Nonparametric Density Estimation and Tests of Continuous Time Interest Rate Models
Abstract
A number of recent papers have used nonparametric density estimation or non- parametric regression to study the instantaneous spot interest rate, and to test term structure models. However, little is known about the performance of these methods when applied to persistent time-series, such as U.S. interest rates. This paper uses the Vasicek [1977] model to study the performance of kernel density estimates of the ergodic distribution of the instantaneous spot rate. The model's tractability allows me to analyze the MISE of the kernel estimate as a function of persistence, variance of the ergodic distribution, span of the data, sampling frequency, and kernel bandwidth. Our principle result is that persistence has an important impact on optimal bandwidth selection and on infinite sample performance. We also find that sampling the data more frequently has little effect on estimator quality. We also examine one of Ait-Sahalia's [1996a] new nonparametric tests of parametric continuous-time Markov models of the instantaneous spot interest rate. The test is based on the distance between parametric and nonparametric (kernel) estimates of the ergodic distribution of the interest rate process. Our principal result is that the test rejects too often when using asymptotic critical values and 22 years of data. The reason for the high rejection rate is probably because the asymptotic distribution of the test does not depend on persistence, but the finite sample performance of the estimator does. After critical values are adjusted for size, the test has low power in distinguishing between the Vasicek and Cox-Ingersoll- Ross models when compared with a conditional moment based specification test.
A e t t b N o n p a r a m e t r i c D e n s i t y E s t i m a t i o n a n d T e s t s o f C o n t i n u o u s T i m e I n t e r e s t R a t e M o d e l s . M a t t P r i t s k e r (cid:3) N o v e m b e r 2 1 , 1 9 9 7 A b s t r a c t A n u m b e r o f r e c e n t p a p e r s h a v e u s e d n o n p a r a m e t r i c d e n s i t y e s t i m a t i o n o r n o n p a r a m e t r i c r e g r e s s i o n t o s t u d y t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t i n t e r e s t r a t e , a n d t o t e s t t e r m s t r u c t u r e m o d e l s . H o w e v e r , l i t t l e i s k n o w n a b o u t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e m e t h o d s w h e n a p p l i e d t o p e r s i s t e n t t i m e - s e r i e s , s u c h a s U .S . i n t e r e s t r a t e s . T h i s p a p e r u s e s t h e V a s i c e k [1 9 7 7 ] m o d e l t o s t u d y t h e p e r f o r m a n c e o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t r a t e . T h e m o d e l ’s t r a c t a b i l i t y a l l o w s m e t o a n a l y z e t h e M I S E o f t h e k e r n e l e s t i m a t e a s a f u n c t i o n o f p e r s i s t e n c e , v a r i a n c e o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n , s p a n o f t h e d a t a , s a m p l i n g f r e q u e n c y , a n d k e r n e l b a n d w i d t h . O u r p r i n c i p l e r e s u l t i s t h a t p e r s i s t e n c e h a s a n i m p o r t a n t i m p a c t o n o p t i m a l b a n d w i d t h s e l e c t i o n a n d o n (cid:12) n i t e s a m p l e p e r f o r m a n c e . W e a l s o (cid:12) n d t h a t s a m p l i n g t h e d a t a m o r e f r e q u e n t l y h a s l i t t l e e (cid:11) e c t o n e s t i m a t o r q u a l i t y . W e a l s o e x a m i n e o n e o f A i t - S a h a l i a ’s [1 9 9 6 a ] n e w n o n p a r a m e t r i c t e s t s o f p a r a m e t r i c c o n t i n u o u s - t i m e M a r k o v m o d e l s o f t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t i n t e r e s t r a t e . T h e t e s t i s b a s e d o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n p a r a m e t r i c a n d n o n p a r a m e t r i c ( k e r n e l ) e s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s . O u r p r i n c i p a l r e s u l t i s t h a t t h e t e s t r e j e c t s t o o o f t e n w h e n u s i n g a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s a n d 2 2 y e a r s o f d a t a . T h e r e a s o n f o r t h e h i g h r e j e c t i o n r a t e i s p r o b a b l y b e c a u s e t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n o f t h e t e s t d o e s n o t d e p e n d o n p e r s i s t e n c e , b u t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p e r f o r m a n c e o f t h e e s t i m a t o r d o e s . A f t e r c r i t i c a l v a l u e s a r e a d j u s t e d f o r s i z e , t h e t e s t h a s l o w p o w e r i n d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t h e V a s i c e k a n d C o x - I n g e r s o l l - R o s s m o d e l s w h e n c o m p a r e d w i t h a c o n d i t i o n a l m o m e n t b a s e d s p e c i (cid:12) c a t i o n t e s t . K e y w o r d s : I n t e r e s t R a t e , N o n p a r a m e t r i c , B a n d w i d t h , S p e c i (cid:12) c a t i o n T e s t . J E L C l a s s i (cid:12) c a t i o n N u m b e r s : C 1 2 , C 1 4 , G 1 2 . B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . T h e a u t h o r t h a n k s Y a c in e A it - S a h a lia , T (cid:3) n d e r s e n , a n d M a r k F is h e r fo r u s e fu l c o m m e n t s a n d t h a n k s R u t h W u fo r v a lu a b le r e s e a r c h a s s is t a n c r r o r s a r e t h e a u t h o r ’s fa u lt . T h e v ie w s e x p r e s s e d in t h is p a p e r r e (cid:13) e c t t h o s e o f t h e a u t h o r a n d n o t t h h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r o t h e r m e m b e r s o f it s s t a (cid:11) . A d d r e s s c o r r e s p o n o M a t t P r it s k e r , T h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , M a il S t o p 9 1 , W a s h in g t o n D C 2 0 5 5 1 . T h e a u t h o r m a e r e a c h e d b y t e le p h o n e : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 3 5 3 4 , F A X : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 5 2 9 6 , a n d e m a il: m p r it s k e r @ fr b .g o v . o e o d y r b e n . A ll s e o f e n c e a ls o
I A h i n b (cid:12) p v k a r m a t e i o i t W i p s B e e t m k K a a I n t r o d u c t i o n . n u m b e r o f r e c e n t p a p e r s ( S t a n t o n [ 1 9 9 5 ] , A i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 a , 1 9 9 6 b , 1 9 9 6 c ] , S i d d i q u e [ 1 9 9 4 ] ) a v e u s e d n o n p a r a m e t r i c d e n s i t y e s t i m a t i o n o r n o n p a r a m e t r i c r e g r e s s i o n t o s t u d y t h e b e h a v o r o f t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t i n t e r e s t r a t e , a n d t o t e s t t h e o r i e s o f t h e t e r m s t r u c t u r e . T h e s e o n p a r a m e t r i c m e t h o d s h a v e p o t e n t i a l t o e n h a n c e o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e t e r m s t r u c t u r e e c a u s e t h e y m a y c a p t u r e f e a t u r e s o f t e r m s t r u c t u r e d y n a m i c s w h i c h a r e m i s s e d o r m i s s p e c i e d i n p a r a m e t r i c a p p r o a c h e s . A l t h o u g h n o n p a r a m e t r i c m e t h o d s h a v e a d v a n t a g e s o v e r m o r e a r a m e t r i c a p p r o a c h e s , t h e y a l s o h a v e i m p o r t a n t d r a w b a c k s i n c l u d i n g : ( 1 ) T h e y r e q u i r e e r y l a r g e a m o u n t s o f d a t a ; ( 2 ) m o s t r e s u l t s a r e b a s e d o n a s y m p t o t i c s ; r e l a t i v e l y l i t t l e i s n o w n a b o u t (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s ; ( 3 ) l i t t l e i s k n o w n a b o u t t h e i r p e r f o r m a n c e ( e x c e p t s y m p t o t i c a l l y ) w h e n a p p l i e d t o p e r s i s t e n t t i m e s e r i e s o f t h e t y p e e n c o u n t e r e d i n i n t e r e s t a t e s t u d i e s ; a n d ( 4 ) t h e m e t h o d s r e q u i r e a c h o i c e o f b a n d w i d t h ( s m o o t h i n g p a r a m e t e r ) , b u t o s t r e s u l t s o n o p t i m a l b a n d w i d t h s e l e c t i o n h a v e o n l y b e e n w o r k e d o u t f o r i . i . d . d a t a , o r s y m p t o t i c a l l y f o r t i m e s e r i e s d a t a . C h o o s i n g t h e b a n d w i d t h o p t i m a l l y w i t h (cid:12) n i t e s a m p l e i m e s e r i e s d a t a i s f a r m o r e d i (cid:14) c u l t . A s n o t e d i n B a l l a n d T o r o u s [ 1 9 9 6 ] d r a w b a c k s o n e t h r o u g h t h r e e a l s o a p p l y t o p a r a m e t r i c s t i m a t i o n m e t h o d s w h e n t i m e s e r i e s p r o c e s s e s ( s u c h a s i n t e r e s t r a t e s ) c o n t a i n a r o o t t h a t 1 s c l o s e t o u n i t y . T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o b e g i n a n e x a m i n a t i o n o f t h e i m p o r t a n c e f n e a r u n i t r o o t b e h a v i o r f o r n o n p a r a m e t r i c k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n . M o r e s p e c i (cid:12) c a l l y , n t h i s p a p e r w e e x a m i n e t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p e r f o r m a n c e o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n w h e n h e s p o t r a t e f o l l o w s a c o n t i n u o u s t i m e A R ( 1 ) ( O r n s t e i n - U h l e n b e c k p r o c e s s ) a s i n V a s i c e k . e c h o s e t o f o c u s o n V a s i c e k ’ s m o d e l n o t b e c a u s e i t i s f u l l y r e a l i s t i c , b u t r a t h e r b e c a u s e t i s h i g h l y t r a c t a b l e . T h i s t r a c t a b i l i t y a l l o w s u s t o s t u d y t h e r o l e o f n o n - i . i . d . d a t a a n d e r s i s t e n c e i n k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n o f t h e p r o c e s s ’ e r g o d i c d i s t r i b u t i o n i n a (cid:12) n i t e s a m p l e e t t i n g . I n p a r t i c u l a r , t h e t r a c t a b i l i t y a l l o w s u s t o a n a l y t i c a l l y s o l v e f o r t h e (cid:12) n i t e s a m p l e i a s , V a r i a n c e , C o v a r i a n c e , a n d M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r ( M I S E ) o f t h e k e r n e l d e n s i t y s t i m a t e a s a f u n c t i o n o f t h e p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s , v a r i a n c e o f t h e r g o d i c d i s t r i b u t i o n , s p a n o f t h e d a t a , t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h t h e d a t a i s s a m p l e d , a n d h e k e r n e l b a n d w i d t h . W e a l s o s o l v e ( n o t a n a l y t i c a l l y ) f o r t h e k e r n e l b a n d w i d t h w h i c h i n i m i z e s t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r . T h e s e c o n d c o n t r i b u t i o n o f t h i s p a p e r i s t h a t w e u s e t h e i n s i g h t s g a i n e d f r o m s t u d y i n g e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n o f t h e V a s i c e k p r o c e s s i n o r d e r t o e x a m i n e t h e p r o p e r t i e s o f o n e 1 I t is w e ll k n o w n t h a t in t e r e s t r a t e s a r e h ig h ly p e r s is t e n t . U s in g m o n t h ly d a t a fr o m M c C u llo c h a n d w o n [1 9 9 3 ], P a g a n , H a ll, a n d M a r t in [1 9 9 5 ], e s t im a t e t h a t o n e - m o n t h z e r o c o u p o n r a t e s h a v e a (cid:12) r s t o r d e r u t o c o r r e la t io n c o e (cid:14) c ie n t o f 0 .9 8 . T h e y fa il t o r e je c t t h e n u ll h y p o t h e s is t h a t o n e m o n t h z e r o c o u p o n r a t e s r e in t e g r a t e d , a n d c o n c lu d e t h a t n o m in a l in t e r e s t r a t e s a r e in t e g r a t e d o r n e a r ly in t e g r a t e d . 1
o s e t s a t a c I A S c r (cid:27) f u p h w d s i (cid:1) f Y a c i n e A i t - S a h a l i a ’ s [ 1 9 9 6 a ] t e s t s o f p a r a m e t r i c c o n t i n u o u s t i m e M a r k o v m o d e l s o f t h e p o t i n t e r e s t r a t e . T h i s t e s t i s b a s e d o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n p a r a m e t r i c a n d n o n p a r a m e t r i c s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s . W h e n t h i s d i s t a n c e i s o o l a r g e , t h e p a r a m e t r i c m o d e l i s r e j e c t e d . A i t - S a h a l i a d e r i v e d t h e d i s t r i b u t i o n o f h i s t e s t t a t i s t i c a s y m p t o t i c a l l y . I n t h i s p a p e r w e e x a m i n e t h e s m a l l s a m p l e p r o p e r t i e s o f t h e t e s t . T h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r c o n t a i n s t h r e e s e c t i o n s . S e c t i o n I I d i s c u s s e s k e r n e l e s t i m a t i o n n d b a n d w i d t h s e l e c t i o n i n g e n e r a l . T h i s s e c t i o n a l s o p r e s e n t s o u r r e s u l t s o n k e r n e l e s t i m a i o n a n d b a n d w i d t h s e l e c t i o n f o r t h e V a s i c e k m o d e l . S e c t i o n I I I d e s c r i b e s A i t - S a h a l i a ’ s t e s t , n d d e s c r i b e s o u r r e s u l t s o n t h e s i z e a n d p o w e r o f t h e t e s t i n (cid:12) n i t e s a m p l e s . S e c t i o n I V o n c l u d e s . I K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t i o n . . T h e k e r n e l e s t i m a t i o n p r o b l e m . u p p o s e t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t r a t e o f i n t e r e s t r f o l l o w s a s t a t i o n a r y M a r k o v d i (cid:11) u s i o n p r o e s s o f f o r m : d r = (cid:22) ( r ) d t + (cid:27) ( r ) d w : F o r t i m e s t a n d s , t < s , d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t r a t t i m e s i s e q u a l t o r g i v e n ( s ) a t t i m e t i s e q u a l t o r b y t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y (cid:25) ( r ; s r ; t ) , a n d a s s u m e (cid:22) ( r ) a n d ( t) ( s ) ( t) j ( r ) s a t i s f y r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s s u (cid:14) c i e n t t o g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f j o i n t d i s t r i b u t i o n u n c t i o n (cid:25) ( r ; s ; r ; t ) , a n d l o n g r u n e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:25) ( u ) w h e r e (cid:25) ( u ) r e p r e s e n t s t h e ( s ) ( t) n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y t h a t r i s e q u a l t o u . A k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e o f (cid:25) ( u ) i s a s m o o t h e d e s t i m a t e o f t h e e r g o d i c d e n s i t y o f r a t o i n t u . W i t h N d i s c r e t e o b s e r v a t i o n s o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s , t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e a s f o r m : N u r 1 ( i) ^(cid:25) ( u ) = K ( ) (cid:0) N h h i= 1 X h e r e K i s t h e k e r n e l f u n c t i o n a n d h , t h e k e r n e l b a n d w i d t h , i s a p a r a m e t e r s e t t o c h o o s e t h e e g r e e o f s m o o t h i n g i n t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e . F o r t i m e s e r i e s e s t i m a t i o n , t h e q u a l i t y o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w i l l d e p e n d o n t h e p a n o f t h e d a t a ( T ) a n d t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y ( (cid:1) T ) . T o e x p l i c i t l y i n c o r p o r a t e t h e s e f a c t o r s n t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , s u p p o s e t h e r e a r e T y e a r s o f d a t a w h i c h a r e s a m p l e d e v e r y T T y e a r s . T h e n t h e r e a r e N = o b s e r v a t i o n s , a n d t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e c a n b e (cid:1) T 2
e x p r e s s e d a s : N (cid:1) T u r 1 ( s ) ^(cid:25) ( u ) = K ( ) (cid:1) T : ( 1 ) (cid:0) T h h s = (cid:1) T X F o r a g i v e n s p a n o f d a t a , i t m a y b e p o s s i b l e t o i m p r o v e t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e b y s a m p l i n g m o r e f r e q u e n t l y . I n t h e l i m i t , t h e b e s t o n e c o u l d d o i s s a m p l e c o n t i n u o u s l y . T h i s c o r r e s p o n d s t o a l l o w i n g (cid:1) T 0 w h i c h c a u s e s t h e d e n s i t y e s t i m a t e i n ( 1 ) t o c o n v e r g e t o t h e ! c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e : T u r 1 ( s ) ^(cid:25) ( u ) = ) d s ( 2 ) K ( (cid:0) 0 T h h Z I w i l l p r e s e n t t h e o r e t i c a l r e s u l t s b e l o w f o r b o t h t h e d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l 2 e s t i m a t e s . T h e m o s t i m p o r t a n t e l e m e n t o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n i s c h o i c e o f b a n d w i d t h . A s y m p t o t i c r e s u l t s o n k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n p l a c e r e s t r i c t i o n s o n t h e r a t e a t w h i c h t h e b a n d w i d t h s h r i n k s w i t h s a m p l e s i z e . I n a s a m p l e w i t h (cid:12) x e d s i z e , a l l b a n d w i d t h c h o i c e s p r o d u c e b o n i (cid:12) e d d e n s i t y e s t i m a t e s . T h i s l e a v e s t h e c h o i c e o f b a n d w i d t h t o t h e d i s c r e t i o n o f t h e e c o n o m e t r i c i a n . F o r d a t a d e s c r i p t i o n p u r p o s e s , a n e x t r a e l e m e n t o f d i s c r e t i o n i s (cid:12) n e s i n c e 3 c h o o s i n g d i (cid:11) e r e n t b a n d w i d t h s e m p h a s i z e d i (cid:11) e r e n t a s p e c t s o f t h e d a t a . , b u t f o r s o m e p u r - 4 p o s e s , s u c h a s h y p o t h e s i s t e s t i n g , a s i n g l e d e n s i t y e s t i m a t e i s d e s i r a b l e . M o r e o v e r , i n o r d e r t o s c i e n t i (cid:12) c a l l y r e p l i c a t e t h e t e s t i n g m e t h o d , i t i s i m p o r t a n t t o c h o o s e t h e b a n d w i d t h i n a n o n - s u b j e c t i v e w a y t h a t c a n b e i m p l e m e n t e d b y o t h e r r e s e a r c h e r s . T h i s r e q u i r e s c h o o s i n g t h e b a n d w i d t h b y s o m e c r i t e r i o n , s u c h a s m i n i m i z i n g a s t a t i s t i c a l l o s s f u n c t i o n . T h e m o s t c o m m o n l o s s f u n c t i o n c o n s i d e r e d i s t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r ( M I S E ) o f t h e d e n s i t y e s t i m a t e : 2 M I S E = E [ ^(cid:25) ( u ) (cid:25) ( u ) ] d u u (cid:0) Z 2 2 [ ^(cid:25) ( u ) E ^(cid:25) ( u ) ] d u + E [ E ^(cid:25) ( u ) (cid:25) ( u ) ] d u = E u u (cid:0) (cid:0) Z Z 2 T h e c o n t in u o u s s a m p lin g k e r n e l e s t im a t e is a t h e o r e t ic a l a b s t r a c t io n , b u t it is a v e r y u s e fu l o n e b e c a u s e it p r o v id e s a n u p p e r b o u n d o n t h e p e r fo r m a n c e o f k e r n e l d e n s it y e s t im a t e s w it h d is c r e t e s a m p lin g . I n a d d it io n , it is v e r y t r a c t a b le , a n d s o m e t im e s p r o v id e s a g o o d a p p r o x im a t io n fo r t h e b e h a v io r o f k e r n e l d e n s it y e s t im a t e s t h a t in v o lv e fr e q u e n t d is c r e t e s a m p lin g . 3 W h e n e s t im a t in g (cid:25) ( u ) ; la r g e r b a n d w id t h s in v o lv e m o r e a v e r a g in g o f d a t a a c r o s s o b s e r v a t io n s fa r fr o m u . T h e a v e r a g in g r e d u c e s t h e v a r ia n c e o f ^(cid:25) ( u ) a n d e m p h a s iz e s m o r e \ g lo b a l" fe a t u r e s o f t h e d e n s it y . H o w e v e r , b y s m o o t h in g a c r o s s r e a liz a t io n s o f r t h a t a r e r e la t iv e ly fa r fr o m u , lo c a l fe a t u r e s o f t h e d a t a a r e lo s t ; t h is in t r o d u c e s b ia s . S m a lle r b a n d w id t h s h a v e t h e o p p o s it e e (cid:11) e c t . S ilv e r m a n [1 9 8 6 ] a n d S c o t t [1 9 9 2 ] s u g g e s t e x a m in in g d e n s it y e s t im a t e s u s in g s e v e r a l d i(cid:11) e r e n t b a n d w id t h s s in c e e a c h r e v e a ls d i(cid:11) e r e n t a s p e c t s o f t h e d a t a . 4 M u lt ip le d e n s it y e s t im a t e s m a y g e n e r a t e c o n (cid:13) ic t in g t e s t s w h ic h n e e d t o b e r e c o n c ile d b a s e d o n s o m e c r it e r io n . 3
