feds · April 30, 1997

Extracting Information from Trading Volume

Abstract

This paper shows how to infer information about any random variable from trading volume, assuming that the random variable and the traders' demands are symmetrically (and then normally) distributed around zero. The volume-based conditional expectation of such a random variable is zero, while the covariance between its absolute value and volume is positive if the variable is jointly normally distributed with the traders' demands. In that case, numerical examples indicate that the volume-based conditional probability of extreme asset value realizations (positive or negative) increases with volume. These results, developed in a market-clearing framework, apply also to market-making frameworks. Finally, the paper develops a simple model where transaction costs can generate a positive covariance between price and trading volume.

6 n 4 e 8 c (cid:3) S e n d c 3 ; fa x : e s s a r ily E o r r e s p o 2 0 2 - 4 5 2 r e (cid:13) e c t x n d - 2 t h t r a B D r a e n c e 3 0 1 ; o s e o c t i n g I n o a r d o f G f t , P l e a s e t o F e d e r a l R e m a il: m 1 d y f t h e B o a r d f o o v d o e s d 9 o f r m a t i o n f r o m T r a d i n g D o m i n i q u e D u p o n t M o n e t a r y A (cid:11) a i r s e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e n o t q u o t e w i t h o u t a u t h o r ’ s p M a r c h 1 9 9 6 R e v i s e d M a r c h 1 9 9 7 e r v e B o a r d , M a il S t o p 7 0 , W a s h in g 9 @ fr b .g o v . T h e v ie w s e x p r e s s e d h e G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S V o l u S y s t e m e r m i s s t o n D .C r e in a r e y s t e m . m i o n . 2 0 t h e e 5 5 a (cid:3) 1 ; u t p h h o r o n ’s e a : n 2 d 0 2 d o 4 5 n 2 o t

T c d h I a c c d j w p i f h a m A b s t r a c t h i s p a p e r s h o w s h o w t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n f r o m e q u i l i b r i u m t r a d i n g v o l u m e . T h e a n a l y s i s i s (cid:12) r s t a r r i e d o u t i n a m a r k e t - c l e a r i n g f r a m e w o r k w i t h s y m m e t r i c a l l y ( a n d l a t e r n o r m a l l y ) d i s t r i b u t e d e m a n d s , a n d i s t h e n e x t e n d e d t o i n c l u d e m a r k e t - m a k i n g m o d e l s . T h e c o n c l u s i o n s o f t h i s p a p e r e n c e a p p l y t o t h e m a j o r i t y o f t h e m o d e l s d e v e l o p e d i n t h e n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s l i t e r a t u r e . f a r a n d o m v a r i a b l e i s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a r o u n d z e r o a n d t h e s s e t m a r k e t c l e a r s , t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h i s v a r i a b l e i s s y m m e t r i c , a n d o n s e q u e n t l y i t s c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n b a s e d o n v o l u m e i s z e r o . T h e r a n d o m v a r i a b l e u n d e r o n s i d e r a t i o n m a y b e t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t , t h e p r i c e o r , i n a d y n a m i c m o d e l , t h e p r i c e i (cid:11) e r e n c e . T h e p a p e r f u r t h e r p r o v e s t h a t t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f a n y v a r i a b l e o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a n d t h e e q u i l i b r i u m v o l u m e i s p o s i t i v e , h i c h a g r e e s w i t h t h e e m p i r i c a l e v i d e n c e o f a p o s i t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r i c e d i (cid:11) e r e n c e a n d v o l u m e . F u r t h e r m o r e , n u m e r i c a l e x a m p l e s i n d i c a t e t h a t , w h e n t h e a s s e t v a l u e s j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s , t h e p r o b a b i l i t y o f e x t r e m e r e a l i z a t i o n s o r t h e a s s e t t r u e v a l u e c o n d i t i o n e d o n v o l u m e i s i n c r e a s i n g i n v o l u m e . T h e p a p e r ’s p r o p o s i t i o n o l d i n m a r k e t - m a k i n g f r a m e w o r k s a s l o n g a s t h e p r i c e , t h e a s s e t v a l u e a n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s r e s y m m e t r i c a l l y ( r e s p . j o i n t l y n o r m a l l y ) d i s t r i b u t e d . F i n a l l y , t h e p a p e r d e v e l o p s a s i m p l e s t a t i c o d e l w h e r e t r a n s a c t i o n c o s t s c a n i n d u c e a p o s i t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d v o l u m e .

v s t t d t t d t T t p a a s p d d e s m (cid:13) T h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o s t u d y h o w t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n f r o m e q u i l i b r i u m t r a d i n g o l u m e ( d e (cid:12) n e d h e r e a s t h e s u m o f b u y o r d e r s ) u n d e r v e r y g e n e r a l a s s u m p t i o n s , s o t h a t t h e p r o p o i t i o n s d e v e l o p e d i n t h e p a p e r c a n a p p l y t o a b r o a d c l a s s o f m o d e l s . T h e o n l y a s s u m p t i o n s a r e t h a t h e r a n d o m v a r i a b l e a b o u t w h i c h o n e w a n t s t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n a n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s f o r h e a s s e t b e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o ( a n d l a t e r t h a t t h i s v a r i a b l e b e j o i n t l y n o r m a l l y i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s ) , a n d t h a t t h e m a r k e t c l e a r s . T h e r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d o m o s t m a r k e t - m a k i n g e n v i r o n m e n t s , p r o v i d e d s y m m e t r y i s p r e s e r v e d . T h e t r a d e r s ’ u t i l i t y f u n c i o n s , t h e i r m o t i v e s t o t r a d e a n d t h e i r r a t i o n a l i t y c a n b e l e f t u n e x a m i n e d . T h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s e s c r i b e d i n t h e p a p e r h o l d f o r a n y r a n d o m v a r i a b l e s y m m e t r i c a l l y ( a n d t h e n j o i n t l y n o r m a l l y ) d i s r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s . T h e y h o l d i n a s t a t i c f r a m e w o r k a s w e l l a s i n a d y n a m i c o n e . h e r a n d o m v a r i a b l e i n q u e s t i o n c a n b e t h e v a l u e o f t h e a s s e t , i t s p r i c e , o r i n a d y n a m i c m o d e l , h e p r i c e d i (cid:11) e r e n c e . 1 A f t e r a b r i e f r e v i e w o f t h e r e c e n t e m p i r i c a l l i t e r a t u r e o n t h e p r i c e - v o l u m e r e l a t i o n , t h e m a j o r r o p o s i t i o n s a r e i n t r o d u c e d . I t i s t h e n s h o w n t h a t t h e r e s u l t s d e v e l o p e d i n m a r k e t - c l e a r i n g s i t u t i o n s c a n b e e x t e n d e d t o m o s t m a r k e t - m a k i n g f r a m e w o r k s , a s l o n g a s t h e p r i c e , t h e a s s e t v a l u e n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a r e s y m m e t r i c a l l y ( r e s p . j o i n t l y n o r m a l l y ) d i s t r i b u t e d . F i n a l l y , a s i m p l e t a t i c m o d e l i s i n t r o d u c e d w h e r e t r a n s a c t i o n c o s t s ( t a x e s ) c a n i n d u c e a p o s i t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n r i c e a n d v o l u m e . P r o p o s i t i o n ( 1 ) s h o w s t h a t , i f a m e a n - z e r o r a n d o m v a r i a b l e i s s y m m e t r i c a l l y i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a r o u n d z e r o , a n d t h e a s s e t m a r k e t c l e a r s , t h e c o n d i t i o n a l i s t r i b u t i o n o f t h i s v a r i a b l e c o n d i t i o n e d o n v o l u m e i s s y m m e t r i c , a n d c o n s e q u e n t l y i t s c o n d i t i o n a l x p e c t a t i o n b a s e d o n v o l u m e i s z e r o . T h i s r e s u l t i s q u i t e i n t u i t i v e . F o r e x a m p l e , a s v o l u m e i s t h e e x e c u t e d u m o f t h e b u y o r d e r s , a h i g h v o l u m e i n d i c a t e s a l a r g e (cid:13) o w o f b u y o r d e r s . B u t a s t h e a r k e t c l e a r s , t h i s s t r o n g i n (cid:13) u x o f e x e c u t e d b u y o r d e r s c o r r e s p o n d s n e c e s s a r i l y t o a e q u a l l y s t r o n g o w o f e x e c u t e d s e l l o r d e r s . P r o p o s i t i o n ( 4 ) s h o w s t h a t , i f a m e a n - z e r o r a n d o m v a r i a b l e i s j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h 1 F o r a n e x t e n s iv e r e v ie w o f t h e lit e r a t u r e b e fo r e 1 9 8 7 , s e e K a r p o (cid:11) ( 1 9 8 7 ) . 1

t v d a d i y o F m i t t f a a i t S o v f p i a c h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a n d t h e a s s e t m a r k e t c l e a r s , t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h i s a r i a b l e a n d t r a d i n g v o l u m e i s p o s i t i v e , u n l e s s t h i s r a n d o m v a r i a b l e i s i n d e p e n d e n t o f t h e t r a d e r s ’ e m a n d s , i n w h i c h c a s e t h e c o v a r i a n c e i s z e r o . T a k e n t o g e t h e r , p r o p o s i t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) s h o w t h a t s u r g e i n v o l u m e c o u l d b e a s s o c i a t e d w i t h a l a r g e c h a n g e i n t h e a s s e t v a l u e , w i t h o u t i n d i c a t i n g t h e i r e c t i o n o f t h e c h a n g e . P r o p o s i t i o n ( 4 ) i s q u i t e g e n e r a l ; a n y d y n a m i c m o d e l w h e r e t h e p r i c e c h a n g e s j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s w i t h o u t b e i n g i n d e p e n d e n t o f t h e m s h o u l d i e l d a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f p r i c e c h a n g e a n d t r a d i n g v o l u m e . M o d e l s f t r a d i n g v o l u m e i n a m a r k e t - c l e a r i n g s e t u p t y p i c a l l y u s e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s . o r t h o s e , p r o p o s i t i o n s ( 1 ) , a n d ( 4 ) a p p l y , i n d e p e n d e n t l y o f t h e p a r t i c u l a r a s s u m p t i o n s o f e a c h o d e l . F u r t h e r m o r e , n u m e r i c a l e x a m p l e s b a s e d o n n o r m a l l y d i s t r i b u t e d d e m a n d s a n d a s s e t v a l u e s n d i c a t e t h a t t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t r u e a s s e t v a l u e h a s f a t t e r t a i l s t h a n h e u n c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n w h e n v o l u m e i s h i g h , a n d t h i n n e r t a i l s w h e n v o l u m e i s l o w , a (cid:12) n d i n g h a t m a y h e l p (cid:12) n e - t u n e r i s k m a n a g e m e n t s y s t e m s . M o s t o f t h e m o d e l s i n t h e n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n l i t e r a t u r e , e i t h e r i n a m a r k e t - c l e a r i n g r a m e w o r k ( a s i n D i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) ) , o r i n a m a r k e t m a k i n g ( K y l e t y p e f r a m e w o r k s ) , s i n W a n g ( 1 9 9 2 ) , ( 1 9 9 4 ) , F o s t e r a n d V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 4 ) , H e a n d W a n g ( 1 9 9 5 ) , M i c h a e l y , V i l a n d W a n g ( 1 9 9 6 ) , u s e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s . F o r t h e m , p r o p o s i t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) n t h e p a p e r h o l d . A l t e r n a t i v e l y , B l u m e e t a l ( 1 9 9 4 ) c o n s t r u c t a m o d e l w h e r e t h e p r e c i s i o n o f h e s i g n a l s o b s e r v e d b y t h e t r a d e r s a r e s t o c h a s t i c ( h e n c e t h e s i g n a l s a r e n o t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d ) . i m u l a t i o n s b a s e d o n t h e i r m o d e l s h o w a p o s i t i v e r e l a t i o n b e t w e e n v o l u m e a n d t h e a b s o l u t e v a l u e f p r i c e c h a n g e , a n d a s y m m e t r i c r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e c h a n g e p e r s e a n d v o l u m e ( i .e ., a l a r g e o l u m e i s a s s o c i a t e d w i t h a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e m o v e m e n t i n t h e a s s e t p r i c e ) . T h e V - s h a p e d o r m o f t h e p r i c e - v o l u m e r e l a t i o n c o n (cid:12) r m s t h e p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e m a g n i t u d e o f t h e r i c e c h a n g e a n d t r a d i n g v o l u m e . T h i s s e e m s t o i n d i c a t e t h a t p r o p e r t i e s s i m i l a r t o t h o s e s h o w n n p r o p o s i t i o n ( 4 ) m a y s t i l l b e v a l i d f o r n o n - n o r m a l d i s t r i b u t i o n s . F u r t h e r m o r e , t h e s y m m e t r y r g u m e n t b e h i n d p r o p o s i t i o n ( 1 ) a l s o a p p l i e s t o s o m e n o n - n o r m a l d i s t r i b u t i o n , l i k e t h e e l l i p t i c a l l y o n t o u r e d d i s t r i b u t i o n s u s e d b y F o s t e r a n d V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 3 ) . 2

1 I h F c o z d d m a a t a & t e e a c B p e p H R e v i e w o f t h e r e c e n t e m p i r i c a l l i t e r a t u r e n h i s e x t e n s i v e r e v i e w o f t h e l i t e r a t u r e , K a r p o (cid:11) ( 1 9 8 7 ) p o i n t s o u t t h a t m a n y e m p i r i c a l s t u d i e s a v e f o u n d a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f p r i c e c h a n g e a n d t r a d i n g v o l u m e . p e r s e u r t h e r m o r e , K a r p o (cid:11) r e p o r t s t h a t p r i c e c h a n g e a n d v o l u m e a r e f o u n d t o b e p o s i t i v e l y o r r e l a t e d i n e q u i t y m a r k e t s b u t n o t i n f u t u r e s m a r k e t s , a p a t t e r n h e a t t r i b u t e s t o t h e e x i s t e n c e f s h o r t s a l e c o n s t r a i n t s i n s t o c k a n d b o n d m a r k e t s . R e c a l l t h a t p r o p o s i t i o n ( 1 ) , w h i c h i m p l i e s a e r o c o v a r i a n c e b e t w e e n v o l u m e a n d p r i c e c h a n g e p e r s e , r e s t s o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e t r a d e r s ’ e m a n d s a r e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d . S h o r t s a l e c o n s t r a i n t s w o u l d i n t r o d u c e a s y m m e t r i e s i n t h e e m a n d s a n d c o u l d h e n c e c r e a t e a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e c h a n g e a n d v o l u m e , d e s p i t e a r k e t c l e a r i n g . S i n c e 1 9 8 7 , m a n y e c o n o m i s t s h a v e s t u d i e d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t r a d i n g v o l u m e n d t h e m a g n i t u d e o f t h e p r i c e c h a n g e , a n d b e t w e e n v o l u m e a n d p r i c e c h a n g e p e r s e , o n s t o c k d a t a n d f u t u r e s d a t a . T h e s e e m p i r i c a l s t u d i e s t e n d t o c o n (cid:12) r m K a r p o (cid:11) ’s c o n c l u s i o n s . L e t ’s r e v i e w (cid:12) r s t h e s t u d i e s b a s e d o n s t o c k d a t a , a n d t u r n l a t e r t o s t u d i e s b a s e d o n f u t u r e s . U s i n g h o u r l y N e w Y o r k S t o c k E x c h a n g e d a t a b e t w e e n 1 9 7 9 a n d 1 9 8 3 , J a i n a n d J o h ( 1 9 8 8 ) (cid:12) n d s i g n i (cid:12) c a n t p o s i t i v e r e l a t i o n b e t w e e n d a i l y t r a d i n g v o l u m e a n d t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e S t a n d a r d P o o r 5 0 0 i n d e x r e t u r n s . T h e r e l a t i o n b e t w e e n v o l u m e a n d r e t u r n s i s s t r o n g e r f o r p o s i t i v e r e t u r n s h a n f o r n e g a t i v e r e t u r n s , a n d t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e t w o i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t . G a l l a n t t a l ( 1 9 9 2 ) u s e d a i l y N e w Y o r k S t o c k E x c h a n g e d a t a b e t w e e n 1 9 2 8 a n d 1 9 8 7 t o c o m p u t e a n s t i m a t e o f t h e j o i n t d e n s i t y o f c u r r e n t p r i c e c h a n g e a n d v o l u m e c o n d i t i o n a l o n p a s t p r i c e c h a n g e s n d v o l u m e . T h e y (cid:12) n d t h a t \ t h e d i r e c t i o n o f t h e d a i l y c h a n g e i n t h e s t o c k m a r k e t i s u n r e l a t e d t o o n t e m p o r a n e o u s v o l u m e ," ( p . 2 2 3 ) a n d t h a t p r i c e c h a n g e a r e m o r e v o l a t i l e w h e n v o l u m e i s h e a v i e r . e f o r e c o m p u t i n g t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y , t h e y p l o t p r i c e c h a n g e s a g a i n s t a d j u s t e d v o l u m e s a n d o i n t t h a t u n u s u a l l y h i g h v o l u m e s a r e a s s o c i a t e d w i t h l a r g e p r i c e c h a n g e s . N o t e t h a t G a l l a n t t a l , u s i n g v e r y l o n g s a m p l e a n d s o p h i s t i c a t e d e c o n o m e t r i c m e t h o d s f o u n d n o r e l a t i o n b e t w e e n r i c e c h a n g e p e r s e a n d t r a d i n g v o l u m e , e v e n t h o u g h t h e y s t u d y a n e q u i t y m a r k e t . U s i n g d a i l y e l s i n k i S t o c k E x c h a n g e d a t a b e t w e e n 1 9 7 7 a n d 1 9 8 8 , M a r t i k a i n e n e t a l ( 1 9 9 4 ) (cid:12) n d s o m e p o s i t i v e 3

