Estimated Variance of Seasonally Adjusted Series

T t h h e (cid:3) e E s t i m a t e d V a r i a n c e o f S e a s o n a l l y A d j u s t e d S e r i e s (cid:3) W i l l i a m P . C l e v e l a n d F e b r u a r y 2 0 0 2 K e y w o r d s : s e a s o n a l a d j u s t m e n t , s i g n a l e x t r a c t i o n A b s t r a c t F o r m o d e l - b a s e d s e a s o n a l a d j u s t m e n t , t h e r e a r e e x p l i c i t f o r m u l a s f o r o b t a i n i n g t h e v a r i a n c e o f t h e s e a s o n a l f a c t o r s o r t h e s e a s o n a l l y a d j u s t e d s e r i e s . F o r s e r i e s a d j u s t e d w i t h X - 1 1 o r X - 1 2 , v a r i a n c e e s t i m a t e s a r e g e n e r a l l y b a s e d o n a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f t h e s e a s o n a l a d j u s t m e n t p r o c e d u r e . T h e w o r k o f P f e (cid:11) e r m a n n ( 1 9 9 2 ) e x t e n d s e a r l i e r w o r k b y W o l t e r a n d M o n s e u r . T h i s s t u d y u s e s s i m u l a t e d s e r i e s a n d c o m p a r i s o n s o f a l t e r n a t i v e s e a s o n a l a d j u s t m e n t r e s u l t s f o r a f e w e c o n o m i c s e r i e s t o a s s e s s t h e a c c u r a c y o f v a r i a n c e e s t i m a t e s . P f e (cid:11) e r m a n n ’s m e t h o d g i v e s g o o d r e s u l t s w h e n t h e t r u e s e a s o n a l i s c e n t e r e d a n d f o l l o w s a f a i r l y s m o o t h e v o l u t i o n f r o m y e a r t o y e a r . C o m p a r i s o n s w i t h f o r m u l a - b a s e d c o m p u t a t i o n s a n d e s t i m a t e s f r o m t h e T R A M O - S E A T S p r o g r a m s b y M a r a v a l l a n d G o m e z s h o w t h e l a t t e r c a n g i v e g o o d v a r i a n c e r e s u l t s f o r s e r i e s a d j u s t e d w i t h X - 1 1 e v e n i f t h e s e a s o n a l f a c t o r s t h e m s e l v e s d i (cid:11) e r f r o m X - 1 1 f a c t o r s . I n d u s t r ia l O u t p u t S e c t io n , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d , W a s h in g t o n , D C 2 0 5 5 1 . e - m a il w c le v e la n d @ fr o p in io n s e x p r e s s e d h e r e in a r e t h e a u t h o r ’s a n d d o n o t n e c e s s a r ily r e p r e s e n t t h e B o a r d o f G o v e r n F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m o r it s s t a (cid:11) . 1 b o .g o r s v o . f

1 T c c i ( t a s a v i m e 2 W w s b r w T a a C w a I n t r o d u c t i o n h e q u e s t i o n o f v a r i a n c e s f o r s e a s o n a l l y a d j u s t e d s e r i e s h a s b e e n a d d r e s s e d i n a n u m b e r o f o n t e x t s . I n t h e c a s e o f m o d e l - b a s e d s e a s o n a l a d j u s t m e n t , t h e r e a r e e x p l i c i t f o r m u l a s w h i c h a n b e a p p l i e d . F o r s e r i e s a d j u s t e d w i t h X - 1 1 o r X - 1 2 , t h e d i s c u s s i o n u s u a l l y t a k e s p l a c e n t h e c o n t e x t o f l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s t o t h e X - 1 1 e s t i m a t o r . T h e w o r k o f P f e (cid:11) e r m a n n 1 9 9 2 ) e x t e n d s e a r l i e r v a r i a n c e e s t i m a t e s a d v a n c e d b y W o l t e r a n d M o n s e u r . A n a s s u m p t i o n h a t X - 1 1 p r o d u c e s a n u n b i a s e d e s t i m a t e o f t h e t r u e s e a s o n a l i s r e q u i r e d b y P f e (cid:11) e r m a n n , n d t h e m e t h o d s h o u l d b e u s e d w i t h s e t t i n g s s p e c i (cid:12) e d f o r a u t o c o r r e l a t i o n s i d e n t i (cid:12) e d i n t h e a m p l i n g e r r o r o f t h e o r i g i n a l s e r i e s . T h i s s t u d y u s e s s i m u l a t e d s e r i e s a n d c o m p a r i s o n s o f l t e r n a t i v e s e a s o n a l a d j u s t m e n t r e s u l t s f o r a f e w e c o n o m i c s e r i e s t o a s s e s s t h e a c c u r a c y o f a r i a n c e e s t i m a t e s . P f e (cid:11) e r m a n ’ s m e t h o d g i v e s g o o d r e s u l t s o n l y w h e n t h e t r u e s e a s o n a l s c e n t e r e d a n d f o l l o w s a f a i r l y s m o o t h e v o l u t i o n f r o m y e a r t o y e a r . E