Tests for Non-Linear Dynamics in Systems of Non-Stationary Economic Time Series: The Case of Short-Term U.S. Interest Rates

4ESTS¯FOR¯.ON(cid:13),INEAR¯$YNAMICS¯IN¯3YSTEMS¯OF¯.ON(cid:13)3TATIONARY¯%CONOMIC¯4IME¯3ERIES(cid:26) 4HE¯CASE¯OF¯SHORT(cid:13)TERM¯53¯INTEREST¯RATES BY "ARRY¯%(cid:14)¯*ONES $EPARTMENT¯OF¯%CONOMICS(cid:12)¯"INGHAMTON¯5NIVERSITY(cid:12)¯3TATE¯5NIVERSITY¯OF¯.EW¯9ORK(cid:10) 4RAVIS¯$(cid:14)¯.ESMITH $IVISION¯OF¯-ONETARY¯!FFAIRS(cid:12)¯"OARD¯OF¯’OVERNORS¯OF¯THE¯&EDERAL¯2ESERVE¯3YSTEM(cid:10) !BSTRACT(cid:26)¯¯¯5SING¯(ALL¯AND¯(EYDEjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:9)¯REPRESENTATION¯THEOREM(cid:12)¯WE¯SHOW¯THAT¯THE¯STATIONARY¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATIONS¯OF¯AN¯INTEGRATED¯SYSTEM¯ARE¯GENERALLY¯NON(cid:13)LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESSES(cid:14)¯¯7E¯PROPOSE¯A SEQUENTIAL¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯PROCEDURE¯TO¯TEST¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:12) AND¯APPLY¯THIS¯PROCEDURE¯TO¯SHORT(cid:13)TERM¯53¯INTEREST¯RATES¯AS¯AN¯ILLUSTRATION(cid:14)¯¯7E¯DEMONSTRATE¯THAT¯THE WEEKLY¯FEDERAL¯FUNDS¯RATE¯IS¯CO(cid:13)INTEGRATED¯WITH¯4REASURY¯BILL¯AND¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATES¯AND¯THAT¯THE¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14) *%,¯#LASSIFICATION(cid:26)¯#(cid:17)(cid:20)(cid:27)¯#(cid:19)(cid:18)(cid:27)¯#(cid:21)(cid:17)(cid:27)¯#(cid:24)(cid:18)(cid:27)¯%(cid:20) +EYWORDS(cid:26)¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:27)¯CO(cid:13)INTEGRATION(cid:27)¯INTEREST¯RATES(cid:27)¯BISPECTRUM(cid:27)¯ALIASING (cid:10)¯"ARRY¯*ONES 4RAVIS¯.ESMITH ¯¯0(cid:14)/(cid:14)¯"OX¯(cid:22)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:18)(cid:16)TH¯(cid:6)¯#¯3TREETS(cid:12)¯-AIL¯3TOP¯(cid:23)(cid:21) ¯¯"INGHAMTON(cid:12)¯.9¯(cid:17)(cid:19)(cid:25)(cid:16)(cid:18)(cid:13)(cid:22)(cid:16)(cid:16)(cid:16) 7ASHINGTON(cid:12)¯$(cid:14)#(cid:14)¯(cid:18)(cid:16)(cid:21)(cid:21)(cid:17) ¯¯0HONE(cid:26)¯¯(cid:8)(cid:22)(cid:16)(cid:23)(cid:9)¯(cid:23)(cid:23)(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:22)(cid:22)(cid:16)¯¯FAX(cid:26)¯¯(cid:8)(cid:22)(cid:16)(cid:23)(cid:9)¯(cid:23)(cid:23)(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:22)(cid:24)(cid:17)¯¯ 0HONE(cid:26)¯(cid:8)(cid:18)(cid:16)(cid:18)(cid:9)¯(cid:20)(cid:22)(cid:18)(cid:13)(cid:18)(cid:25)(cid:16)(cid:23)¯¯FAX(cid:26)¯¯(cid:8)(cid:18)(cid:16)(cid:18)(cid:9)¯(cid:20)(cid:22)(cid:18)(cid:13)(cid:18)(cid:19)(cid:16)(cid:17) ¯¯%MAIL(cid:26)¯BJONES BINGHAMTON(cid:14)EDU %MAIL(cid:26)¯4RAVIS(cid:14)$(cid:14).ESMITH &2"(cid:14)GOV

-ACROECONOMISTS¯OFTEN¯EMPLOY¯TIME(cid:13)INVARIANT¯LINEAR¯DYNAMIC¯STRUCTURAL¯MODELS¯TO¯ESTIMATE¯THE RESPONSES¯OF¯ECONOMIC¯VARIABLES¯TO¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT¯STRUCTURAL¯SHOCKS(cid:14)¯¯%CONOMETRIC¯MODELS¯OF THIS¯FORM¯IMPLICITLY¯ASSUME¯THAT¯THE¯ECONOMIC¯VARIABLES¯IN¯THE¯SYSTEM¯ARE¯LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESSES(cid:14)(cid:17) 4HE¯RESPONSE¯OF¯A¯LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESS¯TO¯A¯SHOCK¯IS¯COMPLETELY¯CHARACTERIZED¯BY¯THE¯COEFFICIENTS¯IN¯ITS MOVING¯AVERAGE¯REPRESENTATION(cid:12)¯CALLED¯THE¯IMPULSE¯RESPONSE¯FUNCTION(cid:14)¯¯!NALYSIS¯OF¯THE¯IMPULSE¯RESPONSE FUNCTIONS¯HAS¯BEEN¯WIDELY¯USED¯TO¯STUDY¯LINEAR¯MACROECONOMIC¯MODELS¯OF¯THE¯BUSINESS¯CYCLE(cid:12)¯MONEY DEMAND(cid:12)¯AND¯THE¯MONETARY¯TRANSMISSION¯MECHANISM(cid:14)(cid:18) )F¯THE¯ECONOMY¯IS¯NON(cid:13)LINEAR(cid:12)¯ITS¯RESPONSE¯TO¯A¯SHOCK¯IS¯MUCH¯MORE¯COMPLEX(cid:12)¯AND¯AN¯ECONOMETRIC MODEL¯THAT¯ERRONEOUSLY¯ASSUMES¯LINEARITY¯WILL¯NOT¯CAPTURE¯IMPORTANT¯CHARACTERISTICS¯OF¯THE¯RESPONSE¯TO¯A SHOCK(cid:14)¯¯)N¯PARTICULAR¯LINEAR¯SYSTEMS¯EXHIBIT¯THE¯PRINCIPLE¯OF¯SUPERPOSITION(cid:12)¯WHICH¯MEANS¯THAT(cid:12)¯IF¯THE¯INPUT TO¯A¯LINEAR¯SYSTEM¯IS¯A¯SUMMATION¯OF¯SINE¯WAVES¯OF¯GIVEN¯FREQUENCIES(cid:12)¯THE¯OUTPUT¯WILL¯BE¯A¯SUMMATION¯OF SINE¯WAVES¯WITH¯THE¯SAME¯FREQUENCIES(cid:14)¯¯4HE¯PRINCIPLE¯OF¯SUPERPOSITION¯DOES¯NOT¯HOLD¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯SYSTEMS(cid:14) 4HEREFORE(cid:12)¯NON(cid:13)LINEAR¯ECONOMIC¯SYSTEMS¯HAVE¯HIGHLY¯COMPLEX¯RESPONSES¯TO¯STRUCTURAL¯SHOCKS(cid:12)¯WHICH¯MAKES IT¯VERY¯DIFFICULT¯TO¯ISOLATE¯THE¯SOURCES¯OF¯BUSINESS¯CYCLE¯VARIATION(cid:14)¯¯&OR¯EXAMPLE(cid:12)¯IN¯A¯LINEAR¯ECONOMIC MODEL(cid:12)¯A¯POLICY¯SHOCK¯CAN¯INDUCE¯VARIATION¯IN¯REAL¯OUTPUT¯ONLY¯AT¯THE¯SAME¯FREQUENCY¯AS¯THE¯SHOCK(cid:14)¯¯4HIS ASSUMPTION¯IS¯IMPLICIT¯IN¯MANY¯STUDIES¯OF¯THE¯BUSINESS¯CYCLE(cid:14)(cid:19)¯¯)N¯A¯NON(cid:13)LINEAR¯ECONOMIC¯SYSTEM(cid:12)¯BUSINESS CYCLE¯VARIATION¯CAN¯BE¯INDUCED¯BY¯A¯POLICY¯SHOCK¯OF¯ANY¯FREQUENCY(cid:12)¯BECAUSE¯THE¯POLICY¯SHOCK¯CAN¯INTERACT NON(cid:13)LINEARLY¯WITH¯OTHER¯STRUCTURAL¯DISTURBANCES(cid:14)¯(cid:20) )N¯THIS¯PAPER(cid:12)¯WE¯ADAPT¯A¯WELL(cid:13)KNOWN¯UNIVARIATE¯TEST¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯TO¯TEST¯A¯SYSTEM¯OF¯NON(cid:13) STATIONARY¯MACROECONOMIC¯VARIABLES¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:14)¯¯7E¯FOCUS¯ON¯THE¯CASE¯OF¯INTEGRATED¯AND POSSIBLY¯CO(cid:13)INTEGRATED¯SYSTEMS(cid:14)¯¯7E¯USE¯(ALL¯AND¯(EYDEjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:9)¯REPRESENTATION¯THEOREM¯TO¯SHOW¯THESE STATIONARY¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ RELATIONS¯ WILL(cid:12)¯ GENERALLY(cid:12)¯ BE¯ NON(cid:13)LINEAR¯ STOCHASTIC¯ PROCESSES(cid:12)¯ AND¯ DEVELOP¯ A SEQUENTIAL¯ESTIMATION¯PROCEDURE¯TO¯TEST¯THE¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14) )N¯3ECTION¯)(cid:12)¯WE¯PROVIDE¯BASIC¯RESULTS¯ON¯TESTING¯STATIONARY¯TIME¯SERIES¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS USING¯POLYSPECTRAL¯METHODS(cid:14)¯¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯DERIVES¯A¯TEST¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯BASED¯ON¯THE¯PROPERTY¯THAT (cid:17)

STATIONARY¯LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESSES¯HAVE¯FLAT¯BISPECTRA(cid:14)(cid:21)¯4HE¯(INICH¯BISPECTRUM¯TEST¯EXPLICITLY¯REQUIRES STATIONARITY¯OF¯THE¯PROCESS¯BEING¯TESTED(cid:14)(cid:22) )N¯ORDER¯TO¯APPLY¯THE¯BISPECTRUM¯TEST(cid:12)¯NON(cid:13)STATIONARY¯DATA¯MUST¯BE¯TRANSFORMED¯TO¯PRODUCE STATIONARY¯DATA(cid:14)¯¯/NE¯TYPE¯OF¯NON(cid:13)STATIONARITY¯THAT¯HAS¯BEEN¯EXTENSIVELY¯INVESTIGATED¯IN¯ECONOMICS¯IS INTEGRATION(cid:14)¯¯!¯TIME¯SERIES¯THAT¯IS¯INTEGRATED¯OF¯ORDER¯D¯HAS¯A¯STATIONARY¯DTH¯DIFFERENCE(cid:14)¯)NTEGRATED¯TIME SERIES¯CAN¯BE¯REDUCED¯TO¯STATIONARITY¯EITHER¯BY¯ DIFFERENCING¯ THE¯LEVEL¯OF¯ THE¯SERIES(cid:12)¯ OR¯ THROUGH¯ CO(cid:13) INTEGRATION(cid:14)(cid:23)¯ #O(cid:13)INTEGRATION¯ HAS¯ BECOME¯ ONE¯ OF¯ THE¯ MOST¯ IMPORTANT¯ EMPIRICAL¯ CHARACTERIZATIONS¯ OF MACROECONOMIC¯TIME¯SERIES(cid:12)¯AND¯EMPIRICAL¯ANALYSES¯ARE¯OFTEN¯CONDITIONED¯ON¯THE¯INTEGRATION¯AND¯CO(cid:13) INTEGRATION¯PROPERTIES¯OF¯THE¯DATA(cid:14)(cid:24) )N¯3ECTION¯))(cid:12)¯WE¯USE¯A¯REPRESENTATION¯THEOREM¯DUE¯TO¯(ALL¯AND¯(EYDE¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:9)¯TO¯SHOW¯THAT¯THE¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATIONS¯OF¯AN¯INTEGRATED¯SYSTEM¯ARE¯GENERALLY¯STATIONARY¯NON(cid:13)LINEAR¯PROCESSES(cid:14)(cid:25)¯7E¯PROPOSE¯A SEQUENTIAL¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TESTING¯PROCEDURE¯TO¯TEST¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯FOR¯ NON(cid:13)LINEAR DYNAMICS(cid:14)¯¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)¯DEVELOPED¯A¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TEST¯FOR¯CO(cid:13)INTEGRATION(cid:12)¯BASED¯ON¯(ALL¯AND (EYDEjS¯THEOREM(cid:14)¯¯4HIS¯TEST¯DOES¯NOT¯REQUIRE¯LINEARITY(cid:12)¯WHICH¯IMPLIES¯THAT¯THE¯ESTIMATED¯CO(cid:13)INTEGRATION RELATIONS¯ARE¯VALID¯EVEN¯IF¯THE¯SYSTEM¯IS¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14)¯¯7E¯CAN¯TEST¯THE¯RESULTING¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS(cid:12) WHICH¯ARE¯STATIONARY(cid:12)¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯USING¯VARIANTS¯OF¯(INICHjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TEST¯FOR NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯’RANGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)¯PROPOSES¯SEVERAL¯NON(cid:13)LINEAR¯GENERALIZATIONS¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯INCLUDING¯NON(cid:13) LINEAR¯ERROR(cid:13)CORRECTION(cid:14)¯¯)F¯OUR¯TEST¯REJECTS¯LINEARITY¯OF¯THE¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS(cid:12)¯NON(cid:13)LINEAR ERROR(cid:13)CORRECTION¯IS¯ONE¯POSSIBILITY(cid:14) )N¯3ECTION¯)))(cid:12)¯WE¯APPLY¯OUR¯TEST¯TO¯A¯SYSTEM¯OF¯SHORT(cid:13)TERM¯5(cid:14)3(cid:14)¯INTEREST¯RATES¯AS¯AN¯ILLUSTRATION(cid:14) 7E¯SHOW¯THAT¯THE¯4REASURY¯BILL¯RATE(cid:12)¯THE¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATE(cid:12)¯AND¯THE¯FEDERAL¯FUNDS¯RATE¯ARE¯CO(cid:13) INTEGRATED¯OVER¯THE¯PERIOD¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:14)¯¯3HORT(cid:13)TERM¯INTEREST¯RATES¯ARE¯WELL¯SUITED¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯TESTING(cid:12) BECAUSE¯THE¯POWER¯OF¯TESTS¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯INCREASE¯SUBSTANTIALLY¯WITH¯SAMPLE¯SIZE(cid:12)¯AND¯SHORT(cid:13)TERM INTEREST¯RATES¯HAVE¯LARGE¯SAMPLE¯SIZES¯RELATIVE¯TO¯OTHER¯BUSINESS¯CYCLE¯VARIABLES(cid:12)¯SUCH¯AS¯REAL¯OUTPUT¯AND INFLATION(cid:14)¯)N¯ADDITION(cid:12)¯DISCRETE¯SAMPLING¯OF¯A¯CONTINUOUS¯TIME¯SERIES¯CAUSES¯ALIASING(cid:12)¯WHICH¯(INICH¯AND 0ATTERSON¯ (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)¯ FOUND¯ EMPIRICALLY¯ BIASES¯ TESTS¯ FOR¯ NON(cid:13)LINEARITY¯ TOWARD¯ FINDING¯ LINEARITY(cid:14)(cid:17)(cid:16)¯ ¯ 7E (cid:18)

CONSTRUCTED¯HIGH¯FREQUENCY¯WEEKLY¯INTEREST¯RATE¯DATA¯USING¯AN¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER(cid:12)¯FOLLOWING¯(INICH¯AND 0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)B(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:12)¯THAT¯MINIMIZES¯THE¯EFFECT¯OF¯ALIASING(cid:14)(cid:17)(cid:17)¯5SING¯VARIANTS¯OF¯(INICHjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯TEST(cid:12)¯WE FIND¯THAT¯THE¯RESULTING¯STATIONARY¯LINEAR¯COMBINATIONS¯ARE¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14)¯¯4HESE¯RESULTS¯ARE¯ROBUST¯TO¯SAMPLE PERIOD¯AND¯SUGGEST¯THAT¯THE¯UNTESTED¯LINEARITY¯ASSUMPTION¯IMPLICIT¯IN¯MANY¯MACROECONOMIC¯MODELS¯MAY BE¯INCORRECT(cid:14)¯¯)N¯PARTICULAR(cid:12)¯OUR¯ANALYSIS¯SUGGESTS¯THAT¯INTEREST¯RATE¯SPREADS(cid:12)¯WHICH¯ARE¯IMPORTANT¯TO¯THE MONETARY¯TRANSMISSION¯MECHANISM(cid:12)¯EXHIBIT¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:14) !PPENDIX¯(cid:17)¯DESCRIBES¯OUR¯BISPECTRUM¯ESTIMATOR¯AND¯THE¯NULL¯DISTRIBUTIONS¯OF¯THE¯TEST¯STATISTICS(cid:14) !PPENDIX¯(cid:18)¯DISCUSSES¯ALIASING¯AND¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER¯DESIGN(cid:14) )(cid:14)¯¯.ON(cid:13),INEARITY¯AND¯0OLYSPECTRAL¯!NALYSIS ,ET¯ X ¯BE¯A¯REAL(cid:12)¯MEAN¯ZERO(cid:12)¯THIRD(cid:13)ORDER¯STATIONARY¯STOCHASTIC¯PROCESS(cid:14)(cid:17)(cid:18)¯¯$EFINE¯THE¯FIRST¯THREE t CUMULANTS¯ AS¯ c (t)=E[X ](cid:12)¯ c (t ,t )=E[X X ](cid:12)¯ AND¯ c (t ,t ,t )=E[X X X ](cid:14)(cid:17)(cid:19)¯ ¯ 4HIRD(cid:13)ORDER X t XX 1 2 t1 t2 XXX 1 2 3 t1 t2 t3 STATIONARITY¯IMPLIES¯c (t)=0¯FOR¯ALL¯T(cid:12)¯c (t ,t )IS¯A¯FUNCTION¯ONLY¯OF¯ t =(t - t )(cid:12)¯AND¯c (t ,t ,t )IS¯A X XX 1 2 1 2 XXX 1 2 3 FUNCTION¯ONLY¯OF¯ t =(t - t )¯AND t =(t - t )(cid:14)¯¯7E¯THEREFORE¯DENOTE¯THE¯SECOND¯AND¯THIRD(cid:13)ORDER¯CUMULANT 1 1 2 2 2 3 FUNCTIONS¯ BY¯ c (t)¯ AND¯ c (t t, )¯ RESPECTIVELY(cid:14)¯ ¯ 4HESE¯ FUNCTIONS¯ ARE¯ ASSUMED¯ TO¯ BE¯ ABSOLUTELY XX XXX 1 2 SUMMABLE(cid:14)¯¯5NDER¯MILD¯REGULARITY¯CONDITIONS(cid:12)¯X ¯HAS¯A¯REPRESENTATION¯OF¯THE¯FORM(cid:26) t ¥ X t = (cid:229) g u e t- u (cid:12) (cid:8)(cid:17)(cid:9) u=-¥ WHERE¯g ¯IS¯A¯SEQUENCE¯OF¯COEFFICIENTS(cid:12)¯AND¯ e IS¯A¯SERIALLY¯UNCORRELATED¯WHITE¯NOISE¯INPUT¯SEQUENCE(cid:14)(cid:17)(cid:20)¯¯)N u t THIS¯REPRESENTATION(cid:12)¯X ¯IS¯THE¯OUTPUT¯OF¯A¯TIME(cid:13)INVARIANT¯LINEAR¯FILTER¯APPLIED¯TO¯WHITE¯NOISE¯INPUT(cid:12)¯BUT¯IT¯IS t NOT¯NECESSARILY¯A¯LINEAR¯PROCESS(cid:14)¯¯X ¯IS¯A¯LINEAR¯SEQUENCE¯IF¯ e ¯IS¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT(cid:14)(cid:17)(cid:21)¯¯)N¯GENERAL(cid:12) t t WHITENESS¯IS¯NOT¯SUFFICIENT¯FOR¯STOCHASTIC¯INDEPENDENCE¯UNLESS¯THE¯WHITE¯NOISE¯SEQUENCE¯IS¯’AUSSIAN(cid:14) 4HE¯RESPONSE¯OF¯A¯LINEAR¯SEQUENCE¯TO¯A¯SHOCK¯IS¯COMPLETELY¯CHARACTERIZED¯BY¯THE¯TRANSFER¯FUNCTION OF¯THE¯FILTER(cid:26) ¥ G(f)= (cid:229) g e- i(2p f)u (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:9) u u=¥- (cid:19)

)F¯THE¯INPUT¯TO¯A¯LINEAR¯SEQUENCE¯IS¯A¯SINE¯WAVE¯OF¯FREQUENCY¯F(cid:12)¯THE¯OUTPUT¯WILL¯ALSO¯BE¯A¯SINE¯WAVE¯WITH FREQUENCY¯ F(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ AMPLITUDE¯ WILL¯ BE¯ SCALED¯ BY¯ |G(f)|(cid:12)¯ AND¯ THE¯ PHASE¯ WILL¯ BE¯ SHIFTED¯ BY tan- 1(ImG(f)/ReG(f))(cid:14)(cid:17)(cid:22) !¯GENERAL¯MODEL¯FOR¯A¯NON(cid:13)LINEAR¯SEQUENCE¯IS X =h(...,e e, e,e ,e , ,...) (cid:8)(cid:19)(cid:9) t t- 2 -t 1 t +t 1 +t 2 e e WHERE¯ t ¯IS¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT(cid:14)¯¯)F¯8T¯IS¯CAUSAL(cid:12)¯IT¯DOES¯NOT¯DEPEND¯ON¯THE¯FUTURE¯VALUES¯OF¯ t (cid:14) 4HIS¯IS¯A¯COMMON¯ASSUMPTION¯THAT¯WOULD¯NOT¯SUBSTANTIVELY¯AFFECT¯OUR¯DISCUSSION(cid:14)¯¯)F¯H¯IS¯A¯WELL(cid:13)BEHAVED FUNCTION¯IT¯CAN¯BE¯REPRESENTED¯AS¯A¯6OLTERRA¯SERIES(cid:26)(cid:17)(cid:23) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ X t = (cid:229) g u e t- u (cid:229)+(cid:229) g u, e v -t e(cid:229) u (cid:229) - (cid:229) t v + g u e ,v,w e - t e -u t- v t w +... (cid:8)(cid:20)(cid:9) u=¥- =¥-u=¥- v =-¥ =¥- =u¥- v w 4HE¯RESPONSE¯OF¯THE¯NON(cid:13)LINEAR¯SEQUENCE¯TO¯A¯SHOCK¯WILL¯DEPEND¯ON¯GENERALIZED¯TRANSFER¯FUNCTIONS¯OF¯THE FORM(cid:26) ¥ ¥ ¥ G(f)= (cid:229) g e- i(2p f)u (cid:12)¯G(f,g)= (cid:229) (cid:229) g e- i2p(fu+ gv) (cid:12)¯b (cid:8)(cid:21)(cid:9) u u,v u=¥- u=¥- =¥-v )F¯THE¯INPUT¯TO¯A¯NON(cid:13)LINEAR¯SEQUENCE¯CONTAINS¯COMPONENTS¯WITH¯FREQUENCIES¯F¯AND¯G(cid:12)¯THEN¯THE¯OUTPUT¯WILL CONTAIN¯COMPONENTS¯WITH¯FREQUENCIES¯F(cid:12)¯G(cid:12)¯(f +g)(cid:12)¯(cid:18)F(cid:12)¯(cid:18)G(cid:12)¯(cid:18)(f +g)(cid:12)¯(cid:19)F(cid:12)¯(cid:19)G(cid:12)¯(cid:19)(f +g),...(cid:12)¯AND¯THE¯AMPLITUDES AND¯PHASES¯OF¯THESE¯COMPONENTS¯WILL¯DEPEND¯ON¯THE¯GENERALIZED¯TRANSFER¯FUNCTIONS(cid:14) 4ESTS¯FOR¯LINEARITY¯AND¯’AUSSIANITY¯CAN¯BE¯BASED¯ON¯THE¯HIGHER(cid:13)ORDER¯POLYSPECTRA¯OF¯STATIONARY SEQUENCES(cid:14)(cid:17)(cid:24)¯¯)N¯GENERAL(cid:12)¯THE¯KTH(cid:13)ORDER¯POLYSPECTRUM¯IS¯THE¯&OURIER¯TRANSFORM¯OF¯THE¯KTH(cid:13)ORDER¯CUMULANT FUNCTION(cid:14)¯¯4HE¯SECOND(cid:13)ORDER¯CUMULANT¯POLYSPECTRUM¯(cid:8)POWER¯SPECTRUM(cid:9)¯IS¯DEFINED¯AS¯THE¯&OURIER¯TRANSFORM OF¯c (t)(cid:26) XX P (f)= (cid:229) ¥ c (t)e- i2ptf (cid:12)¯| f |< 1 (cid:14)(cid:17)(cid:25) (cid:8)(cid:22)(cid:9) X XX 2 t=¥- 3IMILARLY(cid:12)¯THE¯THIRD(cid:13)ORDER¯CUMULANT¯POLYSPECTRUM¯(cid:8)BISPECTRUM(cid:9)¯IS¯DEFINED¯AS¯THE¯SECOND(cid:13)ORDER¯&OURIER TRANSFORM¯OFc (t t, )(cid:26) XXX 1 2 ¥ ¥ B (f,g)= (cid:229) (cid:229) c (t t, )e- i2p(tf 1 +tg2) (cid:12)¯ (cid:8)(cid:23)(cid:9) X XXX 1 2 t =-¥ t=¥- 1 2 (cid:20)

