Computationally Convenient Distributional Assumptions for Common Value Auctions

A M c p e G M 1 5 C o m p u t a t i o n a l l y C o n v e n i e n t D i s t r i b u t i o n a l A s s u m p t i o n s f o r C o m m o n V a l u e A u c t i o n s (cid:3) M i c h a e l B . G o r d y B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m J a n u a r y 2 1 , 1 9 9 7 A b s t r a c t l t h o u g h t h e m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n s o f c o m m o n v a l u e a u c t i o n s h a v e b e e n w e l l u n d e r s t o o d s i n c e i l g r o m a n d W e b e r ( 1 9 8 2 ) , e q u i l i b r i u m b i d d i n g s t r a t e g i e s a r e c o m p u t a t i o n a l l y c o m p l e x . V e r y f e w a l c u l a t e d e x a m p l e s c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , a n d o n l y f o r h i g h l y s p e c i a l i z e d c a s e s . T h i s a p e r i n t r o d u c e s t w o s e t s o f d i s t r i b u t i o n a l a s s u m p t i o n s t h a t a r e (cid:13) e x i b l e e n o u g h f o r t h e o r e t i c a l a n d m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s a n d y e t p e r m i t s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n o f e q u i l i b r i u m b i d d i n g s t r a t e g i e s . (cid:3) T h e v i e w s e x p r e s s e d h e r e i n a r e m y o w n a n d d o n o t n e c e s s a r i l y r e (cid:13) e c t t h o s e o f t h e B o a r d o f o v e r n o r s o r i t s s t a (cid:11) . I t h a n k P r e s t o n M c A f e e a n d D a n i e l V i n c e n t f o r h e l p f u l s u g g e s t i o n s a n d a r g a r e t K y l e f o r e x c e l l e n t r e s e a r c h a s s i s t a n c e . P l e a s e a d d r e s s c o r r e s p o n d e n c e t o t h e a u t h o r a t D i v i s i o n o f R e s e a r c h a n d S t a t i s t i c s , M a i l S t o p 5 3 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h i n g t o n , D C 2 0 5 5 1 , U S A . P h o n e : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 3 7 0 5 . F a x : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 2 9 5 . E m a i l : h m g o r d y @ f r b .g o v i .

t a m ( M s t M d h t w s s s a p w b t I n m a n y o f t h e m o s t p r o m i n e n t a u c t i o n s e t t i n g s , b i d d e r s s h a r e a c o m m o n e x - p o s t v a l u a t i o n f o r c o m m o n v a lu e h e g o o d f o r s a l e , b u t e x - a n t e d o n o t k n o w w h a t t h a t v a l u e i s . E x a m p l e s o f ( \ C V " ) u c t i o n s o c c u r i n p r i m a r y m a r k e t s f o r T r e a s u r y b i l l s , t i m b e r t r a c t s a n d o i l e x p l o r a t i o n l e a s e s . T h e a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n s o f C V a u c t i o n s h a v e b e e n w e l l u n d e r s t o o d s i n c e M i l g r o m a n d W e b e r 1 1 9 8 2 ) ( \ M - W " ) , a n d t h e r e i s a l a r g e e x p e r i m e n t a l a n d e m p i r i c a l l i t e r a t u r e a s w e l l . N o n e t h e l e s s , e x a m p l e s o f c a l c u l a t e d e q u i l i b r i u m b i d d i n g s t r a t e g i e s a r e q u i t e r a r e . A l t h o u g h t h e - W s o l u t i o n t o t h e C V a u c t i o n h a s a n i n t u i t i v e l y s t r a i g h t f o r w a r d f o r m , i n p r a c t i c e i t i s d i (cid:14) c u l t t o p e c i f y d i s t r i b u t i o n a l a s s u m p t i o n s t h a t y i e l d c l o s e d f o r m o r n e a r l y c l o s e d f o r m s o l u t i o n s , e v e n f o r h e s i m p l e s t c a s e o f a s e a l e d - b i d C V a u c t i o n o f a s i n g l e u n i t w i t h a n e x o g e n o u s n u m b e r o f b i d d e r s . a t t h e w s ( 1 9 8 4 , x 5 ) p r o v i d e s a m o d e l w i t h c l o s e d f o r m s o l u t i o n i n w h i c h t h e v a l u e o f t h e g o o d i s r a w n f r o m a P a r e t o d i s t r i b u t i o n . M a t t h e w s d e r i v e s a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g t h e o r e t i c a l r e s u l t s f r o m i s s o l u t i o n . F o r e m p i r i c a l w o r k , h o w e v e r , t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n i s l i k e l y t o b e t o o r e s t r i c t i v e , b e c a u s e h e P a r e t o d e n s i t y i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g o v e r i t s e n t i r e s u p p o r t . I n m o s t e m p i r i c a l s e t t i n g s , o n e o u l d e x p e c t t h e d e n s i t y f o r t h e v a l u e o f t h e g o o d t o h a v e s o m e s o r t o f b e l l s h a p e ( n o t n e c e s s a r i l y y m m e t r i c ) c e n t e r e d n e a r i t s m e a n . P a a r s c h ( 1 9 9 2 , x 2 .1 .1 ) p r e s e n t s a s i m i l a r s p e c i (cid:12) c a t i o n w i t h 2 i m i l a r l i m i t a t i o n s . T h e f e w o t h e r k n o w n e x a m p l e s i n t h e l i t e r a t u r e a r e s t i l l m o r e r e s t r i c t i v e . F u l l y c l o s e d f o r m o l u t i o n s e x i s t f o r a c l a s s o f m o d e l s i n w h i c h e a c h b i d d e r d r a w s a n i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e n d t h e v a l u e o f t h e g o o d i s t h e a v e r a g e o f t h e d r a w s ( s e e , e .g ., V i n c e n t 1 9 9 5 ) . T h e s e m o d e l s a r e e c u l i a r i n t h a t p u b l i c i n f o r m a t i o n c a n n o t b e d i s t i n g u i s h e d f r o m p r i v a t e s i g n a l s , a n d a r e t h u s n o t e l l s u i t e d f o r e m p i r i c a l w o r k . C l o s e d f o r m s o l u t i o n s a l s o c a n b e f o u n d w h e n t h e p r i o r i s a s s u m e d t o e d i (cid:11) u s e ; s e e E n g e l b r e c h t - W i g g a n s a n d W e b e r ( 1 9 7 9 ) a n d L e v i n a n d S m i t h ( 1 9 9 1 ) o n t h i s s p e c i a l 1 F o r a g e n e r a l in t r o d u c t io n t o t h e a u c t io n lit e r a t u r e , s e e M c A fe e a n d M c M illa n ( 1 9 8 7 ) a n d M ilg r o m ( 1 9 8 9 ) . 2 P r e s t o n M c A fe e h a s p o in t e d o u t t h a t a b in o m ia l c o m m o n v a lu e , c o m b in e d w it h a p o w e r fu n c t io n d is t r ib u t io n fo r h e s ig n a l, a llo w s fo r c o m p u t a t io n a lly s t r a ig h t fo r w a r d e x a m p le s o f b id d in g s t r a t e g ie s . T h is t o o is q u it e r e s t r ic t iv e . 1

