A Real Options Approach to Housing Investment
Abstract
In this paper, we study investments by existing homeowners to improve their homes. The value of a house is modeled as the expected net present value of a perpetual stream of service flows emanating from the attributes of the house. An important innovation in our model is that the set of house attributes evolves over time according to the investment decisions of the homeowner. The homeowner's decisions to invest in house attributes are modeled as real options. Our model of investment embeds a multi-factor term structure model and a general model of the evolution of service flows. We employ numeric simulations to explore the properties of the investment model, and to motivate our empirical test of the model. Using a panel from the American Housing Survey, we test two implications of the real option theory. We test whether investment is more likely when the spread between the return to housing and the cost of capital is wide, and we test whether greater spread volatility depresses investment. The results indicate that homeowner investment behavior is consistent with the theory, even after controlling for business cycle, aging, tenure and for-sale influences.
v t 4 B ( (cid:3) T ie w s o ( D 5 2 - 2 u s in 5 1 0 ) A R h is p a p e r o f t h e F e d o w n in g ) : F 3 7 8 . F a x : e s s , U n iv e 6 4 3 - 1 4 2 0 . e a l O r e p r e s e n t s e r a l R e s e r v e d e r a l R e s ( 2 0 2 ) 4 5 2 r s it y o f C a E - M a il: w p t i o t h e v ie e S y s t e e r v e B o - 5 2 9 6 . lifo r n ia a lla c e @ n s A p p r o a c h I n v e s t m e n t C h r i s D o w n i n g (cid:3) N a n c y W a l l a c e M a y 8 , 2 0 0 0 w s o f t h e a u t h o r s a n d d o e m o r m e m b e r s o f it s s t a (cid:11) . a r d , M a il S t o p 8 9 , W a s h in E - M a il: c d o w n in g @ fr b .g o a t B e r k e le y , B e r k e le y , C A h a a s .b e r k e le y .e d u . 1 t o s n o t P le a s g t o n , v . ( W . P h o H o u s i n g n e c e s s a r ily r e p r e e a d d r e s s c o r r e s p D C 2 0 5 5 1 . P h o n a lla c e ) : H a a s S n e : ( 5 1 0 ) 6 4 2 - 4 7 s o e c 3 e n : h 2 n t d e ( 2 o o . F t h n c 0 2 l o a x e e ) f :
t t (cid:13) n t h r t t O a m a o r p o l o d h o a A b s t r a c t I n t h i s p a p e r , w e f o c u s o n i n v e s t m e n t s b y e x i s t i n g h o m e o w n e r s o i m p r o v e t h e i r h o m e s . I n o u r m o d e l , t h e v a l u e o f a h o u s e i s e q u a l o t h e e x p e c t e d n e t p r e s e n t v a l u e o f a p e r p e t u a l s t r e a m o f s e r v i c e o w s e m a n a t i n g f r o m t h e a t t r i b u t e s o f t h e h o u s e . A n i m p o r t a n t i n o v a t i o n i n o u r m o d e l i s t h a t t h e s e t o f h o u s e a t t r i b u t e s e v o l v e s o v e r i m e a c c o r d i n g t o t h e i n v e s t m e n t d e c i s i o n s o f t h e h o m e o w n e r . T h e o m e o w n e r ’s d e c i s i o n s t o i n v e s t i n h o u s e a t t r i b u t e s a r e m o d e l e d a s e a l o p t i o n s . T h e h o m e o w n e r c o m p a r e s t h e v a l u e o f a n a d d i t i o n a l a t r i b u t e , n e t o f t h e v a l u e o f t h e o p p o r t u n i t y t o i n v e s t i n t h e f u t u r e , o t h e c o s t o f t h e i n v e s t m e n t w h e n d e c i d i n g w h e t h e r o r n o t t o i n v e s t . u r m o d e l o f i n v e s t m e n t e m b e d s a m u l t i { f a c t o r t e r m s t r u c t u r e m o d e l n d a g e n e r a l m o d e l o f t h e e v o l u t i o n o f s e r v i c e (cid:13) o w s . W e e m p l o y n u e r i c s i m u l a t i o n s t o e x p l o r e t h e p r o p e r t i e s o f t h e i n v e s t m e n t m o d e l , n d t o m o t i v a t e o u r e m p i r i c a l t e s t o f t h e m o d e l . T h e m a i n c o n t r i b u t i o n o f t h i s p a p e r i s a n e m p i r i c a l t e s t o f w h e t h e r r n o t o b s e r v e d h o m e o w n e r i n v e s t m e n t b e h a v i o r i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e a l o p t i o n t h e o r y o f i n v e s t m e n t . U s i n g a n a t i o n a l l y r e p r e s e n t a t i v e a n e l f r o m t h e A m e r i c a n H o u s i n g S u r v e y , w e t e s t t w o i m p l i c a t i o n s f t h e r e a l o p t i o n t h e o r y . F i r s t , w e t e s t w h e t h e r i n v e s t m e n t i s m o r e i k e l y w h e n t h e s p r e a d b e t w e e n t h e r e t u r n t o h o u s i n g a n d t h e c o s t f c a p i t a l i s w i d e . S e c o n d , w e t e s t w h e t h e r g r e a t e r s p r e a d v o l a t i l i t y e p r e s s e s i n v e s t m e n t . O u r e m p i r i c a l r e s u l t s i n d i c a t e t h a t o b s e r v e d o m e o w n e r i n v e s t m e n t b e h a v i o r i s c o n s i s t e n t w i t h t h e s e i m p l i c a t i o n s f t h e t h e o r y , e v e n a f t e r c o n t r o l l i n g f o r b u s i n e s s c y c l e , a g i n g , t e n u r e n d f o r { s a l e i n (cid:13) u e n c e s . 2
1 H h t p e f i ( h ( c a t p a a t d h a a h F n v e o c o a p p I n t r o d u c t i o n o m e o w n e r r e m o d e l i n g d e c i s i o n s a r e a n i m p o r t a n t f a c t o r i n t h e e v o l u t i o n o f o u s i n g s u p p l y i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e H o m e I m p r o v e m e n t s R e s e a r c h C e n e r , o f T a m p a , F l o r i d a , e s t i m a t e s t h a t e x p e n d i t u r e s f o r h o m e i m p r o v e m e n t 1 r o d u c t s i n 1 9 9 9 w e r e a b o u t $ 1 6 3 b i l l i o n . D e s p i t e t h e s i g n i (cid:12) c a n c e o f t h e s e x p e n d i t u r e s , t h e r e i s a l a c k o f e i t h e r e m p i r i c a l o r t h e o r e t i c a l r e s e a r c h t h a t o c u s e s o n h o m e o w n e r i n v e s t m e n t d e c i s i o n s . T h e u s u a l a p p r o a c h t o m o d e l n g t h e s e d e c i s i o n s h a s b e e n t o f o c u s o n t h e i m p o r t a n c e o f l i f e - c y c l e e (cid:11) e c t s O r t a l o { M a g n e a n d R a d y ( 1 9 9 9 ) ) , o r o n t h e p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o u s i n g t e n u r e d e c i s i o n s a n d h o u s i n g i n v e s t m e n t ( G o e t z m a n n a n d S p i e g e l 1 9 9 5 ) ) . O u t s i d e o f t h e s e p a p e r s , m o s t h o u s i n g i n v e s t m e n t r e s e a r c h h a s f o u s e d o n t h e p r o d u c t i o n o f n e w h o u s i n g b y p r o f e s s i o n a l d e v e l o p e r s ( C a p o z z a n d S i c k ( 1 9 9 1 ) , W i l l i a m s ( 1 9 9 3 ) , a n d C a p o z z a a n d L i ( 1 9 9 4 ) ) . I n t h i s p a p e r , w e f o c u s o n i n v e s t m e n t s b y e x i s t i n g h o m e o w n e r s t o i m p r o v e h e i r h o m e s . I n o u r m o d e l , t h e v a l u e o f a h o u s e i s e q u a l t o t h e e x p e c t e d n e t r e s e n t v a l u e o f a p e r p e t u a l s t r e a m o f s e r v i c e (cid:13) o w s . T h e s e r v i c e (cid:13) o w f r o m h o u s e i n a g i v e n p e r i o d i s m o d e l e d h e d o n i c a l l y , a s a f u n c t i o n o f a s e t o f t t r i b u t e s d e s c r i b i n g t h e s t r u c t u r e . A n i m p o r t a n t i n n o v a t i o n i n o u r m o d e l i s h a t t h e s e t o f h o u s e a t t r i b u t e s e v o l v e s o v e r t i m e a c c o r d i n g t o t h e i n v e s t m e n t e c i s i o n s o f t h e h o m e o w n e r . T h e p r i c i n g m o d e l i s a d y n a m i c , c o n t i n u o u s { t i m e e x t e n s i o n o f t h e s t a t i c o u s e p r i c e m o d e l a p p e a r i n g i n P o t e r b a ( 1 9 8 4 ) a n d R o s e n a n d T o p e l ( 1 9 8 8 ) , n d n e s t s s t a n d a r d h e d o n i c r e g r e s s i o n m o d e l s , s u c h a s t h o s e f o u n d i n C a s e n d Q u i g l e y ( 1 9 9 1 ) a n d M i l l s a n d S i m e n a u e r ( 1 9 9 6 ) . T h e m o d e l d e v e l o p e d e r e d i (cid:11) e r s i n a t l e a s t t h r e e i m p o r t a n t r e s p e c t s f r o m t h e p r e v i o u s m o d e l s . i r s t , t h e e a r l i e r m o d e l s a r e s t a t i c , i n t h e s e n s e t h a t t h e s t a t e v a r i a b l e s d o o t e v o l v e s t o c h a s t i c a l l y o v e r t i m e ; w e e x p l i c i t l y a l l o w f o r s t o c h a s t i c s t a t e a r i a b l e s . S e c o n d , i n t h e e a r l i e r m o d e l s , s e r v i c e (cid:13) o w s a r e n o t e x p l i c i t l y m o d l e d ; w e m o d e l s e r v i c e (cid:13) o w s h e d o n i c a l l y . F i n a l l y , t h e e v o l u t i o n t h r o u g h t i m e f h o u s e a t t r i b u t e s i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s c o n t r o l l e d b y t h e h o m e o w n e r , i n o n t r a s t t o t h e p r e v i o u s m o d e l s , w h e r e c h a n g e s i n h o u s e a t t r i b u t e s a r e e x g e n o u s l y d e t e r m i n e d . T h e h o m e o w n e r ’ s d e c i s i o n s t o i n v e s t i n h o u s e a t t r i b u t e s ( f o r e x a m p l e , t o d d s q u a r e f o o t a g e ) a r e m o d e l e d a s r e a l o p t i o n s . I n k e e p i n g w i t h t h e o v e r a l l 1 T h e J o in t C e n t e r fo r R e a l E s t a t e a t H a r v a r d U n iv e r s it y e s t im a t e s t h a t , in 1 9 9 5 , e x e n d it u r e s fo r h o m e im p r o v e m e n t s t o t a le d ju s t u n d e r $ 1 5 0 b illio n d o lla r s , o r a b o u t t w o e r c e n t o f t o t a l G D P ( J o in t C e n t e r fo r H o u s in g S t u d ie s , H a r v a r d U n iv e r s it y ( 1 9 9 9 ) ) . 3
m o t h v w b o t w d t h h t m t i c h w S c 2 A o m t f S h i o o d e l o f h o u s e v a l u e , e a c h a t t r i b u t e o f a h o u s e i s a s s u m e d t o g e n e r a t e a (cid:13) o w f s e r v i c e s o v e r t i m e , s o t h a t t h e v a l u e o f a n a d d i t i o n a l u n i t o f a n a t t r i b u t e i s h e e x p e c t e d n e t p r e s e n t v a l u e o f t h e s t r e a m o f s e r v i c e s t h a t i t p r o v i d e s . T h e o m e o w n e r c o m p a r e s t h e v a l u e o f a n a d d i t i o n a l u n i t o f a n a t t r i b u t e , n e t o f t h e a l u e o f t h e o p p o r t u n i t y t o i n v e s t i n t h e f u t u r e , t o t h e c o s t o f t h e i n v e s t m e n t h e n d e c i d i n g w h e t h e r o r n o t t o i n v e s t . W e c o n s i d e r a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a s i c r e a l o p t i o n m o d e l d i s c u s s e d i n D i x i t a n d P i n d y c k ( 1 9 9 4 ) . T h e m a i n c o n t r i b u t i o n o f t h i s p a p e r i s a n e m p i r i c a l t e s t o f w h e t h e r o r n o t b s e r v e d h o m e o w n e r i n v e s t m e n t b e h a v i o r i s c o n s i s t e n t w i t h t h e r e a l o p t i o n h e o r y o f i n v e s t m e n t . U s i n g p a n e l d a t a f r o m t h e A m e r i c a n H o u s i n g S u r v e y , e t e s t t w o i m p l i c a t i o n s o f t h e r e a l o p t i o n t h e o r y . F i r s t , w e t e s t w h e t h e r t h e e c i s i o n t o i n v e s t i s s e n s i t i v e t o t h e s p r e a d b e t w e e n t h e r e t u r n o n h o u s i n g a n d h e u s e r c o s t o f c a p i t a l . C o n s i s t e n t w i t h t h e r e a l o p t i o n t h e o r y , w e (cid:12) n d t h a t o m e o w n e r s a r e m o r e l i k e l y t o i n v e s t w h e n t h e s p r e a d b e t w e e n t h e r e t u r n t o o u s i n g a n d t h e c o s t o f c a p i t a l i s w i d e . S e c o n d , w e t e s t w h e t h e r t h e d e c i s i o n o i n v e s t i s s e n s i t i v e t o t h e v o l a t i l i t y o f t h e s p r e a d . A n i m p l i c a t i o n o f o u r o d e l i s t h a t t h e v a l u e o f w a i t i n g t o i n v e s t i n c r e a s e s w h e n t h e n e t r e t u r n o n h e i n v e s t m e n t i s m o r e v o l a t i l e . T h u s , c e t e r i s p a r i b u s , w e s h o u l d o b s e r v e l e s s n v e s t m e n t d u r i n g p e r i o d s o f h i g h r e t u r n v o l a t i l i t y . O u r e m p i r i c a l r e s u l t s a r e o n s i s t e n t w i t h t h i s p r e d i c t i o n , a s w e l l . T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e p r e s e n t t h e o u s e p r i c i n g m o d e l , w e r e v i e w t h e r e a l o p t i o n t h e o r y o f i n v e s t m e n t , a n d e d i s c u s s t h e r e s u l t s o f s o m e p r i c i n g e x p e r i m e n t s c a l i b r a t e d t o r e a l d a t a . e c t i o n t h r e e p r e s e n t s o u r m a i n e c o n o m e t r i c r e s u l t s , a n d t h e (cid:12) n a l s e c t i o n o n c l u d e s . H o u s e P r i c e s a n d I n v e s t m e n t g e n e r a l , c o n t i n u o u s { t i m e m o d e l o f h o u s e p r i c e s s e r v e s a s t h e f r a m e w o r k f o r u r m o d e l o f h o u s i n g i n v e s t m e n t . T h e p r i c i n g m o d e l i s a n e x t e n s i o n o f t h e o d e l s a p p e a r i n g i n P o t e r b a ( 1 9 8 4 ) a n d R o s e n a n d T o p e l ( 1 9 8 8 ) . F o l l o w i n g h e s e p a p e r s , h o u s e s a r e p r i c e d i n e q u i l i b r i u m a s t h e e x p e c t e d p r e s e n t v a l u e o f u t u r e s e r v i c e (cid:13) o w s , w h e r e t h e (cid:13) o w s a r e d i s c o u n t e d a t t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l . e r v i c e (cid:13) o w s a r e m o d e l e d h e d o n i c a l l y , a s a f u n c t i o n o f t h e a t t r i b u t e s o f t h e o u s e . T h e a t t r i b u t e s o f t h e h o u s e e v o l v e e n d o g e n o u s l y a c c o r d i n g t o t h e n v e s t m e n t d e c i s i o n s o f t h e h o m e o w n e r . F o r s i m p l i c i t y , w e c o n s i d e r t h e c a s e f a h o m e o w n e r ’ s d e c i s i o n t o m a k e a s i n g l e a d d i t i o n t o h i s o r h e r h o m e ; w e 4
