feds · May 31, 1998

P* Revisited: Money-Based Inflation Forecasts with a Changing Equilibrium Velocity

Abstract

This paper implements recursive techniques to estimate the equilibrium level of M2 velocity and to forecast inflation using the P* model. The recursive estimates of equilibrium velocity are obtained by applying regression trees and least squares methods to a standard representation of M2 demand, namely a model in which the velocity of M2 depends on the opportunity cost of holding M2 instruments. Equilibrium velocity is defined as the level of velocity that would be expected to obtain if deposit rates were at their long-run average (equilibrium) value. We simulate the alternative models to obtain real-time forecasts of inflation and evaluate the performance of the forecasts obtained from the alternative models. We find that while a $P^*$ model assuming a constant equilibrium velocity does not provide accurate inflation forecasts in the 1990s, a model based on our time-varying equilibrium velocity estimates does quite well.

v v r o v ( i W a v K J C R D 2 (cid:3) B J (cid:3) P R e v i s i t e d : M o n e y - B a s e d I n (cid:13) a t i o n F o r e c a s t s (cid:3) w i t h a C h a n g i n g E q u i l i b r i u m V e l o c i t y A t h a n a s i o s O r p h a n i d e s a n d R i c h a r d P o r t e r B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m M a y 1 9 9 8 A b s t r a c t T h i s p a p e r i m p l e m e n t s r e c u r s i v e t e c h n i q u e s t o e s t i m a t e t h e e q u i l i b r i u m l e v e l o f M 2 (cid:3) P e l o c i t y a n d t o f o r e c a s t i n (cid:13) a t i o n u s i n g t h e m o d e l . T h e r e c u r s i v e e s t i m a t e s o f e q u i l i b r i u m e l o c i t y a r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g r e g r e s s i o n t r e e s a n d l e a s t s q u a r e s m e t h o d s t o a s t a n d a r d e p r e s e n t a t i o n o f M 2 d e m a n d , n a m e l y a m o d e l i n w h i c h t h e v e l o c i t y o f M 2 d e p e n d s o n t h e p p o r t u n i t y c o s t o f h o l d i n g M 2 i n s t r u m e n t s . E q u i l i b r i u m v e l o c i t y i s d e (cid:12) n e d a s t h e l e v e l o f e l o c i t y t h a t w o u l d b e e x p e c t e d t o o b t a i n i f d e p o s i t r a t e s w e r e a t t h e i r l o n g - r u n a v e r a g e e q u i l i b r i u m ) v a l u e . W e s i m u l a t e t h e a l t e r n a t i v e m o d e l s t o o b t a i n r e a l - t i m e f o r e c a s t s o f n (cid:13) a t i o n a n d e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f o r e c a s t s o b t a i n e d f r o m t h e a l t e r n a t i v e m o d e l s . (cid:3) P e (cid:12) n d t h a t , w h i l e a m o d e l a s s u m i n g a c o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y d o e s n o t p r o v i d e c c u r a t e i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s i n t h e 1 9 9 0 s , a m o d e l b a s e d o n o u r t i m e - v a r y i n g e q u i l i b r i u m e l o c i t y e s t i m a t e s d o e s q u i t e w e l l . e y w o r d s : I n (cid:13) a t i o n , M 2 v e l o c i t y , q u a n t i t y e q u a t i o n . E L C l a s s i (cid:12) c a t i o n S y s t e m : E 3 0 , E 5 0 o r r e s p o n d e n c e : O r p h a n id e s : D iv is io n o f M o n e t a r y A (cid:11) a ir s , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l e s e r v e S y s t e m , W a s h in g t o n , D .C . 2 0 5 5 1 , t e l.: ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 2 6 5 4 , e m a il: a o r p h a n id e s @ fr b .g o v . P o r t e r : iv is io n o f M o n e t a r y A (cid:11) a ir s , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , W a s h in g t o n , D .C . 0 5 5 1 , t e l.: ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 2 4 9 7 , e m a il: r p o r t e r @ fr b .g o v . T h e o p in io n s e x p r e s s e d a r e t h o s e o f t h e a u t h o r s a n d d o n o t n e c e s s a r ily r e (cid:13) e c t t h e v ie w s o f t h e o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . W e w is h t o t h a n k J o h n C a r ls o n , J o h n D u c a , im L e e , a n d R o b e r t R a s c h e fo r c o m m e n t s o n e a r lie r v e r s io n s o f t h is p a p e r .

1 G P i A f f c m l s a a d h c M i a r c w v I n t r o d u c t i o n (cid:3) (cid:3) Q V i v e n a n e s t i m a t e o f r e a l p o t e n t i a l o u t p u t , , a n d a n e s t i m a t e o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y , , (cid:3) i s d e (cid:12) n e d a s t h e e q u i l i b r i u m l e v e l o f p r i c e s s u p p o r t e d b y t h e c u r r e n t q u a n t i t y o f m o n e y M n c i r c u l a t i o n , : (cid:3) M V (cid:3) (cid:17) P (cid:3) Q (cid:3) P s H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l ( 1 9 9 1 ) s h o w e d , c a n p o t e n t i a l l y p r o v i d e a u s e f u l a n c h o r o r t h e p r i c e l e v e l a n d a s s u c h b e u t i l i z e d a s a t o o l f o r p r e d i c t i n g i n (cid:13) a t i o n . T h e f r a m e w o r k o r u n d e r s t a n d i n g t h e m o n e t a r y d y n a m i c s o f i n (cid:13) a t i o n r e l i e s o n t h e s i m p l e i d e a t h a t i f t h e (cid:3) P P u r r e n t p r i c e l e v e l , , d e v i a t e s f r o m i t s e q u i l i b r i u m l e v e l , , t h e n i n (cid:13) a t i o n w i l l t e n d t o o v e s o a s t o c l o s e t h i s g a p b e t w e e n t h e a c t u a l a n d e q u i l i b r i u m p r i c e l e v e l s | t h e p r i c e g a p . H o w e v e r , i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f r a m e w o r k r e q u i r e s a (cid:12) r m u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e e v e l o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y i s . M u c h o f t h e o r i g i n a l a p p e a l o f t h e H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l (cid:3) V t u d y w a s b a s e d o n t h e s i m p l i c i t y o f t h e i r d e (cid:12) n i t i o n o f . U s i n g M 2 , t h e y s h o w e d t h a t s s u m i n g a c o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f o r t h e i r s a m p l e ( 1 9 5 5 t o 1 9 8 8 ) w a s a s u (cid:14) c i e n t l y c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n d e s p i t e t h e w a v e s o f (cid:12) n a n c i a l i n n o v a t i o n w h i c h h a d t a k e n p l a c e u r i n g t h a t t i m e p e r i o d . A s m o n e t a r y p r a c t i t i o n e r s a n d t h e o r i s t s h a v e a l w a y s r e c o g n i z e d , o w e v e r , t h e c o n t i n u o u s i n n o v a t i o n i n (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s i m p l i e s t h a t s u c h p r e s u m e d o b s e r v e d 1 o n s t a n c i e s c a n n o t b e t a k e n f o r g r a n t e d . B y n o w i t i s w e l l k n o w n t h a t t h e p r e s u m p t i o n o f c o n s t a n c y o f t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f 2 i s n o l o n g e r v a l i d . A s e a r l y a s 1 9 9 1 t h e s t a b i l i t y o f t h e h i s t o r i c a l s t a t i s t i c a l r e l a t i o n s h i p s n v o l v i n g M 2 w a s a l r e a d y b e i n g q u e s t i o n e d a t t h e B o a r d o f G o v e r n o r s . ( S e e F e i n m a n n d P o r t e r ( 1 9 9 2 ) f o r a n e a r l y a c c o u n t i n g o f t h i s b r e a k d o w n .) A n d c o n s e q u e n t l y , i t w a s (cid:3) P e c o g n i z e d t h a t u s i n g t h e f r a m e w o r k t o f o r e c a s t i n (cid:13) a t i o n , b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n o f a o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f o r M 2 , w a s n o l o n g e r r e l i a b l e . (cid:3) P I n t h i s p a p e r w e i n v e s t i g a t e h o w t h e f r a m e w o r k c o u l d b e u s e d i n a n e n v i r o n m e n t i n (cid:3) V h i c h m a y b e t i m e v a r y i n g . S p e c i (cid:12) c a l l y , w e p r o v i d e s o m e g u i d a n c e r e g a r d i n g h o w t h e 1 I n d e e d , in r e c o g n it io n o f t h is t r u is m , H a llm a n , P o r t e r a n d S m a ll w a r n e d t h a t \ [i]f p e r m a n e n t s h ift s t o (cid:3) e lo c it y a r e e m p ir ic a lly s ig n i(cid:12) c a n t , a c t u a l p r ic e s w o u ld d iv e r g e fr o m P in t h e lo n g r u n ." 1

