Estimating the Price of Default Risk
Abstract
A firm's instantaneous probability of default is modeled as a square-root diffusion process. The parameters of these processes are estimated for 188 firms, using both the time series and cross-sectional (term structure) properties of the individual firms' bond prices. Although the estimated models are moderately successful at bond pricing, there is strong evidence of misspecification. The results indicate that single factor models of instantaneous default risk face a significant challenge in matching certain key features of actual corporate bond yield spreads. In particular, such models have difficulty generating both relatively flat yield spreads when firms have low credit risk and steeper yield spreads when firms have higher credit risk.
E s t i m a t i n g t h e p r i c e o f d e f a u l t r i s k G r e g o r y R . D u (cid:11) e e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d M a il S t o p 9 1 W a s h in g t o n , D C 2 0 5 5 1 2 0 2 - 4 5 2 - 3 0 5 5 g d u (cid:11) e e @ fr b .g o v F ir s t v e r s io n S e p t e m b e r 1 9 9 5 C u r r e n t v e r s io n J u ly 1 9 9 6 A b s t r a c t A (cid:12) r m ’s in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt is m o d e le d a s a s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n p r o c e s s . T h e p a r a m e t e r s o f t h e s e p r o c e s s e s a r e e s t im a t e d fo r 1 8 8 (cid:12) r m s , u s in g b o t h t h e t im e s e r ie s a n d c r o s s - s e c t io n a l ( t e r m s t r u c t u r e ) p r o p e r t ie s o f t h e in d iv id u a l (cid:12) r m s ’ b o n d p r ic e s . A lt h o u g h t h e e s t im a t e d m o d e ls a r e m o d e r a t e ly s u c c e s s fu l a t b o n d p r ic in g , t h e r e is s t r o n g e v id e n c e o f m is s p e c i(cid:12) c a t io n . T h e r e s u lt s in d ic a t e t h a t s in g le fa c t o r m o d e ls o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k fa c e a s ig n i(cid:12) c a n t c h a lle n g e in m a t c h in g c e r t a in k e y fe a t u r e s o f a c t u a l c o r p o r a t e b o n d y ie ld s p r e a d s . I n p a r t ic u la r , s u c h m o d e ls h a v e d i(cid:14) c u lt y g e n e r a t in g b o t h r e la t iv e ly (cid:13) a t y ie ld s p r e a d s w h e n (cid:12) r m s h a v e lo w c r e d it r is k a n d s t e e p e r y ie ld s p r e a d s w h e n (cid:12) r m s h a v e h ig h e r c r e d it r is k . J E L C la s s i(cid:12) c a t io n s : G 1 2 , G 1 3 K e y w o r d s : t e r m s t r u c t u r e , c r e d it r is k , c r e d it r a t in g s , c o r p o r a t e b o n d s , c r e d it d e r iv a t iv e s I t h a n k T o r b e n A n d e r s e n , M a r k F is h e r , D ilip M a d a n , K e n S in g le t o n , a n d C h u n s h e n g Z h o u fo r h e lp fu l c o n v e r s a t io n s , a n d s e m in a r p a r t ic ip a n t s a t a n N B E R D e r iv a t iv e s P r o je c t m e e t in g fo r h e lp fu l c o m m e n t s . T h e a n a ly s is a n d c o n c lu s io n s o f t h is p a p e r a r e t h o s e o f t h e a u t h o r a n d d o n o t in d ic a t e c o n c u r r e n c e b y o t h e r m e m b e r s o f t h e r e s e a r c h s t a (cid:11) , b y t h e B o a r d o f G o v e r n o r s , o r b y t h e F e d e r a l R e s e r v e B a n k s .
1 . I n t r o d u c t i o n T h e r is k o f d e fa u lt a (cid:11) e c t s v ir t u a lly e v e r y (cid:12) n a n c ia l c o n t r a c t . T h e r e fo r e t h e p r ic in g o f d e fa u lt r is k h a s r e c e iv e d m u c h a t t e n t io n ; b o t h fr o m t r a d e r s , w h o h a v e a s t r o n g in t e r e s t in a c c u r a t e ly p r ic in g t r a n s a c t io n s , a n d (cid:12) n a n c ia l e c o n o m is t s , w h o h a v e m u c h t o le a r n fr o m t h e w a y s u c h r is k s a r e p r ic e d in m a r k e t s . T h e s t a n d a r d t h e o r e t ic a l p a r a d ig m fo r m o d e lin g c r e d it r is k s is t h e c o n t in g e n t c la im s a p p r o a c h p io n e e r e d b y B la c k a n d S c h o le s . M u c h o f t h e lit e r a t u r e fo llo w s M e r t o n ( 1 9 7 4 ) b y e x p lic it ly lin k in g t h e r is k o f a (cid:12) r m ’s d e fa u lt t o t h e v a r ia b ilit y in t h e (cid:12) r m ’s a s s e t v a lu e . A lt h o u g h t h is lin e o f r e s e a r c h h a s p r o v e n v e r y u s e fu l in a d d r e s s in g t h e q u a lit a t iv e ly im p o r t a n t a s p e c t s o f p r ic in g c r e d it r is k s , it h a s b e e n le s s 1 s u c c e s s fu l in p r a c t ic a l a p p lic a t io n s . T h e la c k o f s u c c e s s o w e s t o t h e d i(cid:14) c u lt y o f m o d e lin g r e a lis t ic b o u n d a r y c o n d it io n s . T h e s e b o u n d a r ie s in c lu d e b o t h t h e c o n d it io n s u n d e r w h ic h d e fa u lt o c c u r s , a n d in t h e e v e n t o f d e fa u lt , t h e d iv is io n o f t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m a m o n g c la im a n t s . F ir m s ’ c a p it a l s t r u c t u r e s a r e t y p ic a lly q u it e c o m p le x a n d p r io r it y r u le s a r e o ft e n v io la t e d . I n r e s p o n s e t o t h e s e d i(cid:14) c u lt ie s , a n a lt e r n a t iv e m o d e lin g a p p r o a c h h a s b e e n p u r s u e d in a n u m b e r o f r e c e n t p a p e r s , in c lu d in g M a d a n a n d U n a l ( 1 9 9 4 ) , D u (cid:14) e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 5 a , 2 1 9 9 5 b ) , a n d J a r r o w a n d T u r n b u ll ( 1 9 9 5 ) . A t e a c h in s t a n t t h e r e is s o m e p r o b a b ilit y t h a t a (cid:12) r m d e fa u lt s o n it s o b lig a t io n s . B o t h t h is p r o b a b ilit y a n d t h e r e c o v e r y r a t e in t h e e v e n t o f d e fa u lt m a y v a r y s t o c h a s t ic a lly t h r o u g h t im e . T h e s t o c h a s t ic p r o c e s s e s d e t e r m in e t h e p r ic e o f c r e d it r is k . A lt h o u g h t h e s e p r o c e s s e s a r e n o t fo r m a lly lin k e d t o t h e (cid:12) r m ’s a s s e t v a lu e , t h e r e is p r e s u m a b ly s o m e u n d e r ly in g r e la t io n , t h u s D u (cid:14) e a n d S in g le t o n d e s c r ib e t h is a lt e r n a t iv e a p p r o a c h a s a r e d u c e d fo r m m o d e l. T h is c la s s o f m o d e ls is m u c h m o r e t r a c t a b le m a t h e m a t ic a lly t h a n M e r t o n - t y p e m o d e ls , r a is in g h o p e s t h a t it w ill b e u s e fu l in p r a c t ic a l a p p lic a t io n s . H o w e v e r , e m p ir ic a l im p le m e n t a t io n o f t h is t y p e o f m o d e l is in it s in fa n c y . T h e fe w a n a ly s e s t h a t h a v e b e e n d o n e t o d a t e (cid:12) t s u c h m o d e ls t o a g g r e g a t e y ie ld in d e x e s , h e n c e t h e a b ilit y o f t h e s e m o d e ls t o p r ic e a c c u r a t e ly t h e c r e d it r is k s a s s o c ia t e d w it h p a r t ic u la r in s t r u m e n t s is u n k n o w n . T h is p a p e r is a n e (cid:11) o r t t o d e t e r m in e , o n a b r o a d s c a le , w h e t h e r o n e s u c h m o d e l c a n d e s c r ib e s u c c e s s fu lly in d iv id u a l c o r p o r a t e b o n d p r ic e s . T h e d a t a c o n s is t o f m o n t h - e n d o b s e r v a t io n s o n n o n c a lla b le c o r p o r a t e b o n d s fr o m J a n u a r y 1 9 8 5 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 ; in t o t a l, o v e r 4 0 ,0 0 0 b o n d - p r ic e o b s e r v a t io n s a c r o s s 1 8 8 (cid:12) r m s . T h e v a s t m a jo r it y o f t h e b o n d s a r e r a t e d in v e s t m e n t g r a d e . I fo llo w C h e n a n d S c o t t ( 1 9 9 3 ) a n d u s e m a x im u m lik e lih o o d t o e s t im a t e a t w o - fa c t o r , s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n m o d e l o f d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . T h e m o d e l is e x t e n d e d t o c o r p o r a t e b o n d s b y a s s u m in g t h a t t h e in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y t h a t a g iv e n (cid:12) r m d e fa u lt s o n it s 1 O n e illu s t r a t io n o f t h is la c k o f s u c c e s s is t h a t v e r y fe w p a p e r s h a v e e v e n a t t e m p t e d t o p r ic e p a r t ic u la r in s t r u m e n t s . T h e s t a n d a r d r e fe r e n c e is J o n e s , M a s o n , a n d R o s e n fe ld ( 1 9 8 4 ) , w h o (cid:12) n d t h a t , e v e n fo r (cid:12) r m s w it h v e r y s im p le c a p it a l s t r u c t u r e s , a M e r t o n - t y p e m o d e l is u n a b le t o p r ic e in v e s t m e n t - g r a d e c o r p o r a t e b o n d s b e t t e r t h a n a n a iv e m o d e l t h a t a s s u m e s n o r is k o f d e fa u lt . 2 R e s e a r c h e r s a ls o c o n t in u e t o e x t e n d M e r t o n - s t y le m o d e ls t o a d d r e s s t h e s e p r o b le m s . R e c e n t e x a m p le s a r e L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) a n d Z h o u ( 1 9 9 6 ) . 1
o b lig a t e d b o n d p a y m e n t s fo llo w s a s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n p r o c e s s . T o s im p lify t h e e s t im a t io n p r o c e d u r e , I a s s u m e t h a t e a c h (cid:12) r m ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y p r o c e s s is in d e p e n d e n t o f d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . T h e g o a l o f t h is e x e r c is e is t o d e t e r m in e w h ic h fe a t u r e s o f t h e d a t a a r e w e ll- d e s c r ib e d b y t h is m o d e l, a n d w h ic h fe a t u r e s a r e in c o n s is t e n t w it h t h e m o d e l. I n t h is v e in , t h e r e a r e a n u m b e r o f is s u e s t o c o n s id e r . H o w w e ll d o e s t h is s in g le - fa c t o r p r o c e s s c a p t u r e t h e c r o s s s e c t io n a l a n d t im e - s e r ie s p a t t e r n s in c o r p o r a t e b o n d y ie ld s ? I s it a p p r o p r ia t e t o m o d e l (cid:12) r m s ’ d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a s in d e p e n d e n t o f d e fa u lt - fr e e r a t e s ? I a ls o c o n s id e r t h e a b ilit y o f t h e m o d e l t o p r ic e in s t r u m e n t s o t h e r t h a n c o r p o r a t e b o n d s ; in p a r t ic u la r , c r e d it d e r iv a t iv e s w it h p a y o (cid:11) s t ie d t o m u lt ip le d e fa u lt s o n c o r p o r a t e b o n d s . O n a v e r a g e , t h e m o d e l (cid:12) t s c o r p o r a t e b o n d p r ic e s r e a s o n a b ly w e ll. F o r t h e t y p ic a l (cid:12) r m , t h e r o o t m e a n s q u a r e d e r r o r in y ie ld s is in t h e n e ig h b o r h o o d o f 1 8 b a s is p o in t s . H o w e v e r , t h e m o d e l fa ils in a n u m b e r o f w a y s . S o m e o f t h e s e fa ilu r e s c a n b e t ie d t o t h e s q u a r e - r o o t s p e c i(cid:12) c a t io n o f v o la t ilit y , b u t o t h e r s a p p e a r t o b e m o r e g e n e r a lly a p p lic a b le t o s in g le - fa c t o r d e s c r ip t io n s o f t h e e v o lu t io n o f d e fa u lt p r o b a b ilit ie s o v e r t im e . T h e m o s t b a s ic fa ilu r e is t h e in a b ilit y o f t h e m o d e l t o s im u lt a n e o u s ly (cid:12) t b o t h t h e le v e l a n d t h e s lo p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f in v e s t m e n t g r a d e b o n d y ie ld s p r e a d s ( o v e r T r e a s u r ie s ) . F o r t h e t y p ic a l (cid:12) r m a n d m a t u r it ie s e x a m in e d in t h is p a p e r , t h e o b s e r v e d t e r m s t r u c t u r e o f y ie ld s p r e a d s is p o s it iv e ly s lo p e d , a n d t h e s lo p e is p o s it iv e ly r e la t e d t o t h e le v e l o f s p r e a d s . F o r e x a m p le , w h e n t h e le v e l o f a t y p ic a l in v e s t m e n t - g r a d e (cid:12) r m ’s t e r m s t r u c t u r e o f s p r e a d s is lo w , it is a ls o c lo s e t o h o r iz o n t a l. W h e n t h e le v e l r is e s , s o d o e s t h e s lo p e . ( E a r lie r r e s e a r c h h a s o b s e r v e d t h e s a m e p a t t e r n in t h e t e r m s t r u c t u r e s o f a g g r e g a t e y ie ld s p r e a d s o n in v e s t m e n t - g r a d e b o n d s .) T h is p a t t e r n im p lie s t h a t u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h e d r ift in in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k m u s t b e p o s it iv e ly r e la t e d t o it s le v e l. T h e p r o b le m is t h a t t h e s iz e o f t h e p o s it iv e r e la t io n t h a t is n e e d e d t o e x p la in t h e v a r ia t io n in t h e s lo p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e is in c o n s is t e n t w it h t h e v e r y (cid:13) a t t e r m s t r u c t u r e s t h a t a r e o b s e r v e d w h e n t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y is lo w . R o u g h ly s p e a k in g , e v e n if a (cid:12) r m c u r r e n t ly h a s a v e r y lo w in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k , t h e p o s s ib ilit y ( u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e ) o f a fu t u r e e x p lo s iv e in c r e a s e in t h is r is k is t o o la r g e t o b e c o n s is t e n t w it h a v e r y (cid:13) a t t e r m s t r u c t u r e o f y ie ld s p r e a d s . S in g le fa c t o r m o d e ls a ls o a r e o f lim it e d u s e in p r ic in g d e r iv a t iv e in s t r u m e n t s t h a t h a v e p a y o (cid:11) s t ie d t o t h e jo in t d e fa u lt b e h a v io r o f (cid:12) r m s w it h c lo s e ly t ie d p r o s p e c t s ( s a y , S & L s in T e x a s d u r in g t h e 1 9 8 0 s ) . T h e d i(cid:14) c u lt y is t h a t t h e s e m o d e ls a r e u n a b le t o g e n e r a t e d e fa u lt c o r r e la t io n s a c r o s s (cid:12) r m s t h a t a r e m u c h la r g e r t h a n z e r o . T h e n e x t s e c t io n d is c u s s e s s o m e o f t h e p r e v io u s e m p ir ic a l w o r k in t h is a r e a . I t is fo llo w e d b y a b r ie f d e s c r ip t io n o f t h e m o d e l a n d t h e e s t im a t io n p r o c e d u r e . T h e fo u r t h a n d (cid:12) ft h s e c t io n s r e p o r t t h e r e s u lt s o f e s t im a t in g t h e d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e p r o c e s s a n d (cid:12) r m s ’ d e fa u lt p r o c e s s e s , r e s p e c t iv e ly . T h e s ix t h s e c t io n lo o k s a t t h e r e la t io n b e t w e e n c r e d it r a t in g s a n d d e fa u lt r is k a n d t h e s e v e n t h s e c t io n lo o k s a t c r e d it d e r iv a t iv e p r ic in g . T h e e ig h t h s e c t io n c o n c lu d e s t h e p a p e r . 2 . P r i o r e m p i r i c a l e v i d e n c e A c a d e m ic r e s e a r c h in t o c r e d it r is k p r ic in g , in c lu d in g t h e p r e s e n t p a p e r , r e lie s a lm o s t 2
e x c lu s iv e ly o n t h e c o n t in g e n t - c la im s fr a m e w o r k . I t is w o r t h n o t in g t h a t t h e a s s u m p t io n s u n d e r ly in g t h is fr a m e w o r k a r e p r o b a b ly n o t s a t is (cid:12) e d . A lt h o u g h c r e d it r is k h a s e x is t e d e v e r s in c e (cid:12) n a n c ia l c o n t r a c t s w e r e t r a d e d , in m a n y r e s p e c t s c r e d it r is k is t h e n e w fr o n t ie r o f a s s e t p r ic in g o n W a ll S t r e e t . B e c a u s e t h e s t o c h a s t ic b e h a v io r o f c r e d it r is k is n o t w e ll- u n d e r s t o o d b y m a r k e t p a r t ic ip a n t s , id e n t ify in g p o t e n t ia l a r b it r a g e o p p o r t u n it ie s is d i(cid:14) c u lt . I n a d d it io n , m a r k e t s fo r c r e d it r is k a r e t y p ic a lly illiq u id a n d a s y m m e t r ic in fo r m a t io n p r o b le m s a b o u n d . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e e (cid:11) e c t s t h a t c r e d it r is k s h a v e o n a s s e t p r ic e s , it m a k e s s e n s e t o fo c u s o n t h o s e m a r k e t s w h e r e c r e d it r is k is im p o r t a n t . B y t h is m e t r ic , it is n a t u r a l t o lo o k a t c o r p o r a t e b o n d p r ic e s . T h e p r ic in g o f c r e d it r is k is m u c h m o r e im p o r t a n t fo r c o r p o r a t e b o n d s t h a n fo r in t e r e s t r a t e s w a p s , b e c a u s e d e fa u lt r is k s h o u ld h a v e a v e r y s m a ll e (cid:11) e c t o n s w a p p r ic e s ( S o r e n s e n a n d B o llie r 1 9 9 4 , D u (cid:14) e a n d H u a n g 1 9 9 6 ) . M o r e o v e r , t h e m a r k e t fo r s e a s o n e d c o r p o r a t e b o n d s is r e la t iv e ly m o r e liq u id t h a n t h e ( p r a c t ic a lly n o n e x is t e n t ) m a r k e t fo r s e a s o n e d s w a p s . M a d a n a n d U n a l ( 1 9 9 4 ) e x a m in e a n o t h e r (cid:12) n a n c ia l in s t r u m e n t fo r w h ic h c r e d it r is k is im p o r t a n t : C e r t i(cid:12) c a t e s o f d e p o s it is s u e d b y r o u g h ly 3 0 0 t h r ift in s t it u t io n s o v e r J a n u a r y 1 9 8 7 t o D e c e m b e r 1 9 9 1 . T h e y u s e d a m o d e l o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k t o r e la t e t h e t im e v a r ia t io n in a v e r a g e t h r ift C D r a t e s t o v a r ia t io n s in a v e r a g e t h r ift s t o c k p r ic e s , c o r e d e p o s it r a t io s , a n d r e t u r n s t o a n in d e x o f lo w - g r a d e b o n d s . G r in b la t t ( 1 9 9 5 ) e x p lo r e s t h e r e la t io n b e t w e e n m id - m a r k e t in t e r e s t - r a t e s w a p s p r e a d s a n d L I B O R , a lt h o u g h h e a r g u e s t h a t t h is r e la t io n is d r iv e n b y a liq u id it y y ie ld t o T r e a s u r y s e c u r it ie s in s t e a d o f d e fa u lt r is k . H e e s t im a t e s t w o d i(cid:11) e r e n t s in g le - fa c t o r fo r m s o f t h is s p r e a d ( s q u a r e - r o o t a n d G a u s s ia n ) . T h e u s e o f y ie ld in d e x e s , in s t e a d o f (cid:12) r m - s p e c i(cid:12) c y ie ld s , is ju s t i(cid:12) e d in G r in b la t t ’s w o r k b e c a u s e o f h is m a in t a in e d a s s u m p t io n t h a t d e fa u lt r is k is e s s e n t ia lly ir r e le v a n t in t h e d e t e r m in a t io n o f s w a p s p r e a d s . D u (cid:14) e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 5 b ) a ls o a n a ly z e m id - m a r k e t s w a p q u o t e s , m o d e lin g s w a p y ie ld s w it h a t w o - fa c t o r s q u a r e - r o o t p r o c e s s . B e c a u s e t h e y a r e u n w illin g t o a s s u m e t h a t s w a p q u o t e s a r e u n r e la t e d t o d e fa u lt r is k , t h e ir u s e o f m id - m a r k e t y ie ld s o n n e w ly - is s u e d s w a p s is e x p lic it ly ju s t i(cid:12) e d b y a s s u m in g t h a t a ll s w a p c o u n t e r p a r t ie s m a in t a in a c r e d it r a t in g o f A u n t il t h e s w a p m a t u r e s o r d e fa u lt o c c u r s . A lt h o u g h c le a r ly a t o d d s w it h r e a lit y , a n y e r r o r s in d u c e d b y t h is a s s u m p t io n a r e s m a ll b e c a u s e s w a p y ie ld s a r e n o t v e r y r e s p o n s iv e t o v a r ia t io n s in d e fa u lt r is k . N ie ls e n a n d R o n n ( 1 9 9 6 ) a s s u m e t h a t in s t a n t a n e o u s c o r p o r a t e y ie ld s p r e a d s o v e r d e fa u lt fr e e y ie ld s fo llo w a g e o m e t r ic r a n d o m w a lk , w h ile d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s a r e d e s c r ib e d b y a o n e - fa c t o r m o d e l w it h d e t e r m in is t ic t im e - v a r y in g c o e (cid:14) c ie n t s . T h e y (cid:12) t t h e ir m o d e l t o b o t h c o r p o r a t e b o n d y ie ld in d e x e s a n d s w a p s p r e a d s . T h e ir e s t im a t io n p r o c e d u r e u s e s o n ly c r o s s - s e c t io n a l d a t a , n o t t im e - s e r ie s d a t a , t h u s t h e y c a n n o t id e n t ify t h e t r u e ( i.e ., p h y s ic a l) p r o c e s s e s , a n d t h e ir e s t im a t e d p a r a m e t e r s c h a n g e fr o m d a y t o d a y . T h e u s e o f r e fr e s h e d y ie ld in d e x e s is m o r e d i(cid:14) c u lt t o ju s t ify w h e n a n a ly z in g c o r p o r a t e b o n d y ie ld s p r e a d s t h a n w h e n a n a ly z in g s w a p y ie ld s . D u (cid:11) e e ( 1 9 9 6 ) (cid:12) n d s t h a t e m p ir ic a lly , r e fr e s h e d c o r p o r a t e b o n d y ie ld in d e x e s u n d e r r e s p o n d t o a c t u a l v a r ia t io n s in c r e d it q u a lit y . T h is r e s u lt is n o t s u r p r is in g , c o n s id e r in g t h a t c o r p o r a t e b o n d y ie ld s a r e q u it e s e n s it iv e t o v a r ia t io n s in c r e d it q u a lit y , b u t r e fr e s h e d y ie ld in d e x e s h o ld c o n s t a n t o n e m e a s u r e o f c r e d it q u a lit y ( c r e d it r a t in g s ) . 3