= M I V A R + M I S B : T h e M I S E i s t h e e x p e c t e d s q u a r e d d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e e s t i m a t e d a n d t r u e d e n s i t i e s i n t e g r a t e d o v e r t h e r a n g e o f r , a n d i s o n e m e a s u r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t r u e a n d e s t i m a t e d d e n s i t i e s . A s s h o w n i n t h e s e c o n d a n d t h i r d l i n e s , t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r i s t h e s u m o f t h e M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e ( M I V A R ) a n d t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s ( M I S B ) . M a n y b a n d w i d t h s e l e c t i o n m e t h o d s a r e d e s i g n e d t o c h o o s e t h e b a n d w i d t h t o m i n i m i z e 5 a c o n s t r u c t e d p r o x y f o r M I S E . O n e c o m m o n m e t h o d a s s u m e s t h e d a t a i s d r a w n f r o m a p a r t i c u l a r p a r a m e t r i c d i s t r i b u t i o n ( s u c h a s a l l d r a w s a r e i . i . d . G a u s s i a n ) a n d c h o o s e s a n 6 o p t i m a l b a n d w i d t h b a s e d o n p a r a m e t r i c e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e d i s t r i b u t i o n . O t h e r m e t h o d s , s u c h a s l e a s t s q u a r e s c r o s s - v a l i d a t i o n , c o n s t r u c t a p r o x y f o r M I S E , a n d 7 t h e n c h o o s e t h e b a n d w i d t h t o m i n i m i z e t h a t p r o x y . I n (cid:12) n i t e s a m p l e s , t h e (cid:12) r s t o f t h e s e m e t h o d s i s o n l y a p p r o p r i a t e f o r i . i . d . d a t a ; t h e s e c o n d m e t h o d i s v a l i d a s y m p t o t i c a l l y , b u t i s k n o w n t o g e n e r a t e d o w n w a r d b i a s e d b a n d w i d t h e s t i m a t e s i n (cid:12) n i t e s a m p l e s w i t h d e p e n d e n t o b s e r v a t i o n s . W e w i l l i n v e s t i g a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e b a n d w i d t h s e l e c t i o n m e t h o d s i n m o r e d e t a i l f o r t h e s p e c i (cid:12) c c a s e o f t h e V a s i c e k m o d e l . B . K e r n e l e s t i m a t i o n a n d t h e V a s i c e k m o d e l . V a s i c e k [ 1 9 7 7 ] u s e d t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e t o s o l v e f o r b o n d p r i c e s w h e n i n t e r e s t r a t e s e v o l v e a c c o r d i n g t o t h e c o n t i n u o u s t i m e A R ( 1 ) : d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) d w : ( 3 ) (cid:0) U n d e r t h i s p r o c e s s , r h a s e r g o d i c d i s t r i b u t i o n : 2 1 ( r (cid:18) ) (cid:25) ( r ) = e x p : 5 ; ( 4 ) (cid:0) 2 3 2 2 (cid:27) (cid:27) 0 1 (cid:0) 2 (cid:25) 2 (cid:20) 2 (cid:20) 6 7 @ A q q 4 5 5 M I S E is n o t o b s e r v a b le . 6 1 = 5 F o r e x a m p le , t h e M I S E m in im iz in g b a n d w id t h fo r i.i.d . d r a w s u s in g G a u s s ia n d a t a is 1 :0 6 (cid:27) N . T h e (cid:0) 1 = 5 b a n d w id t h t h a t is u s e d in p r a c t ic e w o u ld b e 1 :0 6 ^(cid:27) N , w h e r e ^(cid:27) is a p a r a m e t r ic e s t im a t e o f (cid:27) : (cid:0) 7 T h is p r o c e d u r e is a p p e a lin g b e c a u s e S t o n e [1 9 8 4 ] s h o w e d fo r i.i.d . d a t a t h a t t h e b a n d w id t h c h o s e n b y le a s t s q u a r e s c r o s s v a lid a t io n c o n v e r g e s t o o n e t h a t m in im iz e s t h e m e a n in t e g r a t e d s q u a r e d e r r o r o f t h e d e n s it y e s t im a t e a s s a m p le s iz e g r o w s . H o w e v e r , P a r k a n d M a r r o n [1 9 9 0 ] s h o w t h a t it p r o d u c e s v e r y n o is y e s t im a t e s o f o p t im a l b a n d w id t h in s m a ll s a m p le s . 4
a c i a o (cid:27) o t b e F T V a s h a o i a v r e n d r h a s c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n : 2 ( r (cid:22) ( r r ) ) 1 ( s ) ( t) ( 5 ) (cid:25) ( r ; s r ; t ) = e x p : 5 (cid:0) j ( s ) ( t) 3 2 1 0 j (cid:0) 2 (cid:25) V ( r r ) V ( r r ) ( s ) ( t) ( s ) ( t) j j 7 6 A @ q q 5 4 w h e r e : (cid:20) ( s t) (cid:0) (cid:0) (cid:22) ( r r ) = (cid:18) + ( r (cid:18) ) e ( s ) ( t) ( t) j (cid:0) 2 (cid:27) 2 (cid:20) ( s t) (cid:0) (cid:0) V ( r r ) = ( 1 e ) : ( s ) ( t) 2 (cid:20) j (cid:0) T h e V a s i c e k m o d e l h a s t h r e e c o n v e n i e n t p r o p e r t i e s . T h e (cid:12) r s t i s t h a t t h e e r g o d i c a n d o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s o f r g i v e n i n e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) a r e g a u s s i a n . W h e n t h e k e r n e l s a l s o g a u s s i a n , t h i s g r e a t l y s i m p l i (cid:12) e s c o m p u t a t i o n o f t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e n d M I S E . T h e s e c o n d a n d t h i r d p r o p e r t i e s a r e t h a t t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n i s h o m o g e n o u s 2 f d e g r e e 0 i n (cid:27) a n d (cid:20) ; a n d t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e 0 i n (cid:20) ; 1 2 ; a n d . A s I w i l l s h o w b e l o w , t h e s e f e a t u r e s m a k e i t p o s s i b l e t o s t u d y t h e i n t e r a c t i o n t s (cid:0) f p e r s i s t e n c e , s a m p l i n g f r e q u e n c y , a n d s p a n o f t h e d a t a o n k e r n e l e s t i m a t i o n w h i l e h o l d i n g h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:12) x e d . O u r r e s u l t s o n t h e t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s o f k e r n e l e s t i m a t i o n i n t h e V a s i c e k m o d e l a r e r o k e n i n t o t w o s u b s e c t i o n s . T h e (cid:12) r s t s u m m a r i z e s o u r (cid:12) n i t e s a m p l e r e s u l t s o n k e r n e l d e n s i t y s t i m a t i o n ; t h e s e c o n d c o n t r a s t s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s w i t h t h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s . i n i t e s a m p l e r e s u l t s . h i s s e c t i o n p r o v i d e s a n a l y t i c a l o r n e a r a n a l y t i c a l (cid:12) n i t e s a m p l e e x p r e s s i o n s f o r t h e B i a s , a r i a n c e , C o v a r i a n c e , a n d M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s a f u n c t i o n o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s , s p a n o f t h e d a t a , f r e q u e n c y w i t h w h i c h i t i s a m p l e d , a n d t h e k e r n e l b a n d w i d t h . T h e s e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s a r e t h e n u s e d t o s t u d y o w M I S E a n d t h e o p t i m a l b a n d w i d t h c h a n g e w i t h s a m p l i n g f r e q u e n c y , s p a n o f t h e d a t a , n d p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s . P r o p o s i t i o n I p r e s e n t s a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e b i a s , a n d M I S E f o r k e r n e l e s t i m a t e s f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e V a s i c e k p r o c e s s w h e n t h e p r o c e s s i s s a m p l e d a t N d i s c r e t e n t e r v a l s e a c h o f l e n g t h (cid:1) t : T h e e x p r e s s i o n f o r M I S E w a s d e r i v e d e a r l i e r b y W a n d [ 9 2 ] u s i n g t e c h n i q u e t h a t i s d i (cid:11) e r e n t t h a n t h e o n e u s e d h e r e . E x p r e s s i o n s f o r t h e (cid:12) n i t e s a m p l e a r i a n c e a n d c o v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e a r e c o n t a i n e d i n a p p e n d i c e s C a n d D e s p e c t i v e l y . P r o p o s i t i o n I . I f r i s d r a w n f r o m t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e V a s i c e k p r o c e s s g i v e n i n ( 0 ) u r s( ) N (cid:1) t 1 (cid:0) q u a t i o n ( 4 ) , a n d r t h e n e v o lv e s a c c o r d i n g t o t h e d i (cid:11) u s i o n ( 3 ) , a n d ^(cid:25) ( u ) = K ( ) s = (cid:1) t N h h P 5 ;
w h e r e K ( . ) i s t h e s t a n d a r d G a u s s i a n k e r n e l t h e n : 2 1 1 u (cid:18) ; ( 6 ) E ^(cid:25) ( u ) = e x p : 5 (cid:0) 2 2 3 2 p p p (cid:0) h + V h + V ! 2 (cid:25) E E 5 4 1 1 2 1 M I S B ( ^(cid:25) ( u ) ) = + ; ( 7 ) 2 0 1 2 p p p (cid:0) 2 V 2 h + 2 V 2 (cid:25) E E ( h + 2 V ) E @ A q N l 1 (cid:0) 1 N 1 + 2 M I V A R ( ^(cid:25) ( u ) ) = 2 2 2 2 (cid:20) ( l m ) (cid:1) t p p N 2 (cid:25) 2 h m = 1 l= 2 2 h + 2 V ( 1 e ) E (cid:0) (cid:0) X X (cid:0) 4 2 q N ( 8 ) 2 p (cid:0) 2 h + 2 V # E M I S E ( ^(cid:25) ( u ) ) = M I S B ( ^(cid:25) ( u ) ) + M I V A R ( ^(cid:25) ( u ) ) ; ( 9 ) 2 (cid:27) w h e r e , V = : E 2 (cid:20) P r o o f : S e e t h e a p p e n d i x . M o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e V a s i c e k p r o c e s s i s l e a r n e d i f t h e d a t a i s s a m p l e d a t m o r e f r e q u e n t i n t e r v a l s f o r a g i v e n s p a n o f d a t a . A n u p p e r b o u n d o f t h e i n f o r m a t i o n i n t h e s a m p l e c o m e s f r o m a k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w i t h c o n t i n u o u s s a m p l i n g . E x p r e s s i o n s f o r t h e b i a s a n d M I S E f o r k e r n e l e s t i m a t i o n w i t h c o n t i n u o u s s a m p l i n g a r e b e l o w ; r e s u l t s o n v a r i a n c e a n d c o v a r i a n c e a r e i n a p p e n d i c e s C a n d D r e s p e c t i v e l y . P r o p o s i t i o n I I . I f r i s d r a w n f r o m t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e V a s i c e k p r o c e s s g i v e n i n ( 0 ) u r s( ) T 1 (cid:0) e q u a t i o n ( 4 ) , a n d r t h e n e v o lv e s a c c o r d i n g t o t h e d i (cid:11) u s i o n ( 3 ) , a n d ^(cid:25) ( u ) = K ( ) d s ; 0 T h h w h e r e K ( . ) i s a G a u s s i a n k e r n e l, t h e n E ^(cid:25) ( u ) a n d M I S B a r e a s i n e q u a t i o n s ( 6 ) a n d ( 7 ) , R a n d : T 1 + 1 ( t ) 1 4 1 (cid:0) l n d t ; ( 1 0 ) M I V A R ( ^(cid:25) ( u ) ) = 2 2 q 2 3 0 p p (cid:20) T 2 h + 2 V 2 (cid:25) E 1 + 1 ( 0 ) Z (cid:0) 4 5 q M I S E ( ^(cid:25) ( u ) ) = M I S B ( ^(cid:25) ( u ) ) + M I V A R ( ^(cid:25) ( u ) ) ; ( 1 1 ) 2 V (cid:27) E w h e r e , V = , a n d ( t ) = e x p ( (cid:20) t ) : 2 E 2 (cid:20) h + V E (cid:0) (cid:16) (cid:17) P r o o f : S e e t h e a p p e n d i x . T h e e x p r e s s i o n f o r M I S E i n p r o p o s i t i o n s I i s a n a l y t i c a l a n d v e r y e a s y t o c o m p u t e . T h e 8 e x p r e s s i o n f o r M I S E i n p r o p o s i t i o n I I i s n o t c l o s e d f o r m , b u t c a n b e c o m p u t e d e a s i l y . T h i s 9 t r a c t a b i l i t y s h o w s t h a t i n t h i s c a s e t h e f o r m o f t h e b i a s o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s 8 T h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s it y e s t im a t e a n d it s m e a n in t e g r a t e d s q u a r e d b ia s ( M I S B ) a r e t y p ic a lly n o t a v a ila b le in c lo s e d fo r m , b u t t h e y a r e fo r t h e V a s ic e k m o d e l. S im ila r ly , t h e g e n e r a l e x p r e s s io n fo r m e a n in t e g r a t e d v a r ia n c e ( M I V A R ) in p r o p o s it io n I I is a (cid:12) v e d im e n s io n a l in t e g r a l, b u t it r e d u c e s t o a o n e - d im e n s io n a l in t e g r a l fo r t h e V a s ic e k m o d e l. 9 K e r n e l d e n s it y e s t im a t e s p r o d u c e b ia s e d e s t im a t e s o f t h e t r u e d e n s it y in (cid:12) n it e s a m p le s . 6
t h a t t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e ( s e e e q u a t i o n ( 6 ) ) h a s a l a r g e r v a r i a n c e t h a n t h e 1 0 t r u e d i s t r i b u t i o n . T h i s t r a c t a b i l i t y i s e s p e c i a l l y u s e f u l f o r a n a l y z i n g t h e M I S E a n d t h e c h o i c e o f o p t i m a l b a n d w i d t h a s a f u n c t i o n o f m e a n r e v e r s i o n ( (cid:20) ) , d a t a s p a n ( T ) , s a m p l i n g f r e q u e n c y ( (cid:1) T ) , a n d v a r i a n c e o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n ( V ) . L e t M I S E ( (cid:20) ; T ; (cid:1) T ; V ) r e p r e s e n t t h e M I S E E E a s f u n c t i o n s o f t h e s e p a r a m e t e r s , a n d l e t h b e t h e M I S E m i n i m i z i n g b a n d w i d t h . S o m e o f (cid:3) t h e p r o p e r t i e s o f M I S E ( . ) a n d h a r e s u m m a r i z e d i n p r o p o s i t i o n I I I : (cid:3) P r o p o s i t i o n I I I . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f p r o p o s i t i o n I , f o r (cid:12) x e d N a n d V ; : E 1 1 1 . M I S E ( (cid:20) ; T ; (cid:1) T ; V ) a n d h a r e h o m o g e n o u s o f d e g r e e 0 i n (cid:20) , a n d . (cid:3) E (cid:1) T T 1 :5 2 :5 2 :5 ^ 2 . l i m M I V A R ( (cid:25) ( u ) ) = N ( 2 (cid:25) ) [ ( 2 h ) ( 2 h + 2 V ) ] : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) E ! 1 (cid:0) :5 2 :5 2 :5 ^ 3 . l i m M I V A R ( (cid:25) ( u ) ) = ( 2 (cid:25) ) [ ( 2 h ) ( 2 h + 2 V ) ] : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) 0 E ! (cid:0) P r o o f . R e s u lt 1 f o l lo w s f r o m i n s p e c t i o n o f e q u a t i o n ( 8 ) a n d r e s u lt s 2 a n d 3 f o l lo w f r o m t a k i n g li m i t s . P r o p o s i t i o n I I I e x a m i n e s t h e r o l e o f m e a n r e v e r s i o n , a s m e a s u r e d b y (cid:20) o n t h e q u a l i t y o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w h i l e h o l d i n g t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:12) x e d . T h e (cid:12) r s t r e s u l t i s u s e f u l f o r t h i n k i n g a b o u t t h e s p a n o f d a t a n e c e s s a r y t o a c h i e v e r e a s o n a b l e e s t i m a t e s . M y n a t u r a l i n t u i t i o n s a y s t h a t i f t h e s p a n o f t h e d a t a i s v e r y l o n g a n d N i s l a r g e , t h e n t h e e s t i m a t e s w i l l p r o b a b l y b e r e a s o n a b l e . I t i s w e l l u n d e r s t o o d t h a t t h i s i n t u i t i o n i s w r o n g . T h i s r e s u l t p r o v i d e s a n a d d i t i o n a l i l l u s t r a t i o n o f t h e p r o b l e m . S p e c i (cid:12) c a l l y , s u p p o s e f o r N o b s e r v a t i o n s ( N c o u l d b e v e r y l a r g e ) , a g i v e n d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e d a t a , a n d a g i v e n s p a n o f d a t a , a k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e c o n t a i n s a n u n a c c e p t a b l y h i g h M I S E . B y r e p e a t e d l y h a l v i n g t h e m e a n r e v e r s i o n , d o u b l i n g t h e t i m e b e t w e e n o b s e r v a t i o n s , a n d d o u b l i n g t h e s p a n o f t h e d a t a , i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a t e a r b i t r a r i l y l o n g s p a n s o f d a t a w h i c h a l s o g e n e r a t e i d e n t i c a l l y p o o r d e n s i t y e s t i m a t e s . R e s u l t s 2 a n d 3 e x a m i n e t h e q u a l i t y o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i n e x t r e m e c a s e s . B o t h o f t h e s e r e s u l t s a r e i n t u i t i v e . I n r e s u l t 2 , a s (cid:20) g o e s t o i n (cid:12) n i t y , t h e r a t e o f m e a n r e v e r s i o n g o e s t o i n (cid:12) n i t y a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n t e r e s t r a t e o b s e r v a t i o n s g o e s t o z e r o . I n t h i s l i m i t i n g c a s e , b e c a u s e t h e i n t e r e s t r a t e o b s e r v a t i o n s a r e g a u s s i a n a n d t h e i r c o r r e l a t i o n s g o t o 0 , t h e o b s e r v a t i o n s b e c o m e i . i . d . g a u s s i a n r a n d o m v a r i a b l e s . M o r e o v e r , m y e x p r e s s i o n s f o r M I V A R a n d M I S E c o n v e r g e t o k n o w n e x p r e s s i o n s ( s e e S i l v e r m a n 1 9 8 6 ) f o r M I V A R a n d M I S E w h e n t h e r e a r e N i . i . d . g a u s s i a n o b s e r v a t i o n s a n d a g a u s s i a n k e r n e l i s u s e d . I n r e s u l t 3 , a s (cid:20) g o e s t o z e r o , m e a n r e v e r s i o n g o e s t o 0 a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n d i s c r e t e l y s p a c e d o b s e r v a t i o n s o f t h e p r o c e s s a p p r o a c h e s 1 . T h i s m e a n s , i n t h e l i m i t , a d d i t i o n a l o b s e r v a t i o n s b e y o n d t h e (cid:12) r s t d o n ’ t c o n t r i b u t e a n y n e w i n f o r m a t i o n . T h e r e f o r e , m e a n i n t e g r a t e d v a r i a n c e i n t h i s c a s e a p p r o a c h e s t h e s a m e l i m i t f o r e v e r y s a m p l e s i z e N . 1 0 T h is r e s u lt is c o n t a in e d in D e H e u v e ls [1 9 7 7 ] fo r i.i.d . d a t a . 7
d i c r o l b M b m V r r i (cid:27) t e m q l t s i d i i i b d s d F o r t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , t h e (cid:12) r s t r e s u l t i n p r o p o s i t i o n I I I o e s n o t a p p l y s i n c e i t i s n o t p o s s i b l e t o m e a n i n g f u l l y h a l v e o r d o u b l e t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y n t h i s c a s e . T h e s e c o n d a n d t h i r d r e s u l t s a r e s o r t o f r e p l i c a t e d f o r t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g a s e . W h e n (cid:20) g o e s t o i n (cid:12) n i t y w h i l e V i s h e l d (cid:12) x e d , t h e M I V A R g o e s t o 0 . I n t u i t i o n f o r t h i s E e s u l t i s t h a t a s (cid:20) g o e s t o i n (cid:12) n i t y , t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l e s t i m a t e u s e s a c o n t i n u u m f i . i . d . o b s e r v a t i o n s . T h i s s h o u l d g e n e r a t e a n M I V A R o f 0 . I h a v e n o t b e e n a b l e t o g e n e r a t e i m i t i n g r e s u l t s a s (cid:20) g o e s t o 0 i n t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g c a s e . H o w e v e r , i n t h e a n a l y s i s e l o w I c o m p u t e d t h e e (cid:11) e c t s o f r e d u c i n g (cid:20) w h i l e h o l d i n g V (cid:12) x e d . I f o u n d t h a t t h i s i n c r e a s e s E I S E . T o f u r t h e r e x a m i n e t h e r o l e o f p e r s i s t e n c e i n t h e q u a l i t y o f k e r n e l e s t i m a t e s , a n d i n a n d w i d t h s e l e c t i o n , I u s e d t h e f o r m u l a s i n p r o p o s i t i o n I I t o c o m p u t e t h e o p t i m a l ( M I S E i n i m i z i n g ) b a n d w i d t h , a n d r e s u l t i n g M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r , M e a n I n t e g r a t e d a r i a n c e , a n d M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s f o r 5 d i (cid:11) e r e n t p a - 1 1 a m e t e r i z a t i o n s o f t h e V a s i c e k m o d e l u s i n g 2 2 y e a r s o f c o n t i n u o u s l y s a m p l e d d a t a . T a b l e 1 e p o r t s t h e r e s u l t s f o r a l l (cid:12) v e s e t s o f V a s i c e k p a r a m e t e r v a l u e s . T h e p r i m a r y , o r b a s e l i n e c a s e s c o n t a i n e d i n t h e r o w l a b e l e d m o d e l 0 , a n d u s e d p a r a m e t e r s (cid:20) = : 8 5 8 3 7 ; (cid:18) = : 0 8 9 1 0 2 ; a n d 2 1 2 = . 0 0 2 1 8 5 4 . T h e s e p a r a m e t e r s a r e b a s e l i n e b e c a u s e t h e y a r e a c t u a l G M M e s t i m a t e s o f h e V a s i c e k p a r a m e t e r s r e p o r t e d i n A i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 b ] a n d h e n c e p r o v i d e a s e t o f p a r a m t e r s t h a t a r e r e l e v a n t t o r e a l w o r l d a n a l y s i s o f i n t e r e s t r a t e p r o c e s s e s . T h e r o w s l a b e l e d 2 o d e l s ( - 2 ) , ( - 1 ) , ( 1 ) , a n d ( 2 ) p r o v i d e r e s u l t s i n w h i c h t h e b a s e l i n e (cid:20) a n d (cid:27) w e r e d o u b l e d , u a d r u p l e d , h a l v e d , a n d q u a r t e r e d r e s p e c t i v e l y . M o d e l s t o w a r d s t h e t o p o f t h e t a b l e i n v o l v e e s s p e r s i s t e n c e , b u t a l l m o d e l s h a v e t h e s a m e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n . T a b l e 1 c o n t a i n s t w o b a s i c i n s i g h t s . F i r s t , t h e s l o w e r i s t h e m e a n r e v e r s i o n , t h e h i g h e r i s h e m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d e r r o r , m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d v a r i a n c e , a n d m e a n i n t e g r a t e d q u a r e d b i a s . T h i s s h o w s w e s h o u l d p u t l e s s f a i t h i n o u r d e n s i t y e s t i m a t e s w h e n p e r s i s t e n c e s h i g h . F r o m p r o p o s i t i o n I w e k n o w t h a t t h e m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d b i a s d o e s n o t d e p e n d i r e c t l y o n p e r s i s t e n c e . T h e r e f o r e , i f m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d b i a s g o e s u p w i t h p e r s i s t e n c e t m u s t h a p p e n b e c a u s e t h e o p t i m a l r e s p o n s e t o m o r e p e r s i s t e n c e i s a h i g h e r b a n d w i d t h . T h i s s t h e s e c o n d i n s i g h t f r o m t a b l e 1 b e c a u s e i t s h o w s e x p l i c i t l y t h a t t h e o p t i m a l b a n d w i d t h s i n c r e a s i n g i n p e r s i s t e n c e . T h i s i s a n i m p o r t a n t r e s u l t b e c a u s e i t s h o w s t h a t t h e o p t i m a l a n d w i d t h d o e s n o t j u s t d e p e n d o n t h e s a m p l e s i z e , a n d o n t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e a t a , b u t i t a l s o d e p e n d s o n a t i m e s e r i e s p r o p e r t y o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s . T h i s h o w s t h a t k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n s h o u l d b e g u i d e d b y t h e t i m e s e r i e s p r o p e r t i e s o f t h e a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s . 1 1 2 2 y e a r s o f d a t a w e r e u s e d in t h is t a b le t o r e p lic a t e t h e s a m p le s iz e u s e d in A it - S a h a lia [1 9 9 6 a ]. 1 2 A ll p a r a m e t e r s a r e a t a n a n n u a l r a t e . 8
