feds · July 31, 1998

Uncertainty, Learning, and Gradual Monetary Policy

Abstract

This paper argues that interest-rate smoothing may be optimal when the effect of monetary policy is uncertain. A model is presented in which the Federal Reserve rationally learns about the policy multiplier by observing the reaction of the economy to recent choices of the interest rate. As a result of this learning process, the Fed faces greater uncertainty about the impact of its policy as it moves the interest rate away from its previous level. The optimal policy response to macroeconomic developments therefore involves gradual adjustment of the interest rate over a period of time during which the Fed is learning about the effect of its policy; consistent with the smoothness of interest rate movements found in estimated policy rules. The model also suggests that periods of active interest rate movements, by allowing the Fed to learn more effectively, may be followed by a more aggressive policy rule.

m R e s e o s s t a (cid:3) n b a (cid:11) U n c e r t a i n t y , L e a r n i n g , a n d G r a d u a l (cid:3) M o n e t a r y P o l i c y B r i a n S a c k B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m J u l y 1 9 9 8 A b s t r a c t T h i s p a p e r a r g u e s t h a t i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g m a y b e o p t i m a l w h e n t h e e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o l i c y i s u n c e r t a i n . A m o d e l i s p r e s e n t e d i n w h i c h t h e F e d e r a l R e s e r v e r a t i o n a l l y l e a r n s a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r b y o b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o r e c e n t c h o i c e s o f t h e i n t e r e s t r a t e . A s a r e s u l t o f t h i s l e a r n i n g p r o c e s s , t h e F e d f a c e s g r e a t e r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e i m p a c t o f i t s p o l i c y a s i t m o v e s t h e i n t e r e s t r a t e a w a y f r o m i t s p r e v i o u s l e v e l . T h e o p t i m a l p o l i c y r e s p o n s e t o m a c r o e c o n o m i c d e v e l o p m e n t s t h e r e f o r e i n v o l v e s g r a d u a l a d j u s t m e n t o f t h e i n t e r e s t r a t e o v e r a p e r i o d o f t i m e d u r i n g w h i c h t h e F e d i s l e a r n i n g a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y , c o n s i s t e n t w i t h t h e s m o o t h n e s s o f i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s f o u n d i n e s t i m a t e d p o l i c y r u l e s . T h e m o d e l a l s o s u g g e s t s t h a t p e r i o d s o f a c t i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s , b y a l l o w i n g t h e F e d t o l e a r n m o r e e (cid:11) e c t i v e l y , m a y b e f o l l o w e d b y a m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y r u l e . C o r r e s p o n d e n c e : B r i a n S a c k , D i v i s i o n o f M o n e t a r y A (cid:11) a i r s , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , W a s h i n g t o n , D .C . 2 0 5 5 1 / p h o n e : 2 0 2 - 7 3 6 - 5 6 7 1 / e - m a i l : b s a c k @ f r b .g o v . I w is h t o t h a n k O liv ie r B la n c h a r d , V in c e n t R e in h a r t , a n d J e r e m y S t e in fo r t h e ir s u g g e s t io n s a n d t s . I a m a ls o g r a t e fu l fo r h e lp fu l d is c u s s io n s w it h A n t u lio B o m (cid:12) m , A n il K a s h y a p , A t h a n a s io s O r p h a e r t o R ig o b o n , a n d J u lio R o t e m b e r g . T h e o p in io n s e x p r e s s e d a r e t h o s e o f t h e a u t h o r a n d d o n o r ily r e (cid:13) e c t t h e v ie w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r o t h e r m e m b e r s . 1 c o n id t n o f m e s , e c it s

1 T m a s f t a t i s 2 f s r o w o i T i o e 1 D T t T I n t r o d u c t i o n h e r e i s a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f e v i d e n c e s u g g e s t i n g t h a t t h e F e d e r a l R e s e r v e c o n d u c t s o n e t a r y p o l i c y i n a g r a d u a l m a n n e r . T h e f e d e r a l f u n d s r a t e a p p e a r s t o b e a d j u s t e d a t d e l i b e r a t e p a c e , t y p i c a l l y t h r o u g h l o n g s e q u e n c e s o f s m a l l i n t e r e s t r a t e c h a n g e s i n t h e a m e d i r e c t i o n . T h i s b e h a v i o r i s a p p a r e n t i n F i g u r e 1 , w h i c h d i s p l a y s t h e i n t e n d e d f e d e r a l 1 u n d s r a t e o v e r v a r i o u s t i m e p e r i o d s . R u d e b u s c h ( 1 9 9 5 ) p r o v i d e s a s t a t i s t i c a l a n a l y s i s o f h i s b e h a v i o r , (cid:12) n d i n g t h a t c h a n g e s i n t h e i n t e n d e d f u n d s r a t e a r e f r e q u e n t l y f o l l o w e d b y d d i t i o n a l c h a n g e s o f t h e s a m e s i g n , w h i c h a r e r e f e r r e d t o a s \ c o n t i n u a t i o n s " ( a s o p p o s e d o \ r e v e r s a l s " ) . I n a d d i t i o n , h e (cid:12) n d s t h a t c o n t i n u a t i o n s o c c u r i n f a i r l y r a p i d s u c c e s s i o n , n d i c a t i n g t h a t t h e s e c h a n g e s m a y c o n s t i t u t e s t e p s w i t h i n a s i n g l e p o l i c y m o v e m e n t . I n t h e a m p l e p l o t t e d i n F i g u r e 1 , 8 8 % o f f u n d s r a t e c h a n g e s a r e c o n t i n u a t i o n s , w i t h a n a v e r a g e o f 6 d a y s s e p a r a t i n g c h a n g e s w h e n t h e r e i s a c o n t i n u a t i o n , c o m p a r e d t o t h e a v e r a g e 7 7 d a y s o r a r e v e r s a l . T h e a p p a r e n t t e n d e n c y t o s m o o t h i n t e r e s t r a t e c h a n g e s i s a l s o e v i d e n t i n e s t i m a t e s o f i m p l e m o n e t a r y p o l i c y r u l e s . T a y l o r - t y p e r u l e s , w h i c h h a v e b e e n w i d e l y u s e d t o c h a r a c t e r i z e (cid:3) e c e n t U . S . m o n e t a r y p o l i c y , t y p i c a l l y s p e c i f y a t a r g e t f e d e r a l f u n d s r a t e i t h a t i s a f u n c t i o n 2 f t h e o u t p u t g a p a n d t h e d e v i a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n f r o m i t s t a r g e t : (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) i = r + (cid:12) ( Y (cid:0) Y ) + (cid:12) ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) ; ( 1 ) y t (cid:25) t t (cid:3) h e r e r i s t h e e q u i l i b r i u m r e a l i n t e r e s t r a t e . T o (cid:12) t t h e d a t a , t h o u g h , t h i s p o l i c y r u l e h a s f t e n b e e n m o d i (cid:12) e d t o a l l o w t h e f u n d s r a t e t o m o v e g r a d u a l l y t o w a r d s t h e t a r g e t l e v e l , a s n : (cid:3) i = ( 1 (cid:0) (cid:26) ) (cid:1) i + (cid:26) (cid:1) i : ( 2 ) t t(cid:0) 1 t h e r e s u l t s t y p i c a l l y (cid:12) n d t h a t t h e v a l u e o f t h e p a r a m e t e r (cid:26) m e a s u r i n g t h e s m o o t h n e s s o f n t e r e s t r a t e c h a n g e s i s q u i t e h i g h . F o r e x a m p l e , T a b l e 1 p r e s e n t s e s t i m a t e s o f t h e p o l i c y r u l e b t a i n e d b y c o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) u s i n g l e a s t - s q u a r e s a n d i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s 3 s t i m a t i o n . T h e I V t e c h n i q u e w o u l d b e a p p r o p r i a t e i f d e v i a t i o n s f r o m t h e p o l i c y r u l e a (cid:11) e c t 1 T h e in t e n d e d fu n d s r a t e is t h e t a r g e t s e r ie s r e p o r t e d b y R u d e b u s c h ( 1 9 9 5 ) fo r t h e e p is o d e s S e p t e m b e r 9 7 4 t o S e p t e m b e r 1 9 7 9 a n d M a r c h 1 9 8 4 t o S e p t e m b e r 1 9 9 2 . T h e t a r g e t s e r ie s h a s b e e n e x t e n d e d t h r o u g h e c e m b e r 1 9 9 7 b a s e d o n p r e s s r e le a s e s b y t h e F O M C a n n o u n c in g p o lic y a c t io n s . 2 R u le s o f t h is t y p e w e r e (cid:12) r s t e x a m in e d b y B r y a n t , H o o p e r , a n d M a n n ( 1 9 9 3 ) a n d w e r e a n a ly z e d b y a y lo r ( 1 9 9 3 ) . 3 T h e e s t im a t io n is c a r r ie d o u t u s in g q u a r t e r ly d a t a o v e r t h e p e r io d 1 9 8 7 :4 t o 1 9 9 7 :4 , c o r r e s p o n d in g t o h e t e n u r e o f C h a ir m a n G r e e n s p a n . T h e in (cid:13) a t io n r a t e is t h e a n n u a l p e r c e n t c h a n g e in t h e G D P d e (cid:13) a t o r . h e o u t p u t g a p is b a s e d o n t h e p o t e n t ia l o u t p u t s e r ie s c o n s t r u c t e d b y t h e C B O a s o f J u ly 1 9 9 7 . 2

3

t r a i t g m b t t r b p f i p r P p T a b l e 1 : E s t i m a t e d P o l i c y R u l e L e a s t S q u a r e s E s t i m a t e s I n s t r u m e n t a l V a r i a b l e s (cid:12) 1 . 0 0 ( 1 . 5 5 ) 1 . 4 1 ( 1 . 7 7 ) 0 (cid:12) 1 . 1 3 ( 8 . 1 4 ) 1 . 1 6 ( 7 . 9 7 ) y (cid:12) 1 . 6 5 ( 7 . 2 6 ) 1 . 5 2 ( 5 . 8 3 ) (cid:25) (cid:26) 0 . 6 3 ( 7 . 5 5 ) 0 . 6 5 ( 1 0 . 3 7 ) 2 R 0 . 9 6 9 0 . 9 6 9 S E E 0 . 3 4 5 0 . 3 4 7 N o t e s : R e s u lt s s h o w n a r e L S a n d IV e s t im a t e s o f t h e e q u a t io n : (cid:3) (cid:0) i (cid:26) (cid:12) (cid:12) Y Y (cid:12) (cid:25) (cid:26) i 0 1 = ( 1 (cid:0) ) ( + ( (cid:0) ) + ) + (cid:1) . t y t (cid:25) t t T h e t -s t a t is t ic s s h o w n in p a r e n t h e s e s a r e b a s e d o n N e w e y -W e s t s t a n d a r d e r r o r s . In s t r u m e n t s in c lu d e o n e t o fo u r la g s o f in (cid:13) a t io n , t h e o u t p u t g a p , a n d t h e fu n d s r a t e . 4 h e w i t h i n - q u a r t e r o u t p u t g a p a n d i n (cid:13) a t i o n r a t e . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e f u n d s r a t e e a c t s s i g n i (cid:12) c a n t l y t o b o t h o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n d e v i a t i o n s , b u t t h e r e s p o n s e i s v e r y g r a d u a l , 5 s i n d i c a t e d b y t h e l a r g e ( a n d s i g n i (cid:12) c a n t ) c o e (cid:14) c i e n t (cid:26) . I n r e s p o n s e t o a p e r m a n e n t c h a n g e n t h e t a r g e t f u n d s r a t e , t h e a c t u a l f u n d s r a t e r e s p o n d s b y o n l y 3 7 % o f t h e c h a n g e w i t h i n h e q u a r t e r a n d t a k e s (cid:12) v e q u a r t e r s t o c o m p l e t e 9 0 % o f t h e m o v e m e n t . O t h e r s t u d i e s h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t t h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i s p u z z l i n g i v e n t h e d y n a m i c s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y . A n a n a l y s i s b y S a c k ( 1 9 9 8 ) i n d i c a t e s t h a t o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e a r e t o o g r a d u a l t o b e a c c o u n t e d f o r s t r i c t l y b y t h e d y n a m i c e h a v i o r o f m a c r o e c o n o m i c v a r i a b l e s e s t i m a t e d f r o m a V A R . T h e r e a c t i o n o f t h e f u n d s r a t e o v a r i o u s s h o c k s i n t h e e c o n o m y i s d a m p e d , a s t h e f u n d s r a t e i n s t e a d m o v e s g r a d u a l l y i n 6 h e d i r e c t i o n o f t h e e x p e c t e d r e s p o n s e o v e r a p e r i o d o f s e v e r a l m o n t h s . E v i d e n c e o f i n t e r e s t a t e s m o o t h i n g i s a l s o f o u n d i n a n a l y s e s u s i n g s t r u c t u r a l m o d e l s o f t h e e c o n o m y . I n p a p e r s y R o t e m b e r g a n d W o o d f o r d ( 1 9 9 7 ) a n d W i l l i a m s ( 1 9 9 7 ) , t h e p e r f o r m a n c e o f t h e e s t i m a t e d o l i c y r u l e c o u l d b e s u b s t a n t i a l l y i m p r o v e d b y i m p l e m e n t i n g m o r e v o l a t i l e m o v e m e n t s i n t h e u n d s r a t e . f r o m T h e s e e m p i r i c a l (cid:12) n d i n g s s u g g e s t t h a t t h e F e d i s r e l u c t a n t t o c h a n g e t h e f u n d s r a t e t s p r e v i o u s le v e l, r e s u l t i n g i n t h e i n e r t i a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e t h a t a r e o b s e r v e d . F o r 4 T h e in s t r u m e n t s in c lu d e t h e fu n d s r a t e , in (cid:13) a t io n r a t e , a n d o u t p u t g a p la g g e d o n e t o fo u r q u a r t e r s . 5 T h e r e s u lt s a r e c o n s is t e n t w it h o t h e r e s t im a t e s o f t h is r u le fo r t h e U .S . { s e e , fo r e x a m p le , O r h a n id e s ( 1 9 9 8 ) a n d C la r id a , G a li, a n d G e r t le r ( 1 9 9 7 ) . A ls o n o t e t h a t t h e s im ila r it y b e t w e e n t h e O L S a n d I V e s u lt s s u g g e s t s t h a t s im u lt a n e it y m a y n o t b e a s e r io u s p r o b le m . 6 T h e s e r e s u lt s r e fe r t o t h e c a s e la b e le d A d d it iv e U n c e r t a in t y in t h a t p a p e r . A n a lt e r n a t iv e c a s e la b e le d a r a m e t e r U n c e r t a in t y in v e s t ig a t e s t h e e (cid:11) e c t o f t h e im p r e c is io n o f t h e V A R e s t im a t e s o n t h e c a lc u la t e d o lic y . S e e t h a t p a p e r fo r a d is c u s s io n o f t h e r e la t io n b e t w e e n t h o s e r e s u lt s a n d t h e c u r r e n t a n a ly s is . 4

t h i s r e a s o n , a t t e m p t s t o e x p l a i n g r a d u a l i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s h a v e t y p i c a l l y p r o c e e d e d b y a p p e n d i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e c e n t r a l b a n k w i t h a l o s s r e l a t e d t o t h e m a g n i t u d e o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . G o o d f r i e n d ( 1 9 8 7 ) p o s i t s t h a t t h e F e d s m o o t h e s i n t e r e s t r a t e s t o p r o t e c t t h e b a n k i n g s e c t o r a g a i n s t (cid:12) n a n c i a l c r i s e s , a n i d e a l a t e r f o r m a l i z e d b y C u k i e r m a n ( 1 9 9 1 ) , a l t h o u g h t h e r e i s n o e m p i r i c a l s u p p o r t f o r t h i s e x p l a n a t i o n . M e u l e n d y k e ( 1 9 9 0 ) e x p r e s s e s t h e v i e w t h a t i n t e r e s t r a t e c h a n g e s a r e d a m p e d i n o r d e r t o a v o i d r e v e r s a l s i n t h e d i r e c t i o n o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s , a n d G o o d f r i e n d ( 1 9 9 1 ) a n d o t h e r s h a v e d e s c r i b e d t h e c o s t o f r e v e r s a l s 7 a s \ w h i p s a w i n g t h e m a r k e t , " b u t t h i s c o s t h a s n o t b e e n t h e o r e t i c a l l y d e v e l o p e d . T h i s p a p e r o (cid:11) e r s a n e x p l a n a t i o n o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g t h a t d o e s n o t r e s o r t t o a m e n d i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n w i t h a n a d - h o c i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g a r g u m e n t . I n s t e a d , t h e a n a l y s i s i n c o r p o r a t e s t h e i d e a t h a t t h e F e d e r a l R e s e r v e f a c e s u n c e r t a i n t y a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f 8 T h i s t y p e o f u n c e r t a i n t y , (cid:12) r s t a n a l y z e d b y B r a i n a r d ( 1 9 6 7 ) , m o n e t a r y p o l i c y o n t h e e c o n o m y . l i m i t s m o v e m e n t s o f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t a w a y f r o m t h e l e v e l a t w h i c h p o l i c y m a k e r s a r e m o s t c e r t a i n a b o u t i t s e (cid:11) e c t . I n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g a r i s e s f r o m t h e m a n n e r i n w h i c h t h i s u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d t h r o u g h t i m e . I m p o r t a n t l y , i n t h e m o d e l p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r , t h e s t r u c t u r e o f t h e u n c e r t a i n t y i s e n d o g e n o u s l y d e t e r m i n e d t h r o u g h a p r o c e s s i n w h i c h t h e F e d r a t i o n a l l y l e a r n s a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r b y o b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o r e c e n t l e v e l s o f t h e i n t e r e s t r a t e . A s a r e s u l t , n o t o n l y i s t h e p o l i c y c h o i c e a (cid:11) e c t e d b y t h e u n c e r t a i n t y o v e r i t s e (cid:11) e c t , b u t t h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t h e u n c e r t a i n t y d e p e n d s o n t h e p o l i c y t h a t h a s b e e n r e c e n t l y i m p l e m e n t e d . T h i s i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e e v o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y a r i s i n g f r o m t h e l e a r n i n g p r o c e s s l e a d s t o g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e p o l i c y r e s p o n s e t o d e v e l o p m e n t s t h a t h a v e m o v e d o u t p u t a w a y f r o m t h e l e v e l t h a t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e F e d ’ s o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n o b j e c t i v e s . B e c a u s e i t h a s o b s e r v e d t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o r e c e n t c h o i c e s o f t h e f u n d s r a t e , t h e F e d i s f a i r l y c o n (cid:12) d e n t a b o u t t h e l e v e l o f o u t p u t t h a t i s o b t a i n e d b y m a i n t a i n i n g t h e f u n d s r a t e n e a r i t s r e c e n t l e v e l s , b u t f a c e s g r e a t e r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e c h a n g e i n o u t p u t t h a t w o u l d b e i n d u c e d b y m o v i n g t h e f u n d s r a t e a w a y f r o m t h e s e l e v e l s . T o l i m i t a n y u n d e s i r e d i m p a c t o n 7 O t h e r a u t h o r s h a v e in v e s t ig a t e d fo r w a r d - lo o k in g fo r m s o f in t e r e s t - r a t e s m o o t h in g . I n M a n k iw ( 1 9 8 7 ) , fo r e x a m p le , in t e r e s t r a t e s fo llo w a r a n d o m w a lk in o r d e r t o a c h ie v e t h e o p t im a l c o lle c t io n o f s e ig n o r a g e . O p t im a l t a x a t io n m o d e ls o ft e n y ie ld fo r w a r d - lo o k in g in t e r e s t - r a t e s m o o t h in g , r e s u lt in g in r a n d o m - w a lk b e h a v io r fo r t h e in t e r e s t r a t e . H o w e v e r , t h e e m p ir ic a l e v id e n c e in s t e a d s u g g e s t s t h a t t h e o b s e r v e d p o lic y lim it s c h a n g e s fr o m p r e v io u s in t e r e s t r a t e s r a t h e r t h a n m in im iz in g fu t u r e in t e r e s t r a t e c h a n g e s . E x p la in in g t h e g r a d u a l n o t b e h a v io r d e p ic t e d in F ig u r e 1 e n t a ils a c c o u n t in g fo r t h e fa c t t h a t t h e in t e r e s t r a t e is a r a n d o m w a lk . 8 T h is p a p e r r e fe r s t o t h e F e d e r a l R e s e r v e a s t h e m o n e t a r y a u t h o r it y , b u t t h e t h e o r e t ic a l r e a s o n s fo r in t e r e s t - r a t e s m o o t h in g a p p ly e q u a lly t o o t h e r c e n t r a l b a n k s . F o r e ig n c e n t r a l b a n k s a ls o e x h ib it s u b s t a n t ia l d e g r e e s o f in t e r e s t r a t e s m o o t h in g , a s d e s c r ib e d in t h e 6 8 t h A n n u a l R e p o r t ( 1 9 9 8 ) o f t h e B a n k fo r I n t e r n a t io n a l S e t t le m e n t s ( in p a r t ic u la r , s e e t h e t a b le o n p a g e 6 8 ) . 5

