On Signal Extraction and Non-Certainty-Equivalence in Optimal Monetary Policy Rules
Abstract
A standard result in the literature on monetary policy rules is that of certainty equivalence: given the expected values of all the state variables of the economy, policy should be set in a way that is independent of all higher moments of those variables. Some exceptions to this rule have been pointed out by Smets (1998), who restricts policy to respond to only a limited subset of state variables, and by Orphanides (1998), who restricts policy to respond to estimates of the state variables that are biased. In contrast, this paper studies unrestricted, fully optimal policy rules with optimal estimation of state variables. The rules in this framework exhibit certainty equivalence with respect to estimates of an unobserved, possibly complicated, state of the economy X, but are not certainty-equivalent when 1) a signal-extraction problem is involved in the estimation of X, and 2) the optimal rule is expressed as a reduced form that combines policymakers' estimation and policy-setting stages. In general, I show that it is optimal for policymakers to attenuate their reaction coefficient on a variable about which uncertainty has increased, while responding more aggressively to all other variables, about which uncertainty hasn't changed.
O I W h a n i n S i g n a l E x t r a c t i o n a n d N o n - C e r t a i n t y - E q u i v a l e n c e i n O p t i m a l M o n e t a r y P o l i c y R u l e s E r i c T . S w a n s o n B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m e s w a n s o n f r b . g o v @ A b s t r a c t A s t a n d a r d r e s u l t i n t h e l i t e r a t u r e o n m o n e t a r y p o l i c y r u l e s i s t h a t o f c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e : g i v e n t h e e x p e c t e d v a l u e s o f a l l t h e s t a t e v a r i a b l e s o f t h e e c o n o m y , p o l i c y s h o u l d b e s e t i n a w a y t h a t i s i n d e p e n d e n t o f a l l h i g h e r m o m e n t s o f t h o s e v a r i a b l e s . S o m e e x c e p t i o n s t o t h i s r u l e h a v e b e e n p o i n t e d o u t b y S m e t s ( 1 9 9 8 ) , w h o r e s t r i c t s p o l i c y t o r e s p o n d t o o n l y a l i m i t e d s u b s e t o f s t a t e v a r i a b l e s , a n d b y O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) , w h o r e s t r i c t s p o l i c y t o r e s p o n d t o e s t i m a t e s o f t h e s t a t e v a r i a b l e s t h a t a r e b i a s e d . I n c o n t r a s t , t h i s p a p e r s t u d i e s u n r e s t r i c t e d , f u l l y o p t i m a l p o l i c y r u l e s w i t h o p t i m a l e s t i m a t i o n o f s t a t e v a r i a b l e s . T h e r u l e s i n t h i s f r a m e w o r k e x h i b i t c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e w i t h r e s p e c t t o e s t i m a t e s o f a n u n o b s e r v e d , p o s s i b l y c o m p l i c a t e d , s t a t e o f t h e e c o n o m y X , b u t a r e n o t c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t w h e n 1 ) a s i g n a l - e x t r a c t i o n p r o b l e m i s i n v o l v e d i n t h e e s t i m a t i o n o f X , a n d 2 ) t h e o p t i m a l r u l e i s e x p r e s s e d a s a r e d u c e d f o r m t h a t c o m b i n e s p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t i o n a n d p o l i c y - s e t t i n g s t a g e s . I n g e n e r a l , I s h o w t h a t i t i s o p t i m a l f o r p o l i c y m a k e r s t o a t t e n u a t e t h e i r r e a c t i o n c o e Æ c i e n t o n a v a r i a b l e a b o u t w h i c h u n c e r t a i n t y h a s i n c r e a s e d , w h i l e r e s p o n d i n g m o r e a g g r e s s i v e l y t o a l l o t h e r v a r i a b l e s , a b o u t w h i c h u n c e r t a i n t y h a s n ’ t c h a n g e d . J E L C l a s s i (cid:12) c a t i o n : E 5 2 V e r s i o n 0 . 5 . 1 M a y 3 0 , 2 0 0 0 t h a n k A t h a n a s i o s O r p h a n i d e s , G l e n n R u d e b u s c h , B r i a n S a c k , D a v i d S m a l l , V o l k e r i e l a n d , a n d p a r t i c i p a n t s a t t h e S a n F r a n c i s c o F e d / S t a n f o r d S I E P R C o n f e r e n c e f o r e l p f u l d i s c u s s i o n s , c o m m e n t s , a n d s u g g e s t i o n s . T h e v i e w s e x p r e s s e d i n t h i s p a p e r , n d a l l e r r o r s a n d o m i s s i o n s , s h o u l d b e r e g a r d e d a s t h o s e s o l e l y o f t h e a u t h o r , a n d a r e o t n e c e s s a r i l y t h o s e o f t h e i n d i v i d u a l s l i s t e d a b o v e , t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , o r t s B o a r d o f G o v e r n o r s .
1 I a s f b b f a v w r a i m f t w a w o 1 . I n t r o d u c t i o n n c r e a s e d u n c e r t a i n t y a b o u t t h e c u r r e n t g r o w t h r a t e o f p r o d u c t i v i t y , p o t e n t i a l o u t p u t , n d t h e n a t u r a l r a t e o f u n e m p l o y m e n t h a s l e d t o q u e s t i o n s a b o u t h o w m o n e t a r y p o l i c y h o u l d b e a l t e r e d i n t h e f a c e o f t h i s u n c e r t a i n t y . T h e q u e s t i o n i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w ( W h a t s h o u l d t h e F e d e r a l R e s e r v e d o t o d a y ? ) , a s w e l l a s e i n g o f p a r t i c u l a r t h e o r e t i c a l i n t e r e s t ( W h a t a r e t h e v a r i o u s t y p e s o f u n c e r t a i n t y f a c e d y p o l i c y m a k e r s , a n d w h a t e (cid:11) e c t s s h o u l d e a c h o f t h e s e h a v e o n o p t i m a l p o l i c y ? ) A n a t u r a l p l a c e t o b e g i n t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e s e d i Æ c u l t q u e s t i o n s i s w i t h i n t h e r a m e w o r k o f m o n e t a r y p o l i c y r u l e s , s u c h a s t h o s e p u t f o r w a r d b y T a y l o r ( 1 9 9 3 ) . T h e d v a n t a g e o f t h e s e r u l e s i s t h a t t h e y a r e e x p l i c i t , w e l l - d e (cid:12) n e d , a n d s i m p l e f u n c t i o n s o f a r i a b l e s w i t h i n a c o m p l e t e l y s p e c i (cid:12) e d e c o n o m i c m o d e l . D i (cid:11) e r e n t t y p e s o f u n c e r t a i n t y i t h i n t h e m o d e l c a n t h e n b e s p e c i (cid:12) e d a n d t h e i r e (cid:11) e c t s s t u d i e d . T h e f a c t t h a t T a y l o r - t y p e u l e s h a v e m a t c h e d t h e h i s t o r i c a l b e h a v i o r o f t h e F e d e r a l R e s e r v e f o r t h e p a s t 1 5 { 2 0 y e a r s l s o l e n d s s u p p o r t t o t h e i r u s e a s a n a n a l y t i c a l l a b o r a t o r y f o r t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e s e s s u e s . A t y p i c a l s e t u p i n v o l v e s a n e c o n o m y t h a t i s l i n e a r i n a l l o f i t s v a r i a b l e s , a n d p o l i c y a k e r s w h o m i n i m i z e a n e x p e c t e d d i s c o u n t e d s u m o f s q u a r e d d e v i a t i o n s o f g o a l v a r i a b l e s r o m t h e i r r e s p e c t i v e t a r g e t s . T h e f o l l o w i n g b a c k w a r d - l o o k i n g m o d e l s e r v e s a s a n i l l u s t r a - 1 i v e e x a m p l e : (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 ( y (cid:0) y ) = ’ ( y (cid:0) y ) (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) + " ( 1 a ) t t t t (cid:0) (cid:3) 1 (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) ( y (cid:0) y ) + (cid:23) ( 1 b ) t t t t (cid:0) (cid:3) h e r e y , (cid:25) , a n d r r e f e r t o o u t p u t , i n (cid:13) a t i o n , a n d t h e r e a l i n t e r e s t r a t e i n p e r i o d t , y t t t (cid:3) n d r d e n o t e t h e l e v e l s o f p o t e n t i a l o u t p u t a n d t h e \ n a t u r a l " r a t e o f i n t e r e s t c o n s i s t e n t i t h l o n g - r u n e q u i l i b r i u m , r e s p e c t i v e l y , a n d r i s s e t b y p o l i c y m a k e r s a t t h e b e g i n n i n g t f p e r i o d t b a s e d o n i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e t h r o u g h t h e e n d o f p e r i o d t (cid:0) 1 . A t y p i c a l 1 I w ill a ls o c o n s id e r f o r w a r d - lo o k in g m o d e ls in t h e m a in b o d y o f t h e p a p e r , b e lo w .
s a i c c f a r j w e a a o y o b o s c t o 2 p e c i (cid:12) c a t i o n o f p o l i c y m a k e r s ’ p r e f e r e n c e s i s : 1 2 2 s t (cid:0) (cid:3) (cid:3) m i n ( 1 (cid:0) Æ ) E Æ ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) + (cid:13) ( y (cid:0) y ) ( 2 ) t s s = s t X (cid:2) (cid:3) s i m p l e d i s c o u n t e d s u m o f e x p e c t e d s q u a r e d d e v i a t i o n s o f o u t p u t f r o m p o t e n t i a l a n d (cid:3) n (cid:13) a t i o n f r o m i t s t a r g e t , (cid:25) , w i t h w e i g h t (cid:13) p l a c e d o n t h e o u t p u t g a p . T h e c a s e (cid:13) = 0 o r r e s p o n d s t o p u r e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t i n g b y p o l i c y m a k e r s , b u t d o e s n o t n e c e s s a r i l y p r e v e n t u r r e n t o r p a s t v a l u e s o f t h e o u t p u t g a p f r o m e n t e r i n g p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e a c t i o n u n c t i o n , s i n c e t h e s e v a r i a b l e s m a y h e l p f o r e c a s t f u t u r e v a l u e s o f i n (cid:13) a t i o n . N o t e t h a t i t i s s s u m e d i n t h e m o d e l f o r s i m p l i c i t y t h a t p o l i c y m a k e r s h a v e c o n t r o l o v e r t h e s h o r t - t e r m e a l i n t e r e s t r a t e , r . t T h i s i s a s i m p l e , d i s c r e t e - t i m e d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m w i t h q u a d r a t i c o b e c t i v e a n d l i n e a r c o n s t r a i n t s , t h e s o l u t i o n o f w h i c h i s w e l l k n o w n ( S a r g e n t ( 1 9 8 7 ) ) : (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 1 r (cid:0) r = a ( y (cid:0) y ) + b ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) ( 3 ) t t t (cid:0) (cid:0) h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t s , d e t e r m i n e d b y t h e p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l . T h e f o r m o f q u a t i o n ( 3 ) a n d t h e v a l u e s o f a a n d b a r e t h e s a m e n o m a t t e r w h a t t h e v a r i a n c e s o f " n d (cid:23) | p o l i c y m a k e r s b e h a v e i n a c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t f a s h i o n r e g a r d l e s s o f t h e v a r i a n c e s s o c i a t e d w i t h t h e l a w s o f m o t i o n o f t h e e c o n o m y . A m a j o r i m p l i c a t i o n o f t h i s (cid:12) n d i n g i s t h a t u n c e r t a i n t y a b o u t t h e l e v e l o f p o t e n t i a l (cid:3) u t p u t , y , s h o u l d h a v e n o e (cid:11) e c t o n t h e m o n e t a r y p o l i c y r u l e . I f a t t i m e t w e h a v e (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) = ^y + (cid:17) , w h e r e (cid:17) i s a m e a n - z e r o s t o c h a s t i c d i s t u r b a n c e a n d ^y (cid:17) E y , t h e n t h e f o r m t (cid:3) (cid:3) f e q u a t i o n s ( 1 a ) a n d ( 1 b ) i s e s s e n t i a l l y u n c h a n g e d , w i t h y r e p l a c e d b y ^y , " r e p l a c e d t y ~" (cid:17) " (cid:0) ( 1 (cid:0) ’ ) (cid:17) , a n d (cid:23) r e p l a c e d b y ~(cid:23) (cid:17) (cid:23) (cid:0) (cid:12) (cid:17) . T h e n , a s b e f o r e , t h e v a r i a n c e s t t t t t n o f ~" a n d ~(cid:23) , a n d h e n c e t h e v a r i a n c e o f (cid:17) , h a v e e (cid:11) e c t o n t h e o p t i m a l p o l i c y r u l e | o n e t t (cid:3) (cid:3) (cid:3) i m p l y r e p l a c e s y w i t h ^y i n e q u a t i o n ( 3 ) a n d a c t s a s i f t h i s e s t i m a t e ^y w e r e k n o w n w i t h e r t a i n t y . T h i s r e s u l t i s e m p h a s i z e d b y E s t r e l l a a n d M i s h k i n ( 1 9 9 8 ) , a n d i s s t a n d a r d i n h e l i t e r a t u r e o n m o n e t a r y p o l i c y r u l e s . T o b e s u r e , n o t a l l t y p e s o f u n c e r t a i n t y a r e s t e r i l e w h e n i t c o m e s t o t h e i r e (cid:11) e c t s n o p t i m a l p o l i c y . F o r e x a m p l e , i f p o l i c y m a k e r s a r e u n s u r e a b o u t t h e e (cid:11) e c t s o f t h e i r
c d ( t u n u m s m t r q c o t o P p v t o r e o v 3 o n t r o l v a r i a b l e r o n t h e e c o n o m y , s o t h a t (cid:11) i s s t o c h a s t i c , t h e o p t i m a l c h o i c e o f r w i l l t t e p e n d o n t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y u n d e r l y i n g t h e p a r a m e t e r (cid:11) ( B r a i n a r d ( 1 9 6 7 ) , S a c k m u lt i p li c a t i v e 1 9 9 8 ) ) . H e r e , t h e u n c e r t a i n t y i s w i t h r e s p e c t t o t h e c o n t r o l v a r i a b l e , r a t h e r 2 a d d i t i v e . h a n b e i n g s i m p l y I n t h i s p a p e r , h o w e v e r , I a b s t r a c t a w a y f r o m m u l t i p l i c a t i v e n c e r t a i n t y f o r a n u m b e r o f r e a s o n s . F i r s t , i t i s w e l l k n o w n t h a t c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e d o e s o t h o l d i n t h e p r e s e n c e o f m u l t i p l i c a t i v e u n c e r t a i n t y . S e c o n d , t h e e (cid:11) e c t s o f m u l t i p l i c a t i v e n c e r t a i n t y o n p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e s p o n s e f u n c t i o n ( 3 ) a r e a m b i g u o u s i n s i g n ( w h e n o r e t h a n o n e c o e Æ c i e n t i s s t o c h a s t i c ) , a n d f o u n d b y s e v e r a l a u t h o r s t o b e q u a n t i t a t i v e l y 3 m a l l i n s i m u l a t i o n s ( E s t r e l l a a n d M i s h k i n ( 1 9 9 8 ) , R u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a ) ) . F i n a l l y , a n d o s t i m p o r t a n t l y , t h e u n c e r t a i n t y w h i c h p o l i c y m a k e r s a p p e a r t o b e m o s t c o n c e r n e d w i t h o d a y i s p r i m a r i l y a d d i t i v e i n n a t u r e : H a s t h e r e b e e n a s t r u c t u r a l b r e a k i n t h e g r o w t h a t e o f p r o d u c t i v i t y , p o t e n t i a l o u t p u t , a n d t h e n a t u r a l r a t e o f u n e m p l o y m e n t ? T h e s e a r e u e s t i o n s a b o u t t h e s t a t e v a r i a b l e s o f t h e e c o n o m y t h e m s e l v e s , n o t a b o u t t h e e (cid:11) e c t s o f o n h o i c e v a r i a b l e s t h e e c o n o m i c s t a t e . T h e m a i n p o i n t o f t h i s p a p e r i s t h a t a d d i t i v e u n c e r t a i n t y c a n h a v e i m p o r t a n t e (cid:11) e c t s n o p t i m a l p o l i c y , e v e n w i t h i n a l i n e a r - q u a d r a t i c f r a m e w o r k . S u p p o s e , f o r e x a m p l e , t h a t 4 h e s t a t e o f t h e e c o n o m y i s X , a n u n o b s e r v e d , p o s s i b l y l a r g e v e c t o r . S u p p o s e f u r t h e r t h a t t u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n a r e o b s e r v a b l e f u n c t i o n s o f t h i s u n o b s e r v e d s t a t e o f t h e e c o n o m y X . t o l i c y m a k e r s w i l l b e h a v e i n a c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t f a s h i o n w i t h r e s p e c t t o E X , t h e e x - t t e c t e d v a l u e o f X , b u t w i l l u s e o b s e r v a t i o n s o f o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n t o h e l p i n f e r w h a t t h e t a l u e o f E X i s . T h i s i n f e r e n c e s t a g e o f t h e p r o b l e m , b e c a u s e i t i s o n e o f s i g n a l e x t r a c - t t i o n , i s s e n s i t i v e t o t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y t h a t i s p r e s e n t i n t h e o b s e r v a b l e v a r i a b l e s (cid:3) f t h e s y s t e m . I n p a r t i c u l a r , a s t h e n o i s e i n t h e d a t a o n t h e o u t p u t g a p , y (cid:0) y , i n c r e a s e s t (cid:3) e l a t i v e t o t h e s i g n a l a b o u t X , i t i s o p t i m a l t o d e c r e a s e t h e c o e Æ c i e n t o n y (cid:0) y i n t h e t t s t i m a t i o n o f E X , a n d i n c r e a s e t h e c o e Æ c i e n t o n i n (cid:13) a t i o n i n t h a t e s t i m a t i o n . T h u s , t h e t t p t i m a l p o l i c y , w h e n e x p r e s s e d a s a r e d u c e d - f o r m f u n c t i o n o f o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n , r a t h e r 2 (cid:3) 1 1 N o t e t h a t u n c e r t a in t y a b o u t r , y , a n d (cid:25) a r e a ls o a ll a d d it iv e w it h r e s p e c t t o t h e c o n t r o l t t (cid:0) (cid:0) a r ia b le r , a n d t h u s a ls o h a v e n o e (cid:11) e c t o n t h e o p t im a l p o lic y in ( 3 ) . t 3 S a c k ( 1 9 9 8 ) , h o w e v e r , (cid:12) n d s la r g e r e (cid:11) e c t s o f p a r a m e t e r u n c e r t a in t y w it h in a m o n t h ly V A R f r a m e w o r k . 4 S o m e c o m p o n e n t s o f X m a y b e o b s e r v e d w it h o u t a lt e r in g t h e r e s u lt s . t
t I o o i a e l t t s B r i p o w n r a m w w 4 n o t h a n E X , i s i n v a r i a n t t o t h e d e g r e e o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y i n t h e f o r m e r v a r i a b l e s . t t t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t b o t h t h e r u l e i t s e l f a n d p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t e E X a r e f u l l y t t p t i m a l i n t h i s f r a m e w o r k | a t e v e r y t i m e t , p o l i c y m a k e r s ’ i n t e r e s t - r a t e c h o i c e a n d e s t i m a t e f s t a t e v a r i a b l e s a r e g l o b a l l y o p t i m a l , a n d c a n n o t b e i m p r o v e d u p o n i n a n y w a y . T h i s s o n e o f t h e m a i n r e s p e c t s i n w h i c h t h e p r e s e n t p a p e r d i (cid:11) e r s f r o m p r e v i o u s w o r k i n t h i s r e a . P r e v i o u s s t u d i e s o f n o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e w i t h a d d i t i v e u n c e r t a i n t y h a v e f o l l o w e d i t h e r S m e t s ( 1 9 9 8 ) o r O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) . S m e t s ( 1 9 9 8 ) p o i n t s o u t t h a t c e r t a i n t y e q u i v a e n c e f a i l s t o h o l d w h e n p o l i c y m a k e r s a r e c o n s t r a i n e d t o r e s p o n d t o o n l y a l i m i t e d s u b s e t o f h e s t a t e v a r i a b l e s o f t h e s y s t e m , s o t h a t t h e p o l i c y r u l e i s a c o n s t r a i n e d o p t i m u m , r a t h e r h a n a g l o b a l o p t i m u m . ( T h i s r e s t r i c t i o n m a k e s s e n s e , i n p a r t i c u l a r , w h e n t h e s i z e o f t h e e t a l. t a t e s p a c e i s l a r g e , a s i n O r p h a n i d e s ( 2 0 0 0 ) , w h o w o r k w i t h t h e F e d e r a l R e s e r v e o a r d ’ s m a c r o m o d e l . ) U n c e r t a i n t y a b o u t a n y o f t h e v a r i a b l e s i n t h e p o l i c y m a k e r s ’ s i m p l e 5 u l e w i l l t h e n l e a d t h e o p t i m a l c o e Æ c i e n t s o f t h e s i m p l e r u l e t o c h a n g e . O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) f o c u s e s o n t h e f a c t t h a t t h e d a t a , s u c h a s t h e o u t p u t g a p a n d n (cid:13) a t i o n r a t e , a r e o b s e r v e d o n l y i m p e r f e c t l y i n r e a l t i m e . B y t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e r i n c i p l e , p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e s p o n s e i n t h i s c a s e i s t o f o r m u l a t e b e s t e s t i m a t e s o f t h e (cid:3) u t p u t g a p , E ( y (cid:0) y ) , a n d i n (cid:13) a t i o n , E (cid:25) , a n d a c t a s i f t h e s e e s t i m a t e s w e r e k n o w n t t t t t i t h c e r t a i n t y . O r p h a n i d e s a n d o t h e r s ( A o k i ( 1 9 9 9 ) , R u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a , b ) ) b r i n g a b o u t a c t u a l o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e i n t h i s f r a m e w o r k b y c o n s t r a i n i n g p o l i c y t o r e a c t t o t h e e a l - t i m e d a t a , r a t h e r t h a n t o t h e b e s t e s t i m a t e s a b o v e . T h i s n a t u r a l l y r a i s e s t h e q u e s t i o n s t o w h y t h e a c t u a l r e a l - t i m e d a t a a r e n o t ( r e a l - t i m e ) b e s t e s t i m a t e s o f t h e t r u e v a l u e s . (cid:3) (cid:3) F o r e x a m p l e , i f y d e n o t e s t h e l e v e l o f p o t e n t i a l o u t p u t , a n d y t h e r e a l - t i m e e s t i - t t tj a t e o f t h e l e v e l o f p o t e n t i a l o u t p u t , o n e w o u l d n o r m a l l y e x p e c t t h a t : (cid:3) (cid:3) y = y + (cid:17) ( 4 ) t t t tj (cid:3) (cid:3) i s h e r e (cid:17) i s a m e a n - z e r o r a n d o m v a r i a b l e . I n t h i s c a s e , y = E y , s o t h e r e a l - t i m e d a t a t t t t tj 5 n o t U n c e r t a in t y a b o u t a n y s t a t e v a r ia b le s in t h e p o lic y m a k e r s ’ s im p le r u le w ill h a v e n o e (cid:11) e c t ; t h is ill b e o b v io u s f r o m t h e d is c u s s io n o f t h e r e s u lt s in S e c t io n 2 , b e lo w .
