Trading Volume and Information Distribution in a Market-Clearing Framework
Abstract
This paper investigates the relations between aggregate trading volume and information on financial markets from a theoretical standpoint. Through numerical examples, it relates some statistics describing equilibrium price and volume{such as the variance of the price and its correlation with the true asset value, the volume mean, variance, skewness, and kurtosis{to the distribution of information across traders. The analysis is carried out in a static noisy rational expectations framework, with multiple informed traders, where both the precision and the correlation of the signals observed by the traders can be modified.
T 2 3 t h 0 o r a (cid:3) M 1 ; s e d a e o i n il S - m a f t h g t o p il: e B V o 6 9 , m 1 d y o a r d l F d u m e d e 9 9 @ o f G e B o r a l f r b o v e a n a r d R e s . g o r n o d I o f e r v e v . T r s o r n f o r m a t i o n D F r a m e w D o m i n i q u e D i v i s i o n o f M o n G o v e r n o r s o f t h e A u g u s t B o a r d , W a s h in g t o n , h e v ie w s e x p r e s s e d h t h e F e d e r a l R e s e r v e o D e F 1 D e S i s t r i b (cid:3) r k u p o n t t a r y A e d e r a l 9 9 7 C 2 0 5 5 r e in a r e y s t e m . u (cid:11) R 1 t a ; h t i o i r s e s e r p h o e a u n v n t e e h : o i n S y ( 2 r ’s a s t e 0 2 ) a n M m 4 5 d d 2 o a { 6 n r 4 o k 8 t e 3 ; n e t - c fa x : c e s s l a e a r ( 2 0 2 r ily i n ) 4 r e (cid:13) g 5 2 e c { t
T m d t i f s v e t i t A b s t r a c t h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s t h e r e l a t i o n s b e t w e e n a g g r e g a t e t r a d i n g v o l u m e a n d i n f o r m a t i o n o n (cid:12) n a n c i a l a r k e t s f r o m a t h e o r e t i c a l s t a n d p o i n t . T h r o u g h n u m e r i c a l e x a m p l e s , i t r e l a t e s s o m e s t a t i s t i c s e s c r i b i n g e q u i l i b r i u m p r i c e a n d v o l u m e { s u c h a s t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s c o r r e l a t i o n w i t h h e t r u e a s s e t v a l u e , t h e v o l u m e m e a n , v a r i a n c e , s k e w n e s s , a n d k u r t o s i s { t o t h e d i s t r i b u t i o n o f n f o r m a t i o n a c r o s s t r a d e r s . T h e a n a l y s i s i s c a r r i e d o u t i n a s t a t i c n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s r a m e w o r k , w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s , w h e r e b o t h t h e p r e c i s i o n a n d t h e c o r r e l a t i o n o f t h e i g n a l s o b s e r v e d b y t h e t r a d e r s c a n b e m o d i (cid:12) e d . N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t t h e v a r i a n c e o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e , a n d t h e m e a n a n d a r i a n c e o f t h e v o l u m e a r e i n c r e a s i n g i n t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s s i g n a l s a n d { t o a l e s s e r x t e n t { i n t h e l i q u i d i t y s h o c k v a r i a n c e . T h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i n c r e a s i n g i n t h e p r e c i s i o n o f h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s a n d d e c r e a s i n g i n t h e l i q u i d i t y s h o c k v a r i a n c e . S k e w n e s s a n d k u r t o s i s n t h e t r a d i n g v o l u m e d i s t r i b u t i o n a r e n o t a l w a y s a s s o c i a t e d w i t h a h i g h p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m e d r a d e r ’ s i g n a l s ; t h e r e l a t i o n d e p e n d s o n t h e c o r r e l a t i o n a c r o s s t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s .
I T a t t r o d s i o i n p r T a t t D o o a ( v t e t t d a s n t r o d u c t i o n r a d i n g v o l u m e h a s r e c e i v e d a l o t o f a t t e n t i o n f r o m p r a c t i t i o n e r s a n d a c a d e m i c s a l i k e . T e c h n i c a l n a l y s t s u s e t r a d i n g v o l u m e a s a n i n d i c a t o r t h a t \ n e w a n d c o m p e l l i n g i n f o r m a t i o n i s (cid:13) o w i n g i n t o h e m a r k e t " ( S a i t t a ( 1 9 9 6 ) ) . R e g u l a t o r s h a v e r e c e n t l y c o n t e m p l a t e d u s i n g t r a d i n g v o l u m e a s a t o o l o d e t e c t m a r k e t m a n i p u l a t i o n s . T h i s s e e m s t o w a r r a n t f u r t h e r t h e o r e t i c a l e (cid:11) o r t s t o i n v e s t i g a t e t h e e l a t i o n s b e t w e e n v o l u m e a n d i n f o r m a t i o n . T h e p a p e r ’s o b j e c t i v e i s t o r e l a t e t h e p a t t e r n s o f a g g r e g a t e v o l u m e t o t h e u n d e r l y i n g d i s t r i b u t i o n f i n f o r m a t i o n a c r o s s t r a d e r s f r o m a t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e . I t s e t s o u t t o r e l a t e s o m e i m p o r t a n t e s c r i p t i v e s t a t i s t i c s o f v o l u m e , s u c h a s i t s m e a n , v a r i a n c e , s k e w n e s s , a n d k u r t o s i s { t o g e t h e r w i t h o m e p r i c e s t a t i s t i c s { t o t h e d i s t r i b u t i o n o f i n f o r m a t i o n a m o n g t r a d e r s , i .e ., t h e p r e c i s i o n o f t h e i r n f o r m a t i o n a n d t h e d e g r e e o f a g r e e m e n t i n t h e i r v a l u a t i o n s o f t h e a s s e t . T h e a n a l y s i s i s c a r r i e d u t i n a n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s f r a m e w o r k w i t h a c o m p e t i t i v e s e c u r i t i e s m a r k e t a n d m u l t i p l e n f o r m e d t r a d e r s . W h e n c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s f o r t h e e q u i l i b r i u m p r i c e a r e n o t a v a i l a b l e , a s i m p l e u m e r i c a l m e t h o d i s i n t r o d u c e d t o c o m p u t e n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s e q u i l i b r i a w i t h a (cid:13) e x i b l e a r a m e t e r s t r u c t u r e . T h e p r e s e n t a p p r o a c h f o l l o w s t h e s e m i n a l w o r k o f D i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) a n d t h e m o r e e c e n t p a p e r s b y , a m o n g o t h e r s , G r u n d y a n d M c N i c h o l s ( 1 9 8 9 ) , a n d B r o w n a n d J e n n i n g s ( 1 9 8 9 ) . h e p r e s e n t m o d e l f e a t u r e s a c o m p e t i t i v e s e c u r i t i e s m a r k e t w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s a n d l i q u i d i t y t r a d e r . O n e c o n t r i b u t i o n o f t h e p a p e r i s t h a t t h e s i g n a l s o b s e r v e d b y t h e i n f o r m e d r a d e r s c a n b e b o t h c o r r e l a t e d a n d h a v e d i (cid:11) e r e n t p r e c i s i o n s . T h i s m a k e s i t e a s i e r t o s t u d y t h e h e h e t e r o g e n e i t y o f b e l i e f s , a k e y e l e m e n t i n u n d e r s t a n d i n g t h e b e h a v i o r o f t r a d i n g v o l u m e . I n i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) , B r o w n a n d J e n n i n g s ( 1 9 8 9 ) , a n d H e a n d W a n g ( 1 9 9 5 ) , t h e s i g n a l s b s e r v e d b y t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , w h e n c o n d i t i o n e d 1 n t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t . I n G r u n d y a n d M c N i c h o l s ( 1 9 8 9 ) , t h e s i g n a l s a r e c o r r e l a t e d c r o s s t r a d e r s b u t h a v e t h e s a m e p r e c i s i o n . I n a d i (cid:11) e r e n t f r a m e w o r k , B l u m e , E a s l e y a n d O ’H a r a 1 9 9 4 ) u s e s i g n a l s w i t h v a r y i n g p r e c i s i o n s . A s p o i n t e d b y J a i n ( 1 9 8 8 ) , t h e r e s p o n s e o f t r a d i n g o l u m e t o e c o n o m i c n e w s m a y i n d i c a t e t h e d e g r e e t o w h i c h m a r k e t p a r t i c i p a n t s d i s a g r e e a b o u t h e e (cid:11) e c t o f t h e a n n o u n c e m e n t . W i t h i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d s i g n a l s , t h e h e t e r o g e n e i t y o f b e l i e f s i s x - p o s t , i .e ., t h e r e a l i z a t i o n s o f t h e p r i v a t e l y o b s e r v e d s i g n a l s m a y b e d i (cid:11) e r e n t a c r o s s a g e n t s e v e n h o u g h t h e s i g n a l s a r e a l l i n d e p e n d e n t l y d r a w n f r o m t h e s a m e d i s t r i b u t i o n . I n a n e x - a n t e a p p r o a c h , h e f o c u s i s s h i f t e d f r o m t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e r e a l i z a t i o n o f t h e s i g n a l s t o t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e i r i s t r i b u t i o n . T h e h e t e r o g e n e i t y o f b e l i e f s d e p e n d s o n t h e d e g r e e o f d i s a g r e e m e n t a m o n g t r a d e r s b o u t t h e t r u e a s s e t v a l u e a n d o n t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m a t i o n t h e y p o s s e s s e d . 1 e x c e p t fo r th e c o r r e la tio n b e tw e e n th e H e a n d W a n g n o t e t h a t \ e x t e n s io n s t o m o r e g e n e r a l c o r r e la t io n s t r u c t u r e , ig n a ls o f d i(cid:11) e r e n t in v e s to r s , a r e q u it e s t r a ig h t fo r w a r d ," ( p . 9 2 5 ) [e m p h a s is a d d e d ]. 1
A t b d a i b t s E a t o p t m s s b s n a t l u d s p e 1 T t e n a l y t i c a l l y , t h e d e g r e e t o w h i c h t h e t r a d e r s a g r e e a b o u t t h e v a l u e o f t h e a s s e t i s d e t e r m i n e d b y h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i r p r i v a t e s i g n a l s , t h e q u a l i t y o f t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n i s d e t e r m i n e d y t h e c o r r e l a t i o n o f t h e i r s i g n a l s w i t h t h e a s s e t v a l u e . A l l o w i n g s i g n a l s t o b e c o r r e l a t e d a n d h a v e i (cid:11) e r e n t p r e c i s i o n s m a k e s i t e a s i e r t o i n v e s t i g a t e e c o n o m i c a l l y r e l e v a n t p r o b l e m s , l i k e t h e e (cid:11) e c t o f p u b l i c a n n o u n c e m e n t v e r s u s t h e e (cid:11) e c t o f p r i v a t e i n f o r m a t i o n . P u b l i c i n f o r m a t i o n w o u l d t r a n s l a t e n t h e m o d e l a s a h i g h l e v e l f o r t h e s i g n a l s ’ c o r r e l a t i o n . M o r e p r i v a t e i n f o r m a t i o n c o u l d b e m o d e l e d y i n c r e a s i n g t h e p r e c i s i o n o f o n e t r a d e r ’s i n f o r m a t i o n w i t h o u t c h a n g i n g t h e p r e c i s i o n o f t h e o t h e r r a d e r s ’ s i g n a l s . W h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s h a v e d i (cid:11) e r e n t p r e c i s i o n , t h e m o d e l c a n n o t b e o l v e d a n a l y t i c a l l y a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e u s e d . T r a d e s i z e a n d p r i v a t e i n f o r m a t i o n h a v e o f t e n b e e n r e l a t e d i n t h e l i t e r a t u r e . F o r e x a m p l e , a s l e y a n d O ’H a r a ( 1 9 8 7 ) , i n a m a r k e t - m a k e r s e t u p , p o i n t o u t t h a t \ t r a d e s i z e i n t r o d u c e s a n d v e r s e s e l e c t i o n p r o b l e m i n t o s e c u r i t y t r a d i n g , b e c a u s e g i v e n t h a t t h e y w i s h t o t r a d e , i n f o r m e d r a d e r s p r e f e r t o t r a d e l a r g e a m o u n t s a t a n y g i v e n p r i c e " ( p .6 9 ) . I n t h e p r e s e n t m o d e l , t h e q u a l i t y f t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n c a n b e r e l a t e d t o t h e f a t n e s s o f t a i l s , a s o n e m a y c o n j e c t u r e t h a t t h e r o b a b i l i t y o f l a r g e t r a d e s w o u l d i n c r e a s e w i t h t h e q u a l i t y o f t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n . L o o k i n g a t h e v o l u m e k u r t o s i s s e e m s a g o o d s t a r t i n g p o i n t . A s f a r a s l a r g e t r a d e s w o u l d m a k e t h e v o l u m e o r e a s y m m e t r i c , t h e s a m e c a s e c o u l d b e m a d e f o r t h e s k e w n e s s . I n t e r e s t i n g l y e n o u g h , t h e r e s u l t s h o w t h a t t h e e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n t h e i n f o r m a t i o n q u a l i t y o f o n e o r m o r e t r a d e r s o n t h e v o l u m e k e w n e s s a n d k u r t o s i s i s v e r y s e n s i t i v e t o t h e t h e d e g r e e o f a g r e e m e n t a m o n g t h e t r a d e r s a s m e a s u r e d y t h e c o e (cid:14) c i e n t o f c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i r s i g n a l s . D e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f t h i s p a r a m e t e r , k e w n e s s a n d k u r t o s i s c o u l d b e l o w w h i l e t h e t r a d e r s a r e w e l l i n f o r m e d , a n d h i g h w h e n t h e y a r e o t . F o s t e r a n d V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 6 ) , i n a m o d e l w i t h m u l t i p l e , d i (cid:11) e r e n t i a l l y i n f o r m e d t r a d e r s , l s o f o u n d t h a t \ t h e t r a d i n g o u t c o m e s d e p e n d c r i t i c a l l y o n t h e i n i t i a l c o r r e l a t i o n o f t h e i n f o r m e d r a d e r s ’ p r i v a t e s i g n a l s " ( p . 