(f,g)˛ D= {(f,g): 0< <f (1/2), g< f, 2+f g< 1}(cid:14)(cid:18)(cid:16)¯¯)F¯THE¯SECOND¯AND¯THIRD(cid:13)ORDER¯CUMULANT¯FUNCTIONS ARE¯ABSOLUTELY¯SUMMABLE(cid:12)¯THEN¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯AND¯THE¯BISPECTRUM¯EXIST¯AND¯ARE¯WELL¯DEFINED(cid:14) 4HE¯POWER¯SPECTRUM¯AND¯BISPECTRUM¯CAN¯BE¯INTERPRETED¯USING¯THE¯#RAM–R¯SPECTRAL¯REPRESENTATION OF¯X (cid:26) t X =(cid:242) 1 2 ei2p ftdZ (f)(cid:12) (cid:8)(cid:24)(cid:9) t - 1 X 2 WHERE(cid:12) (cid:236) 0 f „ g E[dZ (f)]=0(cid:12)¯E[dZ (f)dZ*(g)]=(cid:237) (cid:8)(cid:25)(cid:9) X X X (cid:238) P(f)df f =g AND (cid:236) 0 f +g „ h E[dZ (f)dZ (g)dZ*(h)]=(cid:237) (cid:14)(cid:18)(cid:17)¯¯ (cid:8)(cid:17)(cid:16)(cid:9) X X X (cid:238) B(f,g)dfdg f +g =h 4HE¯ POWER¯ SPECTRUM¯ DESCRIBES¯ THE¯ CONTRIBUTION¯ TO¯ THE¯ EXPECTATION¯ OF¯ THE¯ PRODUCT¯ OF¯ TWO¯ &OURIER COMPONENTS¯WHOSE¯FREQUENCIES¯ARE¯THE¯SAME(cid:12)¯WHEREAS¯THE¯BISPECTRUM¯DESCRIBES¯THE¯CONTRIBUTION¯TO¯THE EXPECTATION¯OF¯THE¯PRODUCT¯OF¯THREE¯&OURIER¯COMPONENTS¯WHERE¯ONE¯FREQUENCY¯IS¯EQUAL¯TO¯THE¯SUM¯OF¯THE OTHER¯TWO(cid:14)¯¯4HE¯INTEGRAL¯OF¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯IS¯EQUAL¯TO¯THE¯VARIANCE¯OF¯THE¯SEQUENCE(cid:12)¯c (0)(cid:12)¯AND¯THE XX POWER¯SPECTRUM¯CAN¯BE¯INTERPRETED¯AS¯A¯DECOMPOSITION¯OF¯THE¯VARIANCE¯BY¯FREQUENCY(cid:14)¯¯3IMILARLY(cid:12)¯THE BISPECTRUM¯DECOMPOSES¯THE¯SKEWNESS¯OF¯THE¯SEQUENCE(cid:12)¯c (0,0)(cid:12)¯BY¯PAIRS¯OF¯FREQUENCIES(cid:14) XXX $EFINE¯THE¯SKEWNESS¯FUNCTION(cid:12)¯ G (f,g)(cid:12)¯AS¯THE¯NORMALIZED¯SQUARE¯MODULUS¯OF¯THE¯BISPECTRUM(cid:26) X |B (f,g)|2 G (f,g=) X (cid:14) (cid:8)(cid:17)(cid:17)(cid:9) X P (f)P (g)P (f +g) X X X ,ET¯ e BE¯A¯STOCHASTICALLY¯ INDEPENDENT¯ SEQUENCE(cid:12)¯ THEN¯ P (f)=c (0)¯ AND¯ B (f,g)=c (0,0)¯ FOR¯ ALL t e ee e eee (f,g)˛ D(cid:14)¯ ¯ 4HIS¯ IMPLIES¯ THAT¯ A¯ LINEAR¯ PROCESS¯ HAS¯ A¯ CONSTANT¯ SKEWNESS¯ FUNCTION¯ EQUAL¯ TO G (f,g=) c (0,0)2c (0)- 3(cid:12)¯BECAUSE¯ P (f)=|G(f)|2 P (f)¯AND¯ B (f,g)=G(f)G(g)G*(f +g)B (f,g)(cid:14)(cid:18)(cid:18) X eee ee X e X e )F¯THE¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT¯INPUT¯SEQUENCE¯IS¯ALSO¯’AUSSIAN¯THEN¯c (0,0)=0¯AND¯ G (f,g)¯WILL¯BE eee X IDENTICALLY¯ZERO(cid:14)¯¯4HESE¯PROPERTIES¯FORM¯THE¯BASIS¯OF¯(INICHjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯AND¯2AO¯AND¯’ABRjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:9)¯TESTS¯OF ’AUSSIANITY¯AND¯LINEARITY(cid:14)¯¯4HE¯TESTS¯USED¯IN¯THIS¯PAPER¯ARE¯BASED¯ON¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:19)¯¯4HE¯NULL¯HYPOTHESIS (cid:21)

OF¯THE¯(INICH¯TEST¯THAT¯ G (f,g)IS¯CONSTANT¯FOR¯ALL¯FREQUENCY¯PAIRS¯IS¯A¯NECESSARY¯BUT¯NOT¯SUFFICIENT X CONDITION¯FOR¯LINEARITY(cid:14)(cid:18)(cid:20)¯¯4HESE¯TESTS¯AND¯THEIR¯DISTRIBUTIONS¯UNDER¯THE¯NULL¯ARE¯DESCRIBED¯IN¯!PPENDIX¯(cid:17)(cid:14) ))(cid:14)¯¯)NTEGRATION¯AND¯#O(cid:13)INTEGRATION -ACROECONOMIC¯TIME¯SERIES¯OFTEN¯APPEAR¯TO¯BE¯SUBJECT¯TO¯PERMANENT¯SHOCKS(cid:12)¯AND¯IT¯HAS¯BECOME¯A STANDARD¯PRACTICE¯TO¯MODEL¯THESE¯TIME¯SERIES¯AS¯NON(cid:13)STATIONARY¯INTEGRATED¯PROCESSES(cid:14)(cid:18)(cid:21)¯¯4HE¯POLYSPECTRAL TESTS¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯CANNOT¯BE¯APPLIED¯DIRECTLY¯TO¯INTEGRATED¯TIME¯SERIES(cid:12)¯BUT¯THEY¯CAN¯BE¯APPLIED¯TO EITHER¯THE¯FIRST¯DIFFERENCES¯OR¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS(cid:14)¯¯)N¯THIS¯SECTION(cid:12)¯WE¯DEVELOP¯A¯MODEL(cid:12)¯WHICH PROVES¯THAT¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯GENERALLY¯NON(cid:13)LINEAR¯PROCESSES(cid:14) )NITIALLY(cid:12)¯WE¯ESTABLISH¯SOME¯NOTATIONAL¯CONVENTIONS(cid:14)¯¯,ET¯(W ,F,m )¯DENOTE¯A¯PROBABILITY¯SPACE(cid:14)¯¯,ET T:WfiW ¯DENOTE¯A¯ONE¯TO¯ONE¯ERGODIC¯MEASURE(cid:13)PRESERVING¯SHIFT¯TRANSFORMATION(cid:14)¯¯)F¯¯ X (w )¯IS¯A¯RANDOM 0 VARIABLE(cid:12)¯THEN¯ X (w )= X (Twt )¯DEFINES¯A¯STRICTLY¯STATIONARY¯ERGODIC¯SEQUENCE(cid:14)(cid:18)(cid:22)¯¯(ALL¯AND¯(EYDE¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:12) t 0 PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:19)(cid:22)(cid:9)¯PROVE¯THAT¯X (w )HAS¯A¯REPRESENTATION¯OF¯THE¯FORM(cid:26) t X (w )=Yw( )+wZ ( )- wZ ( )(cid:12)¯ (cid:8)(cid:17)(cid:18)(cid:9) t t t t+1 WHERE¯ Y (w )=Y (Twt )¯ IS¯ A¯ STATIONARY¯ MARTINGALE¯ DIFFERENCE¯ SEQUENCE(cid:12)¯ AND¯ Z (w )=Z (Twt )¯ SUCH t 0 t 0 THATZ (w )IS¯INL1(cid:14)(cid:18)(cid:23)¯¯%XPLICIT¯FORMULAS¯FOR¯THE¯REPRESENTATION¯ARE¯GIVEN¯BY(cid:26) 0 ¥ Y 0 = (cid:229) (E[X k |F 0 ]- E[X k |F - 1 ])(cid:27)¯ (cid:8)(cid:17)(cid:19)(cid:9) k=¥- AND(cid:12) Z 0 =(cid:229) ¥ (E[X k |F - 1 ]) (cid:229)- - 1 (X k - E[X k |F - 1 ])(cid:12)¯ (cid:8)(cid:17)(cid:20)(cid:9) k=0 k=¥- WHERE¯{F }IS¯THE¯FILTRATION¯GENERATED¯BY¯THE¯SHIFT¯TRANSFORM(cid:14) s !¯STOCHASTIC¯SEQUENCE¯IS¯SAID¯TO¯BE¯INTEGRATED¯OF¯ORDER¯ONE(cid:12)¯ I(1)(cid:12)¯IF¯THE¯FIRST¯DIFFERENCE¯OF¯THE SEQUENCE¯IS¯STATIONARY(cid:14)(cid:18)(cid:24)¯¯,ET¯¯S ¯BE¯A¯Q(cid:13)DIMENSIONAL¯I(1)¯VECTOR¯SEQUENCE(cid:12)¯S =(S ,...,S )T (cid:14)¯¯4HE¯FIRST(cid:13) t t 1t qt DIFFERENCE¯SEQUENCE¯IS¯STATIONARY¯AND¯HAS¯THE¯FOLLOWING¯REPRESENTATION(cid:26) S - S =D S= X= Y+ Z- Z (cid:12) (cid:8)(cid:17)(cid:21)(cid:9) t t- 1 t t t t +t 1 ¯WHERE¯Y IS¯A¯STATIONARY¯VECTOR¯MARTINGALE¯DIFFERENCE¯SEQUENCE(cid:12)¯AND¯Z ¯IS¯A¯STATIONARY¯VECTOR¯SEQUENCE(cid:14)(cid:18)(cid:25) t t 4HE¯LEVEL¯OF¯THE¯INTEGRATED¯SEQUENCE (cid:22)

S t =(cid:229) t Y s - Z t+1 + Z 1 + S 0 (cid:8)(cid:17)(cid:22)(cid:9) s=0 IS¯NON(cid:13)STATIONARY¯AND¯IS¯DOMINATED¯BY¯THE¯ACCUMULATED¯MARTINGALE¯DIFFERENCE¯WHICH¯GIVES¯RISE¯TO¯THE PERMANENT¯SHOCKS(cid:14) !¯SYSTEM¯OF¯INTEGRATED¯TIME¯SERIES¯IS¯CO(cid:13)INTEGRATED¯IF¯SOME¯LINEAR¯COMBINATIONS¯OF¯THE¯TIME¯SERIES ARE¯STATIONARY(cid:14)¯¯#O(cid:13)INTEGRATION¯CAN¯BE¯DEFINED¯AS¯A¯REDUCED¯RANK¯CONDITION¯INVOLVING¯THE¯COVARIANCE¯MATRIX OF¯THE¯VECTOR¯MARTINGALE¯DIFFERENCE(cid:14)¯¯,ET¯THE¯COVARIANCE¯MATRIX¯HAVE¯THE¯FORM(cid:26) (cid:236) CCT if s=t E[Y YT]=(cid:237) (cid:14)(cid:19)(cid:16)¯¯ (cid:8)(cid:17)(cid:23)(cid:9) t s (cid:238) 0 if s„ t )F¯#¯HAS¯REDUCED¯RANK(cid:12)¯(q- r)(cid:12)¯THEN¯THERE¯WILL¯EXIST¯R¯NON(cid:13)TRIVIAL¯VECTORS¯ b ,...b, (cid:12)¯CALLED¯CO(cid:13)INTEGRATION 1 r VECTORS(cid:12)¯SUCH¯THAT¯ b TC=0T (cid:12)¯FOR¯ALL¯ j=1,K,r(cid:14)¯¯,ET¯ b ¯BE¯THE¯Q¯BY¯R¯MATRIX¯ Ø º b b b... ø ß (cid:14)¯¯4HE¯LINEAR j 1 2 r COMBINATIONS(cid:12)¯ b TS (cid:12)¯CALLED¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯STATIONARY(cid:12)¯FOR¯ALL¯ j=1,K,r(cid:14)(cid:19)(cid:17)¯¯"Y¯CONTRAST(cid:12)¯THE j t (q- r)(cid:13)DIMENSIONAL¯SEQUENCE(cid:12)¯ b TS (cid:12)¯CALLED¯THE¯COMMON¯STOCHASTIC¯TRENDS(cid:12)¯IS¯INTEGRATED¯BUT¯NOT¯CO(cid:13) ^ t INTEGRATED(cid:12)¯WHERE¯ b ¯IS¯THE¯Q¯BY¯(q- r)¯ORTHOGONAL¯COMPLIMENT¯MATRIX¯OF¯ b (cid:14)(cid:19)(cid:18) ^ 4HE¯Q(cid:13)DIMENSIONAL¯SEQUENCES¯ D S t ¯AND¯ Ø º b T b ^ TDø ß S t ¯ARE¯BOTH¯STATIONARY(cid:14)(cid:19)(cid:19)¯¯4HE¯COMPONENTS¯OF D S ¯HAVE¯THE¯FORM(cid:26) t D S j = t Y j + t Z j - t Z j,t+1 (cid:14) (cid:8)(cid:17)(cid:24)(cid:9) "OTH¯Y ¯AND¯Z ¯GENERALLY¯EXHIBIT¯NON(cid:13)LINEAR¯DEPENDENCE(cid:12)¯ALTHOUGH¯Y ¯IS¯A¯MARTINGALE¯DIFFERENCE¯AND¯IS jt jt jt NON(cid:13)FORECASTABLE¯IN¯THE¯MEAN¯SQUARE¯METRIC(cid:12)¯SEE¯(INICH¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS HAVE¯THE¯FORM(cid:12) b T j S t =b T j (Z 1 - Z t+1 +)b T j S 0 (cid:12) (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:9) AND¯HAVE¯BEEN¯PURGED¯OF¯THE¯EFFECTS¯OF¯THE¯PERMANENT¯SHOCKS¯GENERATED¯BY¯THE¯MARTINGALE¯DIFFERENCE(cid:14) 4HESE¯RELATIONS¯ARE¯GENERALLY¯NON(cid:13)LINEAR(cid:12)¯BECAUSE¯THEY¯ARE¯LINEAR¯COMBINATIONS¯OF¯THE¯POTENTIALLY¯NON(cid:13)LINEAR COMPONENTS¯OF¯(Z - Z )(cid:14)(cid:19)(cid:20) 1 t+1 /UR¯PROPOSED¯METHOD¯FOR¯TESTING¯FOR¯WHETHER¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯NON(cid:13)LINEAR¯IS¯TO¯FIRST DETERMINE¯THE¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATING¯VECTORS¯USING¯"IERENSj¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TEST(cid:14)¯¯7E¯THEN (cid:23)

TEST¯THE¯ESTIMATED¯CO(cid:13)INTEGRATING¯RELATIONS¯FOR¯’AUSSIANITY¯AND¯LINEARITY¯USING¯(INICHjS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯TESTS(cid:14)¯¯4HIS SEQUENTIAL¯METHOD¯ALLOWS¯US¯TO¯TEST¯THE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:14) /UR¯ METHOD¯ CONTRASTS¯ WITH¯ THE¯ STANDARD¯ APPROACH¯ TO¯ CO(cid:13)INTEGRATION(cid:14)¯ ¯ 3TATIONARY¯ LINEAR COMBINATIONS¯OF¯INTEGRATED¯VARIABLES¯ARE¯USUALLY¯SPECIFIED¯TO¯FOLLOW¯A¯LINEAR¯!2-!¯PROCESS¯OR¯ARE¯INCLUDED IN¯LINEAR¯STRUCTURAL¯MODELS(cid:14)¯¯4HE¯STANDARD¯LINEAR¯VECTOR¯ERROR¯CORRECTION¯MODEL¯(cid:8)6%#-(cid:9)¯HAS¯THE¯FORM(cid:26) D S t = a b TS t- + 1 (cid:229)p- G 1 D j +S -t j e t (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:16)(cid:9) j=1 a b )F¯THE¯MODEL¯IS¯CO(cid:13)INTEGRATED¯THEN¯THE¯Q¯BY¯R¯PARAMETER¯MATRICES(cid:12)¯ ¯AND¯ (cid:12)¯HAVE¯RANK¯R(cid:14)¯¯4HE¯CO(cid:13) a INTEGRATION¯RELATIONS¯ENTER¯THE¯MODEL¯LINEARLY(cid:12)¯THROUGH¯THE¯COEFFICIENT¯VECTOR¯ (cid:14)¯¯4HE¯ERROR(cid:13)CORRECTION e MODEL¯IS¯USUALLY¯ESTIMATED¯UNDER¯THE¯ASSUMPTION¯THAT¯ IS¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT(cid:12)¯WHICH¯IMPLIES¯THAT t THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESSES(cid:14)¯¯/UR¯DISCUSSION¯SHOWS¯THAT¯CO(cid:13)INTEGRATION¯DOES e NOT¯GENERALLY¯IMPLY¯LINEARITY(cid:12)¯THEREFORE(cid:12)¯ THERE¯ IS¯ NO¯ REASON¯ TO¯EXPECT¯ ¯ TO¯ BE¯ EITHER¯’AUSSIAN¯OR t INDEPENDENT(cid:14) ’RANGER¯ (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)¯ PROPOSES¯ THREE¯ NON(cid:13)LINEAR¯ GENERALIZATIONS¯ OF¯ CO(cid:13)INTEGRATION(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ FIRST GENERALIZATION¯IS¯THAT¯NON(cid:13)LINEAR¯FUNCTIONS¯OF¯THE¯TIME¯SERIES¯MAY¯BE¯CO(cid:13)INTEGRATED¯IN¯THE¯SENSE¯THAT g (x )AND¯ g (x )¯HAVE¯A¯DOMINANT¯PROPERTY¯THAT¯THE¯LINEAR¯COMBINATION¯OF¯NON(cid:13)LINEARLY¯TRANSFORMED 1 1t 2 2t VARIABLES¯ z =g (x )- Ag (x )DOES¯NOT¯EXHIBIT(cid:14)¯¯!¯SECOND¯GENERALIZATION¯IS¯TO¯ALLOW¯TIME(cid:13)VARYING¯CO(cid:13) t 1 1t 2 2t INTEGRATION¯VECTORS(cid:14)¯¯!¯THIRD¯GENERALIZATION¯IS¯NON(cid:13)LINEAR¯ERROR¯CORRECTION(cid:12)¯IN¯WHICH¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION RELATIONS¯WOULD¯ENTER¯THE¯ERROR(cid:13)CORRECTION¯MODEL¯THROUGH¯A¯NON(cid:13)LINEAR¯FUNCTION¯F(cid:12)¯I(cid:14)E(cid:14) D S t = f(b TS t-1 +) (cid:229)p- G 1 D j +S -t j e t (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:17)(cid:9) j=1 !¯NATURAL¯NON(cid:13)LINEAR¯ERROR¯CORRECTION¯SPECIFICATION¯IS¯TO¯ALLOW¯MEAN¯REVERSION¯ONLY¯FOR¯LARGE DEVIATIONS¯OF¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯FROM¯THEIR¯MEANS(cid:12)¯SO¯THAT¯F¯HAS¯THE¯FORM(cid:26) (cid:236) z if z>k ¯ f(z)=(cid:237) (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:18)(cid:9) (cid:238) 0 if z£ k )N¯THIS¯CASE(cid:12)¯z =b TS BEHAVES¯LIKE¯A¯UNIT¯ROOT¯IN¯A¯NEIGHBORHOOD¯OF¯ITS¯MEAN(cid:12)¯BUT¯EXHIBITS¯MEAN¯REVERSION t t WHEN¯IT¯IS¯OUTSIDE¯THE¯NEIGHBORHOOD(cid:14)¯¯4HIS¯MODEL¯IS¯A¯STRAIGHTFORWARD¯GENERALIZATION¯OF¯THE¯STANDARD¯ERROR(cid:13) (cid:24)