t d e w r i a v a c b e t n s s p e n o s w w e u 5 h e r e a l - t i m e b e s t e s t i m a t e ! T h e c o n s t r a i n t t h a t p o l i c y m a k e r s r e a c t o n l y t o t h e r e a l - t i m e a t a i s t h e n n o t r e a l l y a c o n s t r a i n t a t a l l , a n d t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e h o l d s . I t i s o n l y b e c a u s e O r p h a n i d e s f o r m u l a t e s t h e r e a l - t i m e d a t a p r o b l e m a s o n e o f s i g n a l x t r a c t i o n , w i t h (cid:3) (cid:3) 0 y = y + (cid:17) ( 4 ) t t t tj (cid:3) h e r e y ( t h e t r u e v a l u e u n d e r l y i n g t h e d a t a , o r s i g n a l ) a n d (cid:17) ( t h e n o i s e ) a r e o r t h o g o n a l t t a n d o m v a r i a b l e s , t h a t t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e i s c i r c u m v e n t e d . N o t e t h a t (cid:3) (cid:3) 0 (cid:3) 6= E y , s o t h a t i t i s n o l o n g e r h a s t h e p r o p e r t y t h a t y n ( 4 ) , t h e r e a l - t i m e d a t a y t t t t t t j j n u n b i a s e d e s t i m a t e . W h e n t h e p r o b l e m i s m o d i (cid:12) e d i n t h i s m a n n e r , a n i n c r e a s e i n t h e (cid:3) (cid:3) d o e s a r i a n c e o f (cid:17) n o w h a v e a n e (cid:11) e c t o n t h e b e s t e s t i m a t e E y | i n p a r t i c u l a r , i f y a n d (cid:17) t t t t t 2 2 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d a r o u n d z e r o , t h e n E y = (cid:27) = ( (cid:27) + (cid:27) ) y i n t h e u n i v a r i a t e t t y y (cid:17) t tj a s e . A l t h o u g h t h e o p t i m a l p o l i c y i s s t i l l a c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t f u n c t i o n o f p o l i c y m a k e r s ’ (cid:0) (cid:1) (cid:3) (cid:3) e s t e s t i m a t e E y , e x p r e s s i n g t h e p o l i c y a s a f u n c t i o n o f t h e r e a l - t i m e y n o w l e a d s t o t t t tj (cid:11) e c t s o f a d d i t i v e u n c e r t a i n t y (cid:17) o n t h e c o e Æ c i e n t s i n t h e o p t i m a l r u l e . I t i s i n t h i s r e s p e c t t h a t O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) (cid:12) n d s a n e x c e p t i o n t o t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e . p e r s e I t s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e a b o v e a n a l y s i s t h a t t h e u s e o f r e a l - t i m e d a t a h a s o t h i n g t o d o w i t h t h e n o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e d e m o n s t r a t e d i n O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) . I n t e a d , i t i s t h e i n t r o d u c t i o n o f a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m i n t o t h e p o l i c y m a k e r s ’ i n f e r e n c e t e p t h a t d r i v e s t h e r e s u l t . T h e g e n e r a l i m p l i c a t i o n s o f f o r m u l a t i n g p o l i c y m a k e r s ’ i n f e r e n c e r o b l e m i n t h i s w a y i s t h e d o m a i n o f t h e p r e s e n t p a p e r . I n a d d i t i o n , t h e p o l i c i e s t h a t a r e e t . a l. m p h a s i z e d i n O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) , O r p h a n i d e s ( 2 0 0 0 ) , a n d R u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a , b ) a r e o t f u l l y o p t i m a l , s o t h a t i t i s d i Æ c u l t i n t h o s e p a p e r s t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e e (cid:11) e c t s f u n c e r t a i n t y p r o p e r a n d t h e e (cid:11) e c t s o f u n c e r t a i n t y i n t e r a c t e d w i t h a s u b s t a n t i a l l y c o n t r a i n e d p o l i c y r e s p o n s e f u n c t i o n . I n t h e p r e s e n t p a p e r , a l l p o l i c y r u l e s a n d a l l e s t i m a t i o n i l l b e f u l l y o p t i m a l . A g a i n , t h i s i s o n e o f t h e m a i n p o i n t s o f d e p a r t u r e f r o m p r e v i o u s o r k . T h e p a p e r p r o c e e d s a s f o l l o w s . S e c t i o n t w o d e v e l o p s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s i g n a l x t r a c t i o n a n d n o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e i n a s i m p l e d e s c r i p t i v e m o d e l o f t h e e c o n o m y , n d e r b o t h n a i v e a n d r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s . S e c t i o n t h r e e e x t e n d s t h e s e r e s u l t s t o t h e
g f u (cid:12) 2 P w l s o h b i t a t w H (cid:11) a 6 e n e r a l l i n e a r - q u a d r a t i c - G a u s s i a n f r a m e w o r k a n d p r o v e s t h e c o e Æ c i e n t a t t e n u a t i o n r e s u l t o r t h e g e n e r a l c a s e . S e c t i o n f o u r e x t e n d s t h e b a s i c m o d e l t o a l l o w f o r d y n a m i c e v o l u t i o n o f n c e r t a i n t y , a n d p r o v e s t h a t t h e r e s u l t s o f s e c t i o n t w o a r e r o b u s t t o t h i s e x t e n s i o n . S e c t i o n v e d i s c u s s e s t h e r e s u l t s a n d c o n c l u d e s . . T h e B a s i c M o d e l o l i c y m a k e r s h a v e p r e f e r e n c e s o v e r i n (cid:13) a t i o n a n d o u t p u t o f t h e f o r m : 1 2 2 s t (cid:0) (cid:3) (cid:3) m i n ( 1 (cid:0) Æ ) E Æ ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) + (cid:13) ( y (cid:0) y ) ( 5 ) t s s = s t X (cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:3) h e r e (cid:25) d e n o t e s p o l i c y m a k e r s ’ l o n g - r u n t a r g e t f o r t h e i n (cid:13) a t i o n r a t e a n d y d e n o t e s t h e e v e l o f \ p o t e n t i a l " o u t p u t c o n s i s t e n t w i t h l o n g - r u n e q u i l i b r i u m . T h e c a s e (cid:13) = 0 c o r r e p o n d s t o p u r e i n (cid:13) a t i o n t a r g e t i n g , b u t d o e s n o t n e c e s s a r i l y p r e c l u d e c u r r e n t o r p a s t v a l u e s f t h e o u t p u t g a p f r o m e n t e r i n g p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e a c t i o n f u n c t i o n , s i n c e t h e y m a y e l p f o r e c a s t i n (cid:13) a t i o n . F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s e c t i o n , t h e u n o b s e r v e d \ s i g n a l " v a r i a b l e X w i l l b e t a k e n t o t e a s c a l a r . T h e i n t e r p r e t a t i o n i n t h i s c a s e i s t h a t t h e t r u e u n d e r l y i n g s t a t e o f t h e e c o n o m y s s c a l a r , o r a l t e r n a t i v e l y t h a t X i s a n i n d e x o f i n (cid:13) a t i o n a r y p r e s s u r e s ( w h i c h o n e c o u l d t h i n k o f a s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o n c e p t o f \ e x c e s s d e m a n d " ) , t h i s i n d e x i t s e l f b e i n g a n m a l g a m o f a g r e a t m a n y v a r i a b l e s u n d e r l y i n g t h e e c o n o m y . I n e i t h e r c a s e , X i s a s s u m e d t o e v o l v e a c c o r d i n g t o : (cid:3) 1 X = ’ X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) + " ( 6 a ) t t t t (cid:0) h i l e t h e o u t p u t g a p a n d i n (cid:13) a t i o n a r e o b s e r v a b l e f u n c t i o n s o f t h i s u n o b s e r v e d s t a t e : (cid:3) ( y (cid:0) y ) = X + (cid:17) ( 6 b ) t t t e (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) ( 6 c ) t t t t (cid:3) e r e r d e n o t e s t h e \ n a t u r a l " r a t e o f i n t e r e s t , c o n s i s t e n t w i t h l o n g - r u n e q u i l i b r i u m , a n d , (cid:12) , a n d ’ a r e k n o w n p o s i t i v e p a r a m e t e r s w i t h ’ < 1 . T h e s t o c h a s t i c d i s t u r b a n c e s " , (cid:17) , t t n d (cid:23) a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r , o v e r t i m e , o f c u r r e n t a n d p r i o r v a l u e s o f X , y , a n d (cid:25) , t
7 2 2 2 a n d a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h c o n s t a n t v a r i a n c e s (cid:27) , (cid:27) , a n d (cid:27) , r e s p e c t i v e l y . T h e " (cid:17) (cid:23) v a r i a b l e X ( a n d i t s p a s t v a l u e s ) a r e n e v e r o b s e r v e d b y p o l i c y m a k e r s a n d m u s t b e i n f e r r e d t f r o m p r e v i o u s o b s e r v a t i o n s o f o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n . E q u a t i o n s ( 6 b ) a n d ( 6 c ) r e p r e s e n t t h e s i g n a l e x t r a c t i o n a s p e c t o f t h e p r o b l e m , w i t h (cid:17) a n d (cid:23) d e n o t i n g n o i s e d i s t u r b a n c e s t h a t t t a r e o r t h o g o n a l t o t h e u n d e r l y i n g s i g n a l X . t (cid:3) O n e m a y a s s u m e t h a t y i s o b s e r v e d w i t h c e r t a i n t y , o r a l t e r n a t i v e l y t h a t i t i s s t o c h a s - (cid:3) (cid:3) t i c ( (cid:25) a n d r a r e p r e s u m e d t o b e k n o w n w i t h c e r t a i n t y , a l t h o u g h i n p r i n c i p l e t h e s e r e - 6 (cid:3) (cid:3) s t r i c t i o n s , t o o , c o u l d b e d r o p p e d ) . L e t t i n g y = ^y + (cid:16) , w h e r e (cid:16) i s a r a n d o m v a r i a b l e , o n e c a n r e w r i t e e q u a t i o n ( 6 b ) a s : (cid:3) 0 ( y (cid:0) ^y ) = X + ~(cid:17) ( 6 b ) t t t w h e r e ~(cid:17) (cid:17) (cid:17) + (cid:16) . F r o m t h e p o i n t o f v i e w o f p o l i c y m a k e r s ’ d e c i s i o n a t t i m e t , t h i s t t i s e q u i v a l e n t t o s i m p l y i n c r e a s i n g t h e v a r i a n c e o f (cid:17) i n e q u a t i o n ( 6 b ) , s o t h e a n a l y s i s i s t s i m p l i (cid:12) e d , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , b y r e s t r i c t i n g a t t e n t i o n t o t h a t e q u a t i o n , a n d s t u d y i n g 2 7 t h e e (cid:11) e c t s o f a n i n c r e a s e i n (cid:27) . (cid:17) E q u a t i o n ( 6 c ) a l s o i n c o r p o r a t e s e c o n o m i c a g e n t s ’ p r i o r e x p e c t a t i o n o f t h e i n (cid:13) a t i o n e r a t e , (cid:25) , w h i c h i s k n o w n a n d (cid:12) x e d a t t h e b e g i n n i n g o f p e r i o d t . I n p r i n c i p l e , t h i s c o u l d t e b e g i n n i n g b e a r a t i o n a l e x p e c t a t i o n ( (cid:25) (cid:17) E (cid:25) , w h e r e E d e n o t e s t h e e x p e c t a t i o n a t t h e t t t t e 1 o f p e r i o d t , b e f o r e s h o c k s a r e r e a l i z e d ) , a n a i v e a d a p t i v e e x p e c t a t i o n ( (cid:25) (cid:17) (cid:25) ) , o r a t (cid:0) t f o r e c a s t d e r i v e d b y s o m e o t h e r m e a n s . I n p r a c t i c e , t h e s p e c i a l l i n e a r - q u a d r a t i c s t r u c t u r e e o f t h e p r o b l e m i s l o s t u n l e s s (cid:25) i s e i t h e r a r a t i o n a l e x p e c t a t i o n o r a (cid:12) x e d l i n e a r c o m b i n a t i o n t o f (cid:12) n i t e l y m a n y l a g s o f o b s e r v a b l e v a r i a b l e s ; t h u s , t h a t a s s u m p t i o n w i l l b e m a i n t a i n e d h e r e . e I n a d d i t i o n , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s e c t i o n , i t w i l l b e a s s u m e d t h a t (cid:25) i s e i t h e r r a t i o n a l t e 1 o r p u r e l y n a i v e ( (cid:25) (cid:17) (cid:25) ) , a s t h i s k e e p s t h e n u m b e r o f s t a t e v a r i a b l e s i n t h e m o d e l t o a t (cid:0) t 6 I a s s u m e h e r e t h a t t h e e r r o r (cid:16) is o r t h o g o n a l t o c u r r e n t a n d p a s t v a lu e s o f X a n d a ll o t h e r v a r ia b le s (cid:3) o f t h e s y s t e m . T h is is t h e c a s e , f o r e x a m p le , w h e n t h e u n c e r t a in t y s u r r o u n d in g y is d u e t o a r e g im e (cid:3) c h a n g e t h a t h a s b e e n k n o w n t o o c c u r in t h e p r e v io u s p e r io d , s o t h a t y , w h ic h w a s p r e v io u s ly k n o w n w it h c e r t a in t y , is s u d d e n ly u n c e r t a in . T h e m o r e g e n e r a l c a s e , w h e r e (cid:16) m a y b e c o r r e la t e d w it h X , is n o t d iÆ c u lt , t a n d is s o lv e d in S e c t io n s 3 a n d 4 , b e lo w . T h e r e s u lt s t h e r e a r e e s s e n t ia lly id e n t ic a l t o t h o s e p r e s e n t e d h e r e . 7 (cid:3) T h e r e is o n e c o m p lic a t io n in t h a t u n c e r t a in t y a b o u t y d im in is h e s o v e r t im e ( in t h e a b s e n c e o f n e w (cid:3) s h o c k s t o y ) a s p o lic y m a k e r s le a r n f r o m o b s e r v a t io n s o f y a n d (cid:25) . T h is p o s e s n o p r o b le m , h o w e v e r , b e c a u s e t h e s e p a r a t io n o f e s t im a t io n a n d c o n t r o l in t h is lin e a r - q u a d r a t ic f r a m e w o r k im p lie s t h a t t h is le a r n in g p r o c e s s ( w h ic h t a k e s p la c e v ia K a lm a n (cid:12) lt e r in g ) h a s n o e (cid:11) e c t o n t h e o p t im a l p o lic y ( s e e , f o r e x a m p le , B e r t s e k a s ( 1 9 8 7 ) , p . 2 9 2 ) .
