feds · July 31, 1998

Adjustment Costs of Investment in General Equilibrium: Analytic Results

Abstract

It has been widely known that a neoclassical growth model with sufficient increasing returns in production may feature an indeterminate steady state. This note shows how investment adjustment costs increase the required degree of increasing returns for indeterminacy to arise. We also argue that sector-specific externalities are observationally equivalent to negative adjustment costs.

4 n S 5 o y (cid:3) F 2 - 2 t b s t e e 7 e m I n d e t e r m i n a c y a n d I n v e s t m e n t A d j u s t m e n t C o s t s (cid:3) J i n i l l K i m F i r s t d r a f t : F e b r u a r y 1 9 9 7 T h i s d r a f t : M a r c h 3 0 , 1 9 9 8 A b s t r a c t I t h a s b e e n w i d e l y k n o w n t h a t a n e o c l a s s i c a l g r o w t h m o d e l w i t h s u (cid:14) c i e n t i n c r e a s i n g r e t u r n s i n p r o d u c t i o n m a y f e a t u r e a n i n d e t e r m i n a t e s t e a d y s t a t e . T h i s n o t e s h o w s h o w i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s i n c r e a s e t h e r e q u i r e d d e g r e e o f i n c r e a s i n g r e t u r n s f o r i n d e t e r m i n a c y t o a r i s e . W e a l s o a r g u e t h a t s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s a r e o b s e r v a t i o n a l l y e q u i v a l e n t t o n e g a t i v e a d j u s t m e n t c o s t s . K e y w o r d s : I n d e t e r m i n a c y , I n v e s t m e n t A d j u s t m e n t C o s t s , T w o - S e c t o r M o d e l s . J E L c la s s i (cid:12) c a t i o n : E 2 2 , E 3 2 , O 4 1 . d e r a l R e s e r v e B o a r d , M a il S t o p 6 1 , W a s h in g t o n , D .C . 2 0 5 5 1 . T e le p h o n e : j k i m @ f r b . g o v 1 5 . E - m a il: . T h is n o t e r e p r e s e n t s t h e v ie w o f t h e a u t h o r a n d in t e r p r e t e d a s r e (cid:13) e c t in g t h e v ie w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R o r o t h e r m e m b e r s o f it s s t a (cid:11) . 1 ( 2 s h o e s e 0 u r 2 ) ld v e

1 I n t r o d u c t i o n I t h a s b e e n s h o w n t h a t a n e o c l a s s i c a l g r o w t h m o d e l w i t h s u (cid:14) c i e n t i n c r e a s i n g r e t u r n s i n p r o d u c t i o n m a y p o s s e s s a n i n d e t e r m i n a t e s t e a d y s t a t e , w h i c h c a n 1 b e e x p l o i t e d t o g e n e r a t e e n d o g e n o u s b u s i n e s s c y c l e (cid:13) u c t u a t i o n s . T h i s n o t e s h o w s h o w i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s i n t e r a c t w i t h i n c r e a s i n g r e t u r n s i n g e n e r a t i n g i n d e t e r m i n a c y . T h e i n t r o d u c t i o n o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s m a k e s i t d i (cid:14) c u l t f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r . T h a t i s , t h e r e q u i r e d d e g r e e o f i n c r e a s i n g r e t u r n s i s h i g h e r i n t h e p r e s e n c e o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s . F u r t h e r m o r e , m o d e l s w i t h l a r g e e n o u g h a d j u s t m e n t c o s t s w o u l d n e v e r f e a t u r e i n d e t e r m i n a c y . S o m e i n t u i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f i n d e t e r m i n a c y h a s b e e n p r o v i d e d i n 2 t h e c o n t e x t o f t h e l a b o r m a r k e t . I n c r e a s i n g r e t u r n s m i g h t j u s t i f y h o u s e h o l d s ’ o p t i m i s m o f m a r k e t r e t u r n s o n l a b o r , w h i c h w o u l d t h e n i n d u c e b o t h h i g h e r e m p l o y m e n t a n d a h i g h e r w a g e r a t e . I n a m o d e l w i t h o u t i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s , t h e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r i n d e t e r m i n a c y i s t h a t t h e l a b o r d e m a n d s c h e d u l e i s u p w a r d s l o p i n g a n d i s s t e e p e r t h a n t h e l a b o r s u p p l y c u r v e . T h e c o n c e p t o f a d j u s t m e n t c o s t s h a s b e e n w i d e l y u s e d i n t h e i n v e s t m e n t 3 l i t e r a t u r e . I n a p a r t i a l - e q u i l i b r i u m m o d e l w i t h o u t i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s , t h e d e c i s i o n o n t h e c a p i t a l s t o c k i s s t a t i c a n d s o i n v e s t m e n t b e c o m e s i n (cid:12) n i t e l y v o l a t i l e . G e n e r a l - e q u i l i b r i u m m o d e l s h a v e i n t r o d u c e d v a r i o u s f o r m s o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s t o i m p r o v e t h e p r o p e r t i e s o f t h e m o d e l , s u c h a s t h e p e r s i s t e n c e . T h i s n o t e s h o w s t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s , w h i l e l e a v i n g t h e l a b o r m a r k e t e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n i n t a c t , c h a n g e s t h e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r i n d e t e r m i n a c y . T h a t i s , t h e i n t u i t i o n f r o m t h e l a b o r m a r k e t d o e s n o t h o l d i n a m o d e l w i t h i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s . A m o r e i n t e r e s t i n g r e s u l t i s t h a t t h e p r e s e n c e o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s m a k e s i t l e s s l i k e l y f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r . T h e l a r g e r t h e a d j u s t m e n t c o s t s , t h e l a r g e r t h e r e q u i r e d d e g r e e o f i n c r e a s i n g r e t u r n s . T h e r e m a i n d e r o f t h i s n o t e i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 d e s c r i b e s t h e m o d e l w i t h i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s . I n s e c t i o n 3 , t h e d y n a m i c s o f t h e 1 B e n h a b ib a n d F a r m e r ( 1 9 9 7 ) r e v ie w t h e lit e r a t u r e o n in d e t e r m in a c y a n d s u n s p o t s fr o m t h e p e r s p e c t iv e o f m a c r o e c o n o m ic s . 2 S e e B e n h a b ib a n d F a r m e r ( 1 9 9 4 ) a n d t h e r e fe r e n c e s in B e n h a b ib a n d F a r m e r ( 1 9 9 7 ) . 3 K im ( 1 9 9 7 a ) r e v ie w s t h e lit e r a t u r e o n in v e s t m e n t a d ju s t m e n t c o s t s fr o m a m a c r o e c o n o m ic p e r s p e c t iv e . 2