CORRECTION¯ MODEL¯ THAT¯ EXHIBITS¯ NON(cid:13)LINEAR¯ DYNAMICS(cid:12)¯ BUT¯ THE¯ LINEAR¯ COMBINATION(cid:12)¯ z =b TS (cid:12)¯ IS¯ NOT t t GENERALLY¯STATIONARY(cid:14)(cid:19)(cid:21)¯¯4HIS¯LAST¯POINT¯IS¯THE¯MAIN¯DIFFERENCE¯BETWEEN¯OUR¯APPROACH¯AND¯NON(cid:13)LINEAR¯ERROR CORRECTION(cid:14)¯¯7E¯SHOW¯THAT¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯CAN¯BE¯NON(cid:13)LINEAR¯STATIONARY¯STOCHASTIC¯PROCESSES(cid:14)¯¯)F OUR¯ TEST¯ REJECTS¯ LINEARITY(cid:12)¯ THEN¯ THE¯ CLASS¯ OF¯ STATIONARY¯ NON(cid:13)LINEAR¯ ERROR¯ CORRECTION¯ MODELS¯ COULD¯ BE INVESTIGATED¯AS¯A¯POSSIBLE¯MODEL¯FOR¯THE¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯!N¯ALTERNATIVE¯APPROACH¯WOULD¯BE¯TO¯MODEL¯THE¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATION¯USING¯ANY¯OF¯THE¯STANDARD¯UNIVARIATE¯NON(cid:13)LINEAR¯MODELS¯SUCH¯AS¯BI(cid:13)LINEARITY(cid:12)¯THRESHOLD AUTO(cid:13)REGRESSION(cid:12)¯NON(cid:13)LINEAR¯MOVING¯AVERAGE(cid:12)¯ETC(cid:14)(cid:19)(cid:22) )))(cid:14)¯¯%MPIRICAL¯2ESULTS )N¯THIS¯SECTION(cid:12)¯WE¯TEST¯A¯CO(cid:13)INTEGRATED¯SYSTEM¯OF¯SHORT(cid:13)TERM¯5(cid:14)3(cid:14)¯INTEREST¯RATES¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR DYNAMICS(cid:14)¯¯7E¯FOCUS¯ON¯INTEREST¯RATES¯BECAUSE¯WE¯CAN¯OBTAIN¯A¯LONG(cid:12)¯HIGH¯FREQUENCY¯SAMPLE(cid:12)¯WHICH¯IS ESSENTIAL¯IN¯TESTING¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯!SHLEY(cid:12)¯0ATTERSON(cid:12)¯AND¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:23)(cid:19)(cid:9)¯SHOW¯THAT¯THE POWER¯OF¯THE¯BISPECTRUM¯TEST¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯IMPROVES¯CONSIDERABLY¯AS¯SAMPLE¯SIZES¯INCREASE(cid:12)¯AND¯HAS VERY¯HIGH¯POWER¯AT¯SAMPLE¯SIZES¯OVER¯ONE¯THOUSAND¯AGAINST¯CERTAIN¯NON(cid:13)LINEAR¯MODELS(cid:14) 3HORT(cid:13)TERM¯INTEREST¯RATES¯ON¯FEDERAL¯FUNDS¯AND¯ON¯UNSECURED¯CORPORATE¯AND¯GOVERNMENT¯DEBTS¯ARE FREQUENTLY¯INCLUDED¯IN¯STUDIES¯OF¯THE¯BUSINESS¯CYCLE(cid:12)¯MONEY¯DEMAND(cid:12)¯AND¯THE¯MONETARY¯TRANSMISSION MECHANISM(cid:14)¯¯)MPROPER¯SAMPLING¯OF¯HIGH¯FREQUENCY¯TIME¯SERIES¯LEADS¯TO¯A¯TYPE¯OF¯BIAS¯CALLED¯ALIASING(cid:14) (INICH¯ AND¯ 0ATTERSON¯ (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)¯ FOUND¯ THAT¯ CORRECTING¯ FOR¯ ALIASING¯ IMPROVED¯ THE¯ PERFORMANCE¯ OF¯ THE BISPECTRUM¯TEST¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯7E¯OBTAINED¯BUSINESS¯DAILY¯DATA¯FOR¯THE¯FEDERAL¯FUNDS¯RATE(cid:12)¯THE SECONDARY¯MARKET¯RATE¯ON¯ONE(cid:13)MONTH¯TREASURY¯BILLS(cid:12)¯AND¯THE¯INTEREST¯RATE¯ON¯ONE(cid:13)MONTH¯COMMERCIAL¯PAPER FROM¯(cid:20)(cid:15)(cid:16)(cid:24)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)¯TO¯(cid:24)(cid:15)(cid:18)(cid:25)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:14)(cid:19)(cid:23)¯¯4HESE¯INTEREST¯RATES¯ARE¯CONVERTED¯TO¯ONE(cid:13)MONTH¯HOLDING¯PERIOD¯YIELDS¯ON A¯BOND¯INTEREST¯BASIS(cid:12)¯AND¯ARE¯PASSED¯THROUGH¯AN¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER(cid:14)¯¯4HE¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER¯IS¯DESIGNED¯TO REMOVE¯THE¯HIGH(cid:13)FREQUENCY¯POWER¯IN¯THE¯DAILY¯RATE¯SERIES¯TO¯MINIMIZE¯THE¯BIAS¯CAUSED¯BY¯CONVERTING¯THE DAILY¯TIME¯SERIES¯TO¯WEEKLY¯TIME¯SERIES(cid:14)(cid:19)(cid:24)¯¯4HE¯DAILY¯RATES¯ARE¯CONVERTED¯TO¯WEEKLY¯RATES¯BY¯SAMPLING¯THE FILTERED¯DAILY¯RATES¯EVERY¯SEVEN¯DAYS(cid:14)¯¯4HESE¯WEEKLY¯RATES¯ARE¯DENOTED¯AS¯#0(cid:17)-(cid:12)¯4"(cid:17)-(cid:12)¯AND¯&&(cid:14)¯¯7E SHOW¯THAT¯THESE¯RATES¯ARE¯INTEGRATED¯AND¯CO(cid:13)INTEGRATED¯AND¯EXHIBIT¯NON(cid:13)LINEAR¯SERIAL¯DEPENDENCE(cid:14) (cid:25)

4HE¯METHOD¯WE¯USE¯TO¯SOLVE¯THE¯ALIASING¯PROBLEM¯FOLLOWS¯(INICH¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)B(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:14) 4HE¯PROBLEMS¯OF¯ALIASING¯AND¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER¯DESIGN¯ARE¯DISCUSSED¯IN¯DETAIL¯IN¯!PPENDIX¯(cid:18)(cid:14) )))(cid:14)(cid:17)¯)NTEGRATION¯AND¯4ESTS¯FOR¯.ON(cid:13),INEARITY 4HE¯ASSUMPTION¯THAT¯SHORT(cid:13)TERM¯5(cid:14)3(cid:14)¯INTEREST¯RATES¯ARE¯INTEGRATED¯IS¯QUITE¯COMMON(cid:14)(cid:19)(cid:25)¯¯7E¯RAN¯A BATTERY¯OF¯UNIVARIATE¯TESTS¯OF¯THE¯UNIT¯ROOT¯AND¯STATIONARITY¯HYPOTHESES¯ON¯LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯LN(cid:8)&&(cid:9)(cid:12) AND¯THEIR¯FIRST¯DIFFERENCES(cid:14)¯¯!$&(cid:17)¯AND¯!$&(cid:18)¯ARE¯AUGMENTED¯$ICKEY(cid:13)&ULLER¯TESTS¯OF¯THE¯UNIT¯ROOT¯AND¯UNIT ROOT¯WITH¯DRIFT¯HYPOTHESES¯AGAINST¯STATIONARITY¯AND¯TREND¯STATIONARITY¯RESPECTIVELY(cid:14)(cid:20)(cid:16)¯¯00(cid:17)¯AND¯00(cid:18)¯ARE¯THE 0HILLIPS(cid:13)0ERRON¯TESTS¯OF¯THE¯SAME¯HYPOTHESES(cid:14)(cid:20)(cid:17)¯¯+033(cid:17)¯AND¯+033(cid:18)¯ARE¯TESTS¯OF¯THE¯STATIONARITY¯AND¯TREND STATIONARITY¯HYPOTHESES¯AGAINST¯THE¯ALTERNATIVES¯OF¯UNIT¯ROOT¯AND¯UNIT¯ROOT¯WITH¯DRIFT¯RESPECTIVELY(cid:14)(cid:20)(cid:18) &INALLY(cid:12)¯THE¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:9)¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TEST¯FOR¯THE¯EXISTENCE¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯IS¯RUN¯AS¯A¯UNIVARIATE TEST¯OF¯THE¯UNIT¯ROOT¯WITH¯DRIFT¯HYPOTHESIS¯AGAINST¯TREND¯STATIONARITY¯ON¯EACH¯VARIABLE(cid:14)¯¯4HESE¯TESTS(cid:12)¯WHICH ARE¯REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:17)(cid:12)¯SHOW¯THAT¯LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯AND¯LN(cid:8)&&(cid:9)¯ARE¯I(1)(cid:14)¯¯&IGURES¯(cid:17)¯AND¯(cid:18)¯DISPLAY THE¯LEVELS¯AND¯FIRST¯DIFFERENCES¯OF¯THE¯INTEREST¯RATES(cid:14) ,ET¯S ¯DENOTE¯THE¯VECTOR¯OF¯LOGGED¯INTEREST¯RATES(cid:14)¯¯7E¯CAN¯TEST¯EACH¯COMPONENT¯OF¯THE¯STATIONARY t FIRST¯DIFFERENCE¯VECTOR(cid:12)¯ D S (cid:12)¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯BY¯TESTING¯FOR¯FLATNESS¯OF¯THE¯SKEWNESS¯FUNCTIONS(cid:12)¯USING¯THE t TESTS¯DESCRIBED¯IN¯!PPENDIX¯(cid:17)(cid:14)¯¯7E¯PRE(cid:13)WHITEN¯EACH¯OF¯THE¯COMPONENTS¯USING¯AN¯!2(cid:8)(cid:22)(cid:9)¯FILTER¯TO¯ELIMINATE BIAS¯IN¯THE¯SPECTRAL¯ESTIMATION¯PRIOR¯TO¯TESTING(cid:12)¯TO¯DECREASE¯THE¯LIKELIHOOD¯OF¯FALSELY¯REJECTING¯THE¯NULL¯OF LINEARITY(cid:14) 4HE¯RESULTS¯OF¯THE¯NON(cid:13)LINEARITY¯TESTS¯ARE¯REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:18)(cid:14)¯¯4HE¯Z r ¯TEST¯STATISTICS¯ARE¯NORMALLY DISTRIBUTED¯UNDER¯THE¯NULL¯OF¯LINEARITY(cid:12)¯AND¯WE¯TREAT¯THESE¯TESTS¯AS¯TWO¯TAILED¯TESTS(cid:14)(cid:20)(cid:19)¯¯5SING¯THE¯FULL SAMPLE(cid:12)¯THE¯TESTS¯PROVIDE¯STRONG¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯"ROADLY¯SPEAKING¯THE¯VALUES¯OF¯THE¯(cid:17)(cid:16)(cid:5)(cid:12)¯(cid:18)(cid:16)(cid:5)(cid:12) (cid:20)(cid:16)(cid:5)(cid:12)¯AND¯(cid:22)(cid:16)(cid:5)¯FRACTILES¯OF¯THE¯SKEWNESS¯FUNCTION¯ARE¯TOO¯NEGATIVE¯AND¯THE¯(cid:24)(cid:16)(cid:5)¯AND¯(cid:25)(cid:16)(cid:5)¯FRACTILES¯ARE¯TOO D POSITIVE¯TO¯BE¯CONSISTENT¯WITH¯THE¯NULL¯HYPOTHESIS¯OF¯LINEARITY(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯FOR¯ LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9)¯BY Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES¯AND¯BY¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS .1 .2 .4 .6 .8 .9 REJECTED¯FOR¯ D LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9)¯BY¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯AND¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED .1 .2 .4 .6 .9 FOR¯ D LN(cid:8)&&(cid:9)¯BY¯ Z (cid:12)¯ Z (cid:12)¯ Z (cid:12)¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES¯AND¯BY¯ Z AND¯ Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL .1 .2 .4 .8 .9 (cid:17)(cid:16)

VALUES(cid:14)¯¯4HESE¯TESTS¯PROVIDE¯OVERWHELMING¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯FOR¯THE¯FIRST¯DIFFERENCES¯OF¯THESE SHORT(cid:13)TERM¯INTEREST¯RATES(cid:14) )))(cid:14)(cid:18)¯#O(cid:13))NTEGRATION &RIEDMAN¯AND¯+UTTNER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:9)¯CLAIMED¯THAT¯THE¯SPREAD¯BETWEEN¯THE¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATE AND¯THE¯4REASURY¯BILL¯RATE¯WAS¯STATIONARY(cid:14)¯¯7E¯CONDUCTED¯A¯CO(cid:13)INTEGRATION¯ANALYSIS¯OF¯ THE¯ SYSTEM S =(ln(CP1M),ln(TB1M),ln(FF))T (cid:14) t 4HE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯ANALYSIS¯IS¯CONDUCTED¯IN¯TWO¯STEPS(cid:26)¯RANK¯IDENTIFICATION¯AND¯ESTIMATION(cid:14)¯¯4HE RANK¯ IDENTIFICATION(cid:12)¯ WHICH¯ DETERMINES¯ THE¯ NUMBER¯ OF¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ RELATIONS(cid:12)¯ IS¯ BASED¯ ON¯ THE¯ NON(cid:13) PARAMETRIC¯TEST¯PROCEDURE¯DEVELOPED¯BY¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯IS l DETERMINED¯BY¯A¯SET¯OF¯HYPOTHESIS¯TESTS(cid:12)¯CALLED¯ (cid:13)MIN¯TESTS¯THAT¯ARE¯ESSENTIALLY¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯VERSIONS¯OF l THE¯WELL(cid:13)KNOWN¯*OHANSEN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:9)¯PARAMETRIC¯ (cid:13)MAX¯TESTS(cid:14)¯¯4HE¯TEST¯IS¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯BECAUSE¯THE MATRICES¯INVOLVED¯ARE¯CONSTRUCTED¯FROM¯THE¯DATA¯INDEPENDENTLY¯OF¯THE¯DATA(cid:13)GENERATING¯PROCESS(cid:27)¯SEE¯"IERENS (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:9)(cid:14) 4HE¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯CAN¯ALSO¯BE¯ESTIMATED¯USING¯A¯FUNCTION¯OF¯THE¯EIGENVALUES(cid:12) gˆ (r)(cid:14)¯¯4HE¯VALUE¯OF¯R¯THAT¯MINIMIZES¯gˆ (r)IS¯A¯CONSISTENT¯ESTIMATE¯OF¯THE¯TRUE¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION m m RELATIONS(cid:12)¯SEE¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:12)¯3ECTION¯(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:9)(cid:14) 4HE¯RANK¯OF¯THE¯SYSTEM¯IS¯DETERMINED¯USING¯BOTH¯THE¯ESTIMATION¯AND¯HYPOTHESIS¯TEST¯METHODS(cid:14) l 4HE¯ESTIMATED¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯IS¯(cid:18)(cid:14)¯¯4HE¯ (cid:13)MIN¯TESTS¯ARE¯REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:19)(cid:14)¯¯4HE TESTS¯ARE¯RUN¯IN¯SEQUENCE(cid:12)¯STARTING¯WITH¯THE¯NULL¯HYPOTHESIS¯THAT¯THE¯NUMBER¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATING¯VECTORS¯IS ZERO(cid:12)¯FOLLOWED¯BY¯A¯TEST¯OF¯THE¯NULL¯HYPOTHESIS¯THAT¯THERE¯IS¯ONE¯CO(cid:13)INTEGRATING¯VECTOR(cid:12)¯AND¯SO¯ON¯UNTIL¯THE NULL¯CANNOT¯BE¯REJECTED(cid:14)¯¯)N¯4ABLE¯(cid:19)(cid:12)¯WE¯FIND¯THAT¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯(cid:8)NO¯CO(cid:13)INTEGRATION(cid:9)¯IS¯DECISIVELY¯REJECTED(cid:12)¯AS¯IS¯THE HYPOTHESIS¯THAT¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯(cid:8)ONE¯CO(cid:13)INTEGRATING¯VECTOR(cid:9)(cid:12)¯BUT¯WE¯CANNOT¯REJECT¯THE¯HYPOTHESIS¯THAT¯R¯(cid:29)¯(cid:18)(cid:14) l 7E¯ALSO¯APPLIED¯THE¯MAXIMUM¯LIKELIHOOD¯ (cid:13)MAX¯AND¯TRACE¯TESTS¯DEVELOPED¯BY¯*OHANSEN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:12) (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:9)¯AND¯*OHANSEN¯AND¯*USELIUS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:16)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯I(1)¯MAXIMUM¯LIKELIHOOD¯METHOD¯ESTIMATES¯A¯FINITE(cid:13) ORDER¯6%#-(cid:12)¯AS¯IN¯(cid:8)(cid:18)(cid:16)(cid:9)(cid:12)¯WHERE¯THE¯COEFFICIENT¯MATRICES¯ P G , 1 ,G..., p- 1 ¯ARE¯(cid:19)¯BY¯(cid:19)(cid:14)¯¯)F¯THE¯SYSTEM¯IS¯CO(cid:13) INTEGRATED¯THEN¯THE¯MATRIX¯ P ¯HAS¯REDUCED¯RANK¯ r<3(cid:12)¯AND¯CAN¯BE¯DECOMPOSED¯INTO¯ P= a b T (cid:14)¯¯4HE (cid:17)(cid:17)

a b b MATRICES¯ ¯AND¯ ¯ARE¯FULL¯RANK¯(cid:19)¯BY¯R¯MATRICES(cid:12)¯AND¯THE¯COLUMNS¯OF¯ ¯ARE¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTORS(cid:14) 0ANTULA¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)¯AND¯*OHANSEN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:9)¯HAVE¯SUGGESTED¯A¯PROCEDURE¯TO¯JOINTLY¯IDENTIFY¯THE¯DETERMINISTIC P COMPONENTS¯AND¯THE¯RANK¯OF¯ (cid:14)¯¯4HE¯IDEA¯IS¯TO¯TEST¯THE¯MODELS¯SEQUENTIALLY(cid:12)¯BEGINNING¯WITH¯THE¯MOST l RESTRICTIVE¯MODEL¯CONSIDERED(cid:14)¯¯%ACH¯HYPOTHESIS¯CAN¯BE¯TESTED¯USING¯EITHER¯THE¯TRACE¯OR¯ (cid:13)MAX¯TEST STATISTICS(cid:14)¯¯7E¯CONDUCTED¯THESE¯TESTS¯FOR¯A¯SET¯OF¯LAG¯LENGTHS¯p=4,5,...,20(cid:14)¯¯4HESE¯TESTS¯UNIFORMLY¯FIND¯THAT THERE¯ARE¯TWO¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTORS¯AND¯THAT¯THE¯CORRECT¯DETERMINISTIC¯COMPONENT¯IS¯A¯CONSTANT¯THAT¯IS RESTRICTED¯TO¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE(cid:14)¯¯4HIS¯SPECIFICATION¯IS¯THEREFORE¯EXTREMELY¯ROBUST¯TO¯THE¯LAG¯LENGTH AND¯AGREES¯WITH¯THE¯RANK¯DETERMINATION¯OF¯THE¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯TEST(cid:14)¯¯4ABLE¯(cid:20)¯REPORTS¯THESE¯TESTS¯FOR¯A¯LAG LENGTH¯OF¯p=6(cid:14)(cid:20)(cid:20) 4HE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTORS¯CAN¯BE¯ESTIMATED¯EITHER¯PARAMETRICALLY¯OR¯NON(cid:13)PARAMETRICALLY(cid:14)¯¯4HE PARAMETRIC¯ESTIMATES¯ARE¯MORE¯USEFUL¯FOR¯PURPOSES¯OF¯FORECASTING¯AND¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)¯HAS¯ARGUED¯THAT HYPOTHESIS¯TESTS¯IN¯THE¯PARAMETRIC¯MODEL¯HAVE¯HIGHER¯POWER¯THAN¯COMPARABLE¯TESTS¯IN¯THE¯NON(cid:13)PARAMETRIC MODEL(cid:14)¯¯4HIS(cid:12)¯HOWEVER(cid:12)¯IS¯NOT¯NECESSARILY¯TRUE¯FOR¯OUR¯ANALYSIS(cid:12)¯BECAUSE¯THE¯HYPOTHESIS¯TESTS¯ARE¯PREDICATED ON¯ LINEARITY(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ PARAMETRIC¯ ESTIMATE¯ OF¯ THE¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ VECTORS¯ IS¯ b =b[ b, ](cid:12)¯ WHERE 1 2 b =(1,- 1.031,0)T ¯AND¯ b =(0,1,- 0.913)T (cid:14)(cid:20)(cid:21)¯¯4HE¯FIRST¯BASIS¯VECTOR¯ b REFLECTS¯THE¯NEAR¯STATIONARITY¯OF¯THE 1 2 1 SPREAD¯BETWEEN¯THE¯LOGARITHMS¯OF¯THE¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATE¯AND¯THE¯4REASURY¯BILL¯RATE(cid:14)¯¯4HE¯SECOND¯BASIS b VECTOR¯ ¯REFLECTS¯THE¯NEAR¯STATIONARITY¯OF¯THE¯SPREAD¯BETWEEN¯THE¯4REASURY¯BILL¯RATE¯AND¯THE¯FEDERAL¯FUNDS 2 RATE(cid:14)¯¯#HI(cid:13)SQUARED¯TESTS¯IN¯THE¯6%#-(cid:8)(cid:22)(cid:9)¯ACCEPT¯ THE¯ HYPOTHESIS¯ THAT¯ b =(1,- 1,0)T¯ BUT¯ REJECT¯ THE 1 HYPOTHESIS¯THAT¯ b =(0,1,- 1)T(cid:14)(cid:20)(cid:22)¯¯.EVERTHELESS(cid:12)¯THESE¯RESULTS¯ARE¯BROADLY¯CONSISTENT¯WITH¯STATIONARITY¯OF 1 SHORT(cid:13)TERM¯INTEREST¯RATE¯SPREADS(cid:14)¯¯4HE¯COMMON¯STOCHASTIC¯TREND¯FOR¯THE¯SYSTEM¯IS¯GIVEN¯BY¯ b TS (cid:12)¯WHERE ^ t b =(1,(1/1.031),(1/1.031)(1/0.913))T(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ NON(cid:13)PARAMETRIC¯ ESTIMATE¯ OF¯ THE¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ VECTORS¯ IS ^ b =b[ b , ](cid:12)¯WHERE¯ b =(1,- 1.075,0)T¯AND¯ b =(0,1,- 0.863)T(cid:12)¯WHICH¯ARE¯CONSISTENT¯WITH¯THE NP 1,NP 2,NP 1,NP 2,NP PARAMETRIC¯ESTIMATES(cid:14)¯¯&IGURES¯(cid:19)¯AND¯(cid:20)¯SHOW¯THAT¯THE¯PARAMETRIC¯AND¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯ESTIMATES¯OF¯THE¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯ALMOST¯IDENTICAL(cid:14) (cid:17)(cid:18)

4HE¯SHORT(cid:13)RUN¯DYNAMICS¯CAN¯BE¯REMOVED¯FROM¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯BY¯COMPUTING¯ b TR (cid:12) pt WHERE¯R pt ¯ARE¯THE¯RESIDUALS¯FROM¯REGRESSING¯S t- p ¯ON¯ D S t- 1 ,...D, S -t+p 1 (cid:14)¯¯4HE¯RELATIONS¯ b TR pt ¯ARE¯THE¯ONES ACTUALLY¯TESTED¯FOR¯STATIONARITY¯IN¯THE¯MAXIMUM¯LIKELIHOOD¯PROCEDURE(cid:12)¯SEE¯(ANSEN¯AND¯*USELIUS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14) )))(cid:14)(cid:19)¯2OBUSTNESS -IYAO¯ (cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)¯ HAS¯ ARGUED¯ THAT¯ MAXIMUM¯ LIKELIHOOD¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ TESTS¯ SHOULD¯ BE¯ CAREFULLY CHECKED¯FOR¯ROBUSTNESS(cid:14)¯¯(E¯ARGUES¯THAT¯THE¯MAXIMUM¯LIKELIHOOD¯TEST¯SHOULD¯BE¯USED¯IN¯CONJUNCTION¯WITH OTHER¯TESTS¯OF¯THE¯SAME¯NULL(cid:12)¯AND¯SHOULD¯BE¯CAREFULLY¯TESTED¯FOR¯ROBUSTNESS¯TO¯LAG¯LENGTH¯AND¯SAMPLE¯PERIOD(cid:14) 4HEREFORE(cid:12)¯WE¯TEST¯FOR¯CO(cid:13)INTEGRATION¯USING¯BOTH¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯AND¯PARAMETRIC¯TESTS(cid:12)¯AND¯TEST¯THE¯RESULTS FOR¯ROBUSTNESS¯TO¯SAMPLE¯PERIOD(cid:14)¯¯4HE¯RESULTS¯OF¯THOSE¯TESTS¯ARE¯CONSISTENT(cid:12)¯AS¯ARE¯THE¯ESTIMATED¯CO(cid:13) INTEGRATION¯RELATIONS(cid:14)¯¯7E¯ALSO¯TESTED¯THESE¯RESULTS¯FOR¯ROBUSTNESS¯TO¯SAMPLE¯PERIOD(cid:14)¯¯7E¯EXAMINED¯THE INTEGRATION¯AND¯CO(cid:13)INTEGRATION¯PROPERTIES¯OF¯THE¯DATA¯OVER¯TWO¯SUB(cid:13)PERIODS(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:26)(cid:16)(cid:25)(cid:26)(cid:17)(cid:19)¯THROUGH¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:16)(cid:25)(cid:26)(cid:17)(cid:25)(cid:12) AND¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:26)(cid:19)(cid:26)(cid:17)¯THROUGH¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:26)(cid:17)(cid:18)(cid:26)(cid:19)(cid:17)(cid:14)¯¯4HESE¯ARE¯PERIODS¯OVER¯WHICH¯A¯TARGET¯FOR¯THE¯FEDERAL¯FUNDS¯RATE¯CAN¯BE CONSTRUCTED(cid:12)¯SEE¯2UDEBUSCH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14) 4HE¯RESULTS¯OF¯THE¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯AND¯PARAMETRIC¯CO(cid:13)INTEGRATION¯TESTS¯FOR¯THE¯TWO¯SUB(cid:13)SAMPLES¯ARE REPORTED¯IN¯4ABLES¯(cid:19)A(cid:15)(cid:19)B(cid:12)¯AND¯(cid:20)A(cid:15)(cid:20)B¯RESPECTIVELY(cid:14)¯¯4HE¯RESULTS¯SHOW¯THAT¯THE¯RANK¯IDENTIFICATIONS¯ARE CONSISTENT¯WITH¯THOSE¯FROM¯THE¯FULL¯SAMPLE(cid:14)¯¯&URTHER(cid:12)¯THE¯ESTIMATED¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTORS¯ARE¯CONSISTENT WITH¯THE¯ESTIMATED¯VECTORS¯FROM¯THE¯FULL¯SAMPLE(cid:12)¯BECAUSE¯WE¯CANNOT¯REJECT¯THE¯JOINT¯HYPOTHESIS(cid:12)¯ H (cid:26) 0 b =(1,- 1.031,0)T ¯AND¯ b =(0,1,- 0.913)T (cid:12)¯FOR¯EITHER¯SUB(cid:13)SAMPLE(cid:14)(cid:20)(cid:23) 1 2 )))(cid:14)(cid:20)¯4ESTS¯FOR¯.ON(cid:13),INEARITY¯OF¯THE¯#O(cid:13)INTEGRATION¯2ELATIONS 4HE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM¯ARE¯THE¯TWO¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯AND¯THE¯FIRST DIFFERENCE¯OF¯THE¯COMMON¯STOCHASTIC¯TREND(cid:14)¯¯7E¯TEST¯THE¯ESTIMATED¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR SERIAL¯DEPENDENCE¯USING¯THE¯BISPECTRUM¯TESTS(cid:12)¯DESCRIBED¯IN¯!PPENDIX¯(cid:17)(cid:14)¯¯7E¯NOTE¯THAT¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION b b b VECTORS(cid:12)¯ AND¯ ARE¯BASIS¯VECTORS¯FOR¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE(cid:12)¯SO¯THAT¯ANY¯LINEAR¯COMBINATION¯OF¯ AND 1 2 1 b ¯ARE¯ALSO¯STATIONARY(cid:14)¯¯4HUS(cid:12)¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY¯IN¯ONE¯OF¯THE¯BASIS¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯IS 2 ACTUALLY¯EVIDENCE¯THAT¯THE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM¯ARE¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14) (cid:17)(cid:19)