T a b l e s 2 a n d 3 e x p a n d t h e s e i n s i g h t s b y e x a m i n i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n f o r b o t h c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e s a m p l i n g f o r s i x d i (cid:11) e r e n t s p a n s o f d a t a a n d s i x d i (cid:11) e r e n t s a m p l i n g f r e q u e n c i e s . T a b l e 2 p r e s e n t s r e s u l t s o n o p t i m a l b a n d w i d t h c h o i c e w h e n t h e b a n d w i d t h i s c h o s e n t o m i n i m i z e M I S E . T a b l e 3 p r e s e n t s r e s u l t s o n t h e r e s u l t i n g M I S E w h e n t h e b a n d w i d t h i s c h o s e n o p t i m a l l y . T h e V a s i c e k p a r a m e t e r s a n d m o d e l s u s e d i n t a b l e s 2 a n d 3 a r e i d e n t i c a l 1 3 t o t h o s e u s e d i n t a b l e 1 . T w o i m p o r t a n t s t y l i z e d f a c t s a r e i m m e d i a t e l y a p p a r e n t f r o m t a b l e 2 : F o r t h e a m o u n t s o f m e a n r e v e r s i o n c o n s i d e r e d i n t h e t a b l e , t h e c h o i c e o f o p t i m a l b a n d w i d t h i s h i g h l y i n s e n s i t i v e t o t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h t h e d a t a i s s a m p l e d , a n d i s v e r y s e n s i t i v e t o t h e p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s . I f e i t h e r o f t h e s e f a c t s i s i g n o r e d i n b a n d w i d t h s e l e c t i o n , t h e s e l e c t e d c h o i c e o f b a n d w i d t h c o u l d b e q u i t e p o o r . M o r e s p e c i (cid:12) c a l l y , i f t h e b a n d w i d t h s e l e c t i o n r u l e f o r i . i . d . g a u s s i a n o b s e r v a t i o n s w a s f o l l o w e d , t h e n s o m e o n e w h o s a m p l e d t h e d a t a e v e r y 3 0 d a y s w o u l d c h o o s e t h e b a n d w i d t h ( 1 = 5 ) p a s 1 : 0 6 V N w h e r e N i s t h e n u m b e r o f t i m e s e r i e s o b s e r v a t i o n s t h a t a r e s p a c e d 3 0 (cid:0) E d a y s a p a r t a n d V i s a n e s t i m a t e o f t h e v a r i a n c e o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n . S o m e o n e w h o E f o l l o w e d t h e s a m e r u l e b u t s a m p l e d t h e d a t a e v e r y d a y w o u l d h a v e c h o s e n a b a n d w i d t h t h a t i s r o u g h l y h a l f a s l a r g e a l t h o u g h t h e r e s u l t s h e r e i n d i c a t e t h e a p p r o p r i a t e b a n d w i d t h f o r d a i l y s a m p l i n g s h o u l d b e r o u g h l y t h e s a m e a s f o r t h i r t y d a y s a m p l i n g i n o u r b a s e l i n e c a s e . S i m i l a r l y , t h e t a b l e s h o w s t h a t t h e o p t i m a l b a n d w i d t h i n c r e a s e s b y 5 0 % o r m o r e w h e n m o v i n g f r o m M o d e l ( - 2 ) , t h e l e a s t p e r s i s t e n t m o d e l , t o M o d e l ( 2 ) , t h e m o s t p e r s i s t e n t m o d e l . I f t h e b a n d w i d t h i s c h o s e n w i t h o u t a c c o u n t i n g f o r p e r s i s t e n c e , t h i s s h o w s t h e r e i s t h e p o s s i b i l i t y t h e b a n d w i d t h c o u l d b e c h o s e n q u i t e p o o r l y . T h e l a s t s t y l i z e d f a c t f r o m t a b l e 2 i s t h a t t h e s p a n o f t h e d a t a m a t t e r s f o r b a n d w i d t h s e l e c t i o n . T h i s i s n o t a s u r p r i s e . I n a d d i t i o n , t h e t a b l e s h o w s t h a t t h e M I S E m i n i m i z i n g :3 1 4 b a n d w i d t h h o l d i n g s a m p l i n g f r e q u e n c y (cid:12) x e d s h r i n k s a t a n a v e r a g e r a t e o f a b o u t N . (cid:0) T a b l e 3 s h o w s t h a t M I S E i s n o t v e r y s e n s i t i v e t o s a m p l i n g f r e q u e n c y , b u t i s v e r y s e n s i t i v e t o t h e a m o u n t o f p e r s i s t e n c e i n t h e d a t a . T h i s r e s u l t i s v e r y i m p o r t a n t f o r a n a l y z i n g t h e b e h a v i o r o f i n t e r e s t r a t e s n o n p a r a m e t r i c a l l y , e s p e c i a l l y w h e n t h e s e r i e s i s s h o r t . F o r e x a m p l e , f o r t h e b a s e l i n e c a s e a n d 2 0 y e a r s o f d a t a , s a m p l i n g t h e d a t a d a i l y i n s t e a d o f m o n t h l y r e d u c e s t h e M I S E b y 0 . 2 5 % ; i . e . s a m p l i n g d a i l y i n s t e a d o f m o n t h l y p r o d u c e s a l m o s t n o r e d u c t i o n i n M I S E . F o r 5 0 y e a r s o f d a t a i n t h e b a s e l i n e c a s e , s a m p l i n g t h e d a t a d a i l y i n s t e a d o f m o n t h l y 1 3 T a b le s 2 a n d 3 a s s u m e t h e r e a r e 2 4 0 b u s in e s s d a y s p e r y e a r . T h is is a b it s h o r t o f 2 5 0 , b u t in o r d e r t o o b t a in a n e v e n n u m b e r o f e v e n ly s p a c e d d is c r e t e o b s e r v a t io n s , I n e e d e d a n u m b e r o f d a y s t h a t is d iv is ib le b y a ll o f t h e s a m p lin g fr e q u e n c ie s . 2 4 0 d o e s t h is a n d 2 5 0 d o e s n o t . 1 4 C o m p u t a t io n s h o w s t h is r a t e o f b a n d w id t h s h r in k a g e is c o n s is t e n t w it h t h e a s y m p t o t ic r a t e o f s h r in k a g e n e c e s s a r y t o im p le m e n t A it - S a h a lia ’s t e s t t h a t is b a s e d o n t h e e r g o d ic d is t r ib u t io n . I f t h is s h r in k a g e r u le is u s e d t o c h o o s e t h e b a n d w id t h , it im p lie s t h a t t h e u n n o r m a liz e d t e s t s t a t is t ic c o n v e r g e s in p r o b a b ilit y t o :1 5 z e r o a t a r a t e o f a b o u t N u n d e r t h e n u ll. 9
r o b M a u c u i o l f i s h i w d d o b b o c F I e e k n a e d u c e s t h e M I S E b y 0 . 5 3 % , w h i c h i s a l s o v e r y s m a l l . W h i l e c h a n g i n g t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y h a s m i n i m a l e (cid:11) e c t s o n M I S E , c h a n g i n g t h e s p a n f t h e d a t a h a s l a r g e e (cid:11) e c t s w h i c h a p p e a r t o b e n o n l i n e a r i n t h e s p a n o f t h e d a t a . F o r t h e a s e l i n e m o d e l ( m o d e l 0 ) , d o u b l i n g t h e s p a n o f t h e d a t a f r o m 5 y e a r s t o 1 0 y e a r s d e c r e a s e s I S E b y a n a v e r a g e o f 3 1 % . D o u b l i n g t h e s p a n f r o m 1 0 t o 2 0 y e a r s d e c r e a s e s M I S E b y 3 7 % ; n d d o u b l i n g t h e s p a n f r o m 5 0 t o 1 0 0 y e a r s d e c r e a s e s M I S E b y 4 3 % . A (cid:12) n a l i n s i g h t t h a t c a n b e g l e a n e d f r o m t h e s e r e s u l t s c o n c e r n s c h o o s i n g t h e b a n d w i d t h s i n g a u t o m a t i c m e t h o d s s u c h a s l e a s t s q u a r e s c r o s s - v a l i d a t i o n . T h e b a s i c p r i n c i p l e b e h i n d r o s s v a l i d a t i o n i s t o e s t i m a t e t h e k e r n e l d e n s i t y w h i l e o m i t t i n g s o m e o b s e r v a t i o n s , a n d t h e n s e t h e q u a l i t y o f t h e (cid:12) t f o r t h e o m i t t e d o b s e r v a t i o n s i n c h o o s i n g t h e k e r n e l b a n d w i d t h . I n . i . d . d a t a t h i s t y p e o f p r o c e d u r e i s i n t u i t i v e : i f t h e b a n d w i d t h i s t o o s m a l l , t h e d a t a w i l l b e v e r (cid:12) t t e d , a n d t h e o m i t t e d d a t a w i l l b e (cid:12) t t e d p o o r l y ; c o n v e r s e l y , i f t h e b a n d w i d t h i s t o o a r g e , t h e d a t a w i l l b e o v e r s m o o t h e d a n d t h e (cid:12) t f o r t h e o m i t t e d d a t a w i l l a l s o b e p o o r . T h e k e y t o t h e i . i . d . r e a s o n i n g i s t h a t t h e c r o s s - v a l i d a t e d d a t a a d d s s i g n i (cid:12) c a n t n e w i n o r m a t i o n t o t h e e s t i m a t i o n p r o b l e m . T a b l e 3 s h o w s t h a t f o r o u r b a s e l i n e c a s e , d a t a w h i c h s s a m p l e d d a i l y a d d s a l m o s t n o n e w i n f o r m a t i o n a b o v e a n d b e y o n d t h a t f o r d a t a w h i c h i s a m p l e d m o n t h l y . I n e (cid:11) e c t , t h i s m e a n s t h e o b s e r v a t i o n s f r o m p e r s i s t e n t d a t a s a m p l e d a t a i g h f r e q u e n c y w i l l b e c l u s t e r e d v e r y c l o s e t o g e t h e r , b u t w i l l n o t n e c e s s a r i l y p r o v i d e s i g n i f c a n t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e l o n g r u n e r g o d i c d i s t r i b u t i o n . T h e c r o s s v a l i d a t i o n a l g o r i t h m i l l i n t e r p r e t t h e c l u s t e r i n g a s (cid:12) n e d e t a i l i n s m a l l s a m p l e s , a n d w i l l (cid:12) t t h i s s p u r i o u s (cid:12) n e e t a i l b y c h o o s i n g a b a n d w i d t h w h i c h i s t o o s m a l l . T h i s d o w n w a r d b i a s p h e n o m e n o n i s a l s o o c u m e n t e d i n H a r t a n d V i e u [ 1 9 9 4 ] ; t h e y p r o p o s e a (cid:12) x w h i c h i n v o l v e s c r o s s - v a l i d a t i n g o n b s e r v a t i o n s w h i c h a r e s p r e a d l e s s c l o s e l y i n t i m e . S i l v e r m a n [ 1 9 8 6 ] a l s o n o t e s t h e p o s s i i l i t y o f s e v e r e d o w n w a r d b i a s i n b a n d w i d t h s c h o s e n b y c r o s s - v a l i d a t i o n w h e n t h e d a t a h a s e e n r o u n d e d o r w h e n t h e r e a r e l a r g e n u m b e r s o f o b s e r v a t i o n s t h a t a r e n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e r o b s e r v a t i o n s i n t h e d a t a . I w i l l a l s o d i s c u s s l e a s t s q u a r e s c r o s s - v a l i d a t i o n b e l o w i n t h e o n t e x t o f A i t - S a h a l i a ’ s e r g o d i c d i s t r i b u t i o n b a s e d t e s t . i n i t e S a m p l e v s . A s y m p t o t i c R e s u l t s . n t h i s s e c t i o n I w i l l c o n t r a s t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e a n d a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f k e r n e l d e n s i t y s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f i n t e r e s t r a t e s i n t h e V a s i c e k m o d e l . R o b i n s o n [ 1 9 8 3 ] p r o v i d e s c o n d i t i o n s o n t h e k e r n e l f u n c t i o n , t i m e s e r i e s d e p e n d e n c e , t r u e r g o d i c d e n s i t y , a n d t h e r a t e o f b a n d w i d t h s h r i n k a g e , s u c h t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s a t n d i s c r e t e l y s e p a r a t e d p o i n t s u ; : : : u a r e a s y m p t o t i c a l l y u n b i a s e d , 1 n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , a n d u n c o r r e l a t e d . M o r e o v e r , t h i s a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n i s t h e s a m e s t h a t f r o m a k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e t h a t u s e s i . i . d . d r a w s f r o m t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f 1 0
t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s . R o b i n s o n [ 1 9 8 3 ] e m p h a s i z e s t h a t t h e s e a s y m p t o t i c r e s u l t s s h o u l d n o t b e t a k e n t o o s e r i o u s l y b e c a u s e i n (cid:12) n i t e s a m p l e s , t h e q u a l i t y o f t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n w i l l d e p e n d o n b o t h s e r i a l d e p e n d e n c e a n d t h e s i z e o f t h e b a n d w i d t h . O u r r e s u l t s h e r e s h o w t h a t t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s u n d e r s t a t e b o t h t h e b i a s a n d v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e . F i g u r e 1 p l o t s t h e t r u e a n d e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s f o r t h e (cid:12) v e m o d e l s f r o m t a b l e 1 . T h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e t r u e a n d e x p e c t e d d e n s i t i e s i s t h e b i a s . A l t h o u g h t h i s b i a s i s z e r o a s y m p t o t i c a l l y , t h e (cid:12) g u r e s h o w s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e b i a s a p p e a r s t o b e i m p o r t a n t . O n e m e a s u r e o f t h i s i m p o r t a n c e i s t h e e x t e n t t o w h i c h t h e b i a s a (cid:11) e c t s s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e i n a s y m p t o t i c t e s t i n g p r o c e d u r e s t h a t i g n o r e i t . T o i l l u s t r a t e t h e e (cid:11) e c t o f t h e b i a s , (cid:12) g u r e 1 c o n t a i n s a s y m p t o t i c p l u s o r m i n u s 1 s t a n d a r d 1 5 d e v i a t i o n c o n (cid:12) d e n c e b a n d s a r o u n d t h e t r u e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . I f t h e p o i n t s o f a n e s t i m a t e d d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n l i e m o s t l y o u t s i d e o f t h i s c o n (cid:12) d e n c e b a n d , a t e s t b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n w i l l a l m o s t a l w a y s r e j e c t . B e c a u s e t h e (cid:12) n i t e s a m p l e b i a s i s m u c h l a r g e r t h a n t h i s c o n (cid:12) d e n c e b a n d , m o s t d e n s i t y e s t i m a t e s w i l l l i e m o s t l y o u t s i d e o f t h e a s y m p t o t i c c o n (cid:12) d e n c e b a n d s w h e n t h e n u l l i s t r u e . T h i s w i l l c a u s e t h e n u l l t o b e r e j e c t e d 1 6 t o o o f t e n . F i g u r e 2 i l l u s t r a t e s t h a t t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n n o t o n l y u n d e r s t a t e s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e b i a s , i t a l s o s e v e r e l y u n d e r s t a t e s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e . T h e d a s h e d l i n e s i n t h e (cid:12) g u r e a r e t h e t r u e (cid:12) n i t e s a m p l e p l u s o r m i n u s 1 s t a n d a r d d e v i a t i o n c o n (cid:12) d e n c e b a n d s b a s e d o n d a i l y s a m p l i n g . T h e d o t t e d l i n e s a r e t h e a s y m p t o t i c p l u s o r m i n u s 1 s t a n d a r d d e v i a t i o n c o n (cid:12) d e n c e b a n d s . B a s e d o n t h e (cid:12) g u r e t h e t r u e d e n s i t y e s t i m a t e s a r e f a r m o r e v a r i a b l e t h a n i m p l i e d b y t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n . T h i s w i l l c a u s e t h e n u l l t o b e 1 5 T h e c o n (cid:12) d e n c e b a n d in t h e (cid:12) g u r e u s e s t h e u n n o r m a liz e d a s y m p t o t ic s t a n d a r d d e v ia t io n , w h ic h is e q u a l 1 :5 t o ( N h ) (cid:25) ( u ) . I t is im p o r t a n t t o e m p h a s iz e t h e a s y m p t o t ic c o n (cid:12) d e n c e b a n d s a r e n o t t r u e c o n (cid:12) d e n c e (cid:0) p 2 (cid:25) b a n d s . q 1 6 F o r m a lly , le t r ; :::r b e a s e t o f e v e n ly s p a c e d r v a lu e s o n [- .0 2 ,.2 0 ]. T h e a s y m p t o t ic a p p r o x im a t io n t o 1 M t h e (cid:12) n it e s a m p le d is t r ib u t io n o f k e r n e l e s t im a t e ^(cid:25) im p lie s : 2 ^(cid:25) ( r ) (cid:25) ( r ) in d e p e n d e n t ly ( 0 ; (cid:27) ( r ) ) ; i i i (cid:0) (cid:24) N 2 w h e r e (cid:27) ( r ) is t h e v a r ia n c e o f t h e k e r n e l d e n s it y e s t im a t e a t r : T h is im p lie s fo r la r g e M u n d e r t h e n u ll t h e i i t e s t s t a t is t ic M 2 ^(cid:25) ( r ) (cid:25) ( r ) 1 i i 1 ( 0 ; 1 ) (cid:0) p (cid:27) ( r ) (cid:0) (cid:25) N i 2 M " # i= 1 (cid:18) (cid:19) X B u t t h is ig n o r e s t h e (cid:12) n it e s a m p le b ia s . I f it is t a k e n in t o a c c o u n t , t h e m e a n o f t h e a b o v e d is t r ib u t io n is i M b ( r ) 1 2 [ ] w h e r e b ( r ) is t h e b ia s o f t h e k e r n e l d e n s it y e s t im a t e a t p o in t i. F r o m (cid:12) g u r e 1 it is c le a r i i i= 1 (cid:27) ( r ) p 2 M i b ( r ) 2 fo r m o d e ls 0 , 1 , a n d 2 , t h a t [ ] > 1 fo r n e a r ly a ll i. T h e r e fo r e t h e m e a n o f t h e b ia s c o r r e c t e d d is t r ib u t io n i (cid:27) ( r ) P is a p p r o x im a t e ly M = 2 : I f t h is b ia s a d ju s t m e n t is n o t m a d e , t h e n u ll w ill b e e r r o n e o u s ly r e je c t e d m o s t o f t h e t im e u s in g t h e a s y m p t o t ic d is t r ib u t io n t h e o r y . p 1 1
r e t p r f s e c a (cid:12) a t e A m p m o t o o o i t n a T f i ( h e e j e c t e d f a r t o o o f t e n u s i n g t h e a s y m p t o t i c v a r i a n c e . F i g u r e 3 s h o w s t h i s r e m a i n s a p r o b l e m v e n w i t h 1 0 0 y e a r s o f d a t a . B o t h (cid:12) g u r e s s h o w t h e u n d e r s t a t e m e n t o f v a r i a n c e w o r s e n s w i t h h e p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s . A n a d d i t i o n a l f e a t u r e o f t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n i s t h a t k e r n e l e s t i m a t e s a t d i (cid:11) e r e n t o i n t s o f t h e s u p p o r t o f t h e d i s t r i b u t i o n a r e a s y m p t o t i c a l l y u n c o r r e l a t e d . T o c o n t r a s t t h i s e s u l t w i t h (cid:12) n i t e s a m p l e e x p e r i e n c e , (cid:12) g u r e s 4 a n d 5 p r e s e n t c o n t o u r p l o t s o f t h e c o r r e l a t i o n u n c t i o n o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e f o r M o d e l s - 2 t h r o u g h M o d e l 2 w h e n t h e d a t a i s a m p l e d d a i l y . I n b o t h (cid:12) g u r e s , t h e c o n t o u r s r e p r e s e n t g r a d a t i o n s o f 0 . 2 i n c o r r e l a t i o n . F o r x a m p l e , t h e w h i t e b a n d d o w n t h e c e n t e r o f e a c h g r a p h r e p r e s e n t s t h e p o i n t s t h a t h a v e o r r e l a t i o n s o f a t l e a s t 0 . 8 . T h e b a n d j u s t b e l o w t h i s o n e h a s c o r r e l a t i o n s f r o m 0 . 6 t o 0 . 8 , n d s o o n . T h e l o w e s t c o r r e l a t i o n s h o w n i n (cid:12) g u r e s 4 a n d 5 i s - 0 . 8 a n d t h e h i g h e s t i s 0 . 8 . B o t h g u r e s s h o w t h a t t h e d e n s i t y e s t i m a t e s a t d i (cid:11) e r e n t p o i n t s o f t h e s u p p o r t o f t h e d i s t r i b u t i o n r e h i g h l y c o r r e l a t e d , e v e n i n s a m p l e s w i t h 1 0 0 y e a r s o f d a t a . F i g u r e s 4 a n d 5 h a v e t w o a d d i t i o n a l i n t e r e s t i n g f e a t u r e s . F i r s t , d e n s i t y e s t i m a t e s a b o v e h e m e a n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s h o r t r a t e a r e u s u a l l y n e g a t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h d e n s i t y s t i m a t e s b e l o w t h e m e a n , a n d p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h d e n s i t y e s t i m a t e s a b o v e t h e m e a n . n i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n f o r t h i s f e a t u r e o f t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s t h a t s t a r t i n g p o i n t s a t t e r i n s m a l l s a m p l e s . F o r e x a m p l e , i n t h e V a s i c e k m o d e l i f t h e s t a r t i n g v a l u e o f t h e r o c e s s i s a b o v e t h e m e a n o f t h e d i s t r i b u t i o n , f u t u r e v a l u e s a r e e x p e c t e d t o s t a y a b o v e t h e e a n a s w e l l . I n s m a l l s a m p l e s t h i s w i l l c a u s e t o o m u c h p r o b a b i l i t y m a s s t o b e a s s i g n e d t o b s e r v a t i o n s a b o v e t h e m e a n a n d t o o l i t t l e t o o b s e r v a t i o n s b e l o w i t . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h h e o b s e r v e d c o r r e l a t i o n p a t t e r n . T h e s e c o n d i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e (cid:12) g u r e s i s t h a t t h e s i z e f t h e r e g i o n w i t h r e l a t i v e l y h i g h c o r r e l a t i o n s g r o w s i n p e r s i s t e n c e a n d s h r i n k s i n t h e s p a n f t h e d a t a . T h i s f e a t u r e i s p r o b a b l y a l s o r e l a t e d t o s m a l l s a m p l e b i a s e s d u e t o d e p e n d e n c e n s t a r t i n g v a l u e s b e c a u s e i t i s w e l l k n o w n t h a t s t a r t i n g v a l u e s t e n d t o b e m o r e i m p o r t a n t n p r o c e s s e s t h a t h a v e m o r e p e r s i s t e n c e . F i n a l l y , (cid:12) g u r e s 6 a n d 7 p l o t t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e f u n c t i o n f o r t h e k e r n e l d e n s i t y e s i m a t e . E a c h c o n t o u r i n t h e (cid:12) g u r e s c o r r e s p o n d s t o g r a d a t i o n s o f 0 . 4 i n c o v a r i a n c e . T h e e u t r a l g r a y i n t h e c o r n e r s o f e a c h c o n t o u r p l o t c o r r e s p o n d t o a c o v a r i a n c e o f z e r o . C o v a r i n c e s a r e n e g a t i v e i n a r e a s w i t h d a r k e r s h a d i n g a n d p o s i t i v e i n a r e a s w i t h l i g h t e r s h a d i n g . h e d o m i n a n t f e a t u r e i n t h e (cid:12) g u r e s i s t h a t t h e a b s o l u t e m a g n i t u d e o f t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e u n c t i o n a p p e a r s t o i n c r e a s e w i t h p e r s i s t e n c e a n d d e c r e a s e w i t h t h e s p a n o f t h e d a t a ; t h i s s a s e x p e c t e d . T h e o t h e r i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f (cid:12) g u r e s 6 a n d 7 i s t h a t t h e v a r i a n c e f u n c t i o n i . e . t h e c o v a r i a n c e f u n c t i o n a l o n g t h e 4 5 d e g r e e l i n e ) i s b i m o d a l . F i n i t e s a m p l e v a r i a n c e a s a l o c a l m i n i m u m n e a r (cid:18) , t h e m e a n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s ; v a r i a n c e t h e n r i s e s o n i t h e r s i d e o f (cid:18) b e f o r e f a l l i n g a g a i n . B y c o n t r a s t , t h e a s y m p t o t i c v a r i a n c e i s p r o p o r t i o n a l 1 2
