feds · January 31, 1998

A Discrete Model of Discriminatory Price Auctions--An Alternative to Menezes-Monteiro

Abstract

Menezes and Monteiro, Math. Soc. Sci. (1995), show that a multi-unit discriminatory price auction does not have a pure strategy equilibrium unless one imposes some rather special conditions on the demand functions. This non-existence result might indicate a problem either wirh the underlying auction procedure (as Menezes and Monteiro suggest) or with the modelling approach (as we suggest). We observe that the non-existence problem disappears if bids must come in multiples of smallest units -- a realistic feature. Moreover, we show that most of the analysis can be recast in a discrete action model.

1 T p w h f b i S o U P b A D i s c r e t e M o d e l o f D i s c r i m i n a t o r y P r i c e A u c t i o n s | (cid:3) A n A l t e r n a t i v e t o M e n e z e s - M o n t e i r o y z H a n s H a l l e r a n d Y v a n L e n g w i l e r J a n u a r y 2 1 , 1 9 9 8 M e n e z e s a n d M o n t e i r o , M a t h . S o c . S c i . ( 1 9 9 5 ) , s h o w t h a t a m u lt i - u n i t d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n d o e s n o t h a v e a p u r e s t r a t e g y e q u i li b r i u m u n le s s o n e i m p o s e s s o m e r a t h e r s p e c i a l c o n d i t i o n s o n t h e d e m a n d f u n c t i o n s . T h i s n o n - e x i s t e n c e r e s u lt m i g h t i n d i c a t e a p r o b le m e i t h e r w i t h t h e u n d e r ly i n g a u c t i o n p r o c e d u r e ( a s M e n e z e s a n d M o n t e i r o s u g g e s t ) o r w i t h t h e m o d e l li n g a p p r o a c h ( a s w e s u g g e s t ) . W e o b s e r v e t h a t t h e n o n - e x i s t e n c e p r o b le m d i s a p p e a r s i f b i d s m u s t c o m e i n m u lt i p le s o f s m a l le s t u n i t s | a r e a li s t i c f e a t u r e . M o r e o v e r , w e s h o w t h a t m o s t o f t h e a n a ly s i s c a n b e r e c a s t i n a d i s c r e t e a c t i o n m o d e l. J E L c l a s s i (cid:12) c a t i o n c o d e s . D 4 4 , C 7 2 . K e y w o r d s . d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n , m i x e d s t r a t e g i e s , e x i s t e n c e o f e q u i l i b r i u m , i n t e g e r c o n s t r a i n t s . I n t r o d u c t i o n r e a s u r i e s a p p l y t w o k i n d s o f f o r m a t s f o r a u c t i o n s o f (cid:12) x e d i n c o m e s e c u r i t i e s , n a m e l y u n i f o r m r i c e a n d d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n s . I n t h e (cid:12) r s t f o r m a t , p r i c e - q u a n t i t y b i d s a r e o r d e r e d i t h r e s p e c t t o p r i c e , f r o m t o p t o b o t t o m . T h e a u c t i o n e e r a c c e p t s q u a n t i t i e s u p t o t h e a m o u n t e i s s e l l i n g a n d a l l w i n n e r s p a y t h e p r i c e e q u i v a l e n t t o t h e h i g h e s t l o s i n g b i d . I n t h e s e c o n d o r m a t b i d s a r e o r d e r e d s i m i l a r l y , b u t e a c h a g e n t p a y s t h e a m o u n t e q u a l t o h i s b i d . A t p r e s e n t , d i s c r i m i n a t o r y a u c t i o n s f o r b o n d s a r e m o r e o f t e n u s e d t h a n u n i f o r m a u c t i o n s , u t s o m e c o u n t r i e s h a v e b e e n e x p e r i m e n t i n g w i t h t h e a u c t i o n f o r m a t . T h e U n i t e d S t a t e s , f o r n s t a n c e , u s e d t o a p p l y o n l y d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n s , b u t h a s r e c e n t l y s t a r t e d t o i s s u e s o m e (cid:3) T h is p a p e r w a s w r it t e n w h ile L e n g w ile r w a s o n le a v e a t t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e y s t e m . T h e v ie w s e x p r e s s e d a r e n o t n e c e s s a r ily t h o s e o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m r o f t h e S w is s N a t io n a l B a n k . N o r a r e t h e y n e c e s s a r ily t h o s e o f V ir g in ia P o ly t e c h n ic I n s t it u t e a n d S t a t e n iv e r s it y . y V ir g in ia P o ly t e c h n ic I n s t it u t e a n d S t a t e U n iv e r s it y . z S w is s N a t io n a l B a n k a n d B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . le a s e a d d r e s s c o r r e s p o n d e n c e t o H a n s H a lle r , D e p a r t m e n t o f E c o n o m ic s , V ir g in ia P o ly t e c h n ic I n s t it u t e , B la c k s e m a il: h a lle r @ v t .e d u u r g , V A 2 4 0 6 1 { 0 3 1 6 , U S A . P h o n e : ( 5 4 0 ) 2 3 1 { 7 5 9 1 . 1

b f o a f a d s f o p e t m t b m a i m e r o j t a p m e t c (cid:12) a t r o i p t o n d s v i a u n i f o r m p r i c e a u c t i o n s ( N y b o r g a n d S u n d a r e s a n , 1 9 9 6 ) . T h e B u n d e s b a n k s w i t c h e d r o m u n i f o r m p r i c e a u c t i o n s t o d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n s f o r t h e i r r e p o s ( N a u t z , 1 9 9 5 ) . M u c h o f t h e d e b a t e a b o u t h o w t o s e l l T r e a s u r y b i l l s i s c e n t e r e d a r o u n d t h e q u e s t i o n , w h i c h f t h e s e a u c t i o n f o r m a t s y i e l d s g r e a t e r r e v e n u e s f o r t h e T r e a s u r y ( e . g . F r i e d m a n , 1 9 6 0 , C h a r i n d W e b e r , 1 9 9 2 ) . I n o r d e r t o c o m p a r e t h e t w o f o r m a t s , t h e e q u i l i b r i u m o u t c o m e s f o r e a c h o r m a t h a v e t o b e d e t e r m i n e d . A r a t h e r o b v i o u s p r e r e q u i s i t e f o r d o i n g t h i s i s t h e e x i s t e n c e o f n e q u i l i b r i u m i n b o t h a u c t i o n f o r m a t s u n d e r r e v i e w . M e n e z e s a n d M o n t e i r o ( 1 9 9 5 ) ( h e n c e f o r t h , M M ) h a v e p r o p o s e d a h i g h l y s t y l i z e d m o d e l o f i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n s t h a t c o u l d q u a l i f y a s a m o d e l o f T r e a s u r y b i l l a u c t i o n s . T h e y h o w t h a t a N a s h e q u i l i b r i u m i n p u r e s t r a t e g i e s d o e s n o t e x i s t , u n l e s s b i d d e r s f a c e d e m a n d u n c t i o n s s a t i s f y i n g s p e c i a l r e s t r i c t i o n s . T h e n o n - e x i s t e n c e i s a c o n s e q u e n c e o f t h e d i s c o n t i n u i t y f p a y o (cid:11) f u n c t i o n s , w h i c h i s d u e t o t h e n e c e s s a r y r a t i o n i n g w h e n b o t h b i d d e r s p r o p o s e t h e s a m e r i c e . M M a l s o c o n j e c t u r e t h a t u t i l i z i n g m i x e d s t r a t e g i e s w o u l d i n g e n e r a l n o t r e s o l v e t h e n o n x i s t e n c e p r o b l e m . T h e y s u g g e s t t h a t t h e r e i s a s e v e r e n o n - e x i s t e n c e p r o b l e m t h a t c o u l d i m p a i r h e c o m p a r i s o n o f t h e t w o a u c t i o n f o r m a t s . N o n - e x i s t e n c e m i g h t i n d i c a t e a p r o b l e m e i t h e r w i t h t h e a u c t i o n p r o c e d u r e t h e m o d e l i s e a n t t o c a p t u r e , o r w i t h t h e m o d e l i t s e l f . M M s e e m t o i m p l y t h e f o r m e r : \ [ . . . ] w e s h o w t h a t h e e x i s t e n c e o f e q u i l i b r i u m m a y b e a p r o b l e m e v e n w h e n w e c o n s i d e r a s i m p l e m o d e l o f T r e a s u r y i l l a u c t i o n s [ . . . ] " ( M M , p a g e 2 8 6 ) . I n t h i s p a p e r , w e s u g g e s t t h a t i t i s r a t h e r t h e s p e c i (cid:12) c o d e l a n d n o t t h e u n d e r l y i n g a u c t i o n p r o c e d u r e t h a t c a u s e s t h e p r o b l e m . N o n - e x i s t e n c e i s a n r t i f a c t o f t h e M M m o d e l w h e r e p r i c e s a n d q u a n t i t i e s a r e c o n t i n u o u s v a r i a b l e s . W e a s s u m e n s t e a d a (cid:12) n i t e g r i d f r o m w h i c h p r i c e - q u a n t i t y p a i r s a r e c h o s e n . O u r n o t e d e m o n s t r a t e s t h a t o s t o f t h e M M a n a l y s i s c a n b e r e c a s t i n s u c h a d i s c r e t e a c t i o n a u c t i o n m o d e l w h e r e t h e n o n x i s t e n c e p r o b l e m v a n i s h e s . M o r e o v e r , a d i s c r e t e a c t i o n m o d e l p r o v i d e s a b e t t e r d e s c r i p t i o n o f e a l i t y t h a n t h e c o n t i n u o u s a c t i o n m o d e l , s i n c e t h e r e a r e m i n i m a l i n c r e m e n t s ( s m a l l e s t u n i t s ) f p r i c e s a n d q u a n t i t i e s i n a c t u a l a u c t i o n s . A d o p t i o n o f a c o n t i n u o u s a c t i o n m o d e l c a n o n l y b e u s t i (cid:12) e d o n t h e g r o u n d s t h a t i t i s m o r e a m e n a b l e t o a n a l y s i s . I f t h e c o n t i n u o u s v e r s i o n f a i l s i n h i s r e s p e c t , w e m a y a s w e l l d i s c a r d i t . O u r m a i n (cid:12) n d i n g s f o r t h e d i s c r e t e a c t i o n m o d e l a r e , (cid:12) r s t , t h a t t h e (cid:12) n i t e a c t i o n m o d e l h a s ( p o s s i b l y m i x e d ) e q u i l i b r i u m [ p r o p o s i t i o n 1 ] . M M s h o w t h a t b o t h b i d d e r s s u b m i t t h e s a m e r i c e i n a n y p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i u m o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n m o d e l . W e s h o w , s e c o n d , t h a t i x e d e q u i l i b r i a o f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e h a v e a s i m i l a r p r o p e r t y : T h e p r i c e s u p p o r t s o f t h e q u i l i b r i u m s t r a t e g i e s o f b o t h b i d d e r s a r e c l o s e t o e a c h o t h e r [ p r o p o s i t i o n 2 ] . W i t h r e g a r d t o h e e x i s t e n c e o f a p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i u m , w e s h o w , t h i r d , t h a t t h e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t o n d i t i o n s i d e n t i (cid:12) e d b y M M f o r t h e c o n t i n u o u s a c t i o n m o d e l h a v e s i m i l a r c o u n t e r p a r t s i n t h e n i t e a c t i o n m o d e l [ p r o p o s i t i o n 3 ] . F o u r t h , w e (cid:12) n d t h a t p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i a o f t h e (cid:12) n i t e c t i o n m o d e l c a n e x h i b i t s o m e e x c e s s d e m a n d [ c o r o l l a r y 2 ] , b u t e x c e s s d e m a n d v a n i s h e s i n h e l i m i t a s t h e g r i d b e c o m e s a r b i t r a r i l y (cid:12) n e [ p r o p o s i t i o n 5 ] . F i f t h , t h e r e i s a n e q u i v a l e n c e e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i a o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e a n d (cid:15) - e q u i l i b r i a f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e [ p r o p o s i t i o n 6 ] . I n t h e n e x t s e c t i o n 2 w e r e s t a t e t h e M M m o d e l . W e c o n s t r u c t a (cid:12) n i t e v e r s i o n o f t h i s m o d e l n s e c t i o n 3 , a n d c o n s i d e r t h e m i x e d e x t e n s i o n i n s e c t i o n 4 . S e c t i o n 5 d e a l s w i t h p r o p e r t i e s o f u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i a . S e c t i o n 6 c o n s i d e r s t h e l i m i t b e h a v i o r o f p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i a a s h e g r i d b e c o m e s a r b i t r a r i l y (cid:12) n e . S e c t i o n 7 s u c c i n c t l y c o n c l u d e s . 2