3 . T h e m o d e l a n d t h e e s t i m a t i o n t e c h n i q u e T h e u s e o f m u lt ip le in d e p e n d e n t fa c t o r s t o m o d e l t e r m s t r u c t u r e s o f in t e r e s t r a t e s is c o m m o n b e c a u s e s u c h m o d e ls a r e v e r y t r a c t a b le . A t e x t b o o k t r e a t m e n t is in D u (cid:14) e ( 1 9 9 6 ) . M a d a n a n d U n a l ( 1 9 9 4 ) , D u (cid:14) e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 5 a ) , a n d L a n d o ( 1 9 9 4 ) d e s c r ib e h o w t o e x t e n d s u c h m o d e ls t o t h e p r ic in g o f in s t r u m e n t s s u b je c t t o d e fa u lt r is k . T h e m o d e l b e lo w is s t r a ig h t fo r w a r d , t h e r e fo r e c e r t a in d e t a ils a r e r e le g a t e d t o A p p e n d ix 1 . 3 a . A m o d e l o f d e fa u lt r is k I s t a r t b y m o d e lin g d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . T h e in s t a n t a n e o u s n o m in a l d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e is d e n o t e d r . D e n o t e t h e t im e - t p r ic e o f a d e fa u lt - fr e e b o n d t h a t p a y s o (cid:11) a t d o lla r a t t im e T a s P ( t ; T ; 0 ) . ( T h e t h ir d a r g u m e n t is t h e b o n d ’s c o u p o n p a y m e n t , w h ic h is z e r o .) T h e p r ic e o f t h is b o n d is g iv e n b y t h e e x p e c t a t io n , u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , o f t h e c u m u la t iv e d is c o u n t r a t e b e t w e e n t a n d T : T Q P ( t ; T ; 0 ) = E e x p r d u ( 1 ) u t (cid:0) t ( " # ) Z I a s s u m e t h a t r e q u a ls t h e s u m o f t w o fa c t o r s , y a n d y , t h a t fo llo w in d e p e n d e n t t 1 ;t 2 ;t s q u a r e - r o o t s t o c h a s t ic p r o c e s s e s . r = y + y ; ( 2 a ) t 1 ;t 2 ;t y d Z ; d Z ; d Z in d e p e n d e n t : ( 2 b ) d y = (cid:20) ( (cid:18) y ) d t + (cid:27) i;t i;t 1 ;t 2 ;t i;t i i i;t i p (cid:0) U n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h e s e p r o c e s s e s c a n b e r e p r e s e n t e d a s ^ ^ ^ d y = ( (cid:20) (cid:18) ( (cid:20) + (cid:21) ) y ) d t + (cid:27) y d Z ; d Z ; d Z in d e p e n d e n t : ( 3 ) i;t i i i i i;t i i;t i;t 1 ;t 2 ;t p (cid:0) T h e s t o c h a s t ic p r o c e s s e s in ( 3 ) im p ly a c lo s e d - fo r m s o lu t io n fo r z e r o - c o u p o n b o n d p r ic e s . T h e s o lu t io n is a s im p le e x t e n s io n o f C o x , I n g e r s o ll, a n d R o s s ’s ( 1 9 8 5 ) s in g le - fa c t o r b o n d p r ic e e q u a t io n . T h e s o lu t io n is w e ll- k n o w n , a n d is g iv e n in A p p e n d ix 1 . D e fa u lt is m o d e le d a s a n u n p r e d ic t a b le ju m p in a P o is s o n p r o c e s s . T h e in t e n s it y o f t h e p r o c e s s fo r (cid:12) r m j a t t im e t is d e n o t e d h . I n o t h e r w o r d s , t h e p r o b a b ilit y , u n d e r t h e j ;t e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h a t (cid:12) r m j d e fa u lt s d u r in g t h e t im e ( t ; t + d t ) , c o n d it io n a l o n t h e (cid:12) r m n o t d e fa u lt in g p r io r t o t , is h d t . T h r o u g h o u t t h is p a p e r I u s e t h e t e r m s j ;t \ in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt " a n d \ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k " in t e r c h a n g e a b ly ; t h e y b o t h r e fe r t o h . I t s h o u ld b e e m p h a s iz e d t h a t h w ill n o t e q u a l t h e t r u e in s t a n t a n e o u s j ;t j ;t p r o b a b ilit y o f d e fa u lt a s lo n g a s t h e m a r k e t p r ic e o f r is k a s s o c ia t e d w it h t h e P o is s o n p r o c e s s is n o n z e r o . N o w c o n s id e r t h e p r ic e o f a z e r o - c o u p o n b o n d , is s u e d b y (cid:12) r m j , t h a t p a y s a d o lla r a t t im e T u n le s s (cid:12) r m j d e fa u lt s a t o r b e fo r e T . I n t h e e v e n t o f d e fa u lt , t h e b o n d p a y s o (cid:11) n o t h in g . D e n o t e t h e p r ic e o f t h is b o n d a s V ( t ; T ; 0 ; 0 ) . ( T h e t h ir d a r g u m e n t is t h e j 4
b o n d ’s c o u p o n ; t h e fo u r t h is t h e r e c o v e r y v a lu e in t h e e v e n t o f d e fa u lt .) T h e p r ic e o f t h is b o n d is g iv e n b y t h e e x p e c t a t io n , u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , o f a n a d ju s t e d c u m u la t iv e d is c o u n t r a t e b e t w e e n t a n d T . T h is a d ju s t e d d is c o u n t r a t e is r + h . T h e r e fo r e t j ;t t h e b o n d p r ic e is T Q V ( t ; T ; 0 ; 0 ) = E e x p ( r + h ) d u ( 4 ) j u j ;u t (cid:0) t ( " # ) Z I m o d e l t h e in t e n s it y h a s a s in g le - fa c t o r s q u a r e - r o o t p r o c e s s , a s s h o w n in ( 5 ) : j ;t h d Z ( 5 ) d h = (cid:20) ( (cid:18) h ) d t + (cid:27) j ;t j ;t j ;t j j j ;t j (cid:0) U n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h is p r o c e s s c a n b e w r it t e n a s p ^ d h = ( (cid:20) (cid:18) ( (cid:20) + (cid:21) ) h ) d t + (cid:27) h d Z ( 6 ) j ;t j j j j j ;t j j ;t j ;t (cid:0) p T h e B r o w n ia n m o t io n d r iv in g h is a s s u m e d t o b e in d e p e n d e n t o f t h e B r o w n ia n m o - j ;t t io n s d r iv in g t h e d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e fa c t o r s y a n d y . T h e r e fo r e t h e a p p r o p r ia t e 1 ;t 2 ;t d is c o u n t r a t e u s e d fo r p r ic in g t h e c o r p o r a t e b o n d is t h e s u m o f t h r e e in d e p e n d e n t s q u a r e - r o o t p r o c e s s e s , fo r w h ic h a c lo s e d - fo r m s o lu t io n is e a s ily c a lc u la t e d a n d is in A p p e n d ix 1 . R e c a ll t h a t ( 4 ) is t h e p r ic e o f a z e r o - c o u p o n c o r p o r a t e b o n d t h a t p a y s n o t h in g in t h e e v e n t o f d e fa u lt . H o w e v e r , m o d e lin g p a y m e n t s t o b o n d h o ld e r s in t h e e v e n t o f d e fa u lt is o f g r e a t p r a c t ic a l im p o r t a n c e b e c a u s e t h e a m o u n t s r e c o v e r e d a r e la r g e . M o o d y ’s (cid:12) n d s t h a t o n a v e r a g e , s e n io r u n s e c u r e d b o n d h o ld e r s r e c e iv e a p p r o x im a t e ly 4 4 p e r c e n t o f p a r in t h e e v e n t o f d e fa u lt . C o n s id e r a s e n io r u n s e c u r e d z e r o - c o u p o n b o n d is s u e d b y (cid:12) r m j t h a t p r o m is e s t o p a y , a t t im e T , o n e d o lla r . T h is p a p e r fo llo w s J a r r o w , L a n d o , a n d T u r n b u ll ( 1 9 9 4 ) , a m o n g o t h e r s , in a s s u m in g t h a t t h e b o n d p a y s a (cid:12) x e d d o lla r v a lu e (cid:14) a t t im e T in t h e e v e n t o f d e fa u lt a t o r p r io r t o T . T h e a s s u m p t io n o f a c o n s t a n t r e c o v e r y r a t e is o b v io u s ly g r e a t ly a t o d d s w it h r e a lit y . H o w e v e r , it s h o u ld b e t h o u g h t o f a s a n a p p r o x im a t io n t o a m o d e l in w h ic h t h e r e is v e r y lit t le in fo r m a t io n r e v e a le d a b o u t a b o n d ’s r e c o v e r y v a lu e u n t il t h e is s u e r is c lo s e t o d e fa u lt . D a s a n d T u fa n o ( 1 9 9 5 ) a r g u e t h a t r e c o v e r y r a t e s v a r y s y s t e m a t ic a lly w it h d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s , b u t t h e ir e v id e n c e is t o o p r e lim in a r y t o ju s t ify a m o r e c o m p lic a t e d a n a ly s is h e r e . T h e p r ic e o f a z e r o - c o u p o n b o n d w it h r e c o v e r y r a t e (cid:14) is d e n o t e d V ( t ; T ; 0 ; (cid:14) ) . T h e j a b s e n c e o f a r b it r a g e r e q u ir e s t h a t a ft e r d e fa u lt , t h e p r ic e o f t h is b o n d e q u a ls t h e p r ic e o f a d e fa u lt - fr e e z e r o c o u p o n b o n d p a y in g (cid:14) a n d m a t u r in g a t t im e T . I n a d d it io n , n o a r b it r a g e r e q u ir e s t h a t , p r io r t o d e fa u lt , V ( t ; T ; 0 ; (cid:14) ) = (cid:14) P ( t ; T ; 0 ) + ( 1 (cid:14) ) V ( t ; T ; 0 ; 0 ) ( 7 ) j j (cid:0) T h e r e fo r e z e r o - c o u p o n b o n d s w it h r e c o v e r y v a lu e in t h e e v e n t o f d e fa u lt c a n b e e a s ily p r ic e d in t e r m s o f d e fa u lt - fr e e a n d d e fa u lt - r is k y , n o - r e c o v e r y z e r o - c o u p o n b o n d s . T h e e m p ir ic a l w o r k t h a t fo llo w s u s e s b o n d s t h a t p a y c o u p o n s s e m ia n n u a lly . T h e p r ic e s o f s u c h b o n d s a r e s im p ly t h e s u m o f t h e p r ic e s o f t h e in d iv id u a l c a s h (cid:13) o w s a s s o c ia t e d w it h t h e b o n d s . 5
3 b . E s t im a t io n m e t h o d o lo g y T h e r e a r e a n u m b e r o f m e t h o d s t h a t c a n b e u s e d t o e s t im a t e t h is m o d e l u s in g b o t h t h e c r o s s - s e c t io n a l a n d t im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f b o n d y ie ld s . I a d o p t t h e m e t h o d u s e d b y C h e n a n d S c o t t ( 1 9 9 3 ) in t h e ir a n a ly s is o f T r e a s u r y y ie ld s a n d D u (cid:14) e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 5 b ) in t h e ir a n a ly s is o f s w a p y ie ld s . T h e y a s s u m e t h a t , w it h a n n - fa c t o r t e r m s t r u c t u r e m o d e l, t h e 3 p r ic e s o f e x a c t ly n b o n d s a r e m e a s u r e d w it h o u t e r r o r a t e a c h t im e p e r io d . G iv e n t h e m o d e l p a r a m e t e r s , t h e b o n d p r ic e s c a n b e in v e r t e d t o id e n t ify e a c h p e r io d ’s s t a t e v a r ia b le s . W it h s o m e s t r u c t u r e p la c e d o n t h e m e a s u r e m e n t e r r o r o f o t h e r b o n d s ’ p r ic e s , t h e c o n d it io n a l lo g d e n s it ie s o f e a c h p e r io d ’s e n t ir e t e r m s t r u c t u r e o f b o n d p r ic e s c a n b e c a lc u la t e d . T h e m o d e l is e s t im a t e d b y (cid:12) n d in g t h e s e t o f p a r a m e t e r s t h a t m a x im iz e s t h e s u m o f c o n d it io n a l lo g lik e lih o o d s . A lt h o u g h t h is d e s c r ip t io n o f m e a s u r e m e n t e r r o r is a d h o c ( a n d a lm o s t c e r t a in ly fa ls e ) , it is e x t r e m e ly c o n v e n ie n t . I n a d d it io n , b y a lt e r in g t h e p o in t s o n t h e c o r p o r a t e b o n d y ie ld c u r v e t h a t a r e a s s u m e d m e a s u r e d w it h o u t e r r o r , t h is a p p r o a c h w ill p r o v e u s e fu l in in v e s t ig a t in g p o s s ib le m o d e l m is s p e c i(cid:12) c a t io n . I u s e m o n t h - e n d p r ic e s o f T r e a s u r y b o n d s a n d c o r p o r a t e b o n d s is s u e d b y 1 8 8 (cid:12) r m s 4 t o e s t im a t e , u s in g m a x im u m lik e lih o o d , t h e p a r a m e t e r s o f ( 2 ) , ( 3 ) , ( 5 ) , a n d ( 6 ) . T h e p a r a m e t e r s o f ( 5 ) a n d ( 6 ) a r e (cid:12) r m - s p e c i(cid:12) c , i.e . t h e y a r e n o t r e s t r ic t e d t o b e c o n s t a n t a c r o s s (cid:12) r m s . F ir m j ’s b o n d p r ic e s d e p e n d o n t h e p r o c e s s e s fo r y a n d y a s w e ll a s t h e p r o c e s s fo r 1 ;t 2 ;t h . T h u s it w o u ld b e m o r e e (cid:14) c ie n t t o e s t im a t e t h e d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e a n d d e fa u lt j ;t p r o b a b ilit y p r o c e s s e s jo in t ly in s t e a d o f s e p a r a t e ly . U n fo r t u n a t e ly , it is in fe a s ib le t o jo in t ly e s t im a t e t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s a n d a ll 1 8 8 d e fa u lt p r o b a b ilit y p r o c e s s e s . A n a lt e r n a t iv e is , fo r e a c h (cid:12) r m , t o jo in t ly e s t im a t e t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s a n d t h e d e fa u lt - r is k y p r o c e s s fo r t h a t (cid:12) r m . H o w e v e r , t h is a lt e r n a t iv e h a s t h e u n s a t is fy in g fe a t u r e t h a t t h e r e a r e a s m a n y d i(cid:11) e r e n t e s t im a t e d d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s a s t h e r e a r e (cid:12) r m s . I t h e r e fo r e e s t im a t e t h e d e fa u lt fr e e p r o c e s s e s o n c e , u s in g o n ly T r e a s u r y b o n d d a t a . I t h e n u s e t h e r e s u lt in g p a r a m e t e r e s t im a t e s a n d im p lie d o b s e r v a t io n s o f t h e s t a t e v a r ia b le s y a n d y t o s e p a r a t e ly e s t im a t e 1 ;t 2 ;t t h e p a r a m e t e r s o f e a c h (cid:12) r m ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o c e s s . ( I n o t h e r w o r d s , 1 8 8 d i(cid:11) e r e n t m a x im u m lik e lih o o d o p t im iz a t io n p r o b le m s w e r e s o lv e d , o n e fo r e a c h (cid:12) r m .) D e t a ils o f t h e e s t im a t io n p r o c e d u r e a r e in A p p e n d ix 2 . 4 . D e f a u l t - f r e e p a r a m e t e r e s t i m a t i o n A t e a c h m o n t h - e n d fr o m J a n u a r y 1 9 8 5 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 , p r ic e s o f s e v e n d i(cid:11) e r e n t T r e a s u r y n o n c a lla b le c o u p o n b o n d s a r e o b s e r v e d . ( T h e d a t a a r e fr o m C R S P .) T h e s h o r t e s t - 3 C h e n a n d S c o t t a c t u a lly a s s u m e t h a t t h e s u m o f lo g b o n d p r ic e s is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . 4 T h e u s e o f T r e a s u r y b o n d s t o e s t im a t e t h e d e fa u lt - fr e e t e r m s t r u c t u r e is n o t in n o c u o u s . G r in b la t t ( 1 9 9 5 ) a r g u e s t h a t T r e a s u r ie s p r o v id e a liq u id it y y ie ld , s o t h a t t h e s p r e a d o f c o r p o r a t e b o n d s o v e r T r e a s u r y b o n d s r e (cid:13) e c t s b o t h c r e d it r is k a n d t h is ‘c o n v e n ie n c e ’ y ie ld . I n a d d it io n , in c o m e fr o m T r e a s u r y b o n d s is n o t t a x a b le a t t h e s t a t e le v e l, u n lik e in c o m e fr o m c o r p o r a t e b o n d s . 6
m a t u r it y b o n d in e v e r y m o n t h h a s s lig h t ly le s s t h a n s ix m o n t h s t o m a t u r it y ( i.e ., it is a z e r o - c o u p o n b o n d .) T h e o t h e r b o n d s h a v e m a t u r it ie s o f a p p r o x im a t e ly o n e , t h r e e , (cid:12) v e , s e v e n , t e n a n d t h ir t y y e a r s . T h e a c t u a l m a t u r it ie s v a r y s o m e w h a t o v e r t h e p e r io d , a s d o t h e c o u p o n s . I a s s u m e t h a t t h e o n e - y e a r a n d t e n - y e a r b o n d s a r e m e a s u r e d w it h o u t e r r o r . T h is c h o ic e is a p r a g m a t ic o n e . T h e m a t u r it ie s o f t h e c o r p o r a t e b o n d s e x a m in e d in t h is p a p e r a r e c o n c e n t r a t e d in t h e o n e t o t e n y e a r r a n g e , h e n c e t o a c c u r a t e ly e x t r a c t d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , it is m o r e im p o r t a n t t o a c c u r a t e ly (cid:12) t t h e d e fa u lt - fr e e t e r m s t r u c t u r e in t h is r a n g e t h a n in o t h e r r a n g e s ( s a y , a t t h e v e r y s h o r t o r lo n g e n d s ) . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d 2 w it h e r r o r . T h e m e a s u r e m e n t e r r o r fo r b o n d i a t t im e t h a s v a r ia n c e S , w h ic h is c o n s t a n t i o v e r t im e . F o r s im p lic it y , m e a s u r e m e n t e r r o r s a r e a s s u m e d t o b e in d e p e n d e n t a c r o s s t a n d i . E s t im a t io n r e s u lt s a r e d is p la y e d in T a b le 1 . S t a n d a r d e r r o r s a r e c o m p u t e d fr o m t h e o u t e r p r o d u c t o f t h e (cid:12) r s t d e r iv a t iv e s . T h e r e s u lt s a r e s im ila r t o t h o s e o f C h e n a n d S c o t t . T h e (cid:12) r s t fa c t o r is c lo s e ly r e la t e d t o t h e ( n e g a t iv e o f ) t h e s p r e a d b e t w e e n lo n g a n d s h o r t b o n d y ie ld s . T h is r e la t io n is illu s t r a t e d in t h e t o p p a n e l o f F ig . 1 , w h ic h d is p la y s b o t h t h e (cid:12) t t e d v a lu e s o f y a n d t h e s p r e a d b e t w e e n t h e t h r e e - m o n t h T r e a s u r y b ill y ie ld a n d t h e 1 ;t t h ir t y - y e a r c o n s t a n t - m a t u r it y b o n d y ie ld c o n s t r u c t e d b y t h e T r e a s u r y . ( N o t e t h a t n e it h e r o f t h e s e y ie ld s w e r e u s e d in t h e e s t im a t io n .) T h e c o r r e la t io n b e t w e e n t h e (cid:12) t t e d v a lu e s a n d t h e s h o r t - lo n g s p r e a d is 0 .9 6 6 a n d t h e c o r r e la t io n b e t w e e n (cid:12) r s t d i(cid:11) e r e n c e s o f t h e t w o s e r ie s is 0 .7 1 1 . T h is fa c t o r e x h ib it s s t a t is t ic a lly a n d e c o n o m ic a lly s ig n i(cid:12) c a n t m e a n r e v e r s io n ; it s h a lf- life is s lig h t ly le s s t h a n 1 1 m o n t h s . T h e s e c o n d fa c t o r is c lo s e ly r e la t e d t o lo n g b o n d y ie ld s , a s illu s t r a t e d in b o t t o m p a n e l o f F ig . 1 . T h e (cid:12) t t e d v a lu e s o f y m o v e a lm o s t in lo c k s t e p w it h t h e T r e a s u r y ’s 3 0 - y e a r b o n d 2 ;t y ie ld . ( T h e c o r r e la t io n o f (cid:12) r s t d i(cid:11) e r e n c e s is 0 .9 5 2 .) W e c a n n o t r e je c t t h e h y p o t h e s is t h a t t h is fa c t o r fo llo w s a m a r t in g a le ( i.e ., (cid:20) = 0 ) . 2 2 T h e s t a n d a r d e r r o r s o n t h e p a r a m e t e r s u s e d fo r b o n d p r ic in g , (cid:20) (cid:18) ; (cid:20) + (cid:21) , a n d (cid:27) , a r e i i i i i a ll v e r y s m a ll. B e c a u s e t h is m o d e l a s s u m e s t h a t t w o p o in t s o n t h e y ie ld c u r v e a r e o b s e r v e d w it h o u t e r r o r , t h e s e s m a ll s t a n d a r d e r r o r s im p ly t h a t t h e e x a c t s h a p e o f t h e y ie ld c u r v e is k n o w n t o g r e a t p r e c is io n . I n o t h e r w o r d s , t h e r e is v e r y lit t le u n c e r t a in t y a b o u t t h e t r u e v a lu e o f y , y , o r t h e ir s u m r . T h e m e a n a s y m p t o t ic s t a n d a r d e r r o r fo r y is 1 4 .5 b a s is 1 ;t 2 ;t t 1 ;t 5 p o in t s ( b .p .) , w h ile t h e c o r r e s p o n d in g m e a n fo r y is 1 4 .1 b .p . T h e s e e r r o r s a r e s t r o n g ly 2 ;t n e g a t iv e ly c o r r e la t e d , t h u s t h e m e a n a s y m p t o t ic s t a n d a r d e r r o r fo r r is o n ly 1 .3 b .p . t T h is t w o - fa c t o r m o d e l c a n n o t a c c u r a t e ly p r ic e a ll T r e a s u r y b o n d s . A s T a b le 1 in d ic a t e s , t h e r o o t m e a n s q u a r e d e r r o r s in t h e y ie ld s r a n g e fr o m a n a v e r a g e o f 2 7 b .p . fo r t h e s ix m o n t h b o n d t o 1 1 b .p . fo r t h e 3 0 y e a r b o n d . T h e r e la t iv e ly la r g e e r r o r in t h e s ix - m o n t h b o n d y ie ld is a c o n s e q u e n c e o f m o d e lin g e r r o r s in lo g p r ic e s in s t e a d o f y ie ld s . F o r a g iv e n e r r o r in a lo g b o n d p r ic e , t h e c o r r e s p o n d in g e r r o r in y ie ld is m u c h la r g e r fo r s h o r t - m a t u r it y b o n d s t h a n fo r lo n g - m a t u r it y b o n d s . 5 D e n o t e t h e g r a d ie n t o f t h e im p lie d s t a t e v a r ia b le y w it h r e s p e c t t o t h e p a r a m e t e r s a s i;t y a n d t h e v a r ia n c e - c o v a r ia n c e m a t r ix o f t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s a s (cid:6) . T h e a s y m p t o t ic i;t 0 r 1 = 2 s t a n d a r d e r r o r fo r y is [( y ) (cid:6) y ] . i;t i;t i;t r r 7
tnecreP 1986 1988 1990 1992 1994 8 6 4 2 0 2- 4- First factor 3 month yield minus 30 year yield tnecreP 1986 1988 1990 1992 1994 21 01 8 6 4 2 0 Second factor 30 year yield F ig u r e 1 . T h e e s t im a t e d f a c t o r s f o r a t w o f a c t o r s q u a r e - r o o t m o d e l o f T r e a s u r y b o n d y ie ld s T h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e is a s s u m e d t o e q u a l t h e s u m o f t w o fa c t o r s t h a t fo llo w s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n p r o c e s s e s . T h e m o d e l is e s t im a t e d w it h m a x im u m lik e lih o o d u s in g a p a n e l o f m o n t h ly T r e a s u r y b o n d d a t a fr o m 1 9 8 5 :1 t h r o u g h 1 9 9 4 :1 2 . A ls o d is p la y e d a r e t h e T r e a s u r y ’s c o n s t a n t - m a t u r it y 3 0 - y e a r b o n d y ie ld a n d t h e s p r e a d b e t w e e n t h e t h r e e - m o n t h T r e a s u r y b ill y ie ld a n d t h e 3 0 - y e a r b o n d y ie ld . C a r e fu l c o n s id e r a t io n o f t h e e s t im a t e d d e fa u lt - fr e e r a t e p r o c e s s is b e y o n d t h e s c o p e o f t h is p a p e r . H o w e v e r , t h e r e is e v id e n c e o f m is s p e c i(cid:12) c a t io n . T h e m o d e l a s s u m e s t h a t t h e p r o c e s s fo r y is in d e p e n d e n t o f t h e p r o c e s s fo r y , b u t t h e (cid:12) t t e d v a lu e s o f y a n d y 1 ;t 2 ;t 1 ;t 2 ;t a r e n e g a t iv e ly c o r r e la t e d . D e n o t e t h e (cid:12) t t e d v a lu e s b y ^y a n d ^y . T h e c o r r e la t io n b e t w e e n 1 ;t 1 ;t (cid:0) (cid:0) ^y ^y a n d ^y ^y is 0 :4 4 5 . P e r h a p s a m o r e r e le v a n t c o r r e la t io n is t h a t b e t w e e n 1 ;t 1 ;t 1 1 ;t 2 ;t 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) in n o v a t io n s t o t h e t w o p r o c e s s e s . E s t im a t e d in n o v a t io n s c a n b e c o n s t r u c t e d b y (cid:12) r s t d e (cid:12) n in g (cid:3) 2 2 ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( y ) = E y y = ^y ; (cid:20) = ^(cid:20) ; (cid:18) = (cid:18) ; (cid:27) = (cid:27) ; E i;t i;t i;t 1 i;t 1 i i i i i t 1 j (cid:18) (cid:19) ( 8 ) (cid:3) 2 c 2 ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) V a r ( y ) = V a r y y = ^y ; (cid:20) = ^(cid:20) ; (cid:18) = (cid:18) ; (cid:27) = (cid:27) : i;t i;t i;t 1 i;t 1 i i i i t 1 i j (cid:18) (cid:19) c 8
