Path-Dependent Option Valuation when the Underlying Path Is Discontinuous
Abstract
The payoffs of path-dependent options depend not only on the final values, but also on the sample paths of the prices of the underlying assets. A rigorous modeling of the underlying asset price processes which can appropriately describe the sample paths is therefore critical for pricing path-dependent options. This paper allows for discontinuities in the sample paths of the underlying asset prices by assuming that these prices follow jump diffusion processes. A general yet tractable approach is presented to value a variety of path-dependent options with discontinuous processes. The numerical examples show that ignoring the jump risk may lead to serious biases in path-dependent option pricing.
P 4 a r B a t y F 5 2 - 5 n a ly e n c e a n k h e d e 2 9 6 s is b y s . D e p e n d e r a l R e s e r v e B , E - m a il: c z h a n d c o n c lu s io o t h e r m e m b e n o a o u n s r s t O p t r d , M a il @ fr b .g o v s e t fo r t h o f t h e r e i o n I s S t o p . T h e in t h s e a r c h V a l u a t i o n W h e D i s c o n t i n u o u s y C h u n s h e n g Z h o u M a r c h 1 9 9 7 9 1 , W a s h in g t o n , D C 2 0 5 a u t h o r t h a n k s K a t h e r in is p a p e r a r e t h o s e o f t h e s t a (cid:11) , b y t h e B o a r d o f G n t h e U n d 5 1 . T e l: ( 2 0 2 ) e A lle n fo r r e s e a u t h o r a n d d o o v e r n o r s , o r b y e r l y 4 5 2 - 3 3 a r c h a n o t in t h e F i n 2 8 , s s is d ic e d e g F t a a t r a a n e l P a t h x : ( 2 0 2 ) c e . T h e c o n c u r - R e s e r v e
t l c a i n d T h e p a y o (cid:11) s o f p a t h - d e p e n d h e s a m p l e p a t h s o f t h e p r i c e s y i n g a s s e t p r i c e p r o c e s s e s w h i r i t i c a l f o r p r i c i n g p a t h - d e p e n d T h i s p a p e r a l l o w s f o r d i s c o n s s u m i n g t h a t t h e s e p r i c e s f o l l o s p r e s e n t e d t o v a l u e a v a r i e t y o u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t e p e n d e n t o p t i o n p r i c i n g . e n t o f t c h c e n t t i n u w j u f p a i g n A b s t r a c t o p t i o n s d e p e n d n o t o n l y o n t h e (cid:12) n a l v a l u e s , b u t a l s o o n h e u n d e r l y i n g a s s e t s . A r i g o r o u s m o d e l i n g o f t h e u n d e r a n a p p r o p r i a t e l y d e s c r i b e t h e s a m p l e p a t h s i s t h e r e f o r e o p t i o n s . i t i e s i n t h e s a m p l e p a t h s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e s b y m p d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . A g e n e r a l y e t t r a c t a b l e a p p r o a c h t h - d e p e n d e n t o p t i o n s w i t h d i s c o n t i n u o u s p r o c e s s e s . T h e o r i n g t h e j u m p r i s k m a y l e a d t o s e r i o u s b i a s e s i n p a t h -
J u m p s a r e a n i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h e p r i c e p r o c e s s e s o f (cid:12) n a n c i a l a s s e t s , a n d a r e e s p e - 1 c i a l l y p r o n o u n c e d f o r c e r t a i n t y p e s o f a s s e t s , s u c h a s s m a l l - c a p s t o c k s a n d e x c h a n g e r a t e s . F o r t h i s r e a s o n , M e r t o n ’s ( 1 9 7 6 ) g r o u n d b r e a k i n g w o r k , w h i c h e x p l i c i t l y a d m i t s j u m p s i n t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e s f o r p r i c i n g s t a n d a r d E u r o p e a n o p t i o n s , h a s g e n e r a t e d a p r o f o u n d i m p a c t o n t h e (cid:12) n a n c e p r o f e s s i o n . M e r t o n ’s w o r k w a s d o n e a c o u p l e o f d e c a d e s a g o . I n r e c e n t y e a r s , t h e v a r i e t y o f n e w o p t i o n c o n t r a c t s h a s i n c r e a s e d e n o r m o u s l y . M a n y t y p e s o f s o - c a l l e d e x o t i c o p t i o n s a r e n o w p o p u l a r i t e m s i n t h e o v e r - t h e - c o u n t e r m a r k e t . M o s t e x o t i c o p t i o n s , s u c h a s b a r r i e r o p t i o n s , l o o k b a c k s , A s i a n o p t i o n s , A m e r i c a n c a p p e d o p t i o n s , a n d m a n y o t h e r s , a r e p a t h - d e p e n d e n t , t h a t i s , t h e i r p a y o (cid:11) s d e p e n d n o t o n l y o n t h e (cid:12) n a l v a l u e s , b u t a l s o o n t h e s a m p l e p a t h s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e s . F o r t h e s e o p t i o n s , a r i g o r o u s c o n s i d e r a t i o n o f j u m p s i n t h e s a m p l e p a t h s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e s s e e m s m o r e i m p o r t a n t t h a n f o r t h e s t a n d a r d n o n - p a t h d e p e n d e n t o p t i o n s i n M e r t o n ’s w o r l d . B u t t h e s e n e w p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s a r e o f t e n s o c o m p l i c a t e d t h a t t h e y c a n n o t b e p r i c e d i n M e r t o n ’s f r a m e w o r k . F o r t h i s r e a s o n , t h i s p a p e r p r e s e n t s a n e w g e n e r a l y e t t r a c t a b l e a p p r o a c h t o v a l u e a v a r i e t y o f p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s 2 w h o s e u n d e r l y i n g p r i c e s f o l l o w j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . I f a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e i s m i s s p e c i (cid:12) e d a s a p u r e d i f f u s i o n p r o c e s s , w h a t w i l l h a p p e n t o t h e p r i c i n g p e r f o r m a n c e o f t h e o p t i o n p r i c i n g m o d e l ? F o r a g i v e n o p t i o n , s a y a d o w n - a n d - o u t c a l l , w i l l i t b e o v e r p r i c e d , o r u n d e r p r i c e d b y t h e m o d e l d u e t o t h e m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e p r i c e p r o c e s s ? T o a n s w e r t h e s e q u e s t i o n s , s e v e r a l n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e p r o v i d e d o n b a r r i e r o p t i o n s a n d l o o k b a c k o p t i o n s . T h e e x a m p l e s s h o w t h a t f o r t h e p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s , i g n o r i n g t h e j u m p r i s k o f t e n l e a d s t o s e r i o u s b i a s e s i n t h e p r i c i n g o f b o t h s h o r t m a t u r i t y a n d l o n g m a t u r i t y o p t i o n s . T h e e x a m p l e s a l s o s h o w s o m e i n t e r e s t i n g a n d s o m e t i m e s s u r p r i s i n g m a t u r i t y p a t t e r n s o f p r i c i n g e r r o r s 1 S e e , K o n ( 1 9 8 4 ) , B a ll a n d T o r o u s ( 1 9 8 5 ) , J o r io n ( 1 9 8 8 ) , a n d B a t e s ( 1 9 9 1 , 1 9 9 6 ) , D a s , F o r e s i a n d S u n d a r a m ( 1 9 9 6 ) . 2 I n a r e c e n t p a p e r , A m in ( 1 9 9 3 ) p r o v id e d a d is c r e t e t im e a p p r o a c h t o v a lu e o n e k in d o f p a t h d e p e n d e n t o p t io n | a n A m e r ic a n o p t io n u n d e r ju m p d i(cid:11) u s io n p r o c e s s e s . T h e a p p r o a c h p r e s e n t e d h e r e is m u c h d i(cid:11) e r e n t fr o m A m in ’s a p p r o a c h . 1
