Default Correlation: An Analytical Result

I K r e y T t h a a t h p r e D e f a u l t C o r r a d in g R is k A n a ly s is S e c t io n n k J ia p in g Z h o n g fo r t e c h n ic e r in e A lle n fo r r e s e a r c h a s s is t s e n t t h e v ie w s o f t h e F e d e r a l r , a a R e M l n e l a t i o n : A n A n a y C h u n s h e n g Z h o u M a y 1 , 1 9 9 7 a il S t o p 9 1 , F e d e r a l R e a s s is t a n c e , G r e g D u (cid:11) e e c e . T h e c o n c lu s io n s h e r e s e r v e B o a r d o r a n y o f t h l y t i c a s e r v e B o a n d M a t in a r e t h e F e d e r a l a t o l R e s u l t r d , W a s h in g t o n , P r it s k e r fo r c o m s e o f t h e a u t h o r R e s e r v e B a n k s . D m a n C e d n 2 t d 0 s o 5 5 1 . a n d n o t

t d a w T f c D e f a u l t C o r r e E v a l u a t i n g d e f a u l t c o r r e l a t i o n s a n a s k i n c r e d i t a n a l y s i s a n d r i s k m a n e f a u l t c o r r e l a t i o n s c a n n o t b e m e a s u n a l y t i c a l f o r m u l a f o r c a l c u l a t i n g d e h i c h c a n b e e a s i l y i m p l e m e n t e d a n d h e r e s u l t o f t h i s p a p e r a l s o p r o v i d e o u n d i n t h e l i t e r a t u r e a n d i n c r e a s e s o r r e l a t i o n s . A b s t r a c t l a t i o n : A n A n a l y t i c a l R e s u l t d t h e p r o b a b i l i t i e s o f m u l t i p l e d e f a u l t s i s a n i m p o r t a n t a g e m e n t , b u t i t h a s n e v e r b e e n a n e a s y o n e b e c a u s e r e d d i r e c t l y . T h i s p a p e r p r o v i d e s , f o r t h e (cid:12) r s t t i m e , a n f a u l t c o r r e l a t i o n s b a s e d o n a (cid:12) r s t - p a s s a g e - t i m e m o d e l c o n v e n i e n t l y u s e d i n a v a r i e t y o f (cid:12) n a n c i a l a p p l i c a t i o n s . s a t h e o r e t i c a l j u s t i (cid:12) c a t i o n f o r m a n y e m p i r i c a l r e s u l t s o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e i m p o r t a n t f e a t u r e s o f d e f a u l t

w o (cid:12) a a m s d i d s h p t t e a a t t e D e f a u l t C o r r e l a t i o n a n d R i s k A n a l y s i s : A n A n a l y t i c a l R e s u l t E v a l u a t i n g c o r r e l a t i o n s a m o n g (cid:12) r m s ’ d e f a u l t s i s c r i t i c a l t o t h e p r o p e r m e a s u r e m e n t o f a i d e v a r i e t y o f r i s k s i n (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s . F o r e x a m p l e , t h e r i s k s o f b o n d p o r t f o l i o s , l e t t e r s f c r e d i t , a n d c r e d i t d e f a u l t s w a p s a r e a l l f u n c t i o n s o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . C u r r e n t l y , d e f a u l t c o r r e l a t i o n s c a n b e e s t i m a t e d i n o n e o f t h r e e w a y s . F i r s t , g i v e n t w o r m s ’ a s s e t v a l u e s , t h e i r v a r i a n c e / c o v a r i a n c e m a t r i x , a n d t h e i r l i a b i l i t y s t r u c t u r e s , t h e r e i s n a n a l y t i c a l s o l u t i o n u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f M e r t o n ( 1 9 7 4 ) t h a t d e f a u l t c a n o n l y o c c u r a t s i n g l e p o i n t i n t i m e . T h i s e x t r e m e l y r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n i s r e l a x e d i n (cid:12) r s t - p a s s a g e - t i m e o d e l s o f d e f a u l t r i s k , b u t t o d a t e , n o a n a l y t i c a l s o l u t i o n e x i s t s f o r d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i n u c h m o d e l s . T h u s t h e s e c o n d m e t h o d i s a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n o f a s p e c i (cid:12) e d m o d e l o f e f a u l t r i s k . B e s i d e s b e i n g e x t r e m e l y t i m e c o n s u m i n g , t h i s m e t h o d p r o v i d e s o n l y l i m i t e d n s i g h t i n t o t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h e t h i r d m e t h o d u s e s h i s t o r i c a l e f a u l t d a t a t o e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s , a n a p p r o a c h t h a t c a n n o t c a p t u r e a n y (cid:12) r m p e c i (cid:12) c i n f o r m a t i o n . M o r e i m p o r t a n t l y , b e c a u s e o f t h e l a c k o f r e l i a b l e t i m e s e r i e s d a t a , i s t o r i c a l s t a t i s t i c s a r e g e n e r a l l y v e r y i n a c c u r a t e . T h i s p a p e r p r o v i d e s a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b a s e d o n a (cid:12) r s t a s s a g e - t i m e m o d e l . I n c o m p a r i s o n w i t h o t h e r e x i s t i n g a p p r o a c h e s , t h e s o l u t i o n i s n o t o n l y h e o r e t i c a l l y r i g o r o u s , b u t a l s o p r a c t i c a l l y i m p l e m e n t a b l e . G i v e n t h e (cid:12) r m s ’ a s s e t v a l u e s , h e i r v a r i a n c e / c o v a r i a n c e m a t r i x , a n d t h e s t r u c t u r e o f (cid:12) r m s ’ l i a b i l i t i e s , t h e s o l u t i o n c a n b e a s i l y i m p l e m e n t e d i n p r a c t i c e . T h e s e i n p u t s c a n b e e s t i m a t e d f r o m (cid:12) r m s ’ b a l a n c e s h e e t s n d s t o c k p r i c e s . T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : S e c t i o n 1 d e (cid:12) n e s t h e e c o n o m y a n d p r e s e n t s c l o s e d - f o r m s o l u t i o n t o t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n . S e c t i o n 2 p r o v i d e s a c o u p l e o f a p p r o a c h e s o e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r v a l u e s n e e d e d i n t h e t h e o r e t i c a l d e f a u l t c o r r e l a t i o n m o d e l s o t h a t h e m o d e l c a n b e r e a d i l y u s e d i n p r a c t i c e . S e c t i o n 3 u s e s t h e m o d e l t o e x p l a i n t h e o b s e r v e d m p i r i c a l b e h a v i o r o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . S e c t i o n 4 p r o v i d e s a b r i e f c o m p a r i s o n o f o u r 1

(cid:12) 1 T c d w i t (cid:12) (cid:12) a f f r s t - p a s s a g e m o d e l w i t h a M e r t o n - s t y l e m o d e l . S e c t i o n 5 c o n c l u d e s . T h e M o d e l h i s s e c t i o n p r o v i d e s a b a s i c t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k t o d i s c u s s d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . W e o n s i d e r t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n t w o a r b i t r a r y (cid:12) r m s , (cid:12) r m 1 a n d (cid:12) r m 2 . A s s u m p t i o n 1 : L e t V a n d V d e n o t e t h e t o t a l a s s e t v a l u e s o f (cid:12) r m 1 a n d (cid:12) r m 2 . T h e 1 2 y n a m i c s o f V a n d V a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g v e c t o r s t o c h a s t i c p r o c e s s 1 2 d z d l n ( V ) (cid:22) 1 1 1 (cid:10) ; ( 1 ) d t + = 3 3 2 2 3 2 d z (cid:22) d l n ( V ) 2 2 2 7 7 6 6 7 6 5 5 4 4 5 4 h e r e (cid:22) a n d (cid:22) a r e c o n s t a n t d r i f t t e r m s , 1 2 z a n d z a r e t w o i n d e p e n d e n t s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n s , a n d 1 2 s s 1 1 1 2 (cid:10) = 2 3 s s 2 1 2 2 6 7 4 5 s a c o n s t a n t 2 2 m a t r i x s u c h t h a t (cid:2) 2 (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:27) 1 2 1 0 (cid:10) (cid:10) = : 2 3 (cid:1) 2 (cid:26) (cid:27) (cid:27) (cid:27) 1 2 2 6 7 4 5 T h e c o e (cid:14) c i e n t (cid:26) r e (cid:13) e c t s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e m o v e m e n t s i n t h e a s s e t v a l u e s o f h e t w o (cid:12) r m s , w h i c h p l a y s a c r i t i c a l r o l e i n d e t e r m i n i n g t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e r m s . A s s u m p t i o n 2 : T h e d e f a u l t o f a (cid:12) r m i s t r i g g e r e d b y t h e d e c l i n e i n i t s v a l u e . F o r e a c h r m i , t h e r e e x i s t t w o p o s i t i v e c o n s t a n t s K a n d (cid:21) s u c h t h a t t h e (cid:12) r m c o n t i n u e s t o o p e r a t e i i i (cid:21) t n d m e e t s i t s c o n t r a c t u a l o b l i g a t i o n s a s l o n g a s V ( t ) > e K . H o w e v e r , i f i t s v a l u e V ( t ) i i i i (cid:21) t a l l s t o t h e t h r e s h o l d l e v e l e K , i t d e f a u l t s o n a l l o f i t s o b l i g a t i o n s i m m e d i a t e l y a n d s o m e i o r m o f c o r p o r a t e r e s t r u c t u r i n g t a k e s p l a c e . 2