f o d s W t H s D t w s s p b I s t r t p i t h o c u s o n t h e t e s t a b l e i m p l i c a t i o n s o f t h i s m o d e l t h a t a r e c o m m o n t o a l l r e a l p t i o n m o d e l s . K a I n o u r m o d e l , a h o u s e i s d e s c r i b e d b y a s e t o f a t t r i b u t e s , w i t h k ;t k t e n o t i n g t h e u n i t s o f a t t r i b u t e a t t i m e . E a c h a t t r i b u t e g e n e r a t e s a (cid:13) o w o f e r v i c e s a c c r u i n g t o t h e h o m e o w n e r , d e (cid:12) n e d a s t h e r e n t a l r a t e o f t h e a t t r i b u t e . e a s s u m e t h a t r e n t a l r a t e s a r e s e t i n a p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e m a r k e t , s u b j e c t o r a n d o m d e m a n d s h o c k s : 0 (cid:25) x D q : = ( ) ( 1 ) t t t (cid:25) K x e r e i s a 1 v e c t o r o f r e n t a l r a t e s , i s a v e c t o r o f e x o g e n o u s d e m a n d t t (cid:2) q D q h o c k s , i s t o t a l s u p p l y , a n d ( ) i s t h e i n v e r s e d e m a n d f u n c t i o n , w i t h t t 0 < 0 . T h e d e m a n d s h o c k s a r e a s s u m e d t o e v o l v e s t o c h a s t i c a l l y t h r o u g h i m e a s g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n s : d x (cid:11) x d t (cid:27) x d W ; = + ( 2 ) t x t x t x ;t 2 W h e r e t h e a r e i n d e p e n d e n t s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s e s . T h e d e m a n d x h o c k s c a n b e i n t e r p r e t e d a s r e (cid:13) e c t i n g c h a n g e s i n t a s t e s f o r h o u s e a t t r i b u t e s , h o c k s t o i n c o m e , c h a n g e s i n m i g r a t i o n p a t t e r n s , o r a n y o f a h o s t o f o t h e r o s s i b i l i t i e s . T h e d y n a m i c s o f r e n t s a r e d e t e r m i n e d b y t h e d e m a n d s h o c k s , a s w e l l a s y c h a n g e s i n t o t a l s u p p l y , a s c a n b e s e e n b y a p p l y i n g I t ^o ’ s L e m m a t o ( 1 ) : 0 D q ( ) t d (cid:25) (cid:11) (cid:25) d t (cid:27) (cid:25) d W (cid:25) d q : = + + ( 3 ) t x t x t x ;t t t D q ( ) t n w h a t f o l l o w s , w e a s s u m e t h a t r e n t a l d y n a m i c s d u e t o c h a n g e s i n t o t a l 0 D q ( ) t (cid:25) d q u p p l y , g i v e n b y t h e t e r m , a r e s u c h t h a t t h e y a r e a b s o r b e d i n t o t t D q ( ) t (cid:11) (cid:27) h e t e r m s a n d . I n o t h e r w o r d s , w e a s s u m e t h a t t h e g r o w t h r a t e i n x x e n t s , a n d t h e v o l a t i l i t y i n r e n t s , i m p o u n d a l l o f t h e e (cid:11) e c t s o f c h a n g e s i n t h e o t a l s u p p l y o f a t t r i b u t e s . A s a r e s u l t , r e n t s e v o l v e a c c o r d i n g t o a g e o m e t r i c r o c e s s . T h e u s e r c o s t o f c a p i t a l i s d e (cid:12) n e d a s t h e a f t e r { t a x r i s k { f r e e s p o t r a t e o f n t e r e s t , a d j u s t e d t o r e (cid:13) e c t d e p r e c i a t i o n a n d c o s t s o f r e p a i r . W e a s s u m e t h a t h e i n s t a n t a n e o u s r i s k { f r e e r a t e e v o l v e s a s f o l l o w s : d r (cid:11) r ; (cid:27) d t (cid:27) r ; (cid:27) d W ; = ( ) + ( ) ( 4 ) t r t t r t t r ;t d (cid:27) (cid:11) r ; (cid:27) d t (cid:27) r ; (cid:27) d W = ( ) + ( ) ( 5 ) t (cid:27) t t (cid:27) t t (cid:27) ;t 2 C o r r e la t e d d e m a n d s h o c k s a r e a n a t u r a l e x t e n s io n o f t h e m o d e l. F o r o u r p u r p o s e s e r e , c o r r e la t e d s h o c k s in t r o d u c e a n a d d it io n a l d e g r e e o f c o m p le x it y t h a t is u n n e c e s s a r y . 5
w o s b w a a a F o w r u r w p c ( n W W h e r e a n d a r e s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s e s , i n d e p e n d e n t o f o n e a n - r ;t (cid:27) ;t W t h e r , a s w e l l a s o f t h e . T h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) f o r m s a x ;t 3 t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l o f t h e s p o t r a t e . T h e u s e r c o s t o f c a p i t a l i s g i v e n y : (cid:26) Æ (cid:22) (cid:28) (cid:18) r = + + ( 1 ) ( + ) ( 6 ) t t (cid:0) h e r e Æ R a t e o f d e p r e c i a t i o n , (cid:17) (cid:22) E x p e n d i t u r e s f o r m a i n t e n a n c e a n d r e p a i r s (cid:17) a s a f r a c t i o n o f h o u s e v a l u e , (cid:28) M a r g i n a l i n c o m e t a x r a t e , (cid:17) (cid:18) P r o p e r t y t a x r a t e . (cid:17) I n g e n e r a l , i t i s n o t p o s s i b l e t o i n s t a n t a n e o u s l y t r a d e a t t r i b u t e s , a n d i t i s l s o n o t p o s s i b l e t o s h o r t s e l l a t t r i b u t e s , s o v a l u a t i o n a p p r o a c h e s b a s e d o n r b i t r a g e a r g u m e n t s a r e h i g h l y u n r e a l i s t i c . I n s t e a d , w e u s e t h e e q u i l i b r i u m p p r o a c h , w h i c h i s n o w m o r e o r l e s s s t a n d a r d i n t h e l i t e r a t u r e o n r e a l o p t i o n s . o r s i m p l i c i t y , b o t h i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m o d e l a n d i n t h e i n t e r p r e t a t i o n f t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s e x p e r i m e n t s t o f o l l o w , w e a s s u m e r i s k { n e u t r a l i t y h e n p r i c i n g a t t r i b u t e s a n d o p t i o n s o n a t t r i b u t e s . T h i s a s s u m p t i o n c a n b e e l a x e d b y m a k i n g t h e a p p r o p r i a t e r i s k { a d j u s t m e n t s t o t h e d r i f t r a t e s o f t h e n d e r l y i n g s t o c h a s t i c p r o c e s s e s w h e n p r i c i n g t h e a s s e t s . V (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) L e t ( ) d e n o t e t h e v a l u e o f a n a t t r i b u t e . T h e i n s t a n t a n e o u s t o t a l t t t t 4 e t u r n o n t h e a t t r i b u t e i s g i v e n b y : d V (cid:25) d t ; + ( 7 ) t t d V (cid:25) d t h e r e i s t h e c a p i t a l g a i n a n d i s t h e i n s t a n t a n e o u s r e n t a l (cid:13) o w . t t A p p l y i n g I t ^o ’ s L e m m a , a n d t a k i n g t h e a p p r o p r i a t e e x p e c t a t i o n , t h e e x e c t e d t o t a l r e t u r n i s g i v e n b y : V (cid:25) + t t d t ; ( 8 ) D V t (cid:20) (cid:21) 3 (cid:1) (cid:1) (cid:11) (cid:27) T h e fu n c t io n s a n d in t h e s y s t e m ( 2 ) - ( 5 ) a r e a s s u m e d t o s a t is fy t h e t e c h n ic a l o n d it io n s s u Æ c ie n t fo r t h e s y s t e m t o h a v e a u n iq u e s o lu t io n ( s e e K a r a t z a s a n d S h r e v e 1 9 9 1 ) ) . 4 I n w h a t fo llo w s , t h e a r g u m e n t s t o fu n c t io n s w ill o ft e n b e o m it t e d , in t h e in t e r e s t o f o t a t io n a l s im p lic it y . 6
w i T t C f t s d D a r w a r h e r e t h e o p e r a t o r i s d e (cid:12) n e d a s : D K 2 2 2 @ @ @ @ @ @ 1 1 1 0 2 2 (cid:11) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:27) (cid:11) (cid:11) : + = t r [ ] + + + + ( 9 ) (cid:26) x x (cid:27) k x (cid:26) (cid:27) 2 2 2 @ (cid:25) @ (cid:26) @ (cid:27) @ (cid:25) @ (cid:26) @ (cid:27) 2 2 2 D k k = 1 X I n e q u i l i b r i u m , t h e e x p e c t e d t o t a l r e t u r n t o t h e a t t r i b u t e m u s t e q u a l t h e n s t a n t a n e o u s u s e r c o s t o f c a p i t a l , p r o d u c i n g : V (cid:26) V (cid:25) : + = 0 ( 1 0 ) t t t t D (cid:0) w o m o r e c o n d i t i o n s r e n d e r a w e l l { p o s e d p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( p d e ) h a t c h a r a c t e r i z e s t h e v a l u e o f t h e a t t r i b u t e : V (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) ; l i m ( ) = 0 ( 1 1 ) t t t t (cid:26) ! 1 t V ; (cid:26) ; (cid:27) ( 0 ) = 0 ( 1 2 ) t t t o n d i t i o n ( 1 1 ) s a y s t h a t , a s t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l a p p r o a c h e s i n (cid:12) n i t y , a l l u t u r e v a l u e s b e c o m e w o r t h l e s s . B e c a u s e z e r o i s a n a b s o r b i n g b a r r i e r f o r h e r e n t a l (cid:13) o w p r o c e s s , t h e a t t r i b u t e b e c o m e s w o r t h l e s s i f r e n t s h i t z e r o , a s t a t e d i n c o n d i t i o n ( 1 2 ) . A l t e r n a t i v e l y , w e c a n w r i t e t h e v a l u e o f a n a t t r i b u t e a s t h e e x p e c t e d i s c o u n t e d p r e s e n t v a l u e o f f u t u r e r e n t a l (cid:13) o w s : s (cid:26) d (cid:23) (cid:0) (cid:23) 1 t V E (cid:25) d s : = e ( 1 3 ) t t s R t Z u Æ e ( 1 9 9 6 ) h a s a s k e t c h o f t h e p r o o f t h a t ( 1 3 ) s o l v e s ( 1 0 ) - ( 1 2 ) ; K a r a t z a s n d S h r e v e ( 1 9 9 1 ) , a n d C h u n g a n d W i l l i a m s ( 1 9 9 0 ) c o n t a i n m o r e d e t a i l . T h e p r i c e o f a h o u s e i s a f u n c t i o n o f t h e a t t r i b u t e s a n d t h e i r a s s o c i a t e d e n t a l s t r e a m s : s 1 (cid:26) d (cid:23) (cid:0) (cid:23) t H a ; (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) E h a ; (cid:25) d s ; ( ) = ( ) e ( 1 4 ) t t t t t t s s R Zt 5 h h e r e ( ) i s a s m o o t h f u n c t i o n . T h e e v o l u t i o n o f h o u s e p r i c e s t h u s d e p e n d s (cid:1) 5 N o t e t h a t t h e e x p e c t a t io n is t a k e n u n d e r t h e a s s u m p t io n o f r is k { n e u t r a lit y . I f t h is s s u m p t io n w e r e r e la x e d , it w o u ld b e n e c e s s a r y t o c o m p u t e t h e e x p e c t a t io n a ft e r (cid:12) r s t is k { a d ju s t in g t h e d r ift s o f t h e u n d e r ly in g s t o c h a s t ic p r o c e s s e s . 7
o t w m t o m i t t t c t a w t s m u s g a a n t h e d y n a m i c s o f r e n t s , a s w e l l a s t h e e v o l u t i o n o f t h e a t t r i b u t e v e c t o r o v e r 6 i m e . A h o m e o w n e r i s f r e e t o i n v e s t i n h i s o r h e r h o m e a t a n y t i m e . T h u s , o n e a y t h e h o u s e a t t r i b u t e v e c t o r e v o l v e s o v e r t i m e i s a c c o r d i n g t o t h e i n v e s t - 7 F (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) e n t d e c i s i o n s o f t h e h o m e o w n e r . L e t ( ) d e n o t e t h e v a l u e o f k ;t t t t k h e h o m e o w n e r ’ s o p t i o n t o i n v e s t i n o n e u n i t o f a t t r i b u t e , w h e r e t h e c o s t I f t h e i n v e s t m e n t i s a c o n s t a n t d o l l a r a m o u n t . M o r e c o m p l i c a t e d p r o b l e m s i g h t b e c o n s t r u c t e d , s u c h a s o p t i o n s t o a d d m u l t i p l e a t t r i b u t e s , u n c e r t a i n n v e s t m e n t c o s t s , a n d t h e l i k e . H o w e v e r , w e f o c u s o n t h e t e s t a b l e i m p l i c a i o n s o f o u r m o d e l t h a t h o l d t r u e u n d e r a l l o f t h e s e e x t e n s i o n s . D r o p p i n g k h e s u b s c r i p t f o r n o t a t i o n a l s i m p l i c i t y , w e a r r i v e a t t h e p d e t h a t c h a r a c - F e r i z e s ( ) b y f o l l o w i n g t h e s a m e s t e p s t h a t w e u s e d t o (cid:12) n d t h e p d e t h a t t (cid:1) h a r a c t e r i z e s t h e a t t r i b u t e p r i c i n g f u n c t i o n . T h e t o t a l r e t u r n t o h o l d i n g t h e o p t i o n i s e q u a l t o t h e c a p i t a l g a i n l e s s h e v a l u e o f f o r g o n e s e r v i c e (cid:13) o w s . B y I t ^o ’ s L e m m a , a n d a f t e r t a k i n g t h e p p r o p r i a t e e x p e c t a t i o n , t h e e x p e c t e d t o t a l r e t u r n i s g i v e n b y : F (cid:25) t t d t ; ( 1 6 ) D (cid:0) F t (cid:21) (cid:20) h e r e i s d e (cid:12) n e d i n ( 9 ) a b o v e . S e t t i n g t h e e x p e c t e d t o t a l r e t u r n e q u a l t o D h e u s e r c o s t o f c a p i t a l , w e h a v e : F (cid:26) F (cid:25) ; = 0 ( 1 7 ) t t t t D (cid:0) (cid:0) u b j e c t t o t h e i n (cid:12) n i t e u s e r c o s t b o u n d a r y c o n d i t i o n : F (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) ; l i m ( ) = 0 ( 1 8 ) t t t t (cid:26) ! 1 t 6 I f w e a s s u m e t h a t t h e a t t r ib u t e s a r e (cid:12) x e d e x o g e n o u s ly , a n d w e u s e , a s a (cid:12) r s t a p p r o x i- (cid:1) h a t io n t o t h e t r u e v a lu e , a lin e a r s p e c i(cid:12) c a t io n fo r ( ) , w e c a n w r it e : K H a V ; = ( 1 5 ) k k ;t = 1 k X H t s in g ( 1 3 ) . B y p r o je c t in g a c r o s s { s e c t io n o f h o u s e p r ic e s o b s e r v e d a t t im e o n t o t h e a V p a c e o f a t t r ib u t e s , o n e c a n e s t im a t e t h e a t t r ib u t e v a lu e s . T h is is t h e h e d o n ic r e - k k ;t r e s s io n a p p r o a c h fo r c o n s t r u c t in g h o u s e p r ic e in d ic e s . C a s e a n d Q u ig le y ( 1 9 9 1 ) c o n s t r u c t h e d o n ic m o d e l t h a t a llo w s a t t r ib u t e s t o c h a n g e o v e r t im e . H o w e v e r , in t h e ir m o d e l, t t r ib u t e s c h a n g e a c c o r d in g t o a n u n s p e c i(cid:12) e d e x o g e n o u s p r o c e s s . 7 W e ig n o r e c a t a s t r o p h ic e v e n t s s u c h a s (cid:12) r e a n d (cid:13) o o d . 8
