Understanding the Role of Recovery in Default Risk Models: Empirical Comarisons and Implied Recovery Rates
Abstract
This article presents a framework for modeling defaultable debt under alternative recovery conventions (for a wide class of processes describing recovery rates and default probability). These debt models have the ability to differentiate the impact of recovery rates and default probability, and can be utilized to invert the market expectation of recovery rates implicit in bond prices. Among potential applications, the framework can be used for pricing and hedging credit derivatives that are contingent on the default event and/or recovery levels. Empirical implementation of these models suggests two central findings. First, the recovery concept that specifies recovery as a fraction of the discounted par value has broader empirical support. Second, parametric debt valuation models can provide a useful assessment of recovery rates embedded in bond prices. This article has attempted to model recovery and comprehend their impact on debt values.
M M g d F A M a U r U n d e r s t a n d i n g t h e R o l e o f R e c o v e r y i n D e f a u l t R i s k M o d e l s : E m p i r i c a l C o m p a r i s o n s a n d I m p l i e d R e c o v e r y R a t e s (cid:3) G u r d i p B a k s h i , D i l i p M a d a n , F r a n k Z h a n g N o v e m b e r 6 , 2 0 0 1 (cid:3) B a k s h i a n d M a d a n a r e b o t h a t D e p a r t m e n t o f F in a n c e , R o b e r t H . S m it h S c h o o l o f B u s in e s s , U n iv e r s it y o f a r y la n d , C o lle g e P a r k , M D 2 0 7 4 2 , a n d Z h a n g is a t F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , D iv is io n o f R e s e a r c h a n d S t a t is t ic s , a il S t o p 9 1 , W a s h in g t o n D .C . 2 0 5 5 1 . B a k s h i c a n b e r e a c h e d a t T e l: 3 0 1 - 4 0 5 - 2 2 6 1 , F a x : 3 0 1 - 4 0 5 - 0 3 5 9 , E m a il: b a k s h i@ r h s m it h .u m d .e d u , W e b s it e : w w w .r h s m it h .u m d .e d u / (cid:12) n a n c e / g b a k s h i/ ; M a d a n a t T e l: 3 0 1 - 4 0 5 - 2 1 2 7 , E m a il: b m @ r h s m it h .u m d .e d u , a n d W e b s it e : w w w .r h s m it h .u m d .e d u / (cid:12) n a n c e / d m a d a n / ; a n d Z h a n g a t T e l: 2 0 2 - 4 5 2 - 3 7 6 0 , a x : 2 0 2 - 7 2 8 - 5 8 8 7 , E m a il: x z h a n g @ fr b .g o v . F o r m a n y h e lp fu l c o m m e n t s a n d d is c u s s io n s , w e t h a n k V ir a l A c h a r y a , n d r e a B u r a s c h i, M a r k C a r e y , R e n - R a w C h e n , J in g z h i H u a n g , J u n L iu , B o b J a r r o w , F r a n c is L o n g s t a (cid:11) , R ic h a r d c L e a n , M a t t P r it s k e r , C h r is T e lm e r , a n d H a lu k U n a l. S e m in a r p a r t ic ip a n t s a t t h e 8 t h a n n u a l C h in e s e (cid:12) n a n c e s s o c ia t io n m e e t in g s ( N e w Y o r k U n iv e r s it y ) , t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , U n iv e r s it y o f N e w O r le a n s , a n d R u t g e r s n iv e r s it y p r o v id e d s e v e r a l u s e fu l s u g g e s t io n s . T h e v ie w s e x p r e s s e d h e r e in a r e t h e a u t h o r s o w n a n d d o n o t n e c e s s a r ily e (cid:13) e c t t h o s e o f t h e F e d e r a l R e s e r v e B o a r d o r it s s t a (cid:11) . 0
( m a E c s r t U n T h is fo r a w o d e ls n d c a n m p ir ic o n c e p t u p p o r t a t e s e m h e ir im d e r s t a n d i n g t h e R o l e o f R e c o v e r y i n D e f a u l t R i s k M o d e l s : E m p i r i c a l C o m p a r i s o n s a n d I m p l i e d R e c o v e r y R a t e s A b s t r a c t a r t ic le p r e s e n t s a fr a m e w o r k fo r s t u d y in g t h e r o le o f r e c o v e r y o n d e fa u lt a b le d e b t p r ic e s id e c la s s o f p r o c e s s e s d e s c r ib in g r e c o v e r y r a t e s a n d d e fa u lt p r o b a b ilit y ) . T h e s e d e b t h a v e t h e a b ilit y t o d i(cid:11) e r e n t ia t e t h e im p a c t o f r e c o v e r y r a t e s a n d d e fa u lt p r o b a b ilit y , b e u t iliz e d t o in v e r t t h e m a r k e t e x p e c t a t io n o f r e c o v e r y r a t e s im p lic it in b o n d p r ic e s . a l im p le m e n t a t io n o f t h e s e m o d e ls s u g g e s t s t w o c e n t r a l (cid:12) n d in g s . F ir s t , t h e r e c o v e r y t h a t s p e c i(cid:12) e s r e c o v e r y a s a fr a c t io n o f t h e d is c o u n t e d p a r v a lu e h a s b r o a d e r e m p ir ic a l . S e c o n d , p a r a m e t r ic d e b t v a lu a t io n m o d e ls c a n p r o v id e a u s e fu l a s s e s s m e n t o f r e c o v e r y b e d d e d in b o n d p r ic e s . T h is a r t ic le h a s a t t e m p t e d t o m o d e l r e c o v e r y a n d c o m p r e h e n d p a c t o n d e b t v a lu e s . 1
p O n p r o t b i F i c a a t V o m t b m f i o b c b T h i s a r t i c l e a n a l y z e s t h e e (cid:11) e c t o f r e c o v e r y o n t h e p r i c e o f d e f a u l t a b l e d e b t . W e s p e c i (cid:12) c a l l y o s e t w o e m p i r i c a l q u e s t i o n s u s i n g d e f a u l t a b l e d e b t m o d e l s : W h i c h c o n c e p t o f r e c o v e r y i s s u p p o r t e d i n m a r k e t p r i c e o f c o r p o r a t e c o u p o n b o n d s ? a n d , (cid:15) W h e n D o e s r e c o v e r y ( i n d e f a u l t ) h a v e a n i d e n t i (cid:12) a b l e i m p a c t o n d e b t p r i c e s ? I f s o , w h a t c a n (cid:15) b e l e a r n e d a b o u t r e c o v e r y r a t e s e m b e d d e d i n m a r k e t d e b t p r i c e s ? u r n e x t c e n t r a l p u r p o s e i s t o t h e o r e t i c a l l y i n v e s t i g a t e w h e t h e r r e c o v e r y r i s k i s p r i c e d : A r e r i s k e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s l o w e r o r h i g h e r t h a n i t s p h y s i c a l c o u n t e r p a r t ? T h e s e i s s u e s a r e o t e n t i a l l y c r u c i a l f o r u n d e r s t a n d i n g t h e r o l e o f r e c o v e r y i n d e f a u l t r i s k m o d e l i n g . O u r t h e o r e t i c a l a n a l y s i s r e v e a l s t h a t c r o s s - s e c t i o n a l v a r i a t i o n s i n r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y a t e s a r e p o s s i b l y i m p a c t e d b y d i (cid:11) e r e n c e s i n c o u n t e r p a r t y r i s k a v e r s i o n a n d (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c m o m e n t s f t h e p h y s i c a l r e c o v e r y d e n s i t y . W e d e r i v e t w o p r i n c i p a l r e s u l t s . F i r s t , o u r d e v e l o p m e n t s s u g g e s t h a t t h e r i s k - n e u t r a l d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a r e n o t o n l y h i g h e r t h a n p h y s i c a l d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s u t a l s o i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e l e v e l o f r e c o v e r y . S e c o n d , t h e d e r i v e d r i s k - n e u t r a l r e c o v e r y d e n s i t y s s u c h t h a t t h e r i s k - n e u t r a l i z e d e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s a r e l o w e r t h a n t h e i r p h y s i c a l c o u n t e r p a r t . i r m s w i t h m o r e v o l a t i l e o r l e f t - s k e w e d ( p h y s i c a l ) r e c o v e r y d e n s i t i e s m a y i n c u r f u r t h e r r e d u c t i o n s n r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r i e s . T h e s e f e a t u r e s a r e p o s s i b l y r e (cid:13) e c t e d i n t h e t e r m s t r u c t u r e o f r e d i t s p r e a d s . F o r t h e e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n i n v o l v i n g p a r a m e t r i c d e b t m o d e l s a n d s t o c h a s t i c r e c o v e r y , w e p p e a l t o t h e f r a m e w o r k p r e s e n t e d i n D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) , J a r r o w a n d T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) n d L a n d o ( 1 9 9 8 ) . W e e x p l i c i t l y d e r i v e d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d p r i c e s u n d e r t h e a s s u m p t i o n h a t ( 1 ) t h e b o n d h o l d e r s r e c o v e r a f r a c t i o n o f t h e f a c e v a l u e o f t h e b o n d ( t h e \ R e c o v e r y o f F a c e a lu e " m o d e l ) , o r ( 2 ) t h e b o n d h o l d e r s r e c o v e r a f r a c t i o n o f t h e p r e s e n t v a l u e o f f a c e ( t h e \ R e c o v e r y f T r e a s u r y " m o d e l ) , a n d ( 3 ) t h e b o n d h o l d e r s r e c o v e r a f r a c t i o n p r o p o r t i o n a l t o t h e p r e - d e f a u l t a r k e t v a l u e ( t h e \ R e c o v e r y o f M a r k e t V a lu e " m o d e l ) . I n s o d o i n g , o u r s e t - u p p o s s i b l y p r o v i d e s w o i n c r e m e n t a l c o n t r i b u t i o n s . F i r s t , t h e a p p r o a c h a l l o w s f o r a (cid:13) e x i b l e c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e e t w e e n t h e r i s k - f r e e i n t e r e s t r a t e , t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y a n d t h e r e c o v e r y r a t e . S e c o n d , i n o u r o d e l , t h e r e c o v e r y r a t e c a n b e f u n c t i o n a l l y l i n k e d t o d e f a u l t p r o b a b i l i t y o r t o o t h e r f u n d a m e n t a l a c t o r s t h a t p r o x y d e f a u l t r i s k . T h e d e b t m o d e l c a n t h e r e f o r e b e u t i l i z e d t o s e p a r a t e c r e d i t s p r e a d s n t o t h e i r d e f a u l t p r o b a b i l i t y a n d r e c o v e r y r e l a t e d c o m p o n e n t s . F r o m a p r a c t i c a l v i e w p o i n t , s o m e f t h e r e c o v e r y m o d e l s c a n b e a p p l i e d t o i n f e r t h e m a r k e t ’s e x p e c t a t i o n o f r e c o v e r y r a t e i m p l i c i t i n o n d p r i c e s . F i n a l l y , s t a n d a r d m o d e l a s s e s s m e n t t o o l s c a n b e e m p l o y e d t o g a u g e w h i c h r e c o v e r y o n c e p t h a s b r o a d e r e m p i r i c a l s u p p o r t . E v e n i f a l l r e c o v e r y c o n c e p t s a r e a d e q u a t e l y s u p p o r t e d y t h e d a t a , t h e y c o u l d f u n d a m e n t a l l y d e p a r t i n t h e q u a l i t y o f r e c o v e r y l e v e l s i m p l i e d b y m a r k e t 1
p s a t r a r i s m c o t s o l o e b T i t p r r p t a s o c o o r i c e s . A s s u c h , t h e s e d i (cid:11) e r e n c e s c o u l d b e r e l e v a n t f o r t h e d e s i g n a n d m a n a g e m e n t o f r e c o v e r y 1 e n s i t i v e i n s t r u m e n t s . T o i l l u s t r a t e t h e e m p i r i c a l p o t e n t i a l o f v a r i o u s d e f a u l t a b l e d e b t m o d e l s , t h e y a r e a p p l i e d s e p r a t e l y t o a s a m p l e o f B B B - r a t e d c o r p o r a t e b o n d s . T h e c l o s e d - f o r m d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s w e e s t r e l y o n t h r e e a s s u m p t i o n s . O n e , g u i d e d b y o u r t h e o r e t i c a l r e s u l t s , w e s p e c i f y t h a t r e c o v e r y a t e s a r e n e g a t i v e l y a s s o c i a t e d w i t h d e f a u l t p r o b a b i l i t y . T h i s p a r a m e t r i c l i n k i s a l s o i n s p i r e d b y n e m p i r i c a l s t u d y b y F i t c h t h a t s h o w s t h a t w h e n a g g r e g a t e d e f a u l t s t e n d t o r i s e , a c t u a l r e c o v e r y a t e s o f t e n d e c l i n e ( W S J ; M a r c h 1 9 , 2 0 0 1 ) . T w o , w e p o s i t a f a m i l y o f h a z a r d r a t e s t h a t a r e l i n e a r n t h e s h o r t i n t e r e s t r a t e ( D u (cid:11) e e ( 1 9 9 9 ) a n d D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 7 , 1 9 9 9 ) ) . L a s t l y , i t i s a s u m e d ( f o r t r a c t a b i l i t y ) t h a t t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i s g o v e r n e d b y s i n g l e - f a c t o r d i (cid:11) u s i o n . I n t h i s o d e l i n g e n v i r o n m e n t , o u r t h e o r e t i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n s s h o w t h a t d i (cid:11) e r e n t r e c o v e r y c o n v e n t i o n s a n h a v e d i s t i n c t i m p l i c a t i o n s f o r d e f a u l t a b l e b o n d s . T h e r e c o v e r y a n d d e f a u l t r i s k u n d e r p i n n i n g s f d e f a u l t a b l e d e b t p r i c e s i s a p p a r e n t f r o m o u r a n a l y t i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n s . O u r e m p i r i c a l e x e r c i s e s p r o v i d e s e v e r a l k e y i n s i g h t s . B e t w e e n t h e r e c o v e r y o f f a c e v a l u e m o d e l , h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l , a n d a v e r s i o n o f t h e D u Æ e - S i n g l e t o n m o d e l , t h e b o n d d a t a b e t t e r u p p o r t s t h e n o t i o n o f r e c o v e r y b a s e d o n t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l . F o r e x a m p l e , t h e o u t f - s a m p l e a b s o l u t e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s a n d t h e a b s o l u t e d o l l a r p r i c i n g e r r o r s a r e c o n s i s t e n t l y o w e r f o r t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l ( a n d s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t ) . A d o p t i n g t h e r e c o v e r y f t r e a s u r y m o d e l i s a l s o f o u n d t o r e d u c e t h e d i s p e r s i o n o f p r i c i n g e r r o r s . A m o n g o t h e r p o s s i b l e x p l a n a t i o n s , a s u p e r i o r o u t - o f - s a m p l e (cid:12) t o f t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l h a s t h e i m p l i c a t i o n t h a t o n d h o l d e r s a r e n o t o v e r l y o p t i m i s t i c a b o u t i m m e d i a t e c a s h r e c o v e r y o f t h e f a c e v a l u e o f t h e b o n d . h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s o f t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l m a y m o r e c l o s e l y a p p r o x i m a t e t h e m p l i c i t v a l u a t i o n p r o c e s s o f t h e m a r k e t - p l a c e . T h e s e c o n d i n s i g h t t h a t e m e r g e s i s t h a t t h e r e c o v e r y o f f a c e v a l u e m o d e l a n d t h e r e c o v e r y o f r e a s u r y m o d e l a r e b o t h i n f o r m a t i v e a b o u t ( r i s k - n e u t r a l ) e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s . T h e s e e s t i m a t e s r o v i d e a u s e f u l b e n c h m a r k f o r c o m p a r i n g e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s o v e r t i m e a n d a c r o s s c r e d i t a t i n g s . F i n a l l y , w e o b s e r v e t h a t t h e e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s a r e m u c h l e s s v o l a t i l e f o r t h e r e c o v e r y 1 T h e r e c o v e r y o f m a r k e t - v a lu e m o d e l o f D u Æ e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 9 ) h a s le d t o c o n s id e r a b le in s ig h t s a b o u t c r e d it is k s . I n t h e ir d e b t v a lu a t io n m o d e l, t h e y a d o p t t h e a s s u m p t io n t h a t r e c o v e r y in d e fa u lt is p r o p o r t io n a l t o t h e r e - d e fa u lt m a r k e t v a lu e o f t h e d e fa u lt a b le s e c u r it y . F o r t h is c a s e , t h e y p r o v e t h a t t h e d e fa u lt a b le d e b t v a lu e is h e d is c o u n t e d e x p e c t a t io n o f t h e p r o m is e d p a y m e n t s , w h e r e t h e d is c o u n t r a t e c o m b in e s t im e v a lu e , d e fa u lt a r r iv a l n d r e c o v e r y r a t e s . A lt h o u g h t h is fr a m e w o r k h a s fa c ilit a t e d t r a c t a b le c lo s e d - fo r m c h a r a c t e r iz a t io n s o f d e fa u lt a b le e c u r it ie s a n d it h a s g e n e r a t e d r e a lis t ic c r e d it s p r e a d s , t h e s im p lic it y a n d e le g a n c e o f t h is a p p r o a c h c o m e s a t a c o s t f c o n fo u n d in g t h e e (cid:11) e c t o f r e c o v e r y - in - d e fa u lt fr o m t h e p r o b a b ilit y o f d e fa u lt . F o r t h is r e a s o n , d e t e r m in in g r e c o v e r y o n c e p t s t h a t a llo w d e b t p r ic e s t o r e v e a l in fo r m a t io n a b o u t e x p e c t e d r e c o v e r y le v e ls c a n p r o v e u s e fu l in t h e d e s ig n f r e c o v e r y s e n s it iv e c r e d it d e r iv a t iv e s . T h e la n g u a g e o f t h e B a s le A c c o r d , fo r in s t a n c e , r e q u ir e s d is t in c t a s s e s s m e n t s f t h e c r e d it r is k e v e n t s o f d e fa u lt a n d lo s s g iv e n d e fa u lt . 2
o c t a s p 7 i 1 M u ( r T o t f p o a l u r p I b i F w f f a c e v a l u e m o d e l . T h e r e c o v e r y o f f a c e v a l u e c o n v e n t i o n m a y w e l l b e a m o r e s u i t a b l e c o n t r a c t i n g h o i c e f o r w r i t i n g c o n t i n g e n t c l a i m s o n r e c o v e r i e s . T h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 1 e x p l a i n h o w r i s k - n e u t r a l r e c o v e r y r a t e s a r e r e l a t e d o t h e d e n s i t y o f t h e p h y s i c a l r e c o v e r y , a n d c o u n t e r p a r t y r i s k a v e r s i o n . I n s e c t i o n 2 , w e p r e s e n t f r a m e w o r k f o r p r i c i n g d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s u n d e r b r o a d r e c o v e r y s p e c i (cid:12) c a t i o n s . T h e n e x t e c t i o n d e v e l o p s c l o s e d - f o r m m o d e l s o f d e f a u l t a b l e b o n d s t h a t a l l o w r e c o v e r y t o v a r y w i t h d e f a u l t r o b a b i l i t y . O u r e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s a n d e s t i m a t i o n s t r a t e g y i s o u t l i n e d i n S e c t i o n s 4 t h r o u g h . I n p a r t i c u l a r , w e p r e s e n t t h e o u t - o f - s a m p l e p r i c i n g e r r o r r e s u l t s a n d t h e e s t i m a t e s o f t h e m a r k e t m p l i e d r e c o v e r y r a t e s . S e c t i o n 8 s u m m a r i z e s o u r m a i n r e s u l t s a n d c o n c l u d e s . R e c o v e r y , D e f a u l t , a n d t h e M a r k e t P r i c e o f R e c o v e r y R i s k o s t d e f a u l t r i s k m o d e l s d i r e c t l y s p e c i f y a n a d a p t e d p r o c e s s f o r t h e e x p e c t e d l e v e l o f r e c o v e r y n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e ( s t a r t i n g w i t h D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) a n d J a r r o w a n d T u r n b u l l 1 9 9 5 ) ) . B y i m p l i c a t i o n t h e r e i s t h e r e c o g n i t i o n t h a t t h e a c t u a l / p h y s i c a l l e v e l o f r e c o v e r y i s a a n d o m v a r i a b l e , g i v e n d e f a u l t , w i t h a n e x p e c t e d v a l u e t h a t c a n b e m o d e l e d f o r v a l u a t i o n p u r p o s e s . o c l a r i f y h o w (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c r i s k - n e u t r a l r e c o v e r y r a t e s a r e i m p a c t e d b y r i s k a v e r s i o n a n d m o m e n t s f t h e p h y s i c a l r e c o v e r y d e n s i t y , l e t w d e n o t e t h e p r o p o r t i o n o f v a l u e r e c o v e r e d i n d e f a u l t . S u p p o s e h a t t h e p h y s i c a l r e c o v e r y r a t e g i v e n d e f a u l t h a s a d e n s i t y w i t h s u p p o r t i n t h e u n i t i n t e r v a l , s a y 1 [w ], 0 w 1 s a t i s f y i n g f [w ] d w = 1 . 0 (cid:20) (cid:20) L e t h b e t h e p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t u n d e r t h e p h y s i c a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h e r i s k - n e u t r a l R r o b a b i l i t y h i s a l s o a b s t r a c t l y l i n k e d t o i t s p h y s i c a l c o u n t e r p a r t , a n d p o s s i b l y r e c o v e r y . O u r b j e c t i v e i s t o a d d r e s s t w o q u e s t i o n s : ( i ) W h e n i s p h y s i c a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e a t l e a s t a s l a r g e s t h e r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e ? ( i i ) W h e n i s t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t a t e a s t a s l a r g e a s t h e p h y s i c a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t ? W e a r g u e t h a t t h e s e i s s u e s a r e c r u c i a l f o r n d e r s t a n d i n g t h e p r i c e o f d e f a u l t r i s k a n d / o r r e c o v e r y r i s k , a n d f o r i n t e r p r e t i n g m o d e l - i m p l i e d e c o v e r y r a t e s . T o d e r i v e a n e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l a n d h y s i c a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e s , c o n s i d e r a p r o b l e m w h e r e a (cid:12) r m c o u l d d e f a u l t o n i t s o b l i g a t i o n . n s u c h a s c e n a r i o , m a n y c o u n t e r p a r t i e s w o u l d b e a (cid:11) e c t e d a n d a s s u c h w o u l d h a v e a n i n t e r e s t i n u y i n g i n s u r a n c e a g a i n s t t h i s e v e n t . N a t u r a l l y , t h e l o w e r t h e e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e , t h e g r e a t e r i t s m p a c t o n c o u n t e r p a r t i e s a n d t h e m o r e t h e y a r e w i l l i n g t o p a y t o c o v e r a g a i n s t s u c h a n e v e n t u a l i t y . o r a c o u n t e r p a r t y w e a l t h l e v e l o f W , t h e i r p o s t - d e f a u l t w e a l t h m a y b e w r i t t e n a s : W ( 1 w ) F , 0 0 (cid:0) (cid:0) h e r e , f o r s i m p l i c i t y , F i s t h e n o t i o n a l p r i n c i p a l a t s t a k e . T h e r e f o r e , t h e e x p e c t e d u t i l i t y o f w e a l t h , 3
