Pricing the Strategic Value of Poison Put Bonds
Abstract
In times of low liquidity for a firm, poison put bondholders can threaten to either force the company into a reorganization or to raise its borrowing costs. A multilateral bargaining solution for the strategic value is formulated at the time of exercise. Even infinitesimal bondholders, putting non-cooperatively, are able to extract more than the intrinsic value whenever the amount of putable debt exceeds the firm's effective liquidity. Prior to the crisis all financial assets are priced in a continous-time framework when interest rates follow the Vasicek process and firm's debtholders are subject to a sharp price decline due to an LBO. The model is calibrated to one such recent crisis -- that of Kmart Corp.
( s o T r a w F P r i c i n g t h e S t r a t e g i c V a l u e o f P o i s o n P u t B o n d s (cid:3) A l e x a n d e r D a v i d C a p i t a l M a r k e t s S e c t i o n B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m N o v e m b e r 1 9 9 7 (cid:3) M a ilin g A d d r e s s : M a il S t o p # 9 0 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , 2 0 t h & C o n s t it u t io n A v e . N W , W a s h in g t o n D .C . 2 0 5 5 1 . P h o n e : 2 0 2 ) 4 5 2 -2 3 3 3 . F a x : ( 2 0 2 ) 4 5 2 -5 2 9 6 . E . M a il ( In t e r n e t ) : a d a v id @ fr b .g o v . T h e p a p e r r e p r e s e n t s t h e v ie w s o f t h e a u t h o r a n d h o u ld n o t b e in t e r p r e t e d a s r e (cid:13) e c t in g t h e v ie w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r o t h e r m e m b e r s f it s s t a (cid:11) . I a m g r a t e fu l t o D a v id B o w m a n , M a r k C a r e y , J e n n ife r C a r p e n t e r , G r e g D u (cid:11) e e , J o e O s t r o y , M it c h P o s t , G a r y e S e lle , H a lu k U n a l, a n d C h u n g s h e n g Z h o u fo r h e lp fu l c o n v e r s a t io n s a n d t h e ir a d v ic e o n t h e is s u e , t o M ik e P iz z i fo r e x c e lle n t e s e a r c h a s s is t a n c e , a n d t o M a r k F is h e r fo r s e v e r a l M a t h e m a t ic a t ip s . I a ls o t h a n k M a r t in E . W e lc h I I I, S e n io r V ic e P r e s id e n t n d C h ie f F in a n c ia l O (cid:14) c e r a t K m a r t fo r p r o v id in g s o m e im p o r t a n t in fo r m a t io n a b o u t t h e ir d e a l. A n e a r ly v e r s io n o f t h e p a p e r S e v e n th A n n u a l D e r iv a tiv e s S e c u r itie s C o n fe r e n c e W e s te r n a s p r e s e n t e d a t t h e a t K in g s t o n , O n t a r io in M a y 1 9 9 7 , a n d a t t h e in a n c e A s s o c ia tio n M e e tin g s a t S a n D ie g o , C a lifo r n ia , in J u n e 1 9 9 7 . 1
a t p c o a c b p a a (cid:12) a o J A b s t r a c t T h e r o le o f p u t a b le b o n d s a s a d e fe n s e a g a in s t t a k e o v e r s a n d a s p r o t e c t io n fo r in v e s t o r s a g a in s t m a r k e t n d e v e n t r is k h a s b e e n a p p r e c ia t e d in t h e lit e r a t u r e , b u t t h e t h r e a t e n in g p o w e r o f p u t b o n d h o ld e r s | h e a b ilit y t o in d u c e a (cid:12) n a n c ia l c r is is | h a s la r g e ly b e e n ig n o r e d . I n t im e s o f lo w liq u id it y fo r a (cid:12) r m , u t b o n d h o ld e r s c a n t h r e a t e n t o e it h e r fo r c e t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n o r t o r a is e it s b o r r o w in g in tr in s ic s tr a te g ic o s t s . T h is t h r e a t e n in g p o w e r im p lie s t h a t t h e r e is a d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e a n d v a lu e f t h e o p t io n . U s in g r e c e n t r e s u lt s in b a r g a in in g t h e o r y , I s o lv e fo r t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e s e o p t io n s t t h e t im e o f t h e t r ig g e r in g o f t h e p u t . T h e t h e o r y is a p p lic a b le b o t h t o c a s e s w h e r e t h e b o n d s a r e h e ld lo s e ly b y a fe w in s t it u t io n a l in v e s t o r s o r t h e b o n d s a r e w id e ly h e ld b y s m a ll m a r k e t p a r t ic ip a n t s . I t w ill e s e e n t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f p la y e r s w ill d e p e n d o n t h e fo llo w in g ‘s t a t e ’ v a r ia b le s a t t h e t im e o f t h e u t : ( 1 ) T h e s iz e o f t h e e a c h le n d e r ’s h o ld in g o f t h e c o m p a n y ’s d e b t , ( 2 ) T h e s iz e o f t h e ‘e (cid:11) e c t iv e ly ’ liq u id s s e t s o f t h e c o m p a n y r e la t iv e t o t h e a m o u n t o f p u t a b le d e b t o u t s t a n d in g , ( 3 ) T h e c o s t s o f b a n k r u p t c y , n d ( 4 ) T h e p r ic e s o f a ll (cid:12) n a n c ia l a s s e t s a t t h e t im e t h e p u t o p t io n s a r e t r ig g e r e d . P r io r t o t h e c r is is a ll n a n c ia l a s s e t s a r e p r ic e d in a c o n t in o u s - t im e fr a m e w o r k w h e n in t e r e s t r a t e s fo llo w t h e V a s ic e k p r o c e s s n d (cid:12) r m ’s d e b t h o ld e r s a r e s u b je c t t o a s h a r p p r ic e d e c lin e d u e t o a n L B O . T h e m o d e l is c a lib r a t e d t o n e s u c h r e c e n t c r is is | t h a t o f K m a r t C o r p . E L C la s s i(cid:12) c a tio n : G 3 3 , G 1 2 2
1 I n t r o d u c t i o n P o is o n p u t b o n d s (cid:12) r s t b e c a m e p o p u la r in t h e la t e 1 9 8 0 s a ft e r a s e r ie s o f le v e r a g e d b u y o u t t r a n s a c t io n s ( L B O s ) h a d r e d u c e d t h e v a lu e s o f t a r g e t c o m p a n y ’s d e b t h o ld e r s . T h e y h a v e r e m a in e d p o p u la r in t h e 1 9 9 0 s w it h a la r g e v a lu e o f s u c h b o n d s is s u e d e v e n b e fo r e a n e w w a v e o f t a k e o v e r a c t iv it y b e g a n in 1 9 9 4 . I n v e s t o r s h u n g r y fo r y ie ld h a v e in c r e a s e d t h e ir a p p e t it e fo r s p e c u la t iv e g r a d e b o n d s , b u t h a v e d e m a n d e d p r o t e c t io n a g a in s t la r g e d o w n s id e r is k s . W e e s t im a t e t h a t p o is o n p u t s h a v e a c c o u n t e d fo r a b o u t 1 2 p e r c e n t o f a ll b o n d s is s u e d b y U .S . n o n (cid:12) n a n c ia l c o m p a n ie s in t h e 1 9 9 0 s . W h ile t h e r o le s o f p o is o n p u t s a s a n t i- t a k e o v e r d e fe n s e s a n d a s p r o v id in g in v e s t o r s p r o t e c t io n a g a in s t e v e n t - r is k ( s e e fo r e x a m p le , C r a b b e 1 9 9 1 , C o o k a n d E a s t e r w o o d 1 9 9 4 ) t h e t h r e a t e n in g p o w e r o f p o is o n p u t b o n d h o ld e r s | t h e a b ilit y t o in d u c e a (cid:12) n a n c ia l c r is is | h a s la r g e ly b e e n ig n o r e d . I n t im e s o f lo w liq u id it y fo r t h e (cid:12) r m , p u t b o n d h o ld e r s c a n t h r e a t e n t o e it h e r fo r c e t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n o r r a is e it s b o r r o w in g c o s t s . T h is g iv e s t h e ir b o n d s a s t r a t e g ic v a lu e in a d d it io n t o t h e in t r in s ic v a lu e o f t h e o p t io n s . O n e s u c h (cid:12) n a n c ia l c r is is is d e s c r ib e d n e x t . I n D e c e m b e r 1 9 9 5 , fo llo w in g s e v e r a l q u a r t e r s o f w e a k s a le s , K m a r t C o r p . c a m e o n t h e b r in k o f a b a n k r u p t c y (cid:12) lin g : T h e ir p r o b le m s s t e m m e d fr o m t h e p o s s ib le e x e r c is e o f $ 5 5 0 m illio n o f p o is o n p u t b o n d s o u t s t a n d in g , w h ic h a llo w e d h o ld e r s t o s e ll b a c k , o r ‘p u t ’ t h e n o t e s b a c k t o t h e r e t a ile r , if t h e r a t in g o n t h e o r c o m p a n y ’s s e n io r d e b t { a s d e t e r m in e d b y e it h e r S t a n d a r d a n d P o o r ’s M o o d y ’s { fe ll b e lo w in v e s t m e n t in s t it u t io n a l g r a d e . T h e p u t a b le d e b t w a s h e ld b y t w o s e t s o f le n d e r s { b a n k s a n d in s u r a n c e c o m p a n ie s { a n d w a s n o t p u b lic ly t r a d e d . D e s p it e h a v in g m o r e t h a n $ 1 b illio n in c a s h a n d o t h e r m a r k e t a b le s e c u r it ie s , K m a r t w a s p r o h ib it e d b y c o v e n a n t s in it s b a n k d e b t fr o m a c c e le r a t in g p a y m e n t o n m o r e t h a n $ 1 0 0 m illio n o f t h e p u t a b le d e b t . E x e r c is e o f t h e o p t io n s , t h e r e fo r e , w o u ld fo r c e K m a r t it in t o a b a n k r u p t c y (cid:12) lin g . I n D e c e m b e r , t h e r e t a ile r ’s d e b t w a s r a t e d t w o n o t c h e s a b o v e ju n k s t a t u s a t ‘B B B ’ b y S t a n d a r d a n d P o o r ’s a n d ‘B a a 2 ’ b y M o o d y ’s . K m a r t r e a c h e d a s e t t le m e n t w it h t h e le n d e r s , o (cid:11) e r in g in s u r a n c e c o m p a n ie s t h a t h e ld t h e p u t a b le b o n d s a lu m p s u m t o s u r r e n d e r t h e ir o p t io n s . W h ile t h e s e t t le m e n t a m o u n t is u n k n o w n , it w a s r u m o r e d in c e r t a in p r e s s r e p o r t s t h a t a t o t a l o f $ 9 8 m illio n w a s p a id t o p u t a b le b o n d h o ld e r s a n d t h a t a n 1 in s u r a n c e c o m p a n y w a s o (cid:11) e r e d (cid:12) v e t im e s a s m u c h p e r d o lla r a s b a n k s h o ld in g s im ila r b o n d s . T h e s e t t le m e n t w a s a c c e p t e d b y b o n d h o ld e r s a n d K m a r t ’s s h a r e s s o a r e d 2 7 p e r c e n t fo llo w in g t h e r e t a ile r ’s a g r e e m e n t w it h h o ld e r s . S e v e r a l m a r k e t im p e r fe c t io n s in h e r e n t in t h e o p t io n s t r a n s a c t io n im p ly t h a t t h e r e is d i(cid:11) e r e n c e in t r in s ic s t r a t e g ic b e t w e e n t h e a n d t h e v a lu e o f t h e o p t io n . T h e fo r m e r is t h e p r e s e n t d is c o u n t e d v a lu e u n d e r a n e q u iv a le n t m a r t in g a le m e a s u r e . T h e la t t e r r e s u lt s d u e t o b o n d h o ld e r s h a v in g s o m e t h r e a t e n in g p o w e r o n t h e (cid:12) r m in a t im e o f (cid:12) n a n c ia l c r is is . T h e s t r a t e g ic v a lu e s p a id in in fo r m a l b a r g a in in g s it u a t io n s t o c r e d it o r s a r e d e t e r m in e d t h r o u g h b a r g a in in g b e t w e e n t h e (cid:12) r m a n d t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s . S o m e o f t h e m a r k e t im p e r fe c t io n s a r e : ( i) t h e b o n d s a r e n o t p u b lic ly t r a d e d , ( ii) o n e la r g e b o n d h o ld e r h e ld a (cid:12) ft h o f t h e fa c e v a lu e o u t s t a n d in g a n d s e v e r a l ( 1 5 - 2 0 ) s m a lle r b o n d h o ld e r s h e ld t h e r e m a in d e r , ( iii) t h e (cid:12) r m is liq u id it y 1 B lo o m b e r g F in a n c ia l S e r v ic e , N o v e m b e r 1 5 t h 1 9 9 5 . \ K m a r t S e e n O (cid:11) e r in g L u m p P a y m e n t t o R e m o v e P u t O p t io n ." 3
c o n s t r a in e d a n d is p r o h ib it e d b y c o v e n a n t s t o r e (cid:12) n a n c e t h e p u t d e b t c o s t le s s ly a n d ( iv ) t h e r e a r e d ir e c t ( a n d p e r h a p s in d ir e c t ) c o s t s o f b a n k r u p t c y . T h e v a lu e o f d i(cid:11) e r e n t b o n d h o ld e r s o p t io n s in s u c h s it u a t io n s d e p e n d s o n t h e ir b a r g a in in g p o s it io n s . U s in g r e c e n t r e s u lt s in N - p e r s o n m u lt ila t e r a l b a r g a in in g t h e o r y ( H a r t a n d M a s - C o le ll ( 1 9 9 6 ) ) , I s o lv e f o r t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e s e o p t io n s . T h e s o lu t io n o f t h e n o n - c o o p e r a t iv e g a m e c o in c id e s w it h a c o o p e r a t iv e g a m e t h e o r y c o n c e p t | t h e S h a p le y V a lu e | a n d a s s ig n s a s t r a t e g ic v a lu e t o e a c h p la y e r e q u a l t o h is e x p e c t e d m a r g in a l v a lu e . T h e e x p e c t a t io n is w it h r e s p e c t t o t h e u n ifo r m m e a s u r e o v e r a ll c o a lit io n s t h a t c a n p o t e n t ia lly b e fo r m e d . I n t h e m o d e l d e s c r ib e d , t h e ‘p r o b a b ilit y ’ o f e a c h b o n d h o ld e r b e in g in a t h r e a t e n in g c o a lit io n is s h o w n t o b e a fu n c t io n o f t h e e (cid:11) e c t iv e liq u id it y - t o - p u t a b le d e b t r a t io o f t h e (cid:12) r m . I t is s h o w n t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f d i(cid:11) e r e n t s iz e d b o n d h o ld e r s a r e d i(cid:11) e r e n t a n d d i(cid:11) e r s ig n i(cid:12) c a n t ly fr o m t h e in t r in s ic v a lu e s o f t h e s e o p t io n s . E v e n w h e n t h e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s in c r e a s e s t o in (cid:12) n it y , t h e t w o v a lu e s w ill n o t c o in c id e fo r a n e (cid:11) e c t iv e liq u id it y - t o - p u t a b le d e b t r a t io le s s t h a n o n e . I t w ill b e s e e n t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f p la y e r s w ill d e p e n d o n t h e fo llo w in g v a r ia b le s a t t h e t im e o f n e g o t ia t io n s : ( 1 ) T h e s iz e o f t h e e a c h le n d e r ’s h o ld in g o f t h e c o m p a n y ’s d e b t , ( 2 ) T h e s iz e o f t h e ‘e (cid:11) e c t iv e ly ’ liq u id a s s e t s o f t h e c o m p a n y r e la t iv e t o t h e a m o u n t o f p u t a b le d e b t o u t s t a n d in g , ( 3 ) T h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y , a n d ( 4 ) T h e v a lu e o f n o n p u t a b le b o n d s a n d e q u it y . P r io r t o t h e c r is is , w e fo r m u la t e t h e p r ic e s o f a ll (cid:12) n a n c ia l a s s e t s in a fr ic t io n le s s fr a m e w o r k ( n o liq u id it y p r o b le m s ) . I t is a s s u m e d t h a t in t e r e s t r a t e s fo llo w t h e V a s ic e k ( 1 9 7 7 ) p r o c e s s a n d t h a t t h e (cid:12) r m (cid:12) le s fo r b a n k r u p t c y ( d e fa u lt s ) w h e n t h e v a lu e o f it s a s s e t s h it s a lo w e r b o u n d . T h e d e fa u lt b o u n d a r y d e p e n d s o n t h e fa c e v a lu e o f a ll d e b t s o u t s t a n d in g a n d e x o g e n o u s ly g iv e n r e c o v e r y r a t e s o f e a c h c la s s o f lia b ilit ie s . T h e (cid:12) r m is s u b je c t t o a n L B O , w h ic h r a is e s t h e a m o u n t o f it s ju n io r d e b t a n d h e n c e le a d s t o a n in c r e a s e in t h e d e fa u lt b o u n d a r y . T h e r e fo r e , e v e n t h o u g h t h e a s s e t p r o c e s s is c o n t in u o u s , t h e p r ic e s o f b o n d s a r e s u b je c t t o s h a r p d e c r e a s e s in t h e e v e n t o f a n L B O . W e w ill n o t e t h a t s u c h a m o d e l is c o n s is t e n t w it h t h e o b s e r v e d h ig h s p r e a d s fo r b o n d s w it h s h o r t m a t u r it ie s . W e t h e n c a lc u la t e r a t in g b o u n d a r ie s fo r t h e a s s e t v a lu e a t w h ic h t h e p o is o n p u t s c a n b e e x e r c is e d ; a t t h e s e b o u n d a r ie s t h e p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt m a t c h t h e d e fa u lt p r o b a b ilit ie s fo r t h e p u t - t r ig g e r in g r a t in g ( fo r e x a m p le , B a in t h e c a s e o f K m a r t ) fo r b o n d s r a t e d b y M o o d y ’s . T h e v a lu e s o f t h e p o is o n p u t s p r io r t o t h e c r is is , a r e t h e s o lu t io n o f a p a r t ia l d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n w it h b o u n d a r y c o n d it io n s ( a t t h e r a t in g b o u n d a r ie s ) d e t e r m in e d b y t h e b a r g a in in g s o lu t io n a s d is c u s s e d a b o v e . T h e v io la t io n o f a b s o lu t e p r io r it y in d e b t c o n t r a c t s ( s e e fo r e x a m p le F r a n k s a n d T o r o u s 1 9 8 9 ) is a n in d ic a t o r o f s t r a t e g ic b e h a v io r a m o n g v a r io u s c r e d it o r s o f t h e (cid:12) r m in a n d b e fo r e b a n k r u p t c y . S e v e r a l r e c e n t p a p e r s h a v e m o d e le d t h e s t r a t e g ic b e h a v io r a n d it s im p a c t o n b o n d v a lu a t io n . I n A n d e r s o n a n d S u n d a r e s a n ( 1 9 9 6 ) a n d in M e lla - B e r r a l a n d P e r r a u d in ( 1 9 9 7 ) t h e (cid:12) r m is a b le t o m a k e t a k e - it - o r - le a v e - it o (cid:11) e r s t o b o n d h o ld e r s a t t h e t im e c o u p o n s a n d p r in c ip a l is d u e . T h e y s h o w t h a t if t h e (cid:12) r m is u n c o n c e r n e d s t r a t e g ic d e b t s e r v ic e a b o u t r e p u t a t io n a l c o n c e r n s in t h e ir a b ilit y t o is s u e fu t u r e d e b t , t h e n it s o (cid:11) e r s a , w h ic h in m a n y s it u a t io n s is s m a lle r t h a n t h e p r o m is e d s u m s . W e s h a ll a b s t r a c t fr o m s u c h b e h a v io r b y b o r r o w e r s b y 4
a s s u m in g t h a t (cid:12) r m s m u s t o (cid:11) e r b o n d s p e r io d ic a lly a n d d o n o t w a n t t o h a r m t h e ir r e p u t a t io n s . I n a d d it io n , w e m o d e l m u lt ila t e r a l b a r g a in in g w it h a lt e r n a t in g o (cid:11) e r s , a fr a m e w o r k in w h ic h t h e (cid:12) r s t - m o v e r a d v a n t a g e is s m a ll w h e n t h e p la y e r s a r e p a t ie n t ( o r t h e c o s t s o f d e la y a r e s m a ll) . A iv a z ia n a n d C a lle n ( 1 9 8 3 ) p r o p o s e d t h e S h a p le y V a lu e a s t h e s o lu t io n t o t h e b a r g a in in g p r o b le m b e t w e e n s h a r e h o ld e r s a n d b o n d h o ld e r s ; B e r g m a n a n d C a lle n ( 1 9 9 1 ) u s e d t h e a lt e r n a t in g o (cid:11) e r s fr a m e w o r k o f R u b in s t e in ( 1 9 8 2 ) a s t h e s o lu t io n . B o t h p a p e r s a s s u m e t h a t b o n d h o ld e r s b a r g a in jo in t ly a s a g r o u p w it h s h a r e h o ld e r s in a 2 - p e r s o n g a m e . B e c a u s e o n e o n o u r g o a ls is t o s t u d y t h e r e la t iv e s t r a t e g ic v a lu e o f la r g e a n d s m a ll c r e d it o r s w e fo r m u la t e a n N - p e r s o n g a m e . T h e b a r g a in in g s o lu t io n c o in c id e s w it h t h e S h a p le y v a lu e , b u t w e p o in t t o a n e x p lic it n o n - c o o p e r a t iv e g a m e w it h a lt e r n a t in g o (cid:11) e r s t h a t h a s t h e S h a p le y V a lu e a s it s u n iq u e s o lu t io n . I n a d d it io n , w e p r ic e s t r a t e g ic v a lu e o f b o n d h o ld e r s in a n e n v ir o n m e n t w it h s t o c h a s t ic in t e r e s t r a t e s . D u n n a n d S p a t t ( 1 9 8 4 ) r e p o r t a n d p r ic e s t r a t e g ic v a lu e in t h e s in k in g fu n d b o n d m a r k e t ; h o a r d e r s a t t e m p t t o c o r n e r t h e m a r k e t fo r t h e (cid:12) r m ’s b o n d s , s o t h a t r e p u r c h a s e s fr o m t h e o p e n m a r k e t a r e u n a v a ila b le . T h e y t h e n d e m a n d p a y m e n t s g r e a t e r t h a n fa c e v a lu e fr o m t h e (cid:12) r m . T h e p la n fo r t h e p a p e r is a s fo llo w s : G e n e r a l C h a r a c t e r is t ic s o f t h e P u t B o n d M a r k e t a r e in S e c t io n 2 . I n S e c t io n 3 , n o n p u t a b le b o n d s a r e p r ic e d in a fr ic t io n le s s fr a m e w o r k in w h ic h t h e t a r g e t (cid:12) r m ’s d e b t is s u b je c t t o a s h a r p p r ic e d e c lin e d u e t o a n L B O . I n S e c t io n 4 , t h e c a p it a l s t r u c t u r e o f t h e (cid:12) r m w it h p o is o n p u t s is d e s c r ib e d , a n d t h e fr ic t io n le s s s t r u c t u r e is a d ju s t e d t o in c o r p o r a t e t h e t im in g a n d r u le s o f t h e b a r g a in in g g a m e t h a t a r is e s w h e n c o v e n a n t s in p o is o n p u t s a r e v io la t e d . I n S e c t io n 5 , in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e s fo r p o is o n p u t o p t io n s a r e d e (cid:12) n e d . S t r a t e g ic v a lu e s a r e s o lv e d fo r w h e n t h e p u t a b le d e b t is d iv id e d e q u a lly a m o n g a n a r b it r a r y n u m b e r o f b o n d h o ld e r s in S e c t io n 6 , a n d w h e n o n e la r g e b o n d h o ld e r h o ld s a s ig n i(cid:12) c a n t a m o u n t o f t h e d e b t in S e c t io n 7 . T h e m o d e l is c a lib r a t e d t o K m a r t ’s s it u a t io n in S e c t io n 8 . T h e p r ic in g o f t w o d i(cid:11) e r e n t v a r ia n t s o f p o is o n p u t s a t t h e t im e o f is s u a n c e is in S e c t io n 9 . T h e c o n c lu s io n a n d s o m e im p lic a t io n s a r e in S e c t io n 1 0 . 2 A c q u i s i t i o n A c t i v i t y a n d t h e P o i s o n P u t B o n d M a r k e t A ft e r a r e la t iv e ly q u ie t p e r io d in t h e e a r ly 1 9 9 0 s , a n e w w a v e o f m e r g e r a c t iv it y in t h e n o n (cid:12) n a n c ia l s e c t o r b e g a n in 1 9 9 4 , a n d h a s b e e n g r o w n in s t r e n g t h s in c e t h e n . B o ls t e r e d b y t h e p u r c h a s e o f s m a ll c o m p a n ie s , t h e n u m b e r o f d e a ls c o m p le t e d h a s in c r e a s e d s t e a d ily o v e r t h e p a s t 1 2 y e a r s . H o w e v e r , t h e a g g r e g a t e v a lu e o f t a r g e t s a c q u ir e d d is p la y s t w o d is t in c t w a v e s ( F ig u r e 2 , t o p p a n e ls ) ; t h e a g g r e g a t e v a lu e o f t a r g e t s a c q u ir e d w a s a b o u t $ 1 3 0 b illio n p e r y e a r in 1 9 8 4 - 1 9 8 9 , s a n k t o a b o u t $ 5 0 b illio n in 1 9 9 0 - 1 9 9 3 , a n d h a s b e e n a b o u t $ 2 2 0 b illio n fr o m 1 9 9 4 - 1 9 9 7 . T h e r e a r e s o m e m a jo r d i(cid:11) e r e n c e s in t h e a c q u is it io n s c o n s u m m a t e d in t h e t w o w a v e s . I n t h e w a v e o f t h e 1 9 8 0 s c a s h w a s t h e d o m in a n t m o d e o f (cid:12) n a n c in g t h e p u r c h a s e t a r g e t s , m o s t ly (cid:12) n a n c e d b y a la r g e in c r e a s e in a c q u ir e r s ’ d e b t s . I n t h e c u r r e n t w a v e , m o r e t h a n h a lf t h e c o n s id e r a t io n o (cid:11) e r e d t o t a r g e t s ’ s h a r e h o ld e r s h a s b e e n in t h e s t o c k o f t h e a c q u ir e r . T h is fe a t u r e is d is p la y e d in t h e t o p r ig h t p a n e l o f F ig u r e 2 : t h e 5