8 8 m i n i m u m . T h e t i m i n g o f p o l i c y m a k e r s ’ o b s e r v a t i o n s a n d a c t i o n s i s a s f o l l o w s . A t t h e b e g i n n i n g 1 1 o f p e r i o d t , p o l i c y m a k e r s u p d a t e t h e i r b e l i e f s a b o u t X b a s e d o n o b s e r v a t i o n s o f y , t t (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:25) , a n d t h e e a r l i e r c h o i c e o f r . B a s e d o n t h e s e u p d a t e d b e l i e f s , p o l i c y m a k e r s t h e n t t (cid:0) (cid:0) c h o o s e a v a l u e o f r t h a t m i n i m i z e s t h e e x p e c t e d l o s s f u n c t i o n ( 5 ) . S h o c k s t o t h e e c o n o m y t ( " , (cid:17) , a n d (cid:23) ) a r e t h e n r e a l i z e d a n d t h e v a l u e s y a n d (cid:25) o b s e r v e d . T h u s , p o l i c y m a k e r s ’ t t t t t i n f o r m a t i o n s e t a t t i m e t i s : 2 2 2 e e (cid:3) (cid:3) (cid:3) 0 0 0 0 I (cid:17) f (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; Æ ; ’ ; (cid:27) ; (cid:27) ; (cid:27) ; E X ; V a r X ; (cid:25) ; r ; y ; (cid:25) ; (cid:25) ; (cid:25) ; r ; y j s < t g ( 7 ) t s s s " (cid:17) (cid:23) t s 0 0 0 0 w h e r e E X a n d V a r X d e n o t e t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f p o l i c y m a k e r s ’ p r i o r ( t i m e 0 ) 9 0 d i s t r i b u t i o n o n X , w h i c h i s a s s u m e d t o b e n o r m a l . 1 P o l i c y m a k e r s u p d a t e b e l i e f s a b o u t X v i a K a l m a n (cid:12) l t e r i n g . B e c a u s e ( " ; (cid:17) ; (cid:23) ) i s t t t t (cid:0) m u l t i v a r i a t e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , t h i s i s t h e o p t i m a l i n f e r e n c e p r o c e d u r e ( m i n i m i z i n g t h e 1 0 m e a n - s q u a r e d e r r o r o f t h e e s t i m a t e ) , a n d i s e q u i v a l e n t t o B a y e s i a n u p d a t i n g . T h e o p t i m a l s o l u t i o n t o p o l i c y m a k e r s ’ p r o b l e m ( 5 ) , g i v e n t h e s t r u c t u r e o f t h e e c o n o m y ( 6 ) a n d i n f o r m a t i o n s e t ( 7 ) , i s : e (cid:3) (cid:3) 1 r = r + a E X + b ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) ( 8 ) t t t (cid:0) t 1 1 w h e r e a a n d b a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d b y t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m . N o t e 2 2 2 1 t h a t a a n d b a r e c o m p l e t e l y i n v a r i a n t t o (cid:27) , (cid:27) , (cid:27) , a n d V a r X ( p o l i c y m a k e r s ’ ( t i m e t ) t t (cid:0) " (cid:17) (cid:23) 1 0 0 p r i o r v a r i a n c e o n X , d e r i v e d r e c u r s i v e l y f r o m V a r X b y t h e K a l m a n (cid:12) l t e r i n g a l g o - t (cid:0) r i t h m ) . I n t h i s r e s p e c t , t h e l i n e a r - q u a d r a t i c p r o b l e m w i t h s i g n a l e x t r a c t i o n d i s p l a y s c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e . 8 e I t is n o t d iÆ c u lt t o s h o w ( b y in t r o d u c in g a c o e Æ c ie n t o n (cid:25) in ( 6 c ) a n d le t t in g it t e n d t o o n e ) t h a t t e e (cid:3) (cid:3) (cid:3) w h e n (cid:25) is r a t io n a l, p o lic y m a k e r s c a n s e t E (cid:25) = (cid:25) a n d E y = y in e v e r y p e r io d , a n d t h u s (cid:25) = (cid:25) in t t t t t t e v e r y p e r io d . S e e A p p e n d ix A . A ls o n o t e t h a t t h e e x a c t p r o c e s s b y w h ic h a g e n t s ’ e x p e c t a t io n s a r e f o r m e d h a s n o e (cid:11) e c t o n p o lic y m a k e r s ’ p e r io d t e s t im a t e o f X . I t is o n ly b e c a u s e o f t h e c o n t r o l a s p e c t s o f t h e t p r o b le m t h a t a s s u m p t io n s a b o u t a g e n t s ’ e x p e c t a t io n f o r m a t io n a r e r e q u ir e d . 9 li n e a r T h e a s s u m p t io n o f n o r m a lit y is n o t r e q u ir e d if w e r e s t r ic t p o lic y m a k e r s t o e s t im a t e s o f t h e u n o b s e r v e d s t a t e X . U n d e r t h e a s s u m p t io n t h a t a ll d is t u r b a n c e s a n d p r io r s a r e G a u s s ia n , t h e o p t im a l t e s t im a t e E X is lin e a r , s o t h e n e e d t o m a k e t h is d is t in c t io n d o e s n o t a r is e . t t 1 0 W it h o u t a n y a s s u m p t io n s r e g a r d in g t h e d is t r ib u t io n o f ( " ; (cid:17) ; (cid:23) ) , K a lm a n (cid:12) lt e r in g is s t ill t h e o p t im a l t t t lin e a r in f e r e n c e p r o c e d u r e . 1 1 T h is is m o s t e a s ily s e e n b y s o lv in g t h e p o lic y m a k e r s ’ p r o b le m e x p lic it ly . S e e A p p e n d ix A .
a a w T w i E i s w w 9 1 d o I n f o r m i n g t h e o p t i m a l e s t i m a t e E X , h o w e v e r , p o l i c y m a k e r s r e s p o n d t o t h e t t (cid:0) 1 i . e . , b e f o r e m o u n t o f u n c e r t a i n t y i n t h e p r o b l e m . T h e i r p r i o r ( t i m e t (cid:0) 1 , v a l u e s o f y t (cid:0) e (cid:3) 1 1 1 1 n d (cid:25) a r e o b s e r v e d ) d i s t r i b u t i o n o n ( X ; y (cid:0) y ; (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) i s g i v e n b y : 1 t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:0) e (cid:3) 1 1 1 ( X ; y (cid:0) y ; (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) (cid:24) 1 t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:0) 2 2 2 (cid:3) 1 2 1 ’ E X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) (cid:27) (cid:27) (cid:12) (cid:27) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 2 2 (cid:3) 1 2 1 N ’ E X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) ; (cid:1) (cid:27) + (cid:27) (cid:12) (cid:27) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:17) x 2 2 2 2 3 2 3 (cid:3) ! 1 2 1 (cid:12) ’ E X (cid:0) (cid:12) (cid:11) ( r (cid:0) r ) (cid:1) (cid:1) (cid:12) (cid:27) + (cid:27) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:23) 4 5 4 5 2 1 1 1 h e r e I h a v e l e t (cid:27) d e n o t e V a r X , p o l i c y m a k e r s ’ p r i o r ( t i m e t (cid:0) 1 ) v a r i a n c e o n X . t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 1 1 h e i r p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n o n X ( a f t e r o b s e r v i n g y a n d (cid:25) ) t h e n h a s m e a n : t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) 1 1 2 1 E X = ’ E X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 2 2 2 2 (cid:27) (cid:12) (cid:27) + (cid:27) (cid:0) (cid:12) (cid:27) x x (cid:23) x (cid:3) (cid:3) 1 1 2 1 ( y (cid:0) y ) (cid:0) ’ E X + (cid:11) ( r (cid:0) r ) ( 9 ) + t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:17) 2 2 4 2 (cid:27) + (cid:27) (cid:0) (cid:12) (cid:27) + (cid:12) (cid:27) x (cid:17) x x e (cid:3) 1 1 2 1 + ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) (cid:0) (cid:12) ’ E X + (cid:12) (cid:11) ( r (cid:0) r ) 1 t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:16) (cid:17) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h e r e (cid:1) (cid:17) ( (cid:27) + (cid:27) ) ( (cid:12) (cid:27) + (cid:27) ) (cid:0) ( (cid:12) (cid:27) ) = (cid:27) (cid:27) + (cid:12) (cid:27) (cid:27) + (cid:27) (cid:27) . E q u a t i o n ( 9 ) x (cid:17) x (cid:23) x x (cid:23) x (cid:17) (cid:17) (cid:23) s a n a l o g o u s t o t h e s i m p l e r f o r m u l a f o r s i g n a l e x t r a c t i o n w i t h o n e o b s e r v a b l e v a r i a b l e , 2 2 2 (cid:3) (cid:3) 1 1 1 1 1 1 ( y (cid:0) y ) (cid:0) E ( y (cid:0) y ) , w i t h a d d i t i o n a l t e r m s X = E X + (cid:27) = ( (cid:27) + (cid:27) ) t t t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:17) 1 2 (cid:16) (cid:17) n t h e c o e Æ c i e n t s t h a t t a k e i n t o a c c o u n t t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n . (cid:0) (cid:1) G r o u p i n g t e r m s i n ( 9 ) y i e l d s : 2 2 (cid:27) (cid:27) (cid:17) (cid:23) (cid:3) 1 2 1 1 ’ E X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) E X = t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:17) 2 2 (cid:27) (cid:27) x (cid:23) (cid:3) 1 + ( y (cid:0) y ) ( 1 0 ) t (cid:0) (cid:1) 2 2 (cid:12) (cid:27) (cid:27) x (cid:17) e 1 + ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) 1 t (cid:0) t (cid:0) (cid:1) 1 2 1 G iv e n t h e n o r m a lit y a s s u m p t io n , t h e f o r m u la f o r t h e b e s t p r e d ic t o r E X is t h e t h e o r e t ic a l r e g r e s - t t (cid:0) io n / p r o j e c t io n : 1 (cid:0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:0) E X = E X + C o v ( X ; Z ) ( V a r Z ) ( Z E Z ) t t t t t t t t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:0) y y t (cid:0) 1 1 e (cid:17) h e r e Z [ ]. T h is y ie ld s : t (cid:0) (cid:0) (cid:25) (cid:25) t (cid:0) 1 (cid:0) t 1 1 2 2 2 (cid:0) (cid:27) + (cid:27) (cid:12) (cid:27) 2 2 x (cid:17) x 1 1 1 1 1 1 (cid:0) E X = E X + [ (cid:27) (cid:12) (cid:27) ] ( Z E Z ) t t t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:1) (cid:12) (cid:27) + (cid:27) (cid:20) (cid:21) x (cid:23) h ic h is t h e e x p r e s s io n g iv e n in ( 9 ) .
1 0 1 2 w h e r e t h e E X t e r m c a n b e c a s c a d e d b a c k w a r d a n d e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f l a g g e d t t (cid:0) (cid:0) 0 o b s e r v a t i o n s o f y , (cid:25) , a n d r t o t h e p o i n t w h e r e t h e o r i g i n a l d i s t r i b u t i o n o n X i s n e g l i g i b l e , a s i t i s m u l t i p l i e d b y a l a r g e p o w e r o f ’ . N o t e t h a t , e v e n t h o u g h p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e a c t i o n f u n c t i o n ( 8 ) i s c e r t a i n t y - 1 e q u i v a l e n t i n t e r m s o f t h e e s t i m a t e E X , w h e n e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f p r e s e n t a n d t t (cid:0) p a s t o b s e r v a b l e v a r i a b l e s ( y , (cid:25) , a n d r ) , c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e i n t h e r e d u c e d f o r m n o l o n g e r h o l d s . T h e v a r i a n c e s o f t h e a d d i t i v e d i s t u r b a n c e t e r m s e n t e r i n t o t h e c o e Æ c i e n t s o f ( 1 0 ) . 2 F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e e (cid:11) e c t s o f a n i n c r e a s e i n (cid:27) o n t h e c o e Æ c i e n t s i n e q u a - (cid:17) 1 3 2 t i o n ( 1 0 ) . A s (cid:27) i n c r e a s e s , t h e q u a n t i t y (cid:1) i n c r e a s e s , b u t l e s s t h a n p r o p o r t i o n a t e l y . T h i s (cid:17) (cid:3) 1 i m p l i e s t h a t t h e c o e Æ c i e n t o n y (cid:0) y i n ( 1 0 ) d e c r e a s e s i n m a g n i t u d e , s o t h a t p o l i c y m a k e r s t (cid:0) p l a c e l e s s w e i g h t o n t h e o b s e r v a t i o n o f t h e u n c e r t a i n o u t p u t g a p i n f o r m i n g t h e i r i n f e r e n c e c o e Æ c i e n t a t t e n - a b o u t t h e u n d e r l y i n g s t a t e o f t h e e c o n o m y . T h u s , w e h a v e a n e x a m p l e o f u a t i o n o n t h e n o i s y o r u n c e r t a i n v a r i a b l e . I n a d d i t i o n , t h e c o e Æ c i e n t s o n e a c h o f t h e o t h e r i n c r e a s e v a r i a b l e s i n e q u a t i o n ( 1 0 ) i n a b s o l u t e v a l u e : p o l i c y m a k e r s p l a c e m o r e w e i g h t o n t h o s e v a r i a b l e s a b o u t w h i c h t h e y a r e r e l a t i v e l y m o r e c e r t a i n . I n t h i s s e n s e , p o l i c y m a k e r s b e c o m e \ l e s s p r o a c t i v e a n d m o r e r e a c t i v e , " r e s p o n d i n g l e s s f o r c e f u l l y t o t h e c u r r e n t v a l u e o f t h e o u t p u t g a p , a n d m o r e f o r c e f u l l y t o p a s t o b s e r v a t i o n s o f o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n , a n d t h e c u r r e n t i n (cid:13) a t i o n r a t e , b e c a u s e t h e s e v a r i a b l e s p r o v i d e m o r e r e l i a b l e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e e c o n o m y a n d f u t u r e v a l u e s o f p o l i c y m a k e r s ’ g o a l v a r i a b l e s , i n (cid:13) a t i o n 1 4 a n d o u t p u t . T h e s e c o n c l u s i o n s a r e n o t i d i o s y n c r a t i c t o a n i n c r e a s e i n t h e v a r i a n c e o f t h e a d d i t i v e 2 2 d i s t u r b a n c e (cid:17) . F o r e x a m p l e , a n i n c r e a s e i n (cid:27) , i n s t e a d o f (cid:27) , l e a d s t o a d e c r e a s e i n t h e t (cid:23) (cid:17) e 1 c o e Æ c i e n t o n ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) i n e q u a t i o n ( 1 0 ) , a n d a n i n c r e a s e i n t h e c o e Æ c i e n t s o n t h e 1 t (cid:0) t (cid:0) o t h e r v a r i a b l e s i n t h a t e q u a t i o n . E x a c t l y a n a l o g o u s r e s u l t s ( l o w e r c o e Æ c i e n t o n t h e n o i s y 1 3 A s n o t e d a b o v e in f o o t n o t e s 6 a n d 7 , t h is c a n b e t h o u g h t o f a s c o r r e s p o n d in g t o a s t r u c t u r a l b r e a k in 2 (cid:3) t o r is e f o r t h e c u r r e n t p e r io d y w h ic h h a s b e e n k n o w n t o o c c u r in t h e p r e v io u s p e r io d . T h is c a u s e s (cid:27) (cid:17) 2 u n a (cid:11) e c t e d . b u t n o t f o r p r e v io u s p e r io d s , a n d h e n c e le a v e s (cid:27) x 1 4 T h is \ le s s p r o a c t iv e " r e s u lt c o u ld b e e m p h a s iz e d b y s e t t in g u p t h e m a in m o d e l w it h a n a d d it io n a l la g in e q u a t io n ( 6 c ) , s o t h a t : e 0 1 (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) ( 6 c ) t t t (cid:0) t H o w e v e r , t h is c o m p lic a t e s t h e a n a ly s is b y m a k in g t h e s ig n a l e x t r a c t io n p r o b le m a f u n c t io n o f u p d a t e s o f t w o la g s o f t h e v a r ia b le X in s t e a d o f o n ly o n e . F o r t h is r e a s o n , t h is a p p r o a c h w a s n o t t a k e n h e r e . t
v p d g o t a a a i t E i F p i i t w i t r t (cid:12) d d 1 1 2 a r i a b l e , h i g h e r c o e Æ c i e n t s o n t h e o t h e r s ) o b t a i n i n r e s p o n s e t o a n i n c r e a s e i n (cid:27) , t h e x 1 o l i c y m a k e r s ’ p r i o r v a r i a n c e o n X . T h u s , t h e r e s u l t d e s c r i b e d a b o v e i s r o b u s t , a n d t (cid:0) e r i v e s n o t f r o m a n y s p e c i a l a s s u m p t i o n s s u r r o u n d i n g t h e m o d e l , b u t r a t h e r f r o m t h e e n e r a l p r i n c i p l e t h a t i n l i n e a r r e g r e s s i o n , o r s t a t i s t i c a l p r o j e c t i o n , l e s s w e i g h t i s g i v e n t o b s e r v a t i o n s t h a t h a v e h i g h e r v a r i a n c e . O b v i o u s l y , a s w i t h l i n e a r r e g r e s s i o n a n d s t a t i s t i c a l p r o j e c t i o n , t h e c o v a r i a n c e s b e w e e n t h e d i (cid:11) e r e n t v a r i a b l e s m a t t e r s f o r t h e c o e Æ c i e n t s i n ( 1 0 ) . S o f a r , I h a v e a b s t r a c t e d w a y f r o m t h i s p r o b l e m b y a s s u m i n g t h a t t h e d i s t u r b a n c e s a r e o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r , 1 n d t o p o l i c y m a k e r s ’ p r i o r f o r t h e v a r i a b l e X , b u t I s h o w b e l o w f o r t h e g e n e r a l c a s e , w i t h t (cid:0) r b i t r a r y c o v a r i a n c e s , t h a t t h e b a s i c c o e Æ c i e n t a t t e n u a t i o n r e s u l t s t i l l h o l d s : a n i n c r e a s e n t h e u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g a g i v e n v a r i a b l e c a u s e s p o l i c y m a k e r s t o a s s i g n l e s s w e i g h t o t h a t v a r i a b l e i n f o r m i n g t h e i r b e s t e s t i m a t e o f t h e u n d e r l y i n g s t a t e o f t h e e c o n o m y , 1 X . M o r e o v e r , t h e a m p l i (cid:12) c a t i o n o f t h e c o e Æ c i e n t s o n i n (cid:13) a t i o n a n d i t s l a g s i n ( 1 0 ) t t (cid:0) s a l s o q u i t e r o b u s t , a n d h o l d s f o r m o d e l s m o r e g e n e r a l t h a n t h a t o f t h e p r e s e n t s e c t i o n . o r e x a m p l e , s e c t i o n 4 p r o v e s t h i s r e s u l t f o r t h e c a s e w h e r e i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y a b o u t o t e n t i a l o u t p u t e x t e n d s b a c k w a r d a n y n u m b e r o f p e r i o d s , i s c o r r e l a t e d a c r o s s t i m e , a n d 1 s c o r r e l a t e d w i t h p o l i c y m a k e r s ’ p r i o r s a b o u t t h e u n o b s e r v e d s t a t e o f t h e e c o n o m y X , t (cid:0) n a m a n n e r w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h p o l i c y m a k e r s l e a r n i n g a b o u t p o t e n t i a l o u t p u t o v e r i m e . F i n a l l y , t h e d i r e c t i o n t h a t t h e c o e Æ c i e n t s i n e q u a t i o n ( 1 0 ) m o v e c a n b e a m b i g u o u s h e n o n e i n c r e a s e s t h e v a r i a n c e o f m o r e t h a n o n e v a r i a b l e a t a t i m e . F o r e x a m p l e , i n c r e a s - 2 2 e 1 n g (cid:27) a n d (cid:27) s i m u l t a n e o u s l y c a u s e s t h e c o e Æ c i e n t o n t h e u n a (cid:11) e c t e d v a r i a b l e ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) 1 t (cid:0) (cid:17) x t (cid:0) 1 5 o i n c r e a s e u n a m b i g u o u s l y , b u t t h e e (cid:11) e c t o n t h e o t h e r t w o c o e Æ c i e n t s i s n o t c l e a r . I w i l l e t u r n t o t h i s i s s u e i n s e c t i o n 4 , b e l o w , b u t w i l l r e m o v e t h e a m b i g u i t y b y m a k i n g u s e o f 2 2 h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n (cid:27) a n d p a s t v a l u e s o f (cid:27) t h a t a r i s e f r o m t h e K a l m a n x (cid:17) l t e r i n g a l g o r i t h m . 1 5 2 2 (cid:3) 1 (cid:0) A lt h o u g h if (cid:27) in c r e a s e s b y m o r e t h a n (cid:27) , it is e a s y t o s h o w t h a t t h e c o e Æ c ie n t o n ( y y ) m u s t t (cid:0) (cid:17) x 2 2 1 2 e c r e a s e in m a g n it u d e , w h ile if (cid:27) in c r e a s e s b y m o r e t h a n (cid:27) , t h e n t h e c o e Æ c ie n t o n E X m u s t t t (cid:0) (cid:0) x (cid:17) e c r e a s e in m a g n it u d e .