f w t t w e B e p w w t ( d = o o r u t i l i t y f u n c t i o n U [:], c o n d i t i o n a l o n d e f a u l t , a s s u m i n g n o h e d g i n g , i s g i v e n b y : 1 E U [w ] = U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w ( 1 ) 0 f g (cid:0) (cid:0) 0 Z h e r e E : i s e x p e c t a t i o n u n d e r t h e p h y s i c a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e . f g N o w c o n s i d e r a c o n t i n g e n t c l a i m w r i t t e n o n t h e r e c o v e r y r a t e w a n d p a y i n g t h e c l a i m - h o l d e r h e d o l l a r a m o u n t C [w ] w e r e d e f a u l t t o o c c u r w i t h a r e c o v e r y r a t e o f w . L e t (cid:25) d e n o t e t h e p r i c e o f h i s c l a i m . T h e c o u n t e r p a r t y w e a l t h o f b u y i n g (cid:17) u n i t s o f t h e c o n t i n g e n t c l a i m i s g i v e n b y W (cid:17) (cid:25) 0 (cid:0) i t h p r o b a b i l i t y : ( 1 h ) , a n d w i t h p r o b a b i l i t y h , i t i s : W ( 1 w ) F + (cid:17) C [w ] (cid:17) (cid:25) . T h e 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x p e c t e d u t i l i t y o f t h e c o u n t e r p a r t y b u y i n g i n s u r a n c e i s : 1 E U [w ] ( 1 h ) U [ W (cid:17) (cid:25) ] + h U [ W ( 1 w ) F + (cid:17) C [w ] (cid:17) (cid:25) ] f [w ] d w : ( 2 ) 0 0 f g (cid:17) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 Z y a v a r i a t i o n a l a r g u m e n t , t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f E U [w ] w i t h r e s p e c t t o (cid:17) a t t h e o p t i m u m , f g 0 v a l u a t e d a t (cid:17) = 0 , s h o u l d b e z e r o . T h i s c o n d i t i o n y i e l d s t h e p r i c e o f i n s u r a n c e a s ( U i s t h e a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c o u n t e r p a r t u t i l i t y f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o w ) : 1 0 U [W ( 1 w ) F ] C [w ] h f [w ] d w 0 0 (cid:25) = ( 3 ) (cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:2) 1 0 0 ( 1 h ) U [W ] + h U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w 0 0 R 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2) 0 1 U [ W ( 1 w ) F ] R 0 C [w ] = h f [w ] d w ( 4 ) (cid:0) (cid:0) 1 0 (cid:2) (cid:2) 0 U [ W ( 1 w ) F ] f [w ] d w ( ) 0 0 Z (cid:0) (cid:0) R r i s k - n e u t r a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y h e r e t h e , h , i n ( 4 ) c a n b e d e (cid:12) n e d a s : 1 0 h U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w 0 0 h ( 5 ) (cid:0) (cid:0) 1 0 0 (cid:17) ( 1 h ) U [W ] + h U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w 0 0 R 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) R h i c h i s a v a l i d p r o b a b i l i t y f u n c t i o n s i n c e h [0 ; 1 ]. E q u a t i o n ( 5 ) p r o v i d e s t h e e c o n o m i c i n t u i t i o n 2 h a t t h e r i s k - n e u t r a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y i s r e l a t e d t o ( i ) t h e p h y s i c a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t h , i i ) t h e c o u n t e r p a r t y r i s k a v e r s i o n a s r e (cid:13) e c t e d i n t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f w e a l t h , a n d ( i i i ) t h e i s t r i b u t i o n o f p h y s i c a l r e c o v e r y . 1 0 F o c u s (cid:12) r s t o n t h e f u l l r e c o v e r y s i t u a t i o n w i t h w = 1 . I t f o l l o w s t h a t U [W ( 1 w ) F ] f [w ] 0 0 (cid:0) (cid:0) 0 U [ W ] s o t h a t t h e p h y s i c a l a n d t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y o f d e f a u l t a r e t h e s a m e r e g a r d l e s s R 0 f t h e c o u n t e r p a r t y r i s k a v e r s i o n ( i .e , h = h ) . C o n s i d e r n o w t h e m o r e p l a u s i b l e s c e n a r i o o f p a r t i a l r e c o v e r y . F o r a s u Æ c i e n t l y w i d e c l a s s o f 4 d w
u S W a o r r w a p r P T s C r t i l i t y f u n c t i o n s , i t i s r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h a t 0 U [W ] 0 < 1 : ( 6 ) 1 0 U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w 0 0 (cid:0) (cid:0) R u b s t i t u t i n g t h i s r e s t r i c t i o n i n t o ( 5 ) , w e o b t a i n : h > h : ( 7 ) i t h n o n - z e r o r i s k a v e r s i o n a n d p a r t i a l r e c o v e r y , t h e r i s k - n e u t r a l d e f a u l t l i k e l i h o o d i s t h e r e f o r e a n m p l i (cid:12) e d v e r s i o n o f p h y s i c a l d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s . E q u a t i o n s ( 5 ) - ( 7 ) s u g g e s t t h a t t h e a m p l i (cid:12) c a t i o n f t h e r i s k - n e u t r a l d e f a u l t p r o b a b i l i t y i s p o s i t i v e l y r e l a t e d t o t h e t a i l s o f t h e l o s s d i s t r i b u t i o n . T h i s e s u l t i s a l s o r e l e v a n t f o r m o d e l i n g r e c o v e r y r a t e s . r i s k - n e u t r a l d e n s i t y o f t h e c o n d i t i o n a l r e c o v e r y F r o m ( 4 ) , i t c a n b e d e t e r m i n e d t h a t t h e a t e i s g i v e n b y : 0 U [ W ( 1 w ) F ] f [w ] 0 f [w ] ( 8 ) (cid:0) (cid:0) (cid:2) 1 0 (cid:17) U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w 0 0 (cid:0) (cid:0) R h i c h c o n n e c t s t h e r i s k - n e u t r a l r e c o v e r y d e n s i t y t o t h e p h y s i c a l c o u n t e r p a r t a n d t h e d e g r e e o f r i s k v e r s i o n . A b s e n t r i s k a v e r s i o n , e q u a t i o n ( 8 ) s h o w s t h a t f [w ] = f [w ], s o t h a t t h e r i s k - n e u t r a l a n d h y s i c a l d e n s i t i e s c o i n c i d e . T h e n e x t p r o p o s i t i o n p r o p o s e s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s u n d e r t h e i s k - n e u t r a l a n d t h e p h y s i c a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e s . r o p o s i t i o n 1 C o n s i d e r t h e r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e : 1 Q E w w f [w ] d w ; ( 9 ) f g (cid:17) 0 Z 0 1 U [W ( 1 w ) F ] f [w ] 0 = w d w : ( 1 0 ) (cid:0) (cid:0) 1 0 0 U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w ( ) 0 0 Z (cid:0) (cid:0) R h e r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e i s le s s t h a n t h e p h y s i c a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e , E w , f g Q E w E w ( 1 1 ) f g (cid:20) f g 1 1 1 0 0 i n c e w U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w w f [w ] d w U [W ( 1 w ) F ] f [w ] d w = 0 0 0 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) o v ( w ; U [W ( 1 w ) F ] ) 0 , f o r a l l c o n c a v e c o u n t e r p a r t y u t i li t y f u n c t i o n s . R R R 0 (cid:0) (cid:0) (cid:20) F r o m t h e p e r s p e c t i v e o f d e f a u l t r i s k m o d e l i n g , t h e c e n t r a l r e s u l t f r o m P r o p o s i t i o n 1 i s t h a t t h e i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e i s g e n e r a l l y l o w e r t h a n t h e p h y s i c a l r e c o v e r y r a t e . S u p p o s e t h e 5
c a i a ( p u w f l f o h 2 T c s t r r 2 T D o u n t e r p a r t y h a s a u t i l i t y f u n c t i o n b e l o n g i n g t o t h e c o n s t a n t a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n c l a s s w i t h r i s k 1 1 v e r s i o n (cid:13) . I n t h e c a s e o f p o s i t i v e r i s k a v e r s i o n w e a s s e r t t h a t w f [w ] d w < w f [w ] d w . T h i s 0 0 s b e c a u s e R R Q 1 1 @ E w = f [w ] d w + E w f [w ] d w ( 1 2 ) w ( W F + F w ) ( W F + F w ) f g (cid:13) = 0 0 0 @ (cid:13) j (cid:0) f g (cid:0) (cid:0) 0 0 Z Z 2 1 1 2 = F w f [w ] d w w f [w ] d w < 0 ; ( 1 3 ) (cid:0) (cid:0) 0 0 ( ) (cid:18) (cid:19) Z Z n d t h e t w o e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s a r e e q u a l w h e n (cid:13) = 0 . W h e n c o m b i n e d w i t h ( 5 ) , e q u a t i o n s 1 1 ) a n d ( 1 3 ) e s t a b l i s h t h a t t h e i m p a c t o f r i s k a v e r s i o n i s t o b o t h i n c r e a s e r i s k - n e u t r a l d e f a u l t r o b a b i l i t i e s a n d s i m u l t a n e o u s l y l o w e r r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s . I n p a r t i c u l a r , i t i s n j u s t i (cid:12) e d t o d i r e c t l y e m p l o y m a r k e t i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s a s f o r e c a s t s o f e x p e c t e d r e c o v e r i e s i t h o u t a d j u s t i n g f o r r i s k a v e r s i o n ( u n l e s s i t i s a r g u e d t h a t c o u n t e r p a r t y e x p o s u r e i s t o o m i n i m a l o r r i s k a v e r s i o n t o b e a n i s s u e ) . I t c a n b e s h o w n t h a t (cid:12) r m s w i t h m o r e u n c e r t a i n o r l e f t - s k e w e d p h y s i c a l r e c o v e r y d e n s i t i e s a r e i k e l y t o e x p e r i e n c e g r e a t e r d i v e r g e n c e b e t w e e n t h e r i s k - n e u t r a l a n d p h y s i c a l r e c o v e r y r a t e s . F o r u r t h e r d e t a i l s o n t h e s e h i g h e r m o m e n t c o n n e c t i o n s a n d w a y s t o g e n e r a l i z e t o a b r o a d e r f a m i l y f m a r g i n a l u t i l i t i e s , t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o B a k s h i , K a p a d i a , a n d M a d a n ( 2 0 0 0 ) . P r o p o s i t i o n 1 a s i m p l i c a t i o n s f o r e x t r a c t i n g p h y s i c a l r e c o v e r y i n f o r m a t i o n f r o m m a r k e t - b a s e d s t u d i e s . R e c o v e r y i n D e f a u l t , a n d D e f a u l t a b l e D e b t M o d e l i n g h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e n e c e s s a r y f r a m e w o r k f o r p r i c i n g d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s f o r a b r o a d l a s s o f r e c o v e r y d e (cid:12) n i t i o n s . T h e s e p r i c i n g r e s u l t s h o l d f o r a w i d e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f p r o c e s s e s d e c r i b i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e r e c o v e r y r a t e , t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t y a n d t h e i n t e r e s t r a t e . A s s u c h , h e d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s a r e i n t e n d e d t o a c h i e v e t h e d e s i r e d b a l a n c e b e t w e e n d e f a u l t r i s k a n d e c o v e r y . A t t h e o u t s e t w e m u s t n o t e t h a t o u r p r i m a r y c o n t e n t i s t h e e m p i r i c a l a s s e s s m e n t o f e c o v e r y c o n c e p t s w i t h t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k s u p p o r t i v e o f t h e e m p i r i c a l w o r k . . 1 D e f a u l t a b l e D e b t P r i c i n g u n d e r S t o c h a s t i c R e c o v e r y R a t e s o a d d r e s s t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l i s s u e s , w e a p p e a l t o t h e d e f a u l t r i s k m o d e l s p r e s e n t e d i n u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) , J a r r o w a n d T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) a n d L a n d o ( 1 9 9 8 ) . S p e c i (cid:12) c a l l y f o r t h e 6
c w c t p t a t o h a c h h m e ( a a s e o f d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s a n d r a n d o m r e c o v e r y , i t c a n b e s h o w n t h a t i t s p r i c e , P ( t ; T ) , i s : T u Q P ( t ; T ) = E e x p [r ( s ) + h ( s ) ] d s c ( u ) d u t (cid:0) (cid:2) t t ( ) (cid:18) (cid:19) Z Z T Q + E e x p [r ( s ) + h ( s ) ] d s F t (cid:0) t (cid:2) ( ! ) Z T u Q + E e x p [r ( s ) + h ( s ) ] d s y ( u ) h ( u ) d u ( 1 4 ) t (cid:0) (cid:2) (cid:2) t t ( ) (cid:18) (cid:19) Z Z h e r e , i s t h e p r o m i s e d f a c e v a l u e o f t h e d e f a u l t a b l e b o n d m a t u r i n g a t d a t e T , a n d F c ( u ) : u > f i s t h e p r o m i s e d c o n t i n u o u s - c o u p o n p a y m e n t ; t g Q r e p r e s e n t s c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q E : t f g a n d i s t h e e c o n o m y - w i d e s p o t i n t e r e s t r a t e ; r ( t ) i s t h e r e c o v e r y p a y o u t i n t h e e v e n t o f d e f a u l t a n d i s t h e h a z a r d r a t e . T y p i c a l l y , y ( u ) h ( u ) t h e r e c o v e r y p a y o u t i s s i g n i (cid:12) c a n t l y b e l o w r e m a i n i n g p r o m i s e d p a y m e n t s . y ( u ) E q u a t i o n ( 1 4 ) s u g g e s t s t h a t t h e i n t r i n s i c v a l u e o f a d e f a u l t a b l e s e c u r i t y i s t h e e x p e c t e d d i s o u n t e d v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g p a y o (cid:11) , w h e n t h e d i s c o u n t i n g f a c t o r i s i n c r e a s e d t o t h e s u m o f h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e h a z a r d r a t e . W h e n r e c o v e r y p a y o u t i s p o s i t i v e , t h e d e f a u l t a b l e b o n d r i c e h a s t h r e e d i s t i n c t c o m p o n e n t s . F o r i n s t a n c e , t h e (cid:12) r s t c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n a c c o u n t s f o r h e r e c e i p t o f c o u p o n s p r i o r t o d e f a u l t . T h e s e c o n d t e r m i s d u e t o t h e p r o m i s e d f a c e v a l u e i n t h e b s e n c e o f d e f a u l t . F i n a l l y , t h e l a s t i n t e g r a l d e t e r m i n e s t h e v a l u e o f t h e s i n g l e r e c o v e r y p a y o u t i f h e (cid:12) r m d e f a u l t s . T h i s c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n i n v o l v e s s o m e n o v e l t i e s a r i s i n g f r o m t h e p r o d u c t f r e c o v e r y a n d h a z a r d r a t e . I n t u i t i v e l y , t h e u n d e r l y i n g p a y o (cid:11) e m b o d i e s r e c o v e r y w i t h p r o b a b i l i t y ( u ) d u i n t h e e n t i r e n o - p r i o r d e f a u l t t i m e - d o m a i n . T h e n e x t s u b s e c t i o n p r e s e n t s a t e c h n i q u e t h a t n a l y t i c a l l y a n d s i m u l t a n e o u s l y d e t e r m i n e s a l l t h e t h r e e c o m p o n e n t s r e q u i r e d t o v a l u e d e f a u l t a b l e o u p o n b o n d s . E v e n t h o u g h n o t e m p h a s i z e d i n t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n , t h e p r i m i t i v e m o d e l i n g v a r i a b l e s ( u ) , y ( u ) a n d r ( u ) c a n a l l b e f u n c t i o n s o f t h e s t a t e o f t h e e c o n o m y . F o r e x a m p l e , t h e h a z a r d r a t e ( u ) c a n e x h i b i t c o m p l e x d e p e n d e n c i e s o n s y s t e m a t i c a s w e l l a s (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c f a c t o r s ( a s e m p i r i c a l l y o d e l e d i n B a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) a n d D u (cid:11) e e ( 1 9 9 9 ) ) . L e a v e t h e p r e c i s e ( r i s k - n e u t r a l ) v o l u t i o n o f t h e s e v a r i a b l e s u n s p e c i (cid:12) e d f o r n o w . A s i n D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) a n d L a n d o 1 9 9 8 ) , e q u a t i o n ( 1 4 ) p r o v i d e s a n i n t e r n a l l y c o n s i s t e n t f r a m e w o r k t o j o i n t l y m o d e l d e f a u l t r i s k n d r e c o v e r y p a y o u t . 7
r n w J S D c W h i l e m o d e l i n g t h e d e f a u l t a b l e d e b t p r i c e i n ( 1 4 ) , t h r e e a s s u m p t i o n s a r e t y p i c a l l y m a d e a b o u t e c o v e r y p a y o u t i n d e f a u l t : R e c o v e r y p a y o u t i s a f r a c t i o n o f t h e f a c e v a l u e 1 . : y ( u ) = w ( u ) F : ( 1 5 ) (cid:2) T h i s r e c o v e r y a s s u m p t i o n i s c o n c e p t u a l l y s t r a i g h t f o r w a r d . W h e n w ( u ) w , 0 w 1 , t h e 0 0 (cid:17) (cid:20) (cid:20) r e c o v e r y p a y o u t i s a c o n s t a n t p r o p o r t i o n o f t h e p r o m i s e d f a c e v a l u e ( D u Æ e ( 1 9 9 9 ) , D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) a n d L a n d o ( 1 9 9 8 ) ) . F o r t h i s r e a s o n , w e r e f e r t o t h i s m o d e l a s t h e R F V m o d e l r e c o v e r y o f f a c e v a l u e m o d e l ( h e r e b y , t h e a s i n D u Æ e - S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) ) . R e c o v e r y p a y o u t i s t h e f r a c t i o n o f t h e p r e s e n t v a l u e o f t h e f a c e 2 . : y ( u ) = w ( u ) B ( u ; T ) F ; ( 1 6 ) (cid:2) (cid:2) T Q r ( s ) d s i s t h e t i m e - u p r i c e o f a d e f a u l t - f r e e d i s c o u n t b o n d w h e r e B ( u ; T ) = E e x p u u (cid:0) (cid:17) o n (cid:16) w i t h m a t u r i t y d a t e T . T h i s c l a s s o f r e c o v e r y p a y o u t i s e q u i v a l e n t t o t h e a s s u m p t i o n t h a t R r e c o v e r y i s a f r a c t i o n o f t h e p r i c e o f a t r e a s u r y b o n d w i t h t h e f a c e v a l u e F a n d m a t u r i t y T ( s e e L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) , J a r r o w a n d T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) a n d C o l l i n - D u f r e s n e a n d G o l d s t e i n ( 2 0 0 0 ) ) . W e w i l l r e f e r t o t h i s m o d e l a s t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l ( h e r e b y , R T m o d e l t h e ) . R e c o v e r y p a y o u t i s a f r a c t i o n o f t h e p r e - d e f a u l t d e b t v a l u e 3 . : y ( u ) = w ( u ) P ( u (cid:0) ; T ) : ( 1 7 ) (cid:2) R M V m o d e l w h i c h i s t h e o f D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) . I n t h i s m o d e l , t h e i m p a c t o f 2 r e c o v e r y i s s u b s u m e d w i t h i n t h e d e f a u l t a b l e d i s c o u n t r a t e . S e v e r a l o b s e r v a t i o n s a r e i n o r d e r a b o u t r e c o v e r y c o n v e n t i o n s . O n e , t h e (cid:12) r s t t w o m o d e l s a s s u m e o r e c o v e r y o f t h e u n p a i d c o u p o n s . A t (cid:12) r s t g l a n c e , e q u a t i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) c a n b e s e e n a s d i (cid:11) e r e n t a y s o f d e (cid:12) n i n g r e c o v e r y r a t e w ( u ) g i v e n t h e p r o c e s s f o r r e c o v e r y y ( u ) . A s m e n t i o n e d a l s o i n a r r o w a n d T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) , L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) a n d D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) , t h e 2 S e e , a m o n g o t h e r s , t h e e m p ir ic a l a p p lic a t io n s in B a k s h i, M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) , D u (cid:11) e e ( 1 9 9 9 ) , D u Æ e a n d in g le t o n ( 1 9 9 7 ) , H e ( 2 0 0 0 ) , L iu , L o n g s t a (cid:11) , a n d M a n d e ll ( 2 0 0 1 ) , a n d J a n o s i, J a r r o w , a n d Y ild ir im ( 2 0 0 0 ) . T h e u Æ e - S in g le t o n fr a m e w o r k ( w it h r e c o v e r y a s a fr a c t io n o f p r e - d e fa u lt d e b t v a lu e ) h a s b e c o m e a n in t e g r a l p a r t o f r e d it r is k r e la t e d r e s e a r c h . 8