d a r k p o r t io n in t h e t o p r ig h t p a n e l r e p r e s e n t s t h e e q u it y o f t h e t a r g e t c o m p a n y r e t ir e d a s a r e s u lt o f t h e a c q u is it io n ; t h e r e m a in d e r o f t h e d e a l v a lu e w a s p a id in t h e s t o c k o f t h e a c q u ir e r . D e a ls in w h ic h t h e s t o c k o f p u b lic c o m p a n ie s w a s p u r c h a s e d b y le v e r a g e d b u y o u t (cid:12) r m s a n d p r iv a t e in v e s t o r g r o u p s | c la s s i(cid:12) e d a s L B O s | w e r e a n im p o r t a n t p h e n o m e n o n in t h e 1 9 8 0 s , a c c o u n t in g fo r 3 0 p e r c e n t o f t h e d e a l v a lu e ( F ig u r e 2 m id d le p a n e ls ) . I n c o n t r a s t , t h e ir r o le in t h e c u r r e n t w a v e h a s b e e n a lm o s t n e g lig ib le . T h e a c a d e m ic lit e r a t u r e h a s id e n t i(cid:12) e d t w o im p o r t a n t m o t iv a t io n s fo r le v e r a g e d b u y o u t s a n d h o s t ile a c q u is it io n s : r e d u c in g in c e n t iv e a n d a g e n c y c o s t p r o b le m s b e t w e e n m a n a g e m e n t a n d s h a r e h o ld e r s , a n d im p r o v in g t h e o p e r a t in g p e r fo r m a n c e o f t h e t a r g e t s , o ft e n t h r o u g h e x t e n s iv e a s s e t s a le s . T h e s m a lle r s h a r e o f s u c h d e a ls in t h e c u r r e n t m e r g e r w a v e is in lin e w it h t h e v ie w t h a t n o n (cid:12) n a n c ia l c o r p o r a t io n s h a v e g e n e r a lly b e e n o p e r a t in g m o r e e (cid:14) c ie n t ly , a n d t h a t s h a r e h o ld e r s g a in s in t h e b u ll m a r k e t h a v e b e e n a t o r a b o v e e x p e c t a t io n s . C o n c o m it a n t ly , t h e p e r c e n t a g e o f d e a ls c la s s i(cid:12) e d a s h o s t ile h a s d r o p p e d s h a r p ly fr o m a lm o s t 3 0 p e r c e n t in t h e 1 9 8 0 s t o le s s t h a n 8 p e r c e n t in t h e c u r r e n t w a v e a n d t h e p e r c e n t a g e o f in t r a - in d u s t r y d e a ls h a s r is e n s u b s t a n t ia lly fr o m a b o u t 4 1 p e r c e n t t o 6 6 p e r c e n t . T h e la r g e r p e r c e n t a g e in t h e c u r r e n t w a v e r e (cid:13) e c t s b o t h t h e s m a lle r r o le o f (cid:12) n a n c ia l b u y e r s a n d t h e g r e a t e r n u m b e r o f s t r a t e g ic c o m b in a t io n s a m o n g (cid:12) r m s in t h e s a m e o r r e la t e d b u s in e s s e s . D e s p it e t h e la r g e n u m b e r o f fr ie n d ly s t o c k m e r g e r s in t h e 1 9 9 0 s , a lm o s t $ 1 0 0 b illio n o f n o n (cid:12) n a n c ia l e q u it y h a s b e e n r e t ir e d fr o m c a s h d e a ls e a c h y e a r s in c e 1 9 9 4 . T h e d e b t s o f s e v e r a l o f t h e (cid:12) r m s in v o lv e d in d e a ls w it h s ig n i(cid:12) c a n t e q u it y r e t ir e m e n t s h a v e b e e n d o w n g r a d e d b y t h e r a t in g a g e n c ie s . W h ile t h e n u m b e r o f L B O s c o m p le t e d r e c e n t ly h a s b e e n s m a ll, fu n d s r a is e d b y n o n - v e n t u r e p r iv a t e e q u it y in v e s t o r s | w h ic h in c lu d e s p e c ia lis t L B O (cid:12) r m s | h a v e c o n t in u e d t o g r o w r a p id ly : s u c h fu n d s d r e w in a b o u t $ 5 0 b illio n in 1 9 9 5 a n d 1 9 9 6 , a n d in c r e a s e d t h a t t o t a l b y a n o t h e r $ 2 0 b illio n in t h e (cid:12) r s t h a lf o f 1 9 9 7 ( F ig u r e 2 , b o t t o m le ft p a n e l) . A m o r e c o m p le t e d is c u s s io n o f t h e s e fu n d s c a n b e o b t a in e d in F e n n , L ia n g a n d P r o w s e ( 1 9 9 7 ) . P r e s s r e p o r t s in d ic a t e t h a t a t le a s t fo u r la r g e (cid:12) r m s d r e w in fu n d s in t h e $ 3 - 6 b illio n r a n g e in t h e (cid:12) r s t h a lf o f 1 9 9 7 . S e v e r a l p r a c t it io n e r s h a v e n o t e d t h a t b u y o u t (cid:12) r m s w ill lik e ly m a k e s u b s t a n t ia l p u r c h a s e s in t h e e v e n t o f a s ig n i(cid:12) c a n t m a r k e t c o r r e c t io n . T h e e n h a n c e d a c q u is it io n a c t iv it y a m o n g n o n (cid:12) n a n c ia l (cid:12) r m s w it h c r e d it q u a lit y im p lic a t io n s , a n d t h e im p e n d in g t h r e a t o f a le v e r a g e d b u y o u t h a s p r o m p t e d r o b u s t is s u a n c e o f p o is o n p u t b o n d s in t h e 1 9 9 0 s ( F ig u r e 2 , b o t t o m r ig h t p a n e l) . C u m u la t iv e ly , a b o u t $ 1 4 1 b illio n o f p o is o n p u t b o n d s h a v e b e e n is s u e d s in c e 1 9 9 1 , w it h t h e m e d ia n is s u e r is s u in g a fa c e v a lu e o f a b o u t $ 2 5 0 m illio n . D a t a fr o m t h e F lo w o f F u n d s a t t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d in d ic a t e s t h a t U .S . n o n (cid:12) n a n c ia l c o r p o r a t io n s h a v e c u m u la t iv e ly is s u e d a b o u t $ 1 ,1 0 0 b illio n o f b o n d s in t h e s a m e p e r io d ; t h e r e fo r e , p o is o n p u t s h a v e a c c o u n t e d fo r o v e r 1 2 p e r c e n t o f a ll n o n (cid:12) n a n c ia l is s u a n c e in t h e 1 9 9 0 s . A s s e e n in t h e (cid:12) g u r e , m o s t o f t h e v o lu m e h a s b e e n fr o m s p e c u la t iv e g r a d e is s u e r s . P o is o n p u t b o n d s w e r e in it ia lly d e s ig n e d t o m a k e (cid:12) r m s le s s a t t r a c t iv e a s t a k e o v e r t a r g e t s ( b y in c r e a s in g t h e im m e d ia t e (cid:12) n a n c in g n e e d s o f p r o s p e c t iv e a c q u ir e r s ) a n d t h u s p r o v id e a n a d d it io n a l m e c h a n is m fo r s t r e n g t h e n in g m a n a g e r ia l r e s is t a n c e t o h o s t ile b id s . T h e ir p o p u la r it y in c r e a s e d r a p id ly in t h e la t e 1 9 8 0 ’s a ft e r le v e r a g e d b u y o u t s lo w e r e d t h e c r e d it q u a lit y o f m a n y (cid:12) r m s a n d t h r e a t e n e d t h e liq u id it y o f c o r p o r a t e b o n d m a r k e t s . I n r e s p o n s e t o in v e s t o r s d e m a n d fo r p r o t e c t io n a g a in s t ‘e v e n t - r is k ’, t h e s e p u t s g a v e h o ld e r s 6
a n d r ig h t s t o s e ll t h e ir b o n d s b a c k t o t h e is s u e r a t p a r in t h e e v e n t o f a le v e r a g e d r e s t r u c t u r in g s u b s e q u e n t d o w n g r a d in g . I n it ia lly , m o s t p u t s w e r e e x e r c is a b le if t h e r e w a s t h e t h r e a t o f a h o s t ile t a k e o v e r . S in c e m o s t t a r g e t s a g r e e d t o t u r n ‘fr ie n d ly ’ ju s t p r io r t o t h e a c q u is it io n b u t s t ill e x p e r ie n c e d a d e c lin e in t h e ir c r e d it q u a lit y , it b e c a m e c o m m o n t o m a k e t h e b o n d s e x e r c is a b le u p o n a n y c h a n g e in o w n e r s h ip o r r e c a p it a liz a t io n a n d a ‘la r g e ’ d o w n g r a d in g o f t h e d e b t b y e it h e r S t a n d a r d a n d P o o r ’s o r M o o d y ’s ( s e e fo r e x a m p le , W r in k le r 1 9 8 8 , W e b e r m a n 1 9 8 8 ) . N a s h , N e t t e r a n d P o u ls e n ( 1 9 9 7 ) r e p o r t c h a r a c t e r is ic s o f p o is o n p u t s is s u e d in 1 9 8 9 . C o n d it io n s ( n o n - m u t u a lly e x c lu s iv e ) t h a t c o u ld t r ig g e r t h e p o is o n p u t in c lu d e d t h e fo llo w in g c o n t ig in c ie s : t h e c o m p a n y m e r g e s w it h a n o t h e r c o m p a n y ( a b o u t 6 7 % ) , a n in d iv id u a l b e c o m e s a b e n e (cid:12) t ia l o w n e r o f m o r e t h a n a c e r t a in p e r c e n t o f s t o c k ( 8 2 % ) , a c h a n g e in m a jo r it y o f t h e b o a r d o f d ir e c t o r s ( 4 2 % ) o r a s a le o f a ll o r s u b s t a n t ia lly a ll a s s e t s ( 2 2 % ) . I n a t h ir d o f t h e p o is o n p u t s , t h e d e b t h a d t o b e d o w n g r a d e d in a d d it o n t o o n e o f t h e t r ig g e r s m e n t io n e d . C r a b b e ( 1 9 9 1 ) e s t im a t e d t h a t t h e p r o t e c t io n t h e s e b o n d s p r o v id e d in v e s t o r s a g a in s t ‘e v e n t r is k ’ in t h e la t e 1 9 8 0 ’s r e d u c e d y ie ld s b y a b o u t 3 0 b a s is p o in t s in t h e s e c o n d a r y m a r k e t . T h e n u m b e r o f c o n t ig e n c ie s c o v e r e d in c r e a s e d in s u b s e q u e n t c o n t r a c t s , o ft e n le a d in g t o e x t e n d e d le g a l b a t t le s b e fo r e a n e (cid:11) e c t iv e e x e r c is e o f t h e p u t s . I n t h e 1 9 9 0 s , p o is o n p u t b o n d s e v o lv e d ( s u c h a s t h a t o f K m a r t C o r p .) t h a t w e r e e x e r c is a b le ju s t o n a r a t in g c h a n g e a lo n e , t h u s p r o t e c t in g t h e b o n d h o ld e r s fr o m d e c lin e s in c r e d it q u a lit y ir r e s p e c t iv e o f t h e c a u s e . 3 P r i c i n g N o n - P u t a b l e B o n d s W e s h a ll s o lv e b o n d p r ic e s fo r a (cid:12) r m w it h p r o t e c t e d d e b t o u t s t a n d in g . T h e b a s ic s t r u c t u r e o f t h e m o d e l 2 is a s in B la c k a n d C o x ( 1 9 7 6 ) , L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 6 ) , a n d B r iy s a n d d e V a r e n n e ( 1 9 9 7 ) . I n t h is s e c t io n , t h e (cid:12) r m d e fa u lt s o n ly w h e n t h e v a lu e o f it s a s s e t s h it s a n e x o g e n o u s ly s p e c i(cid:12) e d d e fa u lt b o u n d a r y ( d is c u s s e d b e lo w ) . L a t e r w e w ill a d ju s t t h e fr a m e w o r k t o p r ic e b o n d s w h e n t h e c o m p a n y m a y b e fo r c e d in t o a r e o r g a n iz a t io n b e fo r e it s v a lu e h it s t h e d e fa u lt b o u n d a r y b y t h e e x e r c is e o f o u t s t a n d in g p u t a b le b o n d s . A s s u m p t i o n 1 F o llo w in g V a s ic e k ( 1 9 7 7 ) , t h e d y n a m ic s o f f r g u n d e r t h e r is k - n e u t r a l p r o b a b ilit y m e a s u r e Q a r e t d r = (cid:11) ( (cid:13) (cid:0) r ) d t + (cid:27) d z ; ( 1 ) t t r t 1 w h e r e (cid:11) , (cid:13) , a n d (cid:27) a r e c o n s t a n t s a n d f z g is a S t a n d a r d B r o w n ia n M o t io n p r o c e s s . V a s ic e k s h o w s t h a t t h e r t 1 d y n a m ic s o f r e t u r n o f t h e d e fa u lt - fr e e z e r o c o u p o n b o n d P ( r ; T ) m a t u r in g a t t im e T a r e g iv e n a t t im e t t u n d e r Q b y d P ( r ; t ; T ) = r d t (cid:0) (cid:27) ( t ; T ) d z ; ( 2 ) t P t 1 P ( r ; t ; T ) 2 S e v e r a l o t h e r p a p e r s w it h s im ila r s t r u c t u r e s h a v e b e e n w r it t e n . W e d o n o t a t t e m p t a n e x h a u s t iv e s u r v e y o f t h e p r ic in g lit e r a t u r e . N o t a b ly , p a p e r s s u c h a s B r e n n a n a n d S c h w a r t z ( 1 9 8 4 ) , B r e n n a n , D e t e m p le a n d K a la y ( 1 9 8 9 ) , L e la n d ( 1 9 9 4 ) , L e la n d a n d T o ft ( 1 9 9 6 ) a n d M e r t o n ( 1 9 7 4 ) h a v e p r o v id e d a lt e r n a t iv e c o n d it io n s t r ig g e r in g d e fa u lt . 7
w h e r e (cid:27) ( t ; T ) is a d e t e r m in is t ic fu n c t io n o f t im e g iv e n b y P (cid:27) r ( 1 (cid:0) e x p ( (cid:0) (cid:11) ( T (cid:0) t ) ) ) : ( 3 ) (cid:27) ( t ; T ) = P (cid:11) T h e v a lu e o f t h e d is c o u n t b o n d is g iv e n b y 1 P ( r ; T ) = e x p ( 1 (cid:0) e x p ( (cid:0) (cid:11) ( T (cid:0) t ) ) ) ( R ( 1 ) (cid:0) r ) (cid:0) ( T (cid:0) t ) R ( 1 ) t (cid:11) (cid:20) (cid:21) 2 (cid:27) r 2 ; t (cid:20) T ( 4 ) ( 1 (cid:0) e x p ( (cid:0) (cid:11) ( T (cid:0) t ) ) ) (cid:1) e x p (cid:0) 3 4 (cid:11) (cid:21) (cid:20) 2 (cid:27) (cid:27) m r r 1 r 2 w h e r e R ( 1 ) = (cid:13) + (cid:0) , a n d m is t h e m a r k e t p r ic e o f in t e r e s t r a t e r is k , a s s u m e d t o b e a c o n s t a n t . r (cid:11) (cid:11) 2 A s s u m p t i o n 2 U n d e r Q , t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s fo llo w s t h e p r o c e s s d V t 2 = r (cid:1) d t + (cid:27) (cid:26) d z + 1 (cid:0) (cid:26) d z ; ( 5 ) t V t t 1 2 V t (cid:16) (cid:17) p w h e r e f z g is a ls o a S t a n d a r d B r o w n ia n M o t io n p r o c e s s , in d e p e n d e n t o f f z g . T h e in s t a n t a n e o u s c o r r e la t io n t t 2 1 d V t a n d d r is (cid:26) . b e t w e e n t V t A s s u m p t i o n 3 T h e (cid:12) r m ’s a s s e t p r o c e s s f V g is in d e p e n d e n t o f t h e c a p it a l s t r u c t u r e o f t h e (cid:12) r m . T h is is t h e s t a n d a r d t a s s u m p t io n t h a t t h e M o d ig lia n i- M ille r T h e o r e m h o ld s . T h e a s s u m p t io n a ls o im p lie s t h a t c h a n g e s in c a p it a l s t r u c t u r e , s u c h a s p a y m e n t s o f c o u p o n s a n d p r in c ip a l, h a v e n o e (cid:11) e c t o n f V g . t A s s u m p t i o n 4 T h e r e is s e n io r a n d ju n io r d is c o u n t d e b t o f B a n d D o u t s t a n d in g r e s p e c t iv e ly ; a t t h e t im e o f is s u a n c e , t im e y T S 0 , e a c h d o lla r o f d e b t p r o m is e s a (cid:12) n a l p a y m e n t o f f a t m a t u r it y if t h e (cid:12) r m is s o lv e n t , w h e r e f = e , S S fo r S = B ; D . T h e c r e d it o r o w n in g t h e s e d e b t s a r e p r o t e c t e d u p t o fr a c t io n s 0 (cid:20) (cid:11) (cid:20) 1 o f t h e p r o m is e d S p a y m e n t a t m a t u r it y t h r o u g h m in im u m n e t w o r t h r e q u ir e m e n t s : t h e c r e d it o r s fo r c e t h e (cid:12) r m in t o (cid:12) lin g fo r a r e o r g a n iz a t io n w h e n it s v a lu e a t t im e t h it s t h e t im e - v a r y in g d e fa u lt b o u n d a r y (cid:23) . I f t h e (cid:12) r m d e fa u lt s a t t t im e t , t h e b o n d h o ld e r s r e c e iv e (cid:11) f P ( r ; t ; T ) in r is k le s s s e c u r it ie s t h a t m a t u r e a t T , t o a v a lu e o f (cid:11) f . S S t S S I n a d d it io n , e q u it y h o ld e r s c a n e x t r a c t a fr a c t io n (cid:11) o f t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m n e t o f a n y b a n k r u p t c y c o s t s . E W e a s s u m e t h a t b a n k r u p t c y c o s t s a r e a fr a c t io n (cid:8) o f t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m . T h e d e fa u lt b o u n d a r y , (cid:23) , is t g iv e n b y 1 (cid:23) = [ (cid:11) f B + (cid:11) f D ] P ( r ; t ; T ) (cid:17) (cid:23) P ( r ; T ) : ( 6 ) t B B D D t t ( 1 (cid:0) (cid:8) ) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) E D u e t o t h e r a n d o m n e s s o f in t e r e s t r a t e s , t h e d e fa u lt b o u n d a r y is s t o c h a s t ic . I n t h is p a p e r w e d o n o t m a k e t h e im p o r t a n t d is t in c t io n b e t w e e n d e fa u lt a n d (cid:12) lin g fo r a r e o r g a n iz a t io n o f lia b ilit ie s . T h e p r o t e c t e d fr a c t io n s o f 8
t h e d e b t s a n d t h e fr a c t io n o f t h e v a lu e e x t r a c t e d b y e q u it y h o ld e r s is d e t e r m in e d b y a b a r g a in in g p r o c e s s in b a n k r u p t c y , w h ic h is d e t e r m in e d b y a v e r y c o m p le x s e t o f r u le s ( c f., fo r in s t a n c e , F r a n k s a n d T o r o u s 1 9 8 9 ) . 3 T h e fr a c t io n s m a y b e c h o s e n t o b e c o n s is t e n t w it h r u le s o f a b s o lu t e p r io r it y , a lt h o u g h t h is is n o t e s s e n t ia l. I f t h e (cid:12) r m (cid:12) le s fo r b a n k r u p t c y p r io r t o h it t in g t h e d e fa u lt b o u n d a r y ( it s v a lu e is h ig h e r t h a n t h a t g o v e r n e d b y m in im u m n e w w o r t h ) , t h e n a ll c la im s a r e p a id in o r d e r o f a b s o lu t e p r io r it y . T h e v a lu e s o f d i(cid:11) e r e n t s e c u r it ie s in b a n k r u p t c y is a v e r y im p o r t a n t t o p ic fo r fu t u r e r e s e a r c h . A s s u m p t i o n 5 A L e v e r a g e d B u y o u t ( L B O ) o (cid:11) e r fo r t h e (cid:12) r m a r r iv e s w it h a n e x p o n e n t ia l d is t r ib u t io n w it h p a r a m e t e r (cid:21) . 4 T h e d e n s it y o f a n L B O a t t im e t is g iv e n b y : f ( t j(cid:21) ) = (cid:21) e x p ( (cid:0) (cid:21) t ) . T h e L B O a r r iv a l p r o c e s s is s t a t is t ic a lly in d e p e n d e n t o f d z a n d d z . I n t h e le v e r a g e d b u y o u t , t h e ju n io r d e b t o f t h e (cid:12) r m is in c r e a s e d b y a fr a c t io n 1 2 L (cid:12) > 1 . T h is w ill c a u s e a n in c r e a s e in t h e t h r e s h o ld d e fa u lt b o u n d a r y t o (cid:23) g iv e n b y t 1 L L (cid:23) = [ (cid:11) f B + (cid:12) (cid:11) f D ] P ( r ; T ) (cid:17) (cid:23) P ( r ; T ) : ( 7 ) B B D D t t t ( 1 (cid:0) (cid:8) ) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) E B y A s s u m p t io n 3 , t h e L B O w ill n o t a (cid:11) e c t t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s , t h e r e fo r e , t h e p r o b a b ilit y o f a (cid:12) r m (cid:12) lin g fo r b a n k r u p t c y w ill in c r e a s e a ft e r t h e t r a n s a c t io n . T h e L B O r a is e s t h e d e b t - t o - e q u it y r a t io o f t h e (cid:12) r m . T h e L B O w ill b e c o n s u m m a t e d o n ly if t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s a t t h e t im e o f t h e L B O a r r iv a l L e x c e e d s (cid:23) , t h e p o s t - L B O d e fa u lt b o u n d a r y . T h e s u d d e n p o s s ib ilit y o f a d e fa u lt g iv e s t h e m o d e l s o m e o f t h e t p r o p e r t ie s o f t h e ‘r e d u c e d ’ fo r m a p p r o a c h o f b o n d p r ic in g ( c .f., fo r in s t a n c e M a d a n a n d U n a l 1 9 9 4 , D u (cid:14) e a n d S in g le t o n 1 9 9 5 ) . A s s u m p t i o n 6 W e s h a ll a s s u m e t h a t if t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m s ’ a s s e t s a t m a t u r it y is le s s t h a n t h e fa c e v a lu e o f t h e d e b t , t h e (cid:12) r m w ill b e a b le t o r a is e a d d it io n a l d e b t , a s lo n g a s it s v a lu e e x c e e d s t h e t h r e s h o ld d e fa u lt b a r r ie r . U n d e r t h is a s s u m p t io n , t h e (cid:12) r m w ill n o t d e fa u lt o n it s d e b t a t m a t u r it y a s a s s u m e d in B r iy s a n d d e V a r e n n e ( 1 9 9 7 ) . T h e a s s u m p t io n w ill a ls o h o ld fo r a n y c o u p o n p a y m e n t s m a d e a t d is c r e t e in t e r v a ls . T h e r e fo r e , w e a r e a ls o a s s u m in g t h e r e a r e n o ‘(cid:13) o w ’ b a n k r u p t c y p r o b le m s a s s o c ia t e d w it h c o u p o n p a y m e n t s a s in A n d e r s o n a n d S u n d a r e s a n ( 1 9 9 6 ) . F o llo w in g t h e lit e r a t u r e ( c f., fo r in s t a n c e , L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z 1 9 9 6 , B r iy s a n d d e V a r e n n e 1 9 9 7 , Z h o u 1 9 9 7 ) , w e w ill u s e t h e F e y n m a n - K a c T h e o r e m ( c f., fo r in s t a n c e , D u (cid:14) e 1 9 9 2 ) t o p r ic e t h e n o n - p u t a b le p a r t o f t h e b o n d s . V t D e (cid:12) n e t h e p r o c e s s f q g = f ln g , w h e r e f (cid:23) g fo llo w s ( 6 ) . P r io r t o a n L B O , w h e n q h it s t t t (cid:23) t (cid:16) (cid:17) z e r o , t h e (cid:12) r m d e fa u lt s . A ft e r a n L B O o (cid:11) e r a r r iv e s , it w ill e it h e r b e c o n s u m m a t e d o r it w ill b e p a s s e d u p . y t 3 B W it h a b s o lu t e p r io r ity , (cid:11) f B P ( r ; T ) = m in f ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V ; B e g , (cid:11) f D P ( r ; T ) = m in f ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:0) t t t t B B D D y t D (cid:11) f B P ( r ; T ) ; D e g , a n d (cid:11) ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V = ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:0) (cid:11) f B P ( r ; T ) (cid:0) (cid:11) f D P ( r ; T ) . t t t t B B E B B D D 4 T h e e x p o n e n t ia l d is t r ib u t io n is fr e q u e n t ly u s e d b y s t a t is t ic ia n s t o r e p r e s e n t t h e d is t r ib u t io n o f t im e t h a t e la p s e s b e fo r e t h e o c c u r r e n c e o f s o m e ‘r a r e ’ e v e n t . If t h e e v e n t s b e in g c o n s id e r e d o c c u r in a c c o r d a n c e w it h a P o is s o n p r o c e s s , t h e n t h e w a it in g t im e u n t il a n e v e n t o c c u r s a n d p e r io d o f t im e b e tw e e n a n y tw o s u c c e s s iv e e v e n t s w ill h a v e a n e x p o n e n t ia l d is t r ib u t io n ( c f., fo r in s t a n c e , D e g r o o t 1 9 8 5 ) . 9
I d o t a L v w m T T P N a P N ( o ( h d (cid:11) B (cid:12) (cid:11) D + B D n t h e fo r m e r c a s e , t h e (cid:12) r m d e fa u lt s w h e n q h it s ln ( l ) , w h e r e l := . I n t h e la t t e r c a s e , t h e t (cid:11) B (cid:11) D + B D e fa u lt b o u n d a r y d o e s n o t c h a n g e , a n d t h e (cid:12) r m w ill d e fa u lt w h e n q h it s z e r o . T h e r is k - n e u t r a l p r o b a b ilit y t f d e fa u lt fo r a g iv e n a s s e t v a lu e V w ill b e d i(cid:11) e r e n t fo r e a c h o f t h e t h r e e s it u a t io n s d e s c r ib e d ; w e w ill in d e x t h e s it u a t io n b y K ; K = P , fo r t h e c a s e b e fo r e t h e L B O a r r iv a l, K = L , a ft e r t h e c o m p le t io n o f a n L B O , n d , K = U , if t h e L B O o (cid:11) e r a r r iv e s b u t is n o t c o n s u m m a t e d . 1 2 e m m a 1 U n d e r t h e r is k - n e u t r a l m e a s u r e , t h e p r o c e s s is a d i(cid:11) u s io n p r o c e s s w it h d r ift a n d Q f q g (cid:0) (cid:27) ( t ) t 2 o la t ilit y , w h e r e (cid:27) ( t ) 2 2 2 2 (cid:27) ( t ) = ( (cid:26) (cid:27) + (cid:27) ( t ; T ) ) + ( 1 (cid:0) (cid:26) ) (cid:27) 0 (cid:20) t (cid:20) T ( 8 ) V P v 2t 2 h e r e is g iv e n in ( 3 ) . L e t . T h e p r o b a b ilit y o f h it t in g z e r o u n d e r t h e r is k - n e u t r a l (cid:27) ( t ; T ) (cid:6) 1 2 = (cid:27) ( t ) d t P t ;t 1t e a s u r e c o n d it io n a l o n , , is g iv e n b y Q q 1 = x (cid:25) ( q ; t ; T ) t t R 1 1 (cid:6) 1 2 (cid:0) x (cid:0) (cid:6) 1 2 (cid:0) x + t ;t t ;t x 2 2 (cid:0) e N ( 9 ) (cid:25) ( q ; t ; t ) = N t 1 2 (cid:6) 1 2 (cid:6) 1 2 t ;t t ;t ! ! p p h e d e n s it y o f t h e h it t in g t im e c o n d it io n a l o n is g iv e n b y q 1 = x t 1 1 x (cid:0) (cid:6) 1 2 t ;t 0 2 3 (cid:0) 2 2 (cid:25) ( q ; t ; t ) = x ( (cid:27) ( t ) ( t (cid:0) t ) ) n : ( 1 0 ) t 1 2 2 2 1 (cid:6) 1 2 t ;t ! p h e t r a n s it io n d e n s it y o f a b s o r b e d a t z e r o is g iv e n b y f q g t 1 1 y (cid:0) x + y + x + (cid:6) 1 2 (cid:6) t ;t a x 2 2 r o b q 2 = y j q 1 = x ; m in q > 0 := p ( x ; y ; t ; t ) = n (cid:0) e n t t s 1 2 2 s t 0 (cid:20) (cid:20) (cid:6) 1 2 (cid:6) 1 2 t ;t t ;t ! (cid:18) (cid:19) ( 1 1 ) p p a n d a r e t h e c .d .f. a n d t h e d e n s it y o f a s t a n d a r d n o r m a l r a n d o m v a r ia b le , is c o m p u t e d in ( 8 ) , ( (cid:1)) n ( (cid:1)) (cid:6) 1 2 t ;t n d , t h e p r ic e o f a r is k le s s d is c o u n t b o n d , is a s in ( 4 ) . P ( r ; T ) t r o o f . ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 ) a n d ( 6 ) t o g e t h e r im p ly t h a t d V d (cid:23) t t 2 (cid:0) = (cid:27) (cid:26) d z + 1 (cid:0) (cid:26) d z + (cid:27) ( t ; T ) d z : V t t P t 1 2 1 V (cid:23) t t (cid:16) (cid:17) p V t o w a p p ly in g I t o ’s L e m m a t o t h e p r o c e s s f ln g , im p lie s t h e d is t r ib u t io n a s s t a t e d a n d t h e v a r ia n c e a s in (cid:23) t 8 ) . L e t (cid:28) b e t h e (cid:12) r s t t im e f q g h it s 0 | t h e a s s e t v a lu e h it s t h e d e fa u lt b o u n d a r y . N o w s t a n d a r d r e s u lt s q ; t 0 n h it t in g t im e s a n d t h e T im e C h a n g e t h e o r e m ( t o c o n v e r t p r o b a b ilit ie s w it h t im e t t o t im e (cid:27) ( t ) ) im p ly ( 9 ) , 1 0 ) , a n d ( 1 1 ) ( fo r c o m p le t e ly a n a lo g o u s r e s u lt s , s e e B r iy s a n d d e V a r e n n e 1 9 9 7 ) . F o r fu r t h e r lit e r a t u r e o n (cid:4) it t in g t im e s s e e H a r r is o n ( 1 9 8 5 ) . W e n e x t c h a r a c t e r iz e p r ic e s o f b o n d s a ft e r t h e a r r iv a l o f t h e L B O o (cid:11) e r . T h e p r ic e s n a t u r a lly e p e n d o n w h e t h e r o r n o t t h e L B O w a s c o n s u m m a t e d . 1 0 1t 2 ;t !