%ACH¯OF¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯IS¯PRE(cid:13)WHITENED¯BY¯ AN¯!2(cid:8)(cid:22)(cid:9)¯ FILTER¯ PRIOR¯ TO¯ TESTING¯ TO ELIMINATE¯BIAS¯IN¯THE¯SPECTRAL¯ESTIMATION(cid:14)¯¯!S¯A¯ROBUSTNESS¯TEST(cid:12)¯WE¯TESTED¯THESE¯RELATIONS¯FOR¯STATIONARITY USING¯THE¯FREQUENCY¯DOMAIN¯TEST¯DERIVED¯BY¯(INICH¯AND¯7ILD¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯(INICH¯AND¯7ILD¯(cid:8)(7(cid:9)¯TEST CHECKS¯FOR¯RESIDUAL¯NON(cid:13)STATIONARITY¯DUE¯TO¯THE¯EXISTENCE¯OF¯A¯WAVEFORM¯WITH¯RANDOM¯PHASE¯AND¯AMPLITUDE(cid:14) 4HIS¯TEST¯HAS¯A¯VERY¯DIFFERENT¯ALTERNATIVE¯THAN¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯TEST(cid:12)¯AND¯SHOULD¯DETECT¯NON(cid:13)STATIONARITY AT¯SEASONAL¯FREQUENCIES(cid:14)¯¯4HE¯TEST¯IS¯CHI(cid:13)SQUARE¯UNDER¯THE¯NULL¯OF¯STATIONARITY(cid:14)¯¯4HE¯(7¯(cid:13)¯STATIONARITY TESTS(cid:12)¯WHICH¯ARE¯REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:21)(cid:12)¯CONFIRM¯THAT¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯STATIONARY(cid:14) )F¯THE¯TIME¯SERIES¯ARE¯’AUSSIAN¯THEN¯THE¯REAL¯AND¯IMAGINARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯BISPECTRUM¯ARE ZERO(cid:14)¯¯4HE¯TEST¯STATISTICS¯FOR¯THESE¯TWO¯HYPOTHESES(cid:12)¯CALLED¯’AUSS(cid:17)¯AND¯’AUSS(cid:18)¯RESPECTIVELY(cid:12)¯ARE¯ALSO REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:21)(cid:14)¯¯)F¯EITHER¯THE¯REAL¯OR¯IMAGINARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯BISPECTRUM¯ARE¯NON(cid:13)ZERO¯THEN ’AUSSIANITY¯IS¯REJECTED(cid:14)¯¯)F¯THE¯IMAGINARY¯COMPONENT¯IS¯NON(cid:13)ZERO¯THEN¯THE¯SEQUENCE¯IS¯NOT¯TIME(cid:13)REVERSIBLE AS¯DISCUSSED¯IN¯!PPENDIX¯(cid:17)(cid:14)¯¯4HESE¯TESTS¯INDICATE¯THAT¯THE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM¯ARE¯HIGHLY NON(cid:13)’AUSSIAN¯AND(cid:12)¯IN¯PARTICULAR(cid:12)¯ARE¯NOT¯TIME(cid:13)REVERSIBLE(cid:14) 4ABLE¯(cid:22)¯GIVES¯THE¯RESULTS¯OF¯THE¯TESTS¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯FOR¯THE¯FULL¯SAMPLE(cid:14)¯¯4HE¯TESTS¯ARE¯COMPUTED FOR¯THREE¯ESTIMATES¯OF¯THE¯STATIONARY¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS(cid:26)¯THE¯PARAMETRIC¯ESTIMATES¯ b TS AND¯ b TS (cid:27) 1 t 2 t THE¯ PARAMETRIC¯ ESTIMATES¯ PURGED¯ OF¯ SHORT(cid:13)RUN¯ DYNAMICS¯ b TR AND¯ b TR (cid:27)¯ AND¯ THE¯ NON(cid:13)PARAMETRIC 1 pt 2 pt ESTIMATES¯AS¯ b T S AND¯ b T S (cid:14)¯¯4HE¯TEST¯STATISTICS¯ARE¯DISTRIBUTED¯AS¯STANDARD¯NORMAL¯VARIATES¯UNDER¯THE 1,NP t 2,NP t NULL¯OF¯LINEARITY(cid:12)¯AND¯REJECTIONS¯INDICATE¯THE¯EXISTENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS(cid:14)¯¯"ROADLY¯SPEAKING¯THE¯VALUES OF¯THE¯(cid:17)(cid:16)(cid:5)(cid:12)¯(cid:18)(cid:16)(cid:5)(cid:12)¯(cid:20)(cid:16)(cid:5)(cid:12)¯AND¯(cid:22)(cid:16)(cid:5)¯FRACTILES¯OF¯THE¯SKEWNESS¯FUNCTION¯ARE¯TOO¯NEGATIVE¯AND¯THE¯(cid:24)(cid:16)(cid:5)¯AND¯(cid:25)(cid:16)(cid:5) FRACTILES¯ARE¯TOO¯POSITIVE¯TO¯BE¯CONSISTENT¯WITH¯THE¯NULL¯HYPOTHESIS¯OF¯LINEARITY(cid:12)¯WHICH¯IS¯CONSISTENT¯WITH¯OUR FINDINGS¯IN¯3ECTION¯)))(cid:14)(cid:17)¯FOR¯THE¯FIRST¯DIFFERENCES(cid:14) 4HE¯STRONGEST¯EVIDENCE¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯IS¯FOR¯THE¯FIRST¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATION(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS REJECTED¯FOR¯ b TS BY¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯AND¯BY¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES¯AND¯BY¯Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5) 1 t .1 .2 .4 .6 .9 .8 CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯0URGING¯THESE¯RELATIONS¯OF¯THEIR¯SHORT(cid:13)RUN¯DYNAMICS¯DOES¯NOT¯CHANGE¯THE¯RESULTS(cid:14)¯¯,INEARITY IS¯REJECTED¯FOR¯ b TR BY¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:12)¯BY¯Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES 1 pt .1 .2 .4 .6 .8 AND¯BY¯ Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:16)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯4HE¯RESULTS¯FOR¯THE¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯ESTIMATE(cid:12)¯ b T S (cid:12)¯ARE .9 1,NP t (cid:17)(cid:20)

CONSISTENT¯WITH¯THOSE¯FROM¯THE¯PARAMETRIC¯ESTIMATES(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯FOR¯ b T S BY¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯Z (cid:12) 1,NP t .1 .2 .4 .6 AND¯Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES¯AND¯BY¯Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14) .8 .9 4HERE¯IS¯ALSO¯EVIDENCE¯THAT¯THE¯SECOND¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATION¯IS¯NON(cid:13)LINEAR(cid:12)¯ALTHOUGH¯THIS¯EVIDENCE IS¯SOMEWHAT¯WEAKER(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯FOR¯ b TS BY¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES¯AND¯BY¯Z ¯USING 2 t .1 .2 THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯FOR¯ b TR ¯BY¯Z (cid:12)¯ Z (cid:12)¯Z (cid:12)¯AND¯ Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL 2 pt .1 .2 .4 .8 VALUES(cid:12)¯BY¯ Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:12)¯AND¯BY¯ Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:16)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14)¯¯4HE¯EVIDENCE¯IS .9 .6 SIMILAR¯FOR¯THE¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯ESTIMATES(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯FOR¯ b T S BY¯ Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL 2,NP t .1 VALUES(cid:12)¯BY¯Z ¯USING¯THE¯(cid:25)(cid:25)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:12)¯AND¯BY¯Z USING¯THE¯(cid:25)(cid:21)(cid:5)¯CRITICAL¯VALUES(cid:14) .2 .9 4HE¯COMMON¯STOCHASTIC¯TREND¯IS¯A¯LINEAR¯COMBINATION¯OF¯THE¯FIRST¯DIFFERENCES¯OF¯THE¯VARIABLES(cid:12) WHICH¯HAVE¯ALREADY¯BEEN¯SHOWN¯TO¯BE¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14)¯¯)T¯IS¯THEREFORE¯NOT¯SURPRISING¯THAT¯THE¯TESTS¯REJECT LINEARITY¯FOR¯ b ^ TD S t ¯AND¯ b ^ TD R pt (cid:14) )T¯IS¯POSSIBLE¯THAT¯STRUCTURAL¯SHIFTS¯OVER¯THE¯LONG¯PERIOD¯BEING¯ANALYZED¯COULD¯BE¯MISTAKEN¯FOR¯NON(cid:13) LINEAR¯DYNAMICS(cid:14)(cid:20)(cid:24)¯¯7E¯ATTEMPT¯TO¯ADDRESS¯THIS¯ISSUE¯BY¯DELETING¯THE¯PERIOD¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:19)(cid:12)¯DURING¯WHICH¯THE &EDERAL¯2ESERVE¯TARGETED¯NON(cid:13)BORROWED¯RESERVES¯AND¯MANY¯INTEREST¯RATES¯WERE¯DEREGULATED(cid:14)¯¯7E¯CONSIDER THE¯TWO¯SUB(cid:13)SAMPLES¯(cid:25)(cid:15)(cid:17)(cid:19)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)¯THROUGH¯(cid:25)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25)(cid:12)¯AND¯(cid:19)(cid:15)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)¯THROUGH¯(cid:17)(cid:18)(cid:15)(cid:19)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:12)¯WHICH¯HAVE¯BEEN STUDIED¯BY¯2UDEBUSCH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14)¯¯)N¯3ECTION¯)))(cid:12)¯WE¯FOUND¯THAT¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RANK¯AND¯THE¯ESTIMATES¯OF THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯NOT¯STATISTICALLY¯DIFFERENT¯IN¯THESE¯SUB(cid:13)SAMPLES¯TO¯THE¯RESULTS¯OVER¯THE¯FULL SAMPLE(cid:14)¯¯)N¯4ABLES¯(cid:22)A¯AND¯(cid:22)B(cid:12)¯WE¯PROVIDE¯THE¯RESULTS¯OF¯THE¯NON(cid:13)LINEARITY¯TESTS¯OVER¯THESE¯TWO¯SUB(cid:13)SAMPLES(cid:14) )F¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯ARE¯LINEAR¯OVER¯THE¯TWO¯SUB(cid:13)SAMPLES¯THEN¯THE¯STRUCTURAL¯SHIFT¯HYPOTHESIS D D D COULD¯BE¯TRUE(cid:14)¯¯)N¯ADDITION(cid:12)¯WE¯RAN¯THE¯LINEARITY¯TESTS¯ON¯ LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯¯ LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9)(cid:12)¯AND¯ LN(cid:8)&&(cid:9)¯FOR EACH¯SUB(cid:13)SAMPLE(cid:27)¯THESE¯TESTS¯ARE¯REPORTED¯IN¯4ABLE¯(cid:18)(cid:14) 4HE¯EVIDENCE¯IS¯MIXED(cid:14)¯¯4HE¯TESTS¯GENERALLY¯FAIL¯TO¯REJECT¯LINEARITY¯FOR¯THE¯FIRST¯SUB(cid:13)SAMPLE(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13) (cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25)(cid:12)¯BUT¯THEY¯PROVIDE¯VERY¯STRONG¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY¯OVER¯THE¯SECOND¯SUB(cid:13)SAMPLE¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:14)¯¯4HE NUMBER¯OF¯DATA¯POINTS¯FOR¯THE¯SHORTER¯SUB(cid:13)SAMPLE¯IS¯(cid:18)(cid:21)(cid:24)¯VERSUS¯(cid:22)(cid:22)(cid:25)¯FOR¯THE¯LONGER¯SUB(cid:13)SAMPLE¯AND¯(cid:17)(cid:19)(cid:22)(cid:19)¯FOR THE¯FULL¯SAMPLE(cid:14)¯¯4HE¯EVIDENCE¯REPORTED¯IN¯!SHLEY(cid:12)¯0ATTERSON(cid:12)¯AND¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)¯WOULD¯INDICATE¯THAT¯THE POWER¯OF¯THESE¯TESTS¯IS¯SUBSTANTIALLY¯HIGHER¯OVER¯THE¯LONGER¯SUB(cid:13)SAMPLE¯AND¯OVER¯THE¯FULL¯SAMPLE(cid:14)¯¯7E (cid:17)(cid:21)

CONCLUDE¯THAT¯THERE¯IS¯STRONG¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY¯IN¯THE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM(cid:12)¯BUT THERE¯IS¯SOME¯LACK¯OF¯ROBUSTNESS¯TO¯THE¯SAMPLE¯OF¯DATA¯BEING¯TESTED(cid:14) )6(cid:14)¯¯#ONCLUSION 7E¯ HAVE¯ARGUED¯ THAT¯ THE¯ CO(cid:13)INTEGRATION¯ RELATIONS¯ IN¯ )(cid:8)(cid:17)(cid:9)¯ SYSTEMS¯ ARE¯ GENERALLY¯ NON(cid:13)LINEAR(cid:14) "ECAUSE¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯RELATIONS¯DERIVED¯FROM¯)(cid:8)(cid:17)(cid:9)¯SYSTEMS¯ARE¯STATIONARY(cid:27)¯THEY¯CAN¯BE¯TESTED¯FOR¯NON(cid:13) LINEAR¯SERIAL¯DEPENDENCE¯USING¯STANDARD¯POLYSPECTRAL¯TECHNIQUES(cid:14) 4ESTS¯FOR¯THE¯EXISTENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯REQUIRE¯LARGE¯SAMPLE¯SIZES¯AND¯MAY¯BE¯ADVERSELY AFFECTED¯BY¯ALIASING¯AND¯OTHER¯PROBLEMS¯ASSOCIATED¯WITH¯TIME¯AGGREGATION(cid:14)¯¯)NTEREST¯RATES¯ARE¯MEASURED WITH¯HIGH¯FREQUENCY¯AND¯ALIASING¯CAN¯BE¯CONTROLLED¯BY¯ADEQUATE¯ATTENTION¯TO¯FILTER¯DESIGN(cid:14)¯¯&OR¯THESE REASONS(cid:12)¯THE¯CONDITIONS¯ARE¯MORE¯FAVORABLE¯TO¯TESTING¯INTEREST¯RATE¯DATA¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯THAN¯FOR MOST¯OTHER¯VARIABLES¯ THAT¯ ARE¯IMPORTANT¯ TO¯ THE¯ BUSINESS¯CYCLE(cid:12)¯ MONEY¯ DEMAND(cid:12)¯ AND¯ THE¯MONETARY TRANSMISSION¯MECHANISM(cid:14)¯¯7E¯HAVE¯SHOWN¯THAT¯AN¯INTEGRATED¯SYSTEM¯OF¯SHORT(cid:13)TERM¯53¯INTEREST¯RATES¯IS¯CO(cid:13) INTEGRATED¯AND¯THERE¯IS¯STRONG¯EVIDENCE¯THAT¯THE¯STATIONARY¯COMPONENTS¯OF¯THE¯SYSTEM¯ARE¯NON(cid:13)LINEAR(cid:14)¯¯4HE TEST¯WE¯EMPLOY¯IS¯ONE¯OF¯THE¯MOST¯CONSERVATIVE¯TESTS¯FOR¯NON(cid:13)LINEARITY¯AVAILABLE(cid:12)¯STRENGTHENING¯THE¯IMPACT OF¯OUR¯FINDINGS(cid:14) 4HESE¯RESULTS¯SUGGEST¯THAT¯THE¯UNTESTED¯ASSUMPTION¯OF¯LINEARITY(cid:12)¯WHICH¯ IS¯ IMPLICIT¯IN¯ MANY MACROECONOMIC¯STUDIES(cid:12)¯MAY¯BE¯INCORRECT(cid:14)¯¯4HE¯FAILURE¯TO¯FIND¯ROBUST¯EVIDENCE¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY¯IN¯LOWER FREQUENCY¯MACROECONOMIC¯TIME¯SERIES¯MAY¯BE¯DUE¯TO¯THE¯LOW¯SAMPLE¯SIZES¯THAT¯CAN¯BE¯OBTAINED¯FOR¯THOSE TIME¯SERIES¯AND¯TO¯PROBLEMS¯ASSOCIATED¯WITH¯SAMPLING¯AND¯TIME¯AGGREGATION(cid:14)¯¯/UR¯PARTICULAR¯EXAMPLE SHOWS¯THAT¯THE¯SPREAD¯BETWEEN¯BOTH¯THE¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATE¯AND¯THE¯4REASURY¯BILL¯RATE(cid:12)¯AND¯THE &EDERAL¯&UNDS¯RATE¯EXHIBITS¯THIRD(cid:13)ORDER¯NON(cid:13)LINEARITY(cid:14)¯¯/UR¯RESULTS¯ARE¯CONSISTENT¯WITH¯WORK¯THAT¯SUGGESTS THERE¯ARE¯ASYMMETRIC¯EFFECTS¯OF¯MONETARY¯POLICY¯ON¯INTEREST¯RATES(cid:12)¯SUCH¯AS¯#HOI¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:9)(cid:14)¯¯/UR¯RESULTS SUGGEST¯THAT¯BETTER¯FORECASTS¯OF¯THESE¯SPREADS¯MIGHT¯BE¯OBTAINED¯WITH¯NON(cid:13)LINEAR¯MODELS(cid:12)¯SUCH¯AS¯BI(cid:13)LINEAR MODELS(cid:14) (cid:17)(cid:22)

!PPENDIX¯(cid:17)(cid:26)¯"ISPECTRUM¯%STIMATION¯AND¯THE¯(INICH¯4ESTS¯FOR¯’AUSSIANITY¯AND¯,INEARITY ,ET¯{X ,...,X }BE¯A¯FINITE¯DATA¯RECORD¯OF¯ . ¯OBSERVATIONS(cid:14)¯¯)F¯NECESSARY(cid:12)¯STANDARDIZE¯THE¯ENTIRE 0 N-1 SAMPLE¯BY¯SUBTRACTING¯THE¯SAMPLE¯MEAN¯AND¯THEN¯DIVIDING¯BY¯THE¯SAMPLE¯VARIANCE(cid:14)¯¯3EGMENT¯THE¯RECORD INTO¯ + ¯NON(cid:13)OVERLAPPING¯FRAMES¯OF¯LENGTH¯ , (cid:12)¯CALLED¯THE¯FRAME(cid:13)LENGTH(cid:12)¯{X 0 k,...,X L k -1 }¯(cid:29)¯{X (k- 1)L ,...,X kL- 1 }(cid:12) k =1,K,K (cid:14)(cid:20)(cid:25)¯¯,ET¯ X =(cid:229) K Xk /K¯BE¯THE¯MEAN¯OF¯THE¯ITH¯ELEMENTS¯OF¯EACH¯FRAME(cid:14)¯¯4HE¯ELEMENTS¯OF¯EACH i i k=1 FRAME¯ ARE¯ STANDARDIZED¯ SO¯ THAT¯ {Xˆk,...,Xˆk }={(Xk - X ),...,(Xk - X )}(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ MOTIVATION¯ FOR¯ THIS 0 L-1 0 0 L- 1 -L 1 STANDARDIZATION¯IS¯TO¯REMOVE¯ANY¯NON(cid:13)STATIONARITY¯DUE¯TO¯THE¯EXISTENCE¯OF¯A¯PURELY¯DETERMINISTIC¯WAVEFORM IN¯THE¯DATA(cid:14)¯¯¯(INICH¯AND¯7ILD¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:9)¯HAVE¯PROVIDED¯A¯TEST¯FOR¯NON(cid:13)STATIONARITY¯DUE¯TO¯THE¯EXISTENCE¯OF¯A WAVEFORM¯WITH¯STOCHASTIC¯PHASE¯AND¯AMPLITUDE(cid:12)¯BUT¯THIS¯TEST¯SHOULD¯BE¯USED¯ONLY¯AFTER¯CORRECTING¯FOR¯UNIT ROOTS¯AND¯TRENDS¯IN¯PRACTICE(cid:14)¯¯4HE¯(INICH¯AND¯7ILD¯TEST¯IS¯CHI(cid:13)SQUARE¯UNDER¯THE¯NULL¯OF¯STATIONARITY(cid:14) 4HE¯FINITE¯&OURIER¯TRANSFORM¯OF¯THE¯KTH¯STANDARDIZED¯FRAME¯IS¯DEFINED¯AS d (f )=(cid:229)L- 1 Xˆke- i2p fn[+s (k- 1)L] (cid:12)¯k =1,K,K (cid:12) (cid:8)(cid:18)(cid:19)(cid:9) Xk n s s=0 WHERE¯ f =n/L(cid:12)¯FOR¯N¯(cid:29)¯(cid:16)(cid:12)b(cid:12) , (cid:15)(cid:18)(cid:14)¯¯4HE¯POWER¯SPECTRUM¯ESTIMATOR¯IS¯DEFINED¯AS n Pˆ (f )= 1 (cid:229) K I (f )(cid:12)¯ (cid:8)(cid:18)(cid:20)(cid:9) X n K k n k=1 WHERE¯ I (f )=(1/L)|d (f )|2¯IS¯THE¯SECOND(cid:13)ORDER¯PERIODOGRAM¯FOR¯THE¯ K TH¯FRAME(cid:14)¯(cid:21)(cid:16)¯¯4HE¯BISPECTRUM k n Xk n ESTIMATOR¯IS¯DEFINED¯AS Bˆ (f , f )= 1 (cid:229) K G (f , f ) (cid:8)(cid:18)(cid:21)(cid:9) X n m K k n m k=1 WHERE¯ G (f , f )=(1/L)d (f )d (f )d* (f + f )¯IS¯THE¯THIRD(cid:13)ORDER¯PERIODOGRAM¯FOR¯THE¯ K TH¯FRAME(cid:14)(cid:21)(cid:17) k n m Xk n Xk m Xk n m 4HESE¯ESTIMATORS¯ARE¯CONSISTENT¯IF¯ln(L)< .5ln(N)¯AND¯HAVE¯RESOLUTION¯BANDWIDTH¯ d =(1/L)(cid:14)(cid:21)(cid:18)¯¯)NCREASING , THE¯FRAME¯LENGTH(cid:12)¯ (cid:12)¯INCREASES¯RESOLUTION(cid:12)¯BUT¯AT¯THE¯COST¯OF¯HIGHER¯VARIANCE(cid:14)(cid:21)(cid:19)¯¯)F¯THE¯FRAME¯LENGTH¯IS¯LARGER . THAN¯(cid:14)(cid:21)LN(cid:8) (cid:9)¯THE¯ESTIMATORS¯ARE¯NOT¯CONSISTENT(cid:14)¯¯"RILLINGER¯AND¯2OSENBLATT¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:12)B¯PP(cid:14)¯(cid:18)(cid:16)(cid:19)(cid:13)(cid:21)(cid:9)¯SHOW¯THAT THE¯DATA¯SHOULD¯BE¯PRE(cid:13)FILTERED¯PRIOR¯TO¯ESTIMATION¯TO¯ELIMINATE¯BIAS(cid:12)¯WHICH¯MIGHT¯LEAD¯TO¯SPURIOUS REJECTION¯OF¯THE¯NULL¯OF¯LINEARITY¯OR¯’AUSSIANITY(cid:14) (cid:17)(cid:23)