T h u s in ( 8 ) , t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s a r e t r e a t e d a s t h e t r u e p a r a m e t e r s in fo r m in g (cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:0) E ( y ) a n d V a r ( y ) . T h e n a n e s t im a t e o f t h e p e r io d - t in n o v a t io n in y is [ ^y i;t i;t i;t i;t t 1 t 1 (cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V a r ( y ) . T h e r e s u lt in g c o r r e la t io n b e t w e e n t h e e s t im a t e d in n o v a t io n s in E ( y ) ]= i;t i;t t 1 t 1 y a n d y is 0 :3 8 3 . 1 ;t 2 ;t p (cid:0) 5 . D e f a u l t r i s k p a r a m e t e r e s t i m a t i o n T h is s e c t io n fo r m s t h e h e a r t o f t h e p a p e r . I t is d iv id e d in t o s e v e n s u b s e c t io n s . T h e (cid:12) r s t d e s c r ib e s t h e d a t a . T h e s e c o n d o v e r v ie w s t h e e s t im a t io n t e c h n iq u e a n d r e s u lt s . T h e t h ir d a n d fo u r t h d is c u s s , in d e t a il, t h e r e s u lt s b a s e d o n a p a r t ic u la r r u le u s e d t o c h o o s e t h o s e c o r p o r a t e b o n d p r ic e s t h a t a r e a s s u m e d t o b e m e a s u r e d w it h o u t e r r o r . T h e (cid:12) ft h d is c u s s e s a lt e r n a t iv e r e s u lt s , b a s e d o n a d i(cid:11) e r e n t r u le u s e d t o c h o o s e p e r fe c t ly - o b s e r v e d b o n d p r ic e s . T h e s ix t h c o m p a r e s t h e s e s e t s o f r e s u lt s a n d d is c u s s e s w h ic h is m o r e r e le v a n t fo r b o n d - p r ic in g p u r p o s e s . T h e s e v e n t h s u b s e c t io n e x a m in e s t h e t im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f (cid:12) r m s ’ d e fa u lt r is k s , in c lu d in g s p e c i(cid:12) c a t io n t e s t s fo r t w o k e y a s s u m p t io n s o f t h e m o d e l: T h e in d e p e n d e n c e b e t w e e n d e fa u lt in t e n s it ie s a n d d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s a n d t h e s q u a r e - r o o t fo r m u la t io n o f v o la t ilit y . 5 .1 . D a t a d e s c r ip t io n C o r p o r a t e b o n d d a t a a r e t a k e n fr o m t h e F ix e d I n c o m e D a t a b a s e fr o m t h e U n iv e r s it y o f W is c o n s in - M ilw a u k e e , w h ic h c o n s is t s o f m o n t h - e n d d a t a o n t h e b o n d s t h a t m a k e u p t h e L e h m a n B r o t h e r s B o n d I n d e x e s . T h is d a t a s e t , w h ic h is d is c u s s e d in m o r e d e t a il in W a r g a ( 1 9 9 1 ) a n d D u (cid:11) e e ( 1 9 9 6 ) , c o v e r s p r im a r ily in v e s t m e n t - g r a d e (cid:12) r m s . I c o n s id e r o n ly n o n c a lla b le , n o n p u t a b le , s e n io r u n s e c u r e d s t r a ig h t b o n d s w it h s e m ia n n u a l c o u p o n s , n o v a r ia t io n in p r o m is e d c o u p o n p a y m e n t s o v e r t im e , n o s in k in g fu n d p r o v is io n s , o r ig in a l m a t u r it ie s o f u n d e r 3 5 y e a r s , a n d w it h a t le a s t o n e y e a r r e m a in in g t o m a t u r it y . B o n d p r ic e o b s e r v a t io n s t h a t a r e c a lc u la t e d u s in g a m a t r ix a r e d r o p p e d . T h e r e fo r e a ll p r ic e s a r e in d ic a t iv e b id p r ic e s q u o t e d b y t r a d e r s . R e la t iv e ly fe w n o n c a lla b le b o n d s w e r e is s u e d p r io r t o 1 9 8 5 , h e n c e I e x a m in e o n ly t h e p e r io d b e g in n in g J a n u a r y 1 9 8 5 a n d e n d in g D e c e m b e r 1 9 9 4 . I s t a r t w it h a s a m p le o f 1 8 8 (cid:12) r m s , w h e r e a (cid:12) r m is d e (cid:12) n e d a s a n y e n t it y w it h a d is t in c t 6 s ix - d ig it C U S I P . F ir m j h a s a m o n t h t \ o b s e r v a t io n " if t h e (cid:12) r m h a s a t le a s t t w o b o n d s w it h v a lid p r ic e s in m o n t h t a n d a t le a s t o n e b o n d w it h a v a lid p r ic e in m o n t h t 1 . I f t h e s e (cid:0) c o n d it io n s a r e m e t , t h e n t h e c o n d it io n a l d e n s it y o f t h e o b s e r v a t io n c a n b e c a lc u la t e d . E a c h o f t h e 1 8 8 (cid:12) r m s h a s a t le a s t 3 6 m o n t h ly o b s e r v a t io n s . ( T h e r e fo r e e a c h o f t h e s e (cid:12) r m s h a s a t le a s t 3 7 m o n t h s o f b o n d p r ic e d a t a .) F ir m s s o m e t im e s is s u e a n u m b e r o f b o n d s w it h v e r y s im ila r m a t u r it y d a t e s . Y ie ld s o n s u c h b o n d s a r e t y p ic a lly v e r y c lo s e ly lin k e d . T h e r e fo r e t o 7 r e d u c e t h e s iz e o f m y m a x im iz a t io n p r o b le m , in t h e s e c a s e s I u s e a s e le c t io n o f b o n d s . 6 P a r e n t s a n d t h e ir s u b s id ia r ie s m a y h a v e d i(cid:11) e r e n t s ix - d ig it C U S I P S . F o r e x a m p le , m y s a m p le in c lu d e s F o r d M o t o r s , F o r d M o t o r C r e d it , a n d F o r d C a p it a l B .V . a s s e p a r a t e (cid:12) r m s . 7 F o r a g iv e n (cid:12) r m a n d m o n t h , I s e le c t t h e b o n d w it h r e m a in in g m a t u r it y c lo s e s t t o o n e y e a r , t h e n t h e b o n d w it h r e m a in in g m a t u r it y c lo s e s t t o t w o y e a r s ( w h ic h m a y b e t h e s a m e b o n d a s t h a t p r e v io u s ly s e le c t e d ) , a n d s o o n u p t o t h ir t y y e a r s . F o r e x a m p le , if a (cid:12) r m h a s 9
T h e m e d ia n n u m b e r o f o b s e r v a t io n s fo r e a c h (cid:12) r m is 5 2 ; t h e m e a n is 6 0 .2 5 , fo r a t o t a l o f 1 1 ,3 2 7 o b s e r v a t io n s o f m o n t h ly t r a n s it io n s a c r o s s a ll (cid:12) r m s . F iv e (cid:12) r m s h a v e o b s e r v a t io n s t h r o u g h o u t t h e p e r io d , o r a t o t a l o f 1 1 9 o b s e r v a t io n s . R e c a ll t h a t e a c h o b s e r v a t io n c o n s is t s o f a t le a s t t w o m o n t h t b o n d p r ic e s . A p p r o x im a t e ly 3 5 p e r c e n t o f t h e 1 1 ,3 2 7 o b s e r v a t io n s h a v e o n ly t w o m o n t h - t b o n d p r ic e s . T w e n t y p e r c e n t o f t h e o b s e r v a t io n s h a v e t h r e e m o n t h - t b o n d p r ic e s , w h ile (cid:12) ft e e n p e r c e n t h a v e fo u r b o n d p r ic e s . T h e m a x im u m n u m b e r o f b o n d s fo r a n y (cid:12) r m a n d a n y m o n t h is 2 5 . T h e m o d e l a s s u m e s t h a t fo r e a c h (cid:12) r m , a s in g le c o r p o r a t e b o n d p r ic e is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r in e v e r y m o n t h . T h e c h o s e n b o n d p r ic e m u s t b e c o n s is t e n t w it h t h e d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e p r o c e s s e s t im a t e d a b o v e . O f t h e m o r e t h a n 4 4 ,0 0 0 c o r p o r a t e b o n d p r ic e s u s e d t o e s t im a t e d e fa u lt - r is k y p r o c e s s e s , 3 6 a r e h ig h e r t h a n t h e im p lie d p r ic e o f a d e fa u lt - fr e e b o n d w it h t h e s a m e m a t u r it y a n d c o u p o n . T h e r e fo r e t h e s e b o n d p r ic e s m u s t b e o b s e r v e d w it h e r r o r t o r u le o u t a r b it r a g e o p p o r t u n it ie s . 5 .2 . D e t a ils o f t h e e s t im a t io n p r o c e d u r e F o r e a c h (cid:12) r m j , I e s t im a t e t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k p r o c e s s t w ic e . T h e (cid:12) r s t e s t im a t io n a s s u m e s t h a t t h e b o n d o b s e r v e d w it h o u t e r r o r in m o n t h t is t h e b o n d w it h t h e lo n g e s t r e m a in in g m a t u r it y in t h a t m o n t h . T h is c h o ic e is b a s e d o n e v id e n c e t h a t m o r e r e c e n t ly is s u e d b o n d s h a v e m o r e a c c u r a t e q u o t e d p r ic e s , p r o b a b ly b e c a u s e t h e y a r e m u c h m o r e a c t iv e ly t r a d e d t h a n a r e s e a s o n e d b o n d s ( W a r g a 1 9 9 1 ) . T h e r e fo r e , fo r a n y t w o c o r p o r a t e b o n d s w it h t h e s a m e o r ig in a l m a t u r it y , t h e b o n d w it h t h e lo n g e r r e m a in in g m a t u r it y is m o r e lik e ly t o h a v e a n a c c u r a t e p r ic e . T o e x a m in e t h e r o b u s t n e s s o f t h e r e s u lt s , t h e s e c o n d e s t im a t io n a s s u m e s t h a t t h e b o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s t o m a t u r it y is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d w it h iid , n o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r 2 w it h v a r ia n c e S . T h e r e fo r e fo r a g iv e n (cid:12) r m , a ll m e a s u r e m e n t e r r o r s a r e a s s u m e d t o t h e j s a m e v a r ia n c e . T h is c o m m o n v a r ia n c e is u n fo r t u n a t e , b e c a u s e t h e m a t u r it ie s o f t h e s e b o n d s v a r y , s o m e t im e s s u b s t a n t ia lly , a c r o s s t im e . H o w e v e r , b e c a u s e b o t h t h e n u m b e r o f b o n d s a n d m a t u r it ie s v a r y o v e r t im e , t h e r e is n o o t h e r c le a r w a y t o m o d e l t h e s e v a r ia n c e s . ( F o r e x a m p le , I m ig h t a s s u m e t h a t t h e r e a r e t w o m e a s u r e m e n t e r r o r v a r ia n c e s ; o n e fo r s h o r t m a t u r it ie s a n d o n e f o r lo n g m a t u r it ie s . B u t t h is w o u ld e (cid:11) e c t iv e ly r e q u ir e t h a t I e x c lu d e fr o m m y e s t im a t io n a ll o f (cid:12) r m j ’s m o n t h ly o b s e r v a t io n s t h a t c o n s is t o f o n ly t w o b o n d p r ic e s , b e c a u s e fo r t h e s e o b s e r v a t io n s a c o n d it io n a l lik e lih o o d c a n n o t b e c o m p u t e d . A s m e n t io n e d a b o v e , t h is is 3 5 p e r c e n t o f t h e d a t a .) I a s s u m e t h a t t h e r e c o v e r y in t h e e v e n t o f d e fa u lt is 4 4 p e r c e n t o f t h e v a lu e o f a n o t h e r w is e e q u iv a le n t d e fa u lt - fr e e in s t r u m e n t . O t h e r d e t a ils o f t h e e s t im a t io n p r o c e d u r e a r e g iv e n in A p p e n d ix 2 . O n e im p o r t a n t d e t a il d e s e r v e s m e n t io n h e r e . I d o n o t a s s u m e s t a t io n a r it y o f t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k p r o c e s s . T h e r e fo r e I d o n o t u s e t h e u n c o n d it io n a l d is t r ib u t io n o f t h e in it ia l o b s e r v a t io n in t h e m a x im u m - lik e lih o o d p r o c e d u r e , a n d h e n c e in s t e a d o f r e q u ir in g b o t h (cid:20) > 0 a n d (cid:18) 0 , I o n ly r e q u ir e (cid:20) (cid:18) 0 . j j j j (cid:21) (cid:21) b o n d s w it h r e m a in in g m a t u r it ie s o f 1 .9 , 2 .2 , 2 .5 , a n d 3 .4 y e a r s , I d r o p t h e b o n d s w it h 2 .2 a n d 2 .5 y e a r s t o m a t u r it y . T h e b o n d w it h 1 .9 y e a r s t o m a t u r it y is in c lu d e d b e c a u s e it is t h e b o n d c lo s e s t t o b o t h o n e a n d t w o y e a r s t o m a t u r it y ; t h e b o n d w it h 3 .4 y e a r s t o m a t u r it y is in c lu d e d b e c a u s e it is t h e b o n d c lo s e s t t o a t h r e e - y e a r m a t u r it y . 1 0
T h e e s t im a t e s o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s fo r m o s t o f t h e 1 8 8 (cid:12) r m s a r e r e a s o n a b le . H o w e v e r , r e s u lt s fo r a fe w (cid:12) r m s a r e im p la u s ib le . F o r e x a m p le , w h e n t h e b o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s t o m a t u r it y is a s s u m e d m e a s u r e d w it h o u t e r r o r , t h r e e o f t h e (cid:12) r m s h a v e im p lie d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s t h a t a t t im e s e x c e e d 6 .5 ( t h e e q u iv a le n t o f a 6 5 0 % in s t a n t a n e o u s d is c o u n t r a t e fo r d e fa u lt ) . T h e s e (cid:12) r m s ’ d a t a h a v e a c o m m o n fe a t u r e : E a c h m o n t h ly o b s e r v a t io n c o n t a in s e x a c t ly t w o b o n d s . B y a s s u m p t io n , o n e o f t h e s e b o n d p r ic e s is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r , t h u s t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s t h a t m a x im iz e t h e lik e lih o o d fu n c t io n n e e d o n ly (cid:12) t a s in g le o t h e r p o in t o n t h e c o r p o r a t e b o n d t e r m s t r u c t u r e . F o r t h e s e t h r e e (cid:12) r m s , t h is m a x im iz a t io n r e s u lt e d in p a r a m e t e r e s t im a t e s t h a t w e r e w ild ly u n r e a lis t ic a t o t h e r p o in t s o n t h e t e r m s t r u c t u r e . T h is d is c u s s io n s u g g e s t s t h a t r e lia b le r e s u lt s fo r a g iv e n (cid:12) r m a r e m o r e lik e ly if, fo r a t le a s t o n e m o n t h ly o b s e r v a t io n , t h e r e a r e d a t a fo r m o r e t h a n t w o p o in t s o n t h e (cid:12) r m ’s c o r p o r a t e t e r m s t r u c t u r e . T h is c r it e r io n is m e t fo r 1 6 0 o f t h e 1 8 8 (cid:12) r m s in m y s a m p le . I h e n c e fo r t h r e s t r ic t m y a t t e n t io n t o t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s fo r t h e s e 1 6 0 (cid:12) r m s . A n a lt e r n a t iv e is t o d r o p o n ly t h e t h r e e (cid:12) r m s w it h v e r y h ig h im p lie d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , b u t I c a n n o t b e c o n (cid:12) d e n t t h a t in a c c u r a t e e s t im a t io n w ill a lw a y s s h o w u p in t h e fo r m o f h ig h e s t im a t e s o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e 1 6 0 r e m a in in g (cid:12) r m s a r e lis t e d in A p p e n d ix 3 . I n t h e d is c u s s io n t h a t fo llo w s , I u s e h a t s ( ^x ) t o r e fe r t o e s t im a t e d v a lu e s . T a b le 2 s u m m a r iz e s t h e r e s u lt s fo r t h e 1 6 0 r e m a in in g (cid:12) r m s . T h e t a b le r e p o r t s t h e m e d ia n a n d in t e r q u a r t ile r a n g e o f e a c h e s t im a t e d p a r a m e t e r ( t h e r e a r e 1 6 0 e s t im a t e s o f e a c h p a r a m e t e r , o n e f o r e a c h (cid:12) r m ) . I t a ls o r e p o r t s t h e m e d ia n a n d in t e r q u a r t ile r a n g e o f t h r e e (cid:12) r m - s p e c i(cid:12) c v a lu e s : F ir m ^ j ’s m e a n h , t h e s q u a r e r o o t o f t h e m e a n o f t h e s q u a r e d d i(cid:11) e r e n c e s b e t w e e n t h e a c t u a l j ;t a n d (cid:12) t t e d y ie ld s o n (cid:12) r m j ’s b o n d s ( R M S E ) , a n d (cid:12) r m j ’s m e a n e s t im a t e d p r o b a b ilit y , u n d e r 8 t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h a t it d e fa u lt s w it h in (cid:12) v e y e a r s . P a n e l A r e p o r t s t h e r e s u lt s b a s e d o n n o m e a s u r e m e n t e r r o r in t h e lo n g e s t b o n d ’s p r ic e , w h ile P a n e l B r e p o r t s t h e r e s u lt s b a s e d o n n o m e a s u r e m e n t e r r o r in t h e p r ic e o f t h e b o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s t o m a t u r it y . I n o w d is c u s s in d e t a il t h e r e s u lt s in P a n e l A . 5 .3 . R e s u lt s a s s u m in g n o m e a s u r e m e n t e r r o r in t h e lo n g b o n d T h e s u m m a r y o f (cid:12) r m s ’ ^(cid:20) ’s in P a n e l A o f T a b le 2 in d ic a t e s t h a t fo r m o s t (cid:12) r m s , t h e ir j in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y is a m a r t in g a le . T h e r e fo r e fo r t h e s e (cid:12) r m s , (cid:18) is a n ir r e l- j ^ e v a n t p a r a m e t e r . T h is p a n e l a ls o in d ic a t e s t h a t (cid:21) is t y p ic a lly n e g a t iv e . O f t h e 1 6 0 (cid:12) r m s , j 1 3 9 h a v e n e g a t iv e e s t im a t e s o f (cid:21) . T h e s e n e g a t iv e v a lu e s im p ly t h a t in v e s t o r s r e q u ir e c o m - j p e n s a t io n fo r v a r ia t io n s in d e fa u lt r is k . P u t a n o t h e r w a y , a s s e t s t h a t p a y o (cid:11) w h e n (cid:12) r m s ’ d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e h ig h a r e h ig h ly v a lu e d b y in v e s t o r s . 8 T h e p r o b a b ilit y , fo r m e d a t t im e t , t h a t (cid:12) r m j d e fa u lt s w it h in (cid:12) v e y e a r s fr o m t im e t t+ 5 Q is g iv e n b y 1 E [e x p ( h d u ) ]. I u s e t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s fo r (cid:12) r m j ’s in - j ;u t (cid:0) (cid:0) s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y p r o c e s s t o e v a lu a t e t h is e x p e c t a t io n . I d e (cid:12) n e (cid:12) r m j ’s m e a n R e s t im a t e d (cid:12) v e - y e a r p r o b a b ilit y o f d e fa u lt a s t h e m e a n o f t h is e s t im a t e d e x p e c t a t io n , o v e r a ll t . 1 1
P a n e l A a ls o d o c u m e n t s t h a t d e fa u lt p r o b a b ilit ie s u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e a r e s u b s t a n t ia lly h ig h e r t h a n t h o s e im p lie d b y t h e h is t o r ic a l in c id e n c e o f d e fa u lt . ^ T h e m e d ia n (cid:12) r m ’s m e a n h is 1 .3 p e r c e n t . T h e m e d ia n (cid:12) r m ’s m e a n (cid:12) v e - y e a r e s t im a t e d j ;t c u m u la t iv e d e fa u lt p r o b a b ilit y is 8 .0 p e r c e n t . D e fa u lt p r o b a b ilit ie s b a s e d o n o b s e r v a t io n s o f a c t u a l d e fa u lt s a r e m u c h s m a lle r . T h e b u lk o f t h e (cid:12) r m s in m y s a m p le a r e r a t e d e it h e r A o r B a a b y M o o d y ’s . F o n s , C a r t y , a n d K a u fm a n ( 1 9 9 4 ) r e p o r t s t h e h is t o r ic a l p r o b a b ilit y o f a B a a - r a t e d (cid:12) r m d e fa u lt in g w it h in (cid:12) v e y e a r s is o n ly t w o p e r c e n t , w h ile t h e h is t o r ic a l p r o b a b ilit y fo r a n A - r a t e d (cid:12) r m is le s s t h a n o n e p e r c e n t . W it h in t h e fr a m e w o r k o f m o d e ls o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , t h e r e a r e t w o p o s s ib le w a y s t o r e c o n c ile h ig h e q u iv a le n t m a r t in g a le d e fa u lt p r o b a b ilit ie s w it h lo w a c t u a l d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e (cid:12) r s t is w it h a n e g a t iv e p r ic e o f r is k o f in n o v a t io n s in d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . ( I n t h e s p e c i(cid:12) c m o d e l e x a m in e d in t h is p a p e r , (cid:21) < 0 .) I n o t h e r w o r d s , j t h e m a r k e t p r ic e s c o r p o r a t e b o n d s a s if in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e e x p e c t e d t o ^ r is e fa s t e r t h a n t h e p h y s ic a l m e a s u r e im p lie s . I n d e e d , in P a n e l A , w e s e e (cid:21) < 0 , b u t fo r j t h e s e p a r a m e t e r e s t im a t e s , t h e e (cid:11) e c t is m o d e s t . T h e m e d ia n (cid:12) r m ’s m e a n e s t im a t e d (cid:12) v e y e a r c u m u la t iv e d e fa u lt p r o b a b ilit y u n d e r t h e p h y s ic a l m e a s u r e is 5 .9 p e r c e n t . ( T h is is n o t r e p o r t e d in T a b le 2 .) A lt h o u g h lo w e r t h a n t h e m e d ia n o f 8 .0 p e r c e n t u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h is v a lu e is s t ill m u c h la r g e r t h a n t h e h is t o r ic a l d e fa u lt r a t e . T h e o t h e r w a y t o r e c o n c ile t h e s e h ig h p r o b a b ilit ie s w it h h is t o r ic a l e v id e n c e is t o r e c o g n iz e t h a t h is t h e in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le j ;t m e a s u r e , n o t n e c e s s a r ily u n d e r t h e p h y s ic a l m e a s u r e . E v id e n t ly , in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s u n d e r t h e p h y s ic a l m e a s u r e a r e s m a lle r t h a n h : A s s e t s t h a t p a y o (cid:11) in s t a t e s o f t h e j ;t w o r ld in w h ic h t h e e v e n t o f d e fa u lt o c c u r s a r e h ig h ly v a lu e d . T h is is u n fo r t u n a t e fo r t h o s e w h o w is h t o e s t im a t e p r ic in g m o d e ls fo r c o r p o r a t e b o n d s . I t s a y s t h a t e m p ir ic a lly - o b s e r v e d d e fa u lt r a t e s , s u c h a s t h o s e r e p o r t e d b y M o o d y ’s , c a n n o t b e a p p lie d d ir e c t ly in m o d e ls u s e d 9 fo r p r ic in g . W e r e t u r n t o t h is is s u e in S e c t io n 7 . 2 H o w v o la t ile is t h e r is k o f d e fa u lt ? V o la t ilit y d e p e n d s o n b o t h (cid:27) a n d h . W h e n j ;t j b o t h v a lu e s a r e a t t h e ir m e d ia n v a lu e s in P a n e l A , t h e in s t a n t a n e o u s a n n u a liz e d s t a n d a r d d e v ia t io n o f h is 7 7 .7 b a s is p o in t s , o r r o u g h ly 2 2 b a s is p o in t s p e r m o n t h . W h e t h e r t h is is j ;t la r g e o r s m a ll d e p e n d s o n y o u r m e t r ic . O n e w a y t o t h in k a b o u t t h is v a lu e is t o c o m p a r e it t o t h e v o la t ilit y o f t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt - fr e e r a t e im p lie d b y t h e m o d e l o f S e c t io n 4 . I f b o t h y a n d y a r e a t t h e ir m e a n (cid:12) t t e d v a lu e s o v e r 1 9 8 5 t h r o u g h 1 9 9 4 , t h e in s t a n t a n e o u s 1 ;t 2 ;t a n n u a liz e d s t a n d a r d d e v ia t io n o f r im p lie d b y t h e v a r ia n c e e s t im a t e s in T a b le 1 is 1 .8 9 6 t p e r c e n t , o r 5 5 b a s is p o in t s p e r m o n t h . T h e r e fo r e fo r t h e t y p ic a l (cid:12) r m , t h e s t a n d a r d d e v ia t io n o f t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y is a b o u t t w o - (cid:12) ft h s t h a t o f t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt fr e e r a t e . 5 .4 . C r o s s - s e c t io n a l p r ic in g e r r o r s O n a v e r a g e , t h e m o d e l (cid:12) t s c o r p o r a t e b o n d p r ic e s r e a s o n a b ly w e ll. T h e m e d ia n e s t im a t e 9 L a n d o ( 1 9 9 4 ) d e s c r ib e s h o w e m p ir ic a l d e fa u lt r a t e s c a n b e in c o r p o r a t e d in t o n o - a r b it r a g e m o d e ls o f c o r p o r a t e b o n d p r ic e s u n d e r t h e a s s u m p t io n t h a t t h e e m p ir ic a l in s t a n t a n e o u s r is k o f d e fa u lt e q u a ls t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le in s t a n t a n e o u s r is k o f d e fa u lt . 1 2
