Bubbles as Payoffs at Infinity

1 2 (cid:3) W a s R B o a r d C a r l s o T h i s p e a c k n d v i c e o h o u l d n e s e r v e o n a o f o S f S p w D t y B u b b l e C h r i s t i a n G G o v e r n o r s , F e d e r a l R e c h o o l o f M a n a g e m e n t , R R e r w a s c i r c u l a t e d u n d e l e d g e w i t h g r a t i t u d e n a v i d L e v i n e a n d t h e b e i n t e r p r e t e d a s r e (cid:13) e c s t e m o r i t s s t a (cid:11) . s a s p a y o (cid:11) s a 1 i l l e s a n d S t e p s e r v e S y s t e m , W a U n i v e r s i t y o f M i n J u n e 1 9 9 3 e v i s e d N o v e m b e r e v i s e d F e b r u a r y r t h e t i t l e \ S t o c h u m e r o u s c o n v e r s a u s e f u l c o m m e n t s t i n g t h e v i e w s o f (cid:3) t i n (cid:12) n i t y 2 h e n F . L e R o y s h i n g t o n , D C 2 0 5 5 1 , U S n e s o t a , M i n n e a p o l i s , M N 1 9 9 5 1 9 9 6 a s t i c b u b b l e s i n M a r k o v t i o n s w i t h M a r k F i s h e r , o f a n o n y m o u s r e f e r e e s . t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o A 5 5 4 5 e c o n t h e e T h i f t h e 5 o d s F , U m i i t o p a e d S A e s . " r i a l p e r e r a l

S i a p s p c 1 F a r (cid:12) a s m [ c i s f o a n o e B u b b l e s a s p a y o (cid:11) s a t i n (cid:12) n i t y u m m a r y . W e d e (cid:12) n e r a t i o n a l b u b b l e s t o b e s e c u r i t i e s w i t h p a y o (cid:11) s o c c u r r i n g i n t h e n (cid:12) n i t e l y d i s t a n t f u t u r e a n d i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o r o f b u b b l e v a l u e s . W e e x t e n d o u r n a l y s i s t o a s e t t i n g o f u n c e r t a i n t y . I n a n i n (cid:12) n i t e h o r i z o n a r b i t r a g e - f r e e m o d e l o f a s s e t r i c e s , w e i n t e r p r e t t h e m o n e y m a r k e t a c c o u n t a s t h e v a l u e o f a p a r t i c u l a r b u b b l e ; a i m i l a r i n t e r p r e t a t i o n h o l d s f o r o t h e r a s s e t s r e l a t e d t o t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r a n d t o a y o (cid:11) s o n b o n d s m a t u r i n g i n t h e d i s t a n t f u t u r e . W e p r e s e n t t h r e e a p p l i c a t i o n s o f t h i s h a r a c t e r i z a t i o n o f b u b b l e s . . I n t r o d u c t i o n o r m a l a n a l y s i s o f r a t i o n a l s p e c u l a t i v e b u b b l e s c a l l s f o r m o d e l s i n w h i c h a g e n t s c o n s u m e t a n i n (cid:12) n i t e n u m b e r o f d a t e s . A n i m m e d i a t e p r o b l e m a r i s e s : i f a g e n t s c a n t r a d e w i t h o u t e s t r i c t i o n i n s e q u e n t i a l m a r k e t s , t h e y m a y e n j o y u n b o u n d e d u t i l i t y b y b o r r o w i n g t o n a n c e c u r r e n t c o n s u m p t i o n , b o r r o w i n g a g a i n t o r e p a y t h e i n i t i a l l o a n , b o r r o w i n g y e t g a i n t o r e p a y t h e s e c o n d l o a n , a n d s o o n . S u c h P o n z i s c h e m e s m u s t b e r u l e d o u t i n o m e w a y i f w e a r e t o c o n s t r u c t e q u i l i b r i u m m o d e l s o f b u b b l e s . T w o c l a s s e s o f b u b b l e o d e l s o c c u r , d e p e n d i n g o n t h e s t r a t e g y u s e d t o r u l e o u t P o n z i s c h e m e s . O n e s t r a t e g y i s t o i m p o s e a p r i o r i b o u n d s o n i n d e b t e d n e s s ( S a n t o s a n d W o o d f o r d 1 1 9 9 2 ] , M a g i l l a n d Q u i n z i i [ 1 9 9 3 ] ) . F o r e x a m p l e , M a g i l l a n d Q u i n z i i a s s u m e d t h a t a g e n t s a n n o t c h o o s e c o n s u m p t i o n p l a n s w h i c h i m p l y a p o s i t i v e p r e s e n t v a l u e o f a s y m p t o t i c n e t n d e b t e d n e s s . I n s u c h s e t t i n g s a g e n t s ’ c h o i c e s e t s a r e n o t l i n e a r s p a c e s , i m p l y i n g t h a t e c u r i t y p r i c e s a r e n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t a b l e a s t h e v a l u e s o f t h e i r p a y o (cid:11) s u n d e r l i n e a r u n c t i o n a l s . B u b b l e s m a y t h e n b e d e (cid:12) n e d a s t h e e x c e s s o f s e c u r i t y v a l u e s o v e r t h e v a l u e s f t h e i r p a y o (cid:11) s . I n t h i s s t r a n d o f t h e l i t e r a t u r e i t i s s h o w n t h a t b u b b l e s c a n o c c u r o n n y s e c u r i t y t h a t i s r e t r a d e d i n t o t h e i n (cid:12) n i t e f u t u r e , a s l o n g a s t h a t s e c u r i t y i s i n z e r o e t s u p p l y . T h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e s e c u r i t y b e i n z e r o n e t s u p p l y i s n e e d e d b e c a u s e t h e r w i s e e x i s t e n c e o f a b u b b l e w o u l d i n c r e a s e a g g r e g a t e w e a l t h w i t h o u t p r o v i d i n g a n y 1 T ir o le ( 1 9 8 2 ) is in t h e s a m e s p ir it a lt h o u g h , a s K o c h e r la k o t a ( 1 9 9 2 ) p o in t e d o u t , T ir o le n o w h e r e x p lic it ly r u le d o u t P o n z i s c h e m e s .

n w b p i 1 c t i a t l d g s t ( v t a b w j b I p i t { 2 { e w c o n s u m p t i o n o p p o r t u n i t i e s . T h e r e s u l t i n g v i o l a t i o n o f W a l r a s ’ l a w i s i n c o n s i s t e n t i t h e q u i l i b r i u m . T h e a r b i t r a g e t h a t , i n a l i n e a r s e t t i n g , w o u l d d e s t r o y t h e b u b b l e | u y t h e p a y o (cid:11) g e n e r a t e d b y t h e s e c u r i t y , s h o r t t h e s e c u r i t y i t s e l f a n d n e v e r c o v e r t h e o s i t i o n | i s r u l e d o u t b e c a u s e i t r e s u l t s i n a p o s i t i v e n e t p r e s e n t v a l u e o f a s y m p t o t i c n d e b t e d n e s s . A n o t h e r m o d e l i n g s t r a t e g y , a d o p t e d b y G i l l e s ( 1 9 8 9 ) a n d G i l l e s a n d L e R o y ( 1 9 9 2 a , 9 9 2 b ) , m a i n t a i n s t h e c o n v e n t i o n o f A r r o w a n d D e b r e u t h a t a g e n t s t r a d e s t a t e - c o n t i n g e n t o n s u m p t i o n c l a i m s | s e c u r i t i e s | a t o n e d a t e , w h i c h i s i n t e r p r e t e d a s o c c u r r i n g b e f o r e i m e b e g i n s . T h e s e q u e n c e o f b u d g e t c o n s t r a i n t s o f S a n t o s { W o o d f o r d a n d M a g i l l { Q u i n z i i s r e p l a c e d b y a s i n g l e i n t e g r a t e d b u d g e t c o n s t r a i n t , t h e r e b y r u l i n g o u t P o n z i s c h e m e s t t h e o u t s e t . I n t h e s e t t i n g o f G i l l e s a n d G i l l e s { L e R o y , c h o i c e s e t s a r e l i n e a r s p a c e s , h e r e b y p r e s e r v i n g l i n e a r p r i c i n g . A n a t t r a c t i v e f e a t u r e o f o u r a p p r o a c h i s t h a t w i t h i n e a r p r i c i n g t h e c o n n e c t i o n t o t h e c e n t r a l l i n e o f (cid:12) n a n c e t h e o r y , w h i c h h a s a s s e t v a l u e s e (cid:12) n i t i o n a l l y e q u a l t o t h e v a l u e s o f p a y o (cid:11) s , i s m a i n t a i n e d . I n o n e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h i s l i n e a r a p p r o a c h , t h e c h o i c e s e t c o n s i s t s o f t h o s e p a y o (cid:11) s e n e r a t e d b y a (cid:12) n i t e n u m b e r o f s e c u r i t i e s t r a d e s , t o g e t h e r w i t h t h e l i m i t p o i n t s o f n e t s o f u c h p a y o (cid:11) s . T h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n i s a d o p t e d w i t h v a r y i n g d e g r e e s o f e x p l i c i t n e s s i n f o r m a l r e a t m e n t s o f a r b i t r a g e ( C l a r k [ 1 9 9 3 ] ) a n d d i s c u s s i o n s o f t h e A r b i t r a g e P r i c i n g T h e o r y R o s s [ 1 9 7 6 ] ; G i l l e s a n d L e R o y [ 1 9 9 1 ] ) . W i t h s e c u r i t y v a l u e s d e (cid:12) n i t i o n a l l y e q u a l t o t h e a l u e s o f p a y o (cid:11) s , t h e v a l u e o f b u b b l e s c a n n o t u s e f u l l y b e d e (cid:12) n e d a s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n h e v a l u e o f s e c u r i t i e s a n d t h e v a l u e o f t h e i r p a y o (cid:11) s . I n s t e a d , t h e f u n d a m e n t a l v a l u e o f s e c u r i t y i s d e (cid:12) n e d a s t h e l i m i t i n g v a l u e o f t h e i n i t i a l s e g m e n t o f i t s p a y o (cid:11) , a n d t h e u b b l e v a l u e i s w h a t e v e r i s l e f t o v e r ( G i l l e s [ 1 9 8 9 ] , G i l l e s a n d L e R o y [ 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ] ) . D e (cid:12) n i n g b u b b l e s i n t h i s w a y c r e a t e s t h e p o s s i b i l i t y o f t w o t y p e s o f b u b b l e s , w h i c h e c a l l \ p r i c e b u b b l e s " a n d \ p a y o (cid:11) b u b b l e s " . W e a n a l y z e d p r i c e b u b b l e s i n t h e p a p e r s u s t c i t e d ; h e r e w e t u r n t o t h e s y m m e t r i c n o t i o n o f p a y o (cid:11) b u b b l e s . T h e n o t i o n o f p a y o (cid:11) u b b l e s m u s t i n i t i a l l y a p p e a r p u z z l i n g : d o n o t b u b b l e s n e c e s s a r i l y i n v o l v e s e c u r i t y p r i c e s ? n o u r u s a g e , t h e t e r m \ p r i c e " ( o r \ p r i c e s y s t e m " ) r e f e r s t o a r u l e t o a s s i g n v a l u e s t o a y o (cid:11) s ; l i n e a r p r i c i n g t h e n m e a n s t h a t t h i s r u l e i s a l i n e a r f u n c t i o n a l . S e c u r i t y \ p r i c e s " , n c o n t r a s t , a r e r e a l l y v a l u e s : t h e y a r e t h e v a l u e s t a k e n o n u n d e r t h e p r i c i n g r u l e b y h e p a r t i c u l a r p a y o (cid:11) s t h a t d e (cid:12) n e s e c u r i t i e s . I n s p e a k i n g o f b u b b l e p r i c e s i n a l i n e a r

s s o a t t u w v s s f A v a s u p s H a r a { 3 { e t t i n g , e c o n o m i s t s o r d i n a r i l y a r e r e f e r r i n g t o v a l u e s , t o p a y o (cid:11) s e v a l u a t e d b y a p r i c e y s t e m . T h e r e f o r e b u b b l e v a l u e s c a n i n p r i n c i p l e o r i g i n a t e w i t h e i t h e r t h e p r i c e s y s t e m r s e c u r i t y p a y o (cid:11) s . T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n p r i c e b u b b l e s a n d p a y o (cid:11) b u b b l e s c a n b e s t b e s e t o u t b y a n l y z i n g a s p e c i a l c a s e . T o u n d e r s t a n d p r i c e b u b b l e s , a s s u m e t h a t t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y , h a t t i m e i s c o n t i n u o u s , a n d t h a t a l l p a y o (cid:11) s t r e a m s a r e r e p r e s e n t a b l e a s c o n t i n u o u s f u n c i o n s o n [ 0 ; 1 ) t h a t c o n v e r g e a t i n (cid:12) n i t y . U n d e r t h i s r e s t r i c t i o n t h e v a l u e o f p a y o (cid:11) x n d e r a n a r b i t r a r y l i n e a r f u n c t i o n a l p , p ( x ) , i s a l w a y s r e p r e s e n t a b l e a s 1 1 1 p ( x ) = p (cid:1) x : = p ( t ) x ( t ) d t + p x ; Z = 0 t 1 1 ! 1 h e r e p ( t ) i s i n t e g r a b l e , p i s a s c a l a r a n d x i s d e (cid:12) n e d a s l i m x ( t ) . T h e f u n d a m e n t a l t a l u e o f x u n d e r t h e p r i c e s y s t e m p , f ( x ) , i s d e (cid:12) n e d a s t h e l i m i t i n g v a l u e o f i t s i n i t i a l p e g m e n t s : 1 f ( x ) : = p ( t ) x ( t ) d t ; p Z = 0 t o t h a t t h e b u b b l e v a l u e o f x u n d e r p , b ( x ) e q u a l s t h e v a l u e o f x l e s s t h e v a l u e o f i t s p u n d a m e n t a l : 1 1 b ( x ) : = p ( x ) (cid:0) f ( x ) = p x : p p 1 1 p r i c e b u b b l e i s i d e n t i (cid:12) e d w i t h s t r i c t l y p o s i t i v e p , w h i l e i f p = 0 a l l p a y o (cid:11) s h a v e a l u e s e q u a l t o t h e i r f u n d a m e n t a l v a l u e s . T o u n d e r s t a n d p a y o (cid:11) b u b b l e s , r e v e r s e t h e r o l e o f p r i c e s a n d p a y o (cid:11) s h e r e : t h e v a l u e o f s e c u r i t y x u n d e r a p r i c e s y s t e m p , p ( x ) , c a n b e r e g a r d e d a s t h e v a l u e t a k e n o n b y a p r i c e 1 ! 1 y s t e m p | a c o n t i n u o u s f u n c t i o n p ( t ) c o n v e r g i n g a t i n (cid:12) n i t y , w i t h p : = l i m p ( t ) | t n d e r a l i n e a r f u n c t i o n a l x , r a t h e r t h a n v i c e - v e r s a a s a b o v e . W e a r e l e d t o d e (cid:12) n e t h e a y o (cid:11) s p a c e a s t h e s e t o f l i n e a r f u n c t i o n a l s x o n t h e s p a c e o f p r i c e s y s t e m s p . B y y m m e t r y , w e h a v e 1 1 1 p ( x ) = x (cid:1) p = p ( t ) x ( t ) d t + x p : Z = 0 t e r e t h e i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t x ( t ) , a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n , i s t h e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) 1 1 n d p ( t ) x ( t ) d t i s t h e v a l u e o f t h e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) . T h e \ p a y o (cid:11) a t i n (cid:12) n i t y " , x , = 0 t R e p r e s e n t s t h e b u b b l e c o m p o n e n t o f x ; n o t e t h a t i t s v a l u e i s d e t e r m i n e d b y t h e l o n g - r u n v e r a g e p r i c e , r a t h e r t h a n t h e p r i c e s a t a n y (cid:12) n i t e s e t o f d a t e s .

