Does the Fed Act Gradually? A VAR Analysis
Abstract
The tendency for changes in the federal funds rate to be implemented gradually has been considered evidence of an interest-rate smoothing objective for the Federal Reserve. This paper investigates whether gradual movements in the federal funds rate can be explained by the dynamic structure of the economy and the uncertainty that the Fed faces regarding this structure, without recourse to including an ad-hoc interest rate smoothing argument in the objective function of the Fed. The analysis calculates the optimal funds rate policy given the structural form of the economy estimated in a VAR. In the absence of parameter uncertainty, the calculated policy responds more aggressively to changes in the economy than the observed policy, resulting in a substantially higher volatility of the funds rate than observed. Parameter uncertainty, however, limits the willingness of the Fed to deviate from the policy rule that has been previously implemented. Because the Fed has historically smoothed interest rates, the calculated policy under parameter uncertainty can account for a considerable portion of the gradualism observed in funds rate movements.
w d B (cid:3) I is h is c u o a r D o e s t h e F e d A c t G r a d u a l l y ? (cid:3) A V A R A n a l y s i s B r i a n S a c k B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m A p r i l 1 9 9 8 A b s t r a c t T h e t e n d e n c y f o r c h a n g e s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e t o b e i m p l e m e n t e d g r a d u a l l y h a s b e e n c o n s i d e r e d e v i d e n c e o f a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e f o r t h e F e d e r a l R e s e r v e . T h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s w h e t h e r g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e c a n b e e x p l a i n e d b y t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y a n d t h e u n c e r t a i n t y t h a t t h e F e d f a c e s r e g a r d i n g t h i s s t r u c t u r e , w i t h o u t r e c o u r s e t o i n c l u d i n g a n a d - h o c i n t e r e s t r a t e s m o o t h i n g a r g u m e n t i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e F e d . T h e a n a l y s i s c a l c u l a t e s t h e o p t i m a l f u n d s r a t e p o l i c y g i v e n t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y e s t i m a t e d i n a V A R . I n t h e a b s e n c e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , t h e c a l c u l a t e d p o l i c y r e s p o n d s m o r e a g g r e s s i v e l y t o c h a n g e s i n t h e e c o n o m y t h a n t h e o b s e r v e d p o l i c y , r e s u l t i n g i n a s u b s t a n t i a l l y h i g h e r v o l a t i l i t y o f t h e f u n d s r a t e t h a n o b s e r v e d . P a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , h o w e v e r , l i m i t s t h e w i l l i n g n e s s o f t h e F e d t o d e v i a t e f r o m t h e p o l i c y r u l e t h a t h a s b e e n p r e v i o u s l y i m p l e m e n t e d . B e c a u s e t h e F e d h a s h i s t o r i c a l l y s m o o t h e d i n t e r e s t r a t e s , t h e c a l c u l a t e d p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n a c c o u n t f o r a c o n s i d e r a b l e p o r t i o n o f t h e g r a d u a l i s m o b s e r v e d i n f u n d s r a t e m o v e m e n t s . a m in d e b t e d t o O liv ie r B la n c h a r d a n d J e r e m y S t e in fo r t h e ir v a lu a b le s u g g e s t io n s a n d c o m m e n t s . t o t h a n k A n il K a s h y a p , A t h a n a s io s O r p h a n id e s , V in c e n t R e in h a r t , a n d R o b e r t o R ig o b o n fo r h s s io n s . T h e o p in io n s e x p r e s s e d a r e t h o s e o f t h e a u t h o r a n d d o n o t n e c e s s a r ily r e (cid:13) e c t t h e v ie w s d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r o t h e r m e m b e r s o f it s s t a (cid:11) . 1 I a ls e lp fu o f t h o l e
1 R f s p A o b m s t c t m T o t o t m F b g r t m I n t r o d u c t i o n 1 O n c e t h e F e d s t a r t s r a i s i n g r a t e s , m u lt i p le r a t e h i k e s a r e p a r f o r t h e c o u r s e . T h e r e i s a w i d e s p r e a d b e l i e f a m o n g i n v e s t o r s a s w e l l a s e c o n o m i s t s t h a t t h e F e d e r a l e s e r v e c o n d u c t s m o n e t a r y p o l i c y i n a g r a d u a l m a n n e r . T h i s b e l i e f m a y s t e m f r o m t h e a c t t h a t t h e F e d h a s h i s t o r i c a l l y i m p l e m e n t e d m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e u s i n g e q u e n c e s o f s m a l l i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . T h i s b e h a v i o r i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 1 , w h i c h 2 r e s e n t s t h e i n t e n d e d f e d e r a l f u n d s r a t e o v e r t h e p e r i o d J a n u a r y 1 9 8 4 t o S e p t e m b e r 1 9 9 7 . s e v i d e n t i n t h e (cid:12) g u r e , t h e f e d e r a l f u n d s r a t e t e n d s t o m o v e i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n v e r s u s t a i n e d p e r i o d s o f t i m e . I n a d d i t i o n , c h a n g e s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e a p p e a r t o e i m p l e m e n t e d t e n t a t i v e l y , r e q u i r i n g a l a r g e n u m b e r o f s t e p s t o c o m p l e t e a d i r e c t i o n a l o v e m e n t . T h e g r a d u a l b e h a v i o r o f t h e f e d e r a l f u n d s r a t e c a n b e d e m o n s t r a t e d w i t h s o m e s i m p l e t a t i s t i c s . T h e r e i s a s t r o n g t e n d e n c y f o r c h a n g e s i n t h e f u n d s r a t e t o b e f o l l o w e d b y a d d i i o n a l c h a n g e s i n t h e s a m e d i r e c t i o n . I n t h i s s a m p l e , 8 5 . 5 p e r c e n t o f t h e t a r g e t c h a n g e s a r e o n t i n u a t i o n s , o r h a v e t h e s a m e s i g n a s t h e p r e v i o u s c h a n g e . I n a d d i t i o n , c o n t i n u a t i o n s t e n d o o c c u r i n r a p i d s u c c e s s i o n . T h e a v e r a g e l e n g t h o f t i m e b e t w e e n c o n t i n u a t i o n s i s 3 3 d a y s , 3 u c h s h o r t e r t h a n t h e 1 0 3 d a y s t h a t e l a p s e o n a v e r a g e w h e n t h e n e x t c h a n g e i s a r e v e r s a l . h e f r e q u e n c y a n d t i m i n g o f c o n s e c u t i v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s s u g g e s t t h a t c o n t i n u a t i o n s f t e n c o n s t i t u t e s t e p s w i t h i n a s i n g l e p o l i c y m o v e m e n t , w h i l e r e v e r s a l s m a y i n s t e a d d e s c r i b e h e b e g i n n i n g o f a n e w p o l i c y a c t i o n . T h i s d e l i b e r a t e p a c e o f m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e h a s b e e n c o n s i d e r e d e v i d e n c e f a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i n c e n t i v e f o r t h e F e d e r a l R e s e r v e . U n d e r t h i s i n t e r p r e t a t i o n , h e F e d e r a l R e s e r v e i s r e l u c t a n t t o c h a n g e t h e f u n d s r a t e a g g r e s s i v e l y , c h o o s i n g i n s t e a d t o o v e t h e i n t e r e s t r a t e t e n t a t i v e l y t o w a r d s i t s n e w l e v e l . T o d e s c r i b e t h i s b e h a v i o r , w h i c h 1 N e w Y o r k T im e s T h is c o m m e n t w a s q u o t e d in t h e fo llo w in g a n in c r e a s e in t h e fe d e r a l fu n d s r a t e b y t h e e d e r a l R e s e r v e o n M a r c h 2 5 , 1 9 9 7 . 2 T h e t a r g e t s e r ie s is t h a t w h ic h is r e p o r t e d in R u d e b u s c h ( 1 9 9 5 ) t h r o u g h 1 9 9 2 :9 . T h e t a r g e t s e r ie s h a s e e n e x t e n d e d t h r o u g h 1 9 9 7 :9 b a s e d o n p r e s s r e le a s e s b y t h e F O M C a n n o u n c in g p o lic y a c t io n s . 3 R u d e b u s c h ( 1 9 9 5 ) p r e s e n t s m o r e fo r m a l e v id e n c e o f t h is b e h a v io r in a p a p e r a b o u t t h e im p lic a t io n s o f r a d u a l fu n d s r a t e m o v e m e n t s fo r t h e t e r m s t r u c t u r e o f in t e r e s t r a t e s . H e e s t im a t e s n o n - p a r a m e t r ic h a z a r d a t e s s h o w in g t h a t in t h e (cid:12) r s t s e v e r a l w e e k s fo llo w in g a t a r g e t c h a n g e , a c o n t in u a t io n is m u c h m o r e lik e ly h a n a r e v e r s a l, w h ile o n c e fo u r w e e k s h a v e e la p s e d s in c e t h e la s t t a r g e t c h a n g e , t h e t a r g e t b e h a v e s m u c h o r e lik e a r a n d o m w a lk . 2
Percent 12 10 8 6 4 2 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 h a i t r e p p r b s B a o a F i g u r e 1 : I n t e n d e d F e d e r a l F u n d s R a t e g r a d u a li s m a s b e e n r e f e r r e d t o a s , m a n y e m p i r i c a l s t u d i e s o f m o n e t a r y p o l i c y i n c o r p o r a t e n e x p l i c i t i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i n c e n t i v e i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e F e d . H o w e v e r , n t r o d u c i n g t h i s a r g u m e n t h a s l i t t l e j u s t i (cid:12) c a t i o n b e y o n d m a t c h i n g t h e d a t a . F u r t h e r m o r e , h e a b o v e s t a t i s t i c s p r o v i d e e v i d e n c e o f g r a d u a l i s m o n l y i f t h e F e d w o u l d o t h e r w i s e c h o o s e a a n d o m - w a l k p o l i c y i n t h e a b s e n c e o f a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e . T h e r e f o r e , w h i l e s t a b l i s h i n g t h a t t h e f u n d s r a t e i s n o t a r a n d o m w a l k , t h e s e s t a t i s t i c s d o n o t n e c e s s a r i l y r o v i d e e v i d e n c e o f g r a d u a l i s m i n m o n e t a r y p o l i c y . T h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s w h e t h e r g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e c a n b e e x l a i n e d b y t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y a n d t h e u n c e r t a i n t y t h a t t h e F e d f a c e s e g a r d i n g t h i s s t r u c t u r e , a s s u m i n g t h a t t h e o n l y o b j e c t i v e o f t h e F e d i s m a c r o e c o n o m i c s t a i l i t y . I n f o r m u l a t i n g i t s c u r r e n t a n d f u t u r e p o l i c y c h o i c e s , t h e F e d m u s t c o n s i d e r t h e c u r r e n t t a t e o f t h e e c o n o m y a n d t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s i n t h e e c o n o m y . e c a u s e t h e s e v a r i a b l e s e x h i b i t s t r o n g s e r i a l c o r r e l a t i o n a n d r e s p o n d t o m o n e t a r y p o l i c y w i t h s u b s t a n t i a l l a g , i n e r t i a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e m a y b e e x p e c t e d e v e n i n t h e a b s e n c e f a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e . T a k i n g t h i s i n t o c o n s i d e r a t i o n , g r a d u a l i s m i s d e (cid:12) n e d s t h e t e n d e n c y t o l i m i t c h a n g e s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e t o a g r e a t e r d e g r e e t h a n c a n b e 3
4 a c c o u n t e d f o r b y t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . G r a d u a l m o n e t a r y p o l i c y w o u l d s m o o t h t h e r e s p o n s e o f t h e f u n d s r a t e t o a c h a n g e i n t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y , r e s u l t i n g i n h i g h e r s e r i a l c o r r e l a t i o n o f f u n d s r a t e c h a n g e s t h a n e x p e c t e d f r o m t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e e c o n o m y . S e c t i o n 2 o f t h e p a p e r p r o v i d e s e v i d e n c e o f g r a d u a l i s m u n d e r t h i s m o r e s t r i n g e n t d e (cid:12) n i t i o n . A v e c t o r a u t o r e g r e s s i o n ( V A R ) i s e s t i m a t e d , a n d t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y i s p a r t i a l l y i d e n t i (cid:12) e d u s i n g a m i n i m u m n u m b e r o f r e s t r i c t i o n s . G i v e n t h i s d y n a m i c s t r u c t u r e , t h e a n a l y s i s c a l c u l a t e s t h e f u n d s r a t e p o l i c y t h a t m a x i m i z e s a n o b j e c t i v e f u n c t i o n i n v o l v i n g t h e d i s c o u n t e d s u m o f d e v i a t i o n s o f p r o d u c t i o n g r o w t h , u n e m p l o y m e n t , a n d i n (cid:13) a t i o n f r o m t h e i r r e s p e c t i v e t a r g e t s . T h e a n a l y s i s a s s u m e s t h a t a l l o f t h e u n c e r t a i n t y i n t h e e c o n o m y e n t e r s t h r o u g h a d d i t i v e d i s t u r b a n c e s . A s a r e s u l t , t h e c a l c u l a t e d p o l i c y i s n o t a (cid:11) e c t e d b y t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y a n d o n l y r e (cid:13) e c t s t h e d y n a m i c s t r u c t u r e t h a t h a s b e e n e s t i m a t e d . T h e c a l c u l a t e d p o l i c y d e p e n d s o n t h e l a g g e d f u n d s r a t e t o t h e e x t e n t w a r r a n t e d b y t h e i n t e r t e m p o r a l s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . T h i s p o l i c y c a n t h e r e f o r e b e c o m p a r e d t o t h e a c t u a l b e h a v i o r o f t h e f u n d s r a t e t o d e t e r m i n e w h e t h e r a c t u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s a r e e x c e s s i v e l y g r a d u a l . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e e s t i m a t e d d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y c a n a c c o u n t f o r t h e o b s e r v e d p e r s i s t e n c e o f t h e d i r e c t i o n a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e . T h e o p t i m a l p o l i c y d i s p l a y s a t e n d e n c y t o m o v e i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n o v e r s u s t a i n e d p e r i o d s o f t i m e , a s f o u n d i n t h e d a t a . S t i l l , t h e o p t i m a l p o l i c y r e s p o n d s m o r e a g g r e s s i v e l y t o c h a n g e s i n t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y t h a n t h e o b s e r v e d p o l i c y . A s a r e s u l t , t h e f u n d s r a t e p a t h u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y i s m o r e v o l a t i l e t h a n t h e a c t u a l f u n d s r a t e . M o r e o v e r , t h e o b s e r v e d p o l i c y t e n d s t o l a g b e h i n d t h e o p t i m a l p o l i c y , l i m i t i n g a n y c h a n g e s i n t h e f u n d s r a t e a n d g r a d u a l l y m o v i n g t o w a r d s t h e o p t i m a l p o l i c y o v e r a p e r i o d o f 6 m o n t h s . T h e a c t u a l p o l i c y i s t h e r e f o r e d e s c r i b e d b y a n e x c e s s i v e a m o u n t o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t c a n n o t b e e x p l a i n e d s t r i c t l y b y t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e v a r i a b l e s t o w h i c h t h e F e d i s r e s p o n d i n g . T h e i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t i s o b s e r v e d m a y r e (cid:13) e c t t h e c a u t i o u s r e a c t i o n o f t h e F e d t o u n c e r t a i n t y o v e r t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . I f t h e e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o l i c y o n t h e e c o n o m y i s u n c e r t a i n , s t r o n g f u n d s r a t e m o v e m e n t s w o u l d i n d u c e a h i g h l e v e l o f v a r i a n c e i n t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s . I t m a y i n s t e a d b e o p t i m a l t o a d j u s t t h e f u n d s r a t e d e l i b e r a t e l y t o 4 D e (cid:12) n e d a s s u c h , g r a d u a lis m c o r r e s p o n d s t o t h e c o n c e p t o f in t e r e s t - r a t e s m o o t h in g . O t h e r a u t h o r s h a v e u s e d t h e t e r m g r a d u a lis m t o d e s c r ib e a r e lu c t a n c e t o m o v e t h e fu n d s r a t e fr o m a le v e l o t h e r t h a n t h e la g g e d fu n d s r a t e , s u c h a s t h e e q u ilib r iu m r e a l r a t e p lu s in (cid:13) a t io n . 4