2 T h e M e n e z e s - M o n t e i r o m o d e l L e t u s (cid:12) r s t r e c a l l t h e M M m o d e l . W e f o l l o w t h e i r n o t a t i o n . T h e r e i s a m a x i m u m q u a n t i t y Y o f a h o m o g e n e o u s c o m m o d i t y t h a t i s t o b e s o l d i n a n a u c t i o n . T h e r e a r e t w o b i d d e r s , i = 1 ; 2 , e a c h h a v i n g a d e m a n d f u n c t i o n D : [ 0 ; (cid:22)p ] ! IR , a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s a n d s t r i c t l y d e c r e a s i n g . i + M o r e o v e r , D ( 0 ) + D ( 0 ) > Y a n d D ( (cid:22)p ) = 0 f o r b o t h i . T h e a b o v e a s s u m p t i o n s i m p l y t h a t 1 2 i (cid:3) (cid:3) (cid:3) t h e r e e x i s t s a u n i q u e p > 0 t h a t c l e a r s t h e m a r k e t , D ( p ) + D ( p ) = Y . B i d d e r s a r e a l l o w e d 1 2 t o b i d a p r i c e b e t w e e n 0 a n d (cid:22)p a n d a c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t y b e t w e e n 0 a n d Y . ( p ; x ) a n d ( q ; y ) w i l l b e u s e d t o d e n o t e t h e s t r a t e g y c h o s e n b y b i d d e r 1 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y . I f p > q , b i d d e r 1 w i l l r e c e i v e h i s d e m a n d e d q u a n t i t y x a n d b i d d e r 2 w i l l r e c e i v e e i t h e r y o r t h e r e m a i n i n g q u a n t i t y Y (cid:0) x , w h i c h e v e r i s s m a l l e r . I f p < q , a n a n a l o g o u s a l l o c a t i o n i s i m p l e m e n t e d , w i t h t h e r o l e s o f b o t h b i d d e r s r e v e r s e d . I f b o t h b i d d e r s b i d t h e s a m e p r i c e , p = q , t h e r e a r e t w o c a s e s t o c o n s i d e r . I f t h e i r j o i n t d e m a n d d o e s n o t e x c e e d t h e o (cid:11) e r e d q u a n t i t y , x + y (cid:20) Y , t h e n b o t h b i d d e r s r e c e i v e t h e i r r e s p e c t i v e d e m a n d . O t h e r w i s e , t h e b i d d e r s h a v e t o b e r a t i o n e d . T h e r a t i o n i n g i s a s s u m e d t o b e p r o p o r t i o n a l t o t h e b i d s , i . e . b i d d e r 1 r e c e i v e s x Y = ( x + y ) u n i t s a n d b i d d e r 2 i s a l l o c a t e d y Y = ( x + y ) u n i t s . P a y o (cid:11) s ( = c o n s u m e r r e n t s ) a r e t h u s d e (cid:12) n e d b y (cid:3) Z ( p ;x ;q ;y ) 1 (cid:0) 1 (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) : = ( D ( s ) (cid:0) p ) d s ; 0 1 1 (cid:3) ( 1 ) Z ( p ;x ;q ;y ) 2 (cid:0) 1 (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) : = ( D ( s ) (cid:0) q ) d s ; R 0 2 2 R w i t h x ; i f p > q , (cid:3) x Y = m a x f Y ; x + y g ; i f p = q , Z ( p ; x ; q ; y ) : = 1 8 > m i n f x ; Y (cid:0) y g ; i f p < q , < ( 2 ) > y ; i f q > p , : (cid:3) y Y = m a x f Y ; x + y g ; i f q = p , Z ( p ; x ; q ; y ) : = 2 8 > m i n f y ; Y (cid:0) x g ; i f q < p . < >: M M (cid:12) n d a s e t o f n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n s f o r a p a i r o f p u r e s t r a t e g i e s t o c o n s t i t u t e a N a s h e q u i l i b r i u m . T h e o r e m 1 . ( M e n e z e s - M o n t e i r o ) A q u a d r u p e l ( p ; x ; q ; y ) c o n s t i t u t e s a p u r e s t r a t e g y e q u i li b r i u m p o i n t o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e i f a n d o n ly i f ( i ) p = q , ( i i ) D ( p ) + D ( p ) = Y , 1 2 (cid:3) ( i i i ) D ( p ) = Z ( p ; x ; p ; y ) , i i Y (cid:0) y Y (cid:0) x (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:3) (cid:3) ( i v ) D ( s ) d s (cid:20) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) a n d D ( s ) d s (cid:20) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) : 1 2 1 2 0 0 R R 3 A (cid:12) n i t e v e r s i o n I n t h e M M m o d e l , a b i d d e r ’ s s t r a t e g y s e t i s S : = [ 0 ; (cid:22)p ] (cid:2) [ 0 ; Y ] . T h i s m e a n s t h a t a p l a y e r c a n c h o o s e p r i c e s a n d q u a n t i t i e s w i t h a n y d e g r e e o f p r e c i s i o n . T h e m o d e l i s i n t e n d e d t o c a p t u r e 3

T b b 1 a i (cid:12) a t Y t b t s a b a t I a I r e a s u r y b i l l a u c t i o n s . A c c o r d i n g t o U . S . T r e a s u r y r e g u l a t i o n s , T r e a s u r y b i l l s , n o t e s , a n d o n d s m a y b e p u r c h a s e d i n m u l t i p l e s o f $ 1 0 0 0 . { n o m i n a l v a l u e , a n d t h e s u b m i t t e d p r i c e s m u s t e e q u i v a l e n t t o y i e l d s t h a t c a n b e e x p r e s s e d a s m u l t i p l e s o f h a l f b a s i s p o i n t s ( U . S . T r e a s u r y , 9 9 7 ) . S o b i d d e r s a r e c o n f r o n t e d w i t h \ s m a l l e s t u n i t s . " T o m o d e l t h i s , p i c k s o m e i n t e g e r s (cid:22)n (cid:21) 2 n d (cid:22)m (cid:21) 2 , a n d l e t (cid:11) : = (cid:22)p = (cid:22)n a n d (cid:12) : = Y = (cid:22)m . T h e n t h e s e t S : = f n (cid:11) : n 2 f 1 ; : : : ; (cid:22)n g g (cid:2) f m (cid:12) : m 2 f 1 ; : : : ; (cid:22)m g g = :P = :Y | { z } { z } | s a g r i d o n S , a n d t h i s i s t h e n e w s t r a t e g y s e t w e w i l l u s e . W e w i l l c a l l t h e g a m e w i t h t h i s n i t e s t r a t e g y s p a c e t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e , w h e r e a s t h e o r i g i n a l M M g a m e w i l l b e r e f e r r e d t o s t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e . N o t e t h a t i n t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , i f b o t h b i d d e r s p r o p o s e t h e s a m e p r i c e , a n d h e i r j o i n t q u a n t i t y b i d , x + y , e x c e e d s t h e a v a i l a b l e s u p p l y , Y , t h e n t h e (cid:12) r s t b i d d e r r e c e i v e s x = ( x + y ) , a n d t h e s e c o n d b i d d e r r e c e i v e s t h e r e s t . Y e t , t h e s e q u a n t i t i e s n e e d n o t b e o n h e q u a n t i t y g r i d , w h i c h i m p l i e s t h a t f r a c t i o n s o f s m a l l e s t q u a n t i t y u n i t s a r e a l l o c a t e d t o t h e i d d e r s . T h i s i s n o t c o n s i s t e n t w i t h t h e v e r y i d e a o f s m a l l e s t u n i t s . W e t a k e c a r e o f t h a t i n h e s i m p l e s t p o s s i b l e w a y , b y a s s u m i n g t h a t f r a c t i o n s a r e d i s p o s e d o f . ( 2 ) h a s t o b e a d a p t e d o m e w h a t . L e t (cid:20)z ( x ; y ) : = m a x f z 2 Y : z (cid:20) Y x = ( x + y ) g ; ( 3 ) 1 n d a n a n a l o g o u s d e (cid:12) n i t i o n f o r (cid:20)z ( x ; y ) . (cid:20)z ( x ; y ) i s t h e n e x t p o i n t o n t h e q u a n t i t y g r i d w e a k l y 2 1 e l o w Y x = ( x + y ) . T h e a l l o c a t i o n i n t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e i s t h e n d e (cid:12) n e d b y x ; i f p > q , m i n f x ; (cid:20)z ( x ; y ) g ; i f p = q , Z ( p ; x ; q ; y ) : = 1 1 8 > m i n f x ; Y (cid:0) y g ; i f p < q , < ( 4 ) > y ; i f q > p , : m i n f y ; (cid:20)z ( x ; y ) g ; i f q = p , Z ( p ; x ; q ; y ) : = 2 2 8 > m i n f y ; Y (cid:0) x g ; i f q < p , < (cid:3) (cid:3) >: n d p a y o (cid:11) s (cid:25) a n d (cid:25) a r e g i v e n b y ( 1 ) , w i t h t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n , Z a n d Z , r e p l a c e d w i t h 1 2 1 2 h e n e w e x p r e s s i o n s Z a n d Z . W e w i l l a l s o n e e d t h e f o l l o w i n g m o d i (cid:12) e d d e m a n d f u n c t i o n s : 1 2 n c a s e (cid:12) (cid:20) D ( p ) (cid:20) Y , s e t i (cid:20)D ( p ) : = m a x f z 2 Y : z (cid:20) D ( p ) g ; i i ( 5 ) ^D ( p ) : = m i n f z 2 Y : z (cid:21) D ( p ) g ; i i n d (cid:20) ^ i i D ( p ) D ( p ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:20)D ( p ) i f ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:21) ( D ( s ) (cid:0) p ) d s , i 0 0 i i (cid:22)D ( p ) : = ( 6 ) i (cid:20) ^ i i D ( p ) D ( p ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 8 ^D ( p ) i f ( D ( s ) (cid:0) p ) d s < ( D ( s ) (cid:0) p ) d s . R R i 0 0 i i < R R (cid:22) (cid:22) : n c a s e D ( p ) < (cid:12) , s e t D ( p ) = (cid:12) . I n c a s e D ( p ) > Y , s e t D ( p ) = Y . i i i i 4

