Tradeoffs between Inflation and Output-Gap Variances in an Optimizing-Agent Model

Board of Governors of the Federal Reserve System International Finance Discussion Papers Number 627 October 1998 TRADEOFFS BETWEEN INFLATION AND OUTPUT-GAP VARIANCES IN AN OPTIMIZING-AGENT MODEL Christopher J. Erceg, Dale W. Henderson, Andrew T. Levin NOTE: International Finance Discussion Papers are preliminary materials circulated to stimulate discussion and critical comment. References in publications to International Finance Discussion Papers (other than an acknowledgment that the writer has had access to unpublished material) should be cleared with the author or authors. Recent IFDPs are available on the Web at www.bog.frb.fed.us.

TRADEOFFS BETWEEN INFLATION AND OUTPUT-GAP VARIANCES IN AN OPTIMIZING-AGENT MODEL Christopher J. Erceg, Dale W. Henderson, Andrew T. Levin* Abstract: We demonstrate the existence of a monetary policy tradeoff between price-inflation variability and output-gap variability in an optimizing-agent model with staggered nominal wage and price contracts. This variance tradeoff is absent only in the special case in which prices are sticky and wages are perfectly flexible. When the model is calibrated to exhibit an empirically reasonable degree of nominal wage inertia, strict inflation targeting induces substantial output-gap volatility. Keywords: monetary policy frontier, inflation targeting, sticky wages, sticky prices, staggered contracts, determinacy. * All three authors are economists in the International Finance Division of the Federal Reserve Board. Earlier versions were presented at the Federal Reserve Board, the Swedish National Bank - Institute for International Economic Studies (IIES) Conference on Monetary Policy Rules, the meetings of the Western Economic Association, and the Federal Reserve Bank of Chicago. The authors would like to thank Stefan Gerlach, their discussant at the Swedish National Bank -IIES Conference, for helpful comments; John Taylor and Michael Woodford for useful discussions; and Carolina Marquez for valuable research assistance. The views in this paper are solely the responsibility of the authors and should not be interpreted as reflecting the views of the Board of Governors of the Federal Reserve System or of any other person associated with the Federal Reserve System. The email addresses of the authors are ercegc@frb.gov, hendersd@frb.gov, and levina@frb.gov, respectively.

4 Lqwurgxfwlrq Iru dw ohdvw wzr ghfdghv/ hfrqrplvwv kdyh lqyhvwljdwhg wkh prqhwdu| srolf| wudghr(cid:30) ehwzhhq sulfh lq dwlrq yduldelolw| dqg rxwsxw jds yduldelolw|/ xvlqj d zlgh ydulhw| ri wkhruhwlfdo dqg hpslulfdo prghov14 Krzhyhu/ wkh h{lvwhqfh ri d yduldqfh wudghr(cid:30) kdv ehhq fdoohg lqwr txhvwlrq lq uhfhqw dqdo|vlv ri g|qdplf jhqhudo htxloleulxp prghov zlwkrswlpl}lqjdjhqwv/vwdjjhuhgsulfhvhwwlqj/dqgfrpsohwho| h{leohzdjhv>lqwkhvh prghov/ prqhwdu| srolf| uxohv wkdw nhhs wkh lq dwlrq udwh frqvwdqw dovr plqlpl}h rxwsxw jds yduldelolw|15 Wkxv/ lw lv lpsruwdqw wr ghwhuplqh zkhwkhu wkh devhqfh ri dq rxwsxw0lq dwlrq yduldqfh wudghr(cid:30) lv d jhqhudo lpsolfdwlrq ri prghov zlwk rswlpl}lqj djhqwvrudvshfldol}hguhvxowgxhwrsduwlfxodudvvxpswlrqvderxwwkhirupriqrplqdo lqhuwld16 Lq wklv sdshu/ zh dqdo|}h d g|qdplf jhqhudo htxloleulxp prgho zlwk rswlpl}lqj djhqwv/ lq zklfk erwk zdjhv dqg sulfhv duh ghwhuplqhg e| vwdjjhuhg qrplqdo frq0 wudfwv17 Zkhq qrplqdo zdjhv duh vwlfn|/ zh ghprqvwudwh wkh h{lvwhqfh ri d yduldqfh wudghr(cid:30) ehwzhhq sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds/ uhjdugohvv ri wkh ghjuhh ri sulfh vwlfnlqhvv1 Lqidfw/ wkh yduldqfh wudghr(cid:30) lv devhqw rqo| lqwkh vshfldo fdvh zkhuh sulfhv duh vwlfn| dqg zdjhv duh frpsohwho| h{leoh1 Zkhq wkh prgho lv fdoleudwhg wr h{klelw dq hpslulfdoo| uhdvrqdeoh ghjuhh ri qrplqdo lqhuwld/ vwulfw sulfh lq dwlrq wdujhwlqj lqgxfhv vxevwdqwldo rxwsxw0jds yrodwlolw|1 Ixuwkhupruh/ wkh yduldqfh wudghr(cid:30) lv uhod0 wlyho| dw/ vr wkdw rxwsxw jds yduldelolw| fdq eh gudvwlfdoo| uhgxfhg zlwkrxw lqgxflqj pxfk yduldwlrq lq sulfh lq dwlrq1 Hyhq lq wkh devhqfh ri qrplqdo zdjh lqhuwld/ d sulfh lq dwlrq0rxwsxw jds yduldqfh wudghr(cid:30) fdq eh rewdlqhg e| dgglqj dq dg krf frvw vkrfn wr wkh rswlpdo sulfh vhwwlqj htxdwlrq18 Lq rxu prgho/ krzhyhu/ wkh yduldqfh wudghr(cid:30) dulvhv hqgrjhqrxvo| dv d uhvxow ri vwdjjhuhg qrplqdo zdjh frqwudfwv/ zlwkrxw pdnlqj dq| ghsduwxuhv iurp wkh rswlpl}lqj0djhqw iudphzrun1 Wkh h{sodqdwlrq iru wklv uhvxow lv vwudljkwiruzdug lq wkh vshfldo fdvh zkhuh qrplqdo zdjhv duh vwlfn| dqg sulfhv duh frpsohwho| h{leoh1 Lq wklv fdvh/ wkh htxloleulxp uhdo zdjh pryhv lq uhvsrqvh wr suhihuhqfh dqg whfkqrorj| vkrfnv/ zkloh wkh qrplqdo zdjh rqo| pryhv lq uhvsrqvh wr fkdqjhv lq wkh rxwsxw jds1 Wkxv/ li prqhwdu| srolf| pdlqwdlqv d frqvwdqw sulfh lq dwlrq udwh/ rxwsxw pxvw 4Wkh vhplqdo sdshuv lqfoxgh Skhosv dqg Wd|oru +4<::,/ Wd|oru +4<:<,/ dqg Wd|oru +4<;3,1 Vrph uhfhqwh{dpsohvlqfoxghEu|dqw/Krrshu/dqgPdqq+4<<6,>KhqghuvrqdqgPfNleelq+4<<6,>Whworz dqg yrq }xu Pxhkohq +4<<9,> Zlooldpv +4<<:,> Ohylq/ Zlhodqg/ dqg Zlooldpv +4<<;,> Uxghexvfk dqg Vyhqvvrq +4<<;,1 5NlqjdqgZropdq+4<<;,dqgJrrgiulhqgdqgNlqj+4<<:,dvvxphwkdwsulfhfrqwudfwvduhriwkh Wd|oru +4<;3, w|sh/ zkloh Urwhpehuj dqg Zrrgirug +4<<:, dqg Urwhpehuj dqg Zrrgirug +4<<;, dvvxph wkdw sulfh frqwudfwv duh ri wkh Fdoyr +4<;6, w|sh1 6Ohylq+4<;<,irupxodwhvdqghvwlpdwhvdqrswlpl}lqjdjhqwprghozlwkvwdjjhuhgzdjhfrqwudfwv dqg h{leoh sulfhv dqg (cid:31)qgv wkdw surgxfwlylw| vkrfnv lqgxfh dq rxwsxw0lq dwlrq yduldqfh wudghr(cid:30)1 Pruh uhfhqwo|/ Eodqfkdug +4<<:, kdv rxwolqhg d vlpsoh vwdwlf prgho zlwk suhghwhuplqhg qrplqdo zdjhv wr looxvwudwh frqglwlrqv xqghu zklfk lq dwlrq wdujhwlqj idlov wr vwdelol}h wkh rxwsxw jds1 7Fdoyr +4<;6, vxjjhvwhg wkh wlplqj ihdwxuhv ri wkhvh frqwudfwv/ dqg \xq +4<<9, xvhg vxfk sulfh frqwudfwv lq d vwrfkdvwlf/ rswlpl}lqj0djhqw prgho1 Nroopdqq +4<<:,/ Hufhj +4<<:,/ dqg Nlp +4<<:, pdnh vlplodu dvvxpswlrqv derxw derxw zdjh dqg sulfh ghwhuplqdwlrq1 8Nloh|+4<<;,vkrzv wkdwdgglqjdvkrfnwrdqrswlpdosulfh0vhwwlqjhtxdwlrqriwkh irupghulyhg e|/ h1j1 \xq +4<<9,/ jhqhudwhv dq rxwsxw0jds2sulfh0lq dwlrq wudghr(cid:30)1 4

whpsrudulo| ghyldwh iurp srwhqwldo wr lqgxfh qrplqdo zdjh dgmxvwphqw/ vr wkdw wkh uhdo zdjh fdq pryh wrzdug lwv qhz htxloleulxp ydoxh1 Lq wklv sdshu/ zh irfxv rq d prqhwdu| srolf| iurqwlhu gh(cid:31)qhg lq whupv ri wkh ydul0 dqfhv ri sulfh lq dwlrq/ zdjh lq dwlrq/ dqg wkh rxwsxw jds19 Wklv srolf| iurqwlhu kdv wkh surshuw| wkdw wkh yduldqfh ri dq| sduwlfxodu yduldeoh fdqqrw eh uhgxfhg zlwkrxw lqfuhdvlqj wkh yduldqfh ri rqh ru erwk ri wkh rwkhu yduldeohv1 Wkh uhpdlqghu ri wklv sdshufkdudfwhul}hvwkhsrolf|iurqwlhuxqghuydulrxvdvvxpswlrqvderxwqrplqdozdjh dqg sulfh lqhuwld1 Lq ghwhuplqlqj wkh frqglwlrqv iru h{lvwhqfh ri d xqltxh vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp/ zh (cid:31)qg wkh qryho uhvxow wkdw wkh prqhwdu| srolf| uxoh qhhg qrw lqfoxgh d qrplqdo dqfkru zkhq zdjhv ru sulfhv ru erwk duh vwlfn|1: Vhfwlrq 5 rxwolqhv wkh prgho1 Lq Vhfwlrq 6/ zh dqdo|}h uhvwulfwlrqv rq wkh vhw ri ihdvleoh prqhwdu| srolf| fkrlfhv wkdw fdq eh ghulyhg vroho| iurp wkh djjuhjdwh vxsso| eorfn ri wkh prgho1 Lq vxevhtxhqw vhfwlrqv/ zh fkdudfwhul}h ihdwxuhv ri wkh prqh0 wdu| srolf| wudghr(cid:30) iurqwlhu +ehwzhhq rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq yrodwlolw|, lpsolhg e| wkh ixoo| vshfl(cid:31)hg prgho1 Zh h{dplqh d vshfldo fdvh ri wkh prgho zlwk vwlfn| zdjhv dqg h{leoh sulfhv iru zklfk wkh iurqwlhu fdq eh frpsxwhg dqdo|wlfdoo| +Vhfwlrq 7,/ dqg wkhq frqvlghu wkh jhqhudo fdvh lq zklfk erwk zdjhv dqg sulfhv duh ghwhuplqhg e| ryhuodsslqj qrplqdo frqwudfwv +Vhfwlrq 8,1 Lq wkh jhqhudo fdvh/ zh xvh dqdo|wlfdo phwkrgv wr ghulyh wkh hqgsrlqwv ri wkh srolf| iurqwlhu dqg qxphulfdo phwkrgv wr fkdudfwhul}h wkh frpsohwh iurqwlhu1 Frqfoxvlrqv duh jlyhq lq Vhfwlrq 91 5 Wkh Prgho Rxuprghokdvdqhrfodvvlfdovwuxfwxuhlqzklfkkrxvhkrogvpd{lpl}hxwlolw|vxemhfwwr dqlqwhuwhpsrudoexgjhwfrqvwudlqw/dqg(cid:31)upvpd{lpl}hsur(cid:31)wvvxemhfwwrjlyhqidfwru sulfhv1 Krxvhkrogv duh prqrsrolvwlf frpshwlwruv lq wkh oderu pdunhw/ zkloh (cid:31)upv duh prqrsrolvwlf frpshwlwruv lq wkh surgxfw pdunhw1 Zh lqwurgxfh qrplqdo uljlglwlhv e| dvvxplqj wkdw krxvhkrogv vhw wkhlu zdjhv dqg (cid:31)upv vhw wkhlu sulfhv lq Fdoyr0vw|oh vwdjjhuhg frqwudfwv1 Doo krxvhkrogv idfh lghqwlfdo suhihuhqfh vkrfnv/ dqg doo (cid:31)upv idfhlghqwlfdosurgxfwlylw|vkrfnv1 Wkhvroh vrxufhrikhwhurjhqhlw|dprqjkrxvhkrogv dqg (cid:31)upv lv wkdw wkh| dgmxvw wkhlu qrplqdo frqwudfwv dw gl(cid:30)huhqw wlphv1 Krxvhkrogv ixoo| lqvxuh djdlqvw lglrv|qfudwlf frqvxpswlrq ulvn/ exw wkh| fdqqrw lqvxuh djdlqvw lglrv|qfudwlf yduldwlrq lq ohlvxuh +uhvxowlqj iurp zdjh glvshuvlrq dfurvv krxvhkrogv,1 9Prqhwdu| srolf| iurqwlhuv gh(cid:31)qhg ryhu wkh yduldqfhv ri sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds kdyh ehhq dqdo|}hg vlqfh dw ohdvw wkh odwh 4<:3*v1 Iru uhihuhqfhv/ vhh irrwqrwh 41 Wkh vshfl(cid:31)fdwlrq lq wkh wh{w fdq eh ghihqghg e| dsshdolqj wr wkh rswlpl}dwlrq sureohpv ri krxvhkrogv lq rxu prgho1 Dgplwwhgo|/wklvvshfl(cid:31)fdwlrqh{foxghvvrphyduldeohv+vxfkdvlqwhuhvwudwhyrodwlolw|,wkdwpd|ehri frqfhuqwrwkhprqhwdu|dxwkrulwlhv1 Wkhdssursuldwhvshfl(cid:31)fdwlrqriwkhprqhwdu|srolf|remhfwlyh ixqfwlrq lv wkh vxemhfw ri rqjrlqj uhvhdufk1 :Uhfhqw frqwulexwlrqv wr wkh dqdo|vlv ri ghwhuplqdf| lq prqhwdu| prghov lqfoxgh Zrrgirug +4<<7,/ Zrrgirug +4<<8,/ Fodulgd/ Jdol/ dqg Jhuwohu +4<<:,/ dqg Ehqkdele/ Vfkplww0Jurkh/ dqg Xuleh +4<<;,1 Dgglwlrqdo frqwulexwlrqv zklfk hpskdvl}h wkh lpsolfdwlrqv ri wkh lqwhudfwlrq ri prqhwdu| dqg (cid:31)vfdo srolf| iru ghwhuplqdf| duh Ohhshu +4<<4,/ Vlpv +4<<7,/ Zrrgirug +4<<9,/ dqg Vfkplww0Jurkh dqg Xuleh +4<<;,1 5

514 Krxvhkrog Ehkdylru D frqwlqxxp ri krxvhkrogv lv glvwulexwhg rq wkh xqlw lqwhuydo/ (cid:5) 5 dfc(cid:129)o1 Krxvhkrog (cid:5) lv d prqrsrolvwlfdoo| frpshwlwlyh vhoohu ri lwv xqltxh oderu lqsxw1 Wkh udwlr ri wkh ghpdqg iru lwv oderu/ u / wr wkh ghpdqg iru djjuhjdwh oderu/ u / lv lqyhuvho| uhodwhg (cid:5)cr r wr wkh udwlr ri lwv zdjh/ ‘ / wr wkh djjuhjdwh zdjh/ ‘ = (cid:5)cr r u (cid:5)cr ’ (cid:21) ‘ (cid:5)cr (cid:22) w‘ (cid:129) 3(cid:129) / +4, u ‘ r r zkhuh f (cid:9) w (cid:9) (cid:129)1; ‘ Dv d zd| ri lqwurgxflqj qrplqdo zdjh lqhuwld lqwr wkh prgho/ zh dvvxph wkdw zdjhvduhvhwlqFdoyr0vw|ohvwdjjhuhgfrqwudfwv1 Lqhdfkshulrg/wkhuhlvdsuredelolw| +(cid:129)(cid:3)1 , wkdw krxvhkrog (cid:5) zloo eh doorzhg wr uhvhw lwv frqwudfw zdjh1 Wkh zdjhv ri ‘ krxvhkrogv wkdw duh qrw doorzhg wr uhvhw wkhlu frqwudfw zdjhv jurz dw wkh phdq udwh ri jurvv lq dwlrq (cid:31)1 Wkxv/ li krxvhkrog (cid:5) kdv qrw dgmxvwhg lwv frqwudfw zdjh vlqfh shulrg |/ wkhq lwv zdjh lq shulrg r lv ‘ ’ ‘ (cid:31)r3|(cid:23) +5, (cid:5)cr (cid:5)c| Wkh suredelolw|wkdw d krxvhkrogzloo eh doorzhgwr uhvhwlwv frqwudfw zdjh lqshulrg r grhv qrw ghshqg rq krz orqj lwv h{lvwlqj frqwudfw kdv ehhq lq h(cid:30)hfw/ dqg lv lqyduldqw wr wkh djjuhjdwh vwdwh yhfwru1 Wkxv/ d frqvwdqw iudfwlrq +(cid:129)(cid:3)1 , ri krxvhkrogv duh ‘ doorzhg wr uhvhw wkhlu frqwudfw zdjhv hdfk shulrg1 Wkh shulrg xwlolw| ixqfwlrq ri krxvhkrog (cid:5) lv vhsdudeoh lq wkuhh dujxphqwv= frq0 vxpswlrq E(cid:28) (cid:28) plqxv d frqvxpswlrq vkrfn EL (cid:28)/ uhdo prqh| kroglqjv +qrplqdo (cid:5)cr r prqh| kroglqjv/ (cid:127) / glylghg e| wkh sulfh ri frqvxpswlrq/ (cid:27) , plqxv d uhdo prqh| (cid:5)cr r vkrfn ET (cid:28)/ dqg ohlvxuh +rqh plqxv krxuv zrunhg/ u , plqxv d ohlvxuh vkrfn E~ (cid:28)=< r (cid:5)cr r ;O lv d oderu lqgh{ ri wkh Gl{lw dqg Vwljolw} +4<::, irup= v O v @ (cid:23)] 4 O k>v (cid:21) Zgk (cid:24) (cid:21)Z 4 > 3 zkhuh O lv wkh dprxqw ri krxvhkrog k*v oderu sxufkdvhg e| doo (cid:31)upv1 Ilupv plqlpl}h wkh frvw ri k>v (cid:19)surgxflqj(cid:20) d xqlw ri oderu wdnlqj wkh zdjh ri hdfk krxvhkrog/ Z dv jlyhq1 Ilup i*v ghpdqg k>v iru wkh oderu ri krxvhkrog k lpsolhg e| wkh frvw plqlpl}dwlrq lv (cid:23) (cid:24) O +i,@ Z k>v (cid:21)Z 4 (cid:3)4 O +i,> k>v Z v v zkhuh O +i, lv wkh dprxqw ri oderu sxufkdvhg e| (cid:31)up i/ dqg wkh zdjh lqgh{/ Z / v v Z v @ (cid:23)] 4 Z k>v(cid:21)Z (cid:21)Z (cid:3)4gk (cid:24)(cid:21)Z (cid:21)Z (cid:3)4 > 3 lv wkh plqlpxp frvw ri surgxflqj rqh xqlw ri oderu= <F lv d frqvxpswlrq lqgh{ ri wkh Gl{lw dqg Vwljolw} +4<::, irup= k>v F @ (cid:23)] 4 F +i,(cid:21) S gi (cid:24) (cid:21) 4 S > k>v k>v 3 6

(cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:127) (cid:22) E(cid:28) (cid:3)L (cid:28)(cid:129)3 j (cid:127)(cid:5)cr (cid:3)T (cid:129)3 v E(cid:129)(cid:3)u (cid:3)~ (cid:28)(cid:129)3 (cid:29) X (cid:28) c (cid:5)crc(cid:129)(cid:3)u ’ (cid:5)cr r n (cid:27)r r n (cid:5)cr r (cid:23) +6, (cid:5)cr (cid:27) (cid:5)cr E(cid:129)(cid:3)j(cid:28) E(cid:129)(cid:3)v(cid:28) (cid:129)(cid:3)(cid:29) r Wkh wkuhh vkrfnv duh frpprq wr doo krxvhkrogv dqg kdyh srvlwlyh phdqv L7/ T7/ dqg~71 Lqfuhdvhvlqwkhfrqvxpswlrq/ prqh|/ dqgohlvxuh vkrfnv lqfuhdvh wkh ghpdqgv iru frqvxpswlrq/ uhdo prqh|/ dqg ohlvxuh/ uhvshfwlyho|/ ehfdxvh hdfk vkrfn udlvhv wkh pdujlqdo xwlolw| ri d jlyhq dprxqw ri wkh fruuhvsrqglqj (cid:19)jrrg 1(cid:20)43 Krxvhkrog (cid:5)*v exgjhw frqvwudlqw lq shulrg r vwdwhv wkdw frqvxpswlrq h{shqglwxuh soxv dvvhw dffxpxodwlrq pxvw htxdo glvsrvdeoh lqfrph=44 U (cid:27) (cid:28) n(cid:127) (cid:3)(cid:127) n B E(cid:6)(cid:28)(cid:18) E(cid:6)(cid:28)_(cid:6) (cid:3)(cid:18) r (cid:5)cr (cid:5)cr (cid:5)cr 3(cid:129) [rn(cid:129) rn(cid:129)cr (cid:5)cr (cid:5)cr 3(cid:129) +7, ’ ‘ u nK nA (cid:23) (cid:5)cr (cid:5)cr r (cid:5)cr zkhuh[ lvwkhvwdwhvsdfhirushulrgrn(cid:129)1 Dvvhwdffxpxodwlrqfrqvlvwvrilqfuhdvhv rn(cid:129) lq prqh| kroglqjv dqg wkh dftxlvlwlrq ri vwdwh frqwlqjhqw fodlpv/ zkhuh B E(cid:6)(cid:28) rn(cid:129)cr uhsuhvhqwv wkh sulfh lq shulrg r ri d fodlp wr rqh groodu lq vwdwh (cid:6) lq shulrg rn(cid:129)/ dqg (cid:18) E(cid:6)(cid:28) lv wkh txdqwlw| ri vxfk fodlpv(cid:23) D vwdwh lv gh(cid:31)qhg qrw rqo| e| wkh uhdol}dwlrqv (cid:5)cr ri wkh frpprq vkrfnv exw dovr e| ghvljqdwlrqv ri zklfk krxvhkrogv duh doorzhg wr dgmxvw wkhlu zdjhv145 Krxvhkrog (cid:5) uhfhlyhv oderu lqfrph/ ‘ u > dq doltxrw vkduh (cid:5)cr (cid:5)cr ri djjuhjdwh sur(cid:31)wv/ K > dqg d oxps vxp fdvk wudqvihu iurp wkh jryhuqphqw/ A 146 r (cid:5)cr zkhuhF +i,uhsuhvhqwv sxufkdvhv e|krxvhkrogk riwkhgl(cid:30)huhqwldwhgjrrgsurgxfhge|(cid:31)upi lq k>v shulrg v1 Krxvhkrog k plqlpl}hv wkh frvw ri (cid:19)surgxflqj(cid:20) d xqlw ri frqvxpswlrq wdnlqj wkh sulfhv ri wkh gl(cid:30)huhqwldwhg frqvxpswlrq jrrgv/ S dv jlyhq1 Krxvhkrog k*v ghpdqg iru jrrg i lpsolhg i>v e| wkh frvw plqlpl}dwlrq lv (cid:23) (cid:24) F +i,@ S i>v (cid:21)S 4 (cid:3)4 F > k>v S k>v v zkhuh wkh sulfh lqgh{/ S / v S v @ (cid:23)] 4 S i>v (cid:21)S (cid:21)S (cid:3)4gi (cid:24)(cid:21)S (cid:21)S (cid:3)4 > 3 lv wkh plqlpxp frvw ri surgxflqj rqh xqlw ri frqvxpswlrq1 Zhiroorzwkhxvxdosudfwlfhrirplwwlqjqhjdwlyhrqhlqwkhqxphudwrurihdfkriwkhwhupvriwkh shulrgxwlolw|ixqfwlrq1 Dv lv zhoonqrzq/ lwlv qhfhvvdu|wr lqfoxgh qhjdwlyh rqhvliwkh olplwv riwkh whupv dv (cid:30)/ (cid:24)/ "$4 duh wr eh wkh orjdulwkpv ri wkh dujxphqwv1 43Lw lv frpprq wr lqwhusuhw X dv d jryhuqphqw vshqglqj vkrfn1 v 44Htxdwlrq +7, lv d uhgxfhg irup ri wkh ixoo exgjhw frqvwudlqw1 Lw lv rewdlqhg e| vxevwlwxwlqj wkh surgxfwS F iruwkhvxpriwkhsurgxfwvriwkhsulfhvdqgtxdwlwlwlhvriwkhlqglylgxdogl(cid:30)huhqwldwhg v k>v jrrgv frqvxphg1 45Wkhfrpprqvkrfnvlqfoxghqrwrqo|X /] /dqgY /exwdovrwkhsurgxfwlylw|vkrfn/[ /zklfk v v v v lv glvfxvvhg ehorz1 46Wkhvh doltxrw vkduhv h{kdxvw djjuhjdwh sur(cid:31)wv= ] ] 4 4 (cid:3) gk@ ^S \ (cid:3)Z O +i,‘gi> v i>v i>v v v 3 3 zkhuh \ lv wkh rxwsxw ri (cid:31)up i1 Fdvk wudqvihuv duh wkh zd| wkh vxsso| ri qrplqdo prqh| lv i>v fkdqjhg1 7