s t i m a t e s f r o m h i s e t h o d a r e c o m p a r e d w i t h m o d e l - b a s e d e s t i m a t e s c o m p u t e d d i r e c t l y w i t h f o r m u l a s a n d s t i m a t e s o b t a i n e d f r o m t h e T R A M O - S E A T S p r o g r a m s b y M a r a v a l l a n d G o m e z . M o d e l s f o r S i m u l a t e d S e r i e s e s t a r t w i t h a s t a n d a r d , a d d i t i v e , t h r e e c o m p o n e n t m o d e l f o r a s e a s o n a l s e r i e s , y p s e = + + ( 1 ) t t t t y t p h e r e i s t h e o b s e r v e d s e r i e s i n d e x e d b y m o n t h , i s t h e t r e n d o r t r e n d - c y c l e c o m p o n e n t , t t e i s t h e s e a s o n a l c o m p o n e n t , a n d i s a n o i s e c o m p o n e n t . T h e n o i s e i s a s s u m e d t o t t e u n c o r r e l a t e d u n l e s s o t h e r w i s e i n d i c a t e d . E a c h o f t h e s e c o m p o n e n t s h a s a n A R I M A e p r e s e n t a t i o n . B T h e t r e n d c o m p o n e n t w i l l b e s p e c i (cid:12) e d u s i n g t h e l a g o p e r a t o r a s B : B p a ( 1 (cid:0) ) ( 1 (cid:0) 8 ) = ( 2 ) t t h i c h g i v e s t h e h i g h l y a u t o c o r r e l a t e d t r e n d u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h e c o n o m i c t i m e s e r i e s . a h e s h o c k s a r e i i d . t S e v e r a l m o d e l s w i l l p r o d u c e h i g h l y s e a s o n a l s e r i e s . T h r e e w i l l b e u s e d t o i l l u s t r a t e w h i c h r e m o s t a p p r o p r i a t e f o r s t u d y i n g v a r i a n c e s o f s e a s o n a l e s t i m a t o r s . S i n c e e q u a t i o n 1 i s d d i t i v e , a l l s e a s o n a l s i m u l a t i o n s a r e i n i t i a l i z e d u s i n g a s e a s o n a l p a t t e r n w i t h m e a n z e r o . o n s i d e r 1 2 B s b ; ( 1 (cid:0) ) = t t b h e r e i s w h i t e n o i s e . S i m u l a t e d s e r i e s f r o m t h i s m o d e l h a v e a s e a s o n a l w i t h e x p a n d i n g t m p l i t u d e o v e r t i m e . T h e m o d e l 1 2 : B s b ( 1 (cid:0) 9 5 ) = ( 3 ) t t 2

i a s a w h y i y a u s 3 I e o o w i t s t o c i c e I c s u s e d t o g e n e r a t e t h e (cid:12) r s t s e t o f s e r i e s . I t a l s o g i v e s s t r o n g l y s e a s o n a l s e r i e s , b u t t h e y p p r o a c h a n e a r l y c o n s t a n t a m p l i t u d e . S i m u l a t i o n s u s i n g t h i s m o d e l c a n h a v e a s e a o n a l m e a n w h i c h d i (cid:11) e r s s i g n i (cid:12) c a n t l y f r o m z e r o . T h u s , t h e s e a s o n a l g e n e r a t e d m a y d i (cid:11) e r p p r e c i a b l y f r o m e s t i m a t i o n r e s u l t s f r o m X - 1 1 . A c l o s e l y r e l a t e d m o d e l i s 1 1 f (cid:30) B s b ; ( ) = ( 4 ) s t t 2 1 1 1 2 1 1 1 1 f B B B : : B B f B B h e r e ( ) = 1 + + + o r ( 1 (cid:0) ) ( ) = ( 1 (cid:0) ) . T h i s m o d e l d o e s n o t a v e t h e n e a r u n i t r o o t a t f r e q u e n c y z e r o , s o t h e a v e r a g e o f t h e s e a s o n a l p a t t e r n o v e r a 1 2 (cid:30) : (cid:30) e a r r e m a i n s n e a r z e r o . I n s i m u l a t i o n s , a v a l u e = 9 9 5 7 3 5 w a s u s e d , s o t h a t = . 9 5 . s s F i n a l l y , t h e s e a s o n a l m o d e l 1 2 2 1 1 (cid:30) B f (cid:30) B s b ( 1 (cid:0) ) ( ) = ( 5 ) s s t t s l i k e e q u a t i o n 4 , b u t h a s s m o o t h e r , m o r e a u t o c o r r e l a t e d t r a n s i t i o n s i n t h e s e a s o n a l f r o m 2 (cid:30) e a r t o y e a r . A v a l u e o f . 