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Maturity (years) tnecreP 0 5 10 15 20 25 30 F T o a e o t r y p c r y w b z e s E t I o 5.1 0.1 5.0 0.0 5.0- 0.1- 5.1ig u r e 2 . E r r o r s in (cid:12) t t in g b o n d y ie ld s h is (cid:12) g u r e d is p la y s y ie ld e r r o r s ( a c t u a l le s s (cid:12) t t e d ) p r o d u c e d b y m a x im u m lik e lih o o d e s t im a t io n o f n e fa c t o r s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n m o d e ls o f (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e e s t im a t io n s s u m e s t h a t in e a c h m o n t h , t h e p r ic e o f e a c h (cid:12) r m ’s lo n g e s t - m a t u r it y b o n d is o b s e r v e d w it h o u t r r o r . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d w it h n o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r . 2 f S im p lie s a s t a n d a r d d e v ia t io n o f lo g b o n d p r ic e s o f 7 3 c e n t s p e r $ 1 0 0 . I t is o ft e n e a s ie r j o t h in k o f e r r o r s in y ie ld s p a c e in s t e a d o f lo g p r ic e s p a c e . P a n e l A r e p o r t s t h a t t h e m e d ia n o o t m e a n s q u a r e d y ie ld e r r o r is s lig h t ly o v e r 1 8 b a s is p o in t s . F ig . 2 d is p la y s t h e a c t u a l 1 0 ie ld s le s s t h e (cid:12) t t e d y ie ld s fo r a ll (cid:12) r m s a n d b o n d s . B e c a u s e t h e lo n g e s t a v a ila b le b o n d ’s r ic e is a s s u m e d t o b e m e a s u r e d w it h o u t e r r o r , w e e x p e c t t h a t t h e la r g e s t y ie ld e r r o r s a r e o n c e n t r a t e d a t t h e s h o r t m a t u r it ie s . I n a d d it io n , a s m e n t io n e d e a r lie r , b o n d s w it h s h o r t e m a in in g m a t u r it ie s a r e a ls o m o r e s u b je c t t o p r ic e e r r o r s in d u c e d b y n o n t r a d in g . H o w e v e r , t h is m o d e l h a s a s e r io u s p r o b le m in (cid:12) t t in g c e r t a in fe a t u r e s o f c o r p o r a t e b o n d ie ld s . T h e (cid:12) r s t s ig n o f t h e p r o b le m is t h e s t r ik in g e s t im a t e s o f t h e p a r a m e t e r s a s s o c ia t e d it h t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e . M o s t o f t h e e s t im a t e s o f (cid:20) (cid:18) a r e z e r o , w h ic h is t h e j j o u n d a r y o f t h e p a r a m e t e r s p a c e . I n fa c t , 9 6 o f 1 6 0 e s t im a t e s a r e in d is t in g u is h a b le fr o m 1 1 ^ e r o . I n a d d it io n , ^(cid:20) + (cid:21) is n e g a t iv e fo r m o s t (cid:12) r m s ( 1 3 3 o f 1 6 0 ) . T h e r e fo r e u n d e r t h e j j q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is e x p lo s iv e fo r m o s t (cid:12) r m s , in t h e e n s e t h a t h ig h e r le v e ls o f r is k c o r r e s p o n d t o m o r e r a p id g r o w t h in r is k . T h e s e p a r a m e t e r e s t im a t e s r e (cid:13) e c t s o m e w e ll- k n o w n fe a t u r e s o f c o r p o r a t e b o n d p r ic e s . a r lie r r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t o n a v e r a g e a c r o s s in v e s t m e n t - g r a d e b o n d s , t h e t e r m s t r u c - 1 2 u r e o f y ie ld s p r e a d s is u p w a r d s lo p e d . T h is p o s it iv e s lo p e is s t r o n g e r fo r lo w e r - r a t e d b o n d s 1 0 A fe w e x t r e m e o u t lie r s a r e n o t s h o w n . 1 1 B e c a u s e o f t h is fa c t , t y p ic a l m e t h o d s o f s t a t is t ic a l in fe r e n c e a r e in v a lid . F o r t h is r e a s o n , d o n o t r e p o r t s t a n d a r d e r r o r s fo r t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s . 1 2 T h e fo c u s h e r e is o n in v e s t m e n t - g r a d e b o n d s b e c a u s e t h e d a t a s e t h a s lit t le in fo r m a t io n n s p e c u la t iv e - g r a d e b o n d s . T h e s lo p e s o f t e r m s t r u c t u r e s o f y ie ld s p r e a d s fo r s p e c u la t iv e - 1 3
t h a n h ig h e r - r a t e d b o n d s . F o r e x a m p le , F o n s ( 1 9 9 4 ) (cid:12) n d s t h a t y ie ld s p r e a d s fo r A a a - r a t e d b o n d s a r e e s s e n t ia lly (cid:13) a t a c r o s s m a t u r it ie s , w h ile y ie ld s p r e a d s fo r B a a - r a t e d b o n d s in c r e a s e a b o u t t w o b a s is p o in t s fo r e a c h a d d it io n a l y e a r t o m a t u r it y . S im ila r e v id e n c e is r e p o r t e d in D u (cid:11) e e ( 1 9 9 6 ) a n d in L it t e r m a n a n d I b e n ( 1 9 9 1 ; s e e t h e ir F ig . 3 ) . T h is p a t t e r n is t h e s o u r c e o f t h e n e g a t iv e e s t im a t e s o f (cid:20) + (cid:21) . W h e n in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is lo w ( s a y , w h e n j j a b o n d is r a t e d A a a ) , it m u s t a ls o b e e x p e c t e d , u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t o r e m a in lo w , o t h e r w is e (cid:13) a t y ie ld s p r e a d s c o u ld n o t b e g e n e r a t e d . W h e n in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is h ig h , m u s t b e e x p e c t e d t o in c r e a s e fu r t h e r in o r d e r t o g e n e r a t e s t e e p y ie ld s p r e a d s . T h e r e fo r e u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is n o t o n ly n o n s t a t io n a r y , it is e x p lo s iv e . W h e n (cid:20) + (cid:21) is n e g a t iv e , t e r m s t r u c t u r e s o f y ie ld s p r e a d s im p lie d b y t h is m o d e l m u s t b e j j r is in g ( a t le a s t a t (cid:12) r s t ) e v e n if t h e (cid:12) r m ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is v e r y lo w . I n a d d it io n , a p o s it iv e v a lu e o f (cid:20) (cid:18) im p a r t s a p o s it iv e s lo p e t o t h e t e r m s t r u c t u r e o f y ie ld s p r e a d s a t j j a ll le v e ls o f d e fa u lt r is k . B u t b e c a u s e a c t u a l t e r m s t r u c t u r e s o f y ie ld s p r e a d s a r e v e r y (cid:13) a t w h e n t h e y a r e v e r y lo w , s lo p e s im p lie d b y t h e m o d e l m a y b e g r e a t e r t h a n t h o s e in t h e d a t a e v e n if (cid:20) (cid:18) = 0 . T h is is t h e b a s ic p r o b le m t h e m o d e l h a s in (cid:12) t t in g t h e c r o s s - s e c t io n a l d a t a : j j T h e m o d e l c a n n o t s im u lt a n e o u s ly m a t c h lo w , (cid:13) a t t e r m s t r u c t u r e s a n d h ig h , s t e e p e r t e r m s t r u c t u r e s . T o g r a p h ic a lly illu s t r a t e t h is p r o b le m , I r e p o r t s o m e d e t a ile d r e s u lt s fo r b o n d s is s u e d b y C it ic o r p . I n la t e 1 9 9 0 , C it ic o r p e x p e r ie n c e d s u b s t a n t ia l (cid:12) n a n c ia l d i(cid:14) c u lt ie s . T h e s e d i(cid:14) c u lt ie s w e r e r e (cid:13) e c t e d in la r g e y ie ld s p r e a d s o n t h e ir b o n d s in N o v e m b e r 1 9 9 0 , a s s h o w n in t h e t o p p a n e l o f F ig 3 . I n t h is (cid:12) g u r e , t h e s o lid s q u a r e s r e p r e s e n t a c t u a l T r e a s u r y c o u p o n b o n d y ie ld s a n d t h e s o lid lin e c o n n e c t s t h e T r e a s u r y y ie ld s im p lie d b y t h e t w o - fa c t o r m o d e l o f d e fa u lt - fr e e y ie ld s e s t im a t e d in S e c t io n 4 . A c t u a l y ie ld s o n C it ic o r p ’s b o n d s , s h o w n w it h s o lid t r ia n g le s , r a n g e fr o m 1 5 0 b a s is p o in t s o v e r T r e a s u r ie s a t t h e o n e - y e a r h o r iz o n t o 4 0 0 b a s is p o in t s o v e r T r e a s u r ie s a t t h e n in e - y e a r h o r iz o n . O v e r t im e , t h e d i(cid:14) c u lt ie s s u b s id e d , a n d b y J u n e 1 9 9 4 , y ie ld s p r e a d s o n C it ic o r p ’s b o n d s h a d d r a m a t ic a lly fa lle n fr o m t h e ir e a r lie r le v e ls , a s s h o w n in t h e b o t t o m p a n e l o f F ig . 3 . T h e s in g le - fa c t o r s q u a r e - r o o t p r o c e s s fo r C it ic o r p ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k w a s e s t im a t e d o v e r A u g u s t 1 9 8 7 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 . T h e e s t im a t e s fo r t h e e q u iv a le n t m a r - 2 ^ ^ t in g a le m e a s u r e a r e ^(cid:20) (cid:18) = 0 ; ^(cid:20) + (cid:21) = 0 :2 4 0 , a n d (cid:27) = 0 :0 0 9 4 4 . T h e y ie ld s im p lie d b y j j j j j (cid:0) t h is m o d e l fo r C it ic o r p ’s b o n d s a r e s h o w n w it h h o llo w t r ia n g le s in F ig . 3 . I t is c le a r fr o m c F ig . 3 t h a t t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s p r o d u c e t e r m s t r u c t u r e s o f y ie ld s p r e a d s t h a t a r e t o o (cid:13) a t w h e n y ie ld s p r e a d s a r e h ig h a n d t o o s t e e p w h e n y ie ld s p r e a d s a r e lo w . T h e o n ly w a y t o lo w e r t h e s lo p e o f t h e J u n e 1 9 9 4 (cid:12) t t e d t e r m s t r u c t u r e is t o in c r e a s e t h e v a lu e o f (cid:20) + (cid:21) , b u t j j t h is w o u ld a ls o lo w e r t h e s lo p e o f t h e N o v e m b e r 1 9 9 4 (cid:12) t t e d t e r m s t r u c t u r e . A lt h o u g h t h is e x a m p le is e x t r e m e , c h o s e n t o illu s t r a t e t h e p o in t , t h e fa c t t h a t (cid:20) (cid:18) is e s t im a t e d t o b e z e r o j j fo r 6 0 p e r c e n t o f t h e (cid:12) r m s e x a m in e d in t h is p a p e r is s t r o n g e v id e n c e t h a t t h is s in g le - fa c t o r p r o c e s s is fu n d a m e n t a lly m is s p e c i(cid:12) e d . g r a d e b o n d s a r e e x a m in e d b y S a r ig a n d W a r g a ( 1 9 8 9 ) , F o n s ( 1 9 9 4 ) , a n d H e lw e g e a n d T u r n e r ( 1 9 9 5 ) . O n b a la n c e , t h e e v id e n c e c o n c e r n in g t h e s lo p e o f t h e t y p ic a l s p e c u la t iv e - g r a d e t e r m s t r u c t u r e is m ix e d . 1 4
November 30, 1990 Maturity (years) tnecreP 0 2 4 6 8 10 12 21 01 8 6 June 30, 1994 Maturity (years) tnecreP 0 2 4 6 8 10 12 01 8 6 4 F ig u r e 3 . A c t u a l a n d (cid:12) t t e d y ie ld c u r v e s f o r C it ic o r p S o lid s q u a r e s a r e a c t u a l T r e a s u r y y ie ld s . H o llo w s q u a r e s a r e (cid:12) t t e d T r e a s u r y y ie ld s ; t h e y a r e c o n n e c t e d b y t h e s o lid lin e s . S o lid t r ia n g le s a r e a c t u a l y ie ld s o n C it ib a n k b o n d s . H o llo w t r ia n g le s a r e (cid:12) t t e d y ie ld s ; t h e y a r e c o n n e c t e d b y t h e d o t t e d lin e s . T h e c o r p o r a t e b o n d s y ie ld s a r e e s t im a t e d u n d e r t h e a s s u m p t io n t h a t t h e p r ic e o f t h e lo n g e s t b o n d is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . A g r a p h ic a l s u m m a r y o f t h e e x t e n t o f t h is m is s p e c i(cid:12) c a t io n fo r a ll 1 6 0 (cid:12) r m s is in F ig . 4 . F o r e a c h (cid:12) r m j , t h e m o n t h ly e s t im a t e s o f h w e r e s o r t e d in t o q u a r t ile s . F o r a ll t in t h e j ;t lo w e s t q u a r t ile , t h e e r r o r s in b o n d y ie ld s ( a c t u a l le s s (cid:12) t t e d ) a r e p lo t t e d in t h e t o p p a n e l o f F ig . 4 . F o r a ll t in t h e h ig h e s t q u a r t ile , t h e e r r o r s in b o n d y ie ld s a r e p lo t t e d in t h e b o t t o m p a n e l o f F ig . 4 . T h e r e fo r e t h e t o p p a n e l d is p la y s t h e e r r o r s m a d e b y t h e m o d e l w h e n (cid:12) r m s ’ le v e ls o f d e fa u lt r is k a r e s u b s t a n t ia lly lo w e r t h a n a v e r a g e a n d t h e b o t t o m p a n e l d is p la y s t h e e r r o r s w h e n (cid:12) r m s ’ le v e ls o f d e fa u lt r is k a r e s u b s t a n t ia lly h ig h e r t h a n a v e r a g e . 1 5
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Maturity (years) tnecreP 0 5 10 15 20 25 30 5.1 0.1 5.0 0.0 5.0- 0.1- 5.1- . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . . . . . . ... . . . . ... . . . . .. . ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. . . . . . .. .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . .. .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ... . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . . ... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .... . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . 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Maturity (years) tnecreP 0 5 10 15 20 25 30 F T o a e t d e t p c b t 2 1 0 1- 2ig u r e 4 . E r r o r s in (cid:12) t t in g b o n d y ie ld s h is (cid:12) g u r e d is p la y s y ie ld e r r o r s ( a c t u a l le s s (cid:12) t t e d ) p r o d u c e d b y m a x im u m lik e lih o o d e s t im a t io n f o n e fa c t o r s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n m o d e ls o f (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k s . T h e e s t im a t io n s s u m e s t h a t in e a c h m o n t h , t h e p r ic e o f e a c h (cid:12) r m ’s lo n g e s t - m a t u r it y b o n d is o b s e r v e d w it h o u t r r o r . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d w it h n o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r . T h e o p p a n e l d is p la y s e r r o r s fo r t h e lo w e s t q u a r t ile o f e s t im a t e d d e fa u lt r is k s a n d t h e b o t t o m p a n e l is p la y s e r r o r s fo r t h e h ig h e s t q u a r t ile o f e s t im a t e d d e fa u lt r is k s . T h e a v e r a g e e r r o r in t h e t o p p a n e l o f F ig . 4 is p o s it iv e ( 7 .1 b a s is p o in t s ) , w h ile t h e a v r a g e e r r o r in t h e b o t t o m p a n e l is n e g a t iv e ( 6 :2 b a s is p o in t s ) . R e c a ll t h a t b y c o n s t r u c t io n , (cid:0) h e (cid:12) t t e d a n d a c t u a l y ie ld s p r e a d c u r v e s a lw a y s m e e t a t t h e lo n g e n d . T h e r e fo r e in t h e t o p a n e l, t h e a v e r a g e (cid:12) t t e d y ie ld s p r e a d c u r v e lie s b e lo w t h e c o r r e s p o n d in g a c t u a l y ie ld s p r e a d u r v e e v e r y w h e r e b u t a t t h e lo n g e n d ; i.e ., t h e (cid:12) t t e d y ie ld s p r e a d c u r v e is s t e e p e r . I n t h e o t t o m p a n e l, t h e s ig n s a r e r e v e r s e d , h e n c e t h e a v e r a g e (cid:12) t t e d y ie ld s p r e a d c u r v e is (cid:13) a t t e r h a n t h e a c t u a l y ie ld s p r e a d c u r v e . 1 6
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Maturity (years) tnecreP 0 5 10 15 20 25 30 5.1 0.1 5.0 0.0 5.0- 0.1- 5.1- F ig u r e 5 . E r r o r s in (cid:12) t t in g b o n d y ie ld s T h is (cid:12) g u r e d is p la y s y ie ld e r r o r s ( a c t u a l le s s (cid:12) t t e d ) p r o d u c e d b y m a x im u m lik e lih o o d e s t im a t io n o f o n e fa c t o r s q u a r e - r o o t d i(cid:11) u s io n m o d e ls o f (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k s . T h e e s t im a t io n a s s u m e s t h a t in e a c h m o n t h , t h e p r ic e o f e a c h (cid:12) r m ’s b o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s t o m a t u r it y is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d w it h n o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r . 5 .5 . R e s u lt s a s s u m in g n o m e a s u r e m e n t e r r o r in t h e (cid:12) v e - y e a r b o n d A s in P a n e l A o f T a b le 2 , t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s a s s o c ia t e d w it h t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e in P a n e l B o f T a b le 2 a r e s t r ik in g , b u t t h e y a r e s t r ik in g o n ly in t h e s e n s e t h a t t h e y a r e d r a m a t ic a lly d i(cid:11) e r e n t fr o m t h o s e in P a n e l A . T h e e s t im a t e o f (cid:20) (cid:18) is j j p o s it iv e fo r m o s t (cid:12) r m s ( a ll b u t 1 3 (cid:12) r m s h a v e p o s it iv e e s t im a t e s ) . A ls o in c o n t r a s t t o P a n e l A , in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e n o t e x p lo s iv e fo r m o s t (cid:12) r m s : F o r 9 0 o f t h e (cid:12) r m s , ^ ^(cid:20) + (cid:21) is p o s it iv e . j j A n o t h e r d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n P a n e ls A a n d B is in t h e m o d e ls ’ im p lie d v o la t ilit ie s o f 2 in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k . T h e m e d ia n e s t im a t e o f (cid:27) in P a n e l B is m o r e t h a n t w ic e a s j 2 la r g e a s t h e c o r r e s p o n d in g m e d ia n e s t im a t e in P a n e l A . W h e n (cid:27) a n d h a r e a t t h e ir m e d ia n j ;t j v a lu e s in P a n e l B , t h e in s t a n t a n e o u s a n n u a liz e d s t a n d a r d d e v ia t io n o f h is 3 4 b a s is p o in t s j ;t a m o n t h , v e r s u s 2 2 b a s is p o in t s a m o n t h fo r P a n e l A . T h is d i(cid:11) e r e n c e is e x a m in e d in m o r e d e t a il in t h e n e x t s e c t io n . I n s o m e o t h e r w a y s , t h e r e s u lt s in P a n e l B a r e s im ila r t o t h o s e in P a n e l A . E q u iv a le n t m a r t in g a le d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e h ig h e r in P a n e l B ( b o t h in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit ie s a n d (cid:12) v e - y e a r p r o b a b ilit ie s ) , b u t o n ly m a r g in a lly s o . F ig . 5 d is p la y s t h e a c t u a l y ie ld s le s s t h e (cid:12) t t e d y ie ld s fo r a ll (cid:12) r m s a n d b o n d s . N o t e t h a t p r ic e e r r o r s d is a p p e a r a t t h e (cid:12) v e - y e a r h o r iz o n . B e c a u s e t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s a r e o n t h e b o u n d a r y o f t h e p a r a m e t e r s p a c e fo r o n ly a fe w (cid:12) r m s , w e c a n c o n s t r u c t s t a n d a r d e r r o r s fo r m o s t o f t h e s e e s t im a t e s . I u s e t h e o u t e r p r o d u c t o f (cid:12) r s t d e r iv a t iv e s o f t h e lo g - lik e lih o o d fu n c t io n a n d d o n o t a d ju s t t h e m fo r t h e fa c t t h a t t h e d e fa u lt - fr e e p a r a m e t e r s a r e e s t im a t e d in s t e a d o f k n o w n w it h c e r t a in t y . S u m m a r y s t a t is t ic s fo r t h e s t a n d a r d e r r o r s a r e n o t r e p o r t e d in T a b le 2 , b u t a r e a v a ila b le o n r e q u e s t . H e r e I s u m m a r iz e a c o u p le o f fe a t u r e s o f t h e s e s t a n d a r d e r r o r s . I n g e n e r a l, t h e m e d ia n s t a n d a r d e r r o r s fo r t h e s e p a r a m e t e r s a r e s o m e w h a t la r g e r t h a n t h e s t a n d a r d e r r o r s fo r t h e 1 7
c o r r e s p o n d in g p a r a m e t e r s o f t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s . A s w it h t h e s t a n d a r d e r r o r s fo r t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s , t h e s t a n d a r d e r r o r s fo r t h e p a r a m e t e r s t h a t a r e id e n t i(cid:12) e d u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e a r e e s t im a t e d m u c h m o r e p r e c is e ly t h a n a r e o t h e r p a r a m e t e r s . F o r e x a m p le , t h e m e d ia n s t a n d a r d e r r o r fo r (cid:20) + (cid:21) is 0 .0 2 3 , v e r s u s m e d ia n s t a n d a r d e r r o r s j j fo r (cid:20) a n d (cid:21) o f 0 .4 1 a n d 0 .4 0 r e s p e c t iv e ly . T h e h y p o t h e s is t h a t in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k j j is a m a r t in g a le ( (cid:20) = 0 ) c a n n o t b e r e je c t e d fo r a n y (cid:12) r m . B y c o n t r a s t , t h e c o r r e s p o n d in g j h y p o t h e s is u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e ( (cid:20) + (cid:21) = 0 ) c a n b e r e je c t e d a t t h e 5 % j j le v e l fo r m o s t (cid:12) r m s , w it h t h e r e je c t io n s r o u g h ly e q u a lly s p lit b e t w e e n p o s it iv e a n d n e g a t iv e v a lu e s o f (cid:20) + (cid:21) . j j 5 .6 . I n t e r p r e t in g t h e d i(cid:11) e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o s e t s o f r e s u lt s W h a t a c c o u n t s fo r t h e d i(cid:11) e r e n c e s b e t w e e n P a n e ls A a n d B ? I n p a r t ic u la r , w h y d o t h e e s t im a t e s in P a n e l B n o t im p ly t h e e x p lo s iv e d e fa u lt r is k u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e t h a t is n e c e s s a r y t o c a p t u r e t h e s t e e p e r y ie ld c u r v e s fo r h ig h e r c r e d it r is k s ? T h e b a s ic r e a s o n a p p e a r s t o b e t h e a s s u m p t io n t h a t lo g p r ic e s , in s t e a d o f y ie ld s , a r e m e a s u r e d w it h e r r o r . A n e x a m in a t io n o f F ig s . 2 a n d 5 in d ic a t e s t h a t t h e lo n g b o n d y ie ld e r r o r s a s s o c ia t e d w it h (cid:12) t t in g t h e t e r m s t r u c t u r e w it h (cid:12) v e - y e a r b o n d p r ic e s a r e s o m e w h a t s m a lle r t h a n t h e (cid:12) v e - y e a r b o n d y ie ld e r r o r s a s s o c ia t e d w it h (cid:12) t t in g t h e t e r m s t r u c t u r e w it h lo n g b o n d p r ic e s . H o w e v e r , y ie ld e r r o r s m a d e a t lo n g h o r iz o n s c o r r e s p o n d t o m u c h la r g e r e r r o r s in lo g p r ic e s t h a n d o y ie ld e r r o r s m a d e a t s h o r t h o r iz o n s . T h e r e fo r e e s t im a t e s o f v a r ia n c e s o f lo g p r ic e e r r o r s a r e m u c h la r g e r in P a n e l B t h a n in P a n e l A . P a n e l B ’s m e d ia n 2 e s t im a t e o f S is n e a r ly 1 .7 t im e s t h e c o r r e s p o n d in g e s t im a t e in P a n e l A . j T h is la r g e r v a r ia n c e o f lo g p r ic e im p lie s t h a t m a x im u m - lik e lih o o d e s t im a t io n d o e s n o t p e n a liz e a s h e a v ily p a r a m e t e r e s t im a t e s t h a t p o o r ly m a t c h t h e v a r y in g s lo p e s o f c o r p o r a t e 2 b o n d t e r m s t r u c t u r e s : T h e r e s u lt in g s t a n d a r d iz e d e r r o r s a r e s m a ll b e c a u s e S is la r g e . j T h e r e fo r e t h e m a x im u m - lik e lih o o d e s t im a t io n s u s e d t o c o n s t r u c t P a n e l B p la c e r e la t iv e ly c le s s w e ig h t o n m a t c h in g t h e c r o s s - s e c t io n a l p r o p e r t ie s o f t h e d a t a t h a n d o t h e m a x im u m lik e lih o o d e s t im a t io n s u s e d t o c o n s t r u c t P a n e l A . R e la t iv e ly m o r e w e ig h t is p la c e d o n t h e t im e - s e r ie s p r o p e r t ie s o f t h e d a t a . W e r e t u r n t o t h is is s u e in t h e n e x t s u b s e c t io n . A lt h o u g h le s s w e ig h t is p la c e d o n t h e c r o s s - s e c t io n a l p r o p e r t ie s in P a n e l B , t h e m e d ia n r o o t m e a n s q u a r e d e r r o r s in (cid:12) t t e d y ie ld s a r e n o n e t h e le s s s m a lle r in P a n e l B t h a n in P a n e l A . T h is is a c o n s e q u e n c e o f fo r c in g t h e (cid:12) t t e d t e r m s t r u c t u r e t h r o u g h ( r o u g h ly ) t h e m id d le o f t h e c r o s s - s e c t io n a l d a t a , r a t h e r t h a n fo r c in g it t h r o u g h a n e n d p o in t o f t h e c r o s s - s e c t io n a l d a t a in P a n e l A . T h is a n a ly s is s u g g e s t s t h a t m o d e lin g e r r o r s in y ie ld s in s t e a d o f lo g p r ic e s m a y b e fr u it m e a s u r e m e n t m is s p e c i(cid:12) c a t io n fu l. H o w e v e r , e r r o r , a s o p p o s e d t o e r r o r , is p r o b a b ly b e t t e r m o d e le d in lo g p r ic e s . C o r p o r a t e b o n d s a r e q u o t e d , t r a d e d , a n d r e p o r t e d in p r ic e s , n o t y ie ld s . T h e r e fo r e e r r o r s in q u o t e s ( s a y , t r a n s c r ip t io n e r r o r s o r b id / a s k e r r o r s ) a r e m o r e n a t u r a lly m o d e le d in p r ic e s . M is s p e c i(cid:12) c a t io n e r r o r s m a y b e m o r e a p p r o p r ia t e ly m o d e le d in y ie ld s , b u t if w e t a k e m o d e l m is s p e c i(cid:12) c a t io n s e r io u s ly , it m a k e s m o r e s e n s e t o a b a n d o n t h e s in g le fa c t o r s q u a r e - r o o t m o d e l in fa v o r o f a m o r e (cid:13) e x ib le a lt e r n a t iv e . A n a d d it io n a l p r o b le m w it h t h e in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt e s t im a t e d in P a n e l B is t h a t t h e y a r e b a s e d o n b o n d p r ic e s t h a t a r e b o t h n o is y a n d s t a le . T o d is c u s s 1 8
