A Generalization of Generalized Beta Distributions

T u h b ( U a p h o J G W D U A g e n e r a l i z a t i o n o f g e n e r a l i z e d b e t a d i s t r i b u t i o n s (cid:3) M i c h a e l B . G o r d y B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m A p r i l 8 , 1 9 9 8 A b s t r a c t h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e \ c o m p o u n d c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c " ( C C H ) d i s t r i b u t i o n n i (cid:12) e s a n d g e n e r a l i z e s t h r e e r e c e n t l y i n t r o d u c e d g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e b e t a d i s t r i b u t i o n y p e r g e o m e t r i c ( G H ) d i s t r i b u t i o n o f A r m e r o a n d B a y a r r i ( 1 9 9 4 ) , t h e g e n e r a l i z e d b e t a u t i o n o f M c D o n a l d a n d X u ( 1 9 9 5 ) , a n d t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c ( C H ) d i s t r i b u t i f o r t h c o m i n g ) . I n a d d i t i o n t o g r e a t e r (cid:13) e x i b i l i t y i n (cid:12) t t i n g d a t a , t h e C C H o (cid:11) e r s t w o u s e f u n l i k e t h e b e t a , G B a n d G H , t h e C C H a l l o w s f o r c o n d i t i o n i n g o n e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s n d c o n v e n i e n t w a y . T h e C C H f a m i l y i s c o n j u g a t e f o r g a m m a d i s t r i b u t e d s i g n a l s , a n d r o v e u s e f u l i n B a y e s i a n a n a l y s i s . A p p l i c a t i o n o f t h e C C H i s d e m o n s t r a t e d w i t h t w o o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s . I n e a c h c a s e , t h e C C H y i e l d s a s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t i m p r o v v e r t h e m o r e r e s t r i c t i v e a l t e r n a t i v e s . E L C o d e s : C 1 0 , D 9 1 , G 1 1 (cid:3) T h e v i e w s e x p r e s s e d h e r e i n a r e m y o w n a n d d o n o t n e c e s s a r i l y r e (cid:13) e c t t h o s e o f t o v e r n o r s o r i t s s t a (cid:11) . I a m g r a t e f u l f o r t h e h e l p f u l c o m m e n t s o f K a r e n D y n a n , A r t h u r h i t n e y N e w e y , a n d M a r t h a S t a r r - M c C l u e r . P l e a s e a d d r e s s c o r r e s p o n d e n c e t o t h i v i s i o n o f R e s e a r c h a n d S t a t i s t i c s , M a i l S t o p 1 5 3 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h i n g t o n S A . P h o n e : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 3 7 0 5 . F a x : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 5 2 9 5 . E m a i l : h m g o r d y @ f r b .g o v i . . T h e C C H : t h e G a u s s ( G B ) d i s t r i o n o f G o r d y l p r o p e r t i e s . i n a n a t u r a l s o m a y a l s o m e a s u r e s o f e m e n t i n (cid:12) t h e B o a r d o f K e n n i c k e l l , e a u t h o r a t , D C 2 0 5 5 1 ,

e c i (cid:12) e S I o f u d t b w t a T h e b e t a d i s t r i b u t i o n i s w i d e l y u s e d i n s t a t i s t i c a l m o d e l i n g o f b o u n d e d r a n d o m v a r i a b l e s . I t i s a s i l y c a l c u l a t e d , c a n t a k e o n a v a r i e t y o f s h a p e s , a n d , p e r h a p s a s i m p o r t a n t l y , n o n e o f t h e o t h e r 1 o m m o n l y u s e d d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s h a v e c o m p a c t s u p p o r t . H o w e v e r , i t s a p p l i c a t i o n i s l i m i t e d n i m p o r t a n t w a y s . F i r s t , a s a t w o p a r a m e t e r d i s t r i b u t i o n , i t c a n p r o v i d e o n l y l i m i t e d p r e c i s i o n i n t t i n g d a t a . I t i s d e s i r a b l e t o h a v e m o r e p a r a m e t r i c a l l y (cid:13) e x i b l e v e r s i o n s o f t h e b e t a t o a l l o w a r i c h e r m p i r i c a l d e s c r i p t i o n o f d a t a w h i l e s t i l l o (cid:11) e r i n g m o r e s t r u c t u r e t h a n a n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t o r . e c o n d , t h e b e t a d o e s n o t o (cid:11) e r a n a t u r a l a n d c o n v e n i e n t m e a n s o f i n t r o d u c i n g e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s . n a B e t a ( p ; q ) d i s t r i b u t i o n , t h e p a r a m e t e r s ( p ; q ) j o i n t l y d e t e r m i n e b o t h t h e s h a p e a n d m o m e n t s f t h e d i s t r i b u t i o n . T h e r e i s n o s a t i s f a c t o r y w a y o f c o n d i t i o n i n g t h e m e a n b y s p e c i f y i n g p a n d q a s u n c t i o n s o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s a n d r e g r e s s i o n c o e (cid:14) c i e n t s . T h i r d , t h e b e t a i s i n c o n v e n i e n t f o r s e i n B a y e s i a n a n a l y s i s . I t i s c o n j u g a t e f o r b i n o m i a l s i g n a l s , b u t n o t f o r s i g n a l s o f a n y c o n t i n u o u s i s t r i b u t i o n . R e c e n t r e s e a r c h h a s c o n t r i b u t e d t h r e e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e b e t a w h i c h a d d r e s s o n e o r m o r e o f h e s e l i m i t a t i o n s . A r m e r o a n d B a y a r r i ( 1 9 9 4 ) d e (cid:12) n e t h e G a u s s h y p e r g e o m e t r i c ( G H ) d i s t r i b u t i o n y t h e d e n s i t y f u n c t i o n (cid:0) (cid:0) (cid:0) p 1 q 1 r x ( 1 (cid:0) x ) ( 1 + (cid:21) x ) f o r 0 < x < 1 ( 1 ) G H ( x ; p ; q ; r ; (cid:21) ) = B ( p ; q ) F ( r ; p ; p + q ; (cid:0) (cid:21) ) 2 1 i t h p > 0 ; q > 0 a n d w h e r e F d e n o t e s t h e G a u s s h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n . T h e G H c o l l a p s e s t o 2 1 h e o r d i n a r y b e t a i f e i t h e r r = 0 o r (cid:21) = 0 , a n d t o t h e b e t a - p r i m e i f q = (cid:21) = 1 . A r m e r o a n d B a y a r r i p p l y t h e G H t o a B a y e s i a n q u e u i n g t h e o r y p r o b l e m . A r e l a t e d d i s t r i b u t i o n i s i n t r o d u c e d b y M c D o n a l d a n d X u ( 1 9 9 5 ) a s t h e \ g e n e r a l i z e d b e t a " 1 E x c e p t , o f c o u r s e , t h e u n ifo r m d is t r ib u t io n , w h ic h is a s p e c ia l c a s e o f t h e b e t a . 1

( a t a d m w 1 g t f T u E a G B ) d i s t r i b u t i o n . T h e G B i s d e (cid:12) n e d b y t h e p d f (cid:0) (cid:0) a p 1 a q 1 ja jx ( 1 (cid:0) ( 1 (cid:0) c ) ( x = b ) ) a a G B ( x ; a ; b ; c ; p ; q ) = f o r 0 < x < b = ( 1 (cid:0) c ) ( 2 ) a p a p + q b B ( p ; q ) ( 1 + c ( x = b ) ) n d z e r o o t h e r w i s e w i t h 0 (cid:20) c (cid:20) 1 a n d b ; p a n d q p o s i t i v e . A s i n t h e o r d i n a r y b e t a d i s t r i b u t i o n , h e p a r a m e t e r s p a n d q c o n t r o l s h a p e a n d s k e w n e s s . P a r a m e t e r s a a n d b c o n t r o l \ p e a k e d n e s s " n d s c a l e , r e s p e c t i v e l y . G i v e n a = b = 1 , t h e p a r a m e t e r c s h i f t s t h e G B f r o m t h e o r d i n a r y b e t a i s t r i b u t i o n ( c = 0 ) t o t h e b e t a - p r i m e d i s t r i b u t i o n ( c = 1 ) . G o r d y ( f o r t h c o m i n g ) g e n e r a l i z e s t h e b e t a i n a n u n r e l a t e d d i r e c t i o n . T h e \ c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o e t r i c " d i s t r i b u t i o n C H ( p ; q ; s ) i s d e (cid:12) n e d b y t h e p d f (cid:0) (cid:0) p 1 q 1 x ( 1 (cid:0) x ) e x p ( (cid:0) s x ) f o r 0 < x < 1 : ( 3 ) C H ( x ; p ; q ; s ) = B ( p ; q ) F ( p ; p + q ; (cid:0) s ) 1 1 h e r e F i s t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n d e (cid:12) n e d i n A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , e d s ( 1 9 6 8 , 1 1 2 3 .1 .2 ) ( h e r e a f t e r c i t e d a s \ A S " ) . G o r d y ( f o r t h c o m i n g ) s h o w s t h a t a b e t a p r i o r a n d g a m m a s i g n a l i v e s r i s e t o a C H p o s t e r i o r a n d a p p l i e s t h i s p r o p e r t y t o a u c t i o n t h e o r y . I n t h i s p a p e r , I u n i f y a n d f u r t h e r g e n e r a l i z e t h e s e t h r e e d i s t r i b u t i o n s . T h e c o n s t a n t o f p r o p o r i o n a l i t y i n t h e n e w p d f i s t h e p r o d u c t o f a b e t a f u n c t i o n a n d a c o m p o u n d c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c u n c t i o n . T h e r e f o r e , I d e n o t e t h i s d i s t r i b u t i o n t h e \ c o m p o u n d c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c " ( C C H ) . h e C C H i s d e (cid:12) n e d a n d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 1 . S p e c i a l c a s e s a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . I n p a r t i c l a r , I s h o w t h a t t h e b e t a , G B , G H , C H a n d g a m m a d i s t r i b u t i o n s a r e a l l s p e c i a l c a s e s o f t h e C C H . m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s t o m e a s u r e s o f h o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s a r e p r o v i d e d i n S e c t i o n 3 . 2 T h is fu n c t io n is d e n o t e d t h e r e a s a n d r e fe r r e d t o a s t h e \ d e g e n e r a t e " h y p e r g e o m e t r ic fu n c t io n (cid:8) in G r a d s h t e y n M M a th e m a tic a n d R y z h ik ( 1 9 6 5 , 9 .2 1 0 .1 ) . I n , it is t h e H y p e r g e o m e t r i c 1 F 1 . 2