6 6 6 6 w a s u s e d f o r . T h e m e a s u r e s a c f 1 2 w i l l i n d i c a t e t h e s (cid:0) 1 2 s s u t o c o r r e l a t i o n s a t l a g 1 2 o f ( (cid:0) ) . t t T h e n o i s e m o d e l i n a l l c a s e s w i l l b e s i m p l y e e = ( 6 ) t t n t i l w e h a v e n e e d f o r m o r e s t r u c t u r e . S i m u l a t e d s e r i e s w e r e g e n e r a t e d w i t h F A M E o f t w a r e u s i n g 3 , 4 , a n d 5 a s t h e s e a s o n a l p a r t s o f t i m e s e r i e s m o d e l s . S e r i e s D e s c r i p t o r s n o r d e r t o c h a r a c t e r i z e t h e s e r i e s r e a l i z e d u s i n g t h e d i (cid:11) e r e n t m o d e l s a n d r e l a t e t h e m t o a c h o t h e r , s o m e b a s i c m e a s u r e s a r e r e q u i r e d . T h e a v e r a g e v a l u e s o f a s e a s o n a l p a t t e r n a r e b t a i n e d f r o m a 2 x 1 2 m o v i n g a v e r a g e (cid:12) l t e r , a s i n X - 1 1 . T h e m e a n o f t h e a b s o l u t e v a l u e s f t h e a v e r a g e d s e a s o n a l p a t t e r n s f o r a s e t o f s e r i e s w i l l b e c a l l e d s c e n t e r , t h e d e g r e e t o h i c h t h e s i m u l a t e d s e a s o n a l p a t t e r n s a r e c e n t e r e d o n z e r o . S i n c e X - 1 1 r o u t i n e l y c e n t e r s t s s e a s o n a l e s t i m a t e , o n e c a n n o t e x p e c t s m a l l d e v i a t i o n s o f t h e s e a s o n a l e s t i m a t e s f r o m h e t r u e s e a s o n a l u n l e s s t h e t r u e s e a s o n a l i s a l s o c e n t e r e d . T h e a m p l i t u d e o f t h e s i m u l a t e d e a s o n a l w i l l b e m e a s u r e d b y i t s v a r i a n c e o v e r a n u m b e r o f c o m p l e t e y e a r s , s v a r . I n o r d e r o h a v e c o m p a r a b l e r e s u l t s f r o m t h e t h r e e m o d e l s , t h e t r e n d m o d e l a n d t h e e x p e c t e d v a l u e f s v a r a r e k e p t t h e s a m e f o r a l l s i m u l a t i o n s . T h e r a t e a t w h i c h t h e s e a s o n a l p a t t e r n (cid:0) 1 2 s s h a n g e s i s m e a s u r e d b y t h e v a r i a n c e o f (cid:0) , s d v a r . t t 2 m e a n s s T h e f u n d a m e n t a l m e a s u r e o f t h e a c c u r a c y o f t h e s e a s o n a l e s t i m a t e w i l l b e ( (cid:0) ^ ) , t t t s m e a n s q u a r e d e r r o r c a l l e d h e r e s m s e . T h e l o w e r l i m i t o f t h i s m e a s u r e i s a (cid:11) e c t e d b y t h e h a r a c t e r o f s e a s o n a l e s t i m a t o r s r e l a t i v e t o t h e t r u e s e a s o n a l . I t w i l l b e s m a l l e r w h e n t h e s t i m a t o r h a s a c l o s e r e l a t i o n s h i p t o t h e d a t a g e n e r a t i o n p r o c e s s e s f o r t h e s e r i e s c o m p o n e n t s . n p r a c t i c e , t h e s e a s o n a l d a t a g e n e r a t i o n p r o c e s s c a n o n l y b e k n o w n t o t h e e x t e n t t h a t i t i s o n s i s t e n t w i t h t h e o b s e r v e d s e r i e s . B o t h t h e c o n t r i b u t i o n s o f t h e f u n d a m e n t a l v a r i a n c e i n 3

t e b s s s t r a r s a 4 M g i S p m h e s e a s o n a l e s t i m a t o r a n d t h e u n d e r l y i n g m i s s p e c i (cid:12) c a t i o n o f t h e s e a s o n a l c o m p o n e n t i n t h e s t i m a t o r a r e i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e o v e r a l l m e a n s q u a r e d e r r o r . W h e t h e r u s i n g m o d e l a s e d e s t i m a t o r s o r X - 1 1 , t h e e s t i m a t o r i s s o m e f o r m o f m o v i n g a v e r a g e o f t h e o b s e r v e d e r i e s . T h e e s t i m a t e s o b t a i n e d m a y h a v e s m o o t h e r , m o r e a u t o c o r r e l a t e d c h a n g e s i n t h e e a s o n a l f o r a g i v e n m o n t h t h a n w e r e p r e s e n t i n t h e t r u e s e a s o n a l . T h i s s t u d y s u g g e s t s m o o t h c h a n g e s i n t h e t r u e s e a s o n a l m u s t b e a s s u m e d f o r P f e (cid:11) e r m a n n ’ s v a r i a n c e e s t i m a t e s o b e a c c u r a t e . T h e b i a s m e a s u r e s b i a s m e a n a b s m e a n s s = ( ( ( (cid:0) ^ ) ) ) it it t i e (cid:13) e c t s b o t h w h e t h e r t h e t r u e s e a s o n a l a n d i t s e s t i m a t e h a v e t h e s a m e a v e r a g e v a l u e , i n d t h e a b i l i t y o f t h e e s t i m a t o r t o f o l l o w t h e c h a n g e s i n t h e t r u e s e a s o n a l . T h e i n d e x s s u n s o v e r t h e n u m b e r o f s i m u l a t e d s e r i e s . O n e w o u l d e x p e c t t h e m e a n o f ( (cid:0) ^ ) , t h e it it t e a s o n a l e s t i m a t e e r r o r s f o r e a c h , t o a p p r o a c h z e r o f o r a h i g h e r n u m b