feds · June 30, 1997

Around and Around: The Expectations Hypothesis

Abstract

We show how to construct arbitrage-free models of he term structure of interest rates in which various expectations hypotheses can hold. McCulloch (1993) provided a Gaussian non-Markovian example of the unbiased expectations hypothesis (U--EH), thereby contradicting the assertion by Cox, Ingersoll, and Ross (CIR, 1981) that only the so-called local expectations hypothesis could hold. We generalize that example in three ways: (i) We characterize the U--EH in terms of forward rates; (ii) we extend this characterization to a class of expectations hypotheses that includes all of those considered by CIR; and (iii) we construct stationary Markovian and non-Gaussian economies. The building block is a maturity-dependent vector that travels around a circle at a constant speed as maturity increases.

m r D e A a (cid:13) u (cid:3) M i l : e c (cid:11) e r o u a i l S c g i l t t h o e f o r n d a n B o a r d B o a r d t o p 7 4 , F e l e s @ f r b . s e o f t h e e x t e n s i v e d d g B c o f o f e r a o v o a o m a r G G l R . T r d m e o u R o v e o v e e s e r h e v o f G n t s n e r n r n v e i e w o v a n d : T M a s e a r c h o r s o f C h r i s M o n e o r s o f M B o a r d , s e x p r e e r n o r s d m a n y h e e x p e c t a t i o r k F i s h e r a n d S t a t i s t i c s t h e F e d e r a l R e s e r a n d (cid:3) t i a n G i l l e s t a r y A (cid:11) a i r s t h e F e d e r a l R e s e r a y 1 9 9 6 W a s h i n g t o n , D C 2 0 5 5 1 ; s s e d h e r e i n a r e t h e a u t h o r t h e F e d e r a l R e s e r v e u s e f u l d i s c u s s i o n s . n v e v e p h o r s S y s o ’ s S S n a t h y s y s e : n d e m y p t e m t e m ( 2 0 2 d o n . W o ) o e t h e s 4 5 2 { 2 5 t n e c e s t h a n k i s 6 7 ; e s a r i l y G r e g

r a t t t t c e c a h h h h o c i A b s t r a c t W e s h o w h o w t o c o n s t r u c t a r b i t r a g e - f r e e m o d e l s o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t t e s i n w h i c h v a r i o u s e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s c a n h o l d . M c C u l l o c h ( 1 9 9 3 ) p r o v i d e d G a u s s i a n n o n - M a r k o v i a n e x a m p l e o f t h e u n b i a s e d e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ( U { E H ) , e r e b y c o n t r a d i c t i n g t h e a s s e r t i o n b y C o x , I n g e r s o l l , a n d R o s s ( C I R , 1 9 8 1 ) t h a t o n l y e s o - c a l l e d l o c a l e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s c o u l d h o l d . W e g e n e r a l i z e t h a t e x a m p l e i n r e e w a y s : ( i ) W e c h a r a c t e r i z e t h e U { E H i n t e r m s o f f o r w a r d r a t e s ; ( i i ) w e e x t e n d i s c h a r a c t e r i z a t i o n t o a c l a s s o f e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s t h a t i n c l u d e s a l l o f t h o s e n s i d e r e d b y C I R ; a n d ( i i i ) w e c o n s t r u c t s t a t i o n a r y M a r k o v i a n a n d n o n - G a u s s i a n o n o m i e s . T h e b u i l d i n g b l o c k i s a m a t u r i t y - d e p e n d e n t v e c t o r t h a t t r a v e l s a r o u n d a r c l e a t a c o n s t a n t s p e e d a s m a t u r i t y i n c r e a s e s .

A I I a t E r a i t t e c i n I a p d r i t c o i b o t W t c U r o u n d a n d a r o u n d : T h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s n t r o d u c t i o n n o n e f o r m o r a n o t h e r , t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s h a s p l a y e d a c e n t r a l r o l e i n t h e n a l y s i s o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s . P e r h a p s t h e m o s t c o m m o n f o r m o f h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s i s t h e s o - c a l l e d u n b i a s e d e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ( U { H ) t h a t a s s e r t s t h a t f o r w a r d r a t e s e q u a l t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s o f f u t u r e s p o t a t e s , b u t o t h e r f o r m s e x i s t a s w e l l . C o x , I n g e r s o l l , a n d R o s s ( 1 9 8 1 ) ( C I R ) c h a r c t e r i z e d a n u m b e r o f m u t u a l l y i n c o m p a t i b l e f o r m s o f t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s , n c l u d i n g , b e s i d e s t h e U { E H , t h e l o c a l e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ( L { E H ) , u n d e r w h i c h h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n o n a l l z e r o - c o u p o n b o n d s ( o n a l l a s s e t s , i n f a c t ) e q u a l s h e s h o r t - t e r m r i s k - f r e e r a t e . O f t h e v a r i o u s e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s t h e y c o n s i d r e d , t h e y c l a i m e d t h a t o n l y t h e L { E H w a s c o n s i s t e n t w i t h g e n e r a l e q u i l i b r i u m i n 1 o n t i n u o u s - t i m e m o d e l s . M c C u l l o c h ( 1 9 9 3 ) p r o v i d e d a c o u n t e r - e x a m p l e t o C I R ’ s c l a i m . H i s e x a m p l e i s n t h e s p i r i t o f H e a t h , J a r r o w , a n d M o r t o n ( 1 9 9 2 ) ( H J M ) , i n t h e s e n s e t h a t i t d o e s o t a d m i t a r e p r e s e n t a t i o n i n t e r m s o f a (cid:12) n i t e n u m b e r o f M a r k o v i a n s t a t e v a r i a b l e s . n d e e d , M c C u l l o c h s u g g e s t s t h a t C I R ’ s c l a i m m a y b e t r u e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f n e c o n o m y w i t h a (cid:12) n i t e n u m b e r o f M a r k o v i a n s t a t e v a r i a b l e s . A s w e s h o w , i t i s n o t . T h e r e i s a w e a k v e r s i o n o f t h e U { E H a c c o r d i n g t o w h i c h f o r w a r d r a t e s a r e b i a s e d r e d i c t o r s o f f u t u r e s p o t r a t e s , b u t t h e b i a s , o r t e r m p r e m i u m , i s a c o n s t a n t t h a t o n l y e p e n d s o n t h e f o r e c a s t h o r i z o n . I n t h i s w e a k v e r s i o n , a r e g r e s s i o n o f f u t u r e s p o t a t e s o n c u r r e n t f o r w a r d r a t e s h a s a s l o p e c o e (cid:14) c i e n t e q u a l t o u n i t y , b u t t h e i n t e r c e p t 2 s u n r e s t r i c t e d . T o c o n s t r u c t a n a r b i t r a g e - f r e e m o d e l o f t h e y i e l d c u r v e i n w h i c h h e w e a k U { E H h o l d s , i t i s s u (cid:14) c i e n t t o l e t a l l v o l a t i l i t i e s b e c o n s t a n t | t h e G a u s s i a n 3 a s e . B y c o n t r a s t , o u r o b j e c t i v e i s ( i n p a r t ) t o c o n s t r u c t m o d e l s o f t h e s t r o n g v e r s i o n f t h e U { E H . I n t h i s p a p e r , w e (cid:12) r s t g e n e r a l i z e M c C u l l o c h ’ s e x a m p l e b y p u t t i n g t h e U { E H e x p l i c t l y i n t o t h e H J M f r a m e w o r k , f o c u s i n g o n a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e c o n d i t i o n s r a t h e r t h a n 4 u i l d i n g f r o m a g e n e r a l e q u i l i b r i u m m o d e l . W e t h e n e x t e n d t h e a n a l y s i s t o a c l a s s f e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s , p a r a m e t r i z e d b y a s c a l a r q , t h a t i n c l u d e s a s s p e c i a l c a s e s h o s e c o n s i d e r e d b y C I R . F i n a l l y , w e s h o w h o w t o c o n s t r u c t M a r k o v i a n e x a m p l e s : e s t a r t w i t h t w o - s t a t e - v a r i a b l e s t a t i o n a r y M a r k o v e c o n o m i e s t h a t a r e G a u s s i a n | h a t i s , v o l a t i l i t i e s a r e n o n r a n d o m . T h e n , w e s h o w h o w t o c o n s t r u c t n o n - G a u s s i a n 1 T h e y e x t e n d e d t h e ir c la im t o d is c r e t e - t im e m o d e ls w h e r e in t e r e s t r a t e s a r e c o n t in u o u s ly o m p o u n d e d . 2 S e e , fo r e x a m p le , C a m p b e ll a n d S h ille r ( 1 9 9 1 ) , w h o t e s t e d , a n d r e je c t e d , a w e a k v e r s io n o f t h e { E H . 3 S e e C a m p b e ll ( 1 9 8 6 ) fo r a o n e - fa c t o r , g e n e r a l- e q u ilib r iu m e x a m p le . 4 I n A p p e n d ix A w e s h o w h o w t o in t e r p r e t t h e r e s u lt s fr o m a g e n e r a l e q u ilib r iu m p e r s p e c t iv e . 1

t t G c f a a c 1 I e s o f w a L U i i e r w o - a n d t h r e e - s t a t e - v a r i a b l e m o d e l s . T h e t w o - s t a t e - v a r i a b l e G a u s s i a n m o d e l a n d h e t h r e e - s t a t e - v a r i a b l e n o n - G a u s s i a n m o d e l ( b u t n o t t h e t w o - s t a t e - v a r i a b l e n o n a u s s i a n m o d e l ) a r e m e m b e r s o f e x p o n e n t i a l - a (cid:14) n e c l a s s o f t e r m s t r u c t u r e m o d e l s h a r a c t e r i z e d b y D u (cid:14) e a n d K a n ( 1 9 9 3 ) . T h e b u i l d i n g b l o c k f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f a n y o f o u r e x a m p l e s i s a v e c t o r - v a l u e d u n c t i o n (cid:30) ( t ; T ) , w h e r e t i s t h e c u r r e n t t i m e a n d T i s t h e m a t u r i t y d a t e . A s l o n g s , f o r a n y (cid:12) x e d t , (cid:30) ( t ; T ) l i e s o n a s p h e r e , t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s h o l d s . I f , i n d d i t i o n , t h e p a t h o f (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) d e s c r i b e s a c i r c l e o n t h e s p h e r e a n d g o e s a r o u n d t h a t i r c l e a t a c o n s t a n t s p e e d a s (cid:28) i n c r e a s e s , t h e n t h e m o d e l i s M a r k o v i a n . T h e U { E H i n a n H J M s e t t i n g n t h i s s e c t i o n , w h i c h s e r v e s t o i n t r o d u c e t h e a n a l y s i s , w e g e n e r a l i z e M c C u l l o c h ’ s x a m p l e b y c h a r a c t e r i z i n g t h e U { E H i n t e r m s o f t h e H J M a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e r e t r i c t i o n . L e t P ( t ; T ) d e n o t e t h e p r i c e a t t i m e t o f a d e f a u l t - f r e e z e r o - c o u p o n b o n d t h a t p a y s n e u n i t o f a c c o u n t a t t i m e T . A s s u m e t h a t , a t a n y t i m e t , P ( t ; T ) i s a d i (cid:11) e r e n t i a b l e u n c t i o n o f T , a n d d e (cid:12) n e t h e i n s t a n t a n e o u s f o r w a r d r a t e a s @ f ( t ; T ) : = l o g [ P ( t ; T ) ] ; ( 1 ) @ T (cid:0) h i c h , o f c o u r s e , i m p l i e s T l o g [ P ( t ; T ) ] = f ( t ; s ) d s ; ( 2 ) s t = (cid:0) Z n d d e (cid:12) n e t h e s h o r t r a t e a t t i m e t , w h i c h i s a s s u m e d t o e x i s t , a s r ( t ) : = l i m f ( t ; T ) : ! T t 5 e t E [ ] b e t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r . F o l l o w i n g C I R , w e d e (cid:12) n e t h e t (cid:1) { E H a s f o l l o w s : F o r w a r d r a t e s a r e t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f f u t u r e s p o t r a t e s ; . e , f ( t ; T ) = E [ r ( T ) ] : t I n t h e H J M a p p r o a c h t o m o d e l i n g t h e t e r m s t r u c t u r e , t h e p r i m i t i v e s a r e ( i ) a n n i t i a l y i e l d c u r v e f ( 0 ; t ) t > 0 , ( i i ) t h e p r o c e s s f o r t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k f j g 5 T h e c o n c e p t o f e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e s h in d e r s r a t h e r t h a n fa c ilit a t e s t h e a n a ly s is o f x p e c t a t io n s h y p o t h e s e s . A s a r e s u lt , w e m a k e n o u s e o f it a n d a ll e x p e c t a t io n s a r e t a k e n w it h e s p e c t t o t h e p h y s ic a l m e a s u r e . 2

