Monetary Policy and Uncertainty about the Natural Unemployment Rate
Abstract
This paper studies the optimal monetary policy in the presence of uncertainty about the natural rate and the short-run inflation-unemployment tradeoff. Two conflicting motives drive policy. In the static version of the model, uncertainty provides a motive for the policymaker to move cautiously. In the dynamic version, uncertainty motivates an element of experimentation. I find that the optimal policy that balances these motives typically still exhibits gradualism, i.e., is less aggressive than a policy that disregards parameter uncertainty. Exceptions occur when uncertainty is very high and inflation close to target.
m b m p t i t v o i o K p J (cid:3) A W J T o C R M o n e t a r y P o l i c y a n d U n c e r t a i n t y a b o u t t h e N a t u r a l U n e m p l o y m e n t R a t e (cid:3) V o l k e r W i e l a n d B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m A p r i l 1 9 9 8 A b s t r a c t R e c e n t e m p i r i c a l r e s e a r c h c o n c e r n i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y e n t , a r e l a t i o n s h i p t h a t i s c e n t r a l t o t h e d e s i g n o f m o n e t a r y p o l i c y , h a s b e e n c h a r a c t e r i z e d y a n a c t i v e d e b a t e a b o u t t h e p r e c i s i o n o f r e l e v a n t p a r a m e t e r e s t i m a t e s s u c h a s t h e e s t i a t e d n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e . T h i s p a p e r s t u d i e s t h e o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y i n t h e r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e n a t u r a l r a t e a n d t h e s h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t r a d e o (cid:11) i n a s i m p l e m a c r o e c o n o m i c m o d e l . T w o c o n (cid:13) i c t i n g m o t i v e s d r i v e t h e o p t i m a l p o l c y . I n t h e s t a t i c v e r s i o n o f t h e m o d e l , u n c e r t a i n t y p r o v i d e s a m o t i v e f o r t h e p o l i c y m a k e r o m o v e m o r e c a u t i o u s l y t h a n s h e w o u l d i f s h e k n e w t h e t r u e p a r a m e t e r s . I n t h e d y n a m i c e r s i o n , u n c e r t a i n t y a l s o m o t i v a t e s a n e l e m e n t o f e x p e r i m e n t a t i o n i n p o l i c y . I (cid:12) n d t h a t t h e p t i m a l p o l i c y t h a t b a l a n c e s t h e c a u t i o n a r y a n d a c t i v i s t m o t i v e s t y p i c a l l y e x h i b i t s g r a d u a l s m , i .e . i t i s l e s s a g g r e s s i v e t h a n a p o l i c y t h a t d i s r e g a r d s p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . E x c e p t i o n s c c u r w h e n u n c e r t a i n t y i s v e r y h i g h a n d i n (cid:13) a t i o n c l o s e t o t a r g e t . e y w o r d s : m o n e t a r y p o l i c y , g r a d u a l i s m , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , N A I R U e s t i m a t i o n , e x e r i m e n t a t i o n , o p t i m a l c o n t r o l w i t h u n k n o w n p a r a m e t e r s . E L C l a s s i (cid:12) c a t i o n S y s t e m : E 5 2 , E 2 4 , D 8 , C 6 1 I a p p r e c ia t e t h e e x c e lle n t r e s e a r c h a s s is t a n c e o f K e n d r e w W it t . H e lp fu l c o m m e n t s b y J o h n L e a h y , n d r e w L e v in , A t h a n a s io s O r p h a n id e s , R ic h a r d P o r t e r , P e t e r v o n z u r M u e h le n , C a r l W a ls h , D a v id ilc o x a n d b y s e m in a r p a r t ic ip a n t s a t t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , t h e A E A M e e t in g in N e w O r le a n s , a n u a r y 1 9 9 7 a n d t h e N B E R S u m m e r I n s t it u t e in C a m b r id g e , J u ly 1 9 9 7 a r e g r a t e fu lly a c k n o w le d g e d . h e o p in io n s e x p r e s s e d h e r e a r e t h o s e o f t h e a u t h o r s a n d d o n o t n e c e s s a r ily r e (cid:13) e c t v ie w s o f t h e B o a r d f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . o r r e s p o n d e n c e : V o lk e r W ie la n d , D iv is io n o f M o n e t a r y A (cid:11) a ir s , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l e s e r v e S y s t e m , W a s h in g t o n , D .C . 2 0 5 5 1 . t e l: ( 2 0 2 ) 7 3 6 - 5 6 2 0 , e m a il: v w ie la n d @ fr b .g o v .
1 T d h s c S a 2 t f s t a p i s t v o g p o F L I n t r o d u c t i o n h e s h o r t - r u n r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n h a s l o n g b e e n c e n t r a l t o t h e e s i g n o f m o n e t a r y p o l i c y . I n i m p l e m e n t i n g p o l i c y b a s e d o n t h i s r e l a t i o n s h i p , p o l i c y m a k e r s 1 a v e t o r e l y o n e m p i r i c a l e s t i m a t e s o f t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e ( o r N A I R U ) a n d t h e l o p e o f t h e s h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) . E s t i m a t e s o f t h e s e p a r a m e t e r s h a v e 2 h a n g e d o v e r t i m e a n d t h e i r p r e c i s i o n i s t h e s u b j e c t o f a c o n t i n u i n g a c t i v e d e b a t e . I n d e e d , t a i g e r , S t o c k a n d W a t s o n ( 1 9 9 7 a , 1 9 9 7 b ) i n v e s t i g a t e a v a r i e t y o f e m p i r i c a l s p e c i (cid:12) c a t i o n s n d (cid:12) n d t h a t a t y p i c a l 9 5 % c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l f o r t h e n a t u r a l r a t e i n 1 9 9 0 w a s a b o u t .5 p e r c e n t a g e p o i n t s w i d e . T h e w i d t h o f t h i s c o n (cid:12) d e n c e i n t e r v a l i s c l o s e l y r e l a t e d t o h e s t a n d a r d e r r o r o f t h e s l o p e o f t h e s h o r t - r u n P h i l l i p s c u r v e | m o s t c l e a r l y i n a l i n e a r r a m e w o r k , w h e r e e s t i m a t e s o f t h e n a t u r a l r a t e a r e o b t a i n e d f r o m t h e r a t i o o f i n t e r c e p t a n d l o p e . T h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s h o w a p o l i c y m a k e r w h o b e l i e v e s i n t h e e x i s t e n c e o f a s h o r t - r u n r a d e o (cid:11) b e t w e e n i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t s h o u l d a d j u s t p o l i c y g i v e n h e r u n c e r t a i n t y b o u t a c t u a l p a r a m e t e r v a l u e s . U s i n g a s i m p l e m a c r o e c o n o m i c m o d e l I d e r i v e t h e o p t i m a l o l i c y i n t h e p r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e a n d t h e s h o r t - r u n n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) . T w o c o n (cid:13) i c t i n g m o t i v e s d r i v e t h e o p t i m a l p o l i c y . I n t h e t a t i c v e r s i o n o f t h e m o d e l , P h i l l i p s c u r v e u n c e r t a i n t y p r o v i d e s a m o t i v e f o r t h e p o l i c y m a k e r o m o v e m o r e c a u t i o u s l y t h a n s h e w o u l d i f s h e k n e w a l l t h e p a r a m e t e r v a l u e s . I n t h e d y n a m i c e r s i o n w i t h l e a r n i n g o n t h e p a r t o f t h e p o l i c y m a k e r , u n c e r t a i n t y a l s o m o t i v a t e s a n e l e m e n t f e x p e r i m e n t a t i o n i n p o l i c y . A n a l y s i s o f t h e m o t i v e f o r c a u t i o n a r y p o l i c y d u e t o m u l t i p l i c a t i v e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y o e s b a c k t o B r a i n a r d ( 1 9 6 7 ) a n d h a s b e e n u s e d t o j u s t i f y a g r a d u a l i s t a p p r o a c h t o m o n e t a r y o l i c y . F o r e x a m p l e , A l a n B l i n d e r ( 1 9 9 5 , p .1 3 ) , w h e n h e w a s v i c e - c h a i r m a n o f t h e B o a r d a li t t le s t o d g i n e s s a t t h e c e n t r a l b a n k i s e n t i r e ly a p p r o p r i a t e f G o v e r n o r s , a r g u e d t h a t \ " , 1 A n a c r o n y m fo r n o n - a c c e le r a t in g in (cid:13) a t io n r a t e o f u n e m p lo y m e n t . 2 S e e G o r d o n ( 1 9 9 6 ) , S t a ig e r , S t o c k , a n d W a t s o n ( 1 9 9 7 a ) a n d ( 1 9 9 7 b ) , B la n c h a r d a n d K a t z ( 1 9 9 7 ) , u h r e r ( 1 9 9 5 ) , A k e r lo f, D ic k e n s a n d P e r r y ( 1 9 9 6 ) , E is n e r ( 1 9 9 6 ) , P h e lp s a n d Z o e g a ( 1 9 9 7 ) , D e b e lle a n d a x t o n ( 1 9 9 6 ) a n d o t h e r s . 1
a p b C s b i w P w ( v q N t u c a a t o n u t m \ c e n t r a l b a n k s s h o u ld c a lc u la t e t h e c h a n g e i n n d p r o p o s e d i n h i s M a r s h a l l l e c t u r e s t h a t 3 o li c y r e q u i r e d t o g e t i t r i g h t a n d t h e n d o le s s " . H o w e v e r , t h e r e a r e a n u m b e r o f r e a s o n s t o e l i e v e t h a t s u c h a B r a i n a r d - t y p e a n a l y s i s o v e r s t a t e s t h e c a s e f o r g r a d u a l i s m . F o r e x a m p l e , a p l i n a n d L e a h y ( 1 9 9 6 ) s h o w t h a t i n a g a m e b e t w e e n a p o l i c y m a k e r w h o a t t e m p t s t o t i m u l a t e t h e e c o n o m y a n d p o t e n t i a l i n v e s t o r s , a c a u t i o u s p o l i c y m o v e m a y b e i n e (cid:11) e c t u a l , e c a u s e i n v e s t o r s a n t i c i p a t e l o w e r i n t e r e s t r a t e s i n t h e f u t u r e . A n o t h e r r e a s o n , i n v e s t i g a t e d n t h i s p a p e r , i s t h a t a m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y m o v e m a y g e n e r a t e m o r e i n f o r m a t i o n , w h i c h o u l d i m p r o v e t h e p r e c i s i o n o f f u t u r e e s t i m a t e s a n d t h e r e b y f u t u r e p o l i c y p e r f o r m a n c e . o l i c y m a k e r s h a v e n o t e d t h i s l i n k b e t w e e n p o l i c y a n d l e a r n i n g . F o r e x a m p l e , S t i g l i t z ( 1 9 9 7 ) , \ a f u l le r d i s c u s s i o n h e n C h a i r m a n o f t h e C o u n c i l o f E c o n o m i c A d v i s e r s , r e c o g n i z e d t h a t w o u ld t a k e i n t o a c c o u n t f a c t o r s s u c h a s c o s t s o f a d j u s t m e n t a n d o f o f N A I R U u n c e r t a i n t y ) a r i a b i li t y i n o u t p u t a n d u n e m p lo y m e n t , a n d d y n a m i c le a r n i n g e (cid:11) e c t s " a n d t h e n a s k e d t h e \ a r e t h e r e p o li c i e s t h a t c a n a (cid:11) e c t t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e v a lu e o f t h e u e s t i o n : A I R U o r o f p o li c y t r a d e o (cid:11) s ? " T h i s p a p e r m a k e s t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n t r i b u t i o n s . F i r s t , t h e s t a t i c a n a l y s i s o f t h e c a u i o n a r y m o t i v e e x t e n d s B r a i n a r d ’s a n a l y s i s o f o p t i m a l p o l i c y u n d e r m u l t i p l i c a t i v e p a r a m e t e r n c e r t a i n t y b y i n c l u d i n g u n c e r t a i n t y a b o u t t h e n a t u r a l r a t e . S p e c i (cid:12) c a l l y , I s h o w t h a t t h e o v a r i a n c e b e t w e e n e s t i m a t e s o f t h e i n t e r c e p t a n d s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e i m p o r t a n t l y (cid:11) e c t s t h e o p t i m a l p o l i c y a n d p r o v i d e a n e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s e (cid:11) e c t . T h i s e (cid:11) e c t l s o i m p l i e s a f o r m o f g r a d u a l i s m , b e c a u s e i t l e a d s p o l i c y t o g r a d u a l l y m o v e o u t o f d i s i n (cid:13) a i o n a r y ( o r r e i n (cid:13) a t i o n a r y ) e p i s o d e s e v e n a t t h e e x p e n s e o f t e m p o r a r i l y u n d e r - s h o o t i n g ( o r v e r - s h o o t i n g ) t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t . S e c o n d , t h e p a p e r p r o v i d e s n u m e r i c a l r e s u l t s c o n c e r n i n g t h e o p t i m a l p o l i c y i n a d y a m i c m o d e l w i t h l e a r n i n g . T h e r e a s o n w h y a n a l y t i c a l r e s u l t s c o n c e r n i n g o p t i m a l p o l i c i e s n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y a r e l a r g e l y a b s e n t f r o m t h e l i t e r a t u r e i s t h e n o n l i n e a r n a t u r e o f h e d y n a m i c l e a r n i n g p r o b l e m . F u r t h e r m o r e , n u m e r i c a l a n a l y s i s b y d y n a m i c p r o g r a m m i n g e t h o d s i s c o m p l i c a t e d , b e c a u s e m o d e l l i n g t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s i n c r e a s e s t h e d i m e n - 3 S e e a ls o B lin d e r ( 1 9 9 8 ) fo r a d is c u s s io n o f t h is s t r a t e g y . 2
s i o n o f t h e s t a t e s p a c e a n d t h e n o n l i n e a r u p d a t i n g e q u a t i o n s i n d u c e m u l t i p l e o p t i m a a n d 4 d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e a n a l y s i s i n t h i s p a p e r b u i l d s o n e a r l i e r w o r k o n s i m p l e c o n t r o l l e d r e g r e s s i o n s i n W i e l a n d ( 1 9 9 6 a ,1 9 9 6 b ) e x t e n d i n g t h a t f r a m e w o r k t o a l l o w f o r a l a g g e d d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d a t i m e - v a r y i n g i n t e r c e p t . I (cid:12) n d t h a t e v e n w h e n p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i s r e l a t i v e l y l o w , t h e o p t i m a l p o l i c y i n c o r p o r a t e s a q u a n t i t a t i v e l y s i g n i (cid:12) c a n t d e g r e e o f e x p e r i m e n t a t i o n a s i n d i c a t e d b y a m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y r e s p o n s e t h a n u n d e r t h e c a u t i o n a r y B r a i n a r d - t y p e p o l i c y . H o w e v e r , t h e o p t i m a l p o l i c y t y p i c a l l y r e m a i n s l e s s a g g r e s s i v e t h a n a c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c y w h i c h c o m p l e t e l y d i s r e g a r d s p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h u s , i n m o s t c a s e s t h e r e c o m m e n d a t i o n f o r g r a d u a l i s t p o l i c y m a k i n g u n d e r p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y s t i l l a p p l i e s i n t h e d y n a m i c m o d e l w i t h l e a r n i n g . O n l y , w h e n u n c e r t a i n t y i s v e r y h i g h a n d i n (cid:13) a t i o n c l o s e t o t a r g e t , d o e s t h e o p t i m a l p o l i c y i m p l y a m o r e a g g r e s s i v e r e s p o n s e t h a n a p o l i c y t h a t d i s r e g a r d s p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h i r d , t h e p o l i c y f u n c t i o n s d e r i v e d i n t h i s p a p e r c a n b e r e l a t e d t o t h e t y p e o f i n t e r e s t r a t e r e a c t i o n f u n c t i o n s , w h i c h h a v e b e e n t h e f o c u s o f t h e r e c e n t l i t e r a t u r e o n m o n e t a r y 5 p o l i c y r u l e s . S o f a r , t h i s l i t e r a t u r e h a s s t u d i e d t h e p e r f o r m a n c e o f m o n e t a r y p o l i c y r u l e s i n d i (cid:11) e r e n t m a c r o e c o n o m e t r i c m o d e l s u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t a l l s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s a r e k n o w n w i t h c e r t a i n t y . U n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m e t e r s o f t h e P h i l l i p s c u r v e h a s i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s f o r t h e r e s p o n s e c o e (cid:14) c i e n t s i n t h e s e r u l e s . I n t h e p r e s e n c e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y w o u l d i m p l y t i m e - v a r y i n g r e s p o n s e c o e (cid:14) c i e n t s o n i n (cid:13) a t i o n s m a l le r a n d r e s o u r c e g a p s t h a t a r e t y p i c a l l y t h a n f o r a p o l i c y t h a t d i s r e g a r d s p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . I n m o s t s i t u a t i o n s , t h e o p t i m a l i n t e r e s t r a t e r u l e w o u l d r e s p o n d g r a d u a l l y t o i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t d e v i a t i o n s w i t h t h e d e g r e e o f g r a d u a l i s m v a r y i n g w i t h t h e d e g r e e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . T h e n e x t s e c t i o n (cid:12) r s t r e v i e w s 4 T h e c u r r e n t s t a t e o f a n a ly t ic a l a n d n u m e r ic a l a p p r o a c h e s t o o p t im a l le a r n in g in t h e lit e r a t u r e is r e v ie w e d in t h e n e x t s e c t io n . 5 S e e fo r e x a m p le T a y lo r ( 1 9 9 3 ) , H e n d e r s o n a n d M c K ib b in ( 1 9 9 3 ) , B r y a n t , H o o p e r a n d M a n n ( 1 9 9 3 ) , B r a y t o n , L e v in , T r y o n a n d W illia m s ( 1 9 9 6 ) , R o t e m b e r g a n d W o o d fo r d ( 1 9 9 7 ) , M c C a llu m ( 1 9 9 7 ) , C la r id a , G a li a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ,1 9 9 8 ) , O r p h a n id e s , S m a ll, W ie la n d a n d W ilc o x ( 1 9 9 7 ) , W illia m s ( 1 9 9 7 ) a n d m a n y o t h e r s . 3
N a p t e d i t i S 2 2 T a w p s s u e o r t t t p A I R U e s t i m a t i o n i n t h e l i n e a r f r a m e w o r k t h a t i s w i d e l y u s e d i n t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r e n d t h e n a l s o d i s c u s s e s t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e l i t e r a t u r e o n u n c e r t a i n t y a n d l e a r n i n g o n t h e a r t o f t h e p o l i c y m a k e r . S e c t i o n 3 i n t r o d u c e s a s i m p l e m a c r o e c o n o m i c m o d e l t h a t f o r m s h e b a s i s f o r t h e s u b s e q u e n t a n a l y s i s o f o p t i m a l p o l i c y u n d e r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m t e r s o f t h e P h i l l i p s c u r v e . I n s e c t i o n 4 t h e c a u t i o n a r y p o l i c y , w h i c h i s m y o p i c b e c a u s e i t i s r e g a r d s d y n a m i c l e a r n i n g e (cid:11) e c t s , i s d e r i v e d a n a l y t i c a l l y . S e c t i o n 5 e x t e n d s t h e m o d e l t o n c o r p o r a t e l e a r n i n g a n d a t r a d e o (cid:11) b e t w e e n c u r r e n t s t a b i l i z a t i o n a n d i n f o r m a t i o n . A q u a n i t a t i v e c o m p a r i s o n o f t h e o p t i m a l , c a u t i o n a r y a n d c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c i e s i s p r o v i d e d n s e c t i o n 6 . I n s e c t i o n 7 , t h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f b e l i e f s a n d p o l i c i e s a r e d i s c u s s e d . e c t i o n 8 c o n c l u d e s . L i t e r a t u r e r e v i e w . 1 N A I R U e s t i m a t i o n i n t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r e h e s t a n d a r d f r a m e w o r k f o r e s t i m a t i n g t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e i s t h e e x p e c t a t i o n s - 6 u g m e n t e d P h i l l i p s c u r v e . T h i s r e l a t i o n s h i p i s o f t e n e s t i m a t e d i n t h e f o l l o w i n g l i n e a r f o r m : e (cid:3) (cid:25) (cid:25) B L u u C X (cid:15) = + ( ) ( (cid:0) ) + + ( 1 ) t t t t t t e (cid:25) h e r e i s t h e p u b l i c ’s e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n a n d m a y b e a p p r o x i m a t e d b y s u r v e y e x - t e c t a t i o n s , o r s i m p l y b y l a g s o f t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e . T h i s r e g r e s s i o n e q u a t i o n u s u a l l y i n c l u d e s X e v e r a l l a g s o f t h e u n e m p l o y m e n t r a t e a n d a v e c t o r t h a t c o n t a i n s p r o x y v a r i a b l e s f o r t u p p l y s h o c k s a n d d u m m i e s f o r t h e N i x o n w a g e a n d p r i c e c o n t r o l s . E s t i m a t e s o f t h e n a t r a l u n e m p l o y m e n t r a t e c a n b e c o m p u t e d a s f u n c t i o n s o f t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s . F o r (cid:3) (cid:3) u u t x a m p l e , a n e s t i m a t e o f a c o n s t a n t n a t u r a l r a t e = 8 , c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e r a t i o t f t h e e s t i m a t e d r e g r e s s i o n c o n s t a n t a n d t h e s u m o f t h e c o e (cid:14) c i e n t s o n c u r r e n t a n d l a g g e d 6 I n t h e p a s t , t h e lin e a r fr a m e w o r k h a s b e e n fo u n d t o d e s c r ib e t h e h is t o r ic a l p r o c e s s o f U .S . in (cid:13) a t io n e m a r k a b ly w e ll ( e g . G o r d o n ( 1 9 7 7 ) a n d ( 1 9 8 2 ) ) . R e c e n t ly , G o r d o n ( 1 9 9 6 ) h a s p r e s e n t e d n e w e s t im a t e s o f a im e - v a r y in g n a t u r a l r a t e , w h ic h h a s d e c lin e d s o m e w h a t o v e r r e c e n t y e a r s , b u t is m o r e p r e c is e ly e s t im a t e d h a n in S t a ig e r e t a l.. E is n e r ( 1 9 9 6 ) , D e b e lle a n d L a x t o n ( 1 9 9 6 ) , a n d A k e r lo f e t a l. ( 1 9 9 6 ) p r e s e n t e v id e n c e h a t v a r io u s ( p e r h a p s c o n (cid:13) ic t in g ) n o n lin e a r s p e c i(cid:12) c a t io n s o f t h e P h illip s c u r v e m a y (cid:12) t t h e U .S . in (cid:13) a t io n r o c e s s b e t t e r t h a n a lin e a r s p e c i(cid:12) c a t io n . 4
