Option Prices with Uncertain Fundamentals Theory and Evidence on the Dynamics of Implied Volatilities
Abstract
In an incomplete information model, investors' uncertainty about the underlying drift rate of a firm's fundamentals affects option prices through (i) endogenous and belief-dependent stochastic volatility, (ii) stochastic covariance between returns and volatility, and (iii) a market price of "belief risk." For the special case where the drift takes only two values, we provide an option pricing formula using Fourier Transforms. The model calibrated to 1960-1998 S&P 500 real earnings growth shows that investors' uncertainty explains intertemporal variation in the slope and curvature of implied volatility curves as well as the conditional moments of the state-return density obtained from option data. The calibrated model generates hedging `violations' of one-factor markov and deterministic volatility function models with roughly empirical frequencies.
H n h R a G p M M E e o O p t i o n P r i c e s w i t h U n c e r t a i n F u n d a m e n t a l s (cid:3) T h e o r y a n d E v i d e n c e o n t h e D y n a m i c s o f I m p l i e d V o l a t i l i t i e s A l e x a n d e r D a v i d P i e t r o V e r o n e s i B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e G r a d u a t e S c h o o l o f B u s i n e s s F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m U n i v e r s i t y o f C h i c a g o T h i s V e r s i o n : A u g u s t 1 9 9 9 F i r s t V e r s i o n : N o v e m b e r 1 9 9 8 C o m m e n t s w e l c o m e (cid:3) W e t h a n k J o h n C o c h r a n e , G e o r g e C o n s t a n t in id e s , G a b r ie lle D e m a n g e , D a r r e ll D u (cid:14) e , R ic k G r e e n , H a y n e L e la n d , o n g Y a n a n d t h e s e m in a r p a r t ic ip a n t s a t C a r n e g ie M e llo n , C h ic a g o , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , I N S E A D , L o n d o n B u s ie s s S c h o o l, M c G ill, P r in c e t o n , S t a n fo r d , S t o c k h o lm , W a s h in g t o n , t h e 9 t h A n n u a l D e r iv a t iv e s S e c u r it ie s C o n fe r e n c e e ld a t B o s t o n U n iv e r s it y , 1 9 9 9 E u r o p e a n S u m m e r S y m p o s iu m in F in a n c ia l M a r k e t s a t G e r z e n s e e a n d t h e 1 9 9 9 o d o s E c o n o m ic T h e o r y C o n fe r e n c e fo r t h e ir c o m m e n t s a n d d is c u s s io n . W e a ls o t h a n k G a r y A n d e r s o n fo r in v a lu a b le d v ic e o n M a t h e m a t ic a p r o g r a m m in g , Y u b o W a n g fo r h is h e lp w it h o p t io n s d a t a , a n d J im H a m ilt o n fo r s h a r in g h is a u s s c o d e o n r e g im e - s w it c h in g m o d e ls . T h is p a p e r r e p r e s e n t s t h e v ie w s o f t h e a u t h o r s a n d s h o u ld n o t b e in t e r r e t e d a s r e (cid:13) e c t in g t h e v ie w s o f t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r it s s t a (cid:11) . A d d r e s s ( D a v id ) : a il S t o p # 9 0 , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h in g t o n D .C . 2 0 5 5 1 . P h o n e : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 2 3 3 3 . F a x : ( 2 0 2 ) 4 5 2 - 5 2 9 6 . E . a il: a d a v id @ fr b .g o v . A d d r e s s ( V e r o n e s i) : G r a d u a t e S c h o o l o f B u s in e s s , U n iv e r s it y o f C h ic a g o , C h ic a g o , I L 6 0 6 3 7 . . M a il: fp v e r o n e @ g s b u x 1 .u c h ic a g o .e d u . P h o n e : ( 7 7 3 ) 7 0 2 - 6 3 4 8 . F a x : 7 7 3 7 0 2 - 0 4 5 8 . V e r o n e s i g r a t e fu lly a c k n o w ld g e s s u p p o r t fr o m t h e D im e n s io n a l F u n d A d v is o r s R e s e a r c h F u n d a t t h e G r a d u a t e S c h o o l o f B u s in e s s , U n iv e r s it y f C h ic a g o .
A b s t r a c t I n a n in c o m p le t e in fo r m a t io n m o d e l, in v e s t o r s ’ u n c e r t a in t y a b o u t t h e u n d e r ly in g d r ift r a t e o f a i (cid:12) r m ’s fu n d a m e n t a ls a (cid:11) e c t s o p t io n p r ic e s t h r o u g h ( ) e n d o g e n o u s a n d b e lie f- d e p e n d e n t s t o c h a s t ic ii iii v o la t ilit y , ( ) s t o c h a s t ic c o v a r ia n c e b e t w e e n r e t u r n s a n d v o la t ilit y , a n d ( ) a m a r k e t p r ic e o f \ b e lie f r is k ." F o r t h e s p e c ia l c a s e w h e r e t h e d r ift t a k e s o n ly t w o v a lu e s , w e p r o v id e a n o p t io n p r ic in g fo r m u la u s in g F o u r ie r T r a n s fo r m s . T h e m o d e l c a lib r a t e d t o 1 9 6 0 - 1 9 9 8 S & P 5 0 0 r e a l e a r n in g s g r o w t h s h o w s t h a t in v e s t o r s ’ u n c e r t a in t y e x p la in s in t e r t e m p o r a l v a r ia t io n in t h e s lo p e a n d c u r v a t u r e o f im p lie d v o la t ilit y c u r v e s a s w e ll a s t h e c o n d it io n a l m o m e n t s o f t h e s t a t e - r e t u r n d e n s it y o b t a in e d fr o m o p t io n d a t a . T h e c a lib r a t e d m o d e l g e n e r a t e s h e d g in g ‘v io la t io n s ’ o f o n e fa c t o r m a r k o v a n d d e t e r m in is t ic v o la t ilit y fu n c t io n m o d e ls w it h r o u g h ly e m p ir ic a l fr e q u e n c ie s . J E L C la s s i(cid:12) c a t io n : G 1 2 , G 1 3 K e y W o r d s : U n c e r t a in t y , C h a n g in g R e t u r n - V o la t ilit y C o r r e la t io n , B e lie f R is k , P u t - C a ll R a t io , B u t t e r (cid:13) y S p r e a d , H e d g in g V io la t io n s
I n t r o d u c t i o n T h e e m p i r i c a l (cid:12) n a n c i a l l i t e r a t u r e h a s e s t a b l i s h e d a n u m b e r o f s t y l i z e d f a c t s a b o u t t h e i n t e r t e m p o r a l b e h a v i o r o f o p t i o n p r i c e s t h a t a p p e a r p u z z l i n g a t (cid:12) r s t . F o r e x a m p l e , i t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t o p t i o n s ’ i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e s a r e m o s t o f t e n n e g a t i v e l y s l o p e d w i t h a \ s m i l e " ( o r \ s m i r k " ) a n d 1 t h a t t h e y a r e h i g h l y u n s t a b l e o v e r t i m e , w i t h s u d d e n c h a n g e s i n s l o p e a n d s h a p e . I n f a c t , t h e y s o m e t i m e s b e c o m e p o s i t i v e l y s l o p e d o r s h o w a \ f r o w n " r a t h e r t h a n a \ s m i l e ." F i g u r e 1 i l l u s t r a t e s t h e r a n g e o f o b s e r v e d i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e s . I n d e e d , u s i n g m i d d l e - o f - t h e m o n t h d a t a o n S & P 5 0 0 i n d e x o p t i o n s b e t w e e n 1 9 8 6 t o 1 9 9 6 , w e (cid:12) n d t h a t t h e s l o p e o f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e c o m p u t e d a t t h e p o i n t w h e r e t h e c u r r e n t s t o c k p r i c e e q u a l s t h e s t r i k e p r i c e ( i .e . f o r a t - t h e - m o n e y o p t i o n s ) w a s n e g a t i v e a n d / o r h a d a p o s i t i v e (cid:12) r s t d e r i v a t i v e ( \ s m i l e " ) 8 8 % a n d 7 8 % o f t h e t i m e , r e s p e c t i v e l y . H o w e v e r , t h e s l o p e a n d t h e c u r v a t u r e (cid:13) i p p e d s i g n 1 5 a n d 3 5 t i m e s , r e s p e c t i v e l y , o u t o f t h e 1 2 2 m o n t h l y o b s e r v a t i o n s . I n a d d i t i o n , i t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t t h e r e s p o n s e s o f o p t i o n p r i c e s t o c h a n g e s i n s t o c k p r i c e s a r e i n c o n s i s t e n t w i t h s i n g l e - f a c t o r m a r k o v a n d d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f u n c t i o n m o d e l s . F o r e x a m p l e , B a k s h i , C a o a n d C h e n ( 1 9 9 9 ) (cid:12) n d t h a t w h e n t h e s t o c k p r i c e i n c r e a s e s , o f t e n t i m e s t h e c a l l p r i c e s d e c r e a s e o r t h e y i n c r e a s e t o o m u c h . A n u m b e r o f e m p i r i c a l a n d t h e o r e t i c a l p a p e r s h a v e p r o p o s e d m o d e l s f o r s t o c k p r i c e s t o a c c o u n t f o r t h i s b e h a v i o r . F o r e x a m p l e , i n t h e i r c l a s s i c a n d i n (cid:13) u e n t i a l p a p e r H u l l a n d W h i t e ( 1 9 8 7 ) a s s u m e t h a t s t o c k r e t u r n v o l a t i l i t y v a r i e s s t o c h a s t i c a l l y o v e r t i m e a n d s h o w t h a t a n e g a t i v e ( p o s i t i v e ) c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y t e n d s t o g e n e r a t e a n e g a t i v e l y ( p o s i t i v e l y ) s l o p e d i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e . S i m i l a r l y , t h e p o s s i b i l i t y t h a t s t o c k p r i c e s j u m p a t r a n d o m t i m e s a l s o m a y h e l p e x p l a i n s o m e o f t h e s t y l i z e d f a c t s m e n t i o n e d a b o v e . ( S e e B a k s h i , C a o a n d C h e n ( 1 9 9 7 ) f o r a s u m m a r y o f t h e s e a p p r o a c h e s .) A l t h o u g h t h e s e m o d e l s a r e u s e f u l f o r p r i c i n g p u r p o s e s , t h e y d o n o t a d d r e s s t h e b a s i c e c o n o m i c q u e s t i o n o f w h y c h a n g e s i n v o l a t i l i t y a n d c h a n g e s i n t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y o c c u r i n t h e (cid:12) r s t p l a c e . T h i s i s b e c a u s e t h e y s t a r t f r o m a m o d e l i n \ r e d u c e d f o r m " : t h e y a s s u m e a s e t o f p r o p e r t i e s f o r t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s o f s t o c k p r i c e s a n d d e r i v e p r i c i n g i m p l i c a t i o n s . I n d e e d , t h e n e e d f o r a n e c o n o m i c m o d e l e x p l a i n i n g t h e s e p h e n o m e n a h a s b e e n r e a l i z e d i n t h e 1 T h e im p lie d v o la t ilit y o f a n o p t io n r e fe r s t o t h e v o la t ilit y le v e l t h a t h a s t o b e in s e r t e d in t o t h e B la c k a n d S c h o le s fo r m u la in o r d e r fo r it t o m a t c h t h e p r ic e o f a t r a d e d o p t io n u s in g a s in p u t s t h e c u r r e n t s t o c k p r ic e , d iv id e n d y ie ld , in t e r e s t r a t e , a n d t h e s t r ik e p r ic e a n d m a t u r it y o f t h a t o p t io n c o n t r a c t . T h e im p lie d v o la t ilit y c u r v e r e fe r s t o t h e a c r o s s le v e ls o f im p lie d v o la t ilit ie s s t r ik e p r ic e s . B la c k a n d S c h o le s a s s u m p t io n s p r e d ic t a c o n s t a n t im p lie d v o la t ilit y c u r v e . 1
l t j t a i s u r a c (cid:12) d d s v h i i t n s d a i t e r a t u r e : F o r e x a m p l e , d i s c u s s i n g t h e r e s u l t s i n R u b i n s t e i n ( 1 9 8 5 ) a b o u t t h e s u d d e n c h a n g e s i n h e s l o p e o f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e , H u l l a n d W h i t e ( 1 9 8 7 ) w r i t e : I n o r d e r f o r [R u b i n s t e i n ’s ( 1 9 8 5 ) r e s u l t s ] t o s u p p o r t t h i s m o d e l i t i s n e c e s s a r y t o p o s i t t h a t f r o m o n e y e a r [1 9 7 6 - 7 7 ] t o t h e n e x t [1 9 7 7 - 7 8 ], t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s t o c k p r i c e s a n d t h e a s s o c i a t e d v o l a t i l i t y r e v e r s e d s i g n . I t i s d i (cid:14) c u l t t o t h i n k o f a c o n v i n c i n g s t o r y w h y t h i s e v e n t s h o u l d o c c u r . ( P a g e 2 9 8 , H u l l a n d W h i t e 1 9 8 7 ) T h i s p a p e r c o n s t r u c t s a s i m p l e d y n a m i c a s s e t p r i c i n g m o d e l t o p r o v i d e a n e c o n o m i c u s t i (cid:12) c a t i o n f o r t h i s a n d t h e o t h e r s t y l i z e d f a c t s a b o u t t h e i n t e r t e m p o r a l b e h a v i o r o f o p t i o n p r i c e s h a t w e r e m e n t i o n e d a b o v e . S p e c i (cid:12) c a l l y , w e a s s u m e t h a t d i v i d e n d s o f a (cid:12) r m ( o r o f t h e e c o n o m y s a w h o l e ) a r e g e n e r a t e d b y a s t a n d a r d l o g n o r m a l p r o c e s s , w h o s e d r i f t r a t e i s n o t o b s e r v a b l e b y n v e s t o r s . T h e d r i f t r a t e c a n b e a s s u m e d c o n s t a n t o r i t m a y c h a n g e o v e r t i m e a c c o r d i n g t o a k n o w n t o c h a s t i c p r o c e s s . I n v e s t o r s o b s e r v e p a s t r e a l i z a t i o n s o f d i v i d e n d s a n d p o s s i b l y o t h e r s i g n a l s a n d s e t h e s e d a t a t o e s t i m a t e t h e t r u e d r i f t r a t e o f t h e d i v i d e n d p r o c e s s . U n d e r t h e s e a s s u m p t i o n s , w e (cid:12) r s t s o l v e f o r e q u i l i b r i u m s t o c k p r i c e s a n d s h o w t h a t e q u i l i b i u m s t o c k r e t u r n s d i s p l a y s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , s t o c h a s t i c c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y n d a s t o c h a s t i c d i v i d e n d y i e l d . T h e s e p r o p e r t i e s o f t h e s t o c k r e t u r n p r o c e s s a r e d u e t o i n v e s t o r s ’ i i i h a n g e s o v e r t i m e o f ( ) t h e i r e s t i m a t e o f t h e u n d e r l y i n g d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s a n d ( ) t h e i r c o n d e n c e i n t h i s e s t i m a t e . F o r e x a m p l e , w e (cid:12) n d t h a t w h e n u n c e r t a i n t y o v e r t h e t r u e d r i f t r a t e o f 2 i v i d e n d s i s h i g h , t h e n r e t u r n v o l a t i l i t y i s a l s o h i g h . B e c a u s e i n v e s t o r s ’ u n c e r t a i n t y c h a n g e s r a n o m l y o v e r t i m e i n r e s p o n s e t o n e w s i n d i v i d e n d a n d o t h e r s i g n a l s , r e t u r n v o l a t i l i t y a l s o c h a n g e s i i i c o v a r i a n c e t o c h a s t i c a l l y o v e r t i m e . S i m i l a r l y , ( ) a n d ( ) a b o v e a l s o a (cid:11) e c t t h e b e t w e e n r e t u r n s a n d o l a t i l i t y . F o r e x a m p l e , s u p p o s e t h a t a t s o m e p o i n t i n t i m e i n v e s t o r s h a v e a h i g h c o n (cid:12) d e n c e i n a i g h d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s . A s e r i e s o f n e g a t i v e i n n o v a t i o n s i n d i v i d e n d s h a s t w o e (cid:11) e c t s : t h e (cid:12) r s t s t h a t t h e s t o c k w i l l m o v e d o w n w a r d , g e n e r a t i n g a s e r i e s o f n e g a t i v e r e t u r n s . T h e s e c o n d e (cid:11) e c t s t h a t , a t t h e s a m e t i m e , i n v e s t o r s ’ c o n (cid:12) d e n c e i n a h i g h d r i f t r a t e d e c r e a s e s , t h e r e b y i n c r e a s i n g h e i r u n c e r t a i n t y a n d h e n c e t h e e q u i l i b r i u m r e t u r n v o l a t i l i t y . T h e s e e (cid:11) e c t s t o g e t h e r g e n e r a t e a e g a t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . S i m i l a r l y , i f i n v e s t o r s h a v e h i g h c o n (cid:12) d e n c e i n 2 W e m a k e a s lig h t b u t o ft e n u s e d d is t in c t io n b e t w e e n r is k a n d u n c e r t a in t y : w e r e s e r v e t h e t e r m u n c e r t a in t y fo r it u a t io n s w h e r e t h e r is k y p r o c e s s g e n e r a t in g fu n d a m e n t a ls in n o t fu lly k n o w n b y a g e n t s . W h e t h e r t h is is t h e k e y is t in c t io n b e t w e e n r is k a n d u n c e r t a in t y m a d e b y F r a n k K n ig h t is a s u b je c t o f in t e r p r e t a t io n a n d d e b a t e ; s e e J o n e s n d O s t r o y ( 1 9 8 4 ) fo r a fu r t h e r d is c u s s io n a n d r e fe r e n c e s t o t h e lit e r a t u r e . 2
a t e b b c c v r n i i c o b f T p o i a p o r t i F l o w e s t i m a t e f o r t h e d i v i d e n d d r i f t r a t e a n d o b s e r v e a s e r i e s o f h i g h d i v i d e n d r e a l i z a t i o n s , w e o b a i n a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . I n c o n c l u s i o n , t h e u p d a t i n g o f i n v e s t o r s ’ s t i m a t e o f t h e d i v i d e n d d r i f t r a t e a s w e l l a s t h e i r c o n (cid:12) d e n c e i n i t o v e r t i m e m a k e t h e c o r r e l a t i o n e t w e e n r e t u r n a n d v o l a t i l i t y c h a n g e s t o c h a s t i c a l l y o v e r t i m e . S i n c e n e g a t i v e ( p o s i t i v e ) c o r r e l a t i o n e t w e e n r e t u r n a n d v o l a t i l i t y t e n d t o g e n e r a t e a n e g a t i v e ( p o s i t i v e ) s l o p e i n t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y u r v e , t h i s (cid:12) n d i n g p r o v i d e s a s i m p l e e x p l a n a t i o n f o r t h e \ p u z z l i n g " b e h a v i o r o f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y u r v e p o i n t e d o u t i n t h e q u o t e a b o v e . T h i s e x a m p l e a l s o p r o v i d e s t h e i n t u i t i o n o n w h y t h i s m o d e l m a y g e n e r a t e v e r y h i g h o r e r y l o w s e n s i t i v i t y o f o p t i o n p r i c e s t o c h a n g e s i n s t o c k p r i c e s . A n e g a t i v e i n n o v a t i o n i n d i v i d e n d s e d u c e s t h e s t o c k p r i c e a n d h e n c e i t h a s a d i r e c t n e g a t i v e e (cid:11) e c t o n t h e c a l l p r i c e . H o w e v e r , i f t h e e g a t i v e d i v i d e n d i n n o v a t i o n a l s o i n c r e a s e s t h e u n c e r t a i n t y a n d h e n c e t h e v o l a t i l i t y o f s t o c k r e t u r n s , t w i l l h a v e a n i n d i r e c t p o s i t i v e e (cid:11) e c t o n t h e c a l l p r i c e . I t c o u l d b e t h e c a s e t h a t t h e i n d i r e c t e (cid:11) e c t s s t r o n g e r t h a n t h e d i r e c t e (cid:11) e c t , t h e r e b y g e n e r a t i n g a n e g a t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n s t o c k p r i c e a n d a l l p r i c e c h a n g e s ; t h i s v i o l a t i o n , o f t e n f o u n d i n t h e d a t a , i s a c o m m o n b o u n d o n t h e d e l t a o f a c a l l p t i o n f o r a l l s i n g l e - f a c t o r m a r k o v a n d d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f u n c t i o n m o d e l s . I n a d d i t i o n t o t h e i m p l i c a t i o n s m e n t i o n e d a b o v e , w e a l s o (cid:12) n d t h a t i n v e s t o r s ’ p o s t e r i o r e l i e f s o n t h e t r u e d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s p l a y t h e r o l e o f ( e n d o g e n o u s l y g e n e r a t e d ) n o n - t r a d e d a c t o r s , a (cid:11) e c t i n g t h e v a l u e o f t r a d e d a s s e t s a n d h e n c e p o t e n t i a l l y d e m a n d i n g a m a r k e t - p r i c e o f r i s k . h i s i m p l i e s t h a t i n v e s t o r s ’ p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s m a y e n t e r t h e o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a i f i t i s n o t l a u s i b l e t o a s s u m e t h a t i n v e s t o r s k n o w p e r f e c t l y t h e u n d e r l y i n g d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s . I n d e e d , i n u r m o d e l w e r e c o v e r t h e B l a c k a n d S c h o l e s f o r m u l a w h e n w e a s s u m e t h a t i n v e s t o r s ’ h a v e p e r f e c t n f o r m a t i o n o f a c o n s t a n t d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s . I n t h i s c a s e , i n v e s t o r s ’ b e l i e f s a r e t r i v i a l l y c o n s t a n t n d h e n c e t h e s e e n d o g e n o u s n o n - t r a d e d f a c t o r s v a n i s h . A s f a r a s t h e m e t h o d o l o g y o f t h e p a p e r i s c o n c e r n e d , w e (cid:12) n d i t u s e f u l t o d i s c r e t i z e t h e a r a m e t e r s p a c e { i .e . t h e s e t o f p o s s i b l e d r i f t s f o r t h e d i v i d e n d p r o c e s s { t o o b t a i n t h e d y n a m i c s f i n v e s t o r s ’ b e l i e f s i n c l o s e d f o r m . T h i s a p p r o a c h e n a b l e s u s t o f u l l y c h a r a c t e r i z e s t o c k r e t u r n s , e t u r n v o l a t i l i t y , a n d t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . I n d e e d , w e a r e a b l e t o s h o w h a t t h e s t o c k ’s r e t u r n a n d v o l a t i l i t y d e p e n d o n a l i m i t e d n u m b e r o f v a r i a b l e s , w h i c h d e p e n d o n n v e s t o r s ’ e s t i m a t e d d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s a s w e l l a s t h e i r c o n (cid:12) d e n c e i n i t . I n t h e s p e c i a l c a s e o f a t w o - s t a t e m o d e l , w e a r e a l s o a b l e t o s o l v e f o r o p t i o n p r i c e s u s i n g a s t F o u r i e r T r a n s f o r m m e t h o d s . S u c h m e t h o d s h a v e b e e n u s e f u l f o r p r o v i d i n g a n a l y t i c a l r e s u l t s t o 3
s v S F e p f o i s c o v a b c t b a t f d ( o k o v t e v e r a l o p t i o n p r i c i n g p r o b l e m s i n r e c e n t y e a r s , s u c h a s t h o s e w i t h s t o c h a s t i c j u m p s , a n d s t o c h a s t i c o l a t i l i t y ( s o m e e x a m p l e s o f t h i s m e t h o d o l o g y a r e i n H e s t o n 1 9 9 3 , B a t e s 1 9 9 6 , B a k s h i e t a l . 1 9 9 7 , c o t t 1 9 9 7 ) . A s i n t h e s e p a p e r s , w e a r e a b l e t o r e d u c e t h e o p t i o n p r i c i n g p r o b l e m t o t h e n u m e r i c a l o u r i e r I n v e r s i o n o f t h e s o l u t i o n o f a n o r d i n a r y d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( O D E ) . T h e O D E i t s e l f h a s n o x p l i c i t a n a l y t i c a l s o l u t i o n , b u t i t s s o l u t i o n c a n b e w e l l a p p r o x i m a t e d b y a ( s m a l l ) (cid:12) n i t e s e r i e s o f o l y n o m i a l s . A n u m e r i c a l F o u r i e r i n v e r s i o n y i e l d s t h e F o u r i e r T r a n s f o r m o f t h e s t a t e - r e t u r n d e n s i t y u n c t i o n . O p t i o n p r i c e s a r e t h e n c a l c u l a t e d a s t h e s u m o f t h e v a l u e o f f o u r p r i m i t i v e s e c u r i t i e s , e a c h f w h i c h i s o b t a i n e d b y e v a l u a t i n g t h e F o u r i e r T r a n s f o r m a t c h o s e n p o i n t s . T h e t w o - s t a t e m o d e l s a l s o p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n c o m p a r a t i v e s t a t i c s e x e r c i s e s . U s i n g o u r o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a , w e t u d y t h e e (cid:11) e c t s o n o p t i o n p r i c e s o f c h a n g e s i n t h e p e r s i s t e n c e o f a g o o d o r b a d s t a t e , i n i n v e s t o r s ’ o e (cid:14) c i e n t o f r i s k a v e r s i o n o r i n t h e i r i n f o r m a t i o n q u a l i t y . W e (cid:12) n d f o r e x a m p l e t h a t a h i g h e r d e g r e e f r i s k a v e r s i o n h a s a m b i g u o u s i m p l i c a t i o n s f o r t h e p r i c e o f o p t i o n s , b e c a u s e i t a (cid:11) e c t s b o t h r e t u r n o l a t i l i t y a n d e q u i l i b r i u m i n t e r e s t r a t e s . A f t e r d e t a i l i n g t h e i m p l i c a t i o n s o f o u r m o d e l f o r o p t i o n p r i c e s o f t h e a b o v e (cid:12) n d i n g s , w e l s o p r o v i d e a c a l i b r a t i o n o f t h e m o d e l . R e a l e a r n i n g s g r o w t h o n t h e S & P 5 0 0 f o r t h e p e r i o d 1 9 6 0 :0 1 1 9 9 8 :0 9 i s (cid:12) t t e d w i t h a 2 - s t a t e r e g i m e - s w i t c h i n g m o d e l . T h e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e a l l o w s u s t o a c k o u t t h e p o s t e r i o r p r o b a b i l i t i e s o f i n v e s t o r s o n t h e s p a c e o f p o s s i b l e d r i f t r a t e s a n d h e n c e t o o m p u t e p r o x i e s f o r i n v e s t o r s ’ e x p e c t e d d r i f t r a t e o f e a r n i n g s , t h e i r u n c e r t a i n t y , a n d t h e i m p l i e d h e o r e t i c a l r e t u r n v o l a t i l i t y a n d c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . T h e l a t t e r i s s h o w n t o e m a i n l y n e g a t i v e o v e r t i m e ( 7 0 % o f t h e t i m e ) , w i t h o c c a s i o n a l s w i t c h e s t o a p o s i t i v e s i g n . I n d d i t i o n , w e p r o v i d e e v i d e n c e t h a t t h e m o d e l - g e n e r a t e d r e t u r n v o l a t i l i t y , w h i c h d e p e n d s o n l y o n h e p o s t e r i o r b e l i e f s o f i n v e s t o r s , c a n e x p l a i n t h e S & P 1 0 0 o p t i o n v o l a t i l i t y i n d e x . W e a l s o t e s t t w o u r t h e r p r e d i c t i o n s o f t h e s t a t e - r e t u r n d e n s i t y f u n c t i o n c o n d i t i o n a l o n (cid:12) l t e r e d b e l i e f s u s i n g o p t i o n s a t a . T h e m e a n - r e v e r s i o n o f t h e b e l i e f p r o c e s s i m p l i e s t h a t t h e r e t u r n - d e n s i t y m u s t b e p o s i t i v e l y n e g a t i v e l y ) s k e w e d i n p e r i o d s w i t h l o w ( h i g h ) b e l i e f s . T h i s i m p l i c a t i o n i s t e s t e d b y u s i n g t h e r a t i o f 3 % O T M p u t - t o - c a l l p r i c e s . S e c o n d l y , t h e p o s s i b i l i t y o f a l a r g e s h i f t i n b e l i e f s i m p l i e s g r e a t e r u r t o s i s o f t h e r e t u r n d e n s i t y f u n c t i o n . T h e r e f o r e t h e m o d e l i m p l i e s l o w ( h i g h ) k u r t o s i s i n p e r i o d s f h i g h ( l o w ) u n c e r t a i n t y . F o r t h i s , w e t e s t t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y o f a c o n v e x i t y m e a s u r e o f i m p l i e d o l a t i l i t y , o r e q u i v a l e n t l y , t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y b u t t e r (cid:13) y s p r e a d o n t h e (cid:12) l t e r e d b e l i e f p r o c e s s . B o t h e s t s s u p p o r t t h e i m p l i c a t i o n s o f o u r m o d e l . 4
a ( t p m a a d p ( o G p a s i u ( t t v W d m e i i r t T h e r e h a v e b e e n s e v e r a l s i m i l a r l e a r n i n g m o d e l s i n t h e l i t e r a t u r e , o f w h i c h w e d o n o t t t e m p t a n e x h a u s t i v e s u r v e y . F o r (cid:12) n a n c i a l m a r k e t s w i t h l e a r n i n g i n c o n t i n u o u s - t i m e D e t e m p l e 1 9 8 6 ) , D o t h a n a n d F e l d m a n ( 1 9 8 6 ) , a n d G e n n o t t e ( 1 9 8 6 ) u s e d t h e r e s u l t s o f t h e K a l m a n (cid:12) l t e r o c h a r a c t e r i z e t h e l e a r n i n g o f a g e n t s w h e n t h e u n o b s e r v a b l e d r i f t o f r e t u r n s f o l l o w e d a d i (cid:11) u s i o n r o c e s s . T h i s l e a r n i n g p a r a d i g m i s a u s e f u l f o r u n d e r s t a n d i n g s e v e r a l a s p e c t s o f (cid:12) n a n c i a l d e c i s i o n a k i n g a s e v i d e n t f r o m t h e r e c e n t w o r k o f B r e n n a n ( 1 9 9 8 ) , w h o r e s o l v e s a n i m p o r t a n t a s s e t l l o c a t i o n p u z z l e b y a p p e a l i n g t o t h e r o l e o f l e a r n i n g a b o u t e x p e c t e d r e t u r n s . D e s p i t e i t s s e v e r a l d v a n t a g e s , K a l m a n (cid:12) l t e r i n g m o d e l s i m p l y t h a t t h e e s t i m a t i o n e r r o r ( t h e v a r i a n c e o f t h e c o n d i t i o n a l i s t r i b u t i o n o f a g e n t s b e l i e f s ) f o l l o w s a d e t e r m i n i s t i c p r o c e s s t h a t c o n v e r g e s t o a c o n s t a n t . T h i s r o p e r t y i s i n h e r i t e d b y t h e v o l a t i l i t y o f r e t u r n s i n t h e s e m o d e l s . A s a n i m p o r t a n t e x c e p t i o n , Y a n 1 9 9 9 ) r e c e n t l y s t u d i e d o p t i o n p r i c i n g i n a K a l m a n (cid:12) l t e r i n g m o d e l w h e r e , d e s p i t e t h e c o n v e r g e n c e f e s t i m a t i o n e r r o r , r e t u r n v o l a t i l i t y w a s s t o c h a s t i c d u e t o v a r i a t i o n s i n t h e r i s k l e s s r a t e . A l s o i n a a u s s i a n i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n m o d e l , b u t w i t h d i s c r e t e p e r i o d i c s i g n a l s , D u (cid:14) e a n d L a n d o ( 1 9 9 9 ) r o v i d e a n a n a l y s i s o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s w i t h i n c o m p l e t e a c c o u n t i n g i n f o r m a t i o n b o u t f u n d a m e n t a l s o f t h e (cid:12) r m . D e t e m p l e ( 1 9 9 1 ) u s e d t h e s a m e a s s u m p t i o n o n t h e u n d e r l y i n g d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s , b u t a s u m e d t h a t a g e n t s s t a r t e d u p d a t i n g w i t h a n o n - G a u s s i a n p r i o r . I n h i s m o d e l , t h e e s t i m a t i o n e r r o r n d e e d e x h i b i t e d s t o c h a s t i c v a r i a t i o n o v e r t i m e , b u t w a s c h a r a c t e r i z e d b y a l a r g e n u m b e r ( c o n t i n u m ) o f s t a t e v a r i a b l e s . T o e x p l o i t t h e s t o c h a s t i c e s t i m a t i o n e r r o r o f n o n - G a u s s i a n m o d e l s , D a v i d 1 9 9 7 ) s t u d i e d t h e a s s e t - a l l o c a t i o n p r o b l e m i n a s e t t i n g w h e r e t h e u n o b s e r v a b l e d r i f t j u m p e d b e w e e n a (cid:12) n i t e n u m b e r o f s t a t e s . U s i n g a (cid:12) l t e r i n g r e s u l t i n L i p t s e r a n d S h i r y a a y e v ( 1 9 7 7 ) , h e s h o w e d le v e r a g e e (cid:11) e c t h a t l e a r n i n g i n d u c e s t h e ( a n e g a t i v e a s y m m e t r i c r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d f u t u r e o l a t i l i t y ) o n t h e m a r k e t p o r t f o l i o , a s a g e n t s a t t e m p t t o h e d g e t h e r i s k o f c h a n g i n g e s t i m a t i o n e r r o r . i t h a s i n g l e s t o c k a n d t h i s s a m e (cid:12) l t e r i n g p r o b l e m c h a r a c t e r i z i n g t h e u n c e r t a i n t y a b o u t e x p e c t e d i v i d e n d g r o w t h , V e r o n e s i ( 1 9 9 9 b ) s h o w e d t h a t r e t u r n v o l a t i l i t y h a s G A R C H p r o p e r t i e s a n d t h a t a r k e t s o v e r r e a c t t o b a d n e w s i n g o o d t i m e s a n d u n d e r r e a c t t o g o o d n e w s i n b a d t i m e s . I n a n x c h a n g e e c o n o m y , V e r o n e s i ( 1 9 9 9 a ) s h o w s t h a t t h e v o l a t i l i t y o f s t o c k - r e t u r n s i n t h i s s e t t i n g w o u l d n c r e a s e i f a g e n t s r e c e i v e d m o r e p r e c i s e s i g n a l s o n t h e u n o b s e r v e d d r i f t . I n t h i s p a p e r w e s t u d y t h e 3 m p l i c a t i o n s o f s t o c h a s t i c e s t i m a t i o n e r r o r o n o p t i o n p r i c e s . 3 I n a s o m e w h a t s im ila r ly m o t iv a t e d p a p e r , C a m p b e ll a n d L i ( 1 9 9 9 ) s t u d y o p t io n p r ic e s in a m o d e l o f e x o g e n o u s e g im e - s w it c h in g v o la t ilit y o f s t o c k r e t u r n s . W h ile o p t io n p r ic e s in t h e ir m o d e l a ls o d e p e n d o n b e lie fs o f a g e n t s , d u e o t h e la c k o f c o r r e la t io n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o la t ilit y , t h e ir m o d e l im p lie s s y m m e t r ic im p lie d v o la t ilit y s m ile s . 5