(cid:21) w B w m p r c D F r y a p a c f d t p H 6 ( t ) , a n d ( i i i ) t h e v o l a t i l i t y o f f o r w a r d r a t e s . W e r e s t r i c t a t t e n t i o n t o e c o n o m i e s i n h i c h f o r w a r d r a t e s a r e d i (cid:11) u s i o n s d r i v e n b y a d - d i m e n s i o n a l v e c t o r W ( t ) o f s t a n d a r d 7 r o w n i a n m o t i o n s . L e t t h e p r o c e s s f o r f o r w a r d r a t e s b e > d f ( t ; T ) = (cid:22) ( t ; T ) d t + (cid:27) ( t ; T ) d W ( t ) ; ( 3 ) f f h e r e (cid:27) ( t ; T ) i s a d - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f f o r w a r d - r a t e v o l a t i l i t i e s . N o t e t h a t t h e f a r k e t p r i c e o f r i s k , (cid:21) ( t ) , i s a l s o a d - d i m e n s i o n a l v e c t o r , a n d t h a t i t c o u l d b e a r a n d o m r o c e s s , a s c o u l d (cid:22) ( t ; T ) a n d (cid:27) ( t ; T ) . f f I t i s n o w s t r a i g h t f o r w a r d t o d e r i v e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e x p e c t e d f u t u r e s h o r t T a t e s a n d c u r r e n t f o r w a r d r a t e s . S i n c e r ( T ) = f ( T ; T ) = f ( t ; T ) + d f ( s ; T ) , w e s t = a n w r i t e R T T E [ r ( T ) ] = f ( t ; T ) + E [ d f ( s ; T ) ] = f ( t ; T ) + E [ (cid:22) ( s ; T ) ] d s : t t t f s t s t = = Z Z e (cid:12) n e t h e f o r w a r d r a t e p r e m i u m a s f o l l o w s : T ( t ; T ) : = f ( t ; T ) E [ r ( T ) ] = E [ (cid:22) ( s ; T ) ] d s : ( 4 ) t t f s t = (cid:0) (cid:0) Z r o m ( 4 ) , i t i s e v i d e n t t h a t i f f o r w a r d r a t e s a r e u n b i a s e d p r e d i c t o r s o f f u t u r e s p o t a t e s , t h e n f o r w a r d r a t e s a r e m a r t i n g a l e s : (cid:22) ( t ; T ) 0 . I f , i n a d d i t i o n , a n e r g o d i c f (cid:17) i e l d c u r v e e x i s t s , t h e n i t i s (cid:13) a t . A n u p w a r d s l o p i n g e r g o d i c y i e l d c u r v e w o u l d r e q u i r e n e x p e c t e d d e c r e a s e i n f o r w a r d r a t e s o n a v e r a g e . I t m i g h t s e e m e a s y , t h e n , t o c o n s t r u c t e x a m p l e s o f t h e U { E H : s i m p l y c h o o s e r o c e s s e s f o r f o r w a r d r a t e s ( 3 ) w i t h (cid:22) ( t ; T ) 0 . T h e p r o b l e m i s t h a t d o i n g s o f (cid:17) r b i t r a r i l y m i g h t i n t r o d u c e a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s . T h e H J M a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e 8 o n d i t i o n s p e c i (cid:12) e s t h e d r i f t o f f o r w a r d r a t e s a s T > (cid:21) ( t ) + (cid:27) ( t ; s ) d s ( 5 ) (cid:22) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) f f f s t = ! Z o r a l l 0 t T . E q u a t i o n ( 5 ) s h o w s t h a t w e m u s t b e a b l e t o w r i t e f o r w a r d r a t e (cid:20) (cid:20) r i f t s i n t e r m s o f t h e i r v o l a t i l i t i e s a n d t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k . I t f o l l o w s d i r e c t l y h a t t h e H J M c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e U { E H i s T > (cid:27) ( t ; T ) (cid:21) ( t ) + (cid:27) ( t ; s ) d s = 0 : ( 6 ) f f s t = ! Z 6 S e e A p p e n d ix A fo r a d is c u s s io n o f t h e m a r k e t p r ic e o f r is k . > 7 (cid:1) W e u s e ( ) t o d e n o t e t r a n s p o s e s o f v e c t o r s a n d m a t r ic e s . 8 W e d e r iv e t h is e x p r e s s io n in A p p e n d ix A . T h is w a s (cid:12) r s t s h o w n b y H J M ; s e e a ls o D u (cid:14) e ( 1 9 9 6 ) , . 1 5 1 o r H u ll ( 1 9 9 3 ) , p . 3 9 8 { 4 0 1 . T h e fo r m o f o u r r e s t r ic t io n d i(cid:11) e r s fr o m t h e fo r m t h a t D u (cid:14) e a n d (cid:22) t ; T u ll g iv e b e c a u s e in t h e ir p r e s e n t a t io n s t h e d r ift is r is k a d ju s t e d , w h ile h e r e ( ) is n o t . f 3

T N F A T s (cid:27) i t p W ( a l w i g t 2 I e e h e m o d e l i n g c h a l l e n g e , t h e n , i s t o (cid:12) n d (cid:21) ( t ) ; (cid:27) ( t ; T ) p a i r s t h a t s a t i s f y ( 6 ) . f f g T o m e e t t h i s c h a l l e n g e , i t i s c o n v e n i e n t t o d e (cid:12) n e T (cid:30) ( t ; T ) : = (cid:21) ( t ) + (cid:27) ( t ; s ) d s : ( 7 ) f s t = Z 0 0 @ o t e t h a t (cid:30) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) , w h e r e w e d e (cid:12) n e F ( t ; T ) : = F ( t ; T ) f o r a n y f u n c t i o n f @ T ( ; ) . U s i n g ( 7 ) , w e c a n w r i t e ( 6 ) a s (cid:1) (cid:1) 0 > (cid:30) ( t ; T ) (cid:30) ( t ; T ) = 0 : ( 8 ) n y f u n c t i o n (cid:30) ( t ; T ) t h a t s a t i s (cid:12) e s ( 8 ) h a s c o n s t a n t l e n g t h : (cid:30) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; t ) . k k k k w o c o m m e n t s a r e i n o r d e r . F i r s t , n o t e t h a t w h e n d = 1 , t h i s c o n d i t i o n c a n b e a t i s (cid:12) e d o n l y i f (cid:30) ( t ; T ) i s a c o n s t a n t f u n c t i o n o f i t s s e c o n d a r g u m e n t , i n w h i c h c a s e ( t ; T ) 0 , w h i c h m e a n s t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y . T h u s i n o r d e r f o r ( 8 ) t o h o l d w h e n f (cid:17) n t e r e s t r a t e s a r e s t o c h a s t i c , t h e r e m u s t b e a t l e a s t t w o B r o w n i a n s . S e c o n d , n o t e h a t ( 8 ) d o e s n o t r e s t r i c t h o w (cid:30) ( t ; T ) b e h a v e s a s a f u n c t i o n o f i t s (cid:12) r s t a r g u m e n t : I n a r t i c u l a r , (cid:30) ( t ; T ) c a n b e a s t o c h a s t i c p r o c e s s . W e c a n r e s t a t e t h e k e y r e l a t i o n s h i p b e t w e e n (cid:30) ( t ; T ) a n d t h e U { E H a s f o l l o w s : I f (cid:30) ( t ; T ) i s a r o t a t i o n o f (cid:30) ( t ; t ) , t h e n t h e U { E H i s s a t i s (cid:12) e d i n a n a r b i t r a g e f r e e w a y . e n o w h a v e a s i m p l e r e c i p e f o r c o n s t r u c t i n g a r b i t r a g e - f r e e m o d e l s o f t h e U { E H : i ) c h o o s e (cid:30) ( t ; T ) s u c h t h a t (cid:30) ( t ; t ) i s s o m e r a n d o m p r o c e s s a n d (cid:30) ( t ; T ) , f o r T > t , i s 0 r o t a t i o n o f (cid:30) ( t ; t ) ; ( i i ) d e (cid:12) n e (cid:21) ( t ) = (cid:30) ( t ; t ) , a n d ( i i i ) d e (cid:12) n e (cid:27) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; T ) . f 9 M c C u l l o c h ( 1 9 9 3 ) c o n s t r u c t e d a n e c o n o m y i n w h i c h t h e U { E H h o l d s . I n M c C u l - 1 0 o c h ’ s e x a m p l e t h e r e a r e t w o s o u r c e s o f r i s k , s o t h a t d = 2 . H e c h o s e > (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:28) (cid:28) (cid:28) 2 p (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = a ; 2 e e ; 1 e (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:17) h e r e a = (cid:17) g i n h i s n o t a t i o n . N o t e t h a t (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = (cid:30) ( t ; t ) = a . C l e a r l y , a s (cid:28) 0 p > > k k k k n c r e a s e s , (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) t u r n s c o n t i n u o u s l y f r o m (cid:30) ( t ; t ) = ( a ; 0 ) t o (cid:30) ( t ; t + ) = ( 0 ; a ) 1 o i n g a q u a r t e r o f t h e w a y a r o u n d t h e c i r c l e o v e r t h e i n (cid:12) n i t e h o r i z o n . F i n a l l y n o t e h a t M c C u l l o c h ’ s e x a m p l e i s G a u s s i a n s i n c e (cid:30) ( t ; T ) i s d e t e r m i n i s t i c . A c l a s s o f e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s n t h i s s e c t i o n , w e g e n e r a l i z e t h e r e s u l t s f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n t o e n c o m p a s s a n n t i r e c l a s s o f e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s . F o r t h i s p u r p o s e , w e w i l l n e e d t o r e f e r t o t h e 9 F r a c h o t a n d L e s n e ( 1 9 9 4 ) n o t e d t h a t s u c h a n e x a m p le c o u ld b e c o n s t r u c t e d e a s ily b y e x p lo it in g q u a t io n ( 6 ) . 1 0 W e r e v e r s e d t h e o r d e r o f M c C u llo c h ’s B r o w n ia n m o t io n s fo r c o m p a r is o n w it h w h a t fo llo w s . 4

p F o L p c c t w E t t w h c s r u t c 1 1 r o c e s s f o r z e r o - c o u p o n b o n d s : d P ( t ; T ) > = (cid:22) ( t ; T ) d t + (cid:27) ( t ; T ) d W ( t ) : ( 9 ) P P P ( t ; T ) r o m ( 2 ) , n o t e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n b e t w e e n t h e v o l a t i l i t y o f b o n d p r i c e s a n d t h a t f f o r w a r d r a t e s T (cid:27) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; s ) d s : ( 1 0 ) P f s t = (cid:0) Z C I R c h a r a c t e r i z e d f o u r v e r s i o n s o f t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s : t h e U { E H , t h e { E H , t h e Y i e ld - t o - M a t u r i t y H y p o t h e s i s ( Y T M { E H ) , a n d t h e R e t u r n - t o - M a t u r i t y H y o t h e s i s ( R T M { E H ) . T h e y s h o w e d t h a t t h e U { E H a n d t h e Y T M { E H a r e i d e n t i c a l i n 1 2 C I R w e n t o n t o s h o w t h a t | a f t e r i m p o s i n g a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e o n t i n u o u s t i m e . o n d i t i o n s | t h e t h r e e i n d e p e n d e n t e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s c o u l d b e c h a r a c t e r i z e d i n h e f o l l o w i n g w a y : q > 2 (cid:27) ( t ; T ) (cid:21) ( t ) = (cid:27) ( t ; T ) ; ( 1 1 ) P P 2 k k h e r e 0 u n d e r L - E H , q = 1 u n d e r Y T M / U - E H , a n d 8 < 2 u n d e r R T M - E H . : q u a t i o n ( 1 1 ) p r o v i d e s a n e q u i l i b r i u m ( o r a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e ) c h a r a c t e r i z a t i o n o f h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s . M o r e o v e r , i t s h o w s t h a t t h e t h r e e h y p o t h e s e s a r e m u u a l l y i n c o n s i s t e n t u n l e s s (cid:27) ( t ; T ) 0 . A l t h o u g h C I R o n l y c o n s i d e r e d q 0 ; 1 ; 2 , P (cid:17) 2 f g e a l l o w q t o b e a n a r b i t r a r y r e a l n u m b e r , a n d w e r e f e r t o ( 1 1 ) a s t h e q { e x p e c t a t i o n s y p o t h e s i s ( q { E H ) . C I R r e f e r r e d t o ( 1 1 ) i n m a k i n g t h e i r c l a i m t h a t o n l y t h e L { E H o u l d h o l d i n a c o n t i n u o u s - t i m e g e n e r a l e q u i l i b r i u m m o d e l . C l e a r l y , t h e L { E H h a s a p e c i a l s t a t u s , s i n c e q = 0 i m p l i e s (cid:21) ( t ) i s o r t h o g o n a l t o (cid:27) ( t ; T ) b u t i m p o s e s n o o t h e r P e s t r i c t i o n ; w i t h (cid:21) ( t ) 0 , f o r e x a m p l e , t h e L { E H i s a l w a y s s a t i s (cid:12) e d a n d (cid:27) ( t ; T ) i s P (cid:17) n r e s t r i c t e d . F o r a n y o t h e r v a l u e o f q , b y c o n t r a s t , i f (cid:21) ( t ) i s o r t h o g o n a l t o (cid:27) ( t ; T ) , P h e n (cid:27) ( t ; T ) = 0 . P W e c a n r e c a s t ( 1 1 ) i n t e r m s o f f o r w a r d r a t e s b y d i (cid:11) e r e n t i a t i n g b o t h s i d e s w i t h 1 1 (cid:2) (cid:22) P P (cid:22) P I n s u c h a p r o c e s s , w e c a ll t h e p r o p o r t io n a l d r ift o f ; t h e d r ift o f is , o f c o u r s e . P P 1 2 C I R s h o w e d t h a t t h e t w o h y p o t h e s e s a r e id e n t ic a l in d is c r e t e t im e t o o if in t e r e s t r a t e s a r e o n t in u o u s ly c o m p o u n d e d . 5