m i o 2 W c 2 T o w a m B w t w p t W s m p p o d e l a r e a n a l y z e d a n d a n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r i n d e t e r m i n a c y s d e r i v e d . W e a l s o r e l a t e t h e d y n a m i c s o f s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s t o t h o s e f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s . S e c t i o n 4 c o n c l u d e s . T h e E c o n o m y e d e v e l o p a m o d e l t h a t i n t r o d u c e s i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s i n t o t h e o n t i n u o u s - t i m e f r a m e w o r k o f B e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 4 ) . . 1 F i r m s h e r e i s a c o n t i n u u m o f i d e n t i c a l (cid:12) r m s , w i t h t h e t o t a l n u m b e r n o r m a l i z e d t o n e . T h e a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s (cid:11) (cid:12) Y = K L ; (cid:11) > 0 ; (cid:12) > 0 ; ( 1 ) h e r e Y ; K , a n d L r e p r e s e n t t o t a l o u t p u t , t h e a g g r e g a t e s t o c k o f c a p i t a l , a n d 4 g g r e g a t e l a b o r h o u r s , r e s p e c t i v e l y . U n l i k e s t a n d a r d n e o c l a s s i c a l g r o w t h o d e l s , w e a l l o w t h e t w o p a r a m e t e r s (cid:11) a n d (cid:12) t o s u m t o m o r e t h a n o n e . e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 4 ) d e s c r i b e t w o e n v i r o n m e n t s t h a t a r e c o n s i s t e n t 5 i t h ( 1 ) . T h i s n o t e a d o p t s t h e m o d e l w i t h p r o d u c t i o n e x t e r n a l i t i e s . E q u a t i o n ( 1 ) r e p r e s e n t s t h e s o c i a l t e c h n o l o g y a n d m a y b e d e r i v e d f r o m h e p r i v a t e t e c h n o l o g y o f c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e : a b Y = X K L ; a > 0 ; b > 0 ; a + b = 1 ; ( 2 ) i i i h e r e t h e s u b s c r i p t i d e n o t e s t h e i n d i v i d u a l (cid:12) r m . T h e t e r m X r e p r e s e n t s r o d u c t i o n e x t e r n a l i t i e s t h a t a r e t a k e n a s e x o g e n o u s b y e a c h (cid:12) r m . W e a s s u m e h a t t h e e x t e r n a l i t i e s a r e s u c h t h a t (cid:24) a b (cid:21) X = K L ; (cid:24) 0 : ( 3 ) (cid:16) (cid:17) h e n (cid:24) = 0 , t h e m o d e l r e d u c e s t o t h e s t a n d a r d m o d e l w i t h a g g r e g a t e c o n t a n t r e t u r n s t o s c a l e . F o l l o w i n g t h e m a c r o e c o n o m i c c o n v e n t i o n o f a s y m e t r i c e q u i l i b r i u m , w e s u b s t i t u t e ( 3 ) i n t o ( 2 ) t o o b t a i n t h e s o c i a l p r o d u c t i o n 4 F o r n o t a t io n a l s im p lic it y , t h e t im e d e p e n d e n c e o f t h e v a r ia b le s is s u p p r e s s e d . 5 A n a lt e r n a t iv e s p e c i(cid:12) c a t io n in c o r p o r a t e s in c r e a s in g r e t u r n s in a m o n o p o lis t ic a lly c o m e t it iv e e c o n o m y . K im ( 1 9 9 7 b ) r e v ie w s t h r e e t y p e s o f in c r e a s in g r e t u r n s fr o m a c r it ic a l e r s p e c t iv e . 3