1 4 3 9 ) . H o w e v e r , t h e c o r r e l a t i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s h a s i t t l e e (cid:11) e c t o n t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e v o l u m e . T h e p a p e r b o r r o w s t e c h n i q u e s c l a s s i c a l l y s e d b y t h e n o i s y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s l i t e r a t u r e , s u c h a s n e g a t i v e e x p o n e n t i a l u t i l i t y , n o r m a l l y i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s , a n d s o m e n o i s e t r a d i n g . H o w e v e r , i n t h e p a p e r , t h e n o i s e d o e s n o t t e m f r o m a n e x o g e n o u s r a n d o m a s s e t s u p p l y , a s i s o f t e n t h e c a s e i n t h e l i t e r a t u r e , b u t f r o m a r i c e - s e n s i t i v e l i q u i d i t y d e m a n d . T h e (cid:12) r s t s e c t i o n o f t h e p a p e r i n t r o d u c e s t h e m o d e l . T h e s e c o n d s e c t i o n p r e s e n t s n u m e r i c a l x a m p l e s b a s e d o n d i (cid:11) e r e n t a s s u m p t i o n s a b o u t t h e d i s t r i b u t i o n o f i n f o r m a t i o n a c r o s s t r a d e r s . M o d e l h e p a p e r u s e s a s t a t i c r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s f r a m e w o r k w i t h o n e l i q u i d i t y t r a d e r a n d n i n f o r m e d r a d e r s , e a c h o b s e r v i n g a s i g n a l G , i = 1 ; : : : ; n , c o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t . F o r i a c h i n d e x i , t h e r a n d o m v a r i a b l e G h a s m e a n z e r o a n d v a r i a n c e o n e , t h e v e c t o r ( G ; : : : ; G ; x ) i s i 1 n 2
n (cid:21) t d I o i s c d t i (cid:18) i s E d s " ( r n n a P d n P o r m a l l y d i s t r i b u t e d . E a c h t r a d e r h a s a C A R A u t i l i t y f u n c t i o n u ( (cid:25) ) w i t h r i s k a v e r s i o n c o e (cid:14) c i e n t i i 2 . A g e n t i ’s p r o (cid:12) t , (cid:25) , i s t h e r a n d o m v a r i a b l e y ( x p ) , w h e r e y i s t h e d e m a n d o f t r a d e r i , x i i i i (cid:0) th h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t , a n d p t h e m a r k e t p r i c e . T h e ( n + 1 ) t r a d e r i s a n o i s e t r a d e r , w h o s e e m a n d i s y = b ( p " ) , w h e r e b > 0 , a n d " i s u n c o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t . n + 1 (cid:0) (cid:0) n t h e s i m u l a t i o n s , u n l e s s s p e c i (cid:12) e d o t h e r w i s e , v a r ( x ) e q u a l s v a r ( " ) , w h i c h w o u l d b e t h e v a r i a n c e f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e w i t h n o i n f o r m e d t r a d e r s . I n f o r m e d t r a d e r s s u b m i t d e m a n d s c h e d u l e s a s f u n c t i o n s o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e . E a c h n f o r m e d t r a d e r c h o o s e s y t o m a x i m i z e E [u ( (cid:25) ) G ; p ]. T h e f r a m e w o r k d e s c r i b e d a b o v e m u s t b e i i i j e e n a s a ‘r e d u c e d f o r m ’ o f a s t r u c t u r a l m o d e l , w h i c h w o u l d i n t r o d u c e a n o t h e r p e r i o d w h e r e a g e n t s o n s u m e b u t d o n o t t r a d e , a n d a r i s k l e s s a s s e t t h a t t r a d e r s c o u l d p u r c h a s e o r s e l l t o (cid:12) n a n c e t o e s i r e d h o l d i n g s o f r i s k y s e c u r i t i e s , a s i n D i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) . 2 L e t v = E [x G ; p ] a n d (cid:27) = v a r [x G ; p ]. A s ( p ; G ; : : : ; G ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , i n f o r m e d i i i 1 n i j j 1 r a d e r i ’ s d e m a n d i s y ( p ) = (cid:11) ( v p ) , w i t h (cid:11) = . T h e a g e n t t a k e s i n t o a c c o u n t t h a t p i i i i (cid:21) v a r [x G ;p ] i i (cid:0) j (cid:11) n n i s t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e , i .e ., p = (cid:6) , f o r i = 1 ; : : : ; n , a n d (cid:18) v + (cid:18) " , w i t h (cid:11) = (cid:6) (cid:11) , (cid:18) = i i n + 1 i i 1 1 b + (cid:11) n + 1 b th = ( i n t h e a p p l i c a t i o n s , b = 1 ) . N o t e t h a t (cid:6) (cid:18) = 1 , (cid:18) i s t h e w e i g h t o f t h e i t r a d e r n + 1 i i i= 1 b + (cid:11) n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e . A s a r e s u l t , t r a d e r i ’s e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n i s v i u c h t h a t n v = E [x G ; (cid:6) (cid:18) v + (cid:18) " ] ( 1 ) i i j j n + 1 j = 1 j q u a t i o n ( 1 ) i s a n e x a m p l e o f ‘i n (cid:12) n i t e r e g r e s s ’. F o r a n y t w o a g e n t s i a n d j , a g e n t i ’s v a l u a t i o n e p e n d s o n a g e n t j ’s v a l u a t i o n , i n t u r n , a g e n t j ’s v a l u a t i o n d e p e n d s o n a g e n t i ’s v a l u a t i o n , a n d o f o r t h . B e s i d e s , i n ( 1 ) , t r a d e r s h a v e t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e ‘n o i s e ’ i n j e c t e d i n t h e t r a d i n g b y . E q u i l i b r i u m v a l u a t i o n s c a n b e t h o u g h t o f a s s o l u t i o n s t o n s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s s i m i l a r t o 1 ) , w i t h i = 1 ; : : : ; n . S o l u t i o n s t o t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s m a y f a i l t o e x i s t . T h e l i m i t t o i n (cid:12) n i t e e g r e s s i s c o m m o n k n o w l e d g e , w h i c h , i n t h e a b s e n c e o f n o i s e , c a n r e s u l t i n a n e q u i l i b r i u m w h e r e o t r a d e t a k e s p l a c e , a s i n M i l g r o m a n d S t o c k e y ( 1 9 8 2 ) . A s p r o p o s i t i o n ( 1 ) s h o w s , i f t h e r e i s a o r m a l l y d i s t r i b u t e d s o l u t i o n v t o ( 1 ) , t h e n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s l i n e a r i n t h e t r a d e r s s i g n a l s (cid:3) n d t h e l i q u i d i t y n o i s e . r o p o s i t i o n 1 I f t h e r e i s a v e c t o r s a t i s f y i n g ( 1 ) a n d , , a n d a r e j o i n t ly n o r m a l ly v v G x " (cid:3) (cid:3) i s t r i b u t e d , t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i li b r i u m p r i c e i s li n e a r i n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a ls a n d t h e p (cid:3) o i s e t r a d e r ’ s li q u i d i t y s h o c k , t h a t i s , p = a G + a G + a " : ( 2 ) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 2 1 2 3 r o o f o f p r o p o s i t i o n 1 : S u p p o s e t h e r e i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d (cid:12) x e d p o i n t z = ( v ; G ; " ; x ) . R e c a l l (cid:3) (cid:3) 2 I n t h e n u m e r ic a l e x a m p le s , t h e r is k a v e r s io n c o e (cid:14) c ie n t is a s s u m e d t o b e e q u a l t o o n e . 3
n " . C o n s e q u e n t l y , z = ( G ; p ) i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v e c t o r , a n d t h a t p = (cid:6) (cid:18) v + (cid:18) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i n + 1 i i= 1 i i v = E [x G ; p ] i s l i n e a r i n G a n d p . W r i t i n g v = c G + d p , w e g e t t h a t p v e r i (cid:12) e s t h e (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i i i i i i i j f o l l o w i n g e q u a t i o n n n ( 1 (cid:6) (cid:18) d ) p = (cid:6) (cid:18) c G + (cid:18) " ( 3 ) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i i i i i= 1 i= 1 i n + 1 (cid:0) n S u p p o s e t h a t (cid:6) (cid:18) d = 1 , t h e n " a n d t h e G w o u l d b e c o r r e l a t e d , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e a s s u m p t i o n (cid:3) i i i= 1 i n t h a t t h e l i q u i d i t y s h o c k i s u n c o r r e l a t e d w i t h t h e s i g n a l s . H e n c e , (cid:6) (cid:18) d = 1 , a n d p c a n b e (cid:3) (cid:3) i i= 1 i 6 w r i t t e n a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s . W h e n t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l i s e q u a l a c r o s s t r a d e r s , t h e c o e (cid:14) c i e n t a , a , a h a v e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n . O t h e r w i s e , o n e h a s t o u s e (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 2 3 n u m e r i c a l t e c h n i q u e s . O f t e n i n t h e l i t e r a t u r e ( f o r e x a m p l e , D i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) , W a n g ( 1 9 9 4 ) ) e a c h t r a d e r ’s p r i v a t e s i g n a l i s a s s u m e d t o b e t h e s u m o f t h e t r u e a s s e t v a l u e a n d a ‘m e a s u r e m e n t e r r o r ’ t e r m , a s s u m e d t o i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d a c r o s s t r a d e r s ( i n t h a t s e n s e , t h e s i g n a l s a r e c o n d i t i o n a l l y i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d , w h e n c o n d i t i o n e d o n t h e t r u e a s s e t v a l u e ) . 2 3 I n t h e p r e s e n t f o r m u l a t i o n , t h i s b o i l s d o w n t o h a v i n g (cid:26) = (cid:26) = (cid:26) . T h e ‘m e a s u r e m e n t e r r o r ’ 1 2 a p p r o a c h d o e n o t a l l o w c h a n g i n g t h e p r e c i s i o n w i t h o u t a (cid:11) e c t i n g t h e c o r r e l a t i o n o f t h e s i g n a l s . 1 . 1 E q u i l i b r i u m w i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s w i t h e q u a l l y p r e c i s e s i g n a l s 1 . 1 . 1 R a t i o n a l e x p e c t a t i o n e q u i l i b r i u m A s s u m e t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r ’ s i g n a l s G a n d G a r e c o r r e l a t e d a n d h a v e t h e s a m e c o v a r i a n c e 1 2 w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e t r a d e d a s s e t , i .e ., t h e y h a v e t h e s a m e p r e c i s i o n . L e t (cid:13) = E [G G ] a n d 1 2 (cid:26) = E [x G ] = E [x G ]. S i n c e t h e v e c t o r s t a t e v e c t o r s ( G ; G ; x ; " ) a n d ( G ; G ; x ; " ) h a v e t h e 1 1 1 2 2 1 s a m e d i s t r i b u t i o n , G a n d G m u s t h a v e t h e s a m e c o e (cid:14) c i e n t i n e q u a t i o n ( 2 ) . W e c a n w r i t e 1 2 p = a ( G + G ) + b " ( 4 ) 1 2 T h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s a l s o e q u a l t o a n w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e t r a d e r ’s v a l u a t i o n o f t h e a s s e t a n d t h e l i q u i d i t y n o i s e . p = (cid:18) ( v + v ) + ( 1 2 (cid:18) ) " ( 5 ) 1 2 (cid:0) (cid:11) 1 1 1 1 w h e r e (cid:18) = , a n d (cid:11) = (cid:11) = = , w h i c h i m p l i e s t h a t (cid:18) = = 1 2 1 + (cid:11) + (cid:11) v a r ( x G ;p ) v a r ( x G ;p ) 2 + v a r ( x G ;p ) 1 2 1 2 1 j j j 1 . T h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ v a l u a t i o n s v , v a n d t h e w e i g h t (cid:18) d e p e n d o n t h e c o e (cid:14) c i e n t s a 2 1 2 3 E [v ] 1 (cid:0) a n d b i n e q u a t i o n ( 4 ) . T h e k e y i s t o (cid:12) n d v a l u e s f o r a a n d b s o t h a t e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) h o l d 3 2 i g x (cid:17) (cid:17) (cid:27) T o s e e t h is , le t t h e p r iv a t e s ig n a l o f t r a d e r b e = + . T h e a r e i.i.d w it h v a r ia n c e a n d a r e u n c o r r e la t e d i i i (cid:17) 2 2 2 2 x E x g E g g (cid:27) i j E g (cid:27) (cid:27) w it h . A ll t h e v a r ia b le s a r e jo in t ly n o r m a lly d is t r ib u t e d . A s [ ] = [ ] = , fo r = , a n d [ ] = + i i j x (cid:17) x i 2 6 (cid:27) (cid:27) x x 2 2 c o r r g ; x c o r r g ; g ( ) = , ( ) = . i i j 2 2 (cid:27) + (cid:27) + (cid:27) (cid:17) (cid:27) x p x (cid:17) 4