t h is is s u e , w e (cid:12) r s t n e e d a lit t le n o t a t io n . D e n o t e t h e e s t im a t e s o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s c o n s t r u c t e d w it h t h e a s s u m p t io n o f n o m e a s u r e m e n t e r r o r a t t h e lo n g e n d a s lo n g ^h . D e n o t e t h e e s t im a t e s c o n s t r u c t e d w it h t h e a s s u m p t io n o f n o m e a s u r e m e n t e r r o r a t j ;t 5 y r ^ t h e (cid:12) v e - y e a r h o r iz o n a s h . T o in v e s t ig a t e t h e e x t e n t o f n o is e a n d s t a le n e s s in t h e s e t w o j ;t t im e s e r ie s o f e s t im a t e d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , I r e g r e s s c h a n g e s in o n e m e a s u r e o n c u r r e n t a n d t w o la g g e d c h a n g e s in t h e o t h e r . T h e m e d ia n p a r a m e t e r e s t im a t e s fr o m (cid:12) r m - b y - (cid:12) r m 5 y r lo n g ^ ^ O L S r e g r e s s io n o f (cid:1) h o n la g s z e r o t h r o u g h t w o o f (cid:1) h a r e j ;t j ;t 5 y r lo n g lo n g lo n g 5 y r ^ ^ ^ ^ (cid:1) h = 0 :7 6 6 (cid:1) h + 0 :0 9 9 (cid:1) h (cid:0) + 0 :0 6 8 (cid:1) h (cid:0) + (cid:17) ; ( 9 ) j ;t j ;t j ;t 1 j ;t 1 j ;t T h e m e d ia n p a r a m e t e r e s t im a t e s fr o m t h e (cid:12) r m - b y - (cid:12) r m O L S r e g r e s s io n o f t h e r e v e r s e d e q u a t io n a r e lo n g 5 y r 5 y r 5 y r lo n g ^ ^ ^ ^ (cid:1) h = 0 :3 6 6 (cid:1) h + 0 :0 0 5 (cid:1) h (cid:0) 0 :0 2 3 (cid:1) h (cid:0) + (cid:17) : ( 1 0 ) j ;t j ;t j ;t 1 j ;t 1 j ;t (cid:0) lo n g ^ A c c o r d in g t o t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s in ( 9 ) , a c h a n g e in h is e v e n t u a lly a lm o s t j ;t 5 y r ^ c o m p le t e ly m a t c h e d o n e - fo r - o n e b y a c h a n g e in h ( t h e s u m o f t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s is j ;t 5 y r lo n g ^ ^ 0 .9 3 3 ) , b u t m u c h o f t h e c h a n g e in h la g s t h e c h a n g e in h . B y c o n t r a s t , ( 1 0 ) in d ic a t e s j ;t j ;t 5 y r lo n g ^ ^ t h a t le s s t h a n h a lf o f a g iv e n c h a n g e in h is m a t c h e d b y a c h a n g e h , a n d t h e r e is n o j ;t j ;t lo n g 5 y r lo n g ^ ^ ^ la g in t h e r e s p o n s e o f h . T h e r e fo r e h is b o t h n o is y a n d s t a le r e la t iv e t o h . j ;t j ;t j ;t 5 .7 . T im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f (cid:12) r m s ’ d e fa u lt r is k I n o w in v e s t ig a t e h o w w e ll t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s c a p t u r e t h e t im e s e r ie s b e h a v io r o f d e fa u lt r is k . B e c a u s e t h e e s t im a t e s o f d e fa u lt r is k p r o d u c e d b y a s s u m in g n o m e a s u r e m e n t e r r o r a t t h e (cid:12) v e - y e a r h o r iz o n a r e b o t h n o is ie r a n d le s s fr e s h t h a n a r e t h e e s t im a t e s p r o d u c e d b y a s s u m in g n o m e a s u r e m e n t e r r o r a t t h e lo n g h o r iz o n , I fo c u s e x c lu s iv e ly o n t h e la t t e r 1 3 e s t im a t e s h e r e . I f t h e s in g le fa c t o r s q u a r e - r o o t p r o c e s s is c o r r e c t ly s p e c i(cid:12) e d , it s p a r a m e t e r s (cid:20) , (cid:18) , a n d 2 (cid:27) s u m m a r iz e t h e t im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f t h e p r o c e s s . B a ll a n d T o r o u s ( 1 9 9 6 ) n o t e t h a t fo r s u c h p r o c e s s e s , t h e p a r a m e t e r s a r e m o r e p r e c is e ly e s t im a t e d if b o t h t h e c r o s s - s e c t io n a l a n d t im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f t h e t e r m s t r u c t u r e a r e u s e d t o e s t im a t e t h e m . T h e p r im a r y r e a s o n fo r t h e g r e a t e r p r e c is io n is t h a t (cid:20) (cid:18) is e s t im a t e d v e r y p r e c is e ly in t h e c r o s s s e c t io n , s o t h e in fo r m a t io n in t h e t im e s e r ie s d o e s n o t h a v e t o d e t e r m in e b o t h (cid:20) a n d (cid:18) . ( T h e c r o s s 2 s e c t io n a ls o c o n t a in s in fo r m a t io n a b o u t (cid:27) b e c a u s e J e n s e n ’s I n e q u a lit y a (cid:11) e c t s t h e s lo p e o f 2 t h e t e r m s t r u c t u r e , b u t t h e r e is lit t le d i(cid:14) c u lt y in e s t im a t in g (cid:27) fr o m t h e t im e s e r ie s a lo n e .) H e r e , h o w e v e r , t h e r e is e v id e n c e o f c r o s s - s e c t io n a l m is s p e c i(cid:12) c a t io n fo r m a n y (cid:12) r m s . T h e r e fo r e t h e in fo r m a t io n in (cid:12) r m j ’s c r o s s s e c t io n c o n c e r n in g (cid:20) (cid:18) m a y b e in c o n s is t e n t j j w it h t h e a c t u a l t im e s e r ie s p r o p e r t ie s o f (cid:20) a n d (cid:18) . I n p a r t ic u la r , t h e r e s t r ic t io n (cid:20) (cid:18) = 0 j j j j im p o s e s a v e r y s t r o n g r e q u ir e m e n t o n t h e b e h a v io r o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s u n d e r t h e t r u e , o r p h y s ic a l m e a s u r e . E it h e r in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e a m a r t in g a le o r t h e lo n g - r u n in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y is z e r o . F o r m o s t o f t h e s e (cid:12) r m s , t h e 5 y r 1 3 ^ R e s u lt s fo r h a r e a v a ila b le o n r e q u e s t . j ;t 1 9
r e s t r ic t io n (cid:20) (cid:18) = 0 is m e t w it h ^(cid:20) = 0 . I n o w in v e s t ig a t e w h e t h e r t h e t im e s e r ie s p r o p e r t ie s j j j ^ o f h a r e c o n s is t e n t w it h t h e m a r t in g a le h y p o t h e s is . I n o t h e r w o r d s , is k = 0 a r e a s o n a b le j ;t j d e s c r ip t io n o f t h e t im e s e r ie s b e h a v io r o f (cid:12) r m s ’ e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k s ? T a b le 3 r e p o r t s a u g m e n t e d D ic k e y - F u lle r ( A D F ) t e s t s ( t w o la g s ) o f n o n s t a t io n a r it y fo r e a c h (cid:12) r m ’s t im e s e r ie s o f k . j ^ ^ ^ ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) h = b + b h + b (cid:1) h + b (cid:1) h + e ( 1 1 ) j ;t 0 1 j ;t 1 2 j ;t 1 3 j ;t 2 j ;t S e p a r a t e O L S r e g r e s s io n s a r e e s t im a t e d fo r e a c h (cid:12) r m . ( R e s u lt s o f e s t im a t in g ( 1 1 ) w it h ^ (cid:0) W L S , w h e r e t h e v a r ia n c e o f e is p r o p o r t io n a l t o h , a r e v e r y s im ila r t o t h o s e r e p o r t e d in j ;t j ;t 1 T a b le 3 .) M e d ia n s a n d in t e r q u a r t ile r a n g e s a r e r e p o r t e d fo r e a c h p a r a m e t e r a n d t - s t a t is t ic . B a s e d o n t h e r e s u lt s in T a b le 3 , t h e r e is o n ly w e a k e v id e n c e o f m e a n r e v e r s io n . T h e 5 % 1 4 c r it ic a l v a lu e s fo r b lie o u t s id e o f t h e in t e r q u a r t ile r a n g e . 1 O n ly 3 0 o f t h e 1 6 0 (cid:12) r m s h a v e t e s t s t a t is t ic s t h a t r e je c t n o n s t a t io n a r it y . M o r e o v e r , t h e s e s t a t is t ic a l r e je c t io n s o f n o n s t a t io n a r it y o v e r s t a t e t h e c a s e fo r s t a t io n a r it y . B e c a u s e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e e s t im a t e d , t h e y a r e n o is y m e a s u r e s o f t r u e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e r e fo r e t h e A D F t e s t s w ill o v e r r e je c t n o n s t a t io n a r it y ( S c h w e r t 1 9 8 9 ) . T h e r e is n o c o m p e llin g e v id e n c e in T a b le 3 t h a t t h e m a x im u m lik e lih o o d p r o c e d u r e p r o d u c e d p o o r e s t im a t e s o f (cid:20) . A m o r e s o p h is t ic a t e d a n a ly s is m a k e s u s e o f e s t im a t e d j n o r m a liz e d in n o v a t io n s t o (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k s . D e (cid:12) n e t h e e s t im a t e d in n o v a t io n (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V a r ( h ) , w h e r e t h e d e (cid:12) n it io n s o f E ( ) a n d V a r ( ) a r e (cid:15) a s [h E ( h ) ]= j ;t j ;t j ;t j ;t t 1 t 1 t 1 t 1 (cid:0) a n a lo g o u s t o t h o s e in ( 8 ) . I f t h e m o d e l o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is c o r r e c t ly s p e c i(cid:12) e d , p p r io r v a lu e s o f (cid:15) s h o u ld n o t h e lp fo r e c a s t (cid:15) . j ;t j ;t I (cid:12) t (cid:15) t o a n A R ( 3 ) . N o t e t h a t u n d e r t h e n u ll h y p o t h e s is , t h e e s t im a t e d c o e (cid:14) c ie n t s a r e j ;t e q u a l a c r o s s a ll (cid:12) r m s , a s is t h e v a r ia n c e o f t h e r e g r e s s io n r e s id u a l. T h e r e fo r e I c a n e s t im a t e t h e A R ( 3 ) e q u a t io n jo in t ly a c r o s s a ll j : 3 (cid:0) (cid:15) = b + b (cid:15) + (cid:17) ; j ;t 0 i j ;t i j ;t i= 1 ( 1 2 ) X 2 E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; j ;t j ;t (cid:0) E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : i;t j ;t i;t j ;t m 6 6 8 U n d e r t h e n u ll h y p o t h e s is t h a t t h e m o d e l o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k is c o r r e c t ly s p e c i(cid:12) e d , t h e A R c o e (cid:14) c ie n t s s h o u ld e q u a l z e r o a n d t h e v a r ia n c e V s h o u ld e q u a l o n e . A lt h o u g h t h e n u ll h y p o t h e s is a ls o s p e c i(cid:12) e s t h a t t h e d is t r ib u t io n o f (cid:17) is a n o n c e n t r a l c h i- s q u a r e , fo r j ;t r o b u s t n e s s I e s t im a t e ( 1 2 ) w it h q u a s i- m a x im u m lik e lih o o d ( Q M L ) . I n o t h e r w o r d s , I a s s u m e t h a t t h e e r r o r s (cid:17) a r e n o r m a lly d is t r ib u t e d w it h v a r ia n c e - c o v a r ia n c e m a t r ix d e s c r ib e d a s in j ;t ( 1 2 ) a n d c h o o s e t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s t o m a x im iz e t h e lik e lih o o d fu n c t io n . T h e s t a n d a r d 1 4 F iv e p e r c e n t ( o n e - t a ile d ) c r it ic a l v a lu e s fo r t h e t e s t t h a t b = 0 a r e 3 :0 0 , 2 :9 3 a n d 1 (cid:0) (cid:0) 2 :8 9 fo r 2 5 , 5 0 , a n d 1 0 0 o b s e r v a t io n s r e s p e c t iv e ly . (cid:0) 2 0
e r r o r s a r e t h e n a d ju s t e d t o a c c o u n t fo r n o n n o r m a lit y o f t h e e r r o r s . I n ( 1 2 ) , n o t e t h a t t h e c o e (cid:14) c ie n t s a r e n o t in d e x e d b y j ; t h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s a r e a s s u m e d t o b e e q u a l a c r o s s a ll j . T h e r e s u lt s o f Q M L e s t im a t io n o f ( 1 2 ) a r e r e p o r t e d a s R e g r e s s io n [1 ] in T a b le 4 . S p e c i- (cid:12) c a t io n e r r o r is e v id e n t . T h e n o r m a liz e d s h o c k (cid:17) e x h ib it s m e a n r e v e r s io n , in d ic a t in g t h a t j ;t ^ e s t im a t e d v a lu e s o f (cid:20) d o n o t a d e q u a t e ly c a p t u r e t h e e x t e n t o f m e a n r e v e r s io n in h . T h e j j ;t p o in t e s t im a t e s in d ic a t e t h a t 1 8 p e r c e n t o f a g iv e n s h o c k is r e v e r s e d w it h in t h r e e m o n t h s . O f in d e p e n d e n t in t e r e s t is t h e c r o s s - c o r r e la t io n o f in n o v a t io n s in (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e p o in t e s t im a t e o f (cid:26) is 0 .2 4 , a n d a s t h e t - s t a t is t ic in d ic a t e s , it is e s t im a t e d v e r y p r e c is e ly . I n o t h e r w o r d s , v a r ia t io n s in (cid:12) r m s ’ d e fa u lt p r o b a b ilit ie s h a v e c o m m o n c o m p o n e n t s , b u t t h e s e c o m m o n c o m p o n e n t s a r e n o t v e r y la r g e c o m p a r e d t o id io s y n c r a t ic c o m p o n e n t s . T h is r e s u lt is n o t a lt e r e d b y s o r t in g (cid:12) r m s b y t h e ir s e n io r u n s e c u r e d c r e d it r a t in g s . I n r e s u lt s t h a t a r e a v a ila b le o n r e q u e s t , Q M L e s t im a t io n o f ( 1 2 ) b r o k e n d o w n b y m a jo r c r e d it r a t in g ( A a a , A a , e t c .) p r o d u c e s s im ila r e s t im a t e s o f (cid:26) . T h e o t h e r r e g r e s s io n s r e p o r t e d in T a b le 4 e x a m in e t h e r e la t io n b e t w e e n d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s a n d e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h is p a p e r u s e s a c lo s e d fo r m s o lu t io n fo r z e r o - c o u p o n c o r p o r a t e b o n d p r ic e s t h a t r e lie s o n a s s u m p t io n t h a t h j ;t is in d e p e n d e n t o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e , y a n d y . H e r e I 1 ;t 2 ;t in v e s t ig a t e t h e a p p r o p r ia t e n e s s o f t h a t a s s u m p t io n . A s d is c u s s e d in s e c t io n 5 , y is v e r y 1 ;t c lo s e ly r e la t e d t o t h e s lo p e o f t h e T r e a s u r y y ie ld c u r v e , a s m e a s u r e d b y t h e d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e 3 0 - y e a r c o n s t a n t m a t u r it y y ie ld a n d t h e t h r e e - m o n t h b ill y ie ld . T h e o t h e r fa c t o r y is 2 ;t v e r y c lo s e ly r e la t e d t o t h e 3 0 - y e a r c o n s t a n t m a t u r it y y ie ld . T h e r e fo r e t o a v o id a g e n e r a t e d r e g r e s s o r p r o b le m , I u s e c h a n g e s in t h e s e o b s e r v e d t e r m s t r u c t u r e c h a r a c t e r is t ic s in s t e a d o f c h a n g e s in t h e (cid:12) t t e d v a lu e s o f y a n d y t o d e t e r m in e w h e t h e r e s t im a t e d in n o v a t io n s t o 1 ;t 2 ;t in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a r e r e la t e d t o d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . F ir s t , I r e g r e s s (cid:15) o n t h e c o n t e m p o r a n e o u s c h a n g e in t h e 3 0 - y e a r T r e a s u r y y ie ld , a s j ;t w e ll a s t h r e e la g g e d c h a n g e s in t h is T r e a s u r y y ie ld . T h is y ie ld is m e a s u r e d in p e r c e n t p e r y e a r . I jo in t ly e s t im a t e ( 1 3 ) a c r o s s a ll 1 6 0 (cid:12) r m s u s in g Q M L . 3 (cid:0) (cid:15) = b + b (cid:1) Y + (cid:17) ; j ;t 0 i+ 1 3 0 y r ;t i j ;t i= 0 ( 1 3 ) X 2 E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; j ;t j ;t (cid:0) E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : i;t j ;t i;t j ;t m 6 6 8 T h e r e s u lt s a r e r e p o r t e d a s R e g r e s s io n [2 ] in T a b le 4 . T h e p o in t e s t im a t e s im p ly t h a t a d e c lin e in t h e T r e a s u r y y ie ld c o r r e s p o n d s t o a c o n t e m p o r a n e o u s in c r e a s e in in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k . T h is in c r e a s e is e s s e n t ia lly c o m p le t e ly r e v e r s e d d u r in g t h e n e x t t w o t o t h r e e 2 m o n t h s . A (cid:31) ( 1 ) t e s t c a n n o t r e je c t t h e h y p o t h e s is t h e s u m o f t h e fo u r c o e (cid:14) c ie n t s e q u a ls z e r o . ( T h e t e s t s t a t is t ic is 0 .0 7 , w it h a p - v a lu e o f 0 .7 9 1 .) T h is p a t t e r n o f p a r a m e t e r e s t im a t e s is s u g g e s t iv e o f s t a le c o r p o r a t e b o n d p r ic e s , n o t a t r u e n o n z e r o c o r r e la t io n b e t w e e n t h e T r e a s u r y y ie ld a n d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . C o n s id e r , fo r e x a m p le , a d e c r e a s e in t h e le v e l o f T r e a s u r y y ie ld s . I f r e p o r t e d c o r p o r a t e b o n d y ie ld s d o 2 1
n o t im m e d ia t e ly r e s p o n d t o t h is in c r e a s e o w in g t o s t a le p r ic e s , c o r p o r a t e y ie ld s p r e a d s w ill s p u r io u s ly r is e . O v e r t im e , a s r e p o r t e d c o r p o r a t e b o n d y ie ld s a d ju s t , t h e y w ill m a t c h t h e d e c r e a s e in T r e a s u r y y ie ld s , c a u s in g y ie ld s p r e a d s t o r e t u r n t o t h e ir p r io r le v e ls . R e g r e s s io n [3 ] in T a b le 4 r e p o r t s t h e r e s u lt s o f e s t im a t in g ( 1 2 ) w it h c h a n g e s in t h e lo n g s h o r t T r e a s u r y y ie ld s p r e a d o n t h e r ig h t - h a n d - s id e in s t e a d o f c h a n g e s in t h e lo n g T r e a s u r y y ie ld . T h e s e r e s u lt s in d ic a t e n o s ig n i(cid:12) c a n t r e la t io n b e t w e e n t h e s lo p e o f t h e T r e a s u r y y ie ld a n d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h e s e r e s u lt s s u p p o r t t h e id e a t h a t m o d e ls o f c o r p o r a t e b o n d p r ic in g d o n o t n e e d t o in c o r p o r a t e c o r r e la t io n s b e t w e e n d e fa u lt - fr e e r a t e s a n d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h is is e x t r a o r d in a r ily c o n v e n ie n t fr o m a m o d e lin g p e r s p e c t iv e ; s e e , fo r e x a m p le , L a n d o ( 1 9 9 4 ) . I t is w o r t h n o t in g t h a t t h e s e r e s u lt s d i(cid:11) e r fr o m t h e n e g a t iv e c o r r e la t io n s b e t w e e n d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s a n d b o n d y ie ld s p r e a d s fo u n d b y L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) a n d D u (cid:11) e e ( 1 9 9 6 ) . H o w e v e r , n e it h e r o f t h e s e e a r lie r p a p e r s e m b e d d e d t h e ir e m p ir ic a l w o r k in a n o - a r b it r a g e m o d e l o f d e fa u lt r is k . T h e (cid:12) n a l t im e s e r ie s p r o p e r t y o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k t h a t I in v e s t ig a t e is t h e s p e c i(cid:12) c a t io n o f v o la t ilit y . I a s k t w o q u e s t io n s . F ir s t , d o e s t h e s q u a r e - r o o t s p e c i(cid:12) c a t io n c a p t u r e t h e t r u e r e la t io n b e t w e e n h a n d in n o v a t io n s in h ? S e c o n d , a r e t h e r e p e r s is t e n t j ;t j ;t v a r ia t io n s in v o la t ilit y ( A R C H e (cid:11) e c t s ) t h a t a r e n o t a c c o u n t e d fo r b y v a r ia t io n s in t h e le v e l o f h ? I e s t im a t e ( 1 4 ) jo in t ly a c r o s s a ll (cid:12) r m s w it h Q M L : j ;t 3 2 2 ^ (cid:0) (cid:0) (cid:15) = b + b (cid:15) + b h + (cid:17) ; 0 i 4 j ;t 1 j ;t j ;t j ;t i i= 1 ( 1 4 ) X 2 E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; j ;t j ;t (cid:0) E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : i;t j ;t i;t j ;t m 6 6 8 I n ( 1 4 ) , t h e v o la t ilit y o f (cid:15) is m e a s u r e d w it h s q u a r e d v a lu e s . D a v id ia n a n d C a r r o ll j ;t ( 1 9 8 7 ) c o n c lu d e t h a t w h e n d is t r ib u t io n s a r e c h a r a c t e r iz e d b y fa t t a ils , it is o ft e n m o r e e f- (cid:12) c ie n t t o e s t im a t e v o la t ilit y fu n c t io n s u s in g a b s o lu t e v a lu e s o f r e s id u a ls in s t e a d o f s q u a r e s . 2 T h e r e fo r e I a ls o e s t im a t e ( 1 4 ) w it h (cid:15) in p la c e o f (cid:15) . T h e r e s u lt s fo r b o t h p a r a m e t e r iz a - j ;t j ;t j j t io n s a r e d is p la y e d in T a b le 5 . B o t h s e t s o f r e s u lt s s h o w t h a t t h e r e a r e A R C H e (cid:11) e c t s in (cid:15) . T h e e v id e n c e fo r A R C H j ;t e (cid:11) e c t s is s t r o n g e r w h e n v o la t ilit y is m e a s u r e d w it h a b s o lu t e s h o c k s . W h e n v o la t ilit y is m e a s u r e d w it h s q u a r e d s h o c k s , t h e r e is w e a k e v id e n c e t h a t v o la t ilit y is p o s it iv e ly a s s o c ia t e d ^ w it h t h e p r io r v a lu e o f h . T h is e v id e n c e is m u c h s t r o n g e r w h e n v o la t ilit y is m e a s u r e d j ;t w it h a b s o lu t e s h o c k s . B a s e d o n t h is e v id e n c e , t h e a s s u m p t io n t h a t t h e v o la t ilit y o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k r is e s w it h t h e s q u a r e - r o o t o f t h is r is k a p p e a r s t o u n d e r e s t im a t e t h e t r u e s e n s it iv it y o f t h e v o la t ilit y o f r is k w it h r e s p e c t t o t h e le v e l o f r is k . 6 . C r e d i t r a t i n g s a n d d e f a u l t r i s k C o n s id e r a t y p ic a l (cid:12) r m w it h A - r a t e d s e n io r u n s e c u r e d d e b t in m o n t h t . W h a t d o e s t h e c r e d it r a t in g t e ll u s a b o u t t h e (cid:12) r m ’s d e fa u lt r is k in m o n t h t ? W h a t d o e s t h e c r e d it r a t in g 2 2