t f w p f p c 1 C U W w n d w v n e T h e p a p e r d e v e l o p s a s f o l l o w s : n e x t s e c t i o n i n t r o d u c e s t h e e c o n o m i c m o d e l a n d c h a r a c e r i z e s i n v e s t o r s ’ b e l i e f s d y n a m i c s . I n a d d i t i o n , i t a l s o c h a r a c t e r i z e s s t o c k p r i c e s a n d t h e p r o c e s s o r s t o c k r e t u r n s . S e c t i o n 2 d e v e l o p s t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n f o r d e r i v a t i v e s e c u r i t y p r i c i n g h e n t h e r e i s u n c e r t a i n t y i n t h e f u n d a m e n t a l s . I n a d d i t i o n , i t d r a w s o u t t h e i m p l i c a t i o n s o n o p t i o n r i c e s u n d e r s o m e a s s u m p t i o n s o n t h e \ f u n d a m e n t a l s ." S e c t i o n 3 d e r i v e s a c l o s e d f o r m s o l u t i o n o r o p t i o n s i n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h e r e a r e o n l y t w o p o s s i b l e s t a t e s , w h i l e S e c t i o n 4 s t u d i e s i t s r o p e r t i e s . S e c t i o n 5 c o n t a i n s t h e c a l i b r a t i o n o f t h e m o d e l a n d s o m e e m p i r i c a l t e s t s . S e c t i o n 6 o n c l u d e s . T h e M o d e l o n s i d e r a n e c o n o m y p o p u l a t e d b y a c o n t i n u u m o f i n v e s t o r s w i t h a n i s o - e l a s t i c u t i l i t y f u n c t i o n (cid:0) (cid:13) 1 c (cid:0) (cid:30) t 0 ( c ; t ) = e . L e t W ( t ) = ( W ( t ) ; W ( t ) ; W ( t ) ) b e a t h r e e - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f i n d e p e n d e n t 1 2 3 (cid:0) (cid:13) 1 i e n e r p r o c e s s e s . D i v i d e n d s e v o l v e a c c o r d i n g t o a l o g n o r m a l p r o c e s s d x = (cid:18) d t + (cid:27) d W ( 1 ) x x h e r e t h e 1 3 v e c t o r (cid:27) i s a s s u m e d k n o w n a n d c o n s t a n t . T h e g r o w t h r a t e o f d i v i d e n d s (cid:18) ( t ) i s x (cid:2) o t o b s e r v a b l e a n d m a y m o v e o v e r t i m e a c c o r d i n g t o t h e p r o c e s s d e s c r i b e d b e l o w . I n a d d i t i o n t o i v i d e n d s , i n v e s t o r s c a n i n f e r t h e v a l u e o f (cid:18) ( t ) b y o b s e r v i n g a n o t h e r p u b l i c s i g n a l d e s c r i b e d b y : d e = (cid:18) d t + (cid:27) d W ( 2 ) e e h e r e a g a i n (cid:27) i s a c o n s t a n t 1 3 v e c t o r . T h e f o r m u l a t i o n ( 2 ) i s a n a l o g o u s t o t h e u s u a l \ s i g n a l = e (cid:2) a l u e p l u s n o i s e " i n t h e d i s c r e t e t i m e s e t t i n g . T h e c h o i c e o f a l o g n o r m a l p r o c e s s f o r s i g n a l s i s f o r o t a t i o n a l p u r p o s e s o n l y ( s e e b e l o w ) a n d h a s n o s u b s t a n t i v e e (cid:11) e c t . I n o r d e r t o k e e p t h e a n a l y s i s s i m p l e , w e a l s o a s s u m e t h a t t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s x o g e n o u s l y g i v e n a n d f o l l o w s t h e p r o c e s s d c = (cid:20) d t + (cid:27) d W ( 3 ) c c 6
4 w h e r e (cid:20) ( t ) i s a l s o u n o b s e r v a b l e a n d (cid:27) i s a 1 3 c o n s t a n t m a t r i x . T h i s a s s u m p t i o n e n a b l e s u s t o c (cid:2) f u l l y c o n c e n t r a t e o n t h e i m p l i c a t i o n s o f u n c e r t a i n t y a n d l e a r n i n g o n o p t i o n p r i c e s , l e a v i n g a s i d e t h e i m p l i c a t i o n s d u e t o m a r k e t c l e a r i n g c o n d i t i o n s . H o w e v e r , n o t i c e t h a t t h e s p e c i a l c a s e o f a L u c a s ( 1 9 7 8 ) p u r e - e x c h a n g e e c o n o m y i s o b t a i n e d b y s e t t i n g c = x , (cid:20) = (cid:18) a n d (cid:27) = (cid:27) . x c T o c o m p l e t e t h e d e s c r i p t i o n o f t h e m o d e l i t i s c o n v e n i e n t t o s t a c k t o g e t h e r t h e \ o b s e r v a - 0 t i o n " p r o c e s s e s ( 1 ) , ( 2 ) a n d ( 3 ) : L e t y = ( x ; e ; c ) , s o t h a t d y = (cid:23) ( t ) d t + (cid:6) d W y d y i s t o b e i n t e r p r e t e d \ e l e m e n t - b y - e l e m e n t " d i v i s i o n , w h e r e y (cid:18) ( t ) (cid:27) x 0 1 0 1 (cid:23) ( t ) = ; (cid:6) = (cid:18) ( t ) (cid:27) e B C B C (cid:20) ( t ) (cid:27) c B C B C B C B C @ A @ A W e w i l l a s s u m e t h a t t h e 3 3 m a t r i x (cid:6) i s i n v e r t i b l e . I n o r d e r t o f u l l y c h a r a c t e r i z e t h e p r o c e s s f o r (cid:2) s t o c k r e t u r n s a s w e l l a s t h e m o v e m e n t s o f i n v e s t o r s ’ p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n o v e r t i m e , i t i s c o n v e n i e n t t o d i s c r e t i z e t h e s t a t e s p a c e f o r d i v i d e n d g r o w t h a n d c o n s u m p t i o n g r o w t h . T h a t i s t o s a y , w e a s s u m e t h a t (cid:18) c a n t a k e o n l y t h e v a l u e s i n t h e (cid:12) n i t e s e t [ (cid:18) ; :::; (cid:18) ] w i t h n p o s s i b l y v e r y l a r g e . L i k e w i s e , w e n 1 a s s u m e t h a t c o n s u m p t i o n g r o w t h (cid:20) c a n t a k e o n l y v a l u e s i n t h e (cid:12) n i t e s e t [(cid:20) ; :::; (cid:20) ]. T h e t r a n s i t i o n n 1 f r o m o n e s t a t e (cid:23) = ( (cid:18) ; (cid:18) ; (cid:20) ) t o a n o t h e r s t a t e (cid:23) = ( (cid:18) ; (cid:18) ; (cid:20) ) i n t h e i n (cid:12) n i t e s i m a l i n t e r v a l (cid:1) o c c u r s i i i i j j j j w i t h p r o b a b i l i t y (cid:21) d t = P r ( v ( t + (cid:1) ) = v v ( t ) = v ) ij j i j 0 0 0 F o r l a t e r r e f e r e n c e , n o t i c e t h a t i f w e l e t (cid:19) = ( 1 ; 0 ; 0 ) , (cid:19) = ( 0 ; 1 ; 0 ) , a n d (cid:19) = ( 0 ; 0 ; 1 ) , w e x e c 0 0 0 o b t a i n (cid:27) = (cid:19) (cid:6) , (cid:27) = (cid:19) (cid:6) , (cid:27) = (cid:19) (cid:6) . x e c x e c 1 . 1 T h e D y n a m i c s o f I n v e s t o r s ’ B e l i e f s G i v e n t h e o b s e r v a t i o n o f y ( t ) , i n v e s t o r s f o r m t h e p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y (cid:25) ( t ) = P r ( (cid:23) ( t ) = (cid:23) ( t ) ) i i jF 4 T h e fo r m u la t io n le a d s t o t h e s t o c h a s t ic d is c o u n t fa c t o r p r o c e s s s h o w n in ( 8 ) . A s a m o d e lin g s t r a t e g y , w e c o u ld in s t e a d s p e c ify a n e x o g e n o u s p r o c e s s fo r t h e s t o c h a s t ic d is c o u n t fa c t o r . T h e p r e s e n t s p e c i(cid:12) c a t io n p r o v id e s in t u it io n fo r c o m p a r a t iv e s t a t ic e x p e r im e n t s o f c h a n g e s in in v e s t o r s ’ r is k - a v e r s io n o n o p t io n p r ic e s . 7
w L p w a M P a a d s o d I g d t p h e r e ( t ) i s i n v e s t o r s ’ (cid:12) l t r a t i o n a t t i m e t . L e t (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) b e t h e v e c t o r o f b e l i e f s . n 1 F n e m m a 1 G i v e n a n i n i t i a l c o n d i t i o n w i t h a n d f o r a l l , t h e (cid:25) ( 0 ) = (cid:25) (cid:25) = 1 0 (cid:25) 1 i i i i= 1 (cid:20) (cid:20) r o b a b i li t i e s , s a t i s f y t h e s y s t e m o f s t o c h a s t i c d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s : (cid:25) ( t ) n i P b b b d (cid:25) = (cid:22) d t + (cid:27) d W ( 4 ) i i i f h e r e n 1 d y (cid:0) 0 0 2 (cid:22) = [(cid:25) (cid:3) ] ; (cid:27) = (cid:25) ( (cid:23) (cid:23) ) (cid:6) (cid:6) ; (cid:23) = (cid:25) (cid:23) = E ( 5 ) i i i i i i i t y (cid:0) i= 1 (cid:18) (cid:19) X (cid:0) (cid:1) n d 1 1 1 d y d y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 0 2 2 2 ( (cid:23) ( t ) (cid:23) ) d t + (cid:6) (cid:6) (cid:6) d W ( 6 ) E = (cid:6) (cid:6) d W = (cid:6) (cid:6) t y y (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) n f o r e o v e r , f o r e v e r y , . t > 0 (cid:25) ( t ) = 1 i= 1 P r o o f : S e e L i p t s e r a n d S h i r y a a y e v ( 1 9 7 7 ) . T h e e x p r e s s i o n s i n ( 5 ) a r e r a t h e r i n t u i t i v e : t h e d r i f t r a t e d e p e n d s o n l y o n t h e p r i o r b e l i e f t t i m e t , (cid:25) ( t ) , a n d t h e t r a n s i t i o n m a t r i x (cid:3) , a n d t h e r e f o r e t h e e x p r e s s i o n d e s c r i b e s h o w t h e b e l i e f s r e u p d a t e d b e t w e e n t a n d t + (cid:1) w h e n n o o t h e r i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e . T h e d i (cid:11) u s i o n p a r t i n ( 4 ) e s c r i b e s t h e i m p a c t o n b e l i e f s d u e t o t h e o b s e r v a t i o n o f t h e v e c t o r y ( t + (cid:1) ) . S p e c i (cid:12) c a l l y , d W i s i m p l y t h e i n n o v a t i o n p r o c e s s n o r m a l i z e d b y t h e ( s q u a r e r o o t o f ) t h e v a r i a n c e c o v a r i a n c e m a t r i x f f t h e o b s e r v a t i o n p r o c e s s d y = y . T h e i m p a c t o f t h i s n o r m a l i z e d e x p e c t a t i o n e r r o r o n b e l i e f (cid:25) i s i e s c r i b e d b y (cid:27) : t h i s t e n d s t o b e h i g h w h e n t h e r e i s s o m e u n c e r t a i n t y a b o u t t h e t r u e v e c t o r (cid:23) . i n f a c t , n o t i c e t h a t (cid:27) i s c l o s e t o z e r o f o r a l l i w h e n (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) i s t h e d e g e n e r a t e d i s t r i b u t i o n i n 1 i v i n g p r o b a b i l i t y o n e t o t h e t r u e v a l u e a n d z e r o o t h e r w i s e . F i n a l l y , t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l s 0 y = y a (cid:11) e c t s d (cid:25) t h r o u g h t h e v a r i a n c e c o v a r i a n c e m a t r i x (cid:6) (cid:6) . i I t i s w o r t h n o t i c i n g t h a t n n n d (cid:25) = (cid:22) d t + (cid:27) d W = 0 ( 7 ) i i i ! i i i = 1 = 1 = 1 X X X f n h e r e b y e n s u r i n g t h a t f o r a l l t , (cid:25) = 1 . i i= 1 F o r l a t e r r e f e r e n c e , w e r e w r i t e t h e f u n d a m e n t a l p r o c e s s d y = y i n t e r m s o f t h e n e w i n n o v a t i o n P r o c e s s d W i n t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y : f 8
C s P (cid:22)k u 1 G m H P ( ( (cid:0) ( 1 0 2 w h e r e o r o l l a r y 1 T h e f u n d a m e n t a l p r o c e s s f o l lo w s t h e p r o c e s s d W ; d y = y d y d y = y = (cid:22)v d t + ( (cid:6) (cid:6) ) h o u ld b e i n t e r p r e t e d a s \ e le m e n t - b y - e le m e n t " d i v i s i o n . f r o o f . I n A p p e n d i x 1 . d c H e n c e , f o r e x a m p l e , t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s w i t h r e s p e c t t o i n v e s t o r s ’ (cid:12) l t r a t i o n i s = c 1 0 2 d t + (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) d W : S i n c e d W i s a n \ i n n o v a t i o n s " p r o c e s s , u n d e r t h e s e p a r a t i o n p r i n c i p l e i t c a n b e c s e d f o r d y n a m i c o p t i m i z a t i o n . S e e D a v i d ( 1 9 9 7 ) f o r a d i s c u s s i o n . f f . 2 S t o c k R e t u r n s a n d t h e R i s k - F r e e R a t e i v e n i n v e s t o r s ’ u t i l i t y f u n c t i o n , w e i m m e d i a t e l y o b t a i n t h e s t o c h a s t i c d i s c o u n t f a c t o r a s t h e (cid:0) (cid:30) t (cid:0) (cid:13) 5 c . B y I t o ’s l e m m a , a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n m ( t ) = U ( t ; c ) = e c 1 0 d m = (cid:30) (cid:13) (cid:20) ( t ) + (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) m d t (cid:13) m (cid:27) d W : ( 8 ) c c c 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) e n c e , t h e e q u i l i b r i u m s t o c k p r i c e S ( t ) m u s t s a t i s f y t h e u s u a l p r i c i n g r e l a t i o n : 1 m ( t ) S ( t ) = E m ( s ) x ( s ) d s ( 9 ) t t (cid:20) (cid:21) Z 1 0 0 r o p o s i t i o n 1 ( a ) F o r a l l , le t T h e n , i = 1 ; :::; n (cid:18) = (cid:13) k (cid:18) + (cid:30) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) > 0 i i i c c c x 2 (cid:0) (cid:0) f o r e v e r y , t h e s t o c k p r i c e i s g i v e n b y : t b n S ( t ) = x ( t ) (cid:25) ( t ) C ( 1 0 ) i i i= 1 X n w h e r e ’ s a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s s a t i s f y i n g f o r a l l . C (cid:18) C = 1 + (cid:21) C i = 1 ; :::; n i i i ij j j = 1 P n 1 0 b w h e r e . b ) T h e i n s t a n t a n e o u s r i s k - f r e e r a t e i s g i v e n b y (cid:20) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) (cid:20) = (cid:25) (cid:20) r = (cid:30) + (cid:13) c i i c i= 1 2 (cid:0) P c ) T h e p r i c e o f a z e r o - c o u p o n b o n d w i t h m a t u r i t y i s (cid:28) n B ( t ; (cid:28) ) = (cid:25) B ( (cid:28) ) i i i= 1 X 5 I t w ill b e s h o w n la t e r t h a t u n d e r in v e s t o r s ’ in fo r m a t io n (cid:12) lt r a t io n t h e s t o c h a s t ic d is c o u n t fa c t o r w ill fo llo w d m = m = 1 0 2 (cid:0) c r d t (cid:13) (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) d W : H o w e v e r , it is c o n v e n ie n t fo r n o w t o le a v e t h e p r o c e s s fo r t h e s t o c h a s t ic d is c o u n t fa c t o r a s in f 8 ) . 9
P T s i w o s P w P o m t (cid:28) 0 ( + ) w (cid:28) w (cid:28) n 1 a n d w h e r e a r e t h e e i g e n - w h e r e = [(cid:10) ] ( e ; :::; e ) w ; :::; w B ( (cid:28) ) = E (cid:23) ( t ) = (cid:23) i m i i 1 m t ( ) j 1 0 (cid:17) (cid:16) v a lu e s o f t h e m a t r i x d i a g a n d i s t h e m a t r i x o f c o lu m n (cid:3) = (cid:3) (cid:13) ( (cid:20) ) (cid:30) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) (cid:10) c c 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n e i g e n v e c t o r s o f , n o r m a li z e d s o t h a t f o r a l l . (cid:3) ! = 1 i = 1 ; ::; n (cid:0) (cid:1) ij j = 1 b P b r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T o i n t e r p r e t t h e a b o v e r e s u l t a b o u t t h e s t o c k p r i c e , i t i s s h o w n i n t h e a p p e n d i x t h a t 1 1 C = E u ( s ; c ) x ( s ) d s (cid:23) ( t ) = (cid:23) ( 1 1 ) i t c i u ( t ; c ) x ( t ) j c t (cid:20) (cid:21) Z h a t i s , e a c h c o n s t a n t C r e p r e s e n t s i n v e s t o r s ’ e x p e c t a t i o n o f f u t u r e d i v i d e n d s c o n d i t i o n a l o n t h e i t a t e b e i n g (cid:23) t o d a y , d i s c o u n t e d b y t h e i r m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n a n d n o r m a l i z e d t o m a k e i t i n d e p e n d e n t o f t h e c u r r e n t d i v i d e n d a n d t i m e . H e n c e , a h i g h C i m p l i e s t h a t i n v e s t o r s w o u l d b e i i l l i n g t o p a y a h i g h p r i c e r e l a t i v e t o t h e c u r r e n t d i v i d e n d i n s t a t e (cid:23) . S i n c e t h e y d o n o t a c t u a l l y i b s e r v e t h e s t a t e (cid:23) , t h e y w e i g h t e a c h C b y i t s c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y (cid:25) t h e r e b y o b t a i n i n g ( 1 0 ) . i i i N o t i c e f r o m e q u a t i o n ( 1 0 ) t h e s t o c k p r i c e f o l l o w s a c o n t i n u o u s - p a t h p r o c e s s , e v e n i f t h e t a t e s p a c e f o r d i v i d e n d d r i f t r a t e s i s d i s c r e t e . I n d e e d , w e c a n e a s i l y d e r i v e t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n : r o p o s i t i o n 2 T h e s t o c k r e t u r n p r o c e s s i s g i v e n b y : d S = ( (cid:22) (cid:14) ) d t + (cid:27) d W S S S (cid:0) f h e r e n (cid:20) ) (cid:25) C ( (cid:20) d S d c i i i 0 i= 1 C o v (cid:22) = r + (cid:13) ; ( 1 2 ) + (cid:27) (cid:27) = r + (cid:13) (cid:0) S c n x c S C (cid:25) (cid:2) i i i= 1 P (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 x P (cid:14) = = ( 1 3 ) n S C (cid:25) i i i= 1 1 (cid:0) n 0 0 2 1 C (cid:25) ( (cid:23) (cid:23) ) ( (cid:6) (cid:6) ) i i i P 0 i= 1 2 (cid:27) = (cid:19) (cid:6) (cid:6) + ( 1 4 ) (cid:0) S x n C (cid:25) i i i= 1 ! P (cid:0) (cid:1) P r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T h i s p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t b o t h t h e s t o c k e x p e c t e d r e t u r n a n d i t s v o l a t i l i t y a r e c h a n g i n g v e r t i m e , d e p e n d i n g o n t h e d i s t r i b u t i o n (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) . n 1 1 0
1 I w d o b a o i A f s F e b P ( ( e . 3 R e t u r n V o l a t i l i t y a n d i t s C o v a r i a n c e w i t h S t o c k R e t u r n s n t h i s s u b s e c t i o n w e c h a r a c t e r i z e t h e v o l a t i l i t y o f e q u i l i b r i u m s t o c k r e t u r n s a s w e l l a s i t s c o v a r i a n c e i t h t h e r e t u r n p r o c e s s i t s e l f . A s i s w e l l k n o w n , t h e s e t w o q u a n t i t i e s a r e e x t r e m e l y i m p o r t a n t i n e t e r m i n i n g t h e b e h a v i o r o f o p t i o n p r i c e s . E v e n t h o u g h i t i s n o t n e c e s s a r y f o r t h e r e s u l t , w e l i m i t u r i n v e s t i g a t i o n t o t h e c a s e w h e r e t h e r i s k - f r e e i n t e r e s t r a t e i s c o n s t a n t . T h i s w i l l e n a b l e u s t o e t t e r c o m p a r e o u r o p t i o n p r i c i n g r e s u l t s w i t h B l a c k a n d S c h o l e s o p t i o n p r i c e s , w h i c h a l s o a s s u m e c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e . I n a d d i t i o n , t h i s a s s u m p t i o n m a k e s s u r e t h a t o u r r e s u l t s d o n o t d e p e n d 6 n t h e b e h a v i o r o f a n e r r a t i c s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e . F r o m p r o p o s i t i o n 1 a c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e s o b t a i n e d i n o u r m o d e l b y a s s u m i n g (cid:20) = (cid:20) = ::: = (cid:20) . n 1 2 W e s t a r t b y i n t r o d u c i n g t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : L e t (cid:25) C i i (cid:3) ( 1 5 ) (cid:25) = i n (cid:25) C (cid:6) j j j = 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) v a lu e - w e i g h t e d p r o b a b i li t y d e n s i t y s i n V e r o n e s i ( 1 9 9 9 a ) , w e c a l l (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) t h e : n o t i c e t h a t n 1 r o m e q u a t i o n ( 1 1 ) t h e w e i g h t s C a r e t h e d i s c o u n t e d e x p e c t e d v a l u e o f f u t u r e d i v i d e n d s . I n t h i s i (cid:3) e n s e , t h e (cid:25) c a n b e t h o u g h t o f a s a s t a t e - p r i c e d e n s i t y f u n c t i o n , w h e r e t h e s t a t e s a r e (cid:18) ,..., (cid:18) . n 1 i (cid:3) r o m n o w o n , a s t a r \ * " d e n o t e s a q u a n t i t y c o m p u t e d w i t h r e s p e c t t o t h e d i s t r i b u t i o n (cid:25) . F o r (cid:3) (cid:3) x a m p l e , (cid:18) d e n o t e s t h e m e a n (cid:18) c o m p u t e d u s i n g t h e d i s t r i b u t i o n (cid:25) . S i m i l a r l y , l e t n n 2 (cid:3) 2 (cid:3) (cid:3) 2 2 (cid:27) = (cid:25) (cid:18) (cid:18) (cid:18) ( 1 6 ) ; (cid:27) = (cid:25) (cid:18) i i i (cid:18) (cid:18) i (cid:0) (cid:0) i i = 1 = 1 (cid:16) (cid:17) X X (cid:0) (cid:1) (cid:3) e t h e v a r i a n c e s o f (cid:18) c o m p u t e d u s i n g (cid:25) a n d (cid:25) . W e t h e n h a v e : 1 (cid:0) 0 2 r o p o s i t i o n 3 L e t a n d le t . T h e n (cid:20) = (cid:20) = ::: = (cid:20) b = ( 1 ; 1 ; 0 ) ( (cid:6) (cid:6) ) n 1 2 (cid:2) a ) R e t u r n v o la t i li t y i s g i v e n b y 2 (cid:3) (cid:3) 0 0 0 V (cid:27) (cid:27) = (cid:27) (cid:27) + 2 (cid:18) (cid:18) + (cid:18) (cid:18) b b ( 1 7 ) S x S x (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) b ) R e t u r n v o la t i li t y f o l lo w s t h e p r o c e s s V d V = (cid:22) d t + (cid:27) d W ; ( 1 8 ) V V 6 T h e e (cid:11) e c t s o f a s t o c h a s t ic in t e r e s t r a t e o n o p t io n p r ic e s in t h e c o n t e x t o f a n in c o m p le t e in fo r m a t io n m o d e l a r e x p lo r e d in Y a n ( 1 9 9 9 ) . 1 1
( P r a i h t t m e t p (cid:27) w h e r e (cid:3) (cid:3) 2 0 (cid:3) 0 2 2 2 (cid:18) E d (cid:18) 1 + (cid:18) (cid:18) b b ( 1 9 ) (cid:22) = (cid:27) (cid:27) ( b b ) + 2 E d t V t (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:3) (cid:3) 0 2 2 (cid:27) = (cid:27) (cid:27) 1 + (cid:18) (cid:18) b b 2 b ; ( 2 0 ) V (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:1) (cid:3) a n d a n d a r e t h e e x p e c t e d c h a n g e s i n t h e e x p e c t e d d i v i d e n d d r i f t r a t e a c c o r d i n g E d (cid:18) E d (cid:18) t t (cid:3) (cid:16) (cid:17) t o a n d , r e s p e c t i v e ly . T h a t i s , (cid:25) (cid:25) (cid:0) (cid:1) n [(cid:25) (cid:3) ] (cid:18) d t ( 2 1 ) (cid:18) = E d i i t ! i= 1 X (cid:1) (cid:0) (cid:3) n (cid:3) (cid:3) [(cid:25) (cid:3) ] C ( (cid:18) (cid:18) ) i i i (cid:3) 0 i 2 = 1 E d (cid:18) = (cid:27) ( (cid:18) (cid:18) ) b b d t ( 2 2 ) (cid:0) t n (cid:18) (cid:25) C (cid:0) (cid:0) k k k = 1 ! P (cid:16) (cid:17) P c ) T h e c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n a n d v o la t i li t y i s g i v e n b y 2 (cid:3) d S 0 (cid:3) 0 2 2 C o v d V ; (cid:27) (cid:27) = 2 (cid:27) (cid:27) 1 + (cid:18) (cid:18) b b ( 2 3 ) V S (cid:18) (cid:18) S (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:1) r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T h i s p r o p o s i t i o n p r o v i d e s a g e n e r a l r e s u l t o n r e t u r n v o l a t i l i t y a n d i t s c o v a r i a n c e w i t h e t u r n s . I m p o r t a n t l y , w e n o t i c e t h a t r e t u r n v o l a t i l i t y i s s t o c h a s t i c , i t f o l l o w s a p r e d i c t a b l e p r o c e s s , n d h a s a s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y . I n p a r t i c u l a r , t h e t i m e p r e d i c t a b i l i t y o f v o l a t i l i t y h a s i n t e r e s t i n g m p l i c a t i o n s f o r o p t i o n p r i c i n g . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s i m p l e e x a m p l e : S u p p o s e t h a t i n v e s t o r s (cid:3) a v e a v e r y h i g h c o n (cid:12) d e n c e i n a p a r t i c u l a r s t a t e (cid:18) . I n t h i s c a s e , f r o m t h e d e (cid:12) n i t i o n o f (cid:25) w e (cid:12) n d i (cid:3) (cid:3) 2 2 h a t (cid:18) (cid:18) a n d s i m i l a r l y (cid:27) (cid:27) . F r o m e q u a t i o n s ( 1 7 ) a n d ( 2 0 ) , t h i s i m p l i e s t h a t V i s l o w a n d (cid:18) (cid:18) (cid:25) (cid:25) h e v o l a t i l i t y o f v o l a t i l i t y , (cid:27) 0 . H o w e v e r , i f (cid:3) i s n o n - z e r o , f r o m e q u a t i o n s ( 1 9 ) , ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) w e V (cid:25) a y h a v e (cid:22) p o s i t i v e a n d p o s s i b l y h i g h . H e n c e , e v e n t h o u g h t o d a y s t o c k v o l a t i l i t y i s l o w , i n v e s t o r s V x p e c t h i g h v o l a t i l i t y i n t h e f u t u r e . T h i s i m p l i e s t h a t t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y o f o p t i o n p r i c e s i s h i g h e r h a n s t o c k v o l a t i l i t y . T h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n a l s o s h o w s t h a t t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n a n d v o l a t i l i t y i s o s i t i v e o r n e g a t i v e d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e c u r r e n t p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n o f b e l i e f s i m p l i e s t h a t (cid:3) 2 2 . T h a t i s , i s g r e a t e r o r s m a l l e r t h a n (cid:27) (cid:18) (cid:18) d S (cid:3) 2 2 C o v d V ; < 0 i f a n d o n l y i f (cid:27) < (cid:27) (cid:18) (cid:18) S (cid:18) (cid:19) 1 2
W r s C c t h w h r C 0 P 2 I t ( f d r P w e c a n g e t i n t u i t i o n a b o u t t h i s r e s u l t b y l o o k i n g a t t h e s i m p l e t w o - s t a t e c a s e . I n t h i s c a s e , t h e e t u r n v o l a t i l i t y V c a n b e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y o f b e i n g i n t h e h i g h p t a t e (cid:25) . W e p l o t V i n F i g u r e 5 f o r p a r a m e t e r v a l u e s c a l i b r a t e d t o S & P 5 0 0 r e a l e a r n i n g s g r o w t h . 2 o n s i d e r n o w t h e c a s e w h e r e t h e p r o b a b i l i t y o f b e i n g i n t h e h i g h s t a t e , (cid:25) , i s c l o s e t o o n e . I n t h i s 2 2 a s e , (cid:18) i s h i g h a n d (cid:27) i s s m a l l . A s e r i e s o f n e g a t i v e i n n o v a t i o n s i n t h e d i v i d e n d p r o c e s s d e c r e a s e s (cid:18) h e s t o c k p r i c e s t h e r e b y g e n e r a t i n g n e g a t i v e r e t u r n s . A t t h e s a m e t i m e , i t a l s o d e c r e a s e s (cid:25) a n d 2 2 e n c e i n c r e a s e s r e t u r n v o l a t i l i t y V ( a s w e l l a s t h e l e v e l o f u n c e r t a i n t y (cid:27) ) . S i n c e v o l a t i l i t y i n c r e a s e s (cid:18) i t h n e g a t i v e r e t u r n s , w e h a v e a n e g a t i v e c o v a r i a n c e o f r e t u r n v o l a t i l i t y a n d s t o c k r e t u r n s f o r (cid:25) 2 i g h . T h e o p p o s i t e a r g u m e n t i l l u s t r a t e s t h a t w h e n (cid:25) i s l o w w e h a v e a p o s i t i v e c o v a r i a n c e b e t w e e n 2 e t u r n v o l a t i l i t y a n d s t o c k r e t u r n s . W e m a k e t h e a b o v e a r g u m e n t f o r m a l i n t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y : d S o r o l l a r y 2 L e t . T h e n , i s a s t r i c t ly c o n c a v e f u n c t i o n o f a n d C o v (cid:20) = (cid:20) V (cid:25) (cid:25) d V ; < 1 2 2 S (cid:17) i f a n d o n ly i f w h e r e a r g m a x (cid:25) > ^(cid:25) ^(cid:25) = V : (cid:0) (cid:1) (cid:25) r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T h e V a l u e o f C o n t i n g e n t C l a i m s n t h i s s e c t i o n w e d e t e r m i n e t h e v a l u e o f a c o n t i n g e n t c l a i m w r i t t e n o n t h e s t o c k p r i c e S . S i n c e h e e v o l u t i o n o f S i s n o n - M a r k o v i a n , w e n e e d t o a d d a l l t h e s t a t e v a r i a b l e s ( i .e . b e l i e f s ) (cid:25) = (cid:0) n (cid:25) ; :::; (cid:25) ) i n o r d e r t o d e s c r i b e t h e e c o n o m y . A n o t h e r a p p e a l t o t h e S e p a r a t i o n P r i n c i p l e ( c .f ., n (cid:0) 1 1 7 o r e x a m p l e D a v i d 1 9 9 7 ) i m p l i e s t h a t t h e s y s t e m ( S ; (cid:25) ; :::; (cid:25) ) i s M a r k o v i a n . L e t f ( t ; S ; (cid:25) ) n (cid:0) (cid:0) n 1 1 e n o t e t h e v a l u e a t t i m e t o f t h e c o n t i n g e n t c l a i m , w h e n t h e p r i c e o f t h e s t o c k i s S a n d b e l i e f s a r e e p r e s e n t e d b y t h e v e c t o r (cid:25) r o p o s i t i o n 4 E a c h s e c u r i t y s a t i s (cid:12) e s t h e f o l lo w i n g P D E : f ( t ; S ; (cid:25) ) (cid:0) n n (cid:0) 1 2 @ f @ f 1 @ f 1 @ f 0 2 r f = + S r + ( (cid:22) (cid:13) (cid:25) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) ) + S (cid:27) (cid:27) j j j S n S 2 @ t @ S C (cid:25) @ (cid:25) 2 @ S (cid:0) (cid:0) (cid:0) i i j i= 1 j = 1 (cid:18) (cid:19) X n (cid:0) n (cid:0) n (cid:0) 1 1 1 2 2 P 1 @ f @ f 0 0 S (cid:27) (cid:27) + (cid:27) (cid:27) ( 2 4 ) + S k i j @ S @ (cid:25) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) j j k j j k = 1 = 1 = 1 X X X h e r e i s g i v e n b y ( 5 ) . (cid:27) j (cid:0) n 1 7 (cid:0) (cid:0) j n n I n d e e d , t h e s y s t e m ( S ; (cid:25) ; :::; (cid:25) ) is M a r k o v ia n b e c a u s e w e a lw a y s h a v e (cid:25) = 1 P (cid:25) . 1 1 j = 1 1 3