f W n p w 2 T w i r w i w s T o e u n c t i o n ( 1 ) b y d e (cid:12) n i n g (cid:11) (cid:12) = = 1 + (cid:24) : a b e a l s o a s s u m e t h a t e x t e r n a l i t i e s a r e n o t s t r o n g e n o u g h t o g e n e r a t e e n d o g e o u s g r o w t h , i . e . (cid:11) < 1 . U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t f a c t o r m a r k e t s a r e p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e , r o (cid:12) t m a x i m i z a t i o n c o n d i t i o n s a r e Z K W L = = Y ; a b h e r e Z i s t h e r e n t a l r a t e o f c a p i t a l a n d W i s t h e r e a l w a g e . . 2 H o u s e h o l d s w i t h o u t A d j u s t m e n t C o s t s h e r e p r e s e n t a t i v e h o u s e h o l d m a x i m i z e s 1 + (cid:31) 1 L (cid:0) (cid:26) t (cid:21) (cid:0) e d t ; (cid:31) 0 ; (cid:26) > 0 ; ( 4 ) l o g C 0 1 + (cid:31) ! Z h e r e C i s c o n s u m p t i o n . P a r a m e t e r s (cid:31) a n d (cid:26) r e p r e s e n t t h e i n v e r s e o f t h e n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n f o r l a b o r s u p p l y a n d t h e d i s c o u n t r a t e , e s p e c t i v e l y . T h e h o u s e h o l d b u d g e t c o n s t r a i n t i s C + I = Z K + W L ; ( 5 ) h e r e I i s t h e g r o s s i n v e s t m e n t . T h e h o u s e h o l d a c c u m u l a t e s c a p i t a l a c c o r d n g t o _ (cid:0) K = I (cid:14) K ; 0 < (cid:14) < 1 ; K ( 0 ) g i v e n , ( 6 ) h e r e (cid:14) i s t h e c a p i t a l d e p r e c i a t i o n r a t e . T h e f a c t o r p r i c e s a r e t a k e n a s g i v e n . I n t h i s e c o n o m y w i t h o u t a d j u s t m e n t c o s t s , B e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 4 ) h o w t h a t t h e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r i n d e t e r m i n a c y i s (cid:0) (cid:12) 1 > (cid:31) : ( 7 ) h i s c o n d i t i o n m e a n s t h a t t h e l a b o r d e m a n d s c h e d u l e s l o p e s u p a s a f u n c t i o n f t h e r e a l w a g e a n d i s s t e e p e r t h a n t h e l a b o r s u p p l y c u r v e . T h e l a b o r m a r k e t q u i l i b r i u m c o n d i t i o n i s (cid:0) 1 (cid:11) (cid:12) (cid:31) b K L = W = C L : ( 8 ) 4

T h i s i n t u i t i o n f r o m t h e l a b o r m a r k e t e q u i l i b r i u m h a s b e e n u s e d w i d e l y i n t h e l i t e r a t u r e o n i n d e t e r m i n a c y . H o w e v e r , w e w i l l s e e t h a t t h e r e a r e p i t f a l l s i n t h i s i n t e r p r e t a t i o n . I n a m o d e l w i t h i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s , t h e l a b o r m a r k e t e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n ( 8 ) r e m a i n s u n c h a n g e d b u t t h e c o n d i t i o n f o r i n d e t e r m i n a c y i s d i (cid:11) e r e n t f r o m ( 7 ) . 2 . 3 H o u s e h o l d s w i t h A d j u s t m e n t C o s t s T h e l i t e r a t u r e o n i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s h a s i n t r o d u c e d t h e c o s t s i n v a r i o u s p l a c e s . I n t h e c o n t e x t o f o u r m o d e l , t h e b u d g e t c o n s t r a i n t ( 5 ) m a y i n c o r p o r a t e s u c h c o s t s a s f o l l o w s , I I (cid:0) C + 1 + h I = 1 h ( Z K + W L ) ; a b K K (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) a n d t h e c a p i t a l a c c u m u l a t i o n e q u a t i o n ( 6 ) m a y b e m o d i (cid:12) e d s u c h t h a t I I _ (cid:0) (cid:0) K = 1 h I (cid:14) + h K ; c d K K (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) w h e r e t h e f o u r c o s t f u n c t i o n s f o l l o w c e r t a i n r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , a s s t a t e d i n A b e l a n d B l a n c h a r d ( 1 9 8 3 ) . I n t h i s n o t e , w e a d o p t a n a l t e r n a t i v e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f c o n s t a n t e l a s t i c i t y a s f o l l o w s : 1 (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:30) (cid:30) I (cid:0) 1 (cid:30) _ (cid:0) (cid:0) (cid:21) K = (cid:14) + ( 1 (cid:14) ) K K ; (cid:30) 0 : ( 9 ) (cid:14) " # (cid:18) (cid:19) A s p e c i a l c a s e o f (cid:30) = 0 c o r r e s p o n d s t o t h e l i n e a r c a p i t a l a c c u m u l a t i o n i n ( 6 ) . T h i s c o n s t a n t - e l a s t i c i t y s p e c i (cid:12) c a t i o n , c o m b i n e d w i t h t h e b u d g e t c o n s t r a i n t w i t h o u t a d j u s t m e n t c o s t s ( 5 ) , g e n e r a t e s t h e d y n a m i c s e q u i v a l e n t t o t h o s e 6 f r o m a m o d e l u s i n g h ’ s . 6 K im ( 1 9 9 7 a ) s h o w s t h a t t h e e q u iv a le n c e h o ld s w h e n is a lin e a r fu n c t io n o f t h e fo u r (cid:30) 0 s e c o n d d e r iv a t iv e s o f ’s a t t h e s t e a d y s t a t e . A k e y a s s u m p t io n is t h a t ( ) = ( ) = 0 h h (cid:14) h (cid:14) fo r a ll fo u r ’s . h 5

