P a n e l A : 1 9 2 7 { 1 9 9 4 0 . 0 3 0 - 0 . 0 3 0 - 0 . 1 7 2 - 0 . 2 9 0 ( . 0 7 0 ) ( . 1 0 3 ) ( . 1 3 3 ) ( . 1 2 3 ) 0 . 0 2 1 - 0 . 0 6 8 - 0 . 2 3 5 - 0 . 3 2 5 ( . 0 7 0 ) ( . 1 0 1 ) ( . 1 2 9 ) ( . 1 2 9 ) P a n e l B : 1 9 4 6 { 1 9 9 4 - 0 . 0 4 7 - 0 . 1 0 0 - 0 . 2 0 8 - 0 . 0 5 3 ( . 0 8 4 ) ( . 1 1 6 ) ( . 1 5 2 ) ( . 1 9 0 ) - 0 . 0 1 9 - 0 . 0 7 2 - 0 . 2 1 9 - 0 . 0 6 4 ( . 0 8 4 ) ( . 1 1 5 ) ( . 1 5 0 ) ( . 1 8 5 ) E s t i m a t e s o f M o d e l I I I : ( F u ll M o d e l I r (cid:22) (cid:15) = + t t t (cid:0) (cid:22) (cid:30) (cid:22) (cid:17) 1 = + t t t (cid:30) (cid:27) (cid:15) ( S E ) ( S E ) . 1 6 6 . 7 2 8 ( . 0 3 4 ) ( . 0 3 0 ) . 1 6 8 . 7 2 9 ( . 0 3 4 ) ( 0 3 0 ) 2 4 t h l y C R r n s a t v a h e o v e r la ic k ( 1 9 8 0 4 8 - 0 . 4 6 5 ( . 1 1 3 ) - 0 . 4 8 0 ( . 1 2 5 ) - 0 . 1 9 7 ( . 2 3 9 ) - 0 . 1 4 1 ( . 2 3 8 ) S a m p le ) (cid:27) (cid:17) ( S E ) 7 . 2 7 ( . 1 8 0 ) 7 . 2 9 ( . 1 8 0 ) S P r io u p o f ) . 6 0 - 0 . 4 ( . 1 2 - 0 . 5 ( . 1 2 - 0 . 4 ( . 2 4 - 0 . 3 ( . 2 4 R s t o b 8 2 1 ) 0 6 7 ) 1 1 0 ) 1 4 9 ) e t im s e u r n s . e h o r r v a t io 1 2 0 - 0 . 3 4 7 ( . 1 9 4 ) - 0 . 2 0 8 ( . 2 5 1 ) - 0 . 7 0 7 ( . 3 1 6 ) - 0 . 4 6 3 ( . 2 9 9 ) T iz o n s h n o e s . n

T i T f n u a b g a b n c le F le t E s t i m I I I : o r e c a s t e d k ( M o n t h s 2 R b 0 b 1 2 R b 0 b 1 I m p l I V : io n s o f t h e k ( M o n N o m in a R e a l a t R ) i e d e s t t h s l e s o f R e t u r n s 1 0 . 0 2 7 - 0 . 0 0 0 ( . 2 5 6 ) 1 . 0 0 1 ( . 2 1 1 ) 0 . 0 2 8 - 0 . 0 0 0 ( . 2 5 7 ) 1 . 0 0 1 ( . 2 0 8 ) A u t o im a t e d ) 1 0 . 1 6 0 . 1 6 e : - c p 4 6 g r e s s i o n s o f R e a l i z e d r + b 0 b 1 E r + = + ( t ;t k t t ;t k M o d e l I 6 1 2 2 4 P a n e l A : N o m in a l R 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 1 9 0 . 0 4 4 - 0 . 1 1 4 ( 1 . 6 7 ) ( 3 . 4 4 ) ( 6 . 3 0 ) 0 . 1 7 9 1 . 3 2 8 - 0 . 4 3 3 ( . 5 1 6 ) ( . 7 5 3 ) ( 1 . 0 8 ) P a n e l B : R e a l R e t 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 - 0 . 0 1 0 - 0 . 2 9 9 ( 1 . 6 7 ) ( 3 . 3 8 ) ( 5 . 8 8 ) 0 . 1 5 3 1 . 1 7 9 - 0 . 