A Jump-Diffusion Approach to Modeling Credit Risk and Valuing Defaultable Securities
Abstract
Since Black and Scholes (1973) and Merton (1974), structural models of credit risk have relied almost exclusively on diffusion processes to model the evolution of firm value. While a diffusion approach is convenient, in empirical application, it has produced very disappointing results. Jones, Mason, and Rosenfeld (1984) find that the credit spreads on corporate bonds are too high to be matched by the diffusion approach. Also, because the instantaneous default probability of a healthy firm is zero under a continuous process, the diffusion approach predicts that the term structure of credit spreads should always start at zero and slope upward for firms that are not currently in financial distress, but the empirical literature shows that the actual credit spread curves are sometimes at or even downward-sloping.
A J u m p - D i (cid:11) u s i o n A p p r o a c h t o M o d e l i n g C r e d i t R i s k a n d V a l u i n g D e f a u l t a b l e S e c u r i t i e s y C h u n s h e n g Z h o u M a r c h 1 9 9 7 y F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , M a il S t o p 9 1 , W a s h in g t o n , D C 2 0 5 5 1 . T e l: ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 3 3 2 8 , F a x : ( 2 4 5 2 - 5 2 9 6 , E - m a il: c z h o u @ fr b .g o v . T h e a u t h o r w o u ld lik e t o t h a n k J o h n C a m p b e ll, G r e g D u (cid:11) M a t t P r it s k e r , K r is h n a R a m a s w a m y , R e n (cid:19)e S t u lz , a n d s e m in a r p a r t ic ip a n t s a t t h e F e d e r a l R e s e B o a r d a n d t h e N B E R fo r h e lp fu l d is c u s s io n s a n d c o m m e n t s . T h e a n a ly s is a n d c o n c lu s io n s s e t fo in t h is p a p e r a r e t h o s e o f t h e a u t h o r a n d d o n o t in d ic a t e c o n c u r r e n c e b y o t h e r m e m b e r s o f r e s e a r c h s t a (cid:11) s , b y t h e B o a r d o f G o v e r n o r s , o r b y t h e F e d e r a l R e s e r v e B a n k s . 0 2 ) e e , r v e r t h t h e
h W d c i d a e d c m p c b c (cid:12) v i c A b s t r a c t S i n c e B l a c k a n d S c h o l e s ( 1 9 7 3 ) a n d M e r t o n ( 1 9 7 4 ) , s t r u c t u r a l m o d e l s o f c r e d i t r i s k a v e r e l i e d a l m o s t e x c l u s i v e l y o n d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s t o m o d e l t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e . h i l e a d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h i s c o n v e n i e n t , i n e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n , i t h a s p r o d u c e d v e r y i s a p p o i n t i n g r e s u l t s . J o n e s , M a s o n , a n d R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) (cid:12) n d t h a t t h e c r e d i t s p r e a d s o n o r p o r a t e b o n d s a r e t o o h i g h t o b e m a t c h e d b y t h e d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h . A l s o , b e c a u s e t h e n s t a n t a n e o u s d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f a h e a l t h y (cid:12) r m i s z e r o u n d e r a c o n t i n u o u s p r o c e s s , t h e i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h p r e d i c t s t h a t t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s s h o u l d a l w a y s s t a r t t z e r o a n d s l o p e u p w a r d f o r (cid:12) r m s t h a t a r e n o t c u r r e n t l y i n (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s , b u t t h e m p i r i c a l l i t e r a t u r e s h o w s t h a t t h e a c t u a l c r e d i t s p r e a d c u r v e s a r e s o m e t i m e s (cid:13) a t o r e v e n o w n w a r d - s l o p i n g . I f a d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h c a n n o t c a p t u r e t h e b a s i c f e a t u r e s o f c r e d i t r i s k , w h a t a p p r o a c h a n ? T h i s p a p e r d e v e l o p s a n e w s t r u c t u r a l a p p r o a c h t o v a l u i n g d e f a u l t - r i s k y s e c u r i t i e s b y o d e l i n g t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e a s a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s . U n d e r a j u m p - d i (cid:11) u s i o n r o c e s s , a (cid:12) r m c a n d e f a u l t i n s t a n t a n e o u s l y b e c a u s e o f a s u d d e n d r o p i n i t s v a l u e . W i t h t h i s h a r a c t e r i s t i c , a j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l c a n m a t c h t h e s i z e o f c r e d i t s p r e a d s o n c o r p o r a t e o n d s a n d c a n g e n e r a t e v a r i o u s s h a p e s o f y i e l d s p r e a d c u r v e s a n d m a r g i n a l d e f a u l t r a t e u r v e s , i n c l u d i n g u p w a r d - s l o p i n g , d o w n w a r d - s l o p i n g , (cid:13) a t , a n d h u m p - s h a p e d , e v e n i f t h e r m i s c u r r e n t l y i n g o o d (cid:12) n a n c i a l s t a n d i n g . T h e m o d e l a l s o l i n k s r e c o v e r y r a t e s t o (cid:12) r m a l u e a t d e f a u l t i n a n a t u r a l w a y s o t h a t v a r i a t i o n i n r e c o v e r y r a t e s i s e n d o g e n o u s l y g e n e r a t e d n t h e m o d e l . T h e m o d e l i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h m a n y o t h e r s t y l i z e d e m p i r i c a l f a c t s i n t h e r e d i t - r i s k l i t e r a t u r e .
T h e r e a r e t w o b a s i c a p p r o a c h e s t o m o d e l i n g c o r p o r a t e d e f a u l t r i s k s . O n e a p p r o a c h , p i o n e e r e d b y B l a c k a n d S c h o l e s ( 1 9 7 3 ) a n d M e r t o n ( 1 9 7 4 ) a n d e x t e n d e d b y B l a c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) , L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) , a n d o t h e r s , e x p l i c i t l y m o d e l s t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e o b s e r v a b l e b y i n v e s t o r s . T h e (cid:12) r m d e f a u l t s w h e n i t s m a r k e t v a l u e f a l l s b e l o w c e r t a i n e x o g e n o u s l y g i v e n t h r e s h o l d l e v e l o r t h e v a l u e o f i t s d e b t . T h i s a p p r o a c h f o r v a l u i n g r i s k y d e b t i s c a l l e d a s t r u c t u r a l a p p r o a c h b y D u (cid:14) e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 5 ) a n d h a s b e e n a p p l i e d i n G e s k e ( 1 9 7 7 ) , I n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a , 1 9 7 7 b ) , M e r t o n ( 1 9 7 7 ) , S m i t h a n d W a r n e r ( 1 9 7 9 ) , C o o p e r a n d M e l l o ( 1 9 9 1 ) , H u l l a n d W h i t e ( 1 9 9 2 ) , A b k e n ( 1 9 9 3 ) , a n d m a n y o t h e r p a p e r s . O n e c r i t i c a l c o m m o n a s s u m p t i o n o f t h e M e r t o n - B l a c k - C o x - L o n g s t a (cid:11) - S c h w a r t z a p p r o a c h i s t h a t t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e f o l l o w s a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s . U n d e r a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , b e c a u s e a s u d d e n d r o p i n (cid:12) r m v a l u e i s i m p o s s i b l e , (cid:12) r m s n e v e r d e f a u l t u n e x p e c t e d l y ( i . e ., 1 b y s u r p r i s e ) . T h e v a l i d i t y o f t h i s i m p l i c a t i o n i s q u e s t i o n a b l e . I f a (cid:12) r m c a n n o t d e f a u l t u n e x p e c t e d l y a n d i f i t i s n o t c u r r e n t l y i n (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s , i t s p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n g o n v e r y s h o r t - t e r m d e b t i s z e r o a n d t h e r e f o r e , i t s s h o r t - t e r m d e b t s h o u l d h a v e z e r o c r e d i t s p r e a d s a n d i t s t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s s h o u l d s l o p e u p w a r d a t t h e s h o r t e n d . T h i s i m p l i c a t i o n o f t h e d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h i s s t r o n g l y r e j e c t e d . C r e d i t s p r e a d s o n t y p i c a l s h o r t t e r m b o n d s a r e m u c h l a r g e r t h a n z e r o . M o r e o v e r , F o n s ( 1 9 9 4 ) a n d S a r i g a n d W a r g a ( 1 9 8 9 ) e v e n (cid:12) n d t h a t t h e y i e l d s p r e a d c u r v e s o f c e r t a i n k i n d o f b o n d s a r e (cid:13) a t o r e v e n d o w n w a r d s l o p i n g . T h e e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n o f a d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h h a s y i e l d e d v e r y d i s a p p o i n t i n g r e s u l t s . J o n e s , M a s o n , a n d R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) (cid:12) n d t h a t t h e c r e d i t s p r e a d s o n c o r p o r a t e b o n d s a r e g e n e r a l l y t o o h i g h t o b e m a t c h e d b y t h i s a p p r o a c h . T h e i m p l i c a t i o n t h a t a (cid:12) r m h a s a c o n s t a n t v a l u e u p o n d e f a u l t i n t h e t y p i c a l d i (cid:11) u s i o n 2 a p p r o a c h ( e .g ., L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ) i s a l s o p r o b l e m a t i c . O n t h e o n e h a n d , t h i s a p p r o a c h e m p h a s i z e s t h e c e n t r a l r o l e o f (cid:12) r m v a l u e i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f d e f a u l t . O n t h e o t h e r h a n d , t h e a p p r o a c h c a n n o t a l l o w t h e v a r i a t i o n i n t h e r e c o v e r y r a t e o f a r i s k y b o n d t o 1 M o r e p r e c is e ly , t h e t im e o f d e fa u lt is a c c e s s ib le u n d e r a d i(cid:11) u s io n p r o c e s s , m e a n in g t h a t t h e r e is a n in c r e a s in g s e q u e n c e o f s t o p p in g t im e s t h a t c o n v e r g e s t o t h e d e fa u lt t im e , a n d t h e r e fo r e ‘fo r e t e lls ’ t h e e v e n t o f d e fa u lt . 2 M e r t o n ’s ( 1 9 7 4 ) m o d e l is a n e x c e p t io n . U n d e r s o m e v e r y r e s t r ic t iv e a s s u m p t io n s o f h is m o d e l, s u c h t h a t a (cid:12) r m h a s o n ly o n e b o n d is s u e a n d d o e s n o t d e fa u lt u n t il t h e m a t u r it y o f t h e b o n d , t h e r e m a in in g v a lu e o f a (cid:12) r m u p o n d e fa u lt is s t o c h a s t ic . 1
d a n T L u n a n t e a a o s s b c s d r (cid:12) d e e p e n d o n t h e (cid:12) r m ’s r e m a i n i n g v a l u e a t d e f a u l t . A n o t h e r a l t e r n a t i v e a p p r o a c h , a d o p t e d b y D u (cid:14) e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 4 ) , J a r r o w , L a n d o , n d T u r n b u l l ( 1 9 9 4 ) , J a r r o w a n d T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) , M a d a n a n d U n a l ( 1 9 9 4 ) , a n d o t h e r s d o e s o t c o n s i d e r t h e r e l a t i o n b e t w e e n d e f a u l t a n d (cid:12) r m v a l u e i n a n e x p l i c i t ( o r s t r u c t u r a l ) w a y . h i s a p p r o a c h i s c a l l e d t h e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h . I n c o n t r a s t t o t h e M e r t o n - B l a c k - C o x o n g s t a (cid:11) - S c h w a r t z ’s s t r u c t u r a l a p p r o a c h , t h e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h t r e a t s d e f a u l t a s a n n p r e d i c t a b l e P o i s s o n e v e n t i n v o l v i n g a s u d d e n l o s s i n m a r k e t v a l u e s o d e f a u l t e v e n t s c a n 3 e v e r b e e x p e c t e d . F o r e x a m p l e , D u (cid:14) e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 4 ) a s s u m e t h a t d e f a u l t o c c u r s t a r i s k - n e u t r a l h a z a r d r a t e h a t a n y t i m e t , m e a n i n g r o u g h l y t h a t t h e c o n d i t i o n a l r i s k - t e u t r a l p r o b a b i l i t y a t t i m e t o f d e f a u l t o v e r a s m a l l t i m e i n t e r v a l (cid:1) t , g i v e n n o d e f a u l t b e f o r e i s h (cid:1) t . t T h e a t t r a c t i v e p r o p e r t y o f t h e a b o v e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h i s i t s t r a c t a b i l i t y . H o w v e r , i t i s n o t c l e a r f r o m t h e a p p r o a c h w h a t t h e l i n k o r m e c h a n i s m i s b e t w e e n (cid:12) r m v a l u e n d c o r p o r a t e d e f a u l t . F o r e x a m p l e , s i n c e t h e h a z a r d r a t e o f d e f a u l t i n t h e r e d u c e d - f o r m p p r o a c h i s m o d e l e d a s a n e x o g e n o u s p r o c e s s , n o b o d y k n o w s w h a t d e t e r m i n e t h e \ m y s t e r i u s " h a z a r d r a t e f r o m t h i s a p p r o a c h . A l s o , t h e i m p l i c a t i o n t h a t (cid:12) r m s c a n o n l y d e f a u l t \ b y u r p r i s e " s e e m s u n r e a l i s t i c . I n s u m m a r y , a r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h i s u s u a l l y m o r e (cid:13) e x i b l e t o (cid:12) t t h e o b s e r v e d c r e d i t p r e a d s , w h i l e a s t r u c t u r a l a p p r o a c h o f t e n g e n e r a t e s m o r e c o n c e p t u a l i n s i g h t s o n d e f a u l t e h a v i o r . N e i t h e r a d e f a u l t a p p r o a c h n o r a s t r u c t u r a l a p p r o a c h ( b a s e d o n a d i (cid:11) u s i o n p r o e s s ) c a p t u r e s b o t h e x p e c t e d a n d u n e x p e c t e d d e f a u l t s . F r o m a t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e , a t r u c t u r a l a p p r o a c h b a s e d o n a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s c o m p l e t e l y r u l e s o u t t h e u s e o f a h a z a r d e f a u l t r a t e w h i c h i s c o m m o n i n t h e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h e s , b e c a u s e a n y s u c h h a z a r d 4 a t e w o u l d b e z e r o b e f o r e d e f a u l t a n d i n (cid:12) n i t y a t d e f a u l t . C a n w e h a v e a m o d e l w h i c h n o t o n l y h a s t h e (cid:13) e x i b i l i t y o f t h e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h t o t t h e d a t a b u t a l s o p r o v i d e s t h e t h e o r e t i c a l i n s i g h t s o n t h e e c o n o m i c m e c h a n i s m b e h i n d e f a u l t e v e n t s o f t h e t r a d i t i o n a l s t r u c t u r a l a p p r o a c h ? C a n w e h a v e a m o d e l w h i c h a l l o w s 3 T h a t is , t h e t im e o f d e fa u lt is a lw a y s a n in a c c e s s ib le s t o p p in g t im e . 4 S e e D u (cid:14) e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 5 ) fo r a d e t a ile d d is c u s s io n o n t h is is s u e a n d t h e d is t in c t io n b e t w e e n x p e c t e d d e fa u lt s a n d u n e x p e c t e d d e fa u lt s . 2