r W d a s E w (cid:30) (cid:30) o w o F w I q e s p e c t t o T , u s i n g ( 1 0 ) , a n d r e a r r a n g i n g : T > (cid:27) ( t ; T ) (cid:21) ( t ) + q (cid:27) ( t ; s ) d s = 0 : ( 1 2 ) f f s t = ! Z e s e e t h a t ( 6 ) i s a s p e c i a l c a s e o f ( 1 2 ) w i t h q = 1 . I t i s c o n v e n i e n t t o g e n e r a l i z e t h e e (cid:12) n i t i o n o f (cid:30) ( t ; T ) : D e (cid:12) n e (cid:30) ( t ; T ) i m p l i c i t l y b y (cid:21) ( t ) = q (cid:30) ( t ; t ) ( 1 3 ) n d 0 (cid:27) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; T ) ; ( 1 4 ) f T o t h a t q (cid:30) ( t ; T ) = (cid:21) ( t ) + q (cid:27) ( t ; s ) d s . f s t = U s i n g ( 1 3 { 1 4 ) , w e c a n w r i t e ( 1 2 ) a s R 0 > q (cid:30) ( t ; T ) (cid:30) ( t ; T ) = 0 : ( 1 5 ) q u a t i o n ( 1 5 ) i s s a t i s (cid:12) e d a u t o m a t i c a l l y i f q = 0 . I f q = 0 , ( 1 5 ) r e d u c e s t o ( 8 ) , i n 6 h i c h c a s e t h e c o m m e n t s t h a t f o l l o w ( 8 ) a p p l y h e r e t o t h e g e n e r a l i z e d d e (cid:12) n i t i o n o f ( t ; T ) . T h e r e c i p e f o r c o n s t r u c t i n g a r b i t r a g e - f r e e m o d e l s o f t h e q { E H i s t h i s : ( i ) c h o o s e ( t ; T ) s u c h t h a t (cid:30) ( t ; t ) i s s o m e r a n d o m p r o c e s s a n d (cid:30) ( t ; T ) , f o r T > t , i s a r o t a t i o n 0 f (cid:30) ( t ; t ) ; ( i i ) d e (cid:12) n e (cid:21) ( t ) = q (cid:30) ( t ; t ) , a n d ( i i i ) d e (cid:12) n e (cid:27) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; T ) . F o r e x a m p l e , f 1 3 i t h M c C u l l o c h ’ s (cid:30) ( t ; T ) , w e c o u l d c h o o s e (cid:21) ( t ) = q (cid:30) ( t ; t ) f o r a n y q . F i n a l l y , n o t e t h a t w e c a n r e s t a t e t h e q { E H i n t e r m s o f e i t h e r f o r w a r d r a t e d r i f t s r t e r m p r e m i a . U s i n g ( 1 3 { 1 4 ) , w e c a n r e w r i t e t h e n o - a r b i t r a g e c o n d i t i o n ( 5 ) a s 0 > ( q 1 ) (cid:30) ( t ; t ) + (cid:30) ( t ; T ) : (cid:22) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; T ) f (cid:0) (cid:16) (cid:17) o r q = 0 , ( 1 5 ) i m p l i e s 6 0 > (cid:22) ( t ; T ) = ( q 1 ) (cid:30) ( t ; T ) (cid:30) ( t ; t ) ; ( 1 6 ) f (cid:0) h i c h i n t u r n , i n v i e w o f ( 4 ) , h o l d s i f a n d o n l y i f T 0 > ( t ; T ) = ( 1 q ) E [ (cid:30) ( s ; T ) (cid:30) ( s ; s ) ] d s : ( 1 7 ) t s t = (cid:0) Z n w h a t f o l l o w s , w e a s s u m e f o r c o n v e n i e n c e t h a t ( 8 ) , ( 1 6 ) , a n d ( 1 7 ) h o l d e v e n w h e n = 0 . 1 3 T h e u n d e r ly in g g e n e r a l e q u ilib r iu m w o u ld lo o k d i(cid:11) e r e n t o f c o u r s e . S e e A p p e n d ix A . 6

3 M c h w s t p d a N d s f w a A C t w W a M a r k o v i a n m o d e l s c C u l l o c h ( 1 9 9 3 ) e s t a b l i s h e d d e c i s i v e l y t h a t t h e u n b i a s e d e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s i s o n s i s t e n t w i t h g e n e r a l e q u i l i b r i u m . B u t h e l e f t o p e n t h e p o s s i b i l i t y t h a t e x p e c t a t i o n s y p o t h e s e s m a y b e i n c o n s i s t e n t w i t h g e n e r a l e q u i l i b r i u m i n t h e (cid:12) n i t e - s t a t e M a r k o v i a n o r l d a n a l y z e d b y C I R . W e s e t t l e t h i s i s s u e b y e x h i b i t i n g t w o - a n d t h r e e - s t a t e v a r i a b l e t a t i o n a r y M a r k o v e c o n o m i e s . T h e c o n s t r u c t i o n a l l o w s f o r t h e v o l a t i l i t y o f b o n d p r i c e s o b e s t o c h a s t i c . T h e t r i c k i s t o m a k e (cid:30) ( t ; T ) p r o c e e d a r o u n d a c i r c l e a t a c o n s t a n t a c e , p r o d u c i n g a n i n (cid:12) n i t e n u m b e r o f c y c l e s . I n a l l o f t h e e x a m p l e s w e d e v e l o p b e l o w , t h e p r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e a n d i t s r i f t s h a r e t h e f o l l o w i n g s t r u c t u r e : d r ( t ) = x ( t ) d t + ! (cid:16) ( t ) d W ( t ) ( 1 8 ) 2 n d 2 d x ( t ) = y ( t ) d t ! (cid:16) ( t ) d W ( t ) : ( 1 9 ) 1 (cid:0) o t e t h a t t h e d i (cid:11) u s i o n f o r r ( t ) d e p e n d s o n l y o n W ( t ) , w h i l e t h e d i (cid:11) u s i o n f o r i t s 2 r i f t x ( t ) d e p e n d s o n l y o n W ( t ) , w h i c h i s o r t h o g o n a l t o W ( t ) . A s w e w i l l s e e , t h i s 1 1 e e m i n g l y c a p r i c i o u s o r d e r i n g o f B r o w n i a n s f o l l o w s f r o m o u r c a n o n i c a l r e p r e s e n t a t i o n o r (cid:21) ( t ) . T o f a c i l i t a t e t h e a n a l y s i s o f t h e e x a m p l e s , w e d e (cid:12) n e a p a i r o f f u n c t i o n s t h a t w e i l l u s e r e p e a t e d l y a n d f o r w h i c h ( q ; ! ; (cid:22) ; z ) i s a v e c t o r o f (cid:12) x e d p a r a m e t e r s : 2 2 2 (cid:22) r + ( q 1 ) z (cid:16) Y ( r ; (cid:16) ) : = ! (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) n d s i n [ ! (cid:28) ] 2 F ( r ; x ; (cid:28) ) : = (cid:22) + ( r (cid:22) ) c o s [ ! (cid:28) ] + x + ( q 1 ) z ( 1 c o s [ ! (cid:28) ] ) : q ! (cid:0) (cid:0) (cid:0) t w o - s t a t e - v a r i a b l e m o d e l o n s i d e r t h e f o l l o w i n g e x a m p l e , w h e r e d = 2 a n d (cid:30) ( t ; T ) h a s c o n s t a n t n o r m z a n d u r n s a t c o n s t a n t a n g u l a r v e l o c i t y ! : (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = z C ( ! ; (cid:28) ) ; ( 2 0 ) h e r e c o s [ ! (cid:28) ] C ( ! ; (cid:28) ) = : s i n [ ! (cid:28) ] (cid:18) (cid:19) e p r o v e b e l o w t h a t t h i s c h o i c e f o r (cid:30) ( t ; T ) l e a d s t o p r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e r ( t ) n d i t s d r i f t x ( t ) o f t h e f o r m ( 1 8 { 1 9 ) , w h e r e (cid:16) ( t ) = z a n d 2 y ( t ) = Y ( r ( t ) ; z ) = ! ( (cid:22) r ( t ) ) : (cid:0) 7

T f e V p b s U t C p o i w p T T v t m c s g G t h i s i s a m o d e l o f t h e y i e l d c u r v e i n w h i c h t h e t w o s t a t e v a r i a b l e s r ( t ) a n d x ( t ) o r m a M a r k o v i a n v e c t o r . T h e s h o r t r a t e i s s t a t i o n a r y a n d h a s u n c o n d i t i o n a l m e a n q u a l t o (cid:22) , w h i l e i t s d r i f t x ( t ) i s a l s o s t a t i o n a r y a n d i t s u n c o n d i t i o n a l d r i f t i s z e r o . o l a t i l i t i e s a r e c o n s t a n t , a n d t h e r e f o r e t h e m o d e l i s G a u s s i a n . F i n a l l y , t h e m a r k e t r i c e o f r i s k i s g i v e n b y q z (cid:21) ( t ) = q (cid:30) ( t ; t ) = : 0 (cid:18) (cid:19) W i t h l i n e a r d r i f t s , c o n s t a n t v o l a t i l i t i e s , a n d a c o n s t a n t p r i c e o f r i s k , t h e m o d e l e l o n g s t o t h e e x p o n e n t i a l - a (cid:14) n e c l a s s i n t r o d u c e d b y D u (cid:14) e a n d K a n [ 1 9 9 3 ] . I t s o l u t i o n f o r f o r w a r d r a t e s i s f ( t ; t + (cid:28) ) = F ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:28) ) : ( 2 1 ) q s i n g t h e m e t h o d s d e s c r i b e d i n F i s h e r a n d G i l l e s ( 1 9 9 6 ) , i t i s p o s s i b l e t o v e r i f y t h a t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f t h e s h o r t r a t e i s E [ r ( t + (cid:28) ) ] = F ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:28) ) : ( 2 2 ) t 1 l e a r l y , t h i s f o r e c a s t i s i n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e o f q , a s i t m u s t b e g i v e n t h a t t h e r o c e s s f o r ( r ( t ) ; x ( t ) ) i s i n d e p e n d e n t o f q . B u t t h e v a l u e o f q a (cid:11) e c t s t h e m a r k e t p r i c e f r i s k , a n d t h e r e f o r e t h e s h a p e o f t h e y i e l d c u r v e g i v e n i n ( 2 1 ) . F r o m t h e s e e q u a t i o n s , t i s c l e a r t h a t t h e t e r m p r e m i a a r e g i v e n b y 2 ( t ; t + (cid:28) ) = f ( t ; t + (cid:28) ) E [ r ( t + (cid:28) ) ] = ( q 1 ) z ( 1 c o s [ ! ( (cid:28) ) ] ) ; t (cid:0) (cid:0) (cid:0) h i c h a g r e e s w i t h t h e t e r m p r e m i a u n d e r t h e q { E H a s g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 7 ) . I n a r t i c u l a r , u n d e r t h e u n b i a s e d e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ( q = 1 ) a l l t e r m p r e m i a v a n i s h . h e e x a m p l e i s t h e c a n o n i c a l G a u s s i a n m o d e l h i s e x a m p l e h a s a t w o - d i m e n s i o n a l M a r k o v i a n s t a t e v e c t o r w i t h d e t e r m i n i s t i c o l a t i l i t y | t h e G a u s s i a n c a s e . I n G a u s s i a n m o d e l s , t e r m p r e m i a a r e n o n r a n d o m f u n c i o n s o f m a t u r i t y . I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o (cid:12) n d o u t h o w t o c o n s t r u c t n o n - G a u s s i a n o d e l s o f t h e q { E H , b e c a u s e i n s u c h m o d e l s t e r m p r e m i a c h a n g e r a n d o m l y . W e o n s t r u c t s u c h e x a m p l e s b y g e n e r a l i z i n g t h e c a n o n i c a l e x a m p l e . B e f o r e t u r n i n g t o t h e i s s u e o f n o n - G a u s s i a n m o d e l s , h o w e v e r , w e p r o v e t w o r e u l t s a b o u t t h e c a n o n i c a l e x a m p l e , w h i c h c l e a r l y s h o w t h a t i t i s t h e p l a c e w h e n c e t o e n e r a l i z e . F i r s t , w e s h o w t h a t t h e r e e x i s t s n o o n e - s t a t e v a r i a b l e m o d e l o f t h e q { E H , a u s s i a n o r n o t . T h i s i s s i m p l y b e c a u s e , u n d e r t h e q { E H , t h e u n i v a r i a t e p r o c e s s f o r h e s h o r t r a t e c a n n o t b e M a r k o v i a n ( a l l p r o o f s a p p e a r i n A p p e n d i x B ) . 8