s T v C T t W F i e a p p i m u l t a n e o u s l y . T r a d e r 1 ’s e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n i s v s u c h t h a t , 1 v = E [x G ; p ] 1 1 j = E [x G ; a ( G + G ) + b " ] 1 1 2 j b = E [x G ; G + " ] 1 2 a j b = E [x G ; G (cid:13) G + " ] 1 2 1 ( 6 ) a j (cid:0) b = E [x G ] + E [x G (cid:13) G + " ] 1 2 1 a j j (cid:0) b c o v ( x ; G (cid:13) G + " ) 2 1 b a (cid:0) " ) = (cid:26) G + ( G (cid:13) G + b 1 2 1 a v a r ( G (cid:13) G + " ) 2 1 a (cid:0) (cid:0) (cid:26) ( 1 (cid:13) ) b (cid:0) = (cid:26) G + " ) ( G (cid:13) G + 2 2 1 2 1 a 1 + (cid:13) + ( b = a ) (cid:0) h e (cid:12) f t h l i n e c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t G (cid:13) G a n d " a r e u n c o r r e l a t e d w i t h G a n d t h a t a l l t h e 2 1 1 (cid:0) a r i a b l e s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . W e c o n c l u d e t h a t 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) (cid:0) (cid:0) v + v = (cid:26) ( G + G ) + ( G + G ) + " 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 + (cid:13) + ( b = a ) 1 + (cid:13) + ( b = a ) ( 7 ) 2 2 ( 1 (cid:13) ) + ( b = a ) 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) (cid:0) (cid:0) = (cid:26) ( G + G ) + " 2 2 2 2 1 2 1 (cid:13) + ( b = a ) 1 + (cid:13) + ( b = a ) (cid:0) o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 7 ) , w e g e t 1 2 2 2 2 (cid:18) ( 1 (cid:13) + ( b = a ) ) p = (cid:26) 2 ( 1 (cid:13) ) + ( b = a ) ( G + G ) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) ( 8 ) 2 2 2 2 + ( 1 (cid:13) 2 ( 1 (cid:13) ) (cid:26) + ( 1 (cid:13) ) ( b = a ) + 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) ( b = a ) " (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 ( 1 (cid:13) ) + ( b = a ) 2 2 (cid:0) o c o m p u t e (cid:18) , n o t e t h a t E [v . H e n c e , b = a , t h e r a t i o o f t h e c o e (cid:14) c i e n t o n " t o ] = (cid:26) 2 2 1 1 (cid:13) + ( b = a ) (cid:0) h e o n e o n G + G , m u s t b e s u c h t h a t 1 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 (cid:13) ) (cid:26) (cid:26) ( b = a ) + 1 (cid:13) + ( b = a ) + 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) ( b = a ) b = a = ( 9 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:26) ( 1 (cid:13) ) + (cid:26) ( b = a ) (cid:0) r i t e (cid:12) = b = a , t h e n , t h e e q u i l i b r i u m (cid:12) m u s t s o l v e t h e f o l l o w i n g c u b i c e q u a t i o n . 3 2 2 2 ’ ( (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:13) ) = (cid:26) (cid:12) ( 1 (cid:26) ) (cid:12) + ( 1 (cid:13) ) ( 2 (cid:26) (cid:13) 1 ) = 0 ( 1 0 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) o r (cid:13) a n d (cid:26) w h i c h y i e l d a p o s i t i v e d e (cid:12) n i t e c o v a r i a n c e m a t r i x f o r t h e s t a t e v e c t o r ( G ; G ; x ; " ) , t h e r e 1 2 4 s a u n i q u e r e a l s o l u t i o n t o t h e p r e v i o u s c u b i c e q u a t i o n . C a l l a ( (cid:26) ; (cid:13) ) a n d b ( (cid:26) ; (cid:13) ) t h e r e s u l t i n g (cid:3) (cid:3) q u i l i b r i u m c o e (cid:14) c i e n t s i n t h e p r i c i n g e q u a t i o n . W h e n (cid:13) = 1 , t h e s i g n a l o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s r e p e r f e c t l y c o r r e l a t e d a n d a a n d b c o l l a p s e t o t h e i r v a l u e s i n t h e o n e - i n f o r m e d - t r a d e r c a s e , a n d (cid:3) (cid:3) (cid:13) (cid:26) 1 1 (cid:13) (cid:26) 1 0 4 < (cid:13) < < (cid:26) < G ; G ; x ; " T h e m a t r ix w it h 1 1 a n d 0 1 is t h e c o v a r ia n c e m a t r ix o f ( ) 1 2 0 1 (cid:13) (cid:13) 1 0 (cid:0) 0 0 0 1 B C 2 (cid:13) > (cid:26) (cid:13) (cid:26) @ A r o v id e d it is p o s it iv e d e (cid:12) n it e , i.e , if a n d o n ly if 2 1 . O n c e h a s b e e n c h o s e n , m u s t b e b e t w e e n 0 a n d (cid:0) (cid:13) + 1 . 2 5
p 1 R t p i b p t ( c t o g b 1 T t t w c L (cid:27) d 2 (cid:26) G + ( 1 (cid:26) ) " (cid:0) = . 2 2 (cid:26) (cid:0) . 1 . 2 N a i v e e x p e c t a t i o n e q u i l i b r i u m e s e a r c h e r s a s s u m e s o m e t i m e s , f o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , t h a t t h e t r a d e r s a r e \ n a i v e " , t h a t i s , 5 h e i r v a l u a t i o n o f t h e a s s e t i s E [x G ] i n s t e a d o f E [x G ; p ]. T h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s t h e n i i j j 1 1 1 = = = (cid:18) ( v + v ) + ( 1 2 (cid:18) ) " , w i t h (cid:18) = , a n d v = (cid:26) G , 2 1 2 i i 2 + v a r ( x G ) 2 + v a r ( x G ) 3 (cid:26) 1 2 (cid:0) j j (cid:0) (cid:26) a n d = 1 ; 2 . C o n s e q u e n t l y , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s p = a ( G + G ) + b " , w i t h a = 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 2 3 (cid:26) 2 (cid:0) 1 (cid:26) (cid:0) = . T h o s e a r e t h e s a m e c o e (cid:14) c i e n t s a s t h e o n e s o b t a i n e d w i t h t w o r a t i o n a l t r a d e r s a n d 2 (cid:3) 3 (cid:26) (cid:0) e r f e c t l y c o r r e l a t e d s i g n a l s ( (cid:13) = 1 ) . T h i s s h o w s t h a t a s s u m i n g t h a t t h e t r a d e r s a r e n a i v e c a n l e a d o s o m e s e r i o u s m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n s . F i g u r e ( 1 ) d i s p l a y s t h e c o e (cid:14) c i e n t s a a n d b a s a f u n c t i o n o f (cid:26) f o r (cid:13) = 0 ( t h e s o l i d l i n e ) a n d (cid:13) = 1 t h e d o t t e d l i n e ) o b t a i n e d w i t h r a t i o n a l t r a d e r s , w i t h (cid:13) = 1 r e p r e s e n t i n g a l s o t h e n a i v e t r a d e r s ’ 1 a s e . N o t e t h a t w h e n (cid:13) = 0 , t h e m a x i m u m l e v e l o f (cid:26) i s , w h i l e w h e n (cid:13) = 1 , (cid:26) c a n t a k e v a l u e s u p p 2 o 1 . I n a l l c a s e s , a = 0 w h e n (cid:26) = 0 a n d r i s e s w i t h (cid:26) . T h e c o e (cid:14) c i e n t o n " i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n f (cid:26) i n t h e n a i v e c a s e , b u t c a n b e a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f (cid:26) i n t h e r a t i o n a l c a s e , a n d i s a l w a y s r e a t e r i n t h e r a t i o n a l c a s e t h a n i n t h e n a i v e c a s e . F i g u r e ( 2 ) d i s p l a y s r a t i o n a l e q u i l i b r i u m a a n d a s a f u n c t i o n o f (cid:26) , s e t t i n g (cid:13) e q u a l t o :5 , 0 , :5 , a n d 1 . (cid:0) . 2 E q u i l i b r i u m w i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s h a v e d i (cid:11) e r e n t p r e c i s i o n . h i s s e c t i o n d e v e l o p s a n a l g o r i t h m t o c o m p u t e a s o l u t i o n t o t h e (cid:12) x e d p o i n t p r o b l e m f o r t h e i n f o r m e d r a d e r s ’ v a l u a t i o n s ( e q u a t i o n ( 1 ) ) . W e c h e c k e d t h a t , w h e n t h e i n f o r m a t i o n p r e c i s i o n i s e q u a l a c r o s s r a d e r s , t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d n u m e r i c a l l y a r e i d e n t i c a l t o t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s . E q u a t i o n ( 1 ) c a n b e r e w r i t t e n a s a n e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r a g e n t i ’s v a l u a t i o n ( e q u a t i o n ( 1 1 ) . ( p + 1 ) ( p ) ( p ) ( p ) v = E [x G ; (cid:6) (cid:18) v + (cid:18) " ] ( 1 1 ) i j n + 1 i j j j (p ) (cid:11) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) b 1 i ( p ) h e r e (cid:18) = , f o r i = 1 ; : : : ; n , (cid:18) = . (cid:11) = (cid:6) (cid:11) , (cid:11) = , (cid:27) b e i n g t h e (p ) (p ) (p ) n + 1 i j i i b + (cid:11) b + (cid:11) (cid:21) (cid:27) i i th o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f x c o n d i t i o n e d o n a g e n t i i n f o r m a t i o n i n t h e p r u n o f t h e a l g o r i t h m . ( p ) ( p ) ( p ) 2 2 2 (cid:27) = E [( x v ) ] = E [x ] E [( v ) ] ( 1 2 ) i i i (cid:0) (cid:0) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) 2 ( p ) ( p + 1 ) 0 0 e t v = ( v ) , a n d (cid:27) = ( [(cid:27) ] ) . G i v e n v , e q u a t i o n ( 1 1 ) d e t e r m i n e s v , t h e i= 1 ;:::;n i= 1 ;:::;n i i ( p ) ( p ) u s e d t o c o m p u t e t h e w e i g h t s a r e o b t a i n e d f r o m e q u a t i o n ( 1 2 ) . M o r e o v e r , i f v i s n o r m a l l y ( p + 1 ) ( p + 1 ) ( p ) i s t r i b u t e d , s o i s v . L e t H b e t h e m a p p i n g d e (cid:12) n e d b y v = H ( v ) . I f H h a s a (cid:12) x e d 5 T h is is d o n e m o s t ly in d y n a m ic m o d e ls w h e n t h e r a t io n a l e x p e c t a t io n e q u ilib r iu m w o u ld b e in t r a c t a b le . 6
p z i v a n t (cid:12) t a t s m ( ( v ( F c w a s a ( p ) o i n t , c a l l e d i t v , t h e n v s o l v e s ( 1 ) . T o s i m p l i f y c o m p u t a t i o n s , d e (cid:12) n e a n e w s t a t e v e c t o r z . L e t (cid:3) (cid:3) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) = ( v ; G ; " ; x ) , a n d (cid:6) = v a r ( z ) . T h e w h o l e s t a t e o f t h e r e c u r s i v e u p d a t i n g o f e x p e c t a t i o n ( p ) s d e s c r i b e d b y (cid:6) . ( 0 ) n C h o o s e a s i n i t i a l v a l u e v t h e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v e c t o r ( E [x G ]) ; b y i n d u c t i o n , t h e i i= 1 j ( p ) ( p ) a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d f o r a l l p ’s . H e n c e , o n e n e e d o n l y c a r e a b o u t t h e (cid:6) , w h i c h e v o l v e ( p + 1 ) ( p ) c c o r d i n g t o (cid:6) = F ( (cid:6) ) . F i s a n o n - l i n e a r f u n c t i o n d u e t o t h e u p d a t i n g o f t h e (cid:18) s . I c o u l d 0i o t s h o w t h e e x i s t e n c e o f a (cid:12) x e d p o i n t ; i n s t e a d , a (cid:12) x e d p o i n t w a s o b t a i n e d f o r F u s i n g n u m e r i c a l e c h n i q u e s . H o w e v e r , t h e u n i c i t y o f t h e e q u i l i b r i u m i s n o t e s t a b l i s h e d . I n t h e c a s e s s t u d i e d , t h e x e d p o i n t m a t r i x (cid:6) i s n o n s i n g u l a r , i .e ., v h a s a n o n d e g e n e r a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n . O n e c a n (cid:3) (cid:3) h e n c a l c u l a t e t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e t r a d i n g v o l u m e a n d t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t , n d c o m p u t e s o m e s t a t i s t i c s d e s c r i b i n g t h e t r a d i n g v o l u m e . O n e c a n v e r i f y t h a t , w i t h o u t i n f o r m e d r a d e r s , n o a g e n t t r a d e s , w h i c h i s i n l i n e w i t h t h e n o - t r a d e t h e o r e m s . W h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ i g n a l s h a v e t h e s a m e p r e c i s i o n , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n y i e l d s t h e s a m e e q u i l i b r i u m c o v a r i a n c e a t r i x f o r t h e s t a t e v e c t o r ( a n d t h e s a m e c o e (cid:14) c i e n t a a n d b i n ( 4 ) ) a s t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n . ( k ) th T o c o m p u t e ( 1 1 ) , n o t e t h a t , i f p i s t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e f o r t h e k r u n o f t h e a l g o r i t h m , ( k + 1 ) ( k ) ( k ) G ; p ; x ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . H e n c e v = E [x G ; p ] i s t h e l i n e a r p r o j e c t i o n o f x o n i i i j ( k + 1 ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) n G ; p ) . U s i n g t h e s t a t e s p a c e r e p r e s e n t a t i o n , o n e g e t s v = (cid:1) z . L e t (cid:1) = ( (cid:1) ) , i i= 1 i i i ( k ) (cid:1) ( k + 1 ) ( k ) ( k ) ( k ) = (cid:1) z . L e t (cid:0) = , 0 i s a ( n + 2 ) n v e c t o r o f z e r o e s a n d I i s t h e n + 2 0 1 (cid:2) 0 I n + 2 @ A n + 2 ) ( n + 2 ) i d e n t i t y m a t r i x . W e g e t (cid:2) ( p + 1 ) ( k ) ( k ) z = (cid:0) z ( 1 3 ) p + 1 ( k ) ( k ) ( k ) 0 (cid:6) = (cid:0) (cid:6) (cid:0) ( k ) u r t h e r m o r e , a t e a c h i t e r a t i o n , p i s a l s o l i n e a r i n t h e s t a t e v a r i a b l e s . T h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e s a n b e r e c u r s i v e l y c o m p u t e d a s f o l l o w s . ( k ) ( k ) ( k ) (cid:27) = (cid:18) (cid:6) (cid:18) (cid:18) (cid:6) (cid:18) ; ( 1 4 ) 0 0 x x v v i i i (cid:0) h e r e (cid:18) a n d (cid:18) a r e s e l e c t i o n m a t r i c e s s u c h t h a t x = (cid:18) z , a n d v = (cid:18) z . L e t z = ( G ; G ; " ; x ) 0 x v x i v 0 1 2 i i n d M = c o v ( z ) . T h e e l e m e n t s o f z a r e t h e f u n d a m e n t a l p a r a m e t e r s d e (cid:12) n i n g t h e p r o b l e m . W e 0 0 0 ( 0 ) ( 0 ) 2 2 t a r t t h e r e c u r s i o n s w i t h v = E [x G ] = E [x G ]G , a n d ( (cid:27) ) = v a r ( x G ) = (cid:27) E [x G ] . i i i i i x i i j j (cid:0) I n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s , d e m a n d s f o r t h e a s s e t { a s f u n c t i o n s o f t h e i n f o r m e d a g e n t s ’ v a l u a t i o n s n d t h e l i q u i d i t y s h o c k { a r e d e r i v e d i n t h e c a s e o f t w o i n f o r m e d t r a d e r s . F o r m u l a s c a n b e g e n e r a l i z e d 7