{ 4 { E s s e n t i a l l y , a p a y o (cid:11) b u b b l e i s t h e p a r t o f a p a y o (cid:11) s t r e a m t h a t o c c u r s \ a t i n (cid:12) n i t y " | i . e . , a f t e r e v e r y (cid:12) n i t e f u t u r e d a t e . O f c o u r s e , i n a (cid:12) n i t e s a m p l e , l o o k i n g a t t h e r e a l i z e d p a y o (cid:11) s c a n n o t d i r e c t l y r e v e a l t h e p r e s e n c e o f a b u b b l e . B u t p o s t u l a t i n g t h a t s e c u r i t y p a y o (cid:11) s h a v e b u b b l e c o m p o n e n t s m a y h e l p e x p l a i n (cid:13) u c t u a t i o n s i n s e c u r i t y v a l u e s ; f o r e x a m p l e , s o m e a n a l y s t s h a v e c o n j e c t u r e d t h a t t h e e x c e s s v o l a t i l i t y o f a s s e t p r i c e s i s i n d i r e c t e v i d e n c e o f b u b b l e s . M o d e l i n g b u b b l e s a s p a y o (cid:11) s a t i n (cid:12) n i t y p r o v i d e s a r i g o r o u s d e v i c e f o r e v a l u a t i n g t h e f r e q u e n t l y - e n c o u n t e r e d a r g u m e n t t h a t e x i s t e n c e o f v a l u e d b u b b l e s v i o l a t e s a t r a n s v e r s a l i t y c o n d i t i o n f o r i n v e s t o r s ’ o p t i m a | o r , a l t e r n a t i v e l y , a l l o w s a u t i l i t y - i n c r e a s i n g a r b i t r a g e . A n e x p l i c i t m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e f o r b u b b l e s p r o v i d e s t h e f o u n d a t i o n f o r t h e i r e m p i r i c a l a n a l y s i s b y e x p l a i n i n g c l e a r l y w h e n t h e o r e t i c a l a r g u m e n t s c a n a n d c a n n o t b e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e i r n o n e x i s t e n c e . F r o m a f o r m a l p o i n t o f v i e w , t h e n , b u b b l e s c a n b e m o d e l e d e i t h e r a s p a y o (cid:11) b u b b l e s o r 2 p r i c e b u b b l e s . F r o m a s u b s t a n t i v e p o i n t o f v i e w , s o m e e c o n o m i c p r o b l e m s a r e c l a r i (cid:12) e d b y o n e s p e c i (cid:12) c a t i o n , s o m e b y t h e o t h e r . O u r c o n c e r n i n t h i s p a p e r i s w i t h p a y o (cid:11) b u b b l e s . I n o r d e r t o m o t i v a t e o u r c o n t e n t i o n t h a t t h e n o t i o n o f p a y o (cid:11) b u b b l e s c a n c l a r i f y s u b s t a n t i v e e c o n o m i c p r o b l e m s , w e t u r n t o a n e x a m p l e . W e k e e p t h e t r e a t m e n t i n f o r m a l h e r e , p e n d i n g m o r e r i g o r o u s d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 3 b e l o w . C o n s i d e r a (cid:12) r m w h i c h , a t a g i v e n d a t e , h a s a g i v e n a m o u n t o f c a p i t a l w h i c h e a r n s a c o n s t a n t r a t e o f r e t u r n . I f t h i s (cid:12) r m p a y s m o s t o f i t s e a r n i n g s o u t i n d i v i d e n d s , d i v i d e n d s a r e i n i t i a l l y h i g h , b u t g r o w s l o w l y o v e r t i m e . I f , o n t h e o t h e r h a n d , t h e (cid:12) r m r e t a i n s a n d r e i n v e s t s m o s t o f i t s e a r n i n g s , t h e i n i t i a l d i v i d e n d s a r e l o w , b u t t h e y g r o w f a s t . I n t h e a b s e n c e o f t a x e s a n d f r i c t i o n s a n d a s s u m i n g t h a t d i v i d e n d s a r e c a p i t a l i z e d a t t h e s a m e r a t e a s t h a t w h i c h t h e (cid:12) r m e a r n s o n c a p i t a l , t h e M o d i g l i a n i { M i l l e r p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t t h e p r e s e n t v a l u e s o f a l l t h e d i v i d e n d s t r e a m s g e n e r a t e d b y d i (cid:11) e r e n t p a y o u t r a t e s a r e e q u a l . B u t s u p p o s e t h a t t h e d i v i d e n d p a y o u t r a t e c o n v e r g e s t o w a r d z e r o . T h e l i m i t i n g d i v i d e n d a t a n y d a t e i s z e r o , a n d t h e p r e s e n t v a l u e o f a s e q u e n c e o f z e r o s i s , o f c o u r s e , z e r o . A p p a r e n t l y t h e M o d i g l i a n i { M i l l e r t h e o r e m i s v i o l a t e d a s d i v i d e n d s a p p r o a c h z e r o . B y s e l l i n g a z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m f o r i t s m a r k e t v a l u e a t s o m e f u t u r e d a t e , o f c o u r s e , a t r a d e r 2 A lt h o u g h a m o d e l in w h ic h p r ic e b u b b le s a n d p a y o (cid:11) b u b b le s c o e x is t m ig h t b e u s e fu l, w e h a v e n o t fo u n d a m a n a g e a b le m a t h e m a t ic a l s t r u c t u r e in w h ic h t h is w o u ld b e t h e c a s e .

c p (cid:12) p n a s b e p e o 2 B d t t t i w T r w i o f { 5 { a n g e n e r a t e a r e v e n u e t h a t e q u a l s t h e p r e s e n t v a l u e o f t h e d i v i d e n d s t r e a m s i m p l i e d b y o s i t i v e d i v i d e n d p a y o u t r a t e s . B u t t h i s c r e a t e s a n e w p r o b l e m : i t i s a c o m m o n p l a c e i n n a n c e t h a t t h e f u t u r e s a l e o f a n a s s e t f o r i t s m a r k e t v a l u e s h o u l d n o t a (cid:11) e c t t h e a s s e t ’ s r e s e n t v a l u e , w h i c h i s p r e c i s e l y w h a t a p p e a r s t o h a p p e n h e r e . T h i s p u z z l e m a y n o t b e i m p o r t a n t , b u t i t p o s e s t h e k i n d o f p r o b l e m f o r w h i c h e c o o m i c t h e o r y s h o u l d h a v e a c o n v i n c i n g a n s w e r . T h e t h e o r y o f r a t i o n a l s p e c u l a t i v e b u b b l e s s d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r p r o v i d e s s u c h a n a n s w e r . T h e d i v i d e n d s t r e a m s g e n e r a t e d b y u c c e s s i v e l y l o w e r d i v i d e n d p a y o (cid:11) r a t e s c o n v e r g e , i n t h e r e l e v a n t t o p o l o g y , n o t t o z e r o u t t o a p a y o (cid:11) a t i n (cid:12) n i t y | i n o t h e r w o r d s , t o a b u b b l e . T h e p r e s e n t v a l u e o f t h i s b u b b l e q u a l s t h e p r e s e n t v a l u e o f a n y o f t h e d i v i d e n d s t r e a m s g e n e r a t e d b y a p o s i t i v e d i v i d e n d a y o u t r a t e . T h e d i v i d e n d s t r e a m s d o c o n v e r g e t o z e r o i n s o m e t o p o l o g i e s , t o b e s u r e ; t h e x a m p l e p r o v e s o n l y t h e i n c o n s e q u e n t i a l f a c t t h a t i n s u c h t o p o l o g i e s t h e p r e s e n t - v a l u e p e r a t o r i s d i s c o n t i n u o u s . . S e c u r i t i e s a s c h a r g e s u b b l e p a y o (cid:11) s , t h e n , a r e p a y o (cid:11) s a t i n (cid:12) n i t y , w h i l e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) s a r e p a y o (cid:11) s a t (cid:12) n i t e a t e s . T h e e x a m p l e o f t h e z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m s h o w s t h a t i t w o u l d b e d e s i r a b l e f o r b u b b l e s o b e t h e l i m i t s o f s e q u e n c e s ( o r n e t s ) o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s . T h i s i s n o t o b v i o u s l y h e c a s e w i t h t h e d u a l i t y t h a t w e u s e d t o i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f b u b b l e p a y o (cid:11) s , n a m e l y h a t b e t w e e n t h e s p a c e o f c o n v e r g i n g f u n c t i o n s a n d t h e s p a c e o f s u m m a b l e f u n c t i o n s , s o t i s d e s i r a b l e t o t u r n t o a r i c h e r s e t t i n g . I n e a r l i e r w o r k f o c u s i n g o n p r i c e b u b b l e s ( G i l l e s [ 1 9 8 9 ] , G i l l e s { L e R o y [ 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ] ) , 1 e t o o k a s s e c u r i t i e s t h e e l e m e n t s o f L ( M ; M ; (cid:22) ) , w h e r e ( M ; M ; (cid:22) ) i s a m e a s u r e s p a c e . h i s l i n e a r s p a c e i s t h e s e t o f f u n c t i o n a l s o n t h e i n d e x s e t M t h a t a r e m e a s u r a b l e w i t h e s p e c t t o M a n d b o u n d e d ( e x c e p t p e r h a p s o n a s e t o f (cid:22) - m e a s u r e z e r o ) . P r i c e s y s t e m s e r e t h e n o r m - c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s o n t h e s e c u r i t y s p a c e . T h i s s p a c e , w h i c h b a s d e n o t e d ( M ; M ; (cid:22) ) , i s k n o w n t o b e i d e n t i (cid:12) a b l e w i t h t h e s p a c e o f b o u n d e d c h a r g e s n M t h a t v a n i s h o n s e t s o f (cid:22) - m e a s u r e z e r o , w h e r e a c h a r g e i s a (cid:12) n i t e l y a d d i t i v e s e t u n c t i o n . I f t h e c h a r g e i s n o t o n l y (cid:12) n i t e l y b u t a l s o c o u n t a b l y a d d i t i v e , i t i s a m e a s u r e .

W i i p d p A w I c i a p a R a f m a a B { 6 { 1 b a i t h p r i c e s y s t e m p 2 , t h e v a l u e o f s e c u r i t y x 2 L i s p ( x ) = x d p : ( 1 ) Z M 1 I n o r d e r t o f o c u s o n p a y o (cid:11) b u b b l e s , w e r e v e r s e t h e r o l e p l a y e d b y L a n d n o w 1 1 n t e r p r e t i t a s t h e p r i c e s p a c e . L ( M ; M ; (cid:22) ) i s t h e d u a l o f L ( M ; M ; (cid:22) ) , t h e s p a c e o f (cid:22) n t e g r a b l e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o n M , w h i c h w e n o w s p e c i f y a s t h e s p a c e o f f u n d a m e n t a l a y o (cid:11) s . T h i s r e v e r s a l o f t h e p a y o (cid:11) a n d p r i c e s p a c e s w a s i l l u s t r a t e d i n t h e s i m p l e s e t t i n g 1 i s c u s s e d i n t h e i n t r o d u c t i o n a b o v e . W i t h p r i c e p 2 L , t h e v a l u e o f t h e f u n d a m e n t a l 1 a y o (cid:11) x 2 L i s p ( x ) = x p d (cid:22) : ( 2 ) Z M s y m m e t r y b e t w e e n ( 1 ) a n d ( 2 ) b e c o m e s e v i d e n t w h e n w e r e w r i t e t h e l a t t e r a s p ( x ) = p ( (cid:21) ) = p d (cid:21) ; ( 3 ) Z M h e r e (cid:21) i s a m e a s u r e o n M d e (cid:12) n e d b y (cid:21) ( A ) : = x d (cid:22) ; f o r a l l A 2 M : ( 4 ) Z A 1 b a n v i e w o f ( 4 ) , e a c h f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) x 2 L d e t e r m i n e s a u n i q u e m e a s u r e (cid:21) 2 ; 1 b a o n v e r s e l y , e a c h m e a s u r e (cid:21) 2 d e t e r m i n e s a u n i q u e f u n c t i o n x 2 L s a t i s f y i n g ( 4 ) ( x 1 b a s t h e R a d o n { N i k o d y m d e r i v a t i v e o f (cid:21) w i t h r e s p e c t t o (cid:22) ) . T h u s , L i s e m b e d d e d i n t o s i t s s u b s e t o f m e a s u r e s ; x a n d (cid:21) b e i n g i n d i s t i n g u i s h a b l e , w e w r i t e i n d i (cid:11) e r e n t l y p ( x ) o r 1 ( (cid:21) ) , a s i n ( 3 ) . N o t e t h a t f o r a n y p 2 L , p ( (cid:21) ) i s w e l l d e (cid:12) n e d b y t h e r i g h t s i d e o f ( 3 ) f o r b a n y (cid:21) i n a n d n o t j u s t f o r i t s s u b s e t o f m e a s u r e s ; b u t i f (cid:21) i s n o t a m e a s u r e , i t h a s n o a d o n { N i k o d y m d e r i v a t i v e x , a n d t h e r e f o r e t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e v a l u e i n ( 2 ) i s n o t v a i l a b l e . C h a r g e s a r e p a r t i a l l y o r d e r e d b y s e t w i s e c o m p a r i s o n s ; i . e . , (cid:25) (cid:21) (cid:28) m e a n s (cid:25) ( A ) (cid:21) (cid:28) ( A ) o r a l l A 2 M . A p o s i t i v e c h a r g e (cid:25) ( i . e . , (cid:25) (cid:21) 0 ) i s c a l l e d p u r e i f (cid:21) = 0 i s t h e o n l y p o s i t i v e e a s u r e n o t e x c e e d i n g (cid:25) ( i . e . , s a t i s f y i n g (cid:25) (cid:21) (cid:21) ) . B y t h e J o r d a n d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m , b a n y c h a r g e i n c a n b e e x p r e s s e d a s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t w o p o s i t i v e c h a r g e s . A n r b i t r a r y c h a r g e i s c a l l e d p u r e i f i t e q u a l s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t w o p o s i t i v e p u r e c h a r g e s . y t h e Y o s i d a { H e w i t t t h e o r e m , a n y c h a r g e (cid:28) c a n b e u n i q u e l y e x p r e s s e d a s t h e s u m o f a

m f t a o i t p m M \ t c (cid:12) i w t d u i a L c B n v c n { 7 { b a e a s u r e (cid:21) a n d a p u r e c h a r g e (cid:25) ; h e n c e , t h e e l e m e n t s o f t h a t a r e n o t m e a s u r e s ( n o t u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s ) c o n t a i n p u r e c h a r g e s . b a T h e p a y o (cid:11) s p a c e ( M ; M ; (cid:22) ) c o n t a i n s p u r e c h a r g e s i f a n d o n l y i f t h e s u b s e t o f M h a t s u p p o r t s (cid:22) i s i n (cid:12) n i t e , b u t p u r e c h a r g e s d o n o t n e c e s s a r i l y a d m i t a n i n t e r p r e t a t i o n s p a y o (cid:11) s i n t h e i n (cid:12) n i t e f u t u r e . I n d e e d , w h e n t h e s e t M d o e s n o t i n d e x t i m e , t h e n o t i o n f a p a y o (cid:11) i n t h e i n (cid:12) n i t e f u t u r e i s n o t e v e n a v a i l a b l e . S u p p o s e f o r e x a m p l e t h a t M s a n i n (cid:12) n i t e i n d e x s e t f o r t h e s t a t e s o f t h e w o r l d i n a s t a t i c m o d e l w i t h u n c e r t a i n t y ; h e n a p u r e c h a r g e c o r r e s p o n d s t o a p a y o (cid:11) i n a s t a t e o c c u r r i n g w i t h a r b i t r a r i l y s m a l l r o b a b i l i t y w h i c h h a s n o n z e r o e x p e c t e d v a l u e . E v e n i f M i n d e x e s t i m e , a b u b b l e p a y o (cid:11) a y n o t n e c e s s a r i l y b e p a i d i n t h e i n (cid:12) n i t e l y d i s t a n t f u t u r e . S u p p o s e f o r e x a m p l e t h a t = f 0 ; 1 = 2 ; 3 = 4 ; : : : ; n = ( n + 1 ) ; : : :g ; t h e n t h e h o r i z o n i s (cid:12) n i t e a n d a l l p a y o (cid:11) s , i n c l u d i n g p a y o (cid:11) s a t i n (cid:12) n i t y " a r e p a i d w i t h i n o n e y e a r . I n c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s , i n p a r t i c u l a r , h e r e e x i s t b u b b l e s t h a t a r e p a i d w i t h i n a (cid:12) x e d t i m e i n t e r v a l . O n e w a y t o g u a r a n t e e t h a t a l l p u r e c h a r g e s a r e p a y o (cid:11) s a t i n (cid:12) n i t y i s t o l e t M b e a o u n t a b l e s e t i n d e x i n g t i m e , t h e t y p e o f c o m m o d i t y , a n d t h e s t a t e o f t h e w o r l d , w i t h a n i t e n u m b e r o f c o m m o d i t y t y p e s a n d a (cid:12) n i t e n u m b e r o f s t a t e s a t e a c h o f a c o u n t a b l y n (cid:12) n i t e n u m b e r o f d a t e s . T o s e e t h i s , n o t e t h a t a p u r e c h a r g e o n M a s s o c i a t e s z e r o e i g h t w i t h a n y (cid:12) n i t e s u b s e t , w h i c h m e a n s t h a t a b u b b l e p a y s n o d i v i d e n d a t a n y (cid:12) n i t e i m e . I n o t h e r w o r d s , a l l p a y o (cid:11) s o c c u r \ a t i n (cid:12) n i t y " ( b u t n o t e t h a t , c o n t r a r y t o t h i s l o o s e e s c r i p t i o n , t h e r e a r e m a n y d i s t i n c t s e c u r i t i e s t h a t p a y a t i n (cid:12) n i t y ) . W e r e c o g n i z e t h a t o u r c h a r a c t e r i z a t i o n o f s e c u r i t i e s a s e l e m e n t s o f a c h a r g e s p a c e i s n c o n v e n t i o n a l . T h e r e i s p r e c e d e n t f o r s p e c i (cid:12) c a t i o n o f s e c u r i t i e s a s m e a s u r e s , f o r e x a m p l e n t h e c o m m o d i t y d i (cid:11) e r e n t i a t i o n l i t e r a t u r e ( M a s - C o l e l l [ 1 9 7 5 ] ) , a n d i n a n y c a s e m e a s u r e s r e e q u i v a l e n t t o i n t e g r a b l e f u n c t i o n s ( p r e c i s e l y t h e r e s u l t t h a t y i e l d s t h e e m b e d d i n g o f 1 b a i n ) , w h i c h i s a c o n v e n t i o n a l s p e c i (cid:12) c a t i o n . T h e n o v e l e l e m e n t h e r e i s o u r s p e c i (cid:12) a t i o n t h a t s e c u r i t i e s m a y b e m o d e l e d a s s e t f u n c t i o n s t h a t a r e n o t c o u n t a b l y a d d i t i v e . u t n o t h i n g a b o u t t h e n a t u r e o f s e c u r i t i e s i m p l i e s c o u n t a b l e a d d i t i v i t y | f o r e x a m p l e , o t h i n g a b o u t a s h a r e o f s t o c k r e q u i r e s u s t o a s s u m e t h a t i t s v a l u e e q u a l s t h e l i m i t i n g a l u e o f t h e i n i t i a l s e g m e n t s o f t h e d i v i d e n d s t r e a m i t g e n e r a t e s . A s s u m i n g t h a t , o n t h e o n t r a r y , t h e t w o a r e a l w a y s e q u a l w o u l d i m p l y t h a t t h e v a l u e o f t h e s t o c k f u n d a m e n t a l e c e s s a r i l y e q u a l s t h e v a l u e o f t h e s t o c k i t s e l f u n d e r a n y p r i c e s y s t e m . R a t h e r t h a n r u l e