3 3 T w E r ( T t F l w e 5 r o T h e D y n a m i c s . 1 A n a l y s i s o f t h e D y n a m i c s h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n s o f t h e e c o n o m y w i t h a d j u s t m e n t c o s t s b Y (cid:31) C L = ; L _ _ C a Y K I (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; = K [ 1 ( 1 (cid:14) ) K ] (cid:26) I K C K K I h e r e (cid:30) (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:30) (cid:30) I (cid:0) (cid:0) 1 (cid:30) (cid:30) (cid:0) (cid:14) K = K + ( 1 (cid:14) ) K ; K (cid:14) " # (cid:18) (cid:19) (cid:30) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:30) (cid:30) (cid:30) I I (cid:0) 1 (cid:30) (cid:0) (cid:14) + ( 1 (cid:14) ) K K = : I (cid:14) (cid:14) # " (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) q u a t i o n ( 1 0 ) e q u a t e s t h e s l o p e o f t h e h o u s e h o l d i n d i (cid:11) e r e n c e c a l w a g e a n d ( 1 1 ) i s t h e c o n s u m p t i o n E u l e r e q u a t i o n . T h e b u d g e ) m a y b e r e w r i t t e n a s C + I = Y : h e e q u i l i b r i u m i s c h a r a c t e r i z e d b y (cid:12) v e e q u a t i o n s , ( 1 ) a n d ( 9 ) { a n s v e r s a l i t y c o n d i t i o n . T h e s y s t e m c a n b e r e d u c e d t o a b i v a r i a t e (cid:12) r s t - o r d e r s y s t e m i r s t , L i s e l i m i n a t e d f r o m t h e s y s t e m b y c o m b i n i n g ( 1 ) a n d ( 1 0 w e r - c a s e l e t t e r s f o r t h e l o g a r i t h m i c o f t h e v a r i a b l e s , w e h a v e (cid:0) y k = (cid:21) + (cid:20) k + (cid:13) c ; h e r e (cid:12) l o g b (cid:21) = ; (cid:0) (cid:0) (cid:31) ( (cid:12) 1 ) (cid:11) ( 1 + (cid:31) ) (cid:0) (cid:20) = 1 ; (cid:0) (cid:0) (cid:31) ( (cid:12) 1 ) (cid:0) (cid:12) (cid:13) = : (cid:0) (cid:0) (cid:31) ( (cid:12) 1 ) 6 a r e u r v t c o ( 1 2 a s ) . D ( ( e t o n s t r a ( ) , a n f o l l o e n o t 1 0 ) 1 1 ) t h e i n t 1 2 ) d a w s . i n g