L e m m a 2 I f t h e L B O is n o t c o n s u m m a t e d , t h e n t h e p r ic e o f a n o n - p u t a b le b o n d o f s e n io r it y m a t u r in g a t S a t t im e , e q u a ls T t U L U P ( V ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; t ; T ) = P ( r ; T ) 1 + (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) f ; ( 1 2 ) t t t t t t S S S t (cid:2) (cid:3) V U t fo r , w h e r e is d e (cid:12) n e d in ( 9 ) . I f t h e L B O is c o n s u m m a t e d , t h e n t h e S = B ; D (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:25) ( ; t ; T ) t t (cid:23) t p r ic e o f a n o n - p u t a b le b o n d o f s e n io r it y m a t u r in g a t a t t im e , e q u a ls S T t L L L L P ( V ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; t ; T ) = P ( r ; T ) 1 + (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) f ; ( 1 3 ) t t t t t S S S t t (cid:2) (cid:3) V L L t L is d e (cid:12) n e d in ( 9 ) . fo r , w h e r e ; t ; T ) S = B ; D (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:25) ( t t (cid:23) t P r o o f . T h e F e y n m a n - K a c s o lu t io n ( c .f., fo r in s t a n c e , D u (cid:14) e 1 9 9 2 ) im p lie s t h a t T Q 1 1 P = E e x p ( (cid:0) r d s ) [ (cid:11) + 1 ] ; D s 0 D 0 (cid:28) T (cid:28) > T f (cid:20) g f g q ; q ; 0 " # Z I f t h e L B O is n o t c o n s u m m a t e d , t h e n t h e d e fa u lt b o u n d a r y is (cid:23) a n d t h e r e fo r e , t h e p r o b a b ilit y o f d e - t V V U t t fa u lt is (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:25) ( ; t ; T ) w h e r e (cid:25) ( ; t ; T ) is p r o v id e d in L e m m a 1 . T a k in g e x p e c t a t io n s , u s in g t t (cid:23) (cid:23) t t U (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) a s t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt im p lie s ( 1 2 ) . S im ila r ly , if t h e L B O is c o n s u m m a t e d , t h e n t h e t t V L L t L d e fa u lt b o u n d a r y in c r e a s e s t o (cid:23) . D e (cid:12) n e t h e p r o c e s s f q g = f L g ; c o n d it io n a l o n q , t h e p r o c e s s h a s t h e t t t (cid:23) t V L t (cid:4) L s a m e la w a s f q g , im p ly in g t h a t (cid:25) ( V ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:25) ( ; t ; T ) . A g a in t a k in g e x p e c t a t io n s im p lie s ( 1 3 ) . t t t (cid:23) t W e n e x t c h a r a c t e r iz e t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt w h e n t h e r e is a p o t e n t ia l L B O t h r e a t t o t h e (cid:12) r m . L e m m a 3 B e fo r e t h e a r r iv a l o f a n L B O o (cid:11) e r t h e p r ic e o f a n o n - p u t a b le b o n d o f s e n i o r it y , m a t u r in g a t S , a t t im e , e q u a ls T t V t P L L P P ; (cid:23) ( V ; r ; (cid:23) ; (cid:23) ; t ; T ) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) ]; ( 1 4 ) ; t ; T ) = f P ( r ; T ) [ 1 + (cid:25) ( t t t S B t S t t (cid:23) t P L w h e r e , t h e c o n d it io n a l p r o b a b ilit y o f d e fa u lt b y u n d e r t h e r is k - n e u t r a l m e a s u r e , is w r it t e n (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) T Q t t a s t h e s u m o f t h e p r o b a b ilit ie s o f fo u r m u t u a lly e x c lu s iv e e v e n t s w h o s e c o n d it io n a l p r o b a b ilit ie s A ; B ; C ; D a r e T A L (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) = [ (cid:21) e x p ( (cid:0) (cid:21) s ) (cid:25) ( q ; t ; s ) ] d s ; ( 1 5 ) t t t t Z T l ( ) ln B L a (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) = [ (cid:21) e x p ( (cid:0) (cid:21) s ) p ( q ; y ; t ; s ) (cid:25) ( y ; s ; T ) ] d y d t ; ( 1 6 ) t t t t 0 Z Z T 1 C L a ln a n d , (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) = [ (cid:21) e x p ( (cid:0) (cid:21) s ) p ( q ; y ; t ; s ) (cid:25) ( y (cid:0) ( l ) ; s ; T ) ] d y d t ; ( 1 7 ) t t t t l ( ) ln Z Z D L (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) = e x p ( (cid:0) (cid:21) ( T (cid:0) t ) ) (cid:25) ( q ; t ; T ) ; ( 1 8 ) t t t 1 1
w m s t 2 a r c (cid:23) b L a p a a r P B T o e (cid:11) B (cid:12) (cid:11) D + B D a h e r e is g iv e n in ( 9 ) , a s g iv e n in ( 1 1 ) a n d . (cid:25) ( q ; t ; s ) p ( q ; y ; t ; s ) l := t t (cid:11) B (cid:11) D + B D T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . T h e p r o b a b ilit ie s a b o v e in v o lv e in t e g r a t in g t h e c .d .f. o f t h e N o r a l d is t r ib u t io n | fo r w h ic h t h e r e is n o c lo s e d - fo r m ; n e v e r t h e le s s , t h e n u m e r ic a l in t e g r a t io n is c o m p le t e ly t r a ig h t fo r w a r d a n d c a n b e p e r fo r m e d in a n e g lig ib le a m o u n t o f t im e o n a m o d e r n c o m p u t e r . W e illu s t r a t e h e L e m m a w it h s o m e s a m p le p a t h s t h a t le a d t o d e fa u lt s o f T y p e A , B a n d C in F ig u r e 3 . L e m m a s 3 a n d c h a r a c t e r iz e t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt b e fo r e a n d a ft e r a n L B O . R a t in g s s e t b y c r e d it r a t in g a g e n c ie s , s s o c ia t e r a t in g s w it h p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt , t h e r e fo r e t h e p r o b a b ilit ie s c a lc u la t e d a r e s u (cid:14) c ie n t f o r t h e a t in g . W e n o w p r o v id e a c h a r a c t e r iz a t io n o f t h e c o s t s o f b a n k r u p t c y u p t o p e r io d T : s in c e b a n k r u p t c y o s t s a r e a (cid:12) x e d p r o p o r t io n (cid:8) o f t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m a t b a n k r u p t c y , a n d t h e (cid:12) r m d e fa u lt s w h e n it s v a lu e h it s L b e fo r e a n L B O o r (cid:23) a ft e r t h e L B O , t h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y u p t o p e r io d T , c a n b e e v a lu a t e d t t y t h e s a m e f o r m u la s a b o v e fo r p r ic in g b o n d s . e m m a 4 L e t t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m b e , t h e n e x p e c t e d b a n k r u p t c y c o s t s u p t o p e r io d , d is c o u n t e d t o , V T t t K L r e g iv e n b y in s it u a t io n , w h e r e B ( V ; r ; (cid:23) ; (cid:23) ; t ; T ) P ( r ; t ; T ) K t t t t t V V V t t t P L C C L P B ( V ; r ; (cid:23) ; (cid:23) ; t ; T ) (cid:0) (cid:25) ( ; t ; T ) ] (cid:23) + (cid:25) ( ; t ; T ) (cid:23) ; t ; T ) = (cid:8) [ (cid:25) ( ( 1 9 ) t t t t (cid:23) (cid:23) (cid:23) t t t (cid:20) (cid:21) r io r t o t h e a r r iv a l o f a n L B O o (cid:11) e r , t o V t L L L ; t ; T ) (cid:23) ( 2 0 ) B ( V ; r ; (cid:23) ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:8) (cid:25) ( t t t t L (cid:23) t (cid:21) (cid:20) ft e r a s u c c e s s fu l L B O t r a n s a c t io n , a n d b y V t U L B ( V ; r ; (cid:23) ; (cid:23) ; t ; T ) (cid:23) ; ( 2 1 ) ; t ; T ) = (cid:8) (cid:25) ( t t t t (cid:23) V V P t t a n d a r e g iv e n in L e m m a s 2 a n d 3 ft e r a n u n s u c c e s s fu l L B O t r a n s a c t io n , w h e r e ; t ; T ) (cid:25) ( ; t ; T ) (cid:25) ( (cid:23) (cid:23) t t e s p e c t iv e ly . r o o f . T h e d e fa u lt b o u n d a r ie s b e fo r e a n d a ft e r t h e L B O o (cid:11) e r a r r iv a l a s g iv e n in ( 6 ) a n d ( 7 ) r e s p e c t iv e ly . V t P L e fo r e t h e L B O o (cid:11) e r a r r iv a l, t h e t r a n s it io n d e n s it y fu n c t io n fo r t h e f q g (cid:17) f g p r o c e s s is (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) . t t t (cid:23) t h e c o s t s a r e h ig h e r fo r d e fa u lt s o f T y p e C ( s e e L e m m a 3 ) . T a k in g e x p e c t a t io n s im p lie s ( 1 9 ) . S in c e t h e r e is n ly o n e L B O o (cid:11) e r p o s s ib le , a ft e r a n o (cid:11) e r a r r iv a l, t h e t r a n s it io n d e n s it y fu n c t io n is (cid:25) ( q ; t ; T ) . A g a in , t a k in g t (cid:4) x p e c t a t io n s y ie ld s ( 2 0 ) if t h e L B O w a s w a s s u c c e s s fu l, a n d ( 2 1 ) if w a s u n s u c c e s s fu l. 1 2
4 T h e P u t I n d u c e d C r i s i s T h e (cid:12) r m is a s s u m e d t o b e in a n im m e d ia t e (cid:12) n a n c ia l c r is is in P e r io d (cid:28) : it h a s D o f ju n io r p u t a b le b o n d s P o u t s t a n d in g t h a t w ill b e e x e r c is e d if t h e c o m p a n y ’s d e b t r a t in g fa lls b e lo w a p r e - s p e c i(cid:12) e d t h r e s h o ld le v e l a n d 5 e (cid:11) e c t iv e ly liq u id h a s a s s e t s s m a lle r t h a n t h e a m o u n t o f d e b t t o b e p a id b a c k t o t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s . N T h e (cid:12) r m a ls o h a s B o f s e n io r n o n - p u t a b le d e b t ( t h is m ig h t b e a ll b a n k d e b t ) a n d D o f ju n io r n o n - p u t a b le d e b t . I t is a s s u m e d t h a t t h e (cid:12) r m ’s c u r r e n t r a t in g ( b o n d p r ic e ) is c lo s e a t t h e t h r e s h o ld r a t in g ( e x e r c is e p r ic e ) . T h e e q u it y h o ld e r s o f t h e (cid:12) r m a r e a s s u m e d t o b e r e p r e s e n t e d c o lle c t iv e ly b y t h e m a n a g e m e n t a n d s h a ll b e r e fe r r e d t o a s t h e ‘(cid:12) r m ’. T h e (cid:12) r m e n t e r s in t o a b a r g a in in g p r o c e s s w it h t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s in a n a t t e m p t t o b u y b a c k t h e p u t o p t io n s a n d h e n c e d e la y p a y in g b a c k t h e d e b t . I t is a s s u m e d t h a t a ll t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s a r e fu lly c o g n iz a n t o f t h e b a la n c e s h e e t o f t h e c o m p a n y | a n d t h e r e fo r e t h e r e is a c o m p le t e in fo r m a t io n b a r g a in in g p r o b le m . I f t h e (cid:12) r m fa ils t o n e g o t ia t e a s e t t le m e n t t o b u y o u t t h e p u t o p t io n s o n t h e d e b t , a n d t h e b o n d h o ld e r s p u t t h e ir b o n d s , t h e n it m u s t (cid:12) le fo r a r e o r g a n iz a t io n o f it s lia b ilit ie s . T h e p u t a b le b o n d s a r e e x e r c is a b le a t p a r w h e n it s c r e d it r a t in g h it s a p r e s p e c i(cid:12) e d le v e l; it c a n b e a lt e r n a t iv e ly a s s u m e d t h a t t h e b o n d s b e c o m e e x e r c is a b le w h e n t h e b o n d p r ic e o r s o m e o t h e r o b s e r v e d v a r ia b le t h a t c a p t u r e s a s a lie n t a s p e c t o f t h e (cid:12) r m ’s c r e d it q u a lit y h it s s o m e p r e s p e c i(cid:12) e d le v e l. I n r e c e n t y e a r s s e v e r a l p u t a b le b o n d s h a v e b e e n is s u e d t h a t a r e e x e r c is a b le w h e n t h e (cid:12) r m is p u r c h a s e d b y a b u y e r t h r o u g h a le v e r a g e d b u y o u t t r a n s a c t io n . M o o d y ’s a s s o c ia t e p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt w it h e a c h r a t in g . I n t h is m o d e l, b y L e m m a s 2 a n d 3 , t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt is a c o n t in u o u s fu n c t io n o f t h e v a lu e o f it s a s s e t s , a n d P L t h e r e fo r e , p u t s a r e e x e r c is a b le w h e n t h e v a lu e h it s v , v o r v u n d e r s it u a t io n s P ; L o r U r e s p e c t iv e ly . I n U t h is a n d a ll s e c t io n s u p t o S e c t io n s e :p r io r w e s h a ll a s s u m e t h a t t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s h a s ju s t h it o n o n e t h e s e e x e r c is e b o u n d a r ie s , a n d t h e r e fo r e t h e p u t s a r e im m e d ia t e ly e x e r c is a b le . T h e p r ic in g o f t h e d e b t is a s d e s c r ib e d in S e c t io n 3 . T h e s e n io r b o n d h o ld e r s h a v e w r it t e n c o v e n a n t s o n t h e a c t iv it ie s o f t h e (cid:12) r m . T h e c o v e n a n t is s u m m a r iz e d in t h e n e x t a s s u m p t io n . A s s u m p t i o n 7 I f t h e (cid:12) r m a c c e le r a t e s t h e p a y m e n t s o n m o r e t h a n a T o f o u t s t a n d in g p u t a b le b o n d s ( a t r ig g e r a m o u n t ) , t h e n it is fo r c e d in t o (cid:12) lin g fo r a r e o r g a n iz a t io n o f a ll it s lia b ilit ie s . I f t h e (cid:12) r m (cid:12) le s b e fo r e it s a s s e t v a lu e h it s t h e d e fa u lt b o u n d a r y b o u n d a r y a s d e (cid:12) n e d in ( 6 ) ( o r ( 7 ) a ft e r a s u c c e s s fu l L B O ) , t h e n t h e r e c o v e r ie s o f t h e v a r io u s c la im h o ld e r s a r e m a d e in o r d e r o f a b s o lu t e p r io r it y . T h e s e q u e n c e o f e v e n t s in la id o u t in F ig u r e 4 . C o n s is t e n t w it h t h e a s s u m p t io n s o n p a y o u t s in b a n k r u p t c y , it is a s s u m e d t h a t p a y m e n t s a t t h e t im e t h e b o n d s a r e p u t , (cid:28) , a r e m a d e in r is k le s s s e c u r it ie s t h a t m a t u r e a t T : P B ( V ; r ; T ) = m in f ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V ; B f P ( r ; T ) g ; ( 2 2 ) (cid:28) F (cid:28) (cid:28) (cid:28) B (cid:28) P P P P P 5 T h e a m o u n t o f c a s h a n d s e c u r it ie s o n t h e b a la n c e s h e e t m ig h t n o t c o r r e s p o n d t o t h e e (cid:11) e c t iv e liq u id ity o f t h e c o m p a n y . O ft e n , c o v e n a n t s w r it t e n o n t h e (cid:12) r m ’s b a n k d e b t r e s t r ic t t h e u s e o f t h is c a s h in d is t r e s s s it u a t io n s . 1 3
N D N D ( V m in f ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V ; r (cid:0) B ; D f P ( r ; T ) = ; T ) g ; ( 2 3 ) (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) F D (cid:28) P P P P P (cid:28) ;F P N D + D D m in f ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:0) B ; D f P ( r ; T ) g ; ( 2 4 ) D ( V ; r ; T ) = (cid:28) (cid:28) F D (cid:28) (cid:28) ;F (cid:28) (cid:28) P P P P P P N D + D E ( V ; r ; T ) = V (cid:0) B (cid:0) D ; ( 2 5 ) (cid:28) F (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) F (cid:28) F P P P P P P N fo r s e n io r d e b t B , ju n io r n o n - p u t a b le d e b t D , ju n io r p u t a b le d e b t D a n d e q u it y E . I f t h e c o m p a n y is a b le t o n e g o t ia t e a s e t t le m e n t t o b u y b a c k e n o u g h o f t h e o p t io n s , it n e e d s im m e d ia t e (cid:12) n a n c in g o f W , w h ic h c o m p r is e s o f X t o p a y fo r t h e o p t io n s , a n d D t o p a y fo r t h e p u t a b le C P d e b t t h a t is p u t ( a n a g r e e m e n t w it h s o m e o f t h e b o n d h o ld e r s m ig h t b e s u (cid:14) c ie n t t o s t a v e o (cid:11) a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n ) . T h e (cid:12) r m s e (cid:11) e c t iv e liq u id it y c o n s t r a in s it t o le t t in g D (cid:20) T , t h e t r ig g e r le v e l. A t t h e P K m a t u r it y o f t h e d e b t T , t h e (cid:12) r m w ill e it h e r b e ‘in s o lv e n t ’ w it h p r o b a b ilit y (cid:25) d u e t o p o o r p e r fo r m a n c e , o r K it is ‘s o lv e n t ’ w it h p r o b a b ilit y 1 (cid:0) (cid:25) , w h e n t h e s it u a t io n is K = P ; L ; U a s d e s c r ib e d in S e c t io n 3 , a n d K t h e p r o b a b ilit ie s , (cid:5) , a r e a s in L e m m a s 2 a n d 3 . T h e p a y o (cid:11) s o f t h e d i(cid:11) e r e n t lia b ilit ie s in in s o lv e n c y is a s d e s c r ib e d in S e c t io n 3 . A (cid:13) o w c h a r t d e s c r ib in g t h e c r is is is d is p la y e d in F ig u r e 4 . T h e im m e d ia t e (cid:12) n a n c in g n e e d o f L c a n b e a c h ie v e d t h r o u g h o n e o f t w o m e t h o d s : 1 ) T h e (cid:12) r m c a n is s u e e q u it y ; 2 ) A n e w b a il- o u t lo a n . I t is a s s u m e d t h a t t h e b a il- o u t lo a n is u n p r o t e c t e d ( (cid:11) = 0 ) , a n d L t h e r e fo r e it s is s u a n c e d o e s n o t c h a n g e t h e d e fa u lt b o u n d a r y o f t h e (cid:12) r m . I t is e v id e n t t h a t if t h e n e w lo a n is p r ic e d a t p a r ( P = 1 ) , a n d t h e r e a r e n o d is t r e s s c o s t s o f is s u in g e q u it y , t h e (cid:12) r m s h a ll b e in d i(cid:11) e r e n t b e t w e e n L r a is in g d e b t a n d e q u it y ; e v e n t h o u g h q u it e s t a n d a r d , t h is is fo r m a lly s h o w n b e lo w . K L e m m a 5 I f t h e b a il- o u t lo a n is m a d e a t p a r ( ) , fo r , a n d e q u it y c a n b e is s u e d a t n o P = 1 K = P ; L ; U L d is t r e s s - c o s t s , t h e n e q u it y h o ld e r s a r e in d i(cid:11) e r e n t t o t h e m e t h o d o f (cid:12) n a n c in g . K K K P r o o f . L e t t h e v a lu e o f t h e e q u it y h o ld e r s w it h t h e b a il- o u t lo a n p r ic e d a t p a r b e v = V (cid:0) B (cid:0) B P (cid:0) L B K D P (cid:0) L ( fo r n o t a t io n a l s im p lic it y , t im e s u b s c r ip t s a n d a r g u m e n t s o f t h e p r ic in g fu n c t io n s h a v e b e e n D K K le ft o u t ) , fo r K = P ; L ; U . T h e p r ic in g fu n c t io n s P a n d P a r e g iv e n in L e m m a s 2 a n d 3 a n d e x p e c t e d D B K K K K b a n k r u p t c y c o s t s a r e g iv e n in L e m m a 4 . S im ila r ly , le t v = V (cid:0) B (cid:0) B P (cid:0) D P b e t h e v a lu e o f t h e E B D e q u it y h o ld e r s u n d e r e q u it y (cid:12) n a n c in g . I f e q u it y c a n b e is s u e d u n d e r n o d is t r e s s c o s t s , t h e n a fr a c t io n (cid:15) o f K t h e o w n e r s h ip is s o ld t o n e w e q u it y h o ld e r s s a t is fy in g (cid:15) v = L . T h e n , t h e v a lu e t o t h e e x - a n t e s h a r e h o ld e r s E K K (cid:4) e q u a ls ( 1 (cid:0) (cid:15) ) v , w h ic h is e a s ily s e e n t o e q u a l v . E L I n t u it iv e ly , b e c a u s e t h e b a il- o u t lo a n is s e n io r t o e q u it y , t h e r e s id u a l c la im o f t h e c u r r e n t e q u it y h o ld e r s w ill b e t h e s a m e fo r e a c h o f t h e t w o m e t h o d s . S in c e it is u n lik e ly t h a t t h e d is t r e s s c o s t s o f e q u it y a t t h e t im e o f a (cid:12) n a n c ia l c r is is a r e n o n - z e r o , w e s h a ll a s s u m e t h a t t h e (cid:12) n a n c in g n e e d is m e t t h r o u g h a b a il- o u t lo a n . T h e p a y o (cid:11) s a t m a t u r it y fo r t h e d i(cid:11) e r e n t c la s s e s o f c r e d it o r s a r e a s d e s c r ib e d in S e c t io n 3 ; e a c h c r e d it o r y T S r e c e iv e s f = e a t m a t u r it y if t h e r e is n o d e fa u lt , a n d (cid:11) f if d e fa u lt o c c u r s p r io r t o T ( A s s u m p t io n s 3 S S S a n d 5 ) . C o n d i t i o n 1 1 4
T h e p u t a b le b o n d s h o ld e r s m a k e fu ll r e c o v e r y o f fa c e v a lu e a n d a c c r u e d in t e r e s t if t h e (cid:12) r m (cid:12) le s fo r a r e o r g a n iz a t io n o f it s lia b ilit ie s a t a v a lu e o f a s s e t s h ig h e r t h a n t h e t h r e s h o ld v a lu e : D ( V ; r ; T ) (cid:21) D f P ( r ; T ) ; (cid:28) ;F (cid:28) (cid:28) D (cid:28) P P P P N w h e r e D is d e (cid:12) n e d in ( 2 4 ) ; t h e c o n d it io n is e q u iv a le n t t o ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:21) B f P ( r ; T ) + ( D + (cid:28) ;F (cid:28) B (cid:28) P P P D ) f P ( r ; T ) . D (cid:28) P C o n d it io n 1 is n e e d e d fo r t h e e x is t e n c e o f a s o lu t io n t o t h e b a r g a in in g p r o b le m b e t w e e n t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s a n d t h e (cid:12) r m ( t o b e d is c u s s e d b e lo w ) . I t w ill b e s h o w n t h a t if t h e c o n d it io n h o ld s , t h e n t h e v a lu e o f p u r e b o n d h o ld e r c o a lit io n s is m o n o t o n ic a lly in c r e a s in g in t h e s iz e o f t h e c o a lit io n . C o n v e r s e ly , it w ill b e s h o w n b y a n e x a m p le t h a t if t h e c o n d it io n is v io la t e d , t h e n t h e p r o p o s e d n o n - c o o p e r a t iv e s o lu t io n w ill n o t b e lo n g t o t h e c o r e o f t h e b a r g a in in g g a m e ( t o b e d e (cid:12) n e d ) . I f t h e c o n d it io n is v io la t e d , t h e n t h e r e w ill a b r e a k d o w n o f n e g o t ia t io n s b e t w e e n t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s a n d e q u it y h o ld e r s le a d in g t o a n e x e r c is e o f t h e o p t io n s a n d a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n o f t h e lia b ilit ie s o f t h e (cid:12) r m . I t w ill a ls o b e s e e n t h a t t h e a s s u m p t io n is s u (cid:14) c ie n t ly s t r o n g t o im p ly t h a t c o lle c t iv e ly t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s a n d t h e (cid:12) r m h a v e a la r g e r ‘p ie ’ t o s h a r e b e t w e e n t h e m b y n e g o t ia t in g a s e t t le m e n t t h a n in a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n w h e n t h e r a t in g o f t h e (cid:12) r m h it s s p e c u la t iv e g r a d e . K ( S ) t o b e t h e v a lu e o f t h e c la im s o f a c o a lit io n o f p la y e r s S (cid:26) I , w h e n L e t u s d e (cid:12) n e t h e fu n c t io n v (cid:28) P a ll p la y e r s m a k e c o a lit io n a lly o p t im a l d e c is io n s , w h e r e I is t h e s e t o f a ll p la y e r s in t h e g a m e , t h e s it u a t io n o f t h e g a m e is K fo r K = P ; L ; U , a n d (cid:28) d e n o t e s t h e t im e a t w h ic h t h e b o n d s b e c o m e p u t a b le . W e a s s u m e P t h a t t h e e q u it y h o ld e r s a r e c o lle c t iv e ly r e p r e s e n t e d b y t h e m a n a g e m e n t , a ls o c a lle d t h e ‘(cid:12) r m ’. W e a b u s e K K ( E D ) ( D ) t o b e t h e m a r k e t v a lu e o f a s e t S o f p u t a b le b o n d h o ld e r s , a n d v n o t a t io n s lig h t ly t o le t v S S (cid:28) (cid:28) P P t h e m a r k e t v a lu e o f t h e e q u it y h o ld e r s a n d a s e t S o f p u t a b le b o n d h o ld e r s . S L e t C b e t h e s e t o f b o n d h o ld e r s t h a t d e c id e t o s e ll t h e ir o p t io n s b a c k t o t h e c o m p a n y a n d P b e t h e s e t o f b o n d h o ld e r s t h a t d e c id e t o p u t t h e ir b o n d s , a t t h e t im e w h e n t h e o p t io n s (cid:12) r s t b e c o m e e x e r c is a b le . I f t h e K b o n d h o ld e r s d o n o t p u t t h e ir b o n d s , t h e n t h e v a lu e o f t h e ir c la im s is P p e r d o lla r o f d e b t . T h e r e fo r e , e a c h D D (cid:28) F K P d o m in a n t > P . b o n d h o ld e r n o t c o o p e r a t in g w it h t h e (cid:12) r m h a s a s t r a t e g y o f p u t t in g h is b o n d s w h e n D D K U n d e r C o n d it io n 1 , t h e y r e c e iv e f P ( r ; T ) p e r d o lla r o f d e b t in e a c h s it u a t io n , w h ic h is la r g e r t h a n P B (cid:28) P D a s lo n g a s t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt is p o s it iv e ( s e e L e m m a s 2 a n d 3 ) ; t h e r e fo r e , K v ( D ) = D f P ( r ; T ) w h e n D (cid:20) T ( 2 6 ) P P B (cid:28) P P (cid:28) P D P = (cid:1) D = D f P ( r ; T ) : w h e n D > T ( 2 7 ) (cid:28) F P B (cid:28) P P P D D e (cid:12) n e t h e fu n c t io n s K L L K L K ; (cid:23) ; r ; (cid:28) ; T ) ; (cid:23) ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; (cid:28) ; T ) = V (cid:0) B ( V ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; (cid:28) ; T ) (cid:0) B P ( V (cid:22)v ( V (cid:28) (cid:28) p p (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) p (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) P P P P P P P P P P (cid:28) B (cid:28) (cid:28) (cid:28) P P P P 1 5
N K L (cid:0) D P ( V ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; (cid:28) ; T ) ; ( 2 8 ) (cid:28) (cid:28) (cid:28) p P P P D (cid:28) P fo r K = P ; L ; U w h e r e t h e b a n k r u p t c y c o s t fu n c t io n s a r e g iv e n in ( 1 9 ) ,( 2 0 ) , a n d ( 2 1 ) r e s p e c t iv e ly , a n d t h e K p r ic in g fu n c t io n s a r e in ( 1 4 ) , ( 1 3 ) , a n d ( 1 2 ) . T h e fu n c t io n (cid:22)v is t h e s iz e o f t h e ‘p ie ’ t o b e s h a r e d b e t w e e n t h e e q u it y h o ld e r s a n d t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s in t h e s it u a t io n K . T h e t o t a l v a lu e t o d iv id e b e t w e e n t h e (cid:12) r m a n d t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s is g iv e n b y t h e v a lu e o f t h e a s s e t s le s s t h e e x p e c t e d c o s t s o f b a n k r u p t c y u p t o p e r io d T a n d t h e p a y m e n t s t o s e n io r a n d o t h e r ju n io r p u t a b le d e b t h o ld e r s . K T o s im p lify t h e n o t a t io n , fr o m n o w o n w e s h a ll o m it t h e a r g u m e n t s o f t h e fu n c t io n s (cid:22)v , P , E , (cid:28) F P K K L K D a n d B . F o r e x a m p le , w e s h a ll w r it e (cid:22)v ( V ; (cid:23) ; (cid:23) ; r ; (cid:28) ; T ) s im p ly a s (cid:22)v . T h e m a r k e t v a lu e o f (cid:28) F (cid:28) (cid:28) (cid:28) p P P P P (cid:28) (cid:28) P P t h e c la im s o f e q u it y h o ld e r s a n d t h e s e t o f c o o p e r a t in g b o n d h o ld e r s is g iv e n b y K K K v ( E D ) = (cid:22)v (cid:0) L + X = (cid:22)v (cid:0) D f P ( r ; T ) w h e n D (cid:20) T ( 2 9 ) C C P B (cid:28) P P (cid:28) (cid:28) (cid:28) P P P [ = E + D ; w h e n D > T : ( 3 0 ) (cid:28) F (cid:28) F P P P L = D + X , is t h e s iz e o f t h e b a il- o u t lo a n n e e d e d b y t h e (cid:12) r m im m e d ia t e ly , a n d X ( a fu n c t io n P C C L ; r ; (cid:28) , a n d T ) is t h e p a y m e n t fo r t h e o p t io n s . W h e n ( D (cid:0) D ) > o f t h e s a m e a r g u m e n t s V ; (cid:23) ; (cid:23) (cid:28) p C (cid:28) (cid:28) P P P (cid:28) P T , n o n - c o o p e r a t in g b o n d h o ld e r s p u t t h e ir b o n d s a n d fo r c e t h e (cid:12) r m is fo r c e d in t o (cid:12) lin g fo r a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n . D a n d E a r e g iv e n in ( 2 4 ) a n d ( 2 5 ) . (cid:28) F (cid:28) F P P L e m m a 6 I f C o n d it io n 1 h o ld s , t h e (cid:12) r m is s o lv e n t a n d is in s it u a t io n fo r , t h e n K K = P ; L ; U K (cid:22)v > E + D : (cid:28) F (cid:28) F P P (cid:28) P T h e r e fo r e , t h e v a lu e o f r e s o u r c e s t o b e s h a r e d b y e q u it y h o ld e r s a n d p u t a b le b o n d h o ld e r s if t h e y s u c c e s s fu lly n e g o t ia t e a s e t t le m e n t is la r g e r t h a n if t h e (cid:12) r m fa ils im m e d ia t e ly . T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . 5 I n t r i n s i c a n d S t r a t e g i c V a l u e s o f t h e O p t i o n s T h e s o lu t io n c o n c e p t t o s o lv e t h e b a r g a in in g p r o b le m b e t w e e n t h e (cid:12) r m a n d p u t a b le b o n d h o ld e r s u s e s r e c e n t n o n - c o o p e r a t iv e r e s u lt s o n N - p la y e r s e q u e n t ia l, p e r fe c t in fo r m a t io n , g a m e s b y H a r t a n d M a s - C o le ll ( 1 9 9 6 ) . T h e g a m e is p la y e d fo llo w in g a m u lt ila t e r a l m e e t in g w it h t h e r e q u ir e m e n t o f u n a n im it y fo r a g r e e m e n t . L e t v ( S ) b e a fu n c t io n t h a t a s s ig n s t o e v e r y s u b s e t I o f t h e s e t o f p la y e r s , o f t h e g a m e t h e t o t a l u t ilit y t h a t 6 c o a lit io n c a n a t t a in if a ll it s m e m b e r s a g r e e . T h e N - p e r s o n n o n c o o p e r a t iv e g a m e is d e (cid:12) n e d a s fo llo w s : 6 If a ll p la y e r a r e r is k -n e u t r a l, a n d h a v e t h e s a m e s c a lin g fu n c t io n o f m o n e y t o u t ility , t h e n , t h is e q u a ls t h e t o t a l r e s o u r c e s t o b e s h a r e d b y t h e p la y e r s . S u c h a g a m e is in t h e c la s s o f t r a n s fe r a b le u t ility g a m e s . 1 6