o f e s T s a n f g f x i m f i t s r m s (cid:31) { 8 { u t b u b b l e s w i t h o u t b e n e (cid:12) t o f e c o n o m i c r e a s o n i n g i n t h i s w a y , w e p r e f e r t o l e a v e r o o m o r t h e e x i s t e n c e o f b u b b l e s b y a l l o w i n g s e c u r i t i e s w h i c h a r e p u r e c h a r g e s , a n d t h e n l e t c o n o m i c c o n s i d e r a t i o n s d e t e r m i n e w h e t h e r t h e s e a r e v a l u e d . T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e f u n d a m e n t a l c o m p o n e n t o f a s e c u r i t y p a y o (cid:11) i s i n t e g r a b l e ( o r 1 3 4 u m m a b l e , t o t a k e i t s ‘ r e p r e s e n t a t i o n ) i m p l i e s t h a t s e c u r i t i e s l i k e (cid:31) a r e i n a d m i s s i b l e . M h i s i s s o b e c a u s e t h e d i v i d e n d s t r e a m (cid:31) w o u l d h a v e i n (cid:12) n i t e v a l u e u n d e r t h e p r i c e M 1 y s t e m (cid:31) w h i c h , a s a n e l e m e n t o f L , i s a d m i s s i b l e . H o w e v e r , w e c a n a l l o w c o n s t a n t M n d e v e n i n c r e a s i n g d i v i d e n d s t r e a m s a s p a y o (cid:11) s b y t h e s i m p l e d e v i c e o f r e d e (cid:12) n i n g t h e o r m , a s w e n o w d e m o n s t r a t e . B y d e (cid:12) n i n g t h e n o r m o f a f u n c t i o n x t o b e 1 (cid:0) (cid:0) 1 ( 1 ) (cid:26) t k x k : = j x ( t ) j e d t (cid:26) Z = 0 t 1 1 o r s o m e c o n s t a n t (cid:26) r a t h e r t h a n , a s i n L , j x ( t ) j d t , w e c a n a d m i t s e c u r i t i e s w i t h = 0 t 1 R r o w i n g p a y o (cid:11) s , a s l o n g a s t h e g r o w t h r a t e i s b e l o w (cid:26) . D e (cid:12) n e L t o b e t h e s p a c e o f (cid:26) 1 1 1 u n c t i o n s x s u c h t h a t k x k i s (cid:12) n i t e ; i n o t h e r w o r d s , x 2 L i f x 2 L , w h e r e x ( t ) : = (cid:26) (cid:26) (cid:0) (cid:0) ( 1 ) 1 (cid:26) t ( t ) e . C h o o s i n g L w i t h (cid:26) > 1 a s t h e s p a c e o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s a l l o w s u s t o (cid:26) b b n c l u d e (cid:31) a s a s e c u r i t y , b u t a t a c o s t : w h e n t h e s e c u r i t y s p a c e e x p a n d s , t h e p r i c e s p a c e M 1 u s t c o n t r a c t . T h e s p a c e o f a d m i s s i b l e p r i c e s y s t e m s , d e n o t e d L , b e c o m e s t h e s e t o f (cid:26) u n c t i o n s p s u c h t h a t 1 (cid:0) ( 1 ) (cid:26) t k p k : = s u p j p ( t ) j e (cid:26) t 1 1 (cid:0) ( 1 ) (cid:26) t s (cid:12) n i t e ; i n o t h e r w o r d s , p 2 L i f p 2 L , w h e r e p ( t ) : = p ( t ) e . I n e c o n o m i c (cid:26) e r m s , a c c o m m o d a t i n g s e c u r i t i e s w i t h p a y o (cid:11) s t h a t r i s e o v e r t i m e r e q u i r e s a d o p t i n g p r i c e b b y s t e m s t h a t i m p l y s u (cid:14) c i e n t d i s c o u n t i n g , s o t h a t a l l s e c u r i t i e s r e m a i n (cid:12) n i t e - v a l u e d . T h e 1 1 1 1 5 b a b a e l a t i o n s a m o n g L , L a n d a r e e x a c t l y t h e s a m e a s t h o s e a m o n g L , L a n d . (cid:26) (cid:26) (cid:26) 3 M M (cid:22) W it h c o u n t a b le , w e t a c it ly a s s u m e t h a t is t h e s e t o f a ll s u b s e t s o f a n d t h e c o u n t in g M 1 1 L ‘ e a s u r e . I n t h is c a s e , , t h e s p a c e o f a b s o lu t e ly in t e g r a b le fu n c t io n s , b e c o m e s , t h e s p a c e o f a b s o lu t e ly 1 1 L ‘ u m m a b le s e q u e n c e s , a n d b e c o m e s , t h e s p a c e o f b o u n d e d s e q u e n c e s . 4 (cid:31) A M A H e r e is t h e in d ic a t o r fu n c t io n o f , w h ic h t a k e s o n v a lu e 1 o n a n d 0 e ls e w h e r e ; t h u s , (cid:26) A t a k e s o n u n it v a lu e e v e r y w h e r e . M 5 b a b a b a (cid:28) T h e r e la t io n b e t w e e n a n d is e a s ily c h a r a c t e r iz e d : fo r e a c h , t h e r e c o r r e s p o n d s a 2 (cid:26) (cid:26)

i p s v s q n b t s O c b l s f n m ( h d b A n u { 9 { S p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e s e c u r i t y s p a c e a s t h e s p a c e o f c h a r g e s o n a n i n (cid:12) n i t e i n d e x s e t m p l i e s t h a t t h e r e a l w a y s e x i s t s e c u r i t i e s w h i c h a r e b u b b l e s o r w h i c h h a v e b u b b l e c o m o n e n t s . W h e t h e r o r n o t t h e s e s e c u r i t i e s e x i s t i n p o s i t i v e n e t s u p p l y d e p e n d s o n t h e p e c i (cid:12) c a t i o n o f p r o d u c t i o n s e t s a n d e n d o w m e n t s , a n d w h e t h e r o r n o t t h e s e b u b b l e s a r e b a a l u e d d e p e n d s o n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e s y s t e m . F o r e x a m p l e , w i t h a s t h e s e c u r i t y 1 p a c e ( i . e . , (cid:26) = 1 ) , a n y p u r e c h a r g e i s a f r e e g o o d ( a n d t h e r e f o r e e c o n o m i c a l l y i n c o n s e - (cid:0) (cid:0) ( 1 ) (cid:26) t u e n t i a l ) u n d e r t h e p r i c e s y s t e m e , (cid:26) > 1 ; b u t u n d e r t h e p r i c e s y s t e m (cid:31) a n y M o n z e r o p o s i t i v e p u r e c h a r g e h a s p o s i t i v e v a l u e . C o r r e s p o n d i n g l y , w h e t h e r v a l u e d b u b l e s e x i s t u n d e r a n y (cid:12) x e d p r i c e s y s t e m d e p e n d s o n w h e t h e r t h e s e c u r i t y s p a c e i s d e (cid:12) n e d o b e a s l a r g e a s p o s s i b l e c o n s i s t e n t w i t h t h a t p r i c e s y s t e m . F o r e x a m p l e , u n d e r t h e p r i c e (cid:0) 2 t b a y s t e m e , i f t h e s e c u r i t y s p a c e i s w i t h (cid:26) < 3 , t h e n t h e r e a r e n o v a l u e d b u b b l e s . (cid:26) b a n t h e o t h e r h a n d , w i t h t h e s a m e p r i c e s y s t e m t h e r e e x i s t v a l u e d b u b b l e s i n . 3 I t f o l l o w s t h a t w h e t h e r s u c h m o d e l s a s L u c a s ( 1 9 7 8 ) o r M e h r a a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) o n t a i n v a l u e d b u b b l e s i s a p u r e l y f o r m a l q u e s t i o n , d e p e n d i n g s o l e l y o n h o w t h e m o d e l u i l d e r c h o o s e s t o s p e c i f y t h e s e c u r i t y s p a c e . O n t h e o t h e r h a n d , w h e t h e r a p a r t i c u a r s e c u r i t y s u c h a s t h e m a r k e t p o r t f o l i o c o n t a i n s a b u b b l e c o m p o n e n t i s v e r y m u c h a u b s t a n t i v e q u e s t i o n . B e c a u s e b u b b l e s h a v e z e r o p a y o (cid:11) s a t a n y s i n g l e d a t e , t h e y a r e d i (cid:14) c u l t t o c h a r a c t e r i z e o r m a l l y . W e g e t a r o u n d t h i s p r o b l e m b y c h a r a c t e r i z i n g b u b b l e s a s t h e l i m i t p o i n t s o f e t s o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s , s i n c e f u n d a m e n t a l s a r e e a s y t o c h a r a c t e r i z e . A s i d e f r o m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e , t h i s t r e a t m e n t s t e m s f r o m t h e r o o t o f o u r i n t e r e s t i n b u b b l e s a p p a r e n t i n t h e m o t i v a t i n g e x a m p l e o f t h e z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m ) : w e w a n t t o k n o w w h a t a p p e n s t o f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s a n d t h e i r v a l u e s a s t h e p a y o (cid:11) b e c o m e s i n c r e a s i n g l y i s t a n t o r s p r e a d o u t o v e r t i m e . T o i l l u s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s t o u b b l e s , c o n s i d e r t h e s e q u e n c e f (cid:31) ; i = 1 : : : 1 g , w h i c h i s a s e q u e n c e o f d i s c o u n t b o n d s . i s s h o w n i n t h e a p p e n d i x , t h i s s e q u e n c e a d m i t s a b u b b l e a s a l i m i t p o i n t , n o t i n t h e ? b a o r m t o p o l o g y , b u t i n t h e w e a k t o p o l o g y o f . b a (cid:28) n iq u e , w it h t h e c o r r e s p o n d e n c e d e t e r m in e d b y 2 b 1 1 (cid:0) (cid:26) t ( 1 ) p d (cid:28) p d (cid:28) ; p L ; p L p t p t e : = fo r a ll s u c h t h a t ( ) = ( ) 2 2 (cid:26) Z Z b b b b

3 W C e (cid:26) ( n i w m b i N o v t t t t T o { 1 0 { . A n a p p l i c a t i o n : \ Z e r o " { d i v i d e n d (cid:12) r m s . e n o w r e t u r n t o t h e p r o b l e m o f t h e z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 1 o n s i d e r t h e v a l u a t i o n o f a (cid:12) r m i n i t i a l l y c o n s i s t i n g o f o n e u n i t o f c a p i t a l w h i c h g e a r n i n g s a t c o n s t a n t r a t e (cid:26) (cid:0) 1 . T h e g r o s s i n t e r e s t r a t e i s a l s o c o n s t a n t a n d e (cid:0) (cid:26) t , i m p l y i n g t h a t t h e p r i c e s y s t e m i s e . T h i s (cid:12) r m p a y s d i v i d e n d s a t c o n s t a n t e x p r e s s e d a s a p r o p o r t i o n o f c u r r e n t e a r n i n g s ) , a n d w i t h i t s r e t a i n e d e a r n i n g s i t a e w c a p i t a l w h i c h h a s c o n s t a n t i n t e r n a l r a t e o f r e t u r n (cid:26) . T h i s (cid:12) r m ’ s d i v i d e n d i s (cid:26) (cid:13) a t t = 0 , a n d d i v i d e n d s g r o w e x p o n e n t i a l l y a t r a t e (cid:26) m p l y i n g t h a t t h e d i v i d e n d s t r e a m i s : (cid:0) ( 1 ) (cid:26) (cid:13) t x ( t ) = (cid:26) (cid:13) e ; (cid:13) h e r e x ( t ) i s t h e d i v i d e n d a t d a t e t g e n e r a t e d b y a (cid:12) r m w i t h p a y o u t r a t e (cid:13) . T o (cid:13) o d a t e s u c h a d i v i d e n d s t r e a m f o r a n y (cid:13) i n ( 0 ; 1 ) , l e t t h e s p a c e o f f u n d a m e n t a l 1 e L . F o r (cid:13) > 0 t h e M i l l e r { M o d i g l i a n i p r o p o s i t i o n t h a t t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e (cid:26) n d e p e n d e n t o f (cid:13) i s e a s i l y v e r i (cid:12) e d : 1 (cid:0) (cid:26) t p ( x ) = e x ( t ) d t = 1 : (cid:13) (cid:13) Z = 0 t o w l e t (cid:13) a p p r o a c h z e r o . F o r a n y p o s i t i v e (cid:13) t h e a b o v e p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t t h f t h e (cid:12) r m i s 1 , y e t x c o n v e r g e s ( p o i n t w i s e ) t o a z e r o d i v i d e n d s t r e a m , w h i c h h (cid:13) a l u e . T h i s a p p a r e n t d i s c o n t i n u i t y i n t h e v a l u e o f t h e (cid:12) r m a s (cid:13) a p p r o a c h e s z e r o s t e m h e a s s u m p t i o n t h a t t h e d i v i d e n d s t r e a m c o n v e r g e s t o z e r o . C l e a r l y i t d o e s s o o p o l o g y o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e , b u t t h e d i s c o n t i n u i t y o f t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n h e e x a m p l e i m p l i e s s h o u l d l e a d u s t o q u e s t i o n t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h a t c h o p o l o g y , n o t t o c o n c l u d e t h a t s o m e k i n d o f d e e p p a r a d o x h a s b e e n u n e a r t h e d . S u p p o s e t h a t w e c h o o s e i n s t e a d t h e t o p o l o g y i n d u c e d b y t h e n o r m 1 (cid:0) 1 (cid:26) t k x k = j x ( t ) j e d t : (cid:26) Z = 0 t h i s n o r m , a l r e a d y d e (cid:12) n e d i n S e c t i o n 2 , h a s t h e c o n v e n i e n t p r o p e r t y t h a t t h f a ( p o s i t i v e ) d i v i d e n d s t r e a m c o i n c i d e s w i t h i t s v a l u e , i m m e d i a t e l y g u a r a n t e e a b o v e . n e r a t e s q u a l t o r a t e (cid:13) c q u i r e s ( 1 (cid:0) (cid:13) ) , a c c o m p a y o (cid:11) s (cid:12) r m i s e v a l u e a s z e r o s f r o m i n t h e a l t h a t o i c e o f ( 5 ) e n o r m i n g t h e