c d s m l a 3 o 1 T t j w e a u s e d b y t h e m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n . F o r i n s t a n c e , m i s s p e c i f y i n g a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s a s a i (cid:11) u s i o n p r o c e s s w i l l u n d e r s t a t e t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y f o r s h o r t - m a t u r i t y o p t i o n s , b u t i g n i (cid:12) c a n t l y o v e r s t a t e t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y f o r l o n g - m a t u r i t y o p t i o n s . A s a r e s u l t , t h i s i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t e n o v e r v a l u e s s h o r t m a t u r i t y d o w n - a n d - o u t c a l l s , b u t u n d e r p r i c e s m o s t o n g m a t u r i t y d o w n - a n d - o u t c a l l s . T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : T h e n e x t s e c t i o n p r e s e n t s a g e n e r a l p p r o a c h t o v a l u i n g p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s w i t h j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . S e c t i o n s 2 a n d p r o v i d e n u m e r i c a l e x a m p l e s t o s h o w t h e i m p a c t o f t h e j u m p r i s k o n t h e p r i c e s o f b a r r i e r p t i o n s a n d l o o k b a c k o p t i o n s . S e c t i o n 4 c o n c l u d e s . T h e M o d e l h i s s e c t i o n p r e s e n t s a g e n e r a l j u m p - d i (cid:11) u s i o n m o d e l t o v a l u e v a r i o u s p a t h - d e p e n d e n t o p i o n s . T h e m o d e l i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s . A s s u m p t i o n 1 : T h e d y n a m i c s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e S a r e g o v e r n e d b y t h e u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s d S = S = ( (cid:22) (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + ( (cid:5) 1 ) d Y ( 1 ) (cid:0) (cid:0) h e r e (cid:22) , (cid:23) , (cid:21) , a n d (cid:27) a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s ; Z i s a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n ; d Y i s a P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y p a r a m e t e r (cid:21) ; (cid:5) > 0 i s t h e j u m p a m p l i t u d e w i t h e x p e c t e d v a l u e e q u a l t o (cid:23) + 1 , a n d d Z , d Y , a n d (cid:5) a r e m u t u a l l y i n d e p e n d e n t . B e c a u s e (cid:23) e q u a l s t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e j u m p c o m p o n e n t ( (cid:5) 1 ) , (cid:22) i n t h e a b o v e (cid:0) q u a t i o n r e p r e s e n t s t h e e x p e c t e d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f t h e a s s e t p r i c e S . W e a s s u m e t h a t (cid:5) i s a n i .i .d . l o g - n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e , s u c h t h a t 2 l n ( (cid:5) ) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) : ( 2 ) (cid:25) (cid:25) (cid:24) 2
T p c v r a t A t j p r o p t i a a i t s f d h i s a s s u m p t i o n i m p l i e s t h a t 2 (cid:23) := E [(cid:5) 1 ] = e x p ( (cid:22) + (cid:27) = 2 ) 1 : (cid:25) (cid:25) (cid:0) (cid:0) T h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i n e q u a t i o n ( 1 ) c h a r a c t e r i z e s t h e \ n o r m a l " v i b r a t i o n i n t h e a s s e t r i c e , d u e t o g r a d u a l c h a n g e s i n e c o n o m i c c o n d i t i o n s o r t h e a r r i v a l o f n e w i n f o r m a t i o n w h i c h a u s e s m a r g i n a l c h a n g e s i n t h e a s s e t v a l u e . T h e j u m p c o m p o n e n t d e s c r i b e s t h e \ a b n o r m a l " a r i a t i o n s i n t h e a s s e t p r i c e d u e t o t h e a r r i v a l o f i m p o r t a n t n e w i n f o r m a t i o n . A s s u m p t i o n 2 : T h e c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ( C A P M ) h o l d s f o r e q u i l i b r i u m s e c u r i t y e t u r n s a n d t h e j u m p c o m p o n e n t o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e S i n e q u a t i o n ( 1 ) i s p u r e l y s s e t - s p e c i (cid:12) c a n d i s u n c o r r e l a t e d w i t h t h e m a r k e t . T h i s p a p e r c o n s i d e r s t h e o p t i o n s o f i n d i v i d u a l s t o c k s . A c c o r d i n g t o M e r t o n ( 1 9 7 6 ) , h e r e g e n e r a l l y d o e s n o t e x i s t a s e t o f p o r t f o l i o w e i g h t s t h a t w i l l e l i m i n a t e t h e \ j u m p " r i s k . B l a c k - S c h o l e s h e d g e w i l l n o t b e r i s k l e s s e v e n i n a c o n t i n u o u s - t i m e s e t u p . T o v a l i d a t e h e B l a c k - S c h o l e s \ r i s k - n e u t r a l " a r g u m e n t , s o m e e x t r a r e s t r i c t i o n s o n t h e e c o n o m y a n d t h e u m p p r o c e s s m u s t b e i m p o s e d . I f t h e j u m p c o m p o n e n t r e p r e s e n t s n o n s y s t e m a t i c r i s k , a o r t f o l i o w h i c h r e m o v e s t h e r i s k o f d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t ( i .e ., d Z d o e s n o t a p p e a r i n t h e e t u r n p r o c e s s o f t h e p o r t f o l i o ) w i l l h a v e a z e r o \ b e t a ." B y t h e C A P M , t h e e x p e c t e d r e t u r n n t h a t p o r t f o l i o m u s t e q u a l t h e r i s k l e s s r a t e . T h e j u m p r i s k w i l l t h e r e f o r e n o t r e c e i v e a r i s k r e m i u m . A s s u m p t i o n 2 h a s b e e n w i d e l y u s e d a s a (cid:12) r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r j u m p s i n h e p r i c e s o f i n d i v i d u a l s t o c k s , e v e n t h o u g h i t i s n o t a v a l i d a s s u m p t i o n f o r j u m p s i n m a r k e t n d e x e s . W i t h a n i n c r e a s e i n c o m p l e x i t y , A s s u m p t i o n 2 m a y b e r e p l a c e d b y s o m e a l t e r n a t i v e s s u m p t i o n s . F o r e x a m p l e , o n e c a n a s s u m e t h a t j u m p s a r e s y s t e m a t i c a n d t h a t e c o n o m i c g e n t s h a v e s o m e s p e c i (cid:12) c p r e f e r e n c e s s o t h a t r i s k p r e m i u m f o r j u m p s c a n b e d e t e r m i n e d n t h e m o d e l . B a t e s ( 1 9 9 1 , 1 9 9 6 ) (cid:12) n d s t h a t u n d e r a t r a d i t i o n a l a s s u m p t i o n o f p r e f e r e n c e s , h e ‘r i s k - n e u t r a l ’ m o v e m e n t o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e f o l l o w s a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i m i l a r t o t h e o n e u n d e r A s s u m p t i o n 2 , s o t h e b a s i c a p p r o a c h i n t h i s p a p e r i s s t i l l v a l i d o r h a n d l i n g n o n s y s t e m a t i c j u m p s . I n o t h e r w o r d s , A s s u m p t i o n 2 s i m p l i (cid:12) e s t h e m o d e l , b u t o e s n o t c h a n g e t h e m a i n c o n c l u s i o n s o f t h i s p a p e r . 3
w o L w o E w 2 B m l b b m c a a D e n o t e W ( (cid:0) ; S : 0 t T ) a s t h e (cid:12) n a l p a y o (cid:11) o f a p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n c o n t r a c t , t (cid:20) (cid:20) h e r e (cid:0) i s t h e s e t o f r e l e v a n t p a r a m e t e r s a n d ( S : 0 t T ) i s t h e t i m e - p a t h o f t h e p r i c e t (cid:20) (cid:20) f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . U s i n g a s t a n d a r d r i s k - n e u t r a l i t y a p p r o a c h , w e h a v e e m m a 1 T h e o p t i o n p r i c e i s g i v e n b y F ( (cid:0) ; T ) Q F = e x p ( r T ) E [W ( (cid:0) ; S : 0 t T ) ]; ( 3 ) t (cid:0) (cid:20) (cid:20) Q h e r e r e p r e s e n t s t h e e x p e c t a t i o n u n d e r t h e e q u i v a le n t m a r t i n g a le m e a s u r e c o n d i t i o n i n g E Q n i n f o r m a t i o n c u r r e n t ly a v a i la b le . U n d e r t h i s m e a s u r e , d S = S = ( r (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + ( (cid:5) 1 ) d Y : ( 4 ) (cid:0) (cid:0) q u a t i o n ( 4 ) c a n b e r e w r i t t e n a s : 2 d l n ( S ) = ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) d t + (cid:27) d Z + l n ( (cid:5) ) d Y : ( 5 ) (cid:0) (cid:0) T h i s l e m m a p r o v i d e s a g e n e r a l f r a m e w o r k f o r o p t i o n v a l u a t i o n . T h e n e x t t w o s e c t i o n s i l l u s e t h i s l e m m a t o v a l u e b a r