c p t s b s t s a p t p s v a a a t a o 3 a s e . F o r m o s t C V a u c t i o n s , h o w e v e r , t h e a s s u m p t i o n o f n o p u b l i c i n f o r m a t i o n i s u n t e n a b l e . P e r h a p s s u r p r i s i n g l y , n u m e r i c a l s o l u t i o n b y d i r e c t m e t h o d s i s t y p i c a l l y q u i t e d i (cid:14) c u l t . C o m u t a t i o n o f t h e M - W e q u i l i b r i u m s t r a t e g y i n v o l v e s n e s t e d d e (cid:12) n i t e i n t e g r a l s . I n g e n e r a l , s o m e o f h e i n t e g r a n d s w i l l t e n d t o i n (cid:12) n i t y a t t h e l o w e r l i m i t o f i n t e g r a t i o n , w h i c h c o m p l i c a t e s n u m e r i c a l o l u t i o n . F u r t h e r m o r e , i n t e g r a t i o n c a n m a g n i f y a n y i n a c c u r a c y i n t h e i n t e g r a n d , w h i c h i t s e l f m a y e t h e r e s u l t o f a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n . L a (cid:11) o n t a n d V u o u n g ( 1 9 9 3 ) s u g g e s t a m e t h o d b a s e d o n i m u l a t e d m o m e n t s , b u t i t i s n o t c l e a r h o w t h e s i m u l a t o r c o u l d b e c o n s t r u c t e d w i t h o u t r e s o l v i n g h e s a m e n u m e r i c a l p r o b l e m s a s a r i s e i n d i r e c t m e t h o d s . T h i s p a p e r p r e s e n t s t w o s e t s o f d i s t r i b u t i o n a l a s s u m p t i o n s t h a t y i e l d c o m p u t a t i o n a l l y c o n v e n i e n t o l u t i o n s f o r b o t h (cid:12) r s t - p r i c e a n d s e c o n d - p r i c e s e a l e d - b i d c o m m o n v a l u e a u c t i o n s . E a c h s e t o f s s u m p t i o n s i s c o n s i s t e n t i n s p i r i t w i t h t h e M - W f r a m e w o r k , i n t h a t t h e r e i s a n o n - d i (cid:11) u s e p u b l i c r i o r a n d p r i v a t e s i g n a l s a r e c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t a n d i n c r e a s i n g i n e x p e c t e d v a l u e w i t h t h e r u e v a l u e o f t h e g o o d . E a c h a l s o i s p a r a m e t r i c a l l y (cid:13) e x i b l e , i n t h a t t h e m e a n a n d p r e c i s i o n o f t h e r i o r a n d t h e p r e c i s i o n o f p r i v a t e s i g n a l s c a n e a c h b e v a r i e d i n d e p e n d e n t l y , a n d t h e e q u i l i b r i u m t r a t e g y c a n b e c o m p u t e d f o r a n y n u m b e r o f b i d d e r s n (cid:21) 2 . T h i s p a r a m e t r i c (cid:13) e x i b i l i t y i s e s p e c i a l l y a l u a b l e f o r e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s . S e c t i o n 1 b r i e (cid:13) y s u m m a r i z e s t h e M - W f r a m e w o r k a n d s o l u t i o n u n d e r r i s k n e u t r a l i t y . S e c t i o n s 2 n d 3 s h o w h o w t h e M - W e q u i l i b r i u m s t r a t e g y i s e a s i l y c o m p u t e d u n d e r t w o s e t s o f d i s t r i b u t i o n a l s s u m p t i o n s . C o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r t h e b i d d i n g s t r a t e g i e s a r e e x p l o r e d i n S e c t i o n 4 . C o m p a r t i v e s t a t i c s f o r b i d d e r p r o (cid:12) t s a n d s e l l e r r e v e n u e a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . I n S e c t i o n 6 I s h o w h a t a r e s e r v e p r i c e c a n e a s i l y b e a c c o m o d a t e d u n d e r t h e s e s p e c i (cid:12) c a t i o n s . F u r t h e r e x t e n s i o n s a n d p p l i c a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n t h e C o n c l u s i o n . 3 I n U .S . T r e a s u r y a u c t io n s , fo r e x a m p le , t h e g r e a t m a jo r it y o f r e le v a n t in fo r m a t io n is in c o r p o r a t e d in p u b lic ly b s e r v e d p r e - a u c t io n w h e n - is s u e d p r ic e s . 2

1 I T X b r G I X p w a i e M i l g r o m - W e b e r c o m m o n v a l u e a u c t i o n m o d e l n t h e s i m p l e s t C V a u c t i o n , n r i s k - n e u t r a l b i d d e r s c o m p e t e f o r a s i n g l e g o o d h e b i d d e r s s h a r e a p r i o r d i s t r i b u t i o n o n i t s e x - p o s t v a l u e , a n d e a c h b i d d e r r e s u c h t h a t X jV i s i n d e p e n d e n t o f X jV f o r a l l b i d d e r s i 6= j . E a c h b i d d e r s i j i d . T h e g o o d i s a w a r d e d t o t h e h i g h e s t b i d d e r , w h o p a y s e i t h e r h e r o w n u l e s ) o r t h e b i d o f t h e n e x t h i g h e s t b i d d e r ( u n d e r s e c o n d - p r i c e r u l e s ) . L e t f ( v ) a n d F ( v ) d e n o t e t h e d e n s i t y a n d c .d .f . o f t h e p r i o r d i s t r i b u t i o ( x jv ) d e n o t e t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y a n d c .d .f . o f a b i d d e r ’s s i g n a l . W i t h t a k e t h e p e r s p e c t i v e o f b i d d e r 1 . L e t Y d e n o t e t h e h i g h e s t a m o n g t h e 1 ; : : : ; X . T h e n M - W ( T h e o r e m 1 4 ) s h o w t h a t t h e e q u i l i b r i u m b i d d i n g 2 n r i c e a u c t i o n i s g i v e n b y t h e (cid:12) r s t - o r d e r l i n e a r d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n 0 B ( x ) = ( (cid:23) ( x ; x ) (cid:0) B ( x ) ) (cid:21) ( x ; x ) 1 1 h e r e (cid:23) ( x ; y ) (cid:17) E [V jX = x ; Y = y ] 1 1 (cid:21) ( y ; x ) (cid:17) g ( Y = y jX = x ) = G ( Y = y jX = x ) 1 1 Y 1 1 Y 1 1 n d w h e r e g d e n o t e s t h e d e n s i t y o f o r d e r s t a t i s t i c Y . T h e b o u n d a r y c o n d 1 Y 1 s B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) , w h e r e x i s t h e i n (cid:12) m u m o f t h e s u p p o r t o f g . T h e s o l u t 1 q u a t i o n c a n t h e n b e w r i t t e n a s x B ( x ) = (cid:23) ( t ; t ) (cid:21) ( t ; t ) L ( t jx ) d t 1 x Z 3 o f u n k n o w n v a l u e V . c e i v e s a p r i v a t e s i g n a l u b m i t s a s i n g l e s e a l e d b i d ( u n d e r (cid:12) r s t - p r i c e n , a n d l e t g ( x jv ) a n d o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , o t h e r b i d d e r s ’ s i g n a l s s t r a t e g y f o r t h e (cid:12) r s t - ( 1 ) i t i o n f o r e q u a t i o n ( 1 ) i o n t o t h e d i (cid:11) e r e n t i a l ( 2 )

w h e r e x L ( t jx ) (cid:17) e x p (cid:0) (cid:21) ( s ; s ) d s : t (cid:18) (cid:19) Z T h e e q u i l i b r i u m s t r a t e g y f o r t h e s e c o n d - p r i c e a u c t i o n i s s i m p l y B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) : ( 3 ) 2 2 G a m m a P r i o r , I n v e r s e G a m m a S i g n a l ( G I G ) L e t t h e p r i o r f o r V b e t h e G a m m a ( (cid:11) ; (cid:12) ) d i s t r i b u t i o n f o r (cid:11) > 0 ; (cid:12) > 0 . T h e p .d .f . i s g i v e n b y (cid:11) (cid:12) (cid:0) (cid:11) 1 f ( v ) = v e x p ( (cid:0) (cid:12) v ) : (cid:0) ( (cid:11) ) L e t t h e p r i v a t e s i g n a l s b e c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t a n d d i s t r i b u t e d \ i n v e r s e G a m m a ," i .e ., s u c h t h a t 1 = X g i v e n V = v i s d i s t r i b u t e d G a m m a ( (cid:28) ; (cid:28) v ) . T h e p a r a m e t e r (cid:28) m e a s u r e s t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t t h e e x p e c t a t i o n o f X i s i n c r e a s i n g i n t h e r e a l i z a t i o n o f 4 V , a n d t h a t t h e s i g n a l s s a t i s f y t h e a (cid:14) l i a t i o n p r o p e r t y d i s c u s s e d i n M - W . T h u s , o u r d i s t r i b u t i o n a l c h o i c e s s a t i s f y t h e a s s u m p t i o n s i n M - W ’s a n a l y s i s . I t i s a l s o e a s i l y c h e c k e d t h a t t h e p o s t e r i o r (cid:0) 1 d i s t r i b u t i o n o f V i s a l s o G a m m a , i .e ., V j( X = x ) (cid:24) G a m m a ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) + (cid:28) x ) . 5 F o r t r a c t a b i l i t y , i t i s n e c e s s a r y t o r e s t r i c t (cid:28) t o t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s . I n t h i s c a s e , t h e c o n d i t i o n a l c .d .f . o f X i s g i v e n b y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 1 (cid:0) G ( x jv ) (cid:17) P r ( X (cid:20) x jV = v ) = 1 (cid:0) P r ( X (cid:20) x jV = v ) = e ( (cid:28) v x ) e x p ( (cid:0) (cid:28) v x ) (cid:28) 1 2 k w h e r e e ( z ) (cid:17) 1 + z + z = 2 ! + : : : + z = k ! ( s e e A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , e d s 1 9 6 8 , 6 .5 .1 ,6 .5 .1 3 ) . I n k 4 T h e c o n d it io n a l d is t r ib u t io n o f p r iv a t e s ig n a ls s a t is (cid:12) e s t h e m o n o t o n e lik e lih o o d r a t io p r o p e r t y , w h ic h M - W s h o w is a s u (cid:14) c ie n t c o n d it io n ( s e e p a g e s 1 0 9 8 - 9 9 ) . 5 T h e G a m m a d is t r ib u t io n w it h a n in t e g e r (cid:12) r s t p a r a m e t e r is a ls o k n o w n a s t h e E r la n g d is t r ib u t io n . 4