c U f t a q u i t f c a n t t l s n f t o f a p { 1 1 { 1 o n t i n u i t y o f t h e p r i c e f u n c t i o n a l ( t h i s i s s a y i n g n o m o r e t h a n p 2 L , w h i c h i s o b v i o u s ) . (cid:26) n d e r t h e n o r m ( 5 ) , t h e n e t f x g d o e s n o t c o n v e r g e t o t h e z e r o v e c t o r , s i n c e k x (cid:0) 0 k = 1 (cid:13) (cid:13) o r a l l (cid:13) . T h e s i t u a t i o n i s s i m i l a r t o t h a t o f t h e s e q u e n c e o f d i s c o u n t b o n d s d i s c u s s e d i n 1 h e a p p e n d i x : t h a t s e q u e n c e d o e s n o t h a v e a n y l i m i t p o i n t s i n t h e n o r m t o p o l o g y o f L , 1 n d n e i t h e r d o e s t h e n e t f x g i n t h e n o r m t o p o l o g y o f L . (cid:13) (cid:26) 1 1 1 1 T h e n o r m d u a l o f L i s L . T h e v a l u e o f y 2 L u n d e r t h e p r i c e s y s t e m q 2 L i s (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) 1 (cid:1) y : = p ( t ) y ( t ) d t . T h e s p a c e L c a n t h e r e f o r e b e e n d o w e d w i t h t h e w e a k t o p o l o g y , (cid:26) 1 R n d e r w h i c h a n e t f y g c o n v e r g e s t o y i f f p (cid:1) y g c o n v e r g e s t o p (cid:1) y f o r a l l p 2 L . A s (cid:11) (cid:11) (cid:26) n t h e c a s e o f t h e d i s c o u n t b o n d s , a g a i n , t h e n e t f x g h a s n o l i m i t p o i n t i n t h e w e a k (cid:13) 1 o p o l o g y o f L . (cid:26) I t c o m e s a s n o s u r p r i s e t h a t o u r s o l u t i o n i s t o e n l a r g e t h e s p a c e o f d i v i d e n d s t r e a m s 1 b a r o m t h e L s p a c e o f s e q u e n c e s n o r m e d b y ( 5 ) t o t h e a s s o c i a t e d c h a r g e s p a c e , a n d t o (cid:26) (cid:26) ? o n s i d e r c o n v e r g e n c e i n t h e w e a k t o p o l o g y ( i f t h i s i s d o n e t h e f u n d a m e n t a l s x a p p e a r (cid:13) 6 s t h e m e a s u r e s (cid:22) , w i t h t h e c o r r e s p o n d e n c e d e (cid:12) n e d i n ( 4 ) ) . B e c a u s e t h e e l e m e n t s o f t h e (cid:13) ? e t f (cid:22) g a r e b o u n d e d i n n o r m , t h e n e t m u s t h a v e a w e a k l i m i t p o i n t (cid:22) , b y A l a o g l u ’ s 0 (cid:13) h e o r e m ( w h i c h i s s t a t e d i n t h e a p p e n d i x ) . I t i s e a s y t o s e e t h a t (cid:22) m u s t b e a p u r e c h a r g e . F o r a n y c h a r g e (cid:28) , (cid:31) d (cid:28) i s t h e 0 t R - t h c o m p o n e n t o f t h e f u n d a m e n t a l o f (cid:28) . S i n c e x ( t ) = (cid:31) d (cid:22) c o n v e r g e s t o z e r o , a (cid:13) t (cid:13) ? R i m i t t h a t m u s t e q u a l (cid:31) d (cid:22) ( b y d e (cid:12) n i t i o n o f w e a k c o n v e r g e n c e , t e s t e d w i t h t h e p r i c e 0 t R y s t e m (cid:31) ) , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t (cid:22) h a s a z e r o f u n d a m e n t a l . 0 t T h e n e t f x g , t h e n , a d m i t s a s l i m i t p o i n t s , n o t z e r o , b u t r a t i o n a l b u b b l e s . T h a t a (cid:13) e t o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s c a n c o n v e r g e t o a b u b b l e p r o v e s o n l y t h e i n c o n s e q u e n t i a l a c t t h a t t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r m a p p i n g e a c h s e c u r i t y o n t o i t s f u n d a m e n t a l i s d i s c o n - ? i n u o u s i n t h e w e a k t o p o l o g y ; e q u i v a l e n t l y , i t r e (cid:13) e c t s t h e f a c t t h a t t h e l i n e a r s u b s p a c e ? b a f m e a s u r e s i s n o t w e a k c l o s e d i n . I n a p r e c i s e s e n s e , b y s e t t i n g (cid:13) = 0 t h e (cid:12) r m p a y s i n (cid:12) n i t e d i v i d e n d s i n t h e i n (cid:12) n i t e u t u r e . B e c a u s e t h e c u r r e n t v a l u e o f t h i s b u b b l e i s u n i t y r a t h e r t h a n z e r o , t h e a p p a r e n t n o m a l i e s a t t e n d i n g \ z e r o " - d i v i d e n d (cid:12) r m s d i s a p p e a r . 6 ? b a (cid:28) (cid:28) p (cid:28) p (cid:28) I n t h e w e a k t o p o lo g y o f , a n e t o f c h a r g e s c o n v e r g e s t o if c o n v e r g e s t o fo r a ll f g (cid:1) (cid:1) (cid:26) (cid:11) (cid:11) 1 1 L L . A s a r e s u lt , w h e n r e s t r ic t e d t o m e a s u r e s , t h is t o p o lo g y is id e n t ic a l t o t h e w e a k t o p o lo g y o f . 2 (cid:26) (cid:26)

4 T W f (cid:12) p t g t a a l t m H m a p i o m \ t u ( c { 1 2 { . U n c e r t a i n t y h e f o r e g o i n g c h a r a c t e r i z a t i o n o f b u b b l e s e x t e n d s d i r e c t l y t o a s e t t i n g o f u n c e r t a i n t y . e a d o p t t h e u n c e r t a i n t y m o d e l d e s c r i b e d i n D u (cid:14) e ( 1 9 9 2 ) , t o w h i c h w e r e f e r t h e r e a d e r o r t h e t e r m s w e l e a v e u n d e (cid:12) n e d . W e (cid:12) x a p r o b a b i l i t y s p a c e ( (cid:10) ; F ; M ) a n d t h e s t a n d a r d d l t r a t i o n f F : t (cid:21) 0 g g e n e r a t e d b y a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n W ( t ) i n < . A n a d a p t e d t r o c e s s i s a f u n c t i o n f : (cid:10) (cid:2) [ 0 ; 1 ) s u c h t h a t f ( t ) : = f ( (cid:1) ; t ) i s m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t o F f o r a l l t . S u p p o s e t h a t t h e p a y o (cid:11) s t r e a m o f s e c u r i t y x i s c h a r a c t e r i z e d b y i t s g a i n t ( t ) , w h e r e g ( t ) i s a n a d a p t e d p r o c e s s t h a t e q u a l s t h e c u m u l a t i v e p a y o (cid:11) f r o m d a t e 0 x x o d a t e t . D o i n g t h i s a l l o w s u s t o h a n d l e s i m u l t a n e o u s l y t h e c a s e o f a c o n t i n u o u s a n d t o m l e s s p a y o (cid:11) s t r e a m , i n w h i c h c a s e g ( t ) i s d i (cid:11) e r e n t i a b l e ( o n e a c h s a m p l e p a t h ) a n d x l s o t h e c a s e o f a s i n g l e l u m p - s u m p a y o (cid:11) ( o r , i n a n o b v i o u s e x t e n s i o n , a (cid:12) n i t e n u m b e r o f u m p - s u m p a y o (cid:11) s ) , i n w h i c h c a s e g ( t ) h a s d i s c o n t i n u i t i e s . W e w i l l r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n x 1 2 o p a y o (cid:11) s t r e a m s t h a t s a t i s f y d g ( t ) < 1 , a l m o s t s u r e l y . x 0 R I n t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e , t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e - v a l u e d a d a p t e d p r o c e s s m , w i t h ( 0 ) = 1 , s u c h t h a t t h e v a l u e o f x a t t , V ( t ; x ) , i s g i v e n b y 1 V ( t ; x ) 1 M = E d g ( (cid:28) ) : ( 6 ) x t (cid:20) (cid:21) m ( t ) m ( (cid:28) ) Z = (cid:28) t M e r e E d e n o t e s e x p e c t a t i o n t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e n a t u r a l o r p h y s i c a l p r o b a b i l i t y t e a s u r e M r e s t r i c t e d t o t h e (cid:27) - (cid:12) e l d F . I f m a r k e t s a r e c o m p l e t e m i s u n i q u e . I f m a r k e t s t r e i n c o m p l e t e , t h e r e e x i s t m a n y p r o c e s s e s m s a t i s f y i n g ( 6 ) ; f o r e x a m p l e , t h e s t o c h a s t i c r o c e s s f o r t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f a n y e x p e c t e d - u t i l i t y - m a x i m i z i n g a g e n t ( w h o s e o p t i m u m s i n t e r i o r ) c a n s e r v e a s 1 = m i n ( 6 ) . 7 T h e p r o c e s s m i s c a l l e d t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r . E q . ( 6 ) i m p l i e s t h a t f o r a n y p a y - (cid:11) s t r e a m x s a t i s f y i n g d g ( t ) = 0 f o r t < T , t h e d i s c o u n t e d v a l u e V ( t ; x ) = m ( t ) i s a x a r t i n g a l e u n d e r M u n t i l t i m e T . 7 T h e lit e r a t u r e d o e s n o t a d o p t a s t a n d a r d t e r m in o lo g y h e r e : D u (cid:14) e ( 1 9 9 2 ) a ls o u s e d t h e t e r m m (cid:28) s t a t e - p r ic e d e (cid:13) a t o r " , b u t e n t e r e d t h e t e r m c o r r e s p o n d in g t o o u r ( ) in t h e n u m e r a t o r r a t h e r t h a n m h e d e n o m in a t o r , s u g g e s t in g t h a t s h o u ld b e c a lle d a fa c t o r r a t h e r t h a n a d e (cid:13) a t o r . M a n y a u t h o r s s e t h e t e r m \ p r ic in g k e r n e l" , w it h v a r io u s r e la t e d m e a n in g s . F o r e x a m p le , H a n s e n a n d J a g a n n a t h a n 1 9 9 1 ) c h a r a c t e r iz e d t h e p r ic in g k e r n e l a s t h e r e p r e s e n t a t iv e a g e n t ’s m a r g in a l r a t e o f s u b s t it u t io n fo r o n s u m p t io n a t s u c c e s s iv e d a t e s , a u s a g e t h a t h a s n o a n a lo g u e in c o n t in u o u s - t im e s e t t in g s .

t b h H d i o B w k 1 a f a a p T t a t k { 1 3 { W e s a w i n S e c . ( 2 ) t h a t i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e p a y o (cid:11) b u b b l e s w e r e d e (cid:12) n e d b y u s i n g h e e q u i l i b r i u m p r i c e s y s t e m t o d e (cid:12) n e a n o r m o n t h e p a y o (cid:11) s p a c e , a n d t h e n c h a r a c t e r i z i n g u b b l e s a s l i m i t p o i n t s o f f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) s . E x a c t l y t h e s a m e s t r a t e g y i s e m p l o y e d e r e . D e (cid:12) n e t h e n o r m o f p a y o (cid:11) x b y 1 k d g ( (cid:28) ) k 2 x 1 k x k : = : ( 7 ) m k m ( (cid:28) ) k Z 2 = 0 (cid:28) 2 e r e k z k d e n o t e s t h e H i l b e r t s p a c e n o r m E ( z ) . 2 p D e (cid:12) n e t h e s p a c e o f f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) s a s t h e s e t o f p a y o (cid:11) s w i t h (cid:12) n i t e n o r m , a s 1 e (cid:12) n e d b y ( 7 ) . A c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l P o n t h e L s p a c e o f f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) s 1 2 s r e p r e s e n t a b l e b y a m e m b e r p o f t h e L s p a c e o f b o u n d e d a d a p t e d L - v a l u e d f u n c t i o n s 1 M n [ 0 ; 1 ) , w h e r e P ( x ) = E [ p ( t ) d g ( t ) ] . O n t h i s d u a l s p a c e , t h e n o r m i s d e (cid:12) n e d b y x 0 0 R 1 k p k : = e s s s u p k p ( (cid:28) ) k k m ( (cid:28) ) k : 2 2 (cid:28) m e c a u s e 1 = m i s a c o n v e x f u n c t i o n o f m , t h i s n o r m a n d J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y i m p l y t h a t 1 k 1 = m k (cid:21) 1 ; m i t h e q u a l i t y i f a n d o n l y i f m ( t ) i s a d e t e r m i n i s t i c p r o c e s s . T h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t 1 1 = m k i s (cid:12) n i t e , h o w e v e r . I f i t i s i n (cid:12) n i t e , t h e r e e x i s t f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) s t o w h i c h m = m a s s i g n s i n (cid:12) n i t e v a l u e . W i t h s u c h a p a y o (cid:11) x , t h e v a r i a n c e o f t h e p a y o (cid:11) a t t e x i s t s l m o s t e v e r y w h e r e ( s i n c e k d g ( t ) k i s w e l l - d e (cid:12) n e d ) , b u t i t r i s e s t o o f a s t ( o r d o e s n o t f a l l 2 x a s t e n o u g h ) , a p r o b l e m w h i c h d o e s n o t a r i s e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . W e c a l l a n 1 d a p t e d p r o c e s s p ( t ) a n a d m i s s i b l e p r i c e s y s t e m i f i t i s p o s i t i v e a n d k p k < 1 a n d w e m s s u m e t h a t 1 = m i s a n a d m i s s i b l e p r i c e s y s t e m s o a s t o g u a r a n t e e t h a t a l l (cid:12) n i t e - n o r m a y o (cid:11) s h a v e (cid:12) n i t e v a l u e . T h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r m ( t ) c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e v a l u e o f a f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) . o s e e t h i s , c o n s i d e r t h e v a l u e a t t o f (cid:22) , a c l a i m t o a s i n g l e p a y m e n t e q u a l t o m ( (cid:28) ) a t (cid:28) h e (cid:12) x e d f u t u r e d a t e (cid:28) . I n t h i s c a s e t h e g a i n p r o c e s s g i s a s i n g l e j u m p e q u a l t o m ( (cid:28) ) (cid:22) (cid:28) M t t i m e (cid:28) , s o ( 6 ) r e d u c e s t o V ( t ; (cid:22) ) = m ( t ) = E ( 1 ) = 1 ( t r i v i a l l y , a m a r t i n g a l e ) , a n d (cid:28) t 1 = h e r e f o r e V ( t ; (cid:22) ) = m ( t ) , f o r a n y t < (cid:28) a n d a n y (cid:28) > 0 . N o t e t h a t , s i n c e k (cid:22) k (cid:28) (cid:28) m m ( (cid:28) ) k = k m ( (cid:28) ) k = 1 f o r a n y (cid:28) , (cid:22) i s a n a d m i s s i b l e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) . I n f a c t t h e 2 2 (cid:28)

