Investment, Capacity, and Output: A Putty-Clay Approach
Abstract
In this paper, we embed the microeconomic decisions associated with investment under uncertainty, capacity utilization, and machine replacement in a general equilibrium model based on putty-clay technology. We show that the combination of log-normally distributed idiosyncratic productivity uncertainty and Leontief utilization choice yields an aggregate production function that is easily characterized in terms of hazard rates for the standard normal distribution. At low levels of idiosyncratic uncertainty, the short-run elasticity of supply is substantially lower than the elasticity of supply obtained from a fully-flexible Cobb-Douglas alternative. In the presence of irreversible factor proportions, an increase in idiosyncratic uncertainty typically reduces investment at the micro level but increases aggregate investment. Finally, we study the relationship between growth and uncertainty on aggregate capacity utilization and rates of machine replacement and investigate the factors that affect the magnitude of replacement echoes.
t L o o e f 1 W t h a a h y G o v I n v e s t m e n t , C a p a c i t y , a n d O u t p u t : 1 A P u t t y - C l a y A p p r o a c h S i m o n G i l c h r i s t D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s B o s t o n U n i v e r s i t y 2 7 0 B a y S t a t e R o a d B o s t o n , M A 0 2 2 1 5 a n d N a t i o n a l B u r e a u o f E c o n o m i c R e s e a r c h s g i l c h r i @ b u .e d u a n d J o h n C . W i l l i a m s B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m M a i l S t o p 6 7 W a s h i n g t o n , D C 2 0 5 5 1 j w i l l i a m s @ f r b .g o v N o v e m b e r 1 9 9 8 A b s t r a c t I n t h is p a p e r , w e e m b e d t h e m ic r o e c o n o m ic d e c is io n s a s s o c ia t e d w it h in v e s t m e n t u n d e r u n c e r t a in t y , c a p a c it y u t iliz a t io n , a n d m a c h in e r e p la c e m e n t in a g e n e r a l e q u ilib r iu m m o d e l b a s e d o n p u t t y - c la y t e c h n o lo g y . W e s h o w t h a t t h e c o m b in a t io n o f lo g - n o r m a lly d is t r ib u t e d id io s y n c r a t ic p r o d u c t iv it y u n c e r t a in t y a n d L e o n t ie f u t iliz a t io n c h o ic e y ie ld s a n a g g r e g a t e p r o d u c t io n fu n c t io n t h a t is e a s ily c h a r a c t e r iz e d in t e r m s o f h a z a r d r a t e s fo r t h e s t a n d a r d n o r m a l d is t r ib u t io n . A t lo w le v e ls o f id io s y n c r a t ic u n c e r t a in t y , t h e s h o r t - r u n e la s t ic it y o f s u p p ly is s u b s t a n t ia lly lo w e r t h a n t h e e la s t ic it y o f s u p p ly o b t a in e d fr o m a fu lly - (cid:13) e x ib le C o b b - D o u g la s a lt e r n a t iv e . I n t h e p r e s e n c e o f ir r e v e r s ib le fa c t o r p r o p o r t io n s , a n in c r e a s e in id io s y n c r a t ic u n c e r t a in t y t y p ic a lly r e d u c e s in v e s t m e n t a t t h e m ic r o le v e l b u t in c r e a s e s a g g r e g a t e in v e s t m e n t . F in a lly , w e s t u d y t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n g r o w t h a n d u n c e r t a in t y o n a g g r e g a t e c a p a c it y u t iliz a t io n a n d r a t e s o f m a c h in e r e p la c e m e n t a n d in v e s t ig a t e t h e fa c t o r s t h a t a (cid:11) e c t t h e m a g n it u d e o f r e p la c e m e n t e c h o e s . K e y w o r d s : p u t t y - c la y , v in t a g e c a p it a l, ir r e v e r s ib ilit y , m a c h in e r e p la c e m e n t , c a p a c it y u t iliz a t io n , r e p la c e m e n t e c h o e s J E L C la s s i(cid:12) c a t io n : D 2 4 , E 2 2 , E 2 3 e a p p r e c ia t e t h e r e s e a r c h a s s is t a n c e p r o v id e d b y S t e v e n S u m n e r a n d J o a n n a W a r e s a n d n k F lin t B r a y t o n , J e (cid:11) C a m p b e ll, T h o m a s C o o le y , R u s s e ll C o o p e r , S a m K o r t u m , a n d fo r h e lp fu l c o m m e n t s . T h e o p in io n s e x p r e s s e d h e r e a r e n o t n e c e s s a r ily s h a r e d b y t h e B e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r it s s t a (cid:11) . w J o is o h a r h n d
1 I n t r o d u c t i o n A l a r g e b o d y o f r e s e a r c h i n m a c r o e c o n o m i c s , g r o w t h a c c o u n t i n g , a n d p r o d u c t i o n t h e o r y i s p r e d i c a t e d o n a C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d a c a p i t a l a c c u m u l a t i o n p r o c e s s w i t h e x p o n e n t i a l d e c a y . T h i s p r o d u c t i o n s t r u c t u r e i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e m p i r i c a l o b s e r v a t i o n t h a t l a b o r ’s s h a r e o f o u t p u t i s a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t i n t h e l o n g r u n d e s p i t e s t e a d y d e c l i n e s i n t h e r e l a t i v e p r i c e o f i n v e s t m e n t g o o d s . A l t h o u g h t h e C o b b - D o u g l a s s p e c i (cid:12) c a t i o n i s a b l e t o d e l i v e r o b s e r v e d l o n g - r u n b a l a n c e d - g r o w t h r e l a t i o n s h i p s , i t i s n o t w e l l - s u i t e d t o d e s c r i b e s h o r t - r u n p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t i e s i n t h e c o n t e x t o f h e t e r o g e n e o u s c a p i t a l g o o d s . I n p a r t i c u l a r , a k e y a s s u m p t i o n n e e d e d t o a c h i e v e a g g r e g a t i o n i n t h i s f r a m e w o r k i s t h a t l a b o r i s e q u a l l y (cid:13) e x i b l e i n b o t h t h e s h o r t a n d l o n g r u n . S u c h (cid:13) e x i b i l i t y a l l o w s m a r g i n a l p r o d u c t s o f l a b o r t o b e e q u a l i z e d a c r o s s c a p i t a l g o o d s . I t a l s o i m p l i e s , i n t h e a b s e n c e o f m o d i (cid:12) c a t i o n s s u c h a s c o s t s o f o p e r a t i n g c a p i t a l , t h a t a l l c a p i t a l g o o d s a r e u s e d i n p r o d u c t i o n a n d t h a t t h e s h o r t - r u n e l a s t i c i t y o f s u p p l y i s c o n s t a n t a n d i s a f u n c t i o n o n l y o f t h e l o n g - r u n l a b o r s h a r e o f i n c o m e . I n t h i s p a p e r , w e d e v e l o p a n a l t e r n a t i v e d e s c r i p t i o n o f p r o d u c t i o n a n d c a p i t a l a c c u m u l a t i o n t h a t i s b a s e d o n t h e p u t t y - c l a y t e c h n o l o g y i n t r o d u c e d b y J o h a n s e n ( 1 9 5 9 ) . T h e e x a n t e p r o d u c t i o n t e c h n o l o g y i s C o b b - D o u g l a s , b u t f o r i n s t a l l e d c a p i t a l , t h e t e c h n o l o g y i s L e o n t i e f w i t h p r o d u c t i v i t y d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l c h o i c e o f c a p i t a l i n t e n s i t y . W e d e v e l o p a g e n e r a l e q u i l i b r i u m m o d e l w h e r e a g g r e g a t e r e l a t i o n s h i p s a r e e x p l i c i t l y d e r i v e d f r o m t h e m i c r o e c o n o m i c d e c i s i o n s o f i n v e s t m e n t , c a p a c i t y c h o i c e , a n d p r o d u c t i o n . B y a d o p t i n g t h e p u t t y - c l a y s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t e c h n o l o g y , w e r e l a x m a n y o f t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e d b y a C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n s t r u c t u r e w h i l e p r e s e r v i n g i t s d e s i r a b l e l o n g - r u n p r o p e r t i e s . T h i s a p p r o a c h p r o v i d e s a n a t u r a l f r a m e w o r k f o r t h e s t u d y o f a w i d e r a n g e o f i s s u e s i n c l u d i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r o d u c t i o n a n d c a p a c i t y u t i l i z a t i o n , t h e d e c i s i o n t o i n v e s t u n d e r u n c e r t a i n t y , a n d t h e i m p l i c a t i o n s o f t e c h n o l o g i c a l c h a n g e f o r c a p i t a l o b s o l e s c e n c e 2 a n d m a c h i n e r e p l a c e m e n t . A g g r e g a t i o n f r o m m i c r o e c o n o m i c d e c i s i o n s t o m a c r o e c o n o m i c v a r i a b l e s i s a k e y i s s u e f o r m o d e l s w i t h h e t e r o g e n e o u s c a p i t a l g o o d s . W e s h o w t h a t u n d e r t h e a s s u m p - 2 P u t t y - c la y m o d e ls h a v e a lo n g h is t o r y in b o t h t h e g r o w t h ( J o h a n s e n ( 1 9 5 9 ) , S o lo w ( 1 9 6 2 ) , P h e lp s ( 1 9 6 3 ) , C a s s a n d S t ig lit z ( 1 9 6 9 ) , S h e s h in s k i ( 1 9 6 7 ) , a n d C a lv o ( 1 9 7 6 ) ) a n d in v e s t m e n t lit e r a t u r e s ( B is c h o (cid:11) ( 1 9 7 1 ) a n d A n d o , M o d ig lia n i, R a s c h e a n d T u r n o v s k y ( 1 9 7 4 ) ) . P u t t y - c la y fe a t u r e s a r e a ls o fo u n d in m o r e r e c e n t w o r k o n b u s in e s s c y c le s ( A t k e s o n a n d K e h o e ( 1 9 9 4 ) , B e n h a b ib a n d R u s t ic h in i ( 1 9 9 1 ) , a n d B e n h a b ib a n d R u s t ic h in i ( 1 9 9 3 ) ) . 1
t a l a s i i c t n r p i g i a r e t n P t e m t i i t b a c i o n o f l o g - n o r m a l l y d i s t r i b u t e d i d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y , t h e r e e x i s t s a w e l l - d e (cid:12) n e d g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n w i t h a s h o r t - r u n e l a s t i c i t y o f o u t p u t w i t h r e s p e c t t o a b o r s t r i c t l y l e s s t h a n t h a t o f t h e C o b b - D o u g l a s a l t e r n a t i v e . T h i s r e s u l t p r o v i d e s s t a r k c o n t r a s t t o H o u t h a k k e r ( 1 9 5 3 ) , w h o (cid:12) n d s t h a t a L e o n t i e f m i c r o e c o n o m i c t r u c t u r e a g g r e g a t e s t o a C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n f u n c t i o n i f t h e d i s t r i b u t i o n o f d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y i s P a r e t o . W e f o c u s o n t h e l o g - n o r m a l d i s t r i b u t i o n b e c a u s e t s u s e f a c i l i t a t e s t h e a n a l y s i s o f a g g r e g a t e q u a n t i t i e s w h i l e p r e s e r v i n g t h e p u t t y - c l a y h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m i c r o e c o n o m i c s t r u c t u r e . A k e y a d v a n t a g e o f t h i s f r a m e w o r k i s h a t a l l r e l e v a n t e l a s t i c i t i e s o f p r o d u c t i o n a r e f u n c t i o n s o f h a z a r d r a t e s f o r a s t a n d a r d o r m a l d i s t r i b u t i o n , t h e p r o p e r t i e s o f w h i c h c a n b e e x p l o i t e d i n d e r i v i n g a n a l y t i c a l e s u l t s . W e a l s o c o n s i d e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n v e s t m e n t a n d u n c e r t a i n t y i n b o t h a r t i a l a n d g e n e r a l e q u i l i b r i u m . T h e p a r t i a l e q u i l i b r i u m a n a l y s i s f o c u s e s o n t h e n t e n s i v e m a r g i n w h e r e t h e d e c i s i o n i s h o w m u c h t o i n v e s t p e r p r o j e c t , w h i l e t h e e n e r a l e q u i l i b r i u m a n a l y s i s t a k e s i n t o a c c o u n t m o v e m e n t s i n r e l a t i v e p r i c e s a n d n v e s t m e n t o n t h e e x t e n s i v e m a r g i n t h a t o c c u r s t h r o u g h n e w e n t r y . W e (cid:12) n d t h a t n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y r e d u c e s i n v e s t m e n t a t t h e p r o j e c t l e v e l b u t a i s e s i n v e s t m e n t i n t h e a g g r e g a t e . T h e f o r m e r r e s u l t i s b r o a d l y c o n s i s t e n t w i t h t h e m p i r i c a l e v i d e n c e o f a n e g a t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n v e s t m e n t a n d u n c e r t a i n t y a t h e (cid:12) r m - l e v e l ( L e a h y a n d W h i t e d 1 9 9 6 ) . O u r a n a l y s i s c o n t r i b u t e s t o t h e l a r g e t h e o r e t i c a l l i t e r a t u r e t h a t i d e n t i (cid:12) e s c h a n e l s t h r o u g h w h i c h u n c e r t a i n t y m a y i n (cid:13) u e n c e i n v e s t m e n t . B e r n a n k e ( 1 9 8 3 ) a n d i n d y c k ( 1 9 9 1 ) s t r e s s t h e n e g a t i v e i n (cid:13) u e n c e t h a t u n c e r t a i n t y h a s i n a m o d e l w h e r e h e r e e x i s t s a n \ o p t i o n v a l u e " t o w a i t i n g t o i n v e s t . B e c a u s e t h e u n c e r t a i n t y c o n s i d r e d i n t h i s p a p e r i s r e s o l v e d o n l y a f t e r i n v e s t m e n t d e c i s i o n s a r e m a d e , o u r w o r k i s o r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e w o r k o f H a r t m a n ( 1 9 7 2 ) a n d A b e l ( 1 9 8 3 ) . T h e s e a u h o r s e m p h a s i z e t h e p o s i t i v e e (cid:11) e c t t h a t i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y m a y h a v e o n (cid:12) r m - l e v e l n v e s t m e n t b e c a u s e e x p e c t e d p r o (cid:12) t s i n c r e a s e w i t h u n c e r t a i n t y . I n o u r f r a m e w o r k , n c r e a s e d u n c e r t a i n t y r a i s e s e x p e c t e d p r o (cid:12) t s b u t r e d u c e s t h e e x p e c t e d m a r g i n a l r e u r n t o c a p i t a l , c a u s i n g a r e d u c t i o n i n c a p i t a l i n t e n s i t y a t t h e m i c r o e c o n o m i c l e v e l . T h e i n c r e a s e i n a g g r e g a t e i n v e s t m e n t i s a n a t u r a l c o n s e q u e n c e o f t h e r e a l l o c a t i o n e n e (cid:12) t s a s s o c i a t e d w i t h r e d i s t r i b u t i n g v a r i a b l e f a c t o r s o f p r o d u c t i o n , s u c h a s l a b o r , c r o s s p r o j e c t o u t c o m e s t h a t a r e e m b o d i e d i n (cid:12) x e d f a c t o r s , s u c h a s c a p i t a l . W h e n o m p a r e d t o t h e b e n c h m a r k v i n t a g e c a p i t a l m o d e l i n t r o d u c e d b y S o l o w ( 1 9 6 2 ) , w e 2