P p g C P o c g z p C p m o a t w t i t r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T h i s p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t t h e p r i c e o f a n y d e r i v a t i v e s e c u r i t y d e p e n d s o n i n v e s t o r s ’ o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) . M o r e o v e r , e a c h p r o b a b i l i t y (cid:25) h a s a m a r k e t p r i c e o f r i s k n (cid:0) i 1 1 i v e n b y : o r o l l a r y 3 T h e m a r k e t p r i c e o f r i s k o f b e li e f i s g i v e n b y : (cid:25) i d c (cid:13) (cid:25) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) = (cid:13) C o v ; d (cid:25) ( 2 5 ) i i i c (cid:0) (cid:18) (cid:19) r o o f . I n A p p e n d i x 1 . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t i c e t h a t t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k o f e a c h \ b e l i e f " (cid:25) i s p o s i t i v e i r n e g a t i v e d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e c o n s u m p t i o n d r i f t r a t e (cid:20) i s a b o v e o r b e l o w t h e e x p e c t e d i o n s u m p t i o n d r i f t (cid:22)(cid:20) . T h e a s s u m p t i o n o f a n e x o g e n o u s l y g i v e n c o n s t a n t a n d k n o w n c o n s u m p t i o n r o w t h c a n b e m o d e l e d i n t h i s f r a m e w o r k b y a s s u m i n g t h a t (cid:20) = (cid:20) = (cid:22)(cid:20) . I n t h i s c a s e , b e l i e f s h a v e i j e r o c o v a r i a n c e w i t h c o n s u m p t i o n b e c a u s e t h e l a t t e r i s e x o g e n o u s a n d h e n c e t h e r e i s z e r o m a r k e t r i c e o f (cid:25) . B e f o r e c o m m e n t i n g f u r t h e r o n e q u a t i o n ( 2 5 ) c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g : i o r o l l a r y 4 U n d e r p e r f e c t i n f o r m a t i o n a n d n o c h a n g e s i n s t a t e , t h e B la c k a n d S c h o le s o p t i o n r i c i n g f o r m u la o b t a i n s . C o r o l l a r y 4 i s q u i t e s t r a i g h t f o r w a r d . I n t h i s c a s e i n f a c t , w e h a v e t h a t t h e t r a n s i t i o n a t r i x (cid:3) = 0 a n d t h a t f o r a l l t > 0 , (cid:25) = 1 f o r s o m e k a n d (cid:25) = 0 f o r a l l j = k . H e n c e , t h e p r i c e j k 6 0 f t h e a s s e t i s S ( t ) = x ( t ) C a n d t h e r e f o r e a l l t h e p a r a m e t e r s (cid:22) = r + (cid:13) (cid:27) (cid:27) , (cid:14) = 1 = C , (cid:27) = (cid:27) S x S x k k c 0 1 n d r = (cid:30) + (cid:13) (cid:20) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) a r e c o n s t a n t . S i n c e w e a r e i n t h e B l a c k a n d S c h o l e s s e t u p w e s e e c k c 2 (cid:0) h a t ( 2 4 ) t u r n s t o t h e s t a n d a r d P D E 2 @ f 1 @ f @ f 0 2 + S ( r (cid:14) ) + (cid:27) (cid:27) S ( 2 6 ) r f = S S 2 @ t @ S 2 @ S (cid:0) N o t i c e t h a t i n t h e c a s e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n a n d c o n s t a n t u n d e r l y i n g t r u e s t a t e ( (cid:3) = 0 ) e o b t a i n t h e u s u a l r e s u l t t h a t c o n t i n g e n t c l a i m s d o n o t d e p e n d o n i n v e s t o r s ’ p r e f e r e n c e s . T h i s i s o b e c o n t r a s t e d w i t h t h e r e s u l t i n ( 2 4 ) t h a t s h o w s t h a t t h i s i s n o t g e n e r a l l y t h e c a s e w h e n t h e r e s u n c e r t a i n t y . I n d e e d , e q u a t i o n ( 2 4 ) h o l d s t r u e e v e n i f (cid:3) = 0 , a s i s a s s u m e d i n c o r o l l a r y 4 . H e n c e , h e i n t r o d u c t i o n o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n i n a m o d e l w i t h c o n s t a n t p a r a m e t e r s h a s t h e e (cid:11) e c t o f 1 4
e r o r S w C w P t C N P 2 I d v r i r s n d o g e n o u s l y g e n e r a t i n g a s e t o f s t a t e v a r i a b l e s (cid:25) , e a c h o f w h i c h c a r r i e s i t s o w n m a r k e t p r i c e o f i i s k g i v e n b y ( 2 5 ) . W e e n d t h e d i s c u s s i o n o f t h i s s u b s e c t i o n w i t h t w o r e m a r k s : (cid:12) r s t , w e r e s t a t e t h e p r o c e s s e s f s t o c k r e t u r n s a n d s t a t e v a r i a b l e s u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e a n d s e c o n d , w e r e w r i t e t h e e t u r n p r o c e s s u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t d i v i d e n d s a r e c o n t i n u o u s l y r e i n v e s t e d i n t h e s t o c k i t s e l f . i n c e t h e l a t t e r c a n b e c o n s i d e r e d a s e c u r i t y w i t h n o d i v i d e n d s , c o m p a r i s o n w i t h s t a n d a r d m o d e l s i l l b e e a s i e r . o r o l l a r y 5 T h e r i s k n e u t r a l p r o c e s s e s f o r s t o c k s a n d b e li e f s a r e g i v e n b y : S (cid:25) i d S (cid:3) = ( r (cid:14) ) d t + (cid:27) d W ( 2 7 ) S S (cid:0) (cid:3) d (cid:25) = ( (cid:22) (cid:13) (cid:25) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) ) d t + (cid:27) d W ( 2 8 ) i i i i i f (cid:0) (cid:0) f (cid:3) h e r e i s a t h r e e - d i m e n s i o n a l W i e n e r p r o c e s s u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e . W f r o o f . I n A p p e n d i x 1 . N o t i c e t h a t t h e r i s k - n e u t r a l i z e d p r o b a b i l i t i e s i n ( 2 8 ) s t i l l s h a r e t h e p r o p e r t y t h a t f o r a l l n d (cid:25) = 0 , a s i t w a s t r u e i n e q u a t i o n ( 7 ) . , (cid:25) ( t ) [0 ; 1 ] a n d i i= 1 2 P o r o l l a r y 6 L e t b e t h e v a lu e o f t h e p o r t f o li o w i t h s h a r e s , w h e r e g r o w s a c c o r d i n g t o S N N d N = x T h e n , w h e r e a n d a r e d e (cid:12) n e d i n ( 1 2 ) a n d ( 1 4 ) . d t d S = S = (cid:22) d t + (cid:27) d W (cid:22) (cid:27) S S S S S b b b f r o o f . I n A p p e n d i x 1 . . 1 U n c e r t a i n t y , R i s k a v e r s i o n , V o l a t i l i t y a n d O p t i o n P r i c e s n t h i s s u b s e c t i o n w e p r o v i d e f u r t h e r r e s u l t s o f c o m p a r a t i v e s t a t i c s f o r s t o c k r e t u r n v o l a t i l i t y a n d i s c u s s t h e i r i m p l i c a t i o n s f o r o p t i o n p r i c e s . S p e c i (cid:12) c a l l y , w e i n v e s t i g a t e h o w t h e p r e c i s i o n o f i n e s t o r s ’ i n f o r m a t i o n o n t h e t r u e d r i f t o f d i v i d e n d s a n d t h e i r d e g r e e o f r i s k a v e r s i o n a (cid:11) e c t s t o c k e t u r n s a n d h e n c e o p t i o n p r i c e s . T h e s e r e s u l t s w i l l b e u s e f u l t o i n t e r p r e t t h e n u m e r i c a l (cid:12) n d i n g s n t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s . A s b e f o r e , w e c o n c e n t r a t e o u r a t t e n t i o n t o t h e c a s e w h e r e t h e i n t e r e s t a t e i s c o n s t a n t , t h a t i s (cid:20) = (cid:20) = ::: = (cid:20) . n 1 2 W e n o w c h a r a c t e r i z e t h e q u a n t i t i e s i n p r o p o s i t i o n 3 u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c o n t a n t s C ’s a r e e i t h e r i n c r e a s i n g i n (cid:18) o r i n c r e a s i n g a n d c o n v e x i n (cid:18) . T h e (cid:12) r s t i s q u i t e a n a t u r a l i i i 1 5
a r i L a P ( ( h s I w s s u m p t i o n i m p l y i n g t h a t a h i g h e r e x p e c t e d g r o w t h r a t e o f d i v i d e n d s y i e l d s a h i g h e r p r i c e - d i v i d e n d (cid:0) C (cid:0) C C (cid:0) C i i i i 1 + 1 a t i o . T h e s e c o n d o n e , t h a t i s , < , i m p l i e s t h a t a 1 % i n c r e a s e i n e x p e c t e d d i v i d e n d s (cid:0) (cid:18) (cid:0) (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:18) i i i i 1 + 1 n c r e a s e s t h e p r i c e - d i v i d e n d r a t i o b y m o r e t h a n 1 % . T h i s o c c u r s f o r e x a m p l e i n t h e f o l l o w i n g c a s e s : C o n s t a n t U n k n o w n d i v i d e n d d r i f t I : I n v e s t o r s d o n o t k n o w t h e v a l u e o f (cid:18) ( t ) w h i c h i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t a n d t h a t c a n t a k e a n y o f t h e v a l u e s (cid:18) < (cid:18) < ::: < (cid:18) . F o r m a l l y , t h i s i m p l i e s n 1 2 t h a t (cid:3) = 0 . S o l v i n g f o r t h e c o n s t a n t s i n p r o p o s i t i o n 1 ( a ) w e c a n s e e i m m e d i a t e l y t h a t C ’s i s a t i s f y t h e a b o v e a s s u m p t i o n s . S t a t e - i n d e p e n d e n t p r o b a b i li t y o f s w i t c h i n g I I : T h i s i s t h e s a m e a s c a s e I , b u t w i t h t h e a s s u m p n t i o n t h a t (cid:21) = (cid:21) , f o r j = i a n d (cid:21) = (cid:21) = (cid:21) (cid:21) , w h e r e (cid:21) ; :::; (cid:21) a r e ij j ii j i j n 1 j 6 i j = = 1 6 (cid:0) (cid:0) j u m p i n t e n s i t i e s . F r o m p r o p o s i t i o n 1 i t i s a g a i n p o s s i b l e t o s h o w t h a t C ’s s a t i s f y t h e a b o v e i P P b b b b b b 8 a s s u m p t i o n s . T w o - s t a t e m o d e l I I I : T h i s c a s e w i l l b e i n v e s t i g a t e d i n m o r e d e t a i l i n t h e n e x t s e c t i o n . W e (cid:12) r s t s t a t e a u s e f u l L e m m a : e m m a 2 L e t . S u p p o s e t h a t t h e c o n s t a n t s a r e i n c r e a s i n g i n . T h e n f o r (cid:20) = (cid:20) = ::: = (cid:20) C (cid:18) n i i 1 2 (cid:3) n n (cid:3) n y d i s t r i b u t i o n w e h a v e (cid:25) (cid:25) (cid:18) = (cid:25) (cid:18) > (cid:18) = (cid:18) j j j j j j = 1 = 1 P P W e t h e n h a v e : r o p o s i t i o n 5 ( a ) I f ’ s a r e i n c r e a s i n g , t h e n r e t u r n v o la t i li t y i s a lw a y s g r e a t e r t h a n t h e d i v i d e n d C i 0 0 v o la t i li t y . T h a t i s , V = (cid:27) (cid:27) > (cid:27) (cid:27) S x x S b ) G i v e n , i f a r e i n c r e a s i n g a n d c o n v e x a n d i f i s a ls o c o n v e x , t h e n (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) C C ( (cid:18) (cid:18) ) n i i i n 1 (cid:2) (cid:0) 0 a m e a n p r e s e r v i n g s p r e a d o n i n c r e a s e s t h e s t o c k r e t u r n v o la t i li t y a n d d e c r e a s e s (cid:25) V = (cid:27) (cid:27) S S 9 t h e d i v i d e n d y i e ld . (cid:14) c ) F o r g i v e n , i f a r e i n c r e a s i n g a n d c o n v e x , a d e c r e a s e i n t h e s i g n a l’ s d i (cid:11) u s i o n (cid:25) = ( (cid:25) ; :::; (cid:25) ) C n i 1 0 i n c r e a s e s t h e s t o c k r e t u r n v o la t i li t y a n d b u t d o e s n o t a (cid:11) e c t t h e d i v i d e n d y i e ld (cid:27) V = (cid:27) (cid:27) e S S 2 . (cid:14) n (cid:21) P = 1 i 8 i b w h e r e G ( (cid:13) ) is d e (cid:12) n e d in p r o p o s it io n 6 w e I n d e e d , o n e c a n v e r ify t h a t d e (cid:12) n in g t h e c o n s t a n t K = n (cid:0) G (cid:13) (cid:18) (cid:21) ( ) + P i j = 1 j b n (cid:0) (cid:0) i i j a v e C = 1 = [( G ( (cid:13) ) (cid:18) + P (cid:21) ) ( 1 K ) ]: j = 1 b 9 A m e a n - p r e s e r v in g s p r e a d o f th e d is tr ib u tio n is g iv e n b y d e (cid:12) n e d b y w h e r e fo r i i i (cid:25) (cid:25) (cid:25) = (cid:25) + s i < i < i < i ; 1 2 3 4 b b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) , , o th e r w is e , a n d s u c h th a t a n d . i i i i i i i i i i 1 = s 2 = (cid:11) > 0 s 4 = s 3 = (cid:12) > 0 s = 0 1 > (cid:25) > 0 (cid:11) ( (cid:18) 1 (cid:18) 2 ) = (cid:12) ( (cid:18) 3 (cid:18) 4 ) b n tu itiv e ly , a m e a n - p r e s e r v in g s p r e a d m o v e s p r o b a b ility m a s s fr o m th e \ c e n te r " o f th e d is tr ib u tio n to w a r d s its \ ta ils " ith o u t c h a n g in g th e m e a n ( s e e e .g . I n g e r s o ll ( 1 9 8 7 ) ) 1 6
P o t C P a a P r o o f . I n A p p e n d i x 1 . T h e r e s u l t s o f t h e a b o v e p r o p o s i t i o n s u g g e s t t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e s a b o u t t h e p r o p e r t i e s f o p t i o n p r i c e s . T h e s e w i l l b e c o n (cid:12) r m e d b y n u m e r i c a l e x a m p l e s i n t h e n e x t s e c t i o n . I m p l i c a t i o n 1 . O p t i o n p r i c e s w i l l g e n e r a l l y b e h i g h e r i n a n e c o n o m y w i t h u n c e r t a i n d i v i d e n d d r i f t r a t e , c o m p a r e d t o a n i d e n t i c a l e c o n o m y w i t h a c o n s t a n t a n d o b s e r v a b l e d i v i d e n d g r o w t h . I n f a c t , i n t h e l a t t e r c a s e w e k n o w f r o m t h e d i s c u s s i o n a f t e r c o r o l l a r y 4 t h a t r e t u r n v o l a t i l i t y i s e q u a l t o t h e d i v i d e n d v o l a t i l i t y . I m p l i c a t i o n 2 . A m e a n p r e s e r v i n g s p r e a d o n i n v e s t o r s ’ p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n i n c r e a s e s c a l l p r i c e s b u t i t h a s a n a m b i g u o u s e (cid:11) e c t o n p u t p r i c e s ( b e c a u s e o f t h e d e c r e a s e i n t h e d i v i d e n d y i e l d ) . I n t h e c a s e o f r e i n v e s t e d d i v i d e n d s b o t h c a l l s a n d p u t s i n c r e a s e i n v a l u e . N o t i c e t h a t t h e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n r e q u i r e d i n p o i n t ( b ) o f t h e p r o p o s i t i o n i s s a t i s (cid:12) e d i n t h e e x a m p l e s ( I ) - ( I I I ) m e n t i o n e d a b o v e . I m p l i c a t i o n 3 . G i v e n a n i n i t i a l d i s t r i b u t i o n (cid:25) = ( (cid:25) ; ::; (cid:25) ) , a n i n c r e a s e i n t h e p r e c i s i o n o f n 1 t h e s i g n a l i n c r e a s e s o p t i o n p r i c e s . T h i s s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y i m p l i c a t i o n s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t w e a r e k e e p i n g t h e o r i g i n a l (cid:25) c o n s t a n t . O f c o u r s e , m o r e p r e c i s e s i g n a l s w i l l t e n d t o g e n e r a t e m o r e c o n c e n t r a t e d p o s t e r i o r s o n a v e r a g e ( a n d h e n c e l o w e r o p t i o n p r i c e s o n a v e r a g e d u e t o I m p l i c a t i o n 2 ) . T h e i n t u i t i v e r e a s o n w h y ( c ) i n p r o p o s i t i o n 5 h o l d s i s t h e f o l l o w i n g : c o n s i d e r t h e e x t r e m e c a s e w h e r e t o d a y w e d o n o t k n o w w h e t h e r (cid:18) = (cid:18) o r (cid:18) = (cid:18) b u t i n a n 1 2 i n s t a n t ( a f t e r w e b u y t h e o p t i o n ) w e w i l l d i s c o v e r i t s v a l u e p e r f e c t l y . I n t h i s c a s e , i n t h e n e x t i n s t a n t t h e s t o c k p r i c e w i l l h a v e a j u m p i n p r i c e t o a d j u s t t o t h e n e w v a l u e o f t h e d i v i d e n d g r o w t h r a t e . H e n c e , i t i s g o i n g t o h a v e a n i n s t a n t a n e o u s i n (cid:12) n i t e v o l a t i l i t y . F i n a l l y , i n o r d e r t o c h a r a c t e r i z e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o e (cid:14) c i e n t o f r i s k a v e r s i o n (cid:13) , h e s t o c k r e t u r n v o l a t i l i t y , a n d t h e d i v i d e n d y i e l d , w e n e e d t o b e m o r e s p e c i (cid:12) c a b o u t t h e c o n s t a n t s ’s . S p e c i (cid:12) c a l l y , t h e n e x t p r o p o s i t i o n h o l d s f o r c a s e s ( I ) - ( I I I ) a b o v e : i 1 0 0 0 r o p o s i t i o n 6 D e (cid:12) n e I n c a s e s ( I ) - ( I I I ) G ( (cid:13) ) = (cid:30) + (cid:13) (cid:20) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) = r + (cid:13) (cid:27) (cid:27) : c c c c x x 2 (cid:0) 0 b o v e , i f , t h e n a n i n c r e a s e i n t h e c o e (cid:14) c i e n t o f r i s k a v e r s i o n d e c r e a s e s r e t u r n v o la t i li t y G ( (cid:13) ) > 0 (cid:13) n d i n c r e a s e s t h e d i v i d e n d y i e ld . r o o f I n A p p e n d i x 1 . 1 7
3 I c l ( e a w t a P e n I m p l i c a t i o n 4 . T h i s p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t a n i n c r e a s e i n t h e c o e (cid:14) c i e n t o f r i s k a v e r s i o n h a s a m b i g u o u s e (cid:11) e c t s o n o p t i o n p r i c e s . I n f a c t , i n g e n e r a l a n i n c r e a s e i n (cid:13) i n c r e a s e s t h e i n t e r e s t r a t e , d e c r e a s e s v o l a t i l i t y a n d i n c r e a s e s t h e d i v i d e n d y i e l d . W h i l e t h e (cid:12) r s t e (cid:11) e c t i n c r e a s e s a c a l l o p t i o n p r i c e , t h e l a t t e r t w o d e c r e a s e i t . S i m i l a r l y , w h i l e t h e (cid:12) r s t t w o d e c r e a s e a p u t o p t i o n p r i c e , t h e l a t t e r i n c r e a s e s i t . I n t h e c a s e o f r e i n v e s t e d d i v i d e n d s p u t o p t i o n p r i c e s d e c r e a s e w i t h r i s k a v e r s i o n . O p t i o n P r i c e s i n t h e T w o - S t a t e C a s e n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s i n m o r e d e t a i l t h e c a s e w h e r e t h e e x p e c t e d f u n d a m e n t a l g r o w t h r a t e ( d r i f t ) a n o n l y a s s u m e t w o v a l u e s . T h e t w o - s t a t e m o d e l h a s s e v e r a l a d v a n t a g e s : (cid:12) r s t , s i n c e t h e m o d e l h a s o w d i m e n s i o n a l i t y , i t i s p o s s i b l e t o s o l v e f o r o p t i o n p r i c e s u s i n g F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m m e t h o d s s o m e e x a m p l e s o f t h i s m e t h o d o l o g y a r e i n S t e i n a n d S t e i n 1 9 9 1 , H e s t o n 1 9 9 3 , B a t e s 1 9 9 6 , B a k s h i t a l . 1 9 9 7 , S c o t t 1 9 9 7 ) . S e c o n d , i t i s p o s s i b l e t o p r o v i d e i n t u i t i v e e x a m p l e s o f t h e g e n e r a l r e s u l t s b o u t s t o c k r e t u r n v o l a t i l i t y w h i c h w e r e o b t a i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . 1 (cid:0) 0 1 0 2 . W e F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , l e t A = C C , B = C a n d b = ( v v ) ( (cid:6) (cid:6) ) 2 1 1 2 1 (cid:0) (cid:0) i l l d e n o t e b y (cid:25) = (cid:25) t h e o n l y s t a t e v a r i a b l e , w h i c h f u l l y d e s c r i b e s i n v e s t o r s ’ b e l i e f s . I n t h i s c a s e , 2 h e v o l a t i l i t y o f s t o c k r e t u r n s , V , i s g i v e n b y 0 2 2 2 A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) 2 1 0 V = (cid:27) (cid:27) + ( 2 9 ) + 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 (cid:25) A + B ( (cid:25) A + B ) (cid:18) (cid:19) n d t h e P D E r e d u c e s t o @ f @ f 1 @ f (cid:3) r f = + S r ( ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:13) ( (cid:20) (cid:20) ) ) + ( 3 0 ) + 1 2 2 1 2 1 @ t @ S A (cid:25) + B @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 0 2 2 2 2 A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) @ f A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b 1 2 1 0 2 + 2 S (cid:27) (cid:27) + + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 2 2 @ S (cid:25) A + B ( (cid:25) A + B ) (cid:18) (cid:19) 0 2 2 2 2 (cid:25) ( 1 (cid:25) ) A b b 1 @ f @ f 0 2 2 S + (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) + (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b + (cid:0) 2 1 2 @ S @ (cid:25) (cid:25) A + B 2 @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) T h e p r i c e o f a c a l l o p t i o n c a n b e o b t a i n e d a s f o l l o w s : r o p o s i t i o n 7 T h e c a l l o p t i o n p r i c e c a n b e u n b u n d le d i n t o a p o r t f o li o o f A r r o w - D e b r e u s e c u r i t i e s , a c h o f w h i c h c a n b e r e c o v e r e d f r o m t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e s t a t e r e t u r n d e n s i t y c o n d i t i o n a l 1 0 N o t ic e t h e s lig h t ly d i(cid:11) e r e n t n o t a t io n fo r b c o m p a r e d t o t h e p r e v io u s s e c t io n . T h is is t o a v o id in t r o d u c in g fu r t h e r o t a t io n in t h e p a p e r . 1 8
o B i p A m a t 2 P f T d T t p (cid:22) n , , b y n u m e r i c a l i n v e r s i o n . T h e c a l l o p t i o n p r i c e i s z = l o g ( S ) f ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) t t t t 1 (cid:0) U C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) = G ( (cid:25) ; T t ; z ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) B ( (cid:25) ; T t ) K (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) ; ( 3 1 ) t t t t t t t t 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) i s t h e t i m e - t p r i c e o f t h e d i s c o u n t b o n d m a t u r i n g a f t e r p e r i o d s , ( (cid:25) ; T t ) T t G ( (cid:25) ; T t ; z ) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) s t h e t i m e - t p r i c e o f a c o m m i t m e n t t o d e li v e r a u n i t o f s t o c k a t t i m e , a n d i s h e n c e t h e f o r w a r d T r i c e f o r a u n i t o f s t o c k , a n d a n d a r e , r e s p e c t i v e ly , t h e t i m e - t (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) t t t t 1 2 (cid:0) (cid:0) r r o w - D e b r e u s e c u r i t i e s t h a t p a y a d o l la r i f t h e o p t i o n (cid:12) n i s h e s i n t h e m o n e y u n d e r t w o d i (cid:11) e r e n t e a s u r e s . T h e d i s c o u n t b o n d p r i c e a n d t h e f o r w a r d p r i c e a r e g i v e n b y (cid:22) B ( (cid:25) ; T t ) = f ( 0 ; (cid:25) ; T t ; z ) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:22) G ( (cid:25) ; T t ; z ) = f ( 1 = i ; (cid:25) ; T t ; z ) ; t t t t (cid:0) (cid:0) n d c a n b e o b t a i n e d b y s i m p ly e v a lu a t i n g t h e F o u r i e r T r a n s f o r m a t t w o d i (cid:11) e r e n t p o i n t s . A n M M (cid:22) e r m p o ly n o m i a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m i s i n ( 6 ) o f A p p e n d i x f ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) t 1 (cid:0) . r o o f . S e e A p p e n d i x 2 . T o p e r f o r m t h e i n v e r s i o n a s w e l l a s t h e c o m p u t a t i o n o f o p t i o n p r i c e s w e d e (cid:12) n e t h e f o l l o w i n g u n c t i o n s a s i n S c o t t ( 1 9 9 7 ) : (cid:22) (cid:22) g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = f ( 1 = i + ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = f ( 1 = i ; (cid:25) ; T t ; z ) ; ( 3 2 ) t t t t t 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:22) (cid:22) g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = f ( w ; (cid:25) ; T t ; z ) = f ( 0 ; (cid:25) ; T t ; z ) ( 3 3 ) t t t t t t 2 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) h e n , b y t h e F o u r i e r I n v e r s i o n f o r m u l a ( c .f ., f o r e x a m p l e , K e n d a l l a n d S t u a r t 1 9 7 7 ) t h e p r o b a b i l i t y i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s c a n b e w r i t t e n a s 1 (cid:0) i! K lo g 1 1 1 e g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) j t t 1 (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) = + R e d ! : (cid:0) j t t 1 2 (cid:5) i ! (cid:0) 1 0 (cid:20) (cid:21) Z h e o r e m 1 i n B a k s h i a n d M a d a n ( 1 9 9 9 ) s h o w s t h a t t h e t w o p .d .f .s , (cid:5) , a n d (cid:5) a r e e q u i v a l e n t t o 1 2 h e v a l u e o f t h e A r r o w - D e b r e u s e c u r i t i e s t h a t p a y a d o l l a r i f t h e s t o c k p r i c e e x c e e d s t h e e x e r c i s e r i c e u n d e r t w o d i (cid:11) e r e n t m e a s u r e s . 1 9
F o r a n M - t e r m a p p r o x i m a t i o n t o t h e o r d i n a r y d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( O D E ) ( 4 7 ) a n d i t s (cid:22) s u b s e q u e n t F o u r i e r i n v e r s i o n , w e m u s t r e p l a c e f ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) b y i t s M - t e r m a p p r o x i m a t i o n t t 1 (cid:0) M (cid:22)f ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) a n d s u b s e q u e n t l y c o m p u t e t h e M - t e r m o p t i o n p r i c e . I n o u r n u m e r i c a l e x e r c i s e s t t 1 (cid:0) w e h a v e f o u n d t h a t c o n v e r g e n c e o f o p t i o n p r i c e s o c c u r s r a p i d l y , a n d M = 6 i s g e n e r a l l y s u (cid:14) c i e n t f o r a c c u r a c y u p t o 4 d e c i m a l p l a c e s f o r o p t i o n p r i c e s o n a n u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e o f $ 1 0 0 ( a l l p r i c e s r e p o r t e d i n t h e p a p e r h a v e b e e n v e r i (cid:12) e d b y M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n s ) . T h e c a l l o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a i n ( 3 1 ) a n d t h e a n a l o g o u s f o r m u l a f o r p u t s a r e c o n v e n i e n t e n o u g h t o p r o v i d e v a r i o u s p a r t i a l - d e r i v a t i v e s o f c a l l o p t i o n p r i c e s w i t h l i t t l e a d d i t i o n a l n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n . L a t e r , i n S e c t i o n 5 w e s h a l l s t u d y t h e h e d g i n g p r o p e r t i e s o f U - o p t i o n s ; i n t h e f o l l o w i n g C o r o l l a r y w e p r o v i d e s i m p l e f o r m u l a s f o r M - t e r m a p p r o x i m a t i o n s o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e a n d b e l i e f s . C o r o l l a r y 7 T h e d e lt a o f t h e c a l l o p t i o n p r i c e i n P r o p o s i t i o n 7 w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e , , C S a n d b e li e f s , , a r e g i v e n b y : C (cid:25) G ( (cid:25) ; T t ; z ) t t U C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) = [(cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) + (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) ] (cid:0) t t t z t t 1 1 S S (cid:0) (cid:0) (cid:0) K B ( (cid:25) ; T t ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) t z t t 2 S (cid:0) (cid:0) (cid:0) U C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) = G ( (cid:25) ; T t ; z ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) + G ( (cid:25) ; T t ; z ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) t (cid:25) t t t t t t (cid:25) t t 1 1 (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) K [B ( (cid:25) ; T t ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) + B ( (cid:25) ; T t ) (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) ] ; t (cid:25) t t (cid:25) t t t 2 2 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) w h e r e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s , , , , , a n d a r e p r o v i d e d i n t h e p r o o f i n A p p e n d i x (cid:5) (cid:5) i = 1 ; 2 G G B iz i(cid:25) (cid:25) z (cid:25) 2 . P r o o f . S e e A p p e n d i x 2 . 4 O p t i o n P r i c i n g R e s u l t s I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t s o m e o f t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i (cid:11) e r e n t p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l a n d t h e i r e (cid:11) e c t s o n o p t i o n p r i c e s . W e (cid:12) n d i t u s e f u l t o a n a l y z e t h e p a t t e r n s o f o p t i o n p r i c e s o v e r t h e b e l i e f s p a c e i n t e r m s o f t h r e e b a s i c f a c t o r s : 1 ) t h e v o l a t i l i t y o f a s s e t p r i c e s , 2 ) t h e d i v i d e n d y i e l d , a n d 3 ) t h e m e a n r e v e r s i o n o f b e l i e f s . I t c a n b e e a s i l y s h o w n t h a t t h e s h a p e s o f 1 ) a n d 2 ) a r e s i m i l a r a c r o s s d i (cid:11) e r e n t p a r a m e t e r v a l u e s , a n d e x a m p l e s a r e s h o w n i n t h e t o p p a n e l s o f F i g u r e 5 . A s n e a r e v i d e n t f r o m t h e t o p r i g h t p a n e l , t h e v o l a t i l i t y i s a l w a y h i g h e s t 1 = 2 ; a c t u a l l y a s e v i d e n t t o t h e 2 0
d i s c e r n i n g e y e , v o l a t i l i t y r e a c h e s i t s m a x i m u m s l i g h t l y t o t h e l e f t o f 1 = 2 . T h e s i z e o f t h e a s y m m e t r y w i l l d e p e n d o n t h e p a r a m e t e r s . T h e d i v i d e n d y i e l d , (cid:14) = 1 = ( (cid:25) A + B ) , i s a l w a y s m o n o t o n i c a l l y d e c l i n i n g i n (cid:25) . T h e s e t w o f a c t o r s w i l l c o m p l e t e l y c a p t u r e t h e p a t t e r n o f o p t i o n p r i c e s f o r ‘ s h o r t ’ m a t u r i t i e s . T o s e p a r a t e o u t t h e t w o e (cid:11) e c t s , w e w i l l a l s o s t u d y t h e p r o p e r t i e s o f o p t i o n p r i c e s f o r t h e s a m e s t o c k , b u t w i t h d i v i d e n d s r e i n v e s t e d . I n s o l v i n g f o r t h e P D E , w e j u s t s e t (cid:14) = 0 . T h e m e a n r e v e r t i n g p r o p e r t i e s o f t h e b e l i e f p r o c e s s a r e p a r s i m o n i o u s l y c a p t u r e d i n t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o v e r t h e b e l i e f s p a c e o f a g e n t s | w h i c h i s t h e l o n g - r u n d i s t r i b u t i o n o v e r b e l i e f s . I f i t e x i s t s , a s t a t i o n a r y d e n s i t y (cid:9) ( x ) o f a d i (cid:11) u s i o n p r o c e s s X n e c e s s a r i l y s a t i s (cid:12) e s : t (cid:9) ( y ) = (cid:9) ( x ) p ( t ; x ; y ) d x ; t > 0 ; (cid:1) 8 Z w h e r e , p ( t ; x ; y ) i s t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y f u n c t i o n i .e ., P ( t ; x ; y ) = P r o b ( X y X = x ) a n d t 0 (cid:20) j d P t;x ;y ( ) = p ( t ; x ; y ) . d y L e m m a 3 T h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o v e r b e li e f s u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e i s g i v e n b y (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:13) (cid:20) (cid:20) (cid:21) (cid:21) 2 ( ( )+ ) 1 2 1 2 2 1 0 (cid:1) b b 2 ( (cid:21) (cid:25) + (cid:21) ( 1 (cid:25) ) ) 1 (cid:25) 1 1 2 2 1 (cid:9) ( (cid:25) ) = e x p ( 3 4 ) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) 0 0 2 2 b b (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:25) b b ( 1 (cid:25) ) (cid:25) (cid:1) (cid:1) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 1 (cid:0) 0 0 2 w h e r e , a n d i s a c o n s t a n t t h a t e n s u r e s t h a t t h e d e n s i t y b = ( (cid:18) (cid:18) ; (cid:18) (cid:18) ; (cid:20) (cid:20) ) ( (cid:6) (cid:6) ) C 1 2 1 2 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) i n t e g r a t e s t o 1 . T h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f b e li e f s u n d e r t h e t r u e m e a s u r e i s o b t a i n e d b y s e t t i n g i n ( 3 4 ) . (cid:20) = (cid:20) 1 2 T h e s h a p e o f t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n d e p e n d s o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s ; s o m e e x a m p l e s w i l l b e p r o v i d e d i n t h e s u b s e c t i o n s b e l o w . I n e a c h o f t h e s u b s e c t i o n s 4 .1 t o 4 .3 , w e e x a m i n e t h e e (cid:11) e c t s o f v a r y i n g o n e p a r a m e t e r o f t h e m o d e l . W e l o o k a t t h e p r i c e s o f a t - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n s w i t h a s t r i k e p r i c e o f $ 1 0 0 a n d s i x m o n t h s U t o m a t u r i t y . I n e a c h c a s e , w e s t u d y t h e v a r i a t i o n o f i m p l i e d v o l a t i l i t y o f t h e C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r i c e 0 (cid:0) a s g i v e n i n ( 3 1 ) a s b a c k e d o u t b y a n e c o n o m e t r i c i a n w h o d o e s n o t o b s e r v e b e l i e f s , b u t i n s t e a d (cid:12) n d s a l e v e l o f v o l a t i l i t y t h a t j u s t i (cid:12) e s t h e B l a c k - S c h o l e s p r i c e , w h e n i t i s a s s u m e d t h a t t h e e c o n o m e t r i c i a n 1 (cid:3) u s e s t h e u n c o n d i t i o n a l a v e r a g e o f t h e d i v i d e n d - y i e l d , (cid:14) = 1 = ( (cid:25) A + B ) (cid:9) ( (cid:25) ) . S u b s e c t i o n 4 .4 0 (cid:1) i n s t e a d i n v e s t i g a t e s t h e p r o p e r t i e s o f i m p l i e d v o l a t i l i t i e s a c r o s s s t r i k e p r i c e s ( \ s m i l e e (cid:11) e c t s " ) . R U n l e s s n o t e d , w e a l w a y s a s s u m e t h a t t h e i n t e r e s t r a t e r i s c o n s t a n t , w h i c h i s a c h i e v e d b y s e t t i n g (cid:20) = (cid:20) = (cid:20) i n p r o p o s i t i o n 1 ( b ) . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t i n v e s t o r s k n o w t h e c o n s u m p t i o n d r i f t 1 2 2 1