l p a u f p e u f p F t p o i p s v v e 2 T s v a s t s i m i t a n y u n d e s i r e d i m p a c t o n t h e e c o n o m y . I n s e c t i o n 3 o f t h e p a p e r , t h e c a l c u l a t e d f u n d s r a t e p o l i c y a c c o u n t s f o r t h e f a c t t h a t t h e a r a m e t e r s o f t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y a r e e s t i m a t e d i m p r e c i s e l y i n t h e V A R . T h e n a l y s i s d e m o n s t r a t e s t h a t t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s a r i s i n g f r o m p a r a m e t e r n c e r t a i n t y i s m i n i m i z e d a t t h e l e v e l o f t h e f u n d s r a t e p r e d i c t e d b y t h e e s t i m a t e d r e a c t i o n u n c t i o n o f t h e F e d . B e c a u s e i t h a s o b s e r v e d t h e e (cid:11) e c t o f t h e p o l i c y r u l e t h a t h a s b e e n r e v i o u s l y i m p l e m e n t e d , t h e F e d h a s t h e m o s t p r e c i s e e s t i m a t e s a b o u t t h e r e s p o n s e o f t h e c o n o m y w h e n i t c h o o s e s t h e f u n d s r a t e a c c o r d i n g t o t h a t r u l e . A s a r e s u l t , p a r a m e t e r n c e r t a i n t y o f t h i s f o r m c o n s t r a i n s t h e c u r r e n t p o l i c y m a k e r n o t t o a c t t o o m u c h a t v a r i a n c e r o m t h e p o l i c y r u l e t h a t h a s b e e n p r e v i o u s l y i m p l e m e n t e d . T h i s r e l u c t a n c e t o c h a n g e t h e o l i c y r u l e d a m p e n s t h e a g g r e s s i v e f u n d s r a t e c h a n g e s u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y s i n c e t h e e d h a s h i s t o r i c a l l y s m o o t h e d i n t e r e s t r a t e s . T h e a n a l y s i s u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n h e r e f o r e a c c o u n t f o r a c o n s i d e r a b l e p o r t i o n o f t h e g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s o b s e r v e d . B y c o n t r o l l i n g f o r t h e e (cid:11) e c t s o f d y n a m i c s t r u c t u r e a n d p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , t h e e x e r c i s e r o v i d e s a m e a s u r e o f t h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e b j e c t i v e f u n c t i o n a s s u m e d . I n g e n e r a l , t h e r e r e m a i n s a n e l e m e n t o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g n t h e d a t a , b u t t h i s t e n d e n c y m a y b e l e s s e x t e n s i v e t h a n p r e v i o u s l y b e l i e v e d . T h e c a l c u l a t e d o l i c y c o n t i n u e s t o r e a c t m o r e s t r o n g l y t o c h a n g e s i n t h e e c o n o m y , w h i l e t h e o b s e r v e d p o l i c y m o o t h e s t h e r e s p o n s e o f t h e f u n d s r a t e o v e r a p e r i o d o f s e v e r a l m o n t h s . H o w e v e r , t h e o l a t i l i t y o f t h e f u n d s r a t e u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y i s o n l y s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h e o b s e r v e d o l a t i l i t y . I n a d d i t i o n , d e v i a t i o n s b e t w e e n t h e a c t u a l a n d o p t i m a l f u n d s r a t e a r e t y p i c a l l y l i m i n a t e d w i t h i n 3 m o n t h s . G r a d u a l i s m u n d e r A d d i t i v e U n c e r t a i n t y h e a n a l y s i s i n t h i s s e c t i o n i n v e s t i g a t e s w h e t h e r g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e t e m f r o m t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . T h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e n o n - p o l i c y a r i a b l e s i s a s s u m e d t o b e g i v e n b y t h e p o i n t e s t i m a t e s o f t h e s t r u c t u r a l f o r m i d e n t i (cid:12) e d f r o m V A R p l u s a n a d d i t i v e d i s t u r b a n c e t h a t i s i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d . U s i n g t h i s e s t i m a t e d t r u c t u r e , t h e s o l u t i o n t o a d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m y i e l d s t h e i n t e r e s t r a t e p o l i c y h a t w o u l d b e e x p e c t e d i f t h e F e d w e r e c o n c e r n e d o n l y w i t h t h e g o a l o f m a c r o e c o n o m i c t a b i l i t y . 5
c d l e e g t L t r w i t d w s o l c F V p S T h e f u n d s r a t e p o l i c y t h a t r e s u l t s f r o m t h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s a f u n c t i o n o f a l l u r r e n t a n d l a g g e d v a r i a b l e s i n t h e e c o n o m y i n a m a n n e r t h a t t a k e s i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e y n a m i c b e h a v i o r o f t h e s e v a r i a b l e s . I n p a r t i c u l a r , t h e o p t i m a l f u n d s r a t e w i l l d e p e n d o n a g g e d v a l u e s o f t h e f u n d s r a t e t o a n e x t e n t d e t e r m i n e d b y t h e i n t e r t e m p o r a l s t r u c t u r e o f t h e c o n o m y . T h e b e h a v i o r o f t h i s o p t i m a l p o l i c y i s t h e n c o m p a r e d t o t h e a c t u a l p o l i c y b e h a v i o r s t i m a t e d i n t h e V A R t o i n v e s t i g a t e w h e t h e r a c t u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s a r e e x c e s s i v e l y r a d u a l . T h e o p t i m a l p o l i c y i s d e r i v e d a s s u m i n g t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y i s i n v a r i a n t t o h e p o l i c y c h o s e n b y t h e F e d a n d i s t h e r e f o r e s u b j e c t t o t h e L u c a s ( 1 9 7 6 ) c r i t i q u e . W h i l e t h e u c a s c r i t i q u e a p p l i e s t o a l l o p t i m a l p o l i c y a n a l y s i s , t h e c r i t i c i s m m a y b e m o r e p e r s u a s i v e i n h e c o n t e x t o f a V A R . T h e V A R i s a r e d u c e d f o r m i n w h i c h t h e p a r a m e t e r s r e (cid:13) e c t s t r u c t u r a l e l a t i o n s h i p s a s w e l l a s t h e f o r m a t i o n o f e x p e c t a t i o n s . B e c a u s e e x p e c t a t i o n s i n p a r t i c u l a r i l l b e s e n s i t i v e t o p o l i c y r u l e s , t h e p a r a m e t e r s o f t h e V A R w i l l d e p e n d o n t h e p o l i c y t h a t 5 s i m p l e m e n t e d . T h e V A R e s t i m a t e s d e s c r i b e t h e r e s p o n s i v e n e s s o f t h e e c o n o m y t o m o n e t a r y p o l i c y , g i v e n h e e x p e c t a t i o n t h a t t h e F e d i s f o l l o w i n g t h e o b s e r v e d p o l i c y r u l e . T h e c a l c u l a t e d p o l i c y e p i c t s t h e f u n d s r a t e t h a t t h e F e d w o u l d i m p l e m e n t , c o n d i t i o n a l o n t h e e x p e c t a t i o n t h a t i t i l l a c t g r a d u a l l y . B e c a u s e o f t h i s , t h e r e s u l t s i n t h e c a s e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y a r e m o r e u s c e p t i b l e t o t h e L u c a s c r i t i q u e , a s t h e c a l c u l a t e d p o l i c y d e v i a t e s s u b s t a n t i a l l y f r o m t h e b s e r v e d p o l i c y . H o w e v e r , t h e c a l c u l a t e d p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i n v o l v e s o n l y i m i t e d d e v i a t i o n s f r o m t h e o b s e r v e d p o l i c y , t h e r e b y r e d u c i n g t h e s i g n i (cid:12) c a n c e o f t h e L u c a s 6 r i t i q u e . 5 R e c e n t a t t e m p t s t o p e r fo r m o p t im a l p o lic y a n a ly s is u s in g s t r u c t u r a l m o d e ls o f t h e e c o n o m y in c lu d e u h r e r ( 1 9 9 7 ) , F u h r e r a n d M o o r e ( 1 9 9 5 ) , a n d R o t e m b e r g a n d W o o d fo r d ( 1 9 9 7 ) . T h e r e la t iv e m e r it s o f t h e A R a n d s t r u c t u r a l a p p r o a c h e s is d is c u s s e d b y S im s ( 1 9 9 6 ) . T h e s e p a p e r s h a v e n o t c o n s id e r e d t h e e (cid:11) e c t o f a r a m e t e r u n c e r t a in t y o n t h e o p t im a l p o lic y . 6 O t h e r a u t h o r s h a v e a n a ly z e d m u c h la r g e r d e v ia t io n s in p o lic y in t h e c o n t e x t o f a V A R . F o r e x a m p le , im s a n d Z h a ( 1 9 9 6 ) c o m p le t e ly e lim in a t e t h e e n d o g e n o u s r e s p o n s e o f t h e fu n d s r a t e t o a s h o c k in t h e V A R . 6
2 . 1 C a l c u l a t i n g t h e O p t i m a l P o l i c y T h e V A R t h a t i s e s t i m a t e d a s s u m e s t h a t t h e e c o n o m y i s d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g l i n e a r s t r u c t u r a l m o d e l : q q Z (cid:0) (cid:0) Z A Z b v = + i + t i t i i t i t i i = 0 = 0 X X q q 0 i (cid:0) (cid:0) c Z i = + d i + v t t i i t i i t i i = 0 = 1 X X Z w h e r e i s a n n (cid:2) 1 v e c t o r o f n o n - p o l i c y v a r i a b l e s , i i s t h e p o l i c y v a r i a b l e , q i s t h e n u m b e r o f t t l a g s i n t h e V A R , a n d b o l d f a c e d e n o t e s m a t r i c e s o r v e c t o r s . T h i s i s a s y s t e m o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s i n w h i c h e a c h v a r i a b l e i s a l l o w e d t o d e p e n d o n t h e c u r r e n t a n d l a g g e d v a l u e s Z i v o f a l l o t h e r v a r i a b l e s i n t h e s y s t e m . T h e a n d v t e r m s a r e t h e u n c o r r e l a t e d s t r u c t u r a l t t d i s t u r b a n c e s t o t h e s y s t e m . T h e v e c t o r o f n o n - p o l i c y v a r i a b l e s i n t h e V A R i s g i v e n b y 0 Z = , w h i c h i n c l u d e s t h e g r o w t h r a t e o f i n d u s t r i a l p r o d u c t i o n ( d e n o t e d t y u (cid:25) c t t t t h i y ) , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e ( u ) , t h e r a t e o f i n (cid:13) a t i o n ( (cid:25) ) , a n d a c o m m o d i t y p r i c e i n (cid:13) a t i o n r a t e 7 ( c ) . A s i s n o w c o m m o n i n t h e V A R l i t e r a t u r e , c o m m o d i t y p r i c e s a r e i n c l u d e d t o c o n t r o l f o r e x p e c t e d f u t u r e i n (cid:13) a t i o n . P r o d u c t i o n g r o w t h a n d u n e m p l o y m e n t a r e m e a s u r e d a s d e v i a t i o n s f r o m a l i n e a r t r e n d a s a c r u d e a p p r o x i m a t i o n f o r c h a n g e s i n p o t e n t i a l o u t p u t . P r o d u c t i o n g r o w t h a n d i n (cid:13) a t i o n r a t e s a r e a l w a y s r e p o r t e d o n a n a n n u a l i z e d b a s i s . T h e p o l i c y v a r i a b l e i i s t a k e n t o b e t h e f e d e r a l f u n d s r a t e . T h e r e d u c e d f o r m o f t h i s s y s t e m c a n b e e s t i m a t e d a n d t h e s t r u c t u r a l c o e (cid:14) c i e n t s r e c o v e r e d w i t h a s u (cid:14) c i e n t n u m b e r o f i d e n t i (cid:12) c a t i o n a s s u m p t i o n s . H o w e v e r , c a l c u l a t i n g t h e o p t i m a l f u n d s r a t e d o e s n o t r e q u i r e f u l l i d e n t i (cid:12) c a t i o n o f t h e s y s t e m . I n s t e a d , i t i s o n l y n e c e s s a r y t o i m p o s e t h e t i m i n g a s s u m p t i o n t h a t t h e F e d c a n r e s p o n d t o c o n t e m p o r a n e o u s v a r i a b l e s i n t h e e c o n o m y w h e n s e t t i n g t h e f u n d s r a t e , b u t t h a t t h e f u n d s r a t e d o e s n o t h a v e a c o n t e m p o r a n e o u s i m p a c t o n t h e e c o n o m y . T h i s a s s u m p t i o n i s c o m m o n l y u s e d a n d i s r e a s o n a b l e f o r t h e U . S . g i v e n t h a t t h e m o n t h l y f r e q u e n c y o f t h e d a t a . I n t e r m s o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s b a b o v e , t h i s a s s u m p t i o n i m p o s e s t h a t = 0 . 0 T h e s a m p l e i s c h o s e n b a s e d o n t h e s t a b i l i t y o f t h e V A R c o e (cid:14) c i e n t s f o r t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s , s o t h a t t h e V A R a c c u r a t e l y m e a s u r e s t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e e c o n o m y . W h i l e t h e p r e s e n c e o f a s t r u c t u r a l c h a n g e i n l a t e 1 9 7 9 h a s b e e n p r e v i o u s l y d o c u m e n t e d , t h e V A R 7 M o r e s p e c i(cid:12) c a lly , t h e m e a s u r e o f in (cid:13) a t io n is b a s e d o n t h e C P I le s s s h e lt e r , a n d c o m m o d it y p r ic e in (cid:13) a t io n is b a s e d o n t h e P S C C O M in d e x fr o m C it ib a s e . 7