1 I f w R a c t b T F a D e (cid:12) n i t i o n o f t h e C C H d e (cid:12) n e t h e C C H b y t h e d e n s i t y f u n c t i o n (cid:0) (cid:0) p 1 q 1 x ( 1 (cid:0) (cid:23) x ) ( (cid:18) + ( 1 (cid:0) C C H ( x ; p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) = B ( p ; q ) H ( p ; q ; 3 o r 0 < p , 0 < q , r 2 < , s 2 < , 0 (cid:20) (cid:23) (cid:20) 1 , a n d 0 < (cid:18) . T (cid:0) p H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) = (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) (cid:8) h e r e (cid:8) i s t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n o f 1 y z h i k ( 1 9 6 5 , 9 .2 6 1 .1 ) b y 1 1 ( (cid:11) (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = 1 ( (cid:13) m = 0 n = 0 X X n d w h e r e ( a ) i s P o c h h a m m e r ’s n o t a t i o n , i .e ., ( a ) = 0 k o n v e n i e n c e i n e x p o s i t i o n , I r e f e r t o H a s a \ c o m p o u n d h a n a s a \ c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n o f t w o v a I n A p p e n d i x A , I s h o w t h a t e q u a t i o n ( 4 ) i n t e g r a t e s u t i o n i s w e l l - d e (cid:12) n e d e v e r y w h e r e o n t h e p a r a m e t e r s p a h e o r e m 1 o r a l l s u c h t h a t , , , ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) p > 0 q > 0 r 2 < s 2 (cid:12) n i t e p o s i t i v e r e a l n u m b e r . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t t h e m o m e n t g e n e H ( p ; q ; r ; s (cid:0) M ( t ) = H ( p ; q ; r ; s 3 = 0 is h a n d le d a s a s p e c ia l c a s e . S e e t h e U H d is t r ib u t io n in (cid:23) 3 (cid:0) r (cid:18) ) (cid:23) x ) e x p ( (cid:0) s x ) f o r 0 < x < 1 = (cid:23) ( 4 ) r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) h e f u n c t i o n H i s g i v e n b y ( q ; r ; p + q ; s = (cid:23) ; 1 (cid:0) (cid:18) ) ( 5 ) 1 t w o v a r i a b l e s d e (cid:12) n e d i n G r a d s h t e y n a n d ) ( (cid:12) ) m + n n m n x y ( 6 ) ) m !n ! m + n 1 ; ( a ) = a ; ( a ) = ( a ) ( a + k (cid:0) 1 ) . F o r (cid:0) 1 k k 1 c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c " f u n c t i o n r a t h e r r i a b l e s ." t o o n e . T o g u a r a n t e e t h a t t h e C C H d i s t r i c e , I p r o v e i n A p p e n d i x C t h e t h e o r e m , a n d , i s < 0 < (cid:23) (cid:20) 1 (cid:18) > 0 H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) r a t i n g f u n c t i o n f o r t h e C C H i s g i v e n b y t ; (cid:23) ; (cid:18) ) ; (cid:23) ; (cid:18) ) S e c t io n 2 .

a T p H p d t t H i p t P s (cid:12) o e t n d t h e k t h o r d e r m o m e n t s a r e g i v e n b y ( p ) H ( p + k ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) k k E ( X ) = : ( 7 ) ( p + q ) H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) k h e o r e m 1 i s s u (cid:14) c i e n t t o g u a r a n t e e t h a t a l l m o m e n t s o f X e x i s t . G i v e n t h e r e s t r i c t i o n s o n t h e p a r a m e t e r s , t h e (cid:8) f u n c t i o n i n e q u a t i o n ( 5 ) c a n a l w a y s b e e x - 1 r e s s e d a s a n i n (cid:12) n i t e s e r i e s i n w h i c h a l l t e r m s a r e n o n - n e g a t i v e ( s e e A p p e n d i x B ) . T h e r e f o r e , t h e f u n c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d w i t h o u t n u m e r i c a l r o u n d - o (cid:11) p r o b l e m s . D e s p i t e i t s a p p a r e n t c o m - 4 C o m p u t a t i o n t i m e l e x i t y , i t i s q u i c k l y c a l c u l a t e d o v e r m o s t o f t h e r e l e v a n t p a r a m e t e r s p a c e . e c r e a s e s w i t h p ; (cid:23) a n d (cid:18) a n d i n c r e a s e s w i t h q ; jr j a n d js j. I t a p p e a r s t h a t (cid:23) a n d (cid:18) j o i n t l y h a v e h e l a r g e s t e (cid:11) e c t . T o t a k e a n e a s y e x a m p l e , c o m p u t a t i o n o f H ( p = 2 0 ; q = 2 ; r = 5 ; s = 0 ; (cid:23) = 1 ; (cid:18) = 1 ) o 1 4 p l a c e s a c c u r a c y t a k e s 0 .0 0 0 2 s e c o n d s o n a S p a r c S t a t i o n 1 0 . T o t a k e a m o r e d i (cid:14) c u l t e x a m p l e , ( 2 ; 2 0 ; 1 5 ; 1 0 ; 0 :0 1 ; 0 :0 1 ) r e q u i r e s 0 .6 s e c o n d s . T o t h e e x t e n t t h a t t h e C C H i s e m p l o y e d t o g e n e r a l z e t h e b e t a d i s t r i b u t i o n , r a t h e r t h a n t h e b e t a - p r i m e d i s t r i b u t i o n , c o m p u t a t i o n a l l y e a s y c a s e s w i l l r e d o m i n a t e i n e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s . F i g u r e s 1 a , 1 b a n d 1 c p l o t t h e C C H p d f f o r a v a r i e t y o f p a r a m e t e r v a l u e s . T h e (cid:12) g u r e s s h o w t h a t h e r o l e o f p a r a m e t e r s p a n d q i n t h e C C H i s m u c h t h e s a m e a s i n t h e o r d i n a r y b e t a d i s t r i b u t i o n . a r a m e t e r (cid:23) r e s c a l e s t h e d i s t r i b u t i o n f o r l o n g e r o r s h o r t e r s u p p o r t . T h e r e m a i n i n g p a r a m e t e r s r , a n d (cid:18) \ s q u e e z e " t h e d e n s i t y f u n c t i o n t o t h e l e f t o r r i g h t . W h i l e t h e s h a p e s p o r t r a y e d i n t h e s e g u r e s a r e q u a l i t a t i v e l y f a m i l i a r f r o m t h e b e t a d i s t r i b u t i o n , t h e C C H c a n a l s o t a k e o n a w i d e r a n g e f m u l t i - m o d a l o r l o n g - t a i l e d s h a p e s w h i c h t h e b e t a c a n n o t . E x a m p l e s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 2 . T h e p a r a m e t e r s a l l o w s f o r a c o n v e n i e n t m e t h o d o f c o n d i t i o n i n g t h e C C H d i s t r i b u t i o n o n x o g e n o u s v a r i a b l e s . T h e b o t t o m p a n e l o f F i g u r e 1 b s h o w s t h a t i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) s s q u e e z e s h e d i s t r i b u t i o n t o t h e l e f t ( r i g h t ) . I n A p p e n d i x D i t i s p r o v e d t h a t t h e m e a n c h a n g e s m o n o t o n i c a l l y 4 S o ft w a r e in C a n d M A T L A B is a v a ila b le u p o n r e q u e s t . 4

F i g u r e 1 a : C o m p o u n d C o n (cid:13) u e n t H y p e r g e o m e t r i c P D F s Varying p 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x )x(f q=4, r=10, s=0, n =1, q =0.75 p=0.5 p=1 p=12 p=6 Varying q 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x )x(f p=6, r=10, s=0, n =1, q =0.75 q=0.5 q=12 q=6 q=1 5

F i g u r e 1 b : C o m p o u n d C o n (cid:13) u e n t H y p e r g e o m e t r i c P D F s ( c o n t i n u e d ) Varying r 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x )x(f p=6, q=4, s=0, n =1, q =0.75 r=−20 r=40 r=0 r=20 Varying s 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x )x(f p=6, q=4, r=p+q, n =1, q =0.75 s=6 s=0 s=−6 6

F i g u r e 1 c : C o m p o u n d C o n (cid:13) u e n t H y p e r g e o m e t r i c P D F s ( c o n t i n u e d ) Varying n 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x )x(f p=6, q=4, r=p+q, s=0, q =0.75 n =1 n =2/3 n =1/3 Varying q 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x )x(f p=6, q=4, r=p+q, s=0, n =1 q =5 q =0.2 q =2 q =0.5 q =1 7