U s w R t (cid:0) w 3 P w I I y e t n s i n g t h i s r e l a t i o n a n d ( 1 2 ) , w e a p p r o x i m a t e ( 9 ) a n d ( 1 1 ) a s a n a u t o n o m s t e m o f k a n d c : (cid:0) + + + (cid:21) (cid:20) k (cid:13) c k c _ (cid:0) (cid:0) k = e e (cid:14) ; _ _ (cid:0) + + (cid:21) (cid:20) k (cid:13) c (cid:30) k (cid:30) k _ (cid:14) _ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) _c = a e e 1 ( 1 (cid:14) ) e (cid:26) + (cid:30) k ; (cid:14) h i h e r e (cid:0) 1 (cid:14) (cid:30) : (cid:30) = (cid:14) (cid:14) ! __ e p l a c i n g k w i t h t h e d e r i v a t i v e o f t h e (cid:12) r s t e q u a t i o n a n d l i n e a r i z i n g t h e m , w e h a v e _ (cid:22) (cid:0) (cid:0) k = ~(cid:20) k k + ~(cid:13) ( c (cid:22)c ) ; (cid:16) (cid:17) _ (cid:22) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:30) ~(cid:20) k + ( 1 (cid:30) ~(cid:13) ) _c = [ ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:20) (cid:30) (cid:26) ~(cid:20) ] k k + [ ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:13) (cid:30) (cid:26) ~(cid:13) ] (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:16) (cid:17) h e r e (cid:0) (cid:26) + b (cid:14) (cid:26) (cid:31) + (cid:14) ( (cid:12) 1 ) + ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:26) + (cid:14) (cid:20) + = ; ~(cid:20) = (cid:0) (cid:0) a a (cid:31) ( (cid:12) 1 ) (cid:0) (cid:26) + b (cid:14) ( (cid:26) + b (cid:14) ) (cid:31) + a (cid:14) ( (cid:12) 1 ) + ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:26) + (cid:14) (cid:0) (cid:13) = : ~(cid:13) = (cid:0) (cid:0) a a a [ (cid:31) ( (cid:12) 1 ) ] . 2 N e c e s s a r y a n d S u (cid:14) c i e n t C o n d i t i o n r e m u l t i p l y i n g t h e i n v e r s e o f t h e c o e (cid:14) c i e n t m a t r i x o f t h e d o t t e d v a r i a i t h t h e c o e (cid:14) c i e n t m a t r i x o f t h e l e v e l v a r i a b l e s , w e h a v e t h e J a c o b i a n : (cid:0) (cid:0) 1 ~(cid:20) ( 1 (cid:30) ~(cid:13) ) ~(cid:13) ( 1 (cid:30) ~(cid:13) ) (cid:14) (cid:14) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:20) (cid:30) ~(cid:20) ( (cid:26) ~(cid:20) ) ( (cid:26) + (cid:14) ) (cid:13) (cid:30) ~(cid:13) ( (cid:26) ~(cid:20) ) (cid:14) (cid:14) 1 (cid:30) ~(cid:13) (cid:14) " # s t r a c e a n d d e t e r m i n a n t a r e g i v e n b y a ( (cid:26) + (cid:14) ) ( 1 + (cid:31) ) (cid:24) T r = + (cid:26) ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) a [ (cid:31) ( (cid:12) 1 ) ] + (cid:30) [ ( (cid:26) + b (cid:14) ) (cid:31) + a (cid:14) ( (cid:12) 1 ) + ( (cid:26) + (cid:14) ) ] (cid:14) (cid:0) ( 1 + (cid:31) ) ( 1 (cid:11) ) ( (cid:26) + (cid:14) ) ( (cid:26) + b (cid:14) ) D e t (cid:0) = : (cid:0) (cid:0) (cid:0) a [ (cid:31) ( (cid:12) 1 ) ] + (cid:30) [ ( (cid:26) + b (cid:14) ) (cid:31) + a (cid:14) ( (cid:12) 1 ) + ( (cid:26) + (cid:14) ) ] (cid:14) N o w w e a r e r e a d y t o c a l c u l a t e t h e n e c e s s a r y a n d s u (cid:14) c i e n t c o n d i t d e t e r m i n a c y a r i s e s i f a n d o n l y i f t h e p a r a m e t e r v a l u e s s a t i s f y t h e f o l l o w 7 o u s s y s - (cid:0) ( c b l e s i o n . i n g (cid:22)c ) ;

t w o c o n d i t i o n s : (cid:0) (cid:26) + (cid:14) ( 1 (cid:14) ) (cid:30) (cid:0) (cid:12) 1 > (cid:31) + ( 1 + (cid:31) ) ; (cid:0) (cid:0) a (cid:14) 1 ( 1 (cid:14) ) (cid:30) ! a n d (cid:0) 1 (cid:0) (cid:30) < ( 1 (cid:14) ) : S i n c e t h e d e t e r m i n a n t p a s s e s t h r o u g h m i n u s i n (cid:12) n i t y t o p l u s i n (cid:12) n i t y , t h e c o n d i t i o n i n v o l v i n g t h e t r a c e i s n o t b i n d i n g . T h e (cid:12) r s t c o n d i t i o n m a y b e r e w r i t t e n a s (cid:0) 1 + (cid:31) (cid:26) + (cid:14) ( 1 (cid:14) ) (cid:30) (cid:3) (cid:0) (cid:17) (cid:24) > 1 + 1 (cid:24) ; (cid:0) (cid:0) b a (cid:14) 1 ( 1 (cid:14) ) (cid:30) " ! # (cid:18) (cid:19) w h i c h s a y s t h a t t h e d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s r e q u i r e d f o r i n d e t e r m i n a c y t o (cid:3) o c c u r ( (cid:24) ) i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s ( (cid:30) ) . I n t u i t i v e l y s p e a k i n g , l e s s (cid:13) e x i b i l i t y d u e t o a d j u s t m e n t c o s t s s h o u l d b e o (cid:11) s e t b y m o r e (cid:13) e x i b i l i t y i n i n c r e a s i n g r e t u r n s f o r o p t i m i s m t o b e s e l f - f u l (cid:12) l l i n g . F u r t h e r m o r e , t h e r e q u i r e d d e g r e e i n c r e a s e s v e r y f a s t s i n c e i t i s a r a t i o n a l f u n c t i o n i n t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s . T h e s e c o n d c o n d i t i o n s a y s t h a t (cid:0) 1 (cid:0) t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s s h o u l d b e l e s s t h a n ( 1 (cid:14) ) . I n t e r m s o f q - r e g r e s s i o n s , t h e e l a s t i c i t y o f ( I = K ) w i t h r e s p e c t t o q s h o u l d b e l a r g e r t h a n (cid:0) 1 (cid:0) u n i t y . A s t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s a p p r o a c h e s ( 1 (cid:14) ) , t h e r e q u i r e d d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s d i v e r g e s t o i n (cid:12) n i t y . W e n ( i n p r e s s ) a l s o s h o w s t h e p o s i t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e q u i r e d (cid:3) d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s ( (cid:24) ) a n d t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s ( (cid:30) ) . H o w e v e r , t h e r e l a t i o n i s n o t a n a l y t i c a l l y d e r i v e d a n d s o t h e p a p e r d o e s n o t c o m m e n t o n t h e u p p e r b o u n d o f (cid:30) f o r i n d e t e r m i n a c y t o a r i s e . F u r t h e r m o r e , h i s c o n c l u s i o n t h a t t h e o s c i l l a t i o n m e c h a n i s m i s p r e s e r v e d e v e n u n d e r a u n i q u e e q u i l i b r i u m d e p e n d s o n t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n t h a t a d j u s t m e n t c o s t s a r e a f u n c t i o n o f t h e (cid:12) r s t d i (cid:11) e r e n c e i n i n v e s t m e n t . I n o u r m o d e l w h e r e t h e c h a n g e o f t h e c a p i t a l s t o c k d e t e r m i n e s t h e c o s t s , t h e o s c i l l a t i o n m e c h a n i s m d i s a p p e a r s t o g e t h e r w i t h i n d e t e r m i n a c y . T o p r o v i d e a n i d e a o f t h e s e n s i t i v i t y o f t h e r e q u i r e d d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g 7 p a r a m e t e r i z a t i o n , w h i c h i s f a v o r a b l e f o r i n d e t e r m i n a c y t o a r i s e . 7 T h is p a r a m e t e r iz a t io n fo llo w s B e n h a b ib a n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) e x c e p t fo r t h e in d iv is ib le la b o r s p e c i(cid:12) c a t io n ( = 0 ) . (cid:31) 8