e r o f s i m u l a t i o n s i f n e s t i m a t o r i s c a p a b l e o f r e p l i c a t i n g t h e t r u e s e a s o n a l . V a r i a n c e s o d e l - b a s e d a n a l y s i s b e g i n s w i t h t h e t w o - c o m p o n e n t d e c o m p o s i t i o n y n s ; = + ( 7 ) t t t w h e r e n p e : = + ( 8 ) t t t T h e v a r i a n c e o f t h e s e a s o n a l c o m p o n e n t e s t i m a t e o f t h e s e a s o n a l l y a d j u s t e d s e r i e s i s i v e n i n C l e v e l a n d a n d T i a o ( 1 9 7 6 ) a s (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) 1 1 : (cid:6) + (cid:6) ( 9 ) (cid:2) (cid:3) s n T h e e s t i m a t o r f o r t h e s e a s o n a l c o m p o n e n t i s (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 E s y y [ j ] = (cid:6) + (cid:6) (cid:6) ( 1 0 ) (cid:2) (cid:3) s n n I n t h i s s t u d y b o t h t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f r o m 9 a n d t h e s m s e v a l u e o b t a i n e d b y a p p l y n g 1 0 t o t h e s i m u l a t e d s e r i e s a r e p r e s e n t e d , u s i n g c o m p u t a t i o n s p e r f o r m e d i n S A S I M L . A S c o m p u t a t i o n s w e r e d o n e u s i n g m a t r i c e s o f d i m e n s i o n 1 1 y e a r s . T h e T R A M O - S E A T S r o g r a m s m a y a l s o b e u s e d t o g i v e a v a r i a n c e e s t i m a t e l i k e 9 . H o w e v e r , t h e s e p r o g r a m s o d e l t h e o b s e r v e d s e r i e s d i r e c t l y a n d t h e n c o m p u t e i m p l i e d c o m p o n e n t m o d e l s . T h i s 4

p t f a b s 5 A T (cid:27) m 0 m c s s a e v w g s t w m e s c u u r o c e s s w i l l n o t g e n e r a l l y l e a d t o t h e s a m e m o d e l s u s e d i n t h e s i m u l a t i o n s . I t t u r n s o u t h a t t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s f r o m S E A T S f r e q u e n t l y a g r e e q u i t e w e l l w i t h t h o s e o b t a i n e d r o m 9 a n d w i t h t h e s m s e c o m p u t e d u s i n g s e a s o n a l f a c t o r s f r o m S E A T S . T h i s s u g g e s t s t h a t r e a s o n a b l e v a r i a n c e e s t i m a t e f o r a s e r i e s s e a s o n a l l y a d j u s t e d w i t h X - 1 2 m a y b e o b t a i n e d y u s i n g T R A M O - S E A T S o n t h e s a m e s e r i e s , e v e n i f t h e a d j u s t m e n t s a r e n o t q u i t e t h e a m e . R e s u l t s 2 (cid:27) = . 0 3 6 . M o d e l s 1 - 3 i n l l t h r e e m o d e l s p e c i (cid:12) c a t i o n s u s e d e q u a t i o n 2 f o r t h e t r e n d w i t h a a b l e 1 u s e t h e s e a s o n a l m o d e l s i n e q u a t i o n s 3 t o 5 , r e s p e c t i v e l y . T h e n o i s e v a r i a n c e s f o r 2 w e r e . 1 , . 0 5 , a n d . 0 0 6 4 . E x p a n d i n g t h e c o v a r i a n c e g e n e r a t i n g f u n c t i o n s f o r t h e s e a s o n a l b s e o d e l s g i v e s a v a r i a n c e o f 1 f o r i n e a c h c a s e . F o r t h e m o d e l s 2 a a n d 3 a , h a d v a r i a n c e t t e e . 3 , w h i l e h a d v a r i a n c e 0 . 1 f o r m o d e l s 2 b a n d 3 b . F o r m o d e l 3 c , h a d a n M A ( 1 ) t t o d e l w i t h v a r i a n c e . 3 a n d c o v a r i a n c e . 1 5 . S i x t e e n s e r i e s w e r e s i m u l a t e d f o r e a c h m o d e l o n d i t i o n . N e w n o i s e t e r m s w e r e u s e d f o r a l l t h r e e c o m p o n e n t s i n e a c h s i m u l a t i o n . W h i l e i x t e e n i s n o t e n o u g h t o a c h i e v e a s y m p t o t i c r e s u l t s , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e m e a s u r e s h o w e d t h i s t o b e e n o u g h t o m a k e t h e d e s i r e d d i s t i n c t i o n s . T h e n u m b e r s i n p a r e n t h e s e s r e t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e 1 6 m e a n s q u a r e e s t i m a t e s ( s m s e ) o b t a i n e d . M o s t o f t h e n t r i e s i n t h e l e f t c o l u m n o f T a b l e 1 h a v e b e e n d e (cid:12) n e d . T h e e n t r y \ v a r m o d " i s t h e c e n t r a l a l u e f r o m e q u a t i o n 9 , w h i l e \ s m s e m o d " r e f e r s t o t h e r e s