a v a i 1 p 1 i g d A o a 3 1 c c h i s t s p a e s n d s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t c r o s s - c o r r e l a t i o n s b e t w e e n c o n t e m p o r a n e o u s v a l u e s o f s t o c k r e t u r n s a n d o l u m e , a n d b e t w e e n c o n t e m p o r a n e o u s v a l u e s o f o n e a n d l a g g e d v a l u e s o f t h e o t h e r . A s s o g b a v i e t l . ( 1 9 9 5 ) s t u d y d a i l y p r i c e s a n d t r a d i n g v o l u m e f o r t h e T o r o n t o S t o c k E x c h a n g e T O R 3 5 c o m p o s i t e n d e x , t h e f u t u r e s c o n t r a c t s o n i t , a n d 3 3 o u t o f t h e 3 5 s t o c k s m a k i n g o u t t h e i n d e x , b e t w e e n M a y 9 8 7 a n d N o v e m b e r 1 9 8 8 ( w i t h 1 9 8 7 c r a s h r e l a t e d o b s e r v a t i o n s d e l e t e d ) . A p o s i t i v e r e l a t i o n b e t w e e n r i c e c h a n g e p e r s e a n d v o l u m e i s f o u n d i n 2 4 o f t h e 3 3 s t o c k s , b u t i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t o n l y f o r 0 s t o c k s , w h i l e 2 0 s t o c k s h a v e a n o n - s i g n i (cid:12) c a n t ( p o s i t i v e o r n e g a t i v e ) r e l a t i o n . T h e i r c o n t r i b u t i o n s t o s h o w t h a t \ t h e g r e a t e r t h e r a t i o o f s h o r t p o s i t i o n s t o t h e n u m b e r o f s h a r e s o u t s t a n d i n g , t h e r e a t e r t h e t r a d i n g v o l u m e a s s o c i a t e d w i t h p r i c e i n c r e a s e s r e l a t i v e t o t h a t a c c o m p a n y i n g p r i c e e c r e a s e s ." G o o d m a n ( 1 9 9 6 ) u s e s a r a n d o m s a m p l e o f 5 0 s t o c k s t r a d e d o n t h e N e w Y o r k a n d t h e m e r i c a n s t o c k e x c h a n g e s b e t w e e n 1 9 9 3 a n d 1 9 9 4 . H i s (cid:12) n d i n g s c o n (cid:12) r m s t h a t t h e a b s o l u t e v a l u e f t h e p r i c e c h a n g e i s p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h t r a d i n g v o l u m e , a n d s h o w s t h a t s t r o n g v o l u m e i s s s o c i a t e d w i t h e x t r e m e p r i c e m o v e m e n t s , b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e . A s f o r f u t u r e s m a r k e t s , K a r p o (cid:11) u s e s d a i l y d a t a o n f u t u r e s c o n t r a c t s f o r 9 c o m m o d i t i e s a n d (cid:12) n a n c i a l i n s t r u m e n t s ( a l s o c a l l e d c o m m o d i t i e s t h e r e a f t e r ) b e t w e e n J a n u a r y 1 9 7 2 t o D e c e m b e r 9 7 9 . O u t o f t h e 4 4 2 i n d i v i d u a l c o n t r a c t s ( c o n t r a c t s w i t h d i (cid:11) e r e n t m a t u r i t i e s a r e t r a d e d f o r e a c h o m m o d i t y ) , 3 5 3 ( 8 0 p e r c e n t ) d i s p l a y a p o s i t i v e r e l a t i o n b e t w e e n t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e p r i c e h a n g e a n d v o l u m e ; t h i s r e l a t i o n i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t f o r 2 2 4 c o n t r a c t s ( 5 1 p e r c e n t ) . A b o u t a l f o f t h e c o n t r a c t s s h o w a p o s i t i v e r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e c h a n g e p e r s e a n d v o l u m e ; t h i s r e l a t i o n s s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t f o r o n l y 2 5 c o n t r a c t s ( 6 p e r c e n t ) . T h e a n a l y s i s i s r e p e a t e d o n 1 2 t i m e e r i e s ( o n e f o r e a c h c o m m o d i t y ) c o n s t r u c t e d f r o m t h e f u t u r e s c o n t r a c t s d a t a . T h e r e l a t i o n b e t w e e n h e m a g n i t u d e o f t h e p r i c e c h a n g e a n d v o l u m e i s p o s i t i v e f o r a l l t h e c o m m o d i t i e s , a n d s t a t i s t i c a l l y i g n i (cid:12) c a n t f o r 9 o f t h e m . N o n e o f t h e c o m m o d i t i e s s h o w s a s i g n i (cid:12) c a n t r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e c h a n g e e r s e a n d v o l u m e . F o s t e r ( 1 9 9 5 ) u s e s d a i l y d a t a o n t w o o i l f u t u r e s c o n t r a c t s b e t w e e n J a n u a r y 1 9 9 0 n d J u n e 1 9 9 4 , a n d o n e o i l f u t u r e s c o n t r a c t b e t w e e n J a n u a r y 1 9 8 4 a n d J u n e 1 9 8 8 . A s i n G a l l a n t t a l ( 1 9 9 2 ) , v o l u m e d a t a a r e d e t r e n d e d a n d e x p r e s s e d i n l o g a r i t h m s , a n d a r e (cid:12) r s t g r o u p e d i n e v e r a l c l a s s e s p e r s i z e . T h e r e l a t i v e p r i c e c h a n g e i s t h e n p l o t t e d a g a i n s t t h e v o l u m e c l a s s e s . T h e 4

m v n o 2 L i T o o P r o T c w o F o t c v v i c a g n i t u d e o f t h e p r i c e c h a n g e i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f v o l u m e , ( e x c e p t a t t h e u p p e r e n d o f t h e o l u m e s p e c t r u m f o r t h e W T I c o n t r a c t b e t w e e n 1 9 8 4 a n d 1 9 8 8 ) b u t t h e d i r e c t i o n o f t h e c h a n g e i s o t r e l a t e d t o t r a d i n g v o l u m e . T h i s c o n c l u s i o n s t i l l h o l d s w h e n a c t u a l v o l u m e d a t a a r e u s e d i n s t e a d f v o l u m e c l a s s e s . T r a d i n g v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n e t y b e t r a d e r ’s i d e m a n d f o r t h e a s s e t ( i = 1 ; : : : ; n ) a n d z b e t h e a g g r e g a t e t r a d i n g v o l u m e , t h a t i + + n s , t h e s u m o f t h e b u y o r d e r s , z = (cid:6) y , w i t h y = y I [y > 0 ] w h e r e I [ ] i s i n d i c a t o r f u n c t i o n . i i i i i = 1 n n h e a s s e t m a r k e t c l e a r s , h e n c e (cid:6) y = 0 . L e t y = ( y ) , y i s a s s u m e d t o h a v e m e a n z e r o . T h e i i i i = 1 = 1 b j e c t i v e i s t o c o m p u t e t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n a n d m e a n , c o n d i t i o n e d o n t h e t r a d i n g v o l u m e , f r a n d o m v a r i a b l e s c o r r e l a t e d w i t h t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s , s u c h a s t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t . r o p o s i t i o n 1 L e t b e a - d i m e n s i o n a l v e c t o r a n d a r a n d o m v a r i a b le s o t h a t i s s y m m e t - y n u ( u ; y ) + n n i c a l ly d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o a n d . L e t , t h e n t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n (cid:6) y = 0 z = (cid:6) y i i i i = 1 = 1 f g i v e n i s s y m m e t r i c a r o u n d z e r o , i . e . , , a n d . u z p ( u < t z ) = p ( u < t z ) E [u z ] = 0 jj (cid:0) jj jj h e p r o o f o f p r o p o s i t i o n ( 1 ) , d o n e f o r t h r e e t r a d e r s , i s i n t h e a p p e n d i x . A l t h o u g h E [u z ] = 0 i s a jj o n s e q u e n c e o f t h e s y m m e t r y o f t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n , f o r e x p o s i t i o n a l e a s e , w e b e g i n t o d e a l i t h t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n . P r o v i n g t h e s y m m e t r y o f t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n u s e s a l o t f t h e s a m e f e a t u r e s w i t h s l i g h t l y h e a v i e r n o t a t i o n s . T h e r e s u l t i n p r o p o s i t i o n ( 1 ) i s q u i t e i n t u i t i v e . e x e c u t e d o r e x a m p l e , a s z i s t h e s u m o f t h e b u y o r d e r s , a h i g h v o l u m e i n d i c a t e s a l a r g e (cid:13) o w o f b u y r d e r s . B u t a s t h e m a r k e t c l e a r s , t h i s s t r o n g i n (cid:13) u x o f e x e c u t e d b u y o r d e r s c o r r e s p o n d s n e c e s s a r i l y o a e q u a l l y s t r o n g (cid:13) o w o f e x e c u t e d s e l l o r d e r s . B e c a u s e o f t h e s y m m e t r y o f t h e m e a n - z e r o v e c t o r o n s t i t u t e d b y u a n d t h e i n d i v i d u a l d e m a n d s , o n e c a n n o t i n f e r t h e v a l u e o f u b a s e d o n t h e a g g r e g a t e o l u m e , i .e ., E [u z ] = 0 . P r o p o s i t i o n ( 1 ) i m p l i e s t h a t u a n d z a r e u n c o r r e l a t e d , f o r a n y r a n d o m jj a r i a b l e u s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d w i t h y . P r o p o s i t i o n s ( 2 ) , ( 3 ) , a n d l e m m a s ( 1 ) a n d ( 2 ) s e r v e t o n t r o d u c e p r o p o s i t i o n ( 1 ) . T o s e e m o r e e a s i l y t h e s y m m e t r i c n a t u r e o f a g g r e g a t e v o l u m e i n a m a r k e t + + + l e a r i n g m o d e l , c o n s i d e r t h e c a s e o f t h r e e t r a d e r s . L e t z = y + y + y w i t h y + y + y = 0 . H e n c e 1 2 3 1 2 3 5

z o ( ( ( 3 t t i I i W t (cid:6) t 2 P y z y + + = y + y ( y + y ) a n d z d e p e n d s o n t h e s i g n s o f y , y a n d y + y . T a b l e ( 1 ) g i v e s t h e d e (cid:12) n i t i o n (cid:0) 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) i i i i 6 f z i n t e r m s o f y , y , a n d y i n t h e s i x d i (cid:11) e r e n t c a s e s . z = (cid:6) I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) , w i t h 1 2 3 i 1 2 1 2 = 1 1 1 2 2 3 3 4 4 v ; v ) = ( y ; y ) , ( v ; v ) = ( y ; y + y ) , ( v ; v ) = ( y ; ( y + y ) ) , ( v ; v ) = ( y ; y + y ) , 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 5 6 6 4 4 3 3 v ; v ) = ( y ; ( y + y ) ) , ( v ; v ) = ( y ; y ) . F r o m t a b l e ( 1 ) , w e g e t ( v ; v ) = ( v ; v ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 5 2 2 6 6 1 1 v ; v ) = ( v ; v ) , a n d ( v ; v ) = ( v ; v ) . T h e s y m m e t r y b e t w e e n c a s e s 1 a n d 6 , 2 a n d 5 , a n d 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) a n d 4 p l a y s a k e y r o l e i n p r o p o s i t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) . L e t u b e a z e r o m e a n r a n d o m v a r i a b l e s o h a t ( u ; y ) i s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o . B e f o r e s h o w i n g t h a t E [u z ] = 0 , w e s h o w jj h a t c o v ( u ; z ) = 0 b e c a u s e i t i s a m u c h e a s i e r p r o o f a n d u s e s t h e s a m e b a s i c m a r k e t c l e a r i n g - b a s e d n t u i t i o n . O f c o u r s e , E [u z ] = 0 i m p l i e s c o v ( u ; z ) = 0 . T a b l e ( 1 ) s h o w s t h a t , f o r i = 1 ; : : : ; 6 , jj i i 7 7 i i i i i i i i [v > 0 ; v > 0 ] z ] = I [v > 0 ; v > 0 ] ( v + v ) ], a n d f o r i = 1 ; : : : ; 3 ,( v ; v ) = ( v ; v ) . T h e s e (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) d e n t i t i e s a n d t h e s y m m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f t h e v e c t o r ( u ; y ) i m p l y t h a t , f o r i = 1 ; 2 ; 3 , i i i i 7 7 E [ I [v > 0 ; v > 0 ] u z ] = E [ I [v > 0 ; v > 0 ] u z ] ( 1 ) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 (cid:0) e c o n c l u d e t h a t E [u z ] = 0 , w h i c h i m p l i e s t h a t c o v ( u ; z ) = 0 s i n c e E [u ] = 0 . I n t h e f o l l o w i n g , p r o p o s i t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) m a k e i t p o s s i b l e t o c o m p u t e t h e c o n d i t i o n a l e x p e c a t i o n o f a r a n d o m v a r i a b l e c o n d i t i o n e d o n a s u m o f t r u n c a t e d r a n d o m v a r i a b l e . T h e f a c t t h a t n y = 0 i s u s e d i n l e m m a s ( 1 ) a n d ( 3 ) , a n d , t o g e t h e r w i t h p r o p o s i t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) , w i l l i m p l y i i= 1 h a t E [u z ] = 0 . jj . 1 C o n d i t i o n i n g o n a s u m o f t r u n c a t e d r a n d o m v a r i a b l e s r o p o s i t i o n 2 L e t F P a p r o b a b i li t y s p a c e . L e t a n d t w o r a n d o m v a r i a b le s w i t h p o s i t i v e , ( (cid:10) ; ; ) x z z a k - d i m e n s i o n a l r a n d o m v e c t o r , a n d a k - d i m e n s i o n a l B o r e l s e t . N o t e , A z = I [y A ] z A 2 (cid:22) , a n d li k e w i s e f o r x . L e t b e a r a n d o m v a r i a b le s u c h t h a t c o i n c i d e s w i t h w h e n = I [y A ] z v v z (cid:22)A 2 , t h e n A 2 E x v [ ] A jj i f z > 0 A p y A v ( ) 8 2 jj ( 2 ) E [x z ] = A >> (cid:22) E x jj [ ] < A i f z = 0 A (cid:22) p y A ( ) 2 >>: 6