r i e r o p t i o n s a n d l o o k b a c k o p t i o n s . P r i c i n g B a r r i e r O p t i o n s a r r i e r o p t i o n s a r e p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s w h i c h a r e e i t h e r a c t i v a t e d ( k n o c k e d - i n ) o r t e r i n a t e d ( k n o c k e d - o u t ) i f t h e u n d e r l y i n g a s s e t v a l u e r e a c h e s o r p a s s e s a s p e c i (cid:12) e d t r i g g e r 3 e v e l , s a y H , b e t w e e n i n c e p t i o n a n d e x p i r a t i o n . A f t e r a c t i v a t i o n a n d b e f o r e e x t i n c t i o n , a r r i e r o p t i o n s b e h a v e i d e n t i c a l l y t o s t a n d a r d E u r o p e a n - s t y l e o p t i o n s . T h e s e o p t i o n s h a v e e c o m e i n c r e a s i n g l y p o p u l a r i n r e c e n t y e a r s . L e s s e x p e n s i v e t h a n s t a n d a r d o p t i o n s , t h e y a y p r o v i d e t h e a p p r o p r i a t e h e d g e i n a n u m b e r o f s i t u a t i o n s . F o r e x a m p l e , a d o w n - a n d - o u t a l l w i t h a l o w b a r r i e r o (cid:11) e r s a n i n e x p e n s i v e p r o t e c t i o n a g a i n s t a b i g r i s e i n t h e u n d e r l y i n g s s e t p r i c e . 3 F o r d e t a ile d d is c u s s io n s o f v a r io u s b a r r ie r o p t io n s , s e e , fo r e x a m p le , R u b in s t e in a n d R e in e r ( 1 9 9 1 ) , H e y n e n d H a r r y ( 1 9 9 4 ) , B o y le a n d L a u ( 1 9 9 4 ) , R it c h k e n ( 1 9 9 5 ) , a n d R ic h ( 1 9 9 4 ) . 4
a t p 2 W o o t s w c a p H I t a I F o r b a r r i e r o p t i o n s , j u m p s n o t o n l y a (cid:11) e c t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g s s e t a t t h e m a t u r i t y o f a n o p t i o n , b u t a l s o i n (cid:13) u e n c e t h e b a r r i e r c r o s s i n g p r o b a b i l i t y o f h e u n d e r l y i n g a s s e t . I n t h i s s e c t i o n , w e i n v e s t i g a t e h o w j u m p s c h a n g e b a r r i e r c r o s s i n g r o b a b i l i t i e s a n d o p t i o n v a l u e s . . 1 M e t h o d o l o g y e u s e t h e d o w n - a n d - o u t c a l l o p t i o n a s a n e x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e e (cid:11) e c t o f t h e j u m p r i s k n b a r r i e r o p t i o n p r i c i n g . T h e o p t i o n c e a s e s t o e x i s t w h e n t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e S h i t s r f a l l s b e l o w a c o n s t a n t b a r r i e r H . W e a s s u m e t h a t t h e m a t u r i t y o f t h e o p t i o n i s T a n d h e e x e r c i s e p r i c e o f t h e o p t i o n i s X , w h e r e X > H . I f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e f o l l o w s a t a n d a r d l o g - n o r m a l d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , t h e o p t i o n p r i c e c a n b e e x p r e s s e d a n a l y t i c a l l y a s (cid:0) (cid:13) 1 2 H H ; ( 6 ) B S C ; X ; r ; (cid:27) ; T D A O C ( S ; X ; H ; r ; (cid:27) ; T ) = B S C ( S ; X ; r ; (cid:27) ; T ) S S (cid:0) ! (cid:19) (cid:18) h e r e D A O C i s t h e d o w n - a n d - o u t c a l l p r i c e , B S C i s t h e B l a c k - S c h o l e s s t a n d a r d E u r o p e a n 2 a l l p r i c e , a n d (cid:13) = 2 r = ( (cid:27) ) . O t h e r n o t a t i o n i s d e (cid:12) n e d a s b e f o r e . W e n o w c o n s i d e r t h e p r i c e s o f d o w n - a n d - o u t c a l l o p t i o n s w i t h j u m p d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s n d c o m p a r e t h e m w i t h t h e p r i c e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g o p t i o n s w i t h l o g - n o r m a l d i (cid:11) u s i o n r o c e s s e s o b t a i n e d t h r o u g h e q u a t i o n ( 6 ) . D e n o t e (cid:28) a s t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e f o r t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e S c r o s s i n g t h e b a r r i e r , t h a t i s (cid:28) := i n f t S H ; t 0 : t f j (cid:20) (cid:21) g f (cid:28) T , t h e o p t i o n i s k n o c k e d - o u t b e f o r e i t s m a t u r i t y a n d b e c o m e s w o r t h l e s s . O t h e r w i s e , (cid:20) h e o p t i o n i s n o t k n o c k e d o u t d u r i n g i t s l i f e a n d r e c e i v e s a p a y m e n t a t i t s m a t u r i t y j u s t l i k e s t a n d a r d E u r o p e a n c a l l . T h e (cid:12) n a l p a y o (cid:11) t o t h e o p t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s : 0 ; i f (cid:28) T , (cid:20) W = ( 7 ) T 8 > m a x ( 0 ; S X ) o t h e r w i s e : T < (cid:0) > t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t : Q D A O C ( S ; X ; H ; T ) = e x p ( r T ) E [W ] T (cid:0) 5
w o T w H a T o T b i c Q = e x p ( r T ) E [m a x ( 0 ; S X ) (cid:28) > T ]Q ( (cid:28) > T ) ; ( 8 ) T (cid:0) (cid:0) j h e r e Q ( (cid:28) > T ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e (cid:28) i s b i g g e r t h a n t h e m a t u r i t y f o p t i o n T u n d e r t h e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e Q . h e o r e m 1 D i v i d e t h e t i m e i n t e r v a l i n t o e q u a l s u b p e r i o d s a n d d e (cid:12) n e [0 ; T ] n i t = T ; i n (cid:3) (cid:10) = S > H ; i = 1 ; 2 ; ; n ; it f (cid:1) (cid:1) (cid:1) g (cid:3) h e r e i s d e (cid:12) n e d r e c u r s i v e ly a s S it (cid:3) = S ; S 0t (cid:3) (cid:3) (cid:0) l n ( S ) l n ( S ) = s + y (cid:25) ; i = 1 ; 2 ; ; n : i i i i i 1 t t (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) e r e , , a n d a r e m u t u a l ly a n d s e r i a l ly i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b le s d r a w n f r o m s y (cid:25) i i i 2 2 s N ( ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T = n ; (cid:27) T = n ) ; i (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; i (cid:25) (cid:25) (cid:24) n d w i t h p r o b . 0 ; 1 (cid:21) T = n (cid:0) (cid:1) y = i 8 > w i t h p r o b . 1 ; (cid:21) T = n < (cid:1) > h e n t h e o p t i o n p r i c e g i v e n i n e q u a t i o n ( 8 ) c a n b e e x p r e s s e d a s D A O C ( S ; X ; H ; T ) : (cid:3) Q D A O C ( S ; X ; H ; T ) = e x p ( r T ) l i m E [m a x ( 0 ; S X ) (cid:10) ]Q ( (cid:10) ) : ( 9 ) T ! 1 n (cid:0) (cid:0) j B r i e (cid:13) y s p e a k i n g , t h e t h e o r e m h o l d s b e c a u s e i n a v e r y s m a l l t i m e p e r i o d , n o m o r e t h a n n e j u m p c a n o c c u r a l m o s t s u r e l y a n d t h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s c a n n o t m o v e a l o n g d i s t a n c e . h e t h e o r e m c a n b e e a s i l y e x t e n d e d t o v a l u e o p t i o n s w i t h t i m e - v a r y i n g b a r r i e r s o r m u l t i p l e a r r i e r s . T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s o u t l i n e d i n t h e a p p e n d i x . T h e o r e m 1 p r o v i d e s a s t r a i g h t f o r w a r d f r a m e w o r k t o p r i c e b a r r i e r o p t i o n s . T h e f o l l o w i n g s a M o n t e C a r l o v a l u a t i o n p r o c e d u r e b a s e d o n t h i s f r a m e w o r k , w h i c h i n v o l v e s n o t h i n g m o r e o m p l e x t h a n m a k i n g r a n d o m d r a w s f r o m s o m e s i m p l e d i s t r i b u t i o n s . 6