I n e a c h r o u n d t h e r e is a s e t S (cid:26) I o f \ a c t iv e " p la y e r s , a n d a \ p r o p o s e r " i 2 S . I n t h e (cid:12) r s t r o u n d S = I . T h e p r o p o s e r is c h o s e n a t r a n d o m o u t o f S , w it h a ll p la y e r s in S b e in g e q u a lly lik e ly t o b e s e le c t e d . T h e p r o p o s e r m a k e s a \ p r o p o s a l" w h ic h is fe a s ib le , i.e . a p a y o (cid:11) v e c t o r in v ( S ) . I f a ll t h e m e m b e r s o f S a c c e p t it | t h e y a r e a s k e d in s o m e p r e s p e c i(cid:12) e d o r d e r | t h e n t h e g a m e e n d s w it h t h e s e p a y o (cid:11) s . I f it is r e je c t e d b y e v e n o n e m e m b e r o f S , t h e n w e m o v e t o t h e n e x t r o u n d w h e r e , w it h p r o b a b ilit y (cid:26) , t h e s e t o f a c t iv e p la y e r s is a g a in S a n d , w it h p r o b a b ilit y 1 (cid:0) (cid:26) , t h e p r o p o s e r \ d r o p s o u t " a n d t h e s e t o f a c t iv e p la y e r s b e c o m e s S (cid:0) f i g . I n t h e la t t e r c a s e t h e d r o p p e d o u t p r o p o s e r i g e t s a (cid:12) n a l p a y o (cid:11) o f 0 . ( H a r t a n d M a s - C o le ll 1 9 9 6 ) . T h e k e y m o d e llin g a s p e c t is t h e s p e c i(cid:12) c a t io n o f w h a t h a p p e n s if t h e r e is n o a g r e e m e n t a n d , a s a c o n s e q u e n c e , t h e g a m e m o v e s t o a n e w s t a g e . I n t h e fr a m e w o r k , t h e b r e a k d o w n o f n e g o t ia t io n s is n o t a n \ a ll o r n o t h in g " m a t t e r . W h e n a p la y e r le a v e s t h e g a m e , t h e r e s t c o n t in u e b a r g a in in g | a lb e it o v e r a d im in is h e d \ p ie " . T h e c o s t o f d e la y in a g r e e m e n t is p r e s e n t in t h e fo r m o f t h e b r e a k d o w n p r o b a b ilit y 1 (cid:0) (cid:26) . R e s u l t 1 I f a ll p la y e r s a r e r is k - n e u t r a l, C o n d it io n 1 h o ld s , t h e v a lu e fu n c t io n is d e (cid:12) n e d in ( 2 6 ) , ( 2 7 ) ,( 2 9 ) , a n d ( 3 0 ) g iv e s t h e v a lu e o f c o a lit io n s w h e n t h e (cid:12) r m a n d b o n d h o ld e r s b a r g a in o v e r t h e v a lu e o f t h e p u t o p t io n s o n t h e b o n d s in s it u a t io n , fo r , a n d p la y e r s fo llo w t h e s e q u e n c e o f m o v e s a s d e s c r ib e d a b o v e , K K = P ; L ; U t h e n t h e p r o p o s a ls m a d e in t h e u n iq u e S t a t io n a r y S u b g a m e P e r fe c t e q u ilib r iu m o f t h e g a m e w it h t r a n s f e r a b le u t ilit y a r e a c c e p t e d ; t h e e q u ilib r iu m p a y o (cid:11) v e c t o r c o n v e r g e s t o t h e S h a p le y V a lu e o f t h e g a m e ( a c o o p e r a t iv e g a m e t h e o r y a x io m a t ic s o lu t io n ) a s . T h e S h a p le y V a lu e o f p la y e r is : (cid:26) ! 1 i i;K K K (cid:30) = (cid:13) ( N ; S ) (cid:1) ( v [s ] (cid:0) v [s (cid:0) f i g ] ) ; ( 3 1 ) (cid:28) (cid:28) ;I P P (cid:28) P S I (cid:26) X S N S ( j j(cid:0) 1 ) !( (cid:0) ) ! w h e r e , ; is a s u b s e t o f t h e s e t o f p la y e r s . I f C o n d it io n 1 d o e s n o t h o ld a t t h e (cid:13) ( N ; S ) = S I N ! t im e o f b a r g a in in g , t h e n n e g o t ia t io n s b r e a k d o w n im m e d ia t e ly , a n d e a c h p la y e r g e t h is p a y o (cid:11) in b a n k r u p t c y . T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . T h e S h a p le y v a lu e is t h e a v e r a g e m a r g in a l v a lu e o f a p la y e r , w h e r e t h e a v e r a g e r e s u lt s b y im a g in in g t h e r a n d o m fo r m a t io n o f a c o a lit io n o f a ll t h e p la y e r s , s t a r t in g w it h a s in g le m e m b e r a n d a d d in g o n e p la y e r a t a t im e . E a c h p la y e r is t h e n a s s ig n e d h is m a r g in a l c o n t r ib u t io n a c c r u in g t o t h e c o a lit io n a t t h e t im e o f h is a d m is s io n . I n t h is p r o c e s s o f c o m p u t in g t h e e x p e c t e d v a lu e fo r a n in d iv id u a l p la y e r a ll c o a lit io n fo r m a t io n s a r e c o n s id e r e d a s e q u a lly lik e ly . I n R e s u lt 1 , t h e r a n d o m a s s ig n m e n t o f t h e (cid:12) r s t p la y e r , a n d t h e s m a ll p r o b a b ilit y o f e a c h p la y e r d r o p p in g o u t le a d s t o t h e p o s s ib ilit y o f e a c h c o a lit io n fo r m in g w it h e q u a l p r o b a b ilit y . W e a r e in t e r e s t e d in s t u d y in g t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e s o f o p t io n s . in t r in s ic v a lu e L e t t h e b o n d s b e c o m e e x e r c is a b le a t t im e (cid:28) , t h e n t h e o f t h e p u t o p t io n s in s it u a t io n K fo r P K = P ; L ; U e q u a ls K K K I V = m a x f f P ( r ; T ) (cid:0) P ; 0 g = f P ( r ; T ) (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) (cid:1) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) : ( 3 2 ) B (cid:28) B (cid:28) D P P D (cid:28) P 1 7
U n d e r C o n d it io n 1 , u p o n e x e r c is e , t h e p u t h o ld e r r e c e iv e s fu ll r e c o v e r y o f p r in c ip a l p lu s a c c r u e d in t e r e s t o f f P ( r ; T ) ; t h e s e c o n d e q u a lit y fo llo w s fr o m L e m m a s ( 2 ) a n d ( 3 ) . S in c e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e n o n - B (cid:28) P p u t a b le d e b t o f t h e (cid:12) r m t r a d e s fr e e ly in p e r fe c t ly c o m p e t it iv e m a r k e t s a t a ll t im e s , w e d e (cid:12) n e t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e p u t o p t io n s o n t h e p u t a b le d e b t a s t h e e x c e s s o f t h e v a lu e o f t h e p la y e r o v e r t h e v a lu e o f t h e n o n p u t a b le d e b t . T h e r e fo r e , a t t h e t im e t h e o p t io n s b e c o m e e x e r c is a b le , w h e n t h e s it u a t io n is K , a n d t h e s e t o f p la y e r s is I t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e o p t io n s o f p la y e r i e q u a ls D ;K i (cid:30) (cid:28) I D ;K P i K S V = m a x f (cid:0) P ; 0 g ( 3 3 ) D (cid:28) I P D i D ;K i L e m m a 7 U n d e r C o n d it io n 1 , . T h e r e fo r e , t h e o f t h e p u t o p t io n (cid:30) D (cid:21) f P ( r ; T ) s t r a t e g ic v a lu e i B (cid:28) P (cid:28) P o f a b o n d h o ld e r o w n in g p u t a b le d e b t e q u a ls : D i D ;K D ;K i i (cid:30) (cid:30) (cid:28) I (cid:28) I D ;K P P i K K (cid:0) P (cid:0) f P ( r ; T ) (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) ; ( 3 4 ) ; 0 g = S V = m a x f D (cid:28) P D (cid:28) I P D D i i K w h e r e , is t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt in s it u a t io n a s g iv e n in L e m m a s 2 a n d 3 . (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) K T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . T h e t h e o r y o f b a r g a in in g h a s p r o g r e s s e d r a p id ly in t h e p a s t s e v e r a l y e a r s . T h e r e c e n t fo c u s h a s b e e n o n n o n - c o o p e r a t iv e a p p r o a c h e s , c o m p le t e ly d e (cid:12) n e d b y a p a r t ic u la r s e q u e n c e o f m o v e s ( o (cid:11) e r s a n d r e p lie s ) t o b e m a d e o v e r t im e in t h e c o u r s e o f n e g o t ia t io n s , a n d t h e n lo o k in g fo r n o n c o o p e r a t iv e e q u ilib r iu m in t h e g a m e t h u s s p e c i(cid:12) e d . O n e o f t h e b ig g e s t b r e a k t h r o u g h s fo r t h e 2 - p e r s o n b a r g a in in g g a m e w a s m a d e b y R u b in s t e in ( 1 9 8 2 ) w h o s o lv e d fo r a u n iq u e s u b g a m e p e r fe c t e q u ilib r iu m in t h e ‘a lt e r n a t in g o (cid:11) e r s ’ m o d e l w it h a n e x p lic it c o s t o f d e la y | m o d e le d a s a ‘s h r in k in g o f t h e p ie ’. F o r m o r e t h a n t w o p la y e r s , t h e R u b in s t e in m o d e l y ie ld s a fo lk - lik e t h e o r e m ( a c o n t in u u m o f e q u ilib r ia ) , if t h e s o lu t io n c o n c e p t is m e r e ly s u b g a m e p e r fe c t io n . S o m e e x a m p le s o f t h is a n d a s u r v e y o f b a r g a in in g m o d e ls a r e a v a ila b le in S u t t o n ( 1 9 8 6 ) . T o p u s h t h e a n a ly s is fo r w a r d , t h e o r is t s h a v e c o n c e n t r a t e d o n s t a t io n a r y s u b g a m e p e r fe c t e q u ilib r ia | w h e r e s t r a t e g ie s a r e s u c h t h a t t h e c h o ic e a t e a c h s t a g e o n ly d e p e n d s o n t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e g a m e . F o r t r a n s fe r a b le u t ilit y g a m e s , t h e c o n v e r g e n c e o f s t a t io n a r y e q u ilib r iu m in t h e N - p la y e r b a r g a in in g p r o b le m t o t h e S h a p le y V a lu e h a v e b e e n fo u n d ( in a d d it io n t o t h e m o d e l o f H a r t a n d M a s - C o le ll) w it h d i(cid:11) e r e n t s e t s o f r u le s b y H a r s a n y i ( 1 9 8 1 ) a n d W in t e r ( 1 9 9 4 ) . T h e H a r t a n d M a s - C o le ll m o d e l is p a r t ic u la r ly a p p e a lin g w h e n p la y e r s a ll m e e t t o g e t h e r t o n e g o t ia t e ( s o m e o t h e r s m o d e l m u lt ip le b ila t e r a l n e g o t ia t io n s ) , a n d p a r t ia l b r e a k d o w n ( b y s o m e p la y e r s is a llo w a b le ) . S in c e t h e s a m e s o lu t io n o b t a in s u n d e r a v a r ie t y o f r u le s , w e (cid:12) n d it c o m fo r t a b le t o p o s it t h e S h a p le y V a lu e a s t h e s o lu t io n . 6 E q u a l l y S i z e d B o n d h o l d e r s D I n t h e c a s e w h e r e t h e r e a r e N b o n d h o ld e r s e a c h h o ld in g o f t h e fa c e v a lu e o f p u t a b le d e b t , t h e n o t a t io n is N K fu r t h e r s im p li(cid:12) e d b y d e (cid:12) n in g v ( E [ D ) , t h e t o t a l e x p e c t e d a m o u n t t h a t c a n b e d is t r ib u t e d b e t w e e n t h e n (cid:28) P 1 8
e q u it y h o ld e r s a n d n c o o p e r a t in g b o n d h o ld e r s . U s in g ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) , o n e o b t a in s N (cid:0) n N (cid:0) n K K (cid:1) D f P ( r D (cid:20) T ; v ( E [ D ) = (cid:22)v (cid:0) ; T ) ; w h e n D (cid:28) n P (cid:28) (cid:28) P P N N n N (cid:0) n = E + (cid:1) D ; w h e n D > T : (cid:28) F (cid:28) F P P N N U s in g ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) fo r p u r e b o n d h o ld e r c o a lit io n s , n n K v ( D ) = D f P ( r (cid:20) T D ; ; T ) w h e n n B (cid:28) P (cid:28) P N N n n = D ; w h e n > T D : (cid:28) F P N N T h e r e a r e N + 1 p la y e r s in t h e g a m e , w it h N b o n d h o ld e r s . T h e n fr o m ( 3 1 ) , t h e S h a p le y V a lu e o f fo r t h is s p e c ia l c a s e is N E ;K K K (cid:13) ( N + 1 ; n + 1 ) (cid:1) v ( E [ D ) (cid:0) v ( D ) (cid:30) = C C (cid:28) (cid:28) P P N ; (cid:28) P n = 0 C C n :j j= X X (cid:0) (cid:1) N 1 K K = (cid:1) v ( E [ D ) (cid:0) v ( D ) n n (cid:28) (cid:28) P P N + 1 n = 0 X (cid:0) (cid:1) N ! c o a lit io n s w it h n b o n d h o ld e r s . s in c e t h e r e a r e N n n ( (cid:0) ) ! ! R e s u l t 2 T h e S h a p le y V a lu e o f t h e e q u it y h o ld e r s w h e n t h e r e a r e e q u a lly s iz e d b o n d h o ld e r s , a n d C N 1 h o ld s is g iv e n b y c c N (cid:0) M + 1 M E ;K K (cid:30) = E (cid:1) + (cid:1) (cid:22)v (cid:0) D f P ( r ; T ) ; (cid:28) F D (cid:28) P P (cid:28) N ; (cid:28) P P N + 1 N + 1 (cid:2) (cid:3) c is t h e s m a lle s t n u m b e r o f b o n d h o ld e r s t h a t c a n fo r c e t h e c o m p a n y in t o a r e o M ( T ; N ) = b N T c + 1 D ;K i E 1 . t io n . T h e S h a p le y V a lu e o f e a c h b o n d h o ld e r is g iv e n b y (cid:1) ( (cid:22)v (cid:0) (cid:30) ) (cid:30) = N N ; (cid:28) P N P r o o f . S u b s t it u t in g ( 3 5 ) , ( 3 6 ) , ( 3 7 ) , a n d ( 3 8 ) in t o ( 3 9 ) im p lie s c (cid:0) N M N n N n 1 (cid:0) E ;K K (cid:30) E D v D f P r ; T = (cid:1) [ (cid:28) F + (cid:28) F + (cid:22) (cid:0) D ( (cid:28) ) (cid:28) P P P N ; (cid:28) P P N N N + 1 c (cid:0) n = 0 n N M = + 1 X X c (cid:0) M N 1 n n D f P r ; T D : (cid:0) D ( (cid:28) ) (cid:0) (cid:28) F ] P P N N c n n M = 0 = X X N o w c o lle c t in g t e r m s im p lie s t h a t c c c c N M M M N M (cid:0) 1 (cid:0) + 1 (cid:0) + 1 E ;K K (cid:30) E v D f P r ; T D = (cid:28) F (cid:1) + (cid:1) (cid:22) (cid:0) D ( (cid:28) ) (cid:1) (cid:0) (cid:28) F (cid:1) (cid:28) P P P N ; (cid:28) P P N N N N + 1 + 1 (cid:20) D ;K i (cid:4) ; T (cid:30) D D f P r (cid:28) F D (cid:28) ) a n d is g iv e n b y ( 4 0 ) . I f C o n d it io n 1 h o ld s , t h e n = ( P P N ; (cid:28) P 1 9 t o r h n g (cid:21) e d a : ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) (cid:12) r m ( 3 9 ) it io n ( 4 0 ) n iz a - ( 4 1 )
c M T h e p r o p o r t io n r e p r e s e n t s t h e p r o p o r t io n o f a ll c o a lit io n s ( in c lu d in g t h e (cid:12) r m ) in w h ic h t h e N + 1 7 (cid:12) r m r e a c h e s a s e t t le m e n t a n d a v o id s b a n k r u p t c y . W h e n t h e r e a r e N e q u a lly - s iz e d b o n d h o ld e r s it is a s u (cid:14) c ie n t s t a t is t ic fo r t h e b a r g a in in g s t r e n g t h o f t h e (cid:12) r m r e la t iv e t o t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s . S in c e t h e fr a c t io n is n o n - m o n o t o n ic in t h e n u m b e r o f p u t a b le b o n d h o ld e r s , it le a d s t o a n o n - m o n o t o n ic it y in t h e b a r g a in in g s t r e n g t h o f t h e (cid:12) r m . W e illu s t r a t e t h e p h e n o m e n o n w it h a n e x a m p le . w h ic h is illu s t r a t e d in F ig u r e 5 . E x a m p l e 1 T h e fo llo w in g p a r a m e t e r s d e s c r ib e t h e p r o b le m a t t h e t im e t h e b o n d s (cid:12) r s t b e c o m e p u t a b le : (cid:22)v = 3 , D = :5 , f = 2 :5 , P ( r ; T ) = :4 , D = :5 , T = :1 , E = 2 , a n d (cid:25) = :2 5 . U s in g L e m m a 2 w e c a lc u la t e D (cid:28) (cid:28) F (cid:28) F T P P P t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m , t h e s t r a t e g ic v a lu e o f e a c h b o n d h o ld e r a n d t h e p a y m e n t fo r t h e o p t io n a s c M a r e d is p la y e d in t h e t h r e e d e (cid:12) n e d in ( 3 3 ) fo r N = 1 ; (cid:1) (cid:1) (cid:1) ; 2 0 . T h e t h r e e v a lu e s a lo n g w it h t h e r a t io N + 1 p a n e ls o f F ig u r e 5 . A s s e e n in t h e (cid:12) g u r e , t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e (cid:12) r m a n d t h e b o n d h o ld e r s v a r y p o s it iv e ly a n d n e g a t iv e ly r e s p e c t iv e ly w it h t h e r a t io . O f n o t e is t h e fa c t t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e o p t io n c a n b e s ig n ifa n t ly la r g e r t h a n o n e . F o r e x a m p le w h e n N = 5 , t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m e q u a ls 1 :8 3 , a n d t h a t o f t h e b o n d h o ld e r s e q u a l 1 :1 7 . T h e r e fo r e e a c h b o n d h o ld e r h a s a s t r a t e g ic v a lu e o f :2 3 . S in c e e a c h b o n d h o ld e r c M T o w n s :1 o f p u t a b le d e b t , t h e v a lu e o f t h e o p t io n b y ( 3 3 ) e q u a ls 2 :0 8 . T h e r a t io t e n d s t o = :2 a s N D + 1 N ! 1 , t h u s p r o v id in g a lim it in g v a lu e fo r t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m . C o r o l l a r y 1 T h e lim it o f t h e e q u it y h o ld e r s v a lu e a s t h e n u m b e r o f p u t a b le b o n d h o ld e r s b e c o m e s la r g e is : T T E E K (cid:30) (cid:17) lim (cid:30) ) + (cid:1) (cid:22)v (cid:0) D f P ( r ; T ) ( 4 2 ) = E (cid:1) ( 1 (cid:0) D (cid:28) (cid:28) F P P N (cid:28) 1 P N ! 1 D D N (cid:2) (cid:3) T D D i (cid:30) ) (cid:1) ( (cid:22)v (cid:0) E ) + T f P ( r ; T ) ( 4 3 ) (cid:17) lim (cid:30) = ( 1 (cid:0) (cid:28) F D (cid:28) P P 1 N N ! 1 D i= 1 X T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . I n t e r p r e t a t i o n o f L i m i t i n g V a l u e : T h e fo r m o f t h e lim it in g b a r g a in in g v a lu e o f t h e e q u it y h o ld e r s s u g g e s t s T T 8 t h a t c a n b e in t e r p r e t e d a s a p r o b a b ilit y . W it h in (cid:12) n it e s im a l b o n d h o ld e r s t h e r e is a p r o b a b ilit y 1 (cid:0) , o f D D a c o a lit io n fo r m in g t h a t w ill fo r c e t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n . W it h t h e c o m p le m e n t a r y p r o b a b ilit y T , t h e c o m p a n y w ill p u r c h a s e t h e o p t io n s b a c k fr o m e n o u g h b o n d h o ld e r s t o a v e r t a r e o r g a n iz a t io n o f t h e D (cid:12) r m . P u t s lig h t ly d i(cid:11) e r e n t ly , t h e S h a p le y V a lu e o f a p la y e r is t h e a v e r a g e m a r g in a l c o n t r ib u t io n o f t h e p la y e r a c r o s s a ll p o s s ib le c o a lit io n s . W h e n e a c h b o n d h o ld e r c o n t r ib u t e s a n in (cid:12) n it e s im a l, t h e a v e r a g e a n d m a r g in a l c o n t r ib u t io n s c o in c id e , a n d t h e S h a p le y V a lu e o f e a c h b o n d h o ld e r is s im p ly h is a v e r a g e c o n t r ib u t io n . S e e O s t r o y ( 1 9 8 4 ) fo r a n e lu c id a t io n o f t h is p o in t . 7 b N T c , u s in g t h e (cid:13) o o r fu n c t io n , is t h e la r g e s t in t e g e r le s s t h a n o r e q u a l t o N T . N o t e t h a t b N T c + 1 is n o t a lw a y s e q u a l t o = d N T e ( u s in g t h e a n a lo g o u s c e ilin g fu n c t io n ) . F o r e x a m p le w h e n T = D = 2 = 3 a n d N e q u a ls 3 , t h e fo r m e r n u m b e r e q u a ls 3 a n d t h e la t t e r 2 . H o w e v e r , D 2 = 3 = T , t h e r e fo r e t h e s m a lle s t t h r e a t e n in g c o a lit io n m u s t h a v e t h r e e b o n d h o ld e r s . 8 T h is is r e a lly o n ly a p s e u d o p r o b a b ility , b e c a u s e in e q u ilib r iu m t h e (cid:12) r s t p r o p o s e r m a k e s a n o (cid:11) e r t h a t a ll p la y e r s a c c e p t . It c o r r e s p o n d s t o t h e p r o b a b ility o f a c o a lit io n fo r m in g in w h ic h t h e (cid:12) r m n e e d n o t (cid:12) le fo r a r e o r g a n iz a t io n w h e n c o a lit io n fo r m a t io n is v ie w e d a s b e in g r a n d o m u n d e r t h e r u le s o f t h e b a r g a in in g g a m e d e (cid:12) n e d in S e c t io n 5 . 2 0
I t is w e ll k n o w n t h a t a s t h e n u m b e r o f p la y e r s in c r e a s e s t o in (cid:12) n it y , t h e S h a p le y V a lu e c o n v e r g e s t o t h e W a lr a s ia n e q u ilib r iu m o f t h e g a m e . T h e lim it in g v a lu e o b t a in e d a b o v e is u s e fu l b e c a u s e it e n a b le s t h e p r ic in g o f c o v e n a n t s o f d e b t in a p e r fe c t ly c o m p e t it iv e s e t t in g . I t is s e e n t h a t e v e n w it h in (cid:12) n it e s im a l p u t a b le b o n d h o ld e r s in a d e c e n t r a liz e d s e t t in g , s u c h b o n d h o ld e r s h a v e jo in t t h r e a t e n in g p o w e r . C o r o l l a r y 2 U n d e r C o n d it io n 1 , K (cid:22)v (cid:0) E (cid:28) F P (cid:28) D ;K D ;K P i i N (cid:0) f P ( r S V = ( 1 (cid:0) (cid:11) ) [ ; T ) ] + I V ; ( 4 4 ) D (cid:28) P N ; (cid:28) N ; (cid:28) P P D C M ;N ( T ) N . T h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e p u t o p t io n s e x c e e d s t h e in t r in s ic v a lu e , e v e n w h e n t h e r e w h e r e (cid:11) = N + 1 a r e a n in (cid:12) n it e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s , a s lo n g a s . T < D P r o o f . U s in g R e s u lt 2 , a n d t h e d e (cid:12) n it io n s o f in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e s a s in ( 3 2 ) a n d ( 3 3 ) , K (cid:0) E (cid:22)v (cid:28) F P (cid:28) D ;K P i N K S V = ( 1 (cid:0) (cid:11) ) [ (cid:0) f P ( r ; T ) ] + f P ( r ; T ) (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) ; D (cid:28) D (cid:28) D P P N ; (cid:28) P D K K = f P ( r ; T ) (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) . U n d e r C o n d it io n 1 , t h e (cid:12) r s t T h e in t r in s ic v a lu e o f t h e o p t io n s is I V D (cid:28) D P (cid:28) P N t e r m in ( 4 4 ) is p o s it iv e , t h e r e fo r e , t h e s t r a t e g ic v a lu e e x c e e d s t h e in t r in s ic v a lu e fo r a ll N w h e n e v e r (cid:11) < 1 . (cid:4) F o r T < D , t h is is t r u e fo r a ll N , e v e n a s N ! 1 . T C o r o l l a r y 3 F o r , t h e b a r g a in in g v a lu e o f t h e (cid:12) r m is t h e h ig h e s t w h e n o n ly o n e b o n d h o ld e r o w n s t h e (cid:20) :5 D e n t ir e p u t a b le d e b t . c M E P r o o f . F r o m L e m m a 2 t h e b a r g a in in g s t r e n g t h o f t h e (cid:12) r m (cid:30) is in c r e a s in g in t h e r a t io . W e u s e t h e N N + 1 (cid:11) N b c + 1 E m a t h e m a t ic a l fa c t t h a t (cid:20) :5 fo r (cid:11) (cid:20) :5 a n d N = 1 ; 2 ; 3 ; (cid:1) (cid:1) (cid:1). T h e r e fo r e (cid:30) is m a x im iz e d fo r N = 1 . N N + 1 (cid:4) T F o r > :5 , t h e o p t im a l N ( fr o m t h e p o in t o f v ie w o f t h e (cid:12) r m ) c a n b e g r e a t e r t h a n 1 , b u t w e D c M c a n o n ly p r o v id e a n a p p r o x im a t e s o lu t io n . T h e r a t io is h ig h e s t fo r t h e s m a lle s t in t e g e r n s a t is fy in g N + 1 T T T b n c + 1 = n . F o r e x a m p le fo r = :6 , n = 5 . D D D S o m e s p e c ia l c a s e s o f t h e g a m e w h e n t h e r e a r e N e q u a lly s iz e d b o n d h o ld e r s a r e in t e r e s t in g t o h ig h lig h t d i(cid:11) e r e n t a s p e c t s o f t h e s o lu t io n : v D E (cid:22) (cid:0) (cid:28) F (cid:28) F E P P S p e c i a l C a s e 1 : W h e n N = 1 , a n d T < D , (cid:30) = + , ir r e s p e c t iv e o f t h e le v e l o f T . I n o n e 1 2 2 o f t h e t w o c o a lit io n s t h a t c a n p o t e n t ia lly b e fo r m e d , t h e e q u it y h o ld e r s h a v e a m a r g in a l v a lu e o f (cid:22)v (cid:0) D . (cid:28) F P I n t h e o t h e r , t h e (cid:12) r m fa ils t o p u r c h a s e t h e o p t io n s fr o m t h e b o n d h o ld e r a n d t h e r e fo r e t h e (cid:12) r m c o n t r ib u t e s a m a r g in a l v a lu e e q u a l t o E . N o t e t h a t t h e s a m e v a lu e r e s u lt s fo r a la r g e r a n g e in v a lu e s o f T ; ir r e s p e c t iv e (cid:28) F P o f T , w h e n e v e r t h e b o n d h o ld e r p u t s t h e c o m p a n y is fo r c e d in t o a r e o r g a n iz a t io n . G e n e r a liz in g , w h e n e v e r N D D is s m a ll e n o u g h s o t h a t > T , t h e s a m e s t r a t e g ic v a lu e s r e s u lt fo r a t r ig g e r v a lu e s a t is fy in g 0 < < T . N N 2 1
E S p e c i a l C a s e 2 : F o r T (cid:21) D , (cid:30) = (cid:22)v (cid:0) D f P ( r ; T ) , 8 N . T h e r e fo r e , w h e n t h e r e is n o t r ig g e r le v e l D (cid:28) P N ( a ll t h e p u t s c a n b e e x e r c is e d w it h o u t fo r c in g t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n ) , t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s t h a t o w n it s d e b t . W it h o u t a liq u id it y p r o b le m , t h e b o n d h o ld e r s h a v e n o t h r e a t e n in g p o w e r a n d t h e r e fo r e t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s . T h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e b o n d h o ld e r s e q u a ls t h e fa c e v a lu e o f t h e d e b t , a n d h e n c e t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e p u t o p t io n , a s d e (cid:12) n e d in ( 3 4 ) , e q u a ls t h e in t r in s ic v a lu e o f t h e o p t io n s . N E 1 S p e c i a l C a s e 3 : + ( (cid:22)v (cid:0) D f P ( r . I n t h is c a s e , e a c h b o n d h o ld e r ; T ) ) lim (cid:30) = E D (cid:28) (cid:28) F T ! 0 P P N N N + 1 + 1 1 c a n u n ila t e r a lly b a n k r u p t t h e (cid:12) r m . T h e r e fo r e , t h e (cid:12) r m o b t a in s t h e s a m e a s a n y b o n d h o ld e r o f t h e N + 1 e x p e c t e d t o t a l r e s o u r c e s in n o n - b a n k r u p t s t a t e s . W h e n N b e c o m e la r g e , t h e (cid:12) r m s s t r a t e g ic v a lu e d e c lin e s t o E , it s r e s id u a l v a lu e in a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n . (cid:28) F P M o s t t h e o r is t s ( fo r e x a m p le , A iv a z ia n a n d C a lle n 1 9 8 3 ) h a v e a r g u e d t h a t a r e a s o n a b le s o lu t io n t o a b a r g a in in g g a m e b e t w e e n p la y e r s p r io r t o b a n k r u p t c y m u s t b e in t h e c o r e o f t h e g a m e . W e w ill s h o w n w it h a n e x a m p le t h a t t h e S h a p le y V a lu e o f t h e g a m e d e s c r ib e d is n o t in t h e c o r e if C o n d it io n 1 is v io la t e d . T h e c o r e o f a g a m e in c o a lit io n a l fo r m w it h c h a r a c t e r is t ic fu n c t io n v a n d t h e s e t o f p la y e r s I is d e (cid:12) n e d a s t h e s e t o f a llo c a t io n s : N C o r e [v ] = f x 2 R j x = v ( N ) a n d x (cid:21) v ( S ) 8 S g ( 4 5 ) i i i I i S 2 2 X X T h e c o r e is t h e s e t o f a llo c a t io n s t h a t is c o a lit io n a lly r a t io n a l, i.e ., n o c o a lit io n o f m e m b e r s c a n b r e a k a w a y , a n d u s in g o n ly t h e r e s o u r c e s o f t h e c o a lit io n , p r o v id e e a c h m e m b e r a la r g e r a m o u n t t h a n t h e c o r e a llo c a t io n . E x a m p l e 2 ( T h e N e c e s s it y o f C o n d it io n 1 ) T h e p a r a m e t e r s o f t h e p r o b le m a r e a s fo llo w s : (cid:22)v = 5 :0 5 , D = :6 , D = :1 , T = :4 , (cid:28) (cid:28) F P P E E = 0 , a n d N = 2 . U s in g L e m m a 2 w e (cid:12) n d t h a t (cid:30) = 3 :1 3 3 , a n d (cid:30) = :9 5 8 . T h e c o r e a llo c a t io n s (cid:28) F D P i 1 a r e d e s c r ib e d b y : x (cid:21) 0 ; x (cid:21) :3 fo r i = 1 ; 2 ; x + x (cid:21) 4 :7 5 fo r i = 1 ; 2 ; x 1 + x 2 (cid:21) :1 ; a n d E D E D D D i i E x + x 1 + x 2 = 5 :0 5 . T h e S h a p le y V a lu e s o f t h e p la y e r s , (cid:30) = 3 :1 3 3 , a n d (cid:30) = :9 5 8 c le a r ly d o e s n o t E D D D i 1 s a t is fy (cid:30) + (cid:30) (cid:21) 4 :7 5 . E D i 7 T h e B a r g a i n i n g S t r e n g t h o f a L a r g e B o n d h o l d e r L a r g e in s t it u t io n a l le n d e r s a r e fa ir ly c o m m o n in m o s t b o r r o w in g a r r a n g e m e n t s . F o r e x a m p le , t h e p r iv a t e p la c e m e n t o f d e b t is o ft e n d o n e t h r o u g h a le a d le n d e r . T h e le n d e r t a k e s o n a la r g e a m o u n t o f t h e lo a n a n d o ft e n p e r fo r m s v a r io u s t a s k s in s e r v ic in g t h e lo a n fo r o t h e r le n d e r s . W e a b s t r a c t fr o m t h is m o n it o r in g fu n c t io n o f t h e la r g e s t le n d e r a n d fo c u s o u r a t t e n t io n t o t h e t h r e a t e n in g p o w e r o f t h e la r g e le n d e r r e la t iv e t o o t h e r le n d e r s . C o n d it io n s u n d e r w h ic h t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e la r g e le n d e r is g r e a t e r a r e p r o v id e d b e lo w . 2 2