^ E x c e p t f o r v e r y s m a l l o r h u g e d e m a n d , D ( p ) i s t h e p o i n t o n t h e q u a n t i t y g r i d w h i c h i s e q u a l i (cid:20) o r j u s t g r e a t e r t h a n D ( p ) . S i m i l a r l y , D ( p ) i s t h e p o i n t o n t h e q u a n t i t y g r i d w h i c h i s e q u a l o r i i (cid:22) ^ (cid:20) j u s t s m a l l e r t h a n D ( p ) . D ( p ) i s e i t h e r e q u a l t o D ( p ) o r D ( p ) , d e p e n d i n g o n w h i c h q u a n t i t y i i i i g i v e s t h e p l a y e r h i g h e r p a y o (cid:11) , g i v e n t h a t h e h a s t o p a y p r i c e p p e r u n i t h e r e c e i v e s . R e m a r k . I f t h e p r i c e g r i d i s r e l a t i v e l y (cid:12) n e c o m p a r e d t o t h e q u a n t i t y g r i d , a n d t h e d e m a n d s c h e d u l e i s s t e e p e n o u g h , t h e n t h e r e c a n b e s e v e r a l m a r k e t c l e a r i n g p r i c e s , f o r m i n g t h e s e t (cid:22) (cid:22) IP : = f p 2 P : D ( p ) + D ( p ) = Y g : 1 2 C o n v e r s e l y , i f t h e p r i c e g r i d i s r e l a t i v e l y c o a r s e c o m p a r e d t o t h e q u a n t i t y g r i d , a n d t h e d e m a n d s c h e d u l e i s (cid:13) a t e n o u g h , t h e n IP m i g h t b e e m p t y . B e c a u s e d e m a n d s c h e d u l e s a r e d o w n w a r d s l o p i n g , IP i s t h e i n t e r s e c t i o n o f s o m e i n t e r v a l w i t h t h e p r i c e g r i d . I f t h i s i n t e r v a l i s l a r g e r t h a n 2 (cid:11) , t h e n t h e r e i s m o r e t h a n o n e m a r k e t c l e a r i n g p r i c e ; i f t h e s i z e o f t h i s i n t e r v a l i s b e t w e e n (cid:11) a n d 2 (cid:11) , t h e n t h e r e i s e x a c t l y o n e m a r k e t c l e a r i n g p r i c e ; i f t h i s i n t e r v a l i s s m a l l e r t h a n (cid:11) , t h e n t h e r e i s p o s s i b l y n o ( o r a t m o s t o n e ) m a r k e t c l e a r i n g p r i c e . (cid:22) (cid:22) W e a s s u m e t h a t D ( 2 (cid:11) ) + D ( 2 (cid:11) ) > Y , m a k i n g a n a s s u m p t i o n o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n 1 2 M M m o d e l s o m e w h a t s t r o n g e r . N o t e t h a t , b e c a u s e b o t h d e m a n d f u n c t i o n s a r e a s s u m e d t o b e (cid:22) (cid:22) (cid:22) (cid:22) (cid:22) (cid:22) d e c r e a s i n g , t h i s i m p l i e s D ( (cid:11) ) + D ( 2 (cid:11) ) > Y , D ( 2 (cid:11) ) + D ( (cid:11) ) > Y , a n d D ( (cid:11) ) + D ( (cid:11) ) > Y ; 1 2 1 2 1 2 a f a c t t h a t w i l l b e u s e f u l l a t e r . 4 T h e m i x e d e x t e n s i o n ~ L e t S b e t h e s e t o f d e n s i t y f u n c t i o n s o v e r S , s o ~ f 2 S : ( ) f ( p ; x ) (cid:21) 0 a n d f ( p ; x ) = 1 : S X ~ ~ L e t f 2 S a n d g 2 S d e n o t e t h e ( p o s s i b l y ) m i x e d s t r a t e g i e s c h o s e n b y b i d d e r 1 a n d b i d d e r 2 , r e s p e c t i v e l y . D e (cid:12) n e t h e n t h e p a y o (cid:11) f u n c t i o n s o f t h e m i x e d e x t e n s i o n o f t h e g a m e a s f o l l o w s , ~(cid:25) ( f ; g ) : = (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) f ( p ; x ) g ( q ; y ) ; 1 1 ( p ;x ) 2 S ( q ;y ) 2 S X X ( 7 ) ~(cid:25) ( f ; g ) : = (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) f ( p ; x ) g ( q ; y ) ; 2 2 ( p ;x ) 2 S ( q ;y ) 2 S X X A N a s h E q u i li b r i u m ( N E ) i s a s t r a t e g y p r o (cid:12) l e ( f ; g ) s u c h t h a t 0 0 f 2 a r g m a x ~(cid:25) ( f ; g ) a n d g 2 a r g m a x ~(cid:25) ( f ; g ) : 1 2 0 0 ~ ~ f 2 S g 2 S E x i s t e n c e i s i m m e d i a t e i n t h e m i x e d e x t e n s i o n o f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n m o d e l . P r o p o s i t i o n 1 . ( e x i s t e n c e ) T h e m i x e d e x t e n s i o n o f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e h a s a N a s h e q u i li b r i u m . P r o o f . T h i s i s N a s h ’ s ( 1 9 5 0 ) T h e o r e m . Q E D 5

i p c P s 0 (cid:11) p P f o p o a w T T I n t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , b o t h b i d d e r s s u b m i t t h e s a m e p r i c e i n e q u i l i b r i u m ( M M ’ s t e m ( i ) i n t h e o r e m 1 ) . E q u i l i b r i a o f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e i n m i x e d s t r a t e g i e s h a v e a s i m i l a r r o p e r t y : T h e s u p p o r t s o f t h e p r i c e c o m p o n e n t s o f b o t h b i d d e r s ’ e q u i l i b r i u m s t r a t e g i e s a r e l o s e t o e a c h o t h e r . r o p o s i t i o n 2 . ( s i m i l a r p r i c e s u p p o r t s ) G i v e n a s t r a t e g y p r o (cid:12) le ( f ; g ) , le t P a n d Q b e t h e u p p o r t o f t h e p r i c e c o m p o n e n t o f f a n d g , r e s p e c t i v e ly . F o r m a l ly , P : = f p 2 P : 9 x f ( p ; x ) > g , a n d a n a lo g o u s ly f o r Q . I f ( f ; g ) 2 N E , t h e n t h e H a u s d o r (cid:11) - d i s t a n c e o f P a n d Q i s a t m o s t . I n o t h e r w o r d s , 8 p 2 P 9 q 2 Q s u c h t h a t q 2 f p (cid:0) (cid:11) ; p ; p + (cid:11) g a n d 8 q 2 Q 9 p 2 P s u c h t h a t 2 f q (cid:0) (cid:11) ; q ; q + (cid:11) g . (cid:3) r o o f . S u p p o s e n o t . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , a s s u m e t h a t t h e r e e x i s t s p 2 P s u c h t h a t (cid:3) (cid:3) (cid:3) p (cid:0) (cid:11) ; p ; p + (cid:11) g \ Q = ; . W e w i l l s h o w t h a t t h i s w i l l l e a d t o a c o n t r a d i t i o n t o t h e d e (cid:12) n i t i o n f N a s h e q u i l i b r i u m . W e d i s t i n g u i s h t w o c a s e s . (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) C a s e 1 , \ 9 q 2 Q s . t . q > p + (cid:11) . " T h e n b i d d e r 2 c a n t a k e a w a y s o m e w e i g h t f r o m q a n d (cid:3) u t i t o n p + (cid:11) , t h e r e b y i n c r e a s i n g h i s e x p e c t e d p a y o (cid:11) , c o n t r a r y t o t h e b e s t r e s p o n s e p r o p e r t y f g . S p e c i (cid:12) c a l l y , c o n s i d e r (cid:3) (cid:3) g ( q ; y ) f o r q 6= q a n d q 6= p + (cid:11) , 0 (cid:3) g ( q ; y ) : = 0 f o r q = q , 8 (cid:3) (cid:3) (cid:3) >< g ( q ; y ) + g ( p + (cid:11) ; y ) f o r q = p + (cid:11) , > (cid:3) (cid:3) (cid:3) : n d s e t S = f ( q ; y ) 2 S : q 6= q ; q 6= p + (cid:11) g . T h e n 0 ~(cid:25) ( f ; g ) = (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) f ( p ; x ) g ( q ; y ) + 2 2 (cid:3) ( p ;x ) 2 S ( q ;y ) 2 S X X (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; p + (cid:11) ; y ) f ( p ; x ) [ g ( q ; y ) + g ( p + (cid:11) ; y ) ] 2 y 2 Y ( p ;x ) 2 S X X h e r e a s ~(cid:25) ( f ; g ) = (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) f ( p ; x ) g ( q ; y ) + 2 2 (cid:3) ( p ;x ) 2 S ( q ;y ) 2 S X X (cid:3) (cid:3) [ (cid:25) ( p ; x ; p + (cid:11) ; y ) f ( p ; x ) g ( p + (cid:11) ; y ) + 2 y 2 Y ( p ;x ) 2 S X X (cid:3) (cid:3) + (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) f ( p ; x ) g ( q ; y ) ] : 2 h e (cid:12) r s t p a y o (cid:11) i s g r e a t e r , a s c a n b e s e e n f r o m 0 (cid:3) (cid:3) (cid:3) ~(cid:25) ( f ; g ) (cid:0) ~(cid:25) ( f ; g ) = f ( p ; x ) g ( q ; y ) [ (cid:25) ( p ; x ; p + (cid:11) ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) ] : 2 2 2 2 y 2 Y ( p ;x ) 2 S X X o s i g n t h i s d i (cid:11) e r e n c e , r e c a l l t h a t y (cid:3) (cid:0) 1 (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; p + (cid:11) ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) ( p + (cid:11) ) ) d s ; 2 2 0 Z 6