e f v i l c e t p r s e a s a i o l 2 T t f r q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f M 2 c o u l d b e a d j u s t e d t o e n a b l e c o n t i n u i n g u s e o f t h e p r i c e g a p f o r o r e c a s t i n g i n (cid:13) a t i o n . A n o b v i o u s e x p o s t \ c o r r e c t i o n " c o u l d b e e n o b t a i n e d d i r e c t l y b y s i m p l y c o m p u t i n g t h e (cid:3) V a l u e o f w h i c h w o u l d h a v e e l i m i n a t e d t h e i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t e r r o r s r e s u l t i n g f r o m t h e (cid:3) V n c o r r e c t a s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t . B u t s u c h a n e x e r c i s e i s c i r c u l a r a n d w o u l d b e u s e e s s f o r f o r e c a s t i n g i n (cid:13) a t i o n i n r e a l t i m e . R a t h e r , i n f o r m a t i o n f r o m o t h e r v a r i a b l e s o b s e r v e d o n t e m p o r a n e o u s l y w i t h v e l o c i t y s h o u l d b e b r o u g h t i n t o c o n s i d e r a t i o n . T o t h a t e n d , w e x a m i n e t h e c o - m o v e m e n t s o f v e l o c i t y a n d t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f m o n e y s u g g e s t e d f r o m r a d i t i o n a l m o n e y d e m a n d f o r m u l a t i o n s a s o u r a l t e r n a t i v e s o u r c e o f i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g (cid:3) V o t e n t i a l c h a n g e s i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y a n d c o m p u t e t h e c h a n g e i n i m p l i e d i n t h a t (cid:3) 2 V e l a t i o n s h i p . W e e x a m i n e s e v e r a l a l t e r n a t i v e s p e c i (cid:12) c a t i o n s o f w h i c h c o u l d h a v e r e a o n a b l y b e e n o b t a i n e d i n r e a l t i m e b y r e c u r s i v e e s t i m a t i o n , a s s o o n a s t h e b r e a k d o w n i n q u i l i b r i u m v e l o c i t y w a s r e c o g n i z e d . E v e n t u a l l y , e a c h o f o u r e s t i m a t e s e x h i b i t s a n o t i c e b l e u p w a r d s h i f t i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f a b o u t t h e s a m e a m o u n t , a l t h o u g h t h e y d i (cid:11) e r o m e w h a t r e g a r d i n g t h e d a t e w h e n t h e s h i f t b e c a m e e v i d e n t . (cid:3) V U s i n g t h e s e a l t e r n a t i v e s p e c i (cid:12) c a t i o n s o f w e t h e n s h o w t h e c o r r e s p o n d i n g o n e - y e a r h e a d i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s f o r t h e 1 9 9 0 s . T h e r e s u l t s s u g g e s t t h a t m u c h o f t h e d e t e r i o r a t i o n (cid:3) P n t h e i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s o b t a i n e d f r o m t h e f r a m e w o r k u s i n g t h e i n c o r r e c t a s s u m p t i o n f c o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y i s r e v e r s e d o n c e w e a c c o u n t f o r t h e a p p a r e n t s h i f t i n e q u i i b r i u m v e l o c i t y . E q u i l i b r i u m v e l o c i t y r a d i t i o n a l t h e o r i e s f o r t h e d e m a n d f o r m o n e y h o l d t h a t v e l o c i t y (cid:13) u c t u a t e s w i t h t h e o p p o r - O C d e v i a t i o n s O C u n i t y c o s t o f m o n e y . L e t t i n g d e n o t e o f t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f m o n e y , g r o m i t s a v e r a g e n o r m , a s i m p l e w a y t o c a p t u r e t h i s r e l a t i o n s h i p i s a s f o l l o w s : (cid:3) 1 V V (cid:11) O C e = + + g (cid:3) 2 T h e u s e fu ln e s s o f b r in g in g in fo r m a t io n fr o m s u c h s o u r c e s t o b e a r o n t h e P fr a m e w o r k h a s a ls o b e e n (cid:3) e c o g n iz e d b y K o e n ig ( 1 9 9 4 ) w h o p r o p o s e d s im u lt a n e o u s e s t im a t io n o f m o n e y d e m a n d a n d P m o d e ls . 2

w a e f w a t a i V u o b t 1 d h S 1 d l d 1 (cid:11) h e r e m e a s u r e s t h e r e s p o n s e o f v e l o c i t y t o m o v e m e n t s i n t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f m o n e y (cid:3) e V n d i s a s t a t i o n a r y z e r o m e a n e r r o r t e r m . I n t h i s s e t t i n g t h e s t a b i l i t y o f c a n b e (cid:3) V x a m i n e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r . I f w e r e a c o n s t a n t , i t c o u l d b e e a s i l y e s t i m a t e d r o m t h e ( p o p u l a t i o n ) r e g r e s s i o n : 0 1 V (cid:11) (cid:11) O C e = + + g (cid:3) 0 V (cid:11) h e r e , o f c o u r s e , a n e s t i m a t e o f c o u l d b e o b t a i n e d a s t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r . H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l i m p l i c i t l y r e l i e d o n t h e s t a b i l i t y o f m o n e y d e m a n d a n d t h e O C b s e n c e o f a n y t r e n d i n t h e m o v e m e n t o f o v e r t h e s a m p l e p e r i o d i n w h i c h t h e y d e v e l o p e d g (cid:3) P e h e m o d e l . S p e c i (cid:12) c a l l y , i f i n t h e a b o v e p o p u l a t i o n r e g r e s s i o n t h e e r r o r t e r m , , a v e r a g e s O C O C b o u t z e r o a n d d e p a r t u r e s o f f r o m i t s n o r m , , a l s o a v e r a g e a b o u t z e r o , t h e n i t i s g (cid:22) V V m m e d i a t e f r o m t h i s r e g r e s s i o n t h a t t h e s a m p l e m e a n o f , , w i l l g i v e a g o o d e s t i m a t e o f (cid:3) (cid:3) V , w h i c h i s t h e e s t i m a t e t h a t H a l l m a n , P o r t e r , a n d S m a l l s e l e c t e d . H o w e v e r , i f s h i f t s (cid:3) V p a s i t a p p a r e n t l y h a s i n t h e e a r l y 1 9 9 0 s , t h e r e v i s e d e s t i m a t e o f n e e d s t o e m b o d y s o m e e f t h e u p w a r d d r i f t o f t h e v e l o c i t y e r r o r w h i c h o c c u r r e d t h e n . M D e (cid:12) n i n g t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f 2 h o l d i n g s a s t h e r a t e o n t h e t h r e e - m o n t h t r e a s u r y M M i l l m i n u s t h e a v e r a g e r a t e p a i d o n 2 b a l a n c e s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 2 v e l o c i t y a n d 3 h e o p p o r t u n i t y c o s t i s s h o w n i n (cid:12) g u r e 1 . A s c a n b e s e e n , b e t w e e n 1 9 6 0 a n d u n t i l a b o u t 9 9 0 , M 2 v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t m o v e d t o g e t h e r q u i t e c l o s e l y a n d c o u l d l i k e l y b e e s c r i b e d b y t h e s i m p l e r e g r e s s i o n a b o v e . I n d e e d , t h e r e l a t i o n s h i p i m p l i c i t i n t h i s d i a g r a m a s f o r m e d t h e b a s i s f o r m o d e l s o f M 2 d e m a n d , i n c l u d i n g t h e m o d e l s i n M o o r e , P o r t e r a n d 4 m a l l ( 1 9 9 0 ) w h i c h w e r e u s e d a t t h e B o a r d o f G o v e r n o r s f o r t h e l a s t d e c a d e . S i n c e a b o u t 9 9 0 , h o w e v e r , t h e g a p b e t w e e n M 2 v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t s w i d e n s i n a w a y t h a t o e s n o t a p p e a r t o (cid:12) t t h e p r e v i o u s r e l a t i o n s h i p . F i g u r e 2 p r o v i d e s a s c a t t e r p l o t o f t h e s a m e d a t a . T h e s o l i d l i n e s h o w s t h e r e g r e s s i o n i n e o f v e l o c i t y o n t h e o p p o r t u n i t y c o s t e s t i m a t e d w i t h d a t a f r o m 1 9 6 0 :1 t o 1 9 8 8 :4 . T h e t w o o t t e d l i n e s f o r m a 9 5 p e r c e n t c o n (cid:12) d e n c e b a n d f o r t h e (cid:12) t t e d v a l u e s o f v e l o c i t y . A s c a n b e 3 S e e t h e d a t a a p p e n d ix fo r d e t a ils o n t h e d e (cid:12) n it io n s . 4 F ig u r e 1 is in e s s e n c e a n u p d a t e d a n d r e s c a le d v e r s io n o f (cid:12) g u r e 9 in M o o r e , P o r t e r a n d S m a ll ( 1 9 9 0 ) . 3