u l t s o f e q u a t i o n 1 0 c o m p a r e d i t h t h e t r u e s e a s o n a l . S i m i l a r l y , \ v a r S E A T S " i s t h e a v e r a g e o f t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s i v e n b y t h e S E A T S p r o g r a m , a n d \ s m s e S E A T S " i s t h e a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r o f t h e e a s o n a l e s t i m a t e s c o m p u t e d b y t h e T R A M O - S E A T S p r o g r a m s . S e r i e s w e r e s i m u l a t e d f o r h e p e r i o d 1 9 7 0 t h r o u g h 1 9 9 9 , a n d s e a s o n a l a d j u s t m e n t r u n s i n X - 1 2 a n d T r a m o - S E A T S e r e f r o m 1 9 7 7 t h r o u g h 1 9 9 6 . O n l y t h e v a l u e s f r o m 1 9 8 2 t h r o u g h 1 9 9 3 w e r e u s e d f o r s e c o m p u t a t i o n s t o c o r r e s p o n d w i t h t h e m o d e l - b a s e d c a l c u l a t i o n s c a r r i e d o u t i n S A S a n d l i m i n a t e e n d e (cid:11) e c t s . O f c o u r s e , v a r i a n c e s a r e l a r g e r a t t h e e n d o f a s e a s o n a l l y a d j u s t e d e r i e s . C o m p u t a t i o n s o f v a r i a n c e e s t i m a t e s u s i n g P f e (cid:11) e r m a n n ’ s p r o c e d u r e a s s u m e d a o r r e l a t i o n a t l a g 1 f o r t h e s a m p l i n g e r r o r . T h i s w o u l d g e n e r a l l y r a i s e t h e e s t i m a t e o v e r s i n g l a g 0 a n d t h i s a s s u m p t i o n m i g h t b e u s e d a s a p r e c a u t i o n w h e r e t h e c o r r e l a t i o n s a r e n k n o w n . 5

i a u a a (cid:12) c P M m 2 m e m T a b l e 1 : S i m u l a t i o n R e s u l t s M o d e l 1 M o d e l 2 a M o d e l 3 a M o d e l 2 b M o d e l 3 b M o d e l 3 c s c e n t e r . 2 0 1 . 0 1 1 . 0 0 7 . 0 1 1 . 0 0 7 . 0 0 8 s b i a s . 0 8 4 . 0 6 1 . 0 3 9 . 0 5 5 . 0 3 0 . 0 4 0 s v a r . 8 9 9 1 . 0 0 7 . 9 5 3 1 . 0 0 7 . 9 5 3 . 9 4 8 s d v a r . 1 0 7 . 1 0 9 . 0 2 3 . 1 0 9 . 0 2 3 . 0 2 3 s a c f 1 2 - . 0 1 6 - . 0 1 8 . 5 4 5 - . 0 1 8 . 5 4 5 . 5 4 5 v a r P f e f . 0 6 4 . 0 6 3 . 0 5 3 . 0 3 1 . 0 2 1 . 0 5 8 ( . 0 1 1 ) ( . 0 0 9 ) ( . 0 0 8 ) ( . 0 0 3 ) ( . 0 0 3 ) ( . 0 1 0 ) s m s e X - 1 2 . 1 6 6 . 1 0 0 . 0 6 0 . 0 7 2 . 0 3 2 . 0 6 5 ( . 0 7 0 ) ( . 0 1 8 ) ( . 0 1 9 ) ( . 0 1 1 ) ( . 0 0 9 ) ( . 0 2 5 ) v a r m o d . 1 7 6 . 0 8 1 . 0 4 9 . 0 4 8 . 0 2 7 . 0 5 5 s m s e m o d . 1 5 8 . 0 8 3 . 0 5 3 . 0 4 8 . 0 2 9 . 0 5 9 ( . 0 6 7 ) ( . 0 1 8 ) ( . 0 1 9 ) ( . 0 1 0 ) ( . 0 1 1 ) ( . 0 2 3 ) v a r S E A T S . 1 0 0 . 1 1 0 . 0 8 8 . 0 8 2 . 0 7 3 . 0 8 4 ( . 0 1 2 ) ( . 0 2 1 ) ( . 0 1 6 ) ( . 0 2 3 ) ( . 0 2 2 ) ( . 0 1 6 ) s m s e S E A T S . 1 7 1 . 0 9 8 . 0 5 7 . 0 7 3 . 0 4 5 . 0 9 0 ( . 0 7 1 ) ( . 0 2 1 ) ( . 0 1 9 ) ( . 0 2 2 ) ( . 0 1 8 ) ( . 0 5 4 ) N o t e s : s c e n t e r m e a n m e a n a b s m a v e s ; s b i a s m e a n a b s m e a n s s = ( ( ( 1 2 ( ) ) ) ) = ( ( ( (cid:0) ^ ) ) ) it it it t t t i i (cid:0) 1 2 s v a r m e a n v a r s ; s d v a r m e a n v a r s s = ( ( ) ) = ( ( (cid:0) ) ) it it i;t i i (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 2 4 s a c f m e a n c o r s s ; s s 1 2 = ( ( (cid:0) (cid:0) ) ) it i;t i;t i;t i s m s e s m e a n m s e s s ( ^ ) = ( ( ^ (cid:0) ) ) it it it i A s e x p e c t e d , t h e m e a s u r e s c e n t e r i s r e l a t i v e l y l a r g e f o r M o d e l 1 , w h e r e t h e t r u e s e a s o n a l s n o t c e n t e r e d . T h e l a r g e s m s e v a l u e s f o r t h e t h r e e e s t i m a t e s o f t h e s e a s o n a l p a t t e r n l s o r e (cid:13) e c t t h e n o t - c e n t e r e d t r u e s e a s o n a l . O f c o u r s e t h e v a r i a n c e e s t i m a t e d b y S E A T S n d e r M o d e l 1 i s a s m a l l v a l u e l i k e t h a t o f P f e (cid:11) e r m a n n , r e (cid:13) e c t i n g t h e c e n t e r e d s e a s o n a l s s u m p t i o n b y b o t h . N o t e t h a t t h e " v a r m o d " c a l c u l a t i o n f r o m e q u a t i o n 9 i s c l o s e t o t h e c t u a l s m s e . M o r e g e n e r a l l y , t h e " s m s e m o d " v a l u e s f r o m e q u a t i o n 1 0 u s i n g t h e o p t i