c t d 1 e c t e r m s t : a t f i w g d g t t t a o e (cid:14) c i e n t s o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s a r e q u i t e u n s t a b l e i n t h e e a r l y 1 9 8 0 ’ s a s w e l l . B e c a u s e h e e x e r c i s e m a k e s c o m p a r i s o n s t o t h e v o l a t i l i t y o f t h e a c t u a l f u n d s r a t e , i t m a y a l s o b e e s i r a b l e t o e x c l u d e t h e e p i s o d e o f n o n - b o r r o w e d r e s e r v e s t a r g e t i n g t h a t o c c u r r e d b e t w e e n 8 9 7 9 : 1 0 a n d 1 9 8 2 : 1 0 . T o e x c l u d e t h i s e p i s o d e f r o m a l l l a g s i n t h e s y s t e m , t h e V A R i s s t i m a t e d o v e r t h e p e r i o d 1 9 8 3 : 1 0 t o 1 9 9 6 : 1 2 . T h i s c h o i c e o f t h e b e g i n n i n g o f t h e s a m p l e i s o n s i s t e n t w i t h t h e s t a b i l i t y o f t h e n o n - p o l i c y e q u a t i o n s a s i n d i c a t e d b y t h e l i k e l i h o o d r a t i o e s t r e c o m m e n d e d b y S i m s ( 1 9 8 0 ) . T h i s t e s t r e j e c t s s t r u c t u r a l s t a b i l i t y o f t h e n o n - p o l i c y q u a t i o n s o v e r t h e p e r i o d 1 9 8 2 : 1 0 t o 1 9 8 3 : 0 9 a t t h e : 0 0 0 s i g n i (cid:12) c a n c e l e v e l , b u t i t c a n n o t e j e c t s t a b i l i t y o v e r t h e 1 9 8 3 : 1 0 t o 1 9 8 4 : 0 9 p e r i o d , w i t h a s i g n i (cid:12) c a n c e l e v e l o f : 3 9 8 . S i m i l a r l y , t h e l a g s t r u c t u r e f o r t h e V A R i s c h o s e n b y t e s t i n g r e s t r i c t i o n s o n l a g s u s i n g t h e o d i (cid:12) e d l i k e l i h o o d r a t i o t e s t . T h e l a g s t r u c t u r e m u s t a c h i e v e a b a l a n c e b e t w e e n a l l o w i n g u (cid:14) c i e n t d y n a m i c s a n d a v o i d i n g o v e r - p a r a m e t e r i z a t i o n . T h e d a t a d o e s n o t r e j e c t r e s t r i c t i n g h e V A R f r o m 1 2 t o 8 l a g s . A d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n s a r e r e j e c t e d , w i t h a s i g n i (cid:12) c a n c e l e v e l o f 0 1 9 f o r m o v i n g t o 6 l a g s . A l a g s t r u c t u r e t h a t i n c l u d e s 8 l a g s i s t h e r e f o r e m a i n t a i n e d . T h e V A R d e s c r i b e s b o t h t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s i n t h e e c o n o m y n d t h e r e a c t i o n f u n c t i o n o f t h e F e d e r a l R e s e r v e . T h e e x e r c i s e t h a t f o l l o w s i s t o c a l c u l a t e h e o p t i m a l f u n d s r a t e p o l i c y t a k i n g a s g i v e n t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y e s t i m a t e d r o m t h e V A R . T h e r e a c t i o n f u n c t i o n o f t h e F e d e s t i m a t e d i n t h e V A R i s c o m p l e t e l y i g n o r e d n d e r i v i n g t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e f o l l o w i n g o b j e c t i v e f u n c t i o n i s a s s u m e d f o r t h e F e d : 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) i 2 2 2 ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) + (cid:21) ( u (cid:0) u ) + (cid:21) ( y (cid:0) y ) E (cid:12) (cid:0) t i u t i y t i t + + + 2 ) ( i= 1 i h X h e r e t h e w e i g h t s (cid:21) a n d (cid:21) d e t e r m i n e t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e d e v i a t i o n o f p r o d u c t i o n u y r o w t h , u n e m p l o y m e n t , a n d i n (cid:13) a t i o n f r o m t h e i r r e s p e c t i v e t a r g e t s . T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o e s n o t c o n t a i n a n y e x p l i c i t r e a s o n t o s m o o t h i n t e r e s t r a t e s , s i n c e t h e p u r p o s e i s t o i n v e s t i a t e w h e t h e r g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s c a n b e e x p l a i n e d w i t h o u t s i m p l y a s s u m i n g t h a t h e F e d p r e f e r s t o a c t g r a d u a l l y . T h e f o l l o w i n g a n a l y s i s s o l v e s f o r t h e p o l i c y r u l e t h a t m a x i m i z e s t h i s o b j e c t i v e s u b j e c t t o h e d y n a m i c s i m p l i e d b y t h e V A R e s t i m a t e s . T o s o l v e t h i s p r o b l e m , d e (cid:12) n e a s t a t e v e c t o r h a t i n c l u d e s c u r r e n t a n d l a g g e d v a l u e s o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s a n d l a g g e d v a l u e s o f t h e 8 S e e B e r n a n k e a n d M ih o v ( 1 9 9 5 ) fo r a n a n a ly s is o f m o n e t a r y p o lic y u n d e r d i(cid:11) e r e n t o p e r a t in g r e g im e s a n d d d it io n a l r e fe r e n c e s . 8
f T s T z u v p t w I w R a c e d e r a l f u n d s r a t e : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) X = f y ; y ; : : : ; y ; u ; u ; : : : ; u ; (cid:25) ; (cid:25) ; : : : ; (cid:25) ; t t t t t t t t t t 1 8 1 8 1 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c ; c ; : : : ; c ; i ; : : : ; i g : t t t t t 1 8 1 8 h e o p t i m a l p o l i c y w i l l b e a s o l u t i o n t o t h e f o l l o w i n g B e l l m a n e q u a t i o n : (cid:3) 0 (cid:3) X X X G X X X V ( ) = m a x f (cid:0) ( (cid:0) ) ( (cid:0) ) + (cid:12) E [ V ( ) ] g t t t t t+ 1 ti u b j e c t t o X F X H J = (cid:1) + (cid:1) i + + (cid:22) : t t t t + 1 + 1 G h e p e r - p e r i o d l o s s f u n c t i o n i s e x p r e s s e d i n a g e n e r a l q u a d r a t i c f o r m . e r o s e x c e p t f o r t h e d i a g o n a l e l e m e n t s c o r r e s p o n d i n g t o c o n t e m p o r a n e o u s p r o d n e m p l o y m e n t , a n d i n (cid:13) a t i o n , w h i c h c o n t a i n t h e r e l a t i v e w e i g h t s . T h e d y n a m F H J e c t o r i s g o v e r n e d b y t h e m a t r i x a n d t h e v e c t o r s a n d , w h i c h a r e c o o i n t e s t i m a t e s o f t h e c o e (cid:14) c i e n t s f r o m t h e V A R . A l l o f t h e u n c e r t a i n t y i n t h i s h r o u g h a n a d d i t i v e s t o c h a s t i c v e c t o r (cid:22) . t+ 1 S i n c e t h e p e r - p e r i o d p a y o u t i s q u a d r a t i c a n d t h e d y n a m i c s a r e l i n e a r , t h e i l l h a v e t h e f o l l o w i n g f o r m : 0 0 X X (cid:3) X X V ( ) = + 2 ! + (cid:26) : t c a n b e s h o w n t h a t t h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m i s g i v e n b y 0 (cid:0) 0 0 0 a 1 H (cid:3) H H (cid:3) F X H (cid:3) J H i = (cid:0) ( ) ( (cid:1) + + ! ) t t a (cid:3) i t h i d e n o t i n g t h e s o l u t i o n u n d e r a d d i t i v e u n c e r t a i n t y . T h e m a t r i x m i c c a t i e q u a t i o n 0 0 0 (cid:0) 0 1 (cid:3) G F (cid:3) F F (cid:3) H H (cid:3) H H (cid:3) F = (cid:0) + (cid:12) (cid:0) (cid:12) ( ) n d ! s a t i s (cid:12) e s 0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 1 1 I F I (cid:3) H H (cid:3) H H ! = ( (cid:0) (cid:12) ( (cid:0) ( ) ) ) (cid:1) (cid:3) 0 0 (cid:0) 0 1 G X F (cid:3) I H H (cid:3) H H (cid:3) J ( + (cid:12) ( (cid:0) ( ) ) ) : I n d e r i v i n g t h i s p o l i c y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y e r t a i n t y b y t h e F e d . I n p a r t i c u l a r , t h e F e d d o e s n o t g i v e a n y c o n s i d e r a t i o n t 9 i s a m a t r i x o f u c t i o n g r o w t h , i c s o f t h e s t a t e m p o s e d o f t h e p r o b l e m e n t e r s v a l u e f u n c t i o n ( 1 ) u s t s a t i s f y t h e ( 2 ) ( 3 ) i s k n o w n w i t h o t h e p r e c i s i o n
o s t t t i t l h m t o T o s (cid:12) t i d t v F i b t G t v f t h e e s t i m a t e s i n t h e V A R , i n s t e a d t a k i n g t h e p o i n t e s t i m a t e s t o t r u l y d e s c r i b e t h e d y n a m i c t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . I n s e c t i o n 3 , t h e v a r i a n c e o f t h e V A R e s t i m a t e s i s c o n s i d e r e d i n h e a n a l y s i s t o i n v e s t i g a t e t h e e (cid:11) e c t o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y o n t h e c a l c u l a t e d p o l i c y . T h e p o l i c y r u l e r e s u l t i n g f r o m t h i s e x e r c i s e i s l e s s r e s t r i c t i v e t h a n a p o l i c y r u l e o f t h e y p e a d v o c a t e d b y T a y l o r ( 1 9 9 3 ) . T a y l o r - t y p e r u l e s t y p i c a l l y a l l o w t h e f u n d s r a t e t o r e a c t o t h e o u t p u t g a p a n d t h e d e v i a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n f r o m a t a r g e t , w i t h t h e l a g g e d f u n d s r a t e n c l u d e d i n t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n t o a c c o u n t f o r t h e i n t e r e s t r a t e s m o o t h i n g o b s e r v e d . U n d e r h e c a l c u l a t e d p o l i c y i n e q u a t i o n ( 1 ) , t h e f e d e r a l f u n d s r a t e i s a f u n c t i o n o f a l l c u r r e n t a n d a g g e d v a l u e s o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s a n d l a g g e d v a l u e s o f t h e f u n d s r a t e . W h i l e t h e r e a v e b e e n n o a t t e m p t s t o i n v e s t i g a t e t h e p r e s e n c e o f g r a d u a l i s m u s i n g a T a y l o r - t y p e r u l e , 9 o s t e s t i m a t e s o f t h e s e r u l e s (cid:12) n d a v e r y s i g n i (cid:12) c a n t e (cid:11) e c t o f l a g g e d i n t e r e s t r a t e s . H o w e v e r , h i s (cid:12) n d i n g l e a v e s o p e n t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e e (cid:11) e c t o f l a g g e d i n t e r e s t r a t e s e x i s t s i n i t s w n r i g h t o r r e p r e s e n t s a l a g g e d e (cid:11) e c t o n f u n d a m e n t a l s n o t c a p t u r e d b y t h e a s s u m e d r u l e . h e u n r e s t r i c t e d s t r u c t u r e o f t h e V A R e (cid:11) e c t i v e l y a c c o u n t s f o r t h e i m p a c t o f l a g g e d r a t e s n t h e e x p e c t e d p a t h o f f u n d a m e n t a l s , a n d t h e r e f o r e p e r m i t s c o n c l u s i o n s a b o u t \ e x c e s s " e n s i t i v i t y t o l a g g e d f u n d s r a t e s . a T h e b e h a v i o r o f t h e o p t i m a l p o l i c y i w i l l d e p e n d o n t h e s i x p a r a m e t e r s i n t h e p r o b l e m : (cid:3) (cid:3) (cid:3) , (cid:21) , (cid:21) , y , (cid:25) , a n d u . T h e s o l u t i o n o (cid:11) e r e d i n e q u a t i o n s ( 1 ) t h r o u g h ( 3 ) h o l d s w h e n u y 1 0 h e s e p a r a m e t e r s a r e c o n s t a n t . I n t h e r e s u l t s t h a t f o l l o w , a d i s c o u n t f a c t o r o f (cid:12) = : 9 9 6 s i m p o s e d . T h e r e s u l t s a r e n o t s i g n i (cid:12) c a n t l y a (cid:11) e c t e d b y o t h e r r e a s o n a b l e c h o i c e s o f t h e i s c o u n t f a c t o r . B e c a u s e p r o d u c t i o n a n d u n e m p l o y m e n t a r e m e a s u r e d a s d e v i a t i o n s f r o m (cid:3) (cid:3) 1 1 h e i r p o t e n t i a l l e v e l s , y = 0 a n d u = 0 . T h e r e m a i n i n g t h r e e p a r a m e t e r s a r e c h o i c e a r i a b l e s o f t h e F e d a n d a r e e s t i m a t e d f r o m t h e a c t u a l b e h a v i o r o f t h e f e d e r a l f u n d s r a t e . (cid:3) a o r a n y c h o i c e o f (cid:21) , (cid:21) , a n d (cid:25) , t h e p o l i c y r u l e i c a n b e c a l c u l a t e d . T h e o p t i m a l f u n d s r a t e u y s t h e n c o m p u t e d b y s u b s t i t u t i n g t h e v e c t o r o f s t a t e v a r i a b l e s i n t o t h e d e r i v e d r u l e p e r i o d y - p e r i o d . T h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s m i n i m i z e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e o p t i m a l p o l i c y a n d 1 2 h e a c t u a l f u n d s r a t e , w h e r e t h e d i s t a n c e i s m e a s u r e d b y t h e s u m o f s q u a r e d d e v i a t i o n s . 9 S e e , fo r e x a m p le , t h e e s t im a t e s b y C la r id a , G a li, a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) , p a r t ic u la r ly o v e r t h e V o lc k e r r e e n s p a n p e r io d . 1 0 I n p a r t ic u la r , t h e s o lu t io n a b o v e a s s u m e s a v a lu e fu n c t io n w it h c o n s t a n t p a r a m e t e r s , w h ic h r e q u ir e s t h a t h e t a r g e t s d o n o t v a r y t h r o u g h t im e . I t is b e c a u s e o f t h is t h a t t h e V A R in c lu d e s d i(cid:11) e r e n c e d s e r ie s . 1 1 A n a lt e r n a t iv e s p e c i(cid:12) c a t io n d o e s n o t d e t r e n d p r o d u c t io n g r o w t h a n d u n e m p lo y m e n t a n d s e t s t h e t a r g e t e d (cid:3) (cid:3) y : u : a lu e s e q u a l t o t h e ir s a m p le m e a n s : = 2 6 9 , a n d = 6 3 9 . T h is s p e c i(cid:12) c a t io n y ie ld s s im ila r r e s u lt s . 1 2 T h e p a r a m e t e r s c a n n o t b e e s t im a t e d b y m o r e c o n v e n t io n a l m e t h o d s b e c a u s e t h e p a r a m e t e r (cid:3) is d e (cid:12) n e d 1 0
T h e e s t i m a t e d o b j e c t i v e f u n c t i o n h a s t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s : (cid:21) = 1 : 0 , (cid:21) = 0 : 3 , a n d u y (cid:3) 1 3 (cid:25) = 2 : 8 . W h e r e a s e s t i m a t e s o f T a y l o r - t y p e r u l e s i n d i c a t e t h e s p e e d w i t h w h i c h t h e F e d r e s p o n d s t o d e v i a t i o n s i n t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s , t h e r e s p o n s e s p e e d i s a f u n c t i o n o f b o t h t h e d y n a m i c s o f t h e e c o n o m y a n d t h e p r e f e r e n c e s o f t h e F e d . T h e c u r r e n t a n a l y s i s s e p a r a t e s t h e t w o c o m p o n e n t s t o t h e e x t e n t t h a t t h e V A R e (cid:11) e c t i v e l y d e s c r i b e s t h e d y n a m i c s o f t h e e c o n o m y , t h u s p r o v i d i n g a n i n f o r m a t i v e e s t i m a t e o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e F e d . T h e e s t i m a t e s i n d i c a t e t h a t t h e F e d i s c o n c e r n e d a b o u t d e v i a t i o n s i n b o t h i n (cid:13) a t i o n a n d r e a l v a r i a b l e s f r o m t h e i r p o t e n t i a l v a l u e s . F u r t h e r m o r e , i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t h a v e e q u a l w e i g h t s , w h i l e a d d i t i o n a l a t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e g r o w t h i n p r o d u c t i o n . B y u s i n g t h e s e e s t i m a t e d w e i g h t s , t h e a n a l y s i s t h a t f o l l o w s a l l o w s f o r t h e m o s t s u c c e s s f u l d e s c r i p t i o n o f m o n e t a r y p o l i c y w i t h i n t h e c l a s s o f o b j e c t i v e f u n c t i o n s a s s u m e d . 2 . 2 C o m p a r i n g t h e A c t u a l a n d O p t i m a l F u n d s R a t e D e s p i t e t h e c o m p l e x i t y o f t h e s o l u t i o n i n e q u a t i o n s ( 1 ) t h r o u g h ( 3 ) , t h e o p t i m a l p o l i c y i s q u i t e s u c c e s s f u l a t d e s c r i b i n g t h e a c t u a l b e h a v i o r o f t h e f u n d s r a t e . T h i s s u c c e s s i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 2 , w h i c h p l o t s t h e v a l u e o f t h e f u n d s r a t e p r e d i c t e d b y t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e g i v e n t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y i n e a c h m o n t h . I n o t h e r w o r d s , f o r a n y p a r t i c u l a r a m o n t h t h e (cid:12) g u r e g r a p h s t h e f u n d s r a t e c h o i c e i g i v e n t h a t i t h a s p r e v i o u s l y i m p l e m e n t e d t h e a c t u a l f u n d s r a t e . T h e c a l c u l a t e d p o l i c y r u l e e (cid:11) e c t i v e l y d e s c r i b e s t h e l e v e l o f t h e f u n d s r a t e t h r o u g h o u t t h e s a m p l e . H o w e v e r , t h e r e i s c l e a r l y a d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e b e h a v i o r o f t h e a c t u a l a n d o p t i m a l p o l i c i e s . T h i s i s m o s t e v i d e n t b y c o m p a r i n g t h e v o l a t i l i t y o f t h e t w o s e r i e s . T h e s t a n d a r d e r r o r o f t h e c h a n g e i n t h e o p t i m a l f u n d s r a t e i s 4 3 . 6 b a s i s p o i n t s , w e l l a b o v e t h e s t a n d a r d e r r o r o f 2 8 . 3 b a s i s p o i n t s f o r t h e a c t u a l f u n d s r a t e c h a n g e . T h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e v o l a t i l i t y r e (cid:13) e c t s t h e f a c t t h a t f u n d s r a t e m o v e m e n t s a r e m o r e a g g r e s s i v e u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e . T h i s d i (cid:11) e r e n c e c a n b e s e e n b y c o m p a r i n g t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s o f t h e t w o p o l i c i e s t o v a r i o u s s h o c k s i n t h e e c o n o m y . T o d o s o , i t i s n e c e s s a r y t o i m p o s e a d d i t i o n a l i d e n t i (cid:12) c a t i o n a s s u m p t i o n s t h a t w e r e n o t r e q u i r e d f o r c a l c u l a t i n g t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e i d e n t i (cid:12) c a t i o n c h o s e n a s s u m e s t h a t t h e m a t r i x d e s c r i b i n g im p lic it ly b y e q u a t io n ( 2 ) a n d m u s t b e s o lv e d n u m e r ic a lly . A s a r e s u lt , t h e e x e r c is e d o e s n o t m e a s u r e t h e p r e c is io n o f t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s . 1 3 D u e t o t h e c o m p u t in g p o w e r r e q u ir e d f o r t h is e x e r c is e , t h e s e v a lu e s a r e s e a r c h e d o v e r a fa ir ly c o a r s e g r id , : w it h p r e c is io n o f 1 0 . 1 1