D zdjh0vhwwlqj krxvhkrog (cid:5) pd{lpl}hv lwv xwlolw| ixqfwlrqdo zlwk uhvshfw wr wkh fkrlfh ri lwv frqvxpswlrq/ lwv kroglqjv ri prqh|/ lwv kroglqjv ri frqwlqjhqw fodlpv/ dqg lwv qrplqdo zdjh/ [" (cid:127) 4@ H Eq(cid:28)r3|XE(cid:28) c (cid:5)crc(cid:129)(cid:3)u (cid:28)c +8, | (cid:5)cr (cid:27) (cid:5)cr t(cid:28)(cid:5)c|c(cid:127)(cid:5)c|c r’| r (cid:18)(cid:5)c|c‘(cid:5)c| (cid:27) vxemhfw wr wkh ghpdqg iru lwv oderu/ htxdwlrq +4,/ dqg lwv exgjhw frqvwudlqw/ htxdwlrq +7,/ zkhuh H lqglfdwhv dq h{shfwdwlrq edvhg rq shulrg | lqirupdwlrq1 Wkh glvfrxqw | idfwru q vdwlv(cid:31)hv f (cid:9) q (cid:9) (cid:129)(cid:23) Wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrqv iru wkh krxvhkrog*v sureohp duh47 % & (cid:27) X ’ H E(cid:129)nU (cid:28) | qX ’ H d- qX oc +9, (cid:129)((cid:5)c| | | (cid:27) (cid:129)((cid:5)c|n(cid:129) | | (cid:129)((cid:5)c|n(cid:129) |n(cid:129) B E(cid:6)(cid:28)X SureE(cid:6)(cid:28)qX E(cid:6)(cid:28) |n(cid:129)c| (cid:129)((cid:5)c| ’ (cid:129)((cid:5)c|n(cid:129) c iru doo (cid:6) 5 [ +:, (cid:27) (cid:27) E(cid:6)(cid:28) |n(cid:129) | |n(cid:129) (cid:21) (cid:22) (cid:129)nU X ’ | X c +;, (cid:129)((cid:5)c| U 2((cid:5)c| | # $ [" (cid:31)r3|‘ w [" H E1 q(cid:28)r3|X (cid:5)c| ‘ u ’ H E1 q(cid:28)r3|X u c +<, | ‘ (cid:129)((cid:5)cr (cid:27) (cid:5)cr | ‘ (cid:12)((cid:5)cr (cid:5)cr r’| r r’| zkhuh SureE(cid:6)(cid:28) uhsuhvhqwv wkh suredelolw| ri vwdwh (cid:6)/ dqg (cid:129) (cid:129)nU ’ U +43, | B E(cid:6)(cid:28)_(cid:6) [ |n(cid:129) |n(cid:129)c| Htxdwlrqv +9,/ +:,/ dqg +;, duh vwdqgdug frqglwlrqv iru frqvxpswlrq/ vwdwh frq0 wlqjhqw fodlpv/ dqg prqh| kroglqjv1 Dffruglqj wr htxdwlrq +9,/ wkh pdujlqdo xwlolw| ri frqvxpswlrq lq shulrg | pxvw htxdo wkh h{shfwdwlrq ri wkh jurvv uhdo lqwhuhvw udwh/ - / pxowlsolhg e| wkh pdujlqdo xwlolw| ri frqvxpswlrq lq shulrg |n(cid:129)1 Dffruglqj wr | htxdwlrq +:,/ wkh sulfh ri d fodlp wr d (cid:19)groodu(cid:20) lq vwdwh (cid:6) lq shulrg |n(cid:129) pxowlsolhg e| wkh pdujlqdo xwlolw| ri d groodu lq shulrg | pxvw htxdo wkh glvfrxqwhg pdujlqdo xwlolw| ri d groodu lq shulrg |n(cid:129) lq vwdwh (cid:6) pxowlsolhg e| wkh suredelolw| wkdw vwdwh (cid:6) rffxuv1 Dffruglqj wr htxdwlrq +;,/ wkh pdujlqdo xwlolw| ri frqvxpswlrq lq shulrg | pxvw htxdo wkh surgxfw ri (cid:129)nU| pxowlsolhg e| pdujlqdo xwlolw| ri uhdo prqh| kroglqjv U| lq shulrg |/ zkhuh (cid:129)nU| lv lqyhuvho| uhodwhg wr wkh qrplqdo lqwhuhvw udwh/ U 1 U| | Wkh(cid:31)uvw0rughufrqglwlrqiruwkhzdjh/ htxdwlrq+<,cpd|eh xqidplolduwrvrph1 D krxvhkrog vhwv lwv zdjh vr wkdw wkh h{shfwhg pdujlqdo uhzdug +wkh vxp ri glvfrxqwhg 47Wkh pdujlqdo xwlolwlhv duh (cid:21) (cid:22) P (cid:3) X @+F (cid:3)X , (cid:3)(cid:30)> X @ k>v (cid:3)Y > X @+4(cid:3)O (cid:3)] ,(cid:3)"= 4>k>v k>v v 5>k>v S v 6>k>v k>v v v 8

h{shfwhgsurgxfwv ri pdujlqdo xwlolwlhv rifrqvxpswlrqdqguhdozdjhv/ glylghge| wkh zdjh pdunxs/ (cid:129) , htxdov lwv h{shfwhg pdujlqdo vdful(cid:31)fh +wkh vxp ri glvfrxqwhg h{0 shfwhg pdujlqd w o‘xwlolwlhv ri ohlvxuh,1 H{shfwdwlrqv duh frqglwlrqhg rq wkh krxvhkrog*v qrw ehlqj deoh wr uhvhw lwv zdjh1 Lq wkh olplwlqj fdvh lq zklfk doo krxvhkrogv duh do0 orzhg wrvhw wkhlu zdjhv hyhu|shulrg+1 $ f,/ htxdwlrq+<, uhgxfhv wr wkh frqglwlrq ‘ wkdw wkh pdujlqdo uhwxuq wr zrun lq frqvxpswlrq whupv +wkh krxvhkrog*v uhdo zdjh glylghg e| wkh zdjh pdunxs, htxdo wkh pdujlqdo frvw ri zrun lq frqvxpswlrq whupv +wkh pdujlqdo xwlolw| ri ohlvxuh glylghg e| wkh pdujlqdo xwlolw| ri frqvxpswlrq,=48 ‘ w X (cid:5)c| ‘ ’ X (cid:23) +44, (cid:129)((cid:5)c| (cid:27) (cid:12)((cid:5)c| | 515 Ilup Ehkdylru D frqwlqxxp ri (cid:31)upv lv glvwulexwhg rq wkh xqlw lqwhuydo/ s 5 dfc(cid:129)o1 Ilup s lv d prqrsrolvwlfdoo| frpshwlwlyh vhoohu ri lwv xqltxh jrrg1 Wkh udwlr ri wkh ghpdqg iru (cid:31)up s*v rxwsxw Et (cid:28) wr djjuhjdwh rxwsxw Et (cid:28) lv lqyhuvho| uhodwhg wr wkh udwlr ri (cid:31)up scr r s*v sulfh E(cid:27) (cid:28) wr wkh djjuhjdwh sulfh E(cid:27) (cid:28) =49 scr r t scr ’ (cid:21) (cid:27) scr (cid:22) w(cid:27) (cid:129) 3(cid:129) c +45, t (cid:27) r r zkhuh f (cid:9) w (cid:9) (cid:129)1 (cid:27) Dv d zd| ri lqwurgxflqj qrplqdo sulfh lqhuwld lqwr wkh prgho/ zh dvvxph wkdw sulfhv/ olnh zdjhv/ duh vhw lq Fdoyr0vw|oh vwdjjhuhg frqwudfwv1 Hdfk shulrg wkhuh lv d suredelolw| +(cid:129)(cid:3)1 , wkdw (cid:31)up s zloo eh doorzhg wr uhvhw lwv frqwudfw sulfh1 Wkh sulfhv (cid:27) ri (cid:31)upv wkdw duh qrw doorzhg wr uhvhw wkhlu frqwudfw sulfhv jurz dw wkh phdq udwh ri jurvv lq dwlrq (cid:31)1 Wkxv/ li (cid:31)up s kdv qrw dgmxvwhg lwv frqwudfw sulfh vlqfh shulrg |/ wkhq lwv sulfh lq shulrg r lv (cid:27) ’ (cid:27) (cid:31)r3|(cid:23) +46, scr sc| Wkh suredelolw| wkdw d (cid:31)up zloo eh doorzhg wr uhvhw lwv frqwudfw sulfh lq shulrg r grhv qrw ghshqg rq krz orqj lwv h{lvwlqj frqwudfw kdv ehhq lq h(cid:30)hfw/ dqg lv lqyduldqw wr wkh djjuhjdwh vwdwh yhfwru1 Wkxv/ d frqvwdqw iudfwlrq +(cid:129)(cid:3)1 , ri (cid:31)upv duh doorzhg wr (cid:27) uhvhw wkhlu frqwudfw sulfhv hdfk shulrg1 Doo (cid:31)upv kdyh lghqwlfdo Free0Grxjodvv surgxfwlrq ixqfwlrqv lq fdslwdo dqg oderu krxuv +zlwkfdslwdo hodvwlflw|k,/ dqgfdqsxufkdvh doo wkh fdslwdo dqgoderu wkh|zdqw dw suhydlolqj idfwru sulfhv1 Ixuwkhupruh/ fdslwdo dqgoderu duh shuihfwo| preloh dfurvv (cid:31)upv1 Wkhuhiruh/ doo (cid:31)upv kdyh wkh vdph pdujlqdo frvw E(cid:127)(cid:28) (cid:28) zklfk fdq eh zulwwhq (cid:19) (cid:20) r 7 dv d ixqfwlrq ri wkh (cid:31){hg vxsso| ri fdslwdo g / oderu Eu (cid:28)/ wkh zdjh E‘ (cid:28)/ dqg d r r 48Lq rughu wr frq(cid:31)up wkh dvvhuwlrq lq wkh wh{w/ qrwh wkdw olp +(cid:27) (cid:15),3 @41 (cid:27) $3 Z Z 49Ghpdqg iru (cid:31)up i*v jrrg lv rewdlqhg e| vxpplqj krxvhkrogv* ghpdqg iru wklv jrrg zklfk lv ghulyhg lq d suhylrxv irrwqrwh1 9

surgxfwlylw| vkrfn Ef (cid:28)=4: r ‘ uk (cid:127)(cid:28) ’ r r c +47, r E(cid:129)(cid:3)k(cid:28)g7 kf r Qrwh wkdw dq lqfuhdvh lq wkh surgxfwlylw| vkrfn uhgxfhv pdujlqdo frvw1 D sulfh0vhwwlqj (cid:31)up s pd{lpl}hv lwv sur(cid:31)w ixqfwlrqdo zlwk uhvshfw wr lwv frqwudfw sulfh (cid:27) G sc| % & [" 4@ . E1 q(cid:28)r3|B E(cid:27) (cid:3)(cid:127)(cid:28) (cid:28)t (cid:23) +48, | (cid:27) rc| scr r scr t(cid:27) (cid:27) sc| r’| Wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrq iru d sulfh0vhwwlqj (cid:31)up lv [" (cid:31)r3|(cid:27) (cid:129) [" (cid:127)(cid:28) H E1 q(cid:28)r3|B sc|t ’ H E1 q(cid:28)r3|B rt (cid:23) +49, | (cid:27) rc| (cid:27) scr w | (cid:27) rc| (cid:27) scr r’| r (cid:27) r’| r Hdfk (cid:31)up vhwv lwv sulfh vr wkdw wkh vxp ri glvfrxqwhg uhdo uhyhqxh whupv lv htxdo (cid:19) (cid:20) wr wkh sulfh pdunxs (cid:129) pxowlsolhg e| wkh vxp ri glvfrxqwhg uhdo pdujlqdo frvwv1 w H{shfwdwlrqv duh frqglw(cid:27)lrqhg rq wkh (cid:31)up*v qrw ehlqj deoh wr uhvhw lwv sulfh1 Lq wkh olplwlqj fdvh lq zklfk doo (cid:31)upv duh doorzhg wr vhw wkhlu sulfhv hyhu| shulrg +1 $ f,/ (cid:27) htxdwlrq +49, uhgxfhv wr wkh frqglwlrq +idploldu iurp vwdqgdug lpshuihfw frpshwlwlrq dqdo|vlv, wkdw wkh uhdo zdjh htxdo wkh pdujlqdo ydoxh surgxfw ri oderu +wkh pdujlqdo surgxfw ri oderu glylghg e| wkh sulfh pdunxs,=4; ‘ r ’ w E(cid:129)(cid:3)k(cid:28)g7ku3kf (cid:23) +4:, (cid:27) (cid:27) r r sc| 516 Dssur{lpdwlrq ri wkh Jhqhudo Prgho Dssur{lpdwlrqv ri wkh edvlf uhodwlrqvklsv ri wkh jhqhudo prgho dsshduv lq Wdeoh (cid:129)1 Orzhufdvh ohwwhuv uhsuhvhqw ghyldwlrqv ri qdwxudo orjdulwkpv ri yduldeohv iurp wkhlu vwhdg|vwdwhydoxhv/h{fhswiru(cid:16) zklfkuhsuhvhqwvwkhghyldwlrqriwkhqrplqdolqwhuhvw | udwh iurp lwv vwhdg| vwdwh ydoxh1 4:Wkhghulydwlrqriwkhpdujlqdofrvwixqfwlrqlvvwdqgdug1 Plqlpl}hfrvwvZ O +i,.SNN +i,/ v v v v zkhuh O +i, dqg N +i, duh wkh dprxqwv ri oderu dqg fdslwdo/ uhvshfwlyho|/ sxufkdvhg e| (cid:31)up i/ v v vxemhfw wr wkh frqvwudlqw wkdw d (cid:31){hg ohyho ri rxwsxw eh htxdo wr wkh surgxfwlrq ixqfwlrq \(cid:25) @ i>v [ N +i,(cid:14)O +i,4(cid:3)(cid:14)1 Vroyh iru wkh (cid:31)up*v fdslwdo0oderu udwlr dv d ixqfwlrq ri uhodwlyh idfwru sulfhv1 v v v Xvh wklv h{suhvvlrq wr holplqdwh SNN +i, iurp wkh h{suhvvlrq iru wkh (cid:31)up*v wrwdo frvwv1 Wkh v v uhvxowlqj h{suhvvlrq ghshqgv rqo| zdjh frvwv dqg vkrfnv1 Xvh wkh (cid:31)up*v surgxfwlrq ixqfwlrq wr rewdlqdqh{suhvvlrqiru lwv oderu lqsxw lqwhupv rilwv fdslwdo0oderu udwlr dqglwv rxwsxw1 Vxevwlwxwh wklv h{suhvvlrq lqwr wkh h{suhvvlrq iru wrwdo frvwv lq whupv ri zdjh frvwv dqg gl(cid:30)huhqwldwh zlwk uhvshfw wr wkh (cid:31)up*v rxwsxw wr rewdlq wkh h{suhvvlrq iru wkh (cid:31)up*v pdujlqdo frvw qrwlqj wkdw wkh (cid:31)up*vfdslwdo0oderuudwlrgrhvqrwfkdqjhehfdxvhlwghshqgvrqhfrqrp|0zlghidfwrusulfhv1Ilqdoo|/ uhsodfh wkh (cid:31)up*v fdslwdo0oderu udwlr zlwk wkh djjuhjdwh fdslwdo0oderu udwlr1 4;Lq rughu frq(cid:31)up wklv dvvhuwlrq/ qrwh wkdw olp +(cid:27) (cid:15),3 @4 dqg wkdw (cid:17) @41 (cid:27) $3 S w>w S :

Wdeoh 4= Wkh Jhqhudo Prgho Ghpdqg Eorfn (cid:19) (cid:20) } ’ (cid:3) (cid:129) (cid:16) (cid:3)Z n} | j(cid:20)7 | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:19) |n(cid:129)(cid:131)| (cid:20) (cid:3) (cid:28) +W n+W n (cid:20)7 (cid:4) (cid:3)(cid:4) +jrrgv ghpdqg, EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28) |n(cid:129) (cid:20)7L | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:28) Vxsso| Eorfn / ’ q/ n& Elr (cid:3)l (cid:28) +zdjh vhwwlqj, EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) | |n(cid:129)(cid:131)| ‘ | | (cid:19) (cid:20) lr ’ lW n { (cid:3) k } +vxsso| uhdo zdjh, EA(cid:129)(cid:23)(cid:12)(cid:28) | | (cid:129)3k (cid:129)3k | Z ’ qZ n& El (cid:3)l_(cid:28) +sulfh vhwwlqj, EA(cid:129)(cid:23)e(cid:28) | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:27) | | l_ ’ lW (cid:3) k } +ghpdqg uhdo zdjh, EA(cid:129)(cid:23)D(cid:28) | | (cid:129)3k | l ’ l n/ (cid:3)Z +uhdo zdjh fkdqjh, EA(cid:129)(cid:23)S(cid:28) | |3(cid:129) | | (cid:19) (cid:20) lr (cid:3)l_ ’ { } +uhdo0zdjh jds2rxwsxw jds, EA(cid:129)(cid:23).(cid:28) | | (cid:129)3k | Prqhwdu| Eorfn (cid:16) ’ (cid:14) Z n(cid:14) / n(cid:14) } n(cid:14) % n(cid:14) % +prqhwdu| uxoh, EA(cid:129)(cid:23)H(cid:28) | Z | / | } | % | %3(cid:129) |3(cid:129) Frpsohwh Ioh{lelolw| Htxloleulxp + | W ’ E(cid:129)3k { (cid:28)j(cid:20)7 L(cid:4) | n (cid:129)n { (cid:29)(cid:20)7 u % | (cid:3) E(cid:129)3k { (cid:28)(cid:29)(cid:20)7 ~5 | +srwhqwldo rxwsxw, EA(cid:129)(cid:23)b(cid:28) lW ’ (cid:3)kj(cid:20)7 (cid:4) n k(cid:29)(cid:20)7 5 n (cid:29)(cid:20)7 nj(cid:20)7 % + frpsohwh h{lelolw| uhdo zdjh, EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)f(cid:28) | { L | { u | u { (cid:28) | Gh(cid:31)qlwlrqv } ’ + (cid:3)+Wc l ’ (cid:25) (cid:3)R c Z ’ R (cid:3)R c / ’ (cid:25) (cid:3)(cid:25) | | | | | | | | |3(cid:129) | | |3(cid:129) 7 7 { ’ kn(cid:29)(cid:20) nE(cid:129)(cid:3)k(cid:28)j(cid:20) u (cid:28) (cid:20) 7 ’ (cid:28)7 c (cid:20) 7 ’ t7 c (cid:20) 7 ’ L7 c (cid:20) 7 ’ u7 c (cid:20) 7 ’ ~7 (cid:28) (cid:28)73L7 t t73L7 L (cid:28)73L7 u (cid:129)3u73~7 ~ (cid:129)3u73~7 (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) & ’ E(cid:129)31 q(cid:28)E(cid:129)31 (cid:28) c & ’ E(cid:129)31 q(cid:28)E(cid:129)31 (cid:28) (cid:27) (cid:27) 1 (cid:27) ‘ 1 E (cid:129) ‘ 3(cid:29)(cid:20)7 " ‘(cid:28) (cid:27) ‘ u uc‘ ;