r o h w t m r ( b ( t h w r r 2 I b ( c w a t d w d s ( u e c o v e r y d e (cid:12) n i t i o n ( 1 6 ) i s r e l a t i v e l y m o r e c o m p l e x a n d r e q u i r e s t h e k n o w l e d g e o f t h e t e r m s t r u c t u r e f d e f a u l t - f r e e i n t e r e s t r a t e s . I f t h e p r o c e s s f o r r e c o v e r y y ( u ) i s g i v e n , t h e d e (cid:12) n i t i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) a v e n o p r i c i n g i m p l i c a t i o n s . H o w e v e r , t h e c o n s t r u c t s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) a s s u m e e c o n o m i c c o n t e n t h e n t h e y a r e e m p l o y e d a s b u i l d i n g b l o c k s f o r m o d e l i n g t h e r e c o v e r y p a y o u t y ( u ) . W h i l e r e c o v e r y r a t e s m a y b e o f s e c o n d - o r d e r c o n s i d e r a t i o n f o r h i g h - r a t e d c o r p o r a t e b o n d s , h e y a r e c r u c i a l d e t e r m i n a n t s o f b o n d v a l u e s a n d y i e l d s i n t h e d e f a u l t s e n s i t i v e h i g h - y i e l d d e b t a r k e t . E x i s t i n g e v i d e n c e a p p e a r s t o s u g g e s t t h a t d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a n d r e c o v e r i e s a r e i n v e r s e l y e l a t e d : t h e r e c o v e r y p a y o u t t e n d s t o b e l o w w h e n a c t u a l d e f a u l t s r i s e a n d t h e r e v e r s e ( A l t m a n 2 0 0 1 ) ) . H o w e v e r , i n t h e l i m i t i n g c a s e o f n o d e f a u l t r i s k ( i .e ., t r e a s u r i e s ) , t h e r e c o v e r y r a t e s e c o m e i r r e l e v a n t . M a n y s u c h p r o p e r t i e s o f t h e r e c o v e r y r a t e c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o e q u a t i o n s 1 5 ) - ( 1 6 ) w i t h l i t t l e l o s s o f g e n e r a l i t y . I n l i g h t o f t h e e m p i r i c a l e v i d e n c e , o n e c a n p o s t u l a t e w ( u ) o b e a f u n c t i o n o f t h e h a z a r d r a t e o r o t h e r s t a t e v a r i a b l e s . F o r e x a m p l e , o n e w o u l d n o t e x p e c t i g h r e c o v e r y r a t e s t o c o i n c i d e w i t h h i g h d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s . I n f a c t , o n e s u c h p a r a m e t e r i z a t i o n i l l b e p u r s u e d i n S e c t i o n 3 a n d e m p i r i c a l l y i m p l e m e n t e d i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s . W h i l e e a s i l y e l a x e d , o u r r e c o v e r y c o n v e n t i o n s a s s e r t t h a t b o n d s b y t h e s a m e i s s u e r h a v e i d e n t i c a l r e c o v e r y a t e s r e g a r d l e s s o f t h e i r m a t u r i t y . . 2 C h a r a c t e r i z i n g D e f a u l t a b l e B o n d P r i c e s n o r d e r t o l e a r n a b o u t r e c o v e r y r a t e s f r o m t h e m a r k e t b o n d p r i c e s , w e n e e d t o v a l i d a t e t h e s p e c i (cid:12) c o n d p r i c i n g m o d e l t h a t a r i s e s f r o m e q u a t i o n ( 1 4 ) w h e n w e a d o p t t h e r e c o v e r y a s s u m p t i o n s ( 1 5 ) - 1 6 ) . I n t h i s s u b s e c t i o n w e o u t l i n e a s u Æ c i e n t l y w i d e f r a m e w o r k u n d e r w h i c h e q u a t i o n ( 1 4 ) , w h e n o m b i n e d w i t h a s s u m p t i o n s ( 1 5 ) - ( 1 6 ) , i s a n a l y t i c a l l y t r a c t a b l e . F o r t h e s e g e n e r a l c h a r a c t e r i z a t i o n s , e i m p o s e a s s u m p t i o n s a b o u t t h e s t r u c t u r e o f r e c o v e r y r a t e s , t h e h a z a r d r a t e s , t h e i n t e r e s t r a t e s , n d t h e d e f a u l t - f r e e d i s c o u n t b o n d p r i c e s ( B ( t ,T ) ) . F o r t h e p u r p o s e a t h a n d , d e (cid:12) n e , f o r c o n v e n i e n c e , 0 h e v e c t o r , X ( t ) ( r ( t ) ; h ( t ) ; w ( t ) ; l o g ( B ( t ; T ) ) ) . A s i s t r a d i t i o n a l l y d o n e , a s s u m e t h a t t h e X ( t ) (cid:17) y n a m i c s i s g o v e r n e d b y a M a r k o v - I t o p r o c e s s : d X ( t ) = (cid:22) [X ( t ) ; t ] d t + (cid:27) [X ( t ) ; t ] d ! ( t ) ( 1 8 ) h e r e t h e d r i f t c o e Æ c i e n t , (cid:22) [X ( t ) ; t ], i s a v e c t o r o f e x p e c t e d i n s t a n t a n e o u s c h a n g e s i n X ( t ) a n d t h e i (cid:11) u s i o n c o e Æ c i e n t , (cid:27) [X ; t ] i s a f u l l - r a n k l o c a l c o v a r i a n c e m a t r i x b e t w e e n c h a n g e s i n t h e ( v e c t o r ) t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n d ! ( t ) . T o s o l v e t h e r e l e v a n t c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s i n ( 1 4 ) f o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l i .e ., t h e r e c o v e r y p a y o u t a s s u m p t i o n s i n ( 1 5 ) - ( 1 6 ) ) , d e (cid:12) n e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e f u t u r e u n c e r t a i n t y (cid:23) ( [r ( s ) + h ( s ) ] d s ; h ( u ) ; w ( u ) ; l o g ( B ( u ; T ) ) ) , w i t h d e n s i t y q ( (cid:23) ) , a s s h o w n b e l o w t (cid:17) R 9
( w (cid:12) f d i A t a B s p P c ( s e e B a k s h i a n d M a d a n ( 2 0 0 0 ) a n d D u Æ e , P a n , a n d S i n g l e t o n ( 2 0 0 0 ) ) : u Q J ( t ; u ; (cid:30) ; ’ ; (cid:29) ) E e x p [ r ( s ) + h ( s ) ]d s + i (cid:30) h ( u ) + i ’ w ( u ) + i (cid:29) l o g ( B ( u ; T ) ) ( 1 9 ) t (cid:17) (cid:0) t (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z u = e x p [r ( s ) + h ( s ) ]d s + i (cid:30) h ( u ) + i ’ w ( u ) + i (cid:29) l o g ( B ( u ; T ) q ( (cid:23) ) d (cid:23) (cid:0) t (cid:18) (cid:19) Z Z p h e r e (cid:30) , ’ a n d (cid:29) a r e s o m e t r a n s f o r m p a r a m e t e r s , i = 1 a n d t h e t r a n s f o r m s p a r a m e t e r f o r t h e (cid:0) u r s t u n c e r t a i n t y [r ( s ) + h ( s ) ] d s h a s b e e n s e t a t i . W i t h t h i s s u b s t i t u t i o n f o r t h e (cid:12) r s t t r a n s - t o r m p a r a m e t e r , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n , J ( t ; u ; (cid:30) ; ’ ; (cid:29) ) , i s t h e t i m e - t p r i c e o f a h y p o t h e t i c a l R e f a u l t a b l e c l a i m t h a t p a y s e x p ( i (cid:30) h ( u ) + i ’ w ( u ) + i (cid:29) l o g ( B ( u ; T ) ) a t t i m e u . T h i s o b s e r v a t i o n i s u m m e d i a t e b y n o t i n g t h a t e x p ( [r ( s ) + h ( s ) ] d s ) q ( (cid:23) ) i s t h e d e f a u l t a b l e s t a t e - p r i c e d e n s i t y . t (cid:0) (cid:2) s e m p h a s i z e d i n B a k s h i a n d M a d a n ( 2 0 0 0 ) , t h e s p a n n i n g p r o p e r t i e s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c - R i o n s f a c i l i t a t e s t h e s p a n n i n g a n d p r i c i n g o f m o s t c l a i m p a y o (cid:11) t h a t r e l y o n (cid:23) . I n w h a t f o l l o w s , s s u m e t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n J ( t ; u ; (cid:30) ; ’ ; (cid:29) ) i s s u Æ c i e n t l y d i (cid:11) e r e n t i a b l e i n i t s a r g u m e n t s . y a s t a n d a r d a r g u m e n t , J ( t ; u ; (cid:30) ; ’ ; (cid:29) ) s a t i s (cid:12) e s t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n : 1 0 t r a c e [(cid:27) (cid:27) J ] + (cid:22) J + J ( r + h ) J = 0 ( 2 0 ) X X X t 2 (cid:0) u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n : J ( u ; u ) = e x p ( i (cid:30) h ( u ) + i ’ w ( u ) + i (cid:29) l o g ( B ( u ; T ) ) . W e n o w r o v e a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n J ( t ; u ) a n d d e f a u l t a b l e b o n d p r i c e s . r o p o s i t i o n 2 S u p p o s e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n , J ( t ; u ) , i s a n a ly t i c a l ly k n o w n b y s o lv i n g t h e o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n ( 1 9 ) o r t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n ( 2 0 ) . W i t h r e c o v e r y a s s u m p t i o n s 1 5 ) - ( 1 6 ) , w e h a v e : 1 . F o r t h e c la s s o f r e c o v e r y r a t e s d i s p la y e d i n ( 1 5 ) , t h e d e f a u lt a b le c o u p o n b o n d p r i c e c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( 1 9 ) a s f o l lo w s : T T P ( t ; T ) = J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) c ( u ) d u + J ( t ; T ; 0 ; 0 ; 0 ) F F J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) d u ; ( 2 1 ) (cid:30) ’ (cid:2) (cid:0) t t Z Z w h e r e J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) d e n o t e s t h e s e c o n d - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c - (cid:30) ’ t i o n w i t h r e s p e c t t o (cid:30) a n d ’ , a n d e v a lu a t e d a t (cid:30) = 0 , ’ = 0 a n d (cid:29) = 0 . 2 . F o r t h e r e c o v e r y r a t e c o n s i d e r e d i n ( 1 6 ) , t h e d e f a u lt a b le c o u p o n b o n d p r i c e i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n : T T P ( t ; T ) = J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) c ( u ) d u + J ( t ; T ; 0 ; 0 ; 0 ) F F J ( t ; u ; 0 ; 0 ; i ) d u ; ( 2 2 ) (cid:30) ’ t (cid:2) (cid:0) t (cid:0) Z Z 1 0
t p r w ( c f r A d t i i i r l a a g a P S ( t w h e r e J ( t ; u ; 0 ; 0 ; i ) i s n o w e v a lu a t e d a t (cid:30) = 0 , ’ = 0 a n d (cid:29) = i . (cid:30) ’ (cid:0) (cid:0) I n ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) , e a c h d e f a u lt a b le c o u p o n b o n d p r i c e c o m p o n e n t i s o b t a i n e d f r o m t h e c h a r a c e r i s t i c f u n c t i o n b y c o m b i n i n g t h e o p e r a t i o n s o f d i (cid:11) e r e n t i a t i o n a n d / o r e v a lu a t i o n . T h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n e (cid:11) e c t i v e l y s y n t h e s i z e s t h e b o n d v a l u a t i o n p r o b l e m i n ( 1 4 ) . O f a r t i c u l a r n o t e i s t h e u s e o f s e c o n d - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n w i t h e s p e c t t o (cid:30) a n d ’ t h a t r e n d e r s t h e a n a l y t i c a l t r a c t a b i l i t y o f t h e t h i r d t e r m i n ( 1 4 ) . A d d i t i o n a l l y , e o b s e r v e t h a t o n a c c o u n t o f t h e s e c o n d - o r d e r c r o s s - p a r t i a l d e r i v a t i v e i n e q u a t i o n s ( 2 1 ) a n d 2 2 ) t h a t c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h i s (cid:12) n a l c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n w o u l d t y p i c a l l y b e h a r d t o o n j e c t u r e e v e n u n d e r s i m p l e p a r a m e t e r i z a t i o n s o f r ( t ) , h ( t ) a n d w ( t ) . C o m p a r i n g t h e r e s u l t s i n P r o p o s i t i o n 2 w i t h t h e R M V m o d e l o f D u Æ e - S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) , s e v e r a l u n d a m e n t a l d i (cid:11) e r e n c e s e m e r g e f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f m o d e l i n g d e b t p r i c e s a n d i n f e r r i n g r e c o v e r y a t e s . R e c a l l t h a t i n t h e D u Æ e - S i n g l e t o n m o d e l T u T Q P ( t ; T ) = E e x p R ( s ) d s c ( u ) d u + F e x p R ( s ) d s : ( 2 3 ) t (cid:0) (cid:2) (cid:0) t t t ( ! ) (cid:18) (cid:19) Z Z Z l t h o u g h t h e R M V m o d e l i s (cid:13) e x i b l e i n m o d e l i n g c r e d i t s p r e a d s v i a m o d e l i n g t h e d e f a u l t a b l e i s c o u n t r a t e R ( s ) r ( s ) + ( 1 w ( s ) ) h ( s ) , i t i s v i r t u a l l y i m p o s s i b l e t o e m p i r i c a l l y d i (cid:11) e r e n t i a t e (cid:17) (cid:0) h e e (cid:11) e c t o f r e c o v e r y a n d h a z a r d r a t e s . I n c o n t r a s t , t h e r e c o v e r y c o n v e n t i o n s ( 1 5 ) - ( 1 6 ) l e a d t o d e n t i (cid:12) a b l e i m p a c t s o n c r e d i t s p r e a d s . H e n c e t h e m a r k e t e x p e c t a t i o n o f r e c o v e r y r a t e s c a n b e n v e r t e d f r o m t h e t e r m s t r u c t u r e o f c r e d i t s p r e a d s . N o t i c e t h a t e v e n t h o u g h r e c o v e r y a n d h a z a r d r a t e a p p e a r m u l t i p l i c a t i v e l y i n e q u a t i o n ( 1 4 ) , t i s t h e p r e s e n c e o f t h e d i s c o u n t e d f a c e v a l u e t h a t d i (cid:11) e r e n t i a t e s t h e i m p a c t s o f h a z a r d r a t e a n d e c o v e r y . O n e m a y v i e w t h e s e c o n d t e r m ( i .e ., d i s c o u n t e d f a c e ) a s i d e n t i f y i n g t h e h a z a r d r a t e e a v i n g t h e r e c o v e r y r a t e t o b e i d e n t i (cid:12) e d b y t h e t e r m t h a t d i s c o u n t s p a y m e n t o n d e f a u l t . T h e b i l i t y t o d i (cid:11) e r e n t i a t e t h e i m p a c t s o f r e c o v e r y r a t e s a n d h a z a r d r a t e s i s e s p e c i a l l y u s e f u l i n p r i c i n g n d h e d g i n g c r e d i t d e r i v a t i v e s t h a t a r e c o n t i n g e n t o n t h e d e f a u l t e v e n t a n d / o r r e c o v e r y l e v e l s i v e n d e f a u l t . T h e r e f o r e , t h e g e n e r a l r e c o v e r y f o r m u l a t i o n s p r e s e n t e d h e r e a r e c r i t i c a l t o w i d e r p p l i c a t i o n s i n t h e (cid:12) e l d o f c r e d i t r i s k . W h i l e t h e r e i s o v e r l a p w i t h r e s p e c t t o R F V m o d e l w i t h D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) a n d D u Æ e , a n , a n d S i n g l e t o n ( 2 0 0 0 ) , t h e p r o p o s i t i o n a l s o p r e s e n t s i n c o m p l e t e t h e R T m o d e l t h a t t h e D u Æ e i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) p a p e r p u t s a s i d e a s c o m p u t a t i o n a l l y b u r d e n s o m e e s p e c i a l l y f o r s t o c h a s t i c r e c o v e r y p a g e 7 0 1 , s e c o n d p a r a g r a p h ) . T o i l l u s t r a t e t h e g e n e r a l t r a c t a b i l i t y o f t h e a p p r o a c h o u t l i n e d i n P r o p o s i t i o n 2 , w e c o n s i d e r h r e e s p e c i (cid:12) c a t i o n s f o r t h e r e c o v e r y p r o c e s s . F i r s t , s u p p o s e t h a t r e c o v e r y r a t e s a r e i n d e p e n d e n t 1 1
o f t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e h a z a r d r a t e . F o r e x a m p l e , o n e m a y w r i t e t h e r e c o v e r y r a t e a s : (cid:0) z w ( u ) = 1 e ; z [0 ; ]; ( 2 4 ) (cid:0) 2 1 w h e r e z i s i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y g a m m a - d i s t r i b u t e d w i t h p a r a m e t e r s (cid:11) a n d (cid:12) ( w i t h m e a n 2 (cid:11) = (cid:12) a n d v a r i a n c e (cid:11) = (cid:12) ) . H e r e t h e r e c o v e r y r a t e i s s t r i c t l y b e t w e e n z e r o a n d o n e . U n d e r a s s u m p t i o n ( 1 6 ) a n d t h e i n d e p e n d e n c e o f r e c o v e r y , i t f o l l o w s t h a t e q u a t i o n ( 2 2 ) o f P r o p o s i t i o n 2 t a k e s t h e f o r m : (cid:11) T T (cid:12) P ( t ; T ) = J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) c ( u ) d u + J ( t ; T ; 0 ; 0 ; 0 ) F F i J ( t ; u ; 0 ; 0 ; i ) d u (cid:30) 1 + (cid:12) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0) t t (cid:18) (cid:19) Z Z ( 2 5 ) w h e r e J ( t ; u ; 0 ; 0 ; i ) i s t h e (cid:12) r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n w i t h r e s p e c t (cid:30) (cid:0) t o (cid:30) e v a l u a t e d a t (cid:30) = 0 a n d (cid:29) = i . I n t h i s p a r a m e t r i c s p e c i a l c a s e , t h e p a r a m e t e r s (cid:11) a n d (cid:12) a r e (cid:0) n o t s e p a r a t e l y i d e n t i (cid:12) e d a n d i t i s j u s t t h e e x p e c t e d r e c o v e r y t h a t c o u l d b e i d e n t i (cid:12) e d . T h e p r e v i o u s f o r m u l a t i o n a s s u m e s t h a t t h e r e c o v e r y r a t e s a r e u n r e l a t e d t o t h e u n d e r l y i n g h a z a r d r a t e . H o w e v e r , a l i t t l e r e (cid:13) e c t i o n i s s u g g e s t i v e o f d e p e n d e n c i e s i n t h a t h a z a r d r a t e s n e a r z e r o s h o u l d b e a s s o c i a t e d w i t h f u l l r e c o v e r y . E q u a l l y r e l e v a n t i s t h e s i t u a t i o n o f l a r g e h a z a r d r a t e s w h e n d e f a u l t i s l i k e l y . B u t w h e n d e f a u l t i s l i k e l y , o n e w o u l d e x p e c t t h e r e c o v e r y r a t e s t o b e l o w . T h e r e f o r e , o n e m i g h t m o d e l w ( u ) i n a n y o f t h e d e (cid:12) n i t i o n s o f r e c o v e r y a s f u n c t i o n a l l y r e l a t e d t o t h e h a z a r d r a t e h ( u ) , w h e r e b y w e m a y s p e c i f y : w ( u ) = (cid:9) [h ( u ) ]: ( 2 6 ) B a r r i n g e x t r e m e c o u n t e r e x a m p l e s , s o m e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f t h e f u n c t i o n (cid:9) [:] a r e t h a t (cid:9) [0 ] = 1 w h i l e (cid:9) [ ] = 0 . W e a l s o e x p e c t t h a t (cid:9) [h ] b e a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e h a z a r d r a t e . A w i d e c l a s s 1 o f s u c h f u n c t i o n s i s t h e c o l l e c t i o n o f c o m p l e t e l y m o n o t o n e f u n c t i o n s d e (cid:12) n e d a s L a p l a c e t r a n s f o r m o f a p o s i t i v e f u n c t i o n , f [z ], o n t h e p o s i t i v e h a l f l i n e , o r t h a t 1 (cid:0) z h u ( ) w ( u ) = (cid:9) [h ( u ) ] = e f [z ] d z : ( 2 7 ) 0 Z T h e c o n d i t i o n (cid:9) [0 ] = 1 i m p o s e s t h e f u r t h e r r e s t r i c t i o n t h a t f [z ] b e a ( r i s k - n e u t r a l ) d e n s i t y o n t h e p o s i t i v e h a l f l i n e . A r o b u s t t w o p a r a m e t e r f a m i l y o f s u c h d e n s i t i e s i s a g a i n t h e g a m m a d e n s i t y s o t h a t 1 (cid:0) z h u ( ) (cid:9) [h ( u ) ] = e f [z ] d z ( 2 8 ) 0 Z 1 2
