Equilibrium Price with Institutional Investors and with Naive Traders

4 w t J E (cid:3) M a 5 2 { 2 3 o r k s h h o s e o E L C q u i l i il S t o p 0 1 ; e - m a o p fo r h f t h e B o l a s s i (cid:12) c b r i 6 9 , m il: e lp fu a r d a t i o u F 1 l o n m p r i c e w B o a r d o f G e d e r a l R e s e r v e d y d 9 9 @ f r b . g o v d is c u s s io n s . T h f G o v e r n o r s o r t : G 1 4 , F i n a n c i t h i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a n (cid:3) t r a d e r s D o m i n i q u e D u p o n t D i v i s i o n o f M o n e t a r y A (cid:11) a i r s o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m A p r i l 1 9 9 8 B o a r d , W a s h in g t o n , D C 2 0 5 5 1 ; p h o n e : ( 2 0 . I t h a n k V in c e n t R e in h a r t a n d t h e p a r t ic ip a n e v ie w s e x p r e s s e d h e r e in a r e t h e a u t h o r ’s a n d h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . i a l E c o n o m i c s , I n f o r m a t i o n a n d M a r k e t d w 2 ) 4 t s o f d o n E (cid:14) i t h 5 2 { 6 t h e o t n c i e n 4 R e c n a i 8 3 ; fa & S lu c e s s a r y v e x : n c ily h r ( e 2 0 t im (cid:13) e 2 c ) e t

T a i e f i a a p t i t e t o A b s t r a c t h i s p a p e r u s e s a n e q u i l i b r i u m m o d e l t o s t u d y h o w i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s i n (cid:13) u e n c e t h e v o l a t i l i t y n d t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f a s s e t p r i c e s . T h e g r o w t h i n t h e p r o p o r t i o n o f U .S . e q u i t i e s o w n e d b y n s t i t u t i o n s i n t h e p a s t t w o d e c a d e s , t h e i r r e s u l t i n g d o m i n a n t p o s i t i o n i n (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s , a n d m p i r i c a l e v i d e n c e t h a t i n s t i t u t i o n a l o w n e r s h i p m a y i n c r e a s e v o l a t i l i t y w a r r a n t s t u d y i n g t h i s i s s u e r o m a t h e o r e t i c a l s t a n d p o i n t . I n t h i s p a p e r , i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a r e a s s u m e d t o b e \ r a t i o n a l " n f o r m e d t r a d e r s w h i l e i n d i v i d u a l i n v e s t o r s a r e s u p p o s e d t o b e \ n a i v e " i n f o r m e d t r a d e r s , i n s o f a r s t h e f o r m e r u s e t h e e q u i l i b r i u m p r i c e t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n w h i l e t h e l a t t e r d o n o t . U s i n g f r a m e w o r k w i t h a c o m p e t i t i v e m a r k e t , m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s a n d o n e l i q u i d i t y t r a d e r , t h e a p e r c o m p a r e s t h e i n f o r m a t i v e n e s s a n d t h e v o l a t i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i n a n e c o n o m y w h e r e h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e a n d i n o n e w h e r e t h e y a r e r a t i o n a l . T h e m o d e l a l s o s t u d i e s h o w t h e n f o r m a t i v e n e s s a n d t h e v o l a t i l i t y o f t h e p r i c e r e a c t t o c h a n g e s i n p a r a m e t e r s s u c h a s t h e q u a l i t y o f h e i n f o r m a t i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s , t h e i r a v e r s i o n t o r i s k , t h e v a r i a n c e o f t h e t r u e a s s e t p r i c e , t c . T h e p a p e r (cid:12) n a l l y i n v e s t i g a t e s h o w a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s , w h e t h e r h e y a r e r a t i o n a l o r n a i v e , a (cid:11) e c t s t h e p r i c e v a r i a n c e , a n d a s s e s s e s t h e i m p a c t o f t r a n s a c t i o n c o s t s n t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s i n f o r m a t i v e n e s s .

I D i m h (cid:12) t a t l b c a f t ( h v i p d o t s i c v t n t r o d u c t i o n o i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s , p r e s u m a b l y s o p h i s t i c a t e d o n e s , m a k e a s s e t p r i c e s l e s s v o l a t i l e a n d m o r e n f o r m a t i v e o r t h e r e v e r s e ? T h e g r o w i n g r o l e o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s i n t h e p a s t d e c a d e w a r r a n t s o r e e (cid:11) o r t s t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n s t i t u t i o n a l o w n e r s h i p a n d v o l a t i l i t y a s b e e n i n v e s t i g a t e d e m p i r i c a l l y b y S i a s ( 1 9 9 6 ) a n d b r o a d i m p l i c a t i o n s o f o w n e r s h i p p a t t e r n s o n n a n c i a l m a r k e t s h a s b e e n d i s c u s s e d i n F r i e d m a n ( 1 9 9 6 ) . T h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o a n a l y z e h e e (cid:11) e c t o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s o n t h e m a r k e t p r i c e b y u s i n g a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k a n d s s u m i n g t h o s e i n v e s t o r s a r e m o r e s o p h i s t i c a t e d t h a n i n d i v i d u a l i n v e s t o r s , i n s o f a r a s t h e f o r m e r u s e h e e q u i l i b r i u m p r i c e t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n w h i l e t h e l a t t e r d o n o t . U s i n g t h e s e c u r i t i e s l i s t e d o n t h e N e w Y o r k S t o c k E x c h a n g e b e t w e e n 1 9 7 7 a n d 1 9 9 1 , a n d c o n t r o l i n g f o r c a p i t a l i z a t i o n , S i a s ( 1 9 9 6 ) (cid:12) n d s a p o s i t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e f r a c t i o n o f s h a r e s h e l d 1 y i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a n d t h e v o l a t i l i t y o f t h e s t o c k r e t u r n s a n d p r e s e n t s e v i d e n c e t h a t t h e i n r e a s e i n t h e s h a r e o f i n s t i t u t i o n a l o w n e r s h i p p r e c e d e s t h e i n c r e a s e i n v o l a t i l i t y , n o t t h e r e v e r s e . S i a s l s o p o i n t s t o t h e a p p a r e n t i n c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h i s e v i d e n c e a n d m o s t o f t h e e x t a n t l i t e r a t u r e , r o m w h i c h h e q u o t e s t h r e e a r g u m e n t s i m p l y i n g a n e g a t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v o l a t i l i t y a n d i n s t i u t i o n a l o w n e r s h i p . F i r s t , f u n d m a n a g e r s m a y s h y a w a y f r o m r i s k i e r s t o c k s f o r p r u d e n t i a l r e a s o n s e .g . t o p r e v e n t l a w s u i t s ) . S e c o n d , i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s , b e i n g a b l e t o i n v e s t m o r e i n r e s e a r c h , a v e m o r e a n d b e t t e r i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c o m p a n i e s i n t h e i r p o r t f o l i o . T h i r d , i n s t i t u t i o n a l i n - 2 e s t o r s s h o u l d b e m o r e l i k e l y t o b e h a v e r a t i o n a l l y . I n t h i s p a p e r , w e a r g u e t h a t i t i s p r e c i s e l y t h e n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s ’ a b i l i t y t o r a t i o n a l l y u s e a l l t h e a v a i l a b l e i n f o r m a t i o n | i n c l u d i n g t h e m a r k e t r i c e | t h a t i n d u c e s a h i g h e r p r i c e v o l a t i l i t y ( a n d a l o w e r p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s ) i n t h e s t o c k s t h e y o m i n a t e . F r i e d m a n ( 1 9 9 6 ) d i s c u s s e s a s e r i e s o f i m p l i c a t i o n s o f t h e g r o w i n g w e i g h t o f i n s t i t u t i o n a l w n e r s h i p o n t h e p r o p e r w o r k i n g s o f t h e (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s . H e n o t e s t h a t t h e i n c r e a s i n g c o n c e n t r a i o n o f d e c i s i o n - m a k i n g c o u l d r e n d e r t h e m a r k e t p r i c e m o r e s e n s i t i v e t o e a c h i n v e s t o r ’s i d i o s y n c r a t i c h o c k s , w h i c h w o u l d t r a n s l a t e i n t o i n c r e a s e d v o l a t i l i t y . M y m o d e l i n v e s t i g a t e s w h e t h e r a n i n c r e a s e n t h e n u m b e r o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s o (cid:11) s e t s t h i s e (cid:11) e c t . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n s t i t u t i o n a l o w n e r s h i p a n d t h e v o l a t i l i t y a n d t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f 1 W it h o u t c o n t r o llin g fo r c a p it a liz a t io n , in s t it u t io n a l in v e s t o r s ’ o w n e r s h ip a n d s t o c k r e t u r n v o la t ilit y a r e n e g a t iv e ly o r r e la t e d b e c a u s e in s t it u t io n a l in v e s t o r s t e n d t o h o ld s t o c k s w it h la r g e c a p it a liz a t io n a n d t h e la t t e r t e n d t o b e le s s o la t ile . 2 S ia s a ls o c it e s s o m e a r g u m e n t s t h a t c o u ld le a d t o t h e o p p o s it e c o n c lu s io n , lik e t h e a s y m m e t r y in in c e n t iv e s fo r h e fu n d m a n a g e r . 1

a i a t t t i 1 i a i w a m t c m n n d i n o t 6 t s s e t p r i c e s i s a n i m p o r t a n t i s s u e , e s p e c i a l l y s i n c e i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a r e p l a y i n g a g r o w i n g r o l e n (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s . T h e s h a r e o f c o r p o r a t e e q u i t i e s h e l d b y U .S . i n s t i t u t i o n s h a s j u m p e d f r o m b o u t 2 7 .3 p e r c e n t i n 1 9 7 0 t o a b o v e 4 0 p e r c e n t i n t h e 1 9 9 0 s , r e a c h i n g a b o u t 4 7 p e r c e n t i n t h e 3 h i r d q u a r t e r o f 1 9 9 7 . T h e g r o w i n g i m p o r t a n c e o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s i s a l s o w i t n e s s e d b y h e t r i e n n i a l S u r v e y o f C o n s u m e r F i n a n c e s s p o n s o r e d b y t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . T h e s h a r e o f h e h o u s e h o l d s ’ (cid:12) n a n c i a l w e a l t h o w n e d i n d i r e c t l y | i n t h e f o r m o f m u t u a l f u n d s , p e n s i o n p l a n s , l i f e n s u r a n c e o r o t h e r m a n a g e d a c c o u n t s | r o s e f r o m a b o u t 3 7 p e r c e n t i n 1 9 8 9 t o a b o u t 5 2 p e r c e n t i n 4 9 9 5 . T h e r e i s n o e v i d e n c e t h a t t h e g r o w t h o f t h e s h a r e o f (cid:12) n a n c i a l a s s e t s h e l d b y i n s t i t u t i o n a l n v e s t o r s s h o u l d t a p e r o (cid:11) s i g n i (cid:12) c a n t l y i n t h e n e a r f u t u r e . O n t h e c o n t r a r y , t h e c u r r e n t u n c e r t a i n t i e s b o u t t h e f u t u r e o f t h e S o c i a l S e c u r i t y p r o g r a m m i g h t p r o m p t m o r e A m e r i c a n s t o s t e p u p t h e i r n v e s t m e n t s i n m u t u a l f u n d s a n d r e t i r e m e n t a c c o u n t s , r e i n f o r c i n g t h e r o l e o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s . W e s t u d y t h e e (cid:11) e c t o f i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s ’ o w n e r s h i p o n a s s e t p r i c e s b y u s i n g a s t a t i c m o d e l h e r e i n f o r m e d a n d l i q u i d i t y t r a d e r s a c t c o m p e t i t i v e l y , a n d a s s u m i n g t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r s 5 r e a l t e r n a t i v e l y \ r a t i o n a l " o r \ n a i v e " . I n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a r e m o r e a b l e t o o b s e r v e c u r r e n t a r k e t c o n d i t i o n s a n d a c t r a p i d l y t h a n i n d i v i d u a l s t o c k o w n e r s . T h e r e f o r e , i t i s n a t u r a l t o m o d e l h e f o r m e r a s r a t i o n a l a n d t h e l a t t e r a s n a i v e . T h e i n f o r m e d t r a d e r s a l w a y s o b s e r v e a p r i v a t e s i g n a l o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t , b u t r a t i o n a l i n f o r m e d t r a d e r s a l s o c o n d i t i o n o n t h e a r k e t - c l e a r i n g p r i c e w h e n t h e y d e c i d e h o w m u c h o f t h e t r a d e d a s s e t t h e y w a n t t o h o l d , w h e r e a s a i v e i n f o r m e d t r a d e r s c o n d i t i o n o n l y o n t h e i r s i g n a l s . T h e l i q u i d i t y t r a d e r i s n e i t h e r r a t i o n a l n o r a i v e b u t i s p r i c e s e n s i t i v e . T h e a s s u m p t i o n t h a t i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l o r t h a t t h e y a r e n a i v e c a n l e a d t o v e r y i (cid:11) e r e n t c o n c l u s i o n s . A w e l l k n o w n e x a m p l e i s p r o v i d e d b y t h e n o - t r a d e t h e o r e m s . T o s u m m a r i z e , f t h e m o t i v a t i o n t o t r a d e i s n o t t h e r e b a l a n c i n g o f p o r t f o l i o s b u t p r i v a t e i n f o r m a t i o n a n d i f t h e r e i s o e x o g e n o u s n o i s e t r a d i n g , r a t i o n a l a g e n t s w i l l g a t h e r t h a t a n y o n e a c c e p t i n g t o t a k e t h e c o u n t e r p a r t f t h e i r t r a d e s w o u l d o n l y d o s o b e c a u s e h e o r s h e p o s s e s s e s a n i n f o r m a t i o n a l a d v a n t a g e , a n d h e n c e h a t t h e i n i t i a t i n g p a r t y w o u l d s u (cid:11) e r a l o s s . C o n s e q u e n t l y , i n e q u i l i b r i u m , n o t r a d e t a k e s p l a c e . I n o u r m o d e l t o o , t h e a b s e n c e o f n o i s e p r e c l u d e s t r a d e . I n t h a t c a s e , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e 3 S o u r c e : 1 9 9 6 N Y S E F a c t B o o k a n d F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , \ F lo w o f fu n d s " . 4 S o u r c e : F e d e r a l R e s e r v e B u lle t in , J a n u a r y 1 9 9 7 , p . 6 , T a b le 4 . 5 F o r t h e s a k e o f s im p lic it y , w e a s s u m e t h a t t h e in fo r m e d t r a d e r s a r e a ll n a iv e o r a ll r a t io n a l. I f n a iv e a n d r a t io n a l r a d e r s e x is t s im u lt a n e o u s ly , t h e m o d e l c a n n o t b e s o lv e d in c lo s e d fo r m . 6 T h e n o - t r a d e t h e o r e m s d o n o t e x a c t ly h a v e t h e s a m e im p lic a t io n s . F o r e x a m p le , M ilg r o m a n d S t o c k e y ( 1 9 8 2 ) 2