p i u w d w o t T a N a i t f A b f { 1 4 { a y o (cid:11) n o r m w a s d e s i g n e d t o e n s u r e t h a t a l l o f t h e s e p a y o (cid:11) s h a v e u n i t n o r m ( w h i c h m p l i e s , a s w e w i l l s e e b e l o w , t h a t t h e y a d m i t a b u b b l e a s a l i m i t p o i n t ) . A s i t h a p p e n s , t h e r e i s n o t h i n g s p e c i a l a b o u t p o r t f o l i o m ( t ) t h a t a l l o w s i t a l o n e t o b e s e d a s a d e (cid:13) a t o r : a n y p o s i t i v e - v a l u e d p o r t f o l i o s a t i s f y i n g t h e n u m e r a i r e c h o i c e m ( 0 ) = 1 o u l d d o , a l t h o u g h t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o w h i c h t h e e x p e c t a t i o n i s t a k e n e p e n d s o n w h i c h s e c u r i t y o r p o r t f o l i o s e r v e s a s a d e (cid:13) a t o r . T o i l l u s t r a t e t h i s s t a t e m e n t , e w i l l c o n s i d e r p u r e d i s c o u n t d e f a u l t - f r e e b o n d s . L e t (cid:31) d e n o t e a d e t e r m i n i s t i c p a y o (cid:11) (cid:28) f o n e u n i t o f c o n s u m p t i o n a t d a t e (cid:28) , s o t h a t t h e g a i n p r o c e s s g ( t ) i s a u n i t s t e p a t (cid:31) (cid:28) = (cid:28) . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 6 ) , t h e v a l u e V ( t ; (cid:31) ) , f o r t < (cid:28) , i s g i v e n b y (cid:28) V ( t ; (cid:31) ) 1 M (cid:28) = E : ( 8 ) t m ( t ) (cid:20) m ( (cid:28) ) (cid:21) h e y i e l d t o m a t u r i t y o n t h i s b o n d i s g i v e n b y l o g ( V ( t ; (cid:31) ) ) (cid:28) ; r ( t ; (cid:28) ) : = (cid:0) ( (cid:28) (cid:0) t ) n d t h e s h o r t r a t e r ( t ) i s d e (cid:12) n e d b y r ( t ) : = l i m r ( t ; (cid:28) ) : ! (cid:28) t o w d e (cid:12) n e t h e m o n e y m a r k e t a c c o u n t b ( t ) , w h i c h k e e p s t r a c k o f t h e v a l u e a t t o f i n v e s t i n g t t h e s h o r t r a t e , b y t b ( t ) : = e x p r ( s ) d s : ( 9 ) (cid:18) (cid:19) Z 0 S i n c e b ( 0 ) = 1 a n d b ( t ) > 0 , w e c a n u s e b ( t ) a s a d e (cid:13) a t o r . A b s e n c e o f a r b i t r a g e m p l i e s a n d i s i m p l i e d b y t h e e x i s t e n c e o f a p r o b a b i l i t y m e a s u r e B , e q u i v a l e n t t o M i n h e s e n s e t h a t t h e y b o t h a s s i g n m e a s u r e z e r o t o t h e s a m e s e t s , s u c h t h a t t h e v a l u e o f a n y u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) x , V ( t ; x ) , s a t i s (cid:12) e s 1 V ( t ; x ) 1 B = E d g ( (cid:28) ) : ( 1 0 ) x t b ( t ) (cid:20) b ( (cid:28) ) (cid:21) Z = (cid:28) t s b e f o r e , b ( t ) c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e v a l u e a t t o f a f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) , b e c a u s e ( t ) = V ( t ; (cid:12) ) , w h e r e (cid:12) i s a c l a i m t o a s i n g l e p a y m e n t o f b ( (cid:28) ) a t t h e (cid:12) x e d d a t e (cid:28) , (cid:28) (cid:28) o r a n y (cid:28) > t . T h e v a l i d i t y o f t h i s s t a t e m e n t f o l l o w s e a s i l y f r o m ( 1 0 ) . T h e p r o b a b i l i t y

m a b b a F T B t a p o B a o w p t p w d { 1 5 { e a s u r e B i s k n o w n a s t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i li t y m e a s u r e , s i n c e i t g i v e s t h e v a l u e o f n y s e c u r i t y a s t h e d i s c o u n t e d v a l u e o f i t s p a y o (cid:11) d e (cid:13) a t e d b y t h e i n t e r e s t r a t e , a s w o u l d e t h e c a s e u n d e r t h e n a t u r a l p r o b a b i l i t i e s M i f a g e n t s w e r e r i s k n e u t r a l ( i n a s e n s e t o e d i s c u s s e d b e l o w ) . A n o t h e r d e (cid:13) a t o r i s p r o v i d e d b y t h e v a l u e a t t o f t h e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) (cid:25) , d e (cid:12) n e d (cid:28) s a d e f a u l t - f r e e d i s c o u n t b o n d t h a t m a t u r e s a t (cid:28) , a n d h a s p a y o (cid:11) t h e n o f 1 = V ( 0 ; (cid:31) ) . (cid:28) r o m ( 8 ) t h i s p r i c e i s g i v e n b y M V ( t ; (cid:31) ) E [ 1 = m ( (cid:28) ) ] (cid:28) t p ( t ; (cid:28) ) : = V ( t ; (cid:25) ) = = m ( t ) : ( 1 1 ) (cid:28) V ( 0 ; (cid:31) ) V ( 0 ; (cid:31) ) (cid:28) (cid:28) h e s c a l e o f t h e p a y m e n t a t m a t u r i t y w a s c h o s e n t o e n s u r e t h a t , f o r a n y (cid:28) , p ( 0 ; (cid:28) ) = 1 . e c a u s e p ( t ; (cid:28) ) > 0 f o r a l l t < (cid:28) , i t c a n b e u s e d a s a d e (cid:13) a t o r ( u n t i l t i m e (cid:28) ) . D e (cid:12) n e h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h t h i s (cid:28) - y e a r b o n d d e (cid:13) a t o r p ( t ; (cid:28) ) a s P ( (cid:28) ) , a s i s p p r o p r i a t e s i n c e e a c h (cid:28) r e s u l t s i n a d i (cid:11) e r e n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h e n t h e v a l u e o f a n y a y o (cid:11) x w h i c h d o e s n o t e x t e n d b e y o n d (cid:28) o b e y s (cid:28) P 1 V ( t ; x ) ( ) (cid:28) = E d g ( s ) ; f o r t (cid:20) (cid:28) : x t (cid:20) (cid:21) p ( t ; (cid:28) ) p ( s ; (cid:28) ) Z = s t T h e v a r i o u s p r o b a b i l i t y m e a s u r e s a r e e q u a l w h e n e v e r t h e d e (cid:13) a t o r s a r e e q u a l , w h i c h c c u r s u n d e r s e v e r a l s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s . I f i n t e r e s t r a t e s a r e d e t e r m i n i s t i c , t h e n = P ( T ) f o r a l l T , s i n c e t h e n t h e d e (cid:13) a t o r s a r e e q u a l a s w e l l . S i m i l a r l y , M = P ( T ) | n d m ( t ) = p ( t ; T ) | i f t h e r e p r e s e n t a t i v e a g e n t i s r i s k n e u t r a l a t h o r i z o n T . T h i s w i l l c c u r , f o r e x a m p l e , i f a g e n t s m a x i m i z e t h e e x p e c t e d v a l u e o f c o n s u m p t i o n a t d a t e T , h i c h w i l l r e s u l t i n r i s k - n e u t r a l p r i c i n g f o r a l l p a y o (cid:11) s a t d a t e T , b u t g e n e r a l l y n o t f o r a y o (cid:11) s a t o t h e r d a t e s , e x c e p t u n d e r s t r o n g r e s t r i c t i o n s o n p r e f e r e n c e s o r p r o d u c t i o n e c h n o l o g i e s . T o i n v e s t i g a t e t h e i n t e r p r e t a t i o n o f M = B , a s s u m e t h a t 1 = m ( t ) f o l l o w s t h e d i (cid:11) u s i o n r o c e s s d ( 1 = m ( t ) ) = (cid:13) ( t ) d t + (cid:27) ( t ) (cid:1) d W ( t ) ; ( 1 2 ) m m 1 = m ( t ) d h e r e W ( t ) i s t h e s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s i n < t h a t d e s c r i b e s t h e e v o l u t i o n o f f u n a m e n t a l s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y ( a n d t h a t g e n e r a t e s t h e (cid:12) l t r a t i o n f F ; t (cid:21) 0 g ) , a n d t

(cid:27) s I p N e ( I ( S w t t b h t p I o { 1 6 { ( t ) (cid:1) d W ( t ) e q u a l s (cid:27) ( t ) d W ( t ) . S i m i l a r l y , l e t V ( t ; x ) , t h e v a l u e o f s o m e p a y o (cid:11) m m i i i P t r e a m x , f o l l o w t h e d i (cid:11) u s i o n : d V ( t ; x ) = (cid:13) ( t ) d t + (cid:27) ( t ) (cid:1) d W ( t ) : x x V ( t ; x ) B y I t o ’ s l e m m a , t h e d r i f t o f V ( t ; x ) = m ( t ) i s g i v e n b y (cid:13) ( t ) + (cid:13) ( t ) + (cid:27) ( t ) (cid:1) (cid:27) ( t ) . x m x m f g ( t ) = 0 f o r t < T , t h e n V ( t ; x ) = m ( t ) i s a m a r t i n g a l e u n t i l t i m e T u n d e r t h e n a t u r a l x r o b a b i l i t y m e a s u r e M , s o t h a t t h i s d r i f t m u s t e q u a l z e r o , i m p l y i n g t h a t (cid:13) ( t ) = (cid:0) (cid:13) ( t ) (cid:0) (cid:27) ( t ) (cid:1) (cid:27) ( t ) : ( 1 3 ) x m x m o w l e t x = (cid:12) , t h e m o n e y - m a r k e t a c c o u n t i n t e r p r e t e d a s a c l a i m t o a s i n g l e p a y o (cid:11) T q u a l t o b ( T ) p a y a b l e a t t i m e T . A s n o t e d e a r l i e r , V ( t ; (cid:12) ) = b ( t ) , w h i c h f r o m e q u a t i o n T 9 ) a n d I t o ’ s l e m m a f o l l o w s t h e p r o c e s s d b ( t ) = r ( t ) d t : b ( t ) n o t h e r w o r d s , t h e m o n e y m a r k e t a c c o u n t h a s d r i f t (cid:13) ( t ) = r ( t ) a n d i s p r e d i c t a b l e b (cid:27) ( t ) = 0 ) . S u b s t i t u t i n g t h e s e v a l u e s f o r (cid:13) a n d (cid:27) i n ( 1 3 ) , w e c o n c l u d e : x x b (cid:13) ( t ) = (cid:0) r ( t ) : ( 1 4 ) m u b s t i t u t i n g ( 1 4 ) i n ( 1 3 ) , t h e l a t t e r b e c o m e s (cid:13) ( t ) (cid:0) r ( t ) = (cid:27) ( t ) (cid:1) ( (cid:0) (cid:27) ( t ) ) ; ( 1 5 ) x x m h i c h i s r e c o g n i z e d a s t h e s e c u r i t y m a r k e t l i n e o f t h e c o n s u m p t i o n C A P M . B e c a u s e o f h i s C A P M r e l a t i o n , w e r e f e r t o (cid:0) (cid:27) ( t ) a s t h e m a r k e t p r i c e ( s t r i c t l y , p r i c e s ) o f r i s k . m N o w c o n s i d e r t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s b ( t ) = m ( t ) = V ( t ; (cid:12) ) = m ( t ) , w h i c h , a s n o t e d i n T h e d i s c u s s i o n o f e q . ( 6 ) , i s a m a r t i n g a l e u n d e r M u n t i l t i m e T , f o r a r b i t r a r y T . S i n c e ( t ) i s p r e d i c t a b l e ( h a s z e r o i n s t a n t a n e o u s v a r i a n c e ) , I t o ’ s l e m m a i m p l i e s t h a t b ( t ) = m ( t ) a s v o l a t i l i t y ( b ( t ) = m ( t ) ) (cid:27) ( t ) u n d e r M , s o b ( t ) = m ( t ) i f a n d o n l y i f (cid:27) ( t ) = 0 f o r a l l m m . T h e c o n d i t i o n t h a t t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k e q u a l s z e r o | e q u i v a l e n t l y , t h a t t h e s t a t e - 8 r i c e d e (cid:13) a t o r i s p r e d i c t a b l e | i s o f t e n i d e n t i (cid:12) e d w i t h \ r i s k - n e u t r a l p r i c i n g " . D e s p i t e 8 E q u a t io n ( 1 5 ) p r o v e s t h e w e ll- k n o w n fa c t t h a t t h e lo c a l e x p e c t a t io n s h y p o t h e s is , a s d e (cid:12) n e d b y C o x , n g e r s o ll a n d R o s s ( 1 9 8 1 ) , is v a lid if a n d o n ly if t h e m a r k e t p r ic e o f r is k is z e r o , o r , a s w e n o w s e e , if a n d n ly if t h e s t a t e - p r ic e d e (cid:13) a t o r is p r e d ic t a b le .

t p e h s d M 5 N d b i i w o V o (cid:22) d V p a s t s t { 1 7 { h i s c h a r a c t e r i z a t i o n , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t u n d e r t h e r e s t r i c t i o n (cid:27) ( t ) = 0 a c t u a r i a l m r i c i n g o c c u r s o n l y f o r p a y o (cid:11) s w i t h a n i n (cid:12) n i t e l y s h o r t h o r i z o n . A s j u s t s e e n , w e c a n q u a l l y w e l l i d e n t i f y r i s k - n e u t r a l p r i c i n g w i t h a T - y e a r h o r i z o n i n s t e a d o f a n i n s t a n t a n e o u s o r i z o n , i m p l y i n g M = P ( T ) i n s t e a d o f M = B . R i s k n e u t r a l p r i c i n g a t a l l h o r i z o n s i m u l t a n e o u s l y ( i . e . , M = B = P ( T ) f o r a l l T ) o b t a i n s i f a n d o n l y i f i n t e r e s t r a t e s a r e e t e r m i n i s t i c ( s o B = P ( T ) f o r a l l T ) a n d t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r m ( t ) i s p r e d i c t a b l e ( s o = B ) . . S t o c h a s t i c b u b b l e s o w w e a r e i n a p o s i t i o n t o c h a r a c t e r i z e b u b b l e s i n s t o c h a s t i c e n v i r o n m e n t s . W e h a v e 1 e (cid:12) n e d a n L s p a c e o f p a y o (cid:11) s : t h o s e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s w i t h (cid:12) n i t e n o r m s , a s d e (cid:12) n e d m b a y ( 7 ) . N o w w e e m b e d t h i s s p a c e i n t h e c o r r e s p o n d i n g c h a r g e s p a c e . T h e n , j u s t a s n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , t h e f u n d a m e n t a l p a y o (cid:11) a s s o c i a t e d w i t h a n y p o s i t i v e p a y o (cid:11) x s t h e l a r g e s t f u n d a m e n t a l w h i c h i s l e s s t h a n o r e q u a l t o x , t h e b u b b l e c o m p o n e n t b e i n g h a t e v e r i s l e f t o v e r . A p u r e b u b b l e i s a p a y o (cid:11) w i t h a z e r o f u n d a m e n t a l . T o d e (cid:12) n e o u r (cid:12) r s t s t o c h a s t i c b u b b l e , c o n s i d e r t h e p a y o (cid:11) (cid:22) d e (cid:12) n e d e a r l i e r a s a c l a i m (cid:28) n a s i n g l e p a y m e n t e q u a l t o m ( (cid:28) ) a t d a t e (cid:28) . R e c a l l t h a t t h e v a l u e o f t h i s p a y o (cid:11) s a t i s (cid:12) e s ( t ; (cid:22) ) = m ( t ) , f o r a l l t (cid:20) (cid:28) . T h e s e t f (cid:22) ( (cid:28) ) ; (cid:28) (cid:21) 0 g c o n s t i t u t e s a n e t , e a c h e l e m e n t (cid:28) f w h i c h h a s u n i t n o r m . T h e r e f o r e A l a o g l u ’ s t h e o r e m i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a c h a r g e s u c h t h a t f (cid:22) ( (cid:28) ) g c o n v e r g e s t o (cid:22) a l o n g s o m e s u b n e t . C a l l t h i s c h a r g e t h e s t a t e p r i c e e (cid:13) a t o r b u b b le . N o w , (cid:22) a d m i t s (cid:22) a s a l i m i t p o i n t , V ( t ; x ) i s c o n t i n u o u s i n x , a n d (cid:28) ( t ; (cid:22) ) = m ( t ) f o r a l l (cid:28) ; t h e r e f o r e V ( t ; (cid:22) ) = m ( t ) a s w e l l . (cid:28) W e t h u s h a v e a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o n c e p t o f a s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r t h a t w o r k s f o r a y o (cid:11) s w i t h a n y (cid:12) n i t e h o r i z o n , o r w i t h a n i n (cid:12) n i t e h o r i z o n : t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r a t n y d a t e i s t h e v a l u e a t t h a t d a t e o f a s e l f - (cid:12) n a n c i n g p o r t f o l i o t h e p a y o (cid:11) o f w h i c h i s t h e t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r b u b b l e (cid:22) i n t h e i n (cid:12) n i t e f u t u r e . T h e m o n e y - m a r k e t a c c o u n t b u b b l e c a n b e d e (cid:12) n e d i n e x a c t l y t h e s a m e w a y : c o n s i d e r h e s e c u r i t y (cid:12) w h i c h i s a c l a i m o n b ( (cid:28) ) a t (cid:28) a n d n o t h i n g e l s e . B y A l a o g l u ’ s t h e o r e m , t o (cid:28) h o w t h a t t h e n e t f (cid:12) ; (cid:28) (cid:21) 0 g a d m i t s a n o n t r i v i a l b u b b l e (cid:12) a s a l i m i t p o i n t , i t s u (cid:14) c e s (cid:28) 1 1 h a t t h e n e t b e b o u n d e d i n n o r m . T o p r o v e t h e c l a i m t h a t k (cid:12) k (cid:20) k (cid:22) k = 1 , c o n s i d e r (cid:28) (cid:28) m m