c i L t y o ( C w p c s A a l c u l a t i n g t h e f u n c t i o n s (cid:23) a n d (cid:21) , t h e o n l y d i (cid:14) c u l t y i s t h e d i s t r i b u t i o n f o r o r d e r s t a t i s t i c Y , w h i c h 1 s (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 1 1 n 1 1 (cid:0) G ( Y = y jV = v ) = G ( X = y jV = v ) = e ( (cid:28) v x ) e x p ( (cid:0) ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) v x ) : 1 Y 1 (cid:28) 1 ( k ;n ) j n e t c d e n o t e t h e c o e (cid:14) c i e n t o n z i n t h e p o l y n o m i a l e x p a n s i o n o f e ( z ) . A s e h a s o n l y k + 1 k k j e r m s , t h e p o l y n o m i a l e x p a n s i o n i s q u i c k l y c o m p u t e d . T h e i n t e g r a l s n e e d e d t o o b t a i n g ( Y = 1 Y 1 jX = x ) a n d o t h e r c o n s t i t u e n t p a r t s o f (cid:23) a n d (cid:21) c a n t h e n b e e x p r e s s e d a s a (cid:12) n i t e s u m o f i n t e g r a l s 1 (cid:0) a 1 a f t h e f o r m v e x p ( (cid:0) b v ) d v w h i c h h a s s o l u t i o n (cid:0) ( a ) = b . 0 R F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , l e t ( a ) b e t h e P o c h h a m m e r s y m b o l , i .e ., ( a ) = 1 ; ( a ) = a ; ( a ) = 0 1 k k (cid:0) a ) ( a + k (cid:0) 1 ) , a n d d e (cid:12) n e t h e f u n c t i o n k 1 (cid:1) (cid:0) m ( (cid:28) 1 ) j (cid:0) (cid:28) ( (cid:28) 1 ;m ) c ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) ( x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) (cid:17) : j j b x + n (cid:28) j = 0 (cid:18) (cid:19) X a l c u l a t i o n s o u t l i n e d i n A p p e n d i x A .1 g i v e ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) ( (cid:11) + 2 (cid:28) ) x ( 4 ) B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) = 2 (cid:12) x + n (cid:28) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) (cid:28) ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) (cid:21) ( x ; x ) = : ( 5 ) (cid:28) B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:28) ) x ( (cid:12) x + n (cid:28) ) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) h e r e B d e n o t e s t h e b e t a f u n c t i o n , B ( a ; b ) (cid:17) (cid:0) ( a ) (cid:0) ( b ) = (cid:0) ( a + b ) . C o m p u t a t i o n o f B ( x ) i s q u i t e s i m p l e a n d f a s t . A l l s u m m a t i o n t e r m s i n t h e f u n c t i o n a r e 2 o s i t i v e , s o (cid:13) o a t i n g p o i n t r o u n d - o (cid:11) e r r o r i s n o t a n i s s u e . I n g e n e r a l , t h e r e d o e s n o t a p p e a r t o b e a l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r B ( x ) , b u t n u m e r i c a l s o l u t i o n p r e s e n t s o n l y m i n o r d i (cid:14) c u l t y . I n p r a c t i c e , 1 o l u t i o n o f d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 ) b y R u n g e - K u t t a s e e m s t o b e t h e e a s i e s t w a y t o o b t a i n B ( x ) . 1 t t h e b o u n d a r y p o i n t x = 0 , (cid:23) ( 0 ; 0 ) = 0 s o B ( 0 ) = B ( 0 ) = 0 . A l t h o u g h (cid:21) ( 0 ; 0 ) = 1 , t h e 1 2 5

g I b S d s S w s R r r a d i e n t o f B a t x = 0 i s b o u n d e d b y 1 ( n (cid:0) 1 ) ( (cid:11) + 2 (cid:28) ) ( 0 ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) 0 0 (cid:20) B ( 0 ) (cid:20) (cid:23) ( 0 ; 0 ) (cid:21) ( 0 ; 0 ) = < 1 (cid:28) + 1 B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:28) ) (cid:28) n ( 0 ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) 0 t m a k e s n o d i s c e r n a b l e d i (cid:11) e r e n c e t o t h e o v e r a l l s o l u t i o n w h e t h e r B ( 0 ) i s s e t t o i t s u 1 o u n d . I (cid:12) n d t h a t s o l u t i o n u s i n g M a t l a b o n a S p a r c S t a t i o n 5 t y p i c a l l y t a k e s l e s s t h a n p e c i a l c a s e : W h e n (cid:28) = 1 , t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e s i g n a l s i m p l i (cid:12) e s t o t h i s t r i b u t i o n . I n t h i s c a s e , (cid:23) a n d (cid:21) b o t h h a v e s i m p l e f o r m s , t h e f u n c t i o n L ( t jx ) h a o l u t i o n , a n d e v e n B ( x ) h a s a s i m p l e c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n . T h e s e a r e g i v e n b y 1 ( (cid:11) + 2 ) x B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) = 2 (cid:12) x + n ( n (cid:0) 1 ) ( (cid:11) + 1 ) (cid:21) ( x ; x ) = x ( (cid:12) x + n ) (cid:0) ( (cid:11) + 1 ) ( n 1 ) = n (cid:12) x + n t L ( t jx ) = x (cid:12) t + n (cid:19) (cid:18) ( (cid:11) + 2 ) x 1 B ( x ) = 1 (cid:0) : 1 1 + ( (cid:11) + 1 ) ( n (cid:0) 1 ) = n (cid:12) x + n (cid:19) (cid:18) p e c i a l c a s e : W h e n n = 2 , B ( x ) h a s t h e s i m p l e f o r m 2 ( (cid:11) + 2 (cid:28) ) x B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) = 2 (cid:12) x + 2 (cid:28) + h i c h h o l d s f o r a n y (cid:28) 2 < . T h e r e m a i n i n g c a l c u l a t i o n s t o o b t a i n B ( x ) d o n o t a p p e 1 i g n i (cid:12) c a n t l y . 6 A lt h o u g h t im e fo r e v a lu a t io n o f a n d in c r e a s e s w it h a n d , t o t a l t im e fo r R u n g e - K u t t a s o (cid:23) (cid:21) (cid:28) n a t h e r , t im e t o s o lu t io n s e e m s t o b e d e t e r m in e d m a in ly b y t h e d e g r e e o f c u r v a t u r e n e a r t h e o r ig in o u t in e s a r e a v a ila b le fr o m t h e a u t h o r . 6 1 : p p e r o r l o w e r 6 t w o s e c o n d s . e e x p o n e n t i a l s c l o s e d f o r m a r t o s i m p l i f y lu t io n n e e d n o t . . M a t la b a n d C