a w T t T o t a c b H b s n T t T g i U s t n d t h e z e r o r e n t a l (cid:13) o w c o n d i t i o n : F ; (cid:26) ; (cid:27) : ( 0 ) = 0 ( 1 9 ) t t t (cid:25) (cid:26) (cid:27) T h e c o n t i n u a t i o n r e g i o n i s d e (cid:12) n e d a s t h e s e t o f , a n d v a l u e s f o r C h i c h i m m e d i a t e e x e r c i s e o f t h e i n v e s t m e n t o p t i o n i s n o t o p t i m a l : 3 (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) F (cid:26) F (cid:25) ; F > V I = ( ) : = 0 a n d t t t t t t t t t + C 2 < D (cid:0) (cid:0) (cid:0) n o h e e x e r c i s e r e g i o n i s d e (cid:12) n e d a s t h e s e t o f v a l u e s f o r w h i c h i t i s o p t i m a l E o i n v e s t i m m e d i a t e l y : 3 (cid:25) ; (cid:26) ; (cid:27) F (cid:26) F (cid:25) ; F V I : : = ( ) : 0 a n d = t t t t t t t t t + E 2 < D (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:0) n o h e l o c a t i o n o f t h e e x e r c i s e r e g i o n i s e n d o g e n o u s , a n d i s r e c o v e r e d a s p a r t E f t h e p r o b l e m o f s o l v i n g t h e p d e , a n i s s u e w e r e t u r n t o b e l o w . T h e t i m e a t w h i c h t h e s y s t e m (cid:12) r s t p a s s e s i n t o t h e r e g i o n i s d e (cid:12) n e d a s E h e \ o p t i m a l e x e r c i s e p o l i c y . " T h e d i s t r i b u t i o n o f (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e s i n d u c e s a d i s t r i b u t i o n o n t h e t i m e o f a u n i t i n c r e a s e i n , a n d t h u s p r o v i d e s , a t l e a s t o n c e p t u a l l y , a t e c h n o l o g y b y w h i c h t o e v a l u a t e t h e e x p e c t a t i o n i n ( 1 4 ) . W e ’ l l r i e (cid:13) y r e v i s i t t h i s p r o b l e m b e l o w , b u t t h e f u l l s o l u t i o n i s l e f t f o r f u t u r e w o r k . e r e w e f o c u s o n e s t a b l i s h i n g s o m e r e s u l t s f o r t h e p r i c i n g p r o b l e m s d e (cid:12) n e d y ( 1 0 ) - ( 1 2 ) a n d ( 1 7 ) - ( 1 9 ) . I n o r d e r t o s o l v e t h e p r i c i n g p r o b l e m s , w e m a k e t h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l p e c i a l i z a t i o n s . S u p p o s e t h a t t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s d e (cid:12) n i n g t h e i n s t a n t a - 8 e o u s u s e r c o s t p r o c e s s i s g i v e n b y : d (cid:26) (cid:13) (cid:30) (cid:26) d t (cid:27) (cid:26) d W = ( ) + ( 2 0 ) t (cid:26) (cid:26) t t p t (cid:26) ;t (cid:0) d (cid:27) (cid:13) (cid:30) (cid:27) d t (cid:24) (cid:27) d W : = ( ) + ( 2 1 ) p t (cid:27) (cid:27) t t (cid:27) ;t (cid:0) h e s y s t e m ( 2 0 ) - ( 2 1 ) c a n b e j u s t i (cid:12) e d o n e m p i r i c a l g r o u n d s . I t i s s i m i l a r o t h e s y s t e m s h o w n b y A n d e r s e n a n d L u n d ( 1 9 9 7 ) t o c l o s e l y d e s c r i b e U S r e a s u r y b i l l d y n a m i c s . M o r e g e n e r a l l y , t h e s y s t e m i s c o n s i s t e n t w i t h t h e r o w i n g e m p i r i c a l s u p p o r t f o r t h e v i e w t h a t a m u l t i { f a c t o r m o d e l i s r e q u i r e d n o r d e r t o c a p t u r e a l l o f t h e d y n a m i c s o f t h e s h o r t r a t e . A c c o r d i n g t o t h e B u r e a u o f E c o n o m i c A n a l y s i s , h o u s i n g r e n t s i n t h e n i t e d S t a t e s a s a w h o l e g r e w o n a v e r a g e b y a b o u t 3 . 5 p e r c e n t e a c h y e a r 8 F o r s im p lic it y , in t h e n u m e r ic a l c a lc u la t io n s in t h is s e c t io n , w e a s s u m e t h a t t h e c o n - Æ (cid:22) (cid:28) (cid:18) r (cid:26) t a n t s , , , a r e e q u a l t o z e r o . I n o u r n u m e r ic a l e x p e r im e n t s , w e u s e a n d , a n d t h e e r m s \ in t e r e s t r a t e " a n d \ u s e r c o s t ," in t e r c h a n g e a b ly . 9
b e t w e e n 1 9 8 8 a n d 1 9 9 9 , w i t h a s t a n d a r d d e v i a t i o n o f a b o u t 2 . 0 p e r c e n t . T h u s , a r e a l i s t i c c a l i b r a t i o n o f t h e r e n t a l p r o c e s s i s g i v e n b y : d (cid:25) : (cid:25) d t : (cid:25) d W : = 0 0 3 5 + 0 0 2 ( 2 2 ) t t t (cid:25) ;t O u r p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e s y s t e m i s t a k e n f r o m A n d e r s e n a n d 9 L u n d ( 1 9 9 7 ) . W e c o m p u t e p r i c e s u n d e r t h e f o l l o w i n g s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e t e r m s t r u c t u r e p r o c e s s e s : d (cid:26) : : (cid:26) d t (cid:27) (cid:26) d W = 0 1 6 ( 0 0 5 9 5 ) + ( 2 3 ) t t t t (cid:26) ;t p (cid:0) d (cid:27) : : (cid:27) d t : (cid:27) d W = 1 0 4 ( 0 0 4 ) + 1 8 9 ( 2 4 ) p t t t (cid:27) ;t (cid:0) T h e l o n g { t e r m m e a n i n t h e i n t e r e s t r a t e i s r o u g h l y s i x p e r c e n t , w i t h a s t a n d a r d d e v i a t i o n o f a b o u t t h i r t y p e r c e n t o f t h e l o n g { t e r m m e a n w h e n v o l a t i l i t y e q u a l s i t s l o n g { t e r m m e a n o f f o u r p e r c e n t . T h e v o l a t i l i t y p r o c e s s e x h i b i t s s u b s t a n t i a l d e v i a t i o n a b o u t t h e m e a n , b u t i t s r a t e o f m e a n r e v e r s i o n i s s u c h t h a t v o l a t i l i t y s h o c k s a r e r e l a t i v e l y s h o r t { l i v e d . E v e n w i t h t h e s e s p e c i a l i z a t i o n s , t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e a s s e t v a l u e s d o n o t a d m i t c l o s e d { f o r m s o l u t i o n s . U s i n g a (cid:12) n i t e { d i (cid:11) e r e n c e a l g o r i t h m , w e n u m e r i c a l l y s o l v e f o r a t t r i b u t e v a l u e s a n d o p t i o n 1 0 p r i c e s . F i g u r e 1 d i s p l a y s a t t r i b u t e v a l u e s u n d e r t h e r e n t a n d i n t e r e s t r a t e s y s t e m s p e c i (cid:12) e d b y ( 2 2 ) - ( 2 4 ) . T h e (cid:12) g u r e d i s p l a y s t h e v a l u e s o n a g r i d o f r e n t a l a n d u s e r c o s t v a l u e s , f o r a \ s l i c e " o f t h e s t a t e { s p a c e a l o n g t h e v o l a t i l i t y (cid:27) : (cid:25) a x i s a t = 0 0 4 . F o r a d o l l a r o f r e n t a l (cid:13) o w ( = 1 ) , t h e a t t r i b u t e i s w o r t h (cid:26) : a p p r o x i m a t e l y $ 9 5 w h e n t h e u s e r c o s t i s a t i t s l o n g - r u n m e a n ( = 0 0 5 9 5 ) . T h e a t t r i b u t e v a l u e r i s e s a s t h e i n t e r e s t r a t e f a l l s o r t h e r e n t (cid:13) o w i n c r e a s e s , a n d v i c e { v e r s a . U s i n g t h e a t t r i b u t e v a l u e s d i s p l a y e d i n (cid:12) g u r e 1 , w e n e x t s o l v e f o r t h e v a l u e o f t h e o p t i o n t o i n v e s t . W e c o m p u t e t h e v a l u e s o f a n o p t i o n t h a t i s a t { (cid:25) t h e { m o n e y w h e n t h e r e n t a l (cid:13) o w i s o n e d o l l a r ( = 1 ) , a n d t h e u s e r c o s t a n d (cid:26) : (cid:27) : v o l a t i l i t y v a r i a b l e s a r e a t t h e i r l o n g { r u n m e a n s ( = 0 0 5 9 5 a n d = 0 0 4 ) . 9 T h e s y s t e m e s t im a t e d b y A n d e r s e n a n d L u n d ( 1 9 9 7 ) is s lig h t ly d i(cid:11) e r e n t fr o m t h e s y s t e m t h a t w e u s e h e r e . O u r v o la t ilit y p r o c e s s is a s q u a r e { r o o t p r o c e s s , w h ile t h e o r ig in a l p a p e r u s e d a c o n s t a n t { d i(cid:11) u s io n p r o c e s s . N e v e r t h e le s s , t h e p a r a m e t e r iz a t io n r e m a in s r e a lis t ic . 1 0 S e e A m e s ( 1 9 7 7 ) , P r e s s , T e u k o ls k y , V e t t e r lin g a n d F la n n e r y ( 1 9 9 4 ) a n d S m it h ( 1 9 9 6 ) fo r in fo r m a t io n o n t h e (cid:12) n it e d i(cid:11) e r e n c e a p p r o a c h t o s o lv in g p a r t ia l d i(cid:11) e r e n t ia l e q u a t io n s . H u ll a n d W h it e ( 1 9 9 0 ) d is c u s s s o m e o f t h e n u a n c e s o f v a lu in g d e r iv a t iv e s e c u r it ie s u s in g t h e (cid:12) n it e d i(cid:11) e r e n c e a p p r o a c h . 1 0
F r o v o f o v o a t e r b m i t e 1 r r p v s t t i i W o i c r i g u r e 2 o v e r l a y s t h e o p t i o n v a l u e s a n d t h e a t t r i b u t e p r i c e s o f (cid:12) g u r e 1 . I n (cid:25) e g i o n s o f t h e s t a t e s p a c e n e a r t h e e x e r c i s e r e g i o n ( h i g h v a l u e o f , l o w v a l u e s (cid:26) f ) , t h e o p t i o n v a l u e a s a p r o p o r t i o n o f t h e a t t r i b u t e v a l u e a p p r o a c h e s t h e V (cid:0) 9 5 V a l u e , b e c a u s e t h e o p t i o n i s w o r t h i t s p a y o (cid:11) , 9 5 , a t e x e r c i s e . T h e V (cid:0) p t i o n v a l u e i s l a r g e r e l a t i v e t o t h e a t t r i b u t e v a l u e e v e n i n r e g i o n s w e l l a w a y (cid:25) : (cid:26) : r o m t h e e x e r c i s e r e g i o n . F o r e x a m p l e , n e a r t h e p o i n t = 0 5 , = 0 1 2 , t h e F : 0 7 ) . p t i o n i s w o r t h r o u g h l y s e v e n t y p e r c e n t o f t h e a t t r i b u t e ( V (cid:25) I t i s i n t e r e s t i n g t o e x p l o r e t h e e (cid:11) e c t s o f s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y o n o p t i o n a l u e s . F i g u r e 3 o v e r l a y s t w o s u r f a c e s : t h e s u r f a c e d e (cid:12) n e d b y t a k i n g a s l i c e (cid:27) : f t h e s t a t e s p a c e a t = 0 0 4 , a n d a r e l a t i v e l y h i g h { v o l a t i l i t y s u r f a c e d e (cid:12) n e d (cid:27) : t = 0 0 8 5 . I n g e n e r a l , h i g h e r v o l a t i l i t y i n c r e a s e s t h e v a l u e o f t h e o p t i o n o i n v e s t , b e c a u s e t h e o p t i o n i s a c o n v e x f u n c t i o n o f i n t e r e s t r a t e s . T h e (cid:11) e c t o f h i g h e r v o l a t i l i t y i s g r e a t e s t w h e n t h e s p o t r a t e i s l o w a n d t h e r e n t a l a t e i s h i g h . T h i s i s b e c a u s e p o i n t s i n t h i s r e g i o n a r e c l o s e s t t o t h e e x e r c i s e o u n d a r y . W h e n t h e r e n t a l r a t e i s v e r y l o w ( t h e o p t i o n i s w a y o u t o f t h e o n e y ) , i n c r e a s e d v o l a t i l i t y h a s l e s s e (cid:11) e c t o n t h e v a l u e o f t h e o p t i o n t o i n v e s t . T h e (cid:12) r s t p a s s a g e t i m e s f r o m p o i n t s i n t h e c o n t i n u a t i o n r e g i o n t o p o i n t s n t h e e x e r c i s e r e g i o n a r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e p r o b a b i l i t y o f a c h a n g e i n h e a t t r i b u t e ( i n v e s t m e n t ) . F i g u r e 4 s h o w s t h e a p p r o x i m a t e l o c a t i o n s o f t h e x e r c i s e a n d c o n t i n u a t i o n r e g i o n s f o r t h e p o r t i o n o f t h e s t a t e s p a c e d e (cid:12) n e d b y : < (cid:25) < (cid:26) < : < (cid:27) < : 5 5 , 0 1 , a n d 0 0 0 6 . F r o m a n y p o i n t i n t h e c o n t i n u a t i o n e g i o n ( p o i n t s u n e n c l o s e d b y t h e c u r v e s ) , f o r a (cid:12) x e d l e v e l o f v o l a t i l i t y , a e d u c t i o n i n t h e s p o t r a t e , a n d / o r a h i g h r e t u r n o n t h e a t t r i b u t e , i n c r e a s e s t h e r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n i n v e s t m e n t o v e r a g i v e n t i m e h o r i z o n , a n d v i c e { e r s a . I n f a c t , i t i s c l e a r f r o m t h e (cid:12) g u r e t h a t , g i v e n a l e v e l o f v o l a t i l i t y , t h e p r e a d b e t w e e n t h e r e n t a l r a t e a n d t h e s p o t r a t e i s s u Æ c i e n t t o c h a r a c t e r i z e h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n i n v e s t m e n t . I f t h e s p r e a d w i d e n s , t h e n e i t h e r h e r e n t a l r a t e r o s e ( a n d a t t r i b u t e v a l u e s r o s e ) , o r t h e s p o t r a t e f e l l , o r b o t h { n a n y c a s e , t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n i n v e s t m e n t o v e r s o m e f u t u r e t i m e n t e r v a l i n c r e a s e s b e c a u s e t h e s y s t e m h a s m o v e d c l o s e r t o t h e e x e r c i s e r e g i o n . h e n t h e s p r e a d n a r r o w s o r t u r n s n e g a t i v e , t h e n e i t h e r t h e r e n t a l r a t e f e l l , r t h e s p o t r a t e r o s e , o r b o t h { i n a n y c a s e , t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n n v e s t m e n t i s r e l a t i v e l y l o w e r . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , w e t e s t w h e t h e r , a f t e r o n t r o l l i n g f o r v o l a t i l i t y , t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g i n v e s t m e n t i s p o s i t i v e l y e l a t e d t o t h e s p r e a d b e t w e e n h o u s i n g r e t u r n s a n d t h e u s e r c o s t . (cid:27) W h e n t a k e s o n a h i g h v a l u e , t h e v o l a t i l i t y o f t h e s p r e a d o f t h e r e n t a l 1 1
r (cid:12) t s i h f t t r 1 1 (cid:27) a t e t o t h e u s e r c o s t i s h i g h e r t h a n w h e n t a k e s o n a l o w v a l u e . F r o m g u r e 4 , w e s e e t h a t t h e e (cid:11) e c t o f g r e a t e r v o l a t i l i t y i n t h e s p r e a d i s t o r e d u c e h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g i n v e s t m e n t o v e r a n y t i m e h o r i z o n , h o l d i n g t h e (cid:27) p r e a d c o n s t a n t . T h i s i s b e c a u s e , a s i n c r e a s e s , t h e e x e r c i s e r e g i o n c o n t r a c t s (cid:27) n w a r d . T h u s , t h e d i s t a n c e t o t h e e x e r c i s e r e g i o n i n c r e a s e s a s i n c r e a s e s , (cid:25) (cid:26) o l d i n g a n d (cid:12) x e d . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e t e s t w h e t h e r , a f t e r c o n t r o l l i n g o r t h e s p r e a d , t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n i n v e s t m e n t i s i n v e r s e l y r e l a t e d o t h e l e v e l o f v o l a t i l i t y . 1 1 I n t h is c a s e , t h e h ig h e r v o la t ilit y in t h e s p r e a d is d u e t o h ig h e r in t e r e s t r a t e v o la t ilit y ; h e q u a lit a t iv e r e s u lt s d o n o t c h a n g e if t h e v o la t ilit y is d u e t o h ig h e r v o la t ilit y in r e n t a l a t e s , o r h ig h e r v o la t ilit y in b o t h v a r ia b le s . 1 2
V ( (cid:26) , 0 V (cid:26) ( 0 .0 (cid:25) (cid:27) ; 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 .1 2 (cid:25) , 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 4 = 0 0 0 0 0 0 0 (cid:27) ; 0 0 0 0 0 0 0 0 . = 0 0 0 . .0 5 9 F 4 ) , 0 .1 0 4 5 V( ) F ) i g 0 (cid:26) 0 u .0 .0 (cid:26) r e 8 F 8 i 2 g : u A 0 r e t t .0 5 1 : 0 .1 r i b 9 5 A u t t t e 1 r 3 i a 0 b u 0 .1 n d .0 4 t e 2 O V p a t l u i o e s 0 .5 n V 1 .5 a l 0 u .7 5 e s 1 .2 5 1 1 1 (cid:25) .2 (cid:25) 5 0 1 .5 V F .7 5 0 .5
0 .1 F 3 2 2 1 1 2 (cid:26) ( 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 , .0 .0 .0 .0 .0 .0 (cid:25) 6 5 4 3 2 1 0 5 (cid:27) ; (cid:27) ) 0 4 F F .1 .5 i g i u g r u e r e 0 (cid:26) 4 4 : 3 : .0 8 3 .5 (cid:25) S e S l t o e c c 0 3 t e h .0 d a 5 2 s t i 9 5 .5 E x c e V 2 r c o i s l a t i l 0 .0 4 1 .5 e a n 1 4 i t d y C a n o d n 1 t O .5 i n p 0 u t i o n 1 .2 0 .0 8 a t i o n V a 5 .0 6 R l e u 1 0 g e s (cid:27) (cid:27) .0 i o = = 4 (cid:26) n s 0 0 (cid:25) 0 . 0 8 . 0 4 0 .7 .0 2 5 0 5 0 0 .5