h m a t w L (cid:30) (cid:30) T u c C o n s id e r t h e p o t e n t ia l c o a lit io n s t h a t c a n b e fo r m e d w it h N b o n d h o ld e r s o f e q u a l s iz e c o lle c t iv e ly 1 0 o ld in g d e b t D , t h e la r g e b o n d h o ld e r w it h d e b t D , a n d t h e e q u it y h o ld e r s . T h r o u g h o u t , M ( T ; D ; N ) = 1 T T D (cid:0) 1 1 in f b N c + 1 ; N g a n d M ( T ; D ; D ; N ) = m a x f b N c + 1 ; 0 g . T o k e e p t h e n o t a t io n s im p le , t h e D D 0 r g u m e n t s o f t h e s e fu n c t io n s s h a ll b e le ft o u t b e lo w . M is t h e s m a lle s t n u m b e r o f e q u a lly - s iz e d b o n d h o ld e r s 1 h a t c a n c o lle c t iv e ly t h r e a t e n t h e (cid:12) r m . M is t h e s m a lle s t n u m b e r o f e q u a lly - s iz e d b o n d h o ld e r s t h a t t o g e t h e r 1 0 it h t h e la r g e b o n d h o ld e r c a n p u t t h e ir b o n d s a n d fo r c e t h e (cid:12) r m in t o a r e o r g a n iz a t io n . O b v io u s ly , M < M . e m m a 8 T h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m is g iv e n b y : 1 E ( = N N N ( + 2 ) ( + 1 ) 0 N M N (cid:0) m 1 D + D N (cid:0) m N + ( D + E ) (cid:1) ( m + 1 ) + ( (cid:22)v (cid:0) ( D f P ( r ; T ) ) ) (cid:1) ( m + 1 (cid:28) F (cid:28) F (cid:28) F D (cid:28) P P P P 1 D + D N 0 m = 0 N M (cid:0) + 1 X X 1 N M (cid:0) 1 m 1 D + D m N 1 ( D + D ) f P ( r ; T ) (cid:1) ( m + 1 ) (cid:0) D ) (cid:1) ( m + 1 ) ) (cid:0) ( D (cid:28) (cid:28) F P P 1 N D + D 1 m = 0 m M = X X 1 N M N (cid:0) m D N (cid:0) m N 1 + ( D + E ) (cid:1) ( N + 1 (cid:0) m ) + ( (cid:22)v (cid:0) ( D + D ) f P ( r ; T ) ) (cid:1) ( N (cid:28) F (cid:28) F (cid:28) D (cid:28) P P P P 1 D + D N 1 m = 0 N M (cid:0) + 1 X X 0 M N (cid:0) 1 m D m N ( (cid:0) D f P ( r ; T ) (cid:1) ( N + 1 (cid:0) m ) (cid:0) D + E ) (cid:1) ( N + 1 (cid:0) m ) ) D (cid:28) (cid:28) F (cid:28) F P P P 1 N D + D 0 m = 0 m M = X X T h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e la r g e b o n d h o ld e r is g iv e n b y : 1 1 D ( = N ( N + 2 ) ( N + 1 ) 1 M N (cid:0) 1 m 1 D + D m N 1 ( + ( D + D ) f P ( r ; T ) (cid:1) ( N (cid:0) m + 1 ) + D ) (cid:1) ( N (cid:0) m + 1 ) D (cid:28) (cid:28) F P P 1 N D + D 1 m = 0 M X X 0 M N (cid:0) 1 m D m N (cid:0) ( ( D f P ( r ; T ) ) (cid:1) ( N (cid:0) m + 1 ) (cid:0) D ) (cid:1) ( N (cid:0) m + 1 ) D (cid:28) (cid:28) F P P 1 N D + D 0 m = 0 m M = X X 0 N M N (cid:0) m 1 D + D N (cid:0) m N + ( D + E ) (cid:1) ( m + 1 ) + ( (cid:22)v (cid:0) ( D f P ( r ; T ) ) ) (cid:1) ( m (cid:28) F (cid:28) F (cid:28) D (cid:28) P P P P 1 D + D N 0 m = 0 m N M = (cid:0) + 1 X X 1 N M N (cid:0) m D N (cid:0) m N 1 (cid:0) ( D + E ) (cid:1) ( m + 1 ) (cid:0) ( (cid:22)v (cid:0) ( D + D ) f P ( r ; T ) (cid:1) (cid:28) F (cid:28) F (cid:28) D (cid:28) P P P P 1 D + D N 1 m = 0 m N M = (cid:0) + 1 X X 1 E D v (cid:30) (cid:30) (cid:22) (cid:0) (cid:0) (cid:28) P h e v a lu e o f e a c h o f t h e s m a lle r b o n d h o ld e r s e q u a ls : . N T h e s u m m a t io n s in t h e t w o e q u a t io n s le a d t o lo n g p o ly n o m ia ls t h a t c a n b e e a s ily w r it t e n d o w n s in g a s y m b o lic m a t h e m a t ic a l p r o g r a m s u c h a s M a t h e m a t ic a . W e h a v e p r e fe r r e d t o le a v e t h e m in t h e u r r e n t fo r m b e c a u s e t h e s o lu t io n s a r e m o r e t r a n s p a r e n t fo r t h e r e a d e r u n d e r t h is fo r m . 2 3 ) + + ( m 1 (cid:0) 1 ) + 1 m ) ) ) )
7 . 1 O n e L a r g e a n d O n e S m a l l B o n d h o l d e r D o e s a p u t a b le b o n d h o ld e r o w n in g la r g e a m o u n t s o f p u t a b le b o n d s n e c e s s a r ily h a v e a h ig h e r s t r a t e g ic v a lu e p e r d o lla r o f p u t a b le d e b t o w n e d ? D o e s a (cid:12) r m w it h o n e la r g e a n d o n e s m a ll b o n d h o ld e r n e c e s s a r ily h a v e a h ig h e r s t r a t e g ic v a lu e t h a n a n o t h e r w it h t h e s a m e a m o u n t o f t o t a l p u t a b le d e b t s p lit e q u a lly b e t w e e n t w o b o n d h o ld e r s ? W e d e m o n s t r a t e in t h is s e c t io n t h a t t h e a n s w e r t o b o t h q u e s t io n s is ‘N o ’. C o n d it io n s u n d e r w h ic h t h e s t a t e m e n t s h o ld s t r u e a r e p r o v id e d . E x a m p l e 3 1 S u p p o s e t h e r e is o n e la r g e a n d o n e s m a ll b o n d h o ld e r h o ld in g D a n d D o f p u t a b le d e b t r e s p e c t iv e ly . T h e fo llo w in g p a r a m e t e r s d e s c r ib e t h e p r o b le m : (cid:22)v = 5 , D = :3 , D = :6 , f = 2 :5 , P ( r ; T ) = :4 , (cid:28) D (cid:28) 1 P P T = :1 , E = 3 , a n d (cid:25) = :2 5 . U s in g L e m m a 8 , F ig u r e 6 s h o w s t h e s t r a t e g ic v a lu e s fo r t h e la r g e (cid:28) F T P a n d s m a ll b o n d h o ld e r s p e r d o lla r o f d e b t a n d t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m w h e n t h e t r ig g e r le v e l o f d e b t 1 is a llo w e d t o v a r y b e t w e e n 0 a n d D + D . T h e v a lu e s r e m a in c o n s t a n t w it h in t h r e e r e g io n s t o b e d e (cid:12) n e d b e lo w b u t e x h ib it s o m e im p o r t a n t d is c o n t in u it ie s a s t h e t r ig g e r le v e l m o v e s fr o m o n e r e g io n t o t h e n e x t . T h e t h r e e c a s e s d e t e r m in e t h e r e la t iv e b a r g a in in g s t r e n g t h s o f t h e la r g e a n d s m a ll b o n d h o ld e r s a n d t h e (cid:12) r m . A s is L e m m a 2 , t h e v a lu e s o f t h e p la y e r s d e p e n d o n t h e p r o p o r t io n o f c o a lit io n s t h a t c a n c r e d ib ly t h r e a t e n t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n . T h e t h r e e d is t in c t c a s e s a r e : 1 C a s e ( i) : T < D < D . E a c h b o n d h o ld e r c a n u n ila t e r a lly fo r c e t h e (cid:12) r m in t o a r e o r g a n iz a t io n . 1 C a s e ( ii) : D < T < D . O n ly t h e la r g e b o n d h o ld e r c a n u n ila t e r a lly d r iv e t h e (cid:12) r m in t o a r e o r g a n iz a t io n . 1 1 C a s e ( iii) : D < D < T b u t D + D > T . T h e la r g e a n d t h e s m a ll b o n d h o ld e r c a n jo in t ly ( b u t n o t u n ila t e r a lly ) fo r c e t h e (cid:12) r m in t o a r e o r g a n iz a t io n . C a s e s ( i) a n d ( iii) a r e s im ila r in t h a t t h e s m a ll a n d t h e la r g e b o n d h o ld e r c a n p o t e n t ia lly b e p a r t o f a n id e n t ic a l n u m b e r o f c o a lit io n s t h a t c a n le a d t o a r e o r g a n iz a t io n o f t h e (cid:12) r m . I n C a s e ( ii) , t h e la r g e 1 b o n d h o ld e r c a n b e in v o lv e d in a la r g e r n u m b e r o f s u c c e s s fu l c o a lit io n s ; t h e c o a lit io n E D ( t h e (cid:12) r m a n d la r g e b o n d h o ld e r ) d o e s n o t h a v e t o (cid:12) le fo r r e o r g a n iz a t io n b u t t h e c o a lit io n E D ( t h e (cid:12) r m a n d la r g e S b o n d h o ld e r ) is fo r c e d in t o it . N o t s u r p r is in g ly , F ig u r e 6 s h o w s t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e p e r d o lla r o f t h e la r g e S b o n d h o ld e r is s u b s t a n t ia lly la r g e r t h a n t h a t fo r t h e s m a ll b o n d h o ld e r . I n C a s e s ( i) a n d ( iii) t h e s t r a t e g ic v a lu e p e r d o lla r la r g e r . o f t h e s m a ll b o n d h o ld e r s d e b t is T h e r e a s o n in g is a s fo llo w s ; in c o a lit io n s in w h ic h t h e c o m p a n y (cid:12) le s fo r r e o r g a n iz a t io n , e a c h d o lla r o f d e b t | e it h e r o f t h e la r g e o r t h e s m a ll b o n d h o ld e r | 1 1 D . I n c o a lit io n s in w h ic h r e o r g a n iz a t io n is a v o id e d , e a c h d o lla r o f t h e h a s t h e s a m e r e c o v e r y , (cid:28) F P D D + v(cid:22) (cid:28) P 1 la r g e b o n d h o ld e r s d e b t c o n t r ib u t e s o f t h e t o t a l v a lu e a n d w h ile e a c h d o lla r o f t h e s m a ll b o n d h o ld e r ’s D v(cid:22) (cid:28) P d e b t c o n t r ib u t e s a la r g e r o f t h e t o t a l v a lu e . S a id s im p ly , t h e c o o p e r a t io n o f e a c h le n d e r is r e q u ir e d fo r D ; t h e r e fo r e t h e s m a lle r b o n d h o ld e r c o n t r ib u t e s m o r e p e r d o lla r . t h e p la y e r s t o jo in t ly r e a liz e t h e ‘p ie ’ (cid:22)v (cid:28) P T h e r e fo r e , if t h e la r g e a n d t h e s m a ll b o n d h o ld e r s a r e in v o lv e d in t h e s a m e n u m b e r o f n o n - b a n k r u p t c o a lit io n s , t h e n t h e s m a ll b o n d h o ld e r h a s a h ig h e r s t r a t e g ic v a lu e p e r d o lla r . 2 4
T 1 . T h e v a lu e o f I t is e v id e n t fr o m F ig u r e 6 t h a t t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m is n o n - d e c r e a s in g in D D + t h e (cid:12) r m ju m p s u p a t :3 a n d :6 . A t t h e s e v a lu e s o f t h e t r ig g e r le v e l o f d e b t t h e g a m e m o v e s fr o m C a s e ( i) t o C a s e ( ii) a t :3 , a n d fr o m C a s e ( ii) t o C a s e ( i i i ) a t :6 , a s d e s c r ib e d in t h e p r e v io u s p a r a g r a p h . A t e a c h o f t h e s e p o in t s t h e r e is a d is c o n t in u o u s d e c r e a s e in t h e p r o p o r t io n o f le n d e r s t h a t c a n c a u s e a r e o r g a n iz a t io n . 1 T o a n s w e r t h e s e c o n d q u e s t io n s t a t e d a t t h e b e g in n in g o f t h is s u b s e c t io n , s u p p o s e D < T < D . E 1 1 1 1 1 1 1 T h e n , it s v a lu e is (cid:30) = v ( E ) + ( v ( E D D ) (cid:0) v ( D D ) ) + E + ( (cid:22)v (cid:0) D (cid:0) D ) . S u p p o s e (cid:28) F (cid:28) P P 3 3 6 6 1 t h e r e is a n id e n t ic a l (cid:12) r m w it h t h e p u t a b le d e b t D + D h e ld b y t w o e q u a lly s iz e d b o n d h o ld e r s . T h e n t h e S S S 1 D D 1 1 + 1 E 1 1 v ( E ) + ( v ( E D D ) (cid:0) v ( D D ) ) + E , if > T a n d v a lu e o f t h e (cid:12) r m e q u a ls (cid:30) = (cid:28) F P 3 3 3 2 1 D D E 1 1 1 + 1 1 1 (cid:30) = v ( E ) + ( v ( E D D ) (cid:0) v ( D D ) ) + ( (cid:22)v < T . T h e (cid:12) r s t t w o t e r m s in (cid:0) D (cid:0) D ) if (cid:28) P S S S 3 3 3 2 e a c h s it u a t io n a r e t h e s a m e s in c e t h e t o t a l a m o u n t o f p u t a b le d e b t is c o n s t a n t . I n t h e (cid:12) r s t c a s e , t h e v a lu e S S S is s m a lle r t h a n t h e s it u a t io n w h e r e t h e r e is o n e la r g e b o n d h o ld e r a n d in t h e s e c o n d , t h e v a lu e is la r g e r . 7 . 2 O n e L a r g e a n d S e v e r a l S m a l l B o n d h o l d e r s 1 W h e n D < D , t h e a n a ly s is c lo s e ly fo llo w s t h a t o f t h e c a s e w h e n t h e r e is o n e la r g e a n d o n e s m a ll b o n d h o ld e r . 1 F o r e x a m p le , w h e n D < T D , t h e n t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m a n d t h e la r g e p la y e r s d o n o t d e p e n d o n N , t h e n u m b e r o f s m a ll b o n d h o ld e r s , b e c a u s e t h e s e p la y e r s a r e n e v e r p iv o t a l t o a n y t h r e a t e n in g c o a lit io n . 1 W h e n D < D , t h e a n a ly s is c a n b e d iv id e d in t o c a s e s s im ila r t o t h o s e in t h e p r e v io u s s u b s e c t io n . E x a m p l e 4 1 S u p p o s e t h e r e is o n e la r g e a n d o n e s m a ll b o n d h o ld e r h o ld in g D a n d D o f p u t a b le d e b t r e s p e c t iv e ly . T h e fo llo w in g p a r a m e t e r s d e s c r ib e t h e p r o b le m : (cid:22)v = 5 , D = :6 , D = :3 , f = 2 :5 , P ( r ; T ) = :4 , (cid:28) D (cid:28) 1 P P T = :1 , E = 3 , a n d (cid:25) = :4 . U s in g L e m m a 8 , F ig u r e 6 s h o w s t h e s t r a t e g ic v a lu e s fo r t h e la r g e (cid:28) F T P a n d s m a ll b o n d h o ld e r s p e r d o lla r o f d e b t a n d t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m w h e n t h e t r ig g e r le v e l o f d e b t is 1 a llo w e d t o v a r y b e t w e e n 0 a n d D + D . F ig u r e 7 s h o w s t h e r e la t iv e b a r g a in in g p o w e r s o f t h e p la y e r s fo r t h r e e d i(cid:11) e r e n t c a s e s . J u s t a s in L e m m a 2 , t h e v a lu e s o f t h e p la y e r s d e p e n d o n t h e p r o p o r t io n o f c o a lit io n s t h a t c a n c r e d ib ly t h r e a t e n 1 0 t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n . I n C a s e ( i) , T < D < D , t h e r e fo r e , a c o lle c t io n o f a t le a s t M 1 b o n d h o ld e r s ( d e (cid:12) n e d a b o v e ) , t h e la r g e b o n d h o ld e r a lo n e o r t h e la r g e b o n d h o ld e r a n d M b o n d h o ld e r s c a n c r e d ib ly t h r e a t e n t h e (cid:12) r m . A s t h e d e b t D is d iv id e d a m o n g a la r g e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s , a la r g e r n u m b e r o f t h r e a t e n in g c o a lit io n s c a n b e fo r m e d . T h e r e fo r e , a s N in c r e a s e s , t h e v a lu e o f t h e la r g e r e la t iv e t o s m a ll b o n d h o ld e r s t e n d s t o d e c r e a s e ( t h e n o n - m o n o t o n ic it y a s d is c u s s e d p r e v io u s ly a p p lie s ) . I n C a s e 1 1 ( ii) , D < T < D a n d ( iii) , D < D < T , t h e la r g e b o n d h o ld e r c a n n o t t r ig g e r a b a n k r u p t c y o n h is o w n . C o o p e r a t io n w it h s o m e a m o u n t o f p u t a b le d e b t is n e e d e d . A s N in c r e a s e s , t h e p o t e n t ia l t h r e a t e n in g c o a lit io n s h e is a p a r t o f in c r e a s e , t h e r e fo r e in c r e a s in g h is r e la t iv e v a lu e w it h t h e n u m b e r o f s m a ll b o n d h o ld e r s . 2 5
8 B a r g a i n i n g P r o b l e m a t t h e t i m e o f K m a r t ’ s P o i s o n P u t C r i s i s A ll b u t o n e p a r a m e t e r o f t h e m o d e l n e e d e d t o c a lc u la t e s t r a t e g ic v a lu e s u s in g L e m m a 2 h a v e e it h e r b e e n o b t a in e d fr o m p u b lic ly r e le a s e d d a t a o r fr o m p r e v io u s e m p ir ic a l s t u d ie s . T h e o n ly fr e e p a r a m e t e r , (cid:21) | t h e a r r iv a l p r o b a b ilit y o f a n L B O | is b a c k e d o u t fr o m o b s e r v e d b o n d p r ic e s a n d t h e u s e o f L e m m a 3 . I t h a s b e e n r e p o r t e d t h a t t h e t o t a l s e t t le m e n t t o b u y o u t t h e p u t o p t io n s w a s a b o u t $ 9 8 m illio n fo r o p t io n s o n fa c e v a lu e o f $ 5 5 0 m illio n . N e w s r e p o r t s a ls o s u g g e s t e d t h a t o n e la r g e in s u r a n c e c o m p a n y | h o ld in g a lm o s t a (cid:12) ft h o f t h e p u t a b le d e b t | h a d b e e n p a id 5 t im e s p e r d o lla r a s s m a lle r b o n d h o ld e r s fo r s u r r e n d e r in g 9 t h e ir o p t io n s . R e p o r t s o f u n e q u a l p a y m e n t s t o d i(cid:11) e r e n t b o n d h o ld e r s le a d u s t o b e lie v e t h a t t h e p a r t ie s c o n c e r n e d w e r e c o n s id e r in g t h e r e la t iv e t h r e a t e n in g p o w e r s o f t h e d i(cid:11) e r e n t b o n d h o ld e r s in t h e ir e v a lu a t io n o f t h e s e t t le m e n t . T h e c a lib r a t io n e x e r c is e is a s fo llo w s : (cid:15) P a r a m e t e r s o f V a s ic e k P r o c e s s ( e s t im a t e d in C h a n , K a r o ly i, L o n g s t a (cid:11) a n d S a n d e r s ( 1 9 9 2 ) ) : (cid:11) = :1 8 ( V a s ic e k p r o c e s s s lo p e p a r a m e t e r ) (cid:13) = :0 8 5 ( V a s ic e k p r o c e s s m e a n r e v e r s io n p a r a m e t e r ) (cid:27) = :0 2 ( V a s ic e k p r o c e s s v o la t ilit y p a r a m e t e r ) r r = :0 5 8 ( F e d e r a l F u n d s R a t e , N o v e m b e r 1 9 9 5 ) (cid:15) B a n k r u p t c y P a r a m e t e r s ( E m p ir ic a l R e s e a r c h ) : (cid:30) = :0 3 ( P r o p o r t io n a l c o s t s o f b a n k r u p t c y , W e is s 1 9 9 0 ) (cid:11) = :7 0 ( R e c o v e r y o n b a n k lo a n s , M o o d y ’s 1 9 9 7 ) B (cid:11) = :3 3 ( R e c o v e r y o n ju n io r d e b t , M o o d y ’s 1 9 9 7 ) D (cid:11) = :2 5 ( F r a c t io n o f E q u it y V a lu e o f R e o r g a n iz e d C o m p a n y t o s h a r e h o ld e r s , W e is s 1 9 9 0 ) E (cid:12) = 2 :7 5 ( P r o p o r t io n a l I n c r e a s e in d e b t in a n L B O T r a n s a c t io n , W a r g a a n d W e lc h 1 9 9 3 ) B lo o m b e r g (cid:15) P a r a m e t e r s o f K m a r t ’s S t o c k R e t u r n P r o c e s s ( B a s e d o n P u b lic ly A v a ila b le M a r k e t D a t a fr o m F in a n c ia l M a r k e t s .) (cid:27) = :4 ( A s s e t V o la t ilit y P a r a m e t e r ) V (cid:26) = :1 4 ( C o r r e la t io n o f A s s e t V a lu e w it h I n t e r e s t R a t e s ) 9 B lo o m b e r g F in a n c ia l M a r k e ts , N o v e m b e r 1 5 1 9 9 5 , a n d \ K m a r t S e e n O (cid:11) e r in g L u m p P a y m e n t t o R e m o v e P u t O p t io n ," a n d \ K m a r t S h a r e s S o a r o n S e t t le m e n t w it h D e b t h o ld e r s ," D e c e m b e r 2 1 1 9 9 5 . T h e C F O a t K m a r t , M r . M a r t in E . W e lc h I I I in fo r m e d u s t h a t t h e r e w a s in d e e d o n e la r g e b o n d h o ld e r h o ld in g a b o u t $ 1 0 0 m illio n o f s e c u r it ie s . T h e r e m a in d e r o f t h e d e b t w a s h e ld a b o u t e q u a lly b y 2 0 in s t it u t io n a l le n d e r s . H e a ls o s a id t h a t if K m a r t a c c e le r a t e d p a y m e n t s o n m o r e t h a n $ 1 1 0 m illio n o f t h e p u t a b le d e b t , t h e n a ll it s b a n k d e b t w o u ld a ls o b e p u t a n d h e n c e fo r c e t h e C o m p a n y in t o (cid:12) lin g fo r C h a p t e r 1 1 . T h is d e t e r m in e s t h e t r ig g e r le v e l o f p u t a b le d e b t , T . 2 6
T h e a v e r a g e h is t o r ic a l v o la t ilit y o f K m a r t ’s s t o c k r e t u r n in t h e 1 9 9 4 - 1 9 9 7 p e r io d is a b o u t 0 :4 ( F ig u r e 2 ) . T h e a v e r a g e im p lie d v o la t ilit y o n o n e m o n t h p u t o p t io n s o n K m a r t ’s s t o c k is h ig h e r , a t a b o u t 0 :4 9 . B e c a u s e t h e la t t e r m e a s u r e is s u b je c t t o t h e u s u a l s p e c i(cid:12) c a t io n e r r o r s w e c h o o s e t h e a c t u a l v o la t ilit y . W e u s e t h is s a m e v o la t ilit y p a r a m e t e r fo r t h e a s s e t r e t u r n p r o c e s s . (cid:26) is t h e c o r r e la t io n in t h e s a m e p e r io d b e t w e e n m o n t h ly r e t u r n s o n K m a r t ’s s t o c k a n d 3 0 - d a y T r e a s u r y B ills . (cid:15) B a la n c e S h e e t I t e m s ( B o o k V a lu e a s lis t e d in K m a r t ’s 1 9 9 5 A n n u a l R e p o r t ) : A = $ 1 5 :3 b ( T o t a l A s s e t s ) 0 B = $ 5 :1 b ( S e n io r D e b t ) N D = $ 4 :3 b ( J u n io r N o n - P u t a b le D e b t ) 1 D = $ :1 b ( P u t a b le D e b t H e ld b y O n e L a r g e B o n d h o ld e r ) D = $ :4 5 b ( P u t a b le D e b t H e ld b y S m a ll B o n d h o ld e r s ) E = $ 6 :0 3 b ( S h a r e h o ld e r E q u it y ) (cid:15) C o v e n a n t O n S e n io r D e b t ( F o o t n o t e 9 ) : T h e (cid:12) r m c a n a c c e le r a t e p a y m e n t o n n o m o r e t h a t $ .1 1 b o f ju n io r p u t a b le b o n d s w it h o u t t r ig g e r in g b a n k r u p t c y p r o c e e d in g s . T = $ :1 1 b ( T r ig g e r L e v e l o f P u t a b le D e b t ) N = 2 0 ( N u m b e r o f S m a ll P u t a b le B o n d h o ld e r s ) B lo o m b e r g F in a n c ia l M a r k e t s (cid:15) M a r k e t V a lu e o f t h e F ir m ( H is t o r ic a l s t o c k a n d b o n d p r ic e s a r e fr o m ) : V = 3 :4 6 b 4 8 6 ,5 1 1 S h a r e s O u t s t a n d in g a t $ 7 .1 2 5 p e r s h a r e E 1 0 V = $ 5 :6 1 S e n io r 9 % C o u p o n D e b t v a lu e d a t a b o u t $ 1 .1 0 p e r d o lla r . B 1 V = $ 4 :8 5 b J u n io r 8 D e b t v a lu e d a t a b o u t $ .8 9 p e r d o lla r D 2 (cid:25) = $ :4 ( I m p lie d 1 2 - Y e a r P r o b a b ilit y o f D e fa u lt s ) 1 2 T h e a v e r a g e s t o c k p r ic e o f K m a r t in D e c e m b e r 1 9 9 5 | t h e m o n t h o f n e g o t ia t io n s | w a s $ 7 .1 2 5 ( F ig u r e 2 , t o p le ft ) . T h e c a lc u la t io n o f t h e I m p lie d 1 2 - Y e a r P r o b a b ilit y o f D e fa u lt ( u n d e r t h e r is k - n e u t r a l m e a s u r e ) is a s fo llo w s : T h e a v e r a g e m a t u r it y o f d e b t o u t s t a n d in g w a s a b o u t 1 2 y e a r s . M o s t o f t h e b o n d s c a r r ie d a c o u p o n o f 7 - 1 1 % . A s s e e n in t h e t o p r ig h t p a n e l o f F ig u r e 2 , t h e s p r e a d o n K m a r t d e b t in c r e a s e d t o a b o u t 1 5 0 0 b a s is p o in t s . M a r k e t d a t a r e v e a ls t h a t K m a r t ’s 8 b o n d s t r a d e d a t a b o u t 8 9 c e n t s t o t h e d o lla r . U s in g 2 ( 4 ) , a n d t h e p a r a m e t e r s a b o v e fo r t h e V a s ic e k p r o c e s s a t a s h o r t - t e r m r a t e o f 5 .8 % ( t h e F e d e r a l F u n d s r a t e a t t h e t im e o f t h e c r is is ) im p ly t h a t a 1 2 - y e a r d is c o u n t b o n d w o u ld b e v a lu e d a t P ( :0 5 8 ; 1 2 ) = :4 1 8 c e n t s p e r d o lla r . T y p ic a lly , t h e r e c o v e r y o n ju n io r d e b t in b a n k r u p t c y is (cid:11) = :3 3 ( M o o d y ’s ( 1 9 9 7 ) ) . U s in g t h e D 2 7
1 1 fo r m u la P = P ( :0 5 5 ; 1 2 ) f [1 + (cid:25) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) ] t h e n im p lie s (cid:25) = :4 . U s in g t h e p r ic in g fo r m u la fo r 9 % D D D 1 2 1 2 s e n io r c o u p o n d e b t a n d a h ig h e r r e c o v e r y (cid:11) , im p lie s t h a t s e n io r d e b t w o u ld t r a d e a t a b o u t $ 1 .1 c e n t s p e r B d o lla r . T h e s u m o f t h e m a r k e t v a lu e s o f t h e lia b ilit ie s e q u a ls $ 1 3 .2 7 b illio n . T h e b o o k v a lu e o f a s s e t s is lis t e d a s $ 1 6 .6 4 b in K m a r t ’s 1 9 9 5 A n n u a l R e p o r t . 1 2 (cid:15) V a lu e s in a n I m m e d ia t e R e o r g a n iz a t io n : W e a s s u m e t h a t t h e le v e l o f d e b t s o n t h e b o o k s o f t h e c o m p a n y s h o w n a b o v e e q u a l p r in c ip a l a n d a c c r u e d in t e r e s t . T h e r e fo r e , B = m in f ( 1 (cid:0) :0 3 ) (cid:1) 1 3 :2 7 ; 5 :1 g = 5 :1 ( R e c o v e r y o n S e n io r D e b t ) (cid:28) F P D = m in f ( 1 (cid:0) :0 3 ) (cid:1) 1 3 :2 7 (cid:0) 5 :1 (cid:0) 4 :8 5 g = 4 :8 5 ( R e c o v e r y o n J u n io r D e b t ) (cid:28) F P E = ( 1 (cid:0) :0 3 ) 1 3 :2 7 (cid:0) 5 :1 (cid:0) 4 :8 5 = 2 :9 3 ( S h a r e h o ld e r s E q u it y V a lu e ) (cid:28) F P (cid:15) I m p lic a t io n s o f M o d e l a n d t h e s iz e o f t h e ‘P ie ’: T h e m o d e l im p lie s t h a t t h e d e fa u lt b o u n d a r ie s a r e (cid:23) = 1 7 :5 3 ( D e fa u lt B o u n d a r y P r io r t o L B O a s in ( 7 ) ) L (cid:23) = 4 2 :8 3 ( D e fa u lt B o u n d a r y P r io r A ft e r L B O a s in ( 6 ) ) L S in c e P ( :0 5 5 ; 1 2 ) e q u a ls :4 1 8 , (cid:23) = 7 :3 2 a n d (cid:23) = 1 7 :9 . T o m a t c h t h e d e fa u lt p r o b a b ilit y o f (cid:25) = :3 8 , w it h t 1 2 t t h e m a r k e t v a lu e s o f ju n io r a n d t h e a b o v e d e fa u lt b o u n d a r ie s , t h e im p lie d v a lu e o f t h e L B O a r r iv a l p a r a m e t e r is (cid:21) = :0 2 . H o w e v e r , b e c a u s e t h e c u r r e n t m a r k e t v a lu e o f t h e a s s e t s is v e r y lo w , w it h a h ig h p r o b a b ilit y t h e L v a lu e o f t h e a s s e t s a t t h e t im e o f t h e L B O o (cid:11) e r a r r iv a l w ill b e b e lo w (cid:23) , t h e h ig h e r d e fa u lt b o u n d a r y in t h e t e v e n t t h e L B O is c o n s u m m a t e d . T h e m o d e l im p lie s t h a t t h e p r o b a b ilit y o f a T y p e - C d e fa u lt ( s e e F ig u r e 3 ) is o n ly a b o u t .0 4 % . U s in g ( 1 9 ) t h e s e b o u n d a r ie s im p ly t h a t t h e e x p e c t e d d is c o u n t e d b a n k r u p t c y c o s t s e q u a l P B P ( 0 ; 1 2 ) = $ :1 b : F in a lly , u s in g ( 2 8 ) , (cid:22)v , t h e ‘p ie ’ t o b e s h a r e d b e t w e e n t h e p u t a b le b o n d h o ld e r s a n d t h e (cid:12) r m is $ 3 .7 1 b . U s in g L e m m a 8 w it h t h e a b o v e p a r a m e t e r v a lu e s , it is e s t im a t e d t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e p e r d o lla r o f o p t io n a t t h e t im e o f b a r g a in in g w a s a b o u t $ .4 8 p e r d o lla r fo r t h e la r g e b o n d h o ld e r , a n d a b o u t $ .4 3 p e r d o lla r fo r t h e s m a ll b o n d h o ld e r s , fo r a n a g g r e g a t e p a y m e n t o f a b o u t $ 2 4 1 m illio n . S o m e r e p o r t s h a v e s u g g e s t e d t h a t K m a r t m a d e a t o t a l p a y m e n t o f a b o u t $ 9 8 m illio n fo r t h e r e m o v a l o f t h e o p t io n s . A ls o , t h e m o d e l s u g g e s t s t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e fo r t h e la r g e b o n d h o ld e r w a s la r g e r t h a n t h a t o f t h e s m a lle r 1 3 b o n d h o ld e r s , b u t t h e d i(cid:11) e r e n c e is n o t a s la r g e a s r u m o r e d in t h e m e d ia ( o p e n in g p a r a g r a p h o f t h is s e c t io n ) . T h e m o d e l a ls o s u g g e s t s t h a t if t h e r e w a s a s in g le b o n d h o ld e r o w n in g a ll t h e d e b t , t h e p a y o u t fo r t h e (cid:12) r m lo w e r w o u ld h a v e b e e n $ 7 0 m illio n ! S im ila r ly , h a v e a t r ig g e r o f a b o u t $ 2 2 0 m illio n in s t e a d o f $ 1 1 0 m illio n , w o u ld h a v e s a v e d t h e (cid:12) r m a lm o s t $ 6 0 m illio n a t t h e t im e o f s e t t le m e n t . 1 1 T h is is a n a p p r o x im a t io n . T o b e m o r e e x a c t w e s h o u ld (cid:12) n d 2 4 p r ic e s o f b o n d s w it h d i(cid:11) e r e n t c o u p o n s , a n d u s e t h e b o n d p r ic in g fo r m u la t o s im u lt a n e o u s ly in fe r t h e p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt a t e a c h c o u p o n d a t e . 1 2 S e e F ig u r e 4 fo r t h e d e (cid:12) n it io n s o f t h e r e c o v e r ie s . 1 3 If t h e a m o u n t s h e ld b y t h e la r g e a n d s m a ll b o n d h o ld e r s w e r e r e v e r s e d , t h a t is t h e la r g e b o n d h o ld e r h e ld $ 4 5 0 m illio n o f p u t a b le b o n d s , t h e n t h e m o d e l im p lie s t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e o f h is o p t io n w o u ld in d e e d b e 5 t im e s la r g e r . 2 8