s T h v a o d t w d v b l b v m a f b s e 2 P a (cid:3) V e e n , t h e a s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t f o r t h i s p e r i o d i s n o t i n c o m p a t i b l e w i t h t h i s m o d e l . (cid:3) V h e p o i n t e s t i m a t e f o r c a n b e r e a d a s t h e v a l u e o n t h e (cid:12) t t e d l i n e c o r r e s p o n d i n g t o t h e i s t o r i c a l n o r m o f t h e o p p o r t u n i t y c o s t . S t a r t i n g i n a b o u t 1 9 9 1 , h o w e v e r , t h e o b s e r v e d e l o c i t y o f M 2 a p p e a r s c o n s i s t e n t l y o u t s i d e t h e c o n (cid:12) d e n c e b a n d o b t a i n e d b a s e d o n t h e (cid:3) (cid:3) V V s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t . T h e s e r e s u l t s s u g g e s t t h a t b y 1 9 9 1 , t h e c o n s t a n c y o f u g h t t o h a v e b e e n s e r i o u s l y q u e s t i o n e d | a s w a s i n d e e d t h e c a s e . (cid:3) V U n l i k e H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l w h o p o s i t t h e i s a c o n s t a n t , h o w e v e r , m o n e y e m a n d m o d e l s i n c l u d i n g M o o r e , P o r t e r a n d S m a l l t y p i c a l l y a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a (cid:3) V r e n d i n . T h i s c a n b e e a s i l y c a p t u r e d b y s p e c i f y i n g 1 1 2 V (cid:11) (cid:11) O C (cid:11) T I M E e = + + + g (cid:3) 0 2 V (cid:11) (cid:11) T I M E h e r e = + . A s i t t u r n s o u t , a s m a l l p o s i t i v e t r e n d d o e s a p p e a r i n t h e a t a . A l t h o u g h s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t , i t i s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e m o v e m e n t s o f (cid:3) V e l o c i t y a f t e r 1 9 9 1 . C o n s e q u e n t l y , t h e p o s s i b l e o m i s s i o n o f a t r e n d i n c o m p u t i n g c a n n o t y i t s e l f a c c o u n t f o r t h e a p p a r e n t n o n - c o n s t a n c y o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . N o n e t h e l e s s , f o r a t e r c o m p a r i s o n s , w e w i l l u s e b o t h f o r m u l a t i o n s | i n c l u d i n g a n d e x c l u d i n g a t r e n d | a s e n c h m a r k s . A n o t h e r i n t e r e s t i n g e l e m e n t i n (cid:12) g u r e 2 i s t h a t i n c o n t r a s t t o t h e r a p i d l y i n c r e a s i n g e l o c i t y d u r i n g t h e 1 9 9 2 - 1 9 9 4 p e r i o d , w h i c h w a s n o t a s s o c i a t e d w i t h c o r r e s p o n d i n g l y l a r g e o v e m e n t s i n o p p o r t u n i t y c o s t s , m o v e m e n t s i n v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t s s i n c e t h e n p p e a r t o f o l l o w a t r a j e c t o r y r o u g h l y p a r a l l e l t o t h e r e l a t i o n s h i p d e p i c t e d b y t h e s o l i d l i n e (cid:3) V o r t h e e a r l y p a r t o f t h e s a m p l e . T h i s o b s e r v a t i o n s u g g e s t s t h a t c o u l d n o w p o s s i b l y e a d e q u a t e l y m o d e l e d a s r o u g h l y c o n s t a n t b u t a t a n e w h i g h e r l e v e l . I f s o , t h e r e m a y b e (cid:3) V i m p l e a l t e r n a t i v e s t o t h e c o n s t a n t s p e c i (cid:12) c a t i o n t h a t m a y w e l l s u (cid:14) c e t o p r o v i d e u s e f u l (cid:3) P s t i m a t e s o f . (cid:3) V . 1 A l l o w i n g f o r a o n e - t i m e s h i f t i n (cid:3) V e r h a p s t h e s i m p l e s t a l t e r n a t i v e h y p o t h e s i s t o t h a t o f a c o n s t a n t i s a s p e c i (cid:12) c a t i o n l l o w i n g f o r a o n e - t i m e s h i f t i n t h e i n t e r c e p t o f t h e v e l o c i t y r e g r e s s i o n d e s c r i b e d a b o v e . I n 4

r a q d t w s e r a o u V a t 2 A a i t a r d e a l t i m e , o f c o u r s e , t h e e s t i m a t e d s i z e o f t h e s h i f t w o u l d n e e d t o b e r e - e s t i m a t e d w i t h e a c h d d i t i o n a l q u a r t e r o f d a t a . A n d s i n c e c o n s i d e r a b l e u n c e r t a i n t y m i g h t p r e v a i l f o r s e v e r a l u a r t e r s r e g a r d i n g t h e t i m i n g o f t h e s h i f t , t h e s a m e r e g r e s s i o n c o u l d b e u s e d t o o p t i m a l l y (cid:3) V D (cid:28) e t e r m i n e t h i s t i m i n g . T o a l l o w f o r s u c h a s h i f t i n w e s i m p l y a d d t h e v a r i a b l e ( ) i n h e e q u a t i o n a n d e s t i m a t e 0 1 2 3 V (cid:11) (cid:11) O C (cid:11) T I M E (cid:11) D (cid:28) e = + + + ( ) + g D (cid:28) h e r e i s a d u m m y v a r i a b l e t h a t i s d e (cid:12) n e d p a r a m e t r i c a l l y o n a n u n k n o w n q u a r t e r , , (cid:28) u c h t h a t i t e q u a l s 0 b e f o r e q u a r t e r a n d 1 s t a r t i n g w i t h t h a t q u a r t e r . T o o b t a i n p o i n t (cid:3) V s t i m a t e s o f t h a t a r e r e l e v a n t f o r f o r e c a s t i n g , s t a r t i n g i n 1 9 9 0 w e e s t i m a t e t h i s r e g r e s s i o n e c u r s i v e l y b y a d d i n g o n e a d d i t i o n a l q u a r t e r o f d a t a a t a t i m e . F u r t h e r , i n e a c h s t e p , w e l l o w t h e r e g r e s s i o n t o s e l e c t t h e q u a r t e r i n w h i c h t h e s h i f t i n t h e i n t e r c e p t m a y h a v e (cid:28) c c u r r e d , , w h i c h (cid:12) t s t h e d a t a b e s t . (cid:3) V U s i n g t h i s s i m p l e t e c h n i q u e w e o b t a i n r e c u r s i v e e s t i m a t e s o f w h i c h c o u l d h a v e b e e n s e d t o c o n s t r u c t m o r e a c c u r a t e e q u i l i b r i u m p r i c e s t h a n t h o s e o b t a i n e d u s i n g t h e c o n s t a n t (cid:3) a s s u m p t i o n . W e c a r r y o u t t h i s p r o c e d u r e t w i c e , o n c e t o o b t a i n a s e r i e s w h i c h a l l o w s f o r (cid:3) V o n e - t i m e b r e a k i n f r o m a c o n s t a n t t o a n e w l e v e l , a n d a s e c o n d t i m e a l l o w i n g a l s o f o r h e p r e s e n c e o f a t i m e t r e n d i n t h e r e g r e s s i o n . . 2 U s i n g R e g r e s s i o n T r e e s t o D e t e r m i n e V * n o t h e r w a y o f e n d o g e n o u s l y g e n e r a t i n g t i m e - v a r y i n g v a l u e s o f V * i n v o l v e s r e g r e s s i o n t r e e s 5 s d e s c r i b e d i n C l a r k a n d P r e g i b o r n ( 1 9 9 1 ) . A p p l i c a t i o n o f t h e t e c h n i q u e i n o u r s e t u p n v o l v e s a b i n a r y r e c u r s i v e p a r t i t i o n i n g o f t h e d e t e r m i n a n t s o f v e l o c i t y , w h i c h w e s p e c i f y O C T I M E X O C o b e o p p o r t u n i t y c o s t , , a n d t i m e , . I n p a r t i c u l a r , i f i s t h e s p a c e o f T I M E X n d o v e r t h e s a m p l e , t h e n t h e r e c u r s i v e a l g o r i t h m p a r t i t i o n s i n t o h o m o g e n e o u s x x e c t a n g u l a r r e g i o n s s u c h t h a t t h e c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f v e l o c i t y g i v e n d o e s n o t O C T I M E e p e n d o n t h e s p e c i (cid:12) c v a l u e s o f a n d , i .e ., t h e t r e e i s a s t e p f u n c t i o n t h a t t a k e s 5 S e e a ls o H (cid:127)a r d le ( 1 9 9 0 ) fo r a t e c h n ic a l d e s c r ip t io n . 5