3 W A r t t b o f h a v U o a t t a a g i n s o o n f r d t E m p i r i c a l T e s t s a n d R e s u l t s e t e s t t h e p r e d i c t i o n s o f t h e r e a l o p t i o n m o d e l u s i n g p a n e l d a t a f r o m t h e m e r i c a n H o u s i n g S u r v e y ( A H S ) . T h e A H S i s a n o n g o i n g , b i e n n i a l s u r v e y o f a n d o m l y s e l e c t e d h o m e s i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e s u r v e y i s s p o n s o r e d b y h e U . S . D e p a r t m e n t o f H o u s i n g a n d U r b a n D e v e l o p m e n t a n d c o n d u c t e d b y h e C e n s u s B u r e a u . A p p r o x i m a t e l y 5 3 , 0 0 0 i n t e r v i e w s a r e c o n d u c t e d i n e a c h i e n n i a l s u r v e y f r o m 1 9 8 5 t h r o u g h 1 9 9 7 . I n o r d e r t o m a i n t a i n t h e a n o n y m i t y f r e s p o n d e n t s , g e o g r a p h i c i n f o r m a t i o n i s s u p p r e s s e d i n t h e p u b l i c { u s e d a t a o r m a n y o f t h e i n t e r v i e w s . W e a r e a b l e t o d e t e r m i n e t h e S M S A f o r 1 4 , 4 7 7 o u s e s i n l a r g e m e t r o p o l i t a n a r e a s , f o r a t o t a l o f 6 4 , 3 9 8 o b s e r v a t i o n s . I n 1 2 p p e n d i x A , w e d i s c u s s t h e d a t a s e t a t m o r e l e n g t h . O u r t e s t s t r a t e g y i s a s f o l l o w s . F i r s t , w e c o n s t r u c t a b i n a r y d e p e n d e n t a r i a b l e t h a t i n d i c a t e s i f i n v e s t m e n t o c c u r s d u r i n g a t w o { y e a r s u r v e y p e r i o d . s i n g r e p e a t s a l e s h o u s e p r i c e i n d i c e s a n d c o m p u t a t i o n s o f t h e u s e r c o s t f c a p i t a l u s i n g d a t a f r o m t h e s u r v e y s , w e c o m p u t e s p r e a d s b e t w e e n t h e n n u a l i z e d r e t u r n t o h o u s i n g a n d t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l . F i n a l l y , m o d e l i n g h e p r o b a b i l i t y o f i n v e s t m e n t w i t h a l o g i s t i c d i s t r i b u t i o n , w e t e s t w h e t h e r h e s p r e a d a n d t h e v o l a t i l i t y o f t h e s p r e a d p r e d i c t i n v e s t m e n t . I n o u r a p p l i c a t i o n , i t i s i m p o r t a n t t h a t w e m a i n t a i n a s l o n g a t i m e s e r i e s s p o s s i b l e , i n o r d e r t o r e v e a l h o w i n v e s t m e n t b e h a v i o r r e s p o n d s a s s p r e a d s n d s p r e a d v o l a t i l i t i e s c h a n g e o v e r t i m e . F o r t h i s r e a s o n , w e f o c u s o n a e n e r i c m e a s u r e o f i n v e s t m e n t . T h e 1 9 9 5 a n d 1 9 9 7 s u r v e y s c o l l e c t e d d e t a i l e d n f o r m a t i o n o n t h e t y p e s , t i m i n g , a n d c o s t s o f h o u s e a d d i t i o n s . U n f o r t u a t e l y , t h e d e g r e e o f d e t a i l d e c l i n e s a s o n e m o v e s b a c k t h r o u g h t h e e a r l i e r u r v e y s , f o r c i n g a t r a d e o (cid:11) b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e t i m e s e r i e s a n d t h e d e t a i l f i n f o r m a t i o n o n i n v e s t m e n t s . A l l o f t h e s u r v e y w a v e s c o l l e c t e d i n f o r m a t i o n n w h e t h e r o r n o t , o v e r t h e p r e v i o u s t w o y e a r s , t h e h o m e o w n e r b u i l t a n y e w a d d i t i o n s . U s i n g t h i s i n f o r m a t i o n , w e c o d e o u r d e p e n d e n t v a r i a b l e a s 1 3 o l l o w s : 0 N o a d d i t i o n s i n p r e v i o u s 2 y e a r s Y = ( 2 5 ) 1 O n e o r m o r e a d d i t i o n s i n p r e v i o u s 2 y e a r s . ( 1 2 T h e A m e r ic a n H o u s in g S u r v e y is c o m p le x in s c a le a n d s c o p e . I n t e r e s t e d r e a d e r s a r e h t t p : / / w w w . h u d u s e r . o r g / d a t a s e t s / a h s . h t m l e fe r r e d t o t h e A H S w e b s it e ( ) fo r fu ll e t a ils . 1 3 S e e a p p e n d ix A fo r d e t a il o n t h e c o n s t r u c t io n o f a ll o f t h e v a r ia b le s t h a t w e u s e in h is s e c t io n . 1 5
T r v f a i i a t m F w a f m T o c r S i b w c h e t y p e s o f a d d i t i o n s t h a t m i g h t b e i n c l u d e d a r e n e w b e d r o o m s , n e w b a t h o o m s , k i t c h e n s , a n d o t h e r \ b i g { t i c k e t " i t e m s t h a t a r e a t l e a s t p a r t i a l l y i r r e e r s i b l e , a n d w h i c h h a v e a m a j o r i m p a c t o n t h e v a l u e o f t h e h o m e . W e d o n ’ t o b s e r v e t h e e x a c t t i m e a t w h i c h a n i n v e s t m e n t o c c u r s . T h u s , o r e a c h p r o p e r t y , w e c o m p u t e a m e a s u r e o f t h e a v e r a g e s p r e a d b e t w e e n t h e n n u a l i z e d r e t u r n o n h o u s i n g l e s s t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l , w h e r e t h e a v e r a g e s t a k e n o v e r t h e y e a r o f t h e s u r v e y a n d t h e p r e v i o u s y e a r . T o b e p r e c i s e , h t f w e l e t b e t h e h o u s e r e t u r n i n y e a r f o r h o u s e s i n t h e s a m e S M S A n ;t n (cid:26) n t s h o u s e , a n d b e t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l f o r h o m e o w n e r i n y e a r , n ;t s h (cid:26) S P R E A D h e n w e m e a s u r e t h e s p r e a d a s = . T h e v a r i a b l e i s n ;t n ;t n ;t (cid:0) n t e a s u r e d f o r h o u s e i n s u r v e y y e a r a s : s s + n ;t n ;t(cid:0) 1 : S P R E A D ( 2 6 ) = n ;t 2 W e a l s o c o n s t r u c t a m e a s u r e o f t h e v o l a t i l i t y o f t h e s p r e a d o v e r t h e p e r i o d . i r s t , w e c o m p u t e a l o n g e r { r u n a v e r a g e s p r e a d m e a s u r e , g i v e n a s : 1 9 9 7 1 s I s s ; (cid:22) = ( ) ( 2 7 ) n t t T n t= 1 9 8 5 X I s h e r e ( ) i s a n i n d i c a t o r t h a t i s o n e i f t h e s p r e a d m e a s u r e i s n o n { m i s s i n g , t T n d z e r o o t h e r w i s e , a n d i s t h e n u m b e r o f n o n - m i s s i n g s p r e a d o b s e r v a t i o n s n n n t o r h o u s e . T h e v o l a t i l i t y o f t h e s p r e a d f o r h o u s e i n s u r v e y y e a r i s e a s u r e d a s f o l l o w s : s s s s (cid:22) + (cid:22) n ;t n n ;t n (cid:0) 1 V O L A T I L I T Y : = ( 2 8 ) j (cid:0) j j (cid:0) j n ;t 2 V O L A T I L I T Y h e v a r i a b l e t h u s m e a s u r e s t h e a v e r a g e a b s o l u t e d e v i a t i o n f t h e s p r e a d f r o m t h e l o n g { r u n a v e r a g e s p r e a d f o r t h e p r o p e r t y . h T h e a n n u a l i z e d r e t u r n s o n h o u s i n g , , a r e c o m p u t e d a s t h e p e r c e n t n ;t h a n g e s i n h o u s e p r i c e s , w h e r e t h e l e v e l s o f h o u s e p r i c e s a r e m e a s u r e d u s i n g e p e a t s a l e s h o u s e p r i c e i n d i c e s o b t a i n e d f r o m F a n n i e M a e a n d F r e d d i e M a c . e p a r a t e i n d i c e s f o r e a c h o f n e a r l y 1 5 0 d i (cid:11) e r e n t S M S A s a r e u s e d , i n o r d e r t o n t r o d u c e a h i g h d e g r e e o f c r o s s { s e c t i o n a l v a r i a t i o n i n h o u s e r e t u r n s . (cid:26) T h e u s e r c o s t o f c a p i t a l , , i s b a s e d o n t h e a n n u a l i z e d 3 0 { d a y T r e a s u r y n ;t i l l r e t u r n . W e u s e t h e 3 0 { d a y T r e a s u r y b i l l s o a s t o m a i n t a i n c o n s i s t e n c y n t i t h o u r c o n t i n u o u s { t i m e m o d e l . F o r h o u s e a t t i m e , w e f o r m t h e u s e r o s t o f c a p i t a l a s f o l l o w s : (cid:26) U P K E E P F M A R S M A R P T A X r : = + ( 1 ( + ) ) ( + ) ( 2 9 ) n ;t n ;t n ;t n ;t n ;t t (cid:0) (cid:3) 1 6
T t f s T a s t t o o u s S e w r e s p h c c o m a t o d r f v r o U P K E E P h e v a r i a b l e m e a s u r e s a n n u a l e x p e n d i t u r e s , a s a p e r c e n t a g e o f F M A R o t a l h o u s e v a l u e , f o r m a i n t e n a n c e a n d u p k e e p . T h e v a r i a b l e i s t h e e d e r a l m a r g i n a l t a x r a t e , c o m p u t e d u s i n g h o u s e h o l d i n c o m e a n d f e d e r a l t a x S M A R c h e d u l e s , a n d i s t h e s t a t e m a r g i n a l t a x r a t e , c o m p u t e d s i m i l a r l y . P T A X h e v a r i a b l e i s t h e a m o u n t o f p r o p e r t y t a x p a i d b y t h e i n d i v i d u a l , a s p e r c e n t o f t o t a l h o u s e v a l u e . T h e u s e r c o s t v a r i a b l e t h u s v a r i e s i n t h e c r o s s { e c t i o n a t t h e l e v e l o f t h e h o u s e , a n d v a r i e s o v e r t i m e a t a n n u a l f r e q u e n c y . T h e i n v e s t m e n t i n d i c a t o r , h o u s e r e t u r n s , a n d u s e r c o s t v a r i a b l e s f o r m h e c o r e o f o u r e m p i r i c a l m o d e l . H o w e v e r , w e a l s o c o n t r o l f o r o t h e r f a c t o r s h a t m i g h t , a s a l t e r n a t i v e s t o o u r r e a l o p t i o n m o d e l , e x p l a i n t h e i n c i d e n c e f h o u s i n g i n v e s t m e n t . W e i n t r o d u c e c o n t r o l s f o r b u s i n e s s { c y c l e , t e n u r e a n d n { m a r k e t e (cid:11) e c t s , d e (cid:12) n e d b e l o w . T a b l e 1 s h o w s t h e l a b e l s , d e (cid:12) n i t i o n s , a n d n i v a r i a t e s t a t i s t i c s f o r a l l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . I n o r d e r t o c o n t r o l f o r p o s s i b l e b u s i n e s s { c y c l e e (cid:11) e c t s , w e i n c l u d e a m e a - I N C O M E u r e o f p e r c a p i t a i n c o m e , l a b e l e d , w h i c h i s m e a s u r e d a t t h e M S A l e v e l . B l a n c h a r d a n d K a t z ( 1 9 9 2 ) a r g u e t h a t i f s t a t e s g r o w a t d i (cid:11) e r n t r a t e s b e c a u s e t h e y a r e d i (cid:11) e r e n t i a l l y a t t r a c t i v e t o (cid:12) r m s , t h e n h i g h g r o w t h i l l b e a s s o c i a t e d w i t h l o w u n e m p l o y m e n t a n d h i g h e r w a g e s . T h e i r e m p i r i c a l e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e r e i s a s t r o n g c o { m o v e m e n t o f p e r c a p i t a i n c o m e a n d m p l o y m e n t i n t h e U n i t e d S t a t e s . H o u s e p r i c e s a r e s h o w n t o h a v e s h o r t - r u n e n s i t i v i t y t o s h o c k s t o e m p l o y m e n t l e v e l s , h o w e v e r , i n t h e l o n g - r u n h o u s e r i c e s i n c r e a s e a s e m p l o y m e n t l e v e l s i n c r e a s e . T h e s e r e s u l t s s u g g e s t t h a t o u s e p r i c e s a n d h o u s i n g i n v e s t m e n t w o u l d b e p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h p e r a p i t a i n c o m e . W e u s e I N C O M E t o p r o x y f o r t h i s p r o - c y c l i c a l e (cid:11) e c t . G o e t z m a n n a n d S p i e g e l ( 1 9 9 5 ) p r o p o s e t h a t h o u s i n g i n v e s t m e n t t e n d s t o l u s t e r e i t h e r a t t h e t i m e a f a m i l y m o v e s i n t o a h o m e ( w h a t w e c a l l t h e e (cid:11) e c t s f t e n u r e ) , o r j u s t b e f o r e a h o m e i s p u t u p f o r s a l e ( t h e e (cid:11) e c t s o f b e i n g o n { a r k e t ) . T h e A H S d a t a a l l o w u s t o t e s t b o t h o f t h e s e a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n s g a i n s t o u r r e a l o p t i o n m o d e l . T o c o n t r o l f o r t h e e (cid:11) e c t s o f t e n u r e , w e i n c l u d e R E C M O V E R h e v a r i a b l e , w h i c h i s a d u m m y v a r i a b l e t h a t t a k e s t h e v a l u e n e w h e n t h e r e s p o n d e n t i n d i c a t e s t h a t t h e f a m i l y m o v e d i n a t s o m e t i m e u r i n g t h e p r e v i o u s y e a r . I n o u r s a m p l e , w e i d e n t i f y 3 , 7 7 1 o b s e r v a t i o n s a s e c e n t m o v e r s , o r a p p r o x i m a t e l y s i x p e r c e n t o f t h e o b s e r v a t i o n s . T o c o n t r o l F O R S A L E o r t h e e (cid:11) e c t s o f t i m e { o n { m a r k e t , w e i n c l u d e t h e v a r i a b l e . T h e F O R S A L E a r i a b l e i s a d u m m y v a r i a b l e t h a t t a k e s t h e v a l u e o n e w h e n t h e e s p o n d e n t i n d i c a t e s t h a t t h e h o u s e i s u p f o r s a l e o r r e n t . I n o u r s a m p l e , w e n l y o b s e r v e 1 6 p r o p e r t i e s t h a t a r e u p f o r s a l e a t t h e t i m e o f t h e s u r v e y . I t i s p o s s i b l e t h a t o l d e r b u i l d i n g s r e q u i r e m o r e r e n o v a t i o n a n d u p d a t i n g 1 7
t p a i I y i T o w t g s (cid:22) d w i e d d M b T c r v h a n n e w e r b u i l d i n g s . I n o r d e r t o c o n t r o l f o r p o s s i b l e a g e e (cid:11) e c t s o n t h e r o b a b i l i t i e s , w e i n c l u d e t h e A G E v a r i a b l e . T h e A G E v a r i a b l e m e a s u r e s t h e g e o f t h e s t r u c t u r e i n y e a r s . F r o m t a b l e 1 , w e s e e t h a t t h e \ a v e r a g e " h o u s e s 3 8 y e a r s o l d , b u t t h a t t h e r e i s s u b s t a n t i a l d e v i a t i o n i n a g e s i n t h e s a m p l e . n f a c t , t h e s t r u c t u r e s r a n g e i n a g e f r o m n e w l y b u i l t a l l t h e w a y u p t o 8 0 + e a r s o l d . T h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a s e q u e n c e o f i n v e s t m e n t d e c i s i o n s b y a n n d i v i d u a l i s m o d e l e d w i t h t h e m i x e d { l o g i s t i c d i s t r i b u t i o n ( M c F a d d e n a n d r a i n ( 1 9 9 8 ) , R e v e l t a n d T r a i n ( 1 9 9 9 ) ) . W e a s s u m e t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f y n b s e r v i n g t h e s e q u e n c e o f i n v e s t m e n t d e c i s i o n s b y i n d i v i d u a l i s g i v e n b y : P y (cid:22) ; P y (cid:12) g (cid:12) (cid:22) ; d (cid:12) ; ( (cid:6) ) = ( ) ( (cid:6) ) ( 3 0 ) n n j j j Z P y (cid:22) ; P y (cid:12) h e r e ( (cid:6) ) i s t h e m i x e d { l o g i s t i c i n v e s t m e n t p r o b a b i l i t y , ( ) i s n n j j y (cid:12) h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g c o n d i t i o n a l o n t h e c o e Æ c i e n t v e c t o r , a n d (cid:12) (cid:22) ; ( (cid:6) ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f c o e Æ c i e n t v e c t o r s i n t h e p o p u l a t i o n . W e a s j g (cid:12) (cid:22) ; u m e t h a t ( (cid:6) ) i s a m u l t i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n v e c t o r j a n d c o v a r i a n c e m a t r i x (cid:6) . F u r t h e r m o r e , w e a s s u m e t h a t t h e i n v e s t m e n t e c i s i o n s a r e i n d e p e n d e n t , s o t h a t : T P y (cid:12) L y ; i (cid:12) ; ( ) = ( ) ( 3 1 ) n n i j j i= 1 Y h e r e : (cid:12) X n ;t e L y ; t (cid:12) ; ( = 1 ) = ( 3 2 ) n i (cid:12) X n ;t e 1 + j t n s t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a n i n v e s t m e n t a t t i m e b y h o m e o w n e r . I n g (cid:12) (cid:22) ; q u a t i o n ( 3 0 ) , w e i n t e g r a t e o v e r t h e p o p u l a t i o n d e n s i t y ( (cid:6) ) b e c a u s e w e j (cid:12) (cid:22) o n o t o b s e r v e . O u r a i m i s t o e s t i m a t e t h e c o e Æ c i e n t s a n d (cid:6) . T h e m i x e d l o g i t m o d e l h a s t h e a d v a n t a g e o v e r s t a n d a r d l o g i t t h a t i t o e s n o t e x h i b i t t h e i n d e p e n d e n c e f r o m i r r e l e v a n t a l t e r n a t i v e s . M o r e o v e r , c F a d d e n a n d T r a i n ( 1 9 9 8 ) s h o w t h a t a n y c h o i c e m o d e l c a n b e a p p r o x i m a t e d 1 4 (cid:12) y a m i x e d { l o g i t m o d e l w i t h a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f t h e d e n s i t y f o r . h e r e a l p o w e r o f t h e m i x e d { l o g i t m o d e l , h o w e v e r , l i e s i n t h e a b i l i t y t o (cid:12) o m p u t e t h e e x p e c t e d v a l u e o f , f o r e a c h i n d i v i d u a l, c o n d i t i o n a l o n t h e 1 4 H e r e w e h a v e c h o s e n t h e n o r m a l d e n s it y o n a n a d { h o c b a s is . W e le a v e fo r fu t u r e e s e a r c h t h e d e t e r m in a t io n o f t h e b e s t d e n s it y c h o ic e fo r m o d e lin g t h e p r o b a b ilit y o f in e s t m e n t u n d e r t h e c o n t in u o u s { t im e m o d e l o f t h e p r e v io u s s e c t io n . 1 8