F i g u r e 2 : M u l t i - m o d a l a n d L o n g - T a i l e d C C H P D F s 4 2 Example 1 Example 2 3 1.5 2 1 1 0.5 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 4 1.5 Example 3 Example 4 3 1 2 0.5 1 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 4 3 Example 5 Example 6 3 2 2 1 1 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P E E E E E E a x x x x x x r a a a a a a a m m m m m m m p p p p p p e t l e l e l e l e l e l e e r 1 2 3 4 5 6 v : : : : : : a p p p p p p l u = = = = = = e s 2 5 1 0 0 4 : ; q ; q 2 ; :8 ; :2 ; ; q = = q q q = = = = 3 1 0 ; r = :2 ; r 0 :4 ; 0 :7 ; 2 5 ; :2 ; r 1 5 ; = 3 r = r = r = = 0 s = (cid:0) 2 0 ; (cid:23) 7 ; s = (cid:0) 2 6 ; 2 5 ; s = (cid:0) 1 0 (cid:0) 1 5 ; s = (cid:0) (cid:0) 4 0 ; s = 1 0 ; s = 1 0 ; (cid:23) = = (cid:23) ; 1 ; 1 ; = 1 (cid:23) = 0 ; (cid:23) (cid:23) = 1 ; (cid:18) 8 (cid:18) ; 1 = 1 = = (cid:18) ; ; 0 :2 = 0 (cid:18) = 1 ; (cid:18) (cid:18) = 2 . 5 . :3 6 0 :1 = 0 :4 . 4 2 . . .

w P T f ( s l L T i B a t 2 G t p b ( i t h s , i .e ., d E ( X ) r o p o s i t i o n 2 = (cid:0) V a r ( X ) < 0 : d s h e r e f o r e , i f z i s a v e c t o r o f e x o g e n o u s v a r i a b l e s , i t m i g h t b e a s s u m e d t h a t X (cid:24) C C H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) t t t o r s = z (cid:14) . T h e r e g r e s s i o n c o e (cid:14) c i e n t s (cid:14) a r e e a s i l y e s t i m a t e d a l o n g w i t h t h e (cid:12) x e d p a r a m e t e r s t t p ; q ; r ; (cid:23) ; (cid:18) ) b y m a x i m u m l i k e l i h o o d . T h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n H w i t h r e s p e c t t o s h a s a i m p l e a n a l y t i c e x p r e s s i o n , s o t h e c o m p u t a t i o n a l b u r d e n o f a d d i n g v a r i a b l e s t o z i s n o t e s p e c i a l l y t a r g e . p d e m m a 3 H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) = (cid:0) H ( p + 1 ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) : d s p + q h e p r o o f i s i n A p p e n d i x D . L i k e t h e b e t a , t h e C C H d i s p l a y s a s i m p l e r e (cid:13) e c t i o n p r o p e r t y . I f X (cid:24) C C H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) a n d f Y = 1 = (cid:23) (cid:0) X , t h e n Y (cid:24) C C H ( q ; p ; r ; (cid:0) s ; (cid:23) ; 1 = (cid:18) ) . L i k e t h e C H , t h e C C H m a y b e u s e f u l i n a y e s i a n d e c i s i o n p r o b l e m s , b e c a u s e i t i s c o n j u g a t e f o r g a m m a d i s t r i b u t e d s i g n a l s . I f t h e p r i o r f o r n u n k n o w n r a n d o m v a r i a b l e X i s t h e C C H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) a n d s i g n a l W j( X = x ) (cid:24) G a ( (cid:28) ; x ) , t h e n h e p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n o f X j( W = w ) i s C C H ( p + (cid:28) ; q ; r ; s + w ; (cid:23) ; (cid:18) ) . S p e c i a l c a s e s e n e r a l i z e d B e t a : W h e n s = 0 , r = p + q , (cid:23) = ( 1 (cid:0) c ) = b , a n d (cid:18) = 1 (cid:0) c , t h e C C H s i m p l i (cid:12) e s t o h e G B w i t h a = 1 . T h e C C H d i s t r i b u t i o n c a n e a s i l y b e e x t e n d e d t o a c c o m m o d a t e a p e a k e d n e s s a r a m e t e r a a s w e l l , w h i c h i s i g n o r e d h e r e t o s i m p l i f y e x p o s i t i o n . T h e r e s t r i c t i o n i s r e l a t i v e l y m i n o r , a ~ e c a u s e i f X (cid:24) G B ( a ; b ; c ; p ; q ) t h e n X c a n b e r e s c a l e d a s X (cid:17) X (cid:24) C C H ( p ; q ; r = p + q ; s = 0 ; (cid:23) = 1 (cid:0) c ) = b ; (cid:18) = 1 (cid:0) c ) . 9

G t w C t A G G C C (cid:18) t d I 9 a u s s H y p e r g e o m e t r i c : W h e n s = 0 a n d (cid:23) = 1 , t h e C C H ( p ; q ; r ; s = 0 ; (cid:23) = 1 ; (cid:18) ) s i m h e G H ( p ; q ; r ; (cid:21) ) f o r (cid:21) = ( 1 (cid:0) (cid:18) ) = (cid:18) . T h e f u n c t i o n H s i m p l i (cid:12) e s t o r H ( p ; q ; r ; s = 0 ; (cid:23) = 1 ; (cid:18) ) = (cid:18) F ( r ; q ; p + q ; 1 (cid:0) (cid:18) ) = F ( r ; p ; p + q ; (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:18) ) = (cid:18) ) 2 1 2 1 h e r e t h e l a s t t r a n s f o r m a t i o n f o l l o w s f r o m A S 1 5 .3 .4 . o n (cid:13) u e n t H y p e r g e o m e t r i c : W h e n (cid:23) = 1 a n d (cid:18) = 1 , C C H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) = 1 ; (cid:18) = 1 ) o t h e c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n C H ( p ; q ; s ) . I t i s c l e a r f r o m t r a n s f o r m a t i o p p e n d i x B t h a t H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) = 1 ; (cid:18) = 1 ) = F ( p ; p + q ; (cid:0) s ) . 1 1 a m m a : W h e n (cid:23) = 0 a n d s > 0 , C C H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) = 0 ; (cid:18) ) s i m p l i (cid:12) e s t o t h e g a m m a d i a ( p ; s ) . W h e r e a s t h e G B d i s t r i b u t i o n i n c l u d e s t h e g a m m a d i s t r i b u t i o n a s a l i m i t i n g C H i n c l u d e s t h e g a m m a a s a s p e c i a l c a s e . o n (cid:13) u e n t H y p e r g e o m e t r i c U : A n i n t e r e s t i n g l i m i t i n g c a s e o f t h e C C H a r i s e s a s (cid:23) ! 0 s u c h t h a t (cid:23) ( 1 (cid:0) (cid:18) ) = (cid:18) ! (cid:21) f o r a c o n s t a n t v a l u e (cid:21) s u c h t h a t s = (cid:21) (cid:21) 0 . T h e l i m i t i n g 5 i o n i s b a s e d o n t h e \ U " c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n d e (cid:12) n e d i n A S 1 3 .1 .3 . L e t i s t r i b u t i o n b e d e (cid:12) n e d b y t h e p d f (cid:0) (cid:0) p 1 r x ( 1 + (cid:21) x ) e x p ( (cid:0) s x ) f o r 0 < x < 1 : U H ( x ; p ; r ; s ; (cid:21) ) = (cid:0) ( p ) U ( p ; p + 1 (cid:0) r ; s = (cid:21) ) n A p p e n d i x A i t i s s h o w n t h a t t h i s d e n s i t y i n t e g r a t e s t o o n e . M o m e n t s a r e g i v e n b y U ( k + p ; k + p + 1 (cid:0) r ; s = (cid:21) ) ) k E ( X ) = ( p ) : k U ( p ; p + 1 (cid:0) r ; s = (cid:21) ) ) 5 T h is fu n c t io n is d e n o t e d a s t h e \ d e g e n e r a t e " h y p e r g e o m e t r ic fu n c t io n (cid:9) in G r a d s h t e y n a n d R y M a th e m a tic a .2 1 0 .2 ) . I n , it is t h e H y p e r g e o m e t r i c U . 1 0 p l i (cid:12) e s t o ( 8 ) s i m p l i (cid:12) e s n ( T 4 ) i n s t r i b u t i o n c a s e , t h e ! 0 a n d d i s t r i b u t h e \ U H " ( 9 ) z h ik ( 1 9 6 5 ,