a B S w t g 5 I t i C e P j c h C p Y e w C a g o n d y (cid:3) (cid:0) 1 (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) q ) d s : 2 2 0 Z (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 0 y a s s u m p t i o n , q > p + (cid:11) . S o (cid:25) ( p ; x ; p + (cid:11) ; y ) > (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) , a n d h e n c e ~(cid:25) ( f ; g ) > ~(cid:25) ( f ; g ) . 2 2 2 2 0 o g i s a b e t t e r r e s p o n s e f o r b i d d e r 2 a g a i n s t f , c o n t r a d i c t i n g t h e N a s h e q u i l i b r i u m p r o p e r t y . (cid:3) (cid:3) C a s e 2 , \ 8 q 2 Q q < p (cid:0) (cid:11) . " I n o t h e r w o r d s , m a x Q < p (cid:0) (cid:11) . I n t h i s c a s e , a s b e f o r e , b u t (cid:3) i t h r e v e r s e d r o l e s f o r b o t h p l a y e r s , b i d d e r 1 c a n d e c r e a s e t h e w e i g h t o n ( p ; x ) a n d i n c r e a s e h e w e i g h t o n ( m a x Q + (cid:11) ; x ) , f o r a l l x , t h e r e b y i n c r e a s i n g h i s e x p e c t e d p a y o (cid:11) , g i v e n s t r a t e g y o f b i d d e r 2 . Q E D E q u i l i b r i a i n p u r e s t r a t e g i e s n t h i s s e c t i o n w e p r o v i d e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n s f o r a p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i u m o e x i s t ( p r o p o s i t i o n 3 ) | a (cid:12) n i t e g a m e c o u n t e r p a r t o f M M ’ s t h e o r e m . W e s t a r t b y e x p l o i t i n g m m e d i a t e i m p l i c a t i o n s o f p r o p o s i t i o n 2 f o r N a s h e q u i l i b r i a i n p u r e s t r a t e g i e s . o r o l l a r y 1 L e t ( p ; x ; q ; y ) 2 P (cid:2) Y (cid:2) P (cid:2) Y b e a N a s h e q u i li b r i u m i n p u r e s t r a t e g i e s . T h e n i t h e r p = q o r ( p ; q ) = ( (cid:11) ; 2 (cid:11) ) o r ( p ; q ) = ( 2 (cid:11) ; (cid:11) ) . r o o f . S u p p o s e ( p ; x ; q ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m . A s a c o r o l l a r y o f p r o p o s i t i o n 2 w e k n o w t h a t p (cid:0) q j (cid:20) (cid:11) . T h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e c a s e s : p = q , p = q (cid:0) (cid:11) , a n d p = q + (cid:11) . S u p p o s e q > 2 (cid:11) . W e w a n t t o s h o w t h a t i n t h e s e c i r c u m s t a n c e s , n o b e s t r e p l y o f p l a y e r 1 w i l l h a v e a p r i c e o m p o n e n t p = q (cid:0) (cid:11) . T o s e e t h i s , n o t e (cid:12) r s t t h a t i f p = q (cid:0) (cid:11) , t h e n b i d d e r 1 w i l l e i t h e r r e c e i v e i s b i d x , o r t h e a m o u n t n o t p u r c h a s e d b y b i d d e r 2 , Y (cid:0) y , s o Z ( q (cid:0) (cid:11) ; x ; q ; y ) = m i n f x ; Y (cid:0) y g . 1 (cid:22) o n s i d e r t h e n t h e a l t e r n a t i v e s t r a t e g y ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ) . W e h a v e 1 m in f x ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 (cid:25) ( q (cid:0) (cid:11) ; x ; q ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) ( q (cid:0) (cid:11) ) ) d s 1 0 1 m in f x ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 < ( D ( s ) (cid:0) (cid:11) ) d s R 0 1 (cid:22) 1 m in f D ( (cid:11) ) ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 (cid:20) ( D ( s ) (cid:0) (cid:11) ) d s R 0 1 (cid:22) = (cid:25) ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ; q ; y ) ; 1 1 R r o v i d e d t h a t m i n f x ; Y (cid:0) y g 6= 0 . N o w x (cid:21) (cid:12) > 0 b y d e (cid:12) n i t i o n . I t r e m a i n s t o r u l e o u t (cid:0) y = 0 . B u t i f y = Y , p l a y e r 2 c o u l d i n c r e a s e h i s p r o (cid:12) t b y b i d d i n g ( 2 (cid:11) ; Y ) , c o n t r a d i c t i n g t h e q u i l i b r i u m p r o p e r t y . H e n c e y < Y h a s t o h o l d f o r a b e s t r e s p o n s e b y p l a y e r 2 . H a v i n g d e a l t i t h a l l p o s s i b i l i t i e s , w e c o n c l u d e t h a t ( q (cid:0) (cid:11) ; x ) c a n n o t b e a b e s t r e p l y f o r p l a y e r 1 , f o r a n y x . o n v e r s e l y , i f p > 2 (cid:11) , t h e n p l a y e r 2 ’ s b e s t r e p l y w i l l n o t h a v e a p r i c e c o m p o n e n t q = p (cid:0) (cid:11) . A s c o n s e q u e n c e , i n a n y N a s h e q u i l i b r i u m , i f p > 2 (cid:11) o r q > 2 (cid:11) , w e m u s t h a v e p = q . I f o n e o f t h e p r i c e s , p o r q , i s l e s s t h a n o r e q u a l t o 2 (cid:11) , t h e n t h e a b o v e a r g u m e n t d o e s n o t o t h r o u g h . W e t h e n h a v e e i t h e r h a v e p = q ( e q u a l t o (cid:11) o r t o 2 (cid:11) ) , o r w e h a v e ( p ; q ) = ( (cid:11) ; 2 (cid:11) ) r ( p ; q ) = ( 2 (cid:11) ; (cid:11) ) . Q E D 7

C P c p a a Z g P p f m p i i P i n p a o p b o r o l l a r y 2 L e t ( p ; x ; q ; y ) 2 P (cid:2) Y (cid:2) P (cid:2) Y b e a N a s h e q u i li b r i u m i n p u r e s t r a t e g i e s . T h e n (cid:22) (cid:22) ( a ) D ( p ) + D ( q ) (cid:21) Y . 1 2 r o o f . S u p p o s e ( p ; x ; q ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m . B y c o r o l l a r y 1 , t h e r e a r e f o u r c a s e s t o b e o n s i d e r e d . (cid:22) (cid:22) C a s e 1 , \ p = q = (cid:11) . " B y a s s u m p t i o n D ( (cid:11) ) + D ( (cid:11) ) > Y [ s e e e n d o f s e c t i o n 3 ] . 1 2 (cid:22) (cid:22) C a s e 2 , \ p = (cid:11) ; q = 2 (cid:11) . " B y a s s u m p t i o n , D ( (cid:11) ) + D ( 2 (cid:11) ) > Y 1 2 (cid:22) (cid:22) C a s e 3 , \ p = 2 (cid:11) ; q = (cid:11) . " B y a s s u m p t i o n , D ( 2 (cid:11) ) + D ( (cid:11) ) > Y . 1 2 (cid:22) (cid:22) C a s e 4 , \ p = q > (cid:11) . " W e s h o w t h a t i f D ( p ) + D ( q ) < Y , t h e n p l a y e r 1 ( o r , a n a l o g o u s l y , 1 2 (cid:22) (cid:22) l a y e r 2 ) h a s a b e t t e r r e p l y , c o n t r a d i c t i n g t h e e q u i l i b r i u m p r o p e r t y . D ( p ) + D ( q ) < Y 1 2 (cid:22) (cid:22) n d o p t i m a l q u a n t i t y c h o i c e i m p l i e s x = D ( p ) ; y = D ( q ) a n d x + y < Y . C o n s i d e r t h e 1 2 l t e r n a t i v e s t r a t e g y ( (cid:11) ; x ) f o r p l a y e r 1 . S i n c e b y a s s u m p t i o n x + y < Y , w e h a v e Z ( p ; x ; p ; y ) = 1 ( (cid:11) ; x ; p ; y ) = x . T h u s p l a y e r 1 r e c e i v e s t h e s a m e a m o u n t b u t p a y s l e s s . H e n c e h i s p a y o (cid:11) i s 1 r e a t e r . A s a c o n s e q u e n c e , ( p ; x ) c a n n o t b e a b e s t r e p l y . Q E D r o p o s i t i o n 3 . ( p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i u m ) L e t ( p ; x ; q ; y ) 2 P (cid:2) Y (cid:2) P (cid:2) Y b e a p a i r o f u r e s t r a t e g i e s s a t i s f y i n g p = q . T h e n ( p ; x ; q ; y ) i s a N a s h e q u i li b r i u m p o i n t i f a n d o n ly i f t h e o l lo w i n g s e t o f c o n d i t i o n s i s s a t i s (cid:12) e d . (cid:22) ( b ) Z ( p ; x ; q ; y ) = m i n f D ( p ) ; (cid:20)z ( Y ; y ) g , a n d e q u i v a le n t ly f o r p la y e r 2 , 1 1 1 (cid:22) 1 m in f D ( (cid:11) ) ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 ( c ) ( D ( s ) (cid:0) (cid:11) ) d s (cid:20) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) , a n d e q u i v a le n t ly f o r p la y e r 2 , 1 0 1 (cid:22) 1 D ( p + (cid:11) ) (cid:0) 1 R (cid:22) ( d ) ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:20) (cid:11) D ( p + (cid:11) ) , a n d e q u i v a le n t ly f o r p la y e r 2 . 1 (cid:22) 1 1 1 m in f D ( p ) ;(cid:20)z ( Y ;y ) g R N o t e a n i n t e r e s t i n g d i (cid:11) e r e n c e t o M M ’ s t h e o r e m . T h e i r c o n d i t i o n ( i i ) g u a r a n t e e s t h a t t h e a r k e t c l e a r s . I n t h e (cid:12) n i t e a c t i o n a u c t i o n g a m e , a c c o r d i n g t o c o n d i t i o n ( a ) , m a r k e t c l e a r i n g r o v i d e s o n l y a n u p p e r b o u n d f o r t h e r e s u l t i n g e q u i l i b r i u m p r i c e , s o t h e r e c a n b e e x c e s s d e m a n d n e q u i l i b r i u m . C o n d i t i o n ( d ) , h o w e v e r , r e s t r a i n s t h e a m o u n t o f e x c e s s d e m a n d t h a t i s p o s s i b l e n a n y p u r e s t r a t e g y e q u i l i b r i u m . r o o f . S U F F I C I E N C Y . S u p p o s e ( p ; x ; p ; y ) s a t i s (cid:12) e s ( b ) t o ( d ) . W e h a v e t o s h o w t h a t t h i s m p l i e s t h a t ( p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m . I n o t h e r w o r d s , w e m u s t e s t a b l i s h t h a t t h e r e i s 0 0 o a l t e r n a t i v e s t r a t e g y ( p ; x ) f o r a g e n t 1 w h i c h i s a b e t t e r r e p l y t h a n ( p ; x ) , a n d s i m i l a r l y f o r l a y e r 2 . W e c o n s i d e r t h r e e k i n d s o f d e v i a t i o n s s e p a r a t e l y . 0 0 0 F i r s t , c o n s i d e r a d e v i a t i o n t o a s t r a t e g y ( p ; x ) s u c h t h a t p > p . T h e s e s t r a t e g i e s h a v e t h e d v a n t a g e t h a t p l a y e r 1 a v o i d s b e i n g r a t i o n e d . T h e c h e a p e s t w a y t o a c h i e v e t h a t e (cid:11) e c t i s b y u t - b i d d i n g h i s r i v a l b y t h e s m a l l e s t p o s s i b l e p r i c e i n c r e m e n t , (cid:11) . T h e p r e f e r r e d q u a n t i t y t o (cid:22) u r c h a s e f o r p l a y e r 1 a t t h i s p r i c e i s b y d e (cid:12) n i t i o n D ( p + (cid:11) ) . T h u s , t h e b e s t c a n d i d a t e f o r a 1 (cid:22) e t t e r r e p l y i s ( p + (cid:11) ; D ( p + (cid:11) ) ) . T h e p a y o (cid:11) i s 1 (cid:22) 1 D ( p + (cid:11) ) (cid:0) 1 (cid:22)D ( p + (cid:11) ) ; p ; y ) = ( D (cid:25) ( p + (cid:11) ; ( s ) (cid:0) ( p + (cid:11) ) ) d s 1 1 0 1 (cid:22) 1 1 m in f D ( p ) ;(cid:20)z ( Y ;y ) g (cid:0) 1 (cid:20) ( D ( s ) (cid:0) p ) d s [ b y ( d ) ] R 0 1 = (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) ; [ b y ( b ) ] 1 R 8