i o p t h f i i m t t t a b s a w c a t T T (cid:22) f l n d i v i d u a l ’ s o b s e r v e d i n v e s t m e n t s a n d c h a r a c t e r i s t i c s . W e e x p l o i t t h i s f e a t u r e f t h e m o d e l b e l o w . A n e c o n o m i c m o t i v a t i o n f o r u s i n g t h e m i x e d { l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n i s t h e o s s i b i l i t y t h a t t h e e (cid:11) e c t s o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s a r e h e t e r o g e n e o u s i n h e s a m p l e , d u e t o u n o b s e r v e d ( a n d p e r h a p s d i Æ c u l t { t o { m e a s u r e f o r m s o f ) e t e r o g e n e i t y a m o n g h o m e o w n e r s . I n p a r t i c u l a r , h o m e o w n e r s m i g h t b e d i f e r e n t i a t e d b y t h e i r d e g r e e o f (cid:12) n a n c i a l s o p h i s t i c a t i o n . W e m i g h t e x p e c t t h a t n d i v i d u a l s w i t h a h i g h l e v e l o f (cid:12) n a n c i a l s o p h i s t i c a t i o n w o u l d t e n d t o m a k e n v e s t m e n t d e c i s i o n s t h a t a l i g n c l o s e l y w i t h t h e p r e d i c t i o n s o f t h e r e a l o p t i o n o d e l . O n t h e o t h e r h a n d , i n d i v i d u a l s w h o a r e p r o n e t o l e a v i n g u n e x p l o i t e d h e i r (cid:12) n a n c i a l o p p o r t u n i t i e s w o u l d e x h i b i t a p a t t e r n o f i n v e s t m e n t d e c i s i o n s h a t a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e p r e d i c t i o n s o f t h e m o d e l . T o t h e e x t e n t t h a t h e p a r a m e t e r s o f t h e l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n r e (cid:13) e c t t h e d e g r e e t o w h i c h i n d i v i d u l s b e h a v e a s t h e r e a l o p t i o n m o d e l p r e d i c t s , w e s h o u l d t h e n e x p e c t t h e m t o e d i s t r i b u t e d i n t h e p o p u l a t i o n i n a w a y t h a t r e (cid:13) e c t s t h e l e v e l o f (cid:12) n a n c i a l o p h i s t i c a t i o n o f h o m e o w n e r s . T h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n ( 3 0 ) d o e s n o t h a v e a c l o s e d f o r m , a n d s o i t i s p p r o x i m a t e d t h r o u g h s i m u l a t i o n . T o s i m u l a t e t h e i n v e s t m e n t p r o b a b i l i t y , R (cid:22) e m a k e d r a w s f r o m t h e m u l t i v a r i a t e n o r m a l d e n s i t y w i t h m e a n a n d (cid:12) o v a r i a n c e m a t r i x (cid:6) . F o r e a c h d r a w , w e c o m p u t e : r T ~P y (cid:12) L y ; i (cid:12) ( ) = ( ) ( 3 3 ) n r n i r j j i= 1 Y R n d t h e r e s u l t s a r e a v e r a g e d o v e r t h e d r a w s . T h e s i m u l a t e d p r o b a b i l i t y i s h e r e f o r e g i v e n b y : R ~ ~ P y (cid:22) ; P y (cid:12) : ( (cid:6) ) = ( ) ( 3 4 ) n n r j j r = 1 X h e s i m u l a t e d l o g { l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s : N ~ S L L P y (cid:22) ; : = l o g ( ( (cid:6) ) ) ( 3 5 ) n j n = 1 X ^ (cid:22) h e v a l u e s ^ a n d (cid:6) t h a t m a x i m i z e ( 3 5 ) a r e m a x i m u m { l i k e l i h o o d e s t i m a t e s o f a n d (cid:6) . A n y o f a v a r i e t y o f m e t h o d s f o r m a x i m i z i n g n o n { l i n e a r m u l t i v a r i a t e ^ (cid:22) u n c t i o n s c a n b e u s e d t o c a l c u l a t e ^ a n d (cid:6) ; w e m a k e u s e o f t h e p a n e l m i x e d { 1 5 o g i t e s t i m a t o r u s i n g H a l t o n s e q u e n c e s d e v e l o p e d i n T r a i n ( 1 9 9 9 ) . 1 5 E m p lo y in g H a lt o n s e q u e n c e s in t h e n u m e r ic a l in t e g r a t io n s s u b s t a n t ia lly r e d u c e s t h e 1 9
A s a f a m i l i a r p o i n t o f c o m p a r i s o n f o r o u r m a i n r e s u l t s , w e (cid:12) r s t e s t i m a t e a s t a n d a r d l o g i t m o d e l , w h i c h n e s t s w i t h i n t h e m i x e d { l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n u n d e r t h e r e s t r i c t i o n t h a t (cid:6) = 0 . T a b l e 2 d i s p l a y s t h e r e s u l t s . I n g e n e r a l , t h e p a r a m e t e r s a r e e s t i m a t e d w i t h a g o o d d e a l o f p r e c i s i o n , w h i c h i s n o t 1 6 s u r p r i s i n g g i v e n t h e l a r g e s a m p l e s i z e . T h e r e s u l t s s u g g e s t t h a t n e i t h e r R E C M O V E R F O R S A L E n o r a r e i m p o r t a n t f o r e x p l a i n i n g t h e i n v e s t m e n t p r o b a b i l i t i e s , g i v e n t h a t t h e c o e Æ c i e n t e s t i m a t e s a r e i n s i g n i (cid:12) c a n t l y d i (cid:11) e r e n t f r o m z e r o . T h e r e s t o f t h e v a r i a b l e s a r e h i g h l y s i g n i (cid:12) c a n t . T h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s o f t h e r e g r e s s o r s , c o m p u t e d a t t h e s a m p l e m e a n s f o r S P R E A D V O L A T I L I T Y I N C O M E A G E R E C M O V E R , , a n d , a n d = 0 1 7 F O R S A L E A s c a n b e s e e n f r o m t h e t a b l e , a n d = 0 , a r e s h o w n i n t a b l e 3 . a w i d e r s p r e a d b e t w e e n h o u s i n g r e t u r n s a n d t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l i n c r e a s e s t h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g i n v e s t m e n t s . A o n e p e r c e n t a g e p o i n t i n c r e a s e i n t h e s p r e a d ( o n e s i x t h o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n ) r e s u l t s i n a p p r o x i m a t e l y a o n e t h i r d p e r c e n t a g e p o i n t i n c r e a s e i n t h e p r o b a b i l i t y o f i n v e s t m e n t . M o r e o v e r , g r e a t e r s p r e a d v o l a t i l i t y t e n d s t o d e p r e s s i n v e s t m e n t . A o n e p e r c e n t a g e p o i n t i n c r e a s e i n v o l a t i l i t y ( o n e f o u r t h o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n ) r e d u c e s t h e p r o b a b i l i t y o f i n v e s t m e n t b y t w o t h i r d s o f a p e r c e n t a g e p o i n t . A s w e w o u l d e x p e c t , h i g h e r p e r c a p i t a i n c o m e t e n d s t o s p u r i n v e s t m e n t . I n s u m , t h e r e s u l t s s u p p o r t t h e r e a l o p t i o n t h e o r y o f i n v e s t m e n t . T h e e s t i m a t e d c o e Æ c i e n t s f o r t h e m i x e d { l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n a r e d i s p l a y e d i n t a b l e 4 . F o r e a c h v a r i a b l e , t h e e s t i m a t e d s t a n d a r d d e v i a t i o n i s l a b e l e d S T D E V w i t h t h e p r e (cid:12) x . F o r e x a m p l e , t h e e s t i m a t e d s t a n d a r d d e v i a t i o n S P R E A D S T D E V S P R E A D o f i s l a b e l e d . T h e s e c o n d c o l u m n o f d a t a t d i s p l a y s t h e { s t a t i s t i c , c o r r e c t e d f o r s i m u l a t i o n v a r i a n c e u s i n g t h e m e t h o d d i s c u s s e d i n M c F a d d e n a n d T r a i n ( 1 9 9 8 ) . T h e s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n t h e v a l u e o f t h e l o g { l i k e l i h o o d s u g g e s t s t h a t t h e m i x e d { l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n p r o d u c e s a m u c h b e t t e r (cid:12) t o f t h e o b s e r v e d i n v e s t m e n t p a t t e r n s t h a n d o e s t h e 1 8 s t a n d a r d l o g i t m o d e l . t im e r e q u ir e d t o c o m p u t e ( 3 4 ) . F o r m o r e d e t a ils , t h e r e a d e r is r e fe r r e d t o t h e s o u r c e n o t e d in t h e t e x t . 1 6 I n o r d e r t o c h e c k t h e r o b u s t n e s s o f t h e r e s u lt s , w e r e { e s t im a t e d t h e m o d e l w it h a ll o f t h e c o e Æ c ie n t e x c e p t t h e in t e r c e p t r e s t r ic t e d t o z e r o . T h e r e s t r ic t io n w a s r e je c t e d in a lik e lih o o d r a t io t e s t a t b e t t e r t h a n t h e 9 9 .5 p e r c e n t s ig n i(cid:12) c a n c e le v e l. T h e lo g { lik e lih o o d (cid:0) ; u n d e r t h e r e s t r ic t io n is 2 2 7 2 8 . 1 7 (cid:0) x x T h e e (cid:11) e c t o n (cid:3) o f a c h a n g e in is g iv e n b y (cid:3) ( 1 (cid:3) ) . i i 1 8 A fo r m a l lik e lih o o d r a t io t e s t o f t h e n u ll h y p o t h e s is t h a t a ll o f t h e s t a n d a r d d e v ia t io n s S T D E V o f t h e c o e Æ c ie n t s ( t h e c o e Æ c ie n t s ) a r e z e r o is r e je c t e d a t b e t t e r t h a n t h e 9 9 .5 p e r c e n t s ig n i(cid:12) c a n c e le v e l. 2 0
d t e s e t o t o g r a p w t n e F T f i t d d v e c e c f r t n c s T h e p a t t e r n s o f s i g n i (cid:12) c a n c e a n d t h e m a g n i t u d e s o f t h e e s t i m a t e d s t a n d a r d S T D E V e v i a t i o n s a r e i n t e r e s t i n g , b e c a u s e t h e c o e Æ c i e n t s t e l l u s s o m e h i n g a b o u t h o w t h e c o e Æ c i e n t s a r e d i s t r i b u t e d i n t h e p o p u l a t i o n . T h e S P R E A D : s t i m a t e d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e c o e Æ c i e n t i s 0 6 5 a n d i n - : i g n i (cid:12) c a n t , w h i c h , w h e n c o m p a r e d w i t h t h e m e a n 3 2 8 , s u g g e s t s t h a t t h e (cid:11) e c t s o f a w i d e r s p r e a d a r e h o m o g e n e o u s t h r o u g h o u t t h e p o p u l a t i o n . O n S T D E V V O L A T I L I T Y h e o t h e r h a n d , i s l a r g e r e l a t i v e t o t h e c o e Æ c i e n t V O L A T I L I T Y n , a n d b o t h a r e h i g h l y s i g n i (cid:12) c a n t . T h i s s u g g e s t s s u b s t a n i a l h e t e r o g e n e i t y i n t h e p o p u l a t i o n . I n f a c t , w e s e e t h a t f o r a s m a l l p o r t i o n V O L A T I L I T Y f t h e p o p u l a t i o n , t h e c o e Æ c i e n t m a y w e l l b e p o s i t i v e , s u g e s t i n g t h a t t h e s e h o m e o w n e r s i n v e s t i n w a y s t h a t a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e I N C O M E e a l o p t i o n m o d e l . T h e e (cid:11) e c t s o f a r e c o n s t a n t i n t h e p o p u l a t i o n , A G E s a r e t h e e (cid:11) e c t s o f . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s f o r t h e m i x e d { l o g i t m o d e l i s c o m l i c a t e d b y t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e r a n d o m c o e Æ c i e n t s . N o w , n o t o n l y d o e h a v e t o p i c k t h e v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a t w h i c h t o c o m p u t e h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s , b u t w e m u s t a l s o p i c k t h e v a l u e s o f t h e c o e Æ c i e n t s . A a t u r a l c h o i c e i s t h e m e a n o f t h e c o n t i n u o u s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , a n d t h e R E C M O V E R s t i m a t e d m e a n s o f t h e c o e Æ c i e n t s . A s b e f o r e , w e s e t t h e a n d O R S A L E d u m m y v a r i a b l e s t o z e r o . T a b l e 5 d i s p l a y s t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s . h e r e s u l t s a r e s i m i l a r t o t h e s t a n d a r d l o g i t c a s e . T h e m o s t i m p o r t a n t d i f - V O L A T I L I T Y e r e n c e i s t h e c h a n g e i n t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t o f . T h e i n c r e a s e n t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s t e m s f r o m t h e h i g h e r v a l u e o f t h e e s t i m a t e d m e a n o f h e c o e Æ c i e n t c o m p a r e d t o t h e e s t i m a t e u n d e r t h e s t a n d a r d l o g i t m o d e l . I t i s i n t e r e s t i n g t o c o n s i d e r t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e e s t i m a t e d s t a n d a r d e v i a t i o n s o f t h e c o e Æ c i e n t s i n t e r m s o f t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s . I n t a b l e 6 , w e i s p l a y t h e r e s u l t s o f c o m p u t a t i o n s o f t h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s a t t w o d i (cid:11) e r e n t V O L A T I L I T Y (cid:27) a l u e s f o r . I n t h e s e c o n d c o l u m n ( + ) , w e s h o w t h e m a r g i n a l V O L A T I L I T Y (cid:11) e c t s c o m p u t e d f o r a o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n i n c r e a s e i n t h e o e Æ c i e n t , w h e r e w e h a v e u s e d t h e e s t i m a t e d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e c o - (cid:27) Æ c i e n t t o a r r i v e a t t h e n e w v a l u e . T h e t h i r d c o l u m n ( ) s h o w s t h e s a m e (cid:0) o m p u t a t i o n u s i n g a o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n d e c r e a s e . T h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t V O L A T I L I T Y o r a o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n i n c r e a s e i n t h e c o e Æ c i e n t o n : e m a i n s s l i g h t l y n e g a t i v e ( 0 0 5 7 1 ) . F o r a o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n d e c r e a s e , (cid:0) h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t i s o f c o u r s e h i g h l y n e g a t i v e . T h e m a r g i n a l e (cid:11) e c t s a r e n o t o r m a l l y d i s t r i b u t e d , d e s p i t e t h e f a c t t h a t w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e c o e Æ i e n t s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d i n t h e p o p u l a t i o n . N e v e r t h e l e s s , t h e r e s u l t s h o w t h a t f o r a l l b u t a s m a l l p o r t i o n o f t h e p o p u l a t i o n , t h e r e a l o p t i o n m o d e l 2 1