T P w F T f s e f L v (cid:0) L L A 2 I 0 r h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . r o p o s i t i o n 3 U s i n g t h e s a m e n o t a t i o n s a s i n p r o p o s i t i o n ( 2 ) , w e h a v e ; (cid:22) E [x z ] = p ( y A z ) E [x z ; z > 0 ] + p ( y A z ) E [x z ; z > 0 ] ( 3 ) (cid:22) (cid:22) A A A A jj 2 jj j 2 jj j h e r e i s t h e r e s t r i c t i o n o f w h e n , a n d li k e w i s e f o r E [x z ; z > 0 ] E [x z ] z > 0 E [x z ; z ] (cid:22) (cid:22) A A A A A A j jj j u r t h e r m o r e , i f , , f o r m a p a r t i t i o n o f , t h e n ; A i = 1 ; : : : ; n (cid:10) i n E [x z ] = (cid:6) p ( y A z ) E [x z ; z > 0 ] ( 4 ) i A A i i i= 1 jj 2 jj j h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . P r o p o s i t i o n ( 2 ) c a n b e u s e d t o c o m p u t e t h e E [x z ]. E x p l i c i t A i jj o r m u l a s f o r t h e p ( y A z ) a r e n o t n e c e s s a r y t o p r o v e p r o p o s i t i o n ( 1 ) . L a t e r i n t h e p a p e r , i 2 jj t u d y i n g t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f a t a i l e v e n t c o n d i t i o n e d o n t r a d i n g v o l u m e w i l l c a l l f o r x p l i c i t f o r m u l a s f o r t h e p ( y A z ) , w h i c h a r e g i v e n i n l e m m a ( 4 ) . W e w i l l m a k e u s e o f t h e i 2 jj o l l o w i n g l e m m a n e m m a 1 L e t b e a n - d i m e n s i o n a l r a n d o m v e c t o r s y m m e t r i c a l ly d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o , , y (cid:13) R 2 n a n d a B o r e l s e t i n , t h e n a n d = (cid:13) y A R P ( y A v ) ( t ) = P ( y A v ) ( t ) E [ I [y A ] y v ]( t ) = 0 2 jj (cid:0) 2 jj (cid:0) 2 jj , w h e r e i s a r e a li z a t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b le . E [ I [ y A ] y v ]( t ) t v (cid:0) 2 jj (cid:0) e m m a ( 2 ) i s t a k e n f r o m B i l l i n g s l e y ’s \ P r o b a b i l i t y a n d m e a s u r e " , e x e r c i s e 3 3 .1 9 . e m m a 2 L e t b e t h e o p e n b a l l w i t h c e n t e r a n d r a d i u s , t h e n B ( h ; " ) h " p ( y A z ) = l i m p ( y " 0 ! 2 jj 2 p y A z h (cid:15) ;h (cid:15) ( [ ] [ ( + ) ]) 2 \ 2 (cid:0) I n o t h e r w o r d s , , w i t h . z B ( z ( ! ) ; " ) ) p ( y A z ) = f ( z ( ! ) ) f ( h ) = l i m (cid:15) 0 p z h (cid:15) ;h (cid:15) ( ( + ) ) ! jj 2 2 jj 2 (cid:0) . 2 U s i n g m a r k e t c l e a r i n g c o n d i t i o n s n t a b l e ( 1 ) , c a l l A t h e r e l e v a n t s e t f o r y = ( y ; y ) i n c a s e i , f o r e x a m p l e I [y A ] = I [y > 0 ; y > i 1 2 1 1 2 2 ], I [y A ] = I [y > 0 ; y < 0 ; y + y > 0 ], . . . , I [y A ] = I [y < 0 ; y < 0 ], a n d l e t u b e a 2 1 2 1 2 6 1 2 2 2 a n d o m v a r i a b l e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d w i t h y . L e m m a ( 3 ) f o l l o w s . 7

L T E p p w w p 3 I a t w P (cid:6) z i e m m a 3 p ( y A z ) = p ( y A z ) i i 7 (cid:0) 2 j j 2 jj ( 5 ) (cid:0) (cid:0) 7 7 i i i i (cid:0) E I y A u v v E I y A u v v [ [ ] + ] [ [ ] + ] 7 i i 1 2 1 2 2 jj (cid:0) (cid:0) 2 jj7 7 = i i i i P y A v v (cid:0) ( + ) i P y A v v ( + ) 7 i 1 2 1 2 (cid:0) 2 jj 2 jj h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . L e m m a ( 3 ) t o g e t h e r w i t h p r o p o s i t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) p r o v e s t h a t [u z ] = 0 , f o r a n y m e a n z e r o r a n d o m v a r i a b l e u f o r w h i c h ( u ; y ) i s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d . T o jj r o v e t h a t t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c , w e n o t e t h a t p ( u < t z ) = E [ I [u < t ] z ] a n d jj jj r o c e e d a s a b o v e . I f A , i = 1 ; : : : ; n , f o r m a p a r t i t i o n o f (cid:10) , t h e n , w i t h z = I [ y A ]z , i A i i 2 n E [ I [u < t ] z ] = (cid:6) p ( y A z ) E [ I [u < t ] z ; z > 0 ]; ( 6 ) i A A i i i= 1 jj 2 jj j E I y A I u < t v [ [ ] [ ] ] 2 jj , w h e r e t h e r a n d o m v a r i a b l e v c o i n c i d e s w i t h z i t h E [ I [u < t ] z ; z > 0 ] = A A A p y A v ( ) j 2 jj (cid:0) E I y A I u < t v E I y A I u < t v 7 [ [ ] [ ] ] [ [ ] [ ] ] i i 2 jj 2 (cid:0) jj h e n y A . U s i n g t h e f a c t t h a t = , o n e c o n c l u d e s t h a t (cid:0) p y A v p y A v 7 ( ) ( ) i i 2 2 jj 2 jj ( u < t z ) = p ( u < t z ) . jj (cid:0) jj C o v a r i a n c e b e t w e e n a b s o l u t e v a l u e o f a r a n d o m v a r i a b l e a n d t r a d i n g v o l u m e n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , o n e n e e d e d o n l y t o a s s u m e t h a t ( u ; y ) w a s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d r o u n d a z e r o m e a n . W i t h t h e a d d e d a s s u m p t i o n t h a t ( u ; y ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , o n e o b t a i n s h a t t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n u a n d z i s p o s i t i v e , e x c e p t o n l y w h e n u a n d y a r e i n d e p e n d e n t , i n h i c h c a s e c o v ( u ; z ) = 0 . j j r o p o s i t i o n 4 A s s u m e i s a n - d i m e n s i o n a l m e a n z e r o , n o r m a l ly d i s t r i b u t e d r a n d o m v e c t o r , y n , a n d i s a m e a n - z e r o r a n d o m v a r i a b le j o i n t ly n o r m a l ly d i s t r i b u t e d w i t h . L e t y = 0 u y i i= 1 + + n , w h e r e . T h e n , , a n d i f a n d o n ly = (cid:6) y y = I [y > 0 ] y c o v ( u ; z ) 0 c o v ( u ; z ) = 0 i i i i i = 1 j j (cid:21) j j f a n d a r e i n d e p e n d e n t . u y 8

4 A o 4 R t w L o . 4 U o o t o c t ( T v V o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n f o r n o r m a l d i s t r i b u t i o n s s s u m i n g t h a t ( u ; y ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , w e c a n d e r i v e f o r m u l a s f o r t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n f u g i v e n z , a n d p l o t t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e r e a l i z e d v o l u m e . . 1 C o m p u t i n g t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n e c a l l t h a t , f r o m e q u a t i o n ( 6 ) f o r a n y v a r i a b l e u , p ( u < t z ) i s a w e i g h t e d s u m o f E [I [u < jj ] z ; z > 0 ] w h e r e t h e t h e A , i = 1 ; : : : ; 6 , c o r r e s p o n d t o t h e c a s e s p r e s e n t e d i n t a b l e ( 1 ) . T h e A A i i i jj e i g h t s a r e c o m p u t e d u s i n g l e m m a ( 4 ) . i i i e m m a 4 L e t b e t h e d e n s i t y o f t h e v e c t o r d e (cid:12) n e d i n t a b le ( 1 ) ; t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i li t y f ( v ; v ) 1 2 f b e i n g i n k n o w i n g t h a t i s y A z = h i h i f ( t ; h t ) d t Z (cid:0) t= 0 p ( y A z ) ( h ) = i h 2 jj j 6 (cid:6) f ( t ; h t ) d t j = 1 Z t (cid:0) = 0 . 2 Q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s i n g t h e f o r m u l a s d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e c a n p l o t t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n f t h e t r u e a s s e t v a l u e x g i v e n t h e v o l u m e z f o r v a r i o u s c o v a r i a n c e s t r u c t u r e s . T h e u p p e r p a n e l f (cid:12) g u r e ( 1 ) d i s p l a y s t h e p r o b a b i l i t y i n t h e t a i l o f t h e v o l u m e ’s d i s t r i b u t i o n , p ( z > t ) , w i t h t o n h e h o r i z o n t a l a x i s ; t h e l o w e r p a n e l d i s p l a y s t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y i n t h e t a i l s f t h e d i s t r i b u t i o n p ( x > 1 z ) , w i t h z o n t h e h o r i z o n t a l a x i s , t h e d o t t e d l i n e i n t h e l o w e r p a n e l jj o r r e s p o n d s t o t h e u n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y p ( x > 1 ) . A s x i s a s t a n d a r d n o r m a l , p ( x > 1 ) i s h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e t r u e a s s e t v a l u e b e o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n h i g h e r t h a n i t s m e a n . F i g u r e 1 ) h a s b e e n o b t a i n e d u s i n g D u p o n t ( 1 9 9 6 ) w i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s a n d o n e l i q u i d i t y t r a d e r . h e s i g n a l s o b s e r v e d b y t h e t r a d e r s a r e i n d e p e n d e n t a n d e a c h h a s a c o r r e l a t i o n o f :5 w i t h t h e t r u e a l u e o f t h e s t o c k x . I n t h i s c a s e , t h e m e a n v o l u m e i s 0 :6 7 8 a n d i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n i s 0 :3 7 1 7 . 9

D i (cid:11) e r e n t p a r a m e t e r s v a l u e s w e r e t r i e d w i t h o u t a (cid:11) e c t i n g t h e g r a p h ’s o v e r a l l f o r m . F r o m (cid:12) g u r e ( 1 ) , t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f ‘l a r g e ’ r e a l i z a t i o n s o f t h e t r u e a s s e t v a l u e i s i n c r e a s i n g a n d c o n v e x i n z . F i g u r e ( 1 ) i n d i c a t e s t h a t i n s i x t y e i g h t p e r c e n t o f t h e t i m e , 2 t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y p ( x > 1 z ) i s i n f e r i o r t o t h e u n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y . F o r t h e r a r e , jj h i g h - v o l u m e e v e n t s , t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y s u r g e s r a p i d l y a b o v e t h e u n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y . T h e v o l u m e m e a n e x c e e d s i t s m e d i a n , w h i c h r e v e a l s t h a t t h e v o l u m e d i s t r i b u t i o n i s s k e w e d b y l a r g e v o l u m e s o c c u r r i n g w i t h l o w p r o b a b i l i t y . T o s u m , f o r l o w a n d \ n o r m a l " l e v e l s o f t r a d i n g v o l u m e , t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f x g i v e n z i s m o r e c o n c e n t r a t e d a r o u n d i t s m e a n t h a n t h e u n c o n d i t i o n a l o n e , w h e r e a s f o r u n c o m m o n l y h i g h l e v e l s o f t r a d i n g v o l u m e , t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n e x h i b i t s f a t t a i l s . 5 M a r k e t - m a k i n g m o d e l s I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , p r o p o s i t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) a r e e x t e n d e d t o m a r k e t - c l e a r i n g s i t u a t i o n s . M a n y (cid:12) n a n c i a l e c o n o m i s t s u s e m o d e l s w h e r e a m a r k e t m a k e r d e t e r m i n e s t h e p r i c e a t w h i c h a s s e t a r e n 1 n 1 (cid:6) y + (cid:6) y , w h e r e y i s t h e t r a d e r e x c h a n g e d . T r a d i n g v o l u m e i s t h e n d e (cid:12) n e d a s V = i i i i i = 1 = 1 2 2 j j j j i ’s d e m a n d a n d n i s t h e n u m b e r o f t r a d e r s . T h e f o l l o w i n g s h o w s t h a t t h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e n d e (cid:12) n i t i o n o f v o l u m e u s e d i n t h i s p a p e r . B y d e (cid:12) n i n g t h e m a r k e t m a k e r ’s d e m a n d a s y = (cid:6) y , n i + 1 i= 1 (cid:0) a m a r k e t - m a k i n g f r a m e w o r k c a n a l w a y s b e r e c a s t i n t o a m a r k e t - c l e a r i n g o n e . U s i n g t h e d e (cid:12) n i t i o n n n + 1 + + 1 + o f t r a d i n g v o l u m e z i n t r o d u c e d e a r l i e r i n p a p e r , z = (cid:6) y , s i n c e (cid:6) y = 0 , y = y + y a n d (cid:0) i i i i i i i = 1 = 1 n n + 1 + 1 + + 1 (cid:6) y = (cid:6) y = z . y = y y , o n e g e t s V = (cid:0) i i i i i i i = 1 = 1 2 j j j j (cid:0) 5 . 1 G l o s t e n a n d M i l g r o m t y p e m o d e l s I n G l o s t e n a n d M i l g r o m ( 1 9 8 5 ) , a c o m p e t i t i v e r i s k - n e u t r a l m a r k e t m a k e r f a c i n g b e t t e r i n f o r m e d t r a d e r s p o s t s b i d a n d a s k p r i c e s . T h e e q u i l i b r i u m b i d - a s k s p r e a d r e (cid:13) e c t s t h e i n f o r m a t i o n a l a s y m m e t r y b e t w e e n t h e n o n - i n f o r m e d m a r k e t m a k e r a n d t h e t r a d e r s . T h i s s t r u c t u r e w a s e x t e n d e d t o a 2 z < : p x > z p z > : : F r o m t h e lo w e r p a n e l, fo r 8 1 , ( 1 jj ) ( 1 ) , fr o m t h e u p p e r p a n e l ( 8 1 ) = 3 2 . 1 0

m d t v v a l d l h l t w ( s b t t p a d a w b 0 S E a m o n o p o l i s t i c m a r k e r m a k e r b y G l o s t e n ( 1 9 8 9 ) . I n a c o m p a r a b l e f r a m e w o r k , D u p o n t ( 1 9 9 6 ) i n t r o u c e s q u a n t i t y l i m i t s , w h i c h a r e t h e m a x i m u m a m o u n t s t h e m a r k e t m a k e r i s w i l l i n g t o e x c h a n g e a t h e p o s t e d p r i c e s . I n t h i s m o d e l , t h e i n f o r m e d t r a d e r , w h o o b s e r v e s a s i g n a l c o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e a l u e o f t h e a s s e t , b u y s ( r e s p . s e l l s ) t h e a s s e t i f t h e q u o t e d a s k i s b e l o w ( r e s p . t h e b i d i s a b o v e ) h i s a l u a t i o n . T h e l i q u i d i t y t r a d e r ’s d e m a n d i s p r i c e - s e n s i t i v e a n d s t o c h a s t i c . T h e i n f o r m e d t r a d e r i s s s u m e d t o h a v e a n e g a t i v e e x p o n e n t i a l u t i l i t y f u n c t i o n . I n f o r m e d a n d l i q u i d i t y t r a d e r s ’ o r d e r s a r e u m p e d t o g e t h e r a n d p a s s e d o n t o t h e s p e c i a l i s t , w h o c a n n o t d i s t i n g u i s h i n f o r m e d f r o m l i q u i d i t y e m a n d . L e t a d e n o t e t h e a s k p r i c e , z t h e a s k q u a n t i t y l i m i t , b t h e b i d p r i c e , z t h e b i d q u a n t i t y a b i m i t , x t h e t r u e v a l u e o f t h e t r a d e d a s s e t , G t h e s i g n a l o b s e r v e d b y t h e i n f o r m e d t r a d e r , v = E [x G ] j ~ i s v a l u a t i o n , v a r ( x G ) t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f x o b s e r v i n g G , I t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n , d ( p ) t h e j ~ i q u i d i t y t r a d e r ’s d e m a n d a t p r i c e p , d ( p ) = p + (cid:17) , w i t h (cid:17) i n d e p e n d e n t o f x a n d G . T h e i n f o r m e d (cid:0) r a d e r ’s d e m a n d ~q ( p ) i s M i n z ; k ( v a ) i f v > a , M a x z ; k ( v b ) i f v < b , a n d 0 i f b v a , a b f (cid:0) g f (cid:0) g (cid:20) (cid:20) 1 3 i t h k = ( (cid:13) v a r ( x G ) ) . T o s i m p l i f y n o t a t i o n s , k i s s u p p o s e d t o b e e q u a l t o o n e . T h e v e c t o r (cid:0) j x ; G ; (cid:17) ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , i t s m e a n i s z e r o . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e o p t i m a l p r i c e s a n d q u a n t i t y l i m i t s o n t h e b i d a n d a s k s i d e s a r e u c h t h a t b = a , z = z . D e (cid:12) n e t h e t r a n s a c t i o n p r i c e w h e n b o t h b i d a n d a s k s i d e s a r e h i t a b (cid:0) (cid:0) y t r a d e r s ( s e e t a b l e ( 2 ) ) a s t h e a v e r a g e o f t h e b i d a n d a s k p r i c e s , o r a r a n d o m d r a w b e t w e e n ~ h e t w o w i t h p r o b a b i l i t y 1 = 2 . D e (cid:12) n e t h e m a r k e t m a k e r ’s d e m a n d a s ~m = ( ~q + d ) . L e t z b e t h e (cid:0) r a d i n g v o l u m e . A s b = a a n d v i s s y m m e t r i c a r o u n d z e r o , l o o k i n g a t t h e v a l u e s o f p ( ~q p ) s h o w n f o r d i (cid:11) e r e n t p i n t a b l e ( 3 ) , a n d u s i n g t h e s y m m e t r y b e t w e e n b i d a n d a s k p r i c e s (cid:0) n d q u a n t i t y l i m i t s , o n e s e e s t h a t ~q i s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o . S o i s t h e l i q u i d i t y ~ ~ e m a n d d . T h e v e c t o r ( x ; p ; ~q ; d ; ~m ) i s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o . H e n c e , p r o p o s i t i o n 3 y > v > a y < v y x a I y < y x b (cid:25) (cid:25) n d = 0 w h e n (cid:20) (cid:20) . L e t t h e in fo r m e d t r a d e r ’s p r o (cid:12) t s . = [ 0 ] ( (cid:0) ) + [ 0 ] ( (cid:0) ) = + , 1 2 (cid:25) I y > I v > a y x a I y I v < a y x a I y it h = [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) + [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) a n d = [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) + [ 0 ] [ 2 2 1 2 2 2 1 2 2 y x b (cid:25) (cid:25) (cid:25) (cid:25) I y > I v < a y v a I y b y v b (cid:25) I y > ; ; ; ; ] ( (cid:0) ) . = + , w it h = [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) + [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) a n d = [ I v < a y x v I y b y x v y E (cid:13) (cid:25) G ] [ ] ( (cid:0) ) + [ 0 ] [ ] ( (cid:0) ) . T h e in fo r m e d t r a d e r c h o o s e s t o m a x im iz e [(cid:0) e x p ( (cid:0) ) j ]. 2 1 2 1 1 2 2 2 1 (cid:25) G E (cid:13) (cid:25) (cid:13) (cid:25) E (cid:13) (cid:25) (cid:25) (cid:25) ; ; ; ; in c e is m e a s u r a b le w it h r e s p e c t t o , [(cid:0) e x p ( (cid:0) ) ] = e x p ( (cid:0) ) [(cid:0) e x p ( (cid:0) ( + ) ) ]. A s (cid:20) 0 , 1 2 2 1 2 2 (cid:13) (cid:25) E (cid:13) (cid:25) (cid:25) E (cid:13) (cid:25) E (cid:13) (cid:25) (cid:25) y v > a ; ; [(cid:0) e x p ( (cid:0) ) ] (cid:20) [(cid:0) e x p ( (cid:0) ( + ) ) ], a n d [(cid:0) e x p ( (cid:0) ) ] = [(cid:0) e x p ( (cid:0) ( + ) ) ] if (cid:21) 0 w h e n 2 2 y v a y x a I v < b y x b ; n d (cid:20) 0 w h e n . I n t h a t c a s e = 0 , a n d c a n b e r e p la c e d b y [ ] ( (cid:0) ) + [ ] ( (cid:0) ) in t h e a x im iz a t io n p r o b le m . 1 1

