Monetary Policy and Multiple Equilibria
Abstract
In this paper, we study interest rate feedback rules whereby the nominal interest rate is set as an increasing function of the in ation rate and characterize conditions under which such rules generate multiple equilibria. We show that these conditions depend not only on the monetary-fiscal regime (as emphasized in the fiscal theory of the price level) but also on the way in which money is assumed to enter preferences and technology. We analyze this issue in exible and sticky price environments. We provide a number of examples in which, contrary to what is commonly believed, active monetary policy in combination with a fiscal policy that preserves government solvency gives rise to multiple equilibria and passive monetary policy renders the equilibrium unique.
t t S t (cid:3) W h e N h e v y s t e e c h n M o n e t a r y P o l i c y a n d M u l t i p l e E q u i l i b r i a J e s s B e n h a b i b N e w Y o r k U n i v e r s i t y S t e p h a n i e S c h m i t t - G r o h (cid:19)e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m (cid:3) M a r t (cid:19)(cid:16) n U r i b e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m J u l y , 1 9 9 8 A b s t r a c t I n t h is p a p e r , w e s t u d y in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s w h e r e b y t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e is s e t a s a n in c r e a s in g fu n c t io n o f t h e in (cid:13) a t io n r a t e a n d c h a r a c t e r iz e c o n d it io n s u n d e r w h ic h s u c h r u le s g e n e r a t e m u lt ip le e q u ilib r ia . W e s h o w t h a t t h e s e c o n d it io n s d e p e n d n o t o n ly o n t h e m o n e t a r y - (cid:12) s c a l r e g im e ( a s e m p h a s iz e d in t h e (cid:12) s c a l t h e o r y o f t h e p r ic e le v e l) b u t a ls o o n t h e w a y in w h ic h m o n e y is a s s u m e d t o e n t e r p r e fe r e n c e s a n d t e c h n o lo g y . W e a n a ly z e t h is is s u e in (cid:13) e x ib le a n d s t ic k y p r ic e e n v ir o n m e n t s . W e p r o v id e a n u m b e r o f e x a m p le s in w h ic h , c o n t r a r y t o w h a t is c o m m o n ly b e lie v e d , a c t iv e m o n e t a r y p o lic y in c o m b in a t io n w it h a (cid:12) s c a l p o lic y t h a t p r e s e r v e s g o v e r n m e n t s o lv e n c y g iv e s r is e t o m u lt ip le e q u ilib r ia a n d p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y r e n d e r s t h e e q u ilib r iu m u n iq u e . J E L C la s s i(cid:12) c a tio n N u m b e r s : E 5 2 , E 3 1 , E 6 3 . K e y w o r d s : I n t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s , m u lt ip le e q u ilib r ia , s t ic k y p r ic e s . e w o u ld lik e t o t h a n k s e m in a r p a r t ic ip a n t s a t t h e U n iv e r s ity o f C h ic a g o , N e w Y o r k U n iv e r s ity , t h e B o a r d o f G o v e r n o r s , e w Y o r k A r e a M a c r o e c o n o m ic s W o r k s h o p , a n d t h e 1 9 9 8 N B E R S u m m e r In s t it u t e fo r c o m m e n t s . T h is p a p e r r e p r e s e n t s ie w s o f t h e a u t h o r s a n d s h o u ld n o t b e in t e r p r e t e d a s r e (cid:13) e c t in g t h e v ie w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e m o r o t h e r m e m b e r s o f it s s t a (cid:11) . W e t h a n k t h e C .V . S t a r r C e n t e r o f A p p lie d E c o n o m ic s a t N e w Y o r k U n iv e r s ity fo r ic a l a s s is t a n c e .
1 I n t r o d u c t i o n R e c e n t d e v e lo p m e n t s in m o n e t a r y e c o n o m ic s h a v e e m p h a s iz e d t h e lin k b e t w e e n t h e d e g r e e t o w h ic h m o n e t a r y a n d (cid:12) s c a l p o lic y r e s p o n d t o e n d o g e n o u s v a r ia b le s s u c h a s t h e in (cid:13) a t io n r a t e o r t h e s t o c k o f p u b lic d e b t a n d 1 m a c r o e c o n o m ic s t a b ilit y . P e r h a p s t h e b e s t - k n o w n r e s u lt in t h is lit e r a t u r e is t h a t if (cid:12) s c a l s o lv e n c y is p r e s e r v e d u n d e r a ll c ir c u m s t a n c e s , t h e n a n a c t iv e m o n e t a r y p o lic y , t h a t is , a p o lic y t h a t a g g r e s s iv e ly (cid:12) g h t s in (cid:13) a t io n b y r a is in g t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e b y m o r e t h a n t h e in c r e a s e in in (cid:13) a t io n , s t a b iliz e s t h e r e a l s id e o f t h e e c o n o m y b y e n s u r in g t h e u n iq u e n e s s o f e q u ilib r iu m , w h e r e a s a p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y , t h a t is , a p o lic y t h a t u n d e r r e a c t s t o in (cid:13) a t io n b y r a is in g t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e b y le s s t h a n t h e o b s e r v e d in c r e a s e in in (cid:13) a t io n , d e s t a b iliz e s it b y g iv in g r is e t o e x p e c t a t io n s - d r iv e n (cid:13) u c t u a t io n s . I n t h is p a p e r , w e s h o w t h a t w h e t h e r a p a r t ic u la r m o n e t a r y { (cid:12) s c a l r e g im e g e n e r a t e s m u lt ip le e q u ilib r ia d e p e n d s c r u c ia lly o n t h e w a y in w h ic h m o n e y is a s s u m e d t o e n t e r p r e fe r e n c e s a n d t e c h n o lo g y . I n p a r t ic u la r , t h e p a p e r h ig h lig h t s t h e fa c t t h a t r e g a r d le s s o f t h e s t a n c e o f (cid:12) s c a l p o lic y , a n a c t iv e m o n e t a r y p o lic y d o e s n o t n e c e s s a r ily b r in g a b o u t t h e d e t e r m in a c y o f e q u ilib r iu m . I n t h e c o n t e x t o f a (cid:13) e x ib le - p r ic e , m o n e y - in - t h e - u t ilit y - fu n c t io n m o d e l, w e s h o w t h a t t h e s t a n d a r d r e s u lt h o ld s in a n e n d o w m e n t e c o n o m y in w h ic h c o n s u m p t io n a n d r e a l b a la n c e s a r e E d g e w o r t h - c o m p le m e n t s in p r e fe r e n c e s in t h e s e n s e t h a t t h e m a r g in a l u t ilit y o f c o n s u m p t io n is in c r e a s in g in r e a l b a la n c e s . H o w e v e r , t h e o p p o s it e r e s u lt | i.e ., u n iq u e n e s s o f t h e e q u ilib r iu m o c c u r s u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y a n d m u lt ip le e q u ilib r ia o c c u r u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y | o b t a in s if c o n s u m p t io n a n d r e a l b a la n c e s a r e E d g e w o r t h s u b s t it u t e s . M o r e im p o r t a n t ly , t h e o p p o s it e r e s u lt a ls o o b t a in s in a n e c o n o m y in w h ic h m o n e y e n t e r s in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n , e v e n if r e a l b a la n c e s a n d c o n s u m p t io n a r e E d g e w o r t h - c o m p le m e n t s in p r e fe r e n c e s . W e a ls o a n a ly z e e c o n o m ie s w it h n o m in a l r ig id it ie s . S p e c i(cid:12) c a lly , w e s t u d y t w o a lt e r n a t iv e m o d e ls o f p r ic e s t ic k in e s s : t h e R o t e m b e r g ( 1 9 8 2 ) m o d e l w it h c o n v e x c o s t o f p r ic e a d ju s t m e n t a n d t h e C a lv o ( 1 9 8 3 ) m o d e l o f s t a g g e r e d p r ic e s e t t in g . W e s h o w t h a t w h e n m o n e y e n t e r s in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n , a c t iv e m o n e t a r y p o lic y m a y r e n d e r t h e e q u ilib r iu m in d e t e r m in a t e r e g a r d le s s o f t h e s t a n c e o f (cid:12) s c a l p o lic y . T h e (cid:12) n d in g t h a t t h e e q u ilib r iu m m a y b e in d e t e r m in a t e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y w h e n (cid:12) s c a l p o lic y d o e s n o t g u a r a n t e e s o lv e n c y o f t h e g o v e r n m e n t u n d e r a ll c ir c u m s t a n c e s is o f p a r t ic u la r im p o r t a n c e b e c a u s e in e c o n o m ie s in w h ic h m o n e y a (cid:11) e c t s r e a l v a r ia b le s o n ly t h r o u g h a g g r e g a t e d e m a n d , n o e q u ilib r iu m e x is t s lo c a lly u n d e r t h is t y p e o f m o n e t a r y - (cid:12) s c a l r e g im e . T h e c o m m o n n o t io n t h a t a c t iv e m o n e t a r y p o lic y is t a n t a m o u n t t o a g g r e g a t e s t a b ilit y is fu r t h e r c h a lle n g e d w h e n o n e d o e s n o t r e s t r ic t t h e a n a ly s is t o lo c a l s t a b ilit y . I n s t ic k y - p r ic e e n v ir o n m e n t s , w e (cid:12) n d t h a t if m o n e y e n t e r s in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n , a c t iv e m o n e t a r y p o lic y m a y g iv e r is e t o a c o n t in u u m o f e q u ilib r ia in e a c h o f w h ic h r e a l v a r ia b le s c o n v e r g e t o a d e t e r m in is t ic c y c le . F in a lly , w e e x t e n d t h e a n a ly s is t o fe e d b a c k r u le s in w h ic h t h e in t e r e s t r a t e d e p e n d s n o t o n ly o n c u r r e n t in (cid:13) a t io n b u t a ls o o n p a s t o r e x p e c t e d fu t u r e r a t e s o f in (cid:13) a t io n . W e (cid:12) n d t h a t t h e r e s u lt s d e s c r ib e d a b o v e a r e g e n e r a lly r o b u s t t o t h is e x t e n s io n . B a c k w a r d - lo o k in g fe e d b a c k r u le s t e n d t o r e d u c e t h e r a n g e o f p a r a m e t e r v a lu e s fo r w h ic h t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e a n d fo r w a r d - lo o k in g r u le s t e n d t o in c r e a s e it . T h e r e m a in d e r o f t h e p a p e r is o r g a n iz e d in fo u r s e c t io n s . S e c t io n 2 s t u d ie s a (cid:13) e x ib le - p r ic e e c o n o m y . S e c t io n 3 c h a r a c t e r iz e s lo c a l a n d p e r io d ic e q u ilib r ia in t h e R o t e m b e r g s t ic k y - p r ic e m o d e l. S e c t io n 4 e x t e n d s t h e r e s u lt s t o b a c k w a r d - a n d fo r w a r d - lo o k in g in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s a n d t o a n e c o n o m y w it h C a lv o - t y p e p r ic e s t a g g e r in g . S e c t io n 5 c o n c lu d e s . 2 A (cid:13) e x i b l e - p r i c e m o d e l I n t h is s e c t io n , w e s t u d y t h e d e t e r m in a c y o f e q u ilib r iu m u n d e r a lt e r n a t iv e m o n e t a r y a n d (cid:12) s c a l p o lic ie s in a 2 (cid:13) e x ib le - p r ic e m o d e l in w h ic h in (cid:13) a t io n m a y a (cid:11) e c t c o n s u m p t io n a n d p r o d u c t io n a s in C a lv o ( 1 9 7 9 ) . 1 S e e , fo r e x a m p le , L e e p e r ( 1 9 9 1 ) , S im s ( 1 9 9 4 , 1 9 9 7 ) , W o o d fo r d ( 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 ) , C la r id a , G a l(cid:19)(cid:16), a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) , a n d S c h m it t -G r o h (cid:19)e a n d U r ib e ( 1 9 9 7 ) . 2 T h e m o n e t a r y -(cid:12) s c a l r e g im e s a n a ly z e d b y C a lv o ( 1 9 7 9 ) a r e d i(cid:11) e r e n t fr o m t h o s e s t u d ie d in t h is p a p e r . C a lv o fo c u s e s o n m o n e t a r y p o lic ie s w h e r e b y t h e c e n t r a l b a n k p e g s e it h e r t h e m o n e y g r o w t h r a t e o r t h e in (cid:13) a t io n r a t e in c o m b in a t io n w it h a (cid:12) s c a l p o lic y t h a t s p e c i(cid:12) e s z e r o p u b lic d e b t a t a ll t im e s im p ly in g fu ll m o n e t iz a t io n o f p r im a r y d e (cid:12) c it s . B y c o n t r a s t , a s w ill b e e x p la in e d in d e t a il s h o r t ly , w e a n a ly z e in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s in c o m b in a t io n w it h (cid:12) s c a l p o lic ie s in w h ic h t h e r e a l p r im a r y s u r p lu s is e it h e r c o n s t a n t o r p r o p o r t io n a l t o t h e s t o c k o f r e a l g o v e r n m e n t lia b ilit ie s . A n o t h e r e x a m p le o f a s t u d y o f p r ic e le v e l d e t e r m in a t io n in a m o d e l w it h m o n e y in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n is T a y lo r ( 1 9 7 7 ) . L ik e C a lv o , T a y lo r c o n s id e r s m o n e t a r y p o lic y r e g im e s t h a t a r e d i(cid:11) e r e n t fr o m t h o s e s t u d ie d in t h is p a p e r . H o w e v e r , u n lik e C a lv o , T a y lo r c o n d u c t s h is a n a ly s is in t h e c o n t e x t 1
T h e h o u s e h o l d T h e h o u s e h o ld ’s life t im e u t ilit y fu n c t io n is g iv e n b y 1 (cid:0) r t n p U = e u ( c ; m ) d t ( 1 ) 0 Z n p n p w h e r e r > 0 d e n o t e s t h e r a t e o f t im e p r e fe r e n c e , c c o n s u m p t io n , m M = P r e a l b a la n c e s h e ld fo r n o n - (cid:17) n p p r o d u c t io n p u r p o s e s , M n o m in a l m o n e y b a la n c e s h e ld fo r n o n - p r o d u c t io n p u r p o s e s , a n d P t h e n o m in a l n p p r ic e le v e l. T h e in s t a n t u t ilit y fu n c t io n u ( ; ) s a t is (cid:12) e s a s s u m p t io n 1 , w h ic h im p lie s t h a t c a n d m a r e (cid:1) (cid:1) n o r m a l g o o d s . A s s u m p t i o n 1 is s t r ic t ly in c r e a s in g a n d s t r ic t ly c o n c a v e , a n d s a t is (cid:12) e s a n d u ( ; ) u u u = u < 0 c c c m c m (cid:1) (cid:1) (cid:0) . u u u = u < 0 m m c m m c (cid:0) W e c o n s id e r t w o a lt e r n a t iv e p r o d u c t io n t e c h n o lo g ie s : ( i) o u t p u t is p r o d u c e d w it h r e a l b a la n c e s h e ld b y p p p t h e h o u s e h o ld fo r p r o d u c t io n p u r p o s e s , m M = P , w h e r e M d e n o t e s n o m in a l m o n e y b a la n c e s h e ld fo r (cid:17) p r o d u c t io n p u r p o s e s , a n d ( ii) o u t p u t is e q u a l t o a p o s it iv e c o n s t a n t . F o r m a lly , t h e p r o d u c t io n t e c h n o lo g y , 0 p y ( m ) , s a t is (cid:12) e s e it h e r a s s u m p t io n 2 o r a s s u m p t io n 2 . p A s s u m p t i o n 2 is p o s it iv e , s t r ic t ly in c r e a s in g , s t r ic t ly c o n c a v e , y ( m ) 0 0 p p p p ! ! 1 , a n d . lim y ( m ) = lim y ( m ) = 0 m 0 m 1 0 p A s s u m p t i o n 2 y ( m ) is a p o s it iv e c o n s t a n t . I n a d d it io n t o m o n e y , t h e h o u s e h o ld c a n h o ld n o m in a l b o n d s , B , w h ic h p a y t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e n p p R > 0 . L e t t in g a ( M + M + B ) = P d e n o t e t h e h o u s e h o ld ’s r e a l (cid:12) n a n c ia l w e a lt h , (cid:28) r e a l lu m p - s u m t a x e s , (cid:17) _ a n d (cid:25) P = P t h e in (cid:13) a t io n r a t e , t h e h o u s e h o ld ’s in s t a n t b u d g e t c o n s t r a in t c a n b e w r it t e n a s (cid:17) n p p p _a = ( R (cid:25) ) a R ( m + m ) + y ( m ) c (cid:28) : ( 2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n p p T h e h o u s e h o ld c h o o s e s s e q u e n c e s fo r c , m , m 0 a n d a s o a s t o m a x im iz e ( 1 ) s u b je c t t o ( 2 ) a n d t h e (cid:21) fo llo w in g n o - P o n z i- g a m e c o n d it io n t (cid:0) (cid:0) [R ( s ) (cid:25) ( s ) ]d s R 0 lim e a ( t ) 0 ; ( 3 ) ! 1 t (cid:21) t a k in g a s g iv e n a ( 0 ) a n d t h e t im e p a t h s o f (cid:28) , R , a n d (cid:25) . T h e o p t im a lit y c o n d it io n s a s s o c ia t e d w it h t h e h o u s e h o ld ’s p r o b le m a r e n p u ( c ; m ) = (cid:21) ( 4 ) c 0 p p m [y ( m ) R ] = 0 ( 5 ) (cid:0) n p u ( c ; m ) m = R ( 6 ) n p u ( c ; m ) c _ (cid:21) ( r + (cid:25) R ) = (cid:21) ( 7 ) (cid:0) t (cid:0) (cid:0) [R ( s ) (cid:25) ( s ) ]d s R 0 lim e a ( t ) = 0 ( 8 ) ! 1 t w h e r e (cid:21) is t h e L a g r a n g e m u lt ip lie r a s s o c ia t e d w it h t h e h o u s e h o ld ’s in s t a n t b u d g e t c o n s t r a in t . A s s u m p t io n 2 p t o g e t h e r w it h e q u a t io n ( 5 ) a n d R > 0 im p lie s t h a t m is a s t r ic t ly d e c r e a s in g fu n c t io n o f R : p p m = m ( R ) ; ( 9 ) 0 0 p p w it h m d m = d R < 0 . A lt e r n a t iv e ly , a s s u m p t io n 2 , e q u a t io n ( 5 ) , a n d t h e fa c t t h a t R > 0 im p ly t h a t 0(cid:17) p p n p m = m = 0 . U s in g e q u a t io n ( 6 ) a n d a s s u m p t io n 1 , m c a n b e e x p r e s s e d a s a fu n c t io n o f c o n s u m p t io n a n d t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e t h a t is in c r e a s in g in c a n d d e c r e a s in g in R : n p n p m = m ( c ; R ) : ( 1 0 ) o f a n o n -o p t im iz in g fr a m e w o r k . 2