2 I o s o w a o a i p c r c e t ( i e p m s 1 2 . 1 S i g n a l E x t r a c t i o n v s . I m p e r f e c t O b s e r v a t i o n o f S t a t e V a r i a b l e s t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e a b o v e r e s u l t s h i n g e c r u c i a l l y o n s e t t i n g u p m o d e l ( 6 ) a s n e i n v o l v i n g s i g n a l e x t r a c t i o n , r a t h e r t h a n o n e s i m p l y i n v o l v i n g i m p e r f e c t o b s e r v a t i o n o f t a t e v a r i a b l e s . F o r e x a m p l e , r e p l a c i n g ( 6 b ) w i t h : (cid:3) y X = ( y (cid:0) y ) + (cid:17) ( 6 b ) t t t r , w i t h a n u n c e r t a i n p o t e n t i a l o u t p u t : (cid:3) z X = ( y (cid:0) ^y ) + ~(cid:17) ( 6 b ) t t t (cid:3) (cid:3) h e r e y (cid:17) ^y + (cid:16) a n d ~(cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:0) (cid:16) , t h e n o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e r e s u l t s d e s c r i b e d a b o v e t t y z r e c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d . I n b o t h ( 6 b ) a n d ( 6 b ) , t h e p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l e s t i m a t e (cid:3) 1 1 f t h e u n d e r l y i n g s t a t e o f t h e e c o n o m y , E X , i s s i m p l y ( y (cid:0) y ) i n t h e (cid:12) r s t c a s e , t t t (cid:0) (cid:0) (cid:3) 1 n d ( y (cid:0) ^y ) i n t h e s e c o n d . P l u g g e d i n t o t h e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t s t r u c t u r a l r e s p o n s e t (cid:0) n e q u a t i o n ( 8 ) , t h e r e d u c e d - f o r m p o l i c y r e s p o n s e t h u s r e t a i n s t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e r o p e r t y . p e r s e N o t e t h a t t h i s a n a l y s i s i m p l i e s t h a t i t i s n o t r e a l - t i m e d a t a t h a t j u s t i (cid:12) e s a u t i o n o n t h e p a r t o f p o l i c y m a k e r s i n O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) a n d R u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a ) . I f t h e y z e a l - t i m e d a t a a r e u n b i a s e d f o r e c a s t s o f t h e t r u e v a l u e s , a n a l o g o u s t o ( 6 b ) o r ( 6 b ) , t h e n e r t a i n t y e q u i v a l e n c e h o l d s , a n d t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g t h e s e r e a l - t i m e 2 s t i m a t e s ( (cid:27) ) i s c o m p l e t e l y i r r e l e v a n t f o r o p t i m a l p o l i c y . C e r t a i n t y e q u i v a l e n c e o n l y f a i l s (cid:17) o h o l d i n t h e i r f r a m e w o r k i f t h e r e a l - t i m e d a t a a r e r e a l i z a t i o n s o f t r u e v a l u e s p l u s n o i s e b i a s e d a n d t h u s a r e e s t i m a t e s o f t h e t r u e v a l u e s ) , s o t h a t e s t i m a t i o n o f t h e t r u e v a l u e s n v o l v e s a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m , a s i n ( 6 b ) . T h i s n a t u r a l l y r a i s e s t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r t h e r e a l - t i m e d a t a a r e b e t t e r m o d l e d a s r a t i o n a l e s t i m a t e s o r a s n o i s e - c o n t a m i n a t e d o b s e r v a t i o n s . O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 , 1 9 9 9 ) r e s e n t s (cid:12) g u r e s d e m o n s t r a t i n g t h a t t h e o u t p u t g a p , i n p a r t i c u l a r , h a s b e e n b a d l y m i s e a s u r e d b y p o l i c y m a k e r s i n r e a l t i m e . H o w e v e r , b o t h t h e s i z e o f t h e s e e r r o r s a n d t h e i r e r i a l c o r r e l a t i o n w e r e n o t e v i d e n t u n t i l s e v e r a l y e a r s a f t e r t h e f a c t , s o i t i s n o t c l e a r t h a t
t p u u t w f t ( C (cid:12) o B c s s e ( i p r i i e R d 1 3 h e s e r e a l - t i m e e s t i m a t e s o f t h e o u t p u t g a p w e r e n o t r a t i o n a l a t t h e t i m e . T o t a k e t h e o s i t i o n t h a t p o l i c y m a k e r s w e r e d e l i b e r a t e l y i r r a t i o n a l i n t h e i r r e a l - t i m e e s t i m a t e s s e e m s n w a r r a n t e d w i t h o u t a m o r e r i g o r o u s a n a l y s i s t o s u p p o r t t h i s p o i n t o f v i e w . R i g o r o u s a n a l y s i s o f t h e p e r f o r m a n c e o f r e a l - t i m e d a t a a n d o Æ c i a l f o r e c a s t s h a s b e e n n d e r t a k e n b y a n u m b e r o f a u t h o r s , a l b e i t w i t h d a t a t h a t i s m o r e r e a d i l y o b s e r v a b l e t h a n h e o u t p u t g a p , s u c h a s r e a l G D P a n d i n (cid:13) a t i o n . M a n k i w a n d S h a p i r o ( 1 9 8 6 ) a n a l y z e h e t h e r t h e r e a l - t i m e r e a l G N P d a t a p r o d u c e d b y t h e B E A i s b e t t e r m o d e l e d a s a r a t i o n a l i . e . , o r e c a s t o r a s a r e a l i z a t i o n w i t h n o i s e o f t h e \ t r u e " ( \ (cid:12) n a l r e l e a s e " ) v a l u e . T h e y (cid:12) n d h a t t h e r e a l - t i m e d a t a a p p e a r t o b e u n b i a s e d a n d e Æ c i e n t r a t i o n a l f o r e c a s t s . M c N e e s 1 9 9 5 ) l o o k s a t t h e o Æ c i a l f o r e c a s t s o f r e a l G N P / G D P a n d i n (cid:13) a t i o n p u b l i s h e d b y t h e B O a n d F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m ( a s p r e s e n t e d i n \ H u m p h r e y - H a w k i n s " r e p o r t s ) a n d n d s t h a t t h e y p e r f o r m a t l e a s t a s w e l l , i f n o t b e t t e r , t h a n p r i v a t e - s e c t o r f o r e c a s t s i n t e r m s f m e a n - s q u a r e d e r r o r . R o m e r a n d R o m e r ( 2 0 0 0 ) (cid:12) n d t h a t n o t o n l y a r e t h e F e d e r a l R e s e r v e o a r d ’ s i n t e r n a l \ G r e e n b o o k " f o r e c a s t s o f o u t p u t a n d i n (cid:13) a t i o n u n b i a s e d a n d e Æ c i e n t , t h e y d o m i n a t e o m p l e t e l y p r i v a t e s e c t o r f o r e c a s t s , i n t h e s e n s e t h a t t h e p r i v a t e s e c t o r f o r e c a s t h o u l d b e t h r o w n o u t e n t i r e l y i f t h e B o a r d ’ s f o r e c a s t s w e r e t o b e m a d e p u b l i c . T h e s e r e s u l t s m i g h t a t (cid:12) r s t s e e m t o c o n t r a d i c t R u d e b u s c h ’ s ( 1 9 9 9 a ) (cid:12) n d i n g o f a i g n i (cid:12) c a n t , i r r a t i o n a l \ n o i s e " c o m p o n e n t i n t h e r e a l - t i m e i n (cid:13) a t i o n d a t a ( a s m e a s u r e d b y i t h e r t h e G N P / G D P d e (cid:13) a t o r o r (cid:12) x e d - w e i g h t p r i c e i n d e x ) . H o w e v e r , a s i n O r p h a n i d e s 1 9 9 8 , 1 9 9 9 ) , R u d e b u s c h ’ s \ (cid:12) n a l " d a t a i s f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e l a t e 1 9 9 0 ’ s , a n d t h u s n c l u d e s d e (cid:12) n i t i o n a l r e v i s i o n s t o G N P a n d c h a n g e s i n b a s e y e a r . I n c o n t r a s t , a l l o f t h e a p e r s c i t e d a b o v e t a k e p a r t i c u l a r c a r e t o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f o r e c a s t s w i t h e s p e c t t o a (cid:12) n a l m e a s u r e o f t h e s t a t i s t i c o n a d e (cid:12) n i t i o n a l l y c o n s i s t e n t b a s i s . F o r e x a m p l e , t s e e m s u n f a i r t o e v a l u a t e t h e r a t i o n a l i t y o f p o l i c y m a k e r s ’ 1 9 7 0 e s t i m a t e o f r e a l G N P a n d n (cid:13) a t i o n u s i n g t o d a y ’ s e s t i m a t e s o f 1 9 7 0 G D P i n c h a i n - w e i g h t e d 1 9 9 6 d o l l a r s , y e t t h i s i s x a c t l y w h a t O r p h a n i d e s a n d R u d e b u s c h d o . T h u s , i t i s l i k e l y t h a t t h e \ n o i s e " f o u n d b y u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a ) r e (cid:13) e c t s n o t h i n g o t h e r t h a n d e (cid:12) n i t i o n a l c h a n g e s i n t h e d a t a r a t h e r t h a n 1 6 e v i a t i o n s f r o m r a t i o n a l i t y i n p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t e s . 1 6 T h e p r o b le m o f d e (cid:12) n it io n a l r e v is io n s t o o u t p u t a n d in (cid:13) a t io n d o e s r a is e a n in t e r e s t in g t h e o r e t ic a l is s u e :
a d p d p t F s A c n d a c 2 T o t v v w W r p m s d t T d 1 4 T h e c a s e f o r b i a s e d r e a l - t i m e d a t a i s t h u s s o m e w h a t u n c o m p e l l i n g f r o m a n e m p i r i c a l s w e l l a s a t h e o r e t i c a l s t a n d p o i n t . T h i s i m p l i e s t h a t m o d e l s i n c o r p o r a t i n g o n l y r e a l - t i m e a t a u n c e r t a i n t y s h o u l d b e c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t . H o w e v e r , f r a m i n g p o l i c y m a k e r s ’ i n f e r e n c e r o b l e m a b o u t t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y a s o n e o f s i g n a l e x t r a c t i o n m o r e g e n e r a l l y , a s i s o n e i n t h i s p a p e r , i s s t i l l q u i t e p l a u s i b l e . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t i o n r o c e s s i n t h i s c a s e i s o n e o f a n u n o b s e r v e d , p o s s i b l y c o m p l i c a t e d s t a t e o f t h e e c o n o m y h a t m u s t b e i n f e r r e d u s i n g ( p o s s i b l y a l a r g e n u m b e r o f ) o b s e r v a b l e e c o n o m i c i n d i c a t o r s . o r e x a m p l e , C h a i r m a n G r e e n s p a n i s r e n o w n e d f o r l o o k i n g a t a w i d e v a r i e t y o f e c o n o m i c t a t i s t i c s i n a n a t t e m p t t o i n f e r t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e e c o n o m y a n d i t s f u t u r e c o u r s e . l t e r n a t i v e l y , o n e c o u l d t h i n k o f t h e u n o b s e r v e d e c o n o m i c s t a t e X a s b e i n g a n a g g r e g a t e o n c e p t s u c h a s \ e x c e s s d e m a n d , " w i t h p o l i c y m a k e r s p e r f o r m i n g s i g n a l e x t r a c t i o n u s i n g a u m b e r o f u t i l i z a t i o n a n d i n (cid:13) a t i o n m e a s u r e s i n a n a t t e m p t t o i n f e r w h a t t h e l e v e l o f e x c e s s e m a n d i s . W h e n p o l i c y m a k e r s f a c e s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m s l i k e t h e s e , a s i n t h e m o d e l b o v e a n d t h e g e n e r a l f r a m e w o r k b e l o w , a s t r o n g c a s e f o r c a u t i o n i n t h e f a c e o f u n c e r t a i n t y a n s t i l l b e m a d e . . 2 C o e Æ c i e n t A t t e n u a t i o n , S i m p l e R u l e s , a n d R o b u s t C o n t r o l h e i m p l i c a t i o n s o f t h i s p a p e r c o n t r a s t i n a n i n t e r e s t i n g w a y w i t h t h o s e f r o m t h e l i t e r a t u r e n \ s i m p l e r u l e s " a n d \ r o b u s t c o n t r o l . " I n p a r t i c u l a r , t h e s i g n a l e x t r a c t i o n f r a m e w o r k o f h e p r e v i o u s s e c t i o n f o u n d t h a t a n i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g a g i v e n i n d i c a t o r a r i a b l e s h o u l d b e m e t w i t h a n a t t e n u a t i o n i n p o l i c y m a k e r s ’ r e s p o n s e c o e Æ c i e n t t o t h a t a r i a b l e , a n d a n a m p l i (cid:12) c a t i o n o f t h e i r r e s p o n s e c o e Æ c i e n t s o n a l l o t h e r i n d i c a t o r s , a b o u t 1 7 h i c h u n c e r t a i n t y h a s n ’ t c h a n g e d . h ile it is f a ir ly c le a r t h a t t h e r a t io n a lit y o f a f o r e c a s t s h o u ld b e e v a lu a t e d u s in g d e (cid:12) n it io n a lly c o n s is t e n t e a liz a t io n s o f t h e s t a t is t ic , it is n o t s o o b v io u s t h a t t h is is t h e c o r r e c t a p p r o a c h w h e n w e s t a r t t o c o n s id e r o lic y m a k e r s ’ w e lf a r e . F o r e x a m p le , it is p o s s ib le t h a t t h e p o s t - d e (cid:12) n it io n a l- c h a n g e s t a t is t ic is a b e t t e r e a s u r e o f t h e lo s s p o lic y m a k e r s , a n d s o c ie t y , a c t u a lly e x p e r ie n c e d . I w o u ld , h o w e v e r , t a k e t h e f o llo w in g v ie w . P o lic y m a k e r s ’ lo s s e s a r e a f u n c t io n o f t h e t r u e u n d e r ly in g t a t e o f t h e e c o n o m y . T h e v a r io u s a g g r e g a t e s t a t is t ic s a r e g e n e r a lly p o o r r e (cid:13) e c t io n s o f t h is s t a t e . A e (cid:12) n it io n a l c h a n g e in o n e o f t h e a g g r e g a t e s t a t is t ic s c h a n g e s t h e r e la t io n s h ip b e t w e e n t h e t r u e s t a t e o f h e e c o n o m y a n d t h e g iv e n a g g r e g a t e s t a t is t ic , b u t d o e s n o t c h a n g e t h e t r u e s t a t e o f t h e e c o n o m y it s e lf . h u s , t h e o p t im a l c o e Æ c ie n t s in p o lic y m a k e r s ’ s ig n a l e x t r a c t io n p r o b le m s h o u ld c h a n g e in r e s p o n s e t o t h e e (cid:12) n it io n a l r e v is io n , b u t t h e r e is n o t a n y ir r a t io n a l \ n o is e " in t h e r e a l- t im e d a t a o r in p o lic y m a k e r s ’ lo s s e s . 1 7 I n t h e c o m p le t e ly g e n e r a l s e t u p o f t h e m o d e l ( s e c t io n 3 ) , o n ly t h e c o e Æ c ie n t a t t e n u a t io n r e s u lt o n