4HESE¯ESTIMATORS¯ARE¯USED¯TO¯CONSTRUCT¯THE¯TEST¯STATISTIC(cid:14)¯¯,ET¯Xˆ ¯BE¯DEFINED¯AS n,m Bˆ (f , f ) K Bˆ (f , f ) Xˆ =d N X n m = X n m (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:22)(cid:9) n,m Pˆ (f )Pˆ (f )Pˆ (f + f ) L Pˆ (f )Pˆ (f )Pˆ (f + f ) X n X m X n m X n X m X n m !LL¯OF¯THE¯TESTS¯USED¯IN¯THIS¯PAPER¯DERIVE¯FROM¯THE¯ASYMPTOTIC¯DISTRIBUTION¯OF¯Xˆ (cid:14)¯¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯PROVED n,m THAT¯ THE¯ ESTIMATORS2|Xˆ |2¯ ARE¯ ASYMPTOTICALLY¯ DISTRIBUTED¯ AS¯ INDEPENDENT¯ NON(cid:13)CENTRAL¯ CHI(cid:13)SQUARED n,m RANDOM¯VARIABLES(cid:12)¯2|Xˆ |2~c 2(2l, )(cid:12)¯WITH¯NON(cid:13)CENTRALITY¯PARAMETER¯ l =2d( 2N)G (f , f )(cid:14)(cid:21)(cid:20) n,m n,m n,m X n m ’AUSSIANITY¯AND¯4IME¯2EVERSIBILITY 4HE¯NULL¯HYPOTHESIS¯FOR¯THE¯’AUSSIANITY¯TEST¯IS¯ H : G (f,g=) 0, " f˛,g D(cid:14)¯¯5NDER¯THE¯NULL(cid:12) 0 X l =2d( 2N)G (f , f )(cid:29)¯(cid:16)¯AND¯ 2 (cid:229)(cid:229) |Xˆ |2 IS¯ASYMPTOTICALLY¯DISTRIBUTED¯ c 2(2P,0)¯(cid:8)THE¯SUMMATIONS n,m X n m n,m n m ARE¯OVER¯ N ¯AND¯ M ¯SUCH¯THAT¯(f , f )˛ D(cid:12)¯AND¯0¯IS¯THE¯NUMBER¯OF¯SUCH¯PAIRS(cid:9)(cid:14)(cid:21)(cid:21)¯¯4HE¯NULL¯HYPOTHESIS¯IS n m REJECTED¯IF¯2 (cid:229)(cid:229) |Xˆ |2 IS¯LARGE¯RELATIVE¯TO c 2(2P,0)(cid:14) n,m n m 4HE¯BISPECTRUM¯CAN¯BE¯WRITTEN¯USING¯THE¯%ULER¯RELATION¯AS¯FOLLOWS(cid:26) ¥ ¥ ¥ ¥ B (f,g)= (cid:229) (cid:229) c (t t, )cosp(2t f p t+2 g (cid:229) )+(cid:229) i t tc ( p, t)sinp(2t f +2 g )(cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:23)(cid:9) X XXX 1 2 1 2 XXX 1 2 1 2 t =-¥ t=¥- =t¥- =¥- t 1 2 1 2 )F¯THE¯TIME¯SERIES¯IS¯TIME¯REVERSIBLE(cid:12)¯SUCH¯THAT¯c (t t, )=c t(- t-, )(cid:12)¯THEN¯THE¯SECOND¯SUMMATION¯WILL XXX 1 2 XXX 1 2 BE¯IDENTICALLY¯ZERO(cid:14)¯¯4HEREFORE(cid:12)¯TIME¯REVERSIBILITY¯IMPLIES¯THAT¯THE¯BISPECTRUM¯IS¯REAL¯VALUED(cid:14)¯(cid:21)(cid:22)¯¯(INICH¯AND 2OTHMAN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)¯PROVED¯THAT¯ 2 (cid:229)(cid:229) |ImXˆ |2 ¯IS¯ASYMPTOTICALLY¯DISTRIBUTED¯ c 2(P,0)¯UNDER¯THE¯NULL n,m n m H : ImB (f,g)=0, " f,˛g D(cid:14)¯4HE¯NULL¯HYPOTHESIS¯OF¯TIME¯REVERSIBILITY¯IS¯REJECTED¯IF¯2 (cid:229)(cid:229) |ImXˆ |2 0 X n,m n m IS¯LARGE¯RELATIVE¯TO¯ c 2(P,0)(cid:14)¯¯3IMILARLY(cid:12)¯2 (cid:229)(cid:229) |ReXˆ |2¯IS¯ASYMPTOTICALLY¯DISTRIBUTED¯ c 2(P,0)¯UNDER¯THE n,m n m NULL¯HYPOTHESIS¯H : ReB (f,g)=0, " f,g˛ D(cid:14) 0 X ,INEARITY 4HE¯NULL¯HYPOTHESIS¯FOR¯THE¯LINEARITY¯TEST¯IS¯ H : G (f,g=) k" f˛,g D(cid:12)¯WHERE¯K¯IS¯A¯CONSTANT(cid:14) 0 X 5NDER¯THE¯NULL(cid:12)¯THE¯ESTIMATORS¯2|Xˆ |2¯ARE¯ASYMPTOTICALLY¯DISTRIBUTED¯AS¯ 0 ¯INDEPENDENT¯DRAWS¯FROM¯A n,m NON(cid:13)CENTRAL¯CHI(cid:13)SQUARE¯DISTRIBUTION¯ c 2(2,l )(cid:12)¯AND¯THE¯NON(cid:13)CENTRALITY¯PARAMETER(cid:12)¯ l (cid:12)¯CAN¯BE¯CONSISTENTLY 0 0 (cid:17)(cid:24)

ESTIMATED¯BY¯ lˆ =2 (cid:229)(cid:229) (|Xˆ |2 /P)- 2(cid:14)¯¯)F¯THE¯SEQUENCE¯IS¯NON(cid:13)LINEAR¯THEN¯THE¯ l ¯ARE¯NOT¯CONSTANT¯FOR 0 n,m n,m n m ALL¯ (cid:8) N (cid:12)¯ M (cid:9)¯ PAIRS(cid:12)¯ AND¯ THE¯ SAMPLE¯ DISPERSION¯ OF¯ 2|Xˆ |2¯ SHOULD¯ EXCEED¯ THAT¯ EXPECTED¯ UNDER¯ THE n,m HYPOTHESIZED¯ DISTRIBUTION(cid:14)¯ ¯ 4HE¯ DISPERSION¯ CAN¯ BE¯ MEASURED¯ USING¯ THE¯ QUANTILES¯ OF¯ THE¯ EMPIRICAL DISTRIBUTION(cid:14)¯¯,ET¯ xˆ r ¯BE¯THE¯(100r )%¯QUANTILE¯OF¯THE¯EMPIRICAL¯DISTRIBUTION¯OF¯2|Xˆ n,m |2(cid:12)¯WHERE¯0< r <1(cid:14) r (1-r ) )T¯CAN¯BE¯SHOWN¯THAT¯ xˆ r ¯IS¯ASYMPTOTICALLY¯DISTRIBUTED¯ N(x r ,s r 2)(cid:12)¯WHERE¯ s r 2 = Pf2(x ) (cid:14) (cid:21)(cid:23) ¯¯4HE¯STATISTIC r Z r ” (x r ˆ- x r )/ r s ¯IS¯N(0,1)¯UNDER¯THE¯NULL¯HYPOTHESIS(cid:14)¯¯7E¯CONSIDER¯TESTS¯BASED¯ON¯ r ¯(cid:29)¯(cid:14)(cid:17)(cid:12)¯(cid:14)(cid:18)(cid:12)¯(cid:14)(cid:20)(cid:12)¯(cid:14)(cid:22)(cid:12)¯(cid:14)(cid:24)(cid:12) AND¯(cid:14)(cid:25)(cid:14)¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯IF¯\Z r \¯IS¯LARGE¯RELATIVE¯TO¯.(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:17)(cid:9)(cid:14) !SHLEY(cid:12)¯(INICH(cid:12)¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)¯SHOW¯THAT¯THE¯(INICH¯NON(cid:13)LINEARITY¯TEST¯HAS¯SUBSTANTIAL POWER¯AGAINST¯SEVERAL¯COMMONLY¯ESTIMATED¯NON(cid:13)LINEAR¯MODELS(cid:12)¯SUCH¯AS¯BI(cid:13)LINEAR¯MODELS(cid:12)¯NON(cid:13)LINEAR¯MOVING (cid:21)(cid:24) AVERAGE¯MODELS(cid:12)¯AND¯THRESHOLD¯AUTOREGRESSION¯MODELS(cid:14) ¯¯.EVERTHELESS(cid:12)¯THE¯CONSERVATISM¯OF¯THE¯(INICH¯TEST HAS¯BEEN¯REFLECTED¯IN¯EMPIRICAL¯STUDIES(cid:14)¯¯"ARNETT(cid:12)¯’ALLANT(cid:12)¯(INICH(cid:12)¯*UNGEILGES(cid:12)¯+APLAN(cid:12)¯AND¯*ENSEN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:20)(cid:9) FIND¯THAT¯THE¯(INICH¯TEST¯WAS¯MUCH¯LESS¯LIKELY¯TO¯REJECT¯ITS¯NULL¯THAN¯OTHER¯COMPETING¯TESTS(cid:12)¯SUCH¯AS¯THE "ROCK(cid:12)¯$ECHERT(cid:12)¯3CHEINKMAN(cid:12)¯AND¯,E"ARON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)¯TEST(cid:12)¯AND¯THE¯+APLAN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:9)¯TEST(cid:14) !PPENDIX¯(cid:18)(cid:26)¯!LIASING¯AND¯THE¯#ONSTRUCTION¯OF¯!NTI(cid:13)!LIASING¯&ILTERS ,ET¯ X ¯ BE¯ A¯ CONTINUOUS(cid:13)TIME¯ SERIES¯ THAT¯ IS¯ SAMPLED¯ AT¯ REGULAR¯ INTERVALS¯ OF¯ TIME(cid:12) t 0,D T,D2 T,...,(-ND 1) T(cid:14)¯¯ D T ¯IS¯CALLED¯THE¯SAMPLING¯INTERVAL(cid:12)¯AND¯1/D T ¯IS¯THE¯SAMPLING¯RATE(cid:14)¯¯4HE SAMPLED¯SEQUENCE¯IS¯DENOTED¯X (cid:12)¯k =0,K,N- 1(cid:14) kD T 4HE¯ POWER¯ SPECTRUM¯ OF¯ THE¯ CONTINUOUS(cid:13)TIME¯ SERIES¯ IS¯ g(f)=(cid:242) ¥ c (t)e- i(2p ft) (cid:14)¯ ¯ 4HE¯ POWER -¥ XX SPECTRUM¯OF¯THE¯DISCRETE(cid:13)TIME¯SAMPLED¯SEQUENCE(cid:12)¯g (f)(cid:12)¯IS¯GIVEN¯BY¯THE¯FOLLOWING(cid:26) D T g D T (f)= (cid:229) ¥ g(f + D j T )(cid:12) (cid:8)(cid:18)(cid:24)(cid:9) j=¥- FOR¯| f |£ (1/D2 T)(cid:14) (cid:21)(cid:25) ¯¯4HE¯FREQUENCY¯ f =(1/2D T)¯IS¯CALLED¯THE¯.YQUIST¯FOLDING¯FREQUENCY(cid:14)¯¯)F¯g(f)=0¯FOR N ALL¯ f ‡ | f |¯ THEN¯ THE¯ POWER¯SPECTRUM¯ OF¯ THE¯CONTINUOUS(cid:13)TIME¯ SERIES¯ AND¯ THE¯ DISCRETE(cid:13)TIME¯SAMPLED N SEQUENCE¯ARE¯EQUAL(cid:14)¯¯)F¯THE¯CONTINUOUS(cid:13)TIME¯SERIES¯DOES¯NOT¯HAVE¯THIS¯PROPERTY¯THEN¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯AT FREQUENCY(cid:12)¯F(cid:12)¯OF¯THE¯SAMPLED¯SEQUENCE¯IS¯EQUAL¯TO¯THE¯SUM¯OF¯THE¯VALUES¯OF¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯OF¯THE (cid:17)(cid:25)

CONTINUOUS(cid:13)TIME¯SERIES¯AT¯ALL¯FREQUENCIES¯OF¯THE¯FORM¯ f +(j/D T)¯FOR¯ j=0,– 1–, 2,...(cid:14)¯¯4HUS(cid:12)¯THE¯LOW FREQUENCY¯HARMONICS¯ARE¯MADE¯INDISTINGUISHABLE¯FROM¯THE¯COMBINED¯POWER¯OF¯HIGHER¯FREQUENCY¯HARMONICS BECAUSE¯OF¯SAMPLING(cid:14)¯¯4HIS¯PHENOMENON¯IS¯CALLED¯ALIASING(cid:14) )T¯IS¯VERY¯IMPORTANT¯TO¯ELIMINATE¯ANY¯POWER¯IN¯A¯TIME¯SERIES¯AT¯FREQUENCIES¯THAT¯EXCEED¯THE .YQUIST¯FOLDING¯FREQUENCY¯PRIOR¯TO¯SAMPLING(cid:12)¯BECAUSE¯FAILURE¯TO¯DO¯SO¯WILL¯LEAD¯TO¯BIASED¯ESTIMATION¯DUE¯TO ALIASING(cid:14)¯¯!LIASING¯HAS¯TRADITIONALLY¯BEEN¯DESCRIBED¯IN¯THE¯FREQUENCY¯DOMAIN(cid:12)¯BUT¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:9)¯HAS RECENTLY¯SHOWN¯THAT¯ALIASING¯CORRUPTS¯THE¯IMPULSE¯RESPONSE¯FUNCTIONS¯IN¯THE¯TIME¯DOMAIN¯AND¯THEREFORE LEADS¯TO¯SERIOUS¯IDENTIFICATION¯PROBLEMS(cid:14) 4HE¯SAME¯PROBLEM¯RESULTS¯IF¯A¯DISCRETE(cid:13)TIME¯SEQUENCE¯IS¯SAMPLED¯AT¯A¯LOWER¯FREQUENCY(cid:12)¯SUCH¯AS SAMPLING¯A¯DAILY¯INTEREST¯RATE¯AT¯WEEKLY¯INTERVALS(cid:14)¯¯)N¯THIS¯CASE(cid:12)¯THE¯SAMPLING¯INTERVAL¯IS¯ D T= 7AND¯THE .YQUIST¯FOLDING¯FREQUENCY¯IS¯ (1/2D T=) (1/14)(cid:14)¯¯)F¯THE¯DAILY¯INTEREST¯RATES¯HAVE¯POWER¯AT¯FREQUENCIES EXCEEDING¯(cid:8)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:20)(cid:9)¯THEN¯ALIASING¯WILL¯OCCUR(cid:14)¯¯4HE¯SOLUTION¯TO¯THIS¯PROBLEM¯IS¯TO¯FILTER¯THE¯DAILY¯INTEREST¯RATES IN¯SUCH¯A¯WAY¯THAT¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯OF¯THE¯FILTERED¯RATES¯WILL¯BE¯ZERO¯AT¯FREQUENCIES¯EXCEEDING¯THE .YQUIST(cid:14)¯¯)F¯[g ]¯ARE¯THE¯FILTER¯WEIGHTS¯THEN¯THE¯POWER¯SPECTRUM¯OF¯THE¯FILTERED¯SEQUENCE¯EQUALS¯THE¯POWER j SPECTRUM¯ OF¯ THE¯ UNDERLYING¯ SEQUENCE¯ MULTIPLIED¯ BY¯ THE¯ GAIN¯ OF¯ THE¯ FILTER¯ |G(f)|2¯ WHERE ¥ G(f)= (cid:229) g e- i(2p f)j (cid:14)¯¯4HE¯SOLUTION¯TO¯THE¯ALIASING¯PROBLEM¯WOULD¯BE¯TO¯DESIGN¯A¯FILTER¯WITH¯GAIN(cid:26) j j=¥- (cid:236)(cid:239) 1 | f |£ f |G(f)|2=(cid:237) N (cid:14) (cid:8)(cid:18)(cid:25)(cid:9) (cid:239)(cid:238) 0 | f |> f N 4HIS¯GAIN¯FUNCTION¯CORRESPONDS¯TO¯THE¯IDEAL¯SYMMETRIC¯LOW(cid:13)PASS¯FILTER¯WITH¯WEIGHTS (cid:236) sin(2p f )p/ k k =– 1–, 2,K g =(cid:237) N (cid:12) (cid:8)(cid:19)(cid:16)(cid:9) j (cid:238) 2f =1/D T k= 0 N WHICH¯CANNOT¯BE¯REALIZED¯WITH¯A¯FINITE¯DATA¯SAMPLE(cid:14)¯¯)N¯FACT(cid:12)¯THE¯RATE¯OF¯DECREASE¯OF¯THE¯FILTER¯WEIGHTS¯IS¯TOO SLOW¯TO¯SIMPLY¯TRUNCATE¯THE¯FILTER¯AT¯SOME¯FINITE¯NUMBER¯OF¯LEADS¯AND¯LAGS(cid:14)¯¯4HE¯USUAL¯SOLUTION¯IS¯TO¯TAPER THE¯WEIGHTS¯OF¯THE¯IDEAL¯FILTER(cid:14)¯¯7E¯TAPER¯THE¯IDEAL¯WEIGHTS¯USING¯A¯(ANNING¯COSINE¯TAPER(cid:14)¯¯4HE¯GAIN FUNCTION¯OF¯THE¯(ANNING¯TAPERED¯FILTER(cid:12)¯WITH¯(cid:23)¯LEADS¯AND¯LAGS(cid:12)¯IS¯COMPARED¯WITH¯THE¯IDEAL¯GAIN¯FUNCTION¯IN &IGURE¯(cid:21)¯FOR¯A¯CUTOFF¯FREQUENCY¯OF¯(1/14)(cid:14)¯¯4HIS¯FILTER¯IS¯REFERRED¯TO¯AS¯AN¯ANTI(cid:13)ALIASING¯FILTER¯IN¯THE¯TEXT(cid:14)¯¯! (cid:18)(cid:16)

COMMON¯APPROACH¯IN¯ECONOMICS¯IS¯TO¯REPORT¯UN(cid:13)WEIGHTED¯WEEKLY¯AVERAGES¯OF¯DAILY¯INTEREST¯RATES(cid:14)¯¯4HE¯UN(cid:13) WEIGHTED¯AVERAGING¯FILTER¯IS¯SIMILAR¯TO¯THE¯FILTER¯USED¯IN¯THIS¯PAPER(cid:12)¯BUT¯IT¯HAS¯LARGER¯SIDE¯LOBES(cid:14)¯¯3EE¯&IGURE (cid:22)(cid:14) !CKNOWLEDGEMENTS 7E¯THANK¯-ELVIN¯(INICH¯FOR¯PROVIDING¯EXTENSIVE¯TECHNICAL¯ADVICE¯AS¯WELL¯AS¯FOR¯PROVIDING¯US¯WITH¯HIS BISPECTRUM¯COMPUTER¯PROGRAM(cid:14)¯¯7E¯ALSO¯THANK¯(ERMANN¯"IERENS¯FOR¯PROVIDING¯US¯WITH¯TECHNICAL¯ADVICE REGARDING¯HIS¯%ASY2EG¯PROGRAM¯TO¯IMPLEMENT¯HIS¯NON(cid:13)PARAMETRIC¯CO(cid:13)INTEGRATION¯TESTS(cid:14)¯¯7E¯THANK¯7ILLIAM "ARNETT(cid:12)¯2ALPH¯"RYANT(cid:12)¯3ETH¯#ARPENTER(cid:12)¯3TEVEN¯&AZZARI(cid:12)¯&LORENZ¯0LASSMANN(cid:12)¯0AUL¯2OTHSTEIN(cid:12)¯AND¯%RIC 6ERHOOGEN¯FOR¯THEIR¯MANY¯HELPFUL¯COMMENTS(cid:14)¯¯"ARRY¯*ONES¯THANKS¯THE¯"ROOKINGS¯)NSTITUTION¯FOR¯THEIR FINANCIAL¯SUPPORT¯AND¯FOR¯PROVIDING¯HELPFUL¯COMMENTS¯ON¯THIS¯RESEARCH¯IN¯A¯WORK¯IN¯PROGRESS¯SEMINAR(cid:14) 4RAVIS¯.ESMITH¯THANKS¯PARTICIPANTS¯AT¯THE¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)¯3.$%¯CONFERENCE¯FOR¯COMMENTS(cid:14)¯¯¯0ART¯OF¯THIS¯RESEARCH WAS¯COMPLETED¯WHILE¯4RAVIS¯.ESMITH¯WAS¯EMPLOYED¯BY¯THE¯"UREAU¯OF¯,ABOR¯3TATISTICS(cid:14)¯¯4HE¯VIEWS EXPRESSED¯IN¯THIS¯PAPER¯DO¯NOT¯REFLECT¯OFFICIAL¯POSITIONS¯OF¯THE¯"OARD¯OF¯’OVERNORS¯OF¯THE¯&EDERAL¯2ESERVE 3YSTEM¯OR¯THE¯"UREAU¯OF¯,ABOR¯3TATISTICS(cid:14)¯¯!NY¯REMAINING¯ERRORS¯ARE¯THE¯RESPONSIBILITY¯OF¯THE¯AUTHORS(cid:14) (cid:18)(cid:17)

4ABLE¯(cid:17)¯n¯5NIVARIATE¯3TATIONARITY¯4ESTS 6ARIABLE !$&(cid:17) !$&(cid:18) 00(cid:17) 00(cid:18) +033(cid:17) +033(cid:18) "IERENS ,N(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:17)(cid:19)(cid:18) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:23)(cid:17) (cid:13)(cid:24)(cid:14)(cid:22)(cid:21)(cid:24)(cid:23) (cid:13)(cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:22)(cid:20)(cid:17) (cid:14)(cid:25)(cid:18)(cid:23)(cid:18) (cid:14)(cid:21)(cid:19)(cid:24)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:20)(cid:20)(cid:17)(cid:20) ,N(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:18)(cid:24)(cid:25) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:16)(cid:23) (cid:13)(cid:25)(cid:14)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:24) (cid:13)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:18)(cid:23)(cid:18)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:24)(cid:22) (cid:14)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:22) (cid:14)(cid:23)(cid:23)(cid:20)(cid:16)(cid:22) ,N(cid:8)&&(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:17)(cid:23)(cid:20) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:16)(cid:19)(cid:17) (cid:13)(cid:24)(cid:14)(cid:24)(cid:23)(cid:20)(cid:23) (cid:13)(cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:17)(cid:16)(cid:17) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:18)(cid:23) (cid:14)(cid:21)(cid:21)(cid:17)(cid:17) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:18)(cid:16)(cid:18)(cid:22) % ,N(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:23)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:22) (cid:13)(cid:23)(cid:14)(cid:20)(cid:24)(cid:18)(cid:16) (cid:13)(cid:23)(cid:20)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:19) (cid:13)(cid:23)(cid:19)(cid:24)(cid:14)(cid:19)(cid:17)(cid:23)(cid:17) (cid:14)(cid:17)(cid:17)(cid:18)(cid:16) (cid:14)(cid:16)(cid:21)(cid:18)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) % ,N(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:24)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:13)(cid:24)(cid:14)(cid:16)(cid:21)(cid:23)(cid:19) (cid:13)(cid:24)(cid:23)(cid:23)(cid:14)(cid:22)(cid:16)(cid:23)(cid:23) (cid:13)(cid:24)(cid:23)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:17) (cid:14)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:16) (cid:14)(cid:16)(cid:21)(cid:22)(cid:23) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) % ,N(cid:8)&&(cid:9) (cid:13)(cid:23)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:17)(cid:23) (cid:13)(cid:23)(cid:14)(cid:19)(cid:21)(cid:22)(cid:17) (cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:24)(cid:14)(cid:23)(cid:21)(cid:19) (cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:16)(cid:25)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:20) (cid:14)(cid:17)(cid:18)(cid:20)(cid:25) (cid:14)(cid:16)(cid:21)(cid:24)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) ((cid:16)(cid:26) 52 52$ 52 52$ 3 43 52$ ((cid:17)(cid:26) 3 43 3 43 52 52$ 43 (cid:21)(cid:5)¯C(cid:14)V(cid:14) (cid:28)¯(cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:22) (cid:28)¯(cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:17) (cid:28)¯(cid:13)(cid:17)(cid:20) (cid:28)¯(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:21) (cid:30)¯(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:22) (cid:30)¯(cid:14)(cid:17)(cid:20)(cid:22) (cid:28)¯(cid:14)(cid:16)(cid:18)(cid:21) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯C(cid:14)V(cid:14) (cid:28)¯(cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:23) (cid:28)¯(cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:28)¯(cid:13)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:18) (cid:28)¯(cid:13)(cid:17)(cid:24)(cid:14)(cid:21) (cid:30)¯(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:23) (cid:30)¯(cid:14)(cid:17)(cid:17)(cid:25) (cid:28)¯(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:22) (cid:18)(cid:18)