8 0 1 ( . 5 0 7 ) ( . 7 3 2 ) ( 1 . 0 3 ) o r r e l a t i o n s o f S t o c k a r a m e t e r s o f t h e m o d e l M o d e l I 6 1 2 2 4 0 . 0 3 0 0 . 0 1 5 0 . 0 0 7 0 . 0 3 0 0 . 0 1 5 0 . 0 0 7 2 5 - p e r i o k u + ) + t ;t 3 6 e t u r n s 0 . 0 0 0 - 0 . 4 5 8 ( 8 . 5 7 ) - 0 . 5 0 0 ( 1 . 1 9 ) u r n s 0 . 0 0 1 - 0 . 8 3 3 ( 7 . 7 6 ) - 0 . 8 8 7 ( 1 . 0 9 ) R e t u r n ( F u ll s a m 3 6 0 . 0 0 5 0 . 0 0 5 d R e t u ( F u ll S k 4 8 0 . 0 0 1 - 0 . 1 5 3 ( 9 . 2 3 ) - 1 . 2 2 8 ( 1 . 3 8 ) 0 . 0 0 3 - 0 . 8 1 0 ( 8 . 3 4 ) - 1 . 6 6 7 ( 1 . 2 4 ) s . T h e p le ) . 4 8 0 . 0 0 4 0 . 0 0 4 r n s o n C a m p le ) . 6 0 0 . 0 0 4 1 . 1 1 8 ( 8 . 3 6 ) - 2 . 1 1 6 ( 1 . 4 9 ) 0 . 0 0 5 - 0 . 0 0 1 ( 7 . 8 4 ) - 2 . 2 7 8 ( 1 . 3 0 ) im p lie d 6 0 0 . 0 0 3 0 0 . 0 0 3 0 o r r e s p 1 2 0 0 . 0 0 2 9 . 8 2 5 ( 9 . 8 3 ) - 1 . 3 6 4 ( 1 . 0 6 ) 0 . 0 0 3 4 . 5 6 8 ( 1 2 . 8 ) - 1 . 6 5 1 ( . 9 0 0 ) s t a t is t ic 1 2 0 . 0 0 1 . 0 0 1 o s n a d r e

T R a e b t le u V r n : s E a s t n i d m a D N R t i e v o e s i m a d T l o e a in f n b a R d N R le l e g Y o m e a V r e s s i o i e l d s : in a l l E s t I : n s o f R r (cid:12) 0 = t M (cid:12) 0 ( S E ) - 0 . 0 0 0 ( . 2 5 6 ) - 0 . 0 0 2 ( . 2 5 6 ) i m a t e s M r = t z = t (cid:30) ( S E ) 0 . 9 8 3 ( . 0 0 7 ) 0 . 9 8 2 ( . 0 0 7 ) e a l i z e d O n e - m (cid:0) (cid:12) 1 E 1 r + ( ) + t t o d e l I (cid:12) 1 (cid:12) 2 ( S E ) ( S E ) 1 . 0 0 5 1 . 5 2 2 ( . 2 1 0 ) ( . 7 3 1 ) 1 . 0 0 3 1 . 6 1 6 ( . 2 0 8 ) ( . 7 3 3 ) o f M o d e l I I ( F o d e l I I z (cid:15) (cid:1) + t t (cid:0) (cid:30) z 1 (cid:17) + t t (cid:27) (cid:15) ( S E ) 7 . 3 7 7 ( . 1 8 2 ) 7 . 3 9 2 ( . 2 8 0 ) 2 6 o (cid:12) u n 2 d 0 0 ll t h p t 2 R . 0 3 . 0 3 S a R e t u r u + ( F t 2 3 m p le ) (cid:27) (cid:17) ( S E ) 0 . 1 7 9 ( . 0 3 3 ) 0 . 1 0 0 ( 1 9 . 5 2 ) n u s ll o S n a m F o p r le e ) c . a s t e d