r e v e a l s a l l t h e i n f o r m a t i o n , t h a t i s , e q u a l s t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t c o n d i t i o n e d o n a l l t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s . T h e (cid:12) r s t s e c t i o n p r e s e n t s t h e m o d e l i n t h e g e n e r a l c a s e a n d w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s h a v e e q u a l l y p r e c i s e s i g n a l s ( t h i s a s s u m p t i o n w i l l b e m a i n t a i n e d i n t h e r e s t o f t h e p a p e r ) . T h e o b j e c t i v e t h r o u g h o u t i s t o c o m p a r e t h e e q u i l i b r i a w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d w h e n t h e y a r e n a i v e , a n d t o s t u d y t h e v a r i a n c e a n d t h e i n f o r m a t i v e n e s s ( d e (cid:12) n e d a s t h e s q u a r e o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e a n d t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t ) . T h e s e c o n d s e c t i o n s p e c i a l i z e s t h e m o d e l t o t w o i n f o r m e d t r a d e r s a n d o n e l i q u i d i t y t r a d e r , a l l o w i n g t h e t w o i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s n t o b e c o r r e l a t e d . T h e t h i r d s e c t i o n g e n e r a l i z e s t h e a n a l y s i s t o i n f o r m e d t r a d e r s b u t r e s t r i c t s t h e i r s i g n a l s t o b e i n d e p e n d e n t . I t a l s o i n v e s t i g a t e s t h e e (cid:11) e c t o f i n t r o d u c i n g a t r a n s a c t i o n c o s t ( o r t a x ) a n d s t u d i e s t h e e x p e c t e d t r a d i n g v o l u m e . T h e f o u r t h s e c t i o n i n t r o d u c e s p o s i t i v e c o r r e l a t i o n a c r o s s t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s b y u s i n g a \ m e a s u r e m e n t - e r r o r " a p p r o a c h w h e r e e a c h p r i v a t e s i g n a l i s t h e s u m o f t h e t r u e a s s e t v a l u e , a s y s t e m a t i c , a n d a n i d i o s y n c r a t i c n o i s e . U n l i k e i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h i s f r a m e w o r k a l l o w s t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s t o g r o w w i t h o u t b o u n d s . W e c a n h e n c e s t u d y t h e l i m i t a n d t h e c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f t h e m a r k e t p r i c e a s t h e n u m b e r o f t r a d e r s b e c o m e s i n (cid:12) n i t e w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l . I n t h e f o l l o w i n g , i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a r e c a l l e d r a t i o n a l a n d t h e i n d i v i d u a l i n v e s t o r s n a i v e . H o w e v e r , t h e l a t t e r a r e n o t i r r a t i o n a l n o i s e t r a d e r s . 1 M o d e l n T h e p a p e r u s e s a s t a t i c , c o m p e t i t i v e , e q u i l i b r i u m f r a m e w o r k w i t h o n e l i q u i d i t y t r a d e r a n d i n - G i ; : : : ; n f o r m e d t r a d e r s , e a c h o b s e r v i n g a s i g n a l , = 1 , c o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t . i i G G ; : : : ; G ; x F o r e a c h i n d e x , t h e r a n d o m v a r i a b l e h a s m e a n z e r o a n d v a r i a n c e o n e , t h e v e c t o r ( ) i n 1 u (cid:25) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . E a c h t r a d e r h a s a C A R A u t i l i t y f u n c t i o n ( ) w i t h c o m m o n r i s k a v e r s i o n i i (cid:21) i (cid:25) y x p y c o e (cid:14) c i e n t . A g e n t ’s p r o (cid:12) t , , i s t h e r a n d o m v a r i a b l e ( ) , w h e r e i s t h e d e m a n d o f t r a d e r i i i (cid:0) th i x p n , t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t , a n d t h e m a r k e t p r i c e . T h e ( + 1 ) t r a d e r i s a n o i s e t r a d e r , y s p " s > " w h o s e d e m a n d i s = ( ) , w h e r e 0 , a n d i s u n c o r r e l a t e d w i t h t h e t r u e v a l u e o f t h e n + 1 (cid:0) (cid:0) a s s e t a n d t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s . T h e f r a m e w o r k d e s c r i b e d a b o v e m u s t b e s e e n a s a ‘r e d u c e d f o r m ’ o f a s t r u c t u r a l m o d e l , w h i c h w o u l d i n t r o d u c e a n o t h e r p e r i o d w h e r e a g e n t s c o n s u m e b u t d o n o t t r a d e , a n d a r i s k l e s s a s s e t t h a t t r a d e r s c o u l d p u r c h a s e o r s e l l t o (cid:12) n a n c e t o d e s i r e d h o l d i n g s o f im p lie s t h a t a g e n t s a r e in d i(cid:11) e r e n t t o t r a d in g , n o t t h a t t h e y w o n ’t t r a d e . 3

r n t a f d v E d f E w t P d n P t v f S t a i N i s k y s e c u r i t i e s , a s i n D i a m o n d a n d V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) . v E x G ; p W h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e i r v a l u a t i o n s a r e = [ ]; w h e n t h e y a r e i i j v E x G p ; G ; : : : ; G a i v e , t h e i r v a l u a t i o n s a r e = [ ]. A s ( ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , i n f o r m e d i i n 1 j 1 i y p (cid:11) v p (cid:11) r a d e r ’s d e m a n d i s ( ) = ( ) , w i t h = w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l i i i i (cid:21) v a r x G ;p [ ] i (cid:0) j (cid:11) 1 n n i (cid:11) p (cid:18) v (cid:18) " (cid:11) (cid:11) (cid:18) n d = w h e n t h e y a r e n a i v e . I n a l l c a s e s , = (cid:6) + , w i t h = (cid:6) , = , i i i n i i + 1 1 1 s (cid:11) (cid:21) v a r x G + [ ] i j n s + 1 th i ; : : : ; n (cid:18) (cid:18) (cid:18) i o r = 1 , a n d = . N o t e t h a t (cid:6) = 1 , i s t h e w e i g h t o f t h e t r a d e r i n t h e n i i + 1 i= 1 s (cid:11) + i e t e r m i n a t i o n o f t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e . A s a r e s u l t , r a t i o n a l t r a d e r ’s e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n i s s u c h t h a t i n v E x G ; (cid:18) v (cid:18) " = [ (cid:6) + ] ( 1 ) i i j j n + 1 j = 1 j i j i q u a t i o n ( 1 ) i s a n e x a m p l e o f ‘i n (cid:12) n i t e r e g r e s s ’. F o r a n y t w o a g e n t s a n d , a g e n t ’s v a l u a t i o n j j i e p e n d s o n a g e n t ’s v a l u a t i o n , i n t u r n , a g e n t ’s v a l u a t i o n d e p e n d s o n a g e n t ’s v a l u a t i o n , a n d s o " o r t h . B e s i d e s , i n ( 1 ) , t r a d e r s h a v e t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e ‘n o i s e ’ i n j e c t e d i n t h e t r a d i n g b y . n q u i l i b r i u m v a l u a t i o n s c a n b e t h o u g h t o f a s s o l u t i o n s t o s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s s i m i l a r t o ( 1 ) , i ; : : : ; n v i t h = 1 . A s p r o p o s i t i o n ( 1 ) s h o w s , i f t h e r e i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d s o l u t i o n t o ( 1 ) , (cid:3) h e n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s l i n e a r i n t h e t r a d e r s s i g n a l s a n d t h e l i q u i d i t y n o i s e . r o p o s i t i o n 1 v v G x " I f t h e r e i s a v e c t o r s a t i s f y i n g ( 1 ) a n d , , a n d a r e j o i n t ly n o r m a l ly (cid:3) (cid:3) p i s t r i b u t e d , t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i li b r i u m p r i c e i s li n e a r i n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a ls a n d t h e (cid:3) o i s e t r a d e r ’ s li q u i d i t y s h o c k , t h a t i s , n p a G a " = + ( 2 ) (cid:3) i i n + 1 i= 1 X z v ; G ; " ; x r o o f o f p r o p o s i t i o n 1 : S u p p o s e t h e r e i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d (cid:12) x e d p o i n t = ( ) . R e c a l l (cid:3) (cid:3) n p (cid:18) v (cid:18) " z G ; p h a t = (cid:6) + . C o n s e q u e n t l y , = ( ) i s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d v e c t o r , a n d i (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) n i i i i + 1 = 1 E x G ; p G p v c G d p p = [ ] i s l i n e a r i n a n d . W r i t i n g = + , w e g e t t h a t v e r i (cid:12) e s t h e i i i i i (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i i j o l l o w i n g e q u a t i o n n n (cid:18) d p (cid:18) c G (cid:18) " ( 1 (cid:6) ) = (cid:6) + ( 3 ) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i i i i i i i n = 1 = 1 + 1 (cid:0) n (cid:18) d " G u p p o s e t h a t (cid:6) = 1 , t h e n a n d t h e w o u l d b e c o r r e l a t e d , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e a s s u m p t i o n i i (cid:3) i i = 1 n (cid:18) d p h a t t h e l i q u i d i t y s h o c k i s u n c o r r e l a t e d w i t h t h e s i g n a l s . H e n c e , (cid:6) = 1 , a n d c a n b e w r i t t e n i (cid:3) (cid:3) i i = 1 6 i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s . W h e n t h e s i g n a l s a r e i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , t h e a a i ; : : : ; n a b n d e x e s c a n b e p e r m u t e d a n d c o n s e q u e n t l y , w e c a n w r i t e = f o r = 1 a n d = . i n + 1 a t u r a l l y , e q u a t i o n ( 2 ) a l s o h o l d s w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e . 4

T h e o b j e c t i v e o f t h e p a p e r i s t o c h a r a c t e r i z e t h e e q u i l i b r i u m p r i c e w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d w h e n t h e y a r e n a i v e , t h a t i s , w h e n t h e y t a k e i n t o a c c o u n t t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e i n t h e i r c o n d i t i o n i n g i n f o r m a t i o n a n d w h e n t h e y d o n ’t . W e i m p o s e t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s b e i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d i n o r d e r t o g e t a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n f o r t h e e q u i l i b r i u m p r i c e . W e f o c u s o n h o w t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s i n f o r m a t i v e n e s s | d e (cid:12) n e d a s t h e r a t i o o f t h e v a r i a n c e E x p x x p o f [ ] t o t h a t o f o r , e q u i v a l e n t l y , a s t h e s q u a r e o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n a n d | r e s p o n d j t o c h a n g e s i n p a r a m e t e r s , s u c h a s t h e r i s k a v e r s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s , t h e p r e c i s i o n o f t h e i r N v a r s i g n a l s , a n d t h e v a r i a n c e o f t h e l i q u i d i t y s h o c k . T h e p r i c e v a r i a n c e i s n o t e d w h e n t r a d e r s a r e p R N v a r I n a i v e , a n d w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l ; t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s n o t e d w h e n t r a d e r s a r e p p R I n a i v e , w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l . F i r s t , w e l i m i t t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s t o t w o , b u t w e p n a l l o w f o r c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i r s i g n a l s . T h e n , w e a l l o w f o r i n f o r m e d t r a d e r s , b u t w e s u p p o s e t h e i r s i g n a l s a r e u n c o r r e l a t e d . p v T h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e , , i s a n a v e r a g e o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ v a l u a t i o n s , , a n d t h e i " G n o i s e , . A s s u m i n g t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s a r e i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , t h e p r i c i n g e q u a t i o n i s i m p l i (cid:12) e s t o n v n (cid:18) " p (cid:18) + ( 1 ) ( 4 ) = i (cid:0) i= 1 X v E x G v E x G ; p (cid:18) w h e r e = [ ] w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d = [ ] w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , = i i i i j j 1 (cid:20) s (cid:21) (cid:20) 2 , w h e r e = . i s t h e r a t i o o f t h e s l o p e o f t h e l i q u i d i t y d e m a n d t o t h e c o e (cid:14) c i e n t o f 2 n (cid:20) (cid:27) E v + ( [ ]) x i (cid:0) r i s k t o l e r a n c e a n d m e a s u r e s t h e r e l a t i v e p o w e r o f t h e l i q u i d i t y t r a d e r a n d t h e i n f o r m e d t r a d e r s i n d e t e r m i n i n g t h e e q u i l i b r i u m p r i c e . T h e m o r e s t r o n g l y t h e l i q u i d i t y t r a d e r r e a c t s t o p r i c e c h a n g e s , o r t h e m o r e r i s k a v e r s e t h e i n f o r m e d t r a d e r i s , t h e g r e a t e r t h e i n (cid:13) u e n c e o f t h e l i q u i d i t y t r a d e r i n (cid:20) G d e t e r m i n i n g t h e e q u i l i b r i u m p r i c e a n d t h e h i g h e r . F r o m p r o p o s i t i o n ( 1 ) , a n d s i n c e t h e a r e i i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s a l s o s u c h t h a t n p a G b " = + ( 5 ) i i= 1 X a b T h e k e y i s t o (cid:12) n d v a l u e s f o r a n d s o t h a t e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) s i m u l t a n e o u s l y h o l d . T h i s w i l l b (cid:12) b e a c h i e v e d b y (cid:12) r s t s o l v i n g f o r t h e e q u i l i b r i u m v a l u e o f t h e r a t i o , w h i c h w e c a l l . a 5

2 L v (cid:26) i r I e t i a r P n T a c P t i a T w p h w a E q u i l i b r i u m w i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s . (cid:26) e t b e t h e c o m m o n v a l u e o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n e a c h i n f o r m e d t r a d e r ’s s i g n a l a n d t h e t r u e (cid:13) a l u e o f t h e a s s e t a n d b e t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s . T h e c o e (cid:14) c i e n t s (cid:13) a n d m e a s u r e , r e s p e c t i v e l y , h o w w e l l i n f o r m e d e a c h i n f o r m e d t r a d e r i s , a n d h o w m u c h t h e t w o n f o r m e d t r a d e r s a g r e e w i t h o n e a n o t h e r . T h e i n f o r m a t i v e n e s s a n d t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a r e , e s p e c t i v e l y : 2 (cid:26) ( 2 ) I 2 2 = , p (cid:13) (cid:27) (cid:12) 2 ( 1 + ) + " (cid:15) 2 2 2 v a r (cid:13) a (cid:27) b = 2 ( 1 + ) + . p " (cid:15) n t h e f o l l o w i n g , t h e c o e (cid:14) c i e n t s o f t h e p r i v a t e s i g n a l s a n d o f t h e l i q u i d i t y s h o c k i n t h e p r i c i n g N N R R a b a b q u a t i o n a r e d e n o t e d r e s p e c t i v e l y b y a n d w h e n t r a d e r s a r e n a i v e , a n d b y a n d w h e n r a d e r s a r e r a t i o n a l . T h e r a t i o o f t h e c o e (cid:14) c i e n t o f t h e l i q u i d i t y s h o c k t o t h a t o f t h e p r i v a t e s i g n a l s N R (cid:12) (cid:12) s n o t e d w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l . F i r s t , w e c o m p a r e t h e v o l a t i l i t y n d t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e e q u i l i b r i u m p r i c e w h e n t h e t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e a t i o n a l . T h e n , w e s t u d y h o w t h e s e t w o v a r i a b l e s r e a c t t o c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s . r o p o s i t i o n 2 T h e e q u i li b r i u m p r i c e i s m o r e v o la t i le a n d le s s i n f o r m a t i v e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o - R N R N R N a > a b > b (cid:12) > (cid:12) a l t h a n w h e n t h e y a r e n a i v e . T h i s i s b e c a u s e , , a n d . h e p r o o f o f p r o p o s i t i o n ( 2 ) i s p r e s e n t e d f u r t h e r b e l o w . M a n y r e s u l t s l i n k i n g t h e i n f o r m a t i v e n e s s n d t h e v o l a t i l i t y o f t h e p r i c e a r e d e r i v e d a n a l y t i c a l l y . F o r s o m e , t h o u g h , t h e c o m p l e x i t y o f t h e l o s e d f u n c t i o n a l f o r m s c a l l e d f o r t h e u s e o f n u m e r i c a l e x a m p l e s . r o p o s i t i o n 3 B o t h w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d w h e n t h e y a r e n a i v e , t h e i n f o r m a - (cid:26) (cid:20) (cid:27) (cid:27) i v e n e s s o f t h e e q u i li b r i u m p r i c e i s i n c r e a s i n g i n a n d d e c r e a s i n g i n , a n d . T h e p r i c e x " 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:26) n f o r m a t i v e n e s s d e c r e a s e s i n f o r a l l v a lu e s o f a s s u m i n g t h e t r a d e r s a r e n a i v e a n d f o r (cid:20) s s u m i n g t h e y a r e r a t i o n a l. h e p r o o f o f p r o p o s i t i o n ( 3 ) a r e p r e s e n t e d f u r t h e r b e l o w . M o r e o v e r , n u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t , 2 (cid:13) (cid:13) > (cid:26) h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s c a n b e i n c r e a s i n g i n f o r . A s f o r t h e (cid:13) (cid:27) r i c e v a r i a n c e , w h i l e i t c a n b e p r o v e n t h a t i t i s i n c r e a s i n g i n a n d w h e n t r a d e r s a r e n a i v e , w e " a d t o r e s o r t t o n u m e r i c a l e x a m p l e s t o i n v e s t i g a t e o t h e r p a r a m e t e r s o r w h e n a s s u m i n g t h a t t r a d e r s e r e r a t i o n a l . T h e f o l l o w i n g t r i e s t o s h e d s o m e i n t u i t i o n o n t h e r e s u l t s o f p r o p o s i t i o n ( 3 ) a n d t h o s e b o u t t h e p r i c e v a r i a n c e . 6