7 u n e m p l o y m e n t r a t e s B ( .) . B e c a u s e t h e N A I R U e s t i m a t e i s c o m p u t e d a s t h e r a t i o o f t h e i n t e r c e p t a n d t h e s l o p e e s t i m a t e s , i t s p r e c i s i o n i s i m p o r t a n t l y r e l a t e d t o t h e p r e c i s i o n o f 8 e s t i m a t e s o f t h e s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e . T h u s a n y s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e p o l i c y m a k e r ’s d e c i s i o n p r o b l e m , w h i c h a d d r e s s e s t h e i s s u e o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e n a t u r a l r a t e m u s t a l s o c o n s i d e r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e , i .e . a b o u t t h e ( s u m o f ) c o e (cid:14) c i e n t ( s ) o n t h e u n e m p l o y m e n t r a t e ( s ) . F i g u r e 1 i l l u s t r a t e s t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n (cid:25) i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t . I t g r a p h s y e a r - t o - y e a r c h a n g e s i n i n (cid:13) a t i o n (cid:1) a g a i n s t t h e t u p r e c e d i n g y e a r ’s u n e m p l o y m e n t r a t e ( a n n u a l o b s e r v a t i o n s ( 1 9 5 5 - 1 9 9 5 ) ) . T h e m o t i v a - t(cid:0) 1 t i o n f o r p l o t t i n g t h e c h a n g e o f i n (cid:13) a t i o n i s t h a t l a s t y e a r ’s i n (cid:13) a t i o n r a t e i s t a k e n a s a p r o x y f o r t h e p u b l i c ’s e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n i n t h e c u r r e n t y e a r . A l l o t h e r d y n a m i c s a n d l a g s a r e n e g l e c t e d . F o r i l l u s t r a t i o n , t h e c h a r t c o n t a i n s a l i n e a r P h i l l i p s c u r v e w i t h a s l o p e o f - 0 .5 a n d a n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e o f 6 p e r c e n t . T h e s e v a l u e s a r e w i t h i n t h e r a n g e o f v a l u e s d i s c u s s e d i n t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r e a n d a r e q u i t e c l o s e t o t h e e s t i m a t e s o n e w o u l d o b t a i n f r o m a n o r d i n a r y l e a s t s q u a r e s r e g r e s s i o n b a s e d o n t h i s d a t a . I w i l l u s e t h e s e v a l u e s l a t e r o n i n t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f o p t i m a l a n d c a u t i o n a r y p o l i c i e s . T h i s c h a r t s u g g e s t s t h a t u n e m p l o y m e n t v a r i a t i o n s o n l y e x p l a i n a f r a c t i o n o f t h e o b s e r v e d c h a n g e s i n i n (cid:13) a t i o n . A s s h o w n i n t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r e , t h e (cid:12) t o f t h e r e g r e s s i o n i m p r o v e s w h e n o n e i n c l u d e s m o r e l a g s o f i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t , m e a s u r e s o f i n (cid:13) a t i o n e x p e c t a t i o n s a n d a d d i t i o n a l v a r i a b l e s t h a t a c c o u n t f o r w a g e a n d p r i c e c o n t r o l s , s u p p l y s h o c k s a n d i m p o r t p r i c e s . F u r t h e r m o r e , i n a f r a m e w o r k w i t h a t i m e - v a r y i n g n a t u r a l r a t e , s o m e o f t h e v a r i a t i o n t h a t i s a p p a r e n t i n t h e c l o u d o f o b s e r v a t i o n s s c a t t e r e d a r o u n d t h e 7 A n a p p r o x im a t e m e a s u r e o f t h e v a r ia n c e o f t h e e s t im a t e d N A I R U c a n b e c a lc u la t e d b y t h e d e lt a m e t h o d , w h ic h in v o lv e s t a k in g a (cid:12) r s t - o r d e r T a y lo r s e r ie s a p p r o x im a t io n t o t h e n o n lin e a r fu n c t io n a n d c o m p u t in g t h e v a r ia n c e o f t h is a p p r o x im a t io n . 8 N o t e t h a t w h ile t h e e s t im a t e s o f t h e in t e r c e p t a n d s lo p e h a v e a m u lt iv a r ia t e n o r m a l d is t r ib u t io n u n d e r t h e a s s u m p t io n o f G a u s s ia n e r r o r s , t h e r a t io o f t h e in t e r c e p t a n d t h e s u m o f s lo p e c o e (cid:14) c ie n t s h a s a d o u b ly n o n - c e n t r a l C a u c h y d is t r ib u t io n w it h d e p e n d e n t n u m e r a t o r a n d d e n o m in a t o r fo r w h ic h m e a n s a n d v a r ia n c e s d o n o t e x is t . S u c h a d is t r ib u t io n m a y b e s k e w e d a n d h e a v y - t a ile d . S t a ig e r e t a l. ( 1 9 9 7 b ) p o in t o u t t h a t w h e n t h e s lo p e is e s t im a t e d im p r e c is e ly , n o r m a lit y a s im p lie d b y t h e d e lt a m e t h o d c a n p r o v id e a p o o r a p p r o x im a t io n t o t h e d is t r ib u t io n o f t h is r a t io . T h e y p r o v id e a n a lt e r n a t iv e m e t h o d t o c a lc u la t e c o n (cid:12) d e n c e in t e r v a ls w h ic h a r e e x a c t u n d e r t h e a s s u m p t io n o f e x o g e n o u s r e g r e s s o r a n d n o r m a l e r r o r s . 5
(cid:12) g u r e 1 l i n e a r r e l a t i o n s h i p i n w o u l d b e a c c o u n t e d f o r b y v a r i a t i o n s i n t h e n a t u r a l r a t e . N e v e r t h e l e s s , t h e d e b a t e a b o u t t h e v a l u e o f t h e n a t u r a l r a t e i s f a r f r o m s e t t l e d . T h e m a i n t h r u s t o f t h e r e c e n t e m p i r i c a l l i t e r a t u r e h a s b e e n t o c o n s i d e r a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n s f o r t h e o b s e r v e d v a r i a t i o n i n i n (cid:13) a t i o n , s u c h a s s t r u c t u r a l s h i f t s i n t h e n a t u r a l r a t e ( e g . S t a i g e r e t a l . a n d G o r d o n ) a n d n o n l i n e a r i t i e s i n t h e s h o r t - r u n o r l o n g - r u n P h i l l i p s c u r v e ( e g . E i s n e r , A k e r l o f e t a l . a n d D e b e l l e a n d L a x t o n ) . 2 . 2 T h e l i t e r a t u r e o n u n c e r t a i n t y a n d l e a r n i n g b y t h e p o l i c y m a k e r T h e t r a d e o (cid:11) b e t w e e n c u r r e n t s t a b i l i z a t i o n a n d e x p l o r a t i o n f o r t h e s a k e o f b e t t e r c o n t r o l i n t h e f u t u r e h a s b e e n t h e f o c u s o f a t h e o r e t i c a l l i t e r a t u r e o n o p t i m a l l e a r n i n g a s w e l l a s a n e n g i n e e r i n g - r e l a t e d l i t e r a t u r e o n d u a l c o n t r o l . T h e t h e o r e t i c a l o p t i m a l l e a r n i n g l i t e r a t u r e 9 h a s p r i m a r i l y s t u d i e d t h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f b e l i e f s a n d a c t i o n s . T h e d u a l c o n t r o l l i t e r a t u r e i n s t e a d h a s f o c u s s e d o n n u m e r i c a l l y c o m p u t i n g p a y o (cid:11) s a n d o p t i m a l p o l i c i e s b a s e d 1 0 o n l i n e a r a p p r o x i m a t i o n . I n t e r m s o f m o n e t a r y p o l i c y , r e c e n t s t u d i e s o f t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e t r a d e o (cid:11) b e t w e e n c u r r e n t c o n t r o l a n d l e a r n i n g h a v e b e e n c o n d u c t e d b y B e r t o c c i a n d S p a g a t ( 1 9 9 3 ) , B a l v e r s 1 1 a n d C o s i m a n o ( 1 9 9 4 ) a n d W i e l a n d ( 1 9 9 6 b ) . A m o n g t h e s e , W i e l a n d ( 1 9 9 6 b ) c o n s i d e r s t h e m o s t g e n e r a l l e a r n i n g f r a m e w o r k , n a m e l y a s i m p l e l i n e a r r e g r e s s i o n e q u a t i o n w i t h t w o u n k n o w n p a r a m e t e r s , a n d n u m e r i c a l l y c o m p u t e s o p t i m a l p o l i c i e s . T h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f b e l i e f s a n d p o l i c i e s i n t h i s f r a m e w o r k h a v e b e e n s t u d i e d b y E a s l e y a n d K i e f e r ( 1 9 8 8 ) a n d 1 2 K i e f e r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) , w h o h a v e s h o w n t h a t i n c o m p l e t e l e a r n i n g m a y o c c u r . W i e l a n d 9 S e e fo r e x a m p le T a y lo r ( 1 9 7 4 ) , L a i a n d W e i ( 1 9 8 2 ) , E a s le y a n d K ie fe r ( 1 9 8 8 ) , K ie fe r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) , N y a r k o ( 1 9 9 1 ) a n d A g h io n e t a l. ( 1 9 9 3 ) . T h e a p p lic a b ilit y o f t h e s e r e s u lt s t o t h e fr a m e w o r k c o n s id e r e d h e r e is d is c u s s e d in m o r e d e t a il in s e c t io n 7 . 1 0 S e e fo r e x a m p le T s e a n d B a r - S h a lo m ( 1 9 7 3 ) , K e n d r ic k ( 1 9 8 1 ) , K e n d r ic k ( 1 9 8 2 ) , M iz r a c h ( 1 9 9 1 ) , A m m a n a n d K e n d r ic k ( 1 9 9 5 ) , T u c c i ( 1 9 9 6 ) ) . 1 1 B e r t o c c i a n d S p a g a t h a v e a r g u e d t h a t a (cid:12) x e d m o n e y s u p p ly r u le is n o t o p t im a l in t h e c o n t e x t o f u n c e r t a in t y a b o u t t h e p a r a m e t e r s o f a L u c a s - t y p e s u p p ly c u r v e , b e c a u s e le a r n in g le a d s t o a d ju s t m e n t s in m o n e t a r y p o lic y . H o w e v e r , t h e y im p o s e s t r in g e n t s im p lify in g r e s t r ic t io n s o n t h e t y p e o f u n c e r t a in t y in t h e m o d e l a n d d o n o t d e r iv e t h e o p t im a l le a r n in g p o lic y . B a lv e r s a n d C o s im a n o c o n s id e r a m o r e g e n e r a l m o d e l w it h t w o u n k n o w n t im e - v a r y in g p a r a m e t e r s a n d s h o w t h a t e v e n w h e n le a r n in g is t a k e n in t o a c c o u n t t h e o p t im a l t r a n s it io n fr o m h ig h t o lo w in (cid:13) a t io n is s t ill a g r a d u a l o n e . H o w e v e r , t h e y im p o s e s im p lify in g r e s t r ic t io n s o n t h e t y p e o f u n c e r t a in t y a n d t h e fo r m o f t h e o b je c t iv e fu n c t io n , w h ic h im p ly t h a t t h e p o lic y m a k e r o n ly c a r e s a b o u t t h e v a r ia n c e b u t n o t t h e e x p e c t a t io n o f in (cid:13) a t io n . 1 2 U s in g t h is in c o m p le t e le a r n in g r e s u lt K a s a ( 1 9 9 6 ) s h o w s t h a t a c e n t r a l b a n k t h a t s t a r t s o u t t h in k in g 6
( q s t n c t o d p c K a p (cid:12) a p i C f i w t t u v 1 9 9 6 b ) h a s e v a l u a t e d t h e s p e e d o f l e a r n i n g u n d e r a l t e r n a t i v e p o l i c i e s a s w e l l a s t h e f r e u e n c y w i t h w h i c h a p e r s i s t e n t b i a s i n m o n e y g r o w t h a n d i n (cid:13) a t i o n m a y a r i s e d u e t o s u c h e l f - r e i n f o r c i n g i n c o r r e c t b e l i e f s s u b s e q u e n t a s t r u c t u r a l c h a n g e s u c h a s G e r m a n u n i (cid:12) c a t i o n . T h e r e a s o n , w h y a n a l y t i c a l r e s u l t s c o n c e r n i n g o p t i m a l p o l i c i e s u n d e r p a r a m e t e r u n c e r a i n t y a r e l a r g e l y a b s e n t f r o m t h e l i t e r a t u r e a n d n u m e r i c a l r e s u l t s a r e r a r e , i s t h e n o n l i n e a r a t u r e o f t h e d y n a m i c l e a r n i n g p r o b l e m . C o m p a r e d t o t h e s i m p l e r e g r e s s i o n f r a m e w o r k o n s i d e r e d i n p r e v i o u s w o r k , t h e p r o b l e m s t u d i e d i n t h i s p a p e r i s f u r t h e r c o m p l i c a t e d b y h e e x i s t e n c e o f l a g g e d d e p e n d e n t v a r i a b l e s . T h e a s s o c i a t e d n o n l i n e a r s t o c h a s t i c d y n a m i c p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s a t t a c k e d u s i n g a n e x t e n d e d v e r s i o n o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m 1 3 e v e l o p e d i n W i e l a n d ( 1 9 9 5 ) . I t i s d e s c r i b e d i n m o r e d e t a i l i n t h e a p p e n d i x . A s m e n t i o n e d a b o v e , n u m e r i c a l a p p r o a c h e s t o s o l v i n g t h i s c l a s s o f o p t i m a l l e a r n i n g r o b l e m s h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y a n d f o r s o m e t i m e i n e n g i n e e r i n g . T e r m e d \ d u a l o n t r o l " , t h e s e m e t h o d s h a v e b e e n f u r t h e r d e v e l o p e d a n d a p p l i e d t o e c o n o m i c p r o b l e m s b y e n d r i c k ( 1 9 8 1 ) a n d ( 1 9 8 2 ) , N o r m a n ( 1 9 7 6 ) , M i z r a c h ( 1 9 9 1 ) , A m m a n a n d K e n d r i c k ( 1 9 9 5 ) n d o t h e r s . T h e r e a r e s e v e r a l i m p o r t a n t d i (cid:11) e r e n c e s b e t w e e n d u a l c o n t r o l a n d t h e d y n a m i c r o g r a m m i n g a l g o r i t h m u s e d h e r e : ( i ) w h i l e t h e d u a l c o n t r o l a l g o r i t h m t y p i c a l l y i n v o l v e s a r s t - o r s e c o n d - o r d e r l i n e a r a p p r o x i m a t i o n , t h e D P a l g o r i t h m u s e d h e r e d i r e c t l y t a k e s i n t o c c o u n t t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e u p d a t i n g e q u a t i o n s w h i c h a r e a t t h e c e n t e r o f t h e l e a r n i n g r o b l e m ; ( i i ) w h i l e t h e d u a l c o n t r o l a l g o r i t h m a p p r o x i m a t e s e x - p o s t p a y o (cid:11) s f o r a g i v e n n i t i a l b e l i e f a b o u t t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s f o r a l t e r n a t i v e s e q u e n c e s o f s h o c k s a s i n M o n t e a r l o s i m u l a t i o n s , t h e D P a l g o r i t h m u s e d h e r e a p p r o x i m a t e s e x - a n t e p a y o (cid:11) s a n d p o l i c i e s o r a r a n g e o f i n i t i a l b e l i e f s a n d a n y p o s s i b l e s e q u e n c e o f s h o c k s . F i n a l l y , i t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e f r a m e w o r k i n t h i s p a p e r a b s t r a c t s f r o m t h e n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e p u b l i c ’s a n d t h e p o l i c y m a k e r ’s l e a r n i n g p r o c e s s e s . B y a l l o w i n g t h e a g e s e t t e r s ’ a n d t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s t o d e p e n d o n d i (cid:11) e r e n t i n f o r m a t i o n s e t s , i t w o u l d h a t t h e r e is a lo n g - r u n t r a d e o (cid:11) b e t w e e n in (cid:13) a t io n a n d u n e m p lo y m e n t , m a y b e le d t o im p le m e n t a p o lic y h a t r e in fo r c e s t h is b e lie f e v e n t h o u g h t h e t r u e P h illip s c u r v e is v e r t ic a l. 1 3 I n t h is e a r lie r w o r k I h a v e g e n e r a liz e d t h e n u m e r ic a l D P a p p r o a c h u s e d b y P r e s c o t t ( 1 9 7 2 ) fo r a o n e n k n o w n p a r a m e t e r - o n e s t a t e v a r ia b le p r o b le m t o a p r o b le m w it h t w o u n k n o w n p a r a m e t e r s a n d (cid:12) v e s t a t e a r ia b le s . 7
b e p o s s i b l e t o j o i n t l y a d d r e s s q u e s t i o n s o f c r e d i b i l i t y , t i m e c o n s i s t e n c y a n d l e a r n i n g b y t h e p o l i c y m a k e r . W h i l e t h e s e q u e s t i o n s h a v e n o t y e t b e e n s t u d i e d i n a m a c r o e c o n o m i c m o d e l w i t h p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y a n d r a t i o n a l l e a r n i n g s u c h a s t h e o n e c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r , t h e y h a v e p a r t l y b e e n a d d r e s s e d i n t w o a l t e r n a t i v e f r a m e w o r k s . C a p l i n a n d L e a h y ( 1 9 9 6 ) s t u d y a g a m e b e t w e e n a m o n e t a r y p o l i c y m a k e r w h o a t t e m p t s t o g e t t h e e c o n o m y o u t o f a 1 4 r e c e s s i o n a n d p o t e n t i a l i n v e s t o r s t h a t a r e w a i t i n g f o r l o w e r i n t e r e s t r a t e s . S a r g e n t ( 1 9 9 8 a ) c o n s i d e r s a f r a m e w o r k w i t h a p o l i c y m a k e r a n d a p u b l i c t h a t a r e l e a r n i n g a b o u t t h e n a t u r e 1 5 o f t h e P h i l l i p s c u r v e b u t a r e b o t h ’ b o u n d e d l y r a t i o n a l ’. R a t h e r t h a n l e a r n i n g o p t i m a l l y , b o t h , t h e p o l i c y m a k e r a n d t h e p u b l i c , l e a r n a d a p t i v e l y a n d u s e f o r e c a s t i n g r u l e s a s i n t h e l e a s t s q u a r e s l e a r n i n g l i t e r a t u r e . T h e r e e x i s t s e l f - c o n (cid:12) r m i n g e q u i l i b r i a t h a t d e p e n d o n t h e a c t u a l a n d p e r c e i v e d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n ( n o t w i t h o u t s o m e s i m i l a r i t y t o t h e s e l f - r e i n f o r c i n g b e l i e f s i n t h e o p t i m a l l e a r n i n g l i t e r a t u r e ) . 3 A s i m p l e m a c r o e c o n o m i c m o d e l T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e a n a l y s i s i s a s t a n d a r d l i n e a r P h i l l i p s c u r v e : e (cid:3) (cid:25) (cid:25) (cid:12) u u (cid:15) = + ( (cid:0) ) + ( 2 ) t t t t t e (cid:25) (cid:25) w h e r e i s t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e , i s t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e e x p e c t e d b y t h e p u b l i c ( w h i c h m a y t t 2 (cid:15) N ; (cid:27) b e d i (cid:11) e r e n t f r o m t h e p o l i c y m a k e r ’s e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n ) a n d (cid:24) ( 0 ) a r e r a n d o m t (cid:15) (cid:12) s h o c k s . T h e s l o p e p a r a m e t e r c h a r a c t e r i z e s t h e s h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) . (cid:3) u T h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e i s a s s u m e d t o e v o l v e a c c o r d i n g t o : t (cid:3) (cid:3) u u (cid:17) = + ( 3 ) t t t(cid:0) 1 2 2 (cid:17) N ; (cid:27) (cid:27) > w h e r e (cid:24) ( 0 ) . F o r 0 , t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n i m p l i e s t h a t t h e n a t u r a l r a t e f o l l o w s a t (cid:17) (cid:17) 2 (cid:3) (cid:3) (cid:27) u u t r a n d o m w a l k . F o r = 0 , i t i m p l i e s a c o n s t a n t n a t u r a l r a t e = 8 . F o r s i m p l i c i t y , I (cid:17) t 0 1 4 T h e p o lic y m a k e r is u n c e r t a in a b o u t t h e in v e s t o r s ’ r e s p o n s e t o a s p e c i(cid:12) c v a lu e o f t h e in t e r e s t r a t e . S h e h a s t o r e s o lv e t h e d ile m m a t h a t a n o v e r ly a g g r e s s iv e m o v e m a y le a d t o o v e r h e a t in g ( t o o m u c h in v e s t m e n t ) w h ile a n o v e r ly c a u t io u s m o v e m a y b e in e (cid:11) e c t u a l, b e c a u s e in v e s t o r s a n t ic ip a t e lo w e r in t e r e s t r a t e s in t h e fu t u r e a n d d e la y in v e s t m e n t . 1 5 A r e la t e d fr a m e w o r k w a s s t u d ie d b y S im s ( 1 9 8 8 ) a n d C h u n g ( 1 9 9 0 ) . 8