a e s p d d o c d l t s T W T a t w t s t e p p e a r s t o d o a g o o d j o b o f e x p l a i n i n g t h e o b s e r v e d i n v e s t m e n t . A s n o t e d e a r l i e r , t h e m i x e d { l o g i t s p e c i (cid:12) c a t i o n a l l o w s o n e t o c o m p u t e t h e x p e c t e d v a l u e o f t h e c o e Æ c i e n t s f o r e a c h i n d i v i d u a l , g i v e n t h e i n d i v i d u a l ’ s e q u e n c e o f o b s e r v e d i n v e s t m e n t s . I n o t h e r w o r d s , h a v i n g e s t i m a t e d t h e (cid:22) o p u l a t i o n v a l u e s f o r a n d (cid:6) , w e c a n e s t i m a t e w h e r e i n t h e c o e Æ c i e n t i s t r i b u t i o n e a c h i n d i v i d u a l f a l l s . P l a c i n g e a c h i n d i v i d u a l i n t h e c o e Æ c i e n t i s t r i b u t i o n a l l o w s u s t o l o o k f o r c l u s t e r s o f i n d i v i d u a l s i n d i (cid:11) e r e n t r e g i o n s f t h e c o e Æ c i e n t s p a c e . I n p a r t i c u l a r , w e w o u l d l i k e t o t r y a n d i d e n t i f y t h e o m m o n c h a r a c t e r i s t i c s , i f a n y , o f t h e i n d i v i d u a l s i n t h e u p p e r t a i l o f t h e V O L A T I L I T Y i s t r i b u t i o n o f t h e c o e Æ c i e n t . g (cid:12) (cid:22) ; T h e d e n s i t y ( (cid:6) ) g i v e s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e c o e Æ c i e n t s i n t h e p o p u j (cid:12) a t i o n . W e w o u l d l i k e t o i d e n t i f y w h e r e e a c h i n d i v i d u a l ’ s l i e s i n t h e d i s t r i b u g h (cid:12) y ; (cid:22) ; (cid:12) i o n . L e t ( (cid:6) ) d e n o t e t h e d e n s i t y o f c o n d i t i o n a l o n t h e i n d i v i d u a l ’ s j y (cid:22) e q u e n c e o f i n v e s t m e n t s , a n d (cid:6) . I f f o l l o w s b y B a y e s ’ r u l e t h a t : P y (cid:12) g (cid:12) (cid:22) ; ( ) ( (cid:6) ) : h (cid:12) y ; (cid:22) ; ( 3 6 ) ( (cid:6) ) = j j P y (cid:22) ; ( (cid:6) ) j j (cid:12) y (cid:22) h u s , t h e e x p e c t a t i o n o f , g i v e n , a n d (cid:6) , i s : E (cid:12) y ; (cid:22) ; (cid:12) h (cid:12) y ; (cid:22) ; d (cid:12) : [ (cid:6) ] = ( (cid:6) ) ( 3 7 ) j j Z E (cid:12) y ; (cid:22) ; e s i m u l a t e t h e v a l u e o f [ (cid:6) ] a s f o l l o w s : j R (cid:12) P y (cid:12) ( ) r r i= 1 j ^E (cid:12) y ; (cid:22) ; : [ (cid:6) ] = ( 3 8 ) R P j P y (cid:12) ( ) r i= 1 j P (cid:22) h e k e y t h i n g t o r e a l i z e i s t h a t , o n c e w e h a v e e s t i m a t e s o f a n d (cid:6) , w e h a v e l l o f t h e i n f o r m a t i o n w e n e e d t o c o m p u t e e q u a t i o n ( 3 8 ) . W e c a n t h i n k o f h i s a s a n i m p o r t a n c e { s a m p l i n g a l g o r i t h m , w h e r e t h e i m p o r t a n c e s a m p l i n g P y (cid:12) ( j ) r (cid:12) . A d r a w o f t h a t i s r e l a t i v e l y c l o s e t o t h e e i g h t s a r e g i v e n b y r R P y (cid:12) ( j ) r = 1 i P (cid:12) r u e f o r t h e i n d i v i d u a l ( a n d t h u s i s r e l a t i v e l y l i k e l y t o g e n e r a t e h i s o r h e r P y (cid:12) e q u e n c e o f o b s e r v e d i n v e s t m e n t s ) , w i l l p r o d u c e a h i g h v a l u e f o r ( ) , a n d r j h u s r e c e i v e a r e l a t i v e l y h e a v y w e i g h t . V O L A T I L I T Y F i g u r e 5 d i s p l a y s a p l o t o f e a c h i n d i v i d u a l ’ s e x p e c t e d c o - I N C O M E I N C O M E Æ c i e n t a g a i n s t a v e r a g e . T h e a v e r a g e s o f a r e t a k e n 2 2
o c m v v l t v t i o v e r o m o r a l u a l u o w o b i d u h e n d i f h t h e n o n { m i s s i n g o b s e i n d i v i d u a l s t e n d t o e p o s i t i v e t h a n h i g h S T D E V V O L A e f o r e s , e s p e c i a l l y f o r l o w i n c o m e i n d i v i d u a l s h e a c l e a r i n d i c a t i o n o a l s . T h e k e y p o i n t , h e x p e c t e d v a l u e o f t h c a t i n g t h a t t h e r e a l o o u s i n g i n v e s t m e n t b y e r v a t i o n s f o r e a c h i n d i v i d u a l . V O L A T I L I T h a v e e x p e c t e d i n c o m e i n d i v i d u a l s . A s i n d i c T I L I T Y , t h e r e i s a l o t o f d i s p i n c o m e i n d i v i d u a l s . I n f a c t , a v e e x p e c t e d v a l u e s t h a t a r e f d i (cid:11) e r e n c e s i n (cid:12) n a n c i a l s o p h o w e v e r , i s t h a t f o r t h e v a s t m V O L A T I L I T e c o e Æ c i e n t o n p t i o n m o d e l i s u s e f u l f o r t h i n e x i s t i n g h o m e o w n e r s . 2 3 I t i s c l e a r t h a t l o w i n - Y c o e Æ c i e n t s t h a t a r e a t e d b y t h e e s t i m a t e d e r s i o n i n t h e e x p e c t e d a s m a l l p r o p o r t i o n o f p o s i t i v e . W e t a k e t h i s i s t i c a t i o n a m o n g i n d i a j o r i t y o f t h e s a m p l e , Y i s h i g h l y n e g a t i v e , k i n g a b o u t t h e t i m i n g
L S V I R F A a P O N E O G b e l R E L A C O C M R S E A T M A O D I E L L V E I E T R Y D H V P I I A T e (cid:12) n i t i o n U n i t s M o u s e r e t u r n l e s s u s e r c o s t % - 0 S P R E A D o l a t i l i t y o f % 0 e r c a p i t a i n c o m e ( S M S A l e v e l ) $ K 2 1 n d i c a t o r o f r e c e n t m o v e { i n 0 / 1 0 n d i c a t o r o f h o u s e o n m a r k e t 0 / 1 0 g e o f h o u s e y e a r s 3 8 T a b l e 1 : I n d e p e n d e n t V a r i a b l e s C o e Æ c i e n t t V a r i a b l e E s t i m a t e { s t a t i s t i c C o n s t a n t - 5 . 4 3 6 1 - 7 0 . 4 5 1 2 S P R E A D 3 . 6 6 0 2 1 1 . 9 7 2 0 V O L A T I L I T Y - 8 . 3 3 2 9 - 1 6 . 8 5 1 6 I N C O M E 0 . 1 5 9 0 5 5 . 9 4 8 3 R E C M O V E R 0 . 0 6 4 1 1 . 1 5 6 0 F O R S A L E 0 . 7 9 3 7 1 . 4 4 9 7 A G E 0 . 0 0 1 7 2 . 4 1 7 4 L o g { L i k e l i h o o d - 2 0 , 2 3 3 N 6 4 , 3 9 8 a b l e 2 : S t a n d a r d L o g i t E s t i m a t i o n R e s u l t s C o e Æ c i e n t V a r i a b l e E s t i m a t e C o n s t a n t - 0 . 4 3 0 7 S P R E A D 0 . 2 9 0 0 V O L A T I L I T Y - 0 . 6 6 0 3 I N C O M E 0 . 0 1 2 6 R E C M O V E R 0 . 0 0 5 1 F O R S A L E 0 . 0 6 2 9 A G E 0 . 0 0 0 1 T a b l e 3 : S t a n d a r d L o g i t M a r g i n a l E (cid:11) e c t s 2 4 . . . . . . e 0 0 5 0 0 1 a 1 4 4 5 0 0 n 0 4 7 9 2 3 S D t e a n d a v i a t i 0 . 0 0 . 0 5 . 1 0 . 2 0 . 0 2 0 . 7 r o 5 3 1 3 1 9 d n 8 6 8 5 6 3
V C S S V S I S R S F S A S L N a o P T O T N T E T O T G T o r i a b l e n s t a n t R E A D D E V S P R E A D L A T I L I T Y D E V V O L A T I L I T C O M E D E V I N C O M E C M O V E R D E V R E C M O V E R S A L E D E V F O R S A L E E D E V A G E g { l i k e l i h o o d T a b l e 4 : M i x e d { L V a r i a b l e C o n s t a n t S P R E A D V O L A T I L I N C O M E R E C M O V F O R S A L E A G E T a b l e 5 : M i x e d Y R o I T E L g R o i Y g 2 t i 5 C o e Æ c i e n t E s t i m a t e - 5 . 6 7 8 9 3 3 . 2 8 3 2 7 0 . 6 4 9 0 1 - 1 3 . 2 8 1 1 9 1 2 . 7 5 7 5 2 0 . 1 7 2 8 4 0 . 0 0 0 1 0 0 . 0 3 1 5 5 0 . 2 6 7 0 4 1 . 1 1 0 3 5 0 . 1 1 5 8 9 0 . 0 0 1 6 3 0 . 0 0 0 1 0 2 0 , 1 5 1 6 4 , 3 9 8 E s t i m a t i o n C o e Æ c i e n E s t i m a t e - 0 . 3 9 2 0 . 2 2 7 - 0 . 9 1 8 0 . 0 1 2 0 . 0 0 2 0 . 0 7 6 0 . 0 0 0 t M a r g i n a l t 7 0 4 0 2 8 1 E R t { - 6 1 - 2 1 5 e (cid:11) e s t a t i 5 . 8 6 0 . 4 1 0 . 8 8 0 . 5 0 8 . 0 3 2 . 3 7 0 . 5 9 0 . 4 2 1 . 0 2 2 . 0 8 0 . 7 2 2 . 2 6 0 . 1 9 s u l t s c t s s 5 4 8 5 1 5 4 7 6 8 3 2 4 t 1 8 7 9 9 7 6 9 0 5 6 0 3 i c 9 1 6 1 1 1 4 6 2 8 0 1 7
T a b l e V C S V I R F A 6 a o P O N E O G : r i a b l e n s t a n t R E A D L A T I L C O M E C M O V R S A L E E V O L A T I E T I Y R L I T - - Y 0 0 0 0 0 0 0 + . 6 . 3 . 0 . 0 . 0 . 1 . 0 a (cid:27) 1 5 5 1 0 2 0 n 9 8 7 8 3 1 0 d 5 1 1 9 4 1 2 M - a 0 0 1 0 0 0 0 r (cid:0) . 2 . 1 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 g i (cid:27) 3 3 9 0 0 4 0 n 8 7 1 7 1 6 0 a 0 6 1 2 3 5 1 l E (cid:11) e c t s 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 EMOCNI fo egarevA VOLATILITY Coefficient F i g u r e 5 : E x p e c t e d V O L A T I L I T Y 2 C 6 o e Æ c i e n t s a n d A v e r a g e I N C O M E
4 I T f r d p t w i S r o t n i r u r b p C o n c l u s i o n n t h i s p a p e r , w e c o n s t r u c t e d a c o n t i n u o u s { t i m e h e d o n i c h o u s e p r i c e m o d e l . h e m a i n i n n o v a t i o n o f t h e m o d e l w a s t o a l l o w t h e s e t o f h o u s e a t t r i b u t e s , r o m w h i c h s e r v i c e (cid:13) o w s e m a n a t e t o t h e h o m e o w n e r , t o e v o l v e o v e r t i m e a s a e s u l t o f i n v e s t m e n t d e c i s i o n s b y t h e h o m e o w n e r . W e m o d e l e d t h e i n v e s t m e n t e c i s i o n u s i n g r e a l o p t i o n t h e o r y , u n d e r w h i c h t h e h o m e o w n e r c o m p a r e d t h e r e s e n t d i s c o u n t e d v a l u e o f a n a d d i t i o n a l h o u s e a t t r i b u t e , n e t o f t h e v a l u e o f h e o p t i o n t o i n v e s t i n t h e f u t u r e , t o t h e c o s t o f t h e a t t r i b u t e w h e n d e c i d i n g h e n t o a d d f e a t u r e s t o t h e h o u s e . T h e r e a l o p t i o n t h e o r y w a s t e s t e d a g a i n s t d a t a o n o b s e r v e d h o m e o w n e r n v e s t m e n t b e h a v i o r . U s i n g a p a n e l d a t a s e t f r o m t h e A m e r i c a n H o u s i n g u r v e y , w e f o u n d t h a t o b s e r v e d i n v e s t m e n t b e h a v i o r i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e a l o p t i o n t h e o r y , e v e n a f t e r c o n t r o l l i n g f o r b u s i n e s s - c y c l e , t e n u r e , t i m e { n { m a r k e t , a n d a g i n g e (cid:11) e c t s . H o m e o w n e r s t e n d t o d e l a y i n v e s t m e n t w h e n h e s p r e a d b e t w e e n t h e r e t u r n o n i n v e s t m e n t a n d t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l i s a r r o w . S i m i l a r l y , h o m e o w n e r s t e n d t o d e l a y i n v e s t m e n t w h e n t h e s p r e a d s v o l a t i l e , i n w h i c h c a s e t h e v a l u e o f t h e o p t i o n t o i n v e s t i n t h e f u t u r e i s e s . U s i n g a m i x e d { l o g i t m o d e l , w e a r e a b l e t o a s s e s s t h e d e g r e e t o w h i c h n o b s e r v e d h e t e r o g e n e i t y i n t h e p o p u l a t i o n o f h o m e o w n e r s m i g h t a (cid:11) e c t t h e e s u l t s . W h a t w e f o u n d i s t h a t o u r c o n c l u s i o n s a r e r o b u s t a n d t h a t , f o r a l l u t a s m a l l s e g m e n t o f t h e p o p u l a t i o n , t h e r e a l o p t i o n m o d e l a p p e a r s t o r e d i c t o b s e r v e d i n v e s t m e n t b e h a v i o r . 2 7
A T o s d c C h e s c n o t h v e w t o s v m D a t a h e A m e r i c a n H o u s i n g S u r v e y , c o n d u c t e d b y t h e C e n s u s B u r e a u , i s a p a n e l f a p p r o x i m a t e l y 5 3 , 0 0 0 r a n d o m l y s e l e c t e d h o u s e s i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e a m p l e i s a c l u s t e r e d , s t r a t i (cid:12) e d r a n d o m s a m p l e . T h e U n i t e d S t a t e s w a s i v i d e d i n t o a r e a s m a d e u p o f c o u n t i e s o r g r o u p s o f c o u n t i e s a n d i n d e p e n d e n t i t i e s , w h i c h t h e C e n s u s B u r e a u c a l l s p r i m a r y s a m p l i n g u n i t s ( P S U s ) . T h e e n s u s B u r e a u r a n d o m l y s e l e c t s a s a m p l e o f P S U s , a n d t h e n a s a m p l e o f o u s i n g u n i t s w i t h i n e a c h s e l e c t e d P S U . T h e s u r v e y h a s b e e n c o n d u c t e d v e r y o t h e r y e a r s i n c e 1 9 8 5 . E a c h b i e n n i a l s a m p l e i s m a d e p u b l i c l y a v a i l a b l e , u b j e c t t o c e r t a i n r e s t r i c t i o n s o n t h e d a t a t h a t a r e d e s i g n e d t o m a i n t a i n t h e o n (cid:12) d e n t i a l i t y o f t h e s o u r c e s . E a c h o b s e r v a t i o n i n e a c h b i e n n i a l d a t a (cid:12) l e c o n t a i n s a u n i q u e \ c o n t r o l u m b e r " t h a t a l l o w s o n e t o l i n k u p t h e o b s e r v a t i o n s o n a p a r t i c u l a r h o u s e v e r t i m e . F o r a v a r i e t y o f r e a s o n s , t h e p a n e l i s u n b a l a n c e d . T a b l e 7 s h o w s h e f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f t i m e { s e r i e s o b s e r v a t i o n s o n t h e o u s e s i n t h e o v e r a l l s a m p l e ( b e f o r e r e m o v i n g o b s e r v a t i o n s d u e t o m i s s i n g a l u e s ) . A s c a n b e s e e n , n e a r l y a t h i r d o f t h e s a m p l e h a s b e e n i n c l u d e d i n a c h o f t h e s e v e n s u r v e y s . F o r a p p r o x i m a t e l y t w e n t y p e r c e n t o f t h e s a m p l e , e h a v e o n l y o n e o b s e r v a t i o n , w i t h t h e r e s t f a l l i n g s o m e w h e r e i n b e t w e e n h e s e t w o e x t r e m e s . T F r e q u e n c y P e r c e n t 1 8 9 8 3 1 9 . 5 2 7 1 4 3 1 5 . 5 3 5 2 5 8 1 1 . 4 4 2 8 4 0 6 . 2 5 3 5 7 3 7 . 8 6 5 1 9 5 1 1 . 3 7 1 3 0 7 3 2 8 . 4 T a b l e 7 : N u m b e r o f T i m e { S e r i e s O b s e r v a t i o n s I n o r d e r t o m a i n t a i n t h e c o n (cid:12) d e n t i a l i t y o f t h e s o u r c e s , n o t a l l o f t h e b s e r v a t i o n s c o n t a i n c o m p l e t e g e o g r a p h i c i n f o r m a t i o n . N e v e r t h e l e s s , t h e o b e r v a t i o n s t h a t w e a r e a b l e t o u s e a r e n a t i o n a l l y r e p r e s e n t a t i v e , w i t h o b s e r a t i o n s i n n e a r l y a l l o f t h e S M S A s . O u r d a t a c o v e r a l m o s t a l l o f t h e m a j o r e t r o p o l i t a n r e g i o n s i n t h e c o n t i n e n t a l U n i t e d S t a t e s . 2 8