2 T i E t t Y a t a w C ( 4 S t e p ( 1 ) . D i v i d e t h e t i m e i n t e r v a l [0 ; T ] i n t o n e q u a l s u b p e r i o d s f o r a s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e (cid:15) n a n d d e n o t e t := T i = n . i (cid:1) S t e p ( 2 ) . D o M o n t e C a r l o r e p l i c a t i o n s f o r M ( j = 1 ; 2 ; ; M ) t i m e s . F o r e a c h j , r u n (cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) t h e f o l l o w i n g s u b - p r o c e d u r e s f o r i = 1 ; ; n . (cid:1) (cid:1) (cid:1) a ) G e n e r a t e a s e r i e s o f m u t u a l l y a n d s e r i a l l y i n d e p e n d e n t r a n d o m v e c t o r s ( s ; (cid:25) ; y ) i i i (cid:3) (cid:3) (cid:3) a s d e s c r i b e d i n T h e o r e m 1 . L e t S = X a n d c a l c u l a t e l n ( S ) o r S a c c o r d i n g t o t h e 0 i i t t t f o r m u l a (cid:3) (cid:3) (cid:0) l n ( S ) = l n ( S ) + s + y (cid:25) : i i i i i 1 t t (cid:1) (cid:3) I f S H , l e t W = 0 a n d g o t o t h e n e x t j . j it (cid:20) (cid:3) b ) L e t W = m a x ( 0 ; S X ) a n d g o t o t h e n e x t j . j nt (cid:0) M S t e p ( 3 ) . L e t C = e x p ( r T ) W = M . C w i l l b e a n u m e r i c a l s o l u t i o n t o t h e j j = 1 (cid:15) (cid:0) P o p t i o n p r i c e . . 2 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s h e f o l l o w i n g n u m e r i c a l i l l u s t r a t i o n s s h o w s o m e r i c h i m p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l . I n t h e s e l l u s t r a t i o n s , t h e c u r r e n t s t o c k p r i c e S i s c h o s e n a s $ 2 0 .0 0 a n d t h e b a r r i e r p r i c e H i s $ 1 6 .0 0 . q u a t i o n ( 5 ) i m p l i e s t h a t t h e v o l a t i l i t y o f u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e g r o w t h d l n ( S ) i s 2 2 2 (cid:27) := V a r ( d l n ( S ) ) = d t = (cid:27) + (cid:21) (cid:27) ; ( 1 0 ) S (cid:25) (cid:1) 4 T h e a p p r o p r ia t e c h o ic e o f n d e p e n d s o n t h e r e m a in in g m a t u r it y o f t h e o p t io n T a n d t h e d is t a n c e b e t w e e n h e c u r r e n t u n d e r ly in g p r ic e a n d t h e b a r r ie r j ln ( S ) (cid:0) ln ( H ) j. I f T a n d j ln ( S ) (cid:0) ln ( H ) j a r e s m a ll, t h e n t o a v o id h e p r o b le m t h a t t h e b a r r ie r is ‘h it b u t m is s e d ’ a n d t o in c r e a s e t h e p r ic in g a c c u r a c y ( s e e , e .g ., G e m a n a n d o r 1 9 9 6 ) , t h e s t e p s iz e T = n s h o u ld a ls o b e v e r y s m a ll. I n t e r e s t in g ly , w e (cid:12) n d t h a t s im u la t e d o p t io n p r ic e s r e le s s s e n s it iv e t o s t e p s iz e s u n d e r ju m p p r o c e s s e s t h a n u n d e r d i(cid:11) u s io n p r o c e s s e s . T h is is b e c a u s e w h e n h e s t e p s iz e is s m a ll e n o u g h , it is u n lik e ly t h a t t h e r e is m o r e t h a n o n e ju m p in o n e s t e p . F o llo w in g G e m a n n d Y o r ( 1 9 9 6 ) , w e c h o o s e t h e s t e p s iz e a s 1 / 4 d a y . I t t a k e s a b o u t o n e m in u t e t o v a lu e a o n e - m o n t h o p t io n it h a S P A R C 2 0 c o m p u t e r if w e p e r fo r m 1 0 ,0 0 0 M o n t e C a r lo p a t h s . T o im p r o v e t h e e (cid:14) c ie n c y o f M o n t e a r lo s im u la t io n s , s o m e n u m e r ic a l t e c h n iq u e s m a y b e u s e d . S e e , fo r e x a m p le , C h id a m b a r a n a n d F ig le w s k i 1 9 9 5 ) fo r a d e t a ile d d is c u s s io n . 7
i o c t a a e i o y k a c u o 2 T w o v a d a f (cid:22) = 0 . F o r c o n v e n i e n c e , (cid:22) w i l l b e s e t t o z e r o i n o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . T h e v a l u e (cid:25) (cid:25) 2 f (cid:27) w i l l b e k e p t a s a c o n s t a n t s o t h a t t h e c h a n g e s i n o p t i o n v a l u e s a r e r e a l l y f r o m t h e S h a n g e s i n t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e j u m p c o m p o n e n t r a t h e r t h a n f r o m t h e c h a n g e s i n h e o v e r a l l v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e . W e u s e t h e f o l l o w i n g d a t a ( e x p r e s s e d a t m o n t h l y f r e q u e n c y ) i n s i m u l a t i o n s : (cid:27) = 0 :1 0 : M o n t h l y v o l a t i l i t y o f a s s e t p r i c e s i s 1 0 p e r c e n t . T h i s i m p l i e s a p p r o x i m a t e l y S 3 5 p e r c e n t a n n u a l v o l a t i l i t y . (cid:21) = 0 :0 3 : O n a v e r a g e , t h e r e a r e 0 .0 3 j u m p s i n a m o n t h o r a p p r o x i m a t e l y o n e j u m p v e r y t h r e e y e a r s . J u m p s a r e r a r e e v e n t s i n o u r s i m u l a t i o n s . 2 (cid:27) = 0 :1 0 . A s a r g u e d b y M e r t o n , j u m p s a r e r a r e e v e n t s w h i c h c a u s e s u b s t a n t i a l c h a n g e s (cid:25) 2 n a s s e t p r i c e s . A s s u m i n g (cid:27) = 0 :1 0 i m p l i e s a p p r o x i m a t e l y a 3 0 p e r c e n t s t a n d a r d d e v i a t i o n (cid:25) f t h e l o g c h a n g e i n t h e a s s e t p r i c e c a u s e d b y a j u m p . F o r r a r e ( o n a v e r a g e , o n c e e v e r y t h r e e e a r s i n t h i s c a s e ) a n d s u b s t a n t i a l j u m p s , t h i s n u m b e r d o e s n o t s e e m i m p l a u s i b l e . C e r t a i n 2 i n d o f g r o w t h s t o c k s m a y h a v e m o r e v o l a t i l e j u m p s . F o r c o m p a r i s o n r e a s o n , (cid:27) = 0 :2 5 w i l l (cid:25) l s o b e u s e d i n s i m u l a t i o n s . T h e m a i n p u r p o s e o f o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s i s t o p r o v i d e r e a d e r s w i t h s o m e (cid:13) a v o r o r o n c e p t u a l i n s i g h t a b o u t t h e p o t e n t i a l i m p a c t o f t h e j u m p r i s k o n o p t i o n p r i c e s . T h e s e s i m l a t i o n s a r e n o t s u b s t i t u t e s f o r f u r t h e r e m p i r i c a l s t u d i e s . A r i g o r o u s e m p i r i c a l v e r i (cid:12) c a t i o n f t h e m o d e l i s h e l p f u l , a n d i s b e s t t r e a t e d a s a s u b j e c t f o r a s e p a r a t e p a p e r . . 2 . 1 A t - t h e - M o n e y C a l l O p t i o n s a b l e 1 i l l u s t r a t e s t h e e (cid:11) e c t o f t h e j u m p r i s k o n t h e p r i c e o f a t - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n s i t h t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e r e m a i n i n g c o n s t a n t . F o r d o w n - a n d - o u t c a l l p t i o n s , j u m p s g e n e r a l l y l o w e r t h e p r i c e o f s h o r t m a t u r i t y o p t i o n s , w h i l e i n c r e a s i n g t h e a l u e o f l o n g m a t u r i t y o p t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e p r i c e o f a 1 / 2 - m o n t h a t - t h e - m o n e y d o w n - 2 n d - o u t c a l l o p t i o n w i t h (cid:27) = 0 :2 5 i s a b o u t $ 0 .3 6 5 , b u t a s i m i l a r o p t i o n w i t h t h e l o g - n o r m a l (cid:25) i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i s v a l u e d a t a s m u c h a s $ 0 .5 8 9 . O n t h e o t h e r h a n d , t h e p r i c e o f a t w o - y e a r 2 t - t h e - m o n e y d o w n - a n d - o u t c a l l w i t h (cid:27) = 0 :2 5 i s a b o u t $ 4 .1 9 , b u t a s i m i l a r o p t i o n w i t h (cid:25) 8