T h e g o v e r n m e n t W e a s s u m e t h a t m o n e t a r y p o lic y t a k e s t h e fo r m o f a n in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le w h e r e b y t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e is s e t a s a n in c r e a s in g fu n c t io n o f t h e in (cid:13) a t io n r a t e . S p e c i(cid:12) c a lly , w e a s s u m e t h a t R = (cid:26) ( (cid:25) ) ; ( 1 1 ) (cid:3) w h e r e (cid:26) ( ) is c o n t in u o u s , n o n - d e c r e a s in g , a n d s t r ic t ly p o s it iv e a n d t h e r e e x is t s a t le a s t o n e (cid:25) > r s u c h (cid:3) (cid:3) 0 (cid:1) (cid:0) t h a t (cid:26) ( (cid:25) ) = r + (cid:25) . F o llo w in g L e e p e r ( 1 9 9 1 ) , w e r e fe r t o m o n e t a r y p o lic y a s a c t iv e if (cid:26) > 1 a n d a s p a s s iv e 0 if (cid:26) < 1 . n p p _ _ _ T h e s e q u e n t ia l b u d g e t c o n s t r a in t o f t h e g o v e r n m e n t is g iv e n b y B = R B M M P (cid:28) , w h ic h c a n (cid:0) (cid:0) (cid:0) b e w r it t e n a s n p p _a = ( R (cid:25) ) a R ( m + m ) (cid:28) : ( 1 2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B e c a u s e t h e n o m in a l v a lu e o f in it ia l g o v e r n m e n t lia b ilit ie s , A ( 0 ) , is p r e d e t e r m in e d , t h e in it ia l c o n d it io n a ( 0 ) m u s t s a t is fy A ( 0 ) a ( 0 ) = : ( 1 3 ) P ( 0 ) W e c la s s ify (cid:12) s c a l p o lic ie s in t o t w o c a t e g o r ie s : R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic ie s a n d n o n - R ic a r d ia n o n e s . R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic ie s a r e t h o s e t h a t e n s u r e t h a t t h e p r e s e n t d is c o u n t e d v a lu e o f t o t a l g o v e r n m e n t lia b ilit ie s c o n v e r g e s t o z e r o | t h a t is , e q u a t io n ( 8 ) is s a t is (cid:12) e d | u n d e r a ll p o s s ib le , e q u ilib r iu m o r o (cid:11) - e q u ilib r iu m , p a t h s 3 o f e n d o g e n o u s v a r ia b le s s u c h a s t h e p r ic e le v e l, t h e m o n e y s u p p ly , in (cid:13) a t io n , o r t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e . T h r o u g h o u t t h e p a p e r , w e r e s t r ic t a t t e n t io n t o o n e p a r t ic u la r R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y t h a t t a k e s t h e fo r m n p p (cid:28) + R ( m + m ) = (cid:11) a ( 1 4 ) w h e r e t h e s e q u e n c e (cid:11) is c h o s e n a r b it r a r ily b y t h e g o v e r n m e n t s u b je c t t o t h e c o n s t r a in t t h a t it is p o s it iv e a n d b o u n d e d b e lo w b y (cid:11) > 0 . T h is p o lic y s t a t e s t h a t c o n s o lid a t e d g o v e r n m e n t r e v e n u e s , t h a t is , t a x r e v e n u e s p lu s in t e r e s t s a v in g s fr o m t h e is s u a n c e o f m o n e y , a r e a lw a y s h ig h e r t h a n a c e r t a in fr a c t io n (cid:11) o f t o t a l g o v e r n m e n t lia b ilit ie s . A s p e c ia l c a s e o f t h is t y p e o f p o lic y is a b a la n c e d - b u d g e t r u le w h e r e b y t a x r e v e n u e s a r e e q u a l t o in t e r e s t p a y m e n t s o n t h e d e b t , w h ic h r e s u lt s w h e n (cid:11) = R ( p r o v id e d R is b o u n d e d a w a y fr o m z e r o ) . T o s e e t ( R (cid:25) ) d s ] a n d x d a . T h e d e (cid:12) n it io n o f a t h a t t h e (cid:12) s c a l p o lic y g iv e n b y ( 1 4 ) is R ic a r d ia n , le t d e x p [ 0 (cid:0) (cid:17) (cid:17) (cid:0) R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y r e q u ir e s t h a t x 0 a s t . N o t e t h a t _x = d [ _a ( R (cid:25) ) a ]. U s in g e q u a t io n s ( 1 2 ) R ! ! 1 (cid:0) (cid:0) a n d ( 1 4 ) , t h is e x p r e s s io n c a n b e w r it t e n a s _x = (cid:11) x , w h ic h im p lie s t h a t x c o n v e r g e s m o n o t o n ic a lly t o z e r o . (cid:0) W e w ill a ls o a n a ly z e a p a r t ic u la r n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y c o n s is t in g o f a n e x o g e n o u s p a t h fo r lu m p - s u m t a x e s (cid:28) = (cid:22)(cid:28) : ( 1 5 ) E q u i l i b r i u m I n e q u ilib r iu m t h e g o o d s m a r k e t m u s t c le a r p c = y ( m ) : ( 1 6 ) p n p U s in g e q u a t io n s ( 9 ) { ( 1 1 ) a n d ( 1 6 ) t o r e p la c e m , m , R , a n d c in e q u a t io n ( 4 ) , (cid:21) c a n b e e x p r e s s e d a s a fu n c t io n o f (cid:25) , (cid:21) = (cid:21) ( (cid:25) ) ( 1 7 ) 3 O u r d e (cid:12) n it io n o f R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y is d i(cid:11) e r e n t fr o m t h e o n e g iv e n in W o o d fo r d ( 1 9 9 5 ) . In t h e (cid:12) r s t p la c e , W o o d fo r d u s e s t h e t e r m R ic a r d ia n t o r e fe r t o m o n e t a r y -(cid:12) s c a l r e g im e s r a t h e r t h a n t o (cid:12) s c a l r e g im e s a lo n e . S e c o n d , a c c o r d in g t o W o o d fo r d , R ic a r d ia n r e g im e s a r e c o m b in a t io n s o f m o n e t a r y a n d (cid:12) s c a l p o lic ie s t h a t e n s u r e t h a t t h e p r e s e n t d is c o u n t e d v a lu e o f p u b lic d e b t , n o t t o t a l g o v e r n m e n t lia b ilit ie s , c o n v e r g e s t o z e r o . T h u s , fo r e x a m p le , a b a la n c e d -b u d g e t r u le in c o m b in a t io n w it h a n in t e r e s t r a t e p e g is R ic a r d ia n a c c o r d in g t o o u r d e (cid:12) n it io n b u t n o t a c c o r d in g t o W o o d fo r d ’s ( s e e S c h m it t -G r o h (cid:19)e a n d U r ib e , 1 9 9 7 ) . A ls o , R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic ie s a r e n o t n e c e s s a r ily p a s s iv e in t h e s e n s e o f L e e p e r ( 1 9 9 1 ) b e c a u s e t h e y d o n o t g u a r a n t e e t h a t t h e r e a l v a lu e o f p u b lic d e b t r e m a in s b o u n d e d . 3
w it h 0 0 0 0 0 0 n p n p p p + m ) ] ( 1 8 ) + u ( m y m (cid:21) ( (cid:25) ) = (cid:26) [u y m c m c c c R n p n p n p w h e r e m a n d m d e n o t e t h e p a r t ia l d e r iv a t iv e s o f m w it h r e s p e c t t o c a n d R , r e s p e c t iv e ly . U s in g t h is c R e x p r e s s io n , ( 9 ) { ( 1 1 ) , a n d ( 1 6 ) , e q u a t io n s ( 7 ) , ( 8 ) , ( 1 2 ) , a n d ( 1 4 ) c a n b e r e w r it t e n a s 0 (cid:21) ((cid:25) ) _(cid:25) = (cid:21) ((cid:25) ) [r + (cid:25) (cid:26) ( (cid:25) ) ] ( 1 9 ) (cid:0) n p p p _a = [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ]a (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ] (cid:28) ( 2 0 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:0) (cid:0) [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ( s ) ]d s R 0 lim e a ( t ) = 0 ( 2 1 ) ! 1 t n p p p (cid:28) + (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ] = (cid:11) a ( 2 2 ) D e (cid:12) n i t i o n 1 I n t h e (cid:13) e x ib le - p r ic e e c o n - ( P e r f e c t - f o r e s i g h t e q u i li b r i u m i n t h e (cid:13) e x i b le - p r i c e e c o n o m y ) o m y , a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is a s e t o f s e q u e n c e s a n d a n in it ia l p r ic e le v e l s a t is fy in g (cid:25) ; a ; (cid:28) P ( 0 ) > 0 f g ( 1 3 ) , ( 1 9 ) { ( 2 1 ) a n d e it h e r ( 1 5 ) if (cid:12) s c a l p o lic y is n o n - R ic a r d ia n o r ( 2 2 ) if (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n , g iv e n . A ( 0 ) > 0 G iv e n a n e q u ilib r iu m s e q u e n c e fo r (cid:25) , e q u a t io n s ( 9 ) { ( 1 1 ) , ( 1 6 ) , a n d ( 1 7 ) u n iq u e ly d e t e r m in e t h e e q u ilib n p p r iu m s e q u e n c e s c ; m ; m ; (cid:21) ; R . I f t h e e q u ilib r iu m t im e p a t h o f in (cid:13) a t io n is u n iq u e , t h e n s o is t h e e q u ilib f g n p p r iu m r e a l a llo c a t io n c ; m ; m in d e p e n d e n t ly o f w h e t h e r t h e e q u ilib r iu m p r ic e le v e l is u n iq u e . T h u s , it is f g u s e fu l t o in t r o d u c e t h e fo llo w in g t e r m in o lo g y : D e (cid:12) n i t i o n 2 T h e e q u ilib r iu m d is p la y s r e a l in d e t e r m in a c y if t h e r e ( R e a l a n d N o m i n a l I n d e t e r m i n a c y ) e x is t s a n in (cid:12) n it e n u m b e r o f e q u ilib r iu m s e q u e n c e s . T h e e q u ilib r iu m e x h ib it s n o m in a l in d e t e r m in a c y if (cid:25) f g fo r a n y e q u ilib r iu m s e q u e n c e , t h e r e e x is t s a n in (cid:12) n it e n u m b e r o f in it ia l p r ic e le v e ls c o n s is t e n t (cid:25) P ( 0 ) > 0 f g w it h a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m . I n t h e r e m a in d e r o f t h is s e c t io n , w e r e s t r ic t t h e a n a ly s is t o e q u ilib r ia in w h ic h t h e in (cid:13) a t io n r a t e c o n v e r g e s (cid:3) a s y m p t o t ic a lly t o a s t e a d y - s t a t e v a lu e , (cid:25) , w h ic h is d e (cid:12) n e d a s a c o n s t a n t v a lu e o f (cid:25) t h a t s o lv e s ( 1 9 ) , t h a t (cid:3) 4 is , a s o lu t io n t o r + (cid:25) = (cid:26) ( (cid:25) ) . B y a s s u m p t io n , (cid:25) e x is t s a n d is g r e a t e r t h a n r . (cid:0) U n d e r a R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y , t h e s e t o f e q u ilib r iu m c o n d it io n s in c lu d e s e q u a t io n ( 2 2 ) . G iv e n a s e q u e n c e (cid:25) s a t is fy in g ( 1 9 ) a n d a n in it ia l p r ic e le v e l P ( 0 ) > 0 , e q u a t io n s ( 2 0 ) a n d ( 2 2 ) c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t a f g p a ir o f s e q u e n c e s a ; (cid:28) . B e c a u s e t h e (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n , t h e t r a n s v e r s a lit y c o n d it io n ( 2 1 ) is a lw a y s f g s a t is (cid:12) e d . I f in s t e a d t h e (cid:12) s c a l a u t h o r it y fo llo w s t h e n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y g iv e n in ( 1 5 ) , c o m b in in g ( 1 3 ) , ( 2 0 ) , a n d ( 2 1 ) y ie ld s 1 t A ( 0 ) (cid:0) (cid:0) [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ]d s n p p p R 0 = e (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:26) ( (cid:25) ) ) ] + (cid:22)(cid:28) d s ( 2 3 ) P ( 0 ) f g 0 Z (cid:3) w h ic h g iv e n A ( 0 ) > 0 a n d a s e q u e n c e fo r (cid:25) c o n v e r g in g t o (cid:25) u n iq u e ly d e t e r m in e s t h e in it ia l p r ic e le v e l P ( 0 ) . T h e a b o v e a n a ly s is d e m o n s t r a t e s t h a t fo r t h e c la s s o f m o n e t a r y - (cid:12) s c a l r e g im e s s t u d ie d in t h is p a p e r n o m in a l d e t e r m in a c y d e p e n d s o n ly o n (cid:12) s c a l p o lic y a n d n o t o n m o n e t a r y p o lic y | a r e s u lt t h a t h a s b e e n e m p h a s iz e d in t h e r e c e n t lit e r a t u r e o n t h e (cid:12) s c a l d e t e r m in a t io n o f t h e p r ic e le v e l a n d t h a t w e s u m m a r iz e in t h e fo llo w in g p r o p o s it io n : P r o p o s i t i o n 2 . 1 I f (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n , t h e e q u ilib r iu m e x h ib it s n o m in a l in d e t e r m in a c y . U n d e r t h e n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y g iv e n b y ( 1 5 ) , t h e e q u ilib r iu m d is p la y s n o m in a l d e t e r m in a c y . (cid:3) (cid:3) 0 (cid:3) 4 (cid:1) N o t e t h a t (cid:25) m a y n o t b e u n iq u e . In p a r t ic u la r , if t h e r e e x is t s a s t e a d y s t a t e (cid:25) w it h (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 , t h e n s in c e (cid:26) ( ) is a s s u m e d 0 t o b e c o n t in u o u s a n d s t r ic t ly p o s it iv e t h e r e m u s t a ls o e x is t a s t e a d y s t a t e w it h (cid:26) < 1 . 4
B y c o n t r a s t , t h e d e t e r m in a c y o f t h e r e a l a llo c a t io n is in d e p e n d e n t o f (cid:12) s c a l p o lic y b u t d e p e n d s o n t h e s t a n c e o f m o n e t a r y p o lic y a n d o n t h e p a r t ic u la r w a y in w h ic h in (cid:13) a t io n a (cid:11) e c t s p r o d u c t io n a n d c o n s u m p t io n . 0 (cid:3) 0 (cid:3) T o s e e t h is , c o n s id e r s o lu t io n s t o e q u a t io n ( 1 9 ) . I f (cid:21) ( (cid:25) ) a n d 1 (cid:26) ( (cid:25) ) a r e o f o p p o s it e s ig n , a n y in it ia l (cid:3) (cid:3) (cid:0) in (cid:13) a t io n r a t e n e a r t h e s t e a d y s t a t e (cid:25) w ill g iv e r is e t o a n in (cid:13) a t io n t r a je c t o r y t h a t c o n v e r g e s t o (cid:25) . I f, o n t h e 0 (cid:3) 0 (cid:3) o t h e r h a n d , (cid:21) ( (cid:25) ) a n d 1 (cid:26) ( (cid:25) ) a r e o f t h e s a m e s ig n , t h e o n ly s e q u e n c e o f in (cid:13) a t io n r a t e s t h a t c o n v e r g e s (cid:3) (cid:3) 0 (cid:0) a s y m p t o t ic a lly t o (cid:25) is o n e in w h ic h t h e in (cid:13) a t io n r a t e is c o n s t a n t a n d e q u a l t o (cid:25) . I f (cid:26) ( (cid:25) ) = 0 fo r a ll (cid:25) , t h e n e q u a t io n s ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) im p ly t h a t (cid:21) a n d (cid:25) a r e c o n s t a n t . T h u s , u n d e r a p u r e in t e r e s t r a t e p e g t h e e c o n o m y e x h ib it s r e a l d e t e r m in a c y . T o u n d e r s t a n d t h e c o n d it io n s u n d e r w h ic h t h e m o d e l d is p la y s r e a l in d e t e r m in a c y , it is in s t r u c t iv e t o c o n s id e r t h e fo llo w in g t w o p o la r c a s e s . C o n s id e r (cid:12) r s t t h e c a s e in w h ic h p r e fe r e n c e s a r e s e p a r a b le in c o n s u m p t io n a n d m o n e y ( u = 0 ) a n d m o n e y is p r o d u c t iv e ( a s s u m p t io n 2 h o ld s ) . I n t h is c a s e , e q u a t io n ( 1 8 ) im p lie s t h a t c m 0 0 0 0 0 (cid:3) p (cid:21) = (cid:26) u y m > 0 , s o t h a t t h e m o d e l d is p la y s r e a l in d e t e r m in a c y if 1 (cid:26) ( (cid:25) ) < 0 , t h a t is , if m o n e t a r y c c 0 (cid:3) (cid:0) p o lic y is a c t iv e , a n d is u n iq u e if 1 (cid:26) ( (cid:25) ) > 0 , t h a t is , if m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e . T h e in t u it io n b e h in d (cid:0) t h is r e s u lt is a s fo llo w s . S u p p o s e (cid:12) r m s in it ia lly h o ld m o r e r e a l b a la n c e s fo r p r o d u c t io n p u r p o s e s t h a n in t h e s t e a d y s t a t e . T h is w ill h a p p e n o n ly if t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e is b e lo w it s s t e a d y - s t a t e le v e l. B y t h e in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le , t h e in (cid:13) a t io n r a t e h a s t o b e b e lo w it s s t e a d y - s t a t e v a lu e a s w e ll. I f m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e , t h e d e c lin e in t h e in (cid:13) a t io n r a t e is a c c o m p a n ie d b y a d e c lin e in t h e r e a l in t e r e s t r a t e , R (cid:25) , w h ic h (cid:0) in t u r n in d u c e s n e g a t iv e c o n s u m p t io n g r o w t h . S in c e in e q u ilib r iu m c o n s u m p t io n e q u a ls o u t p u t , a n d o u t p u t is a n in c r e a s in g fu n c t io n o f r e a l b a la n c e s , r e a l b a la n c e s fo r p r o d u c t io n p u r p o s e s w ill b e e x p e c t e d t o d e c lin e . T h e r e fo r e , t h e in it ia l in c r e a s e in r e a l b a la n c e s is r e v e r s e d a n d t h e r e s u lt in g t r a je c t o r y is c o n s is t e n t w it h e q u ilib r iu m . I f, o n t h e o t h e r h a n d , m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e , t h e d e c lin e in t h e in (cid:13) a t io n r a t e is a s s o c ia t e d w it h a r is e in t h e r e a l in t e r e s t r a t e , a n d t h u s c o n s u m p t io n w ill b e e x p e c t e d t o g r o w , m o v in g o u t p u t a n d r e a l b a la n c e s e v e n fu r t h e r a w a y fr o m t h e s t e a d y s t a t e . S u c h a t r a je c t o r y fo r r e a l b a la n c e s w o u ld n o t b e r e m a in b o u n d e d in a n e ig h b o r h o o d a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e a n d t h u s w o u ld n o t b e c o n s is t e n t w it h a n e q u ilib r iu m (cid:3) in w h ic h in (cid:13) a t io n c o n v e r g e s t o (cid:25) . T h is r e s u lt is s u m m a r iz e d in t h e fo llo w in g p r o p o s it io n . P r o p o s i t i o n 2 . 