s p e p c p w t o d m r r w f G o a o n e t u 5 2 I d t o g s h o w t h a t t h e a d d i t i o n a l i r r e v e r s i b l i t y o f t h e c a p i t a l - l a b o r r a t i o a s s o c i a t e d w i t h t h e u t t y - c l a y f r a m e w o r k l i m i t s s u c h r e a l l o c a t i o n b e n e (cid:12) t s . A s a r e s u l t , t h e e x p a n s i o n a r y (cid:11) e c t s o f i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y a r e l o w e r i n t h e p u t t y - c l a y m o d e l v i s - a - v i s t h e p u t t y u t t y a l t e r n a t i v e . F i n a l l y , w e c o n s i d e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l c h a n g e , a p i t a l o b s o l e s c e n c e , a n d m a c h i n e r e p l a c e m e n t a l o n g a b a l a n c e d g r o w t h p a t h . O f a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n c e r t a i n t y a n d m a c h i n e r e t i r e m e n t : i t h l o w v a r i a b i l i t y i n p r o d u c t i v i t y o u t c o m e s m a c h i n e r e t i r e m e n t i s e n t i r e l y a f u n c i o n o f m a c h i n e a g e , a n d d e p r e c i a t i o n i s \ o n e - h o s s - s h a y " ; a s t h e v a r i a n c e o f p r o j e c t u t c o m e s i n c r e a s e s , m a c h i n e a g e a n d m a c h i n e r e t i r e m e n t b e c o m e l e s s c o r r e l a t e d a n d e p r e c i a t i o n s c h e d u l e s b e g i n t o r e s e m b l e e x p o n e n t i a l d e c a y . T h i s a n a l y s i s c o m p l e e n t s t h e l i t e r a t u r e o n t h e e (cid:11) e c t s o f t e c h n o l o g i c a l l o c k - i n t h a t m o t i v a t e t h e m a c h i n e e p l a c e m e n t p r o b l e m (cid:12) r s t a d d r e s s e d b y J o h a n s e n ( 1 9 5 9 ) a n d C a l v o ( 1 9 7 6 ) , a n d m o r e e c e n t l y f o r m a l i z e d i n a d y n a m i c p r o g r a m m i n g e n v i r o n m e n t b y C o o p e r a n d H a l t i a n g e r ( 1 9 9 3 ) a n d C o o l e y , G r e e n w o o d a n d Y o r u k o g l u ( 1 9 9 4 ) . W e a l s o c o n s i d e r t h e a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e t o r e p l a c e m e n t e c h o e s o f t h e t y p e s t u d i e d b y B o u c e k k i n e , e r m a i n a n d L i c a n d r o ( 1 9 9 7 ) . W e s h o w t h a t t w o f a c t o r s a r e e s s e n t i a l t o t h e p r e s e n c e f r e p l a c e m e n t e c h o e s : a h i g h i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n o f c o n s u m p t i o n n d a l o w d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y o f i n v e s t m e n t p r o d u c t i v i t y . T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s d i v i d e d a s f o l l o w s : S e c t i o n 2 p r e s e n t s a d e s c r i p t i o n f t h e m o d e l a n d e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s . S e c t i o n 3 s h o w s t h e e q u i l i b r i u m d e t e r m i a t i o n o f u t i l i z a t i o n r a t e s w i t h i n t h e a n a l y t i c a l l y t r a c t a b l e c a s e o f t h e n o - g r o w t h c o n o m y a n d p r o v i d e s c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r a l l e c o n o m i c v a r i a b l e s a s f u n c i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m u t i l i z a t i o n r a t e . S e c t i o n 4 c o n s i d e r s t h e e (cid:11) e c t o f i n c r e a s e d n c e r t a i n t y o n i n v e s t m e n t a t b o t h t h e p r o j e c t l e v e l a n d i n t h e a g g r e g a t e , a n d s e c t i o n e x t e n d s t h e a n a l y s i s t o a n e c o n o m y w i t h p o s i t i v e g r o w t h . T h e M o d e l n t h i s s e c t i o n , w e d e s c r i b e t h e p u t t y - c l a y m o d e l a n d d e r i v e t h e e q u i l i b r i u m c o n i t i o n s . E a c h c a p i t a l g o o d p o s s e s s e s t w o d e (cid:12) n i n g q u a l i t i e s : i t s l e v e l o f e m b o d i e d e c h n o l o g y a n d i t s c a p i t a l i n t e n s i t y . T h e u n d e r l y i n g e x a n t e p r o d u c t i o n t e c h n o l g y i s a s s u m e d t o b e C o b b - D o u g l a s w i t h c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e , b u t f o r c a p i t a l o o d s i n p l a c e , p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t i e s t a k e t h e L e o n t i e f f o r m : t h e r e i s n o e x p o s t u b s t i t u t a b i l i t y o f c a p i t a l a n d l a b o r a t t h e m i c r o e c o n o m i c l e v e l . I n a d d i t i o n t o a g - 3
g r a d 2 E t o W i e p e s v r l T t c t i i t t v r e g a t e t e c h n o l o g i c a l c h a n g e , w e a l l o w f o r t h e e x i s t e n c e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y e g a r d i n g t h e p r o d u c t i v i t y o f i n v e s t m e n t p r o j e c t s . T o c h a r a c t e r i z e t h e e q u i l i b r i u m l l o c a t i o n , w e (cid:12) r s t d i s c u s s t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m a t t h e p r o j e c t l e v e l a n d t h e n 3 e s c r i b e a g g r e g a t i o n f r o m t h e p r o j e c t l e v e l t o t h e a g g r e g a t e a l l o c a t i o n . . 1 T h e I n v e s t m e n t D e c i s i o n a c h p e r i o d , a s e t o f n e w i n v e s t m e n t \ p r o j e c t s " b e c o m e s a v a i l a b l e . C o n s t a n t r e t u r n s o s c a l e i m p l i e s a n i n d e t e r m i n a c y o f s c a l e a t t h e l e v e l o f p r o j e c t s , s o w i t h o u t l o s s f g e n e r a l i t y , w e n o r m a l i z e a l l p r o j e c t s t o e m p l o y o n e u n i t o f l a b o r a t f u l l c a p a c i t y . e r e f e r t o t h e s e p r o j e c t s a s \ m a c h i n e s ." C a p i t a l g o o d s r e q u i r e o n e p e r i o d f o r n i t i a l i n s t a l l a t i o n a n d t h e n a r e p r o d u c t i v e f o r 1 (cid:20) M (cid:20) 1 p e r i o d s . T h e p r o d u c t i v e (cid:14) c i e n c y o f m a c h i n e i i n i t i a t e d a t t i m e t i s a (cid:11) e c t e d b y a r a n d o m i d i o s y n c r a t i c r o d u c t i v i t y t e r m . I n a d d i t i o n , w e a s s u m e a l l m a c h i n e s , r e g a r d l e s s o f t h e i r r e l a t i v e (cid:14) c i e n c y , f a i l a t a n e x o g e n o u s l y g i v e n r a t e t h a t v a r i e s b y t h e a g e o f t h e m a c h i n e . I n u m m a r y , c a p i t a l g o o d s a r e h e t e r o g e n e o u s a n d a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h r e e a t t r i b u t e s : i n t a g e ( a g e a n d l e v e l o f a g g r e g a t e e m b o d i e d t e c h n o l o g y ) , c a p i t a l - i n t e n s i t y , a n d t h e e a l i z e d v a l u e o f t h e i d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y t e r m . T h e p r o d u c t i v i t y o f e a c h m a c h i n e , i n i t i a t e d a t t i m e t , d i (cid:11) e r s a c c o r d i n g t o t h e o g - n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e , (cid:18) , w h e r e i;t 1 2 2 l n (cid:18) (cid:24) N ( l n (cid:18) (cid:0) (cid:27) ; (cid:27) ) : i;t t 2 h e a g g r e g a t e i n d e x (cid:18) m e a s u r e s t h e m e a n l e v e l o f e m b o d i e d t e c h n o l o g y o f v i n t a g e t 2 i n v e s t m e n t g o o d s a n d (cid:27) i s t h e v a r i a n c e o f t h e i d i o s y n c r a t i c s h o c k . T h e m e a n 1 2 o r r e c t i o n t e r m (cid:0) (cid:27) i m p l i e s E ( (cid:18) j(cid:18) ) = (cid:18) . W e a s s u m e (cid:18) f o l l o w s a n o n - s t o c h a s t i c i;t t t t 2 1 (cid:0) (cid:11) r e n d g r o w t h p r o c e s s w i t h g r o s s g r o w t h r a t e ( 1 + g ) . T h e i d i o s y n c r a t i c s h o c k t o i n d i v i d u a l m a c h i n e s i s n o t o b s e r v e d u n t i l a f t e r t h e n v e s t m e n t d e c i s i o n s a r e m a d e . W e a l s o a s s u m e t h a t a f t e r t h e r e v e l a t i o n o f t h e i d o s y n c r a t i c s h o c k , f u r t h e r i n v e s t m e n t s i n e x i s t i n g m a c h i n e s a r e n o t p o s s i b l e . S u b j e c t o t h e c o n s t r a i n t t h a t l a b o r e m p l o y e d , L , i s n o n n e g a t i v e a n d l e s s t h a n o r e q u a l i;t+ j o u n i t y ( c a p a c i t y ) , (cid:12) n a l g o o d s o u t p u t p r o d u c e d i n p e r i o d t + j b y m a c h i n e i o f i n t a g e t i s (cid:11) Y = (cid:18) k L ; i;t+ j i;t i;t+ j i;t 3 T h is s e c t io n c lo s e ly fo llo w s G ilc h r is t a n d W illia m s ( 1 9 9 8 ) . 4
F i g u r e 1 : S t e a d y - s t a t e D i s t r i b u t i o n o f L a b o r P r o d u c t i v i t y 44 0.5 Aggregate (left axis) Newest Vintage(right axis) 0.4 33 0.3 22 0.2 11 0.1 00 0.0 00 111 222 333 444 555 666 Project level Productivity (x) tnemtsevni yb dethgiew noitubirtsiD Wage w l T i t m X p o a a t v h e r e k i s t h e c a p i t a l - l a b o r r a t i o c h o s e n a t t h e t i m e o f i n s t a l l a t i o n . D e n o t e t h e i;t a b o r p r o d u c t i v i t y o f a m a c h i n e b y (cid:11) X (cid:17) (cid:18) k : i;t i;t i;t h e o n l y v a r i a b l e c o s t t o o p e r a t i n g a m a c h i n e i s t h e w a g e r a t e , W . I d l e m a c h i n e s t n c u r n o v a r i a b l e c o s t s a n d h a v e t h e s a m e c a p i t a l c o s t s a s o p e r a t i n g m a c h i n e s . G i v e n h e L e o n t i e f s t r u c t u r e o f p r o d u c t i o n , t h e s e a s s u m p t i o n s i m p l y a c u t o (cid:11) v a l u e f o r t h e i n i m u m e (cid:14) c i e n c y l e v e l o f m a c h i n e s u s e d i n p r o d u c t i o n : t h o s e w i t h p r o d u c t i v i t y (cid:21) W a r e r u n a t c a p a c i t y , w h i l e t h o s e l e s s p r o d u c t i v e a r e l e f t i d l e . i;t t T o i l l u s t r a t e t h e s e i d e a s , F i g u r e 1 s h o w s t h e s t e a d y - s t a t e d i s t r i b u t i o n o f l a b o r r o d u c t i v i t y a c r o s s m a c h i n e s . T h e h e i g h t o f t h e d i s t r i b u t i o n m e a s u r e s t h e n u m b e r f m a c h i n e s a t a n y g i v e n p r o d u c t i v i t y l e v e l . T h e c u t o (cid:11) v a l u e f o r t h e w a g e i s s h o w n s a v e r t i c a l l i n e . C a p i t a l g o o d s w i t h p r o d u c t i v i t y l y i n g t o t h e r i g h t o f t h e c u t o (cid:11) r e u s e d i n p r o d u c t i o n , t h o s e t o t h e l e f t a r e i d l e . C a p a c i t y u t i l i z a t i o n i s g i v e n b y h e a r e a i n t h e s h a d e d r e g i o n d i v i d e d b y t h e t o t a l a r e a u n d e r t h e d i s t r i b u t i o n . T h e (cid:12) g u r e a l s o s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f l a b o r p r o d u c t i v i t y f o r t h e m o s t r e c e n t i n t a g e ( r i g h t s c a l e ) . I t s p o s i t i o n o n t h e h o r i z o n a l a x i s r e (cid:13) e c t s b o t h t h e c u r r e n t l e v e l 5
o g c t u p b w D R i w p c D f v t w L t f t e c h n o l o g y a n d t h e c a p i t a l i n t e n s i t y o f n e w m a c h i n e s . O w i n g t o t r e n d p r o d u c t i v i t y r o w t h a n d r e l a t i v e l y l o n g - l i v e d c a p i t a l , t h e m e a n l a b o r p r o d u c t i v i t y o f t h e m o s t r e e n t v i n t a g e i s s u b s t a n t i a l l y h i g h e r t h a n t h a t o f a l l e x i s t i n g m a c h i n e s . O b s o l e s c e n c e h r o u g h e m b o d i e d t e c h n i c a l c h a n g e i m p l i e s t h a t o l d v i n t a g e s h a v e l o w e r a v e r a g e t i l i z a t i o n r a t e s t h a n n e w v i n t a g e s . N o t e t h a t t r e n d g r o w t h i n i n v e s t m e n t | d u e t o o p u l a t i o n g r o w t h a n d t e c h n o l o g i c a l c h a n g e | c a u s e s t h e a g g r e g a t e d i s t r i b u t i o n t o e s k e w e d . T o d e r i v e t h e e q u i l i b r i u m a l l o c a t i o n o f l a b o r , c a p i t a l i n t e n s i t y , a n d i n v e s t m e n t , e b e g i n b y a n a l y z i n g t h e i n v e s t m e n t a n d u t i l i z a t i o n d e c i s i o n f o r a s i n g l e m a c h i n e . j (cid:0) 1 ~ e (cid:12) n e t h e t i m e t d i s c o u n t r a t e f o r t i m e t + j i n c o m e b y R (cid:17) R , w h e r e t;t+ j t+ s s = 1 i s t h e o n e p e r i o d g r o s s i n t e r e s t r a t e a t t i m e t + s . A t t h e m a c h i n e l e v e l , c a p i t a l Q t+ s n t e n s i t y i s c h o s e n t o m a x i m i z e t h e p r e s e n t d i s c o u n t e d v a l u e o f p r o (cid:12) t s t o t h e m a c h i n e M ~R ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( X (cid:0) W ) L ; ( 1 ) m a x E (cid:0) k + t;t+ j j i;t t+ j i;t+ j i;t M k ;f L g i;t i;t j + j = 1 j = 1 (cid:27) (cid:26) X s :t : 0 (cid:20) L (cid:20) 1 ; j = 1 ; : : : ; M ; i;t+ j 0 < k < 1 ; i;t h e r e (cid:14) i s t h e p r o b a b i l i t y a m a c h i n e h a s f a i l e d e x o g e n o u s l y b y j p e r i o d s a n d e x - j e c t a t i o n s a r e t a k e n o v e r t h e t i m e t i d i o s y n c r a t i c s h o c k , (cid:18) . i;t B e c a u s e i n v e s t m e n t p r o j e c t s a r e i d e n t i c a l e x a n t e , t h e o p t i m a l c h o i c e o f t h e a p i t a l - l a b o r r a t i o i s e q u a l a c r o s s a l l m a c h i n e s i n a v i n t a g e ; t h a t i s , k = k ; 8 i . i;t t (cid:11) e n o t e t h e m e a n p r o d u c t i v i t y o f v i n t a g e t c a p i t a l b y X = (cid:18) k . C a p i t a l u t i l i z a t i o n t t t o r v i n t a g e s a t t i m e t i s t h e r a t i o o f l a b o r e m p l o y e d t o e m p l o y m e n t c a p a c i t y o f t h e i n t a g e , g i v e n b y P r ( X > W jW ; (cid:18) ) . G i v e n t h e l o g - n o r m a l d i s t r i b u t i o n f o r (cid:18) , i;s t t t i;t h e e x p e c t e d l a b o r r e q u i r e m e n t a t t i m e t f o r a m a c h i n e b u i l t i n p e r i o d s i s g i v e n b y s P r ( X > W jW ; (cid:18) ) = 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ; i;s t t t t h e r e (cid:8) ( (cid:1)) i s t h e c .d .f . o f t h e s t a n d a r d n o r m a l a n d 1 1 2 s l n W (cid:0) l n X + (cid:27) : z (cid:17) t s t (cid:27) 2 (cid:18) (cid:19) e t t i n g F ( X ) d e n o t e t h e c .d .f . o f X , w e c a n s i m i l a r l y c o m p u t e e x p e c t e d o u t p u t i;s i;s o b e 1 s X d F ( X ) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) X i;s i;s s t X > W t i;s Z 6