Z t m d c D a T W S t T h i s a s s u m p t i o n f o l l o w s B l a c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) , L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 h o u ( 1 9 9 6 ) . B y t h i s a s s u m p t i o n , d e t e r m i n i n g t h e d e f a u l t e v e n t o f a (cid:12) r m i s e q u o (cid:12) n d i n g t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e o f t h e (cid:12) r m ’s v a l u e t o t h e t r i g g e r l e v e l . T o s i m p l 1 a t h e m a t i c s , w e a s s u m e t h a t (cid:21) = (cid:22) i n t h i s p a p e r . i i i (cid:0) (cid:21) t D e n o t e (cid:28) := m i n t e V K a s t h e (cid:12) r s t t i m e t h a t (cid:12) r m i ’s v a l u e r e a c (cid:21) i t 0 i;t i f j (cid:20) g e f a u l t t h r e s h o l d l e v e l . T h e n D ( t ) , t h e e v e n t t h a t (cid:12) r m i d e f a u l t s b e f o r e s o m e t i m e i a n b e e x p r e s s e d a s : D ( t ) = (cid:28) t . U s i n g t h e r e s u l t o f H a r r i s o n ( 1 9 9 0 ) , w e h a v e i i f (cid:20) g P ( D ( t ) ) = P ( (cid:28) t ) i i (cid:20) l n ( V = K ) i;0 i = 2 N : p (cid:1) (cid:0) (cid:27) t i (cid:18) (cid:19) e (cid:12) n e l n ( V = K ) i;0 i Z := i (cid:27) i s t h e s t a n d a r d i z e d d i s t a n c e o f (cid:12) r m i t o i t s d e f a u l t p o i n t . E q . ( 2 ) t h e n i s s i m p l i (cid:12) e d Z i P ( D ( t ) ) = 2 N : i p (cid:1) (cid:0) t (cid:18) (cid:19) h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n (cid:12) r m 1 a n d (cid:12) r m 2 o v e r p e r i o d [0 ; t ] i s : (cid:26) ( t ) = C o r r [D ( t ) ; D ( t ) ] D 1 2 P [ D ( t ) D ( t ) ] P [D ( t ) ] P [D ( t ) ] 1 2 1 2 = : (cid:1) (cid:0) (cid:1) 1 = 2 1 = 2 [P ( D ( t ) ) ( 1 P ( D ( t ) ) ) ] [P ( D ( t ) ) ( 1 P ( D ( t ) ) ) ] 1 1 2 2 (cid:0) (cid:1) (cid:0) e k n o w f r o m b a s i c p r o b a b i l i t y t h e o r y t h a t P ( D D ) = P ( D ) + P ( D ) P ( D + D ) : 1 2 1 2 1 2 (cid:1) (cid:0) o g i v e n e q . ( 3 ) , t o d e t e r m i n e t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n , t h e o n l y r e m a i n i n g u n k n o w n w o s o l v e i s t h e P ( D + D ) , i .e ., t h e p r o b a b i l i t y t h a t a t l e a s t o n e d e f a u l t h a s o c c u r 1 2 (cid:0) (cid:21) t 1 i e V t i T h is a s s u m p t io n m a k e s it p o s s ib le t o r e m o v e t h e d r ift t e r m fr o m ln [ ( ) ]. 3 ) , a n d i v a l e n t i f y t h e h e s i t s t > 0 , ( 2 ) a s : ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) e n e e d r e d b y

t w f t t w i a o i m h c m h e e r t , M c a e e r D t . W e w i l l s h o w t h a t P ( D + D ) 1 2 e I ( z ) i s t h e m o d i (cid:12) e d (cid:23) o n e c a n e a s i l y v e r i f y t h (cid:18) = 0 (cid:11) = a t h e m a t i c a l l y , c a l c u l a t l c u l a t i n g t h e p r o b a b i l i t y [0 ; t ], i .e ., P e (cid:28) := m i n ( (cid:28) ; (cid:28) ) . 1 2 e (cid:12) n e b b 2 r 0 2 r 1 0 (cid:0) t 4 s i n = 1 e p n (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) 2 (cid:25) t (cid:1)(cid:1)(cid:1) n = 1 ;3 ;5 ; (cid:18) X 2 2 r r 0 0 n (cid:25) n (cid:25) 1 1 I + I (cid:0) ( + 1 ) ( 1 ) (cid:11) (cid:11) 2 2 4 t 4 t " ! ! # B e s s e l f u n c t i o n I w i t h o r d e r (cid:23) a n d Z = i a t : 2 (cid:0) 2 Z 1 (cid:26) p (cid:0) 1 t a n i f ( :) > 0 (cid:0) 1 2 Z (cid:26) Z 8 (cid:18) (cid:19) 2 (cid:0) 2 1 (cid:26) Z p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e , (cid:25) + t a n < (cid:0) 1 2 Z (cid:26) Z (cid:19) (cid:18) >>: r = Z = s i n ( (cid:18) ) ; 0 2 0 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 t a n i f (cid:26) < 0 (cid:26) (cid:0) 8 (cid:18) (cid:19) 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> (cid:25) + t a n o t h e r w i s e . < (cid:26) (cid:0) (cid:18) (cid:19) >>i n g t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e : t h a t a t l e a s t o n e (cid:12) r m ’s v a l u e r e a c h e s t h ( D + D ) = P ( (cid:28) t o r (cid:28) t ) 1 2 1 2 (cid:20) (cid:20) = P ( (cid:28) t ) ; (cid:20) i (cid:0) (cid:21) t X ( t ) = l n [e V ( t ) = V ( 0 ) ]; 1 1 1 (cid:0) i (cid:0) (cid:21) t X ( t ) = l n [e V ( t ) = V ( 0 ) ]; 2 2 2 (cid:0) = l n [K = V ( 0 ) ] = l n [V ( 0 ) = K ]; 1 1 1 1 1 (cid:0) = l n [K = V ( 0 ) ] = l n [V ( 0 ) = K ]: 2 2 2 2 2 (cid:0) 4 n t e (cid:25) (cid:11) b w t (cid:18) 0 (cid:19) = (cid:27) i o (cid:12) h r e (cid:1) . i r m s h A o s s l d n a o l e m w v e a r l t e d ( 6 t e r o ( 7 ( 8 d u c e u r i n ( 9 ) f ) ) s g )

I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o v e r i f y t h a t [X ( t ) ; X ( t ) ] f o l l o w s a t w o d i m e n s i o n a l B r o w n i a n m o t i o n : 1 2 d z d X 1 1 S : ( 1 0 ) = 3 3 2 2 (cid:0) d z d X 2 2 7 7 6 6 5 5 4 4 A f t e r t h i s t r a n s f o r m a t i o n , (cid:12) n d i n g P ( (cid:28) t ) i s e q u i v a l e n t t o (cid:12) n d i n g t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e (cid:20) 0 0 o f t h e t w o d i m e n s i o n a l B r o w n i a n m o t i o n [X ; X ] w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n [X ( 0 ) ; X ( 0 ) ] = 1 2 1 2 0 [0 ; 0 ] t o a b o u n d a r y c o n s i s t i n g o f t w o i n t e r s e c t i n g l i n e s X = b a n d X = b . F o r n o t a t i o n a l 1 1 2 2 c o n v e n i e n c e , t h i s b o u n d a r y w i l l b e d e n o t e d a s @ ( b ; b ) h e n c e f o r t h . 1 2 0 r e p r e s e n t s t h e S u p p o s e t h a t t h e t w o d i m e n s i o n a l B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s [X ( t ) ; X ( t ) ] 1 2 p o s i t i o n o f a p a r t i c l e a t t i m e t a n d t h a t @ ( b ; b ) i s a a b s o r b i n g b a r r i e r . L e t f ( x ; x ; t ) b e t h e 1 2 1 2 t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f t h e p a r t i c l e i n t h e r e g i o n ( x ; x ) x < b a n d x < b , 1 2 1 1 2 2 f j g 0 0 i .e ., t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y t h a t [X ( t ) ; X ( t ) ] = [x ; x ] a n d t h a t t h e p a r t i c l e d o e s n o t 1 2 1 2 r e a c h t h e b a r r i e r @ ( b ; b ) i n t i m e i n t e r v a l ( 0 ; t ) . W e h a v e 1 2 P ( X ( s ) < b a n d X ( s ) < b , f o r 0 < s < t ; X ( t ) < y a n d X ( t ) < y ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 y y = f ( x ; x ; t ) d x d x := F ( y ; y ; t ) : ( 1 1 ) 1 2 1 2 1 2 (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z Z T h u s F ( b ; b ; t ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a b s o r p t i o n h a s n o t y e t o c c u r r e d b y t i m e t , i .e ., 1 2 F ( b ; b ; t ) = P ( (cid:28) > t ) = 1 P ( (cid:28) t ) : 1 2 (cid:0) (cid:20) A c c o r d i n g t o e q . ( 9 ) , t o e s t i m a t e t h e j o i n t p r o b a b i l i t y o f (cid:12) r m s 1 a n d 2 a s w e l l a s t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o (cid:12) r m s , w e o n l y n e e d t o c a l c u l a t e F ( b ; b ; t ) . 1 2 A c c o r d i n g t o C o x a n d M i l l e r ( 1 9 6 5 ) a n d K a r a t z a s a n d S h r e v e ( 1 9 8 8 ) , t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y d e n s i t y f ( x ; x ; t ) s a t i s (cid:12) e s t h e f o l l o w i n g K o l m o g o r o v f o r w a r d e q u a t i o n : 1 2 2 2 2 2 2 (cid:27) @ f @ f (cid:27) @ f @ f 1 2 + (cid:26) (cid:27) (cid:27) + = 1 2 2 2 2 @ x @ x 2 @ t @ x @ x 1 2 1 2 ( x < b ; x < b ) ; ( 1 2 ) 1 1 2 2 s u b j e c t t o c e r t a i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S o l v i n g f o r t h e d e n s i t y f u n c t i o n f f r o m t h e a b o v e P D E a n d i n t e g r a t i n g , w e o b t a i n 5