f t t U d (cid:12) s S b a z t m w t g i a a a f j m c d n d o r b o t h e x p e c t e d a n d u n e x p e c t e d d e f a u l t s i n a s i n g l e f r a m e w o r k ? H o w c a n w e r e c o n c i l e h e d i (cid:11) e r e n t i m p l i c a t i o n s o f t h e t r a d i t i o n a l r e d u c e d - f o r m a n d s t r u c t u r a l a p p r o a c h e s ? T o a n s w e r t h e s e q u e s t i o n s , t h i s p a p e r d e v e l o p s a s i m p l e y e t (cid:13) e x i b l e s t r u c t u r a l a p p r o a c h o v a l u i n g r i s k y d e b t b y m o d e l i n g t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e a s a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s . n d e r a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , a d e f a u l t c a n h a p p e n e x p e c t e d l y b e c a u s e o f s l o w b u t s t e a d y e c l i n e s i n (cid:12) r m v a l u e . A d e f a u l t c a n a l s o o c c u r u n e x p e c t e d l y b e c a u s e o f a s u d d e n d r o p i n r m v a l u e . T h i s (cid:13) e x i b i l i t y h a s a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g i m p l i c a t i o n s , i n c l u d i n g : 1 ) T h e t e r m t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s c a n b e u p w a r d s l o p i n g , (cid:13) a t , h u m p - s h a p e d , o r d o w n w a r d s l o p i n g . o m e o f t h e s e s h a p e s ( (cid:13) a t a n d d o w n w a r d - s l o p i n g ) a r e n o t p o s s i b l e i n s t r u c t u r a l m o d e l s a s e d o n d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s u n l e s s a (cid:12) r m i s i n (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s . 2 ) D e f a u l t p r o b a b i l i t i e s n d c r e d i t s p r e a d s o n v e r y s h o r t - t e r m b o n d s o f g o o d q u a l i t y (cid:12) r m s c a n b e l a r g e r t h a n e r o . I n p a r t i c u l a r , h o l d i n g c o n s t a n t t h e t o t a l v o l a t i l i t y o f t h e d y n a m i c s o f (cid:12) r m v a l u e , h e e x i s t e n c e o f j u m p r i s k s c a n s u b s t a n t i a l l y r a i s e t h e c r e d i t s p r e a d s o f b o n d s o v e r a w i d e a t u r i t y r a n g e . 3 ) T h e r e m a i n i n g v a l u e o f a (cid:12) r m a t d e f a u l t i s a r a n d o m v a r i a b l e . S i n c e h a t b o n d h o l d e r s r e c e i v e u p o n d e f a u l t a r e m a i n l y d e t e r m i n e d b y t h e r e m a i n i n g v a l u e o f h e (cid:12) r m , t h e r a n d o m n e s s o f (cid:12) r m v a l u e a t d e f a u l t i m p l i e s t h a t a j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l c a n e n e r a t e v a r i a t i o n s i n r e c o v e r y r a t e s e n d o g e n o u s l y . 4 ) T h e r e c o v e r y r a t e o f a d e f a u l t e d b o n d s p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h t h e c r e d i t q u a l i t y o f t h e b o n d b e f o r e d e f a u l t . T h e s e i m p l i c a t i o n s r e c o n s i s t e n t w i t h a n u m b e r o f s t y l i z e d e m p i r i c a l r e g u l a r i t i e s d e t a i l e d i n F o n s ( 1 9 9 4 ) , S a r i g n d W a r g a ( 1 9 8 9 ) , J o n e s , M a s o n , a n d R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) , A l t m a n ( 1 9 8 9 ) , a n d m a n y o t h e r s . T h e i m p o r t a n c e o f j u m p p r o c e s s e s i n p r i c i n g r i s k y b o n d s w a s a l s o n o t i c e d b y M a s o n n d B h a t t a c h a r y a ( 1 9 8 1 ) . I n M a s o n a n d B h a t t a c h a r y a ’s m o d e l , t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e o l l o w s a p u r e j u m p p r o c e s s w i t h j u m p a m p l i t u d e f o l l o w i n g a b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n . O u r u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l i s m o r e (cid:13) e x i b l e a n d m o r e g e n e r a l . I t i s a l s o m o r e r e a l i s t i c . I n o u r o d e l , t h e d y n a m i c s o f (cid:12) r m v a l u e h a v e t w o r a n d o m c o m p o n e n t s : a c o n t i n u o u s d i (cid:11) u s i o n o m p o n e n t a n d a d i s c o n t i n u o u s j u m p c o m p o n e n t . T h e j u m p a m p l i t u d e f o l l o w s a l o g - n o r m a l i s t r i b u t i o n r a t h e r t h a n a b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n . T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s s t r u c t u r e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 1 p r e s e n t s t h e b a s i c e c o o m i c f r a m e w o r k . S e c t i o n 2 p r o v i d e s c l o s e d - f r o m s o l u t i o n s t o s i m p l i (cid:12) e d m o d e l s i n w h i c h a e f a u l t c a n o n l y o c c u r a t t h e m a t u r i t y o f t h e d e b t a s i n M e r t o n ( 1 9 7 4 ) . S e c t i o n 3 s o l v e s t h e 3
g a m t 1 B o f t ( d w r T e n e r a l m o d e l s i n w h i c h a d e f a u l t m a y o c c u r a t a n y t i m e . T h e i m p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l r e a r e i l l u s t r a t e d i n S e c t i o n 4 . S e c t i o n 5 g i v e s a u s e f u l a p p l i c a t i o n o f o u r g e n e r a l p r i c i n g e t h o d o l o g y , i .e ., p r i c i n g c r e d i t d e f a u l t s w a p s . S e c t i o n 6 e x t e n d s o u r e c o n o m i c f r a m e w o r k o a l l o w i n g f o r s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e s . S e c t i o n 7 c o n c l u d e s . T h e B a s i c M o d e l y e x t e n d i n g M e r t o n - B l a c k - C o x - L o n g s t a (cid:11) - S c h w a r t z a p p r o a c h a n d m o d e l i n g t h e e v o l u t i o n f (cid:12) r m v a l u e a s a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , t h i s s e c t i o n b u i l d s a c o n t i n u o u s - t i m e v a l u a t i o n r a m e w o r k f o r r i s k y d e b t . T h e b a s i c a s s u m p t i o n s a r e l i s t e d a n d d i s c u s s e d b e l o w . S o m e o f h e m p a r a l l e l t h o s e o f M e r t o n ( 1 9 7 4 ) , B l a c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) , a n d L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z 1 9 9 5 ) . A s s u m p t i o n 1 : L e t V d e n o t e t h e t o t a l m a r k e t v a l u e o f t h e a s s e t s o f t h e (cid:12) r m . T h e y n a m i c s o f V a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s d V = V = ( (cid:22) (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + ( (cid:5) 1 ) d Y ( 1 ) 1 (cid:0) (cid:0) h e r e (cid:22) , (cid:23) , (cid:21) , a n d (cid:27) a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s ; Z i s a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n ; 1 d Y i s a P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y p a r a m e t e r (cid:21) ; (cid:5) > 0 i s t h e j u m p a m p l i t u d e w i t h e x p e c t e d v a l u e e q u a l t o (cid:23) + 1 , a n d d Z , d Y , a n d (cid:5) a r e m u t u a l l y i n d e p e n d e n t . 1 B e c a u s e (cid:23) e q u a l s t h e e x p e c t e d v a l u e o f j u m p c o m p o n e n t ( (cid:5) 1 ) , (cid:22) i n t h e a b o v e e q u a t i o n (cid:0) e p r e s e n t s t h e e x p e c t e d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f (cid:12) r m v a l u e . W e a s s u m e t h a t (cid:5) i s a n i .i .d . l o g - n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e , s u c h t h a t 2 l n ( (cid:5) ) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) : ( 2 ) (cid:25) (cid:25) (cid:24) h i s a s s u m p t i o n i m p l i e s t h a t 2 (cid:23) := E [(cid:5) 1 ] = e x p ( (cid:22) + (cid:27) = 2 ) 1 : (cid:25) (cid:25) (cid:0) (cid:0) 4
v w s a c t a K r u t t c r r ( t r t s t c T h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i n e q u a t i o n ( 1 ) c h a r a c t e r i z e s t h e \ n o r m a l " (cid:13) u c t u a t i o n i n (cid:12) r m a l u e , d u e t o g r a d u a l c h a n g e s i n e c o n o m i c c o n d i t i o n s o r t h e a r r i v a l o f n e w i n f o r m a t i o n h i c h c a u s e s m a r g i n a l c h a n g e s i n t h e (cid:12) r m ’s v a l u e . T h e j u m p c o m p o n e n t d e s c r i b e s t h e u d d e n c h a n g e s i n (cid:12) r m v a l u e d u e t o t h e a r r i v a l o f i m p o r t a n t n e w i n f o r m a t i o n w h i c h h a s l a r g e e (cid:11) e c t o n (cid:12) r m ’s m a r k e t v a l u e . G i v e n t h e f a c t t h a t a (cid:12) r m ’s v a l u e m o v e s a l m o s t o n t i n u o u s l y m o s t o f t h e t i m e a n d t h a t t h e m a r k e t v a l u e o f a (cid:12) r m m a y d r o p d r a m a t i c a l l y i n h e e v e n t o f d e f a u l t , a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s f o r (cid:12) r m v a l u e s e e m s a p p r o p r i a t e f o r m o d e l i n g (cid:12) r m ’s d e f a u l t r i s k . F o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s , s e e , f o r e x a m p l e , u s h n e r ( 1 9 6 7 ) a n d M e r t o n ( 1 9 7 4 ) . A s s u m p t i o n 2 : T h e c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ( C A P M ) h o l d s f o r e q u i l i b r i u m s e c u r i t y e t u r n s a n d t h e j u m p c o m p o n e n t o f (cid:12) r m ’s v a l u e e q u a t i o n ( 1 ) i s p u r e l y (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c a n d i s n c o r r e l a t e d w i t h t h e m a r k e t . T h e j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s w a s i n t r o d u c e d i n t o t h e d e r i v a t i v e p r i c i n g l i t e r a t u r e b y M e r o n ( 1 9 7 6 ) . A c c o r d i n g t o M e r t o n , t h e r e g e n e r a l l y d o e s n o t e x i s t a s e t o f p o r t f o l i o w e i g h t s h a t w i l l e l i m i n a t e t h e \ j u m p " r i s k . A B l a c k - S c h o l e s h e d g e w i l l n o t b e r i s k l e s s e v e n i n a o n t i n u o u s - t i m e s e t u p . T o v a l i d a t e t h e B l a c k - S c h o l e s \ r i s k - n e u t r a l " a r g u m e n t , s o m e e x t r a e s t r i c t i o n s o n t h e e c o n o m y a n d t h e j u m p p r o c e s s m u s t b e i m p o s e d . I f t h e j u m p c o m p o n e n t e p r e s e n t s n o n s y s t e m a t i c r i s k , a p o r t f o l i o w h i c h r e m o v e s t h e r i s k o f d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t i .e ., d Z d o e s n o t a p p e a r i n t h e r e t u r n p r o c e s s o f t h e p o r t f o l i o ) w i l l h a v e a z e r o \ b e t a ." B y 1 h e C A P M , t h e e x p e c t e d r e t u r n o n t h a t p o r t f o l i o m u s t e q u a l t h e r i s k l e s s r a t e . T h e j u m p i s k w i l l t h e r e f o r e n o t r e c e i v e a r i s k p r e m i u m . A s s u m p t i o n 3 : T h e M o d i g l i a n i - M i l l e r t h e o r e m t h a t t h e v a l u e o f t h e (cid:12) r m i s i n v a r i a n t o i t s c a p i t a l s t r u c t u r e o b t a i n s . 5 T h i s i s a s t a n d a r d a s s u m p t i o n i n t h e l i t e r a t u r e , w h i c h r e q u i r e s t h a t c h a n g e s i n c a p i t a l t r u c t u r e , s u c h a s d e b t / e q u i t y r a t i o a n d p a y m e n t s o f c o u p o n s a n d p r i n c i p l e , d o n o t a (cid:11) e c t h e (cid:12) r m ’s v a l u e V . A s s u m p t i o n 4 : W e a s s u m e p e r f e c t , f r i c t i o n l e s s m a r k e t s i n w h i c h s e c u r i t i e s t r a d e i n o n t i n u o u s t i m e . A r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s d o n o t e x i s t . A c c o r d i n g t o H a r r i s o n a n d P l i s k a ( 1 9 8 1 ) , t h e n o n e x i s t e n c e o f a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s i s 5 S e e M e r t o n ( 1 9 7 4 ) a n d L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) . 5
e i d o K t H c V i r o s a t a r h z c o a c d q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e s . M o s t s t a n d a r d a p p r o a c h e s n t h e d e r i v a t i v e p r i c i n g l i t e r a t u r e c a n t h e n b e u s e d i n v a l u i n g d e f a u l t - r i s k y d e b t . A s s u m p t i o n 5 : T h e r e e x i s t s a p o s i t i v e t h r e s h o l d v a l u e K f o r t h e (cid:12) r m a t w h i c h (cid:12) n a n c i a l i s t r e s s o c c u r s . T h e (cid:12) r m c o n t i n u o u s t o o p e r a t e a n d t o b e a b l e t o m e e t i t s c o n t r a c t u a l b l i g a t i o n s a s l o n g a s V > K . H o w e v e r , i f i t s v a l u e V f a l l s t o o r b e l o w t h e t h r e s h o l d l e v e l , i t d e f a u l t s o n a l l o f i t s o b l i g a t i o n s i m m e d i a t e l y a n d s o m e f o r m o f c o r p o r a t e r e s t r u c t u r i n g a k e s p l a c e . 6 T h i s a s s u m p t i o n f o l l o w s B l a c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) a n d L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) . o w e v e r , i n t h e B l a c k - C o x - L o n g s t a (cid:11) - S c h w a r t z f r a m e w o r k , b e c a u s e t h e (cid:12) r m ’s v a l u e V h a s a o n t i n u o u s t i m e p a t h , V i s a l w a y s e q u a l t o K i n t h e e v e n t o f d e f a u l t . I n o u r m o d e l , b e c a u s e h a s a j u m p c o m p o n e n t , i n t h e e v e n t o f d e f a u l t , i t c a n b e a r a n d o m n u m b e r d i s t r i b u t e d n t h e w h o l e i n t e r v a l o f ( 0 ; K ]. B e c a u s e o f t h i s p r o p e r t y , i t i s q u i t e n a t u r a l i n o u r m o d e l t o a n d o m i z e t h e r e c o v e r y r a t e o f d e b t i s s u e s a n d t o l i n k t h i s r a t e t o (cid:12) r m ’s v a l u e i f a d e f a u l t c c u r s . A n i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n o f t h e a s s u m p t i o n i s t h a t d e f a u l t o c c u r s f o r a l l d e b t c o n t r a c t s i m u l t a n e o u s l y . L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) p r o v i d e a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f i n s t i t u t i o n a l r r a n g e m e n t a n d c o r p o r a t e r e s t r u c t u r i n g i n t h e d e f a u l t . A s s u m p t i o n 6 : T h e (cid:12) r m i s s u e s b o t h e q u i t y a n d d e b t ( b o n d s ) . I f i t d e f a u l t s d u r i n g h e l i f e o f a b o n d , t h e b o n d h o l d e r r e c e i v e s 1 w ( X ) t i m e s t h e f a c e v a l u e o f t h e s e c u r i t y s (cid:0) 7 t m a t u r i t y T . H e r e s = m i n ( (cid:28) ; T ) w i t h (cid:28) b e i n g t h e t i m e o f d e f a u l t a n d X := V = K i s t h e a t i o o f (cid:12) r m ’s v a l u e V t o t h e t h r e s h o l d l e v e l K . 0 I n p r a c t i c e , w i s u s u a l l y a n o n - i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f X , t h a t i s t h e i n e q u a l i t y w ( X ) 0 (cid:20) o l d s . T h e f a c t o r w r e p r e s e n t s t h e p e r c e n t a g e w r i t e d o w n o n a b o n d i f t h e r e i s a r e o r g a n i a t i o n o f t h e (cid:12) r m . W h e n w = 0 , t h e r e i s n o w r i t e d o w n a n d b o n d h o l d e r s a r e n o t a (cid:11) e c t e d b y 6 K K B la c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) a s s u m e t h a t is a d e t e r m in is t ic fu n c t io n o f t im e w h ile w e a s s u m e t h a t is a K o n s t a n t h e r e . A s s u m in g t h a t is a d e t e r m in is t ic fu n c t io n o f t im e d o e s n o t a (cid:11) e c t t h e b a s ic s t r u c t u r e o f u r m o d e l. 7 T h is a s s u m p t io n fo llo w s L o n g s t a (cid:11) - S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) . T h e a s s u m p t io n t h a t b o n d h o ld e r s w ill b e p a id t t h e m a t u r it y t im e e v e n t h o u g h a d e fa u lt m a y h a v e o c c u r r e d b e fo r e t h a t t im e is m a d e fo r e x p o s it io n a l o n v e n ie n c e . O n e c a n e a s ily r e la x t h is a s s u m p t io n b y a s s u m in g t h a t b o n d h o ld e r s g e t p a id im m e d ia t e ly a t e fa u lt t im e if a d e fa u lt o c c u r s in t h e life o f t h e b o n d w it h o u t a (cid:11) e c t in g t h e b a s ic s t r u c t u r e o f t h e m o d e l. 6