( 1 ) a p p l i e s a n d E [x z ] = c o v ( x ; z ) = c o v ( p ; z ) = 0 . T a b l e ( 3 ) s h o w s t h e v a l u e s o f p ( ~q p ) f o r d i (cid:11) e r e n t p . N a t u r a l l y , p r o p o s i t i o n ( 1 ) w i l l a p p l y t o a n y m a r k e t - m a k i n g m o d e l w h i c h (cid:0) p r e s e r v e s t h e s y m m e t r y i n t h e t r a n s a c t i o n p r i c e a n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s . T h e r e s u l t s o f p r o p o s i t i o n ( 1 ) , e x t e n d e d t o m a r k e t - m a k i n g m o d e l s a b o v e , s e e m t o c o n t r a s t w i t h t h e m o d e l s o f E a s l e y , K i e f e r , a n d O ’H a r a ( 1 9 9 6 ) a n d E a s l e y , K i e f e r , O ’H a r a a n d P a p e r m a n ( 1 9 9 6 ) , w h e r e t h e s p e c i a l i s t u s e s t h e o r d e r (cid:13) o w t o d r a w i n f e r e n c e a b o u t t h e p o s s i b i l i t y o f i n f o r m e d t r a d i n g . I n t h e i r m o d e l , t h e o r d e r (cid:13) o w i s i n f o r m a t i v e b e c a u s e t h e s p e c i a l i s t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e s i d e o n w h i c h h e i s h i t . A l a r g e n u m b e r o f i n c o m i n g o r d e r s o n t h e a s k s i d e ( r e s p . t h e b i d s i d e ) i n d i c a t e s t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s v a l u a t i o n i s s u p e r i o r t o t h e a s k ( r e s p . i n f e r i o r t o t h e b i d ) . B u t t h e v o l u m e p e r s e i s l e s s i n f o r m a t i v e s i n c e i t c o u l d h a v e b e e n g e n e r a t e d b y i n f o r m e d t r a d e r s ’ s a l e s t o t h e m a r k e t m a k e r o r p u r c h a s e s f r o m h i m . A n o u t s i d e o b s e r v e r c a n g e t m o r e i n f o r m a t i o n i n a G l o s t e n - M i l g r o m m a r k e t - m a k i n g f r a m e w o r k t h a n i n a p u r e m a r k e t - c l e a r i n g f r a m e w o r k i f h e c a n s e p a r a t e s a l e s t o t h e s p e c i a l i s t f r o m p u r c h a s e s f r o m h i m . 5 . 2 K y l e ’ s t y p e m o d e l s K y l e ( 1 9 8 5 ) i n t r o d u c e s a d y n a m i c m o d e l o f i n s i d e r t r a d i n g w i t h a s i n g l e r i s k - n e u t r a l i n f o r m e d t r a d e r , a n o i s e t r a d e r a n d a c o m p e t i t i v e r i s k - n e u t r a l m a r k e t m a k e r . I n c o n t r a s t t o t h e G l o s t e n a n d M i l g r o m t y p e m o d e l s , t h e r e i s n o b i d - a s k s p r e a d a n d t h e p r i c e a t w h i c h a s s e t s a r e e x c h a n g e d i s n o t p o s t e d b u t i s d e t e r m i n e d a f t e r t h e t r a d e r s s u b m i t t h e i r m a r k e t o r d e r s . I n e q u i l i b r i u m t h e m a r k e t m a k e r (cid:12) x e s t h e p r i c e t o r e (cid:13) e c t t h e o b s e r v e d o r d e r (cid:13) o w , w h i c h a g g r e g a t e s t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s a n d t h e l i q u i d i t y d e m a n d s ( t h i s c o u l d r e s u l t f r o m a u n m o d e l l e d B e r t r a n d g a m e b e t w e e n m u l t i p l e m a r k e t m a k e r s ) . W r i t i n g ~v t h e a s s e t ’s l i q u i d a t i o n v a l u e , o b s e r v e d o n l y b y t h e i n f o r m e d t r a d e r , ~u t h e n o i s e t r a d i n g , ~x = X ( ~v ) t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s d e m a n d , ~x + ~v t h e o r d e r (cid:13) o w , t h e p r i c e ~p i s s u c h t h a t ~p = P ( ~x + ~u ) = E [ ~v ~x + ~u ]. T h e v e c t o r ( ~v ; ~u ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . U n d e r t h e s e j c o n d i t i o n s , t h e r e i s a u n i q u e l i n e a r N a s h e q u i l i b r i u m w h e r e P a n d X a r e l i n e a r f u n c t i o n s . T h e f r a m e w o r k i s a p p l i e d t o d y n a m i c g a m e s w i t h l i n e a r r e c u r s i v e e q u i l i b r i a , w h e r e t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e d i (cid:11) e r e n c e i n o r d e r (cid:13) o w . K y l e ’s f r a m e w o r k , e x t e n d e d 1 2

t m j t d o a c a i d r a c a 6 T b d i i i m o m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s i n H o l d e n a n d S u b r a h m a n y a m ( 1 9 9 2 ) , h a s b e e n a d a p t e d a n d u s e d b y a n y (cid:12) n a n c i a l r e s e a r c h e r s . I n t h e s e m o d e l s , t r a d e r s ’ d e m a n d s , a s s e t v a l u e a n d m a r k e t p r i c e s a r e o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . T h e m e a n d e m a n d s a r e z e r o , a n d t h e a s s e t v a l u e m e a n ( a n d h e n c e h e p r i c e m e a n ) c a n b e n o r m a l i z e d t o z e r o . C l e a r i n g t h e m a r k e t b y t a k i n g t h e m a r k e t m a k e r ’s n e t e m a n d i n t o a c c o u n t , p r o p o s i t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) a p p l y . C o n s e q u e n t l y , w i t h t r e p r e s e n t i n g t h e l e v e l r t h e (cid:12) r s t d i (cid:11) e r e n c e o f t h e p r i c e o r t h e v a l u e o f t h e a s s e t , E [t z ] = c o v ( t ; z ) = 0 , c o v ( t ; z ) > 0 j j j n d p ( t > t z ) i s i n c r e a s i n g i n z ( t h e l a s t r e s u l t b e i n g b a s e d o n n u m e r i c a l e x a m p l e s ) . j F o s t e r a n d V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 3 ) e x t e n d K y l e ’s f r a m e w o r k b y u s i n g d i s t r i b u t i o n s o f t h e e l l i p t i c a l l y o n t o u r e d c l a s s ( E C C ) . T h e i r f r a m e w o r k i n c l u d e s m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s a n d s o m e p u b l i c l y v a i l a b l e i n f o r m a t i o n . A s t h e y p o i n t o u t , E C C i n c l u d e s t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n s a n d m a n y o t h e r n t e r e s t i n g d i s t r i b u t i o n s , s u c h a s t h e m u l t i v a r i a t e t , t h e m i x t u r e o f n o r m a l s , a n d t h e m u l t i v a r i a t e o u b l e e x p o n e n t i a l . T h e l i n e a r i t y o f d e c i s i o n s r u l e s i s p r e s e r v e d a n d t h e m o d e l c a n i n v e s t i g a t e t h e e l a t i o n s b e t w e e n p r i c e v o l a t i l i t y a n d t r a d i n g v o l u m e i n a r i c h e r w a y . D e m a n d s , p r i c e s , a n d t h e s s e t v a l u e a l s o f o l l o w a E C C j o i n t d i s t r i b u t i o n , a n d h e n c e a r e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d . A s a o n s e q u e n c e , p r o p o s i t i o n ( 1 ) a p p l i e s . P r o p o s i t i o n ( 4 ) u s e d t h e p r o p e r t i e s o f t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n n d m i g h t n o t e x t e n t t o a l l e l l i p t i c a l l y c o n t o u r e d d i s t r i b u t i o n s . M o d e l w i t h a s y m m e t r i c d e m a n d s h e f o l l o w i n g s e c t i o n p r e s e n t s a s i m p l e , s t a t i c m o d e l w h e r e t h e m a r k e t c l e a r s a n d t h e c o v a r i a n c e 4 e t w e e n p r i c e a n d v o l u m e c a n b e p o s i t i v e . S o m e m o d e l s , l i k e E p s ( 1 9 7 5 ) , r e l y o n b e h a v i o r a l i s t i n c t i o n s b e t w e e n d i (cid:11) e r e n t t y p e s o f i n v e s t o r s : o p t i m i s t i c t r a d e r s ( o r \ b u l l s " ) s y s t e m a t i c a l l y g n o r e u n f a v o r a b l e i n f o r m a t i o n , p e s s i m i s t i c t r a d e r s ( o r \ b e a r s " ) s y s t e m a t i c a l l y i g n o r e f a v o r a b l e n f o r m a t i o n . T h e s e m o d e l s d e l i v e r t h e p o s i t i v e v o l u m e - p r i c e c h a n g e r e l a t i o n , b u t a t t h e c o s t o f m p o s i n g i r r a t i o n a l i t y o n t h e t r a d e r s . K a r p o (cid:11) ( 1 9 8 8 ) c o n s t r u c t s a m o d e l w h e r e t h e d e m a n d a n d 4 T h e r e la t io n b e t w e e n p r ic e c h a n g e a n d v o lu m e c a n n o t b e in v e s t ig a t e d in t h is s t a t ic m o d e l, w h ic h s h o u ld b e s e e n e r e ly a s a s t a r t in g p o in t . 1 3

s u p p l y c u r v e s a r e s u b j e c t t o p a r a l l e l r a n d o m s h i f t s . T h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e c h a n g e p e r s e a n d t r a d i n g v o l u m e h a s t h e s a m e s i g n a s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e v a r i a n c e o f t h e d e m a n d s h i f t a n d t h e v a r i a n c e o f t h e s u p p l y s h i f t . K a r p o (cid:11) p r o v i d e s s o m e j u s t i (cid:12) c a t i o n f o r w h y c o s t l y s h o r t s a l e s m a y r e s u l t i n t h e v a r i a n c e o f t h e s u p p l y s h i f t b e i n g s m a l l e r t h a n t h e v a r i a n c e o f t h e d e m a n d s h i f t v a r i a n c e . H o w e v e r , o n e m i g h t p r e f e r a m o r e d i r e c t w a y o f g e n e r a t i n g a p o s i t i v e v o l u m e - p r i c e c h a n g e r e l a t i o n t h a n a d i (cid:11) e r e n c e i n t h e v a r i a n c e o f t h e i n t e r c e p t s o f t h e s u p p l y a n d d e m a n d c u r v e s . T h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d t r a d i n g v o l u m e i s s t u d i e d i n t h e m o d e l b e l o w , w h i c h f e a t u r e s o n e n o i s e t r a d e r , w h o s e p r i c e - i n e l a s t i c d e m a n d i s " , a n d a n i n f o r m e d t r a d e r , w h o o b s e r v e s a s i g n a l G c o r r e l a t e d w i t h t h e l i q u i d a t i v e v a l u e o f t h e a s s e t x . T h e v e c t o r ( x ; G ; " ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , a n d E [x ] = (cid:22) , E [G ] = E [" ] = 0 . T h e i n f o r m e d t r a d e r m u s t p a y a p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n t a x 5 w h o s e r a t e m a y v a r y a c c o r d i n g t o t h e d i r e c t i o n o f h i s t r a d e a n d t h e s i g n o f t h e p r i c e . T h e e q u i l i b r i u m v o l u m e " i s e x o g e n o u s , a n d t h e e q u i l i b r i u m a g e n t s ’ d e m a n d s ( + " f o r t h e l i q u i d i t y j j t r a d e r a n d " f o r t h e i n f o r m e d t r a d e r ) a r e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d t h e i r z e r o m e a n s . (cid:0) H o w e v e r , t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d t r a d i n g v o l u m e m a y b e d i (cid:11) e r e n t f r o m z e r o b e c a u s e o f e (cid:11) e c t o f t a x e s o n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e d i s t r i b u t i o n . T h e t a x r a t e o n p u r c h a s e s i s (cid:28) w h e n t h e p r i c e i s p o s i t i v e a n d (cid:28) w h e n i t i s n e g a t i v e ; t h e t a x a d r a t e o n s a l e s i s (cid:28) w h e n t h e p r i c e i s p o s i t i v e a n d (cid:28) w h e n i t i s n e g a t i v e . T h e t a x r a t e s (cid:28) , (cid:28) , (cid:28) , c a c b b a n d (cid:28) a r e b e t w e e n z e r o a n d o n e . I n e a c h c a s e , t a b l e ( 4 ) s h o w s t h e a f t e r - t a x p r i c e s t h e i n f o r m e d d t r a d e r f a c e s a s a f a c t o r o f t h e p r e - t a x p r i c e s . T h e i n f o r m e d t r a d e r h a s a n e g a t i v e e x p o n e n t i a l u t i l i t y f u n c t i o n w i t h r i s k a v e r s i o n c o e (cid:14) c i e n t (cid:13) , a n d s u b m i t s a d e m a n d s c h e d u l e a s a f u n c t i o n o f t h e m a r k e t 2 c l e a r i n g p r i c e p . L e t v = E [x G ] b e t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s v a l u a t i o n o f t h e a s s e t , v a r ( x G ) = 1 (cid:27) j j (cid:0) 2 t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f x g i v e n G , w h e r e (cid:27) = v a r ( v ) , a n d w r i t e k = (cid:13) v a r ( x G ) . T o s i m p l i f y j c o m p u t a t i o n s , w e a s s u m e t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r c o n s i d e r s t h e m a r k e t p r i c e p a s (cid:12) x e d a l t h o u g h i t i s r a n d o m . A r a t i o n a l a g e n t s h o u l d c o n d i t i o n o n p a s w e l l o n G , b u t a s t h e e q u i l i b r i u m p r i c e m a y n o t 5 G iv e n t h e d is t r ib u t io n a l a s s u m p t io n s , t h e p o s s ib ilit y o f n e g a t iv e p r ic e s h a s t o b e c o n s id e r e d . T h is is a ls o t h e c a s e in m a n y m ic r o s t r u c t u r e s m o d e ls . N o t e t h a t o n e w o u ld b e w illin g t o p a y t o s e ll t h e a s s e t if o n e t h in k s t h a t t h e a s s e t p r ic e w o u ld s lid e fu r t h e r in t o t h e n e g a t iv e r a n g e . 1 4