t t T z k W c m p (cid:28) w V i w [ a w a p w p a t { 1 8 { h e s t o c h a s t i c p r o c e s s f o r m ( t ) w h i c h i s i m p l i e d b y t h a t f o r 1 = m ( t ) g i v e n i n ( 1 2 ) ( r e c a l l h a t (cid:13) ( t ) = (cid:0) r ( t ) ) : m d m ( t ) = ( r ( t ) + (cid:27) ( t ) (cid:1) (cid:27) ( t ) ) d t (cid:0) (cid:27) ( t ) (cid:1) d W ( t ) : m m m m ( t ) h e p r o c e s s f o r b ( t ) h a s t h u s l o w e r d r i f t , n a m e l y r ( t ) , a n d l o w e r v a r i a n c e , n a m e l y e r o , t h a n t h e p r o c e s s f o r m ( t ) . G i v e n t h a t m ( 0 ) = b ( 0 ) = 1 , w e c o n c l u d e t h a t 1 b ( t ) k (cid:20) k m ( t ) k , f o r a n y t . S i n c e k (cid:12) k = k b ( (cid:28) ) k = k m ( (cid:28) ) k , t h e c l a i m i s p r o v e d . 2 2 2 2 (cid:28) m e t h u s h a v e s h o w n t h e e x i s t e n c e o f t h e m o n e y m a r k e t a c c o u n t b u b b le (cid:12) , a n d a n y s e u r i t y c a n b e v a l u e d a s t h e e x p e c t e d v a l u e o f i t s p a y o (cid:11) d i s c o u n t e d b y t h e v a l u e o f t h e o n e y - m a r k e t a c c o u n t , w h e r e t h e e x p e c t a t i o n i s t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e r i s k - n e u t r a l r o b a b i l i t y m e a s u r e B . F i n a l l y , w e c a n d e (cid:12) n e (cid:25) ( (cid:28) ) a s t h e p a y o (cid:11) c o n s i s t i n g o f p ( (cid:28) ; (cid:28) ) = 1 = V ( 0 ; (cid:31) ) a t d a t e (cid:28) , a n d n o t h i n g a t a n y o t h e r d a t e . A g a i n , t h e n e t f (cid:25) ( (cid:28) ) g i s b o u n d e d i n n o r m , s i n c e 1 1 1 k (cid:25) k = (cid:20) 1 ; (cid:20) (cid:28) m M M V ( 0 ; (cid:31) ) k m ( (cid:28) ) k E [ 1 = m ( (cid:28) ) ] E [ m ( (cid:28) ) ] 2 (cid:28) 0 0 M M 2 h e r e t h e (cid:12) r s t i n e q u a l i t y f o l l o w s f r o m k m ( (cid:28) ) k = E [ m ( (cid:28) ) ] (cid:21) E [ m ( (cid:28) ) ] a n d 2 0 0 q M ( 0 ; (cid:31) ) = E [ 1 = m ( (cid:28) ) ] , w h i l e t h e s e c o n d i s J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y ( t h e t e r m s a r e a l l e q u a l (cid:28) 0 f a n d o n l y i f m ( (cid:28) ) i s d e t e r m i n i s t i c ) . T h e r e f o r e , t h e n e t f (cid:25) ( (cid:28) ) g a d m i t s a w e a k * l i m i t (cid:25) , h i c h l i m i t w e c a l l t h e v e r y lo n g d i s c o u n t ( V L D ) b u b b le ( t h e t e r m c o m e s f r o m K a z e m i 1 9 9 2 ] ) . N o w , b y d e (cid:12) n i t i o n p ( t ; (cid:28) ) = V ( t ; (cid:25) ) ; s i n c e (cid:25) i s a l i m i t p o i n t o f t h e n e t f (cid:25) ( (cid:28) ) g (cid:28) n d V ( t ; (cid:1) ) i s c o n t i n u o u s , p ( t ; (cid:28) ) h a s a c o r r e s p o n d i n g l i m i t p o i n t , s a y p ( t ) = p ( t ; 1 ) , h i c h i s t h e v a l u e a t t i m e t o f t h e b u b b l e (cid:25) . S i n c e p ( t ) i s p o s i t i v e , i t i s a v a l i d d e (cid:13) a t o r , n d t h e r e e x i s t s a n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e , s a y P ( 1 ) , s u c h t h a t t h e v a l u e o f a n y a y o (cid:11) x s a t i s (cid:12) e s 1 P 1 1 V ( t ; x ) ( ) = E d g ( (cid:28) ) : x t p ( t ) (cid:20) p ( (cid:28) ) (cid:21) Z = (cid:28) t N o w , a s p r o m i s e d , w e d e r i v e s o m e c o n d i t i o n s f o r e q u a l i t y a m o n g t h e v a r i o u s b u b b l e s e h a v e d e (cid:12) n e d . F i r s t , w e h a v e t h a t (cid:12) = (cid:22) i f a n d o n l y i f t h e s t a t e p r i c e d e (cid:13) a t o r i s r e d i c t a b l e . T o s e e t h a t t h e c o n d i t i o n i s n e c e s s a r y , r e c a l l t h a t i f t h e b u b b l e s (cid:12) a n d (cid:22) r e e q u a l , s o m u s t b e t h e i r v a l u e s a t d a t e t , b ( t ) a n d m ( t ) , f o r a n y t . W e s h o w e d a b o v e h a t t h i s e q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f m ( t ) i s p r e d i c t a b l e . S u (cid:14) c i e n c y i s o b v i o u s , s i n c e

(cid:27) p m a e t u t a D N t i a f w a r n d { 1 9 { ( t ) = 0 i m p l i e s t h a t b ( t ) = m ( t ) , b u t b e c a u s e (cid:12) a n d (cid:22) a r e j u s t t h e r e s p e c t i v e l i m i t m o i n t s o f (cid:12) ( (cid:28) ) a n d (cid:22) ( (cid:28) ) ( w h i c h a r e c l a i m s o n b ( (cid:28) ) a n d m ( (cid:28) ) p a y a b l e a t t i m e (cid:28) ) , t h e s e u s t b e e q u a l a l s o ( a s s u m i n g t h e s a m e s u b n e t i s u s e d i n e a c h c a s e ) . T u r n n o w t o c o n d i t i o n s f o r (cid:12) = (cid:25) . T h i s e q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y i f p r e d i c t i o n s b o u t 1 = b ( (cid:28) ) , f o r l a r g e (cid:28) , a r e n o t u p d a t e d i n l i g h t o f c u r r e n t i n f o r m a t i o n u n d e r t h e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e B . D e t e r m i n i s t i c i n t e r e s t r a t e s i m p l y t h i s c o n d i t i o n , b u t h e n o n r a n d o m n e s s a s s u m p t i o n i s s t r o n g e r t h a n n e e d e d . T o u n d e r s t a n d t h e a b s e n c e o f p d a t i n g c o n d i t i o n , n o t e t h a t i f w e s p e c i a l i z e ( 1 0 ) t w i c e ( (cid:12) r s t t o x = (cid:31) a n d t h e n t o (cid:28) = 0 ) , t h e r e r e s u l t s V ( t ; (cid:31) ) B (cid:28) = E [ 1 = b ( (cid:28) ) ] ( 1 6 ) t b ( t ) n d B V ( 0 ; (cid:31) ) = E [ 1 = b ( (cid:28) ) ] : ( 1 7 ) (cid:28) 0 i v i d i n g ( 1 6 ) b y ( 1 7 ) , t h e r e r e s u l t s B E [ 1 = b ( (cid:28) ) ] V ( t ; (cid:31) ) (cid:28) t = b ( t ) : ( 1 8 ) V ( t ; (cid:25) ( (cid:28) ) ) = B V ( 0 ; (cid:31) ) E [ 1 = b ( (cid:28) ) ] (cid:28) 0 o w l e t (cid:28) b e c o m e l a r g e . V ( t ; (cid:25) ( (cid:28) ) ) c o n v e r g e s t o t h e v a l u e a t t o f (cid:25) , a n d b ( t ) i s t h e v a l u e a t o f (cid:12) , s o i f (cid:25) = (cid:12) t h e s e v a l u e s a p p r o a c h e q u a l i t y , i m p l y i n g t h a t t h e r a t i o o f e x p e c t a t i o n s n ( 1 8 ) a p p r o a c h e s u n i t y . C o n v e r s e l y , i f t h e r a t i o o f e x p e c t a t i o n s a p p r o a c h e s u n i t y , t h e n s (cid:28) g e t s l a r g e , V ( t ; (cid:25) ) a p p r o a c h e s b ( t ) , w h i c h i s t h e p a y o (cid:11) a t t i m e t o n (cid:12) . T h e r e f o r e , (cid:28) t o r a n y s u b n e t o f f (cid:25) g c o n v e r g i n g t o (cid:25) , t h e r e e x i s t s a s u b n e t o f f (cid:12) g c o n v e r g i n g t o (cid:25) a s (cid:28) (cid:28) e l l . I n o t h e r w o r d s , b y c o n s i d e r i n g a p p r o p r i a t e s u b n e t s , w e h a v e (cid:12) = (cid:25) . W e h a v e (cid:25) = (cid:22) u n d e r a n a l o g o u s c o n d i t i o n s , e x c e p t t h a t t h e a b s e n c e o f u p d a t i n g p p l i e s t o t h e p r i c i n g k e r n e l 1 = m ( t ) u n d e r M r a t h e r t h a n t o 1 = b ( t ) u n d e r B , s i n c e ( 1 1 ) e p l a c e s ( 1 8 ) . S p e c i (cid:12) c a l l y , w e h a v e M E [ 1 = m ( (cid:28) ) ] t : V ( t ; (cid:25) ( (cid:28) ) ) = m ( t ) M E [ 1 = m ( (cid:28) ) ] 0 T h e c o n d i t i o n f o r a b s e n c e o f u p d a t i n g f o r (cid:25) = (cid:22) i s s i m i l a r t o t h a t f o r (cid:25) = (cid:12) b u t o t i d e n t i c a l . I n t h e l a t t e r c a s e t h e c o n d i t i o n i s s a t i s (cid:12) e d i f b ( t ) = f ( t ) (cid:11) ( t ) , w h e r e f ( t ) i s e t e r m i n i s t i c a n d (cid:11) ( t ) i s p r e d i c t a b l e , s t a t i o n a r y a n d e r g o d i c u n d e r B . I n t h e f o r m e r c a s e

t i g 6 I a e i f a e I 6 V t i V b w o u p d d (cid:12) s d { 2 0 { h e c o n d i t i o n i s s a t i s (cid:12) e d i f m ( t ) = f ( t ) (cid:11) ( t ) , w h e r e a g a i n f ( t ) i s d e t e r m i n i s t i c a n d (cid:11) ( t ) s s t a t i o n a r y a n d e r g o d i c u n d e r M , b u t n o w (cid:11) ( t ) n e e d n o t b e p r e d i c t a b l e s i n c e (cid:22) i s n o t e n e r a l l y p r e d i c t a b l e . . A p p l i c a t i o n s n e a r l i e r s e c t i o n s w e a r g u e d t h a t b u b b l e s p l a y a r o l e w h e n e v e r i n (cid:12) n i t e - h o r i z o n m o d e l s r e u s e d ( a n d , w e w i l l s e e i n s u b s e c t i o n ( 6 . 3 ) , n o t o n l y t h e n ) . M a k i n g t h e r o l e o f b u b b l e s x p l i c i t c a n c l a r i f y o t h e r w i s e p u z z l i n g r e s u l t s . F o r e x a m p l e , w e s u g g e s t e d t h a t b y r e g a r d n g (cid:12) r m s w h i c h r e t a i n a l l t h e i r e a r n i n g s a s p a y i n g o u t a n i n (cid:12) n i t e d i v i d e n d i n t h e i n (cid:12) n i t e u t u r e , r a t h e r t h a n a s n o t p a y i n g a d i v i d e n d , t h e a p p a r e n t d i s c o n t i n u i t y o f (cid:12) r m v a l u e a s f u n c t i o n o f t h e d i v i d e n d p a y o u t r a t e i s a v o i d e d , a n d t h e M i l l e r - M o d i g l i a n i t h e o r e m i s x t e n d e d t o (cid:12) r m s t h a t r e t a i n a l l t h e i r e a r n i n g s . I n t h i s s e c t i o n w e i n d i c a t e s o m e o t h e r a r e a s o f a p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f b u b b l e s . n t h e i n t e r e s t o f b r e v i t y t h e a r g u m e n t s a r e s k e t c h e d r a t h e r t h a n s t a t e d f o r m a l l y . . 1 . M e a s u r i n g t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r K a z e m i ( 1 9 9 2 ) p r o p o s e d u s i n g t h e v a l u e o f a L D b o n d a s a p r o x y f o r t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r , o n t h e g r o u n d s t h a t (cid:13) u c t u a t i o n s i n h e v a l u e o f b o n d s w i t h p a y o u t s i n t h e v e r y d i s t a n t f u t u r e a r e d o m i n a t e d b y (cid:13) u c t u a t i o n s n t h e c u r r e n t m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n . I n o u r t e r m s K a z e m i a s s u m e d t h a t t h e L D b u b b l e (cid:25) e q u a l s t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r b u b b l e (cid:22) , s o t h a t t h e v a l u e o f t h e V L D u b b l e e q u a l s t h e r e c i p r o c a l o f t h e c u r r e n t m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n o f a n y a g e n t h o c o n s u m e s a t a n i n t e r i o r p o i n t . N e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e v a l i d i t y f t h i s u s e o f (cid:25) a s a p r o x y f o r (cid:22) w e r e s t a t e d i n S e c t i o n 4 a b o v e . I n a f o o t n o t e K a z e m i s u g g e s t e d t h a t c u r r e n t v a l u e s o f e v e n s t o c h a s t i c p a y o u t s c a n b e s e d a s p r o x i e s f o r (cid:22) , a s l o n g a s t h e p a y o u t o c c u r s i n t h e d i s t a n t f u t u r e . T h e r e s u l t s o f t h i s a p e r s h o w t h a t K a z e m i i s i n c o r r e c t h e r e : i t i s p r e c i s e l y t h e a r g u m e n t o f t h i s p a p e r t h a t i (cid:11) e r e n t b u b b l e s h a v e d i (cid:11) e r e n t c u r r e n t v a l u e s , a n d m o s t b u b b l e s w i l l h a v e v a l u e s t h a t i (cid:11) e r f r o m t h e r e c i p r o c a l o f t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n . T o s e e t h i s , c o n s i d e r a r m w h i c h r e t a i n s a l l i t s e a r n i n g s a n d i s s u b j e c t t o (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c p r o d u c t i v i t y s h o c k s a n d h o c k s t o p r i c e s o f s u b s t i t u t e g o o d s , f o r e x a m p l e . T h i s (cid:12) r m c a n b e c o n s i d e r e d t o h a v e a i v i d e n d p a y o u t c o n s i s t i n g o f a b u b b l e , b u t i t s c u r r e n t v a l u e w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e