e r i b i r t s i r b t i e d w a p l w p n A o d (cid:26) A s e x p e c t e d , t h e b e t t e r i n f o r m e d t h e t r a d e r s a r e ( t h e h i g h e r ) , t h e m o r e i n f o r m a t i v e i s t h e q u i l i b r i u m p r i c e . A l s o , q u i t e n a t u r a l l y , a n i n c r e a s e i n t h e v o l a t i l i t y o f t h e t r u e a s s e t v a l u e , i n t h e i s k a v e r s i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s , o r i n t h e l i q u i d i t y t r a d e r s ’ r e a c t i v e n e s s t o p r i c e d e p r e s s e s t h e n f o r m a t i v e n e s s o f p r i c e . W h e n t h e v o l a t i l i t y o f t h e t r u e a s s e t v a l u e p i c k s u p o r i n f o r m e d t r a d e r s e c o m e m o r e r i s k a v e r s e , t h o s e t r a d e l e s s a g g r e s s i v e l y o n t h e i r p r i v a t e s i g n a l s , t r a n s m i t t i n g l e s s (cid:20) n f o r m a t i o n i n t o t h e p r i c e . A s a c o n s e q u e n c e , w h e t h e r t r a d e r s a r e r a t i o n a l o r n a i v e , i n c r e a s i n g (cid:20) e d u c e s t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e . N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t r a i s i n g c a n a l s o r e d u c e h e p r i c e v a r i a n c e . (cid:13) I n t u i t i v e l y , w h e n t h e t r a d e r s ’ s i g n a l s b e c o m e l e s s c o r r e l a t e d ( l o w e r ) , t h e e q u i l i b r i u m p r i c e h o u l d c o n t a i n m o r e i n f o r m a t i o n : s i n c e t h e p r i c e i n c o r p o r a t e s t h e t r a d e r s ’ s i g n a l s , t h e l e s s o v e r l a p n t h e i n f o r m a t i o n o f e a c h t r a d e r , t h e m o r e i n f o r m a t i o n s h o u l d b e a v a i l a b l e o v e r a l l f o r t h e p r i c e t o (cid:13) e (cid:13) e c t . M o r e o v e r , o n e w o u l d e x p e c t a n i n c r e a s e i n t o m a k e t h e e q u i l i b r i u m p r i c e m o r e v o l a t i l e (cid:13) e c a u s e t h e p r i c e i s a n a v e r a g e o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s a n d t h e n o i s e a n d , w h e n i n c r e a s e s , h e r e a l i z a t i o n s o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s a r e m o r e l i k e l y t o b e o f t h e s a m e m a g n i t u d e . T h i s N N a b n t u i t i o n i s e n t i r e l y c o r r e c t w h e n t r a d e r s a r e n a i v e b e c a u s e t h e c o e (cid:14) c i e n t a n d i n t h e p r i c i n g R R (cid:13) a b q u a t i o n d o n o t d e p e n d o n . H o w e v e r , w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e c o e (cid:14) c i e n t s a n d (cid:13) e p e n d o n . W h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , e a c h o f t h e m t a k e s a c c o u n t o f t h e c o r r e l a t i o n o f h i s s i g n a l i t h t h e o t h e r t r a d e r ’s s i g n a l w h e n d e c i d i n g h o w m u c h t o t r a d e . N u m e r i c a l e x a m p l e s i n d i c a t e t h a t R R R b (cid:13) v a r (cid:13) a n d a r e d e c r e a s i n g i n , w h i c h , o n n e t , c a n m a k e a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f . A l s o , t h e p 2 (cid:13) (cid:13) > (cid:26) r i c e i n f o r m a t i v e n e s s c a n b e i n c r e a s i n g i n f o r . B o t h w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , a n i n c r e a s e i n t h e v o l a t i l i t y o f t h e (cid:27) i q u i d i t y s h o c k , , r e d u c e s t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e . B u t t h e e (cid:11) e c t o n t h e p r i c e v a r i a n c e " N N a b (cid:27) i l l d i (cid:11) e r . B e c a u s e , w h e n t r a d e r s a r e n a i v e , a n d a r e i n d e p e n d e n t o f , t h e e q u i l i b r i u m " N v a r (cid:27) r i c e v a r i a n c e , , i s i n c r e a s i n g i n . H o w e v e r , w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e i n t e n s i t y o f t h e " p o i s e | m e a s u r e d b y i t s v a r i a n c e | w i l l b e a r o n h o w m u c h i n f o r m a t i o n t h e y r e v e a l i n e q u i l i b r i u m . (cid:27) l t h o u g h i t i s p r o v e n t h a t , o n n e t , t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f p r i c e i s s t i l l d e c r e a s i n g i n , t h e e (cid:11) e c t " (cid:27) n i t s v a r i a n c e i s n o t a s s i m p l e . N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t , a s i n c r e a s e s , t h e p r i c e v a r i a n c e " e c r e a s e s a t (cid:12) r s t , a n d t h e n i n c r e a s e s . 7

2 T (cid:18) (cid:12) 2 I T v C g . 1 h e 1 (cid:0) N . 2 n t h e a r i o m e t (cid:18) E q u i l i b r i u m w i t h n a i v e t r a d e r s p (cid:18) v v e q u i l i b r i u m p r i c e w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e i s = ( + ) 1 2 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:26) = 2 + ( 1 ) . C o n s e q u e n t l y , x (cid:0) (cid:27) (cid:26) x N a ; 2 2 = (cid:20) (cid:27) (cid:26) 2 + ( 1 ) x (cid:0) 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:26) ( 1 ) N x (cid:0) b ; 2 2 = (cid:20) (cid:27) (cid:26) 2 + ( 1 ) x (cid:0) 2 (cid:26) ( 1 ) N (cid:0) : (cid:12) (cid:20) (cid:27) = x (cid:26) (cid:27) (cid:20) (cid:26) (cid:13) (cid:27) i s i n c r e a s i n g i n , , d e c r e a s i n g i n , a n d i n d e p e n d e n t o f a n d . x " E q u i l i b r i u m w i t h r a t i o n a l t r a d e r s . v h e r a t i o n a l c a s e , t r a d e r 1 ’s e q u i l i b r i u m v a l u a t i o n i s s u c h t h a t , 1 v E x G ; p = [ ] 1 1 j E x G ; a G G b " = [ ( + ) + ] 1 1 2 j E x G ; G (cid:12) " = [ + ] 1 2 j E x G ; G (cid:13) G (cid:12) " = [ + ] 1 2 1 j (cid:0) E x G E x G (cid:13) G (cid:12) " = [ ] + [ + ] 1 2 1 j j (cid:0) c o v x ; G (cid:13) G (cid:12) " 2 1 ( + ) (cid:0) c o v x ; G G G (cid:13) G (cid:12) " = ( ) + ( + 1 1 2 1 v a r G (cid:13) G (cid:12) " 2 1 ( + ) (cid:0) (cid:0) (cid:26) (cid:27) (cid:13) ( 1 ) x (cid:0) (cid:26) (cid:27) G G (cid:13) G (cid:12) " 2 2 2 = + ( + ) x 1 2 1 (cid:13) (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) (cid:0) G (cid:13) G " (cid:12) f t h l i n e c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t a n d a r e u n c o r r e l a t e d w i t h 2 1 (cid:0) a b l e s a r e j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . W e c o n c l u d e t h a t 2 (cid:26) (cid:27) (cid:13) (cid:26) (cid:27) ( 1 ) 2 ( 1 x x (cid:0) (cid:0) v v (cid:26) (cid:27) G G G G 2 2 2 2 + = ( + ) + ( + ) + x 1 2 1 2 1 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) (cid:13) (cid:12) 1 + 1 + " (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:12) (cid:27) 2 ( 1 ) + 2 ( 1 ) " (cid:0) (cid:0) G G (cid:26) (cid:27) " (cid:26) (cid:27) 2 2 2 2 2 2 = ( + ) + x x 1 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) (cid:13) (cid:12) (cid:27) 1 + 1 + " " (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:18) (cid:20) (cid:27) b i n i n g e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 8 ) , a n d u s i n g t h e f a c t t h a t 2 = ( 1 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 1 2 2 2 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) p (cid:26) (cid:27) (cid:13) (cid:12) (cid:27) G G ( 1 + ) = 2 ( 1 ) + ( + ) x (cid:0) 1 2 " " (cid:0) (cid:0) 2 2 2 2 2 2 (cid:0) (cid:1) (cid:20) (cid:27) (cid:13) (cid:13) (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) + 1 2 ( 1 ) + ( 1 ) + 2 x " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:8) (cid:2) (cid:3) 8 + ) G 1 (cid:13) (cid:12) ) 2 2 (cid:27) " 2 (cid:26) (cid:26) (cid:27) ( 1 a n " 2 ( 1 1 (cid:0) ( x (cid:0) d (cid:0) (cid:13) 1 (cid:18) " 2 ) , t h a t a 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) ) + " 2 2 2 (cid:12) (cid:27) + " (cid:13) (cid:12) ) (cid:0) w l l ) , " (cid:9) i t ( 6 ( 7 t h ( 8 w ( 9 h ) ) e ) e )

T T L w T (cid:13) T (cid:12) p i w t P d T t f p p (cid:12) h e e q u i l i b r i u m m u s t b e s u c h t h a t 2 2 2 2 (cid:13) (cid:13) (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:13) (cid:12) ( 1 ) ( 1 + 2 ) + ( 1 ) + 2 ( 1 ) x " (cid:12) = ( 1 0 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:26) (cid:13) (cid:12) (cid:27) ( 2 ( 1 ) + ) " (cid:2) (cid:3) (cid:0) (cid:12) h e e q u i l i b r i u m m u s t s o l v e t h e f o l l o w i n g c u b i c e q u a t i o n . 2 3 2 2 2 2 ’ (cid:26) ; (cid:13) ; (cid:20) (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:12) (cid:26) (cid:27) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:13) (cid:26) (cid:13) ( ) = ( 1 ) + ( 1 ) ( 2 1 ) = 0 ( 1 1 ) x " x x " " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:12) i k e w i s e , t h e e q u i l i b r i u m i s t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n 2 u (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) v (cid:12) ; (cid:13) ; (cid:27) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) ; ( ) = ( ) ( 1 2 ) x x " i t h 3 2 2 u (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:12) ( ) = ( 1 ) x x (cid:0) (cid:0) ( 1 3 ) (cid:20) (cid:27) x 2 2 (cid:13) (cid:13) (cid:26) v (cid:13) ; (cid:27) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) 2 ( 1 ) ( + 1 2 ) ( ) = x " (cid:27) " (cid:0) (cid:0) u v < (cid:13) < < (cid:26) < h e f u n c t i o n s a n d a r e d i s p l a y e d o n F i g u r e ( 1 ) . W e i m p o s e 1 1 , 0 1 a n d (cid:0) 2 7 (cid:26) > G ; G ; x ; " 2 + 1 0 s o t h a t t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f s t a t e v e c t o r ( ) i s p o s i t i v e d e (cid:12) n i t e . 1 2 (cid:0) 2 (cid:26) 1 u (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:0) , i t i s n e g a t i v e o r z e r o o n f o r h e f u n c t i o n i s c u b i c i n , i t i s z e r o f o r = 0 a n d = x (cid:26) 2 2 (cid:26) (cid:26) 1 1 ; (cid:20) (cid:27) (cid:12) (cid:20) (cid:27) ; v (cid:13) (cid:0) (cid:0) ( ] a n d p o s i t i v e f o r ( + ) . T h e f u n c t i o n i s q u a d r a t i c i n a n d x x (cid:26) (cid:26) 2 (cid:0) 1 2 1 (cid:13) (cid:26) o s i t i v e f o r t h e a d m i s s i b l e a n d . A s a r e s u l t , t h e r e i s a u n i q u e r e a l s o l u t i o n t o e q u a t i o n ( 1 2 ) , c a l l 2 (cid:26) 1 R 2 (cid:12) (cid:13) ; (cid:27) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) v (cid:20) (cid:27) (cid:0) t ( ) . S i n c e t h e f u n c t i o n i s p o s i t i v e , t h e s o l u t i o n t o ( 1 2 ) m u s t l a y a b o v e , x x " (cid:26) N R N N R (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:13) h i c h i s t h e v a l u e o f . H e n c e , a n d a n d c o i n c i d e o n l y f o r = 1 ( i n w h i c h c a s e (cid:21) h e c o v a r i a n c e m a t r i x b e c o m e s s i n g u l a r ) . R 2 r o p o s i t i o n 4 (cid:12) (cid:27) (cid:20) (cid:26) (cid:27) (cid:13) (cid:13) (cid:26) i s i n c r e a s i n g i n , , a n d d e c r e a s i n g i n , , i n c r e a s i n g i n f o r a n d x " (cid:20) R N R N R N 2 (cid:13) (cid:13) > (cid:26) a > a b > b (cid:12) > (cid:12) e c r e a s i n g i n f o r . F u r t h e r m o r e , , a n d . h e l a t t e r i m p l i c a t i o n m a k e s t h e p r i c e m o r e v o l a t i l e a n d l e s s i n f o r m a t i v e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l h a n w h e n t h e y a r e n a i v e . T h e r e s u l t s o f p r o p o s i t i o n ( 4 ) a r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y (cid:12) r s t . I n t h e 2 (cid:26) 1 (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:0) o l l o w i n g , o n e s h o u l d r e m a i n a w a r e t h a t t h e s o l u t i o n t o ( 1 2 ) i s t h e v a l u e o f r i g h t o f w h e r e x (cid:26) (cid:13) (cid:26) 1 0 (cid:13) (cid:26) 1 0 7 1 2 < (cid:13) < < (cid:26) < G ; G ; x ; " T h e m a t r ix w it h 1 1 a n d 0 1 is t h e c o v a r ia n c e m a t r ix o f ( ) (cid:0) 0 1 (cid:26) (cid:26) 1 0 2 (cid:27) 0 0 0 " B C 2 (cid:13) > (cid:26) (cid:13) (cid:26) r o v id e d it is p o s it iv e d e (cid:12) n it e , i.e , if a n d o n ly if 2 1 . O n c e h a s b e e n c h o s e n , m u s t b e b e t w e e n 0 a n d @ A (cid:0) + 1 (cid:13) . 2 9