1 6 a s s u m e t h a t t h e p u b l i c f o r m s e x p e c t a t i o n s a b o u t i n (cid:13) a t i o n a d a p t i v e l y : e (cid:25) (cid:25) = ( 4 ) t(cid:0) 1 t T h e p o l i c y m a k e r i s e n d o w e d w i t h a s t a n d a r d l o s s f u n c t i o n w h i c h i s q u a d r a t i c i n i n (cid:13) a t i o n 1 7 a n d u n e m p l o y m e n t : (cid:3) 2 (cid:3) 2 L (cid:25) ; u E (cid:25) (cid:25) ! u u ( ) = [( (cid:0) ) + ( (cid:0) ) ] ( 5 ) t t t t t (cid:0) 1 t (cid:3) (cid:25) w h e r e i s t h e t a r g e t i n (cid:13) a t i o n r a t e . T w o a d d i t i o n a l e q u a t i o n s a r e n e e d e d t o c l o s e t h e m o d e l . F i r s t , a c c o r d i n g t o \ O k u n ’s y L a w " c h a n g e s i n t h e u n e m p l o y m e n t r a t e a r e r e l a t e d t o d e v i a t i o n s o f r e a l G D P g r o w t h (cid:1) t (cid:3) 1 8 y f r o m i t s t r e n d g r o w t h r a t e (cid:1) : t (cid:3) u (cid:30) y y (cid:1) = (cid:0) ( (cid:1) (cid:0) (cid:1) ) ( 6 ) t t t S e c o n d , m o n e t a r y p o l i c y a (cid:11) e c t s u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n t h r o u g h t h e i n t e r e s t r a t e c h a n r n e l a n d a g g r e g a t e d e m a n d . D e v i a t i o n s o f t h e r e a l i n t e r e s t r a t e f r o m i t s e q u i l i b r i u m v a l u e t (cid:3) r a r e n e g a t i v e l y r e l a t e d t o t h e o u t p u t g a p : (cid:3) (cid:3) y y (cid:13) r r (cid:0) = ( (cid:0) ) ( 7 ) t t t (cid:3) y y w h e r e a n d d e n o t e t h e l o g a r i t h m s o f a c t u a l a n d t r e n d ( p o t e n t i a l ) o u t p u t . T h e p o l i - t t r c y m a k e r i s a s s u m e d t o c h o o s e b a s e d o n h e r k n o w l e d g e o f t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y a n d t 1 6 T h is a s s u m p t io n w ill s im p lify t h e s u b s e q u e n t n u m e r ic a l a n a ly s is o f o p t im a l p o lic y u n d e r u n c e r t a in t y . H o w e v e r , o t h e r t h a n c o m p u t a t io n a l c o m p le x it y t h e r e is n o fu n d a m e n t a l r e a s o n fo r e x c lu d in g t h e p o s s ib ilit y o f r a t io n a l e x p e c t a t io n s ( o r r a t io n a l le a r n in g ) o n b e h a lf o f t h e p r ic e - s e t t e r . A lt e r n a t iv e ly , o n e c o u ld c o n s id e r t h e \ b a c k w a r d a n d fo r w a r d - lo o k in g c o m p o n e n t s " m o d e l o f t h e P h illip s c u r v e ( e g . B u it e r a n d M ille r ( 1 9 8 5 ) , F u h r e r a n d M o o r e ( 1 9 9 5 ) , a n d C la r k , G o o d h a r t a n d H u a n g ( 1 9 9 6 ) ) : (cid:3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:25) (cid:21) (cid:25) (cid:21) E (cid:25) (cid:12) u u (cid:15) t = t + ( 1 ) t t + ( t ) + t t T h e b a c k w a r d - lo o k in g c o m p o n e n t r e (cid:13) e c t s in e r t ia in in (cid:13) a t io n d u e t o o v e r la p p in g w a g e c o n t r a c t s o r a d a p t iv e e x p e c t a t io n s o f a s u b s e t o f p r ic e - s e t t e r s a n d g u a r a n t e e s t h a t m o n e t a r y p o lic y s t ill h a s r e a l e (cid:11) e c t s . T h e (cid:0) 1 E (cid:25) p u b lic ’s r a t io n a l e x p e c t a t io n o f in (cid:13) a t io n t [ t ] is a fu n c t io n o f o b s e r v a b le d a t a a s w e ll a s t h e p o lic y r u le a n d c a n b e c o m p u t e d b y t h e p o lic y m a k e r c o n d it io n a l u p o n h e r p o lic y c h o ic e a s lo n g a s t h e y s h a r e t h e s a m e in fo r m a t io n s e t . 1 7 T h e q u a d r a t ic s p e c i(cid:12) c a t io n is a n a t u r a l s t a r t in g p o in t fo r a n a ly z in g o p t im a l p o lic y u n d e r u n c e r t a in t y b e c a u s e o f it s p r e v a le n c e in t h e p o lic y lit e r a t u r e . H o w e v e r , t h e n u m e r ic a l d y n a m ic p r o g r a m m in g a lg o r it h m u s e d h e r e c o u ld b e a p p lie d t o n o n - q u a d r a t ic s p e c i(cid:12) c a t io n s o f t h e p o lic y m a k e r ’s p r e fe r e n c e s . I n t h is c a s e h ig h e r - o r d e r m o m e n t s m a y in (cid:13) u e n c e t h e o p t im a l p o lic y . 1 8 F o r a t e x t b o o k d is c u s s io n o f t h is e m p ir ic a l r e g u la r it y s e e D o r n b u s c h a n d F is c h e r ( 1 9 9 0 ) . 9
i i c m t a T g a i u l t ( N s f p c r s 1 9 (cid:15) (cid:17) t s s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s b u t b e f o r e t h e s h o c k s a n d a r e r e a l i z e d . S h e c a n p r e d i c t t t m p e n d i n g c h a n g e s i n i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n s f r o m t h e p r e e d i n g p e r i o d a n d r e s p o n d a p p r o p r i a t e l y . A s a (cid:12) r s t s t e p , I c o n s i d e r a s t a t i c v e r s i o n o f t h i s m o d e l , i n w h i c h t h e p o l i c y m a k e r i n i m i z e s t h e e x p e c t e d l o s s i n t h e c u r r e n t p e r i o d . I f a l l p a r a m e t e r s a r e k n o w n , i n c l u d i n g (cid:3) u (cid:12) h e n a t u r a l r a t e a n d t h e s l o p e o f t h e s h o r t - r u n P h i l l i p s c u r v e , t h e o p t i m a l p o l i c y i s t(cid:0) 1 l i n e a r f e e d b a c k r u l e o f t h e f o l l o w i n g f o r m : (cid:12) 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:25) (cid:25) u u r r ( (cid:0) ) + ( (cid:0) ) ( 8 ) = + t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 t(cid:0) 1 2 (cid:30) (cid:13) ! (cid:12) (cid:30) (cid:13) ( + ) h i s r u l e s e t s t h e c u r r e n t r e a l i n t e r e s t r a t e b a s e d o n p a s t i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t (cid:3) (cid:25) a p s . T h e o p t i m a l r e s p o n s e d e p e n d s o n t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s , t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t ! n d t h e w e i g h t w h i c h t h e p o l i c y m a k e r a s s i g n s t o u n e m p l o y m e n t d e v i a t i o n s r e l a t i v e t o n (cid:13) a t i o n d e v i a t i o n s . I f i n (cid:13) a t i o n i s a b o v e t a r g e t , t h e p o l i c y m a k e r r a i s e s t h e i n t e r e s t r a t e , i f n e m p l o y m e n t i s a b o v e t h e N A I R U , s h e l o w e r s t h e i n t e r e s t r a t e . I n s o l v i n g h e r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e p o l i c y m a k e r b a l a n c e s t h e e x p e c t e d m a r g i n a l o s s f r o m u n e m p l o y m e n t a g a i n s t t h e e x p e c t e d m a r g i n a l l o s s f r o m i n (cid:13) a t i o n . I t i s i n s t r u c t i v e o t a k e a l o o k a t t h e a s s o c i a t e d (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n a f t e r s u b s t i t u t i n g i n t h e f e e d b a c k r u l e 8 ) : (cid:12) (cid:12) (cid:3) (cid:3) (cid:3) E u u (cid:25) (cid:25) E (cid:25) (cid:25) [ (cid:0) ] = (cid:0) ( (cid:0) ) = (cid:0) [ (cid:0) ] ( 9 ) t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 t 2 ! (cid:12) ! + o t e t h a t a s l o n g a s t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n g a p i s z e r o , t h e o p t i m a l i n t e r e s t r a t e e t t i n g i m p l i e s t h a t b o t h , t h e e x p e c t e d u n e m p l o y m e n t g a p a n d t h e e x p e c t e d i n (cid:13) a t i o n g a p o r p e r i o d t , a r e s e t t o z e r o . ! I f t h e p o l i c y m a k e r f o c u s e s e x c l u s i v e l y o n s t a b i l i z i n g i n (cid:13) a t i o n ( i .e . = 0 ) , t h e o p t i m a l (cid:3) E (cid:25) (cid:25) o l i c y i n d u c e s a n e x p e c t e d i n (cid:13) a t i o n r a t e e q u a l t o t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t [ ] = a n d t t (cid:0) 1 o r r e s p o n d s t o a p o l i c y o f \ i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t t a r g e t i n g " a s d e (cid:12) n e d b y S v e n s s o n ( 1 9 9 7 a ) . 1 9 O f c o u r s e , in p r a c t ic e t h e c e n t r a l b a n k s e t s t h e n o m in a l s h o r t - t e r m in t e r e s t r a t e r a t h e r t h a n t h e r e a l a t e . H o w e v e r , t h e r ig id it y in in (cid:13) a t io n t h a t is e m b o d ie d in t h e s h o r t - r u n P h illip s c u r v e g iv e s t h e p o lic y m a k e r h o r t - r u n c o n t r o l o v e r r e a l in t e r e s t r a t e s . 1 0
T e 4 T u t T i m w i S N T i T a h e o p t i m a l s e t t i n g o f t h e n o m i n a l i n t e r e s t r a t e r e s u l t s i n a n u n e m p l o y m e n t g a p x p e c t e d t o o (cid:11) s e t t h e i n (cid:13) a t i o n g a p i n h e r i t e d f r o m t h e p r e c e d i n g p e r i o d . U n c e r t a i n t y a s a m o t i v e f o r c a u t i o u s p o l i c y m a k i n g h e p r e c e d i n g p o l i c y r u l e c a n n o t b e i m p l e m e n t e d d i r e c t l y i f t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e (cid:3) (cid:12) a n d t h e s l o p e o f t h e s h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) a r e u n k n o w n . H t h e p o l i c y m a k e r c a n o b t a i n e s t i m a t e s f r o m t h e f o l l o w i n g r e g r e s s i o n e q u a t i o n : (cid:25) (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) (cid:0) = (cid:0) + t t t t t (cid:0) 1 h i s i s a s i m p l e v e r s i o n o f t h e t y p e o f e q u a t i o n e s t i m a t e d i n t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r n t e r c e p t i s a f u n c t i o n o f b o t h t h e u n k n o w n s l o p e p a r a m e t e r a n d t h e u n k n o w n N A I R a y t h e r e f o r e v a r y o v e r t i m e . (cid:3) (cid:3) (cid:11) (cid:12) u (cid:12) u (cid:12) (cid:17) (cid:11) (cid:23) = = + = + t t t t (cid:0) 1 t t(cid:0) 1 2 (cid:23) N ; (cid:27) h e r e (cid:24) ( 0 ) . I d e n o t e t h e m e a n s o f t h e i n t e r c e p t a n d s l o p e p a r a m e t e r s b a t (cid:23) n f o r m a t i o n u p t o t i m e t - 1 a s f o l l o w s : E (cid:11) a a = = t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t tj (cid:0) 1 E (cid:12) b = t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:11) t (cid:3) u , t h e e m p i r i c a l l i t e r a t u r e u s e s t h e r a t i o o f t h e m e a n s a s a n e s t i m a t o r i n c e = t (cid:12) A I R U . a t(cid:0) 1 (cid:3) u^ = t b t(cid:0) 1 h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e u n k n o w n i n t e r c e p t a n d s l o p e p a r a m e t e r s b a n f o r m a t i o n a t t - 1 i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x : a a b a a b 2 v v v (cid:27) v + t(cid:0) 1 t (cid:23) t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 j (cid:0) 1 (cid:6) = = t tj (cid:0) 1 a b b a b b v v v v t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t t ! ! (cid:0) 1 (cid:0) 1 a ; b ; h e (cid:12) v e v a r i a b l e s ( (cid:6) ) d e (cid:12) n e a b i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n w h i c h c o m t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t tj (cid:0) 1 (cid:11) ; (cid:12) l l r e l e v a n t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s ( ) a t t i m e t - 1 . T h i s t 1 1 t h a t i s n t r a t e o w e v e r ( 1 0 ) e . T h e U , a n d ( 1 1 ) s e d o n ( 1 2 ) f o r t h e ( 1 3 ) s e d o n ( 1 4 ) p r i s e s d i s t r i -
b u t p m a T t p w e c u o p o a K a u t i o n r e p r e s e n t s t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a b o u t t h e l o c a t i o n a n d s l o p e o f t h e i n (cid:13) a t i o n - 2 0 n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) . T h r o u g h o u t t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r I w i l l f o c u s e x c l u s i v e l y o n u n c e r t a i n t y a b o u t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n (cid:13) a t i o n a n d o u t p u t a n d m a i n t a i n t h e a s s u m p t i o n t h a t a l l o t h e r a r a m e t e r s a r e k n o w n t o t h e p o l i c y m a k e r . T h e p o l i c y r u l e ( 8 ) c a n t h e n b e r e n d e r e d i m p l e - (cid:0) 1 a t (cid:3) u (cid:12) e n t a b l e b y r e p l a c i n g t h e a c t u a l v a l u e s o f a n d b y t h e b e s t a v a i l a b l e e s t i m a t e s t(cid:0) 1 (cid:0) 1 b t b n d . t(cid:0) 1 b a 1 1 t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:3) r r u (cid:25) (cid:25) ( 1 5 ) = + (cid:0) ( (cid:0) ) + t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 2 (cid:30) (cid:13) (cid:30) (cid:13) b ! b ( + ) t(cid:0) 1 t(cid:0) 1 (cid:19) (cid:18) h i s \ c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t " p o l i c y r u l e w i l l s e r v e a s a b e n c h m a r k f o r c o m p a r i s o n . A n o p i m a l r u l e i n t h e p r e s e n c e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n b e d e r i v e d f r o m t h e f o l l o w i n g o n e e r i o d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m : M i n (cid:3) 2 (cid:3) 2 E (cid:25) (cid:25) ! u u (cid:25) ; u ; a ; b ; ( (cid:0) ) + ( (cid:0) ) j ( (cid:6) ) t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 t r t h i (cid:25) (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) s .t . = + (cid:0) + ( 1 6 ) t t t t t (cid:0) 1 u u (cid:30) (cid:13) r r = + ( (cid:0) ) t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 h e r e O k u n ’s l a w h a s a l r e a d y b e e n s u b s t i t u t e d i n t o t h e a g g r e g a t e d e m a n d e q u a t i o n . T h e L (cid:25) ; u x p e c t e d c u r r e n t p e r i o d l o s s ( ) i s a f u n c t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s a t t - 1 , w h i c h t t o m p r i s e i n (cid:13) a t i o n , u n e m p l o y m e n t , t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a b o u t t h e L (cid:25) ; u ; r ; a ; b ; n k n o w n P h i l l i p s c u r v e . I t w i l l b e d e n o t e d b y ( (cid:6) ) f r o m h e r e t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 n . T h e p o l i c y t h a t m i n i m i z e s e x p e c t e d o n e - p e r i o d l o s s i s b e s t d e s c r i b e d a s a c a u t i o n a r y o l i c y , b e c a u s e i t t a k e s i n t o a c c o u n t p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . C l e a r l y , i t i s n o t n e c e s s a r i l y p t i m a l i n a d y n a m i c c o n t e x t . I t i s a \ m y o p i c " p o l i c y , b e c a u s e i t d i s r e g a r d s t h e e (cid:11) e c t 2 0 2 2 (cid:27) ; (cid:27) N o t e t h a t fo r m a t h e m a t ic a l c o n v e n ie n c e , t h e v a r ia n c e s o f t h e n o r m a lly d is t r ib u t e d s h o c k s a r e (cid:23) (cid:15) s s u m e d t o b e k n o w n . T h is is a s t a n d a r d a s s u m p t io n in t h e o p t im a l le a r n in g lit e r a t u r e ( s e e E a s le y a n d ie fe r ( 1 9 8 8 ) , K ie fe r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) ) . I t g u a r a n t e e s t h a t g iv e n a n o r m a l p r io r , t h e p o s t e r io r b e lie f w ill ls o b e a n o r m a l d is t r ib u t io n . 1 2
o T u N e T e t s i a ( u ( s a v r i t ( h f t h e c u r r e n t i n t e r e s t r a t e s e t t i n g o n f u t u r e p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d p o l i c y p e r f o r m a n c e . h i s c a u t i o n a r y p o l i c y t a k e s t h e f o r m o f a f e e d b a c k r u l e , w h i c h i s l i n e a r i n i n (cid:13) a t i o n a n d n e m p l o y m e n t : b a 1 1 t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:3) u r r (cid:25) (cid:25) (cid:0) = + ( (cid:0) ) + t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 b 2 (cid:30) (cid:13) (cid:30) (cid:13) b b v ! ( + + ) t(cid:0) 1 t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:19) (cid:18) ( 1 7 ) (cid:0) 1 a t a b b v v (cid:0) t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 1 b t + b 2 (cid:30) (cid:13) b v ! + + ! t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 a v e i t h e r t h e v a r i a n c e o f t h e e s t i m a t e d i n t e r c e p t , , n o r t h e v a r i a n c e o f t h e n a t u r a l u n - t(cid:0) 1 m p l o y m e n t r a t e e x p l i c i t l y e n t e r t h e f e e d b a c k r u l e , a l t h o u g h t h e y a (cid:11) e c t t h e e x p e c t e d l o s s . h i s i s n o t s u r p r i s i n g . S i n c e t h e m o d e l i s l i n e a r a n d t h e l o s s f u n c t i o n i s q u a d r a t i c , c e r t a i n t y q u i v a l e n c e a p p l i e s a n d a d d i t i v e u n c e r t a i n t y d o e s n o t a (cid:11) e c t t h e o p t i m a l p o l i c y . H o w e v e r , b a b v v h e v a r i a n c e o f t h e s l o p e e s t i m a t e a s w e l l a s t h e c o v a r i a n c e o f t h e i n t e r c e p t a n d t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 l o p e e n t e r t h e r u l e i n t w o d i (cid:11) e r e n t p l a c e s i n a n o n l i n e a r w a y . b v F i r s t , t h e v a r i a n c e s h o w s u p i n t h e d e n o m i n a t o r o f t h e r e s p o n s e c o e (cid:14) c i e n t o n t h e t(cid:0) 1 b v n (cid:13) a t i o n g a p . T h u s , a s l o n g a s i s g r e a t e r t h a n z e r o , t h e c a u t i o n a r y p o l i c y r u l e r e c o m m e n d s m o r e m u t e d r e s p o n s e t o t h e p r e c e d i n g i n (cid:13) a t i o n g a p t h a n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t r u l e 1 5 ) . T h i s m u t e d p o l i c y r e s p o n s e i m p l i e s a g r a d u a l i s t a p p r o a c h t o d i s i n (cid:13) a t i o n i n t h e f a c e o f n c e r t a i n t y a b o u t t h e s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e . I t m i r r o r s t h e s e m i n a l r e s u l t b y B r a i n a r d 2 1 1 9 6 7 ) c o n c e r n i n g c a u t i o n a r y p o l i c y u n d e r m u l t i p l i c a t i v e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . A s t h e l o p e e s t i m a t e b e c o m e s m o r e a n d m o r e p r e c i s e , p o l i c y w i l l t e n d t o r e s p o n d t o i n (cid:13) a t i o n m o r e g g r e s s i v e l y a s p r e s c r i b e d b y t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t r u l e . S e c o n d , t h e r e i s a n e w t e r m i n t h e f e e d b a c k r u l e , w h i c h i s a f u n c t i o n o f t h e v a r i a n c e (cid:0) 1 a t b a b v , t h e c o v a r i a n c e a n d t h e p o i n t e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l r a t e . T h i s t e r m m a y t t(cid:0) 1 (cid:0) 1 b t e s u l t i n a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e a d j u s t m e n t t o t h e i n t e r e s t r a t e . W h i l e t h e (cid:12) r s t r e s u l t s i n t u i t i v e , t h e s e c o n d i s s o m e w h a t p u z z l i n g . I t i m p l i e s t h a t e v e n i n a s i t u a t i o n w h e r e h e o b s e r v e d i n (cid:13) a t i o n r a t e i s o n t a r g e t a n d t h e u n e m p l o y m e n t r a t e e q u a l s t h e e s t i m a t e d 2 1 O t h e r p a p e r s t h a t h a v e lo o k e d a t t h is e (cid:11) e c t r e c e n t ly a r e S v e n s s o n ( 1 9 9 7 b ) , C la r id a , G a li a n d G e r t le r 1 9 9 7 ) a n d E s t r e lla a n d M is h k in ( 1 9 9 8 ) . S a c k ( 1 9 9 7 ) s t u d ie s h o w p a r a m e t e r u n c e r t a in t y c a n e x p la in t h e ig h d e g r e e o f s e r ia l c o r r e la t io n in in t e r e s t r a t e s . 1 3
n t w i w I h a e t l m w W p o m T g t a h w a t u r a l r a t e , t h e c e n t r a l b a n k w o u l d p u r s u e a p o l i c y t h a t d r i v e s u n e m p l o y m e n t a w a y f r o m h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e i n e x p e c t a t i o n . O n e m i g h t h a v e e x p e c t e d t h a t t h e p o l i c y m a k e r o u l d a b s t a i n f r o m a n y a c t i o n , w h e n u n e m p l o y m e n t i s a t t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e a n d a b v n (cid:13) a t i o n a r y p r e s s u r e s a r e a b s e n t . I n f a c t , t h i s w o u l d s t i l l b e t h e c a s e i f t h e c o v a r i a n c e t(cid:0) 1 e r e t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : a t(cid:0) 1 b a b b (cid:3) u v v v = ^ ( 1 8 ) = t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 b t(cid:0) 1 t m a y s e e m a t (cid:12) r s t t h a t n o t h i n g m o r e c a n b e s a i d a b o u t t h i s c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t . F o r t u n a t e l y o w e v e r , o n e c a n m a k e u s e o f t h e f a c t t h a t t h e c o v a r i a n c e a n d v a r i a n c e o f t h e i n t e r c e p t n d s l o p e e s t i m a t e s a r e f u n c t i o n s o f t h e h i s t o r i c a l d a t a o n i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t . F o r (cid:3) (cid:3) u u t a b x a m p l e , i f t h e n a t u r a l r a t e i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t , = 8 , t h e e s t i m a t e s a n d o f t t t 0 (cid:11) (cid:12) h e p a r a m e t e r s a n d c a n b e o b t a i n e d b y o r d i n a r y l e a s t s q u a r e s . T h e c o v a r i a n c e o f t h e s e e a s t s q u a r e s e s t i m a t e s i s s i m p l y t h e p r o d u c t o f t h e v a r i a n c e o f t h e s l o p e a n d t h e s a m p l e e a n o f t h e u n e m p l o y m e n t r a t e : a b b v u v = (cid:22) ( 1 9 ) t(cid:0) 1 t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t(cid:0) 1 2 2 u u h e r e (cid:22) = d e n o t e s t h e s a m p l e m e a n o f t h e h i s t o r i c a l u n e m p l o y m e n t p a t h . t i (cid:0) 1 i= 0 (cid:3) P u u h e n e v e r (cid:22) e q u a l s t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e ^ t h e n ( 1 8 ) h o l d s a n d t h e c a u t i o n a r y t(cid:0) 1 t(cid:0) 1 o l i c y r u l e w i l l k e e p u n e m p l o y m e n t a s c l o s e a s p o s s i b l e t o t h e n a t u r a l r a t e i n t h e a b s e n c e (cid:3) u u f i n (cid:13) a t i o n a r y p r e s s u r e s . T h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n ^ a n d (cid:22) i s a f u n c t i o n o f t h e s a m p l e t(cid:0) 1 t(cid:0) 1 e a n o f t h e c h a n g e i n i n (cid:13) a t i o n , w h i c h i s e q u a l t o t h e t r e n d i n i n (cid:13) a t i o n o v e r t h e d a t a p e r i o d : (cid:25) (cid:25) a 1 1 (cid:0) t t (cid:0) 1 0 (cid:0) 1 u (cid:25) (cid:0) (cid:22) = (cid:1) = ( 2 0 ) t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 b b b t (cid:0) 1 t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 h i s i m p l i e s t h a t t h e o p t i m a l a p p r o a c h t o c o n t r o l l i n g i n (cid:13) a t i o n u n d e r u n c e r t a i n t y i s t o r a d u a l l y e a s e o u t o f i n (cid:13) a t i o n a r y o r d i s i n (cid:13) a t i o n a r y e p i s o d e s r a t h e r t h a n a t t e m p t t o e n d h e m a b r u p t l y . F o r e x a m p l e , h a v i n g o b s e r v e d a n u p w a r d t r e n d i n i n (cid:13) a t i o n , t h e p o l i c y m a k e r 2 2 F o r a d e r iv a t io n s e e G r e e n e ( 1 9 9 3 ) p p 1 5 5 - 1 5 7 . I n t h e c a s e o f a t im e - v a r y in g n a t u r a l r a t e , t h e c o v a r ia n c e n d v a r ia n c e s o f t h e p a r a m e t e r e s t im a t e s w o u ld b e r e la t e d t o a n a p p r o p r ia t e ly w e ig h t e d a v e r a g e o f t h e is t o r ic a l u n e m p lo y m e n t r a t e r a t h e r t h a n t h e s im p le a v e r a g e . T h e K a lm a n (cid:12) lt e r g e n e r a t e s t h e a p p r o p r ia t e e ig h t in g . 1 4