t T T e L E T c e i 2 2 T (cid:6) w c c t t a o d a P d a o s i t u a t i o n s w i t h m o r e t r a d e r s . (cid:11) 1 y = [( b + (cid:11) ) v (cid:11) v b " ] 1 2 1 2 2 b + (cid:11) (cid:0) (cid:0) (cid:11) 2 y = [ (cid:11) v + ( b + (cid:11) ) v b " ] 2 1 1 1 2 b + (cid:11) (cid:0) (cid:0) ( 1 5 ) b y = [(cid:11) v + (cid:11) v (cid:11) " ] (cid:0) 3 1 1 2 2 b + (cid:11) (cid:0) b p = [(cid:11) v + (cid:11) v + b " ] (cid:0) 1 1 2 2 b + (cid:11) h e n , o n e c a n c o m p u t e t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e z e r o m e a n v e c t o r ( y ; y ; y ; x ; p ) . 1 2 3 h i s m a t r i x w i l l b e u s e d t o d e r i v e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t r a d i n g v o l u m e . T h e m o d e l c o u l d b e x t e n d e d t o s t u d y h o w a g e n t s w i t h d i (cid:11) e r e n t p r i v a t e s i g n a l s i n t e r p r e t p u b l i c i n f o r m a t i o n d i (cid:11) e r e n t l y . e t u b e a p u b l i c s i g n a l o b s e r v e d b y e v e r y t r a d e r . A g e n t i ’s e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n v b e c o m e s i i i i [x G ; u ; p ]. A s s u m i n g t h a t a l l r a n d o m v a r i a b l e s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , v = (cid:12) G + (cid:12) u + (cid:12) p . i i i u p G i j i h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t o f t h e p u b l i c l y r e l e a s e d i n f o r m a t i o n o n t r a d e r i ’s v a l u a t i o n (cid:12) d e p e n d s o n t h e u o r r e l a t i o n b e t w e e n x , u , G , a n d p , a n d m a y v a r y s i g n i (cid:12) c a n t l y a c r o s s t r a d e r s . H e n c e a r a t i o n a l i x p e c t a t i o n m o d e l ( w h e r e b y d e (cid:12) n i t i o n a g e n t s d o n ’t d i s a g r e e o n t h e m o d e l ) c a n g e n e r a t e d i (cid:11) e r e n t i a l 6 n t e r p r e t a t i o n o f p u b l i c s i g n a l s a n d t r a d e . T r a d i n g v o l u m e s t a t i s t i c s . 1 P r e l i m i n a r y s t u d i e s h e t r a d i n g v o l u m e i s d e (cid:12) n e d t o b e t h e s u m o f t h e p o s i t i v e p a r t s o f t h e t r a d e r s ’ d e m a n d s , i .e ., z = n + 1 + + y , w h e r e y i s t h e d e m a n d ( n e g a t i v e o r p o s i t i v e ) o f a g e n t i f o r t h e a s s e t , a n d y = I [y > 0 ] y , i i i i= 1 i i i t h I b e i n g t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n . A s z i s t h e s u m o f t h e t r u n c a t e d d e m a n d y ’s , t h e s t a t i s t i c s i h a r a c t e r i z i n g z d e p e n d n o t o n l y o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f e v e r y i n d i v i d u a l y , b u t a l s o o n t h e c r o s s - i o r r e l a t i o n s , w h i c h d e p e n d s i n t u r n i n v e r y n o n - l i n e a r w a y s o n t h e c r o s s - c o r r e l a t i o n s o f t h e i n f o r m e d r a d e r s ’ s i g n a l s , t h a t i s , o n h o w m u c h t h e y a g r e e . T h e t r a d e r s ’ d e m a n d s a r e c r o s s - c o r r e l a t e d e v e n i f h e o r i g i n a l s i g n a l s a r e n o t f o r t w o r e a s o n s . F i r s t e a c h i n d i v i d u a l e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n d e p e n d o n l l t h e o t h e r v a l u a t i o n s , t h i s m i g h t i n d u c e c o r r e l a t i o n a c r o s s t h e m . S e c o n d , t h e d e m a n d s d e p e n d n p r i c e , w h i c h i s a w e i g h t e d a v e r a g e o f t r a d e r s ’ v a l u a t i o n s . B e s i d e s , a s p r o p o s i t i o n ( 2 ) s h o w s , t h e e m a n d o f a w e l l - i n f o r m e d t r a d e r w i l l h a v e t h e s a m e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s , a n d k u r t o s i s 7 s t h e d e m a n d o f a n o n - i n f o r m e d o n e . T h i s i s b e c a u s e t h e s e m e a s u r e s a r e n o r m a l i z e d . r o p o s i t i o n 2 T h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d k u r t o s i s o f t h e e a c h i n f o r m e d t r a d e r ’ s e m a n d a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r ’ s s i g n a l a n d t h e c o r r e la t i o n b e t w e e n 6 A d i(cid:11) e r e n t a p p r o a c h is t a k e n b y H a r r is a n d R a v iv ( 1 9 9 3 ) , a n d K a n d e l a n d P e a r s o n ( 1 9 9 5 ) . 3 E [(! E [! ]) ] 7 (cid:27) ! (cid:0) 3 ! c ! s ! R e c a ll t h a t , fo r a r a n d o m v a r ia b le , t h e c o e (cid:14) c ie n t o f v a r ia t io n is ( ) = , t h e s k e w n e s s is ( ) = , E [! ] 2 v a r (! ) 4 E [(! E [! ]) ] (cid:0) 2 k ! n d t h e k u r t o s is is ( ) = . v a r (! ) 8
t n T d p P t d T p t t o m T w t o d i r a a d c c t t ( h e s e s i g n a ls , a n d a r e e q u a l t o t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d k u r t o s i s o f a s t a n d a r d o r m a l r a n d o m v a r i a b le t r u n c a t e d a t z e r o . h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . T h e d e p e n d e n c e o f t h e t r a d i n g v o l u m e ’s n o r m a l i z e d s t a t i s t i c s o n t h e c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e e m a n d i s m a d e c l e a r i n t h e c a s e o f o n e l i q u i d i t y t r a d e r a n d t w o i n f o r m e d t r a d e r s , a s s h o w n i n r o p o s i t i o n ( 3 ) . r o p o s i t i o n 3 W i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s a n d o n e li q u i d i t y t r a d e r t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , h e s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s o f t h e a g g r e g a t e v o lu m e d e p e n d o n ly o n t h e c o r r e la t i o n b e t w e e n t h e e m a n d s o f t h e t w o i n f o r m e d t r a d e r s , a n d t h e r a t i o o f t h e v a r i a n c e s o f t h e d e m a n d s h e p r o o f i s i n t h e a p p e n d i x . A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f p r o p o s i t i o n ( 3 ) i s t h a t , i f t h e i n f o r m e d t r a d e r s h a v e i d e n t i c a l l y r e c i s e i n f o r m a t i o n ( i .e ., (cid:26) = (cid:26) ) , t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , t h e s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s o f 1 2 h e a g g r e g a t e t r a d i n g v o l u m e d e p e n d o n l y o n t h e h o w t h e y a g r e e , i .e ., o n t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n h e t w o i n i t i a l s i g n a l s . P r o p o s i t i o n ( 3 ) a l s o s h o w s t h a t t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , t h e s k e w n e s s r t h e k u r t o s i s c a n n o t b e u s e d t o d e t e c t d i (cid:11) e r e n c e s b e t w e e n t h e o v e r a l l i n f o r m a t i o n q u a l i t y o f t w o a r k e t s w h e n t h e q u a l i t y o f t h e p r i v a t e i n f o r m a t i o n i s e q u a l a c r o s s t r a d e r s w i t h i n e a c h m a r k e t . h o s e s t a t i s t i c s w i l l b e t h e s a m e i n a m a r k e t w i t h i d e n t i c a l l y p o o r l y i n f o r m e d t r a d e r s a n d i n o n e i t h i d e n t i c a l l y w e l l i n f o r m e d t r a d e r s . W i t h t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s , i n a m o d e l w i t h t w o i n f o r m e d r a d e r s a n d o n e l i q u i d i t y t r a d e r , a r e p l o t t e d o n F i g u r e ( 3 ) a s f u n c t i o n s o f t h e r a t i o o f t h e v a r i a n c e f t h e i n f o r m e d t r a d e r s a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i r d e m a n d s . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h e 8 e m a n d v a r i a n c e r a t i o c a n b e c o n s t r a i n e d t o b e b e t w e e n z e r o a n d o n e W h e n o n e t r a d e r h a s n o n f o r m a t i o n , t h e d e m a n d v a r i a n c e r a t i o i s z e r o , w h e n b o t h t r a d e r s a r e e q u a l l y w e l l i n f o r m e d , t h e a t i o i s o n e . W h e n t h e r a t i o d e c r e a s e s , t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n t e n d s t o g o u p , b u t t h e s k e w n e s s n d t h e k u r t o s i s g o u p o r d o w n , d e p e n d i n g o n t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e d e m a n d . B e s i d e s , f o r n y g i v e n v a l u e o f t h e v a r i a n c e r a t i o , t h e e (cid:11) e c t o f i n c r e a s i n g t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t r a d e r s ’ e m a n d s i s n o t m o n o t o n i c . U l t i m a t e l y , t h e n o n - m o n o t o n i c i t i e s i n t h e r e l a t i o n b e t w e e n d e m a n d s ’ h a r a c t e r i s t i c s ( v a r i a n c e r a t i o a n d c o r r e l a t i o n ) a n d v o l u m e c h a r a c t e r i s t i c s a r e c o m p o u n d e d b y t h e o m p l e x i t y o f t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n a n d t h o s e o f h e i r d e m a n d s . S t i l l , t h e g r a p h s r e v e a l s o m e c h a r a c t e r i s t i c s o f v o l u m e w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f h e d e m a n d c o v a r i a n c e s t r u c t u r e . A g g r e g a t e v o l u m e e x h i b i t s p o s i t i v e s k e w n e s s a n d e x c e s s k u r t o s i s i .e ., k u r t o s i s s u p e r i o r t o 3 , t h e v a l u e f o r a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v a r i a b l e ) . I t s m e a n i s s u p e r i o r 8 I f t h e r a t io w e r e s u p e r io r t o o n e , o n e w o u ld r e la b e l t h e t w o a g e n t s a n d in v e r t t h e r a t io . 9