2 S u p p o s e p r e fe r e n c e s a r e s e p a r a b le in c o n s u m p t io n a n d m o n e y ( ) a n d m o n e y is u = 0 c m 0 (cid:3) p r o d u c t iv e ( a s s u m p t io n 2 h o ld s ) , t h e n if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( ) , t h e e q u ilib r iu m d is p la y s r e a l (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 0 (cid:3) in d e t e r m in a c y , w h e r e a s if m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( ) , t h e n t h e o n ly p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 in w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o t h e s t e a d y s t a t e is t h e s t e a d y s t a t e it s e lf. 0 C o n s id e r n o w t h e c a s e in w h ic h m o n e y is n o t p r o d u c t iv e , t h a t is , a s s u m p t io n 2 h o ld s . I n t h is c a s e , 0 0 n p e q u a t io n ( 1 8 ) im p lie s t h a t (cid:21) = (cid:26) u m w h ic h is p o s it iv e if u < 0 , t h a t is , if c o n s u m p t io n a n d m o n e y c m c m R a r e E d g e w o r t h - s u b s t it u t e s , a n d is n e g a t iv e if u > 0 , t h a t is , if c o n s u m p t io n a n d m o n e y a r e c o m p le m e n t s . c m T h u s t h e e c o n o m y d is p la y s r e a l in d e t e r m in a c y if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e a n d c o n s u m p t io n a n d m o n e y a r e 5 s u b s t it u t e s o r if m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e a n d c o n s u m p t io n a n d m o n e y a r e c o m p le m e n t s . T h e in t u it io n b e h in d t h is in d e t e r m in a c y r e s u lt is a s fo llo w s . C o n s id e r t h e c a s e t h a t m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e a n d u > 0 . c m S u p p o s e t h a t r e a l b a la n c e s fo r n o n - p r o d u c t iv e p u r p o s e s a r e in c r e a s e d a b o v e t h e ir s t e a d y - s t a t e le v e l. B e c a u s e t h e m o n e y d e m a n d fu n c t io n o f t h e h o u s e h o ld is d e c r e a s in g in t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e a n d c o n s u m p t io n is c o n s t a n t , it fo llo w s t h a t t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e h a s t o b e b e lo w it s s t e a d y - s t a t e le v e l. A t t h e s a m e t im e , p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y im p lie s t h a t t h e d e c lin e in t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e is a s s o c ia t e d w it h a n in c r e a s e in t h e r e a l in t e r e s t r a t e . I n r e s p o n s e t o t h e in c r e a s e in t h e r e a l in t e r e s t r a t e a g e n t s w ill lo w e r t h e g r o w t h r a t e o f t h e m a r g in a l u t ilit y o f c o n s u m p t io n . W it h c o n s u m p t io n c o n s t a n t a n d u > 0 , t h is r e q u ir e s t h a t c m t h e g r o w t h r a t e o f r e a l b a la n c e s b e n e g a t iv e . T h u s r e a l b a la n c e s w ill r e t u r n t o t h e ir s t e a d y le v e l a n d t h is t r a je c t o r y is c o n s is t e n t w it h e q u ilib r iu m . T h e n e x t t w o p r o p o s it io n s s u m m a r iz e t h e s e r e s u lt s . 0 P r o p o s i t i o n 2 . 3 S u p p o s e t h a t m o n e y is n o t p r o d u c t iv e ( a s s u m p t io n h o ld s ) a n d c o n s u m p t io n a n d m o n e y 2 0 (cid:3) a r e E d g e w o r t h - s u b s t it u t e s ( ) . T h e n , if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( ) , t h e r e a l a llo c a t io n is u < 0 (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 c m 0 (cid:3) in d e t e r m in a t e , a n d if m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( ) , t h e n t h e o n ly p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m in (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o t h e s t e a d y s t a t e is t h e s t e a d y s t a t e it s e lf. 0 P r o p o s i t i o n 2 . 4 S u p p o s e t h a t m o n e y is n o t p r o d u c t iv e ( a s s u m p t io n h o ld s ) a n d c o n s u m p t io n a n d m o n e y 2 0 (cid:3) a r e E d g e w o r t h - c o m p le m e n t s ( ) . T h e n , if m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( ) , t h e r e a l a llo c a t io n u > 0 (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 c m 0 5 A s is w e ll-k n o w n , t h e r e e x is t s a n e x a c t c o r r e s p o n d e n c e b e tw e e n t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s o f t h e e c o n o m y w it h y = 0 a n d u > 0 a n d t h o s e o f t h e c a s h -in -a d v a n c e e c o n o m y w it h c a s h a n d c r e d it g o o d s d e v e lo p e d b y L u c a s a n d S t o k e y ( 1 9 8 7 ) . T h e r e fo r e , c m in t h e ( c o n t in u o u s -t im e v e r s io n o f t h e ) L u c a s { S t o k e y m o d e l, t h e r e a l a llo c a t io n is in d e t e r m in a t e u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y . 5
0 (cid:3) is in d e t e r m in a t e , a n d if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( ) , t h e n t h e o n ly p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m in (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o t h e s t e a d y s t a t e is t h e s t e a d y s t a t e it s e lf. 0 C o m b in in g t h e c a s e o f n o n - p r o d u c t iv e m o n e y ( a s s u m p t io n 2 ) w it h p r e fe r e n c e s t h a t a r e s e p a r a b le in c o n s u m p t io n a n d r e a l b a la n c e s ( u = 0 ) r e s u lt s in t h e c o n t in u o u s t im e v e r s io n o f t h e e c o n o m y a n a ly z e d c m n p in L e e p e r ( 1 9 9 1 ) . I n t h is c a s e e q u a t io n ( 1 8 ) im p lie s t h a t (cid:21) is c o n s t a n t . I t t h e n fo llo w s t h a t (cid:25) , R a n d m a r e a ls o c o n s t a n t , a n d t h e o n ly e q u ilib r iu m r e a l a llo c a t io n is t h e s t e a d y s t a t e . T h is r e s u lt d i(cid:11) e r s fr o m t h a t o b t a in e d b y L e e p e r w h o (cid:12) n d s t h a t u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y t h e in (cid:13) a t io n r a t e is in d e t e r m in a t e . T h e d i(cid:11) e r e n c e s t e m s fr o m t h e fa c t t h a t in L e e p e r ’s d is c r e t e - t im e m o d e l t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e in p e r io d t is a s s u m e d t o b e a fu n c t io n o f t h e c h a n g e in t h e p r ic e le v e l b e t w e e n p e r io d s t 1 a n d t , w h e r e a s in t h e (cid:0) c o n t in u o u s t im e m o d e l a n a ly z e d h e r e , t h e in (cid:13) a t io n r a t e is t h e r ig h t h a n d s id e d e r iv a t iv e o f t h e p r ic e le v e l, s o it s d is c r e t e - t im e c o u n t e r p a r t is b e t t e r a p p r o x im a t e d b y t h e c h a n g e in t h e p r ic e le v e l b e t w e e n p e r io d s t a n d t + 1 . I n fa c t , it is s t r a ig h t fo r w a r d t o s h o w t h a t if in L e e p e r ’s d is c r e t e - t im e m o d e l t h e fe e d b a c k r u le is a s s u m e d t o b e fo r w a r d lo o k in g | t h a t is , R = (cid:26) ( P = P ) | t h e e q u ilib r iu m d is p la y s r e a l d e t e r m in a c y . t t+ 1 t T a b le 1 : R e a l I n d e t e r m in a c y in t h e F le x ib le - P r ic e M o d e l M o n e t a r y N o n - p r o d u c t iv e m o n e y P r o d u c t iv e m o n e y 0 0 P o lic y ( y = 0 ) ( y > 0 ) u > 0 u < 0 u = 0 u > 0 u < 0 u = 0 c m c m c m c m c m c m 0 (cid:3) P a s s iv e ( (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 ) I D D A D D 0 (cid:3) A c t iv e ( (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 ) D I D A I I N o t e : T h e n o t a t io n is : D , d e t e r m in a t e ; I , in d e t e r m in a t e ; A , a m b ig u o u s . ( U n d e r A t h e r e a l a llo c a t io n m a y b e d e t e r m in a t e o r in d e t e r m in a t e d e p e n d in g o n s p e c i(cid:12) c p a r a m e t e r v a lu e s .) T a b le 1 s u m m a r iz e s t h e c o m b in a t io n s o f p r e fe r e n c e , t e c h n o lo g y , a n d m o n e t a r y p o lic y s p e c i(cid:12) c a t io n s u n d e r w h ic h r e a l in d e t e r m in a c y a r is e s in t h e (cid:13) e x ib le - p r ic e m o d e l. T h e s e c o n d r o w o f t h e t a b le h ig h lig h t s t h e m a in r e s u lt o f t h is s e c t io n , n a m e ly , t h a t , c o n t r a r y t o w h a t is o ft e n a s s e r t e d , r e a l in d e t e r m in a c y m a y a r is e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . M o s t e x is t in g s t u d ie s h a v e r e s t r ic t e d a t t e n t io n t o t h e c a s e in w h ic h m o n e y 0 is n o t p r o d u c t iv e ( y = 0 ) a n d m o n e y a n d c o n s u m p t io n g o o d s e it h e r a r e c o m p le m e n t s in p r e fe r e n c e s o r e n t e r t h e u t ilit y fu n c t io n in a s e p a r a b le fa s h io n ( u 0 ) . A s a r e s u lt t h e s e s t u d ie s h a v e a r r iv e d a t t h e c m (cid:21) p o t e n t ia lly m is le a d in g c o n c lu s io n t h a t a n a c t iv e m o n e t a r y p o lic y s t a b iliz e s t h e e c o n o m y b y b r in g in g a b o u t r e a l d e t e r m in a c y . W e s h o u ld a ls o n o t e t h a t t h e r e s u lt s o n lo c a l u n iq u e n e s s u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y s h o u ld b e in - (cid:3) t e r p r e t e d w it h c a r e fr o m a g lo b a l p e r s p e c t iv e . A s p o in t e d o u t a b o v e , if t h e r e e x is t s a s t e a d y s t a t e (cid:25) 0 (cid:3) w it h (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 , t h e n s in c e (cid:26) ( ) is a s s u m e d t o b e c o n t in u o u s a n d s t r ic t ly p o s it iv e , t h e r e m u s t a ls o e x is t a 0 (cid:1) s t e a d y s t a t e w it h (cid:26) < 1 , w h ic h c a n b e in d e t e r m in a t e p r e c is e ly u n d e r t h o s e a s s u m p t io n s t h a t a s s u r e lo c a l (cid:3) d e t e r m in a c y a t t h e s t e a d y s t a t e (cid:25) : 3 A s t i c k y - p r i c e m o d e l I n t h is s e c t io n , w e e x t e n d t h e m o d e l d e v e lo p e d in t h e p r e v io u s s e c t io n t o a llo w fo r n o m in a l r ig id it ie s . F o llo w in g R o t e m b e r g ( 1 9 8 2 ) , w e in t r o d u c e p r ic e s t ic k in e s s b y a s s u m in g t h a t t h e h o u s e h o ld { (cid:12) r m u n it o p e r a t e s in im p e r fe c t ly c o m p e t it iv e p r o d u c t m a r k e t s a n d d is lik e s c h a n g in g t h e p r ic e it c h a r g e s fo r t h e g o o d s it p r o - 6 d u c e s . S p e c i(cid:12) c a lly , w e a s s u m e t h a t t h e r e e x is t s a c o n t in u u m o f h o u s e h o ld { (cid:12) r m u n it s in d e x e d b y j , e a c h o f j P j d d w h ic h p r o d u c e s a d i(cid:11) e r e n t ia t e d g o o d Y a n d fa c e s a d e m a n d fu n c t io n Y d , w h e r e Y d e n o t e s t h e le v e l P j o f a g g r e g a t e d e m a n d , P t h e p r ic e (cid:12) r m j c h a r g e s fo r it s o u t p u t , a n d P t h e a g g r e g a t e p r ic e le v e l. S u c h a (cid:16) (cid:17) d e m a n d fu n c t io n c a n b e d e r iv e d b y a s s u m in g t h a t h o u s e h o ld s h a v e p r e fe r e n c e s o v e r a c o m p o s it e g o o d t h a t is p r o d u c e d fr o m d i(cid:11) e r e n t ia t e d in t e r m e d ia t e g o o d s v ia a D ix it - S t ig lit z p r o d u c t io n fu n c t io n . T h e fu n c t io n 0 0 d ( ) is a s s u m e d t o s a t is fy d ( 1 ) = 1 a n d d ( 1 ) < 1 . T h e r e s t r ic t io n im p o s e d o n d ( 1 ) is n e c e s s a r y fo r t h e (cid:1) (cid:0) 6 In s e c t io n 4 .2 , w e s h o w t h a t t h e r e s u lt s o n lo c a l d e t e r m in a c y d e r iv e d in t h is s e c t io n a ls o o b t a in u n d e r C a lv o -Y u n ty p e p r ic e s t a g g e r in g . 6
(cid:12) r w w b (cid:25) p b c a I d T ( h T r r m ’s p r o b le m t o b e w e ll d e (cid:12) n e d in a s y m m e t r ic e q u ilib r iu m . T h e p r o d u c t io n o f g o o d j is a s s u m e d t o t a k e j p e a l m o n e y b a la n c e s , m , a s t h e o n ly in p u t j j p ) Y = y ( m h e r e y ( ) s a t is (cid:12) e s a s s u m p t io n 2 . (cid:1) T h e h o u s e h o ld ’s life t im e u t ilit y fu n c t io n is a s s u m e d t o b e o f t h e fo r m 2 1 j _ (cid:13) P (cid:0) (cid:3) j j n p j r t ) u ( c ; m d t ( 2 4 ) U = e (cid:25) j 2 3 2 P (cid:0) (cid:0) 0 ! Z 4 5 j j j n p n p h e r e c d e n o t e s c o n s u m p t io n o f t h e c o m p o s it e g o o d b y h o u s e h o ld j , m M = P d e n o t e s r e a l m o n e y j (cid:17) n p a la n c e s h e ld b y h o u s e h o ld j fo r n o n - p r o d u c t iv e p u r p o s e s , M d e n o t e s n o m in a l m o n e y b a la n c e s , a n d (cid:3) > r d e n o t e s t h e s t e a d y - s t a t e in (cid:13) a t io n r a t e . T h e u t ilit y fu n c t io n u ( ; ) s a t is (cid:12) e s a s s u m p t io n 1 , a n d t h e (cid:0) (cid:1) (cid:1) a r a m e t e r (cid:13) , m e a s u r in g t h e d e g r e e t o w h ic h h o u s e h o ld { (cid:12) r m u n it s d is lik e t o d e v ia t e in t h e ir p r ic e - s e t t in g e h a v io r fr o m t h e lo n g - r u n le v e l o f a g g r e g a t e p r ic e in (cid:13) a t io n , is p o s it iv e . T h e h o u s e h o ld ’s in s t a n t b u d g e t o n s t r a in t a n d n o - P o n z i- g a m e r e s t r ic t io n a r e j P j j j j j n p p p j _a = ( R (cid:25) ) a R ( m + m ) + y ( m ) c (cid:28) ( 2 5 ) P (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n d t (cid:0) (cid:0) [R ( s ) (cid:25) ( s ) ]d s j R 0 lim e a ( t ) 0 : ( 2 6 ) ! 1 t (cid:21) n a d d it io n , (cid:12) r m s a r e s u b je c t t o t h e c o n s t r a in t t h a t g iv e n t h e p r ic e t h e y c h a r g e , t h e ir s a le s a r e d e m a n d e t e r m in e d j P j p d y ( m ) = Y d : ( 2 7 ) P (cid:18) (cid:19) j j j j p j n p , P 0 , a n d a s o a s t o m a x im iz e ( 2 4 ) s u b je c t t o , m h e h o u s e h o ld c h o o s e s s e q u e n c e s fo r c , m (cid:21) j j d 2 5 ) { ( 2 7 ) t a k in g a s g iv e n a ( 0 ) , P ( 0 ) , a n d t h e t im e p a t h s o f (cid:28) , R , Y , a n d P . T h e H a m ilt o n ia n o f t h e o u s e h o ld ’s o p t im iz a t io n p r o b le m t a k e s t h e fo r m 2 j _ (cid:13) P (cid:0) (cid:3) j j j r t j n p j j n p p e u ( c ; m ) (cid:25) + (cid:21) ( R (cid:25) ) a R ( m + m ) j 8 2 P (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ! < h j j P P j j p j j j d p : ) c ) : y ( m (cid:28) _a + (cid:22) Y d y ( m + P P (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:27) j j j n p p j j h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d it io n s a s s o c ia t e d w it h c , m , m , a , a n d P a n d t h e t r a n s v e r s a lit y c o n d it io n a r e , e s p e c t iv e ly , j j n p j u ( c ; m ) = (cid:21) ( 2 8 ) c j j n p j u ( c ; m ) = (cid:21) R ( 2 9 ) m j P 0 0 j j j p j p (cid:21) y ( m ) R = (cid:22) y ( m ) ( 3 0 ) P (cid:0) (cid:20) (cid:21) j j_ (cid:21) = (cid:21) ( r + (cid:25) R ) ( 3 1 ) (cid:0) 7