v f o S i o (cid:12) n a p i I i (cid:13) a (cid:20) (cid:20) a a C a p i (cid:12) u (cid:27) v u (cid:12) a n d i n t e r s e c t . I n c r e a s i n g s h i f t s d o w n w a r d s , b u t d o e s n o t a (cid:11) e c t , t h e r e f o r e i s a d e c r e a s i n g " (cid:27) (cid:20) (cid:27) v u (cid:12) u n c t i o n o f . I n c r e a s i n g o r p u s h e s u p a n d d o w n , t h e r e f o r e i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n " x (cid:26) u v (cid:12) f t h o s e p a r a m e t e r s . S i m i l a r l y , i n c r e a s i n g s h i f t s u p a n d d o w n , l o w e r i n g t h e e q u i l i b r i u m . (cid:13) v u i n c e i n c r e a s i n g t h e v a l u e o f f r o m i t s m i n i m u m v a l u e (cid:12) r s t s h i f t s u p a n d t h e n d o w n , a n d i s 2 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:26) ; (cid:26) (cid:26) ; n d e p e n d e n t o f , i s i n c r e a s i n g i n f o r ( 1 2 ] a n d d e c r e a s i n g o n ( 1 ) . T h e r e s u l t s 2 (cid:0) (cid:22) (cid:20) (cid:27) f p r o p o s i t i o n ( 4 ) c a n b e a l s o i n t r o d u c e d u s i n g t h e i m p l i e d f u n c t i o n t h e o r e m . L e t = a n d x @ ’ @ (cid:30) @ x (cid:30) (cid:26) ; (cid:13) ; (cid:22) ; (cid:27) (cid:12) ’ (cid:26) ; (cid:13) ; (cid:22) ; (cid:27) ; (cid:12) x (cid:26) ; (cid:13) ; (cid:22) ; (cid:27) = ( ) t h e s u c h t h a t ( ) = 0 . L e t , t h e n = f o r @ ’ " " " @ x @ (cid:12) 2 f g (cid:0) 2 @ ’ (cid:26) 1 2 2 (cid:27) (cid:12) (cid:26) (cid:12) (cid:22) (cid:26) (cid:12) > (cid:22) (cid:0) o n - z e r o v a l u e s o f t h e d e n o m i n a t o r . = ( 3 2 ( 1 ) ) i s p o s i t i v e s i n c e f o r " @ (cid:12) (cid:26) (cid:0) (cid:0) @ ’ @ ’ @ ’ @ ’ 2 (cid:13) (cid:26) > < (cid:13) < (cid:26) > d m i s s i b l e v a l u e s o f a n d . A l s o , 0 , 0 , i s n e g a t i v e f o r a n d 0 , a n d @ (cid:26) @ (cid:22) @ (cid:27) @ (cid:13) " 2 (cid:13) > (cid:26) (cid:12) (cid:26) (cid:27) (cid:20) (cid:27) o s i t i v e f o r . H e n c e , t h e e q u i l i b r i u m i s d e c r e a s i n g i n a n d , i n c r e a s i n g i n a n d , " x 2 2 (cid:13) (cid:13) (cid:26) (cid:13) (cid:13) > (cid:26) n c r e a s i n g i n f o r a n d d e c r e a s i n g i n f o r . (cid:20) 2 (cid:26) ( 2 ) R N 2 I (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:27) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 2 T h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s ( ) = , w h e r e i s t h e e q u i l i b r i u m o r . " (cid:13) (cid:27) (cid:12) 2 ( 1 + ) + " t f o l l o w s t h a t t h e p r i c e i s a l w a y s l e s s i n f o r m a t i v e t h a n w i t h n a i v e t r a d e r s . T h e i n f o r m a t i v e n e s s (cid:13) s e q u a l a c r o s s t h e t w o t y p e s o f t r a d e r s a t t h e b o u n d a r y o f t h e p a r a m e t e r s p a c e , i .e ., i f = 1 o r 2 (cid:26) (cid:20) (cid:27) = 2 1 , o r i f = 0 ( t h a t i s , i f t h e r e i s n o n o i s e t r a d e r s o r , a t t h e l i m i t , i f t h e i n f o r m e d t r a d e r s x (cid:0) r e r i s k - n e u t r a l ) . W i t h b o t h r a t i o n a l a n d n a i v e t r a d e r s , t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s d e c r e a s i n g i n (cid:27) . x 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) (cid:26) (cid:27) 2 ( 1 ) + x " [ ] 1 (cid:0) (cid:0) a (cid:18) 1 2 2 2 R e c a l l t h a t , w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , = . S u b s t i t u t i n g i n = 2 + (cid:0) (cid:18) (cid:13) (cid:12) (cid:27) ( 1 + ) " (cid:0) 2 2 (cid:13) (cid:12) (cid:27) 2 ( 1 ) + " 2 2 (cid:0) (cid:27) (cid:26) 2 2 2 1 ) o n e g e t s , x (cid:13) (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:17) 2 2 (cid:26) (cid:27) (cid:12) (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:13) + 2 ( 1 ) x x " a (cid:12) ; (cid:13) ( ) = (cid:0) 2 2 2 2 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:12) (cid:27) (cid:13) (cid:20) (cid:27) (cid:13) (cid:26) (cid:13) ( 2 + ( 1 ) ) + ( 2 ( 1 + ) + ( 1 + 2 ) ) ( 1 ) x " x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:26) (cid:27) x @ a N 2 (cid:12) ; a (cid:12) (cid:26) < (cid:13) < < 2 2 ( 1 ) = = d o e s n o t d e p e n d o n . B e s i d e s , s i n c e 2 1 1 , 0 : @ (cid:13) (cid:20) (cid:27) (cid:26) 2 + ( 1 ) x (cid:0) (cid:0) N (cid:12) ; (cid:13) (cid:13) a (cid:12) ; (cid:12) a (cid:12) ; (cid:13) > a (cid:12) ( ) i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f a n d ( 1 ) i s i n d e p e n d e n t o f . H e n c e , ( ) f o r a l l . R N R N R N 2 (cid:26) < (cid:13) < a > a (cid:12) > (cid:12) b > b o n s e q u e n t l y , f o r 2 1 1 , . M o r e o v e r , w e s h o w e d t h a t . H e n c e , , (cid:0) 2 (cid:26) ( 2 ) 2 2 2 v a r a (cid:13) (cid:27) b I 2 2 , t h e p r i c e v a r i a n c e i s g r e a t e r a n d t h e n d , s i n c e = 2 ( 2 + ) + , a n d = p p " (cid:13) (cid:27) (cid:12) 2 ( 1 + ) + " r i c e i n f o r m a t i v e n e s s l o w e r w i t h r a t i o n a l t r a d e r s t h a n w i t h n a i v e o n e s . I (cid:27) (cid:12) (cid:27) T h e n o i s e v a r i a n c e a (cid:11) e c t s t h r o u g h , w h i c h i s i n c r e a s i n g i n . T h i s r e s u l t c a n a l s o b e p " " @ (cid:30) (cid:27) n t r o d u c e d u s i n g t h e i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m a n d n o t i n g t h a t = ( ) h a s t h e s a m e s i g n a s " @ (cid:27) " @ ’ @ ’ 2 3 (cid:27) (cid:27) (cid:26) (cid:12) > = 0 . " " @ (cid:12) @ (cid:27) " (cid:0) 1 0

3 I P t i t P p e i F o e d l a f a i t t b L i t t E q u i l i b r i u m w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s w i t h i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d s i g n a l s n t h a t c a s e , t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e a n d i t s v a r i a n c e a r e , r e s p e c t i v e l y : 2 2 (cid:26) n I 2 2 = , p n (cid:12) (cid:27) + " (cid:15) 2 2 2 v a r a n b (cid:27) = + . p " (cid:15) r o p o s i t i o n 5 B o t h w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d w h e n t h e y a r e n a i v e , t h e i n f o r m a - (cid:26) (cid:20) (cid:27) (cid:27) i v e n e s s o f t h e e q u i li b r i u m p r i c e i s i n c r e a s i n g i n a n d d e c r e a s i n g i n , , a n d . T h e p r i c e x " 2 (cid:26) 1 + n n n 2 w h e n n f o r m a t i v e n e s s i n c r e a s e s i n f o r a l l v a lu e s o f w h e n t r a d e r s a r e n a i v e , a n d f o r (cid:26) 2 (cid:21) h e y a r e r a t i o n a l. r o o f s o f p r o p o s i t i o n ( 5 ) a r e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . W h e n t r a d e r s a r e n a i v e , t h e n r i c e v a r i a n c e i s d e c r e a s i n g i n a f t e r s o m e t h r e s h o l d . A v e r y i n t e r e s t i n g r e s u l t o f t h e n u m e r i c a l x a m p l e s i s t h a t , w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e p r i c e v a r i a n c e c a n b e i n c r e a s i n g n t h e n u m b e r o f t r a d e r s ( s e e F i g u r e ( 3 ) ) . T h i s r e s u l t s t a n d s i n c o n t r a s t w i t h t h e a r g u m e n t o f r i e d m a n ( 1 9 9 6 ) w h o a t t r i b u t e s t h e i n c r e a s e d p r i c e v o l a t i l i t y b r o u g h t a b o u t b y t h e g r o w i n g r o l e f i n s t i t u t i o n a l o f i n v e s t o r s t o a r e d u c t i o n o f t h e n u m b e r o f a g e n t s a c t i n g i n d e p e n d e n t l y . T w o (cid:11) e c t s a r e a t p l a y w h e n m o r e r a t i o n a l t r a d e r s e n t e r t h e m a r k e t w i t h i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y i s t r i b u t e d p r i v a t e s i g n a l s . F i r s t , s i n c e t h e p r i c e i s a n a v e r a g e o f t h o s e s i g n a l s , i t t e n d s t o b e c o m e e s s v o l a t i l e . T h i s i s q u i t e s i m i l a r t o t h e d e c r e a s e i n p r i c e v o l a t i l i t y b r o u g h t a b o u t b y a v e r a g i n g l a r g e r n u m b e r o f o r d e r s i n P a g a n o ( 1 9 8 9 ) , a l t h o u g h d e m a n d s f o r t h e a s s e t i n t h a t m o d e l s t e m r o m t h e r e b a l a n c i n g o f p o r t f o l i o s , n o t f r o m p r i v a t e i n f o r m a t i o n . W h e n t r a d e r s a r e n a i v e , o n l y t h i s v e r a g i n g e (cid:11) e c t e x i s t s . M o r e o v e r , w i t h b o t h n a i v e a n d r a t i o n a l t r a d e r s , a n i n c r e a s e i n t h e p o o l o f n f o r m e d t r a d e r s b r i n g s m o r e i n f o r m a t i o n i n t o t h e m a r k e t ( s e e F i g u r e ( 2 ) ) , b e c a u s e , e v e n t h o u g h h e i r s i g n a l s h a v e t h e s a m e d i s t r i b u t i o n , t h e y m a y h a v e d i (cid:11) e r e n t r e a l i z a t i o n s ( a l l t h e m o r e s o a s h e y a r e i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d ) . T h e i n c r e a s e i n t h e a v a i l a b l e i n f o r m a t i o n , w h i c h i s r e (cid:13) e c t e d y t h e p r i c e i n e q u i l i b r i u m , a (cid:11) e c t s d i (cid:11) e r e n t l y t h e d e m a n d o f n a i v e t r a d e r s a n d o f r a t i o n a l t r a d e r s . o o s e l y s p e a k i n g , r a t i o n a l t r a d e r s a r e a w a r e t h a t t h e p r i c e i s m o r e i n f o r m a t i v e b e c a u s e t h e y i n c l u d e t i n t h e i r c o n d i t i o n i n g i n f o r m a t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e y r e a c t m o r e s t r o n g l y t o a d e v i a t i o n b e t w e e n v p h e i r v a l u a t i o n , , a n d t h e m a r k e t p r i c e , . I n c o n t r a s t , t h e n a i v e t r a d e r s d o n ’t . M o r e p r e c i s e l y , i 1 v p (cid:11) H G h e d e m a n d o f e a c h t r a d e r e q u a l s t h e p r o d u c t o f a n d = , w h e r e = w h e n t h e i i i i (cid:21) v a r x H ( ) i (cid:0) j 1 1

H G ; p (cid:11) t r a d e r i s n a i v e a n d = ( ) w h e n t h e y a r e r a t i o n a l . N a i v e t r a d e r s ’ d o n o t r e a c t t o a c h a n g e i i i (cid:11) p i n t h e i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e , w h e r e a s r a t i o n a l t r a d e r s ’ i n c r e a s e w h e n b e c o m e s m o r e i i n f o r m a t i v e . C o n s e q u e n t l y , r a t i o n a l t r a d e r s t r a n s a c t m o r e a g g r e s s i v e l y , i m p a r t i n g m o r e v a r i a n c e t o v t h e p r i c e . I n o t h e r w o r d s , t h e v a l u a t i o n s t h a t t h e p r i c e a v e r a g e s ( t h e ) b e c o m e m o r e p r e c i s e a n d i c o n s e q u e n t l y m o r e v o l a t i l e s i n c e t h e y a b s o r b p a r t o f t h e i n f o r m a t i o n o f t h e o t h e r s i g n a l s . T h e n e t e (cid:11) e c t o n t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s n o t d e (cid:12) n e d a p r i o r i a n d c a n w e l l b e s o m e e n d o g e n o u s v o l a t i l i t y . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t i m p l y t h a t a t r a n s a c t i o n t a x w o u l d r e d u c e p r i c e v o l a t i l i t y o r i n c r e a s e t h e w e l f a r e o f l i q u i d i t y t r a d e r s . 3 . 1 E q u i l i b r i u m w i t h n a i v e t r a d e r s 2 2 1 v E x G (cid:26) (cid:27) G v a r x G (cid:27) (cid:26) i (cid:18) n W h e n t h e t r a d e r s a r e n a i v e , = [ ] = a n d ( ) = ( 1 ) , a l l , a n d = i i x i i (cid:0) x j j (cid:0) (cid:0) n n 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:26) p (cid:18) v n (cid:18) " p a G b " ( 1 ) . U s i n g = + ( 1 ) , a n d = + , w e g e t i i x i i = 1 = 1 (cid:0) (cid:0) P P (cid:26) (cid:27) x N a 2 2 = n (cid:20) (cid:27) (cid:26) + ( 1 ) x (cid:0) 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:26) ( 1 ) N x ( 1 4 ) (cid:0) b 2 2 = n (cid:20) (cid:27) (cid:26) + ( 1 ) x (cid:0)2 (cid:26) ( 1 ) N (cid:0) (cid:12) (cid:20) (cid:27) = x (cid:26) N (cid:12) W h e n t r a d e r s a r e n a i v e , t h e e q u i l i b r i u m i s i n d e p e n d e n t o f t h e n u m b e r o f t r a d e r s , w h i c h i m p l i e s N n (cid:12) I t h a t t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i n c r e a s i n g i n . I t a l s o i m p l i e s t h a t t h e p r o p e r t i e s o f a n d p n d e r i v e d w i t h t w o t r a d e r s s t i l l h o l d . T h e u p p e r b o u n d o f t h e s e t o f a d m i s s i b l e v a l u e s f o r | t h o s e f o r 1 G x 2 w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x b e t w e e n t h e ’s a n d i s p o s i t i v e d e (cid:12) n i t e | i s . T h e p r i c e v a r i a n c e i (cid:26) 2 2 2 2 2 (cid:26) (cid:27) n (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:27) ( ) + ( 1 ) x x " [ ] (cid:0) n v a r 2 . I t r e m a i n s (cid:12) n i t e e v e n w h e n a t t a i n s i t s u p p e r b o u n d . T h e s i g n o f i s = p 2 2 n (cid:20) (cid:27) (cid:26) [ + ( 1 ) ] x (cid:0) @ 2 2 v a r n (cid:20) (cid:27) (cid:26) i s n o t d e t e r m i n e d a p r i o r i , b u t , i s n e g a t i v e f o r ( 1 ) . p x @ n (cid:21) (cid:0) 3 . 2 E q u i l i b r i u m w i t h r a t i o n a l t r a d e r s U s i n g t h e s a m e r e a s o n i n g a s w i t h t w o t r a d e r s , w e g e t : v E x G ; p = [ ] 1 1 j E x G ; a G : : : G b " = [ ( + + ) + ] n 1 1 j E x G ; G : : : G (cid:12) " = [ + + + ] n 1 2 j ( 1 5 ) E x G E x G : : : G (cid:12) " = [ ] + [ + + + ] n 1 2 j j c o v x ;G ::: G (cid:12) " 2 ( + + + ) n G : : : G (cid:12) " (cid:27) (cid:26) G ( + + + ) = + n x 1 2 v a r G ::: G (cid:12) " 2 [ + + + ] n n (cid:27) (cid:26) ( 1 ) x (cid:0) (cid:27) (cid:26) G G : : : G (cid:12) " 2 2 = + ( + + + ) x n 1 2 n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + " (cid:0) 1 2