s r T h a p s o d t w d c c o B m t s w a t m (cid:11) (cid:12) ( 2 9 ) = (cid:12) + h ( u ) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:11) (cid:11) (cid:12) z (cid:12) z e i n c e f [z ] = , a n d (cid:0) ( :) i s t h e m a t h e m a t i c a l g a m m a f u n c t i o n . T h u s , i n t h i s f a m i l y o f (cid:11) (cid:0) ( ) e c o v e r y r a t e s , t h e c o u n t e r p a r t t o ( 2 2 ) i s o f t h e f o r m : 1 T T P ( t ; T ) = J ( t ; u ; 0 ; 0 ; 0 ) c ( u ) d u + J ( t ; T ; 0 ; 0 ; 0 ) F F f [z ] d z J ( t ; u ; i z ; 0 ; i ) d u : (cid:30) (cid:2) (cid:0) (cid:0) t t 0 Z Z Z ( 3 0 ) h e r e f o r e , e v e n w h e n a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i s a v a i l a b l e , o n e m a y a v e t o u s e G a u s s - L a g u e r r e q u a d r a t u r e t o r e p l a c e t h e i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o z b y a (cid:12) n i t e s u m , n e x t e n s i o n w e i n t e n t t o p u r s u e i n t h e f u t u r e . U n l i k e e q u a t i o n ( 2 5 ) , t h e i m p a c t o f r e c o v e r y a r a m e t e r s (cid:11) a n d (cid:12) o n d e b t p r i c e s o f d i (cid:11) e r e n t m a t u r i t i e s i s d i (cid:11) e r e n t i a t e d o n a c c o u n t o f t h e t o c h a s t i c e v o l u t i o n o f t h e h a z a r d r a t e . T h i s p o t e n t i a l l y p e r m i t s t h e i d e n t i (cid:12) c a t i o n a n d e s t i m a t i o n f t h e r e c o v e r y p a r a m e t e r s f r o m t h e b o n d p r i c e s . U p u n t i l n o w , w e h a v e c o n s i d e r e d d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s w h e r e r e c o v e r y i s i m m e d i a t e l y a f t e r e f a u l t . H o w e v e r , r e c o v e r y o f t e n o c c u r s a t a r a n d o m t i m e a f t e r d e f a u l t w h i c h i s a d o u b le - s t o p p i n g i m e p r o b l e m . T o b r i e (cid:13) y d e s c r i b e h o w t h i s p o s t - d e f a u l t r e c o v e r y c a s e c a n b e a c c o m m o d a t e d (cid:3) i t h i n t h e f r a m e w o r k o f P r o p o s i t i o n 2 , d e (cid:12) n e a n o t h e r s t o p p i n g t i m e (cid:31) ( t ) > (cid:31) ( t ) w h e r e (cid:31) ( t ) i s t h e (cid:3) e f a u l t t i m e p r o c e s s d e (cid:12) n e d i n S e c t i o n 1 .1 , a n d (cid:31) ( t ) i s t h e r e c o v e r y t i m e p r o c e s s . T h e h a z a r d r a t e (cid:3) (cid:3) o r r e s p o n d i n g t o t h e r e c o v e r y s t o p p i n g t i m e t a k e s t h e f o r m : (cid:31) ( u (cid:0) ) ( 1 (cid:31) ( u (cid:0) ) ) h ( u ) , f o r d e f a u l t (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:3) o n d i t i o n a l r e c o v e r y h a z a r d r a t e h ( u ) . N o t i c e t h a t t h e c o m b i n e d t e r m i s z e r o u n t i l t h e o c c u r r e n c e f d e f a u l t ; a f t e r d e f a u l t , t h e r e c o v e r y h a z a r d r a t e i s p o s i t i v e u n t i l t h e r e c o v e r y t i m e . G u i d e d b y a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 , E q u a t i o n 2 ) , t h e g e n e r i c t h i r d t e r m i n ( 1 4 ) s h o u l d t h e n b e Q T T (cid:3) (cid:3) o d i (cid:12) e d a s ( i g n o r i n g d i s c o u n t i n g f o r n o w ) : E ( 1 (cid:31) ( u (cid:0) ) ) d (cid:31) ( u ) ( 1 (cid:31) ( u (cid:0) ) ) y ( s ) d (cid:31) ( s ) , t t u (cid:0) (cid:0) o a c c o u n t f o r r e c o v e r y a t a r a n d o m t i m e a f t e r d e f a u l t . U n d e r s u i t a b l e a s s u m p t i o n s , t h i s d o u b l e - R R t o p p i n g t i m e p r o b l e m r e d u c e s t o e v a l u a t i n g t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n : T u T s Q (cid:3) (cid:3) E e x p [r ( v ) + h ( v ) ] d v h ( u ) e x p [r ( a ) + h ( a ) ] d a y ( s ) h ( s ) d s d u t (cid:0) (cid:0) (cid:2) t t u u ( ) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Z Z Z Z ( 3 1 ) i t h t h e (cid:12) r s t t w o t e r m s r e m a i n i n g t h e s a m e a s i n ( 1 4 ) . T h i s m o d e l i s c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x n d i n v o l v e s d e f a u l t c o n d i t i o n a l r e c o v e r y h a z a r d r a t e m o d e l i n g . W i t h a p p r o p r i a t e m o d i (cid:12) c a t i o n s o t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( 1 9 ) , o n e c a n d e v e l o p d e f a u l t a b l e b o n d p r i c e s f o r b o t h t h e R F V o d e l a n d t h e R T m o d e l . W e d o n o t e m p i r i c a l l y p u r s u e t h e d o u b l e - s t o p p i n g t i m e p r o b l e m . 1 3
3 C l o s e d - F o r m M o d e l s o f D e f a u l t a b l e D e b t B u i l d i n g o n r e s u l t s e s t a b l i s h e d i n P r o p o s i t i o n 2 , t h i s s e c t i o n p r e s e n t s a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e p r i c e o f d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s . O u r g o a l i s t o a d d r e s s t h e e c o n o m i c i m p l i c a t i o n s o f r e c o v e r y f u n c t i o n s ( 1 5 ) - ( 1 6 ) . T h e r e s u l t i n g c l o s e d - f o r m m o d e l s a r e t h e b a s i s f o r t h e l a t e r e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n . O u r s p e c i (cid:12) c a s s u m p t i o n s a b o u t t h e d y n a m i c s o f t h e i n t e r e s t r a t e , t h e h a z a r d r a t e a n d t h e r e c o v e r y r a t e a r e a s f o l l o w s . F i r s t , w e a s s u m e t h a t t h e r e c o v e r y r a t e i s r e l a t e d t o t h e u n d e r l y i n g h a z a r d r a t e a s s h o w n b e l o w : (cid:0) h u ( ) w ( u ) = w + w e : ( 3 2 ) 0 1 W e m a y n o t e t h a t a s h 0 , w w + w , a n d h , w w . T h u s , w e r e q u i r e t h e r e s t r i c t i o n s 0 1 0 ! ! ! 1 ! t h a t w 0 , w 0 a n d 0 w + w 1 . 0 1 0 1 (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:20) A s s u m p t i o n ( 3 2 ) i s a t t r a c t i v e f r o m b o t h t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l v i e w p o i n t s . F i r s t , c o n s i s t e n t w i t h e x t a n t e m p i r i c a l e v i d e n c e , r e c o v e r y i s n e g a t i v e l y r e l a t e d t o d e f a u l t p r o b a b i l i t y . T h a t i s , @ w u ( ) (cid:0) h u ( ) = w e 0 . O u r s e t - u p i s g u i d e d b y t h e b e l i e f t h a t (cid:12) n a n c i a l d i s t r e s s c a n d i m i n i s h 1 @ h u ( ) (cid:0) (cid:20) t h e a b i l i t y o f t h e b o r r o w e r t o p a y i t s c r e d i t o r s i n t h e e v e n t o f d e f a u l t ( s e e a l s o e q u a t i o n ( 8 ) ) . T h e r e c o v e r y r a t e a s s u m p t i o n ( 3 2 ) i s n o t o n l y e c o n o m i c a l l y a p p e a l i n g b u t a l s o a (cid:11) o r d s t e c h n i c a l t r a c t a b i l i t y . F o r i n s t a n c e , i t l e a d s t o a c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i n ( 1 9 ) a n d a l s o p e r m i t s t h e a n a l y t i c a l v a l u a t i o n o f t h e t h i r d ( r e c o v e r y ) t e r m i n e q u a t i o n s ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) . F o l l o w i n g D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 7 , 1 9 9 9 ) , D u (cid:11) e e ( 1 9 9 9 ) a n d B a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) , w e m a k e t h e c o n v e n i e n t a s s u m p t i o n t h a t t h e h a z a r d r a t e i s l i n e a r i n t h e s h o r t i n t e r e s t r a t e ( u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e ) : h ( t ) = (cid:3) + (cid:3) r ( t ) ; ( 3 3 ) 0 1 d r ( t ) = (cid:20) ( (cid:18) r ( t ) ) d t + (cid:27) r ( t ) d w ( t ) ; ( 3 4 ) (cid:0) q w h e r e (cid:3) > 0 . T h e p a r a m e t e r (cid:3) r e (cid:13) e c t s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e h a z a r d 0 1 r a t e . A l t h o u g h (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c v a r i a b l e s c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o ( 3 3 ) , t h e e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n o f B a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) h a s s h o w n t h a t t h i s c l a s s o f h a z a r d r a t e f u n c t i o n s c a p t u r e s t h e (cid:12) r s t - o r d e r e (cid:11) e c t o f d e f a u l t . T h e s i n g l e - f a c t o r i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i s o f t h e C o x - I n g e r s o l l - R o s s ( 1 9 8 5 ) t y p e . S i n c e t h e h a z a r d r a t e a n d t h e r e c o v e r y r a t e a r e b o t h a f u n c t i o n o f t h e s h o r t i n t e r e s t r a t e , w e 1 4
s S w G B c P g p a p e c i a l i z e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i n e q u a t i o n ( 1 9 ) t o t h e f o l l o w i n g : u Q J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) E e x p i (cid:30) r ( s ) d s + i (cid:29) r ( u ) : t (cid:17) t (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z o l v i n g t h i s c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n r e s u l t s i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = e x p [ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) r ( t ) ] ; Y (cid:0) Z (cid:2) 2 2 h e r e d e (cid:12) n i n g (cid:13) ( (cid:30) ) (cid:20) 2 i (cid:30) (cid:27) , a n d n o t i n g t h a t (cid:17) (cid:0) p (cid:0) (cid:20) u t ( ) (cid:13) e x p 2 (cid:20) (cid:18) 2 l o g ; a n d ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = (cid:0) (cid:0) 2 (cid:13) u t (cid:13) u t ( ) ( ) (cid:16) (cid:17)2 0 1 (cid:27) Y (cid:13) c o s h ( ) + ( (cid:20) i (cid:29) (cid:27) ) s i n h ( ) 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:13) u t @ A ( ) i (cid:29) (cid:13) c o t h ( ) i (cid:29) (cid:20) 2 i (cid:30) 2 (cid:0) (cid:0) ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = : (cid:0) (cid:13) u t ( ) 2 Z ) + (cid:20) i (cid:29) (cid:27) (cid:13) c o t h ( 2 (cid:0) i v e n t h e s o l u t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( 3 5 ) , t h e z e r o - c o u p o n b o n d p r i c e i n ( 1 ( u ; T ) = J ( u ; T ; i ; 0 ) . W e a r e n o w r e a d y t o p r o v i d e t h e v a l u a t i o n e x p r e s s i o n s f o r t h e d o u p o n b o n d s f o r b o t h t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l . r o p o s i t i o n 3 L e t t h e r e c o v e r y r a t e b e a s d i s p la y e d i n ( 3 2 ) a n d t h e h a z a r d r a t e o b e y t h e i v e n i n ( 3 3 ) . M o r e o v e r , le t t h e i n t e r e s t r a t e f o l lo w t h e s q u a r e - r o o t p r o c e s s ( 3 4 ) . T h e r i c i n g r e s u lt s a r e t h e n o b t a i n e d b y c o m b i n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( 3 5 ) w i t h e q u a n d ( 2 2 ) o f P r o p o s i t i o n 2 : R F V m o d e l 1 . F o r t h e w i t h r e c o v e r y c o n v e n t i o n ( 1 5 ) , t h e d e f a u lt a b le c o u p o n b o n d T (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t T t (cid:3) ( ) (cid:3) ( ) P ( t ; T ) = e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) c ( u ) d u + e J ( t ; T ; i ( 1 + 1 t (cid:2) (cid:2) Z T (cid:0) (cid:0) 0 u t (cid:3) ( ) + F w (cid:3) e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) d u 0 0 1 t (cid:2) Z T (cid:0) (cid:0) 0 u t (cid:3) ( ) i F w (cid:3) e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) d u (cid:29) 0 1 1 (cid:0) t (cid:2) Z T (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t (cid:3) (cid:3) ( ) + F w (cid:3) e e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; i (cid:3) ) d u 1 0 1 1 t (cid:2) Z T (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t (cid:3) (cid:3) ( ) i F w (cid:3) e e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; i (cid:3) ) d u ; (cid:29) 1 1 1 1 (cid:0) t (cid:2) Z w h e r e J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) r e p r e s e n t s t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n (cid:29) r e s p e c t t o (cid:29) . 1 5 ; 6 ) i s e f a u l s t r u f o l lo t i o n s p r i c e (cid:3) ) ; 1 ( 3 6 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) t h e n t a b l e c t u r e w i n g ( 2 1 ) i s : 0 ) (cid:2) ( 3 w i t h F 9 )
I T a r p f a ( f i e e i a B a r t a R T m o d e l 2 . F o r t h e w i t h r e c o v e r y c o n v e n t i o n ( 1 6 ) , t h e d e f a u lt a b le c o u p o n b o n d p r i c e i s : T (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t T t (cid:3) ( ) (cid:3) ( ) P ( t ; T ) = e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) c ( u ) d u + e J ( t ; T ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) F 1 1 (cid:2) (cid:2) (cid:2) t Z T (cid:0) (cid:0) 0 u t (cid:3) ( ) e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) J ( u ; T ; i ; 0 ) d u + F w (cid:3) 1 0 0 (cid:2) (cid:2) t Z T (cid:0) (cid:0) 0 u t (cid:3) ( ) e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; 0 ) J ( u ; T ; i ; 0 ) d u i F w (cid:3) (cid:29) 1 0 1 (cid:2) (cid:2) (cid:0) t Z T (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t (cid:3) ( ) (cid:3) e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; i (cid:3) ) J ( u ; T ; i ; 0 ) d u + F w (cid:3) e 1 1 1 0 (cid:2) (cid:2) t Z T (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 u t (cid:3) (cid:3) ( ) i F w (cid:3) e e J ( t ; u ; i ( 1 + (cid:3) ) ; i (cid:3) ) J ( u ; T ; i ; 0 ) d u : ( 4 0 (cid:29) 1 1 1 1 (cid:0) (cid:2) (cid:2) t Z n ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) , t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) c a n b e a n a ly t i c a l ly c o m p u t e d a s : (cid:29) @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = e x p [ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) r ( t ) ] r ( t ) : Y Z (cid:29) @ (cid:29) @ (cid:29) Y (cid:0) Z (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:26) (cid:27) ( 4 1 ) Y Z @ t;u (cid:30) ;(cid:29) @ t;u (cid:30) ;(cid:29) ( ; ) ( ; ) h e e x a c t e x p r e s s i o n s f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d a r e p r e s e n t e d i n ( 4 8 ) @ (cid:29) @ (cid:29) n d ( 4 9 ) o f t h e A p p e n d i x . P r o p o s i t i o n 3 d e r i v e s t h e s o l u t i o n f o r d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s u n d e r s t o c h a s t i c r e c o v e r y r a t e s , e s p e c t i v e l y f o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l . A s e q u a t i o n s ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) d e m o n s t r a t e , t h e r i c i n g s o l u t i o n c a n b e c o m p l e x a n d n e e d s t h e e v a l u a t i o n o f s e v e r a l t e r m s e v e n f o r t h e s i n g l e a c t o r i n t e r e s t r a t e c a s e . F o r t h i s r e a s o n , w e h a v e n o t e m p i r i c a l l y p u r s u e d a m u l t i - f a c t o r e x t e n s i o n l t h o u g h i t s c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n c a n b e d e r i v e d f o r a l a r g e f a m i l y o f m u l t i - f a c t o r i n t e r e s t r a t e h a z a r d r a t e ) m o d e l s . I n t h e A p p e n d i x , w e p r e s e n t a n e x a m p l e w h e r e t h e h a z a r d r a t e h a s a t h r e e a c t o r s t r u c t u r e a n d t h e i n t e r e s t r a t e i s d r i v e n b y a t w o - f a c t o r s t r u c t u r e . T h e d e t a i l s a r e a v a i l a b l e n ( 5 0 ) - ( 5 9 ) o f t h e A p p e n d i x . T o s t a y f o c u s s e d o n t h e m o d e l i n g i s s u e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m p i r i c a l w o r k , t h e i n t e r e s t r a t e i s a s s u m e d t o f o l l o w t h e s i n g l e - f a c t o r i n t e r e s t r a t e p r o c e s s i n q u a t i o n ( 3 4 ) . E a c h b o n d m o d e l i n c o r p o r a t e s a (cid:13) e x i b l e c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e b e t w e e n t h e h a z a r d r a t e , t h e n t e r e s t r a t e , a n d t h e r e c o v e r y r a t e . A s s t r e s s e d i n D u Æ e a n d S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) , t h e b u r d e n o f n a l y t i c a l l y c o m p u t i n g d e f a u l t a b l e b o n d p r i c e s c a n b e s u b s t a n t i a l e s p e c i a l l y f o r t h e R T m o d e l . y p r e s e n t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e r e m a i n i n g u n c e r t a i n t y , w e h a v e r e s o l v e d t h i s n a l y t i c a l i n t r a c t a b i l i t y m e n t i o n e d b y D u Æ e - S i n g l e t o n . F o r i n s t a n c e , w e d o n o t h a v e t o r e s t r i c t e c o v e r y r a t e s t o b e a c o n s t a n t o r a s s u m e t h a t t h e e v o l u t i o n o f t h e h a z a r d r a t e s i s i n d e p e n d e n t o f h e e v o l u t i o n o f t h e r i s k - f r e e i n t e r e s t r a t e . I n f a c t , w e c a n i n t r o d u c e a d d i t i o n a l c o m p l e x i t i e s s u c h s o r t h o g o n a l j u m p s a n d s t i l l a r r i v e a t c l o s e d - f o r m f o r m u l a t i o n s o f d e f a u l t a b l e d e b t p r i c e s , b o t h 1 6 )
f w ( a b m f w f r c w p a t 4 B b n w o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l . I n e a c h m o d e l , t h e r o l e o f r e c o v e r y r a t e i s c a p t u r e d b y t h e p r i c i n g t e r m s i n v o l v i n g w a n d 0 . O b s e r v e t h a t t h e c o n s t a n t r e c o v e r y r a t e a s s u m p t i o n c a n b e o b t a i n e d b y s e t t i n g w 0 i n 1 1 (cid:17) 3 2 ) . A c c o r d i n g l y , t h e l a s t t w o t e r m s i n t h e p r i c i n g f o r m u l a ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) a r e s e t e q u a l t o z e r o . I n p p l i c a t i o n s i n v o l v i n g t h e g e n e r a l m o d e l ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) , t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s c a n b e e s t i m a t e d y (cid:12) t t i n g t h e m o d e l d e t e r m i n e d p r i c e s t o t h e m a r k e t d e t e r m i n e d p r i c e s . P r o v i d e d t h e v a l u a t i o n o d e l i s n o t o v e r l y m i s s p e c i (cid:12) e d , t h e m o d e l c a n b e e m p l o y e d t o r e v e r s e - e n g i n e e r r e c o v e r y r a t e s r o m t h e m a r k e t d e b t p r i c e s . A l t h o u g h t e d i o u s , t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e d e f a u l t a b l e b o n d p r i c e i t h r e s p e c t t o t h e i n t e r e s t r a t e a n d t h e r e c o v e r y r a t e p a r a m e t e r s c a n b e d e t e r m i n e d a n a l y t i c a l l y o r a l a r g e p a r a m e t r i c m o d e l c l a s s . T h e s e s e n s i t i v i t i e s c a n b e u s e d i n h e d g i n g i n t e r e s t r a t e a n d e c o v e r y r a t e r i s k s . W i t h t h e c o n v e n i e n c e o f t h e s o l u t i o n s ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) , t h e y i e l d - t o - m a t u r i t y o n t h e d e f a u l t a b l e o u p o n b o n d , R ( t ; T ) , c a n b e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e n o n - l i n e a r e q u a t i o n : T P ( t ; T ) c ( s ) e x p [ R ( t ; T ) ( s t ) ] d s F e x p [ R ( t ; T ) ( T t ) ] = 0 ; ( 4 2 ) (cid:0) t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Z h i c h n o w p o t e n t i a l l y t a k e s i n t o a c c o u n t b o t h r e c o v e r y a n d d e f a u l t c o n s i d e r a t i o n s . I n t h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r , w e i m p l e m e n t p a r a m e t r i c d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s u s i n g a s a m l e o f B B B - r a t e d c o r p o r a t e b o n d s . O u r e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n p r o v i d e s s e v e r a l n e w p e r s p e c t i v e s b o u t r e c o v e r y a n d d e f a u l t : 1 . W h i c h r e c o v e r y m o d e l i s b e t t e r s u p p o r t e d b y t h e m a r k e t d e b t d a t a ? T h a t i s , w e e v a l u a t e 3 t h e o u t - o f - s a m p l e p r i c i n g i m p l i c a t i o n s o f t h e R F V , t h e R T , a n d t h e R M V m o d e l s ; 2 . W h a t i s t h e q u a l i t y o f m a r k e t i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s e m b e d d e d i n i n d i v i d u a l b o n d p r i c e s ? I n p a r t i c u l a r , w e a s s e s s t h e s t a b i l i t y o f t h e i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s . I n d i s c u s s i n g p o s s i b l e m o d e l m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n s a n d r e l a t e d r e c o v e r y e s t i m a t e s , w e t h r o u g h o u t a k e t h e s t a n d t h a t t h e m a r k e t f a i r l y p r i c e s d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s . D e s c r i p t i o n o f B B B - R a t e d C o r p o r a t e B o n d S a m p l e a s e d o n s e v e r a l c o n s i d e r a t i o n s , w e i n v e s t i g a t e m o d e l i m p l i c a t i o n s u s i n g a c r o s s - s e c t i o n o f c o u p o n o n d s r a t e d B B B b y S t a n d a r d a n d P o o r ’s . F i r s t , t h e i m p a c t o f r e c o v e r y p a y o u t i s r e l a t i v e l y s m a l l 3 D u Æ e a n d S in g le t o n ( 1 9 9 9 ) u s e a fo u r - fa c t o r m o d e l in c o m p a r in g R M V a n d R F V m o d e ls . I t is im p o r t a n t t o o t e t h a t t h e r e is n o e m p ir ic a l o r m a r k e t t e s t in v o lv e d in t h is e x e r c is e b u t a m e r e c o m p a r is o n o f a n a ly t ic a l m o d e ls it h o n e a n o t h e r . O u r in t e n t is t o p r o v id e e m p ir ic a l t e s t t h a t r ig o r o u s ly c o m p a r e r e c o v e r y c o n c e p t s . 1 7