Percent 12 Monthly Actual Funds Rate Optimal Funds Rate 10 8 6 4 2 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 NNoottee:: TThhee OOppttiimmaall FFuunnddss RRaattee iiss bbaasseedd oonn tthhee ppoolliiccyy rruullee tthhaatt ssoollvveess tthhee ddyynnaammiicc pprrooggrraammmmiinngg pprroobblleemm ddeessccrriibbeedd iinn tthhee tteexxtt.. IInn ppaarrttiiccuullaarr,, iitt iiss tthhee rraattee pprreeddiicctteedd bbyy tthhee ppoolliiccyy rruullee ggiivveenn tthhee aaccttuuaall hhiissttoorryy ooff tthhee eeccoonnoommyy aatt eeaacchh ppooiinntt iinn ttiimmee.. t t w d i i T a r s s t c A F i g u r e 2 : A c t u a l a n d O p t i m a l F u n d s R a t e u n d e r A d d i t i v e U n c e r t a i n t y A h e c o n t e m p o r a n e o u s i n t e r a c t i o n o f t h e v a r i a b l e s , d e n o t e d i n t h e V A R s y s t e m , i s l o w 0 r i a n g u l a r . I n o t h e r w o r d s , t h e i d e n t i (cid:12) c a t i o n i s a c h i e v e d t h r o u g h a C h o l e s k i d e c o m p o s i t i o i t h t h e o r d e r i n g o f t h e v a r i a b l e s a s f y ; u ; (cid:25) ; c ; i g . U n d e r t h i s i d e n t i (cid:12) c a t i o n , F i g u r e t t t t t i s p l a y s t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s o f t h e a c t u a l f u n d s r a t e a n d t h e o p t i m a l f u n d s r a n r e s p o n s e t o a s h o c k t o e a c h o f t h e (cid:12) v e v a r i a b l e s i n t h e V A R . T h e t e n d e n c y f o r t h e F e d t o i m p l e m e n t g r a d u a l , p e r s i s t e n t m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a s e v i d e n t i n t h e r e s p o n s e o f t h e a c t u a l p o l i c y t o e a c h o f t h e (cid:12) v e s h o c k s i n t h e e c o n o m h e F e d a p p e a r s r e l u c t a n t t o m a k e a g g r e s s i v e c h a n g e s i n t h e f u n d s r a t e , c h o o s i n g i n s t e a d d j u s t t h e f u n d s r a t e g r a d u a l l y s o t h a t m a n y m o n t h s o f t e n p a s s b e f o r e t h e p e a k o f t h e f u n a t e r e s p o n s e i s r e a c h e d . M o r e o v e r , t h e f u n d s r a t e r e v e r t s b a c k t o i t s p r e v i o u s l e v e l v e l o w l y , s o t h a t i n s e v e r a l i n s t a n c e s i t t a k e s y e a r s t o i m p l e m e n t t h e f u l l r e s p o n s e t o a o n e - t i m h o c k . T h e s e m o v e m e n t s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e g r a d u a l f u n d s r a t e b e h a v i o r d e s c r i b e d h e i n t r o d u c t i o n . H o w e v e r , t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s o f t h e o p t i m a l p o l i c y i n d i c a t e t h a t d r a w i n g c o l u s i o n s a b o u t g r a d u a l i s m f r o m t h e p e r s i s t e n c e o f f u n d s r a t e m o v e m e n t s m a y b e m i s l e a d i n s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h i s p e r s i s t e n c e c a n b e a c c o u n t e d f o r b y t h e d y n a m i c s t r u c t u r e 1 2 e r n , 3 t e t e y . t o d s r y e i n n g . o f
RR eessppoonnssee ttoo UUnneemmppllooyymmeenntt SShhoocckk RR eessppoonnssee ttoo PPrroodduuccttiioonn SShhoocckk 00..11 00..33 00..00 00..22 --00..11 00..11 --00..22 00..00 --00..33 --00..44 --00..11 00 66 1122 1188 2244 3300 3366 00 66 1122 1188 2244 3300 3366 MMoonntthhss MMoonntthhss RR eessppoonnssee ttoo FFuunnddss RRaattee SShhoocckk RR eessppoonnssee ttoo IInnffllaattiioonn SShhoocckk 00..33 00..22 00..22 00..11 00..11 00..00 00..00 --00..11 --00..11 --00..22 00 66 1122 1188 2244 3300 3366 00 66 1122 1188 2244 3300 3366 MMoonntthhss MMoonntthhss RR eessppoonnssee ttoo CCoommmmooddiittyy PPrriiccee SShhoocckk 00..2255 Legend: 00..1155 Actual Funds Rate Optimal Funds Rate 00..0055 --00..0055 00 66 1122 1188 2244 3300 3366 MMoonntthhss Note: Figures display 90% confidence intervals for the actual policy. F i g u r e 3 : I m p u l s e R e s p o n s e F u n c 1 t 3 i o n s u n d e r A d d i t i v e U n c e r t a i n t y
t t o o p e a i i t p w o o f v r i t r t t t a m t d r r h e e c o n o m y , e v e n t h o u g h t h e F e d h a s n o i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e . T h i s i s p a r i c u l a r l y t h e c a s e i n r e s p o n s e t o s h o c k s t o p r o d u c t i o n g r o w t h o r u n e m p l o y m e n t , w h e r e t h e p t i m a l p o l i c y i n v o l v e s a r e s p o n s e t h a t b u i l d s o v e r t i m e a n d s l o w l y r e v e r t s , s i m i l a r t o t h a t b s e r v e d i n t h e d a t a . A l t h o u g h d y n a m i c s t r u c t u r e c a n e x p l a i n p e r s i s t e n t f u n d s r a t e m o v e m e n t s , t h e o p t i m a l o l i c y r e s p o n d s m o r e a g g r e s s i v e l y t h a n t h e o b s e r v e d p o l i c y t o e a c h o f t h e (cid:12) v e s h o c k s i n t h e c o n o m y . E v e n i n r e s p o n s e t o p r o d u c t i o n a n d u n e m p l o y m e n t s h o c k s , w h e r e t h e r e a c t i o n s r e t h e m o s t s i m i l a r , t h e o p t i m a l p o l i c y i n v o l v e s a s w i f t e r m o v e m e n t o f t h e f u n d s r a t e m m e d i a t e l y f o l l o w i n g t h e s h o c k . T h e a c t u a l r e s p o n s e i n s t e a d d a m p e n s t h e i m m e d i a t e c h a n g e n t h e f u n d s r a t e , r e a c h i n g t h e o p t i m a l r e s p o n s e o n l y a f t e r 3 t o 6 m o n t h s , a n d a l s o r e v e r t s o i t s p r e v i o u s l e v e l m o r e s l o w l y . L a r g e r d e v i a t i o n s a r i s e b e t w e e n t h e a c t u a l a n d o p t i m a l o l i c i e s i n r e s p o n s e t o t h e o t h e r t h r e e s h o c k s . S h o c k s t o i n (cid:13) a t i o n a n d c o m m o d i t y p r i c e s 1 4 a r r a n t s u d d e n i n c r e a s e s i n t h e f u n d s r a t e t h a t p e a k w i t h i n 4 m o n t h s o f t h e s h o c k . T h e b s e r v e d p o l i c y i n s t e a d i n v o l v e s p a s s i v e i n c r e a s e s i n t h e f u n d s r a t e t h a t d o n o t p e a k u n t i l 7 r 8 m o n t h s f o l l o w i n g t h e s h o c k . T h e o b s e r v e d p o l i c y m a i n t a i n s a r e s t r a i n e d a n d d e l i b e r a t e s p e e d o f a d j u s t m e n t f o r t h e u n d s r a t e t h a t i s s i m i l a r a c r o s s a l l s h o c k s , d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e o p t i m a l r e a c t i o n s p e e d a r i e s a c r o s s s h o c k s , s u g g e s t i n g t h a t t h e F e d i s s i m p l y r e l u c t a n t t o m a k e a g g r e s s i v e f u n d s a t e c h a n g e s . T h i s b e h a v i o r i s p e r h a p s m o s t a p p a r e n t i n r e s p o n s e t o s h o c k s t o t h e f u n d s r a t e t s e l f . S i n c e b y d e (cid:12) n i t i o n t h e s e s h o c k s a r e o r t h o g o n a l t o c h a n g e s i n t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s , h e r e i s l i t t l e r e a s o n f o r t h e f u n d s r a t e t o r e m a i n p e r s i s t e n t l y h i g h . T h i s i s r e (cid:13) e c t e d i n t h e e a c t i o n o f t h e o p t i m a l p o l i c y , w h i c h o (cid:11) s e t s t h e f u n d s r a t e s h o c k v e r y q u i c k l y . B y c o n t r a s t , h e a c t u a l f u n d s r a t e a g a i n o n l y s l o w l y d e c l i n e s t o i t s p r e v i o u s l e v e l . W h e n t h e u n c e r t a i n t y i n t h e e c o n o m y i s a d d i t i v e , a n d t h e r e f o r e u n r e l a t e d t o t h e p o l i c y h a t i s i m p l e m e n t e d , t h e F e d f a c e s n o r e s t r a i n t t o r e s p o n d i n g s t r o n g l y t o m o v e m e n t s i n h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s f r o m t h e i r t a r g e t s . A s a r e s u l t , t h e o p t i m a l p o l i c y r e a c t s m o r e g g r e s s i v e l y t h a n t h e o b s e r v e d p o l i c y i n r e s p o n s e t o d e v e l o p m e n t s i n t h e e c o n o m y . I n f a c t , o s t o f t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e t w o p o l i c i e s a r i s e s f r o m t h e r e a c t i o n o f t h e f u n d s r a t e w i t h i n h e f e w m o n t h s i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g a s h o c k . T h e v a r i a n c e o f f u n d s r a t e c h a n g e s c a n b e e c o m p o s e d i n t o t h e p o r t i o n e x p l a i n e d b y t h e r e a c t i o n f u n c t i o n a t d i (cid:11) e r e n t t i m e s f o l l o w i n g 1 4 T h e (cid:12) r s t t w o o b s e r v a t io n s o f t h e r e s p o n s e t o a s h o c k t o in (cid:13) a t io n a r e e x c lu d e d fr o m t h e (cid:12) g u r e . T h e e a s o n is t h a t t h e V A R s u (cid:11) e r s fr o m t h e \ p r ic e p u z z le ," s o t h a t t h e im m e d ia t e r e a c t io n o f in (cid:13) a t io n t o fu n d s a t e m o v e m e n t s is p e r v e r s e , w h ic h a (cid:11) e c t s t h e im m e d ia t e r e s p o n s e t o t h e in (cid:13) a t io n s h o c k . 1 4
t h e s h o c k . T a b l e 1 p r e s e n t s t h e r e l a t i v e v a r i a n c e o f f u n d s r a t e c h a n g e s u n d e r t h e t w o p o l i c i e s e x p l a i n e d b y t h e r e a c t i o n f u n c t i o n b e t w e e n t h e s h o c k a n d t h e t i m e p e r i o d i n d i c a t e d . T a b l e 1 : R e l a t i v e V o l a t i l i t y o f F u n d s R a t e C h a n g e s M o n t h s F o l l o w i n g S h o c k 1 3 6 1 2 2 4 1 a v a r ( (cid:1) i ) = v a r ( (cid:1) i ) 1 . 4 8 2 . 1 2 2 . 2 7 2 . 5 0 2 . 6 4 2 . 6 6 T h e r a t i o o f t h e u n c o n d i t i o n a l v a r i a n c e s i s g i v e n b y t h e a m o u n t e x p l a i n e d b y t h e e n t i r e r e a c t i o n f u n c t i o n , d e n o t e d 1 i n t h e l a s t c o l u m n o f t h e t a b l e , i n d i c a t i n g t h a t t h e v a r i a n c e o f 1 5 f u n d s r a t e c h a n g e s i s 2 . 6 6 t i m e s h i g h e r u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e t a b l e d e m o n s t r a t e s t h a t a l a r g e p o r t i o n o f t h i s d i (cid:11) e r e n c e i s e x p l a i n e d b y t h e r e a c t i o n s w i t h i n t h r e e m o n t h s o f t h e s h o c k , f r o m w h i c h t h e v a r i a n c e o f f u n d s r a t e c h a n g e s i s o v e r t w i c e a s h i g h u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y . T h i s (cid:12) n d i n g c o r r e s p o n d s t o a n p o i n t m a d e b y C e c c h e t t i ( 1 9 9 5 ) , w h o a r g u e s t h a t p o l i c y s h o u l d r e s p o n d q u i c k l y t o e x p e c t e d i n (cid:13) a t i o n s i n c e t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y o n p r i c e s 1 6 i s r e a l i z e d o n l y a f t e r a s u b s t a n t i a l d e l a y . S i m i l a r l y , t h e c u r r e n t a n a l y s i s i n d i c a t e s t h a t , g i v e n t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y , m o n e t a r y p o l i c y i s e x p e c t e d t o m o v e t h e f u n d s r a t e s t r o n g l y i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g a s h o c k , w h i l e t h e o b s e r v e d r e a c t i o n o f t h e f u n d s r a t e i s i n s t e a d d a m p e n e d . T h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e \ r e a c t i o n s p e e d " o f t h e t w o p o l i c i e s i s e v i d e n t i n F i g u r e 4 , w h i c h d e p i c t s t h e p a t h t h a t t h e f u n d s r a t e w o u l d h a v e f o l l o w e d h a d t h e F e d b e e n i m p l e m e n t i n g t h e o p t i m a l p o l i c y t h r o u g h o u t t h i s p e r i o d . I n c o n t r a s t t o F i g u r e 2 , w h i c h r e s e t s t h e s t a t e X v a r i a b l e t o i t s a c t u a l v a l u e i n e a c h m o n t h , F i g u r e 4 a l l o w s t h e s t a t e v a r i a b l e t o e v o l v e a c c o r d i n g t o t h e e s t i m a t e d d y n a m i c s o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s a n d t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e , a s s u m i n g t h a t t h e e c o n o m y i s s u b j e c t t o t h e s a m e s e r i e s o f s h o c k s . T h e p e r s i s t e n c e o b s e r v e d i n t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s i s r e (cid:13) e c t e d b y p e r s i s t e n t d i r e c t i o n a l m o v e m e n t s i n t h e o p t i m a l f u n d s r a t e . T h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t h e n o n - p o l i c y v a r i a b l e s w a r r a n t s d i r e c t i o n a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e o f d u r a t i o n r e m a r k a b l y c l o s e t o t h o s e o b s e r v e d i n t h e d a t a . A s a r e s u l t , i t w o u l d b e i n c o r r e c t t o c o n c l u d e t h a t t h e F e d h a s a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e s i m p l y f r o m t h e t e n d e n c y f o r t h e f u n d s r a t e t o m o v e i n o n e d i r e c t i o n o v e r s u b s t a n t i a l p e r i o d s o f t i m e . 1 5 T h is r a t io is s o m e w h a t d i(cid:11) e r e n t fr o m t h e r a t io o f 2 .3 7 t h a t is o b t a in e d u s in g t h e s t a n d a r d d e v ia t io n s fr o m F ig u r e 1 , s in c e t h o s e w e r e c a lc u la t e d g iv e n t h e o b s e r v e d h is t o r y o f t h e e c o n o m y a t e a c h p o in t in t im e . 1 6 C e c c h e t t i( 1 9 9 5 ) p e r fo r m s a n e x e r c is e s im ila r t o t h e o n e h e r e , (cid:12) n d in g t h a t t h e F e d s h o u ld r e a c t m o r e s t r o n g ly t o v a r io u s s h o c k s in t h e e c o n o m y . H e a ls o d is c u s s e s t h e a m o u n t o f u n c e r t a in t y o v e r t h e e (cid:11) e c t o f p o lic y o n in (cid:13) a t io n , a lt h o u g h h e d o e s n o t in c o r p o r a t e it in t o t h is e x e r c is e . 1 5