t o f r r f b l a m c b I T d s t o m a o A h e e c o n o m y , t h e F e d d a m p s t h e c h a n g e i n t h e f u n d s r a t e i n i t s p o l i c y r e s p o n s e , a n d t h e r e f o r e u t p u t d o e s n o t m o v e f u l l y b a c k t o i t s d e s i r e d l e v e l . A l t h o u g h d a m p e d , t h e c h a n g e i n t h e u n d s r a t e s u b s e q u e n t l y p r o v i d e s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . O b s e r v i n g t h e e a c t i o n o f t h e e c o n o m y a t t h e n e w l e v e l o f t h e f u n d s r a t e r e s o l v e s s o m e o f t h e u n c e r t a i n t y e g a r d i n g t h e r e s p o n s e o f o u t p u t , a l l o w i n g t h e F e d t o i m p l e m e n t a d d i t i o n a l c h a n g e s i n t h e u n d s r a t e . T h i s p r o c e s s o f l e a r n i n g c o n t i n u e s , r e s u l t i n g i n a n f u n d s r a t e r e s p o n s e t h a t w i l l e i m p l e m e n t e d t h r o u g h a n u m b e r o f s t e p s o v e r a p e r i o d o f t i m e d u r i n g w h i c h t h e F e d i s e a r n i n g a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y . I g n o r a n c e o f t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y d e c i s i o n s a n d t h e e n d o g e n o u s e v o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r c a n t h e r e f o r e e x p l a i n i n e r t i a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e . C o m e n t s b y m e m b e r s o f t h e F O M C s u g g e s t t h a t t h i s t y p e o f u n c e r t a i n t y i s i n f a c t a s e r i o u s o n s i d e r a t i o n i n t h e f o r m u l a t i o n o f p o l i c y d e c i s i o n s , a s s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g q u o t e 9 y A l a n B l i n d e r w h i l e s p e a k i n g o n t h e s t r a t e g y o f m o n e t a r y p o l i c y : U n f o r t u n a t e l y , a c t u a l l y t o u s e s u c h a s t r a t e g y i n p r a c t i c e , y o u h a v e t o u s e f o r e c a s t s , k n o w i n g t h a t t h e y m a y b e w r o n g . Y o u h a v e t o b a s e y o u r t h i n k i n g o n s o m e k i n d o f m o n e t a r y t h e o r y , e v e n t h o u g h t h a t t h e o r y m i g h t b e w r o n g . A n d y o u h a v e t o a t t a c h n u m b e r s t o t h a t t h e o r y , k n o w i n g t h a t y o u r n u m b e r s m i g h t b e w r o n g . . . . W e a t t h e F e d h a v e a l l t h e s e f a l l i b l e t o o l s , a n d n o c h o i c e b u t t o u s e t h e m . 1 0 n t h e p r e s e n c e o f t h i s u n c e r t a i n t y , B l i n d e r a d v o c a t e s t h e f o l l o w i n g p o l i c y a p p r o a c h : W h a t c a n y o u d o t o t r y t o g u a r d a g a i n s t f a i l u r e ? . . . F i r s t o f a l l , b e c a u t i o u s . D o n ’ t o v e r s t e e r t h e s h i p . I f y o u y a n k t h e s t e e r i n g w h e e l r e a l l y h a r d , a y e a r l a t e r y o u m a y (cid:12) n d y o u r s e l f o n t h e r o c k s . h i s i d e a o f e x e r c i s i n g c a u t i o n i s c a p t u r e d b y t h e g r a d u a l r e s p o n s e o f t h e i n t e r e s t r a t e e p i c t e d i n t h i s p a p e r . I n a d d i t i o n t o a c c o u n t i n g f o r t h e i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g o b s e r v e d , t h e m o d e l p r e s e n t e d u g g e s t s t h a t t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y s h o u l d v a r y t h r o u g h i m e . P e r i o d s o f a c t i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s p r o v i d e t h e F e d w i t h m o r e i n f o r m a t i v e b s e r v a t i o n s a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y , r e s u l t i n g i n a d e c l i n e i n u n c e r t a i n t y t h a t a l l o w s a o r e a g g r e s s i v e r e a c t i o n t o s u b s e q u e n t s h o c k s t o t h e e c o n o m y . S o m e b r i e f e m p i r i c a l r e s u l t s r e p r e s e n t e d t h a t s u g g e s t t h a t t h e r e a c t i o n s p e e d o f t h e f u n d s r a t e t o i n (cid:13) a t i o n a n d t h e u t p u t g a p i s i n f a c t s i g n i (cid:12) c a n t l y d e t e r m i n e d b y a m e a s u r e o f l a g g e d f u n d s r a t e a c t i v i t y . 9 T h is q u o t e is fr o m a t a lk g iv e n a t t h e M in n e s o t a M e e t in g , a b u s in e s s fo r u m t h a t w a s h e ld in J u n e 1 9 9 5 . t t h a t t im e , B lin d e r w a s t h e V ic e - C h a ir m a n o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m . 1 0 T h is v ie w is a ls o e x p r e s s e d in B lin d e r ( 1 9 9 8 ) . 6

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 p r e s e n t s a m o d e l o f o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y i n w h i c h p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s h a s o n l y t w o p o t e n t i a l v a l u e s . T h i s s i m p l e m o d e l c l e a r l y d e m o n s t r a t e s t h e e (cid:11) e c t o f u n c e r t a i n t y a n d a l l o w s a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n i n w h i c h t h e o p t i m a l r e a c t i o n t o a s h o c k i n v o l v e s g r a d u a l a d j u s t m e n t o f t h e i n t e r e s t r a t e . S e c t i o n 3 g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t s t o a m o d e l i n w h i c h t h e p a r a m e t e r s d e t e r m i n i n g t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y f o l l o w a s t o c h a s t i c p r o c e s s . T h e a n a l y s i s h i g h l i g h t s t h e e l e m e n t s o f t h e l e a r n i n g p r o b l e m t h a t d e l i v e r g r a d u a l i s m a n d p r e s e n t s a n u m e r i c a l s o l u t i o n t h a t f o c u s e s o n t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f p o l i c y u n c e r t a i n t y . S e c t i o n 4 s u m m a r i z e s t h e a n a l y s i s a n d p r o v i d e s s o m e b r i e f e m p i r i c a l e v i d e n c e t h a t s u p p o r t s t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l . 2 A M o d e l o f G r a d u a l i s m T h e i m p a c t o f m o n e t a r y p o l i c y o n t h e e c o n o m y i s n o t p r e c i s e l y k n o w n . B e c a u s e o f t h i s u n c e r t a i n t y , t h e v a r i a n c e o f t a r g e t e d m a c r o e c o n o m i c v a r i a b l e s w i l l b e a (cid:11) e c t e d b y t h e c h o i c e o f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t . S i n c e v a r i a b i l i t y i n t h e t a r g e t e d v a r i a b l e s i s i n g e n e r a l u n d e s i r a b l e , u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r m u s t b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n i n d e t e r m i n i n g t h e o p t i m a l p o l i c y c h o i c e . T h i s e (cid:11) e c t w a s (cid:12) r s t a n a l y z e d b y B r a i n a r d ( 1 9 6 7 ) , w h o e s t a b l i s h e d t h a t p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y r e d u c e s t h e r e s p o n s i v e n e s s o f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t . T h e p o l i c y m a k e r i n s t e a d i m p l e m e n t s a p o l i c y c h o i c e t h a t i s c l o s e r t o t h e l e v e l t h a t m i n i m i z e s t h e v a r i a n c e o f i t s e (cid:11) e c t . H o w e v e r , B r a i n a r d ’ s a n a l y s i s d o e s n o t d e t e r m i n e t h e p o l i c y a c t i o n t h a t r e s u l t s i n 1 1 t h e l e a s t a m o u n t o f u n c e r t a i n t y i n t h e e c o n o m y { t h e p o l i c y u n c e r t a i n t y i s e x o g e n o u s . T h e m o d e l d e s c r i b e d i n t h i s s e c t i o n i n s t e a d e n d o g e n o u s l y d e t e r m i n e s t h e v a r i a n c e - m i n i m i z i n g p o l i c y t h r o u g h a p r o c e s s o f r a t i o n a l l e a r n i n g . I t i s t h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i n r e s p o n s e t o r e c e n t p o l i c y c h o i c e s t h a t r e s u l t s i n g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e u n d e r o p t i m a l p o l i c y . 2 . 1 L e a r n i n g a b o u t P o l i c y E (cid:11) e c t i v e n e s s C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c o n t r o l p r o b l e m i n w h i c h t h e F e d f a c e s u n c e r t a i n t y a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y i n s t r u m e n t , h e r e t a k e n t o b e t h e f e d e r a l f u n d s r a t e . F o r a g i v e n c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e , o u t p u t i s d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g I S c u r v e : Y = (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i : ( 3 ) t t t + 1 + 1 1 1 D ia m o n d ( 1 9 8 5 ) m a k e s t h is p o in t in a r g u in g t h a t t h e v a r ia n c e - m in im iz in g p o lic y c h o ic e d o e s n o t n e c e s s a r ily c o r r e s p o n d t o a c o n s t a n t m o n e y g r o w t h r u le , b u t in s t e a d s h o u ld d e p e n d o n c u r r e n t a n d la g g e d v a r ia b le s in t h e e c o n o m y . 7

T h e t i m i n g a s s u m e d i s t h a t t h e i n t e r e s t r a t e i s s e t a f t e r o b s e r v i n g c o n t e m p o r a n e o u s o u t - 1 2 p u t , a n d t h i s r a t e a (cid:11) e c t s o u t p u t i n t h e f o l l o w i n g p e r i o d . T h i s b a s i c e q u a t i o n i s c l e a r l y a s i m p l i (cid:12) c a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m o n e t a r y p o l i c y a n d o u t p u t . O n e a s p e c t o f t h e p o l i c y m u l t i p l i e r t h a t i s n o t c a p t u r e d b y t h e r e l a t i o n s h i p i n ( 3 ) i s t h a t t h e r e s p o n s e o f o u t p u t m a y b e a (cid:11) e c t e d b y t h e d e g r e e o f g r a d u a l i s m i n p o l i c y , a s d e m o n s t r a t e d b y C a p l i n 1 3 a n d L e a h y ( 1 9 9 6 ) . O u t p u t m a y a l s o b e a (cid:11) e c t e d b y e x p e c t a t i o n s o f f u t u r e l e v e l s o f o u t p u t i n a d d i t i o n t o t h e i n t e r e s t r a t e . H o w e v e r , t h e a s p e c t s o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s t h a t r e s u l t i n g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e a p p l y u n d e r a l t e r n a t i v e s p e c i (cid:12) c a t i o n s o f t h e a g g r e g a t e d e m a n d r e l a t i o n s h i p . I g n o r a n c e a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y i s c a p t u r e d b y t h e f a c t t h a t t h e F e d d o e s n o t k n o w t h e s l o p e o r i n t e r c e p t o f t h e I S c u r v e . T h i s s e c t i o n d e v e l o p s a t r a c t a b l e m o d e l o f t h e l e a r n i n g L a n d p r o b l e m b y a s s u m i n g t h a t t h e r e a r e t w o p o t e n t i a l v a l u e s f o r t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , (cid:30) H H L (cid:30) , w h e r e (cid:30) > (cid:30) , w h i c h a r e r e f e r r e d t o a s l o w ( L ) a n d h i g h ( H ) p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s . O n e o f t h e s e v a l u e s r e p r e s e n t s t h e a c t u a l r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y t o m o n e t a r y p o l i c y . T h e F e d k n o w s t h e t w o p o t e n t i a l v a l u e s b u t f a c e s u n c e r t a i n t y a b o u t w h i c h o f t h e t w o v a l u e s i s t h e t r u e m u l t i p l i e r . I n a d d i t i o n , t h e i n t e r c e p t t e r m (cid:11) i s s t o c h a s t i c a n d e v o l v e s t h r o u g h t i m e a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g p r o c e s s : (cid:11) = (cid:11) + (cid:17) ; ( 4 ) t t t + 1 + 1 w h i c h c o m p l i c a t e s t h e i n f e r e n c e p r o b l e m f o r p o l i c y m a k e r s i n d e t e r m i n i n g t h e e (cid:11) e c t o f t h e i r p o l i c y . T h e F e d r a t i o n a l l y l e a r n s a b o u t p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s b y o b s e r v i n g t h e l e v e l o f o u t p u t t h a t i s r e a l i z e d f r o m p a s t c h o i c e s o f t h e i n t e r e s t r a t e . A s a r e s u l t , t h e u n c e r t a i n t y i t f a c e s w i l l d e p e n d o n p r e v i o u s p o l i c y c h o i c e s , t h u s d r a w i n g a l i n k b e t w e e n r e c e n t a n d f u t u r e l e v e l s o f t h e i n t e r e s t r a t e t h a t i s t h e b a s i s f o r i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . I n p a r t i c u l a r , t h e c r u c i a l i m p l i c a t i o n o f t h i s l e a r n i n g p r o c e s s i s t h a t t h e u n c e r t a i n t y r e g a r d i n g t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y w i l l b e m i n i m i z e d a r o u n d r e c e n t l e v e l s o f t h e i n t e r e s t r a t e . T h e o b s e r v e d l e v e l o f o u t p u t Y t h a t t r e s u l t s f r o m t h e i n t e r e s t r a t e c h o i c e i i s c o n s i s t e n t w i t h e i t h e r l o w o r h i g h e (cid:11) e c t i v e n e s s f o r t(cid:0) 1 L H p a r t i c u l a r v a l u e s f o r t h e i n t e r c e p t t e r m s o f t h e p o t e n t i a l I S c u r v e s , d e n o t e d (cid:11) a n d (cid:11) t t + 1 + 1 1 2 A s w r it t e n , o u t p u t r e s p o n d s t o t h e n o m in a l in t e r e s t r a t e . A d is c u s s io n o f in (cid:13) a t io n e x p e c t a t io n s a n d r e a l in t e r e s t r a t e s is o (cid:11) e r e d t o w a r d s t h e e n d o f t h is s e c t io n . 1 3 C a p lin a n d L e a h y ( 1 9 9 6 ) p r e s e n t a m o d e l in w h ic h a c t in g g r a d u a lly r e d u c e s t h e im p a c t o f in t e r e s t r a t e c h a n g e s o n o u t p u t , s o t h a t m o r e in t e r e s t r a t e c h a n g e s in a p a r t ic u la r d ir e c t io n a r e r e q u ir e d t o e lic it a d e s ir e d o u t p u t r e s p o n s e . T h e ir m o d e l d o e s n o t , h o w e v e r , p r o v id e a n e x p la n a t io n o f g r a d u a lis m , a s t h e d e s ir e t o m o v e g r a d u a lly is a s s u m e d in t h e p a y o (cid:11) s t r u c t u r e o f t h e m o d e l. 8