r u i 4 W p \ o m t o d d d c i i l T p d r d 4 I h i a a t e . I n e a c h c a s e , w e a l s o c o m p a r e t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y o f U - o p t i o n s w i t h t h e b e n c h m a r k o f t h e 1 (cid:3) n c o n d i t i o n a l a v e r a g e v o l a t i l i t y (cid:27) = (cid:27) ( (cid:25) ) (cid:9) ( (cid:25) ) , w h i c h w o u l d b e i m p l i e d b y t h e e c o n o m e t r i c i a n 0 (cid:1) f t h e B l a c k - S c h o l e s ( B - S ) a s s u m p t i o n s w e r e i n d e e d t r u e . R . 1 I n f o r m a t i o n Q u a l i t y a n d O p t i o n P r i c e s e (cid:12) r s t e x a m i n e h o w t h e p r e c i s i o n o f t h e s i g n a l s o n t h e t r u e d r i f t r a t e o f d i v i d e n d s a (cid:11) e c t s o p t i o n r i c e s . W h e n (cid:27) i s s m a l l , i n v e s t o r s ’ h a v e g o o d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t r u e d r i f t r a t e a n d h e n c e t h e y e 2 l e a r n f a s t " t h e t r u e d r i f t . I n t h i s c a s e , t h e s t a t i o n a r y d e n s i t y (cid:9) ( (cid:25) ) t e n d s t o b e d o u b l e - h u m p e d v e r b e l i e f s . W h e n i n s t e a d (cid:27) i s h i g h i t t a k e s t h e m l o n g e r t o l e a r n a b o u t (cid:18) ( t ) , l e a d i n g t o a s i n g l e e 2 o d e , i n v e r s e U - s h a p e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o v e r b e l i e f s . E x a m p l e s o f t h e s e a r e s h o w n i n t h e t o p w o p a n e l s o f F i g u r e 2 . I t i s w o r t h m e n t i o n i n g t h a t a l s o t h e f r e q u e n c y o f s w i t c h e s a (cid:11) e c t s t h e s h a p e f t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n : H i g h v a l u e s o f (cid:21) i m p l y f r e q u e n t s w i t c h e s a n d h e n c e a s t a t i o n a r y ij i s t r i b u t i o n s i m i l a r t o t h e o n e f o r t h e \ s l o w l e a r n i n g " c a s e w h i l e l o w v a l u e s o f (cid:21) i m p l y a s t a t i o n a r y ij i s t r i b u t i o n s i m i l a r t o t h e o n e f o r t h e \ f a s t l e a r n i n g " c a s e . W e s t u d y c a s e s o f o p t i o n s o n s t o c k s w i t h r e i n v e s t e d d i v i d e n d s , a n d w i t h d i s t r i b u t e d i v i d e n d s . I n e a c h o f t h e t w o b o t t o m p a n e l s , t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y i s h i g h e r f o r t h e f a s t e r l e a r n i n g a s e , d u e t o t h e h i g h e r v o l a t i l i t y t h a t r e s u l t s f r o m ( 1 7 ) . I n d e e d , t h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e r e s u l t n P r o p o s i t i o n 5 a n d I m p l i c a t i o n 3 d i s c u s s e d r i g h t a f t e r i t . A s s e e n i n t h e l e f t p a n e l , t h e m a x i m u m m p l i e d v o l a t i l i t y o c c u r s t o t h e l e f t o f 1 = 2 f o r e a c h c a s e , a l t h o u g h t h e e (cid:11) e c t i s l a r g e r f o r t h e f a s t e r e a r n i n g m o d e l . O p t i o n v a l u e a r e g r e a t e r t o t h e l e f t o f 1 = 2 , r e (cid:13) e c t i n g t h e a s y m m e t r y i n v o l a t i l i t y . h e d i (cid:11) e r e n c e i n t h e i m p l i e d v o l a t i l i t i e s i s t h e l a r g e s t n e a r t h e m a x i m u m v o l a t i l i t y . I n t h e r i g h t a n e l , t h e c a s e o f d i s t r i b u t e d d i v i d e n d s , w e n o t i c e t h a t t h e a s y m m e t r y i n i m p l i e d v o l a t i l i t y a l m o s t i s a p p e a r s b e c a u s e t h e l e f t a s y m m e t r y o f s t o c k v o l a t i l i t y i s c o m p e n s a t e d b y t h e a s y m m e t r y t o t h e i g h t d u e t o t h e d i v i d e n d y i e l d e (cid:11) e c t . F r o m F i g u r e 5 , i t i s e v i d e n t t h a t t h e d i v i d e n d y i e l d i s a l w a y s e c l i n i n g i n (cid:25) , t h e r e f o r e b o o s t i n g c a l l o p t i o n p r i c e s f o r a b e l i e f o f t h e h i g h s t a t e l a r g e r t h a n 1 = 2 . . 2 A s y m m e t r y o f F u n d a m e n t a l s ’ G r o w t h R a t e s a n d O p t i o n P r i c e s n t h i s s u b s e c t i o n w e e x a m i n e t h e e (cid:11) e c t s o n o p t i o n p r i c e s w h e n s w i t c h i n g p r o b a b i l i t i e s o u t o f t h e i g h a n d l o w g r o w t h r a t e s t a t e s a r e n o t s y m m e t r i c . W e w i l l s e e t h a t t h e m e a n - r e v e r s i o n o f b e l i e f s n s u c h c a s e s a r e m o r e r a p i d t h a n f o r s y m m e t r i c g r o w t h r a t e s t o c k s . K e e p i n g t h e s a m e p a r a m e t e r s s b e f o r e , w e s e t s w i t c h i n g p a r a m e t e r s f o r t h e t h r e e c a s e s d i s p l a y e d i n F i g u r e 3 . I n e a c h c a s e t h e 2 2
a t m L t r i t o n ( t c o 4 S i T p s r ( t v c i f v e r a g e n u m b e r o f s w i t c h e s i n e a c h s t o c k f u n d a m e n t a l i s c o n s t a n t . T h e m i d d l e p a n e l i s s i m i l a r t o h e s l o w e r l e a r n i n g c a s e i n s u b s e c t i o n 4 .1 . T h e s t a t i o n a r y d e n s i t i e s o n t h e l e f t p a n e l s s h o w t h a t t h e a s s i s c o n c e n t r a t e d n e a r 1 , f o r t h e ‘P e r s i s t e n t H i g h G r o w t h ’ c a s e , a n d n e a r 0 , f o r t h e ‘P e r s i s t e n t o w G r o w t h ’ c a s e . W e (cid:12) r s t n o t i c e t h a t o p t i o n p r i c e s f o r t h e l o w p e r s i s t e n t c a s e ( t o p p a n e l ) a r e m u c h h i g h e r t o h e r i g h t o f 1 = 2 . T h i s h a p p e n s b e c a u s e w h e n (cid:25) i s l a r g e r t h a n 1 = 2 , i t i s a n t i c i p a t e d t h a t b e l i e f s w i l l e t u r n t o t h e m o d e s o o n , t a k i n g t h e s t o c k t h r o u g h a p e r i o d o f h i g h v o l a t i l i t y . T h e e x a c t o p p o s i t e s t r u e f o r t h e p e r s i s t e n t h i g h g r o w t h s t a t e | t h e b o t t o m p a n e l | w h e r e b e l i e f s a r e p u l l e d f r o m h e l e f t t o t h e r i g h t , t h u s c a u s i n g h i g h e r o p t i o n p r i c e s t o t h e l e f t o f 1 = 2 . T h e i n t e r m e d i a t e c a s e f s y m m e t r i c g r o w t h r a t e s h a v e c l o s e t o ( b u t n o t e x a c t l y ) s y m m e t r i c i m p l i e d v o l a t i l i t i e s . A l s o w e o t e t h a t t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e c o n d i t i o n a l i m p l i e d v o l a t i l i t i e s a n d t h e u n c o n d i t i o n a l v o l a t i l i t y B - S i m p l i e d v o l a t i l i t y ) i s l a r g e f o r t h e a s y m m e t r i c c a s e s , c o n d i t i o n a l o n b e l i e f s b e i n g a w a y f r o m h e m o d a l b e l i e f s . T h i s r e s u l t s b e c a u s e o f t h e m o r e r a p i d r e v e r s i o n t o m o d e i n t h e s e s i t u a t i o n s , a u s i n g r a p i d c h a n g e s i n v o l a t i l i t y a n d d i v i d e n d y i e l d s , a n d h e n c e g i v e s U - o p t i o n p r i c e s t h e e (cid:11) e c t s b s e r v a b l e i n m o d e l s w i t h a u t o c o r r e l a t e d v o l a t i l i t y a n d j u m p s . . 3 R i s k - A v e r s i o n a n d O p t i o n P r i c e s i n c e t h e r i s k a v e r s i o n p a r a m e t e r (cid:13) e n t e r s a l s o t h e m a r k e t p r i c e o f b e l i e f - r i s k ( s e e c o r o l l a r y 3 ) , i t i s n t e r e s t i n g t o s t u d y t h e t w o f o l l o w i n g c a s e s : ( I ) C o n s t a n t d r i f t o f c o n s u m p t i o n g r o w t h , (cid:20) = (cid:20) = (cid:20) . 1 2 h i s i s t h e s a m e c a s e s t u d i e d i n a l l t h e o t h e r e x a m p l e s i n t h i s s e c t i o n , a n d i m p l i e s a z e r o m a r k e t r i c e o f b e l i e f - r i s k a n d a c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e a s s h o w n i n p r o p o s i t i o n 1 . ( I I ) U n o b s e r v e d a n d t a t e - d e p e n d e n t d r i f t o f c o n s u m p t i o n g r o w t h , w i t h (cid:20) > (cid:20) . I n t h i s c a s e , t h e m a r k e t p r i c e o f b e l i e f - 2 1 i s k i s n o n - z e r o a n d h e n c e t h e b e l i e f p r o c e s s u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e p r o v i d e d i n e q u a t i o n 2 8 ) w i l l b e u s e d f o r t h e p r i c i n g o f o p t i o n s . F o r c a s e ( I ) w e (cid:12) n d t h a t i n g e n e r a l , a h i g h e r r i s k - a v e r s i o n p a r a m e t e r f o r t h e m o d e l l e a d s U lo w e r o i m p l i e d v o l a t i l i t i e s o n C o p t i o n s , e v e n t h o u g h t h e y l e a d t o h i g h e r o p t i o n p r i c e s . I m p l i e d o l a t i l i t y f o r t w o l e v e l s o f r i s k a v e r s i o n a r e s h o w n i n t h e t o p p a n e l s o f F i g u r e 4 , w h i c h h a v e p a r a m e t e r o r r e s p o n d i n g t o t h e s l o w , s y m m e t r i c l e a r n i n g c a s e . I n a d d i t i o n , (cid:13) = 2 i n t h e l e f t p a n e l a n d (cid:13) = 1 0 n t h e r i g h t p a n e l . A s i t w a s s h o w n i n P r o p o s i t i o n 6 a n d d i s c u s s e d i n I m p l i c a t i o n 4 , t h e v o l a t i l i t y u n c t i o n ( 1 7 ) i m p l i e s t h a t v o l a t i l i t y i s a c t u a l l y d e c r e a s i n g i n r i s k - a v e r s i o n . N o n e t h e l e s s , b o t h t h e 2 3
d i i A w t t m t C m s I i 4 W g 5 v v s m a b p ( s p ( i v i d e n d y i e l d a n d t h e r i s k - f r e e r a t e i n c r e a s e w i t h h i g h e r r i s k a v e r s i o n . O n b a l a n c e , o p t i o n p r i c e s d o n c r e a s e ( n o t s h o w n ) , b u t b e c a u s e t h e B S b e n c h m a r k i n c r e a s e s m o r e , i m p l i e d v o l a t i l i t i e s d e c r e a s e . F o r C a s e ( I I ) , w e (cid:12) n d t h a t t h e e (cid:11) e c t o f u n o b s e r v a b l e d r i f t o f c o n s u m p t i o n g r o w t h i s t o n t r o d u c e a n a s y m m e t r y i n t h e i m p l i e d v o l a t i l i t i e s a n d s t a t i o n a r y d e n s i t i e s o v e r t h e b e l i e f s p a c e . (cid:3) s s e e n i n t h e m i d d l e a n d r i g h t p a n e l s , t h e s t a t i o n a r y d e n s i t y h a s m o r e m a s s t o t h e l e f t o f (cid:25) , h i c h e q u a l s 1 = 2 f o r t h e s y m m e t r i c c a s e b e i n g c o n s i d e r e d , w h i l e i m p l i e d v o l a t i l i t i e s a r e h i g h e r t o (cid:3) h e r i g h t o f (cid:25) . T h e e (cid:11) e c t i s m o r e p r o n o u n c e d f o r t h e h i g h e r r i s k - a v e r s i o n c a s e ( i n f a c t f o r (cid:13) = 2 , h e e (cid:11) e c t i s b a r e l y v i s i b l e ) . T h e i n t u i t i o n i s a s f o l l o w s : T h e d r i f t o f t h e p r o c e s s u n d e r t h e t r u e (cid:3) (cid:3) (cid:3) e a s u r e i s ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) , w h i c h i s p o s i t i v e f o r (cid:25) < (cid:25) , a n d n e g a t i v e f o r (cid:25) > (cid:25) ; u n d e r 1 2 2 1 (cid:1) (cid:0) h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e t h i s d r i f t i s r e d u c e d b y t h e m a r k e t p r i c e o f r i s k , (cid:13) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) , a s s h o w n i n 2 (cid:1) (cid:0) (cid:3) o r o l l a r y 3 . T h e r e f o r e , t h e d r i f t u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e i s l e s s p o s i t i v e f o r (cid:25) < (cid:25) , a n d (cid:3) o r e n e g a t i v e f o r (cid:25) > (cid:25) , r e s u l t i n g i n a p r o c e s s t h a t r e v e r t s l e s s s t r o n g l y f o r l o w b e l i e f s a n d m o r e (cid:3) t r o n g l y f o r h i g h b e l i e f s a n d c a u s e s t h e s t a t i o n a r y d e n s i t y t o h a v e m o r e m a s s t o t h e l e f t o f (cid:25) . (cid:3) (cid:3) m p l i e d v o l a t i l i t i e s b e c o m e h i g h e r t o t h e r i g h t o f (cid:25) , b e c a u s e o f t h e s t r o n g e r p u l l t o w a r d s (cid:25) , w h i c h s c l o s e t o ^(cid:25) , t h e p o i n t o f h i g h e s t v o l a t i l i t y . . 4 I m p l i e d V o l a t i l i t y A c r o s s S t r i k e P r i c e s | A s y m m e t r i c S m i l e s a n d F r o w n s e (cid:12) n a l l y s t u d y t h e b e h a v i o r o f i m p l i e d v o l a t i l i t y a c r o s s d i (cid:11) e r e n t s t r i k e p r i c e s f o r p e r s i s t e n t h i g h r o w t h r a t e s t o c k s , s u c h a s t h e m o d e l c a l i b r a t e d t o r e a l e a r n i n g s g r o w t h o n t h e S & P 5 0 0 i n S e c t i o n . T h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s o f t h e e a r n i n g s g r o w t h p r o c e s s a r e i n T a b l e 1 . F i g u r e 5 d i s p l a y s f o u r a r i a b l e s | t h e e n d o g e n o u s d i v i d e n d y i e l d , r e t u r n v o l a t i l i t y , s t a t i o n a r y d e n s i t y , a n d t h e i m p l i e d o l a t i l i t y f o r 6 - m o n t h a t - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n s | e a c h a s a f u n c t i o n o f t h e a g e n t ’s b e l i e f (cid:25) . T o t u d y t h e f u l l i m p l i c a t i o n s f o r o p t i o n p r i c e s w e c h a r a c t e r i z e t h e d e n s i t y a n d t h e m o m e n t s o f 2 o n t h r e t u r n s f o r t h r e e i n i t i a l b e l i e f s , (cid:25) = 0 :1 ; 0 :5 ; 0 :9 , i n F i g u r e 6 . T h e d e n s i t y a n d m o m e n t s r e e a s i l y o b t a i n e d b y i n v e r t i n g t h e F o u r i e r T r a n s f o r m o f t h e s t a t e r e t u r n d e n s i t y f u n c t i o n g i v e n M M n (cid:22) y f = b ( ! ; :1 6 7 ) ( (cid:25) :5 ) , a n d t h e b a r e i n ( 5 1 ) i n A p p e n d i x 2 . T h e l e f t - h a n d s i d e n n 1 r n = 0 (cid:1) (cid:0) a n e l s d i s p l a y t h e s t a t e - r e t u r n d e n s i t y f u n c t i o n s c o n d i t i o n a l o n t h r e e d i (cid:11) e r e n t i n i t i a l b e l i e f s (cid:25) = 0 :9 P t o p p a n e l ) , (cid:25) = 0 :5 ( c e n t e r p a n e l ) a n d (cid:25) = 0 :1 ( b o t t o m p a n e l ) . F o r e a c h p r o b a b i l i t y (cid:25) , w e a l s o h o w f o r c o m p a r i s o n a G a u s s i a n d e n s i t y w i t h t h e s a m e (cid:12) r s t a n d s e c o n d m o m e n t s a s o f t h e r e t u r n r o c e s s o f t h e u n c e r t a i n t y m o d e l . T h e r i g h t p a n e l p l o t s t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y a c r o s s s t r i k e p r i c e s s m i l e / f r o w n ) f o r e a c h o f t h e s e c a s e s . 2 4
d t d a e 5 T t a w i a 2 p i i i d c d a 5 F t t T h e r e t u r n d e n s i t i e s f o r t h e t h r e e c a s e s a r e m a r k e d l y d i (cid:11) e r e n t : f o r a h i g h (cid:25) , t h e r e t u r n e n s i t y e x h i b i t s a f a t l e f t t a i l , f o r a l o w (cid:25) , t h e d e n s i t y h a s a f a t r i g h t t a i l , a n d f o r t h e m e d i u m b e l i e f s , h e t h e d e n s i t y i s b i - m o d a l w i t h l a r g e r m a s s o n t h e r i g h t h u m p . T h e i m m e d i a t e i m p l i c a t i o n o f t h e s e e n s i t i e s i s a n e g a t i v e l y ( p o s i t i v e l y ) s l o p e d i m p l i e d v o l a t i l i t y s m i r k f o r t h e h i g h ( l o w ) b e l i e f c a s e n d a f r o w n f o r t h e m e d i u m b e l i e f c a s e . S o m e t e s t a b l e t i m e - s e r i e s p r o p e r t i e s o f t h e d e n s i t i e s w i l l b e x a m i n e d i n d e t a i l i n S e c t i o n 5 . H e r e w e s i m p l y n o t e t h a t , b a s e d o n t h e s t a t i o n a r y d e n s i t y i n F i g u r e , t h e c a l i b r a t e d m o d e l i m p l i e s a s m i r k o f e i t h e r d i r e c t i o n f o r a b o u t f o u r - (cid:12) f t h s o f a l l o b s e r v a t i o n s . h e m o d e l a l s o i m p l i e s a (cid:13) i p i n t h e s i g n o f t h e s m i r k a s b e l i e f s c r o s s 1 = 2 . F o r b e l i e f s c l o s e t o 1 / 2 , h e m o d e l i m p l i e s a f r o w n w i t h a b i - m o d a l d e n s i t y . I n d e e d , b i m o d a l s t a t e p r i c e d e n s i t y f u n c t i o n s n d f r o w n s h a v e b e e n o b s e r v e d i n t h e d a t a , e v e n t h o u g h t h e y a r e n o t s o c o m m o n ; a s S h i m k o ( 1 9 9 3 ) r i t e s U s i n g o u r m e t h o d o l o g y , w e w e r e a b l e t o o b s e r v e s e v e r a l i n s t a n c e s o f t w o - h u m p e d [s t a t e p r i c e ] d i s t r i b u t i o n s f o r t h e O E X i n t h e l a t e 1 9 8 0 s ; t h e y h a v e s i n c e b e c o m e r a r e . T h e i n t u i t i o n u n d e r l y i n g t h e s e (cid:12) n d i n g s i s q u i t e s t r a i g h t f o r w a r d . T h e t w o s t a t e m o d e l m i x t u r e o f d i s t r i b u t i o n s , m p l i e s t h a t e a r n i n g s g r o w t h i s g e n e r a t e d b y a w h e r e t h e e x a c t m i x t u r e a t p o i n t i n t i m e i s d e t e r m i n e d b y t h e b e l i e f s o f t h e a g e n t . R e t u r n s , a s c h a r a c t e r i z e d i n P r o p o s i t i o n , a r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e b e l i e f s c o n c e r n i n g e a r n i n g s g r o w t h a n d h e n c e i n h e r i t t h e r o p e r t i e s o f t h e m i x t u r e . T h e u n c o n d i t i o n a l m i x t u r e o f t h e t w o d i s t r i b u t i o n s f o r t h e (cid:12) t t e d m o d e l m p l i e s a d e n s i t y w h i c h i s b o t h n e g a t i v e l y s k e w e d ( b e c a u s e o f t h e l a r g e r p r o p o r t i o n o f t i m e s p e n t n t h e h i g h g r o w t h s t a t e ) a n d h a s e x c e s s - k u r t o s i s . T h e p o w e r o f (cid:12) l t e r i n g t h e o r y b e c o m e s e v i d e n t n a g e n t s m a k i n g a (cid:12) n e r d i s t i n c t i o n o f t h e s t a t e o f e x p e c t e d e a r n i n g s g r o w t h a n d h e n c e a s s i g n i n g y n a m i c a l l y e v o l v i n g m i x t u r e s t o t h e t w o p o s s i b l e d i s t r i b u t i o n s . F o r h i g h b e l i e f s , t h e r e i s a l a r g e h a n c e o f a h i g h d e n s i t y a n d a l o w c h a n c e o f a l o w d e n s i t y c r e a t i n g i n s u m a n e g a t i v e l y s k e w e d e n s i t y a s s e e n i n t h e t o p - l e f t p a n e l o f F i g u r e 6 . S i m i l a r l o g i c i m p l i e s t h e t w o d e n s i t i e s i n t h e m i d d l e n d b o t t o m p a n e l . C a l i b r a t i o n a n d E m p i r i c a l I m p l i c a t i o n s i g u r e 6 c o n s t i t u t e s t h e h e a r t o f t h e a n a l y s i s f o r t h e t w o - s t a t e e a r n i n g s g r o w t h m o d e l a n d l e a d s o s e v e r a l t e s t a b l e i m p l i c a t i o n s f o r t h e t i m e - s e r i e s o f o p t i o n p r i c e s . I n t h i s s e c t i o n w e (cid:12) r s t p r e s e n t h e r e s u l t s o f a c a l i b r a t i o n e x e r c i s e p e r f o r m e d o n S & P 5 0 0 r e a l e a r n i n g s g r o w t h a n d t h e n u s e t h e 2 5
p a r a m e t e r s a n d b e l i e f p r o c e s s g e n e r a t e d t o c o m p a r e t h e p r o p e r t i e s o f t h e t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l l y o b s e r v e d o p t i o n p r i c e s . E a r n i n g s d a t a a r e o b t a i n e d f r o m S t a n d a r d a n d P o o r ’s , a n d t h e c o n s u m p t i o n d e (cid:13) a t o r f r o m t h e B u r e a u o f E c o n o m i c A n a l y s i s . M a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t e s f o r t h e p a r a m e t e r s a r e o b t a i n e d f r o m a r e g i m e - s w i t c h i n g 1 1 e s t i m a t i o n m e t h o d a s d e s c r i b e d i n H a m i l t o n ( 1 9 9 4 ) . T a b l e 1 c o n t a i n s t h e p a r a m e t e r v a l u e s f o r a 2 - s t a t e r e g i m e s w i t c h i n g m o d e l f r o m m o n t h l y S & P 5 0 0 r e a l e a r n i n g s g r o w t h r a t e s b e t w e e n 1 9 6 0 a n d 1 9 9 8 , t h a t a r e p l o t t e d i n t h e t o p p a n e l o f F i g u r e 7 . T h e s e p a r a m e t e r e s t i m a t e s i m p l y a r e l a t i v e l y f a s t l e a r n i n g p r o c e s s o f e a r n i n g s g r o w t h w i t h a d o u b l e - h u m p e d s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f e s t i m a t e d s t a t e s , s h o w n i n t h e l e f t p a n e l o f F i g u r e 5 . T h e s t a t e s a r e a l s o a s y m m e t r i c w i t h a l a r g e r m a s s i n t h e b u s i n e s s c y c le h i g h e r s t a t e o f g r o w t h . T h i s (cid:12) n d i n g i s c o n s i s t e n t w i t h t h e h y p o t h e s i s t h a t i m p l i e s a w e l l k n o w n s t y l i z e d f a c t , t h a t b o o m s ( p e r i o d s o f h i g h g r o w t h o f s t o c k f u n d a m e n t a l s ) a r e o f l o n g e r d u r a t i o n t h a n r e c e s s i o n s ( p e r i o d s o f l o w a n d o f t e n n e g a t i v e g r o w t h ) . M o n t h l y t i m e - s e r i e s b e t w e e n 1 9 6 0 :0 1 a n d 1 9 9 8 :0 9 f o r e a r n i n g s g r o w t h ( t o p p a n e l ) a n d b e l i e f s , (cid:25) , ( s e c o n d p a n e l ) a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 7 . T h e d a r k b a r s i n d i c a t e N B E R d a t e d r e c e s s i o n s , t p e r i o d s o f d e c l i n i n g g r o s s d o m e s t i c p r o d u c t . A s s e e n i n t h e (cid:12) g u r e , (cid:25) , t h e (cid:12) l t e r e d p r o b a b i l i t y o f t b e i n g i n t h e h i g h s t a t e , d i p s d u r i n g a n d a r o u n d e a c h r e c e s s i o n o f t h e U S e c o n o m y i n t h e s a m p l e , a l t h o u g h t h e r e h a v e b e e n e p i s o d e s i n t h r e e p e r i o d s , i n 1 9 6 7 , i n 1 9 8 6 a n d i n t h e (cid:12) r s t h a l f o f 1 9 9 9 w h e n e a r n i n g s g r o w t h s l o w e d e v e n w h e n t h e o v e r a l l e c o n o m y w a s i n a n e x p a n s i o n a r y p h a s e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i m p l i c i t l y w e a r e a s s u m i n g t h a t i n v e s t o r s ’ i n f o r m a t i o n s e t c o n s i s t s s o l e l y o f t h e h i s t o r y o f e a r n i n g s g r o w t h . E v e n t h o u g h i t i s u n l i k e l y t h a t p a s t e a r n i n g s a r e a g o o d p r o x y f o r i n v e s t o r s ’ i n f o r m a t i o n , t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n o (cid:11) e r n o n e t h e l e s s a f r a m e w o r k t o u n d e r s t a n d c e r t a i n e m p i r i c a l l y p u z z l i n g p h e n o m e n a i n t h e o p t i o n s m a r k e t . T h e c o n c l u d i n g s e c t i o n d i s c u s s e s a v e n u e s o f f u t u r e r e s e a r c h t o r e (cid:12) n e t h e e m p i r i c a l m e t h o d o l o g y . W e n o w t u r n t o t h e e m p i r i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l . 1 1 W e r e a liz e t h a t t h e e s t im a t e s o f a c o n t in u o u s - t im e d i(cid:11) u s io n p r o c e s s fo r e a r n in g s g r o w t h b a s e d o n d is c r e t e a p p r o x im a t io n s o f t h e lik e lih o o d fu n c t io n m a y le a d t o in c o n s is t e n t e s t im a t e s fo r p a r a m e t e r s ( c .f. fo r e x a m p le L o 1 9 8 8 , A it - S a h a lia 1 9 9 8 ) . N o n e t h e le s s , w e a r g u e t h a t fo r m o n t h ly e s t im a t io n o f p a r a m e t e r s o f t h e o r d e r o f m a g n it u d e in t h is p a p e r , t h e in c o n s is t e n c y w ill b e ‘s m a ll’. B y E x a m p le 3 in L o ( 1 9 8 8 ) , t h e M L E o f a d is c r e t iz e d lo g - n o r m a l d i(cid:11) u s io n w it h c o n s t a n t d r ift (cid:18) a n d s a m p le d a t in t e r v a ls o f le n g t h h c o n v e r g e s ( a s t h e n u m b e r o f o b s e r v a t io n s in c r e a s e s ) t o h (cid:18) h 2 2 1 ^ (cid:0) 2 (cid:0) (cid:1) ’ (cid:18) = ( e 1 ) . F o r h = 1 = 1 2 , a n d fo r (cid:18) [ :2 ; :2 ], t h e in c o n s is t e n c y is o f t h e o r d e r :0 4 1 = 1 2 + O ( (cid:18) h ) :0 0 3 . h T h e r e fo r e , o u r r e s u lt s a r e s t ill in fo r m a t iv e fo r t h e g o a ls o f t h e p r e s e n t p a p e r . 2 6
5 T A ( V a t c a t a b w o w l e ( o n a 5 o o i f u w . 1 U n c e r t a i n t y a n d V o l a t i l i t y : A T M I m p l i e d V o l a t i l i t y h e t h i r d p a n e l o f F i g u r e 7 s h o w s t h e t i m e s e r i e s o f t h e C B O E M a r k e t V o l a t i l i t y I n d e x a n d t h e U T M i m p l i e d v o l a t i l i t y f o r 1 - m o n t h o p t i o n s t h a t e q u a t e s t h e C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r i c e a s g i v e n i n t (cid:0) 3 1 ) w i t h t h e B - S o p t i o n p r i c e , u s i n g t h e b e l i e f p r o c e s s o f t h e c a l i b r a t e d m o d e l . T h e C B O E M a r k e t o l a t i l i t y I n d e x i s b a s e d o n t h e B l a c k - S c h o l e s i m p l i e d v o l a t i l i t i e s o f e i g h t n e a r - t h e - m o n e y , n e a r b y , n d s e c o n d n e a r b y O E X o p t i o n s ( S & P 1 0 0 I n d e x ) a n d i s a v a i l a b l e o n r e a l - t i m e d a t a s o u r c e s u n d e r h e t i c k e r V I X . S & P 1 0 0 a n d 5 0 0 r e t u r n s a r e h i g h l y c o r r e l a t e d . T o m a i n t a i n c o n s i s t e n c y i n i t s o m p o s i t i o n , t h e i n d e x i s c o n s t r u c t e d s o t h a t i t r e p r e s e n t s t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y o f a h y p o t h e t i c a l t - t h e - m o n e y O E X o p t i o n w i t h t h i r t y c a l e n d a r d a y s t o e x p i r a t i o n . F o r a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f h e c o n s t r u c t i o n o f t h e i n d e x a n d i t s c o m p o s i t i o n s e e W h a l e y ( 1 9 9 3 ) . T h e (cid:12) g u r e s u g g e s t s s o m e s s o c i a t i o n b e t w e e n t h e t w o s e r i e s . T h e r e g r e s s i o n s r e p o r t e d i n T a b l e 2 t e s t i f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y s e r i e s c a n b e e x p l a i n e d y t h e u n c e r t a i n t y a b o u t f u n d a m e n t a l s u s i n g t h e (cid:12) l t e r e d (cid:25) p r o c e s s . L i n e 1 s h o w s t h a t (cid:25) ( 1 (cid:25) ) , t t t (cid:1) (cid:0) h i c h p o s i t i v e l y a (cid:11) e c t s s t o c k r e t u r n v o l a t i l i t y a s s e e n i n ( 2 9 ) , h a s a s i g n i (cid:12) c a n t p o s i t i v e c o e (cid:14) c i e n t n t h e t i m e s e r i e s o f i m p l i e d v o l a t i l i t y . L i n e 2 s h o w s t h a t t h e c o e (cid:14) c i e n t r e m a i n s s i g n i (cid:12) c a n t w h e n e i n c l u d e a l a g o f i m p l i e d v o l a t i l i t y . T h e f a c t t h a t l a g g e d i m p l i e d v o l a t i l i t y i s a l s o s i g n i (cid:12) c a n t i s i k e l y b e c a u s e u n c e r t a i n t y a b o u t f u n d a m e n t a l s i s o n e o f m a n y s o u r c e s o f v o l a t i l i t y p e r s i s t e n c e . F o r x a m p l e , t h e r e a r e s e v e r a l s t u d i e s i n d i c a t i n g t h a t t r a d i n g c a n a l s o g e n e r a t e p e r s i s t e n c e i n v o l a t i l i t y s e e , f o r e x a m p l e , B o l l e r s l e v , C h o u a n d K r o n e r 1 9 9 2 ) . T o t e s t i f a s y m m e t r i c e (cid:11) e c t s o f b e l i e f s o n o p t i o n p r i c e s a r e i m p o r t a n t w e r e g r e s s s e p a r a t e l y 2 n (cid:25) a n d (cid:25) . I f o n l y (cid:25) ( 1 (cid:25) ) m a t t e r s , t h e n w e s h o u l d e x p e c t a p o s i t i v e c o e (cid:14) c i e n t o f (cid:25) a n d a t t t t t (cid:1) (cid:0) 2 e g a t i v e c o e (cid:14) c i e n t o f e q u a l s i z e b u t o p p o s i t e s i g n o n (cid:25) . H o w e v e r , i f i m p l i e d v o l a t i l i t y i s a s y m m e t r i c t b o u t :5 , t h e n t h i s r e s t r i c t i o n w i l l b e v i o l a t e d . I m p l i e d v o l a t i l i t y f o r t h e c a l i b r a t e d m o d e l ( F i g u r e ) i s a s y m m e t r i c a b o u t :5 , w i t h l a r g e r v a l u e s t o t h e l e f t o f :5 . H o w e v e r , b e c a u s e m o s t o f t h e b s e r v a t i o n s i n t h e s a m p l e a r e f o r (cid:25) > :5 , a n d i m p l i e d v o l a t i l i t y i s d e c r e a s i n g i n (cid:25) i n t h i s r e g i o n , t 2 n e c o u l d g e t a s m a l l e r c o e (cid:14) c i e n t ( a b s o l u t e v a l u e ) o n (cid:25) t h a n o n (cid:25) . A s s e e n i n L i n e s 3 a n d 4 , t h i s t t s i n d e e d t h e c a s e f o r t h e s a m p l e . N o n e t h e l e s s , b e c a u s e t h e s t a n d a r d e r r o r s f o r t h e c o e (cid:14) c i e n t s a r e a i r l y l a r g e , w e f a i l t o r e j e c t t h e n u l l o f e q u a l c o e (cid:14) c i e n t s i n a b s o l u t e v a l u e . I n L i n e s 5 a n d 6 , w e t e s t f o r t h e c o e (cid:14) c i e n t s o f t h e t h e o r e t i c a l i m p l i e d v o l a t i l i t y c a l c u l a t e d s i n g t h e (cid:25) s e r i e s , a n d t h e A T M t h e o r e t i c a l v o l a t i l i t y c o m p u t e d u s i n g P r o p o s i t i o n 7 , w i t h a n d t 2 (cid:22) i t h o u t a l a g o f i m p l i e d v o l a t i l i t y . T h e c o e (cid:14) c i e n t s a r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t , t h o u g h t h e R o f 2 7