m a l l t e r s a r e c o n s i s t e n t l y s m a l l e s t a n d a g r e e w e l l w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a r i a n c e f r o m t h e S A S a l c u l a t i o n s , a s t h e y s h o u l d . T h e m o s t i m p o r t a n t (cid:12) n d i n g i n t h i s t a b l e i s t h e r e l a t i v e l y s m a l l v a r i a n c e e s t i m a t e b y f e (cid:11) e r m a n n ’ s m e t h o d i n M o d e l 2 . O n l y w i t h t h e a u t o c o r r e l a t e d s e a s o n a l c h a n g e s o f o d e l 3 d o h i s v a r i a n c e e s t i m a t e s h a v e g o o d c o r r e s p o n d e n c e t o t h e s m s e o f t h e X - 1 2 e t h o d . W h e t h e r t r u e s e a s o n a l s i n a c t u a l e c o n o m i c s e r i e s a r e m o r e l i k e t h o s e o f m o d e l o r m o d e l 3 i s a m a t t e r o f o p i n i o n . T h e e s t i m a t e d s e a s o n a l v a r i a n c e f r o m P f e (cid:11) e r m a n n ’ s e t h o d f o r M o d e l 3 c w i t h a n M A 1 e r r o r i s q u i t e g o o d , r e s p o n d i n g w e l l t o t h e c o r r e l a t e d r r o r . T h e v a r i a n c e e s t i m a t e s p r o d u c e d b y S E A T S a r e g o o d f o r M o d e l 2 , b u t h i g h f o r o d e l s 3 b a n d 3 c . T h e t r u e v a r i a n c e o f t h e s e a s o n a l e s t i m a t e i s l i k e l y t o l i e b e t w e e n 6

P a X e a t 6 T a m t t a t t e g l t l T c a p w i o p f v d t e i w r t (cid:11) e r m a n n ’ s e s t i m a t e a n d t h a t o f S E A T S . M o d e l 3 b i s c l o s e t o m o d e l s w h i c h h a v e b e e n d v a n c e d a s h a v i n g e s t i m a t o r s c l o s e t o t h e d e f a u l t l i n e a r X - 1 1 e s t i m a t o r . T h e s m s e f r o m - 1 2 i s s m a l l e s t f o r t h i s m o d e l a n d n o t f a r f r o m t h e P f e (cid:11) e r m a n n v a r i a n c e e s t i m a t e . T h i s r e s u l t m a y n o t b e s t r o n g e n o u g h f o r a s t a t i s t i c a l a g e n c y u s i n g X - 1 2 t o p u b l i s h i t h e r t h e P f e (cid:11) e r m a n n o r t h e S E A T S v a r i a n c e e s t i m a t e a s t h e v a r i a n c e o f t h e s e a s o n a l l y d j u s t e d s e r i e s , b u t i t g i v e s t h e d a t a a n a l y s t a n i d e a o f h o w s e n s i t i v e d e c i s i o n s s h o u l d b e o a p a r t i c u l a r s e a s o n a l a d j u s t m e n t . A n a l y s i s o f S e l e c t e d S e r i e s o g e t a f e e l i n g f o r t h e i m p l i c a t i o n s o f e s t i m a t e d s e a s o n a l f a c t o r v a r i a n c e s f o r s e a s o n a l l y d j u s t e d e c o n o m i c s e r i e s , (cid:12) v e a g g r e g a t e s e r i e s w e r e a n a l y z e d , w i t h t h e r e s u l t s i n T a b l e 2 . A s e a s u r e d b y t h e v a r i a t i o n i n t h e s e a s o n a l c o m p a r e d t o t h e v a r i a t i o n i n t h e X - 1 2 i r r e g u l a r , h e s e a s o n a l p a t t e r n s r a n g e f r o m s t r o n g t o f a i r l y m i l d . I n g e n e r a l , t h e a g e n c i e s p u b l i s h i n g h e s e s e r i e s d o n o t a d j u s t t h e m a s a g g r e g a t e s b u t a s a s u m o f a d j u s t e d c o m p o n e n t s , s o t h e n a l y s e s h e r e d o n o t c o r r e s p o n d t o t h e s e a s o n a l a d j u s t m e n t p r o c e d u r e s u s e d . H o w e v e r , h e s e a s o n a l l y a d j u s t e d s e r i e s o b t a i n e d h e r e u s i n g T r a m o - S E A T S a n d X - 1 2 a r e a s c l o s e o t h e p u b l i s h e d o n e s a s t h e y a r e t o e a c h o t h e r , g i v i n g s o m e a s s u r a n c e t h a t t h e v a r i a n c e s t i m a t e s a r e r e a s o n a b l e . I n s o m e s i t u a t i o n s t h e r e a l f o c u s o f a t t e n t i o n i s o n m o n t h l y r o w t h r a t e s o r r a t i o s . V a r i a n c e s o f l o g d i (cid:11) e r e n c e s d e p e n d o n t h e c o r r e l a t i o n o f a d j a c e n t o g l e v e l e s t i m a t e s . I f t h i s c o r r e l a t i o n i s . 