Wkhvh uhodwlrqvklsv duh h{suhvvhg lq whupv ri wkh rxwsxw jds/ } +wkh gl(cid:30)huhqfh | ehwzhhq dfwxdo rxwsxw/ + / dqg (cid:19)srwhqwldo(cid:20) rxwsxw/ +W,/ ehfdxvh wkh rxwsxw jds ihd0 | | wxuhv surplqhqwo| lq rxu dqdo|vlv1 Srwhqwldo ru (cid:19)qrwlrqdo(cid:20) rxwsxw lv wkh rxwsxw ohyho wkdw zrxog rewdlq lq wkh devhqfh ri qrplqdo lqhuwld14< Wkh ghpdqg eorfn ri wkh prgho frpsulvhv wkh vlqjoh htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28) zklfk zh uhihu wr dv wkh (cid:19)jrrgv ghpdqg htxdwlrq1(cid:20)53 Wklv htxdwlrq iroorzv iurp wkh vwdqgdug dssur{lpdwlrqriwkh(cid:31)uvwrughufrqglwlrq+9,jryhuqlqjwkhsdwkrifrqvxpswlrq+zlwk frqvxpswlrq dw hdfk gdwh uhsodfhg e| rxwsxw/ uh hfwlqj htxloleulxp frqglwlrqv,/ (cid:129) (cid:19) (cid:20) (cid:20) 7 (cid:19) (cid:20) + ’ (cid:3) (cid:16) (cid:3)Z n+ n L (cid:4) (cid:3)(cid:4) (cid:23) +4;, | j(cid:20) 7 | |n(cid:129)(cid:131)| |n(cid:129)(cid:131)| (cid:20) 7 | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:28) (cid:28) Htxdwlrq E(cid:129)H(cid:28) vwdwhv wkdw djjuhjdwh ghpdqg ghshqgv qhjdwlyho| rq wkh uhdo lqwhuhvw udwh dqg h{shfwhg ixwxuh frqvxpswlrq vkrfnv dqg ghshqgv srvlwlyho| rq h{shfwhg ixwxuh rxwsxw dqg wkh fxuuhqw frqvxpswlrq vkrfn154 Vroylqj iruzdug htxdwlrq E(cid:129)H(cid:28) |lhogv dq htxdwlrq lq zklfk wkh ghpdqg iru jrrgv ghshqgv qhjdwlyho| rq dq xq0 zhljkwhg vxp ri ixwxuh vkruw0whup uhdo lqwhuhvw udwhv/ qdwxudoo| lqwhusuhwhg dv wkh (cid:19)orqj0whup uhdo lqwhuhvw udwh1(cid:20)55 Wkh vxsso| eorfn frpsulvhv htxdwlrqv +A(cid:129)(cid:23)2, wkurxjk +A(cid:129)(cid:23).,1 Wkh zdjh vhwwlqj htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)2, lv d orj0olqhdu dssur{lpdwlrq wr wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrq +<, zlwk d qxpehu ri vxevwlwxwlrqv156 Vroylqj htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)2, iruzdug |lhogv dq htxdwlrq wkdw vwdwhv wkdw wkh ghyldwlrq ri zdjh lq dwlrq iurp lwv vwhdg| vwdwh ydoxh ghshqgv srv0 lwlyho| rq wkh suhvhqw glvfrxqwhg ydoxh ri wkh vxp ri doo h{shfwhg ixwxuh ghyldwlrqv ri wkh vxsso| uhdo zdjh iurp wkh dfwxdo uhdo zdjh1 Htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)(cid:12), fkdudfwhul}hv wkh vxsso| uhdo zdjh/ lr/ zklfk lv wkh qrwlrqdo uhdo zdjh wkdw zrxog suhydlo li doo | krxvhkrogv frxog dgmxvw wkhlu zdjhv lq wkh fxuuhqw shulrg +wkdw lv/ li 1 ’ f vr wkdw ‘ V $ 4,(cid:23) Htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:12)(cid:28) iroorzv iurp wzr vwdqgdug uhodwlrqv1 Wkh (cid:31)uvw uhodwlrq ‘ lv wkh vwdqgdug dssur{lpdwlrq iru wkh vxsso| uhdo zdjh/ lr ’ (cid:29)(cid:20) 7 , nj(cid:20) 7 + n(cid:29)(cid:20) 7 5 (cid:3)j(cid:20) 7 (cid:4) (cid:23) +4<, | u | (cid:28) | ~ | L | 4<Lq hduolhu frqwulexwlrqv wr wkh glvhtxloleulxp olwhudwxuh/ frpsohwh h{lelolw| prghov duh uhihuuhg wrdvqrwlrqdoprghovehfdxvhwkh|dsso|lqwkhsxuho|k|srwkhwlfdofdvhrifrpsohwhsulfhdqgzdjh h{lelolw|1 Iru uhihuhqfhv wr wklv olwhudwxuh vhh Txdqgw +4<;:, dqg wkh uhihuhqfhv lq Khqghuvrq dqg Nlp +4<<;,1 53Lw lv riwhq uhihuuhg wr dv wkh (cid:19)LV fxuyh1(cid:20) 54Wr duulyh dw +W4=4,/ uhsodfh | zlwk j .|(cid:6)1 w w w 55Khuh dqg hovhzkhuh (cid:19)vroylqj dq htxdwlrq iruzdug(cid:20) phdqv xvlqj h{shfwdwlrqv ri iruzdughg yhu0 vlrqvriwkhhtxdwlrqedvhgrqshulrgwlqirupdwlrqwruhzulwhwkhhtxdwlrqvrwkdwwkhshulrg wydoxh ridyduldeohghshqgvdprqjrwkhuwklqjvrqwkhh{shfwdwlrqriwkdwyduldeohlqshulrgw.n/dtxdq0 wlw| wkdw dssurdfkhv }hur dv n dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| lq d vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp1 Wkh prgho dovr lqfoxghv d prqh| pdunhw htxloleulxp frqglwlrq= c(cid:25) +p (cid:3)s ,@(cid:3)l .c(cid:25) | (cid:3)c(cid:25) y (cid:3)c(cid:25) x P@S w w w F w Y w X w Wklv frqglwlrq lv dq dssur{lpdwlrq ri wkh (cid:31)uvw rughu frqglwlrq jryhuqlqj wkh kroglqj ri uhdo edo0 dqfhv/ htxdwlrq +:,/ zlwk ghvluhg qrplqdo prqh| kroglqjv uhsodfhg e| dfwxdo kroglqjv wr uh hfw dq htxloleulxp frqglwlrq1 56Vhh Dsshqgl{ E1 <

Wkxv/ wkh vxsso| uhdo zdjh ulvhv zlwk wkh dprxqw ri oderu vxssolhg/ rxwsxw +zklfk uhsodfhv frqvxpswlrq/ uh hfwlqj dq htxloleulxp frqglwlrq ,/ dqg d srvlwlyh ohlvxuh vkrfn/ dqg idoov zlwk d srvlwlyh frqvxpswlrq vkrfn1 Wkh vhfrqg uhodwlrq lv wkh vwdq0 gdug dssur{lpdwlrq ri wkh surgxfwlrq ixqfwlrq/ + ’ E(cid:129)(cid:3)k(cid:28), n% c +53, | | | zklfk vwdwhv wkdw rxwsxw lqfuhdvhv zlwk wkh dprxqw ri oderu lqsxw dqg srvlwlyh sur0 gxfwlylw| vkrfnv157 Wkh sulfh vhwwlqj htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)e, lv d orj0olqhdu dssur{lpdwlrq wr wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrq +49, zlwk d qxpehu ri vxevwlwxwlrqv158 Vroylqj htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)e, iruzdug |lhogvdqhtxdwlrqwkdwvwdwhvwkdwwkhghyldwlrqrisulfhlq dwlrqiurplwvvwhdg|vwdwh ydoxh ghshqgv srvlwlyho| rq wkh vxp ri wkh suhvhqw glvfrxqwhg ydoxh ri doo h{shfwhg ixwxuhghyldwlrqvriwkh dfwxdouhdozdjhiurpwkh ghpdqguhdozdjh1 Htxdwlrq+A(cid:129)(cid:23)D, fkdudfwhul}hv wkh ghpdqg uhdo zdjh/ l_/ zklfk lv wkh qrwlrqdo uhdo zdjh wkdw zrxog | suhydlo li doo (cid:31)upv frxog dgmxvw wkhlu sulfhv lq wkh fxuuhqw shulrg +wkdw lv/ li 1 ’ f (cid:27) vr wkdw V $ 4,1 Wklv htxdwlrq iroorzv iurp wkh vwdqgdug dssur{lpdwlrq iru wkh (cid:27) ghpdqg uhdo zdjh/ l_ ’ (cid:3)k, n% c +54, | | | zklfk vwdwhv wkdw wkh ghpdqguhdo zdjh ghfuhdvhv zlwk wkh dprxqw ri oderu hpsor|hg dqg lqfuhdvhv zlwk srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfnv(cid:23)59 Htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)S, vwdwhv wkdw wkh fkdqjh lq wkh dfwxdo uhdo zdjh/ l / htxdov wkh gli0 | ihuhqfh ehwzhhq zdjh lq dwlrq dqg sulfh lq dwlrq1 Htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23).(cid:28)/ zklfk lv lpsolhg e| htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)(cid:12)(cid:28) dqg EA(cid:129)(cid:23)D(cid:28)/ vwdwhv wkdw wkh rxwsxw jds lv sursruwlrqdo wr wkh jds ehwzhhq wkh vxsso| dqg ghpdqg uhdo zdjhv1 Wkh prqhwdu| uxoh htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)H, vwdwhv wkdw wkh lqwhuhvw udwh lv lqfuhdvhg deryh lwv vwhdg| vwdwh ydoxh li sulfh lq dwlrq/ zdjh lq dwlrq/ ru wkh jds ehwzhhq dfwxdo dqg srwhqwldo rxwsxw duh deryh wkhlu vwhdg| vwdwh ydoxhv15: Htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)b(cid:28) h{suhvvhv srwhqwldo rxwsxw lq whupv ri wkh wkuhh vkrfnv E(cid:4) c% c | | dqg 5 (cid:28)1 Htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)f(cid:28) surylghv d vlplodu h{suhvvlrq iru wkh frpsohwh h{lelolw| | uhdozdjh/lW/wkhuhdozdjhwkdwzrxogsuhydlolqwkhdevhqfhriqrplqdolqhuwld+l1h1 li | 1 ’ 1 ’ f,15; Erwk srwhqwldo rxwsxw dqg wkh frpsohwh h{lelolw| uhdo zdjh ghshqg (cid:27) ‘ 57Wr duulyh dw +W4=6, holplqdwh o iurp htxdwlrq +44, xvlqj htxdwlrq +53, dqg uhsodfh | zlwk w w j .|(cid:6) lqwkh uhvxowlqj h{suhvvlrq1 Wkh surgxfwlrqixqfwlrqjlyhv | dv d ixqfwlrq rio dqg{ dorqh w w w w w ehfdxvh wkh fdslwdo vwrfn lv dvvxphg wr eh (cid:31){hg1 58Zh gr qrw ghvfuleh wkrvh vxevwlwxwlrqv lq wklv sdshu1 Wkh| duh ghvfulehg e| \xq +4<<9, zkrvh dssurdfk zh iroorz forvho| dqg duh yhu| vlplodu wr wkh vxevwlwxwlrqv xvhg wr ghulyh wkh zdjh vhwwlqj htxdwlrq +W4=5, zklfk duh ghvfulehg lq Dsshqgl{ E1 59Wr duulyh dw +W4=8,holplqdwho iurp+54,xvlqj htxdwlrq+53,/dqguhsodfh| zlwkj .|(cid:6) lqwkh w w w w uhvxowlqj h{suhvvlrq1 5:Wkurxjkrxwwklvsdshuzhuhvwulfwrxudwwhqwlrqwrfdvhvlqzklfkdoowkh(cid:16) duhqrq0qhjdwlyh1 Lq l vrphfdvhv/vwdwlrqdu|/udwlrqdo0h{shfwdwlrqvhtxloleuldh{lvwiruqhjdwlyhydoxhvriwkhvhsdudphwhuv/ dv lv dssduhqw iurp wkh h{suhvvlrqv iru urrwv lqDsshqgl{ D/ exw zh kdyh qrw vwxglhgwkhvh fdvhv lq ghwdlo1 5;Htxdwlrqv +W4=<,dqg+W4=43,duhrewdlqhge|dvvxplqjwkdw (cid:19)v @(cid:19)g @(cid:19) (cid:6) dqgxvlqj+4<,/+53,/ w w w dqg +54, wr vroyh iru (cid:19) (cid:6) / |(cid:6)/ dqg o(cid:6) lq whupv ri x >{ > dqg } = w w w w w w 43

rq wkh frqvxpswlrq vkrfn/ (cid:4) / ehfdxvh wklv vkrfn d(cid:30)hfwv qrw rqo| jrrgv ghpdqg exw | dovr wkh vxsso| uhdo zdjh1 Wkh wkuhh vkrfnv (cid:4)/ %/ dqg 5 duh dvvxphg wr eh pxwxdoo| xqfruuhodwhg dqg wr iroorz (cid:31)uvw rughu dxwruhjuhvvlyh surfhvvhv zlwk vhuldo fruuhodwlrq frh!flhqwv 4 c (cid:26) ’ (cid:4)c%c5 dqg lqqrydwlrqv 0 / (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 (cid:26) (cid:26) 6 Yduldqfh Lpsolfdwlrqv ri wkh Vxsso| Eorfn Lq wklv vhfwlrq/ zh h{dplqh nh| lpsolfdwlrqv ri wkh djjuhjdwh vxsso| eorfn ri wkh prgho1 Zh h{dplqh wzr vshfldo fdvhv ri wkh prgho= wkh vwlfn| sulfh yhuvlrq/ lq zklfk sulfhv duh vwlfn| dqg zdjhv duh h{leoh/ dqg wkh vwlfn| zdjh yhuvlrq/ lq zklfk zdjhv duh vwlfn| dqg sulfhv duh h{leoh1 Wkh zdjh0vhwwlqj htxdwlrq ri wkh vwlfn| zdjh yhu0 vlrq lv irupdoo| vlplodu wr wkh sulfh0vhwwlqj htxdwlrq ri wkh vwlfn| sulfh yhuvlrq/ exw wkh lpsolfdwlrqv ri sulfh lq dwlrq vwdelol}dwlrq duh yhu| gl(cid:30)huhqw lq wkh wzr yhuvlrqv1 Ilqdoo|/ zh vkrz wkdw lw lv lpsrvvleoh wr vwdelol}h pruh wkdq rqh ri wkh wkuhh srolf| iurqwlhu yduldeohv lqwkh jhqhudo prgho1 Zh dvvxph wkh h{lvwhqfh ridvwdwlrqdu|udwlr0 qdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp wkurxjkrxw wklv vhfwlrq/ ghihuulqj dqdo|vlv ri h{lvwhqfh dqg xqltxhqhvv frqglwlrqv xqwlo odwhu lq wkh sdshu1 614 Vwlfn| Sulfhv dqg Ioh{leoh Zdjhv Lq wkh vwlfn| sulfh yhuvlrq/ zdjhv duh frpsohwho| h{leoh +l1h1/ 1 htxdov }hur/ vr ‘ wkdw & dssurdfkhv 4,/ vr krxvhkrogv duh dozd|v rq wkhlu vxsso| uhdo zdjh vfkhgxoh ‘ +wkh lqyhuvh ri wkhlu oderu vxsso| fxuyh,1 Vlqfh wkh uhdo zdjh htxdov wkh vxsso| uhdo zdjh El ’ lr(cid:28)/ wkh sulfh vhwwlqj htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)e(cid:28) lpsolhv wkdw sulfh lq dwlrq | | ydulhv gluhfwo| zlwk wkh gl(cid:30)huhqfh ehwzhhq wkh vxsso| uhdo zdjh +wkh pdujlqdo frvw ri oderu, dqg wkh ghpdqg uhdo zdjh +wkh (cid:31)up*v pdujlqdo surgxfw ri oderu,1 Iljxuh 4 glvsod|v wkh uhodwlrqv ehwzhhq wkh rxwsxw jdsdqgwkh vxsso|dqgghpdqguhdo zdjhv/ uhvshfwlyho|1 Glvhtxloleulxplqwkh oderupdunhwEphdvxuhge|lr(cid:3)l_(cid:28) lv sursruwlrqdo | | wr glvhtxloleulxp lq wkh jrrgv pdunhw +phdvxuhg e| } (cid:28)1 Wkhuhiruh/ wkh sulfh0vhwwlqj | uhodwlrq fdq eh h{suhvvhg lq whupv ri fxuuhqw dqg h{shfwhg ixwxuh sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds= (cid:19) (cid:20) Z ’ qZ nb } c b ’ & { (cid:23) +55, | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:27) | (cid:27) (cid:27) (cid:129)3k Sulfh lq dwlrq ydulhv gluhfwo| zlwk wkh rxwsxw jds ehfdxvh (cid:31)upv pxvw sd| wkhlu hp0 sor|hhvkljkhuuhdozdjhvwrlqgxfhwkhpwrzrundgglwlrqdokrxuv/ zklohwkh pdujlqdo surgxfw ri oderu ghfolqhv1 Lq wklv vshfldo fdvh/ zh rewdlq wkh iroorzlqj uhvxowv1 Sursrvlwlrq (cid:129) G Lq wkh yhuvlrq zlwk vwlfn| sulfhv dqg h{leoh zdjhv E1 : f dqg (cid:27) 1 ’ f (cid:28)/ ‘ E@(cid:28) j2 ’ f li dqg rqo| li j2 ’ f Z } EK(cid:28) li j2 ’ j2 ’ f/ wkhq j2 : f Z } / ES(cid:28) li j2 ’ f/ wkhq j2 : f dqg j2 : f / Z } 44

Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Dffruglqj wr Sursrvlwlrq (cid:129)E@(cid:28)/ vwdelol}lqj sulfh lq dwlrq vwdelol}hv wkh rxwsxw jds/ dqg frqyhuvho|1 Sursrvlwlrq (cid:129)E@(cid:28) iroorzv lpphgldwho| iurp wkh irup ri wkh sulfh vhwwlqj uhodwlrq E22(cid:28) lq d vwdwlrqdu| htxloleulxp1 Li wkh rxwsxw jds lv vwdelol}hg/ wkh uhdo zdjh pxvw htxdo wkh frpsohwh h{lelolw| uhdo zdjh/ zklfk lv d(cid:30)hfwhg e| doo vkrfnv iurp htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)(cid:129)f,1 Sursrvlwlrq (cid:129)EK(cid:28) lqglfdwhv wkdw li sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds duh vwdelol}hg/ zdjh lq dwlrq pxvw ydu| wr jhqhudwh wkh uhtxluhg uhdo zdjh dgmxvwphqw1 Sursrvlwlrq (cid:129)ES(cid:28) lqglfdwhv wkdw li zdjh lq dwlrq lv vwdelol}hg/ wkhq vwdelol}lqj sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds lv lpsrvvleoh ehfdxvh wkh uhtxluhg uhdo zdjh dgmxvwphqw zrxog eh suhfoxghg1 615 Vwlfn| Zdjhv dqg Ioh{leoh Sulfhv Lq wkh vwlfn| zdjh yhuvlrq/ sulfhv duh frpsohwho| h{leoh +l1h1/ 1 htxdov }hur vr wkdw (cid:27) & dssurdfkhv lq(cid:31)qlw|,/ vr (cid:31)upv duh dozd|v rq wkhlu ghpdqg uhdo zdjh vfkhgxoh +wkh (cid:27) lqyhuvhriwkhluoderughpdqgfxuyh,1 Vlqfhwkhuhdozdjhhtxdovwkhghpdqguhdozdjh (cid:19) (cid:20) l ’ l_ / wkhzdjh0vhwwlqjhtxdwlrqEA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) lpsolhvzdjh lq dwlrqydulhvgluhfwo|zlwk | | wkh gl(cid:30)huhqfh ehwzhhq wkh vxsso| uhdo zdjh dqg wkh ghpdqg uhdo zdjh1 Wkhuhiruh/ wkh zdjh0vhwwlqj uhodwlrq fdq eh h{suhvvhg lq whupv ri fxuuhqw dqg h{shfwhg ixwxuh zdjh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds= (cid:19) (cid:20) / ’ q/ nb } c b ’ & { (cid:23) +56, | |n(cid:129)(cid:131)| ‘ | ‘ ‘ (cid:129)3k Wkh iroorzlqj sursrvlwlrq hvwdeolvkhv wkh h{lvwhqfh ri d yduldqfh wudghr(cid:30) ehwzhhq sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds1 Dv zh vkrz odwhu/ vxfk d wudghr(cid:30) h{lvwv xqghu pxfk pruh jhqhudo frqglwlrqv1 Sursrvlwlrq 2 G Lq wkh yhuvlrq zlwk vwlfn| zdjhv dqg h{leoh sulfhv E1 : f dqg ‘ 1 ’ f(cid:28)/ (cid:27) E@(cid:28) j2 ’ f li dqg rqo| li j2 ’ f / } EK(cid:28) li j2 ’ j2 ’ f/ wkhq j2 : f / } Z ES(cid:28) li j2 ’ f/ wkhq j2 : f dqg j2 : f Z / } Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Wkh uhvxowv vwdwhg lq wklv sursrvlwlrq uh hfw wkh irupdo vlplodulw| ri htxdwlrqv +55, dqg +56,1 Dffruglqj wr Sursrvlwlrq 2E@(cid:28)/ vwdelol}lqj zdjh lq dwlrq vwdelol}hv wkh rxwsxw jds/ dqg frqyhuvho|1 Sursrvlwlrq 2E@(cid:28) iroorzv lpphgldwho| iurp wkh irup ri htxdwlrqE2(cid:12)(cid:28)1 Sursrvlwlrq2EK(cid:28)lqglfdwhvwkdwlizdjhlq dwlrqdqgwkhrxwsxwjdsduh vwdelol}hg/ sulfh lq dwlrq pxvw ydu| wr jhqhudwh wkh uhtxluhg uhdo zdjh dgmxvwphqw1 Sursrvlwlrq 2S(cid:28) lqglfdwhv wkdw li sulfh lq dwlrq lv vwdelol}hg/ wkhq vwdelol}lqj zdjh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds lv lpsrvvleoh ehfdxvh wkh uhtxluhg uhdo zdjh dgmxvwphqw zrxog eh suhfoxghg1 45