C T H w O w S a ( h i p A a s i d w o n s e q u e n t l y , n n 2 n n (cid:27) (cid:26) n ( 1 ) ( 1 ) x v (cid:27) (cid:26) G (cid:12) " + = 1 + (cid:0) (cid:0) i x i 2 2 2 2 n (cid:12) (cid:27) n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + ( 1 ) + " " ! ! i i = 1 = 1 (cid:0) (cid:0) X X n 1 1 1 2 2 (cid:18) p v (cid:18) n " (cid:18) n (cid:20) (cid:27) E v o u s e = + ( ) , n o t e t h a t = ( [ ]) a n d i (cid:0) (cid:0) (cid:0) i x = 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) P 2 2 2 E v E E x G E E x G : : : G (cid:12) " [ ] = [ [ ] ] + [ [ + + + ] ] n 1 2 1 n j j 2 G (cid:12) " c o v x ; + ) ] [ ( j = 2 i 2 n (cid:27) (cid:26) = ( ) + x G (cid:12) " v a r + ) ( j = 1 i ( 1 6 ) 2 2 P n (cid:27) (cid:26) ( 1 ) ( ) x 2 (cid:0) (cid:27) (cid:26) 2 2 = ( ) + x P n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + " (cid:0) 2 2 n n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + " 2 (cid:0) (cid:27) (cid:26) 2 2 = ( ) x n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + " (cid:0) 2 2 2 2 n (cid:26) n (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) n n " 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) p a G b " p (cid:18) v (cid:18) " (cid:18) n (cid:20) (cid:27) 2 2 . U s i n g = + a n d = + , e n c e = i i i n (cid:0) + 1 x i i = 1 = 1 n (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) (cid:0) P P e g e t 2 2 2 2 (cid:26) n n (cid:12) (cid:20) (cid:27) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) x " (cid:12) = ( 1 7 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:26) n n (cid:12) (cid:27) [ ( 1 ) + ] " (cid:2) (cid:3) (cid:0) r , e q u i v a l e n t l y , u (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) v n ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) ; (cid:27) ( ) = ( ) ( 1 8 ) x x " i t h 3 2 2 u (cid:12) ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:26) (cid:12) ( ) = ( 1 ) x x (cid:0) (cid:0) ( 1 9 ) (cid:20) (cid:27) x 2 v n ; (cid:26) ; (cid:20) (cid:27) ; (cid:27) n n (cid:26) 2 ( ) = ( 1 ) ( 1 ) x " (cid:27) " (cid:0) (cid:0) 1 n (cid:20) (cid:27) > v u n < 2 , 2 , a n d 0 , t h e f u n c t i o n i s a l w a y s p o s i t i v e . T h e f u n c t i o n i s t h e s a m e i n c e x (cid:26) (cid:21) (cid:12) s i n t h e s e c t i o n o n t h e e q u i l i b r i u m w i t h t w o i n f o r m e d t r a d e r s . C o n s e q u e n t l y , t h e t h a t s o l v e s 2 (cid:26) 1 (cid:20) (cid:27) (cid:12) v 1 8 ) i s s u p e r i o r t o (cid:0) , w h i c h i s t h e v a l u e o f w h e n t r a d e r s a r e n a i v e . T h e f u n c t i o n , a n d x (cid:26) 2 2 (cid:26) (cid:26) 1 + 1 + n I (cid:12) n n < 2 2 e n c e , a r e i n c r e a s i n g i n f o r a n d d e c r e a s i n g f o r . T h i s i m p l i e s t h a t i s p (cid:26) (cid:26) 2 2 (cid:21) 2 @ I @ I p (cid:26) p 1 + n n > < 2 n c r e a s i n g i n w h e n , s i n c e 0 a n d 0 . N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w e d t h a t t h e @ n @ (cid:12) (cid:26) 2 (cid:21) 2 2 (cid:26) (cid:26) 1 + 1 1 n n < n v (cid:12) (cid:20) (cid:27) 2 2 . A s , 0 a n d . r i c e i n f o r m a t i v e n e s s w a s a l s o i n c r e a s i n g i n f o r (cid:0) x (cid:26) (cid:26) (cid:26) 2 ! ! ! s a c o n s e q u e n c e t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s a l w a y s l o w e r w i t h r a t i o n a l t h a n w i t h n a i v e t r a d e r s n d t h e t w o c o n v e r g e t o t h e s a m e v a l u e a s t h e n u m b e r o f t r a d e r s t e n d s t o i t s u p p e r b o u n d . T h e (cid:12) (cid:26) (cid:27) a m e r e a s o n i n g a s f o r t h e c a s e w i t h t w o t r a d e r s s h o w s t h a t t h e i s d e c r e a s i n g i n a n d , a n d " (cid:20) (cid:27) (cid:26) n c r e a s i n g i n a n d . A s i n t h e t w o - t r a d e r c a s e , t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i n c r e a s i n g i n , a n d x (cid:20) (cid:27) (cid:27) a b e c r e a s i n g i n , a n d ( t h e p r o o f s a r e s i m i l a r ) , w h i l e t h e p r i c e v a r i a n c e d e p e n d s o n a n d , x " (cid:12) R h i c h c a n b e c o m p u t e d a s f u n c t i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m . A s b e f o r e , t h e s u p e r s c r i p t d e n o t e s t h e 1 3

c a s e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l . 2 2 (cid:27) (cid:26) n n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + x " ] [ R (cid:0) a 2 2 2 2 2 2 2 = n n (cid:12) (cid:27) (cid:20) (cid:27) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( 1 + ) + ( ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ) " x " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 2 2 2 ( 2 0 ) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) (cid:26) (cid:27) n n (cid:12) (cid:20) (cid:27) ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + x " x ) ( R (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b 2 2 2 2 2 2 2 = n n (cid:12) (cid:27) (cid:20) (cid:27) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( 1 + ) + ( ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ) " x " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) R N R N R N a > a n b > b (cid:12) > (cid:12) E q u a t i o n s ( 2 0 ) a n d ( 1 4 ) s h o w t h a t f o r 2 . T h i s i m p l i e s t h a t s i n c e . (cid:21) A s a c o n s e q u e n c e , t h e p r i c e v a r i a n c e i s h i g h e r w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l t h a n w h e n t h e y a r e n a i v e . R R N N R N 1 a b a b (cid:12) (cid:12) n 2 , a n d d o n ’t c o n v e r g e t o a n d . A l t h o u g h c o n v e r g e s t o w h e n (cid:26) ! 3 . 3 E q u i l i b r i u m w i t h t r a n s a c t i o n c o s t s I n t h i s s e c t i o n , s o m e i m p e d i m e n t s t o t r a d e a r e i n t r o d u c e d i n t h e m a r k e t , s u c h a s a p r o p o r t i o n a l t a x o n p r o (cid:12) t a n d a t r a n s a c t i o n c o s t ( w h i c h c a n a l s o b e t h o u g h t o f a s a t r a n s a c t i o n t a x ) . T h e s e c o s t s a r e i m p o s e d o n t h e i n f o r m e d t r a d e r s b u t n o t o n t h e l i q u i d i t y t r a d e r , p a r t l y b e c a u s e p r o p o n e n t s o f a t r a n s a c t i o n t a x , f o r e x a m p l e , p r e t e n d t o d e f e n d l i q u i d i t y t r a d e r s , n o t t o i n c r e a s e t h e i r c o s t s . A n o t h e r r e a s o n i s t h a t t h e l i q u i d i t y t r a d e r ’s d e m a n d , a l t h o u g h p r i c e - s e n s i t i v e , d o e s n o t s t e m f r o m m a x i m i z i n g a p r o p e r u t i l i t y f u n c t i o n , s o t h a t w e c a n n o t p r e d i c t h o w i t w i l l r e a c t t o c h a n g e s i n t r a n s a c t i o n c o s t s . I n t h e f o l l o w i n g , w e w i l l e x a m i n e t w o t y p e s o f f r i c t i o n s : a p r o p o r t i o n a l t a x o n p r o (cid:12) t , a c o s t q u a d r a t i c i n t h e a m o u n t t r a n s a c t e d . (cid:28) (cid:21) A p r o p o r t i o n a l t a x o n p r o (cid:12) t s a t a r a t e c a n b e a c c o m m o d a t e d i n t h e m o d e l b y r e p l a c i n g , (cid:21) (cid:28) t h e r i s k a v e r s i o n c o e (cid:14) c i e n t o f t h e i n f o r m e d t r a d e r ’s , b y ( 1 ) . C o n s e q u e n t l y , w h e n t r a d e r s a r e (cid:0) n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , i n t r o d u c i n g s u c h a t a x o r i n c r e a s i n g t h e t a x r a t e d e c r e a s e s n o t 8 o n l y t h e v o l a t i l i t y o f p r i c e b u t a l s o i t s i n f o r m a t i v e n e s s . n n I n t h e r e m a i n d e r , w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e t r a d e r s , w i t h 2 , a n d t h a t t h e i r s i g n a l s a r e (cid:21) i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d . A t r a n s a c t i o n c o s t i s i n t r o d u c e d t h a t i s q u a d r a t i c i n t h e 1 9 2 c y y i c o r d e r s i z e , t h e t o t a l c o s t i s w h e r e i s t r a d e r ’s d e m a n d a n d i s c a l l e d t h e c o s t c o e (cid:14) c i e n t . i i 2 H G H G ; p i W i t h = w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e a n d = ( ) w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , t r a d e r ’s i i i i o b j e c t i v e f u n c t i o n i s n o w c 1 2 2 E y x p H (cid:21) y v a r x H y : [ ( ) ] ( ) ( 2 1 ) i i i i i 2 2 (cid:0) j (cid:0) j (cid:0) 8 T h e r e s u lt s h a v e b e e n o b t a in e d a n a ly t ic a lly fo r t h e p r ic e in fo r m a t iv e n e s s a n d n u m e r ic a lly fo r t h e p r ic e v a r ia n c e . 9 y L e t t in g t h e t r a n s a c t io n c o s t b e p r o p o r t io n a l t o t h e o r d e r s iz e w o u ld r e s u lt in a n o n - d i(cid:11) e r e n t ia b le o b je c t iv e j i j fu n c t io n a n d m a k e t h e d e m a n d fu n c t io n in t r a c t a b le . 1 4

T R i a p t 3 W T i s i r a a F c 3 U w h e o p t i m a l d e m a n d f u n c t i o n i s E x H p [ ] i y : = ( 2 2 ) j (cid:0) i (cid:21) v a r x H c ( ) + i j y e p l a c i n g b y i t s v a l u e i n ( 2 2 ) s h o w s t h a t t h e o p t i m i z e d o b j e c t i v e f u n c t i o n i n e q u a t i o n ( 2 1 ) i s n e v e r n e g a t i v e , t h e r e f o r e , t h e i n f o r m e d t r a d e r w i l l a l w a y s r e m a i n i n t h e m a r k e t ( a s s u m i n g t h e l t e r n a t i v e t o t r a d e i s t o d o , a n d g a i n , n o t h i n g ) . A s b e f o r e , a s s u m i n g t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ p r i v a t e s i g n a l s a r e i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , t h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e i s s u c h n 1 p (cid:18) v n (cid:18) " (cid:18) s (cid:21) v a r x H c n h a t = + ( 1 ) , w h e r e = ( ( ) ) + ) + . i i (cid:0) i= 1 (cid:0) j P . 3 . 1 E q u i l i b r i u m w i t h n a i v e t r a d e r s 2 2 v E x G (cid:27) (cid:26) G v a r x G (cid:27) (cid:26) h e n t r a d e r s a r e n a i v e = [ ] = a n d [ ] = ( 1 ) , w h i c h i m p l i e s t h a t i i x i i x j j (cid:0) (cid:27) (cid:26) x N a 2 2 = n (cid:21) s (cid:27) (cid:26) c s + ( 1 ) + x (cid:0) 2 2 (cid:21) s (cid:27) (cid:26) c s ( 1 ) + N x ( 2 3 ) (cid:0) b 2 2 = n (cid:21) s (cid:27) (cid:26) c s + ( 1 ) + x (cid:0) 2 2 (cid:21) s (cid:27) (cid:26) c s ( 1 ) + N x (cid:0) (cid:12) = (cid:27) (cid:26) x N (cid:12) c h i s s h o w s t h a t i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e c o s t c o e (cid:14) c i e n t , , a n d t h e r e f o r e t h a t t h e p r i c e N I c n f o r m a t i v e n e s s i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f . F r o m w h a t p r e c e d e s , i t c a n b e p r o v e n t h a t t h e p @ v a r c (cid:21) s (cid:27) (cid:26) i s i n c r e a s i n g i n , , , , a n d d e c r e a s i n g i n . H e n c e , t h e l i k e l i h o o d t h a t a n i n c r e a s e i g n o f p " @ c c n t h e t r a n s a c t i o n c o s t f a c t o r w o u l d b o o s t t h e p r i c e v a r i a n c e i s i n c r e a s i n g i n t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ i s k a v e r s i o n , t h e p r i c e s e n s i t i v i t y o f t h e l i q u i d i t y d e m a n d , t h e v o l a t i l i t y o f t h e l i q u i d i t y s h o c k , n d d e c r e a s i n g i n t h e p r e c i s i o n o f t h e i n f o r m a t i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s . A l s o r a i s i n g t h e c o s t b o v e s o m e t h r e s h o l d ( d e p e n d i n g o n t h e o t h e r p a r a m e t e r s ) w i l l i n c r e a s e t h e v o l a t i l i t y o f t h e p r i c e . i g u r e s ( 5 ) a n d ( 4 ) s h o w t h e v a r i a n c e a n d i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e w h e n t h e t r a n s a c t i o n c o s t c (cid:26) : (cid:20) (cid:27) (cid:27) o e (cid:14) c i e n t i n c r e a s e s a n d = 2 5 a n d = = = 1 . x " . 3 . 2 E q u i l i b r i u m w i t h r a t i o n a l t r a d e r s 2 2 2 2 n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) n n 1 2 " (cid:0) (cid:0) (cid:0) p a G b " (cid:18) v n (cid:18) " (cid:18) n (cid:21) s (cid:27) c s 2 2 s i n g = + = + ( 1 ) , a n d = + , i i (cid:0) i i x = 1 = 1 n (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) (cid:0) (cid:0) P P e g e t 2 2 n n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + n 1 " (cid:0) (cid:18) p (cid:27) (cid:26) G 2 2 = x i (cid:0) i= 1 n (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 4 ) (cid:26) n n (cid:27) (cid:12) (cid:21) s (cid:27) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) n (cid:12) (cid:27) c s ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 + ) x x " " [ ] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P " 2 2 + n (cid:12) (cid:27) 1 + " (cid:0) 1 5

I E w T d f a T a n r t a (cid:20) w v i e \ c (cid:12) t f o l l o w s f r o m a b o v e t h a t t h e e q u i l i b r i u m s o l v e s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n 2 2 2 2 2 2 (cid:26) (cid:27) n n (cid:12) (cid:21) s (cid:27) n n (cid:26) (cid:21) s (cid:27) (cid:26) c s (cid:12) (cid:27) n c s ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( ( 1 ) + ) + ( 1 ) x x x " (cid:12) = ( 2 5 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:27) (cid:26) n n (cid:12) (cid:27) ( ( 1 ) + ) x " (cid:0) (cid:12) q u i v a l e n t l y , t h e e q u i l i b r i u m s o l v e s u (cid:12) ; c ; (cid:26) ; (cid:21) ; s ; (cid:27) v c ; (cid:26) ; n ; (cid:21) ; s ; (cid:27) ; (cid:27) ( ) = ( ) ( 2 6 ) x " x i t h 3 2 2 2 u (cid:12) ; c ; (cid:26) ; (cid:21) ; s ; (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:12) s (cid:21) (cid:27) (cid:26) c (cid:12) ( ) = ( ( 1 ) + ) x x x (cid:0) (cid:0) ( 2 7 ) n s ( 1 ) 2 2 (cid:0) v c ; (cid:26) ; n ; (cid:21) ; s ; (cid:27) ; (cid:27) (cid:21) (cid:27) n (cid:26) c 2 ( ) = ( 1 ) + " x x (cid:27) " (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:12) u v c u v h e e q u i l i b r i u m l i e s a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a n d . I n c r e a s i n g s h i f t s t o t h e r i g h t a n d d o w n , (cid:12) c r i v i n g u p . I t f o l l o w s t h a t t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s d e c r e a s i n g i n s i n c e i t i s a d e c r e a s i n g (cid:12) c (cid:12) c u n c t i o n o f a n d d e p e n d s i n o n l y t h r o u g h . T h e p r i c e v a r i a n c e d e p e n d s a l s o o n o n l y t h r o u g h b (cid:12) a n d , w h i c h a s f u n c t i o n s o f a r e a s f o l l o w s . 2 2 (cid:27) (cid:26) n n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + x " [ ] R (cid:0) a 2 2 2 2 2 2 2 = n s c n (cid:12) (cid:27) (cid:21) s (cid:27) n (cid:26) n (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( + ) ( 1 + ) + [( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ] " x " 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 8 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n (cid:27) (cid:26) (cid:12) (cid:21) s (cid:27) n n (cid:26) (cid:26) (cid:12) (cid:27) n (cid:27) (cid:12) c s ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 + ) x x " " [ ] R (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b 2 2 2 2 2 2 2 = n s c n (cid:12) (cid:27) (cid:21) s (cid:27) n (cid:26) n (cid:26) (cid:12) (cid:27) ( + ) ( 1 + ) + [( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ] " x " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) @ v a r n h e s i g n o f d e p e n d s o n t h e v a l u e s o f t h e o t h e r p a r a m e t e r s , i n p a r t i c u l a r , w h i c h d i d n o t p @ c p p e a r i n t h e n a i v e c a s e . N u m e r i c a l e x a m p l e s c o n (cid:12) r m t h e r e s u l t s o b t a i n e d a s s u m i n g t r a d e r s a r e a i v e . I n t r o d u c i n g a t r a n s a c t i o n c o s t t e n d s t o l e a d t o a n i n c r e a s e i n t h e p r i c e v a r i a n c e , t h e m o r e i s k a v e r s e t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e , t h e l e s s p r e c i s e t h e i r i n f o r m a t i o n i s , t h e m o r e p r i c e s e n s i t i v e h e l i q u i d i t y t r a d e r s a r e , a n d t h e m o r e v o l a t i l e t h e i r s h o c k i s . F i g u r e s ( 7 ) a n d ( 6 ) s h o w t h e v a r i a n c e c (cid:26) : n d i n f o r m a t i v e n e s s o f t h e p r i c e w h e n t h e t r a n s a c t i o n c o s t c o e (cid:14) c i e n t i n c r e a s e s a n d = 2 5 a n d (cid:27) (cid:27) c = = = 1 . T h e e (cid:11) e c t o f i n c r e a s i n g o n t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s s e e m s t o b e f a i r l y s i m i l a r x " h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , w h e r e a s t h e e (cid:11) e c t o n t h e p r i c e v a r i a n c e i s e r y d i (cid:11) e r e n t . W h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , a t r a n s a c t i o n t a x m i g h t b r i n g v o l a t i l i t y d o w n . B e t h e n f o r m e d t r a d e r s n a i v e o r r a t i o n a l , i n c r e a s i n g t h e t r a n s a c t i o n t a x c o u l d l o w e r l i q u i d i t y t r a d e r ’s s 2 E " p x p e c t e d c o n s u m e r s u r p l u s , [( ) ], ( s e e F i g u r e s ( 8 ) a n d ( 9 ) ) . 2 (cid:0) H e n c e , c o n t r a r y t o t h e v i e w t h a t \ t h r o w i n g s o m e s a n d " i n t h e m a r k e t ’s w h e e l s w i l l c o n t r o l e x c e s s i v e v o l a t i l i t y " , a t r a n s a c t i o n t a x c o u l d w e l l h e i g h t e n m a r k e t ’s v o l a t i l i t y . T h e o n l y c e r t a i n o n s e q u e n c e f r o m t h e m o d e l o f s u c h a p o l i c y w o u l d b e t o m a k e m a r k e t s l e s s i n f o r m a t i v e . K u p i e c 1 6