3 I t c t t a ( s w p w B e t a P r i o r , N e g a t i v e L o g G a m m a S i g n a l ( B N L G ) t i s o f t e n d e s i r a b l e t o a s s u m e t h a t t h e v a l u e o f t h e g o o d h a s b o u n d e d s u p p o r t . F o r e x a m p l e , h e d i s c o u n t p r i c e o f a T r e a s u r y b i l l m u s t a l w a y s b e i n [0 ; 1 ]. A n a p p e a l i n g a n d c o m p u t a t i o n a l l y o n v e n i e n t a s s u m p t i o n i s t h a t t h e p r i o r o n V i s t h e B e t a ( (cid:11) ; (cid:12) ) d i s t r i b u t i o n f o r (cid:11) > 0 ; (cid:12) > 0 . L e t h e p r i v a t e s i g n a l s b e c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t a n d d i s t r i b u t e d \ n e g a t i v e l o g G a m m a ," i .e ., s u c h h a t (cid:0) l n ( X ) g i v e n V = v i s d i s t r i b u t e d G a m m a ( (cid:28) ; (cid:28) v ) . I t i s e a s i l y c h e c k e d t h a t t h e s i g n a l s a r e (cid:14) l i a t e d a n d i n c r e a s e i n e x p e c t a t i o n w i t h t h e r e a l i z a t i o n o f V , s o t h e M - W f r a m e w o r k a p p l i e s . A p p l i c a t i o n o f B a y e s ’ r u l e g i v e s t h e p o s t e r i o r o f V a s a c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n s e e A p p e n d i x A .2 ) , w h i c h i s c o n j u g a t e f o r g a m m a - d i s t r i b u t e d s i g n a l s . R e m a i n i n g c a l c u l a t i o n s a r e i m i l a r t o t h o s e i n S e c t i o n 2 . T h e c o n d i t i o n a l c .d .f . o f o r d e r s t a t i s t i c Y i s e x p a n d e d a s a (cid:12) n i t e s u m , 1 (cid:0) (cid:0) n 1 n 1 (cid:0) G ( Y = y jV = v ) = G ( X = y jV = v ) = e ( (cid:0) (cid:28) v l n ( x ) ) e x p ( ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) v l n ( x ) ) 1 Y 1 (cid:28) 1 (cid:0) (cid:0) ( (cid:28) 1 ) ( n 1 ) (cid:0) (cid:0) ( (cid:28) 1 ;n 1 ) j c ( (cid:0) (cid:28) v l n ( y ) ) = e x p ( ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) v l n ( y ) ) j j = 0 X ( k ;n ) j n h e r e c i s ( a s a b o v e ) t h e c o e (cid:14) c i e n t o n z i n t h e p o l y n o m i a l e x p a n s i o n o f e ( z ) . T h e c o u n t e r - k j a r t i n t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e f u n c t i o n i n t h e G I G s p e c i (cid:12) c a t i o n i s (cid:18) ( x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) (cid:17) B ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ; b ) (cid:1) (cid:0) m ( (cid:28) 1 ) (cid:0) ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) ( (cid:28) 1 ;m ) j j (cid:1) c ( (cid:0) (cid:28) l n ( x ) ) M ( b ; b + a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) + j ; (cid:0) n (cid:28) l n ( x ) ) ( 6 ) j ( b + a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) j j = 0 X h e r e M ( a ; b ; z ) i s t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n ( s e e A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , e d s 1 9 6 8 , 7

x b B s f S t T c 4 T s w I t ( o 1 3 ) a n d B i s t h e b e t a f u n c t i o n . S t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n s , o u t l i n e d i n A p p e n d i x A .2 , g i v e (cid:18) ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) B ( x ) = (cid:23) ( x ; x ) = ( 7 ) 2 (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) (cid:0) (cid:28) (cid:28) 1 ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) ( (cid:0) l n ( x ) ) (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 2 ; n ) : ( 8 ) (cid:21) ( x ; x ) = (cid:0) ( (cid:28) ) x (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) A l t h o u g h t h e r e d o e s n o t a p p e a r t o b e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r B ( x ) , n u m e r i c a l s o l u t i o n c a n 1 e o b t a i n e d w i t h o n l y m i n o r d i (cid:14) c u l t y . A t t h e b o u n d a r y p o i n t x = 0 , (cid:23) ( 0 ; 0 ) = 0 s o B ( 0 ) = 1 7 ( 0 ) = 0 . T h e g r a d i e n t f o r B ( x ) i s i n (cid:12) n i t e a t x = 0 , s o R u n g e - K u t t a m u s t b e i n i t i a l i z e d a t s o m e 2 1 (cid:0) 8 8 m a l l (cid:15) > 0 , s a y (cid:15) = 1 0 . O n a S p a r c S t a t i o n 5 , s o l u t i o n i n M a t l a b r e q u i r e s t h r e e t o 2 5 s e c o n d s o r p a r a m e t e r v a l u e s i n t h e r a n g e e x p l o r e d i n S e c t i o n 5 . p e c i a l c a s e : W h e n (cid:28) = 1 , t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e s i g n a l s i m p l i (cid:12) e s t o t h e p o w e r f u n c v i o n d i s t r i b u t i o n , G ( x jv ) = x , a n d (cid:23) ( x ; x ) , (cid:21) ( x ; x ) a n d L ( t jx ) h a v e s i m p l e c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n s . h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n ( 2 ) d o e s n o t a p p e a r t o h a v e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n e v e n i n t h i s s p e c i a l a s e , s o B ( x ) s t i l l m u s t b e s o l v e d n u m e r i c a l l y . 1 C o m p a r a t i v e S t a t i c s f o r B i d d i n g S t r a t e g i e s h e c o m p l e x i t y o f C V a u c t i o n s f o r b o t h t h e b i d d e r a n d t h e t h e o r i s t i s i n h e r e n t i n t h e b i d d e r s ’ t a t i s t i c a l (cid:12) l t e r . I f e a c h b i d d e r r e c e i v e s a n u n b i a s e d p r i v a t e s i g n a l o f t h e t r u e v a l u e , t h e n t h e i n n i n g b i d d e r ’s s i g n a l i s a n o r d e r s t a t i s t i c o f t h e s e t o f p r i v a t e s i g n a l s , a n d t h u s b i a s e d u p w a r d s . n o r d e r t o a v o i d w i n n e r ’s c u r s e , t h e b i d d e r m u s t i n t e r p r e t h e r p r i v a t e i n f o r m a t i o n a s i f s h e h a d h e h i g h e s t o f t h e n b i d d e r s ’ s i g n a l s . S o m e i n t u i t i o n f o r t h i s c o m p l i c a t e d B a y e s i a n p r o b l e m c a n b e 7 A s 0 , t h e a r g u m e n t ln ( ) g o e s t o in (cid:12) n it y in t h e a r g u m e n t o f t h e h y p e r g e o m e t r ic fu n c t io n in e q u a t io n x ! (cid:0) n (cid:28) x 6 ) . A p p ly t h e lim it in g fo r m g iv e n in A b r a m o w it z a n d S t e g u n , e d s ( 1 9 6 8 , 1 3 .1 .4 ) t o s h o w t h a t m u s t g o t o z e r o . (cid:23) 8 1 1 T h e s t a r t in g v a lu e ( ) is b o u n d e d b y 0 = ( 0 0 ) ( ) ( ) , a n d it m a k e s v e r y lit t le d i(cid:11) e r e n c e t o t h e B (cid:15) (cid:23) ; < B (cid:15) < (cid:23) (cid:15) ; (cid:15) v e r a ll s o lu t io n w h e t h e r t h e lo w e r o r u p p e r b o u n d is u s e d . 8