4ABLE¯(cid:18)¯n¯,INEARITY¯4ESTS : : : : : : 6ARIABLE (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) &ULL¯3AMPLE(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) % LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:16) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:17) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:16) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:22)(cid:19) (cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:24) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:24) % LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:18) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:21) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:22) (cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:20) (cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:17) % LN(cid:8)&&(cid:9) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:21) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:22)(cid:21) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:20) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:18) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:24) 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:17)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25) % LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:18) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:18) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:24) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:17) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:17) % LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:17) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:16)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:24) % LN(cid:8)&&(cid:9) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:16) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:20)(cid:22) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:24)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:16) 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:18)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22) % LN(cid:8)#0(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:21)(cid:24) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:18) % LN(cid:8)4"(cid:17)-(cid:9) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:21)(cid:23) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:20) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:21) % LN(cid:8)&&(cid:9) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:25) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:20) (cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:16) : S¯IS¯STANDARD¯NORMAL¯UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯¯"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)¯IS¯CONSTANT¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡$ C(cid:14)¯V(cid:14)¯¯(cid:17)(cid:14)(cid:22)(cid:21)¯(cid:8)(cid:25)(cid:16)(cid:5)(cid:9)¯¯(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22)¯(cid:8)(cid:25)(cid:21)(cid:5)(cid:9)¯¯¯(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:24)¯(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:5)(cid:9) (cid:18)(cid:19)

4ABLE¯(cid:19)¯n¯.ON(cid:13)0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS &ULL¯3AMPLE(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) (YPOTHESIS 4EST¯3TAT #RITICAL¯2EGION - #ONCLUSION ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:22)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:20) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:24)(cid:9) (cid:20) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:20) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:23)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:20) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:19)(cid:20)(cid:9) (cid:19) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:20) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:22)(cid:22)(cid:17)(cid:24) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:19) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:22)(cid:22)(cid:17)(cid:24) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:24)(cid:23)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:22)(cid:22)(cid:17)(cid:24) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:18)(cid:20)

4ABLE¯(cid:19)A¯n¯.ON(cid:13)0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:17)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25) (YPOTHESIS 4EST¯3TAT #RITICAL¯2EGION - #ONCLUSION ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:22)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:20) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:24)(cid:9) (cid:20) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:23)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:18)(cid:19) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:19)(cid:20)(cid:9) (cid:19) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:21)(cid:18)(cid:19) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:24) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:19) (cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:24) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:24)(cid:23)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:24) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:18)(cid:21)

4ABLE¯(cid:19)B¯n¯.ON(cid:13)0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:18)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) (YPOTHESIS 4EST¯3TAT #RITICAL¯2EGION - #ONCLUSION ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:22)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:20) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:24)(cid:9) (cid:20) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:24) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:23)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:24) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:19)(cid:20)(cid:9) (cid:19) 2EJECT (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:24) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:16)(cid:17)(cid:23)(cid:9) (cid:19) 2EJECT ((cid:16)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:24)(cid:18) (cid:18)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT ((cid:17)(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:19) (cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:24)(cid:18) (cid:17)(cid:16)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:24)(cid:23)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:24)(cid:18) (cid:21)(cid:5)¯(cid:8)(cid:16)(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:9) (cid:19) !CCEPT (cid:18)(cid:22)

4ABLE¯(cid:20)¯n¯0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS &ULL¯3AMPLE(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) M M (YPOTHESIS (cid:13)MAX 4RACE (cid:13)MAX¯C(cid:14)V(cid:14) 4RACE¯C(cid:14)V(cid:14) 2ESULT (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:24) (cid:17)(cid:21)(cid:24)(cid:14)(cid:22)(cid:19) (cid:17)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:25) (cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:24) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:23)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:23) (cid:17)(cid:21)(cid:24)(cid:14)(cid:22)(cid:16) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:16) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:17)(cid:17)(cid:20)(cid:14)(cid:18)(cid:22) (cid:17)(cid:23)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:18) (cid:17)(cid:22)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:19)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:24) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:16) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:21)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:25) (cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:17)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:25) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:21)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:25) (cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:16) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:17) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:17)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:21)(cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:17) (cid:21)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:23) (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:21) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:23) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)(cid:18)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO¯CO(cid:13) (cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:21) (cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:21) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) !CCEPT INTEGRATION¯SPACE (cid:25)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:20) (cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:20) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) .(cid:15)! 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:22) (cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:22) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) .(cid:15)! TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:24)(cid:22) (cid:18)(cid:23)

4ABLE¯(cid:20)A¯n¯0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:17)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25) M M (YPOTHESIS (cid:13)MAX 4RACE (cid:13)MAX¯C(cid:14)V(cid:14) 4RACE¯C(cid:14)V(cid:14) 2ESULT (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:21)(cid:17) (cid:20)(cid:21)(cid:14)(cid:21)(cid:16) (cid:17)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:25) (cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:24) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:23)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:22) (cid:20)(cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:21) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:16) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:17) (cid:23)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:16) (cid:17)(cid:22)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:19)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:24) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:16) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:18)(cid:20) (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:17)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:25) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:17)(cid:24)(cid:14)(cid:24)(cid:22) (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:24) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:16) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:17) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:17)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:20) (cid:18)(cid:24)(cid:14)(cid:21)(cid:25) (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:21) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:23) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)(cid:18)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO¯CO(cid:13) (cid:14)(cid:23)(cid:21) (cid:14)(cid:23)(cid:21) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) !CCEPT INTEGRATION¯SPACE (cid:25)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:14)(cid:18)(cid:18) (cid:14)(cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) .(cid:15)! 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:21) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:21) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) .(cid:15)! TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:24)(cid:22) (cid:18)(cid:24)

4ABLE¯(cid:20)B¯n¯0ARAMETRIC¯#O(cid:13))NTEGRATION¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:18)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22) M M (YPOTHESIS (cid:13)MAX 4RACE (cid:13)MAX¯C(cid:14)V(cid:14) 4RACE¯C(cid:14)V(cid:14) 2ESULT (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:16)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (cid:25)(cid:21)(cid:5) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:21)(cid:24)(cid:14)(cid:25)(cid:19) (cid:25)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:22) (cid:17)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:25) (cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:24) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:23)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16) (cid:21)(cid:24)(cid:14)(cid:25)(cid:19) (cid:25)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:23) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:16) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:16)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:22)(cid:25)(cid:14)(cid:24)(cid:17) (cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:17)(cid:22)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:19)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:24) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:16) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:16) (cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:19) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:17)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:25) 2EJECT CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17) (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:24)(cid:19) (cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:20) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:16) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:17) 2EJECT 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:17)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:17)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:17)(cid:25) (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:21) 2EJECT TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:23) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)(cid:18)¯CONSTANT¯RESTRICTED¯TO¯CO(cid:13) (cid:19)(cid:14)(cid:16)(cid:19) (cid:19)(cid:14)(cid:16)(cid:19) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) (cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:16) !CCEPT INTEGRATION¯SPACE (cid:25)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18) (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:17) .(cid:15)! 5NRESTRICTED¯CONSTANT (cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:20) (O(cid:26)¯R¯(cid:29)¯(cid:18)¯UNRESTRICTED¯CONSTANT (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:19) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) (cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:22) .(cid:15)! TRENDS¯IN¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE (cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:24)(cid:22) (cid:18)(cid:25)

4ABLE¯(cid:21)¯n¯3TATIONARITY(cid:12)¯’AUSSIANITY(cid:12)¯AND¯4IME¯2EVERSIBILITY¯4ESTS &ULL¯3AMPLE¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) 0ARAMETRIC (7 ’AUSS(cid:17) ’AUSS(cid:18) %STIMATES (cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:17)(cid:18)(cid:16) (cid:21)(cid:19)(cid:25)(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:17) (cid:22)(cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:25)(cid:19)(cid:22) C 43 (cid:17) T (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:19)(cid:18)(cid:17)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) C42 (cid:18)(cid:16)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25) (cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:25)(cid:19)(cid:24) (cid:20)(cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21) (cid:17) PT (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:19)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:17)(cid:19)(cid:23) (cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:22) (cid:25)(cid:20)(cid:21)(cid:14)(cid:16)(cid:25)(cid:18)(cid:17) C 43 (cid:18) T (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:20)(cid:23)(cid:17)(cid:25)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:21)(cid:21)(cid:16) (cid:18)(cid:25)(cid:22)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:22)(cid:22) (cid:19)(cid:19)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:25)(cid:24)(cid:16) C42 (cid:18) PT (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) C 4%3 (cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:19)(cid:22)(cid:25) (cid:20)(cid:25)(cid:21)(cid:14)(cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:21) (cid:18)(cid:20)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:25)(cid:22)(cid:17) ? T (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:16)(cid:25)(cid:21)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) C4%2 (cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:20)(cid:24)(cid:18) (cid:18)(cid:24)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:21)(cid:22)(cid:23) (cid:18)(cid:24)(cid:19)(cid:14)(cid:23)(cid:16)(cid:18)(cid:18) ? PT (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:18)(cid:24)(cid:25)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) .ON(cid:13)0ARAMETRIC %STIMATES C 4 3 (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:23)(cid:22) (cid:22)(cid:19)(cid:24)(cid:14)(cid:22)(cid:18)(cid:22)(cid:21) (cid:23)(cid:16)(cid:23)(cid:14)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:18) (cid:17)(cid:12).0 T (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:24)(cid:22)(cid:18)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) C 4 3 (cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:24)(cid:23) (cid:19)(cid:24)(cid:23)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:18)(cid:18) (cid:20)(cid:22)(cid:21)(cid:14)(cid:21)(cid:16)(cid:16)(cid:21) (cid:18)(cid:12).0 T (cid:8)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:23)(cid:18)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:9) (cid:18) (7¯IS¯THE¯(INICH¯AND¯7ILD¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:9)¯TEST(cid:14)¯¯4EST¯STATISTIC¯D (cid:8)(cid:19)(cid:20)(cid:9)UNDER¯THE¯NULL¯OF¯STATIONARITY(cid:14) ’AUSS(cid:17)¯IS¯D (cid:18) (cid:8)(cid:23)(cid:18)(cid:9)UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯2E(cid:8)"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)(cid:9)(cid:29)¯(cid:16)¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡$ ’AUSS(cid:18)¯IS¯D (cid:18) (cid:8)(cid:23)(cid:18)(cid:9)UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯)M(cid:8)"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)(cid:9)(cid:29)¯(cid:16)¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡$ (cid:19)(cid:16)

4ABLE¯(cid:22)¯n¯,INEARITY¯4ESTS &ULL¯3AMPLE(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23) 0ARAMETRIC : : : : : : (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C (cid:17) 43 T (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:17) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:21) (cid:13)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:18) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:16) (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:20) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:18) C42 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:19) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:23)(cid:25) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:23) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:21) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:24) (cid:17) PT C 43 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:17) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:21)(cid:25) (cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:23) (cid:18) T C42 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:19) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:16)(cid:18) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:18) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:16) (cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:24) (cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:18) PT C 4%3 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:17) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:20) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:25)(cid:18) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:18) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:22) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:22) ? T C4%2 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:17)(cid:23) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:20) (cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:20) ? PT .ON(cid:13) 0ARAMETRIC : : : : : : (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C 4 3 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:17) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:16)(cid:25) (cid:13)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:21) (cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:24) (cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:25) (cid:17)(cid:12).0 T C 4 3 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:22) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:22) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:19) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (cid:17)(cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:20) (cid:18)(cid:12).0 T : S¯IS¯STANDARD¯NORMAL¯UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯¯"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)¯IS¯CONSTANT¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡$(cid:14)¯¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯IF : \ S\¯EXCEEDS¯THE¯CRITICAL¯VALUE(cid:14)¯¯4HESE¯VALUES¯ARE¯(cid:17)(cid:14)(cid:22)(cid:21)¯(cid:8)(cid:25)(cid:16)(cid:5)(cid:9)¯¯(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22)¯(cid:8)(cid:25)(cid:21)(cid:5)(cid:9)¯¯¯(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:24)¯(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:5)(cid:9) (cid:19)(cid:17)

4ABLE¯(cid:22)A¯n¯,INEARITY¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:17)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25) 0ARAMETRIC : : : : : : (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C 43 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:24) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:17) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:24) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:21) (cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:17) T C42 (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:17) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:22) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:20) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:24) (cid:17) PT C 43 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:24) (cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:19) (cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:19) (cid:18) T C42 (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:17)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:17)(cid:14)(cid:21)(cid:23) (cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:16) (cid:17)(cid:14)(cid:18)(cid:22) (cid:18) PT C 4%3 (cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:17) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:23) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:25) (cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:16) ? T C4%2 (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:18)(cid:23) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:23) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:23) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:21) (cid:16)(cid:14)(cid:20)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:20) ? PT .ON(cid:13) : : : : : : 0ARAMETRIC (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C 4 3 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:23) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:25) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:19)(cid:22) (cid:16)(cid:14)(cid:25)(cid:24) (cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:18) (cid:17)(cid:12).0 T C 4 3 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:18) (cid:16)(cid:14)(cid:21)(cid:16) (cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:25) (cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:21) (cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:23) (cid:18)(cid:12).0 T : S¯IS¯STANDARD¯NORMAL¯UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯¯"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)¯IS¯CONSTANT¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡ $(cid:14)¯¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯IF : \ S\¯EXCEEDS¯THE¯CRITICAL¯VALUE(cid:14)¯¯4HESE¯VALUES¯ARE¯(cid:17)(cid:14)(cid:22)(cid:21)¯(cid:8)(cid:25)(cid:16)(cid:5)(cid:9)¯¯(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22)¯(cid:8)(cid:25)(cid:21)(cid:5)(cid:9)¯¯¯(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:24)¯(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:5)(cid:9) (cid:19)(cid:18)

4ABLE¯(cid:22)B¯n¯,INEARITY¯4ESTS 3UB(cid:13)3AMPLE¯(cid:3)(cid:18)(cid:26)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22) 0ARAMETRIC : : : : : : (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C 43 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:20) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:23)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:24)(cid:25) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:17) T C42 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:23) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:21) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:24) (cid:14)(cid:16)(cid:19)(cid:25) (cid:17)(cid:14)(cid:16)(cid:23) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:17) PT C 43 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:19) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:17) (cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:17) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:19) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:18) (cid:18) T C42 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:20) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:25) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:22) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:22)(cid:25) (cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:24) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:18) PT C 4%3 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:19) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:17) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:16)(cid:24) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:19) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:18) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22) ? T C4%2 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:22)(cid:18) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:19) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:25) (cid:13)(cid:16)(cid:14)(cid:24)(cid:25) (cid:16)(cid:14)(cid:24)(cid:22) (cid:17)(cid:14)(cid:21)(cid:16) ? PT .ON(cid:13) : : : : : : 0ARAMETRIC (cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:25) %STIMATES C 4 3 (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:16)(cid:16) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:21) (cid:13)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:19) (cid:13)(cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:24) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:21) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22) (cid:17)(cid:12).0 T C 4 3 (cid:13)(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:25) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:24)(cid:18) (cid:13)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:20) (cid:16)(cid:14)(cid:16)(cid:21) (cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:16) (cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:17) (cid:18)(cid:12).0 T : S¯IS¯STANDARD¯NORMAL¯UNDER¯THE¯NULL¯((cid:16)(cid:26)¯¯"(cid:8)F(cid:12)G(cid:9)¯IS¯CONSTANT¯ " (cid:8)F(cid:12)G(cid:9) ‡$(cid:14)¯¯¯,INEARITY¯IS¯REJECTED¯IF : \ S\¯EXCEEDS¯THE¯CRITICAL¯VALUE(cid:14)¯¯4HESE¯VALUES¯ARE¯(cid:17)(cid:14)(cid:22)(cid:21)¯(cid:8)(cid:25)(cid:16)(cid:5)(cid:9)¯¯(cid:17)(cid:14)(cid:25)(cid:22)¯(cid:8)(cid:25)(cid:21)(cid:5)(cid:9)¯¯¯(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:24)¯(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:5)(cid:9) (cid:19)(cid:19)

%ND¯.OTES (cid:17)¯!¯LINEAR¯STOCHASTIC¯PROCESS¯IS¯DEFINED¯AS¯THE¯OUTPUT¯OF¯A¯TIME¯INVARIANT¯LINEAR¯FILTER¯APPLIED¯TO¯A¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT¯INPUT PROCESS(cid:14) (cid:18)¯3EE(cid:12)¯FOR¯EXAMPLE(cid:12)¯+ING(cid:12)¯0LOSSER(cid:12)¯3TOCK(cid:12)¯AND¯7ATSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)(cid:12)¯AND¯,EEPER(cid:12)¯3IMS(cid:12)¯AND¯:HA¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)(cid:14) (cid:19)¯&OR¯EXAMPLE(cid:12)¯+ING¯AND¯7ATSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)¯PP(cid:14)¯(cid:19)(cid:23)(cid:13)(cid:19)(cid:25)(cid:9)¯STUDY¯THE¯BUSINESS¯CYCLE¯COVARIABILITY¯OF¯VARIOUS¯MACROECONOMIC¯TIME¯SERIES¯AFTER FIRST¯REMOVING¯ALL¯FREQUENCIES¯OUTSIDE¯OF¯THE¯BUSINESS¯CYCLE¯RANGE(cid:14) (cid:20)¯3EE¯0RIESTLY¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:9)¯FOR¯FURTHER¯DISCUSSION¯OF¯THESE¯POINTS(cid:14) (cid:21)¯4HE¯BISPECTRUM(cid:12)¯WHICH¯IS¯THE¯DOUBLE¯&OURIER¯TRANSFORM¯OF¯THE¯THIRD(cid:13)ORDER¯CUMULANT¯FUNCTION(cid:12)¯WILL¯NOT¯EXIST¯IF¯THE¯PROCESS¯IS¯NON(cid:13) STATIONARY(cid:14)¯¯4HE¯FIRST¯USE¯OF¯THE¯BISPECTRUM¯IN¯ECONOMICS¯WAS¯BY¯-(cid:14)¯$(cid:14)¯’ODFREY¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:22)¯!¯SET¯OF¯TESTS¯FOR¯NON(cid:13)LINEAR¯DYNAMICS¯HAVE¯BEEN¯USED¯APPLIED¯TO¯ECONOMIC¯DATA(cid:14)¯¯"ARNETT¯ET¯AL¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)A(cid:12)¯B(cid:12)¯C(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:9)¯APPLY¯SOME¯OF¯THE MOST¯WIDELY¯USED¯TESTS¯TO¯REAL¯AND¯SIMULATED¯DATA(cid:14) (cid:23)¯)NTEGRATED¯TIME¯SERIES¯ARE¯DOMINATED¯BY¯A¯MARTINGALE¯TERM(cid:12)¯AND¯PROVIDE¯A¯MODEL¯FOR¯TIME¯SERIES¯THAT¯ARE¯SUBJECT¯TO¯PERMANENT SHOCKS(cid:14)¯¯)F¯TWO¯TIME¯SERIES¯ARE¯DOMINATED¯BY¯THE¯SAME¯MARTINGALE¯THEN¯A¯PARTICULAR¯LINEAR¯COMBINATION¯OF¯THEM¯IS¯STATIONARY(cid:12)¯AND THEY¯ARE¯CO(cid:13)INTEGRATED(cid:14) (cid:24)¯3EE¯+ING(cid:12)¯0LOSSER(cid:12)¯3TOCK(cid:12)¯AND¯7ATSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)(cid:12)¯-IYAO¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)(cid:12)¯AND¯&RIEDMAN¯AND¯+UTTNER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:9)¯FOR¯EXAMPLES(cid:14) (cid:25)¯4HE¯7OLD¯DECOMPOSITION¯THEOREM¯PROVES¯THAT¯THE¯STATIONARY¯LINEAR¯COMBINATION¯CAN¯BE¯REPRESENTED¯AS¯THE¯OUTPUT¯OF¯A¯MOVING AVERAGE¯FILTER¯APPLIED¯TO¯UNCORRELATED¯WHITE¯NOISE¯INPUT(cid:14)¯¯4HE¯PROCESS¯MAY¯NEVERTHELESS¯BE¯NON(cid:13)LINEAR¯BECAUSE¯THE¯UNCORRELATED¯INPUT PROCESS¯MAY¯NOT¯BE¯STOCHASTICALLY¯INDEPENDENT(cid:14) (cid:17)(cid:16)¯,OWERING¯THE¯SAMPLING¯RATE¯OF¯A¯DISCRETE¯PROCESS¯ALSO¯CAUSE¯ALIASING(cid:14) (cid:17)(cid:17)¯3EE¯ALSO(cid:12)¯!SHLEY¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)(cid:12)¯3CHEINKMAN¯AND¯,E"ARON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)(cid:12)¯AND¯"ROCKETT(cid:12)¯(INICH(cid:12)¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:9)(cid:14) (cid:17)(cid:18)¯4HE¯ASSUMPTIONS¯OF¯REAL¯AND¯MEAN¯ZERO¯CAN¯BE¯RELAXED(cid:12)¯SEE¯(INICH¯AND¯-ESSER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:17)(cid:19)¯#UMULANTS¯AND¯MOMENTS¯ARE¯EQUIVALENT¯UP¯TO¯THE¯THIRD(cid:13)ORDER(cid:14)¯¯4HIS¯IS¯NOT¯TRUE¯FOR¯HIGHER¯ORDERS(cid:14) (cid:17)(cid:20)¯4HIS¯IS¯A¯CONSEQUENCE¯OF¯THE¯7OLD¯DECOMPOSITION¯THEOREM(cid:14)¯¯3EE¯"ROCKWELL¯AND¯$AVIS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)¯AND¯%NGLE¯AND¯’RANGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)(cid:14) (cid:17)(cid:21)¯3EE¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:9)¯AND¯(INICH¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:14)¯¯3EE¯ALSO¯0RIESTLEY¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:19)(cid:13)(cid:17)(cid:22)(cid:9)¯FOR¯RELATED¯DISCUSSION(cid:14) (cid:17)(cid:22)¯4HE¯OPERATION¯\¯\¯DENOTES¯COMPLEX¯MODULUS(cid:14) (cid:17)(cid:23)¯&OR¯DETAILS¯ON¯6OLTERRA¯REPRESENTATIONS(cid:12)¯SEE¯3CHETZEN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:17)(cid:9)¯AND¯2UGH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:17)(cid:9)(cid:14) (cid:17)(cid:24)¯-ORE¯COMPLETE¯DISCUSSIONS¯ON¯HIGHER¯ORDER¯POLYSPECTRA¯CAN¯BE¯FOUND¯IN¯.IKIAS¯AND¯2AGHUVEER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)(cid:12)¯-ENDEL¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)(cid:12)¯"RILLINGER AND¯2OSENBLATT¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)¯A(cid:12)¯B(cid:9)(cid:12)¯AND¯"RILLINGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:18)Q (cid:17)(cid:25)¯4HROUGHOUT¯THE¯PAPER(cid:12)¯FREQUENCIES¯ARE¯MEASURED¯IN¯UNITS¯OF¯INVERSE¯TIME(cid:14)¯¯-ULTIPLYING¯THESE¯FREQUENCIES¯BY¯ ¯CONVERTS¯THEM¯TO RADIAN¯MEASURE(cid:14) (cid:18)(cid:16)¯4HIS¯REGION¯IS¯CALLED¯THE¯PRINCIPAL¯DOMAIN(cid:14)¯¯3EE¯(INICH¯AND¯-ESSER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:18)(cid:17)¯3EE¯.IKIAS¯AND¯2AGHUVEER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯(cid:10)¯NOTATION¯DENOTES¯THE¯COMPLEX¯CONJUGATE¯OPERATION(cid:14) (cid:18)(cid:18)¯4HIS¯RESULT¯IS¯DUE¯TO¯"RILLINGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:18)(cid:19)¯3EE¯ALSO¯(INICH¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)B(cid:12)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)¯AND¯!SHLEY(cid:12)¯(INICH(cid:12)¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)(cid:14) (cid:18)(cid:20)¯4HE¯(INICH¯TEST¯IS¯BASED¯ON¯THE¯FACT¯THAT¯INDEPENDENT¯SEQUENCES¯HAVE¯A¯CONSTANT¯BISPECTRUM(cid:14)¯¯)N¯FACT(cid:12)¯INDEPENDENT¯SEQUENCES¯HAVE CONSTANT¯POLYSPECTRA¯OF¯ALL¯ORDERS(cid:14)¯¯4HUS(cid:12)¯DEPENDENCE¯CAN¯BE¯REFLECTED¯IN¯ANY¯OF¯THE¯HIGHER(cid:13)ORDER¯POLYSPECTRA(cid:12)¯AND¯SOME¯DEPENDENT SEQUENCES¯HAVE¯CONSTANT¯BISPECTRUM(cid:14)¯7E¯COULD¯DESIGN¯TESTS¯BASED¯ON¯HIGHER(cid:13)ORDER¯POLYSPECTRA(cid:12)¯BUT¯MOST¯ECONOMIC¯TIME¯SERIES¯ARE¯NOT LONG¯ENOUGH¯FOR¯CONSISTENT¯ESTIMATION¯OF¯EVEN¯THE¯FOURTH(cid:13)ORDER¯POLYSPECTRUM(cid:14) (cid:18)(cid:21)¯3EE¯%NGLE¯AND¯’RANGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)¯FOR¯PROPERTIES¯OF¯INTEGRATED¯PROCESSES(cid:14)¯¯&ISHER¯AND¯3EATER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:9)¯DISCUSS¯THE¯CONNECTION¯BETWEEN INTEGRATION¯AND¯NEUTRALITY¯AND¯SUPER¯NEUTRALITY¯HYPOTHESES(cid:14) (cid:18)(cid:22)¯3EE¯$AVIDSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:20)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:18)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:19)(cid:9)¯AND¯(ALL¯AND¯(EYDE¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:18)(cid:24)(cid:9)(cid:14) (cid:18)(cid:23)¯4HE¯REPRESENTATION¯THEOREM¯REQUIRES¯MIXINGALE¯ASSUMPTIONS¯ON¯THE¯STATIONARY¯SEQUENCE(cid:12)¯SEE¯$AVIDSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:20)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:18)(cid:20)(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:21)(cid:18)(cid:9)(cid:14)¯¯(ALL AND¯(EYDE¯ALSO¯REQUIRE¯ % \8 (cid:16) \(cid:29)d (cid:14) (cid:18)(cid:24) ¯%NGLE¯AND¯’RANGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)¯ADD¯THE¯CONDITION¯THAT¯THE¯STATIONARY¯MOVING¯AVERAGE¯REPRESENTATION¯OF¯THE¯FIRST¯DIFFERENCE(cid:12)¯OBTAINED FROM¯THE¯7OLD¯DECOMPOSITION(cid:12)¯BE¯INVERTIBLE(cid:14) (cid:18)(cid:25) D ¯3EE¯"IERENS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯OPERATOR¯ ¯IS¯THE¯STANDARD¯DIFFERENCE¯OPERATOR(cid:14) (cid:19)(cid:20)