a n d g i v e n b y : L L (cid:11) = Y + (cid:30) i ( 5 ) t t(cid:0) 1 t H H (cid:11) = Y + (cid:30) i : ( 6 ) t t(cid:0) 1 t H a v i n g o b s e r v e d t h e o u t p u t r e s p o n s e t o t h e m o s t r e c e n t c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e , t h e F e d k n o w s t h a t t h e p o t e n t i a l I S c u r v e s m u s t i n t e r s e c t a t t h i s v a l u e o f t h e i n t e r e s t r a t e , a s L H d e t e r m i n e d b y t h e v a l u e s (cid:11) a n d (cid:11) . T h i s s i t u a t i o n i s d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . T h e (cid:12) g u r e t t d e m o n s t r a t e s t h a t t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e r e s p o n s e o f o u t p u t u n d e r t h e t w o p o s s i b l e m u l t i p l i e r s c h a n g e s i n c r e a s e s a s t h e i n t e r e s t r a t e m o v e s a w a y f r o m i t s p r e v i o u s l e v e l , s o t h a t i n t h e i n t e r e s t r a t e f r o m r e c e n t l e v e l s i n c r e a s e t h e v a r i a n c e o f o u t p u t . T h e r e s p o n s e o f o u t p u t t o i n t e r e s t r a t e c h a n g e s w i l l p r o v i d e a s i g n a l a b o u t t h e t r u e e (cid:11) e c t o f p o l i c y . I n g e n e r a l , l a r g e r i n t e r e s t r a t e c h a n g e s a r e m o r e i n f o r m a t i v e , b e c a u s e t h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y u n d e r t h e t w o p o t e n t i a l v a l u e s o f p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s i n c r e a s e s . B u t b e c a u s e t h e p o t e n t i a l I S c u r v e s s h i f t s t o c h a s t i c a l l y , a n i n t e r e s t r a t e c h a n g e w i l l n o t n e c e s s a r i l y b e f u l l y r e v e a l i n g . F o r e x a m p l e , a n i n c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e m a y r e v e a l t h a t p o l i c y i s h i g h l y e (cid:11) e c t i v e i f i n v e s t m e n t f a l l s s u b s t a n t i a l l y , b u t t h e f a l l i n o u t p u t c o u l d a l s o a r i s e u n d e r l o w p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s i f a n e g a t i v e s h o c k t o o u t p u t o c c u r r e d , a s d e p i c t e d i n F i g u r e 3 . T h e F e d h a s a b e l i e f a b o u t t h e t r u e v a l u e o f p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s a t a n y p o i n t i n t i m e w h i c h i s s u m m a r i z e d b y t h e p r o b a b i l i t y t h a t p o l i c y h a s l o w e (cid:11) e c t i v e n e s s , d e n o t e d P . S i n c e t t h e r e a r e o n l y t w o p o t e n t i a l v a l u e s f o r t h e m u l t i p l i e r , t h e b e l i e f P c o m p l e t e l y c a p t u r e s t h e t m a g n i t u d e o f t h e u n c e r t a i n t y t h a t t h e F e d f a c e s , w i t h l e s s u n c e r t a i n t y a s P m o v e s t o w a r d s t 0 o r 1 . I n t h e m o d e l p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n , t h e p r o b l e m b e g i n s w i t h a g i v e n a m o u n t o f u n c e r t a i n t y o v e r t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , d e n o t e d P , a n d t h i s u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d t h r o u g h 0 1 4 t i m e a s t h e i n t e r e s t r a t e r e a c t s t o s h o c k s i n t h e e c o n o m y . T h e F e d r a t i o n a l l y l e a r n s a b o u t t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y u s i n g B a y e s ’ R u l e , b a s e d o n t h e l i k e l i h o o d o f t h e o b s e r v e d o u t p u t r e s p o n s e u n d e r t h e t w o p o t e n t i a l v a l u e s o f t h e m u l t i p l i e r . T h e s h o c k s t o t h e i n t e r c e p t t e r m i n t h e I S e q u a t i o n a r e a s s u m e d t o b e u n i f o r m l y (cid:3) (cid:3) d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e v a l u e s o f (cid:0) (cid:17) a n d (cid:17) . T h i s a s s u m p t i o n i s m a d e f o r t r a c t a b i l i t y , b u t t h e r e s u l t s d e r i v e d i n t h i s s e c t i o n g e n e r a l i z e t o o t h e r s t o c h a s t i c p r o c e s s e s f o r t h e i n t e r c e p t t e r m . I n t h e c a s e o f u n i f o r m s h o c k s , p o l i c y m a k e r s e i t h e r f u l l y l e a r n o r l e a r n n o t h i n g a b o u t 1 4 A m o d e l is p r e s e n t e d in s e c t io n 3 in w h ic h p o lic y e (cid:11) e c t iv e n e s s fo llo w s a s t o c h a s t ic p r o c e s s , s o t h a t t h e u n c e r t a in t y r e g e n e r a t e s t h r o u g h t im e . T h e v a r ia t io n in t h e d e g r e e o f u n c e r t a in t y t h a t r e s u lt s h a s a d d it io n a l im p lic a t io n s fo r in t e r e s t - r a t e s m o o t h in g , a s d is c u s s e d in t h a t s e c t io n . 9

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t i l i r b G 2 T o s a w l l i o t w n o i H 1 5 h e t r u e v a l u e o f t h e m u l t i p l i e r . F o r a g i v e n b e l i e f P , t h e h i g h v a l u e o f t h e m u l t i p l i e r ( (cid:30) ) t s r e v e a l e d i f , f o r e x a m p l e , a n i n c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e r e d u c e s o u t p u t b y m o r e t h a n t h e L a r g e s t p o s s i b l e d e c r e a s e u n d e r t h e l o w m u l t i p l i e r ( (cid:30) ) , w h i c h o c c u r s o n l y i f t h e o u t p u t s h o c k H L H (cid:3) s s u (cid:14) c i e n t l y s m a l l : (cid:17) < (cid:0) (cid:17) + (cid:1) i ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) . L i k e w i s e , i f t h e t r u e m u l t i p l i e r i s (cid:30) , i t i s t H L (cid:3) e v e a l e d o n l y i f (cid:17) > (cid:17) (cid:0) (cid:1) i ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) . T h e u n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s o f l e a r n i n g a r e g i v e n t y : 1 H L (cid:30) (cid:0) (cid:30) P r ( P = 0 j P ; (cid:1) i ) = ( 1 (cid:0) P ) (cid:1) i t t t t t + 1 (cid:3) 2 (cid:17) (cid:16) (cid:17) 1 H L P r ( P = P j P ; (cid:1) i ) = 1 (cid:0) (cid:30) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i t t t t t + 1 (cid:3) 2 (cid:17) (cid:16) (cid:17) 1 H L P r ( P = 1 j P ; (cid:1) i ) = (cid:30) (cid:0) (cid:30) : P (cid:1) i t t t t t + 1 (cid:3) 2 (cid:17) (cid:16) (cid:17) i v e n t h i s l e a r n i n g p r o c e s s , t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e c a n b e c a l c u l a t e d . . 2 O p t i m a l P o l i c y u n d e r P a s s i v e L e a r n i n g h e c o n t r o l p r o b l e m f a c i n g t h e F e d a t t i m e t i s t o m i n i m i z e t h e d i s c o u n t e d s u m o f s q u a r e d u t p u t d e v i a t i o n s f r o m a t a r g e t : 1 j (cid:0) 1 (cid:3) 2 ( 7 ) m a x (cid:0) E (cid:12) ( Y (cid:0) Y ) t t j + 3 2 i f g t j = 1 X 5 4 u b j e c t t o t h e o u t p u t e q u a t i o n ( 3 ) . N o t e t h a t t h e p e r - p e r i o d l o s s f u n c t i o n c a n b e r e w r i t t e n (cid:3) 2 (cid:3) 2 s E [ ( Y (cid:0) Y ) ] = ( E [ Y ] (cid:0) Y ) + V a r ( Y ) . U n d e r t h i s o b j e c t i v e f u n c t i o n , t h e F e d t t j t t j t t j + + + i s h e s t o a d j u s t t h e i n t e r e s t r a t e s t r o n g l y s o t h a t o n a v e r a g e i t w i l l b e c l o s e t o t h e t a r g e t e v e l o f o u t p u t , b u t i t i s r e l u c t a n t t o d o s o s i n c e a g g r e s s i v e p o l i c y a c t i o n s w o u l d i n d u c e a a r g e a m o u n t o f v a r i a n c e i n o u t p u t a s a r e s u l t o f t h e u n c e r t a i n t y o v e r t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y . T h e F e d h a s a n a d d i t i o n a l i n c e n t i v e t o i m p l e m e n t s t r o n g p o l i c y m o v e s b e c a u s e l a r g e r n t e r e s t r a t e c h a n g e s p r o v i d e m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . I n o t h e r w o r d s , p t i m a l p o l i c y w i l l i n v o l v e s o m e e x p e r i m e n t a t i o n , s i n c e t h i s w i l l a l l o w m o r e s u c c e s s f u l p o l i c y o b e i m p l e m e n t e d i n t h e f u t u r e . I n g e n e r a l , t h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r e x p e r i m e n t a t i o n i l l i n v o l v e l a r g e r m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e . H o w e v e r , t h e i n c e n t i v e t o l e a r n w i l l n o t e c e s s a r i l y o u t w e i g h t h e u n c e r t a i n t y g e n e r a t e d f r o m t h e m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y . A n a n a l y s i s f t h e e (cid:11) e c t o f e x p e r i m e n t a t i o n , i n c l u d i n g c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h p o l i c y m a y r e m a i n g r a d u a l , s o (cid:11) e r e d i n t h e a p p e n d i x . I n t h e a n a l y s i s t h a t f o l l o w s , a m o d e l i s d e v e l o p e d i n w h i c h t h e 1 5 T h is s im p li(cid:12) c a t io n is a ls o e lim in a t e d in t h e m o r e g e n e r a l m o d e l in s e c t io n 3 . 1 1

F p n U f i T t o s i i T t d l r w d e d d o e s n o t c o n s i d e r t h e s p e e d w i t h w h i c h i t w i l l l e a r n w h e n c h o o s i n g t h e o p t i m a l p o l i c y . T h i s s i m p l i (cid:12) c a t i o n d o e s n o t i m p l y t h a t l e a r n i n g i s i r r e l e v a n t i n d e t e r m i n i n g m o n e t a r y o l i c y . O n t h e c o n t r a r y , l e a r n i n g i s v a l u a b l e a n d d o e s i n (cid:13) u e n c e p o l i c y , b u t t h e F e d d o e s o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e e (cid:11) e c t o f i t s p o l i c y c h o i c e o n t h e a m o u n t o f i n f o r m a t i o n p r o d u c e d . n d e r t h i s s i m p l i (cid:12) c a t i o n t h e o p t i m a l p o l i c y i s g i v e n b y : (cid:3) 2 i = a r g m a x (cid:0) [ ( E [ Y ] (cid:0) Y ) + V a r ( Y ) ] ; t t t t t + 1 + 1 o r w h i c h a n e x p l i c i t s o l u t i o n c a n b e f o u n d . T h e s o l u t i o n t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m n v o l v e s t h e f o l l o w i n g m o m e n t s f o r o u t p u t : L L H H E [ Y ] = P ( (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i ) + ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i ) t t t t t t + 1 t t 2 L H H L V a r [ Y ] = P ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) + ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) i + V a r ( (cid:17) ) : t t t t t + 1 t t h i h e r o l e o f p o l i c y u n c e r t a i n t y i s e v i d e n t i n t h e e x p r e s s i o n f o r t h e v a r i a n c e o f o u t p u t . W h e n h e r e i s n o u n c e r t a i n t y a b o u t p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s , w h i c h o c c u r s w h e n e i t h e r P = 1 , P = 0 , L H r (cid:30) = (cid:30) , t h e v a r i a n c e i s g i v e n b y V a r ( (cid:17) ) , t h e c o m p o n e n t t h a t i s u n a v o i d a b l e g i v e n t h e t o c h a s t i c n a t u r e o f t h e e c o n o m y . U n c e r t a i n t y o v e r t h e t r u e s t a t e o f p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s n c r e a s e s t h e v a r i a n c e . I n f a c t , t h e v a r i a n c e o f o u t p u t i s s t r i c t l y c o n c a v e o v e r P 2 [ 0 ; 1 ] a n d 1 s m a x i m i z e d a t P = . 2 G i v e n t h e s e m o m e n t s , t h e o p t i m a l i n t e r e s t r a t e r u l e c a n b e o b t a i n e d : L L H H (cid:3) (cid:3) P (cid:30) ( (cid:11) (cid:0) Y ) + ( 1 (cid:0) P ) (cid:30) ( (cid:11) (cid:0) Y ) t t t t : ( 8 ) i = t L H 2 2 P ( (cid:30) ) + ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:30) ) t t h i s e q u a t i o n s t a t e s t h a t t h e F e d s e t s t h e i n t e r e s t r a t e t o a w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e i n e r e s t r a t e s i t w o u l d s e t i n t h e t w o s t a t e s o f t h e w o r l d w i t h o u t u n c e r t a i n t y . T o s e e t h i s , (cid:3) L (cid:11) Y (cid:0) L t e (cid:12) n e i = a s t h e i n t e r e s t r a t e t h a t w o u l d b e s e t t o r e a c h t h e o u t p u t t a r g e t u n d e r L t (cid:30) H o w r e s p o n s i v e n e s s , a n d d e (cid:12) n e a n a n a l o g o u s i n t e r e s t r a t e i a s t h e t a r g e t r a t e u n d e r h i g h t b e s p o n s i v e n e s s . E q u a t i o n ( 8 ) c a n b e r e w r i t t e n a s f o l l o w s : b L H i = ! (cid:1) i + ( 1 (cid:0) ! ) (cid:1) i ; ( 9 ) t t t t t 2 L b b P (cid:30) ( ) t 2 2 h e r e t h e w e i g h t i n g i s g i v e n b y ! = . L H t P (cid:30) P (cid:30) ( ) + ( 1 (cid:0) ) ( ) t t I t w i l l p r o v e u s e f u l t o c o m p a r e t h e o p t i m a l p o l i c y t o t h e \ c o m p l e t e l y - o (cid:11) s e t t i n g " p o l i c y , c e n o t e d i , w h i c h i g n o r e s t h e v a r i a n c e o f o u t p u t a n d m i n i m i z e s t h e e x p e c t e d d e v i a t i o n o f 1 2

o T w i d ! s e a T v i r t e a r ( T T t c T d g a n w u t p u t f r o m i t s t a r g e t : c (cid:3) 2 i = a r g m a x (cid:0) ( E [ Y ] (cid:0) Y ) : t t+ 1 t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i n t h i s c a s e y i e l d s a s i m i l a r w e i g h t e d a v e r a g e r u l e a s i n ( 9 ) b u t L P (cid:30) t c i t h t h e w e i g h t ! = . T h e e n t i r e e (cid:11) e c t o f t h e u n c e r t a i n t y i s t h e r e f o r e c a p t u r e d L H t P (cid:30) P (cid:30) + ( 1 (cid:0) ) t t n a c h a n g e t o t h e w e i g h t s a s s i g n e d t o t h e s e t w o i n t e r e s t r a t e s . I n p a r t i c u l a r , t h e u n c e r t a i n t y e c r e a s e s t h e w e i g h t o n t h e t e r m t h a t w o u l d r e q u i r e a l a r g e r i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t , o r c < ! . T h e o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y g i v e n i n e q u a t i o n ( 9 ) i n v o l v e s a g r a d u a l i n t e r e s t r a t e r e p o n s e t o a d e v i a t i o n o f o u t p u t f r o m i t s t a r g e t . C o n s i d e r a n e c o n o m y t h a t b e g i n s w i t h o u t p u t q u a l t o i t s t a r g e t l e v e l b u t e x p e r i e n c e s a p o s i t i v e s h o c k t o o u t p u t ( t o (cid:11) ) o f m a g n i t u d e (cid:28) , s s h o w n i n F i g u r e 4 . T h e F e d w i l l r e a c t t o t h e d e v i a t i o n b y i n c r e a s i n g t h e i n t e r e s t r a t e . h e t o p p a n e l o f t h e (cid:12) g u r e d e p i c t s t h e r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y u n d e r t h e t w o p o t e n t i a l a l u e s f o r t h e m u l t i p l i e r , a s w e l l a s a n e x p e c t e d r e s p o n s e s c h e d u l e g i v e n t h e b e l i e f P . T h e t L H (cid:3) n t e r e s t r a t e s i a n d i a r e t h o s e a t w h i c h o u t p u t i s e x p e c t e d t o r e t u r n t o Y u n d e r t h e t t c e s p e c t i v e m u l t i p l i e r s . T h e c o m p l e t e l y - o (cid:11) s e t t i n g p o l i c y r u l e i i s f o u n d a t t h e p o i n t a l o n g t b b L H c h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n i a n d i c o r r e s p o n d i n g t o t h e w e i g h t s ! , p r e c i s e l y w h e r e t h e t t t (cid:3) x p e c t e d r e s p o n s e s c h e d u l e c r o s s e s Y . T h e o p t i m a l i n t e r e s t r a t e p o l i c y ( 9 ) i n s t e a d p u t s b b g H d d i t i o n a l w e i g h t o n t h e p o i n t i , r e s u l t i n g i n t h e i n t e r e s t r a t e c h o i c e d e n o t e d i . t t U n c e r t a i n t y a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o l i c y t h e r e f o r e d a m p s t h e c h a n g e i n t h e i n t e r e s t b a t e t h a t i s i m p l e m e n t e d i n r e s p o n s e t o a d e v i a t i o n o f o u t p u t f r o m t a r g e t . U s i n g e q u a t i o n s 5 ) a n d ( 6 ) , t h e o p t i m a l i n t e r e s t r a t e p o l i c y r u l e ( 9 ) c a n b e e x p r e s s e d i n d i (cid:11) e r e n c e s : 1 (cid:0) ! ! t t (cid:3) + ( Y (cid:0) Y ) : ( 1 0 ) (cid:1) i = t t L H (cid:30) (cid:30) ! g (cid:3) h i s e q u a t i o n g i v e s t h e s l o p e o f t h e l i n e i n F i g u r e 4 f r o m t h e p o i n t ( Y ; i ) t o ( Y ; i ) . t t(cid:0) 1 t h e d e g r e e o f g r a d u a l i s m i s d e t e r m i n e d b y t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e s l o p e o f t h i s l i n e a n d c c ! ! 1 (cid:0) t t h e s l o p e o f t h e e x p e c t e d r e s p o n s e l i n e , w h i c h i s + . I t i s e a s i l y s h o w n t h a t t h e L H (cid:30) (cid:30) (cid:16) (cid:17) o m p l e t e l y - o (cid:11) s e t t i n g p o l i c y r e s p o n d s m o r e s t r o n g l y t o a d e v i a t i o n o f o u t p u t f r o m i t s t a r g e t . h e r e a c t i o n s a r e e q u a l o n l y i f P = 0 o r P = 1 , i n w h i c h c a s e t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y , a n d t h e H L 2 i (cid:11) e r e n c e i n t h e r e a c t i o n i s m o n o t o n i c i n ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) , a m e a s u r e o f t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y e n e r a t e d f r o m i g n o r a n c e a b o u t t h e t r u e m u l t i p l i e r . A l t h o u g h t h e i n i t i a l p o l i c y r e s p o n s e m a y b e d a m p e d , t h i s i n c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e l l o w s t h e F e d t o l e a r n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . E v e n i f t h e t r u e v a l u e o f p o l i c y e (cid:11) e c t i v e e s s i s n o t r e v e a l e d , o b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o t h e i n i t i a l i n t e r e s t r a t e c h a n g e i l l r e d u c e t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y t h a t t h e F e d f a c e s a b o u t i m p l e m e n t i n g h i g h e r i n t e r e s t 1 3