R e a d e r s m ig h t s u p p o s e t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e s c a lc u la t e d a r e im p la u s ib ly h ig h . O n e r e a s o n t h a t p e r d o lla r t h e s t r a t e g ic v a lu e c a lc u la t e d is e n o r m o u s , is b e c a u s e t h e e x e r c is e o f m o r e t h a n $ 1 1 0 m illio n o f p u t a b le b o n d s c a n r e d u c e t h e c la im s o f e q u it y h o ld e r s b y a b o u t $ 8 0 0 m . A s a n o t h e r c o n c e p t u a l e x p e r im e n t , s u p p o s e a ll t h e (cid:12) r m s ju n io r d e b t w a s p u t a b le . K e e p in g t h e s a m e p r o p o r t io n a l t r ig g e r a m o u n t o f 2 0 p e r c e n t o f t h e fa c e v a lu e o f t h e p u t a b le d e b t , o r $ 1 b illio n , w e r e c a lc u la t e t h a t t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e la r g e b o n d h o ld e r is a b o u t 1 6 .8 c p e r d o lla r o f p u t a b le d e b t , a n d t h a t o f t h e s m a ll b o n d h o ld e r is a b o u t 1 6 c p e r d o lla r . 9 P r i c i n g O p t i o n s P r i o r t o C r i s i s I n t h is s e c t io n w e s h a ll p r ic e t w o d i(cid:11) e r e n t k in d s o f P o is o n P u t B o n d s a t t h e t im e o f is s u a n c e o f t h e s e b o n d s . W e s h a ll c a ll t h e b o n d s ‘O r d in a r y ’ P o is o n P u t s , w h e n h o ld e r s c a n p u t t h e ir b o n d s b a c k t o t h e is s u e r a t p a r in t h e e v e n t o f a le v e r a g e d r e s t r u c t u r in g a n d s u b s e q u e n t d o w n g r a d in g t o s p e c u la t iv e g r a d e ( a n y s p e c i(cid:12) c 1 4 r a t in g c a t e g o r y ) . W e s h a ll c a ll t h e b o n d s ‘S u p e r ’ P o is o n P u t s , w h e n t h e h o ld e r s c a n p u t t h e b o n d s if t h e c r e d it r a t in g o f t h e b o n d s h it s s p e c u la t iv e g r a d e , ir r e s p e c t iv e o f t h e r e a s o n fo r t h e d o w n g r a d e ( s e e t h e c o m m e n t s in S e c t io n a b o u t t h e e v o lu t io n o f s u c h b o n d s ) . W e s h a ll a s s u m e t h a t t h e r a t in g o f t h e b o n d s a r e s o le ly d e t e r m in e d b y t h e ir p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt . B e c a u s e t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s fo llo w s a c o n t in u o u s p r o c e s s , fo r e v e r y t im e - h o r iz o n t h e r e e x is t s a lo w e r b o u n d fo r t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s h it s in s it u a t io n K , t h e r a t in g t u r n s fr o m in v e s t m e n t t o s p e c u la t iv e g r a d e . I t is e v id e n t t h a t fo r a g iv e n p r o b a b ilit y o f d e fa u lt a t a n y h o r iz o n V (cid:21) V (cid:21) V b e c a u s e t h e d e fa u lt b o u n d a r y is lo w e s t fo r t h e c a s e K = U , a n d L ;t P ;t U ;t h ig h e s t fo r K = L ; fo r t h e c a s e K = P , t h e h ig h e r d e fa u lt b o u n d a r y o b t a in s w h e n a n L B O is s u c c e s s fu lly c o n s u m m a t e d , a n d s in c e t h is is in in d e p e n d e n t e v e n t w it h p r o b a b ilit y le s s t h a n o n e , V , lie s b e t w e e n t h e P o t h e r t w o . A s s u m p t i o n 8 T h e s p e c u la t iv e g r a d e b o u n d a r y in s it u a t io n , fo r , is g iv e n b y K K = P ; L ; U V = K ;t , w h e r e is a c o n s t a n t t h a t w ill b e s u b s t it u t e d in t o ( 9 ) t o m a t c h t h e d e fa u lt s c a le b y V P ( r ; T ) v (cid:25) ( T ) t S K K M o o d y ’s I n v e s t o r S e r v ic e , a s s h o w n in T a b le 1 . C o r r e s p o n d in g t o t h e n o r m a liz a t io n o f a s s e t v a lu e in S e c t io n V K ;t 3 , w e d e (cid:12) n e ln . v = v P ( r ; T ) = t K ;t K (cid:23) t (cid:16) (cid:17) T h e s u p e r p o is o n p u t s a r e e x e r c is a b le ( a ) P r io r t o t h e L B O t h e a s s e t v a lu e d r ift s d o w n t o t h e d e fa u lt b o u n d a r y , ( b ) A t t h e t im e o f t h e L B O , t h e (cid:12) r m ’s c r e d it r a t in g ( d e fa u lt p r o b a b ilit y ) ju m p s d o w n d u e t o a r is e in t h e d e fa u lt b o u n d a r y ( c ) A ft e r a s u c c e s s fu l L B O , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g is a b o v e s p e c u la t iv e g r a d e , b u t s u b s e q u e n t ly t h e a s s e t v a lu e d r ift d o w n t o t h e h ig h e r d e fa u lt b o u n d a r y , a n d ( d ) A ft e r a n u n s u c c e s s fu l L B O a t t e m p t , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g is a b o v e s p e c u la t iv e g r a d e , b u t s u b s e q u e n t ly t h e a s s e t v a lu e d r ift d o w n . L e t (cid:25) ( T ) b e a n e x o g e n o u s ly g iv e n fu n c t io n t h a t g iv e s t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt fo r a b o n d o f m a t u r it y T , a t S w h ic h t h e r a t in g t u r n s fr o m in v e s t m e n t t o s p e c u la t iv e g r a d e . 1 4 W h ile s e v e r a l b o n d s b e c o m e p u t a b le w h e n t h e r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e , t h e r a t in g b o u n d a r y s p e c i(cid:12) e d d i(cid:11) e r s w id e ly a c r o s s b o n d s . T h e a n a ly s is is t h is s e c t io n is v a lid fo r a n y s p e c i(cid:12) c r a t in g b y s u b s t it u t in g p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt a t d i(cid:11) e r e n t h o r iz o n s fo r t h e s p e c u la t iv e g r a d e c a t e g o r y b y t h e c o r r e s p o n d in g p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt fo r t h e r a t in g s p e c i(cid:12) e d in t h e c o n t r a c t o f t h e b o n d . 2 9
P r io r t o a n L B O , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g t u r n s s p e c u la t iv e g r a d e w h e n it s n o r m a liz e d v a lu e q h it s v . t K T h e o p t io n p a y s o (cid:11) a t t h e (cid:12) r s t t im e t h e v a lu e h it s a p a y o (cid:11) b o u n d a r y . S in c e t h e r a t in g b o u n d a r y in c r e a s e s a t t h e r is k le s s r a t e ( s a m e a s t h e d e fa u lt b o u n d a r y ) , a n a lo g o u s lo g ic t o t h a t u s e d in L e m m a 1 a n d t h e s p a t ia l h o m o g e n e it y o f B r o w n ia n M o t io n im p lie s t h a t c o n d it io n a l o n q , t h e d e n s it y o f t h e t im e t o h it s p e c u la t iv e 0 g r a d e is 0 r 0 (cid:25) ( m ; 0 ; t ) = (cid:25) ( m (cid:0) v ; 0 ; t ) ; ( 4 6 ) 0 0 P 0 w h e r e (cid:25) ( m ; 0 ; t ) is g iv e n b y ( 1 0 ) . S im ila r ly , t h e t r a n s it io n d e n s it y o n t h e n o r m a liz e d s p a c e , c o n d it io n a l o n 0 t h e (cid:12) r m ’s v a lu e a lw a y s r e m a in in g a b o v e t h e s p e c u la t iv e g r a d e b o u n d a r y is r a p ( m ; y ; 0 ; t ) = p ( m (cid:0) v ; y (cid:0) v ; 0 ; t ) ( 4 7 ) 0 0 P a w h e r e p ( q ; y ; t ) is g iv e n b y ( 1 1 ) . 0 R e s u l t 3 ( S u p e r P o is o n P u t s ) L e t b e t h e v a lu e a t t h e t im e o f is s u a n c e o f a s it u a t io n - d e p e n d e n t P ( f ) 0 0 K s e c u r it y , , t h a t p a y s t h e v a lu e , a t t h e t im e o f e x e r c is e o f t h e s u p e r p o is o n p u t o p t io n s , if t h e f f ( V ) (cid:28) (cid:28) P P s it u a t io n is , a n d t h e e x e r c is e b o u n d a r ie s a r e d e (cid:12) n e d in A s s u m p t io n 8 . T h e n , it s v a lu e is t h e s u m o f fo u r K p a r t s . E a c h p a r t c o n s t it u t e s t h e v a lu e o f t h e o p t io n in o n e o f fo u r m u t u a lly e x c lu s iv e e v e n t s . E ; F ; F ; H T 0 E (cid:21) s r P (cid:0) P ) e d s ; ( 4 8 ) ( f ) = P ( r ; T ) (cid:1) (cid:25) ( q ; 0 ; s ) f ( V 0 0 P ;s 0 0 Z T T l 0 (cid:21) s r r F U (cid:0) (cid:21) e p ( m ; y ; 0 ; s ) (cid:25) ( y + v P (cid:0) v ; s ; t ) f ( V ) d t d y d s ;( 4 9 ) ( f ) = P ( r ; T ) (cid:1) 0 0 P U U ;s 0 s v 0 P ! Z Z Z T v L G (cid:21) s r L y (cid:0) a n d P (cid:21) e p ( m ; y ; 0 ; s ) f ( e (cid:1) (cid:23) (cid:1) P ( r ; T ) ) d y d s ; ( 5 0 ) ( f ) = P ( r ; T ) (cid:1) t 0 0 0 l 0 Z Z T T 1 0 r H (cid:21) s r L (cid:0) (cid:25) ( y (cid:0) ( v P (cid:21) e p ( m ; y ; 0 ; s ) (cid:0) v ) ; s ; t ) f ( V ) d t d y d s :( 5 1 ) ( f ) = P ( r ; T ) (cid:1) 0 0 U P L 0 v s 0 L ! Z Z Z 0 r r W h e r e w a s d e (cid:12) n e d in L e m m a 3 , is d e (cid:12) n e d in ( 4 6 ) a n d is d e (cid:12) n e d in ( 4 7 ) . l (cid:25) ( q ; 0 ; t ) p ( q ; y :s ; t ) 0 0 T h e p r o o f is in t h e a p p e n d ix . A g a in fo r e x p o s it io n w e d is p la y t h e p a y o (cid:11) s u n d e r t h e fo u r e v e n t s in F ig u r e 8 . C o r o l l a r y 4 S u p p o s e C o n d it io n 1 h o ld s a t e a c h b o u n d a r y , fo r . L e t b e t h e v a lu e o f V K = P ; L ; U P ( 1 ) K (cid:28) 0 P a s e c u r it y t h a t p a y s a t . P ( r ) (cid:28) ;T P (cid:28) P K ) (cid:0) P ( B ) (cid:0) B P ( P ) ( 5 2 ) P ( (cid:22)v ) = P ( v B 0 0 0 0 (cid:28) P P ( P ) = P ( 1 ) f + f P ( (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) ) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) ]; ( 5 3 ) B B B B 0 0 0 E [E ] = ( 1 (cid:0) (cid:30) ) P ( v ) (cid:0) P ( 1 ) B f (cid:0) P ( 1 ) D f ( 5 4 ) (cid:28) F B D 0 0 0 0 P D [D ] = P ( 1 ) D f ( 5 5 ) (cid:28) F D 0 0 P 3 0
K w h e r e is d e (cid:12) n e d in ( 2 8 ) , t a k e s t h e v a lu e s is s it u a t io n a s g iv e n in A s s u m p t io n 8 , t a k e s t h e (cid:22)v v v K B (cid:28) K P K K v a lu e s g iv e n in ( 1 9 ) , ( 2 0 ) , ( 2 1 ) , t a k e s t h e v a lu e s a s p r o v id e d in L e m m a s 2 a n d 3 , B P ( (cid:1); (cid:1)) P ( (cid:1); (cid:1)) P ( (cid:1)) B 0 B is t h e o p e r a t o r d e (cid:12) n e d in L e m m a 3 , a n d d e n o t e s t h e e x p e c t a t io n a t t im e u n d e r t h e r is k - n e u t r a l E ( (cid:1); (cid:1)) 0 0 m e a s u r e . Q P r o o f . T h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m a t (cid:28) e q u a ls V . B y A s s u m p t io n 8 , t h is e q u a ls v P ( r ; T ) , w h ic h h a s a P (cid:28) P K ;(cid:28) K P . T h e r e fo r e P ( V ) , w h e r e P ( (cid:1)) is t h e o p e r a t o r d e (cid:12) n e d in L e m m a 3 . N o w u s in g t im e T v a lu e o f v ) = P ( v (cid:28) 0 0 0 P K K t h e d e (cid:12) n it io n o f (cid:22)v in ( 2 8 ) im p lie s ( 5 2 ) . T h e p r o o f fo r t h e o t h e r v a r ia b le s r e s u lt s fr o m a s im ila r a p p lic a t io n (cid:28) P (cid:4) o f t h e P ( (cid:1)) o p e r a t o r . 0 C o r o lla r y 4 c a n b e u s e d t o (cid:12) n d fo r m u la s fo r t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e p u t o p t io n s a t t h e t im e o f is s u a n c e . T h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e o p t io n s d e p e n d s o n t h e o w n e r s h ip s t r u c t u r e o f t h e o p t io n s a t t h e t im e o f t h e p u t ; t o p r ic e t h e s t r a t e g ic v a lu e a t t h e t im e o f t h e c r is is , w e s h a ll a s s u m e t h a t a ll a g e n t s b e lie v e t h a t t h e o w n e r s h ip s t r u c t u r e o f t h e o p t io n s w ill n o t c h a n g e u p t o t h e m a t u r it y o f t h e d e b t . G iv e n t h e o w n e r s h ip s t r u c t u r e , t h e s t r a t e g ic v a lu e o f e a c h p la y e r a t t h e t im e o f b a r g a in in g w ill p r o v id e t h e b o u n d a r y c o n d it io n s fo r t h e v a lu e o f t h e o p t io n , w h e n t h e a s s e t v a lu e h it s t h e t r ig g e r in g b o u n d a r y V in s it u a t io n K ;t K a t t im e t . A s s u m p t i o n 9 A ll a g e n t s b e lie v e t h a t t h e o w n e r s h ip s t r u c t u r e o f t h e o p t io n s w ill n o t c h a n g e u p t o t h e m a t u r it y o f t h e d e b t . F o r e x a m p le , fo r t h e c a s e o f N e q u a lly s iz e d p u t a b le b o n d h o ld e r s , u s in g ( 3 2 ) a n d ( 4 4 ) K P ( I V ) = f ( 1 (cid:0) (cid:11) ) P ( (cid:25) ( (cid:1); (cid:1)) ) ; a n d ( 5 6 ) D D 0 0 P ( (cid:22)v ) (cid:0) P ( E ) (cid:28) F 0 0 P N P ( S V ) = ( 1 (cid:0) (cid:11) ) [ (cid:0) P ( 1 ) f ] + P ( I V ) ( 5 7 ) D 0 0 0 D 1 I n t h e c a s e w h e n t h e r e is o n e la r g e h o ld e r h o ld in g D o f p u t a b le d e b t , a n d N e q u a lly s iz e d h o ld e r s o w n in g D o f t h e d e b t , t h e e q u a t io n s in L e m m a 8 d e t e r m in e t h e b o u n d a r y c o n d it io n s fo r t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m a n d t h e b o n d h o ld e r s . T h e n C o r o lla r y 4 d e t e r m in e s t h e v a lu e o f t h e r e le v a n t v a r ia b le s a t t h e t im e o f is s u a n c e , a s illu s t r a t e d in 5 7 . W h e n C o n d it io n 1 is n o t s a t is (cid:12) e d , t h e n C o r o lla r y 4 c a n n o t b e u s e d d ir e c t ly . I n t h a t s it u a t io n , t h e p a y o (cid:11) s in a n b a n k r u p t c y w ill h a v e t o s u b s t it u t e d a t t h e b o u n d a r ie s w h e r e t h e c o n d it io n fa ils . o R e s u l t 4 ( O r d in a r y P o is o n P u t s ) L e t b e t h e v a lu e a t t h e t im e o f is s u a n c e o f a s it u a t io n - d e p e n d e n t P ( f ) 0 0 L s e c u r it y , , t h a t p a y s t h e v a lu e , a t t h e t im e o f e x e r c is e o f t h e o r d in a r y p o is o n p u t o p t io n s f f ( V ) P ( r ) (cid:28) ;T P (cid:28) P , if t h e s it u a t io n is , a n d t h e e x e r c is e b o u n d a r ie s a r e d e (cid:12) n e d in A s s u m p t io n 8 . T h e n (cid:28) L P T v L y o (cid:21) s a L (cid:0) P ( f ) = P ( r ; T ) (cid:1) (cid:21) e p ( q ; ; 0 ; s ) f ( y ) d y d s : ( 5 8 ) 0 0 0 (cid:23) l 0 Z Z 3 1
P r o o f . T h e (cid:12) r m ’s r a t in g t u r n s fr o m in v e s t m e n t t o s p e c u la t iv e g r a d e a t t h e t im e o f L B O if it s n o r m a liz e d (cid:4) v a lu e lie s in ( l ; v ) . U s in g t h e d e n s it y fu n c t io n o f t h e L B O a r r iv a l a n d in t e g r a t in g im p lie s ( 5 8 ) . L W e n o t e t h a t t h e fo r m u la fo r v a lu in g t h e o r d in a r y p o is o n p u t c lo s e ly r e s e m b le s t h e fo r m u la fo r P ( G ) o f t h e s u p e r p o is o n p u t in L e m m a 3 . T h e o n ly d i(cid:11) e r e n c e is t h a t t h e s u p e r p o is o n p u t p a y s o (cid:11) a t 0 t h e (cid:12) r s t t im e t h e r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e , w h ile t h e o r d in a r y p u t d o e s n o t . O fc o u r s e , t h e o p t io n d o e s n o t p a y o (cid:11) if t h e (cid:12) r m d e fu a lt s p r io r t o t h e L B O a r r iv a l. T h e r e fo r e , w e u s e t h e t r a n s it io n d e n s it y fu n c t io n a r p ( q ; y ; 0 ; t ) fo r t h e o r d in a r y p u t v a lu a t io n a n d t h e p ( q ; y ; 0 ; t ) t r a n s it io n d e n s it y fo r t h e s u p e r p o is o n 0 0 p u t v a lu a t io n . A g a in , t h e s p e c u la t iv e g r a d e r a t in g b o u n d a r y in t h e fo r m u la t io n c a n b e s u b s t it u t e d b y a n y s p e c i(cid:12) c r a t in g c a t e g o r y . E x a m p l e 5 ( M a r k e t V a lu e o f A s s e t s , C r e d it R a t in g a n d t h e V a lu e o f O p t io n s ) I n t h is e x a m p le w e (cid:12) n d t h e s t r a t e g ic a n d in t r in s ic v a lu e s o f p u t a b le b o n d s fo r (cid:12) r m s w it h d i(cid:11) e r e n t a s s e t v a lu e s a n d h e n c e d i(cid:11) e r e n t c r e d it r a t in g s . W e u s e R e s u lt s 3 a n d 4 t o p r ic e t h e S u p e r a n d O r d in a r y P o is o n P u t s r e s p e c t iv e ly . T h e o p t io n s a r e p r ic e d a t is s u a n c e , w it h a m a t u r it y o f 2 0 y e a r s . T h e v a r io u s p a r a m e t e r a s s u m p t io n s a r e a s fo llo w s : P a r a m e t e r s fo r t h e V a s ic e k p r o c e s s a n d t h o s e d e t e r m in in g p a y o (cid:11) s o f d i(cid:11) e r e n t p la y e r s in b a n k r u p t c y a r e t h e s a m e a s in S e c t io n 8 . I t is a s s u m e d t h a t (cid:26) = 0 ( z e r o c o r r e la t io n b e t w e e n a s s e t r e t u r n s a n d t h e s h o r t - t e r m r a t e ) . T h e a s s e t v o la t ilit y p a r a m e t e r is (cid:27) = :3 , a n d t h e L B O e x p o n e n t ia l V N d is t r ib u t io n a r r iv a l p a r a m e t e r is (cid:21) = :0 3 . T h e fa c e v a lu e s o f d e b t is s u e d a r e B = 5 :1 , D = 4 :3 , a n d D = :5 5 ; ( 6 ) a n d ( 7 ) im p ly t h a t (cid:23) = 1 8 :3 2 , a n d 4 4 :7 6 . U s in g L e m m a s 2 a n d 3 , w e e s t im a t e t h a t t h e r a t in g b o u n d s fo r t h e a s s e t s a r e v = 4 8 :9 9 , v = 4 5 :2 , a n d v = 1 1 2 :5 0 . ( 5 6 ) is u s e d t o p r ic e t h e in t r in s ic P L L v a lu e o f t h e s u p e r p o is o n p u t . U s in g R e s u lt 4 a n a n a lo g o u s fo r m u la is u s e d t o p r ic e t h e o r d in a r y P o is o n P u t . I t is a s s u m e d t h a t t h e t r ig g e r v a lu e o f p u t a b le d e b t is s e t b y c o v e n a n t s a t :1 , a n d t h e b o n d s a r e h e ld c b y in (cid:12) n it e s im a l b o n d h o ld e r s . T h e r e fo r e , t h e lim it in g v a lu e o f t h e r a t io M = N + 1 = T = D is u s e d in ( 5 7 ) in t h e c a lc u la t io n o f s t r a t e g ic v a lu e . R e c a ll t h a t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g a r e lo w e r e d in t o t h e s p e c u la t iv e g r a d e r a n g e in s it u a t io n S a t t im e t if t h e v a lu e o f it s a s s e t s fa lls t o v P ( r ; T ) . T h e c u m u la t iv e p r o b a b ilit ie s o f d e fa u lt o v e r h o r iz o n s o f 1 ,2 ,5 ,1 0 , t S a n d 2 0 y e a r s a r e :0 1 0 ; :0 3 7 ; :1 2 ; :2 2 ; :3 7 w h e n t h e v a lu e o f t h e a s s e t s h it s V p r io r t o a n L B O a r r iv a l. A ft e r P ;t a n L B O a r r iv a l, t h e im p lie d d e fa u lt r a t e s a r e :0 0 7 ; :0 3 5 ; :1 1 ; :2 3 ; :3 8 r e s p e c t iv e ly fo r t h e (cid:12) v e t im e h o r iz o n s . M o o d y ’s u s u a lly r a t e s (cid:12) r m s w it h a 2 0 - y e a r c u m u la t iv e d e fa u lt r a t e o f :3 8 o r m o r e s p e c u la t iv e g r a d e ( T a b le 1 5 1 ) . S t r a t e g ic a n d in t r in s ic v a lu e s a r e s h o w n in T a b le 2 . T h e t a b le s h o w s t h a t t h e s t r a t e g ic a n d in t r in s ic v a lu e s a r e e a c h d e c r e a s in g in t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m . T h is is b e c a u s e t h e p r o b a b ilit y o f a p a y o u t in c r e a s e s a s t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m is lo w e r e d t o w a r d s it d o w n g r a d e b o u n d a r y . U s in g L e m m a 3 w e e s t im a t e t h e 2 0 - y e a r 1 5 J o n e s , M a s o n a n d R o s e n fe ld ( 1 9 9 4 ) ( a m o n g o t h e r a u t h o r s ) h a v e c it e d t h e d i(cid:14) c u lty o f a m o d e l w it h a c o n t in u o u s a s s e t p r o c e s s in g e n e r a t in g a n e m p ir ic a lly p la u s ib le p r o b a b ility o f d e fa u lt a t s h o r t h o r iz o n s . Z h o u ( 1 9 9 7 ) r e s o lv e s t h e p r o b le m w it h a d is c o n t in u o u s ju m p p r o c e s s ; w e g e n e r a t e a h ig h e r p r o b a b ility o f d e fa u lt , p r io r t o a n L B O a r r iv a l, w it h a ju m p in t h e d e fa u lt b o u n d a r y , w h ic h o c c u r s u p o n t h e c o m p le t io n o f a n L B O . S in c e w e h a v e m o d e le d t h e a r r iv a l o f o n ly o n e L B O , w e c a n n o t m a t c h t h e s a m e 1 -y e a r p r o b a b ility o f d e fa u lt a ft e r t h e L B O a r r iv a l. 3 2
d e fa u lt p r o b a b ilit ie s fo r e a c h o f t h e a s s e t v a lu e s d is p la y e d . T h e p r o b a b ilit ie s a r e u s u a lly a s s o c ia t e d w it h M o o d y ’s r a t in g a s s h o w n in t h e t h ir d c o lu m n . T h e in t r in s ic v a lu e s o f t h e o r d in a r y P o is o n P u t s a r e e x t r e m e ly s m a ll, b e t w e e n :0 0 1 a n d :0 0 6 fo r (cid:12) r m s w it h r a t in g s c o m p a r a b le A a a t o B a a 2 . T h e s t r a t e g ic v a lu e s r a n g e b e t w e e n :0 2 a n d :1 9 fo r t h e s e r a t in g c a t e g o r ie s . T h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e S u p e r P o is o n p u t s a r e a b o u t 1 2 - 1 7 t im e s la r g e r t h a n t h e ir in t r in s ic v a lu e s . A ls o n o t a b ly , t h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e o p t io n s c a n b e la r g e r t h a n 1 , fo r (cid:12) r m s w it h r a t in g s c lo s e t o t h e s p e c u la t iv e g r a d e b o u n d a r y . I n t h e s e c a s e s t h e v a lu e o f t h e o p t io n s w ill in c r e a s e t h e fa c e v a lu e o f t h e d e b t . E x a m p l e 6 ( C o r r e la t io n B e t w e e n A s s e t V a lu e a n d S h o r t - T e r m R a t e s a n d t h e V a lu e o f O p t io n s ) . T h e s a m e s e t o f p a r a m e t e r s a r e u s e d fo r t h e la s t e x a m p le . H o w e v e r , t h e a s s e t v a lu e fo r a ll c a s e s c o n s id e r e d is 4 5 . T h e c o r r e la t io n c o e (cid:14) c ie n t (cid:26) is v a r ie d b e t w e e n (cid:0) :3 a n d :3 . F o r e a c h c a s e , t h e r a t in g b o u n d a r ie s fo r t h e n o r m a liz e d a s s e t p r o c e s s v , fo r K = P ; L ; U a r e r e c a lc u la t e d fo r e a c h e x a m p le a n d K a r e s h o w n in c o lu m n s 3 - 5 o f T a b le 3 . T h e s e le v e ls a r e c a lc u la t e d u s in g L e m m a 3 t o m a t c h t h e 2 0 - y e a r d e fa u lt p r o b a b ilit y o f M o o d y ’s B a r a t e d b o n d s . I t c a n b e c h e c k e d t h a t C o n d it io n 1 is s a t is (cid:12) e d a t e a c h o f t h e b o u n d a r ie s fo r e a c h c a s e c o n s id e r e d . T h e r a t in g b o u n d a r ie s a r e in c r e a s in g in t h e c o r r e la t io n c o e (cid:14) c ie n t , s in c e t h e a s s e t p r o c e s s is e (cid:11) e c t iv e ly m o r e ‘v o la t ile ’. T h e r e fo r e t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt is h it w h e n t h e (cid:12) r m h a s a h ig h e r a s s e t v a lu e . B e c a u s e o f t h e h ig h e r a s s e t v a lu e s a t t h e t im e s t h e o p t io n s b e c o m e e x e r c is a b le , t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e o p t io n s a r e g r e a t e r . 1 0 C o n c l u s i o n a n d E x t e n s i o n s P u t a b le b o n d s g iv e t h e b o n d h o ld e r s t h r e a t e n in g p o w e r t o fo r c e t h e c o m p a n y in t o a r e o r g a n iz a t io n in t im e s o f lo w liq u id it y . W e h a v e u s e d r e c e n t r e s u lt s in b a r g a in in g t h e o r y t o p r o v id e s t r a t e g ic v a lu e s o f p u t a b le b o n d s . I t is s h o w n t h a t t h e s e b o n d h o ld e r s c a n e x t r a c t m o r e t h a n t h e ir in t r in s ic v a lu e s fr o m t h e c o m p a n y . T h e s t r a t e g ic v a lu e s o f t h e s e b o n d h o ld e r s d e p e n d c r u c ia lly o n t h e e (cid:11) e c t iv e liq u id it y - t o - p u t a b le d e b t r a t io o f t h e (cid:12) r m . E v e n w h e n t h e n u m b e r o f b o n d h o ld e r s in c r e a s e s t o in (cid:12) n it y ( a r e a s o n a b le a p p r o x im a t io n fo r p u b lic ly is s u e d b o n d s ) , t h e t w o v a lu e s w ill n o t c o in c id e fo r a n e (cid:11) e c t iv e liq u id it y - t o - p u t a b le d e b t r a t io le s s t h a n o n e . A c a lib r a t io n e x e r c is e s u g g e s t s t h a t a la r g e b o n d h o ld e r h a d a s ig n i(cid:12) c a n t ly h ig h e r s t r a t e g ic v a lu e in a p o is o n p u t in d u c e d c r is is a (cid:11) e c t in g K m a r t C o r p . la s t y e a r . W h ile p r e v io u s r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t in c lu d in g a p u t p r o v is io n in t o b o n d s c a n r e d u c e t h e y ie ld s fo r is s u e r s , t h e r e s e e m s t o b e a p o s s ib ilit y o f a la r g e c o s t o f in c lu d in g s u c h c o v e n a n t s . I n K m a r t ’s c a s e , t h e c r is is w o u ld h a v e b e e n a v o id e d ( t h e b o n d h o ld e r s w o u ld h a v e n e g lig ib le t h r e a t e n in g p o w e r ) if t h e c o m p a n y h a d n o t e n t e r e d in t o s o m e v e r y r e s t r ic t iv e c o v e n a n t s o n t h e u s e o f c a s h w it h t h e ir b a n k s . W h ile it is v e r y c le a r w h y t h e b a n k s w a n t e d s u c h a c o v e n a n t | t h e y d id n o t w a n t a n e (cid:11) e c t iv e v io la t io n o f t h e ir s e n io r it y a n d h e n c e b e le ft a s t h e la s t c la im a n t s in c a s e o f a la r g e d e t e r io r a t io n in t h e (cid:12) r m ’s c r e d it q u a lit y | o u r m o d e l s u g g e s t s t h a t t h e c o m p a n y c o u ld h a v e s a v e d it s e lf o f a c o s t ly p a y o u t b y e it h e r ( a ) is s u in g a ll t h e p u t a b le d e b t t o o n e b o r r o w e r , o r ( b ) h a v in g a lo o s e r c o v e n a n t o n o p t io n b u y b a c k . P r io r t o t h e c r is is , t h e m o d e l s u g g e s t e d is g e n e r a l e n o u g h t o p r ic e d i(cid:11) e r e n t v a r ia t io n s o n 3 3