j j j P P P 0 (cid:3) j j j p d j j ) + (cid:22) (cid:21) y ( m Y d = (cid:13) r ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:13) _(cid:25) ( 3 2 ) P P P (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) t (cid:0) (cid:0) [R ( s ) (cid:25) ( s ) ]d s j R 0 lim e a ( t ) = 0 ( 3 3 ) ! 1 t j j j _ w h e r e (cid:25) P = P . C o m b in in g e q u a t io n s ( 2 8 ) a n d ( 2 9 ) , t h e d e m a n d fo r r e a l b a la n c e s fo r n o n - p r o d u c t io n (cid:17) p u r p o s e s c a n b e e x p r e s s e d a s j n p j n p = m ( c ; R ) ( 3 4 ) m j w h ic h b y a s s u m p t io n 1 is in c r e a s in g in c a n d d e c r e a s in g in R . E q u i l i b r i u m I n a s y m m e t r ic e q u ilib r iu m a ll h o u s e h o ld { (cid:12) r m u n it s c h o o s e id e n t ic a l s e q u e n c e s fo r c o n s u m p t io n , a s s e t h o ld j j j p p n p n p j j j j j in g s , a n d p r ic e s . T h u s , c = c , m = m , m = m , a = a , P = P , (cid:21) = (cid:21) , (cid:22) = (cid:22) , a n d (cid:25) = (cid:25) . I n a d d it io n , t h e g o o d s m a r k e t s c le a r a n d t h e n o - P o n z i- g a m e r e s t r ic t io n h o ld s w it h e q u a lit y , t h a t is , e q u a n p t io n s ( 8 ) a n d ( 1 6 ) a r e p a r t o f t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s . U s in g ( 1 1 ) , ( 1 6 ) , a n d ( 3 4 ) , t o e lim in a t e m , c , a n d R in ( 2 8 ) y ie ld s p n p p u ( y ( m ) ; m ( y ( m ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) ) = (cid:21) : ( 3 5 ) c p E q u a t io n ( 3 5 ) t o g e t h e r w it h a s s u m p t io n 1 im p lie s t h a t m c a n b e e x p r e s s e d a s a fu n c t io n o f (cid:25) a n d (cid:21) t h a t 7 is d e c r e a s in g in (cid:21) a n d d e c r e a s in g ( in c r e a s in g ) in (cid:25) if u > 0 ( < 0 ) . F o r m a lly , c m p p m = m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ; ( 3 6 ) 0 p p p w h e r e m < 0 , m u < 0 if u = 0 , a n d m = 0 if u = 0 . L e t (cid:17) d ( 1 ) < 1 d e n o t e t h e e q u ilib r iu m c m c m c m (cid:25) (cid:25) (cid:21) 6 (cid:17) (cid:0) p r ic e e la s t ic it y o f t h e d e m a n d fu n c t io n fa c e d b y t h e in d iv id u a l (cid:12) r m . U s in g ( 1 1 ) , ( 1 6 ) , ( 3 0 ) , a n d ( 3 6 ) t o p n p e lim in a t e m , m , (cid:22) , R , a n d c fr o m e q u a t io n s ( 8 ) , ( 1 2 ) , ( 1 4 ) , ( 3 1 ) , a n d ( 3 2 ) y ie ld s _(cid:21) = (cid:21) [r + (cid:25) (cid:26) ( (cid:25) ) ] ( 3 7 ) (cid:0) (cid:26) ( (cid:25) ) (cid:3) p (cid:13) _(cid:25) = (cid:13) r ( (cid:25) (cid:25) ) y ( m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ) (cid:21) 1 + (cid:17) 1 ( 3 8 ) 0 p y ( m ( (cid:25) ; (cid:21) ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) n p p p _a = [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ]a (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ] (cid:28) ( 3 9 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:0) (cid:0) [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ]d s R 0 0 = lim e a ( t ) ( 4 0 ) ! 1 t n p p p (cid:28) = (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ] + (cid:11) a ( 4 1 ) (cid:0) D e (cid:12) n i t i o n 3 I n t h e s t ic k y - p r ic e e c o n - ( P e r f e c t - f o r e s i g h t e q u i li b r i u m i n t h e s t i c k y - p r i c e e c o n o m y ) o m y , a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is a s e t o f s e q u e n c e s s a t is fy in g ( 3 7 ) { ( 4 0 ) a n d e it h e r ( 1 5 ) if (cid:21) ; (cid:25) ; (cid:28) ; a f g t h e (cid:12) s c a l r e g im e is n o n - R ic a r d ia n o r ( 4 1 ) if t h e (cid:12) s c a l r e g im e is R ic a r d ia n , g iv e n . a ( 0 ) n p p G iv e n t h e e q u ilib r iu m s e q u e n c e s (cid:21) ; (cid:25) ; (cid:28) ; a , t h e c o r r e s p o n d in g e q u ilib r iu m s e q u e n c e s c ; m ; m ; R a r e f g f g u n iq u e ly d e t e r m in e d b y ( 1 1 ) , ( 1 6 ) , ( 3 4 ) , a n d ( 3 6 ) . R i c a r d i a n (cid:12) s c a l p o l i c y I n t h is c a s e , t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s in c lu d e e q u a t io n ( 4 1 ) . G iv e n a p a ir o f s e q u e n c e s (cid:25) ; (cid:21) , e q u a t io n s f g ( 3 9 ) a n d ( 4 1 ) c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t t im e p a t h s fo r a a n d (cid:28) . B e c a u s e t h e (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n , t h e s e q u e n c e s (cid:25) ; a s a t is fy t h e t r a n s v e r s a lit y c o n d it io n ( 4 0 ) . T h u s a n y p a ir o f s e q u e n c e s (cid:21) ; (cid:25) s a t is fy in g ( 3 7 ) f g f g a n d ( 3 8 ) c a n b e s u p p o r t e d a s a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m . 0 7 p 2 (cid:0) (cid:0) D i(cid:11) e r e n t ia t in g e q u a t io n ( 3 5 ) , it fo llo w s t h a t m = [u ( u = u ) u ]= [y ( u u u ) ]. T h e c o n c a v ity o f t h e in s t a n t m m m c c m c c m m c m (cid:21) u t ility fu n c t io n a n d t h e n o r m a lity o f c o n s u m p t io n im p ly , r e s p e c t iv e ly , t h a t t h e d e n o m in a t o r o f t h is e x p r e s s io n is p o s it iv e a n d 0 p p n p (cid:0) t h e n u m e r a t o r n e g a t iv e . A ls o , m = m u m (cid:26) , w h ic h is o f t h e o p p o s it e s ig n o f u . c m c m (cid:25) R (cid:21) 8
(cid:3) (cid:3) C o n s id e r (cid:12) r s t p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g e t o a s t e a d y - s t a t e (cid:21) ; (cid:25) . T h e s t e a d y - (cid:3) (cid:3) (cid:3) f g f g s t a t e v a lu e s (cid:21) a n d (cid:25) a r e d e (cid:12) n e d a s c o n s t a n t v a lu e s o f (cid:21) a n d (cid:25) t h a t s o lv e ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) . T h u s , (cid:25) is a (cid:3) (cid:3) (cid:3) s o lu t io n t o r + (cid:25) = (cid:26) ( (cid:25) ) , w h ic h b y a s s u m p t io n e x is t s b u t is n o t n e c e s s a r ily u n iq u e . G iv e n a (cid:25) , t h e s t e a d y - (cid:3) (cid:3) 0 (cid:3) p p s t a t e v a lu e o f r e a l b a la n c e s fo r p r o d u c t io n p u r p o s e s , m , is g iv e n b y t h e s o lu t io n t o y ( m ) = (cid:17) = ( 1 + (cid:17) ) R , (cid:3) (cid:3) (cid:3) p w h e r e R = (cid:26) ( (cid:25) ) is t h e s t e a d y s t a t e v a lu e o f t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e . B y a s s u m p t io n 2 , m e x is t s a n d is (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) n p p p o s it iv e a n d u n iq u e fo r a g iv e n (cid:25) . F in a lly , (cid:21) is g iv e n b y (cid:21) = u ( c ; m ( c ; R ) ) > 0 , w h e r e c = y ( m ) c (cid:3) (cid:3) d e n o t e s t h e s t e a d y - s t a t e le v e l o f c o n s u m p t io n . I n a n e ig h b o r h o o d a r o u n d ( (cid:21) ; (cid:25) ) , t h e e q u ilib r iu m p a t h s o f (cid:3) (cid:3) (cid:21) a n d (cid:25) c a n b e a p p r o x im a t e d b y t h e s o lu t io n s t o t h e fo llo w in g lin e a r iz a t io n o f ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) a r o u n d (cid:21) ; (cid:25) f g (cid:3) _ (cid:21) (cid:21) (cid:21) (cid:3) ( 4 2 ) = A (cid:0) (cid:25) (cid:25) _(cid:25) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:0) w h e r e 0 0 u ( 1 (cid:26) ) c A = (cid:0) A A 2 1 2 2 (cid:20) (cid:21) (cid:3) (cid:3) 00 p u c (cid:17) R y m c (cid:21) A = > 0 2 1 02 (cid:0) (cid:13) y (cid:3) 0 (cid:3) u c (cid:17) (cid:26) R 00 c p A = r + y m 2 2 0 (cid:25) 02 (cid:13) y (cid:0) y (cid:20) (cid:21) 0 (cid:3) I f a t t h e p a r t ic u la r s t e a d y s t a t e c o n s id e r e d m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 ) , t h e d e t e r m in a n t o f A , 0 g iv e n b y A u ( 1 (cid:26) ) , is n e g a t iv e , im p ly in g t h a t A h a s o n e p o s it iv e r e a l r o o t a n d o n e n e g a t iv e r e a l r o o t . 2 1 c (cid:0) (cid:0) S in c e b o t h (cid:21) a n d (cid:25) a r e ju m p v a r ia b le s , it fo llo w s t h a t t h e r e e x is t s a n e ig h b o r h o o d a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e s u c h t h a t fo r a n y in it ia l (cid:21) ( 0 ) t h e r e e x is t s a (cid:25) ( 0 ) in t h a t n e ig h b o r h o o d s u c h t h a t t h e t r a je c t o r ie s o f (cid:21) a n d (cid:25) im p lie d b y ( 4 2 ) w ill c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly t o t h e s t e a d y s t a t e . T h e fo llo w in g p r o p o s it io n s u m m a r iz e s t h is r e s u lt . 0 (cid:3) P r o p o s i t i o n 3 . 1 I f (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n a n d m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( ) , t h e n t h e r e e x is t s a (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 (cid:3) (cid:3) c o n t in u u m o f p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h a n d c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly t o t h e s t e a d y s t a t e . (cid:25) (cid:21) ( (cid:25) ; (cid:21) ) 0 (cid:3) U n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y ( (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 ) t h e d e t e r m in a n t o f A is p o s it iv e a n d h e n c e t h e r e a l p a r t s o f it s e ig e n v a lu e s h a v e t h e s a m e s ig n . I f t h e t r a c e o f A , g iv e n b y A , is n e g a t iv e , t h e n t h e r e a l p a r t s o f t h e r o o t s 2 2 a r e n e g a t iv e , w h ic h im p lie s t h a t n e a r t h e s t e a d y s t a t e t h e r e e x is t s a n in (cid:12) n it e n u m b e r o f p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e . I f, o n t h e o t h e r h a n d , t h e t r a c e o f A is p o s it iv e , b o t h e ig e n v a lu e s h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s , a n d t h e r e fo r e t h e o n ly p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e is t h e s t e a d y s t a t e it s e lf. W e fo r m a lly s t a t e t h e s e r e s u lt s in t h e fo llo w in g p r o p o s it io n . 0 (cid:3) P r o p o s i t i o n 3 . 2 I f (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n a n d m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( ) , t h e n , if (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 A > 0 ( < 2 2 , t h e r e e x is t s a u n iq u e ( a c o n t in u u m o f ) p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h a n d c o n v e r g e t o t h e s t e a d y 0 ) (cid:25) (cid:21) (cid:3) (cid:3) s t a t e . ( (cid:25) ; (cid:21) ) T o illu s t r a t e t h a t e it h e r o f t h e s e t w o c a s e s is p o s s ib le c o n s id e r t h e s im p le c a s e t h a t t h e in s t a n t u t ilit y (cid:3) fu n c t io n is s e p a r a b le in c o n s u m p t io n a n d m o n e y a n d lo g a r it h m ic in c o n s u m p t io n , s o t h a t u c = 1 . I n t h is c 8 c a s e , t h e t r a c e o f A is g iv e n b y 0 ( 1 + (cid:17) ) (cid:26) t r a c e ( A ) = r + ( 4 3 ) (cid:3) (cid:13) R (cid:3) 0 0 0 r R (cid:13) L e t (cid:22)(cid:26) d e n o t e t h e v a lu e o f (cid:26) a t w h ic h t h e t r a c e v a n is h e s . C le a r ly , (cid:22)(cid:26) m a y b e g r e a t e r o r le s s t h a n 1 + (cid:17) (cid:17) (cid:0)0 o n e . I f (cid:22)(cid:26) 1 , t h e n t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e fo r a n y a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . W e h ig h lig h t t h is r e s u lt (cid:20) in t h e fo llo w in g c o r o lla r y . 0 (cid:3) p 8 In d e r iv in g t h is e x p r e s s io n w e u s e d t h e fa c t s t h a t w h e n u = 0 , m = 0 a n d t h a t in t h e s t e a d y s t a t e y = R (cid:17) = ( 1 + (cid:17) ) . c m (cid:25) 9
C o r o l l a r y 1 S u p p o s e (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n a n d p r e fe r e n c e s a r e lo g - lin e a r in c o n s u m p t io n a n d r e a l b a l- (cid:3) 0 r R (cid:13) a n c e s . I f is le s s t h a n o r e q u a l t o o n e , t h e n t h e r e e x is t s a c o n t in u u m o f p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia (cid:22)(cid:26) 1 + (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:3) (cid:3) in w h ic h a n d c o n v e r g e t o t h e s t e a d y s t a t e fo r a n y a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . (cid:25) (cid:21) ( (cid:25) ; (cid:21) ) 0 0 0 O n t h e o t h e r h a n d , if (cid:22)(cid:26) > 1 , t h e n fo r v a lu e s o f (cid:26) ( 1 ; (cid:22)(cid:26) ) t h e t r a c e o f A is p o s it iv e , a n d t h e o n ly 2 e q u ilib r iu m p a t h s (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e a r e o n e s in w h ic h (cid:21) a n d (cid:25) a r e c o n s t a n t a n d e q u a l t o 0 0 f g t h e ir s t e a d y - s t a t e v a lu e s . F o r v a lu e s o f (cid:26) > (cid:22)(cid:26) t h e t r a c e o f A is n e g a t iv e a n d t h e p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m 9 is in d e t e r m in a t e . T o fa c ilit a t e c o m p a r is o n t o r e c e n t s t u d ie s o n t h e m a c r o e c o n o m ic e (cid:11) e c t s o f a lt e r n a t iv e in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s c o n t in u e t o a s s u m e t h a t t h e in s t a n t u t ilit y fu n c t io n is lo g - lin e a r in c o n s u m p t io n . I n t h is c a s e , e q u a t io n s ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) a r e q u a lit a t iv e ly e q u iv a le n t t o t h e I S a n d a g g r e g a t e s u p p ly e q u a t io n s a r is in g fr o m a C a lv o - t y p e s t ic k y - p r ic e m o d e l in w h ic h m o n e y d o e s n o t e n t e r t h e p r o d u c t io n fu n c t io n , lik e ( a c o n t in u o u s t im e v e r s io n o f ) W o o d fo r d ( 1 9 9 6 ) , B e r n a n k e a n d W o o d fo r d ( 1 9 9 7 ) , o r C la r id a , G a l(cid:19)(cid:16), a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) , w it h o n e im p o r t a n t e x c e p t io n : in o u r m o d e l t h e a g g r e g a t e s u p p ly e q u a t io n fe a t u r e s a n a m b ig u o u s p a r t ia l 0 ( 1 + (cid:17) ) (cid:26) (cid:3) w h e r e a s in t h e m o d e ls ju s t c it e d t h is d e r iv a t iv e is d e r iv a t iv e o f _(cid:25) w it h r e s p e c t t o (cid:25) g iv e n b y r + (cid:13) R u n a m b ig u o u s ly p o s it iv e a n d e q u a l t o r . I f t h e p a r t ia l d e r iv a t iv e o f _(cid:25) w it h r e s p e c t t o (cid:25) is p o s it iv e , t h e n A is p o s it iv e a n d b y p r o p o s it io n s 3 .1 a n d 2 2 3 .2 t h e e q u ilib r iu m is lo c a lly in d e t e r m in a t e u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y a n d is lo c a lly d e t e r m in a t e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y , t h a t is , in t h is c a s e o u r (cid:12) n d in g s c o in c id e w it h t h o s e r e p o r t e d in , fo r e x a m p le , C la r id a , G a l(cid:19)(cid:16), a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) . O n t h e o t h e r h a n d , if t h e p a r t ia l d e r iv a t iv e o f _(cid:25) w it h r e s p e c t t o (cid:25) is n e g a t iv e , t h a t is , A < 0 , t h e n e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e n o t o n ly u n d e r p a s s iv e b u t a ls o u n d e r a c t iv e m o n e t a r y 2 2 p o lic y . B y c o m p a r is o n , in a c o n t in u o u s t im e v e r s io n o f t h e s t ic k y - p r ic e m o d e l ju s t c it e d , in d e t e r m in a c y c a n 1 0 n e v e r o b t a in u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . T h is d i(cid:11) e r e n c e in r e s u lt s is im p o r t a n t b e c a u s e it c a lls in t o q u e s t io n t h e p o lic y r e c o m m e n d a t io n im p lic it in t h e a n a ly s is o f p r e v io u s p a p e r s t h a t a c t iv e m o n e t a r y p o lic y is s t a b iliz in g . P e r io d ic p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia S o fa r w e h a v e r e s t r ic t e d a t t e n t io n t o p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly (cid:3) (cid:3) f g t o (cid:21) ; (cid:25) . W e n o w in v e s t ig a t e t h e e x is t e n c e o f p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h (cid:21) a n d (cid:25) c o n v e r g e