(cid:22) s o ( p + (cid:11) ; D ( p + (cid:11) ) ) i s n o t a b e t t e r r e p l y t h a n ( p ; x ) . 1 0 N e x t , c o n s i d e r d e v i a t i o n s o f t h e f o r m ( p ; x ) [ s o t h e p r i c e c o m p o n e n t i s u n c h a n g e d c o m p a r e d (cid:22) t o t h e o r i g i n a l s t r a t e g y ( p ; x ) ] . F r o m ( b ) w e k n o w t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) i s e q u a l e i t h e r t o D ( p ) 1 1 (cid:22) o r t o (cid:20)z ( Y ; y ) , w h i c h e v e r i s s m a l l e r . S u p p o s e , (cid:12) r s t , t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) = D ( p ) . T h a t m e a n s 1 1 1 t h a t t h e q u a n t i t y c o m p o n e n t x i n t h e s t r a t e g y l e a d s t o t h e a l l o c a t i o n o f t h e p r e f e r r e d q u a n t i t y , 0 (cid:22)D ( p ) , a t p r i c e p . I n t h i s c a s e , c l e a r l y , n o a l t e r n a t i v e q u a n t i t y c o m p o n e n t x c a n m a k e t h i n g s 1 (cid:22) b e t t e r f o r p l a y e r 1 . S o s u p p o s e , s e c o n d , t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) = (cid:20)z ( Y ; y ) < D ( p ) . T h a t m e a n s t h a t 1 1 1 p l a y e r 1 i s r a t i o n e d . H e c a n n o t p u r c h a s e h i s p r e f e r r e d q u a n t i t y a t p r i c e p . T h e b e s t h e c a n d o t h e n i s t o b i d t h e m a x i m u m a l l o w e d q u a n t i t y , Y , w h i c h a l l o w s h i m t o p u r c h a s e (cid:20)z ( Y ; y ) u n i t s . 1 0 0 A n y a l t e r n a t i v e q u a n t i t y c o m p o n e n t x l e a d s t o a n a l l o c a t i o n o f a t m o s t (cid:20)z ( Y ; y ) u n i t s , s o n o x 1 i s b e t t e r t h a n x . 0 0 0 F i n a l l y , c o n s i d e r d e v i a t i o n s ( p ; x ) w i t h p < p . T h e a d v a n t a g e o f t h e s e d e v i a t i o n s i s t h a t p l a y e r 1 p a y s l e s s p e r u n i t h e r e c e i v e s . H o w e v e r , h e c a n g e t a t m o s t t h e r e s i d u a l d e m a n d , i . e . t h e q u a n t i t y n o t d e m a n d e d b y p l a y e r 2 . T h e b e s t c a n d i d a t e f o r a d e v i a t i o n o f t h i s s o r t (cid:22) (cid:22) (cid:22) i s ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ) . T h i s s t r a t e g y l e a d s t o a n a l l o c a t i o n o f Z ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ; p ; y ) = m i n f D ( (cid:11) ) ; Y (cid:0) y g 1 1 1 1 u n i t s t o p l a y e r 1 , a n d h i s p a y o (cid:11) i s (cid:22) 1 m in f D ( (cid:11) ) ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 (cid:22) (cid:25) ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ; p ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) (cid:11) ) d s 1 1 0 1 (cid:20) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) ; [ b y ( c ) ] 1 R (cid:22) s o ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ) i s n o t a b e t t e r r e s p o n s e t h a n ( p ; x ) . 1 T h i s e s t a b l i s h e s t h a t t h e r e i s n o p r o (cid:12) t a b l e d e v i a t i o n f o r p l a y e r 1 . A n a l o g o u s a r g u m e n t s c a n b e m a d e f o r p l a y e r 2 , h e n c e ( p ; x ; p ; y ) i s i n d e e d a N a s h e q u i l i b r i u m . N E C E S S I T Y . S u p p o s e t h a t ( p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m p o i n t . W e d e r i v e c o n d i t i o n s ( b ) , ( c ) , a n d ( d ) i n t h r e e s t e p s . 2 S t e p 1 , \ 8 z 2 [ 0 ; Y = ( Y + y ) ] \ Y 9 x 2 Y s . t . Z ( p ; x ; p ; y ) = z , a n d s i m i l a r l y f o r p l a y e r 2 . " 1 T h i s s a y s t h a t , i f b o t h p l a y e r s s e t t h e s a m e p r i c e , t h e n , f o r a n y q u a n t i t y z o n t h e g r i d b e t w e e n 2 0 a n d Y = ( Y + y ) , p l a y e r 1 c a n a l w a y s (cid:12) n d a q u a n t i t y b i d x , s u c h t h a t z i s a l l o c a t e d t o h i m . T h a t m e a n s t h a t t h e r e a r e n o \ h o l e s " ( b e s i d e s t h e g r i d ) i n t h e s e t o f q u a n t i t i e s p l a y e r 1 c a n p u r c h a s e . 2 L e t z 2 [ 0 ; Y = ( Y + y ) ] \ Y . I f z + y (cid:20) Y , t h e n x = z w i l l d o . I n c a s e z + y > Y , w e w a n t t o (cid:12) n d x 2 Y s u c h t h a t x + y > Y a n d x z = (cid:20)z ( x ; y ) = m a x w 2 Y : w (cid:20) Y : 1 x + y ( ) C h e c k i n g x = z a n d x = Y y i e l d s z Y Y < z (cid:20) Y : z + y Y + y x S i n c e x = ( x + y ) i s i n c r e a s i n g i n x , t h e r e i s a s m a l l e s t x 2 Y w i t h z (cid:20) Y . A s a c o n s e q u e n c e , x + y z < x . H e n c e x (cid:0) Y = (cid:22)m 2 Y a n d x (cid:0) Y = (cid:22)m x Y < z (cid:20) Y : x (cid:0) Y = (cid:22)m + y x + y 9