P a r a m e t e r a b (cid:31) (cid:26) (cid:14) C a l i b r a t e d v a l u e 0 . 3 0 . 7 0 0 . 0 5 0 . 1 A s r e v i e w e d i n H a m e r m e s h a n d P f a n n ( 1 9 9 6 ) , t h e e s t i m a t e s o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s a r e f e w a n d v a r y w i d e l y . S o w e a n a l y z e t h e s p a c e o f (cid:30) a n d (cid:24) f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r i n s t e a d o f c a l i b r a t i n g t h e t w o p a r a m e t e r s . W i t h t h e c a l i b r a t e d p a r a m e t e r v a l u e s i n t h e p r e v i o u s t a b l e , t h e m a p p i n g f r o m t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s t o t h e r e q u i r e d d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s i s 8 a s f o l l o w s : (cid:30) - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 5 1 (cid:3) (cid:24) - 0 . 4 2 - 0 . 1 6 0 . 1 2 0 . 4 3 0 . 7 7 1 . 1 4 1 . 5 4 6 . 2 7 6 4 I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e r e q u i r e d d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s i n c r e a s e s v e r y f a s t a s t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s i n c r e a s e s . A s t h e d e g r e e o f a d j u s t m e n t c o s t s a p p r o a c h e s u n i t y , w h i c h i s a C o b b - D o u g l a s s p e c i (cid:12) c a t i o n u s e d i n H e r c o w i t z a n d S a m p s o n ( 1 9 9 1 ) , i t i s a l m o s t i m p o s s i b l e f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r u n d e r a n y r e a s o n a b l e p a r a m e t e r v a l u e s . A c c o r d i n g t o o u r c a l i b r a t i o n , w h e n t h e d e g r e e o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s i s a s l o w a s 0 . 2 5 , i t i s i m p o s s i b l e f o r i n d e t e r m i n a c y t o a r i s e . T h e l o w e r b o u n d o f e m p i r i c a l e s t i m a t e s f o r (cid:30) i s a b o u t 0 . 2 . E v e n f o r a l o w e r d e g r e e o f 0 . 1 5 , t h e r e q u i r e d d e g r e e o f e x t e r n a l i t i e s i s 1 . 5 4 w h i c h i s t o o l a r g e t o r a t i o n a l i z e f r o m e m p i r i c a l g r o u n d s . 3 . 3 S e c t o r - S p e c i (cid:12) c E x t e r n a l i t i e s a n d A d j u s t m e n t C o s t s B e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) s h o w t h a t s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s m a k e i t e a s y f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r u n d e r a r e a s o n a b l e p a r a m e t e r i z a t i o n . I n t h i s s u b s e c t i o n , w e s h o w t h a t s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s a r e e q u i v a l e n t t o n e g a t i v e a d j u s t m e n t c o s t s . T h i s e q u i v a l e n c e s u g g e s t s t h a t e m p i r i c a l r e l e v a n c e o f i n d e t e r m i n a c y n e e d s m o r e a n a l y s i s f r o m b o t h t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l g r o u n d s . F o r e x p o s i t i o n a l s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t t h e c a p i t a l s t o c k i s a c c u m u l a t e d i n a l i n e a r w a y a s i n ( 6 ) . F o l l o w i n g B e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) , t h e t w o s e c t o r a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a n d t h e a g g r e g a t i o n i d e n t i t i e s a r e a s 8 N e g a t iv e v a lu e s o f a r e in c lu d e d fo r t h e n e x t s u b s e c t io n o f s e c t o r - s p e c i(cid:12) c e x t e r n a lit ie s . (cid:30) T h e u p p e r b o u n d o f is 7 3 t o e x c lu d e e n d o g e n o u s g r o w t h , b u t b ig g e r v a lu e s a r e d is p la y e d (cid:24) = fo r e x p o s it io n a l p u r p o s e . 9