w t c t ( W S c e i r u B m w c d T s f K h e r e t h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t h a n d s i d e f o l l o w s f r o m t h e f o r m u l a f o r t h e e x p e c - 4 a t i o n o f a t r u n c a t e d l o g - n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e . C a p a c i t y u t i l i z a t i o n o f v i n t a g e s a p i t a l a t t i m e t | t h e r a t i o o f a c t u a l o u t p u t p r o d u c e d f r o m t h e c a p i t a l o f a g i v e n v i n a g e t o t h e l e v e l o f o u t p u t t h a t c o u l d b e p r o d u c e d a t f u l l c a p i t a l u t i l i z a t i o n | e q u a l s s 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) . t s E x p e c t e d n e t i n c o m e i n p e r i o d t f r o m a v i n t a g e s m a c h i n e , (cid:25) , c o n d i t i o n a l o n t , i s g i v e n b y t s s s : (cid:25) = ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) X (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) W t(cid:0) s s t t t t (cid:19) (cid:18) u b s t i t u t i n g t h i s e x p r e s s i o n f o r n e t i n c o m e i n t o e q u a t i o n 1 e l i m i n a t e s t h e f u t u r e h o i c e s o f l a b o r f r o m t h e i n v e s t m e n t p r o b l e m . T h e r e m a i n i n g c h o i c e v a r i a b l e i s k . t T h e c h o i c e o f k h a s a d i r e c t e (cid:11) e c t o n p r o (cid:12) t a b i l i t y t h r o u g h i t s e (cid:11) e c t o n t h e t x p e c t e d v a l u e o f o u t p u t X . I t a l s o h a s a p o t e n t i a l i n d i r e c t e (cid:11) e c t t h r o u g h i t s t n (cid:13) u e n c e o n u t i l i z a t i o n r a t e s . F o r a n y g i v e n r e a l i z a t i o n o f (cid:18) , a h i g h e r c h o i c e o f k it t a i s e s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a m a c h i n e w i l l b e u t i l i z e d i n t h e f u t u r e . T h i s i n c r e a s e i n t i l i z a t i o n r a i s e s b o t h e x p e c t e d f u t u r e o u t p u t a n d e x p e c t e d f u t u r e w a g e p a y m e n t s . e c a u s e t h e m a r g i n a l m a c h i n e e a r n s z e r o q u a s i - r e n t s , t h i s i n d i r e c t e (cid:11) e c t h a s n o a r g i n a l e (cid:11) e c t o n p r o (cid:12) t a b i l i t y h o w e v e r , t h a t i s , s @ (cid:25) 1 1 t s s = (cid:30) ( z (cid:0) (cid:27) ) X (cid:0) (cid:30) ( z ) W = 0 ; s t t t s @ z (cid:27) (cid:27) t h e r e (cid:30) ( (cid:1)) d e n o t e s t h e p .d .f . f o r a s t a n d a r d n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e . T h e (cid:12) r s t - o r d e r o n d i t i o n f o r a n i n t e r i o r s o l u t i o n f o r k i s g i v e n b y t M t ~R ( 1 (cid:0) (cid:14) ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) X : ( 2 ) k = (cid:11) t ;t+ j j t t t+ j j = 1 (cid:16) (cid:17) X N e w m a c h i n e s a r e p u t i n t o p l a c e u n t i l t h e v a l u e o f a n e w m a c h i n e ( t h e p r e s e n t i s c o u n t e d v a l u e o f n e t i n c o m e ) i s e q u a l t o t h e c o s t o f a m a c h i n e , k , t M t t ~ k = R ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) X (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) W : ( 3 ) t t;t+ j j t t+ j t+ j t+ j j = 1 (cid:16) (cid:17) X h i s i s t h e f r e e - e n t r y o r z e r o - p r o (cid:12) t c o n d i t i o n . T h e (cid:12) r s t t e r m o n t h e r i g h t h a n d i d e o f e q u a t i o n 3 e q u a l s t h e e x p e c t e d p r e s e n t d i s c o u n t e d v a l u e o f o u t p u t a d j u s t e d o r t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e m a c h i n e ’s i d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y d r a w i s t o o l o w t o (cid:0) (cid:0) (cid:13) (cid:27) (1 (cid:8) ( )) 4 2 I f ln ( ) ( ) , t h e n ( ) = ( ) w h e r e = ( ln ( ) ) ( J o h n s o n , (cid:22) (cid:24) N (cid:16) ; (cid:27) E (cid:22) j(cid:22) > (cid:31) E (cid:22) (cid:13) (cid:31) (cid:0) (cid:16) = (cid:27) (cid:0) (cid:13) (1 (cid:8) ( )) o t z a n d B a la k r is h n a n 1 9 9 4 ) . 7
p p E t 2 T v w o I t w 2 T b w N o a e w w r o (cid:12) t a b l y o p e r a t e t h e m a c h i n e i n p e r i o d t + j . T h e s e c o n d t e r m e q u a l s t h e e x p e c t e d r e s e n t v a l u e o f t h e w a g e b i l l , a d j u s t e d f o r t h e p r o b a b i l i t y o f s u c h a s h u t d o w n . q u a t i o n s 2 a n d 3 j o i n t l y i m p l y t h a t , i n e q u i l i b r i u m , t h e e x p e c t e d p r e s e n t v a l u e o f h e w a g e b i l l e q u a l s ( 1 (cid:0) (cid:11) ) t i m e s t h e e x p e c t e d p r e s e n t v a l u e o f r e v e n u e . . 2 A g g r e g a t i o n o t a l l a b o r e m p l o y m e n t , L , i s e q u a l t o t h e s u m o f e m p l o y m e n t f r o m a l l e x i s t i n g t i n t a g e s o f c a p i t a l M t(cid:0) j L = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) Q ; ( 4 ) t j t(cid:0) j t j = 1 X h e r e Q i s t h e q u a n t i t y o f n e w m a c h i n e s s t a r t e d i n p e r i o d t (cid:0) j . A g g r e g a t e (cid:12) n a l t(cid:0) j u t p u t , Y , i s t M t(cid:0) j Y = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) Q X : ( 5 ) t j t(cid:0) j t(cid:0) j t j = 1 X n t h e a b s e n c e o f g o v e r n m e n t s p e n d i n g o r o t h e r u s e s o f o u t p u t , a g g r e g a t e c o n s u m p i o n , C , s a t i s (cid:12) e s t C = Y (cid:0) k Q ; ( 6 ) t t t t h e r e k Q i s g r o s s i n v e s t m e n t i n n e w m a c h i n e s . t t . 3 P r e f e r e n c e s h e e c o n o m y i s m a d e u p o f r e p r e s e n t a t i v e h o u s e h o l d s w h o s e p r e f e r e n c e s a r e g i v e n y 1 1 (cid:0) (cid:13) C ( N (cid:0) L ) 1 t+ s t+ s t+ s s (cid:12) ; ( 7 ) 1 (cid:0) (cid:13) N t+ s s = 0 (cid:18) (cid:19) X h e r e (cid:12) 2 ( 0 ; 1 ) ; > 0 , 1 = (cid:13) > 0 i s t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n , a n d t = N ( 1 + n ) i s t h e h o u s e h o l d ’s g r o w i n g t i m e e n d o w m e n t . H o u s e h o l d s o p t i m i z e t 0 v e r t h e s e p r e f e r e n c e s s u b j e c t t o t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l b u d g e t c o n s t r a i n t . W e s s u m e t h a t c l a i m s o n t h e p r o (cid:12) t s s t r e a m s o f i n d i v i d u a l m a c h i n e s a r e t r a d e d ; i n q u i l i b r i u m , h o u s e h o l d s o w n a d i v e r s i (cid:12) e d p o r t f o l i o o f a l l s u c h c l a i m s . T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n w i t h r e s p e c t t o c o n s u m p t i o n i s g i v e n b y (cid:12) U = R U ; ( 8 ) c ;t t;t+ 1 c ;t+ 1 1 + n h e r e U d e n o t e s t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n . T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n c ;t+ s i t h r e s p e c t t o l e i s u r e / w o r k i s g i v e n b y U W + U = 0 ; ( 9 ) c ;t t L ;t 8
w w 2 B s b w t w r d c t e I t e 3 I e t u a t i w h e r e U d e n o t e s t h e m a r g i n a l u t i l i t y a s s o c i a t e d w i t h a n i n c r e m e n t a l i n c r e a s e i n L ;t o r k ( d e c r e a s e i n l e i s u r e ) . . 4 T h e S o l o w V i n t a g e M o d e l y r e l a x i n g t h e r e s t r i c t i o n t h a t e x p o s t c a p i t a l - l a b o r r a t i o s a r e (cid:12) x e d , t h e m o d e l d e c r i b e d a b o v e c o l l a p s e s t o t h e n e o c l a s s i c a l v i n t a g e c a p i t a l m o d e l i n i t i a l l y i n t r o d u c e d y S o l o w ( 1 9 6 2 ) . F o r t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l , d e (cid:12) n e t h e c a p i t a l a g g r e g a t o r , K , b y t M 1 = (cid:11) K (cid:17) (cid:18) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) I ; ( 1 0 ) t j t(cid:0) j t(cid:0) j j = 1 X h e r e I d e n o t e s g r o s s a g g r e g a t e c a p i t a l i n v e s t m e n t . A g g r e g a t e p r o d u c t i o n i n p e r i o d t i s g i v e n b y 1 (cid:0) (cid:11) (cid:11) 1 (cid:0) (cid:11) Y = A K L ; ( 1 1 ) t t t 2 (cid:27) ) i s a s c a l e c o r r e c t i o n t h a t h e r e L d e n o t e s a g g r e g a t e l a b o r i n p u t a n d A = e x p ( t 2 (cid:11) e s u l t s f r o m a g g r e g a t i n g a c r o s s m a c h i n e s w i t h d i (cid:11) e r i n g l e v e l s o f i d i o s y c r a t i c p r o u c t i v i t y . I n t h i s e c o n o m y , a m e a n - p r e s e r v i n g s p r e a d t o i d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y a u s e s a n i n c r e a s e i n d i s e m b o d i e d p r o d u c t i v i t y a t t h e a g g r e g a t e l e v e l . I f w e a s s u m e j (cid:0) 1 h a t (cid:14) = 1 (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) a n d M = 1 , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g c a p i t a l a c c u m u l a t i o n j q u a t i o n 1 = (cid:11) K = ( 1 (cid:0) (cid:14) ) K + (cid:18) I : t t(cid:0) 1 t(cid:0) 1 t(cid:0) 1 n t h e n e o c l a s s i c a l v i n t a g e m o d e l , e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l c h a n g e e n t e r s t h e m o d e l h r o u g h t h e c a p i t a l a c c u m u l a t i o n e q u a t i o n a n d i s e q u i v a l e n t t o a r e d u c t i o n i n t h e c o n o m i c c o s t o f n e w c a p i t a l g o o d s . T h e N o - G r o w t h E c o n o m y n t h i s s e c t i o n , w e d e r i v e t h e c o n d i t i o n s d e s c r i b i n g t h e s t e a d y s t a t e o f t h e p u t t y - c l a y c o n o m y w i t h n o t e c h n o l o g i c a l o r p o p u l a t i o n g r o w t h ; t h e c a s e o f p o s i t i v e g r o w t h i s a k e n u p i n s e c t i o n 5 . W e (cid:12) r s t p r o v e t h e u n i q u e n e s s o f t h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m t i l i z a t i o n r a t e . W e t h e n d e r i v e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s f o r t h e s t e a d y - s t a t e v a l u e s o f l l v a r i a b l e s a s f u n c t i o n s o f t h e s t e a d y - s t a t e u t i l i z a t i o n r a t e . I n s o d o i n g , w e s h o w h a t t h e m o d e l h a s a w e l l - d e (cid:12) n e d a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d c h a r a c t e r i z e t s p r o p e r t i e s . T h e n o - g r o w t h e c o n o m y i s o b t a i n e d b y s e t t i n g g = n = 0 . F o r f u r t h e r s i m p l i c i t y , j (cid:0) 1 e a s s u m e M = 1 a n d (cid:14) = 1 (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) f o r s o m e d e p r e c i a t i o n r a t e (cid:14) > 0 . L e t t i n g j 9
l s s s w p F i p ( e A b p l T c e t w s m r i o w e r c a s e l e t t e r s d e n o t e s t e a d y - s t a t e p e r c a p i t a q u a n t i t i e s a n d s u p p r e s s i n g t i m e 1 (cid:11) 2 u b s c r i p t s w e d e (cid:12) n e z = ( 1 = (cid:27) ) [l n ( w ) (cid:0) l n ( (cid:18) k ) + (cid:27) ]. E q u a t i o n 4 t h e n i m p l i e s t h a t 2 t e a d y - s t a t e l a b o r e q u a l s t h e s t e a d y - s t a t e c a p i t a l u t i l i z a t i o n r a t e t i m e s t h e t o t a l t o c k o f m a c h i n e s , q = (cid:14) , l = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) ( q = (cid:14) ) ; ( 1 2 ) h i l e e q u a t i o n 5 i m p l i e s t h a t s t e a d y - s t a t e o u t p u t i s e q u a l t o t h e s t e a d y - s t a t e c a a c i t y u t i l i z a t i o n r a t e t i m e s p o t e n t a l o u t p u t (cid:11) y = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:18) k ( q = (cid:14) ) : ( 1 3 ) o r a g i v e n c a p i t a l - l a b o r r a t i o a n d s t o c k o f m a c h i n e s , l a b o r a n d o u t p u t a r e i n c r e a s i n g n t h e r a t e o f u t i l i z a t i o n . E q u a t i o n s 1 2 a n d 1 3 p r o v i d e a n i m p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l a b o r a n d o u t u t t h a t m a y b e i n t e r p r e t e d a s t h e s h o r t - r u n p r o d u c t i o n f u n c t i o n f o r t h i s e c o n o m y h o l d i n g c a p i t a l (cid:12) x e d ) . C o m p u t i n g t h e r a t i o o f t h e s e t w o e q u a t i o n s , w e o b t a i n a n x p r e s s i o n f o r t h e a v e r a g e p r o d u c t o f l a b o r ( A P L ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:11) A P L = (cid:18) k : ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) (cid:11) v e r a g e l a b o r p r o d u c t i v i t y d e p e n d s o n o v e r a l l m a c h i n e e (cid:14) c i e n c y (cid:18) k a d j u s t e d f o r o t h t h e r a t e s o f c a p a c i t y u t i l i z a t i o n a n d c a p i t a l u t i l i z a t i o n . T a k i n g t h e r a t i o o f @ y @ l = ; w e o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f a r t i a l d e r i v a t i v e s , @ z @ z a b o r ( M P L ) (cid:30) ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:11) M P L = (cid:18) k : (cid:30) ( z ) @ M P L = (cid:0) (cid:27) M P L ; w h i c h i m p l i e s s t r i c t c o n - a k i n g s e c o n d d e r i v a t i v e s w e o b t a i n @ l a v i t y o f t h e s h o r t - r u n p r o d u c t i o n f u n c t i o n . L e t t i n g ( 1 = w ) d e n o t e t h e r e l a t i v e o u t p u t p r i c e , w e c a n o b t a i n t h e s h o r t - r u n l a s t i c i t y o f s u p p l y b y t a k i n g l o g s a n d t h e n d i (cid:11) e r e n t i a t i n g e q u a t i o n 1 3 w i t h r e s p e c t o l n w @ l n y h ( z (cid:0) (cid:27) ) = ; @ l n ( 1 = w ) (cid:27) h e r e h ( x ) (cid:17) (cid:30) ( x ) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( x ) ) , t h e h a z a r d r a t e f o r t h e s t a n d a r d n o r m a l . I n t h e h o r t r u n , a n e x p a n s i o n o f o u t p u t i s a c h i e v e d t h r o u g h t h e u t i l i z a t i o n o f m a r g i n a l a c h i n e s . T h e h a z a r d r a t e h ( z (cid:0) (cid:27) ) m e a s u r e s m a c h i n e e (cid:14) c i e n c y f o r m a c h i n e s i n u s e , e l a t i v e t o o v e r a l l m a c h i n e e (cid:14) c i e n c y . A s o u t p u t i n c r e a s e s , t h e e (cid:14) c i e n c y o f m a c h i n e s n u s e f a l l s , a n d t h e e l a s t i c i t y o f s u p p l y f a l l s . 1 0
t r T l m w a f f t l l y T e p w a p i T h e e l a s t i c i t y o f o u t p u t w i t h r e s p e c t t o l a b o r i s c o m p u t e d a s t h e r a t i o o f m a r g i n a l o a v e r a g e l a b o r p r o d u c t i v i t y ; e q u i v a l e n t l y , i t m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f h a z a r d a t e s h ( z (cid:0) (cid:27) ) @ l n y = : @ l n l h ( z ) h i s r a t i o p l a y s a k e y r o l e i n d e t e r m i n i n g b o t h t h e e q u i l i b r i u m r a t e o f c a p i t a l u t i i z a t i o n . C o m b i n i n g e q u a t i o n s 2 , 1 2 , a n d 1 3 a n d s o l v i n g f o r t h e c a p i t a l - l a b o r r a t i o p e r a c h i n e y i e l d s 1 (cid:0) (cid:11) 1 (cid:11) k = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:18) ; ( 1 4 ) r + (cid:14) (cid:18) (cid:19) h e r e r = 1 = (cid:12) (cid:0) 1 i s t h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m r e a l i n t e r e s t r a t e . E x c e p t f o r t h e d j u s t m e n t f o r c a p a c i t y u t i l i z a t i o n ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) , t h i s i s t h e s t a n d a r d e x p r e s s i o n o r t h e s t e a d y - s t a t e c a p i t a l - l a b o r r a t i o i n a n o - g r o w t h e c o n o m y . T h e a d j u s t m e n t a c t o r i m p l i e s t h a t t h e o p t i m a l c a p i t a l - l a b o r r a t i o f o r n e w m a c h i n e s i s i n c r e a s i n g i n h e c a p a c i t y u t i l i z a t i o n r a t e . I n e q u i l i b r i u m , t h e w a g e r a t e e q u a l s t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r , o r , e q u i v a e n t l y , t h e e (cid:14) c i e n c y l e v e l o f t h e m a r g i n a l m a c h i n e . T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n f o r t h e a b o r - l e i s u r e d e c i s i o n , e q u a t i o n 9 , a n d t h e a g g r e g a t e r e s o u r c e c o n s t r a i n t , e q u a t i o n 6 , i e l d c w = ; ( 1 5 ) 1 (cid:0) l c = y (cid:0) k q : ( 1 6 ) o c l o s e t h e m o d e l a n d s o l v e f o r t h e e q u i l i b r i u m r a t e o f c a p i t a l u t i l i z a t i o n , w e (cid:12) r s t x p r e s s t h e z e r o - p r o (cid:12) t c o n d i t i o n a s a m o n o t o n i c f u n c t i o n o f z . I n s t e a d y s t a t e , e r - p e r i o d p r o (cid:12) t s ( n e t o f c a p i t a l e x p e n d i t u r e s ) a r e g i v e n b y (cid:11) (cid:5) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:18) k (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) w (cid:0) ( r + (cid:14) ) k ; ( 1 7 ) h e r e ( r + (cid:14) ) k e q u a l s p e r - p e r i o d c a p i t a l e x p e n d i t u r e s . U s i n g e q u a t i o n 1 4 , w e m a y (cid:11) l t e r n a t i v e l y e x p r e s s p e r - p e r i o d c a p i t a l e x p e n d i t u r e s b y (cid:11) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:18) k . N e t r o (cid:12) t s m a y t h e n b e w r i t t e n y (cid:5) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) [( 1 (cid:0) (cid:11) ) (cid:0) w ]: l T h e f r e e - e n t r y c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t e x p e c t e d n e t p r o (cid:12) t s e q u a l z e r o , s o t h a t , n e q u i l i b r i u m , l a b o r ’s s h a r e o f o u t p u t e q u a l s t h e w a g e b i l l : ( 1 (cid:0) (cid:11) ) y = w l , j u s t 1 1