L t % n 5 I d o s a r a C E c t t b a i F t i h e o a t t i n e 5 i s s m a l l e r t h a n i n l i n e 1 ( d i r e c t l y r e g r e s s i n g o n u n c e r t a i n t y ) . F i n a l l y , i n L i n e 7 , w e r e s t r i c t 2 (cid:22) h e r e g r e s s i o n i n L i n e 5 t o t h e p o s t - c r a s h p e r i o d , 1 9 8 8 :0 9 { 1 9 8 9 :0 9 , a n d o b t a i n a n R o f a l m o s t 1 7 . T h e i m p r o v e m e n t i n t h e (cid:12) t o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l i s n o t s u r p r i s i n g a s s e v e r a l a u t h o r s h a v e o t e d t h a t t h e c r a s h o f 1 9 8 7 a n d t h e s u r r o u n d i n g v o l a t i l i t y h a d l i t t l e t o d o w i t h f u n d a m e n t a l s . . 2 C o n d i t i o n a l S k e w n e s s o f R e t u r n s : R a t i o o f 3 % O T M P u t - t o - C a l l P r i c e s n t h i s s u b s e c t i o n w e t e s t i f t h e c o n d i t i o n a l s k e w n e s s r e s t r i c t i o n i s i n d e e d d e c r e a s i n g i n b e l i e f s a s i s p l a y e d i n F i g u r e 6 . T o e (cid:14) c i e n t l y u s e a v a i l a b l e o p t i o n p r i c i n g d a t a w e c o n s t r u c t a t e s t b a s e d n t h e r a t i o o f 3 % O T M P u t - t o - C a l l P r i c e s . T h e r a t i o i s a c o m m o n l y u s e d m e a s u r e o f m a r k e t e n t i m e n t ( c .f . B a t e s 1 9 9 9 ) . A s e v i d e n t f r o m F i g u r e 6 , t h e r a t i o w i l l b e l a r g e r f o r h i g h e r b e l i e f s s a g e n t s h a v e a ‘s m a l l ’ p r o b a b i l i t y o f a l a r g e d r o p i n r e t u r n s i n t h e e v e n t o f b a d e a r n i n g s g r o w t h e a l i z a t i o n s . I n t h i s a n d t h e f o l l o w i n g s u b s e c t i o n , w e u s e o p t i o n p r i c e s a n d i m p l i e d v o l a t i l i t i e s f r o m s a m p l e o f d a i l y p r i c e s o f S & P 5 0 0 c a l l a n d p u t o p t i o n s b e t w e e n 1 9 8 6 :0 4 a n d 1 9 9 6 :0 5 t r a d e d o n t h e h i c a g o B o a r d O p t i o n s E x c h a n g e . T h e u n d e r l y i n g i n d e x i s o b t a i n e d f r o m t h e C h i c a g o M e r c a n t i l e x c h a n g e , a n d d i v i d e n d y i e l d s a r e o b t a i n e d f r o m S t a n d a r d a n d P o o r ’s . T o c o n d u c t t h e t e s t s w e r e a t e a m o n t h l y t i m e - s e r i e s o f 3 % O T M P u t - t o - C a l l P r i c e s i n t e r p o l a t e d f r o m a v a i l a b l e p r i c e s o n h e 1 5 t h ( o r c l o s e s t t o 1 5 t h ) d a y o f e a c h m o n t h w i t h a p p r o x i m a t e l y 3 0 d a y s t o m a t u r i t y . W e a g a i n r u n t w o s e t s o f r e g r e s s i o n s , w h i c h a r e r e p o r t e d i n T a b l e 3 , t h e (cid:12) r s t d i r e c t l y o n h e b e l i e f p r o c e s s , (cid:25) , ( L i n e s 1 a n d 2 ) a n d t h e s e c o n d o n t h e t h e o r e t i c a l r a t i o b a s e d o n t h e s e b e l i e f s t u t c o m p u t e d u s i n g P r o p o s i t i o n 7 ( L i n e s 3 a n d 4 ) . B o t h v a r i a b l e s h a v e s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t 2 (cid:22) n d p o s i t i v e c o e (cid:14) c i e n t s w i t h R o f a b o u t s i x p e r c e n t . I n c l u d i n g t h e l a g o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e 2 (cid:22) n c r e a s e s t h e R t o o v e r (cid:12) f t y p e r c e n t , a n d t h e v a r i a b l e s r e m a i n h i g h l y s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t . u r t h e r i n t u i t i o n f o r t h e r e s u l t c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e b o t t o m p a n e l o f F i g u r e 7 w h i c h s h o w s h e t h e o r e t i c a l c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . T h e t h e o r e t i c a l r a t i o o f p u t - t o - c a l l p r i c e s s d e c r e a s i n g i n t h i s c o r r e l a t i o n : a n e g a t i v e c o r r e l a t i o n i m p l i e s a l a r g e r m a s s f o r l o w e r r e t u r n s a n d e n c e a h i g h e r p u t p r i c e . I n p a s s i n g w e n o t e t h a t t h e e m p i r i c a l r a t i o (cid:12) t s o u r m o d e l f a i r l y w e l l x c e p t i n t h e 1 9 9 0 - 1 9 9 1 p e r i o d , w h e n i n t h e d e p t h s o f a r e c e s s i o n a n d n e g a t i v e e a r n i n g s g r o w t h , u r m o d e l i m p l i e s a l o w (cid:25) a n d h e n c e a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y . H o w e v e r t s n o t e d b y B a t e s ( 1 9 9 9 ) , m a r k e t p a r t i c i p a n t s s e e m e d t o h a v e p o s t - c r a s h f e a r s a n d b i d u p t h e r a t i o o l e v e l s f a r i n e x c e s s o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l . D e s p i t e t h e f a i l u r e o f t h e m o d e l ’s i m p l i c a t i o n s i n h i s p e r i o d , w e (cid:12) n d e x p l a n a t o r y p o w e r i n t h e b e l i e f p r o c e s s o v e r t h e 1 0 - y e a r s a m p l e . 2 8
5 I (cid:25) b a k m t o g a p i I r b a t i t W u f s i . 3 A C o n v e x i t y M e a s u r e o f I m p l i e d V o l a t i l i t y | T h e I m p l i e d V o l a t i l i t y o f a B u t t e r (cid:13) y S p r e a d n t h i s s u b s e c t i o n w e t e s t i f t h e c o n d i t i o n a l k u r t o s i s o f r e t u r n s i s i n c r e a s i n g i n a g e n t s ’ u n c e r t a i n t y , ( 1 (cid:25) ) a s d i s p l a y e d i n F i g u r e 6 . A s s e e n i n t h e (cid:12) g u r e , w i t h m e d i u m b e l i e f s , t h e r e t u r n d e n s i t y i s t t (cid:0) i - m o d a l w i t h v e r y l i t t l e m a s s i n i t s t a i l s ; t h e r i g h t p a n e l s h o w s t h a t t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e h a s s ‘f r o w n ’ c o n d i t i o n a l o n t h e s e b e l i e f s . L o w a n d h i g h b e l i e f s e a c h h a v e o n e h e a v y t a i l t h u s g e n e r a t i n g u r t o s i s . T o e (cid:14) c i e n t l y u s e a v a i l a b l e o p t i o n p r i c i n g d a t a w e c o n s t r u c t a t e s t b a s e d o n a c o n v e x i t y e a s u r e o f i m p l i e d v o l a t i l i t y Y = ( V o l ( K = S = 9 7 ) + V o l ( K = S = 1 0 3 ) 2 V o l ( K = S = 1 0 0 ) ) . O u r t (cid:0) h e o r e t i c a l m o d e l p r e d i c t s ( s e e F i g u r e 6 , r i g h t p a n e l s ) t h a t Y i s d e c r e a s i n g i n (cid:25) ( 1 (cid:25) ) . t t t (cid:0) W e o n c e a g a i n r u n t w o s e t s o f r e g r e s s i o n s , w h i c h a r e r e p o r t e d i n T a b l e 4 , t h e (cid:12) r s t d i r e c t l y U n t h e u n c e r t a i n t y p r o c e s s , (cid:25) ( 1 (cid:25) ) , ( L i n e s 1 a n d 2 ) a n d t h e s e c o n d o n Y , t h e t h e o r e t i c a l l y t t t (cid:0) e n e r a t e d t i m e s e r i e s u s i n g P r o p o s i t i o n 7 a n d u s i n g t h e (cid:12) t t e d b e l i e f p r o c e s s (cid:25) ( L i n e s 3 a n d 4 ) . A s t n t i c i p a t e d , w e (cid:12) n d s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t c o e (cid:14) c i e n t s , n e g a t i v e f o r t h e u n c e r t a i n t y v a r i a b l e a n d U o s i t i v e f o r t h e t h e o r e t i c a l l y g e n e r a t e d c u r v a t u r e . T h e (cid:12) t o f Y i s s l i g h t l y b e t t e r a n d t h e v a r i a b l e t 2 (cid:22) s m o r e h i g h l y s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t , b u t t h e R f r o m e i t h e r r e g r e s s i o n i s o n l y a r o u n d t w o p e r c e n t . 2 (cid:22) n c l u d i n g t h e l a g o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e s t h e R t o o v e r e i g h t p e r c e n t , a n d t h e v a r i a b l e s e m a i n h i g h l y s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t . T h e c o n v e x i t y m e a s u r e c a n a l s o b e v i e w e d a s t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y u s e d i n w r i t i n g a u t t e r (cid:13) y s p r e a d s t r a t e g y . A b u t t e r (cid:13) y s p r e a d s t r a t e g y i n v o l v e s g o i n g l o n g o n a c a l l o p t i o n w i t h l o w a n d a h i g h s t r i k e , a n d s h o r t o n t w o c a l l o p t i o n s w i t h t h e a m i d - w a y e x e r c i s e p r i c e , a n d i s h e r e f o r e f o r m a l l y i d e n t i c a l t o t h e o p t i o n s u s e d i n c o n s t r u c t i n g Y . T h e s t r a t e g y l e a d s t o a p r o (cid:12) t t f t h e s t o c k p r i c e s t a y s c l o s e t o t h e m i d - w a y e x e r c i s e p r i c e , b u t g i v e s r i s e t o a s m a l l l o s s ( d u e t o h e c o s t o f t h e o p t i o n s ) i f t h e r e i s a s i g n i (cid:12) c a n t m o v e i n e i t h e r d i r e c t i o n ( c .f ., f o r e x a m p l e , H u l l a n d h i t e 1 9 9 3 ) . O u r t h e o r e t i c a l l y g e n e r a t e d c o n d i t i o n a l d e n s i t i e s i n F i g u r e 6 i m p l y t h a t t h e o p t i o n s s e d t o r e p l i c a t e t h e s t r a t e g y w i l l b e p r i c e d r e l a t i v e l y h i g h e r t h a n s u g g e s t e d b y t h e B l a c k - S c h o l e s U o r m u l a i n p e r i o d s o f h i g h u n c e r t a i n t y , a n d h e n c e h a v e h i g h e r i m p l i e d v o l a t i l i t i e s . T h a t Y h a s a t i g n i (cid:12) c a n t c o e (cid:14) c i e n t i n e x p l a i n i n g Y i s s o m e e v i d e n c e t h a t m a r k e t p a r t i c i p a n t s ’ b e l i e f s h a v e b e e n t n l i n e w i t h t h e c a l i b r a t e d m o d e l . 2 9
5 I i B m m (cid:1) t o (cid:1) v o s ( V m f t E i e a g s w m o m v . 4 H e d g i n g I m p l i c a t i o n s n t h i s s u b s e c t i o n w e e x a m i n e s o m e o f t h e h e d g i n g i m p l i c a t i o n s o f t h e U - M o d e l , i n p a r t i c u l a r f o c u s n g t h e a n a l y s i s o n h e d g i n g ‘v i o l a t i o n s ’ d o c u m e n t e d e m p i r i c a l l y i n B a k s h i e t a l . ( 1 9 9 9 ) . F o l l o w i n g e r g m a n , G r u n d y a n d W e i n e r ( 1 9 9 6 ) , t h e s e a u t h o r s n o t e d t h a t o n e - f a c t o r m a r k o v o p t i o n p r i c i n g o d e l s i m p l y s t r o n g r e s t r i c t i o n s o n c h a n g e s i n o p t i o n p r i c e s r e l a t i v e t o c h a n g e s i n t h e u n d e r l y i n g : o r e e x p l i c i t l y , e v e r y m o d e l i n t h i s c l a s s m u s t s a t i s f y 0 (cid:1) 1 , a n d 1 (cid:1) 0 w h e r e C P (cid:20) (cid:20) (cid:0) (cid:20) (cid:20) ( (cid:1) ) i s t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c a l l ( p u t ) o p t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e . T a k i n g C P h e s e i m p l i c a t i o n s t o h i g h - f r e q u e n c y o p t i o n s d a t a ( a n d i g n o r i n g t h e s m a l l t i m e - d e c a y c o m p o n e n t s f o p t i o n p r i c e c h a n g e s ) B a k s h i e t a l . ( 1 9 9 9 ) c l a s s i f y o b s e r v a t i o n s s a t i s f y i n g (cid:1) C = (cid:1) S < 0 , a n d P = (cid:1) S > 0 a s T y p e I v i o l a t i o n s , a n d (cid:1) C = (cid:1) S > 1 , a n d (cid:1) P = (cid:1) S < 1 a s T y p e I V v i o l a t i o n s . (cid:0) S i n c e B - S f a l l s u n d e r t h e c l a s s o n e - f a c t o r m a r k o v m o d e l s , i t i s u n a b l e t o e x p l a i n t h e s e i o l a t i o n s , w h i c h c o m p r i s e 1 0 - 1 5 % o f e m p i r i c a l o b s e r v a t i o n s . B a k s h i e t a l . ( 1 9 9 9 ) c o n c l u d e d t h a t i n r d e r t o i m p r o v e h e d g i n g p e r f o r m a n c e r e l a t i v e t o B - S , o p t i o n p r i c i n g m o d e l s m u s t e x p l i c i t l y h a v e t o c h a s t i c v o l a t i l i t y d r i v e n b y a s e c o n d f a c t o r . O n a s i m i l a r n o t e , D u m a s , F l e m i n g a n d W h a l e y 1 9 9 8 ) h a v e n o t e d t h a t t o i m p r o v e h e d g i n g p e r f o r m a n c e , o p t i o n p r i c i n g m o d e l s i n t h e D e t e r m i n i s t i c o l a t i l i t y F u n c t i o n ( D V F ) c l a s s a r e u n a b l e t o i m p r o v e t h e h e d g i n g p e r f o r m a n c e o f o p t i o n p r i c i n g o d e l s r e l a t i v e t o B - S . I n t h e i r c o n c l u s i o n t h e y s u g g e s t b u i l d i n g m o d e l s i n w h i c h v o l a t i l i t y i s a u n c t i o n o f p a s t s h o c k s ( s t o c k p r i c e ) . O u r m o d e l , i n f a c t , c l o s e l y f o l l o w s t h i s s u g g e s t i o n , b e c a u s e ~ h e b e l i e f p r o c e s s , w h i c h d r i v e s v o l a t i l i t y , i s d r i v e n b y t h e t h e h i s t o r y o f s h o c k s t o t h e p r o c e s s d W . ~ v e n t h o u g h d W i s a 3 1 v e c t o r , t h e m o d e l i s e a s i l y s p e c i a l i z e d s o t h a t t h e s t o c k r e t u r n p r o c e s s (cid:2) i s d r i v e n b y o n l y o n e W i e n e r p r o c e s s : I n d e e d , t h i s h a p p e n s i n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e ( ) t h e r e i s n o i i x t e r n a l s i g n a l o n f u n d a m e n t a l s a s s h o w n i n ( 2 ) , ( ) t h e d r i f t o f c o n s u m p t i o n g r o w t h i s o b s e r v a b l e 1 2 i i i n d c o n s t a n t , i .e . (cid:20) = (cid:20) i n ( 3 ) , a n d ( ) t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n d i v i d e n d a n d c o n s u m p t i o n 1 2 0 r o w t h i s z e r o , i .e . (cid:27) (cid:27) = 0 . E v e n i f t h e r e i s o n l y o n e s h o c k ( W i e n e r p r o c e s s ) , v o l a t i l i t y i s x c t i l l d r i v e n b y b e l i e f s a n d t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y w i l l v a r y s t o c h a s t i c a l l y i t h b e l i e f s , a s e l a b o r a t e d i n P r o p o s i t i o n 3 . T h i s i s n o t p o s s i b l e u n d e r o n e - f a c t o r m a r k o v o r D V F o d e l s . P u t s i m p l y , t h e s t o c k p r i c e i n t h e m o d e l i s d r i v e n b y o n e f a c t o r , b u t i s n o t m a r k o v i n i t s e l f r t h a t o n e d r i v i n g f a c t o r . 1 2 P r o p o s it io n 1 im p lie s t h a t in t e r e s t r a t e s a r e c o n s t a n t u n d e r t h is a s s u m p t io n . I n a d d it io n , fo r t h is s p e c ia l c a s e t h e a r k e t p r ic e o f b e lie f- r is k ( C o r o lla r y 3 ) is z e r o . B e c a u s e r e t u r n v o la t ilit y is a fu n c t io n o f b e lie fs , t h e m a r k e t p r ic e o f o la t ilit y r is k is t h e r e fo r e a ls o z e r o . 3 0
o f t c r r f d f i d v t u n t o c c m r o D t w 3 t O T o e x p l i c i t l y a d d r e s s t h e s e v i o l a t i o n s , w e s t u d y c h a n g e s i n p r i c e s o f s t o c k s a n d o p t i o n s n a d a i l y f r e q u e n c y , b u t m u s t g e t a r o u n d t h e f a c t t h a t e a r n i n g s d a t a a r e r e c e i v e d o n a m o n t h l y r e q u e n c y a n d t h e r e f o r e (cid:1) (cid:25) i s n o t o b s e r v e d d a i l y . W e i n s t e a d c o n s t r u c t t h e ‘t o t a l ’ d e l t a w i t h r e s p e c t o d a i l y c h a n g e s i n t h e s t o c k p r i c e . P a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o s t o c k p r i c e s a n d b e l i e f s a r e @ (cid:25) a l c u l a t e d a s s h o w n i n C o r o l l a r y 7 . N o t e t h a t (cid:1) C = C (cid:1) S + C (cid:1) (cid:25) = C (cid:1) S + C (cid:1) S . T h e r e f o r e , S (cid:25) S (cid:25) @ S e p l a c i n g @ (cid:25) = @ S b y t h e h y p o t h e s i z e d r e l a t i o n ( 1 0 ) i n P r o p o s i t i o n 1 w e o b t a i n t h e t o t a l ‘d e l t a ’ w i t h (cid:25) A B U + , a n d t h e s i m i l a r r e l a t i o n e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e f o r t h e u n c e r t a i n t y m o d e l (cid:1) = C + C S (cid:25) S S A o r p u t s w h e r e C a n d C a r e a s i n C o r o l l a r y 7 . S (cid:25) T o t a l d e l t a s f o r t h e m o d e l w i t h p a r a m e t e r s c a l i b r a t e d t o S & P 5 0 0 e a r n i n g s g r o w t h f o r i (cid:11) e r e n t l e v e l s o f m o n e y n e s s a n d b e l i e f s a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . F o r a g i v e n b e l i e f , d e l t a s f o l l o w t h e a m i l i a r S - s h a p e d p a t t e r n f o r B - S o p t i o n s ( c .f . f o r e x a m p l e H u l l 1 9 9 3 ) . T h e i n t e r e s t i n g d e p a r t u r e s n t h e (cid:12) g u r e a r i s e a c r o s s v a r i a t i o n s i n b e l i e f s . A s s e e n , T y p e I v i o l a t i o n s o c c u r f o r c a l l s t h a t a r e e e p O T M a n d t h e a g e n t ’s b e l i e f o f t h e h i g h s t a t e i s h i g h ( l a r g e r t h a n .9 5 ) . S i m i l a r l y , T y p e I V i o l a t i o n s o c c u r a t t h e d i a g o n a l l y o p p o s i t e c o r n e r , f o r d e e p I T M o p t i o n s a n d l o w b e l i e f s ( s m a l l e r h a n .2 ) . F o r p u t o p t i o n s t h e c o r n e r s f o r t h e t w o t y p e s o f v i o l a t i o n s a r e s w i t c h e d . T h e i n t u i t i o n n d e r l y i n g t h e v i o l a t i o n s i s s i m p l e : f o r (cid:25) > ^(cid:25) t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y i s e g a t i v e ( P r o p o s i t i o n 3 ) { t h e r e f o r e w h e n t h e s t o c k p r i c e g o e s u p v o l a t i l i t y c a n d e c l i n e a n d r e d u c e h e o p t i o n p r i c e s l e a d i n g t o a T y p e I v i o l a t i o n f o r c a l l s . T h e e (cid:11) e c t i s a m p l i (cid:12) e d b y t h e m o n e y n e s s f t h e o p t i o n s c o n s i d e r e d . F o r (cid:25) < ^(cid:25) t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n r e t u r n s a n d v o l a t i l i t y i s p o s i t i v e , a n d o n d i t i o n a l o n t h e s e b e l i e f s , w h e n r e t u r n s a r e p o s i t i v e , v o l a t i l i t y i n c r e a s e s , a n d b e c a u s e e a c h e (cid:11) e c t a u s e s a n i n c r e a s e i n t h e o p t i o n p r i c e , a p o t e n t i a l T y p e I V v i o l a t i o n i s c a u s e d . N o t e t h a t f o r a o d e l t o b e c o n s i s t e n t w i t h a t i m e - s e r i e s t h a t h a s b o t h t y p e s o f v i o l a t i o n s , t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n e t u r n s a n d v o l a t i l i t y m u s t s w i t c h s i g n s . W e n o w a c t u a l l y l o o k a t t h e f r e q u e n c y o f t h e v i o l a t i o n s v e r a t e n - y e a r s a m p l e a n d t h e a b i l i t y o f t h e U - m o d e l t o e x p l a i n t h e s e v i o l a t i o n s . a t a D e s c r i p t i o n : W e c o n s i d e r d a i l y c h a n g e s i n o p t i o n p r i c e s f r o m t h e 1 5 t h ( t h e d a y c l o s e s t t o ) o t h e 1 6 t h ( t h e f o l l o w i n g t r a d i n g d a y ) . W e c o n s i d e r o n l y m a t u r i t i e s o f a p p r o x i m a t e l y 1 - m o n t h ; e p u l l o n e a c h s u c h d a y t h e s h o r t e s t m a t u r i t y g r e a t e r t h a n 3 0 d a y s . W e g e t o p t i o n s m o s t l y w i t h 4 - 3 5 d a y s , a l t h o u g h t h e r e a r e a f e w c a s e s i n t h e r a n g e 3 2 - 3 8 . T h e a v e r a g e m a t u r i t y o f o p t i o n s i n h e s a m p l e i s 3 5 .3 d a y s . W e k e e p o n l y t h o s e o p t i o n s w h e r e p r i c e q u o t e s a r e o b t a i n e d f o r b o t h d a y s . v e r a l l , w e o b t a i n 1 0 2 1 c a l l s a n d 1 3 1 5 p u t s i n t h e 1 2 2 m o n t h s b e t w e e n 1 9 8 6 :4 1 9 9 6 :5 , o r a b o u t 3 1
1 3 8 .3 7 c a l l s a n d 1 0 .3 8 p u t s p e r m o n t h . W e (cid:12) n d t h a t t h e t i m e - s e r i e s c o n s t r u c t e d s h o w f r e q u e n c i e s o f v i o l a t i o n s i m i l a r t o t h o s e i n B a k s h i e t a l . ( 1 9 9 9 ) . I n T a b l e 5 , w e c o m p a r e t h e f r e q u e n c y o f o b s e r v e d T y p e I a n d I V v i o l a t i o n s i n S & P 5 0 0 o p t i o n s i n t h e p e r i o d b e t w e e n 1 9 8 6 :4 a n d 1 9 9 6 :5 , a n d t h e f r e q u e n c y p r e d i c t e d b y t h e U - M o d e l , u s i n g t h e d e l t a s s h o w n i n C o r o l l a r y 7 , t h e b e l i e f p r o c e s s s h o w n i n F i g u r e 7 a n d t h e m o n e y n e s s o f e a c h t r a d e d o p t i o n . A s s e e n f o r t h e f u l l s a m p l e , t h e m o d e l ’s p r e d i c t e d l e v e l o f T y p e I e r r o r s f o r b o t h c a l l s a n d p u t s a r e q u i t e c l o s e t o t h e e m p i r i c a l p r o p o r t i o n s , b u t i t s p r e d i c t i o n s o f T y p e I V e r r o r s f a l l s h o r t . F o r c a l l s t h e a c t u a l e r r o r s a r e s e v e n t i m e s a s m a n y a s p r e d i c t e d , a n d f o r p u t s t h e a c t u a l p r o p o r t i o n i s m o r e t h a n t w i c e a s l a r g e a s t h e p r e d i c t e d p r o p o r t i o n . T h e r e f o r e , f o r t h e e n t i r e s a m p l e , t h e m o d e l i s c o n s i s t e n t w i t h t h e p r i c e s o f c a l l s ( p u t s ) a n d t h e u n d e r l y i n g m o v i n g i n t h e o p p o s i t e ( s a m e ) d i r e c t i o n . I t i s l e s s a b l e t o m a t c h t h e p r o p o r t i o n o f t i m e s t h a t c a l l ( p u t ) o p t i o n p r i c e s m o v e i n t h e s a m e ( o p p o s i t e ) d i r e c t i o n a s t h e s t o c k b u t b y a m u c h g r e a t e r a m o u n t . I n a s e n s e , o p t i o n p r i c e s r e a c t f a r m o r e t o c h a n g e s i n t h e u n d e r l y i n g t h a n p r e d i c t e d b y t h e c a l i b r a t e d U - m o d e l . F i g u r e 8 r e v e a l s t h a t t h e m o d e l s t r o n g l y p r e d i c t s T y p e I e r r o r s f o r d e e p O T M o p t i o n s a n d T y p e I V e r r o r s f o r d e e p I T M o p t i o n s . W e n e x t i n v e s t i g a t e i f c o n d i t i o n i n g o n m o n e y n e s s w i l l h e l p t h e s h o r t c o m i n g o f t h e m o d e l . A s s e e n i n t h e t a b l e , b y c o n d i t i o n i n g o n m o n e y n e s s , w e a r e a b l e t o i n c r e a s e t h e p r e d i c t e d p r o p o r t i o n o f T y p e I V e r r o r s t o t h e e m p i r i c a l p r o p o r t i o n s f o r p u t o p t i o n s . F o r c a l l s , t h e m o d e l p r e d i c t i o n s t i l l f a l l s s h o r t , a l t h o u g h e m p i r i c a l v i o l a t i o n s h a p p e n a t h i g h e r f r e q u e n c i e s , a s p r e d i c t e d b y t h e m o d e l . H o w e v e r , r e s t r i c t i n g t h e m o n e y n e s s l e a d s t o a m o d e l o v e r p r e d i c t i o n o f T y p e I e r r o r s . I n s u m m a r y , t h e U - m o d e l h a s s o m e , b u t n o t c o m p l e t e , s u c c e s s i n e x p l a i n i n g v i o l a t i o n s i n c h a n g e s i n c a l l a n d o p t i o n p r i c e s . T h e m o d e l h a s v e r y s p e c i (cid:12) c i m p l i c a t i o n s f o r r e g i o n s o f v i o l a t i o n s t h a t c a n b e s e e n i n F i g u r e 8 . E m p i r i c a l l y , s o m e v i o l a t i o n s o c c u r f o r o p t i o n s n o t i n t h e s e s p e c i (cid:12) e d r e g i o n s , y e t c o n d i t i o n i n g o n m o n e y n e s s i n c r e a s e s t h e e m p i r i c a l v i o l a t i o n p r o p o r t i o n s . U n d o u b t e d l y s o m e o f t h e v i o l a t i o n s w i l l o c c u r f o r r e a s o n s s u c h a s m a r k e t - m i c r o s t r u c t u r e e (cid:11) e c t s , i d i o s y n c r a t i c h e d g i n g , a n d d y n a m i c t r a d i n g s t r a t e g i e s , n o n e o f w h i c h a r e m o d e l e d h e r e . H o w e v e r , t h e m o d e l ’s a c c u r a c y c a n l i k e l y b e i m p r o v e d b y s p e c i f y i n g a r i c h e r i n f o r m a t i o n s e t f o r a g e n t s , a n d a m o r e c o m p l e x (cid:12) l t e r i n g m o d e l t h a t w i l l p r o v i d e g r e a t e r d e g r e e s o f f r e e d o m f o r e m p i r i c a l a n a l y s i s . 1 3 B a k s h i e t a l. ( 1 9 9 9 ) u s e m u c h (cid:12) n e r t im e - in t e r v a ls fr o m M a r c h 1 1 9 9 4 t o A u g u s t 3 1 1 9 9 4 w it h 3 .8 m illio n o b s e r v a t io n s . N o n e t h e le s s , t h e y o b t a in v io la t io n s fo r t h e 1 - fa c t o r M a r k o v m o d e l fo r a ll t h e t im e - in t e r v a ls c o n s id e r e d , in c lu d in g 1 d a y . 3 2
6 C o n c l u s i o n s a n d E x t e n s i o n s T h i s p a p e r s h o w s t h a t a s i m p l e m o d e l i n w h i c h i n v e s t o r s a r e u n c e r t a i n a b o u t t h e d r i f t r a t e o f a (cid:12) r m ’s d i v i d e n d p r o c e s s i s a b l e t o s h e d s o m e l i g h t o n m a n y o f t h e s o m e w h a t p u z z l i n g p h e n o m e n a o b s e r v e d i n t h e o p t i o n m a r k e t . S p e c i (cid:12) c a l l y , e n d o g e n o u s l y d e t e r m i n e d a n d b e l i e f - d e p e n d e n t s t o c h a s t i c r e t u r n v o l a t i l i t y , s t o c h a s t i c c o v a r i a n c e b e t w e e n v o l a t i l i t y a n d r e t u r n s a n d a m a r k e t p r i c e f o r \ b e l i e f - r i s k " c a n a c c o u n t f o r i m p l i e d v o l a t i l i t y \ s m i r k s " a n d \ f r o w n s ," a s w e l l a s t h e i r i n t e r t e m p o r a l i n s t a b i l i t y . W e a l s o o b t a i n s e m i - c l o s e d f o r m s o l u t i o n s f o r o p t i o n p r i c e s u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f a t w o - s t a t e m o d e l u s i n g F o u r i e r T r a n s f o r m m e t h o d s . W e c o m p a r e d t h e o p t i o n p r i c e s i m p l i e d b y o u r m o d e l t o B l a c k a n d S c h o l e s p r i c e s a n d o b t a i n e d a n u m b e r o f r e s u l t s , s u c h a s t h e f o l l o w i n g : ( a ) i n t h e c a s e o f s y m m e t r i c g r o w t h r a t e s t a t e s , o p t i o n p r i c e s a r e g r e a t e r t h a n B l a c k a n d S c h o l e s ’ p r i c e s w h e n t h e r e i s h i g h u n c e r t a i n t y ; ( b ) i n t h e c a s e o f a p e r s i s t e n t h i g h g r o w t h s t a t e , o p t i o n p r i c e s a r e h i g h e s t w h e n i n v e s t o r s b e l i e v e t i m e s a r e b a d o r u n c e r t a i n ; ( c ) a n i n c r e a s e i n r i s k a v e r s i o n a (cid:11) e c t s o p t i o n p r i c e s t h r o u g h c h a n g e s i n v o l a t i l i t y , d i v i d e n d y i e l d , i n t e r e s t r a t e a n d t h e m a r k e t p r i c e o f b e l i e f - r i s k ; ( d ) a c r o s s s t r i k e p r i c e s , i m p l i e d v o l a t i l i t y \ s m i r k s " o c c u r i n b a d o r g o o d t i m e s , w h i l e f r o w n s o c c u r w h e n t h e r e i s h i g h u n c e r t a i n t y . T h i s l a t t e r (cid:12) n d i n g h e l p s i n e x p l a i n i n g w h y s u d d e n c h a n g e s f r o m s m i l e s t o f r o w n s o c c u r o v e r t i m e , a s d o c u m e n t e d i n t h e l i t e r a t u r e . W h e n c a l i b r a t e d t o S & P 5 0 0 r e a l e a r n i n g s g r o w t h f o r t h e 1 9 6 0 - 1 9 9 8 s a m p l e , t h e t w o s t a t e m o d e l ( c o n s i s t e n t w i t h b u s i n e s s c y c l e s ) i m p l i e s t h a t c h a n g e s i n m a r k e t p a r t i c i p a n t s ’ (cid:12) l t e r e d u n c e r t a i n t y a b o u t t h e e a r n i n g s d r i f t r a t e h e l p s p r e d i c t t h e t i m i n g o f (cid:13) i p s i n i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e s b e t w e e n s m i l e s a n d f r o w n s . T h e p r e d i c t i v e p o w e r o f (cid:12) l t e r i n g t h e o r y i s f u r t h e r e v i d e n c e d i n t h e t h r e e f o l l o w i n g t i m e - s e r i e s t e s t s o f t h e s t a t e - r e t u r n d e n s i t y f u n c t i o n f r o m o p t i o n s d a t a : a ) A T M i m p l i e d v o l a t i l i t y ( p e r s i s t e n c e ) , b ) R a t i o o f 3 % O T M p u t - t o - c a l l p r i c e s ( s k e w n e s s ) , a n d ( c ) I m p l i e d V o l a t i l i t y o f a 3 % b u t t e r (cid:13) y s p r e a d ( k u r t o s i s ) . A s p e c i a l c a s e o f t h e m o d e l w h e r e t h e s t o c k p r o c e s s i s d r i v e n b y a s i n g l e W i e n e r p r o c e s s i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h e m p i r i c a l l y o b s e r v e d h e d g i n g ‘v i o l a t i o n s ’ ( i .e . o v e r r e a c t i o n s a n d o p p o s i t e ( s a m e ) s i g n c h a n g e s i n t h e u n d e r l y i n g a n d c a l l ( p u t ) p r i c e s ) t h a t a r e n o t c o m p a t i b l e w i t h o n e - f a c t o r m a r k o v a n d d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f u n c t i o n m o d e l s , b e c a u s e t h e d i v i d e n d y i e l d a n d r e t u r n v o l a t i l i t y a r e d r i v e n b y t h e e n t i r e p a t h o f t h e W i e n e r p r o c e s s s u m m a r i z e d i n t h e i n v e s t o r ’s p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . A n i m p o r t a n t o m i s s i o n i n t h e c a l i b r a t i o n e x e r c i s e s c o n d u c t e d i n S e c t i o n 5 i s t h e a p p r o p r i a t e m o d e l i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a g e n t ’s a n d e c o n o m e t r i c i a n ’s i n f o r m a t i o n s e t s . T h e t w o s i m p l e e x e r c i s e s a s s u m e t h a t t h e y a r e e q u a l a n d s o l e l y c o n s i s t o f t h e h i s t o r y o f e a r n i n g s g r o w t h . 3 3
O r b b c c u r t h e o r e t i c a t e s , l e a d i n g e h a r d t o c o a c k o u t t h e 1 4 O u r s t u d y o a n o n ly le a d t o o n c e n t r a t e d s h a l f r a m e w o r k i n S t o o n e p o s s i b l e e m p l e t e l y s p e c i f y u n c e r t a i n t y f r o m f t h is lim it e d in fo r m fa s t e r le a r n in g t h a n a p e . T h e r e fo r e , t h e e c t i o n 1 i s c o n s i s t e n t w i t h a g e n t s ’ r e c e i v 1 4 x t e n s i o n f o r t h e c a l i b r a t i o n . M o r e g e n a g e n t s ’ i n f o r m a t i o n s e t s , a n a v e n u e f o r o p t i o n p r i c e s . a t io n s e t s u g g e s t s a fa s t le a r n in g a s y m m e t r ic g r c a lib r a t e d , b u t w ill le a d t o t h e s t a t io n a r y d e n s q u a lit a t iv e p r e d ic t io n s o n im p lie d v o la t ilit y c h a 3 4 i n e r f u o w it y n g g u n b i a s e d s i g n a l s o n d r i f t a l l y , b e c a u s e i t i s g o i n g t o t u r e r e s e a r c h w o u l d b e t o t h m o d e l. M o r e p r e c is e s ig n a ls o f t h e s a m e b u t p o s s ib ly m o r e e s w ill b e p r e s e r v e d .