Percent 12 Monthly Actual Funds Rate Optimal Funds Rate 10 8 6 4 2 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 NNoottee:: TThhee OOppttiimmaall FFuunnddss RRaattee PPaatthh iiss tthhee ppaatthh tthhaatt tthhee ffuunnddss rraattee wwoouulldd hhaavvee ffoolllloowweedd iiff tthhee FFeedd hhiissttoorriiccaallllyy iimmpplleemmeenntteedd tthhee ccaallccuullaatteedd ppoolliiccyy rruullee,, aassssuummiinngg tthhaatt iitt ffaacceedd tthhee ssaammee sseerriieess ooff sshhoocckkss ttoo nnoonn--ppoolliiccyy vvaarriiaabblleess.. s F r o v (cid:12) i t r a b F i g u r e 4 : A c t u a l a n d O p t i m a l F u n d s R a t e P a t h u n d e r A d d i t i v e U n c e r t a i n t y A l t h o u g h b r o a d m o v e m e n t s i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n c a n b e e x p l a i n e d b y t h e d y n a m i c t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y , t h e d i (cid:11) e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o p a t h s r e (cid:13) e c t t h e t e n d e n c y f o r t h e e d t o s m o o t h t h e f u n d s r a t e . A s o b s e r v e d i n F i g u r e 2 , t h e o p t i m a l p o l i c y i s v e r y v o l a t i l e e l a t i v e t o t h e o b s e r v e d p o l i c y . C o n s i d e r i n g t h e s e (cid:12) n d i n g s , s t a t i s t i c s s u c h a s t h e p e r c e n t a g e f c o n t i n u a t i o n s m a y o n l y g a u g e g r a d u a l i s m t o t h e e x t e n t t h a t t h e y m e a s u r e t h e l i m i t e d o l a t i l i t y i n t h e f u n d s r a t e , r a t h e r t h a n c o n t i n u e d d i r e c t i o n a l m o v e m e n t s . I n a d d i t i o n , t h e n d i n g t h a t t h e o p t i m a l p o l i c y r e a c t s m o r e a g g r e s s i v e l y t o c h a n g e s i n t h e e c o n o m y i s r e (cid:13) e c t e d n t h e d e v i a t i o n b e t w e e n t h e p a t h s . I n n e a r l y e v e r y d i r e c t i o n a l m o v e m e n t o f t h e f u n d s r a t e , 1 7 h e o p t i m a l p o l i c y l e a d s t h e a c t u a l p o l i c y , a s t h e t e n d e n c y t o s m o o t h c h a n g e s i n t h e f u n d s a t e c a u s e s t h e F e d t o f a l l b e h i n d t h e o p t i m a l f u n d s r a t e m o v e m e n t . T h e g r a d u a l b e h a v i o r d e p i c t e d i n F i g u r e s 3 a n d 4 i s e (cid:11) e c t i v e l y d e s c r i b e d b y a p a r t i a l d j u s t m e n t m o d e l m o d i (cid:12) e d t o c a p t u r e i n e r t i a i n f u n d s r a t e c h a n g e s : 1 7 T h e o n ly e x c e p t io n is t h e m o s t r e c e n t d e c lin e in t h e fu n d s r a t e , w h ic h in v o lv e d t h r e e t a r g e t r a t e c h a n g e s e g in n in g o n 2 / 1 / 9 5 t h a t d r o p p e d t h e fu n d s r a t e 7 5 b a s is p o in t s . 1 6
P a r t i a l - A d j u s t m e n t M o d e l u n d e r A d d i t i v e U n c e r t a i n t y a (cid:0) (cid:0) (cid:1) i = 0 : 2 1 0 ( i (cid:0) i ) + 0 : 3 9 4 (cid:1) i t t t 1 1 t ( 4 : 2 5 ) ( 5 : 6 6 ) 2 , R = : 2 5 5 D : W : = 2 : 1 8 a w h e r e i i s t h e o p t i m a l p o l i c y f r o m t h e c a l c u l a t e d r u l e . T h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n p r e s e n t s a p a r s i - t m o n i o u s m e a s u r e o f t h e e x t e n t o f i n t e r e s t r a t e s m o o t h i n g f o u n d i n t h e d a t a . T h e e s t i m a t e s i n d i c a t e t h a t t h e c h a n g e i n t h e f u n d s r a t e o n l y p a r t i a l l y o (cid:11) s e t s a d e v i a t i o n f r o m t h e o p t i m a l f u n d s r a t e , w i t h t h e l a g g e d c h a n g e i n t h e f u n d s r a t e e x e r t i n g a s i g n i (cid:12) c a n t e (cid:11) e c t o n t h e d y n a m i c s . A b s e n t p r e v i o u s f u n d s r a t e c h a n g e s , a p e r m a n e n t 1 0 0 b a s i s p o i n t i n c r e a s e i n t h e o p t i m a l f u n d s r a t e r e s u l t s i n a c o n t e m p o r a n e o u s r i s e i n t h e a c t u a l f u n d s r a t e o f o n l y 2 1 b a s i s p o i n t s . T h e f u n d s r a t e i n s t e a d m o v e s g r a d u a l l y t o w a r d s t h e o p t i m a l l e v e l , r i s i n g 6 7 b a s i s 1 8 p o i n t s a f t e r 3 m o n t h s a n d 9 8 b a s i s p o i n t s a f t e r 6 m o n t h s . T h e r e s u l t s r e i t e r a t e t h e c o n c l u s i o n s r e a c h e d i n t h i s s e c t i o n . T h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y c a n e x p l a i n a l a r g e p o r t i o n o f t h e m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e o v e r t h e s a m p l e , i n c l u d i n g t h e t e n d e n c y t o m o v e i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n o v e r a s u s t a i n e d p e r i o d o f t i m e . H o w e v e r , t h e r e i s c l e a r l y a n e l e m e n t o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t c a n n o t b e c a p t u r e d b y t h e a s s u m e d o b j e c t i v e f u n c t i o n . T h e v o l a t i l i t y o f t h e f u n d s r a t e i s m u c h l o w e r t h a n e x p e c t e d , a s t h e o b s e r v e d p o l i c y d a m p e n s t h e c h a n g e s i n t h e f u n d s r a t e e x p e c t e d i n r e s p o n s e t o a s h o c k t o t h e e c o n o m y . I n a d d i t i o n , t h e F e d t e n d s t o f a l l b e h i n d t h e m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e t h a t w o u l d m a x i m i z e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a s s u m e d , a s t h e f u n d s r a t e m o v e s o n l y g r a d u a l l y t o w a r d s t h e o p t i m a l l e v e l . T h e f a i l u r e t o f u l l y d e s c r i b e t h e g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s t h a t a r e o b s e r v e d p e r m i t s s e v e r a l p o s s i b l e e x p l a n a t i o n s . O n e i s t h a t t h e F e d t r u l y h a s a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e , s o t h a t t h e l o s s f u n c t i o n a s s u m e d a b o v e i s i n c o r r e c t . H o w e v e r , t h e r e i s n o t a s t r o n g j u s t i (cid:12) c a t i o n f o r m o d i f y i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n w i t h t h i s t e r m , b e y o n d t h e f a c t t h a t 1 9 i t m o r e s u c c e s s f u l l y (cid:12) t s t h e d a t a . T h e f a i l u r e t o f u l l y e x p l a i n f u n d s r a t e m o v e m e n t s c o u l d i n s t e a d r e (cid:13) e c t a m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e p r o b l e m c o n f r o n t i n g t h e F e d . T h e a b o v e a n a l y s i s 1 8 O f c o u r s e t h is s p e c i(cid:12) c a t io n im p o s e s s o m e s t r u c t u r e o n t h e d y n a m ic s o f t h e a d ju s t m e n t . S im ila r d y n a m ic s a r e o b t a in e d in a s p e c i(cid:12) c a t io n w it h u n r e s t r ic t e d d y n a m ic s . S o m e o f t h e g r a d u a l b e h a v io r e s t im a t e d in t h e p a r t ia l- a d ju s t m e n t e q u a t io n c o u ld b e a t t r ib u t e d t o m is m e a s u r e m e n t o f t h e o p t im a l fu n d s r a t e . T h is e q u a t io n is la t e r e s t im a t e d in t h e c a s e w it h p a r a m e t e r u n c e r t a in t y , in d ic a t in g t h a t t h is c o m p o n e n t o f t h e p r o b le m is in s t e a d r e s p o n s ib le fo r m u c h o f t h e s lo w a d ju s t m e n t s p e e d . 1 9 S e v e r a l ju s t i(cid:12) c a t io n s fo r t h is t e r m h a v e b e e n o (cid:11) e r e d in t h e lit e r a t u r e o n m o n e t a r y p o lic y , in c lu d in g p r o - 1 7
a v o b i 3 W o i c o g t m p c s t o d i t u V t o u d m s s u m e s t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y i s k n o w n w i t h c e r t a i n t y , w i t h a l l o f t h e s t o c h a s t i c a r i a t i o n i n t h e e c o n o m y e n t e r i n g t h r o u g h a n a d d i t i v e d i s t u r b a n c e . A n i m p o r t a n t e l e m e n t f p o l i c y m a k i n g i s t h e f a c t t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y i s n o t k n o w n , b u t i n s t e a d m u s t e e s t i m a t e d i m p r e c i s e l y . T h e n e x t s e c t i o n i n v e s t i g a t e s w h e t h e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n n f a c t a c c o u n t f o r t h e g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e o b s e r v e d . I n c o r p o r a t i n g P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y h i l e t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y c a n n o t b y i t s e l f a c c o u n t f o r t h e g r a d u a l b e h a v i o r f t h e f u n d s r a t e , u n c e r t a i n t y o v e r t h e d y n a m i c s t r u c t u r e s h o u l d a l s o h a v e a s i g n i (cid:12) c a n t m p a c t o n m o n e t a r y p o l i c y . T h e e (cid:11) e c t o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y o n t h e o p t i m a l p o l i c y h o i c e w a s (cid:12) r s t a n a l y z e d b y B r a i n a r d ( 1 9 6 7 ) , w h o f o u n d t h a t u n c e r t a i n t y r e g a r d i n g t h e e (cid:11) e c t f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t l e a d s t h e p o l i c y m a k e r t o u s e t h e i n s t r u m e n t l e s s a g g r e s s i v e l y . M o r e e n e r a l l y , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y l i m i t s t h e d e v i a t i o n o f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t f r o m t h e l e v e l h a t m i n i m i z e s t h e v a r i a n c e o f i t s e (cid:11) e c t . R e c e n t w o r k h a s f o c u s e d o n t h i s e (cid:11) e c t i n d y n a m i c 2 0 o d e l s i n w h i c h t h e u n c e r t a i n t y i s d e t e r m i n e d b y a l e a r n i n g p r o c e s s . I n t h e s e m o d e l s , t h e r o b l e m f a c i n g t h e p o l i c y m a k e r i s t o e s t i m a t e a s e t o f p a r a m e t e r s t h a t m a y b e s t o c h a s t i c a l l y h a n g i n g t h r o u g h t i m e . H o w e v e r , s t a b i l i t y t e s t s f o r t h e V A R c o e (cid:14) c i e n t s i n d i c a t e t h a t t h e t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y i s s t a b l e o v e r t h i s s a m p l e . I t m a y t h e r e f o r e b e m o r e r e l e v a n t o c o n c e n t r a t e o n t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y a r i s i n g e x c l u s i v e l y f r o m t h e i m p r e c i s e e s t i m a t i o n f t h e s t r u c t u r a l f o r m o f t h e e c o n o m y . W h i l e t h e e x e r c i s e i n s e c t i o n 2 i n c o r p o r a t e s o n l y t h e p o i n t e s t i m a t e s o f t h e c o e (cid:14) c i e n t s i n e r i v i n g t h e o p t i m a l p o l i c y , t h e e x e r c i s e t h a t f o l l o w s a l s o c o n s i d e r s t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d n t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e p o i n t e s t i m a t e s . B y m e a s u r i n g t h e p a r a m e t e r u n c e r a i n t y u s i n g t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x f r o m t h e V A R , t h e a n a l y s i s f o c u s e s o n p a r a m e t e r n c e r t a i n t y a r i s i n g e x c l u s i v e l y f r o m i m p r e c i s e e s t i m a t i o n , a s s u m i n g t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e A R i s c o n s t a n t o v e r t h i s s a m p l e . e c t in g t h e b a n k in g s e c t o r a g a in s t (cid:12) n a n c ia l c r is is ( s e e G o o d fr ie n d ( 1 9 8 7 ) a n d C u k ie r m a n ( 1 9 9 1 ) ) a n d c o n c e r n v e r \ w h ip s a w in g " (cid:12) n a n c ia l m a r k e t s ( s e e G o o d fr ie n d ( 1 9 9 1 ) ) . 2 0 S e e , fo r e x a m p le , p a p e r s b y W ie la n d ( 1 9 9 7 ) a n d S a c k ( 1 9 9 8 ) . W ie la n d ( 1 9 9 7 ) o (cid:11) e r s a m o d e l in w h ic h n c e r t a in t y o v e r t h e p a r a m e t e r s o f t h e P h illip s c u r v e le a d s t o a m u t e d r e s p o n s e o f t h e fu n d s r a t e t o t h e e v ia t io n o f in (cid:13) a t io n fr o m it s t a r g e t . S a c k ( 1 9 9 8 ) p r e s e n t s a m o d e l in w h ic h le a r n in g a b o u t t h e p o lic y u lt ip lie r c a u s e s t h e F e d t o lim it t h e d e v ia t io n o f t h e fu n d s r a t e fr o m it s p r e v io u s le v e l. 1 8
3 T a q e o g C s t a a p n w i v w s T m e T f v t v r . 1 O p t i m a l P o l i c y u n d e r P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y h e p r o b l e m i n s e c t i o n 2 a s s u m e s t h a t a l l u n c e r t a i n t y i n t h e e c o n o m y i s c a p t u r e d b y a n d d i t i v e s t o c h a s t i c d i s t u r b a n c e t o t h e s t a t e v a r i a b l e s . B e c a u s e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i s u a d r a t i c , a d d i t i v e u n c e r t a i n t y h a s n o e (cid:11) e c t o n t h e c a l c u l a t e d p o l i c y { t h a t i s , c e r t a i n t y q u i v a l e n c e h o l d s . T h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t i n c o r p o r a t e s u n c e r t a i n t y i n t h e d y n a m i c s f t h e s t a t e v a r i a b l e i s s u b s t a n t i a l l y m o r e d i (cid:14) c u l t . H o w e v e r , t h e p r o b l e m c a n b e s i m p l i (cid:12) e d r e a t l y b y i m p o s i n g a n a d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n a n d r e d e (cid:12) n i n g t h e s t a t e v a r i a b l e o f t h e p r o b l e m . (cid:0) X X o n s i d e r a n e w v e c t o r o f s t a t e v a r i a b l e s d e (cid:12) n e d a s = E [ ] , o r t h e p r o j e c t i o n o f t h e t t t 1 X t a t e v a r i a b l e o n t i m e t (cid:0) 1 i n f o r m a t i o n . T h e p o l i c y c h o i c e o f t h e F e d i s n o w c o n s t r a i n e d t c o b e a f u n c t i o n o f t h i s n e w s t a t e v a r i a b l e . B e c a u s e t h i s p r o j e c t i o n c a n b e w r i t t e n a s (cid:0) X l i n e a r c o m b i n a t i o n o f , t h i s r e s t r i c t i o n s i m p l y c o r r e s p o n d s t o t h e o t h e r \ t i m i n g " t 1 s s u m p t i o n t h a t i s c o m m o n l y m a d e { t h a t t h e F e d c a n n o t r e s p o n d t o s h o c k s t o t h e n o n o l i c y v a r i a b l e s w i t h i n t h e m o n t h . T h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s o f t h e a c t u a l p o l i c y d o o t c h a n g e s i g n i (cid:12) c a n t l y w h e n t h i s r e s t r i c t i o n i s i m p o s e d . E q u i p p e d w i t h t h e n e w s t a t e v a r i a b l e , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e o p t i m a l p o l i c y i s s t r a i g h t f o r a r d . T h e s i m p l i (cid:12) c a t i o n c o m e s b e c a u s e t h e e (cid:11) e c t o f t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n n o w b e n c l u d e d i n t h e p e r - p e r i o d l o s s f u n c t i o n f o r t h e F e d , w h i l e t h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t h e s t a t e a r i a b l e n o l o n g e r i n v o l v e s s t o c h a s t i c c o e (cid:14) c i e n t s . T h e s o l u t i o n t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i l l s a t i s f y t h e f o l l o w i n g B e l l m a n e q u a t i o n : (cid:3) 0 (cid:3) 0 0 X X G X X X K X X L X X (cid:0) ( (cid:0) ) ( (cid:0) ) (cid:0) ( + 2 ) + (cid:12) V ( ) : ( 4 ) V ( ) = m a x t t t t t + 1 t t ti n h i o c c c c c c c u b j e c t t o X F X H J = (cid:1) + (cid:1) i + + (cid:22) : t t t t + 1 + 1 c c h e t r a n s i t i o n m a t r i c e s s t i l l c o n s i s t o f t h e p o i n t e s t i m a t e s f r o m t h e V A R , s i n c e t h e s e d e t e r i n e t h e p a t h o f t h e e x p e c t e d s t a t e v a r i a b l e . S i n c e t h e p e r - p e r i o d l o s s f u n c t i o n i n v o l v e s t h e x p e c t e d s q u a r e d d e v i a t i o n s o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s , i t c a n b e b r o k e n i n t o t w o c o m p o n e n t s . h e (cid:12) r s t t e r m i n v o l v e s t h e w e i g h t e d s u m o f t h e s q u a r e d v a l u e o f t h e e x p e c t e d d e v i a t i o n s r o m t h e t a r g e t s . T h e s e c o n d t e r m i s a w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d 0 0 X K X X L a r i a b l e s , g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n + 2 i n e q u a t i o n ( 4 ) . T h i s e x p r e s s i o n m e a s u r e s t t t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y t h a t i s a s s o c i a t e d w i t h a p a r t i c u l a r e x p e c t e d v a l u e o f t h e s t a t e c c c K K a r i a b l e . I n p a r t i c u l a r , t h e m a t r i x i s g i v e n b y = (cid:6) + (cid:21) (cid:6) + (cid:21) (cid:6) w h e r e (cid:6) u y (cid:12) (cid:25) (cid:12) u (cid:12) y (cid:12) n ( ) ( ) ( ) ( ) e p r e s e n t s t h e c o v a r i a n c e m a t r i x b e t w e e n t h e c o e (cid:14) c i e n t s i n t h e e q u a t i o n d e s c r i b i n g v a r i a b l e 1 9