Iljxuh 2 looxvwudwhv Sursrvlwlrq 2ES(cid:28) iru wkh fdvh ri l1l1g1 vkrfnv1 Lw lv dvvxphg wkdw vrph vkrfn kdv vkliwhg wkh vxsso| dqg ghpdqg uhdo zdjh vfkhgxohv vr wkdw wkh frpsohwh h{lelolw| htxloleulxp lv dw srlqw E} ’ fcl ’ lW(cid:28) lqvwhdg ri dw wkh suhylrxv (cid:19) (cid:20) | | | srlqw } ’ fcl ’ lW ’ f 1 Wkh Z ’ f vfkhgxoh vkrzv wkh sdluv ri l dqg } | |3(cid:129) |3(cid:129) | | wkdw duh frqvlvwhqw zlwk frpsohwh vwdelol}dwlrq ri sulfh lq dwlrq1 Li sulfh lq dwlrq lv vwdelol}hg/ wkhq wkh uhdo zdjh fdq ulvh rqo| li wkh rxwsxw jds lv srvlwlyh vr wkdw zdjhv ulvh1 Wkh Z ’ f vfkhgxoh lv xszdug vorslqj dqg sdvvhv wkurxjk wkh suhylrxv srlqw15< Zlwk vwlfn| zdjhv dqg h{leoh sulfhv/ wkh uhdo zdjh pxvw dovr eh rq wkh ghpdqg uhdo zdjh vfkhgxoh +l_,1 Zlwk frpsohwh vwdelol}dwlrq ri sulfh lq dwlrq/ wkh | qhz htxloleulxp lv dw wkh lqwhuvhfwlrq ri wkh Z ’ f vfkhgxoh dqg wkh l_ vfkhgxoh1 Uhdo | zdjhv ulvh ohvv wkdq li sulfhv zhuh ixoo| h{leoh/ dqg wkh rxwsxw jds lv srvlwlyh1 Li zdjh lq dwlrq lv ohvv vhqvlwlyh wr wkh rxwsxw jds/ wkh Z ’ f vfkhgxoh lv dwwhu/ vr wkh rxwsxw frvwv ri vwulfw lq dwlrq wdujhwlqj duh juhdwhu1 Sursrvlwlrqv (cid:129) dqg 2 duh khosixo lq uhfrqflolqj wzr vwudqgv ri wkh olwhudwxuh1 Rq wkh rqh kdqg/ vrph uhfhqw vwxglhv kdyh ghprqvwudwhg wkdw wkhuh lv qr rxwsxw0 jds2sulfh0lq dwlrq yduldqfh wudghr(cid:30) lq g|qdplf jhqhudo htxloleulxp prghov zlwk rs0 wlpl}lqj djhqwv/ vwdjjhuhg sulfh vhwwlqj/ dqg frpsohwho| h{leoh zdjhv163 Wkh vwlfn|0 sulfh2 h{leoh0zdjh yhuvlrq ri rxu prgho lv ghvljqhg wr uhsolfdwh wkhvh uhvxowv1 Lq sdu0 wlfxodu/ rxu sulfh vhwwlqj uhodwlrq E22(cid:28) lv wkh hvvhqwldoo| wkh vdph dv wkh sulfh vhwwlqj uhodwlrqv lpsolhg e| wkh prghov xvhg wr ghulyh wkh qr0wudghr(cid:30) uhvxowv +zlwk wkh plqru gl(cid:30)huhqfh wkdw vrph ri wkhvh sulfh vhwwlqj uhodwlrqv frqwdlq dgglwlrqdo ohdgv2odjv ri wkh rxwsxw jds,1 Rq wkh rwkhu kdqg/ d wudghr(cid:30) kdv ehhq vkrzq wr h{lvw lq vwlfn| sulfh prghov wkdw ghsduw iurp d vwulfw rswlpl}lqj iudphzrun164 Wkh nh| wr xqghuvwdqglqj wklv glyhujhqfh lv wkh uhfrjqlwlrq wkdw lq wkh odwwhu fodvv ri prghov/ wkh wudghr(cid:30) uhvxowv iurp (cid:19)wdfnlqj rq(cid:20) d vkrfn/ (cid:24) / wr dq rswlpl}dwlrq0edvhg sulfh0vhwwlqj htxdwlrq olnh | E22(cid:28) wr rewdlq d sulfh0vhwwlqj htxdwlrq ri wkh irup= Z ’ qZ nb } n(cid:24) (cid:23) +57, | |n(cid:129)(cid:131)| ‘ | | Lw lv hylghqw iurp htxdwlrq E2e(cid:28) wkdw wklv vshfl(cid:31)fdwlrq lpsolhv dq rxwsxw0lq dwlrq yrodwlolw| wudghr(cid:30)165 Lqfrqwudvw/ dwudghr(cid:30)dulvhv hqgrjhqrxvo|lqwkh vwlfn|zdjh2 h{leoh sulfhyhuvlrq ri rxu prgho1 Wkh sulfh0vhwwlqj htxdwlrq lpsolhg e| wklv yhuvlrq lv66 5<Lq vhfwlrq 8 zh surylgh d frpsohwh dqdo|vlv ri zkdw kdsshqv zkhq lq dwlrq lv frpsohwho| vwd0 elol}hg +(cid:28) @ 3>m @ 3>===>4,1 Dffruglqj wr wkdw dqdo|vlv/ wkh uhgxfhg0irup h{suhvvlrq iru w.mmw zdjh lq dwlrq lv $ @ +d (cid:3)4,(cid:19) .f x .f { .f } > zkhuh 3 ? d ? 4 lv gh(cid:31)qhg lq Wdeoh w 3 w(cid:3)4 $x w ${ w $} w 3 51 Wkhuhiruh/ lq wkh fdvh ri l1l1g1 vkrfnv/ h{shfwhg zdjh lq dwlrq lv $ @ +d (cid:3)4,(cid:19) > vr wkh w.4mw 3 w zdjh0vhwwlqj htxdwlrq fdq eh uhzulwwhq dv $ @(cid:15)+d (cid:3)4,(cid:19) .(cid:23) (cid:23)j = Zlwk (cid:28) @ 3 dqg wkh odjjhg w 3 w Z w w (cid:6) uhdo zdjh dw lwv vwhdg| vwdwh ydoxh ri }hur +(cid:19) @ (cid:19) @3,/ wkh uhdo zdjh fkdqjh htxdwlrq +W4=9, w(cid:3)4 w(cid:3)4 lpsolhv wkdw $ @ (cid:19) = Frpelqlqj wkh odvw wzr htxdwlrqv e| holplqdwlqj $ dqg vroylqj iru (cid:19) |lhogv w w w w wkh htxdwlrq iru wkh (cid:28) @3 vfkhgxoh lq wkh erwwrp sdqho ri Iljxuh 4/ (cid:19) w @+ 5 (cid:24) (cid:3)Z d ,j w = 63Vhh wkh uhihuhqfhv lq irrwqrwh 51 3 64Vhh wkh uhihuhqfh lq irrwqrwh 81 65Li sulfh lq dwlrq lv frpsohwho| vwdelol}hg +wkdw lv/ (cid:28) @ (cid:28) @ 3,/ wkhq wkh yduldqfh ri wkh w w.4mw rxwsxw jds lv sursruwlrqdo wr wkh yduldqfh ri wkh glvwxuedqfh ! 1 w 66Htxdwlrq +D=7, lv vroyhg iru $ / dqg wkh uhvxowlqj htxdwlrq dqg lwv iruzdughg yhuvlrq duh xvhg w 46

Z ’ qZ n8Eu(cid:28)} n(cid:24) c | |n(cid:129)(cid:131)| | | (cid:19) (cid:20) k l (cid:19) (cid:20) 8Eu(cid:28) ’ (cid:3) qk u3(cid:129) n E(cid:129)nq(cid:28)k nb (cid:3) k u +58, (cid:129)3k (cid:129)3k ‘ (cid:129)3k (cid:19) (cid:20)k (cid:19) (cid:20) (cid:19) (cid:20)l (cid:24) ’ (cid:3) (cid:129) q k+W (cid:3)% (cid:3)E(cid:129)nq(cid:28)Ek+W (cid:3)% (cid:28)n k+W (cid:3)% | (cid:129)3k |n(cid:129)(cid:131)| |n(cid:129)(cid:131)| | | |3(cid:129) |3(cid:129) zkhuh u lv wkh odj rshudwru1 Wklv sulfh0vhwwlqj htxdwlrq kdv hvvhqwldoo| wkh vdph irup dv htxdwlrq E2e(cid:28)/ exw wkh uhvlgxdo (cid:24) lv dq h{solflw ixqfwlrq ri wkh xqghuo|lqj | suhihuhqfh dqg whfkqrorj| sdudphwhuv dqg wkh h{rjhqrxv vkrfnv/ udwkhu wkdq dq dg krf dgglwlrq1 616 Vwlfn| Sulfhv dqg Vwlfn| Zdjhv Zlwk d vwlfn| zdjhv dqg vwlfn| sulfhv/ krxvhkrogv duh qrw rq wkhlu vxsso| uhdo zdjh vfkhgxohv xqohvv zdjh lq dwlrq lv frpsohwho| vwdelol}hg/ dqg (cid:31)upv duh qrw rq wkhlu ghpdqg uhdo zdjh vfkhgxohv xqohvv sulfh lq dwlrq lv frpsohwho| vwdelol}hg1 Sursrvlwlrq (cid:12)= Lq wkh yhuvlrq zlwk vwlfn| zdjhv dqg sulfhv E1 : f dqg 1 : f(cid:28)/ ‘ (cid:27) E@(cid:28) li j2 ’ f/ wkhq j2 : f dqg j2 : f } Z / EK(cid:28) li j2 ’ f/ wkhq j2 : f dqg j2 : f Z } / ES(cid:28) li j2 ’ f/ wkhq j2 : f dqg j2 : f / } Z Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Dffruglqj wr Sursrvlwlrq (cid:12)/ dvvxplqj wkdw lw lv ihdvleoh wr vhw wr }hur wkh yduldqfh ri dq| rqh ri wkh wkuhh srolf|0iurqwlhu yduldeohv +rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq,/ wkh yduldqfh ri wkh uhpdlqlqj wzr pxvw eh vwulfwo| srvlwlyh1 Dv zh vkrz ehorz/ lidq| rqhriwkhwkuhhsrolf|0iurqwlhuyduldeohvlvvwdelol}hg/ wkhuhdo zdjhpxvw dgmxvw lq uhvsrqvh wr vkrfnv1 Li rqh ri wkh wzr lq dwlrq udwhv lv vwdelol}hg/ wkhq wkh uhdo zdjh pxvw olh rq hlwkhu wkh krxvhkrog*v ru (cid:31)up*v uhdo zdjh vfkhgxoh +ghshqglqj rq zklfk lq dwlrq udwh lv vwdelol}hg,1 Lq wklv vlwxdwlrq wkh lq dwlrq udwh wkdw lv qrw vwdelol}hg ghshqgv rqo| rq wkh rxwsxw jds +dqg lwv rzq h{shfwhg ixwxuh ydoxh,1 Wkxv/ vwdelol}lqj dq| wzr ri wkh wkuhh yduldeohv lv lpsrvvleoh ehfdxvh lw suhfoxghv dq| dgmxvwphqw lq wkh uhdo zdjh1 Rxu dqdo|vlv kdv wzr jhqhudo lpsolfdwlrqv1 Iluvw/ li hlwkhu ri wkh qrplqdo yduldeohv lv frpsohwho| vwdelol}hg/ wkh dgmxvwphqw surfhvv lv wkh vdph luuhvshfwlyh ri zkhwkhu wkdwyduldeohlvvwlfn|ruqrw1 Iruh{dpsoh/lisulfhlq dwlrqlvvwdelol}hg/ dgmxvwphqwlv wkhvdphzkhqerwksulfhvdqgzdjhvduhvwlfn|dvzkhqrqo|zdjhvduhvwlfn|1 Vhfrqg/ wkh frqvhtxhqfhv ri vwdelol}lqj d qrplqdo yduldeoh ghshqg fulwlfdoo| rq zkhwkhu wkh qrplqdo yduldeoh qrw ehlqj vwdelol}hg lv vwlfn|1 Iru h{dpsoh/ vwulfw sulfh lq dwlrq wr holplqdwh $ dqg $ lq htxdwlrq +56,= w w.4mw 47

wdujhwlqj fdq vwdelol}h erwk sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds lq wkh vshfldo fdvh lq zklfk rqo| sulfhv duh vwlfn| ehfdxvh wkh uhdo zdjh fdq fkdqjh zlwkrxw uhtxlulqj rxwsxw wr ghyldwh iurp srwhqwldo1 Krzhyhu/ li zdjhv duh vwlfn|/ wkh uhdo zdjh fdq fkdqjh rqo| li wkh rxwsxw jds fkdqjhv1 7 Wkh Srolf| Iurqwlhu lq d Wudfwdeoh Yhuvlrq Lq wkh suhylrxv vhfwlrq/ zh ghprqvwudwhg wkdw wkh vxsso| eorfn ri wkh prgho lp0 srvhv fhuwdlq uhvwulfwlrqv rq wkh srolf| iurqwlhu/ e| uxolqj rxw wkh srvvlelolw| ri frp0 sohwho| vwdelol}lqj fhuwdlq frpelqdwlrqv ri yduldeohv1 Lq wklv vhfwlrq/ zh surylgh d frpsohwh fkdudfwhul}dwlrq ri wkh srolf| iurqwlhu iru dq dqdo|wlfdoo| wudfwdeoh yhuvlrq ri wkh prgho/ lqfoxglqj frqglwlrqv iru wkh h{lvwhqfh ri d xqltxh vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp +khqfhiruwk uhihuuhg wr dv ghwhuplqdf| ,1 Wklv h{huflvh dovr looxvwudwhv wkh surfhgxuh xvhg wr fdofxodwh srolf| iurqwlhuv lq pruh frpsolfdwhg prg0 hov vxfk dv wkh rqh frqvlghuhg lq Vhfwlrq 81 Lq wklv yhuvlrq ri wkh prgho/ zdjhv duh vwlfn| exw sulfhv duh shuihfwo| h{leoh dqg wkh pdujlqdo surgxfw ri oderu lv frqvwdqw Ek ’ f(cid:28)1 Wklv yhuvlrq frpsulvhv irxu htxdwlrqv= wkh zdjh vhwwlqj htxdwlrq E2(cid:12)(cid:28)/ wkh sulfh vhwwlqj htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)e(cid:28)/ wkh jrrgv ghpdqg htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28)/ dqg wkh prqhwdu| uxoh EA(cid:129)(cid:23)H(cid:28)1 714 Frqglwlrqv iru Ghwhuplqdf| ri Htxloleulxp Vx!flhqw frqglwlrqv iru wkh ghwhuplqdf| ri htxloleulxp duh jlyhq lq Sursrvlwlrq e= Sursrvlwlrq e= Zlwk vwlfn| zdjhv dqg h{leoh sulfhv E1 : fc1 ’ f(cid:28) dqg d frq0 ‘ (cid:27) vwdqw pdujlqdo surgxfw ri oderu Ek ’ f(cid:28)/ dvvxph wkdw (cid:14) (cid:24) f/ (cid:14) (cid:24) f/ dqg } Z (cid:14) (cid:24) f1 Wkhq hdfk ri wkh iroorzlqj frqglwlrqv lv vx!flhqw wr hqvxuh wkh h{lv0 / whqfh ri d xqltxh/ vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp= E@(cid:28) (cid:14) : (cid:129) Z EK(cid:28) (cid:14) : (cid:129) / (cid:19) (cid:20) ES(cid:28) (cid:14) : b ‘ E(cid:129)(cid:3)(cid:14) (cid:3)(cid:14) (cid:28) } (cid:129)3q Z / (cid:19) (cid:20) E_(cid:28) (cid:129)3q (cid:14) n(cid:14) n(cid:14) (cid:3)(cid:129) : f b } Z / ‘ Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Wkh (cid:31)uvw wzr frqglwlrqv duh qr grxew idploldu wr pdq|1 Wkhvh frqglwlrqv lpso| ghwhuplqdf|/ iru h{dpsoh/ li d shufhqwdjh srlqw lqfuhdvh lq hlwkhu sulfh lq dwlrq ru zdjh lq dwlrq ohdgv wr d odujhu lqfuhdvh lq wkh qrplqdo lqwhuhvw udwh1 Wkh wklug frqglwlrq pd| eh vrphzkdw vxusulvlqj1 Dffruglqj wr wklv frqglwlrq/ li (cid:19) (cid:20) wkh lqwhuhvw udwh uhvsrqvh wr wkh rxwsxw jds (cid:14) lv odujh hqrxjk/ wkhq htxloleulxp } lv ghwhuplqdwh hyhq li wkh prqhwdu| uxoh grhv qrw lqfoxgh d qrplqdo dqfkru +wkdw lv/ 48

hyhq li erwk (cid:14) dqg (cid:14) duh }hur,167 Lw vkrxog eh hpskdvl}hg wkdw qrplqdo vwlfnlqhvv Z / lv qhfhvvdu| iru wklv uhvxow1 Li zdjhv dqg sulfhv duh shuihfwo| h{leoh +wkdw lv/ li 1 ’ 1 ’ f,/ ghwhuplqdf| uhtxluhv wkdw prqhwdu| srolf| sxuvxh d qrplqdo dqfkru (cid:27) ‘ zlwk d vx!flhqw ghjuhh ri djjuhvvlyhqhvv +wkdw lv/ (cid:14) n(cid:14) : (cid:129),1 Jlyhq dq hpslulfdoo| Z / sodxvleoh ghjuhh ri qrplqdo lqhuwld/ ghwhuplqdf| uhtxluhv wkdw (cid:14) eh derxw H lq wkh } devhqfh ri d qrplqdo dqfkru +(cid:14) ’ (cid:14) ’ f,168 Z / Dqdorjrxv uhvxowv fdq eh rewdlqhg lq doo wkh yhuvlrqv ri wkh jhqhudo prgho frq0 vlghuhg lq wklv sdshu1 Zh frqmhfwxuh wkdw qr0qhhg0iru0d0qrplqdo0dqfkru uhvxowv duh d jhqhudo ihdwxuh ri vwdjjhuhg frqwudfw prghov dqg prghov zlwk rwkhu irupv ri shu0 vlvwhqw qrplqdo vwlfnlqhvv +iru h{dpsoh/ frqyh{ frvwv ri dgmxvwlqj zdjhv dqg sulfhv,1 Lq frqwudvw/ zlwk v|qfkurql}hg frqwudfwv/ lw kdv ehhq vkrzq wkdw d qrplqdo dqfkru lv uhtxluhg iru ghwhuplqdf|169 715 Fkdudfwhul}lqj wkh Srolf| Iurqwlhu Lq wklv vxevhfwlrq zh fkdudfwhul}h wkh srolf| iurqwlhu dvvrfldwhg zlwk l1l1g1 surgxfwly0 lw|vkrfnv1 Wkhsrolf|pdnhu*vyduldqfhorvvixqfwlrq/O/ lvdzhljkwhgvxpriyduldqfhv ri wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq= k l O ’ (cid:129) > j2 n> j2 n> j2 (cid:23) +59, 2 } } Z Z / / zkhuh > n> n> ’ (cid:129)1 } Z / Hdfk srlqw rq wkh srolf| iurqwlhu lv ghulyhg e| fkrrvlqj wkh sdudphwhuv ri wkh prqhwdu| srolf| uxoh wr plqlpl}h wkh srolf|pdnhu*v orvv ixqfwlrq iru d sduwlfxodu vhw ri zhljkwv1 Wkh prqhwdu| srolf| uxoh lv ri wkh irup= (cid:16) ’ (cid:14)7 / n(cid:14) % n(cid:14) % c +5:, / | % | %3(cid:129) |3(cid:129) Wkh sduwlfxodu irup ri wkh prqhwdu| srolf| uxoh E2.(cid:28) uh hfwv wkh idfw wkdw wkh vwdwh vsdfh ri wkh prgho lqfoxghv rqo| wkh fxuuhqw dqg odjjhg surgxfwlylw| vkrfn1 Lq jhqhudo/wkhyduldeohvlqfoxghglqwkhrswlpdoprqhwdu|srolf|uxohpxvwvsdqwkhvwdwh vsdfh ri wkh prgho/ vr dv wr doorz lqwhuhvw udwhv wr uhdfw wr dq| yduldeoh wkdw d(cid:30)hfwv wkh hfrqrp|1 Li wkh srolf| lqvwuxphqw lv wkh lqwhuhvw udwh/ wkh uxoh pxvw dovr lqfoxgh dq dssursuldwh hqgrjhqrxv yduldeoh zlwk d frh!flhqw wkdw hqvxuhv ghwhuplqdf|1 Iru wklv sxusrvh zh lqfoxgh zdjh lq dwlrq/ / / zlwk d frh!flhqw/ (cid:14)7 / juhdwhu wkdq xqlw|1 | / Wkh yduldqfhv wkdw dsshdu lq wkh orvv ixqfwlrq fdq eh h{suhvvhg dv ixqfwlrqv ri wkh sdudphwhuv ri wkh prqhwdu| srolf| uxoh dqg wkh hfrqrplf prgho16: Jlyhq l1l1g1 surgxfwlylw| vkrfnv/ wkh h{suhvvlrqv iru wkh yduldqfhv duh 67Fodulgd/ Jdol/ dqg Jhuwohu +4<<:, fdoo dwwhqwlrq wr wkh idfw wkdw lqfuhdvlqj (cid:16) uhgxfhv wkh vl}h j ri (cid:16) uhtxluhg iru ghwhuplqdf| exw gr qrw srlqw rxw wkdw (cid:16) +dqg lq rxu prgho (cid:16) , frxog eh }hur1 (cid:28) (cid:28) $ Rq wkh edvlv ri wkhlu hvwlpdwh ri (cid:16) dqg rwkhu sdudphwhuv/ wkh| frqfoxgh wkdw wkh frqglwlrq iru j ghwhuplqdf| fdqqrw eh phw li (cid:16) lv yhu| idu ehorz xqlw|1 (cid:28) 68WklvydoxhlvfdofxodwhgxvlqjwkhorzhuerxqglqSursrvlwlrq7+f,dqgwkh sdudphwhuvglvsod|hg lq Wdeoh 61 69Vhh/ iru h{dpsoh/ Khqghuvrq dqg Nlp +4<<;,1 6:Wkh uhgxfhg0irup vroxwlrqv iru wkh yduldeohv duh lq Dsshqgl{ D1 49

k l j2 ’ (cid:129) j2 (cid:3)2q_2(cid:14) (cid:14) (cid:3)2q_e(cid:14)2 (cid:3)2q_s(cid:14) nq2_2(cid:14)2 c } V2 V2 / % %3(cid:129) %3(cid:129) %3(cid:129) %3(cid:129) ‘ j2 ’ j2 n2_(cid:14) (cid:3)2_(cid:14) (cid:3)2e(cid:14) (cid:3)2s n2 Z / %3(cid:129) % %3(cid:129) +5;, j2 ’ _2(cid:14)2 n_2(cid:14)2 n2_e(cid:14) (cid:14) ne2(cid:14)2 n2_s(cid:14) n2es(cid:14) ns2c / %3(cid:129) % % %3(cid:129) %3(cid:129) % %3(cid:129) k l (cid:23) (cid:24) _ ’ 3b ‘ c e ’ (cid:3)_2 (cid:129)n E(cid:129)nq(cid:28)j(cid:20)7 (cid:28) c s ’ _ E j(cid:20)7 (cid:28) 3(cid:129) (cid:28)E kn(cid:29)(cid:20)7 u (cid:28) (cid:23) j(cid:20)7 (cid:28)nb ‘ (cid:14)7/ b ‘ { zkhuh wkh yduldqfh ri wkh surgxfwlylw| vkrfn kdv ehhq vhw htxdo wr xqlw| iru frqyh0 qlhqfh Ej2 ’ (cid:129)(cid:28)1 % (cid:19) (cid:20) Sursrvlwlrq 8 jlyhv wkh frh!flhqwv (cid:14)(cid:9) / (cid:14)(cid:9) ri wkh prqhwdu| srolf| uxoh wkdw % %3(cid:129) plqlpl}hv wkh yduldqfh orvv ixqfwlrq1 Wkhvh frh!flhqwv duh ixqfwlrqv ri wkh sd0 udphwhuv ri wkh orvv ixqfwlrq dqg wkh vwuxfwxudo sdudphwhuv ri wkh prgho +lqfoxglqj (cid:14)7 ,1 / Sursrvlwlrq D= Lq wkh yhuvlrq zlwk vwlfn| zdjhv dqg h{leoh sulfhv Ef (cid:9) V (cid:9) ‘ 4 dqg V $ 4(cid:28)/ d frqvwdqw pdujlqdo surgxfw ri oderu Ek ’ f(cid:28)/ dqg l1l1g1 (cid:27) surgxfwlylw| vkrfnv zlwk d yduldqfh ri xqlw| Ej2 ’ (cid:129)c j2 ’ fc j2 ’ fc 4 ’ f(cid:28)/ % (cid:4) 5 % wkh orvv ixqfwlrq E2S(cid:28) lv plqlpl}hg e| dgrswlqj d uxoh ri wkh irup E2.(cid:28) zlwk wkh orvv0plqlpl}lqj frh!flhqwv jlyhq e| # $ >}q (cid:14)(cid:9) ’ (cid:19) > Z (cid:20) (cid:3) s n b‘ (cid:3) e (cid:14)(cid:9) c % _ (cid:129)n b > ‘ } 3> } _ (cid:129)n b > ‘ } 3> } _ %3(cid:129) (cid:19) (cid:20) +5<, (cid:14)(cid:9) ’ (cid:23) (cid:19) 3> Z (cid:129)n b > ‘ } (cid:20) 3> } 3 > b } ‘ q (cid:24)(cid:23) %3(cid:129) _ (cid:129)n b > ‘ } 3> } 2 n > b } ‘ qE (cid:129)3> } (cid:28) Wkh rswlpdo yduldqfhv duh jlyhq e| wkh yduldqfh h{suhvvlrqv lq htxdwlrq E2H(cid:28) zlwk (cid:14) ’ (cid:14)(cid:9) dqg (cid:14) ’ (cid:14)(cid:9) 1 % % %3(cid:129) %3(cid:129) Surri= Vhh Dsshqgl{ D Sursrvlwlrq8vkrzvwkdwwkhyduldqfhvriwkh rxwsxwjds/ sulfhlq dwlrq/ dqgzdjh lq dwlrq lpsolhg e| plqlpl}lqj wkh yduldqfh orvv ixqfwlrq E2S(cid:28) ghshqg rq wkh zhljkwv lq wkhorvvixqfwlrq1 Ydu|lqjwkh zhljkwv ryhudoo dgplvvdeohydoxhvwudfhv rxw dwkuhh0 glphqvlrqdo srolf| iurqwlhu1 Wzr srlqwv rq wkh iurqwlhu duh sduwlfxoduo| lqwhuhvwlqj dqg duh hdv| wr ghwhuplqh dqdo|wlfdoo|1 Iluvw/ li rqo| wkh yduldqfh ri wkh rxwsxw jds hqwhuv wkh orvv ixqfwlrq E2S(cid:28)/ wkdw lv/ li > ’ (cid:129)/ wkhq wkh yduldqfh h{suhvvlrqv E2H(cid:28) lpso| wkdw j2 ’ j2 ’ f } / } dqg wkdw j2 ’ (cid:15)@oE% (cid:3)% (cid:28) ’ 2j2 ’ 2/ vr wkdw wkh yduldqfh ri lq dwlrq vlpso| Z | |3(cid:129) % htxdov wzlfh wkh yduldqfh ri wkh whfkqrorj| vkrfn16; Zlwk h{leoh sulfhv/ wkh uhdo 6;Uhfdoo wkdw zh dvvxph iru vlpsolflw| wkdw (cid:30)5 @4= { 4:

zdjh pxvw htxdo wkh ghpdqg uhdo zdjh/ dqg zlwk k ’ f/ wkh ghpdqg uhdo zdjh pxvw htxdo wkh surgxfwlylw| vkrfn1 Wkhuhiruh/ d srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfn udlvhv wkh uhdo zdjh e| dq htxdo dprxqw1 Li wkh rxwsxw jds lv frpsohwho| vwdelol}hg/ wkhq qrplqdo zdjh lq dwlrq uhpdlqv frqvwdqw dqg doo uhdo zdjh dgmxvwphqw pxvw eh dffrpsolvkhg wkurxjk sulfh lq dwlrq1 Vhfrqg/ li rqo| wkh yduldqfh ri sulfh lq dwlrq hqwhuv wkh yduldqfh orvv ixqfwlrq/ wkdw lv/ li > ’ (cid:129)/ wkhq wkh yduldqfh h{suhvvlrqv E2H(cid:28) lpso| wkdw j2 ’ f/ wkdw Z Z j2 ’ (cid:15)@oE% (cid:3)% (cid:28) ’ 2j2 ’ 2/ dqg wkdw j2 ’ (cid:129) (cid:15)@oE% (cid:3)% (cid:28) ’ 2 (cid:23) Wkh / | |3(cid:129) % } V2 V2 | |3(cid:129) V2 V2 ‘ ‘ yduldqfh ri wkh rxwsxw jds zlwk frpsohwh lq dwlrq vwdelol}dwlrq lv lqyhuvho| uhodwhg wr wkh frpsrvlwh sdudphwhu b c wkh sdudphwhu lq wkh zdjh vhwwlqj htxdwlrq wkdw ‘ ghwhuplqhv wkh uhvsrqvh ri zdjh lq dwlrq wr dq lqfuhdvh lq wkh rxwsxw jds1 Li wkhuh lv d srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfn dqg sulfh lq dwlrq lv frpsohwho| vwdelol}hg/ doo wkh uh0 txluhg xszdug dgmxvwphqw pxvw eh dffrpsolvkhg wkurxjk zdjh lq dwlrq1 Li qrplqdo zdjhv duh uhodwlyho| vwlfn| +wkdw lv/ lib lv vpdoo,/ wkhqlq dwlrqvwdelol}dwlrqlqgxfhv ‘ uhodwlyho| kljk rxwsxw yrodwlolw|/ ehfdxvh wkh uhtxluhg fkdqjh lq zdjh lq dwlrq pxvw eh dvvrfldwhg zlwk d odujh lqfuhdvh lq wkh rxwsxw jds1 Iljxuh 6 sorwv wzr0glphqvlrqdo uhsuhvhqwdwlrqv ri wkh srolf| iurqwlhuv iru zdjh frqwudfwv zlwk dyhudjh gxudwlrqv ri (cid:129)(cid:23)(cid:129) txduwhuv +xsshu sdqhov, dqg2 txduwhuv +orzhu sdqhov,1 Dv vkrzq lq wkh ohiw0kdqg sdqhov/ wkh dprxqw ri rxwsxw yrodwlolw| dvvrfldwhg zlwk frpsohwh lq dwlrq vwdelol}dwlrq ulvhv gudpdwlfdoo| dv zdjhv ehfrph pruh vwlfn|/ wkdw lv/ dv wkh dyhudjh gxudwlrq ri zdjh frqwudfwv lqfuhdvhv1 Wklv yhuvlrq ri wkh prgho lv dgplwwhgo| h{wuhph ehfdxvh lw irufhv wkh gh dwlrqdu| h(cid:30)hfwv ri d srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfn wr eh r(cid:30)vhw h{foxvlyho| wkurxjk zdjh dgmxvwphqw/ zkhuhdv zlwk d glplqlvklqj pdujlqdo surgxfw ri oderu/ vxfk d vkrfn sxwv xszdug suhvvxuh rq sulfh lq dwlrq16< Qhyhuwkhohvv/ wklv gldjudpkljkoljkwv wkh srlqw wkdw lq dwlrqvwdelol}dwlrq fdq jhqhudwh yhu| odujh pryhphqwv lq wkh rxwsxw jds1 716 D Judsklfdo Looxvwudwlrq Lq wkh fdvh ri l1l1g1 vkrfnv lw lv srvvleoh wr looxvwudwh judsklfdoo| wkh uhvxowv ri wkh yhuvlrq zlwk vwlfn| zdjhv/ h{leoh sulfhv/ k ’ f/ dqg l1l1g1 vkrfnv1 D nh| surshuw| ri wklv yhuvlrq ri wkh vwlfn| zdjh prgho lv wkdw wkh sulfh vhwwlqj uhodwlrq lv qrw d rqh0wr0rqh uhodwlrqvkls ehwzhhq sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds1 Lw lv vkrzq wkdw lq wklv yhuvlrq d yduldqfh wudghr(cid:30) h{lvwv iru surgxfwlylw| vkrfnv exw qrw iru wkh rwkhu vkrfnv1 Dffruglqj wr Sursrvlwlrq D/ lq wklv yhuvlrq li hlwkhu wkh vxp ri (cid:14) dqg (cid:14) ru (cid:14) lv Z / } odujhhqrxjk/ wkhprgho kdv dxqltxh htxloleulxp1 Doo yduldeohvh{fhswsulfhlq dwlrq zlwk d surgxfwlylw| vkrfn duh h{shfwhg wr uhwxuq wr wkhlu vwhdg| vwdwh ydoxhv lq wkh shulrg diwhu dq| vkrfn/ dqg sulfh lq dwlrq zlwk d surgxfwlylw| vkrfn lv h{shfwhg wr uhwxuq wzr shulrgv diwhu1 Wkdw lv/ zh rewdlq wkh vxusulvlqj uhvxow wkdw ghvslwh wkh idfw wkdw zdjhv duh vhw lq vwdjjhuhg frqwudfwv/ l1l1g1 vkrfnv gr qrw kdyh shuvlvwhqw h(cid:30)hfwv1 Wkh h{sodqdwlrq iru wklv uhvxow lv wkdw zlwk shuihfwo| h{leoh sulfhv wkh uhdo zdjh fdq eh dw wkh ydoxh lw zrxog kdyh zlwk frpsohwh h{lelolw| lq wkh devhqfh ri d 6<D yhuvlrq zlwk ghfuhdvlqj uhwxuqv lv frqvlghuhg lq Vhfwlrq 81 4;

vkrfn/ dqg krxvhkrogv gr qrw fduh derxw wkh uhodwlyh zdjhv ri wkh gl(cid:30)huhqwldwhg oderu lqsxwv wkdw pdnh xs oderu dv orqj dv wkh| fdq vxsso| wkh frpsohwh h{lelolw| dprxqw ri oderu1 Wklv yhuvlrq ri wkh prgho frpsulvhv htxdwlrqv E2(cid:12)(cid:28)/ E(cid:8)(cid:23)e(cid:28)/ EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28)/ dqg EA(cid:129)(cid:23)H(cid:28) zlwk (cid:14) ’ (cid:14) ’ f(cid:23) / / + / dqg +W / dqg (cid:4) wdnh rq duh dw wkhlu vwhdg| % %3(cid:129) |n(cid:129)(cid:131)| |n(cid:129)(cid:131)| |n(cid:129)(cid:131)| |n(cid:129)| vwdwh ydoxhv ri }hur/ dqg Z ’ % 1 Xvlqj htxdwlrq E2(cid:12)(cid:28) wr holplqdwh / zkhuhyhu lw |n(cid:129)(cid:131)| | | dsshduv |lhogv wkh yhuvlrq ri wkh prgho wkdw zloo eh xvhg lq wkh dqdo|vlv= Z ’ b } (cid:3)% n% c +63, | ‘ | | |3(cid:129) 7 (cid:129) (cid:129) (cid:20) } ’ (cid:3) (cid:16) n % n L(cid:4) (cid:3)+Wc +64, | j(cid:20) 7 | j(cid:20) 7 | (cid:20) 7 | | (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:19) (cid:20) (cid:16) ’ (cid:14) Z n (cid:14) b n(cid:14) } c +65, | Z | / ‘ } | zkhuh +W lv gh(cid:31)qhg lq Wdeoh (cid:129)(cid:23) | Wklv prgho fdq eh dqdo|}hg xvlqj wkuhh vfkhgxohv dv vkrzq lq Iljxuh 71 Wkh xszdug vorslqj (cid:8)7 vfkhgxoh vkrzv wkh sdluv ri sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds wkdw vdwlvi| wkh sulfh vhwwlqj htxdwlrq +63,1 Lw ehduv uhshdwlqj wkdw d nh| surshuw| ri wklv yhuvlrq ri wkh vwlfn| zdjh prgho lv wkdw wkh sulfh vhwwlqj uhodwlrq lv qrw d rqh0 wr0rqh uhodwlrqvkls ehwzhhq sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds1 Lq judsklfdo whupv/ wkh surgxfwlylw| vkrfn vkliwv wkh (cid:8)7 vfkhgxoh1 Wkh yhuwlfdo C vfkhgxoh vkrzv wkh ydoxh ri } zklfk vdwlv(cid:31)hv wkh jrrgv ghpdqg htxdwlrq +64, iru d jlyhq lqwhuhvw udwh1 | Lqfuhdvhv lq wkh lqwhuhvw udwh vkliw wkh C vfkhgxoh wr wkh ohiw1 Wkh grzqzdug0vorslqj - vfkhgxoh vkrzv wkh ydoxhv ri sulfh lq dwlrq dqg wkh rxwsxw jds zklfk vdwlvi| wkh srolf| uxoh/ htxdwlrq +65,/ iru d jlyhq lq dwlrq udwh/ dqg lqfuhdvhv lq (cid:16) vkliw wkh - | vfkhgxoh wr wkh uljkw1 Dv dq h{dpsoh/ frqvlghu wkh h(cid:30)hfwv ri d srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfn zlwk (cid:14) / (cid:14) / } / dqg (cid:14) doo (cid:31)qlwh vr wkdw wkh jds/ zdjh lq dwlrq/ dqg sulfh lq dwlrq fdq ghyldwh iurp Z wkhlu vwhdg| vwdwh ydoxhv1 Wkhvh h(cid:30)hfwv duh vkrzq lq Iljxuh 71 Zh ehjlq e| frqvlghulqj wkh lqlwldo h(cid:30)hfwv1 Rqh lqlwldo h(cid:30)hfw ri wkh vkrfn lv idploldu1 Wkh vkrfn vkliwv wkh (cid:8)7 vfkhgxoh grzq iurp (cid:8)7 wr (cid:8)7 1 Iru d jlyhq ydoxh f (cid:129) riwkh jds+dqgwkhuhiruhzdjhlq dwlrq,/ sulfh lq dwlrqpxvweh orzhuvrwkdwwkhuhdo zdjh fdq ulvh1 Dqrwkhu lqlwldo h(cid:30)hfw lv ohvv idploldu1 Wkh vkrfn vkliwv wkh C vfkhgxoh wr wkh uljkw iurp C wr C 1 Dq lqfuhdvh lq % udlvhv h{shfwhg lq dwlrq wkhuhe| udlvlqj f (cid:129) | wkh ghpdqgiru rxwsxw/ dqgwklv h(cid:30)hfw rxwzhljkv wkh h(cid:30)hfw ri wkh lqfuhdvh lq +W zklfk | whqgv wr orzhu wkh jds1 Lq vxppdu|/ zkhq erwk lqlwldo h(cid:30)hfwv duh frqvlghuhg/ dw dq xqfkdqjhg lqwhuhvw udwh/ wkh vkrfn lqfuhdvhv wkh jds exw pd| orzhu ru udlvh sulfh lq dwlrq1 Zkhwkhu wkh lqwhuhvw udwh ulvhv ru idoov ghshqgv rq zkhwkhu wkh lqwhuvhfwlrq ri wkh (cid:8)7 dqg C vfkhgxohv olhv wr wkh uljkw ru wr wkh ohiw ri lqlwldo - vfkhgxoh1 Li lw olhv wr (cid:129) (cid:129) wkh uljkw dv lq Iljxuh 7/ wkh lqwhuhvw udwh ulvhv dqg wkh C vkliw wr wkh ohiw dqg wkh vfkhgxoh vkliwv wr wkh uljkw xqwlo wkh| phhw vrphzkhuh rq wkh kdwfkhg sruwlrq ri wkh vkliwhg (cid:8)7 vfkhgxoh1 Lq wkh qhz htxloleulxp/ wkh rxwsxw jds lv gh(cid:31)qlwho| kljkhu exw 4<

sulfh lq dwlrq pd| eh kljkhu ru orzhu1 Li lw olhv wr wkh ohiw +qrw vkrzq,/ wkh lqwhuhvw udwh idoov/ wkh rxwsxw jds lv kljkhu/ dqg sulfh lq dwlrq lv gh(cid:31)qlwho| orzhu1 Qrz frqvlghu wkh h{wuhph fdvh vkrzq lq Iljxuh 81 Li dssurdfkhv (cid:14) ru (cid:14) ds0 } / surdfkhv lq(cid:31)qlw| exw (cid:14) grhv qrw/ wkh - vfkhgxoh lv yhuwlfdo dqg vkliwv kdugo| dw doo Z zkhq wkh lqwhuhvw udwh fkdqjhv11 Wkh lqlwldo h(cid:30)hfwv ri wkh surgxfwlylw| vkrfn duh wkh vdph1 Wkh (cid:8)7 dqg C vfkhgxohv lqwhuvhfw wr wkh uljkw ri wkh ruljlqdo - vfkhgxoh vr (cid:129) (cid:129) wkh lqwhuhvw udwh ulvhv1 Vlqfh fkdqjhv lq wkh lqwhuhvw udwh kdyh kdugo| dq| h(cid:30)hfw rq wkh - vfkhgxoh/ wkh lqwhuhvw udwh pxvw ulvh e| hqrxjk wr vkliw wkh C vfkhgxoh edfn wr C / vr lq wklv h{wuhph fdvh wkh srvlwlyh surgxfwlylw| vkrfn kdv qr h(cid:30)hfw rq wkh f rxwsxw jds exw orzhuv lq dwlrq1 Qh{w qrwh wkdw wkh lqlwldo h(cid:30)hfw ri d srvlwlyh frqvxpswlrq vkrfn vkliwv wkh C vfkhgxoh wr wkh uljkw iurp C wr C exw kdv qr h(cid:30)hfw rq wkh (cid:8)7 vfkhgxoh1 Wkh uhvw f (cid:129) ri wkh dqdo|vlv ri frqvxpswlrq vkrfnv lv dqdorjrxv wr wkh dqdo|vlv ri surgxfwlylw| vkrfnv1 Zkhq (cid:14) / (cid:14) / dqg (cid:14) duh (cid:31)qlwh wkh frqvxpswlrq vkrfn udlvhv erwk wkh rxwsxw } / Z jds dqg sulfh lq dwlrq/ dqg lq wkh h{wuhph fdvh lq zklfk (cid:14) ru (cid:14) dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| } / exw (cid:14) grhv qrw/ wkh frqvxpswlrq vkrfn kdv qr h(cid:30)hfw rq hlwkhu yduldeoh1 Z Ilqdoo| frqvlghu wkh wzr h{wuhph fdvhv vkrzq lq Iljxuh 91 Dv lq Iljxuh 7/ wkh yhuwlfdo - vfkhgxoh uhsuhvhqwv wkh h{wuhph fdvh lq zklfk (cid:14) ru (cid:14) dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| } / exw (cid:14) grhv qrw1 Wkh krul}rqwdo - vfkhgxoh uhsuhvhqwv wkh rwkhu h{wuhph fdvh lq Z zklfk (cid:14) dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| exw (cid:14) dqg (cid:14) gr qrw1 Lq erwk h{wuhph fdvhv/ wkh - Z } / vfkhgxoh vkliwv kdugo| dw doo zkhq wkh lqwhuhvw udwh fkdqjhv1 Surgxfwlylw| vkrfnv vkliw wkh (cid:8)7 vfkhgxoh/ exw wkh rwkhu vkrfnv gr qrw1 Pryhphqwv lq wkh lqwhuhvw udwh dozd|v vkliw wkh C vfkhgxoh xqwlo lw sdvvhv wkurxjk wkh lqwhuvhfwlrq ri wkh yluwxdoo| xqvkliwhg - vfkhgxoh dqg wkh (cid:8)7 vfkhgxoh zkhwkhu lw kdv vkliwhg ru qrw1 Wkhuhiruh/ lqwklvyhuvlrqriwkhvwlfn| zdjhprgho/ irusurgxfwlylw|vkrfnvvwdelol}lqjwkhrxwsxw jds dqg zdjh lq dwlrq/ wkdw lv/ pdnlqj - yhuwlfdo/ grhv qrw vwdelol}h sulfh lq dwlrq dqg vwdelol}lqj sulfh lq dwlrq/ wkdw lv/ pdnlqj - krul}rqwdo/ grhv qrw vwdelol}h wkh rxwsxw jds dqg zdjh lq dwlrq1 Iru rwkhu vkrfnv vwdelol}lqj hlwkhu wkh rxwsxw jds/ zdjh lq dwlrq/ ru sulfh lq dwlrq vwdelol}hv doo wkuhh1 Wkhuhiruh/ lq wklv yhuvlrq wkhuh lv d wudghr(cid:30) ehwzhhq rxwsxw0jds dqg sulfh0lq dwlrq yduldqfhv iru surgxfwlylw| vkrfnv exw qrw iru rwkhu vkrfnv1 8 Wkh Srolf| Iurqwlhu lq wkh Jhqhudo Prgho Sursrvlwlrq (cid:12) deryh hvwdeolvkhv wkdw vxsso| eorfn frqvlghudwlrqv dorqh lpso| wkdw zkhq erwk zdjhv dqg sulfhv duh vwlfn|/ lw lv qrw ihdvleoh wr frpsohwho| vwdelol}h pruh wkdq rqh ri wkh iroorzlqj wkuhh yduldeohv= wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq1 Lq wklv vhfwlrq/ zh (cid:31)qg prqhwdu| srolf| uxohv wkdw jhqhudwh wkh srlqwv rq wkh srolf| iurqwlhu dw zklfk wkh yduldqfh ri rqh ri wkh yduldeohv lv htxdo wr }hur1 Zh dovrhpsor|qxphulfdophwkrgvwrfdofxodwhsrolf|iurqwlhuvxvlqjuhdvrqdeo|vwdqgdug sdudphwhu ydoxhv1 53

814 Dqdo|wlfdo Uhvxowv Lq wklv vxevhfwlrq/ zh suhvhqw wkuhh sursrvlwlrqv derxw frpsohwh vwdelol}dwlrq ri wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq/ uhvshfwlyho|1 Wdeoh 5 frqwdlqv vhyhudo h{suhvvlrqv xvhg lq irupxodwlqj wkhvh sursrvlwlrqv(cid:23) Wkh vroxwlrqv iru wkuhh yduldeohv lq wkh frpsohwh h{lelolw| yhuvlrq ri wkh prgho(cid:25) wkh uhdo lqwhuhvw udwh EoW(cid:28)/ rxwsxw/ | dqg wkh uhdo zdjh(cid:25) duh jlyhq lq htxdwlrqv EA2(cid:23)(cid:129)(cid:28) wkurxjk EA2(cid:23)(cid:12)(cid:28)1 Wkh h{suhvvlrqv iru wkh s dqg & frph iurp EA(cid:129)(cid:23)b(cid:28) dqg EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)f(cid:28)1 (cid:26) (cid:26) Wkh h{suhvvlrqv iru wkh yduldqfhv ri wkh uhdo zdjh/ wkh rxwsxw jds/ zdjh lq dwlrq/ dqgsulfh lq dwlrqkdyh wkhvdph irup qrpdwwhu zklfkriwkh odwwhuwkuhh yduldeohvlv vwdelol}hg/ exw wkhvh h{suhvvlrqv kdyh gl(cid:30)huhqw frh!flhqw ydoxhv ghshqglqj rq zklfk yduldeoh lv vwdelol}hg1 Wkh jhqhudo h{suhvvlrqv iru wkh yduldqfhv duh (cid:21) (cid:22)(cid:21) (cid:22) j2 ’ S (cid:129)n@ f 4 (cid:26) @2 (cid:26) j2 l (cid:26)’(cid:4)c%c5 (cid:129)3@ f 4 (cid:26) (cid:129)3@2 f (cid:26) +66, (cid:23)(cid:21) (cid:22)(cid:21) (cid:22) (cid:21) (cid:22) (cid:24) j2 ’ S (cid:129)n@ f 4 (cid:26) S2 (cid:16)f @2 (cid:26) n 2@ (cid:26) S (cid:16)(cid:26) 4 (cid:26) S (cid:16)f nS2 c (cid:16) ’ /c}cZ (cid:16) (cid:26)’(cid:4)c%c5 (cid:129)3@ f 4 (cid:26) (cid:129)3@2 f (cid:129)3@ f 4 (cid:26) (cid:16)(cid:26) Wkh frh!flhqwv ^/ @ / S / S / dqg S duh wkh frh!flhqwv ri wkh vroxwlrqv iru (cid:26) }(cid:26) Z(cid:26) /(cid:26) wkh uhdo zdjh/ wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq dqg zdjh lq dwlrq wkdw duh zulwwhq lq jhqhudo whupv lq Wdeoh 21 Wkhvh frh!flhqwv wdnh rq gl(cid:30)huhqw ydoxhv ghshqglqj rq zklfk yduldeoh lv ehlqj vwdelol}hg1 Sursrvlwlrq S= +Rxwsxw0jds, Zlwkvwlfn| zdjhv dqgvwlfn| sulfhv E1 : fc1 : f(cid:28)/ ‘ (cid:27) iru wkh srolf| uxoh (cid:16) ’ oW nZ n(cid:14) } +67, | | |n(cid:129)(cid:131)| } | wkhuh lv d xqltxh/ vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp lq zklfk j2 ’ f/ } dqg j2 dqg j2 duh jlyhq e| htxdwlrq E(cid:12)(cid:12)(cid:28)/ ^ ’ V ‘nV (cid:27)/ dqg wkh S duh jlyhq e| Z / 2q (cid:16)(cid:26) S ’ V ‘ @ fc S ’ V ‘ & (cid:26) 3EV ‘ 3qS /f(cid:28)@ (cid:26)c /f (cid:129)3q@ f /(cid:26) (cid:129)3q4 (cid:26) +68, S ’ V (cid:27) @ f c S ’ EV (cid:27)nqS Zf(cid:28)@ (cid:26) 3V (cid:27) & (cid:26)c (cid:26) ’ (cid:4)c%c5c Zf (cid:129)3q@ f Z(cid:26) (cid:129)3q4 (cid:26) Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Zh nqrz iurp Sursrvlwlrq (cid:12) wkdw lq wkh jhqhudo prgho zkhq j2 ’ f/ wkh yduldqfhv } j2 dqg j2 duh vwulfwo| srvlwlyh1 Krzhyhu/ lq dffrug zlwk Sursrvlwlrq (cid:129)/ li 1 ’ f iru Z / ‘ (cid:31){hg 1 / j2 ’ f1 Li 1 ’ f/ V $ 4/ @ $ f/ S $ f/ dqg @ $ & dqg S $ f (cid:27) Z ‘ ‘ f Zf (cid:26) (cid:26) Z(cid:4) iru (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 Dovr/ lq dffrug zlwk Sursrvlwlrq 2/ li 1 ’ f iru (cid:31){hg 1 / wkhq (cid:27) ‘ j2 ’ f1 Li 1 ’ f/ V $ 4/ S $ f/ dqg S $ fc (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 / (cid:27) (cid:27) /f /(cid:26) 54