A p p e n d i x 1 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 : R e w r it e ( 9 ) a s n 1 1 m ( s ) x ( s ) m ( s ) x ( s ) S ( t ) = x ( t ) E d s = x ( t ) E d s (cid:23) ( t ) t t m ( t ) x ( t ) m ( t ) x ( t ) j t t i= 1 (cid:20) (cid:21) (cid:20) Z Z X D e (cid:12) n e M ( s ) = m ( s ) x ( s ) t o (cid:12) n d d M = x d m + m d x + d m d x 1 0 = M (cid:30) (cid:13) (cid:20) ( t ) + (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) d t (cid:13) (cid:27) d W c c c 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) + M [(cid:18) ( t ) d t + (cid:27) d W ] M (cid:13) (cid:27) (cid:27) d t x c x (cid:0) 1 0 0 d t + M ( (cid:19) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) (cid:13) (cid:27) (cid:27) = M (cid:30) (cid:13) (cid:20) ( t ) + (cid:18) ( t ) + c c x c x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21) (cid:20) 0 1 F o r c o n v e n ie n c e , d e (cid:12) n e (cid:18) ( t ) = (cid:30) + (cid:13) (cid:20) ( t ) (cid:18) ( t ) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) s o t h a t c c x c 2 (cid:0) (cid:0) b 0 d M = (cid:18) ( t ) d t + ( (cid:19) (cid:13) (cid:19) ) (cid:6) d W x c M (cid:0) (cid:0) b H e n c e s 0 0 M ( s ) 1 0 (cid:18) ( u ) = e x p ( (cid:19) (cid:13) (cid:19) ) (cid:6) (cid:6) ( (cid:19) (cid:13) (cid:19) ) d u + ( (cid:19) (cid:13) (cid:19) ) (cid:6) x c x c x c M ( t ) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:18) (cid:18) (cid:19) Z b B y s u b s t it u t in g in t o ( 3 5 ) , w e o b t a in t h e s a m e s e t u p a s in t h e p r o o f o f p r o p o s it io n U s in g t h e s a m e m e t h o d o lo g y , w e (cid:12) n d t h a t fo r a ll i = 1 ; :::; n 1 M ( s ) E d s (cid:23) ( t ) = (cid:23) = C t i i M ( t ) j t (cid:20) (cid:21) Z fo r c o n s t a n t s C = ( C ; :::; C ) d e (cid:12) n e d a s fo llo w s : le t n 1 1 0 (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) A = (cid:3) + d ia g ( (cid:18) ) = (cid:3) + d ia g ( (cid:13) (cid:20) (cid:18) ) + (cid:30) c c 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) b t h e n (cid:0) 1 C = A 1 n N o t ic e (cid:12) n a lly t h a t if t h e c o n d it io n o f p r o p o s it io n 1 ( a ) in t h e t e x t is s a t is (cid:12) e d , t h e F r o m ( 3 6 ) , t h is e n s u r e s t h a t M ( t ) > 0 fo r a ll t > 0 . H e n c e , fr o m ( 3 7 ) w e a ls o h a v e T h e p r o o f o f ( b ) is a s in V e r o n e s i ( 1 9 9 9 a ) a n d t h e p r o o f o f ( c ) is a s in Y (cid:4) a n d Y a r e d ( 1 9 9 9 ) 3 5 = (cid:23) (cid:25) ( t ) i i (cid:21) 0 (cid:13) (cid:19) ) (cid:6) d W c (cid:0) ( W ( s ) W (cid:0) 3 .1 in V e r o 0 (cid:27) (cid:27) I c n x (cid:19) n (cid:18) ( t ) is a lw t h a t C > 0 i b a r e d ( 1 9 9 9 ) ( t ) ) (cid:19) n e s i a y s fo r a n d ( p a V ( 3 5 ) ( 3 6 ) 1 9 9 9 a ) . ( 3 7 ) ( 3 8 ) o s it iv e . ll i ’s . e r o n e s i
P (cid:4) P H d H H F r o o f r o o f e n c e , S = = = e n c e , e n c e E t in a lly 1 0 2 o f C o r o l l a r y 1 : F r o m ( 6 ) w e c a n w r it e (cid:6) d W = ( v ( t ) v ) d t + ( (cid:6) (cid:6) ) d W a n d h e n c e (cid:0) (cid:0) 1 f d y 0 2 = v ( t ) d t + (cid:6) d W = v d t + ( (cid:6) (cid:6) ) d W y f o f P r o p o s i t i o n 2 : N o t ic e t h a t t h e fo llo w in g c o v a r ia n c e s h o ld : (cid:0) 0 0 0 1 d (cid:25) d (cid:25) = (cid:25) (cid:25) ( (cid:23) (cid:23) ) ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:23) (cid:23) ) d t i i j i j j (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) 0 0 0 0 2 2 d x d (cid:25) = x (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) (cid:23) ) (cid:25) = ( (cid:18) (cid:18) ) (cid:25) x ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:23) i i i i i x (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) 0 0 0 0 2 2 d e d (cid:25) = e (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:23) (cid:23) ) (cid:25) = ( (cid:18) (cid:18) ) (cid:25) e i i i i i e (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) 0 0 0 0 2 2 ( (cid:6) (cid:6) ) = c (cid:19) d c d (cid:25) ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:23) (cid:23) ) (cid:25) = ( (cid:20) (cid:20) ) (cid:25) c i i i i c i (cid:0) (cid:0) fr o m I t o ’s le m m a : n n n 0 C (cid:25) d x + x C d (cid:25) + C d x d (cid:25) i i i i i i i i i = 1 = 1 = 1 X X X 1 (cid:0) n n n 0 0 2 1 d W C (cid:25) ( (cid:23) C (cid:25) C [(cid:25) (cid:3) ] (cid:23) ) ( (cid:6) (cid:6) ) i i i i i i 0 0 2 i i i = 1 = 1 = 1 d t + + (cid:18) d t + (cid:19) d W + ( (cid:6) (cid:6) ) S (cid:0) n n n x C (cid:25) C (cid:25) i i i i i i i = 1 = 1 = 1 P P P f (cid:0) 0 0 n n 1 f P P P (cid:18) ) (cid:23) ) ( (cid:6) (cid:6) ) C (cid:25) ( (cid:23) C (cid:25) ( (cid:18) (cid:25) (cid:3) C i i i i i i 0 2 i i = 1 = 1 S + (cid:18) + + d t + S (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) (cid:0) (cid:0) x n n n C (cid:25) C (cid:25) C (cid:25) i i i i i i i i i = 1 = 1 = 1 ! P P P P P (cid:27) is a s d e (cid:12) n e d in p r o p o s it io n 2 . T o g e t t h e r e s u lt a b o u t (cid:22) n o t ic e t h a t fr o m ( 3 8 ) : S S n n 1 0 0 (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) (cid:25) C 1 (cid:25) (cid:3) C = (cid:25) C ( (cid:13) (cid:20) (cid:18) ) + (cid:30) c c i i i i i i c x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) i i = 1 = 1 (cid:19) (cid:18) X X t h e e x p e c t e d c a p it a l g a in r e t u r n c a n b e r e w r it t e n a s : n n (cid:25) C ( (cid:13) (cid:20) (cid:18) ) 1 C (cid:25) ( (cid:18) d S 1 i i i i 0 0 i i i i i = 1 = 1 (cid:18) + = + (cid:30) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) + (cid:0) (cid:0) c c n n c x S 2 C (cid:25) C (cid:25) (cid:0) i i i i i = 1 = 1 P P (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) n (cid:25) C (cid:20) 1 1 0 0 i i i i= 1 P P + (cid:30) (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) = (cid:13) c c n n c x C (cid:25) C (cid:25) 2 (cid:0) (cid:0) i i i i i i = 1 = 1 P n (cid:25) C (cid:20) x i i i 0 i= 1 P P = (cid:13) + r (cid:13) (cid:20) + (cid:13) (cid:27) (cid:27) c n x C (cid:25) S (cid:0) (cid:0) i i i= 1 P P , t o s h o w e q u a t io n ( 1 2 ) w e c a n s e e t h a t s in c e 1 (cid:0) n 0 0 2 1 1 C (cid:25) ( (cid:23) (cid:23) ) ( (cid:6) (cid:6) ) d S d c i i i 0 0 0 0 2 2 i= 1 + (cid:19) C o v ; = (cid:27) (cid:27) = (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) ( (cid:6) (cid:6) ) (cid:0) c S n c x S c C (cid:25) i i i= 1 ! P (cid:18) (cid:19) n (cid:20) ) C (cid:25) ( (cid:20) 0 0 i i i P i= 1 = (cid:19) (cid:6) (cid:6) (cid:19) + (cid:0) c n x C (cid:25) i i i= 1 P P 3 6 ( (cid:18) i i C (cid:25) i 1 2 ! (cid:18) (cid:0) i (cid:0) i d ) ( 3 W f 9 (cid:18) ) ) d t !
T P W H a W h e r o e e n n d e r e s u lt o f o f t h e n h c e , c a n t h n (cid:20) ) C (cid:25) ( (cid:20) i i i 0 i= 1 = (cid:27) (cid:27) + (cid:0) c n x C (cid:25) i i i= 1 P P (cid:4) fo llo w s im m e d ia t e ly . (cid:3) P r o p o s i t i o n 3 : ( a ) F r o m t h e d e (cid:12) n it io n o f (cid:25) a n d b w e c a n r e w r it e : (cid:27) = (cid:19) S x 2 (cid:3) (cid:3) 0 2 a v e im m e d ia t e ly V = (cid:27) + 2 (cid:18) (cid:18) + (cid:18) (cid:18) b b x (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ( b ) N o t ic e (cid:12) r s t (cid:3) (cid:25) C (cid:18) P j j j j (cid:25) (cid:18) @ @ C (cid:18) (cid:25) C C (cid:25) C (cid:18) (cid:18) j j i i j j i j j j j (cid:25) C P j j j (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = 2 (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) @ (cid:25) @ (cid:25) i i P P P (cid:25) C j j j (cid:3) (cid:16) (cid:17) P C (cid:18) (cid:18) i i (cid:0) = (cid:18) i (cid:16) (cid:17) (cid:0) (cid:25) C j j j (cid:16) (cid:17) P (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) @ @ @ (cid:3) (cid:3) @ V 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 2 + 2 (cid:18) (cid:18) b b = 2 1 + (cid:18) (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) @ (cid:25) @ (cid:25) @ (cid:25) @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) i i i i (cid:3) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:18) C (cid:18) i i (cid:3) 0 (cid:0) = 2 (cid:18) 1 + (cid:18) (cid:18) b b i (cid:17) (cid:16) 0 1 (cid:0) (cid:0) (cid:25) C j j j (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) @ A (cid:16) (cid:17) P (cid:3) (cid:3) @ (cid:18) 2 C ( (cid:25) C ) C C (cid:18) (cid:18) i k k i j i (cid:3) k @ (cid:25) j @ V (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:18) = 2 1 + 2 (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) @ (cid:25) @ (cid:25) 0 1 (cid:0) i j ( (cid:25) C ) k k P k (cid:16) (cid:16) (cid:3) @ A (cid:3) P C (cid:18) (cid:18) i i @ (cid:18) 0 (cid:0) (cid:18) (cid:18) b b + 2 i j (cid:16) (cid:17) ( (cid:25) C ) @ (cid:25) 1 0 (cid:0) (cid:0) k k j k ! (cid:3) (cid:3) A @ P C C (cid:18) (cid:18) + C C (cid:18) (cid:18) j i j i j i (cid:3) 0 (cid:0) (cid:0) = 2 (cid:18) (cid:18) b b 1 + 2 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 0 1 (cid:0) (cid:0) ( (cid:25) C ) k k k (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:3) (cid:3) @ A P C (cid:18) (cid:18) C (cid:18) (cid:18) i i j j 0 (cid:0) (cid:0) + 2 (cid:18) (cid:18) b b i j (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 0 ( (cid:25) C ) 1 0 ( (cid:25) C ) 1 (cid:0) (cid:0) k k k k j k k @ A @ A P P e n w r it e : N 2 1 @ V @ V d (cid:25) + d (cid:25) d (cid:25) d V = i i j @ (cid:25) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) i i j i j i= 1 X X X N N 2 @ V @ V @ V 1 = d t + (cid:22) + (cid:27) (cid:27) (cid:27) d W i i j i 0 @ (cid:25) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) 1 @ (cid:25) i i j i i i j i = 1 = 1 X X X X f @ A 3 7 ( j (cid:17) 0 (cid:6) (cid:6) ) (cid:18) j (cid:17) (cid:0) (cid:18) b b (cid:17) 0 b b (cid:17) 1 2 + (cid:18) 0 (cid:17) i (cid:16) (cid:18) (cid:3) (cid:0) (cid:18) (cid:17) b
w C L w O w F = (cid:22) d t + (cid:27) d W V V f (cid:18) h e r e w e c a n r e w r it e (cid:27) = (cid:25) (cid:18) b . W e t h e n h a v e i i i (cid:0) (cid:0) (cid:1) N 2 @ V 1 @ V (cid:22) = (cid:22) + (cid:27) (cid:27) V i i j @ (cid:25) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) i i j i i j = 1 X X X o n s id e r t h e t w o t e r m s s e p a r a t e ly (cid:3) n N N (cid:18) C (cid:18) i i (cid:3) @ V 0 (cid:0) (cid:18) (cid:18) b b (cid:25) (cid:21) (cid:22) = 2 (cid:18) 1 + j i i (cid:17) (cid:16) 0 @ (cid:25) 0 ( (cid:25) C ) 1 (cid:0) (cid:0) i k k k j i i = 1 = 1 = 1 (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) X X X (cid:3) @ @ A P N [(cid:25) (cid:3) ] C (cid:18) (cid:18) i i i (cid:3) (cid:0) (cid:25) (cid:21) (cid:18) 1 + (cid:18) (cid:18) = 2 j j i i (cid:16) (cid:17) ( (cid:25) C ) 1 0 (cid:0) (cid:0) k k k j i= 1 (cid:16) (cid:16) (cid:17) X X A @ P e n g t h y a lg e b r a a ls o s h o w s : 2 (cid:3) (cid:3) 2 1 @ V (cid:3) 0 0 (cid:3) 2 2 2 2 (cid:27) (cid:27) = (cid:27) (cid:18) (cid:18) b b (cid:18) (cid:27) 1 + ( b b ) 2 (cid:27) i j (cid:18) (cid:18) (cid:18) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i j i j (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) X X (cid:0) (cid:1) (cid:3) h e r e t h e o n ly t r ic k y p a r t is t o m a k e u s e o f t h e d e (cid:12) n it io n o f (cid:25) w h e n e v e r p o s s ib le a n d i 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 2 2 (cid:25) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) = (cid:25) (cid:18) = (cid:27) (cid:18) j j j j (cid:18) j (cid:0) (cid:0) (cid:0) j j (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) X X (cid:0) (cid:1) v e r a ll: (cid:3) N (cid:18) [(cid:25) (cid:3) ] C (cid:18) i i i (cid:3) 0 (cid:0) (cid:18) (cid:18) b b (cid:25) (cid:21) (cid:18) 1 + (cid:22) = 2 j j i i V (cid:17) (cid:16) ( (cid:25) C ) 1 0 (cid:0) (cid:0) k k k j i= 1 (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) X X (cid:3) (cid:3) 2 (cid:3) 0 0 0 (cid:3) 2 A @2 2 2 P + (cid:27) (cid:18) (cid:18) b b (cid:18) (cid:18) b b (cid:27) 1 + ( b b ) 2 (cid:27) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) 2 0 (cid:3) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) 2 2 (cid:0) (cid:1) = 2 E d (cid:27) ( b b (cid:18) E d (cid:18) 1 + (cid:18) (cid:18) b b + (cid:27) t t (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) h e r e b y d ir e c t c a lc u la t io n o n e c a n s h o w t h a t (cid:3) (cid:18) [(cid:25) (cid:3) ] C (cid:18) i i i (cid:3) (cid:3) i (cid:3) 0 2 (cid:0) (cid:18) = (cid:27) (cid:18) (cid:18) b b E d t (cid:18) (cid:17) (cid:16) 0 1 (cid:0) (cid:0) P (cid:25) C j j j (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) @ A (cid:16) (cid:17) P in a lly , (cid:3) N N (cid:18) C (cid:18) i i (cid:3) @ V (cid:0) (cid:27) = (cid:18) (cid:25) (cid:18) (cid:18) 1 + (cid:18) (cid:18) (cid:27) = V i i i i (cid:17) (cid:16) 1 @ (cid:25) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) i (cid:25) C i j j i = 1 = 1 j (cid:16) (cid:16) (cid:17) X X (cid:0) (cid:1) A @ (cid:16) (cid:17) P 3 8 j i 1 A 0 b b (cid:17) (cid:18) b (cid:17) n o t 0 2 ) 0 b b (cid:17) 0 b (cid:17) ic e 2 b a ls o t h a t
(cid:3) (cid:3) 0 2 2 = (cid:27) (cid:27) 1 + (cid:18) (cid:18) b b 2 b (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:1) F r o m h e r e , w e a ls o o b t a in 2 (cid:3) 0 0 (cid:3) 2 2 (cid:18) (cid:18) b b C o v ( d V ; d R ) = (cid:27) (cid:27) = 2 (cid:27) (cid:27) 1 + V S (cid:18) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:0) (cid:1) (cid:4) T h is c o n c lu d e s t h e p r o o f. P r o o f o f C o r o l l a r y 2 : L e t (cid:25) = (cid:25) . I n t h e t w o - s t a t e c a s e w it h (cid:20) = (cid:20) w e h a v e 2 1 2 (cid:3) (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( C C ) ( (cid:18) (cid:18) ) 2 1 2 1 (cid:18) (cid:18) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25) ( C C ) + C (cid:0) 2 1 2 (cid:0) 0 2 H e n c e , t h e v o la t ilit y fu n c t io n V in e q u a t io n ( 1 7 ) c a n b e w r it t e n a s V = (cid:27) (cid:27) + K X + K X w h e r e x 1 2 x (cid:0) 0 (cid:25) (cid:25) ( 1 ) 2 2 , K = 2 ( C C ) ( (cid:18) (cid:18) ) a n d K = ( C C ) ( (cid:18) (cid:18) ) b b . S in c e 0 < (cid:25) < 1 , X = g ( (cid:25) ) = 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 (cid:0) 2 1 1 (cid:25) C C C ( ) + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) w e h a v e t h a t t h e d o m a in o f X is t h e in t e r v a l [0 ; X ] fo r s o m e X . S in c e b o t h K a n d K a r e p o s it iv e , V 1 2 is in c r e a s in g o n [0 ; X ] a n d h e n c e it h a s a u n iq u e m a x im u m a t X . I n a d d it io n , w e s e e t h a t t h e fu n c t io n X = g ( (cid:25) ) h a s n e g a t iv e s e c o n d d e r iv a t iv e , im p ly in g t h a t it h a s a u n iq u e m a x im u m a s w e ll. H e n c e , w e c a n X = m a x g ( (cid:25) ) = g ( ^(cid:25) ) . I n c o n c lu s io n , t h e fu n c t io n V h a s a u n iq u e m a x im u m a t ^(cid:25) . S in c e d e (cid:12) n e ^(cid:25) s u c h t h a t (cid:25) t h e fu n c t io n is c o n t in u o u s , w e m u s t h a v e V < 0 if a n d o n ly if (cid:25) > ^(cid:25) . F in a lly , u s in g I t o ’s L e m m a w e c a n (cid:25) a lw a y s w r it e d V = (cid:22) d t + V d (cid:25) V (cid:25) ~ = ~(cid:22) d t + V (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) b d W V (cid:25) 2 1 (cid:0) (cid:0) fo r s o m e d r ift t e r m ~(cid:22) . H e n c e V d S 0 C o v d V ; = V (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) ( b (cid:27) ) (cid:25) 2 1 S S (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) d S I t fo llo w s t h a t t h e s ig n o f C o v d V ; is t h e s a m e a s t h e s ig n o f V , b e c a u s e a ll t h e o t h e r t e r m s a r e p o s it iv e . (cid:25) S (cid:4) (cid:0) (cid:1) P r o o f o f P r o p o s i t i o n 4 : S in c e w e h a v e 3 B r o w n ia n m o t io n s , w e n e e d 4 t r a d e d s e c u r it ie s in o r d e r t o o b t a in 1 5 a r is k le s s p o r t fo lio . O n e o f c o u r s e is S , a n d le t f fo r i = 1 ; 2 ; 3 b e t h r e e o t h e r t r a d e d s e c u r it ie s , e a c h i fo llo w in g t h e p r o c e s s d f i = (cid:22) d t + (cid:27) d W f i f i f i 1 5 f T h e fo llo w in g d e r iv a t io n is s t a n d a r d . S e e e .g . H u ll( 1 9 9 3 ) . 3 9
w h e r e (cid:0) n 1 2 @ f @ f @ f 1 @ f 0 i i i i 2 = f (cid:22) + ( (cid:22) (cid:14) ) S + (cid:22) + (cid:27) (cid:27) S + i f S j S i S 2 @ t @ S @ (cid:25) 2 @ S (cid:0) j j = 1 X (cid:0) (cid:0) n n 1 1 1 @ f 0 i + (cid:27) (cid:27) k j 2 @ (cid:25) @ (cid:25) k j j k = 1 = 1 X X (cid:0) n 1 @ f @ f i i f (cid:27) = S (cid:27) + (cid:27) i f i;‘ S ;‘ j ;‘ @ S @ (cid:25) j j = 1 X fo r ‘ = 1 ; 2 ; 3 , w h e r e (cid:27) is t h e ‘ - t h c o m p o n e n t in t h e v o la t ilit y v e c t o r (cid:27) . f i;‘ f i 3 H = N S + N f i i 0 i= 1 X w h e r e N ’s a r e t h e a m o u n t o f e a c h s e c u r it y in t h e p o r t fo lio . F r o m I t o ’s le m m i c h o o s in g N ’s s o t h a t fo r a ll ‘ = 1 ; 2 ; 3 i 3 N S (cid:27) + N f (cid:27) = 0 S ;‘ i i f i;‘ 0 i= 1 X I f H is r is k le s s , w e t h e n h a v e 3 3 N S (cid:22) + N f (cid:22) = r N S + N f S i i f i i i 0 0 ! i i = 1 = 1 X X o r 3 N S ( (cid:22) r ) + N f ( (cid:22) r ) = 0 S i i f i 0 (cid:0) (cid:0) i= 1 X T h e la s t e q u a t io n a n d ( 4 0 ) im p ly t h a t t h e r e m u s t b e , , s u c h t h a t 1 2 3 3 (cid:22) r = (cid:27) S ‘ S ;‘ (cid:0) ‘ = 1 X 3 (cid:22) r = (cid:27) f i ‘ f i;‘ (cid:0) ‘ = 1 X fo r a ll i ’s . U s in g t h e la s t e q u a lit y a n d t h e d e (cid:12) n it io n s o f (cid:22) a n d (cid:27) , a n d d r f i f i t h a t e v e r y d e r iv a t iv e s e c u r it y m u s t s a t is fy t h e fo llo w in g P D E (cid:0) (cid:0) n n 1 1 2 2 @ f @ f @ f 1 @ f @ f 0 2 + ( (cid:22) (cid:14) ) S + (cid:22) + + S (cid:27) (cid:27) (cid:27) S S j S S S 2 @ t @ S @ (cid:25) 2 @ S @ S @ (cid:25) (cid:0) j j j j = 1 = 1 X X 4 0 H o (cid:27) (cid:0) n j = X e n a w p p 0 + i 1 2 @ f i S (cid:27) S @ S @ (cid:25) j 1 c e , c o n s id e r e c a n m a k e in g h e s u b s c (cid:0) (cid:0) n n 1 1 1 2 @ j k = 1 = 1 X X 0 (cid:27) j t h e d H r ip t @ f (cid:25) @ k p r i (cid:25) o is , j r k w (cid:27) t fo lio le s s b ( 4 0 ( 4 1 e h a v 0 (cid:27) k j y ) ) e
= o r v e c t o r (cid:4) P r o o f in c r e a s H e n c e , i > k . u s in g (cid:25) P r o o f a m e a n W e t h e (cid:0) n 3 1 @ f @ f r f + S (cid:27) + (cid:27) ‘ S ;‘ j ;‘ 0 @ S @ (cid:25) 1 j j ‘ = 1 = 1 X X @ A (cid:0) n 1 3 2 @ f 1 @ f @ f @ f 0 2 (cid:27) + + S ( r (cid:14) ) + (cid:22) S (cid:27) (cid:27) r f = ‘ j ;‘ j S S 2 @ t @ S @ (cid:25) 2 @ S (cid:0) (cid:0) j ! j ‘ = 1 = 1 X X (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 1 1 1 2 @ f @ f 1 0 0 S (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) + + S k i j @ S @ (cid:25) 2 @ (cid:25) @ (cid:25) j k j j j k = 1 = 1 = 1 X X X 1 0 0 d c d S 2 F in a lly , c o m p a r in g ( 4 1 ) t o ( 1 2 ) a n d n o t ic in g t h a t C o v ; (cid:27) w e o b t a in = (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) c S c S 1 0 2 = ( ; ; ) = (cid:13) (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) . H e n c e t h e m a r k e t p r ic e o f (cid:25) r is k is c j 1 2 3 (cid:0) (cid:1) 3 1 d c 0 0 2 (cid:27) = (cid:13) (cid:25) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) = (cid:13) C o v ; d (cid:25) (cid:27) = (cid:13) (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) j j j ‘ j ;‘ c j c (cid:0) ‘ = 1 (cid:18) (cid:19) X o f L e m m a 2 : L e t t h e d is t r ib u t io n (cid:25) b e g iv e n , s o t h a t w e c a n t r e a t (cid:25) C a s a c o n s t a n t . i i i C i a r e m o n o t o n ic a lly in c r e a s in g . N o t ic e a ls o t h a t w e m u s t h a v e in g in i , w e a ls o h a v e P (cid:25) C P i i i C C n 0 < 1 < (cid:25) C (cid:25) C i i i i i i P P (cid:3) (cid:3) (cid:3) b y d e (cid:12) n it io n o f (cid:25) t h e r e m u s t e x is t a k s u c h t h a t w e h a v e t h a t (cid:25) < (cid:25) fo r i k a n d (cid:25) i i i i (cid:20) (cid:3) S in c e (cid:18) < ::: < (cid:18) , t h e ir a v e r a g e c o m p u t e d u s in g (cid:25) m u s t b e g r e a t e r t h a n t h e ir a v e r a g e c n 1 (cid:3) (cid:4) (cid:18) > (cid:18) . . H e n c e o f P r o p o s i t i o n 5 : P a r t ( a ) is im m e d ia t e fr o m L e m m a 2 . ( b ) L e t (cid:25) b e a m e a n p r e s e r v in g s p r e a d o f t h e d is t r ib u t io n (cid:25) . I f f = C ( (cid:18) (cid:18) ) is c o n i i i n (cid:2) (cid:0) n n p r e s e r v in g s p r e a d in c r e a s e s b o t h t h e q u a n t it y f (cid:25) a n d t h e q u a n t it y C (cid:25) , t h a t i i i i i i = 1 = 1 b P P n n n n f (cid:25) < f (cid:25) < 0 < C (cid:25) < C (cid:25) i i i i i i i i i i i i = 1 = 1 = 1 = 1 X X X X b b n h a v e n n n n n C (cid:25) ( (cid:18) (cid:18) ) C (cid:25) (cid:18) C (cid:25) ( (cid:18) (cid:18) ) i i i i i i i i i n i i i = 1 = 1 = 1 = (cid:25) (cid:18) = + (cid:18) (cid:25) (cid:18) (cid:0) (cid:0) n i i i i n n n C (cid:25) C (cid:25) C (cid:25) (cid:0) (cid:0) i i i i i i i i i = 1 = 1 = 1 i i = 1 = 1 P P P X X n b b b n P P P (cid:25) f i i b b i= 1 + (cid:18) (cid:25) (cid:18) = n i i b b b n C (cid:25) (cid:0) i i i= 1 i= 1 P X n b n n P (cid:18) ) (cid:25) f C (cid:25) ( (cid:18) i i i i i b i i = 1 = 1 > + (cid:18) (cid:25) (cid:18) = (cid:0) n i i b n n C (cid:25) C (cid:25) (cid:0) i i i i i i = 1 = 1 i= 1 P P X P P 4 1 t h I f > o m v e is a C (cid:25) p x t i i u t t h e a r e fo r t e d h e n
H e n c e , a m e a n p r e s e r v in g s p r e a d in c r e a s e s t h e q u a n t it y 2 n n C (cid:25) ( (cid:18) (cid:18) ) C (cid:25) ( (cid:18) (cid:18) ) 0 0 i i i i i i 0 i i = 1 = 1 (cid:27) (cid:27) = (cid:27) (cid:27) + 2 + b b (cid:0) (cid:0) S x n n S x C (cid:25) C (cid:25) i i i i i i = 1 = 1 ! P P P P (cid:0) 0 0 0 1 ( c ) S in c e b b = ( 1 ; 1 ; 0 ) ( (cid:6) (cid:6) ) ( 1 ; 1 ; 0 ) = ( v + v ) w h e r e v is t h e i j - t h e e le m e n t o ij 1 1 2 2 (cid:2) (cid:2) 2 w e s e e im m e d ia t e ly t h a t d e c r e a s in g (cid:27) im p lie s in c r e a s in g v = 1 = (cid:27) . T h e r e s u lt fo llo w s im m e d e 2 2 2 e 2 P r o o f o f P r o p o s i t i o n 6 : I n c a s e s ( I ) a n d ( I I ) w e c a n r e w r it e C ( G ( (cid:13) ) (cid:18) ) 1 1 C = (cid:2) (cid:0) i G ( (cid:13) ) (cid:18) i (cid:0) F r o m t h e d e (cid:12) n it io n o f t h e d iv id e n d y ie ld a n d t h e a p p lic a t io n o f t h e c h a in r u le , it is im m e d ia t e t o t h e d iv id e n d y ie ld is in c r e a s in g in (cid:13) . W e n o w s h o w t h a t n C (cid:25) (cid:18) i i i i= 1 V = n C (cid:25) i i i= 1 P P is d e c r e a s in g in (cid:13) . T h e r e s u lt im m e d ia t e ly fo llo w s . S p e c i(cid:12) c a lly , b e c a u s e @ V @ V 0 = G ( (cid:13) ) @ (cid:13) @ G (cid:2) w e ju s t s h o w t h a t t h e (cid:12) r s t t e r m is n e g a t iv e . F ir s t n o t ic e t h a t n 1 (cid:25) (cid:18) i i (cid:0) i= 1 G (cid:18) i V = n (cid:17) (cid:16) 1 P (cid:25) i (cid:0) i G (cid:18) = 1 i (cid:16) (cid:17) P w h e r e G = G ( (cid:13) ) . U s in g t h e s a m e s t e p s a s in t h e p r o o f o f L e m m a 3 .2 ( c ) in V e r o n e s i ( 1 9 9 8 ) w e o @ V < 0 if a n d o n ly if @ G n n (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:25) (cid:18) > (cid:25) (cid:18) i i i i i i = 1 = 1 X X w h e r e n (cid:25) i 1 (cid:3) 2 (cid:0) (cid:0) G (cid:18) (cid:25) (cid:3) (cid:3) i ( )i = 1 G (cid:18) i i = (cid:25) = n n i (cid:25) i 1 2 2 G (cid:18) i (cid:0) (cid:0) i= 1 G (cid:18) i G (cid:18) ( ) = 1 i ! ( )i P (cid:0) (cid:3) P P a n d (cid:25) is d e (cid:12) n e d in t h e p r o o f o f p r o p o s it io n 3 . S in c e t h e la s t p a r e n t h e s is is in d e p e n d e n t o f i a n d s (cid:3) (cid:3) (cid:3) is d e c r e a s in g in i , w e h a v e t h a t (cid:25) > (cid:25) fo r h ig h in d ic e s i a n d v ic e v e r s a . H e n c e , t h e a v e r a g e i i (cid:3) (cid:3) (cid:3) u s in g t h e d is t r ib u t io n (cid:25) m u s t b e h ig h e r t h a n t h e a v e r a g e c o m p u t e d u s in g t h e d is t r ib u t io n (cid:25) . F in a lly , c a s e ( I I I ) is im m e d ia t e fr o m d ir e c t c o m p u t a t io n : fr o m t h e r e s u lt s in p r o p o s it io w r it e : G ( (cid:13) ) (cid:18) + (cid:21) + (cid:21) G ( (cid:13) ) (cid:18) + (cid:21) + (cid:21) 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ; C = C = (cid:0) (cid:0) 1 2 D D 4 2 f ia s b in c n ( (cid:6) t e h o t a c e o m 1 ( 4 2 ) (cid:0) 0 1 (cid:6) ) , (cid:4) ly . w t h a t in t h a t ( 4 3 ) G (cid:18) i (cid:0) p u t e d w e c a n ( 4 4 )
w h e r e D is ju s t a p o s it iv e c o m m o n d e n o m in a t o r . H e n c e , w e c a n r e w r it e A = C C = ( (cid:18) (cid:18) ) = D a n d 2 1 2 1 (cid:0) (cid:0) 1 0 2 t h e r a t io : B = A = ( G ( (cid:13) ) (cid:18) + (cid:21) + (cid:21) ) = ( (cid:18) (cid:18) ) S in c e it is im m e d ia t e t o r e w r it e (cid:27) = (cid:19) ( (cid:6) (cid:6) ) + ( (cid:25) ( 1 S x 2 2 1 1 2 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 (cid:4) (cid:25) ) b ) = ( (cid:25) + B = A ) ; w e s e e t h a t G ( (cid:13) ) > 0 im p lie s t h a t (cid:27) (cid:27) d e c r e a s e s w it h (cid:13) . S S A p p e n d i x 2 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 7 T h e F o u r ie r T r a n s fo r m o f t h e s t a t e - r e t u r n d e n s it y fu n c t io n o v e r p r im it iv e s t a t e s c a n b e c h a r a c t e r iz e d b y t h e u s u a l F o k k e r - P la n c b a c k w a r d e q u a t io n ( c .f., fo r e x a m p le K a r lin a n d T a y lo r 1 9 8 2 ) , (cid:0) w h ic h is t h e f u n d a m e n t a l P D E a b o v e ( 3 0 ) a lo n g w it h t h e in it ia l c o n d it io n f ( z ; (cid:25) ; 0 ) = (cid:14) , w h e r e (cid:14) s t a n d s t t z z t fo r t h e D ir a c fu n c t io n , a n d t h e la s t a r g u m e n t o f f ( ; ) d e n o t e s t im e t o m a t u r it y . S u b s t it u t in g z = lo g S in t o (cid:1) (cid:1) a n d le t t in g (cid:28) T t b e t h e t im e t o m a t u r it y im p lie s t h a t t h e fu n d a m e n t a l P D E c a n b e w r it t e n a s (cid:17) (cid:0) 0 2 2 2 1 @ f A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b @ f A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) ( (cid:18) (cid:18) ) 0 2 1 r (cid:14) (cid:27) (cid:27) + + r ( (cid:25) ) f = + 2 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 @ (cid:28) @ z 2 (cid:25) A + B (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:25) A + B ) " ! # 0 2 2 2 2 @ f A (cid:25) ( 1 1 @ f A (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b (cid:3) 0 + + 2 ( ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:13) ( (cid:20) (cid:20) ) ) + (cid:27) (cid:27) + (cid:0) (cid:0) x 1 2 2 1 2 1 x 2 2 @ (cid:25) 2 @ z (cid:25) A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:25) A + B ) 0 2 2 2 2 (cid:25) ( 1 (cid:25) ) A b b @ f 1 @ f 0 0 2 2 + (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:27) b (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b b : + + (cid:0) x 2 @ z @ (cid:25) (cid:25) A + B 2 @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 0 W e r e c a ll t h a t r ( (cid:25) ) = (cid:30) + (cid:13) ( (cid:20) (cid:25) + (cid:20) ( 1 (cid:25) ) ) 1 = 2 (cid:13) ( (cid:13) + 1 ) (cid:27) (cid:27) in e q u ilib r iu m . D e (cid:12) n e c 2 1 c (cid:0) (cid:0) (cid:3) A ( (cid:25) ) = ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:13) ( (cid:20) (cid:20) ) ; 1 1 2 2 1 1 2 (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 2 2 2 A b b ( 1 (cid:25) ) (cid:25) 2 A ( 1 (cid:25) ) (cid:25) b (cid:27) 0 x A ( (cid:25) ) = + (cid:27) (cid:27) ; + (cid:0) (cid:0) x 2 x 2 (cid:25) A + B ( (cid:25) A + B ) 0 2 2 A b b ( 1 (cid:25) ) (cid:25) + ( 1 (cid:25) ) (cid:25) ( (cid:18) (cid:18) ) ; a n d , A ( (cid:25) ) = (cid:0) 1 2 3 (cid:25) A + B (cid:0) (cid:0) 0 2 2 A ( (cid:25) ) = b b (cid:25) ( 1 (cid:25) ) : 4 (cid:0) T a k in g a F o u r ie r T r a n s fo r m o n b o t h s id e s o f t h e P D E ( 4 5 ) w it h r e s p e c t t o z a n d u s in g t h e fr e q u e n c y p v a r ia b le ! a n d i = 1 , im p lie s 1 (cid:0) (cid:22) (cid:22) @ f 1 @ f (cid:22) (cid:22) r ( (cid:25) ) f = i ! f r (cid:14) A ( (cid:25) ) + A ( (cid:25) ) 1 2 1 @ (cid:28) 2 @ (cid:25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 2 2 (cid:22) (cid:22) ! @ f @ f 1 1 (cid:22)f A ( (cid:25) ) i ! A ( (cid:25) ) + A ( (cid:25) ) : ( 4 6 ) 2 1 3 4 2 2 @ (cid:25) @ (cid:25) 2 (cid:0) (cid:0) 1 i! z t (cid:22) w it h in it ia l c o n d it io n f ( ! ; (cid:25) ; 0 ; z ) = e ( n o t ic e t h a t t h e F o u r ie r T r a n s fo r m d e p e n d s o n t h e in it ia l lo g t 1 p r ic e , z ) . N o w t a k in g a n o t h e r F o u r ie r T r a n s fo r m o n b o t h s id e s o f t h e P D E ( 4 6 ) w it h r e s p e c t t o t h e t im e t 4 3 (cid:25) ) + ( (cid:18) B 2 (cid:0) (cid:18) ) 1 ( 4 ! 5 )