P i M P v s o f v a o i m z a c m s y e r T t r o p o s i t i o n 1 I f t h e q { E H h o ld s a n d t h e s h o r t r a t e r ( t ) i s n o t d e t e r m i n i s t i c , t h e n t s u n i v a r i a t e p r o c e s s i s n o t M a r k o v i a n . S e c o n d , w e s h o w t h a t a n y G a u s s i a n m o d e l o f t h e q { E H w i t h a t w o - d i m e n s i o n a l a r k o v i a n s t a t e v e c t o r a m o u n t s t o a r e n o r m a l i z a t i o n o f t h e c a n o n i c a l e x a m p l e . r o p o s i t i o n 2 S u p p o s e t h a t t h e q { E H h o ld s i n a m o d e l w i t h t w o M a r k o v i a n s t a t e a r i a b le s i n w h i c h b o n d p r i c e s h a v e d e t e r m i n i s t i c v o la t i li t i e s . T h e n t h e r e e x i s t c o n t a n t s c a la r s (cid:22) , ! , a n d z s u c h t h a t , p e r h a p s a f t e r c h a n g i n g t h e b a s i s f o r t h e v e c t o r f B r o w n i a n m o t i o n s ( t h u s a (cid:11) e c t i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o c e s s e s , b u t n o t t h e o r m o f t h e y i e ld c u r v e ) : (cid:30) ( t ; T ) h a s t h e f o r m s h o w n i n ( 2 0 ) ; (cid:15) t h e p r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e a n d i t s d r i f t h a v e t h e f o r m s h o w n i n e q u a t i o n s (cid:15) ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) , w i t h (cid:16) ( t ) = z a n d y ( t ) = Y ( r ( t ) ; z ) ; a n d t h e i n i t i a l y i e ld c u r v e h a s t h e f o r m (cid:15) f ( 0 ; (cid:28) ) = F ( r ( 0 ) ; x ( 0 ) ; (cid:28) ) : ( 2 3 ) q P r o p o s i t i o n 2 a s s e r t s t h a t i n a G a u s s i a n a n d M a r k o v i a n e c o n o m y ( w i t h t w o s t a t e a r i a b l e s ) , t h e q { E H i m p l i e s t h a t (cid:30) ( t ; T ) k e e p s t u r n i n g a r o u n d t h e c i r c l e a t c o n s t a n t n g u l a r v e l o c i t y , ! . I t a l s o s p e c i (cid:12) e s x ( t ) , t h e d r i f t o f r ( t ) , a s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t 2 f r ( t ) , a n d y ( t ) , t h e d r i f t o f x ( t ) , a s a t r a n s l a t i o n o f r ( t ) w i t h c o e (cid:14) c i e n t ! , a n d (cid:0) n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e o f x ( t ) i t s e l f . T h e s h o r t r a t e i s s t a t i o n a r y w i t h u n c o n d i t i o n a l e a n e q u a l t o (cid:22) , w h i l e i t s d r i f t i s a l s o s t a t i o n a r y w i t h u n c o n d i t i o n a l m e a n e q u a l t o e r o . B e c a u s e t h e m o d e l i s M a r k o v i a n , t h e i n i t i a l t i m e h a s n o p a r t i c u l a r s i g n i (cid:12) c a n c e , n d e q u a t i o n ( 2 3 ) f o r t h e \ i n i t i a l " y i e l d c u r v e d e l i v e r s t h e f o r m o f t h e g e n e r i c y i e l d u r v e , w h i c h i n d e e d a g r e e s w i t h t h e s o l u t i o n t h a t f o l l o w s f r o m s o l v i n g a D u (cid:14) e - K a n o d e l , a s w e d i d t o g e t ( 2 1 ) . B u t w h i l e t h e D u (cid:14) e - K a n m e t h o d r e q u i r e s s o l v i n g a i m u l t a n e o u s s y s t e m o f t h r e e R i c a t t i d i f e r e n t i a l e q u a t i o n s , w e o b t a i n e d t h e i n i t i a l i e l d c u r v e i n t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 b y s o l v i n g a s i n g l e s e c o n d - o r d e r d i (cid:11) e r e n t i a l q u a t i o n . C l e a r l y , y i e l d c u r v e s c a n b e (cid:13) a t ; i n f a c t t h e y i e l d c u r v e i s (cid:13) a t i f a n d o n l y i f 2 ( t ) = (cid:22) + ( q 1 ) z a n d x ( t ) = 0 : (cid:0) 2 2 F ( (cid:22) + ( q 1 ) z ; 0 ; (cid:28) ) = (cid:22) + ( q 1 ) z : q (cid:0) (cid:0) h e r e i s a l w a y s a n e r g o d i c y i e l d c u r v e t h a t i s o b t a i n e d b y s e t t i n g r ( t ) a n d x ( t ) a t h e i r r e s p e c t i v e u n c o n d i t i o n a l m e a n s , (cid:22) a n d 0 : 2 F ( (cid:22) ; 0 ; (cid:28) ) = (cid:22) + ( q 1 ) z ( 1 c o s [ ! (cid:28) ] ) : q (cid:0) (cid:0) 9

T ( N W G p v o t d m t a b P (cid:16) s u c T v o o s h e e r g o d i c y i e l d c u r v e i s t h u s t h e s a m e a s t h e (cid:13) a t y i e l d c u r v e u n d e r t h e U { E H q = 1 ) , b u t i n o t h e r c a s e s i t i s a s i n e w a v e . o n - G a u s s i a n m o d e l s e n o w t u r n t o t h e n o n - G a u s s i a n c a s e . T h e s i m p l e s t w a y t o g e n e r a l i z e t h e c a n o n i c a l a u s s i a n e x a m p l e i s t o s u p p o s e t h a t (cid:30) ( t ; t ) | w h i c h i s p o r p o r t i o n a l t o t h e m a r k e t r i c e o f r i s k (cid:21) ( t ) | i s a n I t o p r o c e s s . T o d o t h i s w i t h o u t i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f s t a t e a r i a b l e s , r e p l a c e e q u a t i o n ( 2 0 ) b y (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = (cid:16) ( t ) C ( ! ; (cid:28) ) w h e r e (cid:16) ( t ) i s s o m e f u n c t i o n f r ( t ) a n d x ( t ) . T h e r e r e s u l t n o n - G a u s s i a n t w o - s t a t e v a r i a b l e M a r k o v m o d e l s o f h e y i e l d c u r v e i n w h i c h t h e q { E H h o l d s . A l t h o u g h t h i s s t r a t e g y w o r k s w e l l a n d e l i v e r s c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r b o n d p r i c e s , c h e c k i n g t h a t t h e q - h y p o t h e s i s h o l d s a y n o t b e e a s y i n p r a c t i c e , b e c a u s e w e d o n o t h a v e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r h e c o n d i t i o n a l f o r e c a s t s o f t h e s t a t e v a r i a b l e s . F o r t h i s r e a s o n , w e a l s o i n t r o d u c e t h r e e - s t a t e v a r i a b l e n o n - G a u s s i a n m o d e l i n w h i c h w e k n o w h o w t o c o m p u t e b o t h o n d p r i c e s a n d c o n d i t i o n a l f o r e c a s t s . r o p o s i t i o n 3 L e t (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = (cid:16) ( t ) C ( ! ; (cid:28) ) , w h e r e C ( ! ; (cid:28) ) i s a s i n ( 2 0 ) a n d ( t ) = (cid:16) ( r ( t ) ; x ( t ) ) , f o r a n y f u n c t i o n (cid:16) ( ; ) ( w i t h t h e r e s t r i c t i o n t h a t t h e i m p li e d (cid:1) (cid:1) 2 t o c h a s t i c p r o c e s s e s f o r r ( t ) a n d x ( t ) h a v e a s o lu t i o n ) . S u p p o s e a ls o t h a t (cid:16) ( t ) h a s a n 2 n c o n d i t i o n a l m e a n z . P i c k a c o n s t a n t (cid:22) a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s r ( 0 ) a n d x ( 0 ) , a n d h o o s e t h e f o l lo w i n g i n i t i a l y i e ld c u r v e f ( 0 ; (cid:28) ) = F ( r ( 0 ) ; x ( 0 ) ; (cid:28) ) : q h e n : t h e r e s u lt i n g y i e ld c u r v e m o d e l i s M a r k o v i a n w i t h a t w o - d i m e n s i o n a l s t a t e v e c t o r (cid:15) ( r ( t ) ; x ( t ) ) , a s w e l l a s n o n - G a u s s i a n i f (cid:16) ( t ) i s r a n d o m , a n d i t s a t i s (cid:12) e s t h e q e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ; t h e p r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e a n d i t s d r i f t h a v e t h e f o r m s h o w n i n e q u a t i o n s (cid:15) ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) , w i t h y ( t ) = Y ( r ( t ) ; (cid:16) ( t ) ) ; a t a n y t i m e t , t h e y i e ld c u r v e i s (cid:15) f ( t ; t + (cid:28) ) = F ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:28) ) : ( 2 4 ) q W e s e e t h a t b o n d p r i c e s a r e i n d e p e n d e n t o f (cid:16) ( t ) a n d d e p e n d o n t h e o t h e r t w o s t a t e a r i a b l e s r ( t ) a n d x ( t ) e x a c t l y a s t h e y d o i n t h e c o r r e s p o n d i n g G a u s s i a n m o d e l . T h e n l y d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e G a u s s i a n a n d t h e n o n - G a u s s i a n m o d e l s i s t h e d i s t r i b u t i o n f t h e s e s t a t e v a r i a b l e s ; t h e r e f o r e y i e l d c u r v e s o f a g i v e n s h a p e d o n o t o c c u r w i t h t h e a m e f r e q u e n c y i n b o t h m o d e l s . 1 0