W W 3 T t l m o i s s o o c a g o w m s h e n s = 0 , (cid:21) = 1 a n d r = p + q , t h e U H ( p ; r = p + q ; s = 0 ; (cid:21) = 1 ) s i m p l i (cid:12) e s t o t h e b e t a - p r i m e . h e n (cid:21) = 0 o r r = 0 , t h e U H ( p ; r ; s ; (cid:21) ) f o r s > 0 s i m p l i (cid:12) e s t o t h e g a m m a d i s t r i b u t i o n G a ( p ; s ) . E m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s o d e m o n s t r a t e t h e u s e o f t h e C C H d i s t r i b u t i o n , I m o d e l t w o m e a s u r e s o f h o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s : h e r a t i o o f h o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s t o t o t a l h o u s e h o l d (cid:12) n a n c i a l a s s e t s , a n d t h e l o g o f h o u s e h o l d i q u i d a s s e t s . T h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e s e v a r i a b l e s a c r o s s h o u s e h o l d s a r e i m p o r t a n t i n u n d e r s t a n d i n g o t i v e s f o r s a v i n g a n d t h e d e t e r m i n a n t s o f p o r f o l i o a l l o c a t i o n . F o r e x a m p l e , t h e b u (cid:11) e r - s t o c k m o d e l f s a v i n g ( C a r r o l l 1 9 9 2 ) a n d t h e l i f e - c y c l e m o d e l ( s e e , e .g ., P o t e r b a a n d S a m w i c k 1 9 9 7 ) d i (cid:11) e r i n m p l i c a t i o n s f o r t h e c r o s s - s e c t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f l i q u i d a s s e t s . C r o s s - s e c t i o n a l p a t t e r n s i n p o r t f o l i o h a r e a s s i g n e d t o l i q u i d , l o w r i s k a s s e t s m a y p e r m i t t e s t s o r c a l i b r a t i o n s o f m o d e l s o f p o r t f o l i o c h o i c e , u c h a s L a i b s o n ( 1 9 9 7 ) a n d B o d i e , M e r t o n a n d S a m u e l s o n ( 1 9 9 2 ) . M o r e d i r e c t l y , t h e d i s t r i b u t i o n s f t h e s e v a r i a b l e s m a y s h e d l i g h t o n t h e e (cid:11) e c t s o f i n c o m e d i s t r i b u t i o n a n d d e m o g r a p h i c t r a n s i t i o n s n s a v i n g s a n d o n m a r k e t r i s k - p r e m i a , a n d o n t h e i m p o r t a n c e o f l i q u i d i t y c o n s t r a i n t s i n a g g r e g a t e o n s u m p t i o n . A l l d a t a c o m e f r o m t h e 1 9 9 5 S u r v e y o f C o n s u m e r F i n a n c e s . T h e S C F p r o v i d e s d a t a o n t h e s s e t s a n d l i a b i l i t i e s o f U .S . h o u s e h o l d s ( s e e K e n n i c k e l l , S t a r r - M c C l u e r a n d S u n d (cid:19)e n ( 1 9 9 7 ) f o r a e n e r a l d e s c r i p t i o n ) . I n o r d e r t o p r o v i d e a d e q u a t e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e h i g h l y s k e w e d d i s t r i b u t i o n f a s s e t s , t h e S C F o v e r s a m p l e s w e a l t h y h o u s e h o l d s , s o i n a l l c a l c u l a t i o n s b e l o w I a p p l y S C F s a m p l e e i g h t s t o o b t a i n u n b i a s e d e s t i m a t e s o f t h e p o p u l a t i o n d i s t r i b u t i o n . W e i g h t s a r e n o r m a l i z e d t o 6 e a n o n e t o a v o i d b i a s i n g t h e s i z e o f t e s t s t a t i s t i c s . I d e (cid:12) n e l i q u i d a s s e t s , L I Q , a s t h e s u m o f c h e c k i n g d e p o s i t s , s a v i n g s d e p o s i t s , m o n e y m a r k e t a n d 6 P a r a m e t e r s e s t im a t e d o n t h e u n w e ig h t e d s a m p le s d o d i(cid:11) e r fr o m t h e r e s u lt s r e p o r t e d b e lo w , b u t a r e q u a lit a t iv e ly im ila r . I n p a r t ic u la r , L R t e s t s t a t is t ic s y ie ld t h e s a m e c o n c lu s io n s . 1 1

m i W f R i i d h p L B p d o d h < s m v ( b c o n e y m a r k e t m u t u a l f u n d d e p o s i t s , a n d c a l l a c c o u n t s a t b r o k e r a g e s . T o t a l (cid:12) n a n c i a l a s s e t s , F I N , 7 n c l u d e s L I Q , s t o c k s , b o n d s , t r u s t s , c a s h v a l u e o f w h o l e l i f e i n s u r a n c e , a n d o t h e r (cid:12) n a n c i a l a s s e t s . e i g h t e d m e d i a n a n d m e a n s a m p l e v a l u e s a r e $ 1 ,6 0 0 a n d $ 1 3 ,2 6 1 f o r L I Q a n d $ 1 0 ,0 0 0 a n d $ 8 8 ,6 2 9 o r F I N . R o u g h l y 9 % o f h o u s e h o l d s h a v e n o (cid:12) n a n c i a l a s s e t s a n d r o u g h l y 1 3 % h a v e n o l i q u i d a s s e t s . o u g h l y 2 0 % h a v e p o s i t i v e l i q u i d a s s e t s b u t n o o t h e r (cid:12) n a n c i a l a s s e t s . T o b o u n d t h e l i q u i d i t y r a t i o n ( 0 ; 1 ) , I a s s u m e h o u s e h o l d i h a s a n a d d i t i o n a l c d o l l a r s i n \ p o c k e t c a s h ," a n d a n o t h e r f d o l l a r s i i n s m a l l l o a n s t o f r i e n d s , w h e r e c a n d f a r e i i d d r a w s f r o m a U n i f o r m ( 0 ; 1 5 0 ) d i s t r i b u t i o n . I t h e n i i 8 e (cid:12) n e L I Q R A T (cid:17) ( L I Q + c ) = ( F I N + c + f ) . T h e t o p p a n e l o f F i g u r e 3 s h o w s a U - s h a p e d i i i i i i s t o g r a m f o r L I Q R A T . R o u g h l y h a l f o f U .S . h o u s e h o l d s m a i n t a i n e i t h e r a v e r y l o w o r v e r y h i g h e r c e n t a g e o f h o u s e h o l d (cid:12) n a n c i a l a s s e t s i n l i q u i d d e p o s i t s . T a b l e 1 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t i o n o f d i s t r i b u t i o n p a r a m e t e r s f o r 9 I Q R A T u s i n g t h e b e t a , c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c , G a u s s h y p e r g e o m e t r i c a n d C C H d i s t r i b u t i o n s . 1 0 e c a u s e 0 a n d 1 a r e n a t u r a l b o u n d s f o r L I Q R A T , (cid:23) i s (cid:12) x e d t o 1 . T h e e s t i m a t e d d i s t r i b u t i o n s a r e l o t t e d i n t h e b o t t o m p a n e l o f F i g u r e 3 . A l l o f t h e e s t i m a t e d d i s t r i b u t i o n s a r e U - s h a p e d , b u t t h e y o d i (cid:11) e r v i s i b l y . F u r t h e r m o r e , L R t e s t s s t r o n g l y r e j e c t ( a t w e l l b e y o n d 1 % l e v e l s ) t h e e q u i v a l e n c e f t h e r e s t r i c t e d d i s t r i b u t i o n s t o t h e C C H . T h e C C H t h u s o (cid:11) e r s a s i g n i (cid:12) c a n t l y b e t t e r (cid:12) t t o t h e a t a t h a n b e t a , C H o r G H . I t m i g h t b e e x p e c t e d t h a t L I Q R A T w i l l d e p e n d o n h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s . H i g h e r i n c o m e o u s e h o l d s m a y h a v e l e s s n e e d t o k e e p s a v i n g s i n a h i g h l y l i q u i d f o r m . H i g h e r l e v e l s o f e d u c a t i o n 7 T h e s e a r e s t a n d a r d d e (cid:12) n it io n s u s e d in a n a ly s is o f t h e S C F d a t a . S e e t h e U R L h t t p : / / w w w . b o g . f r b . f e d . u s / p u b s / o s s / o s s 2 / 9 5 / c o d e b k 9 5 p t 5 . h t m l a t t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ’s w e b > it e . 8 T h is p r o c e d u r e c a u s e s e s t im a t e d p a r a m e t e r s t o v a r y w it h e a c h s e t o f r a n d o m d r a w s . I h a v e r u n t h e p r o g r a m a n y t im e s , h o w e v e r , a n d (cid:12) n d t h a t r e s u lt s a p p e a r t o b e s t a b le . 9 S t a n d a r d e r r o r s a r e o b t a in e d u s in g t h e m e t h o d o f B e r n d t , H a ll, H a ll a n d H a u s m a n ( 1 9 7 4 ) . I a b s t r a c t fr o m a r ia t io n a s s o c ia t e d w it h t h e in c lu s io n o f im p u t e d v a lu e s in t h e S C F b y u s in g o n ly t h e (cid:12) r s t s e t o f im p lic a t e s . R u b in 1 9 8 7 ) d is c u s s e s c o r r e c t io n t o t h e s t a n d a r d e r r o r s fo r m u lt ip ly im p u t e d d a t a . I n t h is a p p lic a t io n , t h e c o r r e c t io n s h o u ld e q u it e s m a ll a n d is ig n o r e d . 1 0 T h e G B is n o t in c lu d e d in t h is c o m p a r is o n b e c a u s e it is e q u iv a le n t t o t h e b e t a w h e n r e s t r ic t io n s = 1 a n d a (cid:0) = 1 = 0 a r e im p o s e d . = b (cid:23) 1 2

F i g u r e 3 : D i s t r i b u t i o n o f L i q u i d A s s e t R a t i o Histogram 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Estimated PDFs 5 4.5 Beta 4 CH 3.5 GH 3 CCH 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 LIQRAT 1 3