M w A m v l c a i n R e s u l t 1 T F h e r e i s t h e I ( z ) (cid:23) l l o t h e r n o t a t i o n I t i s o b v i o u s t h i n e d b y s t a n d a r d e r i f y t h a t : T h e a b o v e r e s u a t i o n s . L i k e t h e B a l c u l a t o r s a n d b e h e p r o b a b i li t y t h a t n o (cid:12) r m h a s d e f a u lt e d b y t i m ( b ; b ; t ) = 1 P ( D + D ) 1 2 1 2 (cid:0) 1 2 b b = f ( x ; x ; t ) d x d x 1 2 1 2 (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z Z 2 r 0 1 n 2 r 0 (cid:0) t 4 s i n e = p n (cid:1) (cid:1) (cid:1) 2 (cid:25) t (cid:1)(cid:1)(cid:1) n = 1 ;3 ;5 ; (cid:18) X 2 2 r r 0 0 n (cid:25) n (cid:25) 1 1 I + I (cid:0) ( + 1 ) ( 1 ) (cid:11) (cid:11) 2 2 4 t 4 t " ! m o d i (cid:12) e d B e s s e l f u n c t i o n I w i t h o r d e r a n d (cid:23) 2 (cid:0) 2 1 b (cid:27) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 i f t a n ( :) > 0 (cid:0) 1 2 2 1 b (cid:27) (cid:26) b (cid:27) (cid:18) = 8 (cid:18) (cid:19) 0 2 (cid:0) 2 1 b (cid:27) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e (cid:25) + t a n < (cid:0) 1 2 2 1 b (cid:27) (cid:26) b (cid:27) (cid:19) (cid:18) >>: r = b = [(cid:27) s i n ( (cid:18) ) ]; 0 2 2 0 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 i f t a n (cid:26) < 0 (cid:26) (cid:0) (cid:11) = 8 (cid:18) (cid:19) 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e . (cid:25) + t a n < (cid:26) (cid:0) (cid:18) (cid:19) >> i s a s p r e v i o u s ly d e (cid:12) n e d . : a t t h e p r o b a b i li t y a t a n y g i v e n t i m e F ( b ; b ; t ) 1 2 i z e d d i s t a n c e s t o d e f a u lt . A s a m a t t Z = b = (cid:27) i i i 2 (cid:0) 2 1 (cid:26) Z p (cid:0) 1 i f ( :) > 0 t a n (cid:0) 1 2 Z (cid:26) Z (cid:18) = 8 (cid:19) (cid:18) 0 2 (cid:0) 2 Z 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e , (cid:25) + t a n < (cid:0) 1 2 Z (cid:26) Z (cid:18) (cid:19) >> r = Z = s i n ( (cid:18) ) : 0 2 0 : l t o (cid:11) e r s a v e r y t r a c t a b l e c l o s e d - f o r m f o r m u l a t l a c k - S c h o l e s m o d e l , t h i s f o r m u l a c a n b e p r o g r a u s e d t o r e p o r t r e s u l t s i n s t a n t a n e o u s l y . 6 e t (cid:25) (cid:18) 0 (cid:11) ! # , h o r e r o o c a m m i s g i v e n b y (cid:1) (cid:19) i z o n i s s o le ly t f f a c t , o n e c a n l c u l a t e d e f a u l t e d i n t o c o m p u t d e c e ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) e t e r a s i ly ( 1 6 ) o r r e r s o r

2 T (cid:27) 2 2 T v b t w i F w o A j H o w t o A p p l y t h e M o d e l i n P r a c t i c e o a p p l y t h e m o d e l i n (cid:12) n a n c i a l p r a c t i c e , w e m u s t e s t i m a t e t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s : ( V , i , K , (cid:26) ) o r ( Z , (cid:26) ) . i i i . 1 A n O p t i o n A p p r o a c h t o E s t i m a t i n g P a r a m e t e r s . 1 . 1 E s t i m a t i n g , , a n d V (cid:27) (cid:26) i i y p i c a l l y , t h e t o t a l v a l u e o f a (cid:12) r m ’ s u n d e r l y i n g a s s e t s i s n o t o b s e r v a b l e b e c a u s e t h e m a r k e t a l u e o f t h e (cid:12) r m ’s l i a b i l i t i e s i s n o t k n o w n . I n p r a c t i c e , t h i s p r o b l e m c a n b e c i r c u m v e n t e d y a n o p t i o n t h e o r e t i c m o d e l o f t h e (cid:12) r m , w h i c h t r e a t s t h e (cid:12) r m ’s e q u i t y a s a c a l l o p t i o n o n h e (cid:12) r m ’s u n d e r l y i n g a s s e t s . D e n o t e S a s t h e e q u i t y v a l u e o f t h e (cid:12) r m , w e h a v e : i S = C ( V ; (cid:27) ; o t h e r v a l u e s ) ; ( 1 7 ) i i i h e r e o t h e r v a l u e s i n c l u d e t h e b o o k v a l u e a n d t h e m a t u r i t y o f l i a b i l i t i e s a s w e l l a s t h e n t e r e s t r a t e . T h e s e \ o t h e r " v a l u e s a r e g e n e r a l l y o b s e r v a b l e . R e w r i t e e q . ( 1 7 ) a s l n ( S ) = G ( l n ( V ) ; (cid:27) ; o t h e r v a l u e s ) : i i i r o m I t o ’s l e m m a a n d e q . ( 1 ) , w e h a v e d z 1 @ G [s ; s ] ; ( 1 8 ) d l n ( S ) = (cid:17) ( :; t ) d t + i1 i2 i i 2 3 @ l n ( V ) i d z 2 6 7 4 5 h e r e (cid:17) ( :; t ) i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f V , (cid:27) , e t c . E q . ( 1 8 ) i m p l i e s t h a t t h e v o l a t i l i t y i i i f l o g e q u i t y r e t u r n (cid:27) := V a r [d l n ( S ) = d t ] s a t i s (cid:12) e s s ;i t i @ G (cid:27) = (cid:27) i s ;i @ l n ( V ) (cid:1) i = H ( V ; (cid:27) ; o t h e r v a l u e s ) ; ( 1 9 ) i i s s u m e t h a t w e c a n o b s e r v e s t o c k p r i c e S a n d e q u i t y r e t u r n v o l a t i l i t y (cid:27) . S o l v i n g t h e i s ;i o i n t e q u a t i o n s y s t e m ( 1 7 ) a n d ( 1 9 ) , w e o b t a i n V a n d (cid:27) . I t f o l l o w s f r o m e q . ( 1 ) a n d e q . i i 7

( e W i 2 T t I h d l 2 O c Z t T t I h 1 8 ) t h a t (cid:26) = C o r r [d l n ( S ) ; d l n ( S ) ]: t 1 2 G e n e r a l l y , (cid:12) r m v a l u e c o r r e l a t i o n s e s t i m a t e d o v e r (cid:12) n i t e h o r i z o n s d o n o t s a t i s f y t h e a b o v e q u a t i o n . H o w e v e r , t h e e q u a t i o n c o u l d b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r h i g h l y r a t e d (cid:12) r m s . h e t h e r t h e e q u a t i o n i s a l s o a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r h i g h l y l e v e r a g e d ( l o w l y r a t e d ) (cid:12) r m s s s t i l l a n u n s o l v e d p r a c t i c a l i s s u e . . 1 . 2 E s t i m a t i n g K i h e d e f a u l t p o i n t K i s d e t e r m i n e d b y t h e l i a b i l i t y s t r u c t u r e o f t h e (cid:12) r m . I t i s t h e l i a b i l i t i e s i h e (cid:12) r m m u s t b e a b l e t o m e e t b y a c h o s e n t i m e h o r i z o n i n o r d e r t o s t a y i n b u s i n e s s . n p r a c t i c e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n K a n d t h e l i a b i l i t y s t r u c t u r e i s o f t e n a s s e s s e d b y i i s t o r i c a l d a t a . I n t h e K M V C o r p o r a t i o n ’s c r e d i t v a l u a t i o n m o d e l , t h e d e f a u l t p o i n t i s e (cid:12) n e d a s s h o r t - t e r m l i a b i l i t i e s p l u s a c e r t a i n p e r c e n t a g e ( a p p r o x i m a t e l y 5 0 % ) o f l o n g t e r m i a b i l i t i e s . . 2 S t a t i s t i c a l A p p r o a c h t o E s t i m a t i n g P a r a m e t e r s n e m a y a l s o u s e a s t a t i s t i c a l a p p r o a c h t o e s t i m a t e Z . F r o m e q u a t i o n ( 3 ) , w e k n o w t h a t o n e a n e a s i l y c a l c u l a t e Z i f o n e k n o w s P ( D ( t ) ) f o r s o m e t . S u p p o s e t h a t w e w a n t t o e s t i m a t e i i f o r t h e (cid:12) r m X Y Z w h i c h h a s A - r a t e d s e n i o r d e b t . F r o m t h e h i s t o r i c a l d a t a , w e k n o w ~ h e s t a t i s t i c a l c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e s A ( t ) f o r s u c h (cid:12) r m s a t v a r i o u s i n v e s t m e n t h o r i z o n s t . h e p a r a m e t e r Z c a n t h e n b e c h o s e n t o (cid:12) t t h e t h e o r e t i c a l d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s P ( Z ; t ) t o ~ h e h i s t o r i c a l d e f a u l t r a t e s A ( t ) . O n e w a y t o d o t h i s i s w i t h a l e a s t - s q u a r e s a p p r o a c h : 2 ~A ( t ) P ( Z ; t ) : Z = a r g m i n Z t t (cid:0) ! t X ~ n t h e a b o v e e x p r e s s i o n , c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e s P ( Z ; t ) a n d A ( t ) a r e d i v i d e d b y t i m e o r i z o n t s o t h a t t h e y a r e t r a n s f o r m e d t o a v e r a g e d e f a u l t r a t e s p e r u n i t t i m e . 8