t e ll u s a b o u t t h e fu t u r e b e h a v io r o f t h e (cid:12) r m ’s d e fa u lt r is k ? T h e s e q u e s t io n s a r e a d d r e s s e d in T a b le 6 . C r e d it r a t in g s a r e fr o m M o o d y ’s u n le s s a b o n d h a d n o M o o d y ’s c r e d it r a t in g in t h e d a t a s e t . I n t h is c a s e a n S & P r a t in g w a s u s e d . F o r t h e p u r p o s e s o f t h is d is c u s s io n , a (cid:12) r m ’s c r e d it r a t in g is d e (cid:12) n e d a s t h e r a t in g o n t h e (cid:12) r m ’s s e n io r u n s e c u r e d b o n d s . P a n e l A o f t h e t a b le r e p o r t s m e d ia n e s t im a t e s o f t h e p a r a m e t e r s o f (cid:12) r m s ’ d e fa u lt p r o b a b ilit y p r o c e s s e s , s o r t e d b y t h e (cid:12) r m s ’ \ in it ia l" c r e d it r a t in g s , w h ic h is d e (cid:12) n e d a s a (cid:12) r m ’s c r e d it r a t in g a s o f t h e (cid:12) r s t m o n t h o f d a t a u s e d t o e s t im a t e t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o c e s s fo r t h e (cid:12) r m . T h e r e s u lt s s h o w t h a t t h e t y p ic a l s t o c h a s t ic p r o c e s s e s fo r A a - r a t e d , A - r a t e d , a n d B a a - r a t e d (cid:12) r m s a r e v e r y s im ila r ( e x c e p t t o t h e e x t e n t t h a t c r e d it q u a lit y s h o w s u p in t h e le v e l o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k h ) . A c r o s s t h e s e c r e d it r a t in g s , t h e r e is n o o b v io u s j ;t p a t t e r n b e t w e e n c r e d it q u a lit y a n d a n y o f t h e p a r a m e t e r s , e x c e p t a s m a ll in v e r s e r e la t io n b e t w e e n c r e d it q u a lit y a n d t h e v a r ia n c e o f lo g p r ic e e r r o r s . S o m e o f t h e m e d ia n p a r a m e t e r e s t im a t e s fo r A a a - r a t e d a n d B a - r a t e d (cid:12) r m s a r e s u b s t a n t ia lly d i(cid:11) e r e n t fr o m t h o s e fo r o t h e r (cid:12) r m s , b u t t h e r e a r e t o o fe w (cid:12) r m s in t h e s e c a t e g o r ie s t o t a k e t h e r e s u lt s v e r y s e r io u s ly . P a n e l B o f t h e t a b le c o n (cid:12) r m s t h e e x p e c t e d r e la t io n b e t w e e n t h e le v e l o f d e fa u lt r is k a n d t h e q u a lit y o f t h e (cid:12) r m , a s m e a s u r e d b y c r e d it r a t in g . T h is p a n e l r e p o r t s t h e m e d ia n a n d m e a n in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k e s t im a t e s fo r a ll (cid:12) r m s j w it h a g iv e n c r e d it r a t in g in m o n t h t . T h e s e a g g r e g a t e m e a s u r e s o f d e fa u lt r is k a r e m o n o t o n ic a lly in v e r s e ly r e la t e d t o c r e d it r a t in g . F ir m s r a t e d A a a h a v e a m e d ia n e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y o f 0 .7 2 p e r c e n t ; t h is m e d ia n e s t im a t e r is e s t o 1 .6 6 p e r c e n t fo r t h e B a a (cid:12) r m s ( t h e lo w e s t in v e s t m e n t q u a lit y g r a d e ) , a n d ju m p s t o 2 .5 9 p e r c e n t fo r B a - r a t e d (cid:12) r m s ( t h e h ig h e s t s p e c u la t iv e g r a d e ) . T h e P a n e l a ls o r e p o r t s t h a t t h e v o la t ilit y o f c h a n g e s in d e fa u lt p r o b a b ilit ie s t e n d s t o r is e a s c r e d it q u a lit y fa lls , b u t t h is r e la t io n is n o t q u it e m o n o t o n ic . T h e (cid:12) n a l is s u e I in v e s t ig a t e in t h e c o n t e x t o f c r e d it r a t in g s is t h e r e la t io n b e t w e e n in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k a n d s t o c k r e t u r n s . F o r a g iv e n c h a n g e in a (cid:12) r m ’s s t o c k p r ic e , w h a t is t h e c o r r e s p o n d in g c h a n g e in t h e (cid:12) r m ’s d e fa u lt r is k im p lic it in it s b o n d p r ic e s ? T o ^ ^ (cid:0) (cid:12) n d o u t , I r e g r e s s t h e m o n t h ly c h a n g e h h o n (cid:12) r m j ’s m o n t h ly s t o c k r e t u r n s . T o j ;t j ;t 1 j ;t (cid:0) a c c o u n t fo r p o s s ib ly s t a le b o n d p r ic e s , I a ls o in c lu d e t h r e e la g s o f s , a s in d ic a t e d in ( 1 5 ) j ;t b e lo w . T h e s t o c k r e t u r n s a r e fr o m C R S P ’s A M E X / N Y S E m o n t h ly t a p e a n d a r e a v a ila b le fo r o n ly 1 2 1 o f t h e 1 6 0 (cid:12) r m s . 3 ^ 1 0 0 (cid:1) h = b + b s + (cid:17) ; j ;t 0 i+ 1 j ;t j ;t i= 0 ( 1 5 ) X2 E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; j ;t j ;t (cid:0) E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : i;t j ;t i;t j ;t m 6 6 8 M o d e ls o f d e fa u lt r is k in t h e s t y le o f M e r t o n ( 1 9 7 4 ) im p ly t h a t t h e c h a n g e in d e fa u lt r is k fo r a g iv e n s t o c k - p r ic e c h a n g e is la r g e r fo r (cid:12) r m s t h a t a r e c lo s e t o t h e d e fa u lt b o u n d a r y t h a n fo r (cid:12) r m s t h a t a r e fa r a w a y fr o m t h e d e fa u lt b o u n d a r y . T o t e s t t h is h y p o t h e s is , a s w e ll a s t o u s e a m o r e p o w e r fu l e s t im a t io n t e c h n iq u e t h a n (cid:12) r m - b y - (cid:12) r m O L S r e g r e s s io n s , I e s t im a t e t h e r e g r e s s io n s jo in t ly w it h in a g iv e n c r e d it r a t in g . F o r e x a m p le , if, a t t im e t 1 , (cid:12) r m j ’s (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) s e n io r u n s e c u r e d b o n d s a r e r a t e d A a , t h e o b s e r v a t io n v e c t o r [(cid:1) h ; s ; s ; s ; s ] j ;t j ;t j ;t 1 j ;t 2 j ;t 3 2 3
is in c lu d e d in t h e \ A a " p a n e l o f d a t a . F o r A a , A , a n d B a a c r e d it r a t in g s , I e s t im a t e ( 1 5 ) w it h q u a s i- m a x im u m lik e lih o o d . ( T h e r e w e r e t o o fe w o b s e r v a t io n s fo r A a a - r a t e d o r B a - r a t e d (cid:12) r m s t o p r o v id e r e lia b le e s t im a t e s .) T h e r e s u lt s a r e d is p la y e d in T a b le 7 . N o t s u r p r is in g ly , fo r a ll t h r e e c r e d it r a t in g c a t e g o r ie s , s t o c k r e t u r n s a n d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s m o v e in o p p o s it e d ir e c t io n s . C o n s is t e n t w it h M e r t o n - t y p e m o d e ls , t h e s t r e n g t h o f t h is in v e r s e r e la t io n r is e s a s c r e d it q u a lit y d e c lin e s . F o r e x a m p le , a o n e s t a n d a r d d e v ia t io n p o s it iv e s t o c k r e t u r n in m o n t h t fo r a t y p ic a l A a - r a t e d (cid:12) r m ( w h ic h is 6 .4 p e r c e n t fo r t h is d a t a s e t ) c o r r e s p o n d s t o a d e c lin e in t h e (cid:12) r m ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y o f 0 .0 3 5 p e r c e n t , w it h m o s t o f t h is d e c lin e o c c u r r in g in m o n t h t . F o r A - r a t e d a n d B a a - r a t e d (cid:12) r m s , t h e d e c lin e in d e fa u lt p r o b a b ilit ie s is g r e a t e r a n d t e n d s t o b e s p r e a d o u t o v e r t h e fo u r - m o n t h w in d o w c o n s id e r e d in ( 1 5 ) . F o r e x a m p le , a o n e s t a n d a r d d e v ia t io n s t o c k r e t u r n in m o n t h t fo r a t y p ic a l B a a - r a t e d (cid:12) r m ( 8 .2 p e r c e n t fo r t h is d a t a s e t ) c o r r e s p o n d s t o a d e c lin e in in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y o f 0 .2 3 p e r c e n t , h a lf o f w h ic h o c c u r s a ft e r m o n t h t . T h e r e fo r e c o r p o r a t e b o n d p r ic e s o f lo w e r - r a t e d , in v e s t m e n t g r a d e (cid:12) r m s a p p e a r t o b e q u it e s t a le . K w a n ( 1 9 9 6 ) a ls o (cid:12) n d s t h a t c o r p o r a t e b o n d p r ic e s r e a c t t o s t o c k p r ic e s w it h a la g . 7 . P r i c i n g d e f a u l t p o r t f o l i o i n s u r a n c e W e c a n t h in k o f t h is p a p e r a s a n e x e r c is e in d e r iv a t iv e p r ic in g . I n p a r t ic u la r , if I h a v e c o r r e c t ly s p e c i(cid:12) e d t h e s t o c h a s t ic p r o c e s s e s fo r d e fa u lt fr e e in t e r e s t r a t e s , a s w e ll a s fo r (cid:12) r m j ’s in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e , t h e n g iv e n t h e t im e t p r ic e o f a n y o n e b o n d is s u e d b y (cid:12) r m j , I c a n p r ic e a n y o t h e r o f t h e (cid:12) r m ’s b o n d s a t t im e t . N o t w it h s t a n d in g t h e fa c t t h a t in t h is p a p e r , m y s u c c e s s in p r ic in g t h e s e o t h e r b o n d s h a s b e e n lim it e d , t h is e x e r c is e is a r g u a b ly t h e s im p le s t p r a c t ic a l p r o b le m in t h e u n iv e r s e o f c r e d it r is k p r ic in g . I a r e u s in g o n e t y p e o f in s t r u m e n t t o p r ic e t h e s a m e t y p e o f in s t r u m e n t ; t h e y o n ly d i(cid:11) e r in m a t u r it y a n d , p e r h a p s , c o u p o n p a y m e n t s . I n t h is s e c t io n I c o n s id e r a m o r e d i(cid:14) c u lt p r ic in g p r o b le m . O n e t y p e o f c r e d it d e r iv a t iv e in s t r u m e n t is a c r e d it d e fa u lt b a s k e t s w a p . T h e d e r iv a t iv e is a t y p e o f in s u r a n c e a g a in s t t h e p o s s ib ilit y o f d e fa u lt b y a n y n u m b e r o f (cid:12) r m s . I n t h e p a r t ic u la r b a s k e t s w a p c o n s id e r e d h e r e , t h e r e a r e t w o \ r e fe r e n c e c r e d it s ," o r p a r t ic u la r b o n d s is s u e d b y d i(cid:11) e r e n t c o r p o r a t io n s . I f, w it h in t h r e e y e a r s , e it h e r c o r p o r a t io n d e fa u lt s o n it s p a r t ic u la r b o n d , t h e c r e d it d e r iv a t iv e c o n t r a c t p a y s $ 1 a t t h e t im e o f d e fa u lt , a n d t h e c o n t r a c t e x p ir e s . I f, w it h in t h r e e y e a r s , n e it h e r b o n d d e fa u lt s , t h e n t h e c o n t r a c t e x p ir e s w o r t h le s s . W h a t is t h e fa ir p r ic e o f t h is n e w ly - is s u e d c r e d it d e fa u lt b a s k e t s w a p ? C a ll t h e t w o c o r p o r a t io n s w h o s e b o n d s a r e s p e c i(cid:12) e d in t h e c o n t r a c t a s F ir m 1 a n d F ir m 2 . D e (cid:12) n e F a s a r a n d o m v a r ia b le t h a t e q u a ls z e r o if (cid:12) r m j d o e s n o t d e fa u lt w it h in j t h r e e y e a r s a n d e q u a ls o n e if it d e fa u lt s in t h a t t im e . T h e v a lu e o f t h is d e r iv a t iv e c le a r ly d e p e n d s o n t h e c o r r e la t io n b e t w e e n F a n d F . G iv e n t h e t y p e o f m o d e l u s e d in t h is p a p e r , 1 2 t h e o n ly s o u r c e o f c o r r e la t io n b e t w e e n F a n d F is a c o r r e la t io n b e t w e e n t h e in n o v a t io n s 1 2 in t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s h a n d h . E s t im a t in g t h is c o r r e la t io n w o u ld 1 ;t 2 ;t r e q u ir e jo in t e s t im a t io n o f t h e t w o (cid:12) r m s ’ s t o c h a s t ic p r o c e s s e s . A lt h o u g h in p r in c ip le t h is is p o s s ib le , I b y p a s s t h is s t e p h e r e b y a s s u m in g t h a t t h e c o r r e la t io n is o n e . I a ls o a s s u m e 2 4
t h a t t h e (cid:12) r m s ’ s t o c h a s t ic p r o c e s s e s h a v e id e n t ic a l p a r a m e t e r s . T h is a s s u m p t io n is a d o p t e d b o t h fo r s im p lic it y a n d t o illu s t r a t e a p o in t . F o r n o w , w e c a n t h in k o f t h e s e t w o (cid:12) r m s a s in d e p e n d e n t (cid:12) r m s in t h e s a m e in d u s t r y , s o t h a t t h e ir p r o s p e c t s a r e c lo s e ly r e la t e d . I a s s u m e t h a t fo r e a c h (cid:12) r m , t h e ir in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o c e s s u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e is d e s c r ib e d b y 0 :0 0 9 2 h d Z ( 1 6 ) d h = 0 :0 7 5 h d t + i;t t i;t i;t (cid:0) p T h is p r o c e s s h a s t h e m e d ia n d r ift g iv e n in P a n e l A in T a b le 2 a n d a v o la t ilit y g iv e n b y t h e t h ir d q u a r t ile in t h e s a m e p a n e l. I a s s u m e t h e in it ia l in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y is 0 .0 1 6 5 9 , w h ic h is t h e m e d ia n e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y fo r B a a (cid:12) r m s , a s s h o w n in T a b le 6 . T h e s e p a r a m e t e r s im p ly t h a t t h e c u m u la t iv e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt ( u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e ) fo r e it h e r (cid:12) r m o v e r a t h r e e - y e a r h o r iz o n is 0 .0 5 3 4 8 . T o p r ic e t h is d e r iv a t iv e , w e a ls o n e e d t o m o d e l d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . W e c a n u s e t h e m o d e l e s t im a t e d in S e c t io n 4 fo r t h is p u r p o s e . I s e t t h e in it ia l s t a t e v a r ia b le s y a n d y e q u a l 1 ;0 2 ;0 t o t h e ir r e s p e c t iv e (cid:18) e s t im a t e s . j T h e d e r iv a t iv e is p r ic e d u s in g M o n t e C a r lo s im u la t io n s . T h e p r ic e is 0 :0 9 5 5 , b u t o f 1 5 m u c h m o r e in t e r e s t is t h e fa c t t h a t c o r ( F ; F ) = 0 :0 3 0 1 . T h u s , e v e n t h o u g h t h e (cid:12) r m s ’ 1 2 d e fa u lt p r o b a b ilit ie s m o v e in lo c k s t e p , a n d t h e y a r e h ig h ly v o la t ile ( r e c a ll t h a t t h e t h ir d 2 q u a r t ile v a lu e o f (cid:27) w a s c h o s e n ) , t h e a c t u a l e v e n t s o f d e fa u lt w it h in t h r e e y e a r s a r e a lm o s t j in d e p e n d e n t . T h e r e fo r e t h e p r ic e o f t h is in s t r u m e n t w h e n t h e t w o (cid:12) r m s h a v e id e n t ic a l d e fa u lt p r o b a b ilit ie s is n o t m u c h lo w e r t h a n t h e p r ic e w h e n t h e t w o (cid:12) r m s h a v e in d e p e n d e n t 1 6 in n o v a t io n s in d e fa u lt p r o b a b ilit ie s . T h is m in im a l c o r r e la t io n b e t w e e n F a n d F p o in t s 1 2 t o a n im p o r t a n t w e a k n e s s in t h is c la s s o f m o d e ls : T h e y ill- s u it e d t o p r ic in g in s t r u m e n t s w it h p a y o (cid:11) s t h a t a r e fu n c t io n s o f d e fa u lt s a c r o s s m u lt ip le (cid:12) r m s . T h e p o in t is n o t t h a t t h e lo w c o r r e la t io n b e t w e e n F a n d F is n e c e s s a r ily w r o n g . 1 2 R a t h e r , it is t h a t t h is t y p e o f m o d e l s im p ly c a n n o t p r o d u c e h ig h c o r r e la t io n s b e t w e e n F 1 a n d F , e v e n if t h e y a r e w a r r a n t e d in r e a lit y . E x a m p le s o f p a ir s o f (cid:12) r m s w it h p r e s u m a b ly 2 h ig h ly c o r r e la t e d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a b o u n d : T w o lo c a l b a n k s t h a t h a v e e s s e n t ia lly t h e s a m e lo a n p o o l ( s a y , c o m m e r c ia l r e a l e s t a t e lo a n s in T e x a s ) , a s m a ll (cid:12) r m w it h o n e m a jo r c lie n t , o r in d e p e n d e n t s u b s id ia r ie s o f t h e s a m e c o r p o r a t io n . R e c a ll t h a t d e fa u lt fo r (cid:12) r m j is d e t e r m in e d b y t w o r a n d o m v a r ia b le s . T h e in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt fo llo w s a n I t o p r o c e s s a n d t h e e v e n t o f d e fa u lt is d e t e r m in e d b y t h e (cid:12) r s t j u m p o f a P o is s o n e v e n t w it h in t e n s it y g iv e n b y t h e in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt . T h e P o is s o n e v e n t is in d e p e n d e n t o f a ll o t h e r v a r ia b le s . B e c a u s e o f t h e in d e p e n d e n c e o f t h e P o is s o n p r o c e s s e s g e n e r a t in g d e fa u lt s , t w o (cid:12) r m s ’ d e fa u lt in t e n s it ie s m u s t b e b o t h h ig h ly c o r r e la t e d a n d e x t r e m e ly v a r ia b le t o g e n e r a t e a n y t h in g o t h e r t h a n a m in im a l c o r r e la t io n 1 5 B e c a u s e M o n t e C a r lo s im u la t io n s a r e u s e d , t h e s e v a lu e s a r e o n ly a p p r o x im a t io n s . T h e ir s t a n d a r d e r r o r s a r e 0 .0 0 0 1 3 a n d 0 .0 0 0 6 7 r e s p e c t iv e ly . 1 6 I f w e a s s u m e t h a t b o t h (cid:12) r m s ’ in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k p r o c e s s e s a r e d e s c r ib e d b y ( 1 6 ) , b u t t h e (cid:12) r m s ’ d Z t e r m s a r e in d e p e n d e n t , t h e p r ic e o f t h e c r e d it d e r iv a t iv e is 0 .0 9 6 8 ( w it h a M o n t e C a r lo s t a n d a r d e r r o r o f 0 .0 0 0 1 6 ) . 2 5
b e t w e e n t h e e v e n t s o f d e fa u lt s b y t h e t w o (cid:12) r m s . Y e t a s t h is e x a m p le h a s illu s t r a t e d , e v e n p e r fe c t c o r r e la t io n a n d r e la t iv e ly la r g e v a r ia b ilit y in in t e n s it ie s h a v e lit t le e (cid:11) e c t . O n e p a t h o u t o f t h is d i(cid:14) c u lt y , a t le a s t in t h e o r y , is t o in t r o d u c e a n o t h e r P o is s o n e v e n t , w it h it s o w n s t o c h a s t ic in t e n s it y p r o c e s s . T h is P o is s o n e v e n t , if t r ig g e r e d , w ill c a u s e 1 5 t h e s im u lt a n e o u s d e fa u lt o f m u lt ip le (cid:12) r m s . U n fo r t u n a t e ly , s u c h a m o d e l a p p e a r s t o b e im p o s s ib le t o e s t im a t e . T h e r e a r e t w o p r o b le m s . T h e (cid:12) r s t p r o b le m is t h a t c o m o v e m e n t s in (cid:12) r m s ’ b o n d p r ic e s w ill b e u n a b le t o s e p a r a t e ly id e n t ify t h e s t o c h a s t ic in t e n s it y p r o c e s s e s fo r t h e m u lt ip le P o is s o n e v e n t s u n le s s a n e x t r e m e a s s u m p t io n is u s e d , s u c h a s a s s u m in g in d e p e n d e n c e o f t h e in t e n s it y p r o c e s s e s a s s o c ia t e d w it h t h e s in g le - (cid:12) r m P o is s o n e v e n t s . T o illu s t r a t e t h e p r o b le m , a s s u m e t h a t t w o (cid:12) r m s ’ b o n d y ie ld s m o v e in lo c k s t e p . I s t h is b e c a u s e t h e in t e n s it ie s o f t h e ir in d e p e n d e n t P o is s o n d e fa u lt e v e n t s a r e id e n t ic a l, a s a s s u m e d in t h e p r ic in g e x e r c is e a b o v e , o r b e c a u s e d e fa u lt b y e it h e r (cid:12) r m a lw a y s t r ig g e r s t h e d e fa u lt o f t h e o t h e r (cid:12) r m ? T h e t r u e a n s w e r is a lm o s t c e r t a in ly s o m e w h e r e b e t w e e n t h e s e e x t r e m e s , b u t c o r p o r a t e b o n d p r ic e s a lo n e c a n n o t d is t in g u is h a m o n g t h e v a r io u s p o s s ib ilit ie s . T h e s e c o n d p r o b le m is t h a t a c t u a l d e fa u lt c o r r e la t io n s c a n n o t b e u s e d t o h e lp id e n t ify s u c h a m o d e l. A s d is c u s s e d in S e c t io n 3 , t h e d e fa u lt in t e n s it y a s s o c ia t e d w it h t h e P o is s o n p r o c e s s g e n e r a t in g d e fa u lt is n o t n e c e s s a r ily t h e t r u e in t e n s it y , b u t r a t h e r t h e in t e n s it y u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e . F u r t h e r , a s d is c u s s e d in S e c t io n 5 , t h e e m p ir ic a l e v id e n c e in t h is p a p e r in d ic a t e s t h a t t h e s e in t e n s it ie s d i(cid:11) e r | t h e r is k o f d e fa u lt is p r ic e d . F r o m t h e c o n s u m p t io n - b a s e d a s s e t p r ic in g p e r s p e c t iv e , it is m o r e lik e ly t h a t t h e r is k o f m u lt ip le d e fa u lt s w ill b e p r ic e d t h a n w ill b e t h e r is k o f s in g le d e fa u lt s , b e c a u s e s t a t e s o f t h e w o r ld in w h ic h m u lt ip le d e fa u lt s o c c u r a r e m o r e lik e ly t o b e s t a t e s in w h ic h t h e e c o n o m y u n e x p e c t e d ly d e c lin e s , le a d in g t o a fa ll in c o n s u m p t io n . T h is lo g ic im p lie s t h a t a c t u a l d e fa u lt c o r r e la t io n s w ill b e lo w e r t h a n d e fa u lt c o r r e la t io n s u n d e r t h e e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e . 8 . C o n c l u d i n g r e m a r k s T h is p a p e r r e p o r t s d is c o u r a g in g ( a lb e it p r e lim in a r y ) n e w s . S in g le - fa c t o r m o d e ls o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , s u c h a s t h e s q u a r e - r o o t m o d e l e x a m in e d h e r e , fa c e a s u b s t a n t ia l c h a lle n g e in m a t c h in g t h e d y n a m ic b e h a v io r o f c o r p o r a t e b o n d t e r m s t r u c t u r e s . M o d e ls o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k w ill h a v e t o (cid:12) t b o t h fa ir ly (cid:13) a t t e r m s t r u c t u r e s o f y ie ld s p r e a d s w h e n (cid:12) r m s h a v e lo w d e fa u lt r is k a n d r e la t iv e ly s t e e p t e r m s t r u c t u r e s w h e n (cid:12) r m s h a v e h ig h e r d e fa u lt r is k , b u t s in g le - fa c t o r m o d e ls d o n o t d o t h is w e ll. W h e t h e r m u lt ip le fa c t o r m o d e ls c a n (cid:12) t t h is p a t t e r n is n o t a d d r e s s e d in t h is p a p e r , b u t t h e q u e s t io n is c le a r ly a n im p o r t a n t o n e . A d d it io n a l d is c o u r a g in g n e w s is t h a t m o d e ls o f in s t a n t a n e o u s d e fa u lt r is k h a v e a v e r y lim it e d a b ilit y t o p r ic e in s t r u m e n t s t h a t h a v e p a y o (cid:11) s t h a t d e p e n d o n t h e d e fa u lt s o f m u lt ip le (cid:12) r m s . T h e b a s ic p r o b le m is t h a t in t h e s e m o d e ls , t h e c o v a r ia b ilit y o f (cid:12) r m s ’ c o r p o r a t e b o n d p r ic e s t e lls u s lit t le a b o u t t h e c o v a r ia b ilit y o f (cid:12) r m s ’ d e fa u lt s . ( A c o n t r a s t c a n b e d r a w n h e r e b e t w e e n s u c h m o d e ls a n d M e r t o n - t y p e m o d e ls , w h e r e t h e c o v a r ia t io n o f c o r p o r a t e b o n d p r ic e s is in fo r m a t iv e a b o u t t h e c o v a r ia t io n o f d e fa u lt s , s in c e b o t h c o v a r ia t io n s a r e d r iv e n b y t h e c o v a r ia t io n b e t w e e n (cid:12) r m s ’ a s s e t v a lu e s .) 1 5 I a m g r a t e fu l t o D ilip M a d a n fo r t h is o b s e r v a t io n . 2 6
m b ( o d t m t m s s t t s I n fu t u r e e m p ir ic a l w o r k , t h is a n a ly s is s h o u ld b e e x t e n d e d in a t le a s t t h r e e w a y s . F ir s t , o r e d a t a o n s p e c u la t iv e - g r a d e b o n d s s h o u ld b e in c lu d e d b e c a u s e p r ic e s o f s u c h b o n d s s h o u ld e m o r e r e s p o n s iv e t o v a r ia t io n s in d e fa u lt in t e n s it ie s t h a n p r ic e s o f in v e s t m e n t - g r a d e b o n d s . T h e o b v io u s s t ic k in g p o in t is t h a t s u c h p r ic e s a r e t y p ic a lly n o t m e a s u r e d v e r y a c c u r a t e ly w in g t o lim it e d n u m b e r s o f t r a n s a c t io n s .) S e c o n d , t h e b e h a v io r o f ( s o m e s e t o f ) (cid:12) r m s ’ e fa u lt r is k s s h o u ld b e e s t im a t e d j o in t ly , b o t h t o e x p lic it ly in v e s t ig a t e t h e e x t e n t t o w h ic h h e ir d e fa u lt r is k s c o v a r y a n d t o in c r e a s e t h e p o w e r o f t h e s t a t is t ic s . M a x im u m lik e lih o o d a y p r o v e in fe a s ib le in t h is s it u a t io n , h e n c e a n a lt e r n a t iv e e s t im a t io n t e c h n iq u e s u c h a s h e K a lm a n (cid:12) lt e r m e t h o d o lo g y o f D u a n a n d S im o n a t o ( 1 9 9 5 ) a n d C h e n a n d S c o t t ( 1 9 9 5 ) a y b e r e q u ir e d . T h ir d , m u lt ifa c t o r m o d e ls o f d e fa u lt r is k s h o u ld b e e s t im a t e d t o s e e if u c h s p e c i(cid:12) c a t io n s c a n c ir c u m v e n t t h e t y p e s o f m is s p e c i(cid:12) c a t io n t h a t t h is p a p e r (cid:12) n d s in a in g le - fa c t o r m o d e l. H o w e v e r , t h e d a t a r e q u ir e m e n t s ( i.e ., t h e n u m b e r o f b o n d s o b s e r v e d in h e c r o s s - s e c t io n ) fo r a c c u r a t e e s t im a t io n o f m u lt ifa c t o r m o d e ls a r e v e r y la r g e c o m p a r e d t o h e a m o u n t o f d a t a a v a ila b le fo r a t y p ic a l (cid:12) r m , s o it is u n c le a r w h e t h e r s u c h m o d e ls c a n b e u c c e s s fu lly e s t im a t e d a t t h e (cid:12) r m le v e l. 2 7