Wdeoh 5= H{suhvvlrqv iru Dqdo|vlv ri wkh Jhqhudo Prgho Frpsohwh Ioh{lelolw| (cid:19) (cid:20) (cid:19) (cid:20) oW ’ j(cid:20) 7 +W (cid:3)+W n(cid:20) 7 (cid:4) (cid:3)(cid:4) uhdo lqwhuhvw udwh EA2(cid:23)(cid:129)(cid:28) | (cid:28) |n(cid:129)(cid:131)| | L | |n(cid:129)(cid:131)| +W ’ s (cid:4) ns % ns 5 c rxwsxw EA2(cid:23)2(cid:28) | (cid:4) | % | 5 | s ’ E(cid:129)3k(cid:28)j(cid:20)7 Lc s ’ (cid:129)n(cid:29)(cid:20)7 uc s ’ Ek3(cid:129)(cid:28)(cid:29)(cid:20)7 ~c (cid:4) % 5 { { { lW ’ & (cid:4) n& % n& 5 c uhdo zdjh EA2(cid:23)e(cid:28) | (cid:4) | % | 5 | & ’ (cid:3)kj(cid:20)7 Lc & ’ (cid:29)(cid:20)7 unj(cid:20)7 (cid:28)c & ’ k(cid:29)(cid:20)7 uc (cid:4) % 5 { { { Vroxwlrqv l ’ @ l n@ (cid:4) n@ % n@ 5 c uhdo zdjh EA2(cid:23)D(cid:28) | f |3(cid:129) (cid:4) | % | 5 | u (cid:19) (cid:20) @ E^(cid:28) ’ (cid:129)n (cid:129)3q n^(cid:3) (cid:129)n (cid:129)3q n^ 2 (cid:3) (cid:129) uhdo zdjh frh!flhqw EA2(cid:23)S(cid:28) f 2q 2q q @ E^(cid:28) ’ ^& (cid:26) c (cid:26) ’ (cid:4)c%c5c uhdo zdjh frh!flhqw EA2(cid:23).(cid:28) (cid:26) (cid:129)n (cid:129) 2 3 q q n^3(cid:129) 2 d @ fE^(cid:28)n4 (cid:26) o } ’ S l nS (cid:4) nS % nS 5 c rxwsxw jds EA2(cid:23)H(cid:28) | }f |3(cid:129) }(cid:4) | }% | }5 | Z ’ S l nS (cid:4) nS % nS 5 c sulfh lq dwlrq EA2(cid:23)b(cid:28) | Zf |3(cid:129) Z(cid:4) | Z% | Z5 | / ’ S l nS (cid:4) nS % nS 5 (cid:23) zdjh lq dwlrq EA2(cid:23)(cid:129)f(cid:28) | /f |3(cid:129) /(cid:4) | /% | /5 | Sursrvlwlrq .= +SulfhLq dwlrq,Lqwkhvwlfn|zdjhdqgsulfhyhuvlrqE1 : fc1 : f(cid:28)/ ‘ (cid:27) iru wkh srolf| uxoh (cid:19) (cid:20) (cid:16) ’ oW nj(cid:20) 7 } (cid:3)} n(cid:14) Z c +69, | | (cid:28) |n(cid:129)(cid:131)| | Z | wkhuh lv d xqltxh vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp lq zklfk j2 ’ f/ Z dqg j2 dqg j2 duh jlyhq e| E(cid:12)(cid:12)(cid:28)/ ^ ’ V ‘{/ dqg wkh S duh jlyhq e| } / 2kq (cid:16)(cid:26) S ’ @ (cid:3)(cid:129)c S ’ @ c (cid:26) ’ (cid:4)c%c5 /f f /(cid:26) (cid:26) S ’ Ek3(cid:129)(cid:28)@ fc S ’ Ek3(cid:129)(cid:28)@(cid:4) 3ks(cid:4)c +6:, }f k }(cid:4) k S ’ dEk3(cid:129)(cid:28)@% 3ks%n(cid:129)o S ’ Ek3(cid:129)(cid:28)@5 3ks5 }% k }5 k 55

Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Lq dffrug zlwk Sursrvlwlrq (cid:129)/ li 1 ’ f iru (cid:31){hg 1 / j2 ’ j2 dqg j2 ’ f1 Li ‘ (cid:27) l lW } 1 ’ f/ V $ 4/ @ $ f/ dqg @ $ & c (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 Lw iroorzv wkdw S $ f dqg ‘ ‘ f (cid:26) (cid:26) }f S $ f c (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 Wkxv/ j2 ’ j2 dqg j2 $ f1 }(cid:26) l lW } Sursrvlwlrq H= +ZdjhLq dwlrq,Lqwkhvwlfn|zdjhdqgsulfhyhuvlrqE1 : fc1 : f(cid:28)/ ‘ (cid:27) iru wkh srolf| uxoh (cid:19) (cid:20) (cid:16) ’ oW nj(cid:20) 7 } (cid:3)} nl (cid:3)l n(cid:14) / c +6;, | | (cid:28) |n(cid:129)(cid:131)| | | |n(cid:129)(cid:131)| / | wkhuh lv d xqltxh vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp lq zklfk j2 ’ f/ / dqg j2 dqg j2 duh jlyhq e| E(cid:12)(cid:12)(cid:28)/ ^ ’ V (cid:27){ / dqg wkh S duh jlyhq e| } Z 2qE{3k(cid:28) (cid:16)(cid:26) S ’ (cid:129)(cid:3)@ c S ’ (cid:3)@ c (cid:26) ’ (cid:4)c%c5(cid:23) Zf f Z(cid:26) (cid:26) S ’ E(cid:129)3k(cid:28)@ fc S ’ E(cid:129)3k(cid:28)@(cid:4)nks(cid:4)c +6<, }f {3k }(cid:4) {3k S ’ E(cid:129)3k(cid:28)@%nks% 3(cid:129)c S ’ E(cid:129)3k(cid:28)@5nks5 }% {3k }5 {3k Surri= Vhh Dsshqgl{ D1 Lq dffrug zlwk Sursrvlwlrqv 2/ li 1 ’ f iru (cid:31){hg 1 / j2 ’ j2 dqg j2 ’ f1 Li (cid:27) ‘ l lW } 1 ’ f/ V $ 4/ @ $ f/ dqg @ $ & c (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 Lw iroorzv wkdw S $ f dqg (cid:27) (cid:27) f (cid:26) (cid:16) }f S $ f c (cid:26) ’ (cid:4)c%c51 Wkxv/ j2 ’ j2 dqg j2 $ f1 }(cid:26) l lW } 815 Qxphulfdo Uhvxowv Zkloh wkh suhylrxv vxevhfwlrq surylghg dqdo|wlfdo h{suhvvlrqv iru erxqgdu| srlqwv ri wkh prqhwdu| srolf| iurqwlhu/ qxphulfdo phwkrgv duh uhtxluhg wr lqyhvwljdwh rwkhu surshuwlhv vxfk dv wkh vorsh ri wkh srolf| iurqwlhu dw lqwhuphgldwh srlqwv1 Wkxv/ zh fdoleudwh wkh jhqhudo prgho xvlqj uhdvrqdeo| vwdqgdug sdudphwhu ydoxhv/ dqg wkhq zh iroorz wkh dssurdfk ri Zlooldpv +4<<:, dqg Ohylq/ Zlhodqg/ dqg Zlooldpv +4<<;, wr frpsxwh wkh srolf| iurqwlhu1 Wdeoh6uhsruwvwkhydoxhvriwkhvwuxfwxudosdudphwhuvxvhgkhuh1 Lqsduwlfxodu/ zh dvvxph wkdw rxwsxw kdv d oderu hodvwlflw| ri 31: +qrw wkh oderu hodvwlflw| ri xqlw| wkdw zdv dvvxphg lq Vhfwlrq 7,1 Ixuwkhupruh/ sulfh frqwudfwv kdyh dq dyhudjh gxudwlrq ri wzr txduwhuv/ zkloh zdjh frqwudfwv kdyh dq dyhudjh gxudwlrq ri irxu txduwhuv1 Udwkhu wkdq pdnlqj vshfl(cid:31)f dvvxpswlrqv derxw wkh frqwhpsrudqhrxv fruuhodwlrqv ehwzhhq wkh glvwxuedqfhv/ zh fdofxodwh d vhsdudwh srolf| iurqwlhu iru hdfk ri wkh wkuhh vkrfnv E(cid:4) c% c dqg 5 (cid:28)1 Lq frpsxwlqj hdfk iurqwlhu/ zh vfdoh wkh yduldqfh ri wkh vkrfn vr wkdw | | | srwhqwldo rxwsxw kdv xqlw yduldqfh1 56

Wdeoh 6= Wkh Sdudphwhuv ri wkh Prgho ri Wdeoh 4 w ’ w ’ (cid:23).D k ’ (cid:23)(cid:12) 4 ’ (cid:23)D t7 ’ (cid:129) ‘ (cid:27) (cid:4) 7 7 1 ’ (cid:23)D (cid:20) ’ (cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:129) 4 ’ (cid:23)bD (cid:28) ’ (cid:129) (cid:27) (cid:28) % 1 ’ (cid:23).D (cid:20) 7 ’ f(cid:23)(cid:129)(cid:129) 4 ’ (cid:23)D L7 ’ (cid:23)(cid:129) ‘ L 5 q ’ (cid:23)bb (cid:20) 7 ’ f(cid:23)fe(cid:12) V ’ (cid:23)D(cid:129) u7 ’ (cid:23)2. ~ (cid:27) j ’ (cid:129)(cid:23)D (cid:20) 7 ’ (cid:23)(cid:12). V ’ (cid:23)f2. ~7 ’ (cid:23)f(cid:12) u ‘ (cid:29) ’ (cid:129)(cid:23)D { ’ 2(cid:23)f2 V ’ 2(cid:23)Hb Iruhdfkvkrfn/ zhfrqvlghusrolf|uxohvlqzklfkwkhfxuuhqwlqwhuhvwudwhuhvsrqgv wr Z / l / dqg wkh fxuuhqw dqg odjjhg ydoxhv ri wkh vkrfn173 Wkh frh!flhqw rq Z lv | |3(cid:129) | vhw htxdo wr 5/ zkloh wkh rwkhu wkuhh sdudphwhuv ri wkh lqwhuhvw udwh uxoh duh fkrvhq wr plqlpl}h wkh orvv ixqfwlrq jlyhq lq htxdwlrq E2S(cid:28) iru jlyhq zhljkwv > dqg > 1 Iru Z } dq| lqwhuhvw udwh uxoh lq wklv fodvv/ wkh prgho |lhogv d ghwhuplqdwh vroxwlrq/ dqg wkh uhgxfhg0irup htxdwlrq iru hdfk hqgrjhqrxv yduldeoh +lqfoxglqj Z , fdq eh h{suhvvhg | lq whupv ri l dqg wkh fxuuhqw dqg odjjhg ydoxhv ri wkh vkrfn174 Wkxv/ iru jlyhq |3(cid:129) orvv ixqfwlrq zhljkwv > dqg > / wklv fodvv ri lqwhuhvw udwh uxohv dozd|v hqfrpsdvvhv Z } wkh rswlpdo srolf| uxoh1 Iru d jlyhq vhw ri sdudphwhuv ri wkh lqwhuhvw udwh uxoh/ zh frq(cid:31)up wkh ghwhuplqdf| frqglwlrqv dqg frpsxwh wkh uhgxfhg0irup vroxwlrq ri wkh prgho xvlqj wkh qxphulfdo dojrulwkp ri Dqghuvrq dqg Prruh +4<;8,/ zklfk surylghv dq h!flhqw lpsohphqwdwlrq ri wkh phwkrg sursrvhg e| Eodqfkdug dqg Ndkq +4<;3,175 Jlyhq wkh uhgxfhg0irup uhsuhvhqwdwlrq/ lw lv vwudljkwiruzdug wr fdofxodwh wkh xqfrqglwlrqdo vhfrqg prphqwv ri wkh hqgrjhqrxv yduldeohv1 Ilqdoo|/ zh xvh wkh Qhzwrq0Udskvrq phwkrg wr (cid:31)qg wkh srolf| uxoh sdudphwhuv wkdw plqlpl}h wkh orvv ixqfwlrq iru jlyhq ydoxhv ri > dqg > 1 Z } E|ydu|lqjwkhvhzhljkwvryhuwkhxqlwflufoh/zhwudfhrxwwkhwkuhh0glphqvlrqdosrolf| iurqwlhughvfulelqjwkhvhwrih!flhqwrxwfrphviruwkhyduldqfhvrisulfhlq dwlrq/zdjh lq dwlrq/ dqg wkh rxwsxw jds1 Iljxuh : suhvhqwv wkuhh wzr0glphqvlrqdo ylhzv ri wkh srolf| iurqwlhu fruuhvsrqglqj wr surgxfwlylw| vkrfnv/ zkloh wkh xsshu sdqhov ri Iljxuh ;jlyh wzr0glphqvlrqdo ylhzv ri wkh srolf| iurqwlhu dvvrfldwhg zlwk frqvxpswlrq ghpdqg vkrfnv/ dqg wkh orzhu 73Qrwhwkdwwklvfodvvrilqwhuhvwudwhuxohvlvvrphzkdweurdghuwkdqwkdwjlyhqlqhtxdwlrq+W4=;,1 74Wklv uhvxow iroorzv iurp wkh idfw wkdw wkh jhqhudo prgho fdq eh h{suhvvhg +diwhu ydulrxv vxe0 vwlwxwlrqv, dv d irxuwk0rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq lq wkh uhdo zdjh/ zlwk wkuhh ohdgv dqg rqh odj1 Ghwhuplqdf|lvhqvxuhgliwkhlqwhuhvwudwhuxoh|lhogvwkuhhurrwvrxwvlghwkhxqlwflufohdqgrqhurrw lqvlgh wkh xqlw flufoh1 75D ghwdlohg ghvfulswlrq ri wkh dojrulwkp dqg uhfhqw hqkdqfhphqwv pd| eh irxqg lq Dqghuvrq +4<<:,1 Xvlqj Pdwode yhuvlrq 815 rq d 599Pk} Shqwlxp/ wklv dojrulwkp jhqhudwhv wkh udwlrqdo h{shfwdwlrqv vroxwlrq zlwklq d ihz vhfrqgv iru hyhu| fdvh frqvlghuhg khuh1 57

sdqhov ri Iljxuh ; jlyh vlplodu ylhzv iru wkh srolf| iurqwlhu dvvrfldwhg zlwk oderu vxsso| vkrfnv1 Lq uhvsrqvh wr doo wkuhh vkrfnv/ vwulfw lq dwlrq wdujhwlqj +> ’ (cid:129), fdq Z frpsohwho| vwdelol}h lq dwlrq/ zkloh jhqhudwlqj rxwsxw jds yduldqfh ri derxw 318 wr 31< dqg zdjh lq dwlrq yduldqfh ri derxw 31338 wr 3136176 Wkh frvw +lq whupv ri rxwsxw yduldelolw|, ri vwdelol}lqj lq dwlrq lv orzhu zlwk glplqlvklqj uhwxuqv wr oderu wkdq zlwk d frqvwdqw pdujlqdo surgxfw ri oderu1 Zlwk glplqlvklqjuhwxuqvEk : f(cid:28)/ htxdwlrq+D17,lqglfdwhv wkdwdqh{sdqvlrqlqwkh rxwsxw jds kdv d gluhfw h(cid:30)hfw rq sulfh lq dwlrq lq dgglwlrq wr dq lqgluhfw h(cid:30)hfw rshudwlqj wkurxjk lqfuhdvhg zdjh lq dwlrq1 Wklv gluhfw h(cid:30)hfw khosv wr dffrxqw iru wkh idfw wkdw wkh yduldqfh ri rxwsxw dvvrfldwhg zlwk lq dwlrq wdujhwlqj lq Iljxuh . lv pxfk orzhu wkdq lq wkh orzhu sdqho ri Iljxuh (cid:12)/ hyhq wkrxjk wkh dyhudjh gxudwlrq ri zdjh frqwudfwv lv wzlfh dv odujh1 Qhyhuwkhohvv/ Iljxuhv . dqg H ghslfw yhu| dw yduldqfh wudghr(cid:30)v1 Lq dwlrq wdujhw0 lqj lv d yhu| frvwo| vwudwhj| lq wkh vhqvh wkdw rxwsxw jds yrodwlolw| fdq eh gudvwlfdoo| uhgxfhg zlwkrxw lqgxflqj pxfk yduldwlrq lq sulfh lq dwlrq1 Ixuwkhupruh/ wkhvh (cid:31)j0 xuhvh{klelwuhodwlyho|vpdoowudghr(cid:30)vehwzhhqrxwsxwjdsyrodwlolw|dqgzdjhlq dwlrq yrodwlolw|= iru d jlyhq dprxqw ri sulfh lq dwlrq yduldqfh/ srolf| uxohv fkrvhq wr plql0 pl}hzdjhlq dwlrqyduldqfh+l1h1/ uxohvdvvrfldwhgzlwk> ’ (cid:129)(cid:3)> ,|lhogrqo|voljkwo| / Z kljkhu rxwsxw jds yrodwlolw| wkdq uxohv fkrvhq wr plqlpl}h rxwsxw jds yduldqfh +l1h1/ uxohv dvvrfldwhg zlwk > ’ (cid:129) (cid:3) > ,1 Wkxv/ zkhq erwk zdjhv dqg sulfhv h{klelw dq } Z hpslulfdoo| uhdvrqdeoh ghjuhh ri qrplqdo lqhuwld/ vwulfw sulfh lq dwlrq wdujhwlqj zrxog eh fkrvhq rqo| e| srolf|pdnhuv zkr sodfh d yhu| orz uhodwlyh zhljkw rq rxwsxw0jds yduldelolw|1 9 Frqfoxvlrqv Lq wklv sdshu/ zh kdyh xwlol}hg d vlpsoh prgho zlwk rswlpl}lqj djhqwv wkdw lqfru0 srudwhv erwk zdjh dqg sulfh uljlglwlhv1 Zh kdyh ghprqvwudwhg wkh h{lvwhqfh ri d prqhwdu| srolf| wudghr(cid:30) ehwzhhq sulfh0lq dwlrq yduldelolw| dqg rxwsxw0jds yduldelo0 lw|1 Wklv yduldqfh wudghr(cid:30) lv devhqw rqo| lq wkh vshfldo fdvh lq zklfk sulfhv duh vwlfn| dqg zdjhv duh shuihfwo| h{leoh1 Lq jhqhudo/ lw lv lqihdvleoh wr vwdelol}h pruh wkdq rqh ri wkh iroorzlqj wkuhh yduldeohv= wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq1 Rxu uhvxowv kljkoljkw wkh qhhg iru ixuwkhu uhvhdufk rqfulwhuld iru srolf| hydoxdwlrq dqg rq wkh hpslulfdo uhohydqfh ri gl(cid:30)huhqw w|shv ri qrplqdo uljlglw|1 Zh kdyh ghulyhg prqhwdu| srolf| iurqwlhuv vxemhfw wr wkh zhdn uhvwulfwlrq wkdw srolf|pdnhu orvv lv lqfuhdvlqj lq wkh yduldqfhv ri wkh rxwsxw jds/ sulfh lq dwlrq/ dqg zdjh lq dwlrq yrodwlolw|1 Qhyhuwkhohvv/ wkh yduldqfh ri qrplqdo lqwhuhvw udwhv pd| dovr eh ri frqfhuq wr srolf|pdnhuv1 Pruh fdq eh ohduqhg iurp frpsdulvrqv ri dowhuqdwlyh prqhwdu| srolf| uxohv xvlqj sduwlfxodu sdudphwhul}dwlrqv ri wkh srolf|pdnhu orvv ixqfwlrq dqg/ hvshfldoo|/ iurp h{whqvlrqv ri h{lvwlqj uhvhdufk rq wkh uhodwlrqvkls ehwzhhq wkh xwlolw| ixqfwlrqv ri sulydwh djhqwv dqg srolf|pdnhu orvv ixqfwlrqv1 76Doo wkh wudghr(cid:30) fxuyhv duh ghulyhg frqglwlrqdo rq vkrfnv wkdw duh vfdohg vr wkdw wkh yduldqfh ri srwhqwldo rxwsxw lv rqh shufhqw1 Wkxv/ wkh yduldqfh ri wkh rxwsxw jds frqglwlrqdo rq dq lq dwlrq wdujhwlqj vwudwhj| dqg wkh yduldqfh ri srwhqwldo rxwsxw duh ri wkh vdph rughu ri pdjqlwxgh1 58

Zh kdyh ghprqvwudwhg wkdw frqfoxvlrqv derxw rswlpdo prqhwdu| srolf| duh vhqvl0 wlyh wr dvvxpswlrqv derxw qrplqdo uljlglwlhv1 Vwulfw lq dwlrq wdujhwlqj kdv dsshdolqj zhoiduh lpsolfdwlrqv lq prghov lq zklfk rqo| sulfhv duh vwlfn|1 Krzhyhu/ zkhq rxu prgho lv fdoleudwhg wr h{klelw dq hpslulfdoo| uhdvrqdeoh ghjuhh ri qrplqdo zdjh lqhu0 wld/ vwulfw lq dwlrq wdujhwlqj lqgxfhv vxevwdqwldo rxwsxw0jds yrodwlolw|1 Dffruglqjo|/ rxu uhvxowv xqghuolqh wkh lpsruwdqfh ri wkh rqjrlqj wdvn ri txdqwli|lqj wkh ghjuhhv ri qrplqdo zdjh dqg sulfh uljlglw|1 59