b s c n 3 I t e w s t r o h (cid:12) i i (cid:12) t C o m p a r i n g w i t h t h e o p t i o n a p p r o a c h , t h e s t a t i s t i c a l a p p r o a c h i s e a s i e r t o u s e . H o w e v e r , e c a u s e t h i s a p p r o a c h i s b a s e d s o l e l y o n c r e d i t r a t i n g s , i t d o e s n o t e (cid:11) e c t i v e l y u s e a l l (cid:12) r m p e c i (cid:12) c i n f o r m a t i o n . I n a d d i t i o n , s i n c e t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y c o r r e s p o n d i n g t o a r a t i n g a t e g o r y i s t i m e - v a r y i n g , h i s t o r i c a l d e f a u l t r a t e s f o r (cid:12) r m s i n a g i v e n r a t i n g c a t e g o r y m a y o t r e (cid:13) e c t t h e t r u e d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f t h a t r a t i n g c a t e g o r y a t a n y p a r t i c u l a r t i m e . I m p l i c a t i o n s o f t h e M o d e l n t h i s s e c t i o n , w e u s e n u m e r i c a l e x a m p l e s t o i n v e s t i g a t e t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l a n d o e x a m i n e i f t h e f o r m u l a p r e s e n t e d i n t h e a b o v e s e c t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e i m p o r t a n t m p i r i c a l f e a t u r e s o f t h e h i s t o r i c a l d e f a u l t d a t a . F i g u r e 1 p l o t s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d e f a u l t c o r r e l a t i o n a n d i n v e s t m e n t h o r i z o n t a s e l l a s t h e u n d e r l y i n g a s s e t r e t u r n c o r r e l a t i o n (cid:26) . T h i s p l o t o (cid:11) e r s t h e f o l l o w i n g r e s u l t s . 1 ) T h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n a n d t h e u n d e r l y i n g a s s e t r e t u r n c o r r e l a t i o n h a v e t h e s a m e c e t e r i s p a r i b u s i g n . T h e h i g h e r i s t h e u n d e r l y i n g a s s e t r e t u r n c o r r e l a t i o n (cid:26) , , t h e h i g h e r i s h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n . G e n e r a l l y , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n i s l o w e r t h a n t h e u n d e r l y i n g a s s e t e t u r n c o r r e l a t i o n . T h i s r e s u l t i s q u i t e i n t u i t i v e . F o r i n s t a n c e , i f a s s e t r e t u r n c o r r e l a t i o n (cid:26) i s p o s i t i v e , w h e n n e (cid:12) r m d e f a u l t s b e c a u s e o f t h e d r o p i n i t s v a l u e , i t i s l i k e l y t h a t t h e v a l u e o f t h e o t h e r (cid:12) r m a s a l s o d e c l i n e d a n d m o v e d c l o s e r t o i t s d e f a u l t b o u n d a r y . T h e r e s u l t m a y e x p l a i n w h y r m s i n t h e s a m e i n d u s t r y ( r e g i o n ) o f t e n h a v e h i g h e r d e f a u l t c o r r e l a t i o n s t h a n d o t h e (cid:12) r m s n d i (cid:11) e r e n t i n d u s t r i e s ( r e g i o n s ) . 2 ) D e f a u l t c o r r e l a t i o n s a r e g e n e r a l l y v e r y s m a l l o v e r s h o r t i n v e s t m e n t h o r i z o n s . T h e y n c r e a s e a n d t h e n s l o w l y d e c r e a s e w i t h t i m e . O v e r a s h o r t i n v e s t m e n t h o r i z o n , d e f a u l t c o r r e l a t i o n s a r e l o w b e c a u s e q u i c k d e f a u l t s o f r m s a r e r a r e a n d a r e a l m o s t i d i o s y n c r a t i c . D e f a u l t c o r r e l a t i o n s e v e n t u a l l y d e c r e a s e w i t h i m e b e c a u s e o v e r a s u (cid:14) c i e n t l y l o n g t i m e h o r i z o n , t h e d e f a u l t o f a (cid:12) r m i s v i r t u a l l y i n e v i t a b l e 9

a i i t o r (cid:12) i t s t r c u T (cid:12) q o m 2 n d t h e n o n - d e f a u l t e v e n t s b e c o m e r a r e a n d i d i o s y n c r a t i c . T h i s r e s u l t i s c o n s i s t e n t w i t h a n m p o r t a n t p h e n o m e n o n o f h i s t o r i c a l d e f a u l t c o r r e l a t i o n s r e p o r t e d i n L u c a s ( 1 9 9 5 ) . L u c a s n t e r p r e t s t h i s p h e n o m e n o n a s a r e s u l t o f b u s i n e s s c y c l e (cid:13) u c t u a t i o n s . O u r r e s u l t s u g g e s t s h a t w e d o n o t n e e d b u s i n e s s c y c l e (cid:13) u c t u a t i o n s t o e x p l a i n t h i s p h e n o m e n o n . F i g u r e 2 i l l u s t r a t e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d e f a u l t c o r r e l a t i o n a n d t h e c r e d i t q u a l i t y f t h e (cid:12) r m s , p r o x i e d b y i n i t i a l V = K . L i k e F i g u r e 1 , t h i s p l o t a l s o c o n t a i n s s o m e i n t e r e s t i n g e s u l t s . 1 ) T h e h i g h c r e d i t q u a l i t y o f (cid:12) r m s n o t o n l y g e n e r a t e s a l o w d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f e a c h r m , b u t a l s o i m p l i e s a l o w d e f a u l t c o r r e l a t i o n b e t w e e n (cid:12) r m s f o r t y p i c a l t i m e h o r i z o n s . T h e n t u i t i o n b e h i n d t h i s r e s u l t i s s i m i l a r t o t h a t b e h i n d t h e l o w d e f a u l t c o r r e l a t i o n o v e r s h o r t i m e h o r i z o n . F o r h i g h c r e d i t q u a l i t y (cid:12) r m s , t h e c o n d i t i o n a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y P ( D D ) i s 2 1 j m a l l b e c a u s e e v e n t h o u g h t h e d e f a u l t o f (cid:12) r m 1 s i g n a l s t h a t V m a y h a v e m o v e d d o w n w a r d 2 o t h e d e f a u l t b o u n d a r y , i t s t i l l h a s a l o n g w a y t o g o t o c a u s e t h e d e f a u l t o f (cid:12) r m 2 . T h i s e s u l t m a t c h e s t h e w e l l k n o w n e m p i r i c a l f e a t u r e r e g a r d i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d e f a u l t o r r e l a t i o n a n d c r e d i t r a t i n g s . 2 ) T h e t i m e t o r e a c h t h e p e a k d e f a u l t c o r r e l a t i o n d e p e n d s o n t h e c r e d i t q u a l i t y o f t h e n d e r l y i n g (cid:12) r m s . G e n e r a l l y , t h e h i g h q u a l i t y (cid:12) r m s t a k e a l o n g e r t i m e t o r e a c h t h e p e a k . h i s r e s u l t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e m p i r i c a l (cid:12) n d i n g o f L u c a s ( 1 9 9 5 ) w h o t h o u g h t t h a t t h i s n d i n g w a s v e r y p u z z l i n g . N o w w e k n o w t h a t t h i s r e s u l t i s o b t a i n e d b e c a u s e f o r h i g h c r e d i t u a l i t y (cid:12) r m s , i t t a k e s l o n g e r t i m e f o r P ( D D ) t o a p p r o a c h t o P ( D ) P ( D ) . 1 2 1 2 (cid:1) (cid:1) 3 ) S i n c e t h e c r e d i t q u a l i t y o f (cid:12) r m s i s t i m e - v a r y i n g , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n w h i c h d e p e n d s n t h e c r e d i t q u a l i t y i s v e r y d y n a m i c . T h e a b o v e r e s u l t s h a v e m a n y u s e f u l i m p l i c a t i o n s f o r c r e d i t a n a l y s i s a n d r i s k m a n a g e e n t . S o m e e x a m p l e s a r e l i s t e d a s f o l l o w s . 1 ) T h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n o v e r a s h o r t h o r i z o n i s o f t e n v e r y s m a l l . A s a r e s u l t , p o r t f o l i o 2 (cid:0) (cid:0) D D D D 1 2 1 2 T h e c o r r e la t io n b e t w e e n a n d is t h e s a m e a s t h e c o r r e la t io n b e t w e e n 1 a n d 1 . 1 0

d o q c d a t w l l I w t d 0 c t a g d r i v e r s i (cid:12) c a t i o n c a n b e v e r y b e n e (cid:12) c i a l . H o w e v e r , d i v e r s i f y i n g t h e p o r t f o l i o w i t h i n a n i n d u s t r y 3 r d i v e r s i f y i n g a c r o s s d i (cid:11) e r e n t i n d u s t r i e s h a s l i t t l e i m p a c t o n d e f a u l t r i s k s . 2 ) F o r l o n g t e r m i n v e s t m e n t s ( e .g ., (cid:12) v e t o t e n y e a r s ) , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n c a n b e u i t e a s i g n i (cid:12) c a n t f a c t o r i f t h e u n d e r l y i n g (cid:12) r m v a l u e s a r e h i g h l y c o r r e l a t e d . I n t h i s c a s e , o n c e n t r a t i o n i n o n e i n d u s t r y o r o n e r e g i o n c o u l d b e v e r y d a n g e r o u s . D i v e r s i (cid:12) c a t i o n a c r o s s i (cid:11) e r e n t r e g i o n s o r d i (cid:11) e r e n t i n d u s t r i e s i s v e r y d e s i r a b l e . 3 ) T h e d y n a m i c n a t u r e o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s r e q u i r e s t h e a c t i v e r i s k m a n a g e m e n t o f p o r t f o l i o . C o n s i d e r a h y p o t h e t i c a l l o a n p o r t f o l i o w h i c h c o n s i s t s o f t w o l o a n s . S u p p o s e h a t t h e a n n u a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y f o r e a c h l o a n w a s 1 % a n d t h e a n n u a l d e f a u l t c o r r e l a t i o n a s 1 0 % o r i g i n a l l y . U s i n g t h e p r e v i o u s a n a l y s i s , w e k n o w t h a t t h e p r o b a b i l i t y t h a t b o t h o a n s w o u l d d e f a u l t i n a y e a r w a s a b o u t 0 .1 1 % . A s s u m e t h a t t h e c r e d i t s t a n d i n g s o f t h e t w o o a n s h a v e d e t e r i o r a t e d r e c e n t l y s o t h e a n n u a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y f o r e a c h l o a n i s n o w 2 % . f t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n d i d n o t c h a n g e , t h e p r o b a b i l i t y t h a t b o t h l o a n s d e f a u l t i n a y e a r o u l d b e c o m e 0 .2 4 % , a b o u t t w i c e a s l a r g e a s t h e o r i g i n a l p r o b a b i l i t y . H o w e v e r , w e k n o w h a t d e c l i n e s i n c r e d i t q u a l i t y w i l l a l s o l e a d t o i n c r e a s e s i n t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n . I f t h e e f a u l t c o r r e l a t i o n i n c r e a s e s f r o m 0 .1 0 t o 0 .2 5 , t h e j o i n t p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t w i l l b e c o m e .5 3 % , (cid:12) v e t i m e s a s l a r g e a s t h e o r i g i n a l p r o b a b i l i t y . 4 ) T h e d y n a m i c n a t u r e o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s a l s o p r o v i d e s s o m e g u i d a n c e f o r s e t t i n g u p a p i t a l r e q u i r e m e n t s . S i n c e t h e c h a n g e i n i n d i v i d u a l d e f a u l t r i s k m a y s u b s t a n t i a l l y a (cid:11) e c t h e c r e d i t r i s k o f a p o r t f o l i o a s s h o w n a b o v e , t h e c a p i t a l r e q u i r e m e n t s m u s t b e a d j u s t e d c c o r d i n g l y . W e n o w u s e t h e h i s t o r i c a l d a t a t o t e s t t h e t h e o r e t i c a l m o d e l t o s e e i f t h e m o d e l c a n e n e r a t e r e a s o n a b l e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h e d e f a u l t d a t a s e t h e r e i s o b t a i n e d f r o m M o o d y ’s e f a u l t s t u d i e s r e p o r t e d i n F o n s ( 1 9 9 4 ) . U s i n g t h i s d a t a s e t , d e f a u l t c o r r e l a t i o n s f o r v a r i o u s a t i n g c a t e g o r i e s a r e e s t i m a t e d a n d a r e c o m p a r e d w i t h t h e e m p i r i c a l r e s u l t s o f L u c a s ( 1 9 9 5 ) . 3 O f c o u r s e , d i(cid:11) e r e n t d iv e r s i(cid:12) c a t io n s t r a t e g ie s m a y s t ill h a v e im p o r t a n t e (cid:11) e c t s o n t h e r is k o f p r ic e c h a n g e s . 1 1