a m a a n a i n n t F l o r P o w P c a 1 N s i w s i n t h e n e o c l a s s i c a l v i n t a g e m o d e l w i t h C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n . I n t h e v i n t a g e o d e l , t h i s e q u a l i t y i s a c h i e v e d b y a l l o c a t i n g m o r e l a b o r t o h i g h - e (cid:14) c i e n c y m a c h i n e s n d l e s s t o l o w - e (cid:14) c i e n c y m a c h i n e s s o t h a t t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r i s e q u a l c r o s s m a c h i n e s . E a c h f a c t o r ( l a b o r a n d c a p i t a l ) i s p a i d i t s s h a r e o f o u t p u t s o t h a t e t p r o (cid:12) t s a r e z e r o . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , m a r g i n a l p r o d u c t s a r e n o t e q u a l i z e d c r o s s i n d i v i d u a l m a c h i n e s . I n s t e a d , a w o r k e r e m p l o y e d o n a h i g h l y e (cid:14) c i e n t m a c h i n e s m o r e p r o d u c t i v e t h a n o n e e m p l o y e d o n a l o w e (cid:14) c i e n c y m a c h i n e . F r e e e n t r y o f e w m a c h i n e s t h e n d e t e r m i n e s t h e u t i l i z a t i o n r a t e c o n s i s t e n t w i t h z e r o e q u i l i b r i u m e t p r o (cid:12) t s . T o s e e t h e l i n k b e t w e e n f r e e e n t r y a n d u t i l i z a t i o n , w e u s e t h e e q u i l i b r i u m c o n d i i o n t h a t t h e w a g e r a t e e q u a l s t h e p r o d u c t i v i t y o f t h e m a r g i n a l m a c h i n e t o o b t a i n w l h ( z (cid:0) (cid:27) ) = : y h ( z ) r e e e n t r y r e q u i r e s t h a t t h e r a t i o o f m a r g i n a l t o a v e r a g e m a c h i n e e (cid:14) c i e n c i e s e q u a l s a b o r ’s s h a r e ( 1 (cid:0) (cid:11) ) . T h i s e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n d e t e r m i n e s t h e s t e a d y - s t a t e v a l u e f z a n d t h e r e b y t h e s t e a d y - s t a t e c a p i t a l u t i l i z a t i o n r a t e ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) ) : W e s t a t e t h i s e s u l t i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . r o p o s i t i o n 1 F o r t h e n o - g r o w t h e c o n o m y , t h e r e e x i s t s a u n i q u e e q u i li b r i u m v a lu e f t h a t s a t i s (cid:12) e s : z h ( z (cid:0) (cid:27) ) 1 (cid:0) (cid:11) = ( 1 8 ) h ( z ) h e r e i s t h e h a z a r d r a t e f o r t h e s t a n d a r d n o r m a l. h ( x ) = (cid:30) ( x ) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( x ) ) r o o f : A s s h o w n i n t h e a p p e n d i x , f o r a n y g i v e n , i s m o n o t o n i - (cid:27) > 0 h ( z (cid:0) (cid:27) ) = h ( z ) h ( z (cid:0) (cid:27) ) h ( z (cid:0) (cid:27) ) a l ly i n c r e a s i n g w i t h a n d . H e n c e , t h e r e i s l i m = 0 l i m = 1 z ! (cid:0) 1 z ! + 1 h ( z ) h ( z ) s i n g le v a lu e o f t h a t s a t i s (cid:12) e s e q u a t i o n 1 8 . z T o c o m p l e t e t h e d e s c r i p t i o n o f t h e m o d e l , w e c o m b i n e e q u a t i o n s 1 3 , 1 4 , 1 5 , a n d 6 a n d u s e t h e f r e e e n t r y c o n d i t i o n t o s o l v e f o r s t e a d y - s t a t e l a b o r ( 1 (cid:0) (cid:11) ) : ( 1 9 ) l = 1 (cid:0) (cid:11) (cid:0) ( 1 (cid:0) (cid:11) (cid:14) = ( r + (cid:14) ) ) 2 o t e t h a t s t e a d y - s t a t e l a b o r i s i n d e p e n d e n t o f z a n d (cid:27) , t h e v a r i a n c e o f i d i o s y n c r a t i c h o c k s . A s i n t h e c a s e o f t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l , a m e a n - p r e s e r v i n g s p r e a d t o d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y a c t s l i k e a n a g g r e g a t e d i s e m b o d i e d p r o d u c t i v i t y s h o c k i t h r e s p e c t t o t h e l a b o r a l l o c a t i o n d e c i s i o n a n d t h u s h a s n o e (cid:11) e c t o n s t e a d y - s t a t e 1 2
F i g u r e 2 : E q u i l i b r i u m U t i l i z a t i o n R a t e Capital Utilization (CU) tsoC 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.3 5.2 0.2 5.1 0.1 MC/AVC (s=0.25) CU*(s=0.40) MC/AVC (s=0.40) • • 1/(1-a) CU*(s=0.25) l f (cid:12) c 0 a r m a o a e c e i P f M a b o r . E q u i l i b r i u m v a l u e s f o r a l l r e m a i n i n g a g g r e g a t e v a r i a b l e s a r e t h e n c o m p u t e d r o m z a n d l . F i g u r e 2 p r o v i d e s a g r a p h i c a l d e p i c t i o n o f t h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m . I n t h i s (cid:11) g u r e , w e n o r m a l i z e (cid:18) k a t u n i t y a n d p l o t t h e r a t i o o f m a r g i n a l t o a v e r a g e v a r i a b l e o s t ( t h e i n v e r s e o f M P L / A P L ) a s a f u n c t i o n o f c a p i t a l u t i l i z a t i o n f o r t w o v a l u e s o f (cid:27) , .2 5 a n d 0 .4 . A t l o w l e v e l s o f u t i l i z a t i o n , t h e m a r g i n a l m a c h i n e i s h i g h l y p r o d u c t i v e n d m a r g i n a l c o s t i s l o w . A t h i g h l e v e l s o f u t i l i z a t i o n , t h e m a r g i n a l m a c h i n e i s e l a t i v e l y u n p r o d u c t i v e , a n d s m a l l i n c r e a s e s i n u t i l i z a t i o n c a u s e s h a r p i n c r e a s e s i n a r g i n a l c o s t . A v e r a g e v a r i a b l e c o s t i s c o n c a v e a n d i n c r e a s i n g i n u t i l i z a t i o n w i t h v e r a g e v a r i a b l e c o s t e q u a l i n g u n i t y a t f u l l c a p a c i t y u t i l i z a t i o n . B e c a u s e t h e r a t i o f m a r g i n a l t o a v e r a g e v a r i a b l e c o s t i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g a n d a s y m p t o t e s t o i n (cid:12) n i t y s t h e e c o n o m y a p p r o a c h e s f u l l c a p a c i t y u t i l i z a t i o n , w e a r e g u a r a n t e e d a u n i q u e q u i l i b r i u m r a t e o f c a p i t a l u t i l i z a t i o n . M C 1 T h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n t h a t = i s s a t i s (cid:12) e d f o r t h e t w o A V C 1 (cid:0) (cid:11) (cid:3) a s e s o f (cid:27) a t t h e p o i n t s l a b e l e d C U s h o w n i n t h e (cid:12) g u r e . I f c a p a c i t y u t i l i z a t i o n x c e e d s t h e e q u i l i b r i u m l e v e l , m a r g i n a l c o s t i s h i g h r e l a t i v e t o a v e r a g e v a r i a b l e c o s t , m p l y i n g t h a t w a g e s a r e l o w r e l a t i v e t o l a b o r p r o d u c t i v i t y a n d p r o (cid:12) t s a r e p o s i t i v e . o s i t i v e p r o (cid:12) t s i n d u c e n e w e n t r y i n t o t h e m a r k e t w h i c h i n t u r n i n c r e a s e s t h e d e m a n d o r l a b o r . G i v e n t h e s t e a d y - s t a t e q u a n t i t y o f l a b o r , n e w e n t r y c a u s e s w a g e s t o r i s e . a r g i n a l m a c h i n e s a r e s h u t d o w n , c a p a c i t y u t i l i z a t i o n f a l l s , a n d p r o (cid:12) t s d e c l i n e t o 1 3
F i g u r e 3 : A g g r e g a t e S u p p l y C u r v e Output(log) )gol(ecirP s =.20 Solow vintage s =.40 Yss(s= .20) Yss(s= .40) t g f (cid:12) s c t i I s t e t g a o c h e p o i n t t h a t n e w m a c h i n e s e a r n z e r o p r o (cid:12) t s . M C T h e s t e e p l y r i s i n g c u r v e s h o w n i n (cid:12) g u r e 2 t r a n s l a t e s i n t o a s h o r t - r u n a g g r e - A V C a t e s u p p l y c u r v e w i t h m o r e c u r v a t u r e t h a n t h a t o f t h e n e o c l a s s i c a l v i n t a g e m o d e l , M C 1 o r w h i c h t h e r a t i o o f i s c o n s t a n t a n d e q u a l t o . T o s e e t h i s m o r e d i r e c t l y , A V C 1 (cid:0) (cid:11) g u r e 3 p l o t s t h e l o g o f o u t p u t v e r s u s t h e l o g o f t h e r e l a t i v e o u t p u t p r i c e 1 = w f o r t w o p e c i (cid:12) c a t i o n s o f (cid:27) o f t h e p u t t y - c l a y m o d e l a n d f o r t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l . I n e a c h a s e , t h e s t o c k o f c a p i t a l g o o d s i s h e l d (cid:12) x e d a t i t s s t e a d y - s t a t e l e v e l . E a c h c u r v e r a c e s o u t t h e i n c r e a s e s i n o u t p u t o b t a i n e d t h r o u g h i n c r e a s e s i n l a b o r i n p u t , i .e ., n c r e a s e d u t i l i z a t i o n i n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , i n r e s p o n s e t o h i g h e r o u t p u t p r i c e s . n l o g - t e r m s , t h e s l o p e o f t h e s u p p l y c u r v e i s e q u a l t o t h e i n v e r s e o f t h e e l a s t i c i t y o f u p p l y . I n t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l , t h e e l a s t i c i t y o f s u p p l y i s c o n s t a n t a n d e q u a l 1 (cid:0) (cid:11) a n d t h e r e f o r e t h e s u p p l y c u r v e i s l o g - l i n e a r . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , t h e o (cid:11) h ( z (cid:0) (cid:27) ) l a s t i c i t y o f s u p p l y ( ) i s d e c r e a s i n g i n u t i l i z a t i o n , i m p l y i n g t h a t t h e s l o p e o f (cid:27) h e s u p p l y c u r v e i n c r e a s e s a s o u t p u t i n c r e a s e s . A s c a n b e s e e n f r o m (cid:12) g u r e 3 , f o r a n y i v e n (cid:27) , t h e s l o p e o f t h e s u p p l y c u r v e i s i n c r e a s i n g a t a n i n c r e a s i n g r a t e a s l o w e r n d l o w e r q u a l i t y m a c h i n e s a r e b r o u g h t o n l i n e . W e e x p e c t t h a t i n c r e a s e d i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y p r o d u c e s a m o r e (cid:13) e x i b l e e c o n m y w h i c h t r a n s l a t e s i n t o a h i g h e r e l a s t i c i t y o f s u p p l y a n d t h e r e f o r e a (cid:13) a t t e r s u p p l y a t t h e s t e a d y - s t a t e e q u i li b - u r v e . A s c a n b e s e e n f r o m t h e t a n g e n c y l i n e s i n (cid:12) g u r e 3 , 1 4
r i u m , t h e s l o p e o f t h e s h o r t - r u n a g g r e g a t e s u p p l y c u r v e i s i n d e e d n e g a t i v e l y r e l a t e d t o t h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y . A t t h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m , i t i s (cid:11) a l w a y s g r e a t e r t h a n , t h e s l o p e f o r t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l . T h e s e r e s u l t s a r e 1 (cid:0) (cid:11) f o r m a l i z e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . P r o p o s i t i o n 2 F o r t h e n o - g r o w t h p u t t y - c la y e c o n o m y , t h e s lo p e o f t h e a g g r e g a t e @ ln ( 1 = w ) (cid:27) s u p p ly c u r v e h o ld i n g c a p i t a l (cid:12) x e d , , i s i n c r e a s i n g a n d c o n v e x i n = @ ln y h ( z (cid:0) (cid:27) ) . E v a lu a t e d a t t h e s t e a d y - s t a t e e q u i li b r i u m , t h e s lo p e o f t h e a g g r e g a t e s u p p ly l n y c u r v e i s d e c r e a s i n g i n t h e le v e l o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y a n d i s b o u n d e d b e lo w b y (cid:11) , t h e s lo p e o f t h e s u p p ly c u r v e f o r t h e S o lo w v i n t a g e m o d e l. 1 (cid:0) (cid:11) h ( z (cid:0) (cid:27) ) @ ln y P r o o f : L e t d e n o t e t h e e la s t i c i t y o f s u p p ly . F r o m R e s u lt 1 i n (cid:17) = = (cid:27) @ ln ( 1 = w ) t h e a p p e n d i x , w e k n o w t h a t i s lo g - c o n c a v e w h i c h i m p li e s h ( z ) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) ( z (cid:0) (cid:27) ) > 0 0 a n d . U s i n g a n d t a k i n g p a r t i a l h ( z ) (cid:0) z h ( z (cid:0) (cid:27) ) < 1 h ( z ) = h ( z ) ( h ( z ) (cid:0) z ) ; 0 2 ( h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) 1 ) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) ( z (cid:0) (cid:27) ) @ (cid:17) @ (cid:17) d e r i v a t i v e s , w e h a v e : a n d < 0 = = (cid:0) < 0 2 @ ln y (cid:27) (cid:27) h ( z (cid:0) (cid:27) ) @ ( ln y ) (cid:0) 1(cid:17) (cid:16) i m p ly i n g t h a t t h e s lo p e o f t h e s u p p ly c u r v e , , i s i n c r e a s i n g a n d c o n v e x i n ln ( y ) . (cid:17) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) h ( z ) (cid:0) 1 . T o s h o w i s d e c r e a s i n g i n w e n o t e t h a t i n e q u i li b r i u m (cid:17) (cid:27) ; (cid:17) = (cid:27) T a k i n g d e r i v a t i v e s w e o b t a i n 0 d (cid:17) h ( z ) d z 1 = ( (cid:0) ) (cid:17) d (cid:27) h ( z ) d (cid:27) (cid:27) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) ( z (cid:0) (cid:27) ) d z a n d t o t a l ly d i (cid:11) e r e n t i a t i n g e q u a t i o n 1 8 w e o b t a i n w h e r e t h e = > 1 d (cid:27) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) h ( z ) + (cid:27) i n e q u a li t y a g a i n f o l lo w s f r o m lo g - c o n c a v i t y o f . C o m b i n i n g t h e s e e x p r e s s i o n s h ( z ) w e h a v e ( h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) ( h ( z ) (cid:0) z ) 1 d (cid:17) = (cid:0) (cid:17) : d (cid:27) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) h ( z ) + (cid:27) (cid:27) (cid:20) (cid:21) R e s u lt 5 i n t h e a p p e n d i x r e li e s o n c o n v e x i t y o f t o s h o w t h a t t h e t e r m i n b r a c k e t s h ( z ) d (cid:17) i s s t r i c t ly p o s i t i v e f o r a n y . T h i s e s t a b li s h e s t h a t , a n d t h e s lo p e (cid:27) > 0 > 0 d (cid:27) o f t h e s u p p ly c u r v e i s s t r i c t ly d e c r e a s i n g i n a t t h e s t e a d y - s t a t e e q u i li b r i u m . T o (cid:27) e s t a b li s h t h e lo w e r b o u n d f o r t h e s lo p e o f t h e s u p p ly c u r v e , i n e q u i li b r i u m , w e n o t e t h a t a n d i m p li e s h ( z (cid:0) (cid:27) ) = ( 1 (cid:0) (cid:11) ) h ( z ) h ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:0) ( z (cid:0) (cid:27) ) > h ( z ) (cid:0) z (cid:11) h ( z ) < (cid:27) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) h ( z ) 1 (cid:0) (cid:11) a n d t h e r e f o r e . (cid:17) = < (cid:27) (cid:11) I n s u m m a r y , b y v a r y i n g (cid:27) w e v a r y t h e s l o p e ( a n d p o s i t i o n ) o f t h e s h o r t - r u n a g g r e g a t e s u p p l y c u r v e . T h u s , t h e p u t t y - c l a y a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n e (cid:11) e c t i v e l y e m b e d s , d e p e n d i n g o n t h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y , t h e l o g - l i n e a r a n d r e l a t i v e l y (cid:13) a t s h o r t - r u n a g g r e g a t e s u p p l y c u r v e t r a d i t i o n a l l y a s s o c i a t e d w i t h a 1 5