Dsshqgl{ D Wklv Dsshqgl{ frqwdlqv wkh surriv ri Sursrvlwlrqv (cid:129)(cid:3)S(cid:23) Surri ri Sursrvlwlrq 4 Li 1 : f dqg 1 ’ f/ wkhq wkh vxsso| eorfn fdq eh uhgxfhg wr wkh iroorzlqj wzr (cid:27) ‘ htxdwlrqv= Z ’ qZ nb } c +D14, | |n(cid:129)(cid:131)| (cid:27) | k (cid:19) (cid:20)l / (cid:3)Z ’ (cid:20) E} (cid:3)} (cid:28)n +W (cid:3)+W | | | |3(cid:129) | |3(cid:129) +D15, (cid:3)(cid:29)(cid:20)7 u E% (cid:3)% (cid:28)(cid:3)j(cid:20) 7 E(cid:4) (cid:3)(cid:4) (cid:28)n(cid:29)(cid:20) 7 E5 (cid:3)5 (cid:28)(cid:23) (cid:129)3k | |3(cid:129) L | |3(cid:129) ~ | |3(cid:129) Li j2 ’ f/ wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:129)(cid:28) lpsolhv wkdw j2 ’ f dqg wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2(cid:28) lpsolhv Z } j2 : f1 Li j2 ’ f dqg *(cid:16)4 Z $ f/ wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:129)(cid:28) lpsolhv wkdw j2 ’ f dqg / } |n(cid:129)(cid:131)| Z wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2(cid:28) lpsolhv j2 : f1 Qrz dvvxph j2 ’ j2 ’ f dqg vxssrvh wkdw / Z } j2 ’ f/ ru dvvxph j2 ’ f/ dqg vxssrvh j2 ’ j2 ’ f1 Hlwkhu ri wkhvh vxssrvlwlrqv / / Z } jhqhudwhvdfrqwudglfwlrqehfdxvhwkhyduldqfhriwkhuljkwkdqgvlghrihtxdwlrqE(cid:8)(cid:23)2(cid:28) lv srvlwlyh1 Wkhuhiruh/ lw pxvw eh wkdw j2 ’ j2 ’ f $ j2 : f/ dqg j2 ’ f $ j2 : Z } / / Z fcj2 : f(cid:23) } Surri ri Sursrvlwlrq 5 Li 1 : f dqg 1 ’ f/ wkhq wkh vxsso| eorfn fdq eh uhgxfhg wr wkh iroorzlqj wzr ‘ R htxdwlrqv= / ’ q/ nb } c +D16, | |n(cid:129)(cid:131)| ‘ | (cid:19) (cid:20)k (cid:19) (cid:20)l (cid:19) (cid:20) Z (cid:3)/ ’ k E} (cid:3)} (cid:28)n +W (cid:3)+W (cid:3) (cid:129) E% (cid:3)% (cid:28)(cid:23) +D17, | | (cid:129)3k | |3(cid:129) | |3(cid:129) (cid:129)3k | |3(cid:129) Li j2 ’ f/ wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)(cid:28) lpsolhv wkdw j2 ’ f dqg wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)e(cid:28) lpsolhv / } j2 : f1 Li j2 ’ f dqg *(cid:16)4 Z $ f/ wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)(cid:28) lpsolhv wkdw j2 ’ f Z } /n(cid:129)(cid:131)| / dqg wkhq htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)e(cid:28) lpsolhv j2 : f1 Qrz dvvxph j2 ’ j2 ’ f dqg vxssrvh Z / } (cid:15)@oEZ(cid:28) ’ f/ rudvvxph(cid:15)@oEZ(cid:28) ’ f/ dqgvxssrvhj2 ’ f1 Hlwkhuriwkhvh vxssrvlwlrqv / jhqhudwhv d frqwudglfwlrq ehfdxvh wkh yduldqfh ri wkh uljkw kdqg vlgh ri htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)e(cid:28) lv srvlwlyh1 Wkhuhiruh/ lw pxvw eh wkdw j2 ’ j2 ’ f $ (cid:15)@oEZ(cid:28) : fc dqg / } (cid:15)@oEZ(cid:28) ’ f $ j2 : fcj2 : f(cid:23) (cid:15)@oEZ(cid:28) : f(cid:23) / } Surri ri Sursrvlwlrq 6 Dffruglqj wr htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)D(cid:28)/ j2 ’ f / lr ’ l_ ’ lW(cid:23) +D18, } | | | Wkhuhiruh/ li j2 ’ f/ htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) dqg EA(cid:129)(cid:23)e(cid:28) lpso| wkdw li j2 ’ f/ wkhq j2 ’ f } / Z dqg ylfh yhuvd1 Dovr/ li j2 ’ f/ htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28)c EA(cid:129)(cid:23)e(cid:28)/ dqg E(cid:8)(cid:23)D(cid:28) lpso| wkdw li Z j2 ’ f/ wkhq j2 ’ f dqg ylfh yhuvd1 Lq dgglwlrq/ li j2 ’ f/ htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28)c EA(cid:129)(cid:23)e(cid:28)/ } / / dqg E(cid:8)(cid:23)D(cid:28) lpso| wkdw li j2 ’ f/ wkhq j2 ’ f dqg ylfh yhuvd1 Wkdw lv/ li dq| wzr } Z ri j2/ j2/ dqg j2 duh htxdo wr }hur wklug pxvw dovr eh htxdo wr }hur1 Vxssrvh wkdw } Z / 4

j2 ’ j2 ’ j2 ’ f1 Wklv vxssrvlwlrq jhqhudwhv d frqwudglfwlrq ehfdxvh wkh yduldqfh } Z / ri wkh uljkw kdqg vlgh ri htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)S(cid:28) lv srvlwlyh1 7 7 7 7 kj(cid:20) k(cid:29)(cid:20) (cid:29)(cid:20) nj(cid:20) /(cid:3)Z ’ (cid:3) (cid:28) E(cid:4) (cid:3)(cid:4) (cid:28)n u E5 (cid:3)5 (cid:28)n u (cid:28) E% (cid:3)% (cid:28) +D19, { | |3(cid:129) { | |3(cid:129) { | |3(cid:129) Wkhuhiruh/ j2 ’ f $ j2 : f dqg j2 : fcj2 ’ f $ j2 : f dqg j2 : fcj2 ’ f $ } Z / Z } / / j2 : f dqg j2 : f(cid:23) } Z Surri ri Sursrvlwlrq 7 Wkh edvlf gl(cid:30)huhqfh htxdwlrqv iru wkh vwlfn| zdjh yhuvlrq zlwk k ’ f fdq eh h{suhvvhg dv ) ’ (cid:6)) n(cid:18)(cid:3) c +D1:, |n(cid:129) | | zkhuh 3 4 (cid:4) # / $ 3 (cid:129) (cid:3)& ‘ V 4 E 5 | F ) | ’ } | | c (cid:6) ’C (cid:14) /n(cid:14) q Z 3 q (cid:129) (cid:129)n (cid:14) }n q &‘ q V Dc (cid:3) | ’ E E C % | | F F D +D1;, j(cid:20)7 (cid:28) j(cid:20)7 (cid:28) % |3 (cid:129) 3 4 f f f f (cid:18) ’ C (cid:3)j(cid:20)7 L (cid:29)(cid:20)7 uE(cid:129) 34 (cid:4)(cid:28) (cid:3)(cid:29)(cid:20)7 ~E(cid:129) 34 5(cid:28) Ej(cid:20)7 (cid:28) 3 (cid:129) (cid:28)(cid:29)(cid:20)7 uE(cid:129) 34 %(cid:28) (cid:3) (cid:14) Zn (cid:14) % (cid:14) Z 3(cid:14) %3(cid:129) D +D1<, j(cid:20)7 (cid:28){e {e j(cid:20)7 (cid:28){e j(cid:20)7 (cid:28) j(cid:20)7 (cid:28) 7 7 { ’ (cid:29)(cid:20) nj(cid:20) +D143, e u (cid:28) Wkh hljhqydoxhv ri D duh y x# $ (cid:12) (cid:12) ’ (cid:129)n (cid:129) 3q n (cid:14) }n &‘ q V (cid:9) x w (cid:129)n (cid:129) 3q n (cid:14) }n &‘ q V 2 (cid:3) (cid:19) (cid:129) n (cid:14) }n& ‘ VE(cid:14) /n(cid:14) Z(cid:28) (cid:20) (cid:129)c 2 2q 2j(cid:20)7 (cid:28) 2q 2j(cid:20)7 (cid:28) q qj(cid:20)7 (cid:28) +D144, zkhuh wkh n dqg (cid:3) ri (cid:9) dsso| wr (cid:12) dqg (cid:12) / uhvshfwlyho|1 Wkhuh duh qr lqlwldo (cid:129) 2 frqglwlrqv/ vr wkhuh lv d xqltxh vwdwlrqdu| udwlrqdo h{shfwdwlrqv htxloleulxp li wkh uhdo sduwv ri erwk ri wkh hljhqydoxhv ri D h{fhhg rqh lq devroxwh ydoxh1 Vlqfh q (cid:9) (cid:129) dqg wkh h{suhvvlrq xqghu wkh udglfdo fdq eh zulwwhq dv # $ (cid:129) 3q n (cid:14) }n &‘ q V 2 (cid:3) & ‘ V k(cid:19) (cid:129) 3q (cid:20) (cid:14) n(cid:14) n(cid:14) (cid:3)(cid:129) l +D145, 2q 2j(cid:20)7 (cid:28) q2j(cid:20)7 (cid:28) & ‘ V } / Z erwk urrwv duh uhdo dqg h{fhhg srvlwlyh rqh li uhdo dqg erwk h{fhhg srvlwlyh rqh li (cid:14) (cid:19) (cid:20) } dqg (cid:129) 3q (cid:14) n(cid:14) (cid:3)(cid:129) : f(cid:23) & V } Z Wk (cid:27) h vroxwlrqv iru / dqg } fdq eh h{suhvvhg lq pdwul{ irup | | ) ’ (cid:25)(cid:3) +D146, | | zkhuh lq wklv fdvh 5

3 4 (cid:25) ’ E E E(cid:12) (cid:129) 34 @ (cid:4) (cid:129)2 (cid:28)E K (cid:12) 2(cid:129) 2 34 (cid:4)(cid:28) E(cid:12) (cid:129) 3 @ 4 5 (cid:129)2 (cid:28)E K (cid:12) 22 2 34 5(cid:28) E(cid:12) @ (cid:129) (cid:129) 3 2 4 E4 % % (cid:28)E K (cid:12) 2(cid:12) 2 n 3 K 4 2 % e (cid:28) (cid:28) 4 % (cid:3) (cid:12) @ (cid:129) (cid:129) (cid:12) 2 2 K 2 4 e % @ (cid:12) (cid:129) (cid:129) 2 (cid:12) K 2 2 e F F +D147, C D E(cid:12) (cid:129) E4 3 (cid:4) 4 3 (cid:4) @ (cid:28)E (cid:129) (cid:12) (cid:129) 2 (cid:28)K 3 2 4 (cid:129) (cid:4)(cid:28) E(cid:12) E (cid:129) 4 3 5 4 3 5 @ (cid:28)E (cid:129) (cid:12) (cid:129)(cid:28) 2 K 3 22 4 5(cid:28) E4 E(cid:12) % (cid:129) 3 3 @ 4 (cid:129)(cid:129) % (cid:28) (cid:28) E E 4 (cid:12) % 2 K 3 2 4 (cid:12)n %(cid:28) K 4 2 % e(cid:28) n (cid:12) @ (cid:129) (cid:129) (cid:12) (cid:129) 2 K 2 4 e % (cid:3)@ (cid:12) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:12) K 2 2 e (cid:19) (cid:20)(cid:19) (cid:20) (cid:12) (cid:3)4 (cid:12) (cid:3)4 ’ (cid:12) (cid:12) (cid:3)4 E(cid:12) n(cid:12) (cid:28)n42c (cid:26) ’ (cid:129)c(cid:23)(cid:23)(cid:23)c(cid:12) +D148, (cid:129) (cid:26) 2 (cid:26) (cid:129) 2 (cid:26) (cid:129) 2 (cid:26) # $ (cid:129) (cid:14) n& VE(cid:14) n(cid:14) (cid:28) (cid:12) (cid:12) ’ (cid:129)n } ‘ / Z +D149, (cid:129) 2 q j(cid:20) 7 (cid:28) (cid:129) (cid:14) n & ‘ V (cid:12) n(cid:12) ’ n(cid:129)n } q +D14:, (cid:129) 2 q j(cid:20) 7 (cid:28) dqg K / K / K / dqg K pdnh xs wkh erwwrp urz ri wkh pdwul{ E zklfk lv gh(cid:31)qhg 2(cid:129) 22 2(cid:12) 2e lq htxdwlrq +D1<,1 Wkh vroxwlrq iru Z lv | Z ’ S (cid:4) nS 5 nES (cid:3)(cid:129)(cid:28)% nES n(cid:129)(cid:28)% +D14;, | (cid:129)(cid:129) | (cid:129)2 | (cid:129)(cid:12) | (cid:129)e |3 (cid:129) Doo wkh hohphqwv ri F kdyh ghqrplqdwruv ri wkh vdph irup zklfklv jlyhqe|htxdwlrq +D148,1 Dv fdq eh vhhq iurp htxdwlrqv +D149, dqg +D14:, wklv ghqrplqdwru ulvhv zlwkrxw olplw dv (cid:14) / (cid:14) / ru (cid:14) ulvh zlwkrxw olplw1 Ixuwkhupruh/ dv fdq eh vhhq iurp } / Z htxdwlrq +D1<, qrqh ri wkh hohphqwv ri wkh pdwul{ E ghshqgv (cid:14) rq ru (cid:14) / exw K / } (cid:129)(cid:12) dqg K ulvh zlwkrxw olplw dv (cid:14) ulvhv1 Wkhuhiruh/ frpsohwh vwdelol}dwlrq ri hlwkhu } ru (cid:129)e Z | / +(cid:14) ru (cid:14) dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| zlwk (cid:14) (cid:31)qlwh, uhgxfhv doo wkh hohphqwv ri F wr }hur/ | / } Z vr wkh vroxwlrq iru Z uhgxfhv wr | Z m ’ (cid:3)% n% (cid:23) +D14<, | (cid:14) Jo(cid:14) <" | |3(cid:129) / } Lq frqwudvw/ frpsohwh vwdelol}dwlrq ri Z +(cid:14) dssurdfkhv lq(cid:31)qlw| zlwk (cid:14) dqg (cid:14) | Z } / (cid:31)qlwh, grhv qrw uhgxfh S dqg S wr }hur/ dqg wkh vroxwlrqv iru / dqg } duh (cid:129)(cid:12) (cid:129)e | | / m ’ % (cid:3)% c +D153, | (cid:14) <" | |3(cid:129) Z # $ (cid:21) (cid:22) qE(cid:129)(cid:3)4 (cid:28)n(cid:129) (cid:129) } m ’ % % (cid:3) % +D154, | (cid:14) <" b | b |3(cid:129)(cid:23) Z ‘ ‘ Surri ri Sursrvlwlrq 8 Wr hydoxdwh wkh orvv ixqfwlrq E2S(cid:28)/ zh xvh wkh yduldqfh h{suhvvlrqv jlyhq lq htxd0 wlrq E(cid:12)(cid:12)(cid:28)1 Wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrqv iru d plqlpxp ri wkh orvv ixqfwlrq zlwk uhvshfw wr (cid:14) dqg (cid:14) duh % %3(cid:129) E (cid:28) Yn ’ > E_(cid:3)e(cid:28)n > } q2_232q_e (cid:14) (cid:3) > } q_2(cid:14) (cid:3) > } q_s Y(cid:14) %3(cid:129) (cid:21) Z (cid:22) k V2 ‘ V2 %3(cid:129) V2 ‘ V2 % l V2 ‘ V2 n (cid:129)n > } (cid:3)> E_2 ne2(cid:28)(cid:14) n_e(cid:14) nes V2 ‘ V2 } %3(cid:129) % +D155, (cid:21) (cid:22) (cid:19) (cid:20) Yn ’ (cid:3)> _(cid:3) > } q_2(cid:14) n (cid:129)n > } (cid:3)> _2(cid:14) n_e(cid:14) n_s Y(cid:14) % Z V2 ‘ V2 %3(cid:129) V2 ‘ V2 } % %3(cid:129) 6

Wkh vhfrqg0rughu frqglwlrqv duh k l (cid:19) (cid:20) Y2n ’ > } Eq_(cid:3)e(cid:28)2 n_2 n (cid:129)(cid:3)> E_2 ne2(cid:28) : f Y(cid:14)2 %3(cid:129) V2 ‘ V2 } (cid:21) (cid:22) Y2n ’ (cid:129)n > } (cid:3)> _2 : f Y(cid:14)2 V2 V2 } % ‘ +D156, (cid:19) (cid:20) Y2n ’ > } E_e(cid:3)q_2(cid:28)n (cid:129)(cid:3)> _e Y(cid:14) %3(cid:129) Y(cid:14) % V2 ‘ V2 } (cid:23) (cid:24) % (cid:21) (cid:22) (cid:19) (cid:20) & 2 2 Y2n Y2n (cid:3) Y2n ’ _e (cid:129)n > } (cid:3)> nq2 (cid:129)(cid:3)> > } : f Y(cid:14)2 % Y(cid:14)2 %3(cid:129) Y(cid:14) %3(cid:129) Y(cid:14) % V2 ‘ V2 } } V2 ‘ V2 Iurp E(cid:8)(cid:23)2(cid:12)(cid:28)/ wkh frqglwlrqv iru wkh h{lvwhqfh ri d xqltxh plqlpxp duh ixo(cid:31)oohg1 Surri ri Sursrvlwlrq 9 Lqwurgxflqj wkh uxohE(cid:12)e(cid:28) lqwr jrrgv ghpdqg htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28) uhvxowv lq wkh (cid:31)uvw0 rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2e(cid:28)= (cid:21) (cid:22) (cid:14) } ’ (cid:129)n } } +D157, |n(cid:129)(cid:131)| j(cid:20) 7 | (cid:28) Htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2e(cid:28) lpsolhv } ’ f iru (cid:14) : f1 | } Zlwk vwlfn| sulfhv dqg zdjhv/ doo yhuvlrqv ri wkh prgho lqfoxgh htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) wkurxjk EA(cid:129)(cid:23).(cid:28)1 Zlwk vwdelol}dwlrq ri wkh rxwsxw jds ru sulfh lq dwlrq ru zdjh lq d0 wlrq/ doo wkh uhpdlqlqj yduldeohv fdq eh h{suhvvhg lq whupv ri l dqg wkh wkuhh vkrfnv | (cid:4) / % / dqg 5 1 Lq hdfk ri wkhvh fdvhv/ htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) wkurxjk EA(cid:129)(cid:23).(cid:28) fdq eh uhgxfhg | | | wr d vhfrqg0rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq lq l dqg wkh vkrfnv(cid:23) | Zlwk rxwsxw0jds vwdelol}dwlrq/ wkh gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq lv ql (cid:3)E(cid:129)nq nV nV (cid:28)l nl nEV nV (cid:28)E& (cid:4) n& % n& 5 (cid:28) ’ f +D158, |n(cid:129) ‘ (cid:27) | |3(cid:129) ‘ (cid:27) (cid:4) | % | 5 | H{suhvvlrqv iru wkh & duh jlyhq lq wkh wh{w1 Wkh urrwv ri htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2D(cid:28) duh (cid:26) u (cid:19) (cid:20) (cid:12) c(cid:12) ’ (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) (cid:9) (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) 2 (cid:3) (cid:129) +D159, (cid:129) 2 2q 2q 2q 2q q zkhuh wkh n dqg (cid:3) ri (cid:9) dsso| wr (cid:12) dqg (cid:12) / uhvshfwlyho|1 Vlqfh f (cid:9) q (cid:9) (cid:129) dqg (cid:129) 2 (cid:19) (cid:20) (cid:19) (cid:20) (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) 2 : (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) 2 (cid:3) (cid:129) 2q 2q 2q 2q q +D15:, (cid:19) (cid:20) (cid:19) (cid:20) ’ (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) 2 n(cid:129)n Eqn(cid:129)(cid:28)EV ‘nV (cid:27)(cid:28) : (cid:129)3q n V ‘nV (cid:27) 2 2q 2q q 2q 2q erwk urrwv duh uhdo dqg f (cid:9) (cid:12) (cid:9) (cid:129) (cid:9) (cid:12) 1 Vlqfh htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2D(cid:28) frqwdlqv d odjjhg (cid:129) 2 ydoxh/ wklv urrw sdwwhuq lpsolhv ghwhuplqdf|1 Wkh frh!flhqwv ri wkh vroxwlrqv iru l dqgZ duh glvsod|hglqwkh wh{w1 Lqghulylqj | | wkh yduldqfhv ri wkhvh yduldeohv/ lw lv dvvxphg wkdw wkh wkuhh vkrfnv E(cid:4) % c dqg 5 (cid:28)duh |c | | pxwxdoo| xqfruuhodwhg1 Wkhuhiruh/ iru (cid:4) / Hl (cid:4) ’ 4 Hl (cid:4) ’ 4 @ Hl (cid:4) n | |3(cid:129) | (cid:4) |3(cid:129) |3(cid:129) (cid:4) f |32 |3(cid:129) 7

4 @ j2/ dqg e| vwdwlrqdu| Hl (cid:4) ’ 4 (cid:4) @(cid:4)j2 (cid:4) dqg Hl (cid:4) ’ @(cid:4)j2 (cid:4) 1 Dqdorjrxv uhodwlrq0 vk (cid:4) ls (cid:4) v k (cid:4) rog iru % dqg 5 1 |3(cid:129) | (cid:129)34 % @ f | | (cid:129)34 % @ f | | Surri ri Sursrvlwlrq : Lqwurgxflqj wkh uxoh E(cid:12)S(cid:28) lqwr jrrgv ghpdqg htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28) uhvxowv lq wkh (cid:31)uvw0 rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2H(cid:28)= Z ’ (cid:14) Z +D15;, |n(cid:129)(cid:131)| Z | Htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2H(cid:28) lpsolhv Z ’ f iru (cid:14) : (cid:129)(cid:23) Dv h{sodlqhg lq wkh surri ri Sursrvlwlrq | Z S/ zlwklq dwlrqvwdelol}dwlrqwkh uhvw riwkh prgho lv htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) wkurxjkEA(cid:129)(cid:23).(cid:28) zklfk fdq eh uhgxfhg wr d vhfrqg0rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq lq l dqg wkh vkrfnv= | (cid:21) (cid:22) V { ql (cid:3) (cid:129)nq n ‘ l nl nV E(cid:5) (cid:4) n(cid:5) % n(cid:5) 5 (cid:28) ’ f(cid:23) +D15<, |n(cid:129) k | |3(cid:129) ‘ (cid:4) | % | 5 | H{suhvvlrqv iru wkh (cid:5) duh jlyhq lq wkh wh{w1 Wkh urrwv ri htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2b(cid:28) duh (cid:26) u (cid:19) (cid:20) (cid:12) c(cid:12) ’ (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘{ (cid:9) (cid:129)n (cid:129)3q n V ‘{ 2 (cid:3) (cid:129) +D163, (cid:129) 2 2q 2kq 2q 2kq q zkhuh wkh n dqg (cid:3) ri (cid:9) dsso| wr (cid:12) dqg (cid:12) / uhvshfwlyho|1 Wkh ghprqvwudwlrq wkdw (cid:129) 2 erwk urrw duh uhdo dqg wkdw f (cid:9) (cid:12) (cid:9) (cid:129) (cid:9) (cid:12) lv wkh vdph dv wkh dqdorjrxv ghprqvwud0 (cid:129) 2 wlrq lq wkh surri ri Sursrvlwlrq S h{fhsw wkdw V ‘{ uhsodfhv V ‘nV (cid:27) hyhu|zkhuh1 Vlqfh kq 2q htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)2b(cid:28) frqwdlqv d odjjhg ydoxh/ wklv urrw sdwwhuq lpsolhv ghwhuplqdf|1 Wkh vwdwhphqwv lq wkh odvw sdudjudsk ri wkh surri ri Sursrvlwlrq S dsso| zlwk dssursuldwh prgl(cid:31)fdwlrq1 Surri ri Sursrvlwlrq ; Lqwurgxflqj wkh uxoh E(cid:12)H(cid:28) lqwr jrrgv ghpdqg htxdwlrq EA(cid:129)(cid:23)(cid:129)(cid:28) uhvxowv lq wkh (cid:31)uvw0 rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)(cid:129)(cid:28)= / ’ (cid:14) / +D164, |n(cid:129)(cid:131)| / | Htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)(cid:129)(cid:28) lpsolhv / ’ f iru (cid:14) : (cid:129)1 Dv h{sodlqhg lq wkh surri ri Sursrvlwlrq | / S/ zlwklq dwlrqvwdelol}dwlrqwkh uhvw riwkh prgho lv htxdwlrqv EA(cid:129)(cid:23)2(cid:28) wkurxjkEA(cid:129)(cid:23).(cid:28) zklfk fdq eh uhgxfhg wr d vhfrqg0rughu gl(cid:30)huhqfh htxdwlrq lq l dqg wkh vkrfnv= | (cid:21) (cid:22) V { ql (cid:3) (cid:129)nq n (cid:27) l nl nV E_ (cid:4) n_ % n_ 5 (cid:28) ’ f(cid:23) +D165, |n(cid:129) {(cid:3)k | |3(cid:129) (cid:27) (cid:4) | % | 5 | H{suhvvlrqv iru wkh _ duh jlyhq lq wkh wh{w1 Wkh urrwv ri htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)2(cid:28) duh (cid:26) u (cid:19) (cid:20) (cid:12) c(cid:12) ’ (cid:129)n (cid:129)3q n V (cid:27){ (cid:9) (cid:129)n (cid:129)3q n V (cid:27){ 2 (cid:3) (cid:129) +D166, (cid:129) 2 2q 2qE{3k(cid:28) 2q 2qE{3k(cid:28) q zkhuh wkh n dqg (cid:3) ri (cid:9) dsso| wr (cid:12) dqg (cid:12) / uhvshfwlyho|1 Wkh ghprqvwudwlrq wkdw (cid:129) 2 erwk urrw duh uhdo dqg wkdw f (cid:9) (cid:12) (cid:9) (cid:129) (cid:9) (cid:12) lv wkh vdph dv wkh dqdorjrxv ghprq0 (cid:129) 2 vwudwlrq lq wkh surri ri Sursrvlwlrq S h{fhsw wkdw V ‘{ uhsodfhv V (cid:27){ hyhu|zkhuh kq qE{3k(cid:28) 8