c d d g A f r c c t 3 L (cid:12) a (cid:12) e t r p h F f t i T a b l e 1 r e p o r t s c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e s f o r 1 t o 2 0 y e a r s f o r M o o d y ’s b r o a d r a t i n g a t e g o r i e s a d o p t e d f r o m F o n s ( 1 9 9 4 ) . T h e s e e s t i m a t e s a r e d e r i v e d f r o m M o o d y ’s d e f a u l t a t a c o v e r i n g t h e y e a r s 1 9 7 0 t h r o u g h 1 9 9 3 . T a b l e 2 r e p o r t s t h e s t a n d a r d i z e d d e f a u l t d i s t a n c e s Z d e r i v e d f r o m s t a t i s t i c a l d e f a u l t a t a u s i n g t h e a p p r o a c h d e s c r i b e d i n S u b s e c t i o n 4 .2 . A s e x p e c t e d , a h i g h c r e d i t r a t i n g e n e r a l l y i m p l i e s a h i g h v a l u e o f Z , o r a l o n g d i s t a n c e t o d e f a u l t . T h e o n l y e x c e p t i o n i s f o r a a a n d A a r a t i n g c a t e g o r i e s . T a b l e 2 s h o w s t h a t Z i s 9 .2 8 f o r A a a r a t e d (cid:12) r m s a n d i s 9 .3 8 o r A a r a t e d (cid:12) r m s . T h i s a b n o r m a l (cid:12) n d i n g i s m a i n l y d u e t o t h e s t a t i s t i c a l e r r o r s i n d e f a u l t a t e s d a t a . A s w e c a n s e e f r o m T a b l e 1 , s t a t i s t i c a l d e f a u l t r a t e s f o r A a a r a t e d (cid:12) r m s a r e o n s t a n t l y h i g h e r t h a n t h o s e f o r A a r a t e d (cid:12) r m s a f t e r 1 5 y e a r s . B e c a u s e o f t h i s a n o m a l y , w e o m b i n e t h e t w o r a t i n g c a t e g o r i e s i n t h e f o l l o w i n g d e f a u l t c o r r e l a t i o n a n a l y s i s . W e u s e A a o r e p r e s e n t t h i s c o m b i n e d r a t i n g c a t e g o r y a n d u s e 9 .3 0 a s i t s Z - v a l u e . T h e i m p l i e d d e f a u l t c o r r e l a t i o n s b a s e d o n t h e Z - v a l u e s i n T a b l e 2 a r e r e p o r t e d i n T a b l e s t h r o u g h 7 . T h e s e T a b l e s s h o w a s i m i l a r p a t t e r n o f d e f a u l t c o r r e l a t i o n s t o t h a t r e p o r t e d i n u c a s ( 1 9 9 5 ) o v e r s h o r t t o m i d d l e i n v e s t m e n t h o r i z o n s . D e f a u l t c o r r e l a t i o n s f o r h i g h l y r a t e d r m s a r e v i r t u a l l y z e r o a t t h e s h o r t t o m i d d l e i n v e s t m e n t h o r i z o n s , b u t d e f a u l t c o r r e l a t i o n s r e p r e t t y h i g h f o r l o w l y r a t e d (cid:12) r m s e v e n f o r s h o r t i n v e s t m e n t h o r i z o n s . H o w e v e r , w e d o n d s o m e s i g n i (cid:12) c a n t d i (cid:11) e r e n c e s b e t w e e n t h e c a l i b r a t e d c o r r e l a t i o n s r e p o r t e d h e r e a n d t h o s e s t i m a t e d d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i n F o n s ( 1 9 9 4 ) f o r v e r y l o n g i n v e s t m e n t h o r i z o n s , t h a t i s , h e c a l i b r a t e d d e f a u l t c o r r e l a t i o n s o v e r l o n g i n v e s t m e n t h o r i z o n s ( s a y 1 0 y e a r s ) f o r h i g h l y a t e d (cid:12) r m s a r e s u b s t a n t i a l l y h i g h e r t h a n t h o s e e s t i m a t e d b y L u c a s . T h e r e a r e s e v e r a l o t e n t i a l e x p l a n a t i o n s f o r t h e s e d i (cid:11) e r e n c e s . O n e e x p l a n a t i o n i s t h a t t h e e s t i m a t e d l o n g o r i z o n d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i n F o n s ( 1 9 9 4 ) c o n t a i n l a r g e e s t i m a t i o n e r r o r s . A s n o t e d b y o n s h i m s e l f , t h e (cid:12) f t e e n o v e r l a p p i n g t i m e p e r i o d s u s e d i n h i s s t u d y a r e p o s s i b l y t o o s h o r t o r t h e t e n - y e a r s t a t i s t i c s , s o t h e h i s t o r i c a l s t a t i s t i c s d e s c r i b e o n l y o b s e r v e d p h e n o m e n a , n o t h e t r u e u n d e r l y i n g c o r r e l a t i o n r e l a t i o n s h i p . A n o t h e r e x p l a n a t i o n i s t h a t Z a n d / o r (cid:26) u s e d n c a l i b r a t i o n s a r e n o t t h e i r t r u e v a l u e s . T h e i n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f p a r a m e t e r s m a y h a v e a 1 2

l f i B 4 B c d M t b y t m f a c 8 b b t l y a r g e r e (cid:11) e c t o n c a l i b r a t e d c o r r e l a t i o n s f o r s o m e t i m e h o r i z o n s t h a n o n c a l i b r a t e d c o r r e l a t i o n s o r o t h e r h o r i z o n s . O f c o u r s e , i t i s a l s o p o s s i b l e t h a t t h e m o d e l i t s e l f i s m i s s p e c i (cid:12) e d s o t h a t t c a n n o t p r e c i s e l y e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s f o r c e r t a i n k i n d s o f (cid:12) r m s o v e r l o n g h o r i z o n s . u t s o f a r , w e d o n o t h a v e e v i d e n c e t o p r o v e t h a t . A C o m p a r i s o n w i t h M e r t o n - S t y l e M o d e l e c a u s e o f i t s s i m p l i c i t y , M e r t o n ’s d e f a u l t m o d e l h a s b e e n w i d e l y u s e d b y p r a c t i t i o n e r s i n r e d i t r i s k a n a l y s i s . M e r t o n a s s u m e s t h a t a (cid:12) r m h a s o n l y o n e b o n d i s s u e a n d c a n o n l y e f a u l t a t t h e m a t u r i t y o f t h e b o n d . T h i s a s s u m p t i o n m a k e s i t h a r d t o u s e t h e o r i g i n a l e r t o n m o d e l t o d e t e r m i n e t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f a b o n d o v e r a n y t i m e h o r i z o n s h o r t e r h a n i t s r e m a i n i n g m a t u r i t y . T o o v e r c o m e t h i s l i m i t a t i o n , p r a c t i t i o n e r s s i m p l y a s s u m e t h a t o n d c a n o n l y d e f a u l t a t t h e e n d o f a n y g i v e n t i m e h o r i z o n . T h a t i s , t o e s t i m a t e t h e o n e e a r d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f a b o n d , t h e y a s s u m e t h a t b o n d c a n o n l y d e f a u l t a t t h e e n d o f h e y e a r ; t o e s t i m a t e t h e (cid:12) v e - y e a r d e f a u l t p r o b a b i l i t y o f a b o n d , t h e y a s s u m e t h a t d e f a u l t a y o n l y o c c u r a t t h e e n d o f t h e (cid:12) f t h y e a r . C a n t h i s a p p r o a c h y i e l d g o o d a p p r o x i m a t i o n s o r d e f a u l t c o r r e l a t i o n s ? W e u s e s o m e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . T a b l e 8 p r o v i d e s a c o m p a r i s o n b e t w e e n d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i m p l i e d b y t h e M e r t o n m o d e l n d t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e m o d e l w i t h g i v e n Z - s c o r e s . A c c o r d i n g t o T a b l e 2 , Z = 8 r o u g h l y o r r e s p o n d s t o A - r a t e d (cid:12) r m s a n d Z = 3 c o r r e s p o n d s t o c e r t a i n l o w g r a d e (cid:12) r m s . T a b l e s h o w s t h a t t h e M e r t o n a p p r o a c h g e n e r a l l y u n d e r e s t i m a t e s d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h i s i s e c a u s e f o r a n y g i v e n Z , t h e M e r t o n a p p r o a c h a l w a y s u n d e r e s t i m a t e s d e f a u l t p r o b a b i l i t y e c a u s e i t o n l y a l l o w s (cid:12) r m t o d e f a u l t a t a g i v e n p o i n t i n t i m e . A c c o r d i n g t o T a b l e 8 , w i t h Z ’s b e i n g l o w o r t i m e h o r i z o n s i n c o n s i d e r a t i o n b e i n g r e l a i v e l y l o n g , d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i m p l i e d b y t h e M e r t o n a p p r o a c h a r e t y p i c a l l y 2 0 - 3 0 p e r c e n t o w e r t h a n t h o s e i m p l i e d b y t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e m o d e l . F o r i n s t a n c e , w i t h Z = 3 a n d a t w o e a r i n v e s t m e n t h o r i z o n , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n i m p l i e d b y t h e M e r t o n a p p r o a c h i s 9 .6 % , 1 3