f g n p a s y m p t o t ic a lly t o a d e t e r m in is t ic c y c le . C o n s id e r a n e c o n o m y w it h p r e fe r e n c e s g iv e n b y u ( c ; m ) = ( 1 (cid:0) (cid:0) (cid:11) (cid:0) 1 1 s n p p p s ) c + V ( m ) , s > 0 ; t e c h n o lo g y g iv e n b y y ( m ) = ( m ) , 0 < (cid:11) < 1 ; a n d a s m o o t h in t e r e s t - r a t e (cid:3) (cid:3) (cid:3) fe e d b a c k r u le , (cid:26) ( (cid:25) ) > 0 , w h ic h in fo r (cid:25) in t h e n e ig h b o r h o o d o f (cid:25) t a k e s t h e fo r m (cid:26) ( (cid:25) ) = R + a ( (cid:25) + r R ) , (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:0) 1 1 a > 0 , R > 0 . C o n s id e r t h e s t e a d y s t a t e in (cid:13) a t io n r a t e (cid:25) = R r . I n t h is c a s e t h e t r a c e o f A is g iv e n b y (cid:0) (cid:0) 1 (cid:11) s (cid:3) (cid:0) 1 (cid:11) (cid:17) a (cid:17) R t r a c e ( A ) = r + (cid:11) (cid:13) 1 + (cid:17) (cid:11) (cid:18) (cid:19) (cid:0) 1 (cid:11) s (cid:3) (cid:0) 1 (cid:11) (cid:0) r (cid:11) (cid:13) (cid:17) R L e t (cid:22)a d e n o t e t h e v a lu e o f a a t w h ic h t h e t r a c e o f A is e q u a l t o z e r o . C o n s id e r p a r a m e t e r (cid:17) 1 + (cid:17) (cid:11) (cid:17) c o n (cid:12) g u r a t io n s fo r w h ic h (cid:22)a > 1 . A s a c r o s s e s (cid:22)a fr o m b e lo w , t h e r e a l p a r t s o f t h e t w o c o m p le x r o o t s o f A (cid:16) (cid:17) c h a n g e s ig n f r o m p o s it iv e t o n e g a t iv e . T h is is t h e s t a n d a r d c a s e o f a H o p f b ifu r c a t io n , w h ic h im p lie s t h a t g e n e r ic a lly ( i.e ., if t h e s y s t e m is n o n - lin e a r ) , t h e r e w ill e x is t a fa m ily o f c y c le s fo r a e it h e r in a le ft o r in a 1 2 r ig h t n e ig h b o r h o o d o f (cid:22)a . F u r t h e r m o r e , if t h e c y c le is t o t h e le ft o f (cid:22)a w h e r e t h e s t e a d y s t a t e is u n s t a b le ( i.e ., t h e b ifu r c a t io n p o in t is s u p e r c r it ic a l) , t h e c y c le w ill b e a t t r a c t in g . T h e im p lic a t io n is t h a t if t h e b ifu r c a t io n (cid:3) (cid:3) is s u p e r c r it ic a l, a n y t r a je c t o r y (cid:21) ; (cid:25) t h a t s t a r t s o u t in t h e n e ig h b o r h o o d o f (cid:21) ; (cid:25) w ill c o n v e r g e t o a c y c le , f g f g 9 In t h e c o n t e x t o f a d is c r e t e -t im e , (cid:13) e x ib le -p r ic e , c a s h -in -a d v a n c e e c o n o m y w it h c a s h a n d c r e d it g o o d s , S c h m it t -G r o h (cid:19)e a n d U r ib e ( 1 9 9 7 ) o b t a in a s im ila r r e s u lt , n a m e ly , t h e p e r fe c t -fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e fo r p a s s iv e a n d v e r y a c t iv e m o n e t a r y p o lic y a n d is d e t e r m in a t e fo r m o d e r a t e ly a c t iv e p o lic ie s . 1 0 2 2 T e c h n ic a lly , t h is fo llo w s fr o m t h e fa c t t h a t in t h is c a s e A is n e c e s a r ily p o s it iv e , s o t h a t if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e , b o t h e ig e n v a lu e s o f t h e m a t r ix A h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s . 1 1 B e c a u s e a lin e a r r u le d e (cid:12) n e d fo r a ll p o s s ib le v a lu e s o f (cid:25) w o u ld y ie ld n e g a t iv e n o m in a l in t e r e s t r a t e s fo r s o m e (cid:25) , w e d o n o t r e q u ir e t h e lin e a r s p e c i(cid:12) c a t io n t o h o ld g lo b a lly . 1 2 T h e H o p f B ifu r c a t io n T h e o r e m p o s t u la t e s t h e e x is t e n c e o f a fa m ily o f c y c le s , w h ic h in t h e p u r e lin e a r s y s t e m p ile u p a t t h e b ifu r c a t io n v a lu e (cid:22)a a n d c r e a t e a c e n t e r : a n y n o n lin e a r ity w ill s p r e a d t h e m o u t t o e it h e r a le ft o r a r ig h t n e ig h b o r h o o d o f (cid:22)a . (cid:0) G e n e r ic a lly in t h e n o n -lin e a r c a s e t h e a m p lit u d e o f t h e c y c le v a r ie s c o n t in u o u s ly w it h a (cid:22)a a n d is z e r o a t a = (cid:22)a . 1 0
s o t h a t t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e . T h e fo llo w in g p r o p o s it io n p r o v id e s s im p le c o n d it io n s u n d e r w h ic h a s u p e r c r it ic a l H o p f b ifu r c a t io n e x is t s . (cid:0) (cid:0) n p 1 1 s n p P r o p o s i t i o n 3 . 3 C o n s id e r a n e c o n o m y w it h p r e fe r e n c e s g iv e n b y , ; u ( c ; m ) = ( 1 s ) c + V ( m ) s > 0 (cid:11) (cid:0) p p t e c h n o lo g y g iv e n b y , ; a n d m o n e t a r y p o lic y g iv e n b y a s m o o t h in t e r e s t - r a t e fe e d b a c k y ( m ) = ( m ) 0 < (cid:11) < 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) r u le , , w h ic h fo r in t h e n e ig h b o r h o o d o f t a k e s t h e fo r m , , (cid:26) ( (cid:25) ) > 0 (cid:25) (cid:25) (cid:26) ( (cid:25) ) = R + a ( (cid:25) + r R ) a > 0 (cid:0) 1 (cid:11) s (cid:0) (cid:3) (cid:0) 1 (cid:11) (cid:0) (cid:3) r (cid:11) (cid:13) (cid:17) R . L e t (cid:12) s c a l p o lic y b e R ic a r d ia n a n d le t t h e p a r a m e t e r c o n (cid:12) g u r a t io n s a t is fy > 1 R > 0 (cid:22)a (cid:17) 1 + (cid:17) (cid:11) (cid:17) a n d . T h e n t h e r e e x is t s a n in (cid:12) n it e n u m b e r o f a c t iv e m o n e t a r y p o lic ie s s a t is fy in g fo r 1 < s < 1 = (cid:11) a < (cid:22)a (cid:16) (cid:17) e a c h o f w h ic h t h e p e r fe c t fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e a n d a n d c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly t o a (cid:25) (cid:21) d e t e r m in is t ic c y c le . P r o o f : S e e t h e a p p e n d ix . T h e im p lic a t io n s o f t h e r e s u lt s o b t a in e d u n d e r s t ic k y p r ic e s a n d R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y c a n b e s u m m a r iz e d a s fo llo w s . I t is o ft e n a r g u e d ( t y p ic a lly in t h e c o n t e x t o f d is c r e t e - t im e m o d e ls ) t h a t u n d e r (cid:12) s c a l p o lic ie s w h ic h g u a r a n t e e t h e s o lv e n c y o f t h e g o v e r n m e n t , a m o d e r a t e ly a c t iv e m o n e t a r y p o lic y , t h a t is , a p o lic y s u c h 0 (cid:3) t h a t (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 b u t b e lo w a c e r t a in t h r e s h o ld , is s t a b iliz in g in t h e s e n s e t h a t it e n s u r e s n o m in a l a n d r e a l 1 3 d e t e r m in a c y . H o w e v e r , p r o p o s it io n s 3 .2 a n d 3 .3 s h o w t h a t e v e n m o d e r a t e ly a c t iv e m o n e t a r y p o lic ie s m a y n o t e lim in a t e t h e p o s s ib ilit y o f r e a l in d e t e r m in a c y in a s t ic k y - p r ic e e c o n o m y , a n d c o r o lla r y 1 g iv e s s u (cid:14) c ie n t c o n d it io n s fo r in d e t e r m in a c y u n d e r a n y a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . I n a d d it io n , a s n o t e d in s e c t io n 2 , if t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e r u le is p o s it iv e , n o n - d e c r e a s in g , a n d c o n t in u o u s fo r a ll (cid:25) , t h e e x is t e n c e o f a s t e a d y s t a t e a t w h ic h m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e im p lie s t h e e x is t e n c e o f a n o t h e r s t e a d y s t a t e a t w h ic h m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e , a n d w h ic h b y p r o p o s it io n 3 .1 is n e c e s s a r ily in d e t e r m in a t e . N o n - r i c a r d i a n (cid:12) s c a l p o l i c y S u p p o s e n o w t h a t t h e g o v e r n m e n t fo llo w s t h e n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y d e s c r ib e d in e q u a t io n ( 1 5 ) , t h a t is , a (cid:12) s c a l p o lic y w h e r e b y t h e t im e p a t h o f r e a l lu m p - s u m t a x e s is e x o g e n o u s . U s in g ( 1 5 ) t o r e p la c e (cid:28) in e q u a t io n ( 3 9 ) y ie ld s n p p p _a = [(cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) ]a (cid:26) ( (cid:25) ) [m ( y ( m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ) ; (cid:26) ( (cid:25) ) ) + m ( (cid:21) ; (cid:25) ) ] (cid:22)(cid:28) : ( 4 4 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) A s b e fo r e , w e r e s t r ic t a t t e n t io n t o e q u ilib r ia in w h ic h (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g e t o a s t e a d y - s t a t e ( (cid:21) ; (cid:25) ) . I t is c le a r (cid:3) (cid:3) f g fr o m e q u a t io n ( 4 4 ) t h a t s e q u e n c e s (cid:21) ; (cid:25) t h a t c o n v e r g e t o ( (cid:21) ; (cid:25) ) w ill in g e n e r a l b e a s s o c ia t e d w it h s e q u e n c e s (cid:3) (cid:3) f g fo r a t h a t g r o w a s y m p t o t ic a lly a t t h e r a t e (cid:26) ( (cid:25) ) (cid:25) = r > 0 , t h u s v io la t in g t h e t r a n s v e r s a lit y c o n d it io n (cid:0) ( 4 0 ) . A s a c o n s e q u e n c e e q u a t io n s ( 4 4 ) a n d ( 4 0 ) im p o s e r e s t r ic t io n s o n t h e s e t o f s e q u e n c e s (cid:21) ; (cid:25) t h a t a r e f g c o n s is t e n t w it h a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m o f t h e t y p e w e a r e c o n s id e r in g . S p e c i(cid:12) c a lly , o n ly s e q u e n c e s (cid:3) (cid:3) (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e ( (cid:21) ; (cid:25) ) t h a t im p ly ( v ia e q u a t io n ( 4 4 ) ) a s e q u e n c e fo r a t h a t c o n v e r g e s f g t o a c o n s t a n t v a lu e c o n s t it u t e a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m . T h u s , o n e c a n a n a ly z e t h e d y n a m ic p r o p e r t ie s o f t h e m o d e l b y r e s t r ic t in g a t t e n t io n t o a lin e a r a p p r o x im a t io n o f t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s ( 3 7 ) , ( 3 8 ) , a n d ( 4 4 ) , w h ic h c a n b e w r it t e n a s (cid:3) _ (cid:21) (cid:21) (cid:21) A 0 (cid:3) (cid:0) (cid:25) (cid:25) = ( 4 5 ) _(cid:25) (cid:15) r (cid:3) 0 1 0 1 (cid:0) a a _a (cid:20) (cid:21) (cid:0) @ A @ A w h e r e A is d e (cid:12) n e d in ( 4 2 ) a n d (cid:15) is a o n e b y t w o v e c t o r w h o s e e le m e n t s a r e t h e s t e a d y - s t a t e d e r iv a t iv e s o f n p p R ( m + m ) w it h r e s p e c t t o (cid:21) a n d (cid:25) . S in c e t h e J a c o b ia n in ( 4 5 ) is q u a s i- d ia g o n a l, it s t h r e e e ig e n v a lu e s a r e g iv e n b y t h e t w o e ig e n v a lu e s o f t h e m a t r ix A a n d r > 0 . B e c a u s e a is t h e o n ly n o n - ju m p v a r ia b le o f t h e s y s t e m , t h e r e e x is t m u lt ip le e q u ilib r ia c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e if a n d o n ly if b o t h r o o t s o f A h a v e n e g a t iv e r e a l p a r t s . S in c e | a s 0 p o in t e d o u t a b o v e | (cid:26) > 1 is a n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c ie n t c o n d it io n s fo r b o t h e ig e n v a lu e s o f A t o b e o f t h e s a m e s ig n , t h e p o s s ib ilit y o f m u lt ip le e q u ilib r iu m p a t h s (cid:21) ; (cid:25) c o n v e r g in g a s y m p t o t ic a lly t o t h e s t e a d y - s t a t e f g 1 3 S e e fo r e x a m p le , B e r n a n k e a n d W o o d fo r d ( 1 9 9 7 ) , C la r id a , G a l(cid:19)(cid:16), a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) o r S c h m it t -G r o h (cid:19)e a n d U r ib e ( 1 9 9 7 ) . 1 1
c a n o n ly a r is e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . U n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y t h e m a t r ix A h a s e x a c t ly o n e n e g a t iv e e ig e n v a lu e , t h e r e fo r e , t h e r e e x is t s a u n iq u e e q u ilib r iu m c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e . F in a lly , if a ll e ig e n v a lu e s o f A h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s , w h ic h w ill b e t h e c a s e if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e a n d A is 2 2 p o s it iv e , t h e r e e x is t s n o e q u ilib r iu m c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e . T h e s e r e s u lt s a r e s u m m a r iz e d in t h e fo llo w in g p r o p o s it io n s 0 (cid:3) P r o p o s i t i o n 3 . 4 I f (cid:12) s c a l p o lic y is n o n - R ic a r d ia n a n d m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( ) , t h e n t h e r e e x - (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 (cid:3) (cid:3) is t s a u n iq u e p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m in w h ic h c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly t o t h e s t e a d y s t a t e . (cid:21) ; (cid:25) ( (cid:25) ; (cid:21) ) f g 0 (cid:3) P r o p o s i t i o n 3 . 5 I f (cid:12) s c a l p o lic y is n o n - R ic a r d ia n a n d m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( ) , t h e n if (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 A > 2 2 , t h e r e e x is t s n o ( a c o n t in u u m o f ) p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia in w h ic h c o n v e r g e a s y m p t o t ic a lly 0 ( < 0 ) (cid:21) ; (cid:25) (cid:3) (cid:3) f g t o t h e s t e a d y s t a t e . ( (cid:25) ; (cid:21) ) T h e r e s u lt c o n t a in e d in p r o p o s it io n 3 .4 is s im ila r t o t h e o n e o b t a in e d in W o o d fo r d ( 1 9 9 6 ) in t h e c o n t e x t o f a d is c r e t e - t im e C a lv o - t y p e s t ic k y - p r ic e m o d e l w it h o u t m o n e y in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n . W h a t d is t in g u is h e s o u r (cid:12) n d in g s f r o m p r e v io u s s t u d ie s is t h e r e s u lt t h a t t h e e q u ilib r iu m c a n b e lo c a lly in d e t e r m in a t e u n d e r n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y ( p r o p o s it io n 3 .5 ) . A s p o in t e d o u t a b o v e , in a c o n t in u o u s - t im e v e r s io n o f W o o d fo r d ( 1 9 9 6 ) , t h e t r a c e o f A is p o s it iv e a n d e q u a l t o r , s o t h a t a t le a s t o n e e ig e n v a lu e o f A is a lw a y s p o s it iv e . T h u s , in s u c h a m o d e l in d e t e r m in a c y c a n n e v e r a r is e u n d e r n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y . P e r io d ic p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r ia I n t h e c a s e t h a t m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e a n d b o t h e ig e n v a lu e s o f A a r e p o s it iv e , t h e r e m a y e x is t b o u n d e d e q u ilib r ia t h a t c o n v e r g e t o a s t a b le c y c le a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e . N o t e t h a t fo r t h e s y s t e m ( 3 7 ) , ( 3 8 ) , a n d ( 4 4 ) t h e d y n a m ic s o f (cid:21) ; (cid:25) a r e in d e p e n d e n t o f a , a n d t h u s t h e a n a ly s is o f p e r io d ic e q u ilib r ia o f f g t h e p r e v io u s s e c t io n s t ill a p p lie s . F o r e x a m p le , u n d e r t h e p r e fe r e n c e a n d t e c h n o lo g y s p e c i(cid:12) c a t io n o f t h e e c o n o m y d e s c r ib e d in p r o p o s it io n 3 .3 , if c y c le s e x is t , a n y in it ia l c o n d it io n fo r ( (cid:21) ; (cid:25) ) in t h e n e ig h b o r h o o d o f t h e s t e a d y s t a t e w ill c o n v e r g e t o a c y c le . T o a s s u r e t h a t a d o e s n o t e x p lo d e , h o w e v e r , w e m u s t r e s t r ic t o u r s e lv e s t o a o n e d im e n s io n a l m a n if o ld in (cid:21) ; (cid:25) : T h is fo llo w s b e c a u s e w h ile c y c le s r e s t r ic t e d t o t h e (cid:21) ; (cid:25) f g f g p la n e a r e a t t r a c t in g , in t h e t h r e e d im e n s io n a l s p a c e t h e c y c le in (cid:21) ; (cid:25) ; a w ill h a v e o n ly a t w o d im e n s io n a l f g s t a b le m a n ifo ld : in it ia l v a lu e s o f (cid:21) a n d (cid:25) w ill h a v e t o b e c h o s e n t o a s s u r e t h a t t h e t r ip le (cid:21) ; (cid:25) ; a c o n v e r g e s f g t o t h e c y c le a n d a r e m a in s b o u n d e d . T a b le 2 : R e a l in d e t e r m in a c y in t h e S t ic k y - P r ic e M o d e l F is c a l P o lic y M o n e t a r y P o lic y R ic a r d ia n N o n - R ic a r d ia n 0 (cid:3) P a s s iv e ( (cid:26) ( (cid:25) ) < 1 ) I D 0 (cid:3) A c t iv e ( (cid:26) ( (cid:25) ) > 1 ) A < 0 I I 2 2 A > 0 I o r D I o r N E 2 2 N o t e : T h e n o t a t io n is D , d e t e r m in a t e ; I , in d e t e r m in a t e ; N E , n o p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m e x is t s . T a b le 2 s u m m a r iz e s t h e r e s u lt s o f t h is s e c t io n . I t s h o w s t h e c o m b in a t io n s o f (cid:12) s c a l a n d m o n e t a r y p o lic ie s fo r w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n is in d e t e r m in a t e in t h e s t ic k y - p r ic e m o d e l. T h e la s t t w o r o w s o f t h e t a b le illu s t r a t e a c e n t r a l p o in t o f t h e p a p e r , n a m e ly t h a t a c t iv e m o n e t a r y p o lic y n e e d n o t g u a r a n t e e r e a l d e t e r m in a c y . I n fa c t , in o u r m o d e l t h e o n ly m o n e t a r y - (cid:12) s c a l r e g im e t h a t g e n e r a t e s r e a l d e t e r m in a c y w it h o u t a n y fu r t h e r r e s t r ic t io n s o n t h e p a r a m e t e r s g o v e r n in g t h e s p e e d o f n o m in a l a d ju s t m e n t is o n e in w h ic h m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e . 1 2