(cid:19)(cid:16) ¯4HIS¯DECOMPOSITION¯IS¯VALID¯BECAUSE¯VECTOR¯MARTINGALE¯DIFFERENCES¯ARE¯SERIALLY¯UNCORRELATED¯AND¯HAVE¯POSITIVE¯SEMI(cid:13)DEFINITE COVARIANCE¯MATRICES(cid:14) (cid:157) T ‹(cid:157) T ‹4 (cid:157) T ‹(cid:157) T ‹4 (cid:19)(cid:17) ¯4HIS¯IS¯BECAUSE¯ %;(cid:158) (cid:158) (cid:158)(cid:158)(cid:159)S (cid:156) (cid:30)(cid:16) C4 J 9 S fi ›››››(cid:159) (cid:158) (cid:158) (cid:158)(cid:158) S (cid:156) (cid:30)(cid:16) C4 J 9 S fi ››››› =(cid:30)C4 J %; (cid:159) (cid:158) (cid:158) (cid:158)(cid:158) S (cid:156) (cid:30)(cid:16) 9 S fi ›››››(cid:159) (cid:158) (cid:158) (cid:158)(cid:158) S (cid:156) (cid:30)(cid:16) 9 S fi ››››› =C J (cid:30)C4 J ##4C J (cid:30)(cid:16)4(cid:16)(cid:30)(cid:16)(cid:14) (cid:19)(cid:18) ¯4HE¯ORTHOGONAL¯COMPLEMENT¯HAS¯THE¯PROPERTY¯C4C ? (cid:30)(cid:16) (cid:14) (cid:19)(cid:19) ¯)N¯THE¯ABSENCE¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION(cid:12)¯THE¯TWO¯TRANSFORMATIONS¯ARE¯EQUIVALENT(cid:14)¯¯)F¯R¯(cid:29)¯(cid:16)(cid:12)¯THEN¯C ?IS¯FULL¯RANK¯AND¯CAN¯BE¯TAKEN¯AS¯THE IDENTITY¯MATRIX(cid:14) (cid:19)(cid:20) ¯)T¯IS¯POSSIBLE¯THAT¯A¯LINEAR¯COMBINATION¯OF¯NON(cid:13)LINEAR¯PROCESSES¯COULD¯BE¯LINEAR(cid:12)¯BUT¯THIS¯WOULD¯NOT¯HOLD¯IN¯GENERAL(cid:14) (cid:19)(cid:21) ¯&OR¯EXAMPLE(cid:12)¯THE¯PROCESS¯RESULTING¯FROM¯THE¯EXAMPLE¯PRESENTED¯WILL¯NOT¯BE¯STATIONARY(cid:12)¯BUT¯WILL¯INSTEAD¯BEHAVE¯LIKE¯A¯UNIT¯ROOT PROCESS¯WHEN¯NEAR¯ITS¯MEAN(cid:14)¯¯’RANGER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)¯GIVES¯CONDITIONS¯UNDER¯WHICH¯F(cid:8)Z(cid:9)¯IS¯STATIONARY(cid:14) (cid:19)(cid:22) ¯3EE¯(INICH¯AND¯0ATTERSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)A(cid:9)¯FOR¯A¯METHOD¯OF¯ESTIMATING¯THE¯COEFFICIENTS¯OF¯A¯QUADRATIC¯NON(cid:13)LINEAR¯PROCESS(cid:14) (cid:19)(cid:23) ¯4HE¯FEDERAL¯FUNDS¯RATE¯AND¯THE¯COMMERCIAL¯PAPER¯RATE¯ARE¯AVAILABLE¯FROM¯THE¯&EDERAL¯2ESERVE¯"OARDjS¯WEBSITE(cid:14)¯¯4HE¯COMMERCIAL PAPER¯RATE¯SERIES¯WAS¯DISCONTINUED¯IN¯!UGUST¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:14)¯¯2ICHARD¯!NDERSON¯OF¯THE¯&EDERAL¯2ESERVE¯"ANK¯OF¯3T(cid:14)¯,OUIS¯PROVIDED¯US¯WITH¯THE SECONDARY¯MARKET¯RATE¯ON¯ONE(cid:13)MONTH¯TREASURY¯BILLS(cid:14) (cid:19)(cid:24) ¯4HE¯FILTERING¯PROCEDURE¯IS¯SIMILAR¯TO¯THE¯FIVE¯DAY¯UNWEIGHTED¯AVERAGES¯SUGGESTED¯BY¯THE¯"OARD¯OF¯’OVERNORS(cid:12)¯BUT(cid:12)¯WE¯WOULD¯ARGUE(cid:12) IS¯SUPERIOR¯FOR¯OUR¯PURPOSES(cid:14) (cid:19)(cid:25) ¯3EE¯FOR¯EXAMPLE¯3TOCK¯AND¯7ATSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:12)¯&RIEDMAN¯AND¯+UTTNER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:9)(cid:12)¯AND¯+ING(cid:12)¯0LOSSER(cid:12)¯3TOCK(cid:12)¯AND¯7ATSON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)(cid:14) (cid:20)(cid:16) ¯3EE¯&ULLER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)(cid:12)¯3AID¯AND¯$ICKEY¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:9)(cid:12)¯AND¯3AID¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯LAG¯LENGTH(cid:12)¯P(cid:12)¯IS¯CHOSEN¯BY¯THE¯FORMULA¯P(cid:30) (cid:21)(cid:8)N(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:14) (cid:20)(cid:17) ¯3EE¯0HILLIPS¯AND¯0ERRON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯TRUNCATION¯LAG¯FOR¯THE¯.EWEY(cid:13)7EST¯ESTIMATOR¯IS¯P(cid:30) (cid:21)(cid:8)N(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:14) (cid:20)(cid:18) ¯3EE¯+WAITKOWSKI(cid:12)¯0HILLIPS(cid:12)¯3CHMIDT(cid:12)¯AND¯3HIN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯TRUNCATION¯LAG¯FOR¯THE¯.EWEY(cid:13)7EST¯ESTIMATOR¯IS¯P(cid:30) (cid:21)(cid:8)N(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:14) (cid:20)(cid:19) ¯!SHLEY(cid:12)¯0ATTERSON(cid:12)¯AND¯(INICH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:9)¯FOUND¯THAT¯ONE(cid:13)TAILED¯TESTS¯MAY¯FAIL¯TO¯DETECT¯CERTAIN¯TYPES¯OF¯NON(cid:13)LINEARITY¯THAT¯WOULD¯BE DETECTED¯BY¯TWO(cid:13)TAILED¯VERSIONS¯OF¯THE¯TESTS(cid:14) (cid:20)(cid:20) ¯7E¯COMPUTED¯VARIOUS¯INFORMATION¯CRITERIA¯FOR¯THE¯6%#-(cid:14)¯¯4HE¯3CHWARTZ¯CRITERIA¯INDICATED¯A¯LAG¯LENGTH¯OF¯(cid:20)¯AND¯THE¯!KAIKE CRITERION¯INDICATED¯A¯LENGTH¯OF¯(cid:18)(cid:16)(cid:14)¯¯5SING¯THESE¯AS¯A¯RANGE¯OF¯MODELS¯TO¯CONSIDER(cid:12)¯WE¯CHOSE¯TO¯ESTIMATE¯THE¯MODEL¯WITH¯P¯(cid:29)¯(cid:22)¯ON¯THE BASIS¯THAT¯THIS¯MODEL¯WAS¯FAIRLY¯PARSIMONIOUS¯AND¯PASSED¯TESTS¯FOR¯ABSENCE¯OF¯FIRST¯AND¯FOURTH¯ORDER¯AUTO(cid:13)CORRELATION(cid:14) (cid:20)(cid:21) ¯4HE¯BASIS¯FOR¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION¯SPACE¯HAS¯BEEN¯TRANSFORMED¯INTO¯A¯BASIS¯WITH¯ONE¯ZERO¯IN¯EACH¯VECTOR(cid:14)¯¯3INCE¯ANY¯LINEAR COMBINATION¯OF¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTORS¯IS¯A¯CO(cid:13)INTEGRATION¯VECTOR¯THIS¯DOES¯NOT¯CHANGE¯ANY¯OF¯OUR¯ANALYSIS(cid:14)¯¯4HE¯FORM¯OF¯THE¯BASIS REPORTED¯IN¯THE¯TEXT¯IS¯EASIER¯TO¯UNDERSTAND¯THAN¯THE¯UNTRANSFORMED¯BASIS(cid:14)¯¯4HE¯CONSTANT¯THAT¯IS¯SUBTRACTED¯FROM¯THE¯CO(cid:13)INTEGRATION RELATIONS¯IS¯THE¯ESTIMATED¯RESTRICTED¯CONSTANT(cid:14) (cid:20)(cid:22) ¯4HESE¯TESTS¯ARE¯D(cid:18)(cid:8)(cid:17)(cid:9)(cid:14)¯¯4HE¯VALUES¯OF¯THE¯TEST¯STATISTICS¯ARE¯(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:17)¯AND¯(cid:17)(cid:16)(cid:14)(cid:24)(cid:23)¯RESPECTIVELY(cid:14) (cid:20)(cid:23) ¯4HESE¯TESTS¯ARE¯D(cid:18)(cid:8)(cid:18)(cid:9)(cid:14)¯¯&OR¯THE¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:25)¯SUB(cid:13)SAMPLE¯THE¯TEST¯STATISTIC¯IS¯(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:22)¯(cid:8)P(cid:13)VALUE¯OF¯(cid:14)(cid:18)(cid:9)¯AND¯FOR¯THE¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:13)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)¯SUB(cid:13)SAMPLE¯THE TEST¯STATISTIC¯IS¯(cid:14)(cid:19)(cid:24)¯(cid:8)P(cid:13)VALUE¯OF¯(cid:14)(cid:24)(cid:19)(cid:9)(cid:14) (cid:20)(cid:24) ¯3EE¯"ARNETT(cid:12)¯-EDIO(cid:12)¯AND¯3ERLETIS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:22)(cid:17)(cid:9)¯FOR¯DISCUSSION¯OF¯THIS¯ISSUE(cid:14) (cid:20)(cid:25) ¯)F¯THE¯LAST¯FRAME¯IS¯INCOMPLETE(cid:12)¯IT¯IS¯DROPPED¯FROM¯THE¯CALCULATION¯OF¯THE¯ESTIMATOR(cid:14) (cid:21)(cid:16) ¯4HIS¯ESTIMATOR¯IS¯DESCRIBED¯IN¯7ELCH¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:9)¯AND¯’ROVES¯AND¯(ANNAN¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:9)(cid:14)¯¯+AY¯AND¯-ARPLE¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:17)(cid:9)¯DISCUSS¯VARIOUS¯METHODS¯OF POWER¯SPECTRAL¯ESTIMATION(cid:14)¯¯7E¯EMPLOY¯A¯TRAPEZOIDAL¯DATA¯TAPER(cid:12)¯WHICH¯LEADS¯TO¯MINOR¯MODIFICATIONS¯OF¯THESE¯FORMULAS(cid:14) (cid:21)(cid:17) ¯4HIS¯ESTIMATOR¯IS¯DESCRIBED¯IN¯(INICH¯AND¯-ESSER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:9)(cid:14) (cid:21)(cid:18) ¯4HE¯RESOLUTION¯BANDWIDTH¯IS¯THE¯APPROXIMATE¯SPACING¯BETWEEN¯INDEPENDENT¯POWER¯SPECTRAL¯ESTIMATES(cid:12)¯SEE¯+OOPMANS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:12)¯PP(cid:14) (cid:19)(cid:16)(cid:20)(cid:9)(cid:14) (cid:21)(cid:19) ¯+OOPMANS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:9)¯CALLED¯THIS¯TRADEOFF¯THE¯’RENANDER¯UNCERTAINTY¯PRINCIPLE(cid:14) e (cid:21)(cid:20) 8 ¯4HE¯PROOF¯FOLLOWS¯FROM¯THE¯FACT¯THAT¯THE¯ M(cid:12)NARE¯ASYMPTOTICALLY¯INDEPENDENTLY¯NORMAL(cid:14) (cid:21)(cid:21) ¯4HIS¯IS¯TRUE¯BECAUSE¯\8e M(cid:12)N \(cid:18) ARE¯ASYMPTOTICALLY¯INDEPENDENT(cid:14) (cid:21)(cid:22) ¯4HE¯IMAGINARY¯PART¯OF¯ALL¯POLYSPECTRA¯IS¯ZERO¯IF¯THE¯SEQUENCE¯IS¯TIME¯REVERSIBLE(cid:12)¯SEE¯"RILLINGER¯AND¯2OSENBLATT¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)A(cid:9)(cid:14) (cid:21)(cid:23) ¯3EE¯$AVID¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:16)(cid:9)¯4HEOREM¯(cid:25)(cid:14)(cid:18)(cid:14) (cid:19)(cid:21)

(cid:21)(cid:24) ¯!S¯NOTED¯IN¯.IKIAS¯AND¯2AGHUVEER¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:9)(cid:12)¯THE¯BISPECTRUM¯CAN¯BE¯PARTICULARLY¯USEFUL¯IN¯IDENTIFYING¯QUADRATIC¯PHASE¯COUPLING(cid:12) RESULTING¯FROM¯INTERACTION¯BETWEEN¯TWO¯HARMONIC¯COMPONENTS¯AT¯THEIR¯SUM¯AND(cid:15)OR¯DIFFERENCE¯FREQUENCIES(cid:14) (cid:21)(cid:25) ¯3EE¯+OOPMANS¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:22)(cid:22)(cid:13)(cid:23)(cid:19)(cid:9)(cid:14) (cid:19)(cid:22)

2EFERENCES !SHLEY¯2ICHARD(cid:12)¯$OUGLAS¯0ATTERSON¯AND¯-ELVIN¯(INICH(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:22)(cid:14)¯k!¯$IAGNOSTIC¯4EST¯FOR¯.ON(cid:13),INEAR¯3ERIAL $EPENDENCE¯IN¯4IME¯3ERIES¯&ITTING¯%RRORS(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯4IME¯¯3ERIES¯!NALYSIS¯¯(cid:23)(cid:8)(cid:19)(cid:9)(cid:14)¯(cid:17)(cid:22)(cid:21)(cid:13)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:14) "ARNETT(cid:12)¯7ILLIAM¯!(cid:14)(cid:12)¯!LFREDO¯-EDIO(cid:12)¯AND¯!POSTOLOS¯3ERLETIS(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:14)¯k.ONLINEAR¯AND¯#OMPLEX¯$YNAMICS¯IN %CONOMICS(cid:14)l¯WORKING¯PAPER(cid:14) "ARNETT(cid:12)¯7ILLIAM¯!(cid:14)(cid:12)¯2ONALD¯’ALLANT(cid:12)¯-ELVIN¯(INICH(cid:12)¯*OCHEN¯*UNGEILGES(cid:12)¯$ANIEL¯+APLAN(cid:12)¯AND¯-ARK¯*ENSEN(cid:14) (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:14)¯k!¯3INGLE¯"LIND¯#ONTROLLED¯#OMPETITION¯!MONG¯4ESTS¯&OR¯.ON(cid:13)LINEARITY¯AND¯#HAOS(cid:14)l *OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS(cid:12)¯VOL(cid:14)¯(cid:23)(cid:23)(cid:14)¯(cid:18)(cid:25)(cid:23)(cid:13)(cid:19)(cid:16)(cid:18)(cid:14) "ARNETT(cid:12)¯ 7ILLIAM(cid:12)¯ !(cid:14)¯ 2ONALD¯ ’ALLANT(cid:12)¯ -ELVIN¯(INICH(cid:12)¯ -ARK¯ *ENSEN(cid:12)¯ AND¯ *OCHEN¯ *UNGEILGES(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)A(cid:14) k2OBUSTNESS¯OF¯.ONLINEARITY¯AND¯#HAOS¯4EST¯TO¯-EASUREMENT¯%RROR(cid:12)¯)NFERENCE¯-ETHOD(cid:12)¯AND 3AMPLE¯3IZE(cid:12)l¯*OURNAL¯OF¯%CONOMIC¯"EHAVIOR¯AND¯/RGANIZATION(cid:12)¯VOL(cid:14)¯(cid:18)(cid:23)(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:19)(cid:16)(cid:17)(cid:13)(cid:19)(cid:18)(cid:16)(cid:14) "ARNETT(cid:12)¯ 7ILLIAM(cid:12)¯ !(cid:14)¯ 2ONALD¯ ’ALLANT(cid:12)¯ -ELVIN¯(INICH(cid:12)¯ -ARK¯*ENSEN(cid:12)¯ AND¯ *OCHEN¯ *UNGEILGES(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)B(cid:14) k#OMPARISONS¯OF¯THE¯!VAILABLE¯4ESTS¯FOR¯.ONLINEARITY¯AND¯#HAOS(cid:12)l¯IN¯7ILLIAM¯"ARNETT(cid:12)¯’IANCARLO ’ANDOLFO(cid:12)¯ AND¯ #LAUDE¯ (ILLINGER¯ (cid:8)EDS(cid:14)(cid:9)(cid:12)¯ $YNAMIC¯ $ISEQUILIBRIUM¯ -ODELING(cid:26)¯ 4HEORY¯ AND !PPLICATIONS(cid:12)¯ 0ROCEEDINGS¯ OF¯ THE¯ .INTH¯ )NTERNATIONAL¯ 3YMPOSIUM¯ IN¯ %CONOMIC¯ 4HEORY¯ AND %CONOMETRICS(cid:12)¯#AMBRIDGE¯5NIVERSITY¯0RESS(cid:12)¯PP(cid:14)¯(cid:19)(cid:17)(cid:19)(cid:13)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:14) "ARNETT(cid:12)¯7ILLIAM(cid:12)¯!(cid:14)¯2ONALD¯’ALLANT(cid:12)¯-ELVIN¯(INICH(cid:12)¯-ARK¯*ENSEN(cid:12)¯$ANIEL¯+APLAN(cid:12)¯AND¯*OCHEN¯*UNGEILGES(cid:14) (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)C(cid:14)¯k!N¯%XPERIMENTAL¯$ESIGN¯TO¯#OMPARE¯4ESTS¯OF¯.ONLINEARITY¯AND¯#HAOS(cid:14)l¯IN¯7ILLIAM "ARNETT(cid:12)¯ !LAN¯ +IRMAN(cid:12)¯ AND¯ -ARK¯ 3ALMON¯ (cid:8)EDS(cid:14)(cid:9)(cid:12)¯ .ONLINEAR¯ $YNAMICS¯ AND¯ %CONOMICS(cid:12) 0ROCEEDINGS¯ OF¯ THE¯ 4ENTH¯ )NTERNATIONAL¯ 3YMPOSIUM¯IN¯ %CONOMIC¯ 4HEORY¯ AND¯ %CONOMETRICS(cid:12) #AMBRIDGE¯5NIVERSITY¯0RESS(cid:14) "ERNANKE(cid:12)¯"EN¯AND¯!LAN¯"LINDER(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:14)¯ k4HE¯ &EDERAL¯ &UNDS¯ 2ATE¯ AND¯ THE¯ #HANNELS¯ OF¯ -ONETARY 4RANSMISSION(cid:14)l¯!MERICAN¯%CONOMIC¯2EVIEW¯(cid:24)(cid:18)(cid:14)¯(cid:25)(cid:16)(cid:17)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:14) "IERENS(cid:12)¯(ERMAN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:14)¯k.ONPARAMETRIC¯#OINTEGRATION¯!NALYSISl(cid:14)¯*OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS¯(cid:23)(cid:23)(cid:14)¯(cid:19)(cid:23)(cid:25)(cid:13)(cid:20)(cid:16)(cid:20)(cid:14) "IERENS(cid:12)¯((cid:14)*(cid:14)¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:23)(cid:9)(cid:12)¯k%ASY2EGl(cid:12)¯$EPARTMENT¯OF¯%CONOMICS(cid:12)¯0ENNSYLVANIA¯3TATE¯5NIVERSITY(cid:12)¯5NIVERSITY 0ARK(cid:12)¯0!(cid:14) "RILLINGER(cid:12)¯$(cid:14)2(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:21)(cid:14)¯k!N¯)NTRODUCTION¯4O¯0OLYSPECTRUM(cid:14)l¯!NN(cid:14)¯-ATH(cid:14)¯3TATISTICS¯(cid:19)(cid:22)(cid:14)¯¯(cid:17)(cid:19)(cid:21)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:19)(cid:23)(cid:20)(cid:14) "RILLINGER(cid:12)¯$AVID¯2(cid:14)(cid:12)¯AND¯-URRAY¯2OSENBLATT(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)¯A(cid:14)¯k!SYMPTOTIC¯4HEORY¯OF¯K(cid:13)TH¯/RDER¯3PECTRA(cid:14)l¯IN 3PECTRAL¯!NALYSIS¯OF¯4IME¯3ERIES(cid:14)¯*OHN¯7ILEY¯AND¯3ONS(cid:12)¯)NC(cid:14)¯.EW¯9ORK(cid:12)¯(cid:17)(cid:21)(cid:19)(cid:13)(cid:17)(cid:24)(cid:24)(cid:14) "RILLINGER(cid:12)¯$AVID¯2(cid:14)(cid:12)¯AND¯-URRAY¯2OSENBLATT(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)¯B(cid:14)¯k#OMPUTATION¯AND¯)NTERPRETATION¯OF¯K(cid:13)TH¯/RDER 3PECTRA(cid:14)l¯IN¯3PECTRAL¯!NALYSIS¯OF¯4IME¯3ERIES(cid:14)¯*OHN¯7ILEY¯AND¯3ONS(cid:12)¯)NC(cid:14)¯.EW¯9ORK(cid:12)¯(cid:17)(cid:24)(cid:25)(cid:13)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:14) (cid:19)(cid:23)