b g c a t c c p t p d M 1 w d M T t d e c s e u t t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n i m p l i e d t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e a p p r o a c h i s 1 2 .2 % . T h e t w o m o d e l s e n e r a t e s i m i l a r d e f a u l t c o r r e l a t i o n s f o r h i g h g r a d e (cid:12) r m s o v e r s h o r t t i m e h o r i z o n s . I n t h i s a s e , d e f a u l t c o r r e l a t i o n s a r e v i r t u a l l y z e r o a n y w a y . T h e J . P . M o r g a n ’s C r e d i t M e t r i c s u s e s o b s e r v e d d e f a u l t r a t e s f o r v a r i o u s c r e d i t r a t i n g s t a g i v e n t i m e h o r i z o n ( s a y o n e y e a r ) t o b a c k o u t Z - s c o r e s v i a t h e M e r t o n m o d e l a n d h e n u s e s t h e s e o b t a i n e d Z - s c o r e s t o e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s b e t w e e n a n y t w o c r e d i t a t e g o r i e s . T h i s a p p r o a c h d o e s n o t u s e (cid:12) r m s p e c i (cid:12) c i n f o r m a t i o n a n d r e l i e s s o l e l y o n r o u g h r e d i t c l a s s i (cid:12) c a t i o n d a t a . I n p r i n c i p l e , t h e s a m e s t r a t e g y c a n a l s o b e a p p l i e d t o t h e (cid:12) r s t a s s a g e m o d e l . A n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i s : H o w c l o s e a r e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s i m p l i e d b y h e t w o d i (cid:11) e r e n t m o d e l s ? B y a n s w e r i n g t h i s q u e s t i o n , w e m a y g a i n s o m e i n s i g h t a b o u t t h e e r f o r m a n c e o f M e r t o n ’s m o d e l t o e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o v e r i f y t h a t t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n o b t a i n e d b y t h e a b o v e a p p r o a c h e p e n d s o n l y o n t h e d e f a u l t r a t e a n d t h e a s s e t l e v e l c o r r e l a t i o n a n d n o t o n t h e t i m e h o r i z o n . o r e s p e c i (cid:12) c a l l y , f o r a n y g i v e n (cid:26) , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n o v e r a o n e y e a r h o r i z o n w i t h a 0 % y e a r l y d e f a u l t r a t e i s j u s t t h e s a m e a s t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n o v e r a (cid:12) v e y e a r h o r i z o n i t h a 1 0 % (cid:12) v e - y e a r c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e . F o r t h i s r e a s o n , w e j u s t n e e d t o i n v e s t i g a t e e f a u l t c o r r e l a t i o n s o b t a i n e d b y t h e t w o m o d e l s u n d e r d i (cid:11) e r e n t c u m u l a t i v e d e f a u l t r a t e s . T a b l e 9 s h o w s t h a t f o r v a r i o u s d e f a u l t r a t e s , t h e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s o b t a i n e d b y t h e e r t o n a p p r o a c h a r e o n l y s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h o s e o b t a i n e d b y t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e m o d e l . h i s i s b e c a u s e o n t h e o n e h a n d , t h e M e r t o n m o d e l i m p l i e s l o w e r Z - s c o r e s a n d t e n d s o o v e r e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s ; o n t h e o t h e r h a n d , t h e m o d e l i g n o r e s p o s s i b l e e a r l y e f a u l t s a n d t h e r e f o r e t e n d s t o u n d e r e s t i m a t e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h e t w o e (cid:11) e c t s o (cid:11) s e t a c h o t h e r a n d t h e n e t e (cid:11) e c t s e e m s i n s i g n i (cid:12) c a n t . I n t e r e s t i n g l y , w e (cid:12) n d t h a t t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e a p p r o a c h i s e v e n c o m p u t a t i o n a l l y m o r e e (cid:14) i e n t t h a n t h e M e r t o n a p p r o a c h i n e s t i m a t i n g d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h a t i s , t h e a n a l y t i c a l o l u t i o n o f t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e m o d e l i s 8 t o 1 0 t i m e s a s e (cid:14) c i e n t a s t h e M e r t o n a p p r o a c h f o r v a l u a t i n g j o i n t d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a n d d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . T h i s i s m a i n l y b e c a u s e t h e 1 4

M r m 5 T c o t c e r t o n a p p r o a c h i n v o l v e s t h e n u m e r i c a l e v a l u a t i e a s o n , t h e (cid:12) r s t - p a s s a g e m o d e l c o u l d b e a b e t t e r a r k e t - w i d e d e f a u l t c o r r e l a t i o n s b e t w e e n v a r i o u s C o n c l u s i o n h i s p a p e r o (cid:11) e r s a n a n a l y t i c a l f o r m u l a f o r c a l c u l a t a n b e i m p l e m e n t e d v e r y e a s i l y , i t p r o v i d e s a c o n v f t h i s p a p e r a l s o p r o v i d e s a t h e o r e t i c a l j u s t i (cid:12) c a h e l i t e r a t u r e a n d i n c r e a s e s o u r u n d e r s t a n d i n g o r r e l a t i o n s . 1 5 o n o f m u l t i p l e i n (cid:12) n i t e i n t e g r a l s . c h o i c e e v e n i f o n e j u s t w a n t s t o c r e d i t r a t i n g s . i n g d e f a u l t c o r r e l a t i o n s . S i n c e t h e n i e n t t o o l f o r c r e d i t a n a l y s i s . T t i o n f o r m a n y e m p i r i c a l r e s u l t s a b o u t t h e i m p o r t a n t f e a t u r e s o F o e s t e f o h e f o u f d r t i m r m r e s n d e f a h a u u u i s t e l a l t i n l t

R [1 [2 [3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 e ] ] ] ] ] ] ] ] ] f e r e n c e s B l a c k , F . a n d J . C . C o x ( 1 9 7 6 ) : \ V a l u i n g c o r p o r a t e s e c u r i t i e s : S o m J o u r n a l o f F i n a n c e i n d e n t u r e p r o v i s i o n s ," 3 1 , 3 5 1 - 3 6 7 . T h e T h e o r y o f S t o c h a s t i c P r o c e s s C o x , D .R . a n d H .D . M i l l e r ( 1 9 7 2 ) : H a l l , L o n d o n a n d N e w Y o r k . F o n s , J .( 1 9 9 4 ) : \ U s i n g d e f a u l t r a t e s t o m o d e l t h e t e r m s t r u c t u r e o n a n c i a l A n a ly s i s J o u r n a l, S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 9 4 , 2 5 - 3 2 . B r o w n i a n M o t i o n a n d S t o c h a s t i c K a r a t z a s , I . a n d S .E . S h r e v e ( 1 9 9 1 ) : E d i t i o n , S p r i n g e r - V e r l a g . K e a l h o f e r , S .( 1 9 9 5 ) : \ M a n a g i n g d e f a u l t r i s k i n p o r t f o l i o s o f d e r i v a t i v C r e d i t R i s k : A d v a n c e s i n M e a s u r e m e n t a n d M a n a g e m e n t , P u b l i s h e d t i o n s . L o n g s t a (cid:11) , F .A . a n d E .S . S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) : \ A s i m p l e a p p r o a c h t o J o u r n a l o f F i n a n c e (cid:13) o a t i n g r a t e d e b t ," 5 0 , 7 8 9 - 8 1 9 . T h e L u c a s , D .J .( 1 9 9 5 ) : \ D e f a u l t c o r r e l a t i o n a n d c r e d i t a n a l y s i s ," I n c o m e M a r c h 1 9 9 5 , 7 6 - 8 7 . C r e d i t M e t r i c s | T e c h n i c a l J .P .M o r g a n & C o . I n c o r p o r a t e d ( 1 9 9 7 ) : 1 9 9 7 . Z h o u , C .( 1 9 9 7 ) : \ A j u m p - d i (cid:11) u s i o n a p p r o a c h t o m o d e l i n g c r e d i t r i s f a u l t a b l e s e c u r i t i e s ," W o r k i n g P a p e r . 1 6 e e (cid:11) e c t s o f b o n d e s , C h a p m a n a n d F i - f c r e d i t r i s k ," C a lc u lu s , S e c o n d D e r i v a t i v e e s ," i n b y R i s k P u b l i c a v a l u i n g r i s k y a n d J o u r n a l o f F i x e d D o c u m e n t , A p r i l k a n d v a l u i n g d e -