t T i d s I s t t d i p n m I A i d (cid:12) t p i o s r o g t A t w o t h e e r g o d i c d e n s i t y . S i n c e t h e e r g o d i c d e n s i t y i s u n i m o d a l s o i s t h e a s y m p t o t i c v a r i a n c e . h e r e f o r e , t h e b i m o d a l i t y i s a n i n t e r e s t i n g (cid:12) n i t e s a m p l e f e a t u r e o f t h e v a r i a n c e f u n c t i o n . I t s n o t c l e a r w h y t h e d i s t r i b u t i o n i s b i m o d a l i n (cid:12) n i t e s a m p l e s . T h e b i m o d a l i t y o f t h e v a r i a n c e o e s n o t o c c u r w i t h i . i . d . d r a w s f r o m t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n . T h e r e f o r e , t h e b i m o d a l i t y i s o m e h o w r e l a t e d t o t h e t i m e s e r i e s p r o p e r t i e s o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i n (cid:12) n i t e s a m p l e s . c o n j e c t u r e t h e r e a s o n f o r t h e h i g h e r v a r i a n c e a w a y f r o m t h e m e a n i s r e l a t e d t o t h e s m a l l a m p l e p r o b l e m s c a u s e d b y t h e c h o i c e o f s t a r t i n g v a l u e . H o w e v e r , s i n c e t h e p r o c e s s r e v e r t s o t h e m e a n f r o m a b o v e a n d b e l o w , t h e s m a l l s a m p l e p r o b l e m a t t h e m e a n m a y b e l e s s s e v e r e h a n a t o t h e r p o i n t s i n t h e s u p p o r t o f t h e d i s t r i b u t i o n . T h i s i s j u s t c o n j e c t u r e h o w e v e r . I t e (cid:12) n i t e l y r e m a i n s a t o p i c f o r f u r t h e r r e s e a r c h . T h i s c o n c l u d e s m y d i s c u s s i o n o f t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s n t h e V a s i c e k m o d e l . B e c a u s e t h e s e r e s u l t s a r e a n a l y t i c a l , o r n e a r l y a n a l y t i c a l , t h e y s h o u l d r o v e t o b e v e r y u s e f u l f o r g a u g i n g t h e p e r f o r m a n c e o f o t h e r n o n p a r a m e t r i c m e t h o d s . T h e e x t s e c t i o n e x a m i n e s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e b e h a v i o r o f Y a c i n e A i t - S a h a l i a ’ s [ 1 9 9 6 a ] n o n p a r a e t r i c t e s t o f p a r a m e t r i c m o d e l s o f t h e s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e . I I A i t - S a h a l i a ’ s t e s t . i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 a ] i n t r o d u c e d a t e s t o f t h e n u l l h y p o t h e s i s t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s s p o t n t e r e s t r a t e i s g e n e r a t e d b y a p a r a m e t r i c c l a s s o f m a r k o v m o d e l s . T h e t e s t i s b a s e d o n t h e i s t a n c e b e t w e e n t w o e s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e s p o t i n t e r e s t r a t e . T h e r s t i s a n o n p a r a m e t r i c k e r n e l e s t i m a t e w h i c h i s c o n s i s t e n t o v e r a w i d e c l a s s o f c o n t i n u o u s i m e m o d e l s . T h e s e c o n d i s t h e c l o s e s t d e n s i t y t h a t c o u l d h a v e b e e n g e n e r a t e d u n d e r t h e a r a m e t r i c n u l l . T h e n u l l i s r e j e c t e d w h e n e v e r t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e d e n s i t y e s t i m a t e s s t o o l a r g e . U s i n g t h i s t e s t , A i t - S a h a l i a r e j e c t e d v i r t u a l l y e v e r y m a j o r s i n g l e f a c t o r m o d e l f t h e i n s t a n t a n e o u s s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e , b u t f a i l e d t o r e j e c t a m o r e g e n e r a l a l t e r n a t i v e i n g l e f a c t o r m o d e l . A i t - S a h a l i a r e a c h e d h i s c o n c l u s i o n s u s i n g 2 2 y e a r s o f d a i l y d a t a o n s h o r t t e r m i n t e r e s t a t e s , h o w e v e r t h e c r i t i c a l v a l u e s f o r h i s t e s t s c o m e f r o m a s y m p t o t i c t h e o r y . T h e p u r p o s e f t h i s a n d t h e n e x t s e c t i o n i s t o e x a m i n e t h e (cid:12) n i t e s a m p l e s i z e o f t h e t e s t w h e n d a t a i s e n e r a t e d u n d e r t h e V a s i c e k m o d e l , a n d t o e x a m i n e t h e (cid:12) n i t e s a m p l e p o w e r o f t h e t e s t w h e n h e d a t a i s g e n e r a t e d u n d e r a p l a u s i b l e p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e C o x - I n g e r s o l l - R o s s m o d e l . g a i n I w a n t t o e m p h a s i z e t h a t I a m f o c u s i n g o n t h e s e m o d e l s b e c a u s e t h e y a r e r e l a t i v e l y r a c t a b l e , a n d t h i s t r a c t a b i l i t y a i d s i n i n t e r p r e t i n g t h e r e s u l t s f r o m t h e t e s t . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e s i z e o f t h e t e s t w i l l d i (cid:11) e r f r o m i t s a s y m p t o t i c s i z e . A s e w i l l s e e b e l o w , t h i s i s b e c a u s e t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n o f t h e t e s t s t a t i s t i c d e p e n d s o n 1 3
t i d k m r o t g o c s p t A A f w a T d t w c t d h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s , b u t n o t o n i t s p e r s i s t e n c e . B y c o n t r a s t , n a 2 2 y e a r s p a n o f d a t a , T a b l e s 1 a n d 3 s h o w t h a t , h o l d i n g t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:12) x e d , t h e i s t a n c e ( a s m e a s u r e d b y M I S E ) b e t w e e n t h e t r u e V a s i c e k d e n s i t y a n d t h e M I S E m i n i m i z i n g e r n e l e s t i m a t e i s i n c r e a s i n g i n t h e p e r s i s t e n c e o f t h e p r o c e s s . S i n c e t h e t e s t i s b a s e d o n a 1 7 e a s u r e o f t h i s d i s t a n c e , i t i s r e a s o n a b l e t o c o n j e c t u r e t h a t t h e p e r s i s t e n c e o f t h e i n t e r e s t a t e s e r i e s t h a t w e o b s e r v e m a y b i a s t h e a s y m p t o t i c t e s t t o w a r d s r e j e c t i o n i n a s a m p l e t h a t n l y c o n t a i n s 2 2 y e a r s o f d a t a . T h i s l a t t e r p o i n t i s e s p e c i a l l y p o i g n a n t s i n c e t h e r e s u l t s i n a b l e 3 f o r t h e b a s e l i n e c a s e s h o w t h a t s a m p l i n g e v e r y d a y o r s a m p l i n g o n c e e v e r y 3 0 d a y s e n e r a t e s k e r n e l r e s u l t s o f n e a r l y t h e s a m e q u a l i t y a s m e a s u r e d b y M I S E . H o w e v e r , 2 2 y e a r s f d a t a s a m p l e d o n c e e v e r y 3 0 b u s i n e s s d a y s i s o n l y a b o u t 1 8 5 o b s e r v a t i o n s . T h i s w o u l d b e o n s i d e r e d a s m a l l N f o r t h e p u r p o s e s o f n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n . T h e r e m a i n d e r o f t h i s e c t i o n p r o c e e d s i n t h r e e p a r t s . P a r t A p r o v i d e s a d e s c r i p t i o n o f A i t - S a h a l i a ’ s t e s t , p a r t B r e s e n t s o u r r e s u l t s o n t h e s i z e o f t h e t e s t , a n d p a r t C p r e s e n t s o u r r e s u l t s o n t h e p o w e r o f h e t e s t . . D e s c r i p t i o n o f A i t - S a h a l i a ’ s t e s t . i t - S a h a l i a t e s t s t h e n u l l h y p o t h e s i s t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s s h o r t r a t e f o l l o w s t h e s i n g l e a c t o r p a r a m e t r i c d i (cid:11) u s i o n : d r = (cid:22) ( r ; (cid:18) ) d t + (cid:27) ( r ; (cid:18) ) d w h e r e (cid:18) i s a n e l e m e n t o f a p a r a m e t e r s e t (cid:2) , a g a i n s t t h e a l t e r n a t i v e t h a t d r i s g e n e r a t e d b y m o r e g e n e r a l s i n g l e f a c t o r d i (cid:11) u s i o n o f f o r m : d r = (cid:22) ( r ) d t + (cid:27) ( r ) d w : h e n u l l r e s t r i c t s r ’ s e r g o d i c d i s t r i b u t i o n t o h a v e f u n c t i o n a l f o r m (cid:25) ( u ; (cid:18) ) , w h i l e t h e e r g o d i c i s t r i b u t i o n u n d e r t h e a l t e r n a t i v e h a s t h e m o r e g e n e r a l f u n c t i o n a l f o r m (cid:25) ( u ) : A i t - S a h a l i a ’ s e s t i s b a s e d o n t h e w e i g h t e d s q u a r e d d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o d i s t r i b u t i o n s : 2 M = ( (cid:25) ( u ; (cid:18) ) (cid:25) ( u ) ) (cid:25) ( u ) d u ; u (cid:0) Z h e r e t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n i s (cid:25) ( u ) : A n o r m a l i z e d e s t i m a t e o f t h i s d i s t a n c e i s : 2 ^ ^ M = N h ( (cid:25) ( u ; (cid:18) ) ^(cid:25) ( u ) ) ^(cid:25) ( u ) d u : N u (cid:0) Z 1 7 T h e t e s t is a c t u a lly b a s e d o n t h e d is t a n c e b e t w e e n t h e k e r n e l d e n s it y e s t im a t e a n d t h e c lo s e s t d e n s it y o n s is t e n t w it h a p a r t ic u la r p a r a m e t r ic fa m ily . A s w e w ill s e e la t e r , in a s p e c ia l c a s e it is p o s s ib le fo r t h e d is a n c e b e t w e e n t h e t r u e a n d n o n p a r a m e t r ic d e n s it ie s t o g r o w , b u t fo r t h e d is t a n c e b e t w e e n t h e n o n p a r a m e t r ic e n s it y a n d t h e c lo s e s t m e m b e r o f t h e p a r a m e t r ic fa m ily t o s h r in k . 1 4
w h e r e N i s t h e n u m b e r o f i n t e r e s t r a t e o b s e r v a t i o n s i n t h e s a m p l e , h i s t h e k e r n e l b a n d w i d t h , N ^(cid:25) ( u ) i s a s e c o n d o r d e r n o n p a r a m e t r i c k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e o f (cid:25) ( u ) w h i c h i s c o n s i s t e n t u n d e r ^ b o t h t h e n u l l a n d a l t e r n a t i v e , a n d (cid:25) ( u ; (cid:18) ) i s t h a t e s t i m a t e o f (cid:25) ( u ) w h i c h i s c l o s e s t t o ^(cid:25) ( u ) , 1 8 ^ b u t i s r e s t r i c t e d t o s a t i s f y t h e n u l l . U n d e r t h e n u l l h y p o t h e s i s , ^(cid:25) ( u ) a n d (cid:25) ( u ; (cid:18) ) a r e b o t h c o n s i s t e n t a n d t h u s t h e i r d i s t a n c e w i l l s h r i n k t o z e r o a s t h e s a m p l e s i z e g r o w s . U n d e r t h e a l t e r n a t i v e h y p o t h e s i s , t h e p a r a m e t r i c r e s t r i c t i o n s w i l l b i n d , p r e v e n t i n g t h e d i s t a n c e f r o m s h r i n k i n g . A i t - S a h a l i a u s e s t h i s f e a t u r e o f t h e d i s t a n c e m e t r i c t o c r e a t e a t e s t s t a t i s t i c . I n p a r t i c u l a r , h e s h o w s t h a t u n d e r t h e n u l l h y p o t h e s i s a n d c e r t a i n r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , i f t h e b a n d w i d t h 4 :5 h i s c h o s e n s o t h a t l i m N h = a n d l i m N h = 0 ; t h e n N N N N N ! 1 ! 1 1 d 1 = 2 ^ (cid:0) h ( M E ) ( 0 ; V ) ; M M N (cid:0) (cid:0) ! N w h e r e , + x 1 2 2 E = K ( x ) d x (cid:25) ( u ) d u ; M x ! (cid:18) (cid:19) Z Z (cid:0) 1 a n d 2 + + x 1 1 4 V = 2 K ( u ) K ( u + x ) d u ^(cid:25) ( u ) ) d u ; d x M x ! ! (cid:26) (cid:27) Z Z Z (cid:0) 1 (cid:0) 1 a n d x a n d x r e p r e s e n t t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o f t h e o b s e r v e d i n t e r e s t r a t e s . A s i n d i c a t e d e a r l i e r , t h e t e s t i s b a s e d o n a m e a s u r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o e s t i m a t e s o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s . T h e m o s t i m p o r t a n t p o i n t f o r o u r a n a l y s i s i s t h a t t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f k e r n e l , t h e t r u e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n , a n d t h e r a t e a t w h i c h t h e b a n d w i d t h s h r i n k s , b u t i t d o e s n o t d e p e n d o n t h e p e r s i s t e n c e o f t h e p r o c e s s . H o w e v e r , a s i n d i c a t e d i n T a b l e s 1 a n d 3 , p e r s i s t e n c e h a s a n i m p o r t a n t i n (cid:13) u e n c e o n t h e d i s t a n c e ( a s m e a s u r e d b y M I S E ) b e t w e e n t h e n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t e a n d t h e t r u e d i s t r i b u t i o n . B e c a u s e t h i s (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t y i s n o t a c c o u n t e d f o r i n t h e a s y m p t o t i c s , t h e m e a n a s y m p t o t i c d i s t a n c e u n d e r t h e n u l l p r o b a b l y u n d e r s t a t e s t h e m e a n d i s t a n c e i n (cid:12) n i t e s a m p l e s . I n t u i t i v e l y , t h i s m a k e s i t l i k e l y t h a t t h e t e s t w i l l r e j e c t t o o o f t e n i n (cid:12) n i t e s a m p l e s w h e n t h e r e i s l a r g e a m o u n t s o f p e r s i s t e n c e i n t h e d a t a . T o i m p l e m e n t t h e t e s t a n d e x a m i n e t h i s i t i s n e c e s s a r y t o c o n s t r u c t c o n s i s t e n t e s t i m a t o r s o f M , V , a n d E . T h e r e a r e m a n y w a y s t o d o t h i s . T o d o s o w e c o m p u t e d t h e k e r n e l d e n s i t y M M 1 8 ^ F o r m a lly , (cid:18) is t h e s o lu t io n t o : 2 ^ m in ( (cid:25) ( u ; (cid:18) ) ^(cid:25) ( u ) ) ^(cid:25) ( u ) d u : (cid:18) (cid:2) (cid:0) u 2 Z 1 5
e A 4 a t B T s s w c w s a u m t s t i m a t e ^(cid:25) ( u ) a n d t h e n u s e d i t t o n u m e r i c a l l y a p p r o x i m a t e t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s : x 2 ^ ^ M = m i n N h ( (cid:25) ( (cid:18) ; u ) ^(cid:25) ( u ) ) ^(cid:25) ( u ) d u ; N ^ x (cid:18) (cid:2) (cid:0) Z 2 + x 1 2 2 ^E = ^(cid:25) ( u ) d u ; a n d K ( x ) d x M x ! (cid:18) (cid:19) Z Z (cid:0) 1 2 + + x 1 1 4 ^ d x V = 2 K ( u ) K ( u + x ) d u ^(cid:25) ( u ) d u M x ! ! (cid:26) (cid:27) Z Z Z (cid:0) 1 (cid:0) 1 1 9 i t - S a h a l i a s u g g e s t e d u s i n g t h e e s t i m a t o r s a b o v e o r a n a l t e r n a t i v e s e t o f e s t i m a t o r s . T a b l e c o n t a i n s t h e r e s u l t s u s i n g t h e e s t i m a t o r s a b o v e , w h i l e T a b l e 4 A c o n t a i n s r e s u l t s u s i n g t h e l t e r n a t i v e e s t i m a t o r . B e c a u s e t h e r e s u l t s a r e s o s i m i l a r , w e f o c u s o n l y o n t h e r e s u l t s f r o m a b l e 4 i n o u r d i s c u s s i o n b e l o w . . T e s t s i z e . o a n a l y z e t h e s i z e o f t h e t e s t I c o n d u c t e d 5 0 0 M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s f o r e a c h o f t h e (cid:12) v e e t s o f V a s i c e k p a r a m e t e r s c o n t a i n e d i n T a b l e 1 . E a c h M o n t e C a r l o u s e d 2 2 y e a r s o f d a t a 2 0 a m p l e d d a i l y . T h e b a n d w i d t h u s e d f o r e a c h k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s t h e b a n d w i d t h h i c h m i n i m i z e s t h e M I S E f o r t h e g i v e n d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s w h e n t h e d a t a i s s a m p l e d o n t i n u o u s l y . B a s e d o n t a b l e 2 , I k n o w t h i s i s v i r t u a l l y t h e s a m e a s t h e o p t i m a l b a n d w i d t h h e n t h e d a t a i s s a m p l e d d a i l y . A i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 a ] a l s o c h o o s e s t h e b a n d w i d t h i n (cid:12) n i t e a m p l e s t o m i n i m i z e s o m e p r o x y f o r M I S E . F o r p u r p o s e s o f c o m p a r i s o n , w e a l s o c o n d u c t e d M o n t e C a r l o a n a l y s i s f o r o u r b a s e l i n e V a s i c e k m o d e l i n w h i c h t h e b a n d w i d t h w a s c h o s e n 2 1 s i n g l e a s t s q u a r e s c r o s s v a l i d a t i o n . 1 9 T h e a lt e r n a t e m e t h o d e s t im a t e s ^(cid:25) ( u ) u s in g n o n p a r a m e t r ic k e r n e l d e n s it y e s t im a t io n , b u t t h e n a p p r o x ia t e s t h e o t h e r q u a n t it ie s a s : N 2 ^ ^ M = m in N h ( 1 = N ) ( (cid:25) ( (cid:18) ; x ) ^(cid:25) ( x ) ) ; N i i ^ (cid:0) (cid:18) (cid:2) i= 1 2 X N + 1 2 ^E = K ( x ) d x ( 1 = N ) ^(cid:25) ( x ) M i i= 1 (cid:18) (cid:19) (cid:0) 1 Z X 2 N + + 1 1 3 ^V = 2 K ( u ) K ( u + x ) d u d x ( 1 = N ) ^(cid:25) ( x ) M i ! i= 1 (cid:26) (cid:27) (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z Z X 2 0 I a s s u m e d 2 5 0 b u s in e s s d a y s p e r y e a r , fo r a t o t a l o f 5 5 0 0 d a ily o b s e r v a t io n s . 2 1 L e a s t s q u a r e s c r o s s v a lid a t io n w a s u s e d t o c h o o s e a m o n g 1 0 b a n d w id t h s t h a t r a n g e d fr o m .5 t o 1 .5 t im e s h e o p t im a l b a n d w id t h fo r t h e c o n t in u o u s s a m p lin g c a s e . 1 6
T v a 5 a A o s l w o o w r b p i o h M i i t e k t f A n 5 a U n d e r t h e n u l l h y p o t h e s i s , a s t h e s a m p l e s i z e N g o e s t o i n (cid:12) n i t y , t h e t e s t s t a t i s t i c : d :5 :5 ^ ^ ^ (cid:0) (cid:0) V h ( M E ) ( 0 ; 1 ) : M M N (cid:0) ! N h i s a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n i s t h e b a s i s o f t h e t e s t s t a t i s t i c . T h u s , t h e (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l a l u e s f o r a o n e s i d e d 5 % a n d 1 % t e s t a r e 1 . 6 4 5 a n d 2 . 3 3 , r e s p e c t i v e l y . T a b l e 4 , P a n e l s A n d B , p r e s e n t M o n t e C a r l o e s t i m a t e s o f t h e a p p r o p r i a t e (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l v a l u e s a t t h e % a n d 1 % c o n (cid:12) d e n c e l e v e l s , r e s p e c t i v e l y . N e x t t o e a c h M o n t e C a r l o c r i t i c a l v a l u e e s t i m a t e 2 2 r e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o f a 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l f o r t h e t r u e c r i t i c a l v a l u e s . P a n e l s h o w s t h a t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l v a l u e s f o r e a c h d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s a r e o n t h e r d e r o f 1 0 x t h e s i z e o f t h e a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s f o r t e s t s a t t h e 5 % l e v e l . P a n e l B h o w s t h a t t h e a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s a r e m o r e t h a n 1 0 x t o o s m a l l f o r t e s t s a t t h e 1 % e v e l . F i n a l l y , p a n e l C s h o w s e s t i m a t e d e m p i r i c a l r e j e c t i o n f r e q u e n c i e s w i t h s t a n d a r d e r r o r s h e n a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s a r e u s e d i n t h e t e s t s . T h e p a n e l s h o w s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e s i z e f t h e t e s t i s v e r y d i (cid:11) e r e n t f r o m t h e a s y m p t o t i c s i z e ; t h e t e s t r e j e c t s t h e n u l l f a r t o o o f t e n , n t h e o r d e r o f 5 0 % o f t h e t i m e f o r o u r b a s e l i n e m o d e l a t t h e 5 % c o n (cid:12) d e n c e l e v e l . A l t h o u g h t h e r e s u l t s i n P a n e l C s h o w t h e t e s t r e j e c t s t o o o f t e n i n s m a l l s a m p l e s , c o n s i s t e n t i t h o u r i n t u i t i o n o n (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s a n d o n p e r s i s t e n c e , t h e p a n e l a l s o s h o w s t h a t e j e c t i o n r a t e s i n c r e a s e w i t h p e r s i s t e n c e a t (cid:12) r s t ( i n m o v i n g f r o m m o d e l ( - 2 ) t o m o d e l ( - 1 ) ) u t t h e n p e r v e r s e l y t e n d t o m o v e d o w n a s t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s b e c o m e s e v e n m o r e e r s i s t e n t . T h i s d o e s n ’ t m e a n o u r b a s i c i n t u i t i o n o n s i z e i s w r o n g , b u t a n o t h e r p h e n o m e n o n s o c c u r i n g a t t h e s a m e t i m e . B a s i c a l l y , a s t h e p e r s i s t e n c e o f t h e s e r i e s i s i n c r e a s e d , t h e p t i m a l b a n d w i d t h t h a t i s u s e d i n t h e t e s t i s i n c r e a s e d a s w e l l . T h i s c h a n g e i n p e r s i s t e n c e a s t w o e (cid:11) e c t s . T h e (cid:12) r s t e (cid:11) e c t i s t h a t m o r e p e r s i s t e n c e i n c r e a s e s t h e M I S E , M I V A R , a n d I S B o f t h e d e n s i t y e s t i m a t e . T h i s i s s h o w n i n T a b l e 1 a n d f a v o r s a r e j e c t i o n f r e q u e n c y t h a t n c r e a s e s w i t h p e r s i s t e n c e . H o w e v e r , t h e s e c o n d i m p l i c a t i o n o f p e r s i s t e n c e i n t h i s c a s e i s t h a t t m a k e s t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e a p p e a r m o r e g a u s s i a n , i . e . c l o s e r i n a d i s t a n c e s e n s e t o h e s e t o f g a u s s i a n d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s . T h e r e a s o n s f o r t h i s a r e t w o f o l d . F i r s t , a l l e l s e q u a l , l a r g e r b a n d w i d t h s m a k e t h e d e n s i t y e s t i m a t e s m o r e c l o s e l y r e s e m b l e t h e s h a p e o f t h e e r n e l , w h i c h i n t h i s c a s e i s g a u s s i a n . S e c o n d , w h e n p e r s i s t e n c e i s i n c r e a s e d w h i l e h o l d i n g h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:12) x e d , t h i s h a s t h e e (cid:11) e c t o f c o n c e n t r a t i n g t h e d a t a m o r e t i g h t l y . T h i s 2 3 u r t h e r s t r e n g t h e n s t h e t e n d e n c y o f t h e d e n s i t y e s t i m a t e t o a p p e a r l i k e t h e k e r n e l . S i n c e i t - S a h a l i a ’ s t e s t i n t h i s c a s e i s a c t u a l l y a t e s t o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e k e r n e l e s t i m a t e 2 2 T h e c o n (cid:12) d e n c e in t e r v a ls a r e b a s e d o n t h e o r d e r s t a t is t ic s o f t h e M o n t e C a r lo e s t im a t e s a n d a r e fu lly o n p a r a m e t r ic . D e t a ils o n h o w t o c r e a t e t h e s e c o n (cid:12) d e n c e in t e r v a ls a r e c o n t a in e d in D a v id [1 9 8 1 ]. 2 3 A s a n e x t r e m e e x a m p le , if a ll o f t h e d a t a in t h e s a m p le is c o n c e n t r a t e d a t o r v e r y c lo s e t o t h e n u m b e r , a n d t h e k e r n e l fu n c t io n is g a u s s ia n w it h p o s it iv e b a n d w id t h h , t h e n t h e k e r n e l d e n s it y e s t im a t e w ill b e p p r o x im a t e ly e q u a l t o t h e g a u s s ia n d is t r ib u t io n w it h a m e a n o f 5 a n d a s t a n d a r d d e v ia t io n o f h . 1 7