o b m m b r o a a c c t w ( o l w o c s r b ( F ( A t A s b o n h i g h e r - r a t e d c o r p o r a t e b o n d s . F o r e x a m p l e , g i v e n t h e l o w l i k e l i h o o d o f d e f a u l t f o r A A - r a t e d o n d s , t h e r e c o v e r y - i n - d e f a u l t i s o f a s e c o n d a r y c o n c e r n . O n t h e o t h e r h a n d , c r e d i t o r s c a r e m u c h o r e a b o u t r e c o v e r y p a y o u t f o r l o w e r - r a t e d a n d s p e c u l a t i v e - g r a d e ( h i g h - y i e l d ) b o n d s . H o w e v e r , o s t h i g h - y i e l d b o n d s a r e c a l l a b l e . T o m a t c h o u r t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s w e h a v e e l i m i n a t e d o n d s w i t h o p t i o n f e a t u r e s . W e a r e t h e r e f o r e l e d t o t e s t o u r d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s u s i n g B B B a t e d s t r a i g h t b o n d s . T h i s d a t a s e t p r o v i d e s a r e a s o n a b l e e n v i r o n m e n t f o r j u d g i n g t h e p e r f o r m a n c e f d e f a u l t a b l e b o n d m o d e l s . F o r m o d e l i m p l e m e n t a t i o n p u r p o s e s , t h e c r o s s - s e c t i o n o f t r e a s u r y p r i c e s i s a l s o r e q u i r e d . T o c h i e v e o u r e m p i r i c a l o b j e c t i v e s , t h e c o r p o r a t e c o u p o n b o n d d a t a a n d t h e t r e a s u r y S T R I P S p r i c e s r e o b t a i n e d f r o m L e h m a n B r o t h e r s F i x e d I n c o m e D a t a b a s e . F o r e a c h i s s u i n g (cid:12) r m , t h e d a t a b a s e o n t a i n s e n t r i e s o n t h e m o n t h - e n d (cid:13) a t p r i c e , t h e a c c r u e d i n t e r e s t , t h e m a t u r i t y d a t e , t h e a n n u a l o u p o n r a t e , a n d t h e y i e l d - t o - m a t u r i t y . T r a d e r b i d q u o t e s o n t r e a s u r y S T R I P S a r e u s e d t o e s t i m a t e h e r i s k - n e u t r a l i z e d p a r a m e t e r s o f t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s . T h e S T R I P S d a t a i s c o m p r e h e n s i v e i t h 2 0 ,1 7 3 q u o t e s . S i n c e t h e r e a r e f e w s t r a i g h t c o r p o r a t e b o n d s p r i o r t o 1 9 8 9 , o u r c o r p o r a t e b o n d a n d t r e a s u r y S T R I P S ) s a m p l e s p a n s t h e n i n e - y e a r p e r i o d f r o m J a n u a r y 1 9 8 9 t h r o u g h M a r c h 1 9 9 8 . S e v e r a l e m p i r i c a l i s s u e s m u s t b e a d d r e s s e d a t t h e o u t s e t . O n e , m a t r i x q u o t e s a r e d i s c a r d e d { n l y t r a d e r b i d q u o t e s a r e e m p l o y e d i n o u r e m p i r i c a l e x e r c i s e s . T w o , b o n d i s s u e s w i t h m a t u r i t y o n g e r t h a n o n e - y e a r a r e r e t a i n e d d u e t o t h e i r h i g h e r l i q u i d i t y . T o f a c i l i t a t e p a r a m e t e r e s t i m a t i o n , e o n l y c o n s i d e r (cid:12) r m s t h a t h a v e a t l e a s t f o u r b o n d i s s u e s o u t s t a n d i n g p e r m o n t h . W e a l s o c o n (cid:12) n e u r e m p i r i c a l a n a l y s i s t o b o n d s t h a t p a y s e m i - a n n u a l c o u p o n s ( o n l y a s m a l l n u m b e r o f b o n d s p a y o u p o n s a t f r e q u e n c i e s o t h e r t h a n s e m i - a n n u a l ) . L a s t l y , w e f o c u s o n a s a m p l e o f 2 5 B B B - r a t e d t r a i g h t b o n d s ( t o e c o n o m i z e o n s p a c e ) . T h e r e s u l t i n g b o n d s a m p l e h a s 1 2 ,2 2 8 o b s e r v a t i o n s . T h r e e - m o n t h t r e a s u r y b i l l r a t e i s a d o p t e d a s t h e p r o x y f o r t h e s h o r t i n t e r e s t r a t e r ( t ) . C o r p o a t e b o n d s w i t h r e m a i n i n g m a t u r i t y b e t w e e n 1 a n d 5 y e a r s a r e c l a s s i (cid:12) e d a s s h o r t - t e r m . S i m i l a r l y o n d s w i t h m a t u r i t y b e t w e e n 5 a n d 1 0 ( h i g h e r t h a n 1 0 ) y e a r s a r e c l a s s i (cid:12) e d a s m e d i u m - t e r m l o n g - t e r m ) . N o n e o f t h e d e b t i s s u e s i n o u r s a m p l e a r e s e c u r e d b y a n y c o l l a t e r a l . F o r a s a m p l e o f i n d i v i d u a l b o n d s ( D e l t a A i r l i n e s , E n r o n , F e d e r a l E x p r e s s , K - M a r t , a n d W e l l s a r g o ) , T a b l e 1 r e p o r t s t h e s u m m a r y s t a t i s t i c s f o r ( i ) t h e y i e l d - t o - m a t u r i t y , ( i i ) t h e c o u p o n r a t e , i i i ) t h e b o n d m a t u r i t y , a n d ( i v ) t h e n u m b e r o f b o n d s o u t s t a n d i n g . A c c o r d i n g t o t h i s t a b l e , D e l t a i r l i n e s h a s a n a v e r a g e y i e l d - t o - m a t u r i t y o f 8 .6 8 % w i t h a n a v e r a g e c o u p o n r a t e o f 9 .5 9 % . A c r o s s h e e n t i r e s a m p l e o f 2 5 b o n d s , t h e a v e r a g e y i e l d a n d c o u p o n r a t e i s 7 .7 0 % a n d 8 .7 3 % , r e s p e c t i v e l y . s s e e n t h e a v e r a g e b o n d m a t u r i t y i n t h e s a m p l e v a r i e s b e t w e e n 5 .1 9 y e a r s t o 1 7 .8 6 y e a r s , w i t h a a m p l e a v e r a g e o f 9 .7 1 y e a r s ( a v e r a g e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f 5 .7 6 y e a r s ) . T h e n u m b e r o f c o r p o r a t e o n d s o u t s t a n d i n g c a n v a r y f r o m a m i n i m u m o f 4 t o a m a x i m u m o f 1 3 e a c h m o n t h w i t h a n a v e r a g e f 6 .6 8 i s s u e s a c r o s s a l l b o n d s . T h i s d a t a s e t f o r m s t h e b a s i s f o r o u r e m p i r i c a l i n q u i r y o n t h e r o l e 1 8
o 5 E n t p t ( d s e w p w t p (cid:18) l s S b p w p R S r f r e c o v e r y i n d e f a u l t m o d e l i n g . E s t i m a t i o n o f D e b t M o d e l s a n d R e s u l t s a c h d e f a u l t a b l e b o n d p r i c i n g m o d e l r e q u i r e s t h r e e s e t s o f p a r a m e t e r e s t i m a t e s : ( 1 ) t h e ( r i s k e u t r a l ) i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s ( (cid:20) , (cid:18) a n d (cid:27) ) , ( 2 ) t h e h a z a r d r a t e p a r a m e t e r s ( (cid:3) a n d (cid:3) ) a n d ( 3 ) 0 1 h e r e c o v e r y r a t e p a r a m e t e r s ( w a n d w ) . I t m u s t b e r e c o g n i z e d t h a t t h e h a z a r d a n d r e c o v e r y r a t e 0 1 a r a m e t e r s a r e u n i q u e t o e a c h (cid:12) r m . H o w e v e r , t h e i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s a r e e c o n o m y - w i d e . F o r h i s r e a s o n , w e e s t i m a t e t h e i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s u s i n g t h e c r o s s - s e c t i o n o f t r e a s u r y S T R I P S a s i n B a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) ) . T h e s a m e i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s a r e e m p l o y e d f o r i s c o u n t i n g c a s h - (cid:13) o w s i n t h e e n t i r e c r o s s - s e c t i o n o f c o r p o r a t e b o n d s . C o n s i d e r t h e e s t i m a t i o n o f t h e i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s . I n t h i s e s t i m a t i o n p r o c e d u r e , w e (cid:12) r s t o l v e f o r t h e p a r a m e t e r s t h a t m i n i m i z e t h e r o o t - m e a n - s q u a r e d p e r c e n t a g e p r i c i n g e r r o r s ( o n e f o r a c h m o n t h t ) . T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i s : 2 N 1 B ( t ; T ) B ( t ; T ) n n m i n t ; ( 4 3 ) (cid:0) v (cid:20) ;(cid:18) ;(cid:27) N 8 B ( t ; T ) n ! u n = 1 u X t h e r e B ( t ; T ) i s t h e m a r k e t p r i c e o f t h e t r e a s u r y S T R I P S a n d B ( t ; T ) i s t h e c o r r e s p o n d i n g m o d e l r i c e ( g i v e n b y t h e C o x - I n g e r s o l l - R o s s m o d e l ) . T o a c c o u n t f o r t i m e - v a r i a t i o n i n t h e r i s k p r e m i a , e h a v e a l l o w e d t h e i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s t o v a r y f r o m o n e m o n t h t o t h e n e x t . T h i s m e a n s h a t w e h a v e e s t i m a t e d t h e p a r a m e t e r t i m e - s e r i e s (cid:20) ( t ) ; (cid:18) ( t ) ; (cid:27) ( t ) : t = 1 ; : : : ; T . O u r e s t i m a t i o n f g r o c e d u r e r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g a v e r a g e p a r a m e t e r v a l u e s f o r t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s : (cid:20) = 0 :4 8 , = 9 :4 % a n d (cid:27) = 0 :3 1 . T h e s e e s t i m a t e s i m p l y a l o n g - r u n i n t e r e s t r a t e m e a n o f 9 .4 % a n d a o n g - r u n i n t e r e s t r a t e v o l a t i l i t y o f a b o u t 9 .5 % . F u r t h e r m o r e , t h e p a r a m e t e r v a l u e s a r e i n - l i n e w i t h u c h w e l l - k n o w n c o u n t e r p a r t s a s C h a n , K a r o l y i , L o n g s t a (cid:11) , a n d S a n d e r s ( 1 9 9 2 ) a n d P e a r s o n a n d u n ( 1 9 9 4 ) . S u g g e s t i v e o f p a r a m e t e r s t a b i l i t y , t h e c o e Æ c i e n t s o f v a r i a t i o n a r e e a c h e s t i m a t e d t o e l o w e r t h a n 0 .5 . W i t h a n a v e r a g e r o o t - m e a n - s q u a r e d e r r o r o f 1 .6 8 % , t h e s q u a r e - r o o t m o d e l ( 3 4 ) r o v i d e s r e a s o n a b l y l o w i n - s a m p l e e r r o r s w h e n (cid:12) t t e d t o t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s . S i n c e i t m u s t b e c o n d u c t e d s e p a r a t e l y f o r e a c h i s s u i n g (cid:12) r m , t h e e s t i m a t i o n o f (cid:3) , (cid:3) , w a n d 0 1 0 i s a d m i t t e d l y m o r e c u m b e r s o m e . T o b e c o n c r e t e , c o n s i d e r t h e r e c o v e r y c o n v e n t i o n ( 1 6 ) w h i c h 1 o s i t s r e c o v e r y p a y o u t t o b e a f r a c t i o n o f t h e d i s c o u n t e d f a c e v a l u e . L e t P ( t ; T ) b e t h e t h e o r e t i c a l T m o d e l b o n d p r i c e ( a s d i s p l a y e d i n ( 4 0 ) ) a n d l e t P ( t ; T ) b e t h e c o r r e s p o n d i n g m a r k e t p r i c e . u b s t i t u t i n g t h e e s t i m a t e d i n t e r e s t r a t e p a r a m e t e r s i n t o t h e R T m o d e l p r i c e , w e s o l v e f o r t h e e m a i n i n g s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s t h a t (cid:12) t t h e i n d i v i d u a l b o n d p r i c e s ( t h e i m p l i c i t m a r k e t v a l u a t i o n 1 9
p F a i a y o R A p t t b u c r c p R s f h e f t E F c r o c e s s ) a s c l o s e l y a s t h e m o d e l s t r u c t u r e w o u l d a l l o w : 2 N 1 P ( t ; T ) P ( t ; T ) n n R M S E ( t ) m i n t : ( 4 4 ) (cid:0) v 0 1 0 1 ; ;w ;w (cid:3) (cid:3) N (cid:17) 8 P ( t ; T ) n ! u n = 1 u X t o r g r e a t e r p a r a m e t e r a c c u r a c y , t h e m i n i m i z a t i o n ( 4 4 ) i s d o n e o n l y o n c e e a c h q u a r t e r b y c o m b i n i n g l l b o n d s w i t h i n t h a t q u a r t e r ( t h e a v a i l a b l e m o n t h l y c r o s s - s e c t i o n i s n o t s u Æ c i e n t l y l a r g e ) . F o r n s t a n c e , t h e (cid:12) r s t q u a r t e r l y e s t i m a t i o n e m p l o y s a l l c o r p o r a t e c o u p o n b o n d s a v a i l a b l e i n A p r i l , M a y n d J u n e o f 1 9 8 9 . F i n a l l y , t h e a b o v e o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e i s r e p e a t e d f o r e v e r y (cid:12) r m , t h e r e b y T i e l d i n g a ( (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c ) q u a r t e r l y t i m e - s e r i e s o f (cid:3) ( t ) ; (cid:3) ( t ) ; w ( t ) ; w ( t ) : t = 1 ; : : : ; . I n 0 1 0 1 4 n o r d e r t o a (cid:11) o r d e a c h m o d e l a n e q u a l t r e a t m e n t , t h e s a m e p r o c e d u r e i s a p p l i e d i n e s t i m a t i n g t h e F V m o d e l ( a n d t h e R M V m o d e l ) . T a b l e 2 r e p o r t s t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l ( i n P a n e l s a n d B r e s p e c t i v e l y ) . A n i n t e r e s t i n g e m p i r i c a l (cid:12) n d i n g i s t h a t t h e e s t i m a t e o f t h e h a z a r d r a t e a r a m e t e r (cid:3) i s n e g a t i v e ( a c r o s s a l l t h e 2 5 (cid:12) r m s ) . S p e c i (cid:12) c a l l y f r o m P a n e l B i t c a n b e o b s e r v e d 1 h a t t h e m e a n (cid:3) e s t i m a t e i s - 0 .1 4 5 f o r D e l t a A i r l i n e s , - 0 .1 3 2 f o r K - M a r t a n d - 0 .1 4 a c r o s s a l l 1 h e 2 5 (cid:12) r m s ( s e e a l s o D u (cid:11) e e ( 1 9 9 9 ) ) . E c o n o m i c a l l y a (cid:3) < 0 i m p l i e s a n e g a t i v e c o - m o v e m e n t 1 e t w e e n t h e h a z a r d r a t e a n d t h e i n t e r e s t r a t e . I n a m a r k e t i n w h i c h i n t e r e s t r a t e s a r e t r e n d i n g p w a r d s , o n e w o u l d e x p e c t (cid:3) t o b e n e g a t i v e a s h i g h e r i n t e r e s t r a t e s t e n d t o i n c r e a s e t h e e a r n i n g 1 a p a c i t y r e l a t i v e t o t h e c o s t o f d e b t . T h e r e v e r s e l o g i c a p p l i e s t o p e r i o d s o f d e c l i n i n g i n t e r e s t a t e s : f a l l i n g i n t e r e s t r a t e s w o u l d c a u s e h i g h e r d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s o n a c c o u n t o f l o w e r e a r n i n g s a p a c i t y r e l a t i v e t o d e b t c o s t . R e g a r d l e s s o f t h e m o d e l , P a n e l s A a n d B o f T a b l e 2 i n d i c a t e t h a t t h e s a m p l e e s t i m a t e o f (cid:3) a r e 0 o s i t i v e . T h i s i s e s s e n t i a l t o g u a r a n t e e p o s i t i v e h a z a r d r a t e s e s p e c i a l l y s i n c e (cid:3) i s n e g a t i v e . F o r t h e 1 T m o d e l , i t s r e p o r t e d v a l u e r a n g e s b e t w e e n 1 .6 % t o 3 .9 % w i t h a n a v e r a g e (cid:3) o f 2 .6 % . T h e l i n e a r 0 p e c i (cid:12) c a t i o n o f h a z a r d r a t e s i s a c c o r d i n g l y p o s i t i v e f o r i n t e r e s t r a t e s b e l o w 1 8 .5 7 % . A d d i t i o n a l l y , o r e a c h (cid:12) r m a n d e a c h m o d e l , t h e e s t i m a t e d h a z a r d r a t e s a r e s t r i c t l y p o s i t i v e . C o m p a r i n g t h e a z a r d r a t e e s t i m a t e s , w e c a n s e e t h a t (cid:3) i s s y s t e m a t i c a l l y h i g h e r f o r t h e R F V m o d e l , w h i l e t h e (cid:3) 0 1 s t i m a t e f r o m t h e R T m o d e l i s s l i g h t l y m o r e n e g a t i v e . T h i s m e a n s t h a t t h e h a z a r d r a t e e s t i m a t e o r t h e R F V m o d e l i s g e n e r a l l y h i g h e r t h a n t h a t f o r t h e R T m o d e l . T h e d o c u m e n t e d d i (cid:11) e r e n c e i n h e h a z a r d r a t e e s t i m a t e s i s a p o t e n t i a l s o u r c e o f t h e d i (cid:11) e r e n t i a l p r i c i n g b e t w e e n t h e t w o m o d e l s . T h e r e c o v e r y r a t e p a r a m e t e r s o f e q u a t i o n ( 3 2 ) a r e a l s o c o n s i s t e n t w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . a c h f o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l , t h e p a r a m e t e r s w a n d w a r e s t r i c t l y p o s i t i v e . 0 1 u r t h e r m o r e , a s h y p o t h e s i z e d , w + w i s s t r i c t l y l e s s t h a n u n i t y . O v e r a l l , T a b l e 2 s u g g e s t s 0 1 o n s i d e r a b l e c r o s s - s e c t i o n a l v a r i a t i o n s i n w a n d w . T h i s (cid:12) n d i n g m a y s u g g e s t t h a t b o n d p r i c e s 0 1 2 0
c b 0 a h d s s m u m t e p d t r r 6 W m a p t p t f p p b y o n t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t e x p e c t e d r e c o v e r y l e v e l s . F o r t h e R F V m o d e l , t h e e s t i m a t e o f w v a r i e s 0 e t w e e n 0 .1 3 5 i n t h e c a s e o f K - M a r t t o 0 .2 4 8 f o r E n r o n . T h e r e s p e c t i v e a v e r a g e w a n d w i s 0 1 .2 4 a n d 0 .2 4 5 . T h e s e e s t i m a t e s i m p l y t h a t a 4 % w o r s e n i n g o f t h e h a z a r d r a t e i s a s s o c i a t e d w i t h 1 % d e c l i n e i n t h e r e c o v e r y r a t e s . I r r e s p e c t i v e o f t h e (cid:12) r m , t h e e s t i m a t e d w a n d w a p p e a r 0 1 i g h e r f o r t h e R T m o d e l . T h e d i s c r e p a n c y i n t h e r e c o v e r y r a t e p a r a m e t e r s a r e a l s o s u g g e s t i v e o f i (cid:11) e r e n t i a l p r i c i n g a n d h e d g i n g i m p l i c a t i o n s b e t w e e n t h e t w o r e c o v e r y c o n v e n t i o n s . T h e c r o s s - (cid:0) h u ( ) e c t i o n a l p r o p e r t i e s o f t h e i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s w ( u ) = w + w e w i l l b e d i s c u s s e d i n 0 1 u b s e c t i o n 3 .4 . B a s e d o n t h e R M S E a n d t h e i n - s a m p l e a b s o l u t e d o l l a r p r i c i n g e r r o r s ( d e n o t e d D P E ) , w e a y d r a w t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l (cid:12) t s t h e b o n d d a t a b e t t e r t h a n i t s n d i s c o u n t e d c o u n t e r p a r t . T o i l l u s t r a t e t h i s p o i n t , t a k e D e l t a A i r l i n e s a s a n e x a m p l e . T h e R F V o d e l h a s a n a v e r a g e R M S E o f 2 .0 5 % a n d a D P E o f $ 1 .9 3 ( p e r $ 1 0 0 p a r v a l u e ) , w h i c h i s l a r g e r h a n t h e R M S E o f 1 .5 7 % a n d $ 1 .4 1 o b t a i n e d w i t h t h e R T m o d e l . T a b l e 2 v e r i (cid:12) e s t h a t i n - s a m p l e r r o r m e a s u r e s a r e l a r g e r f o r t h e R F V m o d e l t h a n f o r t h e R T m o d e l f o r v i r t u a l l y e v e r y (cid:12) r m . I n s u m m a r y , t h i s s u b s e c t i o n p o i n t s t o t h r e e p r i n c i p a l e m p i r i c a l (cid:12) n d i n g s . F i r s t , o u r s i n g l e - f a c t o r a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e h a z a r d r a t e , t h e i n t e r e s t r a t e , a n d t h e r e c o v e r y r a t e s r e s u l t i n t h e o r e t i c a l e f a u l t a b l e b o n d p r i c e s t h a t r e a s o n a b l y m a t c h m a r k e t b o n d p r i c e s . S e c o n d , t h e r e c o v e r y a s s u m p i o n ( 1 6 ) a p p e a r s t o p r o v i d e a b e t t e r i n - s a m p l e (cid:12) t t h a n a s s u m p t i o n ( 1 5 ) . F i n a l l y , t h e e s t i m a t e s o f e c o v e r y a n d h a z a r d r a t e s a r e n o t a t o d d s w i t h t h e o r y . O u r e m p i r i c a l m e t h o d s a p p e a r s u Æ c i e n t l y o b u s t i n c a p t u r i n g t h e (cid:12) r s t - o r d e r e (cid:11) e c t o f r e c o v e r y e m b e d d e d i n m a r k e t b o n d p r i c e s . W h a t C o n c e p t o f R e c o v e r y D o e s t h e D a t a S u p p o r t ? h i l e t h e i n - s a m p l e c o m p a r i s o n a m o n g m o d e l s i s a n i m p o r t a n t g u i d e l i n e f o r s e l e c t i n g v a l u a t i o n o d e l s f o r m a r k i n g - t o - m a r k e t p u r p o s e s , a m o r e s t r i n g e n t t e s t i s w h e t h e r o n e m o d e l o u t p e r f o r m s n o t h e r b a s e d o n o u t - o f - s a m p l e p r i c i n g - e r r o r m e a s u r e s . T o c o n s t r u c t s u c h m e a s u r e s , w e r e l y o n a r a m e t e r s e s t i m a t e d f r o m b o n d p r i c e s i n t h e p r e v i o u s t h r e e m o n t h s a n d u s e t h e m t o c o m p u t e h e m o d e l d e t e r m i n e d p r i c e s i n t h e f o l l o w i n g t h r e e m o n t h s . M o r e p r e c i s e l y , t h e o u t - o f - s a m p l e r i c e s i n m o n t h t ( f o r t h e R F V a n d t h e R T m o d e l s ) a r e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g t h e p r i o r - m o n t h r e a s u r y a n d p r i o r - q u a r t e r d e f a u l t p a r a m e t e r s a n d t h e c u r r e n t m a r k e t i n t e r e s t r a t e , i n t h e b o n d o r m u l a s ( 3 9 ) a n d ( 4 0 ) . F i n a l l y , s u b t r a c t i n g t h e m o d e l d e t e r m i n e d b o n d p r i c e f r o m t h e m a r k e t r i c e p r o d u c e s t h e d o l l a r p r i c i n g e r r o r s e r i e s , o r t h e m a r k e t p r i c e n o r m a l i z e d c o u n t e r p a r t : t h e e r c e n t a g e p r i c i n g e r r o r s e r i e s . Y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s a r e s i m i l a r l y c o n s t r u c t e d a s t h e d i (cid:11) e r e n c e e t w e e n t h e m a r k e t a n d t h e m o d e l d e t e r m i n e d y i e l d s ( s e e e q u a t i o n ( 4 2 ) ) . F o r e a c h o u t - o f - s a m p l e a r d s t i c k , w e r e p o r t t h e m e a n a b s o l u t e e r r o r , t h e m e a n e r r o r a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e 2 1