1 4

r o o B c p w a c u f t g S w t w e w o i T (cid:30) a d i a t e s , t h e r e b y p e r m i t t i n g a d d i t i o n a l i n t e r e s t r a t e i n c r e a s e s . A s s h o w n i n t h e b o t t o m p a n e l g E f F i g u r e 4 , f o l l o w i n g t h e p o l i c y c h o i c e i , o u t p u t i s e x p e c t e d t o r e a c h Y . T h e d a m p i n g t t+ 1 f t h e i n i t i a l i n t e r e s t r a t e c h a n g e c a u s e s o u t p u t t o r e m a i n a b o v e i t s t a r g e t l e v e l o n a v e r a g e . u t s i n c e t h e F e d h a s o b s e r v e d t h e r e a c t i o n t o t h i s i n t e r e s t r a t e c h a n g e , i t f a c e s l e s s u n e r t a i n t y a b o u t a d d i t i o n a l i n t e r e s t r a t e c h a n g e s , a s d e m o n s t r a t e d b y t h e n a r r o w e r b a n d o f g o t e n t i a l r e a c t i o n s ( i n b o l d ) . T h e F e d s o l v e s t h e s a m e p r o b l e m a t t i m e t + 1 , c h o o s i n g i , t+ 1 h i c h w i l l i n t u r n f u r t h e r r e d u c e t h e u n c e r t a i n t y . T h e i n t e r e s t r a t e c o n t i n u e s t o i n c r e a s e o n c v e r a g e u n t i l i t r e a c h e s i , t h e r a t e a t w h i c h o u t p u t (cid:12) n a l l y r e a c h e s i t s t a r g e t . T h e m o d e l a n t h e r e f o r e e x p l a i n g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e b e c a u s e o f t h e m a n n e r t h a t n c e r t a i n t y r e g a r d i n g t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y i s r e s o l v e d a s t h e F e d c h a n g e s t h e i n t e r e s t r a t e . T h e d a m p i n g o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s a n d t h e d y n a m i c p a t t e r n o f u n c e r t a i n t y a r i s i n g r o m t h e l e a r n i n g p r o c e s s c a n a c c o u n t f o r t h e h i g h f r e q u e n c y o f c o n t i n u a t i o n s o b s e r v e d i n h e d a t a . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f a n i n t e r e s t r a t e i n c r e a s e n e x t p e r i o d i s i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : (cid:3) 1 ( Y (cid:0) Y ) ( 1 (cid:0) P ) ! P ( 1 (cid:0) ! ) t t t t t H L P r ( (cid:1) i > 0 ) = + (cid:0) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) : ( 1 1 ) t+ 1 H L (cid:3) 2 2 (cid:17) (cid:30) (cid:30) " # (cid:3) i n c e (cid:1) i > 0 i f a n d o n l y i f Y > Y , t h e e x p r e s s i o n g i v e s t h e p r o b a b i l i t y o f a c o n t i n u a t i o n t t (cid:3) h e n Y > Y a n d a r e v e r s a l o t h e r w i s e . R e p l a c i n g t h e o u t p u t d e v i a t i o n b y i t s a b s o l u t e v a l u e t h e r e f o r e g i v e s t h e p r o b a b i l i t y o f a c o n t i n u a t i o n , r e g a r d l e s s o f t h e s i g n o f t h e d e v i a t i o n . T h e p r o b a b i l i t y g i v e n i n ( 1 1 ) i s v a l i d f o r p o l i c y r u l e s o f t h e f o r m ( 9 ) w i t h a n y s e t o f e i g h t s . E q u a t i o n ( 1 1 ) c a n t h e r e f o r e b e u s e d t o s o l v e f o r t h e w e i g h t s t h a t w o u l d y i e l d a n q u a l p r o b a b i l i t y o f a c o n t i n u a t i o n a n d a r e v e r s a l . A s e x p e c t e d , t h i s c a l c u l a t i o n y i e l d s t h e c e i g h t s ! t h a t a r e o b t a i n e d w h e n t h e F e d i g n o r e s t h e v a r i a n c e o f o u t p u t . T h e p r o b a b i l i t y f a c o n t i n u a t i o n u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e i s f o u n d b y s u b s t i t u t i n g t h e o p t i m a l w e i g h t s n t o ( 1 1 ) , w h i c h r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : H L (cid:3) 2 1 j Y (cid:0) Y j P ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) t t t + 1 + 1 P r ( c o n t i n u a t i o n ) = + : ( 1 2 ) L H (cid:3) 2 2 2 2 (cid:17) P ( (cid:30) ) + ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:30) ) t t " # + 1 + 1 h e p r o b a b i l i t y g i v e n i n ( 1 2 ) i s s t r i c t l y g r e a t e r t h a n o n e h a l f u n l e s s P = 0 , P = 1 , o r t t + 1 + 1 H L = (cid:30) , i n w h i c h c a s e t h e p r o b a b i l i t y e q u a l s o n e h a l f . I n o t h e r w o r d s , t h e p r o b a b i l i t y o f c o n t i n u a t i o n i s s t r i c t l y g r e a t e r t h a n t h e p r o b a b i l i t y o f a r e v e r s a l a s l o n g a s t h e r e i s s o m e e g r e e o f u n c e r t a i n t y . T h e a n a l y s i s c a n b e c a r r i e d f u r t h e r b y d e s c r i b i n g t h e p a t t e r n o f i n t e r e s t r a t e a d j u s t m e n t s n r e s p o n s e t o a n o u t p u t d e v i a t i o n . B e c a u s e o f t h e s i m p l i (cid:12) c a t i o n t h a t a l l u n c e r t a i n t y a b o u t 1 5

t d o S i c f e a o r o d T d i s p r r f j w o h e t r u e s t a t e i s r e s o l v e d a t o n c e , t h e r e w i l l b e a p o i n t w h e n t h e i n t e r e s t r a t e j u m p s u p o r o w n a c c o r d i n g t o w h i c h v a l u e o f t h e m u l t i p l i e r i s r e v e a l e d . H o w e v e r , t h e d y n a m i c b e h a v i o r f t h e i n t e r e s t r a t e b e f o r e t h a t t i m e i s g i v e n b y P ( 1 (cid:0) ! ) ( 1 (cid:0) P ) ! t t t t H L (cid:1) i : ( 1 3 ) E [ (cid:1) i ] = (cid:30) (cid:0) (cid:30) (cid:0) t t t+ 1 H L (cid:30) (cid:30) ! # " (cid:16) (cid:17) i n c e t h e p r o b a b i l i t y o f e a c h s t a t e a n d t h e w e i g h t s a r e c o n s t a n t , t h e b r a c k e t e d c o e (cid:14) c i e n t s c o n s t a n t . C o n d i t i o n a l o n t h e e v e n t t h a t t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y i s n o t r e v e a l e d , h a n g e s i n t h e i n t e r e s t r a t e f o l l o w a n A R ( 1 ) p r o c e s s i n r e s p o n s e t o a d e v i a t i o n o f o u t p u t r o m i t s t a r g e t . N o t e t h a t E [ (cid:1) i ] = 0 w h e n P = 1 o r P = 0 . A b s e n t u n c e r t a i n t y o v e r t h e t t+ 1 (cid:11) e c t o f p o l i c y , t h e i n i t i a l r e s p o n s e o f t h e i n t e r e s t r a t e i s e x p e c t e d t o f u l l y o (cid:11) s e t a d e v i a t i o n , n d t h e i n t e r e s t r a t e f o l l o w s a r a n d o m w a l k p r o c e s s . I n t h e a b o v e r e s u l t s a l l o f t h e s e r i a l c o r r e l a t i o n o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s r e s u l t f r o m t h e r e s l u t i o n o f u n c e r t a i n t y . H o w e v e r , o u t p u t i t s e l f i s l i k e l y t o b e s e r i a l l y c o r r e l a t e d , w h i c h m i g h t e s u l t i n a d d i t i o n a l s e r i a l c o r r e l a t i o n i n i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . S u p p o s e t h a t o u t p u t h a s a n b s e r v a b l e c o m p o n e n t t h a t d o e s n o t r e s p o n d t o m o n e t a r y p o l i c y , r e f e r r e d t o a s a u t o n o m o u s e m a n d a , s o t h a t o u t p u t i s g i v e n b y : t Y = (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i + a : ( 1 4 ) t t t t + 1 + 1 + 1 h e a b o v e r e s u l t s d e s c r i b e t h e i n t e r e s t r a t e r e s p o n s e t o a p e r m a n e n t s h o c k i n a u t o n o m o u s e m a n d , f o r e x a m p l e i f a u t o n o m o u s d e m a n d f o l l o w s a r a n d o m w a l k , i n w h i c h c a s e a c h a n g e n a r e s u l t s i n a n o u t p u t g a p t h a t m u s t b e c o m p l e t e l y o (cid:11) s e t b y m o n e t a r y p o l i c y . A s i m i l a r t o l u t i o n a r i s e s u n d e r m o r e g e n e r a l p r o c e s s e s f o r o b s e r v a b l e o u t p u t . F o r a n y p r o c e s s w i t h a r e d i c t a b l e c o m p o n e n t f a g f o r i > 0 , t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e i s g i v e n b y t i + b ! ( 1 (cid:0) ! ) t t (cid:3) (cid:1) i = + ( Y (cid:0) Y + a (cid:0) a ) ( 1 5 ) t t t t + 1 L H (cid:30) (cid:30) ! b a t h e r t h a n e q u a t i o n ( 1 0 ) . T h i s e x p r e s s i o n i n d i c a t e s t h a t s o m e p o r t i o n o f t h e s e r i a l c o r e l a t i o n i n i n t e r e s t r a t e c h a n g e s m a y b e g e n e r a t e d b y s e r i a l l y - c o r r e l a t e d m o v e m e n t s i n t h e u n d a m e n t a l s . H o w e v e r , t h e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y w i l l c a u s e t h e i n t e r e s t r a t e t o b e a d u s t e d m o r e g r a d u a l l y t h a n e x p e c t e d s i m p l y f r o m t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e f u n d a m e n t a l s , h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e v i d e n c e d i s c u s s e d i n t h e i n t r o d u c t i o n . O v e r a l l , t h i s m o d e l c a p t u r e s t h e g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e t h a t a r e b s e r v e d . T h e t e n t a t i v e r e a c t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e t o o u t p u t d e v i a t i o n s i s a t t r i b u t e d t o t h e 1 6

u u t ( t i o a a r o l 2 T a a i s s r T p s i m u n I s n n c e r t a i n t y o v e r t h e r e s p o n s e o f t h e e c o n o m y t o m o n e t a r y p o l i c y . T h e m a n n e r i n w h i c h t h i s n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d t h r o u g h t i m e c a n a c c o u n t f o r t h e l a r g e n u m b e r o f c o n t i n u a t i o n s i n h e d a t a ( e q u a t i o n ( 1 2 ) ) a n d t h e r e l a t e d s e r i a l c o r r e l a t i o n o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s ( e q u a t i o n 1 3 ) ) . T h e c r u c i a l a s p e c t o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s i s t h a t t h e v a r i a n c e - m i n i m i z i n g c h o i c e o f h e i n t e r e s t r a t e r e a c t s t o r e c e n t p o l i c y m o v e m e n t s . I n t h e m o d e l , t h e v a r i a n c e - m i n i m i z i n g n t e r e s t r a t e i s a l w a y s e q u a l t o t h e i n t e r e s t r a t e i n t h e p r e v i o u s p e r i o d s i n c e t h e e (cid:11) e c t f t h a t p o l i c y c h o i c e i s o b s e r v e d p e r f e c t l y . I n r e a l i t y , p o l i c y m a k e r s o b s e r v e t h e i m p a c t o f p o l i c y d e c i s i o n i m p r e c i s e l y a n d w i t h s o m e d e l a y . A l t h o u g h t h e m o d e l s i m p l i (cid:12) e s t h e s e s p e c t s o f l e a r n i n g p r o c e s s , i t h i g h l i g h t s t h e e l e m e n t s o f l e a r n i n g t h a t w o u l d l e a d t o i n t e r e s t a t e s m o o t h i n g i n g e n e r a l . T o t h e e x t e n t t h a t t h e F e d l e a r n s a b o u t p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s b y b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o r e c e n t l e v e l s o f t h e i n t e r e s t r a t e , u n c e r t a i n t y w i l l i m i t t h e w i l l i n g n e s s t o m o v e t h e i n t e r e s t r a t e a g g r e s s i v e l y f r o m t h o s e l e v e l s . . 3 I n c o r p o r a t i n g A g g r e g a t e S u p p l y h e m o d e l t o t h i s p o i n t d e t e r m i n e s o u t p u t t h r o u g h a s i m p l e I S c u r v e , w i t h o u t a n y c o n s i d e r t i o n o f a g g r e g a t e s u p p l y a n d t h e d e t e r m i n a t i o n o f p r i c e s . T h i s s u b s e c t i o n p r e s e n t s a b r i e f n a l y s i s o f t h e m o d e l w h e n a g g r e g a t e s u p p l y i s i n c o r p o r a t e d , w h i c h h i g h l i g h t s t w o i m p o r t a n t s s u e s . T h e (cid:12) r s t i s w h e t h e r t h e m o d e l p r e d i c t s n o m i n a l o r r e a l i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . T h e e c o n d i s a c l a r i (cid:12) c a t i o n o f t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e o u t p u t t a r g e t i n t h e p r e v i o u s m o d e l . A g g r e g a t e d e m a n d i s a g a i n d e t e r m i n e d b y t h e I S s c h e d u l e w i t h t h e s a m e u n c e r t a i n t y t r u c t u r e a s s u m e d , o n l y n o w e x p l i c i t l y c o n s i d e r i n g i n (cid:13) a t i o n e x p e c t a t i o n s i n d e t e r m i n i n g t h e e a l i n t e r e s t r a t e : e Y = (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) ( i (cid:0) (cid:25) ) : ( 1 6 ) t t t + 1 + 1 t+ 1 h i s m o d i (cid:12) c a t i o n t o t h e I S s c h e d u l e i m m e d i a t e l y r a i s e s t h e i s s u e o f w h e t h e r t h e m o d e l (cid:3) r e d i c t s n o m i n a l o r r e a l i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . F o r a g i v e n o u t p u t t a r g e t Y , a n o b s e r v a b l e e h o c k t o (cid:25) w a r r a n t s a o n e - t o - o n e r e a c t i o n o f t h e n o m i n a l i n t e r e s t r a t e . T h e o b v i o u s r e a s o n t+ 1 s t h a t t h e n o m i n a l i n t e r e s t r a t e t h a t c o m p l e t e l y o (cid:11) s e t s t h e s h o c k i s a l s o t h e v a r i a n c e i n i m i z i n g r a t e { b o t h e q u a l t h e l e v e l t h a t k e e p s t h e r e a l i n t e r e s t r a t e c o n s t a n t . T h e n c e r t a i n t y a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r i n t h i s c a s e d o e s n o t r e d u c e t h e r e a c t i o n o f t h e o m i n a l r a t e , a n d t h e m o d e l i n s t e a d i n v o l v e s r e a l i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . H o w e v e r , t h e m o d e l a l s o p r e s e n t s a n a r g u m e n t f o r n o m i n a l i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g a r i s e s b e c a u s e p o l i c y m a k e r s l e a r n f r o m o b s e r v i n g t h e o u t p u t r e p o n s e t o t h e i n t e r e s t r a t e , b u t t h e i n t e r e s t r a t e t h a t i s o b s e r v e d i s t h e n o m i n a l i n t e r e s t r a t e , e o t i (cid:0) (cid:25) . U n c e r t a i n t y a b o u t t h e r e a l i n t e r e s t r a t e r e s u l t i n g f r o m i g n o r a n c e a b o u t i n (cid:13) a - t t+ 1 1 7