t e s d 0 ( b (cid:12) t o o w c s a b (cid:12) r m T o h e (cid:12) r m ’s r e o r g a n i z a t i o n . W h e n w = 1 , b o n d h o l d e r s r e c e i v e n o t h i n g i n a r e o r g a n i z a t i o n . I n g e n e r a l , w w i l l d i (cid:11) e r a c r o s s v a r i o u s b o n d i s s u e s i n t h e (cid:12) r m ’s c a p i t a l s t r u c t u r e . F o r x a m p l e , A l t m a n a n d B e n c i v e n g a ( 1 9 9 5 ) (cid:12) n d t h a t t h e a v e r a g e r e c o v e r y r a t e ( 1 w ) f o r (cid:0) e c u r e d , s e n i o r , s e n i o r s u b o r d i n a t e d , c a s h - p a y s u b o r d i n a t e d , a n d n o n - c a s h - p a y s u b o r d i n a t e d e b t f o r a s a m p l e o f d e f a u l t e d b o n d i s s u e s d u r i n g t h e 1 9 8 5 t o 1 9 9 4 p e r i o d i s 0 .5 9 3 , 0 .5 0 8 , .3 6 5 , 0 .3 0 6 , a n d 0 .1 8 7 , r e s p e c t i v e l y . S i m i l a r r e s u l t s a r e a l s o f o u n d b y A l t m a n ( 1 9 9 2 ) , B e t k e r 1 9 9 2 ) , a n d F r a n k s a n d T o r o u s ( 1 9 9 4 ) . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t e v e n f o r t h e s a m e c l a s s o f o n d i s s u e s , t h e w r i t e d o w n w d i (cid:11) e r s s i g n i (cid:12) c a n t l y a c r o s s d i (cid:11) e r e n t t i m e p e r i o d s a n d d i (cid:11) e r e n t r m s . A l t m a n a n d B e n c i v e n g a ( 1 9 9 5 ) r e p o r t s , f o r e x a m p l e , t h e a v e r a g e r e c o v e r y r a t e f o r h e d e f a u l t e d i s s u e s o f s e c u r e d d e b t i s 0 .8 2 7 i n 1 9 8 9 b u t i s o n l y 0 .1 2 0 i n 1 9 8 7 . A n u m b e r f f a c t o r s m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o t h i s l a r g e d i s p a r i t y , b u t t h e (cid:12) r m ’s v a l u e i n t h e e v e n t f d e f a u l t i s c e r t a i n l y i m p o r t a n t . M o s t v a l u a t i o n m o d e l s d o n o t e x p l a i n t h e v a r i a t i o n i n r i t e d o w n r a t i o s f o r t h e s a m e k i n d o f b o n d s . A p r i m a r y a d v a n t a g e o f o u r m o d e l i s t h a t i s o n s i d e r s s u c h v a r i a t i o n i n a n a t u r a l w a y . N o t e t h a t e v e n t h o u g h w e d o n o t e x p l i c i t l y w r i t e w a s a f u n c t i o n o f t h e (cid:12) r m ’s c a p i t a l t r u c t u r e a n d t h e c l a s s o f t h e d e b t i s s u e f o r n o t a t i o n a l s i m p l i c i t y , w s h o u l d b e u n d e r s t o o d s b o n d s p e c i (cid:12) c . F o r e x a m p l e , a s e n i o r b o n d w i l l h a v e a d i (cid:11) e r e n t w f u n c t i o n f r o m a j u n i o r o n d . A s s u m p t i o n 7 : T h e s h o r t - t e r m r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e r i s c o n s t a n t o v e r t i m e . T h i s a s s u m p t i o n i s m a d e f o r c o n v e n i e n c e o n l y a n d w i l l b e r e l a x e d i n S e c t i o n 6 . A s s u m p t i o n 1 a n d t h e d e (cid:12) n i t i o n t h a t X = V = K y i e l d i m m e d i a t e l y d X = X = ( (cid:22) (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + ( (cid:5) 1 ) d Y : ( 3 ) 1 (cid:0) (cid:0) L e t H b e t h e p r i c e o f a n y d e r i v a t i v e s e c u r i t y w i t h p a y o (cid:11) a t t i m e T c o n t i n g e n t o n t h e r m ’s X . U s i n g M e r t o n ’s ( 1 9 7 6 ) r e s u l t , w e k n o w t h a t u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e j u m p i s k i s n o t s y s t e m a t i c a n d t h a t a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s a r e e x c l u d e d , t h e d e r i v a t i v e p r i c e H u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( P D E ) : 1 2 2 (cid:27) X H + ( r (cid:21) (cid:23) ) X H r H + (cid:21) E [H ( X (cid:5) ; T ) H ( X ; T ) ] = H : ( 4 ) X X X t T 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) h e a b o v e e q u a t i o n d e p e n d s o n n e i t h e r t h e r i s k - a v e r s i o n c o e (cid:14) c i e n t n o r t h e p h y s i c a l d r i f t f t h e (cid:12) r m ’s X , a s w e e x p e c t e d f r o m s t a n d a r d n o - a r b i t r a g e a p p r o a c h f o r p r i c i n g d e r i v a t i v e 7
s e f A m m 2 T f s m e m d r M a w L e c u r i t i e s . T h e o r e t i c a l l y , t h e v a l u e o f a n y d e r i v a t i v e s e c u r i t y c a n b e o b t a i n e d b y s o l v i n g q u a t i o n ( 4 ) s u b j e c t t o a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o w e v e r , i n p r a c t i c e , a c l o s e d o r m s o l u t i o n d o e s n o t a l w a y s e x i s t , t h u s n u m e r i c a l a p p r o a c h e s a r e s o m e t i m e s n e c e s s a r y . T h e a b o v e a s s u m p t i o n s p r o v i d e a g e n e r a l f r a m e w o r k f o r v a l u i n g d e f a u l t - r i s k y s e c u r i t i e s . n a l y t i c a l s o l u t i o n s t o s e c u r i t y p r i c e s a r e n o t e a s i l y f o u n d i n s u c h a g e n e r a l f r a m e w o r k . T o a k e s o m e t e c h n i c a l p r e p a r a t i o n a n d t o p r o v i d e s o m e i n t u i t i o n , w e c o n s i d e r a s i m p l i (cid:12) e d o d e l w i t h a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n b e f o r e t r y i n g t o s o l v e t h e g e n e r a l v a l u a t i o n p r o b l e m . A C l o s e d - f o r m S o l u t i o n t o a S i m p l i (cid:12) e d M o d e l h i s s e c t i o n p r e s e n t s a v a l u a t i o n f o r m u l a f o r d e f a u l t - r i s k y d i s c o u n t b o n d s i n a s i m p l i (cid:12) e d r a m e w o r k w i t h a d i (cid:11) e r e n t t i m i n g o f d e f a u l t e v e n t . T h a t i s , A s s u m p t i o n 5 i n t h e p r e v i o u s e c t i o n i s r e p l a c e d b y 0 A s s u m p t i o n 5 : T h e (cid:12) r m h a s t w o c l a s s e s o f c l a i m s : ( a ) d i s c o u n t b o n d s w i t h a s i n g l e a t u r i t y T a n d ( b ) t h e r e s i d u a l c l a i m , e q u i t y . T h e (cid:12) r m p r o m i s e s t o p a y t h e f a c e v a l u e o f a c h b o n d ( $ 1 ) a t t h e m a t u r i t y d a t e T . I f t h e (cid:12) r m ’s v a l u e a t T i s n o t g r e a t e r t h a n K ( t h i s e a n s t h a t t h e (cid:12) r m i s n o t a b l e t o p a y a l l o f i t s d e b t ) , t h e (cid:12) r m d e f a u l t s a n d t h e b o n d h o l d e r s i v i d e t h e (cid:12) r m t o r e c o v e r t h e v a l u e o f t h e i r b o n d h o l d i n g s . T h i s a s s u m p t i o n s i m p l i (cid:12) e s t h e m o d e l b e c a u s e t h e p o s s i b l e d e f a u l t t i m e i s n o w g i v e n a t h e r t h a n a s t o c h a s t i c s t o p p i n g t i m e . T h i s a s s u m p t i o n i s s i m i l a r t o t h e o n e m a d e b y e r t o n ( 1 9 7 4 ) . 0 U n d e r A s s u m p t i o n s 5 , t h e p r i c e B ( X ; T ) o f t h e b o n d w i t h a p r o m i s e d (cid:12) n a l p a y m e n t $ 1 t t i m e T i s c h a r a c t e r i z e d b y P D E ( 4 ) s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n a t T = 0 t h a t B ( X ; 0 ) = I + [1 w ( X ) ] I ; (cid:20) X > 1 X 1 (cid:0) (cid:1) h e r e X := V = K i s d e (cid:12) n e d a s b e f o r e a n d I r e p r e s e n t s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n , t h a t i s 1 ; i f s t h i s t r u e , I = s th 8 0 ; o t h e r w i s e : >< 0>: e m m a 1 U n d e r A s s u m p t i o n s 1 - 4 , , a n d 6 - 7 , t h e b o n d p r i c e i s g i v e n b y 5 B ( X ; T ) Q B = e x p ( r T ) E [I + ( 1 w ( X ) ) I ] (cid:20) X > 1 T X 1 T T (cid:0) (cid:0) 8
w o E T c a F L f F T Q Q = e x p ( r T ) e x p ( r T ) E [w ( X ) X 1 ]F ( 1 X ) ; T T T (cid:0) (cid:0) (cid:0) j (cid:20) j Q h e r e r e p r e s e n t s t h e e x p e c t a t i o n u n d e r t h e e q u i v a le n t m a r t i n g a le m e a s u r e c E Q n i n f o r m a t i o n c u r r e n t ly a v a i la b le . U n d e r t h i s m e a s u r e , d X = X = ( r (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + ( (cid:5) 1 ) d Y : 1 (cid:0) (cid:0) q u a t i o n ( 6 ) c a n b e r e w r i t t e n a s : 2 d l n ( X ) = ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + l n ( (cid:5) ) d Y : 1 (cid:0) (cid:0) Q h e e x p r e s s i o n i s d e (cid:12) n e d a s t h e p r o b a b i li t y o f e v e n t c o n F ( (cid:24) X ) X (cid:24) T T j f (cid:20) g Q u r r e n t u n d e r r i s k - a d j u s t e d p r o b a b i li t y m e a s u r e , i . e . , X Q F ( (cid:24) X ) := Q ( X T T j (cid:20) L e m m a 1 i s b a s e d o n a s t a n d a r d r i s k - n e u t r a l i t y a p p r o a c h i n t h e d e r i v a t i v e p t u r e . I t s p r o o f i s p r o v i d e d i n t h e a p p e n d i x . T o e v a l u a t e t h e b o n d p r i c e B , a c r i t i c a l s t e p i s t o c a l c u l a t e t h e d e f a u l t Q ( 1 X ) . W e c a n p r o v e T j Q e m m a 2 T h e p r o b a b i li t y i s g i v e n b y F ( (cid:24) X ) := Q ( X (cid:24) ) T T j (cid:20) 1 2 i l n ( (cid:24) ) l n ( X ) ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T i (cid:22) e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) Q N F ( (cid:24) X ) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) T 2 2 i ! (cid:1) j (cid:27) T + i (cid:27) (cid:25) i= 0 (cid:1) X p P r o o f : S e e A p p e n d i x . O n e c a s e o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t h a t t h e w r i t e d o w n o f a d e f a u l t e d b o n d u n c t i o n o f (cid:12) r m v a l u e u p o n d e f a u l t , t h a t i s w ( X ) = w w X : 0 1 (cid:0) o r t h i s i m p o r t a n t c a s e , w e h a v e h e o r e m 1 I f , t h e n w ( X ) = w w X 0 1 (cid:0) Q ( 1 X ) B ( X ; T ) = e x p ( r T ) 1 w F 0 T (cid:0) f (cid:0) j 2 i ln ( X ) + (cid:22) + (cid:27) (cid:0) i e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) 1 i 2 + w X e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ][1 N ( ) ] ; 1 i i= 0 i i! (cid:27) i (cid:1) (cid:0) g P 9 ( 5 ) o n d i t i o n i n g ( 6 ) ( 7 ) d i t i o n a l o n . (cid:24) X ) j r i c i n g l i t e r p r o b a b i l i t y (cid:25) : ( 8 ) ! i s a l i n e a r ( 9 )
w a F w s j w c r T I T w h e r e 2 (cid:22) = ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T + i (cid:22) ; i (cid:25) (cid:0) (cid:0) n d 2 2 (cid:27) := (cid:27) T + i (cid:27) : i (cid:25) (cid:1) q Q i s t h e p r o b a b i li t y o f d e f a u lt a s g i v e n i n L e m m a 2 . ( 1 X ) T j T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s p r o v i d e d i n t h e a p p e n d i x . T h e c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n o f b o n d p r i c e B ( X ; T ) f o r t h e w r i t e d o w n w ( X X i n v o l v e s n o t h i n g m o r e c o m p l i c a t e d t h a n s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n f u n 1 t r u c t u r e i s s i m i l a r t o t h a t o f E u r o p e a n o p t i o n p r i c e s w h e n t h e u n d e r l y i n g a s s e t p u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . ( S e e M e r t o n ( 1 9 7 6 ) .) W e c a n d e (cid:12) n e t h e r e c o v e r y r a t e o f a d e f a u l t e d b o n d a s q ( X ) = 1 w ( X ) . (cid:0) w X , t h e n q ( X ) = ( 1 w ) + w X = q + q X . I f q < 0 ( i .e ., w > 1 ) , q ( X ) 0 1 0 1 0 1 0 0 (cid:0) (cid:0) a n b e n e g a t i v e . F o r a l i m i t e d - l i a b i l i t y b o n d , a n e g a t i v e v a l u e o f b o n d i s p r e e a s o n a b l e a s s u m p t i o n t o a v o i d a n e g a t i v e v a l u e o f q ( X ) i s t h a t q ( X ) = m a x ( 0 ; q + q X ) : 0 1 h i s i s e q u i v a l e n t t o w ( X ) = m i n ( 1 ; w w X ) : 0 1 (cid:0) 0 t i s e a s y t o s e e t h a t w ( X ) 0 f o r X 0 w h e n e v e r w 0 . 1 (cid:20) (cid:21) (cid:21) h e o r e m 2 A s s u m e . I f b u t , t h w ( X ) = m i n ( 1 ; w w X ) w > 1 w w < 1 0 1 0 0 1 (cid:0) (cid:0) w 1 0 Q Q Q B ( X ; T ) = e x p ( r T ) 1 F ( 1 X ) + ( 1 w ) F ( 1 X ) F X (cid:0) 0 T T T w (cid:0) (cid:0) j (cid:0) j (cid:0) j 1 (cid:26) (cid:20) (cid:18) 1 i e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) 2 + w X e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] (cid:0) 1 i i i ! (cid:1) i= 0 X 2 l n ( X ) + (cid:22) + (cid:27) l n ( ( w 1 ) = w ) l n ( X ) + (cid:22) + i i 0 1 i N N (cid:0) (cid:0) (cid:27) (cid:27) (cid:1) (cid:0) i i ! " Q h e r e , a n d a r e d e (cid:12) n e d a s i n T h e o r e m 1 . (cid:22) (cid:27) F ( : X ) i i T j T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s s i m i l a r t o t h a t o f T h e o r e m 1 . S e e t h e a p p e n d i x 1 0 ) = w 0 (cid:0) c t i o n s . I t s r i c e s f o l l o w I f w ( X ) = = q + q X 0 1 c l u d e d . A e n (cid:19) (cid:21) 2 (cid:27) i ; ( 1 0 ) ! # ) f o r d e t a i l s .
m l l l i w f p l s 3 I c t (cid:12) b t X d w c T h e b o n d p r i c e w i t h t h e l i m i t e d - l i a b i l i t y r e s t r i c t i o n g i v e n i n T h e o r e m 2 i n v o l v e s n o o r e c o m p l i c a t e d m a t h e m a t i c s t h a n t h a t g i v e n i n T h e o r e m 1 f o r t h e b o n d s w i t h o u t l i m i t e d i a b i l i t y r e s t r i c t i o n , e v e n t h o u g h t h e p r i c e f o r m u l a w i t h t h e l i m i t e d - l i a b i l i t y r e s t r i c t i o n l o o k s o n g e r a n d l e s s a t t r a c t i v e . O n e c a n e a s i l y p r o v e t h a t b o n d p r i c e B ( X ; T ) w i t h l i m i t e d c e t e r i s p a r i b u s i a b i l i t y i s h i g h e r t h a n t h a t w i t h o u t l i m i t e d - l i a b i l i t y r e s t r i c t i o n , . T h i s i s v e r y n t u i t i v e , w i t h l i m i t e d l i a b i l i t y , b o n d h o l d e r s d o n o t h a v e t o p a y a n y o n e e l s e e v e n i n t h e o r s t c a s e s . F i g u r e 1 s h o w s t h e e (cid:11) e c t o f l i m i t e d - l i a b i l i t y c o n s t r a i n t o n c r e d i t s p r e a d s . O n e c a n s e e r o m t h e (cid:12) g u r e t h a t t h e i m p a c t o f s u c h a c o n s t r a i n t m a y b e v e r y s m a l l u n d e r r e a s o n a b l e a r a m e t e r v a l u e s . T h i s i s b e c a u s e t h e p r o b a b i l i t y t h a t 1 w b e c o m e s n e g a t i v e i s r e l a t i v e l y (cid:0) o w . F o r t h i s r e a s o n , w e w i l l n o t i m p o s e t h i s c o n s t r a i n t i n s u b s e q u e n t a n a l y s e s s o a s t o i m p l i f y t h e e x p o s i t i o n . O n t h e S o l u t i o n t o t h e G e n e r a l M o d e l n t h i s s e c t i o n , w e c o n s i d e r o u r g e n e r a l m o d e l ( u n d e r A s s u m p t i o n s 1 - 7 ) i n w h i c h a d e f a u l t 8 a n o c c u r a t a n y p o i n t o f t i m e . L e t (cid:28) r e p r e s e n t t h e t i m e w h e n a d e f a u l t o c c u r s . M a t h e m a t i c a l l y , (cid:28) := i n f t X 1 ; t 0 ; t f j (cid:20) (cid:21) g h a t i s , (cid:28) i s t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e f o r X t o c r o s s t h e l o w e r b o u n d 1 . E x p l i c i t s o l u t i o n s f o r t 9 r s t p a s s a g e t i m e s a r e n o t k n o w n , e x c e p t f o r s o m e v e r y s p e c i a l d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . I f a d e f a u l t o c c u r s b e f o r e o r a t t h e m a t u r i t y o f t h e b o n d , i .e ., (cid:28) T , t h e p a y o (cid:11) s t o t h e (cid:20) o n d h o l d e r s w i l l b e a (cid:11) e c t e d b y t h e d e f a u l t . A b o n d w i l l r e c e i v e a v a l u e o f 1 w ( X ) a t (cid:28) (cid:0) h e m a t u r i t y T . I f X i s a c o n t i n u o u s d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s a s i n L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) , w i l l b e a l w a y s e q u a l t o 1 . I f X i s d i s c o n t i n u o u s , X w i l l b e a r a n d o m n u m b e r a n d i t s (cid:28) (cid:28) i s t r i b u t i o n w i l l g e n e r a l l y d e p e n d o n t h e s t o p p i n g t i m e (cid:28) . 8 g e n e r a l m o d e l I n t h e fo llo w in g d is c u s s io n s , a w ill r e fe r t o a m o d e l in w h ic h a d e fa u lt o c c u r s im m e d ia t e ly s im p li(cid:12) e d m o d e l h e n t h e (cid:12) r m ’s v a lu e r e a c h e s a lo w e r b o u n d , w h ile a w ill r e fe r t o a m o d e l in w h ic h a d e fa u lt a n o n ly o c c u r a t t h e m a t u r it y o f t h e b o n d . 9 S e e A b r a h a m s ( 1 9 8 6 ) fo r a s u r v e y o n t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t im e p r o b le m . 1 1