e i m s e m (cid:12) t b f (cid:12) t b e I R d p t r c a R T t e O s s p t r r o r s . T o p u t o u r e m p i r i c a l r e s u l t s i n t o p e r s p e c t i v e , T a b l e 3 (cid:12) r s t c o n t r a s t s t h e o u t - o f - s a m p l e v a l u a t i o n m p l i c a t i o n s o f t h e R F V m o d e l v e r s u s t h e R T m o d e l . E s s e n t i a l l y o u r r e s u l t s a Æ r m t h a t t h e R T o d e l h a s b e t t e r o u t - o f - s a m p l e p e r f o r m a n c e r e l a t i v e t o t h e R F V m o d e l . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s u p p o r t i n g t h i s c o n c l u s i o n . L e t u s s t a r t w i t h t h e p r i c i n g q u a l i t y i m p l i c i t i n t h e y i e l d b a s i s p o i n t r r o r s . T h e (cid:12) r s t m a t t e r o f n o t e i s t h a t t h e a v e r a g e a b s o l u t e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r t h e R T o d e l i s 2 4 .1 0 b p s c o m p a r e d t o 2 8 .8 8 b p s f o r t h e R F V m o d e l ( w h e n a v e r a g e d a c r o s s a l l t h e 2 5 r m s ) . T h e s e c o n d m a t t e r o f n o t e i s t h e l o w e r o v e r a l l d i s p e r s i o n o f t h e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r h e R T m o d e l . A s t h e t a b l e d o c u m e n t s , t h e a v e r a g e a c r o s s - (cid:12) r m s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e y i e l d a s i s p o i n t e r r o r s i s 2 7 .0 3 b p s w i t h t h e R T m o d e l c o m p a r e d t o 2 9 .6 0 w i t h t h e R F V m o d e l . I n a c t , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r t h e R T m o d e l i s l o w e r a c r o s s m o s t r m s . S i m i l a r c o n c l u s i o n s c a n b e d r a w n o n t h e b a s i s o f m e a n y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s . D o l l a r p r i c i n g e r r o r s c o n (cid:12) r m t h e s u p e r i o r i t y o f t h e R T m o d e l f r o m a d i (cid:11) e r e n t a n g l e . N o t i c e h a t t h e d a t a b a s e s c a l e s b o n d p r i c e s t o h a v e a p a r v a l u e o f $ 1 0 0 , s o t h e r e p o r t e d e r r o r s m u s t e i n t e r p r e t e d a c c o r d i n g l y . B a s e d o n t h e a b s o l u t e d o l l a r e r r o r s , t h e m o d e l d i (cid:11) e r e n c e i s a l s o c o n o m i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t : t h e p r i c i n g d i (cid:11) e r e n c e t r a n s l a t e s i n t o $ 2 2 0 0 f o r e v e r y $ 1 m i l l i o n n o t i o n a l . n v i e w o f t h e f a c t t h a t i t h a s l o w e r a b s o l u t e d o l l a r p r i c i n g e r r o r s f o r 2 3 o u t o f 2 5 (cid:12) r m s , t h e T m o d e l a l s o c o n s i s t e n t l y o u t p e r f o r m s t h e R F V m o d e l . T h e l o w e r s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e o l l a r p r i c i n g e r r o r s a g a i n s u p p o r t s t h e b r o a d e r a r g u m e n t t h a t t h e R T m o d e l b e t t e r t r a c k s m a r k e t r i c e s a n d i s c l o s e r t o t h e m a r k e t ’s v a l u a t i o n p r o c e s s . A (cid:12) n a l i n s p e c t i o n o f t h e t a b l e r e v e a l s t h a t h e p e r c e n t a g e p r i c i n g e r r o r s d o n o t m a t e r i a l l y a l t e r t h e p e r f o r m a n c e r a n k i n g b e t w e e n t h e t w o e c o v e r y m o d e l s . T h e o u t p e r f o r m a n c e o f t h e R T m o d e l o v e r t h e R F V m o d e l i s a l s o s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t . T o o n d u c t s t a t i s t i c a l t e s t s , a r e p r e s e n t a t i v e e r r o r s e r i e s i s c r e a t e d b y p o o l i n g t h e a b s o l u t e e r r o r s c r o s s o u r b o n d s a m p l e e a c h m o n t h . T h e m e a n o f t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e R F V m o d e l a n d t h e T m o d e l e r r o r s , d i v i d e d b y t h e s t a n d a r d e r r o r o f t h e d i (cid:11) e r e n c e o f t h e e r r o r s e r i e s i s t - d i s t r i b u t e d . h e n u l l h y p o t h e s i s t h a t t h e R F V m o d e l ’s a b s o l u t e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s a r e e q u i v a l e n t t o h o s e f r o m t h e R T m o d e l i s r e j e c t e d w i t h a t - s t a t i s t i c o f 7 .4 9 . W h e n a b s o l u t e p e r c e n t a g e p r i c i n g r r o r s a r e a d o p t e d a s t h e b e n c h m a r k , w e (cid:12) n d a n e q u a l l y s t r o n g r e j e c t i o n w i t h a t - s t a t i s t i c o f 9 .2 7 . u r e v a l u a t i o n e s t a b l i s h e s t h a t t h e R T a n d t h e R F V m o d e l s a r e s i g n i (cid:12) c a n t l y d i (cid:11) e r e n t o n b o t h t a t i s t i c a l a n d e c o n o m i c g r o u n d s . A r e o u r c o n c l u s i o n s a l s o r o b u s t c o n t r o l l i n g f o r b o n d m a t u r i t y ? T o a d d r e s s t h i s c o n c e r n , w e o r t o u r b o n d s a m p l e i n t o s h o r t - t e r m , m e d i u m - t e r m a n d l o n g - t e r m . F i x i n g m a t u r i t y , w e a g g r e g a t e r i c i n g e r r o r s a c r o s s a v a i l a b l e (cid:12) r m s a t e a c h m o n t h a n d t h e n i n t h e t i m e - s e r i e s . O u r a s s e r t i o n t h a t h e R T m o d e l i s l e s s m i s s p e c i (cid:12) e d i s s t i l l v a l i d . F o r i n s t a n c e , o u r r e s u l t s v e r i f y t h a t f o r s h o r t - t e r m 2 2
b 3 l p r t w R (cid:3) t t c t t s i t t t 3 s w 1 b w F R A c t a o n d s t h e a v e r a g e a b s o l u t e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r t h e R T m o d e l i s 2 6 .6 9 b p s , c o m p a r e d t o 4 .8 3 b p s w i t h t h e R F V m o d e l ( n o t r e p o r t e d i n t h e t a b l e ) . I n t h e c a s e o f m e d i u m - t e r m b o n d s , a i k e w i s e d i v e r g e n c e i s d o c u m e n t e d : t h e R T ( R F V ) m o d e l p r o v i d e s a n a v e r a g e a b s o l u t e y i e l d b a s i s o i n t e r r o r s o f 2 7 .1 9 ( 3 2 .5 5 ) b p s . A c c o r d i n g t o t h e t - t e s t s d i s c u s s e d e a r l i e r , t h e R F V m o d e l i s s t i l l e j e c t e d i n f a v o r o f t h e R T m o d e l ( t h e m i n i m u m t - s t a t i s t i c a c r o s s m a t u r i t i e s i s 7 .5 6 ) . C o n s e q u e n t l y h e r e c o v e r y o f t r e a s u r y m o d e l p r o v i d e s s u p e r i o r v a l u a t i o n i r r e s p e c t i v e o f t h e b o n d m a t u r i t y . W e n o w c o m p a r e t h e p r i c i n g q u a l i t y o f a v e r s i o n o f t h e R M V m o d e l ( D u Æ e - S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) ) i t h t h e R T a n d t h e R F V m o d e l s . B e f o r e w e p r e s e n t t h e s e r e s u l t s , t h e a s s u m p t i o n s b e h i n d t h e M V m o d e l n e e d s o m e c l a r i (cid:12) c a t i o n s . I n t h e R M V m o d e l p r i c e ( 2 3 ) , w e s u p p o s e t h a t R ( t ) (cid:17) (cid:3) (cid:3) + (cid:3) r ( t ) , w h e r e r ( t ) o b e y s t h e s q u a r e - r o o t p r o c e s s d i s p l a y e d i n ( 3 4 ) . I n o u r t e s t i n g f r a m e w o r k , 0 1 h e R F V , t h e R T a n d t h e R M V m o d e l s a l l s h a r e t h e s i n g l e - f a c t o r i n t e r e s t r a t e f e a t u r e . E s t i m a t i n g (cid:3) (cid:3) h e p a r a m e t e r s (cid:3) a n d (cid:3) f o r e a c h (cid:12) r m , w e c o m p u t e t h e o u t - o f - s a m p l e p r i c i n g e r r o r s . W h e n 0 1 a b s o l u t e o n s o l i d a t e d a c r o s s a l l t h e (cid:12) r m s , w e o b t a i n e d t h e f o l l o w i n g a v e r a g e p r i c i n g e r r o r s f o r h e R M V m o d e l : Y i e l d B a s i s P o i n t E r r o r s ( i n b p s ) : A l l = 2 8 .6 0 , S h o r t = 3 5 .8 1 , M e d i u m = 3 0 .3 4 . D o l l a r P r i c i n g E r r o r s ( i n $ ) : A l l = 1 .6 7 , S h o r t = 0 .9 7 , M e d i u m = 1 .7 0 . C o m p a r i n g t h e s e n u m b e r s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g e n t r i e s i n T a b l e 3 , w e c a n o b s e r v e t h a t h e s i n g l e - f a c t o r v e r s i o n o f t h e D u Æ e - S i n g l e t o n m o d e l d o e s w o r s e t h a n t h e R T m o d e l ( t h e t t a t i s t i c f o r t h e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s i s h i g h e r t h a n 8 ) . I n a d d i t i o n , t h e R M V m o d e l i s v i r t u a l l y n d i s t i n g u i s h a b l e f r o m t h e R F V m o d e l ( w i t h t - s t a t i s t i c s b e l o w 2 ) . T h e l a r g e s t d i s c r e p a n c y b e t w e e n h e v a r i o u s m o d e l s e m e r g e s f o r s h o r t - t e r m b o n d s : t h e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r t h e R T m o d e l , h e R F V m o d e l , a n d t h e R M V m o d e l a r e r e s p e c t i v e l y 2 6 .9 9 , 3 4 .8 3 , a n d 3 5 .8 1 b p s . F o r m e d i u m e r m b o n d s , t h e y i e l d b a s i s p o i n t e r r o r s f o r t h e R F V m o d e l a n d t h e R M V m o d e l a r e 3 2 .5 5 a n d 0 .3 4 b p s , w h i c h a r e a l s o h i g h e r t h a n t h e R T m o d e l ’s 2 7 .1 9 b p s ( a n d s t a t i s t i c a l l y s i g n i (cid:12) c a n t ) . I n u m , t h e R T m o d e l i s s t i l l a (cid:12) r s t - p l a c e p e r f o r m e r . T w o a d d i t i o n a l e x e r c i s e s a r e c a r r i e d o u t t o e x a m i n e t h e g e n e r a l r o b u s t n e s s o f t h e r e s u l t s . W h e n e d i v i d e d t h e f u l l s a m p l e i n t o t w o s u b s a m p l e s , ( 1 9 8 9 :0 3 - 1 9 9 3 :1 2 s u b s a m p l e a n d t h e 1 9 9 4 :0 1 - 9 9 8 :0 3 s u b s a m p l e ) a s i m i l a r p e r f o r m a n c e r a n k i n g w a s d o c u m e n t e d . T h a t t h e R T m o d e l h a s 4 e t t e r p e r f o r m a n c e i s n o t a n a r t i f a c t o f t h e s a m p l e p e r i o d c o n s i d e r e d . 4 T h e p o s s ib le s o u r c e s o f t h e d iv e r g e n c e b e t w e e n t h e R T a n d t h e R F V m o d e ls w a r r a n t s s o m e r e m a r k s . F ir s t , e c a lc u la t e d t h e m o d e l- im p lie d d e fa u lt p r o b a b ilit ie s a n d fo u n d it t o b e s y s t e m a t ic a lly h ig h e r fo r t h e R F V m o d e l. o r e x a m p le , t h e a v e r a g e d e fa u lt p r o b a b ilit y is 2 .5 5 % w it h t h e R F V m o d e l v e r s u s 1 .9 4 % fo r t h e R T m o d e l. I f t h e T m o d e l is c lo s e r t o t h e m a r k e t ’s v a lu a t io n , t h e n t h e R F V m o d e l a p p e a r s t o o v e r e s t im a t e t h e d e fa u lt p r o b a b ilit y . n o t h e r d i(cid:11) e r e n c e a r is e s d u e t o r e c o v e r y , w h ic h is a ls o o v e r e s t im a t e d w it h t h e R F V m o d e l. T o b e e x a c t , t h e o n t r ib u t io n o f t h e (cid:12) n a l m o d e l p r ic in g t e r m in ( 1 4 ) is 3 .5 3 % ( o f t h e m a r k e t p r ic e ) fo r t h e R T m o d e l c o m p a r e d o 5 .7 4 % w it h t h e R F V m o d e l. T h e b e t t e r p e r fo r m a n c e o f t h e R T m o d e l c a n b e p o s s ib ly a t t r ib u t a b le t o a m o r e c c u r a t e a s s e s s m e n t o f h a z a r d a n d r e c o v e r y r a t e s . 2 3
T o f u r t h e r u n d e r s t a n d t h e d i (cid:11) e r e n c e s a n d s i m i l a r i t i e s b e t w e e n d i (cid:11) e r e n t r e c o v e r y m o d e l s , w e i m p l e m e n t e d t h e R F V a n d R T v a l u a t i o n m o d e l s u n d e r t h e c o n s t a n t r e c o v e r y c a s e . C o n s t r a i n i n g w 0 i n t h e R T m o d e l ( 4 0 ) , w e (cid:12) n d t h a t t h e R T m o d e l c o n t i n u e s t o p e r f o r m b e t t e r t h a n t h e 1 (cid:17) R F V ( w i t h w 0 i n ( 3 9 ) ) a n d t h e R M V m o d e l s . 1 (cid:17) H o w e v e r , a s o m e w h a t s u r p r i s i n g r e s u l t t h a t e m e r g e s i s t h a t t h e p r i c i n g e r r o r s o b t a i n e d f r o m t h e s t o c h a s t i c r e c o v e r y r a t e a r e q u a n t i t a t i v e l y s i m i l a r t o t h o s e o b t a i n e d w i t h w s e t t o z e r o . T h i s 1 s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y r e s u l t c a n b e e x p l a i n e d i n t w o w a y s . F i r s t , s i n c e t h e m o d e l s a r e e s t i m a t e d e a c h q u a r t e r , i t i s p o s s i b l e t h a t b y a l l o w i n g w t o (cid:13) u c t u a t e f r o m o n e q u a r t e r t o t h e n e x t i t i m p l i c i t l y 0 a c c o u n t s f o r t h e t i m e - v a r i a t i o n i n t h e r e c o v e r y r a t e s . I n o t h e r w o r d s , t h e r e m a i n i n g s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s a d j u s t i n t e r n a l l y s o a s t o b r i n g t h e m o d e l p r i c e c l o s e r t o t h e m a r k e t ’s v a l u a t i o n p r o c e s s a s r e (cid:13) e c t e d i n t h e m a r k e t p r i c e s . T h e n e x t r e a s o n m a y b e t h a t t h e v a r i a t i o n i n i n d i v i d u a l r e c o v e r y r a t e s m a y n o t b e s o s t r o n g l y c o r r e l a t e d w i t h d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s f o r B B B - r a t e d b o n d s . S t r o n g e r p r i c i n g i m p l i c a t i o n s m a y s u r f a c e w h e n t h e t i m e - v a r y i n g r e c o v e r y r a t e m o d e l i s a p p l i e d t o h i g h - y i e l d b o n d s . T o s u m m a r i z e , a s i g n i (cid:12) c a n t (cid:12) n d i n g f r o m t h i s p a r t o f t h e i n v e s t i g a t i o n i s t h a t d e b t d a t a i s m o r e s u p p o r t i v e o f t h e R T m o d e l . T h i s m a y b e b e c a u s e t h e R T m o d e l r e c o g n i z e s t i m e - v a l u e o f m o n e y c o n s i d e r a t i o n s ; i t s s u p p o s i t i o n t h a t f u l l r e c o v e r y i s m a d e u p o n t h e p a y m e n t o f t h e f a c e v a l u e o f d e b t m a y b e m o r e c l o s e r t o t r u t h i n m a r k e t v a l u a t i o n . P e r h a p s l e s s p l a u s i b l y s o , t h e R F V m o d e l a s s e r t s t h a t f u l l r e c o v e r y n e c e s s i t a t e s t h e i m m e d i a t e p a y m e n t o f t h e f a c e v a l u e a t t h e d e f a u l t t i m e . T h e r e f o r e , o n e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e l e s s e r m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e R T m o d e l i s t h a t t h e d e f a u l t a b l e b o n d s a r e p r i c e d i n s u c h a w a y t h a t t h e m a r k e t e x p l i c i t l y i n c o r p o r a t e s t h i s t y p e o f r e c o v e r y u n c e r t a i n t y i n t h e i r i n t r i n s i c v a l u e c a l c u l a t i o n s . A s a l s o a r g u e d i n L o n g s t a (cid:11) a n d S c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) , t h e r e c o v e r y i n t h e R T m o d e l m a y b e c o n s i s t e n t w i t h t y p i c a l r e o r g a n i z a t i o n s i n w h i c h s e c u r i t y h o l d e r s r e c e i v e n e w s e c u r i t i e s r a t h e r t h a n c a s h f o r t h e i r o r i g i n a l c l a i m s . O u r r e s u l t s v a l i d a t e t h a t t h e m a r k e t i s n o t o p t i m i s t i c a b o u t i m m e d i a t e c a s h r e c o v e r y i n d e f a u l t . T i m e - v a l u e 5 c o n s i d e r a t i o n s a r e a n i m p o r t a n t d e t e r m i n a n t o f r e c o v e r y m o d e l i n g . 5 O n e m a y a d d it io n a lly a r g u e t h a t if t h e u n d e r ly in g b o n d t o b e p r ic e d w a s a p a r b o n d a n d t h e m a r k e t s o u g h t c o m p e n s a t io n fo r a ll fu t u r e c o u p o n s in p r e s e n t v a lu e t e r m s fo r fu ll r e c o v e r y , t h e n R F V m o d e l is t h e m o s t a p p r o p r ia t e c a n d id a t e fo r m o d e lin g r e c o v e r y . T h is s u g g e s t s a n o t h e r r e c o v e r y d e (cid:12) n it io n T (cid:2) (cid:2) (cid:2) y u w u B u ; T F w u B u ; s c s d s ; ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) u Z r e c o v e r y o f o u ts ta n d in g v a lu e w h ic h c a n b e in t e r p r e t e d a s . T h e s u p e r io r it y o f t h e R T m o d e l o v e r t h e R F V m o d e l m a y ju s t b e a r e (cid:13) e c t io n o f lo w c o u p o n s in t h e s a m p le fo r w h ic h R F V is c le a r ly in c o r r e c t w h e n r e c o v e r y o f o u t s t a n d in g v a lu e is t h e r ig h t a n s w e r , a n d R T is t h e b e t t e r a p p r o x im a t io n . F r o m t h e p e r s p e c t iv e o f t h e r e c o v e r y o f o u t s t a n d in g v a lu e m o d e l, b o t h m o d e ls m a y t h u s b e m is s p e c i(cid:12) e d . A s t h e p r ic in g fo r m u la n o w n e e d s a d o u b le n u m e r ic a l in t e g r a t io n fo r t h e t e r m in v o lv in g r e m a in in g c o u p o n s , t h is m o d e l is c o n s id e r a b ly m o r e in v o lv e d fo r a c t u a l im p le m e n t a t io n p u r p o s e s . A t a h e u r is t ic le v e l, n o n e o f t h e b o n d s in o u r s a m p le h a v e c o u p o n r a t e s t h a t a r e s m a ll e n o u g h t o b e ig n o r e d . 2 4