g ( h t s o a s t c e o t b s 5 C s H p a i n e d f r o m e x p l o r i n g h o w b i d d i n g s t r a t e g i e s c h a n g e w i t h c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s . F i g u r e 1 s h o w s t h e e (cid:11) e c t o n B ( x ) i n t h e G I G s p e c i (cid:12) c a t i o n o f c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s 1 (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n ) . T h e u p p e r r i g h t p a n e l s h o w s t h e e (cid:11) e c t o f c h a n g i n g t h e p r e c i s i o n o f p r i v a t e s i g n a l s w h i l e o l d i n g c o n s t a n t (cid:11) = 8 ; (cid:12) = 2 ; n = 5 . I n c r e a s i n g (cid:28) m a k e s t h e s i g n a l m o r e p r e c i s e , a n d s o i n c r e a s e s h e w e i g h t g i v e n t o t h e s i g n a l . T h e r e f o r e , B ( x ) t w i s t s c o u n t e r - c l o c k w i s e s o t h a t t h e b i d f o r l o w 1 i g n a l v a l u e s d e c r e a s e s a n d f o r h i g h s i g n a l v a l u e s i n c r e a s e s . T h e u p p e r l e f t p a n e l s h o w s t h e e (cid:11) e c t f v a r y i n g n . I n c r e a s i n g n i n c r e a s e s t h e p o t e n t i a l f o r w i n n e r ’s c u r s e , w h i c h s h o u l d l o w e r b i d s , b u t l s o i n c r e a s e s c o m p e t i t i o n a m o n g t h e b i d d e r s . A t l o w s i g n a l v a l u e s , e x p e c t e d b i d d e r r e n t s a r e l o w , o t h e f o r m e r e (cid:11) e c t d o m i n a t e s . A t h i g h e r s i g n a l v a l u e s , e x p e c t e d r e n t s t o t h e w i n n e r i n c r e a s e , s o h e c o m p e t i t i o n e (cid:11) e c t b e c o m e s s t r o n g e r . T h e r e f o r e , t h e b i d d i n g s t r a t e g y t w i s t s c o u n t e r - c l o c k w i s e . I t i s c o n v e n i e n t t o r e - p a r a m e t e r i z e ( (cid:11) ; (cid:12) ) a s ( (cid:12) (cid:22) ; (cid:12) ) , s o t h a t t h e m e a n i s (cid:22) a n d c h a n g i n g (cid:12) 9 h a n g e s o n l y t h e v a r i a n c e (cid:22) = (cid:12) . T h e l o w e r l e f t p a n e l s h o w s t h a t i n c r e a s i n g (cid:22) i n c r e a s e s B ( x ) . T h e 1 (cid:11) e c t o f c h a n g i n g (cid:12) , w h i c h a c t s a s a p r e c i s i o n p a r a m e t e r f o r t h e p r i o r , i s t h e o p p o s i t e o f t h e e (cid:11) e c t f i n c r e a s i n g (cid:28) . A s (cid:12) i n c r e a s e s , t h e b i d d e r p l a c e s g r e a t e r w e i g h t o n t h e p u b l i c i n f o r m a t i o n r e l a t i v e o p r i v a t e s i g n a l s . T h e r e f o r e , t h e l o w e r r i g h t p a n e l s h o w s t h a t B ( x ) t w i s t s c l o c k w i s e s o t h a t t h e 1 i d f o r l o w s i g n a l v a l u e s i n c r e a s e s a n d f o r h i g h s i g n a l v a l u e s d e c r e a s e s . I (cid:12) n d s i m i l a r c o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r t h e G I G s e c o n d - p r i c e a u c t i o n a n d t h e B N L G (cid:12) r s t - a n d e c o n d - p r i c e a u c t i o n s . C o m p a r a t i v e S t a t i c s f o r B i d d e r P r o (cid:12) t s a n d S e l l e r R e v e n u e o m m o n v a l u e a u c t i o n s d o n o t , i n g e n e r a l , y i e l d n e a t c o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r b i d d e r p r o (cid:12) t s a n d e l l e r r e v e n u e . I t m i g h t b e e x p e c t e d , f o r e x a m p l e , t h a t e x p e c t e d s e l l e r r e v e n u e s t r i c t l y i n c r e a s e s 9 2 2 2 2 I f ( ) is r e - p a r a m e t e r iz e d a s ( ) , t h e n m e a n c a n b e v a r ie d in d e p e n d e n t ly fr o m v a r ia n c e . (cid:11) ; (cid:12) (cid:22) = (cid:27) ; (cid:22) = (cid:27) (cid:22) (cid:27) 2 s h a p e o w e v e r , t h e r e s u lt in g c o m p a r a t iv e s t a t ic s a r e le s s c le a n b e c a u s e c h a n g in g e it h e r o r c h a n g e s t h e o f t h e (cid:22) (cid:27) r io r d is t r ib u t io n in u n in t u it iv e w a y s . 9

F i g u r e 1 : B i d d i n g S t r a t e g i e s f o r G I G F i r s t - P r i c e M o d e l 2 1 5 4 8 8 6 5 4 3 2 1 2 4 2 1 6 3 0 0 5 10 15 20 Signal diB Changing Precision of Signal 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Changing Mean of Prior Changing Precision of Prior 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 Signal diB Changing Number of Bidders I I I I n n n n t t t t h h h h e e e e u p u p l o w l o w p e r p e r e r e r l e f t p a n e l , n r i g h t p a n e l , l e f t p a n e l , (cid:11) r i g h t p a n e l , (cid:11) 2 f 2 ; 5 (cid:28) 2 f 1 ; i s s e t t i s s e t ; 4 o t 8 g ; 8 g (cid:12) (cid:22) o (cid:12) w (cid:22) w f i t h i t o r f o h (cid:22) r o t h e r p a r a m o t h e r p a r a m 2 f 2 ; 4 ; 6 g (cid:12) 2 f 1 ; 2 ; 3 g 1 0 e t e r e t e w i t h w i t s r h h e l s h e (cid:12) = (cid:22) = d l c o n s t a n t d c o n s t a n t 2 ; n = 5 ; (cid:28) 4 ; n = 5 ; (cid:28) a t a t = = (cid:11) (cid:11) 4 4 = = a h 8 ; 8 ; r e h e l d (cid:12) (cid:12) e c l o = = d n 2 ; (cid:28) = 2 ; n = c o n s t a s t a n t . n 4 5 t . . .

w r o o c B U I a u P i s t i t h t h e n u m b e r o f c o m p e t i n g b i d d e r s . W h i l e i t i s t r u e t h a t c o m p e t i t i o n m u s t d r i v e e x p e c t e d s e l l e r e v e n u e t o E [V ] a s n ! 1 , M a t t h e w s ( 1 9 8 4 ) s h o w s t h a t s e l l e r r e v e n u e f a l l s w i t h n a t l o w v a l u e s f n i n h i s P a r e t o e x a m p l e . S i m i l a r l y , i n t u i t i o n f r o m t h e m e c h a n i s m d e s i g n l i t e r a t u r e m i g h t l e a d n e t o e x p e c t a b i d d e r ’s e x p e c t e d r e n t t o i n c r e a s e w i t h t h e m a g n i t u d e o f h i s s i g n a l . H e r e t o o , o u n t e r - e x a m p l e s a r e a v a i l a b l e . I n t h i s s e c t i o n , I e x p l o r e t h e s e c o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r t h e G I G a n d N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n s , a n d (cid:12) n d n o e v i d e n c e o f p a t h o l o g i c a l b e h a v i o r . I n t h e (cid:12) r s t - p r i c e a u c t i o n , t h e b i d d e r ’s e x p e c t e d p r o (cid:12) t f o r a g i v e n s i g n a l x i s x (cid:25) ( x ) = ( (cid:23) ( x ; y ) (cid:0) B ( x ) ) g ( y jx ) d y 1 1 1 Y 0 Z x = v ( g ( y jv ) f ( v jx ) = g ( y jx ) ) d v g ( y jx ) d y (cid:0) B ( x ) G ( x jx ) 1 1 1 1 Y Y Y 1 Y 0 V Z Z (cid:0) n 1 = v G ( x jv ) f ( v jx ) d v (cid:0) B ( x ) G ( x jx ) : 1 1 Y V Z n d e r t h e G I G s p e c i (cid:12) c a t i o n , t h i s e x p r e s s i o n r e d u c e s t o (cid:11) + (cid:28) ( (cid:11) + (cid:28) ) x (cid:12) x + (cid:28) ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) (cid:0) B ( x ) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) : (cid:25) ( x ) = 1 1 (cid:12) x + n (cid:28) (cid:12) x + n (cid:28) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) 0 t i s d i (cid:14) c u l t t o s i g n t h e d e r i v a t i v e (cid:25) ( x ) a n a l y t i c a l l y , b u t i n n u m e r i c a l e x p l o r a t i o n s i t a p p e a r s 1 l w a y s t o b e p o s i t i v e . I n F i g u r e 2 , I p l o t b i d d e r p r o (cid:12) t a s a f u n c t i o n o f x f o r p a r a m e t e r v a l u e s s e d i n F i g u r e 1 . I n a l l c a s e s , t h e b i d d e r ’s e x p e c t e d p r o (cid:12) t i n c r e a s e s w i t h t h e l e v e l o f t h e s i g n a l . r o (cid:12) t d e c r e a s e s w i t h t h e n u m b e r o f c o m p e t i n g b i d d e r s a n d i n c r e a s e s w i t h t h e p r e c i s i o n o f p r i v a t e 1 0 n f o r m a t i o n . 1 0 1 F o r t h e p a r a m e t e r v a lu e s u s e d in t h e r ig h t w in d o w o f F ig u r e 2 , ( ) in c r e a s e s a t le a s t t h r o u g h = 2 0 . I n t u it io n (cid:25) x (cid:28) 1 u g g e s t s , h o w e v e r , t h a t ( ) m u s t e v e n t u a lly d e c lin e w it h . A t , s ig n a ls b e c o m e p e r fe c t ly p r e c is e , s o t h e (cid:25) x (cid:28) (cid:28) ! 1 r u e v a lu e b e c o m e s c o m m o n k n o w le d g e . I n t h e lim it , t h e b id d e r s fa c e B e r t r a n d c o m p e t it io n , a n d s o r e c e iv e z e r o r e n t . 1 1