c c w a p n a p r b p m a A p p e n d i x 1 . B o n d p r i c e e q u a t i o n s T h e d e fa u lt - fr e e in s t a n t a n e o u s in t e r e s t r a t e p r o c e s s in ( 3 ) im p lie s t h e fo llo w in g z e r o o u p o n b o n d p r ic e s . (cid:0) (cid:0) 1 1 2 2 B ( t;T ) y B ( t;T ) y ;t ;t P ( t ; T ; 0 ; y ; y ) = A ( t ; T ) A ( t ; T ) e ; ( A 1 ) 1 ;t 2 ;t 1 2 2 2 (cid:20) (cid:18) = (cid:27) i i i 2 (cid:13) e x p [( (cid:20) + (cid:21) + (cid:13) ) ( T t ) = 2 ] i i i i ; A ( t ; T ) = (cid:0) i ( (cid:13) + (cid:20) + (cid:21) ) ( e x p [(cid:13) ( T t ) ] 1 ) + 2 (cid:13) i i i i i (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:0) 2 e x p [(cid:13) ( T t ) ] 1 ( A 2 ) i B ( t ; T ) = ; f (cid:0) (cid:0) g i ( (cid:13) + (cid:20) + (cid:21) ) ( e x p [(cid:13) ( T t ) ] 1 ) + 2 (cid:13) i i i i i (cid:0) (cid:0) 1 = 2 2 2 (cid:13) = ( (cid:20) + (cid:21) ) + 2 (cid:27) : i i i i (cid:2) (cid:3) T h e d e fa u lt - fr e e in s t a n t a n e o u s in t e r e s t r a t e p r o c e s s a n d t h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o e s s ( 6 ) im p ly t h e fo llo w in g z e r o - c o u p o n c o r p o r a t e b o n d p r ic e s w it h n o r e c o v e r y in d e fa u lt . V ( t ; T ; 0 ; 0 ; y ;y ; h ) = 1 ;t 2 ;t j ;t ( A 3 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 2 2 B ( t;T ) y B ( t;T ) y B ( t;T ) h ;t ;t j j;t A ( t ; T ) A ( t ; T ) A ( t ; T ) e 1 2 j h e r e A ( t ; T ) a n d B ( t ; T ) a r e fu n c t io n s a s in ( A 2 ) w it h j in p la c e o f i . j j I u s e P ( t ; T ; c ) t o d e n o t e t h e p r ic e o f a d e fa u lt - fr e e b o n d t h a t p a y s a c o u p o n c a t T ( in d d it io n t o t h e p r in c ip a l p a y m e n t ) a n d e v e r y s ix m o n t h s p r io r t o T . S im ila r ly , d e n o t e t h e r ic e o f a d e fa u lt - r is k y b o n d is s u e d b y (cid:12) r m j t h a t p r o m is e s a s e m ia n n u a l c o u p o n c , b u t p a y s o t h in g in d e fa u lt , a s V ( t ; T ; c ; 0 ) . S im p le n o - a r b it r a g e a r g u m e n t s r e v e a l t h a t t h e p r ic e o f j c o u p o n b o n d is t h e s u m o f t h e p r ic e s o f t h e in d iv id u a l c o u p o n p a y m e n t s a n d p r in c ip a l a y m e n t . F in a lly , c o n s id e r a c o u p o n b o n d is s u e d b y (cid:12) r m j , m a t u r in g a t t im e T , w it h r e c o v e r y a t e (cid:14) . D e n o t e it s p r ic e b y V ( t ; T ; c ; (cid:14) ) . I a s s u m e t h a t in t h e e v e n t o f d e fa u lt a t t im e (cid:28) , t h e j o n d p a y s o (cid:11) (cid:14) P ( (cid:28) ; T ; c ) . ( T h is is e q u iv a le n t t o a s s u m in g t h e b o n d p a y s (cid:14) c a t e a c h c o u p o n a y m e n t d a t e a ft e r d e fa u lt , a n d a n a d d it io n a l (cid:14) a t m a t u r it y .) G iv e n t h is a s s u m p t io n , a o d i(cid:12) c a t io n o f ( 7 ) w ill h o ld : V ( t ; T ; c ; (cid:14) ) = (cid:14) P ( t ; T ; c ) + ( 1 (cid:14) ) V ( t ; T ; c ; 0 ) j j (cid:0) T h e r e fo r e d e fa u lt - r is k y c o u p o n b o n d s w it h r e c o v e r y c a n b e p r ic e d in t e r m s o f t h e e q u iv le n t m a r t in g a le d e fa u lt - fr e e r a t e p r o c e s s e s ( 3 ) a n d t h e d e fa u lt in t e n s it y p r o c e s s ( 6 ) . 2 8
A p p e n d i x 2 . E s t i m a t i o n D e t a i l s 2 .a . E s t im a t io n o f t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s M o n t h t ’s o b s e r v a t io n s o f lo g b o n d p r ic e s a r e p ( t ; T ; c ) ; i = 1 ; : : : ; 7 , w h e r e T i;t i;t i;t th a n d c a r e t h e m a t u r it y a n d c o u p o n t h a t id e n t ify t h e i b o n d . T w o lo g b o n d p r ic e s a r e i;t a s s u m e d t o b e o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . O r d e r t h e b o n d s s o t h a t t h e s e b o n d s a r e t h e (cid:12) r s t t w o . T h e n w e h a v e p ( t ; T ; c ) = lo g P ( t ; T ; c ; y ; y ) ; i = 1 ; 2 ; ( A 4 a ) i;t i;t i;t i;t 1 ;t 2 ;t p ( t ; T ; c ) = lo g P ( t ; T ; c ; y ; y ) + (cid:15) ( t ; i ) ; i = 3 ; : : : ; 7 ( A 4 b ) i;t i;t i;t i;t 1 ;t 2 ;t 2 (cid:15) ( t ; i ) N ( 0 ; S ) ( A 4 c ) i (cid:24) D e n o t e t h e jo in t d e n s it y o f m o n t h t ’s lo g b o n d p r ic e s c o n d it io n a l o n m o n t h t 1 ’s lo g (cid:0) b o n d p r ic e s a s g . D e n o t e t h e d e t e r m in a n t o f t h e J a c o b ia n o f lo g P ( t ; T ; c ) fo r i = 1 ; 2 t i;t i;t w it h r e s p e c t t o t h e s t a t e v a r ia b le s a s D . T h e n t h e jo in t d e n s it y g c a n b e w r it t e n in t e r m s t t o f D , t h e c o n d it io n a l d e n s it ie s o f t h e in d e p e n d e n t s t a t e v a r ia b le s , a n d t h e d e n s it ie s o f t h e t in d e p e n d e n t m e a s u r e m e n t e r r o r s : 7 2 (cid:0) (cid:0) (cid:15) ( t ; i ) 1 1 2 1 = 2 (cid:0) (cid:0) ( A 5 ) g = D f ( y y ) f ( y y ) ( 2 (cid:25) S ) e x p t t 1 ;t 1 ;t 1 2 ;t 2 ;t 1 i 2 2 S j j j j (cid:0) i i= 3 (cid:27) (cid:26) Y (cid:0) (cid:0) w h e r e f ( y y ) is t h e d e n s it y o f y c o n d it io n a l o n y . D e n o t e t h e m o d i(cid:12) e d B e s s e l i;t i;t 1 i;t i;t 1 j fu n c t io n o f t h e (cid:12) r s t k in d o f o r d e r q b y I ( ) . T h e c o n d it io n a l d e n s it y o f y is q i;t (cid:1) q = 2 i (cid:0) (cid:0) v i u v 1 = 2 i i (cid:0) f ( y y ) = s e I [2 ( u v ) ]; i;t i;t 1 i q i i i u j i (cid:18) (cid:19) 2 (cid:20) i s ; i 2 (cid:27) [1 e x p ( (cid:20) = 1 2 ) ] (cid:17) i i (cid:0) (cid:0) ( A 6 ) 2 (cid:20) (cid:18) i i 1 ; q i 2 (cid:27) (cid:0) (cid:17) i (cid:0) u s y e x p ( (cid:20) = 1 2 ) ; i i i;t 1 i (cid:17) (cid:0) v s y : i i i;t (cid:17) T h e lo g o f t h e jo in t d e n s it y o f a ll 1 1 9 o b s e r v a t io n s c o n d it io n e d o n t h e J a n u a r y 1 9 8 5 o b s e r v a t io n is 1 2 0 L = lo g g ( A 7 ) t t= 2 X I c h o o s e t h e p a r a m e t e r s o f t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s t o m a x im iz e ( A 7 ) . I d o n o t in c lu d e t h e u n c o n d it io n a l d e n s it y o f t h e J a n u a r y 1 9 8 5 o b s e r v a t io n in ( A 7 ) b e c a u s e I a m u n w illin g t o a s s u m e s t a t io n a r it y o f b o t h y a n d y . 1 ;t 2 ;t 2 9
a m b v n p v r S t E r a 2 y b a t S e e t ( 2 2 F o r a g iv e n s e t o f p a r a m e t e r s (cid:20) ; (cid:18) ; (cid:21) ; (cid:27) ; i = 1 ; 2 a n d S ; i = 3 ; : : : ; 7 , I c a lc u la t e ( A 7 ) i i i i i s fo llo w s . T h e p r ic e s o b s e r v e d w it h o u t e r r o r in m o n t h t a r e u s e d t o c o m p u t e n u m e r ic a lly o n t h t ’s s t a t e v a r ia b le s y a n d y . ( I f w e w e r e w o r k in g w it h z e r o - c o u p o n b o n d s , t h e 1 ;t 2 ;t o n d p r ic e e q u a t io n ( A 1 ) c o u ld b e in v e r t e d t o p r o d u c e a c lo s e d - fo r m s o lu t io n fo r t h e s t a t e a r ia b le s , b u t t h is is n o t p o s s ib le w it h c o u p o n b o n d p r ic e s .) I f e it h e r s t a t e v a r ia b le is e g a t iv e , t h e lo g c o n d it io n a l d e n s it y fo r m o n t h t is s e t t o a la r g e n e g a t iv e v a lu e , w it h t h e r e c is e v a lu e d e p e n d in g o n t h e m a g n it u d e ( s ) o f t h e n e g a t iv e s t a t e v a r ia b le ( s ) . I f t h e s t a t e a r ia b le s a r e p o s it iv e , t h e lo g c o n d it io n a l d e n s it y fo r m o n t h t is e v a lu a t e d . I n p r a c t ic e , I (cid:0) e w r it e t h e d e n s it y f ( y y ) a s i;t i;t 1 j q = 2 i 1 2 1 2 = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) v i 2 ( u v ) u v 2 ( u v ) 1 = 2 i i i i i i ] [ (cid:0) e I [2 ( u v ) ] ( A 8 ) f ( y y ) = s e q i i i;t i;t 1 i i u j i (cid:19) (cid:18) n o T h e (cid:12) n a l t e r m in c u r ly b r a c k e t s in ( A 8 ) is e v a lu a t e d u s in g N A G a g o r it h m s S 1 8 D E F a n d (cid:0) x 1 8 D C F . ( N u m e r ic a l a p p r o x im a t io n s t o e I ( x ) a r e m u c h m o r e s t a b le t h a n a p p r o x im a t io n s q o I ( x ) .) F in a lly , t h e m o n t h ly lo g c o n d it io n a l d e n s it ie s a r e s u m m e d a s in ( A 7 ) . q A p r e lim in a r y m a x im u m t o ( A 7 ) is e s t im a t e d u s in g t h e S im p le x m e t h o d ( N A G r o u t in e 0 4 C C F ) . F r o m t h is p o in t , a s e q u e n t ia l q u a d r a t ic p r o g r a m m in g m e t h o d is u s e d ( N A G o u t in e E 0 4 U C F ) . A n a ly t ic (cid:12) r s t d e r iv a t iv e s a r e u s e d e v e r y w h e r e e x c e p t fo r @ I ( x ) = @ q , w h e r e q r o b u s t n u m e r ic a l m e t h o d is u s e d . .b . E s t im a t io n o f t h e d e fa u lt r is k p r o c e s s e s T h e d e fa u lt r is k p r o c e s s fo r (cid:12) r m j is e s t im a t e d t a k in g a s g iv e n t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s e s a n d y . F ir m j h a s M b o n d s w it h o b s e r v e d p r ic e s in m o n t h t . T h e lo g s o f t h e o b s e r v e d 1 ;t 2 ;t j ;t o n d p r ic e s a r e d e n o t e d v ( t ; T ; c ) ; i = 1 ; M , w h e r e T a n d c a r e t h e m a t u r it y j j ;i;t j ;i;t j ;t j ;i;t j ;i;t n d c o u p o n t h a t id e n t ify t h e b o n d . O n e o f t h e s e o b s e r v a t io n s is m a d e w it h o u t e r r o r , w h ile h e o t h e r s a r e c o n t a m in a t e d w it h n o r m a lly d is t r ib u t e d , iid m e a s u r e m e n t e r r o r w it h v a r ia n c e 2 . T h e b o n d s a r e o r d e r e d s o t h a t t h e (cid:12) r s t is o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . T h e n w e h a v e j v ( t ; T ; c ) = lo g V ( t ; T ; c ; (cid:14) ; y ; y ; h ) ; ( A 9 a ) j j ;1 ;t j ;1 ;t j ;1 ;t j ;1 ;t 1 ;t 2 ;t j ;t v ( t ; T ;c ) = j j ;i;t j ;i;t ( A 9 b ) lo g V ( t ; T ; c ; (cid:14) ; y ; y ; h ) + (cid:15) ( t ; i ) ; i = 2 ; : : : ; M j ;i;t j ;i;t 1 ;t 2 ;t j ;t j j ;t 2 (cid:15) ( t ; i ) N ( 0 ; S ) i ( A 9 c ) j j 8 (cid:24) (cid:0) M o n t h t is a v a lid o b s e r v a t io n fo r (cid:12) r m j if M > 1 a n d M > 0 . T h e s e in e q u a lit ie s j ;t j ;t 1 n s u r e t h a t t h e s t a t e v a r ia b le h is o b s e r v e d in b o t h m o n t h s t a n d t 1 , w h ile m e a s u r e m e n t (cid:0) r r o r is a ls o p r e s e n t in m o n t h t . T h e r e fo r e fo r t h e s e m o n t h s t h e c o n d it io n a l d e n s it y o f m o n t h ’s lo g p r ic e s c a n b e e v a lu a t e d . D e n o t e t h e d e n s it y o f m o n t h t ’s lo g b o n d p r ic e s c o n d it io n a l o n m o n t h t 1 ’s lo g p r ic e s (cid:0) (cid:0) (cid:0) a s w e ll a s o n t h e d e fa u lt - fr e e p r o c e s s v a lu e s y ; y ; y , a n d y ) a s g . D e n o t e 1 ;t 1 2 ;t 1 1 ;t 2 ;t j ;t 3 0
t h e d e r iv a t iv e o f lo g V ( t ; T ; c ; (cid:14) ; y ; y ; h ) w it h r e s p e c t t o h a s D . T h e n t h j ;1 ;t j ;1 ;t 1 ;t 2 ;t j ;t j ;t j ;t d e n s it y g c a n b e w r it t e n a s j ;t M j;t 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:15) ( t ; i ) j ( M 1 ) = 2 1 2 j;t (cid:0) e x p ) ( A 1 0 g = D f ( h h ) ( 2 (cid:25) S j ;t j ;t j ;t j ;t 1 j 2 2 S (cid:0) j j j j ( ) i= 2 Y (cid:0) w h e r e f ( h h ) is t h e a p p r o p r ia t e a n a lo g u e o f ( A 6 ) . j ;t j ;t 1 j D e n o t e t h e v a lid o b s e r v a t io n s fo r (cid:12) r m j b y (cid:28) ; i = 1 ; : : : ; N . T h e n t h e lo g - lik e lih o o i j fo r (cid:12) r m j c o n d it io n e d o n t h e (cid:12) r m ’s b o n d p r ic e s a t t im e (cid:28) 1 is 1 (cid:0) N j L = lo g g ( A 1 1 j j ;(cid:28) i i= 1 X A s w it h t h e d e fa u lt - fr e e lo g - lik e lih o o d fu n c t io n , t h e u n c o n d it io n a l d is t r ib u t io n o f t h (cid:12) r s t o b s e r v a t io n is n o t in c lu d e d b e c a u s e I a m u n w illin g t o im p o s e s t a t io n a r it y o f h . j ;t I e v a lu a t e a n d m a x im iz e ( A 1 1 ) in a m a n n e r s im ila r t o t h a t fo r ( A 7 ) . T h e o n ly im p o r t a n d i(cid:11) e r e n c e is t h a t I u s e r e p e a t e d a p p lic a t io n s o f t h e S im p le x m e t h o d t o m a x im iz e ( A 1 1 in s t e a d o f a ls o u s in g a d e r iv a t iv e - b a s e d m e t h o d . F o r m a n y (cid:12) r m s , (cid:12) r s t d e r iv a t iv e s b lo w u fo r p a r a m e t e r v a lu e s n e a r t h e o p t im u m p a r a m e t e r v a lu e s . 3 1 e ) d ) e t ) p
A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D A IR P R O D U C T S & C H E M IC A L S L L IE D - S IG N A L IN C L L IE D C O R P M E R IC A N E X P R E S S C R E D IT M E R IC A N G E N E R A L F IN C O R P M R C O R P O R A T IO N N A D A R K O P E T R O L E U M N H E U S E R -B U S C H C O .,IN C . R C H E R -D A N IE L S -M ID L A N D R C O C H E M IC A L C O R IS T A R IN C R K L A IN C . S S O C IA T E S C O R P N O A M E R T L A N T IC R IC H F IE L D V C O F IN A N C IA L S E R V IC E S A L T IM O R E G A S + E L E C A N K A M E R IC A C O R P A N K E R S T R U S T N Y A X T E R IN T E R N A T IO N A L IN C E A R S T E A R N S C O , IN C E C T O N , D IC K IN S O N & C O . E N E F IC IA L C O R P O IS E C A S C A D E C O R P O W A T E R P A M E R IC A IN C U R L IN G T O N R E S O U R C E S IN C A R O L IN A P O W E R + L IG H T A T E R P IL L A R IN C H A M P IO N IN T L H A S E M A N H A T T A N C O R P H A T T A N O O G A V A L L E Y C O R P H E M IC A L B A N K IN G C O R P H E S A P E A K E + O H IO R Y C O H R Y S L E R F IN A N C IA L IT G R O U P H O L D IN G S IT IC O R P IT Y IN V E S T IN G C O N A F IN A N C IA L O A S T A L C O R P O R A T IO N O C A - C O L A E N T E R P R IS E S IN C O C A -C O L A C O O M D IS C O IN C O M M E R C IA L C R E D IT O M M O N W E A L T H E D IS O N O N A G R A IN C O N S O L ID A T E D N A T U R A L G A S O R E S T A T E S C A P IT A L C O R P O R N IN G G L A S S W O R K S S X C O R P A Y T O N H U D S O N C O R P E E R E + C O E E R E J O H N C A P IT A L C O R P E L T A A IR L IN E S , IN C . IL L A R D D E P A R T M E N T S T O R E S . p p e n d i x 3 . L i s t o f (cid:12) r m s D O N N E L L E Y R .R . & S O N S C O D O W C H E M IC A L D O W C H E M IC A L B .V . D U P O N T E I D E N E M O U R S E A S T M A N K O D A K C O M P A N Y E L P A S O N A T U R A L G A S E N R O N C O R P E X X O N C A P IT A L C O R P F E D E R A L E X P R E S S C O R P F IR S T C H IC A G O C O R P F IR S T IN T E R S T A T E B A N C O R P F IR S T U N IO N C O R P O R A T IO N F L E E T / N O R S T A R F IN G R O U P F O R D C A P IT A L B .V . F O R D M O T O R F O R D M O T O R C R E D IT G E N E R A L E L E C T R IC G E N E R A L E L E C T R IC C A P IT A L G E N E R A L M O T O R S G E N E R A L M O T O R S A C P T C O R P G E O R G IA P A C IF IC G O L D E N W E S T F IN . C O R P ( D E L G R E A T W E S T E R N B A N K G T E C O R P H E L L E R F IN A N C IA L , IN C H E R T Z C O R P H O U S E H O L D F IN A N C E H O U S T O N IN D U S T R IE S IN C IC I W IL M IN G T O N IN G E R S O L L R A N D IN T E R N A T IO N A L L E A S E F IN A N IN T E R N A T IO N A L P A P E R IT T C O R P O R A T IO N I T T F IN A N C IA L J A M E S R IV E R C O R P K M A R T K ID D E , IN C . K IM B E R L Y C L A R K L O C K H E E D C O R P O R A T IO N L O N G IS L A N D L IG H T IN G L Y O N D E L L P E T R O C H E M IC A L M A N U F A C T H A N O V E R C O R P M A R R IO T T C O R P O R A T IO N M A R T IN M A R IE T T A M A Y D E P A R T M E N T S T O R E S M A Y T A G C O R P O R A T IO N M E L L O N F IN A N C IA L C O . M E R R IL L L Y N C H & C O . M O B IL C O R P M O R G A N J P IN C M O R G A N S T A N L E Y G R O U P IN C N C N B C O R P N IA G A R A M O H A W K P O W E R 3 2 ) N O O P P P P P P P P R R R R R S S S S S S S S S S S S S T T T T T T T T T U U U U U U V W W W W W W X X O R W E S T F IN A N C IA L IN C . C C ID E N T A L P E T R O L E U M H IO E D IS O N E N N E Y J C E N N Z O IL C O M P A N Y E P S IC O IN C H IL A D E L P H IA E L E C T R IC C O H IL IP M O R R IS C O S . IN C H IL L IP S P E T R O L E U M R O C T E R + G A M B L E C O U B S V C E L E C T R IC + G A S A L S T O N P U R IN A C O E P N A T IO N A L B K O F N .Y . E P U B L IC N E W Y O R K C O R P J R N A B IS C O , IN C O C K W E L L IN T E R N A T IO N A L A L O M O N IN C C O T T P A P E R E A G R A M C O L T D E A G R A M J O S E P H E + S O N S E A R S R O E B U C K + C O E C U R IT Y P A C IF IC C O R P H E A R S O N L E H M A N H L D IN G S H E A R S O N L E H M A N H U T T O N H E L L O IL C O O U T H E R N C A L IF E D IS O N O U T H W E S T A IR L IN E S C O . O U T H W E S T E R N B E L L T E L U N T R U S T B A N K S , IN C E N N E C O C R E D IT C O R P E N N E C O IN C E N N E S S E E G A S P IP E L IN E C O E X A C O C A P IT A L IN C . E X A S E A S T E R N T R A N S M IS S N IM E S M IR R O R R A N S A M E R IC A C O R P R A N S A M E R IC A F IN A N C IA L R A N S C O E N E R G Y C O N IO N C A M P N IO N O IL O F C A L IF O R N I A N IO N P A C IF IC C O R P N IT E D A IR L IN E S IN C S X C O R P T IL IC O R P U N IT E D IN C IR G IN IA E L E C T R IC P O W E R A L -M A R T S T O R E S , IN C A S T E M A N A G E M E N T , IN C . E L L S F A R G O + C O E S T IN G H O U S E E L E C T R I C E Y E R H A E U S E R C O IL L IA M S C O S E R O X C O R P E R O X C R E D IT C O R P IN C
B C C C D D D D D D D a h h o a a u u u u u R e f e r e n c e s ll, C li(cid:11) o r d A ., a n d W a lt e r N . T o r o u s , 1 9 9 6 , \ U n it r o o t s a n d t h e e s t im a t io n o f in t e r e s t r a t e d y n a m ic s ," J o u r n a l o f E m p ir ic a l F in a n c e 3 , 2 1 5 - 2 3 8 . e n , R e n - r a w , a n d L o u is S c o t t , 1 9 9 3 , \ M a x im u m lik e lih o o d e s t im a t io n fo r a m u lt ifa c t o r e q u ilib r iu m m o d e l o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s ," J o u r n a l o f F ix e d I n c o m e 3 , 1 4 - 3 1 . e n , R e n - r a w , a n d L o u is S c o t t , 1 9 9 5 , \ M u lt i- fa c t o r C o x - I n g e r s o ll- R o s s m o d e ls o f t h e t e r m s t r u c t u r e : E s t im a t e s a n d t e s t s fr o m a K a lm a n (cid:12) lt e r m o d e l," W o r k in g p a p e r , U n iv e r s it y o f G e o r g ia ( A t h e n s , G A ) . x , J o h n C ., J o n a t h a n E . I n g e r s o ll J r ., a n d S t e p h e n A . R o s s , 1 9 8 5 , \ A t h e o r y o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s ," E c o n o m e t r ic a 5 3 , 3 8 5 - 4 0 7 . s , S a n jiv R a n ja n a n d P e t e r T u fa n o , 1 9 9 5 , \ P r ic in g c r e d it - s e n s it iv e d e b t w h e n in t e r e s t r a t e s , c r e d it r a t in g s a n d c r e d it s p r e a d s a r e s t o c h a s t ic ," W o r k in g p a p e r , H a r v a r d B u s in e s s S c h o o l ( B o s t o n , M A ) . v id ia n , M a r ie a n d R a y m o n d J . C a r r o ll, 1 9 8 7 , \ V a r ia n c e fu n c t io n e s t im a t io n ," J o u r n a l o f t h e A m e r ic a n S t a t is t ic a l A s s o c ia t io n 6 5 , 1 5 0 9 - 1 5 2 6 . a n , J in - C h u a n , a n d J e a n - G u y S im o n a t o , 1 9 9 5 , \ E s t im a t in g a n d t e s t in g e x p o n e n t ia la (cid:14) n e t e r m s t r u c t u r e m o d e ls b y K a lm a n (cid:12) lt e r ," W o r k in g p a p e r , M c G ill U n iv e r s it y ( M o n t r e a l, C A ) . (cid:11) e e , G r e g o r y R ., 1 9 9 6 , \ T r e a s u r y y ie ld s a n d c o r p o r a t e b o n d y ie ld s p r e a d s : A n e m p ir ic a l a n a ly s is ," W o r k in g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ( W a s h in g t o n , D C ) . (cid:14) e , D a r r e ll, 1 9 9 6 , D y n a m ic A s s e t P r ic in g T h e o r y , P r in c e t o n U n iv e r s it y P r e s s , P r in c e t o n , N J . (cid:14) e , D a r r e ll, a n d M in g H u a n g , 1 9 9 6 , \ S w a p r a t e s a n d c r e d it q u a lit y ," J o u r n a l o f F in a n c e 5 1 , 9 2 1 - 9 4 9 . (cid:14) e , D a r r e ll, a n d K e n n e t h J . S in g le t o n , 1 9 9 5 a , \ M o d e lin g t e r m s t r u c t u r e s o f d e fa u lt a b le b o n d s ," W o r k in g p a p e r , S t a n fo r d G r a d u a t e S c h o o l o f B u s in e s s ( S t a n fo r d , C A ) . 3 3