t o i t s m e d i a n a n d t h e t a i l o f i t s d i s t r i b u t i o n i s f a t t e r t h a n f o r a n o r m a l d i s t r i b u t i o n . I n s u m , i t s d i s t r i b u t i o n i s d o m i n a t e d b y r a r e o c c u r r e n c e o f l a r g e s u r g e s i n v o l u m e . 2 . 2 N u m e r i c a l e x a m p l e s T h e f u n d a m e n t a l p a r a m e t e r s a r e : t h e c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s i g n a l s a n d t r u e a s s e t v a l u e ( (cid:26) 1 2 a n d (cid:26) ) , t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s e s i g n a l s ( (cid:13) ) , a n d t h e v a r i a n c e o f t h e l i q u i d i t y s h o c k ( (cid:27) ) . 2 " T h e (cid:12) n a l o b j e c t s o f i n t e r e s t a r e t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e e q u i l i b r i u m p r i c e a n d a g g r e g a t e v o l u m e : t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e , i t s c o r r e l a t i o n w i t h t h e a s s e t v a l u e ( i t s ‘i n f o r m a t i v e n e s s ’) , t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e a g g r e g a t e v o l u m e , i t s c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d k u r t o s i s . B y c o n s t r u c t i o n , t h e m e a n p r i c e i s z e r o . T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e f u n d a m e n t a l s a n d t h e (cid:12) n a l o b j e c t o f a n a l y s i s a r e c o m p l e x , a n d f e w c o n c l u s i o n s c a n b e d e r i v e d a n a l y t i c a l l y . T h e r e f o r e , I r e s o r t t o s i m u l a t i o n s , v a r y i n g s o m e p a r a m e t e r s a n d t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h e e (cid:11) e c t o n t h e p r i c e a n d 9 t h e v o l u m e . T h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s i n t e r a c t w i t h t h e l i q u i d i t y s h o c k a t t w o s t a g e s : t h e f o r m a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n s , a n d t h e f o r m a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m v o l u m e . T h i s c o m p l e x m i x i n g o f t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n m a y e x p l a i n t h e n o n - l i n e a r i t i e s i n t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e f u n d a m e n t a l s o n o n e s i d e , a n d t h e p r i c e a n d t h e a g g r e g a t e v o l u m e o n t h e o t h e r . O n e r e s u l t t h a t c a n b e d e r i v e d a n a l y t i c a l l y i s t h a t , w i t h a l i q u i d i t y t r a d e r a n d a s i n g l e i n f o r m e d t r a d e r , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e v a r i a n c e , i t s i n f o r m a t i v e n e s s , t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e e q u i l i b r i u m v o l u m e a r e i n c r e a s i n g i n t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s s i g n a l . A s s h o w n b e l o w , t h e s e r e s u l t s a r e s t i l l v a l i d w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s . I c o n s t r u c t f o u r e x p e r i m e n t s . A s t h e e (cid:11) e c t o f v a r y i n g o n e p a r a m e t e r m i g h t d e p e n d o n t h e v a l u e o f a l l t h e o t h e r s , f o r e a c h e x p e r i m e n t , I v a r y t w o p a r a m e t e r s , a n d p r o d u c e a t h r e e - d i m e n s i o n a l g r a p h a n d a c o n t o u r g r a p h , w h e r e a d a r k e r s h a d e i n d i c a t e s l o w e r v a l u e s f o r t h e v a r i a b l e . I n t h e (cid:12) r s t e x p e r i m e n t , t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l i s i d e n t i c a l a c r o s s t r a d e r s ( (cid:26) = (cid:26) = (cid:26) ) , I v a r y t h e 1 2 c o m m o n l e v e l o f t h e p r e c i s i o n a n d t h e c o r r e l a t i o n o f t h e s i g n a l s ( (cid:13) ) . I n t h e s e c o n d e x p e r i m e n t , t h e p r e c i s i o n o f t h e s e c o n d s i g n a l i s m a i n t a i n e d c o n s t a n t a t 0 :5 , w h i l e I v a r y t h e p r e c i s i o n o f t h e (cid:12) r s t s i g n a l a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o s i g n a l s . I n t h e t h i r d e x p e r i m e n t , t h e c o r r e l a t i o n a m o n g s i g n a l s i s s e t e q u a l t o z e r o , a n d I v a r y t h e p r e c i s i o n o f e a c h s i g n a l i n d e p e n d e n t l y . I n t h e f o u r t h e x p e r i m e n t , t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l i s i d e n t i c a l a c r o s s t r a d e r s , I v a r y t h e c o m m o n l e v e l o f t h e p r e c i s i o n a n d t h e v a r i a n c e o f t h e l i q u i d i t y s h o c k . I n t h e f o l l o w i n g , I d e s c r i b e t h e m a i n f e a t u r e s o f t h e g r a p h s a n d t r y t o g i v e s o m e i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n s f o r t h e m . F u r t h e r m o r e , r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n t a b l e ( 2 ) F o r e a c h e x p e r i m e n t , I e s t i m a t e t h e s e m i - e l a s t i c i t i e s o f s o m e o b s e r v a b l e m a r k e t s t a t i s t i c s { t h e p r i c e v a r i a n c e , t h e v o l u m e m e a n a n d v a r i a n c e { w i t h r e s p e c t t o t h e p a r a m e t e r s 9 + ! ! T o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e s im u la t io n s ’ r e s u lt s , r e c a ll t h a t if is a n o r m a lly d is t r ib u t e d r a n d o m v a r ia b le , a n d + + + + ! v a r ! c ! s ! k ! : : : is t h e p o s it iv e t r u n c a t io n o f , t h e a p p r o x im a t e v a lu e s fo r ( ) , ( ) , ( ) , a n d ( ) a r e 0 3 4 , 1 4 6 , 1 6 4 , : a n d 5 4 1 . 1 0
u m v b i v b p (cid:18) a g p v (cid:26) t c a i p s p s v t i s t a G t t s e d i n t h e e x p e r i m e n t . T h e s e m i - e l a s t i c i t i e s a r e o b t a i n e d b y r e g r e s s i n g t h e l o g a r i t h m s o f t h e a r k e t s t a t i s t i c s o n a c o n s t a n t a n d t h e l e v e l s o f t h e p a r a m e t e r s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s . I n t h e (cid:12) r s t e x p e r i m e n t , I v a r y t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s i g n a l s a n d t h e c o m m o n a l u e o f t h e i r p r e c i s i o n . T h e g r a p h s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e s ( 4 ) t o ( 7 ) . W h a t e v e r t h e c o r r e l a t i o n e t w e e n t h e s i g n a l s i s , i n c r e a s i n g t h e i r c o m m o n p r e c i s i o n t e n d s t o r a i s e t h e p r i c e v a r i a n c e , i t s n f o r m a t i v e n e s s , t o g e t h e r w i t h t h e v o l u m e m e a n a n d v a r i a n c e , w h i l e l o w e r i n g t h e c o e (cid:14) c i e n t o f a r i a t i o n . T h e e (cid:11) e c t o n t h e s k e w n e s s a n d k u r t o s i s i s l e s s c l e a r , a s i t d e p e n d s o n t h e c o r r e l a t i o n e t w e e n t h e s i g n a l s . T o s h e d s o m e l i g h t o n t h e p a t t e r n s f o r p r i c e , r e c a l l t h a t t h e m a r k e t - c l e a r i n g r i c e i s a w e i g h t e d s u m o f t h e v a l u a t i o n s a n d t h e n o i s e : p = (cid:18) v + (cid:18) v + ( 1 (cid:18) (cid:18) ) " , w i t h 1 1 2 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:11) 1 i = , a n d (cid:11) = , f o r i = 1 ; 2 . T h e m o r e p r e c i s e t h e o r i g i n a l s i g n a l s a r e , t h e h i g h e r i i (cid:11) + (cid:11) + b v a r ( x G ;p ) 1 2 i j r e t h e v a r i a n c e o f t h e v a l u a t i o n s , t h e i r c o r r e l a t i o n , a n d t h e i r w e i g h t (cid:18) . H e n c e , m o r e p r e c i s e s i g n a l s i e n e r a t e a m o r e v o l a t i l e a n d i n f o r m a t i v e m a r k e t p r i c e . A s f o r t h e p a t t e r n s f o r v o l u m e , w i t h m o r e r e c i s e i n f o r m a t i o n , e a c h t r a d e r ’s d e m a n d b e c o m e s m o r e v o l a t i l e , r e s u l t i n g i n a h i g h e r a n d m o r e o l a t i l e a g g r e g a t e v o l u m e . T h e p r e c i s i o n o f t h e p r i c e t e n d s t o g o d o w n a s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s i g n a l s i n c r e a s e s w h e n :5 ( f o r l o w e r v a l u e s o f (cid:26) , t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s a s a f u n c t i o n o f (cid:13) t e n d s t o h a v e a U - s h a p e (cid:21) h a t i s m o r e d i (cid:14) c u l t t o e x p l a i n ) . T h a t t h e p r i c e m i g h t b e l e s s i n f o r m a t i v e w h e n t h e s i g n a l s a r e m o r e o r r e l a t e d i s q u i t e i n t u i t i v e s i n c e t h e m a r k e t p r i c e i s a n o i s y a g g r e g a t e o f t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n ; m o r e d i v e r s e p o o l o f p r i v a t e s i g n a l s ( a l o w c o r r e l a t i o n b e t w e e n s i g n a l s ) w i l l g e n e r a t e a m o r e n f o r m a t i v e e q u i l i b r i u m p r i c e . T h i s i n t u i t i o n i s e v e n c l e a r e r f o r a t o t a l l y r e v e a l i n g p r i c e , i .e ., f o r = E [x G ; G ]; a s t h e c o r r e l a t i o n c o e (cid:14) c i e n t b e t w e e n G a n d G g e t s s m a l l e r , t h e p a i r ( G ; G ) (cid:3) 1 2 1 2 1 2 j p a n s m o r e o f t h e s p a c e o f t h e p o s s i b l e r e a l i z a t i o n s o f x a n d m a k e s t h e r e s u l t i n g e q u i l i b r i u m p r i c e m o r e i n f o r m a t i v e . O f c o u r s e , i n o u r c a s e , t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e i s a n o i s y a g g r e g a t e o f t h e (cid:3) i g n a l s , b u t t h e i n t u i t i o n s h o u l d h o l d . T h e v a r i a n c e o f t h e v o l u m e i s i n c r e a s i n g w i t h t h e c o r r e l a t i o n o f t h e s i g n a l s , w h i l e t h e m e a n o l u m e i s d e c r e a s i n g i n t h i s p a r a m e t e r . T h e e (cid:11) e c t o f i n c r e a s i n g t h e c o r r e l a t i o n o f t h e s i g n a l s o n h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , t h e s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s o f t h e v o l u m e d e p e n d s o n t h e l e v e l o f t h e n f o r m a t i o n p r e c i s i o n . T h e l a s t t h r e e s t a t i s t i c s a t t a i n t h e i r m i n i m u m w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ i g n a l s a r e v e r y p r e c i s e a n d n o t c o r r e l a t e d . T h i s s h o w s t h a t i n f o r m e d t r a d i n g d o e s n o t a l w a y s r a n s l a t e i n t o f a t t a i l s i n t h e d i s t r i b u t i o n o f v o l u m e . I n t h e s e c o n d e x p e r i m e n t , t h e p r e c i s i o n o f t h e s e c o n d s i g n a l i s m a i n t a i n e d c o n s t a n t t , w h i l e I v a r y t h e p r e c i s i o n o f t h e (cid:12) r s t s i g n a l a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s i g n a l s . 0 :5 r a p h s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e s ( 8 ) a n d ( 1 1 ) . W h a t e v e r t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s i g n a l s i s , i n c r e a s i n g h e p r e c i s i o n o f o n e s i g n a l r a i s e s t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s c o r r e l a t i o n w i t h t h e t r u e v a l u e o f h e a s s e t . T h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e v o l u m e t e n d a l s o t o i n c r e a s e . T h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , 1 1
t t d i o t k w i G c t a t t I v s f (cid:13) a p m t i h e s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s l i n g e r i n s i d e a n a r r o w b a n d . A s i n c a s e 1 , t h e y a r e t h e l o w e s t w h e n h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l s i s h i g h a n d t h e i r c o r r e l a t i o n l o w . I n t h e t h i r d e x p e r i m e n t , I i n c r e a s e t h e q u a l i t y o f t h e t w o t r a d e r s ’ s i g n a l s i n d e p e n e n t l y , w h i l e m a i n t a i n i n g a t z e r o t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s i g n a l s . G r a p h s a r e d i s p l a y e d n F i g u r e s ( 1 2 ) a n d ( 1 5 ) . W h a t e v e r t h e p r e c i s i o n o f o n e t r a d e r ’s s i g n a l i s , i n c r e a s i n g t h e p r e c i s i o n f t h e o t h e r t r a d e r ’s s i g n a l i n c r e a s e s t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e , i t s c o r r e l a t i o n w i t h t h e t r u e v a l u e o f h e a s s e t , a n d t h e v o l u m e m e a n a n d v a r i a n c e . T h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , t h e s k e w n e s s a n d t h e u r t o s i s d i s p l a y n o n - l i n e a r p a t t e r n s w h i l e v a r y i n g l i t t l e . N o t i c e t h a t t h o s e v a r i a b l e s a t t a i n a v a l l e y h e n t h e p r e c i s i o n o f b o t h s i g n a l s p r e c i s i o n a r e t h e h i g h e s t . I n t h e f o u r t h e x p e r i m e n t , I v a r y t h e v a r i a n c e o f t h e l i q u i d i t y s h o c k a n d t h e c o m m o n n f o r m a t i o n p r e c i s i o n o f t h e t r a d e r s . T h e c o r r e l a t i o n o f t h e i r s i g n a l s i s k e p t (cid:12) x e d a t z e r o . r a p h s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e s ( 1 6 ) a n d ( 1 9 ) . R e c a l l t h a t , t h e w a y t h e l i q u i d i t y d e m a n d h a s b e e n o n s t r u c t e d , w i t h o u t i n f o r m e d t r a d e r s , t h e v a r i a n c e o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e w o u l d b e e q u a l t o 2 h e v a r i a n c e o f t h e l i q u i d i t y s h o c k (cid:27) . F r o m t h e o n s e t , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t r u e v a l u e o f t h e " s s e t w a s s e t e q u a l t o t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e w i t h n o i n f