( r p K 3 T a i S b f F a t v n E i v e i b p a t 1 9 9 6 ) h a d a l r e a d y s h o w n t h a t i n t r o d u c i n g a t r a n s a c t i o n t a x c o u l d h a v e p e r v e r s e e (cid:11) e c t s . I s s u e s e l a t e d t o a s e c u r i t i e s t r a n s a c t i o n t a x a r e r e v i e w e d i n H a m m o n d ( 1 9 9 5 ) . T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e a p e r t o t h i s d e b a t e i s t o p o i n t o u t t o s i m i l a r r e s u l t s i m p o s i n g a s l i t t l e s t r u c t u r e a s p o s s i b l e ; u p i e c ’s r e s u l t s a r e b a s e d o n a m o r e c o m p l e x , o v e r l a p p i n g - g e n e r a t i o n m o d e l . . 4 E x p e c t e d T r a d i n g V o l u m e n + 1 + z y h e t r a d i n g v o l u m e i s = w h e r e t h e p l u s s u p e r s c r i p t i n d i c a t e t h e p o s i t i v e t r u n c a t i o n i i = 1 n P y y y n d i s t h e l i q u i d i t y t r a d e r ’s d e m a n d . S i n c e t h e m a r k e t c l e a r s , = . R e c a l l t h a t n n i + 1 + 1 i= 1 (cid:0) (cid:27) u 2 + P u N ; (cid:27) E u f ( 0 ) , [ ] = . H e n c e , u p (cid:25) 2 (cid:24) n n 1 2 v a r y v a r y E z (cid:25) ( ) + ( ) [ ] = ( 2 ) (cid:0) i i v 2 3 i i = 1 = 1 u q X X u t 4 5 v p i n c e t h e i n f o r m e d s i g n a l s a r e i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , t h e v a r i a n c e o f a n d t h e c o v a r i a n c e i (cid:0) 2 v p v p i j E v p E v p v p e t w e e n a n d d o n o t d e p e n d o n a n d . L e t (cid:8) = [( ) ] a n d (cid:9) = [( ) ( ) ], i j i i j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n (cid:8) + ( 1 ) (cid:9) n n n (cid:0) i j v a r y v a r y c o v y ; y 2 o r = . S i n c e ( ) = ( ) + 2 ( ) = , i i i j i i i j > i = 1 = 1 = 1 (cid:21) v a r x H ( ( ) ) i 6 j P P P P p n n n n (cid:8) + (cid:8) + ( 1 ) (cid:9) E z[ ] = (cid:0) p (cid:21) v a r x H (cid:25) ( ) 2 i p j i g u r e ( 1 0 ) d i s p l a y s t h e e x p e c t e d t r a d e d v o l u m e w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l n d h o w i t r e a c t s t o a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f t r a d e r s , f o r s o m e v a l u e s o f p a r a m e t e r s . A s s u m i n g h a t t r a d e r s a r e r a t i o n a l i n s t e a d o f n a i v e a (cid:11) e c t s t h e e x p e c t e d v o l u m e i n t w o w a y s . T h e f a c t t h a t a r x G ; p v a r x G E z ( ) ( ) t e n d s t o i n c r e a s e [ ]. H o w e v e r , n u m e r i c a l e x a m p l e s | v a r y i n g v a l u e s f o r i i j (cid:20) j 2 2 (cid:26) E E x G p > E E x G ; p p E E x G p E x G p > a n d | p o i n t t o [( [ ] ) ] [( [ ] ) ], a n d [( [ ] ) ( [ ] ) ] i i i j j (cid:0) j (cid:0) j (cid:0) j (cid:0) E x G ; p p E x G ; p p E x G ; p [( [ ] ) ( [ ] ) ]. I n t u i t i v e l y , s i n c e [ ] i n c o r p o r a t e s i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i j i j (cid:0) j (cid:0) j p p E x G n , i t s h o u l d b e s t a t i s t i c a l l y \ c l o s e r " t o t h a n [ ] i s . T h i s s h o u l d l e a d t o a s m a l l e r e x p e c t e d i j o l u m e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l . O n n e t , i n t h e n u m e r i c a l e x a m p l e s , t h i s e (cid:11) e c t d o m i n a t e d a n d t h e E z x p e c t e d v o l u m e w a s a l w a y s s m a l l e r w h e n a s s u m i n g t r a d e r s w e r e r a t i o n a l . I n o t h e r w o r d s , [ ] i s n c r e a s i n g i n t h e v a r i a n c e o f t h e d e m a n d s o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s a n d d e c r e a s i n g i n t h e c o v a r i a n c e e t w e e n t h e i r d e m a n d s a n d t h e e q u i l i b r i u m p r i c e . B e c a u s e r a t i o n a l t r a d e r s i n c o r p o r a t e t h e m a r k e t r i c e i n t o t h e i r i n f o r m a t i o n , t h e v a r i a n c e o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ d e m a n d s i s h i g h e r w h e n t r a d e r s r e r a t i o n a l t h a n w h e n t h e y a r e n a i v e , b u t s o i s t h e t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e i r d e m a n d s a n d h e m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e . O n n e t , t h e i n c r e a s e i n t h e i r c o v a r i a n c e w i t h p r i c e s e e m s t o m o r e t h a n 1 7

o r 4 W t i e o p w m i t r i n ( p c I i i t (cid:11) s e t t h e i n c r e a s e i n t h e i r v a r i a n c e , r e s u l t i n g i n a l o w e r e x p e c t e d t r a d i n g v o l u m e w h e n t r a d e r s a r e a t i o n a l . E q u i l i b r i u m w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s w i t h c o r r e l a t e d s i g n a l s h e n m o d e l i n g a m a r k e t w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s , m a n y r e s e a r c h e r s d o n ’t a s s u m e t h a t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ p r i v a t e s i g n a l s a r e i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y . I n s t e a d , t h e y h a v e e a c h x n f o r m e d t r a d e r o b s e r v e t h e t r u e a s s e t v a l u e , , p l u s a m e a s u r e m e n t e r r o r c o m p o s e d o f a s y s t e m a t i c u (cid:17) l e m e n t a n d a n i d i o s y n c r a t i c e l e m e n t , i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d a c r o s s t r a d e r s . O n e a d v a n t a g e i f t h i s f r a m e w o r k i s t h a t t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s c a n i n c r e a s e w i t h o u t b o u n d s . M o r e r e c i s e l y , t h e p r i v a t e s i g n a l i s G x u (cid:17) ; = + + i i x u (cid:17) h e r e t h e r a n d o m v a r i a b l e s , a n d t h e a r e i n d e p e n d e n t l y a n d j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h i 2 2 2 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) E x G (cid:27) E G G (cid:27) (cid:27) e a n z e r o a n d r e s p e c t i v e v a r i a n c e s , , . H e n c e , [ ] = , [ ] = + w h e n i i j x u (cid:17) x x u 2 2 2 2 j G (cid:27) (cid:27) (cid:27) = , a n d E [ ] = + + . S i n c e t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s a r e s t i l l i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , x u (cid:17) i 6 n p a G b " h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s = + . i i= 1 P A s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s , t h e p r i c e i s m o r e v o l a t i l e a n d l e s s i n f o r m a t i v e w h e n t r a d e r s a r e a t i o n a l t h a n w h e n t h e y a r e n a i v e . I t c a n b e p r o v e n t h a t t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i n c r e a s i n g n (cid:27) (cid:27) n w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l a n d = 0 . W h e n = 0 , u u 6 n u m e r i c a l e x a m p l e s p o i n t t o t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s t o b e i n c r e a s i n g i n a s w e l l ( s e e F i g u r e s 1 1 ) a n d ( 1 2 ) ) . H o w e v e r , i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s c a n l e a d t o a m o r e v o l a t i l e r i c e , e v e n w h e n t r a d e r s a r e n a i v e . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e i n f o r m e d t r a d e r s s i g n a l s a r e n (cid:27) (cid:27) (cid:27) n o r r e l a t e d . T h e n e t e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n d e p e n d s o n t h e p a r a m e t e r s , , , a n d i t s e l f . x u (cid:17) n n t h e n u m e r i c a l e x a m p l e s u s e d , w h e n t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e i n c r e a s e s i n f o r n a i v e t r a d e r s , i t n c r e a s e s e v e n m o r e f o r r a t i o n a l t r a d e r s , t o c o n v e r g e t o a h i g h e r l i m i t ( s e e F i g u r e s ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) ) . U n l e s s i n d i c a t e d o t h e r w i s e , w e k e e p t h e s a m e n o t a t i o n s a s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . W h e n t h e n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s i n f o r m a i v e n e s s a r e r e s p e c t i v e l y 2 2 2 2 2 2 v a r a n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) b (cid:27) ; = + ( + ) + p (cid:17) x u " ( 2 9 ) 2 2 n (cid:27) (cid:16) (cid:17) x : I = p 2 2 2 2 2 n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) + ( + ) + (cid:17) x u " ( ) 1 8

P n P t P 4 W T T i o i p s m x b m i t s r o p o s i t i o n 6 T h e e q u i li b r i u m p r i c e i s m o r e v o la t i le a n d le s s i n f o r m a t i v e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o - R N R N R N a > a b > b (cid:12) > (cid:12) a l t h a n w h e n t h e y a r e n a i v e . T h i s i s b e c a u s e , , a n d . r o p o s i t i o n 7 B o t h w h e n i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d w h e n t h e y a r e n a i v e , t h e i n f o r m a - (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:20) i v e n e s s o f t h e e q u i li b r i u m p r i c e i s i n c r e a s i n g i n a n d d e c r e a s i n g i n , a n d . x u (cid:17) r o o f s o f p r o p o s i t i o n ( 6 ) a n d ( 7 ) a r e p r e s e n t e d f u r t h e r b e l o w . . 1 N a i v e t r a d e r s 2 (cid:27) x v E x G G 2 2 2 h e n t r a d e r s a r e n a i v e , t h e i r v a l u a t i o n s a r e = [ ] = . A s a c o n s e q u e n c e , i i i (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) j 2 (cid:27) N x ; a 2 2 2 2 2 2 = (cid:27) (cid:27) (cid:27) n (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) ( + + ) + ( + ) x u (cid:17) x u (cid:17) 2 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) ( + ) x u (cid:17) N ( 3 0 ) b ; 2 2 2 2 2 2 = (cid:27) (cid:27) (cid:27) n (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) ( + + ) + ( + ) x u (cid:17) x u (cid:17) N 2 2 (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:27) : = ( + ) u (cid:17) h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s i n f o r m a t i v e n e s s a r e r e s p e c t i v e l y 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (cid:27) n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + ( + ) + ( + ) x (cid:17) x u u (cid:17) " [ ( ) ] N ; v a r 2 = p 2 2 2 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) n (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) ( + + ) + ( + ) x u (cid:17) x u (cid:17) [ ] ( 3 1 ) 2 2 n (cid:27) N x I : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = p n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + ( + ) + ( + ) (cid:17) x u u (cid:17) " 2 2 2 2 n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:20) h e p r i c e p r e c i s i o n i s d e c r e a s i n g i n c r e a s i n g i n a n d , a n d d e c r e a s i n g i n , , a n d . I t i s x " u (cid:17) " n t u i t i v e t h a t i n c r e a s i n g t h e v a r i a n c e o f t h e n o i s e s , e i t h e r s t e m m i n g f r o m t h e l i q u i d i t y t r a d e r ( ) u (cid:17) r f r o m t h e i n f o r m e d t r a d e r s ( a n d ) w i l l m a k e t h e m a r k e t p r i c e l e s s i n f o r m a t i v e . I n c o n t r a s t , n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f t r a d e r s i n t r o d u c e s m o r e i n f o r m a t i o n i n t o t h e m a r k e t . B e s i d e s , a s i n t h e r e v i o u s s e c t i o n s , m a k i n g t h e i n f o r m e d t r a d e r s m o r e r i s k a v e r s e o r t h e l i q u i d i t y t r a d e r m o r e p r i c e e n s i t i v e l i m i t s t h e a g g r e s s i v e n e s s o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s , w h o t r a n s f e r l e s s i n f o r m a t i o n t o t h e (cid:27) a r k e t p r i c e . T h e e (cid:11) e c t o f d i (cid:11) e r s f r o m t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s b e c a u s e t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n x (cid:27) x (cid:27) G , i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f . I n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s , t h e c o r r e l a t i o n a n d , x i 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) p x G (cid:27) e t w e e n a n d w a s i n d e p e n d e n t o f . I n c r e a s i n g t h e v a r i a n c e o f t h e t r u e v a l u e o f t h e a s s e t i x a d e t h e r i s k - a v e r s e i n f o r m e d t r a d e r l e s s a g g r e s s i v e . H e r e , t h i s e (cid:11) e c t i s d o m i n a t e d b y t h e i n c r e a s e x G n t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n a n d . i C o n t r a r i l y t o t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s , i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f t r a d e r s d o e s n o t a l w a y s r e d u c e h e p r i c e v a r i a n c e w h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e n a i v e . T h i s c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t t h e t r a d e r s ’ @ N v a r n i g n a l s a r e c o r r e l a t e d . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e s i g n o f d e p e n d s , a m o n g o t h e r s , o n . T h e p @ n 1 9