t s a w p f T p w a H U s i n g t h e r e s u l t s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e k n o w t h a t t h e b o n d p r i c e h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( 4 ) 1 2 2 (cid:27) X B + ( r (cid:21) (cid:23) ) X B r B + (cid:21) E [B ( X (cid:5) ; T ) B ( X ; T ) ] X X X t 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) u b j e c t t o B ( X ; 0 ) = I + [1 w ( X ) ]I (cid:20) (cid:28) > T (cid:28) (cid:28) T (cid:0) t T = 0 . A F e y m a n - K a c s o l u t i o n t o t h e a b o v e P D E , s i m i l a r t o L e m m a 1 , c a n b Q B ( X ; T ) = e x p ( r T ) e x p ( r T ) E [w ( X ) I ]; (cid:20) (cid:28) (cid:28) T (cid:0) (cid:0) (cid:0) h e r e Q i s t h e r i s k - a d j u s t e d p r o b a b i l i t y m e a s u r e u n d e r w h i c h X f o l l o w s r o c e s s a s d e s c r i b e d i n e q u a t i o n ( 6 ) . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m p r o v i d e s a t r a c t a b l e w a y t o v a l u i n g t h e b o n r a m e w o r k w h e r e a d e f a u l t c a n o c c u r a t a n y t i m e . h e o r e m 3 A s s u m e . T h e b o n d p r i c e g i v e n i n e q u a t i o n X > 1 B ( X ; T ) r e s s e d a s n (cid:3) Q E [w ( X ) (cid:10) ]Q B ( X ; T ) = e x p ( r T ) e x p ( r T ) l i m i ti ! 1 n j (cid:0) (cid:0) (cid:0) i= 1 X h e r e i t = T ; i n (cid:3) (cid:3) a n d (cid:10) = X 1 X > 1 ; j < i ; i t t i j f (cid:20) 8 g Q = Q ( (cid:10) ) ; i i (cid:3) i s d e (cid:12) n e d r e c u r s i v e ly a s n d m o r e o v e r , X ti (cid:3) X = X ; 0t (cid:3) (cid:3) (cid:0) l n ( X ) l n ( X ) = x + y (cid:25) ; i = 1 ; 2 ; ; n : i i i 1 t ti i (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0) e r e , , a n d a r e m u t u a l ly a n d s e r i a l ly i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b le x y (cid:25) i i i 2 2 x N ( ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T = n ; (cid:27) T = n ) ; i (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:1) 1 2 B = e a d ( ; i s ( X B e x j u i n 1 1 d r ; T ) ; T p r e s m p t h e ) c a a w n s a t i s (cid:12) e s s e d a s ( 1 1 ) d i (cid:11) u s i o n g e n e r a l n b e e x - ( 1 2 ) f r o m
a t s c p a i t d 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; i (cid:25) (cid:25) (cid:24) n d w i t h p r o b . 0 ; 1 (cid:21) T = n (cid:0) (cid:1) y = i 8 w i t h p r o b . 1 ; (cid:21) T = n >< (cid:1) >: B r i e (cid:13) y s p e a k i n g , t h e t h e o r e m h o l d s b e c a u s e i n a v e r y s m a l l t i m e p e r i o d , t h e r e i s n o m o r e h a n o n e j u m p c a n o c c u r a n d t h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s c a n n o t m o v e a l a r g e d i s t a n c e a l m o s t u r e l y . T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s o u t l i n e d i n t h e a p p e n d i x . O n e f e a t u r e o f T h e o r e m 3 i s t h a t t h e w r i t e d o w n w ( X ) i n t h e e v e n t o f d e f a u l t c a n b e a n y o n t i n u o u s f u n c t i o n . A n o t h e r f e a t u r e i s t h a t t h e m o v e m e n t o f X i s g o v e r n e d b y t w o s i m p l e t r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s : n o r m a l d i s t r i b u t i o n s a n d t w o - p o i n t d i s t r i b u t i o n s . I n p a r t i c u l a r , t w o - p o i n t d i s t r i b u t i o n i s g e n e r a l l y m u c h s i m p l e r t h a n a m u l t i - v a l u e d P o i s s o n d i s t r i b u t i o n n b o t h t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l a n a l y s e s . W e n o w d e s c r i b e a s i m p l e M o n t e C a r l o a p p r o a c h t o v a l u i n g B ( X ; T ) b a s e d o n t h e h e o r e m . P r o c e d u r e s t o v a l u i n g t h e b o n d p r i c e B ( X ; T ) : S t e p ( 1 ) . D i v i d e t h e t i m e i n t e r v a l [0 ; T ] i n t o n e q u a l s u b p e r i o d s f o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e (cid:15) n , s a y n = 1 0 0 o r n = 5 0 0 . D e n o t e t := T i = n . i (cid:1) S t e p ( 2 ) . D o M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s b y r e p e a t i n g t h e f o l l o w i n g s u b - p r o c e d u r e s f o r (cid:15) M ( j = 1 ; 2 ; ; M ) t i m e s . T y p i c a l l y , o n e c a n c h o o s e M b e t w e e n 1 0 ,0 0 0 a n d 1 0 0 ,0 0 0 . (cid:1) (cid:1) (cid:1) a ) F o r e a c h j , g e n e r a t e a s e r i e s o f m u t u a l l y a n d s e r i a l l y i n d e p e n d e n t r a n d o m v e c t o r s ( x ; (cid:25) ; y ) f o r i = 1 ; 2 ; n a c c o r d i n g t o d i s t r i b u t i o n s d e s c r i b e d i n T h e o r e m 3 . i i i (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) b ) L e t X = X a n d c a l c u l a t e l n ( X ) o r X a c c o r d i n g t o t h e f o r m u l a 0 t t ti i (cid:3) (cid:3) (cid:0) ) + x + y (cid:25) l n ( X ) = l n ( X i i i 1 t t i i (cid:1) f o r i = 1 ; ; n . (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) 1 0 ) 0 . I f s u c h a n i e x i s t s , l e t c ) F i n d t h e s m a l l e s t i n t e g e r i n s u c h t h a t l n ( X ti (cid:20) (cid:20) (cid:3) ) . O t h e r w i s e , W = 0 . W = w ( X j j ti 1 0 t X M a t h e m a t ic a lly , o b t a in e d in t h is w a y is t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t im e o f t o t h e lo w e r b o u n d 1 in a i t is c r e t iz e d m o d e l. 1 3
r m 4 T d T a v r i r (cid:12) a a s u d o a i M S t e p ( 3 ) . L e t B ( X ; T ) = e x p ( r T ) ( 1 W = M ) . B ( X ; T ) w i l l b e a n u m e r i c a l j j = 1 (cid:15) (cid:0) (cid:0) P s o l u t i o n t o t h e b o n d p r i c e . T h e a b o v e n u m e r i c a l p r o c e d u r e i n v o l v e s n o t h i n g m o r e c o m p l e x t h a n g e n e r a t i n g 3 n M (cid:1) a n d o m n u m b e r s b a s e d o n t h e s i m p l e s t p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s . I t t a k e s o n l y s e v e r a l i n u t e s t o v a l u e a b o n d w i t h , f o r e x a m p l e , a S P A R C 2 0 c o m p u t e r . E m p i r i c a l I m p l i c a t i o n s o f t h e J u m p - D i (cid:11) u s i o n M o d e l h e f o l l o w i n g n u m e r i c a l e x a m p l e s i l l u s t r a t e s o m e o f t h e r i c h i m p l i c a t i o n s o f t h e j u m p i (cid:11) u s i o n m o d e l . F i r s t , w e s h o w t h e e (cid:11) e c t s o f a j u m p c o m p o n e n t o n t h e p r i c i n g o f d e f a u l t - r i s k y b o n d s . o d o t h i s , w e k e e p t h e i n s t a n t a n e o u s v o l a t i l i t y o f (cid:12) r m ’s v a l u e ( V a r ( d l n ( X ) ) = d t ) c o n s t a n t s w e c h a n g e t h e p a r a m e t e r v a l u e s w h i c h g o v e r n t h e r a n d o m c o m p o n e n t s o f d X , s o t h a t t h e a r i a t i o n s i n b o n d p r i c e s a r e t r u l y c a u s e d b y t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e j u m p c o m p o n e n t a t h e r t h a n b y t h e c h a n g e s i n t h e o v e r a l l v o l a t i l i t y o f (cid:12) r m ’s v a l u e . E q u a t i o n ( 7 ) i m p l i e s t h a t 2 2 2 (cid:27) := V a r ( d l n ( X ) ) = d t = (cid:27) + (cid:21) (cid:27) ( 1 3 ) X (cid:25) (cid:1) 2 f (cid:22) = 0 . W e w i l l k e e p (cid:22) = 0 a n d (cid:27) = 0 :0 3 5 i n o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s s o t h a t t h e (cid:25) (cid:25) X e s u l t s s h o w n h e r e a r e r e a l l y d r i v e n b y t h e c h a n g e i n t h e e x t e n t o f \ d i s c o n t i n u i t y " o f t h e r m ’s v a l u e p r o c e s s r a t h e r t h a n b y t h e v a r i a t i o n i n t h e v o l a t i l i t y o f t h e (cid:12) r m ’s v a l u e . A s i s w e l l k n o w n , a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s h a s a c o n t i n u o u s s a m p l e p a t h a n d c a n n o t c r o s s b o u n d a r y f r o m s o m e w h e r e e l s e i n s t a n t a n e o u s l y . T h e r e f o r e , u n d e r a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , i f (cid:12) r m i s n o t c u r r e n t l y i n (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s ( X > 1 ) , i t s p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n g o n v e r y h o r t - t e r m d e b t i s z e r o a n d t h e r e f o r e t h e m a r g i n a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y c u r v e o f t h e (cid:12) r m i s 2 p w a r d - s l o p i n g a t t h e b e g i n n i n g , a s s h o w n i n F i g u r e 2 w i t h (cid:27) = 0 . I n t h e r e a l w o r l d , t h e (cid:25) e f a u l t p r o b a b i l i t i e s o f s h o r t - t e r m b o n d s a r e o f t e n m u c h l a r g e r t h a n z e r o . I f t h e e v o l u t i o n f (cid:12) r m v a l u e f o l l o w s a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , h o w e v e r , t h e s t o r y w i l l b e d i (cid:11) e r e n t . U n d e r j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , a d e f a u l t c a n h a p p e n i n s t a n t a n e o u s l y b e c a u s e o f a s u d d e n d r o p n (cid:12) r m v a l u e . A s a r e s u l t , a j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l c a n g e n e r a t e m a n y d i (cid:11) e r e n t s h a p e s o f 1 4
m a r g i n a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y c u r v e s , i n c l u d i n g u p w a r d - s l o p i n g , d o w n w a r d - s l o p i n g , (cid:13) a t , a n d h u m p - s h a p e d . T h i s v a r i e t y o f s h a p e s i s c o n s i s t e n t w i t h t h o s e i n F o n s ( 1 9 9 4 ) . 1 1 A s f o r c u m u l a t i v e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s , i n a c c o r d a n c e w i t h F i g u r e 2 , F i g u r e 3 s h o w s t h a t h o l d i n g c o n s t a n t t h e v o l a t i l i t y o f X a n d t h e j u m p i n t e n s i t y (cid:21) , a (cid:12) r m w i t h a m o r e 2 v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t ( i .e ., a l a r g e r (cid:27) ) i s m o r e l i k e l y t o d e f a u l t o n i t s s h o r t - m a t u r i t y (cid:25) b o n d s t h a n i s a (cid:12) r m w i t h a m o r e v o l a t i l e d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t . I n t e r e s t i n g l y , F i g u r e 3 a l s o i l l u s t r a t e s t h e r e v e r s e r e l a t i o n a t l o n g e r m a t u r i t i e s . A (cid:12) r m w i t h a m o r e v o l a t i l e d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t i s m o r e l i k e l y t o d e f a u l t o n i t s l o n g - m a t u r i t y b o n d s t h a n i s a (cid:12) r m w i t h a m o r e v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t . B e c a u s e t h i s i s a s u r p r i s i n g r e s u l t , w e n o w o u t l i n e t h e i n t u i t i o n f o r i t . F o r a g i v e n T > 0 w h i c h i s n o t v e r y s m a l l i n m a g n i t u d e , a n i n c r e a s e i n t h e v o l a t i l i t y o f a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s c a n s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t d u r i n g p e r i o d [0 ; T ]. 2 H o w e v e r , f o r a j u m p p r o c e s s , t h e e (cid:11) e c t o n d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f t h e j u m p s i z e v o l a t i l i t y (cid:27) (cid:25) i s l a r g e l y l i m i t e d b y t h e j u m p i n t e n s i t y (cid:21) . I f (cid:21) i s v e r y s m a l l s u c h t h a t (cid:21) T i s a l s o a s m a l l n u m b e r , t h e n t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s a t l e a s t o n e j u m p i n p e r i o d [0 ; T ] i s a p p r o x i m a t e l y 2 (cid:21) T . A s a r e s u l t , n o m a t t e r h o w l a r g e t h e j u m p s i z e v o l a t i l i t y (cid:27) i s , t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t (cid:25) i n p e r i o d [0 ; T ] c a u s e d b y t h e j u m p p r o c e s s i s a l w a y s s m a l l e r t h a n (cid:21) T , e v e n t h o u g h (cid:21) T i s 2 a l r e a d y s m a l l . I n t h i s c a s e , a n i n c r e a s e i n (cid:27) m a i n l y a (cid:11) e c t s t h e r e m a i n i n g v a l u e o f a (cid:12) r m (cid:25) u p o n d e f a u l t a n d h a s a v e r y s m a l l e (cid:11) e c t o n t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y . T h i s i n t u i t i o n i s m a d e m o r e r i g o r o u s i n t h e f o l l o w i n g c o n c r e t e e x a m p l e . C o n s i d e r t w o e x t r e m e X p r o c e s s e s f o r i l l u s t r a t i o n . T h e (cid:12) r s t o n e i s a p u r e d i (cid:11) u s i o n 2 p r o c e s s w i t h t h e v o l a t i l i t y (cid:27) a n d t h e s e c o n d o n e i s a p u r e j u m p p r o c e s s w i t h a s m a l l j u m p 2 i n t e n s i t y (cid:21) a n d a l a r g e v o l a t i l i t y o f j u m p a m p l i t u d e (cid:27) := V a r ( l n ( (cid:5) ) ) . W e a s s u m e t h a t (cid:25) 2 2 (cid:27) = (cid:21) (cid:27) = 0 :0 3 5 , s a m e a s t h e v o l a t i l i t y o f l n ( X ) u s e d i n F i g u r e 3 . (cid:25) (cid:1) D e n o t e F ( T ) a s t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e t o d e f a u l t f o r t h e p u r e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s a n d J ( T ) a s t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e t o d e f a u l t f o r t h e p u r e j u m p p r o c e s s , w h e r e T i s t h e m a t u r i t y t i m e a n d d e f a u l t 1 1 C u m u la t iv e d e fa u lt p r o b a b ilit ie s r e p o r t e d in t h is p a p e r a r e n o t a n n u a liz e d . T h e y a r e c a lc u la t e d u n d e r Q r is k - a d ju s t e d p r o b a b ilit y m e a s u r e . T h e y o ft e n lo o k h ig h e r t h a n d e fa u lt p r o b a b ilit ie s o f r e a l b o n d s u n d e r t h e p h y s ic a l p r o b a b ilit y m e a s u r e . T h is is b e c a u s e t h e d r ift o f a (cid:12) r m ’s v a lu e u n d e r t h e r is k - a d ju s t e d m e a s u r e is s m a lle r t h a n t h e c o r r e s p o n d in g r e a l d r ift u n d e r t h e p h y s ic a l m e a s u r e . 1 5