o r m e d t r a d i n g . A s h e v a r i a n c e o f t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t i s (cid:12) x e d t o u n i t y , 1 r e p r e s e n t s t h e \ r e f e r e n c e " l e v e l f o r 2 h e l i q u i d i t y s h o c k v a r i a n c e , w h i c h g i v e s a n i d e a o f t h e r a n g e o f (cid:27) u s e d i n t h e c u r r e n t e x p e r i m e n t . " n c r e a s i n g t h e l i q u i d i t y v a r i a n c e r a i s e s t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e v o l u m e w h i l e i n c r e a s i n g t h e a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d d e c r e a s i n g i t s i n f o r m a t i v e n e s s . N o t i c e t h a t t h e e (cid:11) e c t o f a h i g h e r l i q u i d i t y h o c k v a r i a n c e o n t h e o b s e r v a b l e c h a r a c t e r i s t i c s o f p r i c e a n d v o l u m e a r e q u a l i t a t i v e l y t h e s a m e a s o r a n i n c r e a s e i n t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n p r e c i s i o n , w h i l e t h e e (cid:11) e c t o n t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i p p e d a r o u n d . A n i n c r e a s e i n t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i v a t e s i g n a l s m a y b e d i s t i n g u i s h e d f r o m n i n c r e a s e i n t h e l i q u i d i t y v a r i a n c e v i a t h e s i z e o f t h e e (cid:11) e c t o n t h e o b s e r v a b l e c h a r a c t e r i s t i c s o f r i c e a n d v o l u m e . M a k i n g t h e l i q u i d i t y n o i s e m o r e v o l a t i l e i n c r e a s e t h e v a r i a n c e o f t h e v o l u m e m u c h o r e t h a n i t s m e a n , w h e r e a s i n c r e a s i n g t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s h a s r o u g h l y h e s a m e e (cid:11) e c t o n b o t h v a r i a b l e s . H o w e v e r , i n t h e c u r r e n t e x a m p l e t h e s l o p e o f t h e l i q u i d i t y d e m a n d s s e t e q u a l t o o n e , r e s u l t s c o u l d b e s e n s i t i v e t o t h i s p a r a m e t e r . 1 2
3 T i b p a i t w t v w v s a u d w d C o n c l u s i o n h e p a p e r r e l a t e s p a t t e r n s o f t h e m a r k e t p r i c e a n d t h e t r a d i n g v o l u m e t o t h e d i s t r i b u t i o n o f n f o r m a t i o n a c r o s s t r a d e r s . T h r o u g h n u m e r i c a l e x a m p l e s , i t i s s h o w n t h a t , w h e n t r a d e r s h a v e e t t e r i n f o r m a t i o n , t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e t r a d i n g v o l u m e a n d t h e v a r i a n c e o f t h e m a r k e t r i c e t e n d t o b e h i g h e r , a n d t h a t t h e m a r k e t p r i c e n a t u r a l l y b e c o m e s m o r e i n f o r m a t i v e . T h e e (cid:11) e c t o f n i n c r e a s e i n t h e l i q u i d i t y s h o c k v a r i a n c e i s s i m i l a r ( t h o u g h s m a l l e r ) , e x c e p t o f c o u r s e f o r t h e p r i c e n f o r m a t i v e n e s s . V a r y i n g t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s h a s a s m a l l e r e (cid:11) e c t h a n v a r y i n g t h e i n f o r m a t i o n q u a l i t y , e x c e p t f o r t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d k u r t o s i s , h i c h a r e v e r y s e n s i t i v e t o t h e c o r r e l a t i o n a c r o s s t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s . I n p a r t i c u l a r , f a t a i l s f o r v o l u m e ( i .e ., h i g h k u r t o s i s ) d o n o t i n d i c a t e t h a t t h e t r a d e r s ’ i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a s s e t a l u e i s h i g h l y p r e c i s e . I n c r e a s i n g t h e c o r r e l a t i o n a c r o s s t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s ( s o t h a t t h e t r a d e r s a g r e e m o r e i t h e a c h o t h e r ) l o w e r s t h e v o l u m e m e a n a n d t h e p r i c e v a r i a n c e , w h i l e i n c r e a s i n g t h e v o l u m e a r i a n c e . T h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e i m p a c t o f v a r y i n g t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ i g n a l s a n d t h e t r u e a s s e t v a l u e ( t h e p r e c i s i o n o f t h e i r i n f o r m a t i o n ) , a n d v a r y i n g t h e c o r r e l a t i o n c r o s s t h e i r s i g n a l s ( t h e d e g r e e o f c o n s e n s u s ) o n t h e o b s e r v a b l e p r i c e a n d v o l u m e s t a t i s t i c s c o u l d h e l p s d i s t i n g u i s h b e t w e e n p u b l i c a n d p r i v a t e i n f o r m a t i o n , s i n c e p u b l i c i n f o r m a t i o n w o u l d i n c r e a s e t h e e g r e e o f c o n s e n s u s a m o n g t r a d e r s w h i l e m a k i n g t h e m m o r e i n f o r m e d , w h e r e a s p r i v a t e i n f o r m a t i o n o u l d a (cid:11) e c t p r i m a r i l y t h e p r e c i s i o n o f o n e o r m o r e i n f o r m e d t r a d e r ’s s i g n a l s w i t h o u t i n c r e a s i n g t h e e g r e e o f c o n s e n s u s a m o m g t r a d e r s . 1 3
A P m n I P R t P (cid:27) ( t a v (cid:27) (cid:27) P y A P P E N D I X C h a r a c t e r i s t i c s o f t r a d i n g v o l u m e + r o p o s i t i o n 4 L e t a s t a n d a r d n o r m a l r a n d o m v a r i a b le a n d . L e t b e t h e x x = I [x > 0 ]x M ( t ) x 1 1 + 2 o m e n t g e n e r a t i n g f u n c t i o n o f . T h e n , . w h e r e i s t h e s t a n d a r d x M ( t ) = + e x p ( t ) (cid:8) ( t ) (cid:8) x 2 2 o r m a l c d f . C o n s e q u e n t ly , 1 1 + + 2 E [x ] = ; E [( x ) ] = 2 p 2 (cid:25) ( 1 6 ) 2 3 + 3 + 4 E [( x ) ] = ; E [( x ) ] = 2 p 2 (cid:25) 1 1 1 5 3 1 ( + ) ( 3 ) (cid:25) 2 2 p 2 (cid:25) 2 (cid:25) + + + 2 (cid:25) (cid:0) (cid:0) p t f o l lo w s t h a t , , a n d . c ( x ) = c = (cid:25) 1 s ( x ) = s = k ( x ) = k = 1 1 1 1 3 = 2 2 ( ) ( ) 2 2 (cid:25) 2 2 (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + tx x t r o o f o f p r o p o s i t i o n 4 : B y d e (cid:12) n i t i o n , M ( t ) = E [e ] = p ( x 0 ) + E [ I [x > 0 ]e ]. x (cid:20) + 1 x t x t E [ I [x > 0 ]e ] = e (cid:30) ( x ) d x x = 0 Z + 1 2 1 1 x t x 2 e e d x = (cid:0) p x = 0 2 (cid:25) Z ( 1 7 ) + 1 2 2 1 1 [( x t) t ] 2 = e d x (cid:0) (cid:0) (cid:0) p x = 0 2 (cid:25) Z t 1 1 2 2 1 u t 2 2 = e e d u (cid:0) p u = 2 (cid:25) Z (cid:0) 1 e s u l t s i n e q u a t i o n ( 1 6 ) c a n b e o b t a i n e d b y t a k i n g d e r i v a t i v e s o f t h e m o m e n t g e n e r a t i n g f u n c t i o n , h e n p r o p o s i t i o n ( 4 ) f o l l o w s s t r a i g h t f o r w a r d l y . 1 th r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 y , w h e r e : W r i t e y t h e d e m a n d o f t h e i i n f o r m e d t r a d e r , ~y = i i i (cid:27) i 2 = v a r ( y ) . P r o p o s i t i o n ( 2 ) f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t ~y i s a s t a n d a r d n o r m a l , a n d p r o p o s i t i o n i i i 4 ) . P r o p o s i t i o n ( 2 ) s h o w s t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t r a d e d v o l u m e w i l l b e i n f a c t d e t e r m i n e d b y h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l d e m a n d s c h e d u l e s , i n p a r t i c u l a r t h e i r c o v a r i a n c e s . I n d e e d , s u m o f i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s h a v e t h e s a m e c o e (cid:14) c i e n t o f a r i a t i o n , s k e w n e s s a n d k u r t o s i s a s e a c h r a n d o m v a r i a b l e i n t h e s u m . 2 N o w , w e u s e t h e f a c t t h a t y + y + y = 0 . L e t (cid:26) = c o v ( y ; y ) , (cid:26) = (cid:26) , (cid:27) = v a r ( y ) , a n d 1 2 3 ij i j 1 2 i i (cid:27) 1 2 2 2 = c o v ( y ; y ) , s = . U s i n g t h e f a c t t h a t y + y + y = 0 , w e g e t (cid:27) = (cid:27) + (cid:27) + 2 (cid:27) = ij i j 1 2 3 1 2 3 1 2 (cid:27) 2 1 (cid:27) ( s + + 2 (cid:26) ) , a n d a f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n s 1 2 s 1 1 2 (cid:27) (cid:27) = (cid:27) (cid:27) s + 2 (cid:26) s + 1 (cid:27) (cid:27) = (cid:27) (cid:27) + 2 (cid:26) + 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 s s 1 q (cid:27) (cid:27) s 1 s 1 p = = 1 1 (cid:27) (cid:27) 3 3 s + + (cid:26) s + + (cid:26) ( 1 8 ) s s 1 r + (cid:26) s + (cid:26) s q (cid:26) = (cid:26) = 1 3 2 3 2 1 1 s + 2 (cid:26) s + 1 p (cid:0) (cid:0) + 2 (cid:26) + 1 2 s s q 1 r o o f o f p r o p o s i t i o n 3 : W e b e g i n b y t h e s k e w n e s s a n d t h e k u r t o s i s . L e t ~y = y , z = i i i (cid:27) i + + + + n E [y ], ~z = ~y E [ ~y ], a n d (cid:22) = E [z ], t h e n , z (cid:22) = z + z + z . E [( z (cid:22) ) ] i s a w e i g h t e d i 1 2 3 i i i i (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 4
s T o a f T t t v a B T 0 ( v B P p a r F a a a 1 2 3 u m o f E [z z z ], w i t h a + a + a = n , w h i l e a i s a n i n t e g e r i n [0 ; n ]. 1 2 3 i 1 2 3 a a a a a a a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 E [z z z ] = (cid:27) (cid:27) (cid:27) E [ ~z ~z ~z ] 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a 1 2 3 = (cid:27) (cid:27) (cid:27) g ( (cid:26) ; s ) 1 2 3 ( 1 9 ) (cid:27) (cid:27) a a n 2 1 1 2 ) ( ) (cid:27) g ( (cid:26) ; s ) = ( 3 (cid:27) (cid:27) 3 3 n (cid:27) (cid:27) ] f ( s ; (cid:26) ) = [p 1 2 h e s e c o n d l i n e c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t c r o s s m o m e n t s o f n o r m a l t r u n c a t e d v a r i a b l e s a r e f u n c t i o n s (cid:27) (cid:27) (cid:27) 1 2 1 f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e u n d e r l y i n g n o r m a l v a r i a b l e s . M o r e p r e c i s e l y ~y = ~y ~y . , 3 1 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) 3 3 3 (cid:0) (cid:0) a a a (cid:27) 1 2 3 2 n d d e p e n d o n (cid:26) , a n d s , a n d ( ~y ; ~y ) i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y r h o . H e n c e E [z z z ] i s a 1 2 1 2 3 (cid:27) 3 u n c t i o n o f o n l y t w o p a r a m e t e r s : (cid:26) , a n d s . I n t h e t h i r d l i n e , w e u s e t h e f a c t t h a t a + a + a = n . 1 2 3 n n (cid:27) (cid:27) ] (cid:21) ( s ; (cid:26) ) . T h e (cid:27) (cid:27) h e f o u r t h l i n e w a s o b t a i n e d u s i n g ( 1 8 ) . C o n s e q u e n t l y , E [( z (cid:22) ) ] = [p 1 2 1 2 (cid:0) e r m s c a n c e l w h e n w e c o m p u t e s k e w n e s s a n d k u r t o s i s . A s o n e c a n a l w a y s p e r m u t e t h e i n d i c e s o f h e t w o i n f o r m e d t r a d e r s , w e n e e d o n l y s b e t w e e n z e r o a n d o n e , i n o t h e r w o r d s , i f c ( (cid:26) ; s ) i s t h e 1 a l u e o f t h e c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n , c ( (cid:26) ; s ) = c ( (cid:26) ; ) . T h e s a m e r e m a r k a p p l i e s f o r t h e s k e w n e s s s n d t h e k u r t o s i s . C o m p u t a t i o n o f v o l u m e ’ s s t a t i s t i c s 6 i a b l e ( 1 ) g i v e s t h e d e (cid:12) n i t i o n o f z i n t e r m s o f y , y , a n d y i n t h e s i x d i (cid:11) e r e n t c a s e s . z = (cid:6) I [v > 1 2 3 1 i= 1 i i i 1 1 2 2 3 3 ; v > 0 ]( v + v ) , w i t h ( v ; v ) = ( y ; y ) , ( v ; v ) = ( y ; y + y ) , ( v ; v ) = ( y ; ( y + y ) ) , 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) 4 4 5 5 6 6 v ; v ) = ( y ; y + y ) , ( v ; v ) = ( y ; ( y + y ) ) , ( v ; v ) = ( y ; y ) . H e n c e , t o c o m p u t e t h e 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i i i i a r i o u s m o m e n t s o f z , o n e n e e d o n l y c a l c u l a t e E [I [v > 0 ; v > 0 ]( v + v ) ], f o r i = 1 ; : : : ; 4 . 1 2 1 3 E I v > ; v > . 1 C o m p u t i n g . [ [ 0 0 ] 1 2 r o p o s i t i o n 5 v v (cid:27) + (cid:27) 1 2 v ( 1 + (cid:26) ) ( 2 0 ) E [I ( v > 0 ) I ( v > 0 ) ( v + v ) ] = 1 2 1 2 1 2 p 2 2 (cid:25) r o o f : L e t f b e t h e d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v e c t o r ( v ; v ) w i t h m e a n z e r o 0 1 2 1 1 1 v (cid:6) v 1 2 1 ij 2 0 (cid:0) 2 2 d e t ( (cid:6) ) e L e t n d v a r i a n c e (cid:6) . N o t e (cid:6) = ( (cid:27) ) , a n d (cid:6) = ( (cid:27) ) . f ( v ) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) ij i;j = 1 i;j = 1 2 (cid:25) 1 f = ( f ( v ; v ) ; f ( v ; v ) ) = (cid:6) v f ( v ) , w h i c h i m p l i e s t h e f o l l o w i n g . 0 (cid:0) 1 1 2 2 1 2 (cid:0) 1 1 1 2 f ( v ; v ) = (cid:27) v + (cid:27) v f ( v ; v ) 1 1 2 1 2 1 2 ( 2 1 ) (cid:0) f g 2 1 2 2 f ( v ; v ) = (cid:27) v + (cid:27) v f ( v ; v ) 2 1 2 1 2 1 2 ( (cid:0) f g 0 0 o r i = 1 ; 2 , w e h a v e E [I ( v < 0 ; v < 0 ) v ] = v f ( v ; v ) d v d v . 1 2 i i 1 2 1 2 Z Z (cid:0) 1 (cid:0) 1 1 5