7 E u i a p q ( c a $ m c t i r R T b r m (cid:3) q 4 r n i a R t r M a r k e t I m p l i e d R e c o v e r y R a t e s v e n w h e n t h e R F V , t h e R T , a n d t h e R M V , m o d e l s a r e c o m p a r a b l e a l o n g t h e p r i c i n g d i m e n s i o n , n d e r s t a n d i n g r e c o v e r y r a t e e s t i m a t e s o b t a i n e d f r o m t h e R F V a n d t h e R T m o d e l s i s p o t e n t i a l l y m p o r t a n t . A s a l r e a d y r e a s o n e d , m o d e l - s p e c i (cid:12) c r e c o v e r y r a t e s i n v e r t e d f r o m d e b t p r i c e s c a n s e r v e s a b e n c h m a r k f o r w r i t i n g c l a i m s c o n t i n g e n t o n r e c o v e r i e s ( j u s t l i k e o p t i o n s o n V I X , t h e i m l i e d v o l a t i l i t y i n d e x ) . T h e r e f o r e , t h i s s u b s e c t i o n a d d r e s s e s t w o r e l a t e d e m p i r i c a l i s s u e s : A r e u a n t i t a t i v e e s t i m a t e s o f ( r i s k - n e u t r a l ) e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s i n - l i n e w i t h t h e h i s t o r i c a l e v i d e n c e a d j u s t e d f o r r i s k a v e r s i o n ) ? W h i c h r e c o v e r y c o n v e n t i o n i s b e t t e r s u i t e d f o r w r i t i n g c o n t i n g e n t l a i m s ? W e i n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y o f i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s . L e t u s (cid:12) r s t e l a b o r a t e o n t h e c o n t r a c t u a l a s p e c t s o f r e c o v e r y a s s o c i a t e d w i t h t h e R F V , t h e R T n d t h e R M V m o d e l s . T o d o s o , c o n s i d e r a g e n e r i c b o n d w i t h a $ 1 0 0 p a r v a l u e . S u p p o s e o n l y 4 0 i s r e c o v e r e d i n t h e e v e n t o f d e f a u l t ( i .e ., y ( u ) = $ 4 0 i n e q u a t i o n ( 1 4 ) ) . A c c o r d i n g t o t h e R F V o d e l , t h e r e c o v e r y r a t e , w ( u ) , c a n b e m e a s u r e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r a n d i s 4 0 % . I n o n t r a s t , i n t h e D u Æ e - S i n g l e t o n d e (cid:12) n i t i o n o f r e c o v e r y , t h e r e c o v e r y r a t e r e q u i r e s t h e k n o w l e d g e o f h e p r e - d e f a u l t d e b t v a l u e e i t h e r f r o m m a r k e t s o u r c e s o r t h e m o d e l . E v e n w h e n t h e R M V m o d e l s p e r f e c t l y s p e c i (cid:12) e d , t h e r e l i a n c e o n t h e p r e - d e f a u l t d e b t v a l u e r e n d e r s t h i s n o t i o n o f r e c o v e r y a t e u n a t t r a c t i v e f r o m c o n t r a c t u a l s t a n d p o i n t s . T h e m e a s u r e m e n t o f t h e r e c o v e r y r a t e i n t h e T m o d e l i s r e l a t i v e l y l e s s c u m b e r s o m e b u t s t i l l r e q u i r e s t h e s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e y i e l d c u r v e . h e r e f o r e , d e s p i t e t h e r e l a t i v e l y w o r s e o u t - o f - s a m p l e p e r f o r m a n c e o f t h e R F V m o d e l , i t m a y y e t e a n a t t r a c t i v e c h o i c e t o m e a s u r e a n d m a n a g e r e c o v e r y r e l a t e d r i s k s . T o n o n e t h e l e s s p r o v i d e a n e m p i r i c a l c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e R F V a n d t h e R T m o d e l s ( t h e e c o v e r y r a t e i s u n i d e n t i (cid:12) e d i n t h e R M V m o d e l ) , t h e e x p e c t e d r e c o v e r y r a t e s a r e b a c k e d - o u t f r o m (cid:0) h t ( ) a r k e t b o n d p r i c e s a s f o l l o w s . F o c u s o n t h e R F V m o d e l w h e r e w ( t ) = w + w e a n d h ( t ) = 0 1 + (cid:3) r ( t ) . T h e o u t - o f - s a m p l e i m p l i e d r e c o v e r y r a t e i s t h e n c o n s t r u c t e d b y t a k i n g t h e p r i o r - 0 1 u a r t e r e s t i m a t e s o f w , w , (cid:3) a n d (cid:3) , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e c u r r e n t m a r k e t i n t e r e s t r a t e . T a b l e 0 1 0 1 p r e s e n t s t h e m e a n , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n , t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m e x p e c t e d r e c o v e r y a t e s . T h e (cid:12) r s t p o i n t t o n o t e i s t h a t t h e R F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l p r o v i d e p l a u s i b l e ( r i s k e u t r a l ) r e c o v e r y r a t e s t h a t l i e b e t w e e n z e r o a n d o n e . T h e s e c o n d p o i n t t h a t d e s e r v e s e m p h a s i s s t h a t t h e t w o m o d e l s i m p l y d i (cid:11) e r e n t r e c o v e r y r a t e s . T a k e t h e c a s e o f D e l t a , w h e r e t h e i m p l i c i t v e r a g e r e c o v e r y r a t e i s 4 4 % w i t h t h e R F V m o d e l ; t h i s d e p a r t s s u b s t a n t i a l l y f r o m 5 8 .5 % w i t h t h e T m o d e l . T a b l e 4 c o n (cid:12) r m s t h a t t h e a v e r a g e r e c o v e r y r a t e i s 4 8 .5 % f o r t h e R F V m o d e l c o m p a r e d o 5 6 .7 % w i t h t h e R T m o d e l . O u r e m p i r i c a l m e t h o d o l o g y i s i n f o r m a t i v e a b o u t e x p e c t e d r e c o v e r y a t e s . I n p a r t i c u l a r , t h e s e i m p l i e d e s t i m a t e s a r e b r o a d l y c o m p a r a b l e t o a c t u a l r e c o v e r y r a t e s . E v e n 2 5
t ( p 4 o r c r F r t r t t a f K o c R d r a s e (cid:12) r d r i t h o u g h n o t d i r e c t l y c o m p a r a b l e d u e t o t h e i m p a c t s o f r i s k a v e r s i o n , t h e c a l c u l a t i o n s o f A l t m a n 2 0 0 1 ) s h o w s t h a t r e c o v e r i e s f o r h i g h - y i e ld b o n d s f o r a l l s e n i o r i t i e s h a s a w e i g h t e d - a v e r a g e o f $ 3 6 .8 8 e r $ 1 0 0 f a c e v a l u e ( $ 4 3 .7 7 f o r s e n i o r s e c u r e d ) . S i m i l a r l y , t h e r e c o v e r y r a t e s h a v e a v e r a g e d b e t w e e n 0 % a n d 6 0 % i n W e i s s ( 1 9 9 0 ) f o r u n s e c u r e d d e b t . P o t e n t i a l l y u s e f u l i n m a n a g i n g r e c o v e r y r i s k , u r r e c o v e r y e s t i m a t e s c a n b e e m p l o y e d , a m o n g o t h e r s , t o g a u g e w h i c h b o n d s a r e s u b j e c t t o l o w e r e c o v e r y ( w i t h i n t h e s a m e c r e d i t c l a s s ) . M o r e o v e r , t h e s e e s t i m a t e s c a n b e a d o p t e d a s s i g n a l s f o r h a n g e s i n c r e d i t r a t i n g o r s e t t i n g c a p i t a l a d e q u a c y r e q u i r e m e n t s . A l b e i t n o t s t r e s s e d e a r l i e r , i t m u s t b e r e c o g n i z e d f r o m ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) t h a t t h e d i (cid:11) e r e n c e s i n t h e e c o v e r y r a t e s f o r t h e R F V a n d t h e R T m o d e l h a v e i n f o r m a t i o n c o n t e n t o n t h e a r r i v a l o f d e f a u l t . o r t h e s a m e d o l l a r r e c o v e r y , y ( u ) , n o t i c e t h a t r a t i o o f t h e R F V r e c o v e r y r a t e t o t h e R T r e c o v e r y a t e i s t h e p r e s e n t v a l u e o f f a c e d i v i d e d b y t h e f a c e v a l u e . A t a h e u r i s t i c l e v e l , o n e m a y t h i n k o f h i s r a t i o a s e x p ( r ( T u ) ) w h e r e u r e p r e s e n t s t h e d e f a u l t t i m e . F o r a (cid:12) x e d T , a h i g h e r ( l o w e r ) (cid:0) (cid:0) a t i o s u g g e s t s e a r l i e r ( d i s t a n t ) d e f a u l t t i m e . C e r t a i n l y o n e w o u l d e x p e c t t h e r e c o v e r y r a t e f r o m h e R F V m o d e l t o b e b e l o w t h o s e f r o m t h e R T m o d e l a n d t h i s i s c o n s i s t e n t l y o b s e r v e d . F r o m h e r e c o v e r y r a t e e s t i m a t e s i n T a b l e 4 a n d t h e a v e r a g e m a t u r i t y d i s p l a y e d i n T a b l e 1 , a r o u g h p p r o x i m a t i o n i n d i c a t e s a n e x p e c t e d a r r i v a l o f d e f a u l t a t 6 % i n t e r e s t r a t e o f a r o u n d 1 0 .9 7 y e a r s 1 o r D e l t a A i r l i n e s ( i .e ., 1 5 .7 2 - l o g ( 0 :4 4 0 = 0 :5 8 5 ) ) v e r s u s a n e a r l y d e f a u l t t i m e o f 3 .0 9 y e a r s f o r : 0 0 6 - M a r t . F o r t h e e n t i r e s a m p l e , t h e r e l a t i v e r e c o v e r y r a t e c o m p a r i s o n i s i n d i c a t i n g a d e f a u l t - t i m e f a b o u t 7 .1 0 y e a r s . T h i r d , t h e e s t i m a t e s o f t h e r e c o v e r y r a t e s a p p e a r m o r e t i m e - s t a b l e f o r t h e R F V m o d e l . W e a n d r a w t h i s i n f e r e n c e b y c o m p a r i n g t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r e c o v e r y r a t e s b e t w e e n t h e F V m o d e l a n d t h e R T m o d e l . O n e p o s s i b l e i m p l i c a t i o n o f t h e h i g h e r v o l a t i l i t y o f t h e R T m o d e l e t e r m i n e d r e c o v e r y r a t e i s t h a t i t m a y b e a l e s s d e s i r a b l e c o n t r a c t i n g c h o i c e f o r w r i t i n g r e c o v e r y a t e r e l a t e d c o n t i n g e n t c l a i m s . T h e R F V c o n v e n t i o n m a y b e p r e f e r a b l e o n g r o u n d s o f s i m p l i c i t y n d m o r e r e l i a b l e r e c o v e r y e s t i m a t e s . W e s h o u l d e m p h a s i z e t h a t m a r k e t - i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s a r e i m p a c t e d b y r i s k a v e r s i o n c o n i d e r a t i o n s i n t h e c h a n g e o f m e a s u r e t o r i s k - n e u t r a l , a n d p h y s i c a l a s s e s s m e n t s o f r e c o v e r y ( a s l a b o r a t e d i n P r o p o s i t i o n 1 ) . R i s k - n e u t r a l r e c o v e r i e s c r o s s - s e c t i o n a l l y a r e a (cid:11) e c t e d b y p o s s i b l y r m - s p e c i (cid:12) c d i (cid:11) e r e n c e s i n c o u n t e r p a r t y r i s k a v e r s i o n a n d (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c m o m e n t s o f t h e p h y s i c a l e c o v e r y d e n s i t y . F o r i n s t a n c e , i t i s p o s s i b l e t h a t (cid:12) r m s w i t h m o r e l e f t - s k e w e d ( p h y s i c a l ) r e c o v e r y e n s i t i e s m a y h a v e t h e i r e x p e c t e d r e c o v e r i e s d i s c o u n t e d f u r t h e r . A p r o p e r l y s p e c i (cid:12) e d r i s k - n e u t r a l e c o v e r y r a t e m o d e l m a y b e t h e k e y t o u n d e r s t a n d i n g c r o s s - s e c t i o n a l a n d t i m e - s e r i e s v a r i a t i o n s n c r e d i t s p r e a d s a n d m a r k e t i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s . M o r e r e s e a r c h i s t h e r e f o r e n e e d e d i n t h e h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l m o d e l i n g o f t h e r e c o v e r y r a t e s . 2 6
8 U c D m p r i f p s t r w t t p o d a c s l f a o p c S i d a C o n c l u s i o n s n d e r t h e r e c o m m e n d a t i o n s s e t f o r t h b y t h e B a s l e c o m m i t t e e , m a r k e t p a r t i c i p a n t s s u b j e c t t o r e d i t r i s k s h o u l d n o t j u s t e v a l u a t e t h e r i s k o f d e f a u l t b u t a l s o a s s e s s r e c o v e r y i f d e f a u l t o c c u r s . e s p i t e s u b s t a n t i a l p r o g r e s s i n m o d e l i n g c r e d i t r i s k , e x i s t i n g d e b t m o d e l s h a v e o n l y p r o v i d e d a i n i m a l p a r a m e t e r i z a t i o n o f r e c o v e r y . E v e n l e s s a p p r e c i a t e d i s w h i c h r e c o v e r y c o n c e p t i s a p p r o r i a t e i n d e f a u l t m o d e l i n g . T h e r e l a t i v e p r o s a n d c o n s o f a r e c o v e r y c o n c e p t v e r s u s a n o t h e r s t i l l e m a i n s a l e s s t h a n u n d e r s t o o d p h e n o m e n o n a t t h e e m p i r i c a l l e v e l . R e a l i z i n g t h e p o t e n t i a l s i g n i f c a n c e o f j o i n t l y m o d e l i n g r e c o v e r y a n d d e f a u l t p r o b a b i l i t y , t h i s p a p e r h a s p r e s e n t e d a f r a m e w o r k o r p r i c i n g ( a n d h e d g i n g ) d e f a u l t a b l e s e c u r i t i e s u n d e r a l t e r n a t i v e r e c o v e r y p a y o u t d e (cid:12) n i t i o n s . E x e c t e d r e c o v e r y i s a c r u c i a l m o d e l i n g e l e m e n t i n a p p l i c a t i o n s r a n g i n g f r o m h i g h - y i e l d b o n d s t o o v e r e i g n b o n d s . I f t h e r e c o v e r y r a t e s a r e m i s s p e c i (cid:12) e d t h e n t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s c a n g e t d i s o r t e d . I n a d e f a u l t c o n t e x t , o u r t h e o r e t i c a l a n a l y s i s s h o w s t h a t r i s k - n e u t r a l e x p e c t e d r e c o v e r y a t e s a r e r e l a t e d t o r i s k a v e r s i o n a n d (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c m o m e n t s o f t h e p h y s i c a l r e c o v e r y d e n s i t y . R e c o n c i l i n g p r e v a i l i n g m o d e l i n g f r a m e w o r k s , w e s h o w h o w t o p r i c e d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s h e n r e c o v e r y i s a n e x o g e n o u s p r o p o r t i o n o f t h e f a c e v a l u e , o r w h e n r e c o v e r y i s a p r o p o r t i o n o f h e d i s c o u n t e d f a c e v a l u e . T h e a p p a r e n t s t r e n g t h o f t h e m e t h o d o l o g y c o m e s f r o m t h r e e m o d e l i n g r a i t s . F i r s t , o u r t h e o r e t i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n s a l l o w d i s t i n c t r o l e s f o r r e c o v e r y r a t e s a n d d e f a u l t r o b a b i l i t i e s . I n o u r p a r a m e t e r i z a t i o n s , r e c o v e r y r a t e s c a n d e p e n d o n d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a n d t h e r s t a t e v a r i a b l e s . S e c o n d , t h e m o d e l s a r e a m e n a b l e t o a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r d e f a u l t a b l e e b t f o r a w i d e c l a s s o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s d e s c r i b i n g t h e r e c o v e r y r a t e s , t h e d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s n d t h e r i s k - f r e e i n t e r e s t r a t e . T h i r d , u n l i k e D u Æ e - S i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) w h e r e d e f a u l t - a d j u s t e d d i s o u n t r a t e s s u b s u m e t h e e (cid:11) e c t s o f r e c o v e r y , r e c o v e r y r a t e s n o w h a v e i d e n t i (cid:12) a b l e i m p a c t s o n c r e d i t p r e a d s . H e n c e s o m e o f t h e s e m o d e l s c a n b e e m p l o y e d t o i n f e r m a r k e t e x p e c t a t i o n o f r e c o v e r y e v e l s e m b e d d e d i n t h e p r i c e s o f d e b t i n s t r u m e n t s . T h e s e r e c o v e r y c o n v e n t i o n s a r e a l s o a t t r a c t i v e r o m t h e p e r s p e c t i v e o f w r i t i n g r e c o v e r y c o n t i n g e n t c l a i m s . S u c h c l a i m s c a n a s s i s t i n t h e e Æ c i e n t l l o c a t i o n o f d e f a u l t r i s k s a c r o s s t h e e c o n o m y . W h e n o u r p a r s i m o n i o u s l y p a r a m e t e r i z e d d e f a u l t a b l e d e b t m o d e l s a r e t e s t e d u s i n g a s a m p l e f B B B - r a t e d b o n d s , w e (cid:12) n d t h a t t h e r e c o v e r y s p e c i (cid:12) c a t i o n t h a t r e l i e s o n d i s c o u n t e d f a c e v a l u e r o v i d e s a b e t t e r (cid:12) t t o t h e d a t a . I n t r o d u c i n g d i m e n s i o n s o f t i m e - v a l u e i n t h e r e c o v e r y p a y o u t t o r e d i t o r s i s f o u n d t o r e d u c e o u t - o f - s a m p l e p r i c i n g e r r o r s r e l a t i v e t o b o t h a v e r s i o n o f t h e D u Æ e i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) m o d e l a n d t h e r e c o v e r y o f f a c e v a l u e m o d e l . F i n a l l y , t h e a v e r a g e r e c o v e r y r a t e s m p l i c i t i n d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d s a r e b r o a d l y c o n s i s t e n t w i t h e m p i r i c a l s t u d i e s o n u n s e c u r e d e b t . F o r t h e p u r p o s e o f d e s i g n i n g r e c o v e r y c o n t i n g e n t c l a i m s , w e n o t e t h a t d e (cid:12) n i n g r e c o v e r y a s p r o p o r t i o n o f f a c e h a s s u b s t a n t i a l l y l o w e r s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r m a r k e t i m p l i e d r e c o v e r y r a t e s . 2 7
T d h e b i s t . p a p e r h a s m a d e a s p e c i a l a t t e m p t t o m o d e 2 l 8 r e c o v e r y a n d q u a n t i f y i t s i m p a c t o n d e f a u l t a b l e
s w c s t e a r T T a E A p p e n d i x : P r o o f o f P r o p o s i t i o n 3 W e w i s h t o p r o v e t h e d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d v a l u a t i o n m o d e l s ( 3 9 ) - ( 4 0 ) . G u i d e d b i t i o n 2 , c o n s i d e r t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n u Q J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) E e x p i (cid:30) r ( s ) d s + i (cid:29) r ( u ) ; t (cid:17) t (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z u = e x p i (cid:30) r ( s ) d s + i (cid:29) r ( u ) q ( (cid:23) ) d (cid:23) ; t (cid:18) (cid:19) Z Z u h e r e q ( (cid:23) ) i s t h e r i s k - n e u t r a l d e n s i t y (cid:23) ( r ( s ) d s ; r ( u ) ) . W i t h i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s t (cid:17) h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s a t i s (cid:12) e s t h e p a r t i a l d i (cid:11) e r e n t i a l e q u a t i o n : R 1 2 J (cid:27) r + J (cid:20) ( (cid:18) r ) + J + i (cid:30) r J = 0 r r r t 2 (cid:0) u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n J ( u ; u ) = e x p ( i (cid:29) r ( u ) ) . B y d i r e c t s u b s t i t u t i o n i t c a n b h a t t h e s o l u t i o n t o ( 4 5 ) i s g i v e n b y e x p [ ( t ; u ) ( t ; u ) r ( t ) ]. T h e n s o l v i n g t h e r e s u l t i n Y (cid:0) Z (cid:2) q u a t i o n s p r o d u c e s t h e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) a n d ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) d i s p l a y e Y Z n d ( 3 8 ) o f t h e t e x t . (cid:0) h u ( ) I n s e r t i n g h ( u ) = (cid:3) + (cid:3) r ( u ) a n d y ( u ) = w + w e F i n t o t h e p r i c i n g e q u a 0 1 0 1 (cid:2) (cid:16) (cid:17) e s u l t s i n ( 4 0 ) . I n d e r i v i n g e a c h t e r m i n e q u a t i o n ( 4 0 ) , w e n o t e t h a t u @ J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = e x p i (cid:30) r ( s ) d s + i (cid:29) r ( u ) i r ( u ) q ( (cid:23) ) d (cid:23) : @ (cid:29) t (cid:18) (cid:19) Z Z h e r e f o r e , @ J ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) = e x p [ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) r ( t ) ] r ( t ) Y Z @ (cid:29) @ (cid:29) @ (cid:29) Y (cid:0) Z (cid:0) (cid:26) h e r e q u i r e d p a r t i a l d e r i v a t i v e s c a n b e d e t e r m i n e d a n a l y t i c a l l y a s : (cid:0) (cid:13) u t ( ) ) 2 i (cid:20) (cid:18) s i n h ( @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) 2 ; = Y (cid:0) (cid:0) (cid:13) u t (cid:13) u t ( ) ( ) 2 @ (cid:29) (cid:13) c o s h ( ) + ( (cid:20) i (cid:29) (cid:27) ) s i n h ( ) 2 2 (cid:0) n d , (cid:0) (cid:13) u t ( ) 2 2 2 2 2 (cid:30) (cid:27) + i (cid:13) c o t h ( ) i (cid:20) @ ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) 2 (cid:0) = : Z 2 (cid:0) (cid:13) u t ( ) @ (cid:29) 2 (cid:13) c o t h ( ) + (cid:20) i (cid:29) (cid:27) 2 (cid:0) (cid:16) (cid:17) v a l u a t i n g ( 4 7 ) - ( 4 9 ) a t (cid:30) = i ( 1 + (cid:3) ) , (cid:29) = 0 a n d (cid:29) = i (cid:3) l e a d s t o t h e d e s i r e d c l o 1 1 2 9 y ( e g d t (cid:27) s P 3 4 v e R i n i o n : e d r o p o - ) , t h e ( 4 5 ) r i (cid:12) e d i c a t t i ( 3 7 ) ( 1 4 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) - f o r m