a n d t h e c l o s e s t g a u s s i a n d e n s i t y , t h i s d i s t a n c e g o e s d o w n w i t h p e r s i s t e n c e a f t e r a p o i n t . T h i s s o m e w h a t s t r a n g e p h e n o m e n o n i s a n a r t i f a c t o f u s i n g a g a u s s i a n k e r n e l a n d t h e V a s i c e k m o d e l . I t i n n o w a y i n v a l i d a t e s o u r m a i n p o i n t t h a t t h e t e s t r e j e c t s t o o f r e q u e n t l y a n d t h a t h i g h e r p e r s i s t e n c e s i g n i (cid:12) c a n t l y d e g r a d e s t h e q u a l i t y o f t h e d e n s i t y e s t i m a t e , a n d b i a s e s t h e t e s t t o w a r d s r e j e c t i o n . I t i s i m p o r t a n t t o e m p h a s i z e a t t h i s p o i n t t h a t a l l o f t h e r e s u l t s w e h a v e p r e s e n t e d a r e f o r i n f e a s i b l e b a n d w i d t h s e l e c t o r s , i . e . b a n d w i d t h s t h a t a r e s e l e c t e d t o m i n i m i z e t h e m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d e r r o r w h e n t h e t r u e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s i s k n o w n . M o r e r e a l i s t i c a l l y , i t i s u s e f u l t o e x a m i n e t h e s i z e o f t h e t e s t w h e n t h e t r u e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s i s n o t k n o w n . W e e x a m i n e d t h e s i z e o f t h e t e s t w h e n t h e d a t a i s g e n e r a t e d u n d e r m o d e l 0 a n d t h e 2 4 b a n d w i d t h i s s e l e c t e d u s i n g l e a s t s q u a r e s c r o s s v a l i d a t i o n . T h e b a n d w i d t h c h o i c e s u s i n g t h i s m e t h o d w e r e a l m o s t a l w a y s h a l f t h e s i z e o f t h e o p t i m a l b a n d w i d t h a n d p r o b a b l y w o u l d h a v e b e e n l o w e r i f w e d i d n o t c o n s t r a i n t h e c r o s s v a l i d a t i o n a l g o r i t h m . M o r e o v e r , t h e s i z e o f t h e t e s t w a s u n a c c e p t a b l e . S p e c i (cid:12) c a l l y , u s i n g l e a s t s q u a r e s c r o s s v a l i d a t i o n w i t h a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s , t h e n u l l h y p o t h e s i s f o r M o d e l 0 w a s r e j e c t e d 9 1 . 8 % o f t h e t i m e a t t h e 5 % 2 5 l e v e l a n d 8 8 . 2 % o f t h e t i m e a t t h e 1 % l e v e l . C . P o w e r . T o i n v e s t i g a t e t h e p o w e r o f t h e t e s t , w e c o n d u c t e d 5 0 0 M o n t e C a r l o e x p e r i m e n t s . I n e a c h e x p e r i m e n t , w e g e n e r a t e d 5 5 0 0 d r a w s o f d a t a u n d e r t h e C I R m o d e l : p d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) r d w : (cid:0) 2 w i t h p a r a m e t e r s (cid:20) = : 8 9 2 1 8 ; (cid:18) = : 0 9 0 4 9 5 ; a n d (cid:27) = 3 : 2 7 4 2 : T h e s e p a r a m e t e r s w e r e t a k e n o u t o f A i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 b ] a n d r e p r e s e n t G M M e s t i m a t e s o f t h e C I R p a r a m e t e r s b a s e d o n r e a l d a t a . T h e r e f o r e , w e t r e a t t h i s a s t h e b a s e l i n e C I R m o d e l . W e t e s t e d t h e n u l l h y p o t h e s i s t h a t t h e d a t a w a s g e n e r a t e d b y o u r b a s e l i n e V a s i c e k m o d e l ( m o d e l 0 i n t a b l e I ) u s i n g t w o d i (cid:11) e r e n t m e t h o d s . T h e (cid:12) r s t m e t h o d u s e d A i t - S a h a l i a ’ s t e s t w i t h b a n d w i d t h c h o i c e . 0 2 1 7 6 6 1 ( s e e T a b l e 1 ) a n d t h e l o w e r b o u n d (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l v a l u e e s t i m a t e s f o r m o d e l 0 f r o m 2 6 p a n e l s A a n d B o f T a b l e 2 . T h e s e c o n d t e s t i s a c o n d i t i o n a l m o m e n t t e s t t h a t t h e l i k e l i h o o d 2 4 W e ’v e c h e a t e d a lit t le b it h e r e b y r e s t r ic t in g o u r le a s t s q u a r e s v a lid a t io n s e a r c h t o b a n d w id t h s b e t w e e n .5 t im e s a n d 1 .5 t im e s t h e o p t im a l b a n d w id t h fo r c o n t in u o u s s a m p lin g . S o , t h is is n o t a fu lly fe a s ib le b a n d w id t h s e le c t o r e it h e r , b u t s h o u ld g iv e s o m e (cid:13) a v o r fo r r e s u lt s u s in g le a s t s q u a r e s c r o s s v a lid a t io n . 2 5 T h e e s t im a t e d (cid:12) n it e s a m p le 5 % c r it ic a l v a lu e u s in g le a s t s q u a r e s c r o s s v a lid a t io n is 6 1 .3 3 , w it h a 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e in t e r v a l o f [5 1 .5 1 , 7 1 .8 3 ]. T h e e s t im a t e d (cid:12) n it e s a m p le 1 % c r it ic a l v a lu e is 1 1 4 .8 6 w it h a 9 5 % c o n - (cid:12) d e n c e in t e r v a l o f [9 2 .8 5 , 2 3 9 .1 8 ]. T h e 5 % a n d 1 % a s y m p t o t ic c r it ic a l v a lu e s a r e 1 .6 4 5 a n d 2 .3 3 r e s p e c t iv e ly . 2 6 T h is b a n d w id t h c h o ic e is a p p r o p r ia t e u n d e r t h e n u ll h y p o t h e s is . H o w e v e r , t h e c r it ic a l v a lu e e s t im a t e s a r e lik e ly t o b e le s s t h a n t h e t r u e (cid:12) n it e s a m p le c r it ic a l v a lu e s s in c e t h e y a r e t h e lo w e r b o u n d s o f 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e 1 8
2 7 f u n c t i o n i m p l i e d b y t h e V a s i c e k m o d e l i s a p p r o p r i a t e . T o i m p l e m e n t t h e t e s t , I e s t i m a t e d t h e p a r a m e t e r s o f t h e V a s i c e k m o d e l v i a m a x i m u m l i k e l i h o o d . I f t h e l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s p r o p e r l y s p e c i (cid:12) e d , t h e n f o r e a c h o b s e r v a t i o n t t h e f o l l o w i n g m o m e n t r e s t r i c t i o n s h o u l d b e s a t i s (cid:12) e d : @ ( r r ; (cid:27) ; (cid:20) ; (cid:18) ) t t (cid:1) t (cid:0) = 0 ; E r L j t (cid:1) t (cid:0) @ (cid:27) (cid:12) ! (cid:12) (cid:12) (cid:12) w h e r e ( r r ; (cid:20) ; (cid:18) ; (cid:27) ) i s t h e c o n d i t i o n a l l o g l i k e l i h o o d o f r g i v e n r a n d t h e p a r a m e t e r s t t (cid:1) t t t (cid:1) t (cid:12) (cid:0) (cid:0) L j t h a t g e n e r a t e d t h e d a t a . T o t e s t t h i s m o m e n t r e s t r i c t i o n , I e s t i m a t e d t h e r e g r e s s i o n : @ ( r r ) t t (cid:1) t (cid:0) = (cid:12) + (cid:12) r + u ; L j 0 1 t (cid:1) t t (cid:0) @ (cid:27) 2 8 a n d t h e n p e r f o r m e d a t w o - s i d e d Z - t e s t o f w h e t h e r (cid:12) = 0 : I n a l l f a i r n e s s , t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n 1 t e s t m a k e s a l o t o f s e n s e w h e n t e s t i n g t h e V a s i c e k m o d e l v s t h e C I R m o d e l b e c a u s e t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e s c o r e f u n c t i o n i s a p p r o x i m a t e l y l i n e a r i n r i f t h e C I R m o d e l i s c o r r e c t a n d t h e l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s a p p r o p r i a t e f o r t h e V a s i c e k m o d e l . M o n t e C a r l o a n a l y s i s u s i n g 5 0 0 s i m u l a t i o n s u n d e r t h e b a s e l i n e V a s i c e k n u l l s h o w s t h i s t e s t h a s t h e a p p r o p r i a t e s i z e u n d e r 2 9 t h e n u l l h y p o t h e s i s . W h e n t h e d a t a w a s g e n e r a t e d b y t h e b a s e l i n e C I R m o d e l , A i t - S a h a l i a ’ s s i z e c o r r e c t e d t e s t r e j e c t s t h e V a s i c e k n u l l 3 9 . 8 % o f t h e t i m e a t t h e 5 % l e v e l a n d 1 3 . 8 % o f t h e t i m e a t t h e 1 % l e v e l . T h u s i t d i s p l a y s m o d e s t p o w e r a g a i n s t t h e C I R m o d e l a f t e r c r i t i c a l v a l u e s a r e a d j u s t e d f o r s i z e . B y c o n t r a s t , t h e G M M t e s t r e j e c t e d t h e n u l l f o r a l l 5 0 0 M o n t e C a r l o r u n s a t t h e 1 % l e v e l o r b e t t e r . T h i s s u g g e s t s t h e l i k e l i h o o d b a s e d G M M t e s t i s f a r m o r e p o w e r f u l f o r d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t h e V a s i c e k n u l l a n d t h e C I R a l t e r n a t i v e . T h i s d i (cid:11) e r e n c e s i n t e s t p o w e r m a k e s i n t u i t i v e s e n s e b e c a u s e A i t - S a h a l i a ’ s t e s t o n l y e x p l o i t s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e u n c o n d i t i o n a l e r g o d i c d i s t r i b u t i o n , b u t i g n o r e s u s e f u l i n f o r m a t i o n o n t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f e a c h o b s e r v a t i o n . T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t f o r p o w e r a g a i n s t p a r a m e t r i c a l t e r n a t i v e s , t e s t s t h a t a r e t a i l o r e d t o h a v e p o w e r a g a i n s t t h a t a l t e r n a t i v e w i l l p r o v i d e b e t t e r p e r f o r m a n c e t h a n u s i n g a n o n p a r a m e t r i c t e s t . T h i s s u g g e s t s t h a t a n o v e r a l l m o d e l t e s t i n g p r o c e d u r e s h o u l d (cid:12) r s t t e s t a m o d e l a g a i n s t p a r a m e t r i c a l t e r n a t i v e s u s i n g t e s t s s p e c i (cid:12) c a l l y t a i l o r e d f o r t h o s e a l t e r n a t i v e s . I f t h e m o d e l p a s s e s t h o s e t e s t s , t h e n o n p a r a m e t r i c t e s t s h o u l d b e a p p l i e d b e c a u s e i t m a y h a v e p o w e r i n d i r e c t i o n s n o t c a p t u r e d b y t h e p a r a m e t r i c t e s t . E v e n i n t h i s c a s e , t h e n o n in t e r v a ls fo r t h e s e c r it ic a l v a lu e s . 2 7 S e e N e w e y [1 9 8 5 a ] a n d N e w e y [1 9 8 5 b ] fo r a d d it io n a l d e t a ils o n t h e s e t e s t s . 2 8 S t a n d a r d e r r o r s w e r e c o m p u t e d u s in g N e w e y - W e s t ’s m e t h o d w it h a la g le n g t h o f 1 5 . 2 9 U s in g d a t a g e n e r a t e d u n d e r t h e V a s ic e k n u ll, t h is s p e c i(cid:12) c a t io n t e s t r e je c t e d t h e n u ll h y p o t h e s is 4 .8 % o f t h e t im e a t t h e 5 % le v e l in 5 0 0 M o n t e C a r lo r u n s a n d it r e je c t e d t h e n u ll h y p o t h e s is 1 .6 % o f t h e t im e a t t h e 1 % le v e l. 1 9
p s I T p a t d e t m k d o p w i p T s e d s t a v i S d p a r a m e t r i c t e s t s n e e d t o b e u s e d c a u t i o u s l y b e c a u s e t h e r e s u l t s i n s e c t i o n I I o f t h e p a p e r h o w t h a t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e a n d a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f t h e s e e s t i m a t o r s a r e v e r y d i (cid:11) e r e n t . V S u m m a r y a n d C o n c l u s i o n . h e a p p l i c a t i o n o f n o n p a r a m e t r i c m e t h o d s t o a n a l y z e i n t e r e s t r a t e d a t a p r o v i d e s n e w o p o r t u n i t i e s f o r e s t i m a t i n g i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s , a n d f o r t e s t i n g i n t e r e s t r a t e t h e o r i e s . I n d d i t i o n t o t h e o p p o r t u n i t i e s , h o w e v e r , i n t e r e s t r a t e d a t a p r e s e n t d i (cid:14) c u l t c h a l l e n g e s b e c a u s e h e n o n p a r a m e t r i c t e c h n i q u e s w e r e d e v e l o p e d f o r i . i . d . o b s e r v a t i o n s , w h i l e i n t e r e s t r a t e s a r e e p e n d e n t a n d h i g h l y p e r s i s t e n t . I n t h i s p a p e r I h a v e p r o v i d e d a n i n - d e p t h e x a m i n a t i o n o f k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n o f t h e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e w h e n i n t e r e s t r a t e s f o l l o w a c o n t i n u o u s i m e A R ( 1 ) p r o c e s s a s i n V a s i c e k [ 1 9 7 7 ] . T h i s f u n c t i o n a l f o r m m a k e s i t p o s s i b l e t o c o m p u t e a n y u s e f u l (cid:12) n i t e s a m p l e t i m e - s e r i e s r e s u l t s , a n d t o c o n t r a s t (cid:12) n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s o f t h e e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w i t h i t s a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s . O u r p r i n c i p a l r e s u l t s f o r t h e V a s i c e k m o d e l i n (cid:12) n i t e s a m p l e s a r e t h a t h o l d i n g t h e e r g o d i c i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s (cid:12) x e d , t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r ( M I S E ) f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s h i g h l y s e n s i t i v e t o t h e p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g r o c e s s , a n d t o t h e s p a n o f t h e d a t a ; h o w e v e r , i t i s v e r y i n s e n s i t i v e t o t h e f r e q u e n c y w i t h h i c h t h e p r o c e s s i s s a m p l e d . S i m i l a r l y , h o l d i n g t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n (cid:12) x e d , t h e o p t i m a l , . e . M I S E m i n i m i z i n g , k e r n e l b a n d w i d t h i s s e n s i t i v e t o t h e p e r s i s t e n c e o f t h e i n t e r e s t r a t e r o c e s s a n d t o t h e s p a n o f t h e d a t a , b u t i s v e r y i n s e n s i t i v e t o t h e d a t a s a m p l i n g f r e q u e n c y . h i s s u g g e s t s b a n d w i d t h s e l e c t i o n r u l e s w h i c h a r e s e n s i t i v e t o t h e d a t a s a m p l i n g f r e q u e n c y , u c h a s r u l e s w h i c h a r e a p p r o p r i a t e f o r i . i . d . d r a w s , a r e l i k e l y t o g e n e r a t e v e r y p o o r d e n s i t y s t i m a t e s w h e n t h e d a t a i s g e n e r a t e d b y a p e r s i s t e n t t i m e - s e r i e s p r o c e s s . W h e n c o n t r a s t i n g a s y m p t o t i c a n d (cid:12) n i t e s a m p l e r e s u l t s w e f o u n d t h a t t h e a s y m p t o t i c i s t r i b u t i o n s e r i o u s l y u n d e r s t a t e s t h e (cid:12) n i t e s a m p l e b i a s a n d s e r i o u s l y u n d e r s t a t e s t h e (cid:12) n i t e a m p l e v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s . T h e a s y m p t o t i c a p p r o a c h a l s o u n d e r s t a t e s h e a b s o l u t e m a g n i t u d e o f t h e (cid:12) n i t e s a m p l e c o r r e l a t i o n b e t w e e n d e n s i t y e s t i m a t e s a t n o n d j a c e n t p o i n t s i n t h e s u p p o r t o f t h e i n t e r e s t r a t e d i s t r i b u t i o n . A l s o , a s y m p t o t i c a l l y , t h e a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s u n i m o d a l . B y c o n t r a s t t h e (cid:12) n i t e s a m p l e v a r i a n c e s b i m o d a l , e v e n w i t h 1 0 0 y e a r s o f d a t a . T h e p a p e r a l s o p r o v i d e d a n i n - d e p t h e x a m i n a t i o n o f t h e s i z e a n d p o w e r o f o n e o f A i t a h a l i a ’ s t e s t o f p a r a m e t r i c i n t e r e s t r a t e m o d e l s . T h e t e s t w e e x a m i n e d i s b a s e d o n t h e i s t a n c e b e t w e e n a n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t e o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e r o c e s s a n d t h e c l o s e s t e s t i m a t e t h a t i s c o n s i s t e n t w i t h a p a r t i c u l a r p a r a m e t r i c f a m i l y . E x - 2 0
a o t n p h a m t t k b d v n a t a t d t c m i n i n g t h i s t e s t w h e n t h e d a t a w a s g e n e r a t e d b y t h e V a s i c e k m o d e l , w e f o u n d t h e s i z e f t h e t e s t w h e n u s i n g a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s i s f a r t o o l a r g e . A l s o , w e c o n j e c t u r e t h a t h e h i g h r a t e o f r e j e c t i o n o c c u r s b e c a u s e t h e p e r s i s t e n c e o f t h e d a t a g e n e r a t i n g p r o c e s s d o e s o t a (cid:11) e c t t h e a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s , b u t h a s a n i m p o r t a n t e (cid:11) e c t o n t h e (cid:12) n i t e s a m p l e e r f o r m a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s . A f t e r t h e t e s t i s c o r r e c t e d f o r s i z e , i t a p p e a r s t o a v e l o w p o w e r i n d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t h e C I R a n d V a s i c e k m o d e l s w h e n c o m p a r e d w i t h n a l t e r n a t i v e c o n d i t i o n a l m o m e n t t e s t o f t h e r e s t r i c t i o n s i m p o s e d b y t h e V a s i c e k m o d e l . T h e m o s t i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n o f t h i s p a p e r i s t h a t s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e u s i n g n o n p a r a e t r i c d e n s i t y e s t i m a t i o n i s d i (cid:14) c u l t i n a t i m e s e r i e s c o n t e x t , e s p e c i a l l y f o r h i g h l y p e r s i s t e n t i m e s e r i e s s u c h a s i n t e r e s t r a t e s . O u r r e s u l t s o n e s t i m a t i o n o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f h e s h o r t r a t e i n t h e V a s i c e k p r o c e s s , s h o w t h a t t h e p r o b l e m i s n o t t h a t t h e n o n p a r a m e t r i c e r n e l e s t i m a t e s a r e n e c e s s a r i l y b a d , b u t r a t h e r t h a t h y p o t h e s i s t e s t s a n d o t h e r i n f e r e n c e s a s e d o n a s y m p t o t i c s m a y b e v e r y p o o r b e c a u s e t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n s o f t h e k e r n e l e n s i t y e s t i m a t e ’ s b i a s , v a r i a n c e , a n d c o r r e l a t i o n a r e s o f a r o (cid:11) f r o m t h e i r t r u e (cid:12) n i t e s a m p l e a l u e s , e v e n w h e n t h e s a m p l e s i z e i s a s l a r g e a s 1 0 0 y e a r s . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e r e s u l t s f r o m o n p a r a m e t r i c t e c h n i q u e s s h o u l d b e i n t e r p r e t e d w i t h c a u t i o n a n d p r o b a b l y s h o u l d b e u s e d s p a r t o f a l a r g e r r e s e a r c h e (cid:11) o r t t h a t i n c l u d e s p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n t o l e a r n m o r e a b o u t h e p e r s i s t e n c e o f a p r o c e s s , a s w e l l a s s i g n i (cid:12) c a n t b o o t s t r a p p i n g , a n d o t h e r M o n t e C a r l o n a l y s i s t o s i m u l a t e t h e b e h a v i o r o f n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t o r s i n (cid:12) n i t e s a m p l e s . D e s p i t e h e d i (cid:14) c u l t i e s h i g h l i g h t e d h e r e , I d o b e l i e v e t h a t t h e p r i n c i p l e a d v a n t a g e o f n o n p a r a m e t r i c e n s i t y e s t i m a t i o n , i t s a b i l i t y t o d e s c r i b e t h e d a t a , r e m a i n s i n t a c t . I a l s o c o n j e c t u r e t h a t h e b e s t p r o s p e c t s f o r f u t u r e w o r k i n t h i s a r e a w i l l b e f o r a p p r o a c h e s t h a t (cid:12) n d g o o d w a y s t o o m b i n e t h e i n f o r m a t i o n f r o m n o n p a r a m e t r i c a n d p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n m e t h o d s . 2 1