1 5 T h e l i t e r a t u r e o n \ s i m p l e r u l e s , " i n c o n t r a s t , g e n e r a l l y (cid:12) n d s t h a t p o l i c y m a k e r s a l l s h o u l d a t t e n u a t e t h e i r r e s p o n s e c o e Æ c i e n t s o n v a r i a b l e s i n t h e i r r e a c t i o n f u n c t i o n , 1 8 e v e n i f t h e i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y s u r r o u n d s o n l y a s i n g l e v a r i a b l e . T h i s l i t e r a t u r e , t y p i (cid:12) e d b y S m e t s ( 1 9 9 8 ) , c o n s i d e r s o p t i m a l p o l i c y w i t h i n a c l a s s o f r u l e s t h a t r e a c t t o o n l y a l i m i t e d s u b s e t o f s t a t e v a r i a b l e s i n t h e m o d e l . B e c a u s e t h e s e s i m p l e r u l e s a r e n o t g l o b a l l y o p t i m a l , t h e y t y p i c a l l y d o n o t p o s s e s s t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r o p e r t y . T h u s , y z o b s e r v a t i o n e r r o r o n a v a r i a b l e , e v e n o f t h e t y p e i n ( 6 b ) a n d ( 6 b ) , w i l l g e n e r a l l y l e a d t o n o n - c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t b e h a v i o r i n t h e s e c o n s t r a i n e d - o p t i m a l r u l e s . F o r e x a m p l e , S m e t s ( 1 9 9 8 ) r e s t r i c t s p o l i c y m a k e r s t o r u l e s i n v o l v i n g o n l y o n e l a g o f o u t p u t , t h e f o u r - q u a r t e r a v e r a g e i n (cid:13) a t i o n r a t e , a n d o n e l a g o f t h e i n t e r e s t r a t e a s a r g u m e n t s , a n d (cid:12) n d s t h a t t h e o p t i m a l c o e Æ c i e n t s o n a l l o f t h e s e v a r i a b l e s a r e a t t e n u a t e d b y e t a l. a n i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g t h e o u t p u t g a p . O r p h a n i d e s ( 2 0 0 0 ) , i n v e s t i g a t i n g a s i m i l a r l y - c o n s t r a i n e d c l a s s o f r u l e s w i t h i n t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ’ s F R B / U S m o d e l , a l s o (cid:12) n d t h a t a t t e n u a t i n g t h e c o e Æ c i e n t s o n e v e r y v a r i a b l e i n t h e r u l e i s t h e b e s t 1 9 r e s p o n s e t o i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g t h e o u t p u t g a p . T h e r e a s o n t h a t t h e s e (cid:12) n d i n g s d i (cid:11) e r f r o m t h o s e o f t h e p r e s e n t p a p e r c a n b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s . T h e o p t i m a l r u l e i n a l l o f t h e s e m o d e l s i s a f u n c t i o n o f m u l t i p l e l a g s o f t h e o u t p u t g a p , i n (cid:13) a t i o n , a n d i n t e r e s t r a t e s ( a n d , i n t h e F R B / U S m o d e l , m a n y o t h e r v a r i a b l e s a s w e l l ) . T o t h e e x t e n t t h a t t h e s e v a r i a b l e s a r e o m i t t e d , t h o s e t h a t e n t e r t h e s i m p l e r u l e s e r v e p a r t i a l l y a s p r o x i e s f o r t h e v a r i a b l e s t h a t h a v e b e e n e x c l u d e d . I f t h e f o u r - q u a r t e r a v e r a g e i n (cid:13) a t i o n r a t e e n t e r s n e g a t i v e l y i n t o a n e s t i m a t i o n e q u a t i o n f o r s o m e o f t h e s e o t h e r t e r m s ( s u c h a s p a s t v a l u e s t h e u n c e r t a in v a r ia b le h o ld s u n a m b ig u o u s ly . H o w e v e r , b o t h in t h e s im p le f r a m e w o r k ( 6 ) a b o v e a n d it s g e n e r a liz a t io n t o u n c e r t a in t y e x t e n d in g b a c k w a r d a n y n u m b e r o f p e r io d s b e lo w ( s e c t io n 4 ) , a m p li(cid:12) c a t io n o f c o e Æ c ie n t s o n t h e o t h e r v a r ia b le s , a b o u t w h ic h u n c e r t a in t y h a s n ’t in c r e a s e d , h o ld s g e n e r a lly . 1 8 D r e w a n d H u n t ( 2 0 0 0 ) is o n e e x c e p t io n t o t h is r u le , b u t t h e ir m o d e l a n d (cid:12) n d in g s a r e id io s y n c r a t ic f o r a n u m b e r o f r e a s o n s . F ir s t , t h e R B N Z ’s m a c r o m o d e l is s ig n i(cid:12) c a n t ly n o n lin e a r , s o t h a t c e r t a in t y e q u iv a le n c e w o u ld f a il t o h o ld e v e n w it h a f u lly o p t im a l r u le . S e c o n d , a n d m o r e im p o r t a n t ly , p o lic y m a k e r s ’ e s t im a t e o f p o t e n t ia l o u t p u t is ir r a t io n a l, u s in g a n H P - (cid:12) lt e r t h a t y ie ld s e s t im a t e s t h a t a r e s ig n i(cid:12) c a n t ly c o r r e la t e d w it h t h e b u s in e s s c y c le . P o lic y m a k e r s t h u s h a v e a s t r o n g in c e n t iv e t o r e a c t a g g r e s s iv e ly t o t h e o u t p u t g a p e s t im a t e d in t h is w a y , s in c e it w ill g e n e r a lly b e s m a lle r t h a n t h e t r u e o u t p u t g a p t h a t e n t e r s t h e ir lo s s f u n c t io n . 1 9 e t a l. O r p h a n id e s d o (cid:12) n d t h a t u n d e r s o m e c ir c u m s t a n c e s a n a m p li(cid:12) c a t io n in t h e c o e Æ c ie n t o n t h e in (cid:13) a t io n r a t e is o p t im a l. H o w e v e r , t h is o n ly o c c u r s w h e n t h e y in c r e a s e t h e r e la t iv e w e ig h t o n t h e o u t p u t g a p in p o lic y m a k e r s ’ lo s s f u n c t io n t o h ig h le v e ls ( 0 .7 5 o r a b o v e ) .
o (cid:13) a t c r a a g r a (cid:12) p s p 3 I t v i o c g h O f b 1 6 f t h e i n t e r e s t r a t e ) , t h e n t h e d e s i r e d a m p l i (cid:12) c a t i o n i n c o e Æ c i e n t s o n c u r r e n t a n d p a s t i n a t i o n t h a t I (cid:12) n d w i l l b e o (cid:11) s e t b y t h e d e s i r e d a m p l i (cid:12) c a t i o n i n t h e c o e Æ c i e n t s o n t h e s e d d i t i o n a l l a g g e d o u t p u t , i n (cid:13) a t i o n , a n d i n t e r e s t r a t e t e r m s , m a k i n g t h e o v e r a l l e (cid:11) e c t o n 2 0 h e i n (cid:13) a t i o n c o e Æ c i e n t a m b i g u o u s . F i n a l l y , t h e e m e r g i n g l i t e r a t u r e o n \ r o b u s t c o n t r o l " a r r i v e s a t j u s t t h e o p p o s i t e m o r e o n c l u s i o n : p o l i c y m a k e r s o u g h t t o r e s p o n d a g g r e s s i v e l y t o e v e r y v a r i a b l e i n t h e i r e a c t i o n f u n c t i o n w h e n f a c e d w i t h m o d e l u n c e r t a i n t y . T h i s l i t e r a t u r e , t y p i (cid:12) e d b y O n a t s k i n d S t o c k ( 2 0 0 0 ) , c h o o s e s c o e Æ c i e n t s o f a p o l i c y r u l e t o m i n i m i z e t h e m a x i m u m l o s s o v e r l l p o s s i b l e v a l u e s f o r a g i v e n p a r a m e t e r w i t h i n a g i v e n r a n g e ; t h u s , t h e p o l i c y m a k e r i s u a r a n t e e d n o t t o m a k e m i s t a k e s t h a t a r e e x t r e m e l y c o s t l y f o r p a r a m e t e r s w i t h i n t h i s a n g e . T h i s a p p r o a c h i s c l e a r l y v e r y d i (cid:11) e r e n t f r o m t h e m a x i m i z a t i o n o f e x p e c t e d v a l u e p p r o a c h I h a v e t a k e n h e r e , s o i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e r e s u l t s d i (cid:11) e r . I n t u i t i v e l y , t h e i r n d i n g s a r e d r i v e n b y t h e f a c t t h a t a b a d d r a w o n t h e e (cid:11) e c t i v e n e s s o f t h e p o l i c y t o o l ( t h e a r a m e t e r (cid:11) i n m y m o d e l ) c a n r e s u l t i n v e r y l a r g e l o s s e s i f t h e r u l e ’ s r e s p o n s i v e n e s s i s n o t u Æ c i e n t l y g r e a t . H o w e v e r , i t i s n o t c l e a r t h a t a n i n c r e a s e i n a d d i t i v e u n c e r t a i n t y a b o u t o t e n t i a l o u t p u t w o u l d l e a d t o t h e s a m e c o n c l u s i o n s . . S i g n a l E x t r a c t i o n i n t h e G e n e r a l L Q G F r a m e w o r k n t h i s s e c t i o n , I s o l v e t h e p o l i c y m a k e r s ’ s i g n a l e x t r a c t i o n a n d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m f o r h e g e n e r a l l i n e a r - q u a d r a t i c - G a u s s i a n f r a m e w o r k , a n d p r o v i d e t h e r e l e v a n t p r o o f s . A s b e f o r e , I d e n o t e t h e u n d e r l y i n g s t a t e o f t h e e c o n o m y b y X , w h i c h m a y n o w b e a t e c t o r . X e v o l v e s a c c o r d i n g t o a l i n e a r f u n c t i o n o f o n e l a g o f i t s e l f a n d a v e c t o r o f p o l i c y t n s t r u m e n t s r . T h u s , t 1 X = A X + B r + " ( 1 1 ) t t t t (cid:0) 2 0 T h e r e a r e s o m e o t h e r m in o r d i(cid:11) e r e n c e s a t w o r k a s w e ll. F o r e x a m p le , S m e t s e v a lu a t e s t h e e (cid:11) e c t s f in c r e a s e s in t h e v a r ia n c e o f t h e o u t p u t g a p t h a t g o b a c k in t o t h e in (cid:12) n it e p a s t , w h ile t h e e x p e r im e n t o n s id e r e d in t h is s e c t io n h a s b e e n m o r e c lo s e ly r e la t e d t o a c h a n g e in r e g im e o r s t r u c t u r a l b r e a k a t a iv e n p o in t in t im e t . H o w e v e r , I s h o w in s e c t io n 4 , b e lo w , t h a t t h e r e s u lt s o f t h is p a p e r c o n t in u e t o o ld w h e n u n c e r t a in t y a b o u t t h e o u t p u t g a p e x t e n d s b a c k w a r d a n y n u m b e r o f p e r io d s . A ls o , S m e t s a n d e t a l. r p h a n id e s c o n s t r a in t h e ir s im p le p o lic y r u le s t o b e f u n c t io n s o f in (cid:13) a t io n d e v ia t io n s f r o m t a r g e t ( t h e e (cid:3) 1 1 (cid:0) (cid:0) o u r - q u a r t e r m o v in g a v e r a g e o f ( (cid:25) (cid:25) ) ) r a t h e r t h a n t h e in (cid:13) a t io n s u r p r is e ( (cid:25) (cid:25) ) w h ic h w o u ld t t 1 (cid:0) (cid:0) t (cid:0) e c lo s e r t o t h e o p t im a l in f e r e n c e p r o c e d u r e I d e r iv e in e q u a t io n ( 1 0 ) .
1 7 w h e r e A a n d B a r e k n o w n m a t r i c e s o f t h e a p p r o p r i a t e d i m e n s i o n s . A n y c o n s t a n t s c a n b e i n c o r p o r a t e d b y d e (cid:12) n i n g o n e c o m p o n e n t o f X t o b e a v e c t o r o f o n e s . I d e n o t e t h e t o b s e r v a b l e v a r i a b l e s o f t h e s y s t e m b y Z . T h e s e m a y b e a s u b s e t o f t h e v a r i a b l e s i n X , t t n o i s y r e a l i z a t i o n s o f a l i n e a r f u n c t i o n o f v a r i a b l e s i n X , o r s o m e c o m b i n a t i o n o f t h e t w o . t T h u s , Z = C X + (cid:17) ( 1 2 ) t t t w h e r e C i s a k n o w n m a t r i x o f a p p r o p r i a t e d i m e n s i o n , w i t h e v e r y o b s e r v a b l e r e l a t i o n s h i p a m o n g t h e e l e m e n t s o f X c o r r e s p o n d i n g t o a r o w i n ( 1 2 ) . T h e n o i s e v e c t o r (cid:17) m a y h a v e t t s o m e c o m p o n e n t s t h a t a r e a l w a y s z e r o , c o r r e s p o n d i n g t o e l e m e n t s o f X t h a t a r e a c t u a l l y t o b s e r v e d . O t h e r c o m p o n e n t s o f X , t h a t a r e n o t d i r e c t l y o b s e r v e d , m u s t b e i n f e r r e d f r o m t 2 1 o b s e r v a t i o n s o f Z . N o t e t h a t ( 1 2 ) h a s b e e n s e t u p a s a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m r a t h e r t t h a n o n e o f i m p e r f e c t o b s e r v a t i o n ( i n w h i c h c a s e X w o u l d b e a f u n c t i o n o f t h e o b s e r v a b l e t v a r i a b l e s Z p l u s d i s t u r b a n c e t e r m s ) . T h e l a t t e r w o u l d e x h i b i t c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e ; t h e t f o r m e r d o e s n o t ( w i t h r e s p e c t t o t h e o b s e r v a b l e v a r i a b l e s ) . T h e s t o c h a s t i c d i s t u r b a n c e s " a n d (cid:17) a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r , t t o v e r t i m e , o f c u r r e n t a n d p a s t v a l u e s o f r , X , a n d Z , a n d a r e ( m u l t i v a r i a t e ) n o r m a l l y 2 2 d i s t r i b u t e d w i t h c o n s t a n t v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i c e s (cid:6) a n d (cid:6) , r e s p e c t i v e l y . I n p r a c - " (cid:17) t i c e , t h e s e a s s u m p t i o n s a r e n o t a s r e s t r i c t i v e a s i t m i g h t s e e m , b e c a u s e s e r i a l c o r r e l a t i o n a n d c r o s s - c o r r e l a t i o n o f (cid:17) a n d " c a n b e i n t r o d u c e d b y i n c l u d i n g l a g s o f t h e s e v a r i a b l e s a s t t e l e m e n t s o f X , a n d r e d e (cid:12) n i n g t h e d i s t u r b a n c e s i n ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) t o b e o r t h o g o n a l i n n o v a - t 2 3 t i o n s t o t h e s e p r o c e s s e s . C o r r e l a t i o n b e t w e e n (cid:17) a n d X c a n b e i n t r o d u c e d i n a s i m i l a r t t f a s h i o n . 2 1 I t s h o u ld b e n o t e d t h a t e q u a t io n s in ( 1 2 ) t h a t a r e r e d u n d a n t , o r a r e n o t in f o r m a t iv e a b o u t X , in t h e t s e n s e t h a t p o lic y m a k e r s ’ p r io r v a r ia n c e s o n t h e c o r r e s p o n d in g e le m e n t s o f Z a r e z e r o , s h o u ld b e d r o p p e d t f r o m ( 1 2 ) . I n t u it iv e ly , r e a liz a t io n s o f t h e s e c o m p o n e n t s o f Z c o n t a in n o n e w in f o r m a t io n , a n d t h u s a r e t ir r e le v a n t f o r u p d a t in g p o lic y m a k e r s ’ b e lie f s a b o u t X . M a t h e m a t ic a lly , t h is e n s u r e s t h a t t h e m a t r ix t 0 1 1 C (cid:6) C + (cid:6) is n o n s in g u la r in t h e u p d a t in g e q u a t io n s b e lo w . (cid:17) t t (cid:0) j (cid:0) 2 2 N o d iÆ c u lt ie s a r is e w h e n o n e a llo w s (cid:6) a n d (cid:6) t o v a r y o v e r t im e , s o lo n g a s t h is v a r ia t io n is in d e - " (cid:17) p e n d e n t o f t h e p o lic y in s t r u m e n t . 2 3 A o k i ( 1 9 6 7 ) , f o r e x a m p le , m a k e s t h is o b s e r v a t io n ( p p . 3 8 { 3 9 ) .