2 I n t h e n o n - G a u s s i a n m o d e l , t h e d r i f t o f x ( t ) d e p e n d s o n (cid:16) ( t ) ( e x c e p t w h e n q = 1 ) , 2 w h i c h c o m p l i c a t e s t h e t a s k o f m a k i n g c o n d i t i o n a l f o r e c a s t s . I f (cid:16) ( t ) w e r e a l i n e a r f u n c t i o n o f x ( t ) a n d r ( t ) , t h e n t h e m o d e l w o u l d b e i n t h e e x p o n e n t i a l - a (cid:14) n e c l a s s , a n d w e w o u l d k n o w h o w t o c o m p u t e c o n d i t i o n a l f o r e c a s t s . U n f o r t u n a t e l y , i n o u r t w o - f a c t o r m o d e l t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t e i t h e r t h e i n t e r e s t r a t e o r i t s d r i f t c a n s t a y p o s i t i v e ( i n f a c t , t h e m e a n o f x ( t ) e q u a l s z e r o ) , a n d n o l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e s e v a r i a b l e s i s 2 g u a r a n t e e d t o s t a y p o s i t i v e . T h e r e f o r e , (cid:16) ( t ) c a n n o t b e a l i n e a r f u n c t i o n o f ( r ( t ) ; x ( t ) ) . W e c a n g e t a r o u n d t h i s p r o b l e m b y a d d i n g a t h i r d , i n d e p e n d e n t s t a t e v a r i a b l e , h o w e v e r . T h e f o l l o w i n g t h r e e - s t a t e - v a r i a b l e m o d e l b e l o n g s t o t h e e x p o n e n t i a l - a (cid:14) n e c l a s s . (cid:3) (cid:3) P r o p o s i t i o n 4 S e t d = 3 . L e t (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = (cid:16) ( t ) C ( ! ; (cid:28) ) , w h e r e C e x t e n d s t h e f u n c t i o n C g i v e n i n ( 2 0 ) b y a d d i n g a t h i r d c o m p o n e n t w h i c h i d e n t i c a l ly e q u a ls z e r o ; 2 le t t h e p r o c e s s f o r (cid:16) ( t ) s a t i s f y 2 2 2 d (cid:16) ( t ) = k ( z (cid:16) ( t ) ) d t + (cid:16) ( t ) d W ( t ) ; 3 (cid:0) a n d le t f ( 0 ; (cid:28) ) = F ( r ( 0 ) ; x ( 0 ) ; (cid:28) ) , s o t h a t t h e i n i t i a l y i e ld c u r v e i s a s i n P r o p o s i t i o n q 3 . T h e n : t h e r e s u lt i n g y i e ld c u r v e m o d e l i s M a r k o v i a n w i t h a t h r e e - d i m e n s i o n a l s t a t e v e c - (cid:15) 2 t o r ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:16) ( t ) ) , a s w e l l a s n o n - G a u s s i a n , a n d i t s a t i s (cid:12) e s t h e q - e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ; t h e p r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e a n d i t s d r i f t h a v e t h e f o r m s h o w n i n e q u a t i o n s (cid:15) ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) , w i t h y ( t ) = Y ( r ( t ) ; (cid:16) ( t ) ) ; a t a n y t i m e t , t h e y i e ld c u r v e i s (cid:15) f ( t ; t + (cid:28) ) = F ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:28) ) : q T h e b o n d p r i c e f o r m u l a i n t h e t h r e e - s t a t e - v a r i a b l e m o d e l i s i d e n t i c a l t o t h a t i n t h e t w o - s t a t e - v a r i a b l e m o d e l . T h e o n l y d i (cid:11) e r e n c e i s t h a t , b e c a u s e t h e f o r m e r m o d e l b e l o n g s t o t h e e x p o n e n t i a l - a (cid:14) n e c l a s s , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s f o r t h e c o n d i t i o n a l f o r e c a s t s o f a l l s t a t e v a r i a b l e s ( a s w e l l a s t h e i r c o n d i t i o n a l v a r i a n c e s ) . T h e s t a t e v a r i a b l e o f m o s t i n t e r e s t , o f c o u r s e , i s t h e s h o r t r a t e i t s e l f , f o r w h i c h w e h a v e : E [ r ( t + (cid:28) ) ] = F ( r ( t ) ; x ( t ) ; (cid:28) ) + t 1 2 ( 1 q ) ! k s i n [ ! (cid:28) ] (cid:0) k (cid:28) 2 2 (cid:16) ( t ) z e c o s [ ! (cid:28) ] + : (cid:0) 2 2 k + ! ! (cid:0) (cid:0) ! (cid:16) (cid:17) I t c a n t h e n b e v e r i (cid:12) e d t h a t t h e f o r w a r d p r e m i u m i s ( t ; t + (cid:28) ) = f ( t ; t + (cid:28) ) E [ r ( t + (cid:28) ) ] t (cid:0) 1 1

I t c 4 W l h h i r d e r y T c r b w r R s t w o h M 2 2 2 (cid:0) (cid:0) ! (cid:16) t z k ! (cid:28) ( ( ) ) s in [ ] k (cid:28) 2 2 2 = ( q 1 ) z ( 1 c o s [ ! (cid:28) ] ) e c o s [ ! (cid:28) ] + : k ! ! + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) t c a n b e f u r t h e r v e r i (cid:12) e d t h a t , b e c a u s e (cid:0) k s 2 2 2 2 E [ (cid:16) ( t + s ) ] = z + e (cid:16) ( t ) z ; t (cid:0) (cid:16) (cid:17) h e a b o v e e x p r e s s i o n f o r t h e t e r m p r e m i u m a g r e e s w i t h ( 1 7 ) , w h i c h i n t h e p r e s e n t a s e r e d u c e s t o (cid:28) 2 ( t ; t + (cid:28) ) = ( q 1 ) ! E [ (cid:16) ( t + s ) ] s i n [ ! ( (cid:28) s ) ] d s : t s = 0 (cid:0) (cid:0) Z C o n c l u d i n g r e m a r k s e h a v e s h o w n t h a t t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s i s c o m p a t i b l e w i t h g e n e r a l e q u i i b r i u m e v e n i n M a r k o v i a n s e t t i n g s . T h e m o d e l s w e h a v e b e e n a b l e t o c o n s t r u c t , o w e v e r , w i l l n o t h e l p t o r e h a b i l i t a t e t h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s . R a t h e r , t h e y s h o w o w i m p l a u s i b l e t h e h y p o t h e s i s i s . T h e m a i n r e a s o n a l l e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s a r e m p l a u s i b l e i n M a r k o v i a n s e t t i n g s i s t h a t t h e y s h a r e t h e s a m e p r o c e s s f o r t h e s h o r t a t e , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e f o r e c a s t o f t h e s h o r t r a t e p a t h i s a s i n e w a v e w i t h n o n a m p e n i n g a m p l i t u d e . O f c o u r s e , f o r w a r d r a t e s b e h a v e i n t h e s a m e w a y ( t h e y a r e q u a l t o t h e s h o r t r a t e f o r e c a s t u n d e r t h e u n b i a s e d e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ) . I n a n o n - M a r k o v i a n s e t t i n g , y i e l d c u r v e s a n d f o r e c a s t s o f t h e p a t h o f t h e s h o r t a t e c a n l o o k m o r e r e a s o n a b l e . N o t e t h a t i n h i s e x a m p l e , M c C u l l o c h d i d n o t e x h i b i t a 1 4 i e l d c u r v e . I n f a c t , M c C u l l o c h ’ s e x a m p l e i s c o m p a t i b l e w i t h a n y i n i t i a l y i e l d c u r v e . h e e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s i m p o s e s r e s t r i c t i o n s o n l y o n t h e d y n a m i c s o f t h e y i e l d u r v e . G i v e n t h e i n i t i a l y i e l d c u r v e a n d i t s d y n a m i c s , i t i s i n p r i n c i p l e p o s s i b l e t o e c o n s t r u c t f u t u r e y i e l d c u r v e s f o r a n y p a t h o f t h e s e t o f B r o w n i a n m o t i o n s . B u t e c a u s e t h e r e i s n o (cid:12) n i t e s e t o f v a r i a b l e s t h a t s u m m a r i z e s t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y , e c a n n o t s a y w h a t a t y p i c a l y i e l d c u r v e l o o k s l i k e . A t (cid:12) r s t b l u s h , i t m a y s e e m t h a t t h e M a r k o v i a n m o d e l s h a v e t h e p o t e n t i a l t o e p r e s e n t t h e c y c l i c a l b e h a v i o r o f i n t e r e s t r a t e s p r i o r t o t h e e x i s t e n c e o f t h e F e d e r a l e s e r v e . U n f o r t u n a t e l y , t h e m o d e l s c a n n o t b e m a d e t o r e a s o n a b l y a p p r o x i m a t e t h a t o r t o f c y c l i c a l b e h a v i o r . T h e p r o b l e m i s t h a t t h e p r e - F e d c y c l e o c c u r s i n a b s o l u t e i m e , w h i l e t h e c y c l e s i n t h e M a r k o v i a n m o d e l s o c c u r i n r e l a t i v e t i m e . I n o t h e r o r d s , t h e r e i s n o w a y t o m a k e s u m m e r ( f o r e x a m p l e ) b e a h i g h ( o r l o w ) r a t e s e a s o n n a v e r a g e . A s a (cid:12) n a l o b s e r v a t i o n , w e s u s p e c t t h a t n o e q u i l i b r i u m m o d e l o f t h e e x p e c t a t i o n s y p o t h e s i s , M a r k o v i a n o r n o n - M a r k o v i a n , c a n g u a r a n t e e t h e n o n - n e g a t i v i t y o f t h e 1 4 I n it ia l y ie ld c u r v e s in o u r e x a m p le s a r e d e t e r m in e d o n ly b y t h e c o n d it io n t h a t t h e m o d e l is a r k o v ia n , a s t h e p r o o fs o f t h e p r o p o s it io n s m a k e c le a r . 1 2

s S r s p s i h u a h o h n o r t r a t e . T h i s i s c e r t a i n c h a f e a t u r e m a k e s t h e t e s . T h e r e a s o n f o r t h e o r t r a t e i s t o s t a y p o s i t i v s i t i v e w h e n e v e r i t s l e v e l o r t r a t e i s i n d e p e n d e n t o t h e r i g h t d i r e c t i o n w h e n l y e i n e , i s f t t r u e i n M c C u l l o c h ’ s x p e c t a t i o n s h y p o t h e s a b i l i t y t o k e e p t h e s h i t s v o l a t i l i t y m u s t b e c l o s e t o z e r o . B u t i n t h e s h o r t r a t e i t s e l f , a h e r a t e i s s m a l l . 1 3 e i s o s n x r m a d a m p l e a p o o t r a t e a l l e n l l o u r t h e r e a r p o u e x f o n d a l l b e n c h m o s i t i v e g h a n d a m p l e s r e w i l l o f a r i s i t , t n o o k s s h t u i m d e a r e x a f o r n p l e . r i f t m d r i f t l w a y m p l e s . o m i n a l I f t h e u s t b e o f t h e s p o i n t

A A I t D A T f p s a c z b w I c s t p p e n d i c e s A b s e n c e - o f - a r b i t r a g e a n d g e n e r a l e q u i l i b r i u m n t h i s A p p e n d i x w e d e r i v e t h e H J M a b s e n c e - o f - a r b i t r a g e r e s t r i c t i o n a n d w e s h o w h e r e l a t i o n s h i p t o g e n e r a l e q u i l i b r i u m m o d e l s . M u c h o f t h e m a t e r i a l c a n b e f o u n d i n u (cid:14) e ( 1 9 9 6 ) . b s e n c e - o f - a r b i t r a g e h e r e a r e s e v e r a l e q u i v a l e n t w a y s t o i m p o s e t h e n o - a r b i t r a g e c o n d i t i o n o n t h e p r o c e s s o r b o n d p r i c e s . T h e m o s t d i r e c t , p e r h a p s , i s t o p o s t u l a t e t h e e x i s t e n c e o f a s t r i c t l y o s i t i v e p r o c e s s m ( t ) , w h i c h o b e y s d m ( t ) > = (cid:22) ( t ) d t + (cid:27) ( t ) d W ( t ) ; ( A . 1 ) m m m ( t ) u c h t h a t t h e v a l u e a t t i m e t , V ( t ) , o f a n y p a y o (cid:11) D ( T ) a t t i m e T o b e y s V ( t ) m ( t ) = E [ D ( T ) m ( T ) ] ; ( A . 2 ) t s a r e s u l t , t h e d e (cid:13) a t e d v a l u e V ( t ) m ( t ) i s a m a r t i n g a l e . F o l l o w i n g D u (cid:14) e ( 1 9 9 6 ) , w e a l l m ( t ) t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r . D e (cid:12) n e t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n a t t i m e t o f t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r a t t i m e T : ( t ; T ) : = E [ m ( T ) ] ; t h e n z ( t ; T ) i s a s t r i c t l y p o s i t i v e m a r t i n g a l e w h o s e p r o c e s s c a n t e w r i t t e n a s f o l l o w s : d z ( t ; T ) > = (cid:27) ( t ; T ) d W ( t ) ; ( A . 3 ) z z ( t ; T ) h i c h , b y I t o ’ s l e m m a , i m p l i e s 1 > 2 d l o g [ z ( t ; T ) ] = (cid:27) ( t ; T ) d t + (cid:27) ( t ; T ) d W ( t ) : ( A . 4 ) z z 2 (cid:0) k k n v i e w o f ( A . 2 ) s p e c i a l i z e d t o t h e c a s e D ( T ) = 1 , t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s a n b e w r i t t e n a s z ( t ; T ) P ( t ; T ) = : ( A . 5 ) m ( t ) W e n o w r e l a t e t h e p r o c e s s f o r t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r t o t h e s h o r t r a t e a n d t h e o - c a l l e d m a r k e t p r i c e o f r i s k . T o d o t h i s , d e (cid:12) n e t h e m o n e y m a r k e t a c c o u n t (cid:12) ( t ) a s h e v a l u e o f t h e p a r t i c u l a r a s s e t t h a t c o n s i s t s o f t h e a c c u m u l a t i o n o f o n e u n i t o f t h e 1 4