4 E x t e n s i o n s 4 . 1 B a c k w a r d - a n d f o r w a r d - l o o k i n g f e e d b a c k r u l e s F l e x i b l e - p r i c e m o d e l W e n o w a n a ly z e a g e n e r a liz a t io n o f t h e in t e r e s t - r a t e fe e d b a c k r u le in w h ic h t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e d e p e n d s n o t o n ly o n c u r r e n t b u t a ls o o n p a s t o r fu t u r e r a t e s o f in (cid:13) a t io n . C o n s id e r (cid:12) r s t t h e fo llo w in g b a c k w a r d - lo o k in g fe e d b a c k r u le 0 p R = (cid:26) ( q (cid:25) + ( 1 q ) (cid:25) ) ; (cid:26) > 0 ; q [0 ; 1 ] ( 4 6 ) (cid:0) 2 p w h e r e (cid:25) is a w e ig h t e d a v e r a g e o f p a s t r a t e s o f in (cid:13) a t io n a n d is d e (cid:12) n e d a s t (cid:0) p b ( s t) (cid:25) = b (cid:25) e d s ; b > 0 ( 4 7 ) (cid:0) 1 Z D i(cid:11) e r e n t ia t in g t h is e x p r e s s io n w it h r e s p e c t t o t im e y ie ld s p p _(cid:25) = b ( (cid:25) (cid:25) ) ( 4 8 ) (cid:0) T h e r e s t o f t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s a r e id e n t ic a l t o t h o s e o b t a in e d in s e c t io n 2 . I n p a r t ic u la r , w e h a v e t h a t 0 _ (cid:21) ( R ) R = (cid:21) ( R ) [r + (cid:25) R ] ( 4 9 ) (cid:0) w h e r e 0 0 0 0 0 n p p n p p (cid:21) ( R ) = [u y m + u ( m y m + m ) ] ( 5 0 ) c c c m c R U s in g e q u a t io n ( 4 6 ) t o e lim in a t e (cid:25) fr o m ( 4 8 ) a n d ( 4 9 ) a n d lin e a r iz in g a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e r e s u lt s in t h e fo llo w in g s y s t e m o f lin e a r d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n s (cid:0) ( 1 q ) (cid:3) 1 (cid:21) (cid:21) _ 0 0 0 1 R R R (cid:21) (cid:26) q (cid:21) q (cid:3) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) p p 1 b (cid:25) (cid:25) _(cid:25) 0 b (cid:16) (cid:17) # " (cid:26) q q (cid:20) (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:0) p L e t J d e n o t e t h e J a c o b ia n m a t r ix o f t h is s y s t e m . B e c a u s e R is a ju m p v a r ia b le a n d (cid:25) is p r e d e t e r m in e d , t h e r e a l a llo c a t io n is lo c a lly u n iq u e if t h e r e a l p a r t s o f t h e e ig e n v a lu e s o f J h a v e o p p o s it e s ig n s , o r , e q u iv a le n t ly , if t h e d e t e r m in a n t o f J is n e g a t iv e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e a l a llo c a t io n is lo c a lly in d e t e r m in a t e if b o t h e ig e n v a lu e s h a v e n e g a t iv e r e a l p a r t s , t h a t is , if t h e d e t e r m in a n t o f J is p o s it iv e a n d it s t r a c e is n e g a t iv e . T h e d e t e r m in a n t a n d t r a c e o f J a r e g iv e n b y (cid:21) b 0 d e t ( J ) = ( (cid:26) 1 ) 0 0 (cid:21) (cid:26) q (cid:0) (cid:21) 1 b t r a c e ( J ) = 1 0 0 (cid:21) (cid:26) q q (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 0 A s in s e c t io n 2 , c o n s id e r t h e t w o p o la r c a s e s o f m o n e y e n t e r in g o n ly t h r o u g h p r e fe r e n c e s ( y = 0 ) a n d m o n e y n p e n t e r in g o n ly t h r o u g h p r o d u c t io n ( u = m = 0 ) . I f m o n e y e n t e r s o n ly t h r o u g h p r e fe r e n c e s a n d m o n e y c m R 0 a n d c o n s u m p t io n a r e E d g e w o r t h c o m p le m e n t s ( u > 0 ) , t h e n e q u a t io n ( 5 0 ) im p lie s t h a t (cid:21) is n e g a t iv e . I t c m fo llo w s d ir e c t ly fr o m t h e a b o v e t w o e x p r e s s io n s t h a t t h e c o n d it io n s g o v e r n in g t h e lo c a l d e t e r m in a c y o f R a r e id e n t ic a l t o t h o s e o b t a in e d u n d e r a p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le . N a m e ly , t h e e q u ilib r iu m is 0 0 u n iq u e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y ( (cid:26) > 1 ) a n d is in d e t e r m in a t e u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y ( (cid:26) < 1 ) . W h e n m o n e y e n t e r s o n ly t h r o u g h p r o d u c t io n o r o n ly t h r o u g h p r e fe r e n c e s w it h c o n s u m p t io n a n d m o n e y 0 b e in g E d g e w o r t h s u b s t it u t e s , (cid:21) is p o s it iv e . T h u s , t h e e q u ilib r iu m is a lw a y s lo c a lly d e t e r m in a t e u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y , a s w a s t h e c a s e u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s . H o w e v e r , c o n t r a r y 1 3
t o t h e c a s e o f p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s , if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e , t h e n e q u ilib r ia in w h ic h R c o n v e r g e s t o it s s t e a d y s t a t e m a y n o t e x is t . T o s e e t h is , n o t e t h a t in t h is c a s e t h e d e t e r m in a n t o f J is p o s it iv e , s o t h a t t h e r e a l p a r t s o f t h e r o o t s o f J h a v e t h e s a m e s ig n a s t h e t r a c e o f J . H o w e v e r , t h e t r a c e o f J c a n h a v e e it h e r s ig n . I f t h e t r a c e is p o s it iv e , t h e n n o e q u ilib r iu m c o n v e r g in g t o t h e s t e a d y s t a t e e x is t s . 0 I f it is n e g a t iv e , t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e . F o r la r g e e n o u g h v a lu e s o f (cid:26) t h e t r a c e o f J b e c o m e s n e g a t iv e . T h u s , h ig h ly a c t iv e m o n e t a r y p o lic y in d u c e s in d e t e r m in a c y . F u r t h e r m o r e , t h e la r g e r t h e e m p h a s is t h e fe e d b a c k r u le p la c e s o n c o n t e m p o r a n e o u s in (cid:13) a t io n ( q c lo s e t o o n e ) o r t h e lo w e r t h e w e ig h t it a s s ig n s t o 0 in (cid:13) a t io n r a t e s o b s e r v e d in t h e d is t a n t p a s t ( b la r g e ) , t h e s m a lle r is t h e m in im u m v a lu e o f (cid:26) b e y o n d w h ic h t h e e q u ilib r iu m b e c o m e s in d e t e r m in a t e . I n t h e lim it , a s q a p p r o a c h e s u n it y o r b a p p r o a c h e s in (cid:12) n it y , t h e e q u ilib r iu m b e c o m e s in d e t e r m in a t e u n d e r e v e r y a c t iv e m o n e t a r y p o lic y , w h ic h is t h e r e s u lt o b t a in e d u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s . O n t h e o t h e r h a n d , a s t h e m o n e t a r y p o lic y b e c o m e s p u r e ly b a c k w a r d lo o k in g ( q 0 ) , n o e q u ilib r iu m in w h ic h R c o n v e r g e s t o it s s t e a d y s t a t e e x is t s u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . ! W e c o n c lu d e t h a t t h e m o r e b a c k w a r d - lo o k in g t h e fe e d b a c k r u le is , t h e le s s lik e ly it is t h a t a c t iv e m o n e t a r y p o lic y r e n d e r s t h e e q u ilib r iu m lo c a lly in d e t e r m in a t e . T h is is n o t t o s a y , h o w e v e r , t h a t b a c k w a r d - lo o k in g b e h a v io r in t h e c o n d u c t o f m o n e t a r y p o lic y m a k e s it m o r e lik e ly fo r t h e e q u ilib r iu m t o b e d e t e r m in a t e u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y . I n s t e a d , b a c k w a r d - lo o k in g b e h a v io r m a k e s a r a n g e o f a c t iv e m o n e t a r y p o lic ie s fo r w h ic h t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s b e h a v io r in c o n s is t e n t w it h t h e e x is t e n c e o f e q u ilib r ia in w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o it s s t e a d y s t a t e . C o n s id e r n o w a fe e d b a c k r u le w h e r e b y t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e r e s p o n d s t o c h a n g e s in c o n t e m p o r a n e o u s a n d e x p e c t e d fu t u r e in (cid:13) a t io n . S p e c i(cid:12) c a lly , a s s u m e t h a t t h e fe e d b a c k r u le t a k e s t h e fo r m 0 f R = (cid:26) ( q (cid:25) + ( 1 q ) (cid:25) ) ; (cid:26) > 0 ; q [0 ; 1 ] ( 5 1 ) (cid:0) 2 f w h e r e (cid:25) is a w e ig h t e d a v e r a g e o f e x p e c t e d fu t u r e r a t e s o f in (cid:13) a t io n a n d is d e (cid:12) n e d a s 1 (cid:0) (cid:0) f d (s t) (cid:25) = d (cid:25) e d s ; d > 0 ( 5 2 ) t Z I t is s t r a ig h t fo r w a r d t o s h o w t h a t in t h is c a s e t h e s y s t e m d e s c r ib in g t h e e q u ilib r iu m d y n a m ic s is id e n t ic a l p f t o t h e o n e o b t a in e d u n d e r b a c k w a r d - lo o k in g fe e d b a c k r u le s w it h b r e p la c e d b y d a n d (cid:25) r e p la c e d b y (cid:25) . (cid:0) T h u s , in t h is c a s e t h e d e t e r m in a n t a n d t r a c e o f t h e J a c o b ia n b e c o m e (cid:21) d 0 d e t ( J ) = ( (cid:26) 1 ) 0 0 (cid:21) (cid:26) q (cid:0) (cid:0) (cid:21) 1 d t r a c e ( J ) = 1 + 0 0 (cid:21) (cid:26) q q (cid:0) (cid:18) (cid:19) f B e c a u s e n e it h e r R n o r (cid:25) a r e p r e d e t e r m in e d v a r ia b le s , t h e r e a l a llo c a t io n is lo c a lly u n iq u e if b o t h e ig e n v a lu e s o f J h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s a n d is lo c a lly in d e t e r m in a t e if a t le a s t o n e o f t h e r o o t s o f J h a s a n e g a t iv e r e a l p a r t . A s in t h e p r e v io u s c a s e , t h e c o n d it io n s g o v e r n in g t h e lo c a l d e t e r m in a c y o f t h e r e a l a llo c a t io n a r e 0 id e n t ic a l t o t h o s e o b t a in e d u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s e x c e p t fo r o n e c a s e : if (cid:21) < 0 , a c t iv e m o n e t a r y p o lic y e n s u r e s lo c a l u n iq u e n e s s w h e n t h e fe e d b a c k r u le d e p e n d s o n ly o n c u r r e n t in (cid:13) a t io n , b u t m a y in d u c e in d e t e r m in a c y if t h e fe e d b a c k r u le d e p e n d s o n c u r r e n t a n d fu t u r e e x p e c t e d in (cid:13) a t io n . T h u s , w e c o n c lu d e t h a t t h e m o r e fo r w a r d - lo o k in g m o n e t a r y p o lic y is , t h e m o r e lik e ly it is t h a t a c t iv e m o n e t a r y p o lic y r e n d e r s t h e e q u ilib r iu m lo c a lly in d e t e r m in a t e . I t is n o t e w o r t h y t h a t t h e d ic h o t o m y b e t w e e n n o m in a l a n d r e a l d e t e r m in a c y t h a t a p p e a r s w h e n t h e fe e d b a c k r u le d e p e n d s o n ly o n c u r r e n t in (cid:13) a t io n s u r v iv e s u n d e r b a c k w a r d - a n d fo r w a r d - lo o k in g p o lic ie s . I f t h e r e a l a llo c a t io n is lo c a lly u n iq u e , t h e n t h e d e t e r m in a c y o f t h e p r ic e le v e l d e p e n d s e x c lu s iv e ly o n (cid:12) s c a l p o lic y . A s u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s m o n e t a r y fe e d b a c k r u le s , t h e p r ic e le v e l is d e t e r m in a t e if (cid:12) s c a l p o lic y is n o n - R ic a r d ia n a n d is in d e t e r m in a t e if (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n . S t i c k y - p r i c e m o d e l T h e p a t t e r n t h a t a r is e s u n d e r s t ic k y p r ic e s is t h a t if m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e , t h e in t r o d u c t io n o f a b a c k w a r d lo o k in g c o m p o n e n t in m o n e t a r y p o lic y m a k e s d e t e r m in a c y m o r e lik e ly , w h e r e a s a fo r w a r d - lo o k in g c o m p o n e n t 1 4
m a k e s in d e t e r m in a c y m o r e lik e ly . T o fa c ilit a t e t h e a n a ly s is , w e r e p r o d u c e h e r e t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s fo r t h e s t ic k y - p r ic e m o d e l. _(cid:21) = (cid:21) [r + (cid:25) R ] ( 5 3 ) (cid:0) R (cid:3) p ( 5 4 ) (cid:13) _(cid:25) = (cid:13) r ( (cid:25) (cid:25) ) y ( m ( (cid:21) ; R ) ) (cid:21) 1 + (cid:17) 1 0 p y ( m ( (cid:21) ; R ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19) (cid:21) (cid:20) (cid:18) n p p p _a = [R (cid:25) ]a R [m ( y ( m ( (cid:21) ; R ) ) ; R ) + m ( (cid:21) ; R ) ] (cid:28) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:28) n o n - R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y (cid:28) = n p p p (cid:11) a R [m ( y ( m ( (cid:21) ; R ) ) ; R ) + m ( (cid:21) ; R ) ] R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y (cid:26) (cid:0) t (cid:0) (cid:0) [R (cid:25) ]d s R 0 0 = lim e a ( t ) ! 1 t p w h e r e m ( (cid:21) ; R ) r e s u lt s fr o m r e p la c in g (cid:26) ( (cid:25) ) b y R in e q u a t io n ( 3 5 ) a n d is d e c r e a s in g in (cid:21) a n d in c r e a s in g ( d e c r e a s in g ) in R if u is n e g a t iv e ( p o s it iv e ) . c m C o n s id e r (cid:12) r s t a b a c k w a r d - lo o k in g fe e d b a c k r u le lik e t h e o n e d e s c r ib e d in e q u a t io n s ( 4 6 ) a n d ( 4 7 ) . C o m p b in in g t h e s e t w o e q u a t io n s t o e lim in a t e (cid:25) a n d lin e a r iz in g a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e y ie ld s 0 0 (cid:3) (cid:3) _ R = q (cid:26) _(cid:25) + (cid:26) ( (cid:25) (cid:25) ) b ( R R ) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) U s in g t h is e x p r e s s io n a n d lin e a r iz in g e q u a t io n s ( 5 3 ) a n d ( 5 4 ) , t h e e v o lu t io n o f (cid:21) , (cid:25) , a n d R is d e s c r ib e d b y t h e fo llo w in g s y s t e m o f d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n s : (cid:3) _ (cid:21) (cid:21) (cid:21) (cid:3) (cid:0) _(cid:25) (cid:25) (cid:25) = A (cid:3) 1 0 1 0 (cid:0) _ R R R (cid:0) A @ A @ w h e r e 0 u u c c (cid:0) A r A A = 2 1 2 3 0 0 0 2 3 (cid:26) q A (cid:26) ( b + q r ) b + (cid:26) q A 2 1 2 3 (cid:0) 4 5 a n d (cid:3) (cid:3) 00 p u c (cid:17) R y m c (cid:21) A = > 0 2 1 02 (cid:0) (cid:13) y (cid:3) (cid:3) u c (cid:17) R 00 c p A = 1 y m : 2 3 0 0 R (cid:13) y y (cid:0) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:3) p p B e c a u s e (cid:25) is p r e d e t e r m in e d a n d R is a fu n c t io n o f (cid:25) a n d (cid:25) , it fo llo w s t h a t a lin e a r c o m b in a t io n o f (cid:25) (cid:25) a n d (cid:3) (cid:0) R R is p r e d e t e r m in e d . I n a d d it io n , (cid:21) is a ju m p v a r ia b le . A s s u m e (cid:12) r s t t h a t (cid:12) s c a l p o lic y is R ic a r d ia n . T h e n (cid:0) t h e lo c a l d e t e r m in a c y o f t h e p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is g o v e r n e d b y t h e e ig e n v a lu e s o f A . S p e c i(cid:12) c a lly , t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e if t h e r e a l p a r t o f a t le a s t t w o r o o t s o f A a r e n e g a t iv e . 0 A s s u m e t h a t m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e ( (cid:26) > 1 ) . W e fo u n d in s e c t io n 3 t h a t u n d e r a p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le , t h e c o m b in a t io n o f R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y a n d a c t iv e m o n e t a r y p o lic y c a n r e n d e r t h e r e a l a llo c a t io n e it h e r lo c a lly d e t e r m in a t e o r in d e t e r m in a t e , d e p e n d in g o n p a r a m e t e r v a lu e s . B y c o n t r a s t , if t h e fe e d b a c k r u le is s u (cid:14) c ie n t ly b a c k w a r d lo o k in g ( q ; b 0 ) , t h e e q u ilib r iu m is a lw a y s u n iq u e . T o s e e t h is , 0 ! n o t e t h a t w h e n (cid:26) > 1 t h e d e t e r m in a n t o f A , w h ic h is g iv e n b y 0 D e t ( A ) = b u A ( 1 (cid:26) ) ; c 2 1 (cid:0) is n e g a t iv e . T h u s , t h e n u m b e r o f r o o t s o f A w it h a n e g a t iv e r e a l p a r t is e it h e r o n e o r t h r e e . I f a t t h e s a m e t im e t h e t r a c e o f A is p o s it iv e , t h e n t h e n u m b e r o f r o o t s o f A w it h a n e g a t iv e r e a l p a r t is e x a c t ly e q u a l t o o n e . T h e t r a c e o f A is g iv e n b y 0 T r a c e ( A ) = r b + (cid:26) q A : 2 3 (cid:0) 1 5