n m p t w t o h T ( a T K i p c t i a o W a L c o r r e s p o n d i n g t o t h e s t a t e v e c t o r . T h e m a t r i x i s c o n s t r u c t e d i n a s i m i l a r m a n n e r a n d e a s u r e s t h e c o v a r i a n c e o f t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s w i t h t h e e s t i m a t e d c o n s t a n t . T h e i m o r t a n c e o f t h i s t e r m i s t h a t i t r e l a t e s t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s t o t h e c h o i c e o f h e f u n d s r a t e . T h e i n t e r e s t r a t e c h o i c e d e t e r m i n e s t h e e x p e c t e d s t a t e v a r i a b l e n e x t p e r i o d , h i c h a (cid:11) e c t s t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t v a r i a b l e s a s d e t e r m i n e d b y t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s i n t h e V A R . T h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m i s s i m i l a r t o t h a t i n t h e c a s e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y . T h e p p t i m a l p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , i , w i l l a g a i n b e g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 ) , r e p e a t e d e r e f o r c o n v e n i e n c e : 0 (cid:0) 0 0 0 p 1 H (cid:3) H H (cid:3) F X H (cid:3) J H i = (cid:0) ( ) ( (cid:1) + + ! ) ( 5 ) t t c (cid:3) h e d i (cid:11) e r e n c e f r o m t h e p r e v i o u s c a s e a r i s e s i n t h e e q u a t i o n s d e t e r m i n i n g a n d ! . E q u a t i o n s 2 ) a n d ( 3 ) a r e r e p l a c e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : 0 0 0 (cid:0) 0 1 (cid:3) G K F (cid:3) F F (cid:3) H H (cid:3) H H (cid:3) F = (cid:0) (cid:0) + (cid:12) (cid:0) (cid:12) ( ) ( 6 ) n d 0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 1 1 I F I (cid:3) H H (cid:3) H H ! = ( (cid:0) (cid:12) ( (cid:0) ( ) ) ) (cid:1) ( 7 ) (cid:3) 0 0 (cid:0) 0 1 G X L F (cid:3) I H H (cid:3) H H (cid:3) J ( (cid:0) + (cid:12) ( (cid:0) ( ) ) ) : h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e t w o p r o b l e m s a p p e a r s m o d e s t , c a p t u r e d s i m p l y b y t h e p r e s e n c e o f t h e L m a t r i x i n e q u a t i o n ( 6 ) a n d t h e v e c t o r i n e q u a t i o n ( 7 ) . T h e s o l u t i o n t o t h e d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m a s s u m e s t h a t t h e m a t r i c e s d e t e r m i n n g t h e u n c e r t a i n t y i n t h e p r o b l e m a r e c o n s t a n t . B e c a u s e o f t h i s , t h e s o l u t i o n i s s a i d t o e n t a i l a s s i v e l e a r n i n g . I n i m p l e m e n t i n g t h e c a l c u l a t e d p o l i c y , t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y w i l l d e l i n e t h r o u g h t i m e a s t h e F e d a c c u m u l a t e s a d d i t i o n a l o b s e r v a t i o n s w i t h w h i c h t o e s t i m a t e h e V A R . T h e o p t i m a l s o l u t i o n d e p e n d s o n t h e l e v e l o f t h e u n c e r t a i n t y b u t d o e s n o t t a k e n t o c o n s i d e r a t i o n t h a t t h e c h o i c e o f t h e f u n d s r a t e a (cid:11) e c t s t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e 2 1 d d i t i o n a l o b s e r v a t i o n i t w i l l o b t a i n . T h e p a r a m e t e r s o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e F e d a r e e s t i m a t e d u s i n g t h e s a m e m e t h o d l o g y a s i n s e c t i o n 2 . T h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s a r e a s f o l l o w s : (cid:21) = 1 : 2 5 , (cid:21) = : 2 5 , a n d u y 2 1 T h e o p t im a l s o lu t io n t h a t c o n s id e r s t h e im p a c t o n le a r n in g is o ft e n r e fe r r e d t o a s a c t iv e le a r n in g . ie la n d ( 1 9 9 6 ) o (cid:11) e r s a n in t e r e s t in g d is c u s s io n o f t h e d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e o p t im a l p o lic y c h o ic e u n d e r c t iv e a n d p a s s iv e le a r n in g in a g e n e r a l fr a m e w o r k . 2 0
Percent 12 Monthly Actual Funds Rate Optimal Funds Rate 10 8 6 4 2 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 NNoottee:: TThhee OOppttiimmaall FFuunnddss RRaattee iiss bbaasseedd oonn tthhee ppoolliiccyy rruullee tthhaatt ssoollvveess tthhee ddyynnaammiicc pprrooggrraammmmiinngg pprroobblleemm ddeessccrriibbeedd iinn tthhee tteexxtt.. TThhee OOppttiimmaall FFuunnddss RRaattee VVaalluuee iiss tthhee rraattee pprreeddiicctteedd bbyy tthhee ppoolliiccyy rruullee ggiivveenn tthhee aaccttuuaall hhiissttoorryy ooff tthhee eeccoonnoommyy aatt eeaacchh ppooiinntt iinn ttiimmee.. (cid:25) o p 3 T b v l r t d r r e F i g u r e 5 : A c t u a l a n d O p t i m a l F u n d s R a t e u n d e r P a r a m e t e r (cid:3) = 2 : 9 . I n c l u d i n g p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t h e r e f o r e d o e s n o t r e s u l t f t h e s e e s t i m a t e s . T h e w e i g h t o n u n e m p l o y m e n t d e v i a t i o n s i n c r e a s e r o d u c t i o n g r o w t h a n d t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t a r e o n l y s l i g h t l y c h a n g e d . . 2 A S m o o t h e r O p t i m a l F u n d s R a t e h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i s v e r y s u c c e s s f u l a t d e h a v i o r o f t h e f u n d s r a t e . T h i s i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 5 , w h i c h a l u e o f t h e f u n d s r a t e f o r t h e c a s e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h e o n g e r e x c e s s i v e l y v o l a t i l e a s f o u n d i n F i g u r e 2 . T h e s t a n d a r d d e v i a a t e c h a n g e s f a l l s f r o m 4 3 . 2 b a s i s p o i n t s t o 3 2 . 1 , m u c h c l o s e r t o t h e o I n a d d i t i o n t o r e d u c i n g t h e v o l a t i l i t y , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y l i m i t s h e o p t i m a l p o l i c y a n d a c t u a l p o l i c y f o u n d u n d e r a d d i t i v e u n c e r t a i n i (cid:11) e r e n c e f r o m t h e o b s e r v e d p o l i c y , F i g u r e 6 c h a r a c t e r i z e s t h e i m p u e p o r t e d i n F i g u r e 3 i n t e r m s o f t h e d e v i a t i o n b e t w e e n t h e o p t i m a l r e e s p o n s e . T h e d e v i a t i o n c l e a r l y d e p i c t s t h e t e n d e n c y f o r t h e o p t i m a l p a x a m p l e , i n r e s p o n s e t o a n u n e m p l o y m e n t s h o c k , t h e l i n e d e n o t e d i 2 1 U n c e r t a i n t y i n a d r a m a t i c r e v i s i o n s , w h i l e t h e w e i g h t o n e s c r i b i n g t h e d y n a m i c d i s p l a y s t h e o p t i m a l o p t i m a l p o l i c y i s n o t i o n o f o p t i m a l f u n d s b s e r v e d v a l u e o f 2 8 . 3 . t h e d e v i a t i o n b e t w e e n t y . T o e m p h a s i z e t h e l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s s p o n s e a n d t h e a c t u a l o l i c y t o o v e r r e a c t . F o r (cid:0) i i n d i c a t e s t h a t t h e
R esponse to Unemployment Shock R esponse to Production Shock 0.10 0.08 0.06 0.05 0.04 0.02 0.00 0.00 -0.02 -0.05 -0.04 -0.10 -0.06 0 6 12 18 24 30 36 0 6 12 18 24 30 36 Months Months R esponse to Funds Rate Shock R esponse to Inflation Shock 0.02 0.15 -0.02 0.10 -0.06 0.05 -0.10 0.00 -0.14 -0.05 -0.18 -0.10 -0.22 0 6 12 18 24 30 36 0 6 12 18 24 30 36 Months Months R esponse to Commodity Price Shock 0.14 0.12 0.10 Legend: i p - i 0.08 i a - i 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 0 6 12 18 24 30 36 Months Note: The thick line displays the difference between the optimal policy under additive uncertainty and the actual policy. The thin line displays the difference between the optimal policy under parameter uncertainty and the actual policy. F i g u r e 6 : D e v i a t i o n s o f t h e 2 I 2 m p u l s e R e s p o n s e F u n c t i o n s
o c t i s i u m p p a i i r i r w r F t r r D m m p t i m a l f u n d s r a t e f a l l s m o r e q u i c k l y t h a n t h e a c t u a l f u n d s r a t e , a n d t h e a c t u a l f u n d s r a t e a t c h e s u p o n l y a f t e r 6 m o n t h s . A y e a r f o l l o w i n g t h e s h o c k , t h e a c t u a l f u n d s r a t e f a l l s b e l o w h e o p t i m a l f u n d s r a t e , s i n c e t h e d a m p e n e d i n i t i a l r e a c t i o n o f t h e a c t u a l p o l i c y r e q u i r e s t h a t t r e t u r n s t o i t s p r e v i o u s l e v e l l e s s q u i c k l y . T h i s p a t t e r n i s o b s e r v e d i n r e s p o n s e t o e v e r y h o c k i n t h e e c o n o m y , a g a i n d e s c r i b i n g t h e g r a d u a l a d j u s t m e n t o f t h e f u n d s r a t e d e s c r i b e d n s e c t i o n 2 . p T h e l i n e d e n o t e d i (cid:0) i p r e s e n t s t h e d e v i a t i o n f o r t h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r n c e r t a i n t y . T h e (cid:12) g u r e i n d i c a t e s t h a t a c o n s i d e r a b l e p o r t i o n o f t h e g r a d u a l f u n d s r a t e o v e m e n t s t h a t c o u l d n o t b e e x p l a i n e d b y d y n a m i c s t r u c t u r e a r e i n f a c t e x p l a i n e d b y t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t h a t t h e F e d f a c e s . A s i n d i c a t e d b y t h e r e s p o n s e o f t h e l i n e i (cid:0) i , a r a m e t e r u n c e r t a i n t y l i m i t s t h e o v e r r e a c t i o n o f t h e o p t i m a l p o l i c y f o l l o w i n g a s h o c k a n d c c o u n t s f o r t h e t e n d e n c y o f t h e a c t u a l p o l i c y t o r e v e r t m o r e q u i c k l y . T h e o n l y e x c e p t i o n i s p n r e s p o n s e t o a n i n (cid:13) a t i o n s h o c k , w h e r e t h e r e s p o n s e o f i (cid:0) i i n d i c a t e s a s t r o n g e r o v e r r e a c t i o n n t h e c a s e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h i s e x c e p t i o n r e s u l t s f r o m a c h a n g e i n t h e i m p u l s e e s p o n s e f u n c t i o n o f t h e a c t u a l p o l i c y w h e n t h e a d d i t i o n a l i d e n t i (cid:12) c a t i o n r e s t r i c t i o n s a r e m p o s e d . I n a l l o t h e r c a s e s , t h e r e s p o n s e o f a c t u a l p o l i c y i s u n a (cid:11) e c t e d b y t h e a d d i t i o n a l e s t r i c t i o n . H o w e v e r , t h e f u n d s r a t e h a s a m u c h w e a k e r r e s p o n s e t o a n i n (cid:13) a t i o n s h o c k h e n t h e r e s t r i c t i o n i s i m p o s e d . T h i s m a y r e s u l t f r o m t h e i m p r e c i s e e s t i m a t i o n o f t h a t e s p o n s e , a s i n d i c a t e d b y t h e l a r g e c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l s i n F i g u r e 3 . T h e d o t t e d l i n e i n p i g u r e 6 d e m o n s t r a t e s t h e o v e r r e a c t i o n o f i r e l a t i v e t o t h e f u n d s r a t e r e s p o n s e w i t h o u t h e r e s t r i c t i o n , i n d i c a t i n g t h a t p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y d a m p e n s t h e o v e r r e a c t i o n a s i n t h e e s p o n s e t o t h e o t h e r s h o c k s . T h e a b i l i t y o f t h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t o d e s c r i b e g r a d u a l f u n d s a t e m o v e m e n t s c a n a l s o b e g a u g e d u s i n g t h e p a r t i a l a d j u s t m e n t m o d e l d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 : P a r t i a l - A d j u s t m e n t M o d e l u n d e r P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y p (cid:0) (cid:0) (cid:1) i = 0 : 3 7 4 ( i (cid:0) i ) + 0 : 3 2 9 (cid:1) i t t t 1 1 t ( 4 : 4 6 ) ( 4 : 6 0 ) 2 , R = : 2 6 3 D : W : = 2 : 1 4 e v i a t i o n s b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d p o l i c y a n d t h e a c t u a l p o l i c y a r e n o w s m a l l e r a n d a r e o (cid:11) s e t o r e q u i c k l y . T h e f u n d s r a t e c l o s e s 9 5 % o f a d e v i a t i o n f r o m i t s o p t i m a l v a l u e w i t h i n t h r e e o n t h s , a s o p p o s e d t o t h e 6 7 % f o u n d i n t h e c a s e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y . I n a d d i t i o n , t h e 2 3