n w I i m S o P w T w N S s (cid:27) u m e r a i r e c o n t i n u o u s l y r e i n v e s t e d a t t h e s h o r t r a t e : t (cid:12) ( t ) : = e x p r ( s ) d s ; s = 0 (cid:18) (cid:19) Z h i c h i m p l i e s t h a t t h e p r o c e s s f o r (cid:12) ( t ) i s d (cid:12) ( t ) = r ( t ) d t : (cid:12) ( t ) n v i e w o f ( A . 1 ) a n d ( A . 6 ) , I t o ’ s l e m m a i m p l i e s t h a t t h e p r o p o r t i o n a l d r i f t o f s r ( t ) + (cid:22) ( t ) . S i n c e (cid:12) ( t ) i s t h e v a l u e o f a n a s s e t , h o w e v e r , (cid:12) ( t ) m ( t ) m m a r t i n g a l e , a n d t h e r e f o r e i t s d r i f t m u s t e q u a l z e r o . I t i m m e d i a t e l y f o l l o w s (cid:22) ( t ) = r ( t ) : m (cid:0) i m i l a r l y , i n v i e w o f ( 9 ) a n d ( A . 1 ) , I t o ’ s l e m m a i m p l i e s t h a t t h e p r o p o r t i > f m ( t ) P ( t ; T ) i s (cid:22) ( t ; T ) + (cid:22) ( t ) + (cid:27) ( t ; T ) (cid:27) ( t ) . S i n c e t h e d e (cid:13) a t e d b m P P m ( t ; T ) m ( t ) = E [ m ( T ) ] i s a m a r t i n g a l e , w e m u s t h a v e t > (cid:22) ( t ; T ) = r ( t ) + (cid:27) ( t ; T ) (cid:21) ( t ) ; P P h e r e (cid:21) ( t ) , w h i c h w e c a l l t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k , i s d e (cid:12) n e d a s (cid:21) ( t ) : = h e r e f o r e w e c a n a l w a y s w r i t e t h e p r o c e s s f o r t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r a s d m ( t ) > = r ( t ) d t (cid:21) ( t ) d W ( t ) : m ( t ) (cid:0) (cid:0) h i c h , b y I t o ’ s l e m m a , i m p l i e s 1 > 2 d l o g [ m ( t ) ] = r ( t ) + d t (cid:21) ( t ) d W ( t ) : (cid:21) ( t ) 2 (cid:0) (cid:0) k k (cid:18) (cid:19) e x t , a p p l y i n g I t o ’ s l e m m a t o ( A . 5 ) p r o d u c e s t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p : (cid:27) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) + (cid:21) ( t ) : P z i n c e z ( t ; t ) = m ( t ) , w e h a v e (cid:27) ( t ; t ) = (cid:21) ( t ) a n d a s a r e s u l t (cid:27) ( t ; t ) = 0 . z P (cid:0) W e n o w t u r n t o t h e n o - a r b i t r a g e c o n d i t i o n i n t h e H J M f r a m e w o r k . T h i s t a t e s t h a t i n ( 3 ) , t h e d r i f t (cid:22) ( t ; T ) c a n n o t b e c h o s e n i n d e p e n d e n t l y o f f ( t ; T ) . T o s e e t h i s , n o t e t h a t e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( A . 5 ) i m p l y f @ f ( t ; T ) = l o g [ z ( t ; T ) ] ; @ T (cid:0) 1 5 ( A . 6 ) (cid:12) ( t ) m ( t ) u s t b e a t h a t o n a l d r i f t o n d p r i c e ( A . 7 ) (cid:27) ( t ) . m (cid:0) ( A . 8 ) ( A . 9 ) c o n d i t i o n (cid:21) ( t ) a n d

f I a I ( R A g a d L a s w d l r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t @ d f ( t ; T ) = d l o g [ z ( t ; T ) ] : @ T (cid:0) ! n v i e w o f t h e p r o c e s s f o r l o g [ z ( t ; T ) ] g i v e n i n ( A . 4 ) , w e h a v e 0 (cid:27) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) f z n d @ 1 0 > 2 (cid:22) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) (cid:27) ( t ; T ) : f z z z 2 @ T k k n t h e s p i r i t o f H J M , c o n s i d e r i n g (cid:27) ( r a t h e r t h a n (cid:27) ) a s a p r i m i t i v e , t h e n , e q f z A . 9 ) , ( A . 1 0 ) a n d ( A . 1 1 ) i m p l y ( 5 ) . e l a t i o n s h i p t o g e n e r a l e q u i l i b r i u m n y m o d e l o f t h e t e r m s t r u c t u r e t h a t i s f r e e o f a r b i t r a g e c a n b e i n t e r p r e t e n e r a l - e q u i l i b r i u m m o d e l . W e n o w g i v e o u r m o d e l s u c h a n i n t e r p r e t a t i o n . n e x c h a n g e e c o n o m y w i t h a r e p r e s e n t a t i v e c o n s u m e r w h o m a x i m i z e s t h e e i s c o u n t e d s u m o f i n s t a n t a n e o u s u t i l i t y w i t h c o n s t a n t d i s c o u n t f a c t o r (cid:26) , 1 (cid:0) (cid:26) s E e u ( c ( s ) ) d s : t t (cid:20) (cid:21) Z e t t h e i n s t a n t a n e o u s u t i l i t y b e o f t h e c o n s t a n t r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n c l a s s , w v e r s i o n p a r a m e t e r (cid:17) : (cid:0) (cid:17) 1 c 1 f o r 0 (cid:17) < 1 o r 1 < (cid:17) (cid:0) u ( c ) : = 1 (cid:17) 8 (cid:20) (cid:0) >< l o g ( c ) f o r (cid:17) = 1 , >: o m a r g i n a l u t i l i t y a t t i m e t i s (cid:0) (cid:0) (cid:26) t (cid:17) m ( t ) = e c ( t ) ; h e r e c ( t ) i s c o n s u m p t i o n a t t i m e t . I n t h e s e m o d e l s m a r g i n a l u t i l i t y i s t h e s t a 1 5 e (cid:13) a t o r . T h e p r o c e s s f o r t h e l o g o f c o n s u m p t i o n c a n b e f o u n d b y s o l v i n g ( A o g [ c ( t ) ] : 1 d l o g [ c ( t ) ] = ( d l o g [ m ( t ) ] + (cid:26) d t ) (cid:17) (cid:0) > = ~(cid:22) ( t ) d t + (cid:27) ( t ) d W ( t ) ; c c 1 5 S e e D u (cid:14) e ( 1 9 9 6 ) , p p . 2 2 5 { 2 2 6 . 1 6 ( A . 1 0 ( A . 1 1 u a t i o n e d a s A s s u m x p e c t e i t h r i s ( A . 1 2 t e - p r i c . 1 2 ) f o ) ) s a e d k ) e r

w a F W ( p s c h B T t p a w r N a M h e r e , u s i n g e q u a t i o n ( A . 8 ) , 1 1 2 ~(cid:22) ( t ) = r ( t ) + (cid:21) ( t ) (cid:26) ( A . 1 3 ) c (cid:17) 2 k k (cid:0) (cid:18) (cid:19) n d (cid:21) ( t ) (cid:27) ( t ) = : ( A . 1 4 ) c (cid:17) r o m ( 1 3 ) a n d ( A . 1 4 ) w e s e e t h a t u n d e r t h e q { E H , (cid:27) ( t ) = ( q = (cid:17) ) (cid:30) ( t ; t ) . c F i n a l l y , n o t e t h a t e q u a t i o n ( A . 1 1 ) a l l o w s u s t o w r i t e t h e f o r w a r d p r e m i u m a s T 1 @ 2 ( t ; T ) = (cid:27) ( v ; T ) d v : ( A . 1 5 ) E z t v t = 2 @ T (cid:0) k k # " Z h e n t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r i s i n t e r p r e t e d a s t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n , A . 1 5 ) e x p r e s s e s i n c o n t i n u o u s t i m e W o o d w a r d ’ s ( 1 9 8 3 ) c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t e r m r e m i u m . I n p a r t i c u l a r , w e s e e t h a t t h e f o r w a r d p r e m i u m i s z e r o i f t h e r e l a t i v e t a n d a r d d e v i a t i o n ( t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n | i n W o o d w a r d ’ s t e r m i n o l o g y ) o f t h e o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r i z o n ; i . e . , i f @ = @ T (cid:27) ( v ; T ) 0 . z k k (cid:17) P r o o f s o f P r o p o s i t i o n s o p r o v e t h e p r o p o s i t i o n s , w e n e e d t h e p r o c e s s f o r t h e s h o r t r a t e u n d e r t h e q { E H . I n h e H J M f r a m e w o r k , t h e t h r e e m o d e l p r i m i t i v e s | t h e i n i t i a l y i e l d c u r v e , t h e m a r k e t r i c e o f r i s k a n d t h e v o l a t i l i t y o f e i t h e r f o r w a r d r a t e s | a r e g u a r a n t e e d t o d e l i v e r a n r b i t r a g e - f r e e m o d e l o f t h e t e r m s t r u c t u r e . T h e s h o r t r a t e i s g i v e n b y t t > r ( t ) = f ( t ; t ) = f ( 0 ; t ) + (cid:22) ( s ; t ) d s + (cid:27) ( s ; t ) d W ( s ) ; ( B . 1 ) f f s s = 0 = 0 Z Z h e r e (cid:22) ( t ; T ) i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 5 ) . C l e a r l y , f r o m ( B . 1 ) , t h e p r o c e s s f o r t h e s h o r t f a t e o b e y s t @ @ d r ( t ) = f ( 0 ; t ) + (cid:22) ( t ; t ) + (cid:22) ( s ; t ) d s f f s = 0 @ t @ t ( Z t @ > > + (cid:27) ( s ; t ) d W ( s ) d t + (cid:27) ( t ; t ) d W ( t ) : ( B . 2 ) f f s = 0 @ t ) Z o t e t h a t t h e s h o r t r a t e p r o c e s s i n e q u a t i o n ( B . 2 ) i s n o t n e c e s s a r i l y M a r k o v i a n f o r n a r b i t r a r y (cid:21) ( t ) ; (cid:27) ( t ; T ) p a i r , a l t h o u g h i t c a n b e o n e o f t h e c o m p o n e n t s o f a f f g a r k o v i a n s t a t e v e c t o r i n a n e c o n o m y w h e r e t h e q { E H h o l d s . U s i n g ( 1 4 ) a n d i m p o s i n g 1 7