m t a a u t e w t t z d y T a b l e 1 : E s t i m a t e d D i s t r i b u t i o n a l P a r a m e t e r s f o r L i q u i d i t y R a t i o z B e t a C H G H C C H p 0 :5 0 1 0 :6 4 6 1 :0 6 2 0 :9 3 9 ( 0 :0 1 1 ) ( 0 :0 1 7 ) ( 0 :0 5 1 ) ( 0 :0 3 4 ) q 0 :6 8 7 0 :4 7 7 0 :5 2 6 0 :6 4 9 ( 0 :0 1 1 ) ( 0 :0 1 8 ) ( 0 :0 1 5 ) ( 0 :0 2 6 ) r 1 :0 5 2 6 :2 9 6 ( 0 :0 5 0 ) ( 2 :8 1 9 ) s 1 :5 8 5 (cid:0) 5 :7 3 2 ( 0 :1 0 9 ) ( 1 :8 6 7 ) (cid:18) 0 :0 3 2 0 :2 8 5 ( 0 :0 0 7 ) ( 0 :0 8 6 ) L o g L i k : 8 3 8 :0 8 9 3 9 :8 7 1 0 2 2 :1 1 0 4 2 :5 y : S t a n d a r d e r r o r s in p a r e n t h e s e s . 4 2 9 9 o b s e r v a t io n s in s a m p le . S a m p le w e ig h t s a r e n o r m a liz e d t o h a v e m e a n o n e . is (cid:12) x e d a t (cid:23) 1 . z : T h e p a r a m e t e r in t h e s t a n d a r d fo r m fo r t h e G H is g iv e n b y (cid:21) (cid:0) = ( 1 ) . (cid:21) (cid:18) = (cid:18) a y b e a s s o c i a t e d w i t h g r e a t e r s o p h i s t i c a t i o n i n (cid:12) n a n c i a l m a t t e r s , a n d s o a g r e a t e r p r o p e n s i t y o h o l d a s s e t s o t h e r t h a n l i q u i d d e p o s i t s . C o m p a r e d t o h o u s e h o l d s i n t h e 3 5 - 6 5 a g e g r o u p , o l d e r n d y o u n g e r h o u s e h o l d s a r e l i k e l y t o h a v e h i g h e r L I Q R A T . O l d e r h o u s e h o l d s m a y b e m o r e r i s k v e r s e , a n d s o p r e f e r s a f e r a s s e t a l l o c a t i o n s . Y o u n g e r h o u s e h o l d s m a y b e m o r e l i k e l y t o f a c e i n c o m e n c e r t a i n t y a n d t o h a v e n e a r - t e r m g o a l s f o r s a v i n g ( e .g ., d o w n p a y m e n t f o r h o m e p u r c h a s e ) , a n d h u s t o h a v e g r e a t e r d e m a n d f o r b o t h s a f e t y a n d l i q u i d i t y . I n T a b l e 2 , I p r e s e n t r e s u l t s f r o m t h e s t i m a t i o n o f t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n L I Q R A T (cid:24) C C H ( p ; q ; r ; s ; 1 ; (cid:18) ) . I a s s u m e s = z (cid:14) , i i i i h e r e t h e z i n c l u d e h o u s e h o l d i n c o m e , a n d d u m m y v a r i a b l e s f o r t h e a g e a n d l e v e l o f e d u c a t i o n o f i h e h e a d o f h o u s e h o l d , a n d (cid:14) i s a v e c t o r o f c o e (cid:14) c i e n t s . R e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n T a b l e 2 . E s t i m a t e s f o r p ; q ; r a n d (cid:18) a r e c l o s e t o t h o s e f o r t h e u n c o n d i i o n a l C C H ( l a s t c o l u m n o f T a b l e 1 ) . T h e (cid:14) c o e (cid:14) c i e n t s a r e i n d i v i d u a l l y a n d j o i n t l y d i (cid:11) e r e n t f r o m e r o a t t h e 1 % c o n (cid:12) d e n c e l e v e l . A s p r e d i c t e d , h i g h e r i n c o m e a n d h i g h e r l e v e l o f e d u c a t i o n s h i f t t h e i s t r i b u t i o n t o t h e l e f t . T h e y o u n g ( A G E < 3 5 ) a n d t h e o l d ( A G E > 6 5 ) m a i n t a i n h i g h e r l i q u i d i t y 1 4

r 1 s $ t l t T L u a t i o s t h a n t h o s e i n b e t w e e n . y T a b l e 2 : E s t i m a t e d C o n d i t i o n a l D i s t r i b u t i o n f o r L i q u i d i t y R a t i o C o e (cid:11) S .E . p 0 :9 4 5 0 0 :0 3 4 7 q 0 :6 4 9 7 0 :0 2 6 2 r 4 :8 9 5 3 2 :0 6 5 6 (cid:18) 0 :2 4 8 5 0 :0 7 9 6 C O N S T A N T (cid:0) 7 :6 7 7 3 1 :5 4 3 0 L O G ( 1 + I N C O M E ) 0 :3 7 7 9 0 :0 2 4 3 A G E < 3 5 (cid:0) 0 :5 6 7 5 0 :0 9 7 3 A G E > 6 5 (cid:0) 0 :2 4 4 1 0 :0 9 2 0 z E D U 1 ( N O H S D I P L O M A ) (cid:0) 1 :1 6 8 6 0 :1 1 4 6 z E D U 2 ( H S D I P L O M A ) (cid:0) 0 :6 6 5 9 0 :0 9 8 7 z E D U 3 ( S O M E C O L L E G E ) (cid:0) 0 :4 7 0 2 0 :1 1 3 1 L o g L i k : 1 1 9 4 :7 5 y : 4 2 9 9 o b s e r v a t io n s in s a m p le . S a m p le w e ig h t s a r e n o r m a liz e d t o b e m e a n o n e . is (cid:12) x e d a t 1 . (cid:23) z : C O L L E G E D I P L O M A is t h e r e fe r e n c e c a t e g o r y fo r t h e e d u c a t io n d u m m ie s . F i g u r e 4 d e m o n s t r a t e s t h e e (cid:11) e c t o f c o n d i t i o n i n g t h r o u g h s o n t h e C C H d i s t r i b u t i o n . S u b j e c t i s a 2 5 y e a r o l d h i g h s c h o o l d r o p - o u t e a r n i n g $ 2 0 ,0 0 0 p e r y e a r ; s u b j e c t 2 i s 7 0 y e a r s o l d , h a d o m e c o l l e g e , a n d e a r n s $ 4 0 ,0 0 0 p e r y e a r ; a n d s u b j e c t 3 i s a 4 5 y e a r o l d c o l l e g e g r a d u a t e e a r n i n g 1 0 0 ,0 0 0 p e r y e a r . P a r a m e t e r s a r e t a k e n f r o m T a b l e 2 . A l l t h r e e d i s t r i b u t i o n s a r e U - s h a p e d , b u t h a t o f S u b j e c t 1 i s m o s t t i l t e d t o w a r d s h i g h L I Q R A T a n d t h a t o f S u b j e c t 3 i s m o s t t i l t e d t o w a r d s o w L I Q R A T . T h e m e a n s o f t h e s e t h r e e d i s t r i b u t i o n s a r e 0 .3 1 , 0 .2 2 , a n d 0 .1 6 , r e s p e c t i v e l y . T h e s e c o n d m e a s u r e o f h o u s e h o l d l i q u i d i t y i s t h e l o g o f t o t a l h o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s ( i n c l u d i n g h e r a n d o m l y d r a w n a m o u n t o f p o c k e t c a s h ) . T h i s i s d e (cid:12) n e d a s L O G L I Q (cid:17) l o g ( 1 + L I Q + c ) . i i i h e t o p p a n e l o f F i g u r e 5 s h o w s a s i n g l e - p e a k e d h i s t o g r a m f o r L O G L I Q . T a b l e 3 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t i o n o f d i s t r i b u t i o n p a r a m e t e r s f o r O G L I Q u s i n g t h e g a m m a , g e n e r a l i z e d b e t a a n d C C H d i s t r i b u t i o n s . I n p r i n c i p l e , L O G L I Q i s n b o u n d e d ( s o (cid:23) = 0 ) , b u t f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s e x a m p l e I a l l o w (cid:23) t o b e e s t i m a t e d f r e e l y . I a l s o 1 5

F i g u r e 4 : C o n d i t i o n a l C C H P D F s f o r L i q u i d A s s e t R a t i o 7 Subject 1 Subject 2 6 Subject 3 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 LIQRAT 1 6

i e t b t l i h i s n c l u d e i n T a b l e 3 e s t i m a t e s f o r t w o s p e c i a l c a s e s o f t h e C C H . T h e (cid:12) r s t , l a b e l l e d G B ( s ) , i s t h e G B (cid:0) q 1 x t e n d e d t o i n c l u d e a n e x p ( (cid:0) s x ) t e r m . T h e s e c o n d , l a b e l l e d C H ( (cid:23) ) , i s t h e C H w i t h t h e ( 1 (cid:0) x ) (cid:0) q 1 e r m g e n e r a l i z e d t o ( 1 (cid:0) (cid:23) x ) . T h e e s t i m a t e d d i s t r i b u t i o n s a r e p l o t t e d i n t h e b o t t o m p a n e l o f F i g u r e 5 . A l l a r e s i n g l e - p e a k e d , u t d i (cid:11) e r e n c e s a r e c l e a r l y v i s i b l e . O n c e a g a i n , L R t e s t s s t r o n g l y r e j e c t ( a t w e l l b e y o n d 1 % l e v e l s ) h e e q u i v a l e n c e o f t h e r e s t r i c t e d d i s t r i b u t i o n s t o t h e C C H . T h e C H ( (cid:23) ) i s c l o s e s t t o t h e C C H , b o t h i n i k e l i h o o d a n d t o t h e e y e . T h e G B a n d G B ( s ) a p p e a r t o u n d e r p e r f o r m e v e n t h e g a m m a d i s t r i b u t i o n . I n t h e e s t i m a t i o n o f t h e f u l l C C H , r h a s a n e s p e c i a l l y l a r g e s t a n d a r d d e v i a t i o n . T h i s c a n b e s e e n n t h e e s t i m a t i o n o f t h e C C H d i s t r i b u t i o n f o r L I Q R A T i n T a b l e 1 a s w e l l , b u t i s m o r e p r o n o u n c e d e r e . O n e r e a s o n i s s i m p l y t h a t f a i r l y l a r g e c h a n g e s i n r a r e n e e d e d t o p r o d u c e m o d e r a t e c h a n g e s n t h e d i s t r i b u t i o n ( s e e F i g u r e 1 b ) . H o w e v e r , i t a p p e a r s t h a t j o i n t i d e n t i (cid:12) c a t i o n o f r ; (cid:23) a n d s m a y o m e t i m e s b e w e a k . y T a b l e 3 : E s t i m a t e d D i s t r i b u t i o n a l P a r a m e t e r s f o r L o g ( L i q u i d i t y ) z z z G a m m a G B G B ( s ) C H ( (cid:23) ) C C H p 1 0 :2 8 4 3 7 :5 6 2 4 9 :4 1 7 2 :4 8 0 0 :4 4 6 ( 0 :0 3 8 ) ( 0 :3 0 9 ) ( 0 :1 6 9 ) ( 0 :1 5 0 ) ( 0 :3 8 7 ) q 3 :5 8 9 1 7 :8 3 6 2 0 :7 4 1 1 4 :3 2 6 ( 0 :1 6 8 ) ( 0 :7 5 0 ) ( 0 :7 9 1 ) ( 2 :8 4 8 ) r [p + q ] [1 ] (cid:0) 1 5 :7 9 7 ( 1 5 :4 7 6 ) s 1 :4 0 5 (cid:0) 2 :9 5 4 (cid:0) 1 :6 8 6 (cid:0) 1 :0 7 9 ( 0 :0 1 2 ) ( 0 :0 8 3 ) ( 0 :0 8 6 ) ( 1 :0 6 4 ) (cid:23) 0 :0 5 5 0 :0 5 5 0 :0 5 5 0 :0 5 5 ( 0 :0 0 2 ) ( 0 :0 0 1 ) ( 0 :0 0 1 ) ( 0 :0 0 1 ) (cid:18) [(cid:23) ] [1 ] 0 :2 1 4 ( 0 :1 6 1 ) L o g L i k : (cid:0) 9 5 0 6 :4 (cid:0) 9 7 7 9 :0 (cid:0) 9 6 7 4 :7 (cid:0) 9 2 6 0 :5 (cid:0) 9 2 4 7 :9 y : S t a n d a r d e r r o r s in p a r e n t h e s e s . 4 2 9 9 o b s e r v a t io n s in s a m p le . S a m p le w e ig h t s a r e n o r m a liz e d t o h a v e m e a n o n e . z : T h e G B is e s t im a t e d w it h r e s t r ic t io n = 1 ; t h e p a r a m e t e r is e q u iv a le n t t o in t h e s t a n d a r d a (cid:23) c = b (cid:0) fo r m fo r t h e G B . T h e G B ( ) d is t r ib u t io n is t h e G B e x t e n d e d t o in c lu d e a n e x p ( ) t e r m . s s x (cid:0) (cid:0) 1 1 q q (cid:0) (cid:0) T h e C H ( ) d is t r ib u t io n is t h e C H w it h t h e ( 1 ) t e r m g e n e r a liz e d t o ( 1 ) . I m p o s e d (cid:23) x (cid:23) x p a r a m e t e r r e s t r ic t io n s a r e s h o w n in h a r d b r a c k e t s . 1 7