A T L f T t t w T o m p p e n d i x h e a p p e n d i x p r o v i d e s p r o o f f o r t h e m a i n t e c h n i c a l r e s u l t . e m m a 1 T h e d e n s i t y f u n c t i o n s a t i s (cid:12) e s : f ( x ; x ; t ) 1 2 f ( b ; x ; t ) = f ( x ; b ; t ) = 0 : 1 2 1 2 P r o o f o f L e m m a 1 : A s a n e x a m p l e , w e j u s t p r o v e t h a t f ( b ; x ; t ) = 0 . T h e 1 2 ( x ; b ; t ) = 0 c a n b e p r o v e d i n t h e s a m e w a y . 1 2 S u p p o s e t o t h e c o n t r a r y t h a t f o r x ( b (cid:1) x ; b ) w e h a v e 1 1 1 1 2 (cid:0) f ( x ; x ; t ) > (cid:17) > 0 ; t t t ; x x x : 1 2 1 2 2 1 2 2 2 (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) h e n f o r a s m a l l t i m e i n t e r v a l ( t ; t + (cid:1) t ) c o n t a i n e d i n ( t ; t ) , t h e p r o b a b i l i t y p ( t ) 1 2 h e p a r t i c l e i s a b s o r b e d i s a p p r o x i m a t e l y t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e p a r t i c l e i s n e a r b 1 a n d t h a t t h e i n c r e m e n t i n x c a r r i e s t h e p a r t i c l e b e y o n d b . C e r t a i n l y w e h a v e 1 1 p ( t ) (cid:1) t P r o b [x ( t + (cid:1) t ) x ( t ) > (cid:1) x x ( t ) ( b (cid:1) x ; b ) ; x ( t ) ( x ; 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 (cid:21) (cid:0) j 2 (cid:0) 2 P r o b [x ( t ) ( b (cid:1) x ; b ) ; x ( t ) ( x ; x ) ] 1 1 1 1 2 2 1 2 2 (cid:1) 2 (cid:0) 2 > (cid:17) ( x x ) (cid:1) x P r o b ( x ( t + (cid:1) t ) x ( t ) > (cid:1) x ) : 2 2 2 1 1 1 1 1 (cid:0) (cid:1) (cid:0) p (cid:1) t ]. S i n c e x ( t + (cid:1) t ) x ( t ) N D e n o t e p = P r o b [x ( t + (cid:1) t ) x ( t ) > (cid:27) 1 1 0 1 1 1 (cid:0) (cid:24) (cid:0) p e h a v e p = 1 N ( 1 ) > 0 . H e n c e i f w e t a k e (cid:1) x = (cid:27) (cid:1) t i n e q u a t i o n ( 2 0 ) , w e h 0 1 1 (cid:0) p p ( t ) (cid:1) t > (cid:17) ( x x ) p (cid:27) (cid:1) t : 2 2 2 1 0 1 (cid:0) h i s i m p l i e s t h a t p ( t ) i s i n (cid:12) n i t e f o r t ( t ; t ) . B u t p ( t ) i s i n f a c t t h e p r o b a b i l i t y 1 2 2 f t h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e t o c e r t a i n b a r r i e r s , s o w e h a v e a c o n t r a d i c t i o n . T h a t i s , f ( 2 u s t b e z e r o . 1 7 e q u a l i t y (cid:1) t t h a t a t t i m e x ) ] 2 2 ( 2 0 ) 2 ( 0 ; (cid:27) t ) , 1 a v e d e n s i t y b ; x ; t ) 1 2

s T w u b h h e A j e e o r e P s a c t r e f ( r o t m x o r e o ; 1 f s u l t , t h t h e f o l l 1 T h e x ; t ) = 2 o f T h e e t o w s o (cid:27) o r r a n s i t i o 2 @ (cid:27) 1 2 @ i n g b o u lu t i o n t 2 (cid:27) 1 1 2 p x = 1 (cid:18) = 0 (cid:11) = e m 1 : n p r o b a b i l i t y d e n s i t y f ( x ; x ; t ) s a t i s (cid:12) e s 1 2 2 2 2 2 (cid:27) f @ f @ f @ f 2 + + (cid:26) (cid:27) (cid:27) = 1 2 2 2 @ x @ x 2 @ t x @ x 1 2 1 2 ( x < b ; x < b ) ; 1 1 2 2 n d a r y c o n d i t i o n s : f ( ; x ; t ) = f ( x ; ; t ) = 0 ; 2 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 f ( x ; x ; 0 ) = (cid:14) ( x ) (cid:14) ( x ) ; 1 2 1 2 1 2 b b f ( x ; x ; t ) d x d x 1 ; t > 0 ; 1 2 1 2 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:20) Z Z f ( b ; x ; t ) = f ( x ; b ; t ) = 0 : 1 2 1 2 o P . D . E . ( 1 2 ) s u b j e c t t o c o n d i t i o n s ( 2 2 ) 2 2 1 r r + 0 n (cid:25) (cid:18) n (cid:25) (cid:18) 0 (cid:0) t 2 e s i n s i n 2 (cid:11) (cid:11) (cid:26) (cid:11) t n = 1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:0) X 2 b (cid:27) 1 (cid:26) r c o s ( (cid:18) ) + (cid:26) r s i n ( (cid:18) ) ; 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) q x = b (cid:27) r s i n ( (cid:18) ) ; 2 2 2 (cid:0) 2 (cid:0) 2 1 b (cid:27) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 i f t a n ( :) > 0 (cid:0) 1 2 2 1 b (cid:27) (cid:26) b (cid:27) 8 (cid:18) (cid:19) 2 (cid:0) 2 1 b (cid:27) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e , (cid:25) + t a n < (cid:0) 1 2 2 1 b (cid:27) (cid:26) b (cid:27) (cid:18) (cid:19) >> r = b = [(cid:27) s i n ( (cid:18) ) ]; 0 2 2 0 : 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 i f t a n (cid:26) < 0 (cid:26) (cid:0) 8 (cid:18) (cid:19) 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> o t h e r w i s e . (cid:25) + t a n < (cid:26) (cid:0) (cid:18) (cid:19) >>: T o s o l v e P D E ( 1 2 ) , w e d e (cid:12) n e x 1 u = 1 (cid:27) 1 1 8 i t s I h e g i n (cid:25) (cid:11) P v e (cid:18) D n r E b r 0 t y (cid:19) ( e ; q . ( 1 2 ) ) : ( 2 1 ( 2 2 ( 2 3 ( 2 4 ( 2 5 ) ) ) ) )

a A w s T g a n b n d x 1 x 1 2 (cid:26) : u = 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:0) 2 1 1 (cid:26) (cid:19) (cid:18) (cid:0) p c c o r d i n g l y , w e h a v e 2 2 1 @ f 1 @ f @ f : + = 2 2 2 2 @ t @ u @ u 1 2 T h e a b s o r b i n g b a r r i e r s a r e n o w t h e l i n e s 1 u b b 1 1 2 ; u = (cid:26) ; u = 2 1 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:0) 1 2 1 1 (cid:26) (cid:19) (cid:18) (cid:0) p h i c h a r e g e n e r a l l y n o t a t r i g h t a n g l e s . T h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m e c t i o n p o i n t o f t h e b a r r i e r s t o t h e o r i g i n b 1 v = u 1 1 (cid:27) (cid:0) 1 1 b u 2 1 v = u (cid:26) : 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:0) 2 1 1 (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:0) p h e r o t a t i o n t h r o u g h a n g l e (cid:26) (cid:0) 1 (cid:12) = (cid:25) + t a n 2 1 (cid:26) ! (cid:0) p i v e s 2 w = 1 (cid:26) v + (cid:26) v ; 1 1 2 (cid:0) (cid:0) q n d 2 w = (cid:26) v 1 (cid:26) v : 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) q U n d e r t h e s e r i g i d t r a n s f o r m a t i o n s , P .D .E . ( 2 6 ) d o e s n o t c h 0 o w s t a r t s f r o m s o m e p o i n t [w ( 0 ) ; w ( 0 ) ] a w a y f r o m t h e o r i g i 1 2 o u n d a r i e s (cid:26) w : w = 0 ; w = 1 1 2 2 (cid:0) 1 (cid:26) (cid:0) p B a s e d o n a b o v e t r a n s f o r m a t i o n s , w e o b t a i n : 2 x = b (cid:27) ( 1 (cid:26) w + (cid:26) w ) ; 1 1 1 1 2 (cid:0) (cid:0) q x = b (cid:27) w : 2 2 2 2 (cid:0) 1 9 a a n t i n g a o e n n d s f w o r i s i l m a l . b p s u T o t h r b t e e h d e p a a ( 2 6 i n t e r r t i c l t t h ( 2 7 ) e e )

P s w a i t k L e t t i n g .D .E . ( 2 6 u b j e c t t o h e r e n d s t h e J a c o S o l v i n g 4 T h e p r o h e s o lu t io n n o w in g t h e ) b e b o u b i a n P .D c e s s c a n p r o c w = r c o s ( (cid:18) ) 1 w = r s i n ( (cid:18) ) 2 c o m e s 2 2 @ f 1 @ f @ f @ f 1 + + = 2 2 2 2 r @ (cid:18) @ r r @ r @ t n d a r y c o n d i t i o n s : f ( r ; 0 ; t ) = f ( r ; (cid:11) ; t ) = f ( ; (cid:18) ; t ) = 0 ; 1 f ( r ; (cid:18) ; 0 ) = (cid:14) ( r r ) (cid:14) ( (cid:18) (cid:18) ) ; 0 0 (cid:0) (cid:0) 1 (cid:11) J f ( r ; (cid:18) ; t ) d r d (cid:18) 1 ; t > 0 ; (cid:1) (cid:20) (cid:18) = 0 r = 0 Z Z 2 x ( r ; (cid:18) ) = b (cid:27) 1 (cid:26) r c o s ( (cid:18) ) + (cid:26) r s i n ( (cid:18) ) 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) q x ( r ; (cid:18) ) = b (cid:27) r s i n ( (cid:18) ) ; 2 2 2 (cid:0) 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 i f (cid:26) < 0 t a n (cid:26) (cid:0) (cid:11) = 8 (cid:19) (cid:18) 2 (cid:0) 1 (cid:26) p (cid:0) 1 >> (cid:25) + t a n o t h e r w i s e , < (cid:26) (cid:0) (cid:18) (cid:19) >>: 2 J = r (cid:27) (cid:27) 1 (cid:26) 1 2 (cid:0) q o f t h e o v e r a l l t r a n s f o r m a t i o n f r o m ( x ; x ) t o ( r ; (cid:18) ) . 1 2 4 .E . ( 2 8 ) , w e o b t a i n : 2 2 1 r r + 0 2 r n (cid:25) (cid:18) n (cid:25) (cid:18) 0 (cid:0) t n (cid:25) 2 f = e s i n s i n I (cid:11) J (cid:11) t (cid:11) (cid:11) n = 1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:1) (cid:1) X fo r s o lv in g P .D .E . ( 2 8 ) is v e r y le n g t h y a n d c o m p lic a t e d . W e b e v e r i(cid:12) e d w it h o u t r e s o r t in g t o t h e s o lv in g p r o c e s s . T h o s e r e a e s s fo r s o lv in g t h is p a r t ic u la r P .D .E . c a n c o n t a c t u s . 2 0 ; r r 0 t (cid:19) o m it d e r s w : t h h is o p r o a r e c e in s s t e r b e ( 2 ( 2 ( 3 ( 3 e c a u s t e d 8 ) 9 ) 0 ) 1 ) s e in