5 , t h e n t h e l e v e l a n d g r o w t h r a t e v a r i a n c e s a r e h e s a m e . R e s u l t s c o n t a i n e d i n t h e o u t p u t o f t h e S E A T S p r o g r a m s u g g e s t c o r r e l a t i o n s a t e a s t t h i s h i g h . E n t r i e s i n t h e t a b l e a r e 1 0 0 t i m e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f l o g m e a s u r e s . h e y c a n b e i n t e r p r e t e d a s o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f p e r c e n t e r r o r i n l e v e l o r ( a s s u m i n g . 5 o r r e l a t i o n o f a d j a c e n t e r r o r s ) g r o w t h r a t e . E s t i m a t e s o f t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e s e a s o n a l f a c t o r s f r o m P f e (cid:11) e r m a n n ’ s m e t h o d n d f r o m S E A T S a r e g i v e n i n t h e t h i r d a n d f o u r t h r o w s o f t h e t a b l e . T h e y t r a c k e a c h o t h e r r e t t y w e l l . F o r t h e C P I a n d M 2 s e r i e s , t h e s e d e v i a t i o n s a r e r e l a t i v e l y l a r g e c o m p a r e d i t h t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e s e a s o n a l p a t t e r n . T h e s e s e r i e s a l s o h a v e t h e m o s t n o i s e n r e l a t i o n t o t h e s e a s o n a l p a t t e r n . A s a n a d d i t i o n a l b e n c h m a r k , t h e r o o t m e a n s q u a r e f t h e d i (cid:11) e r e n c e s ( R M S D ) b e t w e e n t h e t w o e s t i m a t e d s e a s o n a l p a t t e r n s f o r e a c h s e r i e s a r e r e s e n t e d i n r o w 5 . T h e s e v a l u e s c o m p a r e f a i r l y c l o s e l y w i t h t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e a c t o r e s t i m a t e s , t h o u g h s o m e w h a t s m a l l e r f o r C P I a n d M 2 w h e r e t h e s e a s o n a l s h a v e l e s s a r i a t i o n . T o c h e c k o u t t h e i m p a c t o n g r o w t h r a t e s i m p l i e d b y t h e s e n u m b e r s , s t a n d a r d e v i a t i o n s o f m o n t h - t o - m o n t h r a t i o s o f t h e s e a s o n a l l y a d j u s t e d s e r i e s w e r e c o m p u t e d . I f h e s e a r e l a r g e c o m p a r e d t o t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e s e a s o n a l f a c t o r e s t i m a t e s , t h e n r r o r s i n t h e s e a s o n a l f a c t o r s w o u l d n o t d i s t o r t g r o w t h r a t e s m u c h . T h e r a t i o s o f t h e v a l u e s n t h e l a s t r o w t o t h o s e i n t h e t h i r d r o w a r e a b o u t 3 . 5 , e x c e p t a 4 . 5 f o r C P I . U s i n g a m o d e l ^ s h e r e t h e v a r i a n c e o f i s a c o m p o n e n t o f t h e v a r i a n c e o f t h e e s t i m a t e d s e a s o n a l l y a d j u s t e d a t i o s , a r a t i o o f 3 . 5 i m p l i e s t h e c o r r e c t s i g n f o r t h e t r u e g r o w t h r a t e a b o u t 9 5 p e r c e n t o f h e t i m e . 7

t p S e t T a b l e 2 : E s t i m a t e d V a r i a n c e s f o r S e l e c t e d S e r i e s I P R e t a i l C P I L a b o r M 2 ^ s S t . D e v 1 . 5 0 7 . 9 1 0 . 1 5 1 . 0 7 0 . 2 9 ^ I S t . D e v . 3 7 1 . 2 5 . 1 0 . 1 4 . 1 7 S t . D e v . P f e (cid:11) . 2 2 . 6 4 . 0 7 . 0 8 . 1 0 S t . D e v . S E A T S . 2 7 . 5 5 . 0 8 . 0 8 . 1 3 R M S D . 3 4 . 8 4 . 0 4 . 0 7 . 0 5 S t . D e v . S A R . 7 4 2 . 1 2 . 3 2 . 2 7 . 3 6 N o t e s t o t h e t a b l e : I P = I n d u s t r i a l P r o d u c t i o n i n d e x , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d R e t a i l = R e t a i l S a l e s , C o m m e r c e D e p a r t m e n t C P I = C o n s u m e r P r i c e I n d e x ( a l l u r b a n , a l l i t e m s ) , L a b o r D e p a r L a b o r = C i v i l i a n L a b o r F o r c e , L a b o r D e p a r t m e n t M 2 = M 2 I n d e x o f M o n e y S u p p l y , F e d e r a l R e s e r v e B o a r d ^ s S t . D e v = s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e e s t i m a t e d s e a s o n a l p a t t e r n i n l o h e s e a s o n a l p a t t e r n ) ^ I S t . D e v = s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e X - 1 2 i r r e g u l a r i n l o g s S t . D e v . P f e (cid:11) = s e a s o n a l f a c t o r s t a n d a r d d e v i a t i o n e s t i m a t e s f r o m P e (cid:11) e r c e n t S t . D e v . S E A T S = s e a s o n a l f a c t o r s t a n d a r d d e v i a t i o n e s t i m a t e s f r o E A T S p r o g r a m , p e r c e n t R M S D = r o o t m e a n s q u a r e o f t h e d i (cid:11) e r e n c e b e t w e e n t h e T r a m o - S s t i m a t e s o f t h e s e a s o n a l f a c t o r s S t . D e v . S A R = 1 0 0 t i m e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e s e a s o n a l l y o - m o n t h r a t i o s . 