s d T c 3 T d c o t u c s t f o d o p t o l T a w c o t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e o p t i m a l a n d a c t u a l l e v e l o f t h e f u n d s r a t e a p e c r e a s e s f r o m 4 1 . 2 b a s i s p o i n t s u n d e r t h e p o l i c y i t o 2 8 . 8 b a s i s p o i n t s u n d e r t h e p o l i c y i . h i s i m p r o v e m e n t r e (cid:13) e c t s t h e d e c l i n e i n t h e a g g r e s s i v e n e s s o f t h e o p t i m a l p o l i c y , b r i n g i n g i t l o s e r t o t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e o b s e r v e d p o l i c y . . 3 T h e E (cid:11) e c t o f P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y p h e a b o v e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e p o l i c y i i s m u c h m o r e s u c c e s s f u l a t d e s c r i b i n g t h e y n a m i c b e h a v i o r o f t h e f u n d s r a t e . T h e a g g r e s s i v e m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e t h a t a p h a r a c t e r i z e d t h e p o l i c y i a r e n o w d a m p e n e d . T h e p o l i c y i i n s t e a d s m o o t h e s t h e r e s p o n s e f t h e f u n d s r a t e , a s o b s e r v e d i n t h e a c t u a l b e h a v i o r o f t h e F e d e r a l R e s e r v e . T h i s d i (cid:11) e r e n c e i n h e t w o p o l i c i e s a r i s e s b e c a u s e t h e a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s f o u n d u n d e r a d d i t i v e n c e r t a i n t y i n d u c e a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f v a r i a n c e i n t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s w h e n t h e V A R o e (cid:14) c i e n t s a r e n o t p r e c i s e l y k n o w n . T h i s e x p l a n a t i o n i s e x a m i n e d i n m o r e d e t a i l i n t h i s e c t i o n . A s a g e n e r a l r u l e , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y b i a s e s t h e o p t i m a l c h o i c e o f t h e f u n d s r a t e o w a r d s t h e l e v e l t h a t m i n i m i z e s t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s . T h e p e r - p e r i o d l o s s u n c t i o n f r o m t h e e x e r c i s e a b o v e i n v o l v e s a w e i g h t e d s u m o f t h e e x p e c t e d s q u a r e d d e v i a t i o n f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s f r o m t h e i r r e s p e c t i v e t a r g e t s . E a c h o f t h e s e c o m p o n e n t s c a n b e e c o m p o s e d i n t o t h e s u m o f t h e s q u a r e d e x p e c t e d d e v i a t i o n f r o m t h e t a r g e t a n d t h e v a r i a n c e (cid:3) (cid:3) 2 2 f t h e v a r i a b l e . U s i n g i n (cid:13) a t i o n a s a n e x a m p l e , E [ ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) ] = ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) + v a r ( (cid:25) ) . I n t h e t r e s e n c e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e w i l l b e a (cid:11) e c t e d b y b h e p o l i c y c h o i c e , w h i c h w i l l b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n i n f o r m u l a t i n g t h e p o l i c y d e c i s i o n . I n t h e c a s e w h e r e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i s m e a s u r e d b y t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x f t h e V A R c o e (cid:14) c i e n t s , t h e v a r i a n c e a s s o c i a t e d w i t h a f u n d s r a t e c h o i c e c a n b e f o u n d a n a y t i c a l l y . C o n s i d e r t h e e q u a t i o n i n t h e V A R t h a t d e t e r m i n e s t h e r a t e o f i n (cid:13) a t i o n n e x t p e r i o d . h e r e g r e s s o r s d e t e r m i n i n g i n (cid:13) a t i o n c a n b e p a r t i t i o n e d i n t o t w o g r o u p s , t h e f u n d s r a t e i a n d l l o t h e r r e g r e s s o r s Z . T h e e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n a s 1 (cid:25) = Z (cid:1) (cid:12) + i (cid:1) (cid:12) + (cid:15) ( 8 ) 1 1 2 h e r e Z i s a m a t r i x c o n t a i n i n g t h e e n t i r e h i s t o r y o f t h e r e g r e s s o r s a n d i , (cid:25) , a n d (cid:15) a r e v e c t o r s 1 o n t a i n i n g a l l o b s e r v a t i o n s o f t h e f u n d s r a t e , i n (cid:13) a t i o n , a n d t h e r e s i d u a l , r e s p e c t i v e l y . B a s e d n s t a n d a r d r e s u l t s r e g a r d i n g p a r t i t i o n e d r e g r e s s i o n s , t h e e s t i m a t e s o f t h e r e g r e s s o r s c a n b e 2 4
w w o o T i m p b v T w t a r t p a h r r i t t e n a s f o l l o w s : 0 (cid:0) 0 1 (cid:12) = ( i M i ) (cid:1) ( i M (cid:25) ) ( 9 ) 2 1 1 0 (cid:0) 0 1 (cid:12) = ( Z Z ) Z ( (cid:25) (cid:0) i (cid:1) (cid:12) ) b 1 1 2 1 1 b b 0 (cid:0) 0 1 h e r e M = ( I (cid:0) Z ( Z Z ) Z ) . S u p p o s e t h a t t h e c u r r e n t v a l u e s o f a l l o t h e r r e g r e s s o r s a r e 1 1 1 1 1 o o b s e r v e d a n d e q u a l t o Z . F o r a p a r t i c u l a r c h o i c e o f t h e f u n d s r a t e , i , t h e p r e d i c t e d v a l u e 1 f i n (cid:13) a t i o n i s g i v e n b y o o o (cid:25) = Z (cid:1) (cid:12) + i (cid:1) (cid:12) : ( 1 0 ) 1 2 1 b b h e F e d i s o f c o u r s e c o n c e r n e d w i t h c h o o s i n g t h e f u n d s r a t e t o m o v e t h e p r e d i c t e d v a l u e o f n (cid:13) a t i o n c l o s e t o i t s t a r g e t . I n t h e c a s e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y , t h i s i s t h e o n l y o b j e c t i v e t h a t a t t e r s , s i n c e t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e i s i n d e p e n d e n t o f p o l i c y . H o w e v e r , w i t h a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , t h e v a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n n e x t p e r i o d i s a (cid:11) e c t e d b y t h e p o l i c y c h o i c e e c a u s e o f t h e i m p r e c i s i o n i n t h e c o e (cid:14) c i e n t e s t i m a t e s (cid:12) a n d (cid:12) . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e 1 2 a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : b b 0 (cid:0) 0 0 (cid:0) 0 0 (cid:0) 0 o o 1 2 1 1 Z ( Z Z ) Z + ( 1 1 ) (cid:27) Z ( Z Z ) Z I + i ( i M i ) i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (cid:0) 0 0 (cid:0) 0 0 (cid:0) 0 i h o o o o 2 1 1 1 2 (cid:27) i ( i M i ) i (cid:0) 2 Z ( Z Z ) Z i ( i M i ) i + (cid:27) 1 1 1 1 1 1 h e c h o i c e o f t h e f u n d s r a t e t h a t m i n i m i z e s t h i s e x p r e s s i o n i s (cid:3) 0 (cid:0) 0 o 1 i = Z ( Z Z ) Z i ( 1 2 ) 1 1 1 1 o = Z (cid:13) 1 0 (cid:0) 0 1 b h e r e (cid:13) = ( Z Z ) Z i i s t h e v e c t o r o f c o e (cid:14) c i e n t s f r o m t h e p r o j e c t i o n o f t h e f u n d s r a t e o n 1 1 1 h e r e g r e s s o r s i n Z . T h e s e r e g r e s s o r s i n c l u d e t h e c u r r e n t a n d l a g g e d n o n - p o l i c y v a r i a b l e s 1 b n d t h e l a g g e d f u n d s r a t e , s o t h a t t h e c o e (cid:14) c i e n t v e c t o r (cid:13) c o r r e s p o n d s t o t h e e s t i m a t e d 2 2 e a c t i o n f u n c t i o n o f t h e F e d . E v e n t h o u g h i t h a s b e e n c o m p l e t e l y i g n o r e d i n d e r i v i n g b h e o p t i m a l p o l i c y , t h e e s t i m a t e d r e a c t i o n f u n c t i o n p l a y s a c r i t i c a l r o l e i n d e t e r m i n i n g t h i s o l i c y . T h e c h o i c e o f t h e f u n d s r a t e t h a t m i n i m i z e s t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s r i s i n g f r o m p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i s t h e r a t e p r e d i c t e d b y t h e p o l i c y r u l e t h a t t h e F e d h a s i s t o r i c a l l y f o l l o w e d . I n t u i t i v e l y , b y f o l l o w i n g a p a r t i c u l a r p o l i c y r u l e , t h e F e d l e a r n s a b o u t 2 2 T h e r e is a s lig h t d i(cid:11) e r e n c e s in c e e q u a t io n ( 1 2 ) e x c lu d e s t h e la s t la g t h a t is in c lu d e d in t h e e s t im a t e d e a c t io n fu n c t io n . 2 5
t e o p a P F F e t v a f c t s a t e T m c r I r t d n h e r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y w h e n i t c h o o s e s p o l i c y a c c o r d i n g t o t h a t r u l e . T h i s i s t r u e f o r a c h o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s , s o t h a t t h e r e s u l t a p p l i e s u n d e r a n y s e t o f w e i g h t s f o r t h e 2 3 b j e c t i v e f u n c t i o n . A s a r e s u l t , t h e F e d i s u n w i l l i n g t o d e v i a t e s u b s t a n t i a l l y f r o m t h e p o l i c y r u l e t h a t h a s b e e n r e v i o u s l y i m p l e m e n t e d . C u r r e n t p o l i c y m a k e r s a r e i n h i b i t e d b y p a s t p o l i c y c h o i c e s , s i n c e l t e r i n g t h e p o l i c y r e s p o n s e r e s u l t s i n a h i g h e r e x p e c t e d v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s . a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n t h e r e f o r e a c c o u n t f o r g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s b e c a u s e t h e e d h a s h i s t o r i c a l l y s m o o t h e d i n t e r e s t r a t e s . T o a c t m o r e a g g r e s s i v e l y n o w w o u l d p u s h t h e e d u n c o m f o r t a b l y f a r a w a y f r o m t h e r e g i o n w h e r e t h e r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y h a s b e e n s t a b l i s h e d . T h i s a c c o u n t s f o r t h e g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y a h a t a r e d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e s 5 a n d 6 . T h e p o l i c y i r e s u l t s i n a v e r y h i g h e x p e c t e d a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s b e c a u s e t h e F e d h a s n o t h i s t o r i c a l l y i m p l e m e n t e d s u c h p g g r e s s i v e f u n d s r a t e c h a n g e s . T h e p o l i c y i i n v o l v e s a s u b s t a n t i a l l y l o w e r v o l a t i l i t y o f t h e u n d s r a t e t o a c c o u n t f o r t h e e (cid:11) e c t o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h e e (cid:11) e c t o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y b e c o m e s a p p a r e n t w h e n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a l c u l a t e d p o l i c y r u l e s i s c o m p a r e d . T h e c o m p a r i s o n i s c o n d u c t e d u s i n g 5 0 0 s i m u l a t i o n s o f h e b e h a v i o r o f t h e e c o n o m y (cid:12) r s t u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c o e (cid:14) c i e n t m a t r i x i s c o n s t a n t , o t h a t t h e r e i s a d d i t i v e u n c e r t a i n t y o n l y , a n d t h e n u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c o e (cid:14) c i e n t s r e s t o c h a s t i c , d r a w n f r o m t h e d i s t r i b u t i o n e s t i m a t e d i n t h e V A R . F o r e a c h t a r g e t e d v a r i a b l e , h e s q u a r e d e x p e c t e d d e v i a t i o n f r o m t a r g e t a n d t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e a r e c o m p u t e d a t a c h p o i n t i n t i m e , a n d t h e a v e r a g e v a l u e s o f t h e s e v a r i a b l e s a r e c a l c u l a t e d f o r t h a t i t e r a t i o n . h e m e d i a n v a l u e s o f t h e s e v a r i a b l e s a c r o s s t h e i t e r a t i o n s a r e t h e n c o m p u t e d , a s w e l l a s t h e e d i a n l o s s f u n c t i o n f r o m t h e e x e r c i s e a b o v e . H o w e v e r , t h e s e s t a t i s t i c s c a n n o t b e d i r e c t l y a p o m p a r e d f o r t h e p o l i c y r u l e s i a n d i b e c a u s e o f t h e d i (cid:11) e r e n t i d e n t i (cid:12) c a t i o n a s s u m p t i o n s a p e q u i r e d , a s t h e p o l i c y i r e a c t s t o c o n t e m p o r a n e o u s s h o c k s w h i l e t h e p o l i c y i d o e s n o t . n s t e a d , t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e r u l e s i s c o m p a r e d b y c a l c u l a t i n g t h e v a l u e o f e a c h s t a t i s t i c e l a t i v e t o t h e v a l u e r e s u l t i n g f r o m t h e e s t i m a t e d p o l i c y r u l e t h a t i s r e s t r i c t e d t o r e a c t t o h e s a m e i n f o r m a t i o n s e t . T h e r e l a t i v e v a l u e s o f t h e s e s t a t i s t i c s a r e p r e s e n t e d i n T a b l e 2 . 2 3 T h is im p lic a t io n is t r u e fo r m in im iz in g t h e v a r ia n c e o f t h e t a r g e t e d v a r ia b le s o n e p e r io d a h e a d . I n t h e y n a m ic p r o b le m , t h e v a r ia n c e - m in im iz in g p o lic y d i(cid:11) e r s b e c a u s e t h e F e d a ls o h a s a n in c e n t iv e t o m o v e t h e o n - p o lic y v a r ia b le s t o t h e le v e l t h a t m in im iz e s t h e v a r ia n c e . 2 6
a v e a t f a u a u r f a s o e l T a b l e 2 : P e r f o r m a n c e o f P o l i c y R u l e s R e l a t i v e t o t h e V A R P o l i c y U n c e r t a i n t y T y p e : A d d i t i v e P a r a m e t e r a p a p P o l i c y : i i i i (cid:3) 2 ( y (cid:0) y ) 0 . 7 1 0 . 8 1 0 . 8 6 0 . 8 0 2 2 ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) 0 . 8 3 0 . 8 1 0 . 9 7 0 . 7 9 b (cid:3) 2 ( u (cid:0) u ) 1 . 0 0 0 . 9 5 1 . 2 4 1 . 0 0 b v a r ( y ) 1 . 0 0 0 . 9 9 1 . 2 6 1 . 0 2 b v a r ( (cid:25) ) 0 . 9 9 1 . 0 1 1 . 2 8 1 . 0 3 v a r ( u ) 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 2 9 1 . 0 3 l o s s 0 . 9 0 0 . 9 2 1 . 1 2 0 . 9 4 T h e r e s u l t s u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y d e m o n s t r a t e t h e b e n e (cid:12) t n a g g r e s s i v e p o l i c y r u l e . B y i m p l e m e n t i n g a s t r o n g f u n d s r a t e r e a c t i o n t o t h e n o n - p o a a r i a b l e s , t h e p o l i c y r u l e i i s v e r y s u c c e s s f u l a t r e a c h i n g t h e t a r g e t v a l u e s f o r y , (cid:25) , a n d x p e c t e d t e r m s . T h i s p o l i c y r e d u c e s t h e s q u a r e d e x p e c t e d d e v i a t i o n s o f p r o d u c t i o n g r o n d i n (cid:13) a t i o n b y s u b s t a n t i a l m a r g i n s , w h i l e m a i n t a i n i n g a n e x p e c t e d u n e m p l o y m e n t d e v i a h a t i s c o m p a r a b l e t o t h a t f o u n d u n d e r t h e V A R r u l e . T h e V A R p o l i c y i n s t e a d s m o o t h e s u n d s r a t e , t h e r e f o r e d a m p e n i n g i t s r e s p o n s i v e n e s s t o m o v e m e n t s i n t h e t a r g e t e d v a r i a n d p e r m i t t i n g l a r g e r e x p e c t e d d e v i a t i o n s t o a r i s e . U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t a l l o f n c e r t a i n t y i n t h e e c o n o m y i s a d d i t i v e , t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e s o f t h e t a r g e t e d v a r i a r e d e t e r m i n e d o n l y b y t h e v a r i a n c e s o f t h e a d d i t i v e d i s t u r b a n c e t e r m s a n d a r e t h e r e a n a (cid:11) e c t e d b y t h e h i g h f u n d s r a t e v o l a t i l i t y u n d e r t h e p o l i c y i . A s a r e s u l t , t h e p o a u l e i s u b s t a n t i a l l y o u t p e r f o r m s t h e V A R p o l i c y , r e d u c i n g t h e l o s s f u n c t i o n b y 1 0 % a c i n g a d d i t i v e u n c e r t a i n t y o n l y , t h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e F e d s h o u l d e n g a g e i n a m g g r e s s i v e p o l i c y . p a T h e p o l i c y r u l e i i n v o l v e s m o r e g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s t h a n t h e p o l i c y i p t i l l r e a c t s m o r e a g g r e s s i v e l y t h a n t h e a c t u a l p o l i c y r u l e . A s a r e s u l t , t h e p o l i c y i u t p e r f o r m s t h e V A R p o l i c y b y a n i m p r e s s i v e 8 % i n t h e c a s e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y . H v e r , s i n c e t h i s p o l i c y d o e s e n g a g e i n s o m e i n t e r e s t r a t e s m o o t h i n g , t h e i m p r o v e m e n t i s m a i m i t e d t h a n t h e 1 0 % m a r g i n f o u n d u n d e r t h e p o l i c y i . T h e r e l a t i v e p e r f o r m a n c e o f t h e p o l i c i e s i s d r a m a t i c a l l y d i (cid:11) e r e n t o n c e t h e s i m u l a 2 7 s o f l i c y u i n w t h t i o n t h e b l e s t h e b l e s f o r e l i c y . I f o r e b u t a l s o o w o r e t i o n