F i g u r e 2 : C o m p a r a t i v e S t a t i c s f o r B i d d e r P r o (cid:12) t s 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 tiforP detcepxE Changing Number of Bidders Changing Precision of Signal 1.4 1.2 t =12 1 t =8 n=2 0.8 0.6 n=5 t =4 0.4 n=8 0.2 t =1 0 0 10 20 30 Signal Signal I I n n t t h h e e l r e i f g t h p t a p n a e n l , e n l , 2 (cid:28) 2 f 2 f ; 1 5 ; ; 4 8 ; g 8 w ; 1 i 2 t h g o w t i h t e h r o p t a h r e a r m p e t e a r a 1 2 r m s e h t e e l r d s c h o e n l d s t a n c o n t s a t t a n (cid:11) t = a t 8 (cid:11) ; (cid:12) = = 8 ; 2 (cid:12) ; (cid:28) = = 2 4 ; n . = 5 .

a e T s e o 6 R M o a s i ( r U n d e r t h e B N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n , (cid:25) ( x ) t a k e s t h e f o r m 1 (cid:1) (cid:0) (cid:28) ( n 1 ) x ( (cid:18) ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) (cid:0) B ( x ) (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) ) 1 (cid:25) ( x ) = 1 B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ) M ( (cid:12) ; (cid:11) + (cid:28) + (cid:12) ; (cid:0) (cid:28) l n ( x ) ) n d d i s p l a y s t h e s a m e c o m p a r a t i v e s t a t i c s a s t h e G I G c a s e . I n t h e s e c o n d - p r i c e a u c t i o n , t h e b i d d e r ’s x p e c t e d p r o (cid:12) t f o r a g i v e n s i g n a l x i s x (cid:25) ( x ) = ( (cid:23) ( x ; y ) (cid:0) B ( y ) ) g ( y jx ) d y : 1 2 2 Y 0 Z h i s i n t e g r a l a p p e a r s n o t t o h a v e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n u n d e r e i t h e r s p e c i (cid:12) c a t i o n , b u t c a n b e o l v e d b y q u a d r a t u r e . E x p e c t e d s e l l e r r e v e n u e i s i n p r a c t i c e m o s t e a s i l y e s t i m a t e d b y M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n . F o r a c h s p e c i (cid:12) c a t i o n , I e s t i m a t e E [R ] f o r j 2 f 1 ; 2 g , n 2 f 2 ; 3 ; 4 ; 6 g , (cid:28) 2 f 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 g , a n d a v a r i e t y j 1 1 f (cid:11) ; (cid:12) p a i r s . W i t h o u t e x c e p t i o n , I (cid:12) n d t h a t E [R ] i n c r e a s e s w i t h n . j R e s e r v e P r i c e s e s e r v e p r i c e s a r e c o m m o n l y e m p l o y e d b y s e l l e r s t o r a i s e e x p e c t e d r e v e n u e . E x t e n s i o n o f t h e - W m o d e l t o i n c l u d e r e s e r v e p r i c e s i s u s e f u l b o t h f o r p o l i c y p u r p o s e s , e .g ., t o a p p r o x i m a t e a n p t i m a l r e s e r v e p r i c e , a n d f o r s t r u c t u r a l e s t i m a t i o n o f t h e m o d e l w h e n t h e a u c t i o n d a t a i n c l u d e n a n n o u n c e d r e s e r v e p r i c e . R e s e r v e p r i c e s c a n b e a c c o m m o d a t e d u n d e r b o t h t h e G I G a n d B N L G p e c i (cid:12) c a t i o n s w i t h l i t t l e a d d i t i o n a l c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h e a n n o u n c e m e n t o f a r e s e r v e p r i c e r i n d u c e s p o t e n t i a l b i d d e r s t o d r o p o u t w h e n p r i v a t e (cid:3) n f o r m a t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e g o o d i s w o r t h l e s s t h a n t h e r e s e r v e p r i c e . G i v e n r , l e t x ( r ) b e t h e 1 1 F o r G I G , I s e t ( ) = ( ) fo r e a c h c o m b in a t io n o f 0 5 1 2 4 8 a n d 1 2 4 8 . F o r B N L G , I s e t (cid:11) ; (cid:12) (cid:22) (cid:24) ; (cid:24) (cid:22) 2 f : ; ; ; ; g (cid:24) 2 f ; ; ; g ) = ( ( 1 ) ) fo r e a c h c o m b in a t io n o f 0 0 5 0 2 0 0 5 0 0 8 0 9 5 a n d 1 4 8 2 5 . I d r a w = 3 0 0 0 0 (cid:11) ; (cid:12) (cid:22) (cid:24) ; (cid:0) (cid:22) (cid:24) (cid:22) 2 f : ; : ; : ; : ; : g (cid:24) 2 f ; ; ; g T a n d o m a u c t io n s fo r e a c h s e t o f p a r a m e t e r s , a n d t a k e a v e r a g e r e v e n u e . 1 3

s F F N r I s C T e p c a c r e e o r t o r t o t e e s p e O n t h e c o n o n h i s q u i l r e s e o m p r e p n i n g l e v e l f o r x b e l o w w h i c h t h e b i d d e r w i l l d r o p o u t . T h i s i s g i v e n i n M - W a s (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) r = E [V jX = x ; Y < x ] = v f ( v jX = x ; Y < x ) d v 1 1 1 1 V Z (cid:3) (cid:0) (cid:3) n 1 v G ( x jv ) g ( x jv ) f ( v ) d v V : = (cid:3) (cid:0) (cid:3) n 1 G ( x jv ) g ( x jv ) f ( v ) d v V R R (cid:3) h e G I G s p e c i (cid:12) c a t i o n , x h a s i m p l i c i t s o l u t i o n (cid:3) (cid:3) ( (cid:11) + (cid:28) ) x ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) r = : (cid:3) (cid:3) (cid:12) x + n (cid:28) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) h e B N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n , t h e s o l u t i o n i s (cid:3) (cid:18) ( x ; (cid:11) + 1 ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) : r = (cid:3) (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) t h e c l o s e s t r u c t u r a l s i m i l a r i t y o f t h e s e s c r e e n i n g e q u a t i o n s b o t h t o o n e a n o t h e r a n d t o t h c t i v e e q u a t i o n s f o r (cid:23) ( x ; x ) . n c e t h e s c r e e n i n g l e v e l i s o b t a i n e d , s o l u t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m s t r a t e g i e s i s s t r a i g h t f o r w a r d (cid:3) e (cid:12) r s t - p r i c e a u c t i o n , o n e s o l v e s d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 ) w i t h i n i t i a l v a l u e B ( x ) = r . T h 1 (cid:3) d - p r i c e s o l u t i o n i s u n c h a n g e d , e x c e p t t h a t b i d d e r s w i t h x < x d r o p o u t . c l u s i o n p a p e r i n t r o d u c e s t w o s e t s o f d i s t r i b u t i o n a l a s s u m p t i o n s t h a t y i e l d c o m p u t a t i o n a l l y c o n v e n i e n i b r i u m s t r a t e g i e s i n t h e (cid:12) r s t - a n d s e c o n d - p r i c e s e a l e d b i d c o m m o n v a l u e a u c t i o n . T h e s e r e s u l t n t n e w o p p o r t u n i t i e s f o r s t r u c t u r a l e s t i m a t i o n o f a u c t i o n m o d e l s . B o t h s p e c i (cid:12) c a t i o n s c a n b u t e d q u i c k l y a n d a c c u r a t e l y , a n d c a n b e p a r a m e t e r i z e d (cid:13) e x i b l y . M o r e o v e r , b o t h s p e c i (cid:12) c a t i o n l a u s i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f i m p o r t a n t c l a s s e s o f C V a u c t i o n s . T h e g a m m a p r i o r i n t h e G I G 1 4 e . e t s e s