w p i p r P w d i t h N f 1 8 P o l i c y m a k e r s m i n i m i z e a q u a d r a t i c l o s s f u n c t i o n : 1 s t (cid:0) 0 m i n ( 1 (cid:0) Æ ) E Æ X D X ( 1 3 ) t s s = s t X h e r e D i s a p o s i t i v e s e m i d e (cid:12) n i t e m a t r i x . N o t e t h a t t h i s s p e c i (cid:12) c a t i o n d o e s n o t p r e c l u d e o l i c y m a k e r s ’ p r e f e r e n c e s f r o m d e p e n d i n g o n o b s e r v a b l e s Z , s i n c e X c a n b e e x p a n d e d t o n c l u d e e l e m e n t s o f Z a s n e e d e d . P a s t v a l u e s o f r c a n a l s o b e i n c o r p o r a t e d i n t o X a n d Z . P o l i c y m a k e r s c h o o s e a v a l u e f o r t h e v e c t o r o f i n s t r u m e n t s r a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h t e r i o d t , c o n d i t i o n a l o n a l l i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e t h r o u g h t h e e n d o f p e r i o d t (cid:0) 1 . A f t e r i s c h o s e n , t h e s h o c k s " a n d (cid:17) a r e r e a l i z e d , a n d t h e v a l u e o f t h e v e c t o r Z i s o b s e r v e d . t t t t o l i c y m a k e r s ’ i n f o r m a t i o n s e t a t t h e b e g i n n i n g o f p e r i o d t i s t h u s : 0 0 0 0 I (cid:17) f A ; B ; C ; D ; Æ ; (cid:6) ; (cid:6) ; E X ; V a r X ; Z j s < t g ( 1 4 ) t " (cid:17) s 0 0 0 0 h e r e E X a n d V a r X d e n o t e t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f p o l i c y m a k e r s ’ p r i o r ( t i m e 0 ) 0 i s t r i b u t i o n o n X , w h i c h i s a s s u m e d t o b e n o r m a l . P o l i c y m a k e r s u p d a t e b e l i e f s a b o u t X v i a K a l m a n (cid:12) l t e r i n g , w h i c h i s t h e o p t i m a l t n f e r e n c e p r o c e d u r e g i v e n t h e a s s u m p t i o n s o f n o r m a l i t y a b o v e . L e t t i n g (cid:6) d e n o t e V a r X , t s s tj h e v a r i a n c e o f X c o n d i t i o n a l o n i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e a t t h e b e g i n n i n g o f p e r i o d t , w e s a v e t h e r e c u r s i v e e q u a t i o n s : 1 1 1 2 1 E X = A E X + B r ( 1 5 a ) t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 1 E Z = C E X ( 1 5 b ) t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E X = E X + (cid:6) C C (cid:6) C + (cid:6) Z (cid:0) E Z ( 1 5 c ) t t t t (cid:17) t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t t t (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 0 1 1 2 1 (cid:6) = A (cid:6) A + (cid:6) ( 1 6 a ) " t t t t (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) 1 (cid:0) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:6) = (cid:6) (cid:0) (cid:6) C C (cid:6) C + (cid:6) C (cid:6) ( 1 6 b ) (cid:17) t t t t t t t t t t (cid:0) j (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) (cid:0) (cid:1) o t e t h a t t h e v a r i a n c e (cid:6) e v o l v e s d e t e r m i n i s t i c a l l y o v e r t i m e , a s i s t y p i c a l i n t h e L Q G t tj r a m e w o r k . I n p a r t i c u l a r , t h e v a r i a n c e s o f p o l i c y m a k e r s ’ f u t u r e e s t i m a t e s a r e u n a (cid:11) e c t e d b y
1 9 2 4 t h e i r c h o i c e o f t h e c u r r e n t i n s t r u m e n t r . T h i s l e a d s t o s e p a r a b i l i t y b e t w e e n t h e e s t i m a - t t i o n a n d c o n t r o l s t a g e s o f p o l i c y m a k e r s ’ p r o b l e m , a n d h e n c e t o t h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e r e s u l t o f t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n . P r o p o s i t i o n 1 : T h e o p t i m a l s o l u t i o n t o p o l i c y m a k e r s ’ p r o b l e m ( 1 3 ) , s u b j e c t t o t h e l a w o f m o t i o n ( 1 1 ) , o b s e r v a t i o n e q u a t i o n ( 1 2 ) , a n d i n f o r m a t i o n s e t ( 1 4 ) i s g i v e n b y : 1 0 (cid:0) 0 1 r = (cid:0) ( B V B ) B V A E X ( 1 7 ) t t t (cid:0) w h e r e V i s t h e \ v a l u e " m a t r i x , d e (cid:12) n e d t o b e t h e u n i q u e n e g a t i v e s e m i d e (cid:12) n i t e s o l u t i o n t o t h e R i c c a t i e q u a t i o n 1 0 0 0 (cid:0) 0 V = (cid:0) D + Æ A V A (cid:0) Æ A V B ( B V B ) B V A ( 1 8 ) P r o o f : B e r t s e k a s ( 1 9 8 7 ) , p p . 2 9 2 { 2 9 3 . 1 E q u a t i o n ( 1 7 ) i s c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t w i t h r e s p e c t t o t h e s t a t e v a r i a b l e X . H o w - t (cid:0) e v e r , a s s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e g e n e r a l l y w i l l n o t 1 h o l d w i t h r e s p e c t t o t h e o b s e r v a b l e v a r i a b l e s Z . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n d e m o n s t r a t e s t (cid:0) t h i s f a c t b y p r o v i n g t h e c o e Æ c i e n t a t t e n u a t i o n r e s u l t f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n f o r t h e g e n - 1 1 e r a l L Q G f r a m e w o r k . N o t e t h a t b y h o l d i n g (cid:6) (cid:12) x e d i n w h a t f o l l o w s , t h e m o d e l i s t t (cid:0) j (cid:0) c o n s i s t e n t w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t a s t r u c t u r a l b r e a k i n t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g t h e i n d i c a t o r v a r i a b l e s h a s o c c u r r e d i n t h e p r e v i o u s p e r i o d . 1 P r o p o s i t i o n 2 : S u p p o s e t h a t t h e v a r i a n c e o f t h e (cid:12) r s t c o m p o n e n t o f (cid:17) i n ( 1 2 ) i s i n - t (cid:0) c r e a s e d , i n t h e s e n s e t h a t e l e m e n t ( 1 ; 1 ) o f (cid:6) i s i n c r e a s e d w h i l e a l l o t h e r e l e m e n t s o f (cid:6) , (cid:17) (cid:17) 1 1 a n d a l l e l e m e n t s o f (cid:6) i n ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) , a r e h e l d (cid:12) x e d . T h e n p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l t t (cid:0) j (cid:0) a t t e n u a t i o n r e s p o n s e t o o b s e r v a b l e s , o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 1 5 ) i n t o ( 1 7 ) , e x h i b i t s a n i n 1 a l l t h e r e s p o n s e o f e l e m e n t s o f p o l i c y m a k e r s ’ i n s t r u m e n t r t o t h e (cid:12) r s t c o m p o n e n t o f Z . t t (cid:0) P r o o f : R e c a l l t h a t r i s a v e c t o r o f i n s t r u m e n t s , h e n c e t h e p r o p o s i t i o n s t a t e s t h a t t h e t 1 o p t i m a l s e t t i n g o f e a c h o f t h e s e i s a t t e n u a t e d w i t h r e s p e c t t o t h e (cid:12) r s t c o m p o n e n t o f Z . t (cid:0) T h i s i s i n t u i t i v e b e c a u s e t h e o r d e r i n g o f t h e e l e m e n t s o f r i s a r b i t r a r y . t 2 4 T h e p o lic y m a k e r ’s c h o ic e o f r d o e s n o t a (cid:11) e c t t h e s ig n a l e x t r a c t io n a s p e c t s o f t h e p r o b le m | n e it h e r t (cid:21) t h e v a r ia n c e o f (cid:17) n o r t h e v a r ia n c e o f X f o r a n y s t | b e c a u s e it is a s s u m e d t h a t t h e c o e Æ c ie n t m a t r ic e s s s A a n d C a r e k n o w n w it h c e r t a in t y . T h is is in m a r k e d c o n t r a s t t o t h e \ e x p e r im e n t a t io n " m o t iv e t h a t is p r e s e n t in W ie la n d ( 1 9 9 8 ) , w h e r e p o lic y m a k e r s ’ c h o ic e o f r h e lp s t o r e s o lv e t h e B r a in a r d u n c e r t a in t y t a b o u t t h e m u lt ip lic a t iv e p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l.
p w p L j M j a a v (cid:0) T a 4 T s i p a o o 2 0 0 1 1 L e t M d e n o t e t h e p o s i t i v e d e (cid:12) n i t e m a t r i x C (cid:6) C + (cid:6) i n e q u a t i o n ( 1 5 ) , a n d (cid:17) t t (cid:0) j (cid:0) a r t i t i o n M i n t o : 1 1 1 2 M M 2 1 2 2 M M (cid:20) (cid:21) 1 0 (cid:0) 1 1 2 1 1 2 h e r e M i s a s c a l a r , M a c o l u m n v e c t o r , a n d M = M 2 1 . L e t t i n g N d e n o t e M a n d a r t i t i o n i n g N i n a c c o r d a n c e w i t h M , w e h a v e : 1 (cid:0) 2 2 1 2 2 2 j M j = j M j (cid:0) M M N 1 1 N = ( 1 9 ) 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 (cid:0) M M N M + M M N M M 2 2 2 2 2 2 2 2 (cid:20) (cid:21) 1 1 e t M b e m u l t i p l i e d b y a f a c t o r (cid:21) > 1 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n c r e a s e i n (cid:6) . T h e n (cid:17) M j i n c r e a s e s i n m a g n i t u d e b e c a u s e , e x p a n d i n g a l o n g t h e (cid:12) r s t r o w o r c o l u m n , j M j = 1 1 2 2 1 1 1 1 j M j + S , w h e r e S i s a s u m o f e l e m e n t - c o f a c t o r p r o d u c t s n o t i n v o l v i n g M , a n d M , 2 2 1 1 2 1 M j , a n d j M j a r e p o s i t i v e . T h u s , N i s a t t e n u a t e d , a n d i t f o l l o w s f r o m ( 1 9 ) t h a t N i s t t e n u a t e d i n t h e s a m e p r o p o r t i o n , s a y b y t h e f a c t o r (cid:22) < 1 . T h u s t h e (cid:12) r s t c o l u m n o f N i s t t e n u a t e d b y t h e f a c t o r (cid:22) . I n s p e c t i o n o f ( 1 8 ) r e v e a l s t h a t V i s i n v a r i a n t t o t h e c h a n g e i n (cid:6) , a n d b y t h e i n - (cid:17) a r i a n c e o f t h e o t h e r p a r a m e t e r s i n ( 1 5 ) , ( 1 6 ) , a n d ( 1 7 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e (cid:12) r s t c o l u m n o f 1 (cid:0) 1 0 (cid:0) 0 0 0 1 1 1 1 ( B V B ) B V A (cid:6) C C (cid:6) C + (cid:6) i s a t t e n u a t e d b y t h e s a m e f a c t o r (cid:22) . (cid:17) t t t t (cid:0) j (cid:0) (cid:0) j (cid:0) h e s e a r e e x a c t l y t h e c o e Æ c i e n t s i n q u e s t i o n , c o m p l e t i n g t h e p r o o f . (cid:0) (cid:1) O n e w o u l d l i k e t o b e a b l e t o i n c r e a s e t h e c o v a r i a n c e s a m o n g t h e c o m p o n e n t s o f (cid:17) t s w e l l , b u t u n f o r t u n a t e l y , c o m p l e t e l y g e n e r a l s t a t e m e n t s i n t h i s c a s e c a n n o t b e m a d e . . S i g n a l E x t r a c t i o n D y n a m i c s i n t h e B a s i c M o d e l h e a n a l y s i s o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s h a s b e e n e s s e n t i a l l y s t a t i c i n n a t u r e , i n t h a t a t r u c t u r a l b r e a k i n u n c e r t a i n t y w a s k n o w n t o h a v e o c c u r r e d i n t h e p r e v i o u s p e r i o d . I t s n o t c l e a r , t h e n , t h a t t h e r e s u l t s s t i l l a p p l y i f t h e i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y o c c u r s s e v e r a l e r i o d s e a r l i e r , p a r t i c u l a r l y w h e n w e t a k e i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y b o u t p o t e n t i a l o u t p u t f e e d s t h r o u g h t o i n c r e a s e d u n c e r t a i n t y a b o u t s u b s e q u e n t e s t i m a t e s f X , t h e u n o b s e r v e d s t a t e o f t h e e c o n o m y . M o r e o v e r , e r r o r s i n p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t e s f p o t e n t i a l o u t p u t a n d X a r e s e r i a l l y c o r r e l a t e d , a s p o l i c y m a k e r s l e a r n a b o u t m i s t a k e s i n
t w p w t w r w t t w w t e 2 1 h e i r e s t i m a t e s o n l y s l o w l y o v e r t i m e . A p r o p e r t r e a t m e n t o f t h e b a s i c m o d e l i n s e c t i o n 2 o u l d t a k e t h e s e d y n a m i c a s p e c t s o f p o l i c y m a k e r s ’ u n c e r t a i n t y i n t o c o n s i d e r a t i o n . T h u s , t h e m o d e l h e r e w i l l b e e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s i n s e c t i o n 2 . P o l i c y m a k e r s ’ r e f e r e n c e s a r e a s s u m e d t o b e o f t h e f o r m : 1 2 2 s t (cid:0) m i n ( 1 (cid:0) Æ ) E Æ (cid:25) + (cid:13) y ( 2 0 ) t s s = s t X (cid:0) (cid:1) h e r e , f o r e a s e o f n o t a t i o n , (cid:25) n o w d e n o t e s t h e d e v i a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n f r o m p o l i c y m a k e r s ’ s a r g e t a n d y d e n o t e s t h e o u t p u t g a p , b o t h a t t i m e s . T h e e c o n o m y i s a s s u m e d t o f o l l o w : s 1 X = ’ X (cid:0) (cid:11) r + " ( 2 1 a ) t t t t (cid:0) y = X + (cid:17) ( 2 1 b ) t t t e (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) ( 2 1 c ) t t t t h e r e X d e n o t e s t h e u n o b s e r v e d s t a t e o f t h e e c o n o m y , r t h e d e v i a t i o n o f t h e r e a l i n t e r e s t t t e a t e f r o m i t s \ n a t u r a l " v a l u e , a n d (cid:25) a g e n t s ’ e x p e c t a t i o n o f i n (cid:13) a t i o n , a s b e f o r e . t U n l i k e t h e e a r l i e r m o d e l , I n o w a l l o w t h e e r r o r t e r m (cid:17) t o b e p e r s i s t e n t : 1 (cid:17) = (cid:18) (cid:17) + (cid:24) ( 2 1 d ) t t t (cid:0) 2 5 h e r e (cid:18) i s t h e d e g r e e o f p e r s i s t e n c e o f s h o c k s t o p o t e n t i a l o u t p u t . T h e n o r m a l l y d i s r i b u t e d d i s t u r b a n c e s " , (cid:23) , a n d (cid:24) a r e a s s u m e d t o b e o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r , a c r o s s t t t i m e , a n d t o a l l o t h e r v a r i a b l e s i n t h e s y s t e m . T h e t i m i n g o f p o l i c y m a k e r s ’ o b s e r v a t i o n s a n d a c t i o n s i s t h e s a m e a s i n s e c t i o n 2 , i t h i n f o r m a t i o n s e t 2 2 2 e e 0 0 0 0 ; (cid:27) ; (cid:27) ; E X ; V a r X ; (cid:25) ; (cid:25) ; (cid:25) ; r ; y j s < t g ( 2 2 ) I (cid:17) f (cid:11) ; (cid:12) ; (cid:13) ; Æ ; (cid:18) ; ’ ; (cid:27) s s s t " (cid:23) (cid:24) t s 2 5 T h is in t e r p r e t a t io n is c le a r if w e r e p la c e ( 2 1 b ) w it h 0 y = X + (cid:17) + (cid:16) ( 2 1 b ) t t t t h e r e (cid:17) r e p r e s e n t s s h o c k s t o p o t e n t ia l o u t p u t w it h p e r s is t e n c e (cid:18) , a n d (cid:16) r e p r e s e n t s w h it e - n o is e s h o c k s t t o t h e o u t p u t g a p r e la t iv e t o t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y . C le a r ly , p o lic y m a k e r s ’ p r o b le m in t h is c a s e is s s e n t ia lly id e n t ic a l t o t h a t g iv e n in t h e t e x t , s o I h a v e r e t a in e d t h e m o r e p a r s im o n io u s m o d e l t h e r e .