c w 6 t r a p S 1 l ( y n f a m t ( f 1 s t i a i o t { 2 1 { u r r e n t r e a l i z a t i o n o f t h e p r o d u c t i v i t y s h o c k s a n d t h e s h o c k s t o p r i c e s o f s u b s t i t u t e s a s e l l a s c o n s u m e r s ’ m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n . . 2 . \ L o n g i n t e r e s t r a t e s c a n n e v e r f a l l " D y b v i g , I n g e r s o l l a n d R o s s ( 1 9 9 5 ) p r o v e d h a t l o n g - t e r m i n t e r e s t r a t e s c a n n e v e r f a l l . T o u n d e r s t a n d t h e i n t u i t i v e c o n t e n t o f t h e i r e s u l t , c o n s i d e r a d i s c r e t e - t i m e u n c e r t a i n t y t r e e w i t h o n e s t a t e a t d a t e 0 a n d t w o s t a t e s t d a t e s 1 , 2 , : : : , s o t h a t a l l u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d a t d a t e 1 . S u p p o s e t h a t s t a t e - c l a i m r i c e s e q u a l 1 a t d a t e 0 a n d a t e a c h n o d e o n t h e u p p e r b r a n c h o f t h e u n c e r t a i n t y t r e e . (cid:0) t t a t e - c l a i m p r i c e s o n t h e l o w e r b r a n c h e q u a l 2 a t d a t e t , f o r t = 1 , 2 , : : : . T h u s i n d a t e t h e g r o s s o n e - p e r i o d i n t e r e s t r a t e i s r e v e a l e d t o b e 1 o n t h e u p p e r b r a n c h a n d 2 o n t h e o w e r b r a n c h ; a f t e r d a t e 1 t h e s e i n t e r e s t r a t e s n e v e r c h a n g e . C l e a r l y , t h e y i e l d t o m a t u r i t y o n a t - p e r i o d p u r e d i s c o u n t b o n d i s s u e d a t d a t e 0 e q u a l s (cid:0) 1 t = t 1 + 2 ) ; t h i s v a l u e c o n v e r g e s t o 1 w h e n t c o n v e r g e s t o i n (cid:12) n i t y , s o c a l l t h i s l i m i t t h e i e l d t o m a t u r i t y o n a V L D b o n d i s s u e d a t d a t e 0 . T h e n o n d a t e 1 t h e i n t e r e s t r a t e o n a e w V L D b o n d i s e i t h e r 1 , a s o n d a t e 0 , o r 2 . T h u s i n t e r e s t r a t e s m a y r i s e ; t h e y c a n n o t a l l . E s s e n t i a l l y , t h i s o c c u r s b e c a u s e t h e d a t e { 0 c o s t o f b u y i n g o n e u n i t o f c o n s u m p t i o n t d a t e t i s , f o r h i g h t , d o m i n a t e d b y t h e l o w e s t o f t h e p o s s i b l e i n t e r e s t r a t e r e a l i z a t i o n s . W h e n t h e r a t e o f i n t e r e s t i s 1 , t h e o r i g i n a l V L D b o n d h a s v a l u e 1 a n d y i e l d t o a t u r i t y 1 ( s o t h e r e i s n o n e e d t o i s s u e a n e w V L D b o n d t o g e t t h i s r e s u l t ) , b u t w h e n h e r a t e o f i n t e r e s t r i s e s t o 2 , t h e o r i g i n a l V L D b o n d i s s u e d a t d a t e 0 b e c o m e s w o r t h l e s s t h e p a y o (cid:11) s o n t h e s e q u e n c e o f d i s c o u n t b o n d s u s e d t o d e (cid:12) n e t h e b u b b l e d o n o t i n c r e a s e a s t e n o u g h ) a n d t h e r e f o r e i t s o w n y i e l d t o m a t u r i t y i s n o t w e l l d e (cid:12) n e d . O b s e r v e t h a t i s t h e c o r r e c t p r i c e a t d a t e 0 f o r a n a s s e t t h a t w i l l b e w o r t h 1 i n t h e l o w i n t e r e s t r a t e t a t e a n d 0 i n t h e o t h e r s t a t e . T o r e c a s t D y b v i g , I n g e r s o l l a n d R o s s ’ s r e s u l t i n t h e l a n g u a g e o f t h i s p a p e r , o b s e r v e h a t t h e d u r a t i o n o f t h e V L D b u b b l e i s i n (cid:12) n i t e . T h u s a n i n c r e a s e i n p r e v a i l i n g l o n g - t e r m n t e r e s t r a t e s c o r r e s p o n d s t o a d e c r e a s e i n t h e v a l u e o f a V L D b u b b l e t o z e r o . S i m i l a r l y , d e c r e a s e i n p r e v a i l i n g l o n g - t e r m i n t e r e s t r a t e s w o u l d c o r r e s p o n d t o a n i n (cid:12) n i t e i n c r e a s e n v a l u e ; t h e f a c t t h a t a n i n (cid:12) n i t e i n c r e a s e i n v a l u e c a n n o t o c c u r i m p l i e s t h e i m p o s s i b i l i t y f a d e c r e a s e i n y i e l d s . A s t h e e x a m p l e i n d i c a t e s , t h e y i e l d t o m a t u r i t y o n a V L D b u b b l e c a n n e v e r c h a n g e : h e f a c t t h a t t h e d u r a t i o n o f a V L D b u b b l e i s i n (cid:12) n i t e i m p l i e s t h a t i t s y i e l d t o m a t u r i t y

s m 6 t a p t g s o o t c 1 o p d d L i d b t ( t e g { 2 2 { t a y s t h e s a m e o v e r t i m e , o r t h e s e c u r i t y b e c o m e s w o r t h l e s s , i n w h i c h c a s e i t s y i e l d t o a t u r i t y i s u n d e (cid:12) n e d . . 3 . D o u b l i n g S t r a t e g i e s U p t o n o w w e h a v e i n t e r p r e t e d t h e i n d e x s e t a s r e p r e s e n t i n g i m e . H o w e v e r , t h e s a m e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e a p p l i e s w h e n t h e i n d e x s e t r e f e r s t o l t e r n a t i v e p o s s i b l e e v e n t s , a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f b u b b l e s i n t h i s c o n t e x t r o d u c e s u s e f u l i n s i g h t s . C o n s i d e r a g a m b l i n g s t r a t e g y c o n s i s t i n g o f b e t t i n g 1 a t e v e n o d d s , a n d t h e n d o u b l i n g h e b e t a f t e r e a c h l o s s . T h e g a m e e n d s w i t h t h e (cid:12) r s t w i n . A n a i v e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s a m e i s t h a t i t y i e l d s a p a y o (cid:11) o f 1 w i t h p r o b a b i l i t y 1 , a n d t h e r e f o r e i s a n a r b i t r a g e . A m o r e o p h i s t i c a t e d a r g u m e n t w o u l d r e j e c t t h e i m p l i c a t i o n t h a t a p o t e n t i a l l y i n (cid:12) n i t e s e q u e n c e f f a i r - g a m e b e t s c a n p o s s i b l y p r o d u c e a n a r b i t r a g e . T h i s a r g u m e n t i s m a d e f o r m a l b y b s e r v i n g t h a t t h e s e q u e n c e o f p a y o (cid:11) s t o t h e t r u n c a t e d g a m e s d o e s n o t c o n v e r g e , i m p l y i n g h a t t h e p a y o (cid:11) t o t h e g a m e a s a w h o l e i s n o t w e l l d e (cid:12) n e d . T o s e e t h i s , o b s e r v e t h a t t h e u m u l a t e d p a y o (cid:11) f o r t h e g a m e t r u n c a t e d a f t e r t s t a g e s c o n s i s t s o f 1 w i t h p r o b a b i l i t y (cid:0) (cid:0) t t t (cid:0) 2 a n d (cid:0) ( 2 (cid:0) 1 ) w i t h p r o b a b i l i t y 2 . T h i s p a y o (cid:11) c o n v e r g e s p o i n t w i s e t o 1 e x c e p t n a s e t o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e z e r o . H o w e v e r , j u s t a s w i t h t h e z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m , o i n t w i s e c o n v e r g e n c e i s n o t t h e r e l e v a n t c r i t e r i o n . I n t h e L n o r m t h e p a y o (cid:11) t o t h e 2 o u b l i n g s t r a t e g y i s n o t w e l l d e (cid:12) n e d s i n c e t h e p a y o (cid:11) v a r i a n c e b e c o m e s i n (cid:12) n i t e : t h u s t h e o u b l i n g s t r a t e g y i s i n a d m i s s i b l e . A d i (cid:11) e r e n t a n a l y s i s e m e r g e s i f o n e i m p o s e s t h e L n o r m o n p a y o (cid:11) s r a t h e r t h a n t h e 1 n o r m . I t r e m a i n s t r u e t h a t t h e s e q u e n c e o f p a y o (cid:11) s t o t h e t r u n c a t e d g a m e s d i v e r g e s 2 n t h e L n o r m . H o w e v e r , u n d e r t h e L n o r m , t h e n o r m o f t h e p a y o (cid:11) o f t h e t r u n c a t e d 1 1 o u b l i n g s t r a t e g y i s b o u n d e d a b o v e b y 2 . T h e r e f o r e , r e i n t e r p r e t i n g t h e s p a c e o f p a y o (cid:11) s a s a r a t h e r t h a n L , A l a o g l u ’ s t h e o r e m g u a r a n t e e s t h a t a s u b n e t o f t h e s e q u e n c e o f p a y o (cid:11) s 1 o t h e t r u n c a t e d g a m e s c o n v e r g e s . T h e l i m i t i n g p a y o (cid:11) i s 1 o n a s e t o f m e a s u r e 1 , a n d a n e g a t i v e ) b u b b l e o n a s e t o f m e a s u r e z e r o . D e s p i t e o c c u r r i n g o n a s e t o f m e a s u r e z e r o , h e b u b b l e c o n t r i b u t e s e x a c t l y - 1 t o t h e e x p e c t a t i o n o f t h e g a m e , w h i c h i s t h e r e f o r e z e r o v e n i n i n (cid:12) n i t e t i m e . T h u s i f b u b b l e s a r e a d m i t t e d t h e p a y o (cid:11) o n t h e i n (cid:12) n i t e l y r e p e a t e d a m e i s w e l l d e (cid:12) n e d . A s t h e f o r e g o i n g e x a m p l e s s u g g e s t , a d m i t t i n g b u b b l e s e x p a n d s e c o n o m i s t s ’ a b i l i t y t o

a 7 E t b m t s c a t w a e { 2 3 { 9 n a l y z e s e t t i n g s i n w h i c h a n i n (cid:12) n i t e n u m b e r o f s e c u r i t y t r a d e s t a k e p l a c e . . C o n c l u s i o n c o n o m i c s a n d (cid:12) n a n c e a r e r e p l e t e w i t h e x a m p l e s o f s e c u r i t i e s w h i c h h a v e v a l u e s g r e a t e r h a n t h o s e o f t h e i r p a y o (cid:11) s i n t h e (cid:12) n i t e f u t u r e . T h e s e s e c u r i t i e s a r e s o m e t i m e s l a b e l e d u b b l e s , b u t s o m e t i m e s t h e y a r e c a l l e d v e r y l o n g d i s c o u n t b o n d s , i n t r i n s i c a l l y u s e l e s s o n e y , z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m s , o r w h a t e v e r . S u c h s e c u r i t i e s a r e u s u a l l y a n a l y z e d i n a s e t i n g w h i c h i s n o t c o m p l e t e l y e x p l i c i t t h e o r e t i c a l l y , a n d , a s a r e s u l t , d o e s n o t p r o v i d e a t i s f a c t o r y a n s w e r s t o s u c h b a s i c q u e s t i o n s a s h o w , u n d e r a l i n e a r p r i c i n g r u l e , a s e u r i t y w h i c h h a s z e r o p a y o (cid:11) a t e a c h d a t e c a n s t i l l h a v e p o s i t i v e v a l u e o r h o w , u n d e r n o n l i n e a r p r i c i n g r u l e , a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s a r e a v o i d e d . O u r a p p r o a c h p r o v i d e s a h e o r e t i c a l l y e x p l i c i t a n s w e r t o t h e s e q u e s t i o n s , a n d t h e r e f o r e a l l o w s a u n i (cid:12) e d t r e a t m e n t i t h i n t h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m p a r a d i g m o f p h e n o m e n a t h a t m i g h t s e e m t o b e u n r e l a t e d , n d t o l i e o u t s i d e t h a t p a r a d i g m . 9 b a L L O f c o u r s e , t h e r u le s o f t h e g a m e c h a n g e w h e n t h e p a y o (cid:11) s p a c e is r a t h e r t h a n o r . F o r 1 2 x a m p le , o n e c a n n o lo n g e r r o u t in e ly ig n o r e s e t s w it h p r o b a b ilit y m e a s u r e z e r o .

A T w o f P d T p b n p d t n s f a s s y i X c { 2 4 { p p e n d i x W e w i s h t o c h a r a c t e r i z e b u b b l e s a s t h e l i m i t p o i n t s o f n e t s o f f u n d a m e n t a l s e c u r i t i e s . h e d e s i r e d c h a r a c t e r i z a t i o n r a i s e s t h e i m m e d i a t e q u e s t i o n o f w h e t h e r | m o r e p r e c i s e l y , i n h a t t o p o l o g y | t h e i n d i c a t e d l i m i t s e x i s t . R a t h e r t h a n p r o v i d e a f u l l a n s w e r , c o n s i s t i n g f a f o r m a l e x p o s i t i o n o f i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o a c h a r g e , w e a d d r e s s t h e s e i s s u e s l e s s o r m a l l y i n t h e c o n t e x t o f a n e x a m p l e . T h e i n d e x s e t i s a s s u m e d c o u n t a b l e . 1 1 1 1 : = = ‘ ( r e c a l l t h a t t h e n o r m o f x i n ‘ i s k x k L e t t h e s e c u r i t y s p a c e i n i t i a l l y b e ‘ 1 1 1 j x j ) . T h e p a y o (cid:11) s t r e a m o n a u n i t - n o r m p u r e d i s c o u n t b o n d (cid:31) t h a t m a t u r e s a t i i = 1 i a t e i i s 1 i f t = i ; (cid:31) ( t ) = ( 1 9 ) i (cid:26) 0 o t h e r w i s e . 1 1 h e p r i c e s p a c e i s L , w h e r e t h e n o r m i s k p k : = s u p j p j . i i 1 T h e s e q u e n c e f (cid:31) g d o e s n o t c o n v e r g e i n t h e n o r m t o p o l o g y , n o r d o e s i t h a v e a n y l i m i t i 1 o i n t s , s i n c e k (cid:31) (cid:0) (cid:31) k = 2 f o r a l l i 6= j . G i v e n t h a t o u r i n t e n t i o n i s t o c h a r a c t e r i z e i j 1 u b b l e s a s l i m i t s o f f u n d a m e n t a l s , w e w i s h t o s p e c i f y a t o p o l o g y i n w h i c h , u n l i k e i n t h e o r m t o p o l o g y , (cid:31) c o n v e r g e s . T h e e x a m p l e o f t h e z e r o - d i v i d e n d (cid:12) r m i n d i c a t e s h o w t o i r o c e e d . I n t h a t e x a m p l e t h e v a l u e o f t h e d i v i d e n d s t r e a m s i s c o n s t a n t a n d p o s i t i v e o v e r i (cid:11) e r e n t d i v i d e n d p a y o u t r a t e s ; t h i s s u g g e s t s t h a t t h e d i v i d e n d s t r e a m s d o n o t c o n v e r g e o z e r o , a n d a l s o t h a t t h e a p p r o p r i a t e t e s t o f c o n v e r g e n c e i n v o l v e s v a l u e s . T h u s i t s e e m s ? a t u r a l t o t u r n t o t h e n o t i o n s o f w e a k a n d w e a k c o n v e r g e n c e . A n e t o f f u n d a m e n t a l 1 1 e c u r i t i e s f x j (cid:11) 2 A g i n ‘ c o n v e r g e s w e a k l y t o y 2 ‘ i f t h e n e t o f r e a l n u m b e r s (cid:11) 1 p ( x ) g c o n v e r g e s t o p ( y ) f o r a n y p r i c e s y s t e m p 2 L . T h e s a m e n o t i o n o f c o n v e r g e n c e (cid:11) 1 1 0 ? b a b a p p l i e d t o i n s t e a d o f ‘ y i e l d s w e a k c o n v e r g e n c e i n . 1 T h e s e q u e n c e o f d i s c o u n t b o n d s f (cid:31) g d o e s n o t h a v e a w e a k l i m i t p o i n t i n ‘ . T o i 1 h o w t h i s , s u p p o s e t h a t y 2 ‘ w e r e s u c h a l i m i t p o i n t . B y t e s t i n g a g a i n s t t h e p r i c e 1 y s t e m (cid:31) 2 L , w e o b t a i n y = 0 , s i n c e y = (cid:31) ( y ) m u s t b e e q u a l t o l i m (cid:31) ( (cid:31) ) ; h e n c e t t t t i t i 1 = 0 . B u t b y t e s t i n g a g a i n s t (cid:31) 2 L , w e o b t a i n (cid:31) ( y ) = 1 s i n c e (cid:31) ( (cid:31) ) = 1 f o r a l l i M M M 1 , a c o n t r a d i c t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s e q u e n c e i s c o n t a i n e d i n t h e u n i t b a l l o f ‘ , 1 0 X Y M o r e g e n e r a lly , le t b e a t o p o lo g ic a l lin e a r s p a c e a n d a s e t o f c o n t in u o u s lin e a r fu n c t io n a ls o n X Y . I f c o n v e r g e n c e in is t e s t e d b y c o n v e r g e n c e o f v a lu e s fo r a ll e le m e n t s o f , t h e n t h e c o n v e r g e n c e is ? Y X X Y a lle d w e a k if is t h e d u a l o f a n d w e a k if is t h e d u a l o f .