t u r t e s r i t b w g f l F e T s i w r t i F i o n e x p e c t a t i o n s h a s t h e s a m e i m p l i c a t i o n s f o r m o n e t a r y p o l i c y a s t h e o t h e r c o m p o n e n t s o f n c e r t a i n t y a b o u t p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s . I n p a r t i c u l a r , m i s t a k e s a b o u t t h e m a g n i t u d e o f t h e e a l i n t e r e s t r a t e w i l l b e o (cid:11) s e t b y m i s t a k e s a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , a n d u n c e r t a i n t y w i l l e n d t o b e m i n i m i z e d a r o u n d l a g g e d v a l u e s o f t h e n o m i n a l i n t e r e s t r a t e . T h e r e f o r e , t o t h e x t e n t t h a t t h e e x - a n t e r e a l i n t e r e s t r a t e i s u n k n o w n , t h e m o d e l l e a d s t o n o m i n a l i n t e r e s t - r a t e m o o t h i n g . G i v e n t h e s e c o n s i d e r a t i o n s , o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y w i l l i n v o l v e s o m e b l e n d o f e a l a n d n o m i n a l i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g a s d e t e r m i n e d b y t h e p r e d i c t a b i l i t y o f c h a n g e s i n n (cid:13) a t i o n e x p e c t a t i o n s . I n a d d i t i o n , t h e r e m a y n o t b e a l a r g e e m p i r i c a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n h e t w o t y p e s o f s m o o t h i n g d u e t o t h e s l u g g i s h n e s s o f i n (cid:13) a t i o n e x p e c t a t i o n s . T h e m o d e l i n c o r p o r a t e s a n a g g r e g a t e s u p p l y r e l a t i o n s h i p i n w h i c h i n (cid:13) a t i o n i s d e t e r m i n e d y a n e x p e c t a t i o n a l P h i l l i p s C u r v e : e p (cid:25) = (cid:25) + (cid:13) (cid:1) ( Y (cid:0) Y ) + u ; ( 1 7 ) t t t + 1 + 1 + 1 t+ 1 p h e r e Y d e n o t e s p o t e n t i a l o u t p u t . B y a s s u m p t i o n , t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y a b o u t t h e a g - 1 6 r e g a t e s u p p l y r e l a t i o n s h i p o t h e r t h a n t h e a d d i t i v e d i s t u r b a n c e u . A c o m m o n o b j e c t i v e t+ 1 u n c t i o n a s s u m e d f o r t h e F e d i n v o l v e s l o s s e s f r o m d e v i a t i o n s o f b o t h o u t p u t f r o m i t s p o t e n t i a l e v e l a n d i n (cid:13) a t i o n f r o m a t a r g e t l e v e l : p (cid:3) 2 2 : ( 1 8 ) (cid:0) E ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) + (cid:21) ( Y (cid:0) Y ) m a x t t t + 1 + 1 it i h e o r a k n o w n v a l u e o f (cid:25) , i t c a n b e s h o w n t h a t o p t i m a l p o l i c y i s d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g t+ 1 q u a t i o n : L H (cid:3) (cid:3) (cid:11) (cid:0) Y (cid:11) (cid:0) Y t t e i = (cid:25) + ! + ( 1 (cid:0) ! ) : ( 1 9 ) t t t t+ 1 L H (cid:30) (cid:30) ! ! h e p o l i c y r u l e t h e r e f o r e i s o f t h e s a m e f o r m a s e q u a t i o n ( 9 ) . I n c o r p o r a t i n g t h e a g g r e g a t e u p p l y r e l a t i o n s h i p o n l y a (cid:11) e c t s t h e l e v e l o f o u t p u t t h a t i s t a r g e t e d b y m o n e t a r y p o l i c y , w h i c h s g i v e n b y 2 (cid:3) (cid:21) (cid:13) p (cid:25) (cid:3) Y = Y + Y ; ( 2 0 ) 2 2 (cid:13) + (cid:21) (cid:13) + (cid:21) (cid:3) e (cid:3) (cid:25) (cid:25) (cid:0) + 1 t (cid:25) p h e r e Y = Y (cid:0) i s t h e l e v e l o f o u t p u t s u c h t h a t i n (cid:13) a t i o n i s e x p e c t e d t o e x a c t l y (cid:13) e a c h i t s t a r g e t . P o l i c y m a k e r s t h e r e f o r e t a r g e t a w e i g h t e d a v e r a g e o f p o t e n t i a l o u t p u t a n d h e l e v e l o f o u t p u t r e q u i r e d t o r e a c h t h e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t . T h e w e i g h t o n p o t e n t i a l o u t p u t n c r e a s e s w i t h t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e o u t p u t g a p i n t h e F e d ’ s p r e f e r e n c e s , a n d t h e 1 6 T h is p a p e r c o n c e n t r a t e s e n t ir e ly o n u n c e r t a in t y o v e r t h e e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o lic y in d e t e r m in in g o u t p u t . o r a n a n a ly s is t h a t fo c u s e s o n u n c e r t a in t y in t h e a g g r e g a t e s u p p ly r e la t io n s h ip , s e e W ie la n d ( 1 9 9 8 ) . 1 8

w e i g h t o n i n (cid:13) a t i o n i n c r e a s e s a s t h e a b i l i t y t o a (cid:11) e c t t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e i n c r e a s e s , a s r e (cid:13) e c t e d i n t h e a g g r e g a t e s u p p l y p a r a m e t e r (cid:13) . T h e p r o c e s s o f l e a r n i n g a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r t h e r e f o r e r e s u l t s i n t h e g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e d e m o n s t r a t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , g i v e n t h e m o r e e x p l i c i t d e (cid:12) n i t i o n o f t h e o u t p u t t a r g e t i n e q u a t i o n ( 2 0 ) . 3 S t o c h a s t i c P o l i c y E (cid:11) e c t i v e n e s s a n d t h e D y n a m i c s o f U n c e r t a i n t y T h i s s e c t i o n i n v e s t i g a t e s t h e e (cid:11) e c t o f u n c e r t a i n t y i n a m o d e l i n w h i c h t h e p o l i c y m u l t i p l i e r i s n o t l i m i t e d t o t w o p o t e n t i a l v a l u e s , b u t i n s t e a d f o l l o w s a s t o c h a s t i c p r o c e s s . U n d e r t h i s m o d i (cid:12) c a t i o n , t h e a n a l y s i s g e n e r a l i z e s t h e (cid:12) n d i n g s o f s e c t i o n 2 t o t h e c a s e w h e r e t h e l e a r n i n g p r o c e s s i s d e s c r i b e d b y a K a l m a n (cid:12) l t e r , s o t h a t t h e b e l i e f s a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r a r e u p d a t e d a t e a c h p o i n t i n t i m e . I n a d d i t i o n , w h i l e m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e a l l o w t h e F e d t o l e a r n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , t h e u n c e r t a i n t y n o w r e b u i l d s t h r o u g h t i m e b e c a u s e t h e e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o l i c y i s s t o c h a s t i c . T h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y w i l l t h e r e f o r e v a r y i n a m a n n e r d e t e r m i n e d b y r e c e n t p o l i c y a c t i o n s , w h i c h h a s a d d i t i o n a l i m p l i c a t i o n s f o r t h e g r a d u a l b e h a v i o r o f m o n e t a r y p o l i c y t h a t a r e d i s c u s s e d b e l o w . O u t p u t i s d e t e r m i n e d b y a n I S e q u a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a s f o l l o w s : Y = (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i : ( 2 1 ) t t t t + 1 + 1 + 1 U n l i k e t h e p r e v i o u s m o d e l , b o t h p a r a m e t e r s g o v e r n i n g t h i s e q u a t i o n a r e a s s u m e d t o e v o l v e t h r o u g h t i m e a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : (cid:11) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) = (cid:14) (cid:1) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) + v ( 2 2 ) t (cid:11) t + 1 t+ 1 (cid:30) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) = (cid:14) (cid:1) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) + v ; ( 2 3 ) t (cid:30) t + 1 t+ 1 0 (cid:11) (cid:30) w h e r e t h e v e c t o r o f d i s t u r b a n c e s v = i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n z e r o v v 2 h i (cid:27) 0 (cid:11) 0 a n d a v a r i a n c e m a t r i x g i v e n b y E [ v (cid:1) v ] = Q = . 2 2 3 0 (cid:27) (cid:30) 4 5 B y a s s u m p t i o n , t h e F e d k n o w s t h e m e a n v a l u e o f t h e p a r a m e t e r s g o v e r n i n g o u t p u t b u t d o e s n o t o b s e r v e t h e d e v i a t i o n s o f t h e s e v a r i a b l e s f r o m t h e i r m e a n s . I t m u s t l e a r n a b o u t t h e p a r a m e t e r s b y o b s e r v i n g t h e l e v e l o f o u t p u t t h a t r e s u l t s f r o m t h e c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e . T h e F e d ’ s b e l i e f s a b o u t t h e p a r a m e t e r s i n e q u a t i o n s ( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) a r e s u m m a r i z e d b y (cid:11) a n d (cid:30) , t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e t i m e t + 1 p a r a m e t e r s b a s e d o n i n f o r m a t i o n a t t t t t + 1 j + 1 j b b 1 9

t t n b T w t w o t o u i e r i a u g p i t t i m e t . T h e s e b e l i e f s a r e u p d a t e d b a s e d o n t h e s i g n a l o b t a i n e d f r o m e q u a t i o n ( 2 1 ) . B e c a u s e h e s e p a r a m e t e r s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , t h e b e l i e f s a b o u t t h e t w o p a r a m e t e r s w i l l b e o r m a l l y d i s t r i b u t e d a b o u t t h e i r m e a n s , w i t h t h e v a r i a n c e o f t h e t i m e t + 1 p a r a m e t e r s 0 ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) t t t t t t + 1 + 1 + 1 j + 1 j . a s e d o n t i m e t i n f o r m a t i o n d e n o t e d P = E t t t + 1 j 0 2 3 2 3 1 ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) t t t t t t + 1 + 1 j + 1 + 1 j b b @ 4 5 4 5 A h i s v a r i a n c e m a t r i x m e a s u r e s t h e u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r t h a t f a c e s t h e F e d b b h e n d e t e r m i n i n g t h e i n t e r e s t r a t e a t t i m e t . T h e e x p e c t e d v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s a n d h e u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h o s e b e l i e f s e v o l v e a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : (cid:0) 1 (cid:11) (cid:11) (cid:11) t t t t t t j (cid:0) 1 j j (cid:0) 1 0 0 Y (cid:0) H ( 2 4 ) H P H = + P H t t t t t t t j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 t t 0 2 3 1 2 3 2 3 (cid:30) (cid:30) (cid:30) t t t t t t j (cid:0) 1 j j (cid:0) 1 (cid:17) (cid:16) b b b (cid:0) 1 @ 4 5 A 4 5 4 5 0 0 b b b P = P (cid:0) P H H P H H P ( 2 5 ) t t t t t t t t t t t t j j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 j (cid:0) 1 t t (cid:16) (cid:17) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) ( (cid:11) (cid:0) (cid:11) ) t t t t + 1 j j = F (cid:1) ( 2 6 ) 2 3 2 3 ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) ( (cid:30) (cid:0) (cid:30) ) t t t t + 1 j j b b 0 4 5 4 5 P = F (cid:1) P (cid:1) F + Q ; ( 2 7 ) t t t t + 1 j j b b (cid:14) 0 (cid:11) 0 h e r e t h e v e c t o r H = a n d F = . 1 (cid:0) i t(cid:0) 1 t 2 3 0 (cid:14) (cid:30) h i 4 5 T h e s e e q u a t i o n s d e s c r i b e a s t a n d a r d K a l m a n (cid:12) l t e r i n w h i c h t h e r e i s n o n o i s e i n t h e b s e r v a t i o n e q u a t i o n . T h e c r i t i c a l f e a t u r e o f t h e m o d e l , a s i n s e c t i o n 2 , i s t h a t a l t h o u g h h e F e d f a c e s u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p a r a m e t e r s d e t e r m i n i n g o u t p u t , i t o b s e r v e s t h e l e v e l f o u t p u t t h a t i s r e a l i z e d f r o m i t s c h o i c e o f t h e p o l i c y i n s t r u m e n t . T h e i n t e r a c t i o n o f t h e n c e r t a i n t y a b o u t (cid:11) a n d (cid:30) t h a t a r i s e s f r o m o b s e r v i n g Y i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s r e s u l t s t n i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y . I n t h e l e a r n i n g p r o c e s s d e s c r i b e d b y q u a t i o n s ( 2 4 ) t o ( 2 7 ) , u n c e r t a i n t y t e n d s t o b e m i n i m i z e d a r o u n d r e c e n t l e v e l s o f t h e i n t e r e s t a t e b e c a u s e a n y e r r o r i n t h e e s t i m a t e d s l o p e o f t h e I S c u r v e i s o (cid:11) s e t b y a m i s t a k e a b o u t t h e n t e r c e p t c o e (cid:14) c i e n t . T o d e m o n s t r a t e t h i s , c o n s i d e r t h e u n c e r t a i n t y t h a t p o l i c y m a k e r s f a c e f t e r o b s e r v i n g o u t p u t a t t i m e t , a s s u m i n g t h a t t h e p a r a m e t e r s o f t h e I S e q u a t i o n w i l l r e m a i n (cid:3) n c h a n g e d n e x t p e r i o d . I f t h e i n t e r e s t r a t e i s s e t t o i , t h e v a r i a n c e o f o u t p u t Y w i l l b e t+ 1 1 (cid:3) i v e n b y t h e n o n - n e g a t i v e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n P . H o w e v e r , p r e - a n d t t 1 (cid:0) i j (cid:3) 2 3 (cid:0) i h i 4 5 0 1 o s t - m u l t i p l y i n g e q u a t i o n ( 2 5 ) b y H i n d i c a t e s t h a t P = 0 . T h e r e t t t 1 (cid:0) i j t(cid:0) 1 2 3 (cid:0) i t(cid:0) 1 h i 4 5 s n o u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h e c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e i . T h i s i s b e c a u s e e v e n t(cid:0) 1 h o u g h t h e p a r a m e t e r s h a v e p o s i t i v e v a r i a n c e , s o t h a t P i s p o s i t i v e d e (cid:12) n i t e , t h e r e s p o n s e t tj o l a s t p e r i o d ’ s c h o i c e o f t h e i n t e r e s t r a t e h a s b e e n o b s e r v e d . A l l o t h e r c h o i c e s o f t h e i n t e r e s t 2 0

r t b a f w (cid:6) u b p e d r t ( a o f T i r i g f a t e w o u l d i n v o l v e p o s i t i v e v a r i a n c e o f o u t p u t t o d a y a r i s i n g f r o m t h e u n c e r t a i n t y o v e r t h e (cid:3) w o p a r a m e t e r s . H o w e v e r , a t i = i , a n y m i s t a k e a b o u t t h e p a r a m e t e r (cid:11) i s p e r f e c t l y o (cid:11) s e t t(cid:0) 1 y a m i s t a k e a b o u t t h e p a r a m e t e r (cid:30) . T o f u r t h e r a n a l y z e t h e s t r u c t u r e o f t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , n o t e t h a t e q u a t i o n ( 2 5 ) 0 l s o i m p l i e s t h a t H P = 0 . I n o r d e r t o s a t i s f y t h i s e q u a t i o n , t h e m a t r i x P m u s t h a v e t h e t t t t j j t o l l o w i n g f o r m : 2 i (cid:6) i (cid:6) t t t (cid:0) 1 t(cid:0) 1 P = ; ( 2 8 ) t tj 2 3 i (cid:6) (cid:6) t t t (cid:0) 1 4 5 h e r e (cid:6) i s d e (cid:12) n e d a s t h e v a r i a n c e o f t h e v a r i a n c e o f (cid:30) a s o f t i m e t . T h e p a r a m e t e r t t+ 1 a n d t h e l a g g e d i n t e r e s t r a t e i t h e r e f o r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f t h e t t(cid:0) 1 n c e r t a i n t y i n t h i s m o d e l . E q u a t i o n ( 2 8 ) i m p l i e s t h a t t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n (cid:11) a n d (cid:30) t t a s e d o n i n f o r m a t i o n a t t i m e t e q u a l s 1 . I t i s t h i s p e r f e c t c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o a r a m e t e r s t h a t m i n i m i z e s t h e u n c e r t a i n t y a r o u n d l a g g e d v a l u e s o f t h e i n t e r e s t r a t e . T h i s (cid:11) e c t i s t h e \ h e d g i n g b e n e (cid:12) t " t h a t B a l v e r s a n d C o s i m a n o ( 1 9 9 4 ) d i s c u s s i n t h e c o n t e x t o f i s i n (cid:13) a t i o n p o l i c y , a r g u i n g t h a t i t m a y b e o p t i m a l t o d i s i n (cid:13) a t e i n a g r a d u a l m a n n e r , s i n c e i t e d u c e s t h e u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h e d i s i n (cid:13) a t i o n a r y p o l i c y . T h e i r a n a l y s i s a r r i v e s a t h e r e s t r i c t i o n s o n t h e s t r u c t u r e o f p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t h a t a r e s u m m a r i z e d i n e q u a t i o n 2 8 ) . T h e p o l i c y c h o i c e a t t i m e t w i l l b e a f u n c t i o n o f t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s (cid:11) a n d (cid:30) t t t t + 1 j + 1 j s w e l l a s t h e u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h o s e e s t i m a t e s P . F o r a p a r t i c u l a r c h o i c e t t + 1 j b b f t h e i n t e r e s t r a t e t o d a y , t h e e x p e c t e d l e v e l a n d v a r i a n c e o f o u t p u t a r e d e t e r m i n e d b y t h e o l l o w i n g e q u a t i o n s : E [ Y ] = (cid:11) (cid:0) (cid:30) (cid:1) i ( 2 9 ) t t t t t t t + 1 + 1 j + 1 j 2 2 2 2 V a r [ Y ] = ( (cid:14) (cid:1) i (cid:0) (cid:14) (cid:1) i ) (cid:6) + (cid:27) + i (cid:1) (cid:27) : ( 3 0 ) t t (cid:11) t (cid:30) t t + 1 (cid:0) 1 b (cid:11) t (cid:30) b h e i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g e (cid:11) e c t i s e v i d e n t f r o m e q u a t i o n ( 3 0 ) . I f (cid:14) = (cid:14) (cid:17) (cid:14) , t h e v a r i a n c e (cid:11) (cid:30) 2 2 2 2 2 c h a n g e s s g i v e n b y (cid:14) ( (cid:1) i ) (cid:6) + (cid:27) + i (cid:1) (cid:27) . T h e (cid:12) r s t t e r m i n d i c a t e s t h a t l a r g e i n t e r e s t r a t e t t (cid:11) t (cid:30) e s u l t i n a h i g h e r v a r i a n c e a s s o c i a t e d w i t h o u t p u t . T h e v a r i a n c e i s a l s o a s s o c i a t e d w i t h t h e n t e r e s t r a t e l e v e l o n l y b e c a u s e t h e s l o p e o f t h e I S s c h e d u l e i s a (cid:11) e c t e d b y a s t o c h a s t i c s h o c k . T h e o p t i m a l p o l i c y c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r t h e i n (cid:12) n i t e - h o r i z o n o b j e c t i v e f u n c t i o n i v e n i n e q u a t i o n ( 7 ) . G i v e n t h e s t r u c t u r e o f P , t h e r e w i l l b e o n l y f o u r s t a t e v a r i a b l e s t t + 1 j o r t h e p r o b l e m : (cid:11) , (cid:30) , i , a n d (cid:6) . T h e o p t i m a l p o l i c y w i l l b e t h e s o l u t i o n t o t h e t t t t t t + 1 j + 1 j (cid:0) 1 b b 2 1