F i g u r e 5 : D i s t r i b u t i o n o f L o g L i q u i d A s s e t s Histogram 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Estimated PDFs 0.2 0.18 Gamma 0.16 GB 0.14 CH(n ) 0.12 CCH 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 LOGLIQ 1 8

C R t t ( t a U l e t o o n c l u s i o n e c e n t w o r k o n e x t e n d i n g t h e b e t a d i s t r i b u t i o n h a s h e G a u s s h y p e r g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f A r m e r o r i b u t i o n o f M c D o n a l d a n d X u ( 1 9 9 5 ) , a n d t h e c o f o r t h c o m i n g ) . I n t h i s p a p e r , t h e s e d i v e r g e n t s t r a n d i o n , w h i c h I d e n o t e t h e \ c o m p o u n d c o n (cid:13) u e n t h y p e v a r i e t y o f p a r a m e t e r v a l u e s s h o w t h a t t h e C C H d - s h a p e d a n d s i n g l e - p e a k e d f o r m s o f t h e b e t a d i s t r o n g - t a i l e d f o r m s . U s e o f t h e C C H i s d e m o n s t r a t e d w i t h t w o m e a s u s t i m a t e d C C H d i s t r i b u t i o n s a r e q u a l i t a t i v e l y s i m i l i o n s , b u t t h e a d d i t i o n a l p r e c i s i o n i n (cid:12) t i s h i g h l y s i g f t h e (cid:12) t t e d d e n s i t i e s . 1 9 g i v e n r i s e t o t h r e e n o n - n e s t e d g e n e r a l i z a t i o n s : a n d B a y a r r i ( 1 9 9 4 ) , t h e g e n e r a l i z e d b e t a d i s n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f G o r d y s a r e u n i (cid:12) e d i n t o a n e w s i x p a r a m e t e r d i s t r i b u r g e o m e t r i c " d i s t r i b u t i o n . P l o t s o f t h e C C H f o r e n s i t y c a n t a k e n o t o n l y t h e f a m i l i a r v a r i e t y o f i b u t i o n , b u t a l s o a v a r i e t y o f m u l t i - m o d a l a n d r e s o f h o u s e h o l d l i q u i d a s s e t s . I n e a c h e x a m p l e , a r t o e s t i m a t e s u s i n g m o r e r e s t r i c t i v e d i s t r i b u n i (cid:12) c a n t s t a t i s t i c a l l y a n d c l e a r l y v i s i b l e i n p l o t s

A L w t T w l d g e h o a h i n e u I n t e g r a t i n g t h e C C H d e n s i t y t A b e t h e i n t e g r a l 1 = (cid:23) (cid:0) (cid:0) (cid:0) p 1 q 1 r A (cid:17) x ( 1 (cid:0) (cid:23) x ) ( (cid:18) + ( 1 (cid:0) (cid:18) ) (cid:23) x ) e x Z 0 e r e 0 < p , 0 < q , r 2 < , s 2 < , 0 < (cid:23) (cid:20) 1 , a n d 0 < (cid:18) . M a k e t h e g e t 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) p p 1 q 1 A = (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) ( 1 (cid:0) u ) u ( 1 (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:18) ) u ) Z 0 k e t h e s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n t o g e t 1 1 m ( s = (cid:23) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) p q + m 1 p 1 A = (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) u ( 1 (cid:0) u ) ( 1 m ! Z 0 m = 0 X 1 m (cid:0) ( q + m ) (cid:0) ( p ) ( s = (cid:23) ) (cid:0) p F ( r ; q + = (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) 2 1 m ! (cid:0) ( p + q + m ) m = 0 X 1 1 m ( q ) s ( m (cid:0) p = B ( p ; q ) (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) ( p + q ) m ! (cid:23) ( p m (cid:16) (cid:17) m = 0 n = 0 X X 1 1 ( q ) ( r ) s m + n n (cid:0) p = B ( p ; q ) (cid:23) e x p ( (cid:0) s = (cid:23) ) ( p + q ) m !n ! (cid:23) m + n (cid:16) (cid:17) m = 0 n = 0 X X e r e ( a ) i s P o c h h a m m e r ’s n o t a t i o n , i .e ., ( a ) = 1 ; ( a ) = a ; ( a ) = i 0 1 i e f o l l o w s f r o m t h e (cid:12) r s t b y A S 1 5 .3 .1 , a n d t h e t h i r d l i n e f r o m t h (cid:12) n i t i o n o f H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) i n e q u a t i o n ( 5 ) , t h e l a s t l i n e g i v e s A = a r a n t e e s t h a t e q u a t i o n ( 4 ) i n t e g r a t e s t o u n i t y . F o r t h e U H l i m i t i n g c a s e , s o l v e 1 (cid:0) (cid:0) p 1 r A = x ( 1 + (cid:21) x ) e x p ( (cid:0) s x ) d x Z 0 2 0 p ( (cid:0) s x ) d x c h a n g e o f v r e x p ( ( s = (cid:23) ) u (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:18) ) u ) m ; p + q + m r ) ( q + m ) n n + q + m ) n n m n ( 1 (cid:0) (cid:18) ) ( a ) ( a + i (cid:0)i 1 e s e c o n d b y B ( p ; q ) H ( p a r i a b ) d u : (cid:0) r d u ; 1 (cid:0) ( 1 (cid:0) ! (cid:0) 1 ) A S 1 ; q ; r ; l . 5 s e u = (cid:18) ) n (cid:18) ) T h e .1 .1 . ; (cid:23) ; (cid:18) ) 1 s B , ( 1 0 (cid:0) (cid:23) ( 1 1 e c o n y t h w h i c ) x ) d e h

b w B I n T A e y t h e h e r e T n t h e e s t e d h e s e l l t h a x p ( x ) W h c h a n g e o f v a r i a b l e u = (cid:21) x . T h e s o l u t i o n i s 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) p 1 r r u ( 1 + u ) e x p ( (cid:0) ( s = (cid:21) ) u ) d u A = (cid:21) Z 0 (cid:0) r = (cid:21) (cid:0) ( p ) U ( p ; p + 1 (cid:0) r ; s = (cid:21) ) U i s t h e \ U " c o n (cid:13) u e n t h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n ( s e e A S 1 3 .1 .3 a n d A (cid:8) 1 r a n s f o r m a t i o n r u l e s f o r t h e f u n c t i o n r e m a i n i n g a p p e n d i x e s , i t w i l l b e c o n v e n i e n t t o m a k e u s e o f a l t e r n a i n (cid:12) n i t e s e r i e s i n t h e d e (cid:12) n i t i o n e q u a t i o n ( 6 ) f o r (cid:8) . F o r 0 < (cid:11) < (cid:13) a 1 1 m ( (cid:11) ) x m (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = F ( (cid:12) ; (cid:11) + m ; (cid:13) + m ; y ) 1 2 1 ( (cid:13) ) m ! m m = 0 X 1 m ( (cid:0) x ) ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ) m F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) = e x p ( x ) 2 1 ( (cid:13) ) m ! m m = 0 X 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n = F ( (cid:11) + n ; (cid:13) + n ; x ) 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n = e x p ( x ) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) + 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X t r a n s f o r m a t i o n s a r e d e r i v e d u s i n g s t r a i g h t f o r w a r d m a n i p u l a t i o n s o f t t i s n e e d e d i s t h e r u l e ( a ) = ( a ) ( a + m ) a n d t h e K u m m e r t r a n s m + n m n F ( b (cid:0) a ; b ; (cid:0) x ) ( s e e A S 1 3 .1 .2 7 ) . 1 1 e n y < 0 , a p p l y t h e t r a n s f o r m a t i o n r u l e ( A S 1 5 .3 .4 ) (cid:0) a F ( a ; b ; c ; y ) = ( 1 (cid:0) y ) F ( a ; c (cid:0) b ; c ; y = ( y (cid:0) 1 ) ) 2 1 2 1 2 1 S 1 3 t i v e n d 0 + m n ; (cid:0) h e n f o r m .2 .5 ) . e x p r e s s i (cid:20) y < 1 ; y ) x ) : e s t e d i n (cid:12) a t i o n F 1 o n s , n i t ( a 1 e ; ( 1 2 ) f o r t h e ( T 1 ) ( T 2 ) ( T 3 ) ( T 4 ) s e r i e s . b ; x ) =