N [ w ( f l c m s p d x b b i i a w t T i b t p x (cid:0) Y = (cid:22)m x e x t w e c l a i m j Y (cid:0) Y j < (cid:12) . T h i s i m p l i e s t h a t z i s t h e o n l y g r i d p o i n t i n t h e i n t e r v a l x + y x (cid:0) Y = (cid:22)m + y x (cid:0) Y = (cid:22)m x Y ; Y ] a n d , t h e r e f o r e , z = (cid:20)z ( x ; y ) . T h e c l a i m a m o u n t s t o 1 x (cid:0) Y = (cid:22)m + y x + y x x (cid:0) Y = (cid:22)m 1 (cid:0) < o r x + y x + y (cid:0) Y = (cid:22)m (cid:22)m (cid:22)m x (cid:22)m x + x + y (cid:0) ( 1 + 1 = (cid:22)m ) Y < o r (cid:22)m x + (cid:22)m y (cid:22)m x + (cid:22)m y (cid:0) Y (cid:22)m y Y + ( x + y ) Y < (cid:22)m ( x + y ) ( x + y ) ; h i c h h o l d s t r u e , s i n c e Y < x + y i m p l i e s (cid:22)m Y y < (cid:22)m ( x + y ) y a n d Y (cid:20) (cid:22)m z < (cid:22)m x i m p l i e s x + y ) Y < (cid:22)m ( x + y ) x . (cid:22) S t e p 2 , \ Z ( p ; x ; p ; y ) = (cid:20)z ( x ; y ) = m i n f D ( p ) ; (cid:20)z ( Y ; y ) g , a n d s i m i l a r l y f o r p l a y e r 2 . " I t 1 1 1 1 (cid:22) (cid:22) o l l o w s f r o m c o r o l l a r y 2 t h a t x + y (cid:21) Y . [ F o r o t h e r w i s e , x + y < Y (cid:20) D ( p ) + D ( p ) . W i t h o u t 1 2 (cid:22) o s s o f g e n e r a l i t y , l e t u s p i c k p l a y e r 1 a n d a s s u m e t h a t x < D ( p ) a n d x < Y (cid:0) y . T h e n t h e p l a y e r 1 0 (cid:22) o u l d i n c r e a s e h i s p a y o (cid:11) b y c h o o s i n g x = m i n f Y (cid:0) y ; D ( p ) g . H e n c e i n e q u i l i b r i u m , x + y (cid:21) Y 1 u s t h o l d a s a s s e r t e d . ] B u t x + y (cid:21) Y i m p l i e s t h e (cid:12) r s t e q u a l i t y , Z ( p ; x ; p ; y ) = (cid:20)z ( x ; y ) . 1 1 (cid:22) F o r t h e s e c o n d e q u a l i t y , s u p p o s e D ( p ) (cid:20) (cid:20)z ( Y ; y ) . T h i s i m p l i e s , b y s t e p 1 , t h a t t h e r e e x i s t s 1 1 0 0 (cid:22) (cid:22) o m e x s u c h t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) = D ( p ) . D ( p ) i s b y d e (cid:12) n i t i o n t h e p r e f e r r e d q u a n t i t y f o r 1 1 1 0 (cid:22) l a y e r 1 , g i v e n p r i c e p , s o a n y b e s t r e p l y m u s t b e s u c h t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) = D ( p ) . 1 1 (cid:22) S u p p o s e n o w t h a t D ( p ) > (cid:20)z ( Y ; y ) . T h i s m e a n s t h a t p l a y e r 1 c a n n o t r e c e i v e t h e q u a n t i t y h e 1 1 e m a n d s a t t h e p r i c e p . A n y s t r a t e g y w i t h p r i c e c o m p o n e n t p a n d w i t h a q u a n t i t y c o m p o n e n t s u c h t h a t l e s s t h e n t h e m a x i m u m p o s s i b l e q u a n t i t y , (cid:20)z ( Y ; y ) , i s a l l o c a t e d t o p l a y e r 1 , c a n b e 1 e a t e n b y t h e a l t e r n a t i v e s t r a t e g y ( p ; Y ) . T h u s , a n y b e s t r e p l y w i t h p r i c e c o m p o n e n t p m u s t e s u c h t h a t Z ( p ; x ; p ; y ) = (cid:20)z ( Y ; y ) . [ N o t e t h a t t h i s d o e s n o t i m p l y x = Y . ] T h i s p r o v e s ( b ) . 1 1 0 0 S t e p 3 . I n w h a t f o l l o w s , ( p ; x ) d e n o t e s a n a l t e r n a t i v e s t r a t e g y f o r p l a y e r 1 . W e d e r i v e t h e m p l i c a t i o n s o f t h e f a c t t h a t i n e q u i l i b r i u m , t h e r e c a n n o t b e s u c h a n a l t e r n a t i v e s t r a t e g y t h a t s a b e t t e r r e p l y f o r p l a y e r 1 a g a i n s t ( p ; y ) t h a n ( p ; x ) . 0 C o n s i d e r (cid:12) r s t a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s w i t h p < p . I n t h i s c a s e , p l a y e r 2 w i l l n o t b e r a t i o n e d , 0 n d p l a y e r 1 w i l l r e c e i v e e i t h e r t h e a m o u n t n o t p u r c h a s e d b y p l a y e r 2 , Y (cid:0) y , o r h i s b i d , x , h i c h e v e r i s s m a l l e r . C l e a r l y , t h e b e s t c a n d i d a t e f o r a n a l t e r n a t i v e m o v e o f t h i s k i n d i s t o b i d (cid:22) h e l o w e s t p o s s i b l e p r i c e , (cid:11) , a n d t h e d e m a n d a t t h i s l o w p r i c e , D ( (cid:11) ) . W e h a v e 1 (cid:22) 1 m in f D ( (cid:11) ) ;Y (cid:0) y g (cid:0) 1 (cid:22) (cid:25) ( (cid:11) ; D ( (cid:11) ) ; p ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) (cid:11) ) d s : 1 1 1 0 Z h i s c a n n o t b e g r e a t e r t h a n (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) [ o t h e r w i s e ( p ; x ) w o u l d n o t b e a b e s t r e p l y ] , w h i c h 1 m p l i e s ( c ) . 0 C o n s i d e r n o w d e v i a t i o n s w i t h p > p . I n t h i s c a s e p l a y e r 1 w i l l n o t b e r a t i o n e d . C l e a r l y , t h e (cid:22) e s t c a n d i d a t e f o r s u c h a n a l t e r n a t i v e m o v e i s ( p + (cid:11) ; D ( p + (cid:11) ) ) . I f t h i s m o v e i s n o t b e t t e r 1 0 h a n t h e o r i g i n a l o n e , t h e n t h e r e i s n o a l t e r n a t i v e m o v e w i t h p > p t h a t c o u l d b e a t ( p ; x ) . T h e a y o (cid:11) i s (cid:22) 1 D ( p + (cid:11) ) (cid:0) 1 (cid:22) (cid:25) ( p + (cid:11) ; D ( p + (cid:11) ) ; p ; y ) = ( D ( s ) (cid:0) ( p + (cid:11) ) ) d s : 1 1 1 0 Z 1 0

B s 6 I t i o a e c v a e d P p e c c s t P D T i p y s k 2 D a c g r e c a u s e ( p ; x ) i s a b e s t r e p l y , t h i s t e r m c a n n o t b e g r e a t e r t h a n (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) . C o m b i n e d w i t h 1 t e p 2 , t h i s i m p l i e s ( d ) . Q E D A s y m p t o t i c p r o p e r t i e s n t u i t i v e l y , a (cid:12) n e r g r i d m o v e s t h e (cid:12) n i t e a c t i o n m o d e l c l o s e r t o t h e c o n t i n u o u s a c t i o n m o d e l . I n h i s s e c t i o n w e i n v e s t i g a t e i n w h i c h s e n s e t h i s i n t u i t i o n i s c o n (cid:12) r m e d . A c c o r d i n g t o c o r o l l a r y 1 , t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e h a s t w o t y p e s o f e q u i l i b r i a . O n e t y p e n v o l v e s t h e s a m e p r i c e b i d s b y b o t h p l a y e r s ( p = q , a s i n t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e ) ; t h e t h e r t y p e i n v o l v e s u n e q u a l a n d c l o s e t o z e r o p r i c e b i d s b y b o t h b i d d e r s . S u b j e c t t o s o m e d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n o n t h e d e m a n d f u n c t i o n s , p r o p o s i t i o n 4 s h o w s t h a t t h i s l a t t e r t y p e o f q u i l i b r i u m c e a s e s t o e x i s t i f t h e g r i d i s (cid:12) n e e n o u g h . F r o m c o r o l l a r y 2 w e k n o w t h a t t h e r e a n b e e x c e s s d e m a n d i n e q u i l i b r i u m . P r o p o s i t i o n 5 i m p l i e s t h a t e q u i l i b r i u m e x c e s s d e m a n d a n i s h e s i f t h e p r i c e g r i d i s (cid:12) n e e n o u g h c o m p a r e d t o t h e q u a n t i t y g r i d , a n d i f b o t h g r i d s b e c o m e r b i t r a r i l y (cid:12) n e . P r o p o s i t i o n 6 e s t a b l i s h e s t h a t t h e r e i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e q u i l i b r i a o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e a n d t h e (cid:15) - e q u i l i b r i a o f t h e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e , w i t h (cid:15) e p e n d i n g o n t h e (cid:12) n e n e s s o f t h e g r i d . r o p o s i t i o n 4 . S u p p o s e D ( 0 ) > Y = 2 a n d D ( 0 ) > Y = 2 . T h e n , f o r s m a l l e n o u g h (cid:11) a n d (cid:12) , 1 2 = q i n a n y p u r e s t r a t e g y e q u i li b r i u m . B e f o r e m o v i n g o n t o t h e p r o o f , o b s e r v e t h a t , i f ( (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) 2 P (cid:2) Y (cid:2) P (cid:2) Y i s a N a s h q u i l i b r i u m , t h e n Z ( (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) > Y = 2 . F o r o t h e r w i s e , b y s t e p 1 i n t h e p r e v i o u s p r o o f , p l a y e r 2 2 o u l d a c q u i r e t h e s a m e q u a n t i t y a t a l o w e r p r i c e , c o n t r a d i c t i n g t h e e q u i l i b r i u m p r o p e r t y . O f (cid:22) o u r s e , Z ( (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) (cid:20) D ( 2 (cid:11) ) . T h e r e f o r e , t h e a d d i t i o n a l r e q u i r e m e n t m a d e i n t h i s p r o p o - 2 2 i t i o n t h a t D ( 0 ) > Y = 2 a n d D ( 0 ) > Y = 2 a d d s l e s s r e s t r i c t i o n t o t h e m o d e l t h a n o n e m i g h t 1 2 h i n k a t (cid:12) r s t g l a n c e . r o o f . F i x s o m e (cid:15) 2 ( 0 ; 1 ) w i t h D ( (cid:15) ) > Y = 2 , f o r i = 1 ; 2 , a n d c h o o s e s o m e E > 0 s u c h t h a t i 0 0 ( (cid:15) ) > Y = 2 + 4 E f o r i = 1 ; 2 a n d Y > Y = 2 + 4 E . S e t (cid:11) = ( E (cid:15) ) = ( 2 Y ) > 0 a n d (cid:12) = E = 3 > 0 . i 0 0 (cid:22) (cid:22) h i s i m p l i e s t h a t (cid:11) < ( E (cid:15) ) = Y , 2 (cid:12) < E , a n d D ( (cid:11) ) (cid:21) D ( 2 (cid:11) ) > Y = 2 + 3 E , f o r a l l (cid:11) (cid:20) (cid:11) , (cid:12) (cid:20) (cid:12) , i i 0 0 a n d (cid:12) (cid:20) (cid:12) . G i v e n t h e = 1 ; 2 . L e t u s p r o c e e d w i t h s u (cid:14) c i e n t l y s m a l l (cid:11) a n d (cid:12) , i . e . (cid:11) (cid:20) (cid:11) r i c e s p = (cid:11) a n d q = 2 (cid:11) , m a x i m i z a t i o n o f h e r p a y o (cid:11) w i t h r e s p e c t t o q u a n t i t y h a s p l a y e r 2 b i d (cid:22) = D ( 2 (cid:11) ) s o t h a t p l a y e r 1 r e c e i v e s Z ( (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) < Y = 2 (cid:0) 3 E . N o w c o n s i d e r t h e a l t e r n a t i v e 2 1 0 0 0 t r a t e g y ( 2 (cid:11) ; x ) f o r p l a y e r 1 w h e r e x i s c h o s e n s o t h a t Z ( 2 (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) = Z ( (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) + k (cid:12) a n d 1 1 i s m a x i m a l w i t h k (cid:12) (cid:20) 3 E . T h e n k (cid:12) (cid:21) 2 E . W h e n m a k i n g t h i s c h a n g e , p l a y e r 1 g a i n s a t l e a s t (cid:0) 1 0 0 E (cid:1) D ( Z ( 2 (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) ) a n d l o s e s a t m o s t 2 (cid:11) Y . N e x t Z ( 2 (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) (cid:20) Y = 2 < D ( (cid:15) ) . H e n c e 1 1 1 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 0 ( Z ( 2 (cid:11) ; x ; 2 (cid:11) ; y ) ) > D ( D ( (cid:15) ) ) = (cid:15) . H e n c e t h e g a i n s a r e a t l e a s t 2 E (cid:15) w h i l e t h e l o s s e s a r e 1 1 1 1 t m o s t 2 (cid:11) Y . S i n c e (cid:11) i s s u (cid:14) c i e n t l y s m a l l , t h e g a i n s e x c e e d t h e l o s s e s , a n d ( p ; q ) = ( (cid:11) ; 2 (cid:11) ) a n n o t b e p a r t o f a n e q u i l i b r i u m . Q E D F o r t h e n e x t p r o p o s i t i o n , t h e p r i c e g r i d o u g h t t o b e (cid:12) n e e n o u g h r e l a t i v e t o t h e q u a n t i t y r i d s o t h a t t h e c o s t o f r a i s i n g t h e p r i c e b y o n e u n i t i s s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e g a i n f r o m e c e i v i n g a l a r g e r q u a n t i t y . G i v e n a n y (cid:11) a n d (cid:12) w i t h D ( 0 ) > 2 (cid:12) a n d D ( 0 ) > 2 (cid:12) , w e s h a l l s a y 1 2 1 1