8 t m g s e r m m E A a d e n t ( a m a n t h e T S j u s t ’ e p s T a d l i t u m e R A n d m d t h M X o n e o o d O - 1 t h f , - 2 -

1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . B J B e B t B R B s C e U C m 5 D t G D H a P s S c C W f S P R E F E R E N C E S e l l , W . R . , a n d H i l l m e r , S . C . ( 1 9 8 3 ) , " M o d e l i n g t i m e s e r i e s w i t h c a l e n d a r v a r i a t i o n , " o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 7 8 , 5 2 6 - 5 3 4 . e l l , W . R . , a n d H i l l m e r , S . C . ( 1 9 8 4 ) , " I s s e s i n v o l v e d w i t h s e a s o n a l a d j u s t m e n t o f c o n o m i c t i m e s e r i e s , " , J o u r n a l o f B u s i n e s s a n d E c o n o m i c S t a t i s t i c s , 2 , 2 9 1 - 3 4 9 . o x , G . E . P . , a n d J e n k i n s , G . M . ( 1 9 7 0 ) , T i m e S e r i e s A n a l y s i s : F o r e c a s t i n g a n d C o n r o l , H o l d e n D a y : S a n F r a n c i s c o . u r m a n , J . P . ( 1 9 8 0 ) . " S e a s o n a l a d j u s t m e n t b y s i g n a l e x t r a c t i o n , " J o u r n a l o f t h e o y a l S t a t i s t i c a l S o c i e t y , S e r i e s A , 1 4 3 , 3 2 1 - 3 3 7 . u r r i d g e , P . a n d W a l l i s , K . F . ( 1 9 8 5 ) . " C a l c u a l t i n g t h e v a r i a n c e o f s e a s o n a l l y a d j u s t e d e r i e s , " J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 8 0 , 5 4 1 - 5 2 . l e v e l a n d , W . P . a n d G r u p e , M . R . ( 1 9 8 3 ) . " M o d e l i n g t i m e s e r i e s w h e n c a l e n d a r (cid:11) e c t s a r e p r e s e n t , " A p p l i e d T i m e s S e r i e s A n a l y s i s o f E c o n o m i c D a t a , e d . A . Z e l l n e r , . S . D e p a r t m e n t o f C o m m e r c e , W a s h i n g t o n , D . C . , 5 7 - 6 7 . l e v e l a n d , W . P . a n d T i a o , G . C . ( 1 9 7 6 ) . " D e c o m p o s i t i o n o f s e a s o n a l t i m e s e r i e s : a o d e l f o r t h e X - 1 1 p r o g r a m , " J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 7 1 , 8 1 - 8 7 . a g u m , E s t e l a B e e ( 1 9 8 0 ) . T h e X - 1 1 - A R I M A S e a s o n a l A d j u s t m e n t M e t h o d , S t a t i s i c s C a n a d a , O t t a w a . o m e z , V . a n d M a r a v a l l A . ( 1 9 9 6 ) . P r o g r a m s T r a m o a n d S e a t s , B a n c o d e E s p a n a , o c u m e n t o d e T r a b a h o 9 6 2 8 . i l l m e r , S . C . a n d T i a o , G . C . ( 1 9 8 2 ) . " A n A R I M A m o d e l - b a s e d a p p r o a c h t o s e a s o n a l d j u s t m e n t , " J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 7 7 , 6 3 - 7 0 . f e (cid:11) e r m a n n , D . ( 1 9 9 4 ) . " A g e n e r a l m e t h o d f o r e s t i m a t i n g t h e v a r i a n c e o f X - 1 1 e a s o n a l l y a d j u s t e d e s t i m a t o r s , " J o u r n a l o f T i m e S e r i e s A n a l y s i s , 1 5 , 8 5 - 1 1 6 . h i s k i n , J . , Y o u n g , A l a n H . , a n d M u s g r a v e , J . C . ( 1 9 6 7 ) . " T h e X - 1 1 v a r i a n t o f t h e e n s u s m e t h o d I I s e a s o n a l a d j u s t m e n t p r o g r a m , " T e c h n i c a l P a p e r 1 5 , B u r e a u o f t h e e n s u s , W a s h i n g t o n , D . C . o l t e r , K . M . a n d M o n s o u r , N . J . ( 1 9 8 1 ) . " O n t h e p r o b l e m o f v a r i a n c e e s t i m a t i o n o r a d e s e a s o n a l i z e d s e r i e s , " i n C u r r e n t T o p i c s i n S u r v e y S a m p l i n g : A n I n t e r n a t i o n a l y m p o s i u m ( e d s . D . K r e w s k i , R . P l a t e k a n d J . N . K . R a o ) , N e w Y o r k : A c a d e m i c r e s s , 3 6 7 - 4 0 3 . 9