o c c u r s w h e n e v e r X f a l l s t o o r b e l o w 1 . U s i n g t h e r e s u l t o f H a r r i s o n ( 1 9 9 0 ) , w e h a v e 2 2 2 r l n ( X ) + ( r (cid:27) = 2 ) T l n ( X ) ( r (cid:27) = 2 ) T (cid:0) ( 1 ) 2 (cid:27) F ( T ) = N + X N : ( 1 4 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) p p (cid:0) (cid:0) (cid:27) T (cid:27) T ! ! A s s u m i n g t h a t X = 2 a t t i m e z e r o a n d r = 0 :0 5 a s i n F i g u r e 3 , w e o b t a i n i m m e d i a t e l y t h a t F ( 1 ) = 0 :0 0 0 1 a n d F ( 1 0 ) = 0 :1 1 6 . T h e r e i s n o e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r J ( T ) . H o w e v e r , i n a p u r e j u m p p r o c e s s w i t h a p o s i t i v e 2 d r i f t , d e f a u l t m u s t b e c a u s e d b y j u m p s . A s s u m e t h a t (cid:21) = 0 :0 1 a n d t h a t (cid:27) = 0 :0 3 5 = 0 :0 1 = (cid:25) 3 :5 0 . I f T = 1 , t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f o n e j u m p i n [0 ; T ] i s a b o u t (cid:21) T = 0 :0 1 a n d t h e p r o b a b i l i t y o f t w o o r m o r e j u m p s i n [0 ; T ] i s s m a l l e n o u g h t o i g n o r e . I f a j u m p o c c u r s a t t i m e t < 1 a n d t h e r e a r e n o o t h e r j u m p s b e f o r e t , t h e p r o b a b i l i t y t h a t X f a l l s t o o r b e l o w t 1 i s p N ( l n ( X ) = (cid:27) ) = N ( l n ( 2 ) = 3 :5 ) = 0 :3 6 : (cid:25) (cid:0) (cid:0) A s a r e s u l t , w e h a v e J ( 1 ) 0 :0 1 0 :3 6 = 0 :0 0 3 6 . (cid:25) (cid:2) N o w l e t ’s c o n s i d e r T = 1 0 . T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s n o j u m p i n t h e t i m e i n t e r v a l [0 ; T ] i s e x p ( (cid:21) T ) = e x p ( 0 :0 1 1 0 ) = 0 :9 0 : (cid:0) (cid:0) (cid:2) T h a t i s , t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e a r e o n e o r m o r e j u m p s i n [0 ; T ] i s 1 0 :9 0 = 0 :1 0 . D e n o t e (cid:0) d a s t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f a d e f a u l t i f t h e r e a r e j u m p s . T h e n w e h a v e J ( 1 0 ) = 0 :1 0 d 0 :1 0 : (cid:1) (cid:28) 2 A s a m a t t e r o f f a c t , n o m a t t e r h o w o n e i n c r e a s e s t h e v o l a t i l i t y (cid:27) , J ( 1 0 ) i s a l w a y s m u c h (cid:25) s m a l l e r t h a n 0 .1 0 . F r o m t h e a b o v e e x a m p l e s , w e s e e t h a t J ( 1 ) F ( 1 ) a n d t h a t J ( 1 0 ) F ( 1 0 ) . T h a t i s , (cid:29) (cid:28) a j u m p p r o c e s s i s m o r e l i k e l y t o c a u s e a d e f a u l t o v e r a s h o r t h o r i z o n b u t l e s s l i k e l y t o c a u s e a d e f a u l t o v e r a l o n g h o r i z o n t h a n a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s . S t r a i g h t f o r w a r d l y , u n d e r a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , a (cid:12) r m ’s v a l u e V c a n j u m p b e l o w t h e b o u n d a r y K w i t h o u t h i t t i n g i t . T h i s i m p l i e s t h a t t h e r e m a i n i n g v a l u e o f t h e (cid:12) r m u p o n d e f a u l t i s r a n d o m a n d i s p o s s i b l y l e s s t h a n K . I f V i s s t o c h a s t i c , i t i s v e r y n a t u r a l t h a t t h e r e c o v e r y r a t e o f a d e f a u l t e d b o n d i s a l s o s t o c h a s t i c b e c a u s e w h a t b o n d h o l d e r s r e c o v e r u p o n d e f a u l t d e p e n d s o n t h e r e m a i n i n g v a l u e ( V ) o f t h e (cid:12) r m . W e s e e f r o m F i g u r e 4 t h a t t h e 1 6
v j i r a s u o l I w a j a u u g I d r r t n d i n t t 2 o l a t i l i t y o f w r i t e d o w n i n c r e a s e s w i t h t h e v o l a t i l i t y o f t h e j u m p c o m p o n e n t , (cid:27) . W i t h o u t a (cid:25) u m p c o m p o n e n t , t h e w r i t e d o w n i s d e t e r m i n i s t i c . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e w r i t e d o w n 2 2 s a b o u t 0 :1 5 a s (cid:27) = 0 :2 5 a n d r i s e s t o a b o u t 0 :2 0 w h e n (cid:27) b e c o m e s 0 .5 0 . T h i s r e s u l t (cid:25) (cid:25) e v e a l s a n o t h e r a t t r a c t i v e f e a t u r e o f t h e j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l . T h a t i s , t h e m o d e l p r o v i d e s r e a s o n a b l e e x p l a n a t i o n a b o u t w h y t h e r e c o v e r y r a t e s o f s i m i l a r b o n d s a r e s o v o l a t i l e a n d o u n p r e d i c t a b l e . 2 G e n e r a l l y , t h e l a r g e r t h e j u m p s i z e v o l a t i l i t y (cid:27) i s , t h e f a r t h e r X i s b e l o w 1 o n a v e r a g e (cid:25) p o n d e f a u l t . ( I f X f o l l o w s a p u r e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s t h e n u p o n d e f a u l t , X a l w a y s e q u a l s t o n e .) T h i s i m p l i e s t h a t a v e r a g e w r i t e d o w n s o f b o n d s a r e l a r g e r w h e n t h e j u m p v o l a t i l i t y i s a r g e r . ( R e c a l l t h a t a l o w e r X a t d e f a u l t m e a n s a l o w e r r e c o v e r y r a t e , o r a h i g h e r w r i t e d o w n .) n t h e e x a m p l e s s h o w n i n F i g u r e 5 ( w = 1 :4 a n d w = 1 :0 ) , t h e a v e r a g e w r i t e d o w n i s 0 . 4 0 0 1 2 2 h e n (cid:27) = 0 :0 0 o r t h e r e i s n o j u m p c o m p o n e n t . I t r i s e s t o 0 .5 0 - 0 .5 5 w h e n (cid:27) = 0 :2 5 (cid:25) (cid:25) 2 n d i n c r e a s e s f u r t h e r t o a b o u t 0 .6 5 w h e n (cid:27) = 0 :5 0 . F i g u r e 5 a l s o s h o w s t h a t u n d e r a (cid:25) e x p o s t e x u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , n o t o n l y t h e r e c o v e r y o f a b o n d i s n o t a c o n s t a n t , t h e n t e r e c o v e r y r a t e o f a b o n d i s n o t a c o n s t a n t e i t h e r . B e c a u s e a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i s a l m o s t n l i k e l y t o c a u s e a d e f a u l t i n a s h o r t p e r i o d o f t i m e , t h e d e f a u l t s o f s h o r t - t e r m b o n d s a r e s u a l l y c a u s e d b y t h e j u m p c o m p o n e n t o f t h e d y n a m i c s o f (cid:12) r m v a l u e . A s t h e m a t u r i t y e t s l o n g e r , t h e p r o b a b i l i t y t h a t a d e f a u l t i s c a u s e d b y t h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s b e c o m e s l a r g e r . f a d e f a u l t i s c a u s e d b y t h e d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t , t h e n X = 1 u p o n d e f a u l t ; w h i l e i f a e f a u l t i s c a u s e d b y t h e j u m p c o m p o n e n t , u p o n d e f a u l t , X < 1 w i t h p r o b a b i l i t y o n e . A s a e s u l t , u n d e r a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , s h o r t - m a t u r i t y b o n d s a r e u s u a l l y h a v e l o w e r e x p e c t e d e c o v e r y r a t e s ( h i g h e r e x p e c t e d w r i t e d o w n s ) t h a n a r e l o n g - m a t u r i t y b o n d s . T h e o r e t i c a l l y , d e f a u l t p r o b a b i l i t y a n d e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e u p o n d e f a u l t d e t e r m i n e h e c r e d i t s p r e a d o n a b o n d . A c c o r d i n g t o F i g u r e 2 , u n d e r a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , i f a (cid:12) r m i s o t c u r r e n t l y i n (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s ( X > 1 ) , i t s p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t i n g o n v e r y s h o r t - t e r m e b t i s z e r o a n d t h e r e f o r e , i t s s h o r t - t e r m d e b t s h o u l d h a v e z e r o c r e d i t s p r e a d s , a s s h o w n 2 n F i g u r e 6 w i t h (cid:27) = 0 . T h i s s t r o n g i m p l i c a t i o n o f d i (cid:11) u s i o n m o d e l s f o r c r e d i t s p r e a d s i s (cid:25) o t v a l i d i n t h e r e a l w o r l d . C r e d i t s p r e a d s o n t y p i c a l s h o r t t e r m b o n d s a r e m u c h l a r g e r h a n z e r o . A s m e n t i o n e d b e f o r e , F o n s ( 1 9 9 4 ) a n d S a r i g a n d W a r g a ( 1 9 8 9 ) e v e n (cid:12) n d t h a t h e y i e l d s p r e a d c u r v e s o f c e r t a i n k i n d o f b o n d s ( B B - r a t e d o r B - r a t e d ) a r e r e l a t i v e l y (cid:13) a t o r 1 7
d a w o i s a g c c J t (cid:21) m o t c t s d t d d H v n a ( 1 2 o w n w a r d s l o p i n g . A s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 , t h e s e y i e l d s p r e a d c u r v e s a r e c a p t u r e d b y j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l w i t h n o n - t r i v i a l j u m p c o m p o n e n t s . F i g u r e 6 s h o w s t h a t j u m p r i s k s s i g n i (cid:12) c a n t l y r a i s e c r e d i t s p r e a d s , e s p e c i a l l y f o r b o n d s i t h s h o r t - t o m i d d l e - m a t u r i t i e s , e v e n h o l d i n g c o n s t a n t t h e t o t a l v o l a t i l i t y o f t h e d y n a m i c s f (cid:12) r m v a l u e . F o r e x a m p l e , f o r a t w o - y e a r d i s c o u n t b o n d , t h e a n n u a l i z e d c r e d i t s p r e a d s h o w n 2 = 0 ) . T h e n t h e (cid:12) g u r e i s o n l y s e v e n b a s i s p o i n t s w h e n j u m p c o m p o n e n t d o e s n o t e x i s t ( (cid:27) (cid:25) 2 p r e a d r i s e s t o 3 2 b a s i s p o i n t s a s (cid:27) b e c o m e s 0 .2 5 a n d r i s e s f u r t h e r t o 5 7 b a s i s p o i n t s (cid:25) 2 s (cid:27) r e a c h e s 0 .5 0 . T h i s r e s u l t s u g g e s t s t h a t a m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s (cid:25) o v e r n i n g t h e d y n a m i c s o f (cid:12) r m v a l u e , i .e ., f a l s e l y s p e c i f y i n g a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s a s a o n t i n u o u s B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s , m a y s u b s t a n t i a l l y u n d e r s t a t e t h e c r e d i t s p r e a d s o f o r p o r a t e b o n d s . T h e r e s u l t s h e r e e x p l a i n t h e s t y l i z e d e m p i r i c a l r e g u l a r i t i e s c o n t a i n e d i n 1 3 o n e s , M a s o n , a n d R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) . T h e f r e q u e n c y o f j u m p o c c u r r e n c e s , (cid:21) , i s a n o t h e r i m p o r t a n t p a r a m e t e r i n c h a r a c t e r i z i n g 2 h e j u m p c o m p o n e n t . G i v e n t h e v o l a t i l i t y o f t h e j u m p c o m p o n e n t , (cid:21) (cid:27) , t h e j u m p f r e q u e n c y (cid:25) 2 d e t e r m i n e s h o w \ d i s c o n t i n u o u s " t h e j u m p p r o c e s s (cid:5) d Y i s . A l a r g e r (cid:21) a n d a s m a l l e r (cid:27) (cid:25) e a n t h a t j u m p s o c c u r m o r e f r e q u e n t l y b u t e a c h j u m p m a y c a u s e a s m a l l e r m o v e m e n t . I n 2 t h e r w o r d s , t h e p a t h o f t h e p r o c e s s w i t h a l a r g e r (cid:21) a n d a s m a l l e r (cid:27) l o o k s m o r e \ c o n t i n u o u s " (cid:25) 2 h a n t h a t o f a p r o c e s s w i t h a s m a l l e r (cid:21) b u t a l a r g e r (cid:27) . F i g u r e 7 p l o t s t h e r e l a t i o n b e t w e e n (cid:25) r e d i t s p r e a d s a n d t h e j u m p i n t e n s i t y p a r a m e t e r (cid:21) b a s e d o n a p u r e j u m p p r o c e s s i n w h i c h 2 2 h e i n s t a n t a n e o u s v o l a t i l i t y o f d l n ( X ) r e m a i n s c o n s t a n t , i .e ., (cid:27) = (cid:21) (cid:27) = 0 :0 3 5 . T h e (cid:25) X (cid:1) 1 2 H e lw e g e a n d T u r n e r ( 1 9 9 5 ) a r g u e t h a t c r e d it s p r e a d c u r v e s o f m a n y B - r a t e d b o n d s a r e s t ill u p w a r d lo p in g b a s e d o n a p a r t ic u la r d a t a s a m p le , b u t t h e y c a n n o t r e je c t t h a t s o m e B - r a t e d b o n d s r e a lly h a v e o w n w a r d - s lo p in g c r e d it s p r e a d c u r v e s . M o r e o v e r , n o o n e s u s p e c t s t h a t t h e c r e d it s p r e a d s o f m o s t s h o r t e r m b o n d s a r e n o n z e r o . M e r t o n ’s ( 1 9 7 4 ) m o d e l w h ic h is b a s e d o n a d i(cid:11) u s io n a p p r o a c h c a n g e n e r a t e a o w n w a r d - s lo p in g c r e d it s p r e a d c u r v e o n ly if t h e (cid:12) r m is e x c e p t io n a lly h ig h ly le v e r a g e d , t h a t is , if t h e (cid:12) r m ’s X e b t - r a t io is g r e a t e r t h a n o n e o r in t e r m s o f m y m o d e lin g a s s u m p t io n s , t h e c u r r e n t is s m a lle r t h a n o n e . o w e v e r , a c c o r d in g t o H e lw e g e a n d T u r n e r ( 1 9 9 5 ) , t h e d a t a fr o m S t a n d a r d a n d P o o r ’s o n m e d ia n b o o k a lu e s o f d e b t - t o - c a p it a liz a t io n r a t io s b y r a t in g in d ic a t e t h a t B - r a t e d a n d e v e n m a n y C C C - r a t e d (cid:12) r m s d o o t h a v e d e b t r a t io s g r e a t e r t h a n o n e . 1 3 T h e e m p ir ic a l lit e r a t u r e h a s p r o v id e d v e r y fa v o r a b le e v id e n c e t h a t ju m p s a r e a n im p o r t a n t fe a t u r e o f s s e t r e t u r n s . S e e , fo r e x a m p le , B a t e s ( 1 9 9 6 ) , J o r io n ( 1 9 8 8 ) , K o n ( 1 9 8 4 ) , a n d D a s , F o r e s i, a n d S u n d a r a m 1 9 9 6 ) fo r d e t a ils . 1 8
(cid:12) p o t F m i p 9 v h F o i F w p I b l o t o r 1 g u r e s h o w s a n i n t e r e s t i n g p a t t e r n b e t w e e n c r e d i t s p r e a d s a n d t h e p a r a m e t e r s o f t h e j u m p 2 r o c e s s . T h a t i s , a l a r g e (cid:21) a n d a s m a l l (cid:27) a r e g e n e r a l l y a s s o c i a t e d w i t h l o w c r e d i t s p r e a d s (cid:25) f s h o r t - t e r m b o n d s b u t h i g h c r e d i t s p r e a d s o f l o n g - t e r m b o n d s . T h i s p a t t e r n i s d r i v e n b y h e r e l a t i o n b e t w e e n d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a n d t h e s t r u c t u r e o f j u m p p r o c e s s a s s h o w n i n i g u r e 8 . F i g u r e 8 l o o k s s i m i l a r t o F i g u r e 3 a n d s h o w s t h a t f o r s h o r t - m a t u r i t y b o n d s , t h e o r e c o n t i n u o u s t h e p a t h o f X i s , t h e l o w e r t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a r e . T h i s p h e n o m e n o n s r e v e r s e d a s t h e m a t u r i t i e s o f b o n d s g e t l o n g e r . F i g u r e s 9 , 1 0 , a n d 1 1 i l l u s t r a t e t h e r e l a t i o n s b e t w e e n (cid:12) r m ’s X a n d c r e d i t s p r e a d s , d e f a u l t r o b a b i l i t i e s , a n d e x p e c t e d w r i t e d o w n s , r e s p e c t i v e l y . I t i s n o t s u r p r i s i n g t o s e e f r o m F i g u r e s a n d 1 0 t h a t c r e d i t s p r e a d s a n d d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s d e c r e a s e w i t h X . T h e f a r t h e r i s (cid:12) r m ’s a l u e V f r o m t h r e s h o l d l e v e l K , t h e s m a l l e r i s t h e l i k e l i h o o d o f a d e f a u l t . W h a t i s i n t e r e s t i n g e r e i s t h e n o n - m o n o t o n i c r e l a t i o n b e t w e e n X a n d t h e e x p e c t e d w r i t e d o w n s a s s h o w n i n i g u r e 1 1 . F o r b o n d s w i t h v e r y s h o r t m a t u r i t i e s , a l o w e r X g e n e r a l l y i m p l i e s a h i g h e r w r i t e d o w n r a l o w e r r e c o v e r y r a t e . T h i s i s b e c a u s e a q u i c k d e f a u l t i s g e n e r a l l y c a u s e d b y a j u m p n X . T h e h i g h e r i s X b e f o r e j u m p , t h e h i g h e r i s t h e e x p e c t e d v a l u e o f X a f t e r j u m p . o r b o n d s w i t h m i d d l e m a t u r i t i e s , i f X i s c l o s e t o d e f a u l t t h r e s h o l d v a l u e , 1 , t h e e x p e c t e d r i t e d o w n i s l o w . T h i s i s b e c a u s e a d e f a u l t i n t h i s c a s e i s v e r y l i k e l y c a u s e d b y t h e d i (cid:11) u s i o n a r t o f X a n d t h e r e i s a g o o d c h a n c e t h a t X = 1 ( t h e h i g h e s t v a l u e o f X u p o n d e f a u l t ) . f c u r r e n t X i s s u (cid:14) c i e n t l y f a r a w a y f r o m i t s t h r e s h o l d v a l u e , e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s w i l l e p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h c u r r e n t X . T h i s i s b e c a u s e w h e n t h e c u r r e n t X i s s u (cid:14) c i e n t l y a r g e , t h e d e f a u l t o f t h e (cid:12) r m w i l l b e m a i n l y c a u s e d b y t h e j u m p c o m p o n e n t o f X p r o c e s s v e r t h e m i d d l e h o r i z o n . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e h i g h e r i s X b e f o r e j u m p , t h e h i g h e r i s h e e x p e c t e d v a l u e o f X a f t e r j u m p . B e c a u s e a (cid:12) r m w i t h a h i g h c r e d i t r a t i n g u s u a l l y h a s a l a r g e X b e f o r e d e f a u l t , t h e r e s u l t s f F i g u r e 1 1 m a y e x p l a i n w h y a m o n g v a r i o u s i n v e s t m e n t g r a d e b o n d i s s u e s , t h e r e c o v e r y a t e s o f d e f a u l t e d b o n d s a r e p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h b o n d r a t i n g s b e f o r e d e f a u l t s ( A l t m a n 9 8 9 ) . 1 9