c r t t c c f I e m v T a c t v r I g l b s s o n c l u d e s t h a t i n t h e p a s t t h e u n e m p l o y m e n t r a t e h a s o n a v e r a g e b e e n b e l o w t h e n a t u r a l a t e . R a t h e r t h a n p u s h i n g u n e m p l o y m e n t a g g r e s s i v e l y a b o v e t h e n a t u r a l r a t e t o r e v e r s e h e t r e n d a n d b r i n g i n (cid:13) a t i o n b a c k t o t a r g e t a s q u i c k l y a s p o s s i b l e , p o l i c y w i l l b e l e a n i n g o w a r d s t h e h i s t o r i c a l m e a n o f u n e m p l o y m e n t a n d r e s p o n d m o r e g r a d u a l l y . T o p r o v i d e s o m e e c o n o m i c i n t u i t i o n f o r t h i s r e s u l t , I t u r n t o t h e c a s e w h e r e t h e p o l i - ! y m a k e r i s e x c l u s i v e l y c o n c e r n e d w i t h i n (cid:13) a t i o n s t a b i l i z a t i o n ( = 0 ) . T h e e x p e c t e d l o s s a n t h e n b e d e c o m p o s e d i n t o t w o t e r m s , t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n d e v i a t i o n s r o m t a r g e t s q u a r e d a n d t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n : (cid:3) (cid:3) 2 (cid:3) L (cid:25) ; u E (cid:25) (cid:25) (cid:12) u u V a r (cid:25) (cid:25) ( ) = ( [( (cid:0) ) + ( (cid:0) ) ]) + [ (cid:0) ] ( 2 1 ) t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 t f t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n g a p i s z e r o , t h e (cid:12) r s t t e r m | t h e s q u a r e d c o n d i t i o n a l x p e c t a t i o n | w i l l b e m i n i m i z e d b y a p o l i c y t h a t d r i v e s t h e u n e m p l o y m e n t r a t e t o t h e e s t i a t u . H o w e v e r t h i s i s n o t t r u e f o r t h e s e c o n d t e r m | t h e c o n d i t i o n a l a t e d n a t u r a l r a t e = t b t a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n : a b a b (cid:3) 2 2 V a r (cid:25) (cid:25) v v u v u (cid:27) [ (cid:0) ] = + (cid:0) 2 + ( 2 2 ) t t t (cid:0) 1 t t t t (cid:15) (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 a b v (cid:0) 1 t u h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e i s m i n i m i z e d f o r = , w h i c h i s e q u a l t o t h e s a m p l e m e a n t b v (cid:0) 1 t n d m a y w e l l d i (cid:11) e r f r o m t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e . T h u s , t h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t i n t h e a u t i o n a r y p o l i c y r u l e a r i s e s b e c a u s e t h e p o l i c y m a k e r b a l a n c e s t h e l o s s f r o m a d e v i a t i o n o f h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n f r o m t a r g e t a g a i n s t a n i n c r e a s e i n t h e c o n d i t i o n a l (cid:12) g u r e 2 a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n . T h i s t r a d e o (cid:11) i s i l l u s t r a t e d g r a p h i c a l l y i n . T h e s o l i d l i n e e p r e s e n t s t h e e s t i m a t e d P h i l l i p s c u r v e b a s e d o n p o i n t e s t i m a t e s o f t h e i n t e r c e p t a n d s l o p e . (cid:3) u t i n t e r s e c t s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t h e e s t i m a t e d n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e ^ a n d a l s o (cid:25) u o e s t h r o u g h t h e p o i n t d e (cid:12) n e d b y t h e s a m p l e m e a n s (cid:1) a n d (cid:22) w h e n e s t i m a t e d b y o r d i n a r y e a s t s q u a r e s . S i n c e t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s a r e i m p r e c i s e , t h e t r u e P h i l l i p s c u r v e m a y e s t e e p e r o r (cid:13) a t t e r t h a n t h e e s t i m a t e d o n e ; a n d t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e t h a t r e s u l t s f r o m a p e c i (cid:12) c v a l u e o f t h e u n e m p l o y m e n t r a t e i s u n c e r t a i n . T h e d o t t e d l i n e s i n (cid:12) g u r e 2 a r e o n e t a n d a r d d e v i a t i o n b a n d s o f i n (cid:13) a t i o n c o n d i t i o n a l o n u n e m p l o y m e n t . A s c a n b e e n s e e n , 1 5
u m b g I t g e n m c m u H i u e i t t c t n c e r t a i n t y a b o u t i n (cid:13) a t i o n i s m i n i m i z e d w h e n t h e u n e m p l o y m e n t r a t e e q u a l s t h e s a m p l e e a n . C o n s e q u e n t l y , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e w h i c h m i n i m i z e s t h e l o s s f u n c t i o n m u s t l i e e t w e e n t h e s a m p l e m e a n a n d t h e n a t u r a l r a t e w h e n e v e r t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n a p i s z e r o . I t s v a l u e c a n e a s i l y b e d e r i v e d f r o m t h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n : (cid:0) 1 a t a b b v v ( (cid:0) ) t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 b (cid:0) 1 b t t (cid:0) 1 (cid:3) (cid:3) (cid:25) (cid:25) E u u ( (cid:0) ) (cid:0) ( 2 3 ) [ (cid:0) ] = (cid:0) t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t b b 2 2 b v b v + ( + ) t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:3) (cid:25) (cid:25) f ( (cid:0) ) i s z e r o , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e t h a t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e o p t i m a l p o l i c y i n t(cid:0) 1 h e s t a t i c m o d e l i s a w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e s a m p l e m e a n a n d t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e : b 2 v b t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:3) u u u r ^ + (cid:22) ( 2 4 ) ( ) = t t t (cid:0) 1 t(cid:0) 1 b b 2 2 b b v v + + t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 F i n a l l y , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e c a u t i o n a r y p o l i c y r u l e ( 1 7 ) f o r m a l i z e s t h e r e c i p e f o r r a d u a l i s t p o l i c y m a k i n g p r o v i d e d b y B l i n d e r ( 1 9 9 5 ) . F o r e x a m p l e , s u p p o s e t h a t i n (cid:13) a t i o n x x c e e d s t h e t a r g e t r a t e b y p e r c e n t a g e p o i n t s , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e e q u a l s t h e e s t i m a t e d z a t u r a l r a t e a n d t h e s a m p l e m e a n o f u n e m p l o y m e n t i s p e r c e n t a g e p o i n t s b e l o w t h e e s t i a t e d n a t u r a l r a t e ( w h i c h w o u l d b e c o n s i s t e n t w i t h a p a s t u p w a r d t r e n d i n i n (cid:13) a t i o n ) . T h e h a n g e i n p o l i c y r e q u i r e d t o \ g e t i t r i g h t " g i v e n t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d t h e p o l i c y - (cid:0) 1 b t 2 x a k e r ’s o b j e c t i v e f u n c t i o n w o u l d b e t o r a i s e t h e i n t e r e s t r a t e b y . H o w e v e r , (cid:30) (cid:13) ! b ( ) ( + ) (cid:0) 1 t n d e r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m e t e r s o f t h e P h i l l i p s c u r v e t h e p o l i c y m a k e r w i l l \ d o l e s s " . o w m u c h l e s s ? A s s h o w n a b o v e , t h e r e a r e t w o a d j u s t m e n t s , t h e (cid:12) r s t i s a f u n c t i o n o f t h e x n (cid:13) a t i o n g a p a n d t h e s e c o n d i s a f u n c t i o n o f t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e s a m p l e m e a n o f z n e m p l o y m e n t a n d t h e n a t u r a l r a t e . T h e (cid:12) r s t a d j u s t m e n t r e d u c e s t h e p r e s c r i b e d i n t e r b (cid:0) 1 b v t (cid:0) 1 t 2 2 x s t r a t e c h a n g e b y . T h e s e c o n d a d j u s t m e n t f u r t h e r r e d u c e s t h e b (cid:30) (cid:13) ! b ! b v ( ) ( + ) ( + + ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 t t t b v (cid:0) 1 t 2 z . n t e r e s t r a t e p r e s c r i p t i o n b y a n a m o u n t e q u a l t o b (cid:30) (cid:13) ! b v ( ) ( + + ) (cid:0) 1 (cid:0) 1 t t A s a c o n s e q u e n c e o f t h e s e a d j u s t m e n t s , i n (cid:13) a t i o n w i l l d e c l i n e m o r e g r a d u a l l y t o w a r d s h e t a r g e t r a t e . T h i s i s b e s t i l l u s t r a t e d b y c o m p u t i n g t h e e x p e c t e d d i s i n (cid:13) a t i o n p a t h w h e n (cid:12) g u r e 3 h e i n (cid:13) a t i o n r a t e i s a b o v e t a r g e t . A n e x a m p l e i s s h o w n i n . T h e a s s o c i a t e d i n i t i a l x ; z : ; u : ; u ; u u o n d i t i o n s f o r i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t a r e ( = 1 = 0 4 (cid:22) = 5 6 ^ = 6 = ^ ) , t(cid:0) 1 a b a b a ; b : ; v : ; v : ; v : ; u : ; u h e p r i o r b e l i e f i s ( = 3 = 0 5 = 5 2 2 = 0 1 6 = 0 8 9 6 (cid:22) = 5 6 ^ = 6 ) a n d 1 6
t i r u t z i u s a a u t p A g t p a t a p t t w t 2 2 (cid:30) : ; (cid:13) ; ! ; (cid:27) ; (cid:27) h e k n o w n p a r a m e t e r s a r e s e t t o ( = 0 5 = 1 = 0 = 0 = 1 ) . T h u s , i n i t i a l l y (cid:23) (cid:15) n (cid:13) a t i o n i s o n e p e r c e n t a g e p o i n t a b o v e t a r g e t , u n e m p l o y m e n t e q u a l s t h e e s t i m a t e d n a t u r a l a t e , u n c e r t a i n t y a b o u t t h e P h i l l i p s c u r v e i s v e r y h i g h a n d b o t h , t h e e (cid:11) e c t d u e t o s l o p e n c e r t a i n t y a n d t h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t , c o m e i n t o p l a y . T h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t i s r e l a t e d t o h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e s a m p l e m e a n o f u n e m p l o y m e n t a n d t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e , , w h i c h e q u a l s 0 .4 p e r c e n t a g e p o i n t s a n d i s c o n s i s t e n t w i t h a (cid:12) v e - y e a r u p w a r d t r e n d i n n (cid:13) a t i o n o f o n e p e r c e n t a g e p o i n t . (cid:12) g u r e 3 T h e t h r e e p a n e l s i n t h e t o p r o w o f s h o w t h e e x p e c t e d p a t h s o f i n (cid:13) a t i o n , n e m p l o y m e n t a n d i n t e r e s t r a t e s u n d e r t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t a n d c a u t i o n a r y p o l i c y r e p e c t i v e l y . T h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c y r a i s e s r e a l i n t e r e s t r a t e s a n d u n e m p l o y m e n t b y 4 n d 2 p e r c e n t a g e p o i n t s r e s p e c t i v e l y , s o t h a t i n (cid:13) a t i o n i s e x p e c t e d t o r e t u r n t o t a r g e t w i t h i n y e a r . T h e c a u t i o n a r y p o l i c y r e s p o n d s m o r e s l o w l y a n d i n i t i a l l y r a i s e s i n t e r e s t r a t e s a n d n e m p l o y m e n t b y l e s s t h a n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t r u l e . I n t e r m s o f t h e i n t e r e s t r a t e , t h e o t a l d o w n w a r d a d j u s t m e n t i n t h e (cid:12) r s t p e r i o d i s 1 .9 p e r c e n t a g e p o i n t s w i t h 1 .6 p e r c e n t a g e o i n t s d u e t o t h e s l o p e u n c e r t a i n t y e (cid:11) e c t a n d 3 0 b a s i s p o i n t s d u e t o t h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t . s a c o n s e q u e n c e , i n (cid:13) a t i o n , u n e m p l o y m e n t a n d i n t e r e s t r a t e s a r e e x p e c t e d t o r e t u r n m o r e r a d u a l l y t o w a r d s t h e i r s t e a d y - s t a t e v a l u e s o v e r t h e c o u r s e o f t h e n e x t f o u r y e a r s . N o t e h a t u n d e r d i (cid:11) e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s , s p e c i (cid:12) c a l l y w h e n t h e i n i t i a l s a m p l e m e a n o f u n e m l o y m e n t i s v e r y l o w , u n e m p l o y m e n t a n d t h e i n t e r e s t r a t e m a y (cid:12) r s t i n c r e a s e g r a d u a l l y o v e r f e w p e r i o d s a n d t h e n a g a i n d e c r e a s e g r a d u a l l y . (cid:12) g u r e 3 T h e d y n a m i c s i m u l a t i o n o f t h e e x p e c t e d d i s i n (cid:13) a t i o n p a t h i n t a k e s i n t o a c c o u n t h a t t h e p o l i c y m a k e r w i l l b e a b l e t o r e e s t i m a t e t h e P h i l l i p s c u r v e e v e r y t i m e n e w i n (cid:13) a t i o n n d u n e m p l o y m e n t o b s e r v a t i o n s b e c o m e a v a i l a b l e . T h i s r a i s e s t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e o l i c y m a k e r s h o u l d e x p e c t h e r b e l i e f s a b o u t t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s t o c h a n g e b a s e d o n h e e x p e c t e d p a t h o f i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t . I t t u r n s o u t t h a t t h e p o i n t e s t i m a t e s o f h e i n t e r c e p t a n d s l o p e a r e m a r t i n g a l e s ; a n d t h e p o l i c y m a k e r w o u l d n o t e x p e c t t h a t t h e y i l l c h a n g e . T h i s p r o p e r t y o f t h e p o i n t e s t i m a t e s , w h i c h h a s i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s f o r h e i r a s y m p t o t i c b e h a v i o r , w i l l b e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n s e c t i o n 7 . T h e v a r i a n c e s a n d 1 7
c u c o m g T r h m i l w w 5 A m r f U (cid:27) b o v a r i a n c e s h o w e v e r , a r e d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n s o f t h e s u m o f s q u a r e d d e v i a t i o n s o f t h e n e m p l o y m e n t r a t e f r o m i t s s a m p l e m e a n , a n d t h e p o l i c y m a k e r w o u l d e x p e c t t h a t t h e y h a n g e a l o n g t h e e x p e c t e d p a t h f o r u n e m p l o y m e n t . T h i s i s r e (cid:13) e c t e d i n t h e b o t t o m r o w (cid:12) g u r e 3 f p a n e l s i n . A l l t h r e e e l e m e n t s o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x a r e e x p e c t e d t o d e c l i n e 2 3 o n o t o n i c a l l y d u r i n g t h e d i s i n (cid:13) a t i o n . T h e t e m p o r a r y i n c r e a s e i n t h e u n e m p l o y m e n t r a t e e n e r a t e s i n f o r m a t i o n a n d i s e x p e c t e d t o r a i s e t h e p r e c i s i o n o f t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s . h e m o r e a g g r e s s i v e t h e i n i t i a l i n c r e a s e i n i n t e r e s t r a t e s a n d u n e m p l o y m e n t , t h e m o r e a p i d w i l l b e t h e r e d u c t i o n i n u n c e r t a i n t y . W h i l e t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c y i m p l i e s a i g h e r c o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n t h a n t h e c a u t i o n a r y p o l i c y i n t h e c u r r e n t p e r i o d , i t a y w e l l l e a d t o a l o w e r v a r i a n c e o f i n (cid:13) a t i o n i n f u t u r e p e r i o d s d u e t o t h e r a p i d r e d u c t i o n n p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . A f o r w a r d - l o o k i n g p o l i c y m a k e r m a y w a n t t o t a k e t h i s d y n a m i c e a r n i n g e (cid:11) e c t i n t o a c c o u n t a n d a d j u s t p o l i c y i n a n o p t i m a l m a n n e r . I t r e m a i n s t o b e s e e n h e t h e r t h e r e c o m m e n d a t i o n f o r g r a d u a l i s t m o n e t a r y p o l i c y s u r v i v e s i n a d y n a m i c s e t t i n g i t h l e a r n i n g . T h e o p t i m a l b a l a n c e b e t w e e n c a u t i o n a n d e x p e r i m e n t a t i o n s n e w o b s e r v a t i o n s o n i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t b e c o m e a v a i l a b l e t h e p o l i c y m a k e r a y r e e s t i m a t e t h e r e g r e s s i o n a n d u p d a t e h e r e s t i m a t e s o f t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s . T h e a ; b ; e l e v a n t u p d a t i n g e q u a t i o n s f o r t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s ( (cid:6) ) c a n b e c a s t i n t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t tj (cid:0) 1 o r m o f t h e K a l m a n (cid:12) l t e r : a a 1 t t t t j j (cid:0) 1 (cid:0) 1 F (cid:25) (cid:25) a b u = + (cid:6) ( (cid:0) (cid:0) + ) t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 t t t t j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 b b u t t (cid:0) 1 t tj ! ! ! 1 (cid:0) 1 F u (cid:6) = (cid:6) (cid:0) (cid:6) 1 (cid:6) ( 2 5 ) t t t t t t t t t j j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 u t ! (cid:16) (cid:17) 1 2 F u (cid:27) w h e r e = 1 (cid:6) + t t tj (cid:0) 1 (cid:15) u t ! (cid:16) (cid:17) n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e e r r o r t e r m s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h k n o w n v a r i a n c e s 2 2 (cid:27) a n d , ( 2 5 ) i s e q u i v a l e n t t o B a y e s i a n u p d a t i n g o f t h e b i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n t h a t (cid:15) (cid:23) 2 3 I f t h e N A I R U is a s s u m e d t o b e t im e - v a r y in g , t h e n t h e v a r ia n c e o f t h e in t e r c e p t w o u ld b e e x p e c t e d t o 2 (cid:27) e r e n e w e d e v e r y p e r io d b y . (cid:17) 1 8
(cid:11) (cid:12) r e p r e s e n t s t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f a b o u t a n d . U n d e r t h e a s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t t n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e , t h e s e u p d a t i n g e q u a t i o n s a r e a l s o e q u i v a l e n t t o r e c u r s i v e l e a s t 2 4 s q u a r e s . T h e c u r r e n t c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e w i l l a (cid:11) e c t t h e p r e c i s i o n o f t h e p o i n t e s t i m a t e s a s w e l l a s t h e p o i n t e s t i m a t e s t h e m s e l v e s t h r o u g h i t s i m p a c t o n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n i n ( 2 5 ) . B y c h o o s i n g t h e i n t e r e s t r a t e a p p r o p r i a t e l y , t h e p o l i c y m a k e r c a n r a i s e t h e p r e c i s i o n o f p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d i m p r o v e f u t u r e p e r f o r m a n c e , a l b e i t a t t h e e x p e n s e o f h i g h e r c u r r e n t v a r i a b i l i t y o f i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t . T h e o p t i m a l p o l i c y i n t h i s m o d e l s o l v e s t h e f o l l o w i n g d y n a m i c o p t i m i z a t i o n p r o b l e m : 1 M i n t (cid:3) 2 (cid:3) 2 (cid:14) (cid:25) (cid:25) (cid:25) ; u ; a ; b ; E ! u u ( (cid:0) j ( (cid:6) ) ) + ( (cid:0) ) t t 0 0 0 0 0 t 1 r[ ] t " # t= 0 t= 0 (cid:16) (cid:17) X (cid:25) (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) s .t . = + (cid:0) + ( 2 6 ) t t t t t (cid:0) 1 u u (cid:30) (cid:13) r r = + ( (cid:0) ) t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 a n d s .t . ( 2 5 ) T h i s i s a d y n a m i c d i s c r e t e - t i m e s t o c h a s t i c c o n t r o l p r o b l e m , w h i c h c a n b e r e w r i t t e n a s a d y n a m i c p r o g r a m . A n o n s t a n d a r d f e a t u r e o f t h i s d y n a m i c p r o b l e m i s t h a t d e c i s i o n s a (cid:11) e c t t h e e x p e c t a t i o n s o p e r a t o r i t s e l f . H o w e v e r , o n e c a n s t i l l u s e a s t a n d a r d c o n t r a c t i o n m a p p i n g a r g u m e n t a s i n K i e f e r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) t o s h o w t h a t a u n i q u e v a l u e f u n c t i o n e x i s t s , w h i c h s o l v e s t h e d y n a m i c p r o g r a m a n d c o r r e s p o n d s t o t h e i n (cid:12) m u m o f t h e s u m o f e x p e c t e d c u r r e n t a n d d i s c o u n t e d f u t u r e l o s s e s i n ( 2 6 ) . T o s i m p l i f y n o t a t i o n , I w i l l u s e t h e (cid:18) v e c t o r t o d e n o t e t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a b o u t t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s a t t i m e t - 1 , t (cid:0) 1 (cid:18) a ; b ; V (cid:25) ; u ; (cid:18) = ( (cid:6) ) . T h e v a l u e f u n c t i o n i s t h e n d e n o t e d a s ( ) a n d t h e a s s o c i a t e d t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 B e l l m a n e q u a t i o n i s : 2 4 T h is d y n a m ic le a r n in g m o d e l e x t e n d s e a r lie r a n a ly s is o f o p t im a l le a r n in g b y W ie la n d ( 1 9 9 6 a ) a n d ( 1 9 9 6 b ) in a s im p le r e g r e s s io n fr a m e w o r k in t w o w a y s . I t a llo w s fo r a t im e - v a r y in g in t e r c e p t a n d , m o r e im p o r t a n t ly , it in c lu d e s a la g g e d d e p e n d e n t v a r ia b le , w h ic h r a is e s t h e n u m b e r o f s t a t e v a r ia b le s a n d in c r e a s e s c o m p u t a t io n a l c o m p le x it y . 1 9