C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n s t r u c t u r e u p t o t h e r e v e r s e L - s h a p e d s u p p l y c u r v e t r a d i t i o n a l l y a s s o c i a t e d w i t h t h e p u t t y - c l a y f r a m e w o r k . 4 R e a l l o c a t i o n B e n e (cid:12) t s , I n v e s t m e n t , a n d U n c e r t a i n t y W e n o w c o n s i d e r t h e e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y o n i n v e s t m e n t a t b o t h t h e p r o j e c t l e v e l a n d t h e m a c r o e c o n o m i c l e v e l . W e s h o w t h a t i n c r e a s e d r e d u c e s u n c e r t a i n t y t y p i c a l l y i n v e s t m e n t a t t h e p r o j e c t l e v e l b u t u n a m b i g u o u s l y i n c r e a s e s a g g r e g a t e i n v e s t m e n t . T h e e x p a n s i o n a r y e (cid:11) e c t o f i n c r e a s e d i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y o n a g g r e g a t e i n v e s t m e n t a n d o u t p u t i s , h o w e v e r , s m a l l e r i n t h e p u t t y c l a y m o d e l t h a n t h e n e o c l a s s i c a l v i n t a g e m o d e l o w i n g t o t h e c o n s t r a i n t o n l a b o r r e a l l o c a t i o n e m b e d d e d i n t h e e x p o s t (cid:12) x i t y o f c a p i t a l - l a b o r r a t i o s i n t h e p u t t y - c l a y m o d e l . W e s t a r t b y c o n s i d e r i n g t h e e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n (cid:27) o n t h e s t e a d y - s t a t e o f t h e p u t t y - c l a y m o d e l . T h e c o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n (cid:27) o n 5 t h e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m i s s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . d z P r o p o s i t i o n 3 F o r t h e n o - g r o w t h e c o n o m y , , a n d t h e s t e a d y - s t a t e c a p i t a l- > 1 d (cid:27) la b o r r a t i o p e r m a c h i n e , , a n d c a p a c i t y u t i li z a t i o n a r e s t r i c t ly d e c r e a s i n g i n . k (cid:27) O u t p u t , c o n s u m p t i o n , t o t a l i n v e s t m e n t , a n d t h e w a g e r a t e a r e i n c r e a s i n g i n , w i t h (cid:27) d ln y s e m i - e la s t i c i t y . T h e i n v e s t m e n t s h a r e i s i n v a r i a n t t o . = h ( z ) (cid:27) d (cid:27) d z P r o o f : E q u a t i o n 1 8 d e (cid:12) n e s a s a n i m p li c i t f u n c t i o n o f w i t h f o l lo w i n g z (cid:27) > 1 d (cid:27) i m m e d i a t e ly f r o m t h e i n c r e a s i n g h a z a r d p r o p e r t y o f t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n ( s e e t h e p r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 ) . D i (cid:11) e r e n t i a t i n g t h e c a p i t a l- la b o r r a t i o w i t h r e s p e c t k d ln k d z t o , a n d u s i n g e q u a t i o n 1 8 w e o b t a i n B e c a u s e s t e a d y - (cid:27) = (cid:0) h ( z ) ( (cid:0) 1 ) < 0 : d (cid:27) d (cid:27) s t a t e la b o r i s i n d e p e n d a n t o f , t h e (cid:13) o w o f n e w m a c h i n e s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e (cid:27) i n v e r s e o f t h e c a p i t a l u t i li z a t i o n r a t e . T h u s , a n i n c r e a s e i n le a d s t o a f a l l i n t h e (cid:27) s t e a d y - s t a t e c a p i t a l u t i li z a t i o n r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f n e w d ln q d ln q d z d ln k C o m b i n i n g w i t h , w e o b t a i n t h e r e s u lt t h a t m a c h i n e s : = h ( z ) > 0 : d (cid:27) d (cid:27) d (cid:27) d (cid:27) d ln ( k q ) i n v e s t m e n t i s i n c r e a s i n g i n : . E q u a t i o n s 1 3 a n d 1 4 i m p ly k q (cid:27) = h ( z ) > 0 d (cid:27) 1 (cid:0) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) d ln y t h a t o u t p u t i s li n e a r i n i n v e s t m e n t : s o t h a t . T h u s , y = k q = h ( z ) > 0 (cid:11) (cid:12) d (cid:27) 5 d z d k I n t h e c a s e o f p o s it iv e g r o w t h , w e s t ill o b t a in t h e r e s u lt t h a t 1 a n d 0 . W it h g r o w t h , > < d (cid:27) d (cid:27) h o w e v e r , c h a n g e s in in (cid:13) u e n c e t h e e (cid:11) e c t iv e d e p r e c ia t io n r a t e . A s a r e s u lt , la b o r is n o t in d e p e n d a n t (cid:27) o f a n d t h e a g g r e g a t e o u t p u t e (cid:11) e c t s a r e m u c h m o r e d i(cid:14) c u lt t o c h a r a c t e r iz e a n a ly t ic a lly . N u m e r ic a l (cid:27) r e s u lt s in d ic a t e t h a t t h e v a r ia t io n in is e c o n o m ic a lly in c o n s e q u e n t ia l a n d t h a t t h e r e s u lt s fo r t h e l n o - g r o w t h m o d e l g e n e r a liz e t o t h e c a s e o f p o s it iv e g r o w t h fo r r e a s o n a b le c h o ic e s o f . (cid:27) 1 6
o u t p u t a n d i n v e s t m e n t r i s e b y t h e i d e n t i c a l p e r c e n t i n r e s p o n s e t o a u n i t i n c r e a s e h ( z ) i n , a n d t h e i n v e s t m e n t s h a r e o f o u t p u t i s i n v a r i a n t t o t h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c (cid:27) u n c e r t a i n t y . T o p r o v i d e i n t u i t i o n f o r t h e s e r e s u l t s , w e (cid:12) r s t c o n s i d e r t h e p a r t i a l e q u i l i b r i u m e (cid:11) e c t o f a n i n c r e a s e i n (cid:27) o n k , h o l d i n g t h e w a g e r a t e (cid:12) x e d . W e t h e n a n a l y z e t h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m e (cid:11) e c t b y a l l o w i n g t h e w a g e r a t e t o a d j u s t t o i t s n e w e q u i l i b r i u m l e v e l . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , p r o j e c t m a n a g e r s p a y k a n d i n e (cid:11) e c t b u y a n o p t i o n t o p r o d u c e i n t h e f u t u r e . T h e o p t i o n i s e x e r c i s e d ( p r o d u c t i o n o c c u r s ) i f t h e e x 6 p o s t r e a l i z a t i o n o f r e v e n u e s e x c e e d s w a g e c o s t s . C e t e r i s p a r i b u s , a n i n c r e a s e i n 7 u n c e r t a i n t y r a i s e s t h e v a l u e o f t h e o p t i o n a n d i n c r e a s e s e x p e c t e d p r o (cid:12) t s . T h i s i s s e e n i n t h e u p p e r p a n e l o f (cid:12) g u r e 4 , w h i c h s h o w s e x p e c t e d n e t p r o (cid:12) t s p e r m a c h i n e a s a f u n c t i o n o f k , f o r a g i v e n d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y a n d l e v e l o f t h e w a g e . H o l d i n g t h e w a g e (cid:12) x e d a t w , a n i n c r e a s e i n (cid:27) f r o m (cid:27) ( s o l i d l i n e ) t o (cid:27) ( d o t t e d 1 1 2 l i n e ) r a i s e s e x p e c t e d p r o (cid:12) t s p e r m a c h i n e f o r a l l v a l u e s o f k . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n k a n d p r o (cid:12) t s | g i v e n b y e q u a t i o n 1 7 | c o m b i n e s b o t h t h e s t a n d a r d c o n c a v e r e l a t i o n s h i p o w i n g t o d i m i n i s h i n g r e t u r n s t o c a p i t a l a n d t h e e (cid:11) e c t o f k o n e x p e c t e d u t i l i z a t i o n r a t e s . I f k i s v e r y h i g h , u t i - (cid:11) l i z a t i o n i s n e a r l y 1 0 0 % a n d n e t p r o (cid:12) t s a r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o (cid:18) k (cid:0) w (cid:0) ( r + (cid:14) ) k , w h i c h i s s t r i c t l y c o n c a v e i n k . F o r l o w v a l u e s o f k , h o w e v e r , e x p e c t e d u t i l i z a t i o n i s n e a r l y z e r o a n d a n i n c r e m e n t a l i n c r e a s e i n k h a s v i r t u a l l y n o e (cid:11) e c t o n e x p e c t e d g r o s s (cid:11) p r o (cid:12) t s ( r e v e n u e s m i n u s w a g e s ) d e s p i t e h a v i n g a l a r g e i n c r e m e n t a l e (cid:11) e c t o n (cid:18) k . A s a r e s u l t , f o r l o w v a l u e s o f k ; n e t p r o (cid:12) t s a r e d e c r e a s i n g i n k a s t h e c o s t o f c a p i t a l i n c r e a s e s l i n e a r l y i n k . F o r i n t e r m e d i a t e v a l u e s o f k , u t i l i z a t i o n r a t e s a r e s u (cid:14) c i e n t l y h i g h t h a t p r o (cid:12) t s a r e i n c r e a s i n g a n d c o n c a v e i n k . A l t h o u g h e x p e c t e d p r o (cid:12) t s p e r m a c h i n e i n c r e a s e w i t h (cid:27) , t h e p a r t i a l e q u i l i b r i u m e (cid:11) e c t o n k i s a m b i g u o u s a n d d e p e n d s o n t h e u t i l i z a t i o n r a t e . T h e e x p e c t e d m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l ( i .e . t h e d e r i v a t i v e o f g r o s s p r o (cid:12) t s w i t h r e s p e c t t o k ) i s g i v e n b y (cid:11) (cid:0) 1 M P K = (cid:11) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) k : T h e d e r i v a t i v e o f t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l w i t h r e s p e c t t o (cid:27) , h o l d i n g w a g e s 6 P in d y c k ( 1 9 8 8 ) a ls o c o n s id e r s t h e o p t io n v a lu e a s s o c ia t e d w it h m a c h in e s h u t d o w n . I n h is fr a m e w o r k , h o ld in g c o n s t a n t t h e o p t io n v a lu e a s s o c ia t e d w it h w a it in g t o in v e s t , a n in c r e a s e in u n c e r t a in t y r a is e s in v e s t m e n t . T h is r e s u lt c o n t r a s t s w it h t h a t d e s c r ib e d b e lo w . 7 E q u iv a le n t ly , o n e c a n t h in k o f a s t h e r e la t iv e o u t p u t p r ic e fo r t h e g o o d p r o d u c e d . T h e (cid:18) i;t c o n v e x it y o f t h e p r o (cid:12) t fu n c t io n w it h r e s p e c t t o t h e o u t p u t p r ic e im p lie s t h a t a n in c r e a s e in r a is e s (cid:27) e x p e c t e d p r o (cid:12) t s . 1 7
F i g u r e 4 : T h e E (cid:11) e c t s o f I n c r e a s e d U n c e r t a i n t y k nruteR latoT Expected Profits per Machine p(s |w ) 2 1 0 p(s |w ) 2 2 p(s |w ) 1 1 ~ 0 k 2 k k 1 k nruteR fo etaR Expected Marginal Product of Machine Capital MPK(s |w ) 2 1 MPK(s |w ) 1 1 r + d MPK(s |w ) 2 2 0 ~ k k k 0 2 1 (cid:12) F s k p i e x o p . o n q e d , e q u r z < r e a d r e I f t h e r t i o n o (cid:27) i s t o T h e b u i l i b r i u a l s 0 , t h a t i s , a t c d u c e s t h e c a p a c a p i t a l u t i l i z a t f ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z (cid:0) (cid:27) ) ) i n c r e a s e , r a t h e o t t o m p a n e l o f m , t h e m a r g i n a @ M P K z (cid:11) (cid:0) 1 = (cid:30) ( z (cid:0) (cid:27) ) (cid:11) k : @ (cid:27) (cid:27) a p i t a l u t i l i z a t i o n r a t e s e x c e e d i n g 5 0 % c i t y u t i l i z a t i o n r a t e , t h e m a r g i n a l p r o i o n r a t e i s l e s s t h a n 5 0 % , u t i l i z a t i o n o a n d t h e p a r t i a l e q u i l i b r i u m e (cid:11) e c t o f a n r t h a n d e c r e a s e , k . (cid:12) g u r e 4 p l o t s t h e e x p e c t e d m a r g i n a l p l p r o d u c t o f c a p i t a l e q u a l s t h e r e q u i r e d 1 8 , a m e a n d u c t o f c c c u r s o n i n c r e m e n r o d u c t o f r e t u r n , r - p r e s e r v i n a p i t a l , a n t h e c o n v e t a l i n c r e a s c a p i t a l . I + (cid:14) ; f o r t h g d x e n e
c w u t p t (cid:12) T o a u s P b P t I t r c e p a m e b r i a s e o f (cid:27) = (cid:27) ( s o l i d l i n e ) , t h e e q u i l i b r i u m c a p i t a l - l a b o r r a t i o e q u a l s k . H o l d i n g t h e 1 1 a g e r a t e (cid:12) x e d a t w , a n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y r e d u c e s t h e c a p a c i t y 1 t i l i z a t i o n r a t e a n d t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l , a s s h o w n b y t h e d o t t e d l i n e i n ~ h e (cid:12) g u r e . F o r w a g e w , k m u s t f a l l t o k t o r e s t o r e t h e e q u a l i t y o f t h e m a r g i n a l 1 r o d u c t o f c a p i t a l t o t h e r e q u i r e d r e t u r n . I n g e n e r a l e q u i l i b r i u m , h i g h e r p r o (cid:12) t s i n d u c e n e w e n t r y . N e w e n t r y d r i v e s u p h e w a g e r a t e , t h e r e b y r e d u c i n g u t i l i z a t i o n a n d e r o d i n g p r o (cid:12) t s . A s s h o w n i n t h e g u r e , t h e i n c r e a s e i n t h e w a g e r a t e f r o m w t o w c a u s e s a r e d u c t i o n i n k t o k . 1 2 2 h e a d d i t i o n a l i n v e s t m e n t t h a t o c c u r s t h r o u g h t h e e x t e n s i v e m a r g i n m o r e t h a n (cid:11) s e t s a n y r e d u c t i o n i n i n v e s t m e n t t h a t o c c u r s t h r o u g h t h e i n t e n s i v e m a r g i n a n d g g r e g a t e i n v e s t m e n t u n a m b i g u o u s l y r i s e s i n r e s p o n s e t o a n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c n c e r t a i n t y . W e n o w c o m p a r e t h i s r e s u l t t o t h a t f r o m t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l , w h i c h w e t a t e i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . r o p o s i t i o n 4 D e (cid:12) n e t h e s e m i - e la s t i c i t y o f s t e a d y - s t a t e o u t p u t w i t h r e s p e c t t o (cid:27) d ln y y . T h e n (cid:15) (cid:17) d (cid:27) (cid:27) (cid:15) = h ( z ) < = (cid:15) : p u t ty (cid:0) c la y S o lo w (cid:11) r o o f : W e n e e d t o s h o w t h a t a t t h e e q u i li b r i u m , w h i c h i s e s t a b li s h e d i n (cid:11) h ( z ) < (cid:27) ; h e p r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . n t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l , p r o j e c t - l e v e l c a p i t a l e x p e n d i t u r e s a r e i r r e v e r s i b l y t i e d o a s p e c i (cid:12) c r e a l i z a t i o n o f i d i o s y n c r a t i c p r o d u c t i v i t y (cid:18) b u t l a b o r c a n b e c o s t l e s s l y i;t e a l l o c a t e d a c r o s s p r o j e c t s a f t e r t h e r e a l i z a t i o n o c c u r s . A m e a n - p r e s e r v i n g s p r e a d a u s e s a r e a l l o c a t i o n o f l a b o r f r o m l o w p r o d u c t i v i t y t o h i g h p r o d u c t i v i t y m a c h i n e s , q u a l i z i n g t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r a c r o s s m a c h i n e s . T h i s r e a l l o c a t i o n i n c r e a s e s r o d u c t i v i t y i n p r o p o r t i o n t o (cid:27) a n d r a i s e s t h e r e t u r n t o c a p i t a l , c a u s i n g i n v e s t m e n t n d o u t p u t t o i n c r e a s e . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , l a b o r r e a l l o c a t i o n i s l i m i t e d t o m o v i n g w o r k e r s f r o m a c h i n e s i n t h e l o w e r t a i l o f t h e e (cid:14) c i e n c y d i s t r i b u t i o n t o n e w m a c h i n e s , t h e m e a n (cid:14) c i e n c y o f w h i c h e q u a l s a v e r a g e l a b o r p r o d u c t i v i t y . T h e t e r m h ( z ) c a p t u r e s t h e e n e (cid:12) t s f r o m t h i s r e a l l o c a t i o n o f l a b o r . S p e c i (cid:12) c a l l y , t h e e l a s t i c i t y o f o u t p u t w i t h e s p e c t t o (cid:27) , (cid:27) h ( z ) , e q u a l s t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n a v e r a g e l o g - e (cid:14) c i e n c y o f m a c h i n e s n u s e r e l a t i v e t o t h e l o g - e (cid:14) c i e n c y o f a l l m a c h i n e s (cid:27) h ( z ) = E ( l n ( x ) jx > w ) (cid:0) E l n ( x ) : i i i 1 9