5 T p r L t r a c i r d c c o T A w a d A b T d A p p l i c a t i o n : P r i c i n g C r e d i t D e f a u l t S w a p s h e a b o v e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r m o d e l i n g d e f a u l t r i s k s c a n b e c o n v e n i e n t l y u s e d t o r i c e c r e d i t d e r i v a t i v e s s u c h a s c r e d i t d e f a u l t s w a p s , c r e d i t s p r e a d d e r i v a t i v e s , a n d t o t a l e t u r n s w a p s . A s a n e x a m p l e , w e c o n s i d e r t h e p r i c i n g o f c r e d i t d e f a u l t s w a p s . A p l a i n v a n i l l a c r e d i t d e f a u l t s w a p i n v o l v e s t h e e x c h a n g e o f (cid:13) o a t i n g r a t e p a y m e n t ( s a y , I B O R ) f o r a p a y m e n t c o n t i n g e n t o n d e f a u l t b y a r e f e r e n c e (cid:12) r m . I t i s o f t e n u s e d t o h e d g e h e c r e d i t r i s k a s s o c i a t e d w i t h v a r i o u s (cid:12) n a n c i a l c l a i m s s u c h a s b a n k l o a n o r t r a d e c r e d i t . A s i t i s w e l l k n o w n , t h e c r e d i t r i s k o f a (cid:12) n a n c i a l c l a i m i s u s u a l l y c h a r a c t e r i z e d b y t w o i s k - f a c t o r s : t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y a n d t h e r e c o v e r y r a t e . I n p r a c t i c e , t h e s e c o n d f a c t o r i s t l e a s t a s i m p o r t a n t a s t h e (cid:12) r s t o n e . F o r e x a m p l e , t h e d e f a u l t o f a l a r g e b o r r o w e r m a y o n l y a u s e a s m a l l d r o p i n t h e p r o (cid:12) t o f t h e l e n d i n g b a n k i f t h e b a n k c a n r e c o v e r 9 5 % p e r c e n t o f t s l o a n t o t h i s b o r r o w e r , b u t t h e d e f a u l t m a y c a u s e a d i s a s t e r t o t h e b a n k i f t h e r e c o v e r y a t e i s o n l y 2 0 % . T h e a b i l i t y o f a c r e d i t d e f a u l t s w a p t o h e d g e t h e c r e d i t r i s k o f a c l a i m e p e n d s o n t h e r e l a t i o n , i n t h e e v e n t o f d e f a u l t , b e t w e e n t h e v a l u e o f d e f a u l t e d (cid:12) n a n c i a l l a i m a n d t h e v a l u e o f t h e s w a p ’s c o n t i n g e n t p a y m e n t . O b v i o u s l y , t h e a s s u m p t i o n o f a o n s t a n t r e c o v e r y r a t e i s n o t a b l e t o c a p t u r e t h i s r e l a t i o n . T h a t ’s w h y a n e x p l i c i t m o d e l i n g f t h e r e c o v e r y r a t e i s i n t e r e s t i n g a n d n e c e s s a r y i n m a n y a p p l i c a t i o n s o f c r e d i t r i s k a n a l y s i s . T h e c o n t i n g e n t p a y m e n t o f a c r e d i t d e f a u l t s w a p c a n t a k e o n s e v e r a l p o s s i b l e f o r m s . h e c r e d i t d e f a u l t s w a p p r i c i n g i s s u e i s v i r t u a l l y a n i s s u e o f v a l u i n g c o n t i n g e n t p a y m e n t s . 1 4 s s u m e t h a t t h e p a y m e n t c o n t i n g e n t o n d e f a u l t o f a b o n d i s G ( X ) m a d e a t t i m e T , (cid:28) s h e r e (cid:28) i s t h e t i m e o f d e f a u l t a n d T i s t h e m a t u r i t y t i m e o f t h e s w a p ( (cid:28) T ) . T w o s s (cid:20) p p r o a c h e s c a n t h e n b e u s e d t o v a l u e t h i s p a y m e n t . T h e (cid:12) r s t a p p r o a c h v a l u e s t h e p a y m e n t i r e c t l y b y u s i n g t h e v a l u a t i o n f r a m e w o r k e s t a b l i s h e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s . D e n o t e ( X ; T ) a s t h e p r e s e n t v a l u e o f c o n t i n g e n t p a y m e n t G ( X ) . A ( X ; T ) c a n b e d e t e r m i n e d s (cid:28) s y P D E ( 4 ) w i t h t h e f o l l o w i n g t e r m i n a l c o n d i t i o n a t T = 0 : s A ( X ; 0 ) = G ( X ) I : (cid:20) (cid:28) T s (cid:1) h e o r e m 4 A s s u m e t h a t . S u p p o s e t h a t t h e b o n d d e f a u lt s i m m e d i a t e ly a t t i m e X > 1 (cid:28) 1 4 T h is a s s u m p t io n is m a d e t o le t u s a p p ly t h e p r e v io u s fr a m e w o r k m o r e s t r a ig h t fo r w a r d ly . T h e r e is n o (cid:28) i(cid:14) c u lt t o p r ic e t h e s w a p if o n e a s s u m e s t h a t t h e c o n t in g e n t p a y m e n t is m a d e a t t im e . 2 0
w w a x a d h e n . F o r a n y c o n t i n u o u s f u n c t i o n , w e h a v e X 1 G ( X ) (cid:28) (cid:20) n (cid:3) Q A ( X ; T ) = e x p ( r T ) l i m E [G ( X ) (cid:10) s s ti ! 1 n (cid:0) j i= 1 X h e r e i t = T ; i s n (cid:3) (cid:3) a n d (cid:10) = X 1 X > 1 ; j < i t t i j f (cid:20) 8 Q = Q ( (cid:10) ) ; i i (cid:3) n d m o r e o v e r , i s d e (cid:12) n e d r e c u r s i v e ly a s X ti (cid:3) = X ; X 0t (cid:3) (cid:3) (cid:0) l n ( X ) l n ( X ) = x + y (cid:25) : i i i 1 t t i i (cid:0) (cid:1) , , a n d a r e m u t u a l ly a n d s e r i a l ly i n d e p e n d e n t r a n d o m v y (cid:25) i i i 2 2 x N ( ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T = n ; (cid:27) T = i s s (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; i (cid:25) (cid:25) (cid:24) n d w i t h p r o b . 0 ; 1 (cid:21) T = n s (cid:0) (cid:1) y = i 8 w i t h p r o b . 1 ; (cid:21) T = n > s < (cid:1) > I n p a r t i c u la r , i f i s a c o n s t a n t , t h e n G ( X ) = g : n A ( X ; T ) = e x p ( r T ) g l i m Q ; s s i ! 1 n (cid:0) (cid:1) i= 1 X P r o o f : S e e A p p e n d i x . T h e s w a p p r i c e A ( X ; T ) c a n b e e v a l u a t e d e a s i l y b y t h e s e s c r i b e d a f t e r T h e o r e m 3 . 2 1 ] Q i (cid:1) i ; g a r i a n ) ; s a m b ; i le e s n d u r m a w e r n i c f a r l o m m e t h o ( ( d 1 1 5 6 a ) ) s
6 W a w c ( i (cid:12) n t p b w i v f E x t e n s i o n : S t o c h a s t i c I n t e r e s t R a t e s e a s s u m e d c o n s t a n t r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e s e a r l i e r . W e n o w r e l a x t h i s a s s u m p t i o n b y s s u m i n g t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e s f o l l o w a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s : A s s u m p t i o n 7 : T h e d y n a m i c s o f s h o r t - t e r m r i s k f r e e r a t e s r a r e g i v e n b y d r = ( (cid:16) (cid:12) r ) d t + (cid:17) d Z ; ( 1 7 ) 2 (cid:0) h e r e (cid:16) , (cid:12) , a n d (cid:17) a r e c o n s t a n t s a n d d Z i s a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n . T h e i n s t a n t a n e o u s 2 o r r e l a t i o n b e t w e e n d Z i n A s s u m p t i o n 1 a n d d Z i s (cid:26) d t . d Z i s i n d e p e n d e n t o f d Y a n d (cid:5) . 1 2 2 T h i s a s s u m p t i o n a b o u t t h e s h o r t - t e r m i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s i s p r o p o s e d b y V a s i c e k 1 9 7 7 ) i n h i s w e l l - k n o w n t e r m s t r u c t u r e m o d e l . I t i s a s t r a i g h t f o r w a r d e x e r c i s e t o u s e o t h e r n t e r e s t r a t e p r o c e s s e s l i k e C o x , I n g e r s o l l , R o s s ( C I R 1 9 8 5 ) . T h e e (cid:11) e c t o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s a n d t h e c h a n g e s i n r m ’s v a l u e o n c r e d i t s p r e a d s w a s (cid:12) r s t i n v e s t i g a t e d b y L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) . W e o w s t u d y t h i s i s s u e i n a m o r e g e n e r a l e c o n o m i c m o d e l . A s a n e x a m p l e , w e w i l l e x t e n d h e r e s u l t o f T h e o r e m 3 t o a s e t u p w i t h s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e s . A l l o t h e r r e s u l t s i n t h e r e v i o u s s e c t i o n s c a n b e e x t e n d e d s i m i l a r l y . U n d e r A s s u m p t i o n 7 , t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( 4 ) f o r b o n d p r i c e B ( X ; r ; T ) c a n e r e w r i t t e n a s : 1 1 2 2 2 (cid:27) X B + (cid:26) (cid:27) (cid:17) X B + (cid:17) B + ( r (cid:21) (cid:23) ) X B X X X r r r X 2 2 (cid:0) r B + ( (cid:11) (cid:12) r ) H + (cid:21) E [B ( X (cid:5) ; r ; T ) B ( X ; r ; T ) ] = B ; ( 1 8 ) r t T (cid:0) (cid:0) (cid:0) h e r e (cid:11) r e p r e s e n t s t h e s u m o f p a r a m e t e r (cid:16) a n d a c o n s t a n t r e p r e s e n t i n g t h e m a r k e t p r i c e o f n t e r e s t r a t e r i s k . S u p p o s e t h a t A s s u m p t i o n 5 i s e (cid:11) e c t i v e . T h a t i s , t h e (cid:12) r m d e f a u l t s i m m e d i a t e l y w h e n i t s a l u e V f a l l s t o o r b e l o w t h e t h r e s h o l d l e v e l K ( X 1 ) . T h e n B ( X ; r ; T ) w i l l s a t i s f y t h e (cid:20) o l l o w i n g c o n d i t i o n a t T = 0 : B ( X ; r ; 0 ) = I + [1 w ( X ) ]I : (cid:20) (cid:28) > T (cid:28) (cid:28) T (cid:0) S i m i l a r t o L e m m a 1 , a F e y m a n - K a c s o l u t i o n t o t h e P D E c a n b e e x p r e s s e d a s : T Q B ( X ; r ; T ) = E [e x p ( r d t ) ( I + ( 1 w ( X ) ) I ) ]; ( 1 9 ) (cid:20) (cid:28) > T (cid:28) (cid:28) T (cid:0) (cid:0) 0 Z 2 2
w l T T a a h e r e Q T h e b o w i n g t h h e o r e m . T h e b B w h e r e n d m o r e H e r e n d i s t o n e o r 5 o n d ( X o v e , x i h e r i s k d p r i c e e m . D e n o p r i c e ; r ; T ) (cid:3) r , X ti , , y (cid:14) i i (cid:14) i 2 x i 6 4 - a d j u s t e d p r o b a b i l i t y m e a s u r e u n d e r w h i c h 2 (cid:27) d l n ( X ) = ( r (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + l n ( (cid:5) ) d Y ; 1 2 (cid:0) (cid:0) d r = ( (cid:11) (cid:12) r ) d t + (cid:17) d Z : 2 (cid:0) (cid:1) f o r m u l a g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 9 ) c a n b e e v a l u a t e d a c t e a s t h e p r i c e o f t h e r i s k f r e e d i s c o u n t b o n d w h D ( r ; T ) g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 9 ) c a n t h e n b e e x p r e s s B ( X ; r ; T ) n n (cid:3) (cid:3) Q = D ( r ; T ) l i m E [e x p ( r T = n ) w ( X t t j i ! 1 n (cid:0) (cid:0) (cid:1) i= 0 j = 0 X X i t = T ; i n (cid:3) a n d (cid:10) = X 1 X > 1 ; j < i ; i tj ti f (cid:20) 8 g Q = Q ( (cid:10) ) ; i i (cid:3) a n d a r e d e (cid:12) n e d r e c u r s i v e ly a s r ti (cid:3) = r ; r 0t (cid:3) = X ; X 0t (cid:3) (cid:3) (cid:0) r r = (cid:14) : i 1 t t i i (cid:0) (cid:3) (cid:3) (cid:0) l n ( X ) l n ( X ) = x + y (cid:25) : i i i 1 t t i i (cid:0) (cid:1) a n d a r e r a n d o m v a r i a b le s d r a w n f r o m (cid:25) i (cid:3) 2 (cid:0) (cid:17) (cid:26) (cid:27) (cid:17) (cid:11) (cid:12) r 1 T ti (cid:0) (cid:1) ; N 3 2 3 3 0 2 (cid:3) 2 2 n (cid:24) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) (cid:26) (cid:27) (cid:17) (cid:27) r 1 ti (cid:0) (cid:0) 7 6 7 7 B 6 5 4 5 5 @ 4 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; i (cid:25) (cid:25) (cid:24) w i t h p r o b . 0 ; 1 (cid:21) T = n (cid:0) (cid:1) y = i 8 w i t h p r o b . 1 ; (cid:21) T = n >< (cid:1) >: 2 3 c o i c e d ) ) T n r d i n h p a a s (cid:10) ] i j ; 1 C A g y (cid:1) s Q t o $ 1 ; i t h a t e ( 2 0 ( 2 1 f o t i m ( 2 2 ) ) l e )
w t p b i o w i a t i 7 T a f m i I n t h e V a s i c e k t e r m s t r u c t u r e m o d e l, t h e r i s k f r e e b o n d p r i c e i s g i v e n b y D ( r ; T ) D ( r ; T ) = e x p ( a ( T ) b ( T ) r ) ; ( 2 3 ) (cid:0) h e r e 2 2 (cid:11) (cid:11) (cid:17) (cid:17) T + ( e x p ( (cid:12) T ) 1 ) a ( T ) = 2 3 2 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ! ! 2 (cid:17) ( e x p ( 2 (cid:12) T ) 1 ) 3 4 (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ! 1 e x p ( (cid:12) T ) b ( T ) = : (cid:0) (cid:0) (cid:12) T h e i n t u i t i o n o f t h i s t h e o r e m i s s i m i l a r t o t h a t o f T h e o r e m 3 . I t s p r o o f i s o u t l i n e d i n h e a p p e n d i x . O n e c a n f o l l o w p r o c e d u r e s s i m i l a r t o t h o s e d e s c r i b e d a f t e r T h e o r e m 3 t o e v a l u a t e b o n d r i c e B ( X ; r ; T ) n u m e r i c a l l y . F i g u r e 1 2 g r a p h s t h e r e l a t i o n b e t w e e n c r e d i t s p r e a d s a n d t h e c o r r e l a t i o n c o e (cid:14) c i e n t e t w e e n t h e d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t o f t h e c h a n g e s i n (cid:12) r m ’s v a l u e a n d c h a n g e s i n s h o r t - t e r m n t e r e s t r a t e . S i m i l a r t o t h e r e s u l t s r e p o r t e d b y L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) , t h e i m p a c t f t h e c o r r e l a t i o n c o e (cid:14) c i e n t (cid:26) i s s i g n i (cid:12) c a n t . T h e r e a s o n w h y t h e c r e d i t s p r e a d i n c r e a s e s i t h (cid:26) i s t h a t t h e r i s k - n e u t r a l d i s t r i b u t i o n o f f u t u r e v a l u e s o f X d e p e n d s o n t h e m o v e m e n t s n r . T h u s , t h e v a r i a n c e o f c h a n g e s i n X d e p e n d s o n t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n c h a n g e s i n X n d c h a n g e s i n s h o r t - t e r m i n t e r e s t r a t e . W h e n (cid:26) i s p o s i t i v e , t h e c o v a r i a n c e t e r m a d d s t o t h e o t a l v a r i a n c e o f c h a n g e s i n X u n d e r t h e r i s k - a d j u s t e d p r o b a b i l i t y m e a s u r e , a n d t h e r e f o r e n c r e a s e s t h e p r o b a b i l i t y o f a d e f a u l t , a s s h o w n i n F i g u r e 1 3 . C o n c l u d i n g r e m a r k s h i s p a p e r d e v e l o p s a t r a c t a b l e y e t t h e o r e t i c a l l y r i g o r o u s f r a m e w o r k f o r v a l u i n g r i s k y d e b t n d c r e d i t d e r i v a t i v e s t h a t i n c o r p o r a t e s b o t h d e f a u l t r i s k a n d i n t e r e s t r a t e r i s k a n d a l l o w s o r b o t h a c o n t i n u o u s c o m p o n e n t a n d a j u m p c o m p o n e n t i n t h e e v o l u t i o n o f (cid:12) r m v a l u e . T h e p a p e r h a s a n u m b e r o f i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s . I t s h o w s t h a t t h e s t r u c t u r a l p r i c i n g o d e l w i t h b o t h a j u m p c o m p o n e n t a n d a c o n t i n u o u s c o m p o n e n t i s m u c h r i c h e r i n g e n e r a t n g v a r i o u s s h a p e s o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s t h a n a r e o t h e r s t r u c t u r a l m o d e l s 2 4
a d t a p m t m b f c t (cid:13) c e n d t h a t a j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l c a n e x p l a i n a n u m b e r o f e m p i r i c a l r e g u l a r i t i e s r e g a r d i n g e f a u l t p r o b a b i l i t i e s , r e c o v e r y r a t e s , a n d c r e d i t s p r e a d s w h i c h a r e n o t c a p t u r e d b y t r a d i i o n a l d i (cid:11) u s i o n m o d e l s . I t a l s o p r o v i d e s a s i m p l e i n t e g r a t e d f r a m e w o r k i n w h i c h e x p e c t e d n d u n e x p e c t e d d e f a u l t s c a n c o e x i s t . T h e r e s u l t s o f t h i s p a p e r s u g g e s t t h a t b o t h d i (cid:11) u s i o n r o c e s s a n d j u m p p r o c e s s a r e p o t e n t i a l l y i m p o r t a n t c o m p o n e n t s f o r a s t r u c t u r a l v a l u a t i o n o d e l f o r c o r p o r a t e d e b t . T h e v a l u a t i o n f r a m e w o r k o f t h e p a p e r c a n b e e a s i l y e x t e n d e d t o a l l o w f o r m o r e i n s t i u t i o n a l d e t a i l s s u c h a s (cid:13) o a t i n g r a t e c o u p o n p a y m e n t s a n d b o n d i n d e n t u r e p r o v i s i o n t h a t a y r e q u i r e a (cid:12) r m r e p a y i t s l e n d e r s r e c o v e r e d v a l u e s a t d e f a u l t t i m e (cid:28) i f a d e f a u l t o c c u r s e f o r e t h e m a t u r i t y o f t h e b o n d . M o s t s t r u c t u r a l a p p r o a c h e s t o m o d e l i n g c o r p o r a t e d e b t d o n o t p r o v i d e p r a c t i c a l t o o l s o r v a l u i n g r e a l i s t i c t y p e s o f d e f a u l t - r i s k y s e c u r i t i e s , e v e n t h o u g h t h e y m a y p r o v i d e u s e f u l o n c e p t u a l i n s i g h t s o n c r e d i t r i s k . O u r m o d e l c a n b e e a s i l y a p p l i e d t o v a l u i n g v a r i o u s y p e s o f c o r p o r a t e d e b t s e c u r i t i e s a n d e v e n c r e d i t d e r i v a t i v e s . T h e m o d e l n o t o n l y h a s t h e e x i b i l i t y o f t h e r e d u c e d - f o r m a p p r o a c h f o r c a p t u r i n g t h e b a s i c f e a t u r e s o f t h e o b s e r e v d r e d i t s p r e a d s b u t a l s o p r o v i d e s t h e c o n c e p t u a l i n s i g h t s o n t h e m e c h a n i s m b e h i n d d e f a u l t v e n t s o f t h e t r a d i t i o n a l s t r u c t u r a l a p p r o a c h . 2 5