A A A B B C H D H K M N N N P P R B I B L I O G R A P H Y i t - S a h a l i a , Y a c i n e , 1 9 9 6 a , \ T e s t i n g C o n t i n u o u s T i m e M o d e l s o f t h e S p o t I n t e r e s t R a t e , " R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 2 , N o . 9 , ( 1 9 9 6 ) : 3 8 5 - 4 2 6 . i t - S a h a l i a , Y a c i n e , 1 9 9 6 b , \ N o n p a r a m e t r i c P r i c i n g o f I n t e r e s t R a t e D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s , " E c o n o m e t r i c a 6 4 , N o . 3 , ( M a y 1 9 9 6 ) : 5 2 7 - 6 0 . i t - S a h a l i a , Y a c i n e , 1 9 9 6 c , \ D o I n t e r e s t R a t e s R e a l l y F o l l o w C o n t i n u o u s - T i m e M a r k o v D i (cid:11) u s i o n s ? , " W o r k i n g P a p e r , G r a d u a t e S c h o o l o f B u s i n e s s , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , 1 9 9 6 . a l l , C l i (cid:11) o r d A . , a n d W . N . T o r o u s , 1 9 9 6 , \ U n i t R o o t s a n d t h e E s t i m a t i o n o f I n t e r e s t R a t e D y n a m i c s , " J o u r n a l o f E m p i r i c a l F i n a n c e 3 ( 1 9 9 6 ) : 2 1 5 - 2 3 8 . r o z e , L a u r e n c e , O . S c a i l l e t , a n d J . - M . Z a k o i a n , 1 9 9 5 , \ T e s t i n g f o r C o n t i n u o u s T i m e M o d e l s o f t h e S h o r t T e r m I n t e r e s t R a t e , " J o u r n a l o f E m p i r i c a l F i n a n c e 2 ( 1 9 9 5 ) : 1 9 9 - 2 2 3 . o x , J . C . , J . E . I n g e r s o l l , a n d S . A . R o s s , 1 9 8 5 \ A T h e o r y o f t h e T e r m S t r u c t u r e o f I n t e r e s t R a t e s " , E c o n o m e t r i c a 5 3 , n o . 2 ( M a r c h 1 9 8 5 ) : 3 8 5 - 4 0 7 . a r t , J . D . a n d P . V i e u , \ D a t a - D r i v e n B a n d w i d t h C h o i c e f o r D e n s i t y E s t i m a t i o n B a s e d o n D e p e n d e n t D a t a , " T h e A n n a ls o f S t a t i s t i c s 1 8 , n o . 2 ( 1 9 9 0 ) : 8 7 3 - 8 9 0 . a v i d , H e r b e r t A . , 1 9 8 1 , O r d e r S t a t i s t i c s , J o h n W i l e y a n d S o n s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 8 1 . a r d l e , W . , 1 9 9 0 , A p p li e d n o n p a r a m e t r i c r e g r e s s i o n , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 0 . a r l i n , S a m u e l , a n d H o w a r d M . T a y l o r , 1 9 8 1 , A S e c o n d C o u r s e i n S t o c h a s t i c P r o c e s s e s , A c a d e m i c P r e s s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 8 1 . c C u l l o c h , J . H . , a n d H . - L . K w o n , 1 9 9 3 \ U . S . T e r m S t r u c t u r e D a t a , 1 9 4 7 - 1 9 9 1 , " W o r k i n g P a p e r 9 3 - 6 , O h i o S t a t e U n i v e r s i t y . e w e y , W h i t n e y K . , 1 9 8 5 a , \ M a x i m u m L i k e l i h o o d S p e c i (cid:12) c a t i o n T e s t i n g a n d C o n d i t i o n a l M o m e n t T e s t s , " E c o n o m e t r i c a 5 3 , n o . 5 ( S e p t e m b e r 1 9 8 5 ) : 1 0 4 7 - 1 0 7 0 . e w e y , W h i t n e y K . , 1 9 8 5 b , \ G e n e r a l i z e d M e t h o d o f M o m e n t s S p e c i (cid:12) c a t i o n T e s t i n g , " J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s 2 9 ( 1 9 8 5 ) : 2 2 9 - 2 5 6 . e w e y , W h i t n e y K . , a n d K . D . W e s t , 1 9 8 7 , \ A S i m p l e , P o s i t i v e S e m i - D e (cid:12) n i t e , H e t e r o s k e d a s t i c i t y a n d A u t o c o r r e l a t i o n C o n s i s t e n t C o v a r i a n c e M a t r i x , " E c o n o m e t r i c a 5 5 , n o . 3 ( M a y 1 9 8 7 ) : 7 0 3 - 7 0 8 . a g a n , A . R . , A . D . H a l l , a n d V . M a r t i n , 1 9 9 5 , \ M o d e l i n g t h e T e r m S t r u c t u r e , " W o r k i n g P a p e r , 1 9 9 5 . a r k , B y e o n g U . , a n d J . S . M a r r o n , 1 9 9 0 , \ C o m p a r i s o n o f D a t a - D r i v e n B a n d w i d t h S e l e c t o r s , " J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 8 5 n o . 4 0 9 ( M a r c h 1 9 9 0 ) : 6 6 - 7 2 . o b i n s o n , P e t e r M . , 1 9 8 6 , \ O n t h e C o n s i s t e n c y a n d F i n i t e - S a m p l e P r o p e r t i e s o f N o n p a r a m e t r i c K e r n e l T i m e S e r i e s R e g r e s s i o n , A u t o r e g r e s s i o n , a n d D e n s i t y E s t i m a t o r s , " A n n a ls o f t h e I n s t i t u t e o f S t a t i s t i c a l M a t h e m a t i c s , 3 8 , N o . 3 , A , ( 1 9 8 6 ) : 5 3 9 - 5 4 9 . 2 2
R S S S S S V W o b i n s o n , P e t e r M . , 1 9 8 3 , \ N o n p a r a m e t r i c E s t i m a t o r s f o r T i m e S e r i e s , " J o u r n a l o f S e r i e s A n a ly s i s , 4 . n o . 3 ( 1 9 8 3 ) : 1 8 5 - 2 0 7 . c o t t , D a v i d W . , 1 9 9 2 M u lt i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n , T h e o r y , P r a c t i c e , a n d V i s u t i o n , J o h n W i l e y a n d S o n s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 9 2 . i d d i q u e , A k h t a r R . , 1 9 9 4 , \ N o n p a r a m e t r i c E s t i m a t i o n o f M e a n a n d V a r i a n c e a n d P o f S e c u r i t i e s , " W o r k i n g P a p e r , G e o r g e t o w n S c h o o l o f B u s i n e s s , 1 9 9 4 . i l v e r m a n , B . W . , 1 9 8 6 , D e n s i t y E s t i m a t i o n f o r S t a t i s t i c s a n d D a t a A n a ly s i s , C h a p m a H a l l , L o n d o n , 1 9 8 6 . t a n t o n , R i c h a r d , 1 9 9 5 , \ A N o n p a r a m e t r i c M o d e l o f T e r m S t r u c t u r e D y n a m i c s a n M a r k e t P r i c e o f I n t e r e s t R a t e R i s k " , W o r k i n g P a p e r , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B l e y , S e p t e m b e r 1 9 9 5 . t o n e , C h a r l e s J . , 1 9 8 4 \ A n A s y m p t o t i c a l l y O p t i m a l W i n d o w S e l e c t i o n R u l e f o r K D e n s i t y E s t i m a t e s , " T h e A n n a ls o f S t a t i s t i c s , 1 2 ( 1 9 8 4 ) : 1 2 8 5 - 1 2 9 7 . a s i c e k , O l d r i c h , 1 9 7 7 \ A n E q u i l i b r i u m C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e T e r m S t r u c t u r e , " J o o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 5 ( 1 9 7 7 ) : 1 7 7 - 1 8 8 . a n d , M . P . , 1 9 9 2 , \ F i n i t e s a m p l e p e r f o r m a n c e o f d e n s i t y e s t i m a t o r s u n d e r m o v i n g a v d e p e n d e n c e , " S t a t i s t i c s a n d P r o b a b i li t y L e t t e r s 1 3 ( 1 9 9 2 ) : 1 0 9 - 1 1 5 . 2 3 T i m e a li z a r i c i n g n a n d d t h e e r k e e r n e l u r n a l e r a g e
o m d I E w w s o A A s a u w U u A p p e n d i c e s T h i s a p p e n d i x p r o v i d e s d e t a i l e d r e s u l t s o n k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t i o n w h e n t h e t i m e s e r i e s f i n t e r e s t r a t e s i s g e n e r a t e d u n d e r t h e V a s i c e k p r o c e s s . T h e a p p e n d i x i s d i v i d e d i n t o f o u r a i n p a r t s . P a r t A l a y s o u t n o t a t i o n a n d p r o v i d e s s o m e b a s i c r e s u l t s t h a t s i m p l i f y t h e e r i v a t i o n o f t h e r e s u l t s i n t h e n e x t t h r e e s e c t i o n s . P a r t B p r e s e n t s o u r r e s u l t s o n M e a n n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r , M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d V a r i a n c e , a n d M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d r r o r w h e n t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i s s a m p l e d c o n t i n u o u s l y . P a r t C p r e s e n t s s i m i l a r r e s u l t s h e n t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i s s a m p l e d a t e v e n l y s p a c e d d i s c r e t e t i m e i n t e r v a l s . I n p a r t C e a l s o d e r i v e t h e V a r i a n c e o f t h e K e r n e l D e n s i t y e s t i m a t e f o r b o t h d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s a m p l i n g . F i n a l l y , p a r t D w o r k s o u t f o r m u l a e t h a t a r e u s e f u l f o r c o m p u t i n g t h e c o v a r i a n c e f t h e d e n s i t y e s t i m a t e s . N o t a t i o n a n d F o u r B a s i c R e s u l t s . s a p r e l i m i n a r y , t h i s s e c t i o n (cid:12) x e s n o t a t i o n a n d s t a t e s f o u r r e s u l t s t h a t w i l l b e u s e d i n t h e e c t i o n s t h a t f o l l o w . T h r o u g h o u t o u r e x p o s i t i o n , (cid:25) ( r ; s ; r ; t ) w i l l d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t r t a k e s t h e r e - s t j l i z a t i o n r a t t i m e s g i v e n t h a t r w a s e q u a l t o r a t t i m e t . S i m i l a r l y , (cid:25) ( ~r ) w i l l d e n o t e t h e s t n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y t h a t r t a k e s o n t h e r e a l i z a t i o n ~r : I n c e r t a i n s e c t i o n s w e w i l l d e r i v e r e s u l t s o n k e r n e l e s t i m a t i o n f o r t h e V a s i c e k p r o c e s s . W e i l l u s e t h e t e r m V a s i c e k p r o c e s s t o r e p r e s e n t t h e f o l l o w i n g s t o c h a s t i c p r o c e s s f o r r : d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) d w : (cid:0) n d e r t h e V a s i c e k p r o c e s s r ’ s e r g o d i c d i s t r i b u t i o n i s g a u s s i a n o f f o r m : 2 (cid:27) r ( (cid:18) ; ) : 2 (cid:20) (cid:24) N T h e r e s u l t s w e w i l l u s e b e l o w a r e a s f o l l o w s : R e s u l t 1 : (cid:25) ( r ) = (cid:25) ( r ; s r ; t ) (cid:25) ( r ) d r s s t t t j Z T h i s r e s u l t i s w e l l k n o w n a n d s h o w s t h a t t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f t h e p r o c e s s i s t h e n c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e p r o c e s s . 2 4
e O B T r w S a u d e (cid:1) A R e s u l t 2 : 2 y z (cid:0) :5 y u u z 2 2 2 2 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) :5 ( ) :5 ( ) (cid:27) (cid:27) (cid:0) + 1 (cid:27) (cid:27) p 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) e e d u = e (cid:18) (cid:19) 2 2 p p p 2 (cid:25) (cid:27) 2 (cid:25) (cid:27) 2 (cid:25) 1 2 (cid:27) + (cid:27) Z (cid:0) 1 1 2 q R e s u l t 3 : 2 y u 2 1 1 (cid:0) :5 ( ) 1 (cid:27) 1 (cid:0) e d y = : p p p ! 2 (cid:25) (cid:27) 2 2 (cid:25) (cid:27) 1 1 Z (cid:0) 1 R e s u l t 4 : y (cid:21) u (cid:21) (cid:18) ( + (1 ) ) u y y (cid:18) u (cid:18) 2 2 2 2 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) :5 ( :5 ( ) :5 ( ) ) :5 ( ) (cid:0) (cid:27) (cid:27) S S 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e e e = e p p p p 2 (cid:25) (cid:27) 2 (cid:25) (cid:27) 2 (cid:25) S 2 (cid:25) S 1 2 1 2 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 , S = (cid:27) : w h e r e S = + (cid:27) , a n d (cid:21) = 2 1 1 2 (cid:27) + (cid:27) (cid:27) + (cid:27) 1 2 2 1 r q R e s u l t s 2 , 3 , a n d 4 a r e e s p e c i a l l y u s e f u l w h e n t h e k e r n e l f u n c t i o n i s g a u s s i a n a n d t h e r g o d i c a n d c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f r a r e G a u s s i a n , a s t h e y a r e w i t h t h e V a s i c e k p r o c e s s . u r b a s i c r e s u l t s f o r t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l e s t i m a t e a r e b e l o w . K e r n e l E s t i m a t i o n w i t h C o n t i n u o u s S a m p l i n g . h i s s e c t i o n m o t i v a t e s k e r n e l e s t i m a t i o n o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f a s t o c h a s t i c p r o c e s s w h e n t h e r e a l i z a t i o n s o f t h e p r o c e s s a r e c o n t i n u o u s l y s a m p l e d o v e r a s p a n o f T y e a r s . I i l l t h e n d e r i v e e x p r e s s i o n s f o r t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , t h e M e a n I n t e g r a t e d q u a r e d E r r o r ( M I S E ) , M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s ( M I S B ) , a n d M e a n I n t e g r a t e d V a r i n c e ( M I V A R ) . I a s s u m e t h r o u g h o u t t h a t t h e p r o c e s s f o r r b e g i n s w i t h a d r a w f r o m i t s n c o n d i t i o n a l ( e r g o d i c ) d i s t r i b u t i o n a t t i m e 0 , a n d t h e n f o l l o w s a s t r i c t l y s t a t i o n a r y M a r k o v i (cid:11) u s i o n p r o c e s s o f f o r m : d r = (cid:22) ( r ) d t + (cid:27) ( r ) d w : T o m o t i v a t e c o n t i n u o u s s a m p l i n g , s u p p o s e t h a t t h e p r o c e s s i s s a m p l e d d i s c r e t e l y a t N v e n l y s p a c e d t i m e s s o t h a t t h e t i m e b e t w e e n o b s e r v a t i o n s i s (cid:1) T . T h i s i m p l i e s t h a t 1 = N = T : W i t h t h i s n o t a t i o n , t h e t r a d i t i o n a l k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e h a s t h e f o r m : T N (cid:1) t 1 u r s ^(cid:25) ( u ) = K (cid:1) t : (cid:0) T h h s = (cid:1) t (cid:18) (cid:19) X s t h e s a m p l i n g i s c o n d u c t e d m o r e a n d m o r e f r e q u e n t l y , (cid:1) t g o e s t o z e r o a n d t h e k e r n e l 2 5
d T K T T o 0 B w h i e c I c e n s i t y e s t i m a t e c o n t v e r g e s t o : T 1 u r s ^(cid:25) ( u ) = K d s (cid:0) 0 T h h (cid:18) (cid:19) Z h i s i s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w i t h c o n t i n u o u s s a m p l i n g . G i v e n t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , b e l o w w e d e r i v e t h e E x p e c t e d e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e , M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s , a n d M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e . h e E x p e c t e d K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e . o c o m p u t e t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , w e w i l l e x p l o i t t h e l i n e a r i t y o f t h e i n t e g r a l p e r a t o r a n d t h e f a c t t h a t r f o l l o w s a M a r k o v p r o c e s s . T h e r e f o r e , i f r s t a r t s f r o m r a t t i m e 0 , t h e n T T 1 1 u r u r s s E ( ^(cid:25) ( u ) r ) = ) r ] d s = K ( ) (cid:25) ( r ; s r ; 0 ) d r d s [ E K ( (cid:0) (cid:0) 0 0 s 0 s 0 0 r s T h h T h h j j j (cid:20) (cid:21) Z Z Z T h e u n c o n d i t i o n a l e x p e c t e d v a l u e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n : T 1 u r s E ^(cid:25) ( u ) = K ( ) (cid:25) ( r ; s r ; 0 ) d r d s (cid:25) ( r ) d r (cid:0) s 0 s 0 0 r 0 r s 0 T h h j ! (cid:20) (cid:21) Z Z Z y R e s u l t 1 a n d F u b i n i ’ s t h e o r e m t h i s s i m p l i (cid:12) e s c o n s i d e r a b l y t o b e c o m e : u r s K ( ) (cid:25) ( r ) d r : E ^(cid:25) ( u ) = (cid:0) s s r s h Z I f t h e k e r n e l i s g a u s s i a n , a n d r e v o l v e s a c c o r d i n g t o t h e V a s i c e k p r o c e s s , t h e n b y r e s u l t 2 e g e t a n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e : 2 u (cid:18) :5 (cid:0) 2 (cid:27) 1 1 (cid:0) 2 h + p (cid:20) 2 E ^(cid:25) ( u ) = e (cid:18) (cid:19) 2 (cid:27) 2 p 2 (cid:25) h + 2 (cid:20) q T h i s s h o w s t h e u n c o n d i t i o n a l e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e f o r t h e V a s i c e k p r o c e s s 2 (cid:27) 2 . T h i s i s n e a r l y a s t h e f o r m o f a g a u s s i a n d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n (cid:18) a n d v a r i a n c e h + 2 (cid:20) d e n t i c a l t o t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n f o r r . T h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e t w o x p r e s s i o n s i s t h e i n c l u s i o n o f h i n t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e x p e c t e d d e n s i t y . I n t h i s c a s e w e a n s e e h o w c h o o s i n g a n o n z e r o b a n d w i d t h i n t r o d u c e s b i a s i n t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e . T h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r o f t h e d e n s i t y e s t i m a t e i s t h e s u m o f t h e M e a n n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s a n d t h e M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e . T h e m e t h o d s t h a t a r e u s e d t o o m p u t e e a c h o f t h e s e a r e p r e s e n t e d b e l o w . 2 6
M T I 2 a M T B I f C a i t t f A e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s . h e e x p r e s s i o n f o r t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s i s : 2 M I S B = ( E ^(cid:25) ( u ) (cid:25) ( u ) ) d u : u (cid:0) Z f t h e k e r n e l i s g a u s s i a n , a n d r e v o l v e s a c c o r d i n g t o t h e V a s i c e k p r o c e s s , t h e n u s i n g r e s u l t s a n d 3 , t h e f o r m u l a f o r t h e M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s s i m p l i (cid:12) e s t o h a v e t h e f o l l o w i n g n a l y t i c a l f o r m : 1 1 1 2 M I S B ( V a s i c e k ) = + 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) 0 1 2 2 p (cid:0) 2 (cid:25) 2 h + 2 ( ) ( h + ) (cid:20) 2 (cid:20) (cid:20) @ A q q q e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e . h e e x p r e s s i o n f o r t h e M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e o f t h e k e r n e l e s t i m a t e i s : 2 M I V A R = E ( ^(cid:25) ( u ) E ^(cid:25) ( u ) ) d u : u (cid:0) Z y F u b i n i ’ s t h e o r e m , a n d s i m p l i (cid:12) c a t i o n , t h i s c a n b e w r i t t e n a s : 2 2 d u : E ^(cid:25) ( u ) ( E ^(cid:25) ( u ) ) M I V A R = u (cid:0) Z (cid:17) (cid:16) h i f t h e k e r n e l i s g a u s s i a n , a n d r f o l l o w s t h e V a s i c e k p r o c e s s t h e n b y r e s u l t 3 t h i s s i m p l i (cid:12) e s u r t h e r t o b e c o m e : 1 1 2 M I V A R ( V a s i c e k ) = E ^(cid:25) ( u ) d u : 2 (cid:27) 0 1 2 u p (cid:0) 2 (cid:25) 2 h + ) Z (cid:20) h i @ A q o m p u t i n g t h e (cid:12) r s t t e r m i n t h e e x p r e s s i o n f o r M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e i s v e r y d i (cid:14) c u l t , n d m u s t b e d o n e n u m e r i c a l l y , e v e n w i t h a p r o c e s s a s s i m p l e a s t h e V a s i c e k m o d e l . H o w e v e r , t i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o c o m p u t e f o r t h e V a s i c e k p r o c e s s . I n w h a t f o l l o w s w e w i l l p r e s e n t h e g e n e r a l f o r m u l a f o r t h e (cid:12) r s t e x p r e s s i o n , a n d t h e n t h e f o r m u l a f o r t h i s e x p r e s s i o n u n d e r h e V a s i c e k m o d e l . I t i s u s e f u l t o d e (cid:12) n e s o m e a u x i l a r y e x p r e s s i o n s t o c o m p u t e t h e (cid:12) r s t t e r m o f t h e e x p r e s s i o n o r M I V A R . D e (cid:12) n e : t u r s F ( t ) = K d s : (cid:0) 0 h (cid:18) (cid:19) Z l t h o u g h t h e f u n c t i o n F ( t ) d e p e n d s o n t h e r a n d o m r e a l i z a t i o n s o f t h e p r o c e s s r , o v e r e a c h 2 7
3 0 i n c r e m e n t o f t i m e d t , t h e f u n c t i o n i s l o c a l l y d e t e r m i n i s t i c w i t h d e r i v a t i v e : u r t d F ( t ) = K d t : (cid:0) h (cid:18) (cid:19) U s i n g e l e m e n t a r y r u l e s o f c a l c u l u s t h i s i m p l i e s : 2 d ( F ( t ) ) = 2 F ( t ) d F ( t ) ; a n d a n a l t e r n a t i v e e x p r e s s i o n f o r t h e s q u a r e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s : T 1 2 ^(cid:25) ( u ) = 2 F ( t ) d F ( t ) 2 2 0 T h Z S u b s t i t u t i n g i n f o r t h e e x p r e s s i o n s f o r F ( t ) a n d d F ( t ) a n d r e a r r a n g i n g y i e l d s : T t 2 u r u r t s 2 ^(cid:25) ( u ) = K d s d t K (cid:0) (cid:0) 2 2 0 0 T h h h (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:18) Z Z T h e a b o v e e x p r e s s i o n i s v e r y c o n v e n i e n t b e c a u s e i t a l l o w s u s t o e x p r e s s E u s i n g t h e l a w o f i t e r a t e d c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s , a n d r e s u l t 1 . T h i s y i e l d s : T t 2 u r u r t s 2 E ^(cid:25) ( u ) d u = K d s d t d E K (cid:0) (cid:0) 2 2 u u 0 0 T h h h ( ) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:20) (cid:18) Z Z Z Z B y t h e l a w o f i t e r a t e d c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s , a n d b y R e s u l t 1 , t h e e x p e c t a t e r m i n s i d e t h e i n n e r b r a c e s c a n b e w r i t t e n a s : u r u r u r u r s s t t K E K K = K (cid:25) ( r ; t r ; s ) d r (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t s t r r s t h h h h j (cid:18) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z Z S u b s t i t u t i n g , t h e a b o v e e x p r e s s i o n i n t o t h e o n e b e f o r e i t g i v e s u s o u r (cid:12) n a l , a n d e x p r e s s i o n f o r t h e (cid:12) r s t t e r m o f t h e M I V A R : 2 E ^(cid:25) ( u ) d u = u Z 3 0 I n t h e n e x t in c r e m e n t o f t im e , F w ill g r o w b y t h e a m o u n t u r t+ d t K d t : (cid:0) h (cid:18) (cid:19) A p p ly in g I t o ’s le m m a t o r , t h e a b o v e e x p r e s s io n c a n b e w r it t e n in T a y lo r s e r ie s fo r m a s : t+ d t u r u r t+ d t t 2 K d t = K d t + K ( :) d r d t + :5 K ( :) ( d t ) : (cid:0) (cid:0) r r r h h (cid:3) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) A ll o f t h e s t o c h a s t ic t e r m s in t h is e x p a n s io n a r e o f s m a lle r o r d e r t h a n d t , a n d t h u s c a n b e ig im p lie s t h a t F is lo c a lly d e t e r m in is t ic w it h t h e d e r iv a t iv e g iv e n in t h e t e x t . 2 8 ^(cid:25) u R u t i o n (cid:25) ( r v e r n o r e 2 ( u ) d o f t h ) d r s s y l a r g d . T h u e e is