T i T f n u a b g a b n c le F le t V I I : o r e c k ( M 2 R b 0 b 1 2 R b 0 b 1 V I I I io n s o k ( M N o m R e a l E s t i m a a s t e d R o n t h s ) I m p l i : f t h e e s o n t h s ) in a l t e s o f R e t u r n s 1 0 . 0 0 5 0 . 1 3 7 ( . 2 6 7 ) 1 . 0 5 9 ( . 5 0 0 ) 0 . 0 0 6 0 . 1 9 2 ( . 2 7 3 ) 1 . 0 6 7 ( . 4 6 6 ) e d A u t t im a t e d 1 - 0 . 0 0 8 - 0 . 0 0 9 e g r e s s i o n s o f R e a l i z e d : r + b 0 b 1 E r + = + ( t ;t k t t ;t k M o d e l I I 6 1 2 2 4 P a n e l A : N o m in a l R 0 . 0 4 2 0 . 0 8 6 0 . 1 6 6 1 . 0 2 1 2 . 0 6 5 3 . 6 2 8 ( 1 . 7 3 ) ( 3 . 6 0 ) ( 6 . 5 5 ) 1 . 1 7 3 1 . 3 6 0 1 . 5 0 6 ( . 4 7 8 ) ( . 5 4 8 ) ( . 5 4 6 ) P a n e l B : R e a l R e t 0 . 0 5 0 0 . 1 0 3 0 . 1 9 4 1 . 4 4 7 3 . 0 0 0 5 . 4 7 1 ( 1 . 7 6 ) ( 3 . 5 9 ) ( 6 . 2 5 ) 1 . 1 9 4 1 . 3 9 2 1 . 5 0 5 ( . 4 4 4 ) ( . 5 0 1 ) ( . 4 8 1 ) o - c o r r e l a t i o n s o f S t o c k p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l M o d e l I I 6 1 2 2 4 - 0 . 0 4 8 - 0 . 0 9 2 - 0 . 1 6 7 - 0 . 0 5 3 - 0 . 1 0 0 - 0 . 1 8 0 2 7 - p e r i o k u + ) + t ;t 3 6 e t u r n s 0 . 2 1 9 4 . 3 5 4 ( 8 . 9 1 ) 1 . 4 8 0 ( . 5 2 6 ) u r n s 0 . 2 4 9 6 . 8 0 5 ( 8 . 2 7 ) 1 . 4 3 6 ( . 4 5 2 ) R e t u r ( F u ll s a m 3 6 - 0 . 2 2 9 - 0 . 2 4 4 d k n R e t u ( F u ll S 4 8 0 . 2 8 5 5 . 8 0 1 ( 1 0 . 3 ) 1 . 5 4 3 ( . 4 8 7 ) 0 . 3 1 1 9 . 0 0 4 ( 9 . 5 1 ) 1 . 4 6 9 ( . 4 1 9 ) s . T h e p le ) . 4 8 - 0 . 2 7 9 - 0 . 2 9 5 r a n s o n C m p le ) . 6 0 0 . 3 4 5 7 . 7 1 3 ( 1 0 . 7 ) 1 . 5 2 1 ( . 4 2 6 ) 0 . 3 7 1 1 1 . 5 5 ( 1 0 . 0 ) 1 . 4 5 7 ( . 3 7 8 ) im p lie d 6 0 - 0 . 3 1 9 - 0 . 3 3 6 o r r e s p 1 2 0 0 . 3 9 3 1 3 . 4 3 ( 1 0 . 1 ) 1 . 0 6 1 ( . 2 9 4 ) 0 . 4 0 6 1 5 . 6 5 ( 1 2 . 5 ) 1 . 0 1 9 ( . 2 9 9 ) s t a t is t ic 1 2 0 - 0 . 4 3 5 - 0 . 4 4 7 o s n a d r e

T R a e b t le u I r X n : s E a s n t d i m D a t i v e i s d o e f n R d N R e Y o e g m a r e i e l in l s d a s s l i o : n s o f R r (cid:12) 0 = t M (cid:12) 0 ( S E ) 0 . 1 0 9 ( . 2 6 8 ) 0 . 1 5 5 ( . 2 7 4 ) e + o a l i z e d (cid:12) 1 E t d e l I I (cid:12) 1 ( S E ) 0 . 8 4 2 ( . 5 2 2 ) 0 . 8 6 7 ( . 4 8 2 ) 2 8 (cid:0) O 1 n e - m r ( ) + t (cid:12) 2 ( S E ) 1 . 1 4 1 ( . 7 7 2 ) 1 . 2 5 9 ( . 7 6 6 ) o (cid:12) n 2 d 0 0 t h p t 2 R . 0 0 . 0 1 R + 8 0 e u t t u ( r F n u s ll o S n a m F o p r le e ) c . a s t e d