C le a r ly , a s q a n d b a p p r o a c h z e r o , t h e t r a c e o f A b e c o m e s p o s it iv e . 0 A s s u m e n o w t h a t m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e ( (cid:26) < 1 ) . A s s h o w n in 3 , t h e c o m b in a t io n o f R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y a n d p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y a lw a y s r e n d e r s t h e r e a l a llo c a t io n lo c a lly in d e t e r m in a t e u n d e r a p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le . I t is s t r a ig h t fo r w a r d t o s h o w t h a t in t r o d u c in g a b a c k w a r d - lo o k in g 0 c o m p o n e n t in t h e fe e d b a c k r u le c a n n o t b r in g a b o u t lo c a l d e t e r m in a c y . T o s e e t h is , n o t e t h a t if (cid:26) < 1 , t h e d e t e r m in a n t o f A is p o s it iv e , s o t h e n u m b e r o f r o o t s o f A w it h a n e g a t iv e r e a l p a r t c a n n e v e r b e e x a c t ly e q u a l t o o n e . U n lik e t h e c a s e o f p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s r u le s , t h o u g h , a p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m in w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o it s s t e a d y s t a t e m a y n o t e x is t . T h is w ill b e t h e c a s e w h e n a ll e ig e n v a lu e s o f A h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s . H o w e v e r , if t h e fe e d b a c k r u le is h ig h ly c o n t e m p o r a n e o u s e it h e r b e c a u s e q a p p r o a c h e s u n it y o r b e c a u s e b a p p r o a c h e s in (cid:12) n it y , t h e n t h e e q u ilib r iu m is a lw a y s lo c a lly in d e t e r m in a t e . T o 1 4 s e e t h is , w e a p p e a l t o t h e fo llo w in g c o n d it io n : T h e n u m b e r o f r o o t s o f A w it h p o s it iv e r e a l p a r t s is e q u a l t o t h e n u m b e r o f v a r ia t io n s o f s ig n in t h e s c h e m e : T r a c e ( A ) 1 T r a c e ( A ) B + D e t ( A ) ; ( 5 5 ) D e t ( A ) (cid:0) (cid:0) w h e r e 0 0 B = S u m o f t h e p r in c ip a l m in o r s o f A = u A ( 1 q (cid:26) ) r b b (cid:26) A : c 2 1 2 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) T h is c o n d it io n im p lie s t h a t in o r d e r fo r a ll r o o t s o f A t o h a v e a p o s it iv e r e a l p a r t , it is n e c e s s a r y t h a t b o t h t h e t r a c e o f A a n d B b e p o s it iv e . C o n s id e r (cid:12) r s t t h e c a s e in w h ic h q 1 . T h e n t h e t r a c e o f A is p o s it iv e if 0 0 ! a n d o n ly if r + (cid:26) A > 0 . B u t r + (cid:26) A > 0 im p lie s t h a t B is n e g a t iv e . T o s e e t h a t t h e e q u ilib r iu m is a ls o 2 3 2 3 1 5 in d e t e r m in a t e w h e n b , n o t e t h a t in t h is c a s e t h e t r a c e o f A b e c o m e s n e g a t iv e . ! 1 I f (cid:12) s c a l p o lic y is n o n - R ic a r d ia n , t h e n t h e lo c a l d e t e r m in a c y o f t h e p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is g o v e r n e d b y t h e e ig e n v a lu e s o f a fo u r - b y - fo u r J a c o b ia n m a t r ix d e (cid:12) n in g t h e la w o f m o t io n o f (cid:21) , (cid:25) , R , a n d a . O n e o f t h e e ig e n v a lu e s o f t h is m a t r ix is r > 0 a n d t h e o t h e r t h r e e a r e t h o s e o f t h e m a t r ix A . B e c a u s e a a n d a c o m b in a t io n o f R a n d (cid:25) a r e p r e d e t e r m in e d , t h e e q u ilib r iu m is lo c a lly u n iq u e if a n d o n ly if t h e J a c o b ia n h a s e x a c t ly t w o r o o t s w it h p o s it iv e r e a l p a r t s . I f m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e , it fo llo w s fr o m o u r p r e v io u s a n a ly s is t h a t t h e J a c o b ia n m a t r ix h a s e it h e r o n e o r t h r e e r o o t s w it h n e g a t iv e r e a l p a r t s . T h u s , lo c a l d e t e r m in a c y is im p o s s ib le . T h is is t h e s a m e r e s u lt a s u n d e r p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s . H o w e v e r , if t h e fe e d b a c k r u le is s t r o n g ly b a c k w a r d - lo o k in g ( b ; q 0 ) t h e n n o e q u ilib r iu m in w h ic h t h e r e a l a llo c a t io n c o n v e r g e s t o it s ! s t e a d y s t a t e e x is t s . I f m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e , t h e d e t e r m in a n t o f t h e J a c o b ia n is p o s it iv e , im p ly in g t h a t t h e r e e x is t e it h e r t w o o r z e r o r o o t s w it h n e g a t iv e r e a l p a r t s . T h u s , a s in t h e c a s e o f p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s , lo c a l in d e t e r m in a c y is im p o s s ib le . H o w e v e r , u n lik e t h e c a s e o f c o n t e m p o r a n e o u s r u le s , u n d e r b a c k w a r d - lo o k in g m o n e t a r y p o lic y a n e q u ilib r iu m m a y n o t e x is t . F in a lly , c o n s id e r t h e c a s e o f a fo r w a r d - lo o k in g fe e d b a c k r u le lik e t h e o n e d e s c r ib e d b y e q u a t io n s ( 5 1 ) a n d ( 5 2 ) . W e w ill lim it t h e a n a ly s is t o t h e c a s e o f R ic a r d ia n (cid:12) s c a l p o lic y , le a v in g t h e n o n - R ic a r d ia n c a s e t o t h e r e a d e r . T h e la w o f m o t io n o f t h e v e c t o r ( (cid:21) (cid:25) R ) is d e s c r ib e d b y a J a c o b ia n m a t r ix t h a t is id e n t ic a l t o A w it h b r e p la c e d b y d . I n a d d it io n , t h e t h r e e v a r ia b le s o f t h e s y s t e m a r e n o n - p r e d e t e r m in e d . T h e r e fo r e , a s lo n g (cid:0) a s t h e J a c o b ia n h a s a t le a s t o n e r o o t w it h a n e g a t iv e r e a l p a r t , t h e p e r fe c t - fo r e s ig h t e q u ilib r iu m is lo c a lly in d e t e r m in a t e . L o c a l d e t e r m in a c y r e q u ir e s t h a t a ll t h r e e r o o t s h a v e p o s it iv e r e a l p a r t s . S u p p o s e (cid:12) r s t t h a t m o n e t a r y p o lic y is a c t iv e . U n d e r c o n t e m p o r a n e o u s fe e d b a c k r u le s , t h e e q u ilib r iu m c a n b e lo c a lly d e t e r m in a t e o r in d e t e r m in a t e . T h e s a m e r e s u lt o b t a in s u n d e r fo r w a r d - lo o k in g r u le s . H o w e v e r , if t h e r u le is s t r o n g ly fo r w a r d - lo o k in g ( d ; q 0 ) t h e e q u ilib r iu m is n e c e s s a r ily lo c a lly in d e t e r m in a t e . T o s e e ! t h is , n o t e t h a t in t h is c a s e t h e t r a c e o f t h e J a c o b ia n t e n d s t o r > 0 a n d t h a t B t e n d s t o u A < 0 , s o t h a t c 2 1 (cid:0) t h e p a t t e r n o f s ig n s in t h e s c h e m e ( 5 5 ) is + + + . I f m o n e t a r y p o lic y is p a s s iv e , t h e n t h e d e t e r m in a n t is (cid:0) n e g a t iv e , t h e r e fo r e , a s in t h e c a s e o f p u r e ly c o n t e m p o r a n e o u s r u le s , t h e e q u ilib r iu m is lo c a lly in d e t e r m in a t e . 1 4 T h is is a n a p p lic a t io n t o o u r s p e c ia l c a s e o f a m o r e g e n e r a l t h e o r e m d u e t o R o u t h ( s e e G a n t m a c h e r , 1 9 6 0 ) . 1 5 H ig h ly b a c k w a r d -lo o k in g p o lic ie s d o n o t n e c e s s a r ily e lim in a t e t h e lo c a l e x is t e n c e o f e q u ilib r iu m . F o r e x a m p le , t h e e q u ilib r iu m is in d e t e r m in a t e w h e n t h e fe e d b a c k r u le p la c e s a r e la t iv e ly h ig h w e ig h t o n in (cid:13) a t io n r a t e s o b s e r v e d in t h e d is t a n t p a s t ! ( b 0 ) . T h is is b e c a u s e in t h is c a s e B is n e g a t iv e . 1 6
4 . 2 A m o d e l w i t h C a l v o - Y u n - t y p e p r i c e s t a g g e r i n g I n t h is e x t e n s io n , w e d e v e lo p a c o n t in u o u s - t im e , m o n e y - in - t h e - p r o d u c t io n fu n c t io n v e r s io n o f Y u n ’s ( 1 9 9 6 ) 1 6 s t ic k y - p r ic e m o d e l. W e s h o w t h a t it im p lie s e q u ilib r iu m c o n d it io n s t h a t a r e q u a lit a t iv e ly id e n t ic a l t o t h o s e o b t a in e d u n d e r t h e R o t e m b e r g m o d e l. T h u s , a ll t h e r e s u lt s o n lo c a l d e t e r m in a c y o b t a in e d in s e c t io n 3 c a r r y o v e r t o e n v ir o n m e n t s w it h C a lv o - Y u n p r ic e s t a g g e r in g . H o u s e h o l d s T h e r e p r e s e n t a t iv e h o u s e h o ld ’s life t im e u t ilit y fu n c t io n is a s s u m e d t o b e o f t h e fo r m 1 (cid:0) r t n p e u ( c ; m ) d t ; ( 5 6 ) 0 Z w h e r e u ( ; ) s a t is (cid:12) e s a s s u m p t io n 1 . T h e h o u s e h o ld ’s in s t a n t b u d g e t c o n s t r a in t is (cid:1) (cid:1) n p _a = ( R (cid:25) ) a R m + x c (cid:28) ; ( 5 7 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) w h e r e x d e n o t e s t h e h o u s e h o ld ’s in c o m e m e a s u r e d in u n it s o f t h e c o m p o s it e g o o d , w h ic h c o n s is t s o f p r o (cid:12) t s n p fr o m o w n e r s h ip o f s h a r e s in (cid:12) r m s . T h e h o u s e h o ld c h o o s e s s e q u e n c e s fo r c , m , a n d a s o a s t o m a x im iz e ( 5 6 ) s u b je c t t o ( 5 7 ) a n d t h e n o - P o n z i- g a m e b o r r o w in g c o n s t r a in t ( 2 6 ) , t a k in g a s g iv e n a ( 0 ) a n d t h e t im e p a t h s o f (cid:28) , R , x , a n d (cid:25) . T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d it io n s a s s o c ia t e d w it h t h e h o u s e h o ld ’s o p t im iz a t io n p r o b le m a r e ( 2 8 ) , ( 2 9 ) , a n d ( 3 1 ) a n d ( 2 6 ) h o ld in g w it h e q u a lit y . C o m b in in g ( 2 8 ) , ( 2 9 ) , a n d ( 1 1 ) y ie ld s c = c ( (cid:21) ; (cid:25) ) ; c < 0 ; c u 0 ( 5 8 ) (cid:21) (cid:25) c m (cid:20) F i r m s T h e p r o d u c t io n t e c h n o lo g y a n d m a r k e t s t r u c t u r e a r e id e n t ic a l t o t h o s e a s s u m e d in s e c t io n 3 . T h e d i(cid:11) e r e n c e w it h t h e R o t e m b e r g m o d e l s t e m s fr o m t h e s o u r c e o f n o m in a l r ig id it ie s . F o llo w in g C a lv o ( 1 9 8 3 ) , s u p p o s e t h a t a (cid:12) r m c a n c h a n g e t h e n o m in a l p r ic e o f t h e g o o d it p r o d u c e s o n ly w h e n it r e c e iv e s a p r ic e - c h a n g e s ig n a l. I f t h e (cid:12) r m d o e s n o t r e c e iv e a s ig n a l, t h e n it s p r ic e is a s s u m e d t o in c r e a s e a u t o m a t ic a lly a t t h e s t e a d y - s t a t e in (cid:13) a t io n r a t e . T h e p r o b a b ilit y o f r e c e iv in g a p r ic e - c h a n g e s ig n a l b e t w e e n p e r io d s t a n d s > t is a s s u m e d t o b e g iv e n b y (cid:0) (cid:0) (cid:14) ( s t) 1 e ; (cid:14) > 0 : ( 5 9 ) (cid:0) C o n s id e r t h e p r o b le m fa c e d b y (cid:12) r m j t h a t r e c e iv e s a p r ic e - c h a n g e s ig n a l a t t im e t . T h e e x p e c t e d s t r e a m o f j p r o (cid:12) t s a s s o c ia t e d w it h a p a r t ic u la r p r ic e P ( t ) is g iv e n b y (cid:3) (cid:3) 1 (cid:0) (cid:0) j (cid:25) ( s t) j (cid:25) ( s t) P ( t ) e P ( t ) e (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d p j j (cid:14) ( s t) r ( s t) Y ( s ) d R ( s ) m ( s ) d s : ( 6 0 ) (cid:5) ( P ) = e e (cid:21) ( s ) P ( s ) P ( s ) (cid:0) t (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:20) Z T h e e x p r e s s io n w it h in s q u a r e b r a c k e t s r e p r e s e n t s p r o (cid:12) t s a t t im e s in t h e e v e n t t h a t t h e (cid:12) r m h a s n o t r e c e iv e d a p r ic e - c h a n g e s ig n a l b e t w e e n t im e s t a n d s . W e ig n o r e t h e p r o (cid:12) t s c o r r e s p o n d in g t o t h e e v e n t s in w h ic h t h e (cid:12) r m r e c e iv e s a p r ic e - c h a n g e s ig n a l a ft e r t im e t b e c a u s e t h e y a r e ir r e le v a n t t o t h e (cid:12) r m ’s c u r r e n t p r ic e - s e t t in g (cid:0) (cid:0) (cid:14) ( s t) d e c is io n . T h e p r e s e n t d is c o u n t e d v a lu e o f t h e (cid:12) r m ’s p r o (cid:12) t s a r e m u lt ip lie d b y e , t h e p r o b a b ilit y t h a t t h e p r ic e s e t in t w ill s t ill b e in p la c e a t t im e s . T h e (cid:12) r m d is c o u n t s p r o (cid:12) t s a c c r u in g a t t im e s u s in g t h e p r ic in g (cid:0) (cid:0) r ( s t) k e r n e l e (cid:21) ( s ) t h a t r e s u lt s fr o m t h e r e p r e s e n t a t iv e h o u s e h o ld ’s o p t im iz a t io n p r o b le m . T h is k e r n e l is d e t e r m in is t ic b e c a u s e h o u s e h o ld s a r e a s s u m e d t o b e a b le t o in s u r e a g a in s t (cid:12) r m - s p e c i(cid:12) c r is k s b y h o ld in g a j j p o r t fo lio c o n t a in in g s h a r e s fr o m a ll (cid:12) r m s in t h e e c o n o m y . T h e (cid:12) r m c h o o s e s P ( t ) s o a s t o m a x im iz e (cid:5) ( P ) , s u b je c t t o t h e c o n s t r a in t t h a t s a le s a r e d e m a n d d e t e r m in e d : j P j d y ( m ) Y d : P (cid:21) (cid:19) (cid:18) 1 6 Y u n ’s m o d e l is a v a r ia t io n o f C a lv o ’s ( 1 9 8 3 ) m o d e l in w h ic h (cid:12) r m s a r e a s s u m e d t o s e t p r ic e s s o a s t o m a x im iz e t h e p r e s e n t v a lu e o f p r o (cid:12) t s , in s t e a d o f fo llo w in g a r u le o f t h u m b a s a s s u m e d b y C a lv o . 1 7