t I l C I (cid:12) b 0 r (cid:18) 0 L P o t h e f o r m ( T 2 ) t o g e t (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = e x p 1 = e x p = e x p = e x p f y < 0 , t h e n 0 < y = ( y (cid:0) i n e . B o u n d i n g t h e n t h i s a p p e n d i x , I p r o v e T n i t e a n d p o s i t i v e e v e r y w h y (cid:8) ( q ; r ; p + q ; s = (cid:23) ; 1 (cid:0) (cid:18) 1 < (cid:23) (cid:20) 1 a n d 0 < (cid:18) . T h e r e a l n u m b e r f o r a l l 0 < (cid:11) < > 1 ) . T h e t e c h n i q u e s n e e d e d (cid:20) y < 1 , a n d x (cid:21) 0 . F o r e m m a 4 F o r a l l x (cid:21) 0 a r o o f : E x p a n d t h e F s e 1 1 1 m ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ) ( (cid:0) x ) m (cid:0) (cid:12) ( x ) ( 1 (cid:0) y ) F ( (cid:12) ; (cid:13) (cid:0) (cid:11) + m ; (cid:13) + m ; y = ( y (cid:0) 1 ) ) 2 1 ( (cid:13) ) m ! m m = 0 X 1 1 n ( (cid:12) ) ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) + m ) y ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ) n n m (cid:0) m (cid:12) ( (cid:0) x ) ( x ) ( 1 (cid:0) y ) ( (cid:13) ) m ! ( (cid:13) + m ) n ! y (cid:0) 1 (cid:18) (cid:19) m n m = 0 n = 0 X X 1 1 n y ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ) ( (cid:12) ) m + n n (cid:0) m (cid:12) ( (cid:0) x ) ( x ) ( 1 (cid:0) y ) ( (cid:13) ) m !n ! (cid:18) y (cid:0) 1 (cid:19) m + n m = 0 n = 0 X X (cid:0) (cid:12) ( x ) ( 1 (cid:0) y ) (cid:8) ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; (cid:0) x ; y = ( y (cid:0) 1 ) ) : ( T 5 ) 1 1 ) < 1 , s o f o r m s ( T 1 ) { ( T 4 ) c a n b e a p p l i e d t o t h e (cid:8) t e r m i n t h e l a s t 1 H f u n c t i o n h e o r e m 1 . F r o m t h e d e (cid:12) n i t i o n o f H i n e q u a t i o n ( 5 ) , i t i s c l e a r t h a t H i s e r e o n t h e p a r a m e t e r s p a c e i f a n d o n l y i f t h e n e s t e d i n (cid:12) n i t e s e r i e s g i v e n ) c o n v e r g e s t o a p o s i t i v e r e a l n u m b e r f o r a l l p > 0 , q > 0 , r 2 < , s 2 < , e f o r e , i t i s s u (cid:14) c i e n t t o s h o w t h a t (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) c o n v e r g e s t o a p o s i t i v e 1 (cid:13) , (cid:12) 2 < , x 2 < a n d e i t h e r 0 (cid:20) y < 1 ( i .e ., f o r (cid:18) (cid:20) 1 ) o r y < 0 ( i . e ., f o r t o b o u n d (cid:8) d e p e n d o n t h e s i g n s o f (cid:12) , x a n d y . A s s u m e (cid:12) r s t t h a t (cid:12) > 0 , 1 t h i s c a s e , w e n e e d t h e l e m m a n d 0 < (cid:11) < (cid:13) , 1 (cid:20) F ( (cid:11) ; (cid:13) ; x ) (cid:20) e x p ( x ) . 1 1 r i e s a s 1 m ( (cid:11) ) x m : F ( (cid:11) ; (cid:13) ; x ) = 1 1 ( (cid:13) ) m ! m m = 0 X 2 2

T g n w ( w 2 g L T h e (cid:12) r s t t e r m ( m = 0 ) e q u a l s 1 a n d r e m a i n i n g t e r m s a r e n o n - n e g a t i v e , s o t h e s u m m m r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 1 . S i n c e (cid:11) < (cid:13) , e a c h t e r m m u s t b e l e s s t h a n x = m !, s o 1 m x (cid:4) F ( (cid:11) ; (cid:13) ; x ) < = e x p ( x ) : 1 1 m ! m = 0 X C o n s i d e r t h e f o r m f o r (cid:8) g i v e n b y ( T 3 ) . G i v e n 0 (cid:20) y < 1 , e a c h t e r m i n t h 1 o n - n e g a t i v e , s o 1 n y ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) n n F ( (cid:11) + n ; (cid:13) + n ; x ) (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = 1 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X 1 n y ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) n n e x p ( x ) = e x p ( x ) F ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; y ) < 2 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X h e r e t h e i n e q u a l i t y f o l l o w s f r o m L e m m a 4 . T h e F s e r i e s c o n v e r g e s f o r a l l y i n s i d e 2 1 A S 1 5 .1 .1 ) , s o t h i s e x p r e s s i o n i s (cid:12) n i t e . T a k i n g t h e l o w e r b o u n d , 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = F ( (cid:11) + n ; (cid:13) + n ; x ) 1 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n (cid:21) = F ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; y ) (cid:21) 1 2 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X h e r e t h e (cid:12) r s t i n e q u a l i t y f o l l o w s f r o m t h e l o w e r b o u n d i n L e m m a 4 . T h e (cid:12) r s t t e r m F s e r i e s e x p a n s i o n e q u a l s 1 a n d r e m a i n i n g t e r m s a r e n o n - n e g a t i v e , s o t h e s u m m 1 r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 1 . N e x t , a s s u m e x < 0 . W e n e e d t h e l e m m a : e m m a 5 F o r x < 0 , 0 < (cid:11) < (cid:13) a n d n (cid:21) 0 , 1 (cid:20) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) + n ; (cid:0) x ) (cid:20) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; (cid:0) x ) < e x p ( (cid:0) x ) : 1 1 1 1 h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o f L e m m a 4 . 2 3 a e t ( a t i o e x h e n = t i o n p u n m a n n i 0 ) m u s s i o t c i n u s t b n i r c t h t b e i s l e e e

n w T A T L P r t C o n s i d e r t h e f o r m f o r (cid:8) g i v e n b y ( T 4 ) . G i v e n 0 (cid:20) y < 1 , e a c h t e r m i n t h e 1 o n - n e g a t i v e , s o 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = e x p ( x ) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) + n ; (cid:0) x ) 1 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X 1 n y ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) n n (cid:20) e x p ( x ) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; (cid:0) x ) 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X = e x p ( x ) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; (cid:0) x ) F ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; y ) < F ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; 1 1 2 1 2 1 h e r e b o t h i n e q u a l i t i e s f o l l o w f r o m L e m m a 5 . T o g e t a l o w e r b o u n d , 1 n y ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) n n F ( (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) + n ; (cid:0) x ) (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = e x p ( x ) 1 1 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X 1 n ( (cid:11) ) ( (cid:12) ) y n n (cid:21) e x p ( x ) = e x p ( x ) F ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; y ) : 2 1 ( (cid:13) ) n ! n n = 0 X h u s , f o r (cid:12) > 0 a n d 0 (cid:20) y < 1 , (cid:8) c o n v e r g e s t o a p o s i t i v e (cid:12) n i t e n u m b e r f o r a l l x 2 < 1 W h e n (cid:12) (cid:20) 0 , u s e f o r m s ( T 1 ) a n d ( T 2 ) f o r (cid:8) a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n f o r t h e 1 S 1 5 .3 .3 : (cid:0) (cid:0) (cid:13) (cid:11) (cid:12) F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) = ( 1 (cid:0) y ) F ( (cid:13) (cid:0) (cid:12) ; (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; y ) : 2 1 2 1 h e f o l l o w i n g l e m m a b o u n d s t h e v a l u e s o f t h e F t e r m s i n (cid:8) . 2 1 1 e m m a 6 F o r 0 (cid:20) y < 1 , 0 < (cid:11) < (cid:13) , a n d (cid:12) (cid:20) 0 , 0 < F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) (cid:20) 1 : 2 1 r o o f : A p p l y e q u a t i o n ( 1 3 ) . T h e (cid:12) r s t t e r m i n t h e e x p a n s i o n o f F ( (cid:13) (cid:0) (cid:12) ; (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; y 2 1 e s t a r e n o n - n e g a t i v e , s o F ( (cid:13) (cid:0) (cid:12) ; (cid:13) (cid:0) (cid:11) ; (cid:13) ; y ) (cid:21) 1 . S i n c e (cid:13) (cid:0) (cid:11) (cid:0) (cid:12) > 0 a n d 0 < 2 1 h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 1 3 ) m u s t b e s t r i c t l y p o s i t i v e , s o 0 < F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) . 2 1 2 4 e x y ) . F 2 ) i s ( 1 T o p a 1 1 (cid:0) s n s i o n g i v e n ( a n d y ) (cid:20) h o w 1 t t i s i n 3 ) h e 1 , h e