f o l l o w i n g B e l l m a n e q u a t i o n : (cid:3) 2 = m a x (cid:0) ( E [ Y ] (cid:0) Y ) (cid:0) V a r ( Y ) V (cid:11) ; (cid:30) ; i ; (cid:6) i t t t t t t t t t t f g + 1 + 1 + 1 j + 1 j (cid:0) 1 t (cid:17) (cid:16) ( 3 1 ) V (cid:11) ; (cid:30) ; i ; (cid:6) + (cid:12) (cid:1) E t t t b t t t t + 1 + 2 j + 1 + 2 j + 1 b (cid:17) i h (cid:16) b b s u b j e c t t o e q u a t i o n s ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) a n d t h e d y n a m i c b e h a v i o r d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s ( 2 4 ) t o ( 2 7 ) . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y i s g o v e r n e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : 2 2 2 2 2 2 2 (cid:6) ( (cid:14) (cid:27) + (cid:14) (cid:27) i ) + (cid:27) (cid:27) t (cid:30) (cid:11) (cid:11) (cid:30) t (cid:11) (cid:30) (cid:0) 1 (cid:6) = ; ( 3 2 ) t+ 1 2 2 2 2 (cid:6) ( (cid:14) i (cid:0) (cid:14) i ) + (cid:27) + i (cid:27) t (cid:30) t (cid:11) t(cid:0) 1 t (cid:11) (cid:30) 2 (cid:27) (cid:30) 2 . T h e p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e p r o b l e m w h i c h c a n p o t e n t i a l l y r a n g e b e t w e e n z e r o a n d (cid:14) 1 (cid:0) (cid:30) i s c h o s e n t o e (cid:11) e c t i v e l y d e m o n s t r a t e t h e i m p a c t o f t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y o n t h e o p t i m a l b e h a v i o r o f t h e i n t e r e s t r a t e , w i t h t h e f o l l o w i n g v a l u e s : (cid:14) = (cid:14) = : 9 5 , (cid:11) = 0 , (cid:30) = 8 , (cid:11) (cid:30) 2 2 (cid:27) = 0 : 5 , a n d (cid:27) = 1 . (cid:11) (cid:30) F i g u r e 5 d i s p l a y s t h e d y n a m i c r e s p o n s e o f t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e u n c e r t a i n t y o v e r p o l i c y e (cid:11) e c t i v e n e s s i n r e s p o n s e t o t w o s u c c e s s i v e o u t p u t s h o c k s . T h e e c o n o m y b e g i n s i n a n i n i t i a l s t a t e t h a t i s k n o w n b y t h e F e d , w i t h (cid:11) a t i t s s t e a d y - s t a t e v a l u e (cid:11) = (cid:11) = 0 a n d (cid:30) a t a l o w v a l u e (cid:30) = (cid:30) = 1 : 5 9 . I t i s a s s u m e d t h a t t h e i n t e r e s t r a t e h a s b e e n i n a c t i v e , h o l d i n g a t b i t s e q u i l i b r i u m l e v e l o f 0 a t w h i c h o u t p u t e q u a l s i t s t a r g e t . T h e (cid:12) r s t s h o c k d e c r e a s e s (cid:11) b y a b m a g n i t u d e o f 2 . 2 6 a t t i m e p e r i o d 3 . I f t h e F e d w e r e n o t c o n c e r n e d a b o u t i t s i g n o r a n c e o v e r t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , i t w o u l d d e c r e a s e t h e i n t e r e s t r a t e i m m e d i a t e l y b y 1 . 1 4 % , a s i n d i c a t e d 1 7 b y t h e t h i n l i n e i n t h e t o p p a n e l o f F i g u r e 5 . T h e e (cid:11) e c t o f u n c e r t a i n t y i s e v i d e n t i n t h e b e h a v i o r o f t h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r u n c e r t a i n t y , g i v e n b y t h e t h i c k e r l i n e i n t h e (cid:12) g u r e . B e c a u s e o f t h e i n a c t i v i t y o f t h e i n t e r e s t r a t e b e f o r e t h e s h o c k , e q u a t i o n ( 3 2 ) i n d i c a t e s t h a t t h e u n c e r t a i n t y a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r 2 (cid:27) (cid:30) 2 w i l l s e t t l e t o i t s m a x i m u m l e v e l (cid:6) = , o r (cid:6) = 1 0 : 2 6 u n d e r t h e c h o s e n p a r a m e t e r s . T h e (cid:14) 1 (cid:0) (cid:30) h i g h l e v e l o f u n c e r t a i n t y m a k e s t h e F e d u n w i l l i n g t o i m p l e m e n t t h e a g g r e s s i v e d e c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e r e q u i r e d t o o (cid:11) s e t t h e s h o c k . T h i s i s s h o w n i n t h e b o t t o m p a n e l o f t h e (cid:12) g u r e , w h i c h d e m o n s t r a t e s t h a t t h e v a r i a n c e o f o u t p u t i s m i n i m i z e d a t t h e l a g g e d v a l u e o f 1 8 t h e i n t e r e s t r a t e a n d a c c e l e r a t e s i n t h e m a g n i t u d e o f t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e . B e c a u s e t h e 1 7 T h is p o lic y is n o t e x a c t ly t h e c o m p le t e ly - o (cid:11) s e t t in g p o lic y p r e v io u s ly d is c u s s e d , w h ic h ig n o r e s a ll v a r ia n c e in o u t p u t . T h is p o lic y t a k e s in t o c o n s id e r a t io n t h a t t h e le v e l o f t h e in t e r e s t r a t e a (cid:11) e c t s t h e v a r ia n c e o f o u t p u t (cid:30) v b e c a u s e o f t h e s t o c h a s t ic s h o c k . I t ig n o r e s t h e v a r ia n c e t h a t o t h e r w is e a r is e s fr o m t h e F e d ’s ig n o r a n c e . 1 8 T h is is t r u e fo r t h e p o r t io n o f t h e v a r ia n c e o f o u t p u t a r is in g fr o m t h e F e d ’s ig n o r a n c e a b o u t t h e p a r a m - (cid:11) (cid:30) v v e t e r s , s h o w n in t h e (cid:12) g u r e , ig n o r in g t h e p o r t io n a r is in g fr o m t h e v a r ia n c e o f t h e s h o c k s a n d . 2 2

2 3

a t r f t m a t i u u n e r t o b A 4 j p o 4 T i e u i o t g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t w o u l d i n d u c e a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f v a r i a n c e i n o u t p u t , h e o p t i m a l p o l i c y l i m i t s t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e a n d i n s t e a d g r a d u a l l y d e c r e a s e s t h e i n t e r e s t 1 9 a t e i n f o u r s u c c e s s i v e c h a n g e s o f a b o u t 2 8 b a s i s p o i n t s e a c h . T h e m i d d l e p a n e l o f F i g u r e 5 d i s p l a y s t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f u n c e r t a i n t y t h a t r e s u l t s r o m t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g . O b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o t h e f o u r c h a n g e s i n h e i n t e r e s t r a t e f o l l o w i n g t h e (cid:12) r s t s h o c k p r o v i d e s t h e F e d w i t h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p o l i c y u l t i p l i e r , s o t h a t t h e m e a s u r e o f u n c e r t a i n t y (cid:6) f a l l s f r o m 1 0 . 2 6 t o 1 . 1 8 a t t i m e p e r i o d 7 . A s r e s u l t , t h e F e d i s w i l l i n g t o i m p l e m e n t m o r e a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s a t t h e t i m e o f h e s e c o n d s h o c k . T h e s e c o n d s h o c k t a k e s p l a c e i n p e r i o d 7 a n d r e t u r n s t h e p a r a m e t e r (cid:11) t o t s o r i g i n a l v a l u e o f 0 . U n l i k e t h e r e s p o n s e t o t h e (cid:12) r s t s h o c k , t h e i n c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y i s a g g r e s s i v e , c o i n c i d i n g w i t h t h e p o l i c y t h a t i g n o r e s p a r a m e t e r 2 0 T h e u n c e r t a i n t y o v e r t h e p o l i c y m u l t i p l i e r h a s d e c r e a s e d e n o u g h t h a t i t d o e s n c e r t a i n t y . o t t e m p e r t h e p o l i c y r e a c t i o n t o t h e s e c o n d s h o c k . T h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e c i r c u m s t a n c e s i s v i d e n t i n t h e b o t t o m p a n e l , w h i c h s h o w s t h a t t h e v a r i a n c e o f o u t p u t d o e s n o t i n c r e a s e a s a p i d l y i n t h e c h a n g e i n t h e i n t e r e s t r a t e a t t h e t i m e o f t h e s e c o n d s h o c k . T h e m o d e l i n d i c a t e s t h a t p e r i o d s o f a c t i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s r e d u c e t h e u n c e r t a i n t y h a t t h e F e d f a c e s r e g a r d i n g t h e p o l i c y m u l t i p l i e r , w h i c h l e a d s t o m o r e a g g r e s s i v e r e s p o n s e s f t h e i n t e r e s t r a t e . H o w e v e r , o n c e t h e i n t e r e s t r a t e h a s f u l l y r e a c t e d t o t h e s h o c k s a n d a g a i n e c o m e s i n a c t i v e , n o a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s b e i n g r e c e i v e d a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . c c o r d i n g l y , t h e u n c e r t a i n t y b e g i n s t o i n c r e a s e o v e r t i m e , w i t h t h e (cid:6) p a r a m e t e r r e a c h i n g . 0 7 b y p e r i o d 1 2 a n d e v e n t u a l l y r e t u r n i n g t o i t s m a x i m u m l e v e l o f 1 0 . 2 6 . A s a r e s u l t , u s t a s p e r i o d s o f a c t i v e i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s l e a d t o m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y m o v e m e n t s , e r i o d s o f i n a c t i v e i n t e r e s t r a t e p o l i c y m a y d a m p f u t u r e p o l i c y m o v e m e n t s b y l i m i t i n g t h e p p o r t u n i t y t o l e a r n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . C o n c l u s i o n h e t e n d e n c y t o i m p l e m e n t g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f e d e r a l f u n d s r a t e d o e s n o t n e c e s s a r i l y n d i c a t e t h a t t h e F e d h a s a n e x p l i c i t i n t e r e s t r a t e s m o o t h i n g o b j e c t i v e . U n c e r t a i n t y o v e r t h e (cid:11) e c t o f m o n e t a r y p o l i c y o n t h e e c o n o m y c a n a c c o u n t f o r g r a d u a l i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s n d e r a t r a d i t i o n a l o b j e c t i v e f u n c t i o n c o n c e r n e d o n l y w i t h t h e d e v i a t i o n s o f o u t p u t a n d n (cid:13) a t i o n f r o m t h e i r r e s p e c t i v e t a r g e t s . T h e r e a s o n i s t h a t t h e F e d m u s t l e a r n a b o u t t h e 1 9 T h e in t e r e s t r a t e c h a n g e s a r e o f e x a c t ly t h e s a m e m a g n it u d e o n ly b e c a u s e o f t h e d is c r e t e g r id u s e d in b t a in in g t h e s o lu t io n . 2 0 T h e r e a c t io n o c c u r s in t w o s t e p s o n ly b e c a u s e o f t h e p a t h o f t h e F e d ’s b e lie fs in le a r n in g t h e s o u r c e o f h e s h o c k . 2 4

p r p t t o O a S t a u a o p r i t o o p f c i p R t p o o l i c y m u l t i p l i e r b y o b s e r v i n g t h e r e a c t i o n o f t h e e c o n o m y t o p r e v i o u s c h o i c e s o f t h e i n t e r e s t a t e . B e c a u s e t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y v a r i e s s t o c h a s t i c a l l y , r e c e n t o b s e r v a t i o n s a r e a r t i c u l a r l y i n f o r m a t i v e . A s a r e s u l t , t h e F e d f a c e s m o r e u n c e r t a i n t y a b o u t t h e r e a c t i o n o f h e e c o n o m y a s i t m o v e s t h e f u n d s r a t e a w a y f r o m i t s r e c e n t l e v e l s , w h i c h l i m i t s i t s w i l l i n g n e s s o i m p l e m e n t a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . T h e l e a r n i n g p r o c e s s l e a d s t o g r a d u a l m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e b e c a u s e t h e e v o l u t i o n f u n c e r t a i n t y i s d e t e r m i n e d b y t h e p o l i c y c h o i c e s t h a t h a v e b e e n r e c e n t l y i m p l e m e n t e d . b s e r v i n g t h e o u t p u t r e s p o n s e t o a n i n t e r e s t r a t e c h a n g e p r o v i d e s t h e F e d w i t h i n f o r m a t i o n b o u t t h e i m p a c t o f i t s p o l i c y . T h i s i n f o r m a t i o n a r r i v e s i n m a n y f o r m s a n d a t v a r i o u s s p e e d s . o m e o f t h e t r a n s m i s s i o n w i l l a r i s e t h r o u g h t h e u n c e r t a i n r e a c t i o n o f a s s e t m a r k e t s , w h i c h h e F e d m a y o b s e r v e i m m e d i a t e l y , w h i l e t h e a c t u a l r e s p o n s e o f o u t p u t i s o b s e r v e d o n l y a f t e r s u b s t a n t i a l a m o u n t o f t i m e . A s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r i s r e v e a l e d , t h e n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h m o v e m e n t s i n t h e i n t e r e s t r a t e d i m i n i s h e s , t h e r e b y p e r m i t t i n g d d i t i o n a l i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . T h i s g r a d u a l a d j u s t m e n t o f t h e i n t e r e s t r a t e c o n t i n u e s u n t i l u t p u t r e a c h e s i t s d e s i r e d l e v e l . B e c a u s e a c t i v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s a l l o w t h e F e d t o l e a r n m o r e e (cid:11) e c t i v e l y a b o u t t h e o l i c y m u l t i p l i e r , t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y m a y v a r y t h r o u g h t i m e . P e r i o d s o f a c t i v e i n t e r e s t a t e m o v e m e n t s s h o u l d b e f o l l o w e d b y a m o r e a g g r e s s i v e p o l i c y r u l e i n w h i c h t h e F e d e n g a g e s n l e s s i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g . T o i n v e s t i g a t e w h e t h e r t h i s i s i n d e e d t h e c a s e , t h e T a y l o r y p e p o l i c y r u l e ( 2 ) e s t i m a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n c a n b e m o d i (cid:12) e d t o a l l o w t h e r e a c t i o n s p e e d f t h e f u n d s r a t e t o d e p e n d o n a m e a s u r e o f f u n d s r a t e a c t i v i t y . S i n c e m o n e t a r y p o l i c y a (cid:11) e c t s u t p u t w i t h a s u b s t a n t i a l d e l a y , t h e i n f o r m a t i o n t h a t t h e F e d c u r r e n t l y r e c e i v e s a b o u t t h e o l i c y m u l t i p l i e r w i l l d e p e n d o n l a g g e d f u n d s r a t e m o v e m e n t s . A c c o r d i n g l y , a m e a s u r e o f u n d s r a t e a c t i v i t y i s a d o p t e d t h a t i n v o l v e s t h e a b s o l u t e m a g n i t u d e o f q u a r t e r l y f u n d s r a t e 6 2 1 h a n g e s o v e r a y e a r , w i t h a l a g o f t h r e e q u a r t e r s , g i v e n b y j (cid:1) i j . T h e d e g r e e o f t j (cid:0) j = 3 (cid:16) (cid:17) n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i s a l l o w e d t o r e a c t t o t h i s m e a s u r e b y m o d i f y i n g t h e p a r a m e t e r (cid:26) i n P o l i c y r u l e ( 2 ) a s f o l l o w s : 6 (cid:26) = (cid:26) + (cid:26) (cid:1) j (cid:1) i j : ( 3 3 ) t j 0 1 (cid:0) 0 1 j = 3 X @ A e s u l t s f r o m e s t i m a t i n g t h i s p o l i c y r u l e a r e p r e s e n t e d i n T a b l e 2 . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g v a r i e s s i g n i (cid:12) c a n t l y w i t h h e m e a s u r e o f l a g g e d f u n d s r a t e a c t i v i t y , w h i l e t h e c o e (cid:14) c i e n t s o n t h e i n (cid:13) a t i o n a n d o u t u t d e v i a t i o n s r e m a i n p l a u s i b l e a n d s i g n i (cid:12) c a n t . T h e F e d i m p l e m e n t s a m o r e a g g r e s s i v e 2 1 T h e t im in g is c o n s is t e n t w it h t h e (cid:12) n d in g fr o m n u m e r o u s V A R s t u d ie s t h a t a la r g e p o r t io n o f t h e e (cid:11) e c t f a fu n d s r a t e s h o c k o n o u t p u t o c c u r s b e t w e e n s ix m o n t h s a n d t w o y e a r s fo llo w in g t h e s h o c k . 2 5