F t c p t o f b f u u t f f I b M i n L (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) V (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) ( ) ( ) = t t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 r t (cid:14) V (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) f (cid:25) (cid:25) ; u ; (cid:18) d (cid:25) + ( ) ( j ) t t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z ( 2 7 ) M i n L (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) ( ) = t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 r t (cid:14) V (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:15) ; r ; (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) + ( ) t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 Z p (cid:11) ; (cid:12) (cid:25) ; (cid:18) q (cid:15) d (cid:11) d (cid:12) d (cid:15) ( j ) ( ) t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:25) ; u ; r ; (cid:18) i r s t f o c u s o n t h e u p p e r e q u a t i o n i n ( 2 7 ) a n d n o t e t h a t ( ) a r e s t a t e v a r i a b l e s . T h e w o t e r m s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n c h a r a c t e r i z e t h e t r a d e o (cid:11) b e t w e e n c u r r e n t L : o n t r o l a n d e s t i m a t i o n . ( ) i s t h e e x p e c t e d c u r r e n t l o s s , w h i l e t h e s e c o n d t e r m d e n o t e s n e x t (cid:14) e r i o d ’s e x p e c t e d l o s s a n d i s m u l t i p l i e d b y t h e d i s c o u n t f a c t o r . T h i s t e r m i n c o r p o r a t e s (cid:18) h e v a l u e o f i n f o r m a t i o n . N o t e t h a t , t h e v e c t o r o f b e l i e f s a t t i m e t , i s s t o c h a s t i c a n d c a n t n l y b e c a l c u l a t e d o n c e t i m e t u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n o b s e r v a t i o n s b e c o m e a v a i l a b l e . (cid:25) : ( j ) i s t h e c o r r e s p o n d i n g p r e d i c t i v e d i s t r i b u t i o n o f i n (cid:13) a t i o n . t I n t h e l o w e r e q u a t i o n i n ( 2 7 ) , t i m e t v a l u e s o f i n (cid:13) a t i o n , u n e m p l o y m e n t a n d b e l i e f s h a v e e e n s u b s t i t u t e d o u t u s i n g t h e r e s p e c t i v e t r a n s i t i o n e q u a t i o n s , i n c l u d i n g ( 2 5 ) . T h e y a r e u n c t i o n s o f t h e p r e v i o u s p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n r a t e , u n e m p l o y m e n t a n d b e l i e f s , a n d a l s o o f t h e (cid:15) n k n o w n p a r a m e t e r s a n d r a n d o m s h o c k . E x p e c t a t i o n s a r e t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e t p (cid:11) ; (cid:12) : n k n o w n p a r a m e t e r s a n d t h e r a n d o m s h o c k . ( j ) i s t h e b i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n t (cid:11) (cid:12) q (cid:15) h a t d e s c r i b e s t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a b o u t a n d . ( ) r e f e r s t o t h e n o r m a l d e n s i t y t u n c t i o n o f t h e p r i c e s h o c k s i n t h e P h i l l i p s c u r v e . A s s o c i a t e d w i t h t h i s f u n c t i o n a l e q u a t i o n i s a s t a t i o n a r y o p t i m a l p o l i c y . T h i s p o l i c y u n c t i o n m a p s t h e s t a t e v a r i a b l e s i n t o a v a l u e f o r t h e r e a l i n t e r e s t r a t e : 1 1 (cid:3) r r u H (cid:25) (cid:25) ; (cid:18) = (cid:0) + ( (cid:0) ) ( 2 8 ) t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:30) (cid:13) (cid:30) (cid:13) t i s t h e d y n a m i c a l l y o p t i m a l c o u n t e r p a r t o f t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t a n d c a u t i o n a r y f e e d a c k r u l e s ( 1 5 ) , ( 1 7 ) t h a t w e r e d e r i v e d a n a l y t i c a l l y i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . A s l o n g a s 2 0
t u l t l p s p t w o o n t v p w f 6 I n p a o c u h e a g g r e g a t e d e m a n d p a r a m e t e r s a r e c o n s i d e r e d k n o w n t o t h e d e c i s i o n m a k e r , t h e c u r r e n t n e m p l o y m e n t r a t e i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f t h e l a g o f u n e m p l o y m e n t a s w e l l a s t h e a g a n d t h e c u r r e n t v a l u e o f t h e i n t e r e s t r a t e . T h u s , d e t e r m i n i n g t h e o p t i m a l r e s p o n s e o f h e c u r r e n t i n t e r e s t r a t e t o t h e l a g g e d u n e m p l o y m e n t r a t e i s s t r a i g h t f o r w a r d . T h e d i (cid:14) c u l t y i e s i n d e t e r m i n i n g t h e o p t i m a l r e s p o n s e o f t h e i n t e r e s t r a t e t o l a g g e d i n (cid:13) a t i o n a n d t h e o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a s d e n o t e d b y t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n H ( .) . U n f o r t u n a t e l y a n a l y t i c a l o l u t i o n s f o r H ( .) a r e n o t a v a i l a b l e d u e t o t h e n o n l i n e a r n a t u r e o f t h e d y n a m i c d e c i s i o n r o b l e m . H o w e v e r , o n e c a n u s e n u m e r i c a l d y n a m i c p r o g r a m m i n g m e t h o d s t o a p p r o x i m a t e h e v a l u e f u n c t i o n a n d t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n ( 2 7 ) d e (cid:12) n e s a c o n t r a c t i o n m a p p i n g w i t h a u n i q u e (cid:12) x e d p o i n t , h i c h i s t h e v a l u e f u n c t i o n . S t a r t i n g f r o m a n i n i t i a l g u e s s o f t h e v a l u e f u n c t i o n , o n e c a n b t a i n s u c c e s s i v e l y b e t t e r a p p r o x i m a t i o n s b y r e p e a t e d l y s o l v i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 2 7 ) . A s i s w e l l k n o w n , t h i s i t e r a t i v e m e t h o d c a n b e i m p l e m e n t e d u m e r i c a l l y . I t s a p p l i c a t i o n i s h a m p e r e d b y t h e \ c u r s e o f d i m e n s i o n a l i t y " w h i c h i m p l i e s h a t t h e n u m b e r o f n e c e s s a r y c o m p u t a t i o n s i n c r e a s e s g e o m e t r i c a l l y w i t h t h e n u m b e r o f s t a t e a r i a b l e s . T h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m u s e d h e r e c o m b i n e s s u c h v a l u e f u n c t i o n i t e r a t i o n s w i t h o l i c y i t e r a t i o n s t o s p e e d u p c o n v e r g e n c e . N e v e r t h e l e s s , t h i s o p t i m a l l e a r n i n g p r o b l e m , 2 5 h i c h h a s a t l e a s t s i x s t a t e v a r i a b l e s , i s a t t h e b o r d e r l i n e o f w h a t i s c o m p u t a t i o n a l l y e a s i b l e e v e n w i t h v e r y p o w e r f u l w o r k s t a t i o n s . N u m e r i c a l R e s u l t s n t h e f o l l o w i n g I i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e . T w o q u e s t i o n s a r i s e a t u r a l l y : 2 5 N o t e t h a t t h e la g o f t h e u n e m p lo y m e n t r a t e , a n d t h e la g o f t h e in t e r e s t r a t e a r e n o t c r u c ia l fo r a p r o x im a t in g t h e o p t im a l d e c is io n r u le . S in c e t h e c o e (cid:14) c ie n t s o f t h e a g g r e g a t e d e m a n d e q u a t io n a r e t r e a t e d s k n o w n , t h e p o lic y m a k e r c a n a lw a y s a d ju s t t h e in t e r e s t r a t e s e t t in g b y t h e a p p r o p r ia t e a m o u n t fo r a n y b s e r v e d v a lu e o f t h e la g g e d u n e m p lo y m e n t r a t e a n d la g g e d in t e r e s t r a t e . E (cid:11) e c t iv e ly , o n e c a n t r e a t t h e u r r e n t u n e m p lo y m e n t r a t e a s t h e c o n t r o l v a r ia b le in t h is p r o b le m a n d d o e s n o t n e e d t o c o n s id e r t h e la g g e d n e m p lo y m e n t a n d in t e r e s t r a t e s in c o m p u t in g t h e o p t im a l p o lic y . 2 1
A m t e f a c a P u r m P ( c m t o t t t 1 . T o w h a t e x t e n t d o e s t h e o p t i m a l p o l i c y i n c o r p o r a t e e x p e r i m e n t a t i o n , o r i n o t h e r w o r d s , t o w h a t e x t e n t d o e s i t d i (cid:11) e r f r o m t h e c a u t i o n a r y p o l i c y r u l e ? 2 . D o e s t h e o p t i m a l p o l i c y e x h i b i t g r a d u a l i s m , o r i n o t h e r w o r d s , d o e s i t i m p l y a l e s s a c t i v i s t p o l i c y r e s p o n s e t h a n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t r u l e ? n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s c a n b e p r o v i d e d b a s e d o n n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s o f t h e H ( .) a p p i n g i n ( 2 8 ) . I h a v e o b t a i n e d s u c h a p p r o x i m a t i o n s u n d e r t h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s 2 (cid:27) h a t t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e i s c o n s t a n t , = 0 , a n d t h e p o l i c y m a k e r f o c u s e s (cid:17) ! x c l u s i v e l y o n s t a b i l i z i n g i n (cid:13) a t i o n , = 0 . I c o n s i d e r t w o d i (cid:11) e r e n t v a l u e s f o r t h e d i s c o u n t 2 (cid:14) : (cid:14) : (cid:27) : a c t o r , = 0 7 5 a n d = 0 9 5 , a n d s e t t h e v a r i a n c e o f p r i c e s h o c k s t o = 1 0 . (cid:15) T h e d y n a m i c p r o g r a m m i n g a l g o r i t h m p r o v i d e s n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e v a l u e n d p o l i c y f u n c t i o n s o v e r a w i d e r a n g e o f t h e s t a t e s p a c e . H o w e v e r , t o k e e p t h e n u m b e r o f h a r t s i n t h i s s e c t i o n m a n a g e a b l e I r e s t r i c t a t t e n t i o n t o a c o m p a r i s o n o f d i (cid:11) e r e n t p o l i c i e s t a f e w p o i n t s i n t h e s t a t e s p a c e . A s i n i t i a l e s t i m a t e s o f t h e i n t e r c e p t a n d s l o p e o f t h e a : b : h i l l i p s c u r v e I c o n s i d e r = 3 0 a n d = 0 5 . T h e i m p l i e d e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:12) g u r e 1 n e m p l o y m e n t r a t e i s 6 % . T h e s e v a l u e s c o r r e s p o n d t o t h e l i n e d r a w n i n a n d a r e 2 6 e a s o n a b l e v a l u e s g i v e n t h e d i (cid:11) e r e n t e s t i m a t e s i n t h e r e c e n t e m p i r i c a l l i t e r a t u r e . A s t o t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y , I w i l l (cid:12) r s t c o n s i d e r f o u r s c e n a r i o s w i t h v e r y l o w , l o w , o d e r a t e a n d h i g h u n c e r t a i n t y . T h e f o u r s e t s o f v a r i a n c e s w o u l d i m p l y t - s t a t i s t i c s i n t h e h i l l i p s c u r v e r e g r e s s i o n s o f a b o u t 2 .5 ( v e r y l o w u n c e r t a i n t y ) , 2 ( l o w u n c e r t a i n t y ) , 1 .8 7 5 m o d e r a t e u n c e r t a i n t y ) a n d 1 .5 ( h i g h u n c e r t a i n t y ) . I n a l l f o u r s c e n a r i o s , t h e r e s p e c t i v e o v a r i a n c e s a r e c h o s e n t o b e e q u a l t o t h e p r o d u c t o f t h e v a r i a n c e o f t h e s l o p e a n d t h e e s t i a t e d n a t u r a l r a t e a s i n ( 1 8 ) . A s e s t a b l i s h e d e a r l i e r , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s o f u n c e r t a i n t y , h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t d i s c u s s e d i n s e c t i o n 4 d o e s n o t c o m e i n t o p l a y . A l s o , t h e c o m p a r i s o n f t h e r e s p o n s e c o e (cid:14) c i e n t s i n ( 1 5 ) a n d ( 1 7 ) s h o w s t h a t u n d e r s u c h c o n d i t i o n s o f u n c e r t a i n t y h e c a u t i o n a r y p o l i c y r u l e i m p l i e s a m o r e m u t e d r e s p o n s e t o t h e o b s e r v e d i n (cid:13) a t i o n g a p t h a n h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t r u l e . 2 6 R e s u lt s fo r a lt e r n a t iv e v a lu e s o f t h e s lo p e a n d n a t u r a l r a t e c a n e a s ily b e p r o v id e d u p o n r e q u e s t . W h ile h e q u a lit a t iv e n a t u r e o f t h e s e r e s u lt s is t h e s a m e , t h e r e a r e o f c o u r s e q u a n t it a t iv e d i(cid:11) e r e n c e s . 2 2
w f t i t r e i c l t t c i e u i p i c i d t u a p F i g u r e 4 c o m p a r e s t h e p o l i c y r e s p o n s e t o t h e i n (cid:13) a t i o n g a p u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y i t h t h e c a u t i o n a r y a n d c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c i e s . T h e f o u r p a n e l s c o r r e s p o n d t o t h e o u r d i (cid:11) e r e n t d e g r e e s o f u n c e r t a i n t y . T h e h o r i z o n t a l a x i s i n e a c h p a n e l m e a s u r e s t h e s i z e o f h e o b s e r v e d i n (cid:13) a t i o n g a p . T h e v e r t i c a l a x i s m e a s u r e s t h e u n e m p l o y m e n t r a t e w h i c h o c c u r s n t h e c u r r e n t p e r i o d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e i n t e r e s t r a t e s e t b y t h e p o l i c y m a k e r i n r e s p o n s e o t h e o b s e r v e d i n (cid:13) a t i o n g a p . F o r i l l u s t r a t i v e p u r p o s e s , t h e s e p a n e l s f o c u s o n t h e p o l i c y e s p o n s e w h e n i n (cid:13) a t i o n i s a b o v e t a r g e t a n d s h o w u n e m p l o y m e n t r a t e s e q u a l o r a b o v e t h e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e o f 6 % . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n w h e n n (cid:13) a t i o n i s b e l o w t a r g e t i s s y m m e t r i c . I n e a c h p a n e l t h e s o l i d l i n e i s a s s o c i a t e d w i t h t h e e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c y , t h e d a s h e d l i n e w i t h t h e c a u t i o n a r y p o l i c y a n d t h e d a s h e d - d o t t e d i n e w i t h t h e o p t i m a l p o l i c y . I n c a s e o f t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t a n d c a u t i o n a r y p o l i c i e s h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n s h o w n i n t h e p a n e l s c o r r e s p o n d s t o h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n s ( 9 ) a n d ( 2 3 ) . T h e s l o p e o f t h e l i n e s i s g i v e n b y t h e r e s p e c t i v e o e (cid:14) c i e n t o n t h e i n (cid:13) a t i o n g a p i n ( 9 ) a n d ( 2 3 ) ,w h i c h i s a f u n c t i o n o f t h e r e a c t i o n c o e (cid:14) c i e n t s n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t a n d c a u t i o n a r y p o l i c y r u l e s . T h e s l o p e u n d e r t h e c e r t a i n t y q u i v a l e n t p o l i c y i s 2 i n a l l f o u r p a n e l s , s i n c e t h e p o l i c y r e a c t i o n c o e (cid:14) c i e n t i s n o t a (cid:11) e c t e d b y n c e r t a i n t y . T h e r e l a t i o n b e t w e e n u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n u n d e r t h e c a u t i o n a r y p o l i c y s n o t a s s t e e p b e c a u s e t h e r e a c t i o n c o e (cid:14) c i e n t f o r t h e c a u t i o n a r y r u l e i s s m a l l e r . T h e f o u r a n e l s i l l u s t r a t e t h a t t h e c a u t i o n a r y p o l i c y r e a c t s l e s s a n d l e s s a g g r e s s i v e l y a s u n c e r t a i n t y n c r e a s e s , o p e n i n g u p a n i n c r e a s i n g l y w i d e r w e d g e b e t w e e n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t a n d t h e a u t i o n a r y p o l i c i e s . T h e c a u t i o n a r y p o l i c y a t (cid:12) r s t o n l y r e s p o n d s p a r t i a l l y t o a n i n c r e a s e i n n (cid:13) a t i o n a n d r e s u l t s i n g r a d u a l i s t a p p r o a c h t o d i s i n (cid:13) a t i o n . F i g u r e 4 p r o v i d e s s e v e r a l n e w r e s u l t s c o n c e r n i n g t h e o p t i m a l p o l i c y r e s p o n s e ( d a s h e d o t t e d l i n e ) . F i r s t , a s o n e w o u l d e x p e c t , t h e o p t i m a l p o l i c y t u r n s o u t t o b e m o r e a g g r e s s i v e h a n t h e c a u t i o n a r y p o l i c y d u e t o t h e i n c e n t i v e f o r e x p e r i m e n t a t i o n . I n a l l f o u r p a n e l s , t h e n e m p l o y m e n t r a t e t h a t r e s u l t s f r o m t h e o p t i m a l p o l i c y r e s p o n s e t o a r i s e i n i n (cid:13) a t i o n l i e s b o v e t h e u n e m p l o y m e n t r a t e r e s u l t i n g f r o m t h e c a u t i o n a r y p o l i c y . T h e m o s t i n t e r e s t i n g (cid:12) g u r e 4 o i n t t o n o t i c e i n i s t h a t t h e o p t i m a l p o l i c y t y p i c a l l y l i e s i n s i d e t h e w e d g e m a d e u p 2 3
o i t a u i e t t t u t p t c e a t e i a m a s w b f t h e c a u t i o n a r y a n d c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c i e s . T o t h e e x t e n t t h a t t h e o p t i m a l p o l i c y m p l i e s a c t i v e e x p l o r a t i o n f o r t h e p u r p o s e o f g a t h e r i n g i n f o r m a t i o n , i t i s m o r e a g g r e s s i v e h a n t h e c a u t i o n a r y p o l i c y b u t t y p i c a l l y r e m a i n s l e s s a g g r e s s i v e t h a n t h e c e r t a i n t y - e q u i v l e n t p o l i c y . I n o t h e r w o r d s , t h e p o l i c y r e c o m m e n d a t i o n o f g r a d u a l i s m u n d e r p a r a m e t e r n c e r t a i n t y i s s t i l l a p p r o p r i a t e . H o w e v e r , t h e r e a r e e x c e p t i o n s a s c a n b e s e e n i n t h e l o w e r r i g h t p a n e l . W h e n u n c e r t a i n t y s h i g h a n d i n (cid:13) a t i o n r e l a t i v e l y c l o s e t o t a r g e t , t h e g a i n s f r o m e x p e r i m e n t a t i o n a r e l a r g e n o u g h t o j u s t i f y a m o r e a g g r e s s i v e i n c r e a s e i n u n e m p l o y m e n t t h a n w o u l d b e r e q u i r e d o k e e p t h e e x p e c t e d i n (cid:13) a t i o n r a t e o n t a r g e t . E v e n t h o u g h c u r r e n t i n (cid:13) a t i o n i s c l o s e t o a r g e t , t h e p o l i c y m a k e r r e a l i z e s t h a t s h o c k s a r e l i k e l y t o d r i v e t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e a w a y f r o m h e t a r g e t i n t h e f u t u r e a n d f u t u r e s t a b i l i z a t i o n p o l i c y w i l l b e m o r e e (cid:11) e c t i v e u n d e r r e d u c e d n c e r t a i n t y . N o t e t h a t t h i s r e l a t i o n s h i p i s s y m m e t r i c a n d t h a t w h e n i n (cid:13) a t i o n i s b e l o w t a r g e t h e o p t i m a l p o l i c y w i l l l o w e r t h e u n e m p l o y m e n t r a t e m o r e a g g r e s s i v e l y t h a n t h e c a u t i o n a r y o l i c y . F i n a l l y , i n a l l f o u r p a n e l s t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f e x p e r i m e n t a t i o n d e c l i n e s a s h e o b s e r v e d i n (cid:13) a t i o n g a p i n c r e a s e s . I f i n (cid:13) a t i o n i s s u b s t a n t i a l l y a b o v e t a r g e t t h e n e v e n t h e a u t i o n a r y p o l i c y w i l l r e s u l t i n a s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n u n e m p l o y m e n t . S u c h a n i n c r e a s e i s x p e c t e d t o g e n e r a t e q u i t e a b i t o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) n d t h e l o c a t i o n o f t h e n a t u r a l r a t e . C o n s e q u e n t l y , i n r e l a t i v e t e r m s t h e r e i s l e s s i n c e n t i v e o p e r t u r b u n e m p l o y m e n t f u r t h e r f o r t h e p u r p o s e o f i m p r o v i n g t h e q u a l i t y o f t h e p a r a m e t e r s t i m a t e s . C l e a r l y , t h e e x t e n t o f o p t i m a l e x p e r i m e n t a t i o n d e p e n d s o n h o w f o r w a r d - l o o k i n g t h e p o l - (cid:12) g u r e 4 (cid:14) : c y m a k e r i s . T h e r e s u l t s s h o w n i n a r e f o r a d i s c o u n t f a c t o r = 0 9 5 , w h i c h i m p l i e s F i g u r e 5 r e a s o n a b l e d i s c o u n t r a t e f o r a n a n n u a l m o d e l . p r o v i d e s a c o m p a r i s o n w i t h a : o r e s h o r t - t e r m o r i e n t e d p o l i c y m a k e r w i t h a d i s c o u n t f a c t o r o f 0 7 5 . T h e t w o t o p p a n e l s p p l y t o t h e l o w u n c e r t a i n t y s c e n a r i o a n d t h e t w o b o t t o m p a n e l s t o t h e h i g h u n c e r t a i n t y c e n a r i o . I n b o t h c a s e s t h e o p t i m a l p o l i c y i n c o r p o r a t e s a l e s s e r d e g r e e o f e x p e r i m e n t a t i o n i t h a s m a l l e r d i s c o u n t f a c t o r . T h e o p t i m a l p o l i c y r e m a i n s w e l l i n s i d e t h e w e d g e c r e a t e d y t h e c a u t i o n a r y a n d c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c i e s . 2 4