a l o g - n o r m a l d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s i s o n l y w o r t h $ 3 .7 9 . F o r s t a n d a r d a t - t h e - m o n e y E u r o p e a n c a l l s , t h e j u m p r i s k c o n s i s t e n t l y l o w e r s t h e o p t i o n p r i c e s o v e r v a r i o u s m a t u r i t i e s , b u t s u c h e (cid:11) e c t s b e c o m e l e s s i m p o r t a n t w h e n o p t i o n m a t u r i t i e s a r e l o n g e r . T h e t a b l e s u g g e s t s t h a t t h e j u m p r i s k m a y b e f a r m o r e i m p o r t a n t t h a n t h e s e c o n d o r d e r e (cid:11) e c t s i n t h e v a l u a t i o n o f p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s . F o r b a r r i e r o p t i o n s , t h e e (cid:11) e c t s o f t h e j u m p r i s k o p t i o n p r i c e s I g n o r i n g t h e j u m p r i s k m a y d o n o t d i s a p p e a r w i t h t h e l e n g t h e n i n g o f o p t i o n m a t u r i t i e s . le a d t o la r g e b i a s e s i n o p t i o n p r i c e s e v e n i f t h e v o la t i li t i e s o f t h e u n d e r ly i n g a s s e t p r i c e s a r e c o r r e c t ly e s t i m a t e d . T h e (cid:12) n d i n g o f T a b l e 1 t h a t t h e r e l a t i o n b e t w e e n o p t i o n p r i c e s o v e r s h o r t m a t u r i t i e s i s r e v e r s e d o v e r l o n g e r m a t u r i t i e s i s s u r p r i s i n g . S i n c e t h i s r e s u l t i s n o t f o u n d f o r t h e p r i c e s o f s t a n d a r d E u r o p e a n o p t i o n s , i t l i k e l y h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h k n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s . A d e t a i l e d a n a l y s i s i s i n o r d e r . T a b l e 2 s h o w s t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s o f o p t i o n s w i t h d i (cid:11) e r e n t v o l a t i l i t i e s o f t h e 2 j u m p a m p l i t u d e , (cid:27) . T h e t a b l e i l l u s t r a t e s a p a t t e r n o f k n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s w h i c h r o u g h l y (cid:25) m a t c h e s t h e p a t t e r n o f t h e p r i c e s o f d o w n - a n d - o u t c a l l o p t i o n s : H o l d i n g c o n s t a n t t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e S , o v e r s h o r t m a t u r i t i e s , a n o p t i o n w i t h a m o r e v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t i s m o r e l i k e l y t o b e k n o c k e d - o u t t h a n i s a n o p t i o n w i t h a m o r e v o l a t i l e d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t ; o v e r l o n g e r m a t u r i t i e s , t h e r e l a t i o n i s r e v e r s e d : A n i n c r e a s e i n t h e j u m p v o l a t i l i t y (cid:27) c a n s u b s t a n t i a l l y r e d u c e t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y o f l o n g - t e r m o p t i o n s . (cid:25) C o n s i d e r a t w o y e a r k n o c k - o u t c a l l a s a n e x a m p l e . U n d e r o u r p a r a m e t r i c s p e c i (cid:12) c a t i o n , w h e n (cid:27) = 0 , t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y i s 0 .6 5 , b u t w h e n (cid:27) = 0 :2 5 , t h i s p r o b a b i l i t y i s o n l y (cid:25) (cid:25) 0 .4 5 . B e c a u s e a d i (cid:11) u s i o n c o m p o n e n t i s m u c h l e s s l i k e l y t o p r o d u c e a l a r g e c h a n g e i n t h e a s s e t p r i c e S o v e r a s h o r t p e r i o d , a s h o r t - m a t u r i t y o p t i o n w i t h a m o r e v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t i s m o r e l i k e l y t o b e k n o c k e d o u t t h a n i s a s a m e m a t u r i t y o p t i o n w i t h a l e s s v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t . W h a t i s i n t e r e s t i n g h e r e i s t h a t f o r l o n g m a t u r i t y o p t i o n s , a h i g h j u m p v o l a t i l i t y i s g e n e r a l l y a s s o c i a t e d w i t h a l o w k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y . W e n o w o u t l i n e s o m e i n t u i t i o n f o r t h i s r e s u l t . 9
o H p s A i a t r p j (cid:27) b f m t p t i e F o r a g i v e n T > 0 w h i c h i s n o t v e r y s m a l l i n m a g n i t u d e , a n i n c r e a s e i n t h e v o l a t i l i t y f a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s c a n s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y d u r i n g [0 ; T ]. o w e v e r , f o r a j u m p p r o c e s s , t h e e (cid:11) e c t o f t h e j u m p s i z e v o l a t i l i t y (cid:27) o n t h e k n o c k - o u t (cid:25) r o b a b i l i t y i s l a r g e l y l i m i t e d b y t h e j u m p i n t e n s i t y (cid:21) . I f (cid:21) i s v e r y s m a l l s u c h t h a t (cid:21) T i s a l s o m a l l , t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s a t l e a s t o n e j u m p i n p e r i o d [0 ; T ] i s a p p r o x i m a t e l y (cid:21) T . 2 s a r e s u l t , n o m a t t e r h o w l a r g e t h e j u m p s i z e v o l a t i l i t y (cid:27) i s , t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y (cid:25) n p e r i o d [0 ; T ] c a u s e d b y t h e j u m p p r o c e s s i s a l w a y s s m a l l e r t h a n (cid:21) T , e v e n t h o u g h (cid:21) T i s 2 l r e a d y s m a l l . I n t h i s c a s e , a n i n c r e a s e i n (cid:27) m a i n l y a (cid:11) e c t s t h e v a l u e o f a s s e t a t k n o c k - o u t (cid:25) i m e b u t h a s a v e r y s m a l l e (cid:11) e c t o n t h e k n o c k - o u t p r o b a b i l i t y . T h i s i n t u i t i o n i s m a d e m o r e i g o r o u s i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . C o n s i d e r t w o e x t r e m e S p r o c e s s e s f o r i l l u s t r a t i o n . T h e (cid:12) r s t o n e i s a p u r e d i (cid:11) u s i o n 2 r o c e s s w i t h t h e v o l a t i l i t y (cid:27) a n d t h e s e c o n d o n e i s a p u r e j u m p p r o c e s s w i t h a s m a l l 2 u m p i n t e n s i t y (cid:21) a n d a l a r g e v o l a t i l i t y o f j u m p a m p l i t u d e (cid:27) := V a r ( l n ( (cid:5) ) ) . I a s s u m e t h a t (cid:25) 2 2 = (cid:21) (cid:27) = 0 :0 1 , w h i c h i s t h e s a m e a s t h e v o l a t i l i t y o f l n ( S ) u s e d i n T a b l e 2 . (cid:25) (cid:1) D e n o t e D ( T ) a s t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e t o t h e a r r i e r H f o r t h e p u r e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s a n d d e n o t e J ( T ) a s t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n u n c t i o n o f t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e t o t h e b a r r i e r f o r t h e p u r e j u m p p r o c e s s , w h e r e T i s t h e a t u r i t y t i m e . U s i n g t h e r e s u l t o f H a r r i s o n ( 1 9 9 0 ) , w e h a v e 2 l n ( S = H ) + ( r (cid:27) = 2 ) T D ( T ) = N (cid:0) p (cid:0) (cid:27) T ! 2 2 r l n ( S = H ) ( r (cid:27) = 2 ) T (cid:0) ( 1 ) 2 (cid:27) + ( S = H ) N : ( 1 1 ) (cid:0) (cid:0) p (cid:0) (cid:27) T ! A s s u m i n g t h a t S = 2 0 a t t i m e z e r o a n d H = 1 6 a s i n T a b l e 2 , w e o b t a i n i m m e d i a t e l y h a t D ( 1 = 4 ) = 0 :0 0 0 0 1 a n d D ( 1 8 ) = 0 :5 9 9 . T h e r e i s n o e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r J ( T ) . H o w e v e r , i n a p u r e j u m p p r o c e s s w i t h a o s i t i v e d r i f t , c r o s s i n g t h e b a r r i e r m u s t b e c a u s e d b y j u m p s . A s s u m e t h a t (cid:21) = 0 :0 3 a n d 2 h a t (cid:27) = 0 :0 1 = 0 :0 3 = 1 = 3 . I f T = 1 = 4 ( o n e m o n t h ) , t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f o n e j u m p (cid:25) n [0 ; T ] i s a b o u t (cid:21) T = 0 :0 0 7 5 a n d t h e p r o b a b i l i t y o f t w o o r m o r e j u m p s i n [0 ; T ] i s s m a l l n o u g h t o i g n o r e . I f a j u m p o c c u r s a t t i m e t < 1 = 4 a n d t h e r e a r e n o o t h e r j u m p s b e f o r e t , 1 0