A m l r t p s i o e a I v a o T a b l e 1 : T h e E x p a n s i o n a r y E (cid:11) e c t o f I n c r e a s e d U n c e r t a i n t y S e m i - e l a s t i c i t y S e m i - e l a s t i c i t y o f O u t p u t w .r .t . (cid:27) o f k w .r .t . (cid:27) (cid:27) S o l o w V i n t a g e P u t t y - c l a y P u t t y - c l a y 0 .1 0 0 .2 8 0 .0 0 - 0 .0 0 0 .2 0 0 .5 6 0 .0 5 - 0 .5 3 0 .3 0 0 .8 3 0 .2 4 - 1 .5 2 0 .4 0 1 .1 1 0 .5 1 - 2 .3 6 0 .5 0 1 .3 9 0 .8 1 - 3 .0 5 0 .7 5 2 .0 8 1 .5 8 - 4 .4 8 1 .0 0 2 .7 8 2 .3 5 - 5 .7 3 (cid:11) : N o t e s : F o r t h e s e c o m p u t a t io n s , = 0 3 6 . t l o w l e v e l s o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y , t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e p r o d u c t i v i t y o f a c h i n e s i n u s e t o t h a t o f a l l m a c h i n e s p r o d u c e d i s s m a l l , a n d r e a l l o c a t i o n p r o v i d e s i t t l e b e n e (cid:12) t . A s (cid:27) i n c r e a s e s , t h i s g a p w i d e n s , a n d t h e b e n e (cid:12) t f r o m r e a l l o c a t i o n i s e s . T o q u a n t i f y t h e e (cid:11) e c t o f v a r i a t i o n s i n (cid:27) o n i n v e s t m e n t a n d o u t p u t , T a b l e 1 s h o w s h e s e m i - e l a s t i c i t i e s o f o u t p u t w i t h r e s p e c t t o (cid:27) , f o r d i (cid:11) e r e n t v a l u e s o f (cid:27) , f o r t h e u t t y - c l a y a n d S o l o w v i n t a g e m o d e l s . T h e s e r e s u l t s a r e b a s e d o n a 3 6 % c a p i t a l h a r e ( (cid:11) = 0 :3 6 ) ; n o o t h e r m o d e l p a r a m e t e r s e n t e r i n t o t h e c o m p u t a t i o n s . A s s e e n n t h e t a b l e , t h e o u t p u t s e m i - e l a s t i c i t y o f t h e p u t t y - c l a y m o d e l l i e s w e l l b e l o w t h a t f t h e S o l o w v i n t a g e m o d e l . F o r v a l u e s o f (cid:27) o f 0 .2 a n d s m a l l e r , t h e e x p a n s i o n a r y (cid:11) e c t o f i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y o n o u t p u t i n t h e p u t t y - c l a y m o d e l i s t r i v i a l . T a b l e 1 d ln k l s o s h o w s , t h e s e m i - e l a s t i c i t y o f t h e c a p i t a l - l a b o r r a t i o k w i t h r e s p e c t t o (cid:27) . d (cid:27) n v e s t m e n t a t t h e p r o j e c t l e v e l i s m u c h m o r e s e n s i t i v e t h a n a g g r e g a t e i n v e s t m e n t t o a r i a t i o n s i n (cid:27) . I n t h e p u t t y - c l a y m o d e l , s t a r t i n g f r o m a v a l u e o f (cid:27) o f 0 .2 o r g r e a t e r , n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y h a s a q u a n t i t a t i v e l y l a r g e n e g a t i v e i m p a c t n i n v e s t m e n t a t t h e m a c h i n e l e v e l . 2 0
5 T o g g o o 5 A g t a g t s t l N t y T h e E c o n o m y w i t h G r o w t h h e a s s u m p t i o n o f z e r o t r e n d g r o w t h s i m p l i (cid:12) e s t h e p r e c e d i n g a n a l y s i s ; h o w e v e r , i n r d e r t o s t u d y t h e t i m i n g o f c a p i t a l g o o d s r e p l a c e m e n t w e n e e d t o a l l o w f o r p o s i t i v e r o w t h . W e s t a r t b y d e s c r i b i n g a n d p r o v i n g e x i s t e n c e o f a d e t e r m i n i s t i c b a l a n c e d r o w t h e q u i l i b r i u m . W e t h e n a n a l y z e t h e r e p l a c e m e n t o r \ e n d o g e n o u s d e p r e c i a t i o n " f c a p i t a l g o o d s a n d r e l a t e t h e s e (cid:12) n d i n g s t o t h e p o t e n t i a l f o r r e p l a c e m e n t e c h o e s i n u r m o d e l . . 1 E q u i l i b r i u m a l o n g t h e B a l a n c e d G r o w t h P a t h l o n g t h e b a l a n c e d g r o w t h p a t h , p e r c a p i t a o u t p u t , c o n s u m p t i o n , a n d i n v e s t m e n t r o w a t r a t e g , a n d l a b o r a n d l a b o r c a p a c i t y g r o w a t r a t e n . W e u s e l o w e r c a s e l e t t e r s o i n d i c a t e s t e a d y - s t a t e v a l u e s o f v a r i a b l e s , n o r m a l i z e d b y a p p r o p r i a t e t i m e t r e n d s , ~ n d k t o i n d i c a t e t h e n o r m a l i z e d s t e a d y - s t a t e c a p i t a l - l a b o r r a t i o . W e d e (cid:12) n e t h e 1 ~ r o w t h - a d j u s t e d d i s c o u n t r a t e (cid:12) (cid:17) (cid:12) . L e t z d e n o t e t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n (cid:13) ( 1 + n ) ( 1 + g ) h e a v e r a g e e (cid:14) c i e n c y o f t h e l e a d i n g e d g e t e c h n o l o g y a n d t h e c u r r e n t w a g e r a t e i n 1 2 (cid:27) ) = (cid:27) , a n d l e t z ( i ) d e n o t e t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t e a d y s t a t e , z (cid:17) ( l n w (cid:0) l n x + 2 h e a v e r a g e e (cid:14) c i e n c y o f v i n t a g e i a n d t h e c u r r e n t w a g e r a t e z ( i ) (cid:17) z + ( i = (cid:27) ) l n ( 1 + g ) . O n t h e b a l a n c e d g r o w t h p a t h , t h e n o r m a l i z e d l e v e l s o f o u t p u t , c o n s u m p t i o n , a b o r , a n d t h e w a g e r a t e a r e g i v e n b y M (cid:0) j y = q x ( ( 1 + g ) ( 1 + n ) ) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ; ( 2 0 ) j j = 1 (cid:16) (cid:17) X ~ c = y (cid:0) k q ; ( 2 1 ) M (cid:0) j l = q ( 1 + n ) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) ) : ( 2 2 ) j j = 1 (cid:16) (cid:17) X (cid:0) j ( 1 + g ) x (cid:30) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) w = ; j = 1 ; : : : ; M : ( 2 3 ) (cid:30) ( z ( j ) ) ~ o t e t h a t y = q , c = q , l = q , a n d w d e p e n d o n l y o n t h e v a l u e s o f k ( d i r e c t l y a n d i n d i r e c t l y (cid:11) ~ h r o u g h x = k ) a n d z . T h e (cid:12) r s t - o r d e r c o n d i t i o n f o r k a n d t h e z e r o - p r o (cid:12) t c o n d i t i o n i e l d t w o e q u a t i o n s i n z a n d k M j ~ ~ k = (cid:11) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) x ; ( 2 4 ) j j = 1 (cid:26) (cid:27) (cid:16) (cid:17) X M j j ~ ~ k = (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) x (cid:0) ( 1 + g ) 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) ) w : ( 2 5 ) j j = 1 (cid:26) (cid:27) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) X 2 1
B c u I t c a P d s A (cid:14) P (cid:14) e F a o t a (cid:27) y c o m b i n i n g t h e s e l a s t t h r e e e q u a t i o n s , w e o b t a i n t h e b a l a n c e d g r o w t h e q u i l i b r i u m o n d i t i o n f o r z . A s i n t h e n o - g r o w t h e c o n o m y , a n e q u i l i b r i u m v a l u e o f z i s d e t e r m i n e d b y s e t t i n g t i l i z a t i o n r a t e s s o t h a t a w e i g h t e d a v e r a g e o f v i n t a g e l a b o r s h a r e s e q u a l s 1 (cid:0) (cid:11) . n t h e c a s e o f p o s i t i v e g r o w t h , h o w e v e r , t h e s e w e i g h t s a r e n o t (cid:12) x e d c o n s t a n t s a s i n h e n o - g r o w t h c a s e , b u t i n s t e a d d e p e n d o n z . A s a r e s u l t , w i t h p o s i t i v e g r o w t h o n e a n n o t r u l e o u t a p r i o r i t h e e x i s t e n c e o f m u l t i p l e s t e a d y - s t a t e v a l u e s o f z w i t h o u t d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s , a s s t a t e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . r o p o s i t i o n 5 L e t j ~ ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:12) j v ( z ( j ) ) = ( 2 6 ) M i ~(cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( i ) (cid:0) (cid:27) ) ) i i= 1 P M e (cid:12) n e a s e t o f w e i g h t s s u c h t h a t t h e n t h e r e e x i s t s a t le a s t o n e v ( z ( j ) ) = 1 ; j = 1 t e a d y s t a t e v a lu e o f t h a t s a t i s (cid:12) e s z P M h ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) : ( 2 7 ) ( 1 (cid:0) (cid:11) ) = v ( z ( j ) ) h ( z ( j ) ) j = 1 X M j ~ s u (cid:14) c i e n t c o n d i t i o n f o r u n i q u e n e s s o f t h e e q u i li b r i u m i s t h a t t h e s u m (cid:12) ( 1 (cid:0) j = 1 b e lo g - c o n c a v e i n z . ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ) j P h ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) M M j j ~ ~ r o o f : L e t , a n d (cid:9) ( z ) (cid:17) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ) (cid:0) ( z ) (cid:17) (cid:12) ( 1 (cid:0) j j = 1 j = 1 h ( z ( j ) ) (cid:9) ( z ) h ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) M T h e n a n d t h e b a la n c e d g r o w t h ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ) : = v ( z ( j ) ) P P j j = 1 (cid:0) ( z ) h ( z ( j ) ) q u i li b r i u m c o n d i t i o n m a y b e w r i t t e n P (cid:9) ( z ) : ( 1 (cid:0) (cid:11) ) = (cid:0) ( z ) (cid:9) ( z ) o l lo w i n g t h e p r o o f o f r e s u lt 2 , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t l i m = 0 z ! (cid:0) 1 (cid:0) ( z ) (cid:9) ( z ) (cid:9) ( z ) n d T h u s , b y c o n t i n u i t y o f , t h e r e e x i s t s a t le a s t o n e v a lu e l i m = 1 : z ! + 1 (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) f t h a t s a t i s (cid:12) e s t h e e q u i li b r i u m c o n d i t i o n . z T o p r o v e t h a t lo g - c o n c a v i t y o f i m p li e s u n i q u e n e s s o f t h e e q u i li b r i u m w e s h o w (cid:0) ( z ) 2 @ ln (cid:0) ( z ) (cid:9) ( z ) h a t i m p li e s i s m o n o t o n i c a l ly i n c r e a s i n g i n z . T a k i n g d e r i v a t i v e s < 0 2 (cid:0) ( z ) @ z M 0 0 0 j ~ n d u s i n g t h e f a c t s t h a t a n d (cid:9) ( z ) = (cid:27) (cid:9) ( z ) + (cid:0) ( z ) ; (cid:0) ( x ) = (cid:0) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) (cid:30) ( z ( j ) (cid:0) j i= 1 w e o b t a i n ) ; P (cid:9) ( z ) @ (cid:9) ( z ) (cid:9) ( z ) @ l n (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) = (cid:27) + 1 (cid:0) @ z (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) @ z (cid:18) (cid:19) 2 2
T I h N 0 l t s m u t d o 5 W i t I ( o r p i t t t v p a k i n g s e c o n d d e r i v a t i v e s w e o b t a i n (cid:9) ( z ) (cid:9) ( z ) 2 0 2 @ @ (cid:0) ( z ) (cid:9) ( z ) @ l n (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) = (cid:27) (cid:0) + 1 (cid:0) 2 2 @ z (cid:0) ( z ) @ z (cid:0) ( z ) @ z (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) 2 @ ln (cid:0) ( z ) 0 f t h e s e c o n d t e r m i n t h i s e x p r e s s i o n i s n e g a t i v e . G i v e n w e < 0 (cid:0) ( x ) < 0 2 @ z z (cid:9) ( ) 0 @ z (cid:0) ( ) (cid:0) ( z ) , s o t h a t i m p li e s t h a t t h e (cid:12) r s t t e r m i s a ls o n e g a t i v e . a v e > 0 < 0 (cid:27) (cid:0) (cid:0) ( z ) @ z (cid:3) (cid:3) z z (cid:9) ( ) (cid:9) ( ) 2 (cid:3) (cid:3) (cid:17) (cid:16) @ @ z z (cid:0) ( ) (cid:0) ( ) (cid:3) o w s u p p o s e f o r s o m e . T h e n w e h a v e i m p ly i n g t h a t < 0 z < 0 2 @ z @ z (cid:3) (cid:9) ( z ) (cid:9) ( z ) (cid:3) (cid:3) a n d s t r i c t ly d e c r e a s i n g o n ( z , a r e s u lt w h i c h c o n t r a d i c t s < 1 ; 1 ) < (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) (cid:9) ( z ) i m = 1 . z ! + 1 (cid:0) ( z ) N o t e t h a t t h e p o s s i b i l i t y o f m u l t i p l e b a l a n c e d g r o w t h e q u i l i b r i a e x i s t s o n l y i n h e c a s e o f n o n - z e r o t r e n d t e c h n o l o g i c a l g r o w t h . T h i s p o t e n t i a l f o r m u l t i p l e s t e a d y t a t e s d i s t i n g u i s h e s t h i s m o d e l f r o m i t s p u t t y - p u t t y c o u n t e r p a r t . N o n e t h e l e s s , n u e r i c a l a n a l y s i s o f t h e m o d e l s u g g e s t s t h a t m u l t i p l e e q u i l i b r i a o c c u r o n l y i n \ u n s u a l " r e g i o n s o f t h e p a r a m e t e r s p a c e , f o r e x a m p l e , w h e n t h e t r e n d g r o w t h r a t e o f e c h n o l o g y i s e x t r e m e l y l a r g e a n d t h e v a l u e o f (cid:11) l i e s i n a l i m i t e d r a n g e . F u r t h e r i s c u s s i o n o f t h e s e i s s u e s a p p e a r s i n t h e a p p e n d i x . I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s , e a c h f t h e p a r a m e t e r i z e d v e r s i o n s o f t h e m o d e l u s e d p o s s e s s e s a u n i q u e s t e a d y s t a t e . . 2 E n d o g e n o u s D e p r e c i a t i o n a n d E c h o E (cid:11) e c t s i t h p o s i t i v e g r o w t h i n e m b o d i e d t e c h n o l o g y , t h e r e a l w a g e r i s e s o v e r t i m e a n d n c r e a s i n g s h a r e s o f o l d e r v i n t a g e s o f c a p i t a l b e c o m e t o o c o s t l y t o o p e r a t e g i v e n h e i r l a b o r r e q u i r e m e n t s , w i t h t h e r e s u l t t h a t t h e y a r e m o t h b a l l e d o r s c r a p p e d . n s t e a d y s t a t e , t h e c a p i t a l u t i l i z a t i o n r a t e o f c a p i t a l g o o d s i p e r i o d s o l d e q u a l s 1 (cid:0) (cid:8) ( z + ( i = (cid:27) ) l n ( 1 + g ) ) ) . F r o m t h i s f o r m u l a w e s e e t h a t t h e t w o k e y d e t e r m i n a n t s f t h e s h a p e a n d l o c a t i o n o f t h e v i n t a g e u t i l i z a t i o n s c h e d u l e a r e t h e l o n g - r u n g r o w t h a t e o f e m b o d i e d t e c h n o l o g y a n d t h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y . T h e p r i m a r y d i r e c t e (cid:11) e c t o f p o s i t i v e t r e n d p r o d u c t i v i t y g r o w t h o n m a c h i n e r e l a c e m e n t i s t o s h o r t e n t h e u s e f u l l i f e o f c a p i t a l g o o d s . O w i n g t o m o r e r a p i d g r o w t h n r e a l w a g e s , a n i n c r e a s e i n g s p e e d s u p t h e p r o c e s s o f m a c h i n e r e p l a c e m e n t , s h i f t i n g h e u t i l i z a t i o n s c h e d u l e f o r w a r d i n t i m e . T h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y , o n h e o t h e r h a n d , m a i n l y a (cid:11) e c t s t h e s h a p e o f t h e u t i l i z a t i o n s c h e d u l e . F i r s t , c o n s i d e r h e e x t r e m e c a s e o f n o i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y , w h e r e a l l m a c h i n e s o f t h e s a m e i n t a g e a r e i d e n t i c a l . I n t h i s c a s e , m a c h i n e s o f a g i v e n v i n t a g e a r e r u n a t f u l l c a a c i t y u n t i l t h e r e a l w a g e e x c e e d s t h e v i n t a g e ’s l e v e l o f p r o d u c t i v i t y , a t w h i c h t i m e 2 3