t d t s v \ o c t d w s o t t w t c t t i i S t a r t i n g f r o m t h e r a w d a t a , w e l o s e o b s e r v a t i o n s a s w e a t t e m p t c o n s t r u c i o n s u s i n g v a r i a b l e s w i t h m i s s i n g d a t a . T h e b u l k o f o u r l o s t o b s e r v a t i o n s a r e u e t o m i s s i n g g e o g r a p h i c i n f o r m a t i o n . H o w e v e r , w e a l s o l o s e a f e w o b s e r v a i o n s d u e t o m i s s i n g i n c o m e , p r o p e r t y t a x , a n d o t h e r i n f o r m a t i o n . T a b l e 8 u m m a r i z e s t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s l o s t d u e t o m i s s i n g v a l u e s f o r e a c h a r i a b l e w e u s e i n o u r l o g i s t i c r e g r e s s i o n s . T h e (cid:12) r s t r o w o f t h e t a b l e , l a b e l e d T O T A L , " g i v e s t h e t o t a l n u m b e r o f s t a c k e d o b s e r v a t i o n s , a f t e r s e l e c t i n g w n e r { o c c u p i e d , s i n g l e { f a m i l y d e t a c h e d h o u s e s ( s e e b e l o w ) , b u t b e f o r e d i s a r d i n g a n y d u e t o m i s s i n g v a l u e s . E a c h s u b s e q u e n t r o w s h o w s a v a r i a b l e h a t w e u s e i n o u r s t u d y , a n d t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s t h a t r e m a i n a f t e r i s c a r d i n g o b s e r v a t i o n s f o r w h i c h t h e v a r i a b l e i s m i s s i n g . A s c a n b e s e e n , e l o s e m o s t o f o u r o b s e r v a t i o n s d u e t o m i s s i n g S M S A i n f o r m a t i o n . W e l o s e o m e m o r e o b s e r v a t i o n s c o n s t r u c t i n g o u r s p r e a d m e a s u r e s . W e t r e a t a l l m i s s i n g i n f o r m a t i o n a s t h e \ i g n o r a b l e c a s e " ( G r i l i c h e s ( 1 9 8 6 ) ) f m i s s i n g d a t a , i n w h i c h t h e v a r i a b l e s a r e u n a v a i l a b l e f o r r e a s o n s u n r e l a t e d t o h e f a c t t h a t o u r o t h e r o b s e r v a t i o n s a r e c o m p l e t e . R e c a l l f r o m t h e m a i n t e x t h a t , w h e n w e u s e d t h e T - b i l l a s a p r o x y f o r t h e u s e r c o s t o f c a p i t a l , o u r r e s u l t s e r e v i r t u a l l y u n c h a n g e d . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e l o s s o f o b s e r v a t i o n s d u e t o h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s p r e a d v a r i a b l e s i n d e e d d o e s c o n s t i t u t e a n \ i g n o r a b l e a s e " o f m i s s i n g d a t a . F i n a l l y , i t i s d i Æ c u l t t o m a k e a c o n v i n c i n g c a s e t h a t h e p r o c e s s b y w h i c h o b s e r v a t i o n s f a l l i n t o s p a r s e l y p o p u l a t e d r e g i o n s , a n d h u s h a v e s u p p r e s s e d g e o g r a p h i c i n f o r m a t i o n , i s s o m e h o w r e l a t e d t o h o u s i n g n v e s t m e n t i n a s y s t e m a t i c f a s h i o n . O b s e r v a t i o n s V a r i a b l e R e m a i n i n g T O T A L 1 3 7 , 6 6 2 S M S A 7 9 , 1 2 6 A G E 7 9 , 1 2 6 R E C M O V E R 7 9 , 1 2 6 F O R S A L E 7 9 , 1 2 6 S P R E A D 6 4 , 3 9 8 Y 6 4 , 3 9 8 T a b l e 8 : M i s s i n g D a t a a n d S a m p l e S i z e T a b l e 9 s h o w s t h e v a r i a b l e s t h a t w e d r e w f r o m t h e A H S m i c r o d a t a (cid:12) l e s n o r d e r t o c o n s t r u c t t h e v a r i a b l e s u s e d i n o u r e c o n o m e t r i c m o d e l . T h e (cid:12) r s t 2 9
V N N I T S N R C A V Z M M R M M M B a r i a b l e a m e U N I T S S T A T U E N U R M S A E W A D A N S T M N M T X A L U E I N C A R A R 1 M R O V Y R O V M 1 A R K E U I L T c o l u m n g i v e s t h e v a r i a b l e n a m e s a s t h e y a p p e a r o n t h e A H S m i c r o d a t a (cid:12) l e s . S o m e o f t h e v a r i a b l e n a m e s c h a n g e o v e r t h e y e a r s . I n t h e s e c o n d c o l u m n , w e n o t e t h e s u r v e y y e a r s f o r w h i c h t h e n a m e a p p l i e s . T h e t h i r d c o l u m n g i v e s t h e l a b e l , i f a n y , f r o m t h e m i c r o d a t a (cid:12) l e s . S o m e o f t h e v a r i a b l e s f r o m t h e 1 9 9 7 s u r v e y h a v e n o t y e t b e e n l a b e l e d , b e c a u s e t h e C e n s u s B u r e a u h a s n o t y e t c o m p l e t e d p r o c e s s i n g t h e d a t a . B e l o w , w e d i s c u s s i n d e t a i l h o w t h e v a r i a b l e s i n o u r e c o n o m e t r i c m o d e l w e r e c o n s t r u c t e d f r o m t h o s e s h o w n i n t a b l e 9 . S u r v e y L a b e l 8 5 - 9 7 N o . O f L i v i n g Q r t r s I n S t r u c t u r e I n c l u d i n g V a c a n t Q t r s S 8 5 - 9 7 T y p e o f I n t e r v i e w E 8 7 - 9 7 T e n u r e S t a t u s 8 7 - 9 7 M e t r o p o l i t a n A r e a s D 8 5 - 9 5 N e w A d d i t i o n s B u i l t i n L a s t 2 Y e a r s 9 7 N u m b e r o f r e p l a c e m e n t s a n d a d d i t i o n s T 8 5 - 9 7 A m t S p e n t i n L a s t Y e a r O n R o u t i n e M a i n t e n a n c e 8 5 - 9 7 Y e a r l y R e a l E s t a t e T a x e s 8 5 - 9 7 P r o p e r t y V a l u e ( S a m p l e U n i t O n l y ) 8 5 - 9 7 I n c O f R e f P e r s o n A n d H s h l d M e m b e r s R e l a t e d T o R e f P e r s 8 5 - 9 5 M a r i t a l S t a t u s o f H e a d / R e f e r e n c e P e r s o n 9 7 8 5 - 9 5 R e s p o n d e n t M o v e d H e r e I n L a s t 1 2 M o n t h s 1 9 7 9 7 T 8 5 - 9 7 O c c u p i e d : L i s t e d f o r S a l e o r T o l d L a n d l o r d W i l l V a c a t e w i t h i n 8 5 - 9 7 Y e a r S t r u c t u r e W a s B u i l t ( O r M o d e l Y r O f M o b i l e H o m e ) T a b l e 9 : V a r i a b l e s D r a w n f r o m A H S N U N I T S I S T A T U S T E N U R E T h e v a r i a b l e s , a n d a r e u s e d t o s e l e c t o w n e r { o c c u p i e d , s i n g l e { f a m i l y d e t a c h e d h o m e s f o r w h i c h a s o { c a l l e d \ o c c u p i e d , r e g u l a r i n t e r v i e w , " w a s c o m p l e t e d . I n t e r m s o f t h e v a r i a b l e s i n t h e s u r v e y , t h i s i s a c c o m p l i s h e d b y i m p o s i n g t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t s : N U N I T S = 1 I S T A T U S = 1 T E N U R E = 1 3 0 M o n t h
T F Z m t t f f c C d t a r F a h i s p r o d u c e s t h e s u b { s a m p l e o f s t r u c t u r e s t h a t w e s t u d y . F o r 1 9 8 5 - 1 9 9 5 , o u r d e p e n d e n t v a r i a b l e i s c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s : N E W A D D 0 = 0 Y : = ( 3 9 ) N E W A D D > 1 0 ( o r 1 9 9 7 , o u r d e p e n d e n t v a r i a b l e i s : R A N 0 = 0 Y : = ( 4 0 ) R A N > 1 0 ( U P K E E P T h e v a r i a b l e i s c o m p u t e d a s : C S T M N T U P K E E P : = ( 4 1 ) V A L U E F M A R S M A R T h e v a r i a b l e s a n d u s e t h e m e a s u r e o f h o u s e h o l d i n c o m e , I N C M A R , a n d t h e m a r i t a l s t a t u s , t o a s s i g n t h e c o r r e c t f e d e r a l a n d s t a t e a r g i n a l t a x r a t e s , r e s p e c t i v e l y . I n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e f e d e r a l m a r g i n a l F M A R a x r a t e , , i f t h e h e a d o f h o u s e h o l d i s m a r r i e d , w e u s e t h e j o i n t { (cid:12) l e r s a x r a t e s c h e d u l e , a n d w e u s e t h e u n m a r r i e d (cid:12) l e r s c h e d u l e f o r a l l o t h e r s . T h e e d e r a l t a x r a t e s c h e d u l e s a r e c o l l e c t e d f r o m t h e i n s t r u c t i o n b o o k l e t s f o r t h e e d e r a l i n c o m e t a x f o r m s o v e r 1 9 8 5 { 1 9 9 7 . T h e s t a t e m a r g i n a l t a x r a t e s a r e l o s e a p p r o x i m a t i o n s c o l l e c t e d f r o m t h e U . S . M a s t e r T a x G u i d e s ( C o m m e r c e l e a r i n g H o u s e ( 1 9 9 9 ) ) . P T A X P r o p e r t y t a x e s a s a f r a c t i o n o f h o u s e v a l u e , , a r e c a l c u l a t e d a s : A M T X P T A X : = ( 4 2 ) V A L U E U P K E E P F M A R S M A R P T A X T h e v a r i a b l e s , , , a n d a r e b a s e d o n a t a t h a t a r e m e a s u r e d b i e n n i a l l y i n t h e A H S s u r v e y s . W e i n t e r p o l a t e d h e o (cid:11) { y e a r v a l u e s f r o m t h e s u r v e y v a l u e s , w h e r e n e c e s s a r y . W e h a v e d o n e d d i t i o n a l r o b u s t n e s s c h e c k s u s i n g j u s t t h e s u r v e y { y e a r d a t a , a n d t h e r e s u l t s e p o r t e d i n t h e t e x t w e r e q u a l i t a t i v e l y u n c h a n g e d . R E C M O V E R T h e v a r i a b l e i s c o m p u t e d i n 1 9 8 5 - 9 5 a s : R M R 1 = 1 R E C M O V E R : = ( 4 3 ) R M R 0 = 1 ( 6 M O V Y R M O V M o r t h e y e a r 1 9 9 7 , w e u s e t h e v a r i a b l e s 1 a n d 1 t o c o n s t r u c t R M R R E C M O V E R v a r i a b l e j u s t l i k e , a n d t h e n c o d e a s a b o v e . 3 1
a n d T T t h h h e e e v v v a a a r i a r i a l u b b e l e l e o f F A B O F G U R O E I S R i L A S s T L A c o . E L m E p i s u c o m = ( t e d a p u 1 0 s 3 t e M M t h 2 d e a A A d s R R i (cid:11) : K K e r E E e n T T c e = = 6 b e 1 1 t w : e e n t h e s u r v e y ( y 4 e 4 a ) r
B I t i s t c p l e s t t c t t l t i n t d m a a f d l a ( a p t N u m e r i c a l S o l u t i o n A l g o r i t h m n g e n e r a l , i t i s c o m p u t a t i o n a l l y i n f e a s i b l e t o p r o d u c e h i g h { r e s o l u t i o n p i c u r e s o f t h e a t t r i b u t e a n d o p t i o n p r i c e f u n c t i o n s u n d e r t h e m o d e l d e v e l o p e d n s e c t i o n 2 . H o w e v e r , b e c a u s e t h e a t t r i b u t e a n d o p t i o n p r i c e f u n c t i o n s a r e m o o t h , l o w - r e s o l u t i o n p i c t u r e s s u Æ c e t o r e v e a l m o s t o f t h e i m p o r t a n t f e a - 1 9 u r e s o f t h e f u n c t i o n s . E v e n s o , i t r e m a i n s a n o n { t r i v i a l c o m p u t a t i o n a l h a l l e n g e t o s o l v e t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t d e s c r i b e t h e a s s e t r i c e s a t a l e v e l o f r e s o l u t i o n t h a t i s u s e f u l . I n t h i s s e c t i o n , w e b r i e (cid:13) y o u t i n e t h e s o f t w a r e t o o l t h a t w e d e s i g n e d f o r s o l v i n g t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l q u a t i o n s . T h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s ( P D E s ) t h a t d e s c r i b e a t t r i b u t e a n d a s e t p r i c e s a r e e l li p t i c a l, m e a n i n g t h a t t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o i m e d o e s n o t a p p e a r . T h i s i s i n c o n t r a s t t o t h e p a r a b o li c P D E s t h a t d e s c r i b e h e p r i c e s o f a s s e t s w i t h (cid:12) x e d m a t u r i t i e s . T h e r e a r e t w o a p p r o a c h e s t h a t o n e a n t a k e t o t h e p r o b l e m o f s o l v i n g f o r a n a s s e t p r i c e f u n c t i o n w h e n t h e P D E h a t d e s c r i b e s t h e f u n c t i o n i s e l l i p t i c a l . O n e i s t o s o l v e t h e P D E b y e x p l o i t i n g h e \ s t e a d y { s t a t e " n a t u r e o f t h e f u n c t i o n . T h i s a p p r o a c h t y p i c a l l y l e a d s t o a r g e , s p a r s e { m a t r i x a l g e b r a b a s e d a l g o r i t h m s . T h e s e c o n d a p p r o a c h i s t o r e a t t h e a s s e t a s i f i t h a s a v e r y l o n g (cid:12) x e d m a t u r i t y , a n d t o s o l v e t h e r e s u l t n g p a r a b o l i c P D E . I n e s s e n c e , o n e t r a d e s o (cid:11) c o m p u t e r m e m o r y a g a i n s t t h e u m b e r o f c o m p u t a t i o n s w h e n d e c i d i n g w h i c h a p p r o a c h t o a d o p t . S o l v i n g h e e l l i p t i c a l p r o b l e m r e q u i r e s l a r g e a m o u n t s o f m e m o r y ( a s w e l l a s a g o o d e a l o f c o m p u t a t i o n ) , w h i l e s o l v i n g t h e p a r a b o l i c p r o b l e m r e q u i r e s m u c h l e s s e m o r y , a t t h e c o s t o f m o r e c o m p u t a t i o n . A k e y a d v a n t a g e o f t h e p a r a b o l i c p p r o a c h i s t h a t i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o p a r a l l e l i z e t h e s o l u t i o n a l g o r i t h m , n d s o w e a d o p t e d t h i s a p p r o a c h . T o k e e p t h i s d i s c u s s i o n a s b r i e f a s p o s s i b l e , w e a s s u m e t h a t t h e r e a d e r i s a m i l i a r w i t h t h e e x p l i c i t (cid:12) n i t e d i (cid:11) e r e n c e m e t h o d f o r s o l v i n g p a r a b o l i c p a r t i a l i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s , a n d i s a l s o f a m i l i a r w i t h a m u l t i { t h r e a d i n g s u b r o u t i n e i b r a r y ( e . g . , p t h r e a d s ) . O u r a l g o r i t h m i s e s s e n t i a l l y a d i v i d e { a n d { c o n q u e r l g o r i t h m , i n w h i c h t h e s t a t e s p a c e i s b r o k e n u p i n t o c u b e s , a n d a p r o c e s s o r t h r e a d ) i s a s s i g n e d t o m a k e a s i n g l e s t e p o f t h e e x p l i c i t (cid:12) n i t e d i (cid:11) e r e n c e l g o r i t h m o n a g i v e n c u b e . T h e f o l l o w i n g b i t o f C { c o d e l a y s o u t t h e m a i n o r t i o n o f t h e a l g o r i t h m f o r c a l c u l a t i n g a t t r i b u t e p r i c e s : 1 9 A s ig n i(cid:12) c a n t e x c e p t io n is t h e c a s e w h e r e o n e is c o n c e r n e d w it h t h e p r e c is e lo c a t io n o f h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e c o n t in u a t io n a n d e x e r c is e r e g io n s . 3 3