p l p i l w d r m r 1 i d i w d T a b l e 2 : E s t i m a t e d P o l i c y R u l e w i t h V a r y i n g A d j u s t m e n t S p e e d L e a s t S q u a r e s E s t i m a t e s I n s t r u m e n t a l V a r i a b l e s (cid:12) 1 . 9 7 ( 2 . 5 6 ) 3 . 2 7 ( 3 . 2 9 ) 0 (cid:12) 1 . 2 2 ( 8 . 3 2 ) 1 . 3 3 ( 7 . 3 1 ) y (cid:12) 1 . 3 8 ( 5 . 7 4 ) 0 . 9 9 ( 3 . 3 6 ) (cid:25) (cid:26) 0 . 8 7 ( 6 . 6 9 ) 0 . 9 6 ( 8 . 3 3 ) 0 (cid:26) - 0 . 1 3 ( - 1 . 7 1 ) - 0 . 1 8 ( - 2 . 2 1 ) 1 2 R 0 . 9 7 0 0 . 9 6 8 S E E 0 . 3 4 1 0 . 3 5 0 N o t e s : R e s u lt s s h o w n a r e L S a n d IV e s t im a t e s o f t h e e q u a t io n : (cid:3) (cid:0) i (cid:26) (cid:12) (cid:12) Y Y (cid:12) (cid:25) (cid:26) i 0 1 = ( 1 (cid:0) ) ( + ( (cid:0) ) + ) + (cid:1) t y t (cid:25) t t 6 (cid:0) (cid:26) (cid:26) (cid:26) i 0 1 w h e r e = + (cid:1) j(cid:1) j . t j = 3 j (cid:16) (cid:17) T h e t -s t a t is t ic s s h o w n in p a r e n t h e s e s a r e b a s e d o n N e w e y -W e s t s t a n d a r d e r r o r s . P In s t r u m e n t s in c lu d e o n e t o fo u r la g s o f in (cid:13) a t io n , t h e o u t p u t g a p , a n d t h e fu n d s r a t e . o l i c y r u l e f o l l o w i n g a c t i v e m o v e m e n t s i n t h e f u n d s r a t e . T h e (cid:26) p a r a m e t e r i m p l i e d b y t h e e a s t - s q u a r e s e s t i m a t e s h a s a n a v e r a g e v a l u e o f 0 : 6 4 a n d a s t a n d a r d d e v i a t i o n o f 0 : 1 1 . T h e a r a m e t e r v a r i e s f r o m a m i n i m u m o f 0 : 4 3 , w h e n t h e f u n d s r a t e i s r e s p o n d i n g t o o u t p u t a n d n (cid:13) a t i o n d e v i a t i o n s v e r y q u i c k l y , t o a m a x i m u m o f 0 : 8 5 , w h e n t h e a d j u s t m e n t s p e e d i s q u i t e o w . T h e v a r i a t i o n i n t h e a d j u s t m e n t s p e e d o v e r t h e s a m p l e i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 6 , a l o n g i t h t h e a b s o l u t e v a l u e o f c h a n g e s i n t h e f u n d s r a t e . A s c a n b e s e e n i n t h e (cid:12) g u r e , p e r i o d s u r i n g w h i c h t h e f u n d s r a t e i s a c t i v e l y c h a n g e d a r e f o l l o w e d b y a d e c l i n e i n t h e i n t e r e s t a t e s m o o t h i n g p a r a m e t e r , c o n s i s t e n t w i t h t h e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y d e s c r i b e d i n t h e o d e l . S i m i l a r l y , t h e d e g r e e o f i n t e r e s t - r a t e s m o o t h i n g i n c r e a s e s d u r i n g p e r i o d s o f l o w f u n d s a t e a c t i v i t y , s u c h a s t h o s e p r e c e d i n g t h e f u n d s r a t e r e v e r s a l s i n F e b r u a r y 1 9 9 4 a n d M a r c h 9 9 7 . T h i s (cid:12) n d i n g i n d i c a t e s t h a t t h e l o w f u n d s r a t e a c t i v i t y d u r i n g t h e s e p e r i o d s r e (cid:13) e c t s n p a r t t h a t t h e i n a c t i v i t y i t s e l f c a u s e s t h e F e d t o r e a c t m o r e t e n t a t i v e l y t o m a c r o e c o n o m i c e v e l o p m e n t s . A c c o r d i n g t o t h e m o d e l , t h e s e a r e p e r i o d s o f h e i g h t e n e d u n c e r t a i n t y , a s t h e n a c t i v i t y l i m i t s t h e (cid:13) o w o f i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . T h i s e v i d e n c e , h i l e b r i e f a n d t h e r e f o r e o n l y s u g g e s t i v e , i n d i c a t e s t h a t u n c e r t a i n t y m a y b e a n i m p o r t a n t e t e r m i n a n t i n t h e f o r m u l a t i o n o f m o n e t a r y p o l i c y , o n e t h a t w a r r a n t s f u r t h e r r e s e a r c h . 2 6

R [ [ [ [ [ [ [ 1 2 3 4 5 6 7 e ] ] ] ] ] ] ] f B e B B B P B ( B R B N e r e n c e s a l v e r s , R o n a l d J . a n d T h o m a s F . C o s i m a n R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s t a r y P o l i c y . 6 a n k f o r I n t e r n a t i o n a l S e t t l e m e n t s . 6 8 t h A a r r o , R o b e r t J . I n t e r e s t - R a t e S m o o t h i n g . e r t o c c h i , G r a z i e l l a a n d M i c h a e l S p a g a t , J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s o l i c y . 3 2 C e n t r a l B a n k i n g i n T h e o r y l i n d e r , A l a n . 1 9 9 8 ) . r a i n a r d , W i l l i a m . U n c e r t a i n t y a n d t h e E e v i e w , P a p e r s a n d P r o c e e d i n g s 5 7 ( 1 9 6 7 ) , r y a n t , R a l p h C . , P e t e r H o o p e r , a n d C a t h e e w R e s e a r c h i n E m p i r i c a l M a c r o e c o n o m i c 2 7 o . I n (cid:13) a t i o n V a r i a b i l i t y a n d G 1 ( 1 9 9 4 ) , 7 2 1 - 7 3 8 . n n u a l R e p o r t ( 1 9 9 8 ) . N B E R W o r k i n g P a p e r # 2 5 8 L e a r n i n g , E x p e r i m e n t a t i o n , ( 1 9 9 3 ) , 1 6 9 - 1 8 3 . a n d P r a c t i c e . C a m b r i d g e , M A m e r (cid:11) e c t i v e n e s s o f P o l i c y . 4 1 1 - 4 2 5 . E v a lu a t i n g P r i n e M a n n , e d s . , s . B r o o k i n g s : W a s h i n g t o n , D r a d u a 1 ( 1 9 8 a n d M A : M i c a n E o li c y . C . ( 1 l i s t 8 ) . o n I T c o n R e g 9 9 3 M o n e t a r y P r e s s o m i c i m e s : ) .

[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] C E C n C e 1 D G n G R M J M T ( M B O E ( R w R a S D A m e r i c a n a p l i n , A n d r e w a n d J o h n L e a h y . M o n e t a r y P o l i c y a s a P r o c e s s o f S e a r c h . c o n o m i c R e v i e w 8 6 ( 1 9 9 6 ) , 6 8 9 - 7 0 2 . l a r i d a , R i c h a r d , J o r d i G a l i , a n d M a r k G e r t l e r . M o n e t a r y P o l i c y R u l e s a n d M a c r o e c o o m i c S t a b i l i t y : E v i d e n c e a n d S o m e T h e o r y . M i m e o ( 1 9 9 7 ) . u k i e r m a n , A l e x . W h y D o e s t h e F e d S m o o t h I n t e r e s t R a t e s ? i n M i c h a e l T . B e l o g n i a , M o n e t a r y P o li c y o n t h e 7 5 t h A n n i v e r s a r y o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m d . , ( 1 9 9 1 ) , 1 1 - 1 4 7 . i a m o n d , P e t e r . I g n o r a n c e a n d M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o ( 1 9 8 5 ) . J o u r - o o d f r i e n d , M a r v i n . I n t e r e s t R a t e S m o o t h i n g a n d P r i c e L e v e l T r e n d - S t a t i o n a r i t y . a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s 1 9 ( 1 9 8 7 ) , 3 3 5 - 3 4 8 . C a r n e g i e - o o d f r i e n d , M a r v i n . I n t e r e s t R a t e s a n d t h e C o n d u c t o f M o n e t a r y P o l i c y . o c h e s t e r C o n f e r e n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y 3 4 ( 1 9 9 1 ) , 7 - 3 0 . a n k i w , N . G r e g o r y . T h e O p t i m a l C o l l e c t i o n o f S e i g n o r a g e : T h e o r y a n d E v i d e n c e . o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s 2 0 ( 1 9 8 7 ) , 3 2 7 - 3 4 1 . a n k i w , N . G r e g o r y a n d J e (cid:11) r e y A . M i r o n . S h o u l d t h e F e d S m o o t h I n t e r e s t R a t e s ? C a r n e g i e - R o c h e s t e r S e r i e s o n P u b li c P o li c y h e C a s e o f S e a s o n a l M o n e t a r y P o l i c y . 3 4 1 9 9 1 ) , 4 1 - 7 0 . U . S . M o n e t a r y P o li c y a n d F i n a n c i a l M a r k e t s e u l e n d y k e , . N e w Y o r k : F e d e r a l R e s e r v e a n k o f N e w Y o r k ( 1 9 9 0 ) . r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s . M o n e t a r y P o l i c y R u l e s B a s e d o n R e a l - T i m e D a t a . F i n a n c e a n d c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , 1 9 9 8 - 3 . B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m 1 9 9 8 ) . o t e m b e r g , J u l i o a n d M i c h a e l W o o d f o r d . A n O p t i m i z a t i o n - B a s e d E c o n o m e t r i c F r a m e o r k f o r t h e E v a l u a t i o n o f M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o ( 1 9 9 7 ) . u d e b u s c h , G l e n n D . F e d e r a l R e s e r v e I n t e r e s t R a t e T a r g e t i n g , R a t i o n a l E x p e c t a t i o n s , J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s n d t h e T e r m S t r u c t u r e . 3 5 ( 1 9 9 5 ) , 2 4 5 - 2 7 4 . a c k , B r i a n . D o e s t h e F e d A c t G r a d u a l l y ? A V A R A n a l y s i s . F i n a n c e a n d E c o n o m i c s i s c u s s i o n S e r i e s , 1 9 9 8 - 1 7 , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m ( 1 9 9 8 ) . 2 8

[ [ [ [ [ 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 ] ] ] ] ] S D S 5 T e W R F W t o k e y , N a n c y , R o b e r t L u c a s , a y n a m i c s . C a m b r i d g e : H a r v a r d v e n s s o n , L a r s E . O . I n (cid:13) a t i o n T 9 6 2 ( 1 9 9 7 ) . a y l o r , J o h n B . D i s c r e t i o n V e r s u n c e S e r i e s o n P u b li c P o li c y 3 9 i e l a n d , V o l k e r . M o n e t a r y P o l i a t e . F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D e d e r a l R e s e r v e S y s t e m ( 1 9 9 8 ) . i l l i a m s , J o h n C . S i m p l e R u l e s R e c u r s n d E d w a r d P r e s c o t t . U n i v e r s i t y P r e s s ( 1 9 8 9 ) . a r g e t i n g : S o m e E x t e n s i o n s . N C s P o l i c y R u l e s i n P r a c t i c e . ( 1 9 9 3 ) , 1 9 5 - 2 1 4 . c y a n d U n c e r t a i n t y a b o u t t h i s c u s s i o n S e r i e s , 1 9 9 8 - 2 2 , B f o r M o n e t a r y P o l i c y . M i m e o 2 9 i v e B E a r n e N o a r ( 1 9 M R e g a d 9 e t W i e t u r o f 7 ) . h R a o d s i n o r k i n g o c h e s l U n e G o v e r t m n E c o P a p e r C p l o o r s n e o y o o r n m f m i N o f e r e n t h c . t e

A I t m t F i p e o i t m t a o t w c c i u f c f p p e n d i x : E x p e r i m e n t a t i o n a n d O p t i m a l P o l i c y n t h e m o d e l p r e s e n t e d i n s e c t i o n 2 , t h e F e d i g n o r e s t h e f a c t t h a t t h e p o l i c y r u l e c h o s e n a (cid:11) e c t s h e s p e e d a t w h i c h i t w i l l l e a r n a b o u t t h e e (cid:11) e c t i v e n e s s o f i t s p o l i c y i n s t r u m e n t . O p t i m a l o n e t a r y p o l i c y w i l l i n s t e a d b e i n (cid:13) u e n c e d b y t h e i n c e n t i v e t o o b t a i n m o r e i n f o r m a t i o n , s i n c e h i s w i l l a l l o w t h e F e d t o i m p l e m e n t m o r e s u c c e s s f u l p o l i c y i n t h e f u t u r e . I n o t h e r w o r d s , t h e e d w i l l e n g a g e i n e x p e r i m e n t a t i o n r a t h e r t h a n l e a r n p a s s i v e l y . T h i s s u b s e c t i o n e x p l o r e s t h e m p l i c a t i o n s o f a c t i v e r a t h e r t h a n p a s s i v e l e a r n i n g f o r t h e r e s u l t s r e g a r d i n g g r a d u a l m o n e t a r y o l i c y . T h e s i m p l e f o r m o f t h e u n c e r t a i n t y a s s u m e d i n s e c t i o n 2 p r o v i d e s a f r a m e w o r k i n w h i c h x p e r i m e n t a t i o n i s v e r y b e n e (cid:12) c i a l . I n p a r t i c u l a r , t h e p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g t h e t r u e s t a t e f t h e e c o n o m y i s l i n e a r i n t h e m a g n i t u d e o f t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e . O n c e t h e t r u e s t a t e s r e v e a l e d , t h e F e d c a n e x e r c i s e v e r y e (cid:11) e c t i v e c o n t r o l o v e r t h e e c o n o m y , s i n c e t h e s l o p e o f h e I S s c h e d u l e i s c o n s t a n t . I n a m o r e g e n e r a l s t r u c t u r e a n i n c r e a s e i n t h e i n t e r e s t r a t e i g h t o n l y r e v e a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y a r o u n d t h e n e w i n t e r e s t r a t e . W h i l e h e m o d e l m a y o v e r s t a t e t h e b e n e (cid:12) t s o f e x p e r i m e n t a t i o n , t h i s s t r u c t u r e d o e s s i m p l i f y t h e n a l y s i s a n d i s t h e r e f o r e m a i n t a i n e d . T h e F e d s o l v e s t h e p r o b l e m d e s c r i b e d i n e q u a t i o n ( 7 ) , o n l y n o w a c c o u n t i n g f o r t h e e (cid:11) e c t f i t s i n t e r e s t r a t e c h o i c e o n t h e p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y . T h e s o l u t i o n o t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g B e l l m a n e q u a t i o n : 2 u (cid:3) (cid:0) ( E [ Y ] (cid:0) Y ) (cid:0) V a r ( Y ) + (cid:12) (cid:1) E [ V ( Y ) ] ; ( 3 4 ) V ( Y ) = m a x t t t t t t t + 1 + 1 + 1 i (cid:1) t n o u h e r e V ( Y ) i s t h e v a l u e o f t h e p r o b l e m g i v e n t h a t t h e p o l i c y m u l t i p l i e r i s u n k n o w n . N o t l o s e d - f o r m s o l u t i o n f o r t h e c a s e w i t h e x p e r i m e n t a t i o n e x i s t s , m a k i n g i t d i (cid:14) c u l t d e r i v i n g o n d i t i o n s u n d e r w h i c h p o l i c y w i l l b e g r a d u a l . H o w e v e r , t h e a n a l y s i s t h a t f o l l o w s c h a r a c t e r z e s t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e p r o b l e m t o p r o v i d e s o m e i n s i g h t i n t o t h e o p t i m a l p o l i c y n d e r e x p e r i m e n t a t i o n . T h e s u m o f t h e (cid:12) r s t t w o t e r m s o f e q u a t i o n ( 3 4 ) e q u a l s t h e ( n e g a t i v e ) c u r r e n t l o s s f u n c t i o n 2 (cid:3) r o m t h e p o l i c y c h o i c e , w h i c h i s d e n o t e d C ( (cid:1) i ) (cid:17) ( E [ Y ] (cid:0) Y ) + V a r ( Y ) . T h i s l o s s t t t t t + 1 + 1 a n b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f c u r r e n t o u t p u t a n d t h e c h a n g e i n t h e i n t e r e s t r a t e a s o l l o w s : L H (cid:3) 2 (cid:3) C ( (cid:1) i ) = ( Y (cid:0) Y ) (cid:0) 2 ( Y (cid:0) Y ) ( P (cid:30) + ( 1 (cid:0) P ) (cid:30) ) (cid:1) i + t t t t L H 2 2 2 2 ( P ( (cid:30) ) + ( 1 (cid:0) P ) ( (cid:30) ) ) (cid:1) i + (cid:17) = 3 : ( 3 5 ) t 3 0