T w a o h h n n e o P F e r U d e o r e m 1 t h e n f o l l o r o o f o f t h e M ( b ; b ; t ) = 1 2 Z = Z = (cid:11) e J = r (cid:27) (cid:27) 1 1 2 p s i n g i d e n t i t i e s 1 2 (cid:0) 1 c r r e 0 Z b t a i n s t h e m a i n 2 w s i m m e d i a t e l y . a i n R e s u l t : A c c o r d i n g t o T 1 2 b b f ( x ; x ; t ) d x d x 1 2 1 2 (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z 1 (cid:11) J f ( r ; (cid:18) ; t ) d (cid:18) d r (cid:1) (cid:18) = 0 r = 0 Z 2 1 r (cid:11) 0 2 n (cid:25) (cid:18) 0 (cid:0) t 2 e s i n t (cid:11) (cid:18) = 0 n = 1 (cid:19) (cid:18) Z (cid:1) X 2 (cid:26) i s t h e J a c o b i a n o f t h e t (cid:0) (cid:11) n (cid:25) n (cid:25) (cid:18) s i n ( ) d (cid:18) (cid:11) (cid:11) (cid:18) = 0 Z 2 c 2 2 c c 2 c 2 8 1 I ( c r ) d r = e I v 2 8 c 8 c s 1 1 " 2 r e s u l t i m m e d i a t e l y . 2 1 h e o r s i n (cid:18) r a n s f = 1 (cid:0) 1 ( v + 1 2 e m n (cid:25) (cid:11) o r m ( (cid:0) ) 1 (cid:18) (cid:19) a t 1 ) 2 c 2 8 c 1 d i o n ! (cid:18) n ; + 1 r = Z a s I 0 d 1 ( 2 r e v e (cid:12) (cid:0) (cid:0) n 1 2 r t 2 e d ) n (cid:25) I (cid:11) b e f 2 c 2 8 c 1 (cid:18) o ! r r e # r t . ; 0 (cid:19) d r ;

0.2 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t F a (cid:27) i t 1 g u t = r h e e (cid:27) 2 1 : A = noitalerroC tluafeD T h e s s e t 0 :4 . l R e v e e | l a l . t : i o T (cid:26) n h = s e h 0 :4 i p p a r b a m e t e w t e { e r e { n v : a (cid:26) D l u = e e s 2 2 f 0 a u :2 u l t s e d C h e o r (cid:0) r e r : (cid:1) e l a r (cid:26) a e t = i o V 1 (cid:0) n = K 0 :1 a n 1 d = t V h 2 e = K C 2 o = r r e 1 l a :8 t i a o n n d

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t F T i g h u e r p e a 2 r : a m T e | h t noitalerroC tluafeD e e : r 1 V = 1 K R e l a t i v a l u e s V K o u 2 2 n s = s h e d 2 i p h :0 b e r e e { t w a r e e (cid:26) { e : n = V K D 0 1 1 e :4 = f a a 2 2 V 2 K u l t n d 3 = C (cid:27) 1 2 o = :5 r r (cid:27) e 2 l a = t (cid:0) i 0 : (cid:1) o n :4 . V K a 1 1 n d = t V K h 2 2 e = C 3 r :0 e d i t Q u a l i t y .

T a b l e 1 : H y D i s t o e a r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 a t a r i c A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 S o a a .0 .0 .0 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .7 .9 .0 .3 .5 .8 .1 .3 .6 .6 .6 u l a 0 0 0 4 2 2 3 5 8 3 0 9 0 5 4 8 8 3 3 3 r c C e u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 : m A .0 .0 .0 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .9 .0 .2 .5 .7 .7 .7 .8 .0 .2 .4 F o u a 2 4 8 0 2 3 2 4 6 1 9 9 1 6 6 6 9 5 4 8 n l s a t 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 ( 1 i v e A .0 1 .0 9 .2 8 .4 6 .6 2 .8 3 .0 6 .3 1 .6 1 .9 6 .3 0 .6 5 .9 9 .2 9 .6 2 .9 5 .2 6 .5 8 .9 6 .2 3 9 9 4 2 4 D ) . 1 1 1 e f a B a 0 .1 0 .5 0 .9 1 .4 1 .9 2 .4 3 .0 3 .7 4 .3 4 .9 5 .5 6 .1 6 .7 7 .4 8 .1 8 .9 9 .6 0 .4 1 .0 1 .7 u a 6 1 1 6 7 6 9 5 9 6 6 9 7 4 6 1 9 5 7 0 l t R 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 6 9 1 3 5 6 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 8 9 a B .7 .3 .9 .4 .8 .7 .3 .7 .1 .4 .8 .2 .5 .5 .4 .4 .2 .0 .8 .7 t e a 9 8 2 1 5 8 3 5 4 8 4 2 4 2 6 3 9 6 8 6 s ( 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 % 8 4 0 4 8 1 4 6 8 9 1 1 2 3 3 4 5 5 5 5 ) , B .3 1 .8 5 .3 8 .7 8 .3 8 .8 8 .3 2 .7 1 .3 8 .9 6 .0 8 .7 4 .4 5 .0 4 .7 0 .4 3 .2 7 .5 8 .5 8 .5 8 1 9 7 0 - 9 3 .

T a b l e T T 2 : a b a b Z - v y e a r 1 l e 3 A A B B B A l e 4 A A B B B A a l u e s A a a 9 .2 8 O n e : a 0 0 a a 0 a 0 0 s s e t L T w o : a 0 0 a a 0 a 0 0 s s e t L I m Y A .0 .0 .0 .0 .0 e v Y A .0 .0 .0 .0 .0 e v p l i e d A a 9 .3 8 e a r D a A 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 e l C o r r e a r D a A 0 0 0 .0 2 1 0 .0 5 0 0 .0 5 0 0 .0 2 e l C o r r b y H i s t o A B a a 8 .0 6 6 .4 6 e f a u l t C o B a a 0 .0 0 0 .0 1 1 0 .0 0 2 e l a t i o n (cid:26) = e f a u l t C o B a a 0 .2 5 0 .6 3 6 0 .4 1 9 e l a t i o n (cid:26) = 2 5 r i c a l B 3 .7 r r e l a B a .3 2 .4 7 0 .4 . r r e l a B a .9 6 .2 4 0 .4 . D a 3 t 1 t 1 e f a u l t B 2 .1 0 i o n s ( % B 2 .4 6 i o n s ( % B 9 .6 1 R ) ) . . a t e s .

T a T b a l b e l e 5 : A A B B B A 6 A A B B B A a a a s : a a a s T a s e F a s e h t i t r e e Y A a 0 .0 4 0 .0 8 0 .1 3 0 .0 9 0 .0 5 L e v e v e Y A a 0 .5 9 0 .9 2 1 .2 4 1 .0 5 0 .6 5 L e v e l e l e C a C a r D e A 0 .2 1 0 .4 4 0 .4 8 0 .2 8 o r r e l a r D e f A 1 .6 5 2 .6 0 2 .7 4 1 .8 8 o r r e l a 2 f a u l B a a 1 .3 2 2 .4 8 1 .8 1 t i o n a u l t B a a 5 .0 1 7 .2 0 5 .6 7 t i o n 6 t (cid:26) C (cid:26) C o r B 1 1 .8 1 3 .8 = 0 .4 o r r B 1 7 .5 1 8 .4 = 0 .4 r a 5 2 . e a 6 3 . e l l a a t i 2 2 t i o 2 4 o n B .2 5 n s B .0 1 s ( ( % % ) ) . .

T a b l e 8 : ( Z A D 1 ( 8 ( 8 ( 3 ( 3 s s T e ; Z ,8 ,8 ,3 ,3 e t a b l f a u ) 2 ) ) ) ) L e e A A B B B A l v T e n Y e a r D e f a u l t 7 : A a A B a a a 4 .6 6 5 .8 4 7 .7 5 a a 6 .7 6 9 .6 3 1 3 .1 2 a 5 .9 7 9 .4 8 1 4 .9 8 4 .3 2 7 .2 1 1 2 .2 8 s s e t L e v e l C o r r e l a t i o n (cid:26) t C o r r e l a t i o n s ( % ) I m Z - S c o r e s A r e G M o d e l T i m e 1 2 M e r t o n 0 .0 0 0 .0 1 C u r r e n t 0 .0 0 0 .0 2 M e r t o n 3 .2 5 9 .6 1 C u r r e n t 4 .2 9 1 2 .2 e l C o r r e l a t i o n (cid:26) = 0 .4 . 2 7 C o r r e l a t i o B a 2 2 .5 1 2 1 .8 0 2 = 0 .4 . p l i e d b y i v e n H o r i z o n ( Y 3 4 0 .1 7 0 .6 0 0 .2 3 0 .8 0 1 3 .6 1 6 .2 1 6 .8 1 9 .5 n s ( % B 4 .3 7 D i (cid:11) e e a r s ) 5 1 .3 0 1 .7 2 1 7 .9 2 1 .1 r ) e . n 6 7 2 2 t M 1 0 .1 0 .9 3 1 .7 4 .0 o d e l s

T a b l e 9 : M M C A D e f a o d e l e r t o n u r r e n t s s e t L u e v l t C o 0 .1 2 .8 5 2 .7 7 e l C o r r r e l a t i o n s ( % ) D e f a u l t R a t e s D e f a u l t R 0 .5 1 .0 5 .7 7 7 .7 4 1 5 .6 0 7 .5 1 1 r e l a t i o n (cid:26) = 0 .4 . 2 8 A a 5 4 4 I m r t e .0 .5 .1 e s 8 0 p G ( l % i e d i v e n ) 1 0 1 8 .5 1 7 .8 b 0 2 y D 2 2 i (cid:11) 2 0 2 .6 1 .6 e 3 5 r e n 2 2 t 4 5 4 M 0 .8 .3 6 4 o d e l s