N R N R o e o e m a m a l l in in T a l a l a b E s t i m a t e s o f M o le X : M o d e l I I I (cid:0) r z (cid:0) z 1 (cid:15) = + t t t t (cid:0) (cid:0) z (cid:30) z 1 (cid:13) x 1 = + + t t t (cid:0) x (cid:21) x 1 (cid:24) = + t t t (cid:30) (cid:13) (cid:21) ( S E ) ( S E ) ( S E ) P a n e l A : 1 9 2 7 { 1 9 9 4 0 . 1 8 3 7 . 2 0 3 0 . 9 7 3 ( . 0 5 0 ) ( . 4 0 7 ) ( . 0 1 1 ) 0 . 9 7 3 7 . 1 8 1 0 . 1 8 6 ( . 0 0 8 ) ( . 1 7 6 ) ( . 0 3 4 ) P a n e l B : 1 9 4 6 { 1 9 9 4 0 . 1 8 1 5 . 1 4 5 0 . 9 7 4 ( 1 . 2 0 ) ( . 7 2 1 ) ( 2 . 0 4 ) 0 . 9 7 8 5 . 2 0 6 0 . 1 9 5 ( . 0 0 9 ) ( . 1 4 3 ) ( . 0 4 0 ) 2 9 (cid:17) d e l I I t (cid:27) (cid:15) ( S E ) 0 . 8 2 1 ( 1 . 5 3 ) 0 . 0 1 7 ( . 0 2 2 ) 0 . 0 1 7 ( 1 . 1 9 ) 0 . 2 2 6 ( . 3 8 4 ) I (cid:27) (cid:17) ( S E ) 0 . 2 9 9 ( 2 . 0 0 ) 1 . 1 4 5 ( . 0 3 7 ) 0 . 0 1 0 ( 1 . 0 1 ) 0 . 0 0 4 ( 1 . 5 1 )

T i n a b g le F X o k R b b R b b R b b R b b r 0 1 0 1 0 1 0 1 E I : e c a ( M 2 2 2 2 s t s t o n i m e d t h s a ) t R e s o f R e e t u r n s : 1 P 0 . 0 3 6 0 . 1 5 2 ( . 2 5 6 ) 1 . 0 1 0 ( . 1 8 4 ) 0 . 0 3 7 0 . 2 2 4 ( . 2 5 8 ) 1 . 0 1 5 ( . 1 8 0 ) P 0 . 0 3 8 0 . 0 9 5 ( . 2 1 4 ) 1 . 0 1 8 ( . 2 1 3 ) 0 . 0 4 2 0 . 1 2 2 ( . 2 1 7 ) 1 . 0 2 8 ( . 0 4 1 ) g r e s s i o r + = t ;t k 6 a n e l A : 0 . 0 4 2 0 . 9 2 3 ( 1 . 6 9 ) 0 . 7 8 7 ( . 3 1 3 ) P a n e l B 0 . 0 5 0 1 . 4 0 5 ( 1 . 7 2 ) 0 . 8 2 0 ( . 2 9 7 ) a n e l C : 0 . 0 5 9 0 . 6 3 6 ( 1 . 4 5 ) 0 . 9 1 5 ( . 3 6 3 ) P a n e l D 0 . 0 5 3 0 . 9 2 3 ( 1 . 5 4 ) 1 . 0 0 6 ( . 0 8 2 ) n s o f R e a l i z e d b 0 b 1 E r + + ( t t ;t k M o d e l I I I 1 2 2 4 N o m in a l R e t u r n 0 . 0 9 2 0 . 1 6 7 1 . 9 6 2 3 . 3 6 0 ( 3 . 5 7 ) ( 6 . 5 4 ) 0 . 9 6 9 1 . 0 8 7 ( . 3 7 6 ) ( . 3 9 2 ) : R e a l R e t u r n s , 0 . 1 0 8 0 . 1 9 2 3 . 0 2 7 5 . 3 6 1 ( 3 . 5 6 ) ( 6 . 2 3 ) 1 . 0 0 2 1 . 0 9 2 ( . 3 5 1 ) ( . 3 5 1 ) N o m in a l R e t u r n 0 . 1 0 3 0 . 1 8 2 1 . 3 7 7 3 . 0 1 6 ( 2 . 8 0 ) ( 4 . 8 4 ) 0 . 9 6 2 1 . 0 0 8 ( . 4 0 0 ) ( . 3 9 3 ) : R e a l R e t u r n s , 0 . 0 9 4 0 . 1 7 2 2 . 0 5 1 4 . 5 7 4 ( 3 . 0 2 ) ( 5 . 1 8 ) 1 . 