f S d T r s v A I o e i t c w f c s o l l o w s : a b C = X ( K ) ( L ) ; i C C ;i C ;i a b I = X ( K ) ( L ) ; i I I ;i I ;i K = K + K ; i C ;i I ;i L = L + L : i C ;i I ;i u b s c r i p t s C a n d I d e n o t e t h e c o n s u m p t i o n a n d t h e i n v e s t m e n t s e c t o r . P r o u c t i o n e x t e r n a l i t i e s a r e s u c h t h a t (cid:0) (cid:18) (cid:22) (cid:18) (cid:27) C a b a b X = ( K ) ( L ) K L ; C C C (cid:22)Y ! h i h i (cid:0) (cid:18) (cid:22) (cid:27) (cid:18) I a b a b : ( K ) ( L ) K L X = I I I (cid:22)Y ! i h i h w o p a r a m e t e r s (cid:18) a n d (cid:27) r e p r e s e n t s e c t o r - s p e c i (cid:12) c a n d a g g r e g a t e e x t e r n a l i t i e s , e s p e c t i v e l y , a n d t h e u p p e r b a r s d e n o t e t h e s t e a d y s t a t e i n t h e p r e v i o u s o n e - 9 e c t o r m o d e l . A s s u m i n g s y m m e t r y , t h e t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n c o n s u m p t i o n a n d i n e s t m e n t h a s a c o n s t a n t e l a s t i c i t y a n d i t s s l o p e i s u n i t y a t t h e s t e a d y s t a t e . l g e b r a i c a l l y , (cid:18) (cid:18) 1 + + (cid:18) (cid:27) 1 + 1 + (cid:18) (cid:18) (cid:22) (cid:22) 1 1 C I 1 + (cid:18) a b 1 + 1 + (cid:18) (cid:18) C I : + = K L (cid:22) (cid:22) Y Y ! ! (cid:17) (cid:16) t i s s h o w n i n K i m ( 1 9 9 7 a ) t h a t t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f c o n s t a n t e l a s t i c i t y f t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n c o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n t i s o b s e r v a t i o n a l l y q u i v a l e n t t o t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f c o n s t a n t e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n b e t w e e n n v e s t m e n t a n d t h e c a p i t a l s t o c k , a s i n ( 9 ) . T o p u t t h i s c o n c r e t e l y , a n o b s e r v a t i o n a l - e q u i v a l e n c e r e s u l t h o l d s b e t w e e n w o m o d e l s . T h e (cid:12) r s t i s t h e o n e - s e c t o r m o d e l w i t h i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t o s t s a n d p r o d u c t i o n e x t e r n a l i t i e s a n d t h e s e c o n d i s t h e t w o - s e c t o r m o d e l i t h b o t h s e c t o r a l a n d a g g r e g a t e e x t e r n a l i t i e s . E q u i v a l e n c e h o l d s u n d e r t h e o l l o w i n g c o n d i t i o n : (cid:24) = (cid:18) + (cid:27) ; (cid:0) (cid:30) = (cid:18) : 9 T h is s p e c i(cid:12) c a t io n is d i(cid:11) e r e n t fr o m t h a t o f B e n h a b ib a n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) d u e t o t h e o e (cid:14) c ie n t t e r m s in v o lv in g t h e s t e a d y s t a t e s , w h ic h e n a b le t h e e x a c t e q u iv a le n c e b e t w e e n e c t o r - s p e c i(cid:12) c e x t e r n a lit ie s a n d in v e s t m e n t a d ju s t m e n t c o s t s . 1 0