t h e p r o b a b i l i t y t h a t S f a l l s t o o r b e l o w H i s t N ( l n ( S = H ) = (cid:27) ) = N ( l n ( 2 0 = 1 6 ) = 1 = 3 ) = 0 :3 5 : (cid:25) (cid:0) (cid:0) q A s a r e s u l t , w e h a v e J ( 1 = 4 ) 0 :0 0 7 5 0 :3 5 = 0 :0 0 3 . (cid:25) (cid:2) N o w l e t ’s c o n s i d e r T = 1 8 . T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s n o j u m p i n t h e t i m e i n t e r v a l [0 ; T ] i s e x p ( (cid:21) T ) = e x p ( 0 :0 3 1 8 ) = 0 :5 8 3 : (cid:0) (cid:0) (cid:2) T h a t i s , t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e a r e o n e o r m o r e j u m p s i n [0 ; T ] i s 1 0 :5 8 3 = 0 :4 1 7 . (cid:0) D e n o t e d < 1 a s t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f c r o s s i n g t h e b a r r i e r i f t h e r e a r e j u m p s . T h e n w e h a v e J ( 1 8 ) = 0 :4 1 7 d 0 :5 9 9 : (cid:1) (cid:28) F r o m t h e a b o v e e x a m p l e s , w e s e e t h a t J ( 1 = 4 ) D ( 1 = 4 ) a n d t h a t J ( 1 8 ) D ( 1 8 ) . T h a t (cid:29) (cid:28) i s , a j u m p p r o c e s s i s m o r e l i k e l y t h a n i s a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s t o c a u s e a k n o c k - o u t o v e r a s h o r t h o r i z o n b u t l e s s l i k e l y t o c a u s e a k n o c k - o u t o v e r a l o n g h o r i z o n . 2 . 2 . 2 I n - t h e - M o n e y a n d O u t - o f - t h e - M o n e y O p t i o n s T a b l e s 3 a n d 4 r e p o r t t h e e x a m p l e p r i c e s o f t h e i n - t h e - m o n e y a n d t h e o u t - o f - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n s . L e t ’s d i s c u s s i n - t h e - m o n e y o p t i o n s (cid:12) r s t . F o r o p t i o n s w i t h v e r y s h o r t m a t u r i t i e s , k n o c k o u t p r o b a b i l i t i e s a r e v e r y l o w s o t h a t t h e p r i c e s o f t h e s t a n d a r d o p t i o n s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b a r r i e r o p t i o n s a r e v e r y c l o s e . A s m a t u r i t i e s b e c o m e l o n g e r , t h e p r i c e s o f t h e s t a n d a r d o p t i o n s a n d t h e b a r r i e r o p t i o n s d i s p l a y d i (cid:11) e r e n t p a t t e r n s . S i m i l a r t o t h e a t - t h e - m o n e y c a s e s s h o w n i n T a b l e 1 , t h e v a l u e s o f t h e i n - t h e - m o n e y s t a n d a r d E u r o p e a n c a l l o p t i o n s w i t h j u m p s t e n d t o b e l o w e r t h a n t h o s e o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a t u r i t y o p t i o n s w i t h c o n t i n u o u s d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s . H o l d i n g c o n s t a n t t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e , t h e p r i c e s o f o p t i o n s b e c o m e i n s e n s i t i v e t o t h e j u m p r i s k w h e n o p t i o n m a t u r i t i e s a r e s u (cid:14) c i e n t l y l o n g . F o r t h e b a r r i e r o p t i o n s , j u m p s r e d u c e t h e o p t i o n v a l u e s i n t h e m e d i u m r a n g e o f m a t u r i t i e s , s a m e a s t h a t w h i c h h a p p e n s t o 1 1
t o i k k r r m s v p c m o t o d t o c h e s t a n d a r d i n - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n s . T h i s i s b e c a u s e w i t h t h e s e m a t u r i t i e s , t h e k n o c k u t p r o b a b i l i t i e s h a v e n o t b e c o m e l a r g e e n o u g h t o c h a n g e t h e p r o p e r t i e s o f b a r r i e r o p t i o n s n h e r i t e d f r o m t h e i r s t a n d a r d c o u n t e r p a r t s . A s t h e m a t u r i t i e s b e c o m e l o n g e n o u g h , t h e n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s o f o p t i o n s w i t h d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s b e c o m e m u c h l a r g e r t h a n t h e 2 n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s o f o p t i o n s w i t h j u m p s , h o l d i n g (cid:27) c o n s t a n t ( S e e T a b l e 2 ) . A s a S e s u l t , t h e o p t i o n s w i t h m o r e v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t s b e c o m e m o r e v a l u a b l e . W e n o w c o n s i d e r o u t - o f - t h e - m o n e y c a l l s . F o r b o t h t h e s t a n d a r d a n d t h e d o w n - a n d - o u t o u t - o f - t h e - m o n e y c a l l s , j u m p s g e n e r a l l y a i s e t h e v a l u e o f o p t i o n s n e a r e x p i r a t i o n . T h i s i s b e c a u s e t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e s w i t h o r e v o l a t i l e j u m p c o m p o n e n t s a r e m o r e l i k e l y t o m o v e a s u (cid:14) c i e n t d i s t a n c e t o p a s s t h e t r i k e p r i c e X ( X > S ) i n a s h o r t p e r i o d , a s d i s c u s s e d e a r l i e r . A s m a t u r i t i e s g e t l o n g e r , t h e s t a n d a r d o u t - o f - t h e - m o n e y c a l l s w i t h j u m p s b e c o m e l e s s a l u a b l e , b e c a u s e a s w a s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y , t h e d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s e s a r e m o r e l i k e l y t o a s s a t h r e s h o l d l e v e l ( X i n t h i s s i t u a t i o n ) i n a r e l a t i v e l y l o n g p e r i o d . F o r d o w n - a n d - o u t a l l s , t h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d . J u m p s h a v e t w o o p p o s i t e e (cid:11) e c t s o n o u t - o f - t h e o n e y o p t i o n v a l u e s . O n t h e o n e h a n d , s i m i l a r t o t h a t w h i c h o c c u r s w i t h t h e s t a n d a r d u t - o f - t h e - m o n e y c a l l s , j u m p s t e n d t o l o w e r o p t i o n v a l u e s b y r e d u c i n g t h e p r o b a b i l i t y t h a t h e u n d e r l y i n g a s s e t w i l l c r o s s t h e s t r i k e p r i c e X . O n t h e o t h e r h a n d , j u m p s m a y i n c r e a s e p t i o n v a l u e s b y r e d u c i n g k n o c k - o u t p r o b a b i l i t i e s , a s s h o w n i n T a b l e 2 . T h e n e t i m p a c t e p e n d s o n t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e s e t w o e (cid:11) e c t s . I n t h e e x a m p l e s h o w n i n T a b l e 4 , h e (cid:12) r s t e (cid:11) e c t d o m i n a t e s o v e r m e d i u m h o r i z o n s a n d t h e s e c o n d e (cid:11) e c t i s m o r e i m p o r t a n t v e r l o n g h o r i z o n s . A s a r e s u l t , j u m p s r e d u c e t h e p r i c e s o f d o w n - a n d - o u t o u t - o f - t h e - m o n e y a l l s w i t h m e d i u m m a t u r i t i e s b u t i n c r e a s e t h e p r i c e s o f o p t i o n s w i t h l o n g m a t u r i t i e s . 1 2
3 L m a t A T b w i n l I s l g n a a a ( G P r i c i n g L o o k b a c k O p t i o n s o o k b a c k o p t i o n s g i v e t h e h o l d e r t h e r i g h t , a t m a t u r i t y , t o e x e r c i s e t h e o p t i o n a t t h e 5 o s t f a v o r a b l e p r i c e r e a c h e d b y t h e u n d e r l y i n g a s s e t d u r i n g t h e l i f e o f t h e o p t i o n . T a k e l o o k b a c k c a l l o p t i o n a s a n e x a m p l e . I f S i s t h e m i n i m u m p r i c e r e a c h e d a n d S i s m in T h e a s s e t p r i c e a t t h e m a t u r i t y o f t h e o p t i o n , T , t h e p a y o (cid:11) f r o m t h e o p t i o n i s S S . T m in (cid:0) Q c c o r d i n g t o L e m m a 1 , t h e p r i c e o f t h i s o p t i o n i s e x p ( r T ) E [S S ]. T m in (cid:0) (cid:0) h e o r e m 2 U s i n g t h e s a m e a p p r o a c h a s i n T h e o r e m 1 , t h e p r i c e o f a lo o k b a c k o p t i o n c a n e e x p r e s s e d a s (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) Q ) ]; ( 1 2 ) L B ( S ; S M ; T ) = e x p ( r T ) l i m E [S m i n ( S M ; S ; S ; ; S n 0 1 T t t t ! 1 n (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:1) h e r e i s t h e m i n i m u m a s s e t p r i c e r e a c h e d t o d a t e a n d a l l o t h e r n o t a t i o n i s d e (cid:12) n e d a s S M n T h e o r e m 1 . T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s s i m i l a r t o t h a t o f T h e o r e m 1 . B a s e d o n t h i s t h e o r e m , a u m e r i c a l a p p r o a c h s i m i l a r t o t h e o n e u s e d t o v a l u e b a r r i e r o p t i o n s c a n b e u s e d t o v a l u e o o k b a c k o p t i o n s . T a b l e 5 p r e s e n t s a n u m e r i c a l e x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e e (cid:11) e c t s o f j u m p s o n l o o k b a c k s . 