c C o t C l 4 W a T ( T (cid:22) 2 g n o r r e l a t i o n a c r o s s s i g n a l s a l s o c a u s e s t h e p r i c e v a r i a n c e n o t t o g o t o z e r o w h e n t e n d s t o i n (cid:12) n i t y . N N a b o m p a r i n g w i t h t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s , n o t e t h a t , a l t h o u g h i n b o t h c a s e s , a n d a r e o f t h e 1 N 2 2 n a n r d e r w h e n t e n d s t o i n (cid:12) n i t y , t h e c o e (cid:14) c i e n t o f ( ) i n t h e p r i c e v a r i a n c e i s o f o r d e r i n n n h e m e a s u r e m e n t - e r r o r c a s e a n d o f o r d e r w h e n t h e t r a d e r s ’ s i g n a l s a r e i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d . 2 2 (cid:27) N x 2 2 v a r (cid:27) (cid:27) 2 2 2 o n s e q u e n t l y , i n t h e m e a s u r e m e n t - e r r o r f r a m e w o r k , l i m = ( + ) a n d n p x u (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) ! 1 2 (cid:27) N h i x I 2 2 . i m = n p (cid:27) (cid:27) + x u ! 1 . 2 R a t i o n a l t r a d e r s v E x G ; p h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , t h e i r v a l u a t i o n s a r e = [ ]. C o n s i d e r t h e (cid:12) r s t i n f o r m e d t r a d e r i i j 2 2 (cid:27) (cid:27) + x u (cid:22) E G (cid:22) G G i 2 2 2 n d l e t = , t h e n [( ) ] = 0 , a l l 2 . i 1 1 (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) (cid:0) (cid:21) v E x G ; p = [ ] 1 1 j n E x G ; a G b " ; = [ + ] i 1 i= 1 j n P E x G ; G (cid:22) G (cid:12) " ; ( 3 2 ) = [ ( ) + ] i 1 1 i= 2 j (cid:0) n P E x G E x G (cid:22) G (cid:12) " = [ ] + [ ( ) + ] i 1 1 i= 2 n j j (cid:0) c o v x G (cid:22) G 1 ( ( ) i E x G 1 [ ] n = 2 i (cid:0) P n G G (cid:22) G (cid:12) " : 2 + ( ( ) + ) ) = i i 1 i= 2 E G[ ] v a r G (cid:22) G (cid:12) " 1 ( ( ) + ) i i = 2 i (cid:0) (cid:0) P P P x ; G ; : : : ; G ; " h i s r e s u l t c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t a r e j o i n t l y n o r m a l l y d i s t r i b u t e d a n d t h a t n 1 G (cid:22) G G i " x ) i s o r t h o g o n a l t o f o r a l l 2 , a n d i s o r t h o g o n a l t o . i i 1 (cid:0) (cid:21) n 2 E x G (cid:22) G n (cid:22) (cid:27) ; [ ( ) ] = ( 1 ) i 1 x i= 1 (cid:0) (cid:0) 2 2 ( 3 3 ) (cid:27) (cid:27) x (cid:17) P n : 2 2 2 = ( 1 ) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) (cid:0) n G (cid:22) G (cid:12) " i ; j E G (cid:22) G G o c o m p u t e t h e v a r i a n c e o f ( ( ) + ) , n o t e t h a t , f o r 2 , [( ) ( i i j 1 1 i= 2 (cid:0) (cid:21) (cid:0) (cid:0) 2 2 P G (cid:22) (cid:27) i j E G (cid:22) G G (cid:22) G (cid:22) (cid:27) i j ) ] = i f = a n d [( ) ( ) ] = ( 1 + ) i f = . U s i n g t h e f a c t t h a t f o r i j 1 1 1 (cid:17) (cid:17) 6 (cid:0) (cid:0) i n j n i j n i j n n a n d 2 , = o c c u r s ( 1 ) t i m e s a n d = o c c u r s ( 1 ) ( 2 ) t i m e s , o n e 00 00 00 00 (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:0) 6 (cid:0) (cid:0) e t s n n n v a r G (cid:22) G E G (cid:22) G G (cid:22) G ; ( ( ) ) = [( ) ( ) ] i i j 1 1 1 i i j = 2 = 2 = 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 P P P ( 3 4 ) n (cid:22) n n (cid:22) (cid:27) ; = [( 1 ) ( 1 + ) + ( 1 ) ( 2 ) ] (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 2 2 n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + (cid:17) x u (cid:17) ( ) (cid:0) : 2 2 2 = (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u (cid:17) 2 0

E H U a T O w F a s (cid:12) t s q u a t i o n s ( 3 2 ) , ( 3 3 ) , ( 3 4 ) i m p l y t h a t 2 2 2 n (cid:27) (cid:27) ( 1 ) (cid:27) x (cid:17) n x (cid:0) v G G (cid:22) G (cid:12) " ; 2 2 2 = + [ ( ) + ] i 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i= 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + (cid:27) n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( x + u ) + + ( (cid:17) + + ) (cid:17) x u (cid:17) x u (cid:17) " ( ) (cid:0) (cid:0) n 2 2 2 2 2 ( 3 5 ) 2 G n (cid:27) (cid:27) (cid:17) G (cid:12) " n (cid:27) (cid:12) (cid:27) (cid:27) 1 + ( 1 ) + ( 1 ) + i x (cid:17) " x ) ( ) ( = 2 i P (cid:0) (cid:0) : = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (cid:27) n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + + ( + + ) (cid:17) x u (cid:17) x u (cid:17) " ( ) (cid:0) P e n c e , n 2 2 2 2 2 2 n (cid:27) n n (cid:27) (cid:12) (cid:27) G n n (cid:27) (cid:27) (cid:12) " ( 1 ) + + ( 1 ) i x (cid:17) " x (cid:17) i= 1 (cid:0) (cid:0) : v ( 3 6 ) = i (cid:16) (cid:17) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P (cid:27) n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + + ( + + ) i= 1 (cid:17) x u (cid:17) x u (cid:17) " X (cid:0) (cid:16) (cid:17) n 1 1 (cid:18) p v (cid:18) n " s i n g t h e f a c t t h a t = + ( ) , w i t h i (cid:0) (cid:0) i= 1 (cid:0) P 2 2 2 2 2 2 n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + ( + ) (cid:17) u (cid:17) (cid:17) u " 1 2 (cid:0) ; (cid:18) n (cid:20) (cid:27) = (cid:0) x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (cid:0) (cid:27) n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + + ( + + ) (cid:17) x u (cid:17) x u (cid:17) " (cid:0) (cid:16) (cid:17) n " G (cid:12) n d t h a t , b y d e (cid:12) n i t i o n , t h e r a t i o o f t h e c o e (cid:14) c i e n t o f t o t h a t o f ( ) i s e q u a l t o , o n e g e t s : i i= 1 P 2 2 2 2 2 2 2 2 n n (cid:27) (cid:12) (cid:20) n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + ( 1 ) ( + ) + ( + ) (cid:17) (cid:17) u (cid:17) (cid:17) u " (cid:0) (cid:0) (cid:12) : = ( 3 7 ) 2 2 2 h i (cid:27) n n (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + (cid:17) " (cid:0) (cid:12) h e e q u i l i b r i u m m u s t s o l v e t h e f o l l o w i n g c u b i c e q u a t i o n : 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ’ (cid:12) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n (cid:27) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:20) (cid:27) n (cid:27) n (cid:27) : ( ) = ( + ) ( 1 ) ( + ) ( 3 8 ) (cid:17) u " " " (cid:17) u (cid:17) (cid:17) u (cid:0) (cid:0) (cid:0) r e q u i v a l e n t l y , u (cid:12) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n v (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n ; ( ) = ( ) ( 3 9 ) (cid:17) u (cid:17) u " i t h 2 2 2 u (cid:12) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n (cid:12) (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:27) ; ( ) = ( ( + ) ) (cid:17) u (cid:17) u (cid:0) ( 4 0 ) 2 (cid:27) (cid:17) 2 2 n (cid:27) n (cid:27) : v (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n (cid:20) 2 ( 1 ) ( + ) ( ) = (cid:17) u " (cid:17) u (cid:27) " (cid:0) 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:20) n u (cid:12) (cid:20) (cid:27) (cid:27) o r a l l v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s , , , a n d , t h e f u n c t i o n i s n e g a t i v e o r n u l l f o r ( + ) (cid:17) u (cid:17) u (cid:20) 2 2 (cid:12) > (cid:20) (cid:27) (cid:27) n v (cid:12) n d p o s i t i v e f o r ( + ) . F o r 2 , t h e f u n c t i o n i s a l w a y s p o s i t i v e . H e n c e t h e t h a t (cid:17) u (cid:21) 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:12) o l v e s ( 3 9 ) i s s u p e r i o r t o ( + ) , w h i c h i s t h e v a l u e o f w h e n t r a d e r s a r e n a i v e . T h e r e f o r e , (cid:17) u R N > (cid:12) n (cid:27) (cid:20) , a n d t h e t w o c o i n c i d e i f = 1 , = 0 o r = 0 , t h a t i s i f t h e r e i s o n l y o n e i n f o r m e d (cid:17) r a d e r , i f t h e r e i s n o i d i o s y n c r a t i c m e a s u r e m e n t e r r o r , s o t h a t e a c h i n f o r m e d t r a d e r o b s e r v e s t h e (cid:21) s a m e s i g n a l , i f t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r i s k n e u t r a l ( = 0 ) o r i f t h e r e i s n o n o i s e t r a d e r ( = 0 ) . L i k e i n t h e s e c t i o n s a b o v e , u s i n g t h e i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m , o n e c a n s h o w t h a t t h e e q u i l i b - 2 1

r t i S c e u A I (cid:12) p e E w w i (cid:12) (cid:27) (cid:27) (cid:20) i u m i s i n c r e a s i n g i n , , a n d , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e p r e c i s i o n o f t h e p r i c e i s d e c (cid:17) u h o s e p a r a m e t e r s . U s i n g t h e i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m a n d t h e c h a i n r u l e , o n e s h o w s t h a (cid:27) s a i n c r e a s i n g f u n c t i o n f u n c t i o n o f , t h e r e f o r e t h e p r i c e p r e c i s i o n i s d e c r e a s i n g i n t h i s p " R (cid:12) (cid:27) (cid:27) i n c e i s i n d e p e n d e n t o f , t h e p r i c e i n f o r m a t i v e n e s s i s i n c r e a s i n g i n , l i k e i n t h e n a x x (cid:27) a s e . W h e n = 0 , i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f t r a d e r s i m p r o v e s t h e p r i c e p r e c i s i o n , b u t I u @ I p (cid:27) > s t a b l i s h t h e s i g n o f w h e n 0 , a l t h o u g h i t w a s a l w a y s p o s i t i v e i n t h e n u m e r i c a l u @ n R R a A (cid:12) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n s e d . I n e q u i l i b r i u m = ( ) , w h e r e (cid:17) u 2 2 2 2 (cid:27) n n (cid:27) (cid:12) (cid:27) ( 1 ) + x (cid:17) " (cid:0) = (cid:16) (cid:17) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (cid:27) n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) n (cid:20) (cid:27) n (cid:27) n (cid:27) (cid:27) ( 1 ) ( + ) + + ( + + ) + ( 1 ) ( + ) (cid:17) x u (cid:17) x u (cid:17) " x (cid:17) u (cid:17) (cid:0) (cid:0) h (cid:16) (cid:17) i h N R N R A (cid:12) ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:20) ; n a > (cid:12) a > a b > t c a n b e s h o w n t h a t ( ) 0 f o r a l l . H e n c e , a n d (cid:17) u (cid:0) R N > (cid:12) . n T h e m e a s u r e m e n t - e r r o r f r a m e w o r k m a k e s i t p o s s i b l e t o c o n s i d e r a n y a n d h e n c e t o n r o p e r t i e s o f t h e l i m i t e c o n o m y w h e n g o e s t o i n (cid:12) n i t y . E x a m i n i n g t h e r e a l r o o t o f n q u a t i o n ( 3 8 ) s h o w s t h a t , w h e n , ! 1 1 3 2 (cid:20) (cid:27) (cid:12) 1 (cid:17) 2 2 (cid:27) (cid:27) : ( + ) 1 (cid:17) u 2 3 (cid:27) n (cid:24) " " # n n [ ( 1 ) ] (cid:0) n q u a t i o n ( 4 2 ) i m p l i e s t h a t , w h e n , ! 1 1 3 2 2 1 (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:17) u 3 (cid:12) n n ; [ ( 1 ) ] 2 (cid:27) (cid:24) (cid:0) " " # (cid:27) h e n = 0 , a n d u 1 6 3 4 1 (cid:20) (cid:27) (cid:17) 3 n ; (cid:12) ( 1 ) 2 (cid:27) (cid:24) (cid:0) " # " 1 2 2 3 2 2 (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:17) u R R 1 1 x x b (cid:27) (cid:27) n a 2 2 2 2 2 a n d ( h e n = 0 . W h e n = 0 , a s + , u u n n (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + x u " x u 6 ! 1 (cid:24) (cid:24) (cid:20) (cid:21) m p l i e s t h a t 1 n 3 2 2 2 2 2 1 (cid:20) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) 1 1 (cid:17) u x x x 3 p x u (cid:17) " : ( + ) + + ( ) i 2 2 2 2 2 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) n (cid:27) (cid:27) n + + + (cid:24) x u x u " x u " # i= 1 X 2 2 r e a s i n g i n 2 (cid:27) (cid:12) (cid:27) t ( ) " " a r a m e t e r . i v e - t r a d e r c o u l d n o t e x a m p l e s 2 2 (cid:27) (cid:27) + ( + (cid:17) u ( 4 1 ) N b s i n c e s t u d y t h e t h e c u b i c ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 1 3 ) , w h i c h ( 4 5 ) ) (cid:12) 2 (cid:27) 2 " i :

1 4 3 2 (cid:20) (cid:27) (cid:17) R R 1 1 3 (cid:27) n a b 2 W h e n = 0 , a s + , a n d ( ) , w h i c h i m p l i e s t h a t u n n (cid:27) " ! 1 (cid:24) (cid:24) (cid:20) (cid:21) 1 n 3 4 2 (cid:20) (cid:27) 1 1 (cid:17) 3 p x (cid:17) " ) ( + + ( 4 6 ) i 2 n (cid:27) n (cid:24) " # " i= 1 X 2 (cid:27) x p x u (cid:27) p x (cid:27) 2 2 W h e n t h e i n f o r m e d t r a d e r s a r e r a t i o n a l , ( + ) w h e n = 0 a n d w h e n = 0 ; u u (cid:27) (cid:27) + x u ! 6 ! 2 2 (cid:27) (cid:27) x x p x (cid:27) x u (cid:27) p 2 2 2 2 2 w h e n t h e y a r e n a i v e , w h e n = 0 . A s ( + ) w h e n = 0 a n d u u (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + + x x u (cid:17) (cid:17) ! 6 ! t h e n u m b e r o f t r a d e r s t e n d s t o i n (cid:12) n i t y , t h e m a r k e t p r i c e w i t h n a i v e i n f o r m e d t r a d e r s r e v e a l s t h e s a m e i n f o r m a t i o n a s t h e o n e w i t h r a t i o n a l i n f o r m e d t r a d e r s . I n b o t h c a s e s , t h e p r i c e c o n v e r g e s x u (cid:27) x (cid:27) t o a m u l t i p l e o f ( + ) w h e n = 0 o r a m u l t i p l e o f w h e n = 0 . T h i s m u l t i p l e i s a l w a y s u u 6 s m a l l e r w h e n t r a d e r s a r e n a i v e , w h i c h m a k e s t h e m a r k e t p r i c e l e s s v o l a t i l e w h e n t r a d e r s a r e n a i v e t h a n w h e n t h e y a r e r a t i o n a l . A s s u m i n g r a t i o n a l i n s t e a d o f n a i v e i n f o r m e d t r a d e r s a l s o a (cid:11) e c t s t h e " m a r k e t p r i c e ’ s r a t e o f c o n v e r g e n c e . I n p a r t i c u l a r , t h e c o e (cid:14) c i e n t o n t h e l i q u i d i t y n o i s e i s o f o r d e r 1 2 1 1 1 3 3 (cid:27) w h e n t h e y a r e n a i v e , o f o r d e r ( ) w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d = 0 , a n d o f o r d e r ( ) w h e n u n n n 6 (cid:27) t r a d e r s a r e r a t i o n a l a n d = 0 . I n t h i s w a y , t h e e c o n o m y w i t h r a t i o n a l i n f o r m e d t r a d e r s (cid:12) l t e r s t h e u l i q u i d i t y n o i s e o u t o f t h e e q u i l i b r i u m p r i c e l e s s r a p i d l y t h a n t h e e c o n o m y w i t h n a i v e t r a d e r s , e v e n m o r e s o w h e n t h e i r s i g n a l s c o n t a i n s a c o m m o n m e a s u r e m e n t e r r o r . I n o t h e r w o r d s , e a c h r a t i o n a l t r a d e r s , k n o w i n g t h a t t h e o t h e r t r a d e r s a r e r a t i o n a l t o o a n d w i l l u s e t h e m a r k e t p r i c e t o i n f e r s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t h i s s i g n a l , t e n d s t o h i d e b e h i n d t h e l i q u i d i t y n o i s e , w h i c h , i n e q u i l i b r i u m , k e e p s m o r e n o i s e i n t o t h e s y s t e m . R a t i o n a l t r a d e r s ’ a t t e m p t t o \ l e a r n f r o m o t h e r s " l e a d s i n e q u i l i b r i u m x x u t o a s l o w e r r e v e l a t i o n o f t h e a g g r e g a t e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e i n t h e e c o n o m y ( o r + ) t h a n w o u l d b e t h e c a s e w i t h n a i v e t r a d e r s . S i m i l a r i n s i g h t s a b o u t t h e r a t e o f l e a r n i n g t a k i n g p l a c e i n c o m p e t i t i v e m a r k e t s h a v e b e e n p r o v i d e d b y V i v e s ( 1 9 9 6 ) . 2 3