8 T a T A L A h i s a p P r o r g u m e h e l e m P r o L e t t e d i o Q F T e m m p p e n d i x p e n d i x o u t l i n e s t h e p r o o f s o f t h e t h e o r e m s p r e s e n t e d i n t h e t e x t . o f o f L e m m a 1 : T h e p r o o f i s s t r a i g h t f o r w a r d . F r o m a s t a n d a r d n t , w e k n o w t h a t Q B ( X ; T ) = e x p ( r T ) E [I + ( 1 w ( X ) ) I ]: (cid:20) X > 1 T X 1 T T (cid:0) (cid:0) m a f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e e q u a l i t y I + I = 1 : (cid:20) X > 1 X 1 T T o f o f L e m m a 2 : B y t h e d e (cid:12) n i t i o n , Q F ( (cid:24) X ) := Q ( X (cid:24) X ) = Q ( l n ( X ) l n ( (cid:24) ) X ) : T T T j (cid:20) j (cid:20) j Y b e t h e t o t a l n u m b e r o f j u m p s f r o m t i m e 0 t o t i m e T . W e h a v e T 2 2 l n ( X ) ( X ; Y = i ) N ( l n ( X ) + ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T + i (cid:22) ; (cid:27) T + T T (cid:25) j (cid:24) (cid:0) (cid:0) u s c a l c u l a t i o n y i e l d s ( (cid:24) X ) = Q ( l n ( X ) l n ( (cid:24) ) l n ( X ) ) T j (cid:20) j 1 = Q ( Y = i ) Q ( l n ( X ) l n ( (cid:24) ) X ; Y = i ) T T T (cid:1) (cid:20) j i= 0 X 1 2 i l n ( (cid:24) ) l n ( X ) ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) N = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 i ! (cid:1) (cid:27) T + i (cid:27) (cid:25) i= 0 (cid:1) X p 2 a 3 A s s u m e . W e h a v e l n ( x ) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) x x (cid:24) E [x a < l n ( x ) b ]P r o b ( a < l n ( x ) b ) j (cid:20) (cid:20) b d z 2 = e x p [(cid:22) + (cid:27) z ] e x p ( z = 2 ) x x p (cid:0) ln ( x ) = a 2 (cid:25) Z 2 2 b (cid:22) (cid:27) a (cid:22) (cid:27) x x x x 2 = e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] N N (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:27) (cid:27) (cid:0) x x " ! ! 2 6 r i (cid:27) ) T # i s 2 (cid:25) (cid:0) : k ) - n : i (cid:22) e u (cid:25) t ! r a ( :( ( l i t 2 4 2 5 2 6 y ) ) )
f b a w P r o o l l o w s e c a u s e P r o T o (cid:12) D e (cid:12) n d h e r e Y o d o B n n T f o i r e c f o ( X i s h e i s f L t l y f T ; T t h t h e e m m a 3 : L e t l n ( x ) = (cid:22) + (cid:27) z , w h e r e z N ( 0 ; 1 ) . x x (cid:1) (cid:24) f r o m t h e d e (cid:12) n i t i o n o f c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s . T h e s e c b d z 2 e x p [(cid:22) + (cid:27) z ] e x p ( z = 2 ) x x p (cid:0) ln ( x ) = a 2 (cid:25) Z b d z 2 = e x p [(cid:22) ] e x p [(cid:27) z z = 2 ] x x p (cid:0) ln ( x ) = a 2 (cid:25) Z b d z 2 2 = e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] e x p [ ( z (cid:27) ) = 2 ] x x x p (cid:0) (cid:0) ln ( x ) = a 2 (cid:25) Z (cid:0) ( b (cid:22) ) = (cid:27) x x d z 2 2 = e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] e x p [ ( z (cid:27) ) = 2 ] x x x p (cid:0) (cid:0) (cid:0) z = ( a (cid:22) ) = (cid:27) x x 2 (cid:25) Z 2 (cid:0) (cid:0) ( b (cid:22) (cid:27) ) = (cid:27) x x x d z 2 2 = e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] e x p ( z = 2 ) x x 2 p (cid:0) (cid:0) (cid:0) z = ( a (cid:22) (cid:27) ) = (cid:27) x x 2 (cid:25) x Z 2 b (cid:22) (cid:27) a (cid:22) (cid:27) x x x 2 N = e x p [(cid:22) + (cid:27) = 2 ] N (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:27) (cid:27) (cid:0) x x " ! h e o r e m 1 : B y L e m m a 1 , i f w ( X ) = w w X , t h e n 0 1 (cid:0) Q Q ) = e x p ( r T ) 1 E [w ( X ) X 1 ]F ( 1 X ) T T T (cid:0) f (cid:0) j (cid:20) j g Q Q = e x p ( r T ) 1 w F ( 1 X ) + w E ( X X 1 ) 0 1 T T T (cid:0) f (cid:0) j (cid:1) j (cid:20) e p r o o f , w e o n l y n e e d t o c a l c u l a t e Q Q E ( X X 1 ) F ( 1 X ) : T T T j (cid:20) j Q Q ( 1 X ) h := E ( X X 1 ) F T T T j (cid:20) j Q h = E ( X X 1 ; Y = i ) Q ( X 1 Y = i ; X ) ; i T T T T T j (cid:20) (cid:20) j t o t a l n u m b e r o f j u m p s f r o m t i m e 0 t o t i m e T . W e h a v e 1 h = Q ( Y = i ) h T i i= 0 X 1 i e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) = h : (cid:0) i i ! i= 0 X 2 7 T o n 2 x ! Q F T h d e (cid:12) e q : # ( 1 X j r u s a ) t l g e i t : q y u h a o ( ( l i t l d 2 7 2 8 y s ) )
1 i e , m v p a U P T l U T P l u i E s r h e s h r a i n g t h e o o f o f B ( X e a s s u m s t h a t i n g e q u Q [q ( X T Q = E (cid:20) = q 0 (cid:1) (cid:20) Q E X (cid:20) = q 0 (cid:1) (cid:20) e x p [(cid:22) (cid:1) e o r e m o o f o f t i n g e x E r e s u l t s o f e q u a t i o n ( 2 4 ) 2 h = X e x p [( r (cid:27) = 2 i (cid:0) l n ( X ) + ( r N (cid:0) T h e o r e m 2 : D e n o t e q ( X ; T ) = e x p ( r T ) 1 (cid:0) f (cid:0) = e x p ( r T ) 1 (cid:0) f (cid:0) = e x p ( r T ) 1 (cid:0) f (cid:0) p t i o n w ( X ) = m i n ( 1 ; w 0 q + 0 q ( X ) = T 8 0 ; >< a t i o n ( 2 4 ) a n d L e m m a 3 >: Q ) X 1 ]F ( 1 X ) T T j (cid:20) j q 0 q + q X < X 0 1 T T q j (cid:0) (cid:20) 1 q 0 Q Q F ( 1 X ) F ( X ) T T q j (cid:0) (cid:0) j 1 (cid:21) q 0 l n < l n ( X ) T T q j (cid:0) (cid:20) 1 (cid:18) (cid:19) q 0 Q Q X F ( 1 X ) F T T q j j (cid:0) (cid:0) 1 (cid:19) (cid:18) l n ( X ) + 2 + (cid:27) = 2 ] N i i (cid:1) " 2 f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h T h e o r e m 3 : D i v i d i n g p e c t e d v a l u e s o n t h e r i g h n Q Q [w ( X ) I ] = E (cid:20) (cid:28) (cid:28) T i= 1 X a n d L e m m a 3 , w e o b t a i n 2 2 (cid:21) (cid:23) ) T + i (cid:22) + ( (cid:27) T + i (cid:27) ) = 2 ] (cid:25) (cid:25) (cid:0) (cid:1) 2 2 2 (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T + i (cid:22) + ( (cid:27) T + i (cid:27) ) (cid:25) (cid:25) : (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:27) T + i (cid:27) ! (cid:25) p ) = 1 w ( X ) , q = 1 w , a n d q = w . B y 0 0 1 1 (cid:0) (cid:0) Q Q E [w ( X ) X 1 ] F ( 1 X ) T T T j (cid:20) (cid:1) j g Q Q E [1 q ( X ) X 1 ] F ( 1 X ) T T T (cid:0) j (cid:20) (cid:1) j g Q Q Q F ( 1 X ) + E [q ( X ) X 1 ] F ( 1 X ) : T T T T j j (cid:20) (cid:1) j g w X ) f o r 0 < X 1 t o g e t h e r w i t h q ( X ) = 1 (cid:0) (cid:20) q X ; i f q = q < X 1 , 1 T 0 1 T (cid:0) (cid:20) i f 0 < X q = q . T 0 1 (cid:20) (cid:0) , w e h a v e i m m e d i a t e l y q 0 1 Q < X 1 X T q (cid:1) (cid:0) (cid:20) j 1 (cid:21) (cid:20) (cid:21) 1 + q Q ( Y = i ) 1 T (cid:1) i= 0 X q 0 0 ; Y = i Q l n < l n ( X ) 0 Y T T T q (cid:1) (cid:0) (cid:20) j 1 (cid:21) (cid:20) (cid:18) (cid:19) 1 i e x p ( (cid:21) T ) ( (cid:21) T ) + q X (cid:0) 1 i ! i= 0 (cid:21) X 0 q 2 2 (cid:22) + (cid:27) l n ( ) i l n ( X ) + (cid:22) + (cid:27) i 1 q i i (cid:0) (cid:0) N (cid:27) (cid:27) (cid:0) i i ! ! e a b o v e r e s u l t . t h e t i m e i n t e r v a l [0 ; T ] i n t o n e q u a l s u b p e r t h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 1 1 ) g i v e s [w ( X ) t < (cid:28) t ] Q ( t (cid:28) < t ) ; (cid:0) (cid:0) (cid:28) i 1 i i 1 i j (cid:20) (cid:1) (cid:20) 2 8 L 1 (cid:0) = # i o e m w i ; : d s m a ( 2 9 ) ( X ) ( 3 0 ) X (cid:21) a n d ( 3 1 )
a I w a a w T n t h n n h h D d i s O e r d A d e r A e e n o t e e a s y t n t h e e c c o r d (cid:3) e X , ti s a r e t h e o r e o o i n (cid:10) s u m s h E t h g i l t t ^(cid:10) := X 1 a n d X > 1 ; j < i t t i j f (cid:20) ^ ^ Q := Q ( (cid:10) ) : i i o w t h a t ^ Q ( t (cid:28) < t ) = Q + o ( T = n ) ; (cid:0)i 1 i i (cid:20) Q Q [w ( X ) t < (cid:28) t ] = E [w ( X ) t (cid:0) (cid:0) (cid:28) i 1 i t i 1 i j (cid:20) j (cid:20) Q ^ = E [w ( X ) (cid:10) ] + t i i j e r h a n d , e q u a t i o n ( 7 ) i m p l i e s t h a t (cid:20) i (cid:0) l n ( X ) l n ( X ) = x + (cid:25) 1 t t i i i (cid:0) j = 0 X 2 2 x N ( ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T = n ; (cid:27) T i (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; ij (cid:25) (cid:25) (cid:24) (cid:0) (cid:1) e x p ( (cid:21) T = n ) k k (cid:20) = k ; w i t h p r o b . (cid:21) ( T = n ) i k ! (cid:1) (cid:1) (cid:3) t o t h e d e (cid:12) n i t i o n s o f X a n d Q , w e h a v e i ti ^ Q = Q + o ( T = n ) i i (cid:3) Q Q ^ E [w ( X ) (cid:10) ] = E [w ( X ) (cid:10) ] + t i i i ti j j a n d Q a r e d e (cid:12) n e d a s b e f o r e . i , w e o b t a i n f r o m e q u a t i o n ( 3 1 ) n (cid:3) Q Q ) E [w ( X ) I ] = l i m E [w ( X (cid:20) (cid:28) (cid:28) T ti ! 1 n i= 1 X h e n e s t a b l i s h e s i m m e d i a t e l y . 2 9 i ) g (cid:28) < O ( T = ; ij = n ) ; , k = o ( 1 ) ; (cid:10) ] i j (cid:1) t ] + i n ) : 0 ; 1 Q : i ; O (cid:1) (cid:1) ( (cid:1) T : = n ) ( ( ( ( 3 3 3 3 2 3 4 5 ) ) ) )
s U i w m s a i m P p n I P U g f e r o o f o i s G ( X t h e s a G ( X ) r o o f o B ( X s i n g t h d i a t e l y f (cid:28) m = f ; e . T h e o r ) I , (cid:20) (cid:28) T s e m e t h A ( g , o n e T h e o r r ; T ) s a m e e m w e o d X ; h a A e m = = = m e T s ( t 4 : S i n c h a v e A ( X ; T a s i n t h ) = e x s X ; T ) s 5 : W e Q E [e x p Q E [e x p D ( r ; T ) h o d a s e t h e c o n t i n g e n t p a y o (cid:11) Q ) = e x p ( r T ) E [G ( X s s (cid:0) e p r o o f o f T h e o r e m 3 , o n Q p ( r T ) l i m E [G ( s ! 1 n (cid:0) i= 1 X n = e x p ( r T ) l i m s ! 1 n (cid:0) i= 1 X n = e x p ( r T ) l i m s ! 1 n (cid:0) i= 1 X k n o w t h a t T ( r d t ) I + e x p ( (cid:28) > T (cid:0) (cid:0) 0 Z T Q ( r d t ) ] E [e x p ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 Z T Q E [e x p ( r d t ) w ( (cid:0) (cid:0) 0 Z i n t h e p r o o f o f T h e o r e 3 0 a t m a t u r i t y T o f s ) I ]: (cid:20) (cid:28) (cid:28) T s n e o b t a i n s i m m e d (cid:3) X ) (cid:10) ] Q : i i ti j (cid:1) Q E [g (cid:10) ] Q i i j (cid:1) g Q : i (cid:1) T r d t ) ( 1 w ( X (cid:0) 0 Z T r d t ) w ( X ) I (cid:28) (cid:28) 0 Z X ) I ]: (cid:20) (cid:28) (cid:28) T m 3 , w e t h e n o b t h i a (cid:28) (cid:20) T t a e t e ) ) ] i n c l I r y (cid:28) t e (cid:20) h d T e i t ] t d h e e f a u ( 3 ( 3 ( 3 o r e l t 6 ) 7 ) 8 ) m
R [1 [2 [3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 [1 0 [1 1 e ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] f e r e n c e s A d v a n c e s i n F u t u r e s A b k e n , P .( 1 9 9 3 ) : \ V a l u a t i o n o f d e f a u l t - r i s k y i n t e r e s t - r a t e s w a p s ," a n d O p t i o n s R e s e a r c h 6 , 9 3 - 1 1 6 . A b r a h a m s , J .( 1 9 8 6 ) : \ A s u r v e y o f r e c e n t p r o g r e s s o n l e v e l c r o s s i n g p r o b l e m s ," i n C o m m u n i c a t i o n s a n d N e t w o r k s : A S u r v e y o f R e c e n t A d v a n c e s ( e d i t e d b y I . B l a k e a n d H . P o o r ) , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 6 . J o u r n a l A l t m a n , E .I .( 1 9 8 9 ) : \ M e a s u r i n g c o r p o r a t e b o n d m o r t a l i t y a n d p e r f o r m a n c e ," o f F i n a n c e 4 4 , 9 0 9 - 9 2 2 . F i n a n c i a l M a n a g e m e n t A l t m a n , E .I .( 1 9 9 2 ) : \ R e v i s i t i n g t h e h i g h - y i e l d b o n d m a r k e t ," 2 1 , 7 8 - 9 2 . A l t m a n , E .I . a n d J .C . B e n c i v e n g a ( 1 9 9 5 ) : \ A y i e l d p r e m i u m m o d e l f o r t h e h i g h - y i e l d F i n a n c i a l A n a ly s t s J o u r n a l d e b t m a r k e t ," S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 9 5 , 4 9 - 5 6 . J o u r n a l o f F i - A m i n , K .I .( 1 9 9 3 ) : \ J u m p d i (cid:11) u s i o n o p t i o n v a l u a t i o n i n d i s c r e t e t i m e ," n a n c e 4 8 , 1 8 3 3 - 1 8 6 3 . B a t e s , D .S .( 1 9 9 6 ) : \ J u m p s a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y : E x c h a n g e r a t e p r o c e s s e s i m p l i c i t R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s i n D e u t s c h e M a r k o p t i o n s ," 9 , 6 9 - 1 0 7 . B e t k e r , B .L .( 1 9 9 2 ) : \ M a n a g e m e n t c h a n g e s , e q u i t y ’s b a r g a i n p o w e r a n d d e v i a t i o n s f r o m a b s o l u t e p r i o r i t y i n C h a p t e r 1 1 b a n k r u p t c i e s ," W o r k i n g p a p e r , T h e O h i o S t a t e U n i v e r s i t y . B l a c k , F . a n d J . C . C o x ( 1 9 7 6 ) : \ V a l u i n g c o r p o r a t e s e c u r i t i e s : S o m e e (cid:11) e c t s o f b o n d J o u r n a l o f F i n a n c e i n d e n t u r e p r o v i s i o n s ," 3 1 , 3 5 1 - 3 6 7 . B l a c k , F . a n d M . S c h o l e s ( 1 9 7 3 ) : \ T h e p r i c i n g o f o p t i o n s a n d c o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ," J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y 8 1 , 6 3 7 - 6 5 4 . J o u r n a l C h a n c e , D .M .( 1 9 9 0 ) : \ D e f a u l t r i s k a n d t h e d u r a t i o n o f z e r o - c o u p o n b o n d s ," o f F i n a n c e 4 5 , 2 6 5 - 2 7 4 . 3 1
[1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [2 [2 [2 [2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] C 5 C r D c D (cid:12) D B D W E a 4 F F F g F t 3 G o H i J o u r n a l o f F i n a n c e o o p e r , I . a n d A . M e l l o ( 1 9 9 1 ) : \ T h e d e f a u l t r i s k o f s w a p s ," 4 6 , 9 7 - 6 2 0 . o x , J .C ., J . I n g e r s o l l , a n d S . R o s s ( 1 9 8 5 ) : \ A t h e o r y o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t E c o n o m e t r i c a a t e s ," 5 3 , 3 8 5 - 4 0 7 . a s , S .R . a n d P . T u f a n o ( 1 9 9 6 ) : \ P r i c i n g c r e d i t - s e n s i t i v e d e b t w h e n i n t e r e s t r a t e s , J o u r n a l o f F i n a n c i a l E n g i n e e r i n g r e d i t r a t i n g s a n d c r e d i t s p r e a d s a r e s t o c h a s t i c ," . a s , S .R ., S . F o r e s i , a n d R .K . S u n d a r a m ( 1 9 9 6 ) : \ M o d e l i n g a s s e t p r i c e p r o c e s s e s i n n a n c e ," p r e p r i n t . J o u r n a l o f u (cid:11) e e , G .R .( 1 9 9 6 ) : \ O n m e a s u r i n g c r e d i t r i s k s o f d e r i v a t i v e i n s t r u m e n t s ," a n k i n g a n d F i n a n c e . u (cid:14) e , D . a n d K .J . S i n g l e t o n ( 1 9 9 5 ) : \ M o d e l i n g t e r m s t r u c t u r e s o f d e f a u l t a b l e b o n d s ," o r k i n g p a p e r , S t a n f o r d U n i v e r s i t y B u s i n e s s S c h o o l . b e r h a r t , A .C ., W .T . M o o r e , a n d R .L . R o e n f e l d t ( 1 9 9 0 ) : \ S e c u r i t y p r i c i n g a n d d e v i - J o u r n a l o f F i n a n c e t i o n f r o m t h e a b s o l u t e p r i o r i t y r u l e i n b a n k r u p t c y p r o c e e d i n g s ," 5 , 1 4 5 7 - 1 4 6 9 . o n s , J .S .( 1 9 9 4 ) : \ U s i n g d e f a u l t r a t e s t o m o d e l t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t r i s k ," i n a n c i a l A n a ly s t s J o u r n a l, S e p t e m b e r / O c t o b e r , 2 5 - 3 2 . r a n k s , J .R . a n d W . T o r o u s ( 1 9 8 9 ) : \ A n e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n o f U .S . (cid:12) r m s i n r e o r - J o u r n a l o f F i n a n c e a n i z a t i o n ," 4 4 , 7 4 7 - 7 6 9 . r a n k s , J . R . a n d W . T o r o u s ( 1 9 9 4 ) : \ A c o m p a r i s o n o f (cid:12) n a n c i a l r e c o n t r a c t i n g i n d i s - J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s r e s s e d e x c h a n g e s a n d C h a p t e r 1 1 r e o r g a n i z a t i o n s ," 5 , 3 4 9 - 3 7 0 . J o u r n a l e s k e , R .( 1 9 7 7 ) : \ T h e v a l u a t i o n o f c o r p o r a t e l i a b i l i t i e s a s c o m p o u n d o p t i o n s ," f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a ly s i s 1 2 , 5 4 1 - 5 5 2 . B r o w n i a n M o t i o n a n d S t o c h a s t i c (cid:13) o w s y s t e m s a r r i s o n , J .M .( 1 9 9 0 ) : , K r i e g e r P u b l i s h n g C o m p a n y : F l o r i d a . 3 2