o a g c V t t M T w T T t 2 u r u r s t d s d t d u (cid:25) ( r ) d r K K (cid:25) ( r ; t r ; s ) d r (cid:0) (cid:0) s s t s t 2 2 u 0 0 r r s t T h h h j ) ( (cid:21) (cid:19) (cid:27) (cid:18) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:26) (cid:18) (cid:19) Z Z Z Z Z T h e a b o v e e x p r e s s i o n i s n o t p r e t t y , b u t i t i s c o r r e c t . M o r e o v e r t h e e x p r e s s i o n i n s i d e t h e u t e r v e r y c l o s e l y r e s e m b l e s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e x p e c t e d s q u a r e d o c c u p a t i o n t i m e o f f g M a r k o v d i (cid:11) u s i o n i n K a r l i n a n d T a y l o r ( 1 9 8 1 ) . M o r e i m p o r t a n t l y f o r m y p u r p o s e s , w i t h a a u s s i a n k e r n e l , i f t h e d a t a i s g e n e r a t e d b y t h e V a s i c e k m o d e l , t h e n t h i s e x p r e s s i o n c a n b e o m p u t e d r e l a t i v e l y e a s i l y n u m e r i c a l l y . T h e r e a s o n i s t h a t t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e s i n t h e a s i c e k m o d e l a r e c o n d i t i o n a l l y a n d u n c o n d i t i o n a l l y g a u s s i a n . T h i s c o m b i n e d w i t h F u b i n i ’ s h e o r e m a l l o w s m e t o a p p l y R e s u l t 2 t h r e e t i m e s , a l l o w i n g m e t o r e d u c e t h e a b o v e e x p r e s s i o n o t h e f o l l o w i n g s i m p l i (cid:12) e d e x p r e s s i o n : T t 2 1 1 2 E ^(cid:25) ( u ) d u = d t : d s 2 2 2 3 (cid:27) 2 (cid:20) ( t s ) u 0 0 p T 2 (cid:25) 2 h + ( 1 e ) Z Z Z (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:0) 4 5 q T h i s e x p r e s s i o n c a n b e r e w r i t t e n a s : T t 2 1 1 d s 3 2 2 E ^(cid:25) ( u ) d u = d T 2 2 2 (cid:27) (cid:27) 2 u 0 0 p T 2 (cid:25) 7 2 h + 6 (cid:20) Z Z Z (cid:20) ( t s ) (cid:20) 2 e 1 7 6 (cid:0) (cid:0) (cid:27) 2 2 h + 7 6 (cid:20) q s (cid:0) (cid:19) (cid:18) 7 6 5 4 a k i n g t h e s u b s t i t u t i o n : 2 (cid:27) (cid:20) (cid:20) ( t s ) z = e ; 2 (cid:0) (cid:0) (cid:27) 2 v ! 2 h + u (cid:20) u t h e a b o v e i n t e g r a l s i m p l i (cid:12) e s t o b e c o m e : T z 2 2 1 1 d z 2 E ^(cid:25) ( u ) d u = d T : 2 2 2 (cid:27) 2 u 0 z p p (cid:20) T " # 2 (cid:25) z 1 z 2 h + Z Z Z (cid:20) (cid:0) q h e r e 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:20) (cid:20) (cid:20) t z = e a n d z = : 2 2 (cid:0) (cid:27) (cid:27) 2 2 v v ! ! 2 h + 2 h + u u (cid:20) (cid:20) u u t t T o c o m p u t e t h e i n t e g r a l i n t e r m s o f z , w e m a k e t h e a d d i t i o n a l s u b s t i t u t i o n z = c o s ( (cid:26) ) : h i s s u b s t i t u t i o n a n d a l g e b r a p r o d u c e t h e r e s u l t : T 1 + 1 ( t ) 1 1 2 2 2 (cid:0) E ^(cid:25) ( u ) d u = l n d t 1 + ; 2 2 q 8 9 (cid:27) 2 3 2 u 0 p (cid:20) T 2 (cid:25) 1 + 1 ( 0 ) 2 h + Z Z < = (cid:20) (cid:0) 4 5 q q : ; 2 9
w t w M C I w ( v S T T h e r e 2 (cid:27) (cid:20) t (cid:20) (cid:0) e ( t ) = 2 (cid:27) 2 1 0 2 h + (cid:20) A @ S u b s t i t u t i n g t h e a b o v e e x p r e s s i o n a s t h e (cid:12) r s t p i e c e o f t h e M e a n I n t e g r a t e d h e V a s i c e k p r o c e s s w i t h a g a u s s i a n k e r n e l p r o d u c e s o u r (cid:12) n a l r e s u l t : T 1 + 1 ( t ) 1 1 2 2 (cid:0) M I V A R ( V a s i c e k ) = l n d 2 2 q (cid:27) 2 3 2 0 p (cid:20) T 2 (cid:25) 1 + 1 ( 0 ) 2 h + Z (cid:20) (cid:0) 4 5 q q h e r e ( t ) i s a s a b o v e . T h e (cid:12) n a l i n t e g r a l i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n c a n b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d v e a t h e m a t i c a a n d p r o d u c e s t h e M e a n I n t e g r a t e d V a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y D i s c r e t e S a m p l i n g K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e n t h i s s e c t i o n , w e w i l l d e r i v e e x p r e s s i o n s f o r t h e (cid:12) r s t a n d s e c o n d m o m e n t s o f N (cid:1) s 1 u r s ^(cid:25) ( u ) = K ( ) (cid:0) N h h s = (cid:1) s X h e n t h e i n t e r e s t r a t e a t t i m e 0 i s d r a w n f r o m d e n s i t y (cid:25) ( u ) a n d t h e n r e v o l v e s a 3 ) i n t h e t e x t . T h e s e (cid:12) r s t a n d s e c o n d m o m e n t s c a n t h e n b e u s e d t o c o m p u t e t a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e , a n d c a n a l s o b e u s e d t o c o m p u t e M e a q u a r e d B i a s a n d M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r . h e E x p e c t e d K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e h e (cid:12) r s t m o m e n t i s E ^(cid:25) ( u ) ; s o l v i n g f o r t h i s m o m e n t i s e a s y : N (cid:1) s u r 1 s K ( ) E ^(cid:25) ( u ) = E (cid:0) N h h s = (cid:1) s X N (cid:1) s 1 1 u r s = K (cid:25) ( r ; s r ; 0 ) d r (cid:25) ( r ) d r (cid:0) s 0 s 0 0 r r s N 0 h h j s = (cid:1) s (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) Z Z X N (cid:1) s 1 1 u r s K (cid:25) ( r ) d r = (cid:0) s s r s N h h s = (cid:1) s (cid:18) (cid:19) Z X 2 u (cid:18) :5 (cid:0) 2 (cid:27) 1 1 (cid:0) 2 h + p (cid:20) 2 e = (cid:18) (cid:19) 2 (cid:27) 2 p 2 (cid:25) h + 2 (cid:20) q 3 0 V a r i a n c e f o t ; r y r a p i d l y i e s t i m a t e . s . s i n e q u a t i o h e m e a n a n n I n t e g r a t e r n n d d
T b T S s k T t h e s e c o n d e q u a l i t y i s b y t h e l a w o f i t e r a t e d c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s . T h y F u b i n i ’ s t h e o r e m a n d r e s u l t 1 . T h e (cid:12) n a l e q u a l i t y f o l l o w s b y r e s u l t 2 . h e E x p e c t e d S q u a r e d K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e e c o n d m o m e n t s a r e m u c h m o r e d i (cid:14) c u l t t h a n (cid:12) r s t m o m e n t s . T h e e x p r e s s i o q u a r e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s : 2 N (cid:1) s 1 u r s 2 E ^(cid:25) ( u ) = E K ( ) (cid:0) N h h ! s = (cid:1) s X N (cid:1) s N (cid:1) t t (cid:1) t 2 (cid:0) 1 1 u r 1 u r s s 2 = E [ K ( ) ] + 2 E K ( ) (cid:0) (cid:0) N h h h h s = (cid:1) s t= (cid:1) t s = (cid:1) s (cid:18) (cid:19) X X X T h e (cid:12) r s t p i e c e o f t h i s e x p e c t a t i o n i s r e l a t i v e l y e a s y t o (cid:12) n d . W e k n o e r n e l t h a t : 2 u r s 2 (cid:0) :5 h 1 u r 1 1 (cid:0) s p 2 e K ( ) = (cid:0) (cid:18) (cid:19) p p h h 2 (cid:25) h 2 (cid:25) h (cid:21) (cid:20) 1 u r 1 s K = (cid:0) h h 0 1 p p h 2 2 (cid:25) p p 2 2 @ A h e r e f o r e , u s i n g t h e m e t h o d u s e d t o d e r i v e t h e f o r m u l a f o r E ^(cid:25) ( u ) w e h a v 2 u r 1 1 1 u r s s E K ( ) = E K (cid:0) (cid:0) h h 0 1 p p h h h 2 2 (cid:25) p p (cid:20) (cid:21) 2 2 @ A u (cid:18) :5 (cid:0)2 2 h (cid:27) 1 1 (cid:0) + p (cid:20) 2 2 = e (cid:18) 2 2 h (cid:27) p p h 2 2 (cid:25) p 2 (cid:25) + 2 2 (cid:20) q T h e s e c o n d p i e c e o f t h e e x p e c t a t i o n i s m o r e d i (cid:14) c u l t b e c a u s e i t i n v o l v e e r m s w i t h g e n e r a l f o r m : 1 u r 1 u r s t E K K = (cid:0) (cid:0) h h h h (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:21) 1 u r 1 u r s t = K K (cid:25) ( r ; t r ; s ) d r (cid:25) ( r ; s r ; (cid:0) (cid:0) t s t s 0 r r r t s 0 h h h h j j (cid:18) (cid:19) (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Z Z Z u r 1 u r 1 s t (cid:25) ( r ; t r ; s ) d r (cid:25) ( r ) d r : K K = (cid:0) (cid:0) t s t s s r r s t h h h h j (cid:18) (cid:19) (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z Z 2 u (cid:22) r ;t r ;s ( ) s t (cid:0) j :5 1 1 2 u r 1 (cid:0) s h V r ;t r ;s + ( ) s t p j = K e x p (cid:25) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 2 r s p h h 2 (cid:25) h + V ( r ; t r ; s ) (cid:18) (cid:19) t s Z j q 3 1 e t n f 1 K h w e : 2 (cid:19) s a 0 ) d ( r s h i r d e o r t h e u ( (cid:0) h f o r a d o u b r (cid:25) s (cid:19) ) d r s q u a l i t y i s e x p e c t e d r t ) ! G a u s s i a n l e s u m o f ( r ) d r : 0 0
w f i m o r i 4 t t n w t f e h e r e V ( r ; t r ; s ) i s t h e v a r i a n c e o f r g i v e n r , a n d (cid:22) ( r ; t r ; s ) i s t h e m e a n o f r g i v e n r : t s t s t s t s j j T h e (cid:12) r s t e q u a l i t y a b o v e f o l l o w s b y t h e l a w o f i t e r a t e d e x p e c t a t i o n s ; t h e s e c o n d e q u a l i t y o l l o w s f r o m r e s u l t 1 ; a n d t h e t h i r d e q u a l i t y f o l l o w s b y r e s u l t 2 . T h i s g e n e r a t e s a n a n s w e r t h a t s t h e p r o d u c t o f t h r e e g a u s s i a n d e n s i t y f u n c t i o n s m u l t i p l i e d b y s o m e a d d i t i o n a l f a c t o r s . T h i s a k e s i t p o s s i b l e t o a p p l y a d d i t i o n a l r e s u l t s t o f u r t h e r s i m p l i f y t h e i n t e g r a l . S u b s t i t u t i o n f t h e e x p r e s s i o n s f o r V ( r ; t r ; s ) a n d (cid:22) ( r ; t r ; s ) , a n d s o m e a l g e b r a m a k e s i t p o s s i b l e t o t s t s j j e p r e s e n t t h e a b o v e i n t e g r a l a s t h e p r o d u c t o f t h r e e g a u s s i a n d e n s i t y f u n c t i o n s e a c h o f w h i c h n v o l v e r m i n u s s o m e m e a n d i v i d e d b y s o m e v a r i a n c e . T h i s m a k e s i t p o s s i b l e t o a p p l y r e s u l t s t o a n y t w o o f t h e s e d e n s i t y f u n c t i o n s . T h e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n c o n t a i n s t h e p r o d u c t o f o n l y w o g a u s s i a n d e n s i t y f u n c t i o n s t h a t i n v o l v e r . R e s u l t 2 c a n b e a p p l i e d t o t h e s e f u n c t i o n s s o i n t e g r a t e o u t r . T h i s p r o d u c e s o u r (cid:12) n a l c o m p l i c a t e d e x p r e s s i o n w h i c h , f o r t h e s a k e o f s o t a t i o n a l c o m p a c t n e s s , w e w i l l w r i t e a s G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) : E (cid:0) 1 1 u r u r s t G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = E = K K (cid:0) (cid:0) E h h h h (cid:0) (cid:20) (cid:19) (cid:19) (cid:21) (cid:18) (cid:18) 2 2 u (cid:18) u (cid:18) :5 :5 (cid:0) (cid:0) 1 1 1 V (cid:20) ;t s ;V ;h V h ;V ( ) ( ) 1 2 E E (cid:0) (cid:0) (cid:0) C ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) e e E (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) p p V ( h ; V ) (cid:0) 2 E 2 (cid:25) V ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) 2 (cid:25) 1 E (cid:0) h e r e , 2 (cid:27) V = E 2 (cid:20) (cid:20) ( t s ) e (cid:0) C ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = E V E (cid:20) ( t s ) (cid:0) e 2 (cid:0) V + h E (cid:0) 2 h V E 2 2 (cid:20) ( t s ) ( h + V ) e V + 2 E E (cid:0) h + V E (cid:0) V ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = 1 E 2 v V E (cid:20) ( t s ) (cid:0) u e 2 (cid:0) u V + h E (cid:0) u t (cid:16) (cid:17) 2 h + V V ( h ; V ) = E 2 E q A l t h o u g h t h e (cid:12) n a l f o r m o f t h i s e x p r e s s i o n a p p e a r s o n e r o u s , i t o n l y i n v o l v e s a l e a d i n g e r m m u l t i p l i e d b y t h e p r o d u c t o f t w o g a u s s i a n d e n s i t y f u n c t i o n s . M o r e i m p o r t a n t l y , i t i s u l l y a n a l y t i c a l w h i c h m e a n s i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a t e ( f o r a g i v e n b a n d w i d t h ) a n a n a l y t i c a l x p r e s s i o n f o r t h e v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e a t e a c h p o i n t u . T h i s i s d o n e b e l o w . 3 2
V T V w V T t i a s w a r i a n c e o f t h e D i s c r e t e S a m p l i n g K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e . 2 2 h e v a r i a n c e o f ^(cid:25) ( u ) i s g i v e n b y E [ ^(cid:25) ( u ) ] [ E ^(cid:25) ( u ) ] : T h i s v a r i a n c e h a s t h e f o l l o w i n g f o r m : (cid:0) 2 u (cid:18) N t 1 :5 (cid:0) 2 2 (cid:0) h (cid:27) 1 N 1 (cid:0) + p (cid:20) 2 2 a r [ ^(cid:25) ( u ) ] = 0 e x p + 2 G ( (cid:20) ; t s ; V ; h (cid:18) (cid:19) E 2 2 2 h (cid:27) p p N (cid:0) h 2 2 (cid:25) p t= 1 s = 1 + 2 (cid:25) (cid:18) (cid:19) 2 2 (cid:20) X X B B q 2 @ u (cid:18) :5 (cid:0) 2 (cid:0) V h + 0 1 E 1 1 2 e x p 2 2 V + h E @ A q p p p (cid:0) 2 2 (cid:25) V + h E p 2 (cid:25) 2 q h e r e G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) i s a s g i v e n a b o v e . E (cid:0) a r i a n c e o f t h e C o n t i n u o u s S a m p l i n g K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e . o c o m p u t e t h e V a r i a n c e o f t h e C o n t i n u o u s S a m p l i n g K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e , i t s u (cid:14) c e s t o a k e l i m i t s o f t h e v a r i a n c e f o r t h e d i s c r e t e s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e a s t h e s a m p l i n g n t e r v a l g o e s t o 0 . D e (cid:12) n e s a m p l i n g i n t e r v a l (cid:1) t a n d (cid:1) s s o t h a t 1 (cid:1) t (cid:1) s = = ; N T T n d r e d e (cid:12) n e G ( : ) t o r e m o v e t h e d i s c r e t e n e s s c a p t u r e d b y t h e t e r m (cid:1) T , i . e . d e (cid:12) n e G ( (cid:20) ; t (cid:3) (cid:0) ; V ; h ) a s : E (cid:3) G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = E (cid:0) 2 2 u (cid:18) u (cid:18) :5 :5 (cid:0) (cid:0) 1 1 1 V h ;V ( ) (cid:20) ;t s ;V ;h V ( ) 2 E E (cid:3) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:3) e C ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) e E (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) p p V ( h ; V ) (cid:0) 2 E 2 (cid:25) V 2 (cid:25) ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) (cid:3) E 1 (cid:0) h e r e , 2 (cid:27) V = E 2 (cid:20) (cid:20) ( t s ) e (cid:0) (cid:3) C ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = E V E (cid:20) ( t s ) (cid:0) e 2 (cid:0) V + h E (cid:0) 2 h V E 2 2 (cid:20) ( t s ) ( h + V ) e V + 2 E E (cid:0) h + V E (cid:0) (cid:3) V ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) = E 1 2 v V E (cid:20) ( t s ) (cid:0) u e 2 (cid:0) u V + h E (cid:0) u t (cid:16) (cid:17) 2 V ( h ; V ) = h + V 2 E E q W i t h t h i s c h a n g e i n n o t a t i o n , t h e v a r i a n c e o f t h e c o n t i n o u s s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y 3 3 ) 1 C C A
e (cid:1) T i f V U M T v t h i M S s p D F v s t i m a t e h a s f o r m : 2 u (cid:18) T t (cid:1) s :5 (cid:0) 2 2 (cid:0) h (cid:27) 1 T (cid:1) s (cid:1) t 1 (cid:0) + p (cid:20) 2 2 (cid:3) + 2 G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) (cid:1) l i m l i m 0 e x p (cid:19) (cid:18) E 2 2 2 h (cid:27) t 0 (cid:1) s 0 p p T (cid:0) ( h 2 2 (cid:25) p t= (cid:1) t s = (cid:1) s 2 (cid:25) + ! ! (cid:18) (cid:19) 2 2 (cid:20) X X B B q @ :5 (cid:0) 0 1 1 e x p 2 2 V + h E @ q p p p (cid:0) 2 2 (cid:25) V + h E p 2 (cid:25) 2 q h e (cid:12) r s t t e r m i n s i d e t h e p a r e n t h e s i s g o e s t o 0 w h i l e t h e s e c o n d t e r m c o n v e r g e s t o a d o u b l e n t e g r a l . T h e t e r m o u t s i d e t h e p a r e n t h e s i s r e m a i n s u n c h a n g e d . T h i s y i e l d s o u r (cid:12) n a l r e s u l t o r t h e v a r i a n c e o f t h e c o n t i n u o u s s a m p l i n g k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e : a r [ ^(cid:25) ( u ) ] = u (cid:18) :5 (cid:0) 2 (cid:0) V h + T t 0 1 E 2 1 1 2 (cid:3) e x p G ( (cid:20) ; t s ; V ; h ) d s d t E 2 2 2 V + h E @ A t= 0 s = 0 q p p T p (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:25) V + h E p 2 (cid:25) (cid:26) (cid:27) Z Z 2 q n f o r t u n a t e l y , t h i s i n t e g r a l i s t o o d i (cid:14) c u l t t o r e d u c e f u r t h e r . I V A R o f D i s c r e t e S a m p l i n g K e r n e l D e n s i t y E s t i m a t e . h e m e a n i n t e g r a t e d v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s s i m p l y t h e i n t e g r a l o f t h e a r i a n c e w i t h r e s p e c t t o u . T h e (cid:12) r s t a n d t h i r d t e r m s o f t h e e x p r e s s i o n s f o r v a r i a n c e a r e r i v i a l t o i n t e g r a t e . T h e m i d d l e t e r m i n v o l v e s t h e p r o d u c t o f t w o g a u s s i a n d e n s i t i e s a n d e n c e c a n b e i n t e g r a t e d u s i n g r e s u l t 2 . S i m p l i (cid:12) c a t i o n p r o d u c e s t h e r e s u l t t h a t i s c o n t a i n e d n p r o p o s i t i o n I I . e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s . i n c e t h e e x p e c t e d k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e i s t h e s a m e i n b o t h t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e a m p l i n g c a s e s , t h e m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d b i a s i s a l s o t h e s a m e i n b o t h c a s e s a n d i s r e s e n t e d i n t h e r e s u l t s f o r t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e w i t h c o n t i n u o u s s a m p l i n g . C o v a r i a n c e o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s . o r k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s ^(cid:25) ( u ) a n d ^(cid:25) ( v ) o f t h e e r g o d i c d i s t r i b u t i o n o f r a t p o i n t s u a n d , t h i s s e c t i o n d e r i v e s e x p r e s s i o n s f o r C o v ( ^(cid:25) ( u ) ; ^(cid:25) ( v ) ) : R o b i n s o n [ 1 9 8 4 ] p r o v i d e s a c e n t r a l 3 4 2 s u V ) (cid:0) E (cid:18) + 2 (cid:1) h 2 t 1 C C A 1 A 2
l t t f f d C T T e = T t v S i m i t t h e o r e m i n w h i c h t h i s c o v a r i a n c e g o e s t o z e r o a s y m p t o t i c a l l y . H o w e v e r , h e c a u t h a t i n a p p l i c a t i o n s , t h e c o v a r i a n c e w i l l b e n o n z e r o d u e t o p o s i t i v e b a n d w i d t h a n d d u h e d e p e n d e n c e i n t h e d a t a . B e c a u s e w e d e r i v e a n a l y t i c a l ( y e t c o m p l i c a t e d ) e x p r e s s o r t h i s c o v a r i a n c e i n t h e c a s e o f t h e V a s i c e k m o d e l , t h e m a g n i t u d e o f t h i s c o v a r i a n c u n c t i o n o f b a n d w i d t h s i z e a n d d a t a d e p e n d e n c e c a n b e s t u d i e d f o r (cid:12) n i t e s a m p l e k e e n s i t y e s t i m a t e s . o v a r i a n c e w i t h d i s c r e t e s a m p l i n g k e r n e l e s t i m a t e . h e f o r m u l a f o r t h e c o v a r i a n c e i s : C o v ( ^(cid:25) ( u ) ; ^(cid:25) ( v ) ) = E [ ^(cid:25) ( u ) ^(cid:25) ( v ) ] [ E ^(cid:25) ( u ) ] [ E ^(cid:25) ( v ) ] : (cid:0) h e o n l y p i e c e o f t h i s f o r m u l a t h a t h a s n o t b e e n s o l v e d f o r i s E [ ^(cid:25) ( u ) ^(cid:25) ( v ) ] : T h i s c a n x p r e s s e d a s : N N 1 1 u r 1 1 v r t s E [ ^(cid:25) ( u ) ^(cid:25) ( v ) ] = E K ( ) K ( ) (cid:0) (cid:0) N h h N h h ! t= 1 s = 1 X X N N t 1 N t 1 (cid:0) (cid:0) 1 v r u r u r v r v r t t t s t E ) K ( ) + ) ) + ) K ( K ( K ( K ( K (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 N h h h h h h t= 1 t= 1 s = 1 t= 1 s = 1 X X X X X h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s e x p r e s s i o n i n v o l v e s t h r e e s e t s o f t e r m s . H o w e v e r , t h e s e c o n d h i r d s e t a r e v i r t u a l l y i d e n t i c a l s i n c e o n e c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e o t h e r b y s w i t c h i n g u . T h e r e f o r e , i t i s o n l y n e c e s s a r y t o c o m p u t e u r v r u r v r t t t s E K ( ) K ( ) a n d E K ( ) K ( ) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) h h h h (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) U s i n g r e s u l t s 1 a n d 4 , w e (cid:12) n d : u r v r t t E K ( ) K ( ) = J ( u ; v ; h ; (cid:18) ; V ) = (cid:0) (cid:0) 1 E h h (cid:18) (cid:19) 2 2 : u v (cid:18) 5 ( + ) (cid:0) u v :5 2 :5 (cid:0) h 1 1 1 1 (cid:0) V + 2 p p E h (cid:0) 2 2 e x p e x p (cid:18) (cid:19) 2 2 h (cid:16) (cid:17) p p p 2 (cid:25) 2 (cid:25) 2 h + V E 2 q i m i l a r l y , u s i n g r e s u l t s 1 a n d 4 , w e (cid:12) n d t h a t : u r v r t s E K ( ) K ( ) = J ( u ; v ; h ; (cid:18) ; V ; (cid:20) ; ( t s ) ) = (cid:0) (cid:0) 2 E h h (cid:0) (cid:18) (cid:19) 3 5 i o n s e t o i o n s e a s r n e l b e u ( (cid:0) h a n d a n d r s ) !