D F F G H J J J K L L L M u (cid:14) e , D a r r e ll, a n d K e n n e t h J . S in g le t o n , 1 9 9 5 b , \ A n e c o n o m e t r ic m o d e l o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s w a p y ie ld s ," W o r k in g p a p e r , S t a n fo r d G r a d u a t e S c h o o l o f B u s in e s s ( S t a n fo r d , C A ) . o n s , J e r o m e S ., 1 9 9 4 , \ U s in g d e fa u lt r a t e s t o m o d e l t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d it r is k ," F in a n c ia l A n a ly s t s J o u r n a l, S e p t e m b e r / O c t o b e r , 2 5 - 3 2 . o n s , J e r o m e S ., L e a C a r t y , a n d J e r e m y K a u fm a n , 1 9 9 4 , \ C o r p o r a t e b o n d d e fa u lt s a n d d e fa u lt r a t e s 1 9 7 0 { 1 9 9 3 ," M o o d y ’s S p e c ia l R e p o r t , J a n u a r y . r in b la t t , M a r k , 1 9 9 5 , \ A n a n a ly t ic a l s o lu t io n fo r in t e r e s t r a t e s w a p s p r e a d s ," W o r k in g p a p e r , U C L A ( L o s A n g e le s , C A ) . e lw e g e , J e a n a n d C h r is t o p h e r M . T u r n e r , 1 9 9 5 , \ T h e s lo p e o f t h e c r e d it y ie ld c u r v e fo r s p e c u la t iv e - g r a d e is s u e r s ," W o r k in g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f N e w Y o r k . a r r o w , R o b e r t , D a v id L a n d o , a n d S t u a r t T u r n b u ll, 1 9 9 4 , \ A M a r k o v m o d e l fo r t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d it r is k s p r e a d s ," W o r k in g p a p e r , C o r n e ll U n iv e r s it y ( I t h a c a , N Y ) . a r r o w , R o b e r t A ., a n d S t u a r t M . T u r n b u ll, 1 9 9 5 , \ P r ic in g d e r iv a t iv e s o n (cid:12) n a n c ia l s e c u r it ie s s u b je c t t o c r e d it r is k ," J o u r n a l o f F in a n c e 5 0 , 5 3 - 8 6 . o n e s , E . P h illip , S c o t t P . M a s o n , a n d E r ic R o s e n fe ld , 1 9 8 4 , \ C o n t in g e n t c la im s a n a ly s is o f c o r p o r a t e c a p it a l s t r u c t u r e s : A n e m p ir ic a l in v e s t ig a t io n ," J o u r n a l o f F in a n c e 3 9 , 6 1 1 - 6 2 5 . w a n , S im o n H ., 1 9 9 6 , \ F ir m - s p e c i(cid:12) c in fo r m a t io n a n d t h e c o r r e la t io n b e t w e e n in d iv id u a l s t o c k s a n d b o n d s ," J o u r n a l o f F in a n c ia l E c o n o m ic s 4 0 , 6 3 - 8 0 . a n d o , D a v id , 1 9 9 4 , \ O n C o x p r o c e s s e s a n d c r e d it r is k y b o n d s ," W o r k in g p a p e r , I n s t it u t e o f M a t h e m a t ic a l S t a t is t ic s , U n iv e r s it y o f C o p e n h a g e n . it t e r m a n , R o b e r t a n d T h o m a s I b e n , 1 9 9 1 , \ C o r p o r a t e b o n d v a lu a t io n a n d t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d it s p r e a d s ," J o u r n a l o f P o r t fo lio M a n a g e m e n t , S p r in g , 5 2 - 6 4 . o n g s t a (cid:11) , F r a n c is A . a n d E d u a r d o S . S c h w a r t z , 1 9 9 5 , \ A s im p le a p p r o a c h t o v a lu in g r is k y (cid:12) x e d a n d (cid:13) o a t in g r a t e d e b t ," J o u r n a l o f F in a n c e 5 0 , 7 8 9 - 8 2 0 . a d a n , D ilip B . a n d H a lu k U n a l, 1 9 9 4 , \ P r ic in g t h e r is k s o f d e fa u lt ," W o r k in g p a p e r , W h a r t o n ( P h ila d e lp h ia , P A ) . 3 4 -
M M N S S S W Z e r t o n , R o b e r t C ., 1 9 7 4 , \ O n t h e p r ic in g o f c o r p o r a t e d e b t : T h e r is k s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s ," T h e J o u r n a l o f F in a n c e 2 9 , 4 4 9 - 4 7 0 . a d a n , D ilip B . a n d H a lu k U n a l, 1 9 9 4 , \ P r ic in g t h e r is k s o f d e fa u lt ," W o r k in g p a p e r , W h a r t o n ( P h ila d e lp h ia , P A ) . ie ls e n , S o r e n S ., a n d E h u d I . R o n n , 1 9 9 6 , \ T h e v a lu a t io n o f d e fa u lt r is k in c o r p o r a t e b o n d s a n d in t e r e s t r a t e s w a p s ," W o r k in g p a p e r , U n iv e r s it y o f T e x a s a t A u s t in ( A u s t in T X ) . a r ig , O d e d a n d A r t h u r W a r g a , 1 9 8 9 , \ S o m e e m p ir ic a l e s t im a t e s o f t h e r is k s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s ," J o u r n a l o f F in a n c e 4 4 , 1 3 5 1 - 1 3 6 0 . c h w e r t , G . W illia m , 1 9 8 9 , \ T e s t s fo r u n it r o o t s : A M o n t e C a r lo in v e s t ig a t io n ," J o u r n a l o f B u s in e s s a n d E c o n o m ic S t a t is t ic s 7 , 1 4 7 - 1 5 9 . o r e n s e n , E r ic H ., a n d T h ie r r y F . B o llie r , 1 9 9 4 , \ P r ic in g s w a p d e fa u lt r is k ," F in a n c ia l A n a ly s t s J o u r n a l, M a y - J u n e , 2 3 - 3 3 . a r g a , A r t h u r D ., 1 9 9 1 , \ C o r p o r a t e b o n d p r ic e d is c r e p a n c ie s in t h e d e a le r a n d e x c h a n g e m a r k e t s ," J o u r n a l o f F ix e d I n c o m e 1 , 7 - 1 6 . h o u , C h u n s h e n g , 1 9 9 6 , \ A ju m p - d i(cid:11) u s io n a p p r o a c h t o m o d e lin g c r e d it r is k a n d v a lu in g d e fa u lt a b le s e c u r it ie s ," W o r k in g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ( W a s h in g t o n , D C ) . 3 5 ,
T a b l e 1 M a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t e s o f a t w o f a c t o r s q u a r e - r o o t m o d e l o f T r e a s u r y b o n d y i e l d s y d Z ( t r u e m e a s u r e ) d y = (cid:20) ( (cid:18) y ) d t + (cid:27) i;t i;t i;t i i i;t i p (cid:0) ^ d y = ( (cid:20) (cid:18) ( (cid:20) + (cid:21) ) y ) d t + (cid:27) y d Z ( m a r t in g a le m e a s u r e ) i;t i i i i i;t i i;t i;t p (cid:0) 2 2 2 2 i (cid:20) (cid:18) ( 1 0 ) (cid:21) (cid:27) ( 1 0 ) (cid:20) (cid:18) ( 1 0 ) (cid:20) + (cid:21) i i i i i i i i (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 0 :6 7 4 3 :9 6 4 0 :2 1 4 0 :7 2 4 2 :6 7 2 0 :4 6 1 (cid:0) ( 0 :2 3 9 ) ( 1 :3 9 2 ) ( 0 :2 3 5 ) ( 0 :1 4 1 ) ( 0 :0 8 3 ) ( 0 :0 1 4 ) 2 0 :1 8 4 0 :2 8 6 0 :2 0 5 0 :4 1 9 0 :0 5 3 0 :0 2 1 (cid:0) (cid:0) ( 0 :1 2 9 ) ( 0 :2 0 3 ) ( 0 :1 2 9 ) ( 0 :0 4 0 ) ( 0 :0 0 8 ) ( 0 :0 0 5 ) E s t . v a r ia n c e o f R M S E o f y ie ld a m e a s u r e m e n t e r r o r t o m a t u r it y 4 M a t u r it y ( 1 0 ) ( b a s is p o in t s ) (cid:2) 6 m o n 0 .0 1 3 2 7 .3 ( 0 .0 0 2 ) 3 y e a r 0 .0 8 9 1 1 .0 ( 0 .0 1 5 ) 5 y e a r 0 .3 5 1 1 4 .7 ( 0 .0 7 1 ) 7 y e a r 0 .4 8 6 1 3 .7 ( 0 .0 8 6 ) 3 0 y e a r 1 .7 3 0 1 1 .0 ( 0 .1 9 3 ) T h e in s t a n t a n e o u s d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e is r = y + y . P r ic e s o f o n e - y e a r a n d t 1 ;t 2 ;t t e n - y e a r T r e a s u r y c o u p o n b o n d s a r e a s s u m e d t o b e o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . L o g p r ic e s o f T r e a s u r y c o u p o n b o n d s w it h m a t u r it ie s o f a p p r o x im a t e ly s ix m o n t h s , t h r e e y e a r s , (cid:12) v e y e a r s , s e v e n y e a r s , a n d 3 0 y e a r s a r e a s s u m e d t o b e c o n t a m in a t e d w it h n o r m a lly d is t r ib u t e d , iid m e a s u r e m e n t e r r o r s . T h e e s t im a t e d p a r a m e t e r s m a x im iz e t h e s u m , o v e r J a n u a r y 1 9 8 5 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 , o f t h e lo g lik e lih o o d o f t h e t h e jo in t d e n s it y o f m o n t h t + 1 ’s lo g p r ic e s c o n d it io n a l o n m o n t h t ’s lo g p r ic e s . S t a n d a r d e r r o r s a r e in p a r e n t h e s e s . a T h e s q u a r e r o o t o f t h e m e a n ( a c r o s s 1 2 0 m o n t h ly o b s e r v a t io n s ) o f t h e s q u a r e d d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e a c t u a l y ie ld t o m a t u r it y o n t h e b o n d a n d t h e b o n d ’s y ie ld t o m a t u r it y im p lie d b y t h e m o d e l. 3 6
T S i b n w J m a b l e 2 u m m a r y o f m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t e s o f 1 6 0 (cid:12) r m s ’ d e f a u l t r i s k p r o c e s s e s m p l i e d b y c o r p o r a t e b o n d t e r m s t r u c t u r e s h d Z ( t r u e m e a s u r e ) d h = (cid:20) ( (cid:18) h ) d t + (cid:27) j ;t j ;t j ;t j j j ;t j (cid:0) ^ d h = ( (cid:20) (cid:18) ( (cid:20) + (cid:21) ) h ) d t + (cid:27) h d Z ( m a r t in g a le m e a s u r e ) j ;t j j j j j ;t j j ;t j ;t p (cid:0) p a s t r d V a r ia b le S c a le 1 q u a r t ile M e d ia n 3 q u a r t ile P a n e l A : L o n g e s t m a t u r ity b o n d o b s e r v e d w it h o u t e r r o r (cid:20) 0 :0 0 0 0 :0 0 0 0 :0 8 5 j (cid:0) 2 (cid:18) 1 0 0 :1 2 8 0 :0 0 0 0 :6 5 1 j (cid:0) (cid:21) 0 :2 0 0 0 :0 9 8 0 :0 4 3 j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:27) 1 0 0 :2 5 4 0 :4 6 5 0 :9 2 0 j 2 (cid:20) (cid:18) 1 0 0 :0 0 0 0 :0 0 0 0 :0 6 8 j j (cid:20) + (cid:21) 0 :1 2 3 0 :0 7 5 0 :0 1 8 j j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 4 S 1 0 0 :2 7 1 0 :5 4 0 1 :0 3 1 j 2 M e a n (cid:12) t t e d h 1 0 0 :9 7 7 1 :2 9 9 1 :7 3 2 j ;t R M S E o f y ie ld t o b m a t u r ity ( b .p .) 1 4 :8 5 0 1 8 :3 6 5 2 4 :6 2 8 (cid:0) M e a n im p lie d e q u iv a le n t m a r t in g a le 5 y r d e fa u lt p r o b . 0 :0 5 9 0 :0 7 9 0 :1 0 2 (cid:0) P a n e l B : B o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s o b s e r v e d w it h o u t e r r o r (cid:20) 0 :0 1 3 0 :1 2 7 0 :3 4 3 j (cid:0) 2 (cid:18) 1 0 0 :4 8 6 1 :1 2 2 2 :3 8 0 j (cid:21) 0 :2 3 8 0 :1 1 6 0 :0 4 0 j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:27) 1 0 0 :6 3 5 1 :0 4 5 1 :5 4 5 j 2 (cid:20) (cid:18) 1 0 0 :0 8 6 0 :2 0 5 0 :3 5 8 j j (cid:20) + (cid:21) 0 :0 5 7 0 :0 2 8 0 :1 3 9 j j (cid:0) (cid:0) 2 4 S 1 0 0 :3 8 6 0 :9 1 0 1 :8 1 6 j 2 M e a n (cid:12) t t e d h 1 0 0 :9 6 3 1 :3 6 0 1 :7 3 0 j ;t R M S E o f y ie ld t o b m a t u r ity ( b .p .) 1 3 :4 9 2 1 6 :6 0 9 2 2 :4 8 6 (cid:0) M e a n im p lie d e q u iv a le n t m a r t in g a le 5 y r d e fa u lt p r o b . 0 :0 6 5 0 :0 8 0 0 :1 0 1 (cid:0) F ir m ’s in s t a n t a n e o u s p r o b a b ility o f d e fa u lt is d e n o t e d . In e a c h m o n t h t h e p r ic e o f o n e o f (cid:12) r m ’s j h j j ;t o n d s is a s s u m e d t o b e o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . A ll o t h e r lo g p r ic e s o f (cid:12) r m ’s b o n d s a r e o b s e r v e d w it h id d j 2 o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r w it h v a r ia n c e . F o r e a c h o f 1 6 0 (cid:12) r m s , t h is m o d e l is e s t im a t e d S j it h m a x im u m lik e lih o o d , u s in g t h e o n e -m o n t h t r a n s it io n d e n s it ie s o f lo g b o n d p r ic e s . T h e d a t a s e t c o v e r s a n u a r y 1 9 8 5 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 . a T h e d is p la y e d e s t im a t e s h a v e b e e n m u lt ip lie d b y t h e s c a le fa c t o r ( if a n y ) . b T h e s q u a r e r o o t o f t h e m e a n o f t h e s q u a r e d d i(cid:11) e r e n c e s b e tw e e n t h e a c t u a l a n d (cid:12) t t e d y ie ld s t o a t u r ity o n (cid:12) r m ’s b o n d s t h a t a r e o b s e r v e d w it h e r r o r ( e x p r e s s e d in b a s is p o in t s ) . j 3 7
T S d T w A e a b l e 3 u m m a r y o f A u g m e n t e d D i c k e y - F u l l e r t e s t s o f (cid:12) r m s ’ e s t i m a t e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s ^ ^ ^ ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) h = b + b h + b (cid:1) h + b (cid:1) h + e j ;t 0 1 j ;t 1 2 j ;t 1 3 j ;t 2 j ;t s t r V a r ia b le 1 q u a r t ile M e d ia n 3 P a n e l A : L o n g e s t m a t u r it y b o n d o b s e r v e d w it h o u t e r r o r N u m : o f O b s : 4 2 :0 0 0 5 2 :0 0 0 b 0 :2 5 1 0 :1 7 3 1 (cid:0) (cid:0) t s t a t o f b 2 :7 8 2 :2 0 1 (cid:0) (cid:0) b 0 :0 3 4 0 :0 5 1 2 (cid:0) t s t a t o f b 0 :2 4 0 :3 8 2 (cid:0) b 0 :1 1 0 0 :0 0 6 3 (cid:0) (cid:0) t s t a t o f b 0 :8 1 0 :0 4 3 (cid:0) (cid:0) 2 S E E ( 1 0 ) 0 :1 4 5 0 :2 0 7 (cid:2) 2 S t d : D e v : o f (cid:1) h ( 1 0 ) 0 :1 6 4 0 :2 2 9 j ;t (cid:2) P a n e l B : B o n d c lo s e s t t o (cid:12) v e y e a r s o b s e r v e d w it h o u t e r r o r b 0 :3 0 8 0 :2 0 2 1 (cid:0) (cid:0) t s t a t o f b 3 :0 7 2 :4 4 1 (cid:0) (cid:0) b 0 :0 0 8 0 :1 0 4 2 (cid:0) t s t a t o f b 0 :0 5 0 :7 7 2 (cid:0) b 0 :0 6 2 0 :0 4 6 3 (cid:0) t s t a t o f b 0 :4 9 0 :2 9 3 (cid:0) 2 S E E ( 1 0 ) 0 :2 3 6 0 :2 9 6 (cid:2) 2 S t d : D e v : o f (cid:1) h ( 1 0 ) 0 :2 5 5 0 :3 1 9 j ;t (cid:2) F ir m j ’s e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt a t m o n t h - e n d h e s e e s t im a t e s a r e p r o d u c e d a s s u m in g e it h e r t h a t a lo n g - m a t u r it y b o n d it h o u t e r r o r ( P a n e l A ) o r t h a t a (cid:12) v e - y e a r b o n d p r ic e is m e a s u r e d w it h o u n A D F t e s t ( t w o la g s ) is e s t im a t e d fo r e a c h o f 1 6 0 (cid:12) r m s . S u m m a r ie s s t im a t e s a r e r e p o r t e d a b o v e . 3 8 i n s t a n t a d q u a r t ile 8 0 :2 5 0 0 :1 1 0 (cid:0) 1 :7 4 (cid:0) 0 :1 8 5 1 :2 5 0 :0 6 4 0 :5 2 0 :3 0 9 0 :3 2 8 0 :1 4 2 (cid:0) 1 :9 4 (cid:0) 0 :2 1 1 1 :5 7 0 :1 1 6 0 :9 0 0 :3 9 7 0 :4 3 2 t is d e n o p r ic e is m t e r r o r ( P o f t h e p a n e o t e d e a s a n e r a m u s ^h . j ;t u r e d l B .) e t e r
T a b l e 4 S p e c i (cid:12) c a t i o n t e s t s o f t h e p r e d i c t a b i l i t y o f e s t i m a t e d s h o c k s t o (cid:12) r m s ’ i n s t a n t a n e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s 3 (cid:0) (cid:15) = b + b [R e g r e s s o r ] + (cid:17) ; j ;t 0 i+ 1 t i j ;t i= 0 X 2 (cid:0) E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : j ;t i;t j ;t i;t j ;t m j ;t 6 6 8 R e g r e s s io n R ig h t h a n d N u m . o f n u m b e r s id e v a r ia b le O b s . I n t e r c e p t L a g 0 L a g 1 L a g 2 L a g 3 [1 ] (cid:15) 9 4 6 6 0 :1 0 4 0 :0 9 4 0 :0 5 8 0 :0 2 6 j ;t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 2 :0 1 ) ( 5 :1 4 ) ( 2 :7 2 ) ( 1 :9 5 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) [2 ] (cid:1) Y 1 0 0 4 1 0 :0 7 7 0 :6 2 8 0 :2 6 5 0 :2 0 9 0 :0 7 5 3 0 y r (cid:0) ( 1 :5 9 ) ( 3 :3 0 ) ( 1 :6 3 ) ( 1 :3 3 ) ( 0 :5 3 ) (cid:0) [3 ] (cid:1) ( Y Y ) 1 0 0 4 1 0 :0 8 0 0 :0 2 2 0 :0 4 3 0 :2 2 0 0 :1 0 2 3 0 y r 3 m o n (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 1 :5 7 ) ( 0 :0 9 ) ( 0 :2 6 ) ( 1 :0 1 ) ( 0 :6 3 ) (cid:0) (cid:15) is t h e e s t im a t e d n o r m a liz e d in n o v a t io n in (cid:12) r m j ’s e s t im a t e d p r o b a b ilit y o f d e fa u lt j ;t fr o m t 1 t o t , b a s e d o n t h e a s s u m p t io n t h a t t h e p r ic e o f t h e (cid:12) r m ’s lo n g b o n d a t t im e (cid:0) t is m e a s u r e d w it h o u t e r r o r . Y d e n o t e s t h e 3 0 - y e a r c o n s t a n t m a t u r it y T r e a s u r y y ie ld . 3 0 y r Y d e n o t e s t h e t h r e e - m o n t h T r e a s u r y b ill y ie ld . I f t h e m o d e l is s p e c i(cid:12) e d c o r r e c t ly , (cid:15) 3 m o n j ;t s h o u ld fo llo w a r a n d o m w a lk a n d b e u n fo r e c a s t a b le w it h e it h e r c u r r e n t o r la g g e d o f c h a n g e s in d e fa u lt - fr e e in t e r e s t r a t e s . T h e r e g r e s s io n s a r e e s t im a t e d jo in t ly a c r o s s a ll 1 6 0 (cid:12) r m s u s in g q u a s i- m a x im u m lik e lih o o d . T - s t a t is t ic s a r e in p a r e n t h e s e s . a T - s t a t is t ic v e r s u s o n e . 3 9 o u 0 ( 8 0 ( 7 0 ( 8 s :2 :0 :2 :6 :2 :6 4 8 4 8 2 6 (cid:26) 3 ) 3 ) 3 ) ( ( ( 2 2 2 1 :2 :0 8 1 :2 :1 1 1 :2 :2 7 V 4 ) 4 ) 6 ) 5 a 5 a 8 a
T a b l e 5 S p e c i (cid:12) c a t i o n t e s t s o f t h e p r e d i c t a b i l i t y o f t h e v o l a t i l i t y o f e s t i m a (cid:12) r m s ’ i n s t a n t a n e o u s d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s 3 ^ (cid:0) (cid:0) v o l a t i l i t y = b + b v o l a t i l i t y + b h + (cid:17) ; 0 i 4 j ;t 1 j ;t j ;t j ;t i i= 1 X 2 (cid:0) E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m j ;t i;t j ;t i;t j ;t m j ;t 6 V o la t ilit y N u m . o f V o la t ilit y M e a s u r e O b s . I n t e r c e p t L a g 1 L a g 2 L a g 3 h j ;t 2 (cid:15) 9 4 6 6 1 :1 7 8 0 :0 2 1 0 :0 0 2 0 :0 0 1 6 :4 9 6 j ;t (cid:0) ( 6 :8 6 ) ( 2 :5 0 ) ( 4 :9 0 ) ( 2 :1 0 ) ( 1 :2 6 ) (cid:0) (cid:15) 9 4 6 6 0 :5 7 2 0 :1 1 3 0 :0 3 9 0 :0 2 0 2 :4 4 7 j ;t j j ( 1 6 :9 6 ) ( 8 :3 1 ) ( 4 :1 0 ) ( 1 :6 5 ) ( 2 :8 6 ) ^ (cid:15) is t h e e s t im a t e d n o r m a liz e d in n o v a t io n in h , w h ic h is (cid:12) r m j ’s e s t j ;t j ;t n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit y fr o m t 1 t o t b a s e d o n t h e a s s u m p t io n t h a t t h e p (cid:0) lo n g b o n d a t t im e t is m e a s u r e d w it h o u t e r r o r . I f t h e m o d e l is s p e c i(cid:12) e d s h o u ld b e n o p e r s is t e n t v a r ia t io n s in t h e v o la t ilit y o f (cid:15) , n o r s h o u ld it s v j ;t ^ (cid:0) o n h T h e r e g r e s s io n s a r e e s t im a t e d jo in t ly a c r o s s a ll 1 6 0 (cid:12) r m s u s in g j ;t 1 lik e lih o o d . T - s t a t is t ic s a r e in p a r e n t h e s e s . 4 0 t e d s h o c k s t o = 0 ; i ; j : 6 8 (cid:26) V 0 :0 1 9 6 1 :4 2 1 ( 2 :4 2 ) ( 2 :0 2 ) 0 :1 1 0 0 :7 1 4 ( 4 :7 2 ) ( 8 :1 7 ) im a t e d in s t a n t a r ic e o f t h e (cid:12) r m ’s c o r r e c t ly , t h e r e o la t ililt y d e p e n d q u a s i- m a x im u m
T a b l e 6 T h e r e l a t i o n b e t w e e n c r e d i t r a t i n g s a n d e s t i m a t e d d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a P a n e l A . P a r a m e t e r e s t im a t e s g r o u p e d b y (cid:12) r m s ’ in it ia l c r e d it r a t in g s I n it ia l N u m b e r M e d ia n E s t im a t e s 2 2 2 2 c r e d it r a t in g o f (cid:12) r m s (cid:20) (cid:18) ( 1 0 ) (cid:21) (cid:27) ( 1 0 ) (cid:20) (cid:18) ( 1 0 ) (cid:20) + (cid:21) S j j j j j j j j (cid:2) (cid:2) (cid:2) A a a 5 0 :0 0 0 0 :3 6 1 0 :1 8 2 1 :2 7 5 0 :0 1 8 0 :1 1 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) A a 3 5 0 :0 0 0 0 :0 0 0 0 :0 6 6 0 :3 6 9 0 :0 0 0 0 :0 6 0 (cid:0) (cid:0) A 8 0 0 :0 0 0 0 :0 0 0 0 :1 0 9 0 :4 7 3 0 :0 0 0 0 :0 8 0 (cid:0) (cid:0) B a a 3 8 0 :0 0 0 0 :0 0 0 0 :0 9 6 0 :4 0 5 0 :0 0 0 0 :0 6 0 (cid:0) (cid:0) B a 2 0 :0 6 3 2 :0 4 9 0 :3 8 5 1 :7 5 3 0 :0 7 4 0 :3 2 1 (cid:0) (cid:0) P a n e l B . E s t im a t e d in s t a n t a n e o u s d e fa u lt p r o b a b ilit ie s , s o r t e d b y c o n t e m p o r a n e o u s c r e d it r 1 = 2 ^ ^ ^ M o n t h t N u m b e r o f M e d ia n h M e a n h [V a r ( (cid:1) h ) ] j ;t j ;t j ;t 2 2 2 c r e d it r a t in g o b s e r v a t io n s ( 1 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) (cid:2) (cid:2) (cid:2) A a a 2 7 3 0 :7 1 6 0 :7 0 9 0 :2 0 9 A a 1 4 2 1 1 :0 1 1 1 :0 3 6 0 :2 3 3 A 5 6 7 8 1 :0 8 7 1 :2 0 9 0 :2 8 3 B a a 2 6 7 8 1 :6 5 9 2 :0 9 5 0 :8 9 6 B a 2 5 1 2 :5 8 9 2 :7 8 1 0 :6 5 5 B 2 1 4 :1 8 7 5 :4 9 6 3 :4 5 9 F ir m j ’s in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt h is a s s u m e d t o fo llo w a s q u a r e - r o o t j ;t 2 d i(cid:11) u s io n p r o c e s s w it h p a r a m e t e r s (cid:20) , (cid:18) , (cid:21) , a n d (cid:27) . I n e a c h m o n t h o n e b o n d p r ic e is j j j j a s s u m e d t o b e o b s e r v e d w it h o u t e r r o r . A ll o t h e r lo g b o n d p r ic e s a r e o b s e r v e d w it h iid 2 n o r m a lly d is t r ib u t e d m e a s u r e m e n t e r r o r w it h v a r ia n c e S . F o r e a c h o f 1 6 0 (cid:12) r m s , t h is m o d e l j is e s t im a t e d w it h m a x im u m lik e lih o o d , u s in g o n e - m o n t h t r a n s it io n d e n s it ie s o f lo g b o n d p r ic e s . T h e d a t a s e t s p a n s J a n u a r y 1 9 8 5 t h r o u g h D e c e m b e r 1 9 9 4 . E s t im a t e d v a lu e s o f h j ;t ^ a r e d e n o t e d h . j ;t a A (cid:12) r m ’s in it ia l c r e d it r a t in g is d e (cid:12) n e d a s t h e c r e d it r a t in g o n t h e (cid:12) r m ’s s e n io r u n s e c u r e d b o n d s in t h e (cid:12) r s t m o n t h ly o b s e r v a t io n u s e d t o e s t im a t e t h e (cid:12) r m ’s d e fa u lt p r o c e s s . 4 1 2 j a ( t (cid:2) 0 0 0 0 3 in 1 0 :7 :2 :5 :5 :2 g 4 7 8 6 7 0 ) 6 8 5 1 4
T T t T e s a a b l e 7 h e r e l a t i o n b e t w e e n (cid:12) r m s ’ e s t i m a t e d i n s t a n t a n e o u s d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a h e i r s t o c k r e t u r n s 3 ^ (cid:0) 1 0 0 (cid:1) h = b + b s + (cid:17) ; j ;t 0 i+ 1 j ;t i j ;t i= 0 X 2 (cid:0) E ( (cid:17) ) = 0 ; E ( (cid:17) ) = V ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = (cid:26) V ; i = j ; E ( (cid:17) (cid:17) ) = 0 ; m = 0 ; i ; j : j ;t i;t j ;t i;t j ;t m j ;t 6 6 8 C r e d it N u m . o f S t o c k R e t u r n r a t in g O b s . I n t e r c e p t L a g 0 L a g 1 L a g 2 L a g 3 (cid:26) A a 8 3 2 0 :0 0 7 0 :2 9 8 0 :1 0 6 0 :1 1 0 0 :0 0 3 0 :1 9 9 0 :0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 0 :7 5 ) ( 2 :5 0 ) ( 0 :8 7 ) ( 1 :0 8 ) ( 0 :0 3 ) ( 3 :7 1 ) ( 8 :1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) A 3 9 9 6 0 :0 1 9 0 :4 0 9 0 :3 8 6 0 :0 5 9 0 :0 9 1 0 :2 4 0 0 :0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 1 :4 2 ) ( 2 :2 7 ) ( 2 :7 6 ) ( 0 :7 2 ) ( 1 :3 6 ) ( 6 :2 4 ) ( 7 :4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B a a 2 0 8 6 0 :0 3 5 1 :3 7 4 0 :3 5 6 0 :3 5 7 0 :7 6 3 0 :1 3 1 0 :2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 1 :6 4 ) ( 3 :5 4 ) ( 2 :3 8 ) ( 2 :0 6 ) ( 4 :3 8 ) ( 3 :1 2 ) ( 3 :9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) F ir m j ’s e s t im a t e d in s t a n t a n e o u s p r o b a b ilit y o f d e fa u lt a t m o n t h - e n d t is d e n o t e d h e s e e s t im a t e s a r e p r o d u c e d a s s u m in g t h a t a lo n g - m a t u r it y b o n d p r ic e is m e a s u r e d w it r r o r . F ir m j ’s s t o c k r e t u r n fr o m t h e e n d o f m o n t h t 1 t o t h e e n d o f m o n t h t is d e n (cid:0) . T h e r e g r e s s io n s a r e e s t im a t e d w it h q u a s i- m a x im u m lik e lih o o d jo in t ly a c r o s s a ll j ; t j ;t g iv e n c r e d it r a t in g a t t 1 . T - s t a t is t ic s a r e in p a r e n t h e s e s . (cid:0) 4 2 n d V 3 7 2 ) 6 9 9 ) 1 4 8 ) ^h . j ;t h o u t o t e d w it h
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Gregory R. Duffee (1997). Estimating the Price of Default Risk (FEDS 1996-29). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-29
@techreport{wtfs_feds_1996_29,
author = {Gregory R. Duffee},
title = {Estimating the Price of Default Risk},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1996-29},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1997},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1996-29},
abstract = {A firm's instantaneous probability of default is modeled as a square-root diffusion process. The parameters of these processes are estimated for 188 firms, using both the time series and cross-sectional (term structure) properties of the individual firms' bond prices. Although the estimated models are moderately successful at bond pricing, there is strong evidence of misspecification. The results indicate that single factor models of instantaneous default risk face a significant challenge in matching certain key features of actual corporate bond yield spreads. In particular, such models have difficulty generating both relatively flat yield spreads when firms have low credit risk and steeper yield spreads when firms have higher credit risk.},
}