h e p t i e k n s w n n w b h t a w t s 6 h l c H t A s n o t e d a b o v e , t h e r e c o m m e n d a t i o n o f g r a d u a l i s m f a i l s t o a p p l y w h e n u n c e r t a i n t y i s i g h a n d i n (cid:13) a t i o n i s c l o s e t o t a r g e t . U n d e r e x t r e m e u n c e r t a i n t y t h e o p t i m a l p o l i c y m a y (cid:12) g u r e 6 v e n e x h i b i t a d i s c o n t i n u i t y a t a n i n (cid:13) a t i o n g a p o f z e r o a s s h o w n i n . I n t h i s c a s e , o l i c y a l l o w s u n e m p l o y m e n t t o f a l l b e l o w ( o r r i s e a b o v e ) t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e , e v e n h o u g h c u r r e n t i n (cid:13) a t i o n i s c l o s e t o t a r g e t , s o l e l y f o r t h e p u r p o s e o f r e d u c i n g u n c e r t a i n t y a n d m p r o v i n g p o l i c y p e r f o r m a n c e i n t h e f u t u r e . T h e p o l i c y m a k e r k n o w s t h a t i n a s t o c h a s t i c c o n o m y t h e r e w i l l b e a n e e d f o r s t a b i l i z a t i o n p o l i c y i n t h e f u t u r e a n d d e s i r e s m o r e p r e c i s e n o w l e d g e a b o u t t h e n a t u r e o f t h e i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) a n d t h e l o c a t i o n o f t h e a t u r a l r a t e . S o f a r I h a v e f o c u s s e d o n c o m p a r i n g t h e d i (cid:11) e r e n t p o l i c i e s i n s t a t e s w h e r e t h e c o v a r i a n c e a t i s (cid:12) e s ( 1 8 ) a n d d o e s n o t d i r e c t l y a (cid:11) e c t t h e o p t i m a l p o l i c y . A s s h o w n e a r l i e r , i n a w o r l d i t h a c o n s t a n t n a t u r a l r a t e , t h i s s t a t e i s e q u i v a l e n t t o a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e e s t i m a t e d a t u r a l r a t e i s e q u a l t o t h e s a m p l e m e a n o f t h e u n e m p l o y m e n t r a t e . O f c o u r s e , t h i s d o e s o t n e e d t o b e t h e c a s e i n p r a c t i c e . I n f a c t a n o b s e r v e d u p - d r i f t ( d e c l i n e ) i n i n (cid:13) a t i o n m a y e l l h a v e b e e n t h e r e s u l t o f a p e r i o d d u r i n g w h i c h u n e m p l o y m e n t r e m a i n e d p e r s i s t e n t l y e l o w ( a b o v e ) t h e n a t u r a l r a t e . T h i s m e a n s t h e s a m p l e m e a n o f u n e m p l o y m e n t w o u l d a v e b e e n b e l o w ( a b o v e ) t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e . T h e c a u t i o n a r y p o l i c y d e r i v e d i n h e s t a t i c a n a l y s i s i n s e c t i o n 3 r e s p o n d s t o t h i s s i t u a t i o n b y k e e p i n g u n e m p l o y m e n t o n (cid:12) g u r e 7 v e r a g e s o m e w h a t l o w e r ( h i g h e r ) t h a n i t o t h e r w i s e w o u l d . T h i s i s a p p a r e n t i n , h i c h s h o w s t w o s c e n a r i o s w i t h l o w a n d v e r y l o w u n c e r t a i n t y u n d e r a l t e r n a t i v e v a l u e s o f h e c o v a r i a n c e . T h e l o w e r c o v a r i a n c e s i n t h e t w o r i g h t - h a n d s i d e p a n e l s i m p l y t h a t t h e a m p l e m e a n o f u n e m p l o y m e n t i s 1 .5 p e r c e n t a g e p o i n t s b e l o w t h e e s t i m a t e d n a t u r a l r a t e o f % . T h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t i s c l e a r l y a p p a r e n t i n t h e c a u t i o n a r y p o l i c y ( d a s h e d l i n e ) w h i c h a s s h i f t e d d o w n w a r d s c o m p a r e d t o t h e l e f t - h a n d s i d e p a n e l s . T h e o p t i m a l p o l i c y a g a i n i e s w e l l i n b e t w e e n t h e c a u t i o n a r y a n d c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c i e s . W h e n i n (cid:13) a t i o n i s l o s e t o t a r g e t t h e c o v a r i a n c e e (cid:11) e c t a l m o s t c o m p l e t e l y d i s a p p e a r s u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y . o w e v e r , w h e n i n (cid:13) a t i o n i s f u r t h e r a w a y f r o m t a r g e t , t h e o p t i m a l p o l i c y i s a g a i n c l o s e r t o h e c a u t i o n a r y p o l i c y . 2 5
7 A v t a d ( v l t p U l o p r w e u t t w b m C o n v e r g e n c e o f B e l i e f s a n d P o l i c i e s r e m a i n i n g q u e s t i o n i s w h e t h e r t h e p o l i c y m a k e r w i l l e v e n t u a l l y l e a r n t h e t r u e p a r a m e t e r a l u e s a s m o r e a n d m o r e d a t a b e c o m e s a v a i l a b l e . T h i s q u e s t i o n h a s b e e n t h e f o c u s o f a h e o r e t i c a l l i t e r a t u r e o n o p t i m a l l e a r n i n g i n a c o n t r o l l e d r e g r e s s i o n f r a m e w o r k ( e g . E a s l e y n d K i e f e r ( 1 9 8 8 ) a n d K i e f e r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) ) . T h e l e a r n i n g p r o b l e m c o n s i d e r e d h e r e i (cid:11) e r s f r o m t h e r e g r e s s i o n f r a m e w o r k s t u d i e d i n t h a t l i t e r a t u r e i n t w o i m p o r t a n t w a y s : i ) t h e i n t e r c e p t m a y b e t i m e - v a r y i n g , a n d ( i i ) t h e r e g r e s s i o n i n c l u d e s a l a g g e d d e p e n d e n t a r i a b l e . I n a f r a m e w o r k w h e r e t h e n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e i s t i m e - v a r y i n g , t h e n e e d f o r e a r n i n g a n d a d j u s t i n g p o l i c y i n r e s p o n s e t o c h a n g e s i n p a r a m e t e r e s t i m a t e s p e r s i s t s t h r o u g h i m e . A p o l i c y m a k e r w h o c o n s i d e r s t h a t t h e N A I R U m a y c h a n g e , w i l l a l w a y s a t t a c h a o s i t i v e v a r i a n c e t o h e r b e l i e f s a b o u t t h e u n k n o w n i n t e r c e p t a n d a d j u s t p o l i c y a c c o r d i n g l y . n c e r t a i n t y a b o u t t h e i n t e r c e p t i s r e n e w e d i n e v e r y p e r i o d a n d t h e p o l i c y m a k e r w i l l n e v e r e a r n t h e t r u e n a t u r a l r a t e b e c a u s e i t w i l l k e e p c h a n g i n g . I n t h e c a s e o f a c o n s t a n t n a t u r a l r a t e , o n e c a n b r i n g s o m e o f t h e c o n v e r g e n c e r e s u l t s b t a i n e d b y K i e f e r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) ( K N ) t o b e a r o n t h i s p r o b l e m . I n t h i s c a s e , t h e a r a m e t e r s o f t h e a c c e l e r a t i o n i s t P h i l l i p s c u r v e c a n b e e s t i m a t e d b y m e a n s o f a s i m p l e e g r e s s i o n (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) (cid:1) = (cid:0) + ( 2 9 ) t t t i t h t h e c h a n g e r a t h e r t h a n t h e l e v e l o f i n (cid:13) a t i o n a s d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e p a r a m e t e r s t i m a t e s a n d c o v a r i a n c e a r e u p d a t e d a c c o r d i n g t o ( 2 5 ) , w h i c h c o r r e s p o n d s t o B a y e s i a n p d a t i n g o f b i v a r i a t e n o r m a l b e l i e f s . K N p r o v i d e a g e n e r a l c o n v e r g e n c e r e s u l t t h a t a p p l i e s o t h i s c l a s s o f r e g r e s s i o n e q u a t i o n s . T h e y s h o w t h a t u n d e r g e n e r a l a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n g h e f o r m o f b e l i e f s a n d t h e s h o c k p r o c e s s , t h e p r o c e s s o f p o s t e r i o r b e l i e f s a l w a y s c o n v e r g e s i t h p r o b a b i l i t y 1 ( T h e o r e m 4 .1 ., p . 5 7 7 ) . H o w e v e r , t h e l i m i t i n g b e l i e f m a y o r m a y n o t e c e n t e r e d o n t h e t r u e v a l u e s . T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m r e l i e s o n a n a p p l i c a t i o n o f t h e a r t i n g a l e c o n v e r g e n c e t h e o r e m . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c o n (cid:12) r m t h a t t h e p o i n t e s t i m a t e s 2 6
a E p d u b r t c n l v c w i ( l t p n a e c t h b u b a n d i n ( 2 5 ) f o l l o w a m a r t i n g a l e r e l a t i v e t o t h e d e c i s i o n m a k e r ’s i n f o r m a t i o n . S i n c e t t 2 7 (cid:25) a b u E a a E b b [(cid:1) (cid:0) + ] = 0 , i t f o l l o w s t h a t [ ] = a n d [ ] = . T h i s t t t t t t t t t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 (cid:0) 1 r o p e r t y o f t h e p o i n t e s t i m a t e s w a s p r e v i o u s l y a l l u d e d t o i n t h e d i s c u s s i o n o f t h e e x p e c t e d i s i n (cid:13) a t i o n s h o w n i n (cid:12) g u r e 3 . T h e p o l i c y m a k e r d o e s n o t e x p e c t h e r e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l n e m p l o y m e n t r a t e o r t h e s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e t o c h a n g e d u r i n g t h e d i s i n (cid:13) a t i o n . W h e t h e r t h e p r o c e s s o f p o s t e r i o r b e l i e f s c o n v e r g e s t o t h e t r u t h o r n o t , d e p e n d s o n t h e u e h a v i o r o f t h e s e r i e s o f u n e m p l o y m e n t r a t e s . K N p r o v i d e t w o r e s u l t s t h a t h o l d f o r s i m p l e t u e g r e s s i o n s . F i r s t , i f d o e s n o t c o n v e r g e , t h e n t h e p r o c e s s o f p o s t e r i o r b e l i e f s c o n v e r g e s t u o t h e p o i n t m a s s o n t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e s ( T h e o r e m 4 .2 ., p . 5 7 7 ) . S e c o n d , i f d o e s t o n v e r g e t o a l i m i t v a l u e , t h e n t h e p o s t e r i o r b e l i e f s m a y c o n v e r g e t o a l i m i t b e l i e f t h a t d o e s o t c o i n c i d e w i t h t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e s . T h i s i n t r o d u c e s t h e p o s s i b i l i t y o f i n c o m p l e t e e a r n i n g . A t a m i n i m u m h o w e v e r t h e d e c i s i o n m a k e r l e a r n s t h e m e a n o f t h e d e p e n d e n t u a r i a b l e t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e l i m i t i n g v a l u e o f ( T h e o r e m 4 .3 ., p . 5 7 8 ) . K N t h e n t h a r a c t e r i z e t h e s e t o f p o s s i b l e ( i n c l u d i n g i n c o r r e c t ) l i m i t b e l i e f s a n d p o l i c i e s . H o w e v e r , i t h o u t s o l v i n g f o r t h e o p t i m a l p o l i c y , K N c a n n o t d e t e r m i n e t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h n c o m p l e t e l e a r n i n g m a y o c c u r . T h i s q u e s t i o n h a s b e e n a d d r e s s e d i n W i e l a n d ( 1 9 9 6 a ) a n d 2 8 1 9 9 6 b ) . W i t h a c o n s t a n t n a t u r a l r a t e t h e m o d e l c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r g e n e r a t e s c o m p l e t e e a r n i n g o f t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s u n d e r a l l o f t h e t h r e e p o l i c y f e e d b a c k r u l e s . B e c a u s e h e c e n t e r p i e c e o f t h e m o d e l | t h e a c c e l e r a t i o n i s t P h i l l i p s c u r v e | c o n t a i n s a u n i t r o o t , a n y o l i c y t h a t a t t e m p t s t o p e r m a n e n t l y l o w e r ( r a i s e ) t h e u n e m p l o y m e n t r a t e b e l o w ( a b o v e ) t h e a t u r a l r a t e , w o u l d i m p l y t h a t t h e r a t e o f i n (cid:13) a t i o n g o e s t o w a r d s + ( - ) i n (cid:12) n i t y . F u r t h e r m o r e , p o l i c y t h a t s t a b i l i z e s u n e m p l o y m e n t e x a c t l y a t i t s n a t u r a l r a t e , w o u l d r e n d e r t h e i n (cid:13) a t i o n 2 7 (cid:0) 1 (cid:0) 1 u u ; r r T h is is t r u e b e c a u s e t is a d e t e r m in is t ic fu n c t io n o f t t a n d t h e p o lic y in s t r u m e n t t a n d is (cid:11) e c t iv e ly p a r t o f t h e p o lic y m a k e r ’s in fo r m a t io n s e t a t t - 1 . 2 8 W ie la n d ( 1 9 9 6 a ) u s in g n u m e r ic a l m e t h o d s h a s c h a r a c t e r iz e d t h e v a lu e fu n c t io n a n d o p t im a l p o lic y fo r o n t r o llin g a s im p le r e g r e s s io n w it h t w o u n k n o w n p a r a m e t e r s a s in K N . O p t im a l e x p e r im e n t a t io n w a s fo u n d o b e m o s t p r o n o u n c e d in t h e n e ig h b o r h o o d o f p o t e n t ia lly s e lf- r e in fo r c in g in c o r r e c t b e lie fs . W ie la n d ( 1 9 9 6 b ) a s s h o w n t h a t a m y o p ic , p a s s iv e - le a r n in g p o lic y in a m o d e l w it h u n k n o w n m o n e y d e m a n d m a y fr e q u e n t ly e u n in fo r m a t iv e a n d in d u c e a lo n g - la s t in g b ia s in t h e s e t t in g o f t h e p o lic y in s t r u m e n t t h a t w o u ld n o t e m e r g e n d e r t h e o p t im a l p o lic y . 2 7
p a t c ( t o t t B e n u a m t i e s w z r o c e s s a r a n d o m w a l k . I n (cid:13) a t i o n o n l y r e m a i n s u n d e r c o n t r o l i f t h e p o l i c y m a k e r p u r s u e s n a c t i v e s t a b i l i z a t i o n p o l i c y t h a t r e s p o n d s t o p a s t v a l u e s o f t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e . U s i n g h i s p r o p e r t y o f t h e m o d e l , o n e c a n a p p e a l t o t h e o r e m s 4 .1 . a n d 4 .2 . i n K N t o p r o v e t h a t o m p l e t e l e a r n i n g w i l l o c c u r . F i r s t , t h e o r e m 4 .1 . i m p l i e s t h a t t h e p r o c e s s o f p o s t e r i o r b e l i e f s a ; b ; (cid:11) (cid:12) (cid:6) ) a b o u t t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s a n d i n ( 2 9 ) c o n v e r g e s w i t h p r o b a b i l i t y o n e t t t a ; b ; t o a l i m i t b e l i e f ( (cid:6) ) a s ! 1 . F o r a n y g i v e n b e l i e f , t h e u n e m p l o y m e n t t h a t 1 1 1 b t a i n s u n d e r t h e c a u t i o n a r y p o l i c y , i s a f u n c t i o n o f t h e m e a n s , t h e v a r i a n c e o f t h e s l o p e , h e c o v a r i a n c e , a n d t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n r a t e . F o r e x a m p l e , i n a n y t i m e p e r i o d a ; b ; t h e u n e m p l o y m e n t r a t e a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n b e l i e f ( (cid:6) ) w o u l d b e : 1 1 1 1 a a b b v v ( ) (cid:0) b a 1 1 1 1 1 b (cid:3) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) (cid:25) u + ( + + (cid:0) ) + ( 3 0 ) = t t t (cid:0) 1 (cid:0) 1 b b 2 2 b b v b v + ( + ) 1 1 1 1 1 e c a u s e p o l i c y r e s p o n d s t o t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s i n (cid:13) a t i o n r a t e , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e (cid:15) (cid:11) e c t i v e l y i s a f u n c t i o n o f t h e p r e c e d i n g p e r i o d ’s p r i c e s h o c k . I n e a c h t i m e p e r i o d , a t(cid:0) 1 (cid:15) e w s h o c k i s r e a l i z e d . T h u s , e v e n i f t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s w e r e t o r e m a i n c o n s t a n t , t h e u n e m p l o y m e n t r a t e w o u l d k e e p c h a n g i n g o v e r t i m e . C o n s e q u e n t l y , d o e s n o t c o n v e r g e ; t n d , a c c o r d i n g t o t h e o r e m 4 .2 i n K N , t h e p r o c e s s o f p o s t e r i o r b e l i e f s c o n v e r g e s t o t h e p o i n t a b a b a ; b ; v ; v ; v (cid:11) ; (cid:12) ; ; ; a s s o n t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e s , ( ) ! ( 0 0 0 ) w i t h p r o b a b i l i t y 1 a s t t t t t ! 1 . T o b u i l d f u r t h e r i n t u i t i o n c o n c e r n i n g t h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f b e l i e f s a n d p o l i c i e s t i s u s e f u l t o c o n s i d e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o s t e r i o r b e l i e f s a n d t h e s e q u e n c e o f u n m p l o y m e n t r a t e s m o r e d i r e c t l y . T h e e l e m e n t s o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x a r e r e l a t e d t o t h e t u e q u e n c e f g a s f o l l o w s : i i= 0 2 (cid:27) (cid:15) b v = t t 2 u u ( (cid:0) (cid:22) ) i t i= 0 a b b P v u v = (cid:22) ( 3 1 ) t t t 2 (cid:27) (cid:15) a b 2 v u v = + (cid:22) t t t t u h e r e (cid:22) i s t h e s a m p l e a v e r a g e . C l e a r l y , w h e t h e r t h e c o v a r i a n c e m a t r i x c o n v e r g e s t o t h e t t e r o m a t r i x a s ! 1 , w i l l d e p e n d o n t h e b e h a v i o r o f t h e s u m o f s q u a r e d d e v i a t i o n s o f 2 8
u i v p A f g l a t 8 T w a s I g B a t i s c g t t t 2 u u ( (cid:0) (cid:22) ) . T h i s i s a n o n - d e c r e a s i n g s e r i e s a n d a s t n e m p l o y m e n t f r o m i t s s a m p l e m e a n i t i= 0 P K n c r e a s e s i t m a y e i t h e r g o t o w a r d s i n (cid:12) n i t y o r t o w a r d s a p o s i t i v e n u m b e r . I f u n e m p l o y m e n t t 2 u u t ( (cid:0) (cid:22) ) ! 1 a s ! 1 , t h e n (cid:6) ! 0 . T h e n a l s o t h e a r i e s s u (cid:14) c i e n t l y s o t h a t i t t i= 0 P a ; b (cid:11) ; (cid:12) o i n t e s t i m a t e s ( ) ! ( ) a s a c o n s e q u e n c e o f t h e m a r t i n g a l e c o n v e r g e n c e t h e o r e m . t t u l t e r n a t i v e l y , i f t h e s e q u e n c e o f u n e m p l o y m e n t r a t e s w e r e t o s e t t l e d o w n t o a (cid:12) x e d v a l u e t t 2 u u K u ( (cid:0) (cid:22) ) ! , t h e n t h e d e v i a t i o n b e t w e e n a n d i t s s a m p l e m e a n w o u l d a i r l y s o o n , i t t i= 0 P o t o w a r d s z e r o a n d u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s w o u l d r e m a i n e v e n i n t h e i m i t . A s a r g u e d a b o v e , t h i s c a s e w i l l n o t a r i s e h e r e , b e c a u s e u n d e r t h e h y p o t h e s i s o f a n c c e l e r a t i o n i s t P h i l l i p s c u r v e , c o n t r o l l i n g i n (cid:13) a t i o n r e q u i r e s a n a c t i v e s t a b i l i z a t i o n p o l i c y a n d h u s c o n t i n u i n g v a r i a t i o n s i n u n e m p l o y m e n t . C o n c l u s i o n h e p r e c e d i n g a n a l y s i s p r o v i d e s s e v e r a l n e w r e s u l t s c o n c e r n i n g o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y h e n t h e r e i s u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m e t e r s o f t h e P h i l l i p s c u r v e . I c o n s i d e r b o t h , s t a t i c a n d a d y n a m i c v e r s i o n s o f a s i m p l e m a c r o e c o n o m i c m o d e l , w h i c h i n c o r p o r a t e s a h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) a n d a t i m e - v a r y i n g n a t u r a l u n e m p l o y m e n t r a t e . n t h e s t a t i c m o d e l , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i n d u c e s a c a u t i o n a r y p o l i c y s t a n c e t h a t r e s p o n d s r a d u a l l y t o i n (cid:13) a t i o n d e v i a t i o n s d u e t o t h e u n c e r t a i n t y a b o u t t h e s l o p e o f t h e P h i l l i p s c u r v e . e c a u s e o f t h e l i n e a r - q u a d r a t i c n a t u r e o f t h e b a s e l i n e m o d e l , c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e a p p l i e s ; n d a d d i t i v e u n c e r t a i n t y | s u c h a s a b o u t t h e i n t e r c e p t o f t h e P h i l l i p s c u r v e a n d i m p l i c i t l y h e n a t u r a l r a t e | d o e s n o t a (cid:11) e c t t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e . H o w e v e r , t h e c o v a r i a n c e o f t h e n t e r c e p t a n d s l o p e e s t i m a t e ( a n d i m p l i c i t l y t h e c o v a r i a n c e o f t h e n a t u r a l r a t e a n d t h e l o p e e s t i m a t e ) h a s a n i m p o r t a n t e (cid:11) e c t o n t h e o p t i m a l p o l i c y i n t h e s t a t i c m o d e l . T h i s o v a r i a n c e e (cid:11) e c t a l s o i m p l i e s a f o r m o f g r a d u a l i s m , b e c a u s e i t r e c o m m e n d s a p o l i c y t h a t r a d u a l l y m o v e s o u t o f d i s i n (cid:13) a t i o n a r y ( o r r e i n (cid:13) a t i o n a r y ) e p i s o d e s e v e n a t t h e e x p e n s e o f 2 9 e m p o r a r i l y u n d e r - s h o o t i n g ( o r o v e r - s h o o t i n g ) t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t . 2 9 A n o t e o f c a u t io n is in o r d e r w h e n it c o m e s t o t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n c a u t io n a n d g r a d u a lis m . I n h e fr a m e w o r k w it h p a r a m e t e r u n c e r t a in t y c o n s id e r e d h e r e , c a u t io n le a d s t o g r a d u a lis m b e c a u s e it r e d u c e s 2 9