2 n t h i s t a b l e , t h e v o l a t i l i t y o f s t o c k p r i c e (cid:27) i s (cid:12) x e d a t a c o n s t a n t l e v e l 0 :0 1 . T h e T a b l e S h o w s t h a t j u m p s g e n e r a l l y r e d u c e t h e p r i c e o f l o o k b a c k c a l l o p t i o n s . F o r s h o r t m a t u r i t y o o k b a c k s , j u m p s h a v e a r e l a t i v e l y s m a l l i m p a c t o n o p t i o n p r i c e s , b u t w h e n o p t i o n m a t u r i t i e s e t r e l a t i v e l y l o n g , j u m p s w i l l a (cid:11) e c t o p t i o n p r i c e s s i g n i (cid:12) c a n t l y . M o r e s p e c i (cid:12) c a l l y , i n t h e u m e r i c a l e x a m p l e s h o w n h e r e , a 1 / 2 - m o n t h l o o k b a c k c a l l w i t h l o g - n o r m a l p r o c e s s i s w o r t h 2 b o u t $ 2 .1 2 . W i t h a j u m p - d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , s u c h a n o p t i o n i s v a l u e d a t $ 2 .0 8 i f (cid:27) = 0 :1 0 (cid:25) 2 n d a t $ 2 .0 6 (cid:27) = 0 :2 5 . I f t h e m a t u r i t y o f a l o o k b a c k c a l l b e c o m e s o n e y e a r , i t s p r i c e i s (cid:25) b o u t $ 5 .6 4 w i t h a l o g - n o r m a l p r o c e s s a n d b e c o m e s a s l o w a s $ 4 .7 4 w h e n j u m p s a r e p r e s e n t 2 (cid:21) = 0 :0 3 a n d (cid:27) = 0 :2 5 ) . (cid:25) 5 F o r d e t a ile d d is c u s s io n s o f lo o k b a c k o p t io n s , s e e , fo r e x a m p le , C o n z e a n d V is w a n a t h a n ( 1 9 9 1 ) a n d o ld m a n , S o s in , a n d G a t t o ( 1 9 7 9 ) . 1 3
4 T o j a m o t 5 T w a C o n c l u s i o n s h i s p a p e r p r e s e n t s a g e n e r a l f r a m e w o r k f o r v a l u i n g a v a r i e t y o f p a t h - d e p e n d e p t i o n s i n t h e p r e s e n c e o f j u m p s i n t h e u n d e r l y i n g p r i c e p r o c e s s . I t s h o w s t h a t u m p s m a y l e a d t o s e r i o u s l y b i a s e d o p t i o n s p r i c e s . F o r i n s t a n c e , f o r a t - t h e - m o n n d - o u t b a r r i e r c a l l s , i g n o r i n g j u m p s w i l l l e a d t o u p w a r d b i a s e s i n o p t i o n p r i c e s w a t u r i t i e s , b u t d o w n w a r d b i a s e s i n o p t i o n p r i c e s w i t h l o n g m a t u r i t i e s . F o r l o o k p t i o n s , i g n o r i n g j u m p s w i l l o f t e n l e a d t o u p w a r d b i a s e s i n o p t i o n s p r i c e s , e s p e h o s e w i t h r e l a t i v e l y l o n g m a t u r i t i e s . T h e b i a s e s a r e g e n e r a l l y s i g n i (cid:12) c a n t i n m a g n A p p e n d i x h i s a p p e n d i x o u t l i n e s t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . P r o o f o f T h e o r e m 1 : E q u a t i o n ( 5 ) i m p l i e s t h a t i (cid:20) (cid:0) l n ( S ) l n ( S ) = s + (cid:25) ; i i 1 t t i ij (cid:0) j = 0 X h e r e 2 2 s N ( ( r (cid:27) = 2 (cid:21) (cid:23) ) T = n ; (cid:27) T = n ) ; i (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 (cid:25) N ( (cid:22) ; (cid:27) ) ; ij (cid:25) (cid:25) (cid:24) n d (cid:0) (cid:1) e x p ( (cid:21) T = n ) k k ( T = n ) , k = 0 ; 1 ; : (cid:20) = k ; w i t h p r o b . (cid:21) i k ! (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) S i n c e P r o b ( (cid:20) = k ) = o ( T = n ) f o r k > 1 , b y t h e d e (cid:12) n i t i o n s o f S a n d (cid:10) , w e h a i it Q D A O C ( S ; X ; H ; T ) = e x p ( r T ) E [m a x ( 0 ; S X ) (cid:28) > T ]Q ( (cid:28) > T ) T (cid:0) (cid:0) j Q = l i m e x p ( r T ) E [m a x ( 0 ; S X ) S > H ; i = 1 ; i T t ! 1 n (cid:0) (cid:0) j (cid:1) Q ( S > H ; i = 1 ; ; n ) i t (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) Q > H ; i = 1 ; = l i m e x p ( r T ) E [m a x ( 0 ; S X ) S i T t ! 1 n (cid:0) (cid:0) j (cid:1) (cid:3) Q ( S > H ; i = 1 ; ; n ) i t (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) Q = l i m e x p ( r T ) E [m a x ( 0 ; S X ) (cid:10) ]Q ( (cid:10) ) : T ! 1 n (cid:0) (cid:0) j 1 4 n t e x o t i c i g n o r i n g e y d o w n i t h s h o r t b a c k c a l l c i a l l y f o r i t u d e . ( 1 3 ) v e ; n ] (cid:1) (cid:1) ; n ] (cid:1) (cid:1)
R [1 [2 [3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 [1 0 [1 1 e ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] f e r e n c e s J o u r n a l o f F i - A m i n , K .I .( 1 9 9 3 ) : \ J u m p d i (cid:11) u s i o n o p t i o n v a l u a t i o n i n d i s c r e t e t i m e ," n a n c e 4 8 , 1 8 3 3 - 1 8 6 3 . B a t e s , D .S .( 1 9 9 1 ) : \ T h e c r a s h o f ’8 7 : W a s i t e x p e c t e d ? T h e e v i d e n c e f r o m o p t i o n s J o u r n a l o f F i n a n c e m a r k e t s ," 4 6 , 1 0 0 9 - 1 0 4 4 . B a t e s , D .S .( 1 9 9 6 ) : \ J u m p s a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y : E x c h a n g e r a t e p r o c e s s e s i m p l i c i t R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s i n D e u t s c h e M a r k o p t i o n s ," 9 , 6 9 - 1 0 7 . B a l l , C . a n d W . T o r o u s ( 1 9 8 5 ) : \ O n j u m p s i n c o m m o n s t o c k p r i c e s a n d t h e i r i m p a c t J o u r n a l o f F i n a n c e o n c a l l o p t i o n p r i c i n g ," 4 0 , 1 5 5 - 1 7 3 . F i n a n c i a l A n a ly s t s J o u r n a l B l a c k , F .( 1 9 7 5 ) : \ F a c t a n d f a n t a s y i n t h e u s e o f o p t i o n s ," 3 1 ( J u l y / A u g u s t 1 9 7 5 ) , 3 6 - 7 2 . B o y l e , P .P . a n d S .H . L a u ( 1 9 9 4 ) : \ B u m p i n g u p a g a i n s t t h e b a r r i e r w i t h t h e b i n o m i a l J o u r n a l o f D e r i v a t i v e s m e t h o d ," , S u m m e r 1 9 9 4 , 6 - 1 4 . C h i d a m b a r a n , N .K . a n d S . F i g l e w s k i ( 1 9 9 5 ) : \ S t r e a m l i n i n g M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n J o u r n a l w i t h t h e q u a s i - a n a l y t i c m e t h o d : A n a l y s i s o f a p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s t r a t e g y ," o f D e r i v a t i v e s , W i n t e r 1 9 9 5 , 2 9 - 5 2 . C o n z e , A . a n d V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 1 ) : \ P a t h d e p e n d e n t o p t i o n s : T h e c a s e o f l o o k b a c k J o u r n a l o f F i n a n c e o p t i o n s ," 4 6 , 1 8 9 3 - 1 9 0 7 . C o x , J .C . a n d S .A . R o s s ( 1 9 7 6 ) : \ T h e v a l u a t i o n o f o p t i o n s f o r a l t e r n a t i v e s t o c h a s t i c J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s p r o c e s s e s ," 3 , 1 4 5 - 1 6 6 . D a s , S .R ., S . F o r e s i , a n d R .K . S u n d a r a m ( 1 9 9 6 ) : \ M o d e l i n g a s s e t p r i c e p r o c e s s e s i n (cid:12) n a n c e ," p r e p r i n t . G e m a n , H . a n d M . Y o r ( 1 9 9 6 ) : \ P r i c i n g a n d h e d g i n g d o u b l e - b a r r i e r o p t i o n s : A p r o b a - M a t h e m a t i c a l F i n a n c e b i l i s t i c a p p r o a c h ," 6 , 3 6 5 - 3 7 8 . 1 5