e e A a t w s ( a w I b W w x p r e s s i o n s . A l l t h e t e r m s i n t h e d e f a u l t a b l e c o u p o n b o n d m o d e l s ( 3 9 ) - ( 4 0 ) a r e t h e r e f o r e i n 2 x p l i c i t c l o s e d - f o r m . . n I l l u s t r a t i v e M u l t i - f a c t o r D e f a u l t a b l e B o n d V a l u a t i o n M o d e l I n t h i s e x a m p l e s e t t i n g , w e a s s u m e t h a t ( i ) t h e s h o r t i n t e r e s t r a t e o b e y s a t w o - f a c t o r p r o c e s s n d t h e h a z a r d r a t e o b e y s a t h r e e - f a c t o r p r o c e s s . W e c o n t i n u e t o m a i n t a i n t h a t r e c o v e r y i s o f t h e y p e ( 3 2 ) . F o r t h e i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s a s s u m e t h a t d r ( t ) = (cid:20) ( m ( t ) r ( t ) ) d t + (cid:27) d ! ( t ) ; ( 5 0 ) r r r (cid:0) d m ( t ) = (cid:20) ( (cid:22) m ( t ) ) d t + (cid:27) d ! ( t ) ; ( 5 1 ) m m m m (cid:0) h e r e m ( t ) r e p r e s e n t s t h e l o n g - r u n s t o c h a s t i c m e a n i n t e r e s t r a t e a n d ! a n d ! a r e c o r r e l a t e d r m t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n s ( B a k s h i , M a d a n , a n d Z h a n g ( 2 0 0 0 ) a n d C o l l i n - D u f r e s n e a n d S o l n i k 2 0 0 1 ) ) . L e t (cid:26) C o v ( ! ; ! ) f o r a n y j a n d k . F o r t h e h a z a r d r a t e w e m a k e t h e s i m p l i f y i n g t j j ;k k (cid:17) s s u m p t i o n t h a t h ( t ) = (cid:3) + (cid:3) r ( t ) + (cid:3) m ( t ) + (cid:3) g ( t ) ; ( 5 2 ) 0 1 2 3 h e r e g ( t ) i s s o m e (cid:12) r m - s p e c i (cid:12) c v a r i a b l e t h a t i s g o v e r n e d b y a n a u t o n o m o u s p r o c e s s , a s i n : d g ( t ) = (cid:20) ( (cid:22) g ( t ) ) d t + (cid:27) d ! ( t ) : ( 5 3 ) g g g g (cid:0) n t h i s h i g h e r - d i m e n s i o n a l s e t t i n g , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e r e m a i n i n g u n c e r t a i n t y i s g i v e n y : u Q J ( t ; u t ; (cid:30) ; (cid:29) ) E e x p [r ( s ) + h ( s ) ] d s + i (cid:30) r ( u ) + i (cid:29) g ( u ) : ( 5 4 ) t (cid:0) (cid:17) (cid:0) t (cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) Z e a s s e r t t h a t J ( t ; u t ; (cid:30) ; (cid:29) ) = e x p [ ( t ; u ) ( t ; u ) r ( t ) ( t ; u ) m ( t ) ( t ; u ) g ( t ) ] ; ( 5 5 ) (cid:0) (cid:0) Y (cid:0) Z (cid:2) (cid:0) U (cid:2) (cid:0) V (cid:2) h e r e : ( 1 + (cid:3) ) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) u t (cid:20) u t ( ) ( ) r r ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) ( i (cid:30) + i (cid:29) (cid:3) ) e + 1 e ; ( 5 6 ) 1 (cid:20) Z (cid:17) (cid:0) (cid:0) r (cid:16) (cid:17) ( 1 + (cid:3) + (cid:3) ) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) u t (cid:20) u t ( ) ( ) m m ( t ; u ; (cid:30) ; (cid:29) ) i (cid:29) (cid:3) e + 1 e ( 5 7 ) 2 (cid:20) (cid:0) U (cid:17) (cid:0) m (cid:16) (cid:17) ( 1 + (cid:3) ) + (cid:20) ( i (cid:30) + i (cid:29) (cid:3) ) r 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) u t (cid:20) u t ( ) ( ) r m e e ; ( (cid:20) (cid:20) ) (cid:0) (cid:0) m r (cid:0) (cid:16) (cid:17) (cid:3) 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:20) u t (cid:20) u t ( ) ( ) g g ( t ; u ; (cid:29) ) i (cid:29) (cid:3) e + 1 e ; ( 5 8 ) 3 (cid:20) V (cid:17) (cid:0) (cid:0) g (cid:16) (cid:17) 3 0
a T P n Y h r d ( e o t p (cid:12) n a l l y ; u ; (cid:30) ; (cid:29) b o n d o s i t i o n ) p r 3 (cid:17) i c e , a s n (cid:0) (cid:0) (cid:0) f o d i (cid:29) (cid:3) 0 1 2 (cid:27) m 2 (cid:26) m ;r r t h e a r e i n + Z (cid:27) m R a (cid:3) u t (cid:27) F n a 0 U r V l ( u (cid:0) 2 ( s u t Z a n y t i c t ) d Z d a l 1 ) 2 (cid:0) 1 s 2 (cid:0) ( s ) ( U t h e R c l o s e d (cid:27) (cid:27) s T u 2 r Z t Z u 2 g t V Z ) d s : m o d f o r m . 3 1 2 ( 2 ( e l 2 s s c ) ) a d d n s s + (cid:0) n o (cid:20) (cid:26) w m g ;r b (cid:22) (cid:27) e m g o Z (cid:27) b t r t u Z a U t i n ( s u Z e d ) d ( s v s ) i a + V ( P (cid:20) g s ) r o (cid:22) g d s p o s Z i u t t i o V n ( s 2 ) d ( 5 a s 9 n ) d
A N B c B e B e B C m C o C a C m D 1 D S D d D s D F H R e f e r e n c e s l t m a n , E ., 2 0 0 1 , \ D e f a u l t s , r e c o v e r i e s , a n d r e t u r n s i n t h e U . S . h i g h y i e l d b o n d m a r k e t ," m i m e o , e w Y o r k U n i v e r s i t y . a k s h i , G ., a n d D . M a d a n , 2 0 0 0 , \ S p a n n i n g a n d d e r i v a t i v e s e c u r i t y v a l u a t i o n ," J o u r n a l o f F i n a n i a l E c o n o m i c s 5 5 , N o . 2 , 2 0 5 - 2 3 8 . a k s h i , G ., N . K a p a d i a , D . M a d a n , 2 0 0 0 , \ S t o c k r e t u r n c h a r a c t e r i s t i c s , s k e w l a w s , a n d t h e d i (cid:11) e r n t i a l p r i c i n g o f i n d i v i d u a l e q u i t y o p t i o n s " R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s ( f o r t h c o m i n g ) . a k s h i , G ., D . M a d a n , a n d F . Z h a n g , 2 0 0 0 , \ I n v e s t i g a t i n g t h e s o u r c e s o f d e f a u l t r i s k : L e s s o n s f r o m m p i r i c a l l y e v a l u a t i n g c r e d i t r i s k m o d e l s ," m i m e o , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d a n d F e d e r a l R e s e r v e o a r d ( W a s h i n g t o n D C ) . h a n , K .C ., A . K a r o l y i , F . L o n g s t a (cid:11) , a n d A . S a n d e r s , 1 9 9 2 , A n e m p i r i c a l c o m p a r i s o n o f a l t e r n a t i v e o d e l s o f t h e s h o r t - t e r m i n t e r e s t r a t e , J o u r n a l o f F i n a n c e 4 7 , 1 2 0 9 - 1 2 2 7 . o l l i n - D u f r e s n e , P ., a n d R . G o l d s t e i n , 2 0 0 0 , \ D o c r e d i t s p r e a d s r e (cid:13) e c t s t a t i o n a r y l e v e r a g e ? R e c n c i l i n g s t r u c t u r a l a n d r e d u c e d - f o r m f r a m e w o r k s ," J o u r n a l o f F i n a n c e ( f o r t h c o m i n g ) . o l l i n - D u f r e s n e , P ., a n d B . S o l n i k , 2 0 0 1 , \ O n t h e t e r m s t r u c t u r e o f d e f a u l t p r e m i a i n t h e s w a p n d L I B O R m a r k e t s ," J o u r n a l o f F i n a n c e ( f o r t h c o m i n g ) . o x , J ., J . I n g e r s o l l , a n d S . R o s s , 1 9 8 5 , A t h e o r y o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s , E c o n o e t r i c a 5 3 , 3 8 5 - 4 0 8 . u (cid:11) e e , G ., 1 9 9 9 , \ E s t i m a t i n g t h e p r i c e o f d e f a u l t r i s k ," R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s 1 2 , N o .1 , 9 7 - 2 2 6 . u Æ e , D ., 1 9 9 9 , \ D e f a u l t a b l e t e r m s t r u c t u r e m o d e l s w i t h f r a c t i o n a l r e c o v e r y o f p a r ," m i m e o , t a n f o r d U n i v e r s i t y . u Æ e , D ., J . P a n , a n d K . S i n g l e t o n , 2 0 0 0 , \ T r a n s f o r m a n a l y s i s a n d a s s e t p r i c i n g f o r a Æ n e j u m p i (cid:11) u s i o n s ," E c o n o m e t r i c a 6 8 , 1 3 4 3 - 1 3 7 6 . u Æ e , D ., a n d K . S i n g l e t o n , 1 9 9 7 , \ A n e c o n o m e t r i c m o d e l o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e w a p y i e l d s , " J o u r n a l o f F i n a n c e 5 2 , N o .4 , 1 2 8 7 - 1 3 2 2 . u Æ e , D ., a n d K . S i n g l e t o n , 1 9 9 9 , \ M o d e l i n g t e r m s t r u c t u r e s o f d e f a u l t r i s k y b o n d s ," R e v i e w o f i n a n c i a l S t u d i e s 1 2 , N o .4 , 6 8 7 - 7 2 0 . e , H ., 2 0 0 0 , \ M o d e l i n g t e r m s t r u c t u r e s o f s w a p s p r e a d s ," m i m e o , Y a l e U n i v e r s i t y . 3 2
J i J r L 2 L o L d M 1 P s 1 W o a n o s i , T ., R . J a r r o w , a n d Y . Y i l d i r i m , 2 0 0 0 , \ E s t i m a t i n g e x p e c t e d l o s s e s a n d l i q u i d i t y d i s c o u n t s m p l i c i t i n d e b t p r i c e s ," m i m e o , C o r n e l l U n i v e r s i t y . a r r o w , R ., a n d S . T u r n b u l l , 1 9 9 5 , \ P r i c i n g d e r i v a t i v e s o n (cid:12) n a n c i a l s e c u r i t i e s s u b j e c t t o c r e d i t i s k ," J o u r n a l o f F i n a n c e 5 0 , 5 3 - 8 5 . a n d o , D a v i d , 1 9 9 8 , \ O n C o x p r o c e s s e s a n d c r e d i t r i s k y s e c u r i t i e s ," R e v i e w o f D e r i v a t i v e s R e s e a r c h , 9 9 - 1 2 0 . i u , J ., F . L o n g s t a (cid:11) , a n d R . M a n d e l l , 2 0 0 0 , \ T h e m a r k e t p r i c e o f c r e d i t r i s k ," m i m e o , U n i v e r s i t y f C a l i f o r n i a - L o s A n g e l e s . o n g s t a (cid:11) , F ., a n d E . S c h w a r t z , 1 9 9 5 , \ A s i m p l e a p p r o a c h t o v a l u i n g r i s k y (cid:12) x e d a n d (cid:13) o a t i n g r a t e e b t ," J o u r n a l o f F i n a n c e 5 0 , 7 8 9 - 8 1 9 . a d a n , D ., a n d H . U n a l , 1 9 9 8 , \ P r i c i n g t h e r i s k s o f d e f a u l t ," R e v i e w o f D e r i v a t i v e s R e s e a r c h 2 , 2 1 - 1 6 0 . e a r s o n , N ., a n d T - S . S u n , 1 9 9 4 , \ E x p l o i t i n g t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y i n e s t i m a t i n g t h e t e r m t r u c t u r e : A n a p p l i c a t i o n t o t h e C o x , I n g e r s o l l , a n d R o s s m o d e l ," J o u r n a l o f F i n a n c e 4 9 , 1 2 7 9 - 3 0 4 . e i s s , L ., 1 9 9 0 , \ B a n k r u p t c y r e s o l u t i o n : D i r e c t c o s t s a n d v i o l a t i o n o f p r i o r i t y o f c l a i m s ," J o u r n a l f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 2 7 , 2 8 5 - 3 1 4 . 3 3
T b m A E H W s 1 L T a b l e 1 : B B B - r a t e d C o r p o r a t e B o n d S a m p l e h i s t a b l e r e p o r t s t h e y i e l d - t o - m a t u r i t y , t h e c o u p o n , t h e m a t u r i t y s t r u c t u r e , a n d t h e n u m b e r o f o n d s o u t s t a n d i n g f o r a s a m p l e o f 2 5 B B B - r a t e d c o r p o r a t e b o n d s . F o r e a c h v a r i a b l e w e d i s p l a y t h e e a n , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n , t h e m a x i m u m , a n d t h e m i n i m u m . I n c l u d e d i n t h i s b o n d s a m p l e a r e m r C o r p , A r i z o n a P u b l i c , B o i s e C a s c a d e C o r p , C h a m p I n t e r n a t i o n a l , C s x C o r p , D e l t a A i r l i n e s , n r o n C o r p , F e d e x C o r p , F i r s t E n e r g y , F i r s t I n t e r s t a t e , G e o r g i a P a c i (cid:12) c , K - M a r t , N i a g a r a M o h a w k l d . , O r y x E n e r g y , P a i n e W e b b e r , P E C O E n e r g y , S a f e w a y , T e l e - C o m m u n i c a t i o n s , T e n n e c o , T i m e a r n e r , U n i c o m C o r p H l d . , U n i t e d A i r l i n e s , U n o c a l , U s x C o r p , a n d W e l l s F a r g o . T h e s e b o n d s a r e t r a i g h t b o n d s w i t h S & P d e t e r m i n e d c r e d i t r a t i n g o f B B B o r l o w e r . T h e s a m p l e p e r i o d i s M a r c h 9 8 9 t h r o u g h M a r c h 1 9 9 8 . T h i s s a m p l e c o n t a i n s 1 2 , 2 2 8 o b s e r v a t i o n s . T h e d a t a i s c o l l e c t e d f r o m e h m a n B r o t h e r s F i x e d I n c o m e D a t a b a s e . D e l t a E n r o n F e d e x K - M a r t W e l l s A l l 2 5 F a r g o F i r m s Y i e l d M e a n 8 . 6 8 7 . 4 1 7 . 7 3 8 . 5 9 6 . 9 2 7 . 7 0 S t d . ( i n % ) 1 . 1 5 1 . 1 0 1 . 4 3 1 . 7 7 0 . 8 8 1 . 1 2 M a x . 1 1 . 0 2 1 0 . 7 9 1 0 . 9 4 1 7 . 5 3 8 . 8 1 8 . 6 8 M i n . 5 . 7 3 4 . 1 0 4 . 6 8 3 . 9 5 4 . 1 0 6 . 8 1 C o u p o n M e a n 9 . 5 9 8 . 6 5 9 . 2 6 9 . 1 6 7 . 7 0 8 . 7 3 S t d . ( i n % ) 0 . 6 6 1 . 2 1 1 . 1 7 1 . 9 3 0 . 9 1 1 . 0 0 M a x . 1 0 . 3 7 1 0 . 0 0 1 0 . 0 0 1 2 . 5 0 8 . 7 5 9 . 9 0 M i n . 8 . 2 5 6 . 4 5 6 . 2 5 7 . 7 5 6 . 1 2 6 . 9 4 M a t u r i t y M e a n 1 5 . 7 2 8 . 4 3 6 . 5 4 1 7 . 3 5 6 . 2 3 9 . 7 1 S t d . ( i n y e a r s ) 9 . 1 7 4 . 1 9 5 . 2 3 8 . 3 5 2 . 7 4 5 . 7 6 M a x . 2 9 . 9 8 1 9 . 9 7 1 9 . 9 7 3 0 . 0 2 1 0 . 0 1 1 7 . 8 6 M i n . 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 4 1 . 0 0 1 . 0 0 5 . 1 9 N o . o f M e a n 7 . 8 1 7 . 8 5 4 . 5 0 5 . 1 1 5 . 1 7 6 . 6 8 B o n d s S t d . 1 . 9 9 2 . 1 6 0 . 6 5 0 . 5 2 0 . 6 1 1 . 4 6 M a x . 1 0 . 0 0 1 4 . 0 0 6 . 0 0 6 . 0 0 6 . 0 0 1 3 . 0 9 M i n . 4 . 0 0 4 . 0 0 4 . 0 0 4 . 0 0 4 . 0 0 4 . 1 0 3 4
35 (in $) DPE Mean 1.93 1.26 1.01 2.06 0.94 1.31 1.41 1.03 0.82 1.80 0.88 1.11 (in %) RMSE Mean 2.05 1.46 1.24 2.64 1.06 1.55 1.57 1.28 1.00 2.39 1.00 1.35 Min. 0.075 0.240 0.240 0.075 0.211 0.128 0.070 0.259 0.088 0.070 0.258 0.244 Max. 0.447 0.369 0.431 0.270 0.254 0.319 0.482 0.481 0.481 0.481 0.483 0.331 Std. 0.078 0.024 0.048 0.066 0.009 0.056 0.118 0.090 0.092 0.147 0.043 0.072 w1 Mean 0.221 0.254 0.260 0.128 0.246 0.245 0.295 0.318 0.298 0.295 0.273 0.286 Min. 0.075 0.234 0.235 0.075 0.195 0.135 0.070 0.251 0.075 0.070 0.250 0.237 Max. 0.448 0.366 0.433 0.266 0.244 0.316 0.479 0.482 0.480 0.478 0.479 0.325 Std. 0.080 0.024 0.050 0.068 0.010 0.057 0.120 0.092 0.094 0.148 0.044 0.074 w0 Mean 0.217 0.248 0.255 0.135 0.235 0.240 0.289 0.311 0.291 0.289 0.266 0.279 Min. -0.900 -0.594 -0.143 -0.849 -0.143 -0.191 -0.184 -0.162 -0.224 -0.900 -0.148 -0.176 Max. 0.512 0.207 0.416 0.183 0.158 0.081 -0.107 0.152 -0.047 0.052 0.099 -0.115 Std. 0.274 0.131 0.139 0.192 0.058 0.148 0.017 0.075 0.030 0.174 0.047 0.035 (cid:3)1 Mean -0.159 -0.134 -0.087 -0.108 -0.128 -0.107 -0.145 -0.115 -0.132 -0.132 -0.132 -0.140 Min. 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.017 0.020 0.005 0.014 0.005 0.008 0.016 Max. 0.070 0.034 0.051 0.147 0.037 0.067 0.043 0.034 0.042 0.122 0.032 0.039 Std. 0.018 0.007 0.011 0.032 0.007 0.017 0.007 0.006 0.008 0.024 0.005 0.009 (cid:3)0 Mean 0.039 0.019 0.029 0.034 0.019 0.031 0.031 0.018 0.027 0.031 0.019 0.026 Fargo Firms Fargo Firms Delta Enron Fedex K-Mart Wells All 25 Delta Enron Fedex K-Mart Wells All 25 Recovery is y(u)=w(u)(cid:2)F Recovery is y(u)=w(u)(cid:2)B(u;T)(cid:2)F Panel A: RFV Model Panel B: RT Model sample is described in the note to Table 1. RT model are respectively displayed in equations (37) and (38). Sample period for all estimations is March 1989 through March 1998. The bond recovery is y(u)=w(u)(cid:2)F), and the RT model (where the recovery is y(u)=w(u)(cid:2)B(u;T)(cid:2)F). The model price for the RFV model and the \RMSE." In-sample absolute dollar pricing errors are reported in the row marked DPE. The estimation is done for the RFV model (where the under the heading \All 25 (cid:12)rms." The average and standard deviation of the mimimized root-mean-squared error is displayed in the row marked structural parameter is the mean, the standard deviation, the maximum and the minimum. The respective averages across all 25 (cid:12)rms are reported (cid:12) (cid:12) procedure is performed once everyPthree m(cid:12) onths. Theref(cid:12)ore, we have a time-series of f(cid:3)0(t);(cid:3)1(t);w0(t);w1(t):t=1;(cid:1)(cid:1)(cid:1);Tg. Reported for each (cid:12) (cid:12) function is: RMSE(t) (cid:17) min r N n=1 P(t;Tn) . To ensure a suÆciently large bond cross-section for the estimation, the minimization 1 N P(t;Tn) (cid:0)P(t;Tn) 2 Allparametersareobtainedbyminimizingthesum-of-squarespercentageerrorbetweenthemarketpriceandthemodeldeterminedprice. Thecriterion Table 2: Parameter Estimates for the RFV Model and the RT Model
36 (in %) Errors Mean 0.02 0.11 -0.26 -0.20 -0.19 -0.17 0.03 -0.04 -0.15 0.05 -0.17 -0.09 Pricing Std. 2.71 1.57 1.38 2.43 1.20 1.67 2.56 1.25 1.35 2.43 1.16 1.55 Percentage Mean Abs. 2.46 1.39 1.32 2.20 1.00 1.55 2.05 1.08 1.12 2.01 0.95 1.35 (in $ for $100 par) Errors Mean -0.04 0.11 -0.30 -0.23 -0.20 -0.19 0.01 -0.03 -0.19 0.09 -0.18 -0.10 Pricing Std. 2.88 1.68 1.50 2.32 1.25 1.76 2.71 1.34 1.46 2.36 1.20 1.65 Dollar Mean Abs. 2.64 1.49 1.45 2.18 1.03 1.65 2.19 1.16 1.23 1.99 0.98 1.43 (in bps) Errors Mean 5.33 1.50 12.99 7.44 5.92 8.17 2.24 2.14 4.61 0.67 4.60 3.95 Basis Point Std. 37.54 27.45 35.23 27.81 24.82 29.60 35.44 20.24 33.85 28.91 24.67 27.03 Yield Mean Abs. 37.16 24.29 33.98 27.02 22.02 28.88 29.47 18.29 27.93 24.02 20.70 24.10 Fargo Firms Fargo Firms Delta Enron Fedex K-Mart Wells All 25 Delta Enron Fedex K-Mart Wells All 25 y(u)=w(u)(cid:2)F y(u)=w(u)(cid:2)B(u;T)(cid:2)F Panel A: RFV Model Panel B: RT Model respectively displayed in equations (37) and (38) of proposition 2. risk-free bond. In both models, the recovery rate is modeled as w(u)=w0+w1e . The model prices for the RFV model and the RT model are (cid:0)h(u) under \All 25 Firms." The RFV model assumes that recovery is a fraction of face; the RT model assumes recovery as a fraction of face paid in series is the (i) average absolute errors, (ii) the standard deviation, and (iii) the average error. The respective entire sample averages are reported the yield basis point errors represent the di(cid:11)erence between the market-determined-yRield and the model-determined-yield. Displayed for each error market price. Yield-to-maturity on each bond is computed by solving 0=P(t;T)(cid:0) t c(s) exp[(cid:0)R(t;T)(s(cid:0)t)] ds(cid:0)F exp[(cid:0)R(t;T)(T (cid:0)t)], and T errors are computed as the market price minus the model determined price; the percentage pricing errors are dollar pricing errorsnormalized by the For each bond, we compute the (i) dollar pricing errors, (ii) the percentage pricing errors and (iii) the yield-basis point errors. The dollar pricing Table 3: Out-of-Sample Pricing Errors for the RFV and the RT Models
T m w e a F a h i s t a a r k e t t ( ) = s t i m a t n d t h e i r m s . " s s u m e b l e r e p o r p r i c e o f w w e + 0 1 i o n s d o n m i n i m u R F T h e y s t h a t ( R F V R T M T a t s t h e r e c o v e b o n d s . O u t (cid:0) h t ( ) , w h e r e e i n q u a r t e r m r e c o v e r y r V m o d e l a s (cid:2) u w u ) = ( ) M o d e l M S t M M o d e l M S t M M b l e 4 : M a r k e t I m p l i e d R e c o v e r y R a t e s r y r a t e s b y b a c k i n g - o u t t h e r e l e v a n t r e c o v e r y r a - o f - s a m p l e r e c o v e r y r a t e s a r e c o m p u t e d ( e a c h h t r t w ( ) = (cid:3) + (cid:3) ( ) . T h e e s t i m a t e s o f (cid:3) , (cid:3) , 0 1 0 1 0 t - 1 . R e p o r t e d i s t h e a v e r a g e , t h e s t a n d a r d d e a t e . T h e r e s p e c t i v e a v e r a g e s a c r o s s a l l 2 5 (cid:12) r m s (cid:2) y u w u F s u m e s t h a t d o l l a r r e c o v e r y , y , i s ( ) = ( ) (cid:2) B u ; T F ( ) . T h e e s t i m a t i o n m e t h o d o l o g y i s a D e l t a E n r o n F e d e x K - M a r t W F a e a n 0 . 4 4 0 0 . 5 0 5 0 . 5 1 6 0 . 2 5 3 0 d . 0 . 1 5 6 0 . 0 4 8 0 . 0 9 7 0 . 1 2 4 0 a x . 0 . 8 9 3 0 . 7 3 3 0 . 8 6 2 0 . 5 3 8 0 i n . 0 . 1 5 0 0 . 4 7 6 0 . 4 7 6 0 . 1 5 0 0 e a n 0 . 5 8 5 0 . 6 3 4 0 . 5 9 1 0 . 5 9 5 0 d . 0 . 2 3 9 0 . 1 8 4 0 . 1 8 6 0 . 2 9 7 0 a x . 0 . 9 6 4 0 . 9 6 6 0 . 9 6 1 0 . 9 6 3 0 i n . 0 . 1 4 0 0 . 5 1 2 0 . 1 6 4 0 . 1 4 0 0 3 7 t e p a r a m e t e q u a r t e r ) b y w , a n d a r e 1 v i a t i o n , t h e i s s h o w n u n , w h i l e t h e s d e s c r i b e d e l l s A l l 2 r g o F i r m . 4 8 2 0 . 4 8 . 0 1 9 0 . 1 0 . 5 0 0 0 . 6 2 . 4 0 5 0 . 2 5 . 5 4 1 0 . 5 6 . 0 8 8 0 . 1 4 . 9 6 0 0 . 6 5 . 5 0 9 0 . 4 8 r s c o t a m d e R T i n 5 s 5 9 9 3 7 8 4 2 f m k a r t r o m t h e p u t i n g e n f r o m x i m u m , \ A l l 2 5 m o d e l a b l e 2 .
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Gurdip Bakshi, Dilip Madan, & and Frank Zhang (2001). Understanding the Role of Recovery in Default Risk Models: Empirical Comarisons and Implied Recovery Rates (FEDS 2001-37). Board of Governors of the Federal Reserve System, Finance and Economics Discussion Series. https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2001-37
@techreport{wtfs_feds_2001_37,
author = {Gurdip Bakshi and Dilip Madan and and Frank Zhang},
title = {Understanding the Role of Recovery in Default Risk Models: Empirical Comarisons and Implied Recovery Rates},
type = {Finance and Economics Discussion Series},
number = {2001-37},
institution = {Board of Governors of the Federal Reserve System},
year = {2001},
url = {https://whenthefedspeaks.com/doc/feds_2001-37},
abstract = {This article presents a framework for modeling defaultable debt under alternative recovery conventions (for a wide class of processes describing recovery rates and default probability). These debt models have the ability to differentiate the impact of recovery rates and default probability, and can be utilized to invert the market expectation of recovery rates implicit in bond prices. Among potential applications, the framework can be used for pricing and hedging credit derivatives that are contingent on the default event and/or recovery levels. Empirical implementation of these models suggests two central findings. First, the recovery concept that specifies recovery as a fraction of the discounted par value has broader empirical support. Second, parametric debt valuation models can provide a useful assessment of recovery rates embedded in bond prices. This article has attempted to model recovery and comprehend their impact on debt values.},
}