b f a i d o c a w c t u e e c t a i r t a p ( a p ( u c I n t h e d y n a m i c m o d e l w i t h l e a r n i n g , t h e p o l i c y m a k e r r e c o g n i z e s t h a t t h e r e i s a t r a d e o (cid:11) e t w e e n c u r r e n t c o n t r o l a n d e x p l o r a t i o n f o r t h e s a k e o f r e d u c i n g u n c e r t a i n t y a n d i m p r o v i n g u t u r e s t a b i l i z a t i o n p o l i c y . S h e t h e n n e e d s t o s t r i k e t h e o p t i m a l b a l a n c e b e t w e e n c a u t i o n n d e x p e r i m e n t a t i o n . T h e o p t i m a l p o l i c y i s f o u n d t o i n c o r p o r a t e a q u a n t i t a t i v e l y s i g n i f c a n t d e g r e e o f e x p e r i m e n t a t i o n , b u t t y p i c a l l y r e m a i n s l e s s a g g r e s s i v e t h a n a p o l i c y t h a t i s r e g a r d s u n c e r t a i n t y . T h u s , u n d e r a m o d e r a t e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y t h e r e c o m m e n d a t i o n f g r a d u a l i s t p o l i c y m a k i n g s u r v i v e s i n t h e d y n a m i c m o d e l w i t h l e a r n i n g . O n l y w h e n u n e r t a i n t y i s v e r y h i g h a n d i n (cid:13) a t i o n r e l a t i v e l y c l o s e t o t a r g e t , d o e s o p t i m a l l e a r n i n g r e q u i r e p o l i c y t h a t r e s p o n d s m o r e a g g r e s s i v e l y t o i n (cid:13) a t i o n t h a n t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t p o l i c y h i c h d i s r e g a r d s p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y . I n t h i s s i t u a t i o n o p t i m a l p o l i c y s i g n i (cid:12) c a n t l y i n r e a s e s c u r r e n t v a r i a b i l i t y i n b o t h , u n e m p l o y m e n t a n d i n (cid:13) a t i o n . O f c o u r s e , a n y n o r m a t i v e c o n c l u s i o n s t h a t m a y b e d r a w n f r o m t h e s e r e s u l t s d e p e n d o n h e m a i n t a i n e d h y p o t h e s i s t h a t a s h o r t - r u n i n (cid:13) a t i o n - u n e m p l o y m e n t t r a d e o (cid:11) a n d a n a t u r a l n e m p l o y m e n t r a t e e x i s t . H o w e v e r t h e s e r e s u l t s a r e a l s o u s e f u l i n a p o s i t i v e s e n s e f o r x p l a i n i n g t h e g r a d u a l i s t p o l i c y c o n d u c t e d b y p o l i c y m a k e r s w h o b e l i e v e t h a t s u c h a t r a d e o (cid:11) x i s t s b u t a r e u n c e r t a i n a b o u t t h e r e l e v a n t p a r a m e t e r v a l u e s . I n t e r m s o f f u t u r e r e s e a r c h i t w o u l d b e h e l p f u l t o a l l o w f o r n o n l i n e a r i t i e s i n t h e P h i l l i p s u r v e , f o r a n o n - q u a d r a t i c l o s s f u n c t i o n , a n d f o r i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e p o l i c y m a k e r ’s a n d h e p u b l i c ’s l e a r n i n g p r o c e s s e s . F i r s t , w h e n t h e P h i l l i p s c u r v e i s n o n l i n e a r , t h e n u n c e r t a i n t y 3 0 b o u t t h e n a t u r a l r a t e h a s (cid:12) r s t - o r d e r e (cid:11) e c t s . F o r e x a m p l e , i f t h e s h o r t - r u n P h i l l i p s c u r v e s c o n v e x , t h e n i n c r e a s e d v a r i a b i l i t y o f t h e u n e m p l o y m e n t g a p w i l l i m p l y a h i g h e r a v e r a g e a t e o f u n e m p l o y m e n t . T h e a s s o c i a t e d o p t i m a l p o l i c y w i l l l i k e l y b e a s y m m e t r i c . S i m i l a r l y , h e c o n t r ib u t io n o f p a r a m e t e r u n c e r t a in t y t o t h e c o n d it io n a l v a r ia n c e o f in (cid:13) a t io n . C a u t io n h o w e v e r m a y ls o m e a n g u a r d in g a g a in s t w o r s t - c a s e a lt e r n a t iv e s , w h ic h m a y r e q u ir e a g g r e s s iv e r a t h e r t h a n g r a d u a lis t o lic y m a k in g . A n e a r lie r d is c u s s io n o f s u c h c a s e s is b y v o n z u r M u e h le n ( 1 9 8 2 ) . M o r e r e c e n t ly , S a r g e n t 1 9 9 8 b ) , u s in g a r o b u s t c o n t r o l fr a m e w o r k w it h K n ig h t ia n u n c e r t a in t y , s h o w s h o w c a u t io n c a n le a d t o m o r e g g r e s s iv e p o lic y w h e n t h is c a u t io n is e x e r c is e d r e la t iv e t o a w o r s t - c a s e s e r ia l- c o r r e la t io n p a t t e r n o f t h e s h o c k r o c e s s . 3 0 C la r k , L a x t o n a n d R o s e ( 1 9 9 6 ) a n d D e b e lle a n d L a x t o n ( 1 9 9 6 ) p r o v id e s o m e e v id e n c e fo r c o n v e x it y . B e a n 1 9 9 6 ) s t u d ie s t h e (cid:12) r s t - o r d e r im p lic a t io n s o f u n c e r t a in t y fo r t h e c a s e o f s u c h a c o n v e x s h o r t - r u n in (cid:13) a t io n n e m p lo y m e n t r e la t io n s h ip . E is n e r ( 1 9 9 6 ) a n d S t ig lit z ( 1 9 9 6 ) a r g u e t h a t t h is r e la t io n s h ip m a y b e lo c a lly o n c a v e . 3 0
w a l a i (cid:11) e a d t h e c r n d r n t i n e s o n - q u t h e o g p r o s q u e a d r a t i p t i m a l c e s s e s s t i o n s c p r e f e p o l i c y t o d e p o f c r e d r e i e r n b n c e s , u l e . d o n i l i t y , h F d t i i g i n i (cid:11) m h a e e e r - o l l y , r e n t c o n r d e r a l l o w i n f o s i s t e 3 m i n r m n c 1 o m g a t y a e n t t h e i o n n d s w s e l e w a t a i l l g e s w r n i m s o n e u g a t t t l d b t e y e r m r s t t o ’ a a k h e t h n d e i t p o e p o t h e p o s l i c y m l i c y m p o l i s i b l e a k e a c y t o r . k m e j r a o k i a e n n d r ’s t l y
R A A A A B B B B B B B B B B C C C C e f e r e n c e s k e r l o f , G ., D i c k e n s , W ., a n d G . P e r r y ( 1 9 9 6 ) , \ T h e M a c r o e c o n o m i c s o f L o w I n (cid:13) a t i o n " , B r o o k i n g s P a p e r s o n E c o n o m i c A c t i v i t y , 2 7 :1 . g h i o n , P ., P . B o l t o n , C . H a r r i s , a n d B . J u l l i e n ( 1 9 9 1 ) , \ O p t i m a l L e a r n i n g b y E x p e r i m e n - R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s t a t i o n ," , V o l . 5 8 , p p . 6 2 1 - 6 5 4 . I n - m m a n , H . a n d D . K e n d r i c k ( 1 9 9 5 ) , \ N o n c o n v e x i t i e s i n S t o c h a s t i c C o n t r o l M o d e l s ," t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , V o l . 3 6 , 2 , p p . 4 5 5 - 4 7 5 . n d e r s o n , T ., a n d J .B . T a y l o r ( 1 9 7 6 ) , \ S o m e E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o n t h e S t a t i s t i c a l P r o p - E c o n o m e t r i c a e r t i e s o f L e a s t S q u a r e s E s t i m a t e s i n C o n t r o l P r o b l e m s " , V o l . 4 4 ( .) 1 2 8 9 - 1 3 0 2 . a l l , L . ( 1 9 9 7 ) , \ D i s i n (cid:13) a t i o n a n d t h e N A I R U " , i n R o m e r , C h r i s t i n a a n d D a v i d R o m e r , e d s ., R e d u c i n g I n (cid:13) a t i o n : M o t i v a t i o n a n d S t r a t e g y . 1 9 9 7 . a l v e r s , R . a n d T . C o s i m a n o ( 1 9 9 4 ) , \ I n (cid:13) a t i o n V a r i a b i l i t y a n d G r a d u a l i s t M o n e t a r y P o l - R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s i c y ," , V o l . 6 1 , p p . 7 2 1 - 7 3 8 . e a n , C . ( 1 9 9 6 ) , \ T h e C o n v e x P h i l l i p s C u r v e a n d M a c r o e c o n o m i c P o l i c y m a k i n g u n d e r U n c e r t a i n t y ," M a n u s c r i p t , L o n d o n S c h o o l o f E c o n o m i c s . e r t o c c i , G . a n d M . S p a g a t ( 1 9 9 3 ) , \ L e a r n i n g , E x p e r i m e n t a t i o n a n d M o n e t a r y P o l i c y " , J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s , V o l . 3 2 , N o .1 , A u g u s t , p p . 1 6 9 - 1 7 8 . l a n c h a r d , O . a n d L . K a t z ( 1 9 9 7 ) , \ W h a t W e K n o w a n d D o N o t K n o w A b o u t t h e N a t u r a l J o u r n a l o f E c o n o m i c P e r s p e c t i v e s R a t e o f U n e m p l o y m e n t " , , 1 1 ( 1 ) , 5 1 - 7 2 . l i n d e r , A . ( 1 9 9 5 ) , \ C e n t r a l B a n k i n g i n T h e o r y a n d P r a c t i c e , L e c t u r e I : T a r g e t s , I n s t r u m e n t s , a n d S t a b i l i z a t i o n " , M a r s h a l l L e c t u r e p r e s e n t e d a t t h e U n i v e r s i t y o f C a m b r i d g e . l i n d e r , A . ( 1 9 9 8 ) , \ C e n t r a l B a n k i n g i n T h e o r y a n d P r a c t i c e " , M I T P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 8 . A m e r i c a n E c o n o m i c r a i n a r d , W . ( 1 9 6 7 ) , \ U n c e r t a i n t y a n d t h e E (cid:11) e c t i v e n e s s o f P o l i c y " , R e v i e w ,5 7 , 1 9 6 7 , p p . 4 1 1 - 2 5 . r a y t o n ,F .,L e v i n A ., T r y o n R . a n d J .C . W i l l i a m s , ( 1 9 9 6 ) , T h e E v o l u t i o n o f M a c r o M o d e l s a t t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , p r e s e n t e d a t t h e C a r n e g i e - R o c h e s t e r C o n f e r e n c e , N o v e m b e r 1 9 9 6 . u i t e r , W . a n d M . M i l l e r ( 1 9 8 5 ) , \ C o s t s a n d B e n e (cid:12) t s o f a n A n t i - I n (cid:13) a t i o n a r y P o l i c y : I n (cid:13) a t i o n a n d U n e m p lo y m e n t : Q u e s t i o n s a n d I s s u e s ," i n V . A r g y a n d J . N e v i l l e , e d s ., T h e o r y , E x p e r i e n c e , a n d P o li c y - M a k i n g . A m e r i c a n E c o - a p l i n , A . a n d J . L e a h y ( 1 9 9 6 ) ,\ M o n e t a r y P o l i c y a s a P r o c e s s o f S e a r c h ," n o m i c R e v i e w , 8 6 ( 4 ) , 6 8 9 - 7 0 2 . a p l i n , A . a n d J . L e a h y ( 1 9 9 3 ) ,\ S e c t o r a l S h o c k s , L e a r n i n g , a n d A g g r e g a t e F l u c t u a t i o n s ," R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s , 6 0 , 7 7 7 - 7 9 4 . h u n g ,H . ( 1 9 9 0 ) , D i d P o l i c y M a k e r s R e a l l y B e l i e v e i n t h e P h i l l i p s C u r v e ? : A n E c o n o m e t r i c T e s t , u n p u b l i s h e d P h .D . d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a . l a r i d a , R ., G a l i , J . a n d M . G e r t l e r ( 1 9 9 7 ) , \ T h e S c i e n c e o f M o n e t a r y P o l i c y " , M a n u s c r i p t , N e w Y o r k U n i v e r s i t y , S e p t e m b e r . 3 2
C C C C D E E E F F G G G G H H H l a r i d a , R ., G a l i , J . a n d M . G e r t l e r ( 1 9 9 8 ) , \ M o n e t a r y P o l i c y R u l e s a n d M a c r o e c o n o m i c S t a b i l i t y : E v i d e n c e a n d S o m e T h e o r y " , N B E R W o r k i n g P a p e r , N o . 6 4 4 2 , M a r c h . l a r k , P ., G o o d h a r t , C . a n d H . H u a n g ( 1 9 9 6 ) , \ O p t i m a l M o n e t a r y P o l i c y R u l e s i n a R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s M o d e l o f t h e P h i l l i p s C u r v e " , D i s c u s s i o n P a p e r N o . 2 4 7 , L S E F i n a n c i a l M a r k e t s G r o u p . l a r k , P ., L a x t o n , D . a n d D . R o s e ( 1 9 9 6 ) , \ A s y m m e t r y i n t h e U .S . O u t p u t - I n (cid:13) a t i o n I M F S t a (cid:11) P a p e r s N e x u s " , , V o l . 4 3 , p p . 2 1 6 - 5 1 . J o u r n a l o f E c o n o m i c r a i n e , R o g e r ( 1 9 7 9 ) , \ O p t i m a l M o n e t a r y P o l i c y w i t h U n c e r t a i n t y " , D y n a m i c s C o n t r o l, V o l . 1 , p p . 5 9 - 8 3 . e b e l l e , G . a n d D . L a x t o n , ( 1 9 9 6 ) , \ I s t h e P h i l l i p s C u r v e R e a l l y a C u r v e ? S o m e E v i d e n c e f o r C a n a d a , t h e U n i t e d K i n g d o m , a n d t h e U n i t e d S t a t e s " ,I M F W o r k i n g P a p e r , W P / 9 6 / 1 1 1 . a s l e y , D . a n d N .M . K i e f e r ( 1 9 8 8 ) , \ C o n t r o l l i n g a S t o c h a s t i c P r o c e s s w i t h U n k n o w n P a - E c o n o m e t r i c a r a m e t e r s " , 5 6 , 1 0 4 5 - 1 0 6 4 . i s n e r , R ., ( 1 9 9 5 ) ,\ A N e w V i e w o f t h e N A I R U " , M a n u s c r i p t , N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y , J u l y 1 9 9 6 . s t r e l l a , A ., a n d F . M i s h k i n ( 1 9 9 8 ) ,\ T h e R o l e o f N A I R U i n M o n e t a r y P o l i c y : I m p l i c a t i o n s o f U n c e r t a i n t y a n d M o d e l S e l e c t i o n " , M a n u s c r i p t , F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f N e w Y o r k , R e s e a r c h D e p a r t m e n t . N e w E n g la n d E c o n o m i c R e - u h r e r , J ., ( 1 9 9 5 ) , \ T h e P h i l l i p s C u r v e i s A l i v e a n d W e l l ," v i e w ,( M a r c h / A p r i l ) ,p p . 4 1 - 5 6 . u h r e r , J . a n d G . M o o r e ( 1 9 9 5 ) ," M o n e t a r y P o l i c y T r a d e - o (cid:11) s a n d t h e C o r r e l a t i o n B e t w e e n A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w N o m i n a l I n t e r e s t R a t e s a n d R e a l O u t p u t " , , 8 5 : 2 1 9 - 2 3 9 . o r d o n , R ., ( 1 9 9 6 ) , \ T h e T i m e - V a r y i n g N A I R U a n d i t s I m p l i c a t i o n s f o r E c o n o m i c P o l i c y " , N B E R W o r k i n g P a p e r , N o . 5 7 3 5 , A u g u s t 1 9 9 6 . B r o o k i n g s P a p e r s o n o r d o n , R ., ( 1 9 7 7 ) , \ C a n t h e I n (cid:13) a t i o n o f t h e 1 9 7 0 s B e E x p l a i n e d ? " , E c o n o m i c A c t i v i t y , 8 :1 , p p 2 5 3 - 7 7 . o r d o n , R ., ( 1 9 8 2 ) , \ I n (cid:13) a t i o n , F l e x i b l e E x c h a n g e R a t e s , a n d t h e N a t u r a l R a t e o f U n - W o r k e s , J o b s a n d I n (cid:13) a t i o n e m p l o y m e n t " ,i n B a i l y , M .N . e d ., W a s h i n g t o n : B r o o k i n g s I n s t i t u t i o n , 1 9 8 2 , p p 8 8 - 1 5 2 . E c o n o m e t r i c A n a ly s i s r e e n e , W . ( 1 9 9 3 ) , , 2 n d e d i t i o n , M a c m i l l a n . e n d e r s o n , D . a n d W .J . M c K i b b i n , ( 1 9 9 3 ) , \ A c o m p a r i s o n o f s o m e b a s i c m o n e t a r y p o l i c y r e g i m e s f o r o p e n e c o n o m i e s : i m p l i c a t i o n s o f d i (cid:11) e r e n t d e g r e e s o f i n s t r u m e n t a d j u s t m e n t C a r n e g i e - R o c h e s t e r C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y a n d w a g e p e r s i s t e n c e " , 3 9 , p p . 2 2 1 - 3 1 8 . e n d e r s o n , D . a n d S . T u r n o v s k y , ( 1 9 7 2 ) , \ O p t i m a l M a c r o e c o n o m i c P o l i c y A d j u s t m e n t u n - J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y d e r c o n d i t i o n s o f r i s k " ,4 , p p . 5 8 - 7 2 . o r v a t h , B . ( 1 9 9 1 ) , \ A r e P o l i c y V a r i a b l e s E x o g e n o u s ? T h e E c o n o m e t r i c I m p l i c a t i o n s o f L e a r n i n g w h i l e M a x i m i z i n g ," L e c t u r e N o t e s i n E c o n o m i c s a n d M a t h e m a t i c a l S y s t e m s , V o l . 3 6 4 , S p r i n g e r V e r l a g . 3 3
K K K K K K M M O P P R S S S S S S a s a , K . ( 1 9 9 6 ) , W i l l t h e F e d E v e r L e a r n ? , M a n u s c r i p t , F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f S a n F r a n c i s c o , R e s e a r c h D e p a r t m e n t . i n g , R . a n d M . W a t s o n ( 1 9 9 4 ) , \ T h e p o s t - w a r U .S . P h i l l i p s c u r v e : a r e v i s i o n i s t e c o n o m e t r i c h i s t o r y ," C a r n e g i e - R o c h e s t e r C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b l i c P o l i c y ,4 1 , 1 5 7 - 2 1 9 . a l c h b r e n n e r , J . a n d P . T i n s l e y ( 1 9 7 7 ) , O n F i l t e r i n g A u x i l i a r y I n f o r m a t i o n i n S h o r t r u n M o n e t a r y P o l i c y , i n ’O p t i m a l P o l i c i e s , C o n t r o l T h e o r y a n d T e c h n o l o g y E x p o r t s ’, C a r n e g i e - R o c h e s t e r C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b l i c P o l i c y , V o l . 7 , 1 9 7 7 . e n d r i c k , D . ( 1 9 8 1 ) , S t o c h a s t i c C o n t r o l F o r E c o n o m i c M o d e l s , E c o n o m i c H a n d b o o k S e r i e s , M c G r a w H i l l , N e w Y o r k . J o u r n a l o f E c o - e n d r i c k , D . ( 1 9 8 2 ) , \ C a u t i o n a n d P r o b i n g i n a M a c r o e c o n o m i c M o d e l ," n o m i c D y n a m i c s a n d C o n t r o l, 1 5 : 2 , p p . 1 4 9 - 1 7 0 i e f e r , N ., a n d Y . N y a r k o ( 1 9 8 9 ) , \ O p t i m a l C o n t r o l o f a n U n k n o w n L i n e a r P r o c e s s w i t h I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w L e a r n i n g ," , 3 0 , p p . 5 7 1 - 5 8 6 . c C a l l u m , B . , \ I s s u e s i n t h e D e s i g n o f M o n e t a r y P o l i c y R u l e s ," N B E R W o r k i n g P a p e r N o 6 0 1 6 , A p r i l . i z r a c h , B . ( 1 9 9 1 ) , N o n - C o n v e x i t i e s i n a S t o c h a s t i c C o n t r o l P r o b l e m w i t h L e a r n i n g , J o u r n a l o f E c o n o m i c D y n a m i c s a n d C o n t r o l , V o l . 1 5 , p p . 5 1 5 - 5 3 8 . r p h a n i d e s , A ., D . S m a l l , V . W i e l a n d a n d D . W i l c o x ( 1 9 9 7 ) , \ A Q u a n t i t a t i v e E x p l o r a t i o n o f T h e O p p o r t u n i s t i c A p p r o a c h t o D i s i n (cid:13) a t i o n ," F i n a n c e a n d E c o n o m i c D i s c u s s i o n S e r i e s , 9 7 - 3 6 , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , M a y 1 9 9 7 . h e l p s , E .S , a n d G . Z o e g a ( 1 9 9 7 ) , \ T h e R i s e a n d F a l l i n g T r e n d o f t h e N a t u r a l R a t e ," A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , 8 7 ( 2 ) , 2 8 3 - 2 8 9 . E c o n o m e t - r e s c o t t , E ., ( 1 9 7 2 ) , \ T h e M u l t i - P e r i o d C o n t r o l P r o b l e m u n d e r U n c e r t a i n t y " , r i c a , V o l .4 0 , N o .6 , N o v e m b e r 1 9 7 2 . o t e m b e r g , J . a n d M . W o o d f o r d ( 1 9 9 7 ) , \ A n O p t i m i z a t i o n - B a s e d E c o n o m e t r i c F r a m e w o r k f o r t h e E v a l u a t i o n o f M o n e t a r y P o l i c y ," N B E R M a c r o e c o n o m i c s A n n u a l 1 9 9 7 . a c k , B . ( 1 9 9 7 ) , \ U n c e r t a i n t y a n d G r a d u a l M o n e t a r y P o l i c y ," , M a n u s c r i p t , D i v i s i o n o f M o n e t a r y A (cid:11) a i r s , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . a r g e n t , T . ( 1 9 9 8 a ) , \ T h e C o n q u e s t o f A m e r i c a n I n (cid:13) a t i o n ," M a n u s c r i p t , H o o v e r I n s t i t u t i o n , F e b r u a r y 1 9 9 8 . a r g e n t , T . ( 1 9 9 8 b ) , \ D i s c u s s i o n o f ‘P o l i c y R u l e s f o r O p e n E c o n o m i e s ’ b y L a u r e n c e B a l l " , f o r t h c o m i n g i n , T a y l o r , J . ( e d .) , \ M o n e t a r y P o l i c y R u l e s " , N a t i o n a l B u r e a u o f E c o n o m i c R e s e a r c h . R e v i s t a d e A n a li s i s i m s , C . A ., ( 1 9 8 8 ) , \ P r o j e c t i n g P o l i c y E (cid:11) e c t s w i t h S t a t i s t i c a l M o d e l s " , E c o n o m i c o , 3 , 3 - 2 0 . t a i g e r , D ., J . S t o c k , a n d M . W a t s o n , ( 1 9 9 7 a ) , \ H o w P r e c i s e a r e E s t i m a t e s o f t h e N a t u - R e d u c i n g r a l R a t e o f U n e m p l o y m e n t ? ," i n R o m e r , C h r i s t i n a a n d D a v i d R o m e r , e d s ., I n (cid:13) a t i o n : M o t i v a t i o n a n d S t r a t e g y . 1 9 9 7 . t a i g e r , D ., J . S t o c k , a n d M . W a t s o n , ( 1 9 9 7 b ) , \ T h e N A I R U , U n e m p l o y m e n t a n d M o n e t a r y J o u r n a l o f E c o n o m i c P e r s p e c t i v e s P o l i c y ," , 1 1 ( 1 ) , 3 3 - 4 9 . 3 4