w A w w b r w e c s T u i s b P o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l s o l u t i o n t o ( 2 0 ) , s u b j e c t t o ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) , i s g i v e e 1 1 r = a E X + b E (cid:17) + c (cid:25) t t t t t (cid:0) (cid:0) t h e r e a , b , a n d c a r e c o n s t a n t s i n v a r i a n t t o t h e u n c e r t a i n t y s u r r o u n d i n g X p p e n d i x A ) . I n c o n t r a s t t o s e c t i o n 2 , p o l i c y m a k e r s n o w c a r e a b o u t p a s t v a 1 1 1 e l l a s X . N o t e t h a t b e c a u s e y = X + (cid:17) , w e c a n r e w r i t e ( 2 3 ) a s : t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) e 1 1 r = ~a E X + b y + c (cid:25) t t t t (cid:0) (cid:0) t h e r e ~a (cid:17) a (cid:0) b . A s v a l u e s o f y a n d (cid:25) a r e o b s e r v e d , p o l i c y m a k e r s u p d a t e t h e i r b e l i e f s a b o 2 2 y K a l m a n (cid:12) l t e r i n g . L e t t i n g (cid:27) , (cid:27) , a n d (cid:27) d e n o t e V a r X , V a r (cid:17) , a n d C t x (cid:17) t t t t t t x (cid:17) 1 e s p e c t i v e l y , p o l i c y m a k e r s ’ b e s t e s t i m a t e o f X a t t i m e t i s g i v e n b y : t (cid:0) 2 2 (cid:0) (cid:27) (cid:27) + (cid:27) t x (cid:17) 1 (cid:0) t (cid:23) (cid:17) 1 1 1 1 E X = E X t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:1) t (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 2 (cid:0) (cid:27) (cid:27) + (cid:27) t x (cid:17) (cid:0) 1 t (cid:23) x 1 1 y + t (cid:0) 1 (cid:1) t (cid:0) (cid:0) (cid:1) 2 2 2 (cid:12) (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:27) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t t x (cid:17) x (cid:17) 1 1 1 e 1 + (cid:25) (cid:0) (cid:25) 1 t (cid:0) t (cid:0) 1 (cid:1) t (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 2 2 2 2 2 2 2 h e r e (cid:1) (cid:17) (cid:12) (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:27) + (cid:27) (cid:27) + 2 (cid:27) + (cid:27) f o r a l l t . E q u a t i o n ( 2 5 ) t t x (cid:17) t t t t t x (cid:17) x (cid:17) (cid:23) x (cid:17) x a c t l y a s w a s p o l i c y m a k e r s ’ e s t i m a t i o n e q u a t i o n ( 1 0 ) i n s e c t i o n 2 . T h e E (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) t (cid:0) 1 2 1 a n b e w r i t t e n a s ’ E X (cid:0) (cid:11) r a n d c a s c a d e d b a c k w a r d , a s b e f o r e . t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) G i v e n a n e x o g e n o u s i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y a b o u t (cid:17) a t t h e b e g i n n i n s 2 < t , w e m u s t b e g i n b y t r a c i n g o u t i t s e (cid:11) e c t s o n s u b s e q u e n t v a l u e s o f (cid:27) , (cid:27) (cid:17) 2 h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e e x o g e n e i t y o f t h e i n c r e a s e i n (cid:27) i s t h a t o f a s t r u c t u s (cid:17) n c e r t a i n t y s u r o u n d i n g p o t e n t i a l o u t p u t i n p e r i o d s . T h e c a s e w h e r e u n c e r t a i 1 2 n c r e a s e s e x o g e n o u s l y i n s e v e r a l p e r i o d s s ; s ; : : : ; s , w h i l e p e r h a p s m o r e i n k i m p l y a p o s i t i v e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e e (cid:11) e c t s g i v e n b e l o w , a n d t h u s d o e s e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . 2 2 n b y : ( 2 3 ) a n d (cid:17) ( s e e l u e s o f (cid:17) a s ( 2 4 ) u t X a n d (cid:17) o v ( X ; (cid:17) ) , t t t ( 2 5 ) w a s d e r i v e d 1 1 X t e r m t (cid:0) g o f p e r i o d 2 , a n d (cid:27) . x (cid:17) x r a l b r e a k i n n t y a b o u t (cid:17) t e r e s t i n g , i s n o t n e e d t o
s F w y w T (cid:17) u t u u a a i a 2 3 A s t r a i g h t f o r w a r d c o m p u t a t i o n ( u s i n g e q u a t i o n s ( 1 6 ) f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n ) 2 6 h o w s t h a t p o l i c y m a k e r s ’ v a r i a n c e s e v o l v e a c c o r d i n g t o : 2 2 2 2 2 2 2 (cid:27) ( (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:27) ) t t t (cid:27) (cid:27) t (cid:23) x (cid:17) x (cid:17) x (cid:17) ’ (cid:0) ’ (cid:18) (cid:27) 0 + 1 t x + 1 " 2 2 + ( 2 6 ) = 2 (cid:0) ’ (cid:18) (cid:18) 0 (cid:27) (cid:27) (cid:27) t (cid:1) x (cid:17) t + 1 t (cid:24) (cid:17) + 1 (cid:20) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:21) o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , d e (cid:12) n e 2 2 2 2 (cid:27) ( (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:27) ) t t t (cid:23) x (cid:17) x (cid:17) ( 2 7 ) N (cid:17) t (cid:1) t 2 h i c h i s t h e k e y t e r m i n ( 2 6 ) . T o t a l l y d i (cid:11) e r e n t i a t i n g N w i t h r e s p e c t t o (cid:27) , u s i n g ( 2 6 ) , t s (cid:17) i e l d s 4 2 1 d N (cid:27) d N 2 2 t t (cid:0) (cid:23) = (cid:18) ( (cid:27) + (cid:27) ) + ’ ( (cid:27) + (cid:27) ) ( 2 8 ) t t x (cid:17) x (cid:17) t t 2 x (cid:17) 2 2 d (cid:27) (cid:1) d (cid:27) s s t (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:17) h i c h i s a r e c u r s i v e s e q u e n c e t e r m i n a t i n g w i t h : d N @ N s s = 2 2 d (cid:27) @ (cid:27) s s (cid:17) (cid:17) ( 2 9 ) 4 (cid:27) 2 2 (cid:23) ( (cid:27) + (cid:27) ) = s x (cid:17) s x 2 (cid:1) s h e (cid:12) r s t e q u a l i t y i n ( 2 9 ) f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e i n c r e a s e i n u n c e r t a i n t y a b o u t 2 i n p e r i o d s i s e x o g e n o u s , w h i l e t h e c o v a r i a n c e (cid:27) a n d v a r i a n c e (cid:27) , w h i c h d e r i v e f r o m s s x (cid:17) s x n c e r t a i n t y a b o u t (cid:17) a n d X i n p r i o r p e r i o d s , a r e h e l d (cid:12) x e d . 2 N o t e t h a t e q u a t i o n s ( 2 8 ) a n d ( 2 9 ) i m p l y d N = d (cid:27) (cid:21) 0 f o r a l l (cid:28) (cid:21) s . T h i s f a c t , (cid:28) s (cid:17) o g e t h e r w i t h t h e r e l a t i o n s i m p l i e d b y ( 2 6 ) , h e l p s u s a s s e s s t h e e (cid:11) e c t s o f t h e b r e a k i n n c e r t a i n t y a b o u t (cid:17) o n t h e c o e Æ c i e n t s i n t h e p e r i o d - t e s t i m a t i o n e q u a t i o n ( 2 5 ) . s e 1 F o r e x a m p l e , t h e c o e Æ c i e n t o n t h e m o s t r e c e n t i n (cid:13) a t i o n s u r p r i s e , ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) , 1 t (cid:0) t (cid:0) n a m b i g u o u s l y i n c r e a s e s i n ( 2 5 ) . T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t : 2 2 2 (cid:12) ( (cid:27) (cid:27) (cid:0) (cid:27) ) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t t x (cid:17) x (cid:17) (cid:12) d N d 1 1 1 t (cid:0) = > 0 2 2 2 1 d (cid:27) (cid:1) (cid:27) d (cid:27) t (cid:0) s s (cid:17) (cid:23) (cid:17) n d t h e c o e Æ c i e n t o n t h e i n (cid:13) a t i o n s u r p r i s e i n ( 2 5 ) i s p o s i t i v e . T h u s , t h e (cid:12) n d i n g o f a n m p l i (cid:12) c a t i o n o f t h e c o e Æ c i e n t o n i n (cid:13) a t i o n i n s e c t i o n 2 i s r o b u s t t o e x t e n d i n g t h e i n c r e a s e n u n c e r t a i n t y a b o u t t h e o u t p u t g a p b a c k w a r d a n y n u m b e r o f p e r i o d s . 2 6 1 1 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) N o t e t h a t X a n d (cid:17) a r e c o r r e la t e d , s in c e (cid:17) = y X . H e n c e C o v ( X ; (cid:17) ) = V a r X t t t t t t t t t t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) n d C o v ( X ; (cid:17) ) = ’ (cid:18) V a r X . t t t t t (cid:0)
a o T u i w a t ( f e f (cid:28) ( o t s 2 4 1 S i m i l a r l y , t h e c o e Æ c i e n t o n t h e m o s t r e c e n t o u t p u t g a p , y , i s n e c e s s a r i l y a t t e n u - t (cid:0) t e d , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t (cid:18) > ’ ( w h i c h c o r r e s p o n d s t o a s s u m i n g s h o c k s t o p o t e n t i a l u t p u t a r e m o r e p e r s i s t e n t t h a n m o v e m e n t s i n t h e o u t p u t g a p ) : 2 2 (cid:0) (cid:27) ( (cid:27) + (cid:27) ) t x (cid:17) (cid:0) 1 t d (cid:23) x 1 2 1 d (cid:27) (cid:1) t (cid:0) s (cid:17) 2 2 (cid:27) d N 2 2 2 2 2 t (cid:0) (cid:23) (cid:0) (cid:0) = ( ’ (cid:0) (cid:18) ) (cid:27) (cid:0) (cid:12) ( (cid:18) (cid:27) + ’ (cid:27) ) (cid:18) (cid:27) + ( (cid:18) + ’ ) (cid:27) + ’ (cid:27) t t x (cid:17) x (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 2 t t t (cid:23) x x (cid:17) 2 1 1 1 (cid:1) d (cid:27) 1 s (cid:17) t (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 2 2 d N (cid:27) 2 2 2 2 2 t (cid:0) (cid:23) = (cid:0) ( (cid:18) (cid:0) ’ ) (cid:27) + (cid:12) (cid:18) (cid:27) (cid:18) (cid:27) + ’ (cid:27) < 0 2 (cid:23) " " (cid:24) 2 (cid:1) d (cid:27) 1 s (cid:17) t (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) h u s , t h i s (cid:12) n d i n g f r o m s e c t i o n 2 i s a l s o r o b u s t , n o m a t t e r w h e n t h e s t r u c t u r a l b r e a k i n 2 7 n c e r t a i n t y o c c u r r e d . 1 1 T h e c o e Æ c i e n t o n t h e l a g g e d e s t i m a t e o f t h e s t a t e v a r i a b l e , E X , m a y e i t h e r t t (cid:0) (cid:0) n c r e a s e o r d e c r e a s e i n ( 2 5 ) , a c c o r d i n g t o : 2 2 (cid:0) (cid:27) ( (cid:27) + (cid:27) ) t x (cid:17) 1 (cid:0) t d (cid:23) (cid:17) 1 2 1 d (cid:27) (cid:1) t (cid:0) s (cid:17) 2 2 (cid:27) d N 2 2 2 2 2 t (cid:0) (cid:23) (cid:0) (cid:0) = ( (cid:18) (cid:0) ’ ) (cid:27) (cid:0) (cid:12) ( ’ (cid:27) + (cid:18) (cid:27) ) (cid:18) (cid:27) + ( (cid:18) + ’ ) (cid:27) + ’ (cid:27) t t x (cid:17) x (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 2 t t t (cid:23) (cid:17) x (cid:17) 2 1 1 1 (cid:1) d (cid:27) 1 s (cid:17) t (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 2 2 d N (cid:27) 2 2 2 2 2 t (cid:0) (cid:23) ( (cid:18) (cid:0) ’ ) (cid:27) (cid:0) (cid:12) ’ (cid:27) (cid:18) (cid:27) + ’ (cid:27) = 2 (cid:23) (cid:24) " (cid:24) 2 (cid:1) d (cid:27) 1 s (cid:17) t (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 2 2 2 2 8 h i c h i s p o s i t i v e i f a n d o n l y i f ( (cid:18) (cid:0) ’ ) > (cid:12) ’ (cid:27) = (cid:27) . C o e Æ c i e n t s o n l a g s o f i n (cid:13) a t i o n (cid:23) (cid:24) n d u n e m p l o y m e n t , o b t a i n e d b y c a s c a d i n g t h e e x p e c t a t i o n a l t e r m b a c k w a r d i n ( 2 5 ) , m a y h u s a l s o g o e i t h e r w a y , d e p e n d i n g o n t h e s i g n o f t h e d e r i v a t i v e a b o v e . F o r e x a m p l e , i f 2 2 2 (cid:18) (cid:0) ’ ) > (cid:12) ’ (cid:27) = (cid:27) , t h e n t h e c o e Æ c i e n t o n E X i n c r e a s e s f o r e v e r y (cid:28) (cid:21) s . I t t h e n (cid:28) (cid:28) (cid:23) (cid:24) e o l l o w s t h a t t h e c o e Æ c i e n t o n t h e l a g g e d i n (cid:13) a t i o n s u r p r i s e ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) a l s o i n c r e a s e s f o r (cid:28) (cid:28) v e r y (cid:28) (cid:21) s ( a l t h o u g h t h e c h a n g e i n c o e Æ c i e n t o n l a g s o f t h e o u t p u t g a p , y , i s n o t c l e a r (cid:28) 2 2 2 o r s (cid:20) (cid:28) (cid:20) t (cid:0) 2 ) . I f ( (cid:18) (cid:0) ’ ) < (cid:12) ’ (cid:27) = (cid:27) , t h e n t h e c o e Æ c i e n t o n E X d e c r e a s e s f o r e v e r y (cid:28) (cid:28) (cid:23) (cid:24) (cid:21) s , t h e c o e Æ c i e n t o n y a l s o d e c r e a s e s f o r e v e r y (cid:28) (cid:21) s , a n d t h e c h a n g e i n c o e Æ c i e n t o n (cid:28) e (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) n o w b e c o m e s a n a l y t i c a l l y u n c l e a r f o r s (cid:20) (cid:28) (cid:20) t (cid:0) 2 . (cid:28) (cid:28) 2 7 T e c h n ic a lly , t h is is o n ly a t t e n u a t io n u n d e r t h e a s s u m p t io n t h a t p o lic y m a k e r s ’ o p t im a l r e s p o n s e t o t h e 2 2 1 ) = (cid:1) , is p o s it iv e . T h is a s s u m p t io n s e e m s w a r r a n t e d ( it c a n b e s h o w n u t p u t g a p , b + (cid:27) ( (cid:27) + (cid:27) (cid:0) x (cid:17) t t (cid:0) (cid:0) 1 (cid:23) x t 1 h a t b > 0 , f o r in s t a n c e ) . 2 8 1 1 T h e c o e Æ c ie n t o n E X in ( 2 5 ) is n e c e s s a r ily p o s it iv e , a s s u m in g a g a in t h a t (cid:18) > ’ ( a n d o n e c a n t t (cid:0) (cid:0) h o w t h a t ~a > 0 in a n y c a s e ) .