T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d it io n a s s o c ia t e d w it h t h is o p t im iz a t io n p r o b le m is (cid:3) (cid:3) 1 (cid:0) (cid:0) j (cid:25) ( s t) j (cid:25) ( s t) R ( s ) P ( t ) e P ( t ) e 1 + (cid:17) (cid:0) ( (cid:14) + r ) s d 0 = e (cid:21) ( s ) Y ( s ) d d s ; ( 6 1 ) 0 p j P ( s ) P ( s ) (cid:17) y ( m ( s ) ) (cid:0) t (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) Z w h e r e , a s in s e c t io n 3 , (cid:17) < 1 d e n o t e s t h e p r ic e e la s t ic it y o f t h e d e m a n d fa c e d b y a n in d iv id u a l (cid:12) r m a n d is (cid:0) a s s u m e d t o b e c o n s t a n t . T h e e x p r e s s io n w it h in s q u a r e b r a c k e t s is t h e d i(cid:11) e r e n c e b e t w e e n m a r g in a l r e v e n u e a n d m a r g in a l c o s t . T h u s , t h e (cid:12) r m c h o o s e s t o s e t t o d a y ’s p r ic e s o t h a t o n a v e r a g e m a r g in a l r e v e n u e e q u a ls m a r g in a l c o s t . E q u i l i b r i u m W e s h o w in t h e a p p e n d ix t h a t in e q u ilib r iu m t h is (cid:12) r s t - o r d e r c o n d it io n g iv e s r is e t o t h e fo llo w in g a g g r e g a t e s u p p ly e q u a t io n (cid:3) (cid:3) ~ ~ _(cid:25) = A ( (cid:21) (cid:21) ) + A ( (cid:25) (cid:25) ) ( 6 2 ) 2 1 2 2 (cid:0) (cid:0) w h e r e 00 y ~A = ( (cid:14) + r ) (cid:14) c > 0 2 1 (cid:21) 02 y 0 00 (cid:26) (cid:17) y ~A = r ( (cid:14) + r ) (cid:14) [c + (cid:17) = (cid:14) ] 2 2 (cid:25) 0 02 y 1 + (cid:17) (cid:0) (cid:0) y (cid:20) (cid:21) T h e r e m a in in g e q u ilib r iu m c o n d it io n s a r e id e n t ic a l t o t h o s e o f t h e R o t e m b e r g s t ic k y - p r ic e m o d e l d e v e lo p e d ~ in s e c t io n 3 . C o m p a r in g A w it h A in t h e a g g r e g a t e s u p p ly fu n c t io n o f t h e R o t e m b e r g m o d e l ( e q u a t io n 2 1 2 1 ( 4 2 ) ) , it fo llo w s t h a t t h e d e t e r m in a n t s o f t h e J a c o b ia n m a t r ic e s o f t h e R o t e m b e r g a n d C a lv o m o d e ls h a v e t h e s a m e s ig n . T h is im p lie s t h a t t h e r e s u lt s o n lo c a l in d e t e r m in a c y u n d e r p a s s iv e m o n e t a r y p o lic y a r e id e n t ic a l u n d e r b o t h m o d e ls . F u r t h e r m o r e , b y a n a n a ly s is s im ila r t o t h e o n e c a r r ie d o u t in s e c t io n 3 , it is p o s s ib le t o ~ s h o w t h a t , lik e A , A m a y t a k e e it h e r s ig n . T h is is im p o r t a n t b e c a u s e it im p lie s t h a t , lik e t h e R o t e m b e r g 2 2 2 2 m o d e l, t h e C a lv o m o d e l c a n g e n e r a t e lo c a l in d e t e r m in a c y u n d e r a c t iv e m o n e t a r y p o lic y ( r e g a r d le s s o f t h e s t a n c e o f (cid:12) s c a l p o lic y ) . T h is r e s u lt is e n t ir e ly d u e t o t h e a s s u m p t io n t h a t m o n e y a (cid:11) e c t s r e a l v a r ia b le s t h r o u g h p r o d u c t io n . A s m e n t io n e d e a r lie r , in t h e C a lv o m o d e l w it h o u t m o n e y in t h e p r o d u c t io n fu n c t io n , t h e t r a c e o f t h e J a c o b ia n is a lw a y s p o s it iv e a n d e q u a l t o r . 5 C o n c l u s i o n I n t h is p a p e r w e h a v e s h o w n t h a t t h e im p lic a t io n s o f p a r t ic u la r in t e r e s t r a t e fe e d b a c k r u le s fo r t h e d e t e r m in a c y o f e q u ilib r iu m d e p e n d n o t o n ly o n t h e (cid:12) s c a l p o lic y r e g im e b u t a ls o o n t h e s t r u c t u r e o f p r e fe r e n c e s a n d t e c h n o lo g ie s . A n im p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f t h is (cid:12) n d in g is t h a t t h e d e s ig n o f m o n e t a r y p o lic y s h o u ld b e g u id e d n o t ju s t b y t h e s t a n c e o f (cid:12) s c a l p o lic y b u t a ls o b y t h e k n o w le d g e o f t h e d e e p s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s d e s c r ib in g p r e fe r e n c e s a n d t e c h n o lo g ie s , w h ic h s ig n i(cid:12) c a n t ly c o m p lic a t e s t h e t a s k o f t h e m o n e t a r y p o lic y m a k e r . 1 8
A A I T r w f b a e w w N A T p p e n d i x . P r o o f o f p r o p o s i t i o n 3 . 3 n t h e e c o n o m y u n d e r a n a ly s is , t h e e q u ilib r iu m c o n d it io n s ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) t a k e t h e fo r m _(cid:21) (cid:3) = ( 1 a ) ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:21) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) R + a ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:3) (cid:0) (cid:0) 1 ( ( s 1 ) = s ) 1 + (cid:17) 1 _(cid:25) = r ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:13) (cid:21) (cid:0) (cid:0) ( ( 1 (cid:11) ) = (cid:11) s ) (cid:11) (cid:21) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) o p r o v e o r b it a l s t a b ilit y , w e u s e t h e fo r m u la p r o v id e d b y G u c k e n h e im e r a n d H o lm e s ( 1 9 8 3 , p . e q u ir e s a c h a n g e o f v a r ia b le s a n d e x p r e s s in g t h e a b o v e s y s t e m a t t h e H o p f b ifu r c a t io n a s _u 0 ! u f ( u ; v ) = + (cid:0) _v ! 0 v g ( u ; v ) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) h e r e ! is a fu n c t io n o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l a n d f ( ; ) a n d g ( ; ) s a t is fy f ( 0 ; 0 ) = g ( 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) ( 0 ; 0 ) = g ( 0 ; 0 ) = 0 fo r i = 1 ; 2 ; t h a t is , f ( ; ) a n d g ( ; ) h a v e n o c o n s t a n t o r lin e a r t e r m s i i (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) ifu r c a t io n is s u p e r c r it ic a l ( a n d t h u s s t a b le c y c le s e x is t ) if (cid:20) ( f + f + g + g ) u u u u v v u u v v v v (cid:17) 1 + [f ( f + f ) g ( g + g ) f g + f g ] < 0 u v u u v v u v u u v v u u u u v v v v ! (cid:0) (cid:0) t u = v = 0 . W e o b t a in t h is c o n d it io n b y s t e p s . (cid:3) (cid:3) (cid:3) S T E P 1 : L e t p = (cid:25) (cid:25) a n d z = ln ( (cid:21) = (cid:21) ) , w h e r e (cid:21) d e n o t e s t h e s t e a d y - s t a t e v a lu e (cid:0) q u a t io n s ( 6 3 ) a n d ( 6 4 ) c a n b e w r it t e n a s _z = ( 1 a ) p (cid:0) (cid:12) z (cid:27) z (cid:12) z _p = r p + M e e + N p e (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:27) (cid:12) (cid:0) (cid:1) (cid:11) 1 s 1 1 1 1 , (cid:12) = (cid:27) + , M = (cid:13) ( 1 + (cid:17) ) (cid:21) < 0 , a n d N = (cid:13) (cid:17) (cid:11) a (cid:21) < 0 . h e r e (cid:27) = s (cid:11) s S T E P 2 : W r it e t h e s y s t e m o f d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n s a s : _z 0 1 a z 0 = + (cid:0) _p M ( (cid:12) (cid:27) ) 0 p G ( z ; p ) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:18) (cid:19) (cid:0) h e r e (cid:12) z (cid:27) z (cid:12) z G ( z ; p ) = M [e e ( (cid:12) (cid:27) ) z ] + p ( N e + r ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) o t e t h a t t h e m a t r ix in t h e lin e a r p a r t s a t is (cid:12) e s : D E T = M ( (cid:12) (cid:27) ) ( 1 a ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) T R A C E = 0 s s u m e t h a t a > 1 a n d N = r . T h a t is , t h e p a r a m e t e r c o n (cid:12) g u r a t io n c o r r e s p o n d s t o a H o p f (cid:0) (cid:0) (cid:0) M ( (cid:12) (cid:27) ) 1 p D E T , (cid:22) = , v = z , a n d u = (cid:22) p , t h e t w o d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n s h e n le t t in g ! = (cid:0) a 1 (cid:0) q _u 0 ! u f ( u ; v ) = + (cid:0) _v ! 0 v 0 (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 9 1 5 2 ; 0 ) . T o f (cid:21) b ifu b e c ) , = h e . r c o m ( 6 3 ) ( 6 4 ) w h ic h 0 a n d H o p f T h e n a t io n . e :
w h e r e M (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:12) v (cid:27) v (cid:12) v [e e + ( (cid:12) (cid:27) ) v ] + u ( N e + f ( u ; v ) = (cid:22) (cid:0) (cid:0) N o t e t h a t f ( 0 ; 0 ) = f ( 0 ; 0 ) = f ( 0 ; 0 ) = 0 . A ls o , in o u r fo r m u la t io n g ( ; ) = 0 u v (cid:1) (cid:1) S T E P 3 : T h e r e le v a n t d e r iv a t iv e s o f f a r e M (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:12) v 2 (cid:27) v 2 (cid:12) v f = [(cid:12) e (cid:27) e ] + (cid:22) u N (cid:12) e v v (cid:22) (cid:0) f = 0 u u f = 0 u u u (cid:0) (cid:12) v f = (cid:12) N e u v (cid:0) (cid:0) 2 (cid:12) v f = (cid:12) N e u v v S e t t in g u = v = 0 , it fo llo w s t h a t (cid:0) (cid:0) 1 1 2 2 (cid:20) = ( (cid:12) N ) [(cid:12) (cid:22) ! M ( (cid:12) (cid:27) ) ] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 N o t in g t h a t (cid:22) ! M = ( (cid:12) (cid:27) ) a n d r e c a llin g t h a t N = r , (cid:20) r e d u c e s t o (cid:0) (cid:0) (cid:20) = (cid:12) r (cid:27) T h u s (cid:20) w ill b e le s s t h a n z e r o if a n d o n ly if 1 1 < s < (cid:11) (cid:4) B . D e r i v a t i o n o f t h e a g g r e g a t e s u p p l y f u n c t i o n i n t h e C a l I n a s y m m e t r ic e q u ilib r iu m a ll (cid:12) r m s t h a t r e c e iv e a p r ic e - c h a n g e s ig n a l w ill c h p r ic e b e d e n o t e d b y ( t ) . L e t p ( t ) ( t ) = P ( t ) . T h e n e q u a t io n ( 6 1 ) c a n b e w P (cid:17) P 1 (cid:3) s s 1 + (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:14) + r ) s d [(cid:25) ( r ) (cid:25) ]d r [(cid:25) ( r ) R R t t 0 = e (cid:21) ( s ) Y ( s ) d p ( t ) e p ( t ) e (cid:17) t (cid:20) Z (cid:16) (cid:17) L in e a r iz in g t h is e x p r e s s io n a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e y ie ld s 1 s 1 + (cid:17) (cid:3) (cid:0) ( (cid:14) + r ) s 0 = e [p ( t ) p ] [(cid:25) ( r ) (cid:25) (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t (cid:20) (cid:18) Z Z 0 (cid:3) 00 (cid:3) (cid:26) R y (cid:3) j p p [(cid:25) ( s ) (cid:25) ] + [m ( s ) m ] d s : 0 02 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:21) A s s u m e t h a t t h e c o n s u m p t io n g o o d is a c o m p o s it e o f t h e g o o d s p r o d u c e d b y fu n c t io n b e o f t h e D ix it - S t ig lit z fo r m w it h a n e la s t ic it y o f s u b s t it u t io n a c r o s s t h e c o m p o s it e g o o d is g iv e n b y 1 1 + (cid:17) t (cid:0) (cid:0) (cid:14) ( t s ) 1 + (cid:17) P ( t ) = (cid:14) e ( s ) d s ; (cid:0) 1 P (cid:21) (cid:20) Z D i(cid:11) e r e n t ia t e t h is e x p r e s s io n t o o b t a in (cid:14) (cid:3) 1 + (cid:17) (cid:25) ( t ) (cid:25) = p ( t ) 1 ; 1 + (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:3) 2 0 r ) . v o - Y u o o s e t h r it t e n a (cid:3) (cid:25) ]d r (cid:0) (cid:3) ]d r (cid:19) e a c h (cid:12) r g o o d s o n e s y m f m o d e l s a m e p r ic e . L e R ( s ) d s : 0 p j ( m ( s ) (cid:21) . L e t t h e a g g r e (cid:17) . T h e n , t h e p r t t h ( 6 g a t ic e ( 6 is 5 ) o r o f 6 )
w h ic U s in y ie ld U s in fu n c F in a h a ft e r lin e a r iz in g g t h is e q u a t io n t o s _(cid:25) g e q u a t io n s ( 5 8 ) t io n o f (cid:21) a n d (cid:25) , w lly , u s e t h is e x p r e c e = a n h s s a n b e lim in a r [(cid:25) (cid:0) d ( 6 6 o s e lin m io n t o w r it t e n a s 1 (cid:3) (cid:3) [p ( t ) p ] = [(cid:25) ( t ) (cid:25) ] (cid:14) (cid:0) (cid:0) (cid:3) t e p ( t ) p f r o m e q u a t io n ( 6 5 ) a n d d i(cid:11) e r e n t ia t in g (cid:0) 0 (cid:3) 00 (cid:26) R y (cid:17) (cid:3) (cid:3) j p [(cid:25) (cid:25) ] + [m (cid:25) ] + ( (cid:14) + r ) (cid:14) 0 02 1 + (cid:17) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:20) j p ) a n d t h e fa c t t h a t in e q u ilib r iu m y ( m ) = c d ( p e a r iz e d fo r m is (cid:3) 1 (cid:3) (cid:3) j p p = m [c ( (cid:21) (cid:21) ) + ( c + (cid:17) = (cid:14) ) ( (cid:25) (cid:25) ) ] (cid:21) (cid:25) 0 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) j p p e lim in a t e ( m m ) fr o m ( 6 7 ) t o g e t ( 6 2 ) . (cid:0) 2 1 m ) t h p o e (cid:3) n r ] (cid:21) e e s u : c a lt n w e x it h p r e r e s s s p m e p c j t t o ( 6 7 a s t ) a
R B C C C G G L L R S S S T W W W Y e f e r e n c e s J o u r n a l o f M o n e y C r e d it e r n a n k e , B e n a n d M ic h a e l W o o d fo r d \ I n (cid:13) a t io n F o r e c a s t s a n d M o n e t a r y P o lic y " a n d B a n k in g 2 9 ( 1 9 9 7 ) : 6 5 3 - 6 8 4 . I n t e r n a t io n a l E c o n o m ic R e v ie w a lv o , G u ille r m o A . \ O n M o d e ls o f M o n e y a n d P e r fe c t F o r e s ig h t " 2 9 ( F e b r u a r y 1 9 7 9 ) : 8 3 - 1 0 3 . J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m ic s a lv o , G u ille r m o A . \ S t a g g e r e d P r ic e s in a U t ilit y - M a x im iz in g F r a m e w o r k " 1 2 ( 1 9 8 3 ) : 3 8 3 - 9 8 . la r id a , R ic h a r d , J o r d i G a l(cid:19)(cid:16), a n d M a r k G e r t le r \ M o n e t a r y P o lic y R u le s a n d M a c r o e c o n o m ic S t a b ilit y : E v id e n c e a n d S o m e T h e o r y ," M a y 1 9 9 7 , m im e o , N e w Y o r k U n iv e r s it y . T h e T h e o r y o f M a t r ic e s , a n t m a c h e r , F . R ., ( 1 9 6 0 ) , N e w Y o r k : C h e ls e a . N o n lin e a r O s c illa t io n s , D y n a m ic a l S y s t e m s , a n d B ifu r c a t i o n s o f u c k e n h e im e r , J . a n d P . H o lm e s , ( 1 9 8 3 ) , V e c t o r F ie ld s , N e w Y o r k : S p r in g e r - V e r la g . J o u r n a l o f M o n e t a r y e e p e r , E r ic \ E q u ilib r ia u n d e r ‘A c t iv e ’ a n d ‘P a s s iv e ’ M o n e t a r y a n d F is c a l P o lic ie s " E c o n o m ic s 2 7 ( 1 9 9 1 ) : 1 2 9 - 1 4 7 . E c o n o m e t r ic a u c a s , R o b e r t E . J r . a n d N a n c y S t o k e y \ M o n e y a n d in t e r e s t in a c a s h - in - a d v a n c e e c o n o m y " 5 5 ( 1 9 8 7 ) : 4 9 1 - 5 1 4 . J o u r n a l o f P o lit ic a l E c o n o m y o t e m b e r g , J u lio J . \ S t ic k y P r ic e s in t h e U n it e d S t a t e s " 9 0 ( 1 9 8 2 ) : 1 1 8 7 - 1 2 1 1 . c h m it t - G r o h (cid:19)e , S t e p h a n ie a n d M a r t(cid:19)(cid:16)n U r ib e \ P r ic e - L e v e l D e t e r m in a c y a n d M o n e t a r y P o lic y U n d e r a B a la n c e d B u d g e t R e q u ir e m e n t ," O c t o b e r 1 9 9 7 , m im e o , T h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . im s , C h r is t o p h e r \ A s im p le m o d e l fo r t h e s t u d y o f t h e d e t e r m in a t io n o f t h e p r ic e le v e l a n d t h e in t e r a c t io n E c o n o m ic T h e o r y o f m o n e t a r y a n d (cid:12) s c a l p o lic y " 4 ( 1 9 9 4 ) : 3 8 1 - 3 9 9 . im s , C h r is t o p h e r \ F is c a l fo u n d a t io n s o f p r ic e s t a b ilit y in o p e n e c o n o m ie s ," S e p t e m b e r 1 9 9 7 , m im e o , Y a le U n iv e r s it y . a y lo r , J o h n B . \ C o n d it io n s fo r U n iq u e S o lu t io n s in S t o c h a s t ic M a c r o e c o n o m ic M o d e ls w it h R a t io n a l E x - E c o n o m e t r ic a p e c t a t io n s " 4 5 ( 1 9 7 7 ) : 1 3 7 7 - 1 3 8 5 . E c o n o m ic o o d fo r d , M ic h a e l \ M o n e t a r y p o lic y a n d p r ic e le v e l d e t e r m in a c y in a c a s h - in - a d v a n c e e c o n o m y " T h e o r y 4 ( 1 9 9 4 ) : 3 4 5 - 3 8 0 . C a r n e g ie - R o c h e s t e r o o d fo r d , M ic h a e l \ P r ic e - le v e l d e t e r m in a c y w it h o u t c o n t r o l o f t h e m o n e t a r y a g g r e g a t e " C o n fe r e n c e S e r ie s o n P u b lic P o lic y 4 3 ( 1 9 9 5 ) : 1 - 4 6 . o o d fo r d , M ic h a e l \ C o n t r o l o f P u b lic D e b t : a r e q u ir e m e n t fo r p r ic e s t a b ilit y ," J u ly 1 9 9 6 , N B E R W o r k in g P a p e r # 5 6 8 4 . J o u r n a l o f M o n e t a r y u n , T a c k \ N o m in a l P r ic e R ig id it y , M o n e y S u p p ly E n d o g e n e it y , a n d B u s in e s s C y c le s " E c o n o m ic s 3 7 ( 1 9 9 6 ) : 3 4 5 - 3 7 0 . 2 2 -
Cite this document
Jess Benhabib, Stephanie Schmitt-Grohe, & and Martin Uribe (1998). Monetary Policy and Multiple Equilibria (FEDS 1998-29). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-29
@techreport{wtfs_feds_1998_29,
author = {Jess Benhabib and Stephanie Schmitt-Grohe and and Martin Uribe},
title = {Monetary Policy and Multiple Equilibria},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1998-29},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1998},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-29},
abstract = {In this paper, we study interest rate feedback rules whereby the nominal interest rate is set as an increasing function of the in ation rate and characterize conditions under which such rules generate multiple equilibria. We show that these conditions depend not only on the monetary-fiscal regime (as emphasized in the fiscal theory of the price level) but also on the way in which money is assumed to enter preferences and technology. We analyze this issue in exible and sticky price environments. We provide a number of examples in which, contrary to what is commonly believed, active monetary policy in combination with a fiscal policy that preserves government solvency gives rise to multiple equilibria and passive monetary policy renders the equilibrium unique.},
}