[1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [2 [2 [2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] G a H i H J J R K 1 M o M d R A R 1 R 1 o l d m a n , M .B ., H .B . S o s i n , a n d M .A . G a t t o ( 1 9 7 9 ) : \ P a t h d e p e n d e n t o p t i o n s : ‘B u y J o u r n a l o f F i n a n c e t t h e l o w , s e l l a t t h e h i g h ’," 3 4 , 1 1 1 1 - 1 1 2 7 . B r o w n i a n m o t i o n a n d s t o c h a s t i c (cid:13) o w s y s t e m s a r r i s o n , J .M .( 1 9 9 0 ) : , K r i e g e r P u b l i s h n g C o m p a n y : F l o r i d a . C r o s s i n g b a r r i e r s R i s k e y n e n , H . a n d H . K a t ( 1 9 9 4 ) : , , J u n e 1 9 9 4 , 4 6 - 5 1 . O p t i o n P r i c i n g a r r o w , R .A . a n d A . R u d d ( 1 9 8 3 ) : , I r w i n . o r i o n , P .( 1 9 8 8 ) : \ O n j u m p p r o c e s s e s i n t h e f o r e i g n e x c h a n g e a n d s t o c k m a r k e t s ," e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 1 , 4 2 7 - 4 4 5 . J o u r n a l o f F i n a n c e o n , S .J .( 1 9 8 4 ) : \ M o d e l s o f s t o c k r e t u r n s | A c o m p a r i s o n ," 3 9 , 4 7 - 1 6 5 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 6 a ) : \ O p t i o n p r i c i n g w h e n u n d e r l y i n g s t o c k r e t u r n s a r e d i s c o n t i n u - J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s u s ," 3 , 1 2 5 - 1 4 4 . e r t o n , R .C .( 1 9 7 6 b ) : \ T h e i m p a c t o n o p t i o n p r i c i n g o f s p e c i (cid:12) c a t i o n e r r o r i n t h e u n - J o u r n a l o f F i n a n c e e r l y i n g s t o c k p r i c e r e t u r n s ," 3 1 , 3 3 3 - 3 5 0 . i c h , D .R .( 1 9 9 4 ) : \ T h e m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n s o f b a r r i e r o p t i o n - p r i c i n g t h e o r y ," d v a n c e s i n F u t u r e s a n d O p t i o n s R e s e a r c h 7 , 2 6 7 - 3 1 2 . J o u r n a l o f D e r i v a t i v e s i t c h k e n , P .( 1 9 9 5 ) : \ O n p r i c i n g b a r r i e r o p t i o n s ," , W i n t e r 1 9 9 5 , 9 - 2 8 . B r e a k i n g d o w n t h e b a r r i e r s R i s k u b i n s t e i n , M . a n d E . R e i n e r ( 1 9 9 1 ) : , , S e p t e m b e r 9 9 1 , 2 8 - 3 5 . 1 6
T X T q a M (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) a u M (cid:27) (cid:27) (cid:27) P b l e 1 : = 2 0 , (cid:21) a t u r i t y 2 = 0 :0 (cid:25) 2 = 0 :1 (cid:25) 2 = 0 :2 (cid:25) 2 = 0 :0 (cid:25) 2 = 0 :1 (cid:25) 2 = 0 :2 (cid:25) K b l e 2 : e n c y ) . a t u r i t y 2 = 0 :0 (cid:25) 2 = 0 :2 (cid:25) 2 = 0 :5 (cid:25) r = 0 0 5 0 0 5 n S 0 5 0 i c e s o f 0 :0 3 , (cid:22) 1 / 4 0 .4 1 1 0 .3 6 2 0 .2 4 2 0 .4 1 1 0 .3 6 3 0 .2 4 3 o c k - o u = 2 0 , H 1 / 4 0 .0 0 0 0 .0 0 2 0 .0 0 3 (cid:25) t A = 0 0 0 0 0 0 P = 0 0 0 t - t h e - M o n e y C a 2 0 , (cid:27) = 0 : 1 , (cid:27) = S 1 / 2 1 2 D o w n - a n d - O u t .5 8 9 0 .8 4 6 1 .2 2 .5 2 2 0 .7 6 5 1 .1 4 .3 6 5 0 .5 5 8 0 .8 6 S t a n d a r d E u .5 8 9 0 .8 4 6 1 .2 2 .5 2 9 0 .7 7 6 1 .1 4 .3 6 7 0 .5 6 5 0 .8 8 r o b a b i l i t i e s o f D 1 6 , (cid:21) = 0 :0 3 , (cid:22) (cid:25) 1 / 2 1 2 .0 0 2 0 .0 2 6 0 .1 1 .0 0 4 0 .0 1 4 0 .0 6 .0 0 5 0 .0 1 1 0 .0 2 l l (cid:27) C 3 1 9 r o 4 7 3 o = 5 6 3 O 2 S (cid:0) a l l 1 1 1 p e 1 1 1 w n 0 , 0 0 0 1 7 p t i o n s ( M o 2 (cid:21) (cid:27) . (cid:25) 3 6 O p t i o n s ( H .5 1 8 2 .1 6 0 .4 3 1 2 .1 1 5 .1 4 0 1 .8 0 7 a n C a l l O p t i .5 2 4 2 .2 3 1 .4 4 6 2 .1 6 0 .1 5 5 1 .8 4 2 - a n d - O u t C 2 (cid:27) = 0 :1 , (cid:27) S 3 6 .1 9 8 0 .3 6 2 .1 3 3 0 .2 8 9 .0 4 1 0 .1 2 0 n = o = t h l y 9 1 6 ) 2 .6 0 2 .5 8 2 .3 7 n s 2 .7 9 2 .7 3 2 .4 2 a l l O 2 (cid:27) S 9 0 .4 5 0 .3 8 0 .2 0 3 0 6 8 5 2 (cid:0) 7 8 3 p F t (cid:21) r e 2 2 2 3 3 2 i o (cid:27) 0 0 0 n 1 .9 .9 .8 .2 .2 .9 n 2 (cid:25) 1 .5 .4 .2 q 2 3 5 4 9 3 3 s . 2 1 5 7 u 7 8 0 2 6 9 ( 9 5 3 e M n 3 3 3 4 4 3 0 0 0 c y ) . 1 8 .4 3 0 .5 2 7 .5 7 3 .1 4 7 .1 0 3 .8 4 5 o n t h 1 8 .5 9 9 .5 4 7 .3 7 8 l S y 3 3 4 4 4 4 0 0 0 = 2 .7 .9 .1 .8 .8 .6 F 2 .6 .6 .4 4 9 3 8 8 5 3 r 4 4 0 5 2 0 0 9 7 9 3 5 e n 9 3 1 , -
T X T X a M (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) a M (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) b l e = 1 a t 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) b l e = 2 a t 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 2 = (cid:25) 3 7 u 4 3 u P : :5 , r i t y 0 :0 0 :1 0 :2 0 :0 0 :1 0 :2 P : , (cid:21) r i t y 0 :0 0 :1 0 :2 0 :0 0 :1 0 :2 (cid:21) 0 0 5 0 0 5 r = 0 0 5 0 0 5 r i i c e s o f = 0 :0 3 , 1 / 4 2 .5 2 3 2 .5 2 7 2 .5 3 5 2 .5 2 9 2 .5 2 9 2 .5 3 6 c e s o f O 0 :0 3 , (cid:22) 1 / 4 0 .0 0 1 0 .0 1 4 0 .0 3 2 0 .0 0 1 0 .0 1 4 0 .0 3 3 I n - t h e - M o n e y C a l l 2 (cid:22) = 0 , (cid:27) = 0 :1 , (cid:27) = (cid:25) S 1 / 2 1 2 D o w n - a n d - O u t C 2 .5 5 7 2 .6 5 7 2 .8 7 5 2 .5 6 3 2 .6 4 2 2 .8 4 9 2 .5 7 0 2 .6 4 0 2 .7 9 3 S t a n d a r d E u r o 2 .5 5 7 2 .6 5 8 2 .8 8 7 2 .5 6 4 2 .6 5 2 2 .8 6 1 2 .5 7 2 2 .6 4 4 2 .7 9 9 u t - o f - t h e - M o n e y C a 2 = 0 , (cid:27) = 0 :1 , (cid:27) = (cid:27) (cid:25) S 1 / 2 1 2 D o w n - a n d - O u t C 0 .0 1 5 0 .0 8 8 0 .2 9 3 0 .0 3 2 0 .0 9 5 0 .2 8 0 0 .0 6 4 0 .1 2 4 0 .2 6 9 S t a n d a r d E u r o 0 .0 1 5 0 .0 8 8 0 .2 9 3 0 .0 3 3 0 .0 9 6 0 .2 8 2 0 .0 6 5 0 .1 3 1 0 .2 7 5 O p t i o n s ( M o 2 2 (cid:27) (cid:21) (cid:27) . (cid:25) S (cid:0) 3 6 a l l O p t i o n s ( H 3 .0 6 4 3 .4 7 4 3 .0 4 5 3 .5 1 7 2 .9 4 2 3 .4 1 9 p e a n C a l l O p t i 3 .1 0 9 3 .6 9 5 3 .0 7 1 3 .6 4 7 2 .9 6 2 3 .4 5 9 l l O p t i o n s ( M 2 2 (cid:21) (cid:27) . (cid:25) S (cid:0) 3 6 a l l O p t i o n s ( H 0 .5 0 7 1 .0 8 8 0 .4 7 8 1 .0 4 6 0 .4 1 8 0 .9 1 0 p e a n C a l l O p t i 0 .5 0 8 1 .1 0 5 0 .4 8 3 1 .0 6 6 0 .4 3 3 0 .9 3 3 1 8 n t h l y 9 = 1 6 ) 3 .7 5 3 .8 2 3 .8 6 o n s 4 .1 9 4 .1 4 3 .9 3 o n t h 9 = 1 6 ) 1 .5 6 1 .5 1 1 .3 9 o n s 1 .6 3 1 .5 9 1 .4 2 4 8 3 7 9 2 l 1 5 8 2 1 4 y F r F e 3 4 4 4 4 4 r 1 1 1 2 2 1 n 1 .9 .0 .2 .6 .5 .3 e 1 .9 .9 .8 .1 .0 .8 q 2 6 9 0 4 9 7 n 2 4 2 2 0 7 9 u 6 1 8 4 8 3 q 9 5 0 9 0 1 e u n e c y ) 1 8 4 .2 8 4 .4 7 4 .7 7 5 .4 2 5 .3 8 5 .1 7 n c y 1 8 2 .5 4 2 .5 8 2 .5 5 2 .9 5 2 .9 2 2 .7 5 . 7 8 6 9 9 5 ) 9 5 1 9 5 3 . S 4 4 5 6 6 5 S 3 3 3 3 3 3 = 2 .5 .7 .2 .1 .0 .8 = 2 .0 .0 .2 .7 .6 .5 4 3 6 7 1 8 9 4 0 8 1 1 8 3 2 1 1 1 5 2 0 2 3 6 2 2 4 2 0 0 , ,
T 1 a 8 b , l (cid:21) e = 5 : 0 M 2 (cid:27) (cid:25) 2 (cid:27) (cid:25) 2 (cid:27) (cid:25) P r :1 , a t u = = = i c (cid:22) r 0 0 0 e s = (cid:25) i t y :0 0 :1 0 :2 5 o f 0 , ( y r L (cid:27) s ) o 2 S o k b = 0 1 / 2 .0 2 .0 2 .0 a c :2 5 4 3 4 2 0 0 6 k 2 , C a 2 (cid:27) 1 / 2 .1 2 .0 2 .0 l l = 2 1 9 8 4 6 1 O (cid:27) p 2 S 2 2 2 t i o n s 2 (cid:21) (cid:27) (cid:25) (cid:0) 1 .3 4 7 .2 4 3 .1 5 4 1 9 ( . 2 2 2 M 2 .8 .6 .4 0 8 1 o 2 2 0 n t h 3 3 2 l y 3 .2 .0 .6 0 2 5 F 6 4 1 r e n 4 3 3 q 6 .1 .9 .3 u 9 5 5 e 2 6 8 n c 4 4 4 y ) 9 .9 .6 .1 . 7 2 0 7 5 3 S = 5 5 4 2 0 1 2 .6 4 .2 9 .7 3 , 2 1 8 S M =
Cite this document
Chunsheng Zhou (1997). Path-Dependent Option Valuation when the Underlying Path Is Discontinuous (FEDS 1997-16). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-16
@techreport{wtfs_feds_1997_16,
author = {Chunsheng Zhou},
title = {Path-Dependent Option Valuation when the Underlying Path Is Discontinuous},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1997-16},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1997},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-16},
abstract = {The payoffs of path-dependent options depend not only on the final values, but also on the sample paths of the prices of the underlying assets. A rigorous modeling of the underlying asset price processes which can appropriately describe the sample paths is therefore critical for pricing path-dependent options. This paper allows for discontinuities in the sample paths of the underlying asset prices by assuming that these prices follow jump diffusion processes. A general yet tractable approach is presented to value a variety of path-dependent options with discontinuous processes. The numerical examples show that ignoring the jump risk may lead to serious biases in path-dependent option pricing.},
}