S S S T T v W W W W t v v a a o J o u r n a l o f E c o n o m i c i g l i t z , J . ( 1 9 9 7 ) , \ R e (cid:13) e c t i o n s o n t h e N a t u r a l R a t e H y p o t h e s i s ," P e r s p e c t i v e s , 1 1 ( 1 ) , 3 3 - 4 9 . e n s s o n , L . ( 1 9 9 7 a ) ,\ I n (cid:13) a t i o n F o r e c a s t T a r g e t i n g : I m p l e m e n t i n g a n d M o n i t o r i n g I n (cid:13) a t i o n E u r o p e a n E c o n o m i c R e v i e w T a r g e t s ," 4 1 ( 6 ) , 1 1 1 1 - 1 1 4 6 . e n s s o n , L . ( 1 9 9 7 b ) ,\ I n (cid:13) a t i o n T a r g e t i n g : S o m e E x t e n s i o n s ," N B E R W o r k i n g P a p e r N o . 5 9 6 2 , M a r c h . y l o r , J .B ., ( 1 9 7 4 ) , \ A s y m p t o t i c P r o p e r t i e s o f M u l t i - p e r i o d C o n t r o l R u l e s i n t h e L i n e a r I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w R e g r e s s i o n M o d e l " , , 1 5 , p p . 4 7 2 - 4 8 4 . C a r n e g i e - R o c h e s t e r y l o r , J o h n . B ., ( 1 9 9 3 ) , \ D i s c r e t i o n v e r s u s P o l i c y R u l e s i n P r a c t i c e " , C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y ,3 9 , p p . 1 9 5 - 2 1 4 . n z u r M u e h l e n , P ., ( 1 9 8 2 ) , \ A c t i v i s t v s . N o n - A c t i v i s t M o n e t a r y P o l i c y :O p t i m a l P o l i c y R u l e s u n d e r E x t r e m e U n c e r t a i n t y , M a n u s c r i p t , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h i n g t o n , D C , A p r i l 1 9 8 2 . i e l a n d , V . ( 1 9 9 6 a ) , \ L e a r n i n g b y D o i n g a n d t h e V a l u e o f O p t i m a l E x p e r i m e n t a t i o n , F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s ," 9 6 - 5 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h i n g t o n , D C . i e l a n d , V . ( 1 9 9 6 b ) , \ M o n e t a r y P o l i c y , P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y a n d O p t i m a l L e a r n i n g ," M a n u s c r i p t , D i v i s i o n o f M o n e t a r y A (cid:11) a i r s , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , A u g u s t 1 9 9 6 . i e l a n d , V . ( 1 9 9 5 ) , \ O p t i m a l C o n t r o l w i t h U n k n o w n P a r a m e t e r s : A S t u d y o f O p t i m a l L e a r n i n g S t r a t e g i e s w i t h a n A p p l i c a t i o n t o M o n e t a r y P o l i c y ," P h .D . D i s s e r t a t i o n , J u l y 1 9 9 5 . i l l i a m s , J .C . ( 1 9 9 7 ) , \ S i m p l e R u l e s f o r M o n e t a r y P o l i c y " , M a n u s c r i p t , D i v i s i o n o f R e s e a r c h a n d S t a t i s t i c s , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . 3 5
A p t w w a p o t o p W w c d S a e T p r s v t T T t T b t p p e n d i x : T h e N u m e r i c a l D y n a m i c P r o g r a m m i n g A l g o r i t h m T h e a l g o r i t h m u s e d i n t h i s p a p e r c o m p u t e s t h e v a l u e f u n c t i o n a n d s t a t i o n a r y o p t i m a l o l i c y b y i t e r a t i n g o v e r t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n o f t h i s d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m . I t a k e s a d v a n t a g e o f t h e c o n t r a c t i o n m a p p i n g d e (cid:12) n e d b y t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n a l o p e r a t o r T M i n 0 0 0 0 L (cid:25) ; u ; (cid:18) (cid:14) W (cid:25) ; u ; (cid:18) f (cid:25) (cid:25) ; u ; (cid:18) d (cid:25) T W ( 3 2 ) ( ) + ( ) ( j ) = u (cid:21) (cid:20) Z (cid:25) (cid:18) h e r e a n d a r e l a s t p e r i o d ’s v a l u e s o f t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e a n d t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s , u h i c h a r e t h e s t a t e v a r i a b l e s o f t h i s D P p r o b l e m , i s t h e c u r r e n t u n e m p l o y m e n t r a t e 0 (cid:25) n d e (cid:11) e c t i v e l y t h e c o n t r o l v a r i a b l e . i s t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e t o b e r e a l i z e d s u b s e q u e n t t h e 0 (cid:18) o l i c y a c t i o n a n d r e f e r s t o t h e p o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a n d t h e e n d o f t h e p e r i o d b a s e d n t h e n e w i n (cid:13) a t i o n a n d u n e m p l o y m e n t o b s e r v a t i o n s . T h e r e l e v a n t u p d a t i n g e q u a t i o n s f o r 0 f (cid:25) (cid:25) ; u ; (cid:18) h e s e s t a t e v a r i a b l e s a r e s h o w n i n ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) . ( j ) i s t h e p r e d i c t i v e d i s t r i b u t i o n f t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e a n d i s a n o r m a l d i s t r i b u t i o n , b e c a u s e b o t h t h e e r r o r t e r m s a n d t h e L : o l i c y m a k e r ’s b e l i e f s a r e n o r m a l d i s t r i b u t i o n s . ( ) d e n o t e s t h e e x p e c t e d c u r r e n t l o s s w h i l e : ( ) r e f e r s t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e (cid:12) n e d o n t h e s t a t e s p a c e . T W S u c c e s s i v e a p p l i c a t i o n o f t h e o p e r a t o r w i l l g e n e r a t e a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s t h a t n V T i l l c o n v e r g e t o t h e v a l u e f u n c t i o n , i f i s a c o n t r a c t i o n m a p p i n g . N o t e t h a t t h e s p a c e o f o n t i n u o u s b o u n d e d f u n c t i o n s i s a c o m p l e t e a n d s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e i n t h e s u p m e t r i c e (cid:12) n e d : S u p (cid:26) W ; W W (cid:18) ; (cid:25) W (cid:18) ; (cid:25) ( ) = j ( ) (cid:0) ( ) j ( 3 3 ) n n n n + 1 + 1 (cid:18) ; (cid:25) ( ) t a n d a r d a r g u m e n t s c a n b e u s e d t o s h o w t h a t B l a c k w e l l ’s s u (cid:14) c i e n c y c o n d i t i o n s a r e s a t i s (cid:12) e d n d T i s a c o n t r a c t i o n m a p p i n g i n t h e s p a c e o f c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d f u n c t i o n s ( s e e f o r x a m p l e K i e f e r a n d N y a r k o ( 1 9 8 9 ) ) s u c h t h a t : (cid:26) T W ; T W (cid:14) (cid:26) W ; W ( ) (cid:20) ( ) ( 3 4 ) n n n n + 1 + 1 T V h u s , h a s a u n i q u e (cid:12) x e d p o i n t , w h i c h i s t h e v a l u e f u n c t i o n a n d a s t a t i o n a r y o p t i m a l H (cid:25) ; (cid:18) o l i c y ( ) e x i s t s . T h i s o p t i m a l p o l i c y c o r r e s p o n d s t o t h e s e t o f u ’s w h i c h m i n i m i z e t h e (cid:25) ; (cid:18) i g h t - h a n d s i d e o f ( 3 2 ) b a s e d o n t h e c u r r e n t s t a t e ( ) . V c a n b e c o m p u t e d b y v a l u e i t e r a t i o n , m e a n i n g s u c c e s s i v e a p p l i c a t i o n o f t h e o p e r a t o r T , T W V W i n c e ! u n i f o r m l y f o r a n y c o n t i n u o u s b o u n d e d f u n c t i o n . A c o n v e n i e n t s t a r t i n g n W L : W T W a l u e i s t h e s i n g l e p e r i o d l o s s f u n c t i o n ( ) o r a l t e r n a t i v e l y a c o n s t a n t . I f = , n n 0 + 1 i 1 + (cid:26) W ; W W ; W (cid:26) W ; W (cid:14) (cid:26) W ; W h e n ( ) (cid:20) ( ) a n d a f t e r i t e r a t i n g ( ) (cid:20) ( ) . n n n n n i n i n n + 1 (cid:0) 1 + 1 + + (cid:0) 1 V W h i s i m p l i e s a n u p p e r b o u n d o n t h e e r r o r i n a p p r o x i m a t i n g b y : n (cid:14) n n i n i n n + 1 + + (cid:0) 1 (cid:26) V ; W (cid:26) W ; W (cid:26) W ; W ( ) (cid:20) ( ) (cid:20) ( ) ( 3 5 ) (cid:14) 1 (cid:0) X h i s u p p e r b o u n d c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d s i n c e i t o n l y d e p e n d s o n t h e d i s c o u n t f a c t o r a n d h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e a p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d f r o m t h e l a s t a n d t h e p r e c e d i n g i t e r a t i o n . h e t i m e n e e d e d f o r c o n v e r g e n c e w i t h i n a m a x i m a l e r r o r b o u n d c a n b e r e d u c e d s i g n i (cid:12) c a n t l y y i n t r o d u c i n g p o l i c y i t e r a t i o n s i n b e t w e e n e v e r y v a l u e i t e r a t i o n . A p o l i c y i t e r a t i o n i m p l i e s h e a p p l i c a t i o n o f t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r : P 0 0 0 0 T W L (cid:25) ; H (cid:25) ; (cid:18) ; (cid:18) (cid:14) W (cid:25) ; H (cid:25) ; (cid:18) ; (cid:18) f (cid:25) (cid:25) ; H (cid:25) ; (cid:18) ; (cid:18) d (cid:25) = ( ( ) ) + ( ( ) ) ( j ( ) ) ( 3 6 ) n n n n Z 3 6
w v W W c t a G g s d e a p e T i d C i e o v o i n u a 2 0 2 s o H (cid:25) ; (cid:18) h e r e ( ) i s t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p o l i c y f u n c t i o n o b t a i n e d f r o m t h e p r e c e d i n g n n a l u e i t e r a t i o n . T h e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m t h e n p r o c e e d s a s f o l l o w s : (cid:12) r s t , c o m p u t e s t a r t i n g v a l u e s (cid:25) ; (cid:18) f o r a g r i d o f p o i n t s i n t h e s t a t e s p a c e ( ) a n d s a v e t h e m i n a t a b l e ; s e c o n d l y , c a l c u l a t e 0 T W b y a p p l y i n g t h e o p e r a t o r t o a n d u p d a t e s a i d t a b l e . T h i s s e c o n d s t e p r e q u i r e s 1 0 u (cid:25) ; (cid:18) a l c u l a t i n g t h e m i n i m u m i n f o r e a c h o f t h e g r i d v a l u e s o f t h e s t a t e v a r i a b l e s ( ) . F o r h i s p u r p o s e n e x t p e r i o d ’s e x p e c t e d v a l u e i s c a l c u l a t e d b y e v a l u a t i n g t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l : 0 0 0 0 W (cid:25) ; u ; (cid:18) f (cid:25) (cid:25) ; u ; (cid:18) d (cid:25) ( ) ( j ) ( 3 7 ) 0 Z 0 0 W : (cid:25) (cid:18) T h e f u n c t i o n s ) a n d t h e u p d a t i n g e q u a t i o n s t o o b t a i n a n d a r e k n o w n f u n c t i o n s ( 0 (cid:25) n d t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y o f i s n o r m a l . T h u s t h e i n t e g r a l c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g W W : a u s s i a n q u a d r a t u r e a n d v a l u e s o f f r o m t h e t a b l e , w h e r e ( ) i s e v a l u a t e d i n b e t w e e n 0 r i d p o i n t s b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n . G i v e n a n a p p r o x i m a t i o n f o r t h i s i n t e g r a l t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m o n t h e r i g h t - h a n d i d e o f t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n c a n b e s o l v e d b y s t a n d a r d n u m e r i c a l o p t i m i z a t i o n p r o c e u r e s . H o w e v e r t h e s e a r c h f o r t h e m i n i m u m t u r n s o u t t o b e d i (cid:14) c u l t b e c a u s e t h e r e m a y x i s t m u l t i p l e l o c a l m i n i m a . A s a c o n s e q u e n c e t h e r e m a y b e k i n k s i n t h e v a l u e f u n c t i o n n d d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e o p t i m a l p o l i c y . T h e r e f o r e I u s e a s l o w b u t s e c u r e o p t i m i z a t i o n r o c e d u r e s u c h a s g o l d e n s e c t i o n s e a r c h s u p p l e m e n t e d b y a r o u g h i n i t i a l g r i d s e a r c h . F o r (cid:18) ; (cid:25) u W a c h v a l u e o f ( ) , t h e m i n i m u m i n g i v e s t h e v a l u e o f ( ) u s e d t o u p d a t e t h e t a b l e . 1 W (cid:18) ; (cid:25) W (cid:18) ; (cid:25) h e m a x i m u m o f j ( ) (cid:0) ( ) j i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e u p p e r b o u n d o f t h e a p p r o x - 1 0 W m a t i o n e r r o r . F i n a l l y , t h e w h o l e p r o c e d u r e i s r e p e a t e d t o o b t a i n a n d s o o n u n t i l t h e 2 < : i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t w o s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s i s s u (cid:14) c i e n t l y s m a l l ( 0 5 % ) . o m p u t a t i o n C o s t s T h e n u m e r i c a l d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m s d e a l t w i t h i n t h i s p a p e r r e q u i r e a n m m e n s e c o m p u t a t i o n a l e (cid:11) o r t l a r g e l y b e c a u s e o f t h e s o - c a l l e d c u r s e o f d i m e n s i o n a l i t y . S i n c e N a c h o f t h e s i x s t a t e v a r i a b l e s i s a p p r o x i m a t e d b a s e d o n g r i d p o i n t s , t h e i n t e g r a t i o n a n d 6 N p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e s d e s c r i b e d a b o v e h a v e t o b e c a r r i e d o u t t i m e s t o c o m p l e t e o n e a l u e i t e r a t i o n . T h e o p t i m i z a t i o n s t e p i s e s p e c i a l l y t i m e - c o n s u m i n g b e c a u s e o f t h e e x i s t e n c e f m u l t i p l e l o c a l o p t i m a . T w o s t e p s h a v e b e e n t a k e n t o r e d u c e c o m p u t a t i o n t i m e : ( i ) t h e i n t r o d u c t i o n o f p o l i c y t e r a t i o n s , w h i c h r e d u c e t h e n u m b e r o f v a l u e i t e r a t i o n s n e e d e d f o r c o n v e r g e n c e , a n d t h u s t h e u m b e r o f t i m e s t h a t t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e h a s t o b e e x e c u t e d ; ( i i ) a s s h o w n b e l o w , I s e a t r i c k t o r e d u c e t h e n u m b e r o f s t a t e v a r i a b l e s b y o n e , w h i c h m e a n s t h a t t h e i n t e g r a t i o n 5 N n d o p t i m i z a t i o n s t e p s o n l y h a v e t o b e c a r r i e d o u t t i m e s p e r v a l u e i t e r a t i o n . T h e p o l i c y f u n c t i o n s p r e s e n t e d i n t h e p a p e r h a v e b e e n a p p r o x i m a t e d f o r a g r i d o f 1 0 t o 0 g r i d p o i n t s f o r e a c h o f t h e (cid:12) v e r e m a i n i n g s t a t e v a r i a b l e s . C o n v e r g e n c e a s d e (cid:12) n e d b y a .5 % m a x i m a l d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e t w o (cid:12) n a l a p p r o x i m a t i o n s w a s a c h i e v e d a f t e r a l m o s t d a y s o n a S P A R C 2 0 ( m u l t i - p r o c e s s o r ) w o r k s t a t i o n . D e p e n d i n g o n t h e d i s c o u n t f a c t o r u c h a n a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e d b e t w e e n 5 a n d 8 v a l u e i t e r a t i o n s a n d a d e c l i n i n g n u m b e r f p o l i c y i t e r a t i o n s ( 5 0 o r l e s s ) i n b e t w e e n e v e r y v a l u e i t e r a t i o n . 3 7
T a r f t P k P p p T a r a n s f o r m i n g t h e D P P r o b l e m t o R e d u c e t h e N u m b e r o f S t a t e V a r i a b l e s A n y s i m p l i (cid:12) c a t i o n w h i c h m a k e s i t p o s s i b l e t o r e d u c e t h e n u m b e r o f r e l e v a n t s t a t e v a r i b l e s s u b s t a n t i a l l y r e d u c e s t h e c o m p u t a t i o n t i m e r e q u i r e d f o r c o n v e r g e n c e o f t h e D P a l g o i t h m . A s s h o w n h e r e , o n e c a n i g n o r e o n e s t a t e v a r i a b l e w h e n d e a l i n g w i t h a s i m p l e l o s s a b a b (cid:3) 2 (cid:25) (cid:25) V (cid:25) ; a ; b ; v ; v ; v u n c t i o n s u c h a s ( (cid:0) ) . I n t h i s c a s e t h e v a l u e f u n c t i o n ( ) i s g i v e n b y h e s u p r e m u m o f 1 i (cid:3) 2 (cid:25) (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) E (cid:14) (cid:25) (cid:25) a ; b ; w h e r e = + + + ( 3 8 ) ( (cid:0) ) j (cid:6) i i i i i t t t (cid:0) 1 # " i t = X a b a b r o p o s i t i o n : V (cid:25) ; a ; b ; v ; v ; v T h e v a l u e f u n c t i o n ( ) h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y ( f o r a n y t t t t t t ) : a b a b a b a b 2 V (cid:25) ; a ; k b ; v ; k v ; k v V (cid:25) ; a ; b ; v ; v ; v ( ) = ( ) ( 3 9 ) t t t t t t t t t t t t r o o f : C o n s i d e r t h e t r a n s f o r m e d p r o b l e m u (cid:20) (cid:20) (cid:25) (cid:25) (cid:11) (cid:12) u (cid:15) (cid:12) k (cid:12) u = + + (cid:20) + w h e r e = a n d (cid:20) = ( 4 0 ) t t t t (cid:0) 1 k a b a b (cid:11) ; (cid:12) N a ; b ; v ; v ; v I f t h e p r i o r o n ( ) i s t h e b i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n ( ) , t h e n t h e t t t t t a b a b 2 (cid:20) (cid:11) ; (cid:12) N a ; k b ; v ; k v ; k v r i o r o n ( (cid:20) ) i s ( ) . S i n c e t h e s e t w o p r o b l e m s a r e e q u i v a l e n t , t h e t t t t t r o p o s i t i o n f o l l o w s . 1 b (cid:0) 2 k v a n d r e p l a c i n g i t i n t h e a b o v e e q u a t i o n o n e o b t a i n s : F o r e x a m p l e , b y s e t t i n g = ( ) t 1 1 b a a b b a b a b (cid:0) (cid:0) 2 2 V (cid:25) ; a ; b v ; v ; ; v v V (cid:25) ; a ; b ; v ; v ; v ( ( ) 1 ( ) ) = ( ) ( 4 1 ) t t t t t t t t t t t t t h u s i t i s s u (cid:14) c i e n t t o a p p r o x i m a t e t h e v a l u e f u n c t i o n f o r a g r i d o f (cid:12) v e s t a t e v a r i a b l e s . S u c h t r a n s f o r m a t i o n w a s u s e d i n c o m p u t i n g t h e o p t i m a l p o l i c i e s s h o w n i n t h i s p a p e r . 3 8
Figure 1 The Change in Inflation and the Unemployment Rate 1955-1995: Annual Observations p-p (t- 1) x 4 x x x x x 2 x x x x x x x x x x 0 x x x xxxx xxx x x x x x x x x -2 x x x Slope = -0.5 x x -4 Natural Rate = 6% x x 4 6 8 10 u* Unemployment Rate (t-1) NNoottee:: IInnffllaattiioonn iiss mmeeaassuurreedd ffrroomm tthhee ffoouurrtthh qquuaarrtteerr ooff tthhee pprreevviioouuss yyeeaarr ttoo tthhee ffoouurrtthh qquuaarrtteerr ooff tthhee ccuurrrreenntt yyeeaarr.. TThhee uunneemmppllooyymmeenntt rraattee iiss ffrroomm tthhee ffoouurrtthh qquuaarrtteerr ooff tthhee pprreevviioouuss yyeeaarr.. 3 9
Figure 2 The Conditional Variance of Inflation Due to Parameter Uncertainty Dp Estimated Phillips Curve +/- Standard Deviation Bands for Inflation __ Dp Unemployment Rate _ u u^* = a_ b N__ote: Dp_ : the average change (or trend) in inflation u : sample mean of unemployment u^* : estimated natural rate a : estimated intercept u* : estimated slope The conditional variance of inflation is minimized when unemployment equals its sample mean (assuming a constant natural rate). 4 0
3 erugiF rekamyciloP eht yb detcepxE htaP noitalfnisiD )setamitsE retemaraP eht fo gnitadpU dna esnopseR yciloP eht ,sfeileB roirP no lanoitidnoC( etaR tseretnI laeR tnemyolpmenU noitalfnI 2.1 7 0.8 0.1 yciloP tnelaviuqE ytniatreC yciloP tnelaviuqE ytniatreC yciloP tnelaviuqE ytniatreC yciloP yranoituaC yciloP yranoituaC 6 5.7 yciloP yranoituaC 8.0 6.0 5 0.7 4.0 4 5.6 2.0 3 0.6 0.0 2.0- 4 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 1 raey raey raey ecnairavoC epolS fo ecnairaV tpecretnI fo ecnairaV 0.1 81.0 5.5 9.0 61.0 yciloP tnelaviuqE ytniatreC 0.5 yciloP tnelaviuqE ytniatreC yciloP yranoituaC yciloP yranoituaC 8.0 yciloP tnelaviuqE ytniatreC yciloP yranoituaC 41.0 5.4 7.0 21.0 0.4 6.0 5.3 01.0 5.0 0.3 4.0 80.0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 raey raey raey
Very Low Uncertainty (V a = 2.25, V b = 0.04) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU Figure 4 Policy Reponse to the Inflation Gap (Discount Factor = 0.95) Low Uncertainty (V a= 2.56, V b = 0.0625) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Inflation Gap Moderate Uncertainty (V a = 4, V b = 0.071) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU High Uncertainty (V a = 4, V b = 0.11) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Inflation Gap 4 2
Low Uncertainty (V a= 2.56, V b = 0.0625) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU Figure 5 Alternative Discount Factors Low Uncertainty (V a= 2.56, V b = 0.0625) 14 Discount Factor = 0.75 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Discount Factor = 0.95 Inflation Gap High Uncertainty (V a = 4, V b = 0.11) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU High Uncertainty (V a = 4, V b = 0.11) 14 Discount Factor = 0.75 12 Discount Factor = 0.95 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Inflation Gap 4 3
a b 10 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy 8 Optimal Policy 6 4 2 -2 -1 0 1 2 etaR tnemyolpmenU Figure 6 Policy Under Extreme Uncertainty (V = 16, V = 0.66) Discount Factor = 0.95 Inflation Gap 4 4
Very Low Uncertainty (V a = 2.25, V b = 0.04) 14 12 V a b = 0.24 _ u = 6.0 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU Figure 7 Covariance Effect (Discount Factor = 0.95) Very Low Uncertainty (V a = 2.25, V b = 0.04) 14 12 V a b = 0.18 _ u = 4.5 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Inflation Gap Low Uncertainty (V a= 2.56, V b = 0.0625) 14 12 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 etaR tnemyolpmenU Low Uncertainty (V a= 2.56, V b = 0.0625) 14 V a b = 0.375 12 V a b = 0.25 _ _ u = 6.0 u = 4.5 10 8 Certainty Equivalent Policy Cautionary Policy Optimal Policy 0 1 2 3 4 Inflation Gap etaR tnemyolpmenU Inflation Gap 4 5
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Volker Wieland (1998). Monetary Policy and Uncertainty about the Natural Unemployment Rate (FEDS 1998-22). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-22
@techreport{wtfs_feds_1998_22,
author = {Volker Wieland},
title = {Monetary Policy and Uncertainty about the Natural Unemployment Rate},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1998-22},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1998},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-22},
abstract = {This paper studies the optimal monetary policy in the presence of uncertainty about the natural rate and the short-run inflation-unemployment tradeoff. Two conflicting motives drive policy. In the static version of the model, uncertainty provides a motive for the policymaker to move cautiously. In the dynamic version, uncertainty motivates an element of experimentation. I find that the optimal policy that balances these motives typically still exhibits gradualism, i.e., is less aggressive than a policy that disregards parameter uncertainty. Exceptions occur when uncertainty is very high and inflation close to target.},
}