N g i c e a (cid:18) w c 0 o i s t i 4 W m c e w e R o w i t i s c l e a r w h y s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s a r e m o r e p o w e r f u l t h a n a g r e g a t e e x t e r n a l i t i e s i n g e n e r a t i n g i n d e t e r m i n a c y . S e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l t i e s n o t o n l y i n c r e a s e t h e d e g r e e o f o v e r a l l e x t e r n a l i t i e s ( (cid:24) ) , b u t a l s o d e r e a s e t h e d e g r e e o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s ( (cid:30) ) . I n c o n t r a s t , a g g r e g a t e x t e r n a l i t i e s m e r e l y i n c r e a s e t h e d e g r e e o f o v e r a l l e x t e r n a l i t i e s . B e n h a b i b n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) c a l i b r a t e a m o d e l w i t h s e c t o r - s p e c i (cid:12) c e x t e r n a l i t i e s w i t h = 0 : 1 5 . I n t h i s c a s e , t h e p r e v i o u s t a b l e s h o w s t h a t i n d e t e r m i n a c y w o u l d o u l d o c c u r e v e n w i t h s i g n i (cid:12) c a n t d e c r e a s i n g r e t u r n s . W e a l s o c a n s e e t h a t t h e r i t i c a l v a l u e o f (cid:18) f o r i n d e t e r m i n a c y w i t h o v e r a l l c o n s t a n t r e t u r n s i s b e t w e e n : 0 5 a n d 0 : 1 . T h e r e s u l t i n t h i s s u b s e c t i o n a d d s a n o t h e r d i m e n s i o n t o t h e d i s c u s s i o n n e m p i r i c a l r e l e v a n c e o f i n d e t e r m i n a c y . W h e n w e d i s c u s s t h e p l a u s i b i l i t y o f n d e t e r m i n a c y , a s i n t h e t w o - s e c t o r m o d e l o f B e n h a b i b a n d F a r m e r ( 1 9 9 6 ) , w e h o u l d c o n s i d e r o t h e r a v e n u e s w h i c h m a y r e n d e r i t d i (cid:14) c u l t f o r i n d e t e r m i n a c y o a r i s e . A n e x a m p l e i s t h e p r e s e n c e o f i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s p r o v i d e d n t h i s n o t e . C o n c l u s i o n e h a v e s h o w n h o w t h e p r e s e n c e o f p o s i t i v e i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s a k e s i t l e s s l i k e l y f o r i n d e t e r m i n a c y t o o c c u r . T h e l a r g e r t h e a d j u s t m e n t o s t s , t h e l a r g e r t h e r e q u i r e d d e g r e e o f i n c r e a s i n g r e t u r n s . I t w o u l d b e i n t e r s t i n g t o e x p l o r e t h e e m p i r i c a l p l a u s i b i l i t y o f i n d e t e r m i n a c y i n a n e c o n o m y i t h i n v e s t m e n t a d j u s t m e n t c o s t s , p r e f e r a b l y c o m b i n e d w i t h s e c t o r - s p e c i (cid:12) c x t e r n a l i t i e s . e f e r e n c e s [ 1 ] A b e l , A n d r e w B . a n d O l i v i e r J . B l a n c h a r d ( 1 9 8 3 ) , \ A n I n t e r t e m p o r a l E c o n o m e t r i c a , M o d e l o f S a v i n g a n d I n v e s t m e n t , " 5 1 ( 3 ) , 6 7 5 - 6 9 2 . [ 2 ] B e n h a b i b , J e s s a n d R o g e r E . A . F a r m e r ( 1 9 9 7 ) , \ I n d e t e r m i n a c y a n d H a n d b o o k o f M a c r o e c o - S u n s p o t s i n M a c r o e c o n o m i c s , " f o r t h c o m i n g i n n o m i c s e d i t e d b y J o h n T a y l o r a n d M i c h a e l W o o d f o r d . 1 1

[ [ [ [ [ [ [ 3 4 5 6 7 8 9 ] ] ] ] ] ] ] B S 2 B I H i H W 1 K a K n W C e n h a b i b , J e s s a n d R o g e r E . A . F a J o u r n a e c t o r - S p e c i (cid:12) c E x t e r n a l i t i e s , " 0 1 . e n h a b i b , J e s s a n d R o g e r E . A . F a J o u r n a l o f E c o n n c r e a s i n g R e t u r n s , " a m e r m e s h , D a n i e l S . a n d G e r a d A . J o u r n a l o f E c o n n F a c t o r D e m a n d , " e r c o w i t z , Z v i , a n d M i c h a e l S a m p s o n a g e , a n d E m p l o y m e n t F l u c t u a t i o n s 2 1 5 { 1 2 3 7 . i m , J i n i l l ( 1 9 9 7 a ) , \ S p e c i (cid:12) c a t i o n s o S i m p l e D y n a m i c M o d e l , " m i m e o . i m , J i n i l l ( 1 9 9 7 b ) , \ T h r e e S o u r c e s o a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e n , Y i ( i n p r e s s ) , \ I n d e t e r m i n a c y , E c o n o m i c s L e t t e r s y c l e s , " . 1 2 r m e r ( 1 9 9 6 ) , \ I n d e t e r m i n a c y a n d l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s , 3 7 , 1 7 7 { r m e r ( 1 9 9 4 ) , \ I n d e t e r m i n a c y a n d o m i c T h e o r y , 6 3 , 1 9 { 4 1 . P f a n n ( 1 9 9 6 ) , \ A d j u s t m e n t C o s t s o m i c L i t e r a t u r e , 3 4 , 1 2 6 4 { 1 2 9 2 . ( 1 9 9 1 ) , \ O u t p u t G r o w t h , t h e R e a l A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , , " 8 1 , f I n v e s t m e n t A d j u s t m e n t C o s t s i n f I n c r e a s i n g R e t u r n s t o S c a l e , " F i e s 1 9 9 7 - 1 8 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . D y n a m i c A d j u s t m e n t C o s t s , a n d

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Jinill Kim (1998). Adjustment Costs of Investment in General Equilibrium: Analytic Results (FEDS 1998-39). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-39

BibTeX

@techreport{wtfs_feds_1998_39,
  author = {Jinill Kim},
  title = {Adjustment Costs of Investment in General Equilibrium: Analytic Results},
  type = {Finance and Economics Discussion Series},
  number = {1998-39},
  institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
  year = {1998},
  url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-39},
  abstract = {It has been widely known that a neoclassical growth model with sufficient increasing returns in production may feature an indeterminate steady state. This note shows how investment adjustment costs increase the required degree of increasing returns for indeterminacy to arise. We also argue that sector-specific externalities are observationally equivalent to negative adjustment costs.},
}