= C I n = T 1 N T o v t h T h 2 h a e 1 2 1 p 2 (cid:25) r (cid:16) e r e f o r e , E N J ( u 1 t= 1 X i s i s e n o u r i a n c e c a s e o f c T t t= 0 s = Z Z 1 = p p h 2 (cid:25) (cid:20) ( t s ) e (cid:0) 2 h V E 2 2 (cid:20) + ( h + V ) e 2 E h + V E (cid:17) [ ^(cid:25) ( u ) ^(cid:25) ( v ) ] N t 1 (cid:0) ; v ; h ; (cid:18) ; V ) + J E t= 1 s = 1 X X g h i n f o r m a t i o n t o c o m w i t h C o n t i n u o u o n t i n u o u s s a m p l i n g , w (cid:3) J ( u ; v ; h ; (cid:18) ; V ; (cid:20) ; ( t E 2 0 1 2 + ( t (cid:0) ( u 2 p u s e c (cid:0) 2 v (cid:18) :5 (cid:0) 2 (cid:0) h V + E p e x p x (cid:18) (cid:19) V E (cid:20) u (cid:18) e ( ) (cid:0) :5 0 (cid:0) 2 h V E 2 h V + E B e x p B r (cid:16) @ s ) V E (cid:0) ; v ; h ; (cid:18) ; V ; (cid:20) ; ( t s ) ) + E (cid:0) t e t h e c o v a r i a n c e i n t h e S a m p l i n g a n t a k e l i m i t s a s a b o v e . T t (cid:3) s ) ) d s d t + J ( v ; 2 t= 0 s = 0 Z Z 3 6 V t s ( ) E (cid:18) v + ( ) (cid:0) 2 (cid:0) h V + E 1 (cid:20) t s 2 ( ) 2 h V e V + ( + ) E E (cid:0) (cid:0) C C (cid:17) A N t 1 (cid:0) J ( v ; u ; h ; (cid:18) ; 2 t= 1 s = 1 X X c a s e o f d i s c r e t e s a T h i s y i e l d s E [ ^(cid:25) ( u u ; h ; (cid:18) ; V ; (cid:20) ; ( t s E (cid:0) 2 V m ) ^(cid:25) ) ) E p ( d ; l v s (cid:20) i n ) d ; ( t g . ] : t ! (cid:0) s ) ) !
N d c f P e d i t F I I I c T a b l e 1 O p t i m a l B a n d w i d t h a n d M I S E f o r V a s i c e k P r o c e s s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s O p t i m a l B a n d w i d t h M I S E M I S V A R M I S B 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 1 6 0 . 0 1 4 0 9 7 9 0 . 1 7 6 6 8 7 0 . 1 4 6 6 2 9 0 . 0 3 0 0 5 8 5 ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 0 8 0 . 0 1 7 5 5 0 9 0 . 3 0 6 9 6 8 0 . 2 4 1 1 6 7 0 . 0 6 5 8 0 1 3 ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 4 0 . 0 2 1 7 6 6 1 0 . 5 1 1 5 6 8 0 . 3 7 5 0 9 4 0 . 1 3 6 4 7 4 ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 7 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 2 7 0 . 0 2 6 8 0 4 8 0 . 8 0 6 7 8 1 0 . 5 4 3 7 6 8 0 . 2 6 3 0 1 4 ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 3 5 0 . 0 3 2 5 0 5 5 1 . 1 7 9 5 9 0 . 7 2 1 8 2 5 0 . 4 5 7 7 6 4 o t e s : T h e t a b l e p r e s e n t s t h e o r e t i c a l r e s u l t s t h a t w o u l d b e e x p e c t e d w h e n c o m p u t i n g k e r n e l e n s i t y e s t i m a t e s o f t h e l o n g r u n d i s t r i b u t i o n o f t h e s p o t i n t e r e s t r a t e u s i n g 2 2 y e a r s o f o n t i n u o u s l y s a m p l e d d a t a w h e n t h e o b s e r v a t i o n o f t h e s p o t i n t e r e s t r a t e s b e g i n w i t h a d r a w r o m t h e i r e r g o d i c d i s t r i b u t i o n a t t i m e 0 a n d t h e n e v o l v e a s i n t h e V a s i c e k m o d e l : d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) d W : (cid:0) a r a m e t e r s f o r (cid:12) v e m o d e l s a r e c o n s i d e r e d . M o d e l ( 0 ) i s a b a s e l i n e m o d e l s i n c e t h e p a r a m t e r s f o r t h i s m o d e l a r e e m p i r i c a l e s t i m a t e s r e p o r t e d i n A i t - S a h a l i a [ 1 9 9 6 a ] . T h e l o n g r u n i s t r i b u t i o n o f t h e s p o t i n t e r e s t r a t e i s t h e s a m e f o r a l l (cid:12) v e m o d e l s , b u t t h e r a t e a t w h i c h n t e r e s t r a t e s r e v e r t t o t h e i r l o n g r u n d i s t r i b u t i o n d i (cid:11) e r s . C o l u m n s ( 2 ) - ( 4 ) l i s t t h e p a r a m e e r s o f t h e V a s i c e k m o d e l f o r e a c h s p e c i (cid:12) c a t i o n . A g a u s s i a n k e r n e l i s u s e d f o r a l l e s t i m a t e s . o r e a c h s p e c i (cid:12) c a t i o n , c o l u m n ( 5 ) r e p o r t s t h e b a n d w i d t h c h o i c e t h a t m i n i m i z e s t h e M e a n n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e . C o l u m n s ( 6 ) - ( 8 ) r e p o r t t h e M e a n n t e g r a t e d S q u a r e d E r r o r ( M I S E ) , M e a n I n t e g r a t e d S q u a r e d V a r i a n c e ( M I S V A R ) , a n d M e a n n t e g r a t e d S q u a r e d B i a s ( M I S B ) o f t h e k e r n e l d e n s i t y e s t i m a t e s t h a t u s e t h e b a n d w i d t h i n o l u m n ( 5 ) . D e t a i l s o n b a n d w i d t h s e l e c t i o n a r e p r e s e n t e d i n t h e a p p e n d i x . 3 7
a s S S S S S a a a a a a m m m m m T T T T f T p C p C p C p C p C T a b l e 2 u n c t i o n o f f o r F i v e P = 5 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 1 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 2 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 5 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 1 0 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y : D a c c c c c r y y y y y M a a t m I a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S E S p e t e ( - 2 . 0 2 . 0 2 . 0 2 . 0 2 . 0 2 . 0 2 ( - 2 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 ( - 2 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 ( - 2 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 ( - 2 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 . 0 1 M a n r i z ) 2 4 2 4 2 4 2 5 2 9 3 4 ) 8 1 8 1 8 1 8 3 8 7 9 2 ) 4 5 4 5 4 6 4 8 5 4 6 0 ) 0 8 0 8 1 0 1 3 2 0 2 6 ) 8 7 8 7 8 9 9 3 0 1 0 7 i a n i m i z ( T ) , a t i o n s ( - 1 ) 0 . 0 2 7 6 0 . 0 2 7 6 0 . 0 2 7 6 0 . 0 2 7 6 0 . 0 2 7 7 0 . 0 2 7 8 ( - 1 ) 0 . 0 2 2 4 0 . 0 2 2 4 0 . 0 2 2 4 0 . 0 2 2 4 0 . 0 2 2 5 0 . 0 2 2 7 ( - 1 ) 0 . 0 1 8 1 0 . 0 1 8 1 0 . 0 1 8 1 0 . 0 1 8 1 0 . 0 1 8 3 0 . 0 1 8 5 ( - 1 ) 0 . 0 1 3 5 0 . 0 1 3 5 0 . 0 1 3 6 0 . 0 1 3 6 0 . 0 1 3 9 0 . 0 1 4 1 ( - 1 ) 0 . 0 1 0 8 0 . 0 1 0 8 0 . 0 1 0 9 0 . 0 1 1 0 0 . 0 1 1 3 0 . 0 1 1 7 3 8 i n n o g d f M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 B a n d S a m p V a s i c e o d e l ( 0 ) . 0 3 3 3 . 0 3 3 3 . 0 3 3 3 . 0 3 3 3 . 0 3 3 3 . 0 3 3 4 o d e l ( 0 ) . 0 2 7 6 . 0 2 7 6 . 0 2 7 6 . 0 2 7 6 . 0 2 7 6 . 0 2 7 6 o d e l ( 0 ) . 0 2 2 4 . 0 2 2 4 . 0 2 2 4 . 0 2 2 4 . 0 2 2 4 . 0 2 2 5 o d e l ( 0 ) . 0 1 6 9 . 0 1 6 9 . 0 1 6 9 . 0 1 6 9 . 0 1 6 9 . 0 1 7 0 o d e l ( 0 ) . 0 1 3 5 . 0 1 3 5 . 0 1 3 5 . 0 1 3 6 . 0 1 3 6 . 0 1 3 7 w i d l i n g k M ( 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 ( 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 ( 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 ( 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 ( 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 t 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 h F o ) 8 8 8 8 8 8 ) 3 3 3 3 3 3 ) 7 7 7 7 7 7 ) 0 0 0 0 0 0 ) 6 6 6 6 6 6 r d 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 e e q l u e n ( 2 ) 0 . 0 4 3 0 . 0 4 3 0 . 0 4 3 0 . 0 4 3 0 . 0 4 3 0 . 0 4 3 ( 2 ) 0 . 0 3 8 0 . 0 3 8 0 . 0 3 8 0 . 0 3 8 0 . 0 3 8 0 . 0 3 8 ( 2 ) 0 . 0 3 3 0 . 0 3 3 0 . 0 3 3 0 . 0 3 3 0 . 0 3 3 0 . 0 3 3 ( 2 ) 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5 ( 2 ) 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 c 4 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 y
S S S S S a a a a a m m m m m f o T p C T p C T p C T p C T p C T a b D a t a S p r F i v e P a r = 5 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 1 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 2 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 5 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y = 1 0 0 y e a r s l i n g F r e q u e n o n t i n u o u s 1 d a y 5 d a y 1 0 d a y 2 0 d a y 3 0 d a y l a a c c c c c e n m y y y y y 3 ( e : T t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M ) , e r i ( - 2 . 5 4 . 5 4 . 5 4 . 5 4 . 5 5 . 5 7 ( - 2 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 4 . 3 5 ( - 2 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 2 0 . 2 0 ( - 2 . 0 8 . 0 8 . 0 8 . 0 9 . 0 9 . 1 0 ( - 2 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 0 4 I a z ) 6 6 7 9 8 1 ) 0 0 1 3 0 2 ) 1 1 1 3 0 9 ) 8 8 8 0 5 1 ) 7 7 7 7 7 7 S n a 6 7 4 8 7 9 2 2 0 1 9 0 0 1 7 7 5 4 2 2 9 6 7 9 8 8 8 8 8 8 E d t i a s a S a m o n s o ( - 1 ) 0 . 8 5 4 0 . 8 5 4 0 . 8 5 4 0 . 8 5 5 0 . 8 5 7 0 . 8 6 2 ( - 1 ) 0 . 5 4 6 0 . 5 4 6 0 . 5 4 6 0 . 5 4 7 0 . 5 4 9 0 . 5 5 3 ( - 1 ) 0 . 3 3 0 0 . 3 3 0 0 . 3 3 0 0 . 3 3 1 0 . 3 3 3 0 . 3 3 6 ( - 1 ) 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 6 1 0 . 1 6 4 ( - 1 ) 0 . 0 8 8 0 . 0 8 8 0 . 0 8 8 0 . 0 8 8 0 . 0 8 8 0 . 0 8 8 3 9 f p f 4 4 6 3 9 2 6 6 8 4 8 6 2 2 4 0 1 5 0 0 2 7 6 5 2 2 2 2 2 2 u l t n i n h M 1 1 1 1 1 1 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 c t i o n g F r e e V a s o d e l ( 0 ) . 2 3 3 7 . 2 3 3 7 . 2 3 3 8 . 2 3 4 0 . 2 3 4 8 . 2 3 6 1 o d e l ( 0 ) . 8 5 4 4 . 8 5 4 4 . 8 5 4 4 . 8 5 4 6 . 8 5 5 3 . 8 5 6 4 o d e l ( 0 ) . 5 4 6 6 . 5 4 6 6 . 5 4 6 7 . 5 4 6 8 . 5 4 7 4 . 5 4 8 4 o d e l ( 0 ) . 2 7 8 0 . 2 7 8 0 . 2 7 8 1 . 2 7 8 2 . 2 7 8 8 . 2 7 9 7 o d e l ( 0 ) . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 . 1 5 9 0 o q i c f u e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e k ( . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 ( . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ( . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 ( . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 ( . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 n 1 0 0 0 0 0 0 1 3 3 3 3 3 3 1 5 5 5 5 5 5 1 6 6 6 6 6 6 1 7 7 7 7 7 7 c M ) 9 9 9 9 9 9 ) 3 3 3 3 4 4 ) 4 4 4 4 4 4 ) 7 7 7 7 7 7 ) 8 8 8 8 8 8 y 0 0 0 1 4 9 7 7 7 8 0 3 4 4 4 4 6 9 3 3 3 4 5 7 0 0 0 0 0 0 o d e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l ( . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 ( . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 ( . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ( . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 ( . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 3 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 4 2 6 6 6 6 6 6 ) 0 0 0 0 0 1 ) 9 9 9 9 9 9 ) 3 3 3 3 3 3 ) 5 5 5 5 5 5 ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 1 0 0 0 1 1 2 7 7 7 7 8 8 5 5 5 5 5 6 3 3 3 3 3 3
A B C N s o c t o m w l t T a b l e 4 F i n i t e S a m p l e P r o p e r t i e s o f M a r g i n a l D e n s i t y T e s t U n d e r V a s i c e k M o d e l : A s y m p t o t i c a n d F i n i t e S a m p l e 5 % C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 5 % C r i t i c a l V a l u e s 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) A s y m p t o t i c 2 2 Y e a r L o w e r B o u n d U p p e r B o ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 1 . 6 4 5 1 1 . 5 2 1 0 . 2 1 1 3 . 3 6 ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 1 . 6 4 5 1 7 . 0 0 1 3 . 4 3 2 0 . 2 5 ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 1 . 6 4 5 1 9 . 4 7 1 6 . 6 0 2 3 . 9 0 ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 1 . 6 4 5 1 9 . 1 7 1 5 . 4 1 2 5 . 4 3 ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 1 . 6 4 5 1 1 . 0 8 8 . 5 1 1 8 . 2 3 : A s y m p t o t i c a n d F i n i t e S a m p l e 1 % C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 1 % C r i t i c a l V a l u e s 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) A s y m p t o t i c 2 2 Y e a r L o w e r B o u n d U p p e r B o ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 2 . 3 3 1 7 . 7 0 1 5 . 4 5 4 9 . 8 7 ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 2 . 3 3 2 9 . 7 3 2 3 . 9 0 5 2 . 7 9 ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 2 . 3 3 4 4 . 0 9 3 7 . 3 0 1 2 7 . 2 5 ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 2 . 3 3 3 6 . 4 4 2 9 . 5 5 1 6 6 . 5 6 ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 2 . 3 3 3 9 . 9 4 2 8 . 6 7 1 3 0 . 5 3 : E m p i r i c a l R e j e c t i o n F r e q u e n c i e s U s i n g A s y m p t o t i c C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 5 % l e v e l 1 % l e v e l 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) R e j . F r e q . S t d . E r r . R e j . F r e q . S t d . E r r . ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 4 5 . 6 0 % 2 . 2 3 % 3 7 . 8 0 % 2 . 1 7 % ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 5 7 . 4 0 % 2 . 2 1 % 4 9 . 4 0 % 2 . 2 4 % ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 5 1 . 6 0 % 2 . 2 3 % 4 3 . 6 0 % 2 . 2 2 % ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 4 0 . 8 0 % 2 . 2 0 % 3 4 . 2 0 % 2 . 1 2 % ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 2 1 . 0 0 % 1 . 8 2 % 1 8 . 8 0 % 1 . 7 5 % ^ o t e s : P a n e l s A a n d B p r e s e n t a s y m p t o t i c a n d (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l v a l u e s f o r t h e M t e s t t a t i s t i c , d e s c r i b e d i n s e c t i o n I I I . o f t h e t e x t , w h e n t h e s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e i s s a m p l e d n c e a d a y f o r 2 2 y e a r s . L o w e r a n d u p p e r b o u n d s o f a 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l f o r t h e s e r i t i c a l v a l u e s a r e a l s o p r o v i d e d . P a n e l C p r e s e n t s e s t i m a t e s o f t h e p r o b a b i l i t y o f r e j e c t i n g h e n u l l w h e n i t i s t r u e u s i n g a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s . A l l (cid:12) n i t e s a m p l e r e s u l t s a r e b a s e d n 5 0 0 m o n t e - c a r l o s i m i l u a t i o n s . F o r a l l t e s t s , t h e s h o r t r a t e w a s g e n e r a t e d b y t h e V a s i c e k o d e l : d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) d W ; (cid:0) i t h t h e p a r a m e t e r s s h o w n . T h e k e r n e l d e n s i t y b a n d w i d t h s u s e d t o c o m p u t e e a c h t e s t a r e ^ i s t e d i n T a b l e 1 . D e t a i l s o n b a n d w i d t h s e l e c t i o n a n d o n t h e M s t a t i s t i c a r e p r o v i d e d i n t h e e x t . 4 0 u u n n d d
A B C N s s f r a V w l t T a b l e 4 A F i n i t e S a m p l e P r o p e r t i e s o f M a r g i n a l D e n s i t y T e s t U n d e r V a s i c e k M o d e l : A s y m p t o t i c a n d F i n i t e S a m p l e 5 % C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 5 % C r i t i c a l V a l u e s 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) A s y m p t o t i c 2 2 Y e a r L o w e r B o u n d U p p e r B o ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 1 . 6 4 5 1 0 . 7 8 9 . 7 1 1 3 . 4 8 ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 1 . 6 4 5 1 5 . 0 7 1 2 . 6 4 1 9 . 1 0 ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 1 . 6 4 5 1 8 . 0 4 1 5 . 8 9 2 2 . 6 9 ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 1 . 6 4 5 1 9 . 6 6 1 6 . 5 3 2 6 . 5 8 ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 1 . 6 4 5 1 2 . 4 5 9 . 7 1 2 3 . 3 5 : A s y m p t o t i c a n d F i n i t e S a m p l e 1 % C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 1 % C r i t i c a l V a l u e s 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) A s y m p t o t i c 2 2 Y e a r L o w e r B o u n d U p p e r B o ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 2 . 3 3 1 7 . 4 1 1 4 . 6 6 4 9 . 0 9 ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 2 . 3 3 2 9 . 2 5 2 3 . 8 6 5 6 . 3 4 ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 2 . 3 3 4 6 . 3 6 3 0 . 5 6 1 3 3 . 7 2 ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 2 . 3 3 4 0 . 9 1 3 3 . 3 2 1 6 0 . 5 5 ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 2 . 3 3 5 0 . 7 9 3 6 . 4 1 1 5 3 . 0 1 : E m p i r i c a l R e j e c t i o n F r e q u e n c i e s U s i n g A s y m p t o t i c C r i t i c a l V a l u e s M o d e l V a s i c e k P a r a m e t e r s 5 % l e v e l 1 % l e v e l 2 (cid:20) (cid:18) (cid:27) R e j . F r e q . S t d . E r r . R e j . F r e q . S t d . E r r . ( - 2 ) 3 . 4 3 3 4 8 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 8 7 4 2 4 3 . 4 0 % 2 . 2 2 % 3 6 . 2 0 % 2 . 1 5 % ( - 1 ) 1 . 7 1 6 7 4 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 4 3 7 1 5 5 . 0 0 % 2 . 2 2 % 4 5 . 2 0 % 2 . 2 3 % ( 0 ) 0 . 8 5 8 3 7 0 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 2 1 8 5 4 7 . 2 0 % 2 . 2 3 % 3 9 . 6 0 % 2 . 1 9 % ( 1 ) 0 . 4 2 9 1 8 5 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 1 0 9 3 3 7 . 0 0 % 2 . 1 6 % 3 2 . 0 0 % 2 . 0 9 % ( 2 ) 0 . 2 1 4 5 9 2 0 . 0 8 9 1 0 2 0 . 0 0 0 5 4 6 2 0 . 6 0 % 1 . 8 1 % 1 8 . 2 0 % 1 . 7 3 % ^ o t e s : P a n e l s A a n d B p r e s e n t a s y m p t o t i c a n d (cid:12) n i t e s a m p l e c r i t i c a l v a l u e s f o r t h e M t e s t t a t i s t i c , d e s c r i b e d i n f o o t n o t e 1 9 o f s e c t i o n I I I . A , w h e n t h e s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e i s a m p l e d o n c e a d a y f o r 2 2 y e a r s . L o w e r a n d u p p e r b o u n d s o f a 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l o r t h e s e c r i t i c a l v a l u e s a r e a l s o p r o v i d e d . P a n e l C p r e s e n t s e s t i m a t e s o f t h e p r o b a b i l i t y o f e j e c t i n g t h e n u l l w h e n i t i s t r u e u s i n g a s y m p t o t i c c r i t i c a l v a l u e s . A l l (cid:12) n i t e s a m p l e r e s u l t s r e b a s e d o n 5 0 0 m o n t e - c a r l o s i m i l u a t i o n s . F o r a l l t e s t s , t h e s h o r t r a t e w a s g e n e r a t e d b y t h e a s i c e k m o d e l : d r = (cid:20) ( (cid:18) r ) d t + (cid:27) d W ; (cid:0) i t h t h e p a r a m e t e r s s h o w n . T h e k e r n e l d e n s i t y b a n d w i d t h s u s e d t o c o m p u t e e a c h t e s t a r e ^ i s t e d i n T a b l e 1 . D e t a i l s o n b a n d w i d t h s e l e c t i o n a n d o n t h e M s t a t i s t i c a r e p r o v i d e d i n t h e e x t . 4 1 u u n n d d
4 2
4 3
4 4
Figure 4: Correlation Function for Kernel Density Estimates T = 22 Years, N = 5500 Model -2 Model -1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 0 Model 1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 4 5
Figure 5: Correlation Function for Kernel Density Estimates T = 100 Years, N = 24000 Model -2 Model -1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 0 Model 1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 4 6
Figure 6: Covariance Function for Kernel Density Estimates T = 22 Years, N = 5500 Model -2 Model -1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 0 Model 1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 4 7
Figure 7: Covariance Function for Kernel Density Estimates T = 100 Years, N = 24000 Model -2 Model -1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 0 Model 1 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 -0.05 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Model 2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 4 8
Cite this document
Matt Pritsker (1997). Nonparametric Density Estimation and Tests of Continuous Time Interest Rate Models (FEDS 1997-26). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-26
@techreport{wtfs_feds_1997_26,
author = {Matt Pritsker},
title = {Nonparametric Density Estimation and Tests of Continuous Time Interest Rate Models},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1997-26},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1997},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-26},
abstract = {A number of recent papers have used nonparametric density estimation or non- parametric regression to study the instantaneous spot interest rate, and to test term structure models. However, little is known about the performance of these methods when applied to persistent time-series, such as U.S. interest rates. This paper uses the Vasicek [1977] model to study the performance of kernel density estimates of the ergodic distribution of the instantaneous spot rate. The model's tractability allows me to analyze the MISE of the kernel estimate as a function of persistence, variance of the ergodic distribution, span of the data, sampling frequency, and kernel bandwidth. Our principle result is that persistence has an important impact on optimal bandwidth selection and on infinite sample performance. We also find that sampling the data more frequently has little effect on estimator quality. We also examine one of Ait-Sahalia's [1996a] new nonparametric tests of parametric continuous-time Markov models of the instantaneous spot interest rate. The test is based on the distance between parametric and nonparametric (kernel) estimates of the ergodic distribution of the interest rate process. Our principal result is that the test rejects too often when using asymptotic critical values and 22 years of data. The reason for the high rejection rate is probably because the asymptotic distribution of the test does not depend on persistence, but the finite sample performance of the estimator does. After critical values are adjusted for size, the test has low power in distinguishing between the Vasicek and Cox-Ingersoll- Ross models when compared with a conditional moment based specification test.},
}