t f w F w v u P I g (cid:30) a c b i a h e q { E H c o n d i t i o n ( 1 6 ) , t h e s h o r t r a t e , g i v e n i n ( B . 1 ) , b e c o m e s t t 0 > 0 > r ( t ) = f ( 0 ; t ) + ( q 1 ) (cid:30) ( s ; t ) (cid:30) ( s ; s ) d s + (cid:30) ( s ; t ) d W ( s ) ; s s = 0 = 0 (cid:0) Z Z r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t t h e p r o c e s s f o r t h e s h o r t r a t e o b e y s 0 > d r ( t ) = x ( t ) d t + (cid:30) ( t ; t ) d W ( t ) ; 1 6 h e r e t t 0 00 > 00 > x ( t ) = f ( 0 ; t ) + ( q 1 ) (cid:30) ( s ; t ) (cid:30) ( s ; s ) d s + (cid:30) ( s ; t ) d W ( s ) : s s = 0 = 0 (cid:0) Z Z r o m t h i s d e (cid:12) n i t i o n , t h e p r o c e s s f o r x ( t ) c l e a r l y o b e y s 00 > d x ( t ) = y ( t ) d t + (cid:30) ( t ; t ) d W ( t ) ; h e r e 00 00 > y ( t ) = f ( 0 ; t ) + ( q 1 ) (cid:30) ( t ; t ) (cid:30) ( t ; t ) + (cid:0)t t 000 > 000 > ( q 1 ) (cid:30) ( s ; t ) (cid:30) ( s ; s ) d s + (cid:30) ( s ; t ) d W ( s ) : s s = 0 = 0 (cid:0) Z Z T h e d i (cid:14) c u l t y i s t o g u a r a n t e e t h a t t h e s h o r t r a t e i s d r i v e n b y a M a r k o v e c t o r . T h e s h o r t r a t e i t s e l f c a n n o t b e M a r k o v i a n , e x c e p t i n t h e t r i v i a l c a s e n c e r t a i n t y , i n v i e w o f P r o p o s i t i o n 1 . r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 f r ( t ) i s M a r k o v i a n , t h e n ( i ) i t s d r i f t x ( t ) m u s t b e a f u n c t i o n o f r ( t ) , s a y x ( r ( t ) ) , f o r s o m e c o n t i n u o u s f u n c t i o n g ( ) ; a n d i t s v o l a t i l i t y m u s t b e o f t h e 0 (cid:1) ( t ; t ) = h ( r ( t ) ; 0 ) , w h e r e (cid:30) ( t ; t + (cid:28) ) = h ( r ( t ) ; (cid:28) ) , t h e f u n c t i o n h i s d i (cid:11) e r e n 2 n d h d e n o t e s t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s e c o n d v a r i a b l e . F i x a t i m e i o n s i d e r a d i s t u r b a n c e i n t h e p a t h o f W ( t ) b y (cid:1) W ( s ) . F o r s i m p l i c i t y , w e a s s u m e d i (cid:11) e r e n t i a b l e . T h e n f r o m e q u a t i o n s ( B . 3 ) a n d ( B . 5 ) , w e s e e t h a t c h a n g e a t t n t h e s h o r t r a t e a n d i t s d r i f t w o u l d h a v e b e e n > (cid:1) r ( s ) = h ( r ( s ) ; 0 ) (cid:1) W ( s ) ; 2 n d > (cid:1) x ( s ) = h ( r ( s ) ; 0 ) (cid:1) W ( s ) : 2 2 1 6 (cid:22) t ; t N o t e t h a t ( ) = 0 , a r e s u lt t h a t fo llo w s d ir e c t ly fr o m ( 1 5 ) . f 1 8 ( B ( B ( B ( B ( B s t o f ( t ) f o t i a s a e g i m . 3 ) . 4 ) . 5 ) . 6 ) . 7 ) a t e n o = r m b l e n d t o e s

B t S U t P I s B t l t c (cid:12) d c B B B p s a w n W w (cid:18) 0 u t f o r (cid:1) W ( s ) s m a l l e n o u g h , w e m u s t a l s o h a v e (cid:1) x ( s ) = g ( r ( s ) ) (cid:1) r ( s ) . T h i s e q u a i o n m u s t b e s a t i s (cid:12) e d f o r a n y v a l u e o f r ( s ) , 0 h ( r ( s ) ; 0 ) = g ( r ( s ) ) h ( r ( s ) ; 0 ) f o r a l l s t : 2 2 2 (cid:20) 0 i n c e g i s a s c a l a r , t h i s e q u a t i o n m e a n s t h a t h ( r ( s ) ; 0 ) i s p r o p o r t i o n a l t o h ( r ( s ) ; 0 ) . 2 2 2 00 n l e s s h = h = 0 , w h i c h i s t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , h = (cid:30) c a n n o t b e p r o p o r t i o n a l 2 2 2 2 2 0 Q . E . D . o h = (cid:30) b e c a u s e t h a t w o u l d d r i v e (cid:30) o u t s i d e t h e c i r c l e . 2 r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 n a t w o - f a c t o r m o d e l , w e c a n s e t d = 2 . F r o m P r o p o s i t i o n 1 , w e k n o w t h a t t h e h o r t r a t e i s n o t M a r k o v i a n , a n d t h e r e f o r e i t s d r i f t , x ( t ) , i s n o t a f u n c t i o n o f r ( t ) . u t i n a t w o - s t a t e v a r i a b l e M a r k o v i a n m o d e l , t h e v e c t o r ( r ( t ) ; x ( t ) ) i s d r i v e n b y a w o - d i m e n s i o n a l M a r k o v i a n v e c t o r , a n d i s M a r k o v i a n i t s e l f . I n o t h e r w o r d s , i t i s e g i t i m a t e t o t a k e r ( t ) a n d x ( t ) a s t h e t w o s t a t e v a r i a b l e s . T h i s r e q u i r e s t h a t y ( t ) , h e d r i f t o f x ( t ) , b e a f u n c t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s . A s s u m e , t h e n , t h a t f o r s o m e o n t i n u o u s f u n c t i o n g ( ; ) , y ( t ) = g ( r ( t ) ; x ( t ) ) . (cid:1) (cid:1) W e a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t (cid:30) ( t ; t ) h a s a n o n - z e r o e n t r y o n l y i n i t s r s t c o m p o n e n t , a n d w e w r i t e (cid:30) ( t ; t ) = ( (cid:16) ( t ) ; 0 ) , f o r s o m e s c a l a r p r o c e s s (cid:16) ( t ) t o b e e t e r m i n e d l a t e r . T h e r e i s n o l o s s o f g e n e r a l i t y b e c a u s e , i f (cid:30) ( t ; t ) = 0 , i t h a s t h e o r r e c t f o r m t o s t a r t w i t h , w h e r e a s i f (cid:30) ( t ; t ) = 0 , t h e n w e c a n r e d e (cid:12) n e t h e b a s i s o f 6 r o w n i a n m o t i o n s a s f o l l o w s : L e t B ( t ) = ( B ( t ) ; B ( t ) ) b e a n o r t h o n o r m a l s e t o f 1 2 > r o w n i a n m o t i o n s s u c h t h a t B ( t ) = (cid:30) ( t ; t ) W ( t ) = (cid:30) ( t ; t ) ; t h e o t h e r c o m p o n e n t o f 1 k k ( t ) i s c h o s e n i n t h e s p a n o f W ( t ) a n d W ( t ) t o b e o r t h o n o r m a l t o B ( t ) . T h i s 1 2 1 r o c e d u r e a m o u n t s t o c h o o s i n g a C h o l e s k i d e c o m p o s i t i o n o f t h e n o i s e i n t h e e c o n o m y u c h t h a t t h e n o i s e i n t h e s t a t e - p r i c e d e (cid:13) a t o r c o m e s (cid:12) r s t ( r e c a l l t h a t (cid:30) ( t ; t ) a n d (cid:21) ( t ) 1 7 r e c o - l i n e a r , a n d (cid:21) ( t ) i s t h e v o l a t i l i t y o f t h e s t a t e p r i c e d e (cid:13) a t o r ) . F r o m n o w o n , (cid:0) e a s s u m e t h a t W ( t ) w a s c h o s e n t o s t a r t w i t h t o c o i n c i d e w i t h t h e b a s i s B ( t ) . B e f o r e p r o c e e d i n g f u r t h e r , w e r e - p a r a m e t r i z e t h e f u n c t i o n (cid:30) u s i n g p o l a r c o o r d i a t e s t o e n f o r c e t h e r e s t r i c t i o n s t h a t (cid:30) ( t ; t ) = ( (cid:16) ( t ) ; 0 ) a n d t h a t (cid:30) ( t ; T ) l i e s o n a c i r c l e . r i t e c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:30) ( t ; T ) = (cid:16) ( t ) ; s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:18) (cid:19) h e r e (cid:18) ( t ; T ) , t h e a n g l e d e t e r m i n i n g t h e p o s i t i o n o f (cid:30) ( t ; T ) o n t h e c i r c l e , s a t i s (cid:12) e s ( t ; t ) = 0 . C l e a r l y , (cid:30) ( t ; T ) = (cid:30) ( t ; t ) = (cid:16) ( t ) . B y d i (cid:11) e r e n t i a t i o n , w e g e t k k k k j j 0 0 s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:30) ( t ; T ) = (cid:16) ( t ) (cid:18) ( t ; T ) ; ( B . 8 ) (cid:0) c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:18) (cid:19) 1 7 S e e A p p e n d ix A . 1 9

a W v o d t t s i a d i d a B T g M o 00 00 0 s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] 2 (cid:30) ( t ; t ) = (cid:16) ( t ) (cid:18) ( t ; T ) (cid:18) ( t ; T ) ; ( B . 9 ) (cid:0) c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:0) (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:27) n d 000 000 00 0 s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:30) ( t ; T ) = (cid:16) ( t ) (cid:18) ( t ; T ) 3 (cid:18) ( t ; T ) (cid:18) ( t ; T ) (cid:0) c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:0) ( (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 0 s i n [ (cid:18) ( t ; T ) ] 3 (cid:18) ( t ; T ) : ( B . 1 0 ) (cid:0) c o s [ (cid:18) ( t ; T ) ] (cid:0) ) (cid:18) (cid:19) e n o w s h o w t h a t (cid:30) ( t ; T ) i s d e t e r m i n i s t i c . B e c a u s e b o n d p r i c e s h a v e n o n - r a n d o m 0 o l a t i l i t i e s b y a s s u m p t i o n , (cid:30) ( t ; T ) = (cid:27) ( t ; T ) m u s t b e d e t e r m i n i s t i c . F r o m t h e f o r m f 0 0 f (cid:30) i n ( B . 8 ) , i t i s c l e a r t h a t i f (cid:18) = 0 ( r u l i n g o u t t h e t r i v i a l c a s e w h e r e b o n d p r i c e s a r e 0 6 e t e r m i n i s t i c ) , (cid:16) ( t ) m u s t b e d e t e r m i n i s t i c i n o r d e r f o r (cid:30) ( t ; T ) t o b e d e t e r m i n i s t i c , s o h a t (cid:30) ( t ; T ) i s i t s e l f d e t e r m i n i s t i c . I n o t h e r w o r d s , t h e q { E H i m p o s e s t h e r e s t r i c t i o n h a t i f b o n d p r i c e s h a v e c o n s t a n t v a r i a n c e , t h e n t h e p r i c e o f r i s k (cid:21) ( t ) i s c o n s t a n t . W e n o w t u r n t o t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e q { E H f o r t h e f o r m o f g a n d (cid:30) ( t ; T ) . F o r i m p l i c i t y , a s s u m e t h a t g i s d i (cid:11) e r e n t i a b l e ( w i t h t h i s a s s u m p t i o n , w e (cid:12) n d t h a t i t i s n f a c t l i n e a r ) , a n d d e n o t e b y g a n d g i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o r ( t ) 1 2 n d x ( t ) . W e u s e t h e v a r i a t i o n m e t h o d u s e d i n t h e p r e v i o u s p r o o f : (cid:12) x a t i m e t a n d i s t u r b t h e p a t h o f W ( s ) s > 0 a t s o m e p o i n t i n t h e p a s t (cid:28) < t . S i n c e (cid:30) ( t ; T ) f j g s d e t e r m i n i s t i c , i t i s u n a (cid:11) e c t e d b y t h i s c h a n g e ; a s a r e s u l t , t h e s h o r t r a t e r ( t ) , i t s r i f t x ( t ) , a n d y ( t ) , t h e d r i f t o f x ( t ) , c h a n g e b y t h e a m o u n t s 0 (cid:1) r ( t ) = (cid:30) ( (cid:28) ; t ) (cid:1) W ( (cid:28) ) ; 00 (cid:1) x ( t ) = (cid:30) ( (cid:28) ; t ) (cid:1) W ( (cid:28) ) ; n d 000 (cid:1) y ( t ) = (cid:30) ( (cid:28) ; t ) (cid:1) W ( (cid:28) ) : u t w e m u s t h a v e a l s o ( f o r i n (cid:12) n i t e s i m a l c h a n g e s ) (cid:1) y ( t ) = g ( r ( t ) ; x ( t ) ) (cid:1) r ( t ) + g ( r ( t ) ; x ( t ) ) (cid:1) x ( t ) : ( B . 1 1 ) 1 2 h e s e e q u a t i o n s m u s t h o l d f o r a n y v a l u e o f ( r ( t ) ; x ( t ) ) , a n d a n y (cid:28) . W e c o n c l u d e t h a t a n d g m u s t b e c o n s t a n t , s o t h a t , f o r s o m e s c a l a r s a , b a n d c , w e c a n w r i t e 1 2 y ( t ) = g ( r ( t ) ; x ( t ) ) = a + b r ( t ) + c x ( t ) : ( B . 1 2 ) o r e o v e r , g i v e n t h e f o r m s o f (cid:1) r ( t ) , (cid:1) x ( t ) a n d (cid:1) y ( t ) , e q u a t i o n ( B . 1 2 ) h o l d s i f a n d n l y i f 000 0 00 (cid:30) ( t ; T ) = b (cid:30) ( t ; T ) + c (cid:30) ( t ; T ) : ( B . 1 3 ) 2 0