o n a c o n s t a n t v a l u e o f v e l o c i t y w i t h i n e a c h r e g i o n . O n e w a y o f r e p r e s e n t i n g t h e i n f o r m a t i o n f r o m t h i s r e c u r s i v e a l g o r i t h m i s a s a t r e e ( s e e (cid:12) g u r e 3 ) w i t h v a r i o u s n o d e s o r b r a n c h p o i n t s a n d t e r m i n a l n o d e s , c a l l e d l e a v e s , p l a c e d a t t h e e n d o f t h e n o d e s . I n g e n e r a l , t r e e - b a s e d m o d e l s c a n b e i n t e r p r e t e d a s r e g r e s s i o n s o n d u m m y v a r i a b l e s , w h e r e t h e d u m m y v a r i a b l e s a r e e n d o g e n o u s l y , r e c u r s i v e l y d e t e r m i n e d . T h e y h a v e s e v e r a l a d v a n t a g e s : ( a ) t h e y a r e i n v a r i a n t t o m o n o t o n e t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ; ( b ) t h e y a r e m o r e a d a p t a t c a p t u r i n g n o n - a d d i t i v e b e h a v i o r ; ( c ) t h e y a l l o w m o r e g e n e r a l i n t e r a c t i o n s a m o n g i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . I n p a r t i c u l a r , t r e e s a l l o w u s t o m o d e l r e l a t i v e l y a b r u p t s h i f t s i n r e l a t i o n s h i p s , p e r h a p s e n a b l i n g u s t o t r a c k c h a n g e s i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y n o n - p a r a m e t r i c a l l y . I n a d d i t i o n s i n c e t h e t r e e s o n l y d e p e n d o n t h e r a n k s o f t h e u n d e r l y i n g d a t a , i n c o n s t r u c t i n g o u r t r e e - b a s e d e s t i m a t e s w e d o n o t n e e d t o t a k e a s t a n d o n w h e t h e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t s i s l i n e a r o r l o g a r i t h i m i c . T o i l l u s t r a t e t h e s e c o n c e p t s , (cid:12) g u r e 3 d i s p l a y s t w o p a n e l s w h i c h r e p r e s e n t a l t e r n a t i v e s w a y s G D P o f v i e w i n g t h e e m p i r i c a l e s t i m a t e s o f a r e g r e s s i o n t r e e i n w h i c h t h e v e l o c i t y o f M 2 , V O C T I M E 2 , i s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d a n d a r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , b a s e d o n d a t a f r o m t h e e n t i r e s a m p l e f r o m 1 9 5 9 :2 t o 1 9 9 7 :4 . T h e t o p p a n e l o f (cid:12) g u r e 3 s h o w s t h e t r e e s t r u c t u r e o f t h e e s t i m a t e s ; t h e f u l l t r e e i s a n 1 1 - w a y p a r t i t i o n o f t h e d a t a , t h a t i s , i t h a s 6 1 1 d i (cid:11) e r e n t t e r m i n a l v a l u e s o f v e l o c i t y d e p e n d i n g o n t i m e a n d o p p o r t u n i t y c o s t s . T h e t o p n o d e , c a l l e d t h e r o o t , i s d e s i g n a t e d b y a n o v a l ; t h e a v e r a g e v a l u e o f v e l o c i t y f o r t h e w h o l e O C p e r i o d ( 1 .7 4 8 ) i s l i s t e d i n s i d e t h e o v a l . A s w e m o v e d o w n t h e t r e e t h e v a l u e s o f a n d T I M E a r e s u c c e s s i v e l y s p l i t i n t o (cid:12) n e r b r a n c h e s , a s i n d i c a t e d o n t h e p a t h s b e t w e e n n o d e s o f t h e t r e e . F o r e x a m p l e , t h e t o p n o d e s p l i t s o n t h e l e f t g o i n g d o w n t h e t r e e o n t h e b a s i s o f T I M E O C f o r t w o s p l i t s u n t i l i t s p l i t s o n t h e r i g h t d e p e n d i n g o n w h e t h e r i s g r e a t e r o r l e s s t h a n 3 .4 6 . T h e e l e v e n t e r m i n a l n o d e s o r l e a v e s i n t h i s t r e e a r e r e p r e s e n t e d b y r e c t a n g u l a r 6 W e u s e d t h e S - P L U S s y s t e m t o im p le m e n t t h e t r e e - b a s e d r e g r e s s io n m o d e ls . T h e d e fa u lt a lg o r it h m im p le m e n t e d t h e r e t e n d s t o e s t im a t e a n \ o v e r ly la r g e t r e e " w it h r o u g h ly N = 1 0 t e r m in a l n o d e s , w h e r e N is t h e s a m p le s iz e . I n o u r a p p lic a t io n w h e r e N = 1 5 5 , t h e n u m b e r o f n o d e s in t h e fu ll m o d e l fo r t h e fu ll p e r io d is 1 1 . S u c h a s iz e is in a c c o r d w it h t h e \ b e s t c u r r e n t p r a c t ic e " a c c o r d in g t o C la r k a n d P r e g ib o r n ( 1 9 9 1 , p . 4 1 5 ) . H o w e v e r , a s w e s h a ll s e e b e lo w , p r u n in g t h e t r e e b a c k ( e v e n s e v e r e ly ) t o h a v e a s m a lle r n u m b e r o f (cid:3) t e r m in a l n o d e s , a p p e a r s t o h a v e v e r y lit t le e (cid:11) e c t o n t h e e s t im a t e s o f V r e le v a n t fo r o u r in (cid:13) a t io n fo r e c a s t s . 6

b o x e s . T h e l o w e r p a n e l i n (cid:12) g u r e 3 r e p r e s e n t s m u c h o f t h e s a m e i n f o r m a t i o n i n a w a y t h a t r e v e a l s 7 t h e t i m e s e r i e s s t r u c t u r e m o r e r e a d i l y s i n c e t i m e i s p l o t t e d a l o n g t h e x - a x i s . F o r e x a m p l e , i n t h e (cid:12) r s t 6 p e r i o d s o f t h e s a m p l e p e r i o d , t h e v a l u e o f t h e r e g r e s s i o n t r e e i s 1 .7 4 , t h a t i s , G D P M t h e v a l u e o f t h e v e l o c i t y o f 2 , d o e s n o t d e p e n d o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s . T h e r e a f t e r , h o w e v e r , t h e l e v e l o f t h e o p p o r t u n i t y c o s t d o e s m a t t e r w i t h a t h r e e - w a y s p l i t O C ( 3 v a l u e s o f v e l o c i t y d e p e n d i n g o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s ( ) u n t i l t h e l a t e 1 9 8 0 s , a n d a t w o - w a y s p l i t t h e r e a f t e r ) . A s e s t i m a t e d , t h e t r e e p r o v i d e s a t i m e - v a r y i n g r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o p p o r t u n i t y c o s t s a n d v e l o c i t y i n w h i c h a b r u p t c h a n g e s m a y o c c u r . (cid:3) V T h e e s t i m a t e d r e g r e s s i o n t r e e d o e s n o t n e c e s s a r i l y g i v e u s a c o n c e p t d i r e c t l y , e x c e p t i n t h e (cid:12) r s t 6 p e r i o d s , b e c a u s e t h e s u m m a r y m e a s u r e o f v e l o c i t y i n m o s t o f t h e t e r m i n a l n o d e s d e p e n d s o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s . T h e r e a r e t w o a l t e r n a t i v e w a y s t o p r o c e e d (cid:3) V t o f a s h i o n a n e s t i m a t e o f f r o m s u c h a t r e e . W e c o u l d p r u n e t h e t r e e b a c k t o h a v e a s m a l l e r n u m b e r o f s p l i t s o r b r a n c h e s , a n d h o p e t h a t t h e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s i n w h i c h v e l o c i t y d o e s n o t d e p e n d o n o p p o r t u n i t y c o s t s i n c r e a s e s . F o r e x a m p l e , (cid:12) g u r e 4 s h o w s t h e s p l i t s f o r t e n d i (cid:11) e r e n t p o s s i b l e s p l i t s f r o m e l e v e n ( t h e f u l l t r e e ) d o w n t o t w o s p l i t s . A s t h e n u m b e r o f s p l i t s o r p a r t i t i o n s b e c o m e s s m a l l , t h e r e g i o n s i n w h i c h v e l o c i t y a t a g i v e n t i m e p e r i o d o r s e t o f t i m e p e r i o d s d o e s n o t d e p e n d o n o p p o r t u n i t y c o s t s i n c r e a s e w i t h o n l y o n e r e g i o n w h e n t h e r e a r e f o u r p a r t i t i o n s , a n d n o r e g i o n s w i t h e i t h e r t w o o r t h r e e p a r t i t i o n s , 7 s te p T h e s e e le v e n r e c t a n g le s r e p r e s e n t c o n t o u r s o f a fu n c t io n t h a t h a s a c o n s t a n t v e lo c it y v a lu e w it h in e a c h r e c t a n g u la r r e g io n in O C T I M E s p a c e a n d is z e r o e ls e w h e r e . I n a r e g r e s s io n t r e e w it h a d e p e n d e n t T v a r ia b le t h a t t a k e s o n n u m e r ic a l v a lu e s a s in o u r a p p lic a t io n u s in g V 2 , t h e u n d e r ly in g s t a t is t ic a l m o d e l p o s it s i i t h a t e a c h o b s e r v a t io n , s a y y , is d is t r ib u t e d a s n o r m a l w it h m e a n (cid:22) a n d c o n s t a n t v a r ia n c e w h e r e t h e s t e p i i fu n c t io n b e in g d e t e r m in e d b y t h e r e g r e s s io n t r e e c a n b e t h o u g h t o f a s t h e s t r u c t u r a l c o m p o n e n t , (cid:22) = ! ( x ) . i T h e r e g r e s s io n s u r fa c e in a r e g r e s s io n t r e e c o n s is t s o f a lin e a r c o m b in a t io n o f s u c h s t e p fu n c t io n s , ! ( x ) . p p i i i S p e c i(cid:12) c a lly , t h e o v e r a ll t r e e s u r fa c e fo r a t r e e w it h p le a v e s is m ( x ) = (cid:22) I f x 2 N g = ! ( x ) , P P = 1 = 1 i i i w h e r e I is a n in d ic a t o r fu n c t io n a n d t h e N a r e d is jo in t h y p e r - r e c t a n g le s w it h s id e s p a r a lle l t o t h e c o o r d in a t e 2 i i i i a x e s . T h e d e v ia n c e fu n c t io n is d e (cid:12) n e d t o b e D ( (cid:22) ; y ) = ( y (cid:0) (cid:22) ) . A t a g iv e n n o d e , t h e m e a n p a r a m e t e r (cid:22) is c o n s t a n t fo r a ll o b s e r v a t io n s . T h e m a x im u m - lik e lih o o d e s t im a t e o f (cid:22) is g iv e n b y t h e a v e r a g e o f t h e v a lu e s a t t h e n o d e , t h a t is w it h in t h e h y p e r - r e c t a n g le a s s o c ia t e d w it h t h e n o d e . T h e d e v ia n c e o f a n o d e is d e (cid:12) n e d a s t h e s u m o f t h e d e v ia n c e s o f a ll o b s e r v a t io n s in t h e n o d e a n d is id e n t ic a lly e q u a l t o z e r o w h e n t h e y ’s w it h in t h e h y p e r - r e c t a n g le a r e t h e s a m e , a n d it in c r e a s e s o t h e r w is e . S p lit t in g t h e d a t a in t o (cid:12) n e r p a r t it io n s in v o lv e s s o r t in g t h e o b s e r v a t io n s o n a p a r t ic u la r v a r ia b le o r s e t o f v a r ia b le s in t o le ft ( s m a lle r o b s e r v a t io n s ) a n d r ig h t g r o u p s ( la r g e r o b s e r v a t io n s ) w it h t h e t r e e a lg o r it h m s e le c t in g s u c h s p lit s t o m a x im iz e t h e c h a n g e in t h e d e v ia n c e . 7