s ( B b m w T w s w ( m u r A T a b X t p e c i (cid:12) c a t i o n i s c o n v e n i e n t f o r m o d e l i n g a n a u c t i o n o f a g o o d w i t h a n a t u r a l l o w e r b o u n d o n v a l u e t y p i c a l l y z e r o ) b u t n o t a n a t u r a l u p p e r b o u n d , e .g ., a n o i l e x p l o r a t i o n t r a c t . T h e b e t a p r i o r i n t h e N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n i s a p p r o p r i a t e w h e n t h e r e a r e n a t u r a l l o w e r a n d u p p e r b o u n d s , e .g ., a T r e a s u r y i l l . B o t h t h e g a m m a a n d b e t a a l l o w f o r a d e n s i t y t h a t i s r o u g h l y b e l l - s h a p e d a n d c e n t e r e d n e a r t h e e a n . B o t h s p e c i (cid:12) c a t i o n s e a s i l y a c c o m o d a t e a r e s e r v e p r i c e , a n d b o t h a p p e a r t o b e w e l l b e h a v e d i t h r e s p e c t t o c o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r b i d d e r p r o (cid:12) t s a n d s e l l e r r e v e n u e . T h e r e s t r i c t i o n o f p r e c i s i o n p a r a m e t e r (cid:28) t o t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s c a n b e o v e r c o m e e a s i l y . h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y o f t h e s i g n a l s c h a n g e s s m o o t h l y w i t h (cid:28) , s o t h e b i d d i n g s t r a t e g y m u s t a s e l l . T h e r e f o r e , b i d d i n g s t r a t e g i e s f o r n o n - i n t e g e r v a l u e s o f (cid:28) c a n b e a p p r o x i m a t e d b y i n t e r p o l a t i o n . S o m e f u r t h e r e x t e n s i o n s a r e p o s s i b l e . I n s o m e C V a u c t i o n s , m u l t i p l e u n i t s a r e o (cid:11) e r e d f o r i m u l t a n e o u s s a l e . T h e e q u i l i b r i u m b i d d i n g s t r a t e g y i s s i m i l a r i n f o r m t o t h e s i n g l e u n i t c a s e , b u t i t h t h e o r d e r s t a t i s t i c Y ( w h e r e m i s t h e n u m b e r o f u n i t s ) r e p l a c i n g Y i n f u n c t i o n s (cid:23) a n d (cid:21) m 1 s e e B i k h c h a n d a n i a n d H u a n g 1 9 8 9 ) . T h e G I G a n d B N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n s c a n b e e x t e n d e d t o t h e 1 2 u l t i p l e u n i t c a s e , a l t h o u g h p o s s i b l y w i t h n u m e r i c a l p r o b l e m s . B o t h s p e c i (cid:12) c a t i o n s c a n a l s o b e s e d t o d e r i v e c o m p u t a t i o n a l l y f e a s i b l e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n s w h e n b i d d e r s h a v e c o n s t a n t a b s o l u t e i s k a v e r s i o n . I n t e r m e d i a t e c a l c u l a t i o n s h i s a p p e n d i x l i s t s t h e m o s t i m p o r t a n t i n t e r m e d i a t e r e s u l t s n o t r e p o r t e d i n t h e m a i n t e x t . A s b o v e , V r e p r e s e n t s t h e t r u e v a l u e w i t h c .d .f . F ( p .d .f . f ) , X t h e s i g n a l o f o u r r e p r e s e n t a t i v e 1 i d d e r ( w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y ) w i t h c .d .f . G ( p .d .f . g ) , a n d Y t h e h i g h e s t o f t h e o t h e r s i g n a l s 1 ; : : : ; X . T o s i m p l i f y n o t a t i o n , l o w e r c a s e x a n d y w i l l s t a n d f o r r e a l i z a t i o n s o f X a n d Y . 2 n 1 1 1 2 S p e c i(cid:12) c a lly , t h e a n d fu n c t io n s w ill c o n t a in n e g a t iv e , a s w e ll a s p o s it iv e , t e r m s . R o u n d - o (cid:11) e r r o r o c c u r s in (cid:23) (cid:21) a k in g t h e d i(cid:11) e r e n c e o f t w o t e r m s o f r o u g h ly e q u a l m a g n it u d e . 1 5

A . 1 G I G s p e c i (cid:12) c a t i o n T h e c o n d i t i o n a l a n d u n c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e b i d d e r ’s s (cid:28) ( (cid:28) v ) (cid:0) (cid:0) ( (cid:28) + 1 ) 1 x e x p ( (cid:0) (cid:28) v x ) g ( x jv ) = (cid:0) ( (cid:28) ) (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) G ( x jv ) = e ( (cid:28) v x ) e x p ( (cid:0) (cid:28) v x ) (cid:28) 1 1 (cid:11) (cid:28) (cid:11) (cid:12) (cid:28) x g ( x ) = g ( x jv ) f ( v ) d v = B ( (cid:28) ; (cid:11) ) ( (cid:12) x + 0 Z 1 (cid:11) (cid:12) x G ( x ) = G ( x jv ) f ( v ) d v = (cid:12) x + (cid:28) 0 (cid:18) (cid:19) Z G e n e r a l i z i n g t h e f u n c t i o n t o (cid:1) (cid:0) m ( (cid:28) 1 ) (cid:0) ( (cid:28) 1 ;m ) ~ c ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) ( y ; x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) (cid:17) j j y ( b j = 0 (cid:18) X a l l o w s c o m p a c t e x p r e s s i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f Y g i v e n X a s 1 1 1 1 (cid:0) n g ( y jx ) = g ( y jv ) f ( v jx ) d v = ( n (cid:0) 1 ) G ( y jv ) 1 1 1 Y Y Y 0 0 Z Z (cid:0) (cid:28) 1 (cid:11) + (cid:28) ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) ( (cid:12) + (cid:28) x ) = (cid:28) + 1 y (cid:0) ( (cid:11) + (cid:28) ) (cid:0) ( (cid:28) ) (cid:0) (cid:0) ( n 2 ) ( (cid:28) 1 ) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:28) 1 ;n 2 ) 1 j (cid:11) + 2 (cid:28) + j 1 c ( (cid:28) y ) v e x p (cid:1) j 0 j = 0 Z X (cid:0) (cid:28) 1 (cid:11) + (cid:28) ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) ( (cid:12) + (cid:28) x ) = (cid:0) (cid:0) (cid:28) + 1 1 1 (cid:11) + 2 (cid:28) y B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:28) ) ( (cid:12) + (cid:28) x + ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) y ) 1 1 (cid:0) n 1 G ( y jx ) = G ( y jv ) f ( v jx ) d v = G ( y jv ) f ( v jx ) d 1 1 Y Y 0 0 Z Z (cid:11) + (cid:28) (cid:0) 1 (cid:12) + (cid:28) x ~ ( y ; x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n = (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:12) + (cid:28) x + ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) y ! ~ N o t i n g t h a t ( x ; x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) = ( x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) a n d r e - a r r a n (cid:23) ( x ; x ) a n d (cid:21) ( x ; x ) i n S e c t i o n 2 . 1 6 i g n a l X a r e g i v e n 1 (cid:0) 1 (cid:11) + (cid:28) (cid:28) ) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; 1 ; 1 ) (cid:28) (cid:0) 1 + (cid:28) x + ( n (cid:0) 1 ) 2 g ( y jv ) f ( v jx ) d v 1 Y (cid:0) 1 ( (cid:0) ( (cid:12) + (cid:28) x + ( n ~ ( y ; x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) v (cid:0) 1 ; n ) g i n g l e a d t o t h e s b (cid:28) y (cid:0) 2 ; i m y (cid:0) 1 n p 1 ) ) (cid:28) ) l e (cid:19) y f j (cid:0) o 1 ) r m v ) s d f v o r

A T V w f d o T a t t f . 2 B N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n h e m e c h a n i c s o f t h e B N L G c a l c u l a t i o n s a r e q u i t e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e G I G i s i n t e g r a t e d o u t o f d i s t r i b u t i o n s f o r t h e s i g n a l s b y e m p l o y i n g t h e i d e n t i t y 1 (cid:0) (cid:0) a 1 b 1 v ( 1 (cid:0) v ) e x p ( z v ) d v = e x p ( z ) B ( a ; b ) M ( b ; a + b ; (cid:0) 0 Z h e r e M ( a ; b ; z ) i s t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n ( a l s o w r i t t e n F 1 u n c t i o n ( s e e A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , e d s 1 9 6 8 , 1 3 .2 .1 ,1 3 .1 .2 7 ) . T h e c o n d i t i o i s t r i b u t i o n s o f t h e b i d d e r ’s s i g n a l X a r e g i v e n b y 1 (cid:0) (cid:28) 1 (cid:28) ( (cid:0) l n ( x ) ) ( (cid:28) v ) e x p ( (cid:28) v l n ( x ) ) g ( x jv ) = (cid:0) ( (cid:28) ) x (cid:0) G ( x jv ) = e ( (cid:0) (cid:28) v l n ( x ) ) e x p ( (cid:28) v l n ( x ) ) (cid:28) 1 (cid:28) (cid:28) ( (cid:11) ) (cid:0) (cid:28) (cid:28) 1 g ( x ) = ( (cid:0) x l n ( x ) ) M ( (cid:12) ; (cid:12) + (cid:11) + (cid:28) ; (cid:0) (cid:28) (cid:0) ( (cid:28) ) ( (cid:11) + (cid:12) ) (cid:28) (cid:28) x G ( x ) = (cid:18) ( x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; 1 ; 1 ) B ( (cid:11) ; (cid:12) ) T h e f o r m o f t h e p o s t e r i o r f ( v jx ) m a y b e o f i n d e p e n d e n t i n t e r e s t . D e (cid:12) n e m e t r i c d i s t r i b u t i o n b y t h e p .d .f . (cid:0) (cid:0) a 1 b 1 z ( 1 (cid:0) z ) e x p ( (cid:0) s z ) : f ( z ja ; b ; s ) (cid:17) C H B ( a ; b ) M ( a ; a + b ; (cid:0) s ) h i s g e n e r a l i z e s t h e b e t a d e n s i t y u s i n g t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c e q u a t i o n n d B a y a r r i ( 1 9 9 4 ) u s e t h e F f u n c t i o n t o g e n e r a l i z e t h e b e t a t o t h e G a u s s i a 2 1 r i b u t i o n . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t i f Z (cid:24) B e t a ( (cid:11) ; (cid:12) ) a n d s i g n a l S j( Z h e n t h e p o s t e r i o r Z j( S = s ) (cid:24) C H ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ; s ) . F u r t h e r m o r e , t h e C H d i s t r i b u o r g a m m a s i g n a l s , s o t h a t i f Z i s d i s t r i b u t e d C H ( (cid:11) ; (cid:12) ; s ) a n d s i g n a l S j( Z 1 2 1 7 c a s e . z ) ) a n d 1 n a l a n d l n ( x ) ) c o n t h e ( 9 ) i n t n h y p e = z ) (cid:24) t i o n i t s = z ) (cid:24) T h e t r u e v a l u e ( 9 ) B i s t h e b e t a u n c o n d i t i o n a l (cid:13) u e n t h y p e r g e h e w a y A r m e r o r g e o m e t r i c d i s - G a m m a ( (cid:28) ; z ) , e l f i s c o n j u g a t e G a m m a ( (cid:28) ; z ) ,