0 7 2 1 . 1 2 1 ( . 1 1 6 ) ( . 1 5 5 ) 3 0 - p e r i o k u + ) + t ;t 3 6 s , 1 9 2 7 { 0 . 2 2 1 4 . 0 4 6 ( 8 . 9 2 ) 1 . 1 1 4 ( . 3 9 2 ) 1 9 2 7 { 1 9 0 . 2 4 8 6 . 6 6 9 ( 8 . 2 6 ) 1 . 0 8 4 ( . 3 4 2 ) s , 1 9 4 6 { 0 . 2 4 4 4 . 3 9 1 ( 6 . 7 0 ) 1 . 0 2 1 ( . 3 9 4 ) 1 9 4 6 { 1 9 0 . 2 3 4 6 . 8 1 6 ( 7 . 0 7 ) 1 . 1 1 4 ( . 1 8 9 ) d R e t u . k 4 8 1 9 9 4 0 . 2 8 8 5 . 4 9 2 ( 1 0 . 4 ) 1 . 2 1 1 ( . 3 7 7 ) 9 4 0 . 3 1 2 8 . 8 5 6 ( 9 . 5 2 ) 1 . 1 5 0 ( . 3 2 8 ) 1 9 9 4 0 . 3 3 1 6 . 1 0 5 ( 8 . 1 7 ) 1 . 1 1 0 ( . 3 8 8 ) 9 4 0 . 3 1 4 9 . 3 5 1 ( 8 . 7 2 ) 1 . 1 6 9 ( . 2 4 4 ) r n s o n 6 0 0 . 3 4 8 7 . 4 1 5 ( 1 0 . 9 ) 1 . 2 3 4 ( . 3 4 2 ) 0 . 3 7 2 1 1 . 3 7 ( 1 0 . 1 ) 1 . 1 7 6 ( . 3 0 5 ) 0 . 4 5 5 7 . 7 8 2 ( 9 . 1 4 ) 1 . 3 4 0 ( . 3 7 8 ) 0 . 4 1 9 1 2 . 1 9 ( 9 . 9 8 ) 1 . 3 6 9 ( . 2 7 6 ) C o r r e s p 1 2 0 0 . 3 7 0 1 3 . 3 2 ( 1 0 . 3 ) 0 . 9 3 0 ( . 2 6 7 ) 0 . 3 9 5 1 5 . 3 4 ( 1 2 . 6 ) 0 . 9 0 1 ( . 2 6 8 ) 0 . 6 1 2 9 . 6 6 5 ( 6 . 5 0 ) 1 . 5 2 5 ( . 3 4 4 ) 0 . 6 0 0 1 8 . 8 5 ( 1 0 . 8 ) 1 . 5 0 0 ( . 3 1 6 ) o n d -

T (cid:12) a r b s t le - o X I I : r d e r k ( M (cid:11) 0 (cid:11) 1 (cid:11) 0 (cid:11) 1 (cid:11) 0 (cid:11) 1 (cid:11) 0 (cid:11) 1 T a o u n h t t e o h s A r e ) u g t o - c o r e s s io n 1 0 . 0 0 0 ( . 2 5 5 ) - 0 . 0 0 1 ( . 0 3 5 ) - 0 . 0 0 1 ( . 2 5 6 ) - 0 . 0 0 2 ( . 0 3 5 ) - 0 . 0 1 3 ( . 2 1 3 ) 0 . 0 0 1 ( . 0 4 1 ) - 0 . 0 1 4 ( . 2 1 5 ) - 0 . 0 0 2 ( . 0 4 1 ) r r s P P e l a t i o o f f o r e 6 a n e l A - 0 . 0 3 5 ( 1 . 6 1 ) 0 . 0 6 1 ( . 0 6 9 ) P a n e l - 0 . 0 4 9 ( 1 . 6 1 ) 0 . 0 5 3 ( . 0 6 9 ) a n e l C 0 . 1 8 9 ( 1 . 4 1 ) 0 . 0 0 0 ( . 0 8 3 ) P a n e l 0 . 2 7 3 ( 1 . 4 4 ) 0 . 0 1 6 ( . 0 8 2 ) n s o f F o r e c a s t E u + c a s t e r r o r s : t ;t k M o d e l I I I 1 2 2 4 : N o m in a l R e t u r n - 0 . 2 6 6 0 . 3 3 6 ( 3 . 4 0 ) ( 6 . 1 8 ) 0 . 0 8 6 0 . 0 4 3 ( . 1 0 4 ) ( . 1 4 2 ) B : R e a l R e t u r n s , - 0 . 3 3 0 0 . 0 8 4 ( 3 . 3 5 ) ( 5 . 9 8 ) 0 . 0 5 4 - 0 . 0 0 4 ( . 1 0 4 ) ( . 1 4 0 ) : N o m in a l R e t u r n 0 . 6 2 1 1 . 5 1 5 ( 2 . 6 9 ) ( 4 . 7 4 ) 0 . 0 2 1 - 0 . 