t c o l t t t p l p o o p 2 I n e e v w ( t c p t h e t o p p a n e l s i n t h e (cid:12) g u r e . A l t e r n a t i v e l y , w h e n t h e p a r t i t i o n s d e p e n d o n t h e o p p o r t u n i t y o s t , i n e a c h q u a r t e r w e c o u l d s e l e c t t h e v a l u e c o r r e s p o n d i n g t o t h e h i s t o r i c a l a v e r a g e o f t h e (cid:3) V p p o r t u n i t y c o s t a s o u r e s t i m a t e o f . (cid:3) V T h e t w o - w a y p a r t i t i o n g i v e s u s a r e p r e s e n t a t i o n o f a s h a v i n g a c o n s t a n t v a l u e a i t t l e o v e r 1 .7 u n t i l t h e e a r l y 1 9 9 0 s w h e n i t s h i f t s u p t o a v a l u e b e t w e e n 1 .9 a n d 2 .0 . T h e h r e e - w a y p a r t i t i o n a d d s a n e a r l i e r s t e p i n 1 9 7 8 . S i n c e t h e t r e e r e g r e s s i o n d o e s n o t h a v e h e c a p a b i l i t y o f d i r e c t l y r e p r e s e n t i n g a l i n e a r t i m e t r e n d , t h e p r e s e n c e o f s u c h a t r e n d i n h e v e l o c i t y d a t a w o u l d b e c a p t u r e d b y s p l i t t i n g v e l o c i t y i n t h e m i d d l e o f t h e f u l l s a m p l e e r i o d , w h i c h i s w h a t o u r e s t i m a t e s d o i n t h e s a m p l e m i d p o i n t o f 1 9 7 8 . M o s t n o t a b l e , a t e a s t g i v e n o u r i n t e r e s t i n f o r e c a s t i n g i n (cid:13) a t i o n i n t h e 1 9 9 0 s , i s t h e f a c t t h a t t h e r i g h t - m o s t a r t o f t h e t r e e , c o r r e s p o n d i n g t o t h i s m o r e r e c e n t p e r i o d , r e m a i n s i n v a r i a n t t o t h e n u m b e r (cid:3) V f p a r t i t i o n s t h a t a r e u s e d s o t h a t o u r e s t i m a t e s d o n o t a p p e a r t o d e p e n d o n t h e n u m b e r f l e a v e s i n t h e t r e e , t h a t i s t h e r e s u l t s h o l d u n d e r b o t h p a r s i m o n i o u s a n d p r o (cid:13) i g a t e t r e e a r a m e t e r i z a t i o n s . . 3 E s t i m a t i o n (cid:3) V n (cid:12) g u r e 5 , w e p r o v i d e e s t i m a t e s o f o b t a i n e d f r o m r e c u r s i v e e s t i m a t i o n u s i n g t h e t e c h i q u e s d e s c r i b e d a b o v e . A s i n d i c a t e d t h e r e , w e a r e i n t e r e s t e d i n d e t e r m i n i n g h o w t h e v a r i o u s (cid:3) V s t i m a t e s o f e v o l v e i n r e a l t i m e a s t h e y a r e f e d m o r e o b s e r v a t i o n s , s o w e w i l l u p d a t e t h e 8 s t i m a t e s q u a r t e r l y a s e a c h n e w o b s e r v a t i o n b e c o m e s a v a i l a b l e . T h e f o u r a l t e r n a t i v e t i m e a r y i n g e s t i m a t e s s h o w n w i t h d a s h e d a n d d o t t e d l i n e s c o r r e s p o n d t o t h e c a s e s o f a c o n s t a n t i t h o n e i n t e r c e p t s h i f t , ( E s t i m a t e A ) ; a c o n s t a n t , c o n s t a n t t r e n d a n d o n e i n t e r c e p t s h i f t E s t i m a t e B ) ; t h e s i m p l e s t r e g r e s s i o n t r e e s p e c i (cid:12) c a t i o n w i t h j u s t 2 s p l i t s ( E s t i m a t e C ) a n d h e f u l l r e g r e s s i o n t r e e e v a l u a t e d a t t h e a v e r a g e o p p o r t u n i t y c o s t , ( E s t i m a t e D ) . T h r e e t h i n g s a r e n o t e w o r t h y h e r e . F i r s t , e v e n a t t h e b e g i n n i n g o f 1 9 9 0 , ( w h e n w e (cid:12) r s t (cid:3) V o n s i d e r t h e a d d i t i o n a l (cid:13) e x i b i l i t y i n t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h a n t h e c o n s t a n t e s t i m a t e ) t h e o i n t e s t i m a t e o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f o r t h e q u a r t e r s s h o w n a p p e a r s s o m e w h a t h i g h e r t h a n 8 T h e s e c a lc u la t io n s a r e o n ly e x e r c is e s in o n e s e n s e : W e d o n o t d e a l e x p lic it ly w it h t h e fa c t t h a t in r e a l im e m a n y o f o u r d a t a s o u r c e s a r e p r e lim in a r y . 8