N o t e I = I n t h e f o u r t h 2 2 d e (cid:12) n i t i o n , (cid:27) I n t h e s a m E q u a t i o n s ( 2 2 ( E [I y ]; E [I y 1 w h e r e (cid:26) i s 1 2 1 a r c s i n ( (cid:26) ) 1 2 2 (cid:25) B . 2 C o m p 1 L e t G ( v ; v ) 1 2 1 G = v f + f 1 1 1 W e w i l l w r i t e a n y v a l u e o f v I [v > 0 ; v > 0 ], 1 2 0 0 1 1 1 2 (cid:27) E [I y ] + (cid:27) E [I y ] = 1 2 Z Z (cid:0) 1 (cid:0) 1 v = 0 2 = (cid:0) v = 2 Z (cid:0) 1 0 = (cid:0) 2 (cid:25) Z (cid:0) 1 1 = 2 (cid:25) (cid:6) (cid:27) p (cid:0) j j 1 = 2 (cid:25) (cid:6) (cid:27) p (cid:0) j j 1 = p 2 (cid:27) 2 (cid:25) 1 (cid:0) 2 2 p l i n e , t h e c h a n g e o f v a r i a b l e u = (cid:27) (cid:27) 1 1 = , a n d (cid:27) = (cid:27) . p 1 1 1 (cid:6) j j e f a s h i o n 1 1 1 2 (cid:27) E [I y ] + (cid:27) E [I y ] 1 2 1 ) , a n d ( 2 3 ) c a n b e r e w r i t t e n a s (cid:6) ( E (cid:0) ]) = (cid:6) c a n d 0 2 E [I ( v < 0 ; v < 0 ) v ] = 1 2 i t h e c o r r e l a t i o n c o e (cid:14) c i e n t b e t w e e n v . 2 E I v > ; v > v v u t i n g [ [ 0 0 ] ( + ) 1 2 1 2 = v f ( v ; v ) , w h e r e f i s t h e d e n s i t y 1 1 2 1 , a n d G = v f . H e n c e , 1 2 2 1 1 2 1 2 ( (cid:27) v + (cid:27) v v ) f = 1 2 1 1 2 2 2 2 ( (cid:27) v + (cid:27) v v ) f = 1 2 1 v = ( v ; v ) , I = I [v > 0 ; v > 0 ], a n d 1 2 1 2 1 1 1 , G ( v ; v ) d v = [G ( v ; v ) ]1 2 1 2 1 1 2 1 v = 1 v = 0 1 Z 1 1 2 1 2 (cid:27) E [I v ] + (cid:27) E [I v 1 1 6 1 1 1 2 [(cid:27) v + (cid:27) v ] f ( v ; v 1 2 1 2 v = 0 1 [f ( v ; v ) ] d v 1 2 2 v = 1 (cid:0) 1 1 2 2 2 1 (cid:27) t 2 e d t (cid:0) (cid:6) 0 j j 1 2 1 u 2 p e d u (cid:0) 2 2 p 2 (cid:25) Z (cid:0) 1 (cid:8) ( 0 ) 2 2 = c 1 t w a s u s e d . F o r t h e l a 1 1 = = c 2 p 2 (cid:0) (cid:27) 2 (cid:25) 2 [I y ]; E [I y ]) = c , w 0 1 2 (cid:27) i [1 + (cid:26) ]; 1 2 p (cid:0) 2 2 (cid:25) a n d v . A l s o , p ( v 1 2 1 ] 1 f u n c t i o n o f v . L e t G i 1 v f = f G 1 1 1 (cid:0) (cid:0) 1 v f = G 1 2 2 (cid:0) (cid:0) p ( v > 0 ) = p ( v > 0 ; v 1 = 0 , w e g e t 0 v ] = p ( v > 0 ) : 1 2 ) s i 2 d t t h < = > v b d v 1 2 u t o n c = ( 0 ; v 2 1 @ G , @ v i 0 ) . N e e q u a t i o c ; c ) . H 0 1 2 < 0 ) = i = 1 ; 2 . o t i n g t h a n e T t ( 2 2 ) , b y ( 2 3 ) n c e , ( 2 4 ) 1 + 4 h e n ( 2 5 ) , f o r ( 2 6 )
A N W t B W 2 N 2 l s o , o t e t h e c a n h a t . 3 C e c o m v f ( v ) 1 o t i n g E [I v 1 @ 1 1 1 2 2 1 2 2 ] + (cid:27) E [I v v ] = (cid:27) E [I v G ( v ; v ) d v d v 1 2 1 2 1 2 1 @ v (cid:0) v = 0 v = 0 2 1 2 Z Z 1 1 = [G ( v ; v ) ] d v 1 1 2 1 v = 0 2 (cid:0) v = 0 1 Z 1 1 1 2 1 (cid:27) v 1 1 2 = d v v e (cid:0) 1 1 2 (cid:25) (cid:6) p v = 0 1 j j Z 1 2 1 u 1 2 = u e d u (cid:0) 1 1 2 (cid:25) (cid:27) (cid:6) p u = 0 j j Z 1 = 1 1 2 (cid:25) (cid:27) (cid:6) p j j (cid:6) p j j = 2 (cid:25) (cid:27) 2 2 (cid:6) p (cid:27) 1 1 1 2 2 j j a t = . H e n c e , , a s , b y d e (cid:12) n i t i o n (cid:27) = 1 1 (cid:27) (cid:6) 2 2 (cid:27) (cid:6) p j j j j (cid:6) p 2 j j p ( v > 0 ) E [I v ] E [I v v ] 1 2 1 2 (cid:25) (cid:27) 1 1 = (cid:6) 2 (cid:6) p 0 1 E [I v v ] E [I v ] 1 2 2 ! j j p ( v > 0 ) 2 (cid:25) (cid:27) 2 2 @ A (cid:6) p (cid:27) 2 2 2 1 2 j j s i m p l i f y n o t a t i o n s , u s i n g (cid:6) = (cid:27) (cid:27) (cid:27) , w h i c h y i e l d s = 1 (cid:26) 1 2 1 2 1 2 (cid:27) (cid:27) 2 2 2 j j (cid:0) (cid:0) q 1 1 1 2 2 2 E [I [v > 0 ; v > 0 ]v + a r c s i n ( (cid:26) ) + (cid:26) 1 (cid:26) ] = (cid:27) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 4 2 (cid:25) 2 (cid:25) (cid:0) g f 1 1 1 2 q + a r c s i n ( (cid:26) ) ) + (cid:27) (cid:27) E [I [v > 0 ; v > 0 ]v v ] = (cid:27) ( 1 (cid:26) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 (cid:25) 2 (cid:25) (cid:0) q 3 E I v > ; v > v v o m p u t i n g [ [ 0 0 ] ( + ) ] 1 2 1 2 3 2 2 3 1 2 p u t e E [I v ], E [I v v ], E [I v v ], E [I v ]. L e t G ( v ; v ) = v f ( v ; v ) , 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 + v f ( v ) , G ( v ) = v f ( v ) . 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 2 2 1 (cid:27) v + (cid:27) v v = v f ( v ; v ) = 2 v f ( v ) G ( v ) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2 2 2 2 1 (cid:27) v + (cid:27) v v = v f ( v ; v ) = G ( v ) 2 2 1 2 1 1 1 2 (cid:0) (cid:0) 1 1 1 1 3 t h a t , f o r a n y v a l u e o f v , G ( v ; v ) d v = 0 , w e g e t (cid:27) E [I v ] + (cid:27) 2 1 2 1 1 1 v = 0 1 Z ] . A l s o , 1 1 1 1 2 3 2 2 2 (cid:27) E [I v ] + (cid:27) E [I v v ] = G ( v ; v ) d v d v 2 1 2 1 2 2 1 1 (cid:0) v = 0 v = 0 1 2 Z Z 1 1 = [G ( v ; v ) ] d v 1 1 2 1 v = 0 2 (cid:0) v = 0 1 Z 1 1 1 2 1 (cid:27) v 2 1 1 2 d v v e = (cid:0) 1 1 2 (cid:25) (cid:6) p v = 0 1 j j Z 1 2 1 u 2 1 2 = d v u e 3 (cid:0) 1 1 1 2 2 (cid:25) (cid:6) ( (cid:27) ) p 0 j j Z (cid:6) 1 j j = 3 p 2 2 (cid:25) 2 ( (cid:27) ) 2 2 1 7 . 2 t 1 h 2 W e E e n [I c G o v ( 2 ( 2 n c l u ( 2 1 ( v ) 1 ( 3 2 v ] 2 1 ( 3 7 8 d 9 = 0 = 1 ) ) e ) ) )
W Z B W v I H G F F (cid:27) 1 1 2 2 1 1 p e u s e d t h e c h a n g e o f v a r i a b l e u = (cid:27) v , t h e i d e n t i t y (cid:27) = , a n 1 (cid:6) j j 1 p 2 (cid:25) 1 2 u 2 u e . H e n c e , d u = (cid:0) 2 0 (cid:6) j j 2 E [I v ] 3 1 3 2 2 E [I v ] E [I v v ] p 1 2 2 (cid:25) ( (cid:27) ) 1 1 1 2 = (cid:6) 2 3 (cid:6) 0 1 E [I v v ]; E [v ] 2 j j 2 E [I v ] 1 2 3 ! 2 2 p 2 2 (cid:25) ( (cid:27) ) 2 2 B C @ A 4 E I v > ; v > v v . 4 C o m p u t i n g [ [ 0 0 ] ( + ) ] 1 2 1 2 4 3 2 2 1 3 1 e c o m p u t e E [I v ], E [I v v ], E [I v v ], e t c . L e t G ( v ; v ) = v f ( v ; v ) . G 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 3 f ( v ) , G ( v ) = v f ( v ) . 1 2 1 2 1 1 1 4 1 2 3 3 2 1 (cid:27) v + (cid:27) v v = v f ( v ; v ) = 3 v f ( v ) G ( v ) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) 1 2 4 2 2 3 3 1 (cid:27) v + (cid:27) v v = v f ( v ; v ) = G ( v ) 2 2 1 2 1 1 1 2 (cid:0) (cid:0) 1 1 4 1 2 3 2 t i s e a s y t o s e e t h a t (cid:27) E [I v ] + (cid:27) E [I v v ] = 3 E [I v ]. A l s o , 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 3 (cid:27) E [I v ] + (cid:27) E [I v v ] = G ( v ; v ) d v d v 2 1 2 1 2 1 1 2 (cid:0) v = 0 v = 0 1 2 Z Z 1 1 = [G ( v ; v ) ] d v 1 1 2 1 v = 0 2 (cid:0) v = 0 1 Z 1 1 1 2 1 3 (cid:27) v 1 1 2 = v e d v (cid:0) 1 1 2 (cid:25) ; (cid:6) p v = 0 1 j j Z 1 2 1 u 3 1 2 = d v u e (cid:0) 1 1 1 2 2 (cid:25) (cid:6) ( (cid:27) ) p 0 j j 3 Z 2 (cid:6) 1 j j = 2 (cid:25) ( (cid:27) ) 2 2 e n c e , 3 2 (cid:6) 2 4 3 j j 3 E [I v ]; 2 E [I v ] E [I v v ] 1 1 (cid:25) ( (cid:27) ) 1 1 1 2 3 = (cid:6) 3 4 0 1 2 (cid:6) E [I v v ] E [I v ] 2 2 1 2 ! j j ; 3 E [I v ] 2 2 (cid:25) ( (cid:27) ) 2 2 B C @ A 2 2 1 2 1 2 T o c o m p u t e E [I v v ], l e t G ( v ; v ) = v v f ( v ; v ) . T h e n , G ( v ) = v f 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( v ) = v v f ( v ) + 2 v v f ( v ) . 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 2 1 (cid:27) v v + (cid:27) v v = v v f ( v ; v ) = v f ( v ) G ( v ) 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 (cid:0) (cid:0) 1 2 2 2 2 2 3 2 1 (cid:27) v v + (cid:27) v v = v v f ( v ; v ) = 2 v v f ( v ) G ( v ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (cid:0) (cid:0) 1 1 1 1 o r a n y v a l u e o f v , G ( v ; v ) d v = 0 , a n d f o r a n y v , G ( v ; v ) d v = 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 v = 0 v = 0 1 2 Z Z 1 1 2 2 1 2 3 2 (cid:27) E [I v v ] + (cid:27) E [I v v ] = E [I v ] 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 (cid:27) E [I v v ] + (cid:27) E [I v v ] = 2 E [I v v ] 1 1 2 1 2 2 i n a l l y , 2 2 3 2 E [I v v ] E [I v v ] E [I v ] 2 E [I v v ] 2 1 2 1 2 1 2 = (cid:6) 3 2 2 2 E [I v v ] E [I v v ] 2 E [I v v ] E [I v ] 1 1 2 2 1 2 1 ! ! 1 8 d ( v ( v 0 t h e ) = ) + , h e n f a 3 v v 1 c e c 2 1 v , t f 2 2 ( f t h ( 3 v ) ( 3 ( 3 ( 3 ( v 1 ( 3 ( 3 ( 3 a t 2 ) + 3 ) 4 ) 5 ) ) , 6 ) 7 ) 8 )
B V B A B S D E D e E k E t E a F E o F R F o G R G C G t H F R E F E R E N C E S a r c l a y , M i c h a e l , R o b e r t H . L i t z e n b e r g e r , a n d J e r o l d W a r n e r ( 1 9 9 0 ) , \ P r i v a t e I n f o r m a t i o n , T r a d i n g o l u m e , a n d S t o c k - R e t u r n V a r i a n c e s " , T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 3 , N o 2 , p . 2 3 3 - 2 5 3 . l u m e L a w r e n c e , D a v i d E a s l e y , a n d M a u r e e n O ’H a r a ( 1 9 9 4 ) , \ M a r k e t S t a t i s t i c s a n d T e c h n i c a l n a l y s i s : T h e R o l e o f V o l u m e " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , V o l X L I X , N o 1 , M a r c h 1 9 9 4 . r o w n , D a v i d , a n d R o b e r t H . J e n n i n g s ( 1 9 8 9 ) , \ O n T e c h n i c a l A n a l y s i s " , T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l t u d i e s , V o l 2 , N o 4 , p 5 2 7 - 5 5 1 . i a m o n d , D o u g l a s a n d R o b e r t E . V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) , \ I n f o r m a t i o n A g g r e g a t i o n i n a N o i s y R a t i o n a l x p e c t a t i o n E c o n o m y " , J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , v o l 9 , p 2 2 1 - 2 3 5 . u p o n t , D o m i n i q u e ( 1 9 9 7 ) , \ E x t r a c t i n g I n f o r m a t i o n f r o m T r a d i n g V o l u m e " , w o r k i n g p a p e r , F e d r a l R e s e r v e B o a r d . a s l e y , D a v i d a n d M a u r e e n O ’H a r a ( 1 9 8 7 ) , P r i c e , T r a d e S i z e , a n d I n f o r m a t i o n i n S e c u r i t i e s M a r e t s , J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , V o l 1 9 , p . 6 9 - 9 0 . a s l e y , D a v i d , N i c h o l a s K i e f e r , a n d M a u r e e n O ’H a r a ( 1 9 9 6 ) , \ C r e a m - S k i m m i n g o r P r o (cid:12) t - S h a r i n g ? h e C u r i o u s R o l e o f P u r c h a s e d O r d e r F l o w " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , V o l 5 1 , N o 3 , p p . 8 1 1 - 8 3 3 . a s l e y , D a v i d , N i c h o l a s K i e f e r , M a u r e e n O ’H a r a , a n d P e p e r m a n ( 1 9 9 6 ) , \ L i q u i d i t y , I n f o r m a t i o n , n d I n f r e q u e n t l y T r a d e d S t o c k s " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , V o l 5 1 , N o 4 , p p . 1 4 0 5 - 1 4 3 6 . l e m i n g , M . a n d E . R e m o l a ( 1 9 9 6 ) , \ P r i c e F o r m a t i o n a n d L i q u i d i t y i n t h e U .S . T r e a s u r i e s M a r k e t : v i d e n c e f r o m I n t r a d a y P a t t e r n s a r o u n d A n n o u n c e m e n t s " , w o r k i n g p a p e r , F e d e r a l R e s e r v e B a n k f N e w Y o r k . o s t e r , F . D ., a n d S . V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 5 ) , \ C a n S p e c u l a t i v e T r a d i n g E x p l a i n t h e V o l u m e - V o l a t i l i t y e l a t i o n " , J o u r n a l o f B u s i n e s s a n d E c o n o m i c S t a t i s t i c s , V o l 1 3 , N o 4 , p . 3 7 9 - 3 9 6 . o s t e r , F . D ., a n d S . V i s w a n a t h a n ( 1 9 9 6 ) , \ S t r a t e g i c T r a d i n g W h e n A g e n t s F o r e c a s t t h e F o r e c a s t f O t h e r s " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e , V o l 5 1 , N o 4 , p p . 1 4 3 7 - 1 4 7 8 . a l l a n t , R o n a l d , P e t e r E . R o s s i , a n d G e o r g e T a u c h e n ( 1 9 9 2 ) , \ S t o c k P r i c e s a n d V o l u m e " , T h e e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 5 , N o 2 , p p 1 9 9 - 2 4 2 . o o d m a n , W i l l i a m ( 1 9 9 6 ) , \ S t a t i s t i c a l l y A n a l y z i n g V o l u m e " , T e c h n i c a l A n a l y s i s o f S t o c k s a n d o m m o d i t i e s , N o v e m b e r 1 9 9 6 , p 2 1 - 2 8 . r u n d y B r u c e D ., a n d M a u r e e n M c N i c h o l s ( 1 9 9 0 ) , \ T r a d e a n d t h e R e v e l a t i o n o f I n f o r m a t i o n h r o u g h P r i c e s a n d D i r e c t D i s c l o s u r e " , T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 2 , N o 4 , p . 4 9 5 - 5 2 6 . a r r i s , M i l t o n a n d A r t u r R a v i v ( 1 9 9 4 ) , \ D i (cid:11) e r e n c e s o f O p i n i o n M a k e a H o r s e R a c e " , R e v i e w o f i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 6 , N o 3 , p 4 7 3 - 5 0 6 . 1 9