u (cid:12) I n I a F w r D T p p e r b o u n d , I s h o w (cid:12) r s t t h a t t h e d e r i v a t i v e o f F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) w i t h r e s p e c t t o y i s n o n - p o s i t i v 2 1 (cid:20) 0 . A S 1 5 .2 .1 g i v e s : d (cid:12) (cid:11) F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) = F ( (cid:12) + 1 ; (cid:11) + 1 ; (cid:13) + 1 ; y ) : 2 1 2 1 d y (cid:13) f (cid:12) + 1 > 0 , t h e n t h e (cid:12) r s t t e r m i n t h e e x p a n s i o n o f F ( (cid:12) + 1 ; (cid:11) + 1 ; (cid:13) + 1 ; y ) i s 1 a n d t h e r e s t a r e 2 1 e g a t i v e . I f (cid:12) + 1 (cid:20) 0 , t h e n t h e a r g u m e n t j u s t u s e d t o s h o w 0 < F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) a p p l i e s h e r e a s 2 1 d n e i t h e r c a s e , F ( (cid:12) + 1 ; (cid:11) + 1 ; (cid:13) + 1 ; y ) > 0 . S i n c e (cid:12) (cid:11) = (cid:13) (cid:20) 0 , t h e d e r i v a t i v e F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) (cid:20) 2 1 2 1 d y l l 0 (cid:20) y < 1 . T h e r e f o r e , F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; 0 ) = 1 i s t h e u p p e r b o u n d o n F ( (cid:12) ; (cid:11) ; (cid:13) ; y ) f o r 0 (cid:20) y < 2 1 2 1 T h e r e m a i n i n g a r g u m e n t s p a r a l l e l t h o s e u s e d e a r l i e r . F o r x (cid:21) 0 , u s e ( T 1 ) a n d L e m m a 6 t o 0 < (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) (cid:20) F ( (cid:11) ; (cid:13) ; x ) : 1 1 1 o r x < 0 , u s e ( T 2 ) , L e m m a 6 a n d t h e K u m m e r t r a n s f o r m a t i o n t o d e m o n s t r a t e t h e s a m e b o u T h u s f a r , i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t 0 (cid:20) y < 1 . F o r t h e c a s e y < 0 , r u l e ( T 5 ) g i v e s (cid:0) (cid:12) (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) = e x p ( x ) ( 1 (cid:0) y ) (cid:8) ( ~(cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; (cid:0) x ; ~y ) 1 1 h e r e ~(cid:11) (cid:17) (cid:13) (cid:0) (cid:11) > 0 , ~(cid:11) < (cid:13) a n d 0 (cid:20) ~y (cid:17) y = ( y (cid:0) 1 ) < 1 . I t h a s a l r e a d y b e e n e s t a b l i s h e d t h a (cid:4) i g h t h a n d s i d e (cid:8) c o n v e r g e s t o a (cid:12) n i t e p o s i t i v e n u m b e r , s o (cid:8) ( (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; x ; y ) m u s t a s w e l l . 1 1 P r o p o s i t i o n 2 a n d L e m m a 3 o s h o w L e m m a 3 , s u b s t i t u t e t h e e x p r e s s i o n f o r (cid:8) i n r u l e ( T 2 ) i n t o e q u a t i o n ( 5 ) t o g e t 1 1 i (cid:0) s ( p ) i (cid:0) p F ( r ; q ; p + q + i ; 1 (cid:0) (cid:18) ) : H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) = (cid:23) 2 1 ( p + q ) i ! (cid:18) (cid:23) (cid:19) i i= 0 X 2 5 e f o r n o n w e l l . 0 f o r (cid:4) 1 : s h o w n d s . t t h e

T w t d P a k e t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o s : 1 d ( p ) (cid:0) i i (cid:0) p H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) = (cid:23) d s ( p + q ) i ! (cid:18) (cid:23) (cid:19) i i= 1 X 1 ( p ) i+ 1 (cid:0) ( p + 1 ) = (cid:0) (cid:23) ( p + q ) i i+ 1 i= 0 X 1 p ( p + (cid:0) ( p + 1 ) = (cid:0) (cid:23) ( p + q ) ( p + i= 0 X p = (cid:0) H ( p + 1 ; q ; r ; s ; (cid:23) ; p + q h e r e t h e s e c o n d l i n e f o l l o w s f r o m a s h i f t o f i n d e x T o s h o w P r o p o s i t i o n 2 , t a k e t h e d e r i v a t i v e o f e o s u b s t i t u t e f o r d e r i v a t i v e s o f H . T h i s g i v e s k E ( X ) ( p ) H ( p + k ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) p k = d s ( p + q ) p + q H ( p ; q ; r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) (cid:18) k k k + 1 = E ( X ) E ( X ) (cid:0) E ( X ) : (cid:4) r o p o s i t i o n 2 i s a s p e c i a l c a s e o f t h i s r e s u l t . 2 6 (cid:0)i 1 (cid:0) s 2 (cid:18) (cid:23) (cid:19) i (cid:0) s F 2 ! (cid:23) (cid:18) (cid:19) 1 ) i q + 1 ) i ! (cid:18) i (cid:18) ) i n t h e (cid:12) r s t q u a t i o n ( 7 ) H ( p + 1 ; q ; H ( p ; q ; r ; F ( r ; q ; p 1 ( r ; q ; p + 1 i (cid:0) s F 2 (cid:23) (cid:19) (cid:4) l i n e . w i t h r e s r ; s ; (cid:23) ; (cid:18) ) s ; (cid:23) ; (cid:18) ) + q + i q + i + ( r ; q ; p 1 p e c t t o p + (cid:0) p + q ; 1 1 + s k + (cid:0) (cid:18) ; 1 (cid:0) q + a n d H k ) (cid:18) i + u s ( p ) 1 e + H ; L ( 1 e k p (cid:0) m + ; q m ; (cid:18) 1 r ) a ; ; q s 3 ; ; r (cid:23) ; ; s (cid:18) ; ) (cid:23) ; (cid:18) ) (cid:19)

R A A B B C G G K L M P R e f e r e n c e s b r a m o w i t z , M i l t o n a n d I r e n e A . S t e g u n , e d s , H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s n u m b e r 5 5 . I n ‘A p p l i e d M a t h e m a t i c s S e r i e s .’, N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s , 1 9 6 8 . r m e r o , C . a n d M . J . B a y a r r i , \ P r i o r a s s e s s m e n t s f o r p r e d i c t i o n i n q u e u e s ," T h e S t a t i s t i c i a n , 1 9 9 4 , 4 3 ( 1 ) , 1 3 9 { 1 5 3 . e r n d t , E . , B . H a l l , R . H a l l , a n d J . H a u s m a n , \ E s t i m a t i o n a n d I n f e r e n c e i n N o n l i n e a r S t r u c t u r a l M o d e l s ," A n n a ls o f E c o n o m i c a n d S o c i a l M e a s u r e m e n t , 1 9 7 4 , 3 / 4 , 6 5 3 { 6 6 5 . o d i e , Z v i , R o b e r t C . M e r t o n , a n d W i l l i a m F . S a m u e l s o n , \ L a b o r S u p p l y F l e x i b i l i t y a n d P o r t f o l i o C h o i c e i n a L i f e C y c l e M o d e l ," J o u r n a l o f E c n o m i c D y n a m i c s a n d C o n t r o l, J u l y { O c t o b e r 1 9 9 2 , 1 6 ( 3 { 4 ) , 4 2 7 { 4 4 9 . a r r o l l , C h r i s t o p h e r D . , \ T h e B u (cid:11) e r - S t o c k T h e o r y o f S a v i n g : S o m e M a c r o e c o n o m i c E v i d e n c e ," B r o o k i n g s P a p e r s o n E c o n o m i c A c t i v i t y , 1 9 9 2 , ( 2 ) , 6 1 { 1 3 5 . o r d y , M i c h a e l B . , \ C o m p u t a t i o n a l l y C o n v e n i e n t D i s t r i b u t i o n a l A s s u m p t i o n s f o r C o m m o n - V a l u e A u c t i o n s ," C o m p u t a t i o n a l E c o n o m i c s , f o r t h c o m i n g . r a d s h t e y n , I . S . a n d I . M . R y z h i k , T a b le o f I n t e g r a ls , S e r i e s , a n d P r o d u c t s , N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 6 5 . e n n i c k e l l , A r t h u r B . , M a r t h a S t a r r - M c C l u e r , a n d A n n i k a E . S u n d (cid:19)e n , \ F a m i l y F i n a n c e s i n t h e U .S .: R e c e n t E v i d e n c e f r o m t h e S u r v e y o f C o n s u m e r F i n a n c e s ," F e d e r a l R e s e r v e B u lle t i n , 1 9 9 7 , 8 3 ( 1 ) , 1 { 2 4 . a i b s o n , D a v i d , \ G o l d e n E g g s a n d H y p e r b o l i c D i s c o u n t i n g ," Q u a r t e r ly J o u r n a l o f E c o n o m i c s , 1 9 9 7 , 1 1 2 ( 2 ) , 4 4 3 { 4 7 7 . c D o n a l d , J a m e s B . a n d Y e x i a o J . X u , \ A g e n e r a l i z a t i o n o f t h e b e t a d i s t r i b u t i o n w i t h a p p l i c a t i o n s ," J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s , 1 9 9 5 , 6 6 ( 1 ,2 ) , 1 3 3 { 1 5 2 . o t e r b a , J a m e s M . a n d A n d r e w A . S a m w i c k , \ H o u s e h o l d p o r t f o l i o a l l o c a t i o n o v e r t h e l i f e c y c l e ," W o r k i n g P a p e r 6 1 8 5 , N B E R S e p t e m b e r 1 9 9 7 . u b i n , D o n a l d B . , M u lt i p le I m p u t a t i o n f o r N o n r e s p o n s e i n S u r v e y s W i l e y S e r i e s i n P r o b a b i l i t y a n d M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s , J o h n W i l e y & S o n s , 1 9 8 7 . 2 7