0 1 1 ( . 1 1 9 ) ( . 1 5 9 ) D : R e a l R e t u r n s , 0 . 8 4 8 1 . 9 2 6 ( 2 . 7 6 ) ( 4 . 9 1 ) 0 . 0 3 8 - 0 . 0 3 0 ( . 1 1 6 ) ( . 1 5 5 ) 3 1 r r o r s . T h e t a b le u + (cid:11) 0 (cid:11) 1 u = + t ;t k 3 6 4 8 s , 1 9 2 7 { 1 9 9 4 4 . 8 4 9 7 . 2 3 2 ( 6 . 4 7 ) ( 7 . 8 3 ) 0 . 0 0 8 - 0 . 0 3 6 ( . 1 3 2 ) ( . 1 3 9 ) 1 9 2 7 { 1 9 9 4 3 . 8 2 5 5 . 0 7 3 ( 7 . 0 3 ) ( 8 . 9 2 ) - 0 . 0 2 6 - 0 . 0 7 6 ( . 1 4 5 ) ( . 1 6 3 ) s , 1 9 4 6 { 1 9 9 4 1 . 7 2 9 1 . 3 8 1 ( 6 . 6 3 ) ( 8 . 7 2 ) 0 . 1 1 7 0 . 0 3 8 ( . 1 9 7 ) ( . 2 4 9 ) 1 9 4 6 { 1 9 9 4 2 . 0 0 4 1 . 7 3 1 ( 6 . 7 9 ) ( 9 . 0 2 ) 0 . 1 0 4 0 . 0 5 9 ( . 1 8 9 ) ( . 2 4 4 ) p r e s e n (cid:0) + t k ;t 6 0 7 . 2 8 4 ( 8 . 4 5 ) 0 . 0 0 9 ( . 1 5 1 ) 3 . 9 0 3 ( 1 0 . 1 ) - 0 . 0 2 3 ( . 1 8 3 ) 1 . 2 7 1 ( 1 0 . 3 ) - 0 . 0 6 8 ( . 2 7 4 ) 1 . 7 5 3 ( 1 1 . 0 ) - 0 . 0 3 7 ( . 2 7 6 ) t s e t e s t im a + ;t k 1 2 0 7 . 8 6 3 ( 6 . 3 4 ) - 0 . 1 7 6 ( . 1 8 7 ) 0 . 4 4 8 ( 1 4 . 4 ) 0 . 0 4 1 ( . 2 9 5 ) - 0 . 7 3 4 ( 8 . 0 3 ) - 0 . 1 7 2 ( . 3 4 6 ) - 3 . 6 4 2 ( 9 . 7 5 ) - 0 . 1 0 0 ( . 3 1 6 ) t e s o f

T f T c a b le u n c t a b le a s t e X io n k N R N R X d I I s ( M o m e a o m e a I V R I : o f o in l in l : e t I m p l i e t h e e s t n t h s ) a l a l E s t i m u r n s a d A u t o - c o r im a t e d p a r a m 1 6 0 . 1 6 4 - 0 . 0 4 0 . 1 6 5 - 0 . 0 4 0 . 1 6 6 - 0 . 0 4 0 . 1 8 1 - 0 . 0 2 a t e s o f R e g n d D i v i d e n N o m in a R e a l N o m in a R e a l r 3 5 1 7 r d l l e e e l a t i o n s o f S t o c k R e t u t e r s o f t h e m o d e l. M o d e l I I I 1 2 2 4 3 6 P a n e l A : 1 9 2 7 { 1 9 9 4 - 0 . 1 2 3 - 0 . 2 3 0 - 0 . 3 0 4 - 0 . 1 2 7 - 0 . 2 3 6 - 0 . 3 1 1 P a n e l B : 1 9 4 6 { 1 9 9 4 - 0 . 1 2 0 - 0 . 2 2 6 - 0 . 3 0 0 - 0 . 1 0 0 - 0 . 1 9 7 - 0 . 2 6 8 s s i o n s o f R e a l i z e d O n (cid:0) Y i e l d s : r (cid:12) 0 (cid:12) 1 E = + t t M o d e l I I I (cid:12) 0 (cid:12) 1 (cid:12) 2 ( S E ) ( S E ) ( S E ) P a n e l A : 1 9 2 7 { 1 9 9 4 0 . 1 4 8 0 . 9 8 1 1 . 0 7 7 ( . 2 5 7 ) ( . 1 8 5 ) ( . 7 3 3 ) 0 . 2 1 5 0 . 9 8 1 1 . 1 3 4 ( . 2 5 9 ) ( . 