t u p w s c i o d e w r t f 3 U i o c H t 1 0 o h e (cid:12) x e d c o n s t a n t e s t i m a t e . T h i s r e s u l t i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e , a s a l r e a d y m e n t i o n e d , a s l i g h t (cid:3) V p w a r d t r e n d w o u l d a p p e a r t o p r o v i d e a b e t t e r c h a r a c t e r i z a t i o n o f d u r i n g t h e 1 9 6 0 - 1 9 8 8 (cid:3) V e r i o d o v e r w h i c h t h e c o n s t a n t i s c o m p u t e d . S e c o n d , a n d m o s t i m p o r t a n t , c o m p a r e d (cid:3) V i t h t h e (cid:12) x e d e s t i m a t e a l l f o u r a l t e r n a t i v e r e c u r s i v e e s t i m a t e s s h o w a d r a m a t i c u p w a r d h i f t i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y d u r i n g t h e 1 9 9 2 - 1 9 9 4 p e r i o d . T h e e x a c t t i m e a t w h i c h t h i s h a n g e i s m o s t n o t i c e a b l e d i (cid:11) e r s q u i t e s i g n i (cid:12) c a n t l y i n t h e f o u r e s t i m a t e s , w i t h e s t i m a t e B n d i c a t i n g a m a j o r s h i f t a s e a r l y a s 1 9 9 2 , D i n 1 9 9 3 , a n d e s t i m a t e C d e t e c t i n g a l a r g e c h a n g e n l y i n l a t e 1 9 9 4 . T h i r d , d e s p i t e t h e i m p o r t a n t t i m i n g d i (cid:11) e r e n c e s i n t h e f o u r e s t i m a t e s u r i n g t h e 1 9 9 2 - 9 4 p e r i o d , i t a p p e a r s t h a t b y t h e e n d o f t h e s a m p l e t h e f o u r a l t e r n a t i v e s t i m a t e s a r e i n s u b s t a n t i a l a g r e e m e n t w i t h o n e a n o t h e r . (cid:3) V O v e r a l l , w h i l e i t w o u l d b e d i (cid:14) c u l t t o j u d g e t h e r e l a t i v e m e r i t s o f t h e s e e s t i m a t e s o f i t h s u c h a s h o r t s a m p l e , t h e r e c u r s i v e e s t i m a t e s s h o u l d b e n o t e d m o r e f o r t h e i r s i m i l a r i t y (cid:3) V e l a t i v e t o t h e c o n s t a n t e s t i m a t e s , i n s t e a d o f t h e i r d i (cid:11) e r e n c e s . T h e n e x t s t e p , t h e n , i s (cid:3) P o u s e t h e s e e s t i m a t e s t o c o n s t r u c t t h e i m p l i e d t i m e s e r i e s f o r a n d a s s o c i a t e d i n (cid:13) a t i o n o r e c a s t s . I n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s (cid:3) V s i n g t h e a l t e r n a t i v e c o n c e p t s o f s h o w n i n (cid:12) g u r e 5 , w e n e x t t u r n o u r a t t e n t i o n t o t h e (cid:3) P n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e i m p l i c i t a l t e r n a t i v e e s t i m a t e s o f . W e c o n c e n t r a t e n t h e s i m p l e s t s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e i n (cid:13) a t i o n e q u a t i o n i n H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l w h i c h a n p r o v i d e o n e - y e a r - a h e a d f o r e c a s t s o f i n (cid:13) a t i o n ( t h e i r e q u a t i o n 1 4 ) : (cid:3) (cid:0) (cid:0) t t 1 t (cid:25) (cid:11) p p u (cid:0) (cid:1) = ( ) + t 1 (cid:3) t (cid:25) t p p e r e d e n o t e s i n (cid:13) a t i o n o v e r t h e f o u r q u a r t e r s s t a r t i n g w i t h q u a r t e r a n d a n d d e n o t e (cid:3) P P h e n a t u r a l l o g a r i t h m s o f a n d r e s p e c t i v e l y . U s i n g t h e i r d a t a c o v e r i n g t h e p e r i o d f r o m (cid:0) (cid:11) : 9 5 5 t o 1 9 8 8 , H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l e s t i m a t e d t o b e 0 2 2 w i t h a s t a n d a r d e r r o r o f 9 .0 4 4 . B e c a u s e o f c h a n g e s i n t h e d e (cid:12) n i t i o n s o f t h e v a r i a b l e s a n d s a m p l e c o v e r a g e , h o w e v e r , 9 T h e a n n u a l m o d e l in H a llm a n , P o r t e r , a n d S m a ll u s e s o n ly n o n - o v e r la p p in g fo u r t h q u a r t e r o b s e r v a t io n s (cid:3) n in (cid:13) a t io n a n d t h e p r ic e g a p . S in c e w e a r e in t e r e s t e d in d e t e c t in g c h a n g e s in V in r e a l t im e , w e a d o p t a 9

w o w a o c s e o l w o v t i ( D d q t o t s r b e n e e d t o r e e s t i m a t e t h i s e q u a t i o n . E n d i n g t h e s a m p l e i n 1 9 8 8 f o r c o m p a r a b i l i t y , w e u s e (cid:0) (cid:11) : v e r l a p p i n g q u a r t e r l y d a t a f r o m 1 9 6 0 :1 t o 1 9 8 8 :4 . T h i s y i e l d s a n e s t i m a t e o f o f 0 1 6 i t h a s t a n d a r d e r r o r o f 0 .0 4 1 ( o b t a i n e d u s i n g t h e a s y m p t o t i c c o r r e c t i o n f o r t h e m o v i n g 1 0 v e r a g e e r r o r t e r m ) . F i g u r e 6 s h o w s t h e i n - s a m p l e i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t s o b t a i n e d f r o m t h i s e q u a t i o n a s w e l l a s t h e u t - o f - s a m p l e f o r e c a s t s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n o f c o n s t a n c y f o r e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . A s a n b e s e e n , w h i l e t h e f o r e c a s t a p p e a r s t o m o v e c l o s e l y w i t h r e a l i z e d i n (cid:13) a t i o n f o r m o s t o f t h e a m p l e , s i n c e a b o u t 1 9 9 2 f o r e c a s t e d i n (cid:13) a t i o n d i v e r g e s f r o m a c t u a l i n (cid:13) a t i o n w i t h t h e f o r e c a s t r r o r b e c o m i n g p r o g r e s s i v e l y w o r s e u n t i l a b o u t 1 9 9 5 . T h e p a t t e r n o f e r r o r s s u g g e s t s t h a t (cid:3) P v e r t h i s p e r i o d , w a s c o n s t r u c t e d u s i n g a n e s t i m a t e o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y w h i c h w a s i k e l y s y s t e m a t i c a l l y s m a l l e r t h a n i t s h o u l d h a v e b e e n . T h i s a s s e s s m e n t , i s i n a g r e e m e n t (cid:3) V i t h t h e e s t i m a t e d u p w a r d s h i f t i n g i m p l i e d b y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v e l o c i t y a n d p p o r t u n i t y c o s t s . S t a r i n g i n 1 9 9 0 , (cid:12) g u r e 7 p r o v i d e s t h e a l t e r n a t i v e f o r e c a s t s b a s e d o n t h e f o u r t i m e - (cid:3) V a r y i n g c o n c e p t s o f s h o w n i n (cid:12) g u r e 5 . A s c a n b e s e e n , a l l o w i n g f o r t h e t i m e v a r i a t i o n i n (cid:3) V h e e s t i m a t e o f d u r i n g t h i s p e r i o d w o u l d h a v e y i e l d e d s u b s t a n t i a l l y b e t t e r f o r e c a s t s o f n (cid:13) a t i o n e s p e c i a l l y a f t e r 1 9 9 2 . O f t h e f o u r a l t e r n a t i v e e s t i m a t e s , i t a p p e a r s t h a t E s t i m a t e B (cid:3) V o b t a i n e d b y e s t i m a t i n g a o n e - t i m e s h i f t i n a n d a l l o w i n g f o r a t i m e t r e n d ) a n d E s t i m a t e ( o b t a i n e d f r o m t h e f u l l r e g r e s s i o n t r e e ) w o u l d h a v e r e s u l t e d i n t h e s m a l l e s t f o r e c a s t e r r o r s u r i n g t h i s p e r i o d . A s s h o w n i n t a b l e 1 f o r t h e s e t w o f o r e c a s t s , t h e m e a n e r r o r w a s o n e u a r t e r o f a p e r c e n t o r l e s s a n d t h e m e a n a b s o l u t e e r r o r w a s a b o u t h a l f a p e r c e n t . I n d e e d , (cid:3) V h i s p e r f o r m a n c e i s b e t t e r t h a n t h e i n - s a m p l e p e r f o r m a n c e o f t h e c o n s t a n t s p e c i (cid:12) c a t i o n v e r t h e e a r l i e r p e r i o d | a s s h o w n i n t h e m e m o i t e m i n t h e t a b l e . F i n a l l y , t h e s i m p l i c i t y o f t h e f o r m u l a t i o n w e a r e e x a m i n i n g a l l o w s u s t o e a s i l y c h a r a c - (cid:3) V e r i z e t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n e r r o r a r i s i n g f r o m i n c o r r e c t l y a s s u m i n g a c o n s t a n t s p e c i (cid:12) c a t i o n e t u p t h a t a llo w s u s t o u s e a ll q u a r t e r ly o b s e r v a t io n s . 1 0 T h a t is , s in c e w e a r e u s in g o v e r la p p in g , y e a r - o v e r - y e a r in (cid:13) a t io n r a t e s a s t h e d e p e n d e n t v a r ia b le in t h e e g r e s s io n , t h e p r o p e r e s t im a t io n o f t h e a s y m p t o t ic v a r ia n c e o f (cid:11) n e e d s t o t a k e t h e e r r o r s t r u c t u r e in d u c e d y u s in g o v e r la p p in g o b s e r v a t io n s in t o a c c o u n t . 1 0