a t c r v s p p o t c p r c 4 G R c a t u t r t i i v a w p l l o w s f o r a n u n c e r t a i n d y n a m i c s t r u c t u r e . A s i n d i c a t e d i n t h e l a s t t w o c o l u m n s o f t h e a a b l e , t h e v o l a t i l e f u n d s r a t e m o v e m e n t s u n d e r t h e p o l i c y i r e s u l t i n l a r g e i n c r e a s e s i n t h e o n d i t i o n a l v a r i a n c e s o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s . I n c o n t r a s t , b y i m p l e m e n t i n g g r a d u a l f u n d s p a t e m o v e m e n t s , t h e p o l i c y r u l e i d o e s n o t r e s u l t i n a s i m i l a r i n c r e a s e i n t h e c o n d i t i o n a l p a r i a n c e s . N o t e a l s o t h a t t h e s q u a r e d e x p e c t e d d e v i a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e p o l i c y i a r e i m i l a r t o t h o s e f o u n d u n d e r a d d i t i v e u n c e r t a i n t y , w h i l e t h e d e v i a t i o n s i n c r e a s e u n d e r t h e a a o l i c y i . T h i s o c c u r s b e c a u s e t h e v o l a t i l i t y r e s u l t i n g f r o m t h e p o l i c y i l e a d s t o s i m u l a t e d a t h s o f t h e e c o n o m y t h a t c a n b e e x t r e m e l y d i (cid:11) e r e n t f r o m a n y s t a t e t h a t h a s b e e n h i s t o r i c a l l y a b s e r v e d . T h e a g g r e s s i v e p o l i c y i i s c l e a r l y n o l o n g e r o p t i m a l , r e s u l t i n g i n a l o s s f u n c t i o n p h a t i s 1 2 % h i g h e r t h a n t h e l o s s u n d e r t h e V A R p o l i c y . T h e g r a d u a l p o l i c y i i n s t e a d o n t i n u e s t o o u t p e r f o r m t h e o b s e r v e d p o l i c y , r e d u c i n g t h e l o s s f u n c t i o n b y 6 % o v e r t h e V A R o l i c y . T h e r e l a t i v e p e r f o r m a n c e o f t h e s e r u l e s i n d i c a t e s t h a t t h e t e n d e n c y t o s m o o t h i n t e r e s t a t e s c a n b e e x p l a i n e d b y t h e u n c e r t a i n t y t h a t w o u l d b e g e n e r a t e d b y a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e h a n g e s . C o n c l u s i o n r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e d o n o t n e c e s s a r i l y i n d i c a t e t h a t t h e F e d e r a l e s e r v e h a s a n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i n c e n t i v e . D y n a m i c s t r u c t u r e a n d p a r a m e t e r u n e r t a i n t y c a n a c c o u n t f o r a c o n s i d e r a b l e p o r t i o n o f t h e g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s t h a t r e o b s e r v e d . T h e i n t e r t e m p o r a l b e h a v i o r o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s c a u s e s t h e f u n d s r a t e o m o v e i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n o v e r s u b s t a n t i a l p e r i o d s o f t i m e . H o w e v e r , u n d e r a d d i t i v e n c e r t a i n t y , e x p e c t e d p a t h o f t h e f u n d s r a t e i s m u c h m o r e v o l a t i l e a n d r e a c t s t o c h a n g e s i n h e e c o n o m y m o r e a g g r e s s i v e l y t h a n t h e o b s e r v e d f u n d s r a t e . T h i s s m o o t h i n g o f t h e i n t e r e s t a t e c a n b e e x p l a i n e d b y t h e f a c t t h a t t h e F e d d o e s n o t p e r f e c t l y k n o w t h e s t r u c t u r e o f h e e c o n o m y . U n c e r t a i n t y a r i s i n g f r o m i m p r e c i s e e s t i m a t i o n o f t h e V A R c o e (cid:14) c i e n t s i s m i n m i z e d a t t h e l e v e l o f t h e f u n d s r a t e p r e d i c t e d b y t h e p o l i c y r u l e t h a t h a s b e e n h i s t o r i c a l l y m p l e m e n t e d . A n a g g r e s s i v e p o l i c y w o u l d r e s u l t i n h i g h e x p e c t e d v a r i a n c e f o r t h e t a r g e t e d a r i a b l e s b e c a u s e t h e F e d h a s t r a d i t i o n a l l y s m o o t h e d t h e f u n d s r a t e . T h e p o l i c y r u l e t h a t c c o u n t s f o r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t h e r e f o r e r e a c t s t o c h a n g e s i n t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y i t h g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e , w h i c h r e d u c e s t h e e x c e s s v o l a t i l i t y o f t h e o p t i m a l o l i c y a n d l i m i t s t h e d e v i a t i o n o f t h i s p o l i c y f r o m t h e o b s e r v e d l e v e l o f t h e f u n d s r a t e . 2 8
r B p o c t o a q T d w t p t o o e i p D g T a s t A l t h o u g h t h e u n c e r t a i n d y n a m i c s t r u c t u r e r e s u l t s i n g r a d u a l f u n d s r a t e m o v e m e n t s , t h e r e e m a i n s a n e l e m e n t o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t c a n n o t b e e x p l a i n e d i n t h i s e x e r c i s e . y c o n t r o l l i n g f o r t h e e (cid:11) e c t s o f d y n a m i c s t r u c t u r e a n d p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , t h e e x e r c i s e r o v i d e s a m e a s u r e o f t h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e b j e c t i v e f u n c t i o n a s s u m e d . T h e a c t u a l p o l i c y c o n t i n u e s t o r e a c t w i t h s m a l l e r f u n d s r a t e h a n g e s t o e a c h o f t h e (cid:12) v e s h o c k s i n t h e e c o n o m y . M o r e o v e r , t h e f u n d s r a t e s t i l l h a s t h e e n d e n c y t o t r a i l t h e o p t i m a l p o l i c y d u r i n g d i r e c t i o n a l m o v e m e n t s . H o w e v e r , t h e v o l a t i l i t y f a c t u a l f u n d s r a t e c h a n g e s i s o n l y 4 b a s i s p o i n t s b e l o w t h a t o f t h e o p t i m a l p o l i c y , a t 2 8 . 3 s o p p o s e d t o 3 2 . 1 . I n a d d i t i o n , d e v i a t i o n s f r o m t h e o p t i m a l p o l i c y a r e l i m i t e d a n d a r e o (cid:11) s e t u i c k l y , t y p i c a l l y w i t h i n 3 m o n t h s . T h e r e a r e s e v e r a l p o s s i b l e e x p l a n a t i o n s f o r t h e i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t r e m a i n s . h e o b j e c t i v e f u n c t i o n t h a t i s a s s u m e d i m p o s e s a n e q u a l w e i g h t i n g b e t w e e n s q u a r e d e x p e c t e d e v i a t i o n s a n d t h e v a r i a n c e o f t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s . A n o b j e c t i v e f u n c t i o n t h a t p l a c e s m o r e e i g h t o n t h e v a r i a n c e t e r m w o u l d l e a d t o a l a r g e r d e p e n d e n c e o n h i s t o r i c a l p o l i c y a n d m i g h t h e r e f o r e m o r e s u c c e s s f u l l y d e s c r i b e i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e a r a m e t e r u n c e r t a i n t y d o e s n o t a r i s e s o l e l y f r o m i m p r e c i s e e s t i m a t i o n . I f t h e p a r a m e t e r s a r e h e m s e l v e s s t o c h a s t i c , t h e e (cid:11) e c t o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y w i l l d i (cid:11) e r i n a m a n n e r d e p e n d i n g n t h e e v o l u t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s . I n t h i s c a s e i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a t e m o r e d e p e n d e n c e n l a g g e d i n t e r e s t r a t e s t h a n c a p t u r e d b y t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e p a r a m e t e r s t i m a t e s . H o w e v e r , i t m a y n o t b e n e c e s s a r y t o (cid:12) n d a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n s o f t h e r e m a i n i n g n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 3 a r e c a l c u l a t e d m e a s u r i n g t h e a r a m e t e r u n c e r t a i n t y b y t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e c o e (cid:14) c i e n t e s t i m a t e s a s o f e c e m b e r 1 9 9 6 . S i n c e t h e F e d d i d n o t h a v e t h e b e n e (cid:12) t o f a l l o f t h e s e o b s e r v a t i o n s , i t f a c e d a r e a t e r d e g r e e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y w h e n f o r m u l a t i n g i t s p o l i c y t h r o u g h o u t t h e s a m p l e . h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g f o u n d i n t h e s a m p l e i s t h e r e f o r e e x p e c t e d t o e x c e e d t h e m o u n t e x p l a i n e d i n t h e a n a l y s i s . U n f o r t u n a t e l y , t h e s a m p l e i s n o t s u (cid:14) c i e n t l y l o n g t o t e s t o m e o f t h e i n t e r e s t i n g i m p l i c a t i o n s t h a t c o n c e r n t h e v a r i a t i o n i n t h e u n c e r t a i n t y t h r o u g h i m e . 2 9
R [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 e ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] f B ( B T B s B R C A C n C e 1 F J F t ( G R G n G M e r e n c e s a l l , L a w r e n c e . E (cid:14) c i e n t R u l e s f o r M o n e t a r y P o l i c y . N B E R W o r k i n g P a p e r # 5 9 5 2 1 9 9 7 ) . e r n a n k e , B e n a n d A l a n B l i n d e r . T h e F e d e r a l F u n d s R a t e a n d t h e C h a n n e l s o f M o n e t a r y A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w r a n s m i s s i o n . 8 2 ( 1 9 9 2 ) , 9 0 1 - 9 2 1 . e r n a n k e , B e n a n d I l i a n M i h o v . M e a s u r i n g M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o , P r i n c e t o n U n i v e r i t y ( 1 9 9 5 ) . A m e r i c a n E c o n o m i c r a i n a r d , W i l l i a m . U n c e r t a i n t y a n d t h e E (cid:11) e c t i v e n e s s o f P o l i c y . e v i e w , P a p e r s a n d P r o c e e d i n g s 5 7 ( 1 9 6 7 ) , 4 1 1 - 4 2 5 . N B E R M a c r o e c o n o m i c s e c c h e t t i , S t e p h e n G . I n (cid:13) a t i o n I n d i c a t o r s a n d I n (cid:13) a t i o n P o l i c y . n n u a l ( 1 9 9 5 ) , 1 8 9 - 2 1 9 . l a r i d a , R i c h a r d , J o r d i G a l i , a n d M a r k G e r t l e r . M o n e t a r y P o l i c y R u l e s a n d M a c r o e c o o m i c S t a b i l i t y : E v i d e n c e a n d S o m e T h e o r y . M i m e o ( 1 9 9 7 ) . u k i e r m a n , A l e x . W h y D o e s t h e F e d S m o o t h I n t e r e s t R a t e s ? i n M i c h a e l T . B e l o g n i a , M o n e t a r y P o li c y o n t h e 7 5 t h A n n i v e r s a r y o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m d . , ( 1 9 9 1 ) , 1 1 - 1 4 7 . u h r e r , J e (cid:11) r e y C . I n (cid:13) a t i o n / O u t p u t V a r i a n c e T r a d e - O (cid:11) s a n d O p t i m a l M o n e t a r y P o l i c y . o u r n a l o f M o n e y , C r e d i t , a n d B a n k i n g 2 9 ( 1 9 9 7 ) , 2 1 4 - 2 3 4 . u h r e r , J e (cid:11) r e y C . a n d G e o r g e R . M o o r e . M o n e t a r y P o l i c y T r a d e - o (cid:11) s a n d t h e C o r r e l a - A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w i o n b e t w e e n N o m i n a l I n t e r e s t R a t e s a n d R e a l O u t p u t . 8 5 1 9 9 5 ) , 2 1 9 - 2 3 9 . C a r n e g i e - o o d f r i e n d , M a r v i n . I n t e r e s t R a t e s a n d t h e C o n d u c t o f M o n e t a r y P o l i c y . o c h e s t e r C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y 3 4 ( 1 9 9 1 ) , 7 - 3 0 . J o u r - o o d f r i e n d , M a r v i n . I n t e r e s t R a t e S m o o t h i n g a n d P r i c e L e v e l T r e n d - S t a t i o n a r i t y . a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s 1 9 ( 1 9 8 7 ) , 3 3 5 - 3 4 8 . o o d h a r t , C h a r l e s A . E . W h y D o t h e M o n e t a r y A u t h o r i t i e s S m o o t h I n t e r e s t R a t e s ? i m e o , L o n d o n S c h o o l o f E c o n o m i c s ( 1 9 9 6 ) . 3 0
[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] L C M M R F R a S s S S B S # T e W a W p C a r n e g i e - R o c h e s t e r u c a s , R o b e r t E . J r . , E c o n o m e t r i c P o l i c y E v a l u a t i o n : A C r i t i q u e . o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b li c A (cid:11) a i r s 1 ( 1 9 7 6 ) . c C a l l u m , B e n n e t t T . a n d E d w a r d N e l s o n . A n O p t i m i z i n g I S - L M S p e c i (cid:12) c a t i o n f o r o n e t a r y P o l i c y a n d B u s i n e s s C y c l e A n a l y s i s . N B E R W o r k i n g P a p e r # 5 8 7 5 ( 1 9 9 7 ) . o t e m b e r g , J u l i o J . a n d M i c h a e l W o o d f o r d . A n O p t i m i z a t i o n - B a s e d E c o n o m e t r i c r a m e w o r k f o r t h e E v a l u a t i o n o f M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o ( 1 9 9 7 ) . u d e b u s c h , G l e n n D . F e d e r a l R e s e r v e I n t e r e s t R a t e T a r g e t i n g , R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s , J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s n d t h e T e r m S t r u c t u r e . 3 5 ( 1 9 9 5 ) , 2 4 5 - 2 7 4 . a c k , B r i a n . U n c e r t a i n t y , L e a r n i n g , a n d G r a d u a l M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o , F e d e r a l R e e r v e B o a r d ( 1 9 9 8 ) . E c o n o m e t r i c a i m s , C h r i s t o p h e r . M a c r o e c o n o m i c s a n d R e a l i t y . 4 8 ( 1 9 8 0 ) , 1 - 4 8 . F e d e r a l R e s e r v e i m s , C h r i s t o p h e r . A r e F o r e c a s t i n g M o d e l s U s a b l e f o r P o l i c y A n a l y s i s ? a n k o f M i n n e a p o li s Q u a r t e r ly R e v i e w ( 1 9 9 6 ) , 2 - 1 6 . v e n s s o n , L a r s E . O . I n (cid:13) a t i o n T a r g e t i n g : S o m e E x t e n s i o n s . N B E R W o r k i n g P a p e r 5 9 6 2 ( 1 9 9 7 ) . C a r n e g i e - R o c h e s t e r C o n f e r - a y l o r , J o h n B . D i s c r e t i o n V e r s u s P o l i c y R u l e s i n P r a c t i c e . n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y 3 9 ( 1 9 9 3 ) , 1 9 5 - 2 1 4 . i e l a n d , V o l k e r . L e a r n i n g b y D o i n g a n d t h e V a l u e o f O p t i m a l E x p e r i m e n t a t i o n . F i n a n c e n d E c o n o m i c D i s c u s s i o n S e r i e s 9 6 - 5 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ( 1 9 9 6 ) . i e l a n d , V o l k e r . M o n e t a r y P o l i c y a n d U n c e r t a i n t y a b o u t t h e N a t u r a l R a t e o f U n e m l o y m e n t . M i m e o , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ( 1 9 9 7 ) . 3 1
Cite this document
Brian Sack (1998). Does the Fed Act Gradually? A VAR Analysis (FEDS 1998-17). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-17
@techreport{wtfs_feds_1998_17,
author = {Brian Sack},
title = {Does the Fed Act Gradually? A VAR Analysis},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1998-17},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1998},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-17},
abstract = {The tendency for changes in the federal funds rate to be implemented gradually has been considered evidence of an interest-rate smoothing objective for the Federal Reserve. This paper investigates whether gradual movements in the federal funds rate can be explained by the dynamic structure of the economy and the uncertainty that the Fed faces regarding this structure, without recourse to including an ad-hoc interest rate smoothing argument in the objective function of the Fed. The analysis calculates the optimal funds rate policy given the structural form of the economy estimated in a VAR. In the absence of parameter uncertainty, the calculated policy responds more aggressively to changes in the economy than the observed policy, resulting in a substantially higher volatility of the funds rate than observed. Parameter uncertainty, however, limits the willingness of the Fed to deviate from the policy rule that has been previously implemented. Because the Fed has historically smoothed interest rates, the calculated policy under parameter uncertainty can account for a considerable portion of the gradualism observed in funds rate movements.},
}