b p t T U I T a b e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , h a v i n g t h e r o b l e m t o o d i (cid:14) c u l t t o s o l v e . W i t h h e a s s e t i s 1 k ( v ( 1 + (cid:28) a (cid:0) 8 (cid:0) >> 1 >> k ( v ( 1 (cid:28) b (cid:0) >>> (cid:0) (cid:0) >>>>> 0 >>> y = >>>< 1 k ( v ( 1 (cid:28) d (cid:0) (cid:0) (cid:0) >>> 1 > k ( v ( 1 + (cid:28) > c (cid:0) >> (cid:0) >>>>>> 0 >>>>>: h e i n f o r m e d t r a d e r c a n b u y ( r e s p . n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e m a r k e t 8 >>>>>>>>>>> h ( " ; v ) = >>>< >>>>>>>>>>>>>>: n o t h e r w o r d s , h ( " ; v ) = I [" < 0 ] I [v + k f + I [" > 0 ] I [v + k f o c o m p u t e c o v ( p ; z ) , r e c a l l t h a t t h n d i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d , a n d e t h e s t a n d a r d n o r m a l d e n s i t y a n d i n f o r m e d t r a d e r c o n d i t i o n o n i t w o u l d m a k e t h e o p t i m i z a t i o n t h i s s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n , t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s d e m a n d f o r ) p ) i f p > 0 a n d v > ( 1 + (cid:28) ) p a ) p ) i f p > 0 a n d v < ( 1 (cid:28) ) p b (cid:0) i f p > 0 a n d ( 1 (cid:28) ) p v ( 1 + (cid:28) ) p a b (cid:0) (cid:20) (cid:20) ( 7 ) ) p ) i f p 0 a n d v > ( 1 (cid:28) ) p d (cid:20) (cid:0) ) p ) i f p 0 a n d v < ( 1 + (cid:28) ) p c (cid:20) i f p 0 a n d ( 1 + (cid:28) ) p v ( 1 (cid:28) ) p c d (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:0) s e l l ) o n l y i f t h e l i q u i d i t y d e m a n d " i s n e g a t i v e ( r e s p . p o s i t i v e ) . c l e a r i n g p r i c e i s p = h ( " ; v ) [k " + v ], w i t h 1 ( 1 + (cid:28) ) i f " < 0 a n d v > k " a (cid:0) (cid:0) 1 ( 1 (cid:28) ) i f " > 0 a n d v > k " b (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 ( 8 ) ( 1 (cid:28) ) i f " < 0 a n d v k " d (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:0) 1 ( 1 + (cid:28) ) i f " > 0 a n d v k " c (cid:0) (cid:20) (cid:0) 1 i f " = 0 1 1 " > 0 ]( 1 + (cid:28) ) + I [v + k " 0 ]( 1 (cid:28) ) a d (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:0) g ( 9 ) 1 1 " > 0 ]( 1 (cid:28) ) + I [v + k " 0 ]( 1 + (cid:28) ) + I [" = 0 ] c b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) g e t r a d e r ’s v a l u a t i o n v a n d t h e l i q u i d i t y s h o c k " a r e n o r m a l l y 2 E [" ] = 0 , E [v ] = (cid:22) , v a r ( " ) = 1 , v a r ( v ) = (cid:27) . L e t (cid:30) a n d (cid:8) v 1 2 (cid:30) ( ) . d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s . L e t m ( " ; v ) = ( ( 1 (cid:27) ) " + v ) (cid:27) (cid:27) (cid:0) 1 5

T w H c p I (cid:22) e t (cid:28) c i v m h W a h h e n , 0 1 1 E [p " ] = ( 1 + (cid:28) ) ’ ( " ) + ( 1 (cid:28) ) ( " ) " (cid:30) ( " ) d " (cid:0) (cid:0) a d (cid:0) Z (cid:0) (cid:16) (cid:17) ( 1 0 ) (cid:0) 1+ 1 1 1 + E [p " ] = ( 1 (cid:28) ) ’ ( " ) + ( 1 + (cid:28) ) ( " ) " (cid:30) ( " ) d " (cid:0) (cid:0) c b Z (cid:0) 0 (cid:16) (cid:17) i t h + 2 2 (cid:22) (cid:22) 1 (cid:27) (cid:27) 1 1 2 ’ ( " ) = m ( " ; v ) d v = ( 1 (cid:27) ) " + (cid:22) (cid:8) ( " + ) + (cid:27) (cid:30) ( " + ) (cid:0) (cid:0) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) 2 Z (cid:27) " (cid:0) ( 1 ) (cid:0) (cid:1) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:27) " ( 1 ) 2 2 (cid:22) (cid:22) (cid:0) (cid:0) (cid:27) (cid:27) 1 1 2 ( " ) = m ( " ; v ) d v = ( 1 (cid:27) ) " + (cid:22) [1 (cid:8) ( " + ) ] (cid:27) (cid:30) ( " + ) (cid:0) (cid:0) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) Z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) 1 ( 1 1 ) T h r e e c a s e s a r e s t u d i e d . I n t h e (cid:12) r s t c a s e , c a s h i n (cid:13) o w s a r e t a x e d a t (cid:28) a n d c a s h o u t (cid:13) o w s a t (cid:28) . a b e n c e , a s s e l l i n g a t a n e g a t i v e p r i c e c r e a t e d a n o u t (cid:13) o w , (cid:28) = (cid:28) ; l i k e w i s e , (cid:28) = (cid:28) I n t h e s e c o n d c a d b a s e , n o t a x i s l e v i e d w h e n p r i c e s a r e n e g a t i v e : (cid:28) = (cid:28) = 0 . I n t h e t h i r d c a s e , t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s c d u r c h a s e s a r e t a x e d a t (cid:28) a n d h i s s a l e s a t (cid:28) w h a t e v e r t h e s i g n o f t h e p r i c e , i .e ., (cid:28) = (cid:28) a n d (cid:28) = (cid:28) . a c a b b d n e a c h c a s e , w e s t u d y t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d t r a d i n g v o l u m e w h e n t h e m e a n a s s e t v a l u e i s z e r o a n d w h e n i t i s p o s i t i v e . E x c e p t w h e n i n d i c a t e d , t h e s t a t e d r e s u l t s a r e b a s e d o n n u m e r i c a l x a m p l e s a n d s h o u l d b e c o n s i d e r e d p r e l i m i n a r y . W h e n (cid:22) = 0 , t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d 6 r a d i n g v o l u m e i s z e r o i n t h e (cid:12) r s t c a s e , p o s i t i v e i n t h e s e c o n d , n e g a t i v e i f (cid:28) > (cid:28) a n d p o s i t i v e i f a b < (cid:28) i n t h e t h i r d . W h e n (cid:22) > 0 , t h e c o v a r i a n c e i s p o s i t i v e i n t h e (cid:12) r s t t w o c a s e s ; i n t h e t h i r d , i t a b a n b e n e g a t i v e i f (cid:28) > (cid:28) a n d i s p o s i t i v e i f (cid:28) < (cid:28) . N o t e t h a t i n t h e s e c o n d c a s e , t h e c o v a r i a n c e a a b b s a l w a y s p o s i t i v e , w h a t e v e r (cid:22) , (cid:28) a n d (cid:28) . I n a l l c a s e s , t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d t r a d i n g a b o l u m e i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f (cid:22) , s o i s t h e p r i c e . W h e n p r i c e s a r e p o s i t i v e , t h e i n t u i t i o n i s i m m e d i a t e . W h e n " i s p o s i t i v e , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e u s t b e s u c h t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r i s w i l l i n g t o p r o v i d e l i q u i d i t y , b u t h e s e l l s a t a d i s c o u n t , e n c e t h e p r i c e h a s t o b e e v e n h i g h e r t h a n i t w o u l d h a v e b e e n i n t h e a b s e n c e o f t r a n s a c t i o n t a x . h e n " i s n e g a t i v e , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e m u s t b e s u c h t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r i s w i l l i n g t o b s o r b l i q u i d i t y , b u t h e b u y s a t a p r e m i u m , h e n c e t h e p r i c e h a s t o b e e v e n l o w e r t h a n i t w o u l d a v e b e e n i n t h e a b s e n c e o f t r a n s a c t i o n t a x . I n t h i s c a s e , i m p o s i n g a c o s t o n p u r c h a s e s c r e a t e s a 6 T h is r e s u lt is d e r iv e d a n a ly t ic a lly . 1 6

p i n (cid:13) b 7 T i a a v t a c m b ( t w p p m M t o s i t i v e c o v a r i a n c e e v e n w i t h o u t t a x i n g t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s s a l e s . W h e n p r i c e s a r e n e g a t i v e , t h e n t u i t i o n i s l e s s o b v i o u s , e s p e c i a l l y a s t h e r e s u l t s d e p e n d o n w h e t h e r t h e t a x r a t e i s b a s e d o n t h e a t u r e o f t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s t r a n s a c t i o n ( s a l e o r p u r c h a s e ) o r t h e s i g n o f t h e a s s o c i a t e d c a s h o w . I n c r e a s i n g t h e m e a n v a l u e o f t h e a s s e t l o w e r s t h e p r o b a b i l i t y o f n e g a t i v e m a r k e t p r i c e s a n d o o s t s t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e a n d t r a d i n g v o l u m e . C o n c l u s i o n a n d f u r t h e r r e s e a r c h h e p a p e r s h o w s t h a t t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f a n y m e a n - z e r o r a n d o m v a r i a b l e s z e r o p r o v i d e d t h a t t h i s r a n d o m v a r i a b l e a n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a r e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d n d t h e a s s e t m a r k e t c l e a r s . F u r t h e r m o r e , w h e n t h e r a n d o m v a r i a b l e a n d t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s r e j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e r a n d o m v a r i a b l e ’s a b s o l u t e v a l u e a n d o l u m e i s p o s i t i v e , a n d t h e t a i l s o f t h e v o l u m e - b a s e d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s e e m t o h a v e f a t t e r a i l s w h e n v o l u m e i s h i g h . O n e o f t h e p a p e r ’s i m p l i c a t i o n s i s t h a t t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e b s o l u t e v a l u e o f p r i c e c h a n g e a n d v o l u m e i s p o s i t i v e ( a s s u m i n g n o r m a l d i s t r i b u t i o n ) w h e r e a s t h e o v a r i a n c e b e t w e e n p r i c e c h a n g e p e r s e a n d v o l u m e i s z e r o . T h e (cid:12) r s t i m p l i c a t i o n h a s v e r i (cid:12) e d i n a n y e m p i r i c a l s t u d i e s . A s f o r t h e s e c o n d , e m p i r i c a l s t u d i e s h a v e f o u n d a p o s i t i v e c o v a r i a n c e e t w e e n t h e p r i c e c h a n g e p e r s e a n d v o l u m e i n e q u i t y m a r k e t s b u t n o t i n f u t u r e s m a r k e t s . K a r p o (cid:11) 1 9 8 7 ) p o i n t s o u t t h a t t h i s d i (cid:11) e r e n c e m a y b e d u e t o a k e y d i (cid:11) e r e n c e i n t h e m i c r o - s t r u c t u r e s o f h e t w o t y p e s o f m a r k e t s : s h o r t s a l e c o n s t r a i n t s . D i (cid:11) e r e n t c o s t s i n t a k i n g l o n g a n d s h o r t p o s i t i o n s o u l d i n t r o d u c e a s y m m e t r i e s i n t h e d e m a n d s , w h i c h c o u l d e x p l a i n t h e p o s i t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n r i c e c h a n g e a n d v o l u m e . A s i m p l e , s t a t i c m o d e l w a s d e v e l o p e d w h e r e t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n r i c e a n d v o l u m e c a n b e p o s i t i v e . B e s i d e s , t h e N e w Y o r k S t o c k M a r k e t ( N Y S E ) i s a c o m p l e x i x e d t y p e w h e r e e a c h m a r k e t - m a k e r ( o r s p e c i a l i s t ) a c t s a l t e r n a t i v e l y a s d e a l e r a n d a u c t i o n e e r . o r e o v e r , s p e c i a l i s t s a r e r e q u i r e d t o m a i n t a i n \ a f a i r a n d o r d e r l y m a r k e t i n t h e s e c u r i t i e s a s s i g n e d 7 o t h e m " , a r e s p o n s i b i l i t y t h a t i n c l u d e s s o m e f o r m o f m a r k e t s t a b i l i z a t i o n . A m a r k e t w h e r e s o m e 7 N Y S E F a c t B o o k 1 9 9 5 , p . 5 1 7

a b a a t g e c n a e n t s a r e r e s p o n s i b t w e e n v o l u m e a n d 8 t i v i t y . L i k e w i s e d v o l u m e . T h e r e k i n g i n t o a c c o u n t 8 \ T h e v a s t m a jo r it y l e p , c s u t h o f f o r s m o o t h i n g a r i c e c h a n g e , e v e n i r c u i t b r e a k e r s a l t s i n t h i s p a p e r e i n s t i t u t i o n a l f e N Y S E v o lu m e is a w a y s h o r t t e r m i m b a l a n c e i f t h o s e a g e n t s ’ t r a d e s r e p n d o t h e r d e v i c e s c e r t a i n l y c a n b e s e e n a s a s t a r t i n g a t u r e s o f e a c h m a r k e t c a n r e s u lt o f p u b lic o r d e r m e e t in g 1 8 s m r e s a (cid:11) p o i b e p u b a y y i e l d e n t o n l y e c t t h e n t f r o m d e v e l o p lic o r d e r s a n o n - z e r o c o v a a s m a l l f r a c t i o n r e l a t i o n b e t w e e n w h i c h f u r t h e r r e e d . " ( N Y S E F a c t B o o k r i a o f p s e a 1 9 n c t h r i c r c 9 5 e e e h ) .