F i g u r e 5 : S t e a d y - s t a t e C a p a c i t y U t i l i z a t i o n 1.2 s =.05 s =.15 1.0 s =.25 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 5 10 15 20 25 30 Vintage Age (in years) t r u (cid:12) r b u t t o l c a o p i a etaR noitazilitU yticapaC h e y a r e r e t i r e d a l l t o g e t h e r . W i t h a s m a l l d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y , t h e e p l a c e m e n t o f c a p i t a l g o o d s f o l l o w s t h e b a s i c p a t t e r n o f t h e c a s e o f n o i d i o s y n c r a t i c n c e r t a i n t y , b u t r e l a t i v e l y i n e (cid:14) c i e n t m a c h i n e s a r e s c r a p p e d e a r l y a n d r e l a t i v e l y e f c i e n t m a c h i n e s a r e s c r a p p e d l a t e r . F i g u r e 5 s h o w s s t e a d y - s t a t e c a p a c i t y u t i l i z a t i o n 8 a t e s a c r o s s v i n t a g e s o f c a p i t a l f o r t h r e e v a l u e s o f (cid:27) . A s (cid:27) i n c r e a s e s , t h e l i n k e t w e e n v i n t a g e a g e a n d m a c h i n e p r o d u c t i v i t y i s w e a k e n e d , r e s u l t i n g i n r e d u c e d t i l i z a t i o n o f r e c e n t v i n t a g e s a n d i n c r e a s e d u t i l i z a t i o n o f o l d e r v i n t a g e s . F o r l o w (cid:27) , h e d e p r e c i a t i o n s c h e d u l e i s c l o s e t o t h a t o f t h e o n e - h o s s - s h a y , w h e r e a s f o r h i g h (cid:27) , h e d e p r e c i a t i o n s c h e d u l e b e g i n s t o r e s e m b l e e x p o n e n t i a l d e c a y . T h e p a t t e r n o f s c r a p p i n g r e l a t e s t o t h e p o t e n t i a l p r e s e n c e o f \ r e p l a c e m e n t e c h o e s " f t h e t y p e s t u d i e d b y B o u c e k k i n e e t a l . ( 1 9 9 7 ) , w h e r e a n i n i t i a l i n v e s t m e n t s u r g e e a d s t o r e c u r r i n g s p i k e s i n i n v e s t m e n t a s s u c c e s s i v e v i n t a g e s a r e r e t i r e d . I n t h e o n t e x t o f o u r p u t t y - c l a y m o d e l , p r o n o u n c e d r e p l a c e m e n t e c h o e s o c c u r o n l y i n t h e b s e n c e o f m e c h a n i s m s w h i c h l e a d t o t h e s m o o t h i n g o f c a p i t a l g o o d s r e p l a c e m e n t v e r t i m e . S p e c i (cid:12) c a l l y , n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r r e p l a c e m e n t e c h o e s t o e x i s t i n o u r u t t y - c l a y m o d e l a r e ( i ) a l o w d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y a n d ( i i ) a h i g h n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f c o n s u m p t i o n . I f t h e d e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y i s n o t s u (cid:14) c i e n t l y l o w , t h e r e s u l t i n g 8 F o r t h e e x a m p le s s h o w n in (cid:12) g u r e s 5 a n d 6 , w e a s s u m e t h e r e is n o \ e x o g e n o u s " c a p it a l d e p r e c it io n , i.e ., = 0 . (cid:14) 2 4
F i g u r e 6 : R e p l a c e m e n t E c h o e s 11..00 00..1122 00..88 00..0088 00..66 00..44 00..0044 00..22 00..00 00..00 --00..22 00 55 1100 1155 2200 2255 3300 3355 4400 tnemtsevnI g = 0.4 (left scale) g = 1.0 (right scale) Years g m n e ( t a s c s a l u c r r r a d u a l l y d e c l i n i n g u t i l i z a t i o n s c h e d u l e s h o w n i n (cid:12) g u r e 5 s m o o t h s t h e p r o c e s s o f a c h i n e r e p l a c e m e n t o v e r t i m e a n d s i g n i (cid:12) c a n t l y d a m p e n s r e p l a c e m e n t e c h o e s . T h e e e d f o r a h i g h i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f c o n s u m p t i o n t o g e n e r a t e r e p l a c e m e n t c h o e s i s d e m o n s t r a t e d i n (cid:12) g u r e 6 , w h i c h s h o w s t h e r e s p o n s e o f a g g r e g a t e i n v e s t m e n t s h o w n a s p e r c e n t a g e p o i n t d e v i a t i o n s f r o m s t e a d y s t a t e ) t o a n u n a n t i c i p a t e d s h o c k h a t d e s t r o y s a p o r t i o n o f t h e s t o c k o f t h e m o s t r e c e n t v i n t a g e o f c a p i t a l . T h i s r t i (cid:12) c i a l e x a m p l e g e n e r a t e s t h e r e q u i s i t e i n i t i a l s p i k e i n i n v e s t m e n t . T h e s o l i d l i n e h o w s t h e r e s p o n s e w h e n (cid:27) = 0 :1 a n d t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n f o r o n s u m p t i o n i s 2 .5 ( (cid:13) = 0 :4 ) . W i t h t h e s e p r e f e r e n c e s , t h e d e s i r e f o r c o n s u m p t i o n m o o t h i n g i s r e l a t i v e l y w e a k . T h e s h o c k e l i c i t s a s h a r p i n i t i a l r i s e i n i n v e s t m e n t n d a r e l a t i v e l y s t r o n g a n d p e r s i s t e n t p a t t e r n o f r e p l a c e m e n t e c h o e s . T h e d a s h e d i n e s h o w s t h e s i m u l a t e d o u t c o m e w i t h a n i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n o f n i t y ( l o g p r e f e r e n c e s ) . I n r e s p o n s e t o t h e s h o c k , h o u s e h o l d s ’ d e s i r e f o r a s m o o t h o n s u m p t i o n p a t h c a u s e s i n v e s t m e n t t o i n i t i a l l y o n l y r i s e b y a s m a l l a m o u n t a n d e m a i n a b o v e s t e a d y s t a t e f o r a n e x t e n d e d p e r i o d a s t h e c a p i t a l s t o c k i s g r a d u a l l y e b u i l t . O n e s m a l l r e p l a c e m e n t e c h o o c c u r s , b u t n o f u r t h e r e c h o m a t e r i a l i z e s . 2 5
6 I v i s c A p e a f i t n d o t c t i p o t f a C o n c l u s i o n n t h i s p a p e r , w e i n v e s t i g a t e t h e m i c r o e c o n o m i c a n d a g g r e g a t e i m p l i c a t i o n s f o r i n e s t m e n t a n d o u t p u t t h a t r e s u l t f r o m a s s u m i n g e x p o s t (cid:12) x i t y o f c a p i t a l - l a b o r r a t i o s n a p u t t y - c l a y m o d e l o f c a p i t a l a c c u m u l a t i o n . T h e m o d e l t h a t w e d e v e l o p p r o v i d e s a e t o f m i c r o e c o n o m i c f o u n d a t i o n s f o r t h e a n a l y s i s o f i n v e s t m e n t u n d e r u n c e r t a i n t y , a p a c i t y u t i l i z a t i o n , a n d m a c h i n e r e t i r e m e n t i n a g e n e r a l e q u i l i b r i u m f r a m e w o r k . g g r e g a t i o n o v e r h e t e r o g e n e o u s c a p i t a l g o o d s r e s u l t s i n a w e l l - d e (cid:12) n e d a g g r e g a t e r o d u c t i o n f u n c t i o n t h a t p r e s e r v e s t h e p u t t y - c l a y m i c r o e c o n o m i c s t r u c t u r e a n d i s a s i l y c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f h a z a r d r a t e s o f t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n . T h e a n a l y s i s y i e l d s a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g r e s u l t s . F i r s t , w e s h o w t h a t u n d e r t h e s s u m p t i o n s o f t h e m o d e l , t h e a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n t a k e s a n i n t e r m e d i a t e o r m b e t w e e n t h a t o f C o b b - D o u g l a s a n d L e o n t i e f , d e p e n d i n g o n t h e d e g r e e o f i d o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y . S e c o n d , w e (cid:12) n d t h a t a n i n c r e a s e i n i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y y p i c a l l y r e d u c e s i n v e s t m e n t a t t h e m i c r o l e v e l b u t r a i s e s a g g r e g a t e i n v e s t m e n t . F i a l l y , w e (cid:12) n d t h a t t w o f a c t o r s a r e k e y t o t h e e x i s t e n c e o f r e p l a c e m e n t e c h o e s : t h e e g r e e o f i d i o s y n c r a t i c u n c e r t a i n t y a n d t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n f c o n s u m p t i o n . A n i m p o r t a n t q u e s t i o n i n m a c r o e c o n o m i c s i s h o w t h e e c o n o m y r e s p o n d s t o f a c o r p r i c e v a r i a t i o n i n d u c e d b y c h a n g e s i n t a x s t r u c t u r e o r e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l h a n g e . T h e p u t t y - c l a y f r a m e w o r k d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r i s w e l l s u i t e d f o r s t u d y i n g h e d y n a m i c i m p l i c a t i o n s o f f a c t o r p r i c e m o v e m e n t s i n t h e p r e s e n c e o f i r r e v e r s i b l e n v e s t m e n t d e c i s i o n s r e (cid:13) e c t e d i n t h e e x p o s t (cid:12) x i t y o f c a p i t a l - l a b o r r a t i o s . I n a c o m a n i o n p i e c e ( G i l c h r i s t a n d W i l l i a m s 1 9 9 8 ) , w e s t u d y t h e d y n a m i c p r o p e r t i e s o f t h e n e - s e c t o r g r o w t h m o d e l s p e c i (cid:12) e d i n t h i s p a p e r . O u r m o d e l m a y b e e a s i l y e x t e n d e d o a m o r e g e n e r a l m u l t i - s e c t o r o r m u l t i - c o u n t r y s e t t i n g . I t m a y a l s o p r o v i d e a u s e f u l r a m e w o r k f o r s t u d y i n g t h e t r a n s i t i o n d y n a m i c s o f d e v e l o p i n g e c o n o m i e s t h a t a r e d o p t i n g n e w t e c h n o l o g y t h r o u g h t h e p r o c e s s o f c a p i t a l a c c u m u l a t i o n . 2 6
R A A A B B B B B C C e f e r e n c e s b e l , A n d r e w A m e r i c a n E c o n o m i c , \ O p t i m a l I n v e s t m e n t u n d e r U n c e r t a i n t y ," R e v i e w 7 3 , 1 9 8 3 , , 2 2 8 { 3 3 . n d o , A l b e r t , F r a n c o M o d i g l i a n i , R o b e r t R a s c h e , a n d S t e p h e n T u r n o v s k y , \ O n t h e R o l e o f E x p e c t a t i o n s o f P r i c e a n d T e c h n o l o g i c a l C h a n g e I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w 1 5 i n a n I n v e s t m e n t F u n c t i o n , " , 1 9 7 4 , , 3 8 4 { 4 1 4 . t k e s o n , A n d r e w a n d P a t r i c k J . K e h o e , \ P u t t y - C l a y C a p i t a l a n d E n e r g y ," A u g u s t 1 9 9 4 . N B E R W o r k i n g P a p e r N o . 4 8 3 3 . a g n o l i , M . a n d T . B e r g s t o m , \ L o g - c o n c a v e p r o b a b i l i t y a n d i t s a p p l i c a t i o n s .," M i m e o , U n i v . o f M i c h i g a n 1 9 8 9 . e n h a b i b , J e s s a n d A l d o R u s t i c h i n i , \ V i n t a g e C a p i t a l , I n v e s t m e n t a n d J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y 5 5 G r o w t h ," , 1 9 9 1 , , 3 2 3 { 3 3 9 . a n d , \ A V i n t a g e C a p i t a l M o d e l o f I n v e s t m e n t a n d G r o w t h : T h e o r y a n d E v i d e n c e ," i n R . B e c k e r , M . B o l d r i n , R . W . J o n e s , a n d W . T h o m p s o n , G e n e r a l E q u i li b r i u m , G r o w t h , a n d T r a d e I I : T h e L e g a c y o f L i o n e l W . e d s ., M c K e n z i e , N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 9 3 , p p . 2 4 8 { 3 0 1 . e r n a n k e , B e n Q u a r t e r ly , \ I r r e v e r s i b i l i t y , U n c e r t a i n t y , a n d C y c l i c a l I n v e s t m e n t ," J o u r n a l o f E c o n o m i c s 9 8 , 1 9 8 3 , , 8 5 { 1 0 6 . i s c h o (cid:11) , C h a r l e s W . , \ T h e E (cid:11) e c t o f A l t e r n a t i v e L a g D i s t r i b u t i o n s ," i n T a x I n c e n t i v e s a n d C a p i t a l S p e n d i n g G . F r o m m , e d ., , W a s h i n g t o n , D .C .: T h e B r o o k i n g s I n s t i t u t i o n , 1 9 7 1 , c h a p t e r 3 , p p . 6 1 { 1 3 0 . o u c e k k i n e , R a o u f , M a r c G e r m a i n , a n d O m a r L i c a n d r o , \ R e p l a c e m e n t J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y E c h o e s i n t h e V i n t a g e C a p i t a l G r o w t h M o d e l ," , 7 4 1 9 9 7 , , 3 3 3 { 4 8 . a l v o , G u i l l e r m o A . E c o n o m e t r i c a , \ O p t i m a l G r o w t h i n a P u t t y - C l a y M o d e l ," , 4 4 1 9 7 6 , , 8 6 7 { 8 7 8 . a s s , D a v i d a n d J o s e p h E . S t i g l i t z , \ T h e I m p l i c a t i o n s o f A l t e r n a t i v e S a v i n g a n d E x p e c t a t i o n s H y p o t h e s e s f o r C h o i c e s o f T e c h n i q u e a n d P a t t e r n s o f G r o w t h ," J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y 7 7 , 1 9 6 9 , , 5 8 6 { 6 2 7 . 2 7
C C G H H J J L P P S o o l e y , T h o m a s F . , J e r e m y G r e e n w o o d , a n d M e h m e t Y o r u k o g l u , \ T h e R e p l a c e m e n t P r o b l e m ," 1 9 9 4 . I n s t i t u t e f o r E m p i r i c a l M a c r o e c o n o m i c s D i s c u s s i o n P a p e r 9 5 . o o p e r , R u s s e l l a n d J o h n H a l t i w a n g e r , \ T h e M a c r o e c o n o m i c I m p l i c a t i o n s o f A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w M a c h i n e R e p l a c e m e n t : T h e o r y a n d E v i d e n c e ," , 8 3 1 9 9 3 , , 3 6 0 { 3 8 2 . i l c h r i s t , S i m o n a n d J o h n C . W i l l i a m s , \ P u t t y - C l a y a n d I n v e s t m e n t : A B u s i n e s s C y c l e A n a l y s i s ," 1 9 9 8 . F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , p a p e r 1 9 9 8 - 3 0 , B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e . a r t m a n , R i c h a r d , \ T h e E (cid:11) e c t s o f P r i c e a n d C o s t U n c e r t a i n t y o n I n v e s t m e n t ," J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y 5 , 1 9 7 2 , , 2 8 5 { 2 6 6 . o u t h a k k e r , H . S . , \ T h e P a r e t o D i s t r i b u t i o n a n d t h e C o b b - D o u g l a s P r o d u c t i o n R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s 6 0 F u n c t i o n i n A c t i v i t y A n a l y s i s ," , 1 9 5 3 , , 2 7 { 3 1 . o h a n s e n , L e i f , \ S u b s t i t u t i o n v e r s u s F i x e d P r o d u c t i o n C o e (cid:14) c i e n t s i n t h e T h e o r y E c o n o m e t r i c a 2 7 o f E c o n o m i c G r o w t h : A S y n t h e s i s ," , 1 9 5 9 , , 1 5 7 { 1 7 6 . o h n s o n , N o r m a n L . , S a m u e l K o t z , a n d N . B a l a k r i s h n a n C o n t i n u o u s U n i - , v a r i a t e D i s t r i b u t i o n s , V o lu m e 1 , S e c o n d E d i t i o n , N e w Y o r k : J o h n W i l e y & S o n s , 1 9 9 4 . e a h y , J o h n V . a n d T o n i M . W h i t e d , \ T h e E (cid:11) e c t o f U n c e r t a i n t y o n I n v e s t m e n t : J o u r n a l o f M o n e y , C r e d i t a n d B a n k i n g 2 9 S o m e S t y l i z e d F a c t s ," , 1 9 9 6 , , 6 4 { 8 3 . h e l p s , E d m u n d S . , \ S u b s t i t u t i o n , F i x e d P r o p o r t i o n s , G r o w t h a n d D i s t r i b u t i o n ," I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w 4 , 1 9 6 3 , , 2 6 5 { 2 8 8 . i n d y c k , R o b e r t S . , \ I r r e v e r s i b l e I n v e s t m e n t , C a p a c i t y C h o i c e , a n d t h e V a l u e o f A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w 7 8 t h e F i r m ," , 1 9 8 8 , , 9 6 9 { 9 8 5 . J o u r n a l o f E c o n o m i c L i t e r a - , \ I r r e v e r s i b i l i t y , U n c e r t a i n t y , a n d I n v e s t m e n t ," t u r e 2 9 , 1 9 9 1 , , 1 1 1 0 { 1 1 4 8 . h e s h i n s k i , E . , \ B a l a n c e d G r o w t h a n d S t a b i l i t y i n t h e J o h a n s e n V i n t a g e M o d e l ," R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s 3 4 , 1 9 6 7 , , 2 3 9 { 2 4 8 . 2 8