t h e p o is o n p u t s . I n lig h t o f t h e v a s t h e t e r o g e n e it y in t h e c o n t in g e n c ie s t h a t m ig h t t r ig g e r t h e p u t ( S e c t io n 2 ) , a c a r e fu l a n a ly s is o f t h e c o n t r a c t is e s s e n t ia l fo r a u s e fu l p r ic in g e x e r c is e . T h e p a p e r h a s fo c u s e d o n t h e n e g o t ia t io n t h a t a r is e s b e t w e e n a b o r r o w e r a n d le n d e r s a s a r e s u lt o f t h e b o r r o w e r ’s v io la t io n o f a p a r t ic u la r c o v e n a n t | t h e v a lu e o f it s a s s e t s h it t in g a p r e - s p e c i(cid:12) e d lo w e r b o u n d . T h e n e g o t ia t io n s a r e s u c c e s s fu l if t h e c o m b in e d v a lu e o f t h e p a r t ie s is h ig h e r in c o n t in u a t io n t h a n in a n im m e d ia t e c o s t ly r e o r g a n iz a t io n . T h e b a r g a in in g s o lu t io n e x h ib it s d i(cid:11) e r e n t ia l s t r a t e g ic v a lu e fo r la r g e a n d s m a ll le n d e r s a n d n o n - v a n is h in g s t r a t e g ic v a lu e s fo r le n d e r s e v e n fo r in (cid:12) n it e s im a l le n d e r s . O n e im p o r t a n t e x t e n s io n o f t h is a n a ly s is is t o a n a ly z e t h e r e c o n t r a c t in g p o s s ib ilit ie s t h a t a r is e u p o n t h e v io la t io n o f o t h e r c o v e n a n t s t h a t a r e s e t in b o n d c o n t r a c t s t o m it ig a t e t h e c o n (cid:13) ic t s o f in t e r e s t b e t w e e n s h a r e h o ld e r s a n d b o n d h o ld e r s ( s e e fo r e x a m p le , S m it h a n d W a r n e r 1 9 7 9 ) . T h e c a n a ls o b e e x t e n d e d t o t h e b a n k lo a n a n d p r iv a t e p la c e m e n t m a r k e t s , in w h ic h it is a ls o t y p ic a l fo r le n d e r s t o im p o s e c o v e n a n t s o n t h e (cid:12) r m ’s d e b t a n d fo r t h e p r e v a la n c e o f la r g e p la y e r s o f d i(cid:11) e r e n t s iz e s ( s e e fo r e x a m p le , C a r e y , P r o w s e , R e a a n d U d e ll 1 9 9 3 ) . A s t r a t e g ic v a lu e a p p r o a c h m ig h t p a r t ly e x p la in w h y t h e n a t u r e o f c o v e n a n t s v a r ie s a c r o s s t h e t h r e e t y p e s o f lo a n s . B e c a u s e t h e s o lu t io n p r o p o s e d h o ld s o n ly u n d e r s y m m e t r ic in fo r m a t io n b e t w e e n t h e p a r t ie s in v o lv e d , it s u s e fu ln e s s w o u ld b e lim it e d t o t h e a n a ly s is w h e n t h e c o n t r a c t s b e in g a n a ly z e d h a v e t h is p r o p e r t y . A p p e n d i x . P r o o f o f L e m m a 3 . F ir s t , s u p p o s e t h a t t h e L B O o (cid:11) e r a r r iv e s a t s o m e t im e s 2 [0 ; T ] ( t h e p r o b a b ilit y o f t h is is f ( s j(cid:21) ) = (cid:21) e x p ( (cid:0) (cid:21) s ) ) . T h e n , t h e r e a r e t h r e e m u t u a lly e x c lu s iv e p o s s ib ilit ie s ( p u r e ly fo r e x p o s it io n , t h e s e a r e illu s t r a t e d in F ig u r e 3 ) . W e s h a ll u s e t h e C h a p m a n - K o lm o g o r o v p r o p e r t y o f M a r k o v p r o c e s s e s , a n d t h e in d e p e n d e n c e o f t h e L B O a r r iv a l p r o c e s s fr o m in t e r e s t r a t e a n d a s s e t v a lu e s h o c k s , t o c o m p u t e t h e p r o b a b ilit y P L o f d e fa u lt o f t h e (cid:12) r m b e fo r e m a t u r it y . L e t (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) b e t h e r is k - n e u t r a l p r o b a b ilit y o f d e fa u lt ; it c a n t t P L A L B L C L D L b e w r it t e n a s (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) = (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) + (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) + (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) + (cid:25) ( q ; (cid:23) ; t ; T ) w h e r e t t t t t t t t t t A ; B ; C ; D a r e m u t u a lly e x c lu s iv e e v e n t s t o b e d e s c r ib e d b e lo w . A T y p e A d e fa u lt o c c u r s w h e n t h e a s s e t L p r o c e s s h it s t h e d e fa u lt b a r r ie r b e fo r e s . P a t h s o f T y p e B h a v e (cid:23) (cid:20) V (cid:20) (cid:23) , o r e q u iv a le n t ly 0 (cid:20) q (cid:20) ln ( l ) , s s s s (cid:11) B (cid:12) (cid:11) D + B D w h e r e l = . B e c a u s e t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m is lo w e r t h a n t h e p o s t - L B O d e fa u lt b o u n d a r y , t h e (cid:11) B (cid:11) D + B D L B O is n o t c o n s u m m a t e d , t h e d e fa u lt b o u n d a r y is n o t in c r e a s e d , a n d t h e (cid:12) r m s u b s e q u e n t ly d e fa u lt s w h e n q h it s 0 . P a t h s o f T y p e C , le a d t o a s u c c e s s fu l L B O t r a n s a c t io n a t s a n d a s u b s e q u e n t d e fa u lt w h e n q h it s t t ln ( l ) p r io r t o T . T h e o n ly r e m a in in g p o s s ib ilit y ( e v e n t D ) is t h a t t h e L B O o (cid:11) e r d o e s n o t a r r iv e p r io r t o t h e m a t u r it y o f d e b t , a n d t h e p r o b a b ilit y o f t h e (cid:12) r m d e fa u lt in g is s im p ly t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt in g p r io r t o T w it h o u t a n y c h a n g e in t h e d e fa u lt b a r r ie r . g iv e n b y ( 1 8 ) . N o w u s in g t h e F e y n m a n - K a c s o lu t io n o f t h e b o n d (cid:4) p r ic e a s in L e m m a 2 y ie ld s ( 1 4 ) . P r o o f o f L e m m a 6 . 3 4
n t t u L w a V c B t a m S S c P o rP T h e a m o u n t t o b e s h a r e d b y e q u it y h o ld e r s a n d p u t a b le b o n d h o ld e r s if a s e t t le m e n t is s u c c e s s fu lly K K K K e g o t ia t e d is g iv e n b y (cid:22)v = V (cid:0) B P ( r ; T ) (cid:0) B P ; w h e r e B is p r o v id e d in L e m m a 4 . F o r c o n v e n ie n c e , t (cid:28) P (cid:28) B T P h e a r g u m e n t s o f t h e p r ic e a n d b a n k r u p t c y c o s t fu n c t io n s h a v e b e e n o m it t e d . T h e a m o u n t t o b e s h a r e d b y h e s e p la y e r s in a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n is g iv e n b y E + D = ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:0) B ; w h ic h e q u a ls (cid:28) F (cid:28) F t (cid:28) F P P P ( 1 (cid:0) (cid:8) ) V (cid:0) B f P ( r ; T ) ( 5 9 ) t B (cid:28) P n d e r C o n d it io n 1 ( s e n io r b a n k d e b t is p a id in fu ll if t h e ju n io r d e b t h a s n o n - z e r o r e c o v e r y ) . F o r s it u a t io n s a n d U t h e p r o o f is s t r a ig h t fo r w a r d : U s in g L e m m a 2 , t h e v a lu e o f r e s o u r c e s in c o n t in u a t io n e q u a l K V (cid:0) B P ( r ; T ) (cid:0) B f P ( r ; T ) [ 1 + (cid:25) ( q ; t ; T ) ( (cid:11) (cid:0) 1 ) ]; ( 6 0 ) t (cid:28) B (cid:28) t B P P t V V t t L fo r K = L , a n d q = fo r K = U . B e c a u s e fu t u r e e x p e c t e d b a n k r u p t c y c o s t s in s it u a t io n K h e r e q = t t (cid:23) (cid:23) t t r e s im p ly e q u a l t o (cid:8) t im e s t h e d e fa u lt b o u n d a r y , a n d t h e (cid:12) r m is c u r r e n t ly s o lv e n t ( V > (cid:23) fo r K = U o r t t L > (cid:23) fo r K = L ) it s c u r r e n t b a n k r u p t c y c o s t s ( if it fa ils im m e d ia t le y ) e x c e e d fu t u r e e x p e c t e d b a n k r p u t c y t t K . C o n d it io n 1 im p lie s t h a t t h e v a lu e o f b a n k d e b t ( in c o n t in u a t io n ) is lo w e r t h a n o s t s | o r (cid:8) V > B (cid:28) F P (cid:28) P f P ( r ; T ) , t h e a m o u n t t o b e p a id t o b a n k h o ld e r s im m e d ia t e ly . T h e r e fo r e , t h e q u a n t it y in ( 6 0 ) e x c e e d s B (cid:28) P h e q u a n t it y in ( 5 9 ) . L , t h e s a m e lo g ic W h e n K = P | w h e n t h e L B O o (cid:11) e r h a s n o t y e t a r r iv e d | a n d w h e n V (cid:21) (cid:23) (cid:28) P (cid:28) P L > V > (cid:23) . U n d e r t h e r is k - n e u t r a l s fo r t h e a b o v e c a s e s a p p lie s . T h e c a s e le ft t o c o n s id e r is w h e n (cid:23) (cid:28) (cid:28) P P (cid:28) P e a s u r e Q , n o - a r b it r a g e im p lie s t h a t t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s m u s t s a t is fy V V V (cid:28) (cid:28) t P P P C C L V = [ (cid:25) ( ; (cid:28) ; T ) (cid:0) (cid:25) ( ; (cid:28) ; T ) ] (cid:23) + (cid:25) ( ; t ; T ) (cid:23) + P ( r ; T ) E [V jF ir m is s o lv e n t ]: (cid:28) P P t (cid:28) Q T P P t (cid:23) (cid:23) (cid:23) (cid:28) (cid:28) t P P in c e t h e la s t t e r m is p o s it iv e , V V V (cid:28) t (cid:28) P P C C L P ; (cid:28) ; T ) (cid:0) (cid:25) ( ; (cid:28) ; T ) ] (cid:23) + (cid:25) ( ; t ; T ) (cid:23) V (cid:21) [ (cid:25) ( : P P t (cid:28) P t (cid:23) (cid:23) (cid:23) (cid:28) (cid:28) t P P in c e b a n k r u p t c y c o s t s a r e p r o p o r t io n a l t o t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s a t b a n k r u p t c y , c u r r e n t b a n k r u p t c y (cid:4) o s t s a r e la r g e r t h a n e x p e c t e d fu t u r e b a n k r u p t c y c o s t s , a n d t h e s a m e s t e p s a s fo r t h e o t h e r c a s e s a p p ly . r o o f o f R e s u l t 1 . K K F o llo w in g H a r t a n d M a s - C o le ll ( 1 9 9 6 ) w e d e (cid:12) n e t h e fu n c t io n V ( (cid:1)) , t h a t a s s ig n s a s u b s e t V ( S ) (cid:28) (cid:28) P P S K S f R t o e v e r y c o a lit io n S (cid:26) I . W h e n a ll p la y e r s a r e r is k - n e u t r a l t h e n t h e s e t V ( S ) = f c 2 R : (cid:28) P i K c (cid:20) v ( S ) g , w h e r e v ( S ) is t h e s u m o f t h e r e s o u r c e s a v a ila b le t o t h e p la y e r s in S . T h e r e a r e t h r e e (cid:28) i S P 2 K e q u ir e m e n t s fo r t h e s e t V ( S ) : (cid:28) P 3 5
K K S ( A :1 ) F o r e a c h c o a lit io n S , t h e s e t V ( (cid:1)) is c lo s e d , c o n v e x a n d c o m p r e h e n s iv e ( i.e ., V ( (cid:1)) (cid:0) R (cid:26) (cid:28) (cid:28) + P P K K K S V ( (cid:1)) ) . M o r e o v e r , 0 2 V ( (cid:1)) a n d V ( (cid:1)) R is b o u n d e d . (cid:28) (cid:28) (cid:28) + P P P K ( A :2 ) F o r e a c h c o a lit io n S , t h e b o u n d a r y o f V ( (cid:1)) is s m o o t h a n d n o n le v e l ( i.e . t h e o u t w a r d n o r m a l (cid:28) T P v e c t o r a t a n y p o in t o f t h e b o u n d a r y is p o s it iv e in a ll c o o r d in a t e s ) . K T S K n ( A :3 ) M o n o t o n ic it y : V ( (cid:1)) (cid:2) f 0 g (cid:26) T ( i.e . if o n e c o m p le t e s a v e c t o r in V ( (cid:1)) w it h 0 ’s fo r t h e (cid:28) (cid:28) P P K c o o r d in a t e s in T n S , t h e n o n e o b t a in s a v e c t o r in V ( (cid:1)) ( T ) . (cid:28) P K S i K F o r t h e s e t V ( S ) = f c 2 R : c (cid:20) v ( S ) g , ( A :1 ) a n d ( A :2 ) t r iv ia lly h o ld . F o r ( A :3 ) , it (cid:28) (cid:28) P P i S 2 K K K is r e q u ir e d t h a t v ( S ) (cid:20) v ( T ) w h e n e v e r S (cid:26) T . I t is e v id e n t fr o m t h e d e (cid:12) n t io n o f v t h a t t h e o n ly n o n - (cid:28) (cid:28) (cid:28) P P P P K K m o n o t in ic it e s c a n a r is e w h e n D = T . B y L e m m a 6 , (cid:22)v > E + D , a n d t h e r e fo r e v ( E D ) P (cid:28) F (cid:28) F C P P (cid:28) (cid:28) P P in c r e a s e s a s D c r o s s e s t h e t h r e s h o ld ( D (cid:0) T ) , t h e s m a lle s t le v e l o f c o o p e r a t in g p u t a b le d e b t n e e d e d t o a v o id C S K a n im m e d ia t e r e o r g a n iz a t io n . I f C o n d it io n 1 h o ld s , t h e n D = D f P ( r ; T ) , a n d t h e r e fo r e , v ( D ) (cid:28) F B (cid:28) P P P (cid:28) P 1 6 (cid:4) in c r e a s e s a s D c r o s s e s t h e t r ig g e r le v e l T . P P r o o f o f L e m m a 7 . W e w ill s h o w t h a t t h e m a r g in a l v a lu e o f p la y e r i in a n y c o a lit o n e x c e e d s D f P ( r ; T ) . U n d e r i B (cid:28) P C o n d it io n 1 , ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) im p ly t h a t t h e v a lu e o f a n y p u r e b o n d h o ld e r c o a lit o n w it h d e b t D e q u a ls S D f P ( r ; T ) ; t h e r e fo r e , t h e m a r g in a l c o n t r ib u t io n o f a b o n d h o ld e r w it h d e b t D t o a ll s u c h c o a lit o n s is S D (cid:28) i P D f P ( r ; T ) . N o w c o n s id e r t h e m a r g in a l v a lu e o f t h e b o n d h o ld e r in c o a lit io n s t h a t in c lu d e t h e (cid:12) r m . L e t i B (cid:28) P D b e t h e t o t a l v a lu e o f d e b t o f c o o p e r a t in g b o n d h o ld e r s t h a t in c lu d e s D . I f D (cid:0) D (cid:21) ( D (cid:0) T ) , t h e n C i C i w it h o r w it h o u t t h e c o o p e r a t ia o n o f i , t h e (cid:12) r m n e e d n o t (cid:12) le fo r a r e o r g a n iz a t io n im m e d ia t e ly ; u s in g ( 2 9 ) , t h e m a r g in a l v a lu e o f b o n d h o ld e r i e q u a ls D f P ( r ; T ) . T h e la s t c a s e is w h e n D (cid:0) D < ( D (cid:0) T ) , i B (cid:28) C i P b u t D (cid:21) ( D (cid:0) T ) . I n t h is c a s e , b o n d h o ld e r i is p iv o t a l; u s in g ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) , t h e m a r g in a l v a lu e o f p la y e r C i e q u a ls D (cid:0) D C i K K K + E ]; v [E D ] (cid:0) v [E ( D (cid:0) D ) ] = (cid:22)v (cid:0) ( D (cid:0) D ) f P ( r ; T ) (cid:0) [ D (cid:28) F C C i C D (cid:28) (cid:28) F P P P (cid:28) (cid:28) (cid:28) P P P D K [ [ = (cid:22)v (cid:0) D (cid:0) E + D f P ( r ; T ) ; (cid:28) F (cid:28) F i D (cid:28) P P P (cid:28) P (cid:4) a n d L e m m a 6 im p lie s t h a t t h e la s t q u a n t it y e x c e e d s D f P ( r ; T ) . i D (cid:28) P P r o o f o f L e m m a 8 . V a lu e o f F ir m : 1 C o a lit io n s w it h o u t D : m m 0 0 (cid:20) m < M ; v ( D ) = D f P ( r ; T ) ( 6 1 ) i D (cid:28) P N i= 0 [ T (cid:15) + 1 6 ; T ) , t h e n v ( T + (cid:15) ) = If D < D f P ( r D < T = v ( T ) fo r a s m a ll (cid:15) > 0 . (cid:28) (cid:28) F B (cid:28) F P P P D 3 6
s s p V T t 0 m (cid:21) M ; 1 0 (cid:20) m (cid:20) N (cid:0) M ; 1 m > N (cid:0) M ; T h e c o a lit io n h a s m + 1 m a m e v a lu e , t h e r e fo r e (cid:13) ( N + 2 ; m + 2 1 C o a lit io n s w it h D : 1 0 (cid:20) m < M ; 1 m (cid:21) M ; 0 0 (cid:20) m (cid:20) N (cid:0) M ; 0 m > N (cid:0) M ; T h e c o a lit io n h a s m + 2 m a m e v a lu e , t h e r e fo r e (cid:13) ( N + 2 ; m + r o v id e s t h e e x p r e s s io n fo r t h e s t r a t e a lu e o f t h e L a r g e B o n d h o ld e r : C o a lit io n s w it h o u t E : 0 0 (cid:20) m < M ; 0 m (cid:21) M ; 1 0 (cid:20) m < M ; 1 m (cid:21) M ; h e c o a lit io n h a s m + 1 m e m b e r s a n d N ! h e r e fo r e (cid:13) ( N + 2 ; m + 1 ) (cid:1) N m m ( (cid:0) ) ! ! m v ( D ) = i i= 0 [ m v ( D E ) = i i= 0 [ [ m v ( D E ) = i i= 0 [ [ e m b e r s a n d t h e r e a N N ! ) (cid:1) = N m m N ( (cid:0) ) ! ! ( + m v ( D D i i= 0 [ [ m v ( D D i i= 0 [ [ m v ( D E D i i= 0 [ [ [ m v ( D E D i i= 0 [ [ [ e m b e r s a n d t h e r e a N ! 2 ) (cid:1) = N m m N ( (cid:0) ) ! ! ( g ic v a lu e o f t h e (cid:12) r m m v ( D ) i i= 0 [m v ( D ) i i= 0 [ m 1 v ( D D ) i i= 0 [ [ m 1 v ( D D ) i i= 0 [ [ N ! t h e r e a r e N m m ( (cid:0) ) ! N m (cid:0) + 1 = . N N ( + 2 ) ( + 1 ) 3 7 m N D + m N D + (cid:22)v (cid:28) P N r e N m ( (cid:0) m (cid:0) + 1 N 2 ) ( + 1 ) 1 ) = 1 ) = 1 ) = 1 ) = N r e N m ( (cid:0) m + 1 N + 2 ) ( + . = = = = s u c h c ! D D (cid:28) F P 1 D D D + (cid:28) F P 1 D N (cid:0) ( D + 1 ! s u c h c o m ) ! ! . m ( D + D N m 1 D + D N 1 D + D m 1 D + D N 1 D + D N (cid:22)v (cid:0) ( (cid:28) P ! s u c h c o m ) ! ! . N o w s u b 1 ) m D f P ( r D (cid:28) N m D N D (cid:28) P 1 D + D m 1 D + D ( N m 1 D + D N D 1 D + D o a lit io n s . E a E (cid:28) F P (cid:0) m D ) f P ( r D (cid:28) P N a lit io n s . E a c h o f t 1 ) f P ( r ; T ) D (cid:28) P D (cid:28) F P D + E (cid:28) F (cid:28) F P P (cid:0) m D ) f P ( r D (cid:28) P N a lit io n s . E a c h o f t s t it u t in g ( 6 1 ) - ( 6 ; T ) P F ) f P ( r ; T ) D (cid:28) P (cid:28) F P c h o f t h e s e h a s t h e ; T ) h e s e ; T ) h e s e 8 ) in s a m h h t e a a o v ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) s t h e ( 6 5 ) ( 6 6 ) ( 6 7 ) ( 6 8 ) s t h e ( 3 1 ) ( 6 9 ) ( 7 0 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) a lu e ,
C o a lit io n s w it h E : m m D N 1 D + E ( 7 3 ) 0 (cid:20) m (cid:20) N (cid:0) M ; v ( D E ) = (cid:28) F (cid:28) F i P P 1 D + D i= 0 [ [ m N (cid:0) m 1 1 m > N (cid:0) M ; v ( D D + D ) f P ( r E ) = (cid:22)v ; T ) ( 7 4 ) (cid:0) ( i D (cid:28) (cid:28) P P N i= 0 [ [ m m 1 D + D N 0 1 D + E ( 7 5 ) 0 (cid:20) m (cid:20) N (cid:0) M ; v ( D E D ) = (cid:28) F (cid:28) F i P P 1 D + D i= 0 [ [ [ m N (cid:0) m 0 1 m > N (cid:0) M ; v ( D D ) f P ( r E D ) = (cid:22)v ; T ) ( 7 6 ) (cid:0) ( i D (cid:28) (cid:28) P P N i= 0 [ [ [ N ! T h e c o a lit io n h a s m + 2 m e m b e r s a n d t h e r e a r e s u c h c o a lit io n s . E a c h o f t h e s e h a s N m m ( (cid:0) ) ! ! N m ! + 1 t h e s a m e v a lu e , t h e r e fo r e (cid:13) ( N + 2 ; m + 2 ) (cid:1) = . N o w s u b s t it u t in g ( 6 9 ) - ( 7 6 ) in t o ( 3 1 ) N m m N N ( (cid:0) ) ! ! ( + 2 ) ( + 1 ) p r o v id e s t h e e x p r e s s io n fo r t h e s t r a t e g ic v a lu e o f t h e la r g e b o n d h o ld e r . S in c e t h e s u m o f t h e p la y e r s v a lu e s 1 E D v (cid:30) (cid:30) (cid:22) (cid:0) (cid:0) (cid:28) P (cid:4) e q u a l (cid:22)v , t h e v a lu e o f e a c h o f t h e s m a lle r b o n d h o ld e r s e q u a ls (cid:28) P N P r o o f o f R e s u l t 3 . T h e o p t io n p a y s o (cid:11) w h e n t h e (cid:12) r m ’s c r e d it r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e | w h ic h b y A s s u m p t io n 8 s e t s lo w e r b o u n d s o n t h e v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s in s it u a t io n K , K = P ; L ; U . T h e s e c u r it y t h e r e fo r e K ) a t t h e t im e o f e x e r c is e o f t h e s u p e r p o is o n p u t o p t io n , (cid:28) . L e t E b e t h e e v e n t t h a t p a y s t h e v a lu e f ( V P (cid:28) P t h e (cid:12) r m ’s r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e b e fo r e t h e L B O a r r iv a l. T h e d e n s it y o f a d o w n g r a d e a t a t t im e s 0 r P (cid:21) s (cid:0) is g iv e n b y (cid:25) ( m ; 0 ; s ) , u p o n w h ic h t h e s e c u r it y p a y s f ( V ) . T h e p r o b a b ilit y o f n o L B O b y s is e . 0 P ;s R e c a llin g t h a t t h e L B O p r o c e s s is in d e p e n d e n t o f t h e a s s e t v a lu e a n d in t e g r a t in g t h e p r e s e n t d is c o u n t e d v a lu e fo r s 2 [0 ; T im p lie s ( 4 8 ) . L e t F b e t h e e v e n t t h a t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g h a s a lw a y s r e m a in e d a b o v e s p e c u la t iv e g r a d e u n t il t h e t im e o f t h e L B O , b u t b e c a u s e o f a n in s u (cid:14) c ie n t (cid:12) r m v a lu e t h e L B O d o e s n o t g o t h r o u g h ; s u b s e q u e n t ly t h e r a t in g d r o p s t o s p e c u la t iv e g r a d e w h e n V h it s V a t (cid:28) . T h e L B O is n o t c o n s u m m a t e d if t h e n o r m a liz e d P U ;(cid:28) P r v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s is in ( v ; l ) ; t h e t r a n s it io n d e n s it y o f t h is e v e n t is p ( q ; y ; 0 ; s ) . S u b s e q u e n t ly 0 P t h e (cid:12) r m ’s n o r m a liz e d r a t in g b o u n d a r y is lo w e r e d t o v a n d a n o t h e r a p p e a l t o t h e s p a t ia l h o m o g e n e it y o f U 0 r B r o w n ia n M o t io n im p lie s t h a t t h e d e n s it y o f a r a t in g d o w n g r a d e a ft e r t h e L B O is (cid:25) ( y + v (cid:0) v ; s ; t . N o w U L u s in g t h e d e n s it y o f L B O a r r iv a l a n d in t e g r a t in g p r o v id e s t h e e x p r e s s io n fo r ( 4 9 ) . L e t G b e t h e e v e n t t h a t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g t u r n s fr o m in v e s t m e n t t o s p e c u la t iv e g r a d e a t t h e t im e o f L B O . T h is h a p p e n s if t h e n o r m a liz e d if t h e (cid:12) r m s v a lu e is in [l ; v ]; t h e lo w e r b o u n d e n s u r e s t h a t t h e L B O L is c o n s u m m a t e d , a n d t h e u p p e r t h a t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g im m e d ia t e ly t u r n s t o s p e c u la t iv e g r a d e | le a d in g t o y a n im m e d ia t e p a y o (cid:11) o f t h e s e c u r it y . T h e a c t u a l v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s is e l P ( r ; T ) . N o w p e r fo r m in g t t h e in t e g r a t io n a s fo r t h e o t h e r e v e n t s y ie ld s ( 5 0 ) . T h e la s t p o s s ib ilit y is t h a t t h e L B O is c o n s u m m a t e d 3 8
S b S S d y T a b le 1 : A v e r a g e C u m u la t iv e I n it ia l B o n d R a t in g I n v e s t m e n t - G r a d e A a a A a A B a a S p e c u l a t i v e - G r a d e B a B o u r c e : M o o d y ’s ( 1 9 9 7 ) . u t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g r e m a in e s in v e s t m e n t g r u b s e q u e n t ly , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g t u r n s s p e c u la t in c e t h is r a is e s t h e r a t in g b o u n d a r y a n o t h e r ‘ e n s it y o f t h e r a t in g d o w n g r a d e is (cid:25) ( y (cid:0) ( v U (cid:4) ie ld s ( 5 1 ) . D e fa u lt R a t e s a t V a r io u Y e a r s A ft e r I s s u a n 1 2 5 . 0 . 2 . 8 .0 .0 .1 3 .0 .0 .4 .0 .1 .6 .1 .4 1 .7 3 . 9 7 . 8 1 5 . 4 1 .4 3 .7 1 1 .6 7 .3 1 3 .9 2 9 .5 a d e ; t h is h a p p e n s if t h e iv e g r a d e a ft e r t h e (cid:12) r m s r a p p e a l t o s p a t ia l h o m (cid:0) v ) ; 0 ; s ; t ) . A g a in p e r P 3 9 s H o r iz o n s ( P e r c e n t ) c e o f B o n d 1 0 2 0 2 . 4 6 . 6 .7 2 .0 1 .1 2 .7 1 .8 5 .0 4 .6 1 1 .7 2 6 . 1 4 1 . 3 2 0 .9 3 7 .8 4 4 .3 5 2 .9 (cid:12) r m ’s n o r m a liz e d v a lu e is v a lu e h it s t h e u p p e r r a t in g o g e n e it y im p lie s t h a t t h e s fo r m in g a n in t e g r a t io n o v e r a b u t b o b o u s 2 v e v L n d a r y e q u e n [0 ; T . . t ]
T a b T a b le 2 : M a r k e t V a lu e o f A s s e t s , C r e d it R a t in g a n d t h e V a lu e o f O p t io n s o o A s s e t s (cid:25) R a t in g I V S V I V S V 2 0 2 5 :2 3 B a a 2 :0 0 6 :0 8 2 :1 9 3 2 :6 2 6 0 :1 1 B a a 1 :0 0 4 :0 6 6 :0 9 8 1 :4 3 1 2 0 :0 5 A :0 0 2 :0 3 8 :0 4 8 :7 7 1 9 0 :0 2 8 A a :0 0 1 :0 2 3 :0 2 8 :4 8 2 4 0 :0 2 0 A a a :0 0 1 :0 1 7 :0 2 1 :3 7 T h e m a r k e t v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s a s s e t s a r e in t h e (cid:12) r s t c o lu m n . (cid:25) is t h e 2 0 -y e a r p r o b a b ility 2 0 o f d e fa u lt s t a r t in g w it h t h e a s s e t v a lu e a s s h o w n , c a lc u la t e d u s in g L e m m a 3 . T h is d e fa u lt o r a t e is u s u a lly a s s o c ia t e d w it h a M o o d y ’s r a t in g s h o w n in t h e fo llo w in g c o lu m n . I V o a n d S V g iv e t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e o f O r d in a r y P o is o n P u t s . I V a n d S V g iv e t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e o f S u p e r P o is o n P u t s . T h e v a lu e s o f t h e s e s e c u r it ie s a r e c a lc u la t e d u s in g R e s u lt s 3 a n d 4 . T h e p a r a m e t e r s fo r t h e p r o b le m a r e (cid:26) = 0 , (cid:27) = :3 , V N (cid:21) = :0 3 , B = 5 :1 , D = 4 :3 , a n d D = :5 5 ; ( 6 ) a n d ( 7 ) im p ly t h a t (cid:23) = 1 8 :3 2 , a n d 4 4 :7 6 . le 3 : C o r r e la t io n B e t w e e n A s s e t V a lu e a n d S h o r t - T e r m I n t e r e s t R a t e a n d t h e V a lu e o f O p t io o o (cid:26) (cid:25) v v v I V S V I V S V 2 0 U P L (cid:0) :3 :1 1 0 3 7 :7 4 1 :6 9 4 :2 :0 0 2 :0 3 0 :0 8 9 1 :2 2 (cid:0) :2 :1 2 2 3 9 :7 4 3 :9 9 9 :3 :0 0 3 :0 4 3 :1 0 6 1 :3 9 (cid:0) :1 :1 3 3 4 1 :9 4 6 :3 1 0 4 :9 :0 0 4 :0 5 0 :1 1 9 1 :5 2 :0 :1 4 5 4 5 :2 4 8 :9 1 1 2 :5 :0 0 5 :0 7 5 :1 2 2 1 :7 3 :1 :1 5 7 5 1 :8 4 6 :5 1 1 6 :1 :0 0 6 :0 8 6 :1 3 6 1 :8 9 :2 :1 6 8 5 5 :1 4 8 :8 1 2 2 :2 :0 0 7 :1 0 2 :1 4 4 2 :0 6 T h e m a r k e t v a lu e o f a s s e t s in t h e e x a m p le is $ 4 5 b . (cid:25) is t h e 2 0 -y e a r p r o b a b ility o f d e fa u lt s t a r t in g w it h 2 0 t h e a s s e t v a lu e a s s h o w n . T h e o p t io n s p a y o (cid:11) w h e n t h e r a t in g s d e c lin e t o B a o n M o o d y ’s r a t in g s c a le , w h ic h u s u a lly c o r r e s p o n d s t o a 2 0 -y e a r p r o b a b ility o f d e fa u lt o f 3 7 .8 % . F o r e a c h d i(cid:11) e r e n t (cid:26) , t h e v , fo r K . K = P ; L ; U a r e c a lc u la t e d t o im p ly t h is p r o b a b ility o f d e fa u lt w h e n t h e a s s e t v a lu e in s it u a t io n K h it s v K o o I V a n d S V g iv e t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e o f O r d in a r y P o is o n P u t s . I V a n d S V g iv e t h e in t r in s ic a n d s t r a t e g ic v a lu e o f S u p e r P o is o n P u t s .T h e v a lu e s o f t h e s e s e c u r it ie s a r e c a lc u la t e d u s in g R e s u lt s 3 a n d N 4 . T h e c o m m o n p a r a m e t e r s fo r e a c h c a s e a r e , (cid:27) = :3 , (cid:21) = :0 3 , B = 5 :1 , D = 4 :3 , a n d D = :5 5 . ( 6 ) V a n d ( 7 ) im p ly t h a t (cid:23) = 1 8 :3 2 , a n d 4 4 :7 6 . 4 0 n s
F ig u r e 1 : A c q u is it io n A c t iv it y a n d P o is o n P u t I s s u a n c e Number of Completed Mergers Volume of Merger Activity Billions of 1995 dollars 2400 400 Nonfinancial Jan-Sep* 350 Jan-Sep* 1800 Value of equity retired 300 250 1200 200 150 600 100 50 0 0 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 * At an annual rate * At an annual rate. Source. Securities Data Company. Number of Completed LBO and Completed Aquisitions by LBO Firms and Investor Group Aquistions Investor Groups1 Billons of Dollars 240 80 180 60 120 40 Jan-Sep* Jan-Sep* 60 20 0 0 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 * At an annual rate 1. LBO firms were identified by the Securities Data Company. * At an annual rate. Source. Securities Data Comapny New Commitments to Non-Venture Private Public Issuance of Poison Put Bonds Equity Partnerships Billions of Dollars Billions of dollars 35 45 Jan-Sep* 30 Investment Grade Bonds 40 35 Speculative Grade Bonds 25 30 20 25 15 20 15 10 10 5 5 0 0 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1991 1993 1995 1997* * At an annual rate. * At an annual rate. Source: The Private Equity Analyst Source. Securities Data Company. T c t o p t h e o m h e f n a n h e m e p a n a c q o n (cid:12) e ls . b o t r g e r s e r ie s in t h ie s . T h e d a r k p u is it io n ; t h e r e m n a n c ia l t a r g e t s F u n d s r a is e d b t o m le ft p a n e l. e t o p p a n e ls r e p o r t io n in t h e t o a in d e r o f t h e d t h a t w e r e a c q u y n o n - v e n t u r e p T h e fa c e v a lu e > r e s e n t t h e m a jo r it y ( 5 0 % ) a c q u is it io n o f p u b lic a n p r ig h t p a n e l r e p r e s e n t s t h e e q u it y o f t h e t a r g e t c o m e a l v a lu e w a s p a id in t h e s t o c k o f t h e a c q u ir e r . T h e ir e d b y e it h e r L B O (cid:12) r m s o r p r iv a t e in v e s t o r g r o u p r iv a t e e q u it y in v e s t o r s | w h ic h in c lu d e s p e c ia lis t L o f P o is o n P u t b o n d s is s u e d in t h e 1 9 9 0 s is s h o w n in 4 1 d p r iv a t e U p a n y r e t ir n u m b e r a n s a r e s h o w B O (cid:12) r m s t h e b o t t o .S e d d n | m . n a s t h e in a r r ig o n (cid:12) n a n c ia l a r e s u lt o f d e a l v a lu e t h e m id d le e s h o w n in h t p a n e l.