w a i S i I e 3 T t a s n o a c f t t s h l t t h e n t h e c o r r e c t s p e c i (cid:12) c a t i o n s h o u l d a c c o u n t f o r a o n e - t i m e s h i f t i n v e l o c i t y . I f t h e r e w e r e (cid:3) (cid:3) V V o n e - t i m e s h i f t i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f r o m t o , t h e n t h e a s s o c i a t e d f o r e c a s t e r r o r 1 2 (cid:3) (cid:3) V V n f o r e c a s t i n g i n (cid:13) a t i o n u s i n g t h e o r i g i n a l e s t i m a t e , , w o u l d b e 1 (cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:0) (cid:11) l o g V l o g V ( ( 2 ) ( 1 ) ) (cid:3) (cid:0) (cid:11) : V i n c e t h e e s t i m a t e d = 1 6 a n d t h e s h i f t i n a p p e a r s t o b e f r o m a b o u t 1 .7 t o 2 , t h e m p l i e d i n (cid:13) a t i o n f o r e c a s t e r r o r i s a b o u t t w o a n d a h a l f p e r c e n t p e r f o u r - q u a r t e r p e r i o d . n d e e d , a s s h o w n i n (cid:12) g u r e 7 , t h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e m a g n i t u d e o f t h e r e c e n t f o r e c a s t (cid:3) V r r o r s c o r r r e s p o n d i n g t o t h e f o r e c a s t o b t a i n e d f r o m t h e c o n s t a n t s p e c i (cid:12) c a t i o n . . 1 A l t e r n a t i v e N o n - S t r u c t u r a l A p p r o a c h e s (cid:3) (cid:3) P V (cid:11) h e f r a m e w o r k d e p e n d s o n o n l y t w o p a r a m e t e r s , , t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y , a n d , h e c o e (cid:14) c i e n t i n d i c a t i n g w h a t f r a c t i o n o f t h e l a g g e d g a p b e t w e e n t h e l o g o f t h e p r i c e l e v e l (cid:3) P n d t h e l o g o f i s e x p e c t e d t o c l o s e o v e r t h e n e x t f o u r q u a r t e r s . T h e f o r e c a s t i n g r e s u l t s u g g e s t t h a t o f t h e s e t w o p a r a m e t e r s , t h e b e h a v i o r o f o n l y o n e h a s b e e n p r o b l e m a t i c a l , (cid:3) V a m e l y . B y r e l a x i n g t h e a s s u m p t i o n t h a t t h i s p a r a m e t e r i s c o n s t a n t b u t l e a v i n g t h e t h e r p a r a m e t e r (cid:12) x e d w e w e r e a b l e t o r e s t o r e t h e a c c u r a c y o f t h e m o d e l . T h e s p e c i (cid:12) c a t i o n n a l y s i s p r e s e n t e d a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s u g g e s t s t h a t a t r i a l - a n d - e r r o r p r o c e s s (cid:3) V : o u l d a l s o l e a d t o t h e e v e n t u a l d i s c o v e r y t h a t s e t t i n g = 2 0 w o u l d h a v e c o r r e c t e d t h e (cid:3) P o r e c a s t i n g p r o b l e m s o f f r a m e w o r k . (cid:3) V T h i s r e s u l t r a i s e s t h e q u e s t i o n h o w w e l l a s i m p l e r a p p r o a c h t h a t u p d a t e s b a s e d o n h e r e c e n t i n (cid:13) a t i o n e r r o r w i t h o u t u s i n g t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n w e b r i n g t o b e a r , n a m e l y h e o p p o r t u n i t y c o s t o f m o n e y , w o u l d h a v e p e r f o r m e d . A s i s e v i d e n t f r o m (cid:12) g u r e s 5 a n d 6 (cid:3) (cid:3) V V u c h u p d a t i n g w o u l d h a v e c r e a t e d w i l d l y d i v e r g e n t e s t i m a t e s o f ; e s t i m a t e s o f w o u l d a v e t e n d e d t o f a l l i n 1 9 9 1 - 9 2 b e f o r e e v e n t u a l l y m o v i n g u p w a r d l a t e r i n t h e p e r i o d . A e s s e x t r e m e n o n - s t r u c t u r a l a p p r o a c h l e t s u s e v a l u a t e t h e i m p o r t a n c e o f o p p o r t u n i t y c o s t s o o u r f o r e c a s t i n g r e s u l t s . S u p p o s e a s a n a l t e r n a t i v e t o E s t i m a t e s A a n d B w e d r o p p e d O C h e t e r m i n o p p o r t u n i t y c o s t s , , f r o m t h e r e g r e s s i o n s b u t c o m p u t e d e v e r y t h i n g e l s e i n 1 1

E u ( a 4 O m t t d t s t i m a t e s A a n d p t h e u p w a r d m b y a t l e a s t o n e l t e r n a t i v e . C o n c l u s u r p a p e r l a y s o a t e s w e o b t a i n h e s t a b i l i t y o f t h e (cid:12) n a n c i a l s e r v y n a m i c v e r s i o n o o l k i t . B a s a b o v e . A s o v e m e n t i n t h e y e a r ) , r e s u l t i n g i o n s u t a s t r u c t u r a l g o q u i t e f a r i n (cid:3) P h e a p p r o a c h i c e i n d u s t r y t h a o f t h e q u a n t i t y e w o u l d b e e x p e c t e d , t h i s m e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . H o i n a m a r k e d d e t e r i o r a t i o s t r a t e g y c o n s t r u c t i n g r e a r e s t o r i n g t h e f o r e c a s t i n g c o u l d b e r e s t o r e d i n t h e t o c c u r e d o v e r t h i s p e r i o q u a t i o n i s s t i l l w o r t h h a v 1 2 e t h o d w o u l d a l s o e v e n t u a l l y p i c k w e v e r , t h e r e c o g n i t i o n i s d e l a y e d n i n t h e f o r e c a s t a c c u r a c y o f t h i s (cid:3) V l - t i m e e s t i m a t e s o f . T h e e s t i - (cid:3) P a c c u r a c y o f t h e m o d e l . T h a t f a c e o f f a i r l y m a s s i v e c h a n g e s i n d , s u g g e s t s t o u s t h a t t h i s s i m p l e i n g i n t h e m o n e t a r y p r a c t i t i o n e r s ’

m F s b c w t n i s b y B p a d a b G D a t a A p p e n d i x I n c o n s t r u c t i n g t h e d a t a f o r t h i s p a p e r w e f o l l o w H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l ( 1 9 9 1 ) b u t a k e a l l o w a n c e s f o r t h r e e c h a n g e s t h a t n e e d t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t t o u p d a t e t h e r e s u l t s . i r s t , w e u s e t h e n e w r e d e (cid:12) n e d v e r s i o n o f M 2 . E a r l y i n 1 9 9 6 t h e F e d e r a l R e s e r v e m a d e a m a l l c h a n g e i n t h e d e (cid:12) n i t i o n o f M 2 , e x c l u d i n g o v e r n i g h t R P s a n d E u r o d o l l a r s f r o m t h i s r o a d m e a s u r e b u t i n c l u d i n g t h e m i n M 3 . ( S e e W h i t e s e l l a n d C o l l i n s , 1 9 9 6 .) A l t h o u g h t h i s h a n g e d o e s n o t a p p e a r t o h a v e c h a n g e d t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e a g g r e g a t e i n m a j o r a y s i t i s n o t i c e a b l e i n o u r a n a l y s i s i n t w o w a y s . F i r s t , i t r e s u l t e d i n a n o v e r a l l i n c r e a s e i n h e v e l o c i t y o f t h e a g g r e g a t e . S e c o n d , a s o v e r n i g h t R P s a n d E u r o d o l l a r s w e r e n o t n e a r l y a s e g l i g i b l e l a t e i n o u r s a m p l e p e r i o d a s e a r l i e r , i t m a k e s e s t i m a t e s o f a p o s i t i v e o v e r a l l t r e n d n t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f M 2 m o r e n o t i c e a b l e . I n o u r e s t i m a t i o n , w e u s e t h e q u a r t e r l y e a s o n a l l y a d j u s t e d d a t a f o r t h e r e d e (cid:12) n e d M 2 s e r i e s w h i c h a r e a v a i l a b l e o n a c o n s i s t e n t a s i s f r o m 1 9 5 9 . W e c o n s t r u c t t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f M 2 a s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e i e l d o n t h e t h r e e - m o n t h T r e a s u r y b i l l a n d t h e a v e r a g e r a t e p a i d o n M 2 b a l a n c e s . O n t h e E A s i d e o f t h e l e d g e r , t h e r e w e r e t w o i m p o r t a n t r e l e v a n t c h a n g e s r e g a r d i n g i n c o m e a n d r i c e c o n c e p t s u s e d i n b a s i c m a c r o d i s c u s s i o n s o f p o l i c y . I n 1 9 9 2 t h e B E A s w i t c h e d (cid:12) r s t t o G D P i n c o m e c o n c e p t i n s t e a d o f G N P , a n d m o r e r e c e n t l y t h e u s e o f a c h a i n - t y p e p r i c e P e (cid:13) a t o r f o r G D P . G i v e n t h e c h a n g e s a d o p t e d b y t h e B E A , w e m o d i (cid:12) e d t h e c o n c e p t s o f (cid:3) Q Q n d c o m m e n s u r a t e l y . F i n a l l y , f o r p o t e n t i a l o u t p u t , , w e r e l y o n t h e e s t i m a t e s m a d e T h e E c o n o m i c a n d B u d g e t O u t lo o k y t h e C o n g r e s s i o n a l B u d g e t O (cid:14) c e . ( , U n i t e d S t a t e s o v e r n m e n t P r i n t i n g O (cid:14) c e , 1 9 9 8 .) 1 3