t p O (cid:1) P ( i z v P D s d p i ( T 0 0 s m a l l e n o u g h r e l a t i v e t o h a t (cid:11) i s (cid:12) , i f (cid:11) < (cid:11) ( (cid:12) ) w h e r e (cid:11) ( (cid:12) ) i s d e (cid:12) n e d a s f o l l o w s : F o r (cid:0) 1 2 [ 0 ; D ( 2 (cid:12) ) ] , d e (cid:12) n e t h e s t r i c t l y p o s i t i v e a n d c o n t i n u o u s f u n c t i o n i i D ( p ) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 1 (cid:1) ( (cid:12) ; p ) : = ( D ( s ) (cid:0) p ) d s : i i i D ( p ) (cid:0) 2 (cid:12) Z (cid:0) 1 (cid:3) n t h e c o m p a c t i n t e r v a l [ 0 ; D ( 2 (cid:12) ) ] , (cid:1) ( (cid:12) ; (cid:1) ) a s s u m e s a m i n i m u m (cid:1) ( (cid:12) ) > 0 . S e t i i i 0 (cid:3) (cid:3) 0 0 = m i n f (cid:1) ; (cid:1) g a n d (cid:11) = (cid:1) = Y . 1 2 r o p o s i t i o n 5 . S u p p o s e D ( 0 ) > 2 (cid:12) , D ( 0 ) > 2 (cid:12) a n d (cid:11) s m a l l e n o u g h r e la t i v e t o (cid:12) . I f 1 2 (cid:22) (cid:22) p ; x ; p ; y ) 2 P (cid:2) Y (cid:2) P (cid:2) Y i s a n e q u i li b r i u m , t h e n D ( p ) + D ( p ) (cid:20) Y + 6 (cid:12) , i . e . e x c e s s d e m a n d 1 2 s a t m o s t 6 (cid:12) . A n i m m e d i a t e c o r o l l a r y o f t h i s i s t h a t i f b o t h c o m p o n e n t s o f t h e g r i d , (cid:11) a n d (cid:12) , c o n v e r g e t o e r o a n d (cid:11) c o n v e r g e s s u (cid:14) c i e n t l y f a s t r e l a t i v e t o (cid:12) , t h e n e q u i l i b r i u m e x c e s s d e m a n d e v e n t u a l l y a n i s h e s . r o o f . F o r (cid:22)m = 2 ; : : : ; 6 , t h e a s s e r t i o n i s t r i v i a l l y t r u e . F r o m h e r e o n a s s u m e (cid:22)m (cid:21) 7 s u c h t h a t 0 ( 0 ) > 2 (cid:12) a n d D ( 0 ) > 2 (cid:12) . A l s o a s s u m e (cid:11) < (cid:11) ( (cid:12) ) . 1 2 N e x t l e t ( p ; x ; p ; y ) b e a N a s h e q u i l i b r i u m o f t h e (cid:12) n i t e g a m e a s s o c i a t e d w i t h (cid:11) a n d (cid:12) . W e t a r t w i t h s o m e u s e f u l o b s e r v a t i o n s : 1 . p < (cid:22)p . (cid:22) 2 . I f ( p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m a n d D ( p ) > (cid:20)z ( x ; y ) + 3 (cid:12) , 1 1 t h e n x = Y a n d Z ( p ; x ; p ; y ) = (cid:20)z ( Y ; y ) (cid:21) Y = 2 (cid:21) 2 (cid:12) . 1 1 3 . (cid:20)z ( x ; y ) + (cid:20)z ( x ; y ) (cid:20) Y . 1 2 (cid:22) (cid:22) (cid:22) O n e o b t a i n s t h a t i f D ( p ) (cid:20) (cid:20)z ( x ; y ) + 3 (cid:12) f o r b o t h i , t h e n D ( p ) + D ( p ) (cid:20) Y + 6 (cid:12) . W e a r e i i 1 2 (cid:22) o n e , i f w e c a n s h o w t h a t D ( p ) > (cid:20)z ( x ; y ) + 3 (cid:12) c a n n o t o c c u r . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , s u p - i i (cid:22) (cid:22) o s e D ( p ) > (cid:20)z ( x ; y ) + 3 (cid:12) . W e c l a i m t h a t t h e n b y p l a c i n g t h e a l t e r n a t i v e b i d ( p + (cid:11) ; D ( p ) ) , 1 1 1 (cid:22) n v e s t o r 1 c o u l d g e t (cid:25) ( p + (cid:11) ; D ( p ) ; p ; y ) > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) , c o n t r a d i c t i n g t h e h y p o t h e s i s t h a t 1 1 1 (cid:22) p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m . T h e r e f o r e , t o t h e c o n t r a r y D ( p ) (cid:20) (cid:20)z ( x ; y ) + 3 (cid:12) h a s t o h o l d . 1 1 o s h o w t h e c l a i m , w e d i s t i n g u i s h t w o c a s e s . (cid:22) C a s e 1 , j D ( p ) (cid:0) D ( p ) j < (cid:12) . T h e n D ( p ) > (cid:20)z ( x ; y ) + 2 (cid:12) . F u r t h e r 1 1 1 1 (cid:22) 1 D ( p ) (cid:0) 1 (cid:22) ( D (cid:25) ( p + (cid:11) ; D ( p ) ; p ; y ) = ( s ) (cid:0) ( p + (cid:11) ) ) d s 1 1 0 1 R (cid:22) 1 D ( p ) (cid:0) 1 (cid:22) = ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:0) (cid:11) D ( p ) 1 0 1 R (cid:22) 1 1 (cid:20)z ( x ;y ) D ( p ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:22) = ( D ( s ) (cid:0) p ) d s + ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:0) (cid:11) D ( p ) 1 1 0 1 1 (cid:20)z ( x ;y ) R R 1 D ( p ) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 1 (cid:22) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:0) (cid:11) D ( p ) 1 1 1 1 D ( p ) (cid:0) 2 (cid:12) R 0 (cid:22) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + (cid:1) ( (cid:12) ) (cid:0) (cid:11) D ( p ) 1 1 0 ( (cid:12) ) (cid:0) (cid:11) ] Y > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) : (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + [ (cid:11) 1 1 1 2