s S s d l p r g t f f T b o f u P W x v x t t ! t p v S u b s t i t u t i n g ( B . 8 { B . 1 0 ) i n t o e q u a t i o n ( B . 1 3 ) a l l o w s u s t o c o n c l u d e t h a t t h a t r e t r i c t i o n w i l l b e v i o l a t e d u n l e s s , f o r s o m e c o n s t a n t ! , 0 2 (cid:18) ( t ; T ) = ! ; b = ! ; a n d c = 0 : (cid:0) 0 i n c e (cid:18) ( t ; t ) = 0 , (cid:18) = ! , a c o n s t a n t , i m p l i e s (cid:18) ( t ; T ) = ! ( T t ) . S i n c e (cid:16) ( t ) i s n o t (cid:0) t o c h a s t i c , i t m u s t b e c o n s t a n t ( o t h e r w i s e , a b s o l u t e t i m e w o u l d e n t e r a s a n i n d e p e n e n t a r g u m e n t o f g , s o t h a t , s t r i c t l y s p e a k i n g , ( r ( t ) ; x ( t ) ) w o u l d n o t b e M a r k o v i a n ) ; e t z d e n o t e t h e c o n s t a n t v a l u e o f (cid:16) ( t ) . T h i s e s t a b l i s h e s t h e (cid:12) r s t t w o p a r t s o f t h e r o p o s i t i o n , w h i c h h a v e t o d o w i t h t h e f o r m o f (cid:30) a n d , a s a r e s u l t , t h e p r o c e s s e s f o r ( t ) a n d i t s d r i f t , x ( t ) . T h e c o n s t a n t a i n ( B . 1 2 ) i s a r b i t r a r y , s o t h a t t h e d r i f t o f x ( t ) i s y ( t ) = 2 2 ( r ( t ) ; x ( t ) ) = a ! r ( t ) ; b u t w e l e t a = (cid:22) ! , a n d c h o o s e t o p a r a m e t e r i z e g i n (cid:0) e r m s o f (cid:22) a n d ! , r a t h e r t h a n a a n d ! . T o (cid:12) n i s h t h e p r o o f , w e n e e d t o (cid:12) n d t h e f o r m o f t h e i n i t i a l y i e l d c u r v e . G i v e n t h e o r m o f (cid:30) ( t ; T ) , e q u a t i o n s ( B . 3 ) a n d ( B . 7 ) i m p l y t h a t 00 2 f ( 0 ; t ) r ( t ) ; y ( t ) = f ( 0 ; t ) + ! (cid:0) (cid:16) (cid:17) r o m w h i c h w e c o n c l u d e t h a t 00 2 2 2 2 a = (cid:22) ! = f ( 0 ; t ) ( q 1 ) ! (cid:16) + ! f ( 0 ; t ) : ( B . 1 4 ) (cid:0) (cid:0) h i s i s a s e c o n d o r d e r o r d i n a r y d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n , a s o l u t i o n o f w h i c h r e q u i r e s t w o o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e s e c o n d i t i o n s c o m e f r o m t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e s t a t e f t h e s y s t e m , r ( 0 ) a n d x ( 0 ) . C l e a r l y , f ( 0 ; t ) = r ( 0 ) | t h i s a l s o f o l l o w s m e c h a n i c a l l y 0 r o m e q u a t i o n ( B . 3 ) | a n d f r o m e q u a t i o n ( B . 5 ) , w e s e e t h a t f ( 0 ; t ) = x ( 0 ) . T h e Q . E . D . n i q u e s o l u t i o n t o ( B . 1 4 ) s u b j e c t t o t h e s e i n i t i a l c o n d i t i o n s i s ( 2 3 ) . r o o f o f P r o p o s i t i o n 3 e s t a r t b y v e r i f y i n g t h a t t h e s e c o n d s t a t e m e n t , a b o u t t h e p r o c e s s e s o f r ( t ) a n d ( t ) . T h e d r i f t o f r ( t ) i s x ( t ) b y d e (cid:12) n i t i o n . G i v e n t h e a s s u m e d f o r m o f (cid:30) ( t ; T ) , t h e 2 o l a t i l i t i e s o f r ( t ) a n d x ( t ) a r e ( 0 ; ! (cid:16) ( t ) ) a n d ( ! (cid:16) ( t ) ; 0 ) , a s s t a t e d . T h e d r i f t o f (cid:0) ( t ) , y ( t ) , c a n b e c a l c u l a t e d f r o m ( B . 7 ) . G i v e n ( B . 3 ) a n d t h e f o r m o f (cid:30) ( t ; T ) , w e s e e 00 2 2 h a t y ( t ) = f ( 0 ; t ) ! r ( t ) f ( 0 ; t ) + ( q 1 ) (cid:16) ( t ) . T h e s t a t e d r e s u l t f o l l o w s f r o m (cid:0) (cid:0) (cid:0) 00 2 (cid:16) (cid:17) h e a s s u m e d f o r m o f t h e i n i t i a l y i e l d c u r v e , w h i c h i m p l i e s t h a t f ( 0 ; t ) + ! f ( 0 ; t ) = 2 2 ( (cid:22) + ( q 1 ) z ) . (cid:0) W e n o w t u r n t o t h e (cid:12) r s t a n d t h i r d s t a t e m e n t s . T h e f a c t t h a t t h e m o d e l s a t i s (cid:12) e s h e q - e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s i s b u i l t i n t o t h e f o r m o f (cid:30) ( t ; T ) . T h e f o r m o f t h e r o c e s s e s f o r t h e s h o r t r a t e a n d i t s d r i f t c l e a r l y s h o w t h a t ( r ( t ) ; x ( t ) ) i s a M a r k o v i a n e c t o r , s i n c e (cid:16) ( t ) i s a s s u m e d t o b e a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f t h i s v e c t o r . I f t h e m o d e l 2 1

o n ( T s t Q P T f t h e y i e l d c u r v e i s o t i n d e p e n d e n t l y m B . 7 ) m u s t s t i l l h o l d h i s i m p l i e s t h a t f o r o l u t i o n o f t h i s d i (cid:11) e r h e b o u n d a r y c o n d i t f ( t ; t + (cid:28) ) = (cid:22) (cid:16) . E . D . r o o f o f P r o p o h e p r o o f i s i d e n t i c a M a r k a t t e r f o r a n a n y t e n t i a l i o n s f + ( q (cid:0) s i t i o l t o t h o v i a n , t h e n g i v e n t h e v w h a t v a l u e t h e t i m e i n y r e f e r e n c e d a t e t r e p l a 00 2 , f ( t ; t + (cid:28) ) + ! f ( t ; t + e q u a t i o n ( w h e r e t i s (cid:12) x 0 ( t ; t ) = r ( t ) a n d f ( t ; t ) 2 1 ) z 1 c o s [ ! (cid:28) ] + (cid:0) (cid:17) (cid:16) (cid:17) n 4 a t o f t h e p r e v i o u s p r o p 2 2 a l u e o f t h e d e x t h a s . c i n g d a t e 0 2 (cid:28) ) = ! ( (cid:22) e d a n d t h e = x ( t ) i s r ( t ) c o s [ ! (cid:28) Q . o s i t i o n . s t I n ( a + v a ] + E a t e v e c t p a r t i c u n d t + (cid:28) ( q 1 ) z (cid:0) r i a b l e i s x ( t ) s i ! . D . o l a r 2 (cid:28) n r , r , e p ) . ) [ ! i t s h e q u a l a c i n T h e s a t i s f (cid:28) ] : o t g o y u i n i l d o n t ) . l y n g

R [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 ] ] ] ] ] ] ] ] ] 0 1 e ] ] C o C b C a D P D p F i F ( H o H N t E f e r e n c e s a m p b e l l , J . , 1 9 8 6 , A d e f e n s e o f t r a d i t i o n a l h y p o t h e s e s a b o u t J o u r n a l o f F i n a n c e f i n t e r e s t r a t e s . 4 1 , 1 8 3 { 1 9 3 . a m p b e l l , J . , a n d R . S h i l l e r , 1 9 9 1 , Y i e l d s p r e a d s a n d i n t e r e s t r R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s i r d ’ s e y e v i e w . 5 8 , 4 9 5 { 5 1 4 . o x , J . , J . I n g e r s o l l , a n d S . R o s s , 1 9 8 1 , A r e e x a m i n a t i o n o f t r a d J o u r n a l o f F i n a n c e b o u t t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s , D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y u (cid:14) e , D . , 1 9 9 6 , ( P r i n c e t o n r i n c e t o n , N e w J e r s e y , 2 n d e d . ) . u (cid:14) e , D . a n d R . K a n , 1 9 9 3 , A y i e l d - f a c t o r m o d e l o f i n t e r e a p e r , S t a n f o r d U n i v e r s i t y ) . r a c h o t , A . a n d J . - P . L e s n e , 1 9 9 4 , E x p e c t a t i o n s h y p o t h e s e s a n d t i e s ( W o r k i n g p a p e r , B a n q u e d e F r a n c e ) . i s h e r , M . a n d C . G i l l e s , 1 9 9 6 , T e r m p r e m i a i n a n e x p o n e n t W o r k i n g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ) . e a t h , D . , R . J a r r o w , a n d A . M o r t o n , 1 9 9 2 , B o n d p r i c i n g a n d E c o n o m e t r i c a f i n t e r e s t r a t e s : a n e w m e t h o d o l o g y . 6 0 , 7 7 { 1 0 5 O p t i o n s , f u t u r e s , a n d o t h e r d e r i v a t i v e s e c u r i t u l l , J . , 1 9 9 3 , e w J e r s e y , 2 n d . e d . ) . M c C u l l o c h , J . H . , 1 9 9 3 , A r e e x a m i n a t i o n o f t r a d i t i o n a l h y p J o u r n a l o f F i n a n c e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s : A c o m m e n t W o o d w a r d , S . , 1 9 8 3 , T h e l i q u i d i t y p r e m i u m a n d t h e s o l i d i t y p c o n o m i c R e v i e w 7 3 , 3 4 8 { 3 6 1 . 2 3 t h e t e r m s t r u c t u r e a t e m o v e m e n t s : A i t i o n a l h y p o t h e s e s 3 6 , 3 2 1 { 3 4 6 . U n i v e r s i t y P r e s s , s t r a t e s ( W o r k i n g s t o c h a s t i c v o l a t i l i a l - a (cid:14) n e e c o n o m y t h e t e r m s t r u c t u r e . i e s ( P r e n t i c e H a l l , o t h e s e s a b o u t t h e e 4 8 , 7 7 9 { 7 8 9 . A m e r i c a n r e m i u m

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APA

Mark Fisher and Christian Gilles (1997). Around and Around: The Expectations Hypothesis (FEDS 1996-17). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-17

BibTeX

@techreport{wtfs_feds_1996_17,
  author = {Mark Fisher and Christian Gilles},
  title = {Around and Around: The Expectations Hypothesis},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1996-17},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1997},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-17},
  abstract = {We show how to construct arbitrage-free models of he term structure of interest rates in which various expectations hypotheses can hold. McCulloch (1993) provided a Gaussian non-Markovian example of the unbiased expectations hypothesis (U--EH), thereby contradicting the assertion by Cox, Ingersoll, and Ross (CIR, 1981) that only the so-called local expectations hypothesis could hold. We generalize that example in three ways: (i) We characterize the U--EH in terms of forward rates; (ii) we extend this characterization to a class of expectations hypotheses that includes all of those considered by CIR; and (iii) we construct stationary Markovian and non-Gaussian economies. The building block is a maturity-dependent vector that travels around a circle at a constant speed as maturity increases.},
}