1 8 2 ) ( . 7 3 5 ) P a n e l B : 1 9 4 6 { 1 9 9 4 0 . 0 7 4 0 . 9 3 3 0 . 9 7 2 ( . 2 1 4 ) ( . 2 2 0 ) ( . 6 7 0 ) 0 . 0 9 9 0 . 9 4 6 0 . 8 9 3 ( . 2 1 7 ) ( . 2 1 3 ) ( . 6 8 5 ) 3 2 r n s . T 4 8 - 0 . 3 5 - 0 . 3 6 - 0 . 3 5 - 0 . 3 2 e - m o n 1 r ( ) + t 2 R 0 . 0 3 8 0 . 0 4 0 0 . 0 4 1 0 . 0 4 4 h 6 5 4 2 t (cid:12) e h 2 im p lie 6 0 - 0 . 3 9 3 - 0 . 4 0 3 - 0 . 3 9 3 - 0 . 3 6 3 R e t u d p u + t d r t n s t a 1 - 0 - 0 - 0 - 0 s t 2 . 4 . 4 . 4 . 4 o is 0 6 8 7 6 n t 7 1 7 3 ic F s o a r r e e -

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APA

Chunsheng Zhou (1997). Forecasting Long- and Short-Horizon Stock Returns in a Unified Framework (FEDS 1996-04). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-04

BibTeX

@techreport{wtfs_feds_1996_04,
  author = {Chunsheng Zhou},
  title = {Forecasting Long- and Short-Horizon Stock Returns in a Unified Framework},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1996-04},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1997},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-04},
  abstract = {If stock prices do not follow random walks, what processes do they follow? This question is important not only for forecasting purpose, but also for theoretical analyses and derivative pricing where a tractable model of the movement of underlying stock prices is needed. Although several models have been proposed to capture the predictability of stock returns, their empirical performances have not been evaluated. This paper evaluates some popular models using a Kalman Filter technique and finds that they have serious flaws. The paper then proposes an alternative parsimonious state-space model in which state variables characterize the stochastic movements of stock returns. Using equal-weighted CRSP monthly index, the paper shows that (1) this model fits the autocorrelations of returns well over both short and longer horizons and (2) although the forecasts obtained with the state-space model are based solely on past returns, they subsume the information in other potential predictor variables such as dividend yields.},
}