C F H H K M O W R e f e r e n c e s l a r k , L i n d a A . a n d D a r y l P r e g i b o r n , \ T r e e - B a s e d M o d e l s " i n J o h n M . C h a m b e r s a n d S t a t i s t i c a l M o d e ls i n S T r e v o r J . H a s t i e , e d i t o r s , , W a d s w o r t h a n d B r o o k s , 1 9 9 1 . e i n m a n , J o s h u a , a n d R i c h a r d D . P o r t e r , \ T h e C o n t i n u i n g W e a k n e s s i n M 2 ," F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , N o 2 0 9 , S e p t e m b e r 1 9 9 2 . a l l m a n , J e (cid:11) r e y , R i c h a r d D . P o r t e r , a n d D a v i d H . S m a l l , \ I s t h e P r i c e L e v e l T i e d t o t h e A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w M 2 M o n e t a r y A g g r e g a t e i n t h e L o n g - R u n ? ," , ( S e p t e m b e r 1 9 9 1 ) , p . 8 4 1 - 8 5 8 . A p p li e d N o n p a r a m e t r i c R e g r e s s i o n (cid:127)a r d l e , W o l f g a n g , , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 . (cid:3) o e n i g , E v a n F ., \ T h e P M o d e l o f I n (cid:13) a t i o n , R e v i s i t e d ," F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f D a l l a s W o r k i n g P a p e r 9 4 - 1 4 , S e p t e m b e r 1 9 9 4 . o o r e , G e o r g e R ., R i c h a r d D . P o r t e r , a n d D a v i d H . S m a l l , \ M o d e l i n g t h e D i s a g g r e g a t e d F i n a n c i a l S e c t o r s i n D e m a n d s f o r M 2 a n d M 1 : T h e U .S . E x p e r i e n c e i n t h e 1 9 8 0 s " i n O p e n E c o n o m i e s : E m p i r i c a l A n a ly s i s a n d P o li c y I s s u e s , e d i t e d b y P e t e r H o o p e r e t a l , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , W a s h i n g t o n D C , 1 9 9 0 . r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s , B r i a n R e i d a n d D a v i d H . S m a l l , \ T h e E m p i r i c a l P r o p e r t i e s o f a T h e F e d e r a l R e s e r v e M o n e t a r y A g g r e g a t e T h a t A d d s B o n d a n d S t o c k F u n d s t o M 2 ," B a n k o f S t L o u i s R e v i e w , 7 6 ( 6 ) , N o v e m b e r / D e c e m b e r 1 9 9 4 , p . 3 1 - 5 1 . h i t e s e l l , W i l l i a m C ., a n d S e a n C o l l i n s , \ A M i n o r R e d e (cid:12) n i t i o n o f M 2 ," F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , 9 6 - 7 , F e b r u a r y 1 9 9 6 . 1 4

N t i 1 t t o h n 9 r r f T a b l e 1 : S S t a t i s t i c C M e a n E r r o r S t a n d a r d D e v i a t i o n o f E r r o r M e a n A b s o l u t e E r r o r o t e s : T h e 2 8 o u t - o f - s a m e f o u r q u a r t e r s e n d i n g (cid:3) V p e r c e n t . C o n s t a n t 8 8 :4 ; E s t i m a t e A a l l o w s e n d a n d a o n e - t i m e s h i f e e ; E s t i m a t e D a l l o w s f o h o l d i n g M 2 . u m m a r y E r r (cid:3) V o n s t a n t : 1 6 5 : 1 1 4 : 1 7 4 p l e f o r e c a s t w i t h q u a r t e r i s e s t i m a t e d f o r a o n e - t i m t i n t h e i n t e r r a f u l l r e g r e o r e r t a e c e s s S t a t i s t i c s f r o m I n (cid:13) (cid:3) V T i m e - V a r y i n g | | | | | | | | | A B C : : 0 4 4 0 2 2 0 : : 0 6 1 0 4 7 0 : : 0 6 6 0 4 4 0 r o r s ( 1 9 9 1 :1 t o 1 9 9 7 m i n u s t h e f o r e c a s t V s t h e m e a n o f 2 o s h i f t i n t h e i n t e r c e p p t ; E s t i m a t e C a l l o i o n t r e e e v a l u a t e d a 1 5 a t i o n F o r e c a s t s E s t i m a t e s M e m o I t e m V | | | | C o n s t a n t D 1 9 6 1 :1 { 1 9 8 9 : : : 5 4 0 0 3 0 1 5 : : : 8 4 0 5 9 1 0 5 : : : 8 1 0 4 6 0 7 8 :4 ) a r e d e (cid:12) n e d a s i n (cid:13) a t i o n f o r t h e c o r r e s p o n d i n g p e v e r t h e p e r i o d f r o m 1 9 6 0 t ; E s t i m a t e B a l l o w s f o r a w s f o r a t w o - b r a n c h r e g r e t t h e a v e r a g e o p p o r t u n i t y : (cid:3) :4 o v e r r i o d , :1 t o t i m e s s i o n c o s t

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 1.55 0 1.60 1.65 2 1.70 1.75 1.80 4 1.85 1.90 (Right Hand Scale) M2 Opportunity Cost 1.95 6 (Left Hand Scale) 2.00 M2 Velocity 2.05 2.10 8 Percentage Points Velocity and Opportunity Cost of M2 Figure 1

Opportunity Cost 2 4 6 1.5 • 1.7 • • •• •• • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • •1992 • :Q1 • • •1991 • :Q1 • ••• • • • •• • •• • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •19•93:Q1 1.9 • • •1994:Q1 • • • •• 19 • 9 • 6:•Q1• • • •1995:Q1 •• •1997:Q1 2.1 V2 Scatter Plot of the Shift in M2 Velocity in Relation to its Opportunity Cost Figure 2

R e g r e s s i o n T r e e F i g f o u r r e F 3 u l l D a t a S a m p l e 1.748 date<1992Q3 date>=1992Q3 1.710 1.996 date<1978Q1 OC<1.655 date>=1978Q1 OC>1.655 1.672 1.758 1.901 2.034 date<1960Q3 OC<3.522 date>=1960Q3 OC>3.522 1.739 1.666 1.741 1.810 OC<3.462 date<1988Q4 OC>3.462 date>=1988Q4 1.658 1.702 1.718 1.783 OC<1.855 OC<1.630 OC>1.855 OC>1.630 1.651 1.672 1.690 1.733 date<1962Q3 date>=1962Q3 1.679 1.643 1.74 1.68 1960 TIME CO 6 4 2 1.70 1.81 2.03 1.67 1.73 1.78 1.64 1.69 1.90 1970 1980 1990

T r e e F i P g u a r r e t 4 i t i o n s Eleven-way Partition V CO CO CO CO V CO CO CO CO time time time time time time time time Full Partition 1.70 1.81 2.03 1.74 1.67 1.73 1.78 1.68 1.64 1.69 1.90 time time 6 4 2 Ten-way Partition 1.70 1.81 2.03 1.74 1.67 1.73 1.78 1.68 1.64 1.69 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Nine-way Partition 1.70 1.81 2.03 1.74 1.73 1.66 1.78 1.69 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Eight-way Partition 1.70 1.81 2.03 1.74 1.66 1.72 1.78 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Seven-way Partition 1.81 2.03 1.74 1.67 1.72 1.78 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Six-way Partition 1.81 2.03 1.67 1.72 1.78 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Five-way Partition 1.81 2.03 1.67 1.74 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Four-way Partition 2.03 1.67 1.76 1.90 1960 1970 1980 1990 6 4 2 Three-way Partition 1960 1970 1980 1990 0.2 8.1 6.1 Two-way Partition 1960 1970 1980 1990 0.2 8.1 6.1 1960 1970 1980 1990 N r e o g t i e o : n T c h o e r r v e a s p l u o e n s d i n i n s g i d t e o t t h h e e r r e e c c t t a a n n g g l e l e s . r e p r e s e n t t h e e s t i m a t e d a v e r a g e v a l u e o f V 2 f o r t h e

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1.7 1.8 1.9 Estimate D Estimate C Estimate B 2.0 Estimate A Constant V* V2 2.1 Alternative Equilibrium Velocity Estimates Figure 5

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 0 2 4 6 8 10 Forecast Actual 12 Percent In(cid:13)ation Forecast Assuming Fixed Equilibrium Velocity Figure 6

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 0 1 Estimate D Estimate C Estimate B 2 Estimate A Constant V* Actual 3 4 5 Percent Alternative In(cid:13)ation Forecasts Figure 7

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Athanasios Orphanides and Richard Porter (1998). P* Revisited: Money-Based Inflation Forecasts with a Changing Equilibrium Velocity (FEDS 1998-26). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-26

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@techreport{wtfs_feds_1998_26,
  author = {Athanasios Orphanides and Richard Porter},
  title = {P* Revisited: Money-Based Inflation Forecasts with a Changing Equilibrium Velocity},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1998-26},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1998},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-26},
  abstract = {This paper implements recursive techniques to estimate the equilibrium level of M2 velocity and to forecast inflation using the P* model. The recursive estimates of equilibrium velocity are obtained by applying regression trees and least squares methods to a standard representation of M2 demand, namely a model in which the velocity of M2 depends on the opportunity cost of holding M2 instruments. Equilibrium velocity is defined as the level of velocity that would be expected to obtain if deposit rates were at their long-run average (equilibrium) value. We simulate the alternative models to obtain real-time forecasts of inflation and evaluate the performance of the forecasts obtained from the alternative models. We find that while a $P^*$ model assuming a constant equilibrium velocity does not provide accurate inflation forecasts in the 1990s, a model based on our time-varying equilibrium velocity estimates does quite well.},
}