T t i w b c i e t T u d (cid:12) w h i s f u n c t i o n i s r e f e r r e d t o a s t h e c o s t f u n c t i o n a n d i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 7 i n r e s p o n s e o a p o s i t i v e o u t p u t d e v i a t i o n . E q u a t i o n ( 3 5 ) i n d i c a t e s t h a t t h e c o s t f u n c t i o n i s c o n v e x n t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e . I n a d d i t i o n , s i n c e t h e p r o b l e m i n s e c t i o n 2 i s c o n c e r n e d o n l y i t h m i n i m i z i n g t h i s c o s t , t h e f u n c t i o n r e a c h e s i t s m i n i m u m a t t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e g i v e n g y e q u a t i o n ( 8 ) , d e n o t e d i n t h e (cid:12) g u r e b y (cid:1) i . T h e d i a g r a m i n d i c a t e s t h e l o c a t i o n o f t h e c o m p l e t e l y - o (cid:11) s e t t i n g p o l i c y , d e n o t e d (cid:1) i , w h i c h ( a s s h o w n i n s e c t i o n 2 ) i n v o l v e s a l a r g e r g n t e r e s t r a t e c h a n g e t h a n (cid:1) i . T h e (cid:12) g u r e a l s o d i s p l a y s t h e c o n t i n u a t i o n v a l u e o f t h e p r o b l e m , g i v e n b y t h e l a s t t e r m i n q u a t i o n ( 3 4 ) . B e c a u s e i t m e a s u r e s t h e v a l u e o f a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n t h a t t h e F e d l e a r n s , h i s c o m p o n e n t i s r e f e r r e d t o a s t h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n , d e n o t e d b y B ( (cid:1) i ) (cid:17) E [ V ( Y ) ] . t t t+ 1 h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n c a p t u r e s t h e i n f o r m a t i o n a l c o m p o n e n t o f t h e p r o b l e m t h a t w a s i g n o r e d g n d e r t h e p o l i c y (cid:1) i . W h i l e t h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n c a n n o t b e d i r e c t l y c a l c u l a t e d ( s i n c e i t e p e n d s o n t h e v a l u e f u n c t i o n ) , t h e s h a p e o f t h e f u n c t i o n c a n b e c h a r a c t e r i z e d u s i n g t h e g u r e . T h e e x p e c t e d v a l u e f u n c t i o n n e x t p e r i o d i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g w e i g h t e d s u m : k u E [ V ( Y ) ] = q ( (cid:1) i ) V + ( 1 (cid:0) q ( (cid:1) i ) ) E [ V ( Y ) ] ; ( 3 6 ) t t t t t t + 1 + 1 k h e r e V i s t h e v a l u e f u n c t i o n c o n d i t i o n a l o n k n o w i n g t h e p o l i c y m u l t i p l i e r a n d q ( (cid:1) i ) i s t 3 1

t l v s t t f t (cid:1) t I t i i r f b (cid:1) t i w r p s 7 (cid:1) c q b l a p k h e p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g t h e v a l u e o f t h e m u l t i p l i e r . T h e v a l u e V i s i n d e p e n d e n t o f t h e e v e l o f o u t p u t o r t h e v a l u e o f t h e m u l t i p l i e r . O n c e t h e p o l i c y m u l t i p l i e r i s r e v e a l e d , t h e a l u e f u n c t i o n e q u a l s t h e n e g a t i v e d i s c o u n t e d s u m o f t h e v a r i a n c e o f o u t p u t a r i s i n g f r o m t h e (cid:3) 2 (cid:17) ( ) k 1 . t o c h a s t i c s h o c k s o n l y , s o t h a t V = (cid:0) (cid:12) 1 (cid:0) 3 F o r a g i v e n c h a n g e i n t h e i n t e r e s t r a t e , t h e p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g t h e t r u e p o l i c y m u l - H L (cid:30) (cid:30) i ( (cid:0) ) (cid:1) t (cid:3) i p l i e r , q ( (cid:1) i ) , i n c r e a s e s a c c o r d i n g t o q ( (cid:1) i ) = . S i n c e t h e p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g t t (cid:17) 2 (cid:3) (cid:17) 2 f h e t r u e s t a t e i s l i n e a r i n (cid:1) i , t h e r e i s a l a r g e e n o u g h i n t e r e s t r a t e c h a n g e , (cid:1) i (cid:17) , H L t (cid:30) (cid:30) (cid:0) o r w h i c h t h e F e d l e a r n s t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y w i t h c e r t a i n t y . T h e b e n e (cid:12) t f u n c k i o n i s t h e r e f o r e c o n s t a n t a n d e q u a l t o V f o r i n t e r e s t r a t e c h a n g e s e q u a l t o o r g r e a t e r t h a n f g c i . W h e r e a s t h e p o l i c i e s (cid:1) i a n d (cid:1) i d e p e n d o n t h e d e v i a t i o n o f o u t p u t f r o m t a r g e t , f h e f u l l y - r e v e a l i n g p o l i c y (cid:1) i i s i n s t e a d d e t e r m i n e d b y t h e m a g n i t u d e o f t h e s h i f t s i n t h e (cid:3) l i m i t s t h e a b i l i t y o f t h e F e d t o d i s t i n g u i s h t h e S c u r v e s . I n p a r t i c u l a r , a n i n c r e a s e i n (cid:17) w o s t a t e s a n d t h e r e f o r e r e q u i r e s a l a r g e r i n t e r e s t r a t e c h a n g e t o l e a r n w i t h c e r t a i n t y . F o r f n t e r e s t r a t e c h a n g e s s m a l l e r t h a n (cid:1) i , t h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n i s g i v e n b y t h e w e i g h t e d a v e r a g e u n ( 3 6 ) . A s s h o w n i n F i g u r e 7 , t h i s s c h e d u l e e q u a l s E [ V ( Y ) ] w h e n t h e r e i s n o i n t e r e s t t t+ 1 a t e c h a n g e , i n d i c a t e d b y p o i n t A . A s t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e i n c r e a s e s , t h e w e i g h t i n g s h i f t s u k k f r o m E [ V ( Y ) ] t o V , p l a c i n g f u l l w e i g h t o n V w h e n (cid:1) i = (cid:1) i a t p o i n t D . t t+ 1 e T h e o p t i m a l p o l i c y u n d e r e x p e r i m e n t a t i o n , d e n o t e d (cid:1) i , c o n s i d e r s b o t h t h e c o s t a n d e n e (cid:12) t o f a n i n t e r e s t r a t e c h a n g e a s m e a s u r e d i n t h e s e t w o c o m p o n e n t s . I n t h e c a s e w h e r e g f i > (cid:1) i , t h e p o l i c y u n d e r e x p e r i m e n t a t i o n w i l l i n v o l v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s n o g r e a t e r g 0 0 h a n t h e g r a d u a l p o l i c y , s i n c e B ( (cid:1) i ) = 0 a n d C ( (cid:1) i ) > 0 f o r a l l (cid:1) i > (cid:1) i . T h i s i s a l e s s n t e r e s t i n g c a s e i n w h i c h t h e g r a d u a l p o l i c y e n t a i l s l e a r n i n g t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y i t h c e r t a i n t y , s o t h a t e x p e r i m e n t a t i o n o (cid:11) e r s n o a d d i t i o n a l i n c e n t i v e t o c h a n g e i n t e r e s t a t e s . W h i l e i t i s t r u e t h a t t h e i n t e r e s t r a t e r e s p o n s e i s d a m p e d f r o m t h e u n c e r t a i n t y , t h e r o b a b i l i t y o f a c o n t i n u a t i o n i s s i m p l y e q u a l t o t h e p r o b a b i l i t y o f t h e l o w - r e s p o n s i v e n e s s g f t a t e . I t i s t h e r e f o r e a s s u m e d f r o m t h i s p o i n t o n t h a t (cid:1) i < (cid:1) i , a s d e p i c t e d i n F i g u r e 0 0 . A s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r g r a d u a l i s m i n t h i s c a s e i s t h a t (cid:12) (cid:1) B ( (cid:1) i ) < C ( (cid:1) i ) f o r a l l t t c e c i > (cid:1) i . P o l i c y w i l l n o t f u l l y o (cid:11) s e t a n o u t p u t d e v i a t i o n , o r (cid:1) i < (cid:1) i , i f t h e m a r g i n a l t c o s t o f i n c r e a s i n g t h e i n t e r e s t r a t e m o r e t h a n (cid:1) i o u t w e i g h s t h e b e n e (cid:12) t . 0 G i v e n t h e f o r m o f t h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n i n ( 3 6 ) , t h e m a r g i n a l b e n e (cid:12) t i s g i v e n b y B ( (cid:1) i ) = t u d E V Y + 1 [ ( ) ] t t k u 0 ( (cid:1) i ) V (cid:0) E [ V ( Y ) ] + ( 1 (cid:0) q ( (cid:1) i ) ) : T h e e (cid:11) e c t o f l e a r n i n g i s m e a s u r e d t t t t + 1 d i (cid:1) t k u 0 (cid:16) (cid:17) y t h e t e r m q ( (cid:1) i ) V (cid:0) E [ V ( Y ) ] , w h i c h d e p e n d s o n t h e m a r g i n a l p r o b a b i l i t y o f t t t+ 1 k u (cid:16) (cid:17) e a r n i n g a n d t h e v a l u e o f i n f o r m a t i o n , V (cid:0) E [ V ( Y ) ] . A l t h o u g h i t c a n n o t b e s o l v e d t t+ 1 (cid:16) (cid:17) n a l y t i c a l l y , a n u p p e r b o u n d c a n b e c a l c u l a t e d f o r t h e v a l u e o f i n f o r m a t i o n . C o n s i d e r a g o l i c y t h a t s e t s t h e c h a n g e i n t h e i n t e r e s t r a t e t o (cid:1) i f o r a l l p e r i o d s s (cid:21) 1 . T h i s p o l i c y i s t s + 3 2

s u b - o p t i m a l , a n d t h e r e f o r e t h e v a l u e f u n c t i o n u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y w i l l b e g r e a t e r t h a n t h e v a l u e r e a l i z e d f r o m t h e a l t e r n a t i v e p o l i c y . I t c a n b e s h o w n t h a t u n d e r t h e a l t e r n a t i v e p o l i c y , t h e e x p e c t e d s q u a r e d d e v i a t i o n o f f u t u r e o u t p u t w i l l b e g i v e n b y n (cid:3) 2 (cid:0) 1 ( (cid:17) ) 1 (cid:0) (cid:3) n (cid:3) 2 (cid:0) 1 (cid:3) 2 ( Y (cid:0) Y ) = (cid:3) ( Y (cid:0) Y ) + E ; ( 3 7 ) t n t t + + 1 + 1 3 1 (cid:0) (cid:3) " # h i 2 H L P P (cid:30) (cid:30) ( 1 (cid:0) ) ( (cid:0) ) 2 2 w h e r e (cid:3) = . U s i n g t h i s e x p r e s s i o n , a n d a s s u m i n g t h a t t h e t r u e m u l t i p l i e r L H P (cid:30) P (cid:30) ( ) + ( 1 (cid:0) ) ( ) i s n e v e r r e v e a l e d , a l o w e r b o u n d f o r t h e v a l u e f u n c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d a s t h e d i s c o u n t e d s u m o f t h e t e r m s i n ( 3 7 ) : (cid:3) 2 (cid:3) 1 ( (cid:17) ) u (cid:3) 2 ( Y ) = (cid:0) ( Y (cid:0) Y ) (cid:0) : ( 3 8 ) V t t + 1 + 1 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) 3 ( 1 (cid:0) (cid:12) ) ( 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) ) B e c a u s e i t l i e s b e l o w t h e v a l u e f u n c t i o n f o r e v e r y v a l u e o f Y , t h e e x p e c t e d v a l u e f u n c t i o n t+ 1 u u ( Y ) ] , a s s h o w n i n F i g u r e 7 . T h i s n e x t p e r i o d E [ V ( Y ) ] i s b o u n d e d f r o m b e l o w b y E [ V t t t t + 1 + 1 l o w e r b o u n d f o r t h e v a l u e f u n c t i o n p l a c e s a n u p p e r b o u n d o n t h e v a l u e o f i n f o r m a t i o n : (cid:3) 2 ( (cid:17) ) (cid:3) (cid:12) (cid:3) k u (cid:3) 2 + V (cid:0) E [ V ( Y ) ] (cid:20) E ( Y (cid:0) Y ) : ( 3 9 ) t t t t + 1 + 1 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) 3 ( 1 (cid:0) (cid:12) ) ( 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) ) " # i (cid:16) (cid:17) h T h e i n c r e a s i n g p r o b a b i l i t y o f l e a r n i n g a n d t h e p o s i t i v e v a l u e o f i n f o r m a t i o n t e n d t o m a k e t h e b e n e (cid:12) t f u n c t i o n u p w a r d s l o p i n g i n (cid:1) i . T h e i n c e n t i v e t o l e a r n l e a d s t o a m o r e a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e p o l i c y b e c a u s e l a r g e r i n t e r e s t r a t e c h a n g e s p r o v i d e a b e t t e r s i g n a l a b o u t t h e t r u e 2 2 m u l t i p l i e r , a p o i n t m a d e i n a s i m i l a r c o n t e x t b y B e r t o c c h i a n d S p a g a t ( 1 9 9 3 ) . H o w e v e r , t h e i n c e n t i v e t o l e a r n w i l l n o t n e c e s s a r i l y o u t w e i g h t h e u n c e r t a i n t y t h a t i s g e n e r a t e d f r o m m o r e a g g r e s s i v e i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . I n f a c t , c o n s i d e r t h e m a r g i n a l i n c e n t i v e t o l e a r n a n d c t h e m a r g i n a l c o s t a s s o c i a t e d w i t h a n i n t e r e s t r a t e c h a n g e e q u a l t o (cid:1) i . I t c a n b e s h o w n t h a t c k u c 0 0 (cid:12) (cid:1) q ( (cid:1) i ) (cid:0) E [ V ( Y ) ] ( (cid:1) i ) i f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n h o l d s : V < C t t+ 1 (cid:16) (cid:17) (cid:3) 2 (cid:12) (cid:3) ( (cid:17) ) (cid:12) (cid:3) (cid:3) f (cid:3) 2 < 2 (cid:1) i (cid:0) ( Y (cid:0) Y ) : ( 4 0 ) t ( 1 (cid:0) (cid:12) ) ( 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) ) 3 1 (cid:0) (cid:12) (cid:3) 1 (cid:0) (cid:3) ! 2 H L P P (cid:30) (cid:30) ( 1 (cid:0) ) ( (cid:0) ) C V 2 T h e f r a c t i o n (cid:3) , a s d e (cid:12) n e d a b o v e , i s e q u a l t o , w h e r e C V (cid:17) i s t h e L H C V P (cid:30) P (cid:30) 1 (cid:0) ( + ( 1 (cid:0) ) ) c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n o f t h e p o l i c y m u l t i p l i e r . A s t h e v a r i a n c e o f t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y r e l a t i v e t o t h e m e a n e (cid:11) e c t o f p o l i c y i n c r e a s e s f r o m z e r o t o i n (cid:12) n i t y , t h e f r a c t i o n (cid:3) i n c r e a s e s f r o m 0 t o 2 2 I n t h e ir m o d e l, t h e c h a n g e in t h e p o lic y in s t r u m e n t u n d e r t h e o p t im a l p o lic y w ill a lw a y s b e a t le a s t a s la r g e a s t h a t in t h e m y o p ic c a s e . A s im ila r d e (cid:12) n it iv e r e s u lt c a n n o t b e o b t a in e d h e r e b e c a u s e t h e c h o ic e o f t h e p o lic y in s t r u m e n t a ls o a (cid:11) e c t s t h e v a lu e fu n c t io n w h e n t h e m u lt ip lie r is n o t r e v e a le d . 3 3

1 . A s (cid:3) a p p r o a c h e s 1 , t h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 4 0 ) a p p r o a c h e s a (cid:12) n i t e l i m i t , w h i l e t h e r i g h t - h a n d s i d e h a s n o l i m i t . E q u a t i o n ( 4 0 ) t h e r e f o r e i m p l i e s t h a t t h e r e e x i s t s a c o e (cid:14) c i e n t o f v a r i a t i o n s u (cid:14) c i e n t l y l a r g e s u c h t h a t t h e b e n e (cid:12) t o f l e a r n i n g a t t h e c o m p l e t e l y - o (cid:11) s e t t i n g f p o l i c y w i l l b e b e l o w t h e c o s t o f i m p l e m e n t i n g t h a t p o l i c y , a s l o n g a s (cid:1) i i s l a r g e e n o u g h . F u r t h e r m o r e , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e m a r g i n a l i n c e n t i v e t o l e a r n w i l l b e b e l o w t h e m a r g i n a l (cid:12) c f 1 a n d c o s t o f p o l i c y f o r a l l i n t e r e s t r a t e c h a n g e s (cid:1) i (cid:21) (cid:1) i u n d e r t h e c o n d i t i o n s (cid:1) i > (cid:12) 2 1 (cid:0) 2 (cid:12) < . 3 T h e s e c o n d i t i o n s a r e s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e m a r g i n a l v a l u e o f l e a r n i n g t o f a l l b e l o w t h e m a r g i n a l c o s t f o r i n t e r e s t r a t e c h a n g e s l a r g e e n o u g h t o r e a c h t h e d e s i r e d l e v e l o f o u t p u t . T h e s e c o n d i t i o n s m a y b e m u c h s t r o n g e r t h a n r e q u i r e d b e c a u s e a s t h e y a r e d e r i v e d u s i n g a n u p p e r b o u n d t h a t m a y i m p r e c i s e l y r e (cid:13) e c t t h e b e n e (cid:12) t o f l e a r n i n g . H o w e v e r , t h e s e c o n d i t i o n s r e (cid:13) e c t t h e t y p e o f r e s t r i c t i o n s t h a t m a y i n g e n e r a l m a k e g r a d u a l i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s m o r e d e s i r a b l e | l a r g e a m o u n t s o f u n c e r t a i n t y o v e r t h e e (cid:11) e c t o f p o l i c y , a h i g h r a t e o f d i s c o u n t i n g , f a n d a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h l e a r n i n g i s d i (cid:14) c u l t ( a l a r g e (cid:1) i ) . I n a d d i t i o n , n o t e t h a t t h e s e c o n d i t i o n s o n l y e n s u r e t h a t t h e m a r g i n a l i n c e n t i v e t o l e a r n i s b e l o w t h e c o s t o f i n t e r e s t r a t e c h a n g e s . T h e m a r g i n a l b e n e (cid:12) t o f a n i n t e r e s t r a t e c h a n g e h a s a n a d d i t i o n a l c o m p o n e n t i n v o l v i n g t h e e (cid:11) e c t o f t h e i n t e r e s t r a t e c h a n g e w h e n t h e F e d d o e s n o t l e a r n t h e m u l t i p l i e r , d E V + 1 [ ] t c . T h e f a c t t h a t i n t e r e s t r a t e c h a n g e s g r e a t e r t h a t (cid:1) i a r e e x p e c t e d t o m o v e o u t p u t i (cid:1) t f a r t h e r a w a y f r o m t h e o u t p u t t a r g e t w i l l t e n d t o m a k e t h i s c o m p o n e n t n e g a t i v e . H o w e v e r , n o a n a l y t i c a l r e s u l t c a n b e o b t a i n e d w i t h o u t k n o w i n g t h e s h a p e o f t h e v a l u e f u n c t i o n , s i n c e t h e c o n v e x i t y o f t h e v a l u e f u n c t i o n m u s t a l s o b e c o n s i d e r e d . 3 4

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APA
Brian Sack (1998). Uncertainty, Learning, and Gradual Monetary Policy (FEDS 1998-34). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-34
BibTeX
@techreport{wtfs_feds_1998_34,
  author = {Brian Sack},
  title = {Uncertainty, Learning, and Gradual Monetary Policy},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1998-34},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1998},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-34},
  abstract = {This paper argues that interest-rate smoothing may be optimal when the effect of monetary policy is uncertain. A model is presented in which the Federal Reserve rationally learns about the policy multiplier by observing the reaction of the economy to recent choices of the interest rate. As a result of this learning process, the Fed faces greater uncertainty about the impact of its policy as it moves the interest rate away from its previous level. The optimal policy response to macroeconomic developments therefore involves gradual adjustment of the interest rate over a period of time during which the Fed is learning about the effect of its policy; consistent with the smoothness of interest rate movements found in estimated policy rules. The model also suggests that periods of active interest rate movements, by allowing the Fed to learn more effectively, may be followed by a more aggressive policy rule.},
}