A R w T r v P p b c ( ( T c p p e n d i x B e f o r e g o i n g i n m o r e d e t a i l s , i t i s u s e f u l t o p r e s e n t t h e i n t u i t i o n o n w h i c h t h e p r o v e s a r e b u i l t . e c a l l t h a t f o r a n y g i v e n ( x ; y ) r a n d o m v e c t o r , E [x ] = p ( y > 0 ) E [x y > 0 ] + p ( y 0 ) E [x y 0 ], j (cid:20) j (cid:20) E I y > x E I y x [ [ 0 ] ] [ [ 0 ] ] (cid:20) i t h E [x y > 0 ] = a n d E [x y 0 ] = , a n d p y > p y ( 0 ) ( 0 ) j j (cid:20) (cid:20) E [x y > 0 ] i f y > 0 8 j E [x I [y > 0 ] ] = ( 1 2 ) >> j < E [x y 0 ] i f y 0 j (cid:20) (cid:20) >>: h e p a p e r b a s i c a l l y e x t e n d s t h i s i n t u i t i o n t o E [x z ], w h e r e z i s a p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e . I n t h e jj e m a i n d e r o f t h e p a p e r , c a l l ( (cid:10) ; ; P ) a p r o b a b i l i t y s p a c e , a n d f o r a n y B o r e l s e t A a n d r a n d o m F a r i a b l e y , w r i t e [y A ] t h e s e t ! (cid:10) ; y ( ! ) A . 2 f 2 2 g r o o f o f P r o p o s i t i o n ( 2 ) : T o p r o v e ( 2 ) , w e n e e d o n l y s h o w t h a t e q u a t i o n s ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) h o l d . E x[ ] A i f z = 0 (cid:22)A p y A ( ) 8 2 E [x z ] = ( 1 3 ) (cid:22) A A >> jj < 0 i f z > 0 (cid:22)A >>: E x v [ ] A jj i f z > 0 A p y A v ( ) 8 2 jj E [x z ] = ( 1 4 ) A A >> jj < 0 i f z = 0 A >>: c r o o f t h a t e q u a t i o n ( 1 3 ) h o l d s : C a l l E [x z ] t h e c a n d i d a t e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n d e (cid:12) n e d (cid:22) A A jj G F G y t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 1 3 ) . R e c a l l t h a t , i f i s a (cid:27) - (cid:12) e l d i n , E [X ] i s a v e r s i o n o f t h e jj G o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f X g i v e n i f t h e p r o p e r t i e s ( i ) a n d ( i i ) a r e m e t . G G i ) E [X ] i s m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o . j j G d P X d P i i ) E [X ] = . G Z Z jj G h e c a n d i d a t e f u n c t i o n i s o b v i o u s l y m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o (cid:27) ( z ) . N o t e t h a t t h i s (cid:27) - a l g e b r a (cid:22)A o n s i s t s o f t h e s e t s [z H ], w i t h H a B o r e l s e t . L e t G = [z H ] f o r a B o r e l s e t H . R e c a l l t h a t (cid:22) (cid:22) A A 2 2 1 9

c E [1 ] T h [2 ] G O n H e p r t o G (cid:22) [x z ] i s z e r o o n [y A ]. L e t ’s s h o w t h a t c o n d i t i o n ( i i ) a b (cid:22) A A jj 2 0 H , t h e n [y A ] [z H ], h e n c e [z H ] [y A ] = (cid:22) (cid:22) A A 2 2 (cid:26) 2 2 \ 2 c c E [x z ] d P = E [x z ] d P = (cid:22) (cid:22) A A A A Z Z jj jj G G y A [ ] \ 2 e i n t e g r a n d i n t h e r i g h t h a n d s i d e i s a c o n s t a n t , a n d p ( y A 2 c E [x z ] d P = E [x ] (cid:22) A A A Z jj G = x d P Z y A [ ] 2 = x Z y A G [ ] 2 \ = x I [y Z G 2 = x d P : A Z G (cid:22) H d o e s n o t c o n t a i n 0 . F o r a l l t h e ! G , I [y A ] = 0 2 2 6 (cid:22) [y A ], h e n c e G [y A ] i s e m p t y . (cid:26) 2 \ 2 c E [x z ] d P = 0 : (cid:22) A A Z jj G t h e o t h e r h a n d , x d P = x d P = A Z Z G G y A [ ] \ 2 c n c e E [x z ] d P = x d P . (cid:22) A A A Z Z G jj G o o f t h a t e q u a t i o n ( 1 4 ) h o l d s : T h e c a n d i d a t e f u n c t i o n i s (cid:27) ( z ) . R e c a l l t h a t z = I [y A ]z ,a n d z > 0 . A l s o , v A A 2 = [z H ], f o r s o m e B o r e l i a n H . T h r e e c a s e s a r i s e . A 2 9 (cid:22) (cid:22) z z > y A z > z y A A N o t e t h a t [ = 0 ] = [ 0 ] = [ 2 ], a n d [ 0 ] = [ = 0 ] = [ A A 2 0 o v e i s [y A 2 Z y A [ ] 2 ) = E d P A ] d P , i .e ., 0 o b v i o a n d z (cid:22)A 2 ]. v e r i (cid:12) ]. E [x p ( y 2 [I ( y y ( ! ) u s l y c o i n 9 e d . T w ] A d P A ) A ) ], h e 2 (cid:22)A . T 2 m e a s u r a b c i d e o n o c a s n c e h i s m l e w i [y 2 e s a e a n t h r A ]. r s e i s e . ( 1 5 ( 1 6 t h a ( 1 7 ( 1 8 s p e c N o t ) ) t ) ) t e

[1 ] H d [2 ] H = O n t h e H e n c e [3 ] H c [z H A 2 P r o o f v e c t o r o b j e c t i E [x z A j o e s n o t c o n t a i n c E [x A Z G (cid:22) 0 , t h e n [y A ] 2 o t h e r h a n d , c E [x z ] d P A A Z G jj o n t a i n s 0 b u t i s + (cid:22) ] [y A ]. A [ 2 o f P r o p o s i t i o n ( z ; I ) , a n d E [x A v e i s t o s h o w t h a ; z > 0 ] i s t h e r A 0 , z jj = = n o p p ( z jj t E e s t t h e n ] d P A [z A 2 E Z G x Z G t r e d l y i n g 3 ) : L ; I ] A [x z jj r i c t i o [z H ] = [v H ] [y A ]. A 2 2 \ 2 1 = E [x v ] d P A Z p ( y A v ) jj v H y A [ ] [ ] 2 \ 2 2 jj 1 = E I [v H ] I [y A ] E [x v ] A p y A v ( ) f 2 2 jj g 2 jj 1 = E E [ I [v H ] I [y A ] E [x v ] v ] A p y A v ( ) f 2 2 jj jj g 2 jj 1 = E I [v H ] E [ I [y A ] v ] E [x v ] A p y A v ( ) f 2 2 jj jj g 2 jj = E I [v H ] E [x v ] A f 2 jj g = E E [ I [v H ] x v ] A f 2 jj g = E I [v H ] x A f 2 g = x d P A Z v H y A [ ] [ ] 2 \ 2 = x d P : A Z G H ] = G . c c [x z ] d P = E [x z ] d P = 0 : A A A A (cid:22) Z jj jj y A [ ] 2 x d P = x d P = 0 : A A (cid:22) Z Z G y A [ ] 2 d P . A 1 1 + + u c e d t o i t . L e t H = H 0 , G = z ( H ) = z ( H ) (cid:0) (cid:0) A A [ c [1 ] a n d [2 ], w e h a v e E [x z ] d P = x d P . A A A Z Z jj G G e t I = I [y A ], (cid:27) ( z ; I ) b e t h e (cid:27) - (cid:12) e l d g e n e r a t e d b y A A 2 b e t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f x c o n d i t i o n e d o n (cid:27) ( (cid:22) ] = p ( y A z ) E [x z ; z > 0 ] + p ( y A z ) E [x z ; z (cid:22) (cid:22) A A A A 2 jj j 2 jj jj n o f E [x z ] w h e r e z > 0 , a n d s i m i l a r l y f o r E [x z ; z (cid:22) A A A jj jj 2 1 [ t h z ; > (cid:22)A z e I A 0 > 1 ( (cid:0)A r a n ) . ], w 0 ]. ( 1 9 ( 2 0 ( 2 1 0 ) = d o m T h h e r ) ) ) e e

F i r s t , l e t ’s s h o w t h a t , f o r a l l G (cid:27) ( z ; I ) , G [y A ] (cid:27) ( z ) . F r o m t h e o r e m ( 2 0 .1 ) i n A A 2 \ 2 2 2 2 B i l l i n g s l e y ( 1 9 8 6 ) , (cid:27) ( z ; I ) c o n s i s t s e x a c t l y o f t h e s e t s [( z ; I ) H ], w i t h H , w h e r e i s t h e A A 2 2 R R 1 0 s e t o f t w o - d i m e n s i o n a l B o r e l s e t s . H e n c e , f o r a l l G (cid:27) ( z ; I ) , G [y A ] = [z B ] [y A ], A 2 \ 2 2 \ 2 + + w h e r e B . L e t B = B ( 0 ; + ) , s i n c e z > 0 , [z B ] [y A ] = [z B ] [y A ]. T h i s 2 R \ 1 2 \ 2 2 \ 2 + + s e t i s e m p t y o r e q u a l t o [z B ] [y A ], a s z c o i n c i d e s w i t h z o n [y A ]. A s B ( 0 ; + ) , A A 2 \ 2 2 (cid:26) 1 + + + [z B ] [y A ] a n d [z B ] [y A ] = [z B ]. I n a l l c a s e s [z B ] [y A ] i s a n A A A 2 (cid:26) 2 2 \ 2 2 2 \ 2 e l e m e n t o f (cid:27) ( z ) . A c c N o w , l e t ’s c a l l E [x z ; I ] = I E [x z ] + I E [x z ], a n d s h o w t h a t E [x z ; I ] i s t h e c o n d i - (cid:22) (cid:22) A A A A A A jj jj jj jj c t i o n a l e x p e c t a t i o n o f x c o n d i t i o n e d o n (cid:27) ( z ; I ) . E [x z ; I ] i s m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o (cid:27) ( z ; I ) A A A jj s i n c e i t i s a f u n c t i o n o f z a n d I . N o w , l e t G (cid:27) ( z ; I ) . A A 2 c E [x z ; I ] d P = E [x z ] d P + E [x z ] d P (cid:22) A A A (cid:22) Z Z Z jj jj jj G G y A G y A [ ] [ ] \ 2 \ 2 ( 2 2 ) = x d P + x d P (cid:22) Z Z G y A G y A [ ] [ ] \ 2 \ 2 = x d P : Z G T h e s e c o n d l i n e o f t h e e q u a t i o n c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t G [y A ] (cid:27) ( z ) a n d t h a t E [x z ] i s A A \ 2 2 jj t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f x o n (cid:27) ( z ) , a n d s i m i l a r l y f o r z . H e n c e E [x z ; I ] = I E [x z ] + (cid:22) A A A A A jj jj I E [x z ]. F r o m p r o p o s i t i o n ( 2 ) (cid:22) (cid:22) A A jj E x v [ ] A jj i f z > 0 A p y A v ( ) 8 2 jj ( 2 3 ) E [x z ] = A >> (cid:22) jj E x[ ] < A i f z = 0 A (cid:22) p y A ( ) 2 >>: E x v [ ] A jj w h e r e v c o i n c i d e s w i t h z w h e n y A . L e t d e (cid:12) n e = , i s f u n c t i o n o f z a n d E [x z ] = A A A p y A v ( ) 2 jj 2 jj 1 0 2 E x a m p le ( 1 8 .1 ) in B illin g s le y ( 1 9 8 6 ) s h o w s t h a t R = R (cid:2) R , w h e r e R is t h e s e t o f o n e - d im e n s io n a l B o r e l s e t s . 2 2

o n [y A ]. H e n c e , E [x z ; I ] = I ( z ) + I ( z ) . I t e r a t i n g e x p e c t a t i o n s , w e g e t (cid:22) (cid:22) A A A A A A 2 jj E [x z ] = E [ E [x z ; I ] z ] A jj jj jj (cid:22) ( 2 4 ) = ( z ) E [ I [y A ] z ] + ( z ) E [ I [y A ] z ] (cid:22) A A 2 jj 2 jj (cid:22) = ( z ) p ( y A z ) + ( z ) p ( [y A ] z ) (cid:22) A A 2 jj 2 jj A s a n d E [x z ] c o i n c i d e o n [z > 0 ], w r i t i n g E [x z ; z > 0 ] t h e r e s t r i c t i o n o f E [x z ] t o A A A A A A jj j jj (cid:22) [z > 0 ], w e h a v e E [x z ; I ] = p ( y A z ) E [x z ; z > 0 ] + p ( [y A ] z ) E [x z ; z > 0 ]. (cid:22) (cid:22) A A A A A A jj 2 jj jj 2 jj jj P r o o f o f l e m m a ( 1 ) : L e t P ( y A v ) b e t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o f y A c o n d i t i o n e d 2 jj 2 o n v . B y d e (cid:12) n i t i o n , f o r a l l G (cid:27) ( v ) , P ( y A v ) d P = P ( [y A ] G ) a n d P ( y A v ) i s Z 2 2 jj 2 \ 2 jj G m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o (cid:27) ( v ) , i .e ., t h e r e e x i s t s a ( n o n - r a n d o m ) f u n c t i o n ’ s o t h a t f o r a l l ! (cid:10) , A 2 P ( y A v ) ( ! ) = ’ [v ( ! ) ]. L e t A t h e B o r e l s e t s o t h a t [y A ] = [ y A ]. T h e o b j e c t i v e i s A (cid:3) (cid:3) 2 jj 2 (cid:0) 2 (cid:3) t o s h o w t h a t ’ v = ’ ( v ) . F o r e x a m p l e , w e w a n t t o p r o v e t h a t i f ( y ; y ) i s s y m m e t r i c a l l y A A 1 2 (cid:14) (cid:14) (cid:0) d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o , p ( y < 0 ; y < 0 y + y ) ( t ) = p ( y > 0 ; y > 0 y + y ) ( t ) w h e r e t i s a n 1 2 1 2 1 2 1 2 jj (cid:0) jj o b s e r v e d v a l u e o f y + y . 1 2 L e t G (cid:27) ( v ) , t h e n G = [v B ], f o r a B o r e l s e t B . N o w , a s v = (cid:13) y a n d y a r e s y m m e t r i c a l l y 0 2 2 d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o , P ( [y A ] [v B ]) = P ( [ y A ] [ v B ]) . B e s i d e s , P ( y 2 \ 2 (cid:0) 2 \ (cid:0) 2 (cid:0) 2 A v ) = P ( y A v ) . H e n c e , P ( y A v ) d P = P ( y A v ) d P , t h a t i s Z Z jj (cid:0) (cid:0) 2 jj v B 2 jj v B (cid:0) 2 jj [ ] [ ] 2 (cid:0) 2 (cid:3) ( ’ v ) d P = ( ’ v ) d P . C a l l F t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f v a n d a s s u m e t h a t F i s A A Z Z (cid:14) (cid:14) v B v B [ ] [ ] 2 (cid:0) 2 (cid:3) d i (cid:11) e r e n t i a b l e . W r i t i n g u t h e r e a l i z a t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b l e v , w e c a n w r i t e ( ’ v ) d P = A Z (cid:14) v B [ ] (cid:0) 2 (cid:3) ’ ( u ) d F ( u ) . A p p l y i n g t h e c h a n g e o f v a r i a b l e t = u a n d u s i n g t h e s y m m e t r y o f v , w e A Z (cid:0) u B [ ] (cid:0) 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) g e t ’ ( u ) d F ( u ) = ’ ( t ) d F ( t ) = ( ’ o ( v ) ) d P . H e n c e , f o r a l l G (cid:27) ( v ) , A A A Z Z Z (cid:0) (cid:0) 2 u B t B v B [ ] [ ] [ ] (cid:0) 2 2 2 (cid:3) (cid:3) ( ’ o v ) d P = ( ’ o ( v ) ) d P ; a s ’ o v a n d ’ o ( v ) a r e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o (cid:27) ( v ) , A A A A Z Z G G (cid:0) (cid:0) (cid:3) w e c o n c l u d e t h a t ’ o v = ’ o ( v ) a .e . . T h e p r o o f f o r E [ I [y A ] y v ] i s s i m i l a r . A A (cid:0) 2 jj i 7 i P r o o f o f l e m m a ( 3 ) : T h e l a s t l i n e o f e q u a t i o n ( 5 ) f o l l o w s f r o m l e m m a ( 1 ) , s i n c e v = v a n d (cid:0) j j (cid:0) 2 3