F ig u r e 2 : K m a r t ’s M a r k e t S t a t is t ic s Kmart Stock Price Yield Spread on Kmart Bonds 24 12 20 10 8 16 6 12 Oct. 4 8 Oct. 2 4 0 1994 1995 1996 1997 1994 1995 1996 1997 Actual 30-day Volatility for Kmart Stock Implied Volatility from Kmart Put Options 120 120 100 100 Oct. 80 80 60 60 Oct. 40 40 20 20 0 0 1994 1995 1996 1997 1994 1995 1996 1997 S o u r p a n e in t h p a n e in d ic c e : B lo o m b e r l is t h e y ie ld o e b o t t o m le ft l, is t h e a v e r a a t e in c r e a s e d g F in a n c ia l M a r k e t 1 n K m a r t ’s 8 c o u p o 4 p a n e l is a 1 0 - d a y m g e B la c k - S c h o le s im m a r k e t u n c e r t a in t y F ig u r e 3 : T h s . T h e s e r ie s n b o n d s m in u o v in g a v e r a g e p lie d v o la t ilit a r o u n d D e c e e E (cid:11) e c t o f a a s o ie m n b o v t h e f s q s o n b e r L B e a r e m o n t h a v e r a g e m o n u a r e d r e t u r n s h o r t - t e r m 1 9 9 5 . O o n t h e P ly t h s . a t r o a v ly I m - t h b a e r a g e s F e d e r a p lie d e - m o n b ilit y . T l F u v o la e y o o f D h n t p e y ie ld s p r e d s r a t e . T h ilit y , s h o w n t io n s . E a c h e fa u lt a d e v in o f in o la t t h e t h e t h e ilit y b o t s e r t o p r e s t im t o m r ie s s h ig a ig o w h t t e h t n qt C ln(l) A B 0 s T Time T o t s o L p h r o . f B a e (cid:12) r m d e fa u lt s o n a ll it s lia b ilit ie s w V t q e q u iv a le n t ly w h e n t (cid:17) ln h it s (cid:23) t (cid:16) (cid:17) L (cid:23) , g iv e n in ( 7 ) . T h e t im e o f t h e L B t s ; T F o r e v e r y 2 [0 ], t h e r e a r e t h r e e (cid:23) T y p e A ; p a t h s o f T y p e B h a v e s (cid:20) O is n o t c o n s u m m a t e d , t h e d e fa u lt t h s o f T y p e C , le a d t o a s u c c e s s fu l L V h e n t h e v a lu e o f it s a s s e t s , t , h it s t h e s t o c h a s t ic b o u n d z e r o . I f t h e (cid:12) r m is p u r c h a s e d in a L B O t r a n s a c t io n , t h e O is s t o c h a s t ic ; in t h e (cid:12) g u r e it is a s s u m e d t h a t t h e L B q t y p e s o f a s s e t p a t h s t h a t le a d t o d e fa u lt : t h it s 0 p r io (cid:11) B L B V (cid:23) q l l s (cid:20) , o r e q u iv a le n t ly 0 (cid:20) s (cid:20) ln ( ) , w h e r e = s (cid:11) B B b o u n d a r y is n o t in c r e a s e d , a n d t h e (cid:12) r m d e fa u lt s w h e n s q B O t r a n s a c t io n a t a n d a s u b s e q u e n t d e fa u lt w h e n t 4 2 a b O r + + q h (cid:23) r y t , g iv e n in ( 6 ) | o u n d a r y is in c r e a s e d o (cid:11) e r a r r iv e s a t t im e t o t h e L B O in p a t h s (cid:12) (cid:11) D D , t h e r e fo r e , t h e (cid:11) D D T t > s t h it s 0 , (cid:21) ; l T it s ln ( ) p r io r t o .
A ( s s 1 (cid:0) e t s (cid:8) S J B S ) F ig u r e 4 : A n a t o m y o f A P u t B o n d I n d u c e d F in a n c ia l C r is is V a lu e o f C la im s In A n Im m e d ia t e R e o r g a n iz a t io n A s s e t s L ia b ilit ie s (cid:28) F (cid:28) B (cid:28) P B V ; B f P r ; (cid:28) ; T N o n -P u t a b le S e n io r D e b t : P = m in ( 1 (cid:8) ) P ( P ) f (cid:0) g N D N N (cid:28) (cid:28) F D (cid:28) P V B ; D f P r ; (cid:28) ; T D m in ( 1 (cid:8) ) P P ( P ) = N o n -P u t a b le J u n io r D e b t : f (cid:0) (cid:0) g (cid:28) F D D P + D N (cid:28) (cid:28) F D (cid:28) P (cid:28) F V B ; D f P r ; (cid:28) ; T D m in ( 1 (cid:8) ) P P ( P ) P u t a b le D e b t : P = f (cid:0) (cid:0) g D D + (cid:28) F (cid:28) (cid:28) F (cid:28) F E V B D S h a r e h o ld e r E q u ity : P = P P P (cid:0) (cid:0) (cid:28) (cid:28) V V ( 1 (cid:8) ) P ( 1 (cid:8) ) P (cid:0) (cid:0) 6 B a la n c e S h e e t a t T im e o f C r is is ( M a r k e t -V a lu e ) A s s e t s L ia b ilit ie s B B P N o n -P u t a b le S e n io r D e b t : N D D P N o n -P u t a b le J u n io r D e b t : D D P P u t a b le D e b t : E S h a r e h o ld e r E q u ity : (cid:28) (cid:28) V V P P ? B a la n c e S h e e t ( M a r k e t -V a lu e ) A ft e r S u c c e s fu l O p t io n s T r a n s a c t io n A s s e t s L ia b ilit ie s B B P S e n io r D e b t : N C D D D P J u n io r D e b t : ( + ) P C D X B a il-O u t L o a n : + E S h a r e h o ld e r E q u ity : (cid:28) (cid:28) V V P P @ (cid:0) @ (cid:0) (cid:0) @ @ (cid:0) ( 1 (cid:5) ) (cid:5) (cid:0) @ (cid:0) @ (cid:0) (cid:0) @ @R (cid:0)(cid:9) B a la n c e S h e e t ( M a r k e t -V a lu e ) in S o lv e n t S t a t e R e c o v e r ie s in In s o lv e n t S t a t e L ia b ilit ie s A s s e t s L ia b ilit ie s T F B B T S B B (cid:11) B f B B f e n io r D e b t : = S e n io r D e b t : = N N T F D C D T S C D D (cid:11) D D f D D D f u n io r D e b t : = ( + ) J u n io r D e b t : = ( + ) T F T S P C L L D X f a il-O u t L o a n : = 0 B a il-O u t L o a n : = ( + ) (cid:1) T F E (cid:28) T S T T S E (cid:11) V E V B D h a r e h o ld e r E q u ity : = ( 1 (cid:8) ) D S h a r e h o ld e r E q u ity : = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:28) (cid:28) T T V V V V D ( 1 (cid:8) ) D (cid:0) 4 3 L T S (cid:0) L T S
F B ig u o n r d e 5 : P r o p o r t io n o f C o a lit io n s T h a t A v o id A R e o r g a n iz a t io n a n d S t r a t e g ic V a lu e P e r D o lla r o f P u t a b le 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 Number of Bondholders ,eulaV ,noitroporP 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 Number of Bondholders Option Value noitroporP ,ralloD reP eulaV 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 Number of Bondholders Bondholders eulaV ,noitroporP Firm T in T h e ( = 3 s t r a 3 ) . :1 , t e T E a g ic v a lu e o h e fo llo w in (cid:28) F = 2 , P ll c o a lit io n f g a s t h e p la p a r a m (cid:25) n d T ( in c lu d y e r s a r e e t e r s d e : = 2 5 . in g t h e c a lc u la t e s c r ib e t h e T h e p r o p (cid:12) r m ) in w d a s s h o w p r o b le m o r t io n s h h ic h t h e n in L v : (cid:22) = o w n o n (cid:12) r m r e 4 4 e m m D 3 , t h e a c h e a a s 2 . T : = 5 x e s e a s e t h e f , q u t le D a m s t r a t e g ic v : P = 2 5 , c M ls ; it N + 1 e n t a n d a a lu e o f r ; T ( (cid:28) P r e p r e s e v o id s b t h e ) = n t s a n k o p t io : D 4 , t h e p r u p t c n (cid:28) P r o y . is F p o d r e (cid:12) = t io n n e d :5 , o f
F ig u r e 6 : O n e L a r g e a n d O n e S m a ll B o n d h o ld e r 3.7 3.65 3.6 3.55 3.5 3.45 3.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Trigger eulaV 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Trigger Firm ralloD reP eulaV 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Trigger Large Bondholder ralloD reP eulaV Small Bondholder T h e in E (cid:28) s t ( 3 F P r 3 a ) t . = e g T ic h e 3 , v a a lu e fo llo w (cid:25) n d o T f in t g = h e p p la y a r a m :2 5 . e r s a r e t e r s T h e (cid:12) e d g c a lc u e s c r ib u r e s s la t e d e t h e h o w t a p h s r e s h o b v a D o w n in v le m : (cid:22) lu e s o f 1 D + 4 5 L e m = t h e . m 5 , p a D la y 8 e . = r s T h :3 a s e , t s D h t r 1 e a t t e g ic : = 6 r ig g e v a lu e f , D = r le v e l o f is t h e : 2 5 , in c r o p t io P r ( (cid:28) P e a s e d n is ; T ) fr o m d e (cid:12) n : = 4 0 t e , o d
F ig u r e 7 : O n e L a r g e a n d S e v e r a l S m a ll B o n d h o ld e r 3.38 3.36 3.34 3.32 3.3 3.28 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders eulaV Case (i) Firm 3.55 3.54 3.53 3.52 3.51 3.5 3.49 3.48 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders eulaV Case (ii) Firm 3.82 3.8 3.78 3.76 3.74 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders eulaV 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders Case (iii) Firm ralloD reP eulaV Case (i) Small Bondholder 0.625 0.6 0.575 0.55 0.525 0.5 0.475 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders ralloD reP eulaV Case (ii) Small Bondholder 0.5 0.48 0.46 0.44 0.42 0.4 0.38 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders ralloD reP eulaV 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders Case (iii) Small Bondholder ralloD reP eulaV Case (i) Large Bondholder 1 0.9 0.8 0.7 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders ralloD reP eulaV Case (ii) Large Bondholder 0.25 0.225 0.2 0.175 0.15 0.125 0.1 0 5 10 15 20 25 30 Number of Bondholders ralloD reP eulaV Case (iii) Large Bondholder T in E D I n h ( (cid:28) P + C e s t r a t e g ic v a lu e o f 3 3 ) . T h e fo llo w in g (cid:25) F = 3 , a n d T = 1 D . T h e n u m b e r o T : a s e ( i) = 2 , in C t h e p la y e r s p a r a m e t e r s :2 5 . T h e f s m a ll b o n T a s e ( ii) = a r e c a lc u la t e d a s s h o w n in v d e s c r ib e t h e p r o b le m : (cid:22) (cid:12) g u r e s s h o w t h e v a lu e s o d h o ld e r s is a llo w e d t o v a r y : T 4 , a n d in C a s e ( iii) = 4 6 L e m = 5 f t h e b e t w :7 . , m a D p la e e n 8 . T = y e r s 1 a n h :6 a d e , s 3 s t r a D 1 t h e 0 . T t e g ic : = 3 t r ig g e h r e e v a lu e o f , D = r le v e l s e p a r a t f is e t h e o p t io : P r 2 5 , ( in c r e a s e c a s e s a r e n (cid:28) P d c is d e ; T ) fr o m o n s id (cid:12) = e n e d :4 , 0 t o r e d :
F ig u r e 8 : P a y o (cid:11) s o f A S u p e r P o is o n P u t B o n d q t H _v L G ln(l) E _vP F _v U 0 s T Time T b b T e t o f h u U (cid:12) (cid:12) K V h e (cid:12) r m ’s r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e in t h e s it u a t io n w h e n t h e v a lu e o f it s a s s e t s , t , h it s t h e s t o c h a s t ic r a t in g V t V K P L U q v o u n d a r y , fo r | o r e q u iv a le n t ly t = ln h it s . W h e n t h e (cid:12) r m ’s v a lu e h it s t h is lo w e r K t K (cid:23) P r ;T ( ) t (cid:16) (cid:17) o u n d t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt in g a t d i(cid:11) e r e n t t im e h o r iz o n s m a t c h e s t h e d e fa u lt r a t e o f B a - r a t e d (cid:12) r m s b y M o o d y ’s . f V h e v a lu e o f a s e c u r it y t h a t p a y s t h e v a lu e ( (cid:28) ) c a n b e w r it t e n a s t h e s u m o f it s v a lu e s in fo u r m u t u a lly e x c lu s iv e P H G F E f E f P f P f P P f P ( ) . I n e v e n t , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g h it s s p e c u la t iv e g r a d e b e fo r e ( ) + ( ) + ( ) + v e n t s , i.e . ( ) = 0 0 0 0 0 F h e L B O a r r iv a l. I n e v e n t , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g r e m a in s a b o v e s p e c u la t iv e g r a d e u n t il t h e t im e o f t h e L B O , b u t b e c a u s e f a n in s u (cid:14) c ie n t (cid:12) r m v a lu e , t h e L B O d o e s n o t g o t h r o u g h ; s u b s e q u e n t ly , t h e r a t in g d r o p s t o s p e c u la t iv e g r a d e w h e n q v G t g h it s . I n e v e n t , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g t u r n s fr o m in v e s t m e n t t o s p e c u la t iv e g r a d e a t t h e t im e o f L B O . T h is U l ; v a p p e n s if t h e n o r m a liz e d (cid:12) r m v a lu e is in [ln ( ) ]; t h e lo w e r b o u n d e n s u r e s t h a t t h e L B O is c o n s u m m a t e d , a n d t h e L p p e r t h a t t h e (cid:12) r m ’s r a t in g im m e d ia t e ly t u r n s t o s p e c u la t iv e g r a d e | le a d in g t o a n im m e d ia t e p a y o (cid:11) o f t h e s e c u r it y . H n d e r e v e n t , t h e (cid:12) r m ’s r a t in g r e m a in s in v e s t m e n t g r a d e u n t il t h e L B O a r r iv a l, t h e L B O is c o n s u m m a t e d b u t t h e v r m ’s r a t in g r e m a in s in v e s t m e n t g r a d e ; t h is h a p p e n s if t h e (cid:12) r m ’s n o r m a liz e d v a lu e is a b o v e . S u b s e q u e n t ly , t h e L q v r m ’s r a t in g t u r n s s p e c u la t iv e g r a d e a ft e r f t g h it s . L 4 7
R A A B B B B C C C C D D D e f e r e n c e s i v a z i a n , V a r o u j A . a n d J e (cid:11) r e y L . C a l l e n , \ R e o r g a n iz a t io n in B a n k r u p t c y a n d t h e I s s u e o f S t r a t e g ic J o u r n a l o f B a n k in g a n d F in a n c e 7 R is k ," , 1 9 8 3 , , 1 1 9 { 1 3 3 . n d e r s o n , R o n a l d W . a n d S u r e s h S u n d a r e s a n T h e R e v ie w , \ D e s ig n a n d V a lu a t io n o f D e b t C o n t r a c t s ," o f F in a n c ia l S t u d ie s 9 , 1 9 9 6 , ( 1 ) , 3 7 { 6 8 . e r g m a n , Y a c o v Z . a n d J e (cid:11) r e y L . C a l l e n , \ O p p o r t u n is t ic U n d e r in v e s t m e n t in D e b t R e n e g o t ia t io n a n d J o u r n a l o f F in a n c ia l E c o n o m ic s 2 9 C a p it a l S t r u c t u r e ," , 1 9 9 1 , , 1 3 7 { 1 7 1 . l a c k , F i s c h e r a n d J o h n C . C o x , \ V a lu in g C o r p o r a t e S e c u r it ie s : S o m e E (cid:11) e c t s o f B o n d I n d e n t u r e T h e J o u r n a l o f F in a n c e 3 1 P r o v is io n s ," , 1 9 7 6 , , 3 5 1 { 3 6 7 . r e n n a n , M i c h a e l J . a n d E d u a r d o S . S c h w a r t z T h e , \ O p t im a l F in a n c ia l P o lic y a n d F ir m V a lu a t io n ," J o u r n a l o f F in a n c e 3 9 , 1 9 8 4 , ( 3 ) , 5 9 3 { 6 0 7 . , J e r o m e D e t e m p l e , a n d A v n e r K a l a y , \ B o n d C o v e n a n t s a n d t h e V a lu a t io n o f R is k y D e b t : A N e w A p p r o a c h ," F ir s t B o s t o n W o r k in g P a p e r S e r ie s F B 9 0 - 0 1 , G r a d u a t e S c h o o l o f B u s in e s s , C o lu m b ia U n iv e r s it y N o v e m b e r 1 9 8 9 . r i y s , E r i c a n d F r a n c o i s d e V a r e n n e J o u r n a l o f , \ V a lu in g R is k y F ix e d R a t e D e b t : A n E x t e n s io n ," F in a n c ia l a n d Q u a n t a t iv e A n a ly s is 3 3 , 1 9 9 7 , ( 2 ) , 2 3 9 { 2 4 8 . a r e y , M a r k , S t e p h e n P r o w s e , J o h n R e a , a n d G r e g o r y U d e l l , \ T h e E c o n o m ic s o f P r iv a t e P la c e m e n t s : A N e w L o o k ," F in a n c ia l M a r k e t s , I n s t it u t io n s & I n s t r u m e n t s 3 , N e w Y o r k U n iv e r s it y , S a lo m o n C e n t e r 1 9 9 3 . h a n , K . C . , G . A n d r e w K a r o l y i , F r a n c i s A . L o n g s t a (cid:11) , a n d A n t h o n y B . S a n d e r s , \ A n E m p ir ic a l T h e J o u r n a l o f F in a n c e 4 7 C o m p a r is o n o f A lt e r n a t iv e M o d e ls o f t h e S h o r t - T e r m I n t e r e s t R a t e ," , 1 9 9 2 , ( 3 ) , 1 2 0 9 { 1 2 2 7 . o o k , D o u g l a s O . a n d J o h n C . E a s t e r w o o d , \ P o is o n P u t B o n d s : A n A n a ly s is o f T h e ir E c o n o m ic T h e J o u r n a l o f F in a n c e 4 9 R o le ," , 1 9 9 4 , ( 5 ) , 1 9 0 5 { 1 9 2 0 . r a b b e , L e l a n d , \ E v e n t R is k : A n A n a ly s is o f L o s s e s t o B o n d h o ld e r s a n d \ S u p e r P o is o n P u t " B o n d T h e J o u r n a l o f F in a n c e 4 6 C o v e n a n t s ," , 1 9 9 1 , , 6 8 9 { 7 0 6 . e g r o o t , M o r r i s H . P r o b a b ilit y a n d S t a t is t ic s , , A d d is o n - W e s le y , R e a d in g , M a s s a c h u s e t t s , 1 9 8 5 . u (cid:14) e , D a r e l l a n d K e n n e t h J . S i n g l e t o n , \ M o d e lin g t h e T e r m S t r u c t u r e o f D e fa u lt a b le B o n d s ," M a r c h 1 9 9 5 . u (cid:14) e , D a r r e l l D y n a m ic A s s e t P r ic in g T h e o r y , , P r in c e t o n U n iv e r s it y P r e s s , P r in c e t o n , N e w J e r s e y , 1 9 9 2 . 4 8
D F F H H H J L L M M M M N u n n , K e n n e t h B . a n d C h e s t e r S . S p a t t J o u r n a l o f , \ A S t r a t e g ic A n a ly s is o f S in k in g F u n d B o n d s ," F in a n c ia l E c o n o m ic s 1 3 , 1 9 8 4 , ( 3 ) , 3 9 9 { 4 2 3 . e n n , G e o r g e W . , N e l l i e L i a n g , a n d S t e p h e n P r o w s e , \ T h e P r iv a t e E q u it y M a r k e t : A n O v e r v ie w ," F in a n c ia l M a r k e t s , I n s t it u t io n s & I n s t r u m e n t s 4 , N e w Y o r k U n iv e r s it y , S a lo m o n C e n t e r 1 9 9 7 . r a n k s , J u l i a n a n d W a l t e r T o r o u s T h e , \ A n E m p ir ic a l I n v e s t ig a t io n o f F ir m s in R e o r g a n iz a t io n ," J o u r n a l o f F in a n c e 4 4 , 1 9 8 9 , , 7 4 7 { 7 7 9 . a r r i s o n , J . M i c h a e l B r o w n ia n M o t io n a n d S t o c h a s t ic F lo w S y s t e m s , , J o h n W ile y a n d S o n s , N e w Y o r k , 1 9 8 5 . a r s a n y i , J o h n C . , \ T h e S h a p le y V a lu e a n d t h e R is k D o m in a n c e S o lu t io n s o f T w o B a r g a in in g M o d e ls E s s a y s in G a m e T h e o r y a n d fo r C h a r a c t e r is t ic - F u n c t io n G a m e s ," in R o b e r t J . A u m a n n n e t a l., e d ., M a t h e m a t ic a l E c o n o m ic s , M a n n h e im : B ib lio g r a p h is c h e s I n s t it u t M a n n h e im , 1 9 8 1 . a r t , S e r g i u a n d A n d r e u M a s - C o l e l l E c o n o m e t r ic a 6 4 , \ B a r g a in in g a n d V a lu e ," , 1 9 9 6 , ( 2 ) , 3 5 7 { 3 8 0 . o n e s , E . P h i l l i p , S c o t t P . M a s o n , a n d E r i c R o s e n f e l d , \ C o n t in g e n t C la im s A n a ly s is o f C o r p o r a t e T h e J o u r n a l o f F in a n c e 3 9 C a p it a l S t r u c t u r e s : a n E m p ir ic a l I n v e s t ig a t io n ," , 1 9 9 4 , ( 3 ) , 6 1 1 { 6 2 5 . e l a n d , H a y n e E . T h e J o u r n a l , \ C o r p o r a t e D e b t V a lu e , B o n d C o v e n a n t s , a n d O p t im a l C a p it a l S t r u c t u r e ," o f F in a n c e 4 9 , 1 9 9 4 , , 1 2 1 3 { 1 2 5 2 . a n d K l a u s B . T o f t , \ O p t im a l C a p it a l S t r u c t u r e , E n d o g e n o u s B a n k r u p t c y , a n d t h e T e r m S t r u c t u r e T h e J o u r n a l o f F in a n c e 5 1 o f C r e d it S p r e a d s ," , 1 9 9 6 , ( 3 ) , 9 8 7 { 1 0 1 9 . o n g s t a (cid:11) , F r a n c i s A . a n d E d u a r d o S . S c h w a r t z , \ A S im p le A p p r o a c h t o V a lu in g R is k y F ix e d a n d T h e J o u r n a l o f F in a n c e 5 0 F lo a t in g R a t e D e b t ," , 1 9 9 6 , , 7 8 9 { 8 1 9 . a d a n , D i l i p B . a n d H a l u k U n a l , \ P r ic in g t h e R is k s o f D e fa u lt ," 1 9 9 4 . e l l a - B e r r a l , P i e r r e a n d W i l l i a m P e r r a u d i n T h e J o u r n a l o f F in a n c e , \ S t r a t e g ic D e b t S e r v ic e ," , 1 9 9 7 , 5 2 ( 2 ) , 5 3 1 { 5 5 6 . e r t o n , R o b e r t C . T h e , \ O n t h e P r ic in g o f C o r p o r a t e D e b t : T h e R is k S t r u c t u r e o f I n t e r e s t R a t e s ," J o u r n a l o f F in a n c e 2 9 , 1 9 7 4 , , 4 4 9 { 4 7 0 . o o d y ’ s , I n v e s t o r S e r v i c e , \ H is t o r ic a l D e fa u lt R a t e s o f C o r p o r a t e B o n d I s s u e r s ," G lo b a l C r e d it R e s e a r c h 1 9 9 7 . a s h , R o b e r t , J e (cid:11) r y M . N e t t e r , a n d A n n e t t e B . P o u l s e n , \ D e t e r m in a n t s o f C o n t r a c t u a l R e la t io n s B e t w e e n S h a r e h o ld e r s a n d B o n d h o ld e r s | I n v e s t m e n t O p p o r t u n it ie s a n d R e s t r ic t iv e C o v e n a n t s ," M a r c h 1 9 9 7 . 4 9
O R S S V W W W W W Z s t r o y , J o s e p h M . E c o n o m e t r ic a , \ A R e fo r m u la t io n o f t h e M a r g in a l P r o d u c t iv it y T h e o r y o f D is t r ib u t io n ," 5 2 1 9 8 4 , , 5 9 9 { 6 3 0 . u b i n s t e i n , A r i e l E c o n o m e t r ic a 5 0 , \ P e r fe c t E q u ilib r iu m in a B a r g a in in g M o d e l," , 1 9 8 2 , , 9 7 { 1 0 9 . m i t h , C l i (cid:11) o r d W . a n d J e r o l d B . W a r n e r J o u r n a l o f F in a n c ia l E c o , \ O n F in a n c ia l C o n t r a c t in g ," n o m ic s 7 , 1 9 7 9 , , 1 1 7 { 1 6 1 . u t t o n , J o h n R e v ie w o f E c o n o m ic S t u d ie s , \ N o n - C o o p e r a t iv e B a r g a in in g T h e o r y : A n I n t r o d u c t io n ," , 1 9 8 6 p p . 7 0 9 { 7 2 4 . a s i c e k , O l d r i c h J o u r n a l o f F in a n c ia l E c o , \ A n E q u ilib r iu m C h a r a c t e r iz a t io n o f t h e T e r m S t r u c t u r e ," n o m ic s 5 , 1 9 7 7 , , 1 7 7 { 1 8 8 . a r g a , A r t h u r a n d I v o W e l c h T h e R e v ie w o f F in a n c ia , \ B o n d h o ld e r L o s s e s in L e v e r a g e d B u y o u t s ," S t u d ie s 6 , 1 9 9 3 , ( 4 ) , 9 5 9 { 9 8 2 . e b e r m a n , B e n F o r b e s m a g a z in e , \ O n e M a n ’s P o is o n ," , 1 9 8 8 , ( 2 2 ) , 1 1 7 . e i s s , L a w e r e n c e A . J o u r n a , \ B a n k r u p t c y R e s o lu t io n . D ir e c t C o s t s a n d V io la t io n o f P r io r it y o f C la im s ," o f F in a n c ia l E c o n o m ic s 2 7 , 1 9 9 0 , ( 3 ) , 2 8 5 { 3 1 4 . i n t e r , E y a l E c o n o m ic T h e o r y , \ T h e D e m a n d C o m m it m e n t B a r g a in in g a n d S n o w b a llin g C o o p e r a t io n ," 4 1 9 9 4 , , 2 5 5 { 2 7 3 . r i n k l e r , M a t t h e w , \ H a r r is , W illia m s C o s . A r e F ir s t t o O (cid:11) e r S u p e r ‘P o is o n P u t s ’," 1 6 t h N o v e m b e r , T h W a ll S t r e e t J o u r n a l 1 9 8 8 . h o u , C h u n g s h e n g , \ A J u m p - D i(cid:11) u s io n A p p r o a c h t o M o d e lin g C r e d it R is k a n d V a lu in g D e fa u lt a b le S e c u r it ie s ," F in a n c e a n d E c o n o m ic s D is c u s s io n S e r ie s , 1 9 9 7 - 1 5 , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v S y s t e m , J u n e 1 9 9 7 . 5 0 , - , l l , e e
Cite this document
Alexander David (1998). Pricing the Strategic Value of Poison Put Bonds (FEDS 1998-06). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-06
@techreport{wtfs_feds_1998_06,
author = {Alexander David},
title = {Pricing the Strategic Value of Poison Put Bonds},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1998-06},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1998},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-06},
abstract = {In times of low liquidity for a firm, poison put bondholders can threaten to either force the company into a reorganization or to raise its borrowing costs. A multilateral bargaining solution for the strategic value is formulated at the time of exercise. Even infinitesimal bondholders, putting non-cooperatively, are able to extract more than the intrinsic value whenever the amount of putable debt exceeds the firm's effective liquidity. Prior to the crisis all financial assets are priced in a continous-time framework when interest rates follow the Vasicek process and firm's debtholders are subject to a sharp price decline due to an LBO. The model is calibrated to one such recent crisis -- that of Kmart Corp.},
}