(cid:22) (cid:22) C a s e 2 , j D ( p ) (cid:0) D ( p ) j (cid:21) (cid:12) . I n t h i s c a s e , D ( p ) = Y a n d D ( p ) (cid:21) Y + (cid:12) . T h e r e e x i s t s 1 1 1 1 (cid:0) 1 0 0 (cid:22) p 2 ( p ; D ( 2 (cid:12) ) ) w i t h D ( p ) = D ( p ) a n d , c o n s e q u e n t l y , 1 1 1 0 (cid:22) 1 1 D ( p ) D ( p ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 0 ( D ( s ) (cid:0) p ) d s > ( D ( s ) (cid:0) p ) d s 1 1 1 1 (cid:20)z ( x ;y ) (cid:20)z ( x ;y ) R R 0 1 D ( p ) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 1 0 0 0 > ( D ( s ) (cid:0) p ) d s (cid:21) (cid:1) ( (cid:12) ) : 1 1 D ( p ) (cid:0) 2 (cid:12) R T h e r e m a i n d e r o f t h e a r g u m e n t i s t h e s a m e a s i n c a s e 1 . Q E D F o r e q u i l i b r i a o f t h e f o r m ( p ; x ; p ; y ) 2 S (cid:2) S , f u r t h e r a s y m p t o t i c r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d b y l e t t i n g t h e g r i d l e n g t h s g o t o z e r o . I n a c c o r d a n c e w i t h t h e r a t i o n a l e o f o u r (cid:12) n i t e a c t i o n m o d e l , s u c h a r e s u l t i s o n l y o f i n t e r e s t i f ( p ; x ; p ; y ) l i e s o n a l l t h e g r i d s i n v o l v e d . P r o p o s i t i o n 6 . C o n s i d e r t w o s t r i c t ly i n c r e a s i n g s e q u e n c e s (cid:22)n ; k 2 IN ; a n d (cid:22)m ; k 2 IN ; i n k k IN n f 1 g . L e t P ; Y , a n d S d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n c e s o f g r i d s a n d (cid:11) a n d (cid:12) d e n o t e k k k k k t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n c e s o f g r i d le n g t h s . S e t (cid:15) = 3 (cid:12) (cid:1) (cid:22)p . S u p p o s e t h a t ( p ; x ; p ; y ) 2 S (cid:2) S k k i s a p o i n t t h a t b e lo n g s t o S (cid:2) S f o r a l l k . k k ( A ) I f ( p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i li b r i u m o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , t h e n i t i s ( f o r e a c h k ) a n (cid:15) - e q u i li b r i u m o f t h e r e s p e c t i v e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e . k ( B ) I f ( p ; x ; p ; y ) i s n o t a N a s h e q u i li b r i u m o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , t h e n i t i s n o t ( f o r la r g e k ) a n (cid:15) - e q u i li b r i u m o f t h e r e s p e c t i v e (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e . k P r o o f . ( A ) I t s u (cid:14) c e s t o p r o v i d e t h e a r g u m e n t f o r p l a y e r 1 . A n a n a l o g u e h o l d s f o r p l a y e r 2 . I f (cid:3) (cid:3) 0 0 ( p ; x ; p ; y ) i s a N a s h e q u i l i b r i u m o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , t h e n (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) 1 1 0 0 (cid:3) (cid:3) 0 0 f o r a l l ( p ; x ) 2 S . F i x k 2 IN . T h e a b o v e i n e q u a l i t i e s i m p l y (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) 1 1 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 f o r a l l ( p ; x ) 2 S . N o w o b s e r v e t h a t f o r a l l ( p ; x ; q ; y ) 2 S (cid:2) S , Z ( p ; x ; q ; y ) (cid:20) k k k 1 (cid:3) 00 00 00 00 00 Z ( p ; x ; q ; y ) , w i t h t h e d i (cid:11) e r e n c e a t m o s t (cid:12) . I n t h e p a y o (cid:11) f o r m u l a ( 1 ) , p 2 [ 0 ; (cid:22)p ] a n d k 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 00 D ( s ) 2 [ 0 ; (cid:22)p ] a n d t h e r e f o r e j D ( s ) (cid:0) p j (cid:20) (cid:22)p . H e n c e 1 1 (cid:3) 00 00 00 00 Z ( p ;x ;q ;y ) 1 (cid:3) 00 00 00 00 00 00 00 00 (cid:0) 1 00 j (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) j = ( D ( s ) (cid:0) p ) d s 1 1 1 00 00 00 00 1 Z ( p ;x ;q ;y ) (cid:12) (cid:12) Z (cid:12) (cid:12) (cid:3) 00 00 00 00 (cid:12) (cid:12) Z ( p ;x ;q ;y ) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:0) 1 00 (cid:12) (cid:12) (cid:20) j D ( s ) (cid:0) p j d s 1 00 00 00 00 1 Z ( p ;x ;q ;y ) Z (cid:3) 00 00 00 00 Z ( p ;x ;q ;y ) 1 (cid:20) (cid:22)p d s 00 00 00 00 1 Z ( p ;x ;q ;y ) Z (cid:3) 00 00 00 00 00 00 00 00 = [ Z ( p ; x ; q ; y ) (cid:0) Z ( p ; x ; q ; y ) ] (cid:1) (cid:22)p 1 1 1 (cid:20) (cid:12) (cid:1) (cid:22)p = (cid:15) : k k 3 0 0 S i n c e t h i s i n e q u a l i t y a p p l i e s t o ( p ; x ; p ; y ) , ( p ; x ; p ; y ) 2 S (cid:2) S , t h e (cid:15) - e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n k k k 1 0 0 0 0 0 0 f o l l o w s : (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:15) (cid:21) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:15) f o r a l l ( p ; x ) 2 S . 1 1 k 1 k k 3 1 3

( B ) I f ( p ; x ; q ; y ) i s n o t a N a s h e q u i l i b r i u m o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e , l e t u s a s s u m e 0 0 w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t p l a y e r 1 g a i n s f r o m d e v i a t i o n . T h e n t h e r e e x i s t s ( p ; x ) 2 S (cid:3) (cid:3) 0 0 0 0 w i t h (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) < (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) . L e t u s (cid:12) x s u c h a s t r a t e g y ( p ; x ) a n d c h o o s e (cid:14) > 0 s u c h t h a t 1 1 (cid:3) 0 0 (cid:3) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; q ; y ) > 5 (cid:14) . 1 1 0 0 C a s e p = p . F o r e a c h k , s e t x = m i n f z 2 Y : x (cid:20) z g . O b s e r v e t h a t t h e f u n c t i o n k k (cid:3) 0 ~Z ( X ) (cid:17) Z ( p ; X ; p ; y ) i s c o n t i n u o u s i n X a n d x ! x a s k ! 1 . H e n c e f o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e 1 k 1 (cid:3) (cid:3) 0 k , j Z ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) Z ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:14) = (cid:22)p a n d , b y v a r i a t i o n o f a n a r g u m e n t u s e d i n t h e p r o o f k 1 1 o f ( A ) , (cid:3) (cid:3) 0 j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; x ) j < (cid:14) . k 1 1 B a s e d o n t h e p r o o f o f ( A ) , w e c o n c l u d e f u r t h e r t h a t (cid:3) j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:15) a n d 1 k 1 (cid:3) j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:15) . k 1 k k 1 F o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e k , w e o b t a i n (cid:15) < (cid:14) a n d , b y r e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , k (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + 2 (cid:14) > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + (cid:15) o r (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) < (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:15) . T h i s 1 k 1 1 k 1 1 k k s h o w s t h a t ( p ; x ; p ; y ) i s n o t a n (cid:15) - e q u i l i b r i u m . k 0 0 0 C a s e p > p . F o r e a c h k , s e t x = m i n f z 2 Y : x (cid:20) z g a n d p = m i n f q 2 P : p (cid:20) q g . k k k k 0 F o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e k , p > p . S i n c e j p (cid:0) p j (cid:20) (cid:11) , i t f o l l o w s k k (cid:3) 0 0 (cid:3) 0 j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:11) Y . k k 1 1 S i m i l a r r e a s o n i n g a s i n t h e p r e v i o u s c a s e y i e l d s f o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e k : (cid:15) < (cid:14) , (cid:11) Y < (cid:14) a n d k k (cid:3) (cid:3) 0 j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; x ) j < (cid:14) ; k k k 1 1 (cid:3) j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:15) ; 1 k 1 (cid:3) j (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) (cid:0) (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) j < (cid:15) . k k 1 k k k 1 H e n c e , f o r s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e k , r e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y y i e l d s (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + (cid:14) > (cid:25) ( p ; x ; p ; y ) + (cid:15) 1 k k 1 1 k w h i c h i m p l i e s t h a t ( p ; x ; p ; y ) i s n o t a n (cid:15) - e q u i l i b r i u m . k 0 0 C a s e p < p . U s e t h e s a m e l o g i c a s f o r t h e c a s e p > p . Q E D 7 C o n c l u s i o n T h e p r o b l e m o f n o n - e x i s t e n c e o f a n e q u i l i b r i u m i n t h e d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n c a n b e o v e r c o m e b y r e s o r t i n g t o t h e r e a l i s t i c a s s u m p t i o n o f s m a l l e s t b i d i n c r e m e n t s . T h e r e s u l t i n g (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e s h a r e s s e v e r a l f e a t u r e s o f t h e c o n t i n u o u s a c t i o n g a m e . F o r a m e a n i n g f u l c o m p a r i s o n , a u n i f o r m p r i c e a u c t i o n s h o u l d a l s o b e m o d e l l e d a s a (cid:12) n i t e a c t i o n g a m e , w i t h t h e s a m e p r i c e a n d q u a n t i t y g r i d s a s t h e d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n . O u r a n a l y s i s s u g g e s t s t h a t t h i s c a n b e d o n e . 1 4

R C F M N N N U e f e r e n c e s h a r i , V . V . a n d W e b e r , R . J . ( 1 9 9 2 ) \ H o w t h e U . S . T r e a s u r y S h o u l d A u c t i o n i t s D e b t , " F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f M i n n e a p o li s Q u a r t e r ly R e v i e w 1 6 ( 4 ) , 3 { 1 2 . r i e d m a n , M . ( 1 9 6 0 ) A P r o g r a m f o r M o n e t a r y S t a b i li t y , N e w Y o r k : F o r d h a m U n i v e r s i t y P r e s s . e n e z e s , F . M . a n d M o n t e i r o , P . K . ( 1 9 9 5 ) \ E x i s t e n c e o f e q u i l i b r i u m i n a d i s c r i m i n a t o r y p r i c e a u c t i o n , " M a t h e m a t i c a l S o c i a l S c i e n c e s 3 0 , 2 8 5 { 2 9 2 . a s h , J . ( 1 9 5 0 ) \ E q u i l i b r i u m P o i n t s i n n - P e r s o n G a m e s , " P r o c e e d i n g o f t h e N a t i o n a l A c a d e m y o f S c i e n c e s o f t h e U . S . A . 3 6 , 4 8 { 4 9 . a u t z , D . ( 1 9 9 5 ) \ Z u r F e i n s t e u e r u n g d e s G e l d m a r k t e s d u r c h d i e W e r t p a p i e r p e n s i o n s g e s c h (cid:127)a f t e d e r B u n d e s b a n k , " Z e i t s c h r i f t f (cid:127)u r W i r t s c h a f t s - u n d S o z i a lw i s s e n s c h a f t e n 1 1 5 ( 4 ) , 6 2 3 { 6 4 4 . y b o r g , K . G . a n d S u n d a r e s a n , S . ( 1 9 9 6 ) \ D i s c r i m i n a t o r y v e r s u s U n i f o r m T r e a s u r y A u c t i o n s : E v i d e n c e f r o m W h e n - I s s u e d T r a n s a c t i o n s , " J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 4 2 ( 1 ) , 6 3 { 1 0 4 . . S . T r e a s u r y ( 1 9 9 7 ) \ T r e a s u r y b i l l , n o t e & b o n d t e n d e r i n s t r u c t i o n s , " D e p a r t m e n t o f t h e f t p : / / f t p . p u b l i c d e b t . T r e a s u r y , B u r e a u o f t h e P u b l i c D e b t , P D F 5 3 8 2 ( I ) , a v a i l a b l e f r o m t r e a s . g o v / p d f 5 3 8 2 . p d f , u p l o a d e d o n 0 9 / 0 4 / 9 7 . 1 5

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APA

Hans Haller and Yvan Lengwiler (1998). A Discrete Model of Discriminatory Price Auctions--An Alternative to Menezes-Monteiro (FEDS 1998-08). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-08

BibTeX

@techreport{wtfs_feds_1998_08,
  author = {Hans Haller and Yvan Lengwiler},
  title = {A Discrete Model of Discriminatory Price Auctions--An Alternative to Menezes-Monteiro},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1998-08},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1998},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-08},
  abstract = {Menezes and Monteiro, Math. Soc. Sci. (1995), show that a multi-unit discriminatory price auction does not have a pure strategy equilibrium unless one imposes some rather special conditions on the demand functions. This non-existence result might indicate a problem either wirh the underlying auction procedure (as Menezes and Monteiro suggest) or with the modelling approach (as we suggest). We observe that the non-existence problem disappears if bids must come in multiples of smallest units -- a realistic feature. Moreover, we show that most of the analysis can be recast in a discrete action model.},
}