S o l o w R , e v R i e . w M o . f , E \ c S o u n b o s m t i i t c u t S i o t u n d i a e n s d , 1 F 9 6 i x 2 e , d 2 2 9 9 P , r 2 o 0 p 7 o { r 2 t 1 i o 8 n . s i n t h e T h e o r y o f C a p i t a l ,"
A p p e n d i x R e s u l t s r e g a r d i n g t h e h a z a r d r a t e o f t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n u s e d f o r p r o o f s i n t h e t e x t : I n t h e f o l l o w i n g , l e t h ( x ) d e n o t e t h e h a z a r d r a t e f o r t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n , h ( x ) (cid:17) (cid:30) ( x ) = ( 1 (cid:0) (cid:8) ( x ) ) : F r o m t h e d e (cid:12) n i t i o n o f t h e h a z a r d r a t e , w e k n o w h ( x ) = E ( y j y > x ) ; y (cid:24) N ( 0 ; 1 ) , w h i c h i m p l i e s t h a t h ( x ) > 0 a n d h ( x ) > x , f o r a l l x . 0 R e s u l t 1 : i s m o n o t o n i c a l ly i n c r e a s i n g i n , w i t h a n d h ( x ) x l i m h ( x ) = 0 x ! (cid:0) 1 0 . l i m h ( x ) = 1 x ! + 1 0 P r o o f T a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f , w e h a v e , w h e r e h ( x ) h ( x ) = h ( x ) ( h ( x ) (cid:0) x ) > 0 t h e i n e q u a li t y f o l lo w s d i r e c t ly f r o m t h e d e (cid:12) n i t i o n o f t h e h a z a r d r a t e o f t h e s t a n d a r d 0 n o r m a l. T o e s t a b li s h t h e lo w e r li m i t o f , (cid:12) r s t n o t e t h a t . h ( x ) l i m h ( x ) = 0 x ! (cid:0) 1 0 T h e n , , w h e r e t h e (cid:12) n a l l i m h ( x ) = (cid:0) l i m x h ( x ) = (cid:0) l i m x (cid:30) ( x ) = 0 x ! (cid:0) 1 x ! (cid:0) 1 x ! (cid:0) 1 e q u a li t y r e s u lt s f r o m a p p ly i n g l’ H o p i t a l’ s r u le . T o e s t a b li s h t h e u p p e r li m i t , n o t e t h a t 0 a p p li c a t i o n o f l’ H o p i t a l’ s r u le y i e ld s . A p p ly i n g l i m h ( x ) = l i m h ( x ) = x x ! + 1 x ! + 1 h ( x ) 1 l’ H o p i t a l’ s r u le y i e ld s , w h i c h e s t a b li s h e s t h e l i m = l i m ( 1 + ) = 1 2 x ! + 1 x ! + 1 x x r e s u lt . 9 R e s u l t 2 : i s lo g - c o n c a v e , t h a t i s , i s s t r i c t ly c o n c a v e i n . h ( x ) l n ( h ( x ) ) x 0 @ ln ( h ( x ) ) h ( x ) P r o o f T o p r o v e lo g - c o n c a v i t y , w e n e e d t o s h o w t h a t i s d e c r e a s i n g = @ x h ( x ) 0 00 i n , w h i c h i s t r u e i f . C o n s i d e r x h ( x ) < 1 h ( x ) 00 2 0 h ( x ) = h ( x ) [( h ( x ) (cid:0) x ) + ( h ( x ) (cid:0) 1 ) ] 0 0 (cid:3) (cid:3) 0 w h i c h i s s t r i c t ly p o s i t i v e i f S u p p o s e f o r s o m e . T h e n , h ( x ) (cid:21) 1 : h ( x ) (cid:21) 1 x h ( x ) (cid:3) 0 00 (cid:3) i s i n c r e a s i n g a t , i m p ly i n g a n d f o r a l l , a r e s u lt x h ( x ) > 1 h ( x ) > 0 x > x 0 w h i c h c o n t r a d i c t s , e s t a b li s h e d i n R e s u lt 1 . A lt e r n a t i v e ly , i t i s l i m h ( x ) = 1 x ! + 1 s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t f o r t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n V a r ( ) = y jy > x 0 0 , w h i c h i m p li e s f o r a l l x . 1 (cid:0) h ( x ) h ( x ) < 1 R e s u l t 3 : i s s t r i c t ly c o n v e x i n . h ( x ) x 2 0 00 P r o o f L e t ; t h e n , i (cid:11) . G i v e n t h e g ( x ) = [( h ( x ) (cid:0) x ) + ( h ( x ) (cid:0) 1 ) ] h ( x ) > 0 g ( x ) > 0 li m i t i n g r e s u lt s e s t a b li s h e d a b o v e , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o o b t a i n l i m g ( x ) = 1 x ! (cid:0) 1 9 B a g n o li a n d B e r g s t o m ( 1 9 8 9 ) p r o v id e s o m e r e s u lt s o n p r o p e r t ie s o f lo g - c o n c a v e d is t r ib u t io n fu n c t io n s , in c lu d in g a p r o o f t h a t t h e r e lia b ilit y fu n c t io n 1 (cid:8) ( ) is lo g - c o n c a v e . W e r e q u ir e h o w e v e r (cid:0) x t h a t t h e h a z a r d r a t e it s e lf b e lo g - c o n c a v e . 3 0
0 a n d . N o w , c o n s i d e r l i m g ( x ) = 0 g ( x ) z ! + 1 0 0 g ( x ) = 2 ( h ( x ) (cid:0) x ) ( h ( x ) (cid:0) 1 ) + h ( x ) g ( x ) (cid:3) (cid:3) w h i c h i s s t r i c t ly n e g a t i v e i f . S u p p o s e f o r s o m e , i m p ly i n g t h a t g ( x ) (cid:20) 0 g ( x ) (cid:20) 0 x 0 (cid:3) 0 (cid:3) . T h i s t h e n i m p li e s t h a t a n d f o r a l l , a r e s u lt g ( x ) < 0 g ( x ) < 0 g ( x ) < 0 x > x w h i c h c o n t r a d i c t s . l i m g ( x ) = 0 x ! + 1 h ( x (cid:0) c ) R e s u l t 4 : F o r a g i v e n c o n s t a n t , i s m o n o t o n i c a l ly i n c r e a s i n g i n w i t h c > 0 x h ( x ) h ( x (cid:0) c ) h ( x (cid:0) c ) a n d . l i m = 0 l i m = 1 x ! (cid:0) 1 x ! + 1 h ( x ) h ( x ) P r o o f T o p r o v e t h a t i s m o n o t o n i c a l ly i n c r e a s i n g i n x w e c o m p u t e h ( x (cid:0) c ) = h ( x ) @ ( h ( x (cid:0) c ) = h ( x ) ) h ( x (cid:0) c ) = h ( x (cid:0) c ) (cid:0) ( x (cid:0) c ) (cid:0) ( h ( x ) (cid:0) x ) : @ x h ( x ) n o w h i c h i s p o s i t i v e i f t h e t e r m i n b r a c k e t s i s p o s i t i v e . W e t h e r e f o r e n e e d t o s h o w 0 t h a t f o r w h i c h i s t r u e i f , i . e . , i f i s lo g h ( y ) (cid:0) y > h ( x ) (cid:0) x y < x h ( x ) < 1 h ( x ) c o n c a v e , w h i c h i s p r o v e n i n R e s u lt 2 a b o v e . T o s h o w t h e lo w e r li m i t w e n o t e t h a t 2 h ( x (cid:0) c ) 1 (cid:0) (cid:8) ( x ) ( 2 x c (cid:0) c ) = 2 a n d t a k e li m i t s . T o e s t a b li s h t h e u p p e r li m i t , w e = e h ( x ) 1 (cid:0) (cid:8) ( x (cid:0) c ) 0 (cid:3) (cid:3) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) u s e t h e m e a n v a lu e t h e o r e m t o o b t a i n f o r . h ( x ) = h ( x (cid:0) c ) + c h ( x ) x (cid:0) c < x < x 0 h ( x (cid:0) c ) h ( x ) (cid:3) 00 W e t h e n u s e a n d t o o b t a i n t h e b o u n d s . x < x h ( x ) > 0 1 > > 1 (cid:0) c h ( x ) h ( x ) 0 h ( x ) R e s u lt 1 i m p li e s , w h i c h e s t a b li s h e s t h e r e s u lt . l i m = 0 x ! + 1 h ( x ) R e s u l t 5 : F o r a g i v e n c o n s t a n t , c > 0 c ( h ( x (cid:0) c ) (cid:0) ( x (cid:0) c ) ) ( h ( x ) (cid:0) x ) > h ( x (cid:0) . c ) (cid:0) h ( x ) + c P r o o f L e t f ( x ) = c [! ( x (cid:0) c ) ! ( x ) ] + [! ( x ) (cid:0) ! ( x (cid:0) c ) ]: w h e r e . T a k i n g li m i t s w e o b t a i n , ! ( x ) = h ( x ) (cid:0) x > 0 l i m ! ( x ) = 1 x ! (cid:0) 1 , i m p ly i n g a n d . T a k - l i m ! ( x ) = 0 l i m f ( x ) = 1 l i m f ( x ) = 0 x ! + 1 x ! (cid:0) 1 x ! + 1 0 0 00 00 i n g d e r i v a t i v e s w e h a v e : a n d . S i n c e ! ( x ) = h ( x ) (cid:0) 1 < 0 ! ( x ) = h ( x ) > 0 ! ( x ) 0 0 i s d e c r e a s i n g a n d s t r i c t ly c o n v e x i n , w e h a v e a n d z ! ( x ) < ! ( x (cid:0) c ) 0 0 0 0 0 f ( x ) = c [! ( x (cid:0) c ) ! ( x ) + ! ( x (cid:0) c ) ! ( x ) ] + [! ( x ) (cid:0) ! ( x (cid:0) c ) ] < 0 : 0 G i v e n t h a t a n d , i m p li e s l i m f ( x ) = 1 l i m f ( x ) = 0 f ( x ) < 0 f ( x ) > 0 x ! (cid:0) 1 x ! + 1 f o r a l l . x 3 1
M W o r l r f m ! T i i v s t t o t t e u l t i p l e E q u i l i b r i a i n t h e E c o n o m y w i t h G r o w t h e (cid:12) r s t p r o v i d e s o m e a n a l y s i s o f t h e c o n d i t i o n s n e e d e d t o g u a r a n t e e t h e l o g - c o n c a v i t y M j ~ f (cid:0) ( z ) (cid:17) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ( j ) (cid:0) (cid:27) ) ) a n d h e n c e a u n i q u e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b - j j = 1 i u m . W e t h e n c o n s i d e r w h a t s e t o f p a r a m e t e r v a l u e s m a y l e a d t o m u l t i p l e e q u i l i b r i a . P 00 0 2 T o b e g i n , c o n s i d e r t h e f u n c t i o n (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) (cid:0) (cid:0) ( z ) w h i c h , i f n e g a t i v e , g u a r a n t e e s o g - c o n c a v i t y o f (cid:0) ( z ) a n d h e n c e u n i q u e n e s s o f t h e e q u i l i b r i u m . W e k n o w t h a t t h e e l i a b i l i t y f u n c t i o n ( 1 (cid:0) (cid:8) ( x ) ) i s l o g - c o n c a v e a n d (cid:0) ( z ) i s t h e w e i g h t e d s u m o f s u c h u n c t i o n s , w h i c h , w h i l e n o t s u (cid:14) c i e n t t o g u a r a n t e e l o g - c o n c a v i t y , s u g g e s t s t h a t i t a y b e d i (cid:14) c u l t t o p r o d u c e c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h i t d o e s n o t o b t a i n . L e t j ~ = (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) a n d z = z ( j ) (cid:0) (cid:27) . A f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n w e o b t a i n j j j M M 00 0 2 ! ! (cid:30) ( z ) [( z ) ( 1 (cid:0) (cid:8) ( z ) (cid:0) (cid:30) ( z ) ] (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) (cid:0) (cid:0) ( z ) = j j j k k k j = 1 k = 1 X X M M z j ! ! (cid:30) ( z ) (cid:30) ( z ) = (cid:0) 1 j j k k h ( z ) k j = 1 k = 1 (cid:18) (cid:19) X X M M z k = ! ! (cid:30) ( z ) (cid:30) ( z ) (cid:0) 1 j j k k h ( z ) k j = 1 k = 1 (cid:18) (cid:19) X X M M z (cid:0) z j k ! ! (cid:30) ( z ) (cid:30) ( z ) : + j j k k h ( z ) k j = 1 k = 1 (cid:18) (cid:19) X X h e (cid:12) r s t t e r m i n t h i s e x p r e s s i o n i s c l e a r l y n e g a t i v e . T h e s e c o n d t e r m m a y b e p o s i t i v e f f o r s o m e j ; k w e h a v e l a r g e p r o d u c t i v i t y d i (cid:11) e r e n t i a l s b e t w e e n v i n t a g e s j a n d k . B e c a u s e z i s l i n e a r l y i n c r e a s i n g i n m a c h i n e a g e , a l a r g e p r o d u c t i v i t y d i (cid:11) e r e n t i a l j s l i k e l y t o o c c u r w h e n v i n t a g e j i s s u b s t a n t i a l l y o l d e r a n d l e s s p r o d u c t i v e t h a n i n t a g e k . I n t h i s c a s e , h o w e v e r , t h e c o n t r i b u t i o n o f t h i s t e r m t o t h e s u m i s r e l a t i v e l y j ~ m a l l o w i n g t o d i s c o u n t i n g , b o t h e x p l i c i t l y t h r o u g h t h e t e r m (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:14) ) a n d i m p l i c i t l y j h r o u g h a l o w v a l u e o f (cid:30) ( z ) . F u r t h e r m o r e , f o r a n y p o s i t i v e t e r m ( z (cid:0) z ) = h ( z ) > 0 j j k k h e r e i s a n e q u a l l y w e i g h t e d n e g a t i v e t e r m ( z (cid:0) z ) = h ( z ) < 0 . T h i s s u g g e s t s t h a t j j k n l y u n d e r e x t r e m e p a r a m e t e r i z a t i o n s c a n w e h a v e l a r g e p r o d u c t i v i t y d i (cid:11) e r e n t i a l s h a t y i e l d p o s i t i v e v a l u e s o f a n y m a g n i t u d e f o r ( z (cid:0) z ) ( z (cid:0) z ) j j k k ! ! (cid:30) ( z ) (cid:30) ( z ) + ; j j k k h ( z ) h ( z ) j k ! h e w e i g h t e d s u m o f t h e s e c o m p o n e n t s . I n t u r n , t h e s e p o s i t i v e v a l u e s m u s t b e l a r g e 00 0 2 n o u g h t o o (cid:11) s e t t h e n e g a t i v e s u m i n t h e (cid:12) r s t c o m p o n e n t o f (cid:0) ( z ) (cid:0) ( z ) (cid:0) (cid:0) ( z ) . 3 2
u t m g a v (cid:14) p e n w r N o t e t h a t l o g - c o n c a v i t y o f (cid:0) ( z ) i s a s u (cid:14) c i e n t , n o t n e c e s s a r y , c o n d i t i o n f o r a n i q u e s t e a d y - s t a t e v a l u e o f z . I n d e e d , i t i s n o t n e c e s s a r y t h a t (cid:9) ( z ) = (cid:0) ( z ) b e m o n o o n i c a l l y i n c r e a s i n g , a s l o n g a s i t c r o s s e s ( 1 (cid:0) (cid:11) ) o n l y o n c e . N u m e r i c a l e x p e r i e n t s s u g g e s t t h a t m u l t i p l e e q u i l i b r i a o n l y o c c u r w h e n b o t h t h e t r e n d p r o d u c t i v i t y r o w t h r a t e i s e x o r b i t a n t l y h i g h , s o t h a t p r o d u c t i v i t y d i (cid:11) e r e n t i a l s a c r o s s v i n t a g e s r e l a r g e , a n d w h e n d i s c o u n t i n g t h r o u g h t h e r e a l i n t e r e s t r a t e a n d d e p r e c i a t i o n i s e r y l o w . F o r e x a m p l e , w e o b t a i n m u l t i p l e e q u i l i b r i a i n t h e m o d e l w h e n (cid:27) = 0 :1 , = 0 ; j = 1 ; : : : ; M , (cid:13) = 0 :1 , g = 0 :6 ( 6 0 % p e r a n n u m ) , a n d (cid:12) = 0 :9 9 9 . T h e s e j a r a m e t e r v a l u e s i m p l y t h a t z (cid:0) z > 5 . R e l a t i v e l y s m a l l a d j u s t m e n t s i n p a r a m - 2 1 t e r v a l u e s r e s u l t i n t h e n u m b e r o f e q u i l i b r i a t o c o l l a p s i n g t o o n e . W e h a v e f o u n d o e v i d e n c e o f m u l t i p l e e q u i l i b r i a u s i n g m o r e c o n v e n t i o n a l p a r a m e t e r i z a t i o n s t h a t o u l d t y p i c a l l y c h a r a c t e r i z e t h e c a p i t a l a c c u m u l a t i o n p r o c e s s i n a g e n e r a l e q u i l i b i u m m o d e l c a l i b r a t e d b a s e d o n e m p i r i c a l m o m e n t s o f i n d u s t r i a l i z e d e c o n o m i e s . 3 3
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John C. Williams and Simon Gilchrist (1998). Investment, Capacity, and Output: A Putty-Clay Approach (FEDS 1998-44). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-44
@techreport{wtfs_feds_1998_44,
author = {John C. Williams and Simon Gilchrist},
title = {Investment, Capacity, and Output: A Putty-Clay Approach},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1998-44},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1998},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1998-44},
abstract = {In this paper, we embed the microeconomic decisions associated with investment under uncertainty, capacity utilization, and machine replacement in a general equilibrium model based on putty-clay technology. We show that the combination of log-normally distributed idiosyncratic productivity uncertainty and Leontief utilization choice yields an aggregate production function that is easily characterized in terms of hazard rates for the standard normal distribution. At low levels of idiosyncratic uncertainty, the short-run elasticity of supply is substantially lower than the elasticity of supply obtained from a fully-flexible Cobb-Douglas alternative. In the presence of irreversible factor proportions, an increase in idiosyncratic uncertainty typically reduces investment at the micro level but increases aggregate investment. Finally, we study the relationship between growth and uncertainty on aggregate capacity utilization and rates of machine replacement and investigate the factors that affect the magnitude of replacement echoes.},
}