{ 2 5 { b a w h i c h i s c o n t a i n e d i n t h e u n i t b a l l o f ( t h e s e t o f c h a r g e s w i t h t o t a l v a r i a t i o n n o r m b a n o t e x c e e d i n g u n i t y ) , a n d A l a o g l u ’ s t h e o r e m s t a t e s t h a t t h e u n i t b a l l o f i s c o m p a c t ? ? i n t h e w e a k t o p o l o g y . T h i s t h e o r e m t h e r e f o r e i m p l i e s t h a t t h e s e q u e n c e f (cid:31) g h a s w e a k i c o n v e r g e n t s u b n e t s , a l t h o u g h i t d o e s n o t s a y t h a t t h e s e q u e n c e i t s e l f c o n v e r g e s ( f a l s e ) , o r 1 1 ? t h a t i t h a s w e a k c o n v e r g i n g s u b s e q u e n c e s ( a l s o f a l s e ) . W e n o w c o n s t r u c t a c o n v e r g e n t 1 s u b n e t ; n o t s u r p r i s i n g l y , t h e l i m i t p o i n t i s n o t i n ‘ : i t i s a b u b b l e . u l t r a (cid:12) l t e r A n F i s ( i n o u r c a s e ) a f a m i l y o f s u b s e t s o f t h e n a t u r a l n u m b e r s N s u c h t h a t ( a ) t h e e m p t y s e t i s n o t i n F ; ( b ) A , B 2 F i m p l i e s A \ B 2 F ; ( c ) A 2 F a n d A (cid:26) B i m p l i e s B 2 F ; a n d ( d ) f o r a n y A (cid:26) N , A 62 F , N n A 2 F . F o r a n y u l t r a (cid:12) l t e r F a c h a r g e (cid:28) c a n b e d e (cid:12) n e d b y F 1 i f A 2 F ; (cid:28) ( A ) : = ( 2 0 ) F (cid:26) 0 o t h e r w i s e . N o t e t h a t t h e f a m i l y o f s e t s t h a t c o n t a i n a n y (cid:12) x e d n u m b e r i 2 N i s a n u l t r a (cid:12) l t e r a n d b a t h a t t h e b o n d (cid:31) | o r , m o r e e x a c t l y , t h e m e a s u r e (cid:14) i n t o w h i c h (cid:31) c o r r e s p o n d s a s x i i i c o r r e s p o n d s t o (cid:21) i n ( 4 ) | i s a 0 { 1 c h a r g e o n t h i s u l t r a (cid:12) l t e r . U l t r a (cid:12) l t e r s o f t h i s t y p e a r e (cid:12) x e d u l t r a (cid:12) l t e r s c a l l e d ( t h e y (cid:12) x o n t h e n u m b e r i ) . f r e e u l t r a (cid:12) l t e r s Z o r n ’ s l e m m a i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f o t h e r u l t r a (cid:12) l t e r s , c a l l e d , w h i c h d o n o t c o n t a i n s i n g l e t o n s . T h e s e f r e e u l t r a (cid:12) l t e r s d e (cid:12) n e 0 { 1 c h a r g e s i n j u s t t h e s a m e w a y a s (cid:12) x e d u l t r a (cid:12) l t e r s . A s a c o n s e q u e n c e o f t h e d e (cid:12) n i n g p r o p e r t i e s o f a n u l t r a (cid:12) l t e r , a n y f r e e u l t r a (cid:12) l t e r e x c l u d e s a l l t h e (cid:12) n i t e s e t s ; t h i s b e i n g s o , t h e v a l u e o f t h e c h a r g e d e (cid:12) n e d i n e q . ( 2 0 ) i s n e c e s s a r i l y z e r o o n a n y (cid:12) n i t e s e t w h e n F i s a f r e e u l t r a (cid:12) l t e r . T h e r e f o r e 0 { 1 c h a r g e s d e (cid:12) n e d o n f r e e u l t r a (cid:12) l t e r s a r e p u r e c h a r g e s r a t h e r t h a n m e a s u r e s . O u r r e s u l t i s t h a t i f F i s a n y f r e e u l t r a (cid:12) l t e r , t h e r e e x i s t s a s u b n e t o f f (cid:31) g ( o r f (cid:14) g ) i i ? t h a t c o n v e r g e s i n t h e w e a k t o p o l o g y t o (cid:28) . I n e c o n o m i c t e r m s , t h i s m e a n s t h a t a s u b n e t F 1 1 A s u b n e t o f a s e q u e n c e is n o t n e c e s s a r ily a s u b s e q u e n c e , s in c e t h e d ir e c t e d s e t in d e x in g t h e s u b n e t m a y b e r ic h e r t h a n t h e n a t u r a l n u m b e r s ; t h e r a n g e o f t h e s u b n e t , o f c o u r s e , is c o n t a in e d in t h a t o f t h e s e q u e n c e a n d is t h u s c o u n t a b le . I t is p o s s ib le fo r a s e q u e n c e t o h a v e c o n v e r g e n t s u b n e t s b u t n o c o n v e r g e n t s u b s e q u e n c e .

o w t a i i f t i w w n t f T i t t u p i w o o { 2 6 { f t h e s e q u e n c e o f d i s c o u n t b o n d s f (cid:14) g c a n b e f o u n d w h i c h c o n v e r g e s t o a p u r e b u b b l e , i h e r e \ c o n v e r g e s " m e a n s t h a t t h e v a l u e s o f t h e d i s c o u n t b o n d s c o n v e r g e t o t h e v a l u e o f h e b u b b l e u n d e r a n y a d m i s s i b l e p r i c e s y s t e m . T o c o n s t r u c t t h e r e q u i r e d s u b n e t w e n e e d t o s p e c i f y a d i r e c t e d i n d e x s e t a n d t o s s o c i a t e a d i s c o u n t b o n d w i t h e a c h i n d e x . T h e n , w e n e e d t o v e r i f y t h a t t h e n e t s o d e (cid:12) n e d s a s u b n e t o f t h e o r i g i n a l s e q u e n c e . W e t a k e t h e i n d e x s e t t o b e t h e f r e e u l t r a (cid:12) l t e r F t s e l f , a n d w e d i r e c t i t b y i n v e r s e i n c l u s i o n : B > A i f B (cid:26) A , s o t h a t h i g h e r s e t s h a v e e w e r e l e m e n t s . N o t e t h a t F p l a y s t w o d i s t i n c t r o l e s : i t d e t e r m i n e s t h e c h a r g e t o w h i c h h e s u b n e t o f d i s c o u n t b o n d s w i l l b e s h o w n t o c o n v e r g e a n d i t s e r v e s a s t h e d i r e c t e d s e t n d e x i n g t h e c h o s e n s u b n e t . N o w , w i t h e a c h A 2 F a s s o c i a t e t h e d i s c o u n t b o n d (cid:14) , ( ) k A h e r e k ( A ) i s t h e s m a l l e s t e l e m e n t i n A . I f B > A , t h e n B (cid:26) A s o t h a t k ( B ) (cid:21) k ( A ) , h i c h m e a n s t h a t f (cid:14) j A 2 F g i s a s u b n e t o f f (cid:14) j i 2 N g . i ( ) k A I n o r d e r t o s h o w t h a t f p d (cid:14) g c o n v e r g e s t o p d (cid:28) f o r a n y p r i c e s y s t e m p , w e F ( ) k A 1 R R e e d t o u n d e r s t a n d i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o a 0 { 1 c h a r g e . F o r a n y s e q u e n c e p 2 L h e r e e x i s t s a r e a l n u m b e r r e q u a l t o t h e s u p r e m u m o f t h e s e t o f r e a l n u m b e r s r s a t i s f y i n g : p i j p > r g 2 F . T h e n d e (cid:12) n e i p d (cid:28) : = r : ( 2 1 ) p F Z o u n d e r s t a n d w h y t h i s d e (cid:12) n i t i o n m a k e s s e n s e , n o t e t h a t f o r a n y (cid:15) > 0 , t h e s e t B o f n d i c e s i s u c h t h a t p i s w i t h i n (cid:15) o f r ( t h a t i s , B : = f i j r (cid:0) (cid:15) (cid:20) p (cid:20) r + (cid:15) g ) b e l o n g s i p p i p 1 2 o t h e f a m i l y F , a n d i t s c o m p l e m e n t d o e s n o t . T h e p u r e c h a r g e (cid:28) g i v e s u n i t w e i g h t F o e l e m e n t s o f F a n d z e r o w e i g h t t o t h e i r c o m p l e m e n t ; t h u s f o r a n y (cid:15) , t h e s e t B i s g i v e n n i t w e i g h t , w h i l e i t s c o m p l e m e n t i s g i v e n n o w e i g h t , m o t i v a t i n g ( 2 1 ) . p d (cid:14) j A 2 F g c o n v e r g e s t o r = p d (cid:28) f o r a n y I t r e m a i n s t o s h o w t h a t f p F ( ) k A 1 R R 2 L . T h i s i s d o n e b y s h o w i n g t h a t f o r a n y (cid:15) > 0 , t h e r e e x i s t s B 2 F s u c h t h a t C > B m p l i e s t h a t p d (cid:14) i s w i t h i n (cid:15) o f r . F i x (cid:15) > 0 a n d s e t B : = f i j r (cid:0) (cid:15) (cid:20) p (cid:20) r + (cid:15) g , p p i p ( ) k C R h i c h w e k n o w b e l o n g s t o F . S i n c e k ( B ) i s a n e l e m e n t o f B , w e m u s t h a v e r (cid:0) (cid:15) (cid:20) p = p d (cid:14) (cid:20) r + (cid:15) : p p ( ) ( ) k B k B (cid:18) (cid:19) Z 1 2 i p > r F r > r r I t is im m e d ia t e t h a t is n o t in fo r a n y , b e c a u s e is d e (cid:12) n e d a s t h e s u p r e m u m f j g i p p i p < r (cid:15) F f a ll n u m b e r s w it h t h is p r o p e r t y . S im ila r ly , c a n n o t b e in , s in c e it is t h e c o m p le m e n t f j (cid:0) g i p F F f a n e le m e n t o f . I t fo llo w s t h a t t h e s e t le ft o v e r m u s t b e in .

N f o o r w a , n e y l e C m e > n t B s o . f T F h a g t r e e a s t t a e r b l t h i s h a e n s r B p t h (cid:0) e a r (cid:15) r e e (cid:20) s s u { 2 7 u b s e p ( k C l t . { t s ) (cid:20) o f r B p , + s o (cid:15) w e m u s t h a v e

R C C D D F G G G G H K K L M { 2 8 { e f e r e n c e s l a r k , S . A . : T h e v a l u a t i o n p r o b l e m i n a r b i t r a g e p r i c e t h e o r y , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l 2 2 E c o n o m i c s , 4 6 3 { 4 7 8 ( 1 9 9 3 ) o x , J . C . , I n g e r s o l l , J . E . , R o s s , S . A . : A r e e x a m i n a t i o n o f t r a d i t i o n a l h y p o t h e s e s a b o u t 3 6 t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s , J o u r n a l o f F i n a n c e , 3 2 1 { 3 4 6 ( 1 9 8 1 ) u (cid:14) e , D . : D y n a m i c a s s e t p r i c i n g t h e o r y , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s : P r i n c e t o n , N e w J e r s e y ( 1 9 9 2 ) y b v i g , P . H . , I n g e r s o l l , J . E . , R o s s , S . A . : L o n g f o r w a r d a n d z e r o - c o u p o n r a t e s c a n n e v e r f a l l , m a n u s c r i p t , Y a l e U n i v e r s i t y , ( f o r t h c o m i n g i n J o u r n a l o f B u s i n e s s , J a n u a r y 1 9 9 6 ) ( 1 9 9 5 ) e l d m a n , M . , G i l l e s , C . : A n e x p o s i t o r y n o t e o n i n d i v i d u a l r i s k w i t h o u t a g g r e g a t e u n c e r - 3 5 t a i n t y , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y , 2 6 { 3 2 ( 1 9 8 5 ) i l l e s , C . : C h a r g e s a s e q u i l i b r i u m p r i c e s , a n d a s s e t b u b b l e s , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l 1 8 E c o n o m i c s , 1 5 5 { 1 6 7 ( 1 9 8 9 ) 1 i l l e s , C . , L e R o y , S . F . : O n t h e a r b i t r a g e p r i c i n g t h e o r y , E c o n o m i c T h e o r y , 2 1 3 { 2 2 9 ( 1 9 9 1 ) 3 3 i l l e s , C . , L e R o y , S . F . : B u b b l e s a n d c h a r g e s , I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , 3 2 3 { 3 3 9 ( 1 9 9 2 a ) i l l e s , C . , L e R o y , S . F . : A s s e t p r i c e b u b b l e s , T h e N e w P a l g r a v e D i c t i o n a r y o f M o n e y a n d F i n a n c e ( 1 9 9 2 b ) a n s e n , L . P . , a n d J a g a n n a t h a n , R . : I m p l i c a t i o n s o f s e c u r i t y m a r k e t d a t a f o r m o d e l s o f 9 9 d y n a m i c e c o n o m i e s , J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y , 2 2 5 { 2 6 2 ( 1 9 9 1 ) a z e m i , H . B . : A n i n t e r t e m p o r a l m o d e l o f a s s e t p r i c e s i n a m a r k o v e c o n o m y w i t h a 5 l i m i t i n g s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n , R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , 8 5 { 1 0 4 ( 1 9 9 2 ) o c h e r l a k o t a , N . : B u b b l e s a n d c o n s t r a i n t s o n d e b t a c c u m u l a t i o n , J o u r n a l o f E c o n o m i c 5 7 T h e o r y , 2 4 5 { 2 5 6 ( 1 9 9 2 ) 4 6 u c a s , R . E . , J r . : A s s e t p r i c e s i n a n e x c h a n g e e c o n o m y , E c o n o m e t r i c a , 1 4 2 6 { 1 4 4 6 ( 1 9 7 8 ) a g i l l , M . , Q u i n z i i , M . : E q u i l i b r i u m w i t h i n c o m p l e t e m a r k e t s o v e r a n i n (cid:12) n i t e h o r i z o n , m a n u s c r i p t , U n i v e r s i t y o f S o u t h e r n C a l i f o r n i a ( F e b r u a r y ) ( 1 9 9 3 )

M M R S T W a s - C o l e l l , A . : A m o d e l o f e q u i 2 e m a t i c a l E c o n o m i c s , 2 e h r a , R . , P r e s c o t t , E . C . : T h e 1 5 , 1 4 5 { 1 6 1 ( 1 9 8 5 ) o s s , S . A . : T h e a r b i t r a g e t h e o 3 6 0 ( 1 9 7 6 ) a n t o s , M . , W o o d f o r d , M . : R a t i ( 1 9 9 2 ) i r o l e , J . : O n t h e p o s s i b i l i t y o 5 0 , 1 1 6 3 { 1 1 8 1 ( 1 9 8 2 ) e r n e r , J . : D i v e r s i (cid:12) c a t i o n a n d o f M i n n e s o t a ( 1 9 9 4 ) { l i b r i u m w i t h 6 3 { 2 9 5 ( 1 9 7 e q u i t y p r e m r y o f a s s e t p o n a l s p e c u l a f s p e c u l a t i o e q u i l i b r i u m 2 9 { d i (cid:11) e r e n t i a t 5 ) i u m : a p u z z l r i c i n g , J o u r t i v e b u b b l e s n u n d e r r a t i n s e c u r i t i e e d c o m m o d e , J o u r n a l o n a l o f E c o n , m a n u s c r i p i o n a l e x p e c s m a r k e t s , r i f o t t e t i e s , J o u r n a l M o n e t a r y E m i c T h e o r y , U n i v e r s i t y a t i o n s , E c o n p r o d u c e d , U o f M a t h c o n o m i c 1 3 , 3 4 1 o f C h i c a o m e t r i c n i v e r s i t s { g a y o