[y A ] = [ y A ], f o r j = 1 ; 2 , a n d i = 1 ; 2 ; 3 . C o n s i d e r c a s e s 1 a n d 6 . F r o m l e m m a ( 1 ) , w e i i 7 (cid:0) 2 (cid:0) 2 k n o w t h a t p ( y < 0 ; y < 0 y + y ) ( t ) = p ( y > 0 ; y > 0 y + y ) ( t ) , w h e r e t i s a r e a l i z a t i o n o f 1 2 1 2 1 2 1 2 jj (cid:0) jj + + + y + y . A s z = y + y + y , t h e o b s e r v e d v a l u e f o r z i s e q u a l t o t i n c a s e 1 a n d t i n c a s e 6 . 1 2 1 2 3 (cid:0) S i m i l a r l y , E [I [y < 0 ; y < 0 ] u z ; y + y ] = E [I [y > 0 ; y > 0 ] u z ; y + y ]. F o r t h e (cid:12) r s t l i n e o f 1 2 1 2 1 2 1 2 jj (cid:0) jj p y A ;z B h ;" ( ( ) ) i 2 2 e q u a t i o n ( 5 ) , L e m m a ( 2 ) i m p l i e s t h a t p ( y A z B ( h ; " ) ) = l i m . H e n c e , i " 0 p z B h ;" ( ( ) ) ! 2 j 2 2 p ( y A ; z B ( h ; " ) ) = p ( y > 0 ; y > 0 ; z B ( h ; " ) ) 1 1 2 2 2 2 = p ( y > 0 ; y > 0 ; y + y B ( h ; " ) ) 1 2 1 2 2 ( 2 5 ) = p ( y < 0 ; y < 0 ; ( y + y ) B ( h ; " ) ) 1 2 1 2 (cid:0) 2 = p ( y < 0 ; y < 0 ; z B ( h ; " ) ) 1 2 2 = p ( y A ; z B ( h ; " ) ) 6 2 2 P r o o f o f p r o p o s i t i o n ( 4 ) : T h e n u m b e r o f t r a d e r s , n , i s a s s u m e d e q u a l t o 3 . c o v ( u ; z ) = j j i i i i i i i i + 6 2 c o v ( u ; z ) , a n d z = (cid:6) I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) , w h e r e v , v r e p l a c e v a n d v d e (cid:12) n e d i n t a b l e i 2 3 2 3 2 3 1 2 = 1 i i 7 7 i i i i ( 1 ) . N o t i n g ( ~v ; ~v ) = ( v ; v ) = ( v ; v ) , i = 1 ; 2 ; 3 , o n e g e t s (cid:0) (cid:0) 2 3 2 3 2 3 (cid:0) i i i i i i i i 3 I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) + I [ ~v > 0 ; ~v > 0 ]( ~v + ~v ) : ( 2 6 ) z = (cid:6) i 2 3 2 3 2 3 2 3 = 1 (cid:16) (cid:17) H e n c e , w i t h v = u , o n e n e e d o n l y c o m p u t e c o v ( I [v > 0 ]v ; I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) ) = 1 1 1 2 3 2 3 E [ I [v > 0 ; v > 0 ; v > 0 ]v ( v + v ) ] E [I [v > 0 ] v ] E [ I [v > 0 ; v > 0 ] ( v + v ) ] , w h e r e v = 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 (cid:0) ( v ; v ; v ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n z e r o . I f ( y ; y ) i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v e c t o r w i t h 1 2 3 1 2 s 1 s , E [I [y > 0 ] y ] = a n d E [I [y > 0 ; y > 0 ] y ] = m e a n z e r o a n d v a r i a n c e S , n o t i n g s = ii i p 1 1 1 2 1 p (cid:25) 2 s 1 2 1 ’ ( S ) , w i t h ’ ( S ) = ( s + ) . L e t G ( v ; v ; v ) = v f ( v ; v ; v ) w h e r e f t h e i s d e n s i t y f u n c - 1 1 2 3 1 1 2 3 s 2 p (cid:25) 2 2 3 t i o n o f v , G ( v ) = v f ( v ) + f ( v ) , t h e n G ( v ) = v f , G = v f . I n t h e f o l l o w i n g , (cid:6) = ( (cid:27) ) , ij 1 1 1 2 1 2 3 1 3 i;j = 1 ij i th 1 3 ii p (cid:6) = ( (cid:27) ) , (cid:27) = (cid:27) , (cid:27) = (cid:27) . (cid:0) i s t h e m a t r i x o b t a i n e d b y d e l e t i n g t h e i r o w a n d t h e p i ii (cid:0) (cid:3) i;j i = 1 th 1 1 i c o l u m n o f (cid:6) , v = ( v ; v ; v ) . T h e (cid:12) r s t d e r i v a t i v e o f f w i t h r e s p e c t t o v i s ( (cid:6) :v ) f ( v ) , (cid:0) (cid:0) 1 2 3 (cid:0) 2 4

h N a T w o L e n c e . o w , t a k e n d a k i n g e x p Z (cid:0) t> 0 h e r e ( (cid:17) ; 1 f ( 3 0 ) f o l l i k e w i s e , Z 1 2 1 3 1 1 2 + (cid:27) v v + (cid:27) v v ) f ( v ) = G ( v ) + ( (cid:27) v 1 2 1 3 1 1 8 (cid:0) >>> 2 1 2 2 2 2 3 > ( (cid:27) v + (cid:27) v v + (cid:27) v v ) f ( v ) = G ( v ) 1 2 1 3 2 > 1 >< (cid:0) 3 1 2 3 2 3 3 ( (cid:27) v + (cid:27) v v + (cid:27) v v ) f ( v ) = G ( v ) > 1 2 1 3 3 1 >> (cid:0) >>>: e x p e c t a t i o n t h r o u g h t h e s y s t e m ( 2 7 ) , b e g i n n i n g w i t h t h e (cid:12) r + G ( t ) d t = [G ( t ) ] d t d t = 0 1 1 2 3 t1 = 0 Z Z t> t > ;t > 2 3 0 0 0 1 1 f ( v ) d v = p ( v > 0 ) = + ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) 1 2 1 3 Z 8 4 (cid:25) v > 0 e c t a t i o n t h r o u g h t h e s e c o n d r o w , o n e g e t s e q u a t i o n ( 3 0 ) . + G d t = t [f ( t ) ] d t d t 1 2 1 1 3 t2 = 0 Z Z (cid:0) t > t > 1 3 0 0 1 1 1 1 1 2 1 3 = t e x p ( ( (cid:27) t + 2 (cid:27) t t 3 1 1 1 3 1 Z Z 2 2 2 t > t > (cid:0) 1 3 0 0 ( 2 (cid:25) ) (cid:6) j j 1 1 1 1 2 2 = ( 2 (cid:25) (cid:0) (cid:6) ) t (cid:0) e x p ( ( t ; t (cid:3) (cid:0) (cid:3) 1 1 3 2 2 Z Z 2 (cid:25) 2 j jj j j j (cid:0) t > t > 1 3 0 0 1 2 = ( 2 (cid:25) (cid:0) (cid:6) ) E [I [(cid:17) > 0 ; (cid:17) > 0 ](cid:17) ] (cid:0) (cid:3) 1 2 1 2 j jj j 1 = E [I [(cid:17) > 0 ; (cid:17) > 0 ](cid:17) ] 1 2 1 p (cid:27) (cid:25) 2 2 1 1 ’ ( (cid:0) = ) (cid:0) (cid:3)2 p (cid:27) (cid:25) 2 2 (cid:17) ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n z e r o a n d v a r i a n c e (cid:0) 2 (cid:3) (cid:0) 2 (cid:0) j j1 , t h e l a s t l i n e f r o m E [I [(cid:17) o w s f r o m t h e i d e n t i t y (cid:27) = 1 2 2 (cid:6) j j 1 3 1 2 1 1 (cid:27) (cid:27) (cid:0) 1 3 1 2 G d t = ’ ( (cid:0) ) . L e t (cid:26) = a n d (cid:26) = . (cid:3) (cid:3) (cid:3) 3 2 3 3 (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) p (cid:0) t> 0 (cid:27) 2 (cid:25) 3 2 5 f ( v ) s t r o w . : ) + a r c s i n ( (cid:26) ) 2 3 3 3 2 + (cid:27) t ) ) d t d t 1 3 t 1 0 1 ) d t ) (cid:0) (cid:3) 1 2 B C t 3 B C @ A 1 . T h e l a s t (cid:0) (cid:3)2 > 0 ; (cid:17) > 0 ](cid:17) 2 1 U s i n g t h e d e (cid:12) n ) 3 d t 3 b u t ] = ’ i t i o n o n ( (cid:0) o f e (cid:3)2 (cid:0) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) l i n e 1 ) . (cid:0) 1 (cid:0) (cid:3)2

a a L (cid:0) ~(cid:27) H a n d n o t i n d E [I [v e t ~v = (cid:26) , ~(cid:26) 1 3 2 ii ii = (cid:27) e n c e , E [I [ ~v n d (cid:3) 3 3 (cid:26) 1 (cid:27) 1 2 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:0) 1 1 2 ) = n g t h a t = , o n e g e t s ’ ( (cid:0) . F i n a l l y , (cid:0) (cid:3) 1 2 (cid:26) (cid:27) (cid:26) 1 + (cid:0) ( 1 ( ) ) p (cid:27) (cid:25) 2 2 2 2 2 r j j (cid:0) 1 1 2 + ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ) 1 2 1 3 2 3 E [I [v > 0 ]v ] (cid:25) 8 4 1 0 1 1 0 (cid:3) (cid:26) 1 2 1 1 1 (cid:3) (cid:0) B C ; C = (cid:6) B 1 E [I [v > 0 ]v v ] 1 2 (cid:25) (cid:27) (cid:26) (cid:27) 2 4 1 + 2 B C C B r B C C B (cid:3) B C C B (cid:26) 1 3 1 1 1 B C C B (cid:3) (cid:0) 1 E [I [v > 0 ]v v ] 1 3 (cid:25) (cid:27) (cid:26) (cid:27) 3 4 1 + B C C B 3 r @ A A @ 1 1 > 0 ]v ( v + v ) ] = ( (cid:27) + (cid:27) ) ( + ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 (cid:25) 8 4 (cid:3) (cid:3) (cid:26) (cid:26) 1 1 (cid:27) (cid:27) 2 3 2 3 2 3 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:0) 1 1 + ( (cid:27) + ) + ( (cid:27) + ) : 2 3 (cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27) 2 3 (cid:25) (cid:27) (cid:25) (cid:27) 1 + 1 + 4 4 2 3 r r ij 3 ~ ( ~v ; ~v ; ~v ) = ( v ; v ; v ) a n d v a r ( ~v ) = (cid:6) = ( ~(cid:27) ) . N a t u r a l l y , ~(cid:26) = (cid:26) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 i;j = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ij 1 3 ~ = (cid:26) . W r i t i n g (cid:6) = ( ~(cid:27) ) a n d u s i n g t h e d e (cid:12) n i t i o n o f t h e i n v e r s e , o n e a (cid:0) 3 2 3 i;j = 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 , f o r i = 1 ; 2 ; 3 , ~(cid:27) = (cid:27) , ~(cid:27) = (cid:27) , ~(cid:27) = (cid:27) , a n d c o n s e q u e n t l y ~(cid:26) = (cid:26) , ~(cid:26) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 2 2 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 + ( a r c s i n ( (cid:26) ) a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) > 0 ] ~v ( ~v + ~v ) ] = ( (cid:27) + (cid:27) ) ( 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 (cid:25) 8 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) (cid:26) (cid:26) 1 + 1 + (cid:27) (cid:27) 2 3 2 3 2 3 1 1 (cid:3) (cid:3) 1 1 + ( (cid:27) + ) + ( (cid:27) + ) ; 2 3 (cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27) 2 3 (cid:25) (cid:27) (cid:25) (cid:27) 1 1 4 4 2 3 r r (cid:0) (cid:0) E [I [v > 0 ]v ( v + v ) ] + E [I [ ~v > 0 ] ~v ( ~v + ~v ) ] = 1 2 3 1 2 3 1 ( (cid:27) + (cid:27) ) ( ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ) + 1 2 1 3 1 2 1 3 (cid:25) 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) 1 1 + 1 1 + (cid:27) (cid:27) 2 3 2 2 2 3 3 3 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:0) 1 1 ( (cid:27) + ) [ + ] + ( (cid:27) + ) [ + ]: 2 3 (cid:27) (cid:26) (cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:26) (cid:25) (cid:27) 2 (cid:25) (cid:27) 3 1 + 1 1 + 1 4 4 2 2 3 3 r r r r (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) (cid:26) (cid:26) 1 1 + 2 2 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:0) 1 + = (cid:3) 1 2 (cid:26) (cid:26) (cid:27) 1 + 1 2 2 2 (cid:27) (cid:26) 1 ( ) r r (cid:18) (cid:19) p 2 (cid:0) (cid:0) 3 3 (cid:27) (cid:3) = (cid:0) 2 j j q 3 3 (cid:27) (cid:6) j j = (cid:27) 2 2 q 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) 1 1 2 2 1 2 (cid:0) = (cid:27) 2 2 r 2 = (cid:27) 1 (cid:26) 1 1 2 (cid:0) q 2 6 ) , ~(cid:26) l s o = ) 2 3 ( 3 ( 3 1 3 g e (cid:26) (cid:0) ) ) ( 3 ( 3 ( 3 1 2 = t (cid:3)3 3 4 5 ) ) s . ) ) )

S a c w c m c T E [I [v > 0 ]v ( v + v ) ] + E [I [ ~v > 0 ] ~v ( ~v + ~v ) ] = 1 2 3 1 2 3 1 ( (cid:27) + (cid:27) ) ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ) + 1 2 1 3 1 2 1 3 (cid:25) 2 (cid:27) (cid:27) 2 3 2 3 1 1 2 2 (cid:27) ( (cid:27) + 1 (cid:26) + (cid:27) ( (cid:27) + 1 (cid:26) ) ) 1 2 1 3 1 2 1 3 (cid:25) (cid:27) (cid:25) (cid:27) 2 3 2 2 (cid:0) (cid:0) q q i n c e 1 E [I [v > 0 ]v ] = (cid:27) ; 1 1 1 p 2 (cid:25) n d (cid:27) 1 2 3 [(cid:27) + + E [I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) ] = E [I [ ~v > 0 ; ~v > 0 ]( ~v + ~v ) ] = 2 2 3 2 3 2 3 2 3 p (cid:27) 3 2 2 (cid:25) o v ( I [v > 0 ]v ; I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) ) + c o v ( I [v > 0 ] ~v ; I [ ~v > 0 ; ~v > 0 ]( ~v + ~v 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 i t h (cid:27) (cid:27) 1 3 1 2 + ) ( a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ) H ( (cid:6) ) = ( 1 2 1 3 (cid:27) (cid:27) 1 1 (cid:27) (cid:27) 2 3 2 3 2 2 G ( (cid:6) ) = ( (cid:27) + ) ( 1 (cid:26) 1 ) + ( (cid:27) + ) ( 1 (cid:26) 1 ) 2 3 1 2 1 3 (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) q q 2 3 L e t v = u , a n d ( v ; v ) c a n t a k e t h r e e v a l u e s ; i n t h e (cid:12) r s t c a s e ( v ; v ) = ( y ; 1 2 3 2 3 1 a s e , ( v ; v ) = ( y ; y + y ) , i n t h e t h i r d c a s e ( v ; v ) = ( y ; ( y + y ) ) . C a l 2 3 2 1 2 2 3 1 1 2 (cid:0) (cid:0) a t r i x o f v i n c a s e i , H = H ( (cid:6) ) + H ( (cid:6) ) + H ( (cid:6) ) , a n d G = G ( (cid:6) ) + G ( (cid:6) 1 2 3 1 2 (cid:27) u + ( H + G ) . o v ( u ; z ) = (cid:25) 2 1 H = (cid:27) c o v ( u ; y ) a r c s i n ( (cid:26) ) + c o v ( u ; y ) a r c s i n ( (cid:26) ) + c o v ( u ; y + y ) a r c (cid:0) u ;y u ;y 1 2 1 2 1 2 u (cid:16) h i s i s b e c a u s e (cid:27) H = c o v ( u ; y + y ) [a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ] u u ;y u ;y 1 2 1 2 + c o v ( u ; y ) [ a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ] u ;y 2 1 u ; y y 1 2 ( + ) (cid:0) c o v ( u ; y ) [ a r c s i n ( (cid:26) ) + a r c s i n ( (cid:26) ) ]; u ;y 1 2 u ; y y 1 2 ( + ) (cid:0) (cid:0) 2 7 3 y l ) s (cid:27) ) ) ) 2 (cid:6) + i n ( 3 6 ( 3 7 (cid:27) 2 3 + ]; ( 3 8 3 (cid:27) 2 (cid:27) 1 = ( H ( (cid:6) ) + 2 (cid:25) ( 3 9 ( 4 0 ( 4 1 , i n t h e s e c o n , t h e v a r i a n c i G ( (cid:6) ) . T h e 3 ( (cid:26) ) u ; y y 1 2 ( + ) (cid:17) ( 4 2 ( 4 3 ) ) ) G ) ) ) d e n ) ) ( (cid:6) ) ) ;

w L F w C P W B p D w h i c h r e a r r a n g i n g t e r m s , i s e q u a l t o c o v ( u ; y ) a r c s i n ( (cid:26) ) + c o v ( u ; y ) a r c s i n ( (cid:26) + c o v ( u ; y + y ) a r c s i n ( (cid:26) ) u ;y u ;y u ;y y 1 2 1 2 1 2 1 2 + i k e w i s e , 2 2 2 ( G = (cid:27) ( ( 1 (cid:26) 1 ) + (cid:27) 1 (cid:26) 1 ) + (cid:27) 1 (cid:26) 1 ) y y y y 1 2 1 2 + u ;y y u ;y u ;y 1 2 + 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) q q q i n a l l y , (cid:27) u c o v ( u ; z ) = ( (cid:27) h ( (cid:26) ) + (cid:27) h ( (cid:26) ) + (cid:27) h ( (cid:26) ) ) y u ;y y u ;y y y u ;y y 1 1 2 2 1 2 1 2 + + (cid:25) j j 2 p i t h h ( t ) = t a r c s i n ( t ) + 1 t 1 . F o r a l l t [ 1 ; 1 ], h ( t ) 0 a n d h ( t ) = 0 i f a n d o n l y i f (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:21) o n s e q u e n t l y , c o v ( u ; z ) i s n o n - n e g a t i v e a n d i s z e r o o n l y i f u i s i n d e p e n d e n t o f ( y ; y ) . 1 2 j j 1 r o o f o f l e m m a ( 4 ) T a k e t h e c a s e i = 1 a n d l e t f = f . T h e o t h e r c a s e s c a n b e t r e a t e d s i m e k n o w t h a t , f o r a r e a l i z a t i o n h o f t h e r a n d o m v a r i a b l e z , p ( y A z ) = l i m p ( y A " 1 0 ! 2 jj 2 ( h ; " ) ) , w i t h B ( h ; " ) b e i n g t h e o p e n b a l l w i t h c e n t e r h > 0 a n d o f r a d i u s " > 0 , w i t h " p y A ;z B h ;" 1 ( ( ) ) 6 2 2 , a n d p ( z B ( h ; " ) ) = (cid:6) p ( y A ; z B ( h ; " ) ) . ( y A z B ( h ; " ) ) = i 1 i= 1 p z B h ;" ( ( ) ) 2 2 2 2 jj 2 2 p ( y A ; z B ( h ; " ) ) = p ( y > 0 ; y > 0 ; y + y h < " ) 1 1 2 1 2 2 2 j (cid:0) j = p ( y > 0 ; y > 0 ; h " < y + y < h + " ) 1 2 1 2 (cid:0) = p ( 0 < y < h " ; h " y < y < h + " y ) 1 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + p ( h " < y < h + " ; 0 < y < h + " y ) 1 2 1 (cid:0) (cid:0) i v i d e n o w t h e n u m e r a t o r a n d t h e d e n o m i n a t o r o f p ( y A z B ( h ; " ) ) b y 2 " , a n d t a k e t h e 1 2 jj 2 h e n " 0 . W i t h f b e i n g t h e d e n s i t y f u n c t i o n o f ( y ; y ) , w e o b t a i n : 1 2 ! h 1 p ( 0 < y < h " ; h " y < y < h + " y ) f ( y ; h y ) d y 1 1 2 1 1 1 1 " 2 Z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ! y (cid:0) 1 = 0 1 p ( h " < y < h + " ; 0 < y < h + " y ) 0 1 2 1 " 2 (cid:0) (cid:0) ! 2 8 t i 1 ( 4 ( 4 ( 4 = l a r z jj < ( 4 l i m ( 4 4 ) 5 ) 6 ) 0 . l y . 2 h , 7 ) i t 8 )