5 T b o p a u e p a r t w t a t s C o n c l u s i o n h e p a p e r a t t e m p t s t o c a p t u r e t h e e (cid:11) e c t o f t h e i n c r e a s e i n t h e s h a r e o f (cid:12) n a n c i a l a s s e t s c o n t r o l l e d y i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s | w h o s h o u l d b e m o r e s o p h i s t i c a t e d t h a n o t h e r m a r k e t p a r t i c i p a n t s | n t h e v o l a t i l i t y a n d p r e c i s i o n o f t h e m a r k e t p r i c e a n d h o w t h o s e v a r i a b l e s e v o l v e w h e n m a r k e t a r a m e t e r s c h a n g e . T h e p a p e r m o d e l s i n s t i t u t i o n a l i n v e s t o r s a s r a t i o n a l a n d i n d i v i d u a l i n v e s t o r s s n a i v e , t h a t i s , t h e f o r m e r e x t r a c t i n f o r m a t i o n f r o m t h e m a r k e t p r i c e a n d t h e l a t t e r d o n o t . T h e n , s i n g a m o d e l w i t h m u l t i p l e i n f o r m e d t r a d e r s a n d o n e l i q u i d i t y t r a d e r , t h e p a p e r (cid:12) r s t c o m p a r e s t h e q u i l i b r i a w h e n t r a d e r s a r e n a i v e a n d w h e n t h e y a r e r a t i o n a l , a n d s t u d i e s h o w c h a n g e s i n t h e m o d e l a r a m e t e r s ( t h e c o r r e l a t i o n o f t h e i n f o r m e d t r a d e r s ’ s i g n a l s i n t h e c a s e o f t w o i n f o r m e d t r a d e r s , o r , l t e r n a t i v e l y , t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s , a n d i n a l l c a s e s , t h e p r e c i s i o n o f t h e i r s i g n a l , t h e i r i s k a v e r s i o n , e t c ) a (cid:11) e c t t h e t h e v a r i a n c e o f t h e p r i c e a n d i t s i n f o r m a t i v e n e s s . T h e p a p e r s h o w s t h a t h e e q u i l i b r i u m p r i c e i s a l w a y s m o r e v o l a t i l e a n d l e s s i n f o r m a t i v e w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l t h a n h e n t h e y a r e n a i v e . I n t u i t i v e l y , r a t i o n a l t r a d e r s h i d e b e h i n d t h e n o i s e c r e a t e d b y t h e l i q u i d i t y r a d e r , k e e p i n g m o r e o f t h i s n o i s e i n m a r k e t i n e q u i l i b r i u m t h a n n a i v e t r a d e r s w o u l d d o . R e s u l t s l s o p o i n t t h a t , w h e n t r a d e r s a r e r a t i o n a l , a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f i n f o r m e d t r a d e r s c o u l d l e a d o a s u r g e i n t h e p r i c e v o l a t i l i t y , a p r o b l e m i n t r o d u c i n g a t r a n s a c t i o n t a x i n t h e m o d e l d o e s n o t e e m t o s o l v e . 2 4

B S D M D E F f G A H C K E 1 K n M E P 2 S 1 S J V p R E F E R E N C E S r o w n , D ., a n d R o b e r t H . J e n n i n g s ( 1 9 8 9 ) , \ O n T e c h n i c a l A n a l y s i s ," T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l t u d i e s , V o l 2 , N o 4 , p 5 2 7 - 5 5 1 . e L o n g , B ., A . S h l e i f e r , L . S u m m e r s , a n d R . W a l d m a n , ( 1 9 9 0 ) , \ N o i s e T r a d e r R i s k i n F i n a n c i a l a r k e t s ," J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y , V o l 9 8 , N o . 4 , p p . 7 0 3 - 7 3 8 . i a m o n d , D . a n d R . V e r r e c h i a ( 1 9 8 1 ) , \ I n f o r m a t i o n A g g r e g a t i o n i n a N o i s y R a t i o n a l E x p e c t a t i o n c o n o m y ," J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s , v o l 9 , p 2 2 1 - 2 3 5 . r i e d m a n , B . ( 1 9 9 6 ) , \ E c o n o m i c I m p l i c a t i o n s o f C h a n g i n g S h a r e O w n e r s h i p ," T h e J o u r n a l o f P o r t o l i o M a n a g e m e n t , S p r i n g 1 9 9 6 , V o l 2 2 . N o 3 . p p . 5 9 - 7 0 . r o s s m a n , S . a n d J . S t i g l i t z ( 1 9 8 0 ) , \ O n t h e I m p o s s i b i l i t y o f I n f o r m a t i o n a l l y E (cid:14) c i e n t M a r k e t s ," m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , 7 0 , p p . 3 9 3 - 4 0 8 . a m m o n d , S . ( 1 9 9 5 ) \ S e c u r i t i e s T r a n s a c t i o n T a x , F a l s e H o p e s a n d U n i n t e n d e d C o n s e q u e n c e s ," a t a l y s t I n s t i t u t e , I r w i n , e d i t e d b y S u z a n n e H a m m o n d . e n n i c k e l , A ., M . S t a r r - M c C l u e r , a n d A . S u n d (cid:18)e n , ( 1 9 9 7 ) \ F a m i l y F i n a n c e s i n t h e U .S .: R e c e n t v i d e n c e f r o m t h e S u r v e y o f C o n s u m e r F i n a n c e s ," F e d e r a l R e s e r v e B u l l e t i n , J a n u a r y 1 9 9 7 , p p . - 2 4 . u p i e c , P ., \ N o i s e T r a d e r s , E x c e s s V o l a t i l i t y , a n d a S e c u r i t i e s T r a n s a c t i o n s T a x ," J o u r n a l o f F i a n c i a l S e r v i c e R e s e a r c h , V o l 1 0 , p p . 1 1 5 - 1 2 9 . i l g r o m , P . a n d N . S t o c k e y ( 1 9 8 2 ) , \ I n f o r m a t i o n , T r a d e a n d C o m m o n K n o w l e d g e ," J o u r n a l o f c o n o m i c s T h e o r y , N o 2 6 , p . 1 7 - 2 7 . a g a n o , M . ( 1 9 8 9 ) , \ T r a d i n g V o l u m e a n d A s s e t L i q u i d i t y ," Q u a r t e r l y J o u r n a l o f E c o n o m i c s , p p . 5 5 - 2 7 4 . i a s , R . ( 1 9 9 6 ) , \ V o l a t i l i t y a n d t h e I n s t i t u t i o n a l I n v e s t o r ," F i n a n c i a l A n a l y s t s J o u r n a l , M a r c h / A p r i l 9 9 6 . p p . 1 3 - 2 0 . i a s , R . ( 1 9 9 7 ) , \ P r i c e P r e s s u r e a n d t h e R o l e o f I n s t i t u t i o n a l I n v e s t o r s i n C l o s e d - E n d s F u n d s ," T h e o u r n a l o f F i n a n c i a l R e s e a r c h , V o l X X , N o 2 , p p . 2 1 1 - 2 2 9 . i v e s , X . ( 1 9 9 6 ) , \ S o c i a l L e a r n i n g a n d R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s ," E u r o p e a n E c o n o m i c R e v i e w 4 0 , p . 5 8 9 - 6 0 1 . 2 5

3 2 1 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 F (cid:26) i 2 g ) u (cid:12) r e 2 1 : a n d v v ( ( s (cid:13) o l i ; (cid:27) d 2 " l i ; (cid:26) n ; e (cid:20) ) (cid:27) a x n ) d = u ( d (cid:20) (cid:27) x 2 (cid:27) " a ( s 1 h e (cid:0) d (cid:13) l i ) n ( e (cid:13) ) + a s 1 a (cid:0) 2 f u 2 6 n (cid:26) c t i 2 ) ; o (cid:26) n = o f :5 (cid:12) , , (cid:20) w = i t h (cid:27) u x ( = (cid:12) ; (cid:27) (cid:26) " ; (cid:20) = (cid:27) x 1 . ) = (cid:26) (cid:12) 3 (cid:0) (cid:20) (cid:27) x ( 1 (cid:0)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2.5 5 7.5 10 12.5 15 F n i a g u i v r e e 2 ( d : a P s h r e i c d e l i i n n e f ) o a r m n d a w t i h v e e n n e t h s s e y a s a r a e f r u a n t c t i o i n o n a l o ( f s t o h l i e d n l u i n m e b ) ; e (cid:26) r o = f i :2 n 5 f o , r (cid:20) m = e d (cid:27) t x r a = d e (cid:27) r " s = w h 1 e . n t h e y a r e 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2.5 5 7.5 10 12.5 15 F ( i d g a u s r h e e d 3 : l i P n e r ) i c a e n d v a w r h i a e n n c t e h e a y s a a r e f u r n a c t t i i o o n n a o l f ( t h s o l e i d n 2 u l i 7 m n e b ) e ; r (cid:26) o = f i n :2 f 5 o , r m (cid:20) e = d (cid:27) t x r a = d e (cid:27) r s " = w h 1 e . n t h e y a r e n a i v e

0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F a ( i g u r e l o n r e n a g - d 4 i v a : e s h P . e r T d i c e h e l i n e n ) i n u ; f m (cid:26) o b = r m e r :2 a o 5 t f , i v i n (cid:20) e f = n o e r m (cid:27) s x s e d = a s t (cid:27) a r a " d = f u e r 1 n s . c t i i s o n s e t o f t o t h 4 e ( t s r o a l n i d s a l c t i n i e o ) n , 8 c o ( s s t h o w r h t e d n a s i n h f o e d r m l i n e d e ) t a r a n d d e r 1 s 4 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F T l i i g u h e n e ) r n ; e u (cid:26) 5 m = : b P e :2 r r 5 i c e o f (cid:20) , v i n = a f o (cid:27) r i r m x a n e = d c (cid:27) e t " r a a = s d a e r 1 . f s u i n s c s t i o e t n t o o f 4 t h ( s e o t r l i d 2 a 8 n l i s n a e c ) t , i o 8 n ( c o s h s o t r t w - d h a e s n h e i n d f o l i r n m e ) e d a n t r d a d 1 e 4 r s ( l o a n r e g n d a a i v s h e e d .

0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F r ( i g u r e a t i o n l o n g - d 6 a a : l . s h P e r T d i h c e e l i n n e i n f o u m (cid:26) ) ; b r m e = r a o :2 t f 5 i , v e i n (cid:20) n f o = e r s m (cid:27) s e x a d = s a t r (cid:27) a " f u d = n c e r s 1 t . i o i s n s o e f t t t h o e 4 t r a ( s n o s a l i d c t i o l i n n e c ) , o s 8 t ( w s h h e n o r t i n - d f o a s r h m e d e d l i t n r e a ) d e a r n s d a r 1 e 4 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.15 F T l i i g u h e n e ) r n ; e u (cid:26) 7 : m = b P e :2 r r 5 i c o , e f (cid:20) v i n = a f r o (cid:27) i a r m x n e = c d e (cid:27) t " a r s a = d a e 1 f r . u s n i c s t i o s e n t o t o f t 4 h e ( s t o r l a n i d 2 9 s a l i c n t e i ) o , n 8 c o ( s s h t o w r h t e d n a i n s h f e o d r m l i e n d e ) t r a a n d d e r 1 s 4 a ( r l e o r n a g t - d i o a n s h a e l d .

0.4 0.35 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.25 F a ( i g u r e l o n r e n a g - d 8 i v a : e s h L . e i q T d u h l i i e n d e i n ) t u ; y m (cid:26) t b = r a d e r :2 e r o f 5 , ’ s i n (cid:20) f = s o u r r m (cid:27) x p l e d = u s t (cid:27) a r a " s d = a e r 1 f s . u n i s c t s i e o t n t o o f t 4 h ( e s t r a o l i d n s a l i n c e t i o ) , n 8 c ( o s s h t o w r t h e d n a s i h n e f o d r m l i n e e d ) t a r a n d d e r 1 s 4 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F a ( i g u r e r a t r e l o n g - d 9 i a : o s L n a h e i q l . d u i T l i n d h e i t e ) ; y n (cid:26) u t r m = a d e b e r :2 5 , r ’ s o f (cid:20) i = s n u r p f o r m (cid:27) x l = u e s d (cid:27) a t " s r a = a d 1 f u e r . n s c t i s i o n s e t o t f o t h 4 e ( t r a s o l i n d s a l i c n t e i o ) , n 8 c o s t ( s h o w r h t e d n a s i n h f o e d r m l i n e d e ) t r a a n d d e r 1 s 4 2 1.75 1.5 1.25 4 6 8 10 12 14 16 0.75 0.5 F a i g r e u n r e a 1 i v 0 e : E ( d x a p s h e e c d t e l d i n e t ) r a a d n i d n w g h v e o n l u t h m e y e a s a r e a r f a u t n i c o 3 t n 0 i o a n l o f ( s o t l h i d e n l i u n m e ) b ; e (cid:26) r = o f i :2 n 5 f , o r (cid:20) m = e d (cid:27) t x r a = d e (cid:27) r " s = w h 1 e . n t h e y

10 20 30 40 50 0.8 0.6 0.4 0.2 F ( r i g u r s o l i d a t i o e n P 1 1 : l i n e s ) a l ( l o a w r i c n d e r e l (cid:27) i n i n (cid:17) e f o = s ) ; r m : 0 5 (cid:27) u a = t ( i v d a 0 , e s n h (cid:27) e s e d = x s l i (cid:27) a s n e " s = a ) f w 1 u , n h (cid:20) c t e n = i o n t h 4 . e o y f t a h r e e n n u a m i v b e e r ( u o p f p i n e r f o l r m i n e e s d ) t r a n a d d e w r s h e f o n r t (cid:27) h (cid:17) e y = a r 1 e 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 10 20 30 40 50 F ( r i g u r s o l i d a t i o e n P 1 2 : l i n e s ) a l ( l o a w r i c n d e r e l (cid:27) i n i n (cid:17) e f o = s ) ; r m : 0 5 (cid:27) u a = t ( i v d a 1 , e s n h (cid:27) e s e d = x s l i (cid:27) a s n e " s = a ) f w 1 u , n h (cid:20) c t e n = i o n t h 4 . 3 1 e o y f t a h r e e n n u a m i v b e e r ( u o p f p i n e r f o l r m i n e e s d ) t r a n a d d e w r s h e f o n r t (cid:27) h (cid:17) e y = a r 1 e

10 20 30 40 50 0.8 0.6 0.4 0.2 F a l i n i n g d e u s r (cid:27) ) e (cid:17) ; 1 = (cid:27) 3 u : 0 = P :5 r i c ( d (cid:27) 0 , e a x s v h = a e r d (cid:27) i a n l i n = " c e e s ) 1 , a w (cid:20) s h = a e f n 4 u n t h . c e t i y o n a r o e f n t h a e i v n e u ( m l o b w e e r r o l f i n i n e f o s ) r a m n e d d w t r h a e d n e r s t h e f o y r a (cid:27) r (cid:17) e = r a 1 t i o ( s n o a l i l d ( l u i n p e p s e ) r 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 10 20 30 40 50 F a l i n i n g d e u s r (cid:27) ) e (cid:17) ; 1 = (cid:27) 4 u : 0 = P :5 r i c ( d (cid:27) 1 , e a x s v h = a e r d (cid:27) i a n l i n = " c e e s ) 1 , a w (cid:20) s h = a e f n 4 u n t h . c e t i y o n a r o e f n t h a e i v n e 3 u ( 2 m l o b w e e r r o l f i n i n e f o s ) r a m n e d d w t r h a e d n e r s t h e f o y r a (cid:27) r (cid:17) e = r a 1 t i o ( s n o a l i l d ( l u i n p e p s e ) r