[2 [2 [2 [2 [2 [2 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] H r H g H J o J a J J t J F J p J R K K i K 1 L a a r r i s o n , J .M . a n d S .R . P l i s k a ( 1 9 7 9 ) : \ M a r t i g a l e s a n d a r b i t r a g e i n m u l t i p e r i o d s e c u - J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y i t i e s m a r k e t s ," 2 0 , 2 8 1 - 4 0 8 . e l w e g e , J . a n d C .M . T u r n e r ( 1 9 9 5 ) : \ T h e s l o p e o f c r e d i t y i e l d c u r v e f o r s p e c u l a t i v e r a d e i s s u e r s ," W o r k i n g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f N e w Y o r k . R i s k u l l , J . a n d A . W h i t e ( 1 9 9 2 ) : \ T h e p r i c e o f d e f a u l t ," 5 , 1 0 1 - 1 0 3 . a r r o w , R .A . D . L a n d o , a n d S . T u r n b u l l ( 1 9 9 4 ) : \ A M a r k o v m o d e l f o r t h e t e r m s t r u c t u r e f c r e d i t r i s k s p r e a d s ," W o r k i n g p a p e r , C o r n e l l U n i v e r s i t y . a r r o w , R .A . a n d E .R . R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) : \ J u m p r i s k s a n d t h e i n t e r t e m p o r a l c a p i t a l J o u r n a l o f B u s i n e s s s s e t p r i c i n g m o d e l ," 5 7 , 3 3 7 - 3 5 1 . O p t i o n P r i c i n g a r r o w , R .A . a n d A . R u d d ( 1 9 8 3 ) : , I r w i n . a r r o w , R .A . a n d S . T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) : \ P r i c i n g d e r i v a t i v e s o n (cid:12) n a n c i a l s e c u r i t i e s s u b j e c t J o u r n a l o f F i n a n c e o c r e d i t r i s k ," 5 0 , 5 3 - 8 6 . J o u r n a l o f o h n s o n , H . a n d R . S t u l z ( 1 9 8 7 ) : \ T h e p r i c i n g o f o p t i o n s w i t h d e f a u l t r i s k ," i n a n c e 4 2 , 2 6 7 - 2 8 0 . o n e s , E .P ., S .P . M a s o n , a n d E . R o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) : \ C o n t i n g e n t c l a i m s a n a l y s i s o f c o r - J o u r n a l o f F i n a n c e o r a t e c a p i t a l s t r u c t u r e s : A n e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n ," 3 9 , 6 1 1 - 6 2 7 . o r i o n , P .( 1 9 8 8 ) : \ O n j u m p p r o c e s s e s i n t h e f o r e i g n e x c h a n g e a n d s t o c k m a r k e t s ," e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 1 , 4 2 7 - 4 4 5 . S t o c h a s t i c S t a b i li t y a n d C o n t r o l u s h n e r , H .J .( 1 9 6 7 ) : , A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n . i m , I .J ., K . R a m a s w a m y , a n d S . S u n d a r e s a n ( 1 9 9 2 ) : \ T h e v a l u a t i o n o f c o r p o r a t e (cid:12) x e d n c o m e s e c u r i t i e s ," W o r k i n g P a p e r , N e w Y o r k U n i v e r s i t y . J o u r n a l o f F i n a n c e o n , S .J .( 1 9 8 4 ) : \ M o d e l s o f s t o c k r e t u r n s | A c o m p a r i s o n ," 3 9 , 4 7 - 1 6 5 . e l a n d , H .E . a n d K .B . T o f t ( 1 9 9 6 ) : \ O p t i m a l c a p i t a l s t r u c t u r e , e n d o g e n o u s b a n k r u p t c y , J o u r n a l o f F i n a n c e n d t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s ," 5 1 , 9 8 7 - 1 0 1 9 . 3 3
[3 [3 [4 [4 [4 [4 [4 [4 [4 [4 [4 [4 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] L (cid:13) M W M c M m M r M o M t R T S i S c V o W c o n g s t a (cid:11) , F .A . a n d E .S . S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) : \ A s i m p l e a p p r o a c h t o v a l u i n g r i s k y a n d J o u r n a l o f F i n a n c e o a t i n g r a t e d e b t ," 5 0 , 7 8 9 - 8 1 9 . a d a n , D .B . a n d H . U n a l ( 1 9 9 4 ) : \ P r i c i n g t h e r i s k s o f d e f a u l t ," W o r k i n g p a p e r , T h e h a r t o n S c h o o l o f t h e U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a . a s o n , S .P . a n d S . B h a t t a c h a r y a ( 1 9 8 1 ) : \ R i s k y d e b t , j u m p p r o c e s s e s , a n d s a f e t y J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s o v e n a n t s ," 9 , 2 8 1 - 3 0 7 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 1 ) : \ O p t i m u m c o n s u m p t i o n a n d p o r t f o l i o r u l e s i n a c o n t i n u o u s - t i m e J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y o d e l ," 3 , 3 7 3 - 4 1 3 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 4 ) : \ O n t h e p r i c i n g o f c o r p o r a t e d e b t : T h e r i s k s t r u c t u r e o f i n t e r e s t J o u r n a l o f F i n a n c e a t e s ," 2 9 , 4 4 9 - 4 7 0 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 6 ) : \ O p t i o n p r i c i n g w h e n u n d e r l y i n g s t o c k r e t u r n s a r e d i s c o n t i n u - J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s u s ," 3 , 1 2 5 - 1 4 4 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 7 ) : \ O n t h e p r i c i n g o f c o n t i n g e n t c l a i m s a n d t h e M o d i g l i a n i - M i l l e r J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s h e o r e m ," 5 , 2 4 1 - 2 4 9 . a m a s w a m y , K . a n d S . S u n d a r e s a n ( 1 9 8 6 ) : \ T h e v a l u a t i o n o f (cid:13) o a t i n g r a t e i n s t r u m e n t s : J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s h e o r y a n d e v i d e n c e ," 1 7 , 2 5 1 - 2 7 2 . a r i g , O . a n d A . W a r g a ( 1 9 8 9 ) : \ S o m e e m p i r i c a l e s t i m a t e s o f t h e r i s k s t r u c t u r e o f J o u r n a l o f F i n a n c e n t e r e s t r a t e s ," 4 4 , 1 3 5 1 - 1 3 6 0 . m i t h , C .W . a n d J .B . W a r n e r ( 1 9 7 9 ) : \ O n (cid:12) n a n c i a l c o n t r a c t i n g : A n a n a l y s i s o f b o n d J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s o v e n a n t s ," 7 , 1 1 7 - 1 6 1 . J o u r n a l a s i c e k , O .( 1 9 7 7 ) : \ A n e q u i l i b r i u m c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t e r m s t r u c t u r e ," f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 5 , 1 7 7 - 1 8 8 . e i s s , L .A .( 1 9 9 0 ) : \ B a n k r u p t c y r e s o l u t i o n : D i r e c t c o s t s a n d v i o l a t i o n o f p r i o r i t y o f J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s l a i m s ," 2 7 , 2 8 5 - 3 1 4 . 3 4
30 29 28 27 26 25 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F p w i g a r 0 u a = r m e 1 1 e t :4 : e r , a T v n )stnioP sisaB( daerpS dleiY h a l d e u w e E s 1 (cid:11) u = s e e 1 c t d :0 | a . : o f r e N L X o i m = c o i 2 n s t e :0 t d , r a r i n L = t i a 0 o n b i :0 w l i t 5 , 3 5 y (cid:27) 2 C = o { n s 0 :0 { : 1 t r a 2 2 5 (cid:0) i n , t (cid:21) w o = (cid:21) n 0 0 C :0 5 r , e d (cid:22) i (cid:25) t = S 0 p r :0 e , a (cid:27) d 2 (cid:25) s . = 0 T :2 h 5 e ,
0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F S (cid:27) i i 2 X g z u e = r e V 0 | 2 : o l a :0 3 : T t 5 i , ytilibaborP tluafeD lanigraM 2 (cid:27) = (cid:25) h e l i t y w 0 R = (cid:27) 0 :0 0 e l a t 2 . T (cid:25) 1 :4 , i o h w n e 1 s p = h a { i r 1 2 { : (cid:27) (cid:25) p b e t a m e t e :0 , a n = w r d e v (cid:27) 0 :2 e n a l u 2 = 5 e M s (cid:27) a r u s e 2 X (cid:0) 3 6 g d (cid:0) i n a (cid:21) : (cid:1) a l r e (cid:27) (cid:1) (cid:27) X 2 (cid:25) 2 (cid:25) D . = e = f 0 :5 0 a u l t 2 :0 , r P = r o 0 (cid:1) (cid:1) b a :0 5 (cid:1) b , : i (cid:21) 2 (cid:27) (cid:25) l i t i = = e 0 0 :6 s a n :0 5 , 5 d (cid:22) (cid:25) J = u m 0 p :0 ,
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F S (cid:27) i i 2 X g z u e = r e V 0 3 : o l a :0 3 T t 5 ytilibaborP tluafeD evitalumuC h e R i l i t y , w 0 = e (cid:27) | l 2 (cid:25) 1 : a t . :4 i T , 2 (cid:27) = (cid:25) o n s h h e p w = 1 0 :0 0 i p b a r a m 1 :0 e t w e t e , a n r d e e v (cid:27) { n a l 2 { : C u e = (cid:27) u s (cid:27) 2 (cid:25) m u 2 X 3 = u s e (cid:0) 7 d 0 :2 5 l a t i v a r e (cid:21) (cid:27) (cid:1) e X 2 (cid:25) . D = e (cid:0) f a u 2 :0 : (cid:1) l , t r (cid:27) 2 (cid:25) P = = 0 r o b 0 :0 :5 0 a b i 5 , (cid:21) l i = t i e 0 s :0 a 5 n , d (cid:22) (cid:25) J = u m 0 p :0 ,
0.2 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F T w i g h 1 u e = r p e a 1 4 : r a m :0 , T a e n noitaiveD dradnatS h e t e r d (cid:27) E v a 2 (cid:11) l = | u : e c e s (cid:27) t 2 X (cid:27) u 2 = (cid:25) o f J s e d (cid:21) (cid:0) 0 :0 0 u m p a r e X 2 (cid:27) . (cid:25) (cid:1) S = i z 2 { e :0 { V , r : o = (cid:27) l a 2 (cid:25) t 0 3 = i l :0 8 0 i t y 5 , :2 (cid:21) 5 (cid:27) = 2 (cid:25) o n 0 :0 5 (cid:0) t , h (cid:22) : (cid:1) e (cid:25) (cid:27) V = 2 (cid:25) o 0 = l a :0 0 :5 t i l i 2 , (cid:27) X 0 t y = o f W 0 :0 3 5 r , i t w e 0 d o = w 1 n :4 . ,
0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F d w i g u o w = 0 r n e . 1 5 : T :4 , T h w e h 1 nwodetirW egarevA e p a = R r a 1 e m :0 | l a e , : t i t e a n (cid:27) o r d 2 (cid:25) n v s a (cid:27) = h l u 2 0 i p e = :0 0 b e s u s 2 (cid:27) X t e w d (cid:0) e a (cid:21) e r { n e (cid:1) (cid:27) { J X 2 (cid:25) : u . (cid:27) m = 2 = (cid:25) p 2 :0 3 9 0 :2 S i z , r 5 e = V 0 o l a :0 5 t , (cid:0) i l (cid:21) : (cid:1) i t y = 2 (cid:27) (cid:25) 2 (cid:27) (cid:25) 0 :0 = 5 a , 0 n (cid:22) :5 d (cid:25) 0 E = x p e 0 :0 c , t (cid:27) e 2 X d = W 0 r i :0 t 3 e 5 - ,
60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F (cid:27) w i g 2 . (cid:25) 0 u = r T e 6 h e 1 :4 : , p w T a r 1 )stnioP sisaB( daerpS dleiY h a = e m | R e e t e r 1 :0 , 2 : (cid:27) (cid:25) l a t i o v a l u a n d = n s e s 2 (cid:27) 0 h u = :0 i p s e (cid:27) 0 d 2 X b e a r (cid:0) t e w (cid:21) X { e (cid:1) e (cid:27) { n = 2 (cid:25) : . (cid:27) C 2 2 (cid:25) r :0 4 = e , 0 d r 0 i :2 t = 5 S 0 p :0 r 5 e , a (cid:0) d (cid:21) s = : (cid:1) a 2 (cid:27) (cid:25) n d 0 :0 5 = J , 0 u (cid:22) :5 m (cid:25) 0 p = S 0 i :0 z , e (cid:27) V 2 X o = l a t 0 i l :0 i t y 3 5 ,
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F p (cid:27) i a 2 X g r u a = r m | e e (cid:27) 7 t 2 : : e r + (cid:21) T v (cid:21) = h a )stnioP sisaB( daerpS dleiY 0 e l u (cid:27) (cid:1) :1 R e s 2 (cid:25) 0 ; (cid:27) e l a u s e = 0 2 (cid:25) t i d :0 = 0 o n s a r e 3 5 . :3 5 h i p X = b { e 2 { t w :0 : , (cid:21) e e r = n = 1 C 0 ; r :0 (cid:27) e 5 4 2 (cid:25) d , 1 = i t (cid:22) (cid:25) 0 S :0 p = 3 5 r e a 0 :0 d , (cid:0) s (cid:27) 2 a : (cid:1) n = (cid:21) d 0 = J , u w 1 0 m 0 :0 p = ; 2 (cid:27) (cid:25) I n t 1 :4 , = e n w 0 s 1 :0 i t = 0 y 3 1 5 . (cid:21) :0 , T a h n e d
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F I w i g n t 1 u e = r n | e s 1 : 8 : i t y :0 , (cid:21) T a = h . (cid:21) n d ytilibaborP e 0 T (cid:27) :1 R h 2 X 0 e e ; l a p = 2 (cid:27) (cid:25) t i o a r a 2 (cid:27) = n m + 0 s h e t (cid:21) :3 5 i p e r (cid:27) (cid:1) v b a 2 (cid:25) { { e t w l u e s = 0 : e u :0 (cid:21) e s 3 n e 5 = d . C 1 ; u a r e 2 (cid:27) (cid:25) m u X 4 2 = l = a 0 :0 t i v 2 :0 3 e , 5 D r e = (cid:0) f a 0 : (cid:1) u l :0 5 (cid:21) t , P (cid:22) = r (cid:25) 1 o = 0 b :0 ; a b 0 :0 2 (cid:27) = (cid:25) i l i t i e 2 , (cid:27) = s 0 :0 a n 0 , 0 3 d w 5 0 J = u m 1 p :4 ,
150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F v w i g a l 1 u u = r e e s 1 9 u :0 : s . T e d h )stnioP sisaB( daerpS dleiY e a r R e e r l a = | t i o 0 : n :0 X s 5 h , = i p (cid:21) 1 b = :5 e t 0 w : 0 e 5 e , { n (cid:27) { C 2 : r = X e d 0 4 = i t :0 3 2 S 2 2 :0 p 5 r , e a (cid:22) d (cid:25) s = (cid:0) a n 0 : (cid:1) d :0 X C , = u 2 (cid:27) (cid:25) r 3 r = :0 e n t 0 X :2 5 . , T w h 0 e = p a r a 1 :4 m , e a t e n r d
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F r (cid:27) i e 2 (cid:25) g n u t = r e X 0 1 : 2 0 . 5 : , T T w ytilibaborP h h e 0 e = R p a 1 | : X e l a t i o n s r a m e t e r :4 , a n d w = h v 1 1 i p a l u = :5 b e e s 1 :0 t u . w s e e d { e n a { r : C e X u r 4 = m = 4 u 2 :0 l a t 0 :0 i 5 v , e (cid:21) D (cid:0) e = f : X (cid:1) a u l t 0 :0 5 , = P (cid:27) 3 :0 r o b 2 = a b 0 i l :0 i t 2 i 2 e 5 s , a (cid:22) n (cid:25) d = C u 0 r :0 - ,
0.62 0.6 0.58 0.56 0.54 0.52 0.5 0.48 0.46 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F p a i a n g r d u a r m w e e 1 1 1 t e = : r 1 T v a :0 nwodetirW egarevA h l u . e e s R u e s | l a e d : t i a X o n r e = s h r 1 i p = :5 0 b :0 e 5 t , w (cid:21) { e e = { n : 0 X A :0 5 4 v , 5 = e (cid:27) 2 r a 2 :0 g = e 0 W :0 2 r 2 (cid:0) i t 5 e , : (cid:1) d (cid:22) X o w (cid:25) = = n 0 3 a :0 :0 n , d (cid:27) 2 (cid:25) C = u r 0 r e :2 n 5 t , w X 0 . = T 1 h :4 e ,
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F u w i g s e 0 u d = r e a 1 1 r e :4 2 , : X w T 1 = )stnioP sisaB( daerpS tiderC h = e 2 1 E :0 :0 | (cid:11) e , r , (cid:11) : c = = (cid:26) t = o f 0 :0 0 :0 (cid:0) 6 5 0 C , , :5 0 o r r 2 (cid:27) (cid:12) = e = l 1 a t i o 0 :0 :0 0 , { { n 2 2 5 a n : (cid:26) , d (cid:26) = o n (cid:21) 2 (cid:17) 4 6 = = 0 C :0 0 r e 0 :0 0 :0 d 5 0 , 1 i t (cid:22) . S (cid:25) (cid:0) p = : (cid:1) r e 0 (cid:26) a d :0 = s , . (cid:27) 0 2 (cid:25) :5 0 T h = e 0 p a r a :2 5 , m (cid:27) e 2 X t e = r v 0 a l :0 u 3 e 5 s ,
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity F v w i g a l 0 u u = r e e s 1 1 3 u s e :4 , : d w T a 1 ytilibaborP h r e = e X 1 E :0 | (cid:11) = , (cid:11) e 2 : (cid:26) c t :0 , = = (cid:0) o f r = 0 :0 5 C , 0 0 :5 0 o r r e :0 6 , (cid:12) = l a 2 (cid:27) 1 :0 { t i o n = 0 0 , a { : (cid:26) :0 2 n d (cid:26) = o n 2 5 , 2 (cid:17) 4 7 = 0 :0 D (cid:21) = 0 0 e :0 f a u l 0 :0 5 0 1 . t , (cid:0) P (cid:22) (cid:25) : (cid:1) r o = (cid:26) b 0 = a b :0 0 i l , (cid:27) :5 i t 2 (cid:25) 0 i e = s . 0 T :2 5 h , e (cid:27) p 2 X a r = a m 0 e :0 t 3 e 5 r ,
Cite this document
Chunsheng Zhou (1997). A Jump-Diffusion Approach to Modeling Credit Risk and Valuing Defaultable Securities (FEDS 1997-15). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-15
@techreport{wtfs_feds_1997_15,
author = {Chunsheng Zhou},
title = {A Jump-Diffusion Approach to Modeling Credit Risk and Valuing Defaultable Securities},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1997-15},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1997},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-15},
abstract = {Since Black and Scholes (1973) and Merton (1974), structural models of credit risk have relied almost exclusively on diffusion processes to model the evolution of firm value. While a diffusion approach is convenient, in empirical application, it has produced very disappointing results. Jones, Mason, and Rosenfeld (1984) find that the credit spreads on corporate bonds are too high to be matched by the diffusion approach. Also, because the instantaneous default probability of a healthy firm is zero under a continuous process, the diffusion approach predicts that the term structure of credit spreads should always start at zero and slope upward for firms that are not currently in financial distress, but the empirical literature shows that the actual credit spread curves are sometimes at or even downward-sloping.},
}