T Z B T A h e (cid:12) r s t l i n e o f ( 4 8 ) c o h " h " y 1 + (cid:0) (cid:0) f ( y ; y 1 Z y y h " y 1 2 1 = 0 = (cid:0) (cid:0) 1 p ( h " < y < h 1 " 2 (cid:0) y t h e m e a n v a l u e t h e h e n , a s f ( y ; (cid:18) ) i s b o u 1 h ; z B ( h ; " ) ) 1 Z 2 ! y 1 = m e s f r o m t h e f a c t t h ) d y d y . F o r t h e s e 2 1 2 + " ; 0 < y < h + " 2 (cid:0) o r e m , t h e r e e x i s t s a n d e d , w h e n " 0 , Z ! f ( y ; h y ) d y . U 1 1 1 (cid:0) 0 a t c o n y 1 (cid:18) h + y 1 = s i n p ( 0 < d l i n e ) = (cid:20) [0 ; 2 2 " f ( h " (cid:0) g t a b l e 2 9 y o Z Z " y < h " ; h 1 (cid:0) (cid:0) f ( 4 8 ) , c o n s i d h " h + 1 Z 2 " y h " y 1 2 = (cid:0) h " + 2 1 Z 2 " y h " y 1 2 = (cid:0) 1 ], s o t h a t " 2 ; (cid:18) ( " ) ) d y 1 1 ! ( 1 ) , t h e o t h e r " y < y < h + " 1 2 (cid:0) e r t h a t " y 1 + (cid:0) f ( y ; y ) d y d y 1 2 2 1 = 0 " f ( y ; y ) d y d y 1 2 2 1 = 0 " 2 f ( y ; y ) d y = 1 2 2 Z y 2 = 0 0 . W e c o n c l u d e t h a t c a s e s a r e t r e a t e d s i m (cid:0) f ( 1 " 2 i l a y y p r ) = 1 ( 4 9 ) ; (cid:18) ) . 1 ( y 2 l y .

A P 1 B A B S B v D e D F D R F o R E F E R E N C E S s s o g b a v i T ., N . K h o u r y a n d P . Y o u r o u g o u ( 1 9 9 5 ) , \ S h o r t I n t e r e s t a n d r i c e - V o l u m e R e l a t i o n s h i p i n t h e C a n a d i a n S t o c k M a r k e t ," J o u r n a l o f B a 9 , p p . 1 3 4 1 - 1 3 5 8 . l u m e L a w r e n c e , D a v i d E a s l e y , a n d M a u r e e n O ’H a r a ( 1 9 9 4 ) , \ M a r k e t S n a l y s i s : T h e R o l e o f V o l u m e " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , V o l X L I X , N o 1 , r o w n , D a v i d , a n d R o b e r t H . J e n n i n g s ( 1 9 8 9 ) , \ O n T e c h n i c a l A n a l y s i s " , T t u d i e s , V o l 2 , N o 4 , p 5 2 7 - 5 5 1 a l d u z z i , P ., H . K a l l a l , a n d F . L o n g i n ( 1 9 9 6 ) , \ M i n i m a l R e t u r n s a n d t h e B o l u m e R e l a t i o n ," E c o n o m i c s L e t t e r s , v o l 5 0 , p p . 2 6 5 - 2 6 9 i a m o n d , D o u g l a s a n d R o b e r t E . V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) , \ I n f o r m a t i o n A g g r e g a x p e c t a t i o n e c o n o m y " , J o u r n a l o f F i n a n c i a l 9 , p 2 2 1 - 2 3 5 u p o n t , D o m i n i q u e ( 1 9 9 6 ) , \ T r a d i n g V o l u m e a n d I n f o r m a t i o n D i s t r i b u t i o r a m e w o r k " , w o r k i n g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . u p o n t , D o m i n i q u e ( 1 9 9 6 ) , \ M a r k e t M a k i n g , P r i c e a n d Q u a n t i t y L i m i t s " e s e r v e B o a r d . o s t e r , A . ( 1 9 9 5 ) , \ V o l u m e - V o l a t i l i t y R e l a t i o n s h i p s f o r C r u d e O i l F u t u r e s f F u t u r e s M a r k e t s , v o l 1 5 , N o 8 , p p . 9 2 9 - 9 5 1 . 3 0 t h e A s y m n k i n g a n d t a t i s t i c s a M a r c h 1 9 9 h e R e v i e w r e a k d o w n t i o n i n a n n i n a M a w o r k i n g p M a r k e t s " , m e t r y o f t h e F i n a n c e , v o l n d T e c h n i c a l 4 o f F i n a n c i a l o f t h e P r i c e o i s y r a t i o n a l r k e t - C l e a r i n g a p e r , F e d e r a l T h e J o u r n a l

F M Y G R G C H o H J J o K J K J K l e m i n g , M . a n d E . R e m o l o n a ( 1 9 9 6 ) , \ P r i c e F o r m a t i o n a n d L i q u i d i t y i n t h e U .S . T r e a s u r i e s a r k e t : E v i d e n c e f r o m I n t r a d a y P a t t e r n s a r o u n d A n n o u n c e m e n t s , F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f N e w o r k , w o r k i n g p a p e r n o 9 6 3 3 . a l l a n t , R o n a l d , P e t e r E . R o s s i , a n d G e o r g e T a u c h e n ( 1 9 9 2 ) , \ S t o c k P r i c e s a n d V o l u m e " , T h e e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 5 , N o 2 , p p 1 9 9 - 2 4 2 o o d m a n , W i l l i a m ( 1 9 9 6 ) , \ S t a t i s t i c a l l y A n a l y z i n g V o l u m e " , T e c h n i c a l A n a l y s i s o f S t o c k s a n d o m m o d i t i e s , N o v e m b e r 1 9 9 6 , p 2 1 - 2 8 u (cid:11) m a n , G r e g o r y W . ( 1 9 9 2 ) , \ I n f o r m a t i o n , A s s e t P r i c e s , a n d t h e V o l u m e o f T r a d e " , T h e J o u r n a l f F i n a n c e , v o l X L V I I , S e p t e m b e r 1 9 9 2 , p 1 5 7 5 - 1 5 9 0 u s s m a n , J o h n ( 1 9 9 2 ) , \ M a r k e t E (cid:14) c i e n c y a n d I n e (cid:14) c i e n c y i n R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s E q u i l i b r i a " , o u r n a l o f E c o n o m i c D y n a m i c s a n d C o n t r o l , p 6 5 5 - 6 8 0 a i n , P . a n d G . J o h ( 1 9 8 8 ) , \ T h e D e p e n d e n c e b e t w e e n H o u r l y P r i c e s a n d T r a d i n g V o l u m e " , J o u r n a l f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a l y s i s , V o l 2 3 , N o 3 , S e p t e m b e r 1 9 8 8 , p p . 2 6 9 - 2 8 2 . a r p o (cid:11) , J o n a t h a n M . ( 1 9 8 7 ) , \ T h e R e l a t i o n s h i p b e t w e e n P r i c e C h a n g e s a n d V o l u m e : A S u r v e y " , o u r n a l o f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a l y s i s , V o l 2 2 , N o 1 , M a r c h 1 9 8 7 a r p o (cid:11) , J . M . ( 1 9 8 8 ) \ C o s t l y S h o r t S a l e s a n d t h e C o r r e l a t i o n o f R e t u r n s w i t h V o l u m e ," T h e o u r n a l o f F i n a n c i a l R e s e a r c h , v o l X I , N o 3 , p p . 1 7 3 - 1 8 8 . y l e , A l b e r t ( 1 9 ) , \ C o n t i n u o u s A u c t i o n a n d I n s i d e r T r a d i n g " , E c o n o m e t r i c a , 5 3 , p 1 3 1 5 - 1 3 3 5 . 3 1

L D M D E M T S m W R W o a m o u r e u x , C h r i s t o p h e r G ., a n d W i l l i a m D . L a s t r a p e s ( 1 9 9 0 ) , \ H e t e r o s k e d a s t i c i t y i n S t o c k R e t u r n a t a : V o l u m e v e r s u s G A R C H e (cid:11) e c t s " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 1 2 , p 3 1 - 4 1 a r t i k a i n e n , T ., V . P u t t o n e n , M . L u o m a , a n d T . R o t h o v i u s , ( 1 9 9 4 ) , \ T h e L i n e a r a n d N o n - l i n e a r e p e n d e n c e o f S t o c k R e t u r n s a n d T r a d i n g V o l u m e i n t h e F i n n i s h S t o c k M a r k e t " , A p p l i e d F i n a n c i a l c o n o m i c s , v o l 4 , p p . 1 5 9 - 1 6 9 . i t c h e l l , M . a n d H . M u l h e r i n , ( 1 9 9 4 ) , \ t h e I m p a c t o f P u b l i c I n f o r m a t i o n o n t h e S t o c k M a r k e t ," h e J o u r n a l o f F i n a n c e , v o l X I X , n o 3 , p p . 9 2 3 - 9 5 0 a i t t a , A . ( 1 9 9 6 ) , \ A P r i c e a n d V o l u m e B a s e d S y s t e m ," T e c h n i c a l A n a l y s i s o f S t o c k s a n d C o m o d i t i e s , M a r c h 1 9 9 6 , p p .1 4 - 1 6 . a n g , J i a n g ( 1 9 9 2 ) , \ A M o d e l o f I n t e r t e m p o r a l A s s e t P r i c e s u n d e r A s y m m e t r i c I n f o r m a t i o n " , T h e e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , p 2 4 9 - 2 8 1 a n g , J i a n g ( 1 9 9 4 ) , \ A M o d e l o f C o m p e t i t i v e A s s e t T r a d i n g V o l u m e " , J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n m y , v o l 1 0 2 , N o 1 , p 1 2 7 - 1 6 8 3 2

T y h 3 e = r e (cid:0) c a a r e t h 1 y ( + s e s 1 2 3 4 5 6 r e e 2 y ) ( i ) t r a d . T h e e r s i g n o + + + - - - 1 y s ; is t r a d in g f t h v y e o 1 T (cid:12) lu a r m s b s t e i g l e t r is n o + - - + + - 1 : a d e z = f y 2 D e c o r ’s d e m + y + 1 s i m p a n + y 2 g n o s d , + o i t 2 y + y 3 3 f y 1 + - + i o n is t . I n 3 + y 2 o f t r a d h e s e c o n e a c h c a (cid:0) i n d s e z y + y 1 y 1 y 2 (cid:0) y 2 y 1 (cid:0) ( y + 1 g v o l u t r a d e r ’s i i , = 1 2 y ) 2 m e d e m ; : : : i v 1 y 1 y (cid:0) y 1 y (cid:0) y 2 y (cid:0) a n d , ; z 6 , 2 1 1 t h c a e n (cid:0) (cid:0) la b s e y ( y ( t i v 2 y 2 + y 1 y + 1 + y 1 y + 1 y 2 (cid:0) t r a d e w r it t e 2 y ) 2 2 y ) 2 r ’s d n a s e m i v 1 a + n d v i 2 is .

v is liq u q~ is o r b t h e id it y t h e u y a in t in t fo r a fo t h r m d e r m e e d r ’s e d b id t p ( ~q < t p ( ~q > (cid:0) t r a d e r ’s d e m a n d t r a d e r ’s b p r ic e , (cid:0) ) t ) T v a lu (cid:17) is d e m v is v < a a v a (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:20) (cid:17) < a b i d b i d ( (cid:0) a (cid:17) a b i d n o t r a d e (cid:20) (cid:20) (cid:17) > a ( b i d , a s k ) a s k T a b l e 2 : S i d e s w h e r e t r a d i n g o c c u t z z < t 0 0 < t (cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:20) 0 p ( v t ) p ( v b ) + p ( a (cid:20) (cid:20) (cid:20) 0 p ( v t ) p ( v a ) + p ( t + (cid:21) (cid:0) (cid:21) a b l e 3 : S y m m e t r y o f i n f o r m e d t r a d e r ’s (cid:17) a t io n o f t h e a s s e t , is t h e liq u id it y s h o c k , t h e p a b (cid:0) , is t h e a s k p r ic e , is t h e b id p r ic e . z a n d , is t h e m a x im u m q u a n t it y t h e m a r k e t m t h e in fo r m e d t r a d e r ’s v a lu a t io n o f t h e a s s e t . 3 4 v > a b i d , a s k ) a s k a s k r s z v t + a ) (cid:20) b v b ) (cid:20) (cid:20) d e m a n d in fo r m e d t r a a k e r is w illin g d e t t > z 1 1 r ’s d e m o s e ll a a t n t d h e is a v s k (cid:0) p p , r ic h e e a

p a n is d t (cid:28) h d e a m r e a r b k e e t t w c le e e n a r z in e r g o T p a a r n b ic d l e e , o n 4 : t h e e . R p a r o t p i o o r p u o f t io n r c s a t h a l h a s e l e e a f t e t a x is p 1 1 r - t le v 3 > + (cid:0) a x ie d 5 0 (cid:28) a (cid:28) b p r o n i c t p 1 1 e h e (cid:20) (cid:0) + t o in 0 (cid:28) d (cid:28) c t h fo r e m p e d r e t r t a a d x e r p o r n i c ly e . . T h e t a x r a t e s (cid:28) a , (cid:28) b , (cid:28) c ,

p(z>t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 volume 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 p(x>1|z) volume 0.20.40.60.8 1 1.21.4 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 F i g u r e 1 : V o l u m e - b a s e d c o n d 3 i t 6 i o n a l p r o b a b i l i t y P ( x > 1 z j ) .

Cite this document

APA

Dominique Y. Dupont (1997). Extracting Information from Trading Volume (FEDS 1997-20). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-20

BibTeX

@techreport{wtfs_feds_1997_20,
  author = {Dominique Y. Dupont},
  title = {Extracting Information from Trading Volume},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1997-20},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1997},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-20},
  abstract = {This paper shows how to infer information about any random variable from trading volume, assuming that the random variable and the traders' demands are symmetrically (and then normally) distributed around zero. The volume-based conditional expectation of such a random variable is zero, while the covariance between its absolute value and volume is positive if the variable is jointly normally distributed with the traders' demands. In that case, numerical examples indicate that the volume-based conditional probability of extreme asset value realizations (positive or negative) increases with volume. These results, developed in a market-clearing framework, apply also to market-making frameworks. Finally, the paper develops a simple model where transaction costs can generate a positive covariance between price and trading volume.},
}