7 7 ehfdxvh { (cid:3) k ’ (cid:29)(cid:20) n E(cid:129)(cid:3)k(cid:28)j(cid:20) : f1 Vlqfh htxdwlrq E(cid:8)(cid:23)(cid:12)2(cid:28) frqwdlqv d odjjhg u (cid:28) ydoxh/ wklv urrw sdwwhuq lpsolhv ghwhuplqdf|1 Wkh vwdwhphqwv lq wkh odvw sdudjudsk ri wkh surri ri Sursrvlwlrq S dsso| zlwk dssursuldwh prgl(cid:31)fdwlrq1 9

Dsshqgl{ E Lq wklv dsshqgl{ zh ghulyh d orjdulwkplf dssur{lpdwlrq iru wkh (cid:31)uvw0rughu frqgl0 wlrq iru wkh qrplqdo zdjh zklfk zh fdoo wkh zdjh vhwwlqj htxdwlrq1 Zh uhshdw wkh (cid:31)uvw0rughu frqglwlrq/ htxdwlrq +<, iru frqyhqlhqfh= [" (cid:31)r3| (cid:129) [" ‘ H E1 q(cid:28)r3|X u ’ H E1 q(cid:28)r3|X u (cid:23) +E14, (cid:5)c| | ‘ (cid:129)((cid:5)cr (cid:27) (cid:5)cr w | ‘ (cid:12)((cid:5)cr (cid:5)cr r’| r ‘ r’| Pxowlso|lqj dqg glylglqj wkh ohiw kdqg vlgh ri htxdwlrq +E14, e| ‘ |lhogv | [" (cid:129) [" H (cid:8)‘ E1 q(cid:28)r3|X (‘c(cid:27)u ’ H E1 q(cid:28)r3|X u c +E15, | | ‘ (cid:129)((cid:5)cr |cr (cid:5)cr w | ‘ (cid:12)((cid:5)cr (cid:5)cr r’| ‘ r’| zkhuh ‘ ‘ (cid:31)r (cid:8)‘ ’ (cid:5)c|c (‘c(cid:27) ’ | c (cid:8)7‘ ’ (7‘ ’ (cid:129)(cid:23) +E16, | ‘ |cr (cid:27) | r Wkh h{suhvvlrq iru u lq htxdwlrq +A(cid:129)(cid:23)e, fdq eh uhzulwwhq dv (cid:5)cr (cid:19) (cid:20) ‘ (cid:31)r u ’ (‘ w‘ (cid:129) 3(cid:129) u c (‘ ’ | (cid:23) +E17, (cid:5)cr |cr r |cr ‘ r Vxevwlwxwlqj wkh orj gl(cid:30)huhqwldov ri X / X / dqg u lqwr wkh orj gl(cid:30)huhqwldo ri (cid:129)((cid:5)cr (cid:12)((cid:5)cr (cid:5)cr htxdwlrq +E15,> uhfrjql}lqj wkdw hdfk whup lq wkh uhvxowlqj htxdwlrq lv pxowlsolhg e| hlwkhu X (7‘c(cid:27)u7 ru F (cid:12)((cid:5)cr u7 (cid:5)/ zklfk duh htxdo> dqg uhduudqjlqj |lhogv (cid:129)((cid:5)cr (cid:5) w ‘ [" E(cid:129)(cid:3)1 q(cid:28)3(cid:129)E(cid:129)(cid:3)(cid:29)(cid:20) 7 " (cid:28)(cid:8)(cid:9)‘ ’ (cid:3)H E1 q(cid:28)r3|((cid:9)‘c(cid:27) ‘ u uc‘ | | ‘ |cr r’| [" [" nH E1 q(cid:28)r3|(cid:29)(cid:20) 7 " ( (cid:9)‘ (cid:3)H E1 q(cid:28)r3|Xe | ‘ u uc‘ |cr | ‘ (cid:129)((cid:5) r’| r’| [" [" nH E1 q(cid:28)r3|(cid:29)(cid:20) 7 u(cid:9) nH E1 q(cid:28)r3|(cid:29)(cid:20) 7 ~(cid:9) +E18, | ‘ u r | ‘ ~ r r’| r’| 7 7 7 7 zkhuh (cid:20) c(cid:20) c(cid:20) c dqg (cid:20) duh gh(cid:31)qhg lq Wdeoh 61 (cid:28) L u ~ Dgglqjdqgvxewudfwlqj1 q(cid:29)(cid:20) 7 " H E‘ (cid:9) (cid:3)‘ (cid:9) (cid:28)/qrwlqjwkdwH ( (cid:9)‘ ’ f/pdnlqj ‘ u uc‘ | |n(cid:129) | | |c| xvh ri wkh gh(cid:31)qlwlrq ri (cid:8)(cid:9)‘/ uhfrjql}lqj wkdw (cid:28)(cid:9) ’ (cid:28)(cid:9) ehfdxvh ri shuihfw lqvxudqfh | (cid:5)c| | (cid:9) (cid:9) pdunhwv dqg wkdw L ’ L ehfdxvh ri lghqwlfdo frqvxphuv |lhogv (cid:5)c| | (cid:19) (cid:20) E(cid:129)(cid:3)1 q(cid:28)3(cid:129) (cid:129)(cid:3)(cid:29)(cid:20) 7 " (cid:8)(cid:9)‘ ‘ u uc‘ | (cid:19) (cid:20) ’ H 1 qE(cid:129)(cid:3)1 q(cid:28)3(cid:129) (cid:129)(cid:3)(cid:29)(cid:20) 7 " (cid:8)(cid:9)‘ | ‘ ‘ u uc‘ |n(cid:129) (cid:19) (cid:20) n1 qE(cid:129)(cid:3)1 q(cid:28)3(cid:129) (cid:129)(cid:3)(cid:29)(cid:20) 7 " H E‘ (cid:9) (cid:3)‘ (cid:9) (cid:28) ‘ ‘ u uc‘ | |n(cid:129) | (cid:3)E‘(cid:9) (cid:3)(cid:27)(cid:9)(cid:28)nj(cid:28)(cid:9) (cid:3)jL(cid:9) n(cid:29)(cid:20) 7 u(cid:9) n(cid:29)(cid:20) 7 ~(cid:9) (cid:23) +E19, | | | | u | ~ | Lw fdq vkrzq wkdw 1 1 (cid:8)(cid:9)‘ ’ ‘ E‘(cid:9) (cid:3)‘(cid:9) (cid:28) ’ ‘ / (cid:23) +E1:, | (cid:129)(cid:3)1 | |3(cid:129) (cid:129)(cid:3)1 | ‘ ‘ :

Ohwwlqj ‘(cid:9) (cid:3)‘(cid:9) ’ / dqg ‘(cid:9) (cid:3)(cid:27)(cid:9) ’ l |lhogv wkh orj dssur{lpdwlrq wr wkh zdjh | |3(cid:129) | | | | vhwwlqj htxdwlrq E(cid:129)(cid:3)1 q(cid:28)E(cid:129)(cid:3)1 (cid:28) / ’ q/ n (cid:19) ‘ (cid:20) ‘ Elr (cid:3)l (cid:28) ’ q/ nV Elr (cid:3)l (cid:28)c +E1;, r |n(cid:129)(cid:131)| 7 | | |n(cid:129)(cid:131)| ‘ | | (cid:129)(cid:3)(cid:29)(cid:20) " 1 u uc‘ ‘ zkhuh lr ’ E‘(cid:9) (cid:3)(cid:27)(cid:9)(cid:28)r ’ j(cid:28)(cid:9) (cid:3)jL(cid:9) n(cid:29)(cid:20) 7 u(cid:9) n(cid:29)(cid:20) 7 ~(cid:9) (cid:23) +E1<, | | | | | u | ~ | lv wkh+orjdulwkplfghyldwlrqriwkh,vxsso|uhdozdjh/ wkh ydoxhril wkdwzrxoguhvxow | li zdjhv zhuh frpsohwho| h{leoh E1 $ f(cid:28)1 ‘ ;

Uhihuhqfhv Dqghuvrq/ J1 V1/ dqg J1 Prruh +4<;8, (cid:19)D Olqhdu Dojheudlf Surfhgxuh iru Vroylqj Olqhdu Shuihfw Iruhvljkw Prghov(cid:20)/ Hfrqrplf Ohwwhuv/ 4:/ 57:(cid:24)851 Ehqkdele/ M1/ V1 Vfkplww0Jurkh/ dqgP1 Xuleh +4<<;, (cid:19)Prqhwdu| Srolf| dqg Pxowlsoh Htxloleuld(cid:20)/ Ilqdqfh dqg Hfrqrplfv Glvfxvlrq Vhulhv 4<<;05</ Ihghudo Uhvhuyh Erdug1 Eodqfkdug/ R1 +4<<:, (cid:19)Frpphqw(cid:20)/ lq QEHU Pdfurhfrqrplfv Dqqxdo 4<<:/ PLW Suhvv/ 5;<(cid:24)5<81 Eodqfkdug/ R1/ dqg F1 P1 Ndkq +4<;3, (cid:19)Wkh Vroxwlrq ri Olqhdu Gl(cid:30)huhqfh Prghov xqghu Udwlrqdo H{shfwdwlrqv(cid:20)/ Hfrqrphwulfd/ 7;/ 4638(cid:24)441 Eu|dqw/U1/S1Krrshu/dqgF1Pdqq+4<<6,Hydoxdwlqj Srolf| Uhjlphv= Qhz Uhvhdufk lq Hpslulfdo Pdfurhfrqrplfv/ Eurrnlqjv Lqvwlwxwlrq/ Zdvklqjwrq/ G1F1 Fdoyr/ J1 +4<;6, (cid:19)Vwdjjhuhg Sulfhv lq d Xwlolw| Pd{lpl}lqj Iudphzrun(cid:20)/ Mrxuqdo ri Prqhwdu| Hfrqrplfv/ 45/ 6;6(cid:24)6<;1 Fodulgd/ U1/ M1 Jdol/ dqg P1 Jhuwohu +4<<:, (cid:19)Prqhwdu| Srolf| Uxohv dqg Pdfurhfr0 qrplf Vwdelolw|= Hylghqfh dqg Vrph Wkhru|(cid:20)/ surfhvvhg/ Qhz \run Xqlyhuvlw|1 Gl{lw/D1N1/dqgM1Vwljolw}+4<::,(cid:19)PrqrsrolvwlfFrpshwlwlrqdqgRswlpxpSurgxfw Glyhuvlw|(cid:20)/ Dphulfdq Hfrqrplf Uhylhz/ 9:/ 5<:(cid:24)63;1 Hufhj/ F1 M1 +4<<:, (cid:19)Qrplqdo Zdjh Uljlglwlhv dqg wkh Sursdjdwlrq ri Prqhwdu| Glvwuxedqfhv(cid:20)/ Lqwhuqdwlrqdo Ilqdqfh GlvfxvvlrqSdshuv/ Qr1 8<3/ IhghudoUhvhuyh Erdug1 Jrrgiulhqg/ P1/ dqg U1 Nlqj +4<<:, (cid:19)Wkh Qhz Qhrfodvvlfdo V|qwkhvlv dqg wkh Uroh ri Prqhwdu| Srolf|(cid:20)/ lq QEHU Pdfurhfrqrplfv Dqqxdo 4<<:/ PLW Suhvv/ Fdp0 eulgjh/ 566(cid:24)5;61 Khqghuvrq/ G1/ dqg Z1 PfNleelq +4<<6, (cid:19)Dq Dvvhvvphqw ri Vrph Edvlf Prqhwdu| Srolf| Uhjlph Sdluv= Dqdo|wlfdo dqg Vlpxodwlrq Uhvxowv iurp Vlpsoh Pxowluhjlrq Pdfurhfrqrplf Prghov(cid:20)/ lq U1 Eu|dqw/ S1 Krrshu/ dqg F1 Pdqq +hgv1, Hydoxdw0 lqj Srolf| Uhjlphv= Qhz Uhvhdufk lq Hpslulfdo Pdfurhfrqrplfv/ Wkh Eurrnlqjv Lqvwlwxwlrq/ Zdvklqjwrq/ G1F1 Khqghuvrq/ G1 Z1/ dqg M1 Nlp +4<<;, (cid:19)Wkh Fkrlfh ri d Prqhwdu| Srolf| Uhdfwlrq Ixqfwlrq lq d Vlpsoh Rswlpl}lqj Prgho(cid:20)/ lq D1 Ohlmrqkxiyxg +hg1, Prqhwdu| Wkhru| dv d Edvlv iru Prqhwdu| Srolf|/ Pdfploodq/ Orqgrq1 Nloh|/ P1W1+4<<;,(cid:19)Prqhwdu|Srolf|xqghu QhrfodvvlfdodqgQhz0Nh|qhvldqSkloolsv Fxuyhv/ zlwk dq Dssolfdwlrq wr Sulfh Ohyho dqg Lq dwlrq Wdujhwlqj(cid:20)/ Ilqdqfh dqg Hfrqrplfv Glvfxvvlrq Vhulhv Qr1 4<<;05:/ Ihghudo Uhvhuyh Erdug1 <

Nlp/ M1 +4<<:, (cid:19)Prqhwdu| Srolf| lq d Vwrfkdvwlf Htxloleulxp Prgho zlwk Uhdo dqg QrplqdoUljlglwlhv(cid:20)/surfhvvhg/ErdugriJryhuqruvriwkhIhghudoUhvhuyhV|vwhp1 Nlqj/ U1 J1/ dqg D1 O1 Zropdq +4<<;, (cid:19)Zkdw Vkrxog wkh Prqhwdu| Dxwkrulw| Gr Zkhq Sulfhv Duh Vwlfn|B(cid:20)/ lq M1 Wd|oru +hg1, Prqhwdu| Srolf| Uxohv/ Wkh Xqlyhu0 vlw| ri Fklfdjr Suhvv/ Fklfdjr/ iruwkfrplqj1 Nroopdqq/ U1+4<<:,(cid:19)WkhH{fkdqjhUdwhlqdG|qdplf0Rswlpl}lqjFxuuhqwDffrxqw Prgho zlwk Qrplqdo Uljlglwlhv= D Txdqwlwdwlyh Lqyhvwljdwlrq(cid:20)/ Zrunlqj Sdshu/ Lqwhuqdwlrqdo Prqhwdu| Ixqg1 Ohhshu/H1+4<<4,(cid:19)HtxloleuldxqghucDfwlyh*dqgcSdvvlyh*Prqhwdu|Srolflhv(cid:20)/Mrxuqdo ri Prqhwdu| Hfrqrplfv/ 5:/ 45<(cid:24)47:1 Ohylq/ D1 +4<;<, (cid:19)Wkh Wkhruhwlfdo dqg Hpslulfdo Uhohydqfh ri Vwdjjhuhg Zdjh Frq0 wudfw Prghov(cid:20)/ Sk1G1 glvvhuwdwlrq/ Vwdqirug Xqlyhuvlw|1 Ohylq/ D1/ Y1 Zlhodqg/ dqg M1 F1 Zlooldpv +4<<;, (cid:19)Urexvwqhvv ri Vlpsoh Prqhwdu| Srolf|Uxohv xqghu Prgho Xqfhuwdlqw|(cid:20)/ lqM1 Wd|oru +hg1, Prqhwdu| Srolf| Uxohv/ Wkh Xqlyhuvlw| ri Fklfdjr Suhvv/ Fklfdjr/ iruwkfrplqj1 Skhosv/ H1 V1/ dqg M1 E1 Wd|oru +4<::, (cid:19)Vwdelol}lqj Srzhuv ri Prqhwdu| Srolf| xqghu Udwlrqdo H{shfwdwlrqv(cid:20)/ Mrxuqdo ri Srolwlfdo Hfrqrp|/ ;8/ 496 4<31 Txdqgw/ U1 +4<;:, (cid:19)Eleolrjudsk| rq Glvhtxloleulxp(cid:20)/ plphr/ Sulqfhwrq Xqlyhuvlw|1 Urwhpehuj/ M1/ dqg P1 Zrrgirug +4<<;, (cid:19)Lqwhuhvw0Udwh Uxohv lq dq Hvwlpdwhg Vwlfn| SulfhPrgho(cid:20)/lqM1Wd|oru+hg1,Prqhwdu| Srolf| Uxohv/WkhXqlyhuvlw|riFklfdjr Suhvv/ Fklfdjr/ iruwkfrplqj1 Urwhpehuj/ M1 M1/ dqg P1 Zrrgirug +4<<:, (cid:19)Dq Rswlpl}dwlrq0Edvhg Hfrqrphwulf Iudphzrun iru wkh Hydoxdwlrq ri Prqhwdu| Srolf|(cid:20)/ lq QEHU Pdfurhfrqrplfv Dqqxdo 4<<:/ PLW Suhvv/ Fdpeulgjh/ 5<:(cid:24)6791 Uxghexvfk/ J1 G1/ dqg O1 H1 R1 Vyhqvvrq +4<<;, (cid:19)Srolf| Uxohv iru Lq dwlrq Wdujhw0 lqj(cid:20)/ lq M1 Wd|oru +hg1, Prqhwdu| Srolf| Uxohv/ Wkh Xqlyhuvlw| ri Fklfdjr Suhvv/ Fklfdjr1 Vfkplww0Jurkh/ V1/ dqg P1 Xuleh +4<<;, (cid:19)Sulfh0Ohyho Ghwhuplqdf| dqg Prqhwdu| Srolf|xqghudEdodqfhgExgjhwUhtxluhphqw(cid:20)/surfhvvhg/ IhghudoUhvhuyhErdug1 Vlpv/ F1 D1 +4<<7, (cid:19)D Vlpsoh Prgho iru Vwxg| ri wkh Ghwhuplqdwlrq ri wkh Sulfh Ohyho dqg wkh Lqwhudfwlrq ri Prqhwdu| dqg Ilvfdo Srolf|(cid:20)/ Hfrqrplf Wkhru|/ 7/ 6;4(cid:24)<<1 Wd|oru/ M1 +4<:<, (cid:19)Vwdjjhuhg Frqwudfwv lq d Pdfur Prgho(cid:20)/ Dphulfdq Hfrqrplf Uh0 ylhz/ 9</ 43;(cid:24)4461 Wd|oru/M1+4<;3,(cid:19)DjjuhjdwhG|qdplfvdqgVwdjjhuhgFrqwudfwv(cid:20)/Mrxuqdo riSrolwlfdo Hfrqrp|/ ;;/ 4(cid:24)571 43

Whworz/ U1/ dqg S1 yrq }xu Pxhkohq +4<<9, (cid:19)Prqhwdu| Srolf| Uxohv lq d Vpdoo Iruzdug0Orrnlqj Pdfr Prgho(cid:20)/ surfhvvhg/ Ihghudo Uhvhuyh Erdug1 Zlooldpv/M1F1+4<<:,(cid:19)VlpsohUxohviruPrqhwdu|Srolf|(cid:20)/surfhvvhg/IhghudoUhvhuyh Erdug1 Zrrgirug/ P1 +4<<7, (cid:19)Prqhwdu| Srolf| dqg Sulfh Ohyho Ghwhuplqdf| lq d Fdvk0lq0 Dgydqfh Hfrqrpq|(cid:20)/ Hfrqrplf Wkhru|/ 7/ 678(cid:24)6;31 Zrrgirug/ P1 +4<<8, (cid:19)Sulfh0Ohyho Ghwhuplqdf| zlwkrxw Frqwuro ri d Prqhwdu| Dj0 juhjdwh(cid:20)/ Fduqhjlh Urfkhvwhu Vhulhv rq Sxeolf Srolf|/ 76/ 4(cid:24)791 Zrrgirug/ P1 +4<<9, (cid:19)Frqwuro ri wkh Sxeolf Ghew= D Uhtxluhphqw iru Sulfh Vwdelo0 lw|B(cid:20)/ QEHU Zrunlqj Sdshu 89;7/ Qdwlrqdo Exuhdx ri Hfrqrplf Uhvhdufk1 \xq/ W1 +4<<9, (cid:19)Qrplqdo Sulfh Uljlglw|/ Prqh| Vxsso| Hqgrjhqhlw|/ dqg Exvlqhvv F|fohv(cid:20)/ Mrxuqdo ri Prqhwdu| Hfrqrplfv/ 6:/ 678(cid:24)6:31 44

Figure 1: Sticky Prices and Flexible Wages Real wage s = g = 0 t * (cid:133) t d (notional) t 0 Output gap Figure 2: Sticky Wages and Flexible Prices Real wage s (notional) = g = 0 t * (cid:133) t = 0 (cid:131) 0 d t 0 g Output gap t

Figure 3 Variance Tradeoffs under Sticky Wages and Flexible Prices a( = 0) Average contract duration = 1.1 quarters 4.5 4.5 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 1 2 3 4 5 Output Gap Variance Wage Inflation Variance ecnairaV noitalfnI ecirP m = 0 w m = 0 g Average contract duration = 2 quarters 4.5 4.5 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 Output Gap Variance Wage Inflation Variance ecnairaV noitalfnI ecirP

Figure 4: Figure 5: Incomplete Stabilization Rules Equilibration Process Figure 6: Complete Stabilization Rules

Figure 7 Variance Tradeoffs under Sticky Wages and Sticky Prices Productivity Shocks (Three 2−dimensional Views) 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Output Gap Variance Wage Inflation Variance ecnairaV noitalfnI ecirP 0.03 025 Zero weight on wage inflation variance 0.02 Zero weight on output gap variance 015 0.01 005 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Output Gap Variance

Figure 8 Variance Tradeoffs under Sticky Wages and Sticky Prices Consumption Demand Shocks 025 0.025 0.02 0.02 015 0.015 0.01 0.01 005 0.005 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Output Gap Variance Wage Inflation Variance ecnairaV noitalfnI ecirP m = 0 w m = 0 g Labor Supply Shocks 025 0.025 0.02 0.02 015 0.015 0.01 0.01 005 0.005 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Output Gap Variance Wage Inflation Variance ecnairaV noitalfnI ecirP