v a r ia b le a n d u s in g ! a s t h e fr e q u e n c y v a r ia b le im p lie s t h a t 2 2 1 ! 1 1 i! z 1 t ^ ^ ^ e = f r + i ! i ! ( r (cid:14) A ( (cid:25) ) ) A ( (cid:25) ) + f ( A ( (cid:25) ) i ! A ( (cid:25) ) ) + f A ( (cid:25) ) : ( 4 7 ) (cid:25) (cid:25) (cid:25) 2 1 2 2 1 1 3 4 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) N o w s u p p r e s s in g ! a n d ! fo r t h e t im e b e in g , w e fu r t h e r d e (cid:12) n e 1 2 1 h ( (cid:25) ) = A ( (cid:25) ) 1 4 2 h ( (cid:25) ) = A ( (cid:25) ) i ! A ( (cid:25) ) ; 2 1 1 3 (cid:0) 2 1 ! 1 r ( (cid:25) ) h ( (cid:25) ) = r ( (cid:25) ) + i ! i ! A ( (cid:25) ) 3 2 1 2 (cid:25) A + B 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18) (cid:19) 1 i! z t ^ ^ ^ ( 4 7 ) c a n a ls o b e w r it t e n c o n c is e ly a s e = h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f . F o r g iv e n ! , ! , ( 4 7 ) is a n (cid:25) (cid:25) (cid:25) 1 2 3 1 2 (cid:0) O D E in (cid:25) w it h n o k n o w n e x p lic it a n a ly t ic a l s o lu t io n . L o o k in g a h e a d , it is e v id e n t t h a t t h e s o lu t io n o f t h e s y s t e m o f d i(cid:11) e r e n c e e q u a t io n s t h a t w ill s o lv e t h e O D E ( p r o v id e d a t t h e e n d o f t h is p r o o f ) is h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 1 in t h e fo r c in g t e r m h . A n t ic ip a t in g a fu t u r e fo u r ie r in v e r s io n w it h r e s p e c t t o ! , w e (cid:12) r s t s o lv e 0 2 ^ ^ ^ t h e s lig h t ly s im p le r e q u a t io n 1 = h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f . D u e t o h o m o g e n e it y , t h e in v e r s e fo u r ie r (cid:25) (cid:25) (cid:25) 1 2 3 (cid:0) 1 i! z t t im e s t h e f o u r ie r t r a n s fo r m o f t h e s o lu t io n o f t h e (cid:12) r s t e q u a t io n w it h r e s p e c t t o ! , w ill c o in c id e w it h e 2 (cid:0) 1 i! z t w ill p a s s in v e r s io n w it h r e s p e c t t o ! o f t h e s o lu t io n o f t h e la t t e r e q u a t io n ( t h e lo g ic is s im p ly t h a t e 2 (cid:0) o u t o f t h e in t e g r a l fo r t h e fo u r ie r in v e r s io n w it h r e s p e c t t o ! ) . 2 ^ ^ ^ W e s o lv e 1 = h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f + h ( (cid:25) ) f w it h a s e r ie s s o lu t io n a b o u t a n o r d in a r y p o in t o f t h e (cid:25) (cid:25) (cid:25) 1 2 3 (cid:0) O D E ( c .f., fo r e x a m p le , R a in v ille 1 9 6 4 , B o y c e a n d D iP r im a 1 9 9 7 ) . B e c a u s e A ( 0 ) = A ( 1 ) = 0 , 0 a n d 1 a r e 4 4 s in g u la r p o in t s o f t h e O D E . H o w e v e r , 0 :5 is a n o r d in a r y p o in t o f t h e O D E , a n d t h e s o lu t io n c a n b e w r it t e n in t h e fo r m 1 n ^f ( ! ; (cid:25) ; ! ) = a ( (cid:25) :5 ) : ( 4 8 ) n 1 2 (cid:1) (cid:0) n = 0 X D e (cid:12) n e t h e fu n c t io n s ( A ( (cid:25) ) i ! A ( (cid:25) ) ) h ( (cid:25) ) 1 1 3 2 p ( (cid:25) ) = (cid:0) 1 h ( (cid:25) ) (cid:17) A ( (cid:25) ) 1 4 2 2 r + i ! i ! ( r (cid:14) ) ! A ( (cid:25) ) h ( (cid:25) ) 2 1 2 3 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) q ( (cid:25) ) = 1 h ( (cid:25) ) (cid:17) A ( (cid:25) ) 1 4 2 (cid:0) (cid:1) B y T h e o r e m 5 .3 .1 in B o y c e a n d D iP r im a ( 1 9 9 7 ) , t h e r a d iu s o f c o n v e r g e n c e o f t h e s e r ie s s o lu t io n s 1 6 is a t le a s t a s la r g e a s t h e m in im u m o f t h e r a d ii o f c o n v e r g e n c e o f t h e s e r ie s fo r p a n d q . I t is w e ll k n o w n t h a t , w h e n p a n d q a r e r a t io s o f c o m p le x p o ly n o m ia ls ( a s is t h e c a s e ) , t h e n c o n v e r g e n t s e r ie s e x is t fo r t h e s e 1 A ( (cid:25) ) = 0 : F u r t h e r , t h e r a d iu s fu n c t io n s a t (cid:25) w h e n t h e d e n o m in a t o r s e r ie s o f p a n d q d o e s n o t v a n is h , i.e ., 4 0 0 2 6 o f c o n v e r g e n c e o f p a n d q is a t le a s t a s la r g e a s t h e d is t a n c e fr o m (cid:25) t o t h e n e a r e s t z e r o o f t h e d e n o m in a t o r 0 1 6 T h is t h e o r e m h a s b e e n a t t r ib u t e d t o I m m a n u e l L a z a r u s F u c h s b y s e v e r a l a u t h o r s . S e e a ls o T h e o r e m 2 0 in R a in v ille ( 1 9 6 4 ) . 4 4
s e r ie s . T h e r e fo r e , a s e r ie s s o lu t io n o f t h e fo r m in ( 4 8 ) c o n v e r g e s a t le a s t fo r a ll (cid:25) ( 0 ; 1 ) . T h e d i(cid:11) e r e n c e 2 e q u a t io n t o b e s a t is (cid:12) e d b y t h e a , fo r n = 2 ; ; , is p r o v id e d b e lo w . n (cid:1) (cid:1) (cid:1) 1 D a v id ( 1 9 9 7 ) ( P r o p e r t y 1 ) s h o w e d t h a t t h e u p d a t in g p r o c e s s (cid:25) h a s ‘e n t r a n c e ’ b o u n d a r ie s a t 0 t f g a n d 1 ; n e it h e r b o u n d a r y c a n b e r e a c h e d fr o m t h e in t e r io r o f t h e s t a t e s p a c e , b u t it is p o s s ib le t o c o n s id e r p r o c e s s e s t h a t b e g in t h e r e . I n s u c h c a s e s , it is im p o s s ib le t o im p o s e a r b it r a r y b o u n d a r y c o n d it io n s o n t h e O D E ( 4 7 ) a t 0 a n d 1 . T h e b o u n d a r y c o n d it io n s a r e d e t e r m in e d im p lic it ly b y fo r m u la t in g t h e s a m e O D E a s (cid:25) 0 ; 1 . S in c e h ( 0 ) = h ( 1 ) = 0 , t o s a t is fy t h e e n t r a n c e b o u n d a r y c o n d it io n s a t 0 a n d 1 , t h e c o e (cid:14) c ie n t s 1 1 ! a , n = 1 ; ; M , m u s t a ls o s a t is fy t h e e q u a t io n s : n (cid:1) (cid:1) (cid:1) ^ ^ h ( 0 ) f ( 0 ) + h ( 0 ) f ( 0 ) = 1 ; ( 4 9 ) (cid:25) 2 3 (cid:1) (cid:1) (cid:0) ^ ^ h ( 1 ) f ( 1 ) + h ( 1 ) f ( 1 ) = 1 : ( 5 0 ) (cid:25) 2 3 (cid:1) (cid:1) (cid:0) M M n ^ B e c a u s e w e a p p r o x im a t e t h e s e r ie s s o lu t io n ( 4 8 ) b y a (cid:12) n it e e x p a n s io n f = a ( ! ; ! ) ( (cid:25) :5 ) , n 1 2 n = 0 (cid:1) (cid:0) M M M n M n ^ ^ s u b s t it u t in g f ( 0 ) = a ( :5 ) , a n d f ( 1 ) = a ( :5 ) in t o ( 4 9 ) a n d ( 5 0 ) p r o v id e t w o fu r t h e r n n P n n = 0 = 0 (cid:1) (cid:0) (cid:1) e q u a t io n s in a , n = 0 ; ; M . T h e r e fo r e , o v e r a ll t h e r e a r e M e q u a t io n s in m u n k n o w n s , a n d s in c e n o n e o f n P P (cid:1) (cid:1) (cid:1) t h e e q u a t io n s is r e d u n d a n t , t h e y p e r m it a u n iq u e s o lu t io n o f ( a ; a ; ; a ) . M 0 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1) T h e c o e (cid:14) c ie n t s a , n = 0 ; ; M , s a t is fy in g t h e d i(cid:11) e r e n c e e q u a t io n s h o w n b e lo w , a r e e a c h p o ly - n (cid:1) (cid:1) (cid:1) n o m ia ls in ! a n d ! , a n d w e c a n w r it e t h e s e a s fu n c t io n s a ( ! ; ! ) . P e r fo r m in g a t e r m - b y - t e r m n u m e r ic a l n 1 2 1 2 n fo u r ie r in v e r s io n ( t h e t e r m s ( (cid:25) :5 ) p a s s o u t o f t h e in t e g r a t io n ) o f t h e s o lu t io n ( 4 8 ) w it h r e s p e c t t o ! 2 (cid:0) u s in g t h e F o u r ie r in v e r s io n fo r m u la p r o v id e s 1 1 (cid:0) (cid:0) 2 i! T t ( ) b ( ! ; T t ) = R e e a ( ! ; ! ) d ! : ( 5 1 ) n n 1 1 2 2 (cid:5) (cid:0) 0 Z h i O v e r a ll, t h e M - t e r m a p p r o x im a t e s o lu t io n t o t h e F o u r ie r T r a n s fo r m o f t h e s t a t e r e t u r n d e n s it y fu n c t io n is 1 7 g iv e n b y M 1 M i! z n t (cid:22)f ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = e b ( ! ; T t ) ( (cid:25) :5 ) : t n 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) n = 0 X A s e c o n d n u m e r ic a l fo u r ie r in v e r s io n , a s s h o w n b e lo w P r o p o s it io n 7 , t h e n p r o v id e t h e v a lu e s o f t h e p r im it iv e s e c u r it ie s u s e d fo r p r ic in g o p t io n s . T h is is c o m p le t e ly a n a lo g o u s t o t h e s o lu t io n s fo r o p t io n p r ic in g w it h s t o c h a s t ic ju m p s a n d s t o c h a s t ic v o la t ilit y s u c h a s in H e s t o n ( 1 9 9 3 ) , B a t e s ( 1 9 9 6 ) , B a k s h i e t a l. ( 1 9 9 7 ) , a n d S c o t t ( 1 9 9 7 ) . C o e (cid:14) c i e n t s f o r t h e D i (cid:11) e r e n c e E q u a t i o n W e e x p lic it ly p r o v id e t h e d i(cid:11) e r e n c e e q u a t io n t h a t m u s t b e s a t is (cid:12) e d b y t h e c o e (cid:14) c ie n t s a , fo r n n = 2 ; ; M . in t h e (cid:12) n it e a p p r o x im a t io n o f t h e s e r ie s s o lu t io n ( 4 8 ) . W e s t a r t b y m a k in g t h e (cid:12) n it e T a y lo r (cid:1) (cid:1) (cid:1) 1 7 W r it in g t h e F o u r ie r T r a n s fo r m in t h is fo r m r a t h e r t h a n p e r fo r m in g a d o u b le fo u r ie r in v e r s io n o n t h e s o lu t io n ( 4 8 ) w ill b e a d v a n t a g e o u s in t h e fo r m u la t io n o f t h e ‘d e lt a ’ o f t h e o p t io n p r ic e w it h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r ic e . 4 5
S e r ie s e x p a n s io n s o f t h e c o e (cid:14) c ie n t fu n c t io n s o f t h e O D E ( 4 7 ) . W e d e (cid:12) n e ( h ) fo r q = 1 t o q = Q a s t h e v e c t o r iq 2 o f c o e (cid:14) c ie n t s o f h ( (cid:25) A + B ) fo r i = 1 ; 2 ; 3 . I t c a n b e e a s ily v e r i(cid:12) e d t h a t Q e q u a ls 7 ,6 , a n d 5 r e s p e c t iv e ly i (cid:1) 2 fo r h , h , a n d h r e s p e c t iv e ly . S im ila r ly h , q = 1 ; 2 ; 3 a r e t h e c o e (cid:14) c ie n t s o f t h e e x p a n s io n o f ( (cid:25) A + B ) . q 1 2 3 0 (cid:0) T o s a t is fy t h e O D E ( 4 7 ) s t a n d a r d s e r ie s s o lu t io n s m e t h o d s ( c .f., fo r e x a m p le , R a in v ille 1 9 6 4 , B o y c e a n d D iP r im a 1 9 9 7 ) im p ly t h a t t h e c o e (cid:14) c ie n t s m u s t s a t is fy t h e fo llo w in g r e c u r s iv e s y s t e m o f e q u a t io n s . h = h 2 a + h a + h a ; 0 1 1 1 2 2 1 1 3 1 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) h = h 2 3 a + h 2 a + h 2 a + h a + h a + h a ; 0 2 1 1 3 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 3 2 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) h = h 3 4 a + h 2 3 a + h 1 2 a + h 3 a + h 2 a + h a + h a 0 3 1 1 4 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 2 2 2 3 1 3 1 2 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + h a + h a ; 3 2 1 3 3 0 (cid:1) (cid:1) 0 = h 4 5 a + h 4 3 a + h 3 2 a + h 2 a + h 4 a + h 3 a 1 1 5 1 2 4 1 3 3 1 4 2 2 1 4 2 2 3 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + h 2 a + h a + h a + h a + h a + h a ; 2 3 2 2 4 1 3 1 3 3 2 2 3 3 1 3 4 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) 0 = h 5 6 a + h 4 5 a + h 3 4 a + h 2 3 a + h 2 a + h 5 a 1 1 6 1 2 5 1 3 4 1 4 3 1 5 2 2 1 5 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + h 4 a + h 3 a + h 2 a + h a + h a + h a + h a + h a + 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 1 3 1 4 3 2 3 3 3 2 3 4 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) 0 = h 6 7 a + h 5 6 a + h 4 5 a + h 3 4 a + h 2 3 a + h 1 2 a 1 1 7 1 2 6 1 3 5 1 4 4 1 5 3 1 6 2 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + h 6 a + h 5 a + h 4 a + h 3 a + h 2 a + h a + h a 2 1 6 2 2 5 2 3 4 2 4 3 2 5 2 2 6 1 3 1 5 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + h a + h a + h a + h a ; 3 2 4 3 3 3 3 4 2 3 5 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) 0 = h ( m + 2 ) ( m + 1 ) a + h ( m + 1 ) ( m ) a + h ( m ) ( m 1 ) a m m m 1 1 + 2 1 2 + 1 1 3 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + h ( m 1 ) ( m 2 ) a + h ( m 2 ) ( m 3 ) a + h ( m 3 ) ( m 4 ) a m m m 1 4 1 1 5 2 1 6 (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) + h ( m 4 ) ( m 5 ) a + h ( m + 1 ) a + h ( m ) a + h ( m 1 ) a m m m m 1 7 4 2 1 + 1 2 2 2 3 1 (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + h ( m 2 ) a + h ( m 3 ) a + h ( m 4 ) a + h a + h a m m m m m 2 4 2 2 5 3 2 6 4 3 1 3 2 1 (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + h a + h a + h a ; fo r m 6 : m m m 3 3 2 3 4 3 3 5 4 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:21) T o a p p r o x im a t e t h e s o lu t io n b y a s e r ie s o f le n g t h M , t h e s e t o f M - 2 e q u a t io n s a r e r e c u r s iv e ly s o lv e d f o r a , n n = 2 ; ; M , a s fu n c t io n s o f a , a n d a . T h e b o u n d a r y c o n d it io n s p r o v id e t h e t w o r e m a in in g e q u a t io n s t o 0 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4) s o lv e t h e O D E . P r o o f o f L e m m a 3 . W e c lo s e ly fo llo w t h e a n a ly s is in C h a p t e r 1 5 o f K a r lin a n d T a y lo r ( 1 9 8 2 ) . I n t h e t w o s t a t e c a s e t h e p o s t e r io r p r o b a b ilit y fo llo w s t h e d i(cid:11) u s io n p r o c e s s d (cid:25) = (cid:22) ( (cid:25) ) d t + (cid:27) ( (cid:25) ) d W ( 5 2 ) T h e s t a t io n a r y d e n s it y , (cid:9) ( x ) , o f t h e d i(cid:11) u s io n p r o c e s s ( 5 2 ) m u s t s a t is fy 2 1 @ @ 2 [(cid:27) ( y ) ( y ) ] [(cid:22) ( y ) ( y ) ] = 0 ; 2 2 @ y @ y (cid:1) (cid:0) (cid:1) 4 6 3 h 3 5 (cid:1) a 0 ;
(cid:3) w h e r e u n d e r t h e r is k - n e u t r a l m e a s u r e (cid:22) ( (cid:25) ) = ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) (cid:13) (cid:25) ( (cid:20) (cid:22)(cid:20) ) , (cid:27) ( (cid:25) ) = (cid:25) ( 1 (cid:25) ) b , a n d 1 2 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:3) 1 2 (cid:21) (cid:25) = S o lv in g t h e d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n y ie ld s : 2 1 2 1 (cid:21) (cid:21) + ( x ) = m ( x ) [C S ( x ) + C ]; 1 2 x x 2 2 w h e r e s ( x ) = e x p 2 [(cid:22) [y ]= (cid:27) ( y ) ]d y , S ( x ) = s ( x ) , a n d m ( x ) = 1 = [(cid:27) ( x ) s ( x ) ]; C a n d C a r e c o n s t a n t s 1 2 (cid:0) r t h a t g u a r a n t e e t h a t ( x ) 0 o n ( 0 ; 1 ) a n d ( (cid:24) ) d (cid:24) = 1 . B e c a u s e 0 a n d 1 a r e b o t h e n t r a n c e b o u n d a r ie s (cid:0) (cid:1) R R l (cid:21) fo r (cid:25) , S ( x ) a s x 0 o r x 1 . I n t h is c a s e , C is c h o s e n e q u a l t o z e r o a n d t h e s t a t io n a r y d e n s it y is t 2 R ! 1 ! ! m ( x ) ( x ) = : 1 m ( (cid:24) ) d (cid:24) 0 R N o w s u b s t it u t in g (cid:22) ( x ) , a n d (cid:27) ( x ) in t o m ( x ) , c o m p le t e s t h e p r o o f. T h e s t a t io n a r y d e n s it y u n d e r t h e t r u e (cid:3) (cid:4) m e a s u r e is o b t a in e d b y fo llo w in g t h e s a m e s t e p s , w it h (cid:22) ( (cid:25) ) = ( (cid:21) + (cid:21) ) ( (cid:25) (cid:25) ) . 1 2 2 1 (cid:0) M (cid:22) P r o o f o f C o r o l l a r y 7 . U s in g t h e M t e r m p o ly n o m ia l a p p r o x im a t io n o f t h e F o u r ie r T r a n s fo r m f ( ! ; (cid:25) ; T 1 (cid:0) M n t ; z ) in ( 6 ) a n d t h e c h a r a c t e r iz a t io n in P r o p o s it io n 7 , B ( (cid:25) ; T t ) = b ( 0 ; T t ) ( (cid:25) :5 ) , a n d t h e r e fo r e t t n n = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) M M (cid:0) n n z 1 t b ( 1 = i ; T t ) ( (cid:25) :5 ) , B ( (cid:25) ; T t ) = n b ( 0 ; T t ) ( (cid:25) :5 ) . S im ila r ly , G ( (cid:25) ; T t ; z ) = e n (cid:25) t n t t P n n = 0 = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M (cid:0) n z 1 t n b ( 1 = i ; T t ) ( (cid:25) :5 ) . T h e fu n c t io n s g a n d G ( (cid:25) ; T t ; z ) = G = S , a n d G ( (cid:25) ; T t ; z ) = e n S t t (cid:25) t t 1 P P n = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g in ( 3 2 ) a n d ( 3 3 ) c a n b e w r it t e n a s s e r ie s w h o s e p a r t ia l d e r iv a t iv e s a r e e v id e n t : 2 P M 1 n i! z t b ( 1 = i + ! ; T t ) ( (cid:25) :5 ) e n 1 n = 0 g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = (cid:0) (cid:0) t 1 1 M n (cid:0) b ( 1 = i ; T t ) ( (cid:25) :5 ) n n = 0 P (cid:0) (cid:0) M 1 n i! z t b ( ! ; T t ) ( (cid:25) :5 ) e n 1 n = 0 P g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) = : (cid:0) (cid:0) t 2 1 M n (cid:0) b ( 0 ; T t ) ( (cid:25) :5 ) n n = 0 P (cid:0) (cid:0) P N o w b y p a s s in g p a r t ia l d e r iv a t iv e s u n d e r t h e in t e g r a l o f t h e fo u r ie r in v e r s io n , o n e o b t a in s t h e d e s ir e d fu n c t io n s ; fo r e x a m p le , 1 (cid:0) 1 i! K lo g 1 g ( ! ; (cid:25) ; T t ; z ) e j (cid:25) t t 1 (cid:5) ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) = R e d ! : j (cid:25) t t (cid:0) 1 (cid:5) i ! (cid:0) 1 0 (cid:20) (cid:21) Z (cid:4) F in a lly , u s in g t h e p r o d u c t a n d c h a in r u le s o f d i(cid:11) e r e n t ia t io n p r o v id e t h e s t a t e d e x p r e s s io n s . 4 7
R A A B B B B B B C e f e r e n c e s i t - S a h a l i a , Y a c i n e , \ M a x i m u m - L i k e l i h o o d E s t i m a t i o n o f D i s c r e t e l y - S a m p l e d D i (cid:11) u s i o n s : A C l o s e d - F o r m A p p r o a c h ," T e c h n i c a l R e p o r t , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y 1 9 9 8 . k a i k e , H i r o t u g u , \ I n f o r m a t i o n T h e o r y a n d t h e E x t e n s i o n o f t h e M a x i m u m L i k e l i h o o d P r i n c i - 2 n d I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n I n f o r m a t i o n p l e ," i n B o r i s N . P e t r o v a n d F r i g y e s C s a k i , e d s ., T h e o r y , B u d a p e s t , H u n g a r y : A k a i l s e o n i a i - K i u d o , 1 9 7 3 . a k s h i , G u r d i p a n d D i l i p M a d a n T h e J o u r n a l , \ S p a n n i n g a n d D e r i v a t i v e S e c u r i t y V a l u a t i o n ," o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s ( F o r t h c o m i n g ) , 1 9 9 9 . , C h a r l e s C a o , a n d Z h i w u C h e n , \ E m p i r i c a l P e r f o r m a n c e o f A l t e r n a t i v e O p t i o n P r i c i n g T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 5 2 M o d e l s ," , 1 9 9 7 , ( 5 ) , 2 0 0 3 { 2 0 5 1 . , , a n d , \ D o C a l l P r i c e s a n d t h e U n d e r l y i n g S t o c k A l w a y s M o v e i n t h e S a m e T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s ( F o r t h c o m i n g ) D i r e c t i o n ," , 1 9 9 9 . a t e s , D a v i d S . , \ J u m p s a n d S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y : E x c h a n g e R a t e P r o c e s s e s I m p l i c i t i n P H L X T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 9 D e u t s c h e M a r k O p t i o n s ," , 1 9 9 6 , ( 1 ) , 6 9 { 1 0 7 . J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s , \ P o s t - ’8 7 C r a s h F e a r s i n t h e S & P 5 0 0 F u t u r e s O p t i o n M a r k e t ," ( F o r t h c o m i n g ) , 1 9 9 9 . e r g m a n , Y a a c o v , B r u c e G r u n d y , a n d Z v i W e i n e r , \ G e n e r a l P r o p e r t i e s o f O p t i o n P r i c e s ," T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 5 1 , 1 9 9 6 , , 1 5 7 3 { 1 6 1 0 . o l l e r s l e v , T i m o t h y , R . Y . C h o u , a n d K . F . K r o n e r , \ A R C H M o d e l l i n g i n F i n a n c e . A J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s 5 2 R e v i e w o f t h e T h e o r y a n d E m p i r i c a l P r a c t i c e ," , 1 9 9 2 , , 5 { 5 9 . o y c e , W i l l i a m E . a n d R i c h a r d C . D i P r i m a E le m e n t a r y D i (cid:11) e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d B o u n d a r y , V a lu e P r o b le m s , J o h n W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k , 1 9 9 7 . r e n n a n , M i c h a e l J . E u r o p e a n F i n a n c e , \ T h e R o l e o f L e a r n i n g i n D y n a m i c P o r t f o l i o D e c i s i o n s ," R e v i e w , 1 9 9 8 . a m p b e l l , S e a n D . a n d C a n l i n L i , \ O p t i o n P r i c e s w i t h U n o b s e r v e d a n d R e g i m e - S w i t c h i n g V o l a t i l i t y ," T e c h n i c a l R e p o r t , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a 1 9 9 9 . 4 8
D D D D D D G H H H I n a v i d , A l e x a n d e r , \ F l u c t u a t i n g C o n (cid:12) d e n c e i n S t o c k M a r k e t s : I m p l i c a t i o n s f o r R e t u r n s a n d J o u r n a l o f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a ly s i s 3 2 V o l a t i l i t y ," , 1 9 9 7 , ( 4 ) , 4 2 7 { 4 6 2 . e t e m p l e , J e r o m e B . , \ A s s e t P r i c i n g i n a P r o d u c t i o n E c o n o m y w i t h I n c o m p l e t e I n f o r m a t i o n ," T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 4 1 , 1 9 8 6 , , 3 8 3 { 3 9 1 . J o u r n a l o f E c o n o m i c D y - , \ F u r t h e r R e s u l t s o n A s s e t P r i c i n g w i t h I n c o m p l e t e I n f o r m a t i o n ," n a m i c s a n d C o n t r o l 1 5 , 1 9 9 1 , , 4 2 5 { 4 5 3 . i c k e y , D a v i d A . a n d W a y n e A . F u l l e r , \ D i s t r i b u t i o n o f t h e E s t i m a t o r s f o r A u t o r e g r e s s i v e J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n 7 4 T i m e S e r i e s w i t h a U n i t R o o t ," , 1 9 7 9 , , 4 2 7 { 4 3 1 . o t h a n , M i c h a e l U . a n d D a v i d F e l d m a n , \ A T h e o r y o f A s s e t P r i c e s a n d t h e T e r m S t r u c t u r e o f T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 4 1 I n t e r e s t R a t e s i n a P a r t i a l l y O b s e r v a b l e E c o n o m y ," , 1 9 8 6 , , 3 6 9 { 3 8 2 . u (cid:14) e , D a r r e l l a n d D a v i d L a n d o , \ T h e T e r m S t r u c t u r e o f C r e d i t S p r e a d s w i t h I n c o m p l e t e A c c o u n t i n g I n f o r m a t i o n ," M i m e o , F i n a n c e D e p a r t m e n t , S t a n f o r d U n i v e r s i t y 1 9 9 9 . u m a s , B e r n a r d , J e (cid:11) F l e m i n g , a n d R o b e r t W h a l e y , \ I m p l i e d V o l a t i l i t y F u n c t i o n s : E m p i r - T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 5 3 i c a l T e s t s ," , 1 9 9 8 , ( 6 ) , 2 0 5 9 { 2 1 0 6 . e n n o t t e , G e r a r d T h e J o u r n a l o f , \ O p t i m a l P o r t f o l i o C h o i c e U n d e r I n c o m p l e t e I n f o r m a t i o n ," F i n a n c e 4 1 , 1 9 8 6 , , 7 3 3 { 7 4 9 . a m i l t o n , J a m e s D . T i m e S e r i e s A n a ly s i s , , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N e w J e r s e y , 1 9 9 4 . e s t o n , S t e v e n L . , \ A C l o s e d - F o r m S o l u t i o n f o r O p t i o n s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y a n d A p - T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 6 p l i c a t i o n s t o B o n d a n d C u r r e n c y O p t i o n s ," , 1 9 9 3 , ( 2 ) , 3 2 6 { 3 4 3 . u l l , J o h n C . O p t i o n s , F u t u r e s , a n d O t h e r D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s , , P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i (cid:11) s , N e w J e r s e y , 1 9 9 3 . a n d A l a n W h i t e J o u r n a l o f , \ T h e P r i c i n g o f O p t i o n s o n A s s e t s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y ," F i n a n c e 4 2 , 1 9 8 7 , ( 2 ) , 2 8 1 { 3 0 0 . g e r s o l l , J o n a t h a n E . T h e o r y o f F i n a n c i a l D e c i s i o n M a k i n g , , R o w m a n & L i t t l e (cid:12) e l d , 1 9 8 7 . 4 9
J K K L L L N R R S S S V o n e s , R o b e r t A . a n d J o s e p h M . O s t r o y R e v i e w o f E c o n o m i c , \ F l e x i b i l i t y a n d U n c e r t a i n t y ," S t u d i e s 5 1 , 1 9 8 4 , , 1 3 { 3 2 . a r l i n , S a m u e l a n d H o w a r d M . T a y l o r A S e c o n d C o u r s e i n S t o c h a s t i c P r o c e s s e s , , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 8 2 . e n d a l l , M a u r i c e a n d A l a n S t u a r t T h e A d v a n c e d T h e o r y o f S t a t i s t i c s , 4 t h e d i t i o n , V o lu m e 1 , , M a c m i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y , N e w Y o r k , 1 9 7 7 . i p t s e r , R o b e r t N . a n d A . N . S h i r y a a y e v S t a t i s t i c s o f R a n d o m P r o c e s s e s I , , S p r i n g e r V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 7 7 . o , A n d r e w W . , \ M a x i m u m L i k e l i h o o d E s t i m a t i o n o f G e n e r a l i z e d I t o P r o c e s s e s w i t h D i s c r e t e l y - E c o n o m e t r i c T h e o r y 4 S a m p l e d D a t a ," , 1 9 8 8 , , 2 3 1 { 2 4 7 . u c a s , R o b e r t E . E c o n o m e t r i c a 4 6 , \ A s s e t P r i c e s i n a n E x c h a n g e E c o n o m y ," , 1 9 7 8 , , 1 4 2 9 { 1 4 4 6 . e w e y , W h i t n e y R . a n d K e n n e t h D . W e s t , \ A S i m p l e P o s i t i v e S e m i - D e (cid:12) n i t e , H e t e r o s c e d a s - E c o n o m e t r i c a 5 5 t i c i t y a n d A u t o c o r r e l a t i o n C o n s i s t e n t C o v a r i a n c e M a t r i x ," , 1 9 8 7 , , 7 0 3 { 7 0 8 . a i n v i l l e , E a r l D . I n t e r m e d i a t e D i (cid:11) e r e n t i a l E q u a t i o n s , , T h e M a c m i l l a n C o m p a n y , N e w Y o r k , 1 9 6 4 . u b i n s t e i n , M a r k , \ N o n p a r a m e t r i c T e s t s o f A l t e r n a t i v e O p t i o n P r i c i n g M o d e l s U s i n g A l l R e p o r t e d T r a d e s a n d Q u o t e s o n t h e 3 0 M o s t A c t i v e C B O E O p t i o n C l a s s e s f r o m A u g u s t 2 3 , 1 9 7 6 J o u r n a l o f F i n a n c e 4 0 t h r o u g h A u g u s t 3 1 , 1 9 7 8 ," , 1 9 8 5 , , 4 5 5 { 4 8 0 . c o t t , L o u i s O . , \ P r i c i n g S t o c k O p t i o n s i n a J u m p - D i (cid:11) u s i o n M o d e l w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y M a t h e m a t i c a l F i n a n c e a n d I n t e r e s t R a t e s : A p p l i c a t i o n s o f F o u r i e r I n v e r s i o n M e t h o d s ," , 1 9 9 7 , 7 ( 4 ) , 4 1 3 { 4 2 6 . h i m k o , D a v i d R i s k 6 , \ B o u n d s o f P r o b a b i l i t y ," , 1 9 9 3 , , 3 3 { 3 7 . t e i n , J e r e m y a n d E . M . S t e i n T h e , \ S t o c k P r i c e D i s t r i b u t i o n s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y ," R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 4 , 1 9 9 1 , , 7 2 7 { 7 5 2 . e r o n e s i , P i e t r o T h e J o u r n a l o f F i - , \ H o w D o e s I n f o r m a t i o n Q u a l i t y A (cid:11) e c t S t o c k R e t u r n s ? ," n a n c e ( F o r t h c o m i n g ) , 1 9 9 9 . 5 0
W Y Y a a h n r , \ S t r i u m a n d U n i v a l e y , J o u r , H o U n i v e d , F M o d o c k M a r k e t O v e r r e a c t i o n t o B a d N e w s i n G o o T h e R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s ( F M o d e l ," F r a n c i s Y a r e d , \ R e a l a n d N o m i n a l B o n d e r s i t y o f C h i c a g o - G S B 1 9 9 9 . R o b e r t E . , \ D e r i v a t i v e s o n M a r k e t V o l a t n a l o f D e r i v a t i v e s 1 , 1 9 9 3 , ( 1 ) , 7 1 { 8 5 . n g , \ U n c e r t a i n G r o w t h P r o s p e c t s , L e a r n i n g e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y 1 9 9 9 . r a n c i s , \ P a t h - D e p e n d e n c e i n E x p e c t e d I n (cid:13) a e l ," P h .D . d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o 5 1 d T i m e s : A R a t i o n o r t h c o m i n g ) , 1 9 9 9 . P r i c e s i n a R e g i m i l i t y : H e d g i n g T o o , a n d A s s e t P r i c e s t i o n : E v i d e n c e f r o m - G S B 1 9 9 9 . a l E x p e - S h i f l s L o n ," J o b a N e e c t M g M w t a t i o n s E q o d e l ," m O v e r d u e ," a r k e t P a p T e r m - S t r u u i m e c i l i b e o T h r 1 t u r - , e , e
T a b l e 1 : 2 - S t a t e M o d e l C a (cid:18) 1 - .1 5 4 P a r a m u s in g s c r ib e l i b r a t (cid:18) 2 .1 0 e t e r e t h e r e d in H e d 9 s t im g im a m t o R e a l E a r n (cid:21) (cid:21) 1 2 2 1 .8 1 3 .4 0 6 a t e s a r e b a s e d e - s w it c h in g e s t ilt o n ( 1 9 9 4 ) . 5 2 i n g s G (cid:27) x .0 7 3 o n m a x im a t io n r o w im u m m e t t h h (cid:26) .0 lik o d o x 6 e n c 1 lih a s t h e o o d d e - S & P 5 0 0 : 1 9 6 0 - 1 9 9 8
D N 1 2 3 4 5 6 7 S e h C s P a T a b e p e n d e n t V a r i a b l e : I m p l i e d o . C o n s t a n t t(cid:0) 1 V . 1 7 :0 3 (cid:3) ( 1 :0 1 ) . 1 :8 5 0 :8 5 (cid:3) (cid:3) ( 0 :7 1 ) ( 0 :0 3 ) . 1 8 :3 3 (cid:3) ( 1 :4 9 ) . 2 :4 9 :8 4 (cid:3) (cid:3) ( :8 6 ) ( :0 3 ) . 1 4 :3 8 (cid:3) ( 2 :3 6 ) . :2 5 :8 5 (cid:0) (cid:3) ( 1 :4 1 ) ( :0 3 ) . 1 0 :7 (cid:3) ( 1 :9 8 ) t a n d a r d e r r o r s a r e in p a r e n t h e s is s t im a t io n u s e s t h e N e w e y a n d W y p o t h e s is o f a u n it r o o t fo r e a c h B O E M a r k e t V o la t ilit y I n d e x , V h o w n in P a n e l ( B ) o f F ig u r e 7 . r o p o s it io n 7 a n d t h e b e lie f p r o c e s n d L in e 7 is b a s e d o n t h e p o s t - c r a l e 2 : I m p l i e d V o l a t i l i t y R e g r e s s i o n V o l a t i l i t y ( P e r c e n t ) ; t V U 2 2 (cid:22) (cid:25) ( 1 (cid:25) ) (cid:25) (cid:25) R t t t t t (cid:0) V 2 5 :2 4 0 :0 7 (cid:3) ( 1 0 :1 3 ) 1 2 :5 5 0 :7 1 (cid:3) ( 5 :2 2 ) 2 1 :1 3 2 2 :7 0 0 :0 7 (cid:0) (cid:3) (cid:3) ( 1 0 :6 8 ) ( 1 0 :4 4 ) 1 0 :6 4 1 1 :3 9 0 :7 1 (cid:0) (cid:3) (cid:3) ( 4 :8 0 ) ( 4 :8 7 ) 0 : 3 4 0 :0 7 (cid:3) ( 0 : 1 4 ) 0 : 2 2 0 :7 1 (cid:3) ( : 0 9 ) 0 : 4 8 0 :1 6 (cid:3) ( 0 : 1 3 ) . T h e s y m b o l * in d ic a t e s s t a t is t ic a l s ig n i(cid:12) c a n c e a t t h e 5 % le v e l. e s t ( 1 9 8 7 ) c o n s is t e n t v a r ia n c e - c o v a r ia n c e m a t r ix . W e r e je c t t h e V o f t h e s e r ie s b a s e d o n t h e D ic k e y a n d F u lle r ( 1 9 7 9 ) s t a t is t ic . t is I X . T h e b e lie f p r o c e s s , (cid:25) , is (cid:12) lt e r e d fr o m t h e c a lib r a t e d m o d e l a n t U V is t h e A T M im p lie d v o la t ilit y fo r U o p t io n p r ic e s c o m p u t e d u t s . L in e s 1 t h r o u g h 6 a r e b a s e d o n a s a m p le fr o m 1 9 8 6 :1 t h r o u g h 1 9 9 s h s u b s a m p le fr o m 1 9 8 8 :0 9 { 1 9 8 9 :0 9 . 5 3 6 7 4 6 9 7 8 T h e n u ll t h e d is s in g 8 :9 ,
D N 1 2 3 4 S e h a a a P a P T a b l e 3 : 3 % O T M P u t - t o - C a l l P r i c e R e g r e s s i o n ( S k e w n e s s ) e p e n d e n t V a r i a b l e : 3 % O T M P u t - t o - C a l l P r i c e ( P e r c e n t ) , P = C t t U U 2 (cid:22) o . C o n s t a n t P = C (cid:25) P = C R t(cid:0) t(cid:0) t 1 1 t t . 1 1 9 :0 5 4 1 :9 8 :0 6 2 (cid:3) (cid:3) ( 7 :1 6 ) ( 1 5 :2 1 ) . 3 6 :1 9 :6 8 1 5 :0 7 :5 0 0 (cid:3) (cid:3) (cid:3) ( 1 5 :0 7 ) ( :1 1 3 ) ( 7 :7 5 ) . 7 3 :3 7 :6 7 :0 6 3 (cid:3) (cid:3) ( 2 2 :2 6 ) ( :2 2 ) . 1 8 :5 0 :2 5 :6 9 :5 0 3 (cid:3) (cid:3) ( 1 6 :0 2 ) ( :1 1 ) ( :1 0 ) t a n d a r d e r r o r s a r e in p a r e n t h e s is . T h e s y m b o l * in d ic a t e s s t a t is t ic a l s ig n i(cid:12) c a n c e a t t h e 5 % le v e l. T h e s t im a t io n u s e s t h e N e w e y a n d W e s t ( 1 9 8 7 ) c o n s is t e n t v a r ia n c e - c o v a r ia n c e m a t r ix . W e r e je c t t h e n u ll y p o t h e s is o f a u n it r o o t fo r e a c h o f t h e s e r ie s b a s e d o n t h e D ic k e y a n d F u lle r ( 1 9 7 9 ) s t a t is t ic . O p t io n p r ic e s n d im p lie d v o la t ilit ie s a r e fr o m a s a m p le o f d a ily p r ic e s o f S & P 5 0 0 c a ll a n d p u t o p t io n s b e t w e e n 1 9 8 6 :0 4 n d 1 9 9 6 :0 5 t r a d e d o n t h e C B O E . T h e u n d e r ly in g in d e x is o b t a in e d fr o m t h e C B O E , a n d d iv id e n d y ie ld s r e o b t a in e d fr o m S t a n d a r d a n d P o o r ’s . T h e d e p e n d e n t v a r ia b le is t h e m o n t h ly t im e - s e r ie s o f 3 % O T M u t - t o - C a ll P r ic e s in t e r p o la t e d fr o m a v a ila b le p r ic e s o n t h e 1 5 t h ( o r c lo s e s t t o 1 5 t h ) d a y o f e a c h m o n t h w it h U U p p r o x im a t e ly 3 0 d a y s t o m a t u r it y . T h e r ig h t - h a n d v a r ia b le P = C is c o m p u t e d fr o m U o p t io n p r ic e s u s in g r o p o s it io n 7 a n d t h e b e lie f p r o c e s s (cid:12) lt e r e d fr o m t h e c a lib r a t e d m o d e l s h o w n in P a n e l ( B ) o f F ig u r e 7 .