c a t c ( f (cid:13) 5 A f i s o s i c a u o i i i s t s 2 5 N o t e t h a t I u s e t h e t e r m i n o l o g y \ n o t c l e a r , " r a t h e r t h a n \ a m b i g u o u s , " h e r e b e a u s e t h e c h a n g e i n c o e Æ c i e n t s m a y b e t h e o r e t i c a l l y u n a m b i g u o u s , b u t c o m p u t a t i o n o f t h e n a l y t i c a l d e r i v a t i v e s a n d a f u r t h e r s i g n c h e c k o f t h e r e s u l t w o u l d b e r e q u i r e d t o a s c e r a i n t h i s f a c t , a n d t h e s e c o m p u t a t i o n s q u i c k l y b e c o m e v e r y b u r d e n s o m e . F o r e x a m p l e , i t a n b e s h o w n a n a l y t i c a l l y t h a t t h e c o e Æ c i e n t o n t h e s e c o n d l a g o f t h e i n (cid:13) a t i o n s u r p r i s e , 2 2 2 e 2 = (cid:27) ) , (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) , a l s o n e c e s s a r i l y i n c r e a s e s f o r (cid:18) > ’ ( n o m a t t e r w h a t t h e v a l u e o f (cid:12) ’ (cid:27) 2 t (cid:0) (cid:23) t (cid:0) (cid:24) u r t h e r c o r r o b o r a t i n g t h e (cid:12) n d i n g t h a t p o l i c y m a k e r s s h o u l d r e a c t m o r e a g g r e s s i v e l y t o i n a t i o n . . C o n c l u s i o n s s t a n d a r d r e s u l t i n t h e l i t e r a t u r e i s t h a t o p t i m a l m o n e t a r y p o l i c y i n a l i n e a r - q u a d r a t i c r a m e w o r k i s c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t . I t w a s e m p h a s i z e d i n t h i s p a p e r t h a t o p t i m a l p o l i c y s n o t c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t w i t h r e s p e c t t o o b s e r v a b l e v a r i a b l e s w h e n p o l i c y m a k e r s f a c e a i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m i n t h e i r e s t i m a t i o n o f t h e e c o n o m i c s t a t e . F o r e x a m p l e , t h e s t a t e f t h e e c o n o m y m a y b e v e r y c o m p l i c a t e d , a n d p o l i c y m a k e r s m a y h a v e o n l y a r e l a t i v e l y m a l l n u m b e r o f a g g r e g a t e s t a t i s t i c s t o h e l p t h e m i n f e r w h a t t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y s . A l t e r n a t i v e l y , t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y c o u l d b e r e g a r d e d a s a n u n o b s e r v e d a g g r e g a t e o n c e p t s u c h a s \ e x c e s s d e m a n d , " w i t h p o l i c y m a k e r s u s i n g v a r i o u s m e a s u r e s o f u t i l i z a t i o n n d i n (cid:13) a t i o n t o h e l p t h e m i n f e r w h a t t h e l e v e l o f e x c e s s d e m a n d i s . I n b o t h c a s e s , i n c r e a s e d n c e r t a i n t y a b o u t a n i n d i c a t o r v a r i a b l e c a u s e s p o l i c y m a k e r s ’ o p t i m a l r e a c t i o n c o e Æ c i e n t n t h a t v a r i a b l e t o b e a t t e n u a t e d . I a l s o (cid:12) n d t h a t , i n t h e f a i r l y s t a n d a r d m o d e l a b o v e , t i s o p t i m a l f o r p o l i c y m a k e r s t o a m p l i f y t h e i r r e a c t i o n c o e Æ c i e n t s o n a l l o t h e r e c o n o m i c n d i c a t o r s , a b o u t w h i c h u n c e r t a n i t y h a s n ’ t c h a n g e d . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t s i g n a l e x t r a c t i o n i s c r u c i a l t o t h e a b o v e r e s u l t s . I f n s t e a d o f a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m , p o l i c y m a k e r s f a c e s i m p l y i m p e r f e c t o b s e r v a t i o n o f t a t e v a r i a b l e s , s o t h a t t h e s t a t e i s p e r f e c t l y o b s e r v e d u p t o a w h i t e - n o i s e e r r o r t e r m , t h e n h e c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r o p e r t y h o l d s , e v e n w i t h r e s p e c t t o o b s e r v a b l e v a r i a b l e s . T h e r e a l - t i m e d a t a l i t e r a t u r e o f O r p h a n i d e s ( 1 9 9 8 ) , R u d e b u s c h ( 1 9 9 9 a , b ) , a n d o t h e r s h o u l d b e r e g a r d e d a s a s p e c i a l c a s e . I n t h o s e p a p e r s , i f t h e r e a l - t i m e d a t a a r e r a t i o n a l
e w a e t t s t e s t i m i t h n i r s t i m h e o u r e h o u e r m s t i m a r r a a b o l d s a t e s o f t h e u n d e r l y i n g t r u e v a e s p e c t t o t h e r e a l - t i m e d a t a . t i o n a l n o i s e c o m p o n e n t , t h e n t i o n o f t h e t r u e v a l u e s , a n d c e s e r v a b l e , r e a l - t i m e d a t a . I n g e n e r a l , I (cid:12) n d t h a t p o l i c y f t h e e c o n o m y w h e n a p p l y i n g b e k e p t i n m i n d t h a t t h e p r i o f o b s e r v a b l e e c o n o m i c v a r i a b t i o n o f t h e e c o n o m i c s t a t e . l u e s , t h H o w e v p o l i c y m r t a i n t y m a k e r s t h e c e n c i p l e d l e s w h e e n p o l i c y s h o u l d b e c e r t a i n t y - e q u e r , i f t h e r e a l - t i m e d a t a a r e k n o w a k e r s f a c e a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o e q u i v a l e n c e w i l l n o l o n g e r h o l d w s h o u l d t a k e i n t o a c c o u n t t h e u n r t a i n t y e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e . I n o e s n o t a p p l y t o p o l i c i e s t h a t a r e n a s i g n a l e x t r a c t i o n p r o b l e m i s i n 2 6 i v a l e n t , e v e n n t o c o n t a i n b l e m i n t h e i r i t h r e s p e c t t o o b s e r v e d n a p a r t i c u l a r , i t e x p r e s s e d i n v o l v e d i n t h e
A H r T w a I s w a d c P E t 2 7 p p e n d i x A : S o l u t i o n t o t h e B a s i c M o d e l e 1 e r e I s o l v e t h e b a s i c m o d e l o f s e c t i o n 2 u n d e r b o t h n a i v e e x p e c t a t i o n s ( (cid:25) (cid:17) (cid:25) ) a n d t (cid:0) t e a t i o n a l e x p e c t a t i o n s ( (cid:25) (cid:17) E (cid:25) ) . R e c a l l t h a t t h e m o d e l ’ s b a s i c e q u a t i o n s a r e g i v e n b y : t t t (cid:3) 1 X = ’ X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r ) + " ( A 1 ) t t t t (cid:0) (cid:3) ( y (cid:0) y ) = X + (cid:17) ( A 2 ) t t t e (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) ( A 3 ) t t t t e . g . , h e s o l u t i o n u n d e r n a i v e e x p e c t a t i o n s i s s t a n d a r d ( S a r g e n t ( 1 9 8 7 ) ) , a n d i s g i v e n b y : (cid:3) (cid:3) 1 1 + a E X + b ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) ( A 4 ) r = r t t t t (cid:0) (cid:0) h e r e 1 a ’ 0 (cid:0) (cid:11) 0 (cid:0) 0 = (cid:0) ( B V B ) B V A ; A (cid:17) ; B (cid:17) ( A 5 ) b (cid:12) ’ 1 (cid:0) (cid:12) (cid:11) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) n d V i s t h e u n i q u e n e g a t i v e s e m i d e (cid:12) n i t e s o l u t i o n t o t h e R i c c a t i e q u a t i o n : 1 (cid:13) 0 0 0 0 (cid:0) 0 ( A 6 ) V = (cid:0) D + Æ A V A (cid:0) Æ A V B ( B V B ) B V A ; D (cid:17) 0 1 (cid:21) (cid:20) n p a r t i c u l a r , t h e s o l u t i o n ( A 4 ) i s c e r t a i n t y - e q u i v a l e n t , i n t h a t a a n d b a r e i n v a r i a n t t o t h e e c o n d a n d h i g h e r m o m e n t s o f t h e s t o c h a s t i c p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m . F o r t h e s o l u t i o n u n d e r r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s , i t i s e a s i e s t t o t h i n k o f r e p l a c i n g ( A 3 ) i t h e 0 (cid:25) = (cid:21) (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) ( A 3 ) t t t t n d c o n s i d e r t h e l i m i t a s (cid:21) t e n d s t o o n e . U n d e r b o t h d i s c r e t i o n a n d c o m m i t m e n t , t h e y n a m i c s o f t h e p r o b l e m i n t h i s c a s e a r e t r i v i a l , b e c a u s e i t h a s n o p e r s i s t e n c e ( p o l i y m a k e r s c a n s e t X u p t o a s t o c h a s t i c d i s t u r b a n c e t e r m , a n d (cid:25) i s a j u m p v a r i a b l e ) . t t o l i c y m a k e r s ’ p r o b l e m i n p e r i o d t t h u s r e d u c e s t o m i n i m i z i n g t h e p e r i o d - t l o s s f u n c t i o n 2 2 (cid:3) (cid:3) ( y (cid:0) y ) + (cid:13) ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) . t t t e W h e n p o l i c y m a k e r s a r e s h o r t - s i g h t e d ( \ d i s c r e t i o n a r y " ) , t a k i n g (cid:25) a s (cid:12) x e d , i t i s e a s y (cid:2) (cid:3) t o s h o w t h a t o p t i m i z a t i o n a n d r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s l e a d t o : 2 (cid:12) (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:21) ) (cid:3) (cid:3) (cid:3) E (cid:25) = (cid:25) ; E ( y (cid:0) y ) = (cid:25) ( A 7 ) t t t t 2 2 (cid:12) + (cid:13) ( 1 (cid:0) (cid:21) ) (cid:12) + (cid:13) ( 1 (cid:0) (cid:21) )
w r w l f w c i n t a (cid:3) h i c h c o n v e r g e t o (cid:25) a n d 0 , r e s p e c t i v e l y , a s (cid:21) ! 1 . A l t e r n a t i v e l y , w h e n p o l i c y m a k e r s a r e f a r - s i g h t e d ( a t i o n a l e x p e c t a t i o n s l e a d t o : 2 (cid:12) (cid:3) (cid:3) E (cid:25) = (cid:25) ; E ( y (cid:0) y ) = t t t t 2 2 (cid:12) + (cid:13) ( 1 (cid:0) (cid:21) ) 2 9 (cid:3) h i c h l i k e w i s e c o n v e r g e t o (cid:25) a n d 0 a s (cid:21) ! 1 . T h u s , u n d e r r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s , w e c a n r e g a r d o w i n g m o r e s t a n d a r d l i n e a r - q u a d r a t i c p r o b l e m : (cid:3) 1 X = ’ X (cid:0) (cid:11) ( r (cid:0) r t t t (cid:0) (cid:3) ( y (cid:0) y ) = X + (cid:17) t t t (cid:3) (cid:25) = (cid:25) + (cid:12) X + (cid:23) t t t o r w h i c h t h e o p t i m a l s o l u t i o n i s : (cid:3) (cid:3) 1 r = r + a E X + b ( (cid:25) (cid:0) t t t (cid:0) h e r e a a n d b a r e g i v e n b y e q u a t i o n ( A 5 ) , e x a c t l y a s b e f o a n b e d r o p p e d , b u t l e a v i n g i t f a c i l i t a t e s c o m p a r i s o n t o ( n t h e m a i n b o d y o f t h e t e x t , e (cid:3) 1 r = r + a E X + b ( (cid:25) (cid:0) t t t (cid:0) t I t i s t h e n n o t h a r d t o s o l v e e x p l i c i t l y f o r V i n ( e c e s s a r i l y p o s i t i v e . T h e s a m e m e t h o d s c a n b e a p p l i e d t o t h e s l i g h t l y i o n 4 . 2 9 (cid:3) (cid:3) (cid:0) T h is is n o t s u r p r is in g , s in c e s e t t in g (cid:25) = (cid:25) a n d ( y y ) = 0 t t n d t h is w a s a c h ie v e d e v e n u n d e r d is c r e t io n . \ c o m m i t t e d " ) , o p t i m i z a t i o n (cid:12) ( 1 (cid:0) (cid:21) ) (cid:3) (cid:25) ( 2 2 (cid:12) + (cid:13) ( 1 (cid:0) (cid:21) ) p o l i c y m a k e r s a s s o l v i n g t h e ) + " ( t ( A ( A (cid:3) (cid:25) ) ( A (cid:3) (cid:3) r e . O b v i o u s l y , t h e ( (cid:25) (cid:0) (cid:25) ) t A 5 ) a n d t h e s i n g l e s o l u t i o n g (cid:3) (cid:25) ) ( A A 6 ) a n d s h o w t h a t a a n d b m o r e c o m p l i c a t e d m o d e l o f in e x p e c t a t io n is t h e g lo b a l o p t im 2 8 a n d A 8 ) f o l - A 9 ) 1 0 ) 1 1 ) 1 2 ) e r m i v e n 1 3 ) a r e s e c u m ,
R A A B B D E M M O O O O R R R S S 2 9 e f e r e n c e s o k i , K o s u k e . \ O n t h e O p t i m a l M o n e t a r y P o l i c y R e s p o n s e t o N o i s y I n d i c a t o r s , " u n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t ( 1 9 9 9 ) , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y . o k i , M a s a n a o O p t i m i z a t i o n o f S t o c h a s t i c S y s t e m s : T o p i c s i n D i s c r e t e - T i m e S y s t e m s . ( A c a d e m i c P r e s s : N e w Y o r k , 1 9 6 7 ) . e r t s e k a s , D i m i t r i D y n a m i c P r o g r a m m i n g . ( P r e n t i c e - H a l l : E n g l e w o o d C l i (cid:11) s , N J , 1 9 8 7 ) . r a i n a r d , W i l l i a m . A E A P a p e r s & P r o c e e d - \ U n c e r t a i n t y a n d t h e E (cid:11) e c t i v e n e s s o f P o l i c y , " i n g s 5 7 ( 1 9 6 7 ) , p p . 4 1 1 { 4 2 5 . r e w , A a r o n a n d B e n j a m i n H u n t . \ E Æ c i e n t S i m p l e P o l i c y R u l e s a n d t h e I m p l i c a t i o n s o f J o u r n a l o f B u s i n e s s a n d E c o n o m i c s P o t e n t i a l O u t p u t U n c e r t a i n t y , " 5 2 ( 2 0 0 0 ) , p p . 1 4 3 { 1 5 9 . s t r e l l a , A r t u r o a n d F r e d e r i c M i s h k i n . \ R e t h i n k i n g t h e R o l e o f N A I R U i n M o n e t a r y M o n e t a r y P o l i c y R u l e s , P o l i c y : I m p l i c a t i o n s o f M o d e l F o r m u l a t i o n a n d U n c e r t a i n t y , " i n e d . J o h n T a y l o r ( 1 9 9 9 ) , p p . 4 0 5 { 4 3 0 . a n k i w , N . G r e g o r y a n d M a t t h e w S h a p i r o . \ N e w s o r N o i s e : A n A n a l y s i s o f G N P R e v i - S u r v e y o f C u r r e n t B u s i n e s s s i o n s , " ( 1 9 8 6 ) , p p . 2 0 { 2 5 . c N e e s , S t e p h e n . N e w E n g l a n d E c o - \ A n A s s e s s m e n t o f t h e ‘ O Æ c i a l ’ E c o n o m i c F o r e c a s t s , " n o m i c R e v i e w ( 1 9 9 5 ) , p p . 1 3 { 2 3 . n a t s k i , A l e x e i a n d J a m e s S t o c k . \ R o b u s t M o n e t a r y P o l i c y U n d e r M o d e l U n c e r t a i n t y i n a N B E R W o r k i n g P a p e r S m a l l M o d e l o f t h e U . S . E c o n o m y , " 7 4 9 0 ( 2 0 0 0 ) . r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s . \ T h e Q u e s t f o r P r o s p e r i t y W i t h o u t I n (cid:13) a t i o n , " u n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t ( 1 9 9 9 ) , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d . r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s . F e d e r a l R e - \ M o n e t a r y P o l i c y E v a l u a t i o n w i t h N o i s y I n f o r m a t i o n , " s e r v e B o a r d F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s 1 9 9 8 { 5 0 ( 1 9 9 8 ) . r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s , R i c h a r d P o r t e r , D a v i d R e i f s c h n e i d e r , R o b e r t T e t l o w , a n d F r e d e r i c o F i n a n . \ E r r o r s i n t h e M e a s u r e m e n t o f t h e O u t p u t G a p a n d t h e D e s i g n o f M o n - J o u r n a l o f B u s i n e s s a n d E c o n o m i c s e t a r y P o l i c y , " 5 2 ( 2 0 0 0 ) , p p . 1 1 7 { 1 4 2 . o m e r , C h r i s t i n a a n d D a v i d R o m e r . \ F e d e r a l R e s e r v e P r i v a t e I n f o r m a t i o n a n d t h e B e h a v i o r N B E R W o r k i n g P a p e r o f I n t e r e s t R a t e s , " 5 6 9 2 ( 1 9 9 6 ) ; a r e v i s e d v e r s i o n i s f o r t h c o m i n g , A . E . R . ( 2 0 0 0 ) . u d e b u s c h , G l e n n . F e d e r a l \ I s t h e F e d T o o T i m i d ? M o n e t a r y P o l i c y i n a n U n c e r t a i n W o r l d , " R e s e r v e B a n k o f S a n F r a n c i s c o W o r k i n g P a p e r 9 9 { 0 5 ( 1 9 9 9 a ) . u d e b u s c h , G l e n n . \ A s s e s s i n g N o m i n a l I n c o m e R u l e s f o r M o n e t a r y P o l i c y w i t h M o d e l a n d D a t a U n c e r t a i n t y , " u n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t ( 1 9 9 9 b ) , E u r o p e a n C e n t r a l B a n k C o n f e r e n c e . a c k , B r i a n . F e d e r a l R e s e r v e B o a r d F i n a n c e \ D o e s t h e F e d A c t G r a d u a l l y ? A V A R A n a l y s i s , " a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s 1 9 9 8 { 1 7 ( 1 9 9 8 ) ; a s u b s t a n t i a l l y r e v i s e d v e r s i o n i s f o r t h c o m - J . M . E . i n g , ( 2 0 0 0 ) . a r g e n t , T h o m a s D y n a m i c M a c r o e c o n o m i c T h e o r y . ( H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s : C a m b r i d g e , M A , 1 9 8 7 ) .
S S T W m v a e e y i e t m n l l r l F s , F r a n k . \ O u t p u t G a p U a n u s c r i p t ( 1 9 9 8 ) , E u r o p e a n s s o n , L a r s a n d M i c h a e l i s h e d m a n u s c r i p t ( 1 9 9 9 ) , E u o r , J o h n . \ D i s c r e t i o n v e r s u i e s o n P u b l i c P o l i c y 3 9 ( 1 9 9 a n d , V o l k e r . \ M o n e t a r y P e d e r a l R e s e r v e B o a r d F i n a n n W r s 3 o c c e r t a i n t y : D o e s i t M a C e n t r a l B a n k . o o d f o r d . \ I n d i c a t o o p e a n C e n t r a l B a n k C P o l i c y R u l e s i n P r a c t ) , p p . 1 9 5 { 2 1 4 . l i c y a n d U n c e r t a i n t y A e a n d E c o n o m i c s D i s c t t e r V o n i c e b o u s s r a f e , " u i o f o r t h e T a y r i a b l e s f o r O r e n c e . C a r n e g i e - R t t h e N a t u r a n S e r i e s 1 9 9 l o r R p t i m o c h e s l U n e 8 { 2 2 u l e ? " u a l P o l i c t e r C o n m p l o y m ( 1 9 9 8 ) . n p y , " f e r e n u e t b u n R l n c i s p e a 3 0 h e d u b - S e t e , "
Cite this document
Eric T. Swanson (2000). On Signal Extraction and Non-Certainty-Equivalence in Optimal Monetary Policy Rules (FEDS 2000-32). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2000-32
@techreport{wtfs_feds_2000_32,
author = {Eric T. Swanson},
title = {On Signal Extraction and Non-Certainty-Equivalence in Optimal Monetary Policy Rules},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {2000-32},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {2000},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2000-32},
abstract = {A standard result in the literature on monetary policy rules is that of certainty equivalence: given the expected values of all the state variables of the economy, policy should be set in a way that is independent of all higher moments of those variables. Some exceptions to this rule have been pointed out by Smets (1998), who restricts policy to respond to only a limited subset of state variables, and by Orphanides (1998), who restricts policy to respond to estimates of the state variables that are biased. In contrast, this paper studies unrestricted, fully optimal policy rules with optimal estimation of state variables. The rules in this framework exhibit certainty equivalence with respect to estimates of an unobserved, possibly complicated, state of the economy X, but are not certainty-equivalent when 1) a signal-extraction problem is involved in the estimation of X, and 2) the optimal rule is expressed as a reduced form that combines policymakers' estimation and policy-setting stages. In general, I show that it is optimal for policymakers to attenuate their reaction coefficient on a variable about which uncertainty has increased, while responding more aggressively to all other variables, about which uncertainty hasn't changed.},
}