H V H o J T H J K S K D K J K J K L D M E S m S n W R W o e , H u a a n d J . W a n g ( 1 9 9 5 ) , \ D i (cid:11) e r e n t i a l I n f o r m a t i o n a n d D y n a m i c B e h a v i o r o f S t o c k T r a d i n g o l u m e " , T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , V o l 8 , N o 4 , p 9 1 9 - 9 7 2 . u (cid:11) m a n , G r e g o r y W . ( 1 9 9 2 ) , \ I n f o r m a t i o n , A s s e t P r i c e s , a n d t h e V o l u m e o f T r a d e " , T h e J o u r n a l f F i n a n c e , v o l X L V I I , S e p t e m b e r 1 9 9 2 , p 1 5 7 5 - 1 5 9 0 . a i n , P r e m ( 1 9 8 8 ) , \ R e s p o n s e s o f H o u r l y S t o c k P r i c e s a n d T r a d i n g V o l u m e t o E c o n o m i c N e w s " , h e J o u r n a l o f B u s i n e s s , V o l 6 1 , N o 2 , p p . 2 1 9 - 2 3 1 . u s s m a n , J o h n ( 1 9 9 2 ) , \ M a r k e t E (cid:14) c i e n c y a n d I n e (cid:14) c i e n c y i n R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s E q u i l i b r i a " , o u r n a l o f E c o n o m i c D y n a m i c s a n d C o n t r o l , p 6 5 5 - 6 8 0 . a n d e l , E . a n d N . P e a r s o n ( 1 9 9 5 ) , \ D i (cid:11) e r e n t i a l I n t e r p r e t a t i o n o f P u b l i c S i g n a l s a n d T r a d e i n p e c u l a t i v e M a r k e t s " , J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y , V o l 1 0 3 , N o 4 , p p . 8 3 1 - 8 7 2 . a r p o (cid:11) , J o n a t h a n M . ( 1 9 8 6 ) , \ A T h e o r y o f T r a d i n g V o l u m e " , J o u r n a l o f F i n a n c e , v o l X L I , N o 5 , e c e m b e r 1 9 8 6 , p 1 0 6 9 - 1 0 8 7 . a r p o (cid:11) , J o n a t h a n M . ( 1 9 8 7 ) , \ T h e R e l a t i o n s h i p b e t w e e n P r i c e C h a n g e s a n d V o l u m e : A S u r v e y " , o u r n a l o f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a l y s i s , V o l 2 2 , N o 1 , M a r c h 1 9 8 7 . i m , O l i v i e r a n d R o b e r t V e r r e c h i a ( 1 9 9 1 ) , \ M a r k e t R e a c t i o n t o A n t i c i p a t e d A n n o u n c e m e n t s " , o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , 3 0 , p p . 2 7 3 - 3 0 9 . y l e , A l b e r t ( 1 9 8 5 ) , \ C o n t i n u o u s A u c t i o n a n d I n s i d e r T r a d i n g " , E c o n o m e t r i c a , 5 3 , p 1 3 1 5 - 1 3 3 5 . a m o u r e u x , C h r i s t o p h e r G ., a n d W i l l i a m D . L a s t r a p e s ( 1 9 9 0 ) , \ H e t e r o s k e d a s t i c i t y i n S t o c k R e t u r n a t a : V o l u m e v e r s u s G A R C H e (cid:11) e c t s " , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 1 2 , p 3 1 - 4 1 . i l g r o m P a u l a n d N . S t o c k e y ( 1 9 8 2 ) , \ I n f o r m a t i o n , T r a d e a n d C o m m o n K n o w l e d g e " , J o u r n a l o f c o n o m i c s T h e o r y , N o 2 6 , p . 1 7 - 2 7 . a i t t a , A l e x ( 1 9 9 6 ) , \ A P r i c e a n d V o l u m e B a s e d S y s t e m " , T e c h n i c a l A n a l y s i s o f S t o c k s a n d C o m o d i t i e s , M a r c h 1 9 9 6 , p p 1 4 - 1 6 . h a l e n , C a t h e r i n e ( 1 9 9 3 ) , \ V o l u m e , V o l a t i l i t y , a n d t h e D i s p e r s i o n o f B e l i e f s " , T h e R e v i e w o f F i a n c i a l S t u d i e s , V o l 6 , n o 2 , p 4 0 5 - 4 3 4 . a n g , J i a n g ( 1 9 9 2 ) , \ A M o d e l o f I n t e r t e m p o r a l A s s e t P r i c e s u n d e r A s y m m e t r i c I n f o r m a t i o n " , T h e e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , p 2 4 9 - 2 8 1 . a n g , J i a n g ( 1 9 9 4 ) , \ A M o d e l o f C o m p e t i t i v e A s s e t T r a d i n g V o l u m e " , J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n m y , v o l 1 0 2 , N o 1 , p 1 2 7 - 1 6 8 . 2 0
T y h 3 e = r e (cid:0) a r e y ( 1 c t h + a s e s 1 2 3 4 5 6 r e e t y ) . 2 i r a T d h e e s i g n o f + + + - - y r s ; is 1 t r a d in g y t h v 1 e o T (cid:12) lu a r m s i b s t e g n l e t r is o f y + - - + + - 1 : D a d e r ’s z y = 2 e c o d e m + + 1 s i g m p a n + y 2 n o d + o s i y , y f y + y 1 2 + + - + - + t i o n o f t r is t h e s e c 2 + . I n e a c h 3 2 1 v (cid:0) a d i n o n d c a s e o l u m e z y + y 1 2 y 1 y 2 (cid:0) y 2 y 1 (cid:0) ( y + y ) 1 2 g v o l u m e t r a d e r ’s d e m i i ; : : : , = 1 i v 1 y 1 y 2 (cid:0) y 1 y 1 (cid:0) y 2 y 1 (cid:0) a n d , ; z 6 , t c h a e n (cid:0) (cid:0) la b y ( y ( s e i v 2 y 2 + y 1 y + 1 + y 1 y + 1 y 2 (cid:0) t t r a d w r it t 2 y 2 y e e ) 2 ) 2 r ’s n a d s e m i v 1 a + n d v i 2 is .
T p (cid:26) b (cid:13) (cid:27) v o l u m e m e a n c a s e 1 (cid:26) 0 .6 9 ( (cid:26) = (cid:26) = (cid:26) ) (cid:13) - 0 .0 7 1 2 c a s e 2 (cid:26) 0 .4 9 1 ( (cid:26) = 0 :5 ) (cid:13) - 0 .0 9 2 c a s e 3 (cid:26) 0 .4 6 1 ( (cid:13) = 0 ) (cid:26) 0 .4 6 2 c a s e 4 (cid:26) 1 .9 0 2 ( (cid:26) = (cid:26) = (cid:26) , (cid:13) = 0 ) (cid:27) 0 .4 0 1 2 " a b l e 2 : S e m i - e l a s t i c i t i e s o f s o m e o b s e r v a b l e p r i c e a n d a r a m e t e r s G is t h e c o r r e la t io n b e t w e e n , t h e (cid:12) r s t t r a d e r ’s s ig n a l, a n d 1 1 G x e t w e e n , t h e s e c o n d t r a d e r ’s s ig n a l, a n d , 2 G G is t h e c o r r e la t io n c o e (cid:14) c ie n t b e t w e e n t h e s ig n a ls a n d , 1 2 2 is t h e v a r ia n c e o f t h e liq u id it y s h o c k . " 2 2 v v x o o , l u l u t h m m e e 0 0 0 0 0 0 3 0 e t r v a .5 7 .2 4 .7 0 .2 0 .3 7 .3 7 .1 0 .8 7 s t u e r a v i t a a n i s t lu e c i e c o s f w t p r i t h e i c e v a 2 .0 - 0 .2 1 .1 - 0 .1 1 .3 1 .3 3 .8 0 .3 h r e s p a s s e t , r i a 0 2 0 9 0 0 0 3 e c (cid:26) 2 n t is c t e o t h u e n c d o e r r r e l y la i n t io g n
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 rho 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F i g u r e 1 : p = a 1 G 1 + a 2 G 2 + a 3 " , w i t h E 2 [x 3 G 1 ] = E [x G 2 ] a n d i n n a i v e t r a d e r s c a s e .
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 rho 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F m i g i d u d r e l e 2 d : a p s h = e d a 1 l i G n e 1 s + ) a a n 2 d G 1 2 ( + t h a e 3 l " o w f o e r r (cid:13) d a = s h (cid:0) e d :5 l ( t h i n e s 2 4 e ) . u p p e r d o t t e d l i n e s ) , 0 ( t h e s o l i d l i n e s ) , :5 ( t h e
coeff of variation 1 coeff of variation 0.5 0.75 0.7 1 0 0.65 0.6 0.5 0.55 00 0 00..22 -0.5 00..44 -0.5 00..66 00..88 11-1 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 skewness 1 skewness 0.5 1.1 1 1 0 0.9 0.8 0.5 0.7 00 0 00..22 -0.5 00..44 -0.5 00..66 00..88 11-1 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 kurtosis 1 kurtosis 0.5 4.25 4 1 0 3.75 3.5 0.5 00 0 00..22 -0.5 00..44 -0.5 00..66 00..88 11-1 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F ( i g f r o u m r e (cid:0) 3 : 1 S t t o a t 1 i s ) . t i c s a s f u n c t i o n s o f t h e t r a d e r s ’ d e m 2 5 a n d s ’ v a r i a n c e r a t i o ( f r o m 0 t o 1 ) a n d c o r r e l a t i o n
volume mean volume variance 1 1 1 0.2 00 gamma 00 gamma rrhhoo rrhhoo 0 0 00.77 00.77 price variance price informativeness 0.7 0.8 1 1 0 0 00 gamma 00 gamma rrhhoo rrhhoo 00.77 0 00.77 0 F i g u r e 4 : (cid:26) 1 = (cid:26) 2 2 = 6 (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:13) v a r y .
volume coff var 0.7 1 00 gamma rrhhoo 00.770 volume skewness 1 0.9 00 gamma rrhhoo 00.770 volume kurtosis 1 3.8 00 gamma rrhhoo 00.770 F i g u r e 5 : (cid:26) 1 = (cid:26) 2 2 = 7 (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:13) v a r y .
volume mean volume variance 1 1 0 0 0 0.7 0 0.7 price variance price informativeness 1 1 0 0 0 0.7 0 0.7 F i g u r e 6 : (cid:26) 1 = (cid:26) 2 2 = 8 (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:13) v a r y .
volume coff var 1 0 0 0.7 volume skewness 1 0 0 0.7 volume kurtosis 1 0 0 0.7 F i g u r e 7 : (cid:26) 1 = (cid:26) 2 2 = 9 (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:13) v a r y .
volume mean volume variance 1 0.3 0.8 0.8 0.2 00 gamma 00 gamma rrhhoo11 rrhhoo11 0 0 00.88 00.88 price variance price informativeness 0.8 0.8 0.8 0.4 00 gamma 00 gamma rrhhoo11 rrhhoo11 00.88 0 00.88 0 F i g u r e 8 : (cid:26) 2 = :5 , 3 0 (cid:26) 1 a n d (cid:13) v a r y .
volume coff var 0.7 0.8 00 gamma rrhhoo11 00.880 volume skewness 0.8 0.9 00 gamma rrhhoo11 00.880 volume kurtosis 0.8 3.8 00 gamma rrhhoo11 00.880 F i g u r e 9 : (cid:26) 2 = :5 , 3 1 (cid:26) 1 a n d (cid:13) v a r y .
volume mean volume variance 0.8 0.8 0 0 0 0.8 0 0.8 price variance price informativeness 0.8 0.8 0 0 0 0.8 0 0.8 F i g u r e 1 0 : (cid:26) 2 = :5 3 2 , (cid:26) 1 a n d (cid:13) v a r y .
volume coff var 0.8 0 0 0.8 volume skewness 0.8 0 0 0.8 volume kurtosis 0.8 0 0 0.8 F i g u r e 1 1 : (cid:26) 2 = :5 3 3 , (cid:26) 1 a n d (cid:13) v a r y .
volume mean volume variance 0.7 0.7 0.2 00 00 rho2 rho2 rrhhoo11 rrhhoo11 0 0 00.77 00.77 price variance price informativeness 0.7 0.8 0.7 0.7 0 0 00 00 rho2 rho2 rrhhoo11 rrhhoo11 00.77 0 00.77 0 F i g u r e 1 2 : (cid:13) = 0 3 , 4 (cid:26) 1 a n d (cid:26) 2 v a r y .
volume coff var 0.7 0.7 00 rho2 rrhhoo11 00.770 volume skewness 0.7 0.9 00 rho2 rrhhoo11 00.770 volume kurtosis 0.7 3.8 00 rho2 rrhhoo11 00.770 F i g u r e 1 3 : (cid:13) = 0 3 , 5 (cid:26) 1 a n d (cid:26) 2 v a r y .
volume mean volume variance 0.7 0.7 0 0 0 0.7 0 0.7 price variance price informativeness 0.7 0.7 0 0 0 0.7 0 0.7 F i g u r e 1 4 : (cid:13) = 0 3 , 6 (cid:26) 1 a n d (cid:26) 2 v a r y .
volume coff var 0.7 0 0 0.7 volume skewness 0.7 0 0 0.7 volume kurtosis 0.7 0 0 0.7 F i g u r e 1 5 : (cid:13) = 0 3 , 7 (cid:26) 1 a n d (cid:26) 2 v a r y .
volume mean volume variance 2 2 1 0.5 00..43 0..11 0..11 se2 se2 rrhhoo rrhhoo 0.1 0.1 00.99 00.99 price variance price informativeness 0.9 2 2 0.7 0.1 0.1 0..11 0..11 se2 se2 rrhhoo rrhhoo 00.99 0.1 00.99 0.1 F i g u r e 1 6 : (cid:13) = 0 , (cid:26) 1 = 3 (cid:26) 8 2 = (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:27) 2 " v a r y .
volume coff var 0.7 2 0..11 se2 rrhhoo 0.1 00.99 volume skewness 2 0.9 0..11 se2 rrhhoo 0.1 00.99 volume kurtosis 2 3.9 3.4 0..11 se2 rrhhoo 0.1 00.99 F i g u r e 1 7 : (cid:13) = 0 , (cid:26) 1 = 3 (cid:26) 9 2 = (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:27) 2 " v a r y .
volume mean volume variance 2 2 0.1 0.1 0.1 0.9 0.1 0.9 price variance price informativeness 2 2 0.1 0.1 0.1 0.9 0.1 0.9 F i g u r e 1 8 : (cid:13) = 0 , (cid:26) 1 = 4 (cid:26) 0 2 = (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:27) 2 " v a r y .
volume coff var 2 0.1 0.1 0.9 volume skewness 2 0.1 0.1 0.9 volume kurtosis 2 0.1 0.1 0.9 F i g u r e 1 9 : (cid:13) = 0 , (cid:26) 1 = 4 (cid:26) 1 2 = (cid:26) , (cid:26) a n d (cid:27) 2 " v a r y .
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Dominique Y. Dupont (1997). Trading Volume and Information Distribution in a Market-Clearing Framework (FEDS 1997-41). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-41
@techreport{wtfs_feds_1997_41,
author = {Dominique Y. Dupont},
title = {Trading Volume and Information Distribution in a Market-Clearing Framework},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1997-41},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1997},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1997-41},
abstract = {This paper investigates the relations between aggregate trading volume and information on financial markets from a theoretical standpoint. Through numerical examples, it relates some statistics describing equilibrium price and volumesuch as the variance of the price and its correlation with the true asset value, the volume mean, variance, skewness, and kurtosisto the distribution of information across traders. The analysis is carried out in a static noisy rational expectations framework, with multiple informed traders, where both the precision and the correlation of the signals observed by the traders can be modified.},
}