p t T s o r o d v (cid:26) r 1 f o r ( i = 0 ; i < M 3 ; i + + ) 2 f o r ( j = 0 ; j < M 2 ; j + + ) 3 f o r ( k = 0 ; k < M 1 ; k + + ) 4 X [ 0 ] [ i ] [ j ] [ k ] = r e n t _ f l o w [ j ] ; 5 f o r ( n = 0 ; n < N U M P R O C ; n + + ) 6 p t h r e a d _ c r e a t e ( & t h r e a d [ n ] , 7 & t h r e a d _ d a t a [ n ] , 8 f i n i t e _ d i f f e r e n c e , 9 ( v o i d * ) & t h r e a d _ i d [ n ] ) ; 1 0 f o r ( t = 0 ; t < S * T ; t + + ) 1 1 { 1 2 w h i l e ( c o u n t < N U M P R O C ) 1 3 p t h r e a d _ c o n d _ w a i t ( & t h r e a d _ c o n d , 1 4 & t h r e a d _ m u t e x ) ; 1 5 c o u n t = 0 ; 1 6 f o r ( i = 0 ; i < M 3 ; i + + ) 1 7 f o r ( j = 0 ; j < M 2 ; j + + ) 1 8 f o r ( k = 0 ; k < M 1 ; k + + ) 1 9 X [ 0 ] [ i ] [ j ] [ k ] = X [ 1 ] [ i ] [ j ] [ k ] + 2 0 r e n t _ f l o w [ j ] ; 2 1 p t h r e a d _ c o n d _ b r o a d c a s t ( & s y n c _ c o n d ) ; 2 2 } M M M W e h a v e d i v i d e d t h e s o l u t i o n s p a c e i n t o 1 2 3 e q u a l l y - s p a c e d (cid:3) (cid:3) o i n t s o n t h e u n i t c u b e , a f t e r t r a n s f o r m i n g t h e s u p p o r t o f e a c h s t a t e v a r i a b l e o t h e u n i t i n t e r v a l b y m e a n s o f t h e t r a n s f o r m : x f x : ( ) = ( 4 5 ) (cid:21) x + (cid:21) h e p a r a m e t e r i s a \ p a c k i n g f a c t o r " t h a t i s u s e d t o i n c r e a s e t h e n u m b e r o f o l u t i o n p o i n t s i n a p a r t i c u l a r r e g i o n o f t h e s t a t e s p a c e . A n o t h e r w a y t o t h i n k (cid:21) f i s t h a t i t i n c r e a s e s t h e r e s o l u t i o n o f t h e s o l u t i o n b y \ f o c u s i n g " o n c e r t a i n (cid:26) (cid:27) (cid:21) e g i o n s o f t h e s t a t e s p a c e . F o r a n d , w e s e t e q u a l t o t h e l o n g { r u n m e a n s (cid:25) (cid:21) (cid:27) i ; ; : : : ; M f t h e p r o c e s s e s . F o r , w e s e t e q u a l t o o n e . L e t , f o r = 1 2 3 i (cid:27) e n o t e t h e d i s c r e t e v a l u e s o f a f t e r a p p l y i n g t h e t r a n s f o r m ( 4 5 ) . T h e o t h e r (cid:25) j ; ; : : : ; M a r i a b l e s a r e s i m i l a r l y t r a n s f o r m e d , p r o d u c i n g f o r = 1 2 2 , a n d j k ; ; : : : ; M f o r = 1 2 3 . k (cid:27) ; (cid:25) ; (cid:26) W i t h l i n e s 1 { 4 , w e i n i t i a l i z e v a l u e o f t h e a t t r i b u t e a t ( ) t o t h e i j k (cid:25) e n t a l (cid:13) o w : j P (cid:27) ; (cid:25) ; (cid:26) (cid:25) : ( ) = i j k j 3 4
t i s d t o p e t o a 2 T c t p c t 2 e c l f m r 4 a ( t h r e a d d a t a L i n e s 5 - 9 s t a r t t h e t h r e a d s . T h e s t r u c t u r e c o n t a i n s t h e d a t a h a t e a c h t h r e a d n e e d s t o d e t e r m i n e t h e p a r t o f t h e s o l u t i o n s p a c e t o w h i c h f i n i t e d i f f e r e n c e t i s a s s i g n e d . T h e f u n c t i o n c o n t a i n s c o d e t h a t m a k e s a i n g l e s t e p o f t h e (cid:12) n i t e d i (cid:11) e r e n c e a l g o r i t h m o n t h e p i e c e o f t h e s o l u t i o n s p a c e t h r e a d d a t a e (cid:12) n e d i n . T h e o u t e r { e n c l o s i n g l o o p t h a t b e g i n s a t l i n e 1 0 s t e p s b a c k w a r d t h r o u g h T t i m e ( h e r e = 0 i s t h e l a s t t i m e p e r i o d ) . T h e p a r a m e t e r i s t h e n u m b e r S f y e a r s o v e r w h i c h w e r u n t h e s o l u t i o n , a n d i s t h e n u m b e r o f i n c r e m e n t s 1 T e r y e a r ( e a c h t i m e s t e p i s a l e n g t h o f t i m e e q u a l t o ) . A v a l u e o f l a r g e S (cid:15) n o u g h t o p r o d u c e s o l u t i o n v a l u e s t h a t d i (cid:11) e r b y l e s s t h a n s o m e v a l u e f r o m T h e s o l u t i o n v a l u e s a t 1 c a n b e f o u n d b y t r i a l { a n d - e r r o r . W e u s e d a v a l u e (cid:0) T f = 2 0 0 ( 2 0 0 y e a r s ) ; t h i s v a l u e p r o d u c e d p r i c e s t h a t d i (cid:11) e r e d b y l e s s t h a n S T c e n t f r o m = 2 0 1 . W e u s e d = 3 6 5 , o r t i m e s t e p s o f o n e d a y i n l e n g t h . 0 L i n e s 1 2 - 1 4 o p e r a t e i n t a n d e m w i t h l i n e 2 1 t o s y n c h r o n i z e t h e t h r e a d s . h e m a i n t h r e a d o f c o n t r o l w a i t s a t l i n e 1 3 u n t i l t h e m u t e x { p r o t e c t e d v a r i a b l e o u n t N U M P R O C r e a c h e s t h e v a l u e ( w h e n a t h r e a d (cid:12) n i s h e s a s t e p , i t l o c k s c o u n t h e m u t e x , i n c r e m e n t s , r e l e a s e s t h e m u t e x , a n d w a i t s o n t h e m u t e x { s y n c h c o n d r o t e c t e d v a r i a b l e . ) . c o u n t = N U M P R O C W h e n , t h e m a i n t h r e a d c o n t i n u e s e x e c u t i o n , r e { s e t t i n g o u n t X [ 1 ] t o z e r o a t l i n e 1 5 . A t l i n e s 1 6 - 2 0 t h e s o l u t i o n i s c o p i e d f r o m b a c k X [ 0 ] o , a n d a n a d d i t i o n a l (cid:13) o w o f r e n t s i s a d d e d t o t h e a t t r i b u t e v a l u e . L i n e 1 s i g n a l s t h e t h r e a d s t o p e r f o r m a n o t h e r (cid:12) n i t e d i (cid:11) e r e n c e s t e p . T h e l o o p s t S T x i t s w h e n t h e c u r r e n t t i m e = i s r e a c h e d . (cid:3) X T h e d a t a i n t h e g l o b a l s t o r a g e a r r a y a r e o r g a n i z e d s o a s t o m i n i m i z e a c h e { m i s s e s . T h e d a t a a r e o r g a n i z e d s u c h t h a t a n e n t i r e b l o c k o f m e m o r y (cid:26) o c a t i o n s a l o n g t h e a x i s w i l l b e c o p i e d i n s u c c e s s i o n ; t h e c a l c u l a t i o n s i n i n i t e d i f f e r e n c e a r e s i m i l a r l y a r r a n g e d s o a s t o r u n a l o n g t h i s b l o c k o f e m o r y l o c a t i o n s , t h e r e b y m i n i m i z i n g c a c h e { m i s s e s . M M M F o r o u r p r i c i n g e x p e r i m e n t s , w e s e t 1 = 2 = 3 = 5 0 . T h e a l g o i t h m e x e c u t e d i n a p p r o x i m a t e l y o n e h o u r u s i n g 5 0 t h r e a d s o n a d e d i c a t e d - C P U S u n U l t r a S p a r c 2 0 0 0 . 2 0 T h e le n g t h o f t h e t im e s t e p s u Æ c ie n t t o g u a r a n t e e t h a t t h e s o lu t io n is b o t h s t a b le n d c o n s is t e n t c a n b e fo u n d b y t r ia l a n d e r r o r o r b y a n a ly t ic m e a n s . S e e H u ll a n d W h it e 1 9 9 0 ) fo r a d is c u s s io n o f a n a ly t ic m e t h o d s . 3 5
R A A B C C C C C D D G G e f e r e n c e s m e s , W . F . : 1 9 7 7 , N u m e r i c a l M e t h o d s f o r P a r t i a l D i (cid:11) e r e n t i a l E q u a t i o n s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . n d e r s e n , T . G . a n d L u n d , J . : 1 9 9 7 , E s t i m a t i n g c o n t i n u o u s - t i m e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s o f t h e s h o r t t e r m i n t e r e s t r a t e , J o u r n a l o f E c o n o m e t r i c s 7 7 ( 2 ) , 3 4 3 { 3 7 7 . l a n c h a r d , O . J . a n d K a t z , L . F . : 1 9 9 2 , R e g i o n a l e v o l u t i o n s , B r o o k i n g s P a p e r s o n E c o n o m i c A c t i v i t y ( 1 ) , 1 { 6 1 . a p o z z a , D . R . a n d L i , Y . : 1 9 9 4 , T h e i n t e n s i t y a n d t i m i n g o f i n v e s t m e n t : 8 4 T h e c a s e o f l a n d , A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w ( 4 ) , 8 8 9 { 9 0 4 . a p o z z a , D . R . a n d S i c k , G . A . : 1 9 9 1 , V a l u i n g l o n g - t e r m l e a s e s : T h e o p t i o n 4 t o r e d e v e l o p , J o u r n a l o f R e a l E s t a t e F i n a n c e a n d E c o n o m i c s ( 2 ) , 2 0 9 { 2 2 3 . a s e , B . a n d Q u i g l e y , J . M . : 1 9 9 1 , T h e d y n a m i c s o f r e a l e s t a t e p r i c e s , T h e 7 3 R e v i e w o f E c o n o m i c s a n d S t a t i s t i c s ( 1 ) , 5 0 { 5 8 . h u n g , K . L . a n d W i l l i a m s , R . : 1 9 9 0 , A n I n t r o d u c t i o n t o S t o c h a s t i c I n t e g r a t i o n , B i r k h (cid:127)a u s e r , B o s t o n . o m m e r c e C l e a r i n g H o u s e : 1 9 9 9 , U . S . M a s t e r T a x G u i d e , C o m m e r c e C l e a r i n g H o u s e , C h i c a g o . i x i t , A . K . a n d P i n d y c k , R . S . : 1 9 9 4 , I n v e s t m e n t u n d e r U n c e r t a i n t y , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N J . u Æ e , D . : 1 9 9 6 , D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N J . o e t z m a n n , W . a n d S p i e g e l , M . : 1 9 9 5 , N o n - t e m p o r a l c o m p o n e n t s o f r e s i d e n t i a l r e a l e s t a t e a p p r e c i a t i o n , R e v i e w o f E c o n o m i c s a n d S t a t i s t i c s 7 7 ( 1 ) , 1 9 9 { 2 0 6 . r e e n e , W . H . : 1 9 9 3 , E c o n o m e t r i c A n a ly s i s , M a c m i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y , N e w Y o r k . 3 6
G H J K M M O P P R R S T r i l i c h e s , Z . : 1 9 8 6 , E c o n o m i c d a t a i s s u e s , i n Z . G r i l i c h e s a n d M . I n t r i l i g a t o r ( e d s ) , H a n d b o o k o f E c o n o m e t r i c s , V o l . 3 , N o r t h { H o l l a n d , A m s t e r d a m . u l l , J . a n d W h i t e , A . : 1 9 9 0 , V a l u i n g d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s u s i n g t h e e x p l i c i t (cid:12) n i t e d i (cid:11) e r e n c e m e t h o d , J o u r n a l o f F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a ly s i s 2 5 ( 1 ) , 8 7 { 1 0 0 . o i n t C e n t e r f o r H o u s i n g S t u d i e s , H a r v a r d U n i v e r s i t y : 1 9 9 9 , I m p r o v i n g a m e r i c a ’ s h o u s i n g . a r a t z a s , I . a n d S h r e v e , S . E . : 1 9 9 1 , B r o w n i a n M o t i o n a n d S t o c h a s t i c C a lc u lu s , S p r i n g e r { V e r l a g , N e w Y o r k , N Y . c F a d d e n , D . a n d T r a i n , K . : 1 9 9 8 , M i x e d m n l m o d e l s f o r d i s c r e t e r e s p o n s e . W o r k i n g P a p e r . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y . i l l s , E . S . a n d S i m e n a u e r , R . : 1 9 9 6 , N e w h e d o n i c e s t i m a t e s o f r e g i o n a l 3 9 c o n s t a n t q u a l i t y h o u s e p r i c e s , J o u r n a l o f U r b a n E c o n o m i c s , 2 0 9 { 2 1 5 . r t a l o { M a g n e , F . a n d R a d y , S . : 1 9 9 9 , B o o m i n , b u s t o u t : Y o u n g h o u s e h o l d s 4 3 a n d t h e h o u s i n g p r i c e c y c l e , E u r o p e a n E c o n o m i c R e v i e w ( 4 { 6 ) , 7 5 5 { 7 6 6 . o t e r b a , J . M . : 1 9 8 4 , T a x s u b s i d i e s t o o w n e r { o c c u p i e d h o u s i n g : A n a s s e t { 9 9 m a r k e t a p p r o a c h , T h e Q u a r t e r ly J o u r n a l o f E c o n o m i c s ( 4 ) , 7 2 9 { 7 5 2 . r e s s , W . H . , T e u k o l s k y , S . A . , V e t t e r l i n g , W . T . a n d F l a n n e r y , B . P . : 1 9 9 4 , N u m e r i c a l R e c i p e s i n C , s e c o n d e d n , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e . e v e l t , D . a n d T r a i n , K . : 1 9 9 9 , C u s t o m e r { s p e c i (cid:12) c t a s t e p a r a m e t e r s a n d m i x e d l o g i t . W o r k i n g P a p e r . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y . o s e n , S . a n d T o p e l , R . H . : 1 9 8 8 , H o u s i n g i n v e s t m e n t i n t h e U n i t e d S t a t e s , 9 6 J o u r n a l o f P o li t i c a l E c o n o m y ( 4 ) , 7 1 8 { 7 4 0 . m i t h , G . D . : 1 9 9 6 , N u m e r i c a l s o lu t i o n o f p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n s : F i n i t e d i (cid:11) e r e n c e m e t h o d s , 3 r d e d n , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , O x f o r d . r a i n , K . : 1 9 9 9 , H a l t o n s e q u e n c e s f o r m i x e d l o g i t . W o r k i n g P a p e r . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y . 3 7
U U U W . . . S i S S . l l . A m . V W C D D i a F C e n m e r e n t C e n o lu m a s h e n s a t a b . C . m s , i n a n s u s B u r e a u : 1 9 9 i c a n H o u s i n g S u r P r i n t i n g O Æ c e , W s u s B u r e a u : 1 9 9 8 e 2 : S u p p le m e n t i n g t o n , D . C . u s B u r e a u : 1 9 9 0 a s e : 1 9 7 3 t o 1 9 9 3 J . T . : 1 9 9 3 , E q u 6 c i a l S t u d i e s ( 4 ) , 7 , C u v e y f o a s h i n , C o d f o r 1 , C o d , U . S . i l i b r i u 8 2 5 { 8 r r e n t r t h e g t o n , e b o o k 9 8 4 - 9 e b o o k G o v e m a n 5 0 . 3 8 H U D f 6 , f r n d o u s i n g R e p o r t s , n i t e d S t a t e s : 1 9 . C . o r t h e A m e r i c a n U . S . G o v e r n m e n o r t h e A m e r i c a n m e n t P r i n t i n g O o p t i o n s o n r e a l 9 t Æ a S e r i e s H 7 , U . S . H o u s i n g P r i n t i n H o u s i n g c e , W a s s s e t s , R 1 5 0 / G o v e S u r v g O Æ S u r h i n g t e v i e w 9 7 , r n e y , c e , v e y o n , o f
Cite this document
Chris Downing and Nancy Wallace (2000). A Real Options Approach to Housing Investment (FEDS 2000-30). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2000-30
@techreport{wtfs_feds_2000_30,
author = {Chris Downing and Nancy Wallace},
title = {A Real Options Approach to Housing Investment},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {2000-30},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {2000},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2000-30},
abstract = {In this paper, we study investments by existing homeowners to improve their homes. The value of a house is modeled as the expected net present value of a perpetual stream of service flows emanating from the attributes of the house. An important innovation in our model is that the set of house attributes evolves over time according to the investment decisions of the homeowner. The homeowner's decisions to invest in house attributes are modeled as real options. Our model of investment embeds a multi-factor term structure model and a general model of the evolution of service flows. We employ numeric simulations to explore the properties of the investment model, and to motivate our empirical test of the model. Using a panel from the American Housing Survey, we test two implications of the real option theory. We test whether investment is more likely when the spread between the return to housing and the cost of capital is wide, and we test whether greater spread volatility depresses investment. The results indicate that homeowner investment behavior is consistent with the theory, even after controlling for business cycle, aging, tenure and for-sale influences.},
}