"ROCK(cid:12)¯7(cid:14)!(cid:14)¯7(cid:14)$(cid:14)¯$ECHERT(cid:12)¯*(cid:14)¯3CHEINKMAN(cid:12)¯AND¯"(cid:14)¯,E"ARON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:14)¯k!¯4EST¯FOR¯)NDEPENDENCE¯"ASED¯ON THE¯#ORRELATION¯$IMENSION(cid:14)l¯%CONOMETRIC¯2EVIEWS(cid:14)¯(cid:17)(cid:21)(cid:8)(cid:19)(cid:9)(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:19)(cid:21)(cid:14) "ROCKWELL(cid:12)¯0ETER(cid:12)¯AND¯2ICHARD¯$AVIS(cid:14)¯¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯4IME¯3ERIES(cid:26)¯4HEORY¯AND¯-ETHODS(cid:14)¯3PRINGER(cid:14)¯.EW¯9ORK(cid:14) #HOI(cid:12)¯ 7OON¯ ’YU(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:14)¯ k!SYMMETRIC¯ -ONETARY¯ %FFECTS¯ ON¯ )NTEREST¯ 2ATES¯ ACROSS¯ -ONETARY¯ 0OLICY 3TANCES(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯-ONEY(cid:12)¯#REDIT¯AND¯"ANKING(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:19)(cid:17)(cid:14)¯.O(cid:14)¯(cid:19)(cid:12)¯(cid:19)(cid:24)(cid:22)(cid:13)(cid:20)(cid:17)(cid:22)(cid:14) $AVID(cid:12)¯((cid:14)!(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:16)(cid:14)¯/RDER¯3TATISTICS(cid:14)¯*OHN¯7ILEY(cid:12)¯.EW¯9ORK(cid:14) $AVIDSON(cid:12)¯*AMES(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:20)(cid:14)¯3TOCHASTIC¯,IMIT¯4HEORY(cid:14)¯/XFORD¯5NIVERSITY¯0RESS(cid:12)¯.EW¯9ORK(cid:14) %NGLE(cid:12)¯2OBERT¯AND¯#(cid:14)¯7(cid:14)¯*(cid:14)¯’RANGER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:14)¯ k#O(cid:13))NTEGRATION¯ AND¯%RROR¯ #ORRECTION(cid:26)¯2EPRESENTATION(cid:12) %STIMATION(cid:12)¯AND¯4ESTING(cid:14)l¯%CONOMETRICA(cid:12)¯6OL(cid:14)¯(cid:21)(cid:21)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:18)(cid:12)¯(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:13)(cid:18)(cid:23)(cid:22)(cid:14) &ISHER(cid:12)¯-ARK¯%(cid:14)(cid:12)¯AND¯*OHN¯*(cid:14)¯3EATER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:14)¯k,ONG(cid:13)2UN¯.EUTRALITY¯AND¯3UPERNEUTRALITY¯IN¯AN¯!2)-! &RAMEWORK(cid:14)l¯¯!MERICAN¯%CONOMIC¯2EVIEW(cid:14)¯*UNE(cid:14)¯(cid:20)(cid:16)(cid:18)(cid:13)(cid:20)(cid:17)(cid:21)(cid:14) &RIEDMAN(cid:12)¯"(cid:14)-(cid:14)¯AND¯ +(cid:14).(cid:14)¯ +UTTNER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:14)¯ k-ONEY(cid:12)¯ )NCOME(cid:12)¯ 0RICES(cid:12)¯ AND¯ )NTEREST¯ 2ATES(cid:14)l¯ !MERICAN %CONOMIC¯2EVIEW(cid:14)¯(cid:24)(cid:18)(cid:14)¯(cid:20)(cid:23)(cid:18)(cid:13)(cid:20)(cid:25)(cid:18)(cid:14) &RIEDMAN(cid:12)¯"(cid:14)-(cid:14)¯AND¯+(cid:14).(cid:14)¯+UTTNER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:14)¯k!NOTHER¯,OOK¯AT¯THE¯%VIDENCE¯ON¯-ONEY(cid:13))NCOME¯#AUSALITY(cid:14)l *OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS¯(cid:21)(cid:23)(cid:14)¯(cid:17)(cid:24)(cid:25)(cid:13)(cid:18)(cid:16)(cid:19)(cid:14) &ULLER(cid:12)¯7(cid:14)!(cid:14)¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:9)(cid:14)¯)NTRODUCTION¯TO¯3TATISTICAL¯4IME¯3ERIES¯(cid:8)(cid:18)ND¯%D(cid:14)(cid:9)(cid:14)¯.EW¯9ORK(cid:26)¯*OHN¯7ILEY ’ODFREY(cid:12)¯-(cid:14)$(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:21)(cid:14)¯k!N¯%XPLORATORY¯3TUDY¯OF¯THE¯"ISPECTRUM¯OF¯%CONOMIC¯4IME¯3ERIES(cid:14)l¯!PPLIED 3TATISTICS(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:17)(cid:20)(cid:14)¯(cid:20)(cid:24)(cid:13)(cid:22)(cid:25)(cid:14) ’RANGER(cid:12)¯#(cid:14)7(cid:14)*(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯k3OME¯2ECENT¯’ENERALIZATIONS¯OF¯#OINTEGRATION¯AND¯THE¯!NALYSIS¯OF¯,ONG(cid:13)2UN 2ELATIONSHIPS(cid:14)l¯,ONG(cid:13)2UN¯%CONOMIC¯2ELATIONSHIPS(cid:14)¯/XFORD¯5NIVERSITY¯0RESS(cid:14) ’ROVES(cid:12)¯’(cid:14)7(cid:14)¯AND¯%(cid:14)*(cid:14)¯(ANNAN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:14)¯k4IME¯3ERIES¯2EGRESSION¯OF¯3EA¯,EVEL¯ON¯7EATHER(cid:14)l¯2EVIEWS¯OF ’EOPHYSICS(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:22)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:18)(cid:12)¯(cid:17)(cid:18)(cid:25)(cid:13)(cid:17)(cid:23)(cid:20)(cid:14) (ALL(cid:12)¯0(cid:14)¯AND¯#(cid:14)#(cid:14)¯(EYDE(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:14)¯-ARTINGALE¯,IMIT¯4HEORY(cid:14)¯!CADEMIC¯0RESS(cid:12)¯.EW¯9ORK(cid:14) (ANSEN(cid:12)¯((cid:14)(cid:12)¯AND¯+(cid:14)¯*USELIUS(cid:14)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:14)¯#!43¯IN¯2!43(cid:26)¯#OINTEGRATION¯!NALYSIS¯OF¯4IME¯3ERIES(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:14)¯k4ESTING¯FOR¯’AUSSIANITY¯AND¯,INEARITY¯OF¯A¯3TATIONARY¯4IME¯3ERIES(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯4IME 3ERIES¯!NALYSIS(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:19)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:19)(cid:12)¯(cid:17)(cid:22)(cid:25)(cid:13)(cid:17)(cid:23)(cid:22)(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:14)¯k3AMPLING¯$YNAMICAL¯3YSTEMS(cid:14)l¯&ORTHCOMING¯IN¯-ACROECONOMIC¯$YNAMICS(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯$(cid:14)¯0ATTERSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)A(cid:14)¯k)DENTIFICATION¯OF¯THE¯#OEFFICIENTS¯IN¯A¯.ON(cid:13)LINEAR¯4IME¯3ERIES¯OF THE¯1UADRATIC¯4YPE(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS(cid:14)¯(cid:19)(cid:16)(cid:14)¯(cid:18)(cid:22)(cid:25)(cid:13)(cid:18)(cid:24)(cid:24)(cid:14) (cid:19)(cid:24)

(INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯$(cid:14)¯0ATTERSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:21)B(cid:14)¯k%VIDENCE¯OF¯.ON(cid:13),INEARITY¯IN¯$AILY¯3TOCK¯2ETURNS(cid:14)l¯*OURNAL¯OF "USINESS¯AND¯%CONOMIC¯3TATISTICS(cid:12)¯(cid:19)(cid:8)(cid:17)(cid:9)(cid:12)¯(cid:22)(cid:25)(cid:13)(cid:23)(cid:23)(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯$(cid:14)¯0ATTERSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:14)¯k!¯.EW¯$IAGNOSTIC¯4EST¯OF¯-ODEL¯)NADEQUACY¯WHICH¯5SES¯THE -ARTINGALE¯$IFFERENCE¯#RITERION(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯4IME¯3ERIES¯!NALYSIS(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:17)(cid:19)(cid:12)¯.O(cid:14)(cid:19)(cid:14)¯(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:13)(cid:18)(cid:21)(cid:18) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯$(cid:14)¯0ATTERSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:14)¯k%VIDENCE¯OF¯.ON(cid:13)LINEARITY¯IN¯THE¯4RADE¯BY¯4RADE¯3TOCK¯-ARKET 2ETURN¯’ENERATING¯0ROCESS(cid:14)l¯IN¯"ARNETT(cid:12)¯7(cid:14)(cid:12)¯*(cid:14)¯’EWEKE(cid:12)¯AND¯+(cid:14)¯3HELL¯EDS(cid:14)¯%CONOMIC¯#OMPLEXITY(cid:26) #HAOS(cid:12)¯3UNSPOTS(cid:12)¯"UBBLES¯AND¯.ON(cid:13)LINEARITY(cid:12)¯0ROC(cid:14)¯(cid:20)TH¯)NT(cid:14)¯3YMP(cid:14)¯ON¯%CONOMIC¯4HEORY¯AND %CONOMETRICS(cid:14)¯#AMBRIDGE¯5NIVERSITY¯0RESS(cid:12)¯#AMBRIDGE(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯’(cid:14)2(cid:14)¯7ILSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:14)¯k4IME¯$ELAY¯%STIMATION¯5SING¯THE¯#ROSS¯"ISPECTRUM(cid:14)l¯)%%% 4RANSACTIONS¯ON¯3IGNAL¯0ROCESSING(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:20)(cid:16)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:17)(cid:14)¯(cid:17)(cid:16)(cid:22)(cid:13)(cid:17)(cid:17)(cid:19)(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯’(cid:14)¯2(cid:14)¯-ESSER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:14)¯k/N¯THE¯0RINCIPLE¯$OMAIN¯OF¯THE¯$ISCRETE¯"ISPECTRUM¯OF¯A 3TATIONARY¯3IGNAL(cid:14)l¯)%%%¯4RANSACTIONS¯ON¯3IGNAL¯0ROCESSING(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:20)(cid:19)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:25)(cid:14)¯(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:16)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯0(cid:14)¯2OTHMAN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:24)(cid:14)¯k&REQUENCY¯$OMAIN¯4EST¯OF¯4IME¯2EVERSIBILITY(cid:14)l¯-ACROECONOMIC $YNAMICS(cid:14)¯(cid:18)(cid:12)¯(cid:23)(cid:18)(cid:13)(cid:23)(cid:24)(cid:14) (INICH(cid:12)¯-(cid:14)*(cid:14)¯AND¯0(cid:14)¯7ILD(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:25)(cid:14)¯k4ESTING¯4IME¯3ERIES¯3TATIONARITY¯!GAINST¯AN¯!LTERNATIVE¯7HERE¯THE -EAN¯OF¯A¯4IME¯3ERIES¯IS¯0ERIODIC¯WITH¯2ANDOM¯6ARIATION¯IN¯ITS¯7AVEFORM(cid:14)l¯WORKING¯PAPER(cid:14) *OHANSEN(cid:12)¯3OREN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:14)¯k3TATISTICAL¯!NALYSIS¯OF¯#OINTEGRATING¯6ECTORS(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯%CONOMIC¯$YNAMICS AND¯#ONTROL(cid:14)¯(cid:17)(cid:18)(cid:14)¯(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:13)(cid:21)(cid:20)(cid:14) *OHANSEN(cid:12)¯3OREN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯k%STIMATION¯AND¯(YPOTHESIS¯4ESTING¯OF¯#OINTEGRATION¯6ECTORS¯IN¯’AUSSIAN¯6ECTOR !UTOREGRESSIVE¯-ODELS(cid:14)l¯%CONOMETRICA¯6OL(cid:14)¯(cid:21)(cid:25)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:22)(cid:14)¯(cid:17)(cid:21)(cid:21)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:21)(cid:24)(cid:16)(cid:14) *OHANSEN(cid:12)¯3OREN(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:14)¯k$ETERMINATION¯OF¯THE¯#OINTEGRATION¯2ANK¯IN¯THE¯0RESENCE¯OF¯A¯,INEAR¯4REND(cid:14)l /XFORD¯"ULLETIN¯OF¯%CONOMICS¯AND¯3TATISTICS(cid:14)¯(cid:21)(cid:20)(cid:14)¯(cid:19)(cid:24)(cid:19)(cid:13)(cid:19)(cid:25)(cid:23)(cid:14) *OHANSEN(cid:12)¯ 3OREN(cid:12)¯ AND¯ +ATARINA¯ *USELIUS(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:16)(cid:14)¯ k-AXIMUM¯ ,IKELIHOOD¯ %STIMATION¯ AND¯ )NFERENCE¯ ON #OINTEGRATION(cid:13)7ITH¯AN¯!PPLICATION¯TO¯THE¯$EMAND¯FOR¯-ONEY(cid:14)l¯/XFORD¯"ULLETIN¯OF¯%CONOMICS¯AND 3TATISTICS(cid:14)¯(cid:21)(cid:18)(cid:14)¯(cid:17)(cid:22)(cid:25)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:16)(cid:14) +APLAN(cid:12)¯$ANIEL¯4(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:14)¯k%XCEPTIONAL¯%VENTS¯AS¯%VIDENCE¯FOR¯$ETERMINISM(cid:14)l¯0HYSICA¯$¯FORTHCOMING(cid:14) +AY(cid:12)¯3(cid:14)-(cid:14)¯AND¯3(cid:14),(cid:14)¯-ARPLE¯*R(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:17)(cid:14)¯k3PECTRUM¯!NALYSIS¯(cid:13)¯!¯-ODERN¯0ERSPECTIVE(cid:14)l¯0ROCEEDINGS¯OF¯THE )%%%(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:22)(cid:25)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:17)(cid:17)(cid:14)¯(cid:17)(cid:19)(cid:24)(cid:16)(cid:13)(cid:17)(cid:20)(cid:17)(cid:25) +ING(cid:12)¯2(cid:14)’(cid:14)(cid:12)¯0LOSSER(cid:12)¯#(cid:14))(cid:14)(cid:12)¯3TOCK(cid:12)¯*(cid:14)((cid:14)(cid:12)¯AND¯-(cid:14)7(cid:14)¯7ATSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯k3TOCHASTIC¯4RENDS¯AND¯%CONOMIC &LUCTUATIONSl(cid:14)¯!MERICAN¯%CONOMIC¯2EVIEW(cid:14)¯(cid:24)(cid:17)(cid:8)(cid:20)(cid:9)(cid:14)¯(cid:24)(cid:17)(cid:25)(cid:13)(cid:24)(cid:20)(cid:16)(cid:14) (cid:19)(cid:25)

+ING(cid:12)¯ 2(cid:14)’(cid:14)(cid:12)¯ #(cid:14))(cid:14)¯ 0LOSSER(cid:12)¯ *(cid:14)((cid:14)3TOCK(cid:12)¯ AND¯ -(cid:14)7(cid:14)¯ 7ATSON(cid:14)¯ (cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:14)¯ k3TOCHASTIC¯ 4RENDS¯ AND¯ %CONOMIC &LUCTUATIONS(cid:14)l¯."%2¯(cid:8)#AMBRIDGE¯-!(cid:9)¯$ISCUSSION¯0APER¯.O(cid:14)¯(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:25)(cid:14) +ING(cid:12)¯2OBERT¯’(cid:14)¯AND¯-ARK¯7(cid:14)¯7ATSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:14)¯k-ONEY(cid:12)¯0RICES(cid:12)¯)NTEREST¯2ATES(cid:12)¯AND¯THE¯"USINESS¯#YCLE(cid:14)l 4HE¯2EVIEW¯OF¯%CONOMICS¯AND¯3TATISTICS(cid:14)¯(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:17)(cid:9)(cid:14)¯(cid:19)(cid:21)(cid:13)(cid:21)(cid:19)(cid:14) +OOPMANS(cid:12)¯,(cid:14)((cid:14)¯¯(cid:17)(cid:25)(cid:23)(cid:21)(cid:14)¯4HE¯3PECTRAL¯!NALYSIS¯OF¯4IME¯3ERIES(cid:14)¯!CADEMIC¯0RESS(cid:12)¯.EW¯9ORK(cid:14) +WAITKOWSKI(cid:12)¯$(cid:14)0(cid:14)(cid:12)¯0(cid:14)¯0HILLIPS(cid:12)¯0(cid:14)¯3CHMIDT(cid:12)¯AND¯9(cid:14)¯3HIN(cid:14)¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:9)(cid:14)¯k4ESTING¯THE¯.ULL¯(YPOTHESIS¯OF 3TATIONARITY¯!GAINST¯THE¯!LTERNATIVE¯OF¯A¯5NIT¯2OOT(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS(cid:14)¯(cid:21)(cid:20)(cid:14)¯(cid:17)(cid:21)(cid:25)(cid:13)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:14) -ENDEL(cid:12)¯*ERRY¯-(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯k4UTORIAL¯ON¯(IGHER(cid:13)/RDER¯3TATISTICS¯(cid:8)3PECTRA(cid:9)¯IN¯3IGNAL¯0ROCESSING¯AND¯3YSTEM 4HEORY(cid:14)l¯0ROCEEDINGS¯OF¯THE¯)%%%(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:23)(cid:25)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:19)(cid:14)¯(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:13)(cid:19)(cid:16)(cid:21)(cid:14) -IYAO(cid:12)¯2YUZO(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:22)(cid:14)¯k$OES¯A¯#OINTEGRATING¯-(cid:18)¯$EMAND¯2ELATION¯2EALLY¯%XIST¯IN¯THE¯5NITED¯3TATES(cid:31)l(cid:14) *OURNAL¯OF¯-ONEY(cid:12)¯#REDIT(cid:12)¯AND¯"ANKING(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:18)(cid:24)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:19)(cid:14)¯(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:13)(cid:19)(cid:24)(cid:16)(cid:14) .IKIAS(cid:12)¯#HRYSOSTOMOS¯,(cid:14)(cid:12)¯AND¯-YSORE¯2(cid:14)¯2AGHUVEER(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:14)¯k"ISPECTRUM¯%STIMATION(cid:26)¯!¯$IGITAL¯3IGNAL 0ROCESSING¯&RAMEWORK(cid:14)l¯0ROCEEDINGS¯OF¯THE¯)%%%(cid:14)¯6OL(cid:14)¯(cid:23)(cid:21)(cid:12)¯.O(cid:14)¯(cid:23)(cid:14)¯(cid:24)(cid:22)(cid:25)(cid:13)(cid:24)(cid:25)(cid:17)(cid:14) 0ANTULA(cid:12)¯3(cid:14)’(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:14)¯k4ESTING¯FOR¯5NIT¯2OOTS¯IN¯4IME¯3ERIES¯$ATA(cid:14)l¯¯%CONOMETRIC¯4HEORY(cid:14)¯(cid:21)(cid:14)¯(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:13)(cid:18)(cid:23)(cid:17)(cid:14) 0HILLIPS(cid:12)¯0(cid:14)#(cid:14)"(cid:14)¯AND¯0(cid:14)¯0ERRON¯(cid:8)(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:9)(cid:26)¯k4ESTING¯FOR¯A¯5NIT¯2OOT¯IN¯4IME¯3ERIES¯2EGRESSION(cid:14)l¯¯"IOMETRICA(cid:14) (cid:23)(cid:21)(cid:12)¯(cid:19)(cid:19)(cid:21)(cid:13)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:14) 0RIESTLY(cid:12)¯-(cid:14)"(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:14)¯.ON(cid:13),INEAR¯AND¯.ON(cid:13)3TATIONARY¯4IME¯3ERIES¯!NALYSIS(cid:14)¯!CADEMIC¯0RESS(cid:14)¯.EW¯9ORK(cid:14) 2AO(cid:12)¯3UBBA¯4(cid:14)¯AND¯-(cid:14)¯’ABR(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:14)¯k!¯4EST¯FOR¯,INEARITY¯OF¯3TATIONARY¯4IME¯3ERIES(cid:14)l¯*OURNAL¯OF¯4IME 3ERIES¯!NALYSIS(cid:14)¯(cid:17)(cid:14)¯(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:13)(cid:17)(cid:21)(cid:24)(cid:14) 3AID(cid:12)¯3(cid:14)%(cid:14)¯AND¯$(cid:14)!(cid:14)¯$ICKEY(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:20)(cid:14)¯¯k4ESTING¯FOR¯5NIT¯2OOTS¯IN¯!UTOREGRESSIVE¯-OVING¯!VERAGE¯OF 5NKNOWN¯/RDER(cid:14)l¯¯"IOMETRIKA(cid:14)¯(cid:23)(cid:17)(cid:12)¯(cid:21)(cid:25)(cid:25)(cid:13)(cid:22)(cid:16)(cid:23)(cid:14) 3AID(cid:12)¯3(cid:14)%(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:25)(cid:17)(cid:14)¯¯k5NIT¯2OOT¯4EST¯FOR¯4IME¯ 3ERIES¯ $ATA¯ WITH¯ A¯ ,INEAR¯ 4IME¯ 4REND(cid:14)l¯ *OURNAL¯ OF %CONOMETRICS(cid:14)¯(cid:20)(cid:23)(cid:12)¯(cid:18)(cid:24)(cid:21)(cid:13)(cid:19)(cid:16)(cid:19)(cid:14) 3TOCK(cid:12)¯*AMES¯((cid:14)¯AND¯-ARK¯7(cid:14)¯7ATSON(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:14)¯k)NTERPRETING¯THE¯%VIDENCE¯ON¯-ONEY(cid:13))NCOME¯#AUSALITY(cid:14)l *OURNAL¯OF¯%CONOMETRICS(cid:14)¯(cid:20)(cid:16)(cid:14)¯¯PP(cid:14)¯(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:13)(cid:17)(cid:24)(cid:17)(cid:14) 7ELCH(cid:12)¯0ETER¯$(cid:14)¯(cid:17)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:14)¯k4HE¯5SE¯OF¯&AST¯&OURIER¯4RANSFORM¯FOR¯THE¯%STIMATION¯OF¯0OWER¯3PECTRA(cid:26)¯! -ETHOD¯"ASED¯ON¯4IME¯!VERAGING¯/VER¯3HORT¯-ODIFIED¯0ERIODOGRAMS(cid:14)l¯)%%%¯4RANSACTIONS¯ON !UDIO¯AND¯%LECTROACOUSTICS(cid:14)¯6OL(cid:14)¯!5(cid:13)(cid:17)(cid:21)(cid:12)¯.O(cid:14)(cid:18)(cid:14)¯(cid:23)(cid:16)(cid:13)(cid:23)(cid:19)(cid:14) (cid:20)(cid:16)