t T B (cid:1) a N (cid:23) h e n Z j( S = s ) (cid:24) C H ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ; s + s ) . T h e C H d i s t r i b u t i o n a p p e a r s t o b e 2 2 1 2 A p p l y i n g t h e d e (cid:12) n i t i o n o f t h e C H d i s t r i b u t i o n , f ( v jx ) m a y b e w r i t t e n a s f ( v jx ) = g ( x jv ) f ( v ) = g ( x ) = f ( v j(cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ; (cid:0) (cid:28) l n ( x ) ) : C H h e c o n j u g a t e p r o p e r t y o f t h e C H d i s t r i b u t i o n f o r g a m m a s i g n a l s u n d e r p i n s N L G s p e c i (cid:12) c a t i o n . G e n e r a l i z i n g t h e (cid:18) f u n c t i o n t o ~(cid:18) ( y ; x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) (cid:17) B ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ; b ) (cid:1) (cid:0) m ( (cid:28) 1 ) (cid:0) ( a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) ( (cid:28) 1 ;m ) j j c ( (cid:0) (cid:28) l n ( y ) ) M ( b ; b + a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) + j ; (cid:0) (cid:28) ( l n j ( b + a + ( n (cid:0) m ) (cid:28) ) j j = 0 X l l o w s c o m p a c t e x p r e s s i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f Y g i v e n X a s 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:28) (cid:28) 1 ( n 1 ) (cid:28) ~ ( n (cid:0) 1 ) (cid:28) ( (cid:0) l n ( x ) ) y (cid:18) ( y ; x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) g ( y jx ) = 1 Y (cid:0) ( (cid:28) ) x B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ) M ( (cid:12) ; (cid:12) + (cid:11) + (cid:28) ; (cid:0) ( n 1 ) (cid:28) ~ y (cid:18) ( y ; x ; (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:28) ; n (cid:0) 1 ; n ) G ( y jx ) = 1 Y B ( (cid:11) + (cid:28) ; (cid:12) ) M ( (cid:12) ; (cid:12) + (cid:11) + (cid:28) ; (cid:0) (cid:28) l n ( x ) ) ~ o t i n g t h a t (cid:18) ( x ; x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) = (cid:18) ( x ; a ; b ; (cid:28) ; m ; n ) a n d r e - a r r a n g i n g l e a d t o ( x ; x ) a n d (cid:21) ( x ; x ) i n S e c t i o n 3 . 1 8 n e w t o t h e t r a c ( x ) + ( n 2 ; n ) (cid:0) (cid:28) l n ( x t h e s i m t h t a (cid:0) ) ) p e l i t b i l i t 1 ) l n l e f o e y ( r r y m a o ) t f ) s u r e . t h e ) : f o r

R A A B E L L M M M P V e f e r e n c e s H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s b r a m o w i t z , M i l t o n a n d I r e n e A . S t e g u n , e d s , n u m b e r 5 5 . I n ‘A p p l i e d M a t h e m a t i c s S e r i e s .’, N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s , 1 9 6 8 . T h e S t a t i s t i c i a n r m e r o , C . a n d M . J . B a y a r r i , \ P r i o r a s s e s s m e n t s f o r p r e d i c t i o n i n q u e u e s ," , 4 3 1 9 9 4 , ( 1 ) , 1 3 9 { 1 5 3 . i k h c h a n d a n i , S u s h i l a n d C h i - f u H u a n g , \ A u c t i o n s w i t h R e s a l e M a r k e t s : A n E x p l o r a t o r y R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s M o d e l o f T r e a s u r y B i l l M a r k e t s ," , 1 9 8 9 , ( 2 ) , 3 1 1 { 3 4 0 . n g e l b r e c h t - W i g g a n s , R i c h a r d a n d R o b e r t J . W e b e r , \ O n t h e N o n - E x i s t e n c e o f M u l t i p l i c a t i v e E q u i l i b r i u m B i d d i n g S t r a t e g i e s ," D i s c u s s i o n P a p e r 5 2 3 , C o w l e s F o u n d a t i o n A p r i l 1 9 7 9 . a (cid:11) o n t , J e a n - J a c q u e s a n d Q u a n g V u o u n g , \ S t r u c t u r a l E c o n o m e t r i c A n a l y s i s o f D e s c e n d i n g E u r o p e a n E c o n o m i c R e v i e w 3 7 A u c t i o n s ," , A p r i l 1 9 9 3 , ( 2 / 3 ) , 3 2 9 { 3 4 1 . A m e r i c a n e v i n , D a n a n d J a m e s L . S m i t h , \ S o m e E v i d e n c e o n t h e W i n n e r ’s C u r s e : C o m m e n t ," E c o n o m i c R e v i e w 8 1 , 1 9 9 1 , ( 1 ) , 3 7 0 { 3 7 5 . a t t h e w s , S t e v e n , \ I n f o r m a t i o n A c q u i s i t i o n i n D i s c r i m i n a t o r y A u c t i o n s ," i n M a r c e l B o y e r a n d B a y e s i a n M o d e ls i n E c o n o m i c T h e o r y S t u d i e s i n B a y e s i a n R i c h a r d E . K i h l s t r o m , e d s ., , V o l . 5 o f E c o n o m e t r i c s , A m s t e r d a m : E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s , 1 9 8 4 , p p . 1 8 1 { 2 0 7 . J o u r n a l o f E c o n o m i c c A f e e , R . P r e s t o n a n d J o h n M c M i l l a n , \ A u c t i o n s a n d B i d d i n g ," L i t e r a t u r e X X V , S u m m e r 1 9 8 7 , , 6 9 9 { 7 3 8 . J o u r n a l o f E c o n o m i c P e r s p e c t i v e s i l g r o m , P a u l R . , \ A u c t i o n s a n d B i d d i n g : A P r i m e r ," , 1 9 8 9 , 3 ( 3 ) , 3 { 2 2 . E c o n o m e t r i c a a n d R o b e r t J . W e b e r , \ A T h e o r y o f A u c t i o n s a n d C o m p e t i t i v e B i d d i n g ," , 1 9 8 2 , ( 5 0 ) , 1 0 8 9 { 1 1 2 2 . a a r s c h , H a r r y J . , \ D e c i d i n g B e t w e e n t h e C o m m o n a n d P r i v a t e V a l u e P a r a d i g m s i n E m p i r i c a l J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s 5 1 M o d e l s o f A u c t i o n s ," , 1 9 9 2 , , 1 9 1 { 2 1 5 . J o u r n a l i n c e n t , D a n i e l R . , \ B i d d i n g O (cid:11) t h e W a l l : W h y R e s e r v e P r i c e s M a y B e K e p t S e c r e t ," o f E c o n o m i c T h e o r y 6 5 , A p r i l 1 9 9 5 , , 5 7 5 { 5 8 4 . 1 9