T a b l e 4 : C o n v e x i t y { B u t t e r (cid:13) y S p r e a d R e g r e s s i o n ( K u r t o s i s ) D e p e n d e n t V a r i a b l e : C o n v e x i t y M e a s u r e ( P e r c e n t ) , Y t U 2 (cid:22) N o . C o n s t a n t Y (cid:25) ( 1 (cid:25) ) Y R t(cid:0) t t 1 t (cid:0) 1 . 1 :1 6 7 :6 :0 1 8 (cid:0) (cid:3) (cid:3) ( :5 4 ) ( 4 :4 1 ) 2 . :8 8 :2 7 5 :8 :0 8 1 (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) ( :4 4 ) ( :1 9 ) ( 2 :7 0 ) 3 . :0 8 1 :2 7 :0 2 1 (cid:0) (cid:3) ( :4 8 ) ( :7 4 ) 4 . :1 0 :2 7 1 :0 1 :0 8 2 (cid:0) (cid:3) ( :4 5 ) ( :1 9 ) ( :5 0 ) S t a n d a r d e r r o r s a r e in p a r e n t h e s is . T h e s y m b o l * in d ic a t e s s t a t is t ic a l s ig n i(cid:12) c a n c e a t t h e 1 0 % le v e l. T h e e s t im a t io n u s e s t h e N e w e y a n d W e s t ( 1 9 8 7 ) c o n s is t e n t v a r ia n c e - c o v a r ia n c e m a t r ix . W e r e je c t t h e n u ll h y p o t h e s is o f a u n it r o o t fo r e a c h o f t h e s e r ie s b a s e d o n t h e D ic k e y a n d F u lle r ( 1 9 7 9 ) s t a t is t ic . O p t io n p r ic e s a n d im p lie d v o la t ilit ie s a r e fr o m a s a m p le o f d a ily p r ic e s o f S & P 5 0 0 c a ll a n d p u t o p t io n s b e t w e e n 1 9 8 6 :0 4 a n d 1 9 9 6 :0 5 t r a d e d o n t h e C B O E . T h e u n d e r ly in g in d e x is o b t a in e d fr o m t h e C B O E , a n d d iv id e n d y ie ld s a r e o b t a in e d fr o m S t a n d a r d a n d P o o r ’s . T h e d e p e n d e n t v a r ia b le is a c o n v e x it y m e a s u r e d e (cid:12) n e d a s (cid:0) Y = ( V o l( K = S = 9 7 ) + V o l( K = S = 1 0 3 ) 2 V o l( K = S = 1 0 0 ) ) , in t e r p o la t e d fr o m a v a ila b le t p r ic e s o n t h e 1 5 t h ( o r c lo s e s t t o 1 5 t h ) d a y o f e a c h m o n t h w it h a p p r o x im a t e ly 3 0 d a y s t o U t t m a t u r it y . Y is t h e t h e o r e t ic a l Y u s in g P r o p o s it io n 7 a t t h e (cid:12) t t e d b e lie f p r o c e s s (cid:25) s h o w n t in P a n e l ( B ) o f F ig u r e 7 .
T F (cid:1) (cid:1) M (cid:1) (cid:1) F (cid:1) (cid:1) M (cid:1) (cid:1) D o o t t T a b l e 5 : H e d g i n g ‘V e s t D a t a ( N u m b e r ) M o d e l ( N u m b e r ) u l l S a m p l e | T y p e I E r r o r s : C = (cid:1) S < 0 1 4 7 1 6 3 P = (cid:1) S > 0 1 9 1 1 5 0 o r e T h a n 3 % O T M O p t i o n s | T y p e I E r r o r s : C = (cid:1) S < 0 5 4 1 2 1 P = (cid:1) S > 0 1 1 4 1 5 0 u l l S a m p l e | T y p e I V E r r o r s : C = (cid:1) S > 1 1 2 0 1 8 P = (cid:1) S < 1 1 1 0 4 3 (cid:0) o r e T h a n 3 % I T M O p t i o n s | T y p e I V E r r o r s : C = (cid:1) S > 1 4 9 1 8 P = (cid:1) S < 1 2 7 2 5 (cid:0) a t a a r e d a ily c h a n g e s in o p t io n p r ic e s b e t w e e n t h e 1 5 t h ( t h e d f e a c h m o n t h b e t w e e n 1 9 8 6 :4 a n d 1 9 9 6 :5 . O p t io n p r ic e s a n d f S & P 5 0 0 c a ll a n d p u t o p t io n s b e t w e e n 1 9 8 6 :0 4 a n d 1 9 9 6 :0 5 h e d e lt a s a s s h o w n in C o r o lla r y 7 fo r t h e b e lie f p r o c e s s s h o w n r a d e d o p t io n . i o l a t i o n s S a m p l e 1 0 2 1 1 3 1 5 3 3 0 6 8 6 1 0 2 1 1 3 1 5 1 5 6 1 0 0 a y c lo s e s t im p lie d v t r a d e d o n in P a n e l ’ S i z e D a t a t o ) a n d t h e 1 6 o la t ilit ie s a r e t h e C B O E . M ( B ) o f F ig u r e ( P r o p o r t i o n ) M o d e l ( P :1 4 4 :1 4 5 :1 6 4 :1 6 7 :1 1 7 :0 8 4 :3 1 4 :2 5 0 t h ( t h e fo llo w in g t r a d in g d a y ) fr o m a s a m p le o f d a ily p r ic e s U o d e l (cid:1) a r e c a lc u la t e d u s in g 7 a n d t h e m o n e y n e s s o f e a c h r o :1 :1 :3 :2 :0 :0 :1 :2 p 5 1 6 1 1 3 1 7 o 9 4 7 9 7 2 5 0 r t i o n )
F i g u r e 1 : E x a m p l e s o f H i s t o r i c a l I m p l i e d V o l a t i l i t y C u r v e s 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 K/S ytilitaloV deilpmI 15 March 1993 0.25 0.2 0.15 0.1 0.94 0.98 1.02 1.06 K/S ytilitaloV deilpmI 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.85 0.9 0.95 1 1.05 K/S 15 September 1993 ytilitaloV deilpmI 19 March 1992 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 K/S ytilitaloV deilpmI 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 K/S 15 May 1992 ytilitaloV deilpmI 15 June 1986 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 K/S ytilitaloV deilpmI 15 September 1986 I m p lie d v o la p u t o p t io n s in d e x is o b t a n d P o o r ’s . s h o w n . T h e o f d a t e s s h o t ilit y b e t w e a in e d A q u A k a ik w n . c u r v e s a r e d is p la y e d fo r e n 1 9 8 6 :0 4 a n d 1 9 9 6 :0 5 fr o m t h e C h ic a g o M e r c a d r a t ic s p lin e ( p o ly n o m e ( 1 9 7 3 ) in fo r m a t io n c r t h t r a n ia it e e d a t e s s h o w a d e d o n t h e t ile E x c h a n g l o f 3 r d o r d r io n im p lie s n fr o m C h ic a e , a n d e r ) is t h a t 3 g (cid:12) r a s a m o B o a d iv id e t t e d t d o r d e p le o f d a ily p r ic e s o f S & P 5 0 r d O p t io n s E x c h a n g e . T h e u n d y ie ld s a r e o b t a in e d fr o m o a ll c a ll o p t io n s t r a d e d o n r p o ly n o m ia ls b e s t (cid:12) t t h e d a 0 c a n d e S t a t h e t a a ll a n d r ly in g n d a r d d a t e s t e a c h
F i g u r e 2 : I n f o r m a t i o n Q u a l i t y a n d I m p l i e d V o l a t i l i t y o f U - O p t i o n P r i c e s 10 9.5 9 8.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%( .loV deilpmI llaC Reinvested Dividends 10 9.75 9.5 9.25 9 8.75 8.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%( .loV deilpmI llaC 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs Distributed Dividends ytisneD yranoitatS Slower Learning 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs ytisneD yranoitatS Faster Learning T o p p a n e l : S t a t io n a r y d e n s it y o f t h e b e lie f p r o c e s s s ig n a ls a b o u t d iv id e n d g r o w t h . L e ft p a n e l u s e s (cid:27) = 2 ( in fo r m a t iv e s ig n a l) . T h e s t a t io n a r y d e n s it ie s in t h I m p lie d v o la t ilit y fo r a 6 - m o n t h a t - t h e - m o n e y c a ll o U u n c o n d it io n a l m o m e n t s o f d iv id e n d s , w it h t h e C ( t o p c u r v e d lin e is fo r h ig h p r e c is io n o f s ig n a ls ( (cid:27) = e fo r t h e u n c o n d it io n a l s t o c k v o la t ilit y a n d d iv id e n d d is c o u n t ) , (cid:13) = 2 ( r is k - a v e r s io n ) , (cid:27) = :0 3 6 ( c o n s u m c a n d o b s e r v a b le g r o w t h r a t e o f c o n s u m p t io n ) , (cid:18) = :0 2 r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:21) = :6 , (cid:21) = :6 ( s w it c h in g p a 1 2 2 1 (cid:26) = :0 6 1 ( c o r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n d c o n s u x c (cid:25) u n d e r t w o d i(cid:11) e r e n t a s s u m p t io n s a b o u t t h e p r e c is io n o f 1 0 0 0 ( u n in fo r m a t iv e s ig n a ls ) , r ig h t p a n e l u s e s (cid:27) = :0 5 e e t o p p a n e ls a r e c o m p u t e d u s in g ( 3 4 ) . B o t t o m p a n e l : p t io n o b t a in e d b y e q u a t in g t h e B S o p t io n p r ic e w it h t h e z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r ic e a s g iv e n in ( 3 1 ) . I n e a c h g r a p h , t h e t (cid:0) :0 5 ) . T h e s t r a ig h t h o r iz o n t a l lin e is t h e im p lie d v o la t ilit y y ie ld . T h e o t h e r p a r a m e t e r s u s e d a r e (cid:30) = :0 4 ( t im e p t io n g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:20) = (cid:20) = (cid:22)(cid:20) = :0 2 4 ( c o n s t a n t 1 2 5 ( h ig h g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:18) = :0 5 ( lo w g r o w t h 1 (cid:0) r a m e t e r s ) , (cid:27) = :0 7 3 ( v o la t ilit y o f e a r n in g s - g r o w t h ) a n d x m p t io n g r o w t h ) .
F i g u r e 3 : A s y m m e t r y o f F u n d a m e n t a l s ’ G r o w t h R a t e s a n d I m p l i e d V o l a t i l i t y o f U - O p t i o n P r i c e s 6 5 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs ytisneD yranoitatS Persistent High Growth State 9.5 9 8.5 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%(.loV deilpmI llaC 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs Persistent High Growth State ytisneD yranoitatS Symmetric Growth Rates 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%(.loV deilpmI llaC 5 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs Symmetric Growth Rates ytisneD yranoitatS Persistent Low Growth State 10 9.5 9 8.5 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%(.loV deilpmI llaC Persistent Low Growth State L e ft - h a n d p a n e ls p lo t A T M c a ll o p t io n s o b t a U w it h t h e C ( z ; K ; (cid:25) ; T t P e r s is t e n t lo w g r o w t h r r a t e s w it h (cid:21) = :6 , (cid:21) 2 1 o t h e r p a r a m e t e r s u s e d v o la t ilit y ) , (cid:27) = :0 7 3 x r a t e o f c o n s u m p t io n ) , (cid:27) = :0 7 3 ( v o la t ilit y o f x a n d (cid:27) = 1 0 0 0 ( u n in fo e s a m e fo r e a c h s e t . T h e in t h e r ig h t p a n e ls a r e U d iv id e n d s , w it h t h e C s t a t io n a r y d e n s it ie s a n d r ig h t - h a n d p a n e ls p lo t t h e im p lie d v o la t ilit ie s fo r 6 - m o n t h , in e d b y e q u a t in g t h e B S o p t io n p r ic e w it h t h e u n c o n d it io n a l m o m e n t s o f d iv id e n d s , t ) p r ic e a s g iv e n in ( 3 1 ) . S t r a ig h t lin e s a r e u n c o n d it io n a l v o la t ilit ie s . T o p p a n e l : (cid:0) a t e w it h s w it c h in g p r o b a b ilit ie s (cid:21) = 1 , (cid:21) = :2 . M i d d l e p a n e l : S y m m e t r ic g r o w t h 2 1 1 2 = :6 ; B o t t o m p a n e l : P e r s is t e n t h ig h g r o w t h r a t e w it h (cid:21) = :2 , (cid:21) = 1 . T h e 1 2 2 1 1 2 a r e (cid:30) = :0 4 ( t im e - d is c o u n t ) , (cid:13) = 2 ( r is k - a v e r s io n ) , (cid:27) = :0 3 6 ( c o n s u m p t io n g r o w t h c ( e a r n in g s g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:20) = (cid:20) = (cid:22)(cid:20) = :0 2 4 ( c o n s t a n t a n d o b s e r v a b le g r o w t h 1 2 (cid:18) = :0 5 ( h ig h g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:18) = :0 5 ( lo w g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) 2 1 (cid:0) e a r n in g s - g r o w t h ) , (cid:26) = :0 6 1 ( c o r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n d c o n s u m p t io n g r o w t h ) x c r m a t iv e s ig n a l) . T h e p a r a m e t e r s im p ly t h a t t h e a v e r a g e n u m b e r o f s w it c h e s a r e t h e s t a t io n a r y d e n s it ie s in t h e le ft p a n e ls a r e c o m p u t e d u s in g ( 3 4 ) . T h e im p lie d v o la t ilit ie s t h e v o la t ilit ie s t h a t e q u a t e t h e B S o p t io n p r ic e w it h t h e u n c o n d it io n a l m o m e n t s o f ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r ic e a s g iv e n in ( 3 1 ) . t (cid:0)
F i g u r e 4 : R i s k A v e r s i o n a n d I m p l i e d V o l a t i l i t y o f U - O p t i o n P r i c e s 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs ytisneD yranoitatS RRA= 10, Constant Drift of Consumption Growth 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs ytisneD yranoitatS 10 9.75 9.5 9.25 9 8.75 8.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs RRA= 10, Unobserved Drift of Consumption Growth )%(.loV deilpmI llaC RRA = 2, Unobserved Drift of Consumption Growth 8.4 8.2 8 7.8 7.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%(.loV deilpmI llaC 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs RRA = 10, Unobserved Drift of Consumption Growth )%(.loV deilpmI llaC RRA = 2, Constant Drift of Consumption Growth 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs )%(.loV deilpmI llaC RRA = 10, Constant Drift of Consumption Growth I m p lie d v o la t ilit ie s a r e fo r 6 - m o n t h A T M c a ll o p t io n s o b t a in e d b y e q u a t in g t h e B S o p t io n p r ic e w it h t h e U u n c o n d it io n a l m o m e n t s o f d iv id e n d s , w it h t h e C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r ic e a s g iv e n in ( 3 1 ) . S t r a ig h t lin e s a r e t (cid:0) t h e u n c o n d it io n a l v o la t ilit ie s . T o p P a n e l s : O b s e r v a b le a n d c o n s t a n t d r ift o f c o n s u m p t io n g r o w t h w it h (cid:20) = (cid:20) = :0 2 4 ; c o e (cid:14) c ie n t o f r is k a v e r s io n (cid:13) = 2 fo r t h e le ft p a n e l a n d (cid:13) = 1 0 in t h e r ig h t p a n e l. M i d d l e 1 2 P a n e l s : U n o b s e r v a b le d r ift o f c o n s u m p t io n g r o w t h w it h (cid:20) = :0 2 8 , a n d (cid:20) = :0 2 ; (cid:13) = 2 fo r t h e le ft p a n e l 1 2 a n d (cid:13) = 1 0 in t h e r ig h t p a n e l. B o t t o m P a n e l s : S t a t io n a r y d e n s it ie s o f t h e r is k - n e u t r a l b e lie fs p r o c e s s g iv e n in L e m m a 3 u n d e r o b s e r v a b le a n d u n o b s e r v a b le d r ift s r e s p e c t iv e ly fo r (cid:13) = 1 0 . T h e p a r a m e t e r s c o m m o n t o a ll p a n e ls a r e (cid:30) = :0 4 ( t im e - d is c o u n t ) , (cid:27) = :0 3 6 ( c o n s u m p t io n g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:18) = :0 5 ( h ig h g r o w t h c 1 r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:18) = :0 5 ( lo w g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:21) = :5 , (cid:21) = :5 ( s w it c h in g p a r a m e t e r s ) , 2 1 2 2 1 (cid:0) (cid:27) = :0 7 3 ( v o la t ilit y o f e a r n in g s - g r o w t h ) , (cid:26) = :0 6 1 ( c o r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n d c o n s u m p t io n g r o w t h ) x x c a n d (cid:27) = 1 0 0 0 ( u n in fo r m a t iv e s ig n a l) . e
F i g u r e 5 : C a l i b r a t e d M o d e l : 2 - s t a t e c a s e , 1 9 6 0 :0 1 - 1 9 9 8 :0 9 Stationary Density 22 5 20 4 18 3 16 2 14 1 12 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs Beliefs tnecreP 5.8 5.6 5.4 5.2 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs Call Implied Volatility tnecreP Dividend Yield 25 22.5 20 17.5 15 12.5 10 7.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Beliefs tnecreP Stock Return Volatility T s C u ( e a o (cid:27) ( ( e o p p a n e l s : T h e h o r iz o n t a l lin e s a r e t h e u n c o n d it io n a l m e a n s o f t h e v a r ia b le s s h o w n c o m p u t e d b y u s in g t h e t a t io n a r y d e n s it y . L e ft p a n e l p lo t s t h e d iv id e n d y ie ld , t h a t e q u a ls 1 = ( (cid:25) A + B ) , w h e r e A = C C , a n d B = 2 1 (cid:0) p , a n d t h e C a r e c o m p u t e d u s in g P r o p o s it io n 1 . T h e r ig h t p a n e l p lo t s t h e v o la t ilit y fu n c t io n V , c o m p u t e d i 1 s in g ( 1 7 ) fo r t h e t w o - s t a t e c a s e . B o t t o m p a n e l s : L e ft p a n e l p lo t s t h e s t a t io n a r y d e n s it y c o m p u t e d u s in g 3 4 ) . T h e r ig h t p a n e l p lo t s t h e im p lie d v o la t ilit y fo r 6 - m o n t h s , a t - t h e - m o n e y c a ll o p t io n s , o b t a in e d b y U q u a t in g t h e B S o p t io n p r ic e u s in g t h e u n c o n d it io n a l m o m e n t s o f d iv id e n d s , w it h t h e C ( x ; K ; (cid:25) ; T t ) p r ic e 0 (cid:0) s g iv e n in ( 3 1 ) . T h e o t h e r p a r a m e t e r s u s e d a r e t h o s e fo r t h e 2 - s t a t e m o d e l c a lib r a t e d t o r e a l e a r n in g s g r o w t h n t h e S & P 5 0 0 , a s g iv e n in T a b le 1 . T h e p a r a m e t e r s a r e (cid:30) = :0 4 ( t im e - d is c o u n t ) , (cid:13) = 2 ( r is k - a v e r s io n ) , = :0 3 6 ( c o n s u m p t io n g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:27) = :0 7 3 ( e a r n in g s g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:20) = (cid:20) = (cid:22)(cid:20) = :0 2 4 c x 1 2 c o n s t a n t a n d o b s e r v a b le g r o w t h r a t e o f c o n s u m p t io n ) , (cid:18) = :1 0 9 ( h ig h g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:18) = :1 5 4 1 2 (cid:0) lo w g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:21) = :4 0 6 , (cid:21) = :8 1 3 ( s w it c h in g p a r a m e t e r s ) , (cid:27) = :0 7 3 ( v o la t ilit y o f x 1 2 2 1 a r n in g s - g r o w t h ) , a n d (cid:26) = :0 6 1 ( c o r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n d c o n s u m p t io n g r o w t h ) . x c
F i g u r e 6 : S m i r k s a n d F r o w n s i n t h e T w o - S t a t e C a l i b r a t e d M o d e l 7 6 5 4 3 2 1 0 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Returns ytisneD lartueN.R Belief = .1 U 19 BS 18 17 16 15 14 13 94 96 98 100 102 104 106 K/S )%(.loV deilpmI llaC 4 3 2 1 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Returns Belief = .1 ytisneD lartueN.R Belief = .5 U 24 BS 22 20 18 16 94 96 98 100 102 104 106 K/S )%(.loV deilpmI llaC 8 6 4 2 0 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Returns Belief = .5 ytisneD lartueN.R Belief = .9 U BS 18 17 16 15 14 13 94 96 98 100 102 104 106 K/S )%(.loV deilpmI llaC Belief = .9 L e f t P a n e l s : T h e s t a t e - r e t u r n d e n s it y fu n c t io n s c o n d it io n a l o n t h r e e d i(cid:11) e p a n e l) , (cid:25) = 0 :5 ( c e n t e r p a n e l) a n d (cid:25) = 0 :1 ( b o t t o m p a n e l) w it h t w o m o n t h s M (cid:22) in v e r s e F o u r ie r T r a n s fo r m o f t h e s t a t e r e t u r n d e n s it y fu n c t io n g iv e n b y f r a n d t h e b a r e in ( 5 1 ) in A p p e n d ix 2 . R i g h t P a n e l s : T h e c o r r e s p o n d in g n d i(cid:11) e r e n t s t r ik e p r ic e s fo r c a ll o p t io n p r ic e s w it h 2 m o n t h s t o m a t u r it y o b t a U p r ic e w it h w it h t h e C ( z ; K ; (cid:25) ; T t ) p r ic e a s g iv e n in ( 3 1 ) . T h e p a r a m e t e t (cid:0) m o d e l c a lib r a t e d t o r e a l e a r n in g s g r o w t h o n t h e S & P 5 0 0 , a s g iv e n in T a b le ( t im e - d is c o u n t ) , (cid:13) = 2 ( r is k - a v e r s io n ) , (cid:27) = :0 3 6 ( c o n s u m p t io n g r o w t h v c g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:20) = (cid:20) = (cid:22)(cid:20) = :0 2 4 ( c o n s t a n t a n d o b s e r v a b le g r o w t h r 1 2 ( h ig h g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:18) = :1 5 4 ( lo w g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s ) , (cid:21) 2 (cid:0) p a r a m e t e r s ) , (cid:27) = :0 7 3 ( v o la t ilit y o f e a r n in g s - g r o w t h ) , a n d (cid:26) = :0 6 1 ( c o x x c c o n s u m p t io n g r o w t h ) . r e n t in it ia l b e lie fs (cid:25) = 0 :9 ( t o p t o m a t u r it y . T h e d e n s it y is t h e M n = b ( ! ; :1 6 7 ) ( (cid:25) :5 ) , n 1 n = 0 (cid:1) (cid:0) im p lie d v o la t ilit y c u r v e s a c r o s s P in e d b y e q u a t in g t h e B S o p t io n r s u s e d a r e t h o s e fo r t h e 2 - s t a t e 1 . T h e p a r a m e t e r s a r e (cid:30) = :0 4 o la t ilit y ) , (cid:27) = :0 7 3 ( e a r n in g s x a t e o f c o n s u m p t io n ) , (cid:18) = :1 0 9 1 = :4 0 6 , (cid:21) = :8 1 3 ( s w it c h in g 1 2 2 1 r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n d
F i g u r e 7 : T w o - S t a t e F i l t e r o n S & P 5 0 0 R e a l E a r n i n g s G r o w t h (A) S&P 500 Real Earnings Growth Percent 14 Monthly 10 6 2 -2 -6 -10 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 (B) Investor Probability of Expansion State Percent Monthly 90 70 50 30 10 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 (C) Earnings Growth Uncertainty and Implied Volatility Percent 50 Monthly Earnings Growth Uncertainty Implied Volatility 40 30 20 10 0 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 (D) Covariance Between Returns and Volatility Percent 3 Monthly 2 1 0 -1 -2 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 P a n e p lo t s fo r 1 u s in g ( D ) p t e x t . l t h m t h lo ( A e o n e t s ) p lo (cid:12) lt e r e t h o p b e lie f t h e c t s h is t o r ic d p o s t e r io t io n s t h a t p r o c e s s in o v a r ia n c e a l r e a l e r p r o b a b e q u a t e s ( B ) a n d b e t w e e n a r n in g s ilit y t o U t h e C t h e S & r e t u r n s g r o w t h fo r S & b e in t h e h ig h ( z ; K ; (cid:25) ; T t (cid:0) P 1 0 0 im p lie d a n d v o la t ilit y P s t t ) v o C 5 0 0 (cid:12) r m a t e . P a n p r ic e a s la t ilit y in o v ( d V ; d R s fr o m e l ( C g iv e n d e x ( V ) = (cid:27) 1 ) p in I X (cid:27) S 9 6 0 lo t s ( 3 1 ) fr 0 g V :0 1 t h ) w o m iv e t o e A it h 1 9 n b 1 9 9 T M t h e 8 6 :1 y e q 8 :1 0 . P a n e l ( B ) im p lie d v o la t ilit y B S o p t io n p r ic e , t o 1 9 9 8 :9 . P a n e l u a t io n ( 2 3 ) in t h e
F i g u r e 8 : D e l t a ‘V i o l a t i o n s ’ 1 0 Call Delta Put Delta 0.5 -0.5 0.8 0.8 0 0.6 -1 0.6 9900 9900 9955 0.4 Belief 9955 0.4 Belief 110000 110000 0.2 0.2 SSttoocckk PPrriiccee 110055 SSttoocckk PPrriiccee 110055 1100 110 0 O (cid:1) p b ( o r a b s e r v a t io n s U < 1 a s P (cid:0) r ic e o f $ 1 0 0 e t w e e n 1 9 6 0 c o n s u m p t io n b s e r v a b le g r a t e o f d iv id e n d (cid:26) = :0 6 x c U U s a t is fy in g (cid:1) < 0 , a n d (cid:1) > C P T y p e I V v io la t io n s . O p t io n d e lt a s a n d p a r a m e t e r s a r e c a lib r a t e d t o :1 a n d 1 9 9 8 :9 . T h e p a r a m e t e r s a r g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:27) = :0 7 3 ( e a r x o w t h r a t e o f c o n s u m p t io n ) , (cid:18) = :1 1 n d s ) , (cid:21) = :4 0 6 , (cid:21) = :8 1 3 ( s w it c 1 2 2 1 1 ( c o r r e la t io n b e t w e e n e a r n in g s a n 0 a r e c la s s i(cid:12) e d a s T y p e I v io la a r e c a lc u la t e d u s in g C o r o lla r y 7 . t h e 2 - s t a t e m o d e l o n r e a l e a r n in g e (cid:30) = :0 4 ( t im e - d is c o u n t ) , (cid:13) = 2 n in g s g r o w t h v o la t ilit y ) , (cid:20) = (cid:20) 1 2 0 9 ( h ig h g r o w t h r a t e o f d iv id e n d s h in g p a r a m e t e r s ) , (cid:27) = :0 7 3 ( v o la x d c o n s u m p t io n g r o w t h ) . t io n s T h e s g r o ( r is k = (cid:22)(cid:20) ) , (cid:18) 2 t ilit y U , a n d (cid:1) > 1 , a n C o p t io n s h a v e a s t r ik w t h o n t h e S & P 5 0 - a v e r s io n ) , (cid:27) = :0 3 c = :0 2 4 ( c o n s t a n t a n = :1 5 4 ( lo w g r o w t (cid:0) o f e a r n in g s - g r o w t h d e 0 6 d h ) ,
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Alexander David and Pietro Veronesi (1999). Option Prices with Uncertain Fundamentals Theory and Evidence on the Dynamics of Implied Volatilities (FEDS 1999-47). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1999-47
@techreport{wtfs_feds_1999_47,
author = {Alexander David and Pietro Veronesi},
title = {Option Prices with Uncertain Fundamentals Theory and Evidence on the Dynamics of Implied Volatilities},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {1999-47},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {1999},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_1999-47},
abstract = {In an incomplete information model, investors' uncertainty about the underlying drift rate of a firm's fundamentals affects option prices through (i) endogenous and belief-dependent stochastic volatility, (ii) stochastic covariance between returns and volatility, and (iii) a market price of "belief risk." For the special case where the drift takes only two values, we provide an option pricing formula using Fourier Transforms. The model calibrated to 1960-1998 S&P 500 real earnings growth shows that investors' uncertainty explains intertemporal variation in the slope and curvature of implied volatility curves as well as the conditional moments of the state-return density obtained from option data. The calibrated model generates hedging `violations' of one-factor markov and deterministic volatility function models with roughly empirical frequencies.},
}